Handbuch Elektrotechnik: Grundlagen und Anwendungen für Elektrotechniker (German Edition)
Author: Wilfried Plaßmann; Detlef Schulz
Date: 2016-12-13T23:00:00+00:00
Description: Dieses Handbuch stellt in systematischer Form alle wesentlichen Grundlagen der Elektrotechnik in der komprimierten Form eines Nachschlagewerkes zusammen. Es wurde für Studierende und Praktiker entwickelt. Für Spezialisten eines bestimmten Fachgebiets wird ein umfassender Einblick in Nachbargebiete geboten. Die didaktisch ausgezeichneten Darstellungen ermöglichen eine rasche Erarbeitung des umfangreichen Inhalts. Über 2000 Abbildungen und Tabellen, passgenau ausgewählte Formeln, Hinweise, Schaltpläne und Normen führen den Benutzer sicher durch die Elektrotechnik. ** From the Back Cover Dieses H
Publisher: Springer Vieweg

Wilfried Plaßmann

Detlef Schulz Hrsg.

Handbuch

Elektrotechnik

Grundlagen und Anwendungen
für Elektrotechniker

7. Auflage

Handbuch Elektrotechnik

Wilfried Plaßmann Detlef Schulz

Herausgeber

Handbuch

Elektrotechnik

7., neu bearbeitete Auflage

Herausgeber

Wilfried Plaßmann

Detlef Schulz

Bad Nenndorf, Deutschland

Hamburg, Deutschland

ISBN 978-3-658-07048-9

ISBN 978-3-658-07049-6 (eBook)

DOI 10.1007/978-3-658-07049-6

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Springer Vieweg

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1999, 2002, 2004, 2007, diese Auflagen erschienen unter dem Titel „Böge/-

Plaßmann, Vieweg Handbuch Elektrotechnik”, 2009, 2013, 2016

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Vorwort

Das Handbuch Elektrotechnik erscheint nunmehr in der 7. Auflage. Seit seiner Einführung ist es
gedacht als eine Kombination aus studienbegleitendem Werk und einem Nachschlagewerk. Dieses

Konzept hat sich bewährt und wurde auch in dieser Auflage beibehalten.

Das Werk wurde gegenüber der 6. Auflage neu bearbeitet. Bewährte Kapitel, die die Grundlagen
behandeln, wurden belassen; andere Kapitel wurden durch inhaltliche Änderungen dem Stand der

Technik angepasst. Das Kapitel Elektrische Energieversorgung wurde völlig neu gestaltet und trägt
damit den aktuellen Entwicklungen dieses Zweiges der Energietechnik Rechnung. Dazu gehört auch
das neu verfasste und aktualisierte Kapitel Leistungselektronik. Damit erfährt die Energietechnik, ihrer

Bedeutung entsprechend, eine angemessenere Beachtung.

Das Handbuch ist als Informationsbasis für Studierende und in der Praxis tätige Ingenieure und

Techniker ausgelegt. In diesem Werk finden die Anwender alle notwendigen Formeln, Hinweise,

Tabellen, Schaltpläne und Normen. Zur Sicherung sachkundiger Anwendungen werden wichtige Be-
rechnungsgleichungen ausführlich hergeleitet. Zahlreiche anwendungsbezogene Beispiele in jedem

Kapitel erhöhen das Verständnis für die oft komplexen Zusammenhänge und geben die zur Problem-
lösung unerlässliche Sicherheit.

Die Herausgeber danken den Lesern für kritische Anmerkungen zum Buch und sind auch weiterhin
für Anregungen und Verbesserungsvorschläge dankbar. Weiterhin danken sie Frau Broßler und Frau

Himmel sowie Herrn Dapper vom Verlag Springer-Vieweg für die gute Zusammenarbeit bei der Rea-
lisierung des umfangreichen Werkes.

Die E-Mail-Adressen der Herausgeber lauten:

wilfried.plassmann@hs-hannover.de
detlef.schulz@hsu-hh.de

Hannover/Hamburg, November 2016

Wilfried Plaßmann/Detlef Schulz

Herausgeber

V

Inhaltsverzeichnis

Teil I

Mathematik

1

Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1

Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Aussageformen und logische Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1

Aussageformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2

Logische Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.3

Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Einteilung der Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Grundrechenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5

Grundlegende Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5.1

Buchstabenrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5.2

Kehrwert, Quersumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5.3

Teilbarkeitsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5.4

Punktrechnung vor Strichrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5.5

Potenzrechnung vor Punktrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5.6

Grundgesetze der Addition und Multiplikation . . . . . . . . . . .

9

1.5.7

Indizes, Summenzeichen, Produktzeichen . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5.8

Binomische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.9

Fakultäten, Binomialkoeffizienten und Pascal’sches Dreieck . . 10

1.5.10 Binomischer Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6

Potenz- und Wurzelrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6.1

Definition der Potenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6.2

Regeln der Potenzrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6.3

Definition der Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.4

Regeln der Wurzelrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7

Dezimalzahlen und Dualzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7.1

Dezimalsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7.2

Dualsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7.3

Runden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8

Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8.1

Definition des Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8.2

Spezielle Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.8.3

Regeln der Logarithmenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.8.4

Zusammenhang von Logarithmen mit verschiedenen Basen . . 20

1.8.5

Dekadische Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.9

Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.9.1

Definitionen und Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.9.2

Absolutbetrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.9.3

Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.10

Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.10.1 Algebraische Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.10.2 Trigonometrische Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

VII

VIII

Inhaltsverzeichnis

1.10.3 Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen . . . . . . . . . . .

25

1.10.4 Multiplizieren komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.10.5 Dividieren komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.10.6 Potenzieren komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.10.7 Radizieren komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.10.8 Euler’sche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2

Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.1

Gleichungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2

Äquivalente Umformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.3

Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.4

Proportionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.5

Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.5.1

Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.5.2

Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.5.3

Satz von Viëta für quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . .

37

2.6

Algebraische Gleichungen höheren Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.6.1

Kubische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.6.2

Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.6.3

Gleichungen vierten Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.6.4

Gleichungen n-ten Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.6.5

Satz von Viëta für Gleichungen n-ten Grades . . . . . . . . . . . .

43

2.7

Auf algebraische Gleichungen zurückführbare Gleichungen . . . . . . .

43

2.7.1

Bruchgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.7.2

Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.8

Transzendente Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.8.1

Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.8.2

Logarithmische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.8.3

Trigonometrische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.9

Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.9.1

Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.9.2

Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen . . . . . . . . . . . .

47

2.9.3

Drei lineare Gleichungen mit drei Variablen . . . . . . . . . . . . .

49

2.9.4

Matrizen und Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3

Planimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.1

Geraden und Strecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.2

Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.3

Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.4

Geometrische Örter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.5

Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.5.1

Allgemeine Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.5.2

Gleichschenklige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.5.3

Gleichseitige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.5.4

Rechtwinklige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.5.5

Besondere Geraden, Strecken und Kreise . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.5.6

Flächensätze im rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3.6

Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

3.6.1

Allgemeine Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

3.6.2

Trapeze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

3.6.3

Parallelogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

Inhaltsverzeichnis

IX

3.6.4

Rhomben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.6.5

Rechtecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.6.6

Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.6.7

Drachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.6.8

Sehnenvierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.6.9

Tangentenvierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.7

Reguläre n-Ecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.8

Polygone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.9

Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.9.1

Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.9.2

Kreissektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.9.3

Kreissegmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.9.4

Kreise und Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.9.5

Bogenmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.10

Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.10.1 Punktsymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.10.2 Achsensymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.11

Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.11.1 Zentrische Streckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.11.2 Strahlensätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.11.3 Ähnliche Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4

Stereometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.1

Prismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.1.1

Allgemeine Prismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.1.2

Parallelepiped und Würfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2

Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2.1

Allgemeine Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2.2

Gerade Kreiszylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2.3

Hohlzylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3

Pyramiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3.1

Allgemeine Pyramiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3.2

Gerade quadratische Pyramiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.4

Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.4.1

Allgemeine Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.4.2

Gerade Kreiskegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.5

Cavalieri’sches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.6

Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.6.1

Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.6.2

Kugelsegmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.6.3

Kugelsektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.6.4

Kugelschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5

Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.1

Definition und Darstellungen von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.1.1

Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.1.2

Funktionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.1.3

Graph einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.1.4

Wertetabelle einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2

Verhalten von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.2.1

Monotone Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.2.2

Symmetrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

X

Inhaltsverzeichnis

5.2.3

Beschränkte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

5.2.4

Injektive Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

5.2.5

Surjektive Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

5.2.6

Bijektive Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

5.2.7

Periodische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

5.2.8

Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

5.2.9

Reelle und komplexe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

5.3

Einteilung der elementaren Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

5.4

Ganze rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

5.4.1

Konstante Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

5.4.2

Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

5.4.3

Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

5.4.4

Kubische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

5.4.5

Ganze rationale Funktionen n-ten Grades . . . . . . . . . . . . . . 100

5.4.6

Horner-Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.5

Gebrochene rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.5.1

Nullstellen, Pole, Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.5.2

Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.6

Irrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.7

Transzendente Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.7.1

Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.7.2

Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6

Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.1

Definition der trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.2

Trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel . . . . . . . . . . . . . 113

6.3

Beziehungen für den gleichen Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.4

Graphen der trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.5

Reduktionsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.6

Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.7

Sinussatz und Kosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.8

Arkusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7

Analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.1

Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.1.1

Kartesisches Koordinatensystem der Ebene . . . . . . . . . . . . . 122

7.1.2

Polarkoordinatensystem der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.1.3

Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten 123

7.1.4

Kartesisches Koordinatensystem des Raums . . . . . . . . . . . . . 124

7.2

Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.2.1

Geradengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.2.2

Abstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.3

Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.3.1

Kreisgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.3.2

Berechnung von Kreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.4

Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.5

Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.5.1

Ellipsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.5.2

Hyperbeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Inhaltsverzeichnis

XI

7.5.3

Parabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.5.4

Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7.6

Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.6.1

Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.6.2

Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar . . . . . . . . . . . 138

7.6.3

Addition und Subtraktion zweier Vektoren . . . . . . . . . . . . . 138

7.6.4

Komponentendarstellung von Vektoren in der Ebene . . . . . . 139

7.6.5

Komponentendarstellung von Vektoren im Raum . . . . . . . . . 139

7.6.6

Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

7.6.7

Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.6.8

Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

8

Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

8.1

Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

8.1.1

Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

8.1.2

Arithmetische Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

8.1.3

Geometrische Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

8.1.4

Grenzwert einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

8.1.5

Einige Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8.1.6

Divergente Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8.2

Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8.2.1

Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8.2.2

Arithmetische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

8.2.3

Geometrische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

8.2.4

Harmonische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

8.2.5

Alternierende Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

8.3

Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

8.3.1

Grenzwert an einer endlichen Stelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

8.3.2

Einseitige Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

8.3.3

Grenzwert im Unendlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

8.3.4

Rechenregeln für Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

8.3.5

Unbestimmte Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

8.3.6

Stetigkeit einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

8.3.7

Unstetigkeitsstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

8.4

Ableitung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

8.4.1

Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

8.4.2

Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

8.4.3

Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

8.4.4

Ableitungen einiger algebraischer Funktionen . . . . . . . . . . . 157

8.4.5

Ableitungen einiger transzendenter Funktionen . . . . . . . . . . 157

8.4.6

Sekanten und Tangenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8.4.7

Extremwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

8.4.8

Krümmungsverhalten von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

8.4.9

Wendepunkte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

8.4.10 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8.4.11 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

8.4.12 Näherungsverfahren zur Nullstellenbestimmung . . . . . . . . . . 163

8.5

Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.5.1

Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.5.2

Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.5.3

Unbestimmte Integrale einiger algebraischer Funktionen . . . . 168

8.5.4

Unbestimmte Integrale einiger transzendenter Funktionen . . 169

8.5.5

Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8.5.6

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . 170

8.5.7

Eigenschaften des bestimmten Integrals . . . . . . . . . . . . . . . 170

8.5.8

Einige Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . 172

XII

Inhaltsverzeichnis

8.6

Funktionenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

8.6.1

Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

8.6.2

Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8.6.3

Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

9

Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

9.1

Symbole und Bezeichnungsweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

9.2

Das griechische Alphabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Teil II

Physik

10

Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

10.1

Physikalische Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

10.1.1 Skalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

10.1.2 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

10.2

SI-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

11

Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

11.1

Kinematik des Massenpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

11.1.1 Eindimensionale Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

11.1.2 Zusammengesetzte Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

11.1.3 Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

11.2

Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

11.2.1 Newton’sche Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

11.2.2 Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

11.2.3 Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

11.2.4 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad und Energie . . . . . . . . . . . . 203

11.2.5 Stoßprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

11.2.6 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

11.2.7 Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

11.3

Elastische Verformung fester Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

11.4

Mechanik der ruhenden Flüssigkeiten und Gase . . . . . . . . . . . . . . . 210

11.4.1 Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

11.4.2 Kompressibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

11.4.3 Volumenausdehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

11.4.4 Hydrostatischer Druck in Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

11.4.5 Schweredruck in Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

11.4.6 Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

11.5

Hydrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

11.5.1 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

11.5.2 Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

11.5.3 Innere Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

12

Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

12.1

Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

12.2

Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

12.2.1 Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

12.2.2 Temperaturmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

12.3

Thermische Ausdehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

12.3.1 Feste Stoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

12.3.2 Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

12.3.3 Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

Inhaltsverzeichnis

XIII

12.4

Ideale Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

12.4.1 Allgemeine Zustandsgleichung idealer Gase . . . . . . . . . . . . . 216

12.4.2 Kinetische Gastheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

12.4.3 Wärmeenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

12.4.4 Zustandsänderungen idealer Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

12.4.5 Kreisprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

12.5

Wärmeübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

12.5.1 Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

12.5.2 Wärmeströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

12.5.3 Wärmestrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

13

Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

13.1

Freie ungedämpfte harmonische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . 222

13.2

Gedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

13.3

Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

13.4

Überlagerung harmonischer Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

13.4.1 Schwingungsrichtung parallel zueinander . . . . . . . . . . . . . . 224

13.4.2 Schwingungsrichtung senkrecht zueinander . . . . . . . . . . . . . 225

14

Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

14.1

Harmonische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

14.1.1 Ausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

14.1.2 Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

14.2

Huygens’sches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

14.2.1 Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

14.2.2 Brechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

14.2.3 Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

14.3

Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

15

Akustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

15.1

Schallausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

15.2

Reflexion, Transmission, Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

15.3

Ultraschall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

16

Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

16.1

Eigenschaften des Lichtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

16.2

Geometrische Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

16.2.1 Reflexion des Lichtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

16.2.2 Brechungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

16.2.3 Optische Geräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

16.3

Wellenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

16.3.1 Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

16.3.2 Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

16.4

Photometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

16.4.1 Strahlungsphysikalische Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

16.4.2 Lichttechnische Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

16.5

Licht als Korpuskel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

XIV

Inhaltsverzeichnis

17

Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

17.1

Physikalische Größen und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

17.2

Zahlenwerte physikalischer Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Teil III

Werkstoffkunde

18

Stoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

18.1

Eigenschaften der Stoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

18.2

Atombau und Periodensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

18.3

Aufbau der festen Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

18.4

Chemische Grundzusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

18.5

Elektrochemie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

19

Elektrische Leitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

19.1

Leitungsmechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

19.2

Isolator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

19.3

Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

19.4

Normalleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

19.5

Supraleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

19.6

Halleffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

20

Elektrische Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

20.1

Normalleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

20.2

Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

20.3

Supraleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

21

Magnetische Leitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

21.1

Modellvorstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

21.2

Verhalten von Materie im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

21.3

Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

21.4

Magnetisierungskurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

21.5

Permeabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

22

Magnetika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

22.1

Metalloxide (Ferrite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

22.2

Weichmagnetika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

22.3

Hartmagnetika (Dauermagnete) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

23

Dielektrische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

23.1

Modellvorstellungen zur dielektrischen Polarisation . . . . . . . . . . . . . 294

23.2

Dielektrische Materialeinteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

23.3

Elektrische Materialeinteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

Inhaltsverzeichnis

XV

24

Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

24.1

Natürliche anorganische Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

24.2

Natürliche organische Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

24.3

Künstliche anorganische Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

24.4

Künstliche organische Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

24.5

Silikone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

Teil IV

Grundlagen der Elektrotechnik

25

Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

25.1

Aufbau der Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

25.2

Ladungsträger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

25.3

Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

25.4

Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

25.4.1 Bewegung von Ladungsträgern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

25.4.2 Stromstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

25.4.3 Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

25.5

Das Ohm’sche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

25.6

Spezifischer Widerstand, Leitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

25.7

Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes von Metallen 308

26

Der Gleichstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

26.1

Zählpfeilsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

26.2

Kirchhoff’sche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

26.2.1 Knotenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

26.2.2 Maschenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

26.3

Schaltung von Widerständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

26.3.1 Reihenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

26.3.2 Parallelschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

26.3.3 Stern-Dreieck Umwandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

26.3.4 Messbereichserweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

26.4

Reale Spannungsquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

26.4.1 Kombination von Spannungsquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

26.5

Ersatzstromquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

26.6

Netzwerkberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

26.6.1 Gemischte Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

26.6.2 Überlagerungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

26.6.3 Ersatzspannungsquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

26.6.4 Nichtlineare Gleichstromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

26.7

Energie, Leistung, Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

26.7.1 Leistungsanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

26.7.2 Leistungsverlust auf Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

26.7.3 Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

26.7.4 Umwandlung elektrischer Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

XVI

Inhaltsverzeichnis

27

Das Elektrische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

27.1

Grundgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

27.1.1 Kräfte zwischen Ladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

27.1.2 Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

27.1.3 Feldlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

27.1.4 Potential, Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

27.1.5 Äquipotentiallinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

27.1.6 Elektrischer Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

27.1.7 Energie geladener Teilchen im elektrischen Feld . . . . . . . . . . 326

27.2

Materie im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

27.2.1 Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

27.2.2 Nichtleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

27.3

Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

27.3.1 Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

27.3.2 Schaltungen mit Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

27.3.3 Energie des elektrostatischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

27.3.4 Laden und Entladen eines Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . 331

27.3.5 RC-Reihenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

28

Das Magnetische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

28.1

Feldlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

28.1.1 Dauermagnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

28.1.2 Stromdurchflossene Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

28.1.3 Stromdurchflossene Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

28.1.4 Magnetfeld der Erde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

28.2

Magnetische Grundgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

28.2.1 Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

28.2.2 Fluss, Flussdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

28.3

Kräfte im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

28.3.1 Kräfte auf bewegliche Ladungsträger . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

28.3.2 Stromdurchflossener Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

28.3.3 Magnetisches Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

28.3.4 Kräfte zwischen zwei parallelen Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . 342

28.3.5 Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

28.4

Energie des Magnetfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

28.5

Materie im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

28.5.1 Diamagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

28.5.2 Paramagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

28.5.3 Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

28.5.4 Antiferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

28.5.5 Ferrimagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

28.6

Magnetische Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

28.6.1 Magnetische Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

28.6.2 Magnetischer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

28.6.3 Unverzweigte Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

28.6.4 Verzweigte Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

29

Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

29.1

Induktion bei Änderung der Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

29.2

Induktion bei Änderung des Magnetfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

29.3

Die Induktivität einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

29.3.1 Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

29.3.2 Gegeninduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

Inhaltsverzeichnis

XVII

29.3.3 Energie im Magnetfeld einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

29.3.4 Ein- und Ausschaltvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

29.3.5 Zusammenschalten von Induktivitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

30

Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

30.1

Grundbegriffe des Wechselstroms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

30.1.1 Erzeugung einer sinusförmigen Wechselspannung . . . . . . . . 362

30.1.2 Phasenverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

30.1.3 Effektivwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

30.1.4 Darstellungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

30.2

Grundschaltelemente im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

30.2.1 Ohm’scher Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

30.2.2 Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

30.2.3 Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

30.3

Schaltungen von Wechselstromwiderständen . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

30.3.1 Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen . . . . . . . . . 367

30.3.2 Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen . . . . . . . . . 371

30.3.3 Gemischte Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

30.4

Passive Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

30.4.1 Hochpassschaltung mit RC- und RL-Glied . . . . . . . . . . . . . . . 376

30.4.2 Tiefpassschaltung mit RC- und RL-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . 377

30.4.3 Bandpassschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

30.5

Schwingkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

30.5.1 Reihenresonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

30.5.2 Parallelresonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

30.6

Leistung und Arbeit im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

30.6.1 Leistung und Arbeit bei Phasengleichheit von Spannung und

Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

30.6.2 Leistung und Arbeit bei Phasenverschiebung von Spannung
und Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

30.6.3 Leistung in komplexer Schreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

30.6.4 Leistungsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

31

Drehstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

31.1

Erzeugung von mehrphasigem Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

31.2

Phasenverkettung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

31.2.1 Sternschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

31.2.2 Dreieckschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

31.3

Leistung des Dreiphasenstroms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

31.4

Das unsymmetrische Dreiphasensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

31.4.1 Das unsymmetrische Dreileiternetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

31.4.2 Das unsymmetrische Vierleiternetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

Teil V

Elektronik

32

Leitungsmechanismen bei Halbleitern, pn-Übergang . . . . . . . . . . . . . . . . 393

32.1

Einführung in die Halbleiterphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

32.2

Der pn-Übergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

XVIII

Inhaltsverzeichnis

33

Dioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

33.1

Kennlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

33.2

Kenndaten und Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

33.3

Kennzeichnung von Halbleiter-Bauelementen . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

33.4

Diodenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

33.4.1 Kapazitätsdioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

33.4.2 Schalterdioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

33.4.3 Schottky-Dioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

33.4.4 Gleichrichter-Dioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

33.4.5 Z-Dioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

33.5

Anwendungsschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

33.5.1 Begrenzerschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

33.5.2 Gleichrichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

33.5.3 Spannungsvervielfacher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

33.5.4 Diode als Konstantspannungsquelle (Z-Diode) . . . . . . . . . . . 413

34

Mehrschichtdioden und -trioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

34.1

Vierschichtdioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

34.2

Thyristoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

34.3

Diac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

34.4

Triac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

34.5

Schutz der Dioden und Trioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

34.6

Zündmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

35

Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

35.1

Bipolare Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

35.1.1 Transistoreffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

35.1.2 Transistorkennlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

35.1.3 Kenn- und Grenzwerte des Transistors . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

35.2

Feldeffekttransistoren (FET) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

35.2.1 Aufbau und Wirkungsweise des Sperrschicht-FET . . . . . . . . . 432

35.2.2 Aufbau und Wirkungsweise des MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . 433

35.2.3 Kennlinien von FET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

35.2.4 Kennwerte von FET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

36

Besondere Halbleiter-Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

36.1

Unijunction-Transistor (Doppelbasisdiode) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

36.2

Darlington-Transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

36.3

VMOS-Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

36.4

SIPMOS-Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

36.5

IGBT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

37

Analoge Verstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

37.1

Bipolarer Transistor als Verstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

37.1.1 Grundschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

37.1.2 Arbeitspunktstabilisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

37.1.3 Emitterschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

37.1.4 Kollektorschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

37.1.5 Basisschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

Inhaltsverzeichnis

XIX

37.2

Feldeffekt-Transistor als Verstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

37.2.1 Arbeitspunkteinstellung und -stabilisierung . . . . . . . . . . . . . 462

37.2.2 Grundschaltungen von FET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

37.2.3 Weitere Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

37.3

Mehrstufige Verstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

38

Endstufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

38.1

Betriebsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

38.2

Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

39

Operationsverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

39.1

Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

39.2

Differenzverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

39.3

Grundlagen des OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

39.4

Operationsverstärker als Verstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

39.4.1 Verstärker mit frequenzunabhängiger Gegenkopplung . . . . . 489

39.4.2 Verstärker mit frequenzabhängiger Gegenkopplung . . . . . . . 492

39.4.3 OP als Leistungsverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

39.4.4 Aktive Filterschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

40

Elektronische Schalter, Kippstufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499

40.1

Transistor als Schalter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500

40.2

Kippschaltungen mit Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

40.2.1 Bistabile Kippstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

40.2.2 Monostabile Kippstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

40.2.3 Astabile Kippstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

40.2.4 Triggerschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

40.3

Operationsverstärker als Schalter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

40.4

Kippschaltungen mit Operationsverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

40.4.1 Triggerschaltungen mit Operationsverstärker . . . . . . . . . . . . 507

40.4.2 Astabile Kippstufe mit Operationsverstärker . . . . . . . . . . . . 509

40.4.3 Monostabile Kippstufe mit Operationsverstärker . . . . . . . . . 509

40.4.4 Bistabile Kippstufe mit Operationsverstärker . . . . . . . . . . . . 510

40.5

Zeitgeber 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

40.6

Trigger TCA 345 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

41

Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

41.1

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

41.2

Sinusgeneratoren (RC-Oszillatoren) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

41.3

Funktionsgeneratoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516

42

Schaltungstechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519

42.1

Integrierte Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

42.2

SMD-Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522

43

Optoelektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525

43.1

Grundsätzliche Überlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

43.2

Optoelektronische Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

43.2.1 Fotowiderstand (LDR – light dependent resistor) . . . . . . . . . . 526

XX

Inhaltsverzeichnis

43.2.2 Fotodiode und Fotoelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

43.2.3 Fototransistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531

43.2.4 Lumineszenzdioden und Flüssigkristalle . . . . . . . . . . . . . . . . 532

43.3

Anzeigeeinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533

43.4

Signalübertragung mit Optokoppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

43.5

Faseroptische Übertragungsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

44

Analog-Digital-Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537

44.1

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

44.2

Spannungs-Frequenz-Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

44.3

Sägezahnverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

44.4

Dual-Slope-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

44.5

Flash-Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

44.6

Wandler nach dem Wägeverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540

44.7

Integrierte Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540

45

Digital-Analog-Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541

45.1

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542

45.2

D/A-Wandler-Varianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542

45.3

Integrierte Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543

Teil VI

Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

46

Grundlagen der zeichnerischen Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547

46.1

Zeichengeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548

46.2

Normen für Technische Zeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548

46.3

Normteile und Konstruktionselemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549

46.4

Nutzen der Normung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

47

Schaltungsunterlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561

47.1

Schaltzeichen nach DIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564

47.2

Elektrische Betriebsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566

47.3

Schaltungsunterlagen der Energietechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566

47.4

Schaltungsunterlagen der Elektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571

47.4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571

47.4.2 Schaltzeichen nach DIN 40900 Teil 12 Binäre Elemente . . . . . . 571

47.4.3 Entwurf von Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574

47.5

Projektierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575

48

Schaltungssynthese und -analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

48.1

Beispiele aus der Elektrotechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578

48.2

Beispiele aus der Elektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578

Inhaltsverzeichnis

XXI

49

CAD-Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581

49.1

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

49.2

Hardware und Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

49.3

Erstellen von Schaltplänen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

49.4

Erstellen von Layouts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

49.5

Anwendungen in der Elektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586

49.6

Auswahl von CAD-Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586

Teil VII

Datentechnik

50

Digitaltechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589

50.1

Grundbegiffe der Digitaltechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590

50.2

Logische Grundschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590

50.2.1 Grundverknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590

50.2.2 Realisierungsmöglichkeiten logischer Verknüpfungen . . . . . . 591

50.3

Schaltalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

50.3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

50.3.2 Normalform einer binären Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594

50.4

Zahlensysteme in der Digital- und Datenverarbeitung . . . . . . . . . . . 602

50.4.1 Dualsystem Synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602

50.4.2 Hexadezimalsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603

50.4.3 Rechnen mit Dualzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603

50.4.4 Zahlen in Rechenanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603

50.5

Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606

50.5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606

50.5.2 Binär-Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606

50.5.3 BCD-Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606

50.5.4 Gray-Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607

50.5.5 Codierung alphanumerischer Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . 608

50.5.6 Fehlererkennung und Redundanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608

50.6

Digitale Grundschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

50.6.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

50.6.2 Schaltnetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

50.6.3 Schaltwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617

50.6.4 Sonderschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629

51

Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

51.1

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634

51.2

Umgang mit integrierten Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634

51.3

Daten und Begriffe der Logikschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634

51.3.1 Grenz- und Kenndaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634

51.3.2 Pegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635

51.3.3 Störsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635

51.3.4 Lasteinheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635

51.3.5 Temperaturbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636

51.3.6 Gatterlaufzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636

51.3.7 Verlustleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637

51.4

TTL-Familie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637

51.4.1 Eigenschaften und Kenndaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637

XXII

Inhaltsverzeichnis

51.4.2 Standard-TTL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638

51.4.3 Schaltungen mit 3-state . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640

51.4.4 Schottky-TTL und Low-Power-Schottky . . . . . . . . . . . . . . . . 641

51.5

Emittergekoppelte Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641

51.6

Integrierte MOS-Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642

51.6.1 NMOS- und PMOS-Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642

51.6.2 CMOS-Inverter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642

51.7

Interfaceschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646

51.8

Anwendungsspezifische integrierte Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . 647

51.8.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647

51.8.2 Kundenspezifische IC’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647

51.8.3 Programmierbare Logikbausteine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648

51.9

Gehäuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659

52

Mikrocomputertechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661

52.1

Komponenten eines Mikrocomputers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662

52.2

Mikroprozessoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662

52.2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662

52.2.2 Architektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662

52.2.3 Übersicht gängiger Mikroprozessoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 664

52.2.4 8-Bit-Mikroprozessoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664

52.2.5 16-Bit-Prozessoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672

52.3

Halbleiterspeicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676

52.3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676

52.3.2 Kenndaten und Technologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676

52.3.3 Bedeutung der Anschlüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677

52.3.4 Organisation und Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677

52.3.5 Zeitverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679

52.3.6 Speichertypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680

52.3.7 Speichererweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687

52.3.8 Zentralspeicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689

52.4

Peripheriebausteine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689

52.4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689

52.4.2 BUS-Treiber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690

52.4.3 Einfache E-/A-Bausteine für den parallelen Betrieb . . . . . . . . 690

52.4.4 Programmierbare Schnittstellenbausteine . . . . . . . . . . . . . . 692

52.4.5 Zeitgeberbausteine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696

52.4.6 Programmierbarer E/A-Baustein mit Speicher und Zeitgeber . . 699

52.4.7 Eingabe-Ausgabe-Bausteine für den seriellen Betrieb . . . . . . 702

52.4.8 Bausteine mit Sonderfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705

52.5

Mikrocontroller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708

52.5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708

52.5.2 8-Bit-Mikrocontroller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709

52.5.3 16-Bit-Mikrocontroller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715

52.6

Maschinensprache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718

52.6.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718

52.6.2 Maschinencode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718

52.6.3 Befehlsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719

52.6.4 Befehlsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719

52.6.5 Befehle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720

52.6.6 Befehlszyklus und Befehlszeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723

52.7

Befehlsvorrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726

52.8

Hinweise zur Programmierung und Progammbeispiele . . . . . . . . . . . 726

Inhaltsverzeichnis

XXIII

53

Computertechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729

53.1

Komponenten eines Computers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730

53.2

Massenspeicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730

53.2.1 Magnetplatten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730

53.2.2 CD-ROM- und CD-Laufwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735

53.3

Eingabegeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736

53.3.1 Tastatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736

53.3.2 Maus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736

53.4

Ausgabegeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736

53.4.1 Datensichtgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736

53.4.2 Drucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740

54

Programmiertechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741

54.1

Programmiersprachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742

54.1.1 Assembler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742

54.1.2 ADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742

54.1.3 ALGOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743

54.1.4 BASIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743

54.1.5 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743

54.1.6 FORTRAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743

54.1.7 PASCAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743

54.1.8 PL/M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744

54.2

Grundlagen der Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744

54.2.1 Interpreter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744

54.2.2 Compiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744

54.2.3 Editor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744

54.2.4 Integrierte Entwicklungsumgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744

54.2.5 Methoden der Programmentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . 745

54.2.6 Problembeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745

54.2.7 Top-Down-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745

54.2.8 Bottom-Up-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745

54.2.9 Bewertung der Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746

54.2.10 Programm-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746

55

Datenkommunikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747

55.1

Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748

55.1.1 Warum Datenkommunikation? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748

55.1.2 Geschichte der Datenkommunikation . . . . . . . . . . . . . . . . . 748

55.2

Computernetzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749

55.2.1 Peer-to-Peer-Netz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749

55.2.2 Client/Server-Netz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749

55.3

Einteilung von Netzwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750

55.3.1 Ausdehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750

55.3.2 Dienstarten und Verbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750

55.3.3 Basisband – Breitband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751

55.3.4 FDM – DWDM – TDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751

55.4

Netzwerk-Topologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752

55.4.1 Sternnetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752

55.4.2 Busnetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752

55.4.3 Ringnetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753

55.4.4 Baumnetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753

55.4.5 Vollverbindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753

55.4.6 Mischformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753

55.4.7 Sonderformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754

XXIV

Inhaltsverzeichnis

55.5

Das OSI-Referenzmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754

55.5.1 Aufteilen langer Nachrichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754

55.5.2 Schicht 0: Übertragungsmedien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756

55.5.3 Schicht 1: Bitübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758

55.5.4 Schicht 2: Datensicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760

55.5.5 Schicht 3: Vermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762

55.5.6 Schicht 4: Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766

55.5.7 Aufgaben der Schichten 5–7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768

55.6

Industrial Ethernet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769

Teil VIII

Automatisierungstechnik

56

Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773

57

Automatisierungsgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775

58

Grundzüge der SPS-Norm IEC 61131-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779

58.1

Programmorganisationskonzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780

58.2

Deklaration von FB- und FC-Bausteinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780

58.3

Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782

58.4

Programmiersprachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784

59

Programmstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787

59.1

Lineares Programm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788

59.2

Gegliedertes Programm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788

59.3

Parametrierbares Programm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788

60

Eingabe- und Ausgabesignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789

60.1

Binäre Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 790

60.2

Digitale Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 790

60.3

Analoge Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 790

61

Eingabe-/Ausgabebaugruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791

62

Verknüpfungssteuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793

62.1

Logische Grundverknüpfungen in verschiedenen Darstellungen . . . . 794

62.2

Zusammengesetzte logische Grundverknüpfungen . . . . . . . . . . . . . 794

62.3

Schließer- und Öffnerkontakte, Drahtbruchsicherheit, Erdschlussgefahr 794

62.4

Speicherfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795

62.5

Flankenauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797

62.6

Darstellung und Eigenschaften elektropneumatischer Stellglieder . . . 797

62.7

Regeln für das Umsetzen von Schützschaltungen in

SPS-Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798

62.8

Zeitfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799

62.9

Zählerfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799

62.10 Vergleichsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 800

62.11 MOVE-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801

62.12 EN/ENO-Mechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801

Inhaltsverzeichnis

XXV

63

Aufruf und Wertübergaben zwischen Bausteinen nach IEC 61131-3 . . . . . . 803

63.1

Aufrufhierarchie der Bausteine P, FB und FC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804

63.2

Aufruf von Funktionsbausteinen in FBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804

63.3

Aufruf von Funktionsbausteinen in AWL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804

63.4

Aufruf von Funktionen in AWL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805

64

Ablaufsteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807

64.1

Ablauf-Funktionsplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808

64.2

Grafische Darstellung von Ablaufsteuerungsfunktionen . . . . . . . . . . 808

64.3

Betriebsartenteil und Bedienfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811

65

Kommunikation in Automatisierungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813

65.1

Bussysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814

65.2

PROFINET – Offener Industrial Ethernet Standard . . . . . . . . . . . . . . 815

65.3

OPC-Technologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816

66

Steuerungssicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817

66.1

Europäische Richtlinien und Sicherheitsnormen . . . . . . . . . . . . . . . . 818

66.2

Sicherheitsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818

67

Regelungstechnische Grundbegriffe der Automatisierungstechnik . . . . . . . 821

67.1

Unterschied zwischen Steuern und Regeln, regelungstechnische

Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822

67.2

Regler-Technologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823

68

Regelstrecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825

68.1

Beispiele für Regelstrecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826

68.2

Beschreibungsmittel zur Darstellung von

Regelstreckeneigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826

69

Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831

69.1

P-Regler, P-Regelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832

69.2

I-Regler, I-Regelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834

69.3

PI-Regler, PI-Regelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834

69.4

PID-Regler, PID-Regelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834

69.5

Vergleich der verschiedenen Reglertypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835

69.6

PID-Reglerbaustein für digitale Abtastregelung . . . . . . . . . . . . . . . . 835

69.7

SPS als kontinuierlicher PID-Abtastregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836

69.8

Digitaler Schrittregler mit PI-Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837

69.9

Zweipunktregler, Zweipunkt-Regelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838

69.10 Regelgüte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839

Teil IX

Regelungstechnik

70

Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843

XXVI

Inhaltsverzeichnis

71

Strukturbild und Übertragungsglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847

71.1

Strukturbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848

71.2

Übertragungsglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848

71.3

Klassifikation von Übertragungsgliedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849

71.3.1 Statische und dynamische Übertragungsglieder . . . . . . . . . . 849

71.3.2 Lineare und nichtlineare Übertragungsglieder . . . . . . . . . . . 849

71.3.3 Zeitinvariante und zeitvariante Übertragungsglieder . . . . . . . 849

71.3.4 Kausale und akausale Übertragungsglieder . . . . . . . . . . . . . 849

71.4

Beschreibung von Übertragungsgliedern um einen Arbeitspunkt . . . . 849

71.4.1 Arbeitspunkt eines Übertragungsgliedes . . . . . . . . . . . . . . . 849

71.4.2 Linearisierung um den Arbeitspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 850

71.5

Impulsantwort und Sprungantwort einfacher Übertragungsglieder . . 850

71.5.1 P-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 850

71.5.2 I-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851

71.5.3 D-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851

71.5.4 TZ-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851

71.5.5 PT 1-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851

71.5.6 PT 2-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851

72

Übertragungsverhalten linearer, zeitinvarianter

Übertragungsglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853

72.1

Übertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854

72.2

Frequenzgangfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854

72.3

Frequenzkennlinien elementarer Übertragungsfunktionen

. . . . . . . 855

72.3.1 Verstärkungsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855

72.3.2 Integrierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855

72.3.3 Differenzierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855

72.3.4 Reeller Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855

72.3.5 Reelle Nullstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856

72.3.6 Konjugiert komplexes Polpaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856

72.3.7 Konjugiert komplexes Nullstellenpaar . . . . . . . . . . . . . . . . . 857

72.3.8 Totzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857

72.3.9 Allpass erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858

72.3.10 Allpass zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858

73

Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859

73.1

Definition der Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860

73.1.1 Asymptotische Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860

73.1.2 BIBO-Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860

73.2

Stabilitätskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860

73.2.1 Grundlegendes Stabilitätskriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860

73.2.2 Hurwitz-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861

73.2.3 Nyquist-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862

73.2.4 Phasenreserve und Amplitudenreserve . . . . . . . . . . . . . . . . 862

74

Entwurf von Regelkreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865

74.1

Forderungen an die Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866

74.1.1 Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866

74.1.2 Stationäre Genauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866

74.1.3 Hinreichende Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867

74.1.4 Hinreichende Schnelligkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867

74.2

Reglertypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867

74.2.1 Standardregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867

Inhaltsverzeichnis

XXVII

74.2.2 Korrekturglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868

74.3

Faustregeln für die Wahl der Reglerstruktur und der

Reglerparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869

74.4

Reglerentwurf mit dem Frequenzkennlinienverfahren . . . . . . . . . . . 870

74.4.1 Entwurf eines PI-Reglers für ein Verzögerungssystem . . . . . . 870

74.4.2 Reglerentwurf für eine doppelt integrierende Strecke . . . . . . 870

74.5

Einstellregeln bei speziellen Regelstrecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871

74.5.1 Betragsoptimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871

74.5.2 Symmetrisches Optimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872

Teil X

Messtechnik

75

Grundlagen und Grundbegriffe der Messtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875

75.1

Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876

75.2

Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876

75.3

Messabweichung, Messfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877

75.3.1 Systematische Abweichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877

75.3.2 Zufällige Abweichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877

75.3.3 Arithmetischer Mittelwert, Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . 878

75.3.4 Standardabweichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878

75.4

Abweichungsfortpflanzung, Fehlerfortpflanzung . . . . . . . . . . . . . . 879

75.5

Fehlerangaben von Messgeräten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881

75.5.1 Analog anzeigende Messgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881

75.5.2 Digital anzeigende Messgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881

75.6

Arithmetischer Mittelwert und Effektivwert von Wechselgrößen . . . . 882

75.7

Häufigkeitsverteilung, Vertrauensbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882

75.8

Bearbeitung und Auswertung von Messwerten . . . . . . . . . . . . . . . . 883

76

Analog anzeigende Messgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885

76.1

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886

76.2

Drehspul-Messwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886

76.3

Dreheisen-Messwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887

76.4

Elektrodynamisches Messwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887

76.5

Symbole und Instrumentenbeschriftungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888

77

Oszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889

77.1

Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890

77.2

Aufbau eines Oszilloskopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890

77.3

Zusatzeinrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892

78

Schreibende Messgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895

78.1

Betriebsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896

78.2

Schreibstiftauslenkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896

XXVIII

Inhaltsverzeichnis

79

Digital anzeigende Messgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897

79.1

Digitalvoltmeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898

79.2

Digitalmultimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898

79.3

Messung von Kapazitäten, Frequenzen und Stromverstärkungen . . . . 899

79.4

Messung von Temperaturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899

80

Messverfahren zur Messung elektrischer Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901

80.1

Messung von Gleichspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902

80.1.1 Analog anzeigende Spannungsmessgeräte . . . . . . . . . . . . . . 902

80.1.2 Digital anzeigende Spannungsmessgeräte . . . . . . . . . . . . . . 902

80.1.3 Messabweichung durch den Innenwiderstand des

Spannungsmessers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902

80.1.4 Spannungsmessung mit dem Kompensator . . . . . . . . . . . . . 903

80.2

Messung von Gleichströmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903

80.2.1 Analog anzeigende Strommessgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . 903

80.2.2 Digital anzeigende Strommessgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . 903

80.2.3 Messabweichung durch den Innenwiderstand des

Strommessers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904

80.3

Messbereichserweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904

80.3.1 Spannungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904

80.3.2 Strommessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904

80.4

Messung von Wechselspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904

80.4.1 Analog anzeigende Wechselspannungsmessgeräte . . . . . . . . 904

80.4.2 Digital anzeigende Wechselspannungsmessgeräte . . . . . . . . 905

80.5

Messung von Wechselströmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906

80.5.1 Analog anzeigende Wechselstrommessgeräte . . . . . . . . . . . 906

80.5.2 Digital anzeigende Wechselstrommessgeräte . . . . . . . . . . . . 906

80.6

Widerstands- und Impedanzmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906

80.6.1 Gleichstrom-Messbrücken zur Widerstandsmessung . . . . . . . 906

80.6.2 Wechselstrom-Messbrücken zur Widerstands- und

Impedanzmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909

80.6.3 Vergleich mit bekanntem Widerstand – Spannungsvergleich . 910

80.6.4 Messung von Strom und Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910

80.6.5 Widerstandsmessung mit analogen Multimetern . . . . . . . . . 911

80.7

Leistungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911

80.7.1 Wirkleistungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912

80.7.2 Blindleistungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914

80.7.3 Scheinleistungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915

80.7.4 Messbereichserweiterung bei der Leistungsmessung . . . . . . . 915

80.7.5 Leistungsfaktormessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915

80.8

Messung der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916

80.9

Messung von L, C, Gütefaktor und Verlustfaktor . . . . . . . . . . . . . . . 917

80.9.1 Messung von j Z j oder j Z j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917

L

C

80.9.2 Messung von ZL, ZC, Gütefaktor und Verlustfaktor . . . . . . . . 917

80.10 Messung magnetischer Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918

80.10.1 Magnetischer Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918

80.10.2 Magnetische Flussdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919

80.10.3 Magnetische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919

80.10.4 Permeabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 920

Inhaltsverzeichnis

XXIX

81

Messverfahren zur Messung nichtelektrischer Größen . . . . . . . . . . . . . . . 921

81.1

Messaufnehmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923

81.1.1 Ohm’sche Aufnehmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923

81.1.2 Kapazitive Aufnehmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924

81.1.3 Induktive Aufnehmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925

81.1.4 Optische Aufnehmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925

81.1.5 Ladungsliefernde Aufnehmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926

81.1.6 Thermische Aufnehmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927

81.1.7 Chemische Aufnehmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929

81.1.8 Aufnehmer zur Messung von Gaskonzentrationen allgemein . 929

81.2

Messverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 930

81.2.1 Kraftmessung mit Dehnungsmessstreifen (DMS) . . . . . . . . . . 930

81.2.2 Füllstandsmessung und Messung der Foliendicke . . . . . . . . . 933

81.2.3 Drehzahlmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934

81.2.4 Durchflussmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935

81.2.5 Zeit- und Frequenzmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937

81.2.6 Weg- und Winkelmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938

81.2.7 Beschleunigungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939

82

Messdatenaufbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943

82.1

Verringerung der Störeinflüsse von außen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944

82.2

Messverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945

83

Bussysteme für die Messtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947

83.1

Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948

83.2

IEC-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948

83.3

DIN-Messbus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949

83.4

Aktuator-Sensor-Interface (ASI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949

83.5

CAN-BUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952

83.6

USB-Übertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952

83.7

LAN ( L ocal A rea N etwork) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952

84

Probleme bei der Digitalisierung analoger Messwerte . . . . . . . . . . . . . . . 953

84.1

Fehler bei der Digitalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954

84.2

Signal-Quantisierungs-Geräuschabstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954

84.3

Verbesserung des Signal-Rausch-Verhältnisses . . . . . . . . . . . . . . . . . 955

84.4

Abtast-Halte-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955

84.5

Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955

84.6

Erfassung von Momentanwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956

85

PC-gestützte Messverfahren und Messsignalanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . 957

85.1

Statistische Verfahren zur Messsignalauswertung . . . . . . . . . . . . . . 958

85.2

Graphische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958

85.3

Ermittlung von Kenngrößen, Klassierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959

85.4

Messsignalanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959

85.4.1 Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959

85.4.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 960

85.5

Automatisierung von Messabläufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 960

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 960

XXX

Inhaltsverzeichnis

Teil XI

Energietechnik

86

Elektrische Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963

86.1

Transformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964

86.1.1 Aufgaben eines Transformators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964

86.1.2 Bauteile eines Transformators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964

86.1.3 Wirkungsweise eines Einphasen-Transformators . . . . . . . . . . 965

86.1.4 Aufbau und Schaltung von Drehstrom-Transformatoren . . . . 970

86.1.5 Parallelschalten von Transformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 971

86.1.6 Transformatorschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972

86.1.7 Überlastung von Transformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972

86.1.8 Aufstellen von Transformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973

86.1.9 Sondertransformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973

86.1.10 Messwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975

86.2

Drehstrommaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976

86.2.1 Die Drehstromasynchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976

86.2.2 Linearmotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985

86.2.3 Drehstromsynchronmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985

86.3

Einphasen-Asynchronmotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988

86.3.1 Einsträngiger Motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988

86.3.2 Zweisträngiger Motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988

86.3.3 Kondensatormotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988

86.3.4 Spaltpolmotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 989

86.4

Drehstrommotor im Einphasenbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 989

86.5

Sonderbauformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 989

86.5.1 Schrittmotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 989

86.5.2 Servomotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 990

86.6

Gleichstrommaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 991

86.6.1 Aufbau und Wirkungsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 991

86.6.2 Betriebsverhalten von Gleichstrommaschinen . . . . . . . . . . . . 992

86.6.3 Betriebsverhalten von Gleichstromgeneratoren . . . . . . . . . . 997

86.6.4 Gleichstrommaschine am Wechsel- oder Drehstromnetz . . . . . 998

86.6.5 Universalmotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1001

86.7

Auswahl von Motoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1001

86.7.1 Auswahl unter Berücksichtigung der Normen . . . . . . . . . . . .1001

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1007

87

Elektrische Energieversorgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1009

87.1

Energiewirtschaftliche Rahmenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . .1010

87.1.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1010

87.1.2 Gesetzliche Rahmenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1010

87.1.3 Struktur der Elektrizitätswirtschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1010

87.1.4 Vertragsbeziehungen und Energiehandel . . . . . . . . . . . . . .1012

87.2

Elektrische Energieerzeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1013

87.2.1 Elektrischer Energieverbrauch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1013

87.2.2 Anteile an der Stromerzeugung und Kraftwerksleistung . . . .1014

87.2.3 Überblick und Klassifizierung von Kraftwerksarten . . . . . . . .1015

87.2.4 Fossil befeuerte Kraftwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1015

87.2.5 Regenerative Kraftwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1022

87.3

Elektrische Energieübertragung und Energieverteilung . . . . . . . . . .1034

87.3.1 Spannungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1034

87.3.2 Aufbau und Betrieb von Energieversorgungsnetzen . . . . . . .1035

87.3.3 Frequenzregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1036

Inhaltsverzeichnis

XXXI

87.3.4 Spannungsregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1038

87.3.5 Herausforderungen bei einer Energieversorgung mit
fluktuierender Erzeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1045

87.4

Elektrische Betriebsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1053

87.4.1 Freileitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1053

87.4.2 Kabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1063

87.4.3 Schaltanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1068

87.4.4 Netzformen und Schutz auf der Niederspannungsebene . . . .1071

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1074

88

Elektrische Energieanwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1075

88.1

Kompensationsanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1076

88.2

Beleuchtungsanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1077

88.2.1 Grundgrößen der Lichttechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1078

88.2.2 Lichtquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1078

88.2.3 Glühlampen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1078

88.2.4 Leuchtstofflampen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1079

88.2.5 Entladungslampen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1079

88.2.6 Leuchten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1079

88.2.7 Berechnung von Beleuchtungsanlagen . . . . . . . . . . . . . . . .1080

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1081

Teil XII

Leistungselektronik

89

Halbleiter in der Leistungselektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1085

90

Leistungshalbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1087

90.1

Halbleiterdioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1088

90.1.1 Aufbau, statisches Verhalten, Kenngrößen, Grenzwerte . . . . .1088

90.1.2 Dynamisches Verhalten, TSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1088

90.1.3 Verlustleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1089

90.1.4 Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1089

90.1.5 Schutzschaltungen, TSE-Beschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . .1090

90.1.6 Sicherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1090

90.1.7 Zusammenschaltung von Dioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1090

90.2

Bipolartransistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1091

90.2.1 Aufbau, statisches Verhalten, Kenngrößen, Grenzwerte, SOAR1092

90.2.2 Dynamisches Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1093

90.2.3 Verlustleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1095

90.2.4 Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1095

90.2.5 Schutzschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1096

90.2.6 Parallelschaltung von bipolaren Transistoren . . . . . . . . . . . .1096

90.2.7 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1097

90.3

Feldeffekttransistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1097

90.3.1 Aufbau, statisches Verhalten, Kenngrößen, Grenzwerte . . . . .1097

90.3.2 Dynamisches Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1098

90.3.3 Verlustleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1100

90.3.4 Schutzschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1100

90.3.5 Zusammenschaltung von Feldeffekttransistoren . . . . . . . . . .1100

90.4

IGBT-Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1100

90.4.1 Aufbau von IGBT-Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1101

90.4.2 BIMOS-Schaltstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1101

90.5

Thyristoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1101

XXXII

Inhaltsverzeichnis

90.5.1 Aufbau, statisches Verhalten, Kenngrößen, Grenzwerte . . . . .1101

90.5.2 Dynamisches Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1103

90.5.3 Verlustleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1104

90.5.4 Schutzschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1104

90.5.5 Zusammenschaltung von Thyristoren . . . . . . . . . . . . . . . . . .1105

90.5.6 Löschen von Thyristoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1105

90.5.7 Einsatz in kritischen Anwendungsfällen . . . . . . . . . . . . . . . .1106

90.5.8 Spezielle Bauarten von Thyristoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1106

91

Einsatz von Leistungshalbleitern als Schalter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1109

91.1

Schalter allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1110

91.2

Halbleiter-Relais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1111

91.3

Halbleiterkühlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1112

91.3.1 Grundlagen, statisches Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1112

91.3.2 Dynamisches Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1114

91.4

Ansteuerschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1115

91.4.1 Ansteuerschaltungen allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1115

91.4.2 Ansteuersignale für Bipolartransistoren . . . . . . . . . . . . . . . .1116

91.4.3 Ansteuersignale für Feldeffekttransistoren und IGBT . . . . . . .1117

91.4.4 Ansteuersignale für Thyristoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1118

91.4.5 Ansteuersignale für GTO-Thyristoren . . . . . . . . . . . . . . . . . .1119

91.5

Schutzschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1120

91.5.1 Überspannungsschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1120

91.5.2 Überstromschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1122

Teil XIII

Nachrichtentechnik

92

Grundlagen der Nachrichtenübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1127

92.1

Prinzip der elektrischen Nachrichtenübertragung . . . . . . . . . . . . . .1128

92.2

Aufgaben der Nachrichtentechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1129

92.3

Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1129

92.4

Nachricht, Information und Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1130

92.4.1 Informationsgehalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1130

92.4.2 Signale in der Nachrichtentechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1130

92.4.3 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1131

92.4.4 Redundanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1131

92.4.5 Informationsfluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1132

92.4.6 Kanalkapazität, Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1132

92.4.7 Nachrichtenquader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1132

92.4.8 Signale im Zeitbereich: Analog, digital, kontinuierlich, diskret 1133

92.4.9 Signale im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1133

92.4.10 Abtasttheorem von Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1138

92.4.11 Zufällige (stochastische) Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1138

92.4.12 Verzerrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1141

92.5

Kenngrößen der Übertragungsstrecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1143

92.5.1 Dämpfungsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1143

92.5.2 Übertragungsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1143

92.5.3 Dämpfungsmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1144

92.5.4 Übertragungsmaß, Verstärkungsmaß . . . . . . . . . . . . . . . . .1144

92.5.5 Pegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1144

Inhaltsverzeichnis

XXXIII

93

Zweitore, Vierpole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1147

93.1

Zweitor allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1148

93.1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1148

93.1.2 Zweitorgleichungen, Zusammenschaltung von Zweitoren . . .1148

93.1.3 Bestimmung der Zweitorparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1149

93.1.4 Elementarzweitore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1150

93.1.5 Betriebskenngrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1151

93.2

Spezielle Zweitore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1155

93.2.1 Übertragungssymmetrische (reziproke) Zweitore . . . . . . . . .1155

93.2.2 Widerstandssymmetrische Zweitore . . . . . . . . . . . . . . . . . .1156

93.2.3 Längssymmetrische Zweitore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1156

93.2.4 Rückwirkungsfreie Zweitore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1156

93.3

Wellenparameter passiver Zweitore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1157

93.3.1 Allgemeine passive Zweitore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1157

93.3.2 Längssymmetrische passive Zweitore . . . . . . . . . . . . . . . . . .1157

93.3.3 Wellenwiderstand bei passiven längssymmetrischen Zweitoren1158

93.3.4 Übertragungsmaß bei passiven längssymmetrischen Zweitoren1158

93.3.5 Spezielle Zweitore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1159

94

Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1161

94.1

Leitungsbeläge und Leitungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1162

94.2

Leitung mit sinusförmigen Spannungen und Strömen . . . . . . . . . . .1163

94.2.1 Allgemeine Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1163

94.2.2 Wellenwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1164

94.2.3 Ausbreitungskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1164

94.2.4 Verlustlose Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1164

94.2.5 Lösung mit Zeigerdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1164

94.2.6 Unendlich lange Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1165

94.2.7 Anpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1165

94.2.8 Phasengeschwindigkeit, Gruppengeschwindigkeit . . . . . . . .1165

94.3

Leitung mit sinusförmigen Spannungen und Strömen und beliebiger

Abschlussimpedanz Ze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1166

94.3.1 Reflexionsfaktor, Übertragungsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . .1166

94.3.2 Eingangsimpedanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1167

94.3.3 Verzerrungsfreie Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1167

94.3.4 Leitung als Vierpol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1168

94.4

Verlustlose Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1169

94.4.1 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1169

94.4.2 Wanderwellen bei Reflexion am Leitungsein- und -ausgang . .1169

94.4.3 Elektrisch lange Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1170

94.4.4 Leitung als Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1170

94.4.5 Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1171

94.4.6 Kettenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1171

94.4.7 Wellenfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1171

94.4.8 Filterentwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1172

94.4.9 Dielektrische Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1175

94.5

Daten von Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1177

94.6

Hochfrequenzleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1177

94.6.1 Hochfrequenz-Koaxialkabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1177

94.6.2 Hohlleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1179

94.6.3 Streifenleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1182

94.7
s-Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1184

94.7.1 Signalflussdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1184

94.7.2 Leistungsverstärkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1186

XXXIV

Inhaltsverzeichnis

94.8

Kreisdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1186

94.8.1 Doppel-Kreisdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1189

94.8.2 s-Parameter im Kreisdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1190

95

Antennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1193

95.1

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1194

95.2

Kenngrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1196

95.3

Ausführungsformen von Antennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1198

95.3.1 Vertikalantenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1198

95.3.2 Rahmenantenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1198

95.3.3 Ferritantenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1198

95.3.4 =2-Dipol, =2-Faltdipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1199

95.3.5 Breitbanddipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1199

95.3.6 Gruppenstrahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1199

95.3.7 Yagi-Antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1199

95.3.8 Langdrahtantenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1200

95.3.9 Rohrschlitzstrahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1200

95.3.10 Parabolantenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1200

95.4

Wellenausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1200

95.4.1 Boden- und Raumwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1200

95.4.2 Erdatmosphäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1201

95.4.3 Wellenausbreitung im Plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1201

95.4.4 Wellenausbreitung im Bereich 30 kHz bis 30 GHz . . . . . . . . . .1202

96

Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1203

96.1

Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1204

96.2

Sinusträger – mit Analogsignal moduliert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1204

96.2.1 Amplitudenmodulation (AM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1205

96.2.2 Sonderformen der Amplitudenmodulation . . . . . . . . . . . . .1209

96.2.3 Technische Ausführung der Amplitudenmodulation . . . . . . .1210

96.2.4 Winkelmodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1211

96.3

Sinusträger – mit Digitalsignal moduliert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1217

96.3.1 Amplitudenumtastung (ASK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1217

96.3.2 Frequenzumtastung (FSK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1218

96.3.3 Phasenumtastung (PSK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1218

96.4

Pulsträger uncodiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1221

96.4.1 Pulsamplitudenmodulation (PAM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1221

96.4.2 Pulsfrequenz- und Pulsphasenmodulation (PFM, PPM) . . . . . .1222

96.4.3 Pulsdauermodulation (PDM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1223

96.4.4 Pulscodemodulation (PCM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1224

97

Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1229

97.1

Einfache passive R-C-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1230

97.1.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1230

97.1.2 Passive R- C-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1231

97.2

Weitere Ausführungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1235

97.2.1 Quarzfilter, keramische Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1235

97.2.2 Digitale Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1236

97.2.3 Filter mit geschalteten Kondensatoren, SC-Filter . . . . . . . . . .1237

97.3

Allgemeiner Filterentwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1238

97.3.1 Allgemeine Eigenschaften und Entwurfskriterien . . . . . . . . .1238

97.3.2 Tiefpassfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1240

97.3.3 Filtertransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1242

97.3.4 Besondere Filterschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1244

Inhaltsverzeichnis

XXXV

98

Empfängerschaltungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1245

98.1

Geradeausempfänger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1246

98.2

Überlagerungsempfänger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1246

98.3

Automatische Verstärkungsregelung (AVR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1246

98.4

Weitere Schaltungskonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1247

99

Ton- und Bildübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1249

99.1

Rundfunk-Stereoübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1250

99.2

Digitale Farbfernsehtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1251

100

Mehrfachübertragung – Multiplexverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1257

100.1 Zeitmultiplexverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1258

100.1.1 Analoge Signalübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1258

100.1.2 Digital codierte Signalübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1259

100.2 Frequenzmultiplexverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1259

100.3 Raummultiplexverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1260

101

Richtfunktechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1261

102

Nachrichtenübertragung über Satellit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1265

103

Nachrichtenübertragung über Lichtwellenleiter (LWL) . . . . . . . . . . . . . . . .1269

103.1 Physikalische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1270

103.2 Grundmodelle von Lichtwellenleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1271

103.2.1 Mehrmoden-Stufenindex mit Totalreflexion . . . . . . . . . . . . .1271

103.2.2 Mehrmoden-Gradientenindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1271

103.2.3 Einmoden-Stufenindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1272

103.3 Technische Ausführung von Lichtwellenleitern . . . . . . . . . . . . . . . .1273

103.4 Lichtsender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1274

103.5 Lichtempfänger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1274

103.6 Verbinden von Lichtleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1275

103.7 Optische Schalter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1275

104

Funkmesstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1277

104.1 Radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1278

104.1.1 Grundlagen, Kenngrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1278

104.1.2 Daten von Radaranlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1280

104.2 Funkortungssystem OMEGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1280

104.3 GPS – Global Positioning System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1280

105

Elektroakustische Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1283

105.1 Definitionen, Kenngrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1284

105.2 Schallempfänger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1285

105.2.1 Kenngrößen für Mikrofone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1285

105.2.2 Mikrofonsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1286

105.2.3 Daten und Eigenschaften verschiedener Mikrofonsysteme . . .1288

105.3 Schallsender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1289

105.3.1 Lautsprecher- und Hörer-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1289

105.3.2 Kenngrößen, Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1290

XXXVI

Inhaltsverzeichnis

106

Vermittlungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1293

106.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1294

106.2 Vermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1294

106.3 Verkehrstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1295

106.4 Endgerät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1296

107

Kommunikations- und Datennetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1299

107.1 Strukturen lokaler Kommunikations- und Datennetze . . . . . . . . . . .1300

107.2 Öffentliche Kommunikations- und Datensysteme . . . . . . . . . . . . . . .1300

107.2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1300

107.2.2 ISDN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1301

107.3 Öffentliche Funknetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1305

107.3.1 Mobilfunk mit GSM-Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1305

107.3.2 Mobilfunk mit UMTS-Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1306

107.4 Private Funknetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1307

107.4.1 Schnurlostelefone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1307

107.4.2 Bluetooth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1307

107.4.3 WLAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1308

108

Optimierte Nachrichten- und Datenübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1309

108.1 Codierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1310

108.1.1 Quellencodierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1310

108.1.2 Kanalcodierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1312

108.2 Optimalfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1316

108.3 Anwendung der Korrelation bei gestörten Signalen . . . . . . . . . . . . .1317

108.4 Verschlüsselung von Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1318

108.5 Fensterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1321

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1322

Teil XIV

Signal- und Systemtheorie

109

Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1327

109.1 Darstellung in der Zeit- und in der Frequenzebene . . . . . . . . . . . . .1328

109.2 Hinweise zur Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1329

110

Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1331

111

Periodische nichtsinusförmige zeitkontinuierliche Signale . . . . . . . . . . . . .1333

111.1 Reelle und komplexe Fourierreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1334

111.2 Beispiele und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1335

112

Nichtperiodische zeitkontinuierliche Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1339

112.1 Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1340

112.1.1 Transformationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1340

112.1.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1341

112.1.3 Korrespondenztabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1341

112.1.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1342

112.2 Laplacetransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1343

Inhaltsverzeichnis

XXXVII

112.2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1343

112.2.2 Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1343

112.2.3 Sätze zur Laplacetransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1344

112.2.4 Anwendung der Laplacetransformation bei bekanntem H( s) .1345

112.2.5 Bestimmung von H( s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1346

112.2.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1347

113

Spezielle Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1355

113.1 Stoßfunktion, ı-Funktion, Dirac-Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1356

113.2 Sprungfunktion ( t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1356

113.3 Verknüpfung von - und ı-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1357

113.4 Harmonische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1357

114

Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1359

115

Faltungsintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1363

116

Abtasttheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1367

117

Nichtkontinuierliche (zeitdiskrete) Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1369

117.1 Diskrete Fouriertransformation (DFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1370

117.2 Schnelle Fouriertransformation (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1371

117.3 z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1372

118

Zufällige Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1375

118.1 Grundbegriffe und Kenngrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1376

118.2 Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1379

118.2.1 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1379

118.2.2 Poissonverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1379

118.2.3 Normalverteilung, Gaußverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1380

118.3 Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1381

118.4 Signalerkennung bei gestörter Übertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . .1382

118.4.1 Erkennen versteckter Periodizitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . .1382

118.4.2 Signalerkennung allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1382

118.4.3 Signalangepasste Filter (matched filter) . . . . . . . . . . . . . . . .1382

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1383

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1385

I

Mathematik

Teil

I

1

Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2

Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3

Planimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

4

Stereometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

5

Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

6

Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7

Analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8

Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

9

Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

1

I

Arithmetik

Teil

1

Arnfried Kemnitz

1.1

Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Aussageformen und logische Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Einteilung der Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Grundrechenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5

Grundlegende Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.6

Potenz- und Wurzelrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.7

Dezimalzahlen und Dualzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.8

Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.9

Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.10 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

3

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_1

4

1 Arithmetik

Teil

1.1

Mengen
der beiden Mengen A; B enthalten sind:

I

A [ B D f x j x 2 A oder x 2 B g

Die in der Mathematik betrachteten Gegenstände werden oft-
mals durch Symbole, meistens Buchstaben, bezeichnet. Dabei
kennzeichnen manche Symbole feste Dinge, zum Beispiel das

Der Durchschnitt A \ B zweier Mengen A und B besteht aus

Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser eines beliebi-
denjenigen Elementen, die sowohl in A als auch in B, also
gen Kreises. Andere Symbole sind Veränderliche (auch Variable
gleichzeitig in beiden Mengen A; B enthalten sind:

oder Platzhalter genannt), das heißt, sie können jeden Gegen-
stand einer Klasse von Gegenständen bezeichnen.

A \ B D f x j x 2 A und x 2 B g

In der Mathematik wird jede Zusammenfassung von bestimm-
ten wohl unterscheidbaren Objekten zu einer Gesamtheit eine

Beispiel

Menge genannt. Eine Menge ist definiert, wenn feststeht, wel-
che Objekte zu dieser Menge gehören und welche nicht. Die

A D f1; 2; 3g, B D f1; 1g; A [ B D f1; 1; 2; 3g,
zur Menge gehörenden Objekte heißen ihre Elemente. Mengen

A \ B D f1g

J
werden meistens mit großen lateinischen Buchstaben bezeich-
net und die Elemente mit kleinen Buchstaben.

Es gibt zwei Möglichkeiten, Mengen zu definieren: Durch Auf-

Eine Menge heißt endlich, wenn sie nur endlich viele Elemen-
zählen ihrer Elemente, die in beliebiger Reihenfolge zwischen
te besitzt. Die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge M
geschweiften Klammern (Mengenklammern) gesetzt sind und
heißt Mächtigkeit der Menge, bezeichnet mit j M j.

durch Kommata getrennt werden (Schreibweise: fElement 1,

Element 2, . . . g).

Beispiele

Durch Angabe einer die Elemente charakterisierenden Eigen-
schaft (Schreibweise: f x j x erfüllt Eigenschaftg).

1. M D f2; 4; 6; 8; 10g ) j M j D 5

Eine Menge von Punkten heißt Punktmenge.

2. M D f1; 2; 3; : : : ; 99; 100g ) j M j D 100

J

Beispiele

1. A D f1; 2; 3g (die Menge A besteht aus den Elementen

1, 2 und 3)

1.2

Aussageformen und logische

2. B D f x j x 2 1 D 0g (die Menge B besteht aus den

Elementen x, für die x 2 1 D 0 gilt)

Zeichen

3. B D f1; 1g (da x 2 1 D 0 die Lösungen x D 1 und
x D 1 besitzt, kann man die Menge B auch in dieser

Form schreiben)

1.2.1

Aussageformen

4. C D f1; 0; 1; 2; 3; 4; 5g (die Menge C besteht aus
den Elementen 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5)

J

Eine Aussageform ist ein mathematischer Ausdruck, in dem Va-
riable vorkommen.

Gehört ein Objekt a einer Menge M an, so schreibt man a 2 M

Aussageformen erhalten einen Wahrheitswert, wenn allen in ih-

(gelesen: a ist Element von M/. Gehört a nicht zu M, so schreibt nen vorkommenden Variablen ein Wert zugeordnet wird.

man a … M.

Wenn jedes Element einer Menge M auch Element einer Menge

N ist, so nennt man M Teilmenge von N und schreibt M N.

Beispiele

Nach dieser Definition ist offenbar jede Menge Teilmenge von
sich selbst.

1. Die Aussageform „ x 3 D 5“ wird zu einer wahren

Aussage, wenn man für x die Zahl 8 einsetzt ( x = 8 ist

Die leere Menge ¿ D fI g enthält kein Element.

die Lösung der Gleichung).

2. Die Aussageform „ x 2 D 1“ wird zu einer wahren Aus-

Beispiele
sage, wenn man für x die Zahl 1 oder 1 einsetzt

( x

D ˙

1;2

1 sind die Lösungen der quadratischen Glei-

2 2 A; 2 2 C; 4 2 C; 4 … A; A C; ¿ D f x j x ¤ x g

J
chung).

3. Die Aussageform „ x C 1 D 3“ wird zu einer falschen

Aussage, wenn man für x die Zahl 1 einsetzt (denn die

Die Vereinigung A [ B zweier Mengen A und B besteht aus den-

Lösung der Gleichung ist x D 2).

J
jenigen Elementen, die in A oder in B, also in mindestens einer

1.2

Aussageformen und logische Zeichen

5

1.2.2

Logische Zeichen

3. Induktionsschluss (Induktionsschritt):

I

Unter Benutzung der Induktionsannahme wird gezeigt, dass
die Aussage A. n/ dann auch für n C

0

1 richtig ist, das heißt,

In der Mathematik ist es häufig sinnvoll, kompliziertere Aussa-
aus A. n

C

0/ folgt A. n 0

1/. Man nennt diesen Schritt auch

Teil
gen mit Hilfe logischer Zeichen zu formalisieren.

Schluss von n

C

0 auf n 0

1.

Sind A und B Aussagen, dann bedeutet

Man beachte, dass sowohl der Induktionsanfang als auch der

Induktionsschluss durchgeführt werden müssen. Der Indukti-

A ^ B;
dass A und B gelten,
onsschluss von n

C

0 auf n 0

1 macht den Nachweis der Gültigkeit

A _ B;
dass A oder B gilt,
für n D m (Induktionsanfang) nicht überflüssig. Der Indukti-

: A (nicht A); dass das Gegenteil von A gilt,
onsschluss kann gelingen, auch wenn die Aussage A. n/ für alle

A ) B;
dass B aus A folgt,
natürlichen Zahlen falsch ist.

A , B;
dass sowohl A ) B als auch B ) A gelten.

Beispiel

Die logischen Zeichen bezeichnet man auch als Junktoren. Das

Symbol _ ist das nicht ausschließende Oder (also nicht entwe-

Behauptung:

der . . . oder).

Für alle natürlichen Zahlen n 0 gilt

Eine Aussage A ) B heißt eine Implikation, man sagt: A im-
pliziert B. Man nennt A die Prämisse, B die Konklusion. Die
n . n C 1/

Prämisse enthält die Voraussetzungen, unter denen die Aussage

0 C 1 C 2 C 3 C : : : C n D

2

B gilt.

Gilt A , B, so sagt man, die beiden Aussagen A und B sind

Beweis der Behauptung mit vollständiger Induktion
äquivalent oder gleichwertig.

Induktionsanfang:

Für n D 0 ist die Behauptung richtig, denn auf beiden

Beispiele

Seiten des Gleichheitszeichens steht Null: 0 D 01 D 0

2

1. Für eine natürliche Zahl n 1 ist die Implikation „6

Induktionsannahme:

teilt n ) 2 teilt n“ wahr. Die umgekehrte Implikation

Für eine beliebige natürliche Zahl n 0 ist die Behauptung
gilt nicht.

richtig:

2. „6 teilt n“ und „2 teilt n und 3 teilt n“ sind zwei äqui-
valente Aussagen.

J
n

C

0

. n 0

1/

0 C 1 C 2 C 3 C : : : C n D

0

2

Induktionsschluss (von n

C

0 auf n 0

1):

1.2.3

Vollständige Induktion

Addiert man auf beiden Seiten der Induktionsannahme
n C

0

1, so folgt

Mathematische Aussagen müssen in der Regel bewiesen wer-

0 C 1 C 2 C 3 C : : : C n C

C

0

. n 0

1/
den. Neben direkten Beweisen und Widerspruchsbeweisen ist

. n C

0

1/
eine häufig verwendete Beweismethode die vollständige In-

D n 0

C . n C

0

1/

2
duktion. Dieses Beweisverfahren lässt sich bei Aussagen über

n
natürliche Zahlen (vgl. Abschn. 1.3) anwenden.

D .

0
n C

C

0

1/

1

2

Ein Beweis mit vollständiger Induktion, dass eine Aussage A. n/

. n C

C

0

1/. n 0

2/

(eine Eigenschaft oder eine Formel) für alle natürlichen Zahlen

D

2
n m (also von m an) richtig ist, besteht aus drei Schritten:

. n C

C

D

0

1/Œ. n 0

1/ C 1

1. Induktionsanfang (Induktionsverankerung):

2

A. n/ ist richtig für n D m. Dies muss meistens auf direktem

Weg nachgewiesen werden.

Aus der Richtigkeit der Annahme für n 0 folgt somit auch

2. Induktionsannahme (Induktionsvoraussetzung):

die Richtigkeit für n C

0

1. Damit gilt die Formel für alle

Die Aussage A. n/ ist für eine beliebige natürliche Zahl n
n 0.

J

0

( n

0
m) richtig, es gilt also A. n 0/.

6

1 Arithmetik

Teil

1.3

Einteilung der Zahlen

Beispiele zur Primfaktorzerlegung

I

100 D 2 2 5 5 D 22 52; 546 D 2 3 7 13.

J

Die ganzen Zahlen setzen sich zusammen aus den natürlichen

Zahlen und den negativen ganzen Zahlen.

Die rationalen Zahlen sind alle ganzen und gebrochenen Zahlen.

Rationale Zahlen lassen sich als Brüche aus ganzen Zahlen dar-
stellen. Jede rationale Zahl kann als endlicher oder unendlicher
periodischer Dezimalbruch dargestellt werden.

Der Dezimalbruch einer rationalen Zahl ist die Darstellung der
rationalen Zahl als Dezimalzahl, also als Zahl „mit Stellen hin-
ter dem Komma“ (siehe auch Abschn. 1.7). Bei einem endlichen

Dezimalbruch ist die Anzahl der Stellen nach dem Komma end-
lich, bei einem periodischen Dezimalbruch wiederholen sich die

Stellen nach dem Komma nach einem gewissen Muster (Peri-
ode).

Die reellen Zahlen sind alle Zahlen, die auf der reellen Ach-
se der Zahlenebene (Gauß’sche Zahlenebene), der sogenannten

Zahlengeraden, darstellbar sind.

Die reellen Zahlen setzen sich zusammen aus den rationalen

Einige der Zahlenbereiche werden häufig in Mengenschreibwei-

Zahlen und den irrationalen Zahlen. Der Dezimalbruch einer ir-
se dargestellt:

rationalen Zahl hat unendlich viele Stellen und keine Periode.

Man unterteilt die irrationalen Zahlen in algebraische irrationale

N D f0; 1; 2; 3; : : :g

Zahlen und transzendente Zahlen.

Menge der natürlichen Zahlen

Eine algebraische irrationale Zahl ist eine irrationale Zahl, die

Z D f: : : ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; : : :g

Lösung (Wurzel) einer algebraischen Gleichung (Bestimmungs-

Menge der ganzen Zahlen

gleichung)

ˇ

Q D m ˇˇ m; n 2 Z; n ¤ 0g
xn C a

D 0
n
n1 xn1 C an2 xn2 C : : : C a 1 x C a 0

Menge der rationalen Zahlen
mit rationalen Zahlen als Koeffizienten an1, an2, . . . , a 1, a 0 ist,

R

Menge der reellen Zahlen
wobei n für eine natürliche Zahl größer Null steht.

p

C D f z D a C bj j a; b 2 R; j D 1g

Es gibt keine reelle Zahl, die Lösung der Gleichung x 2 C 1 D 0

Menge der komplexen Zahlen
ist. Deshalb werden die reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen
erweitert.

Die natürlichen Zahlen sind die positiven ganzen Zahlen und die

Komplexe Zahlen sind Zahlen der Form z D a C bj, wobei a

Null.

und b reelle Zahlen sind und j die imaginäre Einheit, j 2 D 1 ( j
ist eine Lösung der algebraischen Gleichung x 2 C 1 D 0).

Eine Teilmenge der natürlichen Zahlen sind die Primzahlen. Ei-
ne Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch

Eine komplexe Zahl z besteht also aus einem reellen Teil a (Re-

1 und durch sich selbst ohne Rest teilbar ist.

alteil) und einem imaginären Teil b (Imaginärteil). Komplexe

Zahlen z mit Realteil gleich 0 (also a D 0) heißen imaginäre

Die Primzahlen sind die Zahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,

Zahlen, die komplexen Zahlen z mit Imaginärteil gleich 0 (also

29, . . . , die Zahl 1 ist keine Primzahl. Es gibt unendlich viele
b D 0) sind die reellen Zahlen.

Primzahlen, das heißt, es gibt keine größte Primzahl, zu jeder

Primzahl gibt es noch größere. 2 ist die einzige gerade Primzahl.

Komplexe Zahlen lassen sich in der Zahlenebene darstellen.

Alle Primzahlen zusammen bilden die Menge P der Primzahlen,
die eine Teilmenge der Menge N der natürlichen Zahlen ist.

Beispiele für ganze Zahlen

Jede natürliche Zahl n 2 lässt sich in ein Produkt von

Primzahlen zerlegen, die Zerlegung ist eindeutig bis auf die Rei-

38; 700.632; 0; 105.

J
henfolge der Faktoren (sogenannte Primfaktorzerlegung).

1.4

Grundrechenarten

7

Beispiele für rationale Zahlen

Ein hochgestelltes Plus bedeutet die Menge der entsprechenden

I
positiven Zahlen:

2; 3 D 1;5; 4 D 1;3333 : : : D 1;3; 1 D 0;125;

2

3

8

ZC D N D f1; 2; 3; : : :g D f x j x 2 Z; x > 0gW

Teil

16 D 1;454545 : : : D 1;45 (der periodische Teil

11

Menge der positiven ganzen Zahlen
wird überstrichen).

J

ˇ

QC D m ˇˇ m; n 2 Ng D f x j x 2 Q; x > 0gW
n

Menge der positiven rationalen Zahlen

Beispiele für reelle Zahlen
p

RC D f x j x 2 R; x > 0gW

4; 3 ; 4 ; e 3; 3; sin 50.

J

Menge der positiven reellen Zahlen

4

1.4

Grundrechenarten

Beispiele für irrationale Zahlen
p
p

3 D 1
p ;732050808 : : :; 3 4 D 1;587401052 : : :;

Die vier Grundrechenarten sind die Addition, die Subtraktion,

5 2 3 D 1;535898385 : : :; D 3;141592654 : : :;
die Multiplikation und die Division.

e D 2;718281828 : : :

J

Addition:

Summand plus Summand gleich Summe

Subtraktion:

Minuend minus Subtrahend gleich Differenz

Multiplikation: Faktor mal Faktor gleich Produkt

Beispiele für algebraische irrationale Zahlen

Division:

Dividend geteilt durch Divisor gleich Quotient
p
p

3 (denn

3 ist Lösung der Gleichung x 2 3 D 0);
p
p

Beispiele

3 4 (denn 3 4 ist Lösung der Gleichung x 3 4 D 0);
p
p

5 2 3 (denn 5 2 3 ist Lösung der Gleichung

4 C 5 D 9 (Addition); 7 2 D 5 (Subtraktion); 3 8 D 24
x 2 10 x C 13 D 0.

J

(Multiplikation); 87 W 3 D 29 (Division).

J

Vereinbarung:

Beispiele für transzendente Zahlen

Der Multiplikationspunkt (Malpunkt) kann weggelassen werden

; e

J
zwischen zwei Variablen, zwischen einer Zahl und einer Varia-
blen, zwischen einer Zahl und einer Klammer, zwischen einer

Variablen und einer Klammer sowie zwischen zwei Klammern.

Beispiele für komplexe Zahlen

Beispiele
p
p

3C

2 j; 1C5 j; e C2 j; 4 j (imaginäre Zahl); 3 2 (re-
a b D ab, 4 a D 4 a, 2 . a C b/ D 2. a C b/, a .3 C a/ D
elle Zahl).

J
a.3 C a/, . a C b/ . c d/ D . a C b/. c d/.

J

Ein hochgestellter Stern bedeutet die entsprechende Menge oh-

Achtung: Der Multiplikationspunkt zwischen zwei Zahlen darf
ne die Null:

nicht weggelassen werden.

N D f1; 2; 3; : : :gW

Beispiel

Menge der natürlichen Zahlen ohne die Null

Z D f: : : ;

3 4 ¤ 34.

J

3; 2; 1; 1; 2; 3; : : :g D f x j x 2 Z; x ¤ 0gW

Menge der ganzen Zahlen ohne die Null

ˇ

Q D m Ěine Variable oder Veränderliche oder Platzhalter ist eine Grö-

ˇ m; n 2 Z D f x j x 2 Q; x ¤ 0gW
n
ße, die in der Regel verschiedene Werte annehmen kann.

Variable werden durch Symbole dargestellt (meist lateinische

Menge der rationalen Zahlen ohne die Null

Buchstaben). Variable sind zum Beispiel die Platzhalter für die

R D f x j x 2 R; x ¤ 0gW
gesuchten Lösungen von einer oder mehreren gegebenen Glei-

Menge der reellen Zahlen ohne die Null
chungen.

8

1 Arithmetik

Teil

1.5

Grundlegende Rechenregeln

Beispiele

I

1.5.1

Buchstabenrechnen

1. 2486 ist teilbar durch 2, denn 6 ist teilbar durch 2

2. 263.451 ist teilbar durch 3, denn die Quersumme 2 C

6 C 3 C 4 C 5 C 1 D 21 ist teilbar durch 3

Buchstabenrechnen ist das Rechnen mit unbestimmten Zahlen.

3. 2.563.488 ist teilbar durch 4, denn 88 ist teilbar durch

Formuliert man eine mathematische Aussage, die nicht nur für

4
eine bestimmte Zahl, sondern für einen ganzen Zahlbereich oder

4. 823.620 ist teilbar durch 5, denn 0 ist teilbar durch 5
sogar für alle Zahlen gilt, dann benutzt man statt einer Zahl

5. 2.598.018 ist teilbar durch 6, denn 8 ist teilbar durch 2
einen Buchstaben. Der Buchstabe heißt unbestimmte Zahl.

und die Quersumme 2 C 5 C 9 C 8 C 0 C 1 C 8 D 33
ist teilbar durch 3

Beispiele

6. 524.299.168 ist teilbar durch 8, denn 168 ist teilbar
durch 8

1. . a C b/2 D a 2 C 2 ab C b 2 (binomische Formel, sie gilt

7. 11.929.545 ist teilbar durch 9, denn die Quersumme
für alle reellen Zahlen a; b/

1 C 1 C 9 C 2 C 9 C 5 C 4 C 5 D 36 ist teilbar durch 9

2. . a b/ c D a ( b c/ D a b c (Assoziativgesetz bezüglich

8. 14.739.296 ist teilbar durch 11, denn die alternierende
der Multiplikation, gilt für alle reellen Zahlen a
p
p

; b; c)

p

Quersumme 1 4 C 7 3 C 9 2 C 9 6 D 11 ist

3.

n a b D n a n b (gilt für alle positiven reellen Zahlen
teilbar durch 11.

J
a, b und alle natürlichen Zahlen n 2).

J

1.5.4

Punktrechnung vor Strichrechnung

1.5.2

Kehrwert, Quersumme

Die Rechenzeichen und W binden stärker als C und , das heißt,

Multiplikation und Division müssen vor Addition und Subtrak-

Der Kehrwert einer Zahl a ¤ 0 ist die Zahl 1 . Man sagt statt
a
tion ausgeführt werden.

Kehrwert auch reziproker Wert.

So ist zum Beispiel der Kehrwert von 3 gleich 1 , der Kehrwert

3
von 17 ist 1 , der Kehrwert von 1 ist 4.

a C b c D a C . b c/

17

4

Die Quersumme einer ganzen Zahl ist die Summe ihrer Ziffern.

a b W c D a . b W c/

So ist zum Beispiel die Quersumme der Zahl 239.503.618 gleich

2 C 3 C 9 C 5 C 0 C 3 C 6 C 1 C 8 D 37, die Quersumme von

Beispiele

3.972.611.028 ist 3 C 9 C 7 C 2 C 6 C 1 C 1 C 0 C 2 C 8 D 39,
und die Quersumme der Zahl 209.334.042 ist 2 C 0 C 9 C 3 C
a W b c d D . a W b/ c d; 3C456 D 3C.45/6 D 17;

3 C 4 C 0 C 4 C 2 D 27.

8543C36 W 9C6.12C27/ D 860C4C626 D 108.

J

1.5.3

Teilbarkeitsregeln

Die Klammern geben an, welcher Teil der Rechnung zuerst aus-

Die einzelnen Zeichen einer Zahl sind ihre Ziffern. Aus Eigen-
geführt wird.

schaften der Ziffern lassen sich Teilbarkeitseigenschaften der

Zahlen ableiten.

1.5.5

Potenzrechnung vor Punktrechnung

Eine ganze Zahl ist teilbar durch

2, wenn die letzte Ziffer durch 2 teilbar ist

Potenzieren bindet stärker als Multiplizieren und Dividieren.

3, wenn die Quersumme der Zahl (also die Summe der Ziffern)

durch 3 teilbar ist

4, wenn die Zahl aus den letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar
a b 2 D a . b 2/
ist

5, wenn die letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (also 0 oder 5 ist)

6, wenn die letzte Ziffer durch 2 und die Quersumme der Zahl

Es gilt also ab 2 ¤ . ab/2.

durch 3 teilbar ist

8, wenn die Zahl aus den letzten drei Ziffern durch 8 teilbar ist

Beispiele

9, wenn die Quersumme der Zahl durch 9 teilbar ist

11, wenn die alternierende Quersumme der Zahl (also die Sum-
a W b 2 3 23 D a 3.23/ D a 24; 4 53 7 42 D
b 2
b 2
me der Ziffern, die abwechselnd positives und negatives

4 125 7 16 D 388.

J

Vorzeichen erhalten) durch 11 teilbar ist.

1.5

Grundlegende Rechenregeln

9

1.5.6

Grundgesetze der Addition und

1.5.7

Indizes, Summenzeichen, Produktzeichen

I

Multiplikation

Ein Index (Plural Indizes) ist ein Zeichen, das an Symbole für

Teil

1. Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)

Variable, Funktionen oder Operationen angebracht wird.

Für reelle Zahlen gilt bezüglich der Addition und bezüglich der

Bezeichnet man zum Beispiel Variable mit x, dann kennzeichnet

Multiplikation das Kommutativgesetz:

man verschiedene Variable dadurch, dass man an das x verschie-
dene tiefgestellte Indizes anhängt: x 1, x 2, x 3, . . . Ein Index ist
meistens eine Zahl.

P
a C b D b C a
a b D b a

Das Summenzeichen

(entstanden aus dem griechischen

Buchstaben für S) dient zur vereinfachten Darstellung von Sum-
men (gesprochen: Summe über ak von k D 1 bis k D n).

Bei der Addition kann man also die Summanden vertauschen,
bei der Multiplikation kann man die Faktoren vertauschen.

n

X

D

D

C

C

Beispiele
ak
a 1
a 2
a 3

: : : C an
k D1

3 C 4 D 4 C 3; 3 4 D 4 3.

J

Man erhält alle Summanden der Summe, wenn man in ak für den

2. Assoziativgesetz (Verknüpfungsgesetz)

Index k zunächst 1, dann 2 usw. und schließlich n setzt. Dieser

Buchstabe k heißt Summationsindex und kann durch einen be-

Für reelle Zahlen gilt bezüglich der Addition und bezüglich der
liebigen anderen Buchstaben ersetzt werden. Es gilt also zum

Multiplikation das Assoziativgesetz:

Beispiel
n

X
n

X
n

X
a D
a D
a

.

k
i
j:

a C b/ C c D a C . b C c/ D a C b C c
k D1
i D1
j D1

. a b/ c D a . b c/ D a b c

Beispiele

6

Bei der Addition kann man also Summanden beliebig ver-

X
knüpfen (zusammenfassen), bei der Multiplikation kann man

1.

k 2 D 12 C 22 C 32 C 42 C 52 C 62

Faktoren beliebig verknüpfen.

k D1

3

X

2.

log .2 i/ D log 2 C log 4 C log 6

Beispiele
i D1

.

5

X

3 C 4/ C 7 D 3 C .4 C 7/ D 3 C 4 C 7; .3 4/ 7 D

3.

6 D 6 C 6 C 6 C 6 C 6 D 5 6 D 30.

J

3 .4 7/ D 3 4 7.

J
j D1

3. Distributivgesetze (Zerlegungsgesetze)

Q

Das Produktzeichen
dient zur vereinfachten Darstellung von

Für reelle Zahlen gelten die Distributivgesetze:

Produkten (gesprochen: Produkt über ak von k D 1 bis k D n).

. a C b/ c D a c C b c
n

Y a D
k
a 1 a 2 a 3 : : : an
a . b C c/ D a b C a c
k D1

Man erhält alle Faktoren des Produkts, wenn man in a

Beispiele
k für den

Index k zunächst 1, dann 2 usw. und schließlich n setzt. Der

.

Index k kann durch einen beliebigen anderen Buchstaben ersetzt

3 C 4/ 7 D 3 7 C 4 7; 3 .4 C 7/ D 3 4 C 3 7. J
werden. Zum Beispiel gilt
n

Y
n

Y
n

Y

Aus diesen Grundgesetzen ergeben sich die wichtigen Regeln
a D

D
k
ai
aj:

der Klammerrechnung.

k D1
i D1
j D1

10

1 Arithmetik

Teil

Beispiele

Die Fakultät lässt sich mit der Formel nŠ D n . n 1/Š, n 2 N
berechnen (Rekursionsformel).

I

7

Y

1.

k 2 D 12 22 32 42 52 62 72

Beispiele
k D1

4

Y

0Š D 1, 1Š D 1, 2Š D 1 2 D 2,

2.

3 i D 32 33 34 D 32C3C4 D 39

3Š D 1 2 3 D 6, 4Š D 1 2 3 4 D 24,
i D2

5Š D 1 2 3 4 5 D 120,

5

Y

6Š D 1 2 3 4 5 6 D 720.

J

3.

4 D 4 4 4 4 4 D 45

J
j D1

Für alle natürlichen Zahlen n; k mit 1 k n ist der Binomial-

koeffizient n (gesprochen: n über k) definiert durch
k

1.5.8

Binomische Formeln

!

n

Ein Binom ist ein zweigliedriger Ausdruck der Form a C b oder

D
nŠ
k
kŠ. n k/Š
a b. Die Multiplikation von Binomen führt zu den binomi-
schen Formeln (zwei Faktoren) und zum binomischen Lehrsatz

( n Faktoren, n 1 beliebig).

Man setzt außerdem n D 1 und 0 D 1.

Die folgenden Rechenregeln heißen binomische Formeln oder

0

0
binomische Gleichungen 2. Grades ( a und b sind beliebige reelle

Für die praktische Rechnung eignet sich die Formel

Zahlen).

!

n

. a C b/2 D a 2 C 2 ab C b 2

D n. n 1/. n 2/ : : : . n k C 1/
k

1 2 3 : : : k

. a b/2 D a 2 2 ab C b 2

. a C b/. a b/ D a 2 b 2

Zähler und Nenner bestehen jeweils aus k Faktoren. Dabei sind
die k Faktoren im Nenner von 1 an um jeweils 1 aufsteigend und
im Zähler von n an um jeweils 1 fallend.

Beispiele

Für die Binomialkoeffizienten gibt es eine Reihe von Rechenre-
geln. Für die praktische Berechnung sind wichtig:

1. 212 D .20 C 1/2 D 202 C 2 20 1 C 12 D 441

2. .2 c C 3/2 D .2 c/2 C 2 2 c 3 C 32 D 4 c 2 C 12 c C 9

3. 192 D .20 1/2 D 202 2 20 1 C 12 D 361

!

!

4. .2 x 5 y/2 D .2 x/2 2 2 x 5 y C .5 y/2 D 4 x 2
n

D
n

Symmetrie

20 xy C 25 y 2
k
n k

5. 21 19 D .20 C 1/.20 1/ D 202 12 D 399

!

!

!

6. .3 x C 4 y/.3 x 4 y/ D .3 x/2 .4 y/2 D 9 x 2 16 y 2. J
n 1
n
n

C

1

D

Additionssatz
k 1
k
k

1.5.9

Fakultäten, Binomialkoeffizienten und

Beweis der Symmetrie:

Pascal’sches Dreieck

!

n

D
nŠ

Für eine natürliche Zahl n 2 N ist nŠ (gesprochen: n Fakultät)

k
kŠ. n k/Š
definiert als das Produkt der ersten n von Null verschiedenen

!

natürlichen Zahlen.

n
nŠ

D
n k

. n k/Š. n . n k//Š
nŠ D 1 2 3 : : : n

D
nŠ

. n k/Š kŠ
nŠ

D

Außerdem wird 0Š D 1 für n D 0 gesetzt.

kŠ. n k/Š

1.5

Grundlegende Rechenregeln

11

Beispiele

1.5.10

Binomischer Lehrsatz

I

8

D 8Š D 876 D 56; 8 D 8 ; n D 1; n D n;

3

3Š5Š

123

3

5
n

1

n

Für beliebige reelle Zahlen a

Teil

D n. n1/.

J

; b ¤ 0 und jede natürliche Zahl

2

2
n 1 gilt der binomische Lehrsatz (binomische Gleichung
n-ten Grades)

Für jede natürliche Zahl n lassen sich die Binomialkoeffizienten

!

!

n , k D 0; 1; : : : ; n im Pascal’schen Dreieck darstellen. Wegen
n
n
k

. a C b/ n D an C
an1 b C
an2 b 2
n

D n D 1 sind die Zahlen der Ränder des Dreiecks gleich

1

2

0
n

Eins. Jede nicht am Rand stehende Zahl des Dreiecks ist wegen

!

!

des Additionssatzes gleich der Summe der beiden unmittelbar

C n
n
an3 b 3 C : : : C
an kbk
darüberstehenden Zahlen.

3
k

Pascal’sches Dreieck:

!

!

n

C : : : C
abn1 C bn

0
n 1

0

!

! !

n

X n

1

1

D
an kbk
k

0

1
k D0

! ! !

2

2

2

Die untere Form ist die abgekürzte Summenschreibweise (ge-

0

1

2
sprochen: Summe über n an kbk von k D 0 bis k D n). Man

! ! ! !

k
erhält also alle Summanden der Summe, wenn man für den In-

3

3

3

3
dex k zunächst 0, dann 1, dann 2 usw. und schließlich n setzt.

0

1

2

3

Die so erhaltenen Glieder werden dann addiert.

! ! ! ! !

4

4

4

4

4

Man beachte, dass n D n D 1, a 0 D b 0 D 1 und a 1 D a,

0
n

0

1

2

3

4
b 1 D b gilt.

! ! ! ! ! !

5

5

5

5

5

5

Für n D 2 ergeben sich die beiden ersten binomischen Formeln.

0

1

2

3

4

5

! ! ! ! ! ! !

Spezialfälle:

6

6

6

6

6

6

6

0

1

2

3

4

5

6

! ! !

!

n
n
n
n

a D b D 1 W

C

C

C : : : C

0

1

2
n

Rechnet man die Binomialkoeffizienten aus, so lauten die ersten

!

n

X

Zeilen des Pascal’schen Dreiecks:

D
n

D .1 C 1/ n D 2 n
k
k D0

1

1

1

Die Summe der Binomialkoeffizienten der n-ten Zeile des Pas-

1

2

1
cal’schen Dreiecks ist also 2 n.

1

3

3

1

! ! !

!

1

4

6

4

1
n
n
n
n
a D 1; b D 1 W

C

C: : : C .1/ n

1

5

10

10

5

1

0

1

2
n

1

6

15

20

15

6

1

!

n

X

n

D

.1/ k

D .1 1/ n D 0
k
k D0

Am Pascal’schen Dreieck erkennt man die Symmetrie der Bino-
mialkoeffizienten.

Die alternierende Summe (das heißt, abwechselnde Vorzeichen

Oftmals ist es einfacher, die Binomialkoeffizienten nicht direkt,

C und ) der Binomialkoeffizienten der n-ten Zeile des Pas-
sondern mit Hilfe des Pascal’schen Dreiecks zu berechnen.

cal’schen Dreiecks ist also 0.

12

1 Arithmetik

Teil

Beispiele

Ist der Exponent x eine beliebige reelle Zahl, dann ist die Potenz

!

!

!

!

nur für positive Basen a definiert ( a 2 RC). Dabei sind Potenzen

I
mit irrationalen Exponenten mit Hilfe eines Grenzübergangs er-

1. .

3

3

3

3
a C b/3 D
a 3 C
a 2 b C
ab 2 C
b 3
klärt.

0

1

2

3

D a 3 C 3 a 2 b C 3 ab 2 C b 3

!

!

!

!

p
a q D c

,
ap D cq

2. .

6

6

6

6
a b/6 D
a 6
a 5 b C
a 4 b 2
a 3 b 3

0

1

2

3

!

!

!

Für negative Exponenten gilt

C 6

6

6
a 2 b 4
ab 5 C
b 6

4

5

6

D a 6 6 a 5 b C 15 a 4 b 220 a 3 b 3
a m D 1

C 15 a 2 b 4 6 ab 5 C b 6
am

Man vergleiche die Koeffizienten mit der letzten hin-

Für die Exponenten 1 und 0 gilt
geschriebenen Zeile des Pascal’schen Dreiecks!

!

!

!

3.

.

5

5

5
x 3/5 D
x 5 C
x 4.3/ C
x 3.3/2

0

1

2

!

!

!

a 1 D a
a 0 D 1

. a ¤ 0/

C 5

5

5
x 2.3/3 C
x.3/4 C

.3/5

3

4

5

Eine spezielle Potenz für k 2 Z ist

D x 5 15 x 4 C 90 x 3 270 x 2 C 405 x 243 J

(C1 falls k gerade

.1/ k D 1 falls k ungerade

1.6

Potenz- und Wurzelrechnung

1.6.1

Definition der Potenz

Beispiele

3

1. 2 2 D 2;8284 : : : Potenz mit Basis 2 und Exponent

Eine Zahl der Form ax (gesprochen: a hoch x/ heißt Potenz. Da-

3 D 1;5

2
bei ist a die Basis oder die Grundzahl und x der Exponent oder

2. 35 D 3 3 3 3 3 D 243
die Hochzahl der Potenz.

3. .4/3 D .4/ .4/ .4/ D 64

4. 35 D 1 D 1

35

243

5. 60 D 1
ax

Potenz

6. . 1 /0 D 1

6

4
a

Basis (Grundzahl)

7. 8 3 D c , 84 D c 3 , c D 16

8. 8 43 D c , 84 D c 3 , c D 1

16
x

Exponent (Hochzahl)

9. 41 D 4, .12/1 D 12

10. .1/5 D 1, .1/4 D 1, .1/0 D 1,

.1/11 D 1.

J

Ist die Basis a eine beliebige reelle Zahl und der Exponent x
eine natürliche Zahl aus N, dann steht ax für die Vorschrift, die

Basis a insgesamt x-mal mit sich selbst zu multiplizieren.

1.6.2

Regeln der Potenzrechnung
ax D a a a : : : a ( x Faktoren, x 2 N)

1. Potenzrechnung vor Punktrechnung

Man spricht vom Potenzieren für diese algebraische Operation.

Ist der Exponent x eine natürliche Zahl ¤ 0, dann kann die Basis
ban D b . an/
a eine beliebige reelle Zahl sein.

1.6

Potenz- und Wurzelrechnung

13

Soll erst Punktrechnung erfolgen, dann muss ein Klammerpaar

Beispiele

I
gesetzt werden.

1. 36 34 D 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 D 310 D 36C4

Teil

Beispiele

2. 36 D 333333 D 3 3 D 32 D 364

34

3333

3. 35 W 34 D 354 D 31 D 3

5 34 D 5 3 3 3 3 D 5 .34/;

4. 34 W 34 D 344 D 30 D 1

.

5 3/4 D 5 3 5 3 5 3 5 3 D 154.

J

4

6

46

2

2

5.

3

W 3

D 3

D 3

D 2 .

J

2

2

2

2

3

Fehlerwarnung: ban ¤ . ba/ n für a; b ¤ 0, b; n ¤ 1.

4. Multiplizieren und Dividieren bei gleichem Exponenten

2. Addieren und Subtrahieren

Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem
man die Basen multipliziert (genauer: indem man das Produkt

Potenzen kann man nur addieren oder subtrahieren, wenn sie in
der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert).

Basis und Exponent übereinstimmen.

an bn D . a b/ n
pan C qan D . p C q/ an

Fehlerwarnung: an bn ¤ . ab/2 n (außer in Sonderfällen wie

Beispiel
n D 0), zum Beispiel: 23 53 ¤ 106.

Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem

2 34 C 5 34 D .2 C 5/ 34 D 7 34.

J
man die Basen dividiert (genauer: indem man den Quotienten
der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert).

Fehlerwarnungen: 24 C 34 ¤ 54, 32 C 34 ¤ 36.

n

3. Multiplizieren und Dividieren bei gleicher Basis
an D a
bn
b

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man
die Exponenten addiert (genauer: indem man die gemeinsame

Basis mit der Summe der Exponenten potenziert).

Fehlerwarnung: an ¤ a (außer in Sonderfällen) im Gegensatz
bn
b
zu a n D a .

b n
b
an am D an C m

Umkehrungen

Ein Produkt wird potenziert, indem man die einzelnen Fakto-

Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die
ren potenziert (genauer: indem man die Potenzen der einzelnen

Exponenten subtrahiert (genauer: indem man die gemeinsame

Faktoren miteinander multipliziert).

Basis mit der Differenz der Exponenten potenziert).

an

. a b/ n D an bn

D an m
am

Ein Bruch wird potenziert, indem man Zähler und Nenner ein-

Der Wert einer Potenz bleibt erhalten, wenn man gleichzeitig die
zeln potenziert (genauer: indem man die Potenzen von Zähler

Basis durch ihren Kehrwert und das Vorzeichen des Exponenten
und Nenner durcheinander dividiert).

durch das entgegengesetzte ersetzt.

n

a
an

D
a
n
b n

D
b
bn
b
a

Fehlerwarnung: Die Berechnung von . a C b/ n darf nicht ver-

Fehlerwarnungen: 36 34 ¤ 364 D 324, 312 W 34 ¤ 312W4 D 33,
wechselt werden mit der von . a b/ n. Es gilt . a b/ n D an bn,
a2 ¤ a 2.

aber . a C b/ n ¤ an C bn (außer in Sonderfällen).

14

1 Arithmetik

Teil

Beispiele

1.6.3

Definition der Wurzel

I
p

1. 24 54 D 22225555 D .25/.25/.25/.25/

1

Eine Zahl der Form n a D a n (gesprochen: n-te Wurzel aus a)

D .2 5/4 D 104 D 10:000

heißt Wurzel. Dabei heißt a Radikand der Wurzel und ist eine

4

2. 34 D 3

D 0;64 D 0;1296
reelle Zahl größer als 0, und n heißt Wurzelexponent und ist

54

5

3. 305 D .3 10/5 D 35 105 D 243 100:000
eine natürliche Zahl größer als 1.

D 24:300:000 D 2;43 107

5

4. 0;35 D 3

D 35 D 243 D 0;00243

10
p

105

100000

D
n

2;43 103.

J
a

Wurzel
a > 0

Radikand

5. Potenzieren einer Potenz
n > 1

Wurzelexponent

Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten mul-
p
tipliziert (genauer: indem man die Basis mit dem Produkt der

Die Wurzel n a ist definiert als die eindeutig bestimmte Zahl

Exponenten potenziert).

x 0 mit xn D a. Die n-te Wurzel aus a 0 ist also die
nichtnegative reelle Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist.

. an/ m D an m
p
n a D x

,
xn D a

Bei der Potenz einer Potenz kann man die Exponenten mitein-

Man spricht vom Radizieren oder Wurzelziehen für diese alge-
ander vertauschen.

braische Operation.

p
p

Ist der Wurzelexponent gleich 2, so heißt 2 a D
a (der

Wurzelexponent 2 braucht nicht geschrieben zu werden) Qua-

.

p
an/ m D . am/ n
dratwurzel (oder einfach Wurzel) aus a; 3 a heißt Kubikwurzel
aus a.

Bemerkungen:

Fehlerwarnung: .23/4 ¤ 27.

1. Nach der Definition der Wurzel ist die Wurzel aus einer po-
p 2
sitiven Zahl wieder eine positive Zahl:

a D j a j für jede

Beispiele
reelle Zahl a (zum Absolutbetrag | a| einer Zahl a vgl. Ab-
p
schn. 1.9.2. Es gilt daher zum Beispiel nur

4 D 2, nicht
p

1. .23/4 D .222/.222/.222/.222/ D 234 D 212
auch

4 D 2. Dagegen hat die Gleichung x 2 D 4 die Lö-
p
p

2. .34/2 D 812 D 6561 D 94 D .32/4.

J
sungen x D C

D

1

4 D C2 und x 2

4 D 2.

2. Für ungerade n (zum Beispiel n D 3) kann die n-te Wurzel
auch für negative Zahlen a eindeutig definiert werden, denn
die n-te Potenz einer negativen Zahl ist selbst negativ. Zum
p

Beispiele zur gesamten Potenzrechnung

Beispiel gilt 3 27 D 3.

p

1

3. Wegen n a D a n ergeben sich die Regeln der Wurzelrech-

1. arp C bsp crp dsp D . a c/ rp C . b C d/ sp
nung aus den entsprechenden Regeln der Potenzrechnung.

2. x 3 m1 xm C1 D x 3 m1C m C1 D x 4 m

Wegen der besonderen Bedeutung werden die übertragbaren

3.

8252

D .42/252 D 42.25/2 D 42 D 16

82C62

64C36

100

Regeln hier in Wurzelschreibweise wiederholt.

4. 5 ax C yb 3 u C v W

5 c 4

D 528 ax C yay xb 3 u C vbv2 u

7 c 2

28 ay xbv2 u

75 c 2 c 6

D 4 a 2 ybu C2 v ( c ¤ 0)

c 6

5. . u 2/3 D .1/3 u 23 D u 6,

1.6.4

Regeln der Wurzelrechnung

. u 3/2 D .1/2 u 32 D u 6,

.. u/2/3 D ..1/2 u 2/3 D . u 2/3 D u 23 D u 6

(

1. Addieren und Subtrahieren

4

4

5 b 3

D 4 a

D 256 a 4

4

6.

5 a1

D

22 a

5 b 3

625 b 12

Wurzeln kann man nur addieren oder subtrahieren, wenn sie in

22 b3

54 a 4

D 28 a 4 D 256 a 4

.1/428 b 12

54 b 12

625 b 12

Radikand und Wurzelexponent übereinstimmen.

( a; b ¤ 0)

7.

2 x1 3 x 3 x1 2 x D 2 x2 4 9 C 2 x 2

3

3

9
p
p
p

D 2 9 4 C 2 x 2 ( x ¤ 0).

J
x 2

9
p n a C q n a D . p C q/ n a

1.6

Potenz- und Wurzelrechnung

15

Beispiel

Beispiel

I
p
p
p
p

(

2 4 3 C 5 4 3 D .2 C 5/ 4 3 D 7 4 3.

J
p
p

2 3 D 6

3 8 3 27 D p
p

Teil

3 8 27 D 3 216 D 6

J
p
p
p p
p
p

Fehlerwarnungen: 4 2 C 4 3 ¤ 4 5, 3 2 C 4 2 ¤ 7 2 (beides
p
p
lässt sich nicht zusammenfassen).

p

Fehlerwarnung: n a C n b ¤ n a C b (außer in Sonderfällen);

2. Multiplizieren und Dividieren bei gleichem Radikanden
der gegebene Ausdruck lässt sich nicht vereinfachen.

Wurzeln mit gleichem Radikanden und den Wurzelexponenten

Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden dividiert, in-
n; m werden multipliziert, indem man aus dem in die . m C n/- dem man die Radikanden dividiert (genauer: indem man die
p
n
te Potenz erhobenen Radikanden die nm-te Wurzel zieht (denn
a
p
p
p

Wurzel aus dem Quotienten der Radikanden zieht) (denn p D
n

1

1

1
m C n
b
n a m a D a

C 1
n a m D a n
m D a n m D n m am C n/.

1

1
p
a n D a n D n a ).

1
b
b
b n
p
p
p
n a m a D n m am C n
p
r
n a
a
p D n
n b
b

Beispiel

(
p
p

16 8 D 128

3

Beispiel

4096 4 4096 D
p

12 40967 D 27 D 128

J

8
p
p

<2 W 3 D 2

3

3

8 W 3 27 D
q
p p
p p p
p
p p

: 3 8 D 2

J

Fehlerwarnung: 3 a 4 a ¤ 12 a, 3 a 4 a ¤ 12 a 2, 3 a 4 a ¤

27

3
p
p
p
p
p

7 a (richtig: 3 a 4 a D 34 a 4C3 D 12 a 7/.

Wurzeln mit gleichem Radikanden und den Wurzelexponenten
n und m werden dividiert, indem man aus dem in die . m n/- Umkehrungen
te Potenz erhobenen Radikanden die nm-te Wurzel zieht (denn
p
p

Man zieht die Wurzel aus einem Produkt, indem man die Wur-
n

1
a
m n
p D a n D 1
a 1
n
m D a n m D n m am n/
m

.

zel aus den einzelnen Faktoren zieht (genauer: indem man die
a

1
a m

Wurzeln aus den einzelnen Faktoren miteinander multipliziert).

p
n a
p
p D n m am n
p
p
p
m
n
a
ab D n a n b

Beispiel

Beispiel

(

(
p

3

16 W 8 D 2

4096
p

6
p

D
p
p
p

4
p
p

4096

34

36 D

409643 D 12 4096 D 12 212 D 2

J

4

9 D 2 3 D 6

J

3. Multiplizieren und Dividieren bei gleichem Wurzelexponen-
p
p
p
ten

Fehlerwarnung: n a C b ¤ n a C n b (außer in Sonderfällen).

Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden multipliziert,

Man zieht die Wurzel aus einem Bruch, indem man sie aus Zäh-
indem man die Radikanden multipliziert (genauer: indem man
p
ler und Nenner einzeln zieht (genauer: indem man die Wurzeln
die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden zieht) (denn n a
p
p
aus Zähler und Nenner durcheinander dividiert).

n

1

1
b D a n b n D . ab/ 1 n D n ab/.

r
p
n
p
p
p
a
a
n

D p
n a n b D n ab
b
n b

16

1 Arithmetik

Teil

Spezialfall

Eine Wurzel wird potenziert, indem man den Radikanden po-
tenziert (genauer: indem man die Wurzel aus der Potenz des

I

1
m
n / m D a n D . am/ 1 n
r

Radikanden zieht) (denn . a

).

1
n

D 1
p
a
n a
p
p

. n a/ m D n am

Beispiele

Beispiele
q
p
p

(

1.

3

8 D 3 8 W 3 27 D 2 W 3 D 2
p

27

3

24 D 16
q

1. . 3 8/4 D p
p

3 84 D 3 4096 D 16

2.

4

1

D 1
p

D 1 .

J

625

4
p
p

625

5

2. . 4 4/2 D 4 16 D 2.

J

4. Radizieren und Potenzieren einer Wurzel

Umkehrung

Man zieht die Wurzel aus einer Wurzel, indem man die Wur-
zelexponenten multipliziert (genauer: indem man aus dem

Man zieht die Wurzel aus einer Potenz, indem man die Wurzel

Radikanden die Wurzel mit dem aus dem Produkt beider Wur-
aus der Basis in die entsprechende Potenz erhebt.

zelexponenten gebildeten neuen Wurzelexponenten zieht) (denn
pp

1
p
n

1

1
p
m
p
a D . a
n
m /

D a mn D m n a).

n am D . n a/ m
qp
p
n
m a D m n a

Beispiel

(p
p 3

64 D 8

4 D
p

. 4/3 D 23 D 8

J

Beispiel

(p
pp

4 16 D 2

4

3

Spezialfall

4096 D
p

12 4096 D 2

J
p
p
p

. n a/ n D n an D a
p
p
pp
p

3

3

Fehlerwarnung:

5 7 ¤ 8 7 (richtig:

5 7 D 15 7).

Bei der Wurzel aus einer Wurzel kann man die Wurzelexpo-
pp

1

1

Beispiel
nenten miteinander vertauschen (denn n m a D a mn D a nm D
pp
p
p
m
n a).

. 5 3/5 D 5 35 D 3

J
qp
qp
n

Exponenten und Wurzelexponenten kann man gegeneinander
m a D m n a
kürzen.

p
p
p
p
np

Beispiele
anq D . np a/ nq D p aq D . p a/ q

(p
pp

4 16 D 2

4

1.

3 4096 D pp
p

3

4 4096 D 3 8 D 2

Beispiel
pp
pp
p
p
p
p

3

2.

4 27 D 4 3 27 D 4 3.

J

12 28 D 3 22 D 3 4

J

1.7

Dezimalzahlen und Dualzahlen

17

5. Rationalmachen des Nenners
mit 100 D 1), die Zehnerstelle wird mit 101 D 10, die Hun-

I
derterstelle wird mit 102 D 100, die Tausenderstelle wird mit

Zum Rationalmachen des Nenners eines Bruches erweitert man

103 D 1000, . . . , die n-te Stelle wird mit 10 n1 multipliziert.

den Bruch so, dass die Wurzel im Nenner wegfällt.

Teil

Das Dezimalsystem (auch Zehnersystem genannt) ist also ein

Positionssystem zur Basis 10. Eine solche Schreibweise wurde
p
erst möglich nach Einführung der Null (für „nichts“).

a
a b
p D
b
b

Unser Zahlensystem wurde im ersten Jahrtausend nach der Zei-
tenwende in Indien entwickelt. Es gelangte über den arabischen

Raum zunächst nach Spanien und dann nach Mitteleuropa, wo
noch bis zum 16. Jahrhundert mit dem römischen Zahlensystem

Beispiele
gerechnet wurde. Wegen dieses Ursprungs nennt man unsere
p
p
p

Ziffern auch indisch-arabische Ziffern.

1.

a 2
p D a 2 a
p p D a 2 a D a a
a
a a
a
p
p
p

Im Dezimalsystem lassen sich auch rationale und reelle Zahlen

2.

a
p D a 3 a 2
p

D a 3 a 2 D 3 a 2

3
p
darstellen. Die Darstellung einer reellen (rationalen oder irra-
a

3 a 3 a 2
a
p
p
p
p
p
tionalen) Zahl als Dezimalzahl nennt man auch Dezimalbruch
x C y
y/. x C y/
y/2
y C y

3.

p D . x Cp
p

D . x C

D x 2C2 x

.

J
x y

. x y/. x C y/
x 2 y
x 2 y

(vgl. auch Abschn. 1.3).

Beispiel

486;2545 D 4 102 C 8 101 C 6 100 C 2 101 C

1.7

Dezimalzahlen und Dualzahlen

5 102 C 4 103 C 5 104 D 400 C 80 C 6 C 0;2 C

0;05 C 0;004 C 0;0005.

J

Es gibt verschiedene Möglichkeiten zur Darstellung von Zah-
len. Die einzelnen Zeichen zur Darstellung von Zahlen sind
die Zahlzeichen oder Ziffern. Grundsätzlich unterscheidet man

Der Wert einer Ziffer innerhalb der Zahl ergibt sich dadurch,
zwischen sogenannten Positions- oder Stellenwertsystemen und
dass die n-te Stelle vor dem Komma mit 10 n1 und die m-te

Additionssystemen. Bei einem Positionssystem ist der Wert ei-

Stelle nach dem Komma mit 10 m multipliziert wird.

ner Ziffer abhängig von der Position dieser Ziffer innerhalb der

Ist a D anan1 : : : a 2 a 1 a 0, a1 a2 : : : a m eine Zahl mit den Zif-

Zahl. Bei Additionssystemen wird der Wert aller Zahlzeichen
fern an; an1; : : : ; a 2; a 1; a 0 vor dem Komma und den Ziffern
einfach addiert, um den Wert der Zahl festzulegen.

a1; a2; : : : ; a m nach dem Komma, dann gilt also

Ein Beispiel für ein Positionssystem ist unser Dezimalsystem,
ein Beispiel für ein Additionssystem ist das römische Zahlen-
system.

n

X
a D
ai 10 i

()

i D m

1.7.1

Dezimalsystem

Die Stellen mit i 0 bilden den ganzen Teil, die mit i < 0 den
gebrochenen Teil der Zahl.

Die heute übliche Schreibweise der Zahlen ist die Dezi-

Für andere Zahlensysteme, nämlich Positionssysteme zur Ba-
malschreibweise, das heißt, es gibt 10 verschiedene Ziffern
sis B, gilt () ganz analog, wenn man 10 durch die entsprechen-

(0; 1; 2; : : : ; 9) zur Darstellung der Zahlen. Jede Ziffer hat den
de Basis B ersetzt (zum Beispiel B D 2 für das Dualsystem).

zehnfachen Stellenwert der ihr rechts folgenden Ziffer. Im De-
zimalsystem dargestellte Zahlen nennt man Dezimalzahlen.

Beispiel

1.7.2

Dualsystem

3607 D 3 103 C 6 102 C 0 101 C 7 100 D 3000 C

Das Dualsystem ist ein System zur Darstellung der Zahlen, in

600 C 0 C 7.

J
dem es nur zwei Ziffern (0 und 1) gibt. Das Dualsystem wird
deshalb manchmal auch Binärsystem oder Zweiersystem ge-
nannt. Es ist ein Positionssystem zur Basis 2. Der Wert einer

Der Wert einer Ziffer innerhalb der Zahl ergibt sich also folgen-

Ziffer ist also abhängig von der Position innerhalb der Zahl. Je-
dermaßen: Die Einerstelle bleibt unverändert (Multiplikation
de Ziffer hat den doppelten Stellenwert der ihr rechts folgenden

18

1 Arithmetik

Teil

Ziffer. Im Dualsystem dargestellte Zahlen nennt man Dualzah-

Rundungsregel
len.

I

Ist die erste weggelassene Ziffer 0, 1, 2, 3, 4, dann bleibt die
letzte geschriebene Ziffer unverändert. Ist die erste weggelasse-

Beispiel
ne Ziffer 5, 6, 7, 8, 9, dann erhöht sich die letzte geschriebene

Ziffer um 1.

Der Dualzahl 1 001 101 entspricht die Dezimalzahl

1 26 C 0 25 C 0 24 C 1 23 C 1 22 C 0 21 C 1 20 D

Ist die gerundete Zahl kleiner als die ursprüngliche Zahl (die

64 C 0 C 0 C 8 C 4 C 0 C 1 D 77.

J
erste weggelassene Ziffer ist dann 0, 1, 2, 3 oder 4), spricht man
von Abrunden. Ist die gerundete Zahl jedoch größer als die ur-
sprüngliche Zahl (die erste weggelassene Ziffer ist dann 5, 6, 7,

Die Umrechnung von einem Zahlensystem in ein anderes wird

8 oder 9), so spricht man von Aufrunden.

als Konvertierung bezeichnet. Werden mehrere Zahlensysteme
gleichzeitig benutzt, so ist es zur Vermeidung von Irrtümern üb-

Beispiele
lich, die Basis als Index anzuhängen.

3;456 3;46 (aufgerundet);

Beispiel

23;699 23;70 (aufgerundet);

1 001 101 D

2

7710.

J

14;3449 14;34 (abgerundet);

17;2496389 17;2496 (auf 4 Dezimalstellen gerundet).

Die Darstellung reeller Zahlen im Dualsystem ist analog der

J

Darstellung im Dezimalsystem. Der Wert einer Ziffer innerhalb
der Zahl ergibt sich dadurch, dass die n-te Stelle vor dem Kom-
ma mit 2 n1 und die m-te Stelle nach dem Komma mit 2 m
multipliziert wird.

1.8

Logarithmen

Beispiel

1.8.1

Definition des Logarithmus

101 100 011;1011 D

2

1 28 C 1 26 C 1 25 C 1 2 C 1 1 C

1 21 C 1 23 C 1 24 D 256 C 64 C 32 C 2 C 1 C

1 C 1 C 1 D 355 11 D 355;6875

2

8

16

16

10.

J

Eine Zahl der Form log b (gesprochen: Logarithmus b zur
a

Basis a) heißt Logarithmus. Dabei heißt b Numerus des Loga-
rithmus und ist eine reelle Zahl größer als 0, und a heißt Basis

Dualsysteme sind sehr bedeutend in Elektrotechnik und Daten-
des Logarithmus und ist eine positive reelle Zahl ungleich 1.

verarbeitung. Computer sind zeichenverarbeitende Maschinen.

Die externen Zeichen (Buchstaben, Ziffern, Sonderzeichen)

werden intern im Binärcode in Form von Bitfolgen dargestellt.

log b

Logarithmus b zur Basis a
a

Ein Bit (Abkürzung von Binary Digit) ist die kleinste darstellba-
re Informationseinheit mit den Werten 0 und 1. Acht Bit werden
b > 0

Numerus
zur nächsthöheren Einheit, dem Byte, zusammengefasst. Zahlen
a > 0; a ¤ 1

Basis
werden in Computern in mehreren aufeinanderfolgenden Bytes
dargestellt. Die interne Durchführung arithmetischer Operatio-
nen erfolgt im Computer also im Dualsystem.

Der Logarithmus log b ist definiert als die eindeutige Lösung x
a

Andere Zahlensysteme, die im Zusammenhang mit der Nutzung
der Gleichung ax D b.

von Computern eine Rolle spielen, sind das Oktalsystem (Posi-
tionssystem zur Basis 8) mit den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 und
das Hexadezimalsystem (Positionssystem zur Basis 16) mit den
log b D x

,
ax D b

Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (die Buchstaben
a

A, . . . , F stehen für die Werte 10, . . . , 15).

Der Logarithmus x D log b ist also der Exponent zu der Basis
a
a, für den die Potenz ax gleich dem Numerus b ist.

1.7.3

Runden

Aus der Definition folgt (denn a 1 D a und a 0 D 1).

Als Dezimalstellen einer Dezimalzahl bezeichnet man die Stel-
len nach dem Komma. Runden ist das Verkürzen einer De-
zimalzahl, also die Darstellung einer Dezimalzahl mit einer
log a a D 1
log a 1 D 0
vorgegebenen Anzahl von Dezimalstellen.

1.8

Logarithmen

19

Beispiele

Logarithmen zur Basis a D 2 heißen Zweierlogarithmen oder

I
binäre Logarithmen oder duale Logarithmen. Man schreibt statt

1: log 8 D x

) x D 3 denn 23 D 8
log b manchmal auch ld b.

2

2

Teil

2: log 16 D x

) x D 2 denn 42 D 16

4

3: log 4 D x

) x D 1 denn 41 D 4

4
log b D ld b

2

4: log 1 D x

) x D 0 denn 50 D 1

5

5: log 81 D x

) x D 4 denn 34 D 81

3

Beispiele

6: log 57 D x

) x D 7 denn 57 D 57

5

7: log 1000 D x ) x D 3
denn 103 D 1000

1:

log 32 D ld 32 D x

10

2

) x D 5
denn 25 D 32

8: log 0;5 D x

) x D 1 denn 21 D 1 D 0;5

2
p

2

2:

ld

2 D x

9: log 8 D 1

) a D 8 denn 81 D 8
a
p

1

1

) x D 1
denn 2 2 D

2

10: log

D 3 ) a D 5 denn 53 D 1

2
a 125

125

3:

log 10:000 D lg 10:000 D x

3

10

11: log

D 1

) a D 5 denn . 5/1 D 3
a

) x D 4
denn 104 D 10:000

5

3

3

5

4:

lg 0;01 D x

12: log b D 1

) b D 0;1 denn 101 D 1 D 0;1

10

10

) x D 2
denn 102 D 0;01

13: log b D 5

) b D 32

5:

log 5 D ln 5 D x

4
e

2
p

5

5

) x D 1;6094: : : denn e 1;6094::: D 5

J
denn 4 2 D

4 D 25 D 32

J

1.8.2

Spezielle Basen

1.8.3

Regeln der Logarithmenrechnung

Logarithmen zur Basis a D 10 heißen Zehnerlogarithmen oder

1. Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der
dekadische Logarithmen oder Briggs’sche Logarithmen (nach

Logarithmen der einzelnen Faktoren. Oder: Addiert man
dem englischen Mathematiker Henry Briggs, 1556–1630). Man
zum Logarithmus einer Zahl u den Logarithmus einer Zahl v,
schreibt statt log
dann erhält man als Summe den Logarithmus des Produkts

10 b auch einfach lg b.

uv.

log b D lg b

10
log . u v/ D log u C log v
a
a
a

Logarithmen mit der Euler’schen Zahl e D 2;71828182 : : :

als Basis werden natürliche Logarithmen oder Neper’sche Lo-

Beweis:

garithmen (nach dem schottischen Mathematiker John Neper

Setze log u D x, log v D y
a
a

(Napier), 1550 bis 1617) genannt. Man schreibt ln b für log b.

e

) log u C log v D x C y
a
a
ax D u, ay D v ) u v D ax ay D ax C y
log b D ln b
e

) log . u v/ D x C y.

a

n

Die Euler’sche Zahl e ist der Grenzwert der Folge 1 C 1

(vgl.

Beispiel
n

Abschn. 1.8.1):

log 256 D ld 256 D ld.464/ D ld 4Cld 64 D 2C6 D 8.

n

2

J
e D lim 1 C 1

D 2;7182818284 : : :

n!1
n

Sie hat ihren Namen nach dem schweizerischen Mathematiker

2. Der Logarithmus eines Bruches (Quotienten) ist gleich der

Leonhard Euler (1707–1783). Die Euler’sche Zahl ist eine irra-

Differenz der Logarithmen von Zähler (Dividend) und Nen-
tionale Zahl.

ner (Divisor). Oder: Subtrahiert man vom Logarithmus einer

20

1 Arithmetik

Teil

Zahl u den Logarithmus einer Zahl v, dann erhält man als

Beispiele

Differenz den Logarithmus des Bruches (Quotienten) u .

v

I
p

1. log 3 5 D 1 log 5 D 1

5

3

5

3
p

2. log 3 64 D 1 log 64 D 1 log 26 D 1 6 D 2. J
u

2

3

2

3

2

3
log

D
a
log
v
a u log a v

5. Aus den Regeln ergeben sich die folgenden Spezialfälle

(denn ar D ar und log 1 D log 1 log v D 0 log v/.

Beweis:

a v
a
a
a

Setze log u D x, log v D y ) log u log v D x y
a
a
a
a
ax D u, ay D v ) u D ax D ax y

1
v
ay
log . ar/ D r und
log

D log v
a
a
a

)

v
log u D x y.

a v

Beispiel
log

9

D

3
log

243

3 9 log3 243 D 2 5 D 3.

J

1.8.4

Zusammenhang von Logarithmen mit
verschiedenen Basen

3. Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem mit dem Expo-
nenten multiplizierten Logarithmus der Basis. Oder: Multi-

Für Logarithmen mit verschiedenen Basen a und c gilt folgende
pliziert man den Logarithmus einer Zahl u mit einer Zahl r,

Umrechnungsregel
dann erhält man den Logarithmus der Potenz ur.

u
log . ur/ D r log u
log u D log c
a
a
a
log a
c

Beweis:

Beweis:

Setze log u D x ) ax D u ) ur D . ax/ r D arx
a

Setze log u D x. Es folgt ax D u, also auch log ax D log u.

a
c
c

) rx D log . ur/ D r log u.

a
a

Nach der Potenzregel ergibt sich x log a D log u und nach x
c
c
aufgelöst x D log c u . Wegen x D log
log
a u folgt die Behauptung:

c a

Beispiele
log u D log c u .

a
log c a

1. log 83 D 3 log 8 D 3 log 23 D 3 3 D 9

Logarithmen zu verschiedenen Basen ( a und c) unterscheiden

2

2

2

1

2. lg 10:000 D lg 104 D 4 lg 10 D 4.

J
sich also nur durch einen konstanten Faktor

.

log c a

Für c D u D b ergibt sich der Spezialfall

4. Der Logarithmus einer Wurzel ist gleich dem durch den

Wurzelexponenten dividierten Logarithmus des Radikanden.

Oder: Dividiert man den Logarithmus einer Zahl u durch ei-
p
ne Zahl n, dann erhält man den Logarithmus der Wurzel n u.

log a b D

1
log a
b
p
log n u D 1 log u
a
n
a

Beispiele

1. ln u D 1 lg u D

1
lg u
lg e

0;4342:::

Beweis:

p

2. lg u D

1
ln u D

1
ln u
ln 10

2;3025:::

1

Wegen n u D u n folgt

3. log u D 1 lg u D

1
lg u

5
lg 5

0;6989:::

p

1

4. ln 1000 D 1 lg 1000

1

3 6;907755279.

log n u D log u n D 1 log u
lg e

0;4342944819
a
a
n
a

J
aus der Potenzregel.

1.9

Ungleichungen

21

1.8.5

Dekadische Logarithmen

Im Falle a ¤ b ( a ungleich b) gilt genau eine der beiden Unglei-

I
chungen a < b oder a > b.

Die dekadischen Logarithmen (auch Briggs’sche Logarithmen

Teil
oder Zehnerlogarithmen genannt) haben den Vorteil, dass man
mit den Logarithmen der Dezimalzahlen zwischen 1 und 10 über
a ¤ b

)

a < b oder a > b
die Logarithmen aller positiven reellen Zahlen verfügt.

Begründung: Jede reelle Zahl x lässt sich durch Abspalten einer

Die Ungleichung a b bedeutet, dass a kleiner oder gleich b

Zehnerpotenz 10 k mit ganzzahligem k in der Form x D 10 k N x
ist ( a ist also nicht größer als b), und die Ungleichung a b
mit 1 N x < 10 schreiben. Dabei ist N x durch die Ziffernfolge
bedeutet entsprechend, dass a größer oder gleich b ist ( b ist also
von x bestimmt, während 10 k die Größenordnung von x angibt.

nicht größer als a).

Logarithmieren ergibt lg x D lg.10 k N x/ D lg.10 k/ C lg N x D
k C lg N x mit 0 lg N x < 1 (also lg N x D 0; : : :). Man nennt k die Ist a < b und b < c, dann kann man die beiden Ungleichungen Kennzahl und die Ziffernfolge hinter dem Komma von lg N x die
fortlaufend schreiben: a < b < c. Man nennt dies fortlaufende

Mantisse des Logarithmus von x.

Ungleichung oder Ungleichungskette.

Von einer vor dem Komma n-stelligen Zahl ist die Kennzahl
n1 (also um 1 kleiner). Für Zahlen kleiner als 1 sind die Kenn-
zahlen negativ.

a < b < c

,
a < b und b < c

Logarithmentafeln enthalten in der Regel nur die Mantisse.

Alle Zahlen, die sich nur durch Zehnerpotenzen unterscheiden,

Entsprechend schreibt man zum Beispiel a < x und x b zu-
haben die gleiche Mantisse, aber unterschiedliche Kennzahlen.

sammenfassend als a < x b. Fortlaufende Ungleichungen
werden oft benutzt, um einen Bereich oder ein Intervall anzu-
geben, aus dem eine Größe x gewählt werden darf oder gewählt

Beispiele
werden soll.

1. lg 2250 D lg.1000 2;25/ D lg.103 2;25/ D lg 103 C

Eigenschaften von Ungleichungen:

lg 2;25 3 C 0;3522 D 3;3522

1. a a (Reflexivität)

2. lg 0;0315 D lg.3;15 1 / D lg.3;15 102/ D

100

2. a b und b c ) a c (Transitivität)

lg 3;15 C lg 102 0;4983 2

3. a b und b a ) a D b (Antisymmetrie)

3. lg 2000 D lg.103 2/ D lg 103 C lg 2 3 C 0;3010 D

3;3010, lg 200 2;3010, lg 20 1;3010, lg 2

Rechenregeln für Ungleichungen:

0;3010, lg 0;2 0;3010 1, lg 0;02 0;3010 2,

Eine Ungleichung kann von beiden Seiten gelesen werden:

lg 0;002 0;3010 3.

J
a < b

,
b > a für alle a; b 2 R

Auf beiden Seiten einer Ungleichung darf dieselbe Zahl addiert

1.9

Ungleichungen
werden:

a b

)

a C c b C c
für alle a; b; c 2 R

1.9.1

Definitionen und Rechenregeln

Zwei gleichgerichtete Ungleichungen dürfen addiert werden:

Zwischen zwei reellen Zahlen a und b besteht genau eine der
a b und c d

)

a C c b C d
drei Beziehungen: a D b ( a ist gleich b), a < b ( a ist kleiner als
b), a > b ( a ist größer als b). Der Winkelhaken ist dabei immer für alle a; b; c; d 2 R,
nach der größeren Seite hin geöffnet.

a < b und c d

)

a C c < b C d
für alle a; b; c; d 2 R.

a; b 2 R W
a D b oder a < b oder a > b

Eine Ungleichung darf mit einer nichtnegativen Zahl multipli-
ziert werden:

Wegen dieser Eigenschaft nennt man die Menge R der reellen

Zahlen geordnet.

a b und c 0

)

ac bc
für alle a; b 2 R

22

1 Arithmetik

Teil

Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert,

Beispiele
so dreht sich das Ungleichheitszeichen um:

I
a b und c 0

)

ac bc
für alle a; b 2 R

1. j4;3j D 4;3; j 2j D 2; j j D ; j0j D 0

2. j3 4j D j3j j4j D 3 4 D 12; j.3/ 4j D j 3j j4j D

Bildet man auf beiden Seiten einer Ungleichung den Kehrwert,

3 4 D 12

ˇ ˇ

ˇ šo dreht sich das Ungleichheitszeichen um:

3. ˇ 2 Ď j2j D 2 ; ˇ 1 Ď 1 D 1

3
j3j

3

4
j4j

4

ˇ

ˇ

4. j.3/5j D j 3j5 D 35; ˇ 1 Ď 1 D 1
a b

)

1 1 für alle a; b 2 R

.2/3
j2j3

23
a
b

5. j4C2j j4jCj2j ) 6 4C2 D 6; j53j j5jCj3j

Aus der Multiplikationsregel folgt im besonderen (Multiplika-

) 2 5 C 3 D 8.

J
tion mit 1), dass das Vertauschen der Vorzeichen auf beiden

Seiten einer Ungleichung das Ungleichheitszeichen umdreht:

a < b

)

a > b

1.9.3

Intervalle

Beispiele

1. 3 3; 5 5; 12;2 12;2

Es seien a und b zwei reelle Zahlen mit a < b. Die Menge aller
reellen Zahlen x, die die fortlaufende Ungleichung a < x < b er-

2. 3 5; 5 6 ) 3 6; 4 5; 5 7;1

)

füllen, heißt Intervall oder Zahlenintervall mit den Endpunkten

4 7;1
oder Randpunkten a und b (genauer: offenes und beschränktes

3. 3 3; 3 3 ) 3 D 3

Intervall).

4. 3 < 5 , 5 > 3; 1 > 2 , 2 < 1

5. 5 7 , 5 C 2 7 C 2; 4 > 1 , 4 3 > 1 3

Gehört der Randpunkt nicht selbst zum Intervall, so spricht man
von einem offenen Intervallende, im entgegengesetzten Fall von

6. 3 < 4; 7 < 9 , 3 C 7 < 4 C 9; 4 3; 2 5

)

einem abgeschlossenen Intervallende.

4 2 3 5

7. 5 7 ) 5 3 7 3; 3 > 4 ) 3 2 > 4 2

Die Angabe eines Intervalls erfolgt durch seine Randpunkte a

8. 4 > 2 ) 4.2/ < 2.2/; 6 7 ) 6.1/ 7.1/
und b, indem diese in Klammern gesetzt werden. Eine eckige

) 6 7

Klammer steht für ein abgeschlossenes Intervallende, eine run-

9. 2 < 3 ) 1 > 1 ; 5 > 6 ) 1 < 1 .

J
de für ein offenes Intervallende. Gehören beide Randpunkte zu

2

3

5

6
dem Intervall, so heißt es abgeschlossen. Gehört nur einer der

Randpunkte (also entweder a oder b) zum Intervall, so heißt es
halboffen. Gehört keiner der Randpunkte zum Intervall, so heißt
es offen.

1.9.2

Absolutbetrag

Intervalle dienen der Beschreibung von Zahlenmengen. Man un-
terscheidet beschränkte und nicht beschränkte Intervalle.

Der Betrag oder Absolutbetrag j a j einer Zahl a stellt auf der

Bei einem beschränkten Intervall sind die Intervallgrenzen a und

Zahlengeraden den Abstand der Zahl a vom Nullpunkt dar. Da
b reelle Zahlen. Es besteht aus allen reellen Zahlen x, die zwi-

Abstände nicht negativ sind, gilt j a j D a für a 0 und j a j D a
schen diesen beiden Grenzen liegen.

für a < 0.

(

Beschränkte Intervalle
a
für a 0
j a j D

Œ a; b D f x j x 2 R und a x b g
a für a < 0

(abgeschlossenes Intervall)

. a; b/ D f x j x 2 R und a < x < b g

Beträge sind nicht negativ.

Eigenschaften:

(offenes Intervall)

1. j a j D j a j

Œ a; b/ D f x j x 2 R und a x < b g

2. j a j 0; j a j D 0 , a D 0

(halboffenes Intervall)

3. j a b j D j a j j b j

ˇ ˇ

ˇ ˇ

4. ˇ a Ď j a j

ˇ1Ď 1=j b j für b ¤ 0

. a; b D f x j x 2 R und a < x b g
b
j b j für b ¤ 0; bˇ ˇ

5. j an j D j a j n für n 2 N; ˇ 1 Ď 1

(halboffenes Intervall)

an
j a j n für n 2 N , a ¤ 0

6. j a C b j j a j C j b j (sogenannte Dreiecksungleichung).

1.10

Komplexe Zahlen

23

Das Symbol mit der Schreibweise 1 heißt unendlich und steht

1.10

Komplexe Zahlen

I
für „beliebig groß“. Das Symbol 1 heißt entsprechend minus
unendlich und steht für „beliebig klein“. Die Symbole 1 und

1 sind keine reellen Zahlen; 1 ist kleiner als jede reelle 1.10.1 Algebraische Form

Teil

Zahl, 1 ist größer als jede reelle Zahl.

Bei einem nicht beschränkten Intervall ist mindestens eine der

Im Bereich der reellen Zahlen besitzt die Gleichung x 2 C 1 D
p
p

Intervallgrenzen 1 oder 1. Solche Intervalle können durch

0 keine Lösung. Ebenso stellen

3 oder 4 6 keine reellen
eine Ungleichung beschrieben werden.

Zahlen dar.

Falls eine quadratische Gleichung keine reelle Lösung besitzt,
ist es trotzdem möglich, Lösungen anzugeben und zwar kom-

Nicht beschränkte Intervalle
plexe Zahlen als Lösungen. Zur Darstellung dieser komplexen

Œ a; 1/ D f x j x 2 R und x a g

Zahlen wird eine Erweiterung des Bereichs der reellen Zahlen

(halboffenes Intervall, nach rechts unbeschränkt)

vorgenommen.

. a; 1/ D f x j x 2 R und x > a g

Ausgangspunkt ist die imaginäre Einheit j, deren Quadrat gleich

1 ist: j 2 D 1. In der Mathematik wird für die imaginäre

(offenes Intervall, nach rechts unbeschränkt)

Einheit der Buchstabe i verwendet, in der Elektrotechnik nimmt

.1; a D f x j x 2 R und x a g
man statt dessen jedoch den Buchstaben j, um Verwechslungen
mit der Stromstärke i zu vermeiden.

(halboffenes Intervall, nach links unbeschränkt)

.1; a/ D f x j x 2 R und x < a g

Imaginäre Einheit j

(offenes Intervall, nach links unbeschränkt)

j 2 D 1

.1; 1/ D f x j x 2 Rg

(offenes Intervall, nach links und nach rechts unbeschränkt)

Für die imaginäre Einheit gilt

Beispiele
j 2 D 1;
j 3 D j;
j 4 D 1

1. Œ3; 4 D f x j x 2 R und 3 x 4 < 4g
j 4 n3 D j; j 4 n2 D 1; j 4 n1 D j; j 4 n D 1 . n 2 N/

Alle reellen Zahlen zwischen 3 und 4; sowohl 3 als
auch 4 gehören zum Intervall.

2. Œ3; 4/ D f x j x 2 R und 3 x < 4g

Die Zahlen j und j sind Lösungen der quadratischen Gleichung

Alle reellen Zahlen zwischen 3 und 4; 3 gehört zum
x 2 C 1 D 0.

Intervall, 4 jedoch nicht.

Mit dieser imaginären Einheit j und zwei reellen Zahlen a und b

3. .3; 4 D f x j x 2 R und 3 < x 4g
stellt z D a C bj eine komplexe Zahl dar.

Alle reellen Zahlen zwischen 3 und 4; 3 gehört nicht
zum Intervall, aber 4.

4. .3; 4/ D f x j x 2 R und 3 < x < 4g

Alle reellen Zahlen zwischen 3 und 4; weder 3 noch 4
z D a C bj;
a; b 2 R
gehören zum Intervall.

5. Œ3; 1/ D f x j x 2 R und x 3g

Alle reellen Zahlen größer oder gleich 3 gehören zum

Eine komplexe Zahl z besteht also aus einem reellen Teil a (Re-

Intervall (3 gehört dazu).

alteil) und einem imaginären Teil b (Imaginärteil).

6. .3; 1/ D f x j x 2 R und x > 3g

Alle reellen Zahlen größer als 3 gehören zum Intervall

Wenn a und b alle möglichen reellen Werte durchlaufen, dann

(3 gehört nicht dazu).

werden alle möglichen komplexen Zahlen z erzeugt. Alle kom-

7. .1; 4 D f x j x 2 R und x 4g
plexen Zahlen bilden zusammen die Menge C der komplexen

Alle reellen Zahlen kleiner oder gleich 4 gehören zum

Zahlen.

Intervall (4 gehört dazu).

8. .1; 4/ D f x j x 2 R und x < 4g

Alle reellen Zahlen kleiner als 4 gehören zum Intervall

C D f z D a C bj j a; b 2 Rg

(4 gehört nicht dazu).

9. .1; 1/ D f x j x 2 Rg

Alle reellen Zahlen gehören zum Intervall.

J

Komplexe Zahlen z mit Realteil gleich 0 (also a D 0) hei-
ßen imaginäre Zahlen, die komplexen Zahlen z mit Imaginärteil

24

1 Arithmetik

Teil
imaginäre Achse
imaginäre Achse
z = a+bj

I
z = a + b j
bj
b j

1

1

1

1
j
j
a 2 –1
a

0

1
a 1 reelle Achse

–1 0

1
reelle Achse

– j

–j

–bj
b j

2
z = a + b j
z = a–bj

2

2

2

Abb. 1.2 Konjugiert komplexe Zahlen z und Nz in algebraischer Form

Abb. 1.1 Darstellung komplexer Zahlen in der Gauß’schen Zahlenebene
imaginäre Achse
gleich 0 (also b D 0) sind die reellen Zahlen. Die komplexen
z

Zahlen umfassen also die imaginären Zahlen und die reellen

Zahlen.

ul)

ärteil)

r (Mod
b
n
φ

(Argument)

(Imagi
z D a C bj
komplexe Zahlen

0
a
reelle Achse

(Realteil)

z D bj

. a D 0/ imaginäre Zahlen
z D a

. b D 0/
reelle Zahlen

Abb. 1.3 Algebraische und trigonometrische Form einer komplexen Zahl z

Komplexe Zahlen z D a C bj und N z D a bj, also mit gleichem

Dabei heißt r Modul oder Absolutbetrag (also r D j z j) und ' Ar-

Realteil und entgegengesetzt gleichem Imaginärteil, heißen kon-
gument der komplexen Zahl z. Der (orientierte) Winkel ' wird
jugiert komplex.

im Bogenmaß (vgl. Abschn. 3.9.5) gemessen und ist nur bis auf

Vielfache von 2 bestimmt. Deshalb wählt man meist für ' das

Komplexe Zahlen sind nicht mehr auf einer Zahlengeraden,
halboffene Intervall Œ0; 2/, also 0 ' < 2.

sondern nur noch in einer Zahlenebene, der sogenannten

Gauß’schen Zahlenebene, darstellbar (Name nach dem deut-
schen Mathematiker Carl Friedrich Gauß, 1777–1855).

z D r.cos ' C j sin '/;
r 2 R; r 0; 0 ' < 2

Dabei wird in einem kartesischen Koordinatensystem der Ebene

(siehe Abschn. 7.1.1) der Realteil a von z auf der Abszissen-
achse und der Imaginärteil b von z auf der Ordinatenachse
abgetragen. Jeder komplexen Zahl entspricht ein Punkt der Ebe-

Für ' D 0 ergeben sich die positiven reellen Zahlen, für ' D
ne und umgekehrt. Die Zuordnung von Zahl und Punkt ist
die negativen reellen Zahlen, für ' D die positiven imagi-

2
eineindeutig. Die reellen Zahlen liegen auf der Abszissenachse,
nären Zahlen und für ' D 3 die negativen imaginären Zahlen.

2
die imaginären Zahlen liegen auf der Ordinatenachse. Deshalb

Statt trigonometrischer Form sagt man mitunter auch goniome-
nennt man die Abszissenachse auch reelle Achse und die Ordi-
trische Form der komplexen Zahlen.

natenachse imaginäre Achse (Abb. 1.1).

Für die Darstellung der komplexen Zahlen in der Ebene werden

Die Darstellung einer komplexen Zahl in der Form z D a C
für die trigonometrische Form Polarkoordinaten (siehe Ab-
bj, bei der kartesische Koordinaten verwendet werden, heißt
schn. 7.1.2) verwendet, wohingegen für die algebraische Form
algebraische Form. Daneben gibt es für die Darstellung der
kartesische Koordinaten (siehe Abschn. 7.1.1) benutzt werden.

komplexen Zahlen die trigonometrische Form und die Exponen-
tialform (Abb. 1.2 und 1.3).

Für den Zusammenhang zwischen algebraischer und trigonome-
trischer Form gilt

1.10.2

Trigonometrische Form
p
r D
a 2 C b 2
tan ' D ba

Neben der Darstellung der komplexen Zahlen in algebraischer

Form gibt es die Darstellung in trigonometrischer Form (vgl.

a D r cos '

b D r sin '

Abschn. 6.1): z D r.cos ' C j sin '/.

1.10

Komplexe Zahlen

25
imaginäre Achse

Beispiele

I
z + z

1

2

1. z C

D

1
z 2

.2;66 C 0;89 j/ C .0;81 C 1;49 j/

Teil

#

D 1;85 C 2;38 j
z 2

2. z

D

1
z 2

.2;66 C 0;89 j/ .0;81 C 1;49 j/
z 1

#

D 3;47 0;60 j

#

3. z C N z D .2;4 C 0;9 j/ C .2;4 0;9 j/ D 4;8

0
reelle Achse

4. z N z D .2;4 C 0;9 j/ .2;4 0;9 j/ D 1;8 j.

J
z – z

1

2

Abb. 1.4 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen z1 und z2 (die mit # ge-
kennzeichneten Strecken sind parallel und gleich lang)

1.10.4

Multiplizieren komplexer Zahlen

Derselbe Zusammenhang gilt für die kartesischen Koordinaten

Komplexe Zahlen z D a C b

D a C b
und die Polarkoordinaten eines Punktes in der Ebene.

1

1

1 j und z 2

2

2 j in alge-
braischer Form werden wie algebraische Summen multipliziert

Multiplizieren, Dividieren, Potenzieren und Radizieren komple-

(denn z

D

C

C

C

1
z 2

. a 1
b 1 j/. a 2
b 2 j/ D a 1 a 2
a 1 b 2 j C b 1 a 2 j C
xer Zahlen lassen sich in der trigonometrischen Form einfacher
b

C

1 b 2 j 2 D . a 1 a 2
b 1 b 2/ C . a 1 b 2
a 2 b 1/ j wegen j 2 D 1).

durchführen.

z

D

C

C

1
z 2

. a 1
b 1 j/. a 2
b 2 j/

1.10.3

Addieren und Subtrahieren komplexer

D . a

C

1 a 2
b 1 b 2/ C . a 1 b 2
a 2 b 1/ j

Zahlen

Das Produkt konjugiert komplexer Zahlen ist reell.

Komplexe Zahlen z D

C

D

C

1
a 1
b 1 j und z 2
a 2
b 2 j werden
addiert, indem man die Realteile addiert und die Imaginärteile
addiert (Abb. 1.4).

z N z D . a C bj/. a bj/ D a 2 C b 2

Beispiele
z C

D

C

C

1
z 2

. a 1
b 1 j/ C . a 2
b 2 j/

D . a C

C

D .

1
a 2/ C . b 1
b 2/ j

1. z 1 z 2

3 C 4 j/.5 2 j/

D .3 5 4 .2// C .3 .2/ C 5 4/ j D 23 C 14 j

2. z N z D .2;4 C 0;9 j/.2;4 0;9 j/ D .2;4/2 C .0;9/2

D

Komplexe Zahlen z D

C

D

C

5;76 C 0;81 D 6;57.

J

1
a 1
b 1 j und z 2
a 2
b 2 j werden von-
einander subtrahiert, indem man die Realteile subtrahiert und
die Imaginärteile subtrahiert.

Komplexe Zahlen z

D

C

D

1
r 1.cos '1
j sin '1/ und z 2
r

C

2.cos '2
j sin '2/ in trigonometrischer Form werden multi-
pliziert, indem man die Moduln ( r 1 und r 2) multipliziert und die
z

D

C

C

1
z 2

. a 1
b 1 j/ . a 2
b 2 j/

Argumente ('1 und '2) addiert.

D . a

1
a 2/ C . b 1
b 2/ j
z

D

C

C

1
z 2
r 1.cos '1
j sin '1/ r 2.cos '2
j sin '2/

Die Summe konjugiert komplexer Zahlen z D a C bj und N z D

D r

C

C

1 r 2Œ cos.'1

'2/ C j sin.'1

'2/
a bj ist reell, die Differenz konjugiert komplexer Zahlen ist
imaginär.

Beweis:

z

D

C

C

1
z 2
r 1.cos '1
j sin '1/ r 2.cos '2
j sin '2/
z C N z D . a C bj/ C . a bj/ D 2 a

D r

1 r 2Œ.cos '1 cos '2
sin '1 sin '2/
z N z D . a C bj/ . a bj/ D 2 bj

C .cos '

C

1 sin '2
sin '1 cos '2/ j

D r

C

C

1 r 2Œcos.'1

'2/ C j sin.'1

'2/

26

1 Arithmetik

Teil
denn cos '

D

C

D

C

D

1 cos '2
sin '1 sin '2
cos.'1

'2/ und Komplexe Zahlen z 1
r 1.cos '1
j sin '1/ und z 2
cos '

C

D

C

C

1 sin '2
sin '1 cos '2
sin.'1

'2/.

r 2.cos '2
j sin '2/ in trigonometrischer Form werden dividiert,

I
indem man die Moduln ( r 1 und r 2) dividiert und die Argumente

Beispiele

('1 und '2) subtrahiert.

1. z D

D

1

3.cos 20ı C j sin 20ı/, z 2

7.cos 65ı C j sin 65ı/

) z

D

1
z 2

3.cos 20ı C j sin 20ı/ 7.cos 65ı C
z

C

1
r 1.cos '1
j sin '1/
j sin 65ı/ D 21.cos 85ı C j sin 85ı
p/

D
z
r

C j sin '

2. z D

2

2.cos '2

2/

1

5.cos 30ı C j sin 30ı/ D 5 3 C 5 j;

2

2
p
z

D

C 13

2

13.cos 60ı C j sin 60ı/ D 13

3 j (denn

D r 1 Œcos.' '

'

2

2
p

1

2/ C j sin.'1

2/
r
sin 30ı D cos 60ı D 1 und sin 60ı D cos 30ı D 1

3/.

2

2

2

Es folgt z

D

1
z 2

5.cos 30ı C j sin 30ı/ 13.cos 60ı C
j sin 60ı/ D 65
p .cos 90ı C j sin 90ı
p / D 65 j oder

Beweis:

z

D 5

13 C 13

1
z 2

3 C 5 j

3 j

2

2

2

2
p
p

D 65 3 65 3 C 653 C 65 j D 65 j.

J

4

4

4

4
z

C

1
r
j

D 1.cos '1
sin '1/
z

C

2
r 2.cos '2
j sin '2/
r .

C j
j

D 1 cos '1
sin '1/.cos '2
sin '2/
r

C

2 .cos '2
j sin '2/.cos '2
j sin '2/

1.10.5

Dividieren komplexer Zahlen

C

D r 1 cos '1 cos '2
sin '1 sin '2
r 2
sin2 ' C

2
cos2 '2

Komplexe Zahlen z D

C

D

C

1
a 1
b 1 j und z 2
a 2
b 2 j in alge-

C sin '1 cos '2
cos '1 sin '2
braischer Form werden dividiert, indem man mit der konjugiert
j
sin2 ' C

2
cos2 '2
komplexen Zahl des Nenners (Divisors) erweitert.

D r 1 Œcos.'

1'2/ C j sin.'1

'2/
r 2
z

C

C

1 D a 1
b 1 j D a 1 a 2 b 1 b 2 C b 1 a 2 a 1 b 2 j . z ¤

C

D

2

0/
denn cos '1 cos '2 sin '1 sin '2
cos.'1 '2/, sin '1 cos '2
z

C

2
a 2
b 2 j
a 2 C b 2
a 2 C b 2

2

2

2

2
cos '

D

1 sin '2
sin.'1

'2/ und sin2 ' C cos2 ' D 1.

Beweis:

Beispiele
z

C

C

1
a
b

. a
b
b

D 1

1 j D

1

1 j/. a 2

2 j/

4. z D 3.cos 20ı C j sin 20ı/, z D 7.cos 65ı C j sin 65ı/
z

C

C

1

2

2
a 2
b 2 j

. a 2
b 2 j/. a 2
b 2 j/

) z 2 D 7.cos65ıC j sin 65ı/ D 7 .

C

C .

cos 45ı C j sin 45ı/
z 1

3.cos 20ıC j sin 20ı/

3
p

D a 1 a 2
b 1 b 2
b 1 a 2
a 1 b 2/ j

5. z D 5.cos 30ı C j sin 30ı/ D 5 3 C 5 j,
a 2 C b 2

1

2

2p

2

2

C

z D

C 13

2

13.cos 60ı C j sin 60ı/ D 13

3 j

2

2

D a 1 a 2
b 1 b 2 C b 1 a 2 a 1 b 2 j

Es folgt
a 2 C b 2
a 2 C b 2

2

2

2

2
z

Der Quotient konjugiert komplexer Zahlen ist wieder eine kom-

1 D 5.cos 30ı C j sin 30ı/
plexe Zahl.

z 2

13.cos 60ı C j sin 60ı/

D 5 .cos.30ı/ C j sin.30ı//

13
z D a C bj D a 2 b 2 C 2 ab j . z ¤

D 5 .

N

0/
cos 30ı j sin 30ı/
z
a bj
a 2 C b 2
a 2 C b 2

13 p

p

D 5

1

3 1 j

D 5

3 5 j

13

2

2

26

26

Beispiele
oder

1. z 1 D 3C4 j D 35C4.2/ C 453.2/ j D 158 C 20C6 j
p
p
p
z 2

52 j

52C.2/2

52C.2/2

25C4

25C4
z

5

3 C 5 j

. 5 3 C 5 j/. 13 13 3 j/

D 7 C 26

1
j

D 2

2
p

D

2

2

2

2
p
p

29

29
z

13

2

C 13 3 j

. 13 C 13 3 j/. 13 13 3 j/

2. z D 2;4C0;9 j D .2;4/2.0;9/2 C

22;40;9

2

2

2

2

2

2

N
j
p
p
z

2;40;9 j

.2;4/2C.0;9/2

.2;4/2C.0;9/2

65

3 65 3 j C 65 j C 65

3
p

D 5;760;81 C

4;32
j D 4;95 C 4;32 j

D 4

4

4

4

D 5

3 5 j

5;76C0;81

5;76C0;81

6;57

6;57

169

26

26

3. 1 D 1. j/ D j.

J

J
j
j. j/

1.10

Komplexe Zahlen

27

1.10.6

Potenzieren komplexer Zahlen
imaginäre Achse
z

I

Ist n eine natürliche Zahl, so wird die n-te Potenz zn von z wie
r
üblich durch z 0 D 1, zn D zn1 z definiert.

Teil
w 2

Beispiele
φ
φ
k
φ 2
w

1. z 3 D . a C bj/2. a C bj/ D a 3 3 ab 2 C .3 a 2 b b 3/ j

1

2. z 4 D . a C bj/3. a C bj/
w k
φ
reelle Achse
n
n
φ 1

D Œ
r
a 3 3 ab 2 C .3 a 2 b b 3/ j. a C bj/

D a 4 6 a 2 b 2 C b 4 C .4 a 3 b 4 ab 3/ j.

J
w n

Abb. 1.5 Die n-ten Wurzeln w1; w2; : : : ; wk ; : : : ; wn einer komplexen Zahl z

Einfacher lässt sich das Potenzieren komplexer Zahlen in der
trigonometrischen Form durchführen. Mit Hilfe der Additions-
theoreme für die trigonometrischen Funktionen erhält man die

1.10.7

Radizieren komplexer Zahlen

Formel von Moivre.

p

Die n-te Wurzel n z einer komplexen Zahl z ist definiert als ei-
zn D Œ r.cos ' C j sin '/ n
ne komplexe Zahl w, deren n-te Potenz gleich z ist, also eine

Lösung der Gleichung wn D z.

D rn.cos n' C j sin n'/ . n 2 N/

Setzt man z D r.cos ' C j sin '/ und w D %.cos C j sin /,
dann folgt mit der Formel von Moivre wn D % n.cos n C

Eine komplexe Zahl in trigonometrischer Form wird also in
j sin n / und wegen wn D z D r.cos ' C j sin '/ weiter % n D r;
die n-te Potenz erhoben, indem man den Modul ( r) in die ent-
cos n D cos ', sin n D sin '. Aus % n D r ergibt sich
p
sprechende Potenz rn erhebt und das Argument (') mit dem

% D n r, während es für cos n D cos ', sin n D sin ' wegen

Exponenten n multipliziert.

cos ' D cos.' C 2 k/, sin ' D sin.' C 2 k/ genau n verschie-
dene Lösungen D 'C2. k1/
k

, k D 1; 2; 3; : : : ; n, gibt.

n

Beispiel

Somit gilt:

p

3. z D 5.cos 30ı C j sin 30ı/ D 5 3 C 5 j

2

2

Für n 2 N besitzt die Gleichung wn D z D r.cos ' C j sin '/

genau n verschiedene Lösungen w 1; w 2; : : : ; wn (die n-ten Wur-

5 p

4
z 4 D

3 C 5 j
zeln aus z/.

2

2
p

4
p

2

2

4

D 5

5

5

5

3

6

3

C
p

' C

' C

2

2

2

2

D

2. k 1/

2. k 1/
n

C

wk
r cos
j sin
p

3
p

3
n
n

C

5

5

5

4

3

5 4

3
j

2

2

2

2
k D 1; 2; : : : ; n

D 625 9 6 25 3 25 C 625

16

4 4

16

p
p

Die n-te Wurzel aus z ist also nicht eindeutig. Für k D 1 ergibt

C 4 125 3 3 5 4 5 3 125 j
sich der sogenannte Hauptwert w 1 der n-ten Wurzel.

8 2

2 8
p

D 625 C 625 3 j

2

2

Hauptwert

z 4 D Œ5.cos 30ı C j sin 30ı/4
p

'

'

w D n

C

1
r cos
j sin

D 54.cos 120ı C j sin 120ı/
n
n

D 54. sin 30ı C j cos 30ı/

p
p

Stellt man die n-ten Wurzeln w

D

3
k , k

D 1; 2; 3; : : : ; n in der

54 1 C 1

3 j

D 625 C 625
j

J

2

2

2

2

Gauß’schen Zahlenebene dar, so ergeben sich die Eckpunkte
eines regelmäßigen n-Ecks mit dem Mittelpunkt im Koordina-
tenursprung. Die Punkte liegen auf einem Kreis mit dem Radius
p

% D n

Die Moivre’sche Formel lässt sich durch vollständige Induktion
r. Der Hauptwert w 1 besitzt das Argument ' . Durch wie-
n
beweisen. Ihre Gültigkeit lässt sich schrittweise bis auf reelle
derholte Drehung um den Winkel 2 erhält man die weiteren
n

Exponenten ausdehnen.

Lösungen (Abb. 1.5).

28

1 Arithmetik

Teil
i

3. n D 4: z D w 4 D 1

I
w
w
w D 1.cos 0ı C j sin 0ı/ D 1

2

1

1

–1

0

1
w D

2

1.cos 90ı C j sin 90ı/ D j
w 2

D
w 2 = 1
i
w 3

1.cos 180ı C j sin 180ı/ D 1
w D

4

1.cos 270ı C j sin 270ı/ D j

J
w 1
w

0

1

2
i
w 3 = 1
w 3
w
w

3

1

1.10.8

Euler’sche Formel

–1

0

1
w 4 = 1
w 4

Die Euler’sche Formel für komplexe Zahlen z verknüpft die

–i

Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen mit-
einander (nach dem schweizerischen Mathematiker Leonhard

Abb. 1.6 Die n-ten Einheitswurzeln für n D 2, n D 3 und n D 4

Euler, 1707–1783). Dabei ist e die Euler’sche Zahl (vgl. Ab-
schn. 1.7).

Beispiel
ejz D cos z C j sin z;
z 2 C
z D 2;985984.cos 60ı C j sin 60ı/ D .1;2/6.cos 60ı C
j sin 60ı/, n D 6
p
q

Wegen n r D 6 .1;2/6 D 1;2 und ' D 60ı D 10ı lauten

Für reelle Zahlen x (die reellen Zahlen sind eine Teilmenge der
n

6
komplexen Zahlen) gilt ejx D cos x C j sin x.

die sechsten Wurzeln aus z:

w D

Setzt man x D ', dann erhält man die sogenannte Exponential-

1

1;2.cos 10ı C j sin 10ı/;
form der komplexen Zahlen.

w D

2

1;2.cos 70ı C j sin 70ı/
w D

3

1;2.cos 130ı C j sin 130ı/;
w D

4

1;2.cos 190ı C j sin 190ı/
z D r.cos ' C j sin '/ D rej'

w D

5

1;2.cos 250ı C j sin 250ı/;
w D

6

1;2.cos 310ı C j sin 310ı/

J

Dabei ist r der Modul und ' das Argument der komplexen

Zahl z.

Die n-ten Wurzeln aus z D 1 sind die sogenannten n-ten Ein-

Für das Produkt und den Quotienten zweier komplexer Zahlen
heitswurzeln (Abb. 1.6).

z D

D

1
r 1 ej'1 und z 2
r 2 ej'2 ergibt sich
n-te Einheitswurzeln
z

D

1
z 2
r 1 ej'1 r 2 ej'2 D r 1 r 2 ej.'1C'2/

Lösungen von wn D z D 1
z 1 D r 1 ej'1 D r 1 ej.'1'2/ . z ¤

2

0/
z 2
r 2 ej'2
r 2

Beispiele

Beispiel für eine komplexe Zahl in verschiedenen Formen

1. n D 2: z D w 2 D 1
w D

p

1

1.cos 0ı C j sin 0ı/ D 1;

1

3
w D

2

1.cos 180ı C j sin 180ı/ D 1
z D 2

C
j

2. n D 3: z D w 3 D 1

2

2
p
w D

1

1.cos 0ı C j sin 0ı/ D 1

D 1 C 3 j

(algebraische Form)

w D

2

1.cos 120ı C j sin 120ı/
p

D 1. cos 60ı C j sin 60ı/ D 1 C 1 3 j

D 2 cos

C j sin

(trigonometrische Form)

2

2
w D

3

3

3

1.cos 240ı C j sin 240ı/
p

D 1. cos 60ı j sin 60ı/ D 1 1 3 j

D 2 ej 3

(Exponentialform)

J

2

2

I

Gleichungen

Teil

2

Arnfried Kemnitz

2.1

Gleichungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2

Äquivalente Umformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.3

Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.4

Proportionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.5

Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.6

Algebraische Gleichungen höheren Grades . . . . . . . . . . . . . .

37

2.7

Auf algebraische Gleichungen zurückführbare Gleichungen . . . .

43

2.8

Transzendente Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.9

Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

29

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_2

30

2 Gleichungen

Teil

2.1

Gleichungsarten

Eine Bestimmungsgleichung ist eine Gleichung, in der Variable

(Unbekannte) auftreten, die durch eine Rechnung bestimmt wer-

I
den sollen. Mit Hilfe zulässiger Rechenoperationen sollen alle

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen,

Werte der Variablen aus dem zugrunde liegenden Zahlenbereich

Variablen, Rechenzeichen (mathematischen Operationen) und
bestimmt werden, für die die Gleichung erfüllt ist. Man nennt
möglicherweise noch anderen mathematischen Symbolen (zum
diese Werte Lösungen oder auch Wurzeln der Gleichung. Alle

Beispiel Funktionswerten) besteht.

Lösungen zusammen bilden die Lösungsmenge L der Bestim-
mungsgleichung. Eine Gleichung hat keine, eine oder mehrere

Will man ausdrücken, dass ein Term T 1 zu einem anderen Term

Lösungen.

T 2 äquivalent (gleichwertig) ist, so schreibt man

Eine Bestimmungsgleichung ist also nur für einige spezielle

Werte der Variablen erfüllt.

Gleichung

T D

1

T 2

Beispiele für Bestimmungsgleichungen

1: x C 2 D 3

Eine solche Darstellung heißt Gleichung. Die linke Seite der

Lösung: x D 1

Gleichung ist T 1, die rechte Seite der Gleichung ist T 2.

Lösungsmenge: L D f1g

Mit Hilfe von Gleichungen lassen sich quantitative Beziehun-

2: x C 2 D x C 3
gen in Natur und Technik beschreiben. Meist liegen jedoch in
der Praxis auftretende Aufgaben nicht in Form von Gleichungen

Keine Lösung
zwischen Termen vor, sondern sie werden als Textgleichun-

Lösungsmenge: L D f g D ;
gen mit Worten beschrieben. Daraus muss dann durch eine

3: 2 x C 1 D x 2 2

Übersetzung in die formale Sprache der Mathematik eine ma-
thematische Beziehung hergestellt werden.

Lösungen: x D 3 und x D 1

Lösungsmenge: L D f1; 3g

Die Überlegenheit der mathematischen Symbolik zeigt folgen-
des Beispiel:

4: 5 x 2 5 D x 3 x

Textgleichung: Den Umfang eines Kreises berechnet man, in-

Lösungen: x D 5; x D 1 und x D 1
dem man das Produkt aus dem Verhältnis von Umfang eines

Lösungsmenge: L D f1; 1; 5g
p
beliebigen Kreises zu seinem Durchmesser ( U D ) und dem
d

5: 11
x C 3 D 6

Kreisradius ( r) mit 2 multipliziert (vgl. Abschn. 3.9).

Lösung: x D 22

Termgleichung:

u

D

Kreis

2 r

Lösungsmenge: L D f22g

6: 3 x D 4 x2 2 x

Man unterscheidet drei verschiedene Arten von Gleichungen:

1. Identische Gleichungen

Lösung: x D

4 log 2

2;826780

3 log 2 log 3

2. Bestimmungsgleichungen

3. Funktionsgleichungen

4 log 2

Lösungsmenge: L D

3 log 2 log 3

Eine identische Gleichung oder Identität ist eine Gleichung

7:

lg.6 x C 10/ lg. x 3/ D 1
zwischen zwei algebraischen Ausdrücken, die bei Einsetzen
beliebiger Zahlenwerte anstelle der darin aufgeführten Buchsta-

Lösung: x D 10
bensymbole erhalten bleibt.

Lösungsmenge: L D f10g

8:

sin2 x 1 D 0;5

Beispiele für identische Gleichungen (Identitäten)

Lösung: x D 45ı C k 180ı; k 2 Z

1. a. b C c/ D ab C ac

Lösungsmenge: L D f x j x D 45ı C k 180ı; k 2 Zg

J

2. . a C b/. c C d/ D ac C ad C bc C bd

3. . a C b/2 D a 2 C 2 ab C b 2

4. a C c D ad C bc
b
d
bd

Die Bestimmungsgleichungen werden unterteilt in die algebrai-

5. anam D an C m
p p
p
schen Gleichungen und in die transzendenten Gleichungen.

6.

n c n d D n cd

In einer algebraischen Gleichung werden mit der oder den Va-

7. log . xy/ D log x C log y
a
a
a
riablen nur algebraische Rechenoperationen vorgenommen; sie

8. ejx D cos x C j sin x

J
werden addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert, potenziert
oder radiziert. Sowohl die auftretenden Zahlen (Koeffizienten

2.2

Äquivalente Umformungen

31
genannt) als auch die Lösungen können aber transzendente Zah-
einfacher zu lösen ist. Eine solche Umformung heißt äquivalent.

I
len sein. Jede algebraische Gleichung mit genau einer Variablen

Man nennt auch die beiden Gleichungen äquivalent (gleichwer-
x lässt sich in der allgemeinen Form
tig).

Teil

Bei den zulässigen Rechenoperationen ist darauf zu achten, dass
sie gleichzeitig auf beiden Seiten einer Gleichung durchgeführt
a

D
nxn C an1 xn1 C an2 xn2 C : : : C a 1 x C a 0

0
werden, zum Beispiel die Addition einer Konstanten oder die

Multiplikation mit einer Konstanten.

schreiben. Die Zahlen a

Grundregeln für äquivalente Umformungen:

n, an1, an2, . . . , a 1, a 0 heißen Koeffizi-
enten (Beizahlen) der Gleichung. Sie stehen für beliebige reelle

Addition einer Zahl (hier a) auf beiden Seiten einer Gleichung
oder komplexe Zahlen.

Ist xn die höchste auftretende Potenz der Variablen x, so heißt
die Gleichung vom Grad n.

x a D b
j C a

Algebraische Gleichungen vom Grad 1 heißen auch lineare
x D b C a

Gleichungen, Gleichungen vom Grad 2 quadratische Gleichun-
gen und Gleichungen vom Grad 3 kubische Gleichungen.

Der sogenannte Fundamentalsatz der Algebra sagt aus, dass jede

Subtraktion einer Zahl (hier a) von beiden Seiten einer Glei-
algebraische Gleichung n-ten Grades genau n (reelle oder kom-
chung
plexe) Lösungen (Wurzeln) besitzt.

Alle Bestimmungsgleichungen, die nicht algebraisch sind, hei-
ßen transzendent (deutsch: übersteigend). Sie haben ihren Na-
x C a D b
j a
men daher, dass sie im Allgemeinen schwieriger aufzulösen sind
als die algebraischen Gleichungen. Sie erfordern Auflösungs-
x D b a
methoden, die die Mittel der Algebra übersteigen.

Beispiele für transzendente Gleichungen sind Exponentialglei-

Multiplikation beider Seiten einer Gleichung mit der gleichen
chungen, logarithmische Gleichungen und trigonometrische

Zahl (hier mit a); Bedingung: a ¤ 0

Gleichungen.

Bei den ersten fünf Beispielen handelt es sich um algebraische

Bestimmungsgleichungen, bei den letzten drei Beispielen um
x D b j a
transzendente Gleichungen.

a

Eine Funktionsgleichung dient dazu, eine Funktion zu definie-
x D b a
ren. Eine Funktion beschreibt den Zusammenhang zwischen
verschiedenen veränderlichen Größen. Eine Funktionsgleichung
enthält in der Regel zwei oder mehr Variable, die durch die Glei-

Division beider Seiten einer Gleichung durch die gleiche Zahl
chung einander zugeordnet werden.

(hier durch a); Bedingung: a ¤ 0

Funktionen werden ausführlich im Kap. 5 behandelt.

Beispiele für Funktionsgleichungen
ax D b
j W a

1. y D 2 x C 1
x D b
a

2. y D x 2 C x 5p

3. y D 2 x 2 x 3 x C 4

4. y D sin x

5. y D 2 x 5 x C 1.

J

Beispiele

1.

5 x 6 D 29
j C 6 (Addition auf beiden Seiten)

5 x D 35
j W 5 (Division auf beiden Seiten)

2.2

Äquivalente Umformungen
x D 7

Oft ist es möglich, eine gegebene Gleichung durch zulässige

Alle Gleichungen sind äquivalent mit der Lösungs-

Rechenoperationen in eine Gleichung zu überführen, die die
menge L D f7g.

gleiche Lösungsmenge wie die Ausgangsgleichung besitzt, aber

32

2 Gleichungen

Teil

2.3

Lineare Gleichungen

2.

I

5 x 20 D 60 11 x j C 11 x (Addition auf beiden Seiten)

16 x 20 D 60
j C 20 (Addition auf beiden Seiten)

Eine lineare Gleichung oder Gleichung ersten Grades ist eine
algebraische Gleichung, in der die Variable x in keiner höheren

16 x D 80
j W 16

(Division auf beiden Seiten)

als der ersten Potenz vorkommt.

x D 5

Jede lineare Gleichung lässt sich durch äquivalente Umformun-

Alle vier Gleichungen sind äquivalent mit der Lö-
gen überführen in die äquivalente Gleichung
sungsmenge L D f5g.

3.

2 1 D 1
j x. x 1/. x C 2/
x
x 1
x C 2

. x ¤ 0; 1; 2/
ax C b D 0;
a ¤ 0

2. x 1/. x C 2/ x. x C 2/ D x. x 1/ (Hauptnenner)

2. x 2 C x 2/ . x 2 C 2 x/ D x 2 x

Diese Gleichung heißt allgemeine Form der linearen Gleichung.

x 2 4 D x 2 x
j x 2 C x

Durch Division durch a ¤ 0 erhält man die sogenannte Normal-
x 4 D 0
j C 4
form der linearen Gleichung.

x D 4

Alle Gleichungen sind äquivalent mit der Lösungs-
b
b
menge L D f4g.

x C

D x C c D 0; c D
a
a

4.

4 x 2 x C 3 D 6 x 2 C x 1
j .4 x 2 x C 3/

0 D 6 x 2 C x 1 4 x 2 C x 3

Die Lösung der linearen Gleichung ist x D c D b . Für die
a

0 D 2 x 2 C 2 x 4
j W 2

Lösungsmenge gilt also: L D f c g D f b g.

a

0 D x 2 C x 2
j Vertauschen der Seiten

Allgemeines Verfahren zur Bestimmung der Lösung: Man „ be-
x 2 C x 2 D 0
seitigt“ zunächst alle Klammern und Brüche und ordnet dann

Berechnen der Lösungen der quadratischen Glei-
die Glieder so, dass alle Glieder mit der Variablen x links vom
chung:

Gleichheitszeichen und alle anderen rechts davon stehen:

r1
x

D 1 ˙

C

˙ 3
a. bx C c/ D d. ex C f /

1;2

2 D 1

2

4

2

2
abx C ac D dex C df

)

x D

D

1

1; x 2

2
abx dex D df ac

Alle Gleichungen sind äquivalent mit der Lösungs-
x. ab de/ D df ac
menge L D f1; 2g.

5.

p
x D df ac
x C 8 D x C 2
j Quadrieren
ab de
x C 8 D . x C 2/2
j Klammer „beseitigen“

( ab ¤ de ist Bedingung, denn durch 0 darf nicht dividiert wer-
x C 8 D x 2 C 4 x C 4
j . x C 8/
den.)

0 D x 2 C 3 x 4
j Vertauschen der Seiten
x 2 C 3 x 4 D 0

Beispiel

Berechnen der Lösungen der quadratischen Glei-

3. x C 2/ D 5.2 x C 9/
chung:

r

3 x C 6 D 10 x C 45

9
x

D 3 ˙

C

˙ 5

3 x C 10 x D 45 6

1;2

4 D 3

2

4

2

2

)

13 x D 39
x D

D

1

1; x 2

4
x D 3
x

D

1

1 erfüllt die Ausgangsgleichung wegen
p1 C 8 D 1 C 2, dagegen ist x D

2

4 keine Lö-
p

Probe:

sung der Ausgangsgleichung, denn es ist

4 C 8 ¤

3.3 C 2/ D 5.6 C 9/

4 C 2.

Somit:

Das

Quadrieren
ist
keine
äquivalente

3 5 D 5 3

Umformung!

J

15 D 15

J

2.4

Proportionen

33

Grundsätzlich sollte eine Probe durchgeführt werden. Dabei ist

Die Proportion a W b D c W d lässt sich verschieden umformen.

I
jede Seite der Gleichung einzeln auszurechnen. Der berechne-

Äquivalente Formen sind
te Wert für x sollte stets in die Ausgangsgleichung eingesetzt
werden.

Teil

Fehlerwarnung: Nach Einsetzen der Lösung sollen nicht die
d W c D b W a
gleichen Umformungen wie bei der Hauptrechnung vorgenom-
a W c D b W d
men werden, da sonst leicht ein möglicher Fehler wiederholt
werden kann.

d W b D c W a
b W a D d W c

2.4

Proportionen
a d D b c

Eine Sonderstellung unter den linearen Gleichungen mit einer

Aus der Proportion a W b D c W d lassen sich weitere Propor-

Variablen nehmen die Proportionen wegen ihrer vielseitigen An-
tionen ableiten, etwa durch Addition oder Subtraktion von 1 auf
wendbarkeit ein.

beiden Seiten. Man nennt ein solches Umformen der Proportion

Eine Proportion ist eine Verhältnisgleichung
korrespondierende Addition oder korrespondierende Subtrakti-
on (Bedingung in allen Fällen: Nenner ungleich 0).

a W b D c W x
a C b D c C d
a

D
c
b
d
a C b
c C d
oder mit x D d.

a b D c d
a

D
c
b
d
a b
c d
a W b D c W d

Dies sind Sonderfälle des allgemeinen Gesetzes der korrespon-
dierenden Addition und Subtraktion. Aus a W b D c W d folgt für
und in Bruchschreibweise
beliebige reelle Zahlen p; q; r; s ( r und s dürfen nicht gleichzei-
tig 0 sein)

a D c
b
d
pa C qb
pc C qd

D
ra C sb
rc C sd

(gesprochen: a verhält sich zu b wie c zu d).

Treten in einer Proportion gleiche Innenglieder oder gleiche Au-

Beispiele
ßenglieder auf, so heißt die Proportion stetig. Im Fall gleicher

Innenglieder, also a W b D b W c, nennt man b mittlere Proportio-

3.

nale.

5 D 5 C x

Sind von den Gliedern einer Proportion drei bekannt, dann lässt

4
x
sich die vierte Proportionale berechnen. Sind zum Beispiel a, b,

Nenner vom Zähler subtrahieren (korrespondierende
c bekannt und d gesucht, so gilt d D bc .

a

Subtraktion):

Beispiele

5 4 D 5 C x x

4
x

1. Welche Kraft F dehnt eine Feder um 4 cm, wenn die

Kraft 3 N (Newton) eine Dehnung um 2 cm bewirkt?

Vereinfachen:

Ansatz ( Hooke’sches Gesetz): F W 4 cm D 3 N W 2 cm

1

Auflösung nach F: F D 4 cm3 N D 6 N

D 5

2 cm

Antwort: Die Kraft 6 N bewirkt die Dehnung um 4 cm.

4
x

2. Wie weit kommt ein Flugzeug in 2 1 Stunden, wenn es

2

Nach x auflösen (Multiplikation der Gleichung mit

10 km in 45 s zurücklegt?

4 x):

Ansatz ( Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit):

x W 9000 s D 10 km W 45 s
x D 20

Auflösung nach x: x D 9000 s10 km D 2000 km

45 s

Antwort: Das Flugzeug fliegt 2000 km weit.

J

Die Lösung ist x = 20, wie die Probe bestätigt.

34

2 Gleichungen

Teil

Durch Division durch a ¤ 0 erhält man die sogenannte Normal-

4.

form der quadratischen Gleichung (mit p D b , q D c ).

a
a

I

5 x W .4 x/ D 30 W 9

In Bruchschreibweise:

Normalform

5 x

D 30
x 2 C px C q D 0

4 x

9

Addition von 1 des Zählers zum Nenner (korrespon-

5
dierende Addition):

2.5.2

Lösungsverfahren

5 x

D

30

4 x C 5 x

9 C 30

5

5

2.5.2.1

Normalform

Vereinfachen:

Die Lösungen der Normalform x 2 C px C q D 0 der quadrati-

5 x D 30 .D
schen Gleichung bestimmt man mit der Methode der „quadrati-

2/

4

15
schen Ergänzung“. Zunächst bringt man q auf die rechte Seite
der Gleichung, das heißt, von beiden Seiten der Gleichung wird

Multiplikation mit 4 :

5
q subtrahiert. Auf beiden Seiten addiert man dann die quadrati-
sche Ergänzung . p /2 des Terms x 2 C px. Damit wird die linke

2
x D 8

Seite der Gleichung zu einem „vollständigen Quadrat“ (binomi-

5
sche Formel). Durch Radizieren und anschließender Subtraktion
von p ergeben sich dann die Lösungen x

Die Lösung ist x D 8 .

2

1 und x 2 der Gleichung.

5

Probe:

Bestimmung der Lösungen:

5 85 D 30
x 2 C px C q D 0

4 8

9

5
x 2 C px D q

,

8 D 10

p 2
p 2

2 2

3

D

5
x 2 C px C
q

2

2

, 8 5 D 10

2

2

12

3
p
p
x C

D
q

2

2

,

10 D 10

J

3

3

2
x C p

D p 2 q

2

4r
p
p 2
x C

D ˙
q

2.5

Quadratische Gleichungen

2

4 r
p
p 2
x D

˙
q

2

4

2.5.1

Definitionen

Daraus ergibt sich

Eine quadratische Gleichung oder Gleichung zweiten Grades ist
r
r
p
p 2
p
p 2
eine algebraische Gleichung, in der die Variable x in keiner hö-
x D

C

D

1
q;
x 2
q
heren als der zweiten Potenz vorkommt.

2

4

2

4

Jede quadratische Gleichung lässt sich durch äquivalente Um-
formungen überführen in die Gleichung

Normalform

Gleichung:

x 2 C px C q D 0

Allgemeine Form
r p 2

Lösungen:

x D p C
q
ax 2 C bx C c D 0;
a ¤ 0

1

2

4
r p 2
x D p

2
q

Diese Gleichung heißt allgemeine Form der quadratischen Glei-

2

4
chung.

2.5

Quadratische Gleichungen

35
q

Die Lösungen der Normalform lassen sich auch mit Hilfe der

Die Gleichung x

D p ˙
p 2

1;2
q für die Lösungen nennt

2

4

I

Diskriminante schreiben.

man auch . p; q/-Formel.

Teil

. p; q/-Formel

Normalform
r p 2

Gleichung:

x 2 C px C q D 0
x

D p ˙

1;2
q
p

2

4

Lösungen:

x

D p ˙

1;2

D

2

Beispiele

D D p 2 q

4

1. (ausführlich)

Der Wert der Diskriminante D bestimmt die Anzahl der reellen
x 2 C 12 x C 35 D 0

Lösungen der quadratischen Gleichung.

x 2 C 12 x D 35

Für D > 0 existieren zwei reelle Lösungen x
x 2 C 12 x C 62 D 35 C 62

1 und x 2 , für

D D 0 gibt es eine reelle Lösung (Doppellösung x D

1
x 2), für

. x C 6/2 D 1

D < 0 hat die quadratische Gleichung keine reelle Lösung, es
x C 6 D ˙1
existieren zwei komplexe Lösungen x 1 und x 2 ( x 1 und x 2 sind
konjugiert komplex zueinander).

x D 6 ˙ 1

Lösungen: x D

D

1

6 C 1 D 5, x 2

6 1 D 7.

Beispiele

Es sind zwei Proben durchzuführen!

2. (mit . p; q/-Formel)

3.

2 x 2 10 x C 12 D 0

(allgemeineForm)

25 x 2 C 13 D 70 x
x 2 5 x C 6 D 0

(Normalform)

Sortieren und Dividieren durch 25 zum Beschaffen der
p 2

Normalform:

p D 5; q D 6

)

D D
q D 25 6 D 1

4

4

4

D > 0

)

zwei reelle Lösungen
x 2 14 x C 13 D 0

)

p D 14 und q D 13

5

25

5

25

Lösungen:

Einsetzen in die . p; q/-Formel ergibt die Lösungen:

r
p
s
p
p 2
p

r
x

D ˙

˙

1;2
q D

D

7 2

36

2

4

2
r
x D 7 C

13 D 7 C

1

5

5

25

5

25

D 5 ˙

1 D 5 ˙ 1

2

4

2

2

D 7 C 6 D 13 ;

5

5

5

)

x D 5 C 1 D

D 5 1 D

1

3;
x 2

2

2

2

2

2
x D 7 6 D 1

2

5

5

5

4.

9 x 2 C 18 x 9 D 0 (allgemeine Form)

Es sind zwei Proben durchzuführen!

J
x 2 2 x C 1 D 0

(Normalform)

Den Radikanden in der . p; q/-Formel nennt man die Diskrimi-
p D 2; q D 1

)

D D p 2 q D 4 1 D 0

4

4
nante D der Normalform der quadratischen Gleichung.

D D 0

)

Doppellösung x D

1
x 2

Lösung:

Diskriminante der Normalform
p 2

2

D D
q
x D

D

D

1
x 2

1

4

2

36

2 Gleichungen

Teil

Die Lösungen der allgemeinen Form lassen sich auch mit Hilfe

5.

der Diskriminante schreiben.

I

3 x 2 36 x C 120 D 0

(allgemeine Form)

x 2 12 x C 40 D 0

(Normalform)

Allgemeine Form
p D 12; q D 40
p 2

.

Gleichung:

ax 2 C bx C c D 0;
a ¤ 0

)

12/2

D D
q D

40

4

4
p

Lösungen:

x

D 1 . b ˙

N D/;

D 144

1;2

40 D 16 D 4

2 a

4

4

D < 0

)

zwei konjugiert komplexe Lösungen

N D D b 2 4 ac

Lösungen:

Auch hier bestimmt der Wert der Diskriminante N

D die Anzahl

12
p
x

D

˙
der reellen Lösungen der quadratischen Gleichung.

1;2

4

2p
p

D 6 ˙ 4 D 6 ˙ 2 1 D 6 ˙ 2 j

Für N

D > 0 gibt es zwei reelle Lösungen x 1 und x 2, für N D D 0

D

)

gibt es eine reelle Doppellösung ( x 1
x 2), und für N

D < 0 gibt
x D

D

1

6 C 2 j;
x 2

6 2 j

J
es keine reelle Lösung, sondern zwei konjugiert komplexe Lö-
sungen x 1 und x 2.

2.5.2.2

Allgemeine Form

Beispiel

Die Lösungen der allgemeinen Form ax 2 C bx C c D 0 erhält
man durch Setzen von p D b , q D c in der . p; q/-Formel.

2. 3 x 2 18 x C 42 D 0
a
a
a D 3, b D 18, c D 42 ) N

D D .18/2 4 3 42 D

324 504 D 180 < 0

Allgemeine Form

N D < 0 ) zwei konjugiert komplexe Lösungen

Gleichung:

ax 2 C bx C c D 0;
a ¤ 0

Lösungen:

p
p

Lösungen:

x D 1

D 1

1

. b C b 2 4 ac/;
x 1;2

.18 ˙

180/

2 a

6
p
p
p
x D 1

D 1 .

2

. b b 2 4 ac/

18 ˙

36 .5// D 3 ˙

5

2 a

6
p
p

)

x D

D

1

3 C

5 j;
x 2

3

5 j

J

Beispiel

1. 2 x 2 10 x C 12 D 0
a D 2, b D 10, c D 12

2.5.2.3

Zerlegung in Linearfaktoren

Lösungen:

Sind x 1 und x 2 die (nicht unbedingt verschiedenen) Lösungen
p
der quadratischen Gleichung ax 2 C bx C c D 0, a ¤ 0, dann kann
x D 1

1

..10/ C .10/2 4 2 12/
der quadratische Ausdruck in Linearfaktoren zerlegt werden.

4
p

D 1 .10 C 100 96/ D 1 .10 C 2/ D 3;

4

4
ax 2 C bx C c D a. x x 1/. x x 2/ D 0
x D 1

2

.10 2/ D 2

J

4

Die Faktoren x x 1 und x x 2 heißen linear, weil die Variable x

Den Radikanden in der Lösungsformel nennt man die Diskrimi-
nur in erster Potenz, also linear auftritt.

nante N

D der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung.

Da ein Produkt genau dann gleich 0 ist, wenn mindestens einer
der Faktoren gleich 0 ist, ergeben sich auch hieraus wieder die

Diskriminante der allgemeinen Form

Lösungen x 1 und x 2.

N D D b 2 4 ac

Man nennt a. x x 1/. x x 2/ D 0 auch Produktform der quadra-
tischen Gleichung.

2.6

Algebraische Gleichungen höheren Grades

37

Beispiele

I

3. Welche quadratische Gleichung hat die Lösungen

1. 2 x 2 6 x D 0
x D

D

1

5 und x 2

3?

Nach dem Satz von Viëta folgt:

Teil

Zerlegung in Linearfaktoren: 2 x 2 6 x D 2 x. x3/ D 0

Lösungen: x D

D

1

0, x 2

3

2. x 2 x 6 D 0
p D . x C

1
x 2/ D .5 3/ D 2;

Zerlegung in Linearfaktoren:

q D x

D

1 x 2

5 .3/ D 15
x 2 x 6 D . x 3/. x C 2/ D 0

Lösungen: x D

1

3 (denn x 3 D 0 für x D 3),

Antwort: Die Normalform der gesuchten quadrati-
x D

2

2 (denn x C 2 D 0 für x D 2).

J
schen Gleichung ist x 2 2 x 15 D 0.

J

Hinweis: Der Satz von Viëta lässt sich auch für die Probe an-
wenden!

2.5.3

Satz von Viëta für quadratische

Gleichungen

2.6

Algebraische Gleichungen

Die Produktform der quadratischen Gleichung x 2 C px C q D 0
höheren Grades
in Normalform lautet . x x 1/. x x 2/ D 0. Ausmultiplizieren
und Vergleich ergibt

.

2.6.1

Kubische Gleichungen
x x 1/. x x 2/ D 0
x 2 xx

D

2
x 1 x C x 1 x 2

0

Die allgemeine Form einer kubischen Gleichung lautet
x 2 . x C

D

1
x 2/ x C x 1 x 2

0
x 2 C px C q D 0

Allgemeine Form
also die Beziehungen p D . x C

1
x 2/, q D x 1 x 2. Der Koeffizient
ax 3 C bx 2 C cx C d D 0;
a ¤ 0
p von x ist somit gleich der negativen Summe der beiden Lösun-
gen, das Absolutglied q der quadratischen Gleichung ist gleich
dem Produkt der Lösungen. Diese Beziehungen nennt man den

Die Normalform erhält man aus der allgemeinen Form durch

Satz von Viëta für quadratische Gleichungen (nach dem franzö-

Division durch a ¤ 0 und Setzen von b D r, c D s, d D t.

sischen Mathematiker François Viëta, 1540–1603).

a
a
a

Normalform

Satz von Viëta
x 3 C rx 2 C sx C t D 0
p D . x C

1
x 2/;
q D x 1 x 2

Dabei sind a; b; c; d und somit auch r; s; t reelle (oder komplexe)

Beispiele

Koeffizienten.

„Kubisch“ bedeutet, dass die Variable x in keiner höheren als

1. Die quadratische Gleichung x 2 5 x C 6 D 0 mit p D
der dritten Potenz vorkommt. Deshalb nennt man kubische Glei-

5, q D 6 hat die Lösungen x D

D

1

3, x 2

2. Es gilt:

chungen auch Gleichungen dritten Grades.

p D 5 D .3 C 2/ D . x C

Mit Hilfe der sogenannten Cardani’schen Formel lassen sich

1
x 2/;
die Lösungen exakt berechnen. Es gibt entweder drei reelle Lö-
q D 6 D 3 2 D x 1 x 2
sungen oder eine reelle Lösung und zwei konjugiert komplexe

Lösungen.

2. Die quadratische Gleichung x 2 12 x C 40 D 0 mit
p D 12, q D 40 hat die Lösungen x D

1

6 C 2 j,

In Spezialfällen führen oftmals einfachere Methoden zum Ziel.

x D

2

6 2 j (siehe oben). Es gilt:

Sind x 1; x 2; x 3 die Lösungen der kubischen Gleichung ax 3 C
bx 2 C cx C d D 0, dann gilt
p D 12 D .6 C 2 j C 6 2 j/ D . x C

1
x 2/;
q D 40 D 36 C 4

D 36 4 j 2 D .6 C 2 j/.6 2 j/ D x 1 x 2
ax 3 C bx 2 C cx C d D a. x x 1/. x x 2/. x x 3/ D 0

38

2 Gleichungen

Teil

Man nennt dies Produktform der kubischen Gleichung oder Zer-
legung in Linearfaktoren.

Lösung x1 bekannt

I

Ist t D 0 in der Normalform (für die allgemeine Form ist die

Gleichung: x 3 C rx 2 C sx C t D . x x 1/. x 2 C ux C v/ D 0

Methode ganz analog), also x 3 C rx 2 C sx D 0, dann erhält man

Lösungen: x
durch Ausklammern von x die Gleichung x. x 2 C rx C s/ D 0.

1
r

Neben der reellen Lösung x D

1

0 sind die Wurzeln der quadra-
u 2
tischen Gleichung x 2 C rx C s D 0 die weiteren Lösungen.

x D u C

2
v

2

4
r
u
u 2
x D

v

Sonderfall

3
t D 0

2

4

Gleichung:

x 3 C rx 2 C sx D 0

Lösungen:

x D

1

0
r

Beispiele
r 2
x D r C

2
s

2

4

2. x 3 6 x 2 x C 6 D 0
r

Eine Lösung dieser kubischen Gleichung ist x D

1

1
r
r 2
x 3 D

s

(erhält man durch Probieren).

2

4

Division von x 3 6 x 2 x C 6 durch x 1:

. x 3 6 x 2 x C 6/ W . x 1/ D x 2 5 x 6

Fehlerwarnung: Durch Division durch x geht die Lösung x D 0

. x 3 x 2/
verloren!

5 x 2 x

.5 x 2 C 5 x/

Beispiel

6 x C 6

1. x 3 x 2 2 x D 0

.6 x C 6/

Ausklammern von x: x. x 2 x 2/ D 0

0

Erste Lösung: x D

1

0

Die quadratische Gleichung x 2 x 2 D 0 hat die
q

Die Lösungen der quadratischen Gleichung x 2 5 x

Lösungen x

D 1 ˙

1

˙ 3

D

D

2;3

.2/ D 1

, also

6 D 0 sind x

6, x

1.

2

4

2

2

2

3
x D

D

Lösungen der kubischen Gleichung x 36 x 2 x C6 D 0

2

2, x 3

1

Lösungen der kubischen Gleichung x 3 x 2 2 x D 0
somit:

somit: x D

D

D
x D 1, x D 6, x D 1

1

0, x 2

2, x 3

1.

J

1

2

3

3. 4 x 3 12 x 2 C 11 x 3 D 0

Eine Lösung dieser Gleichung ist x D

1

1 (Probieren!).

Division von 4 x 3 12 x 2 C 11 x 3 durch x 1:

Ist eine Lösung x 1 von x 3 C rx 2 C sx C t D 0 bekannt, dann lässt
sich die kubische Gleichung durch Abspalten des Faktors x

.4 x 3 12 x 2 C 11 x 3/ W . x 1/ D 4 x 2 8 x C 3
x 1 reduzieren (auch diese Methode lässt sich für die allgemeine

.4 x 3 4 x 2/

Form anwenden).

8 x 2 C 11 x

. 8 x 2 C 8 x/
x 3 C rx 2 C sx C t D . x x

3 x 3

1/. x 2 C ux C v/ D 0

.3 x 3/

0

Dividiert man die linke Seite x 3 C rx 2 C sx C t der kubischen

Gleichung durch x x 1, so erhält man einen quadratischen Term

Die Lösungen der quadratischen Gleichung 4 x 2 8 x C
x 2 C ux C v. Die Wurzeln von x 2 C ux C v D 0 sind auch Lösungen

3 D 0 sind x D 3

D 1

2

, x

.

2

3

2
der kubischen Gleichung.

Lösungen der kubischen Gleichung x 36 x 2 x C6 D 0

Diese Methode heißt Reduktionsmethode, und die dabei durch-
somit:

D

D 3

D 1
geführte Division nennt man Polynomdivision (vgl. auch nächs-
x 1

1, x 2

, x

.

J

2

3

2
ten Abschnitt).

2.6

Algebraische Gleichungen höheren Grades

39

2.6.2

Polynomdivision

Beispiele zur Polynomdivision

I

1. P 3. x/ D x 3 6 x 2 x C 6 D 0, P 1. x/ D x 1

Ein Ausdruck der folgenden Form mit a 0; a 1; a 2; : : : ; an1,

Teil

. x 3 6 x 2 x C 6/ W . x 1/ D x 2 5 x 6
a 2

¤
n

R, an

0, n 2 N heißt Polynom in x.

. x 3 x 2/

5 x 2 x

Polynom

.5 x 2 C 5 x/

P

6 x C 6
n . x/ D anxn C an1 xn1 C : : : C a 2 x 2 C a 1 x C a 0

.6 x C 6/
n

X

D
akxk

0
k D0

Es gilt somit:

P 3. x/
x 3

D

6 x 2 x C 6 D x 2 5 x 6 D P 2. x/

P 1. x/
x 1

Das x in Klammern hinter Pn weist darauf hin, dass x die Va-
riable ist. Die Koeffizienten a

P 1. x/ D x 1 ist also ein linearer Faktor und P 2. x/ D

0; a 1; a 2; : : : ; an1; an dürfen dabei
beliebige reelle (oder auch komplexe) Zahlen sein.

x 2 5 x 6 ein quadratischer Faktor von P 3. x/ D x 3

6 x 2 x C 6.

Ein Polynom ist also die linke Seite der allgemeinen Form einer

2. P 3. x/ D 4 x 3 12 x 2 C 11 x 3, P 1. x/ D x 1
algebraischen Gleichung.

.4 x 3 12 x 2 C 11 x 3/ W . x 1/ D 4 x 2 8 x C 3

Ist dabei xn die höchste auftretende Potenz der Variablen x, so

.4 x 3 4 x 2/
hat das Polynom den Grad n.

8 x 2 C 11 x

Zwei Polynome sind gleich, wenn sie vom gleichen Grad sind

. 8 x 2 C 8 x/
und die entsprechenden Koeffizienten übereinstimmen.

3 x 3

. 3 x 3/

Beispiele für Polynome

0

Es gilt P 3. x/ D 4 x 3 12 x 2 C 11 x 3 D . x 1/.4 x 2

1. x 3 6 x 2 x C 6

8 x C 3/ D P 1. x/ P 2. x/.

(Polynom vom Grad 3)

P 1. x/ D x 1 ist ein linearer Faktor, P 2. x/ D 4 x 2

2. x 1

8 x C 3 ist ein quadratischer Faktor von P 3. x/ D 4 x 3

(Polynom vom Grad 1)

12 x 2 C 11 x 3.

3. x 5 1 x 4 C 2 x 3

3. P 4. x/ D 3 x 4 10 x 3 C 22 x 2 24 x C 10; P 2. x/ D x 2

3

(Polynom vom Grad 5)

2 x C 3

4. 0;34 x 9 24;3 x 6 C 22 x 5 1 x 4 C 11

.3 x 4 10 x 3 C 22 x 2 24 x C 10/ W . x 2 2 x C 3/

3

(Polynom vom Grad 9)

.3 x 4 6 x 3 C 9 x 2/

5. x 27 C 3

4 x 3 C 13 x 2 24 x

(Polynom vom Grad 27).

J

.4 x 3 C 8 x 2 12 x/

5 x 2 12 x C 10

.5 x 2 10 x C 15/

Die Division zweier Polynome Pn. x/ und Pm. x/ mit n m
verläuft ganz analog dem schriftlichen Dividieren von Dezi-

2 x 5
malzahlen. Dabei wird zuerst die höchste Potenz von x des

D 3 x 2 4 x C 5

Dividenden durch die höchste Potenz von x des Divisors geteilt.

Es gilt somit:

Ist der Quotient der Polynomdivision wieder ein Polynom, gilt

.3 x 4 10 x 3 C 22 x 2 24 x C 10/ W . x 2 2 x C 3/
also Pn. x/ D P

P
k . x/ mit einem Polynom Pk . x/, dann heißt Pm. x/

2 x 5
m. x/

D

Faktor des Polynoms P

3 x 2 4 x C 5 C
n. x/ oder genauer Faktor m-ten Grades
x 2 2 x C 3

(und Pk. x/ ist ein Faktor k-ten Grades von Pn. x/).

Also ist P 2. x/ D x 2 2 x C 3 kein Faktor von P 4. x/ D

Für m D 1 heißt P

3 x 4 10 x 3 C 22 x 2 24 x C 10.

J
m. x/ linearer Faktor, für m D 2 quadratischer

Faktor und für m D 3 kubischer Faktor von Pn. x/.

40

2 Gleichungen

Teil

Eine Zahl x 0 heißt Nullstelle des Polynoms Pn. x/, wenn

Auch für die Gleichungen vierten Grades existiert eine allge-

Pn. x 0/ D 0 gilt. Das Polynom Pn. x/ lässt sich dann durch
meine Lösungsformel. Diese ist aber noch wesentlich kompli-

I
x x 0 dividieren, x x 0 ist also ein linearer Faktor von Pn. x/. Es
zierter als die für die kubischen Gleichungen und wird deshalb
gibt dann ein Polynom ( n 1)-ten Grades Pn1. x/ mit Pn. x/ D hier weggelassen.

. x x 0/ Pn1. x/.

Eine Gleichung vierten Grades muss nicht unbedingt eine re-

Findet man eine Zerlegung P
elle Lösung besitzen. Im Bereich der komplexen Zahlen gibt
n . x/ D . x x 0/ m Pk. x/, wobei Pk. x/
ein Polynom mit P
es jedoch vier Lösungen. Dabei können Doppellösungen vor-
k . x 0/ ¤ 0 ist, dann heißt x 0 eine m-fache

Nullstelle von P
kommen. Komplexe Lösungen treten paarweise als konjugiert
n. x/, oder m heißt Vielfachheit der Nullstelle x 0.

komplexe Zahlen auf.

In Spezialfällen führen manchmal einfachere Methoden zum

P

Ziel.

n. x/ D . x x 0/ m Pk. x/

Sind x 1, x 2, x 3, x 4 die Lösungen der Gleichung vierten Grades
ax 4 C bx 3 C cx 2 C dx C e D 0, dann gilt

Ist x 0 eine reelle Zahl, dann nennt man x 0 eine reelle Nullstelle
des Polynoms.

ax 4 C bx 3 C cx 2 C dx C e

Beispiele

D a. x x 1/. x x 2/. x x 3/. x x 4/ D 0

1. P 3. x/ D x 3 3 x 2 C x 3 D . x 3/. x 2 C 1/ D

. x 3/ P 2. x/

Man nennt dies wieder Produktform oder Zerlegung in Linear-

Wegen P

D

2.3/ ¤ 0 ist x 0

3 eine einfache Nullstelle
faktoren.

des Polynoms P 3. x/ D x 3 3 x 2 C x 3.

2. P 3. x/ D x 3 3 x 2 C 3 x 1 D . x 1/3

Ist u D 0 in der Normalform (für die allgemeine Form ist die

Somit ist x D

0

1 eine dreifache Nullstelle des Poly-

Methode analog), also x 4 C rx 3 C sx 2 C tx D 0, dann erhält
noms P 3. x/ D x 3 3 x 2 C 3 x 1.

man durch Ausklammern von x die Gleichung x. x 3 C rx 2 C sx C

3. P

D

3 . x/ D x 3 3 x C 2 D . x 1/2. x C 2/
t/ D 0. Eine Lösung ist x 1

0, die weiteren Lösungen sind die

Es ist also x

D

0

1 eine doppelte Nullstelle und

Wurzeln der kubischen Gleichung x 3 C rx 2 C sx C t D 0.

x D

1

2 eine einfache Nullstelle von P 3. x/ D x 3

3 x C 2.

J

Beispiel

1. x 4 6 x 3 x 2 C 6 x D 0

Ausklammern von x: x. x 3 6 x 2 x C 6/ D 0

Erste Lösung: x D

1

0

2.6.3

Gleichungen vierten Grades

Die kubische Gleichung x 3 6 x 2 x C 6 D 0 hat die

Lösungen x D

D

D

2

1, x 3

6, x 4

1 (vgl. Beispiel 2
im Abschn. 2.6.1).

Die allgemeine Form einer Gleichung vierten Grades lautet

Lösungen der Gleichung vierten Grades x 4 6 x 3 x 2 C

6 x D 0 somit: x D

D

D

D

1

0, x 2

1, x 3

6, x 4

1.

J

Allgemeine Form
ax 4 C bx 3 C cx 2 C dx C e D 0;
a ¤ 0

Ist eine Lösung x 1 von x 4 C rx 3 C sx 2 C tx C u D 0 bekannt,
dann lässt sich die Gleichung durch Abspalten des Faktors x x 1
durch Polynomdivision reduzieren (diese sogenannte Reduk-

Die Normalform erhält man aus der allgemeinen Form durch
tionsmethode lässt sich auch wieder für die allgemeine Form

Division durch a ¤ 0 und Setzen von b D r, c D s, d D t,
anwenden):

a
a
a
e D u.

a
x 4 C rx 3 C sx 2 C tx C u

Normalform

D . x x 1/. x 3 C kx 2 C lx C m/ D 0
x 4 C rx 3 C sx 2 C tx C u D 0

Die Wurzeln der kubischen Gleichung x 3 C kx 2 C lx C m D 0

Dabei sind a; b; c; d; e und somit auch r; s; t; u reelle (oder kom- sind auch Lösungen der Gleichung vierten Grades x 4 C rx 3 C
plexe) Koeffizienten.

sx 2 C tx C u D 0.

2.6

Algebraische Gleichungen höheren Grades

41

Beispiele

Eine Substitution ist die Ersetzung eines algebraischen Aus-

I
drucks durch einen anderen. Bei komplizierten Gleichungen
können oftmals mit Hilfe einer geeigneten Substitution Lösun-

2. x 4 7 x 3 C 5 x 2 C 7 x 6 D 0
gen gefunden werden.

Teil

Durch Probieren findet man die Lösung x D

1

1.

Polynomdivision ergibt:

Mit Hilfe der Substitution x 2 D z wird aus einer biquadrati-
schen Gleichung eine quadratische Gleichung mit der Variablen

. x 4 7 x 3 C 5 x 2 C 7 x 6/ W . x 1/ D x 3 6 x 2 x C 6
z: az 2 C cz C e D 0 oder z 2 C sz C u D 0. Aus deren Lösungen

. x 4 x 3/
z 1, z 2 erhält man die Lösungen der biquadratischen Gleichung
p
p
durch Radizieren (Wurzelziehen): x

D ˙ z , x

D ˙ z

1;2

3;4

2.

6 x 3 C 5 x 2

1

.6 x 3 C 6 x 2/

Biquadratische Gleichung
x 2 C 7 x

. x 2 C x/

Gleichung (Normalform):

x 4 C sx 2 C u D 0

6 x 6

Substitution x 2 D z W
z 2 C sz C u D 0

.6 x 6/
r s 2

0

Lösungen:

z

D s ˙

1;2
u

2

4

Die kubische Gleichung x 3 6 x 2 x C 6 D 0 hat die

Lösungen der biquadratischen Gleichung:

Lösungen x D

D

D
p
p

2

1, x 3

6, x 4

1 (vgl. Beispiel 2
x

D ˙ z

D ˙ z
im Abschn. 2.6.1).

1;2

1;
x 3;4

2

Lösungen der Gleichung vierten Grades x 4 7 x 3 C

5 x 2 C 7 x 6 D 0 somit: x

D

D

D

1
x 2

1, x 3

6,
x D

4

1.

Beispiele

3. 4 x 4 8 x 3 x 2 C 8 x 3 D 0

Durch Probieren erhält man die Lösung x D

1

1.

4. 2 x 4 6 x 2 C 4 D 0

Polynomdivision von 4 x 4 8 x 3 x 2 C 8 x 3 durch

Division durch 2 ergibt die Normalform:

x C 1 ergibt:

x 4 3 x 2 C 2 D 0

Substitution x 2 D z ergibt eine quadratische Glei-

.4 x 4 8 x 3 x 2 C 8 x 3/ W . x C 1/
chung in z: z 2 3 z C 2 D 0

.4 x 4 C 4 x 3/

Lösungen der quadratischen Gleichung: z

D

1

1,
z D 2

2

12 x 3
x 2

Lösungen der biquadratischen Gleichung durch Radi-
p

.

p
p

12 x 3 12 x 2/
zieren: x D

D

D

D

1
z

1 D 1, x
z

1,

1

2

1
p
p
p
p

11 x 2 C 8 x
x D

D

D

D

3
z

2, x
z

2

2

4

2

.11 x 2 C 11 x/

5. x 4 C 2 x 2 15 D 0

Substitution x 2 D z ergibt eine quadratische Glei-

3 x 3
chung in z: z 2 C 2 z 15 D 0

.3 x 3/

Lösungen der quadratischen Gleichung: z

D

1

3,

D

0
z 2

5

Lösungen der biquadratischen Gleichung durch Radi-

D
p
p
p
p

4 x 3 12 x 2 C 11 x 3
zieren: x D

D

D

D

D

1
z

3, x
z

3, x

1

2

1

3
p
p
p
p
p
p
z D

5 D j 5, x D

D

4
z 2

5 D j 5

Die kubische Gleichung 4 x 3 12 x 2 C 11 x 3 D 0 hat

2

6. x 4 4 x 2 1 D 0
die Lösungen x D

D 3

D 1

2

1, x 3

, x

(vgl. Beispiel 3

2

4

2

Substitution x 2 D z ergibt eine quadratische Glei-
im Abschn. 2.6.1).

chung in z: z 2 4 z 1 D 0
p

Lösungen der Gleichung vierten Grades 4 x 4 8 x 3

Lösungen der quadratischen Gleichung: z D
p
p

1

2 C

5,
x 2 C 8 x 3 D 0 somit: x D

D

D 3

1

1, x 2

1, x 3

,

2
z D

2

2

5 D . 5 2/
x D 1

4

.

J

2

Lösungen der biquadratischen Gleichung durch Radi-
zieren:p
p
p
p
p
p
x D

D

D

D

1
z

2 C

5, x
z

2 C

5,

1

2

1
p
q p
pp

Sind in einer Gleichung vierten Grades die Koeffizienten von
x

D

D

D

3
z 2

. 5 2/ D j

5 2, x 4
q
p
x 3 und x gleich Null, dann heißt sie biquadratische Gleichung:

p
p
p
z D . 5 2/ D j

5 2

J
ax 4C cx 2C e D 0, a ¤ 0 (allgemeine Form) oder x 4C sx 2C u D 0

2

(Normalform).

42

2 Gleichungen

Teil

2.6.4

Gleichungen n-ten Grades

Beispiel

I

Die allgemeine Form einer Gleichung n-ten Grades lautet
x 6 6 x 5 C 14 x 4 14 x 3 C 5 x 2 D 0

Sofort zu erkennen: x D

D

1

0, x 2

0

Es folgt:

a

D
nxn C an1 xn1 C an2 xn2 C : : : C a 2 x 2 C a 1 x C a 0

0;
a ¤
n

0
x 6 6 x 5 C 14 x 4 14 x 3 C 5 x 2

D x 2. x 4 6 x 3 C 14 x 2 14 x C 5/

Die Normalform erhält man aus der allgemeinen Form durch

D 0

Division durch a ¤

D
n

0 und Setzen von ai
b
a
i, i D 0; 1; 2; : : : ;
n
n 1.

Durch Probieren:

x D

3

1 ist Lösung von x 4 6 x 3 C 14 x 2 14 x C 5 D 0

Normalform

Polynomdivision:

xn C b

D
n1 xn1 C bn2 xn2 C : : : C b 2 x 2 C b 1 x C b 0

0

. x 4 6 x 3 C 14 x 2 14 x C 5/ W . x 1/ D x 3 5 x 2 C 9 x 5

Es folgt:

Dabei sind an, an1, an2, . . . , a 2, a 1, a 0 und bn1, bn2, . . . , b 2,
b
x 6 6 x 5 C 14 x 4 14 x 3 C 5 x 2

1, b 0 reelle (oder komplexe) Koeffizienten, und n ist eine von

Null verschiedene natürliche Zahl.

D x 2. x 1/. x 3 5 x 2 C 9 x 5/

Nur für n 4 (Gleichungen höchstens vierten Grades) gibt es

D 0
allgemeine Lösungsformeln, in denen nur ineinander geschach-
telte Wurzeln stehen. Für Gleichungen fünften und höheren

Durch Probieren: x D 1 ist Lösung von x 3 5 x 2 C 9 x

Grades existieren solche Lösungsformeln nicht. In der Regel

4

5 D 0
lassen sich dann die Lösungen außer in Spezialfällen nicht mehr
exakt berechnen, man muss sich mit sogenannten Näherungs-

Polynomdivision:

lösungen begnügen. Besonders bei der Behandlung praktischer

Probleme werden verschiedene Näherungsverfahren verwendet

. x 3 5 x 2 C 9 x 5/ W . x 1/ D x 2 4 x C 5

(wie zum Beispiel Regula falsi oder Newton’sches Verfahren,
vgl. Abschn. 8.4.12).

Es folgt:

In Spezialfällen führen die für Gleichungen dritten und vierten
x 6 6 x 5 C 14 x 4 14 x 3 C 5 x 2

Grades vorgeführten Methoden wie zum Beispiel die Redukti-
onsmethode jedoch zu Lösungen.

D x 2. x 1/2. x 2 4 x C 5/

D

Ist x

0

1 eine Lösung der Gleichung anxn C an1 xn1 C an2 xn2 C

: : : C a

D

2 x 2 C a 1 x C a 0

0, dann gilt

Die quadratische Gleichung x 2 4 x C 5 D 0 hat die Lö-
sungen x D

D

5

2 C j, x 6

2 j
a

Es folgt:

nxn C an1 xn1 C an2 xn2 C : : : C a 2 x 2 C a 1 x C a 0

D . x x 1/. cn1 xn1 C cn2 xn2 C : : : C c 2 x 2 C c 1 x C c 0/
x 6 6 x 5 C 14 x 4 14 x 3 C 5 x 2

D 0

D x 2. x 1/2. x 2 j/. x 2 C j/

D 0
mit c

D
n1
an. Die weiteren Lösungen der Gleichung n-ten Gra-
des a

D

Alle Lösungen von x 6 6 x 5 C 14 x 4 14 x 3 C 5 x 2 D 0
nxn C an1 xn1 C an2 xn2 C : : : C a 2 x 2 C a 1 x C a 0

0
sind die Lösungen der Gleichung . n 1/-ten Grades c
somit: x D x D 0, x D x D 1, x D 2 C j, x D 2 j.

n1 xn1 C

1

2

3

4

5

6
c

D

J
n2 xn2 C : : : C c 2 x 2 C c 1 x C c 0

0. Der Grad der zu lösenden

Gleichung wird also um 1 reduziert.

2.7

Auf algebraische Gleichungen zurückführbare Gleichungen

43

2.6.5

Satz von Viëta für Gleichungen n-ten

Beispiele

I

Grades

1. Die kubische Gleichung x 3 6 x 2 x C 6 D 0 (also

Teil
b D

D

D

D

2

6, b 1

1, b 0

6) hat die Lösungen x 1

1,

Wie für quadratische Gleichungen, so erhält man auch für belie-
x D

D

2

6, x 3

1 (vgl. Beispiel 2 im Abschn. 2.6.1).

bige Gleichungen n-ten Grades durch Vergleich der Normalform

Es gilt nach dem Satz von Viëta:

und der Produktform Beziehungen zwischen den Lösungen
b D

C

C

2

. x 1
x 2
x 3/ D .1 C 6 1/ D 6,
und den Koeffizienten der Potenzen von x in der Normalform.

b D

C

C

D

1
x 1 x 2
x 1 x 3
x 2 x 3

1 6 C 1 .1/ C 6 .1/

Ausmultiplizieren der Produktform, Gleichsetzen mit der Nor-

D 6 1 6 D 1,
malform und Koeffizientenvergleich (das heißt, Vergleich der
b D

D

0
x 1 x 2 x 3

1 6 .1/ D .6/ D 6

Koeffizienten von xn1, xn2, . . . , x 2, x 1 D x, x 0 D 1 auf bei-

2. Für die Gleichung vierten Grades x 4 7 x 3 C 5 x 2 C
den Seiten der Gleichung) ergibt die folgenden Beziehungen,

7 x 6 D 0 gilt: b D

D

D

D

3

7, b 2

5, b 1

7, b 0

6.

die als Satz von Viëta bezeichnet werden.

Die Gleichung hat die Lösungen x D

D

D

1
x 2

1, x 3

6,
x D

4

1 (vgl. Beispiel 2 im Abschn. 2.6.3).

Kubische Gleichungen:

Nach dem Satz von Viëta gilt:

D . C C C

Normalform: x 3 C b

D
b 3
x 1
x 2
x 3
x 4/ D .1 C 1 C 6 1/ D 7,

2 x 2 C b 1 x C b 0

0,
b D

C

C

C

C

C

2
x 1 x 2
x 1 x 3
x 1 x 4
x 2 x 3
x 2 x 4
x 3 x 4

Lösungen: x

D 1 1 C 1 6 C 1 .1/ C 1 6 C 1 .1/ C 6 .1/

1, x 2, x 3

D 1 C 6 1 C 6 1 6 D 5,

Satz von Viëta:

b D

C

C

C

1

. x 1 x 2 x 3
x 1 x 2 x 4
x 1 x 3 x 4
x 2 x 3 x 4/

D .1 1 6 C 1 1 .1/ C 1 6 .1/ C 1 6 .1//
b D

C

C

D

C

C

D

2

. x 1
x 2
x 3/; b 1
x 1 x 2
x 1 x 3
x 2 x 3; b 0
x 1 x 2 x 3

D .6 1 6 6/ D 7,

D

D

Gleichungen vierten Grades:

b 0
x 1 x 2 x 3 x 4

1 1 6 .1/ D 6.

3. Welche Normalform hat die kubische Gleichung mit

Normalform: x 4 C b

D
den Lösungen x D 2, x D 1 , x D 1 ?

3 x 3 C b 2 x 2 C b 1 x C b 0

0,

1

2

2

3

2

Normalform: x 3 C b

D

2 x 2 C b 1 x C b 0

0

Lösungen x 1, x 2, x 3, x 4

Nach dem Satz von Viëta gilt:

b D . x C x C x

C 1 / D 2,

Satz von Viëta:

2

1

2

3/ D .2 1

2

2
b D

C

C

1
x 1 x 2
x 1 x 3
x 2 x 3

D .2/.1/ C .2/ 1 C .1/ 1 D 1 1 1 D 1,
b D

C

C

C

2

2

2 2

4

4

3

. x 1
x 2
x 3
x 4/
b D

D

0
x 1 x 2 x 3

..2/.1/ 1/ D 1

2 2

2
b D

C

C

C

C

C

2
x 1 x 2
x 1 x 3
x 1 x 4
x 2 x 3
x 2 x 4
x 3 x 4

Die Normalform der kubischen Gleichung lautet somit
b D

C

C

C

D

1

. x 1 x 2 x 3
x 1 x 2 x 4
x 1 x 3 x 4
x 2 x 3 x 4/
x 3 C 2 x 2 1 x 1

0.

J

4

2
b D

0
x 1 x 2 x 3 x 4

Gleichungen n-ten Grades:

Normalform:

2.7

Auf algebraische Gleichungen
zurückführbare Gleichungen
xn C b

D
n1 xn1 C bn2 xn2 C : : : C b 2 x 2 C b 1 x C b 0

0

Lösungen: x 1, x 2, x 3, . . . , xn

2.7.1

Bruchgleichungen

Satz von Viëta:

Bestimmungsgleichungen mit Bruchtermen, bei denen die Va-
b

D

C

C
n1

. x 1
x 2

: : : C xn/;
riable (auch) im Nenner auftritt, heißen Bruchgleichungen.

b

D

C

C

C

C

C
n2
x 1 x 2
x 1 x 3

: : : C x 1 xn
x 2 x 3
x 2 x 4

: : :

Alle diese Bruchterme sind Quotienten P. x/

C x

C

Q. x/ , wo P. x/ und Q. x/

2 xn

: : : C xn1 xn;

Polynome mit der gleichen Variablen x sind, also P. x/ D anxn C
b

D

C

C

C
n3

. x 1 x 2 x 3
x 1 x 2 x 4

: : : C x 1 x 2 xn
x 1 x 3 x 4
an1 xn1 C: : :C a 2 x 2 C a 1 x C a 0 und Q. x/ D bmxm C bm1 xm1 C

C x

C

C

: : :C

1 x 3 x 5

: : : C x 1 x 3 xn

: : : C x 2 x 3 x 4
b 2 x 2C b 1 x C b 0 mit n 0, m 1 (vgl. Abschn. 2.6.2). Mul-

C x

C

C

C
tipliziert man eine solche Gleichung mit dem Hauptnenner aller

2 x 3 x 5

: : : C x 2 x 3 xn
x 2 x 4 x 5

: : : C xn2 xn1 xn/; auf beiden Seiten der Gleichung auftretenden Nenner durch,

:::

dann entsteht eine algebraische Gleichung (oder eine identische

Gleichung).

b D

C

1

.1/ n1. x 1 x 2 x 3 : : : xn1
x 1 x 2 : : : xn2 xn

C

Durch die Multiplikation mit dem Hauptnenner können Lösun-
x

C

C

1 x 2 : : : xn3 xn1 xn

: : : C x 1 x 3 x 4 : : : xn x 2 x 3 : : : xn/; gen hinzukommen,es gehen aber keine Lösungenverloren. Des-
b D

0

.1/ nx 1 x 2 x 3 : : : xn
halb ist es unbedingt erforderlich, die Lösungen der erhaltenen

44

2 Gleichungen

Teil
algebraischen Gleichung in die Ausgangsgleichung einzusetzen.

Dadurch werden hinzugekommene Lösungen, die nicht Lösun-

Die Lösung dieser linearen Gleichung ist x D 2.

I
gen der Ausgangsgleichung sind, ausgesondert, insbesondere

Einsetzen in die Ausgangsgleichung:

solche Werte, für die ein Nenner der Ausgangsgleichung Null

3 2

D 5 ) 5 D 5

1 1

1
ist.

Lösungsmenge: L D f2g

J

Beispiele

1. x C2 D 4 x1

2 x1
x

2.7.2

Wurzelgleichungen

Multiplikation mit dem Hauptnenner x.2 x 1/:

. x C 2/ x D .4 x 1/.2 x 1/

Auflösen der Klammern: x 2 C 2 x D 8 x 2 4 x 2 x C 1

Bestimmungsgleichungen, bei denen die Variable (auch) unter

Sortieren nach Potenzen von x: 7 x 2 8 x C 1 D 0
einer Wurzel vorkommt, heißen Wurzelgleichungen.

Quadratische Gleichung in allgemeiner Form mit

Über die Existenz und die Anzahl von Lösungen bei Wurzel-
a D 7, b D 8, c D 1 (vgl. Abschn. 2.5.2.2)

gleichungen lassen sich allgemein keine Aussagen machen. Ziel

Lösungen:

p
für die Bestimmung der Lösungen ist es, die in der Gleichung
x

D 1

D

1;2

.8˙ 64 4 7 1/ D 1 .8˙6/ ) x

1,

14

14

1
auftretenden Wurzeln zu beseitigen und die Gleichung in eine
x D 1

2

7
algebraische Gleichung zu überführen.

Einsetzen von x 1 in die Ausgangsgleichung:

1C2 D 411 ) 3 D 3

Oftmals gelingt es, die Wurzeln zu isolieren (das heißt, die Glei-

211

1

Einsetzen von x
chung so umzuformen, dass die Wurzel allein auf einer Seite

2 in die Ausgangsgleichung:

1 C2

1

15
der Gleichung steht) und dann beide Seiten der Gleichung in

7

D 417

) 7 D 37 ) 3 D 3

2 1 1

1

5

1
die entsprechende Potenz zu erheben. Viele Wurzelgleichungen

7

7

7

7

Beide Werte sind also auch Lösungen der Ausgangs-
können auch schon durch ein- oder mehrmaliges Quadrieren in
gleichung.

˚

eine algebraische Gleichung überführt werden.

Lösungsmenge: L D 1 ; 1

7

Durch das Quadrieren oder allgemeiner durch das Potenzieren

2. 2 x C1 C 3 x5 D 2 x 2C2 x C18
x3
x C3
x 29
können Lösungen hinzukommen, es gehen aber keine Lösun-

Multiplikation mit dem Hauptnenner . x 3/. x C 3/ D
gen verloren (Potenzieren ist keine äquivalente Umformung!).

x 2 9:

Durch die Probe mit Einsetzen der gefundenen Lösungen in die

.2 x C 1/. x C 3/ C .3 x 5/. x 3/ D 2 x 2 C 2 x C 18

Ausgangsgleichung lassen sich diese zusätzlichen Werte aber

Auflösen der Klammern:

leicht feststellen und aussortieren.

2 x 2 C 6 x C x C 3 C 3 x 2 9 x 5 x C 15 D 2 x 2 C 2 x C 18

Sortieren nach Potenzen von x: 3 x 2 9 x D 0

Beispiele

Durch 3 dividieren und x ausklammern: x. x 3/ D 0
p

Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind

1. 11
x C 3 D 6
p
x D

D

1

0, x 2

3

Isolieren der Wurzel ergibt
x C 3 D 11 6, also
p

Einsetzen von x 1 in die Ausgangsgleichung:

x C 3 D 5, woraus man durch Quadrieren der Glei-

1 C 5 D 18 )

D

2 D 2 x

3 ist keine Lösung

3

3

9

2
chung x C 3 D 25, also x D 22 erhält.

der Ausgangsgleichung, da für x D 3 zwei der Nenner

Einsetzen in die Ausgangsgleichung bestätigt x D 22
p
gleich 0 sind.

als Lösung: 11

22 C 3 D 6

Lösungsmenge: L D f0g

Lösungsmenge: L D f22g
p

3. 2 x C3 C 4 x C5 D 6 x 2C6 x2
x1
x C1
x 21

2. 5 C

9 x 2 65 D 3 x

Multiplikation mit dem Hauptnenner . x 1/. x C 1/ D

Isolieren der Wurzel und Quadrieren der Gleichung er-
x 2 1: .2 x C3/. x C1/C.4 x C5/. x1/ D 6 x 2 C6 x2
gibt
p

Auflösen der Klammern:

9 x 2 65 D 3 x 5 ) 9 x 2 65 D .3 x 5/2 D

2 x 2 C 2 x C 3 x C 3 C 4 x 2 4 x C 5 x 5 D 6 x 2 C 6 x 2

9 x 2 30 x C 25 ) 30 x D 90 ) x D 3

Zusammenfassen: 6 x 2 C 6 x 2 D 6 x 2 C 6 x 2

Einsetzen in die Ausgangsgleichung ergibt x D 3 als

Dies ist eine identische Gleichung, die für alle reellen

Lösung. Lösungsmenge: L D f3g
p
x erfüllt ist.

3.

11 x D x C 1

Für x D 1 und x D 1 ist die Ausgangsgleichung

Quadrieren ergibt 11 x D x 2 C 2 x C 1, also die
nicht erklärt, da Nenner gleich 0 sind.

quadratische Gleichung x 2 C 3 x 10 D 0, die die

Lösungsmenge: L D f x j x 2 R und x ¤ 1; x ¤ 1g
q 9

4.

3

2 D 2 x C1

Lösungen x

D 3 ˙

C

D

1;2

10, also x 1

2 und
x1
x3

2

4
x 24 x C3

Multiplikation mit dem Hauptnenner . x 1/. x 3/ D
x D

2

5 hat.

x 2 4 x C 3 W 3. x 3/ 2. x 1/ D .2 x C 1/

Die Probe zeigt, dass x 1 die Wurzelgleichung erfüllt,

Auflösen der Klammern: 3 x 9 2 x C 2 D 2 x 1
x 2 jedoch nicht.

Sortieren nach Potenzen von x: 3 x 6 D 0

Lösungsmenge: L D f2g

2.8

Transzendente Gleichungen

45
p
p

I

4.

x C 5 D

2 x C 3 C 1

Einsetzen von x 3 in Ausgangsgleichung:

q
p

Quadrieren der Gleichung ergibt x C 5 D 2 x C 3 C
p

512 C 5 3 .512/222 3 512 C 16 D 0 ) 512 C 5

2 2 x C 3 C 1.

Teil

6422.8/C16 D 0 ) 512C320C176C16 D 0

Durch Zusammenfassen und Isolieren der Wurzel er-
p

) 0 D 0
hält man x C 1 D 2 2 x C 3.

Lösungsmenge: L D f512; 1; 8g.

J

Erneutes Quadrieren ergibt x 2 2 x C1 D 4.2 x C3/ und
somit die quadratische Gleichung x 2 10 x 11 D 0.

Diese Gleichung hat die Lösungen x

D

1;2

5 ˙
p25 C 11, also x D

D

1

11 und x 2

1.

p

Einsetzen in die Ausgangsgleichung
x C 5

D
p

2.8

Transzendente Gleichungen

2 x C 3 C 1 zeigt, dass x 2 eine Lösung ist, x 1 aber
nicht.

2.8.1

Exponentialgleichungen

Lösungsmenge: L D f1g
p
p

5.

x C 2 C

2 x C 7 D 4
p

Bestimmungsgleichungen, bei denen die Variable (auch) im Ex-

Quadrieren: x C 2 C

2 x C 7 D 16
p
ponenten einer Potenz steht, heißen Exponentialgleichungen.

Wurzel isolieren:

2 x C 7 D 14 x

Quadrieren: 2 x C 7 D 196 28 x C x 2

Im Allgemeinen lassen sich in Exponentialgleichungen die Lö-

Sortieren nach Potenzen von x: x 2 30 x C 189 D 0
sungen nur durch Näherungsverfahren (siehe Abschn. 8.4.12)

Lösungen dieser quadratischen Gleichung:

p
bestimmen. Tritt in einer Exponentialgleichung die Variable je-
x

D

D

D

1;2

15˙

225 189 D 15˙6 ) x 1

21, x 2

9
doch nur in den Exponenten auf, so kann man sie oftmals lösen,

Einsetzen von x 1 in Ausgangsgleichung:

p
p
p
und zwar durch Umformung mit Hilfe der Potenzgesetze und

21 C 2 C

2 21 C 7 D 4 )

30 D 4: unwahr!

anschließendes Logarithmieren zu einer beliebigen Basis oder

Somit ist x
durch Überführung in eine algebraische Gleichung mit Hilfe

1 keine Lösung der Ausgangsgleichung.

Einsetzen von x
einer geeigneten Substitution und anschließendem Logarithmie-

2 in Ausgangsgleichung:

p
p
ren.

9 C 2 C

2 9 C 7 D 4 ) 4 D 4: wahr, x D

2

9 ist
also Lösung.

Die Exponentialgleichung a bx D c geht durch Logarithmieren

Lösungsmenge: L D f9g
p
über in log a C x log b D log c, woraus sich für b ¤ 1 die

6.

3 x C 2 D 3

Lösung x D log clog a ergibt.

log b

In die 3. Potenz erheben: x C 2 D 33 D 27 ) x D 25
p

Einsetzen in die Ausgangsgleichung: 3 25 C 2 D 3

Die Exponentialgleichung anbnx C an1 b. n1/ x C : : : C a 2 b 2 x C

) 3 D 3
a

D

1 bx C a 0

0 geht mit Hilfe der Substitution z D bx über in die

Lösungsmenge: L D f25g

D
p
algebraische Gleichung a
p
nzn C an1 zn1 C: : :C a 2 z 2 C a 1 z C a 0

7. x C 5 3 x 2 22 3 x C 16 D 0

0. Ist z > 0 eine reelle Lösung dieser Gleichung, so ist x D log z
log b

2

1

Umformung der Wurzelexponenten: x C 5 x
eine Lösung der Exponentialgleichung.

3 22 x 3 C

16 D 0

Durch Potenzieren lassen sich die Wurzeln nicht be-
p

Beispiele

1
seitigen, stattdessen Substitution: z D 3 x D x 3

Es folgt: z 3 C 5 z 2 22 z C 16 D 0

1. 3 x D 4 x2 2 x

Durch Probieren erhält man die Lösung z D 1 dieser

Logarithmieren zu einer beliebigen Basis ergibt
kubischen Gleichung.

x log 3 D . x 2/ log 4 C x log 2.

Polynomdivision:

Auflösen nach x gibt die Lösung

. z 3 C 5 z 2 22 z C 16/ W . z 1/ D z 2 C 6 z 16
x D

2 log 4

D

4 log 2

2;826780
log 4log 3Clog 2

3 log 2log 3

Lösungen der quadratischen Gleichung

Bei der letzten Umformung wurde log 4 D 2 log 2 ge-
z 2 C 6 z 16 D 0:

p
setzt.

z

D

D

D

2;3

3 ˙

9 C 16 D 3 ˙ 5 ) z 2

2, z 3

8

Lösungsmenge: L D f2;826780 : : :g

Substitutionsgleichung in die dritte Potenz erheben:

2. 5 6 x D 2 x 7 x
x D z 3

Durch Umformung ergibt sich . 2 / x D . 1 / x D 5,

76

21

Einsetzen der Lösungen: x D

D

D

1
z 3

13 D 1, x

1

2
woraus man durch Logarithmieren die Lösung erhält:

z 3 D 23 D 8, x D z 3 D .8/3 D 512
x D log 5 D log 5 0;528634

2

3

3
log. 1 /
log 21

Einsetzen von x

21

1 in Ausgangsgleichung:

p
p

Lösungsmenge: L D f0;528633 : : :g

1 C 5 3 12 22 3 1 C 16 D 0 ) 1 C 5 22 C 16 D 0

3. e 2 x C3 D ex4

) 0 D 0

Logarithmieren zur Basis e ergibt die Gleichheit der

Einsetzen von x 2 in Ausgangsgleichung:

p
p

Exponenten: 2 x C 3 D x 4, woraus sich unmittelbar

8 C 5 3 82 22 3 8 C 16 D 0 ) 8 C 20 44 C 16 D 0
die Lösung x D 7 ergibt.

) 0 D 0

Lösungsmenge: L D f7g

46

2 Gleichungen

Teil

4. 22 x 5 2 x C1 C 6 D 0

2. lg.6 x C 10/ lg. x 3/ D 1

I

2

Durch Umformung erhält man .2 x/2 5 2 x C 6 D 0,

Es folgt lg 6 x C10 D 1 und durch Potenzieren 6 x C10 D
x3
x3
und mit der Substitution z D 2 x ergibt sich die quadra-

101 D 10 und somit 6 x C10 D 10 x30, also 4 x D 40.

tische Gleichung in z: z 25 z C6 D 0, die die Lösungen
q

Daraus ergibt sich x D 10 als Lösung der logarithmi-
schen Gleichung.

z

D 5 ˙

25

D

D

1;2

6, also z

2 und z

3 hat.

2

4

1

2

Lösungsmenge: L D f10g

Durch Einsetzen dieser Werte in die Substitutions-

3. lg.11 x 10/ C Œlg.11 x 10/2 D 6
gleichung ergeben sich die Lösungen x 1 und x 2 der

Durch die Substitution z D lg.11 x 10/ erhält man

Exponentialgleichung:

die quadratische Gleichung z 2 C z 6 D 0 mit den

2 x 1 D z D

D
q

1

2 ) x 1

1;

1

2 x

D 1 ˙

C

D

2 D z D

D log 3

Lösungen z

6, also z

3 und

2

3 ) x 2

1;584963

1;2

2

4

1
log 2

Lösungsmenge: L D f1I 1;584962 : : :g
z D

2

2.

5. 3 x D x C 4

Durch Einsetzen dieser Werte in die Substitutions-

In dieser Gleichung steht x nicht nur im Exponenten,
gleichung ergeben sich die Lösungen x 1 und x 2 der
die Gleichung lässt sich deshalb nur mit einem Nähe-
logarithmischen Ausgangsgleichung:

rungsverfahren lösen.

Man setzt y D 3 x x 4 und wendet etwa Re-
z D lg.11 x 10/

)

10 z D 11 x 10
gula falsi oder das Newton’sche Verfahren an (vgl.

)

Abschn. 8.4.12). Mit den Startwerten x

D
x D 10 z C 10

1

1;55,

11
x D

D

D

2

1;57 () y 1

0;0604 : : :, y 2

0;0415 : : :)

erhält man zum Beispiel mit Regula falsi (Sekan-
z D

D 103 C 10 D

1

3

)

x 1

0;90918

11
tenverfahren) in zwei Schritten die Näherungslösung:

x 1;561919.

z D

D 102 C 10 D

2

2

)

x 2

10

Lösungsmenge: L D f1;561918 : : : g.

J

11

Lösungsmenge: L D f0;90918; 10g.

J

2.8.2

Logarithmische Gleichungen

2.8.3

Trigonometrische Gleichungen

Bestimmungsgleichungen, bei denen die Variable (auch) im Ar-
gument eines Logarithmus vorkommt, heißen logarithmische

Gleichungen.

Bestimmungsgleichungen, in denen die Variable (auch) im Ar-
gument einer trigonometrischen Funktion auftritt, heißen tri-

Einige dieser Gleichungen lassen sich mit Hilfe der Logarith-
gonometrische Gleichungen oder goniometrische Gleichungen
menrechnung auf die lösbare Form log x D b bringen. Die
a

(siehe Kap. 6).

Lösung lautet dann x D ab.

Trigonometrische Gleichungen sind ebenfalls transzendente

Spezielle logarithmische Gleichungen können mit Hilfe einer

Gleichungen. Sie lassen sich nur in Spezialfällen rechnerisch
geeigneten Substitution in eine algebraische Gleichung umge-
exakt lösen. Es existieren jedoch stets Näherungsverfahren, mit
wandelt werden.

deren Hilfe sich die Lösungen mit beliebiger Genauigkeit ange-
ben lassen (zum Beispiel Newton’sches Verfahren oder Regula

Tritt die Variable nicht nur im Argument von Logarithmen auf,
falsi, vgl. Abschn. 8.4.12).

dann lassen sich die Lösungen von logarithmischen Gleichun-
gen im Allgemeinen nur durch Näherungsverfahren bestimmen

Tritt in der Gleichung nur eine trigonometrische Funktion auf,

(siehe Abschn. 8.4.12).

so erhält man mit den Arkusfunktionen die Lösungen (vgl. Ab-
schn. 6.7). Auch für solche Gleichungen, in denen verschiedene
trigonometrische Funktionen auftreten, die das gleiche Argu-

Beispiele
ment haben, kann man oft mit Hilfe der Arkusfunktionen die

Lösungen berechnen. Die Lösungen können im Gradmaß oder

1. log . x 2 C 19/ D 3
im Bogenmaß angegeben werden.

7

Durch Potenzieren ergibt sich 73 D x 2 C 19, also

Die Probe durch Einsetzen der gefundenen Werte ist wichtig,
x 2 D 324.

weil beim Lösen in der Regel auch nicht-äquivalente Umfor-

Daraus erhält man die Lösungen x

D

1

18 und
mungen vorgenommen werden.

x D

2

18.

Lösungsmenge: L D f18; 18g

Im Allgemeinen sind trigonometrische Gleichungen nicht ein-
deutig lösbar.

2.9

Lineare Gleichungssysteme

47

Beispiele

Gleichungen und n Variablen besteht also aus n Werten, einem

I
sogenannten n-Tupel (für jede Variable ein Wert). So besteht
eine Lösung eines Gleichungssystems mit zwei Variablen aus

1. sin2 x 1 D 0;5
einem Paar (2-Tupel) von Werten, ein Gleichungssystem mit

Teil

Man berechnet:

q
p
drei Variablen hat ein Lösungstripel (3-Tupel). In dem Bei-
sin2 x D 1 ) sin x D ˙

1 D ˙ 1 2

2

2

2
p
spiel ist das Paar x D 10, y D 3 Lösung. Man schreibt auch

) x D arcsin.˙1 2/ D ˙45ı

. x; y/ D .10; 3/, oder die Lösungsmenge L der beiden Gleichun-

2

Wegen sin x D sin.180ı x/ und sin x D sin. x C
gen ist L D f.10; 3/g (die Reihenfolge ist zu beachten!).

k 360ı/ ergibt sich als Lösungsmenge der trigono-
metrischen Gleichung (im Gradmaß): L D f x j x D

Eine Gleichung in mehreren Variablen heißt linear, wenn alle

45ı C k 180ı; k 2 Zg.

Variablen höchstens in der ersten Potenz auftreten und nicht

Die Probe in der Ausgangsgleichung bestätigt diese
miteinander multipliziert werden. Die beiden Gleichungen des

Werte.

Beispiels sind lineare Gleichungen. Ein Gleichungssystem heißt

2. sin2 x C 2 cos x D 1;5
linear, wenn alle Gleichungen des Systems lineare Gleichungen

Wegen sin2 x C cos2 x D 1 ergibt sich 1 cos2 x C
sind.

2 cos x D 1;5 ) cos2 x 2 cos x C 0;5 D 0.

Im Allgemeinen ist die Bestimmung von Lösungen oder sogar

Dies ist eine quadratische Gleichung in cos x. Mit der
aller Lösungen eines Gleichungssystems sehr schwierig oder

Substitution z D cos x ergibt sich die quadratische
auch nicht möglich. Für lineare Gleichungssysteme ist jedoch

Gleichung z 2 2 z C 0
p ;5 D 0 mit den Lösungen
eine Methode entwickelt worden, die alle Lösungen des Sys-
z D cos x D 1 ˙ 1

2. Wegen cos x 1 kommt

2
p
tems liefert.

cos x D 1 C 1

2 für eine Lösung nicht in Betracht.

2

Somit folgt
p
p

Ein lineares Gleichungssystem ist durch die Koeffizienten der
cos x D 1 1

2 ) x D arccos.1 1 2/ 1;2735.

Variablen und durch die Absolutglieder (die Terme, die die Va-

2

2

Wegen cos x D cos. x/ und cos x D cos. x C 2 k/
riablen nicht enthalten) bestimmt.

ergibt sich als Lösungsmenge der Ausgangsgleichung

(im Bogenmaß):

L D f x j x ˙1;2735 C 2 k; k 2 Zg.

Die Probe in der Ausgangsgleichung bestätigt diese

2.9.2

Zwei lineare Gleichungen mit zwei

Werte.

Variablen

3. sin x C cos x 0;9 x D 0

Diese Gleichung ist nicht geschlossen lösbar. Eine Nä-
herungslösung erhält man zum Beispiel mit Regula

Die allgemeine Form eines linearen Gleichungssystems mit
falsi (vgl. Abschn. 8.4.12).

zwei Gleichungen und zwei Variablen x; y lautet:

Man setzt y D sin x C cos x 0;9 x und erhält mit
den Startwerten x

D

D

D

1

77ı, x 2

76;5ı () y 1

0;0101 : : :, y D

2

0;0041 : : :) im ersten Schritt die

Näherungslösung x 1;3378.

J
a 1 x C b 1 y D c 1
a 2 x C b 2 y D c 2

2.9

Lineare Gleichungssysteme
a 1, a 2 sind die Koeffizienten von x, die Koeffizienten von y sind
b 1, b 2, und c 1, c 2 sind die Absolutglieder des Gleichungssys-
tems.

2.9.1

Definitionen

Es gibt verschiedene Methoden, solche linearen Gleichungs-
systeme zu lösen. Übliche Verfahren sind das Einsetzungsver-

Die Schwierigkeiten beim Bestimmen der Lösungen von Glei-
fahren (Substitutionsverfahren), das Additionsverfahren und das
chungen werden noch größer, wenn nicht nur eine Variable aus

Gleichsetzungsverfahren.

einer Bestimmungsgleichung errechnet werden soll, sondern
wenn mehrere Variable mehrere Gleichungen gleichzeitig erfül-
len sollen. Zum Beispiel sollen in den Gleichungen x 2 y D 4

Einsetzungsverfahren
und 2 x C 5 y D 35 die Variablen x und y so berechnet werden,

Beim Einsetzungsverfahren wird eine der beiden Gleichungen
dass deren Werte beide Gleichungen erfüllen.

nach einer der Variablen aufgelöst, und der entsprechende Term

Sollen m Gleichungen von n Variablen gleichzeitig erfüllt sein,
wird in die andere Gleichung eingesetzt. Man erhält so eine li-
so spricht man von einem System von m Gleichungen mit n
neare Gleichung mit einer Variablen, die gelöst werden kann.

Variablen. Ein solches Gleichungssystem zu lösen, heißt, die

Durch Einsetzen dieses Wertes in eine der beiden Ausgangs-

Werte der Variablen zu bestimmen, die alle Gleichungen dieses
gleichungen ergibt sich eine lineare Gleichung mit der anderen

Systems erfüllen. Eine Lösung eines Gleichungssystems mit m

Variablen, die daraus dann auch berechnet werden kann.

48

2 Gleichungen

Teil

Führt man das Verfahren mit der allgemeinen Form des Glei-
y
chungssystems durch, so ergibt sich

2 x + 3 y = 8

3

I

2
x + 4 y = 9
b

1 c 2
a 2 c 1
y
x D b 2 c 1

; y D a 1 c 2

1

1
a

1 b 2
a 2 b 1
a 1 b 2
a 2 b 1

–1 0 x 1

2

3

4

5

6 x

1

–1

Fallunterscheidung:

Abb. 2.1 Geraden von Beispiel 2

1. Ist der Nenner a

¤

1 b 2
a 2 b 1

0, so erhält man genau eine

Lösung, und zwar das Zahlenpaar

.

b 2 c 1
b 1 c 2
a 2 c 1

Berechnung der Lösung durch Einsetzen von a D 2,
x; y/ D

; a 1 c 2

1
a

D

D

D

D

D

1 b 2
a 2 b 1 a 1 b 2
a 2 b 1
b 1

3, c 1

8, a 2

1, b 2

4, c 2

9 in die

Lösungsformel:

2. Ist der Nenner a

D

1 b 2
a 2 b 1

0, aber (mindestens) einer der
x D 4839 D 5 D 1, y D 2918 D 10 D 2

2413

5

2413

5

Zähler b

2 c 1
b 1 c 2 oder a 1 c 2
a 2 c 1 ungleich 0, so gibt es

Probe: (I) 2 1 C 3 2 D 8 ) 8 D 8, (II) 1 C 4 2 D 9
keine Lösung.

) 9 D 9

J

3. Ist der Nenner gleich 0, und sind außerdem beide Zähler
gleich 0, so gibt es unendlich viele Lösungen, und zwar jedes

Paar . x; y/, das die erste gegebene Gleichung a 1 x C b 1 y D c 1
und damit dann zugleich die zweite gegebene Gleichung

Additionsverfahren
a 2 x C b 2 y D c 2 erfüllt.

Beim Additionsverfahren werden beide Gleichungen jeweils so

Der Graph (das Schaubild) zu jeder einzelnen gegebenen Glei-
mit einem Faktor multipliziert, dass bei anschließender Addition
chung ist eine Gerade (vgl. Abschn. 5.4.2). Im ersten Fall ist
der Gleichungen eine der Variablen wegfällt. Man erhält so eine
das die Lösung bildende Zahlenpaar das Koordinatenpaar des
lineare Gleichung mit einer Variablen, die gelöst werden kann.

eindeutigen Schnittpunktes der beiden Geraden. Im zweiten

Durch Einsetzen dieses Wertes in eine der beiden Ausgangs-

Fall gibt es keine Lösung, die Graphen der beiden gegebenen
gleichungen ergibt sich eine lineare Gleichung mit der anderen

Gleichungen sind parallele Geraden (Parallelen haben keinen

Variablen, die daraus dann auch berechnet werden kann.

Schnittpunkt). Im dritten Fall gibt es unendlich viele Lösungen,
die Graphen der beiden gegebenen Gleichungen sind gleich, es

Beispiele
handelt sich um ein und dieselbe Gerade (Abb. 2.1 und 2.2).

3. (I) x C y D 1, (II) 2 x C y D 4

Wichtiger Hinweis: Man sollte stets die Probe in den noch nicht

Multiplikation von (I) mit 2: (I0) 2 x C 2 y D 2
umgeformten Ausgangsgleichungen durchführen!

Addition von (I0) und (II): y C 2 y D 4 C 2 ) 3 y D 6

) y D 2

Beispiele

Einsetzen in (I) ) x D 1

Lösung: . x; y/ D .1; 2/ (oder Lösungsmenge: L D

1. (I) x C y D 1, (II) 2 x C y D 4
f.1; 2/g)

(I) ) y D 1 C x; Einsetzen in (II): 2 x C 1 C x D 4 )

4. (I) 2 x C 3 y D 8, (II) x C 4 y D 9

3 x D 3 ) x D 1

Multiplikation von (II) mit 2: (II0) 2 x 8 y D 18

Einsetzen in (I) ) y D 2

Addition von (I) und (II0): 3 y8 y D 818 ) 5 y D 10

Lösung: . x; y/ D .1; 2/ (oder Lösungsmenge: L D

) y D 2
f.1; 2/g)

Einsetzen in (I) ) x D 1

Berechnung der Lösung durch Einsetzen von a

D

1

Lösung: . x; y/ D .1; 2/

J

1, b D

D

D

D

D

1

1, c 1

1, a 2

2, b 2

1, c 2

4 in
die Lösungsformel:

x D

1114

D 3 D

D 6 D

.

1, y D .1/421

2

1/121

3

.1/121

3

Probe: (I) 1 C 2 D 1 ) 1 D 1, (II) 2 1 C 2 D 4 )

Gleichsetzungsverfahren

4 D 4

Beim Gleichsetzungsverfahren löst man beide Gleichungen

2. (I) 2 x C 3 y D 8, (II) x C 4 y D 9 (Abb. 2.1)

nach derselben Variablen (oder dem gleichen Vielfachen einer

(II) ) x D 9 4 y; Einsetzen in (I): 2.94 y/C3 y D 8

Variablen) auf und setzt die entsprechenden Terme gleich. Man

) 18 5 y D 8 ) 5 y D 10 ) y D 2
erhält so eine lineare Gleichung mit einer Variablen, die gelöst

Einsetzen in (II) ) x D 9 4 2 D 1
werden kann. Durch Einsetzen dieses Wertes in eine der bei-

Lösung: . x; y/ D .1; 2/ (oder Lösungsmenge: L D
den Ausgangsgleichungen ergibt sich eine lineare Gleichung mit
f.1; 2/g)

der anderen Variablen, die daraus dann auch berechnet werden
kann.

2.9

Lineare Gleichungssysteme

49
y
y

3

3

I

2 x + 3 y = 8

2 x + 3 y = 8

2

2

6 x + 9 y = 24

4 x + 6 y = 13

Teil

1

1

–1 0

1

2

3

4

5

6 x

–1 0

1

2

3

4

5

6
x

–1

–1

Abb. 2.2 Geraden von Beispiel 7

Abb. 2.3 Geraden von Beispiel 8

2.9.3

Drei lineare Gleichungen mit drei

Beispiele

Variablen

5. (I) x C y D 1, (II) 2 x C y D 4

(I) ) y D 1 C x, (II) ) y D 4 2 x

Die allgemeine Form eines linearen Gleichungssystems mit drei

Gleichsetzen ) 1 C x D 4 2 x ) 3 x D 3 ) x D 1

Gleichungen und drei Variablen x; y; z lautet:

Einsetzen in (I) ) y D 2

Lösung: . x; y/ D .1; 2/ (oder Lösungsmenge: L D
f.1; 2/g)

6. (I) 2 x C 3 y D 8, (II) x C 4 y D 9
a 1 x C b 1 y C c 1 z D d 1

(I) ) (I0) 2 x D 8 3 y
a

Multiplikation von (II) mit 2: (II0) 2 x C 8 y D 18 )

2 x C b 2 y C c 2 z D d 2

(II00) 2 x D 18 8 y
a 3 x C b 3 y C c 3 z D d 3

Gleichsetzen von (I0) und (II00) ) 8 3 y D 18 8 y

) 5 y D 10 ) y D 2

Einsetzen in (I0): 2 x D 2 ) x D 1
a 1, a 2, a 3 sind die Koeffizienten von x, die Koeffizienten von y

Lösung: . x; y/ D .1; 2/.

J
sind b 1, b 2, b 3, die Koeffizienten von z sind c 1, c 2, c 3, und d 1,
d 2, d 3 sind die Absolutglieder des Gleichungssystems.

Auch hier gibt es unterschiedliche Möglichkeiten, die Lösung

Weitere Beispiele
oder die Lösungen eines solchen linearen Gleichungssystems zu
bestimmen.

7. (I) 2 x C 3 y D 8, (II) 4 x C 6 y D 13 (Abb. 2.2)

Nach der Lösungsformel ist der Nenner a

D

1 b 2
a 2 b 1

Einsetzungsverfahren

2643 D 0. Der Zähler des x-Terms ist b

D

2 c 1
b 1 c 2

6 8 3 13 D 9 ¤ 0 (der Zähler des y-Terms ist

Beim Einsetzungsverfahren wird eine der drei Gleichungen
a

D
nach einer Variablen aufgelöst und dann in die beiden anderen

1 c 2
a 2 c 1

2 13 4 8 D 6 ¤ 0). Es gibt
also keine Lösung, die Graphen zu beiden gegebenen

Gleichungen eingesetzt. Man erhält so ein Gleichungssystem

Gleichungen sind parallele Gleichungen.

mit zwei Gleichungen und zwei Variablen, das man entspre-

Anderer Nachweis, dass es keine Lösung gibt:

chend Abschn. 2.9.2 löst.

Multiplikation von (I) mit 2: (I0) 4 x 6 y D 16

Addition von (I0) und (II): 0 D 3

Beispiel

Dies ist ein Widerspruch, also kann das Gleichungs-
system keine Lösung haben.

1.

8. (I) 2 x C 3 y D 8, (II) 6 x C 9 y D 24 (Abb. 2.3)

(I)

3 x 9 y z D 5

Nach der Lösungsformel ist der Nenner a

D

1 b 2
a 2 b 1

2 9 6 3 D 0. Der Zähler des x-Terms ist b

(II)

4 x C 10 y 9 z D 43

2 c 1
b

D

1 c 2

9 8 3 24 D 0, der Zähler des y-Terms

(III)

5 x
y 2 z D 36
ist a

D

1 c 2
a 2 c 1

2 24 6 8 D 0. Es gibt also
unendlich viele Lösungen, die Graphen der beiden ge-

Gleichung (I) nach z auflösen: z D 3 x 9 y 5
gebenen Gleichungen sind dieselbe Gerade.

Einsetzen in die beiden anderen Gleichungen (II) und

Anderer Nachweis, dass es unendlich viele Lösungen

(III):

gibt:

Multiplikation von (I) mit 3 ergibt (II). Es handelt sich

(II)

4 x C 10 y 9.3 x 9 y 5/ D 43
also um dieselbe Geradengleichung. Zu jedem x-Wert
lässt sich ein y-Wert eindeutig berechnen.

J

(III)

5 x
y 2.3 x 9 y 5/ D 36

50

2 Gleichungen

Teil

2.9.4

Matrizen und Determinanten

Klammern auflösen und zusammenfassen:

I

(II)

23 x C 91 y D 2

Eine Matrix (Plural Matrizen) ist ein System von m n Größen,
die in einem rechteckigen Schema von m (waagerechten) Zeilen

(III)

x C 17 y D 26
und n (senkrechten) Spalten angeordnet sind. Die m n Grö-
ßen nennt man die Elemente der Matrix, es sind beliebige reelle

Gleichung (III) nach x auflösen: x D 17 y 26.

(oder komplexe) Zahlen. Die Stellung eines Elementes, etwa aij,

Einsetzen in (II):

im Schema wird durch einen Doppelindex gekennzeichnet. Da-

23.17 y 26/ C 91 y D 2 ) 300 y D 600 ) y D 2
bei gibt der erste Index i die Zeile und der zweite Index j die

Einsetzen in (III): x D 8

Spalte an, in der das Element steht. Die Nummerierungen der

Einsetzen von x D 8 und y D 2 in (I): z D 3 8 9

Zeilen verlaufen von oben nach unten, die der Spalten von links

2 5 D 1
nach rechts. Das Element aij befindet sich also im Kreuzungs-

Lösung: . x; y; z/ D .8; 2; 1/
punkt der i-ten Zeile und der j-ten Spalte.

(oder Lösungsmenge: L D f.8; 2; 1/g)

Probe:

Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten nennt man . m; n/-

(I) 3 8 9 2 1 D 5 ) 24 18 1 D 5 ) 5 D 5

Matrix. Meist kürzt man Matrizen durch große lateinische

(II) 4 8 C 10 2 9 1 D 43 ) 32 C 20 9 D 43 )

Buchstaben A; B; : : : ab. Man schreibt eine Matrix, indem man

43 D 43
das Schema in eckige Klammern (oder auch in runde Klam-

(III) 5 8 2 2 1 D 36 ) 40 2 2 D 36 )

mern) setzt:

36 D 36

J

Matrix

2

3

Wichtiger Hinweis: Die Probe stets in allen noch nicht umge-
a
a

6 11 a 12

1 n 7
formten Ausgangsgleichungen durchführen!

6 a
a 7

A D 6 21
a 22

2 n

4

7

5
a

m 1
am 2
amn

Additionsverfahren

0

1
a

11
a 12
a 1 n

Beim Additionsverfahren wird eine der Gleichungen jeweils so

B

C
a
a
äquivalent umgeformt, dass bei Addition dieser umgeformten

B

C

A D B 21
a 22

2 n C

Gleichung mit einer der beiden anderen Gleichungen jeweils die

@

A
gleiche Variable herausfällt. Auch dadurch erhält man wieder
a

m 1
am 2
amn
zwei Gleichungen mit zwei Variablen.

Abkürzend schreibt man dafür auch A D . a

Beispiel
ij/.

2.

Beispiel

(I)

x 2 y 3 z D 5

2

3

5

2

0

5

(II)

3 x C 3 y C z D 6

6

7

A D 4 14

0

6 15

(III)

2 x C y z D 0

1

0

2

5

Multiplikation von (II) mit 3: (II0) 9 x C 9 y C 3 z D 18

Dies ist eine .3; 4/-Matrix, also eine Matrix mit 3 Zeilen

Addition von (I) und (II0): (IV) 10 x C 7 y D 13
und 4 Spalten. Zum Beispiel ist a

D

12

2 das Element,

Addition von (II) und (III): (V) 5 x C 4 y D 6
das in der ersten Zeile und zweiten Spalte steht.

J

Multiplikation von (V) mit 2: (V0) 10 x 8 y D 12

Addition von (IV) und (V0): y D 1 ) y D 1

Einsetzen in (V): 5 x 4 D 6 ) x D 2

Einsetzen von x D 2 und y D 1 in (III): z D 2 x C y D

Achtung: Die Doppelindizes sind einzeln zu lesen, zum Beispiel

2 2 1 D 3
wird a 12 gesprochen: a – eins – zwei.

Lösung: . x; y; z/ D .2; 1; 3/ (oder Lösungsmenge:

L D f.2; 1; 3/g)

J

Quadratische Matrizen

Gilt m D n, also Zeilenanzahl gleich Spaltenanzahl, dann heißt

A eine n-reihige quadratische Matrix oder eine quadratische Ma-

Weitere Lösungsverfahren wie die Cramer’sche Regel werden
trix der Ordnung n. Die Elemente einer quadratischen Matrix,
mit Hilfe der Determinantenrechnung im Abschn. 2.9.4 formu-
für die i D j gilt, bilden die sogenannte Hauptdiagonale der Ma-
liert.

trix.

2.9

Lineare Gleichungssysteme

51

Beispiel

Matrizen vom gleichen Typ

I

2

3

Zwei Matrizen heißen vom gleichen Typ, wenn sie die gleiche

4

0

5

6 5

2 7

Anzahl von Zeilen und die gleiche Anzahl von Spalten haben,

Teil

A D 4 1

1

1 5
wenn also beide . m; n/-Matrizen sind mit dem gleichen m und

1 10 4
dem gleichen n.

3

A ist eine quadratische 3-reihige Matrix. Die Hauptdia-

Beispiel
gonalelemente sind a

D 4

D

D 4

11

, a

1, a

. Alle

5

22

33

3

"

#

"

#

"

#

Elemente der zweiten Zeile sind gleich 1: a

D

D

21
a 22

1

2

3

2

2

0

1 6
a

D

A D

I B D

I C D

23

1.

J

1

24

0

0

6

1

0

4

A und B sind vom gleichen Typ, C ist jedoch nicht vom
gleichen Typ wie A und B.

J

Nullmatrix 0

Eine Matrix, deren Elemente alle gleich Null sind, also a D
ij

0
für i D 1; : : : ; m und j D 1; : : : ; n, heißt eine Nullmatrix.

Gleichheit von Matrizen

Zwei Matrizen A und B heißen gleich, wenn beide vom gleichen

Einheitsmatrix E

Typ sind und wenn die entsprechenden Elemente übereinstim-

D

Eine quadratische Matrix heißt Einheitsmatrix, falls
men, wenn also aij
bij für alle i D 1; : : : ; m und j D 1; : : : ; n
gilt.

(1 für i D j;
a D
ij

Beispiel

0
für i ¤ j:

"

#

"

#

1

2

3

1

2

3

A D

I B D

W A D B

Diagonalmatrix

1

24

0

1

24

0

J

Eine quadratische Matrix, bei der für alle i ¤ j die Elemente aij
gleich Null sind, heißt Diagonalmatrix.

Transponierte Matrix

Beispiel

2

3

Die transponierte oder gespiegelte Matrix AT der Matrix A ist

2

0

0
die Matrix, die durch Vertauschung von Zeilen und Spalten von

6

7

A D 40 3 05

A gebildet wird:

0

0

7

J

2

3
a
a

6 11 a 12

1 n

6

7
a

21
a 22
a 2 n 7

Obere Dreiecksmatrix

A D 6

4

7

5

Eine quadratische Matrix, bei der für alle i > j die Elemente a

ij
am 1
am 2
amn
gleich Null sind, heißt obere Dreiecksmatrix.

2

3
a
a

6 11 a 21
m 1

6

7
a
a 7

Beispiel

AT D 6 12 a 22
m 2

4

7

5

2

3

1 6

0
a

1 n
a 2 n
amn

6

7

A D 4 0

4

1 5

0

0

7

J

Beispiel

"

#

2

3

2

5

Untere Dreiecksmatrix

2

3

1

6

7

A D

I

AT D

4 3

0 5

5

0

4

Eine quadratische Matrix, bei der für alle i < j die Elemente a

J
ij

1

4
gleich Null sind, heißt untere Dreiecksmatrix.

52

2 Gleichungen

Teil

Symmetrische Matrix

Eigenschaften:

Eine quadratische Matrix A heißt symmetrisch, wenn A D AT

I

Sind k und l zwei reelle Zahlen und A und B zwei Matrizen, so
ist, wenn also a D
ij
aji für alle i und j gilt.

gilt:

1. k. lA/ D l. kA/ D . kl/ A

Beispiel

2

3

2. . k C l/ A D kA C lA

1

2

3

3. k. A C B/ D kA C kB

6

7

A D 4 2

6 05 D AT

4. . kA/ T D kAT

3

0

5

J

Beispiel

"

#

Antisymmetrische Matrix

2

2 0

3 A D 3

Eine quadratische Matrix A heißt antisymmetrisch oder schief-

1

3

2
symmetrisch, wenn AT D A ist.

"

#

D

6

6 0

Addition und Subtraktion von Matrizen

3

9

6

J

Matrizen können nur dann addiert oder subtrahiert werden,
wenn sie vom gleichen Typ sind.

Zwei Matrizen vom gleichen Typ werden addiert bzw. sub-

Multiplikation von Matrizen
trahiert, indem man ihre korrespondierenden Elemente addiert

Das Produkt AB zweier Matrizen A und B kann nur dann
bzw. subtrahiert:

gebildet werden, wenn die Spaltenanzahl von A gleich der Zei-
lenanzahl von B ist.

A C B D . a

C

Ist A D . aij/ eine . m; n/-Matrix und B D . bjk/ eine . n; r/-Matrix
ij/ C . bij/ D . aij
bij/

(Anzahl der Spalten von A D Anzahl der Zeilen von B/, so ist die

A B D . a

ij/ . bij/ D . aij
bij/

Produktmatrix C D AB eine . m; r/-Matrix mit den Elementen

P
c

D
n

ik
a
b
j D1
ij
jk . Das Element cik von C D AB für ein festes
i und ein festes k erhält man also, indem man das j-te Element

Eigenschaften der Addition:

der i-ten Zeile von A mit dem j-ten Element der k-ten Spalte
von B multipliziert für j D 1; : : : ; n und alle diese Produkte

1. A C B D B C A (Kommutativgesetz)

addiert.

2. A C B/ C C D A C . B C C/ D A C B C C (Assoziativgesetz)

3. . A C B/ T D AT C BT .

Beispiel

A D . aij/;

B D . bjk/

"

#

"

#
n

X

2

2 0

4

1

3

)

C D AB D . c

D
a b

A D

I B D
ik /
mit cik
ij
jk

1

3

2

1

0

2
j D1

"

#

6

1 3

A C B D 0 3

0

"

#

"

#

Schematische Darstellung:

2 3 3

2

3

3

2

3

A B D

I B A D

b
b
b

2

3

4

2

3 4

6 11 b 12

1 k

1 r 7
b
b
b

J

6

6 21 b 22

2 k

2 r 7 D

4

7

B

: : : : : : 5
b

n 1
bn 2
bnk
bnr

Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl

2

3 2

3
a

11
a 12
a 1 n

Man multipliziert eine Matrix A mit einer reellen Zahl k, indem

6

6

7 6

7
a
a 7 6 7
man jedes Element der Matrix mit k multipliziert:

6 21 a 22

2 n

6

7 6

7

7 6 7

A D 6

6

7 6

7 D AB

6 a
a 7 6 c

7

6 i 1 ai 2
in 7 6
ik

7

7 6 7
kA D k. a

4

5 4

5
ij/ D . kaij/
a

m 1
am 2
amn

2.9

Lineare Gleichungssysteme

53

Beispiel

Eine Determinante D ist ein algebraischer Ausdruck, der jeder

I
n-reihigen quadratischen Matrix A mit reellen (oder komplexen)

"

#

2

3

Elementen a

1

1 2

1
ij eindeutig zugeordnet wird. Dieser algebraische

2

3

4

6

7

Ausdruck ist eine reelle (oder komplexe) Zahl. Die Determinan-

Teil

A D

I

B D 40

1

2

15

1

4 0
te einer n-reihigen quadratischen Matrix nennt man n-reihige

1

1

0

1

2

3

Determinante.

1

1 2

1

6

Man schreibt eine Determinante, indem man das quadratische

4

7

0

1

2

15 D B

Schema der Matrix zwischen senkrechte Striche setzt, oder in

1

1

0

1

Kurzform D D det. A/ D j A j:

"

# "

#

2

3

4

6

5

10

3

A D

D AB

1

4 0

1

5 6 5

Determinante

"

#

ˇ

ˇ

6

5

10

3

ˇˇ a

ˇ

11
a 12
a 1 nˇ

AB D

ˇ

ˇ

1

5 6 5

ˇ a
a ˇ

D D det. A/ D j A j D ˇ 21 a 22

2 n

ˇ

ˇ

ˇ ˇˇ

BA existiert nicht.

J

ˇ a

ˇ
n 1
an 2
ann

Eigenschaften der Matrizenmultiplikation:

Definition für zweireihige Determinanten ( n D 2):

1. A. BC/ D . AB/ C (Assoziativgesetz)

2. A. B C C/ D AB C AC (Distributivgesetz)

3. AB ¤ BA (Kommutativgesetz gilt nicht)

ˇˇ

ˇˇ

4. AE D EA D A ( E Einheitsmatrix)

ˇ a

ˇ

D D ˇ 11 a 12Ď a
a

5. AN D NA D N ( N Nullmatrix)

ˇ

11 a 22

12 a 21
a

ˇ

21
a 22

6. . AB/ T D BT AT (Reihenfolge ändert sich)

Orthogonale Matrix

Die Elemente a 11, a 22 bilden die Hauptdiagonale, die Elemente

Eine quadratische Matrix A heißt orthogonal, wenn AAT D
a 12, a 21 die sogenannte Nebendiagonale.

AT A D E ( E Einheitsmatrix) ist.

Merkregel zur Berechnung: Produkt der Hauptdiagonalelemente

Inverse Matrix
minus Produkt der Nebendiagonalelemente.

Eine Matrix B heißt Inverse der quadratischen Matrix A, wenn

AB D E ( E Einheitsmatrix) gilt. Man schreibt dann B D A1.

Beispiel

Existiert die Inverse einer Matrix, dann ist sie eindeutig.

ˇˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

1Ěine Matrix A, für die die Inverse A1 existiert, heißt regulär,

D D ˇ

Ď .1/ 1 1 2 D 3

J
andernfalls heißt sie singulär.

ˇ 2

1ˇ

Beispiel

"

#

2

3

Die allgemeine Lösungsformel

Man berechne die Inverse der Matrix A D

.

1

2
b
a

"

#

1 c 2

2 c 1
x D b 2 c 1

; y D a 1 c 2

a
b
a 1 b 2
a 2 b 1
a 1 b 2
a 2 b 1

D A1
c
d

"

# "

#
für ein lineares Gleichungssystem a 1 x C b 1 y D c 1, a 2 x C b 2 y D

2

3

1

0
c 2 (vgl. Abschn. 2.9.2) lässt sich auch mit Hilfe von zweireihi-

A D

D E
gen Determinanten schreiben:

1

2

0

1

Es ergibt sich das lineare Gleichungssystem 2 a C

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

3 c D 1, 2 b C 3 d D 0, a 2 c D 0, b 2 d D 1.

ˇˇ

ˇ

ˇ

ˇ
c

ˇ

ˇ a

Ďie Lösung des Gleichungssystems ist a D 2, b D 3,

ˇ 1 b 1

1
c 1

ˇ

ˇˇ

ˇˇ

ˇˇ
c D 1, d D 2.

c
a

"

#

2
b 2

2
c 2
x D ˇ

ˇ; y D ˇ

ˇ

2 3

ˇˇ

ˇ

ˇ

ˇ
a

ˇ

ˇ a

Ěs folgt: Inverse A1 D

.

J

1
b 1

1
b 1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

2

ˇ a

ˇ

ˇ

ˇ

2
b 2
a 2
b 2

54

2 Gleichungen

Teil

Die gemeinsame Nennerdeterminante wird aus den Koeffizi-

Beispiel
enten von x und y der beiden Gleichungen in der gegebenen

ˇ

ˇ

I

Anordnung gebildet. Die Nennerdeterminante heißt deshalb

ˇˇ 3 7 2ˇˇ
auch Koeffizientendeterminante. Man erhält die Zählerdeter-

ˇ

ˇ

D D ˇ

ˇ
minante von x, indem man die Koeffizienten von x durch die

ˇ 4

0

6 ˇ

Absolutglieder ersetzt, und die Zählerdeterminante von y ent-

ˇ2 4

1 ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ
šprechend durch Ersetzung der Koeffizienten von y durch die

ˇˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

0

6ˇ

ˇ 7

2ˇ

ˇ7 2ˇ

Absolutglieder (immer in der gleichen Reihenfolge, also Erset-

D 3 ˇ

C

ˇ

ˇ 4 ˇ

ˇ .2/ ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ
žung von b

4

1

4

1

0

6

1 durch c 1 usw.).

D

Man nennt diese Methode Cramer’sche Regel zur Berech-

3.0 1 6.4// 4.7 1 .2/.4//
nung der Lösung eines linearen Gleichungssystems (nach dem

2.7 6 .2/0/
schweizerischen Mathematiker Gabriel Cramer, 1704–1752).

D 3 24 4.1/ 2 42 D 8

J

Beispiel

Man nennt dies „Entwickeln“ der dreireihigen Determinante

(I) x 2 y D 4, (II) 2 x C 5 y D 35
nach der ersten Spalte. Dabei wird nacheinander jedes Element
der ersten Spalte mit derjenigen zweireihigen Determinante

Einsetzen von a D

D

D

D

D

1

1, a 2

2, b 1

2, b 2

5, c 1

4,
multipliziert, die man erhält, wenn man in der dreireihigen De-
c

D

2

35 in die Determinantengleichungen für x und y
terminante die Zeile und die Spalte streicht, in der das Element
ergibt:

steht. Die so gebildeten Produkte werden mit alternierenden

ˇˇ

ˇ

(wechselnden) Vorzeichen versehen, angefangen mit einem +,

ˇ

ˇ

ˇ 4 2ˇ
und anschließend addiert.

ˇ

ˇ

35

5 ˇ
x D ˇ

Bezeichnet man die Determinante, die man durch Streichen der

ˇ

Ď 4 5 .2/ 35

ˇ

ˇ

1

2

1 5 .2/2
i-ten Zeile und der j-ten Spalte der Determinante D erhält, mit

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

D

2

5 ˇ
ij, so kann man das obige Entwickeln auch darstellen als

D 20 C 70 D 90 D 10;

5 C 4

9

ˇ

D D a

D a D C a D

ˇ

ˇ

11

11

21

21

31

31

ˇ

ˇ

1

4

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

2

35ˇ
y D Ďie mit dem Faktor .1/ i C j (dieser Faktor ist C1 oder 1) mul-

ˇ

Ď 1 35 4 2 D 35 8 D 27 D 3

ˇ

ˇ

1

2

1 5 .2/ 2

5 C 4

9
tiplizierte Determinante D

ˇ

ˇ
ij heißt Adjunkte oder algebraisches

ˇ

ˇ

2

5 ˇ

Komplement Aij des Elements aij. Somit kann man für das obi-

J
ge Entwickeln auch schreiben

C

C

Definition für dreireihige Determinanten ( n D 3):

D D a 11 A 11
a 21 A 21
a 31 A 31

ˇˇ

Žur Berechnung kann man die Determinante nach einer beliebi-

ˇ a

ˇ

ˇ 11 a 12 a 13ˇˇ
gen Zeile oder Spalte entwickeln.

D D ˇˇ a 21 a 22 a 23Ěntwicklung nach einer beliebigen Zeile:

ˇ

ˇ
a

ˇ

31
a 32
a 33

ˇˇ

ˇˇ

ˇˇ

ˇˇ

ˇˇ

ˇĎ

ˇ a

ˇ

ˇ a

ˇ

ˇ a

ˇ
a

22
a 23

12
a 13 C

12
a 13

C

C

11 ˇ

D D a

A
a

A
a

A

ˇ

ˇ a 21 ˇ

ˇ a 31 ˇ

ˇ
i 1
i 1
i 2
i 2
i 3
i 3
a

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

32
a 33
a 32
a 33
a 22
a 23

3

X

D a

11. a 22 a 33
a 23 a 32/ a 21. a 12 a 33
a 13 a 32/

D
aijAij;

1 i 3

C a

j D1

31. a 12 a 23
a 13 a 22/

D a

C

11 a 22 a 33
a 11 a 23 a 32
a 13 a 21 a 32
a 12 a 21 a 33

Bei Entwicklung nach der ersten Zeile ist i D 1, bei Entwick-

C a

12 a 23 a 31
a 13 a 22 a 31
lung nach der zweiten Zeile ist i D 2, und bei Entwicklung nach
der dritten Zeile ist i D 3.

2.9

Lineare Gleichungssysteme

55

Entwicklung nach einer beliebigen Spalte:

Die Regel ausgeführt ergibt

I

ˇˇ

ˇ

ˇ a

ˇ

11
a 12
a 13ˇ

Teil

ˇ

ˇ

D D a

C

C

det. A/ D ˇ

ˇ

1 j

A 1 j
a 2 j A 2 j
a 3 j A 3 j

ˇ a 21 a 22 a 23

ˇ

ˇ
a

ˇ

3

X

31
a 32
a 33

D
aijAij;

1 j 3

D a

C

C

11 a 22 a 33
a 12 a 23 a 31
a 13 a 21 a 32
i D1
a

13 a 22 a 31
a 11 a 23 a 32
a 12 a 21 a 33

Bei Entwicklung nach der ersten Spalte ist j D 1, bei Entwick-
lung nach der zweiten Spalte ist j D 2, und bei Entwicklung

Beispiel
nach der dritten Spalte ist j D 3.

ˇˇ

ˇ

ˇ 3

7

2ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Ď

ˇ 4

0

6 ˇˇ 3 0 1 C 7 6 .2/ C .2/ 4 .4/

Beispiel

ˇ2 4 1 ˇ .2/ 0 .2/ 3 6 .4/ 7 4 1

ˇˇ

ˇ

ˇ 3

7

2Ď 0 84 C 32 0 C 72 28 D 8

J

ˇ

ˇˇ

D D ˇˇ 4

0

6 ˇ

ˇ

ˇ

2 4

1 ˇ

Fehlerwarnung: Die Regel von Sarrus gilt nur für dreireihige

Determinanten!

Entwicklung nach der zweiten Zeile:

Definition für n-reihige Determinanten ( n 4):

D D a

C

C

21

A 21
a 22 A 22
a 23 A 23

Auch für beliebige n-reihige Determinanten lässt sich der Wert

ˇˇ

ˇˇ
mit Hilfe des Entwicklungssatzes definieren.

D

ˇ 7

2ˇ

4 .1/2C1 Č

ˇ

ˇ 0 A

22

4

1 Ěntwicklung nach einer beliebigen Zeile:

ˇˇ

ˇČ

ˇ 3

7 ˇ

6 .1/2C3 ˇˇ

ˇ

D D a A C a A C : : : C a A

2

4ˇ
i 1
i 1
i 2
i 2
in
in
n

X

D 4Œ7 1 .2/.4/ C 0 6Œ3 .4/ 7 .2/

D
aijAij;

1 i n
j D1

D 4 .1/ 6 2 D 4 12 D 8

J

Bei Entwicklung nach der ersten Zeile ist i D 1, bei Entwick-
lung nach der zweiten Zeile ist i D 2, usw., und bei Entwicklung

Dreireihige Determinanten können auch mit der Regel von Sar-
nach der n-ten Zeile ist i D n.

rus berechnet werden (nach dem französischen Mathematiker

Entwicklung nach einer beliebigen Spalte:

Pierre F. Sarrus, 1798 bis 1861).

Man fügt bei der Regel von Sarrus die ersten beiden Spalten der

D D a A C a A C : : : C a A

Determinante nochmals als 4. und 5. Spalte hinzu. Dann multi-

1 j

1 j

2 j

2 j
nj
nj
pliziert man je drei diagonal aufeinanderfolgende Elemente und
n

X
addiert (Hauptdiagonalen) bzw. subtrahiert (Nebendiagonalen)

D
aijAij;

1 j n
die so entstehenden sechs Produkte.

i D1

Bei Entwicklung nach der ersten Spalte ist j D 1, bei Ent-
wicklung nach der zweiten Spalte ist j D 2, usw., und bei

Entwicklung nach der n-ten Spalte ist j D n.

Die Cramer’sche Regel zur Berechnung der Lösung eines li-
nearen Gleichungssystems ist immer dann anwendbar, wenn
bei dem betrachteten linearen Gleichungssystem die Anzahl
der Gleichungen und die Anzahl der Variablen übereinstimmen

(und die Koeffizientendeterminante von Null verschieden ist).

56

2 Gleichungen

Teil

Die Koeffizientendeterminante eines allgemeinen linearen Glei-

Ist jedoch D D 0, dann gibt es entweder keine oder unendlich
chungssystems mit drei Gleichungen und drei Variablen lautet
viele Lösungen des linearen Gleichungssystems. In diesem Fall

I
ist die Cramer’sche Regel nicht anwendbar.

ˇˇ

ˇ

ˇ a

ˇ

ˇ 1 b 1 c 1ˇˇ

D D ˇ

Beispiel

ˇ a 2 b 2 c 2ˇ

ˇ

ˇ
a

ˇ

3
b 3
c 3

Lineares Gleichungssystem:

Ersetzt man die erste Spalte von D, also die Koeffizienten von

3 x C 15 y C 8 z D 10
x, durch die Absolutglieder des linearen Gleichungssystems, so

5 x C 10 y C 12 z D 1
ergibt sich die Determinante

2 x C 7 y C
z D 1

ˇˇ

Ňennerdeterminante (Determinante der Koeffizientenma-

ˇ d

ˇ

ˇ 1 b 1 c 1ˇťrix):

D D
x

ˇˇ d 2 b 2 c 2ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ
d

ˇ

ˇ

ˇ

3
b 3
c 3

ˇ 3

15

8

ˇ

ˇˇ

D D ˇ

ˇ 5 10 12ˇ

ˇ

ˇ

2

7

1 Ďurch Ersetzen der Koeffizienten von y und z erhält man analog
die Matrizen

D 30 C 360 280 160 252 C 75 D 227

ˇˇ

ˇ

ˇ

Žählerdeterminanten:

ˇ a

ˇ

ˇ a

ˇ

ˇ 1 d 1 c 1ˇˇ

ˇˇ 1 b 1 d 1ˇˇ

ˇˇ

ˇˇ

D D

D

10

15

8
y

ˇˇ a 2 d 2 c 2ˇ; Dz ˇ a 2 b 2 d 2ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ
a

ˇ

ˇ

ˇ

D D ˇ1 10 12ˇ

3
d 3
c 3
a 3
b 3
d 3
x

ˇˇ

ˇ

1

7

1 Ď

Für D ¤ 0 ergibt sich dann als eindeutige Lösung des linearen

100 C 180 56 80 840 C 15 D 681

Gleichungssystems

ˇˇ

ˇ

ˇ 3

10

8 ˇ

ˇ

ˇˇ

ˇ

D D
y

ˇ 5 1 12ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ d

ˇ

ˇ 2

1

1 ˇ

ˇ 1 b 1 c 1ˇ

ˇ

ˇ

ˇ d 2 b 2 c 2ˇĎ 3 C 240 40 C 16 36 C 50 D 227

D

ˇ d

ˇ
x

3
b 3
c 3
x D

D ˇ

ˇ;

ˇˇ

ˇˇ

D

ˇˇ a

ˇ

ˇ 3

15

10 ˇ

ˇ 1 b 1 c 1ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

D D ˇ5 10 1ˇ

ˇ a 2 b 2 c 2ˇ
z

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ
a

ˇ

2

7

1

3
b 3
c 3

ˇˇ

Ď

ˇ a

ˇ

30 30 350 200 C 21 C 75 D 454

ˇ 1 d 1 c 1ˇ

ˇ

ˇ

ˇ a 2 d 2 c 2ˇŠomit ergibt sich als Lösung des linearen Gleichungssys-

D

ˇ a

ˇ
y

3
d 3
c 3
tems:

y D

D ˇ

ˇ;

D

ˇˇ a

ˇ

ˇ 1 b 1 c 1ˇ

D

x

681

ˇ

ˇ
x D

D

D 3;

ˇ a 2 b 2 c 2ˇ

D

227

ˇ

ˇ
a

ˇ

3
b 3
c 3

ˇ

Dy

ˇ

ˇ
y D

D 227 D 1;

ˇ a

ˇ

D

227

ˇ 1 b 1 d 1ˇ

ˇ

ˇ

ˇ a 2 b 2 d 2ˇˇ

D

z

454
z D

D

D 2

D

ˇ a

ˇ
z

3
b 3
d 3

D

227
z D

D ˇ

ˇ

D

ˇˇ a

ˇ

ˇ 1 b 1 c 1Ďie Lösung des Gleichungssystems ist also das (geordne-

ˇ

ˇ

ˇ a 2 b 2 c 2ťe) Zahlentripel . x; y; z/ D .3; 1; 2/ (oder Lösungsmen-

ˇ

ˇ
a

ˇ

3
b 3
c 3
ge: L D f.3; 1; 2/g).

J

I

Planimetrie

Teil

3

Arnfried Kemnitz

3.1

Geraden und Strecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.2

Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.3

Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.4

Geometrische Örter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.5

Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.6

Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

3.7

Reguläre n-Ecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

3.8

Polygone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

3.9

Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

3.10 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

3.11 Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

57

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_3

58

3 Planimetrie

Teil

Die Planimetrie (griech., Flächenmessung) ist ein Teilgebiet der

B
a

Geometrie (griech., Erdmessung) und befasst sich mit höchs-

I
tens zweidimensionalen Objekten. Dabei interessieren zum Bei-

A

C
a
spiel Form, Größe und gegenseitige Lage solcher Objekte. Die

Grundelemente dieser Geometrie der Ebene sind Punkte und

D

Geraden.

Abb. 3.3 Strecken AB und CD mit derselben Länge a

3.1

Geraden und Strecken

3.2

Winkel

Eine Gerade ist eine beidseitig unbegrenzte gerade Linie. Ein

Zwei Strahlen, die von demselben Punkt S ausgehen, können

Punkt ist die Schnittstelle zweier Geraden.

durch eine Drehung um S ineinander überführt werden, durch
die der Winkel zwischen ihnen bestimmt wird. Die Strahlen hei-

Eine Gerade ist durch zwei voneinander verschiedene Punk-
ßen die Schenkel des Winkels, der Punkt S heißt Scheitelpunkt.

te eindeutig bestimmt. Die kürzeste Verbindung zweier Punkte

Sind g und h die beiden Strahlen und A ein Punkt von g und

P 1 und P 2 liegt auf der Geraden durch P 1 und P 2. Zwei ver-

B ein Punkt von h, so bezeichnet man den Winkel mit †. g; h/
schiedene Geraden in der Ebene sind parallel zueinander oder

(gesprochen: Winkel zwischen g und h) oder mit † ASB (gespro-
haben einen Punkt, ihren Schnittpunkt, gemeinsam. Die Gera-
chen: Winkel ASB), (Abb. 3.4).

de durch die Punkte P 1 und P 2 schreibt man P 1 P 2 (gesprochen:

Gerade P 1 P 2) oder P 2 P 1. Geraden kürzt man oft mit g ab, also

Winkel werden meist mit kleinen griechischen Buchstaben be-
g D P

D

1 P 2

P 2 P 1.

zeichnet:

A 2 g ist eine abkürzende Schreibweise dafür, dass der Punkt

˛; ˇ; ; ı; : : : ; '; : : :

A ein Punkt der Geraden g ist, also auf der Geraden g liegt, und

B … g bedeutet, dass B außerhalb von g liegt.

Man unterscheidet in der Regel nicht zwischen Winkel und Grö-
ße (Maß, Betrag) eines Winkels.

AB k CD oder g k h (gesprochen: g parallel h) bedeutet, dass AB
und CD zwei parallele Geraden sind, also keinen Schnittpunkt

Zur Winkelmessung unterscheidet man zwei verschiedene Win-
haben (Abb. 3.1).

kelmaße: das Gradmaß und das Bogenmaß (Bogenmaß siehe

Abschn. 3.9.5). Beide beruhen auf Kreisteilungen.

Ein Strahl oder eine Halbgerade ist ein Teil einer Geraden, der

Beim Gradmaß wird ein Vollwinkel in 360 gleiche Teile ein-
von einem Punkt S einer Geraden aus in einer Richtung läuft.

geteilt (Sexagesimaleinteilung). Die Einheit des Gradmaßes ist

Der Punkt S heißt Anfangspunkt des Strahls. Jeder Punkt einer

Grad (°). 1° entspricht 1 des Vollwinkels. Untereinheiten des

Geraden bestimmt zwei verschiedene Strahlen (Abb. 3.2).

360

Grads sind Minuten und Sekunden.

Eine Strecke ist ein Abschnitt einer Geraden zwischen zwei

Punkten. Eine Strecke ist also eine beidseitig begrenzte gera-
de Linie. Die Strecke zwischen den Punkten A und B schreibt

1ı .1 Grad/ D 600 .60 Minuten/
man AB (gesprochen: Strecke AB). Die Punkte A und B heißen
die Endpunkte der Strecke, alle anderen Punkte der Strecke bil-

10 .1 Minute/ D 6000.60 Sekunden/
den das Innere. Die Länge der Strecke wird mit j AB j bezeichnet
ı

0

1

1

(gesprochen: Länge oder Betrag der Strecke AB), (Abb. 3.3).

10 D

; 100 D

60

60
g

In der Geodäsie wird eine Zentesimaleinteilung verwendet. Da-
α
bei wird der Vollwinkel in 400 gleiche Teile eingeteilt. Die
h

Einheit ist gon (Gon). 1 gon entspricht also 1 des Vollwinkels.

α

400

Ältere, heute nicht mehr gebräuchliche Einheit ist Neugrad.

h

Abb. 3.1 Parallele Geraden g und h

B

S

A
α

S
g
s

A

Abb. 3.2 Strahl s (A ist ein beliebiger Punkt von s)

Abb. 3.4 Winkel ˛ D †.g; h / D †ASB

3.2

Winkel

59

180° – α

I
α

S

S

S

Abb. 3.7 Supplementwinkel

Teil
spitzer Winkel
rechter Winkel
stumpfer Winkel

C

B

S
α
α

A

S

S

S

D

Abb. 3.8 Scheitelwinkel (†ASB und †CSD )

gestreckter Winkel
überstumpfer

Vollwinkel

Winkel

180° – α

Abb. 3.5 Winkelbezeichnungen

B
α

90° – α

C

S

A
α
β

Abb. 3.9 Nebenwinkel (†ASB und †BSC )

A

A′

Abb. 3.6 Komplementwinkel
α
α

B = B ′

S

S ′

D = D ′

1 Vollwinkel D 360ı D 400 gon

C

C ′

Abb. 3.10 Stufenwinkel (†ASB und †A 0S 0B 0)

Für bestimmte Winkel gibt es besondere Bezeichnungen

(Abb. 3.5):

2. Supplementwinkel

Ein Winkel ˛ mit ˛ D 0° heißt Nullwinkel.

Winkel, die sich zu 180° ergänzen. Der Supplementwinkel

Ein Winkel ˛ mit ˛ D 90° heißt rechter Winkel.

zu einem Winkel ˛ ist der Winkel Ď 180ı ˛ (Abb. 3.7).

Ein Winkel ˛ mit ˛ D 180° heißt gestreckter Winkel.

Ein Winkel ˛ mit ˛ D 360° heißt Vollwinkel.

Beispiel

Ein Winkel ˛, der größer als 0 und kleiner als ein rechter Winkel

˛ D 62ůnd Ď 118° sind Supplementwinkel.

J
ist, heißt spitzer Winkel: 0ı < ˛ < 90ı.

Ein Winkel ˛, der größer als ein rechter Winkel ist, heißt stump-
fer Winkel: ˛ > 90°.

3. Scheitelwinkel

Ein Winkel ˛, der größer als ein gestreckter Winkel ist, heißt

Gegenüberliegende Winkel an zwei sich schneidenden Ge-
überstumpfer Winkel: ˛ > 180°.

raden. Scheitelwinkel sind gleich groß (Abb. 3.8).

In einer Figur kennzeichnet man einen rechten Winkel mit ei-

4. Nebenwinkel
nem Punkt zwischen seinen Schenkeln und einem Winkelbogen.

Benachbarte Winkel an zwei sich schneidenden Geraden.

Einige Paare von Winkeln haben bestimmte Namen:

Nebenwinkel sind Supplementwinkel, sie ergänzen sich al-
so zu 180° (Abb. 3.9).

1. Komplementwinkel

Winkel, die sich zu 90° ergänzen. Der Komplementwinkel

5. Stufenwinkel
zu einem Winkel ˛ ist der Winkel Ď 90ı ˛ (Abb. 3.6).

Gleichliegende Winkel an von einer Geraden geschnittenen

Parallelen. Stufenwinkel sind gleich groß (Abb. 3.10).

Beispiel

6. Wechselwinkel

Entgegengesetzt liegende Winkel an von einer Geraden

˛ D 32ůnd Ď 58° sind Komplementwinkel.

J
geschnittenen Parallelen. Wechselwinkel sind gleich groß

(Abb. 3.11).

60

3 Planimetrie

Teil

A

A′

3.4

Geometrische Örter

I
α

Ein geometrischer Ort ist eine Punktmenge, die alle Elemen-

B = B ′

S

S ′

D = D ′
α
te mit einer bestimmten geometrischen Eigenschaft (oder mit

C
mehreren Eigenschaften) enthält.

C ′

In der Planimetrie sind die geometrischen Örter Linien, daher

Abb. 3.11 Wechselwinkel (†ASB und †C 0S 0D 0)

werden sie auch geometrische Ortslinien genannt. In der Ste-
reometrie sind die geometrischen Örter Flächen.

3.3

Projektion

Beispiele für geometrische Ortslinien

1. Der geometrische Ort aller Punkte, die von einem fes-

Man unterscheidet Parallelprojektion und Zentralprojektion.

ten Punkt M die feste Entfernung r haben, ist der Kreis

Eine Parallelprojektion ist die Abbildung eines ebenen Ge-
um M mit dem Radius r.

genstandes durch parallele Strahlen auf eine Gerade (in der

2. Der geometrische Ort aller Punkte, die von einer gege-

Stereometrie die Abbildung eines räumlichen Gegenstandes
benen Geraden g den festen Abstand d haben, ist eine
durch parallele Strahlen auf eine Ebene). Bei senkrechter Par-

Parallele zu g im Abstand d.

allelprojektion stehen die projizierenden Strahlen senkrecht auf

3. Geometrischer Ort aller Punkte, die von zwei festen
der Geraden (Stereometrie: auf der Ebene), bei schiefer Paral-

Punkten A und B gleich weit entfernt sind, ist die Mit-
lelprojektion nicht (Abb. 3.12).

telsenkrechte auf der Strecke AB.

4. Geometrischer Ort aller Punkte, die von zwei festen

Eine Zentralprojektion ist die Abbildung eines ebenen Gegen-
nicht parallelen Geraden g und h den gleichen Abstand
standes durch Strahlen, die alle durch einen festen Punkt Z
haben, sind die beiden (zueinander senkrechten) Win-
gehen (durch das Zentrum oder Projektionszentrum), auf eine
kelhalbierenden zwischen g und h.

J

Gerade (in der Stereometrie die Abbildung eines räumlichen

Gegenstandes auf eine Ebene), (Abb. 3.13).

3.5

Dreiecke

B

3.5.1

Allgemeine Dreiecke

A

Ein Dreieck besteht aus drei nicht auf einer Geraden liegenden

Punkten A; B; C und den Strecken AB; AC; BC.

Die Punkte A; B; C sind die Eckpunkte des Dreiecks, die Stre-
cken AB, AC, BC sind die Seiten des Dreiecks, und ihre Längen
j AB j, j AC j, j BC j sind die Seitenlängen des Dreiecks.

A′

B′

Meistens werden die Seitenlängen mit a; b; c und die Innenwin-
s 1
s 2
kel des Dreiecks mit ˛; ˇ; bezeichnet, und zwar in der Weise,
dass der Punkt A der Seite mit der Länge a, der Punkt B der

Abb. 3.12 Senkrechte Parallelprojektion einer Strecke AB

Seite mit der Länge b, der Punkt C der Seite mit der Länge c
gegenüberliegt und dass der Winkel ˛ den Scheitelpunkt A, der

Z

Winkel ďen Scheitelpunkt B und der Winkel den Scheitel-
punkt C hat (Abb. 3.14).

B

C

A
γ
b
a

A′

B′
α
β
s 1
s 2

A
c

B

Abb. 3.13 Zentralprojektion von Z einer Strecke AB

Abb. 3.14 Bezeichnungen im Dreieck

3.5

Dreiecke

61

C

In einem spitzwinkligen Dreieck sind alle drei Innenwinkel klei-
g

AB

I
α
β
ner als 90°, in einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel
γ
gleich 90°, in einem stumpfwinkligen Dreieck ist ein Winkel
b
größer als 90°.

a

Teil

Der Umfang u eines Dreiecks ist die Summe der Seitenlängen.

α
β

A
c

B
u D a C b C c

Abb. 3.15 Winkelsumme gleich 180°

Der Flächeninhalt A eines Dreiecks berechnet sich nach der

C
γ ′

Grundformel
γ

A D 1 Grundseite Höhe
α
β
β ′

2

A
α ′

B

Daraus ergeben sich folgende Formeln für den Flächeninhalt A

Abb. 3.16 Außenwinkelsumme gleich 360°

(vgl. Kap. 6)

Abkürzend verwendet man für ein Dreieck den großen griechi-

A D 1 a h D 1

D 1
a
b hb
c hc
schen Buchstaben , und für ein Dreieck mit den Eckpunkten

2

2

2

A; B; C schreibt man . ABC/ (Abb. 3.15).

D 1 a b sin D 1 a c sin Ďie Winkelsumme in jedem Dreieck beträgt 180°.

2

2

D 1 b c sin ˛

2

˛ C Č D
p

180ı

D
s. s a/. s b/. s c/
s D 1 . a C b C c/

Im Dreieck ist die Summe zweier Seitenlängen stets größer als

2
die dritte.

Die letzte Formel ist die sogenannte Heronische Flächenformel

(nach dem griechischen Mathematiker Heron von Alexandria, 1.

a C b > c;
a C c > b;
b C c > a

Jahrhundert u. Z.), damit ist die Berechnung des Flächeninhalts
eines Dreiecks allein mit den Seitenlängen möglich.

Diese drei Ungleichungen zusammen heißen Dreiecksunglei-
chungen.

3.5.2

Gleichschenklige Dreiecke

Die Supplementwinkel der Dreieckswinkel nennt man Außen-
winkel des Dreiecks. Die Summe der Außenwinkel ˛0; ˇ0; 0 in

Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten heißt gleichschenklig
jedem Dreieck beträgt 360° (Abb. 3.16).

(Abb. 3.17).

˛0 C ˇ0 C 0 D 360ı

C Spitze

Schenkel

In einem Dreieck liegt der größeren Seite stets der größere Win-
kel gegenüber.

SchenkelBasiswinkel
α
α

A

B

Basis

Symmetrieachse
a > b > c

,

˛ > ˇ >

Abb. 3.17 Gleichschenkliges Dreieck

62

3 Planimetrie

Teil

C

60°

I
a
a

60°

60°
b

M
a
ma
a
r
m
m
b

Abb. 3.18 Gleichseitiges Dreieck
c

A
c

B

Die gleich langen Seiten heißen Schenkel und die dritte Seite

Basis des Dreiecks. Die Winkel an der Basis sind die Basiswin-

Abb. 3.20 Dreieck mit Umkreis
kel. Der der Basis gegenüberliegende Punkt heißt Spitze.

Die Basiswinkel sind gleich groß. Höhe, Seitenhalbierende,

Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende der Basis sind iden-

Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Dreiecksseite ist die
tisch (vgl. Abschn. 3.5.5). Sind umgekehrt in einem Dreieck je

Hypotenuse, die beiden anderen Seiten (also die Schenkel des
zwei dieser Strecken gleich, dann ist das Dreieck gleichschenk-
rechten Winkels) sind die Katheten des rechtwinkligen Drei-
lig.

ecks.

Für das rechtwinklige Dreieck gelten einige interessante Flä-
chensätze (vgl. Abschn. 3.5.6).

3.5.3

Gleichseitige Dreiecke

Ein Dreieck mit drei gleich langen Dreiecksseiten heißt gleich-

3.5.5

Besondere Geraden, Strecken und Kreise
seitig (Abb. 3.18).

In einem gleichseitigen Dreieck sind auch alle Winkel gleich

Der Umkreis eines Dreiecks ist der Kreis durch die drei Eck-
groß, jeder Winkel beträgt also 60°.

punkte des Dreiecks, der dem Dreieck umbeschriebene Kreis

Das gleichseitige Dreieck hat drei Symmetrieachsen. Die Hö-

(Abb. 3.20).

hen, Winkelhalbierenden, Seitenhalbierenden und Mittelsenk-
rechten fallen beim gleichseitigen Dreieck zusammen (vgl.

Der Inkreis eines Dreiecks berührt die drei Dreiecksseiten von

Abschn. 3.5.5). Folglich fallen auch die Mittelpunkte des In-
innen, er hat die Dreiecksseiten also als Tangenten. Der Inkreis
kreises und des Umkreises mit dem Schwerpunkt des Dreiecks
ist der dem Dreieck einbeschriebene Kreis.

zusammen.

Die Mittelsenkrechte einer Strecke ist die Senkrechte durch den

Ein gleichseitiges Dreieck heißt auch reguläres oder regelmäßi-

Mittelpunkt der Strecke. Beim Dreieck schneiden sich die drei
ges Dreieck.

Mittelsenkrechten in einem Punkt M, dem Mittelpunkt des Um-
kreises. Bei spitzwinkligen Dreiecken liegt M innerhalb des

Dreiecks, bei stumpfwinkligen Dreiecken außerhalb und bei
rechtwinkligen Dreiecken auf dem Rand (Mittelpunkt der Hy-

3.5.4

Rechtwinklige Dreiecke
potenuse) des Dreiecks.

Eine Höhe in einem Dreieck ist der Teil des Lotes von einem

Ein Dreieck mit einem rechten Winkel, also mit einem Winkel

Eckpunkt auf die gegenüberliegende Seite, der von dem Eck-
von 90°, heißt rechtwinklig (Abb. 3.19).

punkt und dieser Seite (bzw. ihrer Verlängerung) begrenzt wird.

Die Summe der beiden anderen (spitzen) Winkel in einem recht-

Die drei Höhen eines Dreiecks (bzw. ihre Verlängerungen)

winkligen Dreieck ist ebenfalls 90°.

schneiden sich in einem Punkt H. Der Höhenschnittpunkt des

Dreiecks heißt Orthozentrum des Dreiecks (Abb. 3.21).

Bei spitzwinkligen Dreiecken liegt der Höhenschnittpunkt H im

C

Innern des Dreiecks, bei einem rechtwinkligen Dreieck fällt H

Kathete
mit dem Scheitelpunkt des rechten Winkels zusammen (zwei

Höhen fallen mit den Katheten zusammen), bei stumpfwink-

Kathete
ligen Dreiecken liegt der Höhenschnittpunkt H außerhalb des
α
β

Dreiecks (Abb. 3.22 und 3.23).

A

B

Hypotenuse

Die Längen der Höhen im Dreieck werden mit ha, hb; hc be-

Abb. 3.19 Rechtwinkliges Dreieck (˛ C Ď 90°)

zeichnet.

3.5

Dreiecke

63

C

I
γ
γ
γ
b

2

2
a
hc
w

Teil
g
b
a
v
u
h

H
a
hb

Abb. 3.24 Winkelhalbierende im Dreieck (u W v D a W b )

α
β

A
c

B

C

Abb. 3.21 Die Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt H
γ
γ

2

2

C = H
w
r
g
r
b
a
b = ha
a = hb
hc
wb
α
w
β
a

2
r

2

A

B
α
β

2

2

A
c

B

Abb. 3.22 In einem rechtwinkligen Dreieck fällt H mit dem Scheitelpunkt des
rechten Winkels zusammen

Abb. 3.25 Dreieck mit Inkreis

H

Im Dreieck sind die drei Winkelhalbierenden Strecken PQ, wo-
bei P ein Eckpunkt (Scheitelpunkt des entsprechenden Winkels)

und Q der Schnittpunkt mit der gegenüberliegenden Seite ist.

Die drei Winkelhalbierenden im Dreieck schneiden sich in ei-
nem Punkt, dem Mittelpunkt des Inkreises (Abb. 3.25).

C
h
h
b
a
b
a

Die Längen der Winkelhalbierenden im Dreieck werden mit
w˛; wˇ; w bezeichnet.

A

B
c

Für die Winkelhalbierenden gilt (vgl. Kap. 6)

Abb. 3.23 In einem stumpfwinkligen Dreieck liegt H außerhalb des Dreiecks

2 bc cos ˛
w

2 ;

Sind a; b; c die Dreiecksseiten und ˛; ˇ; die Winkel des Drei-

˛ D
b C c
ecks, so gilt (vgl. Kap. 6)

2 ac cos ˇ
w

2

Ď
a C c
h D

2 ab cos
a
c sin Ď b sin ;
w

2

D
a C b
h D
b
c sin ˛ D a sin ;
h D
c
a sin Ď b sin Ęine Winkelhalbierende teilt die gegenüberliegende Seite im

Verhältnis der Längen der anliegenden Seiten.

Die Längen der Höhen verhalten sich umgekehrt proportional
wie die zugehörigen Seitenlängen.

Eine Seitenhalbierende (auch Median genannt) in einem Drei-
eck ist die Verbindungsstrecke einer Ecke mit dem Mittelpunkt
der gegenüberliegenden Seite.

h W

W

D 1 W 1 W 1

Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in ei-
a
hb hc
a
b
c
nem Punkt S, dem Schwerpunkt des Dreiecks. Der Schwerpunkt
teilt die Seitenhalbierenden vom Eckpunkt aus im Verhältnis

2 W 1 (Abb. 3.26).

Eine Winkelhalbierende ist eine Gerade durch den Scheitel-
punkt eines Winkels, so dass die beiden Winkel zwischen

Die Längen der Seitenhalbierenden im Dreieck werden mit

Gerade und je einem Schenkel gleich sind (Abb. 3.24).

Sa; Sb; Sc bezeichnet.

64

3 Planimetrie

Teil

C

I

C
sc
b
a

E

D
h

S

D

A

B
q
p
sb
sa
c
c

A

B

F

Abb. 3.26 Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich im
c

Schwerpunkt S (jAS j W jSD j D jBS j W jSE j D jCS j W jSF j D 2 W 1)

Abb. 3.27 Kathetensatz

Für die Seitenhalbierenden gilt (vgl. Kap. 6)

p
b 2

C
a 2
s D 1
a
b 2 C c 2 C 2 bc cos ˛
b
a

2
p

A
c

B
s D 1
b
a 2 C c 2 C 2 ac cos ˇ

2
p
c 2
s D 1
c
a 2 C b 2 C 2 ab cos

2

Abb. 3.28 Satz des Pythagoras: a2 C b 2 D c2

Mit Hilfe unterschiedlicher Größen des Dreiecks lassen sich die

Radien des Inkreises und des Umkreises berechnen. Dabei ist s
der halbe Umfang des Dreiecks, s D 1 . a C b C c/.

2

Der Hypotenusenabschnitt ist die Projektion (Parallelprojekti-
on) der entsprechenden Kathete auf die Hypotenuse.

Radius des Inkreises

Sind a, b die Kathetenlängen, c die Hypotenusenlänge und p; q

.

die zugehörigen Hypotenusenabschnitte des Dreiecks, so gilt

D s a/. s b/. s c/
s

˛

ˇ

D s tan
tan
tan

2

2

2
a 2 D pc;
b 2 D qc

Der Kathetensatz heißt auch erster Satz des Euklid (nach dem

Radius r des Umkreises
hellenistischen Mathematiker Euklid von Alexandria, 365–
a
b
c

300 v. u. Z.).

r D

D

D

2 sin ˛

2 sin ˇ

2 sin

Satz des Pythagoras

D bc D ac D ab

2 h

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadra-
a

2 hb

2 hc
te über den Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse

D
abc
p

(Abb. 3.28).

4
s. s a/. s b/. s c/

Sind a und b die Kathetenlängen und c die Hypotenusenlänge,
so gilt

3.5.6

Flächensätze im rechtwinkligen Dreieck
a 2 C b 2 D c 2

Kathetensatz

Einfacher Beweis des Satzes von Pythagoras (Abb. 3.29):

In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Ka-
thete gleich dem Rechteck aus Hypotenuse und zugehörigem

In ein Quadrat Q 1 der Seitenlänge a C b wird ein Quadrat Q 2 der

Hypotenusenabschnitt (Abb. 3.27).

Seitenlänge c so gelegt, dass die Eckpunkte von Q 2 die Seiten

3.5

Dreiecke

65
b
a
c

I
b
b
c
f
a
c
bg
β

Teil
bh
c
a

C
c
b
b
b
h
f
β
a
b

A

B
c = bg

Abb. 3.29 Zum Beweis des Satzes von Pythagoras

Abb. 3.31 Grundkonstruktion SSW (gegeben: b ; c; ˇ 90°)

C
h

C
b
c
b
α
h
a
α

A

B
a
c

D

A
q
p

B
p

Abb. 3.32 Grundkonstruktion SWS
q

Grundkonstruktion SSW

Gegeben: b, c, ˇ 90° (Seite, Seite, Winkel)

p

Konstruktion: Nach Konstruktion von AB und Antragen von ˇ

Abb. 3.30 Höhensatz
wie oben sind hier folgende Fälle möglich (Abb. 3.31):

f ) Der Kreis um A mit dem Radius bf schneidet den freien
von Q

Schenkel des gegebenen Winkels ňicht; keine Lösung.

1 im Verhältnis a : b teilen. Dann haben die vier innerhalb
von Q
g) Der Kreis um A mit dem Radius bg geht durch den Punkt B;

1 entstandenen Dreiecke alle den Flächeninhalt 1 ab, und

2
deshalb gilt:

„Lösung“ ist ein zur Strecke ( AB) entartetes Dreieck.

h) Der Kreis um A mit dem Radius bh schneidet den freien

Schenkel des gegebenen Winkels ˇ in C; eine Lösung.

. a C b/2 D c 2 C 4 1 ab

2

Der Kongruenzsatz SSW gilt hier nur für den Fall h).

) a 2 C 2 ab C b 2 D c 2 C 2 ab

)

a 2 C b 2 D c 2

Grundkonstruktion SWS

Gegeben: b, ˛, c (Seite, Winkel, Seite)

Höhensatz

In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe

Konstruktion: Den Schenkeln des Winkels ˛ gibt man die Län-
auf der Hypotenuse gleich dem Rechteck aus den beiden durch
gen b D j AC j und c D j AB j. Man verbindet B und C
die Höhe gebildeten Hypotenusenabschnitten (Abb. 3.30).

(Abb. 3.32).

Bezeichnet man die Höhe mit h und die Hypotenusenabschnitte

Bedingung: ˛ < 180°
mit p und q, so gilt

Grundkonstruktion SSS

Gegeben: a, b, c (Seite, Seite, Seite).

h 2 D pq

Konstruktion: Man zeichnet c D j AB| und schlägt um A
einen Kreisbogen mit dem Radius b und um B einen Kreisbo-

Beweis des Höhensatzes:

gen mit dem Radius a. Der Eckpunkt C ist der Schnittpunkt
der Kreisbögen, der „oberhalb“ von AB liegt ( A; B; C folgen

Nach dem Satz des Pythagoras gilt a 2 D h 2 C p 2 und nach dem
im mathematisch positiven Drehsinn, also entgegen dem Uhr-

Kathetensatz a 2 D pc D p. p C q/.

zeigersinn aufeinander). Anschließend wird noch C mit den

Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt 0 D h 2 C p 2 . p 2 C Eckpunkten A und B verbunden (Abb. 3.33).

pq/ D h 2 pq, woraus h 2 D pq folgt.

Bedingungen: a < b C c, b < a C c, c < a C b (Dreiecksunglei-

Der Höhensatz heißt auch zweiter Satz des Euklid.

chungen)

66

3 Planimetrie

Teil

C

Für die Längen der Seiten und der Diagonalen in einem Viereck
b
gilt folgender Zusammenhang:

I
a
a
b
c

A

In einem Viereck ist das Produkt der Diagonalenlängen kleiner

B
c
oder gleich der Summe der Produkte der Längen je zwei gegen-
a
b
überliegender Seiten.

C′

Abb. 3.33 Grundkonstruktion SSS
ef ac C bd

Anmerkung: Wenn sich, wie bei der letzten Konstruktion, zwei

Die Gleichheit gilt genau dann, wenn das Viereck ein Sehnen-
spiegelbildlich gleiche Lösungen ergeben (denn die Kreise
viereck ist (bei einem Sehnenviereck liegen alle vier Punkte auf
schneiden sich zweimal, in C und C 0, falls die Dreiecksun-
einem Kreis).

gleichungen erfüllt sind), wählt man diejenige aus, bei der die

Punkte A; B; C entgegen dem Uhrzeigersinn, also im mathema- Diese Aussage ist der verallgemeinerte Satz des Ptolemäus (vgl.

tisch positiven Sinn, aufeinander folgen.

Abschn. 3.6.8).

Der Umfang u eines Vierecks ist die Summe der Seitenlängen.

3.6

Vierecke
u D a C b C c C d

3.6.1

Allgemeine Vierecke

Ein Viereck besteht aus vier Punkten A; B; C; D, von de- Für den Flächeninhalt A eines Vierecks gilt (vgl. Kap. 6):

nen keine drei auf einer Geraden liegen, und den Strecken

AB; BC; CD; DA (Abb. 3.34).

Die Punkte A; B; C; D sind die Eckpunkte des Vierecks, die Stre-

A D 1 . ad sin ˛ C bc sin / D 1 . ab sin Č cd sin ı/
cken AB; BC; CD; DA sind die Seiten des Vierecks, und ihre

2

2

Längen j AB j; j BC j; j CD j; j DA j sind die Seitenlängen des Vier-
ecks.

D 1 ef sin '

2
r

Meistens werden die Seitenlängen mit a; b; c; d und die Innen-

˛ C
winkel des Vierecks mit ˛; ˇ; ; ı bezeichnet, und zwar so, dass

D

. s a/. s b/. s c/. s d/ abcd cos2

2
a D j AB j, b D j BC j, c D j CD j, d D j DA j und dass der Winkel
r

˛ den Scheitelpunkt A, der Winkel ďen Scheitelpunkt B, der

Č ı

Winkel den Scheitelpunkt C und der Winkel ı den Scheitel-

D

. s a/. s b/. s c/. s d/ abcd cos2 2
punkt D hat.

Die Strecken AC und BD heißen Diagonalen des Vierecks, ihre

Längen werden meist mit e und f bezeichnet: e D j AC j, f D

Dabei ist ' der Winkel zwischen den Diagonalen und s der halbe
j BD j.

Umfang des Vierecks, also s D 1 . a C b C c C d/.

2

Abkürzend verwendet man für ein Viereck das Symbol , und Die beiden letzten Formeln sind Verallgemeinerungen der He-
für ein Viereck mit den Eckpunkten A; B; C; D schreibt man
ronischen Flächenformel für Dreiecke.

. ABCD/.

Die Winkelsumme in einem beliebigen Viereck beträgt 360°.

3.6.2

Trapeze

˛ C Č C ı D 360ı

Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei Seiten zueinander par-
allel sind (Abb. 3.35).

Die parallelen Seiten heißen Grundlinien und die anderen bei-

C
den Seiten Schenkel des Trapezes. Die Verbindungsstrecke der
c
γ

Mittelpunkte der Schenkel heißt Mittellinie, sie ist parallel zu

D
e
b
den Grundlinien. Die Höhe eines Trapezes ist der Abstand der
d δ
φ
f
α
β
parallelen Grundlinien.

A

B
a

Sind die Schenkel gleich lang, so heißt das Trapez gleichschenk-

Abb. 3.34 Bezeichnungen im Viereck
lig.

3.6

Vierecke

67

D
c

C
a

I
δ
γ
f
m

Teil
a
a
d
h
b
e
α
β

A
a

B
a

Abb. 3.35 Trapez

Abb. 3.37 Rhombus

D
a

C
α
gramm ist die Summe der Quadrate der Seitenlängen gleich der

180° – α

Summe der Quadrate der Diagonalenlängen, also
e
h a
b
b
f

2 a 2 C 2 b 2 D e 2 C f 2
α

180° – α

A
a

B

Diese Aussage ist der Satz von Apollonios (nach dem hel-

Abb. 3.36 Parallelogramm
lenistischen Geometer und Astronom Apollonios von Perge,

262–190 v. u. Z.).

Ist m die Länge der Mittellinie, so gilt m D a C c .

2

Das Trapez mit den Grundlinienlängen a und c und der Höhe h

3.6.4

Rhomben
ist flächengleich einem Rechteck mit den Seitenlängen m und h.

Für den Flächeninhalt A des Trapezes gilt

Ein Rhombus ist ein Parallelogramm mit gleich langen Seiten.

Damit gelten für Rhomben alle Eigenschaften von Parallelo-
grammen. Darüber hinaus gilt: Die Diagonalen eines Rhombus

A D mh D a C c h
halbieren sich in ihrem Schnittpunkt, sie halbieren alle Winkel,

2
und sie stehen senkrecht aufeinander. Statt Rhombus sagt man
auch Raute (Abb. 3.37).

Für den Umfang u und den Flächeninhalt A eines Rhombus der

Seitenlänge a gilt ( e und f sind die Längen der Diagonalen)

3.6.3

Parallelogramme

Umfang
u D 4 a

Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die beiden jeweils
einander gegenüberliegenden Seiten parallel sind (Abb. 3.36).

Flächeninhalt

A D a 2 sin ˛ D 1 ef

Einander gegenüberliegende Seiten im Parallelogramm sind

2
gleich lang; einander gegenüberliegende Winkel sind gleich
groß; benachbarte Winkel ergänzen sich zu 180°; die Diagona-
len halbieren sich in ihrem Schnittpunkt.

3.6.5

Rechtecke

Das Parallelogramm mit den Seitenlängen a und b ist flächen-
gleich einem Rechteck mit den Seitenlängen a und ha (oder b

Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit vier rechten Winkeln.

und hb/.

Die Diagonalen eines Rechtecks halbieren sich in ihrem Schnitt-

Für den Umfang u und den Flächeninhalt A eines Parallelo-
p
punkt und sind gleich lang, es gilt e D f

D
a 2 C b 2
gramms mit den Seitenlängen a und b gilt

(Abb. 3.38).

Für den Umfang u und den Flächeninhalt A eines Rechtecks mit

Umfang
u D 2 a C 2 b
den Seitenlängen a und b gilt

Flächeninhalt

A D ah D

D
a
bhb
ab sin ˛

Umfang
u D 2 a C 2 b

Für die Längen der Seiten und der Diagonalen in einem Paral-

Flächeninhalt

A D ab
lelogramm gilt folgender Zusammenhang: In einem Parallelo-

68

3 Planimetrie

Teil
a

D
d
c

I
e
e
b
b

A

C
e
f
a
a
b

Abb. 3.38 Rechteck
a

B
e

Abb. 3.40 Drachen
a
a

C
e
c

D
e
a
d
b
f

A

Abb. 3.39 Quadrat
a

B

3.6.6

Quadrate

Abb. 3.41 Sehnenviereck

Ein Quadrat ist ein Rechteck mit gleich langen Seiten. Die Dia-
gonalen eines Quadrats sind gleich lang und stehen senkrecht
p
aufeinander. Es gilt e D f D a 2 (Abb. 3.39).

Ein Quadrat ist auch ein Rhombus (eine Raute) mit vier rechten

3.6.8

Sehnenvierecke

Winkeln.

Für den Umfang u und den Flächeninhalt A eines Quadrats der

Ein Sehnenviereck ist ein Viereck, bei dem alle vier Eckpunkte

Seitenlänge a gilt
auf einem Kreis liegen (Abb. 3.41).

Der Kreis heißt Umkreis des Vierecks, die Seiten sind Sehnen

Umfang
u D 4 a
dieses Kreises.

Flächeninhalt

A D a 2 D 1 e 2

Ein Viereck ist genau dann ein Sehnenviereck, wenn gegen-

2
überliegende Winkel Supplementwinkel sind, sich also zu 180°
ergänzen.

Ein Quadrat heißt auch reguläres oder regelmäßiges Viereck.

˛ C D Č ı D 180ı

3.6.7

Drachen

Ein Drachen ist ein Viereck mit zwei Paaren gleich langer be-

In einem Sehnenviereck ist das Produkt der Diagonalenlängen
nachbarter Seiten (Abb. 3.40).

gleich der Summe der Produkte der Längen je zwei gegenüber-
liegender Seiten (Satz von Ptolemäus).

Statt Drachen sagt man auch Drachenviereck.

Die Diagonalen eines Drachens stehen senkrecht aufeinander.

Ein Drachen mit vier gleich langen Seiten ist ein Rhombus (eine
ef D ac C bd

Raute).

Sind e und f die Längen der Diagonalen, dann gilt für den Flä-
cheninhalt A des Drachens

Die Formel wurde hergeleitet und bewiesen von dem helle-
nistischen Geometer und Astronom Ptolemaios von Alexandria

( 83–161 u. Z.).

A D 1 ef

2

In einem Sehnenviereck verhalten sich die Längen der Diagona-
len wie die Summen der Produkte der Längen jener Seitenpaare,

3.7

Reguläre n-Ecke

69

D

3.7

Reguläre n-Ecke

I
c

C

Ein n-Eck besteht aus n Punkten, den Eckpunkten des n-

Teil

Ecks, und n Seiten, den Strecken zwischen den Eckpunkten
d

(Abb. 3.43).

b

Haben alle Seiten die gleiche Länge und sind alle Innenwinkel
gleich groß, dann heißt das n-Eck regulär oder regelmäßig.

A
a

B

Bei einem regulären n-Eck liegen alle Eckpunkte auf einem

Kreis, dem Umkreis des n-Ecks, und alle Seiten sind Tangen-

Abb. 3.42 Tangentenviereck
ten eines einbeschriebenen Kreises, dem Inkreis des n-Ecks. Die

Seiten sind Sehnen des Umkreises.

die sich in den Endpunkten der Diagonalen treffen (Satz von

Ein reguläres Dreieck ist ein gleichseitiges Dreieck, ein regulä-

Brahmagupta).

res Viereck ist ein Quadrat.

Die Summe der Innenwinkel in einem beliebigen n-Eck ist
e

. n 2/ 180°. Da alle n Innenwinkel

D ab C cd
n gleich groß sind, gilt
f
ad C bc

Innenwinkel

Die Formel wurde von dem Inder Brahmagupta (6./7. Jahrhun-

D n 2
n

180ı
dert u. Z.) entdeckt, der erste Beweis stammt von dem deutschen
n

Mathematiker Johannes Müller, genannt Regiomontanus (1436–

1476).

Durch die Verbindungsstrecken der Eckpunkte mit dem Mittel-

Durch Multiplikation bzw. Division dieser beiden Formeln er-
punkt des Umkreises wird das reguläre n-Eck in n kongruente
hält man Ausdrücke für die Längen der beiden Diagonalen.

Dreiecke zerlegt. Für die Basiswinkel ˇ n und die Zentriwinkel

˛ n gilt
s. ab C cd/. ac C bd/
e D
n 2
ad C bc

Basiswinkel

Ď 1

D

n
n

90ı
s

2
n

. ad C bc/. ac C bd/
f D

Zentriwinkel

˛ D 360ı
n
ab C cd
n

Für den Flächeninhalt A des Sehnenvierecks gilt, wenn s der

Für die Seitenlänge an, den Umkreisradius r und den Inkreisra-
halbe Umfang des Sehnenvierecks ist, also s D 1 . a C b C c C d/,
dius n des regulären n-Ecks gilt (vgl. Kap. 6):

2
p
q

˛ n

A D

. s a/. s b/. s c/. s d/

Seitenlänge
a D

D
n

2
r 2 2

2 r sin
n

2

˛

D
n

2 n tan 2

3.6.9

Tangentenvierecke

Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, bei dem alle vier Seiten
denselben Kreis berühren (Abb. 3.42).

γn

Der Kreis heißt Inkreis des Vierecks, die Seiten sind Tangenten
dieses Kreises.

n

Ein Viereck ist genau dann ein Tangentenviereck, wenn die

Summe der Längen zweier gegenüberliegender Seiten gleich der
αn

Summe der Längen der beiden anderen Seiten ist.

r
β n
a C c D b C d
a n

Abb. 3.43 Bezeichnungen im regulären n-Eck

70

3 Planimetrie

Teil

Tab. 3.1 Übersicht über die regulären n-Ecke für kleine n (r D Umkreisradius)

n

Innenwinkel n

Zentriwinkel ˛ n

Seitenlänge an

Umfang un

Flächeninhalt An

I
p
p

3

60°

120°
r

3

2 r 2;5980 : : :

3

3 r 2

4
p

4

90°

90°
r

2

2 r 2;8284 : : :

2 r 2
p
p
p
p

5

108°

72°
r

10 2 5

2 r 2;9389 : : :

5

10 C 2 5 r 2

2

8
p

6

120°

60°
r

2 r 3

3

3 r 2

2
p
p
p

8

135°

45°
r

2

2

2 r 3;0614 : : :

2 2 r 2
p
p
p

10

144°

36°
r . 5 1/

2 r 3;0901 : : :

5

10 2 5 r 2

2

4
p
p

12

150°

30°
r

2

3

2 r 3;1058 : : :

3 r 2
an

Umkreisradius
r D 2 sin an 2

˛ n

Inkreisradius

D an
n
cot

2

2

Abb. 3.44 Einfaches Polygon

Für den Umfang un und den Flächeninhalt An des regulären n-

Ecks ergibt sich dann

Umfang
u D
n
nan

Flächeninhalt

A D 1

D 1
n
nan n
nr 2 sin ˛ n

2

2

Abb. 3.45 Konvexes Polygon

˛

D 1
n
na 2 cot

4
n

2

Mit wachsendem n nähert der Umfang un sich dem Umfang

2 r D 2 r 3;1415 : : : und der Flächeninhalt An sich dem Flä-
cheninhalt r 2 des Kreises mit dem Radius r an.

Abb. 3.46 Reguläres Polygon

3.8

Polygone

Ein Polygon ist ein geschlossener Streckenzug der Ebene.

eine Diagonale verbunden werden (denn jeder der n Eckpunkte
hat n 3 andere Eckpunkte nicht als Nachbarn). Die Innenwin-

Ein Polygon oder Vieleck mit n Eckpunkten ist ein n-Eck. Die
kel des Polygons haben als Scheitelpunkte die Eckpunkte des

Strecken zwischen den Eckpunkten sind die Seiten des Poly-

Polygons. In einem konvexen Polygon liegen alle Diagonalen
gons.

im Innern des Polygons, und alle Innenwinkel sind kleiner als

Ein einfaches Polygon teilt die Ebene in zwei Gebiete, das Inne-

180° (Abb. 3.45).

re und das Äußere, die durch die Seiten des Polygons getrennt
werden (Abb. 3.44).

Da man das Innere eines n-Ecks durch n 2 sich nicht über-
schneidende Diagonalen in n 2 Dreiecke zerlegen kann und

Die Länge des geschlossenen Streckenzugs ist der Umfang des
die Winkelsumme im Dreieck 180° ist, beträgt die Summe der

Polygons, und die Fläche des Inneren ist der Flächeninhalt des

Innenwinkel in einem beliebigen n-Eck ( n 2/ 180°.

Polygons. Eine Verbindungsstrecke zweier nicht benachbarter

Eckpunkte ist eine Diagonale des Polygons. (Zwei Eckpunkte

In einem regulären (regelmäßigen) Polygon haben alle Sei-
heißen benachbart, wenn es zwischen ihnen eine Seite gibt.) Je-
ten die gleiche Länge, und alle Innenwinkel sind gleich groß
der Eckpunkt kann also mit n 3 anderen Eckpunkten durch

(Abb. 3.46).

3.9

Kreise

71

3.9

Kreise

I

3.9.1

Definitionen

Peri-

Teil
pherie-

Radius r
winkel

Ein Kreis ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, die
von einem festen Punkt M einen konstanten Abstand r haben.

M

Durchmesser d

Der Punkt M ist der Mittelpunkt und r der Radius des Kreises.

Zur Unterscheidung von der durch einen Kreis in der Ebene ab-
gegrenzten Fläche, der Kreisfläche, wird der Kreis selbst auch

Zentri-
als Kreisperipherie oder Kreisrand bezeichnet (Abb. 3.47).

winkel

Einen Kreis mit dem Radius r D 0 nennt man entartet. Ein Kreis
mit dem Radius r D 1 heißt Einheitskreis.

Kreise kürzt man oft mit k ab, und für die Peripherie des Kreises
mit dem Radius r und dem Mittelpunkt M schreibt man k. M; r/. Abb. 3.48 Bezeichnungen am Kreis

Jede Gerade durch zwei Punkte der Kreisperipherie nennt man

Sekante. Der zwischen den Punkten gelegene Teil der Sekante
heißt Sehne. Eine Sehne durch den Mittelpunkt heißt Durch-

Kreissegment
messer des Kreises. Durchmesser sind die größten Sehnen des

Sehne

Kreises. Für die Länge d eines Durchmessers gilt d D 2 r.

Winkel, deren Scheitelpunkt ein Punkt der Kreisperipherie
ist und deren Schenkel Sekanten des Kreises sind, heißen

Peripherie- oder Umfangswinkel (Abb. 3.48).

Winkel, deren Scheitelpunkt der Kreismittelpunkt ist, nennt man

Kreissektor

Zentri- oder Mittelpunktswinkel. Der durch einen Peripherie-
oder Zentriwinkel ausgeschnittene Teil der Kreisperipherie
heißt Kreisbogen.

Abb. 3.49 Kreissektor und Kreissegment

Für den Umfang u und die Fläche A eines Kreises mit dem Ra-
dius r und dem Durchmesser d gilt

Ein Kreis ist festgelegt durch den Mittelpunkt und einen wei-
teren Punkt oder durch drei Punkte (die nicht alle auf einer

Kreisumfang
u D 2 r D d

Geraden liegen).

Kreise, die den gleichen Mittelpunkt haben, heißen konzen-

Kreisfläche

A D r 2 D
d 2

4
trische Kreise. Zwei Kreise mit verschiedenen Mittelpunkten
nennt man exzentrisch.

Die von zwei konzentrischen Kreisen begrenzte Fläche heißt

Das Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser eines be-

Kreisring. Ist R der Radius des äußeren Kreises und r der Ra-
liebigen Kreises definiert die so genannte Kreiszahl D dius des inneren Kreises, dann gilt für den Flächeninhalt A des

3;1415926535 : : : Die Zahl (kleines „Pi“) ist transzendent Kreisrings

(vgl. Abschn. 1.3).

A D . R 2 r 2/
s 1
s 2

3.9.2

Kreissektoren
s 3

Ein Kreissektor oder Kreisausschnitt ist der Teil der Fläche eines

Kreises, der von den Schenkeln eines Zentriwinkels und dem

Abb. 3.47 Sehnen eines Kreises (Sehne s2 ist auch Durchmesser)

zugehörigen Kreisbogen begrenzt wird (Abb. 3.49 und 3.50).

72

3 Planimetrie

Teil
p
t
r

I
s
α
l

P

P
a

2
r

P 1
k

M
r

Abb. 3.50 Bezeichnungen Kreissektor

Abb. 3.52 Sekante s, Tangente t , Passante p

Ist ęin Zentriwinkel und hat der Kreis den Radius r, dann er-
gibt sich für die Länge l˛ des Kreisbogens

Für die Fläche A˛ des Kreissegments gilt

˛
l˛ D
r

180ı

A˛ D 1 Œ rl˛ s. r h/

2

Für die Fläche A˛ des Kreissektors gilt

˛

3.9.4

Kreise und Geraden

A˛ D
r 2 D 1 rl˛

360ı

2

Ein Kreis und eine Gerade können drei grundsätzlich verschie-
dene Lagen zueinander haben (Abb. 3.52):

3.9.3

Kreissegmente

Die Gerade ist eine Passante p, sie hat mit dem Kreis keinen

Punkt gemeinsam.

Die Gerade ist eine Tangente t, sie hat mit dem Kreis genau

Ein Kreissegment oder Kreisabschnitt ist der Teil der Fläche ei-
einen Punkt, den Berührungspunkt P, gemeinsam.

nes Kreises, der von einer Sehne AB und einem der zugehörigen

/

/

Die Gerade ist eine Sekante s, sie hat mit dem Kreis zwei Punk-

Kreisbögen AB oder BA begrenzt wird (Abb. 3.51).

te, die Schnittpunkte P 1 und P 2, gemeinsam.

Ein Kreissegment ist also der Teil eines Kreissektors, der zwi-
schen dem Kreisbogen und der zugehörigen Sehne liegt. Ein

Kreis wird von einer Sehne in zwei Segmente zerlegt.

3.9.5

Bogenmaß

Ist r der Radius eines Kreises, ęin Zentriwinkel, s die Länge
der zugehörigen Sehne und h die Höhe des Kreissegments, dann

Neben dem Gradmaß gibt es das Bogenmaß zur Winkelmes-
berechnet man s D 2 r sin ˛ und h D 2 r sin2 ˛ , woraus sich für

2

4
sung.

die Länge l˛ des Kreisbogens ergibt

Beim Bogenmaß wird die Größe eines Zentriwinkels ˛ in einem
beliebigen Kreis durch das Verhältnis des zugehörigen Kreisbo-

˛
gens b zum Radius r des Kreises angegeben. Der Quotient br
l˛ D
r

180ı
heißt Bogenmaß des Winkels ˛ (Abb. 3.53).

Kreis-
r
s
segment
b

2

Einheitskreis
r h
h l

1
α

–
a
x = arc a
α
s
r

2
r

Abb. 3.53 Zusammenhang zwischen Gradmaß (˛) und Bogenmaß (x D arc ˛)

Abb. 3.51 Bezeichnungen Kreissegment
eines Winkels

3.11

Ähnlichkeit

73

Die Einheit des Bogenmaßes ist der Radiant (rad), also der

Beispiele

I

Zentriwinkel, dessen Bogen gleich dem Radius ist. Mitunter
schreibt man arc ˛ (Arcus ˛) für das Bogenmaß des Winkels ˛.

Folgende Figuren sind punktsymmetrisch:

Teil

1. Strecke mit ihrem Mittelpunkt als Symmetriezentrum

Bogenmaß

2. Rechteck mit seinem Mittelpunkt als Symmetriezen-
trum
arc ˛ D b

3. Ellipse mit ihrem Mittelpunkt als Symmetriezentrum
r

(vgl. Abschn. 7.5.1)

J

Da der Einheitskreis, also der Kreis mit dem Radius r D 1, den

Umfang 2 hat, ist das Bogenmaß des Vollwinkels 2.

3.10.2

Achsensymmetrie

2 rad D 360ı oder 1 rad D 360ı 57;2958ı

Eine ebene Figur F heißt achsen- oder axialsymmetrisch, wenn

2
sich in ihrer Ebene eine Gerade g angeben lässt, so dass F durch
eine Spiegelung an g in sich übergeführt wird. Die Gerade g

Bezeichnet ˛ den in Grad und x D arc ˛ den in Radiant gemes- heißt dann Symmetrieachse.

senen Winkel, so gilt für die Umrechnung von Gradmaß und

Bogenmaß eines Winkels

Beispiele

Folgende Figuren sind achsensymmetrisch:

x D

˛; ˛ D 180ı x

1. Gleichseitiges Dreieck mit einer der Winkelhalbieren-

180ı

den als Symmetrieachse

2. Rechteck mit einer Mittellinie als Symmetrieachse

3. Kreis mit einer beliebigen Geraden durch den Mittel-

Beispiele zur Umrechnung
punkt als Symmetrieachse

J

1ı D
rad D 0;0174 : : : rad

180

10ı D 10 rad D
rad D 0;1745 : : : rad

3.11

Ähnlichkeit

180

18

30ı D
rad

6

3.11.1

Zentrische Streckung

57;2957 : : :ı D 1 rad

45ı D
rad

Die zentrische Streckung ist eine Abbildung, bei der für jedes

4

Element Bild Q und Urbild P auf einem Strahl durch einen fes-

0;5 rad D 0;5 180ı D 28;6478 : : :ı
ten Punkt Z, dem Zentrum, liegen und für jedes Element das

Verhältnis der Länge der Strecke vom Bild zum Zentrum zu

90ı D
rad
der Länge der Strecke vom Urbild zum Zentrum konstant ist

2

(Abb. 3.54).

rad D

180ı D 60ı

J

3

3

j ZQ j D k . k konstant/
j ZP j

3.10

Symmetrie

Eigenschaften:

Die Bilder von Strecke, Strahl, Gerade sind wieder Strecke,

3.10.1

Punktsymmetrie

Strahl, Gerade. Bild und Urbild von Strecke, Strahl, Gerade sind
zueinander parallel.

Eine ebene Figur F heißt punkt- oder zentralsymmetrisch, wenn

Entsprechende Winkel von Bild und Urbild sind gleich.

sich in ihrer Ebene ein Punkt P angeben lässt, so dass F durch

Die Längen entsprechender Strecken von Bild und Urbild haben
eine Spiegelung an P in sich übergeführt wird. Der Punkt P heißt
das gleiche Verhältnis, und zwar den Betrag des Streckungsfak-
dann Symmetriezentrum.

tors k, also j k j.

74

3 Planimetrie

Teil

D 1

C 1
a 3

I
a 1
k
c

1 = 1,5

1

A 1
c

D

3

C

B 1

A

B

Abb. 3.56 Zweiter Strahlensatz: c1 W c3 D a1 W a3

Z

B 2

A 2 k 2 = –0,5

C

G

2

D 2

B

Abb. 3.54 Zentrische Streckung
g
b

Abb. 3.57 Anwendung des zweiten Strahlensatzes
a 1
a 2
b 1
b 2

Beispiel

Welche Länge B ergibt sich für das Bild eines Gegen-
stands der Länge G bei einer Bildweite b und einer

Abb. 3.55 Erster Strahlensatz: a

Gegenstandsweite g (Abb. 3.57)?

1 W a2 D b1 W b2

Nach dem zweiten Strahlensatz gilt

3.11.2

Strahlensätze
g D G )

b

B D G
b

B
g

Unmittelbare Anwendungen der zentrischen Streckung sind die

Anmerkung: Ist g b ( g sehr groß gegenüber b), dann

Strahlensätze.

kann man b f ( f Brennweite) setzen und damit die zu
erwartende Bildgröße abschätzen.

J

Erster Strahlensatz

Werden zwei Strahlen mit gleichem Anfangspunkt (Zentrum)

von Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Längen der Ab-
schnitte eines Strahls wie die Längen entsprechender Abschnitte

3.11.3

Ähnliche Figuren
des anderen Strahls (Abb. 3.55).

Geometrische Figuren heißen ähnlich, wenn sie nach geeigne-
ter Parallelverschiebung, Drehung, Spiegelung durch zentrische

Streckung zur Deckung gebracht werden können (Abb. 3.58,
a W

D

W

1
a 2
b 1 b 2

3.59, 3.60, 3.61 und 3.62).

So sind zum Beispiel zwei Quadrate ähnlich (mit beliebigen

Seitenlängen) oder zwei Kreise (mit beliebigen Radien und be-

Zweiter Strahlensatz

Werden zwei Strahlen mit gleichem Anfangspunkt von Paralle-

C 1

B
len geschnitten, so verhalten sich die Längen der zwischen den

2

Strahlen liegenden Abschnitte wie die Längen der zugehörigen

D 1

C 2

A 2
vom Anfangspunkt aus gemessenen Abschnitte auf den Strahlen

B

D

1

2

(Abb. 3.56).

C

D

A 1

B
c W

D

W

A

1
c 3
a 1 a 3

Abb. 3.58 Ähnliche Figuren

3.11

Ähnlichkeit

75
α ′
β ′

I
γ
α
β
a
b
b ′
α = α ′
a ′
γ′

Teil
β = β ′
a b
a

: = :

′ b ′
γ = γ ′

Abb. 3.59 Ähnliche Dreiecke

Abb. 3.61 Ähnliche Dreiecke
c ′
β ′
a
b
a
β
b ′
b
a ′
b ′
a ′
a b
a

: = :

′ b ′
c
β = β ′
a b
a

: = :

′ b ′
b : c = b

:

′ c ′

Abb. 3.60 Ähnliche Dreiecke

Abb. 3.62 Ähnliche Dreiecke
liebigen Mittelpunkten) oder zwei gleichseitige Dreiecke (mit

Bemerkungen:

beliebigen Seitenlängen).

1. Die Strahlensätze sind Anwendungen der Eigenschaften

Entsprechend den vier Kongruenzsätzen für Dreiecke gelten die
ähnlicher Dreiecke.

folgenden Bedingungen für die Ähnlichkeit von Dreiecken:

2. Nur bei Dreiecken folgt aus der Gleichheit der Winkel die

Ähnlichkeit.

1. Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln überein-

3. Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in den Längenverhältnissen
stimmen.

zweier Seitenpaare übereinstimmen.

Da im Dreieck die Winkelsumme gleich 180° ist, folgt, dass

Zum Beispiel haben ein Rechteck mit den Seitenlängen a
dann auch die jeweils dritten Winkel übereinstimmen.

und b ¤ a und ein Quadrat gleich große Winkel, sind aber

2. Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in dem Längenverhältnis ei-
nicht ähnlich, denn ihre Seitenverhältnisse sind verschieden.

nes Seitenpaares und dem Gegenwinkel der längeren Seite

4. Da ein rechtwinkliges Dreieck durch seine Höhe in zwei un-
übereinstimmen.

tereinander und dem ganzen Dreieck ähnliche Teildreiecke

3. Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in dem Längenverhältnis
geteilt wird (gleiche Winkel), folgen aus der Proportionalität
eines Seitenpaares und dem eingeschlossenen Winkel über-
der Längen entsprechender Seiten der Kathetensatz und der
einstimmen.

Höhensatz.

I

Stereometrie

Teil

4

Arnfried Kemnitz

4.1

Prismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

4.2

Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

4.3

Pyramiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

4.4

Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

4.5

Cavalieri’sches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

4.6

Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

77

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_4

78

4 Stereometrie

Teil

Das Wort Stereometrie kommt aus dem Griechischen und be-
deutet Körpermessung. Man beschäftigt sich in dieser Teildis-

I
ziplin der Geometrie mit Form, gegenseitiger Lage, Größe und
c
anderen Beziehungen geometrischer Objekte im Raum.

b
a

4.1

Prismen

Abb. 4.2 Quader

4.1.1

Allgemeine Prismen
h

Gleitet eine Gerade, ohne ihre Richtung zu ändern, im Raum
an den Begrenzungslinien eines ebenen n-Ecks ( n D 3; 4; : : :)

entlang, so beschreibt sie eine prismatische Fläche. Schneiden
a
zwei parallele Ebenen die prismatische Fläche, dann schließen
a
sie zusammen mit dem zwischen ihnen liegenden Abschnitt der

Abb. 4.3 Quadratische Säule
prismatischen Fläche einen Teil des Raums vollständig ein. Ein
solcher Körper heißt Prisma (griech., das Gesägte) oder genauer
n-seitiges Prisma (Abb. 4.1).

und Deckfläche sind kongruent, und damit ist ihr Flächeninhalt

Die Schnitte der Ebenen mit der prismatischen Fläche sind kon-
gleich).

gruente n-Ecke. Diese n-Ecke heißen Grundfläche und Deckflä-
che des Prismas. Die Seitenflächen des Prismas heißen Mantel-
flächen. Die Kanten der Seitenflächen heißen Mantellinien. Die

Oberfläche Prisma

Mantelflächen sind Parallelogramme.

A D

C

O

AM

2 AG

Bei einem Prisma sind alle Schnitte parallel zu Grund- und

Deckfläche kongruent zu diesen Flächen. Ein Prisma ist also ein

Körper mit einem gleichbleibenden Querschnitt.

Gleitet die Gerade senkrecht zur Ebene der Grundfläche, dann

4.1.2

Parallelepiped und Würfel
heißt das Prisma gerade. Bei einem geraden Prisma stehen die

Mantellinien senkrecht auf der Grund- und Deckfläche, und die

Ein Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche heißt

Mantelflächen sind Rechtecke. Ein nicht gerades Prisma nennt

Parallelepiped oder Parallelflach oder Spat. Ein gerades Prisma
man auch schiefes Prisma.

mit einem Rechteck als Grundfläche heißt Quader (Abb. 4.2).

Ein physikalisches Prisma ist mathematisch ein gerades dreisei-

Sind a und b die Seitenlängen des Rechtecks und c die Höhe des
tiges Prisma.

Quaders, so gilt:

Das Volumen V eines Prismas ist der Inhalt AG der Grundfläche
multipliziert mit der Höhe h.

Quader

Volumen

V D abc

Volumen Prisma

Oberfläche

A D

O

2. ab C ac C bc/

V D A

G
h

Gesamtkantenlänge
l D 4. a C b C c/

Die Oberfläche AO eines Prismas ist die Summe der Mantel-

Ein Quader mit einem Quadrat als Grundfläche heißt quadrati-
fläche AM und der doppelten Grundfläche AG (denn Grund-
sche Säule (Abb. 4.3).

Ist a die Seitenlänge des Quadrats und h die Höhe der quadrati-
schen Säule, dann gilt:

AG

Quadratische Säule
h

Volumen

V D a 2 h

Oberfläche

A D

O

2 a 2 C 4 ah

AG

Gesamtkantenlänge
l D 8 a C 4 h

Abb. 4.1 Prisma

4.2

Zylinder

79
r

I
a
r 2

Teil
h
a
a

Abb. 4.4 Würfel
r 2

Ein Quader mit lauter gleich langen Kanten heißt Würfel

Abb. 4.6 Gerader Kreiszylinder

(Abb. 4.4).

Ist a die Kantenlänge des Würfels, so gilt:

lang. Der senkrechte Abstand zwischen Grund- und Deckfläche
ist die Höhe des Zylinders.

Prismen sind spezielle Zylinder, nämlich solche mit n-Ecken als

Würfel

Grundfläche.

Volumen

V D a 3

Ein Zylinder heißt gerade, wenn die Mantellinien senkrecht auf

Oberfläche

A D

Grund- und Deckfläche stehen. Ein nicht gerader Zylinder heißt

O

6 a 2
schiefer Zylinder.

Gesamtkantenlänge
l D 12 a

Ein Zylinder mit einer Kreisfläche als Grundfläche heißt Kreis-
zylinder.

Der Würfel ist einer der platonischen Körper. Er wird von sechs

Das Volumen V eines Zylinders ist der Inhalt AG der Grund-

Quadraten begrenzt.

fläche multipliziert mit der Höhe h. Die Oberfläche AO eines

Zylinders ist die Summe der Mantelfläche AM und der doppel-
ten Grundfläche AG.

4.2

Zylinder

Volumen

V D A

G
h

4.2.1

Allgemeine Zylinder

Oberfläche

A D

C

O

AM

2 AG

Wird eine Gerade (Erzeugende) im Raum längs einer ebenen
geschlossenen Kurve (Leitkurve) parallel verschoben (also oh-
ne ihre Richtung zu verändern), so entsteht eine Zylinderfläche.

4.2.2

Gerade Kreiszylinder

Ein Zylinder ist ein Körper, der von einer Zylinderfläche und
zwei parallelen ebenen Flächenstücken begrenzt wird. Die ebe-
nen Begrenzungsflächenstücke müssen nicht senkrecht auf der

Ein Zylinder mit senkrecht auf Grund- und Deckfläche ste-
erzeugenden Gerade stehen (Abb. 4.5).

henden Mantellinien und mit einer Kreisfläche als Grundfläche
heißt gerader Kreiszylinder oder Walze (Abb. 4.6).

Ein Zylinder ist ein Körper mit gleichbleibendem Querschnitt.

Die Mantelfläche eines geraden Kreiszylinders kann in ein

Der Teil der Zylinderfläche zwischen den parallelen Begren-

Rechteck mit den Seitenlängen h und 2 r (Kreisumfang) abge-
zungsflächenstücken heißt Mantelfläche des Zylinders, die par-
wickelt werden, wobei h die Höhe des geraden Kreiszylinders
allelen Flächenstücke sind Grund- und Deckfläche des Zylin-
ist und r der Radius des Kreises. Dies kann man sich dadurch
ders. Grundfläche und Deckfläche sind zueinander kongruent.

veranschaulichen, dass man eine Dose ohne Deckel und Boden

Die zwischen den Flächenstücken liegenden Strecken der Er-
längs einer Mantellinie aufschneidet und in eine Ebene abwi-
zeugenden heißen Mantellinien, sie sind alle parallel und gleich
ckelt.

Der Kreis als Grund- und Deckfläche (Grund- und Deckfläche
sind kongruent) hat den Flächeninhalt r 2.

Somit gilt für die Oberfläche insgesamt A D

O

2 r 2 C 2 rh D

2 r. r C h/.

h

90°
l

Volumen

V D r 2 h

Oberfläche

A D

O

2 r. r C h/

Abb. 4.5 Zylinder (l D Mantellinie)

80

4 Stereometrie

Teil

S

R

I
h
r
h

AG

H

Abb. 4.7 Hohlzylinder

Abb. 4.8 Pyramide

4.2.3

Hohlzylinder

Alle Seitenflächen einer Pyramide sind Dreiecke. Es gibt bei ei-

Ein Hohlzylinder ist ein gerader Kreiszylinder (Kreis mit Radius
nem n-Eck als Grundfläche genau n Dreiecke als Seitenflächen.

R), aus dem ein kleinerer gerader Kreiszylinder (konzentrischer

Deshalb nennt man solch eine Pyramide auch genauer n-seitige

Kreis mit Radius r, r < R) ausgeschnitten ist (Abb. 4.7).

Pyramide.

Die Grundflächen der beiden Zylinder sind also konzentrische

Ist das n-Eck ein reguläres n-Eck, dann heißt die Pyramide re-

Kreise, das heißt, sie haben den gleichen Mittelpunkt.

guläre ( n-seitige) Pyramide.

Das Volumen des Hohlzylinders ist die Differenz der Volumi-

Der Abstand der Spitze S von der Ebene der Grundfläche ist die
na der beiden geraden Kreiszylinder. Die Oberfläche setzt sich

Höhe der Pyramide. Man erhält die Höhe, indem man von S das
aus der äußeren Mantelfläche A

D

M

2 Rh ( h ist die Höhe des

Lot auf die Ebene der Grundfläche fällt. Das Lot durchstößt die
a

Hohlzylinders), aus der inneren Mantelfläche A

D

M

2 rh, aus

Ebene der Grundfläche im Höhenfußpunkt H. Dieser kann auch
i
der Grundfläche und aus der Deckfläche zusammen. Grundflä-
außerhalb der Grundfläche liegen, dann liegt die Höhe außerhalb
che AG und Deckfläche AD sind gleich, sie ergeben sich aus der
der Pyramide.

Differenz zweier Kreisflächen: A D

D

G

AD

. R 2 r 2/.

Fällt der Höhenfußpunkt mit dem Mittelpunkt der Grundfläche

Für das Volumen und die Oberfläche des Hohlzylinders gilt so-
zusammen, so heißt die Pyramide gerade. Alle anderen Pyrami-
mit
denformen nennt man schief. Die Höhe einer geraden Pyramide
ist gleichzeitig ihre Achse.

Die Seitenflächen von regulären geraden Pyramiden sind kon-

Volumen

V D h. R 2 r 2/
gruente gleichschenklige Dreiecke.

Oberfläche

A D

O

2 h. R C r/ C 2. R 2 r 2/

Für das Volumen V und die Oberfläche AO einer beliebigen Py-

D 2. R C r/. R r C h/
ramide gilt

Volumen

V D 1 A

G
h

4.3

Pyramiden

3

Oberfläche

A D

C

O

AM

AG

4.3.1

Allgemeine Pyramiden

AG ist der Flächeninhalt des n-Ecks, AM der Inhalt der Mantel-

Gleitet ein von einem festen Punkt S des Raums ausgehender
fläche, also die Summe der Flächeninhalte der Seitendreiecke,

Strahl an den Begrenzungslinien eines ebenen n-Ecks ( n D
und h ist die Höhe der Pyramide.

3; 4; : : :) entlang, in dessen Ebene der Anfangspunkt S des

Strahls nicht liegt, so beschreibt der gleitende Strahl eine Pyra-

Eine gerade reguläre dreiseitige Pyramide, bei der die Seiten-
midenfläche. Das n-Eck schließt zusammen mit dem zwischen
dreiecke kongruent zum Grunddreieck sind, heißt Tetraeder. Ein
ihm und dem Punkt S liegenden Abschnitt der Pyramidenfläche

Tetraeder wird also von vier gleichseitigen Dreiecken begrenzt.

einen Teil des Raums vollständig ein. Ein solcher Körper heißt

Pyramide (Abb. 4.8).

Das n-Eck heißt Grundfläche, der Punkt S Spitze, der zum Kör-

4.3.2

Gerade quadratische Pyramiden
per gehörende Teil der Pyramidenfläche ist die Mantelfläche der

Pyramide. Die Kanten der Grundfläche heißen Grundkanten, die

Eine gerade quadratische Pyramide hat ein Quadrat als Grund-

Kanten der Mantelfläche Seitenkanten, und die ebenen Flächen
fläche, und die Spitze der Pyramide steht senkrecht über dem
der Mantelfläche sind die Seitenflächen.

Mittelpunkt des Quadrats, dem Diagonalenschnittpunkt. Die

4.4

Kegel

81

Der Bau der Pyramiden war eine großartige ingenieurtechnische

I
und logistische Leistung der Altägypter!

h

Teil
s
h

4.4

Kegel
a
a

4.4.1

Allgemeine Kegel

Abb. 4.9 Gerade quadratische Pyramide

Wird eine Gerade (Erzeugende) im Raum längs einer ebenen ge-
schlossenen Kurve (Leitkurve) so bewegt, dass sie durch einen

Mantelfläche besteht aus vier kongruenten gleichschenkligen
festen Punkt, die Spitze S, geht, so entsteht eine Kegelfläche.

Dreiecken (Abb. 4.9).

Ein Kegel ist ein Körper, der von einer Kegelfäche und einem

Ist a die Kantenlänge des Quadrats der Grundfläche, h die Höhe
nicht durch deren Spitze gehenden ebenen Flächenstück be-
der Pyramide und s die Kantenlänge der Seitenkanten, so folgt
grenzt wird (Abb. 4.10).

aus dem Satz des Pythagoras s 2 D h 2 C 1 a 2.

2

Der Teil der Kegelfläche zwischen dem ebenen Flächenstück

Bezeichnet man mit hs die Höhe des gleichschenkligen Sei-
und der Spitze heißt Mantelfläche, das ebene Flächenstück
tenflächendreiecks s, dann folgt ebenfalls mit dem Satz von Grundfläche des Kegels. Die zwischen Grundfläche und Spitze

Pythagoras s 2 D h 2 C 1 a 2, denn die Basis dieses Dreiecks hat
s

4
liegenden Strecken der Erzeugenden heißen Mantellinien. Der
die Länge a. Löst man nach hs auf und ersetzt s 2 durch h 2 C 1 a 2,

2
p
senkrechte Abstand der Spitze zur Ebene der Grundfläche ist
so ergibt sich h D
die Höhe des Kegels.

s
h 2 C 1 a 2. Daraus berechnet man den Flä-

4
p
cheninhalt A von

D 1 a h D 1 a h 2 C 1 a 2 und
s
s zu A s

2
s

2

4
p

Pyramiden sind spezielle Kegel, nämlich Kegel mit n-Ecken als
den Inhalt der Mantelfläche zu A D

D

M

4 A

2 a
h 2 C 1 a 2.

Grundfläche.

s

4

Für Volumen und Oberfläche einer geraden quadratischen Pyra-

Hat die Grundfläche einen Mittelpunkt (wie Kreis oder Ellipse),
mide gilt somit
und liegt die Spitze senkrecht über diesem Mittelpunkt, so heißt
der Kegel gerade, andernfalls schief.

Ein Kegel mit einer Kreisfläche als Grundfläche heißt Kreiske-

Volumen

V D 1 a 2 h

3
gel.

r

Das Volumen V eines Kegels ist ein Drittel des Inhalts A

Oberfläche

A D

G der

O

2 a
h 2 C 1 a 2 C a 2

4

Grundfläche multipliziert mit der Höhe h. Die Oberfläche AO
eines Kegels ist die Summe der Mantelfläche AM und der Grund-
fläche AG.

Die Grabstätten altägyptischer Pharaone waren während des

Alten und des Mittleren Reichs häufig gerade quadratische

Pyramiden. Besonders beeindruckend sind die Pyramiden der

Pharaonen Cheops, Chephren und Mykerinos in Gizeh am süd-

Volumen

V D 1 A

G
h
lichen Rand von Kairo. Sie stammen aus dem Alten Reich

3
und wurden in der Zeit zwischen 2600 und 2480 v. u. Z. erbaut,

Oberfläche

A D

C

O

AM

AG
sie sind also rund 4500 Jahre alt. Die größte Pyramide ist die

Cheopspyramide: Das Quadrat der Grundfläche hat eine Kan-
tenlänge von 227,5 m (ursprünglich 230,38 m), und die Höhe ist

137 m (ursprünglich 146,6 m). Nimmt man die ursprünglichen

Werte, so berechnet man für das Volumen:

V D 1 .230;38/2 146;6 m3 D 2:593:595;61 : : : m3;

3

Mantelfläche
h
also mehr als 2,5 Millionen Kubikmeter! Für die Oberfläche er-

Mantellinie
gibt sich:

r

!

A D

O

2 230;38

.146;6/2 C 1 .230;38/2 C .230;38/2 m2

Grundfläche

4

D 138:979;56 : : : m2

Abb. 4.10 Kegel

82

4 Stereometrie

Teil

4.6

Kugeln

I
s

4.6.1

Definitionen
h

Eine Kugel ist der geometrische Ort aller Punkte des Raumes,
die von einem festen Punkt M einen konstanten Abstand r haben

(Abb. 4.12).

d
r

= 2

Der Punkt M ist der Mittelpunkt und r der Radius der Kugel.

Abb. 4.11 Gerader Kreiskegel

Zur Unterscheidung von dem durch eine Kugel abgegrenzten

Raum nennt man die Kugel selbst auch Kugelfläche.

4.4.2

Gerade Kreiskegel

Eine Kugel mit dem Radius r D 1 heißt Einheitskugel.

Für das Volumen V und die Oberfläche AO einer Kugel mit dem

Ein Kegel mit einer Kreisfläche als Grundfläche und der Spitze

Radius r und dem Durchmesser d gilt

S senkrecht über dem Kreismittelpunkt heißt gerader Kreiskegel

(Abb. 4.11).

Alle Mantellinien eines geraden Kreiskegels sind gleich lang.

p

Volumen

V D 4 r 3 D
d 3

Ihre Länge ist s D
r 2 C h 2, wobei r der Radius des Kreises

3

6
und h die Höhe des geraden Kreiskegels sind.

Oberfläche

A D

O

4 r 2 D d 2

Die Mantelfläche kann in die Ebene abgewickelt werden. Dabei
entsteht ein Kreissektor mit dem Radius s (Länge der Man-
tellinien) und der Kreisbogenlänge 2 r (Umfang des Kreises

Eine Kugel ist festgelegt durch den Mittelpunkt und einen wei-
der Grundfläche). Der Flächeninhalt A
teren Punkt oder durch vier Punkte (die nicht alle in einer Ebene

M dieses Kreissektors

(D Mantelfläche) verhält sich zur gesamten Kreisfläche s 2 wie
liegen).

die Kreisbogenlänge 2 r zum Gesamtkreisumfang 2 s, wo-

Kugeln mit gleichem Mittelpunkt heißen konzentrisch.

raus sich für die Mantelfläche A

D

M
rs ergibt. Der Kreis der

Grundfläche, der Grundkreis, hat den Flächeninhalt r 2.

Jede die Kugel schneidende Ebene schneidet sie in einem Kreis.

Daraus folgt für die Oberfläche A D
p

O
rs C r 2 D r. r C s/ D Geraden haben mit einer Kugelfläche entweder zwei Punkte,
r. r C r 2 C h 2/.

einen Punkt oder keinen Punkt gemeinsam.

Somit gilt für den geraden Kreiskegel

Eine Sekante s schneidet die Kugelfläche in zwei Punkten. Der
zwischen den Punkten gelegene Teil der Sekante heißt Sehne.

Eine Sehne durch den Mittelpunkt heißt Durchmesser der Ku-
gel. Durchmesser sind die größten Sehnen der Kugel, für ihre

Volumen

V D 1 r 2 h

3

Länge d gilt d D 2 r.

Oberfläche

A D

O
r. r C s/
p

Länge der Mantellinie
s D
r 2 C h 2

Tangente

Passante

4.5

Cavalieri’sches Prinzip

Wesentlich zur Berechnung des Volumens von Prismen, Zy-

Sekante

Durchmesser
lindern, Pyramiden und Kegeln ist das Cavalieri’sche Prinzip

(nach dem italienischen Mathematiker Bonaventura Cavalieri,

Radius

1591/98–1647, ein Schüler Galileis):

Sehne

Körper mit inhaltsgleichem Querschnitt in gleichen Höhen ha-
ben gleiches Volumen.

Speziell gilt also: Prismen, Zylinder, Pyramiden und Kegel mit
gleicher Grundfläche und gleicher Höhe haben gleiches Volu-
men.

Abb. 4.12 Bezeichnungen an der Kugel

4.6

Kugeln

83

M

I
r h

–

C

Teil

2 r

M

h

Kugelkappe
h

Abb. 4.14 Kugelsektor

Abb. 4.13 Kugelsegment

Eine Tangente t berührt die Kugel in einem Punkt. Im Be-
rührungspunkt sind beliebig viele Tangenten möglich: Alle

Tangenten zusammen spannen die Tangentialebene auf.

Eine Passante p hat mit der Kugel keinen Punkt gemeinsam.

Abb. 4.15 Kugelschicht

4.6.2

Kugelsegmente

Dabei ist r der Radius der Kugel, der Radius des Schnittkreises
und h die Höhe des Kugelsegments. Durch Einsetzen von 2 D
h.2 r h/ erhält man V D 2 r 2 h.

3

Ein Kugelsegment oder Kugelabschnitt ist ein durch eine Ebene

Die Oberfläche A
abgeschnittener Teil einer Kugel (Abb. 4.13).

O des Kugelsektors ist die Summe der Flächen-
inhalte von Kugelkappe und Kegelmantel: A D

O

2 rh C r D

Die Mantelfläche des Kugelsegments heißt Kugelkappe.

r.2 h C /.

Ist r der Radius der Kugel, der Radius des von der Ebene aus-
geschnittenen Kreises und h die Höhe des Kugelsegments, dann
gilt

Volumen Kugelsektor

V D 2 r 2 h

3

Oberfläche Kugelsektor

A D r.2 h C /
p

O

Radius Schnittkreis

D h.2 r h/

Volumen Kugelsegment

V D 1 h.32 C h 2/

6

4.6.4

Kugelschichten

D 1 h 2.3 r h/

3

Eine Kugelschicht ist der durch zwei zueinander parallelen Ebe-

Flächeninhalt Kugelkappe

A D 2 rh
nen ausgeschnittene Teil einer Kugel (Abb. 4.15).

Oberfläche Kugelsegment

A D

O

2 rh C 2

Die durch die beiden Ebenen ausgeschnittene Kugeloberfläche,

D .2 rh C 2/
also die Mantelfläche der Kugelschicht, heißt Kugelzone.

Ist r der Radius der Kugel, 1 und 2 die Radien der von den
parallelen Ebenen ausgeschnittenen Kreise und h die Dicke der

Kugelschicht, dann gilt

4.6.3

Kugelsektoren
p

Radien Schnittkreise

D

1
h 1.2 r h 1/

Einem Kugelsegment (Kugelabschnitt) ist ein Kegel zugeordnet,
p

D . h C h
dessen Grundfläche der Schnittkreis des Kugelsegments und

2

1/.2 r h h 1/
dessen Spitze der Kugelmittelpunkt ist. Der Gesamtkörper aus

Volumen Kugelschicht

V D 1 h.32 C 32 C h 2/

Kugelsegment und zugeordnetem Kegel heißt Kugelsektor oder

6

1

2

Kugelausschnitt (Abb. 4.14).

Flächeninhalt Kugelzone

A D 2 rh

Das Volumen V des Kugelsektors setzt sich aus dem Volumen

D

C
des Kugelabschnitts und dem des zugeordneten Kegels zusam-

Oberfläche Kugelschicht

AO

.2 rh C 2

2/

1

2
men: V D h 2 .3 r h/ C 2 . r h/.

3

3

I

Funktionen

Teil

5

Arnfried Kemnitz

5.1

Definition und Darstellungen von Funktionen . . . . . . . . . . . . .

86

5.2

Verhalten von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

5.3

Einteilung der elementaren Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .

91

5.4

Ganze rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

5.5

Gebrochene rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.6

Irrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.7

Transzendente Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

85

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_5

86

5 Funktionen

Teil

5.1

Definition und Darstellungen

3. D D f1; 2; 3; 4; 5g,

I
von Funktionen

W D f1; 2; 3; 4; 5g,
f .1/ D 1, f .2/ D 2, f .3/ D 3, f .4/ D 4,
f .5/ D 5

5.1.1

Definitionen

4. y D f . x/ D x C 2, D D R, W D R

J

Eine Abbildung oder Funktion f ist eine Zuordnung, die jeder

Zahl x einer gegebenen Zahlenmenge D eine Zahl y einer Zah-

Bemerkung: Man kann Abbildungen (Funktionen) auch allge-
lenmenge W zuordnet. Die Zuordnung ist eindeutig, das heißt,
meiner als eine Zuordnung zwischen beliebigen Mengen (also
jeder Zahl x wird genau eine Zahl y zugeordnet. Man schreibt
nicht eingeschränkt auf Zahlenmengen) definieren.

dafür y D f . x/ oder manchmal auch x 7! f . x/. Man nennt f . x/
das Bild von x und umgekehrt x das Urbild von f . x/.

Die Menge D heißt Urbildmenge, Definitionsmenge oder Defi-

5.1.2

Funktionsgleichung
nitionsbereich. Die Menge W, aus der die Bilder stammen, heißt

Wertemenge oder Wertebereich. Die Menge der Bilder (also alle
y-Werte zusammen) heißt Bildmenge, bezeichnet mit f . D/.

Explizite Darstellung der Funktionsgleichung

Die Zuordnungsvorschrift für eine Funktion ist im Regelfall ei-
ne Gleichung, die Funktionsgleichung y D f . x/ (gesprochen: y

D

Definitionsbereich
gleich f von x). Dabei heißt x unabhängige Variable und y ab-
hängige Variable. Man nennt x auch das Argument der Funktion.

W

Wertebereich

Die Form y D f . x/ heißt explizite Darstellung der Funktions-
f . D/ Bildmenge
gleichung. Darüber hinaus gibt es die implizite Darstellung und
die Parameterdarstellung der Funktionsgleichung (siehe unten).

Funktionen können aber zum Beispiel auch durch Tabellen,

Die Elemente der Bildmenge nennt man Funktionswerte. Die

Schaubilder (Graphen), Pfeildiagramme oder geordnete Werte-

Bildmenge f . D/ ist eine Teilmenge des Wertebereichs W, und paare (Wertetabelle) dargestellt werden.

W ist eine Teilmenge der Menge R der reellen Zahlen.

Fehlt bei einer Funktion die Angabe des Definitionsbereichs, so
gilt D = R. Fehlt bei einer Funktion die Angabe des Wertebe-
reichs, so gilt ebenfalls W D R.

f . D/ W R

Die Schreibweise y D f . x/, f W D ! W für eine Funktion
bedeutet, dass y D f . x/ die Funktionsgleichung ist, dass die

Funktion den Definitionsbereich D und den Wertebereich W hat.

Eine Funktion besteht aus drei Teilen: der Zuordnungsvorschrift
f , dem Definitionsbereich D und dem Wertebereich W.

Zwei Funktionen sind genau dann gleich, wenn sowohl die Zu-
y D f . x/;
f W D ! W
ordnungsvorschriften als auch die Definitionsbereiche als auch
die Wertebereiche übereinstimmen.

Beispiele

Beispiele

1. y D f . x/ D x 3 4 x 2 x C 4, f W R ! R

1. y D f . x/ D 5 x, D D N, W D N

2. y D f . x/ D x 2 1, f W R ! R

Die Zuordnungsvorschrift ist hier „5-mal“, das heißt,

3. y D f . x/ D x3 , f W Œ1; 1 ! R
man muss jeden x-Wert mit 5 multiplizieren, um den
x 22

(also D D Œ1; 1, W D R)

p
zugehörigen Funktionswert y zu erhalten. Für x D 3

4. y D f . x/ D
x,
f W N ! R
erhält man zum Beispiel y D f .3/ D 5 3 D 15.

8

ˆ

Sowohl der Definitionsbereich als auch der Wertebe-

< 1 falls x < 0
reich sind die natürlichen Zahlen. Für die Bildmenge

5. y D f . x/ D ˆ0
falls x D 0;
f W R ! R.

:

ergibt sich f . D/ D f0; 5; 10; 15; 20; : : : g.

C1 falls x > 0;

J

2. D D f1; 2; 3; 4; 5g,

W D f1; 2; 3; 4; : : : ; 24; 25g,
f .1/ D 1, f .2/ D 4, f .3/ D 9, f .4/ D 16,

Eine Funktion mit der Funktionsgleichung y D f . x/, deren
f .5/ D 25

Definitions- und Wertemenge nur reelle Zahlen enthalten, nennt
man eine reelle Funktion einer reellen Variablen.

5.1

Definition und Darstellungen von Funktionen

87

Beispiele
y

I

4

6. y D x 2, D D .1; 1/, W D Œ0; 1/
p

3

Teil

7. y D
x, D D Œ0; 1/, W D Œ0; 1/.

J

2

1

–3 –2 –1 0

1

2 x

–1

Implizite Darstellung der Funktionsgleichung

–2

Die Darstellung einer Funktion in der Form F. x; y/ D 0 heißt

–3
implizit, falls sich diese Gleichung eindeutig nach y auflösen

–4
lässt.

–5

Statt impliziter Darstellung der Funktion sagt man auch einfach

Abb. 5.1 Graph der Funktion mit der Gleichung y D f .x/ D 2x C 1
nur implizite Funktion.

Beispiel

5.1.3

Graph einer Funktion

8. F. x; y/ D x 2 C y 2 1 D 0, D D Œ1; 1, y 0

Eine Möglichkeit der Funktionsdarstellung ist, den Graph der

Es handelt sich hierbei um die obere Hälfte des Ein-

Funktion zu zeichnen (Abb. 5.1).

heitskreises mit dem Mittelpunkt im Koordinatenur-

Der Graph einer Funktion f mit dem Definitionsbereich D ist
sprung (vgl. Abschn. 7.3.1).

das Bild, das man erhält, wenn man die geordneten Zahlenpaare

Man beachte, dass mit x 2 C y 2 1 D 0 keine reelle

. x; y/ D . x; f . x// mit x 2 D in ein Koordinatenkreuz einträgt.

Funktion definiert wird, denn die Zuordnung ist nicht

Geordnet bedeutet, dass in . x; y/ die Reihenfolge von x und y
eindeutig, da jedem Element des Definitionsbereichs
wichtig ist: . x; y/ ist verschieden von ( y; x/ (außer möglicher-
zwei Werte zugeordnet werden (einer auf dem oberen
weise in Sonderfällen).

Halbkreis und einer auf dem unteren Halbkreis).

J

In einem kartesischen Koordinatensystem (siehe Abschn. 7.1)

ist die waagerechte Achse die x-Achse oder Abszissenachse, die
senkrechte Achse ist die y-Achse oder Ordinatenachse. Die Zahl
x ist die Abszisse und y die Ordinate eines Punktes . x j y/ mit den

Parameterdarstellung der Funktionsgleichung

Koordinaten x und y.

Die Darstellung einer Funktion in der Form x D '. t/, y D . t/

Statt Graph einer Funktion sagt man auch Schaubild oder Kurve
heißt Parameterdarstellung.

der Funktion.

Bemerkung: Bei einem Zahlenpaar setzt man ein Komma oder

Die Werte von x und y werden dabei jeweils als Funktion ei-
ein Semikolon zwischen die beiden Komponenten: . x; y/ oder
ner Hilfsvariablen t angegeben, die Parameter genannt wird. Die

. x I y/. Bei der Darstellung eines Punktes setzt man einen senk-

Funktionen '. t/ und . t/ müssen denselben Definitionsbereich rechten Strich zwischen die beiden Koordinaten: . x j y/.

haben.

Beispiel

Beispiele

Graph der Funktion mit der Funktionsgleichung y D
f . x/ D 2 x C 1 und dem Definitionsbereich D D R:

9. x D 2 t C 5, y D 8 t C 4, t 2 R

Abb. 5.1.

J

Durch Elimination von t erhält man

4 x 20 D y 4 ) y D 4 x 16,
also eine Geradengleichung (in expliziter Form) (vgl.

Abschn. 7.2.1).

10. x D '. t/, y D . t/ mit x D cos t, y D sin t und

5.1.4

Wertetabelle einer Funktion

0 t

Hierbei handelt es sich um die obere Hälfte des

Einheitskreises mit dem Mittelpunkt im Koordina-

Auch mittels einer Wertetabelle kann eine Funktion dargestellt
tenursprung, denn Quadrieren und Addieren ergibt
werden.

x 2 C y 2 D cos2 t C sin2 t D 1,

In einer Wertetabelle werden für einige ausgewählte Argumente
und t durchläuft den ersten und den zweiten Quadran-
x die geordneten Zahlenpaare . x; y/ D . x; f . x// für eine Funkti-
ten (vgl. Kap. 6).

J
on y D f . x/ eingetragen. Dabei müssen die ausgewählten Werte
für x Elemente des Definitionsbereichs D der Funktion sein.

88

5 Funktionen

Teil

Man stellt oftmals eine Wertetabelle auf, um den Graph einer
y

Funktion zeichnen zu können.

I

8

7

Beispiel

6

5

Wertetabelle für die Funktion y D x 2 4 x C 3, D D R:

4

3
x

5 4 3 2 1 0

1

2

2

1
y

2

3

6

7

6

3

2 9

J

0
x

8

–

7

–

6

–

5

–

4

–

3

–

2

–

1

–

1 2 3 4 5 6 7 8

2

–

3

–

4

–

5.2

Verhalten von Funktionen

5

–

6

–

7

–

5.2.1

Monotone Funktionen

8

–

Eine Funktion mit der Gleichung y D f . x/ heißt in einem

Abb. 5.2 Graph der Funktion mit der Gleichung f .x/ = 3x
bestimmten Bereich B ( B ist eine Teilmenge des Definitions-
bereichs D)

y
monoton wachsend, wenn aus x 1 < x 2 stets f . x 1/ f . x 2/

5
folgt,
streng monoton wachsend, wenn aus x 1 < x 2 stets f . x 1/ <

4
f . x 2/ folgt,
monoton fallend, wenn aus x 1 < x 2 stets f . x 1/ f . x 2/ folgt,

3
streng monoton fallend, wenn aus x 1 < x 2 stets f . x 1/ > f . x 2/
folgt.

2

Dabei sind x 1, x 2 beliebige Punkte aus diesem Bereich B.

1

Beispiele

0

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4
x

1. f . x/ D 3 x, D D R ist streng monoton wachsend in D

–1

(Abb. 5.2).

2. f . x/ D x 2, D D R ist in B D f

1
x j x 2 D und x 0g
streng monoton fallend und in B D f

2
x j x 2 D und

Abb. 5.3 Graph der Funktion mit der Gleichung f .x/ D x2
x 0g streng monoton wachsend (Abb. 5.3).

J

Beispiele

5.2.2

Symmetrische Funktionen

1. f . x/ D 2 x 4 C 1 (Abb. 5.4)

Wegen f . x/ D 2. x/4 C 1 D 2 x 4 C 1 D f . x/ ist
y D f . x/ symmetrisch zur y-Achse, also eine gerade

Der Graph einer Funktion mit der Gleichung y D f . x/ ist sym-

Funktion.

metrisch zur y-Achse, wenn f . x/ D f . x/ für alle x 2 D gilt.

2. f . x/ D 2 x 3 3 x (Abb. 5.5)

Eine solche Funktion heißt eine gerade Funktion.

Wegen f . x/ D 2. x/3 3. x/ D 2 x 3 C 3 x D

Der Graph einer Funktion y D f . x/ ist symmetrisch zum Koor-
f . x/ ist y D f . x/ symmetrisch zum Koordinatenur-
dinatenursprung, wenn f . x/ D f . x/ für alle x 2 D gilt. Eine
sprung, also eine ungerade Funktion.

J
solche Funktion heißt eine ungerade Funktion.

5.2

Verhalten von Funktionen

89
y

Beispiele

I

12

11

1. y D 1 x 2 ist nach oben beschränkt, denn y 1.

10

Teil

2. y D ex ist nach unten beschränkt, denn y > 0.

9

3. y D

4
ist beschränkt, denn 0 < y 4.

J

1C x 2

8

7

6

5

4

5.2.4

Injektive Funktionen

3

2

Eine Funktion heißt injektiv, wenn jedes Bild genau ein Urbild
besitzt.

0

–3 –2 –1

1 2
x

Bei einer injektiven Funktion gehören zu verschiedenen Argu-
menten also stets verschiedene Bilder.

Abb. 5.4 Graph der Funktion mit der Gleichung f .x/ D 2x4 C 1
y
x ¤

)

1
x 2
f . x 1/ ¤ f . x 2/

10

9

8

7

Beispiele

6

5

Folgende Funktionen sind injektiv:

4

1. D D f1; 2; 3; 4; 5g,

3

W D f1; 2; 3; 4; : : : ; 24; 25g,

2
f .1/ D 1, f .2/ D 4, f .3/ D 9, f .4/ D 16,

1
f .5/ D 25

0

–3 –2

2
x

–1

2. D D f1; 2; 3; 4; 5g,

–2

W D f1; 2; 3; 4; 5g,

–3
f .1/ D 1, f .2/ D 2, f .3/ D 3, f .4/ D 4,

–4
f .5/ D 5

–5

3. y D f . x/ D x C 2, f W R ! R (also D D W D R)

p

–6

4. y D f . x/ D
x, f W N ! R.

–7

–8

Folgende Funktionen sind nicht injektiv:

–9

1. y D f . x/ D x 3 4 x 2 x C 4, f W R ! R

–10

2. y D f . x/ D x 2 1, f W R ! R

3. y D f . x/ D x3 , f W Œ1; 1 ! R (also D D Œ1; 1,

Abb. 5.5 Graph der Funktion mit der Gleichung f .x/ D 2x3 3x
x 22

W D R)

8

ˆ

<1 falls x < 0;

5.2.3

Beschränkte Funktionen

4. y D f . x/ D ˆ0
falls x D 0; f W R ! R.

:C1 falls x > 0;

J

Eine Funktion heißt nach oben beschränkt, wenn ihre Funkti-
onswerte eine bestimmte Zahl nicht übertreffen, und nach unten
beschränkt, wenn ihre Funktionswerte nicht kleiner als eine be-
stimmte Zahl sind. Eine Funktion, die sowohl nach oben als

5.2.5

Surjektive Funktionen
auch nach unten beschränkt ist, heißt beschränkt.

Bei einer beschränkten Funktion y D f . x/ existieren also reelle

Eine Funktion heißt surjektiv, wenn ihre Bildmenge gleich dem

Zahlen a und b mit a < b, so dass gilt:

Wertebereich ist.

a f . x/ b für alle x 2 D
f . D/ D W

90

5 Funktionen

Teil

Beispiele
p

5. y D f . x/ D
x, f W N ! R

I

8

Folgende Funktionen sind surjektiv:

ˆ

<1 falls x < 0;

1. D D f1; 2; 3; 4; 5g,

6. y D f . x/ D ˆ0
falls x D 0; , f W R ! R.

:

W D f1; 2; 3; 4; 5g,

C1 falls x > 0;

J
f .1/ D 1, f .2/ D 2, f .3/ D 3, f .4/ D 4,
f .5/ D 5

2. y D f . x/ D x C 2, f W R ! R

3. y D f . x/ D x 3 4 x 2 x C 4, f W R ! R

5.2.7

Periodische Funktionen

Folgende Funktionen sind nicht surjektiv:

Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Bedingung f . x C

1. D D f1; 2; 3; 4; 5g,

T/ D f . x/ erfüllt, wobei T eine Konstante (feste reelle Zahl) ist,

W D f1; 2; 3; 4; : : : ; 24; 25g,
heißt periodische Funktion. Die Gleichung f . x C T/ D f . x/ gilt
f .1/ D 1, f .2/ D 4, f .3/ D 9, f .4/ D 16,
für alle x aus dem Definitionsbereich.

f .5/ D 25

2. y D f . x/ D x 2 1, f W R ! R

3. y D f . x/ D x3 , f W Œ1; 1 ! R
x 22
p

4. y D f . x/ D
x, f W N ! R
f . x C T/ D f . x/

8

ˆ

<1 falls x < 0;

5. y D f . x/ D ˆ0
falls x D 0; f W R ! R.

:

Die kleinste positive Zahl T mit dieser Eigenschaft heißt die Pe-

C1 falls x > 0;

J
riode der Funktion. Den absolut größten Funktionswert nennt
man Amplitude der periodischen Funktion.

Beispiele für periodische Funktionen sind die trigonometrischen

Funktionen (vgl. Kap. 6).

5.2.6

Bijektive Funktionen

5.2.8

Umkehrfunktionen

Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch
surjektiv ist.

Die Funktion, die durch Vertauschen von x und y aus einer bi-

Bei einer bijektiven Funktion ist also die Bildmenge gleich
jektiven Funktion y D f . x/ entsteht, heißt Umkehrfunktion oder
dem Wertebereich, und jedes Bild besitzt genau ein Urbild. Ist
inverse Funktion von y D f . x/.

y D f . x/, f W D ! W eine bijektive Funktion, so sind die Men-

Bei einer bijektiven Funktion y D f . x/, f W D ! W ist jedes
gen D und W gleich mächtig, das heißt, sie besitzen gleich viele

Element y 2 W Bild von genau einem Element x 2 D. Man

Elemente.

kann eine neue Funktion definieren, die jedem y 2 W als Bild

Die bijektiven Funktionen besitzen eine Umkehrfunktion.

gerade das x 2 D zuordnet, das Urbild von y ist. Diese Funk-
tion leistet das Umgekehrte wie f , ihr Definitionsbereich ist W,

Beispiele
und ihr Wertebereich ist D. Man nennt diese Funktion daher die

Umkehrfunktion von f und bezeichnet sie mit f 1.

Folgende Funktionen sind bijektiv:

1. D D f1; 2; 3; 4; 5g,
y D f 1. x/;
f 1 W W ! D

W D f1; 2; 3; 4; 5g,
f .1/ D 1, f .2/ D 2, f .3/ D 3, f .4/ D 4,
f .5/ D 5

Versteht man unter der Schreibweise g. f . x//, dass man auf x

2. y D f . x/ D x C 2, f W R ! R
die Zuordnungsvorschrift f und dann auf f . x/ die Vorschrift g

Folgende Funktionen sind nicht bijektiv:

anwendet, so gilt f 1. f . x// D x und f . f 1. x// D x.

1. D D f1; 2; 3; 4; 5g,

Zu einer streng monoton wachsenden oder streng monoton fal-

W D f1; 2; 3; 4; : : : ; 24; 25g,
lenden Funktion existiert die Umkehrfunktion.

f .1/ D 1, f .2/ D 4, f .3/ D 9, f .4/ D 16,

Bestimmung der Umkehrfunktion:

f .5/ D 25

2. y D f . x/ D x 3 4 x 2 x C 4, f W R ! R

1. Auflösen von y D f . x/ nach x: x D f 1. y/

3. y D f . x/ D x 2 1, f W R ! R

2. Vertauschen von x und y: y D f 1. x/

4. y D f . x/ D x3 , f W Œ1; 1 ! R
x 22

Diesen Operationen entspricht die Spiegelung des Graphen der

Funktion an der Winkelhalbierenden y D x.

5.3

Einteilung der elementaren Funktionen

91
y
y
x
x

I
y = 4 x – 1

6
e
x

=

6
y

= y

=2

5

5
y

Teil

4

4

3
y = 0,25 x + 0,25

3
x

= log2

2
y

2

–7 –6 –5 –4 –3 –2

1

1
y
x

= ln

1 2 3 4 5 6
x

0

–2

–2 –1

1

2

3

4

5

6

7
x

–3

–4

–5

–6

Abb. 5.8 Graphen der Funktionen von Beispiel 3 und Beispiel 4

–7

Abb. 5.6 Graphen der Funktionen von Beispiel 1

Beispiele
y

1. y D x 2, D D .1; 1/, W D Œ0; 1/

4
p

2
x

2. y D
x, D D Œ0; 1/, W D Œ0; 1/

J

3
x=

=
y
y
x

2
y

= +

1

Ist dagegen die unabhängige Variable einer Funktionsgleichung

–2 –1

1

2

3

4
eine komplexe Zahl z, dann wird durch w D f . z/ eine komple-
x
xe Funktion einer komplexen Variablen beschrieben. Komplexe

–1

Funktionen werden in dem mathematischen Gebiet Funktionen-

–2
theorie behandelt.

Abb. 5.7 Graphen der Funktionen von Beispiel 2

5.3

Einteilung der elementaren

Funktionen

Beispiele

1. y D f . x/ D 4 x 1 (Abb. 5.6), D D W D R

Eine elementare Funktion ist eine Funktion, deren Funktions-

Umkehrfunktion: y D f 1. x/ D 1 x C 1 , D D W D R

4

4
gleichung durch einen geschlossenen analytischen Ausdruck

2. y D f . x/ D x 2 (Abb. 5.7), D D W D f x j x 2 R;
dargestellt werden kann.

x 0g
p

Umkehrfunktion: y D f 1. x/ D
x, D D W D

Elementare Funktionen sind durch Formeln definiert, die nur
f x j x 2 R; x 0g
endlich viele mathematische Operationen mit der unabhängigen

3. y D f . x/ D ex (Abb. 5.8), D D R, W D RC

Variablen x und den Koeffizienten enthalten.

Umkehrfunktion: y D f 1. x/ D ln x, D D RC,

Man teilt die elementaren Funktionen in algebraische Funktio-

W D R
nen und transzendente Funktionen ein.

4. y D f . x/ D 2 x, D D R, W D RC

Umkehrfunktion: y D f 1. x/ D log x, D D RC,

Bei algebraischen Funktionen lassen sich die Verknüpfung der

2

W D R

J
unabhängigen Variablen x und der abhängigen Variablen y in
einer algebraischen Gleichung folgender Form darstellen, wobei
p 0; p 1; : : : ; pn Polynome in x beliebigen Grades sind.

5.2.9

Reelle und komplexe Funktionen
p 0. x/ C p 1. x/ y C p 2. x/ y 2 C : : : C pn. x/ yn D 0

Eine Funktion mit der Funktionsgleichung y D f . x/, deren

Definitions- und Wertebereich nur reelle Zahlen enthalten, nennt

Elementare Funktionen, die nicht algebraisch sind, heißen tran-
man eine reelle Funktion einer reellen Variablen.

szendent.

92

5 Funktionen

Teil

Beispiele für algebraische Funktionen

Ganze rationale Funktionen lassen sich also darstellen in folgen-
der Form mit a

2

¤

0; a 1; a 2; : : : ; an1; an

R, an

0, n 2 N.

I

1. y D 3 x 2 C 4

2. y D

2 x
x 3C2 x1
p

3. y D

2 x C 3
y D anxn C an1 xn1 C : : : C a 2 x 2 C a 1 x C a 0

4. 3 xy 3 4 xy C x 3 1 D 0 (hier also p 0. x/ D x 3 1,
n

X
p 1. x/ D 4 x, p 2. x/ D 0, p 3. x/ D 3 x).

J

D
akxk
k D0

Zu den transzendenten Funktionen gehören zum Beispiel die

Exponentialfunktionen, die Logarithmusfunktionen und die tri-

Ist n der Grad des Polynoms, so nennt man die Funktion ganze
gonometrischen Funktionen.

rationale Funktion n-ten Grades. Bei ganzen rationalen Funktio-
nen werden auf die unabhängige Variable x nur die Operationen

Addition, Subtraktion und Multiplikation angewandt.

Beispiele für transzendente Funktionen

Ganze rationale Funktionen vom Grad 0 ( y D a 0) nennt man
konstante Funktionen, vom Grad 1 ( y D a

1. y D ex

1 x C a 0) lineare

Funktionen, vom Grad 2 ( y D a

2. y D sin x

2 x 2 + a 1 x C a 0) quadratische

Funktionen und vom Grad 3 ( y D a

3. y D ln x

3 x 3 C a 2 x 2 + a 1 x C a 0) ku-
p
bische Funktionen.

4. y D ln x C sin x .

J
x 2C5

Konstante Funktionen
y D a 0

Die algebraischen Funktionen untergliedern sich in die rationa-

Lineare Funktionen
y D a 1 x C a 0
len Funktionen und in die irrationalen Funktionen.

Quadratische Funktionen
y D a 2 x 2 C a 1 x C a 0

Eine rationale Funktion ist eine algebraische Funktion, für die
die Funktionsgleichung y D f . x/ als eine explizite Formel an-

Kubische Funktionen
y D a 3 x 3 C a 2 x 2 C a 1 x C a 0
gegeben werden kann, in der auf die unabhängige Variable x nur
endlich viele rationale Rechenoperationen (Addition, Subtrakti-
on, Multiplikation und Division) angewandt werden.

Beispiele für ganze rationale Funktionen

Eine algebraische Funktion, die nicht rational ist, heißt irratio-
nal.

1. y D 23 x 4 12 x C 4

2. y D 11 x 23 11 x 17 12 x 9 x 6 12
p x 2

12

5

Beispiele für rationale Funktionen

3. y D 1 3 x C x 6 2 x 2

4. y D 7 (konstante Funktion)

1. y D 3 x 3 1

5. y D 3 x 4 (lineare Funktion)

4

6. y D x 2 x C 1 (quadratische Funktion)

2. y D 2 x 23 x C5

J
x 3C3 x 22

7. y D 4 x 3 2 x C 5 (kubische Funktion)

J

Bei irrationalen Funktionen tritt die unabhängige Variable auch

Gebrochene rationale Funktionen sind Funktionen mit einer
unter einem Wurzelzeichen auf.

Funktionsgleichung y D f . x/, bei der f . x/ als Quotient zweier

Polynome darstellbar ist. Sie besitzen also eine Darstellung fol-
gender Form mit a

2

¤

0; a 1; : : : ; an; b 0; b 1; : : : ; bm

R, an; bm

0,

Beispiele für irrationale Funktionen
m ¤ 0.

p

1. y D

3 x 2 C 4
p
p

2. y D 3 . x 2 C 1/ x

J
y D anxn C an1 xn1 C : : : C a 2 x 2 C a 1 x C a 0
bmxm C bm1 xm1 C : : : C b 2 x 2 C b 1 x C b 0

P n a

Für rationale Funktionen ist f . x/ ein Polynom (dann ist y D f . x/

D
i D0
ixi

P m
eine ganze rationale Funktion) oder ein Quotient aus Polynomen
b
k D0
k xk

(dann heißt y D f . x/ eine gebrochene rationale Funktion).

5.4

Ganze rationale Funktionen

93

Eine gebrochene rationale Funktion kann also immer als Quoti-

5.4

Ganze rationale Funktionen

I
ent zweier ganzer rationaler Funktionen dargestellt werden. Bei
gebrochenen rationalen Funktionen werden auf die unabhängi-
ge Variable x nur die Grundrechenarten (also die Operationen

5.4.1

Konstante Funktionen

Teil

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) angewandt.

Die Definitionsmenge einer gebrochenen rationalen Funktion
besteht aus denjenigen reellen Zahlen, für die der Nenner nicht

Funktionen mit einer Funktionsgleichung

Null wird.

Für n < m heißt die Funktion echt gebrochene rationale Funkti-
y D f . x/ D n . n 2 R/
on, für n m heißt sie unecht gebrochene rationale Funktion.

Gebrochene rationale Funktionen mit n D 1 und m D 1, also
y D a 1 x C a 0 , heißen gebrochene lineare Funktionen.

Der Graph einer konstanten Funktion ist eine Parallele zur x-
b 1 x C b 0

Achse, und zwar im Abstand n. Im Fall n D 0 ist die Gerade
die x-Achse selbst. Die Geradengleichung der x-Achse ist also

Beispiele für gebrochene rationale Funktionen
y D 0 (Abb. 5.9).

Um den Graph einer Funktion zu zeichnen, ist es sinnvoll, sich

1. y D 2 x
die Koordinaten von Punkten des Graphen in einer Wertetabel-
x 212

2. y D x 422 x 3C 13
le aufzuschreiben. Da eine Gerade durch zwei auf ihr liegende
x 511 x 3C x C1

Punkte festgelegt ist, reicht es im Prinzip, bei Geraden die Ko-

3. y D

2 x
x 35 x 22 x C1
ordinaten von zwei Punkten zu berechnen.

4. y D 2 x C4 (gebrochene lineare Funktion)

x3

Beispiel

5. y D x 52
x 2C1

6. y D x 2 C x C 1 (D x 3C x 2C1 )

J

Funktionsgleichung: y D f . x/ D 2
x
x

Wertetabelle:

x

1 0 1

Bei den ersten drei Beispielen handelt es sich um echt gebro-
y

2

2

2

J
chene rationale Funktionen, bei den letzten drei Beispielen um
unecht gebrochene rationale Funktionen.

Zusammenfassende Übersicht über die elementaren

5.4.2

Lineare Funktionen

Funktionen

Funktionen mit einer Funktionsgleichung
y D f . x/ D mx C n . m; n 2 R; m ¤ 0/

Eine lineare Funktion ist eine ganze rationale Funktion 1. Gra-
des.

y

3

2
y = 2

1

–3 –2

–1 0

1

2

3
x

–1

Abb. 5.9 Graph der konstanten Funktion y D 2

94

5 Funktionen

Teil
y
y

3

I

4

1

2

3
y =
x + 2

1

1

2
y =
x
m =

1

2

2

2

1

0

0,5

1 b = 2

–3

–2

–1

1

2

3

4
x

–1

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3
x

–2

Abb. 5.10 Graph der linearen Funktion y D 1 x C 2

2

Abb. 5.11 Graph der Proportionalfunktion y D 1 x

2

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade (daher der

F

Name lineare Funktion), und zwar die Gerade mit der Stei-
in N
gung m und dem Achsenabschnitt n auf der y-Achse (vgl.

6

F = c l

Δ

Abschn. 7.2.1). Die Steigung m einer Geraden ist der „Höhen-

5
zuwachs“ (die Differenz der y-Werte) bei einem Schritt um 1
nach rechts. Der Achsenabschnitt n ist der y-Wert, bei dem die

4

Gerade die y-Achse schneidet.

3

Für m > 0 ist die Funktion streng monoton wachsend, für m < 0

2
ist sie streng monoton fallend.

1
c

0

Schnittpunkt des Graphen der Funktion mit der x-Achse:

–1

1

2

3

4

5

Δ l

S
j
x. n 0/, Schnittpunkt mit der y-Achse: S
m
y.0j n/.

in cm

–1

Beispiel

Abb. 5.12 Hooke’sches Gesetz

Funktionsgleichung: y D f . x/ D 1 x C 2 (Abb. 5.10)

2

Wertetabelle:

Anwendungsbeispiele
x

6 4 2 0 2 4

1. Hooke’sches Gesetz (Abb. 5.12)

y

1

0

1

2

3

4

J

Funktionsgleichung: F D c l (statt y D mx)

Dabei bedeuten:

F Federkraft, c Federkonstante (Federrate, Federstei-

Ist n D 0, so nennt man die lineare Funktion y D mx ( m 2 R,
figkeit), l Längenveränderung der Feder
m ¤ 0) auch Proportionalfunktion. Der Graph einer Propor-

Beispiel (vgl. Abschn. 2.4):

tionalfunktion ist eine Gerade durch den Koordinatenursprung,

Welche Kraft F dehnt eine Feder um 4 cm, wenn die
und zwar mit der Steigung m.

Kraft 3 N (Newton) eine Dehnung um 2 cm bewirkt?

Man nennt m auch den Proportionalitätsfaktor der Gleichung,

N
denn es gilt m D y .

c D 3 N D 1;5

; l D 4 cm
x

2 cm
cm

Beispiel

Einsetzen in die Funktionsgleichung:

Funktionsgleichung: y D f . x/ D 1 x (Abb. 5.11)

N

2

F D 1;5

4 cm D 6 N
cm

Wertetabelle:

Antwort: Die Kraft 6 N bewirkt die Dehnung um 4 cm.

x

3

2

1

0

1

2

3

Anmerkung: Es muss sichergestellt sein, dass sich
y 3 D 1;5 1 1 D 0;5 0 1 D 0;5 1 3 D 1;5

2

2

2

2
die Werte im materialbedingten Gültigkeitsbereich des

J

Hooke’schen Gesetzes bewegen.

5.4

Ganze rationale Funktionen

95

Δ s

Wertetabelle:

in km

I

V

2400

–273

0

2000

Δ s = Δ
v t

Teil

0

V

1600

0

V

373

100

V 0

1200

273
in m3

473

200

V

800

0

273

100 V 0 g

400

273

2 V 0

100

=

V
v

0

0

273

1 2 3 4 5 6 7 8 910

Δ t

100
in 1000 s
v

Abb. 5.13 Geschwindigkeit im Weg-Zeit-Diagramm

V 0

V =

V (1 +

)

0
gu

2. Geschwindigkeit im Weg-Zeit-Diagramm (Abb. 5.13)

Funktionsgleichung: s D v t (statt y D mx)

–273

0

100

200 u
in °C

Dabei bedeuten:

s zurückgelegter Weg, v Geschwindigkeit, t abge-

Abb. 5.14 Gay-Lussac’sches Gesetz
laufene Zeit

Beispiel (vgl. Abschn. 2.4):

Wie weit kommt ein Flugzeug in 2 1 Stunden, wenn es

2

10 km in 45 s zurücklegt?

Zuerst Berechnung von V 0:

m
v D 10:000 m D 222;2

;

D

1

D

1

45 s
s

V 0

V 1

42:000 m3

1 C ı1

1 C 1 17

273
t D 2;5 h 3600 s D 9000 s

D
h

39:537;9310 : : : m3

Einsetzen in die Funktionsgleichung:

Anschließend Berechnung des gesuchten V 2:

V D V

2

0.1 C ı2/
s D 10:000 m 9000 s D 2000 km

45 s

D 39:537;9310 : : : m3 1 C 1 800

273

Antwort: Das Flugzeug fliegt 2000 km weit.

3. Gay-Lussac’sches Gesetz (Abb. 5.14)

D 155:400 m3

Funktionsgleichung: V D V 0.1 C ı/ oder V D

V

Antwort: Das Volumen beträgt 155.400 m3.

0 ı C V 0 (statt y D mx C n)

Dabei bedeuten:

Wertetabelle:

V variables Gasvolumen, V 0 Volumen derselben Gas-
menge bei 0 °C, D

1
konstanter Volumenaus-

# 273 0

100

200

300

273
dehnungskoeffizient, ı Maßzahl der in °C gemessenen

V

0

V

373

473

0

V

V

273

0

273

0

2 V 0

J
variablen Temperatur

Ein Vergleich mit der linearen Funktion ergibt:

V D y;

V

D

D

0 D V 0
m;
ı D x; V 0
b

273

5.4.3

Quadratische Funktionen

Der Definitionsbereich ist gegeben durch die Bedin-
gung 273 ı < 1.

Funktionen mit einer Funktionsgleichung

Beispiel (vgl. Abschn. 2.4):

Im Winderhitzer eines Hochofens werden stündlich

42.000 m3 Luft von 17 auf 800 °C erwärmt. Wie groß
ist das Volumen der vom Winderhitzer pro Stunde ge-
y D f . x/ D a

2

¤

2 x 2 C a 1 x C a 0

. a 2; a 1; a 0 R; a 2

0/
lieferten erhitzten Luft?

Lösung: Die Gleichung V D V 0.1 C ı/ wird zweimal
benutzt.

Eine quadratische Funktion ist eine ganze rationale Funktion 2.

Grades.

96

5 Funktionen

Teil
y
y

9

8

I

8

7

7

6

6
y = x 2

5

5

4

2

4
y = x – x – 1

3

3

2

2

1

1

S

S
x 2
x 1

–3 –2 –1

1

2

3
x

–3 –2 –1

1

2

3

4 x

Sy

–1

Abb. 5.15 Normalparabel

S

–2

Abb. 5.16 Verschobene Normalparabel

Der Graph jeder quadratischen Funktion ist eine Parabel (vgl.

auch Abschn. 7.5.3).

y

Für spezielle Koeffizienten a 2, a 1, a 0 in der Funktionsgleichung

6
erhält man spezielle Parabeln.

5

4

Normalparabel

3
y = x 2 – 4 x

Mit den Koeffizienten a D

D

D

2

2

1, a 1

0, a 0

0 in der Gleichung
y D a 2 x 2 C a 1 x C a 0 der quadratischen Funktion erhält man die

1

Gleichung y D x 2 der Normalparabel.

Sx 1

–2 –1 0

1

2

3

4

5

6
x

–1

Normalparabel

–2
y D x 2

–3

–4

Der Punkt .0j0/, also der Koordinatenursprung, ist der Scheitel-
punkt der Normalparabel. Die Normalparabel ist symmetrisch

Abb. 5.17 Verschobene Normalparabel
zur y-Achse und nach oben geöffnet (Abb. 5.15).

Der Definitionsbereich ist D D R, der Wertebereich ist W D Berechnung des Scheitelpunkts S der verschobenen Normalpa-

R, und die Bildmenge f . D/ ist die Menge der nichtnegativen rabel mit der Gleichung y D x 2 C a 1 x C a 0: Subtraktion von a 0
reellen Zahlen: f . D/ D R C D R C [ f0g.

0
ergibt y a D

0
x 2 C a 1 x.

Durch quadratische Ergänzung erhält man y a C

0

. a 1 /2 D

2

Verschobene Normalparabel
x 2 C a
a 21

1 x C . a 1 /2, woraus y . a

/ D . x C a 1 /2 folgt.

2

0

4

2

Mit a D

2

1 und beliebigen Werten für a 1 und a 0 (aber nicht

Die rechte Gleichungsseite und damit auch die linke ist 0. Der
beide gleich 0) in y D a 2 x 2 C a 1 x C a 0 ergibt sich die Glei-
kleinste y-Wert ergibt sich, wenn beide Gleichungsseiten gleich
chung y D x 2 C a 1 x C a 0 einer verschobenen Normalparabel
a 21

(Abb. 5.16).

0 sind, also für y D a 0

. Dies ist der Wert der Ordinate des

4

Scheitelpunkts.

Die rechte Gleichungsseite wird für x D a 1 gleich 0, dem Wert

2

Verschobene Normalparabel
der Abszisse des Scheitelpunkts. Man erhält somit als Scheitel-
punkt der verschobenen Normalparabel
y D x 2 C a 1 x C a 0

ˇˇ

S. x j
a 1 ˇ a 21
s ys/ D S

2 ˇ a 0

4

Eine verschobene Normalparabel hat dieselbe Form wie die

Normalparabel, der Scheitelpunkt liegt jedoch nicht im Koor-

Berechnung des Schnittpunkts Sy der verschobenen Normalpa-
dinatenursprung (Abb. 5.17).

rabel mit der y-Achse:

5.4

Ganze rationale Funktionen

97

Die Ordinate des Schnittpunkts mit der y-Achse ergibt sich,

–3

–2

–1

1

2

3

I
wenn man in der Funktionsgleichung x D 0 setzt: y D 0 C

0 C a D

D
x

0
a 0. Somit ist Sy

Sy.0j a 0/.

–1

Teil

Berechnung der Schnittpunkte Sx und S
der verschobenen

1
x 2

–2

Normalparabel mit der x-Achse:

–3

Die Abszissen der Schnittpunkte mit der x-Achse erhält man,

2

–4
y = –x
wenn man in der Funktionsgleichung y D 0 setzt: 0 D x 2 C
a 1 x C a 0. Dies ist eine quadratische Gleichung in x, deren Null-

–5
stellen bestimmt werden müssen:

–6
s

–7
a

2

1
x

D a 1 ˙

1;2
a 0

2

2

–8
y

Die Schnittpunkte mit der x-Achse lauten also:

Abb. 5.18 Gespiegelte Normalparabel

s

ˇ
a

ˇ

1
a 2

S

D

C

1

ˇ
x

S
a

Gespiegelte Normalparabel

1
x 1

0

2

4

ˇ0

s

ˇ

Mit den Koeffizienten a D

D

D

2

1, a 1

0, a 0

0 in y D a 2 x 2 C
a 2

ˇ
a

S

D
a 1

1

ˇ

1 x C a 0 ergibt sich die Gleichung y D x 2 der gespiegelten
x

S
a

2
x 2

0

2

4

ˇ0

Normalparabel (Abb. 5.18).

Beispiele

Gespiegelte Normalparabel
y D x 2

1. y D x 2 x 1 (also a D

D

1

1 und a 0

1)

a 2

Wegen 1 D .1/2 D 1 ergibt sich

4

4

4

Scheitelpunkt: S D S. 1 j 1 1 / D S. 1 j 5 /

Die gespiegelte Normalparabel entsteht aus der Normalparabel

2

4

2

4

Schnittpunkt mit der y-Achse: S D
durch Spiegelung an der x-Achse. Der Punkt .0j0/ ist der Schei-
y

Sy.0j 1/

Schnittpunkte mit der x-Achse:

telpunkt der gespiegelten Normalparabel. Sie ist symmetrisch
zur y-Achse und nach unten geöffnet.

r

ˇ

ˇ

1

1

ˇ

1
p ˇ

S

D

C

C Ď

ˇ
x

S

1

S

.1 C 5/

1
x 1
x

2

4

ˇ0

1

2

ˇ0

Gespiegelte verschobene Normalparabel

D S

Mit a D 1 und beliebigen Werten für a
x .1;6180 : : : j0/;

2

1 und a 0 (aber nicht

1
r

ˇ

ˇ
beide gleich 0) ergibt sich die Gleichung y D x 2 C a 1 x C a 0

1

1

ˇ

1
p ˇ

S

D

C Ď
ěiner gespiegelten verschobenen Normalparabel.

x

S

1

S

.1 5/

2
x 2
x

2

4

ˇ0

2

2

ˇ0

D Sx .0;6180 : : : j0/

2

Gespiegelte verschobene Normalparabel

2. y D x 2 4 x (also a D

D

1

4 und a 0

0) (Abb. 5.17)

y D x 2 C a 1 x C a 0
a 2

Es ergibt sich 1 D .4/2 D 4. Damit berechnet man

4

4
den Scheitelpunkt: S D S. 4 j 4/ D S.2j 4/

2

Berechnung des Scheitelpunkts S:

Schnittpunkt mit der y-Achse: S D
y

Sy.0j0/

Schnittpunkte mit der x-Achse:

Subtraktion von a

D

0: y a 0
x 2 C a 1 x

p

ˇˇ

Subtraktion von . a 1 /2:

2

S

D

Ď

x

S

2 C

4 0

S .4j0/;

1
x 1

ˇ0
x 1
a

2

2

1
a 1
y a

D

0
x 2 C a 1 x

S

D

2

2
x

S .2 2j0/ D S .0j0/

2
x 2
x 2

Zusammenfassen auf der linken Seite des Gleichheitszeichens

Die Parabel geht durch den Koordinatenursprung, des-
und Ausklammern von 1 auf der rechten Seite:

halb fällt der Schnittpunkt mit der y-Achse mit dem

2

2
einen Schnittpunkt mit der x-Achse zusammen.

J
a 1
a 1
y a C

D

0
x 2 a 1 x C

2

2

98

5 Funktionen

Teil

Anwenden der zweiten binomischen Formel auf der rechten Sei-
y
te:

S

7

I

a 2
a

2

6

1
y a C 1

D

0
x

4

2

5

Die rechte Gleichungsseite und damit auch die linke ist 0. Der

4
größte y-Wert ergibt sich, wenn beide Gleichungsseiten gleich 0

3 S
y =
y

2
sind, also für y D a C a 21

–x
x

–4 + 3 2

0

. Dies ist der Wert der Ordinate des

4

Scheitelpunkts.

1

–5 –4 –3 –2 –1

1

2

Die rechte Gleichungsseite wird für x D a 1 gleich 0, dem

2

S

S
x
x
x

Wert der Abszisse des Scheitelpunkts. Somit ergibt sich für den

2

1

–1

Scheitelpunkt der gespiegelten verschobenen Normalparabel

ˇ

–2
a ˇ

1
a 2

S. x j

Č 1

S yS / D S

2 ˇ a 0

4

Abb. 5.19 Gespiegelte verschobene Normalparabel

Berechnung des Schnittpunkts Sy mit der y-Achse:

Durch Einsetzen von x D 0 in die Funktionsgleichung erhält

Für a 2 > 0 ist die Parabel nach oben, für a 2 < 0 nach unten
man y D a
geöffnet.

0 als Ordinate des Schnittpunkts und als Schnittpunkt
somit S D
y

Sy.0j a 0/.

Für j a j

2

> 1 ist die Parabel im Vergleich zur Normalparabel

Berechnung der Schnittpunkte S
gestreckt und für j a j < 1 gestaucht. Man nennt | a
x
und S
mit der x-Achse:

2

2| deshalb den

1
x 2

Streckungsfaktor der Parabel.

Durch Einsetzen von y D 0 in die Funktionsgleichung ergibt
sich 0 D x 2 C a

Eine Änderung des Koeffizienten a

1 x C a 0 und nach Multiplikation der Gleichung

1 bewirkt eine Verschiebung
mit 1 die quadratische Gleichung x 2 a

D
der Parabel in x-Richtung, eine Änderung von a

1 x a 0

0, die die
q

0 bewirkt eine

Verschiebung in y-Richtung.

Lösungen x

D a 1 ˙

1;2

. a 1 /2 C a

2

2

0 hat. Die Schnittpunkte mit
der x-Achse lauten somit:

Berechnung des Scheitelpunkts S:

s

ˇ

Subtraktion von a

D

0: y a 0
a 2 x 2 C a 1 x
a

ˇ

1
a 2

S

D

C

1 C

ˇ
x

S
a

Ausklammern von a

1
x 1

0

2 auf der rechten Seite:

2

4

ˇ0

s

ˇ
a 1
y a D a
x 2 C
x
a

ˇ

0

2

1
a 2
a

S

D

1 C

ˇ

2
x

S
a

2
x 2

0

2

4

ˇ0

Quadratische Ergänzung in der Klammer auf der rechten Seite,
a 21

Beispiel
also Addition von
auf beiden Seiten der Gleichung:

4 a 2

a 2
a
a

2

3. y D x 2 4 x C 3 (also a

D

D

1

1

1

1

4 und a 0

3)

y a C

D

0
a 2 x 2 C
x C

(Abb. 5.19)

4 a 2
a 2

2 a 2
a 2

Man berechnet 1 D .4/2 D 4

Anwenden der ersten binomischen Formel auf der rechten Seite:

4

4

Scheitelpunkt: S D S.2j3 C 4/ D S.2j7/

a 2
a

2

Schnittpunkt mit der y-Achse: S D

1

1
y

Sy.0j3/
y a

D

0
a 2 x C

Schnittpunkte mit der x-Achse:

4 a 2

2 a 2
p
p

Hieraus liest man die Koordinaten des Scheitelpunkts ab, näm-

S

D
x

S .2 C

4 C 3j0/ D S .2 C

7j0/
lich diejenigen Werte für x und y, für die beide Seiten der

1
x 1
x 1

D S

Gleichung gleich 0 werden:

x .0;6457 : : : j0/;

1
p

S

D
a 2
x

S .2

7j0/ D S .4;6457 : : : j0/

J

2
x 2
x 2
x D a 1

D

1

S

; yS
a 0

2 a 2

4 a 2

Scheitelpunkt S der Parabel:

Allgemeiner Fall

ˇˇ

a 2

S. x j
a 1 ˇ 1

S yS/ D S

2 a ˇ a 0

2

4 a 2

Parabel

Man nennt die Gleichung y y D

S
a 2. x xS/2 Scheitelform
y D a 2 x 2 C a 1 x C a 0
der quadratischen Funktion, wohingegen y D a 2 x 2 C a 1 x C a 0

Normalform der quadratischen Funktion heißt.

5.4

Ganze rationale Funktionen

99
y

I

Scheitelform der quadratischen Funktion
y y D

S
a 2. x xS/2

8

Teil

7

Berechnung des Schnittpunkts Sy mit der y-Achse:

Setzt man in der Funktionsgleichung x D 0 ein, so erhält man

6
y D a 0 als Ordinate des Schnittpunkts Sy und als Schnittpunkt

2
somit S D

5
y =4 x
y

Sy.0j a 0/.

Der Wert D D a 2 4 a

1

2 a 0 heißt Diskriminante der quadratischen

4

Funktion y D a 2 x 2 C a 1 x C a 0. Gilt D > 0, so hat die zugehörige

Parabel zwei Schnittpunkte mit der x-Achse. Für D D 0 gibt es

3
einen Schnittpunkt (der Schnittpunkt ist dann ein Berührpunkt).

Für D < 0 gibt es keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.

2

Berechnung des Schnittpunkts (für D D 0) bzw. der Schnitt-

1
punkte (für D > 0) der Parabel mit der x-Achse:

Durch Einsetzen von y D 0 in die Funktionsgleichung y D

0
x

–2

–1

1

2
a 2 x 2 C a 1 x C a 0 erhält man die quadratische Gleichung a 2 x 2 C
q
a

D

D 1

˙

1 x C a 0

0, die die Lösungen x 1;2

. a
a 2

4 a

2 a

1

2 a 0/

2

1
hat. Daraus ergeben sich die Schnittpunkte mit der x-Achse:

Abb. 5.20 Parabel

q

ˇ

1

ˇ
y

S

C

ˇ
x

. a
a 2

4 a

;

1

1

2 a 0/

2 a

1

ˇ0

2

q

ˇ

1

1

ˇ

S

ˇ
x

. a
a 2

4 a

2

1

2 a 0/

0
x

2 a

1

ˇ0

–2

–1

1

2

3

2

–1

Sy

S

Beispiele

–2

–3

4. y D 4 x 2 (also a D

D

D

2

2

4, a 1
a 0

0) (Abb. 5.20)

y = –3 x + 1,2 x – 1,5

Wegen j a j D j

–4

2

4j D 4 > 1 ist die Parabel im Vergleich
zur Normalparabel gestreckt, und wegen a D

2

4 > 0

–5
ist die Parabel nach oben geöffnet.

Aus a D

D

D

–6

1
a 0

0 folgt S D S.0j0/ und S D Sx

Sy.

5. y D 3 x 2 C 1;2 x 1;5 (also a D

D

2

3, a 1

1;2,
a D

0

1;5) (Abb. 5.21)

Abb. 5.21 Parabel

Aus j a j D j

2

3j D 3 > 1 folgt, dass die Parabel
im Vergleich zur Normalparabel gestreckt ist. Wegen
a D

2

3 < 0 ist die Parabel nach unten geöffnet.

5.4.4

Kubische Funktionen

Berechnung des Scheitelpunkts S:

ˇˇ

.1;2/2

Funktionen mit einer Funktionsgleichung

S. x j

1;2 ˇ

S yS/ D S

2 .3/ ˇ1;5 4 .3/

ˇˇ

D

1;2

S

ˇ

6 ˇ1;5 C 1;44

12
y D f . x/ D a 3 x 3 C a 2 x 2 C a 1 x C a 0

D S.0;2j1;5 C 0;12/ D S.0;2j1;38/

. a

2

¤

3; a 2; a 1; a 0

R; a 3

0/

Scheitelform der Parabelgleichung:

y C 1;38 D 3. x 0;2/2

Eine kubische Funktion ist eine ganze rationale Funktion 3. Gra-

Berechnung des Schnittpunkts Sy mit der y-Achse:

des.

S D
y

Sy.0j 1;5/

Berechnung der Diskriminante D:

Der Graph einer kubischen Funktion ist eine kubische Parabel

D D a 2 4 a

D .1;2/24.3/.1;5/ D 16;56.

(Abb. 5.22).

1

2 a 0

Wegen D < 0 gibt es keinen Schnittpunkt mit der x-

Das Verhalten der Funktion hängt wesentlich von dem Koeffi-

Achse.

J
zienten a

3 und der Diskriminante D D 3 a 3 a 1
a 2 ab. Wenn

2

D 0 ist, dann ist die Funktion für a 3 > 0 monoton wachsend

100

5 Funktionen

Teil
y

Gespiegelte kubische Normalparabel

I
y D x 3

1
y = x 3

Beispiele (Abb. 5.22)

–2

–1

0

1

2 x

1. y D x 3

2. y D 1 x 3

2

–1

1

3. y D 1 x 3 x

J

4

–2

–1

0

1

2 x

1
y =
x 3

– 2

5.4.5

Ganze rationale Funktionen n-ten

–1

1

Grades

Sx

S

2
x 3

Funktionen mit einer Funktionsgleichung folgender Art, wobei

–2

–1

0

1

2 x
a

2

¤

0; a 1; a 2; : : : ; an1; an

R, an

0, n 2 N.

1
y =
x 3 – x

–1

4

Abb. 5.22 Graphen der kubischen Funktionen y D x3, y D 1 x3 und y D
y D anxn C an1 xn1 C : : : C a 2 x 2 C a 1 x C a 0

2

1 x3 x

4
n

X

D
akxk
k D0
und für a 3 < 0 monoton fallend (vgl. Abschn. 5.2.1). Für D < 0
besitzt die Funktion ein Maximum und ein Minimum (siehe Ab-
schn. 8.4.10). Für a 3 > 0 ist die Funktion dann von 1 bis zum

Die rechte Seite der Gleichung heißt auch Polynom n-ten Gra-

Maximum monoton wachsend, monoton fallend vom Maximum
des.

bis zum Minimum und danach bis C1 wieder monoton wach-

Der Graph einer ganzen rationalen Funktion n-ten Grades ist
send. Für a 3 < 0 (und D < 0) ist die Funktion von 1 bis
eine zusammenhängende Kurve, die von links aus dem Unend-
zum Minimum monoton fallend, vom Minimum bis zum Maxi-
lichen kommt und nach rechts im Unendlichen verschwindet.

mum monoton wachsend und danach bis C1 wieder monoton

Dabei hängt der Kurvenverlauf ganz wesentlich vom Grad n der
fallend.

Funktion und vom Vorzeichen von an ab. Es gilt:

Es gibt ein, zwei (dann ist ein Schnittpunkt ein Berührpunkt)

oder drei Schnittpunkte mit der x-Achse (abhängig von den Ko-
effizienten a 3; a 2; a 1; a 0). Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist
n gerade ( n D 2; 4; 6; : : :) und an > 0:

Sy.0j a 0/.

x ! 1

)

y ! C1

Spezialfälle:

x ! C1

)

y ! C1

Kubische Normalparabel
n gerade ( n D 2; 4; 6; : : :) und an < 0:

Mit den Koeffizienten a D

D

D

D

3

1, a 2

0, a 1

0, a 0

0 ergibt
x ! 1

)

y ! 1
sich die kubische Normalparabel y D x 3. Sie schneidet sowohl
die x- als auch die y-Achse im Ursprung (Abb. 5.22).

x ! C1

)

y ! 1
n ungerade ( n D 1; 3; 5; : : :) und an > 0:

Kubische Normalparabel
x ! 1

)

y ! 1
y D x 3
x ! C1

)

y ! C1
n ungerade ( n D 1; 3; 5; : : :) und an < 0:

x ! 1

)

y ! C1

Gespiegelte kubische Normalparabel

Mit den Koeffizienten a D

D

D

D
x ! C1

)

y ! 1

3

1, a 2

0, a 1

0, a 0

0 erhält
man die gespiegelte kubische Normalparabel y D x 3.

5.4

Ganze rationale Funktionen

101
y
y

4

I

6
y = x

4
y = x 5
y = x 3

5
y = x 2

3

Teil

4

2

3

1

2

–2

–1

1

2
x

1

–1

–2

–3 –2 –1

1

2

3 x

–3

Abb. 5.23 Parabeln 2. und 4. Ordnung

–4

Abb. 5.24 Parabeln 3. und 5. Ordnung

Dabei bedeutet zum Beispiel x ! 1, dass x sich 1 nähert.

Ist von den Koeffizienten in der Funktionsgleichung nur a ¤
n

0,
y
gilt also a D

D

D

D

D

0
a 1
a 2

: : : D an2
an1

0, dann nennt

3
man die Funktion Potenzfunktion.

2

1

Potenzfunktionen

S

S

S

S
x 6
x 4
x 2
x

S

S

1
x 3
x 5

–4

–3

–2 –1

0

1

2

3
x
y D a

2

¤
nxn

. n 2 N; an R; an

0/

–1

–2

Die Graphen der Potenzfunktionen heißen für n 2 Parabeln
n-ter Ordnung.

Abb. 5.25 Graph der Funktion zu der Gleichung aus Beispiel 3

Der Definitionsbereich der Potenzfunktionen ist D D R. Für die

Bildmenge gilt f . D/ D f z j z 2 R; z 0g für gerade n 2 und
an > 0, f . D/ D f z j z 2 R; z 0g für gerade n 2 und an < 0

Weil eine algebraische Gleichung n-ten Grades höchs-
und f . D/ D R für ungerade n.

tens n reelle Wurzeln besitzt, hat die Kurve für den

Die Kurve der Funktion y D axn ist im Vergleich zur Kurve der
gegebenen Grad die Höchstzahl an Schnittpunkten mit

Funktion y D xn für j a j < 1 gestaucht, für j a j > 1 gestreckt und
der x-Achse, nämlich n D 6.

für a < 0 an der x-Achse gespiegelt.

Da a D 1
n

> 0 und n D 6 geradzahlig ist, kommt

100
die Kurve von links aus dem Positiv-Unendlichen und

Beispiele
geht nach rechts ins Positiv-Unendliche.

Zur Berechnung des Schnittpunkts Sy mit der y-Achse

1. y D x 2 und y D x 4 (Abb. 5.23)

setzt man in der Funktionsgleichung x D 0 ein und

Die Graphen dieser Funktionen sind Parabeln 2. bzw.

erhält y D 12 als Ordinate des Schnittpunkts und

25

4. Ordnung.

damit als Schnittpunkt mit der y-Achse:

2. y D x 3 und y D x 5 (Abb. 5.24)

S D
y

Sy.0j 12 /

J

25

Die Graphen dieser Funktionen sind Parabeln 3. bzw.

5. Ordnung.

3. y D 1 x 6 C 1 x 5 17 x 4 1 x 3 C 16 x 2 C 1 x 12

100

100

100

20

25

25

25

(Abb. 5.25)

Das Polynom der rechten Seite lässt sich umformen:

5.4.6

Horner-Schema

1 x 6 C 1 x 5 17 x 4 1 x 3 C 16 x 2 C 1 x 12 D

100

100

100

20

25

25

25

1 . x 2 1/. x 2 4/. x 2 C x 12/

100

Das Horner-Schema ist ein Verfahren zur Berechnung von

Da ein Produkt genau dann gleich 0 ist, wenn min-

Funktionswerten ganzer rationaler Funktionen.

destens einer der Faktoren gleich 0 ist, erhält man als

Nullstellen der gegebenen Funktion die Lösungen der

Ist eine Funktion f . x/ D anxn C an1 xn1 C : : : C a 2 x 2 C a 1 x C

P n
drei quadratischen Gleichungen x 2 1 D 0, x 2 4 D 0
a D

0
a
k D0
k xk gegeben und der Funktionswert an der Stelle x 0

P n
und x 2 C x 12 D 0:

gesucht, so dividiert man das Polynom
a
k D0
kxk durch . x x 0/:

x D

D

D

D

D

D

1

1, x 2

1, x 3

2, x 4

2, x 5

3, x 6

4

Die Nullstellen sind die Abszissen der Schnittpunkte

. anxn C an1 xn1 C : : : C a 2 x 2 C a 1 x C a 0/ W . x x 0/
des Graphen der Funktion mit der x-Achse.

D a

C cn
nxn1 C c 1 xn2 C : : : C cn2 x C cn1

:

x x 0

102

5 Funktionen

Teil

Für die Koeffizienten c

D

C

D
i gilt c 1
anx 0
an1 und ci
c

C
i1 x 0
an i für i D 2; 3; : : : ; n. Damit kann die Funktion f . x/

Gebrochene rationale Funktionen

I
auch durch die Gleichung f . x/ D . anxn1 C c 1 xn2 C : : : C
c
y D Pn. x/
n2 x C cn1/. x x 0/ C cn beschrieben werden. Für x D x 0 er-

P
gibt sich dann f . x
m. x/

0/ D cn. Die Berechnung des Funktionswertes
f . x 0/ ist somit auf die Berechnung der Konstante cn zurückge-
führt worden, die man in n Schritten durch einander folgende

Eine gebrochene rationale Funktion ist nicht für alle x definiert.

Berechnung von c 1; c 2; : : : ; cn ermittelt. Man berechnet zuerst Die Nullstellen des Nenners gehören nicht zum Definitionsbe-
c

D

C

D

1 aus c 1
anx 0
an1, dann c 2 aus c 2
c 1 x 0 + an2 und so
reich der Funktion.

weiter und schließlich c

D

C
n aus cn
cn1 x 0
a 0.

Ist der Grad des Nennerpolynoms größer als der Grad des Zäh-

Dieses Verfahren nennt man Horner-Schema (nach dem engli-
lerpolynoms ( n < m), dann heißt die Funktion echt gebrochene
schen Mathematiker William George Horner, 1786–1837). Es
rationale Funktion, andernfalls (also für n m) heißt sie unecht
lässt sich folgendermaßen schematisch darstellen:

gebrochene rationale Funktion.

a

Gebrochene rationale Funktionen, bei denen sowohl das Zähler-
n
an1
an2
a 1
a 0

C
polynom als auch das Nennerpolynom den Grad 1 haben (also
a

nx 0
c 1 x 0
cn2 x 0
cn1 x 0
n D 1 und m D 1), heißen gebrochene lineare Funktionen.

a

n
c 1
c 2
cn1
cn

Beispiel

Gebrochene lineare Funktionen
f . x/ D 2 x 4 8 x 3 C 2 x 2 C 28 x 48
y D a 1 x C a 0
b 1 x C b 0

Gesucht ist f .3/, also der Funktionswert an der Stelle
x D

0

3.

Die Graphen der gebrochenen rationalen Funktionen y D a ,
xn

Horner-Schema:

n 2 N, n 1, a 2 R, a ¤ 0 heißen Hyperbeln n-ter Ordnung

(zu Hyperbeln vgl. auch Abschn. 7.5.2), (Abb. 5.28).

2

8

2

28

48

Durch Polynomdivision lässt sich jede unecht gebrochene ra-

C

6

42

132

312
tionale Funktion y D f . x/ darstellen als Summe einer ganzen

.D2.3//

.D.14/.3//

.D44.3//

.D.104/.3//
rationalen Funktion g. x/ und einer echt gebrochenen rationalen

2

14

44

104

264

Funktion h. x/: y D f . x/ D g. x/ C h. x/.

Es gilt also f .3/ D 264.

J

Beispiel

1. 2 x 4C3 x 3C5 x 24 x C1 D 2 x 2 C 9 x C 30 C 77 x29

J
x 23 x C1
x 23 x C1

5.5

Gebrochene rationale
x

D P. x/

0 ist eine Nullstelle von y D f . x/ D Pn. x/

Funktionen

Pm. x/

Q. x/ , wenn an
der Stelle x D x 0 der Zähler Null ist und der Nenner von Null
verschieden, also P. x 0/ D 0, Q. x 0/ ¤ 0.

5.5.1

Nullstellen, Pole, Asymptoten

Eine Stelle x D xp heißt ein Pol der Funktion y D P. x/

Q. x/ , wenn xp
eine Nullstelle des Nenners Q. x/ ist und der Zähler P. x/ an der

Stelle x

Funktionen mit einer Funktionsgleichung folgender Art, wobei
p von Null verschieden ist, also Q. xp/ D 0, P. xp/ ¤ 0.

Ist x D x
a

2

¤
p eine k-fache Nullstelle des Nenners Q. x/ und gilt

0; a 1; : : : ; an; b 0; b 1; : : : ; bm

R, an; bm

0, m ¤ 0, heißen
gebrochene rationale Funktionen.

P. xp/ ¤ 0, dann heißt xp ein Pol k-ter Ordnung von y D P. x/

Q. x/ .

Zwei Polynome P. x/ und Q. x/ heißen teilerfremd, wenn alle
ihre Nullstellen verschieden sind. Gilt also für eine Stelle x D
x
y D anxn C an1 xn1 C : : : C a 2 x 2 C a 1 x C a 0

1, dass P. x 1/ D 0, so folgt Q. x 1/ ¤ 0, und gilt umgekehrt für
bmxm C bm1 xm1 C : : : C b 2 x 2 C b 1 x C b 0
eine Stelle x D x 2, dass Q. x 2/ D 0, so folgt P. x 2/ ¤ 0.

P n a

Jede gebrochene rationale Funktion lässt sich als Quotient zwei-

D
i D0
ixi

P m b
er teilerfremder Polynome darstellen.

k D0
kxk

Eine gebrochene rationale Funktion y D f . x/ kann immer als

P. x/
y D

; P. x/ und Q. x/ teilerfremd

Quotient zweier ganzer rationaler Funktionen dargestellt wer-

Q. x/
den (sowohl Zähler als auch Nenner sind Polynome in x).

5.5

Gebrochene rationale Funktionen

103
y
y

I

3

2

Teil

1
x

–4

–3

–2

–1

0
x

1

2

3

4

–1

–2

–3

Abb. 5.26 Funktionsverlauf bei Polen ungerader Ordnung

Abb. 5.28 Graph der Funktion mit der Gleichung y D 1x
y
denen sich der Graph der Funktion unbeschränkt nähert, ohne
sie je zu erreichen (Asymptote D Nichtzusammenlaufende).

x

Das Verhalten einer gebrochenen rationalen Funktion y D
f . x/ D Pn. x/

Pm. x/ im Unendlichen:

Ist y D f . x/ eine echt gebrochene rationale Funktion, gilt also
n < m, dann ist die x-Achse (Gerade mit der Gleichung y D 0)

eine Asymptote.

Abb. 5.27 Funktionsverlauf bei Polen gerader Ordnung

Im Falle n D m ist die zur x-Achse parallele Gerade mit der

Gleichung y D an eine Asymptote.

bm

Eine solche Darstellung heißt Normalform der gebrochenen ra-

Ist n > m, so gilt y D f . x/ D g. x/ C h. x/, wobei g. x/ eine
tionalen Funktion.

ganze rationale Funktion und h. x/ eine echt gebrochene ratio-
nale Funktion sind. Die Funktion y D f . x/ verhält sich dann im

Die Nullstellen einer gebrochenen rationalen Funktion in Nor-

Unendlichen wie die rationale Funktion y D g. x/.

malform sind die Nullstellen des Zählerpolynoms P. x/.

Ist x D x

Beispiele
p ein Pol k-ter Ordnung der Funktion y D

P. x/

Q. x/ mit
teilerfremden P. x/ und Q. x/, dann lässt sich die Funktion in der

2. y D 1 (Abb. 5.28)

Nähe des Pols darstellen durch
x

Zum Definitionsbereich gehören alle x außer x D 0.

D 1 D

P. x/

P. x/

Wegen f . x/ D 1

f . x/ ist die Funktion
x
x
y D

D

1

:

ungerade, der Graph der Funktion ist also symme-

Q. x/

. x x

Q
p/ k

1. x/
trisch zum Nullpunkt (Koordinatenursprung).

Die Funktion hat keine Nullstelle, denn der Zähler ist

Dabei haben weder P. x/ noch Q 1. x/ in der Nähe von x D xp ei-
stets von Null verschieden ( P. x/ D 1).

ne Nullstelle, sie ändern also ihr Vorzeichen nicht. Ihr Quotient

Die Stelle x D 0 ist ein Pol erster Ordnung der
hat deshalb einen von Null verschiedenen, beschränkten positi-

Funktion. Nähert man sich diesem Pol mit wachsen-
ven oder negativen Wert. Die Funktion

1
wächst aber, wenn

. x x
den x-Werten (also x < 0), dann geht y gegen 1.

p / k
sich x dem Pol xp nähert, über alle Grenzen.

Nähert man sich dem Pol dagegen mit abnehmenden
x-Werten (also x > 0), so geht y gegen C1.

Nähert man sich dem Pol mit wachsenden x-Werten (also x <

Die Geraden x D 0 ( y-Achse) und y D 0 ( x-Achse)

xp), so ist x xp negativ. Für ungerade k ( k D 1; 3; 5; : : :) geht
sind Asymptoten der Funktion.

dann

1
gegen -1, für gerade k ( k D 2; 4; 6; : : :) dagegen

. x x

Der Graph der Funktion ist eine Hyperbel.

p/ k
gegen C1 (Abb. 5.26 und 5.27).

Wertetabelle ( y-Werte auf zwei Stellen nach dem

Komma gerundet):

Nähert man sich dem Pol mit abnehmenden x-Werten (also x >
xp), so ist x xp positiv,

1
geht dann also stets gegen C1.

.

x

4

3

2

1 0;5 0;25
x xp/ k
y

0;25 0;33 0;50 1

2

4

Für negative Werte des Faktors P. x/

Q 1. x/ dreht sich das Vorzeichen
der Funktion y D f . x/ um.

x

0;1 0;01 1

2

3

4
y

10

100

1

0;50 0;33 0;25

Die Gerade x D xp heißt Asymptote der gebrochenen rationalen

Funktion y D f . x/. Asymptoten einer Funktion sind Geraden,

104

5 Funktionen

Teil
y
y

1

I

4

3

–1

1
x

2

–1

1

Abb. 5.31 Graph der Funktion mit der Gleichung y D x21
x2C1
x

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

Die Funktion hat keine Nullstellen (Schnittpunkte mit

Abb. 5.29 Graph der Funktion mit der Gleichung y D 1
der x-Achse), denn der Zähler ist für alle x des Defini-
x2
tionsbereiches von Null verschieden.

Die Stellen x D 1 und x D 1 sind Pole erster Ord-
y

1

2
nung der Funktion.

Nähert man sich dem Pol x 2 mit wachsenden x-Werten

1

(also x < 1), dann ist der Faktor P. x/ D 1 in der

Q 1. x/
x1

Zerlegung der Funktion

–3

–2

–1

0

1

2

3
x
y D P. x/ D

1

P. x/ D

1

1

–1

Q. x/
x x 2

Q 1. x/
x.1/
x1
negativ, das heißt, y geht gegen C1.

Nähert man sich entsprechend dem Pol x 2 mit abneh-
menden x-Werten (also x > 1) oder dem Pol x 1 mit
wachsenden x-Werten (also x < 1), so geht y gegen

Abb. 5.30 Graph der Funktion mit der Gleichung y D

1
x21

1. Nähert man sich dagegen x 1 mit abnehmenden
x-Werten (also x > 1), so geht y gegen C1.

Die Geraden x D

D

1

1 und x 2

1 sowie y D 0 ( x-

Achse) sind Asymptoten der Funktion.

3. y D 1 (Abb. 5.29)

x 2

Funktionswerte für 1 < y 0 gibt es nicht, da der

Die Funktion ist definiert für alle x ¤ 0.

Nenner nicht kleiner als 1 werden kann.

Es gilt f . x/ D

1

D 1 D f . x/, die Funktion ist

. x/2
x 2

Wertetabelle ( y-Werte auf drei Stellen nach dem Kom-
also gerade, ihr Graph ist symmetrisch zur y-Achse.

ma gerundet):

Da der Zähler konstant gleich 1 ist, besitzt die Funktion
keine Nullstellen.

x

˙3

˙2 ˙1;5 ˙1;1 ˙0;9

˙0;5

0

Die Stelle x D 0 ist ein Pol zweiter Ordnung. Nähert
y 0;125 0;333 0;800 4;762 5;263 1;333 1
man sich dem Pol mit wachsenden x-Werten (also x <

0) oder mit abnehmenden x-Werten (also x > 0), dann
geht y gegen C1. Die Geraden x D 0 ( y-Achse) und

5. y D x 21 (Abb. 5.31)

x 2C1
y D 0 ( x-Achse) sind Asymptoten der Funktion.

Die Funktion ist definiert für alle reellen x, denn es gibt

Wertetabelle:

keine Nullstellen des Nenners und damit keine Pole.

Die Nullstellen der Funktion sind x D

D

1

1 und x 2

1.

x

4

3

2

1

0;5

0;25

0;1

Die zur x-Achse parallele Gerade mit der Gleichung
y

0;06 0;11 0;25 1

4

16

100
y D an D 1 D 1 ist Asymptote.

bm

1

Der Graph der Funktion verläuft überall unterhalb der
x

1

2

3

4

Asymptote.

y

1

0;25 0;11 0;06

Wertetabelle:

Die y-Werte in der Wertetabelle sind auf zwei Stellen
x

˙4

˙3

˙2

˙1;5 ˙1
nach dem Komma gerundet.

y

0;87 0;80 0;60

0;38

0

4. y D

1

(Abb. 5.30)

x 21

Die Funktion ist definiert für alle x, für die der Nenner
x

˙0;5

˙0;3

˙0;1

0
ungleich 0 ist.

y

0;60 0;84 0;98 1

Die Nullstellen des Nenners berechnet man, indem
man den Nenner (das Nennerpolynom) gleich Null

Die y-Werte in der Wertetabelle sind auf zwei Stellen
setzt: x 2 1 D 0. Diese quadratische Gleichung hat
nach dem Komma gerundet.

die Lösungen x D

D

1

1 und x 2

1.

6. y D x 2 x2 (Abb. 5.32)

2 x6

Wegen f . x/ D

1

D

1

D f . x/ ist die

.

D

D
x/21
x 21

Die Funktion hat die Nullstellen x 1

1 und x 2

2

Funktion gerade, der Graph der Funktion ist also sym-
und einen Pol bei x D 3.

metrisch zur y-Achse.

Die Funktion ist also definiert für alle x ¤ 3.

5.5

Gebrochene rationale Funktionen

105
y

2. Kürzen des Bruches (also Division des Zählers und des Nen-

I
ners) durch bm, den Koeffizienten der höchsten Potenz des

Nenners:

Teil
f . x/ D cnxn C cn1 xn1 C : : : C c 2 x 2 C c 1 x C c 0
xm C dm1 xm1 C : : : C d 2 x 2 C d 1 x C d 0

1
b

Es gilt also ai D c
j

D d
b
i (1 i n) und
j (1 j < m).

m
bm

3. Bestimmung der Nullstellen x

–1

1
x

1; x 2; : : : ; xr ( r m) des Nen-

–1
nerpolynoms.

4. Zerlegung des Nennerpolynoms in die Form
xm C dm1 xm1 C : : : C d 2 x 2 C d 1 x C d 0

D . x x 1/ k 1 . x x 2/ k 2 : : : . x xr/ kr

Abb. 5.32 Graph der Funktion mit der Gleichung y D x2x2

2x6

. x 2 C p 1 x C q 1/ l 1. x 2 C p 2 x C q 2/ l 2

: : : . x 2 C psx C qs/ ls

Die Funktion ist weder gerade noch ungerade, eine

Eine solche Zerlegung ist immer möglich. Dabei sind

Symmetrie des Graphen bezüglich des Nullpunktes
x 1; x 2; : : : ; xr alle reellen Nullstellen mit den Vielfachheiten
oder der y-Achse liegt also nicht vor.

k 1; k 2; : : : ; kr. Die restlichen quadratischen Faktoren erge-

Durch Polynomdivision erhält man die Darstellung
ben die konjugierten Paare komplexer Nullstellen (also p 2
i

4 q
y D x 2 x2 D 1 x C 1 C

4
der Funktion als Summe
i < 0/.

2 x6

2

2 x6

5. Zerlegung von f . x/ in eine Summe von Brüchen:

einer ganzen rationalen Funktion und einer echt gebro-
chenen rationalen Funktion. Es ist also y D 1 x C 1

2
f . x/ D A 11 C

A 12

C C

A 1 k 1
eine Asymptote der Funktion. Die Annäherung an die
x x 1

. x x 1/2

. x x 1/ k 1

Asymptote erfolgt für x ! 1 von unten und für

A 21

A 22

A 2 k 2
x ! 1 von oben.

C

C

C C
x x

. x x

. x x

Wertetabelle ( y-Werte auf zwei Stellen nach dem Kom-

2

2/2

2/ k 2

::

ma gerundet):

:

A

A

A

C
r 1

C
r 2

C C
rkr
x

5

3

2

1

0

1

1;5
x xr

. x xr/2

. x xr/ kr
y 1;75 0;83 0;40 0 0;33 0;50 0;42

C

C

C B 11

C 11 x C B 12 C 12 x
x 2

2;5

2;9

3;1

3;5 4

5

7
x 2 C p 1 x C q 1

. x 2 C p 1 x C q 1/2
y 0 1;75 17;55 22;55 6;75 5 4;50 5

J

B

C C x

B

C C

C C

1 l 1

1 l 1

C

21

21 x

. x 2 C p 1 x C q 1/ l 1
x 2 C p 2 x C q 2

B

C C

B

C C x

C

22

22 x

C C

2 l 2

2 l 2

. x 2 C p 2 x C q 2/2

. x 2 C p 2 x C q 2/ l 2

:::

5.5.2

Partialbruchzerlegung

B C C

B C C

C
s 1
s 1 x

C
s 2
s 2 x
x 2 C psx C qs

. x 2 C psx C qs/2

Eine Partialbruchzerlegung ist die Zerlegung einer gebrochenen

C

C C

Bsl

C x
s
sls
rationalen Funktion y D f . x/ mit

. x 2 C psx C qs/ ls

Dabei sind die Koeffizienten A
a
ij, Bij, Cij reelle Zahlen.

nxn C an1 xn1 C : : : C a 2 x 2 C a 1 x C a 0
f . x/ D

6. Bestimmung der Koeffizienten der Partialbrüche zum Bei-
bmxm C bm1 xm1 C : : : C b 2 x 2 C b 1 x C b 0
spiel mit der Methode des Koeffizientenvergleichs.

in eine Summe von Brüchen.

Die Brüche im Schritt 5 nennt man die Partialbrüche der gebro-
chenen rationalen Funktion f . x/.

Durch eine Partialbruchzerlegung von f . x/ wird oftmals die In-
tegration der Funktion einfacher oder überhaupt erst möglich

Spezialfälle:

(vgl. Abschn. 8.5.2).

Wenn das Nennerpolynom nur reelle Nullstellen besitzt, dann

Jede echt gebrochene rationale Funktion (also n < m) kann ein- fallen die Partialbrüche mit den nicht zerlegbaren quadratischen
deutig in eine Summe von Partialbrüchen zerlegt werden.

Funktionen im Nenner weg.

Praktische Durchführung der Partialbruchzerlegung:

Besitzt das Nennerpolynom nur die einfachen reellen Nullstel-
len x 1; x 2; : : : ; xm, dann lautet die Partialbruchzerlegung

1. Im Falle n m Abspalten des ganzen rationalen Anteils mit

A 1

A 2

Am

Polynomdivision.

f . x/ D

C

C C
x x 1
x x 2
x xm

106

5 Funktionen

Teil

Beispiele

Lösung somit:

I

1. f . x/ D

6 x 24

2 x 3C4 x 2C4 x C2

Division durch b D

D 1 C 2 C

3

3

2: f . x/ D

3 x 22
f . x/ D 3 x 2 x C 1
x 3C2 x 2C2 x C1

Nullstelle des Nennerpolynoms: x D
x 3 2 x 2 C x
x
x 1

. x 1/2

1

1

Zerlegung des Nennerpolynoms:

x 3 C 2 x 2 C 2 x C 1 D . x C 1/. x 2 C x C 1/

3. f . x/ D 6 x 2 x C1
x 3 x

Zerlegung von f . x/ in eine Summe von Partialbrü-

Nullstellen des Nennerpolynoms: x

D

D

1

0, x 2

1,
chen:

x D

3

1

Zerlegung des Nennerpolynoms:

A

Bx C C
f . x/ D

3 x 2 2

D

C
x 3 x D x. x 1/. x C 1/
x 3 C 2 x 2 C 2 x C 1
x C 1
x 2 C x C 1

Zerlegung von f . x/ in Partialbrüche:

Bestimmung der Koeffizienten A, B, C durch Koffizi-
entenvergleich:

A

B

C
f . x/ D 6 x 2 x C 1 D

C

C
x 3 x
x
x 1
x C 1
f . x/ D

3 x 2 2

. x C 1/. x 2 C x C 1/

Bestimmung der Koeffizienten A, B, C durch Koeffizi-

D A. x 2 C x C 1/ C . Bx C C/. x C 1/
entenvergleich:

. x C 1/. x 2 C x C 1/

) 3 x 2 2 D A. x 2 C x C 1/ C . Bx C C/. x C 1/
f . x/ D

6 x 2 x C 1
x. x 1/. x C 1/

D . A C B/ x 2 C . A C B C C/ x C . A C C/

D A. x 1/. x C 1/ C Bx. x C 1/ C Cx. x 1/

Vergleich der Koeffizienten von x 2, von x und der Ab-
x. x 1/. x C 1/
solutglieder links und rechts vom Gleichheitszeichen

) 6 x 2 x C 1 D A. x 2 1/ C B. x 2 C x/ C C. x 2 x/
ergibt:

A C B D 3, A C B C C D 0, A C C D 2 ) A D 1,

D . A C B C C/ x 2 C . B C/ x A

B D 2, C D 3

Lösung somit:

Vergleich der Koeffizienten von x 2, von x und der Ab-
solutglieder links und rechts vom Gleichheitszeichen
f . x/ D

6 x 2 4

D

1

C

2 x 3
ergibt:

2 x 3 C 4 x 2 C 4 x C 2
x C 1
x 2 C x C 1

A C B C C D 6, B C D 1, A D 1 ) A D 1,

B D 3, C D 4

2. f . x/ D 3 x 2 x C1
x 32 x 2C x

Lösung somit:

Nullstellen des Nennerpolynoms: x

D

D

1

0, x 2

1

( x 2 ist doppelte Nullstelle)

Zerlegung des Nennerpolynoms:

f . x/ D 6 x 2 x C 1 D 1 C

3

C

4

J
x 3 2 x 2 C x D x. x 1/2
x 3 x
x
x 1
x C 1

Zerlegung von f . x/ in Partialbrüche:

A

B

C
f . x/ D 3 x 2 x C 1 D

C

C
x 3 2 x 2 C x
x
x 1

. x 1/2

5.6

Irrationale Funktionen

Bestimmung der Koeffizienten A, B, C durch Koeffizi-
entenvergleich:

Irrationale Funktionen sind algebraische Funktionen, die nicht
f . x/ D 3 x 2 x C 1
rational sind. In der Funktionsgleichung y D f . x/ einer ra-
x. x 1/2
tionalen Funktion werden auf die unabhängige Variable x nur
endlich viele rationale Rechenoperationen (Addition, Subtrak-

D A. x 1/2 C Bx. x 1/ C Cx
tion, Multiplikation und Division) angewandt. Bei irrationalen
x. x 1/2

Funktionen tritt die unabhängige Variable x auch unter einem

) 3 x 2 x C 1 D A. x 2 2 x C 1/ C B. x 2 x/ C Cx

Wurzelzeichen auf.

D . A C B/ x 2 C . C 2 A B/ x C A

Beispiele

Vergleich der Koeffizienten von x 2, von x und der Ab-
p
solutglieder links und rechts vom Gleichheitszeichen

1. y D x 2 C x C
x
p
ergibt:

2. y D

5 x 3 2
q

A C B D 3, C 2 A B D 1, A D 1 ) A D 1,
p

B D 2, C D 3

3. y D 7 . x 2 1/ 3 5 x C 1

J

5.6

Irrationale Funktionen

107
y
y

2
gerade n
x

I

3

=

4
y
y = x

√
x

=

2

3
y

√

Teil
y x

= +

1
y = x

√4

2

1
x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

–2 –1
p
p

1

2

3

4
x

Abb. 5.33 Graph der Wurzelfunktionen y D
x und y D 4 x

–1
y = –√ x

–2

Eine besonders wichtige Klasse von irrationalen Funktionen
sind die sogenannten Wurzelfunktionen.

Abb. 5.35 Graphen von Funktionen und ihren Umkehrfunktionen

Wurzelfunktionen
malparabel durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden y D x.

p
p

Die (positive) Quadratwurzelfunktion y D
x zum Beispiel ist
y D n x

. n 2 N; n 2/
also die Umkehrfunktion der Funktion des rechten Normalpara-
belastes (Abb. 5.35).

Der Definitionsbereich der Wurzelfunktionen ist D D f x j x 2

Die kubische Funktion y D x 3 ist in ihrem ganzen Definitions-

R; x 0g für gerade n und D D R für ungerade n, die Bildmen- bereich D D .1; 1/ monoton steigend. Ihre Umkehrfunktion
p
ge ist gleich dem Definitionsbereich, also f . D/ D D.

ist y D 3 x. Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion ist

1 < x < 1, die Bildmenge 1 < y < 1. Der Graph

Die Wurzelfunktionen sind im ganzen Definitionsbereich streng
der Umkehrfunktion ergibt sich aus der kubischen Normalpara-
monoton wachsend.

bel durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden y D x.

p

Für ungerade n ist y D n x eine ungerade Funktion, der Graph

Allgemein gilt:

der Funktion ist also punktsymmetrisch zum Koordinatenur-
p

Für ungerade n ist die Wurzelfunktion y D f . x/ D n x, f W
sprung (Abb. 5.34).

R ! R die Umkehrfunktion der Potenzfunktion y D f . x/ D xn,

Die Graphen der Wurzelfunktionen gehen durch den Koordina-
f W R ! R.

tenursprung und durch den Punkt P.1j1/.

p

Für gerade n ist die Wurzelfunktion y D f . x/ D n x, f W

Für das Verhalten der Wurzelfunktionen im Unendlichen gilt

Œ0; 1/ ! Œ0; 1/ die Umkehrfunktion der Potenzfunktion y D

(Abb. 5.33 und 5.34):

f . x/ = xn, f W Œ0; 1/ ! Œ0; 1/.

p

Man bezeichnet allgemeiner auch Funktionen y D a n x, a 2 R,
p
a ¤ 0 als Wurzelfunktionen. Die Kurve der Funktion y D a n x
p
n 2 N; n 2 W
x ! C1 ) y ! C1
ist im Vergleich zur Kurve der Funktion y D n x für j a j < 1
n ungerade . n D 3; 5; 7; : : :/ W
x ! 1 ) y ! 1
gestaucht, für j a j > 1 gestreckt und für a < 0 an der x-Achse
gespiegelt.

Die quadratische Funktion y D x 2 ist in den zwei getrennten

Beispiele

Intervallen 0 x < C1 und 1 < x 0 jeweils monoton.

p
q

Sie hat deshalb zwei Umkehrfunktionen, und zwar y D C x
p

4. y D b C
r 2 . x a/2, D D f x j j x a j r g, W D R
und y D x. Für beide Umkehrfunktionen ist der Definitions-

Der Graph dieser Funktion ist der obere Halbkreis des
bereich 0 x < C1 (entspricht 0 y < C1 der Funktion

Kreises mit dem Mittelpunkt M. a j b/ und dem Radi-
y D x 2), die Bildmenge ist 0 y < C1 bzw. 1 < y 0.

us r (Abb. 5.36).

Die Graphen der Umkehrfunktionen ergeben sich aus der Nor-

Fehlerwarnung: Die Gleichung . x a/2C. y b/2 D r 2
des Kreises mit dem Mittelpunkt M. a j b/ und dem
y

Radius r (vgl. Abschn. 7.3.1) ist keine (implizite)

3

Funktion, denn die Zuordnung einer Zahl y zu einer

2
y = x

√
ungerade n

Zahl x ist nicht eindeutig, wie in der Definition einer

1

5
y = x

√

Funktion gefordert (zu jedem x mit j x a j < r gibt es

–6

–5

–4

–3

–2

–1
zwei y)!

0

1

2

3

4

5

6

7
x

Analog zu oben ist der Graph der Funktion y D b
q

–1
r 2 . x a/2, D D f x j j x a j r g, W D R die

–2
untere Hälfte des Kreises mit dem Mittelpunkt M. a j b/
und dem Radius r.

p
p

Abb. 5.34 Graph der Wurzelfunktionen y D 3 x und y D 5 x

108

5 Funktionen

Teil
y
x
y
y = b + r 2–( x– a)2

1

2
x
x
x

5

,5

=

=3

=2

I
x
y
y

=1

4
r

P x

( y

| )

,5
y
y–b

=0

5
b = 3
y
x–a

4

2

3

1

2
y = b – r 2–( x– a)2
y = 1 x =1

–1 0

1

2

3

4

5

6 x

–1

= a

–5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5
x
q

Abb. 5.36 Graphen der Funktionen y D b C
r2 .x a/2 und y D b
q

Abb. 5.38 Graphen von Exponentialfunktionen
r2 .x a/2 mit a D 4 und b D 3
y

5.7.1

Exponentialfunktionen

3

2
y = + ( a 2/3– x 2/3)3

Bei einer Exponentialfunktion steht die unabhängige Variable x
im Exponenten.

1

–3

–2 –1 0

1 2

3
x

= a

–1
y D ax;
a 2 RC

2/3

2/3 3

–2
y = – ( a

– x

)

–3

Dabei ist die Basis a eine beliebige positive reelle Zahl.

q

3

2

2

Alle Exponentialfunktionen y D ax, a 2 RC haben als De-

Abb. 5.37 Graphen der Funktionen y

D C .a 3 x 3 / und y D
q
finitionsbereich D D R und, falls a ¤ 1, als Bildmenge

3

. 2

2
a 3 x 3 / mit a D 3

W D f . D/ D RC. Alle Funktionswerte sind also positiv.

Wegen a 0 D 1 gehen die Graphen aller Funktionen durch den

Punkt P.0j1/, (Abb. 5.38).

2

2

2

5. Aus der Gleichung der Astroide x

Für a > 1 ist die Funktion y D ax streng monoton wachsend mit

3 C y 3 D a 3 ( a > 0)

erhält man durch Auflösen nach y die Funktionen
y ! 0 für x ! 1 und y ! 1 für x ! 1. Die (negative)

q

3
x-Achse ist also Asymptote.

2

2
y D C

. a 3 x 3 / , D D f x j j x j a g, W D R
bzw.

Für 0 < a < 1 ist die Funktion y D ax streng monoton fallend
q

3
mit y ! 1 für x ! 1 und y ! 0 für x ! 1. Die (positive)

2

2
y D

. a 3 x 3 / , D D f x j j x j a g, W D R.

x-Achse ist somit Asymptote.

Die Graphen dieser Funktionen sind der obere Teil

( y 0) bzw. der untere Teil ( y 0) der Astroide

Der Graph der Funktion nähert sich um so schneller der x-

(Abb. 5.37).

J

Achse, je größer j ln a j ist, für a > 1 also je größer a ist und
für a < 1 je kleiner a ist.

Für a D 1 gilt y D 1, der Graph der Funktion ist also eine

Parallele zur x-Achse.

5.7

Transzendente Funktionen

Die Exponentialfunktionen y D ax, a > 0 können wegen der

Regeln der Logarithmen- und der Potenzrechnung auch in der

Elementare Funktionen, die nicht algebraisch sind, heißen trans-

Form
zendent.

Wichtige Klassen von transzendenten Funktionen sind die Ex-
ponentialfunktionen, die Logarithmusfunktionen sowie die tri-
y D ax D e ln. ax/ D exln a
gonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen, die

Arkusfunktionen.

Die trigonometrischen Funktionen und die Arkusfunktionen
dargestellt werden. Dabei ist e D 2;7182818284 : : : die Eu-
werden in Kap. 6 behandelt.

ler’sche Zahl (vgl. Abschn. 8.4.5).

5.7

Transzendente Funktionen

109
y
y
x
x

I

=e

=2

6
y
y
x

5

=

1
y

Teil
x
y = lg

4

3
x

= log2

1
x
y
y = log

2

1 x

10

1
y
x

= ln

0

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7
x

Abb. 5.39 Graphen der logarithmischen Funktionen y D lg x und y D log 1 x

10

Abb. 5.40 Graphen der logarithmischen Funktionen y D ln x und y D log x

Die Funktion y D ex, D D R, W D f . D/ D RC, also die

2
und ihrer Umkehrfunktionen y D ex und y D 2x

Exponentialfunktion mit der Basis a D e, heißt natürliche Ex-
ponentialfunktion oder e-Funktion.

gative) y-Achse ist also Asymptote. Für x > 1 gilt log a x > 0, für
x D 1 gilt log 1 D 0, und für x mit 0 < x < 1 gilt log x < 0.

a
a
y D ex;

D D R; W D f . D/ D RC

Für 0 < a < 1 ist die Funktion y D log x streng monoton
a
fallend mit y ! 1 für x ! 1 und y ! 1 für x ! 0, x > 0.

Die (positive) y-Achse ist somit Asymptote.

Es handelt sich um eine spezielle Exponentialfunktion, die häu-
fig als die Exponentialfunktion bezeichnet wird. Diese Funktion

Für x > 1 gilt log x < 0, für x D 1 gilt log 1 D 0, und für x
a
a
spielt bei vielen Wachstumsprozessen eine wichtige Rolle.

mit 0 < x < 1 gilt log x > 0.

a

Noch allgemeiner bezeichnet man manchmal auch solche Funk-

Der Graph der Funktion nähert sich für alle a um so schneller
tionen, die eine algebraische Funktion des Arguments x im
der y-Achse, je größer j ln a j ist, für a > 1 also je größer a ist

Exponenten haben, als Exponentialfunktionen, zum Beispiel
und für a < 1 je kleiner a ist.

y D 23 x 27 x.

Die Logarithmusfunktionen y D log x, a > 0, a ¤ 1 können
a

Die Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen y D ax sind
wegen der Regeln der Logarithmenrechnung auch in der Form
für a ¤ 1 die Logarithmusfunktionen y D log x. Die Umkehr-
a
funktion der e-Funktion ist die natürliche Logarithmusfunktion
y D ln x.

y D log x D 1 ln x;
a ¤ 1
a
ln a

5.7.2

Logarithmusfunktionen
dargestellt werden.

Dabei heißt die Logarithmusfunktion mit der Basis a D e D

Logarithmusfunktionen sind Funktionen der Form

2;7182 : : : natürliche Logarithmusfunktion.

y D log x;
a 2 RC; a ¤ 1
a
y D ln x;

D D RC; W D f . D/ D R

Alle Logarithmusfunktionen y D log x, a 2 RC, a ¤ 1 ha-
a

Allgemeiner noch bezeichnet man auch solche Funktionen, die
ben als Definitionsbereich D D RC und als Bildmenge W D eine algebraische Funktion des Arguments x als Numerus haben,
f . D/ D R.

als Logarithmusfunktion, zum Beispiel y D log .5 x 2 4 x/ x.

2

Wegen log 1 D 0 gehen die Graphen aller Funktionen durch
a

Die Logarithmusfunktion y D log x ist für a ¤ 1 die Umkehr-
den Punkt P.1j0/ (Abb. 5.39).

a
funktion der Exponentialfunktion y D ax und umgekehrt. Die

Für a > 1 ist die Funktion y D log x streng monoton wachsend
natürliche Logarithmusfunktion y D ln x ist die Umkehrfunkti-
a
mit y ! 1 für x ! 1 und y ! 1 für x ! 0, x > 0. Die (ne-
on der e-Funktion y D ex und umgekehrt (Abb. 5.40).

I

Trigonometrie

Teil

6

Arnfried Kemnitz

6.1

Definition der trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . 112

6.2

Trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel . . . . . . . . . . 113

6.3

Beziehungen für den gleichen Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.4

Graphen der trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 114

6.5

Reduktionsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.6

Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.7

Sinussatz und Kosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.8

Arkusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

111

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_6

112

6 Trigonometrie

Teil

Das Wort Trigonometrie kommt aus dem Griechischen und be-
deutet Dreiecksmessung. Die Trigonometrie ist die Lehre von

I

30°
der Dreiecksberechnung mit Hilfe von Winkelfunktionen (tri-
a
a
gonometrischen Funktionen).

h=
a

2 √ 3

60°

6.1

Definition der trigonometrischen
a
a

2

2

Funktionen

Abb. 6.2 Zur Berechnung von sin 30ůnd sin 60°

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse die dem
rechten Winkel gegenüberliegende Dreiecksseite, die beiden an-
a
deren Seiten (also die Schenkel des rechten Winkels) sind die

Katheten (vgl. Abschn. 3.6.4).

2

√
a
a
a

In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Winkeln ˛, ˇ und D

=
d

90° gilt ˛ C Ď 90°.

45°

Die Ankathete eines Winkels ˛ in einem rechtwinkligen Dreieck
a
ist die Kathete, die auf einem Schenkel von ˛ liegt. Die andere

Kathete heißt Gegenkathete von ˛.

Abb. 6.3 Zur Berechnung von sin 45°

Das Verhältnis zweier beliebiger Seiten im rechtwinkligen Drei-
eck ist abhängig von dem Winkel ˛ (und wegen Ď 90ı ˛
natürlich auch vom Winkel ˇ), das heißt, das Verhältnis zwei-

Andere, weniger gebräuchliche Namen für trigonometrische
er Seiten ist eine Funktion des Winkels ˛ (bzw. des Winkels ˇ).

Funktionen sind Winkelfunktionen oder Kreisfunktionen oder

Die trigonometrischen Funktionen sind definiert als das Verhält-
goniometrische Funktionen.

nis zweier Seiten im rechtwinkligen Dreieck.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist (Abb. 6.1)

In der folgenden Tabelle sind einige spezielle Werte der trigo-
sin ˛, der Sinus des Winkels ˛, das Verhältnis von Gegenka- nometrischen Funktionen angegeben:

thete zu Hypotenuse,
cos ˛, der Kosinus des Winkels ˛, das Verhältnis von Anka-

Gradmaß '

0ı

30ı

45ı

60ı

90ı
thete zu Hypotenuse,

tan ˛, der Tangens des Winkels ˛, das Verhältnis von Gegen-

Bogenmaß b

0

6

4
p

3
p

2

2

3
kathete zu Ankathete,
sin

0

1

1

2
p

2
p

2
cot ˛, der Kotangens des Winkels ˛, das Verhältnis von An-
cos

1

3

2

1

0

2
p

2

2
p
kathete zu Gegenkathete.

tan

0

3

1

3

3
p
p
cot

3

1

3

0

3
a

Sinus:

sin ˛ D

D Gegenkathete
c

Hypotenuse

Merkregel:

b

Kosinus:

cos ˛ D

D Ankathete
c

Hypotenuse

Gradmaß '

0ı

30ı

45ı

60ı

90ı
p
p
p
p
p
sin '

1

0

1

1

1

2

1

3

1

4

Tangens:

tan ˛ D a D Gegenkathete

2

2

2

2

2
b

Ankathete
b

Kotangens:

cot ˛ D

D Ankathete

Die meisten dieser Werte lassen sich mit Hilfe des Satzes von
a

Gegenkathete

Pythagoras berechnen. Dies soll am Beispiel des Sinus vorge-
führt werden (Abb. 6.2 und 6.3).

Für die Höhe h in einem gleichseitigen Dreieck mit der Seiten-

C
länge a gilt nach dem Satz des Pythagoras h 2 D a 2 . a /2, also

2
p
p
b
h D a

3. Es folgt sin 30ı D 2 D 1 und sin 60ı D h D 1

3.

a

2
a

2
a

2
α

A

B

Für den Durchmesser d in einem Quadrat der Seitenlänge a gilt
c
p
nach dem Satz des Pythagoras d 2 D a 2 C a 2, also d D a 2. Es
p
p

2

Abb. 6.1 sin ˛ D a , cos ˛ D b , tan ˛ D a , cot ˛ D b
folgt sin 45ı D a D a

D 1
p D 1

2.

c
c
b
a
d
a

2

2

6.2

Trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel

113

C
y

I
b
a
cot α
β =
α

90°– α

P

Teil

A

B
y = sin α

1
α

Abb. 6.4 Komplementwinkel
r =
tan
α

0
x
x = cos α

Die beiden spitzen Winkel ˛ und ˇ in einem rechtwinkligen

Dreieck sind Komplementwinkel, es gilt also Ď 90ı ˛.

Aus der Definition der trigonometrischen Funktionen folgt

(Abb. 6.4)

b
b

Abb. 6.5 Definition der trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel
sin Ď
und cos ˛ D

)

sin Ď cos ˛
c
c
y
cos Ď a und sin ˛ D a

) cos Ď sin ˛

4
c
c

II

I

3

2
tan Ď b und cot ˛ D b

) tan Ď cot ˛
a
a

1
a
a
cot Ď
und tan ˛ D

) cot Ď tan ˛

–4 –3 –2 –1

0 1

2

3

4 x
b
b

–1

–2

–3

Komplementwinkel

III

IV

–4
sin.90ı ˛/ D cos ˛

Abb. 6.6 Quadranten
cos.90ı ˛/ D sin ˛
tan.90ı ˛/ D cot ˛

Sinus:

sin ˛ D y
cot.90ı ˛/ D tan ˛

Kosinus:

cos ˛ D x

Tangens:

tan ˛ D yx

6.2

Trigonometrische Funktionen für

Kotangens:

cot ˛ D xy
beliebige Winkel

Der Abschnitt des Einheitskreises zwischen der x-Achse und

Die Definition der trigonometrischen Funktionen eines Winkels
dem Punkt P ist das Bogenmaß b des Winkels ˛.

˛ im rechtwinkligen Dreieck ist nur für spitze Winkel möglich Durchläuft P den Einheitskreis im mathematisch positiven

(also 0ı < ˛ < 90ı). Am Einheitskreis (Kreis mit dem Radius Drehsinn, dann sind ˛ und b positiv. Durchläuft P den Einheits-
r D 1) lassen sich die trigonometrischen Funktionen für belie-
kreis jedoch im mathematisch negativen Drehsinn, dann sind ˛
bige Winkel definieren:

und b negativ.

Der Mittelpunkt des Einheitskreises sei der Koordinatenur-

Im Einheitskreis sind damit die trigonometrischen Funktionen
sprung O eines kartesischen Koordinatensystems (vgl. Ab-
für beliebige Winkel ˛ im Gradmaß oder für beliebige reelle
schn. 7.1.1). Ein beliebiger Punkt P D P. x j y/ auf dem Einheits- Zahlen b (Bogenmaß von ˛) definiert, für die die entsprechen-kreis legt einen Winkel ˛ fest, nämlich den Winkel zwischen
den Nenner nicht verschwinden.

der x-Achse und der Geraden durch O und P. Dabei wird ˛ in

Bei der Berechnung von Funktionswerten muss beachtet wer-
mathematisch positiver Richtung, also gegen den Uhrzeigersinn,
den, ob das Argument im Gradmaß oder im Bogenmaß angege-
gemessen.

ben ist.

Mit den vorzeichenbehafteten Koordinaten x und y des Punk-

Durch die beiden orientierten Achsen eines kartesischen Ko-
tes P werden die trigonometrischen Funktionen dann definiert
ordinatensystems wird die Ebene in vier Teile eingeteilt, die
durch (Abb. 6.5)

Quadranten (Abb. 6.6).

114

6 Trigonometrie

Teil

Die Punkte des ersten Quadranten haben sowohl positive x-
sin ˛
cos ˛
tan ˛
cot ˛
p
als auch positive y-Koordinaten, die Punkte des zweiten Qua-
sin ˛ D
sin ˛

1 cos2˛
tan ˛
p

1
p

I
dranten haben negative x- und positive y-Koordinaten, die

1Ctan2˛

1Ccot2˛
p

Punkte des dritten Quadranten haben negative x- und negative
cos ˛ D

1 sin2˛
cos ˛

1
p
cot ˛
p
y-Koordinaten und die Punkte des vierten Quadranten haben po-

1Ctan2˛

1Ccot2˛
p1cos2˛
sitive x- und negative y-Koordinaten.

tan ˛ D
sin ˛
p
cos ˛
tan ˛

1
cot ˛

1sin2
p

˛

Für die Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen in den
cot ˛ D

1sin2˛
cos ˛
p

1
sin ˛

1cos2˛
tan ˛
cot ęinzelnen Quadranten gilt:

In den übrigen Quadranten sind die Vorzeichen der Wurzeln

Quadrant
sin
cos
tan
cot
nach der Vorzeichentabelle (vgl. Abschn. 6.2) oder am Einheits-
kreis zu bestimmen.

I

C

C

C

C

II

C

Beispiel

III

C

C

IV

C

Im dritten Quadranten sind sowohl sinąls auch cos ˛
negativ. Deswegen gilt für Winkel ˛ mit 180ı < ˛ <
p

270ı zum Beispiel sin ˛ D 1 cos2 ˛ und cos ˛ D
p

6.3

Beziehungen für den gleichen

1 sin2 ˛.

J

Winkel

Für beliebige Winkel ˛ gelten folgende Umrechnungsformeln:

6.4

Graphen der trigonometrischen

Funktionen
tan ˛ D sin ˛ D

1
cot ˛ D cos ˛ D

1
cos ˛
cot ˛
sin ˛
tan Ęin anschauliches Bild von Eigenschaften der trigonometri-
schen Funktionen erhält man, wenn in einem kartesischen
sin2 ˛ C cos2 ˛ D 1
tan ˛ cot ˛ D 1

Koordinatensystem (vgl. Abschn. 7.1.1) als Abszissen ( x-Werte)

die Winkel (im Gradmaß oder im Bogenmaß) und als Ordinaten

1 C tan2 ˛ D

1

( y-Werte) die Werte der betreffenden trigonometrischen Funk-
cos2 ˛

1 C cot2 ˛ D

1
sin2 ˛
tionen eingetragen werden. Die Funktionswerte ergeben sich als
vorzeichenbehaftete Längen der entsprechenden Strecken am

Einheitskreis (Abb. 6.7 und 6.8).

Für Potenzen . f . x// k von Funktionswerten ist die Schreibwei-
se f k. x/ üblich, etwa sin2 ˛ (gesprochen: Sinus Quadrat Alpha) Die Graphen der trigonometrischen Funktionen nennt man auch
für .sin ˛/2. Diese Beziehungen lassen sich im rechtwinkligen Kurven. So ist zum Beispiel die Sinuskurve der Graph der Si-

Dreieck leicht nachrechnen.

nusfunktion.

In der folgenden Aufzählung sind alle Winkel im Bogenmaß

Beispiel
angegeben (Abb. 6.9).

1. Sinusfunktion
a 2
b 2
a 2 C b 2
sin2 ˛ C cos2 ˛ D

C

D

D 1;

Die Funktion y D sin x mit dem Definitionsbereich D D R
c
c
c 2
und dem Wertebereich W D Œ1; 1. Die Sinusfunktion hat
die Periode 2, es gilt also sin. x C 2 k/ D sin x für k D
denn nach dem Satz des Pythagoras gilt im rechtwinkli-

0; ˙1; ˙2; : : : Die Amplitude der Funktion ist 1, denn es gilt
gen Dreieck a 2 C b 2 D c 2.

J
j sin x j 1 und sin D 1.

2

Die Sinusfunktion ist wegen sin. x/ D sin x für alle x ei-
ne ungerade Funktion. Die Sinuskurve ist also symmetrisch

Alle Beziehungen gelten auch allgemein, das heißt, für beliebige
zum Koordinatenursprung.

Winkel ˛.

2. Kosinusfunktion

Die Funktion y D cos x mit dem Definitionsbereich D D R

Nach diesen Beziehungen lässt sich jede trigonometrische
und dem Wertebereich W D Œ1; 1. Die Kosinusfunktion

Funktion durch jede andere desselben Winkels ausdrücken.

hat ebenfalls die Periode 2, es gilt cos. x C 2 k/ D cos x

Will man zum Beispiel sin ˛ durch cosąusdrücken, so folgt
für k D 0; ˙1; ˙2; : : : Die Amplitude der Funktion ist 1,
p
denn es gilt j cos x j 1 und cos 0 D 1.

sin ˛ D ˙ 1 cos2ąus sin2 ˛ C cos2 ˛ D 1.

Die Kosinusfunktion ist wegen cos. x/ D cos x für alle x ei-

Für Winkel im ersten Quadranten, also für Winkel ˛ mit 0ı <
ne gerade Funktion. Die Kosinuskurve ist also symmetrisch

˛ < 90ı gilt:

zur y-Achse.

6.4

Graphen der trigonometrischen Funktionen

115
cos α
sin α

I
sin α
cos α

Einheitskreis

P

P

Teil
β
r=1 α
s α
α
β
sin
β α
sin
co
sin
sin
a
α

P′

M

P′ –90°

0
β 90°

180°

270°

360°
cos β
cos α
s β
co

Abb. 6.7 Sinuskurve und Kosinuskurve
tan α
tan α
cot α
cot α
r
zu
cot β
cot α
urve
tote

(–)

Kotangente
α t
angensk
α
co
α

Asymp

T
β
α
tan
tan
α

)

M
r = 1

0
α

)

β

(–

180°

360°
β

(–
β
β

(–)

t
tan
tan
co
ngente

Ta

Abb. 6.8 Tangenskurve und Kotangenskurve
y

3. Tangensfunktion

1

Die Funktion y D tan x mit dem Definitionsbereich D D R,

0
π

2π
x
x ¤ C k, k 2 Z und dem Wertebereich W D R.

–1

2

Periode

Die Stellen x D C k, k 2 Z sind Pole der Funktion.

2

1

Nähert man sich einem Pol x D xp mit wachsenden x-Werten

0
π

(also x < x

2π
x
p), dann geht tan x gegen C1. Nähert man sich

–1
dagegen einem Pol x D xp mit abnehmenden x-Werten (also
x > x

C
p/, so geht tan x gegen 1. Die Geraden x D
k

2
sind Asymptoten der Funktion.

Die Tangensfunktion hat die Periode , es gilt also tan. x C

1
k/ D tan x für k D 0; ˙1; ˙2; : : : Eine Amplitude besitzt

0
π
x

–1
die Funktion nicht (Pole!).

Die Tangensfunktion ist wegen tan. x/ D tan x für alle x
eine ungerade Funktion. Die Tangenskurve ist also symme-

Periode
trisch zum Koordinatenursprung.

4. Kotangensfunktion

Die Funktion y D cot x mit dem Definitionsbereich D D R,

1
x ¤ k, k 2 Z und dem Wertebereich W D R.

0
π
x

Die Stellen x D k, k 2 Z sind Pole der Funktion. Nähert

–1
man sich einem Pol x D xp mit wachsenden x-Werten (also
x < xp), dann geht cot x gegen 1. Nähert man sich da-
gegen einem Pol x D xp mit abnehmenden x-Werten (also
x > xp), so geht cot x gegen C1. Die Geraden x D k sind

Abb. 6.9 Die Graphen der trigonometrischen Funktionen y D sin x, y D cos x,

Asymptoten der Funktion.

y D tan x, y D cot x (von oben nach unten)

Die Kotangensfunktion hat die Periode , es gilt also cot. x C
k/ D cot x für k D 0; ˙1; ˙2; : : : Eine Amplitude besitzt
die Funktion nicht (Pole!).

Die Kotangensfunktion ist ungerade, denn es gilt cot. x/ D
cot x. Die Kotangenskurve ist also symmetrisch zum Ko-
ordinatenursprung.

116

6 Trigonometrie

Teil

6.5

Reduktionsformeln

Vergleich von Real- und Imaginärteil ergibt

I

Wegen der Periodizität können die trigonometrischen Funktio-
cos.˛ C ˇ/ D cos ˛ cos ˇ sin ˛ sin ˇ und
nen für beliebige Winkel beim Sinus und Kosinus auf solche
zwischen 0ůnd 360ůnd beim Tangens und Kotangens auf sol-
sin.˛ C ˇ/ D sin ˛ cos Č cos ˛ sin ˇ:

J
che zwischen 0ůnd 180° zurückgeführt werden. Für beliebige
ganze Zahlen k gilt:

Trigonometrische Funktionen der Summe und der Dif-
sin.360ı k C ˛/ D sin ˛
ferenz zweier Winkel
cos.360ı k C ˛/ D cos ˛
sin.˛ C ˇ/ D sin ˛ cos Č cos ˛ sin ťan.180ı k C ˛/ D tan ˛
sin.˛ ˇ/ D sin ˛ cos ˇ cos ˛ sin čot.180ı k C ˛/ D cot ˛
cos.˛ C ˇ/ D cos ˛ cos ˇ sin ˛ sin čos.˛ ˇ/ D cos ˛ cos Č sin ˛ sin ˇ

Wegen der Symmetrie der trigonometrischen Funktionen gilt für
tan.˛ C ˇ/ D tan ˛ C tan ňegative Winkel:

1 tan ˛ tan ťan.˛ ˇ/ D tan ˛ tan ˇ

1 C tan ˛ tan šin.˛/ D sin ˛
cos.˛/ D cos ˛
cot.˛ C ˇ/ D cot ˛ cot ˇ 1
cot ˛ C cot ťan.˛/ D tan ˛
cot.˛/ D cot ˛
cot.˛ ˇ/ D cot ˛ cot Č 1
cot ˛ cot ˇ

Jeder so reduzierte Winkel kann durch eine der folgenden Be-
ziehungen auf einen Winkel zwischen 0ůnd 90° zurückgeführt

Trigonometrische Funktionen für Winkelvielfache
werden:

Ď
sin 2˛ D 2 sin ˛ cos ˛ D

2 tan ˛

1 C tan2 ˛

Funktion

90ı ˙ ˛

180ı ˙ ˛

270ı ˙ ˛

360ı ˛
sin 3˛ D 3 sin ˛ 4 sin3 ˛
sin Č cos ˛ sin ˛
cos ˛
sin ˛
cos šin ˛
cos ˛

˙ sin ˛

C cos ˛
sin 4˛ D 8 sin ˛ cos3 ˛ 4 sin ˛ cos ˛
tan čot ˛ ˙ tan ˛
cot ˛
tan ˛
cos 2˛ D cos2 ˛ sin2 ˛ D 1 2 sin2 ˛ D 2 cos2 ˛ 1
cot ťan ˛ ˙ cot ˛
tan ˛
cot ˛
cos 3˛ D 4 cos3 ˛ 3 cos ˛
cos 4˛ D 8 cos4 ˛ 8 cos2 ˛ C 1

6.6

Additionstheoreme
tan 2˛ D

2 tan ˛

D

2

1 tan2 ˛
cot ˛ tan ˛

Die Additionstheoreme sind Formeln für die trigonometrischen

Funktionen von Winkelsummen und Winkeldifferenzen.

tan 3˛ D 3 tan ˛ tan3 ˛

Die meisten dieser Gleichungen lassen sich mit Hilfe der Eu-

1 3 tan2 ˛
ler’schen Formel ejz D cos z C j sin z für komplexe Zahlen (vgl.

tan 4˛ D

4 tan ˛ 4 tan3Ąbschn. 1.10.8) zusammen mit den Potenzgesetzen herleiten.

1 6 tan2 ˛ C tan4 ˛

Beispiel
cot 2˛ D cot2 ˛ 1 D cot ˛ tan ˛ D

1

2 cot ˛

2
tan 2˛
cos.˛ C ˇ/ C j sin.˛ C ˇ/
cot 3˛ D cot3 ˛ 3 cot ˛

3 cot2 ˛ 1

D ej.˛Cˇ/ D ej˛ ejĎ .cos ˛ C j sin ˛/ .cos Č j sin ˇ/

D .cos ˛ cos ˇ sin ˛ sin ˇ/ C j.sin ˛ cos Čcos ˛ sin ˇ/
cot 4˛ D cot4 ˛ 6 cot2 ˛ C 1

4 cot3 ˛ 4 cot ˛

6.7

Sinussatz und Kosinussatz

117

Für allgemeine Winkelvielfache erhält man aus der Entwicklung

I
der Formel von Moivre (vgl. Abschn. 1.10.6) durch Vergleich

Potenzen trigonometrischer Funktionen
des Real- und Imaginärteils entsprechende Formeln:

sin2 ˛ D 1 .1 cos 2˛/

Teil
cos n˛ C j sin n˛ D .cos ˛ C j sin ˛/ n

2

!

n

X
sin3 ˛ D 1 .3 sin ˛ sin 3˛/

D
n
jk
cos n k ˛ sin k ˛

4
k
k D0
sin4 ˛ D 1 .cos 4˛ 4 cos 2˛ C 3/

8

Summen und Differenzen zweier trigonometrischer
cos2 ˛ D 1 .1 C cos 2˛/

Funktionen

2

˛ C ˇ

˛ šin ˛ C sin Ď 2 sin
cos
cos3 ˛ D 1 .3 cos ˛ C cos 3˛/

2

2

4

˛ C ˇ

˛ čos4 ˛ D 1 .cos 4˛ C 4 cos 2˛ C 3/
sin ˛ sin Ď 2 cos
sin

2

2

8

˛ C ˇ

˛ čos ˛ C cos Ď 2 cos
cos

2

2

Die Formeln für sin n ˛ und cos n ęrhält man, indem man die

Formeln für cos n˛ und sin n˛ nacheinander anwendet.

˛ C ˇ

˛ čos ˛ cos Ď 2 sin
sin

2

2

6.7

Sinussatz und Kosinussatz
tan ˛ C tan Ď sin.˛ C ˇ/
cos ˛ cos ˇ

Sinussatz
tan ˛ tan Ď sin.˛ ˇ/
cos ˛ cos ˇ

In einem beliebigen Dreieck verhalten sich die Längen der Sei-
ten wie die Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel.

cot ˛ C cot Ď sin.˛ C ˇ/
sin ˛ sin ˇ

Sinussatz
cot ˛ cot Ď sin.˛ C ˇ/
sin ˛ sin ˇ

˛

ˇ

sin

D sin

D sin
oder
a
b
c
sin ˛ W sin ˇ W sin D a W b W c

Produkte trigonometrischer Funktionen

Der Sinussatz lässt sich mit Hilfe der Höhen, also durch Zer-
sin ˛ sin Ď 1 Œcos.˛ ˇ/ cos.˛ C ˇ/
legung des Dreiecks in zwei rechtwinklige Dreiecke herleiten

2

(Abb. 6.10):

cos ˛ cos Ď 1 Œcos.˛ ˇ/ C cos.˛ C ˇ/

2
h
sin ˛ D

) h D b sin ˛I
b
sin ˛ cos Ď 1 Œsin.˛ C ˇ/ C sin.˛ ˇ/

2
sin Ď h

) h D a sin ˇ
a
cos ˛ sin Ď 1 Œsin.˛ C ˇ/ sin.˛ ˇ/

Es folgt b sin ˛ D a sin ˇ und daraus a W b D sin ˛ W sin ˇ.

2

Die anderen Proportionen lassen sich analog herleiten.

tan ˛ tan Ď tan ˛ C tan Ď tan ˛ tan čot ˛ C cot čot ˛ cot čot ˛ cot Ď cot ˛ C cot Ď cot ˛ cot ťan ˛ C tan ťan ˛ tan ˇ
b
a
h
tan ˛ cot Ď tan ˛ C cot Ď tan ˛ cot ˇ
α
β
cot ˛ C tan čot ˛ tan ˇ

Abb. 6.10 Zur Herleitung des Sinussatzes

118

6 Trigonometrie

Teil

6.8

Arkusfunktionen
b
a

I
h

Kennt man den Funktionswert einer trigonometrischen Funk-
α
β
q
p
tion, etwa y D sin x, und will man daraus den zugehörigen
c

Winkel bestimmen, so muss man die Gleichung nach dem Win-
kel x auflösen, was mit Hilfe der Arkusfunktionen möglich ist:

Abb. 6.11 Zur Herleitung des Kosinussatzes
x D arcsin y. Die Arkusfunktionen sind also die Umkehrfunk-
tionen der trigonometrischen Funktionen.

Kosinussatz

Die Arkusfunktionen werden auch zyklometrische Funktionen
oder inverse trigonometrische Funktionen genannt.

In einem beliebigen Dreieck ist das Quadrat einer Seitenlänge
gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seitenlän-

Zu ihrer eindeutigen Definition wird der Definitionsbereich der
gen minus dem doppelten Produkt der Längen dieser beiden
trigonometrischen Funktionen in Monotonieintervalle zerlegt,
anderen Seiten und dem Kosinus des von ihnen eingeschlosse-
so dass für jedes Monotonieintervall eine Umkehrfunktion er-
nen Winkels.

halten wird (vgl. Abschn. 5.2.8: Streng monotone Funktionen
besitzen Umkehrfunktionen). Diese wird entsprechend dem zu-
gehörigen Monotonieintervall mit dem Index k gekennzeichnet.

Kosinussatz

Die Vorgehensweise wird am Beispiel des Arkussinus gezeigt.

a 2 D b 2 C c 2 2 bc cos ˛

Der Definitionsbereich von y D sin x wird in die Monotonie-
b 2 D a 2 C c 2 2 ac cos ˇ
intervalle k x k C mit k D 0; ˙1; ˙2; : : :

2

2
zerlegt. Durch Spiegelung von y D sin x an der Winkelhalbie-
c 2 D a 2 C b 2 2 ab cos
oder
renden y D x erhält man die Umkehrfunktionen y D arc k sin x
mit den Definitionsbereichen D D Œ1; 1 und den Werteberei-
b 2 C c 2 a 2
k
cos ˛ D
chen W D
k

Œ k ; k C , wobei k D 0; ˙1; ˙2; : : : Die

2 bc

2

2

Schreibweise y D arc k sin x ist gleichbedeutend mit x D sin y.

cos Ď a 2 C c 2 b 2

2 ac
y D arc
cos D a 2 C b 2 c 2
k sin x

,
x D sin y

2 ab

Der Kosinussatz ist eine Verallgemeinerung des Satzes von

Die übrigen Arkusfunktionen ergeben sich analog. In der Ta-

Pythagoras, der für rechtwinklige Dreiecke gilt, auf beliebige
belle sind die Definitions- und Wertebereiche aller Arkusfunk-

Dreiecke. Gilt etwa D 90°, dann folgt c 2 D a 2 C b 2 wegen
tionen zusammengestellt, die Abb. 6.12 bis 6.15 zeigen die
cos D cos 90ı D 0.

Graphen der Arkusfunktionen.

Der Kosinussatz lässt sich durch Zerlegung des Dreiecks in zwei

Setzt man k D 0, dann erhält man jeweils den sogenannten
rechtwinklige Dreiecke und Anwendung des Satzes von Pytha-

Hauptwert der Arkusfunktion. Den Hauptwert schreibt man oh-
goras herleiten (Abb. 6.11):

ne den Index k, also zum Beispiel arcsin x D arc0 sin x. Für
q
andere Werte von k erhält man Nebenwerte der entsprechen-
cos ˛ D ;
q D c p
b
den Arkusfunktion. Den Hauptwert der Arkusfunktionen zeigt
c p

Abb. 6.16.

)

cos ˛ D

)

p D c b cos ˛
b
h
sin ˛ D

)

h D b sin ˛
b
y

Durch Einsetzen der Ausdrücke für p und für h ergibt sich:

a 2 D p 2 C h 2

)

a 2 D . c b cos ˛/2 C . b sin ˛/2

2

)

a 2 D c 2 2 bc cos ˛ C b 2 cos2 ˛ C b 2 sin2 ˛

–1

0

1 x

)

a 2 D c 2 2 bc cos ˛ C b 2.cos2 ˛ C sin2 ˛/

– 2

)

a 2 D b 2 C c 2 2 bc cos ˛

(denn sin2 ˛ C cos2 ˛ D 1).

Die anderen Gleichungen lassen sich ganz entsprechend herlei-
ten.

Abb. 6.12 Graph der Arkussinusfunktion

6.8

Arkusfunktionen

119

Tab. 6.1 Arkusfunktionen

I

Name

Schreibweise

Definitionsbereich

Wertebereich

Gleichbedeutende trigonometrische Funktion

Arkussinus
y D arc

k sin x

1 x 1
k
y k C
x D sin y

2

2

Arkuskosinus
y D arc k cos x

1 x 1
k y . k C 1/
x D cos y

Teil

Arkustangens
y D arc k tan x

1 < x < 1
k < y < k C
x D tan y

2

2

Arkuskotangens
y D arc k cot x

1 < x < 1
k < y < . k C 1/
x D cot y
y

Die Zurückführung von Nebenwerten auf die Hauptwerte der

Arkusfunktionen erfolgt mit Hilfe der folgenden Formeln:

2
arc k sin x D k C .1/ k arcsin x

–1

0 1 x

(

–

. k C 1/ arccos x falls k ungerade

2
arc k cos x D k C arccos x
falls k gerade
arc k tan x D k C arctan x
arc k cot x D k C arccot x

Abb. 6.13 Graph der Arkuskosinusfunktion
y

Taschenrechner geben immer die Hauptwerte der Arkusfunktio-
nen an.

Beziehungen zwischen den Hauptwerten

0
x

x
arcsin x D
arccos x D arctan p

2

1 x 2

–

x
arccos x D
arcsin x D arccot p

2

1 x 2

x

Abb. 6.14 Graph der Arkustangensfunktion
arctan x D
arccot x D arcsin x p

2

1 C x 2

x
y
arccot x D
arctan x D arccos p

2

1 C x 2

Formeln für negative Argumente

0
x
arcsin. x/ D arcsin x
arccos. x/ D arccos x
arctan. x/ D arctan x

Abb. 6.15 Graph der Arkuskotangensfunktion
arccot. x/ D arccot x
y
arccos

Beispiele
arccot

2
arctan

1. arcsin 0 D 0; arc k sin 0 D k
arccot

2. arccos 1 D ;

2

3(

–1

0

1
x

C . k C 1/ falls k ungerade
arctan
arc

D

3
k cos 1

arcsin

2

C

–
k
falls k gerade

2

3

3. arccot 1 D ; arc

C k.

J

4
k cot 1 D

4

Abb. 6.16 Hauptwerte der Arkusfunktionen

I

Analytische Geometrie

Teil

7

Arnfried Kemnitz

7.1

Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.2

Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.3

Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.4

Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.5

Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.6

Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

121

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_7

122

7 Analytische Geometrie

Teil

Der Grundgedanke der Analytischen Geometrie besteht darin,
y-Achse
dass geometrische Untersuchungen mit rechnerischen Mitteln

(Ordinatenachse)

I
geführt werden. Geometrische Objekte werden dabei durch

Gleichungen beschrieben und mit algebraischen Methoden un-
tersucht.

P x y

1

1

1

( )

y 1

7.1

Koordinatensysteme

1

Die Verbindung von Geometrie und Algebra wird dadurch er-
x 2
reicht, dass man die geometrischen Objekte als Punktmengen

–1

0

1
x 1
x-Achse
auffasst und jedem Punkt Zahlenwerte zuordnet, durch die er

(Abszissenachse)

–1
sich von anderen unterscheidet. Eine Kurve oder eine Gerade ist
y 2

P x y

2

2

2

( )

dann eine Menge von Punkten, für deren Zahlenwerte bestimm-
te Bedingungen gelten, die man Gleichungen dieser Objekte
nennt, zum Beispiel Gleichung eines Kreises oder einer Gera-
den. Das geometrische Bild einer linearen Gleichung in zwei

Variablen ist immer eine Gerade, das einer quadratischen Glei-
chung in zwei Variablen immer ein Kegelschnitt.

Abb. 7.1 Kartesisches Koordinatensystem der Ebene

Die Grundlage für eine solche analytische Darstellung der

Geometrie ist die Zuordnung zwischen Punkt und Zahl, die
eindeutig sein muss. Auf einer Geraden oder allgemeiner auf

In einem kartesischen (rechtwinkligen) Koordinatensystem ste-
einer Kurve genügt eine Zahl, auf einer Ebene oder einer Flä-
hen die Koordinatenachsen senkrecht aufeinander, die Achsen
che ein Zahlenpaar und im Raum ein Zahlentripel (drei Zahlen),
haben den gleichen Maßstab und bilden ein sogenanntes Rechts-
um einen Punkt eindeutig festzulegen. Umgekehrt bestimmt ein
system: Die x-Achse geht durch Drehung um einen rechten

Punkt auf einer Kurve eindeutig eine Zahl, auf einer Fläche

Winkel im mathematisch positiven Sinne (linksdrehend, entge-
ein Zahlenpaar und im Raum ein Zahlentripel. Diese Zahlen
gen dem Uhrzeigersinn) in die y-Achse über.

werden Koordinaten des entsprechenden Punktes genannt. Die

Koordinaten sind abhängig von dem zugrunde liegenden Koor-

Ein beliebiger Punkt P der Ebene kann dann durch seine kar-
dinatensystem.

tesischen Koordinaten beschrieben werden: P. x j y/ mit x als

Abszisse und y als Ordinate.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten für Koordinatensysteme,
von denen hier drei wichtige beschrieben werden. Allgemein

Dieses Koordinatensystem ist benannt nach dem französischen
kann man ein Koordinatensystem als ein System von geometri-

Mathematiker René Descartes, genannt Cartesius (1596–1650).

schen Objekten, mit deren Hilfe die Lage anderer geometrischer

Objekte durch Zahlenwerte (Koordinaten) umkehrbar eindeutig
beschrieben werden kann, bezeichnen.

7.1.2

Polarkoordinatensystem der Ebene

Legt man auf einer Geraden g einen Anfangspunkt 0 (Null-
punkt), eine positive Richtung (Orientierung) und eine Längen-

Ein Polarkoordinatensystem der Ebene ist bestimmt durch einen
einheit l (Maßstab) fest, dann entspricht jeder reellen Zahl x ein
festen Punkt, den Pol O, und einer von ihm ausgehenden fest
bestimmter Punkt dieser Geraden, und umgekehrt entspricht je-
gewählten Achse, der Polarachse, auf der wie bei einem Zah-
dem Punkt der Geraden eine reelle Zahl. Die Gerade g wird
lenstrahl eine Orientierung und ein Maßstab festgelegt sind.

Zahlengerade genannt.

Ein beliebiger Punkt P der Ebene lässt sich dann durch seine

Polarkoordinaten beschreiben: P. r j'/, wobei r der Abstand des

Punktes P vom Pol O ist und ' der Winkel, den der Strahl vom

7.1.1

Kartesisches Koordinatensystem der

Pol O durch den Punkt P mit der Polarachse bildet (Abb. 7.2).

Ebene

P r

( )

φ

Um die Lage eines Punktes in der Ebene eindeutig festzu-
legen, sind zwei Zahlengeraden notwendig. Man ordnet die

Zahlengeraden stets so an, dass ihre Nullpunkte zusammenfal-
len. Die Zahlengeraden werden Achsen des Koordinatensystems
r
oder Koordinatenachsen genannt und als x- oder Abszissenach-
se und als y- oder Ordinatenachse bezeichnet. Der gemeinsame

Nullpunkt, also der Schnittpunkt der beiden Geraden, heißt
φ

0

Koordinatenursprung oder Nullpunkt. Auf jeder der beiden Ge-

1

Polarachse

(Pol)

raden wird vom Koordinatenursprung aus eine positive und eine
negative Orientierung sowie ein Maßstab festgelegt (Abb. 7.1).

Abb. 7.2 Polarkoordinatensystem der Ebene

7.1

Koordinatensysteme

123
y

P 2

I

P( x| y) = P( r | φ)

y

P 1
r 2

Teil
r
y 2

1
r 1
φ
y 1
f 2

0
x
f

1
x

1

0
x
x

2

1

Abb. 7.3 Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten
längere Rechteckseite

Abb. 7.4 Zu Beispiel 1

Dabei wird der Winkel ' in mathematisch positiver Richtung

(linksdrehend, entgegen dem Uhrzeigersinn) gemessen. Dieser

Winkel ' ist nur bis auf ganzzahlige Vielfache von 2 bestimmt.

Man nennt ' auch Polarwinkel des Punktes P.

bindungsstrecke einen Winkel von 45° einschließen.

Die Bohrungsmitten sind anzureißen (Abb. 7.4).

Mathematisch umgesetzt bedeutet die Aufgabe:

Die Polarkoordinaten r

D

D

1

120 mm, '1

30ůnd

7.1.3

Zusammenhang zwischen kartesischen
r D

D
j

2

90 mm, '2

75° zweier Punkte P 1. r 1 '1/ und
und Polarkoordinaten

P
j

2. r 2 '2/ sind in kartesische Koordinaten umzurech-
nen (' D

2

'1 45° kommt nicht in Frage, da P 2 dann
außerhalb der Platte läge).

Ein beliebiges geometrisches Objekt kann in verschiedenen

Man berechnet:

Koordinatensystemen beschrieben werden, zum Beispiel in ei-
nem kartesischen und in einem Polarkoordinatensystem. Für
x D

D

1
r 1 cos '1

120 mm cos 30ı 103;92 mm
dieselben geometrischen Eigenschaften findet man dann zwei
y D

D

1
r 1 sin '1

120 mm sin 30ı D 60;00 mm

Gleichungen f 1. x; y/ D 0 und f 2. r; '/ D 0. Durch Transforma-
x D r

D 90 mm cos 75ı 23;29 mm
tion (Überführung) des einen Koordinatensystems in das andere

2

2 cos '2

D

D
geht die eine Gleichung des geometrischen Objekts in die ande-
y 2
r 2 sin '2

90 mm sin 75ı 86;93 mm
re über (Abb. 7.3).

Ergebnis:

Die Transformationsgleichungen für den Übergang von Po-
x

D

1

130;92 mm; y 1

60;00 mm;
larkoordinaten zu kartesischen Koordinaten und umgekehrt
x

2

23;29 mm;
y 2

86;93 mm
ergeben sich mit Hilfe der trigonometrischen und Arkusfunktio-

2. Welche Polarkoordinaten haben die Ecken A, B, C des
nen. Zur Vereinfachung wird dabei vorausgesetzt, dass der Pol

Dreiecks A.2;9j2;3/, B.3;0j0;7/, C.1;8j2;7/?

des Polarkoordinatensystems mit dem Koordinatenursprung des

Man berechnet (Abb. 7.5):

kartesischen Koordinatensystems und die Polarachse mit der x-
q

Achse (Abszisse) zusammenfallen.

r D

A

.2;9/2 C .2;3/2 3;7
cos ' D

2;9

A
q

0;7835 ) ' A

38;4ı

Transformationsgleichungen

.2;9/2 C .2;3/2
p
q
x D r cos '

r D
x 2 C y 2
r D

B

.3;0/2 C .0;7/2 3;1
x
y
y D r sin '

cos ' D p

; sin ' D p
cos ' B < 0 und sin ' B < 0 ) 180ı < ' B < 270ı (vgl.

x 2 C y 2
x 2 C y 2

Vorzeichentabelle in Abschn. 6.2)

3;0
cos ˛ D q

0;9738I

.3;0/2 C .0;7/2

Beispiele
cos Ď 0;9738

)

ˇ 13;1ı

1. Eine rechteckige Metallplatte soll zwei Bohrungen

Wegen cos.180ı C ˛/ D cos ˛ (vgl. Abschn. 6.5)

erhalten. Für die Mitten der Bohrungen soll gel-
folgt '

B

180ı C 13;1ı D 193;1ı
q
ten: Die erste Bohrung ist von einer Ecke der Platte

D

120 mm entfernt. Die Verbindungsstrecke zwischen
rC

.1;8/2 C .2;7/2 3;2
dieser Ecke und der Bohrung soll mit der längeren Sei-
cos ' C > 0 und sin ' C < 0 ) 270ı < ' C < 360ı (vgl.

te der Platte einen Winkel von 30° bilden. Die zweite

Vorzeichentabelle in Abschn. 6.2)

Bohrung soll dreiviertel so weit von derselben Ecke
entfernt sein: Die Verbindungsstrecke zwischen dieser
cos ˛ D

1;8
q

0;5547 ) ˛ 56;3ı

Ecke und der zweiten Bohrung soll mit der ersten Ver-

.1;8/2 C .2;7/2

124

7 Analytische Geometrie

Teil

A
y

7.2

Geraden

I
rA
yA
φ

7.2.1

Geradengleichungen
x

A

B

0
xC
φ
y

B

B
xA
r
x

B

B
φC
yC

Eine Gerade ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte. Eine
rC

Gerade ist durch zwei beliebige auf ihr liegende Punkte eindeu-
tig bestimmt (vgl. Abschn. 3.1).

C

Für eine Gerade gibt es verschiedene Gleichungsformen.

Abb. 7.5 Zu Beispiel 2

1. Die Gleichung ax C by C c D 0 ist die allgemeine Geraden-
gleichung, wobei die Koeffizienten a und b nicht gleichzeitig

Null sein dürfen.

Wegen cos.360ı ˛/ D cos ˛ (vgl. Abschn. 6.5) folgt

'

Allgemeine Geradengleichung

C

360ı 56;3ı D 303;7ı.

Ergebnis: A.3;7j38;4ı/, B.3;1j193;1ı/, C.3;2j303;7ı/
ax C by C c D 0
sind die drei Punkte in Polarkoordinaten.

J

Die Variablen x und y sind die Koordinaten eines beliebigen

Punktes der Geraden. Ein Punkt P D
j

0

P. x 0 y 0/ der Ebene liegt
also genau dann auf der Geraden, wenn seine Koordinaten x 0

7.1.4

Kartesisches Koordinatensystem des
und y

C

C

0 die Gleichung erfüllen, wenn also ax 0
by 0
c D 0 gilt.

Raums

Die Koeffizienten a, b, c legen die Gerade eindeutig fest. Für
a D 0 ist die Gerade eine Parallele zur x-Achse, für b D 0 eine

Parallele zur y-Achse, und für c D 0 verläuft die Gerade durch

Ein kartesisches Koordinatensystem des Raums besteht aus drei
den Koordinatenursprung (Nullpunkt).

paarweise aufeinander senkrecht stehenden Geraden (Koordina-
tenachsen), die sich in einem Punkt, dem Koordinatenursprung,

2. Dividiert man die allgemeine Geradengleichung durch b ¤ 0
schneiden. Die drei Koordinatenachsen bilden ein Rechtssys-

(die Gerade ist also nicht parallel zur y-Achse), dann ergibt
tem: Winkelt man Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der
sich mit m D a und n D c die Hauptform oder Normal-
b
b
rechten Hand so ab, dass sie aufeinander senkrecht stehen, dann
form der Geradengleichung (Abb. 7.7).

können diese Finger als positive Richtungen eines Rechtssys-
tems aufgefasst werden. Man bezeichnet die Achsen in dieser

Reihenfolge meist als x-Achse, y-Achse und z-Achse. Auf allen

Hauptform oder Normalform
drei Achsen sind die Maßstäbe gleich.

y D mx C n

Ein beliebiger Punkt P des Raums kann dann durch seine kar-
tesischen Koordinaten beschrieben werden: P. x j y j z/, wobei x,
y und z die senkrechten Projektionen des Punktes auf die drei

Geraden, die Parallelen zur y-Achse sind, besitzen also keine

Koordinatenachsen sind (Abb. 7.6).

Hauptform (Normalform).

Die Größe m wird Richtungskoeffizient oder Steigung der Gera-
den genannt. Die Steigung ist gleich dem Tangens des Winkels,
z
z 0
y

P( x|y )

P ( x y z

0

0

0 0)

n

+

1
mx
mx

=

0
y
y
y
y

0

1

1

1 m
x
x 0
n
n
α

0
x
x

Abb. 7.6 Kartesisches Koordinatensystem des Raums

Abb. 7.7 Hauptform der Geradengleichung

7.2

Geraden

125

P x

( y

| )

y

P

I
y
mx
y =
y
y – y 1

Teil
m

P 1

1 m

0

1
x
x
y
x – x 1
mx 1

Abb. 7.8 Gerade mit der Gleichung y D mx
x 1
y
y

1

1
n
x
y
α

1

0
x
y = n
x
n

Abb. 7.11 Punktsteigungsform der Geradengleichung

0
x
y

P

Abb. 7.9 Gerade mit der Gleichung y D n

P 2
y

= xk

P 1
y

0
y
k
x

2
m
y

1

1

Abb. 7.10 Gerade mit der Gleichung x D k

0
x
x
x

1
x 2
den die Gerade mit der positiven Richtung der x-Achse ein-
schließt. Die Strecke n wird von der Geraden auf der y-Achse

Abb. 7.12 Zweipunkteform der Geradengleichung
abgeschnitten, deshalb heißt n auch Achsenabschnitt oder ge-
nauer y-Achsenabschnitt. Er kann ebenso wie der Tangens je
nach Lage unterschiedliches Vorzeichen besitzen.

y D m. x x 1/ C y 1. Dies ist die Punktsteigungsform der

Geradengleichung (Abb. 7.11).

Sonderfälle:

2.1 n D 0: Die Gerade verläuft durch den Nullpunkt (Abb. 7.8).

Punktsteigungsform

Gerade durch Nullpunkt
y D m. x x 1/ C y 1
y D mx

Wegen der Ähnlichkeit der rechtwinkligen Dreiecke mit den Ka-
theten y y 1, x x 1 und mit den Katheten m, 1 gilt die Proportion

2.2 m D 0: Die Gerade ist eine Parallele zur x-Achse im Ab-
stand n (Abb. 7.9).

y y

.

1
y y

D

1/ W . x x 1/ D m W 1
oder
m:

x x 1

Parallele zur x-Achse

Auflösung nach y ergibt die Punktsteigungsform.

y D n

4. Die Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte P D

1

P. x 1

| y

D

¤

1/ und P 2

P. x 2 | y 2/ mit x 1
x 2 ergibt die Zweipunkte-

2.3 Entsprechend ist x D k die Gleichung einer Parallele zur
form der Geradengleichung (Abb. 7.12).

y-Achse im Abstand k (Abb. 7.10).

Zweipunkteform

Parallele zur y-Achse
y

1
y y 1
y 1
y D y 2

. x x

D y 2

1/ C y 1
oder
x D k
x

2
x 1
x x 1
x 2
x 1

3. Sind von einer Geraden ein Punkt P D
j

1

P. x 1 y 1/ und die Die Proportion ergibt sich aus der Ähnlichkeit der rechtwinkli-

Steigung m bekannt, dann lautet die Gleichung der Geraden
gen Dreiecke mit den Hypotenusen P 1 P und P 1 P 2.

126

7 Analytische Geometrie

Teil
y
y

I

4

P 1

2
y 0

P
α
φ
y

–4

–2

0

2
x
d
x

0
x
x 0

–2

Abb. 7.13 Achsenabschnittsform der Geradengleichung

–4
y

–6

P 2
g

F

–8

Abb. 7.15 Gerade durch die Punkte P
d

1 .5j3;5/ und P2.2j7/

P x

( |y )

φ
φ
sin
cos
y
y
x
φ
φ = a – 90°
α

Man kann die Hesse’sche Normalform aus der allgemeinen Ge-

0
x
x
radengleichung ax C by C c D 0 durch Multiplikation mit
g
dem Normierungsfaktor ˙

1
p
herleiten. Das Vorzeichen des
a 2C b 2

Abb. 7.14 Hesse’sche Normalform der Geradengleichung

Normierungsfaktors muss entgegengesetzt zu dem von c ge-
wählt werden.

5. Hat eine Gerade den Achsenabschnitt x 0 auf der x-Achse und

Beispiel
den Achsenabschnitt y 0 auf der y-Achse, das heißt, die Ge-
rade geht durch die Punkte P
j

1. x 0 0/ und P 2.0j y 0/, und gilt
x ¤

¤

Gesucht ist die Gerade durch die Punkte P 1.5j3;5/ und

0

0 und y 0

0, dann lautet die Gleichung der Gerade
x C y D

P

1. Dies ist die Achsenabschnittsform der Gera-

2 .2j7/ (Abb. 7.15).

x 0
y 0
dengleichung (Abb. 7.13).

Zweipunkteform:

y 3;5

D 7 3;5

Achsenabschnittsform
x C 5

2 C 5
x
y

C

D 1

Punktsteigungsform:

x 0
y 0

Da die rechte Seite der Zweipunkteform die Steigung m
angibt, also m D 73;5 D 1;5 folgt

2C5

Aus der allgemeinen Geradengleichung ax C by C c D 0 ergibt
sich die Achsenabschnittsform durch Division durch c ¤ 0.

y D 1;5. x C 5/ C 3;5

6. Die Hesse-Form oder Hesse’sche Normalform der Geraden-
gleichung (nach dem deutschen Mathematiker Ludwig Otto

Hauptform:

Hesse, 1811–1874) lautet x cos ' C y sin ' d D 0. Dabei

Aus der Punktsteigungsform ergibt sich y D 1;5 x
ist d 0 der Abstand des Koordinatenursprungs O von der

7;5 C 3;5 und somit

Geraden g, also die Länge des Lotes von O auf die Gerade g

(Fußpunkt F), und ' mit 0 ' < 2 der Winkel zwischen
y D 1;5 x 4
der positiven x-Achse und dem Lot OF (Abb. 7.14).

Achsenabschnittsform:

Aus der Hauptform folgt y D 4 für x D 0, der y-

Hesse’sche Normalform

Achsenabschnitt ist also y

D

0

4. Setzt man in die
x cos ' C y sin ' d D 0

Hauptform y D 0 ein, so ergibt sich 1;5 x D 4, also

7.2

Geraden

127
l D j d
j

1
d 2 wenn die Geraden auf der gleichen Seite des

I
x D 8 , der x-Achsenabschnitt ist somit x D 8 . Die

Koordinatenursprungs liegen,

3

0

3

C

Achsenabschnittsform lautet daher
l D d 1
d 2 wenn die Geraden auf verschiedenen Seiten
des Koordinatenursprungs liegen.

Teil
x C y D 1

3. Punkt– Gerade

8

4

Ist P
j y

3

1. x 1

1/ ein Punkt und g 1: y D mx C n eine Gerade, dann
ermittelt man zunächst die Hesse’sche Normalform von g 1:

Man findet die Achsenabschnittsform auch direkt, indem

W

D
man in der Hauptform durch Division durch 4 das Ab-
g 1
x cos ' C y sin ' d 1

0
solutglied zu 1 macht.

Durch den Punkt P 1 legt man eine zu g 1 parallele Gerade g 2:

Hesse’sche Normalform:

g W

D

2
x cos ' C y sin ' d 2

0

Durch Umstellung der Hauptform ergibt sich 1;5 x

Ist l der Abstand zwischen P
y 4 D 0. Durch Vergleich mit der allgemeinen Gera-

1 und g 1, so ist l auch der Ab-
stand zwischen den Geraden g
dengleichung ax C by C c D 0 erhält man a D 1;5,

1 und g 2, und es gilt
b D 1, c D 4. Man erhält die Hesse’sche Normal-
g W

2
x cos ' C y sin ' . d 1
l/ D 0
form, indem man die Gleichung 1;5 x y 4 D 0 durch
p
q
p

Da P

C

1 auf g 2 liegt, erfüllen seine Koordinaten die Geraden-
a 2 C b 2 D C

.1;5/2 C .1/2 D C 3;25 divi-
gleichung
diert:

x

1 cos ' C y 1 sin ' . d 1
l/ D 0;

1;5
p
x

1
p
y

4
p

D 0

J
woraus sich für den Abstand l ergibt

3;25

3;25

3;25
l D j x
j

1 cos ' C y 1 sin ' d 1

Beispiele

7.2.2

Abstände

1. Gegeben: Die Punkte P 1.3j4/ und P 2.2j6/

Gesucht: Der Abstand d. P 1; P 2/ von P 1 und P 2

Mit Hilfe der Hesse’schen Normalform der Geradengleichung

Es gilt
lässt sich der Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden
q
oder zwischen zwei parallelen Geraden berechnen. Zunächst
d. P

1; P 2/ D

. x 2 x 1/2 C . y 2 y 1/2
werden jedoch Formeln zur Berechnung des Abstandes zwi-
q
schen zwei Punkten hergeleitet.

D

.2 3/2 C .6 4/2
p
p

1. Punkt– Punkt

D

52 C 22 D

29 D 5;3851 : : :

Der Abstand zweier Punkte P
j

1 und P 2 ist die Länge j P 1 P 2
der Verbindungsstrecke P 1 P 2.

2. Gegeben: Die beiden parallelen Geraden

Sind die Punkte im kartesischen Koordinatensystem darge-
stellt, also P D
j

D
j

1

P 1. x 1 y 1/, P 2

P 2. x 2 y 2/, dann gilt für den
g W

W

1

2 x 4 y C 7 D 0;
g 2

3 x C 6 y C 30 D 0

Abstand d. P 1; P 2/ von P 1 und P 2 nach dem Satz des Pytha-
goras

Gesucht: Der Abstand l der beiden Geraden
q

Hesse’sche Normalform von g 1: 2
p
x C

4
p
y

20

20
d. P
j D

7
p

1; P 2/ D j P 1 P 2

. x 2 x 1/2 C . y 2 y 1/2

D 0 (durch Multiplikation der allgemeinen Gera-

20
dengleichung mit dem Normierungsfaktor

1
p

D

Sind die Punkte in Polarkoordinaten dargestellt, also P D

1
a 2C b 2

P
j

D
j

1. r 1 '1/, P 2

P 2. r 2 '2/, dann folgt aus dem Kosinussatz

1
p

D 1
p

/
q

22C.4/2

20

Hesse’sche Normalform von g
d. P
j D

C

2:

1; P 2/ D j P 1 P 2
r 2
r 2

2 r
cos.'

'

1

2

1 r 2

1

2/

2
p
x 4
p
y 20
p

D 0

20

20

20

2. Gerade– Gerade

Entgegengesetzte Vorzeichen der x- und y-Glieder )

Sind g
die Geraden liegen auf verschiedenen Seiten des Ko-

1: y D mx C n 1 und g 2: y D mx C n 2 zwei paralle-
le Geraden (parallele Geraden haben gleiche Steigung), so
ordinatenursprungs
ermittelt man die Hesse’sche Normalform der Geraden:

Somit gilt für den Abstand l von g 1 und g 2:

g W

D

C

1
x cos ' C y sin ' d 1

0
l D d 1
d 2
p
g W

D

2
x cos ' C y sin ' d 2

0

D 7
p

C 20
p

D 27
p

D 27
p D 27 5

Für den Abstand l der parallelen Geraden g

20

20

20

2 5

10

1 und g 2 vonein-
ander gilt dann

128

7 Analytische Geometrie

Teil
y

3. Gegeben: Punkt P 1.5j10/ und Gerade g 1: 3 x 4 y C

P

I

10 D 0

Gesucht: Der Abstand l des Punktes P 1 von der Gera-
r
den g 1

M

Hesse’sche Normalform von g 1: 3 x C 4 y 2 D

5

5
y

0 (durch Multiplikation der allgemeinen Geraden-
y m
gleichung mit dem Normierungsfaktor

1
p

D
a 2C b 2

1
p

D 1 )

32C.4/2

5

0
x
x
x
m

Durch Einsetzen der Koordinaten von P 1 erhält man
den gesuchten Abstand:

ˇ

Abb. 7.17 Kreisgleichung .x xm /2 C .y ym /2 D r2

ˇ

ˇˇ
l D ˇˇ3 5 C 4 10 2ˇ

5

5

Ď j3 C 8 2j D 3 J

Mittelpunktsform oder Hauptform

. x xm/2 C . y ym/2 D r 2

7.3

Kreise

3. Löst man in der Mittelpunktsform die Klammern auf, dann

7.3.1

Kreisgleichungen
ergibt sich die allgemeine Form der Kreisgleichung.

Der Kreis ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene,

Allgemeine Form
die von einem festen Punkt M (Mittelpunkt des Kreises) einen
konstanten Abstand r (Radius des Kreises) haben (vgl. Ab-
x 2 C y 2 C 2 ax C 2 by C c D 0
schn. 3.9).

Für einen Kreis gibt es verschiedene Gleichungsformen.

Hierin bedeuten a D x

C

m, b D ym, c D x 2
y 2
r 2. Aus
m
m

1. Liegt der Mittelpunkt eines Kreises mit dem Radius r im Ko-
der letzten Gleichung folgt a 2 C b 2 c D r 2 > 0 als Bedingung
ordinatenursprung, dann lautet die Gleichung des Kreises in
dafür, dass es sich bei einer Gleichung der allgemeinen Form
kartesischen Koordinaten x 2 C y 2 D r 2. Dabei sind x und
wirklich um eine Kreisgleichung handelt (für c > a 2 C b 2 liefert
y die Koordinaten eines beliebigen Punktes P. x j y/ des Krei-
die Gleichung keine reelle Kurve, für c D a 2 C b 2 ergibt sich
ses. Die Gleichung ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras
ein einziger Punkt M. x j
m ym/).

(Abb. 7.16).

4. Werden die beiden Koordinaten x und y jeweils als Funktion
einer Hilfsvariablen t angegeben, so erhält man die Para-
meterdarstellung des Kreises mit dem Radius r und dem

Mittelpunkt im Ursprung

Mittelpunkt M. x j
m ym/ (vgl. Abschn. 5.1.2).

x 2 C y 2 D r 2

Parameterdarstellung

2. Hat der Mittelpunkt allgemeiner die Koordinaten xm und ym,
x D x C

C
m
r cos t;
y D ym
r sin t;

0 t < 2
also M D M. x j
m ym/, dann ergibt sich die Mittelpunktsform
oder Hauptform der Kreisgleichung (Abb. 7.17).

Beispiele
y

P

1. Welches geometrische Objekt beschreibt die Glei-
chung
r
y

1;5 x 2 C 1;5 y 2 C 3 x 6 y C 4;5 D 0‹

0
x
x

Lösung:

Division durch 1,5 ergibt x 2 C y 2 C 2 x 4 y C 3 D 0,
eine Kreisgleichung in allgemeiner Form.

Abb. 7.16 Kreisgleichung x2 C y2 D r2

7.3

Kreise

129
y

7.3.2

Berechnung von Kreisen

I

3

Ein Kreis ist festgelegt durch den Mittelpunkt und einen wei-

Teil

M

2
teren Punkt oder durch drei Punkte (die nicht alle auf einer

Geraden liegen).

1

Die Gleichung eines Kreises kann also berechnet werden, wenn
drei Punkte der Kreisperipherie gegeben sind oder der Mittel-

–1

0
x
punkt und ein Punkt der Peripherie.

Abb. 7.18 Kreis mit der Gleichung .x C 1/2 C .y 2/2 D 2

Berechnung von Kreisen:

1. Gegeben: Mittelpunkt M. x j
j
m ym/, Punkt P 1. x 1 y 1/

Gesucht: Kreis mit dem Mittelpunkt M durch den Punkt P 1

Dabei ist a D x D

D
m

1, b D ym

2, c D 3. Die

Der Radius r des gesuchten Kreises ergibt sich durch Einset-

Bedingung a 2 C b 2 c > 0 ist erfüllt, denn 1 C 4 3 D
zen der Koordinaten des Punktes P 1 in die Mittelpunktsform

2 > 0.

der Kreisgleichung:

Die Koordinaten des Kreismittelpunktes sind x

D
m
p
p

q

1, y D
m

2, der Radius ist r D
a 2 C b 2 c D

2.

Die Mittelpunktsform (Hauptform) dieses Kreises lau-
r D

. x

1
xm/2 C . y 1
ym/2
tet somit . x C 1/2 C . y 2/2 D 2.

Die aus der gegebenen Gleichung abgeleitete Glei-

Kreisgleichung somit:

chung x 2 C y 2 C 2 x 4 y C 3 D 0 lässt sich auch ohne

Benutzung der Formeln für die Mittelpunktskoordina-

. x x

m/2 C . y ym/2 D . x 1
xm/2 C . y 1
ym/2
ten und den Radius auf die Mittelpunktsform bringen,
und zwar mit Hilfe von quadratischen Ergänzungen:

2. Gegeben: Punkte P
j
j
j

1. x 1 y 1/, P 2. x 2 y 2/, P 3. x 3 y 3/

Gesucht: Kreis durch die Punkte P 1, P 2, P 3
x 2 C y 2 C 2 x 4 y C 3 D 0

Bestimmung der Koordinaten xm, ym des Mittelpunktes:

. x 2 C 2 x/ C . y 2 4 y/ D 3

Einsetzen der Koordinaten der Punkte in die Mittelpunkts-

.

form der Kreisgleichung:

x 2 C 2 x C 1/ C . y 2 4 y C 4/ D 1 C 4 3

. x C 1/2 C . y 2/2 D 2 (Abb. 7.18)

. x

1
xm/2 C . y 1
ym/2 D . x 2
xm/2 C . y 2
ym/2

2. Welches geometrische Objekt beschreibt die Glei-

D . x

3
xm/2 C . y 3
ym/2 D r 2
chung

1;5 x 2 C 1;5 y 2 C 3 x 6 y C 9 D 0‹

Daraus erhält man ein lineares Gleichungssystem zur Be-
stimmung von xm und ym:

Lösung:

Die entsprechenden Rechnungen wie bei Beispiel 1 er-

2. x

C

D

C

2
x 1/ xm

2. y 2
y 1/ ym
x 2
x 2
y 2
y 2

2

1

2

1
geben . x C 1/2 C . y/2 D 1.

2. x x

C 2. y y

D x 2 x 2 C y 2 y 2

Dies ist eine unerfüllbare Gleichung, denn der Term

3

1/ xm

3

1/ ym

3

1

3

1
auf der linken Seite des Gleichheitszeichens ist als

Summe zweier Quadrate nicht negativ (ein Quadrat

Bestimmung des Radius r:

ist nicht negativ, also ist auch eine Summe von Qua-

Einsetzen von xm, ym und der Koordinaten eines Punktes in
draten nicht negativ), während die rechte Seite gleich
die Mittelpunktsform der Kreisgleichung:

1, also negativ ist. Man bestätigt, dass die Bedingung
q
a 2 C b 2 c > 0 nicht erfüllt ist.

r D

. x

1
xm/2 C . y 1
ym/2

3. Welches geometrische Objekt beschreibt die Glei-
chung

Einsetzen von xm, ym und r in die Mittelpunktsform der

1;5 x 2 C 1;5 y 2 C 3 x 6 y C 7;5 D 0‹

Kreisgleichung ergibt die Gleichung des gesuchten Kreises.

3. Gegeben: Mittelpunkt M.2j1/, Punkt P 1.4j3/

Lösung:

Gesucht: Kreis mit dem Mittelpunkt M durch den Punkt P 1

Man berechnet a 2 C b 2 c D 1 C 4 5 D 0 in der

Berechnung des Radius:

durch 1,5 dividierten Gleichung und somit . x C 1/2 C

.

q
y 2/2 D 0.

p

Dies ist die Gleichung eines entarteten Kreises, also
r D

.4 .2//2 C .3 .1//2 D 52
eines Kreises mit dem Radius r D 0. Die Gleichung
wird nur von einem Koordinatenpaar, den Koordinaten

Der gesuchte Kreis hat die Gleichung
des Mittelpunktes M.1j2/, erfüllt.

J

. x C 2/2 C . y C 1/2 D 52:

130

7 Analytische Geometrie

Teil

4. Gegeben: Punkte P 1.6j7/, P 2.2j9/, P 3.1j0/

Gesucht: Kreis durch die Punkte P 1, P 2, P 3

Mittelpunktsform oder Hauptform

I

Bestimmung der Koordinaten xm, ym des Mittelpunktes:

. x xm/2 C . y ym/2 C . z zm/2 D r 2

2.2 6/ x C

D
m

2.9 7/ ym

22 62 C 92 72

2.1 6/ x C

D
m

2.0 7/ ym

.1/2 62 C 02 72

(

)

Eine Kugel ist festgelegt durch den Mittelpunkt und einen wei-

C

D

)

8 xm

4 ym

0
teren Punkt oder durch vier Punkte (die nicht alle in einer Ebene

14 x

D
m

14 ym

84
liegen).

(

)

C

D

)

2 xm
ym

0

2 x C

D

Beispiele
m

2 ym

12

)

y D

D
m

4

)

xm

2

1. Gegeben: Mittelpunkt im Koordinatenursprung, also

M D M.0j0j0/, Punkt P 1.4j3j1/

Bestimmung des Radius r:

Gesucht: Kugel mit dem Mittelpunkt M durch den
q
p

Punkt P 1
r D

.6 2/2 C .7 4/2 D 25 D 5

Berechnung des Radius:

Der gesuchte Kreis hat somit die Gleichung
p
p
r D

42 C 32 C 12 D

26

. x 2/2 C . y 4/2 D 52:

Die gesuchte Kugel hat die Gleichung

7.4

Kugeln
x 2 C y 2 C z 2 D 26

2. Gegeben: Mittelpunkt M.2j 1j1/, Punkt P 1.0j4j 3/

Eine Kugel ist der geometrische Ort aller Punkte des Raum-

Gesucht: Kugel mit dem Mittelpunkt M durch den
es, die von einem festen Punkt M (Mittelpunkt der Kugel)

Punkt P 1
einen konstanten Abstand r (Radius der Kugel) haben (vgl. Ab-

Berechnung des Radius:

schn. 4.6).

q
p

Für eine Kugel gibt es verschiedene Gleichungsformen.

r D

.0 2/2 C .4 .1//2 C .3 1/2 D 45

Liegt der Mittelpunkt einer Kugel mit dem Radius r im Ur-

Die gesuchte Kugel hat die Gleichung
sprung eines (dreidimensionalen) kartesischen Koordinatensys-
tems, dann lautet die Gleichung der Kugel x 2 C y 2 C z 2 D r 2.

. x 2/2 C . y C 1/2 C . z 1/2 D 45:

J

Dabei sind x, y und z die Koordinaten eines beliebigen Punktes

P. x j y j z/ der Kugel (Kugeloberfläche) (Abb. 7.19).

Mittelpunkt im Ursprung

7.5

Kegelschnitte
x 2 C y 2 C z 2 D r 2

Ein Kegelschnitt ist die Schnittfigur einer Ebene und des Man-

Hat der Mittelpunkt allgemeiner die Koordinaten xm, ym und zm,
tels eines geraden Doppelkreiskegels.

also M D . x j j
m ym zm/, dann ergibt sich die Mittelpunktsform
oder Hauptform der Kugelgleichung.

Ein gerader Kreiskegel entsteht durch Rotation einer Geraden

(die Erzeugende oder Mantellinie) in einem festen Punkt (der

Spitze) um eine vertikale Achse, wobei sich die rotierende Ge-
z
rade entlang eines Kreises bewegt (also mit einem Kreis als

Leitkurve), der in einer Ebene senkrecht zur Rotationsachse
liegt (vgl. Abschn. 4.4).

r

Ein gerader Doppelkreiskegel besteht aus zwei geraden Kreiske-

0
y
geln, die Spitze auf Spitze stehen und die gleiche Rotationsachse
haben. Schneidet man einen geraden Doppelkreiskegel mit einer
x
nicht durch die (gemeinsame) Spitze S gehenden Ebene E, dann
entsteht als Kurve ein Kegelschnitt. Abhängig von der Lage der

Abb. 7.19 Kugel mit der Gleichung x2 C y2 C z2 D r2

Ebene E zum Doppelkegel erhält man verschiedene Kurven.

7.5

Kegelschnitte

131

Kreis

Ellipse

I

Hyperbel

Teil

Parabel
β

Rotations-
α
achse
β
β
β =

90°

Abb. 7.20 Kegelschnitt Ellipse

Abb. 7.22 Beziehung des Öffnungswinkels ˛ des Kegels zum Neigungswinkel
ďer Schnittebene zur Rotationsachse

Die Kegelschnitte lassen sich auch durch die Beziehung des

Öffnungswinkels ˛ des Kegels zum Neigungswinkel ďer

Schnittebene E zur Rotationsachse beschreiben (Abb. 7.22):

Kreis:

Ď 90ı

Abb. 7.21 Kegelschnitt Hyperbel

Ęllipse:

< ˇ < 90ı

2

Kreis

˛

Parabel:

Ď 2

Liegt die Ebene senkrecht zur Kegelachse (Rotationsachse), so

˛
schneidet sie aus der Mantelfläche des Kegels einen Kreis her-

Hyperbel:

0 ˇ < 2
aus.

Der Kreis ist bezüglich der verschiedenen Lagen von Ebene und

Ellipse

Doppelkegel ein Spezialfall der Ellipse.

Ist die Neigung der Ebene so, dass sie nur eine Hälfte des

Kreis und Ellipse sind beschränkt, nicht jedoch Parabel und Hy-

Doppelkegels schneidet und dass sie nicht parallel zu einer Man-
perbel. Die Parabel besteht aus einem einzigen Ast (sie ist also
tellinie verläuft, so wird eine Ellipse ausgeschnitten (Abb. 7.20).

zusammenhängend), während die Hyperbel zwei getrennte sym-
metrische Äste besitzt.

Parabel

Falls die Ebene E durch die Kegelspitze S geht, dann besteht die

Schnittmenge entweder nur aus einem Punkt (dem Punkt S) oder

Verläuft die Ebene parallel zu einer Mantellinie, so schneidet sie
aus einer oder zwei durch S gehenden Geraden (Mantellinien).

aus der Mantelfläche eine Parabel heraus.

Solche Schnittmengen heißen entartete Kegelschnitte.

Die nahe Verwandtschaft der Kegelschnitte zeigt sich auch in

Hyperbel
ihren Gleichungen. Jeder Kegelschnitt ist der Graph einer Funk-
tion, die als Funktionsgleichung eine Gleichung zweiten Grades

Trifft die Ebene beide Hälften des Doppelkegels (zum Beispiel
in x und y hat. In einer solchen Gleichung kommen x und y nur
wenn sie parallel zur Kegelachse steht), dann ist die Schnittfi-
linear und quadratisch vor. Die allgemeine Gleichung eines Ke-
gur eine Hyperbel (es werden zwei Kurven ausgeschnitten, die
gelschnitts lautet
beiden Äste einer Hyperbel) (Abb. 7.21).

Die Kegelschnitte lassen sich bezüglich der Lage der Ebene E
zu den Mantellinien des Doppelkegels charakterisieren:

Ax 2 C 2 Bxy C Cy 2 C Dx C Ey C F D 0

Beim Kreis und bei der Ellipse ist die Ebene zu keiner der

Mantellinien parallel, bei der Parabel ist die Ebene zu einer

Mantellinie parallel, und bei der Hyperbel ist die Ebene zu zwei

Diese Gleichung enthält als Sonderfälle auch Gleichungen von

Mantellinien des Doppelkegels parallel.

Punkten, Geraden, Geradenpaaren und imaginären Kurven.

132

7 Analytische Geometrie

Teil
y
j S 0 S 0 j D 2 b

Länge der Nebenachse ( b < a)

1 2

S 1′

P
j MF j D j
j D

1

MF 2
e

Abstand der Brennpunkte vom Mit-

I

1
telpunkt
a
a y 1
r
p D b 2

Halbparameter (die halbe Länge einer
p

1
r
a

2
p
b
parallel zur Nebenachse gezogenen

F 2

F

0 = M

1

S

S

1

Sehne durch einen Brennpunkt)

2
x
x
e

1
e

P
j

1. x 1 y 1/
beliebiger Punkt der Ellipse
a
a
p
p
j P
j D
j D

1 F 1
r 1, j P 1 F 2
r 2 Abstand von P 1 zu den Brennpunkten
b

S

Eigenschaften

2′
r C

D

1
r 2

2 a

Summe der Abstände ist konstant

Abb. 7.23 Bezeichnungen für die Ellipse
e 2 C b 2 D a 2
gilt nach dem Satz des Pythagoras
p
e D
a 2 b 2 > 0
heißt lineare Exzentrizität der Ellipse

" D e < 1
heißt numerische Exzentrizität der El-
a

Beispiele
lipse

1. A D 1, B D C D D D 0, E D 1, F D 0

)

Bemerkungen
y D x 2 Gleichung der Normalparabel

2. A D 1, B D 0, C D 1, D D E D 0, F D r 2

Eine der drei Größen a, b, e kann wegen e 2 C b 2 D a 2 aus den

) x 2 C y 2 D r 2 Mittelpunktsform der Gleichung eines
beiden anderen berechnet werden.

Kreises mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung

Im Falle a D b entartet die Ellipse zu einem Kreis. Die bei-

3. A D 1 , B D 0, C D 1 , D D E D 0, F D 1
a 2
b 2
den Brennpunkte F 1, F 2 fallen dann mit dem Kreismittelpunkt

) x 2 C y 2 D 1 Mittelpunktsform der Gleichung einer
a 2
b 2
zusammen.

Ellipse mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung

4. A D 1 , B D 0, C D 1 , D D E D 0, F D 1

Ellipsengleichungen
a 2
b 2

) x 2 y 2 D 1 Mittelpunktsform der Gleichung

1. Fallen die Koordinatenachsen mit den Ellipsenachsen zu-
a 2
b 2
einer Hyperbel mit dem Mittelpunkt im Koordina-
sammen und ist der Koordinatenursprung der Mittelpunkt
tenursprung
der Ellipse, dann lautet die Gleichung der Ellipse x 2 C y 2 D
a 2
b 2

5. A D B D C D 0, D D 1, E D 1, F D 0

1. Dies ist die Normalform der Ellipsengleichung.

) y D x Gleichung der Winkelhalbierenden (Gerade)

J

Normalform
x 2 C y 2 D 1
a 2
b 2

7.5.1

Ellipsen

2. Ist M. x j
m ym/ der Mittelpunkt der Ellipse, und sind die El-

Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte einer Ebene,
lipsenachsen parallel zu den Koordinatenachsen, dann erhält
für die die Summe der Abstände von zwei festen Punkten F
man die Mittelpunktsform der Ellipsengleichung.

1
und F 2 konstant ist. Die Punkte F 1 und F 2 heißen Brennpunkte
der Ellipse (Abb. 7.23).

Mittelpunktsform

Bezeichnet man den Abstand eines beliebigen Punktes P 1 der

Ellipse zu F

. x x

. y y

1 mit r 1 und den Abstand von P 1 zu F 2 mit r 2,
m/2 C
m/2 D 1
alsoj P
j D
j D

C

1 F 1
r 1, j P 1 F 2
r 2, dann gilt r 1
r 2 = 2 a mit ei-
a 2
b 2
ner Konstanten a.

3. Werden die beiden Koordinaten x und y jeweils als Funk-

Bezeichnungen
tion einer Hilfsvariablen t angegeben, so erhält man die

Parameterdarstellung einer Ellipse, deren Achsen mit den

M.0j0/

Mittelpunkt

Koordinatenachsen zusammenfallen (vgl. Abschn. 5.1.2).

F 1. e j0/, F 2. e j0/

Brennpunkte

S 1. a j0/, S 2. a j0/

Hauptscheitelpunkte

S 0 .0j b/, S 0 .0j b/

Nebenscheitelpunkte

1

2

Parameterdarstellung

S 1 S 2

Hauptachse

S 0 S 0

Nebenachse
x D a cos t;
y D b sin t;

0 t < 2

1 2
j S
j D

1 S 2

2 a

Länge der Hauptachse

7.5

Kegelschnitte

133
y

I

Q

Q

2

1

Hyperbel

P 1

Teil
r
p

2
b
r 1
e

S

M
a

S

F

2

1

2

F 1

Asymp

F

F

2
x
tote = 0
e

1
p
tote

H

Asymp
yperbel

Q 2′

Scheitelkreis

Q 1′

Abb. 7.24 Gärtnerkonstruktion einer Ellipse

Abb. 7.25 Bezeichnungen für die Hyperbel

Für die Fläche A und den Umfang u einer Ellipse gilt

7.5.2

Hyperbeln

Ellipsenfläche

A D ab
p

Ellipsenumfang
u Œ1;5. a C b/
ab

Eine Hyperbel ist der geometrische Ort aller Punkte einer Ebe-
ne, für die der Betrag der Differenz der Abstände von zwei
festen Punkten F 1 und F 2 konstant ist. Die Punkte F 1 und F 2
heißen Brennpunkte der Hyperbel (Abb. 7.25).

Der Wert für den Umfang ist nur eine Näherung, eine exakte

Formel gibt es nicht.

Bezeichnet man den Abstand eines beliebigen Punktes P 1 der

Hyperbel zu F 1 mit r 1 und den Abstand von P 1 zu F 2 mit r 2,
also j P
j D
j D
j D

1 F 1
r 1, j P 1 F 2
r 2, dann gilt j r 1
r 2

2 a mit einer

Beispiele

Konstanten a.

1. Gegeben: Ellipsengleichung x 2 C y 2 D 1

Die Hyperbel ist nicht zusammenhängend, sie besteht aus zwei

6;25

4

Gesucht: Länge der Achsen, Brennpunkte, numeri-
getrennten symmetrischen Ästen (die Hyperbel hat also auch
sche Exzentrizität
keinen endlichen Flächeninhalt). Sie besitzt zwei Asymptoten.

Länge der Hauptachse D 2 a D 2 2;5 D 5 (denn
p
a D

6;25 D 2;5)

Bezeichnungen

Länge der Nebenachse D 2 b D 2 2 D 4 (denn b D
p4 D 2)

M.0j0/

Mittelpunkt

Berechnung der Brennpunkte:

F 1. e j0/, F 2. e j0/

Brennpunkte
e 2 D a 2 b 2 D 6;25 4 D 2;25 D 1;52 ) F 1.1;5j0/,

S 1. a j0/, S 2. a j0/

Scheitelpunkte

F 2.1;5j0/

S 1 S 2

Hauptachse (Hyperbelachse)

Numerische Exzentrizität: " D e D 1;5 D 0;6

D
a

2;5

S 1 S 2

2 a

Länge der Hauptachse

2. Gegeben: Brennpunkte F 1.4j0/, F 2.4j0/, halbe Län-
j MF j D j
j D

1

MF 2
e

Abstand der Brennpunkte vom Mit-
ge der Hauptachse a D 5
telpunkt

Gesucht: Ellipsengleichung, numerische Exzentrizität

Q 1; Q 0 ; Q

Schnittpunkte der Asymptoten mit

1

2; Q 02

Berechnung der halben Länge der Nebenachse:

den Senkrechten zur Hauptachse
b 2 D a 2 e 2 D 25 16 D 9 ) b D 3
durch die Scheitelpunkte

Ellipsengleichung: x 2 C y 2 D 1
j
j D j
j D j
j D j
j D

25

9

S 1 Q 1

S 1 Q 0

S

S
b Abstand der Schnitt-

1

2 Q 2

2 Q 02

Numerische Exzentrizität: " D e D 4 D 0;8

J
punkte zu den Scheitelpunkten
a

5
p D b 2

Halbparameter (die halbe Länge einer
a
senkrecht zur Hauptachse gezogenen

Sehne durch einen Brennpunkt)

Es gibt etliche Konstruktionsmöglichkeiten für eine Ellipse. Ei-

P
j

1. x 1 y 1/
beliebiger Punkt der Hyperbel
ne davon ist die sogenannte Faden- oder Gärtnerkonstruktion
j P
j D
j D

1 F 1
r 1, j P 1 F 2
r 2 Abstand von P 1 zu den Brennpunkten

(Abb. 7.24):

Die Endpunkte eines Fadens der Länge 2 a werden mit Hilfe

Eigenschaften
zweier Pfähle an zwei Punkten F 1 und F 2 fest verankert, und
zwar so, dass der Faden nicht straff ist. Ein dritter Pfahl, der den
j r j D

1
r 2

2 a

Betragsdifferenz der Abstände ist

Faden spannt und ringsum geführt wird, bewegt sich dann auf
konstant
einer Ellipse.

a 2 C b 2 D e 2
gilt nach dem Satz des Pythagoras

134

7 Analytische Geometrie

T
p
eil
e D
a 2 C b 2 > 0
heißt lineare Exzentrizität der Hyper-

Für c > 0 ist die Winkelhalbierende y D x die Hauptachse, die
bel

Hyperbeläste liegen im ersten und im dritten Quadranten. Im

I

" D e > 1
heißt numerische Exzentrizität der

Falle c < 0 ist die Winkelhalbierende y = - x die Hauptachse, die
a

Hyperbel

Hyperbeläste liegen im zweiten und im vierten Quadranten.

Gleichungen der Asymptoten

Bemerkung

Eine der drei Größen a, b, e kann wegen a 2 C b 2 D e 2 aus den
x D 0;
y D 0
beiden anderen berechnet werden.

Hyperbelgleichungen

Beispiele

1. Scheitelpunkte auf der x-Achse, Mittelpunkt im Koordina-

1. Gegeben: Hyperbelgleichung x 2 y 2 D 1
tenursprung:

16

20

Gesucht: Brennpunkte, numerische Exzentrizität

Berechnung der Brennpunkte:

Normalform
e 2 D a 2 C b 2
x 2 y 2 D

D 16 C 20 D 36 D 62

)

F

1

1.6j0/; F 2.6j0/
a 2
b 2

Numerische Exzentrizität: " D e D 6 D 1;5
a

4

2. Gegeben: Punkte P 1.2j1/, P 2.3j2/ einer Hyperbel

Beide Koordinatenachsen sind Symmetrieachsen der Hyperbel.

Gesucht: Normalform der Hyperbelgleichung durch

Die Hyperbel ist nach rechts und nach links geöffnet. Diese

P 1 und P 2

Gleichung nennt man auch die Normalform der Hyperbelglei-

Berechnung von a und b:

chung.

Koordinaten von P
y 2 D

1 in die Normalform x 2

1
a 2
b 2
der Hyperbelgleichung einsetzen:

Gleichungen der Asymptoten

4
b

1 D 1

)

4 b 2 a 2 D a 2 b 2
y D ˙ x
a 2
b 2
a

Kooordinaten von P 2 in die Normalform einsetzen:

Nur im Falle a D b stehen die Asymptoten senkrecht aufeinan-

9
der. Solche Hyperbeln heißen gleichseitige Hyperbeln.

4 D 1

)

9 b 24 a 2 D a 2 b 2
a 2
b 2

2. Hauptachse parallel zur x-Achse, Mittelpunkt M. xm | ym/:

Gleichsetzen der Gleichungen ergibt

4 b 2 a 2 D 9 b 2 4 a 2

)

3 a 2 D 5 b 2

Mittelpunktsform

.

)

x x
a 2 D 5 b 2
m/2

. y y

m/2 D 1

3
a 2
b 2

Durch Einsetzen errechnet man

Die Hyperbel ist nach rechts und nach links geöffnet. Diese

4 b 2 5 b 2 D 5 b 4

)

7 b 2 D 5 b 4

Gleichung heißt auch Mittelpunktsform der Hyperbelgleichung.

3

3

3

3

)

b 2 D 7

Gleichungen der Asymptoten

5
b

Daraus ergibt sich schließlich
y D ˙ . x xm/ C ym
a
a 2 D 5 7 D 7

3. Koordinatenachsen als Asymptoten, Mittelpunkt im Koordi-

3

5

3
natenursprung:

Die Hyperbelgleichung lautet
x 2
y 2
c

D 1

J
x y D c
oder
y D

. c ¤ 0/

7

7
x

3

5

7.5

Kegelschnitte

135

Parabelgleichungen

I
l

1. x-Achse ist Parabelachse, Scheitelpunkt im Koordinatenur-
sprung, Parabel nach rechts geöffnet:

l –

Teil

2 a

Stab

Normalform

F 2
a

M
a

F 1
y 2 D 2 px;
p > 0

Der Brennpunkt ist F. p j0/, die Gleichung der Leitlinie ist x D

2
p . Diese Gleichung nennt man auch die Normalform der Pa-

2

Abb. 7.26 Fadenkonstruktion einer Hyperbel
rabelgleichung.

l

2. Parabelachse parallel zur x-Achse, Scheitelpunkt S. xs | ys/,

Parabel nach rechts geöffnet:

d

P

Leitlinie

Scheitelpunktsform
d
p
p

. y ys/2 D 2 p. x xs/; p > 0

2

2

Parabelachse

S

F

Der Brennpunkt ist F. p C x j y

2
s
s/, die Gleichung der Leitlinie ist
x D x p
s

. Diese Gleichung heißt auch Scheitelpunktsform der

2

Parabelgleichung.

1. y-Achse ist Parabelachse, Scheitelpunkt im Koordinatenur-
sprung, Parabel nach oben geöffnet:

Abb. 7.27 Parabel mit Brennpunkt F und Scheitelpunkt S
x 2 D 2 py
oder
y D 1 x 2

. p > 0/

Es gibt verschiedene Konstruktionsmöglichkeiten für eine Hy-

2 p
perbel. Eine davon ist die sogenannte Fadenkonstruktion:

In einem der beiden Brennpunkte wird ein Stab der Länge
l > 2 a drehbar befestigt. Die Enden eines Fadens der Länge Der Brennpunkt ist F.0j p /, die Gleichung der Leitlinie ist y D

2
p
l 2 a werden am freien Stabende und am anderen Brennpunkt

. Eine Parabel in dieser Lage ist der Graph einer quadrati-

2
befestigt. Mit einem Stift wird der Faden am Stab gestrafft. Wird
schen Funktion (vgl. Abschn. 5.4.3).

der Stab um den Brennpunkt gedreht, dann beschreibt der Stift
einen Teil eines Hyperbelastes (Abb. 7.26).

Beispiele

1. Gegeben: Parabelgleichung y 2 D 6 x

7.5.3

Parabeln

Gesucht: Brennpunkt, Gleichung der Leitlinie

Parameter: p D 3

Brennpunkt: F. p j0/ D F. 3 j0/

2

2

Eine Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte einer Ebe-

Gleichung der Leitlinie: x D p D 3

2

2
ne, die von einem festen Punkt F (Brennpunkt) und einer festen

2. Eine nach rechts offene Parabel hat die Gerade x D 2

Geraden l (Leitlinie) den gleichen Abstand besitzen.

als Tangente im Scheitelpunkt, geht durch den Punkt

P

Der Punkt, der in der Mitte zwischen dem Brennpunkt F und

1.2j7/ und hat in diesem Punkt die Tangentenstei-
gung m D 1 . Wie lautet die Gleichung der Parabel?

der Leitlinie l liegt, ist der Scheitelpunkt S. Die Gerade durch

1

2

Lösung:

die Punkte F und S heißt Parabelachse. Sie ist Symmetrieachse

Berechnung der Tangentengleichung durch Einsetzen
für die Parabel und steht senkrecht auf der Leitlinie l. Der Ab-
in die Punktsteigungsform und Umrechnung auf Nor-
stand p des Brennpunkts F von der Leitlinie l heißt Parameter
malform:

der Parabel.

Der Brennpunkt hat die Eigenschaft, alle innen an der Para-
y 7 D 1 ) y D 1 x C 6
bel reflektierten achsenparallelen Strahlen in sich zu vereinigen
x 2

2

2

(Anwendung: Parabolspiegel) (Abb. 7.27).

136

7 Analytische Geometrie

Teil

B

Eine nach rechts geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt

I

S. x j
s ys/ erfüllt die Gleichung . y ys/2 D 2 p. x xs/ und
eine Tangente an diese Parabel auch die Gleichung

. y

1
ys/. y ys/ D p. x C x 1

2 xs/. Setzt man die

A

C

P

Koordinaten des Punktes P

Leitlinie

1 ein und bringt auch diese

Tangentengleichung auf Normalform, so ergibt sich

.7 y

F
s/. y ys/ D p. x C 2 2 .2//
p

)

y D
x C

6 p

C ys

7 ys

7 ys

Vergleich dieser Gleichung mit der obigen Normal-
form der Gleichung für dieselbe Tangente ergibt mit

Abb. 7.28 Fadenkonstruktion einer Parabel
der Methode des Koeffizientenvergleichs die folgen-
den Bedingungen für die Koeffizienten:

m D
p

D 1

C

D

1
und
n D

6 p
ys

6

7 ys

2

7 ys

Dies ist ein System aus zwei Gleichungen zur Bestim-
mung der beiden Unbekannten p und ys.

Setzt man zur Lösung des Systems zum Beispiel die

Bedingung
p

D 1 in die Gleichung für n ein, so

7 ys

2
folgt

Abb. 7.29 Zu Beispiel 1

6 1 C y D

D
s

6

)

ys

3

2

Durch Einsetzen von y D
s

3 in die Gleichung für m 1
folgt p D 1 ) p D 2

73

2

L 0 die Spannweite 2 a D j LL 0j D 32 m. Die Scheitelhöhe

Die gesuchte Parabelgleichung lautet

(Höhe des Scheitelpunktes S über LL 0) beträgt b D 10 m.

.

Die horizontal verlaufende Straße liegt h D 4 m über LL 0
y 3/2 D 4. x C 2/:

J
und schneidet den Brückenbogen in P 1 und P 0 , den Be-

1
festigungspunkten des Straßenkörpers. Der Straßenkörper
wird außer von einem Vertikalstab im Scheitelpunkt S

Es gibt einige Konstruktionsmöglichkeiten für eine Parabel. Ei-

(Länge b h D 6 m) noch von zwei weiteren Vertikalstä-
ne davon ist die sogenannte Fadenkonstruktion (Abb. 7.28):

ben gehalten, die in der Mitte des horizontalen Abstandes

Ein rechtwinkliges Dreieck wird entlang der Leitlinie verscho-
von S und P 1 sowie von S und P 0 in den Punkten P

1

2 und
ben. Ein Faden mit der Länge der Kathete AC wird mit den

P 0 am Brückenbogen angebracht sind (Abb. 7.29).

2

Enden in A und dem Brennpunkt F befestigt. Mit einem Stift
wird der Faden an der Kathete AC gestrafft. Gleitet das Dreieck

Wie groß ist die Länge l dieser Vertikalstäbe? Wie groß
entlang der Leitlinie, dann beschreibt der Stift ein Parabelstück.

sind j P
j
j

1 P 0
und j P

?

1

2 P 02

Die Skizze veranschaulicht nur eine Hälfte der symmetri-
schen Straßenbrücke.

7.5.4

Anwendungen

Zur Lösung der Aufgabe denkt man sich ein Koordinaten-

In diesem Abschnitt werden in einigen Beispielen verschiedene
kreuz gelegt, so dass die Parabel des Brückenbogens die

Anwendungen der Kegelschnitte aus Technik und Mathematik

Gleichung y D px 2 hat.

angegeben.

Setzt man die Koordinaten des Lagerpunktes L ein, so er-

Beispiel 1
gibt sich b D pa 2 ) p D b
a 2

Ein parabelförmiger Brückenbogen (Achse vertikal und

Der Befestigungspunkt P 1 hat nach Aufgabenstellung die

Parabel nach unten geöffnet) hat zwischen den in glei-

Ordinate y D

1

. b h/. Mit Hilfe der Parabelgleichung
cher Höhe liegenden Lagern (Enden) des Bogens L und
y D

1
px 2 erhält man seine Abszisse x

1

1 durch Auflösen

7.6

Vektoren

137

A
y

I
nach x 1 und Einsetzen von y 1 und p:

s
r
s
r

M
y

2 ϕ

1

. b h/
b h

Teil
x D

D

D

1
a
s
p
b
b

R– ϕ
a 2
s
ϕ

B

P

Der Befestigungspunkt P

D 1

D

2 soll die Abszisse x 2
x

2 1
q
y
y
a
b h haben, also ist seine Ordinate y D px 2 D

2
b

2

2
q

0

M
φ

0
b . a b h/2 D b h.

P 0 x
a 2

2
b

4
b = r s

–
r

Die gesuchte Vertikalstablänge l ist l D y

D 3

2
y 1

. b h/.

4
x
a = r+ s

Die Strecken j P
j
j

1 P 0
und j P
haben die Längen

1

2 P 02
r
r

Abb. 7.30 Zu Beispiel 2
b h
b h

2 x D

D

1

2 a
und

2 x 2
a

:

b
b

7.6

Vektoren

Mit den gegebenen Abmessungen ergibt sich für die ge-
suchten Längen

7.6.1

Definitionen
l D 3 .10 4/ D 4;50 m;

4
r10 4

2 x D

D

Eine gerichtete und orientierte Strecke bezeichnet man als Vek-

1

2 16

24;78 : : : m;

10
r
tor. Ein Vektor ist durch drei Größen bestimmt: Richtung,

10 4

Orientierung und Länge. Vektoren, die in diesen drei Größen

2 x D

D

2

16

12;39 : : : m:

J

10
übereinstimmen, sind gleich, unabhängig von ihrer Lage in der

Ebene oder im Raum (vgl. Abb. 7.31).

Eine Größe, die durch einen einzigen reellen Zahlenwert cha-

Beispiel 2
rakterisiert wird, heißt Skalar. Beispiele für Skalare sind Tem-
peratur, Arbeit, Masse, Energie.

Ein Stab mit den Drehlagern O und M und der Länge
j OM j D r ist um O drehbar. Um M dreht sich ein zweiter

Vektoren dagegen sind Größen, zu deren vollständiger Be-

Stab der Länge j MP j D s In der Ausgangsstellung liegen
schreibung neben einem Zahlenwert, ihrem Betrag (Länge des

M und P als M 0 und rechts davon P 0 auf der Grundrich-

Vektors), noch die Angabe ihrer Richtung und Orientierung
tungsachse OP 0. Während sich nun OM um den Winkel
erforderlich sind. Beispiele für Vektoren sind Kraft, Geschwin-

' nach links dreht, dreht sich MP relativ zu OM um 2'

digkeit, Beschleunigung, magnetische Feldstärke.

nach rechts (Abb. 7.30).

Vektoren werden meist mit kleinen lateinischen Buchstaben, die

Auf welcher Kurve bewegt sich P bei fortgesetzter Dre-

!

mit einem Pfeil versehen sind, bezeichnet: E
a D PQ (gesprochen:

hung?

Vektor a, Vektor PQ). Der Punkt P ist der Anfangspunkt und der

Die Lösung der Aufgabe erfolgt mit Hilfe der Parameter-

!

Punkt Q der Endpunkt des Vektors. Der Betrag jE
a j D j PQ j eines
darstellung der Ellipse: x D a cos ', y D b sin '

Vektors ist die Länge des Vektors, also die Länge der Verbin-

Man bestätigt: Aus cos ' D x und sin ' D y folgt durch
dungsstrecke PQ. Der Betrag ist eine nichtnegative reelle Zahl.

a
b

Quadrieren und Addieren wegen sin2 ' C cos2 ' D 1 die

Zwei Vektoren E
a und E
b sind gleich, in Zeichen E
a D E
b, wenn sie

Normalform x 2 C y 2 D 1 der Ellipsengleichung.

a 2
b 2
den gleichen Betrag und gleiche Richtung und gleiche Orientie-

In der vorliegenden Aufgabe ist a D r C s (halbe
rung haben. Vektoren dürfen daher parallel verschoben werden.

Länge der Hauptachse) und b D r s (halbe Län-

Gleiche Vektoren gehen durch Parallelverschiebung ineinander
ge der Nebenachse). Der Punkt P bildet mit A und B,
über.

den Schnittpunkten der Geraden OM mit dem Haupt-
und dem Nebenscheitelkreis (Kreise um O mit den Ra-
dien a und b/, ein rechtwinkliges Dreieck. Deshalb folgt
x D . r C s/ cos ', y D . r s/ sin ', die Parameterdarstel-
lung der Ellipse, die als Bahnkurve von P gesucht ist. Ihre

Normalform lautet
x 2

C y 2 D 1.

J

. r C s/2

. r s/2

Abb. 7.31 Gleiche Vektoren

138

7 Analytische Geometrie

Teil
a
a

I

2 a
b
a + b

Abb. 7.32 Vektoren E
a und 2E
a
a
b

Im Unterschied zu diesen sogenannten freien Vektoren haben

!

Ortsvektoren OP einen festen Anfangspunkt O. Ortsvektoren
können also nicht verschoben werden.

Abb. 7.33 Vektoraddition

Spezielle Vektoren

Der Nullvektor E

0 hat den Betrag 0 und unbestimmte Richtung.

Ein Vektor E e mit dem Betrag jE e j = 1 heißt Einheitsvektor. Man
a
a
bezeichnet Einheitsvektoren auch als normierte Vektoren.

a – b

7.6.2

Multiplikation eines Vektors mit einem

Skalar
b
b

Multipliziert man einen Vektor E
a mit einem Skalar (also einer
reellen Zahl) 2 R, dann erhält man einen Vektor E a mit dem

Betrag jE a j D jj jE a j (jj-facher Betrag des Vektors E a). Für

> 0 haben E a und E a gleiche Richtung und Orientierung, für Abb. 7.34 Vektorsubtraktion

< 0 haben E a und E a gleiche Richtung und entgegengesetzte

Orientierung (Abb. 7.32).

Multiplikation mit D 1 ergibt den Vektor E a. Dieser Vektor Zeichnet man ein Parallelogramm mit den Seiten E a und E b, so
hat den gleichen Betrag und die gleiche Richtung wie der Vektor
kann man die Diagonale als E
a C E
b oder als E
b C E
a auffassen. Die

E a, jedoch die entgegengesetzte Orientierung.

Addition von Vektoren ist also kommutativ.

7.6.3

Addition und Subtraktion zweier

Kommutativgesetz

Vektoren

E a C E b D E b C E a

Sollen zwei Vektoren E
a und E
b addiert werden, so bringt man
durch Parallelverschiebung den Anfangspunkt des Vektors E
b in

Auch das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz sind er-
den Endpunkt des Vektors E
a. Die Summe E
a CE
b ist dann derjenige
füllt.

Vektor, der vom Anfangspunkt von E
a zum Endpunkt von E
b führt

(Abb. 7.33).

Die Subtraktion zweier Vektoren E
a und E
b ist definiert als Addi-

Assoziativgesetz
tion von E
a und E
b (Abb. 7.34).

E a C .E b C E c/ D .E a C E b/ C E c D E a C E b C E c

E a E b D E a C .E b/

Distributivgesetz

Legt man die Anfangspunkte von E
a und E
b übereinander, dann ist

.E a C E b/ D E a C E b . 2 R/
der Vektor E
a E
b der Vektor vom Endpunkt von E
b zum Endpunkt
von E
a.

7.6

Vektoren

139
y
z
a 3

I
a 2
y

Teil
a

1
a
a
e

2

3

1
e 2

1
e 1 1
e
a

2

1
x
e 1

1
a
x

1

Abb. 7.36 Komponentendarstellung eines Vektors im Raum

Abb. 7.35 Komponentendarstellung eines Vektors in der Ebene

!

!

Der Betrag jE
a j D j PQ j, also die Länge des Vektors E
a D PQ, ist

7.6.4

Komponentendarstellung von Vektoren
die Entfernung zwischen den Punkten P und Q. Nach dem Satz
in der Ebene
des Pythagoras gilt:

Wählt man in einem kartesischen Koordinatensystem der Ebe-
q
ne einen Einheitsvektor E
e 1 mit Richtung und Orientierung wie
jE a j D
a 2 C a 2

1

2
die positive x-Achse und einen Einheitsvektor E
e 2 mit Richtung
und Orientierung wie die positive y-Achse, dann lässt sich jeder

Vektor E
a in der Ebene in eindeutiger Weise als Linearkombina-
tion der beiden sogenannten Basisvektoren E
e 1 und E
e 2 darstellen

(Abb. 7.35).

7.6.5

Komponentendarstellung von Vektoren
im Raum

E a D a E C

E

2

1 e 1
a 2 e 2;
a 1; a 2

R

Ganz analog wählt man in einem kartesischen Koordinatensys-
tem des Raums drei Einheitsvektoren E
e 1; E
e 2; E
e 3 mit Richtung und

Die beiden Vektoren a E

E

1 e 1 und a 2 e 2 werden durch Parallelen zu

Orientierung wie die positive x-Achse, die positive y-Achse und
den Basisvektoren E
e 1 und E
e 2 konstruiert.

die positive z-Achse. Dann lässt sich jeder Vektor E
a im Raum in

Der Vektor E
a D a E C

E
eindeutiger Weise als Linearkombination der drei Basisvektoren

1 e 1
a 2 e 2 wird identifiziert mit dem soge-
nannten Spaltenvektor

E
e 1; E
e 2 und E
e 3 darstellen (Abb. 7.36).

!

E
a 1

E

E C

E C

E

2 R
a D
a D a 1 e 1
a 2 e 2
a 3 e 3;
a 1; a 2; a 3
a 2

Die drei Vektoren a E

E

E

1 e 1, a 2 e 2 und a 3 e 3 werden durch Parallelen

Dabei heißen a 1 und a 2 die beiden Komponenten oder die karte-
zu den Basisvektoren E
e 1, E
e 2 und E
e 3 konstruiert.

sischen Koordinaten des Vektors E
a. Mit Hilfe der Komponenten

E C

E C

E
lassen sich Addition und Subtraktion von Vektoren sowie die

Der Vektor E
a D a 1 e 1
a 2 e 2
a 3 e 3 wird identifiziert mit dem

Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar folgendermaßen

Spaltenvektor
darstellen:

2 3

! !

!

a

6 17
a
b
a C b

E

1

1

1

1

E a D 4 a 5
a C E
b D

C

D

2
a

C

2
b 2
a 2
b 2
a 3

! !

!

E
a 1
b 1
a 1
b 1
a E
b D

D
a

2
b 2
a 2
b 2

Dabei heißen a 1, a 2, a 3 die Komponenten oder die kartesischen

!

!

Koordinaten des Vektors E
a.

E
a 1
a 1
a D

D

Mit Hilfe der Komponenten lassen sich auch im Raum Addition
a 2
a 2
und Subtraktion von Vektoren sowie die Multiplikation eines

Vektors mit einem Skalar darstellen:

140

7 Analytische Geometrie

Teil

2 3 2 3

2

3
a
b
a C b
b

I

1

1

1

1

E

6 7 6 7

6

7
a C E
b D 4 a

C

25 C 4 b 25 D 4 a 2
b 25
a

C

3
b 3
a 3
b 3

2 3 2 3

2

3
a
a

1
b 1
a 1
b 1

E

6 7 6 7

6

7

| b| cos( a, b)

a E
b D 4 a

25 4 b 25 D 4 a 2
b 25

| a|
a

3
b 3
a 3
b 3

2 3

2

3

Abb. 7.37 Skalarprodukt: E
a E
b D jE
aj jE
b j cos '

a 1
a 1

E

6 7

6

7
a D 4 a 25 D 4 a 25
a 3
a 3

Die folgenden Rechenregeln lassen sich aus der Definition ab-
leiten:

!

!

Der Betrag jE
a j D j PQ j, also die Länge des Vektors E
a D PQ, ist

1. E
a E
b D E
b E
a
die Entfernung zwischen den Punkten P und Q. Durch zweima-

2. . E a/ E b D E a . E b/ D .E a E b/
lige Anwendung des Satzes von Pythagoras errechnet man:

3. .E a C E b/ E c D E a E c C E b E c

4. E
a E
b D 0 , E
a?E
b (E
a und E
b stehen senkrecht aufeinander)

p
q

5. jE
a j D

E a E a.

jE a j D
a 2 C a 2 C a 2

1

2

3

So folgt zum Beispiel aus 4., nämlich dass E
a E
b D 0 genau für
zwei senkrecht aufeinanderstehende (man sagt auch orthogona-
le) Vektoren E
a und E
b gilt, dass genau dann der Winkel ' gleich

90° ist () cos ' D 0).

7.6.6

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt lässt sich entsprechend auch in der Ebene,

2 3

2 3
also für Vektoren mit zwei Komponenten, definieren.

a
b

6 17

6 17

Für die beiden Vektoren E
a D 4 a 25 und E b D 4 b 25 heißt
a

Beispiele

3
b 3

1. Das Skalarprodukt der Vektoren

2 3 2 3

2 3

2 3
a

2

4

1
b 1

6 7

6 7

E

6 7 6 7

E a D

a E
b D 4 a

C

C

4 3 5 und E b D 4 55 ist

25 4 b 25 D a 1 b 1
a 2 b 2
a 3 b 3

a

1

2

3
b 3

2 3 2 3

2

4

6 7 6 7

Skalarprodukt oder inneres Produkt. Das Skalarprodukt zwei-

E a E b D 4 3 5 455 D 2 4 C 3 .5/ C .1/ 2
er Vektoren ist kein Vektor, sondern eine reelle Zahl, also ein

1

2

Skalar. Geometrisch ist das Skalarprodukt das Produkt der Län-

D
ge des Vektors E
a und der Länge der senkrechten Projektion des

8 15 2 D 9:

Vektors E
b auf E
a, also, falls ' D †.E a; E b/ den Winkel zwischen E a

2. Gesucht ist der Winkel ', den die beiden Vektoren
und E
b bezeichnet (Abb. 7.37),

2 3

2 3

1

0

E

6 7

6 7
a D 415 und E b D 415 miteinander einschließen.

E

0

1
a E
b D jE
a j jE
b j cos '

Es gilt E
a E
b D 1 0 C 1 1 C 0 1 D 1 und jE
a j D jE
b j D
p
p

1 C 1 D

2. Somit folgt cos ' D E aE b D

1
p p D
jE

Für den Winkel ' D †.E a; E b/ gilt somit:

a jjE
b j

2 2

1 ) ' D 60ı.

2

3. Für welchen Wert von c sind die beiden Vektoren

2 3

2 3

2

1

E a E b

C a

C

6 7

6 7

2 b 2
a 3 b 3
cos ' D

D
a 1 b 1
q
q

E a D 4 3 5 und E b D 425 orthogonal?

jE a j jE b j
a 2 C a 2 C a 2
b 2 C b 2 C b 2

1

2

3

1

2

3

4
c

7.6

Vektoren

141
a × b

I

Für das Skalarprodukt gilt

2 3 2 3

2

1

Teil

E

6 7 6 7
a E
b D 4 3 5 425

4
c

D 2 C 6 4 c D 8 4 c D 0

)

c D 2:

b
f

Für c = 2 stehen die Vektoren E
a und E
b also senkrecht
aufeinander.

J
a

Abb. 7.38 Vektorprodukt E
a E
b der Vektoren E
a und E
b

7.6.7

Vektorprodukt

2 3

2 3
a
b

Zur Probe kann man etwa Eigenschaft 5. benutzen: Es

6 17

6 17

Sind E
a D 4 a 25 und E b D 4 b 25 zwei Vektoren im Raum, so
muss .E a E b/ E a D 0 (und auch .E a E b/ E b D 0) gelten:

a 3
b 3

2 3 2 3
heißt der Vektor

1

1

.E

6 7 6 7
a E
b/ E a D 485 4 2 5 D 1 16 C 15 D 0: J

2 3 2 3

2

3

5

3
a

1
b 1
a 2 b 3
a 3 b 2

E

6 7 6 7

6

7
a E
b D 4 a

25 4 b 25 D 4 a 3 b 1
a 1 b 35
a

3
b 3
a 1 b 2
a 2 b 1

7.6.8

Spatprodukt

Vektorprodukt oder Kreuzprodukt oder äußeres Produkt der

Vektoren E
a und E
b. Das Vektorprodukt ist im Unterschied zum

Skalarprodukt nur im Raum definiert (Abb. 7.38).

Sind E
a; E b und E c drei Vektoren im Raum, so heißt der Skalar

Das Vektorprodukt besitzt folgende Eigenschaften:

1. E
b E
a D E
a E
b

.E a E b/ E c

2. E
a E
b D E

0, falls E
a D E

0 oder E
b D E

0 oder E
a parallel zu E
b

3. .E a/ E b D E a .E b/ D .E a E b/

4. .E a C E b/ E c D E a E c C E b E c

Spatprodukt. Aus der geometrischen Interpretation des Skalar-

5. E
a E
b steht senkrecht auf den Vektoren E
a und E
b
produkts folgt, dass .E a E b/ E c gleich dem Produkt aus der Länge

6. jE
a E
b j D jE
a j jE
b j sin ' D jE a j jE b j sin †.E a E b/
von E
a E
b und der Länge der Projektion von E c auf E
a E
b ist. Da

ˇ

ˇ

7. E
a, E
b, E
a E
b bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem

ˇĚ ˇ
a E
bˇ gleich dem Flächeninhalt des von E a und E b aufgespannten

Der Vektor E
aE
b steht also senkrecht auf E
a und auf E
b. Sein Betrag

(seine Länge) ist gleich dem Flächeninhalt des von den beiden

Parallelogramms ist, stellt .E a E b/ E c das Volumen des von den

Vektoren E
a und E
b aufgespannten Parallelogramms. Falls E
a auf

Vektoren E
a; E b; E c aufgespannten Spates dar, falls die Vektoren ei-
ne Lage wie in Abb. 7.39 haben. Spat ist ein anderer Name für
dem kürzesten Weg nach E
b gedreht wird, zeigt E
a E
b in Richtung

Parallelepiped oder Parallelflach. Zeigt E c nach unten, so ist das
der Bewegung einer Schraube mit Rechtsgewinde.

Spatprodukt negativ, und es ist dem Betrage nach das Volumen
des Spates.

Beispiel

2 3

2 3

Mit der abkürzenden Schreibweise

1

2

6 7

6 7

Für die Vektoren E
a D 4 2 5 und E b D 4 1 5 ergibt sich

3

2

2 3

ŒE a; E b; E c D .E a E b/ E c

1

6 7
für das Vektorprodukt E
a E
b D 485.

5
für das Spatprodukt können einige Eigenschaften des Spatpro-
dukts formuliert werden:

142

7 Analytische Geometrie

Teil
a × b

4. ŒE a; E b; E c D 0 , E a; E b; E c liegen in einer Ebene (man sagt dann:

: E
a; E b; E c sind linear abhängig)

I

5. ŒE a; E b; E c > 0 , E a; E b; E c bilden ein Rechtssystem

6. Das Volumen V des von den Vektoren E
a; E b; E c gebildeten Te-
traeders ist
c

V D 1 ŒE a; E b; E c

6
b
a

Beispiel

Abb. 7.39 Geometrische Veranschaulichung des Spatprodukts

Das Volumen V des von den Vektoren

2 3

2 3

2 3

1.

2

3 2 3

1

2

1

6 7

6 7

6 7
a

2 b 3
a 3 b 2
c 1

E a D 4 0 5, E b D 415, E c D 415

ŒE

6

7 6 7
a; E b; E c D .E a E b/ E c D 4 a

3 b 1
a 1 b 35 4 c 25

1

1

2
a

1 b 2
b 1 a 2
c 3
aufgespannten Tetraeders beträgt

D c

1. a 2 b 3
a 3 b 2/ c 2. a 3 b 1
a 1 b 3/

C c

3. a 1 b 2
b 1 a 2/

V D 1 jŒE a; E b; E cj

6

2. Eine zyklische (kreisförmige) Vertauschung der Vektoren

D 1 j.E a E b/ E c j
ändert das Spatprodukt nicht:

6 ˇˇ2 3 2 3ˇ

ˇ 1

1 ˇˇ

ŒE a; E b; E c D ŒE b; E c; E a D ŒE c; E a; E b

D 1 ˇˇ6

4 7 6 7ˇ

35 415ˇ

6 ˇˇ

ˇ

1

2 ˇ

3. Das Spatprodukt ändert das Vorzeichen (bei gleichem Be-
trag), falls zwei Vektoren miteinander vertauscht werden:

D 1 j6j D 1 6 D 1:

J

6

6

ŒE b; E a; E c D ŒE c; E b; E a D ŒE a; E c; E b D ŒE a; E b; E c

I

Differential- und Integral-

Teil

8
rechnung

Arnfried Kemnitz

8.1

Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

8.2

Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8.3

Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

8.4

Ableitung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

8.5

Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.6

Funktionenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

143

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_8

144

8 Differential- und Integralrechnung

Teil

8.1

Folgen

Monotone Folgen

I

Eine Folge . an/ heißt

8.1.1

Grundbegriffe
monoton wachsend, wenn
a

1
a 2
a 3

: : : an

: : : gilt,

Eine Folge besteht aus Zahlen einer Menge, die in einer be-
streng monoton wachsend, wenn
stimmten Reihenfolge angeordnet sind:

a 1 < a 2 < a 3 < : : : < an < : : : gilt,
monoton fallend, wenn
a

1
a 2
a 3

: : : an

: : : gilt,
streng monoton fallend, wenn
a 1; a 2; a 3; : : : ; an; : : :

a 1 > a 2 > a 3 > : : : > an > : : : gilt.

Die Folgen der Beispiele 1 bis 4 und 7 sind streng monoton

Sind alle diese Zahlen reelle Zahlen, dann nennt man die Folge
wachsend, die Folge aus Beispiel 6 ist streng monoton fallend.

auch reelle Zahlenfolge. Die Zahlen der Folge heißen Glieder
der Folge.

Alternierende Folgen

Handelt es sich um endlich viele Zahlen, so heißt die Folge end-
lich, andernfalls unendliche Folge.

Eine alternierende Folge ist eine Folge, deren Glieder abwech-
selnd unterschiedliche Vorzeichen haben. Von zwei aufeinander

Eine unendliche Folge lässt sich auch als Funktion (Abbildung)

folgenden Gliedern ak und ak C1 einer solchen Folge ( an) ist also
definieren:

genau ein Glied positiv und eins negativ.

Die Folge aus Beispiel 5 ist alternierend.

f W N ! R;
n 7! f . n/ D an

Beschränkte Folgen

Unter den Gliedern einer Folge können auch gleiche Zahlen auf-

Eine Folge ( an) heißt
treten.

nach oben beschränkt, wenn es eine konstante Zahl Ko gibt,

Eine Folge kann durch direkte Angabe ihrer Glieder oder auch
so dass für alle Glieder a
n

Ko gilt,
durch einen arithmetischen Ausdruck gegeben sein. Ein solcher
nach unten beschränkt, wenn es eine konstante Zahl Ku gibt,
arithmetischer Ausdruck kann entweder eine explizite Formel
so dass für alle Glieder a
n

Ku gilt,
für das Folgenglied an oder eine rekursive Definition sein. Bei
beschränkt, wenn die Folge sowohl nach oben als auch nach
einer Rekursion wird an durch Folgenglieder mit kleineren In-
unten beschränkt ist, wenn es also zwei Zahlen Ku, Ko gibt
dizes definiert.

mit K

u
an

Ko für alle n 2 N.

Gleichwertig damit ist, dass es eine Konstante K > 0 mit
j a j
n

K für alle n gibt.

Schreibweise von Folgen

Monoton wachsende und streng monoton wachsende Folgen

. an/ D . a 1; a 2; a 3; : : :/
sind nach unten beschränkt, monoton fallende und streng mo-
noton fallende Folgen sind nach oben beschränkt.

Eine konstante Folge ( a

Die Folgen der Beispiele 1, 3, 5, 6 und 7 sind beschränkt, die
n) ist eine Folge mit . an/ D . a; a; a; : : :).

Folgen der Beispiele 2 und 4 sind nach unten beschränkt.

Beispiele

1. . an/ D .1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10/

8.1.2

Arithmetische Folgen

2. . an/ D . n/ D .1; 2; 3; 4; : : :/

3. . an/ D .3 1 / D .1; 2; 5 ; 11 ; 23 ; : : :/

2 n2

2

4

8

4. . an/ D .4 C 3. n 1// D .4; 7; 10; 13; : : :/

Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz je zweier auf-

5. . an/ D ..1/ n C1/ D .1; 1; 1; 1; 1; : : :/
einanderfolgender Glieder konstant. Durch das Anfangsglied

6. . a

D
n/ D . 1 / D .1; 1 ; 1 ; 1 ; : : :/
a
a und diese Differenz d ist die Folge dann eindeutig be-
n

2

3

4

1

7. . a

D

D 1
stimmt.

n/ mit a 1

0, an C1

.1 C a

2
n/ für n 2 N , also

. an/ D .0; 1; 3; 7; 15; : : :/

J

2

4

8

16

. an/ D . a; a C d; a C 2 d; a C 3 d; : : : ; a C . n 1/ d; : : :/

Die erste Folge ist endlich, alle anderen sind unendlich. Die ers-
te Folge ist durch Angabe ihrer Glieder definiert, die letzte Folge
ist rekursiv definiert und alle anderen durch eine explizite For-

Das n-te Glied einer arithmetischen Folge lautet a

D
n
a C
mel.

. n 1/ d, n 2 N. Das Glied a D

1
a nennt man Anfangsglied

8.1

Folgen

145
der Folge und d D a

n C1
an (für n D 1; 2; 3; : : :) die (konstan- Exakte Definition:

I
te) Differenz der Folge. In einer arithmetischen Folge ist jedes

Die Folge . a

D a, wenn sich nach

Folgenglied a
n/ besitzt den Grenzwert an
n ( n 2) das arithmetische Mittel seiner Nachbar-

Vorgabe einer beliebig kleinen positiven Zahl " ein n 2

0

N so
glieder.

Teil
finden lässt, dass für alle n n 0 gilt

Beispiele
j a a j
n < "

1. . an/ D . n/ D .1; 2; 3; 4; : : :/ (arithmetische Folge mit
a D 1 und d D 1)

2. . an/ D .4 C 3. n 1// D .4; 7; 10; 13; : : :/ (arithmeti-

Das n

D

0 hängt offensichtlich von der Wahl von " ab, also n 0
sche Folge mit a D 4 und d D 3)

J
n 0."/.

Besitzt ( an/ den Grenzwert a, so sagt man, dass . an/ gegen a
konvergiert. Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt, heißt kon-
vergent. Eine Folge, die keinen Grenzwert besitzt, heißt dagegen
divergent.

8.1.3

Geometrische Folgen

Eine Folge besitzt höchstens einen Grenzwert.

Eine Nullfolge ist eine Folge, die den Grenzwert 0 besitzt.

Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient je zweier auf-
einanderfolgender Glieder konstant. Durch das Anfangsglied

Beispiel
a D

1
a und diesen Quotienten q ist die Folge dann eindeutig
bestimmt.

1. Die Folge . a

D 1
n/ mit an

10 n hat den Grenzwert a D 0,
denn die Differenz j a a j D j
j D 1
n

0 1

10 n

10 n wird für

.

große n beliebig klein. Wählt man etwa " D 1 , so
a

1010
n/ D . a; aq; aq 2; aq 3; : : : ; aqn1; : : :/
gilt j a a j

D
n < " für n 11. Es gilt also lim n!1 an
lim

1

D
n!1

0.

10 n

Die Folge . an/ ist somit eine Nullfolge.

J

Das n-te Glied einer geometrischen Folge lautet a D
n
aqn1,
n 2 N. Das Glied a D

1
a nennt man Anfangsglied der Folge
und q D an C1 (für n D 1; 2; 3; : : :) den (konstanten) Quotienten
an

Konvergente Folgen sind beschränkt. Eine beliebige Folge kann
der Folge. In einer geometrischen Folge ist jedes Folgenglied
also nur konvergent sein, wenn sie beschränkt ist.

an ( n 2) das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder (bis
eventuell auf das Vorzeichen).

Es gilt folgendes Konvergenzkriterium:

Eine monotone und beschränkte Folge ist stets konvergent.

Beispiele

Für konvergente Folgen gelten verschiedene Rechenregeln:

1. . an/ D .3 2 n1/ D .3; 6; 12; 24; : : :/ (geometrische

Folge mit a D 3 und q D 2)

lim . a C

C
n
bn/ D lim an
lim bn

2. . an/ D .2 n/ D . 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; : : :/ (geometrische Folge
n!1
n!1
n!1

2

4

8

16
mit a D 1 und q D 1 )

J

2

2
lim . a

n
bn/ D lim an
lim bn
n!1
n!1
n!1
lim . a

n
bn/ D lim an lim bn
n!1
n!1
n!1
an
lim

D lim n!1 an ;

8.1.4

Grenzwert einer Folge
n!1 bn
lim n!1 bn
falls b ¤

¤
n

0 und lim bn

0
n!1

Man sagt, die Folge ( an) besitzt den Grenzwert (oder auch Limes
genannt) lim

D
n!1 an
a oder . an/ ! a (gesprochen: Limes an
gleich a/, wenn die Abweichung j a a j
n
der Folgenglieder an

Beispiele
von diesem Wert a für genügend große n beliebig klein wird.

2. lim

D

1 D
n!1 an
lim n!1

0
n

3. lim

D
n

D
n!1 an
lim n!1

1

Grenzwert (Limes)

n C1

4. lim

D
n!1 an
lim n!1.3 1 / D 3

2 n2
lim a D
n
a
oder. an/ ! a

5. lim

D lim

/ n D 0

J
n!1
n!1 an
n!1. 1

2

146

8 Differential- und Integralrechnung

Teil

Die Folge aus Beispiel 5 ist eine geometrische Folge. Es gilt:

Monoton (streng monoton) wachsende und nicht beschränkte

Folgen . a

D 1.

Jede geometrische Folge mit a

D aqn1 konvergiert gegen
n/ sind bestimmt divergent mit lim n!1 an

I
n

Null, wenn j q j, der Betrag von q, kleiner als 1 ist.

Monoton (streng monoton) fallende und nicht beschränkte Fol-
gen . a

D 1
n/ sind bestimmt divergent mit lim n!1 an

.

8.1.5

Einige Grenzwerte

Beispiele

Für einige wichtige konvergente Zahlenfolgen sind im Folgen-

1. lim n!1 n D 1
den ihre Grenzwerte angegeben.

(denn . an/ D . n/ ist streng monoton wachsend und
p
nicht beschränkt)

lim n q D 1

. q > 0/

2. lim
n!1 p
n!1 . n 3/ D 1

(denn . a
lim n n D 1
n/ D . n 3/ ist streng monoton fallend und
n!1

(
nicht beschränkt)

c
cr

3. lim n!1 2 n C2 D 1
r nr C cr1 nr1 C : : : C c 1 n C c 0
für r D s
lim

D dr

(denn . an/ D .2 n C2/ ist streng monoton wachsend und
n!1 dsns C ds1 ns1 C : : : C d 1 n C d 0

0
für r < s
nicht beschränkt)

. c

2

¤

¤

4. . a

0; c 1; : : : ; cr; d 0; d 1; : : : ; ds

R; cr

0; ds

0/
n/

D ..3/ n/ D ..1/ n 3 n/ ist unbestimmt
log n
divergent

J
lim
a

D 0 . a > 0; a ¤ 1/
n!1
n
lim qn D 0

.j q j < 1/
n!1

Die Folge aus Beispiel 1 ist eine arithmetische Folge. Es gilt:

lim nqn D 0

.j q j < 1/
n!1

Jede arithmetische Folge ist divergent, denn die Differenz zwei-
an
er aufeinanderfolgender Glieder ist stets d.

lim

D 0 . a 2 R/
n!1 nŠ

Für positive Werte von d werden die Glieder an der Folge ab
n
einer Stelle größer als jede beliebig große Zahl. Für negative
lim 1 C 1

D e D 2;7182818284:: :

n!1
n

Werte von d werden die Glieder an dagegen ab einer Stelle
kleiner als jede vorgegebene beliebig kleine Zahl. Jede arith-
metische Folge ist also bestimmt divergent.

8.1.6

Divergente Folgen

Die Folgen aus den Beispielen 3 und 4 sind geometrische Fol-
gen. Es gilt:

Eine Folge, die keinen Grenzwert besitzt, heißt divergent. Bei

Jede geometrische Folge mit a D aqn1 ist divergent, wenn
divergenten Folgen unterscheidet man zwischen bestimmter und
n
der Betrag j q j größer als 1 ist, und zwar für q > 1 bestimmt
unbestimmter Divergenz.

divergent und für q < 1 unbestimmt divergent.

Eine Folge . an/ heißt bestimmt divergent gegen C1, wenn zu
jeder beliebig großen vorgegebenen Zahl K ein Index n 0 exis-
tiert, so dass an > K für alle Indizes n n 0 gilt. Eine solche 8.2 Reihen
bestimmt divergente Folge wächst für n ! 1 über alle Gren-
zen. Man schreibt dann

8.2.1

Definitionen
lim a D 1
n
n!1

Eine Reihe ist die Summe der Glieder einer Folge (Zahlenfolge)

. an/.

Eine Folge . an/ heißt dagegen bestimmt divergent gegen 1,
wenn zu jeder noch so kleinen vorgegebenen Zahl K ( K > 0)

a C a C : : : C a C : : :

ein Index n

1

2
n

0 existiert, so dass an < K für alle Indizes n n 0
gilt. Eine solche bestimmt divergente Folge fällt für n ! 1
unter alle Grenzen. Man schreibt dann

Ist die Folge endlich, so nennt man auch die Reihe endlich. Für
unendliche Folgen ergeben sich unendliche Reihen.

lim a D 1
n
n!1

1

X
a C

C

C

1
a 2

: : : C an

: : : D
ak

Eine Folge, die nicht konvergent und nicht bestimmt divergent
k D1
ist, heißt unbestimmt divergent.

8.2

Reihen

147

Das Zeichen 1 bedeutet dabei, dass die Reihe nicht abbricht.

I

Sie besteht aus unendlich vielen Summanden. Die Zahlen an,
also die Summanden, heißen auch Glieder der Reihe.

Teil

Beispiele

1

1

1

P

2

4

8

1.

10

2 k D 21 C 22 C 23 C : : : C 210 D 2 C 4 C 8 C
k D1

: : : C 1024 (endliche Reihe)

P1

2.

3 k D 3 C 32 C 33 C : : : C 3 n C : : : (unendliche
k D1 k

2

3
n

Reihe)

J

Abb. 8.1 Zur Konvergenz der Reihe 1 C 1 C 1 C : : :

Folgende Summen heißen Teilsummen oder Partialsummen der

2

4

8

Reihe:

Für konvergente Reihen gelten verschiedene Rechenregeln:

P1

P1

Konvergieren die Reihen
a
b
k D1
k und
k D1
k, so konvergieren

P1

P1
s D
auch die Reihen

. a C b
c a

1
a 1;
k D1
k
k/ und
k D1
k, c 2 R, und es
gilt
s D

C

2
a 1
a 2;

: : : ;
n

X
s D

C

C

C

D
n
a 1
a 2
a 3

: : : C an
ak;

: : :

1

X

1

X

1

X
k D1

. a C b
a C
b
k
k/ D
k
k
k D1
k D1
k D1

1

X

1

X

Man spricht von einer konvergenten unendlichen Reihe, wenn
c a D
k
c
ak
die Folge . sn/ der Partialsummen konvergiert, also einen Grenz-
k D1
k D1
wert s besitzt.

Beispiele

1

X
s D lim s D

3.

n
ak
n!1

6

X
k D1
k 2 k D 2 C 2 22 C 3 23 C 4 24 C 5 25 C 6 26
k D1

D 2 C 8 C 24 C 64 C 160 C 384 D 642

Dieser Grenzwert s heißt die Summe der Reihe. Eine unendli-
che Reihe ist also genau dann konvergent, wenn die Folge der

4.

Partialsummen konvergiert.

1

X

1 k D 1 C 1 C 1 C 1 C ::: D 1

Besitzt die Folge der Partialsummen keinen Grenzwert, dann

2

2

4

8

16
k D1
heißt die unendliche Reihe divergent. In diesem Fall können die

Partialsummen unbegrenzt wachsen oder oszillieren (die Folge

Dass diese unendliche Reihe die Summe 1 hat, kann
der Partialsummen ist alternierend).

man sich dadurch klarmachen, dass man ein Qua-
drat mit der Fläche 1 fortgesetzt halbiert (Abb. 8.1).

Die unendliche Reihe heißt bestimmt divergent, wenn die Folge

Die entstehenden Rechtecke haben die Flächeninhalte

. s

1
n/ der Partialsummen bestimmt divergent ist. Ist die Folge der

; 1; 1; : : :; 1 ; : : : , und ihre Summe ist offensicht-

2

4

8

2 n

Partialsummen unbestimmt divergent, so heißt auch die unend-
lich 1, der Flächeninhalt des Quadrats (vgl. auch
liche Reihe unbestimmt divergent.

Abschn. 8.2.3).

5.

Die Frage nach der Konvergenz einer unendlichen Reihe wird

1

X
somit auf die Frage nach der Existenz eines Grenzwertes der
k D 1 C 2 C 3 C : : : C n C : : :

Folge . s
k D1
n/ der Partialsummen zurückgeführt.

Die Folge der Glieder . a

Diese unendliche Reihe ist bestimmt divergent, denn
n/ einer konvergenten Reihe muss
gegen Null konvergieren, also eine Nullfolge sein. Diese Bedin-
die Folge . an/ D . n/ ist bestimmt divergent (Ab-
gung ist notwendig, sie reicht jedoch für die Konvergenz einer
schn. 8.1.6).

unendlichen Reihe nicht aus (vgl. Abschn. 8.2.4).

148

8 Differential- und Integralrechnung

Teil
man diese beiden Ausdrücke für sn untereinander und addiert

6.

jeweils die beiden übereinanderstehenden Terme, so folgt

I

1

X .1/ k D 1C11C11C1:::

s D

C

C

C

C
n
a 1

. a 1
d/ C . a 1

2 d/ C : : : C . a 1

. n 1/ d/
k D1
s D

C

n
an

. an d/ C . an 2 d/ C : : : C . an . n 1/ d/

Für die Partialsummen gilt

(
und daraus 2 s

D

C
n
n. a 1
an/, denn jede dieser Summen ist

C

0
falls n gerade ist
a 1
an, und es gibt insgesamt n solcher Summen. Es folgt:

s D
n

1 falls n ungerade ist
n

Die unendliche Reihe ist unbestimmt divergent.

X
n
s D

. a C . k 1/ d/ D . a C a

7.

n

1
n/

2

1

X

1
k D1

D 1 C 1 C 1 C 1 C : : :

k. k C 1/

1 2

2 3

3 4

4 5
k D1

Die Summe einer endlichen arithmetischen Reihe mit n Sum-

Aus a D

1

D 1 1
k
folgt
manden ist also die Summe des ersten und des letzten Glieds
k. k C1/
k
k C1
multipliziert mit der halben Anzahl der Summanden.

n

X

1
s D

D

C

1
n
ak

1 1

2

2

3

Beispiele
k D1

P

C 1 1 C : : : C 1 1

1.

10

.3 C . k 1/5/ D 10.3 C 48/ D 255
k D1

3

4
n
n C 1

2

P

2.

100 k D 50.1 C 100/ D 5050
k D1

D 1

1

P100
n C 1

3.

.3 C 4 k/ D 100.7 C 403/ D 50 410 D
k D1

2

20:500

J

Wegen s D

D
n

.1 1 / D 1 1

1 ist die gegebe-
n C1
n C1
ne Reihe konvergent mit dem Grenzwert 1:

Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen zum Beispiel lässt

1

X

1

D
sich hiermit für beliebiges (beliebig großes) n sehr einfach aus-

1
k. k C 1/
rechnen (vgl. Beispiel 2).

k D1

P1

8.

k C1 ist nicht konvergent, denn die Glieder a D
k D1 3 k C2
k
k C1
bilden wegen lim

D lim
n C1

D 1

3 k C2
n!1 an
n!1 3 n C2

3

8.2.3

Geometrische Reihen
keine Nullfolge.

J

Eine geometrische Reihe entsteht aus den Gliedern einer geo-
metrischen Folge. Die Summe sn einer endlichen geometrischen

P

Reihe
n
aqk1 ergibt sich für q ¤ 1 aus folgender Rech-
k D1

8.2.2

Arithmetische Reihen
nung:

s D
n
a C aq C aq 2 C : : : C aqn1

Eine arithmetische Reihe entsteht aus den Gliedern einer arith-
qs D
n
aq C aq 2 C : : : C aqn1 C aqn
metischen Folge. Da schon jede unendliche arithmetische Folge
divergiert, ist auch jede unendliche arithmetische Reihe diver-

Zieht man die zweite Gleichung von der ersten ab, so folgt s
gent. Da unendliche arithmetische Folgen bestimmt divergent
n
qs

D a aqn und somit für die Summe s
sind (Abschn. 8.1.6), sind auch unendliche arithmetische Rei-
n
n einer endlichen
geometrischen Reihe mit q ¤ 1:

hen bestimmt divergent.

Die

Summe
sn
einer
endlichen
arithmetischen

Reihe

P n . a C . k 1/ d/ lässt sich jedoch allgemein berech-
n
k D1

X

1 qn
nen. Wegen a

D

D

C

C

C

D

.

1
a folgt sn
a 1

. a 1
d/ C . a 1
sn
aqk1 D a
q ¤ 1/

1 q

2 d/ C : : : C . a C

1

. n 1/ d/. Dreht man die Reihenfolge
k D1
der Summanden um und beachtet, dass die Differenz zweier
aufeinanderfolgender Glieder gleich d ist, so folgt andererseits
s D

C

D
n
an

. an d/ C . an 2 d/ C : : : C . an . n 1/ d/. Schreibt Für q D 1 gilt sn
n a.

8.2

Reihen

149

Beispiele

Die unendliche harmonische Reihe ist bestimmt divergent, wie

I
folgende Rechnung zeigt:

P

1.

5

2 k1 D 125 D 31
k D1

12

1

X 1

Teil

P

2.

10

3 5 k1 D 3 1510 D 3 9:765:624 D 7:324:218

D 1 C 1 C 1 C 1 C 1 C 1 C 1 C 1
k D1

15

4

P
k

2

3

4

5

6

7

8
k D1

3.

100 3 k D 3 13100 D 3 .31001/

J
k D1

13

2

C 1 C 1 C 1 C 1 C 1 C 1 C 1 C 1

9

10

11

12

13

14

15

16

C 1 C : : :

Die Summe s D

17
n
a 1 qn ist für q ¤ 1 das n-te Glied der Fol-

1 q

1

1
ge der Partialsummen. Die Größen a und q sind Konstanten, die

D 1 C 1 C

C 1 C

C 1 C 1 C 1

Konvergenz der Folge hängt nur von der Größe 1 qn ab. Für

2

3

4

5

6

7

8

q > 1 und q 1 divergiert die Folge . qn/, die geometrische

C 1 C 1 C 1 C 1 C 1 C 1 C 1 C 1

Reihe ist dann also ebenfalls divergent. Für q 1 ist die unend-

9

10

11

12

13

14

15

16
liche geometrische Reihe bestimmt divergent, für q 1 ist sie
unbestimmt divergent.

C 1 C : : :

17

Für j q j < 1 wird j q j n D j qn j beliebig klein, wenn n nur groß

> 1 C 1 C 1 C 1 C 1 C 1 C 1
genug gewählt wird, das heißt, es gilt qn D 0. Für j q j < 1

2

4

4

8

8

8

8

konvergiert deshalb die Folge ( qn/, es gilt dann .1 qn/ D 1

1
qn D 1. In diesem Fall konvergiert die unendliche geometrische

C

C 1 C 1 C 1 C 1 C 1 C 1 C 1

16

16

16

16

16

16

16

16

Reihe und hat den Grenzwert

C 1 C : : :

32

1

X

D 1 C 1 C 1 C 1 C 1 C : : :

2

2

2

2

2
s D lim s D
n
aqk1
n!1

P
k D1

1

Die unendliche Reihe

1 ist eine arithmetische Reihe (mit
k D1 2
d D 0) und deshalb bestimmt divergent. Somit folgt

D
qn 1
lim a
n!1
q 1

1

D
a

.j

X
q j < 1/

1

1 q

D C1
k
k D1

Beispiele

Die harmonische Reihe ist bestimmt divergent, obwohl die Glie-
der der Reihe eine Nullfolge bilden.

P1

4.

5 . 11 / k1 D

5

D 60 ( a D 5, q D 11 )

k D1

12

Die unendliche alternierende harmonische Reihe ist dagegen

1C 11

23

12

12

P
konvergent.

1

1

5.

. 1/ k D 2 D 1 ( a D q D 1)

k D1

2

1 1

2

2

P1

6.

3. 4 / k1 D 3 D 15 ( a D 3, q D 4 )

J

Beispiele
k D1

5

1 4

5

5

P

1.

6

1 D 1 C 1 C 1 C 1 C 1 C 1
k D1 k

2

3

4

5

6

(endliche harmonische Reihe)

P1

2.

.1/ k C1 1 D 1 1 C 1 1 C : : : C .1/ n C1 1 C
k D1
k

2

3

4
n

: : : D ln 2

(unendliche alternierende harmonische Reihe)

J

8.2.4

Harmonische Reihen

P

P

Ist . a
n

D
n

1
n/ D . 1 /, so nennt man
a
endliche
n
k D1
k
k D1 k

P1

P1
harmonische Reihe und
a D

1 unendliche harmo-
k D1
k
k D1 k

8.2.5

Alternierende Reihen
nische Reihe.

Ist . an/ D ..1/ n C1 1 /, dann heißt die Reihe alternierende har-

Ist . a
n
n/ eine alternierende Folge, also eine Folge, deren Glieder
monische Reihe.

abwechselnd unterschiedliches Vorzeichen haben, dann nennt

150

8 Differential- und Integralrechnung

T

P

P1
eil
man
n
a
a

Exakte Definition: Die Funktion y D f . x/ besitzt an der Stelle
k D1
k eine endliche alternierende Reihe und
k D1
k ei-
ne unendliche alternierende Reihe.

x D a den Grenzwert lim x! a f . x/ D A, wenn sich nach Vorgabe

I
einer beliebig kleinen positiven Zahl " eine zweite positive Zahl

Beispiele
ı D ı."/ so finden lässt, dass für alle x mit j x a j < ı."/ gilt
j

P
f . x/ A j < " eventuell mit Ausnahme der Stelle a.

1.

10

.1/ kk D 1C23C45C67C89C10
k D1

P

Der Unterschied j f . x/ A j zwischen den Funktionswerten und

1

2.

.1/ k C1
k D1
k

(
dem Grenzwert wird kleiner als jede beliebig vorgegebene posi-

P

0
für gerades n
tive Zahl ", wenn die x-Werte sich um weniger als eine passend

3.

n

.1/ k D
k D1

1 für ungerades n

J
gewählte, von " abhängige Zahl ı D ı."/ vom Wert a unter-
scheiden, wenn also 0 < j x a j < ı."/ gilt.

Besitzt die Funktion y D f . x/ an der Stelle x D a den Grenzwert

Für alternierende Reihen gibt es ein einfaches Kriterium, mit
lim
dem sich die Konvergenz der Reihe untersuchen lässt:

x! a f . x/ D A, so sagt man auch, der Grenzwert lim x! a f . x/

P
existiert und ist gleich A.

1

Eine alternierende Reihe
a
j), also die Folge
k D1
k, bei der (j an
der Beträge der Glieder, eine monoton fallende Nullfolge bildet,
ist stets konvergent (Leibniz’sches Konvergenzkriterium).

Beispiele

Beispiel

1. Die Funktion y D f . x/ D x 3 hat für x ! 0 den Grenz-
wert A D 0: lim

P
x!0 x 3 D 0. Soll etwa j x 3 0j, der

1

4.

.1/ k C1 1 D 1 1 C 1 1 C: : :C.1/ n C1 1 C: : :

Unterschied zwischen y D x 3 und A D 0, kleiner als
k D1
k

2

3

4
n

" D

Die alternierende harmonische Reihe ist konver-

0;000001 sein, so ist dies erfüllt, wenn man für
ı D ı."/ <
gent nach dem Leibniz’schen Konvergenzkriteri-

0;01 wählt, denn .102/3 D 106. p"

um, denn die Folge der Beträge der Glieder, also

Für ein beliebiges positives " erfüllt ı."/ < 3
die

.j.1/ n C1 1j/ D . 1/, ist monoton fallend und eine
geforderte Bedingung.

n
n

Nullfolge.

J

2. Die Funktion y D f . x/ D 2 x 2C5 x ist an der Stelle x D 0

3 x
nicht definiert, da für x D 0 der Nenner Null ist. Es gilt

2 x 2 C 5 x

2 x C 5
lim f . x/ D lim

D lim

8.3

Grenzwerte von Funktionen
x!0
x!0

3 x
x!0

3

(Kürzen durch x ¤ 0) und weiter wegen der Rechen-

8.3.1

Grenzwert an einer endlichen Stelle
regeln für Grenzwerte (Abschn. 8.3.4)

Die Funktion y D f . x/ besitzt an der Stelle x D a den Grenzwert
lim f . x/ D 2 lim x C 5 D 5 :

lim
x!0

3 x!0

3

3
x! a f . x/ D A oder f . x/ ! A für x ! a (gesprochen: Limes
f . x/ gleich A für x gegen a), wenn sich die Funktion f . x/ bei

Die Funktion y D f . x/ besitzt an der Stelle x D 0 den
unbegrenzter Annäherung von x an a unbegrenzt an A nähert.

Grenzwert 5 .

J

Die Variable x nähert sich a unbegrenzt an, es gilt jedoch stets

3
x ¤ a. Die Funktion f . x/ muss an der Stelle x D a den Wert A
nicht annehmen und braucht an dieser Stelle auch nicht definiert
zu sein (Abb. 8.2).

8.3.2

Einseitige Grenzwerte

Grenzwert
lim f . x/ D A oder f . x/ ! A für x ! a
x! a

Die Funktion y D f . x/ besitzt an der Stelle x D a den linksseiti-
gen Grenzwert A, wenn sich die Funktion f . x/ bei unbegrenzter

Annäherung von x von links an a unbegrenzt an A nähert.

y

A + ε

Linksseitiger Grenzwert

A
lim f . x/ D lim f . x/ D A

A – ε
x! a
x! a0
f x

( )

x< a

0
a – δ a a + δ
x

Die Funktion y D f . x/ besitzt an der Stelle x D a den

Abb. 8.2 Veranschaulichung des Grenzwertbegriffes
rechtsseitigen Grenzwert A, wenn sich die Funktion f . x/ bei un-

8.3

Grenzwerte von Funktionen

151
begrenzter Annäherung von x von rechts an a unbegrenzt an A
großes ! D !."/ gilt, so dass j f . x/ A j < " für alle x < !."/

I
nähert.

gilt. Man schreibt dann

Teil

Rechtsseitiger Grenzwert
lim f . x/ D A
x!1
lim f . x/ D lim f . x/ D A
x! a
x! a C0
x> a

Die Grenzwerte lim x!1 f . x/ und lim x!1 f . x/ der Funktion
y D f . x/ beschreiben, falls sie existieren, den Verlauf der Funk-

Die Variable x nähert sich a unbegrenzt an, es gilt jedoch stets
tion im Unendlichen, das heißt, das Verhalten der Funktion für
x ¤ a. Die Funktion f . x/ muss an der Stelle x D a den Wert A
sehr großes positives und für sehr kleines negatives Argument x.

nicht annehmen und braucht an dieser Stelle auch nicht definiert
zu sein.

Beispiele

Die Funktion y D f . x/ besitzt an der Stelle x D a den Grenzwert

A, wenn an dieser Stelle sowohl der linksseitige als auch der

1. Es ist lim

1 D

j
x!1

0, denn es gilt j 1

0j D j 1 < "

x
x
x
rechtsseitige Grenzwert existieren und gleich sind.

für alle x, die der Bedingung x > !."/ D 1" genügen.

Ebenso gilt lim

1 D
x!1

0.

x

2. Die Funktion y D f . x/ D 5 x C3 hat für x ! ˙1 den

Grenzwert

2 x C7

Grenzwert 5 , also lim

5 x C3 D lim

5 x C3 D

2
x!1 2 x C7
x!1 2 x C7
lim f . x/ D A

5
x! a

, wie folgende Rechnung unter Anwendung der Re-

2
chenregeln für Grenzwerte (Abschn. 8.3.4) zeigt:

5 x C 3

5 C 3

5 C 3 1

Beispiel
lim

D lim
x D lim
x D 5
x!1
x!1
x!1

(

2 x C 7

2 C 7

2 C 7 1

2
x
x

1
für x > 0
f . x/ D

Die Rechnung für 5 x C3 D 5 verläuft ganz analog.

0
für x < 0

2 x C7

2

3. Der Grenzwert lim x!1 sin x existiert nicht. Wie groß

Linksseitiger Grenzwert:

man x auch wählt, es lassen sich wegen der Periodizi-
tät der Sinusfunktion unendlich viele größere x-Werte
lim x!0 f . x/ D lim x!00 f . x/ D 0
angeben, für die die Funktion einen vorgegebenen
x<0

Wert zwischen 1 und 1 hat.

J

Rechtsseitiger Grenzwert:

lim x!0 f . x/ D lim x!0C0 f . x/ D 1
x>0

Die Funktion y D f . x/ besitzt an der Stelle x D 0 sowohl
den linksseitigen als auch den rechtsseitigen Grenzwert.

8.3.4

Rechenregeln für Grenzwerte

Da diese jedoch verschieden sind, existiert der Grenzwert
an der Stelle x D 0 nicht.

J

Die für Folgen aufgestellten Regeln für das Rechnen mit Grenz-
werten (Abschn. 8.1.4) lassen sich auf das Rechnen mit Grenz-
werten von Funktionen übertragen.

Gilt lim x! a f . x/ D F und lim x! a g. x/ D G für zwei Funktionen

8.3.3

Grenzwert im Unendlichen
f . x/ und g. x/, so existieren auch die folgenden Grenzwerte:

Die Funktion y D f . x/ besitzt für x ! 1 den Grenzwert A,
wenn es zu jedem beliebigen " > 0 ein hinreichend großes ! D
limŒ f . x/ C g. x/ D lim f . x/ C lim g. x/ D F C G
x! a
x! a
x! a

!."/ gibt, so dass j f . x/ A j < " für alle x > !."/ gilt. Man
schreibt dafür
limŒ f . x/ g. x/ D lim f . x/ lim g. x/ D F G
x! a
x! a
x! a
limŒ c f . x/ D c lim f . x/ D c F . c 2 R/
x! a
x! a
lim f . x/ D A
limŒ f . x/ g. x/ D lim f . x/ lim g. x/ D F G
x!1
x! a
x! a
x! a
f . x/

F
lim

D lim x! a f . x/ D

. g. x/ ¤ 0; G ¤ 0/

Analog besitzt die Funktion y D f . x/ für x ! 1 den Grenz-
x! a g. x/
lim x! a g. x/

G
wert A, wenn es zu jedem beliebigen " > 0 ein hinreichend

152

8 Differential- und Integralrechnung

Teil

Diese Regeln sagen aus, dass man die Operation der Grenz-
wertbildung mit der Addition, Subtraktion, Multiplikation und

4.

I

Division (falls G ¤ 0) vertauschen darf.

x 3
lim

D‹

Die Regeln wurden schon bei den Beispielen der vorangegange-
x!1 x 2 2
nen Abschnitte angewandt.

Unbestimmter Ausdruck der Form „ 1

1 “.

Durch Kürzen des Bruches durch x 2 ( x ¤ 0) ergibt
sich

8.3.5

Unbestimmte Ausdrücke
x 3
x

1
lim

D lim

D

D 1
x!1 x 2 2
x!1 1 2

1 0

Unbestimmte Ausdrücke sind symbolische Ausdrücke der Form
x 2

Es existiert kein Grenzwert.

J

0 1

;

; 0 1; 1 0; 1 1; 1 C 1; 00; 10; 11

0 1

8.3.6

Stetigkeit einer Funktion

Solche Ausdrücke ergeben sich bei bestimmten Grenzwertauf-
gaben. Sind zum Beispiel f . x/ und g. x/ zwei Funktionen mit Die Stetigkeit einer Funktion y D f . x/ an einer Stelle x D a f . a/ D g. a/ D 0, so ist ihr Quotient f. x/
g. x/ an der Stelle x D a
wird mit Hilfe des Grenzwertes der Funktion an dieser Stelle
nicht definiert. Formales Einsetzen von x D a führt auf den un-
definiert.

bestimmten Ausdruck „ 0 “. Damit soll ausgedrückt werden, dass

0

Eine Funktion y D f . x/ heißt an der Stelle x D a stetig, wenn
der Grenzwert lim
f . x/
x! a g. x/ zu ermitteln ist, der das Verhalten des
f . x/ an der Stelle a definiert ist und der Grenzwert f . x/ existiert

Quotienten in der Nähe der kritischen Stelle a beschreibt, falls
und gleich f . a/ ist.

er existiert.

Das ist genau dann der Fall, wenn es zu jedem vorgegebenen

" > 0 ein ı D ı."/ > 0 gibt, so dass j f . x/ f . a/j < " für alle x

Beispiele
mit j x a j < ı gilt.

1.

Ist eine Funktion y D f . x/ stetig, dann ändert sich bei kleinen

3 x 2 x 1

Änderungen der Variablen x auch der Funktionswert f . x/ nur
lim

D‹
x!1

4 x 2 C 3
geringfügig. Die meisten Funktionen, die in den Anwendungen
vorkommen, sind stetig.

Unbestimmter Ausdruck der Form „ 1

1 “.

Durch Kürzen des Bruches durch x 2 ( x ¤ 0) ergibt

Der Graph einer stetigen Funktion ist eine zusammenhängende
sich

Kurve. Ist dagegen die Kurve an verschiedenen Stellen (mindes-
tens an einer) unterbrochen, dann heißt die zugehörige Funktion

3 x 2 x 1

3 1 1
unstetig, und die Werte der unabhängigen Variablen x, an denen
lim

D lim
x
x 2 D 3
x!1

4 x 2 C 3
x!1

4 C 3

4
die Unterbrechung auftritt, heißen Unstetigkeitsstellen.

x 2

Eine an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetige Funktion

Der Grenzwert existiert also und ist gleich 3 .

4
y D f . x/ heißt stetig.

2. lim x!1. x 2 x/ D‹

Sind f . x/ und g. x/ zwei Funktionen mit dem Definitionsbereich

Unbestimmter Ausdruck der Form „1 1“.

D und dem Wertebereich W D R, und ist c eine reelle Zahl, so

Durch Umformen ergibt sich
gilt:

lim . x 2 x/ D x. x 1/ D 1 1 D 1

Sind f . x/ und g. x/ stetig an der Stelle x D a des Definitions-
x!1
bereichs D, so sind auch f . x/ C g. x/, c f . x/, f . x/ g. x/, f. x/

Es existiert kein Grenzwert.

g. x/

(falls g. x/ ¤ 0 für x 2 D) und j f . x/j stetig an der Stelle x D a.

3.

x 2 2

Da die Sinusfunktion y D sin x eine stetige Funktion ist, folgt
lim

D‹
hieraus zum Beispiel, dass eine so kompliziert gebaute Funktion
x!1
x 3
wie etwa f W R ! R, f . x/ D x sin. x 2C1/

Unbestimmter Ausdruck der Form „ 1

1Cj sinx j
ebenfalls stetig ist.

1 “.

Durch Kürzen des Bruches durch x 3 ( x ¤ 0) erhält

Beispiele
man
x 2 2

1 2

1. Die Funktion f . x/ D 5 x C 2 ist an jeder Stelle
lim

D lim x
x 3 D 0 0 D 0
x D a des Definitionsbereichs stetig, denn es gilt
x!1
x 3
x!1

1

1
lim x! a .5 x C 2/ D 5 a C 2 D f . a/. Die Funktion ist

Der Grenzwert existiert und ist gleich 0.

also eine stetige Funktion.

8.4

Ableitung einer Funktion

153
y

I

2. Die Funktion f . x/ D 3 x 2 ist für jedes reelle x stetig,
die Funktion ist eine stetige Funktion.

(

1

Teil

1
für x 0

3. Die Funktion f . x/ D
besitzt für x D 0

0
für x < 0

–1

0

1
x
eine Unstetigkeitsstelle, also ist y D f . x/ eine unsteti-
ge Funktion.

J

Abb. 8.3 Graph der Funktion von Beispiel 1
y

8.3.7

Unstetigkeitsstellen

Eine Unstetigkeitsstelle ist eine Stelle x D a einer Funktion y D
f . x/, an der die Funktion nicht stetig ist.

1

Die Kurve einer Funktion ist an einer Unstetigkeitsstelle unter-

–1
brochen. Eine Funktion, die mindestens eine Unstetigkeitsstelle

0

1
x
besitzt, heißt unstetig.

–1

Die häufigsten Unstetigkeitsstellen sind Sprungstellen und Pole.

An einer Sprungstelle x D a sind der rechtsseitige Grenz-
wert lim x! a C0 f . x/ und der linksseitige Grenzwert lim x! a0 f . x/
voneinander verschieden. Die Funktion f . x/ springt beim

Durchlaufen des Punktes x D a von einem auf einen anderen
endlichen Wert. Die Funktion f . x/ braucht für x D a nicht defi- Abb. 8.4 Graph der Funktion von Beispiel 2
niert zu sein.

Ein Pol oder eine Unendlichkeitsstelle x D a einer Funktion
y D f . x/ D g. x/
h. x/ ist eine Stelle, für die der Nenner von f . x/ den

8.4

Ableitung einer Funktion

Wert 0 hat und der Zähler von 0 verschieden ist, also h. a/ D 0
und g. a/ ¤ 0 (Abschn. 5.5). An einer solchen Stelle ist die

Funktion also nicht definiert. Die Funktion strebt bei Annähe-

8.4.1

Definitionen
rung an einen Pol nach (plus oder minus) Unendlich. Die Kurve
der Funktion läuft an einer solchen Stelle ins Unendliche.

Existiert für eine Funktion y D f . x/ mit dem Definitionsbereich

D der Grenzwert

Beispiele

(1 für x > 0
f . x/ f . x

1. f . x/ D

0/
f 0. x

. x 2 D/

0
für x < 0

0/ D lim

0
x! x 0
x x 0

Linksseitiger Grenzwert:

lim x!0 f . x/ D lim x!00. x/ D 0
x<0
dann nennt man f 0. x

Rechtsseitiger Grenzwert:

0/ die Ableitung der Funktion f . x/ an der

Stelle x D x
lim

0 (gesprochen: f Strich von x 0). Die Funktion f . x/
x!0 f . x/ D lim x!0C0 f . x/ D 1
x>0
heißt dann differenzierbar in x 0.

Der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert der

Funktion y D f . x/ sind verschieden, also besitzt die

Statt f 0. x 0/ schreibt man auch y 0. x 0/ oder dy . x

. x
dx

0/ oder df
dx

0/ (ge-

Funktion bei x D 0 eine Sprungstelle. Die Funktion
sprochen: y Strich von x 0 bzw. dy nach dx an der Stelle x 0 bzw.

springt beim Durchlaufen des Punktes x D 0 von 0
df nach dx an der Stelle x 0).

auf 1 (Abb. 8.3).

Der Bruch f . x/ f . x 0/ heißt auch Differenzenquotient, da im Zäh-

2. f . x/ D 1 , D D R, x ¤ 0
x x 0
x
ler die Differenz zweier Funktionswerte und im Nenner die Dif-

Einseitige Grenzwerte:

ferenz zweier x-Werte steht. Deshalb nennt man den Grenzwert
lim

1

1
x!0

D 1, lim

D C1
f . x/ f . x
x
x!0 x
f 0. x

0 / statt Ableitung auch Differentialquo-
x<0
x>0

0/ D lim x! x 0
x x 0

Die Funktion y D 1 besitzt bei x D 0 einen Pol. Bei
tient.

x

Annäherung von links an den Pol strebt die Funkti-

Geometrische Deutung: Ist die Funktion y D f . x/ als Kurve in
on nach minus Unendlich, bei Annäherung von rechts
einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt, dann ist der
nach plus Unendlich (Abb. 8.4).

J

Differenzenquotient gleich der Steigung (also dem Tangens des

Steigungswinkels ˇ) der Sekante durch die Punkte P
j

0. x 0 f . x 0//

154

8 Differential- und Integralrechnung

Teil
y
y
y = f( x)

I

4

3
y

P

2
y – y 0

1

P
y

0

0
x – x 0
x

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4
α
β

0
x

Abb. 8.6 Graph der Funktion von Beispiel 4

0
x
x

Abb. 8.5 Geometrische Deutungen des Differenzen- und des Differentialquoti-
enten

3. Die Funktion f . x/ D x 2 mit D D R ist in jedem Punkt
x 2

0

D differenzierbar. Es ist
und P. x j f . x//. Der Grenzwert f 0. x 0/ ist die Steigung der Tan-
gente in x

.

0 an den Graphen von f . x/, also f 0. x 0/ D tan ˛. Dabei
f . x/ f . x 0/
x 2 x 2
x C x

D

0 D

0/. x x 0/ D x C x
ist ˛ der Winkel zwischen der x-Achse und der Tangente an

0
x x 0
x x 0
x x 0
den Graphen in x 0, wobei der Winkel von der positiven x-Achse
zur Tangente im entgegengesetzten Drehsinn des Uhrzeigers ge-
und somit
messen wird (Abb. 8.5).

f . x/ f . x 0/
f 0. x

D lim . x C x

Anschaulich bedeutet die Existenz der Ableitung an der Stelle

0/ D lim

0/ D 2 x 0
x! x 0
x x 0
x! x 0
x D x 0, dass der Kurvenverlauf in x 0 glatt ist (keine „Knickstel-
le“ hat).

Die Funktion f . x/ D x 2 ist eine (überall) differenzier-
bare Funktion, und es gilt f 0. x/ D 2 x.

Eine Funktion y D f . x/ heißt (generell) differenzierbar, wenn

(
sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist.

x
für x 0

4. Die Funktion f . x/ D j x j D
ist (über-

Dann heißt die durch g. x/ D f 0. x/ definierte Funktion y 0 D f 0. x/
x für x < 0
die Ableitung oder die Ableitungsfunktion von f . x/.

all) stetig.

Eine an der Stelle x

Für x 0 > 0 ist f 0. x 0/ D 1, für x 0 < 0 ist dagegen

0 differenzierbare Funktion y D f . x/ ist dort
auch stetig. Falls f . x/ an der Stelle x
f 0. x 0/ D 1.

0 nicht stetig ist, kann f . x/

D
dort auch nicht differenzierbar sein. Aus der Stetigkeit an der

Für x 0

0 gilt wegen f .0/ D 0

Stelle x 0 folgt jedoch noch nicht die Differenzierbarkeit an die-
x 0
ser Stelle.

lim j x j D lim

D lim 1 D 1 und
x!0
x!0
x
x!0

Eine Funktion y D f . x/ heißt stetig differenzierbar, wenn f . x/
x>0
x>0
x>0

differenzierbar ist und die Ableitung f 0. x/ eine stetige Funktion
x 0
lim j x j D lim

D lim.1/ D 1
ist.

x!0
x!0
x
x!0
x<0
x<0
x<0

Beispiele

Der Differentialquotient existiert nicht, da der rechts-
seitige Grenzwert und der linksseitige Grenzwert nicht

1. Für die konstante Funktion f . x/ D c ( c 2 R/ gilt
gleich sind.

Die Funktion f . x/ D j x j ist an der Stelle x D

0

0 stetig,
f . x/ f . x 0/
c c
f 0. x

D

D
aber nicht differenzierbar (Abb. 8.6).

J

0/ D lim
lim
lim 0 D 0
x! x 0
x x 0
x! x 0 x x 0
x! x 0

Die Ableitungsfunktion einer konstanten Funktion ist
somit f 0. x/ D 0.

2. Für die Funktion f . x/ D ax C b, a; b 2 R, D D R gilt

8.4.2

Differentiationsregeln
ax C b . ax C

0
b/
f 0. x 0/ D lim
x! x 0
x x 0

Die folgenden Regeln gelten sowohl für die Ableitungen einer
a . x x

D

0/
lim

D lim a D a

Funktion y D f . x/ an einer bestimmten Stelle x D x 0 als auch
x! x 0
x x 0
x! x 0
für die Ableitungsfunktionen y 0 D f 0. x/.

Die Funktion f . x/ D ax C b ist ebenfalls eine (überall)

1. Konstante Funktion
differenzierbare Funktion, und es gilt f 0. x/ D a.

Die Ableitung einer konstanten Funktion ist Null (vgl. Bei-
spiel 1 im Abschn. 8.4.1).

8.4

Ableitung einer Funktion

155

Beispiel

I
y D f . x/ D c . c 2 R; konstant/

)

y 0 D 0
y D x 2C3 x ) y 0 D 2 x C3, denn d x 2 D 2 x und d 3 x D 3.

dx
dx

Teil

J

Beispiel

4. Produktregel
y D 3 ) y 0 D 0.

J

Die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich
der Summe aus der ersten Funktion multipliziert mit der

Ableitung der zweiten Funktion und der zweiten Funktion

2. Faktorregel
multipliziert mit der Ableitung der ersten Funktion.

Die Ableitung einer Funktion mal konstantem Faktor ist
gleich konstanter Faktor mal abgeleitete Funktion.

y D f . x/ g. x/

)

y 0 D f 0. x/ g. x/ C f . x/ g 0. x/
y D c f . x/ . c 2 R; konstant/

)

y 0 D c f 0. x/

Herleitung:

f . x/ g. x/ f . x 0/ g. x 0/

Herleitung:

. f g/0. x 0/ D lim
x! x 0
x x 0

c f . x/ c f . x
f . x/ f . x 0/
g. x/ g. x 0/

.

0/

D
c f /0. x
lim
g. x/ C f . x 0/

0/ D lim
x! x
x x
x x
x! x

0

0

0

0
x x 0
f . x/ f . x

D f 0. x 0/ g. x 0/ C f . x 0/ g 0. x 0/

D

0/
lim c
x! x 0
x x 0

Für die Ableitung des Produkts von drei Funktionen gilt

D
f . x/ f . x 0/
c lim

D c f 0. x 0/
x! x 0
x x 0
y D f . x/ g. x/ h. x/

Beispiel

)

y 0 D f . x/ g. x/ h 0. x/ C f . x/ g 0. x/ h. x/
y D 3 x 2 ) y 0 D 3 2 x D 6 x, denn d x 2 D 2 x.

J
dx

C f 0. x/ g. x/ h. x/

3. Summenregel

Mehrfache Anwendung der Produktregel ergibt die Ableitung

Die Ableitung der Summe (Differenz) zweier Funktionen ist
der Potenzfunktion.

gleich der Summe (Differenz) der Ableitungen der Funktio-
nen.

Potenzregel
y D xn . n 2 N/

)

y 0 D nxn1
y D f . x/ C g. x/

)

y 0 D f 0. x/ C g 0. x/
y D f . x/ g. x/

)

y 0 D f 0. x/ g 0. x/

Mit Hilfe von Polynomdivision lässt sich dieses Ergebnis auch
direkt herleiten:

Herleitung:

d
xn xn
xn. x

0

0/ D lim
dx
x! x 0 x x 0

.

f . x/ C g. x/ . f . x 0/ C g. x 0//
f C g/0. x 0/ D lim

D lim . xn1 C x
xn3 C : : : C xn1/
x! x

0 xn2 C x 2

0

0

0
x x 0

x! x 0
f . x/ f . x
g. x/ g. x

D

0/

0/

D
lim

C
nxn1
x! x 0
x x 0
x x 0
f . x/ f . x
g. x/ g. x

Durch Anwendung von Quotienten- und Kettenregel (siehe un-

D

0/

0/
lim

C lim
ten) kann man dieses Ergebnis auf reelle Exponenten ausweiten.

x! x 0
x x 0
x! x 0
x x 0

D f 0. x 0/ C g 0. x 0/

Die Herleitung für die Ableitung der Differenz zweier Funktio-
y D xr . r 2 R/

)

y 0 D rxr1
nen verläuft ganz analog.

156

8 Differential- und Integralrechnung

Teil

Summen- und Potenzregel zusammen ergeben die Ableitung ei-

Beispiele
nes Polynoms.

I

1. y D 5 x1 ) y 0 D .2 x C3/5.5 x1/2 D

17

2 x C3

.2 x C3/2

.2 x C3/2
n

X

2. y D x 3 ) y 0 D 3 x 2. x 21/2 x x 3 D x 2. x 23/
x 21

. x 21/2

. x 21/2
y D
c

C
k xk D c 0
c 1 x C : : : C cnxn

3. y D

1

) y 0 D 2 x C3

J
x 2C3 x
k D0

. x 2C3 x/2
n

X

)

y 0 D
k c

C
k xk1 D c 1

2 c 2 x C : : : C ncnxn1

6. Kettenregel
k D1

Die Kettenregel ist eine Regel zur Differentiation zusam-
mengesetzter Funktionen.

Ist y D F. x/ eine zusammengesetzte Funktion, also F. x/ D

Beispiele
f . h. x//, und setzt man z D h. x/, dann ist y D F. x/ dif-
ferenzierbar, wenn die Funktionen y D f . z/ und z D h. x/

1. y D 3 x 2 sin x ) y 0 D 3 x 2 cos x C 6 x sin x
differenzierbar sind, und es gilt

2. y D x 7 ) y 0 D 7 x 6

7

4

3. y D x 3 ) y 0 D 7 x 3

3

4. y D 3 x 7 5 x 4 C x 2 C 3 ) y 0 D 21 x 6 20 x 3 C 2 x J
y 0 D F 0. x/ D df dh D f 0. z/ h 0. x/
dz
dx

D f 0. h. x// h 0. x/

5. Quotientenregel

Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen ist gleich
der Differenz der Ableitung der Zählerfunktion multipliziert

Man nennt f 0. h. x// die äußere Ableitung und h 0. x/ die innere
mit der Nennerfunktion und der Zählerfunktion multipliziert

Ableitung der Funktion y D f . h. x//.

mit der Ableitung der Nennerfunktion dividiert durch das

Quadrat der Nennerfunktion.

Beispiele

1. y D F. x/ D . x 3 2 x C1/3, also z D h. x/ D x 3 2 x C1
f . x/
y D

. g. x/ ¤ 0/
und y D f . z/ D z 3
g. x/

)

f 0. x/ g. x/ f . x/ g 0. x/
y 0 D F 0. x/ D f 0. z/ h 0. x/ D 3 z 2 .3 x 2 2/

)

y 0 D
g 2. x/

D 3. x 3 2 x C 1/2 .3 x 2 2/
p

2. y D F. x/ D

5 x 2 7 x C 8, also z D h. x/ D 5 x 2
p

Der Zähler von y 0 beginnt also mit der Ableitung der Zähler-

7 x C 8 und y D f . z/ D
z
funktion f . x/.

Herleitung:

)

y 0 D F 0. x/ D f 0. z/ h 0. x/ D 1 z 12 .10 x 7/

2

0
f

.

D

10 x 7
p
x 0/
g

2 5 x 2 7 x C 8
f . x/ f. x 0/

D
g. x/
g. x
lim

0/
x! x 0
x x 0

3. y D F. x/ D sin.4 x 2 C 1/, also z D h. x/ D 4 x 2 C 1

D

1
f . x/ f . x 0/
und y D f . z/ D sin z
lim
g. x 0/ f . x 0/ g. x/ g. x 0/
x! x 0 g. x/ g. x 0/
x x 0
x x 0

)

y 0 D F 0. x/ D f 0. z/ h 0. x/ D cos z 8 x

D f 0. x 0/ g. x 0/ f . x 0/ g 0. x 0/
g 2. x

D 8 x cos.4 x 2 C 1/

0/

Im Spezialfall, dass f . x/ eine konstante Funktion mit f . x/ D 1

Die Ableitung von y D sin x ist y 0 D cos x (Ab-
ist, gilt
schn. 8.4.5.1).

J

7. Ableitung der Umkehrfunktion
g 0. x/
y D

1

)

y 0 D

Ist y D f . x/ eine differenzierbare Funktion mit f 0. x/ ¤ 0,
g. x/
g 2. x/
die eine Umkehrfunktion y D f 1. x/ besitzt, so ist auch die

Umkehrfunktion differenzierbar, und es gilt

8.4

Ableitung einer Funktion

157

I

Rationale Funktionen

. f 1/0. x/ D

1
f 0. f 1. x//
y D c . c konstant/

) y 0 D 0

Teil
y D x

) y 0 D 1

Herleitung:

y D xn

) y 0 D nxn1

Aus f . f 1. x// D x (Abschn. 5.2.8) folgt durch Differentiation
mit Anwendung der Kettenregel f 0. f 1. x// . f 1/0. x/ D 1 und
y D cnxn C cn1 xn1 C : : : C c 2 x 2 C c 1 x C c 0
daraus wegen f 0. x/ ¤ 0 durch Auflösen nach . f 1/0. x/ die be-

)

y 0 D nc
hauptete Gleichung für die Ableitung der Umkehrfunktion.

nxn1 C . n 1/ cn1 xn2 C : : : C 2 c 2 x C c 1
y D 1

) y 0 D 1
x
x 2

8.4.3

Höhere Ableitungen
y D 1

) y 0 D n
xn
xn C1

Ist die Funktion y D f . x/ differenzierbar oder zumindest in ei-
xm

. m n/ xm
y D

) y 0 D
nem ganzen Intervall ihres Definitionsbereichs differenzierbar,
xn
xn C1
so kann dort also an jeder Stelle die Ableitung f 0. x/ gebildet
werden. Dann ist y = f 0. x/ wieder eine Funktion von x. Ist diese

Funktion wieder differenzierbar, so nennt man diese Ableitung
der (ersten) Ableitung die zweite Ableitung der Ausgangsfunk-

Irrationale Funktionen
tion y D f . x/, geschrieben f 00. x/ oder y 00. x/ oder d 2 y . x/ oder
p
dx 2
y D
x

) y 0 D 1
p
d 2 f . x/ (gesprochen: f zwei Strich von x bzw. y zwei Strich von

2 x
dx 2
x bzw. d zwei y nach dx Quadrat an der Stelle x bzw. d zwei f
p
nach dx Quadrat an der Stelle x).

y D n x

) y 0 D

1
p
n n xn1

Entsprechend kann es auch eine dritte, vierte, . . . Ableitung von
p
p
m
m
f . x/ geben. Die n-te Ableitung von f . x/ schreibt man
x
x
y D p

) y 0 D n m p
n x
mn
n xn C1
dny
dnf
f . n/. x/ D y. n/. x/ D

. x/ D

. x/
dxn
dxn

8.4.5

Ableitungen einiger transzendenter

Beispiele

Funktionen

1. Die Funktion f . x/ D x 5 hat als (erste) Ableitung

8.4.5.1

Trigonometrische Funktionen
f 0. x/ D 5 x 4, als zweite Ableitung f 00. x/ D 20 x 3, als
dritte Ableitung f 000. x/ D 60 x 2, als vierte Ableitung

Zur Herleitung der Ableitung der Sinusfunktion wird der Grenz-
f .4/. x/ D 120 x und als fünfte Ableitung f .5/. x/ D 120.

wert von sin x für x ! 0 benötigt. Es gilt
x

Alle höheren Ableitungen sind Null, also f . k/. x/ D 0
für k D 6; 7; : : :

2. f . x/ D 4 x 4 12 x 3 C5 x2 ) f 0. x/ D 16 x 3 36 x 2 C5,
sin x
f 00. x/ D 48 x 2 72 x, f 000. x/ D 96 x 72, f .4/. x/ D 96,
lim

D 1
x!0
x
f .5/. x/ D f .6/. x/ D : : : D 0

3. f . x/ D
x 2

) f 0. x/ D 2 x , f 00. x/ D 2.2 x C1/,

. x1/2

. x1/3

. x1/4
f 000. x/ D 12. x C1/ , . . .

J

Beweis (Abb. 8.7):

. x1/5

Zeichnet man einen Einheitskreis in einem kartesischen Koor-
dinatensystem mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung O,
so ist die Länge des Lotes eines Kreispunktes P auf die Abszis-
se sin x, wenn die Strecke OP mit der Abszisse den Winkel x

8.4.4

Ableitungen einiger algebraischer

(im Bogenmaß) bildet. Der zum Winkel gehörige Bogen hat die

Funktionen

Länge x, da der Radius des Kreises 1 ist (Abschn. 6.2). Die Pro-
jektion von OP auf die Abszisse hat die Länge cos x. Der Teil
der zur Abszisse senkrechten Tangente an den Einheitskreis, der

Mit den Differentiationsregeln aus Abschn. 8.4.2 lassen sich die
zwischen der Abszisse und der Verlängerung der Strecke OP

Ableitungen von algebraischen Funktionen berechnen.

liegt, hat die Länge tan x.

158

8 Differential- und Integralrechnung

Teil

P
und y D f . z/ D sin z ergibt y 0 D f 0. z/ h 0. x/ D cos z .1/ D
cos. x/. Wegen cos.90 circ ˛/ D sin ˛ (Abschn. 6.1) folgt

2

I
die Behauptung y 0 D sin x.

1
x x
x
sin
tan
x
y D tan x

)

y 0 D

1

0
cos2 x
cos x
x

1

Beweis:

Abb. 8.7 Zur Herleitung von lim
sin x
x!0

D 1
x

Wegen tan x D sin x folgt mit der Quotientenregel und den Ab-
cos x
leitungen von sin x und cos x:

Die Fläche A 1 des rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten-
längen sin x und cos x ist A

D sin xcos x

1

, die Fläche A

D cos2 x C sin2 x D

1

2

2 des
y 0 D cos x cos x sin x . sin x/

Einheitskreissektors mit dem Winkel x ist A

D x
cos2 x
cos2 x
cos2 x

2

, und die

2

Fläche A 3 des rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlän-
gen 1 und tan x ist A D 1tan x

3

. Wegen A

2

1 < A 2 < A 3 folgt
sin xcos x < x < 1tan x.

y D cot x

)

y 0 D

1

2

2

2
sin2 x

Durch Multiplikation mit 2 folgt
sin x
x

Beweis:

cos x <

< 1

)

cos x < sin x <

1
sin x
cos x
x
cos x

Wegen cot x D cos x folgt
sin x

Die Grenzwerte der beiden äußeren Funktionen an der Stelle

.sin2 x C cos2 x/
x D 0 sind 1, also muss auch der Grenzwert der mittleren Funk-
y 0 D sin x . sin x/ cos x cos x D
tion an der Stelle x D 0 gleich 1 sein:

sin2 x
sin2 x

1
sin x

D
lim

D 1:

sin2 x
x!0
x

8.4.5.2

Logarithmusfunktionen

Die Ableitung der Funktion y D f . x/ D sin x ist die Funktion
y 0 D f 0. x/ D cos x.

Der Grenzwert der Zahlenfolge . an/ D ..1 C 1 / n/ heißt Eu-
n
ler’sche Zahl (Name nach dem schweizerischen Mathematiker

Leonhard Euler, 1707–1783) und wird mit dem Buchstaben e
bezeichnet.

y D sin x

)

y 0 D cos x

n

Beweis:

e D lim 1 C 1

D 2;7182818284: : :

n!1
n

Für die Differenz sin ˛ sin žweier trigonometrischer Funk-
tionen gilt sin ˛ sin Ď 2 cos ˛Cšin ˛ˇ . Damit folgt

2

2

Die Euler’sche Zahl ist eine irrationale Zahl; sie ist Basis der

2 cos x C x 0 sin x x 0

.

sin x sin x 0
natürlichen Logarithmen (Abschn. 1.8.2).

sin x/0. x

D

2

2

0/ D lim
lim
x! x 0
x x 0
x! x 0
x x 0

Mit Hilfe dieses Grenzwertes lassen sich die Ableitungen der
x C x
sin x x 0

D

0

Logarithmusfunktionen y D log x berechnen. Es ergibt sich mit
lim cos
lim

2

D cos x
a
x x

0;
x! x

0

0

2
x! x 0
den Regeln der Logarithmenrechnung (Abschn. 1.8.3)

2
x x
sin

0
log x log x 0

1
x
denn lim

2

D

.

a
a

D
x! x

1, wie oben bewiesen wurde.

log x/0. x
lim
log

0
x x 0
a

0/ D lim
a

2
x! x 0
x x 0
x! x 0 x x 0
x 0

D

1
x 0
lim
log

1 C x x 0
a
x! x 0 x 0 x x 0
x 0
y D cos x

)

y 0 D sin x

x 0
x x

D

1

0
lim
log

1 C

1
a
x
x! x

0

0 x 0
x x 0

Beweis:

x 0
x x 0

Aus sin.90ı ˛/ D cos ˛ (Abschn. 6.1) folgt y D cos x D

D 1 log lim 1 C 1

D 1 log e
x
a
x
a
x! x

0
x
sin. x/. Anwendung der Kettenregel mit z D h. x/ D x

0

0
x x

0

0

2

2

8.4

Ableitung einer Funktion

159

Bei der vorletzten Umformung wurde (der hier nicht hergelei-

I
tete) Satz benutzt, dass der Grenzwert des Logarithmus gleich

Exponentialfunktionen
dem Logarithmus des Grenzwertes ist. Wegen log e D ln e D
a
ln a
y D ex

) y 0 D ex D y

1

(Abschn. 1.8.4) ergibt sich

Teil
ln a
y D ax

) y 0 D ax ln a . a 2 R; a > 0 konstant/
y D log

D 1 1
a x

)

y 0 D log a e 1 x
ln a
x

Logarithmusfunktionen

Für die natürliche Logarithmusfunktion mit der Basis a D e
y D ln x

) y 0 D 1 . x > 0/
folgt
x
y D log x

) y 0 D 1 log e D 1 1
a
x
a
lna
x
y D ln x

)

y 0 D 1

. a 2 R; a > 0; a ¤ 1 konstant; x > 0/
x

8.4.5.3

Exponentialfunktionen

8.4.6

Sekanten und Tangenten

Die e-Funktion ist die Umkehrfunktion der natürlichen Loga-
rithmusfunktion. Nach der Regel zur Berechnung der Ableitung
der Umkehrfunktion (Abschn. 8.4.2) folgt d ex D 1 D ex we-
dx

1

Eine Sekante ist eine Gerade, die eine Kurve, also den Graph ei-
ex
gen d ln x D 1 .

ner Funktion y D f . x/, in (mindestens) zwei Punkten schneidet
dx
x

(Sekante D Schneidende). Der Teil zwischen den Schnittpunk-
ten heißt Sehne.

y D ex

)

y 0 D ex

Die Gleichung der Sekante durch die Punkte P
j

1 . x 1 f . x 1// und

P
j

2. x 2 f . x 2// lautet

Daraus folgt unmittelbar f . x/ D f 0. x/ D f 00. x/ D f 000. x/ D

: : : D f . n/. x/ D : : : D ex für alle n 2 N. Die e-Funktion hat
y D f . x 2/ f . x 1/ . x x
also die bemerkenswerte Eigenschaft, dass sie mit allen ihren

1/ C f . x 1/
x

2
x 1

Ableitungen übereinstimmt.

Für die allgemeine Exponentialfunktion gilt

Beispiele
y D ax

)

y 0 D ax ln a

1. f . x/ D x 2, P 1.0j0/, P 2.1j1/

Die Gleichung der Sekante durch die Punkte P 1 und

P 2 lautet

Beweis:

Wegen ax D exln a (Abschn. 5.7.1) ergibt sich aus der Ableitung
y D 1 0 . x 0/ C 0;
also y D x:

1 0
der e-Funktion zusammen mit der Kettenregel y 0 D . ax/0 D

. exln a/0 D exln a ln a D ax ln a.

2. f . x/ D x 3 2 x C 1, P 1.1j2/, P 2.2j5/

Die Gleichung der Sekante durch die Punkte P 1 und

8.4.5.4

Zusammenfassende Übersicht

P 2 lautet

Trigonometrische Funktionen
y D

5 2 . x .1// C 2 D x C 3:

J

2 .1/
y D sin x

) y 0 D cos x
y D cos x

) y 0 D sin x

Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graph einer Funktion

y D tan x

) y 0 D

1

. x ¤ .2 k C 1/ ; k 2 Z/
y D f . x/ in einem Punkt berührt, aber nicht schneidet (Tangen-
cos2 x

2
te D Berührende).

y D cot x

) y 0 D 1

. x ¤ k; k 2 Z/

Die Funktion f . x/ hat in dem Punkt P. a j f . a// genau dann eine
sin2 x

Tangente, wenn die Funktion in a differenzierbar ist. Die Ablei-
tung der Funktion an der Stelle, also f 0. a/, ist die Steigung der

160

8 Differential- und Integralrechnung

Teil

Tangente. Die Gleichung der Tangente an die Kurve im Punkt
für x D c oder x D d, angenommen. Entsprechend ist das abso-

P. a j f . a// lautet
lute oder globale Minimum ein relatives Minimum, oder es wird

I
an einem der Intervallränder x D c oder x D d angenommen.

Ein Extremwert einer Funktion ist ein Funktionswert f . a/, der
y D f 0. a/. x a/ C f . a/
ein relatives Minimum oder ein relatives Maximum ist. Statt Ex-
tremwert sagt man auch Extremum oder relatives Extremum.

Eine notwendige Bedingung dafür, dass die Funktion y D f . x/

Beispiele
an der Stelle x D a ein relatives Extremum besitzt, ist das Ver-
schwinden der Ableitung an dieser Stelle, also f 0. a/ D 0 (falls

3. f . x/ D x 2, P.1j1/
sie existiert). Zur Bestimmung der relativen Extrema müssen al-
f 0. x/ D 2 x ) f 0.1/ D 2
le x berechnet werden, die die Gleichung f 0. x/ D 0 erfüllen.

Die Gleichung der Tangente an die Kurve im Punkt

Eine hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum (das

P.1j1/ lautet somit y D 2. x 1/ C 1 D 2 x 1.

heißt, ist die Bedingung erfüllt, dann liegt ein relatives Extre-

4. f . x/ D x 3 2 x C 1, P.1j0/
mum vor) ist, dass die zweite Ableitung von Null verschieden
f 0. x/ D 3 x 2 2 ) f 0.1/ D 1
ist, also f 00. a/ ¤ 0. Gilt jedoch auch f 00. a/ D 0, so ist f . a/

Die Gleichung der Tangente an die Kurve im Punkt
ein relatives Extremum, wenn es ein gerades n gibt, so dass

P.1j0/ lautet somit y D 1 . x 1/ C 0 D x 1.

J
f 0. a/ D f 00. a/ D : : : D f . n1/. a/ D 0, f . n/. a/ ¤ 0 ( n gera-
de). Ein Extremum liegt vor, wenn die erste an der Stelle a nicht
verschwindende Ableitung von gerader Ordnung ist.

Dieses relative Extremum ist ein relatives Minimum, wenn im

8.4.7

Extremwerte von Funktionen
ersten Fall f 00. a/ > 0 und im zweiten Fall f . n/. a/ > 0 gilt. Das
relative Extremum ist ein relatives Maximum, wenn im ersten

Fall f 00. a/ < 0 und im zweiten Fall f . n/. a/ < 0 gilt.

Eine Funktion y D f . x/ besitzt an der Stelle x D a ein re-

Geometrisch bedeutet f 0. a/ D 0, dass die Tangente an die Kurve
latives Maximum, wenn es eine Umgebung von a gibt, in der
der Funktion im Punkt P. a j f . a// waagerecht, also parallel zur x-
alle Funktionswerte kleiner als an der Stelle x D a sind. Die-

Achse, verläuft.

ser Funktionswert f . a/ heißt relatives Maximum. Es gilt dann
f . x/ < f . a/ für alle x ¤ a aus einer passenden Umgebung von
a. Alle benachbarten Funktionswerte sind also kleiner als f . a/.

Beispiele

1. f . x/ D x 2

Relatives Maximum f . a/
f 0. x/ D 2 x, f 00. x/ D 2
f 0. x/ D 0 ) x D 0
f . x/ < f . a/ für x ¤ a
f 00.0/ D 2 > 0 ) f .0/ D 0 ist ein relatives Minimum
von y D f . x/

2. f . x/ D x 4 C 1

Entsprechend besitzt eine Funktion y D f . x/ an der Stelle x D a
f 0. x/ D 4 x 3, f 00. x/ D 12 x 2, f 000. x/ D 24 x,
ein relatives Minimum, wenn es eine Umgebung von a gibt, in
f .4/. x/ D 24
der alle Funktionswerte größer als an der Stelle x D a sind. Der
f 0. x/ D 0 ) x D 0

Funktionswert f . a/ heißt dann relatives Minimum. Für ein rela-
f 00.0/ D f 000.0/ D 0, f .4/.0/ D 24 < 0 ) f .0/ D 0
tives Minimum gilt analog f . x/ > f . a/ für alle x ¤ a aus einer
ist ein relatives Maximum von y D f . x/
geeigneten Umgebung von a. Alle benachbarten Funktionswer-

3. f . x/ D x 3 4 x 2 C 4 x D x. x 2/2
te sind also größer als f . a/.

f 0. x/ D 3 x 2 8 x C 4, f 00. x/ D 6 x 8
f 0. x/ D 0 ) 3 x 2 8 x C 4 D 0 ) x D

D 2

1

2, x 2

3
f 00.2/ D 4 > 0, f 00. 2 / D 4 < 0 ) f . x

3

1/ D f .2/ D 0

Relatives Minimum f . a/
ist ein relatives Minimum und f . x 2/ D f . 2 / D 32 ist

3

27
ein relatives Maximum von y D f . x/
f . x/ > f . a/ für x ¤ a

4. f . x/ D x 3 3 x 2 C 3 x
f 0. x/ D 3 x 2 6 x C 3 D 3. x 1/2, f 00. x/ D 6 x 6,
f 00. x/ D 6

Es handelt sich bei einem relativen Maximum oder einem rela-
f 0. x/ D 0 ) x D 1
tiven Minimum um eine lokale Eigenschaft, denn es wird nur
f 00.1/ D 0, f 000.1/ D 6 ) f . x/ besitzt kein relatives
eine Umgebung von x D a betrachtet.

Extremum, bei x D 1 liegt der Sattelpunkt P D .1j1/,

Das absolute oder globale Maximum einer Funktion y D f . x/,
also ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente (Ab-
die in einem abgeschlossenen Intervall Œ c; d differenzierbar ist,
schn. 8.4.8).

J
ist entweder ein relatives Maximum, oder es wird am Rand, also

8.4

Ableitung einer Funktion

161
y
y

Δ α

I
y = f( x)

konvex
konvex

( f ′′> 0)

( f ′′ > 0)

Teil
konkav
y = f x

( )

( f ′′< 0)

α

0
x

1
y 1

P 1

Δ s
y
α

P
x
x
x

Abb. 8.8 Konkave und konvexe Bereiche der Funktion y D f .x/

1

Abb. 8.9 Zur Definition der Krümmung einer Kurve

8.4.8

Krümmungsverhalten von Funktionen

Das Krümmungsverhalten einer Funktion ist die Verteilung von
f 00. x/
f 00. x/

D

D
konvexen und konkaven Bereichen der Kurve der Funktion

3
p

Œ1 C f 02. x/2

Œ 1 C f 02. x/3

(Abb. 8.8).

Eine Funktion y D f . x/ heißt an der Stelle x D a von unten
konvex, wenn alle Punkte der Kurve der Funktion in einer Um-

Für ¤ 0 heißt D 1
j j Krümmungsradius und der Kreis mit
gebung von a oberhalb der Tangente im Punkt P. a j f . a// liegen. diesem Radius Krümmungskreis der Kurve im Punkt P. x j y/.

In einem von unten konvexen Bereich ist die Ableitungsfunkti-
on y 0 D f 0. x/ monoton wachsend. Die Funktion y D f . x/ hat

Beispiel
dort eine Linkskrümmung (der Graph macht in x-Richtung eine

Linkskurve). Existiert in dem Bereich auch die zweite Ableitung
f . x/ D 3 x 3 1
f 00. x/, so ist die Kurve konvex, wenn f 00. x/ 0 gilt.

f 0. x/ D 9 x 2, f 00. x/ D 18 x

Entsprechend heißt die Funktion an der Stelle x D a von unten

Es folgt: D

18 x

.

3
konkav (oder von oben konvex), wenn alle Punkte der Kurve der

.1C81 x 4/ 2

Funktion in einer Umgebung von a unterhalb der Tangente im

Krümmung im Punkt P.1j2/ zum Beispiel:

Punkt P. a j f . a// liegen.

D 18 0;0242

J

3

In einem von unten konkaven Bereich ist die Ableitungsfunk-

82 2
tion y 0 D f 0. x/ monoton fallend. Die Funktion y D f . x/ hat
dort eine Rechtskrümmung (der Graph macht in x-Richtung eine

Rechtskurve). Existiert in dem Bereich auch die zweite Ablei-
tung f 00. x/, so ist die Kurve konkav, wenn f 00. x/ 0 gilt.

8.4.9

Wendepunkte von Funktionen

Die Krümmung einer Funktion ist die Abweichung der Kurve
der Funktion von der Geraden.

Ein Wendepunkt einer Funktion y

D f . x/ ist ein Punkt

Die Krümmung der Kurve der Funktion y D f . x/ im Punkt P. a j f . a//, in dem sich das Krümmungsverhalten der Kurve P. x j y/ ist definiert als der Grenzwert des Quotienten aus der ändert. In einem Wendepunkt findet der Übergang von einem

Differenz der Steigungswinkel ˛1, ˛ der Tangenten durch einen
konvexen zu einem konkaven Bereich oder umgekehrt statt. Die

Punkt P 1 und durch P an die Kurve und der Länge s des Kur-

Kurve liegt in der unmittelbaren Nähe eines Wendepunktes nicht
venbogens zwischen den Punkten (falls der Grenzwert existiert),
auf einer Seite der Tangente, sondern wird von dieser durchsetzt.

(Abb. 8.9):

Eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Wendepunk-
tes P. a j f . a// einer Funktion y D f . x/ ist das Verschwinden der

˛ ˛

˛
zweiten Ableitung im Wendepunkt, also f 00. a/ D 0 (falls sie

D

1
lim

D lim

D dęxistiert). Zur Bestimmung der Wendepunkte müssen alle x be-

P 1! P
s

P 1! P s
ds
rechnet werden, die die Gleichung f 00. x/ D 0 erfüllen.

Eine hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass die

Die Krümmung einer Funktion ist in einem konvexen Bereich
dritte Ableitung von Null verschieden ist, also f 000. a/ ¤ 0. Gilt

(Linkskurve) positiv, in einem konkaven Bereich (Rechtskurve)

jedoch auch f 000. a/ D 0, so hat f . x/ an der Stelle a einen Wende-
negativ. Für eine Gerade gilt D 0.

punkt, wenn es ein ungerades n gibt, so dass f 00. a/ D f 000. a/ D

: : : D f . n1/. a/ D 0, f . n/. a/ ¤ 0 ( n ungerade). Ein Wendepunkt

Mit Hilfe der Kettenregel berechnet man für die Krümmung in
liegt vor, wenn die erste an der Stelle a nicht verschwindende
einen Punkt P. x j y/ der Funktion y D f . x/:

Ableitung von ungerader Ordnung ist.

162

8 Differential- und Integralrechnung

Teil

Falls in einem Wendepunkt P. a j f . a// auch noch die erste Ab-
y
leitung verschwindet, wenn also zusätzlich f 0. a/ D 0 gilt, dann

I
ist dort die Tangente waagerecht. Ein solcher Wendepunkt heißt

Sattelpunkt.

1

Beispiele

0

1

2
x

1. f . x/ D x 3 4 x 2 C 4 x D x. x 2/2
f 0. x/ D 3 x 2 8 x C 4, f 00. x/ D 6 x 8, f 000. x/ D 6
f 00. x/ D 0 ) 6 x 8 D 0 ) x D 4

Abb. 8.10 Graph der Funktion f .x/ D 1 x.x 2/3

2

3
f 000. 4 / D 6 ¤ 0 ) bei x D 4 liegt der Wendepunkt

3

3

P D . 4 j f . 4// D . 4 j 16 /

3

3

3 27

2. f . x/ D x 3 3 x 2 C 3 x

Definitionsbereich:

f 0. x/ D 3 x 2 6 x C 3 D 3. x 1/2, f 00. x/ D 6 x 6,
f 000. x/ D 6

D D R
f 00. x/ D 0 ) x D 1
f 000.1/ D 6 ¤ 0 ) f . x/ besitzt bei x D 1 einen Wen-

Nullstellen:

depunkt

Da auch f 0.1/ D 0 gilt, ist dort die Tangente waage-
f . x/ D 1 x. x 2/3 D 0 (Abb. 8.10)

recht, und somit ist P D .1j1/ ein Sattelpunkt.

2

3. f . x/ D x 5

)

x D

D

1

0; x 2

2
f 0. x/ D 5 x 4, f 00. x/ D 20 x 3, f 000. x/ D 60 x 2,
f .4/. x/ D 120 x, f .5/. x/ D 120

Relative Extremwerte:

f 00. x/ D 0 ) x D 0
f 000.0/ D f .4/.0/ D 0, f .5/.0/ D 120 ¤ 0 ) f . x/
f 0. x/ D . x 2/2.2 x 1/ D 0
besitzt bei x D 0 einen Wendepunkt

Da auch f 0.0/ D 0 gilt, ist dort die Tangente waage-

)

x D

D 1

3

2; x 4
recht, und somit ist P D .0j0/ ein Sattelpunkt.

J

2
f 00. x 3/ D f 00.2/ D 0, f 000.2/ D 6 > 0 ( n ungerade) )

bei x D

3

2 Wendepunkt; wegen f 0.2/ D 0 ist P.2j0/ ein

Sattelpunkt

8.4.10

Kurvendiskussion

1
f 00. x

D

3

4/ D f 00

6 1

> 0

2

2

2

Eine Kurvendiskussion ist die Untersuchung einer Funktion
y D f . x/ bzw. des Graphen der Funktion auf typische Eigen-

) Minimum bei x D 1

4

2
schaften. Dazu gehören die Untersuchung auf Symmetrie und

Wendepunkte:

Monotonie sowie die Bestimmung von Definitionsbereich, Null-
stellen, relativen Extrema, Wendepunkten, Unstetigkeitsstellen
f 00. x/ D 6. x 1/. x 2/ D 0
und Asymptoten.

)

x D

D

D

5

1; x 6
x 3

2

Beispiel
f 00. x

D

5/ D f 00.1/ ¤ 0 ) Wendepunkt bei x 5

1

Sattelpunkt bei x D x D 2 (siehe oben).

f . x/ D 1 x. x 2/3

6

3

2

Zusammenfassung:

Ableitungen:

Die Funktion f . x/ D 1 x. x 2/3 hat die Nullstellen

2
x D

D

1

0 und x 2

2, das relative Minimum f . 1/ D 1

2

2
f 0. x/ D 1 . x 2/3 C 3 x. x 2/2

1

2

2

.3/3 D 27, den Wendepunkt P.1j1/ (denn f .1/ D

2

2

32

2

1 1.1/3 D 1 ) und den Sattelpunkt P.2j0/. Die Funk-

D 1 . x 2/2. x 2 C 3 x/ D . x 2/2.2 x 1/

2

2

2
tion besitzt keine Unstetigkeitsstellen und Asymptoten,
f 00. x/ D 2. x 2/.2 x 1/ C 2. x 2/2
sie ist weder zur y-Achse noch zum Koordinatenursprung
symmetrisch. Die Funktion ist streng monoton fallend im

D . x 2/.4 x 2 C 2 x 4/ D 6. x 1/. x 2/

Intervall .1; 1 und streng monoton wachsend im In-

2
f 000. x/ D 6. x 1/ C 6. x 2/ D 6.2 x 3/
tervall Œ 1 ; 1/.

J

2

8.4

Ableitung einer Funktion

163
b

I
r
h
h

Teil
h y

– x

Abb. 8.11 Zu Anwendungsbeispiel 1
y

8.4.11

Anwendungsbeispiele
x
r

1. Ein halbrunder Balken soll so besäumt werden, dass ein
rechtwinkliger Balken mit maximalem Widerstandsmoment

Abb. 8.12 Zu Anwendungsbeispiel 2

W entsteht (Abb. 8.11).

Die Gleichung für das Widerstandsmoment lautet:

der, wenn r der Radius und h die Höhe des Kegels sind

(Abb. 8.12)?

W D hb 2

(1)

6

V D x 2 y

Zylindervolumen

(1)

h y

Nach dem Satz des Pythagoras gilt für die Beziehung zwi-

D h

Beziehung zwischen x und y

(2)

schen b und h:

x
r

Die Beziehung zwischen x und y folgt aus der Ähnlichkeit
b 2
der schraffierten Dreiecke.

C h 2 D r 2

(2)

2

Auflösen von (2) nach y:

y D h 1 x

Auflösen von (2) nach b 2:

r

Einsetzen in (1):

b 2 D 4. r 2 h 2/

V D x 2 h 1 x

D h x 2 1 x 3

Einsetzen in (1):

r
r
h ist eine feste Größe, V ist also eine Funktion der Variablen
h
x: V D V. x/.

W D

4. r 2 h 2/ D 2. r 2 h h 3/

6

3

Berechnung der Ableitung:

Da r eine feste Größe ist, hängt W nur von h ab, das heißt,

V 0. x/ D h.2 x 3 x 2/

W ist eine Funktion von h: W D W. h/. Notwendige Voraus-
r

setzung für ein Maximum von W ist das Verschwinden der

V 0. x/ D 0

)

h 2 x 3 x 2 D hx 2 3 x D 0

Ableitung: W 0 D 0.

r
r

Berechnung der Ableitung:

)

x D

D 2

1

0
und
x 2
r

3

W 0. h/ D 2 . r 2 3 h 2/

Wegen V 00. x/ D h.2 6 x/ gilt V 00. x 1/ > 0 und V 00. x 2/ < 0,

3
r
das heißt, bei x 1 liegt ein Minimum und bei x 2 ein Maximum

W 0. h/ D 0

)

2 . r 2 3 h 2/ D 0
vor.

3

Ergebnis:

p

)

x D 2 r und y D 1 h sind Radius und Höhe des gesuch-
r 2 3 h 2 D 0

)

h D 1 r 3

3

3

3
ten Zylinders, das maximale Zylindervolumen beträgt V D

4 r 2 h.

27

(Da die Höhe h nicht negativ sein kann, kommt für das

Maximum nur das positive Vorzeichen in Frage.) Wegen
p

W 00. h/ D 4 h ist für h D 1 r 3 die zweite Ableitung ne-

3
gativ, es liegt also ein Maximum vor.

8.4.12

Näherungsverfahren zur

Ergebnis:

p
p

Nullstellenbestimmung
h D 1 r 3 und b D 2 r

6 sind die Abmessungen für das

3

3
p
maximale Widerstandsmoment, es beträgt W D 2 r 3. r 2

9
p

In vielen Fällen ist es nicht möglich oder nicht notwendig,

1 r 2/ D 4 r 3 3.

die Nullstellen von Funktionen exakt zu berechnen. Gerade in

3

27

2. Aus einem kreiskegelförmigen Stück Holz soll ein Zylinder
vielen praktischen Anwendungen genügen oftmals angenäherte
größtmöglichen Rauminhalts (Gewichts) gedreht werden.

Werte. Zur Bestimmung solcher sogenannten Näherungslösun-

Welchen Radius x und welche Höhe y hat dieser Zylin-
gen gibt es eine Reihe von Näherungsverfahren.

164

8 Differential- und Integralrechnung

Teil
y
y

I
x 1 x 0
x 3
x 2
x
x 0
x
x

1
x 2 x 3

Abb. 8.13 Regula falsi

Abb. 8.14 Newton’sches Verfahren

8.4.12.1

Regula falsi

Regula falsi ist ein Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung

Wegen f . x 3/ D 0;3020 : : : < 0 lässt sich im nächsten
einer Nullstelle einer stetigen Funktion (Abb. 8.13).

Schritt das Verfahren auf x 3 und x 2 anwenden:

Für eine stetige Funktion y D f . x/ wird eine Nullstelle, al-

D

x 3
x 2
so eine Stelle x
x 4
x 3
f . x 3/

0 mit f . x 0/ D 0, gesucht. Sind x 1 und x 2 zwei
f . x 3/ f . x 2/

Stellen in der Nähe der Nullstelle x 0, deren Funktionswerte un-
terschiedliche Vorzeichen haben (also f . x 1/ f . x 2/ < 0), dann

D 1;3544 : : : 1;3544 : : : 1;5 .

0;3020 : : :/
erhält man eine bessere Näherung, indem man durch die Punkte

0;3020 : : : 2;875

P
j
j

D 1;3682 : : :

1. x 1 f . x 1// und P 2. x 2 f . x 2// die Verbindungsgerade (Sekan-
te) legt. Der Schnittpunkt x 3 der Verbindungsgeraden mit der
x-Achse liefert einen verbesserten Näherungswert für die Null-

Es gilt f . x 4/ D 0;0113 : : :, das heißt, x 4 ist schon eine
stelle x
gute Näherung für die Nullstelle x

0.

0.

Will man die Näherung weiter verbessern, so wendet man

Regula falsi im nächsten Schritt auf x

4 und x 2 an ( f . x 4)

x 1
x D

x 2
und f . x 3) haben dasselbe Vorzeichen, deshalb kann das

3
x 2
f . x 2/
f . x 2/ f . x 1/

Verfahren nicht auf x 4 und x 3 angewandt werden).

J

Das folgt aus x 2 x 3 D
f . x 2/
x 2 x 1
f . x 2/ f . x 1/ , was sich mit dem zweiten

Strahlensatz ergibt.

8.4.12.2

Newton’sches Verfahren

Dieses Verfahren lässt sich zur Bestimmung immer besserer Nä-

Das Newton’sche Verfahren ist eine Methode zur näherungswei-
herungslösungen für die Nullstelle x 0 beliebig oft wiederholen.

sen Bestimmung einer Nullstelle einer stetig differenzierbaren

Im nächsten Schritt wendet man das Verfahren auf x 3 und den

Funktion (Abb. 8.14).

Wert x 1 oder x 2 an, dessen Funktionswert ein von f . x 3/ verschie-
denes Vorzeichen hat.

Bei diesem Verfahren wird die Funktion in der Nähe einer Null-
stelle nicht durch eine Sekante wie bei Regula falsi, sondern

Diese Methode zur Bestimmung von Näherungswerten einer
durch eine Tangente ersetzt.

Nullstelle einer stetigen Funktion heißt auch Sekantenverfahren.

Für eine stetig differenzierbare Funktion y D f . x/ wird eine

Nullstelle, also eine Stelle x 0 mit f . x 0/ D 0 gesucht. Ist x 1 ei-

Beispiel
ne Stelle in der Nähe der Nullstelle x 0, dann ersetzt man die

Funktion durch die Tangente in dem Punkt P. x j

1 f . x 1//. Der
f . x/ D x 3 C 2 x 2 C 10 x 20

Schnittpunkt x 2 dieser Tangente mit der x-Achse ergibt einen
neuen Näherungswert für die Nullstelle x

Für x D

D

0.

1

1 und x 2

1;5 gilt f . x 1/ D f .1/ D 7 und
f . x 2/ D f .1;5/ D 2;875. Eine bessere Näherungslösung
für die Nullstelle von f . x/, die zwischen 1 und 1,5 liegt,
erhält man mit Regula falsi:

f . x 1/
x D

2
x 1
f 0. x 1/
x D

3

1;5

1;5 1

2;875 .7/ 2;875

D

Damit x

1;5 0;5 2;875 D 1;3544 : : :

2 tatsächlich ein besserer Näherungswert als x 1 für die

9;875

Nullstelle x 0 ist, muss in der Umgebung von x 0 die Bedingung
j f. x/ f 00. x/ j < 1 erfüllt sein.

Œ f 0. x/2

8.5

Integralrechnung

165

Dasselbe Verfahren lässt sich auch auf x 2 anwenden. Man erhält

Beispiele

I
als weitere Verbesserung den Wert x D
f. x 2/

3
x 2
f 0. x 2/ . Allgemein
findet man durch folgende Iterationsvorschrift aus x 1 eine Folge

1. Funktion: f . x/ D x 2 2 x 3
von verbesserten Näherungswerten x 2, x 3, x 4, . . . für die Null-

Teil

Stammfunktion: F. x/ D 1 x 3 x 2 3 x, aber zum Bei-
stelle x

3

0.

spiel auch F 1. x/ D 1 x 3 x 2 3 x C 5

3

2. Funktion: f . x/ D sin x

Stammfunktion: F. x/ D cos x oder etwa F 1. x/ D
x

D
f . xk/
cos x C 3
k C1
xk

; k D 1; 2; 3; : : :

f 0. xk/

3. Funktionen: f . x/ D xk ( k 2 R, k ¤ 1)

Stammfunktionen: F. x/ D xk C1 C C ( C 2 R)

k C1

Diese Methode zur Bestimmung von Näherungswerten einer

4. Funktion: f . x/ D x1 D 1 x

Nullstelle einer stetig differenzierbaren Funktion heißt New-

Stammfunktionen: F. x/ D ln x C C ( C 2 R)

ton’sches Verfahren (nach dem englischen Mathematiker Isaac

5. Funktion: f . x/ D ex

Newton, 1642–1727) oder auch Tangentenverfahren.

Stammfunktionen: f . x/ D ex C C ( k 2 R)

J

Beispiel

Die Gesamtheit aller Stammfunktionen F. x/ C C heißt unbe-
f . x/ D x 3 C 2 x 2 C 10 x 20
stimmtes Integral der Funktion y D f . x/, gesprochen: Integral
über f . x/ dx und geschrieben

Wegen f 0. x/ D 3 x 2 C 4 x C 10 erhält man die Iterations-
vorschrift
x 3 C 2 x 2 C 10 x

Z
k

20
x

D
k
k
k C1
xk

3 x 2 C 4 x C 10
f . x/ dx D F. x/ C C
k
k

Für die Anfangsnäherung x D

1

1 gilt f . x 1/ D f .1/ D 7,
und man berechnet

R

Das Zeichen
heißt Integralzeichen, und f . x/ heißt Integrand.

x D

2

1;4117 : : : mit f . x 2/ D 0;9175 : : : ;

Die Variable x nennt man Integrationsvariable und C Integrati-
x D

3

1;3693 : : : mit f . x 3/ D 0;0111 : : : ;
onskonstante.

x D

4

1;3688 : : : mit f . x 4/ D 0;000001 : : :

Die Konstante C soll andeuten, dass F. x/ durch die Funktion

Die Zahl x
f . x/ bis auf eine additive Konstante bestimmt ist.

4 ist also schon eine sehr gute Näherung für die

Nullstelle x 0.

J

Beispiele

R

1.

x 3 dx D 1 x 4 C C

4

R

8.5

Integralrechnung

2.

cos xdx D sin x C C

R

3.

. x 4 3 x 2 C 1/ dx D 1 x 5 3 1 x 3 C x C C D 1 x 5

5

3

5
x 3 C x C C

J

8.5.1

Unbestimmtes Integral

Ist y D f . x/ eine Funktion mit einem Intervall I als Definiti-
onsbereich, dann heißt eine differenzierbare Funktion F. x/ mit
demselben Intervall I als Definitionsbereich eine Stammfunkti-

8.5.2

Integrationsregeln
on von f . x/, wenn für alle x 2 I gilt

Die folgenden Integrationsregeln zur Berechnung der unbe-
stimmten Integrale von Funktionen lassen sich durch Differen-

F 0. x/ D f . x/
tiation der entsprechenden Gleichung beweisen.

1. Faktorregel

Die Funktion f . x/ heißt dann integrierbar.

Ein konstanter Faktor im Integranden kann vor das Integral-

Ist F. x/ eine Stammfunktion von f . x/, so ist auch F. x/ C c für
zeichen gezogen werden.

eine beliebige Konstante c eine Stammfunktion, denn eine ad-
ditive Konstante verschwindet bei der Differentiation. Somit ist

Z

Z
f F. x/ C C j C 2 Rg die Menge aller Stammfunktionen von f . x/.

cf . x/ dx D c
f . x/ dx . c 2 R/

Stammfunktionen sind also bis auf eine additive Konstante ein-
deutig bestimmt.

166

8 Differential- und Integralrechnung

Teil

Beispiel

Beweis:

I

Nach der Kettenregel zur Differentiation zusammengesetzter

1.

Z

Z

Funktionen gilt:

3 xdx D 3
xdx D 3 1 x 2 C C D 3 x 2 C C

J

2

2
d
f 0. x/

. lnf . x/ C C/ D
dx
f . x/

2. Potenzregel

Beispiel

Z

4.

Z
xndx D

1
xn C1 C C

2 x C 3
n C 1
dx D ln j x 2 C 3 x 5j C C

J
x 2 C 3 x 5

Beweis:

5. Partielle Integration
d

1

Lässt sich die Funktion f . x/ als Produkt zweier Funktionen
xn C1 C C

D xn
g. x/ D u. x/ und h. x/ D v 0. x/ darstellen, also f . x/ D g. x/
dx
n C 1
h. x/ D u. x/ v 0. x/, dann gilt

Beispiel

Z

Z

2.

Z
u. x/ v 0. x/ dx D u. x/ v. x/
u 0. x/ v. x/ dx
x 5 dx D 1 x 6 C C

J

6

Beweis:

3. Summenregel

Das unbestimmte Integral einer Summe ist gleich der Sum-

Mit der Produktregel der Differentialrechnung ergibt sich
me der unbestimmten Integrale (falls Stammfunktionen exis-
tieren).

d . u. x/ v. x// D u 0. x/ v. x/ C u. x/ v 0. x/;
dx

Z

Z

Z
woraus mit der Summenregel der Integralrechnung die Behaup-

. f . x/ C g. x// dx D
f . x/ dx C
g. x/ dx
tung folgt.

R

Mit dieser Methode wird ein Integral der Form
u. x/ v 0. x/ dx

R
auf das oft leichter berechenbare Integral
u 0. x/ v. x/ dx zurück-
geführt.

Beispiel

3. Z

Z

Z

Z

Beispiele

.4 x 3 3 x 2 C 5/ dx D 4 x 3 dx 3 x 2 dx C 5 dx

R

Z

Z

Z

5.

ln xdx

D

Setzt man u. x/ D ln x und v 0. x/ D 1, dann ist u 0. x/ D

4
x 3 dx 3
x 2 dx C

5 dx

1 und v. x/ D x, und es ergibt sich
x

D

Z

Z

Z

4 1 x 4 3 1 x 3 C 5 x C C

4

3
ln xdx D

1 ln xdx D x ln x
x 1 dx

D x 4 x 3 C 5 x C C

J
x

Z

D x ln x
dx D x ln x x C C

4. Ist der Integrand ein Bruch, in dem der Zähler die Ableitung

R
des Nenners ist, dann ist das unbestimmte Integral gleich

6.

xexdx
dem natürlichen Logarithmus des Absolutbetrages der Nen-

Setzt man u. x/ D x und v 0. x/ D ex, dann ist u 0. x/ D 1
nerfunktion.

und v. x/ D ex, und es folgt

Z

Z

Z
xexdx D xex

1 exdx D xex ex C C
f 0. x/ dx D ln j f. x/j C C
f . x/

D . x 1/ ex C C

8.5

Integralrechnung

167

R

R

I

7.

x cos xdx

11.

. x 2 C 7/8 xdx
p

Setzt man u. x/ D x und v 0. x/ D cos x, dann ist u 0. x/ D

Substituiert man x 2 C 7 D t, also x D '. t/ D
t 7,

1 und v. x/ D sin x, und es ergibt sich

Teil
dann ist nach der Kettenregel '0. t/ D dx D 1 1
p

1
dt

2
t7

Z

Z
oder dx D dt

1
p

, und es ergibt sich

2
t7
x cos xdx D x sin x

1 sin xdx

Z

Z
p
dt

D x sin x C cos x C C

. x 2 C 7/8 xdx D
t 8
t 7

1
p

2
t 7

R

Z

8.

xn ln xdx ( n 2 N)

D 1
t 8 dt D 1 1 t 9 C C

Setzt man u. x/ D ln x und v 0. x/ D xn, dann ist u 0. x/ D

2

2

9

1 und v. x/ D xn C1 , und es ergibt sich
x
n C1

D 1 . x 2 C 7/9 C C

J

18

Z

Z 1
xn ln xdx D xn C1 ln x
xn C1 dx
n C 1
x
n C 1

Z

Das letzte Integral lässt sich noch einfacher berechnen, wenn

D xn C1 ln x

1
xndx
man die obige Substitutionsgleichung von rechts nach links liest
n C 1
n C 1

(mit der Substitution u D '. x/).

D xn C1 ln x

1
xn C1 C C J
n C 1

. n C 1/2

Z

Z
f .'. x//'0. x/ dx D
f . u/ du

6. Substitutionsmethode

Durch Substitution x D '. t/ der unabhängigen Variablen
einer Funktion y D f . x/, also Einführung einer neuen Varia-

Beispiel
blen t, ergibt sich für das unbestimmte Integral

Z

Z

12.

Z

Z

. x 2 C 7/8 xdx D 1
u 8 du D 1 u 9 C C

2

18
f . x/ dx D
f .'. t//'0. t/ dt

D 1 . x 2 C 7/9 C C

18

Durch geeignete Substitution kann das Integral auf der rechten
mit der Substitution u D x 2 C 7, woraus du D 2 xdx

Seite der Gleichung einfacher zu berechnen sein als das Aus-

R
folgt.

J
gangsintegral
f . x/ dx. Die Substitution muss so gewählt sein,
dass x D '. t/ nach t differenzierbar ist.

Beispiele

Spezialfall

R

Z

Œ f . x/ n C1

9.

dx

.

Œ

C

2C3 x/2
f . x/ n f 0. x/ dx D

C

. n ¤ 1/
n C 1

Substituiert man 2 C 3 x D t, also x D '. t/ D t2 ,

3
dann ist '0. t/ D dx D 1 oder dx D dt , und es ergibt
dt

3

3
sich

Z

Z

Beispiel
dx

D

1 dt D 1 C C

.

Z

Z

2 C 3 x/2
t 2

3

3 t

13.

cos5 x sin xdx D
cos5 x . sin x/ dx

D 1

1

C C

3

2 C 3 x

R

D 1 cos6 x C C

J

10.

.1 C x/ ndx ( n 2 N)

6

Substituiert man x D '. t/ D t 1, dann ist '0. t/ D
dx D 1, also dx D dt, und es ergibt sich
dt

7. Partialbruchzerlegung

Z

Z

Die Integration gebrochener rationaler Funktionen y D f . x/
tn C1

.1 C x/ ndx D
tndt D

C C
mit
n C 1
anxn C an1 xn1 C : : : C a 2 x 2 C a 1 x C a 0

.

f . x/ D

D x C 1/ n C1 C
b

C
mxm C bm1 xm1 C : : : C b 2 x 2 C b 1 x C b 0
n C 1
wird oftmals durch eine Partialbruchzerlegung von f . x/ (Ab-
schn. 5.5.2) einfacher oder überhaupt erst möglich.

168

8 Differential- und Integralrechnung

Teil

Beispiele

Vergleich der Koeffizienten von x und der Absolut-

I

R
glieder:

14.

6 x 2 x C1 dx
x 3 x

Partialbruchzerlegung der Funktion liefert (vgl. Ab-

1 D 3 A C 3 B;

7 D 3 A 6 B
schn. 5.5.2, Beispiel 3):

Lösung dieses Gleichungssystems mit zwei Gleichun-

6 x 2 x C 1 D 1 C 3 C 4
gen und zwei Variablen A und B:

x 3 x
x
x 1
x C 1

Mit der Summenregel folgt:

A D 1;

B D 2

3

Z 6 x 2 x C 1 dx

Damit ergibt sich für das unbestimmte Integral:

x 3 x

Z

Z

Z

Z 12 x 3 27 x 2 8 x C 37

D

1

3

4
dx C
dx C
dx
dx
x
x 1
x C 1

3 x 2 3 x 6

Z

Z

Z

Z

D ln j x j C 3 ln j x 1j C 4 ln j x C 1j C C

D

1

2

4 xdx

5 dx C
dx
dx
x

R

2

3. x C 1/

15.

3 x 2 x C1 dx
x 32 x 2C x

D 2 x 2 5 x C ln. x 2/ 2 ln. x C 1/ C C

J

Durch Partialbruchzerlegung erhält man (vgl. Ab-

3
schn. 5.5.2, Beispiel 2):

3 x 2 x C 1 D 1 C 2 C

3
x 3 2 x 2 C x
x
x 1

. x 1/2

8.5.3

Unbestimmte Integrale einiger

Daraus errechnet sich das unbestimmte Integral der
algebraischer Funktionen

Funktion:

Z 3 x 2 x C 1

Mit den Integrationsregeln aus Abschn. 8.5.2 lassen sich die un-
dx
bestimmten Integrale von algebraischen Funktionen berechnen.

x 3 2 x 2 C x

Z

Z

Z

D

1

2

3
dx C
dx C
dx
x
x 1

. x 1/2

Rationale Funktionen

Z

D ln j x j C 2 ln j x 1j 3 C C
x 1
adx D ax C C

R

16.

12 x 327 x 28 x C37 dx

Z

3 x 23 x6

Polynomdivision ergibt für den Integranden:

xdx D 1 x 2 C C

2

12 x 3 27 x 2 8 x C 37

Z

D 4 x 5 C
x C 7

3 x 2 3 x 6

3. x 2 x 2/
xndx D xn C1 C C
n C 1

Nullstellen des Nenners: x D

D

Z

1

2, x 2

1

Zerlegung des Nennerpolynoms:

. anxn C an1 xn1 C : : : C a 1 x C a 0/ dx
x 2 x 2 D . x 2/. x C 1/
a
a
a

D
n
n1

1
xn C1 C
xn C : : : C
x 2 C a 0 x C C
n C 1
n

2

Ansatz zur Zerlegung des Bruches in Partialbrüche:

Z 1
x C 7
dx D ln j x j C C

D A C B
x

3. x 2 x 2/
x 2
x C 1

Z 1

1

Multiplikation mit dem Hauptnenner:

dx D

1

C C . n ¤ 1/
xn
n 1 xn1
x C 7 D 3 A. x C 1/ C 3 B. x 2/

Z xm
xm C1

D .

C

3 A C 3 B/ x C .3 A 6 B/
dx D

1

C

. n ¤ m C 1/
xn
m n C 1 xn

8.5

Integralrechnung

169
y

I

Irrationale Funktionen

Z p
f x

( )

3
xdx D 2 x 2 C C

Teil

3

Z p
n
p
n
n
xdx D
xn C1 C C
n C 1

0
a = x 0 x 1 x 2 ... xk–1 xk xk xk+1 ... xn–1 x
b
n =
x

Z p
p
m x
m xm C1
p dx D
mn
p

C C

Abb. 8.15 Zur Definition des bestimmten Integrals
n x
n m C mn
n x
y
y = f x

( )

+

+

8.5.4

Unbestimmte Integrale einiger
b
transzendenter Funktionen
a
x

0

–

–

Auch für einige transzendente Funktionen lassen sich die unbe-
stimmten Integrale mit den Integrationsregeln aus Abschn. 8.5.2
berechnen.

Abb. 8.16 Bestimmtes Integral

Trigonometrische Funktionen

Z

8.5.5

Bestimmtes Integral
sin xdx D cos x C C

Z

Ist y D f . x/ eine beschränkte Funktion mit einem abgeschlosse-
cos xdx D sin x C C
nen Intervall als Definitionsbereich, also D D Œ a; b, dann ist

R b

Z
das bestimmte Integral von f . x/ definiert durch
f . x/ dx D
a

P
lim
n
f .

tan xdx D ln j cos x j C C
n!1
k D1
k/ xk, falls dieser Grenzwert existiert und un-
abhängig von der Wahl der Zahlen xk und k ist (gesprochen:

Z

Integral von a bis b über f . x/ dx). Dabei ist a D x 0 < x 1 <
cot xdx D ln j sin x j C C

: : : < x D
n
b eine Einteilung (Zerlegung) des Intervalls Œ a; b

D

Z
mit x
x
x

k
k
k1 und k, k D 1; 2; : : : ; n, ein beliebiger

1

Zwischenpunkt mit x

k1
k
xk (Abb. 8.15).

dx D tan x C C
x ¤ .2 k C 1/ ; k 2 Z
cos2 x

2

Z

1
b

Z
n
dx D cot x C C

. x ¤ k; k 2 Z/

X
sin2 x
f . x/ dx D lim
f . k/ xk
n!1
a
k D1

Exponentialfunktionen

Die Funktion f . x/ heißt dann im Intervall Œ a; b integrierbar.

Z

R

Das Zeichen
heißt Integralzeichen. Man nennt a die untere
exdx D ex C C

Integrationsgrenze, b die obere Integrationsgrenze, f . x/ den In-

Z
tegranden und x die Integrationsvariable.

axdx D 1 ax C C

. a 2 R; a > 0 konstant/

Diese Integraldefinition geht auf Bernhard Riemann zurück
ln a

(deutscher Mathematiker, 1826–1866).

R b

Gilt f . x/ 0 für alle x 2 Œ a; b, dann ist
f . x/ dx gleich dem
a

Inhalt des von der Kurve (Graph der Funktion y D f . x// und

Logarithmusfunktionen
der x-Achse zwischen x D a und x D b berandeten Fläche.

R

Z
b

Für f . x/ 0 für alle x 2 Œ a; b ist
f . x/ dx der negative Flä-
a

R
ln xdx D x .ln x 1/ C C . x > 0/
b
cheninhalt. Besitzt y D f . x/ in Œ a; b Nullstellen, so ist
f . x/ dx
a

Z
die Differenz der Flächeninhalte oberhalb („C“) und unterhalb

(„“) der x-Achse (Abb. 8.16).

log xdx D 1 x .ln x 1/ C C
a
ln a

Existenz des bestimmten Integrals:

. a 2 R; a > 0 konstant; x > 0/

Jede in einem Intervall Œ a; b stetige Funktion ist dort auch in-
tegrierbar. Auch jede im Intervall Œ a; b beschränkte Funktion,

170

8 Differential- und Integralrechnung

Teil
die in Œ a; b nur endlich viele Unstetigkeitsstellen besitzt, ist in

8.5.6

Hauptsatz der Differential- und
diesem Intervall integrierbar.

Integralrechnung

I

Beispiele

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung liefert den

1. Für die Funktion f . x/ D c, c 2 R, D D Œ a; b und eine

Zusammenhang zwischen bestimmtem und unbestimmtem Inte-
beliebige Einteilung a D x

D

0 < x 1 < : : : < xn
b des
gral einer Funktion y D f . x/.

Intervalls Œ a; b gilt

Ist die Funktion y D f . x/ mit D D Œ a; b im Intervall Œ a; b
n

X
n

X
integrierbar, und besitzt f . x/ eine Stammfunktion F. x/, so gilt
lim
f .

D
k/ xk
lim
c xk
n!1
n!1
k D1
k D1
n

X
b

Z

D lim c

. x
k
xk

1/
f . x/ dx D F. b/ F. a/
n!1
k D1

D
a
lim c . b a/
n!1

Also ist die Funktion f . x/ im Intervall Œ a; b integrier-

Das bestimmte Integral ist also Funktionswert von F an der obe-
bar, und es gilt
ren Intervallgrenze minus Funktionswert von F an der unteren

Intervallgrenze. Dabei ist F. x/ eine beliebige Stammfunktion
b

Z
von f . x/.

cdx D c . b a/

Statt F. b/ F. a/ schreibt man auch
a

ˇ

ˇ

2. Es sei f . x/ D x, D D Œ a; b. Da f . x/ stetig ist, ist f . x/

F. x/ˇ x D b D F. x/ˇ b:

x D a
a
in Œ a; b integrierbar. Wählt man für eine Intervallein-
teilung x D

D

Mit diesem Satz wird die Berechnung des bestimmten Integrals
k
a C k mit D b a , also a D x
n

0 < x 1
a C < x D

D
einer Funktion auf die Berechnung einer Stammfunktion der

2
a C2 < : : : < xn
a C n D b, dann
folgt x D

D

Funktion zurückgeführt. Der Satz stellt somit den Zusammen-
k
xk xk1
a C k. a C. k1// D .

Wählt man außerdem
D

D
hang zwischen dem bestimmten und dem unbestimmten Integral
k
xk, also k
a C k, dann
gilt
einer Funktion y D f . x/ her. Er wurde von Gottfried Wilhelm

Leibniz (deutscher Mathematiker, 1646–1716) und Isaac New-
n

X
n

X
n

X
ton (englischer Mathematiker, 1642–1727) entdeckt.

f .

D
k/ xk
xk D

. a C k/
k D1
k D1
k D1

Beispiele
n

X
n

X

D
a C
k 2

R

ˇ
b

1.

xdx D 1 x 2ˇ b D 1 . b 2 a 2/
a
k D1
k D1

2
a

2

R

ˇ

3 dx

ˇ3
n

X
n

X

2.

D ln x D ln 3

1
x

1

D

R

ˇ
a

1 C 2
k

5

3.

x 3 dx D 1 x 4ˇ5 D 1 54 1 14 D 541 D 156

1

4

1

4

4

4

R

ˇ
k D1
k D1

4.

sin xdx D cos xˇ D cos . cos 0/

0

0
b a
b a 2 . n C

D

D

1/ n

1 C 1 D 2
a
n C

R

ˇ

2

ˇ2
n
n

2

5.

cos xdx D sin x

D sin 2 sin 0 D 0

J

0

0

.

D
b a/2
a. b a/ C

1 C 1 ;

2
n

P

P
denn
n

1 D n und
n
k D . n C1/ n . Für das be-
k D1
k D1

2

8.5.7

Eigenschaften des bestimmten Integrals
stimmte Integral ergibt sich dann
b

Z

. b a/2

Die folgenden Eigenschaften zur Berechnung des bestimmten
xdx D lim a. b a/ C

1 C 1

Integrals einer Funktion lassen sich mit Hilfe der Definition be-
n!1

2
n
a
weisen.

.

D
b a/2

1. Vertauschung der Integrationsgrenzen
a. b a/ C
lim 1 C 1

2
n!1
n

.

D
b a/2
a. b a/ C

D b 2 a 2 ;
a

Z
b

Z

2

2

2
f . x/ dx D
f . x/ dx
denn es gilt lim

1 D
n!1.1 C 1 / D 1 C lim

1. J
n
n!1 n
b
a

8.5

Integralrechnung

171
f( x)

3. Gleiche untere und obere Integrationsgrenze

I
x
a

Teil
a
b
c

Z
f . x/ dx D 0

Abb. 8.17 Zusammenfassen der Integrationsintervalle
a
y

1

1

Beispiel

0
π
π x

–1

2

3

Z

ˇˇ3

–1
x 3 dx D 1 x 4Ď 1 34 1 34 D 0

J

4

ˇ

4

4

R

3

3

Abb. 8.18
cos xdx D 0

0

R

R
b
b

4. Existieren die bestimmten Integrale
f . x/ dx und
g. x/ dx,

Beispiel
a
a
so gilt für beliebige c

2

1, c 2

R

2

Z

ˇˇ2
xdx D 1 x 2Ď 1 22 1 62 D 2 18 D 16

2

ˇ

2

2

6
b

Z
b

Z
b

Z

6

6

Z

ˇ

. c f . x/ C c g. x// dx D c
f . x/ dx C c
g. x/ dx

ˇ

1

2

1

2

6

1
xdx D 1 x 2Ď

62 1 22
a
a
a

2

ˇ

2

2

2

2

D .18 2/ D 16

J

Beispiel

2. Zusammenfassen der Integrationsintervalle (Abb. 8.17)

4

Z

4

Z

4

Z

.2 x 4 x 3/ dx D 2
xdx 4
x 3 dx
b

Z
c

Z
c

Z

1

1

1
f . x/ dx C
f . x/ dx D
f . x/ dx

Einzelberechnung der Integrale:

a
b
a

4

Z

ˇ

.2 x 4 x 3/ dx D . x 2 x 4/ˇ41

Beispiel (Abb. 8.18)

1

D .42 44/ .12 14/

Z

D 240 0 D 240

2

Z

Z
cos xdx D
cos xdx C
cos xdx

4

Z

ˇ

1

ˇ4

2
xdx D 2
x 2ˇ

0

0

ˇ

2

2

1

1

Einzelberechnung der Integrale:

D

1

2

42 1 12

Z

ˇ

2

2

cos xdx D sin xˇ D sin sin 0 D 0 0 D 0

0

D 2 8 1 D 15

0

2

2

Z

4

ˇ

Ž

1

ˇ4
cos xdx D sin xˇ=2 D sin
sin 0 D 1 0 D 1

4
x 3 dx D 4
x 4ˇ

0

ˇ

2

4

1

0

1

Z

ˇ

D

1

4

44 1 14
cos xdx D sin xˇ

D

D

=
sin sin

0 1 D 1

4

4

2

2

=2

D

D

J

4 64 1

255

J

4

172

8 Differential- und Integralrechnung

Teil
y

P
y
f x

= ( )

I

1

Pn
f x

( )

Pk
a
x
b
x

P

Δ S k

0

Pk–1

Δ yk

Δ xk

Abb. 8.20 Rotationskörper
x
a x

• • •
x

0 =
x

1
k–1
k

• • •
x

b
n =
x
p

Mit f 0 ist auch

1 C f 02 in Œ a; b stetig, und somit folgt für die

Abb. 8.19 Streckenzug zu einer Zerlegung Z

Bogenlänge s mit der Definition des bestimmten Integrals:

b

8.5.8

Einige Anwendungen der
n

X q

Z q
s D lim

1 C Œ f 0.

D

1 C Œ f 0. x/2 dx

Integralrechnung
k/2 xk
n!1 k D1
a

Es gibt sehr viele Anwendungen der Integralrechnung in der

Beispiel

Technik und in den Ingenieurwissenschaften. Im Folgenden sind
p
exemplarisch einige davon genannt.

Bogen: y D

1 x 2, D D Œ a; b D Œ1; 1 (Halbkreis)

Bogenlänge

Bogenlänge:

Die Länge eines Kurvenstücks bezeichnet man als Bogenlänge.

s

1

Z

1

Z
x

2

1

Lässt sich der Bogen durch eine stetig differenzierbare Funk-
s D

1 C
p
dx D
p
dx
tion y D f . x/, f W Œ a; b ! W beschreiben, dann gilt für die

1 x 2

1 x 2

1

1

Bogenlänge s

Ď arcsin xˇ1 D

J

1
b

Z q
s D

1 C Œ f 0. x/2 dx

Volumen und Mantelfläche von Rotationskörpern
a

Ein Rotationskörper ist ein Körper, der entsteht, wenn die Kurve
einer Funktion y D f . x/ mit f . x/ 0 um die x-Achse (Rotati-
onsachse) zwischen x D a und x D b rotiert (oder die inverse

Beweis:

Funktion um die y-Achse). Rotationskörper sind aus dem Alltag

Ist a D x

D

0 < x 1 < : : : < xn
b eine Zerlegung Z des Intervalls
bekannt: Vasen, Gläser oder gedrechselte Figuren zum Beispiel.

Œ a; b mit x D

D
k
xk
xk1, k D 1; 2; : : : ; n, dann sind Pk

P
j

D

Ein Rotationskörper ist durch zwei Schnitte senkrecht zur Ro-
k . xk yk/ mit yk
f . xk/ Punkte des Kurvenstücks (Abb. 8.19).

tationsachse begrenzt. Die von der Kurve, der x-Achse und den

Die geradlinige Verbindung dieser Punkte ergibt einen Strecken-

Geraden x D a und x D b begrenzte Fläche heißt die erzeugen-
zug, dessen Länge sZ die Summe der Längen der Teilstrecken
de Fläche des Rotationskörpers.

sk ist:

Die Kugel ist zum Beispiel ein Rotationskörper. Sie entsteht
n

X
n

X q
durch Rotation eines Kreises mit dem Mittelpunkt im Koordina-
s D

D

Z

Sk

. xk xk1/2 C . yk yk1/2
tenursprung um eine der beiden Achsen. Auch gerade Kreiske-
k D1
k D1
s
gel und gerade Kreiszylinder sind Rotationskörper (Abb. 8.20).

n

X q
n

X

2

D

yk

Für das Volumen V und für den Inhalt A
x 2 C y 2 D

1 C
x

M der Mantelfläche eines
k
k

k
xk

Rotationskörpers gilt
k D1
k D1

Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung sagt aus, dass es für
eine stetig differenzierbare Funktion y D f . x/, f W Œ a; b ! W
b

Z
mindestens eine Stelle mit a <
< b gibt, so dass f. b/ f. a/ D
b a

Volumen

V D
f 2. x/ dx
f 0.
/. Es folgt, dass es in allen Intervallen . xk1; xk/ Zwischen-
a
stellen

D f. xk/ f. xk1/ D
k gibt mit yk

f 0.

x
k/. Damit folgt für
k
xk xk1
die Länge s
b

Z
q

Z des Streckenzugs Z:

D
n

X q

Mantelfläche

AM

2
f . x/ 1 C Œ f 0. x/2 dx
s D
z

1 C Œ f 0. k/2 xk
a
k D1

8.5

Integralrechnung

173

Beispiel

R

I
rk

Die Gleichung des oberen Halbkreises mit dem Radius r

Δ rk

Teil
lautet (explizite Form in kartesischen Koordinaten)

p
h
y D
r 2 x 2;

D D Œ r; r:

Die Ableitung dieser Funktion ist
x

Abb. 8.21 Zum Massenträgheitsmoment eines Vollzylinders
y 0. x/ D 1 .2 x/

1
p

D p

2
r 2 x 2
r 2 x 2

Somit berechnet man nach den obigen Formeln für das

Betrachtet man ein System von n Massenpunkten der Mas-

Volumen V und die Oberfläche AO (hier: Mantelfläche =
sen mk, k D 1; 2; : : : ; n, die sich mit der gleichen Win-

Oberfläche) einer Kugel mit dem Radius r
kelgeschwindigkeit ! um eine Achse drehen, so gilt für die
kinetische Energie:

b D r

Z
r

Z

V D

. r 2 x 2/ dx D 2

. r 2 x 2/ dx
n

X
n
m

X
k.! rk/2

!2

W D

D
r 2 m
k
k
a D r

0

ˇ

2

2

ˇ r
k D1
k D1

D 2 r 2 x 1 x 3 Ď 2 2 r 3 D 4 r 3

3

ˇ

3

3

Der Vergleich mit einer geradlinig bewegten Masse zeigt,

0s
dass der Geschwindigkeit v die Winkelgeschwindigkeit !

b D r

Z p
entspricht und der Masse m bei der Rotation die Summe

P

A D
n

O

2
r 2 x 2

1 C
x 2
dx
r 2 m
r 2 x 2
k D1 k
k . Diese Summe wird Massenträgheitsmoment
a D r
s

J genannt:

r

Z p
r

Z
r 2

D 4
r 2 x 2
dx D 4
rdx
r 2 x 2
n

X

0

0

ˇ

J D
r 2 m
k
k

D 4 rxˇ r D 4 r 2

J

0
k D1

2. Massenträgheitsmoment eines Vollzylinders (Abb. 8.21)

Volumen und Mantelfläche von Rotationskörpern lassen sich

Der betrachtete Vollzylinder hat die Höhe h und ist homogen,
auch mit Hilfe der Guldin’schen Regeln berechnen (benannt
das heißt, er hat konstante Dichte , und er rotiert um die
nach dem Mathematiker Paul Guldin, 1577–1643):

Zylinderachse.

Denkt man sich den Zylinder in n Hohlzylinder der Dicke

1. Guldin’sche Regel
r

k zerlegt, dann gilt für deren Volumen Vk

2 rk rk h.

Das Volumen eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt

Ist rk sehr klein, dann haben alle Massenpunkte eines
aus dem Inhalt der auf einer Seite der Rotationsachse liegenden

Hohlzylinders nahezu den gleichen Abstand rk von der Dreh-
erzeugenden Fläche und der Länge des Weges, den der Flächen-
achse, und es gilt für das Massenträgheitsmoment Jv des
schwerpunkt bei der Rotation zurücklegt.

Vollzylinders
n

X
n

X

2. Guldin’sche Regel

J

D

V
r 2 m
r 2 V
k
k
k
k

Der Inhalt der Mantelfläche eines Rotationskörpers ist gleich
k D1
k D1
dem Produkt aus der Länge des auf einer Seite der Rotations-
n

X
n

X
achse liegenden erzeugenden Kurvenstücks und der Länge des

r 2 2 r r h D 2 h
r 3 r
k
k
k
k
k

Weges, den der Schwerpunkt des erzeugenden Kurvenstücks bei
k D1
k D1
der Rotation zurücklegt.

Wählt man die Unterteilung immer feiner, also r !

k

0, so
folgt mit der Definition des bestimmten Integrals

Massenträgheitsmoment von Zylindern

1. Definition des Massenträgheitsmoments
n

X

R

Z

Dreht sich ein Massenpunkt der Masse m im Abstand r um

J D

V

2 h lim
r 3 rk D 2 h
r 3 dr
k
n!1
eine Rotationsachse, so gilt für die Geschwindigkeit v D ! r,
k D1

0
wobei ! die Winkelgeschwindigkeit ist. Für die kinetische

R 4

R 2

R 2

Energie gilt:

D 2 h

D 1 hR 4 D
hR 2 D
mV

4

2

2

2

W D m v 2 D m .! r/2

2

2
m D
v
hR 2 ist die Masse des Vollzylinders

174

8 Differential- und Integralrechnung

Teil

Ra

Beispiel

I
fn. x/ D xn ) Funktionenfolge:

Ri
h

. fn. x// D . xn/ D . x; x 2; x 3; x 4; : : :/
x D x D

0

2 ) Zahlenfolge:

.2 n/ D .2; 22; 23; 24; : : :/ D .2; 4; 8; 16; : : :/

J

Abb. 8.22 Zum Massenträgheitsmoment eines Hohlzylinders

Die Konvergenz von Funktionenfolgen wird analog zur Konver-

3. Massenträgheitsmoment eines Hohlzylinders (Abb. 8.22)

genz von Zahlenfolgen definiert:

Das Massenträgheitsmoment JH eines Hohlzylinders mit

Die Funktionenfolge ( fn. x/) konvergiert in einem Bereich E
dem Außendurchmesser Ra, dem Innendurchmesser Ri, der

D R gegen die Funktion f . x/, wenn für jedes x 2 E die Fol-

Höhe h und der konstanten Dichte in Bezug auf die Zy-
ge ( fn. x/) gegen den Funktionswert f . x/ konvergiert. Das heißt,
linderachse erhält man als Differenz der Trägheitsmomente
zu jedem x 2 E lässt sich nach Vorgabe einer positiven Zahl "

zweier Vollzylinder.

ein n 2

0

N (im Allgemeinen sowohl von x als auch von " ab-
hängig, also n D

0
n 0."; x/) so finden, dass für alle n n 0 gilt

Ra

Z

Ri

Z

Ra

Z
j f . x/ fn. x/j < ". Man nennt dieses punktweise Konvergenz der

J D

H

2 h
r 3 dr 2 h
r 3 dr D 2 h
r 3 dr

Funktionenfolge und schreibt dafür

0

0

Ri

ˇ
r 4 ˇ Ra

D 2 h

Ď 1 h. R 4 R 4/

4 ˇ

2
a
i
lim fn. x/ D f . x/ für x 2 E

Ri
n!1

R 2 C R 2

R 2 C R 2

D a
i h. R 2 R 2/ D a
i mH

2
a
i

2

Hängt dagegen die Größe von n 0 nur von " ab und nicht auch von
mH D h. R 2 R 2/ ist die Masse des Hohlzylinders
x, also n D

0
n 0."/, dann heißt die Funktionenfolge gleichmäßig
a
i
konvergent in E.

Die Funktion f . x/ heißt Grenzfunktion der Funktionenfolge

8.6

Funktionenreihen

. fn. x//.

Beispiel

Zur Untersuchung von Eigenschaften gegebener Funktionen ist

es oftmals sinnvoll, eine Funktion näherungsweise durch eine
f

0; 1
unendliche Reihe darzustellen. Eine solche Darstellung heißt
n. x/ D xn;

D D

2

Entwicklung der Funktion in eine unendliche Reihe. Häufig
wählt man, gerade bei praktischen Anwendungen, als Dar-

Für ein beliebiges " > 0 wählt man n 0 so, dass 1 < "

2 n 0
stellung eine Potenzreihe oder, besonders bei Funktionen, die
ist. Für alle n n 0 und für alle x 2 D gilt dann:

periodische Vorgänge beschreiben, Fourier-Reihen.

j f

1
n. x/ 0j D xn 1

< ":

2 n

2 n 0

8.6.1

Definitionen

Die Funktionenfolge ist also gleichmäßig konvergent im

Definitionsbereich D mit der Grenzfunktion f . x/ D 0. J

Für jedes n D 1; 2; 3; : : : sei fn. x/ eine Funktion mit dem De-
finitionsbereich D R. Die Folge dieser Funktionen heißt

Funktionenfolge.

Eine Funktionenreihe ist die Summe der Glieder einer Funktio-
nenfolge . fn. x//.

. fn. x// D . f 1. x/; f 2. x/; f 3. x/; : : :/

Funktionenreihe

1

X
f 1. x/ C f 2. x/ C : : : C fn. x/ C : : : D
fk. x/

Wählt man x D x 2

0

D fest, so erhält man eine gewöhnliche
k D1

Zahlenfolge ( a

D
n) mit an
fn. x 0/ (Abschn. 8.1).

8.6

Funktionenreihen

175

Die folgenden Summen heißen Partialsummen der Funktionen-

I
reihe.

Reihe (Abschn. 8.2.3) mit der Grenzfunktion

1

X

1

1
k

X

1
k

Teil

F. x/ D
x 2

D x 2

F

1 C x 2

1 C x 2

1. x/ D f 1. x/;
k D1
k D1

F 2. x/ D f 1. x/ C f 2. x/;

D x 2

1

D x 2 1 D 1 C x 2:

1

1
x 2

F

1C x 2

3. x/ D f 1. x/ C f 2. x/ C f 3. x/;

1C x 2

:

P

:

1
x 2

:

Die Funktionenreihe
ist für alle x 2 R kon-
k D1 .1C x 2/ k
vergent mit der Grenzfunktion

Fn. x/ D f 1. x/ C f 2. x/ C f 3. x/ C : : : C fn. x/

(
n

X

1 C x 2
für x ¤ 0

D
f

F. x/ D

J
k . x/

0
für x D 0
k D1

In Analogie zu den gewöhnlichen Reihen heißt eine Funktionen-
reihe in einem Bereich E D R konvergent, wenn die Folge

P

8.6.2

Potenzreihen
der Partialsummen F
n
n. x/ D
f
k D1 k . x/ der Funktionenreihe in

E gegen eine Funktion F. x/ konvergiert. Man schreibt dann

P1

Funktionenreihen
f
k D0 k. x/ mit fk . x/ D ak . x x 0/ k, wobei ak ,
k D 0; 1; 2; : : : , und x 0 reelle Zahlen sind, heißen Potenzreihen.

n

X

1

X

F. x/ D lim
fk. x/ D
fk. x/
n!1

Potenzreihe
k D1
k D1

1

X a

C
k. x x 0/ k D a 0
a 1. x x 0/ C a 2. x x 0/2 C : : :

Ist die Konvergenz der Folge der Partialsummen in E punkt-
k D0
weise, dann heißt auch die Funktionenreihe in E punktweise
konvergent. Ist dagegen die Konvergenz der Folge der Par-
tialsummen gleichmäßig, so heißt auch die Funktionenreihe

Die reellen Zahlen a 0, a 1, a 2, . . . heißen Koeffizienten der Po-
gleichmäßig konvergent.

tenzreihe, x 0 heißt ihr Entwicklungspunkt.

Der Konvergenzbereich einer Potenzreihe ist die Menge aller

Die Funktion F. x/ heißt Grenzfunktion der Funktionenreihe in

Zahlen, die man für x einsetzen kann, so dass die entstehende

E. Man nennt F. x/ auch die durch die Funktionenreihe darge- numerische Reihe konvergiert.

stellte Funktion (im Konvergenzbereich E).

P1

Die Funktionenreihe
f
k D1 k. x/ heißt in E absolut konvergent,

P

Beispiel

1
wenn
j f
k D1
k . x/j < 1 für jedes x 2 E gilt. Bei absolut

P
konvergenten Funktionenreihen darf die Summationsreihenfol-

1

Zum Konvergenzbereich der Potenzreihe
xk D 1 C
k D0
ge der Ausgangsreihe beliebig geändert werden, ohne dass sich
x C x 2 C x 3 C : : : gehört die Zahl 1 , denn die numerische
dadurch der Wert der Reihe ändert.

2

P1

Reihe

. 1/ k konvergiert, die Zahl 2 aber nicht, da
k D0 2

P1
die Reihe

.2/ k divergiert.

J
k D0

Beispiel

Funktionenreihe:

Für den Konvergenzbereich einer Potenzreihe gibt es drei Mög-

1

X
lichkeiten:

x 2

; x 2 R

1. Die Reihe konvergiert nur im Entwicklungspunkt x

.

0.

1 C x 2/ k
k D1

2. Die Reihe konvergiert für alle x 2 R.

3. Die Reihe konvergiert für alle x aus einem endlichen offenen

Für x D 0 gilt f

D

C

k . x/ D
x 2

0.

Intervall . x
r; x
r/. In den beiden Randpunkten x
r

.

0

0

0

1C x 2/ k

P
und x C

0
r kann die Reihe konvergent oder divergent sein.

1

Für festes x ¤ 0 ist

1

< 1, die Reihe
f

1C x 2
k D1 k . x/ D

P

Die Zahl r heißt Konvergenzradius der Potenzreihe. Sie wird

1 x 2. 1 / k ist also eine konvergente geometrische
j
p
k D1
bestimmt durch r D lim
oder r D

1

, falls

1C x 2
n!1 j an
an C1
lim
n
n!1
j an j
diese Grenzwerte existieren.

176

8 Differential- und Integralrechnung

Teil

Die erste Möglichkeit für den Konvergenzbereich einer Potenz-
p

Die so entstehenden Potenzreihen haben den gleichen Konver-
reihe folgt aus lim
n j j D 1
genzradius r wie die Ausgangsreihe. Für x 2 . x r; x C r/ gilt
n!1
an

, es ist dann r D 0. Die
p

0

0

I
zweite Möglichkeit folgt aus lim
n j j D
somit
n!1
an

0, es ist dann
r D 1.

1

X

Beispiele

F. x/ D
ak. x x 0/ k

P1
k D0

1.

kkxk
k D1

1

X
p
p

F 0. x/ D
k ak. x x 0/ k1
lim n j a j D
n
n
lim
nn D n D 1
n!1
n!1
k D0

Z

1

X

Somit ist r D 0, der Konvergenzbereich besteht also
ak

F. x/ dx D

. x x 0/ k C1 C C
nur aus dem Entwicklungspunkt x
k C 1

0.

P
k D0

1

2.

2 k1 xk
k D0 kk C1
r
p

2 n

Die Integrationskonstante ist durch Einsetzen (zum Beispiel x D
lim n j a j D
n
n
lim
x
n!1
n!1

2 n nn

0) zu bestimmen.

D

1
lim p
p 2 D 0;

Beispiel
n!1 n 2 n n n
p
p

Potenzreihe:

denn n 2 D n n D 1.

Es ist also r D 1, die Reihe konvergiert für alle

1

X
x 2 R.

P

F. x/ D
xk D

1

1

3.

k 25 k. x 2/ k

1 x
k D0
k D0
p
p
n
lim n j a j D

(Abschn. 8.2.3)

n
lim
n 25 n
n!1
n!1
p
p

Konvergenzradius:

D lim 5 n n 2 D 5 lim . n n/2 D 5
n!1
n!1

ˇˇ

ˇ
a

ˇ
n
r D ˇˇ

ˇĎ 1 D 1

Der Konvergenzradius ist folglich r D 1 . Um den ge-
a

1

5
n C1
nauen Konvergenzbereich zu bestimmen, müssen die

Randpunkte x D

D 9

D

D 11

In den Randpunkten x D 1 und x D 1 divergiert die

1

2 1
und x

2 C 1

1

2

5

5

2

5

5
untersucht werden. Für x
numerische Reihe, der Konvergenzbereich der Potenzrei-

1 erhält man die numerische

P1

P1

Reihe
k 25 k. 1 / k D

.1/ kk 2 und für x
he ist somit das offene Intervall .1; 1/.

k D0

5
k D0

2

P1

P1
die Reihe
k 25 k. 1 / k D
k 2.

Differentiation:

k D0

5
k D0

Beide numerischen Reihen divergieren, die Potenzrei-

1

X

he konvergiert somit in keinem der Randpunkte. Der

1

F 0. x/ D
kxk1 D d

Konvergenzbereich der Potenzreihe ist das offene In-
dx

1 x
k D0
tervall . 9 ; 11 /.

J

5

5

D

1
für x 2 .1; 1/

.1 x/2

Im Konvergenzbereich der Potenzreihe wird die Grenzfunktion

Integration:

F. x/ durch die Potenzreihe dargestellt.

Z

1

X 1

F. x/ dx D
xk C1 C C
k C 1

1

X
k D0

Z

F. x/ D
ak. x x 0/ k
dx

D

D ln.1 x/
k D0

1 x

Aus x = 0 folgt C = 0, es gilt daher

Eine durch eine Potenzreihe dargestellte Funktion F. x/ ist im

Innern des Konvergenzbereichs stetig. Eine Potenzreihe konver-

1

X 1
giert in jedem abgeschlossenen Teilintervall des Konvergenzbe-
xk C1 D ln.1 x/ für x 2 .1; 1/

J
k C 1
reichs gleichmäßig. Jede Potenzreihe darf im Innern des Kon-
k D0
vergenzbereichs gliedweise differenziert und integriert werden.

8.6

Funktionenreihen

177

P1

Für zwei Potenzreihen F. x/ D
a
heißt Periode der Funktion, man nennt die Funktion y D f . x/
k D0
k . x x 0/ k und G. x/ D

P1

I
b
auch T-periodisch.

k D0
k. x x 0/ k mit dem gleichen Entwicklungspunkt x 0 gel-
ten folgende Rechenregeln ( x liegt dabei im Innern des Konver-

Eine T-periodische Funktion y D f . x/ ist eindeutig bestimmt
genzbereichs beider Reihen):

Teil
durch ihr Verhalten auf einem beliebigen Intervall der Länge T.

Diese Tatsache führte zur Einführung von Fourier-Reihen.

P1

Funktionenreihen
f
x C b
x
k D0 k . x/ mit fk . x/ D ak cos k
p
k sin k
p

Summe
für k D 1; 2; 3; : : : ( ak und bk sind reelle Zahlen) und f 0. x/ D a 02

1

X
heißen trigonometrische Reihen.

F. x/ C G. x/ D

. a C
k
bk/. x x 0/ k
k D0

Trigonometrische Reihe

Differenz

1

X

1

X

1

X
a 0
k
k
f

C
k . x/ D
ak cos
x C bk sin
x

F. x/ G. x/ D

. a
k
bk/. x x 0/ k

2
p
p
k D0
k D1
k D0

Produkt

Dabei sind . ak/, k D 0; 1; 2; : : : und . bk/, k D 1; 2; 3; : : : Zah-

F. x/ G. x/ D a

C

C

0 b 0

. a 0 b 1
a 1 b 0/. x x 0/
lenfolgen.

C . a

C

C

0 b 2
a 1 b 1
a 2 b 0/. x x 0/2 C : : :

Ist eine trigonometrische Reihe für alle x 2 R konvergent, so

1

X
stellt sie in R eine Funktion F. x/ dar:

D

. a

C

C

0 bk
a 1 bk1

: : : C akb 0/. x x 0/ k

1

a

X

0
k
k
k D0

F. x/ D

C
ak cos
x C bk sin
x

2
p
p

Quotient
k D1

1

F. x/

X

In diesem Fall ist F. x/ eine 2 p-periodische Funktion, denn es

D
ck. x x 0/ k
gilt für alle x 2 R:

G. x/
k D0

F. x C 2 p/

1

X

k
k

Die Produktdarstellung nennt man Cauchy-Produkt (nach dem

D a 0 C
ak cos

. x C 2 p/ C bk sin

. x C 2 p/
französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy, 1789–

2
p
p
k D1

1857). Den Quotienten berechnet man durch Multiplikation mit

1

a

X
k
k
dem Nenner

D 0 C
a

C
k cos
x C 2 k
bk sin
x C 2 k

2
p
p
k D1

1

X

1

X

1

X

1

X

a
a
k
k
k. x x 0/ k D
bk. x x 0/ k
ck. x x 0/ k

D 0 C
a

D
k cos
x C bk sin
x

F. x/
k D0
k D0
k D0

2
p
p
k D1
und anschließendem Koeffizientenvergleich der Potenzen von

P1

P1

Sind die numerischen Reihen
a
b

.

k und
k absolut
x x
k D1
k D1

0/ k auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens.

konvergent (Abschn. 8.6.1), dann gilt:

1. Die trigonometrische Reihe

1

8.6.3

Fourier-Reihen
a

X

0

C
k
k
ak cos
x C bk sin
x

2
p
p
k D1

In der Praxis treten häufig periodische Vorgänge auf (zum Bei-
ist für alle x 2 R konvergent.

spiel Schwingungen in der Elektrotechnik, Akustik oder Optik),

2. Die Funktion F. x/ mit
die sich am besten durch periodische Funktionen beschreiben
lassen. Oftmals ist es dann notwendig oder vorteilhaft, eine

1

a

X
k
k
solche periodische Funktion exakt oder angenähert durch ei-

0

F. x/ D

C
ak cos
x C bk sin
x
ne Funktionenreihe, deren Summanden bestimmte Summen aus

2
p
p
k D1
trigonometrischen Funktionen sind, darzustellen.

ist in R stetig.

Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Bedingung f . x C

T/ D f . x/ für alle x aus dem Definitionsbereich D erfüllt, wobei Es sei y D f . x/ eine 2 p-periodische Funktion, die über dem T ¤ 0 eine Konstante ist, heißt periodische Funktion (Ab-Intervall Œ p; p integrierbar ist. Dann heißen die Zahlen ak und
schn. 5.2.7). Die kleinste positive Zahl T mit dieser Eigenschaft
bk die Fourier-Koeffizienten der Funktion f . x/.

178

8 Differential- und Integralrechnung

Teil

Die Bestimmung der Fourier-Koeffizienten einer Funktion heißt

Fourier-Koeffizienten von f . x/
harmonische Analyse.

I
p

Z
k

Der Satz von Dirichlet (nach dem Mathematiker Peter Gustav
a D 1
k
f . x/ cos
xdx

. k 2 N/

Lejeune Dirichlet, 1805–1859) gibt hinreichende Bedingungen
p
p
p
dafür an, dass eine Funktion f . x/ durch ihre (konvergente)

Fourier-Reihe dargestellt wird, das heißt dafür, dass in ./
p

Z
k

Gleichheit für alle x gilt.

b D 1
k
f . x/ sin
xdx

. k 2 N/
p
p

Satz von Dirichlet:

p

(1) Die Funktion f . x/ mit der Periode 2 p ist im Intervall Œ p; p
bis auf endlich viele Sprungstellen (Abschn. 8.3.7) stetig.

Die mit Hilfe dieser Fourier-Koeffizienten gebildete trigono-

P1

(2) Das Intervall Œ p; p lässt sich so in endlich viele Teilin-
metrische Reihe a 0 C

. a
x C b
x/ heißt die

2
k D1
k cos k
p
ksin k
p
tervalle zerlegen, dass f . x/ in den einzelnen Teilintervallen
zur Funktion f . x/ gehörende oder die durch f . x/ erzeugte
monoton (monoton fallend oder monoton wachsend) (Ab-
oder die f . x/ formal zugeordnete Fourier-Reihe (Name nach
schn. 5.2.1) ist.

dem französischen Mathematiker Jean-Baptiste-Joseph Fourier,

1768–1830). Man schreibt:

Gelten (1) und (2) für eine Funktion f . x/, so konvergiert die

Fourier-Reihe von f . x/ und stellt die Funktion auch dar.

An den Sprungstellen der Funktion nimmt die Fourier-Reihe
f . x/ formal zugeordnete Fourier-Reihe
den Mittelwert an, das heißt, für eine Sprungstelle x 1 gilt

1

a

X

0
k
k
f . x/

C
a

k cos
x C bk sin
x

()

2
p
p
k D1
f . x 1/ D 1
lim f . x/ C lim f . x/

2
x! x 1C0
x! x 10

Das Zeichen soll andeuten, dass die Zuordnung von f . x/ zu

(Abschn. 8.3.2).

ihrer Fourier-Reihe eine formale Zuordnung ist. Es ist nichts

Häufig kommt es vor, dass die Funktion f . x/ nur in dem Inter-
ausgesagt über die Konvergenz dieser Fourier-Reihe und nichts
vall Œ p; p definiert, nicht aber periodisch ist. In diesem Fall
darüber, ob im Falle der Konvergenz die Fourier-Reihe die
setzt man die Funktion f . x/ einfach nach links und nach rechts

Funktion f . x/ auch darstellt, das heißt, ob in ./ die Gleichheit periodisch fort und bestimmt dann die Fourier-Reihe zu der fort-
gilt.

gesetzten Funktion (siehe Beispiele 2–4, Abb. 8.23, 8.24, 8.25

Da die Integranden der Fourier-Koeffizienten 2 p-periodisch
und 8.26).

sind, kann dort jedes Intervall der Länge 2 p als Integrations-
intervall verwendet werden, zum Beispiel Œ0; 2 p.

In den folgenden Beispielen werden die Fourier-Reihen von

Funktionen berechnet, die häufig in der Praxis auftreten.

Ist f . x/ eine gerade Funktion, das heißt, gilt f . x/ D f . x/ (Ab-
schn. 5.2.2), so folgt

Beispiele
f . x/ gerade Funktion

1. Rechteckpuls

Es sei f . x/ die 2-periodische Funktion mit
p

Z
k

8
a D 2
k
f . x/ cos
xdx

. k 2 N/
p
p

ˆ

< A für j x j < 2

0
f . x/ D

A

ˆ
für j x j D

2

2
b D

:

k

0

. k 2 N/

0
für < j x j

2

(periodisch fortsetzen).

Für eine ungerade Funktion f . x/, also f . x/ D f . x/, folgt

Bestimmung der formalen Fourier-Reihe von f . x/:

Da f . x/ eine gerade Funktion ist, gilt b D
k

0 für die

Fourier-Koeffizienten bk.

f . x/ ungerade Funktion

Berechnung der ak:

k D 0:

a D
k

0

. k 2 N/

p

Z

Z

2

Z
k
b D 2

D 2
k
f . x/ sin
xdx

. k 2 N/
a 0
f . x/ dx D 2

Adx D A
p
p

0

0

0

8.6

Funktionenreihen

179
f( x)

f x

( )

I

1

A

Teil

–3

–1

1

3
x

Abb. 8.24 Graph der periodisch fortgesetzten Funktion von Beispiel 2

1

−π

0
π
x

Abb. 8.23 Rechteckpuls
denn im Intervall Œ0; 1 gilt 1 j x j D 1 x.

k ¤ 0:

1

Z
k 2 N:

a D
k

2

.1 x/ cos kxdx

Z

0
a D 2
k
f . x/ cos kxdx

1

Z

1

Z

0

D

2
cos kxdx
x cos kxdx

2

Z
k

D 2 A

0

0

cos kxdx D 2 A

ˇ

ˇ
k sin 2

1

ˇ1 x

ˇ1

0

ˇ

ˇ

(

D 2 sin kxˇ sin kx C 1 cos kx ˇ

.

k
k

. k/2

1/ n C1

2 A

0

0

D

.2 n1/
für k ungerade; k D 2 n 1

0
für k gerade; k D 2 n

D 2 1 .cos k 1/

. k/2

Fourier-Reihe von f . x/:

1

D

2

.1 .1/ k/

A

X .1/ n C1

. k/2
f . x/

C 2 A
cos.2 n 1/ x

2

2 n 1

(
n D1

4

für k ungerade; k D 2 n 1

. k/2

A
cos

D

D

C 2 A

5 x
cos x cos 3 x C

: : :

0
für k gerade; k D 2 n

2

3

5

Darstellbarkeit:

Das zweite Integral berechnet man mit zweimaliger

Die

Funktion
ist
in
den

Teilintervallen
partieller Integration.

.; /; . ; / und . ; / stetig und mono-

Fourier-Reihe von f . x/:

2

2

2

2
ton. An den Sprungstellen ist der Funktionswert gleich

1
dem arithmetischen Mittel der einseitigen Grenzwerte.

X
f . x/ 1 C
a

Nach dem Satz von Dirichlet wird die Funktion f . x/

2 n1 cos .2 n 1/ x

2
somit durch ihre Fourier-Reihe dargestellt:

n D1

1

X

1

4

A

X .1/ n C1

D 1 C
cos.2 n 1/ x
f . x/ D

C 2 A
cos.2 n 1/ x

2

2.2 n 1/2

2

2 n 1
n D1
n D1

2. Dreieckpuls

Darstellbarkeit:

Man setze die Funktion f . x/ D 1 j x j, 1 x 1

(1) Die Funktion f . x/ D 1 j x j ist im Intervall Œ1; 1
periodisch fort und entwickle sie in eine Fourier-Reihe.

überall stetig.

Die periodisch fortgesetzte Funktion hat die Periode

(2) Zerlegt man das Periodenintervall Œ1; 1 in die

2, in den Formeln muss deshalb 2 p D 2, also p D 1
zwei Teilintervalle Œ1; 0 und Œ0; 1, so ist f . x/ in
gesetzt werden. Da f . x/ eine gerade Funktion ist, folgt

Œ1; 0 monoton wachsend und in Œ0; 1 monoton
b D
fallend.

k

0 für k D 1; 2; 3; : : :

Berechnung der a

Nach dem Satz von Dirichlet wird die Funktion f . x/
k:

k D 0:

somit durch ihre Fourier-Reihe dargestellt:

1

Z

ˇ

1

X

4
a D

ˇ1 D

C

0

2

.1 x/ dx D .1 x/2

1;
f . x/ D 1
cos.2 n 1/ x

0

2

2.2 n 1/2

0
n D1

180

8 Differential- und Integralrechnung

Teil
f x

( )

f x

( )

I

1

1

−2 π

− π

0
π

2 π
x
x

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

Abb. 8.25 Graph der periodisch fortgesetzten Funktion von Beispiel 3

Abb. 8.26 Graph der periodisch fortgesetzten Funktion von Beispiel 4

4. Man setze die Funktion

3. Man setze die Funktion y D sin x, 0 x peri-

(
odisch fort und entwickle sie in eine Fourier-Reihe.

x
für 0 < x 1

Die fortgesetzte Funktion ist die Funktion f . x/ D
f . x/ D
j

1
für 1 x < 2
sin x j, sie hat die Periode , es folgt also p D .

2

Wegen j sin. x/j D j sin x j D j sin x j ist f . x/ gerade,
periodisch fort und berechne die zugehörige Fourier-
es folgt b D
k

0 für alle k.

Reihe.

Berechnung der ak:

Die fortgesetzte Funktion hat die Periode 2, es folgt
k D 0:

p D 1.

Z

ˇˇ

Die Funktion ist weder gerade noch ungerade, es müs-
a D 2

Ď 2
sen also sowohl die Fourier-Koeffizienten ak als auch

0
sin xdx D 2 . cos x/

.1 C 1/ D 4

ˇ

0
bk berechnet werden.

0

Berechnung der ak:

denn im Intervall Œ0; gilt j sin x j D sin x.

k D 0:

k ¤ 0:

2

Z

1

Z

2

Z

ˇ

ˇ

Z
a D

ˇ1 C ˇ2 D 3

0
f . x/ dx D
xdx C

1 dx D 1 x 2
x

2

0

1

2
a D 2
k

sin x cos 2 kxdx

0

0

1

0
k ¤ 0:

ˇˇ

Z

D 2

1

2

Z
sin x sin 2 kxˇ 1
cos x sin 2 kxdx

2 k

ˇ

2 k

0
a D
k
f . x/ cos kxdx

0

ˇ

0

ˇ

Z

D 2

1 cos x cos 2 kxČ 1
sin x cos 2 kxdx

1

Z

2

Z

4 k 2

ˇ

4 k 2

0

D
x cos kxdx C
cos kxdx

0

0

1

Bei beiden Umformungen wurde die Methode der par-

ˇ

ˇ

1

2
tiellen Integration angewandt. Es folgt

ˇ

Ď cos kx C sin kx Č sin kx ˇ

ˇ
x

ˇ

ˇ

k 22
k
k

1

ˇ

0

1
a D 2

4 k 2

ˇ
k

cos x cos 2 kx

1

4 k 2 1

4 k 2

Ď cos k

0
k 22 k 22

(

D

2

.

.

1 1/ D

4

0
für k gerade

4 k 2 1/

.4 k 2 1/

D 1 ..1/ k 1/ D
k 22

2
für k ungerade
k 22

Fourier-Reihe von f . x/:

1

Berechnung der b

X
k :

cos 2 kx
f . x/ 2 4

2

Z

4 k 2 1
k D1
b D
k
f . x/ sin kxdx

Darstellbarkeit:

0

(1) Die Funktion f . x/ D j sin x j ist im Intervall Œ0;

1

Z

2

Z
stetig.

D
x sin kxdx C
sin kxdx

(2) Die Funktion f . x/ ist in Œ0; monoton steigend

2
und in Œ ; monoton fallend.

0

1

2

ˇ

Ňach dem Satz von Dirichlet gilt somit Gleichheit:

ˇ1

.

ˇ2

D sin kx x cos kx Č
cos kx/ ˇ

1

X
k 22
k

ˇ
k
čos 2 kx

0

1
f . x/ D 2 4

cos k

4 k 2 1

D cos k cos 2 k C

D 1
k D1
k
k
k
k

8.6

Funktionenreihen

181

I

Sowohl bei der Berechnung von ak als auch von bk
wurde zur Lösung des ersten Integrals zweimalige par-
tielle Integration durchgeführt.

Teil

Fourier-Reihe von f . x/:

1

X

.1/ k 1
f . x/ 3 C
cos kx 1

4
k 22
k sin kx
k D1

Darstellbarkeit:

Die Funktion ist im Intervall .0; 2/ stetig und mono-
ton. Mit der Definition f .0/ D f .2/ D 1 .1 C 0/ D 1

2

2
sind die Bedingungen des Satzes von Dirichlet erfüllt,
die Funktion f . x/ wird somit durch ihre Fourier-Reihe
dargestellt:

1

X

.1/ k 1
f . x/ D 3 C
cos kx 1

4
k 22
k sin kx
k D1

J

I

Anhang

Teil

9

Arnfried Kemnitz

9.1

Symbole und Bezeichnungsweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

9.2

Das griechische Alphabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

183

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_9

184

9 Anhang

Teil

9.1

Symbole und

Z

D f: : :; 3; 2; 1; 1; 2; 3; : : :g

D f x j x 2 Z; x ¤ 0g;

I

Bezeichnungsweisen

Menge der ganzen Zahlen ohne die Null

Q

D f m j m; n 2 Zg D f x j x 2 Q; x ¤ 0g;
n

Menge der rationalen Zahlen ohne die Null

Die folgenden mathematischen Zeichen sind nach DIN 1302

R

D f x j x 2 R; x ¤ 0g;

(April 1994) und DIN 5473 (Juli 1992) zusammengestellt.

Menge der reellen Zahlen ohne die Null

ZC

D N D f1; 2; 3; : : :g D f x j x 2 Z; x > 0g;

D
gleich

Menge der positiven ganzen Zahlen

¤
ungleich

QC

D f m j m; n 2 Ng D f x j x 2 Q; x > 0g;

ungefähr gleich
n

Menge der positiven rationalen Zahlen

<
kleiner als

RC

D f x j x 2 R; x > 0g;

kleiner oder gleich

Menge der positiven reellen Zahlen

>
größer als

P

D f2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; : : :g;

größer oder gleich

Menge der Primzahlen

p
sehr viel kleiner als
j

D

1; imaginäre Einheit

sehr viel größer als

1
unendlich (größer als jede reelle Zahl)

proportional

1
minus unendlich (kleiner als jede reelle Zahl)

˙
plus oder minus
nŠ

D 1 2 3 : : : n; n Fakultät

minus oder plus

P
n

D
nŠ

D n. n1/. n2/:::. n k C1/ ;
n
a

D a C a C a C : : : C a
k
kŠ. n k/Š

123::: k
k D1
k

1

2

3
n;

Binomialkoeffizient n über k

Summe über ak von k D 1 bis k D n

Q
j
n
a j

Betrag oder Absolutbetrag einer Zahl a
a

D a a a : : : a
k D1
k

1

2

3
n;
an
a hoch n, n-te Potenz von a

Produkt über a
p
k von k D 1 bis k D n
f
a

Wurzel aus a
a; b; c g

Menge aus den Elementen a, b, c
p
n
f
a
n-te Wurzel aus a
x j E. x/g Menge aller x, die die Eigenschaft E. x/ haben

2
log b

Logarithmus b zur Basis a

Element von
a

…

lg b
dekadischer Logarithmus (Zehnerlogarithmus), Lo-
nicht Element von

garithmus zur Basis a D 10

Teilmenge

¿
ln b
natürlicher Logarithmus, Logarithmus zur Basis a D
leere Menge

S
e D 2;71828182 : : :

Vereinigung von Mengen

T
ld b
binärer Logarithmus (Zweierlogarithmus), Logarith-

Durchschnitt von Mengen
j
mus zur Basis a D 2

M j

Mächtigkeit der Menge M

Œ a; b

D f x j x 2 R und a x b g;

A ^ B

A und B
abgeschlossenes beschränktes Intervall

A _ B

A oder B

:

. a; b/

D f x j x 2 R und a < x < b g;

A
nicht A (Negation von A/
offenes beschränktes Intervall

A ) B
aus A folgt B

Œ a; b/

D f x j x 2 R und a x < b g;

A , B

A und B sind äquivalent (gleichwertig)

.

halboffenes beschränktes Intervall
a; b/
geordnetes Paar

.

. a; b

D f x j x 2 R und a < x b g;
a; b; c/
geordnetes Tripel
k
halboffenes beschränktes Intervall
parallel

Œ a; 1/

D f x j x 2 R und x a g;

AB

Strecke AB
j
halboffenes Intervall, nach rechts unbeschränkt

AB j

Länge (Betrag) der Strecke AB

E

. a; 1/

D f x j x 2 R und x > a g;
a

Vektor a

!

offenes Intervall, nach rechts unbeschränkt

PQ

Vektor PQ

!

.1; a D f x j x 2 R und x a g;
jE a j; j PQ j Länge des Vektors
halboffenes Intervall, nach links unbeschränkt

ähnlich

.1; a/ D f x j x 2 R und x < a g;

Š
kongruent
offenes Intervall, nach links unbeschränkt

N

D f0; 1; 2; 3; : : :g;

.1; 1/ D f x j x 2 Rg;

Menge der natürlichen Zahlen
offenes Intervall, nach links und nach rechts unbe-

Z

D f: : :; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; : : :g;
schränkt

Menge der ganzen Zahlen

. an/

D . a 1; a 2; a 3; : : :/; Folge, Zahlenfolge

Q

D f m j m; n 2 Z; n ¤ 0g;
n
lim an

Limes, Grenzwert der Folge . an/

Menge der rationalen Zahlen
n!1

R
lim f . x/

Grenzwert (Limes) der Funktion f . x/ für x gegen a

Menge der reellen Zahlen
p
x! a

C

D f z D a C bj j a; b 2 R; j D 1g;
lim f . x/ linksseitiger Grenzwert der Funktion y D f . x/ an der
x! a0

Menge der komplexen Zahlen

Stelle x D a

N

D f1; 2; 3; : : :g;
lim f . x/ rechtsseitiger Grenzwert der Funktion y D f . x/ an
x! a C0

Menge der natürlichen Zahlen ohne die Null
der Stelle x D a

9.2

Das griechische Alphabet

185
f 0. x 0/

Ableitung von f . x/ an der Stelle x D x 0

9.2

Das griechische Alphabet
df

I

. x
dx

0/

Ableitung von f . x/ an der Stelle x D x 0
f 0. x/

Ableitung der Funktion f . x/
f 00. x/
zweite Ableitung der Funktion f . x/

Teil
f 000. x/
dritte Ableitung der Funktion f . x/

Alpha

A

˛

Jota

I

Rho

P

f . n/. x/
n-te Ableitung der Funktion f . x/

R

Beta

B

ˇ

Kappa

K

Sigma

˙
f . x/ dx
unbestimmtes Integral der Funktion y D f . x/

R b

Gamma

Lambda

Tau

T

f . x/ dx bestimmtes Integral der Funktion y D f . x/ von
a

Delta
ı

My

M

Ypsilon

x D a bis x D b

. f

Epsilon

E

"

Ny

N

Phi

˚ '

n. x//

D . f 1. x/; f 2. x/; f 3. x/; : : :/;

Funktionenfolge

Zeta

Z

Xi

Chi

X

Eta

H

Omikron

O
o

Psi

Theta

#

Pi

˘

Omega

˝ !

Physik

II

II

Teil

10

Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

11

Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

12

Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

13

Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

14

Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

15

Akustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

16

Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

17

Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

187

Einführung

10

Horst Steffen

II

Teil

10.1 Physikalische Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

10.2 SI-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

189

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_10

190

10 Einführung

Die Physik ist ein Teilgebiet der Naturwissenschaften und be-

10.2

SI-System
schäftigt sich mit der leblosen Umwelt. In der Physik wird
versucht, die Gesetzmäßigkeiten der unbelebten Materie durch

Beobachtungen und Messungen zu erfassen und in einer ma-

Die Einheiten der physikalischen Größen sind seit 1960 im
thematischen Gleichung darzustellen. Ist diese bekannt, so kann

„ Système International d’Unités“, kurz SI-System, festgelegt
man die physikalischen Gesetze für technische Zwecke ausnut-
und in der Bundesrepublik Deutschland gesetzlich vorgeschrie-
zen. Die Physik wird in folgende Gebiete unterteilt: Mechanik,
ben. Das System besteht aus Basisgrößen und abgeleiteten

Thermodynamik (Wärmelehre), Elektrizität und Magnetismus,

Größen. Die Basisgrößen sind in Tab. 10.1 angegeben.

Wellenlehre, Akustik, Optik, Atom- und Kernphysik, Festkör-
perphysik, Relativitätstheorie.

Teil

Definitionen der Basisgrößen

1 Sekunde ist das 9.192.631.770fache der Periodendauer der

II

10.1

Physikalische Größen
dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus
des Grundzustandes von Atomen des Nuklids 133Cs entspre-

Eine physikalische Größe kennzeichnet Eigenschaften, Zustän-
chenden Strahlung. (1967)

de oder Größen von messbaren Objekten. Sie ist das Produkt

1 Meter ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum während
einer Maßzahl und einer Einheit.

der Dauer von 1=299.792.458 Sekunden durchläuft. (1983)

Größe D Maßzahl Einheit

1 Kilogramm ist die Masse des internationalen Kilogrammpro-

Um Größen und ihre Einheiten deutlich zu unterscheiden, wer-
totyps. (1889)

den für sie unterschiedliche Symbole verwendet.

1 Ampere ist die Stärke eines zeitlich unveränderlichen Stroms,

Spannung D 100 1 VoltI

U D 100 1 VI

U D 100 V
der, durch zwei im Vakuum parallel im Abstand von 1 Meter
voneinander angeordnete, geradlinige, unendlich lange Leiter

In Gleichungen werden immer physikalische Größen miteinan-
von vernachlässigbar kleinem kreisförmigen Querschnitt flie-
der verbunden, das heißt, dass sowohl die Maßzahlen, aber auch
ßend, zwischen diesen Leitern je 1 Meter Leiterlänge die Kraft
die Einheiten auf beiden Seiten der Gleichung miteinander über-

2 107 Newton hervorruft. (1948)

einstimmen müssen.

1 Kelvin ist der 273,16te Teil der thermodynamischen Tempera-
tur des Tripelpunktes des Wassers. (1967)

10.1.1

Skalare

1 Candela ist die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung,
einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung der

Viele Größen sind neben ihrer Einheit allein durch ihre Maßzah-

Frequenz 540 THz aussendet und deren Strahlstärke in dieser

W
len eindeutig bestimmt, dazu gehören z. B. Temperatur, Masse,

Richtung 1
beträgt.

683 sr

Energie, Leistung, Widerstand. Solche Größen werden skalare

Größen oder Skalare genannt.

Tab. 10.1 Basisgrößen und Basiseinheiten

Gebiet

Basisgröße

Formel-

Basiseinheit

Einheiten-

10.1.2

Vektoren
zeichen
zeichen

Mechanik

Zeit
t

Sekunde
s

Länge
l

Meter
m

Bei anderen Größen reichen diese Angaben alleine nicht aus,

Masse
m

Kilogramm
kg
sondern es muss zur vollständigen Beschreibung noch eine

Elektrotechnik

Stromstärke

I

Ampere

A

Richtung angegeben werden. Zum Beispiel ist es nicht aus-

Thermodynamik Temperatur

T

Kelvin

K
reichend zu sagen, ein Auto habe eine Strecke von 100 km

Optik

Lichtstärke

IL

Candela
cd
zurückgelegt, wenn nicht auch die Richtung der Bewegung mit

Chemie

Stoffmenge
n

Mol
mol
angegeben wurde.

Solche gerichteten Größen werden Vektoren genannt. Zur voll-

Tab. 10.2 Vorsätze für dezimale Vielfache
ständigen Angabe gehört ein Betrag (Maßzahl, Einheit) und eine

Wert

Vorsatz

Zeichen

Wert

Vorsatz

Zeichen

Richtung.

1018

Exa

E

101

Dezi
d

Beispiele für Vektoren: Kraft, Geschwindigkeit, elektrische und

1015

Peta

P

102

Zenti
c
magnetische Feldstärke. Wenn die Vektoreigenschaft einer Grö-

1012

Tera

T

103

Milli
m
ße hervorgehoben werden soll, so wird dies entweder durch

109

Giga

G

106

Mikro
m
einen Pfeil über dem Größenzeichen E

F oder durch Fettdruck

106

Mega

M

109

Nano
n

F des Zeichens kenntlich gemacht. Für die mathematische

103

Kilo
k

1012

Piko
p

Behandlung von Gleichungen mit Vektoren wird die Vektorrech-

102

Hekto
h

1015

Femto
f
nung benötigt.

101

Deka
da

1018

Atto
a

10.2

SI-System

191

1 Mol ist die Stoffmenge eines Systems bestimmter Zusammen-
setzung, das aus ebenso vielen Teilchen besteht, wie Atome in

(12=1000) kg des Nuklids 12C enthalten sind. (1971)

Abgeleitete Größen

Aus den Basisgrößen lassen sich die SI-Einheiten aller anderen

Größen ableiten. Eine Zusammenfassung der wichtigsten Grö-
ßen finden Sie in Kap. 17.

Durch Vorsätze können dezimale Vielfache oder Teile der Maß-
einheiten gebildet und damit umständlicher zu benutzende Zeh-

II
nerpotenzen vermieden werden. In Tab. 10.2 sind die Vorsilben
und Kurzzeichen für die Vorsätze zusammengestellt. Doppel-
vorsätze, wie z. B. nmm sind nicht zulässig.

Teil

Mechanik

11

Horst Steffen

II

Teil

11.1 Kinematik des Massenpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

11.2 Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

11.3 Elastische Verformung fester Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

11.4 Mechanik der ruhenden Flüssigkeiten und Gase . . . . . . . . . . . 210

11.5 Hydrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

193

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_11

194

11 Mechanik

11.1

Kinematik des Massenpunktes
s
s = s + v t

0 0

Die Kinematik beschreibt die Bewegung von Körpern im Raum.

Ein Punkt im Raum wird durch seine Ortskoordinaten festge-
s 0
legt. Diese ändern sich während der Bewegung des Körpers
t
mit der Zeit. Bei größeren Systemen können einzelne Teile des
v

Systems völlig unterschiedliche Bewegungen durchführen, so
bewegt sich bei einem fahrenden Auto ein Punkt auf der Ka-
v = v 0
v 0
rosserie anders als ein Punkt auf dem Reifen. Da sich aber

T

Δ s = v 0 Δ t
eil
jeder Körper aus einzelnen Massenpunkten zusammensetzt, ist
die Beschreibung der Bewegung eines einzelnen Massenpunk-
t

Δ t

II
tes von grundlegender Bedeutung.

Abb. 11.1 s.t/ und v.t/-Diagramm einer gleichförmigen Bewegung

11.1.1

Eindimensionale Bewegungen

Beispiel

Eine Bewegung wird dann eindimensional genannt, wenn sie
nur auf einer vorgeschriebenen Bahn erfolgen kann, wie es z. B.

Ein Auto fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von
bei Schienenfahrzeugen oder auch Werkzeugschlitten der Fall

50 km=h. Um 9 Uhr ist es 30 km von seinem Startpunkt
ist. Zu ihrer Beschreibung ist dann neben der Zeitabhängigkeit
entfernt.

nur eine Ortskoordinate ausreichend.

a) Welche Zeit braucht es für einen Weg von 20 km?

b) Wo befindet es sich um 11 Uhr?

11.1.1.1

Geschwindigkeit

Lösung:

Eine wichtige Grundgröße der Kinematik ist die Geschwindig-
a) v D s ) t D s D 20 km D 0;4 h D 24 min
keit. Sie gibt an, welcher Weg s in der Zeit t zurückgelegt
t
v

50 km h1
wird. Die Geschwindigkeit ist ein Vektor, denn der Endzustand
b) s D 30 km C 2 h 50 km D 130 km

J
h
einer Bewegung hängt von der Richtung der Geschwindigkeit
ab.

s
v
s t

11.1.1.2

Beschleunigung
v D

(11.1)

t
m=s
m
s

Wenn sich die Geschwindigkeit im Lauf der Zeit ändert, liegt
eine beschleunigte Bewegung vor. Die Beschleunigung a ist der
s D s

2
s 1, Differenz der Ortskoordinaten.

Quotient aus der Änderung der Geschwindigkeit v in der Zeit

t. Wie bei der Geschwindigkeit sind auch hier Momentanbe-
t D t

2
t 1, Differenz der entsprechenden Zeiten.

schleunigung und Durchschnittsbeschleunigung zu unterschei-

Ist der Betrag der Geschwindigkeit überall gleich, so spricht
den.

man von einer gleichförmigen Bewegung. Die Geschwindig-
v
a
v t
keit ist dann unabhängig von der Größe des Zeitabschnittes.

a D

(11.3)

Ändert sich dagegen die Geschwindigkeit während der Beob-
t
m=s2
m=s
s
achtungszeit (Beispiel: anfahrendes Auto), so kann man die Mo-
mentangeschwindigkeit oder Augenblicksgeschwindigkeit nur
v D v

2
v 1, Differenz der Geschwindigkeiten.

bestimmen, wenn der Zeitabschnitt t, in dem der zurückge- t D t

2
t 1, Differenz der entsprechenden Zeiten.

legte Weg s gemessen wird, beliebig klein gemacht wird,
im Grenzfall gegen 0. Ist dies nicht möglich, erhält man die

Ist die Beschleunigung konstant, so liegt eine gleichmäßig be-

Durchschnittsgeschwindigkeit oder auch mittlere Geschwindig-
schleunigte Bewegung vor. Hat ein Körper zum Zeitpunkt t D 0
keit. Die Geschwindigkeit, mit der sich ein Körper geradlinig
die Anfangsgeschwindigkeit v 0 und befindet er sich am Ort s 0,
bewegt, nennt man auch Translationsgeschwindigkeit.

so ändern sich seine Geschwindigkeit v und die Ortskoordinate
s mit der Zeit entsprechend der folgenden Gleichungen:

Eine Masse m befindet sich zum Zeitpunkt t D 0 an einem

Ort mit der Ortskoordinate s
v D v C at

(11.4)

0. Sie hat eine konstante Geschwin-

0
digkeit v 0. Der nach Ablauf einer Zeit t zurückgelegte Weg s

C
errechnet sich nach:

s D s 0
v 0 t C 1 at 2

(11.5)

2
s D s C

Ist a D 0, so liegt eine gleichförmige Bewegung vor. Mit diesen

0
v 0 t

(11.2)

Gleichungen können auch verzögerte Bewegungen berechnet
mit s 0 und v 0 als Anfangswerte der Ortskoordinate und der Ge-
werden; a ist dann negativ einzusetzen, der Körper wird lang-
schwindigkeit.

samer und somit abgebremst (Abb. 11.1).

11.1

Kinematik des Massenpunktes

195
s

11.1.1.3

Freier Fall

Ein Beispiel für eine Bewegung unter dem Einfluss einer kon-
s = s + v t + 1/2 at 2

0

0
stanten Beschleunigung ist die Bewegung an der Erdoberfläche
s 0
allein unter dem Einfluss der Erdanziehungskraft, d. h. ohne

Luftreibung und andere Kräfte. Die Erdbeschleunigung hat für
v
t
alle Körper den mittleren Wert von g D 9;81 m=s2. Startet ein

Körper aus der Ruhe, so gelten (11.4) und (11.5) mit v D 0
v
v = v + at

0

0
und a D g Die Höhe h wird von der Erdoberfläche aus
v
in positiver Richtung nach oben gemessen und entspricht der

0

Δ s = Δ
v t

Anfangskoordinate s 0 Die Fallzeit bestimmt sich aus der Bedin-

Δ t
t
gung s. tF/ D 0.

a

II

Fallzeit:

a = const.

Teil

Δ v = aΔ t

0 D h 1 gt 2

(11.6)

2 F
s

Δ t
t

2 h
t D

F

(11.7)

g

Abb. 11.2 s.t/-, v.t/- und a.t/-Diagramm einer gleichmäßig beschleunigten

Bewegung

Die Fallgeschwindigkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt t be-
rechnet sich nach

Beispiel
vF. t/ D g t

(11.8)

Ein Eisenbahnzug, der sich 20 km von seinem Start-
daraus folgt für die Aufprallgeschwindigkeit oder Endge-
bahnhof befindet, fährt 30 min lang mit konstanter Ge-
schwindigkeit ve, die ja nach der Fallzeit tF erreicht ist:

schwindigkeit v

D

0

60 km=h. Dann wird er mit einer

D

Beschleunigung a D 0;222 m=s2 abgebremst. Wie lang
ve
g tF

(11.9)

s
ist sein Bremsweg, und wie weit ist er dann von seinem

2 h
p

Startbahnhof entfernt?

v D

D
e
g

2 hg

(11.10)

g

Lösung: Um die Bremszeit zu berechnen, wird in (11.4)

die Endgeschwindigkeit v D 0 eingesetzt:

Beispiel

Bremszeit ( v D 0):

Ein Körper fällt von einem Turm der Höhe h D 20 m im
freien Fall.

t D v 0 D

60:000 m

D

B

75 s
a

3600 s 0;222 m s2
a) Wann kommt er unten an?

Entfernung von Bahnhof zu Beginn des Bremsvorganges
b) Wie groß ist dann seine Geschwindigkeit?

nach (11.2):

Lösung:

km
a)

s D

s
s

0

20 km C 60

0;5 h D 50 km
h

2 h

2 20 m
t D

D

F

Entfernung von Bahnhof zu Ende des Bremsvorganges
g

9;81 m=s2
nach (11.5):

s

40 m
t D

D

F

2;02 s

9;81 m=s2
s D 50 km C 60 km 75 s 0;222 m 752 s2

3600 s

2 s2
s D 50;626 km

J
b)

p
r
m
v D
e

2 hg D

2 20 m 9;81 s2

Trägt man in einer Grafik den zurückgelegten Weg als Funktion
m
v D 19;8

J
der Zeit auf, so erhält man das s. t/-Diagramm. Bei Auftragung
e
s
der momentanen Geschwindigkeit als Funktion der Zeit das
v. t/-Diagramm. Im s. t/-Diagramm ist die Momentangeschwin-
digkeit anschaulich als Steigung der Weg-Zeit-Kurve abzulesen,

11.1.1.4

Senkrechter Wurf
während der in einer Zeit t zurückgelegte Weg s aus dem
v. t/-Diagramm als Fläche unter der Kurve bestimmt werden

Beim Wurf nach oben ist v 0 positiv, beim Wurf nach unten
kann ( s D v t, Abb. 11.2).

negativ einzusetzen. Hierbei kann ebenfalls eine Anfangshöhe

196

11 Mechanik
h
h = h s
v B
v G
y
b
h = s 0
v
α
x

F

Abb. 11.4 Geschwindigkeiten im Fluss
h = 0

11.1.2

Zusammengesetzte Bewegungen

T

Abb. 11.3 Senkrechter Wurf
eil

Im Gegensatz zu eindimensionalen Bewegungen sind hier bei

II
allen vektoriellen Größen zwei Angaben notwendig. Als Rich-
s D

0
h angenommen werden. Die maximale Steighöhe und die
tungen sollen x- und y-Richtung festgelegt sein, die entsprechen-

Steigzeit beim Wurf nach oben folgen aus der Bedingung, dass
den Größen werden durch die Indizes x und y unterschieden.

am Umkehrpunkt die momentane Geschwindigkeit v D 0 und

Führt ein Körper gleichzeitig Bewegungen in x- und y-Richtung
am Ende des Fluges die Höhe h D 0 sein muss. Aus diesen
aus, sogenannte zusammengesetzte Bewegungen, so überlagern

Bedingungen folgen aus (11.4) und (11.5) die nachfolgenden
sich diese Bewegungen unabhängig voneinander und der End-

Formeln. Bei negativen Werten der Geschwindigkeit ist die Be-
zustand ist derselbe, als wenn die einzelnen Bewegungen nach-
wegung abwärts gerichtet (Abb. 11.3).

einander ausgeführt worden wären.

momentane

Als Beispiel soll eine Bewegung in einem strömenden Fluss der
v. t/ D v

0
gt

(11.11)

Breite b betrachtet werden. Der Fluss fließt in x-Richtung mit

Geschwindigkeit
einer Geschwindigkeit vF. Der Geschwindigkeitsvektor kann
dann in eine Komponente parallel zum Ufer und eine senkrecht
momentane Höhe
h. t/ D s C

0
v 0 t 1 gt 2

(11.12)

2
zum Ufer aufgeteilt werden, dies sollen die x- und y-Richtung
q
sein. Eine Schreibweise hierfür ist die Komponentenschreibwei-
v C

C

0
v 2

2 s
se vektorieller Größen:

0

0 g

Flugzeit . h. t/ D 0/
t D

F

(11.13)

g

E v D . vx; vy/E v D . vx; vy/

(11.17)

q
und somit

Endgeschwindigkeit
v D

C
e
v 2

2 s

0

0 g

(11.14)

E v D

D

F

. vFx; 0/E vF

. vFx; 0/:

Steigzeit . v. t/ D 0/
t D v 0
s

(11.15)

g

In dem Wasser bewegt sich ein Boot mit einer Eigengeschwin-
digkeit E vB relativ zum Wasser. Ist das Wasser in Ruhe, so ist dies
v 2
maximale Höhe . t D t

D

C 0
auch die Geschwindigkeit relativ zum Grund E vG.

s/
hs
s 0

(11.16)

2 g

E v D

F

. vFx; 0/

Die Formeln (11.11)–(11.15) gelten auch für den senkrechten

In einem strömenden Fluss ist nun E vB unterschiedlich von E vG.

Fall nach unten, während die Formel (11.16) hier dann keinen

Die Geschwindigkeit des Bootes kann nun entweder relativ zum

Sinn ergibt.

Grund oder relativ zum Wasser angegeben werden. Der Zusam-
menhang ist (Abb. 11.4):

Beispiel

E v D E C E D

G
vB
vF

. vFx; vBy/

(11.18)

Von einem 10 m hohen Turm wird ein Stein mit einer

Es gilt also, dass sich die einzelnen Komponenten unabhängig

Anfangsgeschwindigkeit von 20 m=s senkrecht nach oben
addieren.

geworfen. Wie groß sind die maximale Höhe und die ge-

Hieraus lassen sich die folgenden Größen berechnen:

samte Flugzeit?

Zeit zum Überqueren
t D b

(11.19)

Lösung:

vBy

D

.

Weg in x-Richtung
s
v
t

(11.20)

20 m=s/2

Gx

Fx
h D

D
s

10 m C

30;39 m

Weg in y-Richtung
s

D v t

(11.21)

2 9;81 m s2

Gy

By
q
p.

D

C

20 m=s/2 C 2 10 m 9;81 m s2

Gesamter Weg
sG
s 2
s 2

(11.22)

Gx

Gy
t D 20 m=s C
f
q

9;81 m s2

Geschwindigkeit
v D

C

G
v 2
v 2

(11.23)

Fx

By

D 4;528 s

J

vBy

Richtung

˛ D arctan

(11.24)

vFx

11.1

Kinematik des Massenpunktes

197
y
v u
h
v
v y
h max
r

Δ s

Δ ϕ
h
α

0
v x
x

Abb. 11.6 Kreisbewegung
w
x

Abb. 11.5 Schiefer Wurf
p

II
sin ˛ C . v

0
sin ˛/2 C 2 gh 0

Flugzeit
t D v 0

F

(11.31)

g

Teil

Beispiel
v 2 sin2 ˛

Flughöhe h

D

C 0
max
h 0

(11.32)

2 g

In einem Fluss der Breite 500 m fließt Wasser mit ei-
ner Strömungsgeschwindigkeit von 2 m=s. Senkrecht zum

Flugweite
x D

w
v 0 tF cos ˛

(11.33)

Ufer startet ein Boot mit einer Eigengeschwindigkeit von

10 m=s. Wie lange braucht das Boot für die Überquerung,

Wenn in (11.29) bis (11.32) der Wert für h 0 auf 0 gesetzt wird, so
und wie groß ist die seitliche Abdrift d?

ergeben sich die Gleichungen für den Fall eines Schiefen Wurfes
mit Anfangshöhe 0.

Lösung:

Flugzeit
t D 2 v 0 sin ˛

F

(11.34)

Zeit
t D 500 m D 50 s
g

10 m=s
m
v 2 sin2 ˛

Abdrift
d D 2

50 s D 100 m

J

Flughöhe
h

D 0
max

(11.35)

s

2 g

2 v 2 sin ˛ cos ˛

Flugweite
x D

0
w
v 0 tF cos ˛ D
g

11.1.2.1

Schiefer Wurf
v 2 sin 2˛
x D 0
w

(11.36)

g

Ein weiteres Beispiel für eine zusammengesetzte Bewegung
ist die Bewegung eines Steines, der unter einem bestimm-

Beispiel
ten Winkel ˛ mit einer Anfangsgeschwindigkeit v 0 geworfen
wird ( schiefer Wurf ). In diesem Fall handelt es sich um die

Ein Stein wird unter einem Winkel von 30° mit einer An-

Überlagerung einer gleichmäßigen Bewegung in x-Richtung mit
fangsgeschwindigkeit von 20 m s1 geworfen. Wie weit
einer gleichförmig beschleunigten Bewegung (freier Fall) in y-
fliegt er, und wann trifft er auf den Boden?

Richtung. Die Flugbahn unter dem Einfluss einer konstanten

Kraft (Erdanziehung) ist in diesem Fall eine Parabel ( Wurfpa-

Lösung:

rabel, Abb. 11.5).

.

D 20 m s1/2 sin 60ı D

Es soll auch zugelassen werden, dass der Stein in einer Höhe

Flugweite
xw

35;31 m

9;81 m s2
h 0 abgeworfen wird. Aus den Bedingungen, dass am Ende der

Bewegung der Wert für y D 0 sein muss und am höchsten Punkt

Flugzeit
t D 2 20 m s1 sin 30ı D

F

2;04 s

J
der Wert für v D
y

0 sein muss, folgen die Gleichungen für den

9;81 m s2

Schiefen Wurf aus einer Anfangshöhe h 0 und mit einer Anfangs-
geschwindigkeit v 0
v

D

0 x
v 0 cos ˛

(11.25)

11.1.3

Kreisbewegung
v

D

0 y
v 0 sin ˛

(11.26)

v

x. t/ D v 0
cos ˛ D const

(11.27)

Bei einer Kreisbewegung bewegt sich eine punktförmige Masse
v

y. t/ D v 0
sin ˛ gt

(11.28)

auf einer Kreisbahn mit dem Radius r. Wenn in gleichen Zeiten
y. t/ D h C

t gleiche Strecken s auf dem Umfang zurückgelegt wer-

0
v 0 sin ˛ 1 gt 2

(11.29)

2
den, so überstreicht auch die Verbindungslinie zum Zentrum des
x. t/ D v

0
t cos ˛

(11.30)

Kreises in gleichen Zeiten t gleiche Winkel ' (Abb. 11.6).

198

11 Mechanik

11.1.3.1

Bahngeschwindigkeit

11.1.3.4

Winkelbeschleunigung

Werden in gleichen Zeiten ungleiche Wegstrecken auf dem Um-

Unter Bahngeschwindigkeit oder auch Umfangsgeschwindigkeit
versteht man die Geschwindigkeit, mit der sich eine Masse m
fang zurückgelegt, ändert sich also die Umfangsgeschwindig-
keit, muss der Körper eine Tangentialbeschleunigung erfahren.

auf dem Umfang eines Kreises mit dem Radius r bewegt. Wenn

Jetzt werden in gleichen Zeiten ungleiche Winkel überstri-
sich die Masse in der Zeit t um die Strecke s weiterbewegt
hat, wird von der Verbindungslinie zwischen der Masse und dem
chen, daher ändert sich die Winkelgeschwindigkeit ebenfalls.

In diesem Fall liegt eine Winkelbeschleunigung vor. Analog zur

Zentrum des Kreises der Winkel ' überstrichen. Zwischen den
linearen Beschleunigung wird die Winkelbeschleunigung defi-

Größen r, s und ' gilt die Gleichung:

niert:

Teil

!

˛

! t

' D s

'

s
r

(11.37)

˛ D

(11.43)

r
rad
m
m
t

1=s2

1=s
s

II
s D r '

(11.38)

In diesem Fall gelten analoge Gleichungen zu (11.4) und (11.5).

! D ! C

0

˛ t

(11.44)

Umfangsgeschwindigkeit

' D ' C

0

!0 t C 1˛ t 2

(11.45)

2
s

'

v D

D

Hierbei sind w 0 und j 0 die Anfangswerte zur Zeit t D 0 der
u
r

(11.39)

t
t

Winkelgeschwindigkeit und des Winkels.

oder

Beispiel

Bahngeschwindigkeit

Ein Elektromotor läuft mit einer Drehzahl n

D

600 min1. Nach dem Abschalten wird er mit konstan-
v D
u
r!

(11.40)

ter Winkelbeschleunigung a abgebremst, bis er nach 50

Umdrehungen zum Stillstand kommt.

mit der Abkürzung ! D '

.

t
a) Wie groß ist die Winkelbeschleunigung?

b) Wie lange ist die Bremszeit tB?

Die Größe ! wird Winkelgeschwindigkeit genannt.

Lösung:

a) Anfangswerte:

11.1.3.2

Winkelgeschwindigkeit

' D 0; ! D 2 n s1 D 62;83 s1

Die Winkelgeschwindigkeit ! ist durch

0

0

60

50 Umdrehungen ergeben:

'

!

$

! D
t

(11.41)

t

1=s
rad
s

' D 50 2 D 314;16 rad
definiert, wobei ' der in der Zeiteinheit t überstrichene Win-
aus (11.44) folgt:

kel ist.

!

˛ D 0

Bei einer Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
tB

! ( gleichförmige Kreisbewegung) ist die Umfangsgeschwindig-

Winkelbeschleunigung:

keit vom Betrag her konstant, allerdings ändert sie laufend die

Richtung.

˛ D 62;83 s D 6;28 s2

10 s

11.1.3.3

Kreisfrequenz
b) In (11.45) eingesetzt:

Oft werden die Drehzahl n oder auch die Frequenz f einer kreis-

!

' D !

0 t 2 B D 1

0 tB

!0 tB
förmigen Bewegung angegeben. Im Gegensatz zur Frequenz f

2 tB

2
wird die Größe w auch Kreisfrequenz genannt.

Bremszeit:

! D 2 f

!

f
n
t D 2' D 2 314;16 rad D 10 s

J

(11.42)

B

!

! D 2 n

62;83 s1

1=s Hz 1=min

0

60

11.2

Dynamik

199

11.2

Dynamik

An der Erdoberfläche wirkt auf alle Körper die Gewichtskraft
oder Schwerkraft

In der Kinematik wird die Bewegung von Massen durch geeig-

F D

G
m g

(11.50)

nete Formeln beschrieben, ohne dass nach der Ursache für eine

Bewegung oder eine Änderung eines Bewegungszustandes ge-
mit der Erdbeschleunigung g
fragt wird. In der Dynamik werden diese Ursachen untersucht.

m
g D 9;81

(11.51)

s2

Eine nicht mehr zulässige Einheit der Kraft ist 1 kp (1 Kilo-

11.2.1

Newton’sche Axiome
pond). Dies ist die Gewichtskraft auf die Masse von 1 kg. Somit
gilt:

II

Isaac Newton (1643 bis 1727) hat drei grundlegende Axiome

1 kp D 9;81 N

(11.52)

formuliert, die das Verhalten von Körpern unter dem Einfluss

Teil
äußerer Kräfte und das Zusammenspiel von Kräften untereinan-

Hängt eine Masse m an einer Feder, so wird die Feder um ei-
der beschreiben. Diese Newton’schen Axiome sind die Grund-
ne Strecke x gedehnt und zwar solange, bis die Rückstellkraft
lagen der klassischen Mechanik und werden in der Tab. 11.1
der Feder und die Gewichtskraft auf die Masse m entgegenge-
aufgeführt:

setzt gleich groß sind. Die Rückstellkraft der Feder wird durch

Das Aktionsgesetz lässt eine zeitliche Änderung sowohl der
die Federeigenschaften beeinflusst und in der Federkonstanten

Masse als auch der Geschwindigkeit zu. In der allgemeinen
c festgelegt. Da die Rückstellkraft entgegengesetzt zur Auslen-

Form gilt:

kung gerichtet ist, gilt

E

E p

. m E v/

E v
m

F

D

Rück
cx

(11.53)

F D

D

D m

C E v

(11.46)

t
t
t
t
c

F
x
c D F Rück

(11.54)

Ist die Masse konstant, so ist m D 0, und es gilt mit E v D E
x

N=m N m

a:

t

E F D m E a

(11.47)

11.2.2.1

Zerlegung und Zusammensetzung von

Kräften

Dieses Gesetz wird auch als Newton’sches Grundgesetz be-
zeichnet, gilt in dieser Form aber nur für konstante Massen.

Kräfte sind Vektoren und müssen somit vektoriell addiert wer-
den. Die grafische Lösung für die Addition zweier Kräfte und
die sich daraus ergebende resultierende Kraft erfolgt so, dass
der Anfangspunkt des zweiten Vektors in den Endpunkt des ers-

11.2.2

Kraft
ten Vektors verschoben wird. Es entsteht ein Parallelogramm,
das Kräfteparallelogramm.

Nach dem Newton’schen Grundgesetz ist die Kraft E

F bei kon-

Mit Hilfe der trigonometrischen Gleichungen lassen sich die
stanter Masse proportional zur Beschleunigung E
a. Die Kraft ist
folgenden Beziehungen für die Addition von Kräften ableiten
eine vektorielle Größe. Kraft und Beschleunigung haben diesel-

(Abb. 11.7):

be Richtung.

x-Komponente

F D
x

F 1 cos ˛ C F 2 cos ˇ

(11.55)

E

F
m
a

F D m E
a

(11.48)

y-Komponente

F D F
kg m=s2
kg
m/s2
y

1 sin ˛ C F 2 sin ˇ

(11.56)

daraus folgt für die Resultierende Kraft:

Die Einheit der Kraft im SI-System ist 1 kg m , hierfür wird die
s2
q

Abkürzung 1 N (1 Newton) verwendet.

F D

F 2 C F 2

(11.57)

x
y
kg m
q

1 N D 1

(11.49)

C

C
s2

F D

F 2

F 2

2 F

1

2

1 F 2 cos.˛ ˇ/

(11.58)

Tab. 11.1 Newton’sche Axiome

Newton’sche Axiome

Formulierung

Gleichung

1. Axiom:

Jeder Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung, solange er

Trägheitsgesetz
nicht durch äußere Kräfte gezwungen wird, diesen Zustand zu ändern

2. Axiom:

Die zeitliche Änderung der Bewegungsgröße (Impuls) E
p D m E v ist gleich der resultierenden Kraft E

F

E

E p

F D

Aktionsgesetz
t

3. Axiom:

Wirkt ein Körper 1 auf einen Körper 2 mit der Kraft F

E

12 , so wirkt der Körper 2 auf den Körper 1 mit

F

D E

12

F 21

Wechselwirkungsgesetz
einer gleich großen, entgegengesetzten Kraft F 21
actio D reactio

200

11 Mechanik
y

Tab. 11.2 Werte für die Reibungszahl

Stoffpaar

Haftreibung

Gleitreibung

F

Stahl/Stahl

0,15

0,12

F 2

Stahl/Holz

0,5–0,6

0,2–0,5
β

Stahl/Eis

0,027

0,014

F 1
γ
α

Holz/Holz

0,65

0,2–0,4
x

Gummi/Asphalt

0,9

0,85

Gummi/Beton

0,65

0,5

Abb. 11.7 Kräfteparallelogramm

Gummi/Eis

0,2

0,15

Teil
y
m F H

II

F
α

F

F N

2
γ

F G
α
x

F 1

Abb. 11.9 Schiefe Ebene

Abb. 11.8 Zerlegung von Kräften
der Hangabtriebskraft entgegengesetzte Reibungskraft FR ver-

Nach Umkehrung dieser Gleichungen lassen sich die Teilkräfte
ursacht.

aus der Resultierenden und den Winkeln berechnen:

F D

D

R

FN
mg

(11.66)

sin.ˇ /

F D

1

F

Die Größe wird als Reibungszahl bezeichnet und hängt von
sin.ˇ ˛/

(11.59)

der Beschaffenheit der Oberfläche der beiden an der Reibung
sin. ˛/
beteiligten Körper ab und von der Art der Bewegung. Sie ist

F D

2

F

(11.60)

sin.ˇ ˛/
eine dimensionslose Zahl. Bei der Bewegung eines Fahrzeuges
ist die Rollreibung zu berücksichtigen. Einige typische Werte für

Oft ist es notwendig, eine Kraft E

F in zwei senkrecht zueinander-
die Reibungszahl sind in Tab. 11.2 zusammengestellt. Hierbei ist
stehende Komponenten zu zerlegen. In (11.59) und (11.60) ist
zwischen Haftreibung und Gleitreibung zu unterscheiden.

dann a D 0ı und b D 90ı zu setzen (Abb. 11.8):

Beispiel

F D

1

F cos

(11.61)

Ein Fahrzeug der Masse m D 1000 kg befindet sich auf

F D

2

F sin

(11.62)

einer Schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel a D 10ı.

Die Reibungszahl sei D 0;1. Wie groß ist die Beschleu-

Der Winkel der Resultierenden mit der Kraft F 1 errechnet sich
nigung des Wagens?

zu:

Lösung:

D arctan. F 2= F 1/

(11.63)

Normalkraft:

F D

N
mg cos ˛ D 1000 kg 9;81 m s2 0;984 D 9660 N

11.2.2.2

Schiefe Ebene

Reibungskraft:

Befindet sich ein Körper auf einer Schiefen Ebene, so wirkt auf
ihn die Schwerkraft in der in Abb. 11.9 angezeigten Richtung.

F D

D

R

FN

0;1 9660 N D 966 N

Diese Schwerkraft kann in eine Komponente senkrecht zur Un-
terlage, der Normalkraft F

Hangabtriebskraft:

N , und eine Komponente parallel zur

Unterlage, der Hangabtriebskraft, zerlegt werden.

F D

H
mg sin ˛ D 1000 kg 9;81 m s2 sin 10ı D 1703 N

Die Beträge dieser Kräfte sind:

Resultierende Kraft:

F D

H
mg sin ˛

(11.64)

F D F

D

H

FR

1703 N 966 N D 737 N

F D

N
mg cos ˛

(11.65)

Beschleunigung:

Die Hangabtriebskraft beschleunigt den Körper, während die

Normalkraft den Druck auf die Unterlage bewirkt. Durch die
a D F= m D 737 N=1000 kg D 0;737 m=s2

J

Normalkraft wird wegen der immer vorhandenen Reibung eine

11.2

Dynamik

201
v 2
v 1

Δ
g
v
a r
v
r

1
v 2
ϕ

Δ ϕP 2

Δ ϕ
r
g
a

E

ZP

P
ϕ

1
g
a ZP

Abb. 11.10 Zentripetal-Beschleunigung

Abb. 11.11 Fallbeschleunigung und geographische Breite

II

11.2.2.3

Kräfte bei Kreisbewegungen

Soll sich eine Masse m auf einer Kreisbahn mit konstanter
somit tritt hier keine Zentrifugalbeschleunigung auf, und für die

Teil

Winkelgeschwindigkeit bewegen, so bleibt zwar der Betrag der

Fallbeschleunigung gilt a

D

F
g. Am Äquator ist die Zentrifu-

Umfangsgeschwindigkeit konstant, nicht aber die Richtung (sie-
galbeschleunigung maximal, nämlich a

D

Zp

!2 rE. Da sich die
he Abb. 11.10). Die Masse m hat sich in der Zeit t vom Punkt Erde in 24 Stunden einmal um sich selbst dreht, gilt am Äquator:

P 1 nach P 2 bewegt. Dabei hat sich der Vektor der Geschwindig-

2
keit von E

2

1 nach E

2 verändert, der Betrag ist aber geblieben. Da
a

D

6378 103 m
sich die Richtung geändert hat, gilt

Zp

24 60 60 s
m

E v D E v E
a

D 0;034

2
v 1

(11.67)

Zp
s2

Die Geschwindigkeitsänderung lässt sich auch durch die Win-

Fallbeschleunigung
keländerung ausdrücken:

E a D E

F
g C E
a Zp

(11.73)

v D v '

(11.68)

und, da Zentrifugalbeschleunigung und Erdbeschleunigung ent-
gegengesetzt wirken

Die Richtung von E ist zum Zentrum der Kreisbahn gerichtet,
die Geschwindigkeit hat sich daher in Richtung auf das Zentrum
m
a D

D

F

.9;81 0;034/ m

9;776
geändert, somit muss auch eine Beschleunigung in Richtung auf
s2
s2
das Zentrum der Kreisbahn erfolgen

Für
andere
geographische

Breiten
muss
entsprechend

Abb. 11.11 der Abstand von der Drehachse r und die Kom-
v
v '

a

D

D

D

Zp
v!

ponente der Zentrifugalbeschleunigung a

(11.69)

r in Richtung auf den
t
t

Erdmittelpunkt bestimmt werden, denn nur diese Komponen-
und mit (11.40)

te wirkt der Erdbeschleunigung, die ja zum Erdmittelpunkt
gerichtet ist, entgegen. Es gelten die folgenden Gleichungen:

a

D

Zp

!2 r

(11.70)

r D r cos '

(11.74)

˛

E
a

D

Zp

!

r

'

Zp

!2 r

(11.71)

a

D !2 r D !2 r cos '

(11.75)

m=s2

1=s m

Zp

E

'

a D

r
a
cos '

(11.76)

Zp

Diese Beschleunigung ist die Zentripetalbeschleunigung.

a D

r

!2 rE cos2 '

(11.77)

Wegen des 2. Newton’schen Axioms wirkt daher eine Kraft, die

Zentripetalkraft
und damit

D

F

D
aF
g !2 rE cos2 '

(11.78)

Zp
m!2 r

(11.72)

Sie muss aufgewendet werden, um eine Masse m auf einer

Kreisbahn zu halten. Die entgegengesetzt gerichtete gleich

11.2.3

Impuls
große Kraft ist die Zentrifugalkraft. Die dazugehörende Be-
schleunigung heißt Zentrifugalbeschleunigung. Diese Kraft tritt

Im 2. Newton’schen Axiom wird die zeitliche Änderung der
bei allen Rotationsbewegungen auf, dabei ist mit dem Radius r

Bewegungsgröße p gleich der resultierenden Kraft gesetzt. Die
in (11.72) der Abstand von der Drehachse gemeint. Als Beispiel

Bewegungsgröße ist der Impuls. Bei konstanter Kraft F gilt:

soll die Abhängigkeit der Fallbeschleunigung auf der Erdober-
fläche von der geographischen Breite untersucht werden. Dabei
p
m
v
wird angenommen, dass die Erde eine homogene Kugel sei

E p D m E v

(11.79)

N s
kg
m=s
mit dem Radius r

D

E

6378 km. Die Fallbeschleunigung ist
die Resultierende aus Erdbeschleunigung und Zentrifugalbe-

E

E p

F D

) E p D E F t

(11.80)

schleunigung. Am Pol ist der Abstand von der Drehachse D 0,
t

202

11 Mechanik

Die Kraft ist also gleich der zeitlichen Änderung des Impulses.

Die Größe

Lösung:

t 2

Z

Gesamtimpuls zu Beginn:

F dt D p

D

2
p 1
p

(11.81)

p D
g

.200 kg C 80 kg/ 2 m=s D 560 N s
t 1

Impulsänderung durch den Sprung:

wird als Kraftstoß bezeichnet. Ist die Kraft zeitlich konstant, so
vereinfacht sich (11.81) zu
p D F t D 300 N 0;2 s D 60 N s

Teil

E p D E F t D E F. t

Impuls des Bootes nach dem Sprung:

2
t 1/

(11.82)

II

D

Die Impulsänderung E p, die ja auch ein Vektor ist, hat die Rich-
p 0

200 kg 2 m=s 60 N s D 340 N s

B
tung der angreifenden resultierenden Kraft.

Geschwindigkeit des Bootes:

Beispiel
v 0 D 340 N s=200 kg D 1;7 m=s

B

Eine konstante Kraft von 2 kN wirkt 10 s lang auf ein ru-

Impuls des Mannes nach dem Sprung:

hendes Fahrzeug der Masse m D 800 kg. Wie groß sind
p 0 D 80 kg 2 m=s C 60 N s D 220 N s

M
a) der Kraftstoß,
b) der Impuls,

Geschwindigkeit des Mannes:

c) die Geschwindigkeit nach 10 s?

v 0 D 220 N s=80 kg D 2;75 m=s

M

Lösung:

Gesamtimpuls am Ende:

a) F t D 2000 N 10 s D 20:000 N s
b) p D p

D

D .

2
p 1

F t ) p D 20:000 N s
p 0

340 C 220/ N s D 560 N s
g
c) v D p D 20:000 N s D 25 m D 90 km

J
m

800 kg
s
h

Die positiven Vorzeichen bei beiden Geschwindigkeiten
zeigen an, dass sich sowohl der Mann wie auch das Boot
weiter in der ursprünglichen Fahrtrichtung des Bootes be-
wegen, der Gesamtimpuls hat sich nicht verändert. Da der

11.2.3.1

Impulserhaltungssatz

Impuls ein Vektor ist, muss die Impulserhaltung auch für
jede Komponente gelten.

J

Wirkt nun auf ein System keine äußere resultierende Kraft, so
ist entsprechend (11.82) die Änderung des Impulses E p D 0

Daraus folgt, dass in diesem Fall der Impuls konstant sein muss.

Dieses gilt für den Gesamtimpuls des betrachteten Systems. Be-

Beispiel
steht das System aus mehreren Massen mit Einzelimpulsen E
pi,
so gilt der Impulserhaltungssatz für den Gesamtimpuls

Der Mann aus dem voranstehenden Beispiel vorher
springt nicht in Fahrtrichtung, sondern senkrecht zur

E p

D E C E C E C

D

Fahrtrichtung in positiver y-Richtung vom Boot. Wie groß
ges
p 1
p 2
p 3

: : : C E pn
const

(11.83)

ist die Geschwindigkeit des Bootes und des Mannes direkt

Dabei können sich die Einzelimpulse durchaus ändern, wenn
nach dem Sprung?

nur der Gesamtimpuls konstant bleibt. Eine weitergehende Be-

Lösung:

trachtung wird im Abschn. 11.2.5 „Stoßprozesse“ durchgeführt.

Die Geschwindigkeit des Bootes und des Mannes in

Fahrtrichtung bleiben unverändert.

Beispiel
p D

y

Fy t D 300 N 0;2 s D 60 N s

Aus einem Boot der Masse 200 kg, welches sich in ruhen-

60 Ns
m
dem Wasser (äußere Kräfte D 0) mit einer Geschwindig-
v

D

D

B

0;3
y

200 kg
s
keit von 2 m=s bewegt, springt in Fahrtrichtung ein 80 kg
schwerer Mann. Dabei stößt er sich 0,2 s lang mit einer
m
v

D 60 Ns D

M

0;75
y

Kraft von 300 N ab.

80 kg
s

Wie groß sind die Geschwindigkeiten des Bootes und des

Das Boot bewegt sich also in entgegengesetzter Richtung

Mannes direkt nach dem Sprung?

zum Mann.

J

11.2

Dynamik

203

F

F
h
mg
x

W = mgh

F
m
r
h
s

W spann
x
s

Abb. 11.12 Hubarbeit

Abb. 11.13 Spannarbeit

11.2.4

Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad und
und somit

II

Energie

v 2

. v/2
v 2 v 2
s D 1 a

D

D 2

1 :

Teil

11.2.4.1

Arbeit

2
a

2 a

2 a

Wirkt eine Kraft auf eine Masse m und verschiebt sie dabei die

Damit gilt für die Beschleunigungsarbeit

Masse m um den Weg s, so hat die Kraft den Zustand des

Körpers verändert, es wurde Arbeit verrichtet. Schließt die Kraft

W

D ma s
einen Winkel ˛ mit der Richtung von s ein, so gilt für die
beschl

Teilarbeit W auf dieser Wegstrecke:

und somit

W D F s cos ˛

(11.84)

D 1

/

Es wirkt nur die Projektion der Kraft in Richtung des Weges.

W beschl
m. v 2
v 2

(11.89)

2

2

1

Die für den gesamten Weg aufzubringende Arbeit ist dann aus
der Summe der Teilarbeiten zu berechnen.

Hierbei ist vorausgesetzt, dass keine weiteren Arbeiten, wie

X
z. B. Reibungsarbeit, zu verrichten sind. Wird ein Körper bei

W D

W

(11.85)

vorhandener Reibungskraft auf horizontalem Weg bewegt, so ist
jetzt Reibungsarbeit gegen die Reibungskraft zu verrichten:

Ist die Kraft während des gesamten Vorganges konstant und par-
allel zum Weg, so folgt aus (11.84) und (11.85) für die gesamte

Reibungsarbeit

Arbeit

W D F . s s
g . s s

W

F
s

R

R

2

1/ D FN

2

1/

(11.90)

W D F s

(11.86)

N m

N
m

Um eine Feder zusammenzudrücken, muss ebenfalls Arbeit ge-

Die Einheit der Arbeit ist 1 N m, dafür wird die Abkürzung 1 J
gen die Rückstellkraft der Feder geleistet werden. Wird eine

(Joule) verwendet.

Feder um die Strecke x zusammengedrückt, so ist die Rück-
stellkraft nicht konstant, sondern gemäß Abb. 11.13 von der
kg m2

Auslenkung abhängig. Auch hier ist die Spannarbeit gleich der

1 J D 1 N m D 1

(11.87)

s2
gestrichelten Fläche in Abb. 11.13. Es gilt

Immer dann, wenn eine Masse m gegen eine Kraft F bewegt
wird, muss Arbeit verrichtet werden. Wird die Masse in Rich-

W

D 1
spann

Frx

(11.91)

tung der Kraft bewegt, wird Arbeit gewonnen. Wird z. B. eine

2

Masse m gegen die Gewichtskraft um eine Höhe s D h ange-

W

D 1
spann
cx 2

(11.92)

hoben, so ist dafür die Hubarbeit (Abb. 11.12)

2

W

D

hub

FG h D mgh

(11.88)

11.2.4.2

Leistung, Wirkungsgrad
gegen die konstante Gewichtskraft zu verrichten. Die Fläche im

Die Leistung P gibt an, wieviel Zeit t zur Verrichtung einer

F- s-Diagramm ist somit gleich der Arbeit.

Arbeit W benötigt wird.

Wird ein Körper beschleunigt, so ist Beschleunigungsarbeit zu
verrichten. Nach (11.5) gilt, dass für den zusätzlich während der

W

P

W t

Beschleunigungszeit t zurückgelegten Weg s gilt:

P D

(11.93)

t

N m=s

N m
s
s D 1 a. t/2

Hieraus folgt:

2

Aus (11.3) folgt

W

F s

P D

D

(11.94)

v
t
t
t D a

P D F v

(11.95)

204

11 Mechanik

11.2.4.3

Energie

Wird einem Körper Arbeit zugeführt, so erhöht sich seine Ener-
gie E. Energie und Arbeit werden in der gleichen Einheit
gemessen (11.87).

D
a

E D E 2

E 1

W

(11.98)

m 2

Wird einem Körper Hubarbeit zugeführt, so erhöht sich seine

Lageenergie oder auch potentielle Energie E pot. Durch Be-
m 1
schleunigungsarbeit wird die kinetische Energie E kin erhöht. Es

T
gilt für die potentielle Energie
eil

Abb. 11.14 Antriebsleistung

E

D
pot
mgh

(11.99)

II
und für die kinetische Energie

Die SI-Einheit der Leistung ist das Watt.

E

D 1
kin
mv 2

(11.100)

J

N m

2

1 W D 1

D 1

(11.96)

s
s

Die unterschiedlichen Energieformen können während des Ab-
laufes eines Vorganges in andere Energieformen umgewandelt

Bei allen Maschinen und Antrieben gibt es immer Verluste
werden. Es gilt jedoch der grundlegende Satz von der Erhaltung
durch Reibung, Wärme etc. Die von der Maschine geleistete Ar-
der Energie in einem abgeschlossenen System.

beit ist immer kleiner als die zugeführte Arbeit. Das Verhältnis
von abgegebener Arbeit zu zugeführter Arbeit wird Wirkungs-
grad genannt.

Energieerhaltungssatz

In einem abgeschlossenen System ist die Summe aller

D W ab 1

(11.97)

Energien, die Gesamtenergie, zu jedem Zeitpunkt kon-

W zu
stant. Energie kann sich in verschiedene Formen um-
wandeln und zwischen verschiedenen Teilen des Systems

Der Wirkungsgrad ist eine dimensionslose Größe.

austauschen.

E C E C E C : : : C E D const

(11.101)

Beispiel

1

2

3
n

Ein beladener Förderkorb mit der zulässigen Gesamt-
masse m

D

Beispiel

1

1000 kg ist über eine Rolle mit dem

Gegengewicht m D

2

400 kg verbunden. Der Korb wird
zu Beginn mit der Beschleunigung a D 1 m=s2 aufwärts

Eine Stahlkugel ( m D 1 kg) fällt aus einer Höhe von 2 m
beschleunigt, bis er dann mit einer konstanten Geschwin-
auf eine Stahlplatte.

digkeit von 5 m=s1 nach oben fährt. Die Reibungskraft

Wie groß ist ihre Geschwindigkeit kurz vor dem Aufprall?

FR wird als konstant mit 500 N angenommen. Welche

Dauerleistung und welche maximale Leistung muss die

Lösung:

Antriebsmaschine bei einem Wirkungsgrad von 0,8 leis-

Energien in Höhe h:

ten?

E

D

D
pot
mgh;

E kin

0

Lösung:

Während der Phase der beschleunigten Bewegung ist die
vor dem Aufprall:

Kraft:

E

D 0; E D 1 mv 2

F D

D
pot
kin
a
m 1. g C a/ m 2. g a/ C FR

7786 N

2

Fav 2

P D

D
mgh D 1 mv 2
a

48;67 kW

2
während der Phase der gleichförmigen Bewegung gilt:

Aufprallgeschwindigkeit
p

F D

D
v D

2 gh
siehe auch (11.10)

v

. m 1 m 2/ g C FR

6386 N
e
r

Fvv 2
m
m

P D

D
v

D

J

39;91 kW

J
ve

2 9;81

2 m D 6;26
s2
s

11.2

Dynamik

205

Beispiel

Beispiel

Eine Stahlkugel ( m D 1 kg) fällt aus einer Höhe von

Eine Kugel der Masse m D

D

1

2 kg, v 1

3 m=s stößt elas-
h

D

D

D

0

2 m auf eine Stahlplatte und springt dann bis zu
tisch mit einer ruhenden Kugel m 2

1 kg, v 2

0 m=s
einer Höhe von h D

1

1;90 m zurück.

zusammen. Wie groß sind die Geschwindigkeiten nach
dem Stoß?

Welche Energie geht durch Verformungsarbeit während
des Aufpralles verloren?

Lösung:

Lösung:

.2 1/ kg 3 m=s C 2 1 kg 0 m=s
v 0 D

D 1 m=s

Umwandlungsenergie D Differenz der potentiellen Ener-

1

2 kg C 1 kg
gien.

.1 2/ kg 0 m=s C 2 2 kg 3 m=s

II
v 0 D

D 4 m=s

2

2 kg C 1 kg

E D mg. h

0
h 1/

(11.102)

Teil

E D 0;981 J

J

Haben beide Kugeln gleiche Massen, so ergibt sich: E v 0 D

1

E v

D E

2 und E
v 0
v

2

1.

J

11.2.5.2

Inelastischer Stoß

11.2.5

Stoßprozesse

Beim inelastischen Stoß wird ein Teil der Bewegungsenergie
in andere Energiearten, z. B. Verformungsenergie oder Wärme-

Stoßen zwei Körper zusammen, so berühren sie sich kurzzeitig
energie E, umgewandelt.

und ändern ihren Bewegungszustand. Je nach Art der Energie-

E C E C : : : C E D E 0 C E 0 C : : : C E 0 C E (11.107)

übertragung unterteilt man mechanische Stöße in elastische und

1

2
n

1

2
n
inelastische Stöße, nach den geometrischen Verhältnissen in ge-

Um E berechnen zu können, sind weitere Angaben notwendig.

rade und schiefe Stöße, zentrale und exzentrische Stöße. Im

Haben nach dem Stoß beide Körper dieselbe Geschwindigkeit,

Rahmen diese Buches werden nur gerade, zentrale Stöße behan-
so liegt ein vollkommen inelastischer oder auch unelastischer
delt. Die Stoßpartner bewegen sich also auf einer Geraden und

Stoß vor.

treffen sich auf der Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte.

E v 0 D E v 0 D E v 0

(11.108)

1

2
m E v C m E v D . m C m

11.2.5.1

Elastischer Stoß

1 1

2 2

1

2/E
v 0

(11.109)

E v C

E

1
m 2 v 2

Beim elastischen Stoß ist die Bewegungsenergie E vor dem Stoß

E v 0 D m 1

(11.110)

m C

1
m 2
gleich der Bewegungsenergie E 0 nach dem Stoß. (Größen nach
dem Stoß werden durch 0 gekennzeichnet.) Weiterhin gilt der

Beispiel

Impulserhaltungssatz (11.83) E
p D E
p 0.

Ein Auto ( m D 1000 kg, E v D 100 km=h) stößt frontal

Energieerhaltung

1

1
vollkommen inelastisch mit einem zweiten entgegenkom-
menden Wagen ( m

D 1500 kg, E v D 120 km=h)

1

2

2
m

C 1

D 1

C 1

1 v 2
m 2 v 2
m 0 v 02
m 0 v 02

(11.103)

zusammen. Die Dauer des Stoßes sei 0,5 s, beide Fahrer

2

1

2

2

2 1 1

2 2 2
wiegen 100 kg. Das Minuszeichen bei E v 2 bedeutet, dass E v 2
entgegengesetzt zu E v 1 gerichtet ist.

Impulserhaltung
a) Wie groß ist die Geschwindigkeit beider Fahrzeuge
nach dem Aufprall?

m E C

E D

E C

E

1 v 1
m 2 v 2
m 1 v 01
m 2 v 02

(11.104)

b) Welche Kräfte haben beide Fahrer auszuhalten?

Lösung:

Geschwindigkeiten nach dem Stoß
a) nach (11.110)

. m m

C

E v

E

1

2/E
v 1

2 m 2 2
v 0 D

(11.105)

1
m C

E v 0 D 1100 kg 100 km h1 1600 kg 120 km h1

1
m 2

.1100 C 1600/ kg

. m m

C

E v

E v 0 D 30;37 km h1

E

2

1/E
v 2

2 m 1 1
v 0 D

(11.106)

2
m C

1
m 2

206

11 Mechanik
r
m
y
m
α

2
m 3

F s
y

F
s

S
m 1
m 4

Abb. 11.15 Drehmoment
x s
x

Abb. 11.16 Schwerpunkt
b) nach (11.82)

Teil
y

E
p 1
m 2 ·P 2

II

F D

D 100 kg .30;37 100/ km h1

1
t

0;5 s

D
y

S

2747 N
s
m 3 ·P 3

E
p 2

F D

D 100 kg .30;37 C 120/ km h1

2
t

0;5 s
m 1 ·P 1

D 1792;6 N

J
x s
x

Abb. 11.17 Beispiel Schwerpunkt

11.2.6

Rotation

Rotation durchführen. Das System ist nur dann im statischen

Gleichgewicht, wenn die Summe aller äußeren Kräfte und die

11.2.6.1

Drehmoment

Summe aller äußeren Drehmomente D 0 ist.

Um einen Körper in Drehbewegung oder Rotation zu verset-

X E D
zen, muss auf diesen Körper eine resultierende Kraft E

F wirken,

Fa

0

(11.113)

X
die in einem Abstand E r von der Drehachse angreifen muss.

E

M D 0

(11.114)

Die Richtung der Kraft darf aber nicht auf der Verbindungs-
a
linie vom Zentrum der Drehbewegung zum Angriffspunkt der

Kraft liegen. Der Winkel ˛ darf also nicht 0° sein. Ist dies der Dieses Gleichgewicht stellt sich dann ein, wenn der Körper

Fall, so bewirkt nur die Komponente der Kraft F
in einem ganz bestimmten Punkt durch eine Stützkraft E

F
s senkrecht
s
zur Verbindungslinie Angriffspunkt–Drehachse eine Rotation
unterstützt wird. Diese muss entgegengesetzt gleich der Ge-

(Abb. 11.15).

wichtskraft aller Massenpunkte sein.

Aus E r und E

F wird durch die Gleichung

N

X

E F C

E

S
mig D 0

(11.115)

E

M
r

F

M D E r E

F

(11.111)

i D1

N m
m

N

Dadurch ist (11.113) erfüllt. Weiterhin muss bezüglich einer be-
ein Vektor E

M definiert. Dieser heißt Drehmoment. Der Betrag
liebigen Drehachse das Gesamtdrehmoment gleich der Summe
von E

M ist durch
der Einzeldrehmomente sein.

M D r F D
s
r F sin ˛

(11.112)

N

X

E

M

C

E

M D 0

(11.116)

gegeben.

ges
i
i D1

Mit dieser Formel wird allerdings nur der Betrag des Dreh-
momentes berechnet, die Richtung ergibt sich aus der Rechte-

Aus diesen Gleichungen kann die Koordinate dieses Punktes

Hand-Regel:

bestimmt werden. Dieser Punkt ist der Schwerpunkt oder Mas-
senmittelpunkt des starren Körpers. Die Lage hängt von der

Der Daumen der rechten Hand wird in die Richtung von E r ge-

Massenverteilung ab. Gezeichnet sind vier willkürlich angeord-
halten, der Zeigefinger in Richtung E

Fs, der Mittelfinger zeigt die
nete Massen und ein noch zu bestimmender Schwerpunkt S. Die

Richtung von E

M an.

Schwerpunkt-Koordinaten berechnen sich bei einer räumlichen

Anordnung zu (Abb. 11.16 und 11.17)

11.2.6.2

Massenmittelpunkt, Schwerpunkt

P

P

P

N

N

N

Greifen an einem starren Körper, also einem System von
mixi
miyi
mizi
x D
i D1

D
i D1

D
i D1
s

P
ys

P
zs

P
fest miteinander verbundenen Massenpunkten, beliebige äuße-

N
m

N
m

N
m
i D1
i
i D1
i
i D1
i
re Kräfte an, so wird das System eine Translation und eine

(11.117)

11.2

Dynamik

207

Beispiel
r
r

2

1

Berechnung der Schwerpunktkoordinaten folgender An-
m
m

2

1
ordnung: m

D

D

D

1

200 g, m 2

300 g, m 3

100 g. Die

F

Massen sitzen auf den Endpunkten eines gleichseitigen

Dreiecks. Die Punktkoordinaten sind: P

D
m 2
m

1

.20=20/,

1

P D

D

2

.20=80/, P 3

.71;962=50/.

Abb. 11.18 Rotation zweier Punktmassen

Lösung:

x D 200 g 20 C 300 g 20 C 100 g 71;9652 D
s

28;66

Beispiel

200 g C 300 g C 100 g

II
y D 200 g 20 C 300 g 80 C 100 g 50 D

Zwei gleiche Massen, m D 100 g, rotieren im Abstand
s

55

200 g C 300 g C 100 g
r D 30 cm von der Drehachse mit einer Winkelgeschwin-

Teil
digkeit ! D 2= s.

Dieser Punkt ist eingezeichnet.

J
a) Wie groß ist der Drehimpuls?

b) Wie ändert sich die Winkelgeschwindigkeit, wenn der

Abstand der Massen halbiert wird?

11.2.6.3

Drehimpuls

Lösung:

Bei Bewegungen auf einer Kreisbahn kann in Analogie zur Be-
a)

rechnung des Drehmomentes auch das Produkt rp, mit dem

Impuls p, gebildet werden. Die hier vereinfacht wiedergegebe-

L D 2 mr 2 !

ne Ableitung gilt allerdings nur für Kreisbewegungen in einer

1

1

1

Ebene, damit kann mit den Beträgen der Vektoren gerechnet
kg m2

L D 2 0;1 kg .0;3 m/2 2 s D 0;036
werden. Mit den Gleichungen für Kreisbewegungen gilt:

1
s
r p D r m v

(11.118)

b) Da der Drehimpuls konstant bleibt, gilt:

r p D r m ! r

(11.119)

2 mr 2 ! D 2 mr 2 !

1

1

2

2
r p D m r 2 !

(11.120)

r 1
r D

2

2

Die Größe mr 2 ist das Trägheitsmoment J eines Massenpunktes.

!

! D 2 mr 21 1 D

2

4!1

2 mr 2=4

1

J D mr 2

J
m
r 2

(11.121)

kg m2
kg
m2

! D

2

8 s1

J

Das Produkt rp wird Drehimpuls L genannt.

11.2.6.4

Trägheitsmoment

L D r p

(11.122)

L D J!

(11.123)

Wird eine Punktmasse m, die sich auf einer Kreisbahn bewegt,
durch die Kraft F beschleunigt, so gilt nach (11.3), (11.47) und

L
r
p

L D r p

(11.124)

(11.113):

kg m2=s
m
kg m=s
v

!

M D r ma D r m

D r m r

Weiterhin gilt für das Drehmoment
t
t

und mit der Winkelbeschleunigung ˛ (11.43).

p

M D r F D r

(11.125)

t

M D mr 2˛

(11.128)

L

M D

(11.126)

t
oder auch

Wirken keine äußeren Drehmomente, so ist L D 0 und somit

M D J˛

(11.129)

L D const der Gesamtdrehimpuls bleibt also konstant. Dies gilt
allgemein, so dass hier die vektorielle Schreibweise verwendet

J ist das bereits oben eingeführte Massenträgheitsmoment einer
werden kann.

punktförmigen Masse m im Abstand r von der Drehachse.

E

Sind zwei Massen m 1 und m 2 in unterschiedlichen Abständen

L

D E C E C E C

D
ges

L 1

L 2

L 3

: : : C E Ln
const

(11.127)

r 1 und r 2 auf einer massenlosen Stange gelagert, und greift an

208

11 Mechanik

Tab. 11.3 Trägheitsmomente spezieller Körper

11.2.6.5

Rotationsenergie

Punktmasse

J D mr 2

Rotiert ein Körper um eine beliebige Drehachse A, so hat jeder

Stab Achse durch Stabende, senkrecht zum Stab

J D 1 ml 2

Massenpunkt kinetische Energie nach (11.100). Für einen Mas-

3

Stab Achse durch Stabmitte, senkrecht zum Stab

J D 1 ml 2
senpunkt gilt mit (11.40) und (11.89):

12

Vollzylinder Drehachse D Längsachse

J D 1 mr 2

2

E

D 1
kin
mr 2!2

(11.141)

Dünne Scheibe Drehachse senkrecht zur Scheibe

J D 1 mr 2

2

2

Hohlzylinder Drehachse D Längsachse

J D 1 m. r 2 C r 2/

2
a
i
und mit dem Trägheitsmoment J D mr 2 eines Massenpunktes:

Dünner Ring Drehachse senkrecht zum Ring

J D mr 2

T

D 1
eil

Kugel

J D 2 mr 2

E rot

JA!2

(11.142)

5

2

II

Diese Rotationsenergie ist ein weitere mögliche Bewegungs-
energie. Somit gibt es zwei Bewegungsenergien: Translations-
der Masse m 1 die Kraft F an, so werden beide Massen we-
und Rotationsenergie, die unter den Oberbegriff kinetische
gen des angreifenden Drehmomentes in Rotation versetzt. Das

Energie fallen.

Gesamtträgheitsmoment beider Massen kann durch folgende

Überlegung bestimmt werden: Die Drehmomenten Gleichung

D 1
lautet:

E rot

JA!2

E rot

J

!2

(11.143)

2

J
kg m2

1=s2

M D r

C

1

F D r 1 m 1 a 1
r 2 m 2 a 2

(11.130)

Beispiel

Da die Winkelbeschleunigung ˛ überall gleich ist, gilt

Eine Kugel mit dem Radius r D 5 cm rollt ohne Reibung

˛ D a 2 D a 1
auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel a D 20ı) aus

(11.131)

r
einer Höhe h D 2 m. Wie groß ist ihre Translationsge-

2
r 1

M D r 2 m
m
schwindigkeit am Ende der schiefen Ebene?

1

1˛ C r 2

2

2˛

(11.132)

M D . r 2 m C r 2 m

Lösung:

1

1

2

2/˛

(11.133)

M D J

ges

˛

(11.134)

Energien in Höhe h:

mit

E

D
pot
mgh

E

D
kin

0

(11.144)

J

D

C
ges
r 2 m
r 2 m

1

1

2

2

(11.135)

J

D

C
am Ende der Ebene:

ges

J 1

J 2

(11.136)

D

Für n einzelne Massenpunkte gilt

E pot

0
n

X

E

D 1
kin
mv 2 C 1 J!2

(11.145)

2

2

J

D
ges

Ji

(11.137)

i D1

Aus dem Energieerhaltungssatz folgt, dass die Gesamt-
n

X
energie in Höhe h gleich der Gesamtenergie am Ende der

J

D
ges
r 2 m
i
i

(11.138)

schiefen Ebene sein muss, daher gilt:

i D1

2
v 2

Bei homogenen Körpern wird diese Summe zum Integral. Das
mgh D 1 mv 2 C 1
mr 2

(11.146)

2

2

5
r 2

Trägheitsmoment nicht punktförmiger Massen hängt von der

Geometrie des Körpers und von der Lage der Drehachse ab
gh D v 2 C v 2 D 7 v 2

(11.147)

Z

Z

2

5

10
r10

J

D
ges
r 2 dm D
r 2 dV

(11.139)

v D
gh

(11.148)

7
r

Vol

10
m
m
v D

9;81 2 m D 5;3

J
mit der Dichte

7
s2
s
m

D

(11.140)

V

Die im vorigen Abschnitt angegebenen Massenträgheitsmomen-

In Tab. 11.3 sind einige Beispiele für unterschiedliche Geome-
te beziehen sich auf die Rotation um eine Achse durch den
trien gegeben, wobei die Drehachse immer parallel zu einer

Schwerpunkt. Liegt die Drehachse nicht durch den Schwer-

Symmetrieachse liegt und durch den Schwerpunkt des Körpers
punkt, ist aber das Trägheitsmoment Js bezüglich der Schwer-
führt.

punktachse bekannt, so lässt sich das Trägheitsmoment JA

11.2

Dynamik

209

A

F 12
r 12

A

Z

Z
m 2
m 1

Abb. 11.20 Gravitationsgesetz

P1

P2

Abb. 11.19 Steiner’scher Satz

11.2.7

Gravitation
bezüglich der beliebigen Achse durch folgende Überlegung be-
stimmen:

Zwischen zwei Massen m 1 und m 2 besteht immer eine Anzie-

II
hungskraft, die Gravitationskraft FG. Die Richtung dieser Kraft

Eine Rotation um eine beliebige Achse kann ersetzt werden
liegt in der Verbindungslinie beider Massen, für den Betrag gilt:

durch eine Rotation um die Schwerpunktachse und eine Trans-

Teil
lation des Schwerpunktes. Die Kugel in Abb. 11.19 soll um eine
m 1 m 2

F D

(11.157)

Viertelumdrehung von links nach rechts rollen. Der momenta-

G
r 212
ne Drehpunkt ist der Auflagepunkt P. Während dieser Drehung
hat sich der Punkt A auf dem Umfang des Kreises bewegt. Das
mit der Gravitationskonstanten

Zentrum des Kreises Z (Schwerpunkt der Kugel) hat sich linear
um die Strecke P 1 P 2 weiterbewegt. Den Endzustand kann man

D

N m2
auch erreichen, indem die Kugel zunächst in der Stellung 1 eine

6;67259 1011

(11.158)

kg2

Viertelumdrehung macht und dann ohne Drehung um die Stre-
cke P 1 P 2 nach rechts verschoben wird.

Der Abstand r 12 ist bei einer räumlichen kugelförmigen ho-

Die Rotationsenergie für die Drehung um P ist:

mogenen Ausdehnung der Massen der Abstand der beiden

Kugelzentren.

E rot D 1 J
kin

P!2

(11.149)

2

Die Erdanziehungskraft an der Oberfläche der Erde auf eine

In der zweiten Betrachtungsweise gilt:

Masse m kann ebenfalls durch (11.157) bestimmt werden. Der

Abstand r

D

12 ist in diesem Fall gleich dem Erdradius rE

E

D 1

C 1

6378 km. Die Gewichtskraft auf eine Masse m lässt sich aus-
kin
mv 2

JS!2

(11.150)

2

S

2
drücken durch:

E

D 1
kin

. mr 2 C JS/!2

(11.151)

mEm

2

D mg

(11.159)

r 2

Somit gilt:

E

J D

P
mr 2 C JS

(11.152)

Mit der bekannten Erdbeschleunigung g D 9;81 m=s2 kann die

Masse der Erde bestimmte werden:

Diese letzte Gleichung ist der Steiner’sche Satz. Die Drehach-
se durch P hat von der Drehachse durch den Schwerpunkt den
gr 2

Abstand r.

m D

E

E

(11.160)

Beispiel

9;81 m .6370 103 m/2
m D
s2

E

(11.161)

6;67 1011 N m2

Das vorige Beispiel soll mit Hilfe des Steiner’schen Sat-
kg2
zes gelöst werden:

m D

E

5;97 1024 kg

(11.162)

Lösung:

Auch die Bewegung der Planeten lässt sich durch (11.157)

J D
deuten. Sie ist von Johannes Kepler in den drei Kepler’schen

P
mr 2 C 2 mr 2

(11.153)

5

Gesetzen beschrieben.

mgh D 1 7 mr 2!2

(11.154)

2

5
mgh D 1 7 mv 2

(11.155)

1. Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren ge-

2

5
r
meinsamen Brennpunkt die Sonne steht.

10

2. Jeder Strahl von der Sonne zu einem Planeten über-
v D
gh

(11.156)

streicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

7
r

3. Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten

10
m
m
v D

9;81

2 m D 5;3

J
sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen

7
s2
s
ihrer Bahnen um die Sonne.

210

11 Mechanik

11.3

Elastische Verformung fester

11.4

Mechanik der ruhenden

Körper

Flüssigkeiten und Gase

Elastische Verformungen sind reversible Vorgänge unter dem

Im Gegensatz zu Festkörpern, bei denen die Atome auf festen

Einfluss einer äußeren Kraft, nach Beendigung der Einwirkung

Plätzen sitzen, können in Flüssigkeiten und Gasen die Atome
geht die Verformung vollständig zurück. Entscheidend für die
bzw. Moleküle leicht gegeneinander verschoben werden. Die

Größe der Verformung ist, abgesehen von den Materialeigen-

Atomabstände in Flüssigkeiten und Festkörpern sind ähnlich,
schaften des untersuchten Festkörpers, die Spannung. Diese ist
in Gasen wesentlich größer. Festkörper und Flüssigkeiten ha-
definiert:

T
ben ähnliche Dichten, Gase eine viel geringere Dichte. Für die
eil

F

S

F A

Dichte gilt:

Spannung

S D

(11.163)

II

A

N m2

N
m2

D m

m

V

(11.171)

Dabei wird die zur Fläche A senkrechte Komponente von S

V
kg m3
kg
m3
die Normalspannung s und die zur Fläche parallele Komponente

Schubspannung t genannt.

Fn

11.4.1

Druck

Normalspannung

D

(11.164)

A

Ft

Schubspannung

D

Wird nun an einer Stelle der Flüssigkeit oder des Gases auf die

(11.165)

A

Oberfläche eine Kraft ausgeübt, so überträgt sich diese auf das

Unter Einwirkung einer Normalspannung wird sich ein Körper
ganze Volumen. Das Verhältnis Kraft zu Fläche wird Druck p
dehnen. Die Dehnung " ist die relative Längenänderung bezogen genannt. Wegen der leichten Verschiebbarkeit der Moleküle ist
auf die Ausgangslänge l
der Druck überall gleich groß und wirkt senkrecht auf die Ober-

0.

fläche.

l
l 0

Dehnung " D

D l 1

(11.166)

l

F
p

F A

0
l 0
p D

(11.172)

Zwischen Normalspannung und Dehnung gilt im Bereich elas-

A

N m2

N
m2
tischer Verformung das Hooke’sche Gesetz

Die Einheit ist 1 Pascal:

D " E

(11.167)

N

1 Pa D 1

(11.173)

E ist eine materialabhängige Größe und heißt: Elastizitätsmo-
m2
dul.

Eine weitere außerhalb des SI-Systems, aber nach DIN 1301

zulässige Bezeichnung ist

E

"

E D "

(11.168)

N m2

1

N m2

1 bar D 105 Pa

(11.174)

In der Technik ist für den Elastizitätsmodul E die Einheit

N=mm2 geläufig.

11.4.2

Kompressibilität

Unter dem Einfluss einer Spannung verändert sich normalerwei-
se auch das Volumen eines Körpers. Es gilt für einen Stab der

Dicke d unter einseitiger Belastung:

Flüssigkeiten und Gase werden durch äußeren Druck kompri-

V
miert, ihr Volumen nimmt ab.

D " .1 2/

(11.169)

V

V D Va.1 p/

(11.175)

mit der Poissonzahl
ist die Kompressibilität

D d= d 0

(11.170)

V

"

D 1

(11.176)

Va
p

Nur wenn D 0;5 ist, bleibt das Volumen unverändert.

Da sich das Volumen verkleinert, muss sich die Dichte vergrö-
ßern.

Δ F

Δ F
a
n

D

(11.177)

.1 p/

Δ

F
a und Va sind die dabei jeweiligen Anfangswerte.

t

ΔΑ

Da von Flüssigkeiten sehr viel kleiner ist als bei Gasen, wer-
den Flüssigkeiten oft als inkompressibel betrachtet. Technische

Abb. 11.21 Spannung

Anwendung: hydraulische Presse.

11.4

Mechanik der ruhenden Flüssigkeiten und Gase

211

11.4.3

Volumenausdehnung

F 1

Durch Temperaturerhöhung wird normalerweise das Volumen
h 1 F

F
vergrößert. (Ausnahme: Anomalie des Wassers zwischen 0 °C

4

3
h
und 4 °C, Wasser hat bei 4 °C sein kleinstes Volumen und damit
h 2

F
seine größte Dichte)

A

F 2

V D V 0.1 C #/

(11.178)

ist der Volumenausdehnungskoeffizient oder kubische Ausdeh- Abb. 11.22 Auftrieb
nungskoeffizient, V 0 ist das Volumen bei 0 °C, # wird dann
ebenfalls auf 0 °C bezogen. Die Dichte wird bei Temperaturer-

II
höhung kleiner (Ausnahme s. o.)

Nach DIN 5450 gilt: Für eine Lufttemperatur von 0 °C ist

Teil

D

0

D

D

(11.179)

p 0

1;01325 105 Pa und 0

1;293 kg . Bei der Ableitung
m3

1 C #
von (11.183) ist vorausgesetzt, dass die Temperatur konstant
bleibt.

11.4.4

Hydrostatischer Druck in Flüssigkeiten

Beispiel

Auf jedes Flüssigkeitsmolekül wirkt die Schwerkraft. Auf den

In welcher Höhe ist der Luftdruck auf die Hälfte des Wer-

Boden eines mit Flüssigkeit gefüllten Gefäßes wirkt dann die
tes an der Erdoberfläche gesunken?

Gewichtskraft aller in der Flüssigkeit befindlichen Moleküle un-
ter der Annahme, dass sich die Dichte nicht ändert:

Lösung:

F D
p

G
mg D Vg

(11.180)

0 gh
ln

D ln 0;5 D

F D
p
p

G

Ahg

0

0

Damit wird der Druck
h D p 0
ln 0;5 D 5537 m

J

0 g
p D FG D gh

(11.181)

A

Dieser durch die Schwerkraft verursachte Druck wird Schwere-
druck genannt. Herrscht über der Flüssigkeit noch ein weiterer
äußerer Druck pa, z. B. der Luftdruck, so ist der Gesamtdruck

11.4.6

Auftrieb
am Boden
p D

C
h
pa
gh

(11.182)

Auf einen Körper wirkt von allen Seiten der hydrostatische

Druck nach (11.182), (Abb. 11.22).

Dieser Gesamtdruck ist der hydrostatische Druck. Er ist neben
dem äußeren Druck nur von der Höhe der Flüssigkeitssäule über

Da der Druck in größeren Tiefen zunimmt, entsteht dadurch eine
dem Boden abhängig, nicht aber von der gesamten Masse der
resultierende Kraft nach oben, die Auftriebskraft E

FA.

Flüssigkeitssäule. Er ist damit unabhängig von der Form des Ge-
fäßes und wirkt auch auf alle Seitenwände.

X

E F D

E

C E C E C E

A

F D E

F 1

F 2

F 3

F 4

(11.184)

Da sich die Seitenkräfte paarweise aufheben, verbleibt

11.4.5

Schweredruck in Gasen

E F D E C E

A

F 1

F 2

Der Schweredruck von Gasen errechnet sich ebenfalls durch die

Gewichtskraft der über einer Fläche stehenden Gassäule. Im Ge-

F D

A

A. p 2
p 1/ D Fl gA. h 2
h 1/
gensatz zu Flüssigkeiten ändert sich die Dichte in der Gassäule

F D

D

A
gFl V Fl
gm Fl

(11.185)

merklich. Wendet man diese Überlegung auf den Luftdruck an,
so lässt sich der Luftdruck in einer bestimmten Höhe über der

Die Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft der verdrängten

Erdoberfläche berechnen durch die barometrische Höhenformel

Flüssigkeit. Sie ist nach oben gerichtet. Der gleiche Sachverhalt

0 gh
gilt auch in Gasen, nur sind dort wegen der geringeren Dichten
p D p
p

0
e

0

(11.183)

der Gase auch die Auftriebskräfte wesentlich kleiner.

212

11 Mechanik

11.5

Hydrodynamik

2

1

In der Hydrodynamik wird das Verhalten von strömenden Flüs-
sigkeiten unter dem Einfluss äußerer Kräfte untersucht.

v

Δ v

11.5.1

Kontinuitätsgleichung

Der Massenstrom P
m gibt an, welche Masse einer Flüssigkeit pro

Teil

Zeiteinheit durch einen Querschnitt A strömt.

Δ x

Massenstrom

II

Abb. 11.23 Innere Reibung

P

P
m

v

A
m D vA

(11.186)

kg s1
kg m3
m s1
m2
oder mit m D V

Wenn in der betrachteten Flüssigkeit keine Quellen oder Senken
vorhanden sind, ist der Massenstrom konstant.

p C 1

C

D

C 1

C

1
v 2
gh 1
p 2
v 2
gh 2

(11.193)

2

1

2

2

D

D

1 v 1 A 1

2 v 2 A 2
const

(11.187)

oder allgemein

Ist die Flüssigkeit inkompressibel, so ist ihre Dichte konstant,
p

D p C 1 v 2 C gh D const

(11.194)

und es gilt
ges

2

Gleichung (11.194) ist die Bernoulli-Gleichung inkompressibler

P

P m

V D

D vA D

const

(11.188)

Flüssigkeiten ohne Reibungsverluste. Der Gesamtdruck setzt
sich aus dem Betriebsdruck p, dem Staudruck oder dynamischen
mit dem Volumenstrom P

V.

Druck 1 v 2 und dem Schweredruck gh zusammen und ist kon-

2
stant.

Volumenstrom

Treten Reibungsverluste auf, wird (11.193) in der Form

P

P

V

A
v

V D Av

(11.189)

m3 s1
m2
m s1
p C 1

C

D

C 1

C

C

1
v 2
gh 1
p 2
v 2
gh 2
pV

(11.195)

2

1

2

2

Gleichung (11.187) oder (11.188) ist die Kontinuitätsgleichung.

geschrieben, mit dem Druckverlust pV , der in der Praxis durch
eine Verlusthöhe
pV

11.5.2

Bernoulli-Gleichung
h D

V

(11.196)

g
angegeben wird.

Muss gegen einen Druck p ein Flüssigkeitsvolumen V am Ort

1 in eine Strömung gebracht werden, so ist hierfür die Arbeit

W D

1

F 1 s D p 1 A 1 s D p 1 V 1

(11.190)

11.5.3

Innere Reibung
aufzubringen. Tritt diese Flüssigkeit am Ort 2 wieder aus, so
wird die Arbeit

Zwischen den Molekülen einer Flüssigkeit treten Anziehungs-
kräfte auf. Der Einfluss dieser Kräfte auf die Strömung wird in-

W D

2
p 2 V 2
nere Reibung genannt. Um eine bewegliche Platte 1 der Fläche A
mit konstanter Geschwindigkeit v parallel zu einer festen Wand
frei. Da die Flüssigkeiten inkompressibel sein sollen, gilt

2 zu verschieben, ist eine Kraft F

V D

D

R notwendig (Abb. 11.23). In

1

V 2

V.

der Flüssigkeit wird sich im Idealfall ein lineares Geschwin-

Für die Differenz der Arbeiten gilt somit:

digkeitsgefälle v= x einstellen. Die kennzeichnende Größe
dieser Reibung ist die Viskosität, die durch (11.198) definiert

W D . p

2
p 1/ V

(11.191)

ist.

Bei einer strömenden Flüssigkeit haben die Teilvolumina auch
v

Reibungskraft

F D A

(11.197)

kinetische Energie, befinden sie sich auf unterschiedlicher Hö-

R
x
he über der Erdoberfläche, so kommt noch potentielle Energie
mit der dynamischen Viskosität:

hinzu. Der Energieerhaltungssatz gilt dann in der Form:

F x

D R

FR
x

A
v

(11.198)

p

C

D

C

1 V C 1 mv 2
mgh 1
p 2 V C 1 mv 2
mgh 2 (11.192)

A v

N s=m2

N
m
m2
m s1

2

1

2

2

Thermodynamik

12

Horst Steffen

II

Teil

12.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

12.2 Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

12.3 Thermische Ausdehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

12.4 Ideale Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

12.5 Wärmeübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

213

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_12

214

12 Thermodynamik

12.1

Grundbegriffe

Beispiel

Die Thermodynamik beschreibt das Verhalten auch kompli-

Ein Körper hat eine Temperatur von 300 K. Welche
zierter Vielteilchensysteme mit Hilfe einiger wenigen Größen,

Celsius- und Fahrenheit-Werte ergeben dies?

den Zustandsgrößen. Alle beteiligten Teilchen werden zu einem

Lösung:

thermodynamischen System zusammengefasst. Dieses wird als
abgeschlossenes System bezeichnet, wenn weder Energie noch

# D T 273;15 K D 300 K 273;15 K D 26;85 ıC

Masse mit der Umgebung ausgetauscht werden.

# D 9

9

F

# C 32 F D

26;85 C 32 F

T

Die Zustandsgrößen werden bei der mathematischen Behand-

5

5
eil
lung des thermodynamischen Systems verwendet. Messbare

D 80;33 ıF

J

Zustandsgrößen sind Druck (siehe Abschn. 11.4.1), Tempera-

II
tur und Volumen, davon abgeleitet sind z. B. die Entropie und
die Innere Energie. Als Bezugsmenge wird oft das Mol (siehe

Tab. 10.1) benutzt, in diesem Fall spricht man von molaren Grö-
ßen.

12.2.2

Temperaturmessung

12.2

Temperatur

Die Temperaturmessung ist eine indirekte Messung, es wer-
den physikalische Größen gemessen, die temperaturabhängig

Die Temperatur ist ein Maß für die fühlbare Wärme eines
sind. Aus der gemessenen Größe wird dann die gesuchte Tem-

Materials. Beim Kontakt zweier Körper mit verschiedenen Tem-
peratur berechnet. Zu diesen temperaturabhängigen Effekten
peraturen kann man beobachten, dass sich die Temperaturen
gehören z. B.: Ausdehnung fester, flüssiger und gasförmiger
ausgleichen, und dass nach einer bestimmten Zeit beide Körper

Körper, Änderung des elektrischen Widerstandes von Metallen
die gleiche Temperatur haben. Im thermodynamischen Gleich-
und Halbleitern, Thermospannung und Thermoelemente, opti-
gewicht haben alle Stoffe gleiche Temperatur.

sche Strahlung.

12.2.1

Einheiten

12.3

Thermische Ausdehnung

Es gibt im praktischen Gebrauch verschiedene Temperaturska-
len. Diese werden durch Fixpunkte festgelegt. Dies sind Tempe-

Fast alle Stoffe dehnen sich bei Erwärmung aus. Wenn ein Stoff
raturen, bei denen ein wohldefinierter physikalischer Vorgang
erwärmt wird, so führen die Atome bzw. Moleküle Schwingun-
abläuft. Fixpunkte können Gefrierpunkt und Siedepunkt des
gen mit größerer Amplitude aus, die Schwingungsmittelpunkte

Wassers sein. Die Temperatureinheiten zwischen den Fixpunk-
zweier benachbarter Atome rücken auseinander, makroskopisch
ten sind dann willkürlich festgelegt. Im europäischen Raum
hat dies eine Ausdehnung des Körpers zur Folge.

ist die Celsius-Skala (#), der Abstand zwischen Gefrier- und

Siedepunkt des Wassers ist in 100 Teile unterteilt, im angloame-

Aufgetragen (Abb. 12.1) ist die potentielle Energie zwischen
rikanischen Raum die Fahrenheit-Skala (# F) gebräuchlich. Die
zwei Atomen als Funktion des Abstandes. Ein Atom ist am Ort

SI-Skala ist die Kelvin-Skala ( T).

r D 0, das andere Atom hat hiervon den Abstand r. Bei der

Temperatur T 1 ist der mittlere Abstand zwischen beiden Ato-

Skala

Gefrierpunkt

Siedepunkt
men gleich r 1, bei der Temperatur T 2 > T 1 ist dieser Abstand

Celsius

0 °C

100 °C
r

2. Um die Strecke r D r 2
r 1 hat sich der mittlere Abstand

Fahrenheit

32 °F

212 °F
also vergrößert.

Kelvin

273,15 K

373,15 K

Eine Temperaturerhöhung von # D 1 ıC entspricht auch einer

W

Erhöhung von T D 1 K. Die Umrechnungsformel lautet:

T

#

T D .# C 273;15/ K

(12.1)

K
ıC
r 1 r 2

Sollen Werte der Celsius-Skala in Fahrenheit umgerechnet wer-

0
r
den, so gilt die Beziehung

T 2

T 1

# D 5 .ı

#

# F

F

32/ ıC

(12.2)

9
ıC ıF

Abb. 12.1 Thermische Ausdehnung

12.3

Thermische Ausdehnung

215

Tab. 12.1 Linearer Ausdehnungskoeffizient

Tab. 12.2 Volumen-Ausdehnungskoeffizient bei 20 °C

Material
a

l

106 in K1

Material
av 103=K1

Aluminium

23,8

Wasser

0,208

Messing

19

Quecksilber

0,182

Kupfer

16,4

Dieselkraftstoff

1,0

V2A-Stahl

16

Glas

9

12.3.3

Gase

12.3.1

Feste Stoffe

Bei den tatsächlich vorhandenen realen Gasen haben die Mo-
leküle ein Eigenvolumen und üben untereinander Anziehungs-

II

Betrachtet wird ein Stab der Länge l
kräfte aus. Der Einfluss dieser Größen ist schwer zu erfassen,

1 bei der Temperatur T 1.

Wird dieser Stab auf die Temperatur T
deshalb geht man zunächst von einer Vereinfachung oder auch

2erwärmt, so dehnt er sich

Teil
um die Strecke l D l

Idealisierung aus. Unter solchen idealen Gasen versteht man sol-

2
l 1 aus. Für die meisten Festkörper gilt:

che Gase, bei denen gilt:

l D

2
l 1 .1 C ˛ l. T 2

T 1//

(12.3)

Die Gasmoleküle besitzen kein Eigenvolumen. Anzie-
oder
hungskräfte zwischen den Gasmolekülen sind nicht vor-
l
handen.

D ˛
l

T

(12.4)

l

Es finden nur elastische Stöße statt.

Die Größe a 1 heißt linearer Ausdehnungskoeffizient oder Län-
genausdehnungskoeffizient. Diese Größe ist materialabhängig

Solche Gase können z. B. nicht verflüssigt werden.

und kann in bestimmten Temperaturgrenzen als konstant be-

Für diese idealen Gase gilt bei Erwärmung unter konstantem
trachtet werden. Einige typische Zahlenwerte sind in Tab. 12.1

Druck folgendes Gesetz, welches von Gay-Lussac zu Beginn
dargestellt. Bei Temperaturerhöhung findet nicht nur eine Ver-
des 19. Jahrhunderts durch Experimente festgestellt wurde:

längerung, sondern auch eine Volumenvergrößerung statt. Für
den Volumenausdehnungskoeffizienten a

V D V
v gilt:

v

0.1 C ˛ v#/ p Dconst

(12.8)

˛ D

Hierbei ist # die Temperatur in °C und V 0 das betrachtete Gas-
v

3˛ l

(12.5)

volumen bei # D 0 ıC. Gleichung (12.8) ergibt eine Gerade,
deren Schnittpunkt mit der Temperaturachse bei 273,15 °C
und für die Volumenänderung:

(D 0 K) liegt. Daraus folgt für den Ausdehnungskoeffizienten

idealer Gase:

V D ˛ v T

(12.6)

V

˛ D

1

D
v

0;003661 K1

(12.9)

273;15 K

Da die Masse unverändert bleibt, muss sich bei Volumenvergrö-
ßerung die Dichte verkleinern.

Aus (12.8) folgt weiter:

D

D

1

VT

V 0 1 C

1

. T 273;15/

2

(12.7)

273;15

1 C ˛ v T

Mit T D

D

0

273;15 K ergibt dies VT

T V 0

T 0

V

12.3.2

Flüssigkeiten

D const p Dconst

(12.10)

T

Wird das Volumen jedoch konstant gehalten und die Temperatur

Bei Flüssigkeiten kann eine Ausdehnung nur in allen Richtun-
erhöht, so steigt auch der Druck des Gases. Hierfür gilt:

gen erfolgen, daher ist hier nur der Volumenausdehnungskoef-
fizienten a
p# D p 0.1 C ˛ v#/ V Dconst

(12.11)

v sinnvoll. Im Allgemeinen gilt auch hier, dass sich
bei Temperaturerhöhung das Volumen vergrößert und somit die
und analog zu (12.10):

Dichte verkleinert. Eine Ausnahme bildet das Wasser, dessen
p

Dichte bei Erwärmung ab 0 °C zunächst zunimmt und bei 4 °C

D const V Dconst

(12.12)

seinen größten Wert hat. Anschließend nimmt die Dichte ab

T

( Anomalie des Wassers). Aufgrund dieses Effektes frieren Seen

Bei konstanter Temperatur folgt aus (12.10) und (12.12) das Ge-
im Winter von oben her zu, und das Wasser bleibt am Boden
setz von Boyle-Mariotte
flüssig. Einige typische Zahlenwerte sind in Tab. 12.2 angege-
ben.

pV D const T Dconst

(12.13)

216

12 Thermodynamik

12.4

Ideale Gase
f ( v)

T 1

12.4.1

Allgemeine Zustandsgleichung idealer

T 2

Gase

0

Die Gleichungen (12.10), (12.12) und (12.13) lassen sich zu ei-
v
ner einzigen Gleichung zusammenfassen, sofern die Stoffmenge

Abb. 12.2 Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung
des betrachteten Gases in der Einheit mol angegeben wird. Für

T
eine Stoffmenge von n Mol kann man diese Gleichungen in der
eil

Form

12.4.2

Kinetische Gastheorie

II
pV D p 0 V 0 n

(12.14)

T

T 0

Die makroskopischen Zustandsgrößen p und T eines Gases hän-
zusammenfassen, wobei die Größen, die mit 0 indiziert sind, die
gen mit der Teilchenbewegung, den Stößen der Moleküle mit

Normgrößen eines idealen Gases bei der Temperatur 0 °C sind:

der Wand und der kinetischen Energie der Moleküle zusammen.

Die Moleküle und ihre Bewegung werden durch ihre Masse m
p D

M ,

0

101:325 Pa
die Dichte und ihre mittlere Geschwindigkeit vm definiert. Die

V D

0

22;41383 dm3=mol

(12.15)

Zusammenhänge zwischen diesen Größen werden in der kine-

T D
tischen Gastheorie abgeleitet. Die Geschwindigkeitsverteilung

0

273;15 K
wird durch die Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung be-
mit der Abkürzung
schrieben. Diese Verteilungsfunktion gibt die Wahrscheinlich-
p
keit dafür an, dass eine Geschwindigkeit im Intervall zwischen

0 V 0

R D

(12.16)

v und v C v liegt.

T 0

folgt
m

3

M

2
f . v/ v D 4 v 2
e mMv 2

2 kT
v

(12.24)

2 kT
pV D nRT

(12.17)

In Abb. 12.2 mit willkürlichen Einheiten ist T D 3 T

Die Größe R ist die universelle Gaskonstante und hat den Zah-

2

1.

lenwert:

Die Verteilungskurve hat das Maximum bei der wahrschein-
lichsten Geschwindigkeit v

J
w, die mittlere Geschwindigkeit vm

R D 101:325 Pa 22;41383 dm3 D 8;31441

(12.18)

liegt bei

273;15 K mol
mol K
q
r

Da in einem Mol eines Gases stets die gleiche Anzahl von Mo-

3
v D
m
v 2 D
vw

(12.25)

lekülen vorhanden ist, nämlich die

2

Avogadro-Konstante
vm ist von der Temperatur T abhängig

N D
s

A

6;022045 1023 mol1;

(12.19)

3 kT
v

D
kann die universelle Gaskonstante R auch durch molekulare

M

(12.26)

mM

Größen bestimmt werden:

Für den Druck gilt:

R D k NA

(12.20)

N
mit der Boltzmann-Konstante
p D 1
mMv 2

(12.27)

3 V

J
k D 1;38066 1023

(12.21)

K
oder

Wird die Menge des zu betrachtenden Gases nicht in der Einheit
p D 1 v 2
mol, sondern in kg angegeben, so muss für jede Gassorte eine

(12.28)

3
spezielle Gaskonstante Rs angegeben werden. Zur Umrechnung
muss die Dichte
und für die mittlere kinetische Energie:

0 des Gases bei 0 °C und die betrachtete Gas-
masse m in kg bekannt sein. Es gilt:

p

E

D 1 m

0
kin

M v 2

(12.29)

R D

2
s

(12.22)

0 T 0
oder
und

D 3
pV D mR

E kin
kT

(12.30)

s T

(12.23)

2

12.4

Ideale Gase

217
p

F
p,V
isobare Änderung
isotherme Änderung
ds

T 2
isochore Änderung

Abb. 12.3 Volumenarbeit

T 1

W 12

V 1

V 2

V

12.4.3

Wärmeenergie

Abb. 12.4 p-V -Diagramm

II

Die Temperatur eines Gases hängt nach (12.30) mit der Be-
wegungsenergie der Moleküle zusammen. Erhöht man diese

12.4.4

Zustandsänderungen idealer Gase

Energie z. B. durch Zuführung von Wärmeenergie Q, so muss

Teil
sich die Temperatur um T erhöhen, solange keine Phasenän-
derungen ablaufen.

Bei der Diskussion von Zustandsänderungen wird eine Zu-
standsgröße konstant gehalten und dann die Variation der an-

deren untersucht. Hier sollen nur die Zustandsgrößen T, V und

Q

C

T

Q D C T

(12.31)

p und deren Variation in den folgenden Prozessen untersucht

J

J=K

K
werden. Die betrachtete Stoffmenge ist 1 mol. Die Ausgangs-
gleichung ist das allgemeine Gasgesetz (12.17).

Der Faktor C ist die Wärmekapazität.

Q

Isotherme Zustandsänderungen

C D

(12.32)

T

Isotherme Zustandsänderungen sind solche bei konstanter Tem-
peratur T. Gleichung (12.17) wird dann zu

Je nach Bezugsmenge wird die spezifische (bezogen auf 1 kg)

oder molare (bezogen auf 1 mol) Wärmekapazität benutzt.

pV D const

(12.38)

spezifische Wärmekapazität
c D C

(12.33)

Zur grafischen Darstellung wird das p- V-Diagramm benutzt. In
m
dieser Darstellung sind die Isotherme idealer Gase Hyperbeln
molare Wärmekapazität

C D C
m

(12.34)

(Abb. 12.4).

n

Dargestellt sind zwei Isotherme T 2 und T 1, mit T 2 > T 1.

Die spezifische Wärmekapazität von Wasser beträgt z. B.

4;182 kJ .

Ändert ein Gas seinen Zustand von 1 nach 2, so folgt für die
kg K

Volumenarbeit durch Integration von (12.37)

Wird einem System von außen Wärmeenergie Q zugeführt,
so wird nicht die gesamte Energie zur Erhöhung der Tempe-

V 2

W

D RT ln

(12.39)

ratur aufgebraucht, ein Teil kann in der Regel in Arbeit W

12

V 1
umgewandelt und nach außen abgegeben werden. Wird die ab-
gegebene Arbeit negativ gezählt, so gilt

Ist V 2 > V 1, expandiert das Gas also, so ist W 12 negativ und
wird vom Gas geleistet. Anschaulich entspricht die Volumenar-

Q D U W

(12.35)

beit der schraffierten Fläche im p- V-Diagramm.

Die Größe U ist die innere Energie des Systems und wird

Isochore Zustandsänderungen
durch die innere Bewegung der Teilchen bestimmt. Im fol-
genden soll als abgegebene Arbeit nur mechanische Arbeit

Bei isochoren Zustandsänderungen wird das Volumen konstant
betrachtet werden, die durch Volumenänderung, d. h. Bewegung
gehalten. Diese Änderung wird im p- V-Diagramm durch eine
eines Kolbens, verrichtet werden kann. Dehnt sich ein Gas aus
senkrechte Strecke zwischen Ausgangs- und Endpunkt darge-
und bewegt dabei einen Kolben um die Strecke s, so wird da- stellt (gestrichelte Linie in Abb. 12.4). Bei einer isochoren
bei die Arbeit W verrichtet.

Änderung muss dem System Wärme zugeführt werden, da sich
die Temperatur erhöht. Wegen des konstanten Volumens wird

F A s

W D F s D

(12.36)

keine Volumenarbeit abgegeben.

A

W

D

12

0

(12.40)

oder

Führt man von außen Wärmeenergie zu, wird nach (12.35) die

W D p V

(12.37)

Temperatur erhöht, und die gesamte zugeführte Wärmeenergie

218

12 Thermodynamik
steht zur Vergrößerung der inneren Energie U und somit zur Tab. 12.3 Isentropenexponenten

Temperaturerhöhung zur Verfügung. Für 1 mol gilt:

Gas

Helium

1,67

Q D Cmv T

(12.41)

Argon

1,67

Wasserstoff

1,41
und somit

Sauerstoff

1,40

Luft

1,40

U D Cmv T

(12.42)

Kohlendioxid

1,30

Methan

1,32

T

Ammoniak

1,31
eil

Isobare Zustandsänderungen

II

Bei isobaren Zustandsänderungen wird der Druck konstant ge-
p ·V Isentrope
halten. Diese Änderung wird im p- V-Diagramm durch eine

3

3
waagerechte Strecke zwischen Ausgangs- und Endpunkt dar-
p ·V

4

4
gestellt (Abb. 12.4). Bei einer isobaren Änderung muss dem

T 2

Isotherme

System Wärme zugeführt werden, da sich die Temperatur erhöht
und außerdem Volumenarbeit, deren Größe dem schraffierten

Rechteck entspricht, abgegeben wird.

p ·V

2

2
p ·V

1

1

W

D

T

12
p . V 2

V 1/

(12.43)

1

Abb. 12.5 Carnot-Prozess

Da die Volumenarbeit ¤ 0 ist, wird die Temperaturerhöhung bei
zugeführter Wärmeenergie anders sein als bei isochoren Prozes-
sen. Auch hier werde 1 mol betrachtet:

12.4.5

Kreisprozesse

Q D Cmp T

(12.44)

Unter Kreisprozessen wird eine Abfolge von Zustandsänderun-
mit (12.35) und (12.37) gilt:

gen verstanden, die nach beliebigen Zwischenzuständen wieder
zum Ausgangszustand zurückkehrt. Als Beispiel soll hier der

Q D C

Carnot-Prozess vorgestellt werden.

mv T C p V

(12.45)

p V D R T

(12.46)

Carnot’scher Kreisprozess

Cmp T D Cmv T C R T

(12.47)

Beim Carnot-Prozess wird Wärme in mechanische Arbeit um-

C

D
mp

Cmv

R

(12.48)

gewandelt.

Der Beginn sei im Punkt 1 auf der Isothermen T 1 bei V 1 und

Isentrope Zustandsänderung
p 1. Es werden nacheinander die folgenden Schritte durchgeführt

(Abb. 12.5):

Isentrope oder auch adiabatische Zustandsänderungen laufen
ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung ab. Für diese Zu-

1. Schritt isotherme Kompression auf p 2, V 2
standsänderungen gelten die Poisson’schen Gleichungen:

2. Schritt isentrope Kompression auf T 2, p 3, V 3

3. Schritt isotherme Expansion auf p 4, V 4
pV D const

(12.49)

4. Schritt isentrope Expansion auf T 1, p 1, V 1, also zum Aus-
gangspunkt.

TV1 D const

(12.50)

Bei den einzelnen Schritten werden in unterschiedlicher Weise

T D const

(12.51)

Wärme zu- oder abgeführt und Arbeit geleistet oder ins System
p1
gesteckt. Hier soll nur die gesamte Bilanz angegeben werden:

Die Größe heißt Isentropenexponent, hängt von der Gasart ab,

Die Nutzarbeit des Kreisprozesses für einen Umlauf entspricht
und ist immer > 1
der im p- V-Diagramm eingeschlossenen Fläche. Um unter-
schiedliche Kreisprozesse vergleichen zu können, wird der ther-

C

D mp
mische Wirkungsgrad verwendet. Dieser ist definiert durch

(12.52)

Cmv

D W

(12.53)

Q

In der Tab. 12.3 ist für einige Gase der Isentropenexponent auf-
zu
geführt.

Für den Carnot-Prozess gilt:

Im p- V-Diagramm verlaufen Isentrope steiler als Isotherme und

T

T

D 2

1

C

(12.54)

schneiden daher die Isotherme (siehe Abb. 12.4).

T 2

12.5

Wärmeübertragung

219

Tab. 12.4 Wärmeleitfähigkeit ausgewählter Stoffe

Material (feste Stoffe)

in W=m K

Material (Flüssigkeiten) in W=m K

Material (Gase)

in W=m K

Aluminium

221

Wasser

0,6

Luft

0,026

Eisen

67

Benzin

0,14

Kohlendioxid

0,015

Kupfer

393

Transformatorenöl

0,13

Wasserdampf

0,031

Normalbeton

2,1

Xylol

0,13

Argon

0,016

Eis

2,2

Glyzerin

0,28

Glas

0,8

Quecksilber

9,2

Mineralfaser

0,04

Aceton

0,17

Es lässt sich zeigen, dass der Carnot-Prozess den theoretisch

Wenn angenommen wird, dass der Wärmetransport nur in einer

II
höchsten thermischen Wirkungsgrad aller denkbaren Kreispro-

Richtung, die als x-Richtung bezeichnet wird, stattfinden kann,
zesse besitzt. Er ist immer kleiner als 1 und nur abhängig von
so gilt für die Wärmestromdichte:

Teil
den Temperaturen T 2 und T 1.

#
q D
th

(12.56)

Beispiel
x

Welchen Wirkungsgrad besitzt eine Maschine, die einen

Die Größe l ist die Wärmeleitfähigkeit des Kontaktes in der Ein-

Carnot-Prozess zwischen den Temperaturen 100 °C und
heit W , # die Temperaturdifferenz. Die Wärmeleitfähigkeit
m K

0 °C durchführt?

ist temperaturabhängig. In der Tab. 12.4 sind einige Werte bei

20 °C angegeben.

Lösung:

obere Temperatur

T D

2

.100 C 273;15/ K D 373;15 K

12.5.2

Wärmeströmung
untere Temperatur

T D

1

.0 C 273;15/ K D 273;15 K

Wirkungsgrad

D 373;15 273;15 100 %

373;15

Wärmeströmung oder auch Konvektion ist stets mit einem Ma-

D
terietransport verbunden und findet in Flüssigkeiten oder Gasen

26;8 %

J
statt. Beispiel: Zentralheizung. Die mathematische Behandlung
ist sehr kompliziert und kann hier nicht behandelt werden.

12.5

Wärmeübertragung

12.5.3

Wärmestrahlung

Wärme kann grundsätzlich nur vom System höherer Tempera-

Unter Wärmestrahlung wird die Wärmeübertragung durch elek-
tur zum System mit niedrigerer Temperatur übertragen werden.

tromagnetische Strahlung verstanden. Jeder Körper sendet und

Wärme kann durch Wärmeleitung, Wärmeströmung oder Wär-
empfängt Wärme durch Strahlung, wobei die Absorption und
mestrahlung transportiert werden.

Emission vom Material und der Oberflächenbeschaffenheit ab-
hängt. Dies wird durch den Emissionsgrad " angegeben. " ist
eine Zahl < 1. Die gesamte Leistungsbilanz eines Körpers der

12.5.1

Wärmeleitung
ebenen Fläche A und der Temperatur T 1 in einer Umgebung
der Temperatur T 2 wird durch das Stefan-Boltzmann-Gesetz be-
schrieben:

Wärmeleitung findet durch Energieübertragung ohne Materie-
transport statt. Damit dieser Energietransport geschehen kann,

S D A". T 4 T 4/

(12.57)

muss eine Koppelung zwischen benachbarten Atomen vorhan-

2

1
den sein. Beispiel: Wärmetransport durch eine feste Wand. Hier
mit der Konstanten
können benachbarte Atome durch Schwingung Energie weiter-
geben. Als Maß dient die Wärmestromdichte q th

D

W

5;67 108

(12.58)

m2 K4

Q
q
q D
th

Q

A
t
th

(12.55)

A t

W=m2

W s
m2
s

(siehe auch Abschn. 16.4).

Schwingungen

13

Horst Steffen

II

Teil

13.1 Freie ungedämpfte harmonische Schwingungen . . . . . . . . . . . 222

13.2 Gedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

13.3 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

13.4 Überlagerung harmonischer Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . 224

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

221

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_13

222

13 Schwingungen

Schwingungen sind periodische Vorgänge sowohl mechanischer
ω 0 y

(z. B. Masse an einer Feder) als auch elektromagnetischer Sys-
teme (z. B. Schwingkreis). Kennzeichnend ist, dass Energie
periodisch umgewandelt wird. Die Zeit für eine Periode wird
ϕ
ω
durch die Schwingungszeit T angegeben. Die Anzahl der Peri-

0 t
oden pro Zeiteinheit wird Frequenz f genannt:

f D 1

(13.1)

Abb. 13.1 Harmonische Schwingung

T

Oft wird auch die Kreisfrequenz ! verwendet.

Teil

Kreisfrequenz

! D 2 f D 2

(13.2)

II

T
l

Wird die Auslenkung eines schwingenden Systems mit y be-
zeichnet, so gilt, dass sich nach einer Periode ein bestimm-
m
ter Schwingungszustand wiederholt. Bei einer ungedämpften
m

Schwingung gilt:

y. t/ D y. t C T/

(13.3)

Abb. 13.2 Feder- und Fadenpendel

13.1

Freie ungedämpfte

Wird eine Masse m an einem Faden der Länge l angehängt und
harmonische Schwingungen
zu Schwingungen mit kleiner Auslenkung angeregt, so gilt für
dieses Fadenpendel oder auch mathematisches Pendel:

Es gibt eine Vielzahl von möglichen Schwingungen, deren
s

Auslenkung sich durch eine Sinus-Funktion beschreiben lässt.

l

T
l
g

Fadenpendel

T D 2

(13.7)

Diese Schwingungen werden harmonische Schwingungen ge-
g
s
m
m s2
nannt (Abb. 13.1). Da eine Sinus-Funktion sich als Projektion
einer gleichmäßigen Kreisbewegung darstellen lässt (siehe Ab-
g ist dabei die Erdbeschleunigung, die Schwingungszeit ist bei
schn. 6.4 „Graphen der trigonometrischen Funktionen“), kann
diesem Pendel unabhängig von der Masse m.

der Winkel ' durch !

0
t ersetzt werden:

y. t/ D O y sin.!

Beispiel

0 t/

(13.4)

y. t/ ist die momentane Auslenkung oder Augenblickswert, O y die

Eine Pendeluhr geht in 24 Stunden um 1 Stunde nach.

Amplitude oder maximale Auslenkung, !0 ist die Kreisfrequenz

Die Pendellänge ist l D

1

50 cm. Welche Länge l 2 muss
der ungedämpften Schwingung. Diese wird auch Eigenfrequenz
das Pendel haben, damit die Uhr richtig geht? Das Pendel
genannt. Bei (13.4) ist die Auslenkung y zur Zeit t D 0 ebenfalls
wird als mathematisches Pendel angenommen.

D 0

Lösung:

y.0/ D 0
p
s

T
l
l

Ist jedoch der Nulldurchgang der Schwingung nicht zur Zeit t D

1 D 2 1
p D

1

0, so liegt eine Phasenverschiebung um einen Phasenwinkel '

T 2

2 l 2
l 2
vor, und die Schwingung lässt sich durch

T 2

23 h 2
l D

2 D

D

2
l 1

50 cm

45;9 cm

J
y. t/ D O y sin.!

T 2

24 h

0 t C '/

(13.5)

1
darstellen. Der Phasenwinkel kann positiv oder negativ sein. Bei
positivem Phasenwinkel wird die Sinuskurve nach links ver-
schoben.

Frequenzen elektromagnetischer Schwingungen werden durch

L und C festgelegt. So gilt für einen Schwingkreis:

Die Schwingungszeit T bzw. die Frequenz f hängt je nach
p
schwingungsfähigem System von den unterschiedlichsten Sys-
elektrischer Schwingkreis

T D 2 LC

(13.8)

temgrößen ab. Wird z. B. eine Masse m an einer Feder mit der

Federkonstanten c angehängt, so gilt bei diesem Federpendel für

Allen diesen Beispielen gemeinsam ist aber, dass die mathema-
die Schwingungszeit (Abb. 13.2):

tische Beschreibung der Schwingung durch (13.5) gegeben ist.

r

Kennzeichnung jeder ungedämpften Schwingung ist, dass die
m

T
m
c

Federpendel

T D 2

(13.6)

Amplitude O y zeitlich konstant bleibt, dem System wird keine
c
s
kg

N=m

Energie entzogen.

13.3

Erzwungene Schwingungen

223

Beispiel

Diese Abweichungen sind aber für kleine Dämpfungen vernach-
lässigbar.

Eine Masse m D 500 g hängt an einem Faden der Länge
l D 2 m. Mit welcher Frequenz f schwingt die Masse?

Beispiel

Lösung:

Ein Federpendel mit einer Federkonstanten c D 30 N=m,
s
an dem eine Masse m von 2 kg hängt, führt gedämpfte

2 m

Schwingungen mit einer Anfangsamplitude O y D 10 cm

T D 2

D 2;84 s

9;81 m s2
aus. Die Zeitkonstante ist 2 s, der Phasenwinkel ' ist

0°. Welche Auslenkung liegt nach einer Zeit von t D 5 s
f D 1 D

1

D 0;35 Hz

J
vor?

T

2;84 s

II

Lösung:

r
s

Teil
c

30 N=m

Kreisfrequenz

! D

D

D 3;87 s1

13.2

Gedämpfte Schwingungen
m

2 kg

(13.13)

Wird einem schwingungsfähigen System während der Schwin-

Auslenkung
y D 5 cm e5=2 sin.3;87 5/ (13.14)

gung Energie entzogen, so verringert sich die Amplitude im

D 0;169 cm

J

Lauf der Zeit. Dieser Energieverlust kann in der Mechanik z. B.

durch Reibung, bei elektromagnetischen Schwingungen durch
ohmsche Verluste oder Ummagnetisierungsverluste verursacht
werden. Wegen dieser Verluste nimmt die Amplitude ab und
die Ausschläge werden immer kleiner. Sind die Verluste pro-

13.3

Erzwungene Schwingungen
portional zur Geschwindigkeit (oder zum elektrischen Strom),
so lässt sich die Schwingung durch folgende Gleichung wieder-
geben (Abb. 13.3):

Bei einer erzwungenen Schwingung greift von außen über ei-
ne Koppelung eine periodische Kraft mit einer Frequenz ˝ an.

y D O ye t sin.! t C '/

(13.9)

Das schwingungsfähige System, welches aufgrund seiner Bau-
oder
art im ungedämpften Fall mit der Eigenfrequenz !0 schwingen
würde, wird dann zu erzwungenen Schwingungen mit der Fre-
y D O yeı t sin.! t C '/

(13.10)

quenz der angreifenden Kraft angeregt. Dabei ist auch mit einer

Phasenverschiebung zwischen angreifender Kraft und System
mit
zu rechnen. Für das System gilt dann:

ı D 1

(13.11)

y D O y sin.˝ t C '/

(13.15)

Die für die Abnahme der Amplitude maßgebende e-Funktion

Die Amplitude O y und die Phasenverschiebung hängen von der
enthält eine für die Dämpfung charakteristische Größe , die Frequenz der angreifenden Kraft ab. Für ein Federpendel der
auch als Zeitkonstante des Systems bezeichnet wird und an-

Masse m, an der eine Kraft F angreift, gilt für die Amplitude:

gibt, zu welchem Zeitpunkt die Amplitude auf den Wert 1 D
e

0;3678 37 % der Ausgangsamplitude gefallen ist.

F= m

O

Die Frequenz ! der gedämpften Schwingung ist kleiner als die
y D q

(13.16)

Frequenz !

.!2 ˝2/2 C .2ı˝/2

0 der freien Schwingung.

0
q

! D !2 ı2

(13.12)

und den Phasenwinkel

0
tan ' D

2ı!0

(13.17)

.!2 ˝2/

0
e – / tτ

Die Amplitudenfunktion hat bei kleiner Dämpfung dann ein

Maximum, wenn die Erregerfrequenz und die Eigenfrequenz
übereinstimmen (˝=! D

0

1). Dieses Verhalten wird als Re-
sonanz bezeichnet. Der Kurvenverlauf für verschiedene Dämp-
fungen ist in Abb. 13.4 gezeigt. Aufgetragen ist die Amplitude
als Funktion von ˝=!0. Allerdings verschiebt sich bei größeren

Dämpfungen die Lage des Maximums zu kleineren Erregerfre-

Abb. 13.3 Gedämpfte Schwingung
quenzen.

224

13 Schwingungen
y^
y
y 2
ϕ 2 ϕ y 1
ϕ 1

1

2

Ω ω

/

T

0
eil

Abb. 13.6 Zeigerdiagramm

Abb. 13.4 Resonanzkurve

II

13.4

Überlagerung harmonischer

Die Berechnung der Amplitude und der Phasenlage erfolgt an-
hand des Zeigerdiagramms.

Schwingungen

Mit dem Kosinussatz (siehe Abschn. 6.7) gilt für die Amplitude:

q

Werden Schwingungen überlagert, so müssen verschiedene

O y D

O y 2 C 2O y O y

'

(13.20)

1

1 2 cos.'2

1/ C O
y 22

Möglichkeiten betrachtet werden: Die Schwingungen können
gleiche oder unterschiedliche Frequenz und gleiche oder senk-
und für den Phasenwinkel:

recht zueinander liegende Schwingungsrichtungen haben. Diese

O y

C O

1 sin '1
y 2 sin '2

Fälle sollen für sinusförmige (harmonische) Schwingungen un-
tan ' D

(13.21)

O y

C O y
tersucht werden.

1 cos '1

2 cos '2

Aus diesen Gleichungen lassen sich einige Spezialfälle ableiten:

1) gleiche Amplitude, Phasendifferenz D ; 3:

13.4.1

Schwingungsrichtung parallel
q
zueinander

O y D

O y 2 2O y O y C y 2

(13.22)

1

1 2

2
p

O y D

.O y O y

Gleiche Frequenz

1

2/2 D 0

(13.23)

Betrachtet werden zwei Schwingungen, die unterschiedliche
also Auslöschung der resultierenden Schwingung.

Phasenwinkel haben können, aber mit gleicher Frequenz und

2) Phasendifferenz D 0:

gleicher Schwingungsrichtung schwingen. Die Schwingungen
q
werden durch die Formeln (Abb. 13.5)

O y D

O y 2 C 2O y O y C O y 2

(13.24)

1

1 2

2
p
y

O y D

.O y C O y

C O y

1. t/ D O
y 1 sin.! t C '1/

(13.18)

1

2/2 D O
y 1

2

(13.25)

y 2. t/ D O y 2 sin.! t C '2/

(13.19)

also Addition der Amplituden.

beschrieben.

Geringer Frequenzunterschied

Die grafische Darstellung kann entweder im y. t/-Diagramm
oder im Zeigerdiagramm erfolgen. Letztere wird in der Elek-

Sind die Frequenzen zweier sich überlagernder Schwingun-
trotechnik oft verwendet (Abb. 13.6). Unter einem Zeiger wird
gen fast gleich, treten Schwebungen auf. Hierbei verändert sich
ein zweidimensionaler Pfeil verstanden, dessen Länge der Am-
die Amplitude der resultierenden Schwingung periodisch. Im
plitude und dessen Winkel dem Phasenwinkel entspricht. Dieser
folgenden wird angenommen, dass beide Ausgangsamplituden

Zeiger rotiert mit der Frequenz ! um den Koordinatenursprung. gleich sind.

Durch die Überlagerung (Addition) zweier Schwingungen ent-
steht wieder eine harmonische Schwingung gleicher Frequenz.

y 1. t/ D O y sin.!1 t/

(13.26)

y 2. t/ D O y sin.!2 t/

(13.27)

y res. t/ D y 1. t/ C y 2. t/

(13.28)

y
y
y

D O
res
yŒsin.!1 t/ C sin.!2 t/

(13.29)

y

10

1

Mit
y 2

0

˛ C ˇ

˛ šin ˛ C sin Ď 2 sin
cos

(13.30)

2

2

–10
folgt aus (13.29)

–20

0

2

4

6
t

! C

1

!2

!1 !2
y

res. t/ D 2O
y sin
t
cos
t

(13.31)

Abb. 13.5 Addition von Sinusschwingungen

2

2

13.4

Überlagerung harmonischer Schwingungen

225
y
y
y

0

0

1
t
t
y 2

Abb. 13.7 Schwebung

1

1

2

2

Abb. 13.9 Bestimmung des Phasenwinkels

3

II

3
ϕ ϕ
x:

y
ϕ = 0°
ϕ = 45°
ϕ = 90°

4

Teil

4

0

0

0

1:1

1

0

0

0

2

3

1:2

0

0

0

4

0

0

0

1:3

0

0

0

Abb. 13.8 Verfahren zur punktweisen Konstruktion von Lissajous-Figuren

(' D 90ı)

0

0

0

Bei geringen Frequenzdifferenzen können die Argumente der

Abb. 13.10 Lissajous-Figuren
trigonometrischen Funktionen mit ! D !

1

!2 umgeschrie-
ben werden:

!

und
y

D
res

2O y sin !res t cos
t

(13.32)

2
y. t/ D O y sin.! yt C '/

(13.35)

Die resultierende Schwingung ist ebenfalls eine harmonische

Schwingung mit der Frequenz
gegeben. Die Lissajous-Figuren können im Prinzip punktweise

! C !

konstruiert werden. Für den Fall gleicher Frequenzen und Pha-

! D 1

2
res

(13.33)

2
sendifferenz ' D 90ı ist das Verfahren in Abb. 13.8 dargestellt.

aber die Amplitude ändert sich periodisch zwischen 0 und 2O y.

Auf der x- und auf der y-Kurve werden die Auslenkungen

Während einer Periode der Kosinus-Funktion ändert sich die
zu gleichen Zeitpunkten, hier mit 1; : : : ; 4 bezeichnet, abge-

Amplitude zweimal von 0 auf 2O y, somit ist die Schwebungsfre-
messen und in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf-
quenz
getragen. Für die vorgegebene Phasendifferenz ergibt sich als

! !

! D

1

2 D

Lissajous-Figur ein Kreis. Sind die Amplituden nicht gleich,

S

2

!

(13.34)

2
ist aber die Phasendifferenz 90°, so ergeben sich Ellipsen, de-

Dieses Verhalten ist in Abb. 13.7 wiedergegeben, hierbei sind
ren Hauptachsen parallel zu den Koordinatenachsen liegen. Ist
zwei Schwingungen überlagert, deren Frequenzen sich um 15 %
die Phasendifferenz nicht 90°, so ergeben sich ebenfalls Ellip-
unterscheiden.

sen, allerdings liegen deren Hauptachsen nicht mehr parallel zu
den Koordinatenachsen. Diese Lissajous-Figuren lassen sich in
der Elektrotechnik mit Hilfe eines Oszilloskops darstellen; sie

13.4.2

Schwingungsrichtung senkrecht
dienen zur Messung des Phasenwinkels zwischen zwei Span-
zueinander
nungen. Werden bei einer gemessenen Ellipse nach Abb. 13.9
die beiden Werte y 1 und y 2, also einmal das Maximum in
y-Richtung, zum anderen der Schnittpunkt mit der y-Achse,

Werden zwei Schwingungen mit ganzzahligem Frequenzver-
gemessen, so lässt sich hieraus der Phasenwinkel ' bestimmen
hältnis, die senkrecht zueinander schwingen, überlagert, so
zu:

entstehen geschlossene Figuren (s. Abb. 13.8).

' D
y 2
arcsin

(13.36)

Lissajous-Figuren
y 1

Die beiden Schwingungsrichtungen seien x- und y-Richtung.

In Abb. 13.10 sind für die Frequenzverhältnisse 1 W 1, 1 W 2

Die Schwingungen sind durch
und 1 W 3 für verschiedene Phasenwinkel die Lissajous-Figuren
x. t/ D O x sin.! xt/
angegeben.

Wellen

14

Horst Steffen

II

Teil

14.1 Harmonische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

14.2 Huygens’sches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

14.3 Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

227

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_14

228

14 Wellen
λ

14.1

Harmonische Wellen
m 1

14.1.1

Ausbreitung

Wie bei den harmonischen Schwingungen werden die Wel-

Abb. 14.1 Wellenausbreitung in einer linearen Kette
len harmonisch genannt, deren mathematische Beschreibung
durch eine Sinus-Funktion möglich ist. Im Gegensatz zu den

Schwingungen, bei denen ja nur eine zeitliche Änderung der

T

Auslenkung y zu betrachten war, ist bei Wellen auch eine räum-
eil
liche Abhängigkeit der Auslenkung zu berücksichtigen. Die
r
x

Welle in Abb. 14.1 hat sich nach der Schwingungszeit T D 1

II
f
der einzelnen Systeme um die Wellenlänge nach rechts fort-
bewegt. Hiermit lässt sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit c
definieren:

Abb. 14.2 Wellentypen

Ausbreitungsgeschwindigkeit

Wenn schwingungsfähige Systeme miteinander so verbunden

c D

(14.1)

sind, dass sich die Schwingung von einem System zum nächs-

T
ten System übertragen kann, so setzt sich eine an einem System
c D f

(14.2)

angeregte Schwingung im Raum fort, und man spricht von einer

Welle. Dies soll im Abb. 14.1 veranschaulicht werden. Dabei ist

Wird die Masse m 1zu einer Sinusschwingung y D O y sin.! t/
es zur Ausbreitung von Wellen notwendig, dass die einzelnen
angeregt, so werden auch alle anderen Massen sinusförmig

Systeme durch gegenseitige Rückstellkräfte gekoppelt sind.

schwingen, allerdings zeitversetzt gegen m 1. Eine Masse, die um
x von m

D x

1 entfernt ist, wird um die Zeit t 1
später denselben

Dargestellt sind zwei Momentaufnahmen einer Reihe von Mas-
c

Schwingungszustand erreichen. Es gilt:

sen, die durch Federn verbunden sind. Die Masse m 1 wird
angestoßen und schwingt mit der Frequenz f um ihre Ruhelage.

y D O y sinŒ!. t t 1/

(14.3)

Wegen der Koppelung durch die Federn setzt sich diese Schwin-

2
gung fort, und es entsteht eine Welle, die sich hier nach rechts
y D O y sin
t x

(14.4)

ausbreitet. Die einzelnen Massen schwingen um ihre Ruhela-

T
c
h

i
ge, bewegen sich also nicht in Ausbreitungsrichtung der Welle.

t
x
y D O y sin 2

(14.5)

Es findet kein Materietransport, sondern nur Energietransport

T

statt. Wenn die Schwingungsrichtung der Massen senkrecht zur

Gleichung (14.5) beschreibt die zeitliche und räumliche Aus-

Ausbreitungsrichtung der Welle ist, so wird dieser Wellentyp
breitung einer ebenen harmonischen Welle. Die Amplitude O y

Transversalwelle genannt. Im Abb. 14.1 ist mit der Größe der bleibt konstant. Die Schwingungsgleichung kann durch Einfüh-

Abstand zwischen zwei gleichen Schwingungszuständen einge-
rung der Wellenzahl k umgeschrieben werden:

tragen. Dieser Abstand ist die Wellenlänge . Ist dagegen die

Schwingungsrichtung der einzelnen Massen parallel zur Aus-
breitungsrichtung der Welle, so liegt eine Longitudinalwelle vor.

Wellenzahl
k D 2

(14.6)

Bei einer Longitudinalwelle ändert sich in Ausbreitungsrich-
y D O y sin.! t kx/

(14.7)

tung der Welle die Dichte der schwingungsfähigen Systeme.

In Abb. 14.1 ist nur eine einzige Reihe von schwingungs-

In (14.5) und (14.7) bedeutet ein negatives Zeichen in der Klam-
fähigen Massen gezeichnet. Werden allerdings viele Reihen
mer eine Ausbreitung der Welle in positiver x-Richtung.

gleichzeitig angeregt, liegt eine räumliche Wellenausbreitung
vor.

Bei einer Kugelwelle ändert sich die Amplitude mit dem Ab-
stand vom Erregerort. Dieser Wellentyp wird durch folgende

Werden gleiche Schwingungszustände in benachbarten Ketten

Gleichungen beschrieben.

miteinander verbunden, so erhält man eine zusammenhängende

Fläche, die Wellenfront genannt wird. Die Form der Wellenfront

O
h

i
y 1
t x
hängt von der Form des Wellenerregers ab. In Abb. 14.2 sind
y D
sin 2

(14.8)

r

T

zwei verschiedene Wellenfronten gezeichnet, links die Fronten

O y 1
einer Kugelwelle, rechts die Fronten einer ebenen Welle. Da die
y D
sin .! t kx/

(14.9)

r

Wassermoleküle in beiden Typen nur vertikal schwingen, liegt
hier in beiden Fällen eine Transversalwelle vor.

O y 1ist die Amplitude für den Abstand r D 1.

14.1

Harmonische Wellen

229

Tab. 14.1 Phasengeschwindigkeit
unterscheiden. Diese räumliche Verschiebung ist der Gangun-

Wellentyp

Phasengeschwindigkeit
terschied . Die beiden Wellen sind nach (14.7) durch
q

Longitudinalwellen in Gasen, Schallwellen
c D
p

in Gasen
y D O y sin .! t kx/

(14.11)

q

1

1

Longitudinalwellen in Flüssigkeiten
c D

K

q
und

Longitudinalwellen in Festkörpern
c D

E

Elektromagnetische Wellen in Materie
c D

1
p

D O

!

"

y 2
y 2 sin
t kx C 2

(14.12)

r "0 r 0

Isentropenexponent, p Druck, Massendichte, K Kompressionsmodul,

E Elastizitätsmodul, "

gegeben. Die resultierende Welle lässt sich durch Addition der

0 Elektrische Feldkonstante, " r Permittivitätszahl,

Teilwellen bestimmen. Sie hat dieselbe Frequenz und dieselbe

0 Permeabilität, r relative Permeabilität

II

Wellenlänge, damit auch dieselbe Phasengeschwindigkeit wie
die beiden Ursprungswellen, aber eine andere Amplitude. Ha-
ben beide Wellen die gleiche Amplitude O y D O D O

1
y 2
y 0, so gilt:

Teil

Beispiel
resultierende Welle

Eine harmonische Welle habe eine Phasengeschwindig-

keit c D 300 m=s und eine Frequenz von 100 Hz. Zur Zeit

y

D
res

2O y 0 cos
sin ! t kx C

(14.13)

t D 0 wird sie mit einer Amplitude O y D 10 cm angeregt.

a) Wie groß ist die Wellenlänge ?

y

D O
res
y res sin ! t kx C

(14.14)

b) Wie groß ist die Auslenkung am Ort x D 9 m nach

einer Zeit von 0,15 s?

Lösung:

Amplitude

a) nach (14.1)

O y D
res

2O y 0 cos

(14.15)

D c D 300 m s1 D 3 m

(14.10)

f

100 s1

Sonderfälle:

b)

a)

D n mit n D 0; 1; 2; : : :

(14.16)

0;15 s
y D 10 cm sin 2

9 m

0;01 s

3 m

Die Phasenlage der resultierenden Welle ist gegenüber den Aus-
y D 10 cm sinŒ2.15 3/
gangswellen unverändert, die Amplitude ist doppelt so groß wie

D 10 cm sin.24/ D 0 cm

J
die Ausgangsamplituden. Für gerade Werte von n hat die Ko-
sinusfunktion den Wert 1, für ungerade Werte den Wert 1. In
diesem Fall wird aber die Welle wegen des Summanden
in
der Sinusfunktion um verschoben, sodass die ursprüngliche

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c, besser als Phasenge-

2

Phasenlage beibehalten wird (konstruktive Interferenz).

schwindigkeit bezeichnet, da zur Bildung der Wellenfronten

Orte gleicher Phase miteinander verbunden werden, hängt vom

Wellentyp und vom Medium, in dem sich die Welle bewegt, ab.

b)

D .2 n C 1/
mit n D 0; 1; 2; : : :

(14.17)

In Tab. 14.1 sind einige Beispiele angegeben.

2

In diesen Fällen wird O y

D
res

0, die Wellen löschen sich aus ( de-
struktive Interferenz.

14.1.2

Interferenz

Stehende Wellen

Unter Interferenz wird die Überlagerung von Wellen verstanden.

Laufen die Wellen, die zur Interferenz gelangen, nicht in glei-

Dabei gilt, dass bei nicht zu großen Amplituden der beteiligten
cher Richtung, sondern einander entgegen, so entstehen stehen-

Wellen sich jede Welle ungestört ausbreiten kann und die mo-
de Wellen. Dies kann z. B. durch Reflexion an einem Spiegel
mentanen Auslenkungen addiert werden können. Dies wird das
geschehen. Die beiden Wellen können bei gleicher Amplitude

Verfahren der ungestörten Superposition genannt.

nach (14.7) durch
y D O y sin.! t kx/

(14.18)

Interferenz von Wellen gleicher Frequenz

1

Zwei Wellen gleicher Frequenz, die sich in gleicher Richtung
und
ausbreiten, können sich im allgemeinen durch ihre Amplitu-
de und durch eine Verschiebung gleicher Schwingungszustände
y D O

2
y sin.! t C kx/

(14.19)

230

14 Wellen
y
lle

We
ellenfront
mende
x
neue W
y
ankom

Teil

Abb. 14.4 Huygens’sches Prinzip

II
x

Abb. 14.3 Stehende Wellen

E

D
beschrieben werden. Auch hier ergibt sich die resultierende

A

C

B

Welle durch Addition der Teilwellen. Unter Anwendung des

Additionstheorems folgt:

Abb. 14.5 Reflexion
y

D
res

2O y sin.! t/ cos. kx/

(14.20)

An den Stellen, an denen der Kosinusterm in (14.20) verschwin-
det, hat auch die resultierende Welle zu allen Zeiten keine

Auslenkung. Dies ist der Fall für solche Orte, die um =2 von-
α β
einander entfernt sind. Der erste Nullpunkt hängt von der Art
der Reflexion ab, an einem dichteren Medium liegt er in der

Spiegel

Grenzfläche, sonst um =4 vor der Grenzfläche.

Abb. 14.6 Reflexionsgesetz

In den Punkten dazwischen ergibt sich je nach Laufzeit eine

Auslenkung, die maximal den doppelten Wert der Ursprungs-
amplitude haben kann. In Abb. 14.3 ist oben die Reflexion an
eines Spiegels (Abb. 14.5). Für die Strecke DB braucht die Wel-
einem dichteren Medium, unten an einem dünneren Medium
lenfront die Zeit t 1. Vom Punkt A geht eine Elementarwelle aus,
dargestellt. Dabei muss noch berücksichtigt werden, dass bei
die dann, wenn der Punkt B erreicht ist, den Radius AE D c t 1

Reflexion an einem dichteren Medium ein Phasensprung von
hat. In der Zeit t

=

1=2 ist der Punkt C in der Mitte zwischen A

2 eintritt.

und B erreicht. Die Elementarwelle, die in C angeregt wird,
hat den Radius AE=2, wenn die Wellenfront nach der Zeit t 1
den Punkt B erreicht hat. Die Einhüllende dieser Elementar-

14.2

Huygens’sches Prinzip
wellen ist mit W 0 bezeichnet. Da die Dreiecke AEB und ADB
kongruent sind, folgt, dass beide Wellenfronten mit dem Spie-
gel denselben Winkel bilden. Üblicherweise werden nicht die

Die Wellenausbreitung kann nach dem Huygens’schen Prinzip

Wellenfronten, sondern die darauf senkrecht stehenden Wellen-

(nach Christian Huygens) dadurch erklärt werden, dass jeder
normalen gezeichnet, um die Richtung einer Welle darzustellen.

Punkt, der von einer Wellenfront getroffen wird, wiederum Aus-

Auch werden die Winkel nicht zur Spiegelfläche, sondern zur
gangspunkt einer sogenannten Elementarwelle wird. Diese ist,

Senkrechten auf der Spiegelfläche gemessen, wie in Abb. 14.6
da es sich um punktförmige Erreger handelt, eine Kugelwelle
zu ersehen ist. Es gilt das Reflexionsgesetz: Einfallswinkel D

(siehe Abschn. 14.1). Die neue Wellenfront entsteht als Ein-

Ausfallswinkel
hüllende aller dieser Teilwellen. Dieses Prinzip gilt nicht nur
für eine Wellenausbreitung in Medien, sondern ganz allgemein,

˛ D ˇ

(14.21)

auch für elektromagnetische Wellen, wie z. B. Licht. Mit Hilfe
dieses Prinzips lassen sich Vorgänge wie Reflexion, Brechung
und Beugung erklären (Abb. 14.4).

14.2.2

Brechung

Wenn sich die Welle in Gebieten mit unterschiedlichen Pha-

14.2.1

Reflexion
sengeschwindigkeiten ausbreitet, so ändert sich beim Durch-
gang durch die Grenzfläche die Richtung der Wellenfronten

Eine ebene Wellenfront W, die sich mit der Geschwindigkeit c

(Abb. 14.7). Im Medium 1 habe die Welle die Geschwindig-
bewegt, erreicht zu einem bestimmten Zeitpunkt den Punkt A
keit c 1 und laufe unter einem Winkel a 1 ein, im Medium 2 sei

14.3

Dopplereffekt

231

D
c 1
α 1

Grenzfläche

A

C

B

F

E
c 2

Abb. 14.9 Beugung an einer Öffnung
α 2
n = 3

Abb. 14.7 Brechung
n = 2

II
n = 1

Teil
α 1
d
n = 0

Grenzfläche
α 2
l

Abb. 14.8 Brechungsgesetz

Abb. 14.10 Beugung am Doppelspalt
v =
q

0
v q
die Geschwindigkeit c 2 und der Winkel a 2. Beim Erreichen des

Punktes A wird hier eine Elementarwelle ausgesendet, die dann,
wenn die Welle im Medium 1 nach der Zeit t 1 den Punkt B er-
reicht hat, den Radius AE hat. Die Einhüllende im Medium 2 ist
λ

BD. Im Dreieck ABD gilt:

λ

B

DB

Abb. 14.11 Dopplereffekt
sin ˛ D

1

AB
und im Dreieck AEB:

die Wand abgedeckt ist, ist die Welle bemerkbar. Dieses Phäno-

AE
men wird als Beugung bezeichnet. Die Beugung lässt sich mit
sin ˛ D

2

Hilfe des Huygens’schen Prinzips so verstehen, dass von der

AB

Öffnung Elementarwellen ausgehen. Sind mehrere Öffnungen

Weiter gilt
vorhanden, so entsteht das Beugungsfeld durch Interferenz der
einzelnen Elementarwellen. Dies ist in Abb. 14.10 für den Fall

DB D c

1
t 1;

AE D c 2 t 1
eines Doppelspaltes aufgezeigt. Die Kreise stellen die Maxima

Hieraus folgt
der Elementarwellen dar. An den Punkten, an denen sich die

Elementarwellen schneiden, erfolgt Verstärkung. Die Verbin-
sin ˛

dungslinien dieser Schnittpunkte liegen auf Hyperbeln, deren

1

DB
c
t

D

D 1 1
sin ˛

Asymptoten zur Ausbreitungsrichtung unter den Winkeln a ver-

2

AE
c 2 t 1
laufen. Für diese Winkel gilt mit ganzen Zahlen n die Bedingung
das Brechungsgesetz (Abb. 14.8)

sin ˛
sin ˛ D n ;
n D 0; 1; 2; : : :

(14.23)

1
c
n

D 1

(14.22)

d
sin ˛2
c 2
erfüllt ist.

Dies Gesetz ist ebenfalls für alle Wellenarten gültig.

14.3

Dopplereffekt

14.2.3

Beugung

Wenn sich der Erreger einer Welle, die Quelle, und der Beob-

Trifft eine Welle auf eine Wand, in der sich eine kleine Öffnung
achter relativ zum Medium, in dem die Welle übertragen wird,
befindet, so breitet sich die Welle hinter der Öffnung nicht ge-
bewegen, so treten Frequenzverschiebungen auf, die Doppleref-
radlinig aus, sondern auch in dem Teil des Raumes, der durch
fekt genannt werden. Dabei ist es für die Berechnung wichtig,

232

14 Wellen

Tab. 14.2 Dopplereffekt
α

Quelle

Beobachter

Formel

P

!

!

f D
c vB

B
fQ c vQ

!

f D
c C vB

B
fQ c vQ
v Q

!

f D
c vB

B
fQ c C vQ

f D
c C vB

Abb. 14.12 Schallmauer und Machscher Kegel

B
fQ c C vQ

Teil

D
ob sich die Quelle oder der Beobachter bewegen. Beobachten

Lösung: Da die Geschwindigkeit vB

0 ist, folgt:

kann man den Dopplereffekt beim Herannahen eines hupenden

II
a)

Autos: Bei Annäherung erhöht sich zunächst die Frequenz, der

D
km D 100 m D
m

Ton wird höher, beim Entfernen erniedrigt sich die Frequenz
vQ

100

27;78
h

3;6 s
s
und der Ton wird niedriger. Zunächst soll der Fall des ruhenden
c

Beobachters und der sich auf den Beobachter zu bewegenden
f D

D 440 330 D

B
fQ

480;44 Hz
c v

330 27;78

Quelle untersucht werden. Von einer punktförmigen Quelle wer-

Q
den Kugelwellen ausgesendet. Da sich die Quelle bewegt, liegen
b)

die Zentren der zu verschiedenen Zeiten nacheinander ausgesen-
c
deten Kugelwellen nicht mehr in einem Punkt. Der Beobachter
f D

D 440 330 D

B
fQ

405;8 Hz

J
c C v

330 C 27;78
im Punkt B erkennt eine kürzere Wellenlänge. In Abb. 14.11

Q
ist links eine ruhende Quelle, die eine Welle der Wellenlänge
aussendet, rechts eine bewegte Quelle dargestellt. Die Quelle
bewegt sich nach rechts mit der Geschwindigkeit v

Ein Sonderfall tritt dann ein, wenn sich die Quelle mit dersel-
q. Der Be-
obachter sieht nun eine kleinere Wellenlänge
ben Geschwindigkeit bewegt wie die ausgesendete Welle, z. B.

B. In der Zeit

T D 1
eine Schallwelle. Es entsteht das Wellenbild nach Abb. 14.12
q
hat sich die Quelle um die Strecke v
f
qTq nach rechts
q
links. Alle Kugelwellen addieren sich im Punkt P, es entsteht
bewegt, somit ist die Wellenlänge D

B
vqTq verkleinert, die sogenannte Schallmauer, die mit der Quelle mitläuft. Wird
die Frequenz hat sich jedoch vergrößert: D

B
vqTq. Mit

D c
die Geschwindigkeit der Quelle größer als die Schallgeschwin-
wird daraus:

f
digkeit, so sind die Verhältnisse entsprechend Abb. 14.12 rechts.

Für den Öffnungswinkel des entstehenden Mach’schen Kegels
c
v

D c q

(14.24)

gilt:

fb
fq
fq

c
v
c

D c
q

1

(14.25)

Öffnungswinkel
sin ˛ D

(14.27)

f
vQ
b
fq
c
fq
c

Auf dem Kegelmantel bildet sich eine einheitliche Wellenfront,
f D

D

B
fQ

(14.26)

1 vq
c v
die von einem Beobachter als Knall wahrgenommen wird. Diese
c

Q

Wellenfront bewegt sich mit der Quelle. In Vorwärtsrichtung ist

Zu unterscheiden ist, ob und wie sich Quelle und Beobachter re-
die Quelle nicht zu hören.

lativ zueinander bewegen. In Tab. 14.2 sind die möglichen Fälle

Die Gleichungen aus Tab. 14.2 gelten nur für den Fall, dass sich
angegeben.

die Welle in einem Medium als Träger der Welle ausbreitet. Ei-
ne Sonderstellung nehmen hier die elektromagnetischen Wellen

Wenn Quelle oder Beobachter ruhen, so ist in der entsprechen-
ein (z. B. Licht), denn diese benötigen kein Medium, um sich
den Gleichung diese Geschwindigkeit D 0 zu setzen.

auszubreiten. In diesem Fall gibt es bei bewegten Quellen und

Beobachtern auch eine Frequenzverschiebung, diese ist aber nur

Beispiel
von der Relativgeschwindigkeit zwischen Quelle und Beobach-
ter abhängig.

Eine Schallquelle sendet einen Ton von 440 Hz aus. Die

Bei Annäherung von Quelle und Beobachter gilt:

Quelle bewegt sich mit 100 km=h an einem ruhenden Be-
r
obachter vorbei.

c C v
f D

B
fQ

(14.28)

Frage: Welche Frequenz nimmt der Beobachter
c v
a) bei Annäherung

Entfernen sich Quelle und Beobachter, so muss v durch v er-
b) bei Entfernung der Quelle wahr?

setzt werden.

r

Die Schallgeschwindigkeit beträgt 330 m=s.

c v
f D

B
fQ

(14.29)

c C v

Akustik

15

Horst Steffen

II

Teil

15.1 Schallausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

15.2 Reflexion, Transmission, Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

15.3 Ultraschall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

233

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_15

234

15 Akustik

Tab. 15.1 Schallgeschwindigkeit und Schallkennimpedanz

Hierbei ist c die Schallgeschwindigkeit. Die Größe

0 c wird als

Dichte
c

Z

Schallkennimpedanz Z, früher auch als Schallwellenwiderstand,
bezeichnet.

kg m3
m s1

N s m3

Luft 20 °C

1,396

319

445

Z

Z D c

0
c

(15.7)

Luft 0 °C

1,293

331

427

0

N m1
kg=m3
m=s

Luft 20 °C

1,21

344

416

Die Schallkennimpedanz ist eine charakteristische Größe für

Eis

920

3200

2,94 106
das jeweilige Ausbreitungsmedium und ist bei ebenen Wellen

Holz

600

4500

2,7 106
konstant.

Glas

2500

5300

13 106

T

Beton

2100

4000

8,4 106

Für die Schallgeschwindigkeit in Gasen gilt (siehe Ab-
eil

Stahl

7700

5050

39 106
schn. 14.1):

r

II
p
c D

(15.8)

In der Akustik wird die Ausbreitung von Schallwellen in festen,
flüssigen und gasförmigen Medien untersucht. In festen Stoffen
oder
p
können diese Wellen Longitudinalwellen und Transversalwellen
c D

RiT:

(15.9)

sein, in Flüssigkeiten und Gasen gibt es nur Longitudinalwellen,
weil dort die zur Ausbreitung von Transversalwellen notwen-

In Festkörpern gilt:

s
digen rückstellenden Querkräfte fehlen. Im folgenden werden

E
vorzugsweise Schallwellen in Gasen behandelt, weil diese im

Schallgeschwindigkeit
c D

(15.10)

täglichen Leben eine übergeordnete Rolle spielen.

15.2

Reflexion, Transmission,

15.1

Schallausbreitung

Absorption

Schall breitet sich in Gasen und Flüssigkeiten durch Druckän-

Jedes Medium wird durch seine Schallkennimpedanz beschrie-
derungen als Longitudinalwelle aus. Hiermit verbunden ist eine

Dichteschwankung, eine Druckschwankung und eine Schwan-
ben. Treffen nun Schallwellen auf eine Grenzfläche zwischen
zwei Medien mit unterschiedlicher Schallkennimpedanz, so
kung der Geschwindigkeit der einzelnen Moleküle um die je-
wird ein Teil reflektiert, ein Teil tritt ins Medium ein. Der Refle-
weiligen konstanten Mittelwerte (Index 0), die auch ohne Schall
xionsfaktor r
vorhanden sind.

ist definiert als das Verhältnis des Schalldruckes pr
der reflektierten Welle zu dem Schalldruck pe der einfallenden

Welle.

Dichte

D C

0
w

(15.1)

Druck
p D p C

Reflexionsfaktor
r D pr

(15.11)

0
pw

(15.2)

pe

Geschwindigkeit
v D v C

0
vw

(15.3)

Werden die Intensitäten Ir und Ie ins Verhältnis gesetzt, so erhält
man den
mit den Bezeichnungen: w: Wechseldichte, pw: Schallwechsel-

I
p 2
druck oder Schalldruck, v
r
r
w: Schallschnelle.

Reflexionsgrad

D

D

D
s
r 2

(15.12)

Ie
p 2 e

Die Lösungsfunktion als Funktion von Ort und Zeit hängt un-

Werden die Schallkennimpedanzen für senkrechten Einfall mit
ter anderem vom Erregertyp ab. Für den einfachsten Fall einer

Z
eindimensionalen sinusförmigen Erregung lautet sie für den

1 bzw. Z 2 bezeichnet, so gilt für senkrechten Einfall:

Schalldruck:

Z Z

2

D

2

1
s

(15.13)

Z C

2

Z 1
p. x; t/ D p C O

0
p sin.! t kx/

(15.4)

und für die Schallschnelle:

Z

Z

I

1

Z

2

1
e
vw. x; t/ D O v sin.! t kx/

(15.5)

I

I
t
r
mit

O

O
p
v D

(15.6)

0 c

Abb. 15.1 Reflexion und Transmission

15.3

Ultraschall

235

Ein großer Reflexionsgrad tritt immer dann auf, wenn die Der Absorptionsgrad gibt an, welcher Teil der einfallenden Wel-

Schallkennimpedanzen der beteiligten Medien sehr unterschied-
le nicht reflektiert wurde, der Transmissionsgrad gibt den Anteil
lich sind. Dabei ist es gleichgültig, welches der beiden Medien
an, der durch eine Wand hindurch gelangt ist. Die in der Wand
die größere Schallkennimpedanz besitzt.

tatsächlich verlorengegangene Schallintensität wird durch den

Schalldissipationsgrad ı s angegeben. Somit gilt der Zusammen-

Wird die Schallwelle im Medium 2 gedämpft, so wird die Wel-
hang:

le bei genügend dickem Medium 2 vollständig absorbiert. Der

Schallabsorptionsgrad as wird definiert durch:

C C D
s
s
ı s

1

(15.17)

Schallabsorptionsgrad

C

D
s

˛ s

1

(15.18)

˛ D Ie Ir D
s

1 Ir

(15.14)

I

I

II
e
e

15.3

Ultraschall

˛ D

D
s

1 s

1 r 2

(15.15)

Teil

Wird nun der Schall im Medium 2 nicht vollständig absorbiert,

Unter Ultraschall wird der Schall verstanden, dessen Frequenz
weil z. B. die Wand zu dünn ist, so tritt ein Teil It der einfal-
jenseits (D ultra) der menschlichen Hörschwelle von ca. 20 kHz
lenden Schallintensität Ie durch das Medium 2 durch. Dieser
liegt. Die obere Grenze liegt bei etwa 1 GHz. Die zugehö-

Anteil wird als Schalltransmissionsgrad s bezeichnet. Auch an
rigen Wellenlängen liegen in Luft zwischen etwa 2 cm und
der zweiten Grenzfläche wird dann ein Teil der dort ankommen-

0,34 &m. Für den Ultraschall gibt es in der Praxis eine Vielfalt
den Intensität reflektiert.

von Einsatzmöglichkeiten. Dazu nachfolgend einige Beispiele:

Ultraschall-Echolot, Ultraschall-Blindenleitgerät, Ultraschall-

It

Schalltransmissionsgrad

D

Alarmanlagen, Werkstoffprüfung, Materialprüfverfahren, Medi-
s

(15.16)

Ie
zin.

Optik

16

Horst Steffen

II

Teil

16.1 Eigenschaften des Lichtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

16.2 Geometrische Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

16.3 Wellenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

16.4 Photometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

16.5 Licht als Korpuskel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

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237

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_16

238

16 Optik

Die Optik ist die Lehre vom Licht, seiner Ausbreitung, dem

Aufbau optischer Instrumente und allen den Erscheinungen,
ellen
die mit dem Auge wahrgenommen werden können. Heute wird
llen
ellen
ellen
zwischen der klassischen Optik und der Quantenoptik unter-
we
w

-Strahlung
schieden. In der klassischen Optik wird das Licht als Welle

Strahlung
ittel
γ

Röntgenstrahlung

UV
sichtbares Licht

Infrarot

Mikro

Radar

Ultrakurzw

M

Langw
verstanden. Seit Beginn dieses Jahrhunderts sind allerdings vie-
le Experimente durchgeführt worden, deren Deutung nicht im

Rahmen der Wellentheorie möglich ist. Zur Erklärung muss
angenommen werden, dass das Licht sich wie ein Teilchen,

–12

–10

–8

–6

–4

–2

0

2

4
λ/ m
als Korpuskel, dem sogenannten Lichtquant, verhält. Dieses

T

Abb. 16.1 Spektrum der elektromagnetischen Wellen
eil

Bild ist immer dann anzuwenden, wenn Licht mit Materie in

Wechselwirkung tritt, also zum Beispiel bei der Absorption und

II

Emission, aber auch bei der Streuung von Licht.

16.2

Geometrische Optik

16.1

Eigenschaften des Lichtes

Wird nun die Ausbreitung des Lichtes durch Öffnungen, durch

Blenden oder an Gegenständen vorbei betrachtet, und sind die-

Die Ansichten über die Natur des Lichtes haben sich im Lau-
se Gegenstände groß gegenüber der Wellenlänge des Lichtes, so
fe der Jahrhunderte grundlegend gewandelt. Newton stellte im
kann die Ausbreitung des Lichtes nach den Gesetzen der geo-

17. Jahrhundert eine Korpuskulartheorie auf, eine Lichtquelle
metrischen Optik bestimmt werden, im anderen Fall muss die
sendet kleine Korpuskeln aus, die sich geradlinig mit großer Ge-

Wellenoptik herangezogen werden. Die Lichtwellen werden in
schwindigkeit fortbewegen, bis sie im menschlichen Auge durch
ihren Ausbreitungsrichtungen durch die Strahlen gekennzeich-

Nervenanregung wahrgenommen werden. Reflexion und Bre-
net, die senkrecht auf den Wellenfronten stehen (siehe Kap. 14).

chung von Licht konnten hiermit erklärt werden, Beugung und

Bei ebenen Wellen sind die Strahlen parallel. Kreuzen sich zwei

Interferenz jedoch nicht. Dies gelang Huygens im Jahr 1678 mit

Lichtstrahlen, so beeinflussen sie sich gegenseitig nicht.

der von ihm entwickelten Wellentheorie, die von Young (1802)

durch Experimente untermauert wurde. Nach der Entdeckung
der Polarisation durch Malus (1808) hat Fresnel (1815) das

Licht als transversale Welle beschrieben, und dass das Licht

16.2.1

Reflexion des Lichtes
eine elektromagnetische Transversalwelle ist, wurde von Max-
well (1865) entdeckt. Die physikalischen Größen, die sich bei
elektromagnetischen Wellen zeitlich und räumlich periodisch

Wird ein einfallender Lichtstrahl an einer ebenen Fläche reflek-
ändern, sind die elektrische Feldstärke und damit verbunden
tiert, so gilt das Reflexionsgesetz (Abb. 16.2):

auch die magnetische Feldstärke. Beide stehen senkrecht auf-
einander und senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Das Licht
breitet sich mit der Naturkonstanten Lichtgeschwindigkeit aus.

Einfallender Strahl, reflektierter Strahl und Einfallslot lie-

Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum hängt mit der elektri-
gen in einer Ebene.

schen Feldkonstante "0 und der magnetischen Feldkonstante 0

Der Einfallswinkel ˛ und der Reflexionswinkel ˇ sind
durch die Gleichung
gleich.

Lichtgeschwindigkeit
c D

1
p"

(16.1)

00

Das Einfallslot ist hier das Lot auf der Spiegelfläche. Dies Ge-
zusammen.

setz wurde bereits in Kap. 14 mit der Wellentheorie abgeleitet.

Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum hat den Wert
m
c D 2;99792458 108

(16.2)

s

Auch hier gilt, wie bei allen Wellen, der Zusammenhang c D
el

β
f zwischen der Wellenlänge und der Frequenz f . Das

Lot
eg
α
sichtbare Licht nimmt nur einen kleinen Teil des Spektrums der

Spi
elektromagnetischen Wellen ein (siehe Abb. 16.1). Alle die dort
aufgeführten Wellen sind elektromagnetische Wellen und brei-
ten sich im Vakuum mit der Lichtgeschwindigkeit c aus. Die

Frequenzen erstrecken sich von 104 bis 1020 s1.

Abb. 16.2 Reflexionsgesetz

16.2

Geometrische Optik

239
sind, werden für einfache Anwendungen Spiegel genommen,
deren Oberfläche aus einer Kugel geschnitten wurde. Diese ha-

L2

L1
ben zwar Abbildungsfehler, beschränkt man sich jedoch auf

Strahlen, die nahe der optischen Achse einfallen, so können

Auge
diese Fehler vernachlässigt werden. Der Brennpunkt hat im

Rahmen dieser Näherung den Abstand
r
f D

(16.3)

Abb. 16.3 Bildentstehung

2

Diese Größe f ist die Brennweite. Zur Bildkonstruktion wer-
den mindestens zwei Strahlen benötigt. Es werden die Strahlen

II
verwendet, deren Verlauf sich einfach konstruieren lässt, näm-
lich ein achsenparalleler Strahl 1 und ein Brennpunktstrahl 2.

optische Achse

F

Strahl 1 verläuft nach der Reflexion durch den Brennpunkt,

Teil

Strahl 2 wird achsenparallel reflektiert. Hier können je nach La-
ge des Gegenstandes G virtuelle oder reelle Bilder entstehen

(siehe Abb. 16.5).

Wird der Abstand des Gegenstandes vom Spiegel mit der Ge-

Abb. 16.4 Parabolspiegel
genstandsweite g, der Abstand des Bildes mit der Bildweite b
bezeichnet, so gilt die

Abbildungsgleichung

Ein Beobachter, der vor einem ebenen Spiegel steht, sieht sein

Bild hinter dem Spiegel. Das menschliche Auge in Zusammen-

1
arbeit mit dem Gehirn kann keine Richtungsumkehrung oder

D 1 C 1

(16.4)

f
g
b

Abweichungen von der geradlinigen Ausbreitung des Licht-
strahles wahrnehmen. Eine Lichtquelle L 1, die vor einem Spie-

Die Gegenstandsgröße G und die Bildgröße B lassen sich aus
gel steht und deren Licht in das Auge fällt, erscheint dem
einfachen geometrischen Überlegungen bestimmen, und es gilt:

Beobachter hinter dem Spiegel, dabei wird der tatsächlich vor-
handene Strahlenverlauf durch das menschliche Gehirn in den

Abbildungsmaßstab
nicht vorhandenen, gestrichelt gezeichneten Verlauf umgedacht.

Das Bild L

B
b

2 der Lichtquelle erscheint dort, wo sich die gedach-

Ď

D

(16.5)

ten Strahlen kreuzen (Abb. 16.3). Bilder, die durch einen nicht

G
g
wirklich vorhandenen Schnittpunkt, sondern einen gedachten

Schnittpunkt entstehen, heißen virtuelle Bilder. Schneiden sich

In diesem System sind die einzelnen Größen mit Vorzeichen
zwei Lichtstrahlen tatsächlich, so entsteht ein reelles Bild.

behaftet, die positiven Richtungen weisen nach oben und vom

Spiegel zum Brennpunkt, in diesem Fall nach links.

Im folgenden soll die Reflexion an nicht ebenen Spiegeln un-

Ob das Bild reell oder virtuell, verkleinert oder vergrößert wird,
tersucht werden. Dabei hat der Spiegel im Querschnitt eine
hängt von der Gegenstandsweite ab. Es gilt:

Parabelform; das räumliche Gebilde wird Paraboloid genannt.

Diese Parabolspiegel haben die Eigenschaft, alle Strahlen, die
g < f
virtuell
aufrecht
vergrößert
parallel zur Symmetrielinie, der optischen Achse, einfallen, so
zu reflektieren, dass sie sich in einem Punkt, dem Brennpunkt F,
f < g < 2 f
reell
höhenverkehrt
vergrößert
schneiden (Abb. 16.4). Da Parabolspiegel schwer herzustellen
g > 2 f
reell
höhenverkehrt
verkleinert

1

2

1

1

2

1

1

2

2

1

B

B

G

M

F

M

G

F

M

F

G

B

2

2

Abb. 16.5 Bildkonstruktion am Hohlspiegel. M: Mittelpunkt des Hohlspiegels; F: Brennpunkt; G: Gegenstand; B: Bild

240

16 Optik

Beispiel

Medium 1

Medium 2

Vor einem Hohlspiegel mit dem Krümmungsradius r D
β
α 2

10 cm steht in 3 cm Abstand ein 2 cm großer Gegenstand.

α 1

Wie groß sind Bildweite und Bildgröße?

Lösung:

Abb. 16.6 Brechungsgesetz
f D r D 5 cm

2

Teil

1 D 1 1 D 1 1

1

2

3

4
b
f
g

5

3

5

II
b D 7;5 cm
n =

2

1

6
b

7;5 cm

B D G

D 2 cm

D 5 cm
n =
g

3 cm

1

1,5

7

Da b negativ ist, ist das Bild ein virtuelles Bild, B ist
positiv, somit ist das Bild aufrecht, was dem Abb. 16.5c

P
entspricht.

J

Abb. 16.7 Totalreflexion

16.2.2

Brechungsgesetz

Der Brechungsindex des betreffenden Materials hängt allerdings
von der Wellenlänge des Lichtes ab. Die Tatsache, dass der Bre-
chungsindex von der Wellenlänge des Lichtes abhängt, heißt

Trifft ein Lichtstrahl schräg auf die Grenzfläche zwischen zwei

Dispersion (Tab. 16.2). Im optischen Bereich ist die Abhän-
nicht absorbierenden Stoffen, in denen das Licht unterschiedli-
gigkeit normalerweise so, dass mit steigender Wellenlänge der
che Lichtgeschwindigkeit hat, so wird ein Teil des einfallenden

Brechungsindex kleiner wird. Mit Hilfe der Brechungsindizes

Lichtes reflektiert, ein anderer Teil tritt in das zweite Medium
lässt sich das Brechungsgesetz auch schreiben:

ein. Dabei ändert sich die Ausbreitungsrichtung an der Grenz-
fläche. Dies wird als Brechung bezeichnet.

sin ˛1
n 2

Brechungsgesetz

D

(16.9)

Es gelten folgende Beziehungen zwischen den Winkeln in der
sin ˛2
n 1

Abbildung VII-6:

Stoffe mit kleinerem Brechungsindex sind optisch dünner, sol-

Reflexionsgesetz

˛ D

1

ˇ

(16.6)

che mit größerem Index optisch dichter.

sin ˛1
c 1

Brechungsgesetz

D

(16.7)

sin ˛2
c 2

Jedem Medium wird eine Zahl zugeordnet, die durch das Ver-

Totalreflexion
hältnis der Lichtgeschwindigkeit im Medium zu der im Vakuum
definiert ist (Tab. 16.1).

Das Brechungsgesetz (16.9) gilt unabhängig davon, ob das Licht
aus einem optisch dichteren oder optisch dünnerem Medium

Brechungsindex
n D c Vac

(16.8)

austritt. Tritt das Licht aus einem optisch dichteren Medium
c
in ein optisch dünneres Medium, so verläuft der Strahl wie in

Abb. 16.7 dargestellt, er wird vom Einfallslot weggebrochen.

Wenn der Lichtstrahl aus einem optisch dichteren Medium in

Tab. 16.1 Brechungsindizes für l D 589 nm, 20 °C und 1013 hPa
z. B. Luft tritt, so ist n 2 < n 1, und es folgt für den Ausfallswin-

Feste Stoffe
n

Flüssigkeiten und Gase n
kel nach (16.9)

Eis

1,31

Wasser

1,333

Flussspat

1,4338

Äthylalkohol

1,3618
n 1
sin ˛ D
sin ˛

Steinsalz

1,5443

Leinöl

1,486

2

1

(16.10)

n 2

Optische Gläser

Benzol

1,5012

Borkron BK1

1,51

Da n 1 > n 2, kann der Fall eintreten, dass bei einem bestimm-

Flint F3

1,6128

Luft

1,000292
ten Einfallswinkel a 1 der Wert für sin ˛2 > 1 wird. Ab diesem

Schwerflint SF4 1,7550

Sauerstoff

1,000271

Grenzwinkel kann dann der Lichtstrahl nicht mehr ins Medium

Quarzglas

1,4588

Stickstoff

1,000298

2 eintreten, er wird vollständig reflektiert. Dies Phänomen heißt

Plexiglas

1,50 . . . 1,52 Kohlendioxid

1,000449

Totalreflexion. In Abb. 16.7 sind einige Strahlenverläufe, ausge-

Diamant

2,4173
hend vom Punkt P, gezeichnet. Der Grenzwinkel ergibt sich in

16.2

Geometrische Optik

241

Tab. 16.2 Dispersion einiger Stoffe

Brechungsindex

Farbe und Wellenlänge

Stoff

Violett

Blau

Blaugrün

Grün

Gelb

Rot

Dunkelrot

396,8 nm

430,7 nm

486,1 nm

527 nm

589 nm

656,2 nm

760,8 nm

Wasser

1,3435

1,3406

1,3371

1,3352

1,333

1,3312

1,3289

Flint F3

1,6542

1,6355

1,6246

1,6190

1,6128

1,6081

1,6029

Kern n

K

1

Mantel n 2

II

Luft
α
rot
weiß
β
blau

Teil

Abb. 16.10 Spektrale Zerlegung

Abb. 16.8 Lichtleiter

Aus einer Messung des Ablenkwinkels ı kann, bei bekann-
tem brechenden Winkel ", der Brechungsindex des Prismas
diesem Beispiel zu
bestimmt werden.

n 2
sin ˛ D

D 1
sin ıC"

1

2
n
n D

(16.12)

1

1;5
sin "

˛ D

2

1

41;81ı

Dies Verfahren kann auch bei Flüssigkeiten angewendet werden.

und liegt zwischen den Strahlen 6 und 7.

Die zu untersuchende Flüssigkeit wird dann in ein Hohlprisma

Technische Anwendung findet dieses Phänomen bei der Nach-
gefüllt und der Ablenkwinkel bestimmt.

richtenübertragung in Lichtleitern. Ein Lichtleiter ist im Prinzip

Da der Brechungsindex von der Wellenlänge abhängt, kann mit
so aufgebaut, dass ein optisch dichteres Material, der Kern, von
einem Prisma Licht spektral zerlegt werden (Abb. 16.10). Ein-
einem optisch dünneren Material, dem Mantel, umgeben ist.

fallendes weißes Licht, in dem alle Wellenlängen bzw. Farben

Auf die Stirnfläche eintretendes Licht wird an der Grenzfläche
vertreten sind, wird durch ein Prisma nach Farben zerlegt. Für

Kern–Mantel totalreflektiert (Abb. 16.8).

rotes Licht ist der Brechungsindex kleiner als für blaues Licht,
daher ist der Ablenkwinkel für rotes Licht kleiner als für blaues

Prisma

Licht (siehe Tab. 16.2).

Ein Prisma ist ein von geraden, gegeneinander geneigten Flä-
chen begrenzter Körper aus einem durchsichtigen Material,

Linsen
normalerweise aus Glas. Die Kante CF ist die brechende Kante

In allen optischen Systemen und Geräten werden Linsen ver-

K und der Winkel " der brechende Winkel. Die Fläche ABDE
wendet. Dieses sind Glaskörper, die durch zwei Kugelflächen
heißt die Basis des Prismas. Im Abb. 16.9 ist ein symmetri-
begrenzt sind. In der technischen Optik (nach DIN 1335) wer-
scher Strahlengang gezeichnet, die Winkelhalbierende von "

den für die Brechung an einer Kugelfläche Vorzeichen fest-
steht senkrecht auf dem Lichtstrahl. In diesem Fall des symme-
gelegt. Es gilt: Die Achse durch den Kugelmittelpunkt ist
trischen Strahlengangs gilt für den Ablenkwinkel ı, dass dieser die optische Achse, zugleich z-Achse des Koordinatensystems
minimal wird. Ist das Prisma von Luft umgeben und hat den

(Abb. 16.11 und 16.12). Die positive z-Richtung wird durch die

Brechungsindex n, so gilt die Gleichung:

ı C "

"

sin

D n sin

(16.11)

y

2

2

F

K

K

S

C
z

C
e ε

D

E
α
δ
β

A

B

+r

Abb. 16.9 Prisma

Abb. 16.11 Vorzeichenkonvention

242

16 Optik
n 1
n 2

1

+ ∞

1

F

S

C

F′
r

F′

–

2

∞ 2
f ′
f
f ′

T

Abb. 16.12 Brennpunkte einer konvexen Kugelfläche
eil

F′

II

Laufrichtung des Lichtes festgelegt. Die y-Achse steht senkrecht
f ′
auf der z-Achse und weist von unten nach oben. Der Radius
der Kugel ist positiv, wenn das Zentrum C der Kugel in positi-
ver z-Richtung vom Scheitelpunkt S liegt, hier also nach rechts.

Abb. 16.13 Sammel- und Zerstreuungslinse

Sämtliche Strecken, die von S in negativer z-Richtung gemes-
sen werden, erhalten ein negatives Vorzeichen. Da durch eine

Kugelfläche Medien mit unterschiedlichen Brechungsindizes n 1
r 1 Radius der linken Kugelfläche, r 2 Radius der rechten Fläche.

und n 2 getrennt werden, ist der Strahlenverlauf auf beiden Sei-

Sind beide Brennweiten gleich, so wird (16.15) zur
ten der Fläche unterschiedlich. Die Brennpunkte F und F 0 sind
so definiert, dass Strahlen, die von ihnen ausgehen, so gebro-

1

Linsenformel

D 1 1

(16.17)

chen werden, dass sie achsenparallel weiter verlaufen. Für die
f
b
g

Brennweiten f und f 0 gilt:

Den Kehrwert der Brennweite f nennt man die Brechkraft oder

Dioptrie D.

Brennweite
f D
n 1 r

(16.13)

n

2
n 1

D
f
f 0 D
n 2 r

(16.14)

D D 1

(16.18)

n

2
n 1
f
m1
m

Kommen die Strahlen nicht aus dem Brennpunkt, sondern aus

Der Abbildungsmaßstab ist:

einem weiter entfernten Punkt im Abstand g, so schneiden sich
alle Strahlen im Abstand b. Für diese Abstände gilt die

ˇ0 D B D b

(16.19)

G
g
f 0

Abbildungsgleichung
f D 1

(16.15)

Zur Konstruktion der Abbildung durch Linsen verwendet man
b
g
zweckmäßigerweise folgende Strahlen:

Dabei ist g gemäß der Definition negativ einzusetzen.

1. Strahl parallel zur optischen Achse: durch den Brennpunkt,

2. Strahl durch die Linsenmitte: keine Ablenkung,

Der Einfachheit halber soll angenommen werden, dass die Lin-

3. Strahl durch den Brennpunkt: parallel zur optischen Achse.

sendicke vernachlässigbar klein ist, es sich also um dünne

Linsen handelt. An beiden Grenzflächen zwischen der Linse

In Abb. 16.14 sind für zwei Fälle die Bildkonstruktionen durch-
und dem umgebenden Medium, im allgemeinen Luft, werden
geführt. Links: Gegenstand außerhalb der doppelten Brennwei-
die Lichtstrahlen gebrochen. Bei dünnen Linsen kann man den
te: Es ergibt sich ein reelles, höhenverkehrtes und verkleinertes

Strahlengang konstruieren, indem beide Brechungen durch eine

Bild. Rechts: Gegenstand innerhalb der Brennweite: Es ergibt

Brechung an der Mittellinie ersetzt werden. Es gibt Sammellin-
sich ein virtuelles, aufrechtes und vergrößertes Bild.

sen, oder konvexe Linsen, und Zerstreuungslinsen, oder konkave

Linsen. Der Strahlenverlauf ist in Abb. 16.13 dargestellt. Die
tatsächlichen Strahlen sind durchgezogen gezeichnet, bei der

Zerstreuungslinse wird der Brennpunkt durch die gestrichelt ge-
zeichnete gedachte rückwärtige Verlängerung konstruiert. Da

1
der Brennpunkt auf der linken Seite liegt, hat die Zerstreuungs-

2
linse eine negative Brennweite. Die Linse sei nun in Luft und

3

F

B

F

F
besitze den Brechungsindex nL. Es gilt für die Brennweite f 0:

G

F

B

G

– g

+ b

1 D .

1
n

1

L

1/

(16.16)

f 0
r 1
r 2

Abb. 16.14 Abbildung durch eine Sammellinse

16.2

Geometrische Optik

243

Tab. 16.3 Bauformen von Linsen

Beispiel

Ein Gegenstand der Größe 4 cm steht 25 cm entfernt von
einer Sammellinse der Brennweite f D 5 cm. Wie groß
sind a) Bildweite, b) Abbildungsmaßstab und c) Bildgrö-
ße?

Bi-konvex

Plan-konvex

Bi-konkav

Plan-konkav

Lösung:

Radien
r

D 1

D 1

1 > 0
r 1
r 1 < 0
r 1
r 2 < 0
r 2 < 0
r 2 > 0
r 2 > 0
a) Bildweite

Brennweite
f > 0
f > 0
f < 0
f < 0

1 D 1 C 1 D 1 C

1

II
b
f
g

5 cm

25 cm
b D 6;25 cm

Teil
b) Abbildungsmaßstab

G

F

B

F

G B

–b
b

Ď D 6;25 cm D 0;25
g

25 cm

–g
c) Bildgröße

Abb. 16.15 Abbildung durch Zerstreuungslinsen

B D ˇ G D 0;25 4 cm D 1 cm
stehen hier grundsätzlich virtuelle Bilder, da sich die Strahlen ja

Da b positiv ist, liegt das Bild rechts von der Linse, B
nie schneiden können (Abb. 16.15).

ist negativ, somit ist das Bild höhenverkehrt, dies ent-
spricht dem Abb. 16.14a.

J

Werden zwei Linsen kombiniert, und zwar so, dass sie in einem

Abstand e voneinander stehen, so ergibt sich für das System eine

Gesamtbrennweite nach folgender Formel:

Brennweite einer Linsenkombination

Beispiel

1
e

D 1 C 1

(16.20)

Ein Gegenstand der Größe 4 cm steht 3 cm entfernt von
f

ges
f 1
f 2
f 1 f 2
einer Sammellinse der Brennweite f D 5 cm. Wie groß
sind a) Bildweite, b) Abbildungsmaßstab und c) Bildgrö-

Beispiel
ße?

Lösung:

Ein Linsensystem besteht aus einer Sammellinse der

Brennweite f D

1

10 cm und einer Zerstreuungslinse der
a) Bildweite

Brennweite f D

2

6 cm. Beide haben einen Abstand von
e D 5 cm. Wie groß ist die Brennweite des Systems?

1 D 1 C 1 D 1 C 1

Lösung:

b
f
g

5 cm

3 cm
b D 7;5 cm

1 D 1 C 1

5 cm

D 0;0167 cm1
f

10 cm

6 cm

6 10 cm2
b) Abbildungsmaßstab
ges
f

D
ges

60 cm

J
b

Ď

D 7;5 cm D 2;5
g

3 cm

In Linsensystemen werden die verschiedensten Formen verwen-
c) Bildgröße
det, die gängigsten Bauformen von Linsen sind in Tab. 16.3
aufgeführt.

B D ˇ G D 2;5 4 cm D 10 cm
b ist jetzt < 0, B > 0, somit liegt ein virtuelles, vergrö-
ßertes Bild vor.

J

16.2.3

Optische Geräte

In optischen Geräten werden je nach Anwendung Linsen un-

Bei der Abbildung durch Zerstreuungslinsen werden im Prinzip
terschiedlichster Bauformen zu Linsensystemen zusammenge-
die gleichen Strahlen verwendet wie bei Sammellinsen, nur ent-
setzt. Sie dienen dazu, den Sehwinkel zu vergrößern.

244

16 Optik

I

Le
σ

A

H

G

B

N

K Li

G

Abb. 16.18 Sehwinkel

B

G
σ ′ σ

T

Abb. 16.16 Das menschliche Auge
σ ′
eil

F
f

II
a

Abb. 16.19 Lupe

Gegenstand auch ein aufrechtes Bild „sehen“. Der Gegenstand
b
erscheint dem Auge unter dem Sehwinkel (Abb. 16.18). Soll
der Gegenstand vergrößert betrachtet werden, so muss der Seh-
winkel vergrößert werden, man muss näher an den Gegenstand
herangehen. Dies geht aber nur bis zum Nahpunkt. Eine weitere
c

Vergrößerung ist nur mit Hilfe optischer Instrumente erreichbar.

Wird der Sehwinkel mit Instrument als 0 bezeichnet, so ist die

Abb. 16.17 Augenfehler

Vergrößerung definiert zu

Vergrößerung

D tan 0

Das menschliche Auge
tan

(16.21)

Da jede optische Erscheinung mit dem Auge wahrgenommen

Lupe
wird, soll hier kurz die Wirkungsweise des menschlichen Au-
ges dargestellt werden. Das Prinzip ist in Abb. 16.16 dargestellt.

Eine Lupe als einfachstes optisches Instrument ist eine Sammel-

Das Auge wird von der Lederhaut Le eingehüllt, darunter liegt
linse hoher Brechkraft (Abb. 16.19). Die Vergrößerung hängt
die Aderhaut A und die lichtempfindliche Netzhaut N. Das Licht
von der Brennweite der Linse, aber auch vom Abstand des Ge-
fällt durch die Hornhaut H und die Augenkammer K, tritt durch
genstandes von der Linse ab. Um eine vergleichbare Angabe
die Linse Li und dann auf die Netzhaut N. Der Augennerv
zu erzielen, wird festgelegt, dass sich der Gegenstand in der
tritt am Blinden Fleck B durch das Auge. Durch die variable

Brennebene der Lupe befindet und sich das Auge auf unendlich

Krümmung und damit variable Brennweite der Linse kann das
eingestellt, akkomodiert, hat. Diese Vergrößerung bezeichnet

Auge Gegenstände in verschiedenen Entfernungen scharf auf
man als Normalvergrößerung. Verglichen wird der sich dann er-
die Netzhaut abbilden. Die Iris I regelt als Blende die eintre-
gebende Sehwinkel mit dem, bei dem sich der Gegenstand ohne
tende Lichtmenge. Der Abstand, in dem man noch eben scharf

Lupe in der deutlichen Sehweite s 0 befindet.

sehen kann, ist der Nahpunkt, er liegt beim jungen Menschen bei

Mit tan 0 D G und tan D G folgt für die
ca. 10 cm, beim älteren Menschen weiter entfernt. Als deutliche
f
s 0

Sehweite ist ein Abstand von s D

0

25 cm definiert.

s 0

Vergrößerung einer Lupe

D

(16.22)

Der Fernpunkt liegt beim normalsichtigen Menschen im Unend-
f
lichen. Fehlsichtigkeit tritt dann auf, wenn parallel einfallende

Strahlen nicht auf der Netzhaut (Abb. 16.17a), sondern beim

Wird der Gegenstand näher an die Lupe herangebracht, so ent-
kurzsichtigen Auge vor der Netzhaut (Abb. 16.17b), beim weit-
steht ein virtuelles, aufrechtes vergrößertes Bild.

sichtigen Auge hinter der Netzhaut (Abb. 16.17c) fokussiert
werden. Die lichtempfindlichen Sinneszellen sind die in der

Mikroskop

Netzhaut eingebetteten Stäbchen und Zäpfchen. Die Zäpfchen
sind farbempfindlich, während die Stäbchen nur Grautöne un-

Noch bessere Vergrößerungen erzielt man mit einem Mikroskop
terscheiden können, dafür sind sie aber wesentlich lichtempfind-

(Abb. 16.20). Dies ist im Prinzip eine Kombination aus zwei
licher. Von einem reellen Gegenstand wird durch das optische

Sammellinsen, dem Objektiv Obj mit den Brennpunkten F 1 und

System des Auges ein umgedrehtes, reelles Bild auf der Netz-
dem Okular Ok mit den Brennpunkten F 2. Das Objektiv entwirft
haut erzeugt. Das menschliche Gehirn dreht auf Grund seiner
vom Gegenstand G ein reelles Zwischenbild ZB fast im Brenn-

Erfahrung dieses Bild um, sodass wir von einem aufrechten
punkt F 2. Dieses Zwischenbild wird mit dem Okular, das wie

16.2

Geometrische Optik

245

Ok
positive Vergrößerung, also ein aufrechtes Bild. Durch den Ein-
bau einer weiteren Linse kann allerdings auch im Kepler’schen

Fernrohr ein aufrechtes Bild erzielt werden; das Fernrohr wird

Obj

Auge
dadurch nur länger. Eine Verlängerung des Fernrohres kann

F2

F

F
vermieden werden, indem der Strahl durch geeignete Prismen

1

ZB

2

G
umgelenkt wird. Technische Angaben eines Fernglases sind die

Vergrößerung und der Durchmesser DE der Eintrittsöffnung,
normalerweise des Objektivs. Die Angabe 7 50 besagt, dass
t
die Vergrößerung G

D

F

7 ist und die Eintrittsöffnung einen

Durchmesser von 50 mm hat. Für den Durchmesser DA der Aus-

Abb. 16.20 Mikroskop
trittsöffnung gilt:

II

DE

Obj

Ok
j j D

F

(16.25)

DA

ZB

Teil

Die Leistungsfähigkeit bei Dämmerung wird nach DIN 58386
σ
durch die Dämmerungszahl Z gekennzeichnet.

F
σ ′

1
p

F2

Z D

F

DE

(16.26)

Bei dem Fernglas 7 50 ist

Auge

Obj

Ok
σ ′

D D 50 mm D

A

7;14 mm

7
und
σ

F
p

1

F

Z D

7 7;14 D 7

2
hingegen bei 8 30 gilt:

Abb. 16.21 Fernglas

D D 30 mm D

A

3;75 mm

8
p

Z D

8 3;75 D 5;47
eine Lupe wirkt, betrachtet. Die nahezu parallel austretenden
somit ist das Glas 7 50 in der Dämmerung besser geeignet.

Strahlen werden durch die Augenlinse auf der Netzhaut gebün-
delt. Eingezeichnet ist die sogenannte Tubuslänge t, der Abstand

Die Augenpupille ist maximal 8 mm im Durchmesser, es hat al-
zwischen beiden Brennpunkten der Linsen. Die Gesamtvergrö-
so keinen Sinn, ein Fernrohr zu benutzen, bei dem DA > 8 mm
ßerung ergibt sich zu:

ist.

Vergrößerung eines Mikroskops

Fotoapparat
t s

D

0

M

(16.23)

f

Ein Fotoapparat bildet – wie das Auge – den Gegenstand

1
f 2
auf einer lichtempfindlichen Schicht, dem Film, ab. Das Ob-

Fernglas
jektiv besteht, um Linsenfehler zu vermeiden, aus Vielfach-

Linsensystemen. Im Gegensatz zum Auge muss für unter-

Beim Fernrohr liegt der zu betrachtende Gegenstand sehr weit
schiedliche Entfernungen des Gegenstandes vom Objektiv der
entfernt, es treten parallele Strahlen in das Linsensystem. Es gibt

Abstand Film–Objektiv variiert werden, um eine scharfe Ab-
verschiedene Anordnungen, solche, bei denen das Bild höhen-
bildung zu erreichen. Wie beim Auge kann die einfallende
verkehrt erscheint, diese werden in der Astronomie verwendet

Lichtmenge durch eine variable Blende geregelt werden. Als

(Kepler’sches Fernrohr), und solche mit aufrechten Bildern (Ga-
technische Angabe für Objektive dient nach DIN 4521 das Ver-
lilei’sches Fernrohr). Der grundsätzliche Strahlenverlauf ist in
hältnis vom Durchmesser der Eintrittsöffnung zur Brennweite

Abb. 16.21 gezeichnet. Die Brennpunkte von Objektiv F 1 und

Okular F 2 fallen zusammen. Die parallel austretenden Strahlen
relative Öffnung D DE

(16.27)

werden auch hier im Auge auf der Netzhaut fokussiert. Die Ge-
f
samtvergrößerung berechnet sich zu

Steht z. B. auf einem Objektiv 1 W 2;8, f D 50 mm, so bedeutet
f 1
dies bei einer Brennweite von 50 mm eine maximale Eintritts-

Vergrößerung eines Fernrohrs

D

F

(16.24)

f
öffnung von 17,85 mm. Der Kehrwert der relativen Öffnung ist

2
die Blendenzahl k oder kurz Blende.

Werden die Brennweiten mit richtigem Vorzeichen eingesetzt,
so ergibt sich beim Kepler’schen Fernrohr eine negative Vergrö-
f

Blende
k D

(16.28)

ßerung, also eine Bildumkehr, beim Galilei’schen Fernrohr eine

DE

246

16 Optik

Die nach DIN 4522 genormten Blendenzahlen sind: 1; 1,4; 2;

G

2,8; 4; 5,6; 8; 11; 16; 22. Sie sind so gewählt, dass sich bei Ver-

L
größerung der Blendenzahl um einen Wert die Lichtintensität
halbiert, daher ist der Faktor zwischen benachbarten Blenden-
p

1

2
werten

2.

α

3

F

A

B

C
n
d

16.3

Wellenoptik

D

E

Teil

Abb. 16.22 Interferenz

Die Eigenschaften der Wellen sind bereits im Kap. 14 bespro-

II
chen worden, hier sollen spezielle Eigenschaften der Lichtwel-
len dargestellt werden.

einfällt, sind alle Wellenlängen vorhanden. Die Interferenzbe-
dingung für Auslöschung kann unter einem festen Winkel nur
für eine Wellenlänge erfüllt sein, daher wird, wenn diese Far-
be ausgelöscht wird, aus dem weißen Licht farbiges Licht. Der

16.3.1

Interferenz

Strahlengang ist in Abb. 16.22 dargestellt. Der von der Licht-
quelle L ausgehende Lichtstrahl wird im Punkt A teilreflektiert
und trifft als Strahl 1 im Punkt G auf. Ein Teil wird zum Punkt

Bei Überlagerung von Wellen gleicher Frequenz können sich

D gebrochen, dort teilreflektiert und vom Punkt B als Strahl 2
die Wellen je nach Gangunterschied auslöschen oder verstär-
ebenfalls nach G gelenkt. Im Punkt G interferieren die Strahlen
ken. Da Licht eine sehr kleine Wellenlänge hat, ist dieser Effekt

1; 2; 3; : : : Der geometrische Gangunterschied zwischen Strahl
nicht so leicht zu sehen. Außerdem braucht man zur Interferenz

1 und 2 beträgt AD C DB AF, der optische n. AD C DB/ AF.

Licht gleicher Wellenlänge und fester Phasenbeziehung '. Nor-

Mit Hilfe des Brechungsgesetzes und der Tatsache, dass bei Re-
male Temperaturstrahler senden Licht nicht kontinuierlich aus,
flexion an einem dichteren Medium ein Phasensprung von
sondern in räumlich begrenzten Wellenpaketen. Zwei Wellenpa-

2
auftritt, kann für den Gangunterschied zwischen den Strah-
kete, die von unterschiedlichen Orten einer Lichtquelle emittiert
len 1 und 2 abgeleitet werden:

wurden, können nur dann interferieren, wenn sie zu gleicher

Zeit am Interferenzort eintreffen. Entscheidend für die Inter-
p

ferenzfähigkeit ist, dass die Wegdifferenz nicht länger als die

D 2 d n 2 sin2 ˛

(16.29)

Wellenzüge ist. Der größte Gangunterschied, bei dem noch In-

2
terferenz möglich ist, ist die Kohärenzlänge l. In Tab. 16.4 sind

Auslöschung tritt dann ein, wenn die Bedingung

Kohärenzlängen einiger typischer Lichtquellen aufgelistet.

p

Da aber bei normaler Lichtemission einzelne Bereiche von

2 d
n 2 sin2 ˛ D . m C 1/;
m D 0; 1; 2; : : :

(16.30)

Lichtquellen das Licht ohne feste Phasenbeziehung abstrahlen,
müssen bei Interferenzversuchen einige experimentelle Tricks
erfüllt ist.

angewendet werden. Licht gleicher Frequenz und fester Phasen-
beziehung wird kohärentes Licht genannt. Sehr gut geeignete

Lichtquellen für Interferenzversuche stehen heutzutage durch
die Laser zur Verfügung. Diese liefern besonders scharf ge-

16.3.2

Beugung
bündelte Lichtstrahlen mit sehr guter Kohärenz. Interferenzer-
scheinungen können in speziellen Fällen auch im normalen

Fällt auf eine Öffnung ein Bündel aus parallelem monochroma-

Tageslicht beobachtet werden, z. B. rühren die schillernden
tischem Licht, so ist hinter der Öffnung auch in den Bereichen,

Oberflächen von mit Öl bedecktem Wasser von Interferenz her.

die im geometrischen Schattenbereich liegen, Lichtintensität zu

Dies soll an einer dünnen Schicht erläutert werden. In einer
beobachten. Diese Lichtbeugung lässt sich ebenfalls nur mit Hil-
solch dünnen Schicht wird einfallendes Licht an den Grenz-
fe der Wellennatur des Lichtes erklären. Bei Lichtwellen ist in
flächen vielfach reflektiert, ein Teil auch immer transmittiert.

der Regel die Öffnung größer als die Wellenlänge des einge-

Die vom Beobachter aufgenommenen Lichtstrahlen haben dann
strahlten Lichtes.

unterschiedliche Wegstrecken zurückgelegt. Da weißes Licht

Spalt

Tab. 16.4 Kohärenzlängen

Als Öffnung wird ein Spalt der Breite b betrachtet (Abb. 16.23).

Lichtquelle

Kohärenzlänge

Jeder Punkt des Spaltes, der von dem einfallenden Licht ge-

Weißes Licht

1–2 µm
troffen wird, ist nach dem Huygens’schen Prinzip (siehe Ab-

Spektrallampe

20 cm
schn. 14.2) Ausgangspunkt einer Elementarwelle. Die von den

Halbleiter-Laser

150 m
einzelnen Punkten ausgehenden Strahlen haben gegeneinander

He-Ne-Laser

2 km
unterschiedliche Gangunterschiede. Wenn der Gangunterschied

16.3

Wellenoptik

247

1

2

5
b
α
b

6
g
α

Δ
α

Δ

Abb. 16.23 Beugung am Spalt

Abb. 16.25 Beugung am Gitter

II

I

Teil

I

Gitter
α

I 0

Ein optisches Gitter ist eine Anordnung von vielen gleichen

Spalten. Zur Interferenz gelangen jetzt einmal die Strahlen aus

0,5
einem Spalt, aber auch Strahlen aus benachbarten Spalten (s.

Abb. 16.25). Das Beugungsbild hat jetzt ebenfalls Maxima und

Minima, die Schärfe hängt von den Größen b und g ab, aber auch
davon, wie viele Strahlen p zur Interferenz gelangen, d. h., wie

0
viele Spalte beleuchtet werden. Die Hauptmaxima, das sind die

–10

–5

0

5

10
π b

Maxima, die durch Interferenz aus benachbarten Spalten entste-
λ sin α
hen, liegen so, dass die Bedingung

Abb. 16.24 Intensitätsverteilung hinter einem Spalt
sin ˛

D m
max

; m D 0; 1; 2; : : :

(16.34)

g
zwischen den beiden Randstrahlen genau beträgt, ist der erfüllt ist. Die gesamte Intensitätsverteilung ist eine Funktion,

Gangunterschied zwischen einem Randstrahl und dem Mitten-
die aus Überlagerung von Interferenz am einzelnen Spalt und
strahl, also z. B. Strahl 1 und Strahl 5, =2, und diese beiden aus benachbarten Spalten entsteht. Sie lautet

Strahlen löschen sich aus. Aber auch zwischen 2 und 6 besteht
sin2. pg
dann der Gangunterschied =2, und diese beiden löschen sich

I
sin ˛/

˛

D

Gitter

I˛ Spalt

(16.35)

ebenfalls aus. So lässt sich in diesem Fall zu jedem Strahl im-
sin2. g
sin ˛/
mer ein anderer mit dem Gangunterschied =2 finden, somit
löschen sich alle Strahlen aus und in dieser bestimmten Rich-

Die Lage der Maxima ist von der Wellenlänge abhängig, somit
tung herrscht Dunkelheit. Auslöschung tritt immer dann auf,
können Gitter zur Trennung von verschiedenen Wellenlängen
wenn die Bedingung
bzw. Farben verwendet werden, indem hinter dem Gitter durch
geeignet angebrachte Blenden bis auf einen Wellenlängenbe-
reich das Licht ausgeblendet wird. Dies wird in Gittermo-
sin ˛

D m
min

; m D 1; 2; 3; : : :

(16.31)

b
nochromatoren angewendet.

erfüllt ist. Es kann gezeigt werden, dass die Intensität in einer
bestimmten Richtung hinter einem Spalt nach der Formel

Polarisation

Da Licht eine elektromagnetische Transversalwelle ist, ist es
sin2. b

I
sin ˛/
möglich, die Schwingungsrichtung so zu beeinflussen, dass der

˛

D

Spalt

I 0

(16.32)

. b sin ˛/2
elektromagnetische Feldvektor E

E nur in einer Ebene schwingt.

Da der magnetische Feldvektor E

H immer senkrecht zum E

E-
berechnet werden kann. Im Abb. 16.24 ist diese Intensitätsver-

Vektor steht, schwingt auch dieser in einer Ebene. Solch ein
teilung aufgetragen.

Licht wird linear polarisiertes Licht genannt. Erzeugen kann

Die Maxima liegen näherungsweise in der Mitte zwischen zwei
man linear polarisiertes Licht u. a. durch Polarisationsfilter.

Nullstellen, für sie gilt

Dies sind Filter, in denen lange organische Molekülketten lie-
gen. In Richtung der Ketten kann dem einfallenden natürlichen

Maxima Beugungsbild

Licht durch Energieübertragung an die Elektronen in den Mole-

külketten Energie entzogen werden, diese Schwingungsrichtung
sin ˛

max
m C 1

; m D 1; 2; 3; : : :

(16.33)

2
b
fehlt dann im Licht hinter dem Filter. Da jede Schwingungs-
richtung als vektorielle Summe von zwei ausgezeichneten senk-

Die Beugung am Spalt liefert keine sehr scharfen Intensitätsma-
recht zueinander stehenden Richtungen zusammengesetzt wer-
xima.

den kann, liegt bei Fehlen einer dieser beiden Richtungen nur

248

16 Optik
ϕ

Das reflektierte Licht ist dann senkrecht zur Einfallsebene line-
z
ar polarisiert. Dieser Effekt wird z. B. in der Fotografie benutzt,
um störende Reflexionen zu unterdrücken: Durch ein Polarisa-
tionsfilter vor dem Kameraobjektiv (Analysator) kann die linear
y
polarisierte reflektierte Intensität durch richtige Drehung des

Analysators beeinflusst werden.

A
x

P

16.4

Photometrie

Teil

Abb. 16.26 Linear polarisiertes Licht

In der geometrischen Optik wird allein die Frage nach Ab-

II
bildungen und Strahlengängen untersucht, nicht aber Größen
wie Lichtintensität, Helligkeit oder Strahlleistung. Diese Begrif-
α p
fe werden in der Photometrie definiert und angewendet. Dabei

Luft
interessiert die gesamte Strahlungsleistung sowie deren räum-

90°C
liche und spektrale Verteilung. In der objektiven Photometrie

Glas
n
wird die Strahlungsleistung mit einem Messinstrument gemes-
sen, die Größen erhalten den Index „ e“ (energetisch). Wird die

Strahlungsleistung mit dem Auge bewertet, spricht man von
subjektiver Photometrie, und die Größen erhalten den Index „ v“

Abb. 16.27 Polarisation durch Reflexion

(visuell).

noch eine Schwingungsrichtung in einer Ebene vor. Trifft Licht
der Intensität I

16.4.1

Strahlungsphysikalische Größen

0 auf einen solchen Polarisator P, so wird die

Intensität nach dem Polarisator IP halbiert, da ja eine Schwin-
gungsrichtung fehlt.

Unter Licht wird die elektromagnetische Strahlung im Wel-

I
lenlängenbereich von 380 bis 780 nm verstanden. Die Begriffe

0

I D

P

(16.36)

2
sind in der DIN 5031 festgelegt. Es gibt verschiedene Effekte,

Strahlungsenergie in andere Energieformen umzuwandeln und

Wird dieses linear polarisierte Licht durch ein zweites Polarisa-
so der Messung zugänglich zu machen, z. B. Erwärmung, Än-
tionsfilter A ( Analysator) geschickt, so ist die Intensität hinter
derung des Widerstandes von Halbleitern oder Entstehung eines
dem Analysator abhängig von der Verdrehung des Analysators

Fotostromes in Fotodioden. Die auf einen Detektor treffende
gegen den Polarisator.

Strahlungsleistung Qe, auch Strahlungsfluss oder Lichtstrom ge-

Intensität hinter dem Analysator
nannt, ist die pro Zeiteinheit t auftreffende Strahlungsenergie

Qe.

I D

A

IP cos2 '

(16.37)

Strahlungsleistung

Ist die Ausbreitungsrichtung des Lichtes die z-Richtung, die

Schwingungsrichtung des E

E-Vektors die x-Richtung, dann

Q

˚

˚ D
e
e

Qe t
e

(16.41)

schwingt der E

H-Vektor in y-Richtung. Die in Abb. 16.26 einge-
t

W

J
s
zeichneten Linien im Polarisator geben die Durchlassrichtung
an; diese steht senkrecht auf den Molekülketten.

Die Strahlungsleistung, die auf einen Empfänger trifft, hängt
bei konstantem Sender von der Fläche des Empfängers, von der

Auch durch Reflexion an einer Glasplatte kann Licht linear

Richtung der Empfängerfläche und vom Abstand vom Sender
polarisiert werden (Abb. 16.27). Durch den einfallenden und
ab. Da die Strahlung sich räumlich ausbreitet, ist der Raum-
reflektierten Strahl wird eine Ebene festgelegt, die Einfallsebe-
winkel ein Maß für den erfassten Bereich. Zur Definition des
ne. Fällt natürliches Licht unter einem bestimmten Winkel, dem

Raumwinkels kann man sich eine punktförmige Lichtquelle im

Brewster’scher Winkel oder auch Polarisationswinkel ˛ p, auf die Zentrum einer Kugel vorstellen. Die gesamte Strahlungsleistung

Glasplatte, so fehlt dann im reflektierten Strahl eine Schwin-
verteilt sich auf die gesamte Kugeloberfläche. Wird eine Teilflä-
gungsebene, und zwar die Ebene parallel zur Einfallsebene.

che A bestrahlt, so ist der zugehörige Raumwinkel ˝ nach der

Dies ist dann der Fall, wenn reflektierter und gebrochener Strahl

Gleichung (Abb. 16.28)

senkrecht zueinander stehen. Für den Polarisationswinkel gilt:

˝
sin ˛ D

A
r 2
p
n sin.90ı ˛ p/

(16.38)

Raumwinkel

˝ D A

(16.42)

r 2
sr
m2
m2
sin ˛ D
p
n cos ˛ p

(16.39)

Polarisationswinkel
n D tan ˛ p

(16.40)

definiert.

16.4

Photometrie

249
a
ε 2

0°
b

A2

45°

100%
ε 1
r

A1

90°

60%

Abb. 16.28 Raumwinkel

Abb. 16.29 Strahlcharakteristik

II

Der Raumwinkel ist dimensionslos, aber der Deutlichkeit halber

Die Strahlstärke als Funktion des Abstrahlungswinkels wird oft
wird er in der Einheit 1 sr, 1 Steradiant, angegeben.

in Datenblättern angegeben. In Abb. 16.29 sind im Polardia-
gramm für zwei unterschiedliche Strahlertypen die Strahlcha-

Teil

A

˝ D

˝
rakteristik dargestellt, Kurve b ist die einer Leuchtdiode mit

0

(16.43)

r 2
starker Vorwärtsstrahlung, Kurve a gehört zu einem Strahler
mit konstanter Strahldichte Le, einem sogenannten Lambert-
mit ˝ D

0

1 sr. Da die Kugeloberfläche O D 4 r 2 ist, gilt für

Strahler. Für diesen gilt
den gesamten Raumwinkel:

Lambert’sches Gesetz
gesamter Raumwinkel

Ie."1/ D Ie."0/ cos "1

(16.49)

˝

D 4 r 2 D
max

4 sr

(16.44)

r 2

Zu diesem Strahlertyp gehören alle Körper mit rauen, diffus
reflektierenden Flächen. Sie erscheinen aus allen Richtungen

Streng genommen gilt diese Definition für eine kugelförmige
gleich hell.

Empfängerfläche. Ist jedoch der Abstand Sender–Empfänger
groß und ist die Empfängerfläche klein, so kann der Empfän-

Für die auf den Empfänger treffende Strahlungsleistung gilt
ger als ebene Fläche aufgefasst werden. Die in den folgenden
dann unter Zusammenfassung aller bisherigen Gleichungen:

Formeln benötigten Winkel sind die zwischen der Flächennor-
malen und der Strahlrichtung. Der Sender hat die Fläche A 1, der

A

˚ D

1 cos "1 A 2 cos "2

L

˝

Empfänger A
e
e

0

(16.50)

2. Der schraffiert eingetragene Raumwinkel ist
r 2

˝ D A 2 cos "2 ˝

Unter der spezifischen Ausstrahlung wird die pro Flächeneinheit

0

(16.45)

r 2
emittierte Strahlungsleistung definiert:

Der Faktor A

2
cos "2 gibt die wirksame senkrecht zur Strahl-

˚ e
richtung stehende Fläche an. Ein Sender strahlt die Strahlstärke

M D

D
e

Le cos "1˝

(16.51)

A 1

Ie ab. Die Einheit der Strahlstärke Ie ist 1 W . Für die gesamte
sr
vom Empfänger aufgenommene Strahlungsleistung gilt dann:

Auf der Empfängerseite ist die Bestrahlungsstärke Ee, der auf

Strahlungsleistung
die Empfängerfläche bezogene Strahlungsfluss, wichtig.

˚ e

˚ D

E D
e

(16.52)

e

Ie ˝

˚ e

Ie

˝

(16.46)

A

W

W=sr
sr

2

Ist die Strahlung über einem größeren Wellenlängenbereich vor-

Die gesamte vom Sender in einen bestimmten Raumwinkel aus-
handen, so werden spektrale Größen zur Beschreibung nötig
gesendete Strahlstärke und somit der Strahlungsfluss hängt von
sein. Dies wird durch den Index gekennzeichnet, so ist z. B.

der wirksamen Fläche von A 1 und von der pro Flächeneinheit
die spektrale Strahlungsdichte durch L
ausgesendeten Strahlleistung, der Strahldichte L
e; gekennzeichnet und
e, ab.

definiert durch

Strahldichte
spektrale Strahldichte

˚ e

L

L D
e

˚ e

A

˝
e

(16.47)

L

L

A˝

W=.m2 sr/

W
m2
sr
e

L
e;

Le

e; D

(16.53)

W=.m2 sr nm/

W=.m2 sr/
nm

Strahlstärke

Le; ist also die im Wellenlängenintervall emittierte Strahl-
dichte L

I
e. Besonderes Interesse hat die spektrale Verteilung

I
e

Le

A
e."1/ D LeA 1 cos "1

(16.48)

der Wärmestrahlung von Körpern. Jeder Körper sendet Wärme-

W=sr W=.m2 sr/ m2
strahlung aus, deren spektrale Verteilung (also deren Farbe) von

250

16 Optik

L

16.4.2

Lichttechnische Größen
e,λ

T 1

Werden Strahlungen nicht mit objektiven Instrumenten, sondern
mit dem Auge beurteilt, so muss die spektrale Lichtempfind-

T 2
lichkeit des Auges berücksichtigt werden. Strahlen z. B. eine

T
rote und eine grüne Lichtquelle mit gleicher Strahlungsleistung,

3
so empfindet das Auge die grüne Quelle ca. 16mal heller. Das

Auge hat sich im Lauf der Entwicklung dem Sonnenlicht ange-
λ
passt, und somit für Grün die größte Empfindlichkeit entwickelt.

Teil

Abb. 16.30 Schwarzer Strahler

Die Augenempfindlichkeit ist bei Tageslicht eine andere als
bei Nacht, hier ist sie zu kleineren Wellenlängen, also zu Blau

II
hin, verschoben. Die Augenempfindlichkeit für Tageslicht wird
mit dem Hellempfindlichkeitsgrad V./ und die für Nachtlicht
der Temperatur abhängt. Für einen idealisierten Körper, nämlich
mit V 0./ bezeichnet. Bei Tageslicht sind die Zäpfchen ( foto-
einen solchen, der alle auftreffende Strahlung vollständig absor-
pische Anpassung), bei Nachtsehen die Stäbchen ( skoptopische
biert, kann die spektrale Strahldichte berechnet werden. Diese

Anpassung) angesprochen. Wird mit dem Lichtstrom ˚

Körper werden schwarze Körper genannt. Für diese Körper gilt
v der

Helligkeitseindruck bezeichnet, so gilt bei einfarbigen Licht-
die Planck’sche Strahlungsformel für die Temperaturabhängig-
quellen:

keit der Strahldichte:

Planck’sche Strahlungsformel

˚ D
v

Km˚ eV./

(16.62)

c 1

1

1

Le;.; T/ D

(16.54)

5 ec 2= T 1 ˝

Die Konstante K

0
m wird als Maximalwert des photometrischen

Strahlungsäquivalents bezeichnet. Sie ist in einer noch zu defi-

Die Konstanten c 1 und c 2 hängen mit der Lichtgeschwindigkeit
nierenden Einheit:

c und einer weiteren Naturkonstanten, dem Planck’schen Wir-
kungsquant h und der Boltzmann-Konstante k zusammen:

lm

K D
m

683

.1 lm D 1 Lumen/

(16.63)

c D

W

1

2 hc 2 D 1;191 1016 W m2

(16.55)

2
c D hc D

Diese Größe ist mit der SI-Einheit Candela (s. Kap. 10) ver-

2

1;439 102 m K

(16.56)

k
knüpft. Licht mit der Frequenz f D 540 1012 Hz hat eine Wel-
lenlänge von 555 nm. Der Hellempfindlichkeitsgrad V.555/ D

Planck’sches Wirkungsquant

1, somit gilt für die Lichtstärke 1 Candela:

h D 6;626 1034 J s

(16.57)

1 W

I D

D
v

1 cd D KmIe

Km

(16.64)

Boltzmann-Konstante

683 sr
k D 1;381 1023 J=K

(16.58)

und damit der o. a. Wert für Km. Als abgeleitete Einheiten sind
für den Lichtstrom das Lumen 1 lm D 1 cd sr und für die Be-

Ein typischer Verlauf ist in Abb. 16.30 dargestellt. Es sind hier
leuchtungsstärke Ev das Lux 1 lx D 1 lm=m2 erlaubt.

die prinzipiellen Kurvenverläufe für drei Temperaturen darge-
stellt, wobei T 1 > T 2 > T 3 ist. Das Maximum der spektralen

Zusammenfassung in Tab. 16.5.

Strahldichte l max verschiebt sich mit höheren Temperaturen zu
kleineren Wellenlängen entlang der gestrichelt gezeichneten

Hyperbel. Es gilt das

Beispiel

Wien’sche Verschiebungsgesetz:

Welchen Lichtstrom empfängt eine 20 cm 30 cm große

Fläche, auf die das Licht einer 2,40 m entfernten punkt-
max

T D const D 2898 &m K

(16.59)

förmigen Lichtquelle von 80 cd senkrecht auftrifft?

Betrachtet man nicht die spektrale Strahldichte, sondern die ins-

Lösung:

gesamt von einem schwarzen Strahler ausgesendete Leistung,
so gilt das Stefan-Boltzmann’sche Gesetz:

Raumwinkel

Me. T/ D T 4

(16.60)

A

˝ D

D 0;2 m 0;3 m D 0;0104 sr
r 2

.2;4 m/2
mit der Konstanten

˚ D I ˝ D 80 cd 0;0104 sr D 0;833 lm

J

D

W
v
e

5;670 108

(16.61)

m2 K4

16.5

Licht als Korpuskel

251

Tab. 16.5 Photometrische Größen

Strahlungsphysikalische Größen

Lichttechnische Größen

Größe

Zeichen

Einheit

Größe

Zeichen

Einheit

Strahlungsenergie

Qe

W s

Lichtmenge

Qv
lm s

Strahlungsleistung

˚ e

W

Lichtstrom

˚ v
lm

Spez. Ausstrahlung

Me

W=m2

Spez. Lichtausstrahlung

Mv
lm=m2

Strahlstärke

Ie

W=sr

Lichtstärke

Iv
cd D lm=sr

Strahldichte

Le

W=(m2 sr)

Leuchtdichte

Lv
cd=m2

Bestrahlungsstärke

Ee

W=m2

Beleuchtungsstärke

Ev
lx D lm=m2

Bestrahlung

He

W s=m2

Belichtung

Hv
lx s

II

Beispiel
kann das entsprechende Photon die Energie W an die Elektro-
nen des Metalls abgeben. Ist die Energie groß genug, um ein

Teil

Metallelektron aus der Metalloberfläche herauszuschlagen, so

Welche Lichtstärke Iv muss eine Lichtquelle haben, damit
wird das Metall entladen. Dazu ist es notwendig, dass das Pho-
an einem r D 1;5 m entfernten Arbeitsplatz die Beleuch-
ton eine Mindestenergie hat, nämlich die Energie, die benötigt
tungsstärke E D
v

500 lx beträgt?

wird, um ein Elektron aus dem betreffenden Material austreten

Lösung:

zu lassen. Diese Energie heißt Austrittsenergie oder Austrittsar-
beit. Die Bewegungsenergie des Elektrons im Vakuum ist dann

Evr 2
gleich der Energie des eingestrahlten Lichtes, vermindert um die

I D

D 500 lx .1;5 m/2 D
v

˝

1125 cd

J

Austrittsarbeit.

0

1 sr

W

D
kin
h f WA

(16.68)

Der Photoeffekt ist erst dann bemerkbar, wenn das Licht eine

16.5

Licht als Korpuskel

Grenzenergie oder Grenzfrequenz f Gr bzw. Grenzwellenlänge

Gr hat. Die hier gebräuchliche Einheit der Energie ist das Elek-
tronenvolt.

Trifft Licht auf eine negativ geladene Metallplatte, so kön-

Aus der Definition der Energie in der Elektrotechnik
nen unter geeigneten Bedingungen Elektronen ausgelöst wer-
den. Dieser Effekt ist der Photoeffekt oder auch lichtelektri-
elektrische Energie

W D
el

Q U

(16.69)

sche Effekt. Entdeckt wurde dieser Effekt bereits 1887, richtig
erklärt konnte er aber erst werden, nachdem die Korpuskel-
ist die Energie einer Ladung abhängig von der Spannung, mit

Eigenschaften des Lichtes verstanden waren. Nach der Wel-
der sie beschleunigt wurde. Die Ladung eines Elektrons ist die
lentheorie ist es zwar ebenfalls möglich, dass eine Lichtwelle

Elementarladung:

aus einem Metall Elektronen herausschlagen kann, nur muss
e D 1;602 1019 A s

(16.70)

dann die Bewegungsenergie der Elektronen im Vakuum von

0
der Intensität des eingestrahlten Lichtes abhängen. Gemessen

Wird dieses Elektron mit der Spannung 1 V beschleunigt, so hat
wurde aber, dass die Energie der Elektronen von der Frequenz
es die Energie:

des Lichtes abhängt. Die Aussage der Quantenphysik ist, dass
jedem Materie-Teilchen eine Welle und jeder Welle ein Materie-

W

D

kin
e 0 U

(16.71)

Teilchen zugeordnet werden kann. Diese Lichtquanten heißen

W

D 1;602 1019 W s

(16.72)

Photonen. Die Photonen haben die Eigenschaft, dass sie sich im
kin

Vakuum mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, eine Bewegungs-

1 eV D 1;602 1019 W s

(16.73)

energie und eine Bewegungsgröße oder auch Impuls haben.

Die Austrittsarbeit hängt vom Material und von der kristallogra-

Der Zusammenhang zwischen beiden Betrachtungsweisen er-
phischen Orientierung der Oberfläche ab. Typische angenäherte
folgt über die Grundgleichungen

Werte sind in Tab. 16.6 angegeben.

Energie

W D h f

(16.65)

Die Grenzwellenlänge errechnet sich nach (16.66) zu

W D hc

(16.66)

Grenzwellenlänge

h
hc

D

Impuls
p D

Gr

(16.74)

(16.67)

WA
h ist das Planck’sche Wirkungsquant, W und p sind Energie und

D 6;627 1034 J s 3 108 m= s 1

Gr

(16.75)

1;602 1019 J=eV

W

Impuls, die Teilchengrößen f und sind Frequenz und Wel-

A
lenlänge des Lichtes, also die Wellengrößen. Trifft nun eine

D

Gr

1241

1

.Gr in nm; WA in eV/

(16.76)

Lichtwelle der Frequenz f auf eine geladene Metallplatte, so

WA=eV

252

16 Optik

Tab. 16.6 Austrittsarbeit

Metall

WA in eV

Gr in nm

W

5,0

248

Literatur

Ni

4,6

270

Ag

4,5

275

1. Hering, E.; Martin, R.; Stohrer, M.: Physik für Ingenieure:

Au

5,4

229

Springer, 2007

Cu

4,6

270

2. Meschede, D. (Hrsg.): Gerthsen Physik: Springer, 2006

Cs

2,0

620

3. Böge, A.; Eichler, J.: Physik: Vieweg, 2005

Cs auf W

1,35

920

4. Lindner, H.: Physik für Ingenieure: Fachbuchverlag Leipzig
im Carl-Hanser-Verlag, 2006

Teil

5. Dobrinski, P.; Krakau, G.; Vogel, A.: Physik für Ingenieure:

Dabei ist die Austrittsarbeit in eV anzugeben, die Wellenlän-

Teubner, 2007

II
ge wird in nm berechnet. Da die Ladungsträger ins Vakuum
austreten, nennt man diesen Effekt auch den äußeren Photo-
effekt. Daneben gibt es noch den inneren Photoeffekt. Hierbei
wird ebenfalls die Energie der einfallenden Photonen an Elek-
tronen abgegeben, nur treten diese z. B. bei Fototransistoren,

Fotodioden oder Photowiderständen nicht ins Vakuum, sondern
werden im Festkörper auf andere Energiezustände gehoben und
verändern somit die Leitfähigkeit des Bauteils.

Anhang

17

Horst Steffen

II

Teil

17.1 Physikalische Größen und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

17.2 Zahlenwerte physikalischer Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

253

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_17

254

17 Anhang

17.1

Physikalische Größen und

17.2

Zahlenwerte physikalischer

Einheiten

Größen

Tab. 17.1 Abgeleitete Größen

Tab. 17.2 Naturkonstanten

Bezeichnung

Symbol Einheit

Avogadro-Konstante

NA

6;0221367 1023 mol1

Arbeit, Energie

W

1 J D 1 N m D 1 W s D 1 kg m2
s2

Boltzmann-Konstante
k

1;380658 1023 J=K

Beleuchtungsstärke

E

1 Lux D 1 lx

Elektrische Feldkonstante

"0

8;85418781012 A s=.V m/

T

Beschleunigung
a

1 m
eil
s2

Elementarladung
e

1;60218 1019 A s

Bewegungsgröße Impuls
p

1 kg m
s

Gravitationskonstante

6;67259 1011 N m2=kg2

II

Massendichte

1 kg
m3

Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c

2;99792458 108 m=s

Drehimpuls

L

1 kg m2
s

Magnetische Feldkonstante

0

4 107 .V s/=.A m/

Drehmoment

M

1 N m D 1 kg m2

Planck’sches Wirkungsquantum
h

6;62607 1034 J s
s2

Druck
p

1 Pa D 1 N D 1 kg

Ruhemasse des Elektrons
m
m2
m s2

0 e

9;1093897 1031 kg

Elastizitätsmodul

E

1 N D 1 kg
m2
m s2

Ruhemasse des Protons
m 0 P

1;6726231 1027 kg

Frequenz
f

1 D 1 Hz
s

Stefan-Boltzmann-Konstante

5;67051 108 W=.m2 K4/

Geschwindigkeit
v

1 ms

Universelle Gaskonstante

R

8;31441 J=.mol K/

Kraft

F

1 N D 1 kg m
s2

Leistung

P

1 W D 1 kg m2
s3

Nach dem von K. von Klitzing 1980 entdeckten quantisierten

Lichtstrom

˚

1 Lumen D 1 lm D 1 cd sr

Halleffekt (Nobelpreis 1985) lässt sich auch für den elektrischen

Raumwinkel

˝

1 Steradiant D 1 sr

Widerstand R aus Naturkonstanten eine exakte Basisgröße be-
stimmen.

Spez. Wärmekapazität
c

1 J D 1 m2
kg K
s2 K
h

Trägheitsmoment

J

1 kg m2

R D

; i D 1;2; 3; : : :

(17.1)

ie 2

Winkelgeschwindigkeit

!

1
s

R D 25812;8 (

(17.2)

Tab. 17.3 Zahlenwerte

Molvolumen idealer Gase

22;41383 103 m3
mol

Radius der Erde, Äquators
r D

E

6378 km

Radius der Erde, Pole
r D

P

6356 km

Masse der Erde
m D

E

5;977 1024 kg

Masse des Mondes
m

D

M

7;35 1022 kg

Entfernung Erde–Mond

384;4 103 km

Entfernung Erde–Sonne

149;6 106 km

Erdbeschleunigung
g D 9;80665 m
s2

Tripelpunkt des Wassers

T

D

Tr

273;16 K

Dichte der Luft

D

Luft

1;2928 kg
m3

Absolute Temperatur

273;15 ıC

Normaldruck
p D

0

1;01325 105 Pa

Werkstoffkunde

III

III

Teil

18

Stoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

19

Elektrische Leitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

20

Elektrische Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

21

Magnetische Leitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

22

Magnetika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

23

Dielektrische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

24

Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

255

Stoffe

18

Egon Döring

III

Teil

18.1 Eigenschaften der Stoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

18.2 Atombau und Periodensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

18.3 Aufbau der festen Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

18.4 Chemische Grundzusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

18.5 Elektrochemie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

257

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_18

258

18 Stoffe

18.1

Eigenschaften der Stoffe

18.2

Atombau und Periodensystem

Der Begriff des Stoffes entstammt der Chemie, ist aber für den

Stoffe, die sich auf chemischem Wege nicht weiter in andere
technischen Gebrauch als Werkstoff auf die praktisch nutzbaren

Stoffe zerlegen lassen, nennt man Elemente. Die kleinsten, noch

Stoffe begrenzt. Die Anforderungen an die Eigenschaften ei-
mit den charakteristischen Eigenschaften eines Elementes aus-
nes Werkstoffes und ihre praktische Erfüllung bestimmen dann
gestatteten Teilchen heißen Atome. Sie bestehen aus dem Atom-
seine Nutzbarkeit. In der Elektrotechnik erscheint die Antwort
kern mit Pro tonen und (Ausnahme Wasserstoff) Neutronen und
hierzu recht einfach: Da „nur“ elektrische und magnetische
der Atomhülle mit Elektronen, daher auch Elektronenhülle. Die

Felder auftreten können, müssten elektrische und magnetische

Massen der Atome liegen im Bereich von 1022 . . . 1024 g die

Eigenschaften ausreichen. Elektrische und besonders auch ma-

Durchmesser bei 109 . . . 1010 m (Lichtwellenlänge ungefähr
gnetische Vorgänge führen aber dazu, dass ein zusätzliches

500 109 m). Protonen und Neutronen haben fast die gleiche

Anforderungsprofil entsteht wie es in der Mechanik üblich ist

Masse von 1;67 1024 g. Das Neutron hat keine elektrische La-

(Tab. 18.1).

dung. Das Proton hat mit 1;6 1019 A s (Amperesekunden) die
gleiche Ladung wie das negative Elektron, jedoch mit positivem

Dem Anforderungskatalog stehen die Eigenschaften der, vor-

Vorzeichen. Die Ruhemasse des Elektrons ist mit 9;1 1028 g
zugsweise festen, Werkstoffe gegenüber (Tab. 18.2). Für die
verschwindend gegenüber der Protonen- oder Neutronenmasse.

Praxis müssen diese Eigenschaften durch messbare Größen cha-

Die Anordnung dieser Materieteilchen wird im Bohr’schen
rakterisiert werden, um die richtige Auswahl treffen zu können.

Atommodell als kugelförmiger Kern mit Protonen, Neutronen

Wegen ihrer Grundeigenschaften elektrische Leitfähigkeit und

T
und Kugelschalen für die Elektronen beschrieben. Nach dem ge-
eil
hohe Festigkeit bei guter Verformbarkeit nehmen die Metalle
naueren Orbitalmodell bewegen sich die Elektronen auf kompli-
eine Sonderstellung unter den Werkstoffen ein. Darüber hin-
zierten Bahnen, wie sie durch räumliche Schwingungen vorge-

III
aus sind von den zurzeit bekannten 111 Elementen die meisten
geben werden (dreidimensionaler Oszillator). Daraus resultieren

Metalle. Nur 15 Elemente zählen zu den Nichtmetallen, und un-

Aufenthaltsräume mit hoher Besetzungswahrscheinlichkeit und
gefähr 8 Elemente fallen unter die heute besonders interessanten
bestimmter Orientierung (Abb. 18.1a–d). Die Orbitale entstehen

Halbmetalle oder Übergangselemente. Andererseits soll nicht
bei der räumlichen Schwingung durch Knotenflächen in Form
verkannt werden, dass die Chemie eine Vielzahl von „maßge-
konzentrischer Kugeln (Abb. 18.1a, b) und räumlicher Kno-
schneiderten“ Sonderwerkstoffen geschaffen hat.

tenflächen, die durch (gedachte) Schnittflächen (Abb. 18.1c)

die Schwingungsbereiche in räumliche Bezirke, Orbitale (engl.:

orbit D Planetenbahn) aufteilen. In jedem Orbital können dann

Tab. 18.1 Beanspruchung von Werkstoffen (prinzipielle Übersicht)

Bereich

Beanspruchungen

Mechanik

Kräfte
z. B. Zug, Druck, Torsion
a
z
b
z

Korrosion
z. B. Feuchtigkeit, (elektro-)chemische

Prozesse

Temperatur
z. B. Hoch- und Tieftemperatur-Prozesse
x
x
y

1s
y

2s

Elektrik

Felder
z. B. Stromfluss, Magnetisierung, dielektri-
sche Verschiebung

Kräfte
z. B. Zug, Druck, Torsion

Korrosion
z. B. Feuchtigkeit, (elektro-)chemische
c
z
z
z

Prozesse

Temperatur
z. B. Hoch- und Tieftemperatur-Prozesse
x
x
x

2p

Tab. 18.2 Eigenschaftsanforderungen an Materialien bei verschiedenen Ein-
y
y
satzgebieten (Auswahl)

y

Gebiet

Eigenschaften

Physik

Dichte, Schmelzpunkt, Siedepunkt, Wärmedehnzahl,
d

Wärmeleitfähigkeit usw.

Chemie

Atomgewicht, Wertigkeit, Affinität, Korrosionsbeständig-

1s 2s

2p
keit usw.

K-

L-Schale

Mechanik

Härte-, Zug-, Druck-, Biege-, Torsions-, Dauerfestigkeit
usw.

Abb. 18.1 Orbitalmodell. a 1s-Zelle (K-Schale). Besetzung mit 2 Elektronen

Elektrik

Elektrische und magnetische Leitfähigkeit, Permittivität,
möglich. b 2s-Zelle (L-Schale, teilw.). Die Kugel ist innen von einer Knotenfläche

Permeabilität, Remanenz usw.

begrenzt (Hohlkugel), 2 Elektronen möglich. c 2p-Zelle (L-Schale, forts.) mit den

Technologie

Biege-, Härte-, Schweiß-, Löt-, Gieß-, Platifizier-, Tief-
möglichen 3 2 Elektronen und jeweils einer (gedachten) Trennwand in den 3
ziehbarkeit usw.

Ebenen. d Neon als Beispiel 1s, 2s und 2p, d. h. K- und L-Schale sind voll besetzt

18.2

Atombau und Periodensystem

259

.

.n
le

Periode-Nr

Schalen-Bez.

Schalen-Nr
s-Zel

H He

I

K 1 1 2

Li Be

L 2
p-Zellen (3)

3 4

II

B C N O F Ne

2 5 6 7 8 9 10

Na Mg

M 3 11 12

II

Al Si P S Cl Ar
d-Zellen (5)

3 13 14 15 16 17 18

K Ca

Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn

N 4 19 20

3 21 22 23 24 25 26 27 28 39 30

IV

Ga Ge As Se Br Kr

4 31 32 33 34 35 36

Rb Sr

Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd

O 5 37 38

4 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

V

In Sn Sb Te I Xe
f-Zellen (7)

5 49 50 51 52 53 54

Cs Ba

La

Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu

P 6 55 56

5 57

4 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71

Ht Ta W Re Os Ir Pt Au Hg

VI

72 73 74 75 76 77 78 79 80

Ti Pb Bi Po Al Rn

III

6 81 82 83 84 85 86

Fr Ra

Ac

Th Pa U Np Pu Am

Bk

Es

Md

Lw

VII Q 7

Cm

Cf

Fm

Nb

87 88

6 89

5 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101102 0

1 3

Teil

1a 2a

3a 4a 5a 6a 7a 8a

3b 4b 5b 6b 7b

8b

1b 2b

Lanthaniden und Actiniden

Abb. 18.2 Periodensystem der Elemente (PSE) mit Perioden Nr. I . . . VII, Schalenbezeichnungen K . . . Q, Schalen Nr. n D 1 : : : 7, Hauptgruppen Nr. 1a . . . 8a und Nebengruppen Nr. 1b . . . 8b sowie den Lanthaniden und Actiniden
wieder 2 Elektronen schwingen, die sich nach Pauli durch ihre

Die Ionisierungsenergie (gemessen in Elektronenvolt D eV mit

Eigenrotation (Spin) voneinander unterscheiden.

1 eV D 1;6 1019 W s), nimmt durch die Abschirmwirkung der

Schalen mit der Annäherung an den Atomkern zu.

Das dynamische Verhalten des gesamten Systems rechtfer-
tigt dann wieder die einfachere Betrachtung als kugelförmige

Durch den Austausch von Hüllelektronen sind die Atome – von

Atomhüllen (Abb. 18.1d) mit der klassischen Bezeichnung
den Edelgasen abgesehen – zu chemischen Reaktionen fähig.

der 7 möglichen „Schalen“ von K bis Q oder mit den soge-

Die hieran beteiligten Elektronen heißen Valenzelektronen. Aus
nannten Hauptquantenzahlen 1 bis 7. Ihnen werden auch die
einer Hülle können bis zu 8 Elektronen abgegeben werden, das

Hauptenergieniveaus zugeordnet. Die weitere Unterteilung in
verbleibende positive Atomion heißt Kation. Es können aber

Unterenergieniveaus oder „ Zellengruppen“ erfolgt durch die
auch bis zu 4 Valenzelektronen aufgenommen werden; das so

Nebenquantenzahlen, die mit den Buchstaben s, p, d und f be-
entstandene Atomion heißt Anion.

zeichnet werden.

Die Ladung der Atomionen wird rechts oben am Elementsym-

Den Spin, d. h. den Eigendrehimpuls der Elektronen, kann
bol gekennzeichnet, z. B. HC, AI3C, Cl, S2 oder S. Die
man sich mechanisch als entgegengesetzte Rotation, magnetisch

Metalle bilden nur positive Atomionen, die Nichtmetalle vor-
als entgegengesetzte magnetische Momente vorstellen. Für die
zugsweise negative Atomionen.

bildhafte Darstellung, wie z. B. in Abb. 18.1, benutzt man da-

Unten rechts am Elementsymbol erscheint die Anzahl der Ato-
zu gegeneinander gerichtete Halbpfeile (). Ordnet man die me (oder Ionen), z. B. H

Elemente, repräsentiert durch die in der Chemie üblichen Kurz-

2O, H2SO4 . In der Isotopentechnik
erscheinen auf der linken Seite der Elementsymbole noch unten
zeichen, nach der Zahl der Protonen im Kern und damit auch
die Ordnungszahl (D Protonenzahl) und oben die Massenzahl
nach der Zahl der Elektronen in der Außenhülle an, so gelangt

(D Nukleonenzahl). So hat z. B. das Kohlenstoff(bezugs)isotop
man zum Periodensystem der Elemente (PSE Abb. 18.2). Die
für die Massenbestimmung mit der Ordnungszahl 6 und der

Anordnung ist so getroffen, dass nicht nur die Ordnungszahl

Massenzahl 12 die Schreibweise 12C.

(unterhalb der Symbole) von oben nach unten zunimmt, son-

6
dern auch die Energie. Ungefähr gleiche Energiestufen sind auf

Das Periodensystem (Abb. 18.2) wird in Perioden 1 . . . 7 ent-
gleiche Höhe gesetzt. Durch Energiezufuhr können Elektronen
sprechend den 7 Schalen K . . . Q senkrecht und 8 Hauptgrup-
auf höhere Energieniveaus gebracht werden, die sie dann unter
pen, welche der Auffüllung der jeweils äußersten Elektronen-

Energieabgabe, z. B. Lichtemission, wieder verlassen. Werden
schale entsprechen, waagerecht aufgeteilt ( x a in der untersten
ein oder mehrere Elektronen durch Energiezufuhr vollständig

Zeile von Abb. 18.2) In den Nebengruppen werden jeweils die
vom Atom entfernt, entstehen ionisierte Atome oder Atomionen.

zweit- und drittäußerste Schale aufgefüllt ( x b in der untersten

260

18 Stoffe

Teil

III

Abb. 18.3 Kurzform des Periodensystems der Elemente (nur Hauptgruppen)

Zeile von Abb. 18.2). Die Metalle, als Mehrzahl der Elemente,

Kombination vor. Im Regelfall führen die Bindungskräfte zu
sind links und unten im PSE und die Nichtmetalle rechts oben
regelmäßigen, räumlich periodischen Strukturen der kleinsten
zu finden. Die Halbmetalle wie etwa B, Si, As, Te usw., auch

Teile (Atome, Ionen oder Moleküle), den Kristallen. Stoffe, die

Übergangselemente genannt, bilden die „Grenze“ (Abb. 18.3).

nicht regelmäßig, also nicht kristallin, aufgebaut sind, bezeich-
net man als amorph, das heißt gestaltlos.

In der Richtung von unten links nach oben rechts, d. h. Metal-
le – Nichtmetalle steigt auch die Elektronegativität. Es ist dies

Ein Kristall kann sehr klein, z. B. nur mikroskopisch sichtbar,
die (relative) Fähigkeit der Atome, bei der Bindung Elektronen
sein, dann spricht man von Kristallit oder Korn. Die Zusammen-
aufzunehmen.

lagerung vieler Kristallite liefert dann erst ein größeres Gebilde,
den Polykristall. Kann ein Kristallit in den makroskopischen Be-
reich wachsen, entsteht ein Einkristall. Die kleinste Einheit, die

18.3

Aufbau der festen Körper
bereits die Kristallstruktur aufweist und im Kristall periodisch
wiederkehrt, ist die Elementarzelle. Die räumlich regelmäßige

Anordnung einer großen Anzahl von Elementarzellen führt zum

Die in der Praxis besonders wichtigen festen Stoffe basieren

Raum- oder Kristallgitter.

auf den Bindungskräften der Atomhüllen. Die Ionenbindung,
auch heteropolare Bindung genannt (Abb. 18.4a), kommt durch

Ladungsaustausch (Elektronen) zustande. Die Atomionen aus
a
b
chemischen Reaktionen führen zu starken Anziehungskräften

–

–

–

–
und stabilen Konfigurationen. Typische Vertreter sind demnach

–

–

–

–

–

–
die anorganischen Verbindungen. Bei der Atombindung, auch

–

–

–

–
homöopolare oder kovalente Bindung (Abb. 18.4b) genannt,

–

–
haben benachbarte Atome gemeinsame Elektronen(paare). Die-

–

–

–

–
se Bindungsart ist typisch für nichtmetallische Elemente und
organische Verbindungen. Liegt eine metallische Bindung vor
c
d

(Abb. 18.4c), haben die Atome ein Elektron abgegeben und
stellen positive (Atom-)Ionen dar. Die abgegebenen Elektronen
sind als bewegliche Leitungselektronen ( Elektronengas) allen

Atomrümpfen gemeinsam zugeordnet. Diese Bindungsart ist die

Grundlage der elektrischen Leitfähigkeit und typisch für alle

Metalle. Die Van der Waals- oder zwischenmolekulare Bindung
wird durch die Dipolbildung benachbarter Teilchen (Atome oder

Abb. 18.4 Bindungsarten. a Ionenbindung oder heteropolare Bindung, z. B.

Moleküle) bewirkt. Es ergeben sich daraus schwache anziehen-

NaCCl, b Atombindung, homöopolare oder kovalente Bindung, z. B. Ge, c me-
de Kräfte (Abb. 18.4d). Im allgemeinen überwiegt zwar die eine
tallische Bindung, z. B. Cu, d Van der Waals- oder Molekülbindung, z. B. Ar
oder andere Bindungsart, in der Praxis liegt jedoch immer eine

(kristallisiert)

18.3

Aufbau der festen Körper

261

Tab. 18.3 Gitterfehler

Ausdehnung (atomar)

Nulldimensional

Eindimensional

Zweidimensional

Bezeichnung

1. Leerstelle

Versetzungen

Korngrenzen

2. Zwischengitteratom

(Schottky-Fehlordnung)

3. Frenkel-Fehlordnung

(Kombination von 1 und 2)

Konzentration (in Metallen)

Leerstellenkonzentration

Versetzungsdichte

Korngrenzenflächen

D f .Temp./ 107 : : : 1011

D f .Verformung; Wärmebehandlung/ D f .Korngröße/ 102 cm2=cm3

106 : : : 1012 cm=cm3
a
d
a
a

Abb. 18.5 Kubisch primitive Elementarzelle (kp) als Anordnung von Kugeln im

Abb. 18.7 Diamantgitter. Entstehung des Diamantgitters aus zwei ineinander

Raum, a D Gitterkonstante, d D Atom(kugel)durchmesser
gestellten kfz-Gittern. Der Versatz der kfz-Gitter beträgt 1=4 Raumdiagonale

III

Mit der Kugelform der Atome wird der Aufbau der Kristallgit-
hexagonal dichtesten Packung ( hdp) (Abb. 18.6d) bedeutsam.

Teil
ter aus Elementarzellen eine Frage der Anordnung von Kugeln

Die Halbleiterwerkstoffe Germanium und Silizium kristalli-
im Raum. Die einfachste Form ist die kubisch-primitive ( kp)

sieren in Form eines Diamantgitters ( dia) (Abb. 18.7). Die

Elementarzelle, ein Würfel, dessen Ecken mit sich berühren-

Elementarzelle des Diamantgitters ist kubischflächenzentriert
den „Kugeln“ besetzt ist (Abb. 18.5). Der Abstand längs einer
mit einer tetraedrischen Unterstruktur.

Würfelkante ist die Gitterkonstante a. Die vereinfachte Darstel-

Die idealisiert dargestellten Gitter sind in Wirklichkeit durch
lung zeigt Abb. 18.6a. Ein zusätzliches Atom in der Raummitte

Gitterfehler und Fremdatome verzerrt. Die in reinen Stoffen

(Abb. 18.6b) führt zum kubisch-raumzentrierten Gitter ( krz).

möglichen Gitterfehler sind in der Tab. 18.3 zusammengestellt.

Wird auf jeder Flächenmitte ein Atom eingefügt, entsteht das

Die von einzelnen Atomen herrührenden nulldimensionalen
kubisch-flächenzentrierte Gitter ( kfz) (Abb. 18.6c). Die beiden

Fehler werden auch Punktdefekte genannt. Die möglichen Feh-
letztgenannten sind die häufigsten metallografischen Gitterty-
ler zeigt Abb. 18.8. Eine Leerstelle oder ein Zwischengitteratom
pen. Als hexagonale Struktur ist noch die Elementarzelle mit der
haben jeweils einen Fehler zur Folge. Aus der Kombination von
beiden, dem Frenkel-Defekt, folgen zwei Fehler.

a

Bei eindimensionalen Fehlern, auch Versetzungen genannt, ha-

Würfel
ben die Fehler eine linienförmige Ausdehnung. Abb. 18.9a zeigt
eine Stufenversetzung, die das Ende einer zusätzlichen (Halb-)

kp

Ebene darstellt. In Abb. 18.9b sind Teilbereiche gegeneinan-
der geglitten und haben eine Schraubenversetzung bewirkt. Als

Maßzahl wird die Anzahl der „Durchstoßpunkte pro Flächen-
b + 1 Atom in
c + 1 Atom in jeder
einheit“ in 1=cm2 angegeben. Bei normalen Fertigungswerk-

Raummitte

Flächenmitte
stoffen liegen die Zahlenwerte für Versetzungen im Bereich
a
kfz
von 106 : : : 1012 cm2, wohingegen Halbleiter-Einkristalle Wer-
krz
a
te von weniger als 10 cm2 aufweisen.

d
a
b
c
c
hdp

Oberfläche

Oberfläche
a

Abb. 18.6 Elementarzellen. a kp D kubisch-primitiv, b krz D kubisch-

Abb. 18.8 Nulldimensionale Fehlstellen. a Leerstelle, b Zwischengitteratom
raumzentriert, c kfz D kubisch-flächenzentriert, d hdp D hexagonal dichteste

(Atom falsch eingebaut), c Frenkel-Defekt, Atom wandert im Gitter und erzeugt

Packung. a; b ; c D Gitterkonstanten
zwei Fehler

262

18 Stoffe
a

Zusatz(halb)ebene

Treffen Kristallgitter verschiedener Orientierung aufeinander,
so können sie (Abb. 18.10) gegeneinander gekippt, gedreht oder
beides zusammen sein. Als Folge davon müssen sich Übergän-
ge bilden, die zu sog. Korngrenzen führen. Die Kristalle bilden
dabei regellose Korngrenzflächen gegeneinander aus. Mechani-
sche Beanspruchungen können dazu führen, dass eine gewisse

Ordnung in die Orientierung hineinkommt. Es ergeben sich

Kornorientierungen, Vorzugsrichtungen oder Texturen. So lie-
gen z. B. die Kanten der Elementarzellen nach dem Walzen von

Blechen weitgehend in der Walzrichtung.

Werden in einem Kristall Fremdatome eingelagert, ist er nicht
mehr rein. Man spricht von Mischkristallen, festen Lösungen

Versetzungslinie
oder Legierungen. Die Einlagerung kann auf Gitterplätzen der

Wirtsatome erfolgen, dann entsteht ein Substitutions-Mischkris-
b
tall (Abb. 18.11). Werden Fremdatome auf Zwischengitterplät-
zen eingelagert, ergeben sich Einlagerungs- oder interstitielle

Mischkristalle.

Teil

18.4

Chemische

III

Grundzusammenhänge

Wie bei den Bindungsarten kurz angedeutet, vermögen die Ato-
me – über ihre Valenzelektronen – miteinander zu reagieren.

Versetzungslinie

Es entstehen dann neue Stoffe, die dem Bereich anorganische

Chemie zugeordnet werden, wenn es sich beim Stoffaufbau

Abb. 18.9 Eindimensionale Fehler. a Stufenversetzung, b Schraubenverset-
weitgehend um Ionenbindungen handelt. Bei der organischen
zung

Chemie steht das Kohlenstoffatom mit überwiegend kovalen-
ten Bindungen im Mittelpunkt. Das, wie das Kohlenstoffatom,
gleichfalls vierwertige Silicium ist Basis einer eigenständigen

Reihe von Kunststoffen, den Siliconen.

Für den Aufbau von Stoffen benutzt die Chemie die Synthese,
während die Untersuchung des Aufbaues mit Hilfe der Analyse
erfolgt. Zur Beschreibung dieser Vorgänge dienen Formelspra-
kippen
che und Reaktionsgleichung unter Benutzung der Elementsym-
drehen
bole.

a
b

So ist mit H2SO4 Schwefelsäure gemeint, und C2H5OH kenn-
zeichnet eindeutig Alkohol als Ethylalkohol (Ethanol). Reagie-
ren Stoffe miteinander, so beschreibt die Reaktionsgleichung die

Ausgangsstoffe und Endprodukte nach Art und relativer Menge.

Die Darstellung entspricht einer mathematischen (Additions-)

Abb. 18.10 Zweidimensionale Fehler. a Kippung, b Drehung

Gleichung, bei der an die Stelle des Gleichheitszeichens ein

Ort des Fremdatoms

Gitterplatz

Zwischengitterplatz

Art des Mischkristalls

Substitions-Mischkristall

Einlagerungs-Mischkristall

(substitutioneller Mkr.)

(interstitieller Mkr.)

Durchmesser

Fremdatom ≈ Wirtsatom

Fremdatom < Wirtsatom

Mischkristallbildung
bei ebenem Gitter

(schematisch)

• Wirtsatome

• Fremdatome

Abb. 18.11 Mischkristalle in ebener Darstellung (schematisch)

18.4

Chemische Grundzusammenhänge

263

Tab. 18.4 pH-Skala

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

Pfeil die Reaktionsrichtung kennzeichnet. Ist der Reaktionsab-

Nichtmetalloxide bilden mit Wasser Säuren.

lauf nicht umkehrbar (irreversibel), zeigt dies ein einfacher Pfeil
an.

Beispiel

Beispiel

SO

C

2

H2O ! 2 H2SO3

Nichtmetalloxid C Wasser !

Säure

J

Die Verbrennung von Ethanol

C

!

C

2H5OH C

3 O2

2 CO2

3 H2O

1 mol Ethanol C 3 mol Sauerstoff ! 2 mol Kohlendioxid C 3 mol Wasser

Ihre Moleküle bauen sich aus dem Säurewasserstoff und dem

J

Säurerest auf. Der Säurerest ist eine nicht selbständig existenz-
fähige Atomgruppe aus Nichtmetall und Sauerstoff. Da allein
nicht beständig, sind es auch keine Moleküle. Derartige Atom-

Mol steht hierbei für die Stoffmenge, die aus genauso vielen
gruppen werden Radikale genannt, im Beispiel SO2. Die Säuren

Teilchen besteht wie 12 g des Kohlenstoffisotops 12C, näm-
sind gegenüber den meisten Metallen aggressiv, da in vielen

III
lich 6;023 1023 Teilchen (Avogadro’sche Konstante N

Fällen die Wasserstoffatome gegen Metallatome, die dann als

A oder

Loschmidtzahl N

Ionen in Lösung gehen, ausgetauscht werden können. Säuren

L).

schmecken – verdünnt (!) – sauer, ätzen die Haut und verfärben,

Teil

Bei umkehrbaren (reversiblen) Reaktionen kennzeichnet ein
ähnlich wie Basen, Farbstoffe. Dieser Effekt wird für Indikato-

Doppelpfeil die beiden möglichen Reaktionsrichtungen, z. B.

ren benutzt.

N

C

•

2

3 H2

2 NH3

Nach „Brönsted“ lautet die umfassendere Definition: Säuren

1 mol Stickstoff C 3 mol Wasserstoff • 2 mol Ammoniak
sind Protonenspender (Moleküle oder Ionen), Basen sind Pro-

Die Verbindungen des Sauerstoffs mit anderen Elementen, die
tonenfänger (Moleküle oder Ionen). Die Protonenübergangs-

Oxide, sind von besonderer Bedeutung, die Schwermetalloxi-
reaktion nennt man Protolyse. Dieser Vorgang findet auch in
de als Erze zur Gewinnung von Metallen, die Leichtmetalloxide
geringem Umfang im Wasser statt und wird dann Autoprotolyse
wegen ihrer hohen Schmelzpunkte als (oxid)keramische Werk-
genannt. Nach „Brönsted“ liegt dem folgende Reaktion zugrun-
stoffe.

de

Die zur Oxidbildung gehörige chemische Reaktion ist die Oxi-

H2O C H2O !

H3OC

C OH
dation, allgemeiner als Elektronenabgabe eines Moleküls oder

Wasser

! Hydroniumion C Hydroxidion

Ions definiert. Die damit verbundene Aufnahme eines Elek-
trons durch ein anderes Molekül oder Ion ist die Reduktion. Die

In dieser Gleichgewichtsreaktion ist die Konzentration der bei-
zwangsweise miteinander verkoppelten Oxidations- und Reduk-
den Ionenarten vom Prinzip her gleich groß, aber mit 107 mol=l
tions-Prozesse führen die Bezeichnung Redox-Reaktionen.

sehr gering. Andererseits muss das Produkt dieser beiden Io-

Metalloxide können ihrerseits wieder mit Wasser reagieren
nenkonzentrationen als Ionenprodukt des Wassers mit K

D
w
und bilden Hydroxide, sie enthalten die einwertige OH-Gruppe

1014 mol2=l2 als Gleichgewichtsbedingung bei Zugabe von

(Hydroxyl-Gruppe) und bilden bei den Metallen der 1. und

Säuren oder Basen konstant bleiben. Es verschieben sich le-

2. Hauptgruppe (Alkali- und Erdalkalimetalle) Basen oder Lau-
diglich die Konzentrationsverhältnisse von H3OC zu OH.

gen. Sie sind in Metall- und OH-Ionen gespalten und stellen sich

„Drehpunkt“ dieses Geschehens ist der Zahlenwert 107 der
als seifige, die Haut ätzende Flüssigkeiten dar.

Hydroniumionenkonzentration. Der negative Exponent dieser

Konzentrationsangabe (lt. Definition der negative dekadische

Beispiel

Logarithmus der Hydroniumionenkonzentration) ist der pH-

Wert. Er hat große Bedeutung, da mit diesem Zahlenwert die

CaO C H2O ! 2 Ca.OH/2

Angaben „sauer“, pH < 7, „neutral“, pH D 7 und „basisch“,

Metalloxid C Wasser !

Hydroxid

J
pH > 7 präzise beurteilt werden können. Zwangsweise liegen
die Grenzen für sehr starke Säuren dann bei pH D 0 und für
sehr starke Basen bei pH D 14 (s. Tab. 18.4). Die Bestimmung

Die Oxide dreiwertiger Metalle sind amphoter, d. h. sie können
ist elektrisch oder mit Indikatoren sehr genau möglich.

sowohl schwache Basen als auch schwache Säuren bilden. Oxi-
de von Nebengruppenelementen in höheren Wertigkeiten bilden

Brönsted, Johannes Nicolaus, Dänischer Chemiker, lebte von 1879 bis

– mit Wasser – Säuren.

1947.

264

18 Stoffe

Tab. 18.5 Elektronegativitätsskala nach „Pauling“ (Zahlenwert relativ mit Maximum 4 bei Fluor)

K

Na, Ba

Li, Ca

Mg

Al

Zn

Si

H

P

C

S

N

Cl

O

F

0,8

0,9

1,0

1,2

1,5

1,7

1,8

2,1

2,1

2,5

2,5

3,0

3,0

3,5

4,0
elektropositiver
elektronegativer !

Treffen Säuren und Basen in solchen Konzentrationen zusam-

Tab. 18.6 Elektrochemische Spannungsreihe nach „Pauling“. a) Metalle (Nor-
men, dass pH D 7 erreicht wird, so spricht man von Neutralisa-
malpotentiale bezogen auf die Normal-Wasserstoffelektrode), b) einige Nicht-
tion. Das Ergebnis ist Wasser und ein Salz.

metalle
a)

Beispiel

Met.

Ox.

C e

Volt

Cs

D CsC

C e

3,02

HCl C NaOH ! NaCl C H

Li

D LiC

C e

3,02

2O

Rb

D RbC

C e

2,99

Säure C

Base

! Salz C Wasser

J

K

D KC

C e

2,92

Ba

D BaCC

C 2e

2,90

Sr

D SrCC

C 2e

2,89

Salze im klassischen Sinne bestehen aus positiven Metallionen

Ca

D CaCC

C 2e

2,87
und negativen Säurerestionen. Nach „Brönsted“ sind alle Stoffe

Na

D NaC

C e

2,71

Salze, die im festen Zustand Ionengitter bilden.

La

D LaCCC

C 3e

2,37

Teil

Mg

D MgCC

C 2e

2,34

Bei der Namensbildung steht an erster Stelle das elektroposi-

Be

D BeCC

C 2e

1,70

III
tivere Element (Metall siehe auch Tab. 18.5) meist unverän-

Al

D AlCCC

C 3e

1,67
dert. Dann folgt der Name des elektronegativeren Bestandteiles

Mn

D MnCC

C 2e

1,05
mit einer entsprechenden Endung (z. B. NaCl D Natriumchlo-

Zn

D ZnCC

C 2e

0,76
rid). Die Endung -id weist darauf hin, dass es sich um ein

Cr

D CrCCC

C 3e

0,71

Salz mit einem Säurerest (Cl) aus einer sauerstofffreien Säu-

Fe

D FeCC

C 2e

0,44
re handelt. Bei Säureresten aus stabilen Säuren mit normalem

Cd

D CdCC

C 2e

0,40

Sauerstoffgehalt lautet die Endung -at (z. B. Na

D

2SO4

Na-

Co

D CoCC

C 2e

0,28
triumsulfat). Entstammt der Säurerest einer sauerstoffärmeren

Ni

D NiCC

C 2e

0,25

Säure, ist die Endung -it (z. B. Na

D

2SO3

Natriumsulfit). Rührt

Sn

D SnCC

C 2e

0,14
der Säurerest von einer besonders sauerstoffarmen Säure her,

Pb

D PbCC

C 2e

0,13
kommen der Zusatz -hypo- und die Endung -it dazu (z. B.

H

D

2

2 HC

C 2e

0,00

NaClO D Natriumhypochlorit). Bei Säureresten von besonders

Cu

D CuCC

C 2e

C0,34
sauerstoffreichen Säuren lautet der Zusatz -per- und die Endung

2 J

D J

C

2

2e

C0,53

-at (z. B. NaClO D

4

Natriumperchlorat). Wurden die Säure-

Ag

D AgC

C e

C0,80

Wasserstoffatome nicht vollständig durch Metallatome ersetzt,

Pd

D PdCC

C 2e

C0,83
ergeben sich saure oder hydrogene Salze (z. B. NaHCO D

3

Na-

Hg

D HgCC

C 2e

C0,85
triumhydrogencarbonat, früher Natriumbicarbonat oder – trivial

2 Br

D Br2 .fl/

C 2e

C1,06

– Natron).

Pt

D PtCC

C 2e

C1,2

2 H

C

2 O

D O2

4 HC

C 4e

C1,23

2 Cl

D Cl

C

2

2e

C1,36

18.5

Elektrochemie

Au

D AuC

C e

C1,68

2 F

D F

C

2

2e

C2,85

Innerhalb eines Moleküles ziehen sich die Kationen und An-
b)

ionen an. In wässeriger Lösung gehen diese Kräfte durch die

Red.

• Ox.

+ e

Volt

Permittivität des Wassers (" D
r

80) auf 1=80 zurück. Die Mole-

Te

• Te

C 2e

0,92
küle sind in Ionen dissoziiert, die eine elektrische Stromleitung

Se

• Se

C 2e

0,78
als Leiter 2. Ordnung ermöglichen. Die Lösung wird zum

S

• S

C 2e

0,51

Elektrolyten, in dem unter der Einwirkung einer elektrischen

2 J

• J

C

2

2e

C0,53

Spannung ein Materietransport erfolgt. Die positiven Kationen

2 Br

• Br

C

2

2e

C1,07
wandern zur Katode, die negativen Anionen zur Anode. Nach

2 Cl

• Cl

C

2

2e

C1,36

Ladungsausgleich, Elektronenabgabe bzw. -aufnahme, ist der

2 F

• F

C

2

2e

C2,85
zum Ion gehörige Stoff elementar verfügbar. Der Vorgang heißt

Elektrolyse und ermöglicht die Zerlegung eines Stoffes durch

18.5

Elektrochemie

265
den elektrischen Strom. Wasserfrei ist der gleiche Vorgang
negativeren, d. h. weiter oben stehenden (Tab. 18.6) Metalle ha-
im Schmelzen von Ionenkristallen als Schmelzfluss-Elektrolyse
ben den größeren Lösungsdruck gegenüber den positiveren, also
möglich.

weiter unten stehenden Metallen. Als Folge davon reduzieren
die „oberen“ die „unteren“ Metalle und gehen selbst in Lösung.

Die Neigung der Metalle zur Abgabe von Elektronen (Oxi-

Nutzt man den Lösungsdruck zwischen unterschiedlichen Ele-
dation) ist verschieden stark und durch die unterschiedliche
menten durch Einbringen in einen Elektrolyten aus, so entstehen

Bindung der Valenzelektronen an den Atomkern bedingt. Das

Galvanische Elemente oder Primärelemente.

Bestreben eines Metalles, Elektronen abzugeben und als Ion in

Lösung zu gehen, nennt man Lösungsdruck. Er kann als elektri-

Der Stoffumsatz bei der Elektrolyse transportiert je Ladung
sche Spannung in Volt gemessen werden und liefert die elektro-

1;6 1019 A s, d. h. bei einem Mol mit 6 1023 Teilchen D
chemische Spannungsreihe (Tab. 18.6). Der Nullpunkt ist dabei

96:500 A s D F D Faraday-Konstante. Bezieht man die trans-

(willkürlich) für Wasserstoff angesetzt. Die unedlen, leicht rea-
portierte und abgeschiedene Masse auf 1 A s, so ergibt sich das
gierenden Elemente haben ein zunehmend negatives Potential
für jeden Stoff charakteristische elektrochemische Äquivalent
gegenüber Wasserstoff; umgekehrt werden die Elemente mit

( c). Diese Größe mit 1,118 mg=A s bei Silber diente früher zur
wachsendem positivem Potential edler und reaktionsträger. Die

Festlegung von 1 A.

III

Teil

Elektrische Leitfähigkeit

19

Egon Döring

III

Teil

19.1 Leitungsmechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

19.2 Isolator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

19.3 Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

19.4 Normalleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

19.5 Supraleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

19.6 Halleffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

267

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_19

268

19 Elektrische Leitfähigkeit

19.1

Leitungsmechanismus

W

Metallische Leiter sind Leiter 1. Ordnung, denn mit dem

W 3

Leitungsband

Stromfluss ist kein Materietransport verbunden. Die elektrische
verbotene Zone

Leitfähigkeit ist dabei an die Existenz freier Elektronen, dem so-
genannten Elektronengas, gebunden. Für die Leitfähigkeit eines

W 2

Valenzband

Stoffes ist die Anzahl der verfügbaren Teilchen ( n), ihre Be-

W
weglichkeit () und die Teilchenladung ( e) maßgebend. Da der

1

Leitungsmechanismus sowohl auf negative (Index n) als auch
positive (Index p) Ladungsträger zurückgehen kann, gilt für die

Abb. 19.1 Energiebänder durch Aufspaltung der Energieniveaus. durch

Leitfähigkeit :

Elektronen besetzte Niveaus

ΔW

D e. n

C

n
n
np p/

e
n

S=cm A s
cm3
cm=V s
eV

(19.1)

0.4

0.3

Für den normalen elektrischen Leiter liegen nur die negativen

Elektronen als Ladungsträger vor; damit entfällt der Term mit

0.2

300 K
den p-Indizes. Die Beweglichkeit der Ladungsträger ist die pro

0.1

0 K

Teil

Einheit der elektrischen Feldstärke E (meist in V=cm) bewirkte

W F 0

Driftgeschwindigkeit, d. h. die der allgemeinen Teilchenbewe-

100 K

–0.1

III
gung in einer bestimmten Richtung überlagerte Geschwindig-
keit. Die in der Praxis auftretenden Werte von Leitfähigkeit,

–0.2

Teilchenzahl und Beweglichkeit sind für einige charakteristi-

–0.3
sche Materialien in der Tab. 19.1 zusammengestellt.

–0.4

Im Festkörper mit seinem Kristallgitter haben die Atome eine

–0.5
periodische Anordnung mit definierten Abständen. Zwischen

0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
den Atomen machen sich Austauschkräfte bemerkbar, die die

F W

( )

Besetzung der einzelnen Energieniveaus beeinflussen. Gemäß

%
dem Pauli-Prinzip, nach dem in einem Atom keine zwei Elektro-
nen in Bezug auf ihren Zustand völlig übereinstimmen können,

Abb. 19.2 Fermi-Funktion F .W / für die Temperaturen 0 K (—), 300 K (– – –)

und 100 K (– – –)

dürfen in einem gegebenen System die Energieniveaus und

Spinorientierungen nur einmal belegt sein. Da die Beeinflus-
sung über den ganzen Kristall reicht, gilt das Pauli-Prinzip

Wegen der statistischen Energieverteilung können Teilchen die
entsprechend weiträumig. Die bei Einzelatomen diskreten Ener-
verbotene Zone überwinden und aus dem Valenzband in das
gieniveaus der Elektronen spreizen sich zu Energiebändern auf

Leitungsband gelangen und dort Leitfähigkeit bewirken. Die

(Abb. 19.1). Neben den mit Ladungsträgern besetzten Bändern

Wahrscheinlichkeit, mit der die Energie eines Elektrons einen
treten energetisch unbesetzte oder verbotene Zonen auf. Für den
gewissen vorgegebenen Wert über- oder unterschreitet, wird

Leitungsmechanismus sind das letzte noch mit Elektronen be-
durch den Verlauf der Fermi-Funktion F. W/ beschrieben. In
setzte Band, das Valenzband, und das nächste für eine Besetzung

Abb. 19.2 ist sie für die 3 Temperaturen 0, 100 und 300 K dar-
mögliche Band, das Leitungsband, bedeutsam. Nur im letzteren
gestellt. Das Fermi-Niveau WF ist dabei willkürlich auf den
verfügen Elektronen über die für einen Stromtransport nötige

(Bezugs-)Wert 0 gelegt, und die Energie ist als Differenz W

Beweglichkeit. Aus der Ähnlichkeit der statistischen Energie-
gegenüber diesem Wert in eV aufgetragen. Der tatsächliche
verteilung im Valenzband mit der bei Gasen rührt auch die

Wert des Fermi-Niveaus gibt die Energie an, über welche die

Bezeichnung Elektronengas her.

Teilchen auch noch beim absoluten Nullpunkt verfügen. Es ist
offensichtlich, dass die Lage des Fermi-Niveaus in der verbo-
tenen Zone entscheidenden Einfluss auf die Leitfähigkeit eines

Tab. 19.1 Elektrische Leitfähigkeit g, Elektronenkonzentration nn und Elektro-

Stoffes hat.

nenbeweglichkeit mn einiger Werkstoffe bei Raumtemperatur

Material

nn
n

S=cm
cm3
cm2=V s

19.2

Isolator

Cu

58 104

8;45 1022

43

Al

34;5 104

6;0 1022

36

Abb. 19.3a zeigt ein Bandschema mit einer breiten verbotenen

Ag

61;4 104

5;87 1022

65

Zone von W D

B

2 eV und daneben die Energieverteilung bei

Ge

2;3 102

2;4 1013

3600

300 bzw. 600 K für ein mittig liegendes Fermi-Niveau. Offen-

Si

4;35 106

1;5 1010

1400
sichtlich verfügt kein Teilchen über eine ausreichende Energie,

InSb

3;5 102

2;8 1016

78.000
um in das Leitungsband zu gelangen. Im vollbesetzten Valenz-

19.3

Halbleiter

269
a

W

19.3

Halbleiter

Leitungsband
eV

+2

+1

Wird der Bandabstand oder die Energielücke vom englischen

Δ

„energy gap„ (Formelzeichen E

W

W
g/ merklich kleiner als 1 eV,

B =

F

2 eV
so tritt eine ausreichende Anzahl von Teilchen auf, die in das

–1

Leitungsband gelangen können (Abb. 19.3b). Es ist dies der
typische Fall des Halbleiters, bei dem im reinen Zustand das

–2

Fermi-Niveau genau mittig liegt. Leitfähigkeit ist jetzt sowohl

Valenzband

F( W)

über das Leitungsband mit seinen thermisch gewonnenen Elek-

%

0

50

100
tronen ( n) als auch im teilweise leer gewordenen Valenzband
über Defektelektronen oder Löcher ( p) möglich. Es ist sofort
b W
ersichtlich, dass die Leitfähigkeit einerseits durch Temperaturer-
eV Leitungsband
höhung (z. B. beim Stromdurchgang) oder durch Verschiebung
des Fermi-Niveaus zum Leitungs- bzw. Valenzband (durch Do-

+0,5
tierung) erhöht werden kann. Trotz zunehmender Beweglichkeit

Δ W

W

B =

F
der Teilchen mit sinkender Temperatur verschwindet beim ab-

0,5 eV
soluten Nullpunkt die Leitfähigkeit von Halbleitern.

–0,5

Valenzband

F( W)

19.4

Normalleiter

%

III

0

50

100

Abb. 19.3 Bandschemata (Prinzip-Beispiele). a Isolator, Bandlücke WB D

Sind andererseits Bänder unvollständig besetzt oder überlappen

Teil

2 eV, b Halbleiter, Bandlücke WB D 0;5 eV, WF D Fermi-Niveau, — ¶ 300 K
und ¶ 600 K

Valenz- und Leitungsband (die verbotene Zone ist dann nega-
tiv), so liegt der Fall des metallischen Leiters vor. Das Fermi-

Niveau liegt jetzt innerhalb des Leitungsbandes. In Abb. 19.4
band ist auch keine Beweglichkeit der Teilchen und damit keine
sind die beiden Fälle dargestellt, einmal für Natrium mit einem

Leitfähigkeit vorhanden. Es liegt das typische Bandschema ei-
unvollständig besetzten 3s-Band (Abb. 19.4a) und für Kupfer
nes Isolators vor.

mit überlappendem 3d- und 4s-Band (Abb. 19.4c) (siehe auch

Abschn. 18.2 „Atombau und Periodensystem“).

Die punktierte Linie für 600 K zeigt aber auch eine andere

Tendenz auf. Mit steigender Temperatur wächst die Wahr-

Mit sinkender Temperatur und damit steigender Beweglichkeit
scheinlichkeit, dass Ladungsträger im Leitungsband verfügbar
der Teilchen nimmt die Leitfähigkeit der metallischen Leiter bis
werden. Der Isolator wird leitend, d. h. er schlägt durch!

zum absoluten Nullpunkt um etwa 4 Zehnerpotenzen zu.

a
b
c

W

W

W

4p-Band leer

3p-Band
leer

3s-Band

W

4s-Band

F
halbvoll
halbvoll

3d-Band
voll

3p-Band voll

0

50

100 F W

( )

%

Abb. 19.4 Bandschemata von Leitern. a Unvollständig besetztes Band, als Beispiel Natrium. Das 3s-Band ist nur zur Hälfte besetzt, b Fermi-Funktion für 300 K
mit Lage zu a und c, c Überlappende Bänder, als Beispiel Kupfer. Das voll besetzte 3d-Band liegt innerhalb des nur zur Hälfte besetzten 4s-Bandes

270

19 Elektrische Leitfähigkeit

Tab. 19.2 Sprungtemperaturen einiger Basismaterialien für Supraleiter

Material Ga

Al

Sn

Pb

Nb

NbTi

Nb3Sn

Nb3Ga Nb–Al–Ge Y–Ba–Cu–O Ti–Ba–Ca–Cu–O Hg–Ba–Ca–Cu–O

Tc/ K

1,1

1,1

3,7

7,3

9,2

10

18

20,3

21

93

125

133

19.5

Supraleiter

19.6

Halleffekt

Eine größere Zahl von Metallen und Legierungen zeigt bei

Die Driftgeschwindigkeit bewegter Ladungsträger führt zu de-
sehr tiefen Temperaturen ein schlagartiges Ansteigen der Leit-
ren Ablenkung in einem Magnetfeld (Abb. 19.5). Die quer zum
fähigkeit um mehr als 20 Zehnerpotenzen. Der Effekt heißt

Stromfluss auftretende Hallspannung UH ist

Supraleitung und die Temperatur, bei der er eintritt, Sprung-
temperatur T

B

U

B
d

I

R
c. Die Höhe der Sprungtemperatur ist materialab-

U D R

I

H

(19.2)

hängigund liegt für reine Metalle unter 10 K (Heliumkühlung),

H

H d

V

T
mm

A
cm3=A s
während Legierungen Werte um 20 K erreichen und damit be-
reits in den Bereich der Wasserstoffkühlung (Siedepunkt von
mit B D Flussdichte, I D Strom, d D Leiterdicke (Abb. 19.5)

Wasserstoff: 20 K bzw. 253 °C) gelangen. Ein entscheidender
und R D

H

Hallkonstante D Ale n D A =. Die Hallkonstante

Schritt gelang in den letzten Jahren mit Mischoxiden auf der
ist damit von der Beweglichkeit und der Leitfähigkeit bzw.

Teilchenkonzentration n und Elementarladung e abhängig. Bei

T

Basis Seltene-Erden-Barium-Kupfer (SE-Ba-Cu-O), mit denen
eil

Sprungtemperaturen bei Stickstoffkühlung (Siedepunkt Stick-
normalen Leitern ist die Konstante A D 1, bei Halbleitern A D
stoff. 77 K bzw. 196 °C möglich sind (Tab. 19.2).

3=8.

III

Da die Supraleitung durch magnetische Felder – auch durch das

Die Ablenkung der Strombahnen durch das Magnetfeld führt zu
eigene Feld eines im Supraleiter fließenden Stromes – aufge-
einem Winkel gegenüber der ursprünglichen (Längs-)Richtung,
hoben werden kann, unterscheidet man weiche Supraleiter oder
dem Hallwinkel QH

Supraleiter 1. Art, die gegen magnetische Felder bis zu einer kri-

B
tischen Feldstärke H D
c

0;1 MA=m beständig sind, und harte
tan D

H

B
ı

(19.3)

Supraleiter oder Supraleiter 2. Art, die noch sehr starke magne-
cm2=V s T
tische Felder ( Hc > 10 MA=m) vertragen. Für den praktischen d. h. der Hallwinkel ist nur von der Beweglichkeit der Ladungs-

Gebrauch ist die Angabe der kritischen Stromdichte Sc bei der
träger ( n oder p) und der magnetischen Flussdichte abhängig.

die Supraleitfähigkeit durch das eigene Magnetfeld des fließen-
den Stromes aufgehoben wird, geeigneter.

Weil bei vorgegebenen Abmessungen die Hallspannung außer
von einem eingeprägten Strom I nur noch vom einwirkenden

Nach dem derzeitigen Kenntnisstand wird die Supraleitung von

Magnetfeld B abhängt, steht damit als Hallgenerator ein einfa-
paarweise spinkompensierten Elektronen, die nicht mehr dem
cher Messsensor für magnetische Felder zur Verfügung.

Pauli-Prinzip gehorchen, den sog. Cooper-Paaren, mit einer
sehr hohen Beweglichkeit bewirkt. Die Cooper-Paare verursa-

In Abb. 19.6a ist die auf den Ruhestrom normierte Aus-
chen durch Ringströme an der Leiteroberfläche ein magneti-
gangsspannung eines Hallgenerators über der magnetischen
sches Kompensationsfeld für das Leiterinnere, was zu einem

Flussdichte B leerlaufend ( R 1) und mit einem für beste Linea-
magnetfeldfreien Raum, d. h. D
risierung der Kennlinie ( R
r

0 (!) führt.

lin ) ermittelten Abschlusswiderstand

In den harten Supraleitern bestehen bei Stromfluss im Inneren
normal- und supraleitende Bereiche in Form sogenannter Fluss-

B
schläuche nebeneinander, die allerdings durch den fließenden

Strom in Bewegung geraten und damit Instabilitäten bewirken.

+ + + + +
d

Durch Inhomogenitäten (Gitterfehler) im Aufbau des Supra-

I

Θ H
e

F q

U
leiters lassen sich sogenannte Pinning-Zentren schaffen, die

F

H, b

– – – l – –
eine Stabilisierung herbeiführen. Derart stabilisierte Systeme
führen die Bezeichnung Hochfeld-Supraleiter oder Supraleiter

U ,l

3. Art.

l

Abb. 19.5 Halleffekt (Prinzip). Stromdurchflossener Leiter (Länge l , Breite b

Die Leitfähigkeit eines Supraleiters ist gegenüber Kupfer un-
und Dicke d ) im Magnetfeld. I D Strom (Betriebsstrom), B D Magnetfeld,
gefähr um soviel größer wie die Leitfähigkeit von Kupfer

F

D
l ; Fq D Längs- bzw. Querkraft, Ul

Längsspannung (Betriebsspannung), UH D
gegenüber einem Isolator (etwa 20 Zehnerpotenzen)!

Hallspannung und QH D Hallwinkel

19.6

Halleffekt

271
a

U H/ I
a

Leiter
b

Leiter

R∞

V/A

0.8

R lin
ohne
mit

Magnetfeld

Magnetfeld

0.4

Halbleiter

Halbleiter

–1 –0.8

–0.4

0

B
c

Elektrisches System
d

0.2

0.6

T

FA24

FP30

–0.4

1.2 1

9

6

1.9

1.2

R lin

–0.8

13

3

0.4 max

R∞

–1

19
b

500

1

400

R/Ω

Abb. 19.7 Feldplatte. a , b prinzipieller Aufbau (Erläuterungen im Text), c Ab-

300
messungen eines Hallgenerators (Siemens FA 24), d Abmessungen einer Feld-
platte (Siemens FP 30)

III

A

200

Teil

100

Effekt wird in der Feldplatte ausgenutzt. Im Prinzip wechseln
dazu ein Material mit großer Hallkonstante (z. B. InSb oder

0

InAs) mit einem guten Leiter, d. h. Material mit verschwinden-

–1,5

–1

–0,5

0

0,5

1

1,5
der Hallkonstante, ab (Abb. 19.7a, b). Die Pfeile symbolisieren

B/T
in den Abbildungen die Strombahnen. Unter dem Einfluss eines

Abb. 19.6 a Normierte Hallspannung in Abhängigkeit vom anliegenden Ma-

Magnetfeldes weisen sie einen längeren Weg auf. Die entstehen-
gnetfeld. Im Leerlauf (R1) und mit Abschlusswiderstand Rlin für optimal lineare
den Hallspannungen werden durch die querliegenden – Äquipo-

Kennlinie. b Widerstand in Abhängigkeit vom anliegenden Magnetfeld für eine
tenzialflächen erzwingenden – Leiter kurzgeschlossen. Damit

InSb-Feldplatte. Der Widerstand ist von der Polarität des Magnetfeldes unabhän-
liegt ein magnetfeldabhängiger Widerstand vor. Wie aus dem
gig und verläuft nichtlinear. Eine magnetische „Vorspannung“ (Punkt A ) liefert

Diagramm der relativen Widerstandsänderungen in Abb. 19.6b
eine bessere lineare Kennlinie und eine Feldpolaritätserkennung
hervorgeht, sind die Zusammenhänge nur stark nichtlinear.

Auch ist die Polarität des Magnetfeldes nicht erkennbar, da
nur die Stärke des Feldes in die Widerstandsänderung ein-
dargestellt. Wie sofort ersichtlich und wie es auch dem Prinzip
geht. Wenn nicht mit einer Vormagnetisierung gearbeitet wird,
der Entstehung der Hallspannung entspricht, ist ihr Vorzei-
bewirkt ein magnetisches Wechselfeld eine Ausgangspannung
chen von der Polarität des Magnetfeldes abhängig. Magnetische
doppelter Frequenz am „Arbeitswiderstand“ Feldplatte.

Wechselfelder erzeugen dementsprechend eine – vorzeichen-
richtige – Wechselspannung.

In der Praxis werden diese Elemente im mm-Bereich als Hall-
bzw. Magnetoresistive-Sensore (MRS) in Rund- bzw. Flachstä-

Die Ruheströme für Hallgeneratoren liegen zwischen einigen
ben oder IC-Gehäusen mit Stromversorgung und (Temperatur-)

und einigen hundert mA. Bei Flussdichten von 1 T erreichen die

Stabilisierung beschaltet ausgeliefert. Einfacher Anschluss an

Hallspannungen im Leerlauf Werte von 0,1 bis 1 V.

eine Betriebsspannung von etwa 3–12 V ergibt dann an den

Der Hallwinkel hat eine Verlängerung der Strombahnen im Lei-

Ausgangsklemmen die gewünschte Information über das zu
ter zur Folge, woraus ein erhöhter Widerstand resultiert. Dieser
messende Magnetfeld.

Elektrische Leiter

20

Egon Döring

III

Teil

20.1 Normalleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

20.2 Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

20.3 Supraleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

273

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_20

274

20 Elektrische Leiter

20.1

Normalleiter

Für heiztechnische Zwecke sind die Anforderungen an den

Temperaturgang der Heizleiter (DIN 46460, 46463, Ni-

Widerstandslegierungen) wesentlich geringer, dafür ist der Tem-

Die Daten der wichtigsten Leitermaterialien sind in der
peraturbereich wesentlich größer. Abb. 20.1 zeigt den spezifi-

Tab. 20.1 zusammengestellt. Für Leitkupfer ist der Mindest-
schen Widerstand für einige Heizleitermaterialien in Abhängig-
wert der elektrischen Leitfähigkeit (DIN EN 13604:2002) 58
keit von der Temperatur. Auffällig ist hierbei das Verhalten der

106 S=m bzw. der spezifische Widerstand 0;01724 106 ( m.

NiFe-Legierung mit zunächst Kaltleitercharakteristik, wie bei

Je nach Vorbehandlung und Reinheit kann die elektrische Leit-

Metallen üblich, die beim Erreichen der Curie Temperatur (siehe
fähigkeit des Kupfers zwischen 60 106 S=m bei extremer Abschn. 21.2 „Verhalten von Materie im Magnetfeld“) in einen

Reinheit und 55 106 S=m bei geringfügigen Verunreinigungen praktisch konstanten Widerstand übergeht.

schwanken. Aus diesem Grunde kommt in der Elektrotech-
nik ausschließlich elektrolytisch raffiniertes E-Kupfer (Nummer

CW003A, Kurzzeichen Cu-ETP1) oder das sauerstofffreie SE-

20.2

Halbleiter

Kupfer (Nummer CW007A, Kurzzeichen Cu-OF1) in Betracht

(EN 13604:2002). Mit zunehmender Temperatur sinkt die Leit-
fähigkeit bzw. steigt der Widerstand der Leiterwerkstoffe. Ge-

Beim reinen Halbleiter ist, wegen des mittig in der verbotenen

Zone liegenden Fermi-Niveaus, die Anzahl der ins Leitungs-
nerell sind metallische Leiter als Kaltleiter oder PTC (engl.

positive temperature coefficient) zu klassifizieren. Eine geringe
band übergebenden Elektronen nn. gleich der Anzahl der im

Temperaturabhängigkeit weisen die wegen ihrer guten Lang-

Valenzband frei werdenden Defektelektronen np. Die so rein
thermisch erzeugte Teilchendichte heißt Intrinsicdichte oder
zeitkonstanz zunehmend eingesetzten Metallfilmwiderstände

T
auch Intrinsiczahl ni. Allgemein gilt der Zusammenhang
eil
auf. Preiswert galvanisch hergestellt, erreichen sie Temperatur-
koeffizienten ˛ Š 0;02 : : : 0;005 %=ıC (s. a. Tab. 20.1).

n

III
n

D
n
np
n 2

(20.1)

i
cm3

Š

Aus der Intrinsiczahl folgt die Intrinsic- oder Eigenleitfähigkeit

10–6
m

Ω

1.6

D

C
a
i
eni. n
p/

e
n

(20.2)

S=cm A s cm3
cm2=V s

1.4
b
c

1.2

Die Grunddaten für Germanium (Ge) und Silizium (Si) sind in
d
der Tab. 20.2 zusammengestellt. Daraus ist sofort ersichtlich,

1.0
dass zum Erreichen der Eigenleitfähigkeit die Konzentration
e
von Fremdteilchen kleiner als ca. 1013 cm3 bei Ge und klei-

0.8
ner als ca. 1010 cm3 bei Si sein muss. Bei ca. 1020 Teilchen pro
cm3 für Metalle bedeutet dieses eine Reinheit von besser 109

0.6

(D 1 ppb D 1 part per billion D 1 Fremdteilchen auf 1 Mil-

0.4
liarde (amerik. billion!) Teilchen) bei Ge und besser 1012 bei

Si. Wegen der Abhängigkeit der Leitfähigkeit vom Reinheits-

T

0.2
grad kann umgekehrt über die Messung der Leitfähigkeit eines

0

200 400 600 800 1000

°C

1200

Halbleitermaterials dessen Reinheit bestimmt werden.

Abb. 20.1 Spezifischer Widerstand einiger Heizleitermaterialien in Abhängig-
keit von der Temperatur (nach Thyssen-Krupp). a Nicrofer 6023 H (NiCr23Fe),

Dotieren ist die Änderung der Leitfähigkeit eines hochreinen
b Nicrofer 7216 (NiCr15Fe), c Nicrofer 3228 NbCe (X6NiCrNbCe 32–27), d Cro-

Halbleiters durch Verschieben des Fermi-Niveaus. Es erfolgt
fer 22 APU (X1CrTiLa22), e Nickeleisen (NiFe29Cr1) (Standardlegierung)

über das Einbringen von Störungen durch fremde Atome mit

Tab. 20.1 Daten einiger Leiterwerkstoffe. Der spezifische Widerstand in 106 ( m ist zahlenmäßig gleich der gebräuchlichen Angabe in ( mm2=m

Metall

Leitfähigkeit gegenüber Silber Elektrische Leitfähigkeit

Spezifischer Widerstand

Temperaturkoeffizient ˛

D 100 %

%

106 S=m

106 ( m

%=ıC

Silber

100

61

0,0163

0,41

Kupfer

96

58

0,0173

0,43

Gold

73

41

0,025

0,39

Aluminium

62

38

0,026

0,43

Zink

31

17

0,059

0,42

Nickel

25

15

0,067

0,69

Eisen

18

10

0,098

0,56

Zinn

15

9

0,115

0,46

Blei

8

4,5

0,222

0,42

20.2

Halbleiter

275
a
b

W

Leitungsband

Leitungsband

W

Wirtsatome

Leitungsband

Fremdatome

W L

W L

W

Δ W D

F

W

W

F

D

Δ W B

Δ W

W

B

A

Δ W A

W

W

V

V

Valenzband

Valenzbänder

Abb. 20.2 Dotierung (schematisch). a Bandschema eines Überschussleiters, n-Leitung, b Bandschema eines Defektelektronenleiters, p-Leitung,

Leitungs-
band,

Valenzband Wirtsatome,

Valenzband Fremdatome, Elektronen, WL ; WV Leitungs- bzw. Valenzbandkanten der Wirtsatome, WF Fermi-Niveau,

WB Bandabstand der Wirtsatome, WD Donatorniveau, WD Donatorabstand, WA Akzeptorniveau, WA Akzeptorabstand

Tab. 20.2 Intrinsiczahlen und Ladungsträgerbeweglichkeiten von Germanium

Da (20.1) unverändert gültig ist, wird mit der Zunahme ei-
und Silicium
ner Ladungsträgerart die andere automatisch vermindert und

Material
n
führt damit zu einem bipolaren Leitungsmechanismus. Halb-
i
n
p
cm3
cm2=V s
cm2=V s
leiter finden sich vorzugs-weise in der 4. Hauptgruppe (IVa)

Ge

2;4 1013

3900

1900
des Periodensystems. Die Tab. 20.3 zeigt einen Ausschnitt dar-

Si

1;5 1010

1350

850
aus. Darin sind die als Akzeptoren (A) geeigneten Elemente der

3. Hauptgruppe und die Donatoren (D) der 5. Hauptgruppe ent-

III
sprechend gekennzeichnet. Der Bandabstand (Bandlücke) gibt
einem anderen Fermi-Niveau als dem des Halbleiters. Liegt
die Breite der verbotenen Zone in eV an.

Teil
das eingebrachte Fermi-Niveau nahe dem Leitungsband, ste-

Verbindungshalbleiter haben neben den Elementhalbleitern ei-
hen zusätzliche Elektronen für den Leitungsmechanismus zur
ne besondere Bedeutung. Bringt man Elemente der III. und V.

Verfügung, sog. n-Dotierung (Abb. 20.2a). Wegen der vom Do-

Hauptgruppe des Periodensystems im stöchiometrischen Ver-
nator im Übermaß vorhandenen Elektronen auch Überschuss-
hältnis zusammen, so ist bei derartigen III-V-Verbindungen
oder n-Leitung genannt. Liegt andererseits das Fermi-Niveau
wieder eine ähnliche Konfiguration der Valenzelektronen wie
des störenden Gitters nahe dem Valenzband, sog. p-Dotierung,
bei Elementhalbleitern möglich. Bei geeigneten Bandstrukturen
werden durch den Akzeptor vermehrt Elektronen aus dem
kann der Leitungsmechanismus ähnlich wie bei Elementhalblei-

Valenzband abgezogen, und es entsteht die p-Leitung oder
tern durch Dotieren gesteuert werden. In der Tab. 20.4 sind an

Defekt(elektronen)leitung (Abb. 20.2b). Die Dotierung erfolgt
einigen ausgewählten Beispielen die wesentlichen Daten ver-
durch Diffusion oder Ionenimplantation.

schiedener Verbindungs-Halbleiter aufgezeigt, wobei nicht nur

Tab. 20.3 Ausschnitt aus dem Periodensystem der Elemente.

Halbleiter, (A) Akzeptoren und (D) Donatoren (gegenüber IV), a Hauptgruppenelemente, b Ne-
bengruppenelemente

276

20 Elektrische Leiter

Tab. 20.4 Daten einiger Verbindungshalbleiter. Zum Vergleich sind die Elementhalbleiter Si und Ge mit aufgeführt. EG Bandlücke (Bandabstand), ri Intrinsicwider-
stand, Smp Schmelzpunkt, n Elektronenbeweglichkeit, p Löcherbeweglichkeit

Name

Allgem.

Element-

Eg
i

Smp
n
p

Bemerkungen

Formel
gruppen
eV

( cm

°C
cm2=V s
cm2=V s

Silizium

Si

1,106

2;3 105

1420

1350

480

Germanium

Ge

0,67

46

936

3900

1900

Binäre Systeme

Cd-Tellurid

CdTe

II–VI

1,56

1041

1050

100

Zn-Oxid

ZnO

II–VI

3,35

200

180

Zn-Sulfid

ZnS

II–VI

3,68

1185

165

5

Ga-Arsenid

GaAs

III–V

1,42

5 107

1238

8500

400

Elektrolumi-
neszens, LED

In-Antimonid

InSb

III–V

0,17

0,0045

523

75000

780

Hallgenerator,

Feldplatte

In-Arsenid

InSb

III–V

0,354

0,16

942

< 4 104

< 5 102

Ga-Phophid

GaP

III–V

2,26

–

1475

< 250

< 150

Grüne LED

Ga-Antimonid

GaSb

III–V

0,726

103

712

< 3000

< 1000

Ga-Nitrid

GaN

III–V

3,2

0,1

2500

< 1000

< 350

In-Nitrid

InN

III–V

1,97

0,5

1373

250

35

Al-Nitrid

AlN

III–V

6,2

1012

3273

300

14

Teil

Bor-Nitrid

BN

III–V

6,4

–

2973

< 200

< 500

Si-Karbid

SiC

IV–IV

2,4

–

–

60

8

Blaue LED

III

Ternäre Systeme

Aluminium-GaAs

Al-Ga-As

III–III–V

> 0,45

1012

1240

104

900

Indium-GaAs

Ga-In-As

III–III–V

0,74

–

' 1100

< 12 103

< 300

Indium-GaSb

Ga-In-Sb

III–III–V

–

–

–

< 104

< 103

IndiumAsSb

In-As-Sb

III–III–V

–

–

–

' 105

< 500

Quaternäre Systeme

Indium-Antimon-GaAs

Ga-In-As-Sb

III–III–V–V

0,36

–

' 1100

' 3000

< 100

Weiße LED

Indium-Phosphor-GaAs Ga-In-As-P

III–III–V–V

0,35 . . . 2,27

–

–

< 5400

< 200

Weiße LED
einfache III-V-Verbindungen – binäre Systeme – berücksich-

20.3

Supraleiter
tigt wurden sondern auch drei – ternäre Systeme – und vier

Komponenten „Mischungen“ – quaternäre Systeme. Ternäre und

Quaternäre Systeme spielen eine bedeutende Rolle für LEDs –

Das grundsätzlich bereits über eine recht hohe Sprungtempera-
light emitting diodes – Leuchtdioden bei farbigen aber beson-
tur verfügende Niob (9,2 K, siehe Tab. 18.2 Nb) liefert als NbTi
ders auch weißen Beleuchtungen. Weiße LEDs – zunehmend
bzw. Nb3Sn zurzeit die gebräuchlichsten Supraleitermaterialien.

auf GaN Basis – arbeiten entweder mit einer blau leuchten-

NbTi liegt als leicht zu fertigender Legierungswerkstoff vor, wo-
den LED und einem fluoreszierenden Leuchtstoff oder aber mit
hingegen Nb3Sn als Verbindungssupraleiter einen bestimmten
mehreren unterschiedlich farbigen LEDs deren Summenfarbe

Formierungsprozess erfordert. NbTi ermöglicht bei einer Tem-

Weiß ergibt.

peratur von 2 K (Heliumkühlung) Flussdichten von 10 T und

Nb3Sn solche bis 16 T.

Vergleichsweise sind auch Germanium und Silizium noch mit

Hochtemperatursupraleiter (HTS) auf Metalloxid-Basis haben
aufgeführt.

inzwischen Sprungtemperaturen bis 133 K (Tab. 19.2) erreicht.

Im Bereich der Beleuchtung gewinnen organische LEDs –

Eine völlig andere Art von Supraleitern könnten die Fullerene,

OLEDs – zunehmend an Bedeutung, da sie mit organischen
eine kugelförmige C60 Modifikation des Kohlenstoffes, als or-

Halbleitern, vorzugsweise Poly-Phenylen-Vinylen in Verbin-
ganische SL liefern. Die aus fünf- und sechseckigen Flächen
dung mit Metallen, als metall-organische Halbleiter flexible,
bestehenden-fußballähnlichen-Oberflächenstrukturen haben ih-
leuchtende und steuerbare Anwendungen ermöglichen.

nen den Namen Fußballmoleküle eingebracht. C60 Fullerene
wird mit eingebauten Alkali Atomen bei etwa 10 . . . 40 K

Zur Herstellung der für Halbleiterbauelemente notwendigen
supraleitend. J.H. Schön, C. Kloc und B. Batlogg erreichten

Sperrschichten, d. h. Übergänge zwischen p- und n-leitenden
durch Einbau von Chloroform- bzw. Bromoform-Moleküle ei-

Materialien, ist noch die Umdotierung wichtig. Durch eine stär-
ne Sprungtemperatur von 117 K.

kere als die vorher eingebrachte Dotierung kann die p- oder
n-Leitung umgekehrt werden. Mit Hilfe dieser Umdotierung

Supraleitendes Material wird zur Stabilisierung in einen nor-
können auch Mehrfachfolgen von p- und n-Schichten erzeugt
malleitenden Träger (Substrat) auf Cu-Basis (Cu-Sn- oder Cu-
werden. Nur so ist die heute übliche Planartechnologie zur Her-

Ni-Matrix je nach Herstellprozess) eingebracht. Die dadurch
stellung integrierter Schaltungen möglich.

bedingte Aufteilung des Leiters in Normal- und Supraleiter wird

20.3

Supraleiter

277
durch das Querschnittsverhältnis ˛ D q Cu lq SL beschrieben, mit
q

D

D

Cu

Kupferquerschnitt und q SL

Supraleiterquerschnitt.

Selbst wenn die zulässigen Stromdichten für Normalleiter mit

103 A=cm2 angesetzt werden, ist die Stromtragfähigkeit von Su-
praleitern immer noch um mehr als 102 größer als die von Nor-
malleitern. Praktisch brauchbare Formen von Hochtemperatur-

Supraleitern (Stickstoffkühlung) haben Fertigungs- und Anwen-
dungsprobleme da sie nicht einfach als Drähte sondern nur als

(schmale) Bänder hergestellt werden können, die einen geeig-
neten Träger benötigen. Der Einsatz von Supraleitern für die

Anwendung in Energieübertragungssystemen, Motoren und Ge-
neratoren befindet sich daher noch im Versuchsstadium.

III

Teil

Magnetische Leitfähigkeit

21

Egon Döring

III

Teil

21.1 Modellvorstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

21.2 Verhalten von Materie im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

21.3 Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

21.4 Magnetisierungskurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

21.5 Permeabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

279

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_21

280

21 Magnetische Leitfähigkeit

21.1

Modellvorstellung

21.2

Verhalten von Materie im

Magnetfeld

Die zur elektrischen Elementarladung äquivalente magnetische

Größe ist das Bohr’sche Magneton

Messzahl für die Reaktion eines Werkstoffes auf ein Magnet-
feld, d. h. seine magnetische Leitfähigkeit ist entweder die

D

B

9;27 1024 A m2

.1 A m2 D 1 J=T/

Permeabilität oder die ( magnetische) Suszeptibilität ~ m. Für
den freien Raum gilt – unter Verzicht auf die Kennzeichnung

Im Gegensatz zur „einpoligen“ Elementarladung ist das
des Vektorcharakters von Flussdichte B und magnetischer Feld-

Bohr’sche Magneton zweipolig und damit ein magnetischer Di-
stärke H
pol mit Nord- und Südpol. Die gleichfalls benutzte Bezeichnung
magnetisches Moment geht auf die Tatsache zurück, dass die

B

H

B D H

0

(21.2)

magnetischen Dipole nur verdreht, aber nicht verschoben wer-

0

T

A=m V s=A m
den können.

mit D 1;26 106 V s=A m (bzw. H=m). Für den materieer-

Zur Modellvorstellung des magnetischen Dipols ist in Abb. 21.1

0
füllten Raum ist eine multiplikative oder additive Beschreibung
die Magnetpolbildung eines Ringstromes dargestellt (die un-
möglich:

vollständig gezeichneten Feldlinien sollen die Vorstellung er-
leichtern). Gelangt die Anordnung in ein magnetisches Feld

B D H bzw.

(21.3a)

(gestrichelt in Abb. 21.1), so wird der Dipol eine Drehbewe-

0
r

T

B D

0

H C J

(21.3b)

eil
gung ausführen, ohne den Platz zu verlassen. Die Größe des
für die Drehbewegung notwendigen Drehmomentes M folgt

B ist die erreichte Flussdichte in V s=m2 oder T und H das erre-

III
aus
gende magnetische Feld in A=m. J ist die mit B dimensionsglei-
che magnetische Polarisation. Die relative Permeabilitätszahl

M D m

B

B sin ˛

M
mB

B
sin ˛

(21.1)

J

J=T T

1
r , ist der Multiplikationsfaktor für die Flussdichte im mate-
rieerfüllten Raum gegenüber dem Vakuum. Die Polarisation J
gibt den auf die Materie entfallenden Flussdichteanteil an, der

Hierbei ist B die Flussdichte, mB, das magnetische (Dipol-)

zusätzlich zum Anteil 0 H des Vakuums auftritt. Aus (21.3a)

Moment und ˛ der (kleinste) Winkel zwischen „Magnet“ und und (21.3b) folgt:

Feld. Wichtig ist das magnetische Moment mB des Modells,
dessen Betrag sich als Strom multipliziert mit der umrandeten

J

M

D

D

D

Fläche ergibt. Betrachtet man den Stromring als Elektronen-
r

1 C

1 C

1 C ~ m

(21.4)

0 H

H
bahn und die Fläche als zum Bahnradius gehörig, so ist das
damit verkoppelte magnetische Moment als Bahnmoment zu

J; M

H

0
r; ~ m
deuten. Der mechanisch als Eigenrotation gedeutete Spin der

T

A=m V s=A m

1

Elektronen führt dementsprechend zum Spinmoment. Alle ma-
gnetischen Erscheinungen der Materie, die für den praktischen
mit ~ D

D
m

Suszeptibilität(szahl) und M D J=0

Magne-

Gebrauch bedeutsam sind, gehen damit auf die Überlagerung
tisierung. M ist der Feldstärkeanteil, der für die zusätzliche
von Spin- und Bahnmomenten zurück.

Flussdichte in der Materie aufzubringen ist. Der für die Praxis
wichtige Zusammenhang zwischen J und B folgt aus (21.3a)

und (21.3b) zu

N

J

B

H

J D B

0

0 H

(21.5)

T

T

A=m V s=A m

Diamagnetismus: Trifft ein äußeres Magnetfeld auf die Kreis-

I
ströme der Elektronenbahnen, so wird – gemäß Lenz’scher

Regel (siehe Grundlagen der Elektrotechnik) – ein Feld indu-
ziert, das dem erzeugenden entgegen gerichtet ist. Es entsteht
ein sog. induziertes magnetisches Moment. Dies ist die einfachs-

S
te Form des Magnetismus, die grundsätzlich in allen Stoffen
vorkommt. Das resultierende Feld ist schwächer als das erregen-

Magnetfeld
von einem Nordpol kommend
de. Materialien, die ausschließlich diesen Effekt zeigen, heißen
diamagnetisch. Die Suszeptibilität ~ m ist negativ, etwa 106.

Abb. 21.1 Kreisstrom (stromdurchflossener Ring) als magnetischer Dipol

Die Permeabilität r ist dann praktisch gleich 1 (Abb. 21.2).

21.3

Magnetisierung

281

Austauschkräfte hervorgerufen, denen mit steigender Tempera-

Magnetische Momente vereinfachte
im kubischen Gitter

Darstellung

Bezeichnung
μ
š
tur die Wärmebewegung der Atome(-rümpfe) entgegenwirkt, so
r
m
dass ab einer bestimmten Temperatur – der Curie-Temperatur

– wieder der ungeordnete, d. h. paramagnetische Zustand, vor-
herrscht.

dia-

< 1

< 0
magnetisch

(≈ 1) ≈

(

)

0

Antiferromagnetismus: Die Austauschkräfte können im Gitter
auch zu einer paarweise antiparallelen Ordnung der magneti-
schen Momente führen. Dieser Ordnungszustand heißt antifer-
romagnetisch. Nach außen hin ist ein solches System durchweg
para-

> 1

> 0
unmagnetisch und verhält sich bei den üblichen Untersuchungen
magnetisch

(≈ 1) ≈

(

)

0
wie ein paramagnetischer Stoff. Auch dieser Ordnungszustand
wird thermisch aufgehoben. Die zugehörige Temperatur heißt

Néel-Temperatur.

Ferrimagnetismus: Sind bei antiparalleler Ausrichtung die ma-
gnetischen Momente ungleich groß, so verbleibt in einer Rich-
ferro-
tung ein resultierendes magnetisches Moment, mit ähnlicher
magnetisch

1

0

Wirkung wie bei ferromagnetischen Materialien. Dieser unvoll-
ständig kompensierte Antiferromagnetismus wird Ferrimagne-
tismus genannt.

In Abb. 21.2 sind die möglichen Ordnungszustände der magne-
antiferro-

> 1

> 0
magnetisch
tischen Momente schematisiert zusammengestellt.

III

(≈ 1) ≈

(

)

0

Teil

21.3

Magnetisierung
ferri-
magnetisch

1

0

Die Weiss’schen Bezirke sind durch Austauschkopplungen bis
zur Sättigung magnetisiert. Diese spontane Magnetisierung er-
folgt im Kristallgitter immer nur in den Richtungen der leich-

Abb. 21.2 Ordnungszustände magnetischer Momente (schematische Über-
ten Magnetisierbarkeit, den (magnetisch) leichten Richtungen.

sicht). " magnetisches Moment mit relativer Größe und Richtung

Beim kubischen Gitter des Eisens sind dies z. B. die Würfelkan-
ten. Die Diagonalen dazu sind schwerer zu magnetisieren, d. h.

es liegen (magnetisch) schwere Richtungen vor.

Zu den diamagnetischen Stoffen gehören die Edelgase, die
nichtmetallischen Elemente – außer O

Die Ausrichtung der magnetischen Momente erfolgt wegen

2 und S2 – sowie die

Metalle Ag, Au, Cd, Cu, Hg, Pb und Zn, ferner die Halbleiter-
der Weiss’schen Bezirke durch Wandverschiebungen und Dreh-
materialien Ge, Si und Se. Normalerweise ist die Suszeptibilität
prozesse. (Bloch-)Wandverschiebungen (Abb. 21.3b) sind für
temperaturunabhängig. Ausnahmen hiervon machen Sb, Bi, Ga,

Magnetisierungen mit kleinen Feldstärken wichtig. Mit zuneh-

Tl und C (als Graphit).

mender Feldstärke müssen auch Bezirke magnetisiert werden,
die mit dem aufmagnetisierenden Feld Winkel > 90° einschlie-

Paramagnetismus liegt vor, wenn sich die magnetischen Mo-
ßen. Hierbei treten irreversible Drehungen auf, wobei die spon-
mente im atomaren Bereich unvollständig kompensieren. Die
tan magnetisierten Bezirke ihre Magnetisierungsrichtung um
resultierenden magnetischen Momente mit ihren willkürlichen

180° ändern (Abb. 21.3c). Die weitere Ausrichtung bis zur Sät-

Orientierungen werden durch ein äußeres Magnetfeld ausge-
tigung erfolgt über einfache reversible Drehungen (Abb. 21.3d).

richtet. Die resultierende Flussdichte ist etwas größer als im

Die plötzlichen Richtungswechsel der Magnetisierung durch die

Vakuum. Die Suszeptibilität ist positiv mit Werten von etwa
irreversiblen Drehungen sind auch unter dem Namen Barkhau-

~ D
m

105 : : : 103. Die Permeabilitätszahl r ist damit prak- sensprünge bekannt.

tisch nur unwesentlich größer als 1.

Da die Wärmebewegung der Teilchen der ausrichtenden Wir-
kung des Magnetfeldes entgegenwirkt, ist der Paramagnetismus
a
b
c
d
temperaturabhängig.

H

H

H

Ferromagnetismus: Kompensieren sich im atomaren Bereich
erst magnetische Momente größerer, gleich ausgerichteter Ge-
biete, den sog. Weiss’schen Bezirken, Elementarbereichen oder

Domänen, so liegt Ferromagnetismus vor. Die Suszeptibilität ~ m

Abb. 21.3 Stufen der Magnetisierung. a ungestörter Zustand, b (Bloch-)

und Permeabilität r erreichen sehr hohe Werte. Dieser Aus- Wandverschiebung, c irreversible Drehungen, d reversible Drehung, H magneti-
nahmezustand in der Ordnung der Spinmomente wird durch
sierendes Feld zunehmender Stärke

282

21 Magnetische Leitfähigkeit

21.4

Magnetisierungskurve

B

1

3

Der Zusammenhang zwischen der erregenden Feldstärke H und

5
der daraus im Inneren des Werkstoffes resultierenden Fluss-

B 1
dichte B, d. h. der Addition von J und 0 H ist bei Werk-
stoffen mit hoher Permeabilität im Allgemeinen nicht linear.

Der nur experimentell zu ermittelnde Zusammenhang zwischen

H

H und B wird durch die Magnetisierungs- oder Hysterese-
kurve (- schleife) beschrieben (Abb. 21.4). Für einen noch nie
magnetisierten (oder einwandfrei entmagnetisierten) Werkstoff

6
beginnt die Neu- oder Kommutierungskurve im Koordinatenur-
sprung und wird im Anfangsbereich durch Wandverschiebun-

4
gen (Abb. 21.4a), im Hauptteil durch irreversible Drehungen

2

(Abb. 21.4b) und, im Bereich bis zur Sättigungsflussdichte Bs

(Abb. 21.4c), durch reversible Drehungen bestimmt. Bei ge-

H
gen Null absinkender Feldstärke sinkt die Flussdichte auf einem
höher liegenden Kurvenast (Abb. 21.4d) gegen die Remanenz-

1
flussdichte (Remanenzinduktion) B

2

H~
r ab. Dies ist die Auswirkung

3
der irreversiblen Drehungen, die erst durch eine entgegen ge-

T

4
eil
richtete Koerzitivfeldstärke Hc wieder bis auf B D 0 gebracht

5
werden können. Eine weitere Steigerung von H in negativer

6

III

Richtung führt zu einer negativen Sättigungsflussdichte, die ih-
rerseits erst wieder durch eine positive Koerzitivfeldstärke auf

Null gebracht werden kann. Eine Rückkehr zum Koordinatenur-
sprung ist auf diese Weise nicht möglich. Der Werkstoff verfügt
über eine Hysterese.

Zur Entmagnetisierung muss von einer Sättigungsfeldstärke,

Abb. 21.5 Entmagnetisierung (schematisch). B1 (Rest-)Vormagnetisierung,

Punkt 1 oder 2 in Abb. 21.5 mit allmählich absinkenden Feld-

H abklingendes, entmagnetisierendes Wechselfeld, 1; 2; 3; : : : Umkehrpunkte
stärkewerten ständig ummagnetisiert werden. Die gleichfalls
auf der Kommutierungskurve, d. h. abklingende Scheitelwerte von H , – – –

Kommutierungskurve und – – – Ergänzung der (äußersten) Hystereseschleife
mögliche thermische Entmagnetisierung durch Überschreiten
der Curietemperatur dürfte nur in Sonderfällen anwendbar sein.

Verluste: Die Fläche der Hysterese Schleife, d. h. das Integral
mit % D Dichte (kg=m3) . Die elektrische Leitfähigkeit der
der Funktion B von H, stellt eine „Verlustfläche“ A dar. Diese
meisten magnetischen Werkstoffe führt zu Wirbelstromverlus-

Verluste treten bei jedem Durchlauf der Kurve auf und sind da-
ten pw, die sich, bei der Verwendung von dünnen Blechen der
mit der Frequenz f proportional. Ist die Fläche der Hysterese

Dicke d und sinusförmiger Flussdichte B, nach der klassischen

Schleife gleich den Verlusten A in W s=m3 und das Material-

Wirbelstromtheorie ergeben zu:

volumen gleich V, so ergibt sich die, auf die Masse bezogene,

Hysterese-Verlustleistung ph zu

p D
w

1;64 . O Bfd/2
pw

B
f
d

W=kg S=m kg=m3

T
s1
m
p
p D A f
h

A
f

(21.7)

h

(21.6)

W=kg W s=m3
s1
kg=m3

O B D Scheitelwert der sinusförmigen Flussdichte und D Dichte
des Werkstoffes. Damit werden die im Allgemeinen zusammen-

B
gefassten Verluste p

B
reversible
r d
c

B

Drehungen
s
irreversible
p
b
p D p C p

(21.8)

Drehungen
h
w

W=kg

– H c
a

Wandverschiebungen

H c

H

Bei konstanter Netzfrequenz f D 50 Hz sind die Verluste nur
noch von der Blechdicke d und der Aussteuerung B abhängig.

Da die Blechdicke für den allgemeinen Fall variabel bleiben

– B r

– B
muss, die Aussteuerung aber bis in den nichtlinearen Bereich
s
durchgeführt wird, ist die Flussdichte mit O

B D 1;0 T, O B D 1;5 T

Abb. 21.4 Grundsätzlicher Verlauf und Entstehung einer Magnetisierungskur-
und O

B D 1;7 T genormt. Daraus folgen die Verlustkennziffern
ve oder Hystereseschleife (Erläuterungen im Text)

p 1;0, p 1;5 und p 1;7, meist in W/kg angegeben.

21.5

Permeabilität

283

21.5

Permeabilität
a

B

Eine der wichtigsten Kenngrößen magnetischer Werkstoffe ist

Δ B
die Permeabilität . Sie gibt den zahlenmäßigen Zusammen-
hang zwischen Flussdichte B und Feldstärke H an:

Δ H

B

D

(21.9)

H

H

B

b
ist die zur jeweiligen Definition gehörige Differenz. Die Per-

B r
meabilität ist in die absolute Permeabilität 0 mit der Einheit

H/ m und eine weiter zu definierende unbenannte Zahl r aufzu-
spalten.

F

D

0
r

(21.10)

Δ B
μ perm
mit

D

0

4 107 V s=A m D 1;256 106 H=m

Anfangspermeabilität D Steigung im Nullpunkt. Die Anfangs-

H

Δ H
permeabilität A, 1 a oder i (engl.: i D initial) entspricht der Abb. 21.7 PermeabilitäteninnerhalbderHysteresekurve. aReversiblePermea-III

Steigung der Neukurve im Ursprung (Abb. 21.6a). Die formale
bilität, b permanente Permeabilität

Definition lautet:

ˇ

Teil

O B ˇ

D

D 1

ˇ

A
i

O ˇ

(21.11)

Reversible Permeabilität D Steigung innerhalb der Hysterese-

0

H O H!0
schleife. Wird ein magnetischer Werkstoff mit einem Gleichfeld

Da mit O

H D 0 keine Messungen mehr durchführbar sind, ist

H D vormagnetisiert und mit kleinen Wechselfeldstärken ausge-
hierfür ein sehr kleiner Wert (einige mA=cm) festgelegt. Ältere
steuert, so ergeben sich die in Abb. 21.7a dargestellten Verhält-

Angaben benennen p
nisse. Einer inneren Magnetisierungskennlinie folgend, verläuft

5 d. h. O

H D 5 mOe D 4 mA=cm. In Anleh-
nung daran findet man oft auch als Angabe
die Aussteuerung flacher gemäß:

4.

ˇˇ

Wechselfeldpermeabilität D Steigung bei großer Aussteuerung.

B

D 1
řev

ˇ

(21.13)

Die Wechselfeldpermeabilität entspricht der üblichen Per-

0 H H!0; H D¤0
meabilitätszahl r mit der Definition (Abb. 21.6a):

B und H liegen dabei immer innerhalb der Hysterese Schlei-

O ˇ
fe.

B řev sollte meist groß sein, damit trotz Gleichstromvor-

Ď 1
magnetisierung der magnetische Kreis noch einen genügend

O ˇ

(21.12)

0

H O H groß
großen induktiven Widerstand aufweist.

O

Ein Sonderfall der reversiblen Permeabilität ist die permanente

H wird zweckmäßig von O

H D 0 bis zu einem maximalen Wert,

Permeabilität
bei dem B
perm, die in der Dauermagnetik wichtig ist. Der
s erreicht wird, geführt und das Ergebnis als Dia-

Arbeitspunkt liegt im 2. (oder 4.) Quadranten (Abb. 21.7b). Da
gramm über H aufgetragen (Abb. 21.6b). Für H D 0 geht

bei Dauermagneten die Flussdichte – und deren Konstanz – die
dann in A über. Ist zusätzlich zur Wechselfeldaussteuerung
entscheidende Größe ist, sollte

1 sein, um bei einem
noch ein magnetisierendes Gleichfeld H
perm

D vorhanden, so ergibt
störenden Wechselfeld keine Änderungen des magnetischen Ar-
sich die Überlagerungspermeabilität (s. a. rev).

beitspunktes zu verursachen.

Die Frequenzabhängigkeit der Permeabilität wird durch die
a
b
komplexe Permeabilität N
beschrieben. Sie ist definiert als

B

B

N D 0 j00

(21.14)

^
μ~

B
μ A

Mit 0 D Permeabilitäts-Permeabilität und 00 D Verlust-
μ

Permeabilität. Der Betrag von N
liefert die rechnerisch ge-

~
μ
bräuchliche Permeabilität r oder, um auf die Verwendung für

A
die Bestimmung der induktiven Impedanz Z hinzudeuten,

^
rZ .

H

H

H

Der Quotient aus 00 und 0 liefert den Verlustfaktor

Abb. 21.6 Wechselfeldpermeabilität. a Definition der Anfangs- (mA ) und

00

Wechselfeldpermeabilität (m ) an der Kommutierungskurve, b Wechselfeldper-
tan ı D
meabilität m

0

(21.15)

in Abhängigkeit von der magnetischen Feldstärke

284

21 Magnetische Leitfähigkeit

Die Division durch die Anfangspermeabilität i oder 4 liefert
den relativen oder bezogenen Verlustwinkel
tan ı

(21.16)

i

Weniger bedeutende Eigenschaften von Werkstoffen im Ma-
gnetfeld sind einmal die Magnetostriktion, das ist die Änderung
der Abmessungen durch ein Magnetfeld, wobei zwischen Län-
gen- und Volumenmagnetostriktion unterschieden wird, und
multiferroisch was einer gleichzeitigen ferromagnetischen und
ferroelektrischen Eigenschaft des Werkstoffes entspricht. Das

Interessante ist dabei die mögliche wechselweise Steuerung der

Effekte „Spannung“ und „Magnetisierung“. Materialen mit die-
sem Effekt werden unter dem Namen Multiferroika geführt.

Teil

III

Magnetika

22

Egon Döring

III

Teil

22.1 Metalloxide (Ferrite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

22.2 Weichmagnetika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

22.3 Hartmagnetika (Dauermagnete) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

285

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_22

286

22 Magnetika

Tab. 22.1 Übersicht über Magnetika (Ohne Anspruch auf Vollständigkeit, Metalloxide ohne Fe2O3)

Metalle

Metalloxide

(Ferrite)

reine Metalle

Legierungen
weich
hart
weich
hart
weich
hart

Fe

Fe – Si

Fe – Al – Ni

Mn – Zn – O

Ba – O

Ni

Fe – Ni – Fe

Al – Ni – Co

Ni – Zn – O

Sr – O

Co

Fe – Co

Fe – Ni – Cu

Mg – Mn – O

(Gd)

Fe – Al

Fe – Co – V

Y – O

(Granat)

Cu – Mn – Al

Co – Sm

Nd – Fe – B

Bei den Magnetika werden vom Werkstoff her Metalle und

22.2

Weichmagnetika
deren Legierungen sowie Metalloxide (Ferrite) und, nach den

T

Anwendungseigenschaften, Weich- und Hartmagnetika (Dauer-
eil
magnete) unterschieden. In Tab. 22.1 ist eine grundsätzliche,

Weichmagnetische Werkstoffe sind durch eine Koerzitivfeld-
aber nicht vollständige, Übersicht der magnetischen Werkstoffe
stärke von H

III
c < 1 kA=m gekennzeichnet.

zusammengestellt.

Unter den Elementen kommen nur weichmagnetische Stoffe
vor, und zwar die Ferromagnetika Eisen, Nickel, Kobalt sowie

22.1

Metalloxide (Ferrite)

das für die Praxis bedeutungslose Gadolinium (Curietemperatur

16 °C).

Ferrite der Elektrotechnik sind chemische Verbindungen des

Metalle: Eisen wird als Weicheisen für Relais und als Karbonyl-

Eisen(III)-oxids Fe

Eisen( pulver) in geringem Umfang für Hochfrequenzkerne und

2O3 mit zweiwertigen Metalloxiden (M00O)

vom allgemeinen Typus
zur Abbildung von Magnetfeldern (Bitter’sche Methode) be-
nutzt. Nickel findet rein gelegentlich (im Sättigungsbereich)

M00O Fe

Anwendung als magnetostriktiver Ultraschallgeber, ansonsten

2O3
dient es, ähnlich wie Kobalt, als Legierungsbestandteil für ver-

Die Gitterstruktur der am meisten verbreiteten kubischen Fer-
schiedene magnetische Werkstoffe. Von den übrigen Metallen
rite entspricht der des Halbedelsteins Spinell. In der nor-
gilt in erster Näherung, dass die Schwermetalle (z. B. Cu, Ag,
malen kubischen Spinellstruktur mit ihrem flächenzentrierten

Bi, Au usw.) diamagnetisch und die Leichtmetalle (z. B. Al, Mg,

Sauerstoffionen-Gitter (Abb. 22.1) befinden sich die zweiwerti-

Na, Ca usw.) paramagnetisch sind.

gen Metallionen (Punkte in Abb. 22.1) auf Tetraederplätzen und

Legierungen: Eisen ist mit verschiedenen Legierungszusätzen
die dreiwertigen (Dreiecke in Abb. 22.1) auf Oktaederplätzen.

wie Si, Ni, Co, Mo u. a. der wichtigste magnetische Werkstoff.

Vertauschen die zwei- und dreiwertigen Ionen ihre Plätze, ent-

Neben den Zusätzen haben auch die Art der Behandlung z. B.

stehen die inversen Spinelltypen. Nur diese und die aus beiden
warm- oder kaltgewalzt, nachgeglüht usw. erheblichen Einfluss
bestehenden Mischtypen liefern magnetische Ferrite. Sie sind
auf die Verluste ( p
vom Prinzip her ferrimagnetisch. Als Metalloxide sind die Fer-

1;0, p 1;5 bzw. p 1;7/ eines Elektrobleches. Hö-
herwertige Bleche sind durchweg kornorientiert.

rite keramische Werkstoffe und daher elektrische Nichtleiter.

Für die Unterscheidung von Elektroblechen ist gelegentlich
noch die veraltete Bezeichnung Dynamoblech mit den Abstu-
fungen Dyn.-Bl. I . . . IV zu finden. Die heutigen enger tolerier-
ten Anforderungen bedienen sich gemäß DIN 46400 bzw. EN

10027-1:2005 einer Kombination aus Buchstaben und Zahlen
nach folgendem Schema: Kennbuchstabe, Verluste, Blechdicke
und Behandlung wie in Tab. 22.2 dargestellt.

In der Tab. 22.3 sind für einige nach dem genannten Schema

(EN 10027) bezeichnete Werkstoffe, neben der Werkstoffnum-
mer, die Grunddaten zusammengestellt. Bevorzugtes Anwen-
dungsgebiet sind Transformatoren, Motoren und Generatoren.

Abb. 22.1 Kristallgitter eines Spinells. ı Sauerstoffion, zweiwertiges Metall-
ion und 4 dreiwertiges Metallion (zur besseren Übersicht sind die Gitterplätze

Werkstoffe für Übertrager behandelt DIN IEC 740-2. Der Kurz-
nur teilweise besetzt)

name besteht nach DIN aus einem Buchstaben und Ziffern,

22.2

Weichmagnetika

287

Tab. 22.2 Bezeichnung von Elektroband
stoffe mit extremen Eigenschaften geliefert. Es handelt sich

M

Europaweit Kennbuchstabe für Elektrobleche
dabei um Legierungen auf Fe-Ni- bzw. Co-Ni-Fe-Basis, die
mmm

100facher höchstzulässiger Magnetisierungsverlust
nicht kristallin sind! Diese Eigenschaft wird durch eine au-
dd

100fache Blechdicke
ßerordentlich hohe Abkühlgeschwindigkeit von ca. 106 K=s

Behandlung

A nicht kornorientiert
d. h. 1000 K=ms, beim Erstarren aus der Schmelze mit bis zu

N kornorientiert

25 % kristallisationsverzögernde Zusätze erreicht. So ist z. B.

P kornorientiert, niedrige Ummagnetisierungsverluste
die Co-Ni-Fe-Legierung der Fa. Vacuumschmelze GmbH als

D unlegiert, nicht schlussgeglüht

O50Ni20Fe6Si12B12 aufgebaut. Die bestechendste Eigenschaft

E legiert, nicht schlussgeglüht
derartiger, in Folienstärke um 20 µm anfallender, Werkstoffe
ist die hohe Permeabilität. Im Gegensatz zu anderen Weich-
magnetika weisen diese Werkstoffe aber erhebliche Härte-
wobei, mit im Alphabet fortschreitenden Buchstaben, die Le-

( 1000 HV02) und Zugfestigkeitswerte ( R

m

2 kN=mm2)

gierungsanteile wachsen. A bedeutet gar nicht oder schwach Si
auf. Die thermische Belastbarkeit ist nicht durch die Curie-
legiert, C definiert mit Si legiert, D sind Ni-Legierungen, E und

Temperatur, sondern durch die Kristallisationstemperatur von

F sind hoch nickelhaltig und noch weiter legiert. Die Tab. 22.4
ca. 400 . . . 500 °C begrenzt. Die bei anderen hochpermeablen
gibt eine Übersicht über einige Werkstoffe dieser Klasse. IEC

Materialien gefürchtete Empfindlichkeit gegen mechanische
benutzt 3 Buchstaben, beginnend mit Y und Ziffern. Zusätz-

Beanspruchungen tritt bei amorphen Metallen nicht auf.

lich zu den DIN-Bezeichnungen haben alle Magnetwerkstoffe
noch Eigennamen der Hersteller, z. B. Vacofer für Werkstoffe

Wird die Kristallisationsgeschwindigkeit in den Bereich von
der Klasse A, Mumetall aus Klasse E oder Vacuflux bei Klasse
etwa 10 K=s „verlangsamt“ oder ein amorphes Material ge-

F von der Firma Vacuumschmelze GmbH.

eignet wärmebehandelt entsteht nanokristallines Material mit

Kristallen in der Größenordnung von etwa 10 nm. Die Mate-

Nickel ist, wie Tab. 22.4 zeigt, von größtem Einfluss auf die ma-
rialstärke beträgt unverändert etwa 20 µm. Der hochpermeable

III
gnetischen Eigenschaften von Eisen. Während ca. 75 % Ni einen

Zustand ergibt sich erst nach einer Wärmebehandlung die ein
hochpermeablen Werkstoff mit A > 104 liefert, sinkt bei ca.

starkes Verspröden des Materials bewirkt. Eine mechanische

25 . . . 30 % Ni die Curie-Temperatur unter die Raumtemperatur,

Teil

Behandlung ist danach effektiv nicht mehr möglich. Je nach
so dass unmagnetische Stähle entstehen. Für die Technologie ist

Wärmebehandlung und mit oder ohne Magnetfeldanwendung
die gute Auswalzbarkeit von Fe-Ni-Legierungen bis in den Be-
entstehen unterschiedliche Hysteresekurven mit rechteckigem
reich von d ' 50 &m wichtig. Für extrem dünne Schichten im

(Z), rundem (R) oder flachem (F) Verlauf (Abb. 22.2a). Die
µm-Bereich der Halbleitertechnologie sind hochpermeable Le-
daraus bei der Magnetisierung resultierenden unterschiedlichen
gierungen mit 78 % Ni aufdampfbar.

Wechselfeldpermeabilitäten zeigt Abb. 22.2b.

Amorphe Metalle: Unter dieser Bezeichnung oder auch unter

Kernbleche: Während für Großtransformatoren die Kernbleche
dem Namen Metallgläser werden weichmagnetische Werk-
aus Plattenmaterial dem jeweiligen Bedarf entsprechend zu-

Tab. 22.3 Elektroband, ausgewählte Beispiele nach Thyssen Krupp AG, Vacuumschmelze, Voestalpine

Kurzname

Werkstoff-

Firmen-
d

Verluste p max

Polarisation J/ T bei
nummer
bezeichnung
p 1;0
p 1;5
p 1;7

H25

H50

H80

H100
mm

W=kg

W=kg

W=kg

A=cm

A=cm

A=cm

A=cm

Nicht kornorientiert, nicht schlussgeglüht

M1300-100A

1.0897

1,00

5,80

13,0

1,62

1,70

1,79

M450-65K

1.0843

0,65

1,92

4,50

1,56

1,64

1,74

M340-50K

1.0841

0,50

1,42

3,4

1,54

1,62

1,72

Nicht kornorientiert, schlussgeglüht

M530-65A

1.0824

0,65

2,30

5,30

1,54

1,64

1,74

M350-50A

1.0810

0,50

1,50

3,50

1,50

1,60

1,70

M250-35A

1.0800

0,35

0,95

2,50

1,49

1,60

1,70

Kornorientiert, geglüht

M150-35S

1.0861

PowerCore

0,35

1,05

1,50

1,78

C150-35

M140-27S

1,0865

PowerCore

0,27

0,89

1,40

1,75

C140-27

M110-23S

1.0863

PowerCore

0,23

0,73

1,10

1,78

C110-23

M105-30P

1.0886

PowerCore

0,30

1,05

1,88

H105-30

M95-27-P

1.0839

PowerCore

0,27

0,95

1,88

H095-27

M85-23-P

1.0882

PowerCore

0,23

0,85

1,88

H085-23

288

22 Magnetika

Tab. 22.4 Hochpermeable Legierungen. Typische Beispiele aus Unterlagen von Thyssen Krupp AG und VAC Vacuumschmelze

Kurzname

Firmenname

Chemischer
d

Verluste p 1;0 Hc

Bs

Tc

4
max

Aufbau
mm

W=kg

A=m

T
µ( m

°C

A12

Vacofer S1

Fe (Reineisen)

0,35

1,0

< 12

2,03

770

2000

40.000

C1-24

Trafoperm N3

Si3 %Fe

0,35

0,85

< 24

2,03

0,4

750

1000

30.000

D1a

Magnifer 36

Ni36 %Fe

0,35

1,1

< 15

1,3

0,75

260

2300

20.000

E4

Magnifer 75

FeNi36 %Cu5 %

0,2

1,1

< 2

0,8

0,55

400

40.000

115.000

E11

Magnifer 7904 FeNi80 %Mo5 %

0,2

< 1

0,8

0,45

410

200.000

350.000

E11-60

Mumetall

FeNi'80 %

0,2

0,1

0,04

0,8

0,55

400

60.000

150.000

F11

Vacoflux 50

FeCo'50 %

0,35

1,0

< 0,8

2,1

0,44

950

1000

13.000

Amorph

Vitrovac 6030

FeCo80 %

0,02

40100 kHz

0,03

0,8

1,30

365

20.000

100.000

Nanokristallin Vitroperm

Fe73 %Si15 %B7 %Nb3 %

0,02

35100 kHz

< 3

1,2

1,1

600

10.000

150.000
a
b
c
c
d
c c

2 c
c c
c

2 c
c

4 c

T
c
eil

6 c

III
c
d
e
c
c c

3 c
c
c c

6 c
c
c c
f
g
h
c

2 c
c
c c c

N

K
i
k

Abb. 22.2 Nanokristallines Material. a Hysteresekurven unterschiedlich wär-
mebehandelten nanokristallinen Materials, b Wechselfeldpermeabilität der Ma-

Abb. 22.3 Blechschnitte für Kleintransformatoren. a YEI EI-Kernblech (abfall-
terialien nach a (Aus Unterlagen der Vacuumschmelze nach Elsevier „Handbook
arm), b–e E-Kernblechvariationen, b YEE2, EE-Bleche unterschiedlicher Länge,
of Magnetic Materials“ bzw. „Soft Magnetic Alloys“)

besonders auch kürzere Formen, c YEE2L EE-Kernbleche doppelter Länge, d YEF

F-Form der Schenkel des E-Bleches, e YEL L-Form der Schenkel eines E-Bleches,
f YM M-Kernblech oder Mantelkernblech mit oder (fast) ohne Luftspalt ı, g YUI
geschnitten werden, ist für Kleintransformatoren die Anwen-

UI-abfallarme UI-Kernbleche, h Philbertkernblech PU, i Philbertkernblech PL,
dung vorgefertigter Kerne bzw. Kernbleche zweckmäßiger (EN
j, l Steckkern(blechpaket), k, m Schnittbandkern

60740-1:2005). Material- und fertigungsmäßig sind die abfalllo-
sen YEI- (Abb. 22.3a) bzw. YUI-Schnitte (Abb. 22.3g) besonders
günstig. In Varianten zu diesen Schnitten werden die Is 00 durch ein
an die modifizierte Form des „zweiten“ Es an. Eine speziel-
mehr oder weniger vollständiges E (Abb. 22.3b) bzw. U ersetzt.

le Variante der E-Kernform ist der Drehstrom-E-Kern, mit drei

Es entstehen dann EE- bzw. UU-Formen, bei denen die Luft-
gleich breiten Stegen. Eine verarbeitungsmäßig aufwendige, für
spalte der Kerne innerhalb der Wicklungen liegen. In Abb. 22.3d
geringe Luftspalte aber beste Kernblechform ist der YM-Schnitt
und e (nach EN 60740-1:2005) weitere Variationen zu EE-Kern-

(Abb. 22.3f). Der Luftspalt ı kann von „klemmender Zunge“,
blechen dargestellt. Die Kennzeichnung mit YEF bzw. YEL lehnt
d. h. verschwindendem Luftspalt, bis zu einer Breite von mehre-

22.2

Weichmagnetika

289
a

P v

MHz
mW/mm3

20

10

5

2 1 0.5 0.2

1

10–1

10–2

10–3

10–4

10–5

10–6

10–7

^

Abb. 22.5 Komplexe Permeabilität eines MnZn-Ferrites (Ferroxcube 3B1 von

B

10–1

100

101

102

Philips)

mT
b

Für rationelle Fertigungen sind fertig geklebte Blechpakete in

P v

EE-Form oder als Steckkerne, die über Kerben (K) und Vor-

III
mW/g
sprünge (N) einrastend zusammenhalten (Abb. 22.3j und l), trotz

200 mT

102

100 mT
magnetisch ungünstigerer Eigenschaften (Luftspalt) vorteilhaft.

Teil

Um die durch dünne Bleche niedrig gehaltenen Wirbelströme

50 mT
auch in einem Blechpaket klein zu halten, sind die einzelnen

101

Bleche elektrisch voneinander zu isolieren. Diese Maßnahme

25 mT
hat einen Verlust an Eisenquerschnitt zur Folge, der durch
den Eisenfüllfaktor gekennzeichnet wird. Er gibt den relativen

100

Anteil des Eisens an der gesamten magnetischen Querschnitts-
fläche an. Mit sinkender Blechdicke sinkt auch der Füllfaktor,
da die Isolation nicht beliebig dünn gemacht werden kann. Für
die üblichen Blechdicken von 0,25 . . . 0,5 mm liegt der Eisen-

10–1
füllfaktor bei 95 %. Er kann bei sehr dünnen Blechen bis etwa

35 % absinken.

f

Weichmagnetische Ferrite: Wegen der Nichtleitereigenschaften

10–2
kHz

10–1

100

101

102
der Ferrite, und den damit fehlenden Wirbelstromverlusten, sind
sie besonders für hohe Frequenzen und die Nachrichtentech-

Abb. 22.4 Darstellung der Kernverlustleistung pv bei Ferriten. a Verlustleis-
nik interessant. Die praktisch genutzten Werkstoffe sind alle
tung in mW=cm3 in Abhängigkeit von der Spitzenflussdichte mit der Frequenz
sog. Mischferrite. Dementsprechend auch die Bezeichnungen
als Parameter (Ferroxcube 2P . . . von Philips), b Verlustleistung in mW=cm3 in
wie Mn–Zn-Ferrit o.ä. Für Ferrite typisch sind die geringen

Abhängigkeit von der Frequenz mit der Spitzenflussdichte als Parameter (Ferrit-
material B1 von Neosid)

Sättigungsflussdichten von ca. 0,3 . . . 0,5 T. Als keramische

Werkstoffe sind sie mit D 3 : : : 5 g=cm3 von geringer Dich-
te, absolut korrosionsbeständig und schlechte Wärmeleiter. Die
bei hohen Aussteuerungen auftretende Verlustwärme ist dem-
ren Millimetern variiert werden. Um die Lage der Bleche auch
gemäß schwierig abzuführen. Wegen der Frequenzabhängigkeit
im fertigen Transformator kontrollieren zu können, sind die Ble-
werden die Verluste in Diagrammen über der Aussteuerung
che an einer Ecke (oben rechts in Abb. 22.3f) abgeschrägt. Phil-

(Abb. 22.4a) mit der Frequenz als Parameter oder über der
bertschnitte in PU- (Abb. 22.3h) oder in PL-Form (Abb. 22.3i),

Frequenz (Abb. 22.4b) mit der Aussteuerung als Parameter dar-
mit den verbreiterten Querstegen in den magnetisch schweren
gestellt. Zu beachten ist noch die bei tiefen Frequenzen oft sehr

Richtungen, nutzen bei Gosstexturen (leichte Richtungen längs,
hohe Permittivitätszahl der Ferrite, die bei hohen Frequenzen
schwere Richtungen quer und in Dickenrichtung der Bleche) das
stark absinkt.

Material besser aus. Die beste Ausnutzung der Gosstextur liefert
der herstellungs- und verarbeitungsmäßig aufwändige Schnitt-

Wegen des möglichen Einsatzes von Ferriten auch bei hö-
bandkern (Abb. 22.3k und m). Der für das Einbringen in die
heren Frequenzen ist die komplexe Permeabilität bedeutsam.

Wicklungen geteilte Kern ist an den Trennflächen sorgfältig ge-

Abb. 22.5 zeigt hierzu das Beispiel eines Mn-Zn-Ferrites, wo-
schliffen und muss in der Fertigung immer wieder mit den einan-
bei deutlich wird, dass die Verlustpermeabilität zwischen 4
der zugehörigen Flächen zusammengebracht werden.

und 5 MHz die Permeabilitätspermeabilität übersteigt und der

290

22 Magnetika
a
b

30

7,7

11

5,4

Luftspalt

26

21,2

30,4

16,3

Luftspalt
c
d

24,5

45°

10,8

19,7

4,4

2,5

Luftspalt

17

4,4

24,5

23,2

11,2

T

9,6

Luftspalt

23,6

16,5
eil

15,6

III

Abb. 22.6 Einige Ferritkerne mit ihren Hauptabmessungen. a E-Kern: E30, b EER Kern EER28 (E-Kern für Rundspulen), c Schalenkern S26 16, d X-Kern: X26, e RM-Kern: RM8

Werkstoff mehr Verluste, d. h. Dämpfung verursacht als Induk-

22.3

Hartmagnetika (Dauermagnete)

tivitätsanstieg.

Mn-Zn-Ferrite sind hochpermeabel mit

Hartmagnetisch ist ein Werkstoff mit H
i-Werten von 1000 bis
c & 1 kA=m (10 A=cm).

gegen 10.000. Ihre elektrische Leitfähigkeit ist mit D 1 S/m

Da die in einem Dauermagneten gespeicherte Energie über die
für Ferrite hoch, ebenso die Sättigungsflussdichte mit 0,5 T. Sie

Fläche der Hystereseschleife zum Ausdruck kommt, sollte diese
sind aus diesen Gründen in geringem Maße auch für Leistungs-
und damit Br und Hc groß sein. Die Energiedichte, das Produkt
übertrager geeignet.

aus korrespondierenden B- und H-Werten, weist ein Maximum,
das Energieprodukt ( B H/max auf (Abb. 22.7b). Es ist ein für

Ni-Zn-Ferrite sind die verbreitetsten Ferrite überhaupt. Die An-
einen Magnetwerkstoff charakteristischer Wert.

fangspermeabilität liegt bei '

i

100 : : : 1000. Der nutzbare Entmagnetisierungskurve (Abb. 22.7a): Sie ist mit dem rever-

Frequenzbereich reicht bis oberhalb 100 MHz. Wegen der ge-
siblen Bereich I, dem Knickbereich II und dem irreversiblen
ringen elektrischen Leitfähigkeit von ' 105 S/m kann in

Bereich III in unterschiedliche Nutzungsbereiche aufgeteilt. Im
vielen Fällen die Wicklung direkt ohne Zwischenisolation auf
reversiblen Bereich, mit seinem linearen Teil, erfolgen Ar-
den Ferritkörper aufgebracht werden.

Ba-Co-Ferrite können noch, allerdings mit erheblichen Verlus-
a
b
ten, bis zu sehr hohen Frequenzen genutzt werden. Sie finden

B
daher bevorzugt für Entstördrosseln Verwendung.

I

Kernformen:

Die

Bauformen
der
ferritischen

E-Kerne

II

B a

(Abb. 22.6a) schließen an die entsprechenden Blechschnitte
an und sind so ausgelegt, dass sie in die Wickelkörper der

III

Blechkerne passen. Für höhere Frequenzen kommen dann die

Spulenkörper in Form von Schalen-, X- und RM-Kernen in Fra-
ge (Abb. 22.6c, d und e). X- und RM-Kerne sind Bauformen,
die dem geringen Platzangebot in gedruckten Schaltungen bes-

H

BH

( BH)max
ser entsprechen als die Rundformen. EER-Kerne ermöglichen

Abb. 22.7 Entmagnetisierungskurve und Energiedichte. a Entmagnetisie-
eine Rundspule für die Wicklung auf einem quasi EE Kern.

rungskurve im 2. Quadranten, I reversibler Bereich, II Knickbereich, III irre-

Darüber hinaus gibt es noch eine große Anzahl verschiedener
versibler Bereich, Ba und Ha Flussdichte bzw. Feldstärke im Arbeitspunkt,

Kernformen wie Stäbe, Schraubkerne, Ein- und Mehrlochkerne
b Energiedichte B H in Abhängigkeit von der Flussdichte, mit höchster Ener-
usw.

giedichte .B H /max

22.3

Hartmagnetika (Dauermagnete)

291

B

B

J

B = f( H)

T

B sat

1.2
c

B = µ0 H

1.0

J = f( H)

B r

0.8
e

0.6
d
b

0.4

– H J C

H

B C

H

H

H
sat

0.2
g

– B
f
a

H

600

500

400

300

200

100

0

Abb. 22.8 Zusammenhang zwischen Flussdichte B und Polarisation J (Erläu-
kA/m
terungen im Text)

Abb. 22.9 Entmagnetisierungskurven einiger Hartmagnetika. a AlNi120,
b AlNiCo700
beitspunktänderungen – z. B. durch äußere Felder – auf dieser

Kennlinie. Im Knickbereich und auch im irreversiblen Bereich
verlagern äußere Felder den Arbeitspunkt auf innere Kennlinien
wichtigsten Magnetwerkstoffe. Es handelt sich hierbei um Aus-
der Entmagnetisierungskurve. Diese ist bei Dauermagnetwerk-
scheidungslegierungen, die erst durch eine Wärmebehandlung
stoffen häufig als Polarisationskurve, d. h. J D f . H/ dargestellt.

(Tempern), gegebenenfalls unter Einwirkung eines Magnetfel-

III

Abb. 22.8 zeigt die Zusammenhänge hierzu, indem von der
des (Formanisotropie), die gewünschten Eigenschaften erhalten.

bekannten B D f . H/-Kurve (dick ausgezogen) die Vakuum- Diese Legierungen sind sehr hart und nur durch Schleifen zu be-

Teil
flussdichte, 0 H abgezogen ist. Während der Remanenzpunkt arbeiten.

für beide Kurven gleich bleibt, ist die Koerzitivfeldstärke un-

Selten-Erd-Magnete oder SECo-Magnete (Abb. 22.9d), mit
terschiedlich. Bei der Koerzitivfeldstärke BHc (oder HcB/ wird

Energieprodukten von 200 kJ=m3 und mehr, ist eine Kurz-
die Flussdichte B, d. h. die Flussdichte des Systems auf Null
bezeichnung für Magnetwerkstoffe auf der Basis Seltene
gebracht. Bei der Koerzitivfeldstärke JHc (oder HcJ) wird die

Erdmetalle-Kobalt. Wichtigster Vertreter der Seltenen Erden ist
dem Werkstoff zugehörige Polarisation auf Null gebracht. Aus
dabei Samarium (Sm). Die permanente Permeabilität erreicht
diesem Grunde ist für die Werkstoffcharakterisierung bei Dau-
bei diesen Materialien sehr genau den Wert 1.

ermagneten die Kurve J D f . H/ wichtig. Im Idealfall würde

! 1

J Hc
und die Sättigungspolarisation Js gleich der Re-

Aus Seltenerd-Magneten entwickelten sich die Neodym-Eisen
manenzflussdichte Br werden, die einem äußeren Feld 0 H

Systeme, die als NdFeB noch höhere Energiedichten erreichen
entgegenwirkt. Die Flussdichte B des (idealen) Gesamtsystems
und die zurzeit „besten Magnete“ liefern. Die theoretische Gren-
wird dann
ze dieser Systeme liegt bei 485 kJ=m3. Erreicht sind zurzeit etwa

400 kJ=m3 (Abb. 22.9f).

B D B
r

0 H

(22.1)

Hartmagnetische Metalloxide (Ferrite): Die hartmagnetischen

Damit fällt die „ideale Entmagnetisierungskennlinie“ linear von

Ferrite haben, genau wie die weichmagnetischen, eine geringe

B

D

Dichte, hohe Korrosionsbeständigkeit, geringe Remanenzfluss-
r bis BHc

Br=0 H mit der Steigung der idealen permanenten

Permeabilität

D
dichte und niedrige Curie-Temperatur. Abb. 22.9c zeigt eine
perm

1 ab.

Entmagnetisierungskurve von Ba-Ferrit. Neben der geringen

Die Entmagnetisierungskurve als B = f . H/ stellt die im Allge-

Remanenzflussdichte fallen die hohe Koerzitivfeldstärke und
meinen nichtlineare Innenleitwertkennlinie des Werkstoffes dar.

die Steigung mit

'

perm

1 auf. Als keramische Werkstoffe sind

Der jeweilige Innenleitwert i folgt dann zu

Ferritmagnete nicht nur mechanisch hart, sondern auch bruch-

D

empfindlich. Der spezifische Widerstand aller Ferritmagnete ist
i

0 p

(22.2)

mit r > 10 ( m sehr hoch, wodurch sie selbst in hochfrequenten

D

Feldern eingesetzt werden können.

p

Permeabilität des Magnetwerkstoffes im Arbeitspunkt.

Für ein Dauermagnetfeld in Luft gilt aber D
r

1, d. h. bei

Ba-Ferrit: Hier kommt eigentlich nur der hexagonale Ba-

Anpassung eines Dauermagnetwerkstoffes an Luft muss ein

Ferrit vom Typus BaO 6Fe2O3 mit einem Energieprodukt von

Arbeitspunkt gefunden werden, bei dem D

D
p
r

1 ist!

25 kJ=m3 für die technische Anwendung in Betracht. Er liegt

Ein guter Dauermagnetwerkstoff muss also eine Entmagnetisie-
sowohl isotrop als auch anisotrop, meist noch mit geringen Zu-
rungskennlinie aufweisen, die möglichst weit oberhalb und gut
sätzen von Sr, Pb und/oder Co vor. In der Tab. 22.5 sind die
parallel zur Geraden B D 0 H (in Abb. 22.9 gestrichelt und zum

Daten einiger typischer Dauermagnetwerkstoffe zusammenge-
besseren Vergleich aus dem Nullpunkt verschoben) verläuft.

stellt.

FeAINi- und FeAINiCo-Legierungen (Abb. 22.9a, b) mit Ener-

Isotrop bedeutet bei magnetischen Werkstoffen, dass sie in allen
gieprodukten von 10 . . . 30 kJ=m3 sind auch heute noch die Richtungen etwa gleiche magnetische Eigenschaften haben. An-

292

22 Magnetika

Tab. 22.5 Daten einiger typischer Dauermagnetwerkstoffe, nach IBS Magnet, Meder electronic, ThyssenKrupp und VAC Vacuumschmelze, (gem. DIN IEC 60404-8-1,
bzw. DIN 17410)

Name

Dichte

. BH/max

Br

HcB

HcJ
m perm

T max

Tc

Bemerkungen
g=cm3
kJ=m3

T
kA=m
kA=m

°C

°C

Legierungen

Isotrop

AlNico 8/4

7,2

8

0,52

42

43

440

Gesintert

AlNiCo 18/8

7,2

18

0,65

81

82

5

525

800

Gesintert

AlNiCo 500

7,4

35

1,12

47

48

24

450

860

Feinguss

CROVAC 16/160

7,6

15

0,85

39

40

480

640

Verformbar

Anisotrop

AlNico 35/5

7,2

35

1,12

47

48

' 5

550

800

Gesintert

AlNiCo 52/6

7,2

52

1,3

55

56

' 5

525

800

Gegossen

LNGT80

7,3

84

1,07

122

125

550

860

Gegossen

RE2Co17

8,3

200

10,3

720

1600

1,1

300

800

Gesintert

REFeB400/88

' 7;5

400

1,44

800

> 875

1,1

> 80

310

Gesintert

REFeB85/35p

5,9

85

0,66

430

830

Kunststoffgepresst

Metalloxide

Isotrop

T

Hartferrit 8/22

4,8

8,0

0,21

135

220

1,2

250

450
eil

CER5 (Din 24/18) 5,0

28

0,4

160

185

250

450

Anisotrop

III

Hartferrit 28/26

4,85

28

0,38

250

265

1,5

250

450

Hartferrit 32/26

4,8

32

0,41

250

260

1,5

250

450

Tab. 22.6 Werkstoffauswahlübersicht nach Meder Electronic
niedrig
hoch

Kosten

Ferrite

AlNiCo

NdFeB

SmCo

Energieprodukt ( B· H

)

Ferrite

AlNiCo

SmCo

NdFeB
max

Einsatztemperatur

NdFeB

Ferrite

SmCo

AlNiCo

Korrosionsbeständigkeit

NdFeB

SmCo

AlNiCo

Ferrite

Gegenfeld-Resistenz

AlNiCo

Ferrite

NdFeB

SmCo

Mechanische Festigkeit

Ferrite

SmCo

NdFeB

AlNiCo

Temperaturkoeffizient

AlNiCo

SmCo

NdFeB

Ferrite
isotrope Magnete haben durch ihre Herstellung im Magnetfeld

Bei den Seltenerd-Systemen sind SmCo sehr hart und spröde,
eine Vorzugsrichtung des Magnetfeldes.

NdFeB Systeme nicht so sehr. Im Gegensatz zu den gegen äu-

Die stark unterschiedlichen Werte von Flussdichte und Feld-
ßere Einflüsse praktisch unempfindlichen Ferriten oxidieren die
stärke der Magnetwerkstoffe führt zu „kleinen“ Magnetflächen

Seltenerd-Magnete in feuchter Umgebung. NdFeB etwas stärker
bei hoher Flussdichte B
als SmCo. Eine Oberflächenbehandlung, z. B. Galvanisierung,
r und „geringer“ Magnetlänge bei hoher

Feldstärke H
ist daher in jedem Falle notwendig.

c.

Bei den grundsätzlichen Werkstoffeigenschaften ist zu beach-

Wegen der doch recht unterschiedlichen Eigenschaften auf den
ten, dass AlNiCo-Systeme praktisch „Stahl“ sind, während Fer-
verschiedenen Gebieten zum Abschluss eine kleine Vergleichs-
rite als Metalloxide bruchempfindliche „Keramik“ darstellen.

tabelle als Entscheidungshilfe (Tab. 22.6).

Dielektrische Eigenschaften

23

Egon Döring

III

Teil

23.1 Modellvorstellungen zur dielektrischen Polarisation . . . . . . . . . 294

23.2 Dielektrische Materialeinteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

23.3 Elektrische Materialeinteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

293

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_23

294

23 Dielektrische Eigenschaften

23.1

Modellvorstellungen zur
a
b
dielektrischen Polarisation

In einem elektrischen Feld zwischen zwei Plattenelektroden

(Abb. 23.1) sammeln sich auf jeder Platte (freie) Ladungen an

(nicht schraffierte Kreise in Abb. 23.1). Wird der Raum zwi-

E = 0

E = 0
schen den Platten mit einem Dielektrikum gefüllt, so wirken
auch darin die Kräfte des elektrischen Feldes. Sie verursachen
im atomaren bzw. molekularen Bereich eine Polarisation, d. h.

eine Verschiebung positiver bzw. negativer Teilchen, die als

Beeinflussung vorhandener oder durch Ladungsverschiebungen
infolge der Wirkung des elektrischen Feldes gebildeter Dipo-

E

E
le verstanden werden kann (Abb. 23.1). Die Folge davon sind
zusätzliche Ladungen auf den Kondensatorbelägen, sogenann-

Abb. 23.2 Ordnungspolarisation (schematisch). Die zunächst regellos orien-
te gebundene Ladungen oder auch influenzierte Ladungen. Die
tierten Dipole ordnen sich unter dem Einfluss eines elektrischen Feldes E .

Ladung Q auf dem, durch die Elektrodenplatten gebildeten,
a Dipol-Darstellung, b Schema-Darstellung

Kondensator mit Dielektrikum ergibt sich zu
a ε r

T

Q

"0

A

E
eil

Q D "0" rAE

(23.1)

Ordnungs-

A s

F=m m2

V=m
polarisation

III

Ionenpolarisation

A D (Kondensator-)Plattenfläche, E D Feldstärke, " D

0
elek-
trische Feldkonstante oder absolute Dielektrizitätskonstante D

Elektronenpolarisation

8;85 1012 F=m und " D
r

Permittivitätszahl oder relative Di-
elektrizitätszahl. Die Größe
b

UHF

IR

UV
f
tan δ

~ D
e

" r 1

(23.2)

heißt elektrische Suszeptibilität. Sie gibt, ähnlich wie beim

Magnetfeld, die durch die Materie zusätzlich mögliche

UHF

IR

UV
f

Feld(linien)dichte an.

Abb. 23.3 Frequenzabhängigkeit der Polarisation und der Verluste (prinzi-

Elektronenpolarisation ist die Verschiebung der Ladungs-
pieller Verlauf). a Beiträge der verschiedenen Polarisationsmechanismen zur
schwerpunkte von Atomkern und Elektronenhülle. Wegen der

Permittivität, b Bereiche ausgeprägter Verluste durch Resonanzerscheinungen.

geringen Trägheit der Elektronen folgt die Elektronenpolarisati-
tan ı D Verlustfaktor, f D Frequenz, UHF D Ultrahochfrequenz, IR D Infra-
on Wechselfeldern bis zu den Frequenzen der UV-Strahlung. In
rot(strahlung) und UV D Ultraviolett(strahlung)

Materialien mit instabilem Charakter der Elektronenverteilung
ist die Elektronenpolarisierbarkeit besonders groß.

lonenpolarisation verschiebt die Ionen unter dem Einfluss des
elektrischen Feldes und bewirkt eine Deformation des Gitters.

U

Der Stoff ist polar. Ionenpolarisation ist bis zu Frequenzen der

+

IR-Strahlung möglich. Ionen- und Elektronenpolarisation sind

A
von ähnlicher Größenordnung, kaum temperaturabhängig und
können unter dem Oberbegriff Deformiationspolarisation zu-
sammengefasst werden.

E

Ordnungspolarisation setzt Dipolmomente im molekularen
d

Aufbau voraus. Die einzelnen Dipole ordnen sich weitgehend
in Feldrichtung (Abb. 23.2), daher Ordnungs- oder Orientie-
rungspolarisation. Der Stoff ist (di)polar. Der ordnenden Kraft
des elektrischen Feldes wirken thermische Kräfte entgegen. Die

Ordnungspolarisation und Grenzfrequenz (bis etwa 109 Hz) sind
stark temperaturabhängig.

U–

Grenzflächenpolarisation tritt bei Dielektrika mit Einschlüssen

Ladung ohne Dielektrikum (freie Ladungen)

guter Leitfähigkeit auf. Frei bewegliche Ladungsträger der Ein-
zusätzliche Ladungen (durch das Dielektrikum
gebundene Ladungen)

schlüsse können zu den Grenzen wandern und wie gebundene

+

Ladungen wirken. Diese Grenzflächenpolarisation führt zu einer

– Dipole des Dielektrikums
höheren Polarisation als dem homogenen Material entspräche

Abb. 23.1 Plattenkondensator. Ladung bei Spannung U bzw. Feldstärke E oh-
und bewirkt ein " r über dem des eigentlichen Dielektrikums.

ne und mit Dielektrikum (schematisch)

Der Grenzfall tritt auf, wenn das Dielektrikum eine gewisse

23.3

Elektrische Materialeinteilung

295

Leitfähigkeit zeigt. Eine Unterscheidung zwischen Ladungsbe-

Ferroelektrika sind einerseits Materialien mit großer Permitti-
wegung zur Grenzflächenpolarisation und Leitfähigkeit ist dann
vität (" '

r

104) andererseits sind die Deformationen durch
nicht mehr möglich.

elektrische Felder als Aktuatoren anwendbar oder umgekehrt
durch Deformation – Schlag – als (Funken)Spannungsquelle.

Abb. 23.3 zeigt schematisch den aus den verschiedenen Me-

Eine andere Anwendungsmöglichkeit sind, wegen der hohen
chanismen resultierenden Frequenzgang der Polarisation. Die

Dielektrizitätskonstanten, ferroelektrische Arbeitsspeicher.

Endbereiche der verschiedenen Polarisationsarten sind durch

Steilabfälle der Permittivitäten und wegen der dabei auftreten-
den Resonanzerscheinungen durch starke Verluste gekennzeich-

23.3

Elektrische Materialeinteilung
net (Abb. 23.3b).

Isolatoren: Die wesentlichste Kenngröße eines Isolators ist der

23.2

Dielektrische

Isolationswiderstand mit spezifischen Widerständen von D

1010 : : : 1020 (m. In der technischen Anwendung ist dabei noch

Materialeinteilung
zwischen Durchgangs- und Oberflächenwiderstand zu unter-
scheiden.

Die Elektronenpolarisation, mit der Verschiebung der Elektro-

Durchgangswiderstand ist eine von den inneren Eigenschaf-
nen gegenüber dem Atomkern, ist in allen Stoffen von Null
ten des Stoffes abhängige und für ihn charakteristische Größe.

verschieden. Daraus folgt grundsätzlich für alle Dielektrika eine

Er wird aus dem Querstrom I bestimmt, den eine angelegte

Permittivität " r > 1 bzw. eine positive elektrische Suszeptibili- Spannung U (Abb. 23.4a) durch den Werkstoff treibt. Wegen
tät, allgemein Paraelektrika.

einer stets vorhandenen Anzahl freier Ladungsträger wird die-
ser Querstrom niemals absolut zu Null. Unmittelbar nach dem

Piezoelektrika reagieren mit einer Polarisation(sänderung) auf

III

Anlegen einer Gleichspannung tritt noch ein Polarisationsstrom
eine mechanische Deformation und umgekehrt. Deformations-
auf, der u. U. durch die Trägheit der Dipolmomente eine merkli-
richtung und Polarisationsrichtung – meist senkrecht zueinander
che Abklingzeit (Relaxationszeit) aufweist. Wird der Querstrom

Teil

– sind dabei einander fest zugeordnet.

durch Ionen verursacht (Materialtransport), so ist über längere

Bei einer Reihe von Materialien mit in kleinen Bereichen ge-

Zeit mit einer Zerstörung des Isolators zu rechnen.

ordneten Dipolen (auch hier Weiss’sche Bezirke genannt) kann
eine bei erhöhter Temperatur erfolgte Ausrichtung der Di-

Der Durchgangswiderstand nimmt mit steigender Temperatur
polmomente, über einen größeren Bereich durch Abkühlung
ab. Der daraus folgende erhöhte Querstrom trägt seinerseits

„eingefrorene“, und starke remanente Polarisation erzeugt wer-
zu einem Temperaturanstieg bei. Falls sich kein Gleichge-
den. Derartige künstliche Piezoelektrika zeigen stärkere Effekte
wicht durch Ausgleich mit der Umgebungstemperatur einstellt,
als die natürlichen.

kommt es zum Wärmedurchschlag.

Die bekanntesten natürlichen Piezoelektrika sind der Quarz und

Oberflächenwiderstand (Abb. 23.4b) ist im strengen Sinne
der Turmalin. Künstliche Piezoelektrika basieren auf Mischoxi-
keine Materialeigenschaft, da Oberflächenbeschaffenheit und
den von Ba, Ti, Pb, Nb u. a.

-verunreinigungen die entscheidenden Faktoren sind. Verun-
reinigungen auf der Oberfläche eines Isolators ermöglichen

Pyroelektrika sind polare piezoelektrische Materialien mit einer

Kriechströme. Die dadurch verursachten Kriechspuren können
spontanen Polarisation, die ihre Ursache in getrennten Schwer-
die Oberfläche des Materials angreifen und die Leitfähigkeit
punkten der positiven und negativen Ladungen in der Kristall-
weiter erhöhen. Der Widerstand gegen die Kriechspurbildung,
struktur hat. Weil die Polarisation zwar mit der Temperatur
die Kriechstromfestigkeit, ist in der Praxis meist wichtiger als
veränderlich, aber selbst bis zum Schmelzpunkt des Materials
der Oberflächenwiderstand selbst.

nicht aufhebbar ist, heißt dieser Effekt pyroelektrisch.

Durchschlagfestigkeit ist die beim Spannungsdurchschlag ei-

Ferroelektrika. Gewisse Stoffe weisen ein elektrisches Dipol-
nes Isolierstoffes wirksame elektrische Feldstärke E
moment ohne Anlegen eines äußeren elektrischen Feldes auf.

0 in kV=cm
oder kV=mm angegeben. Die Durchschlagfestigkeit ist nur un-

Der ferroelektrische Effekt kommt nur in Kristallen vor, in
ter gleichen Bedingungen vergleichbar, da sie sowohl von der
denen die kristalline Symmetrie eine polare Achse zulässt. Fer-

Elektrodenform als auch Materialdicke abhängt (DIN 53481
roelektrika sind deshalb auch immer piezo- und pyroelektrisch.

bzw. VDE 0303). Im Allgemeinen sinkt die Durchschlagfestig-

Die Vorsilbe „ferro“ bezieht sich nur auf die Analogie zu „fer-
keit mit zunehmender Materialdicke. Die Durchschlagfeldstärke
romagnetisch“, wegen des Auftretens einer Hystereseschleife

D D f . E/ und einer damit verbundenen Koerzitivfeldstär-
ke Ec. Ursache sind auch hier Domänen (gleichfalls Weiss’sche
a

Prüfling
b

Bezirke genannt), wobei die Übergänge, Domänenwände, „dün-

I
ner“ sind als die Übergänge bei Ferromagnetika. In Anlehnung

I

U

U
an den Begriff Magnete nennt man derartige Stoffe Elektrete.

U

U

Die spontan vorhandene Polarisation kann bei Ferroelektrika
durch eine äußere Spannung um 180ůmgepolt werden, was
bei reinen Piezoelektrika nicht möglich ist. Bei hohen Tempe-

Prüfling
raturen, auch hier (ferroelektrische) Curie-Temperatur genannt,

Abb. 23.4 Isolationswiderstand. a Durchgangswiderstand, b Oberflächenwi-
verschwindet die Polarisation, das Material wird paraelektrisch.

derstand, U D Spannung und I D Strom

296

23 Dielektrische Eigenschaften

Tab. 23.1 Wärmebeständigkeitsklassen nach DIN/IEC

Tab. 23.3 Permittivitätszahlen einiger Werkstoffe

Klasse

Grenztempe-

Isolierstoffcharakteristika

Material

" r
ratur (°C)

Al2O3-Keramik

9,8

Y

90

Organische Stoffe, ungetränkt

TiO2-Keramik

85

A

105

Organische Stoffe mit organischen Bindemitteln

Quarzglas

3,8

E

120

Lackdrähte

Bor-Silikat-Glas

4–6

B

130

Anorganische Stoffe mit organischen Bindemit-

Kalk-Alkali-Glas

6–8
teln

Porzellan

4–8

F

155

Anorganische Stoffe mit besonderen organi-

Glimmer

5–6
schen Bindemitteln

Diamant (C)

5,6

H

180

Anorganische Stoffe z. B. mit Silikon

Silizium (Si)

11,9

C

> 180

Anorganische Stoffe ohne Bindemittel

Germanium (Ge)

16,2

Steatit (SiO2/Al2O3/MgO)

6–7

Tab. 23.2 Eigenschaften dielektrischer Werkstoffe

Papier

4–5,6

Stoff

Unpolar

Polar

Ferroelektrisch

Polyvinylchlorid (PVC)

3

" r

< 10

10 . . . 100

> 100

Polyäthylen (PE)

2,3

Temperaturgang Gering

Gering

Stark

Polypropylen (PP)

2,2

Verluste

Gering

Gering

Stark frequenzabhängig

Polystyrol (PS)

3

Polycarbonat (PC)

2,8

T
a
b

Polytetrafluoräthylen (PTFE)

2,1
eil
j ωC

Y C

III

C

G

Beschreibung der Verluste maßgebend. In der Ersatzschaltung
δ

(Abb. 23.5) liegt der Kapazität C der Leitwert G parallel. De-
finitionsgemäß ist der dielektrische Verlustfaktor das Verhältnis
von Wirk- zu Blindleistung, daraus folgt

G

Abb. 23.5 Verlustbehafteter Kondensator. a (Parallel-)Ersatzschaltung, C D

G

G

R

C

!

tan ı D

D 1

(23.4)

idealer Kondensator, G D Verlustleitwert, b kapazitiver Leitwert Y in der kom-
c

! C

! RC

S

( F s1
plexen Ebene, ı D Verlustwinkel
mit ! D Kreisfrequenz und R D 1= G. Das Produkt des Verlust-
faktors tan ı mit der Permittivität " r liefert die, besonders in der
ist auch noch von der Anstiegsgeschwindigkeit der angelegten

Kabeltechnik wichtige, (dielektrische) Verlustzahl oder Verlust-

Spannung abhängig.

ziffer

Wegen der Zeitabhängigkeit des thermischen oder Wärme-

"00 D " tan ı

(23.5)

durchschlages muss die Prüfung über Zeit (> 40 s) erfolgen.

r

Für die Zuverlässigkeit elektrischer Geräte ist die Isolationsei-

Eine weitere für Gleichstrom und niedrige Frequenzen ange-
genschaft der Werkstoffe auch bei langzeitiger Temperaturbe-
wandte Verlustdefinition ist über das Produkt R C (23.4) als
lastung wichtig. Man unterscheidet daher nach VDE bzw. IEC

Isolationszeitkonstante oder Isolationsgüte möglich. Sie wird in

Wärmebeständigkeitsklassen, wie sie in der Tab. 23.1 aufgeführt

M( µF oder zahlen- und dimensionsgleich in s angegeben.

sind.

Aus den verschiedenen Arten der Polarisation folgen für die Di-

Erfahrungsgemäß genügt für die Halbierung/ Verdoppelung der
elektrika unterschiedliche Größenordnungen der Permittivität,

Lebensdauererwartung bei einer Isolation nach:

die in der Tab. 23.2 einmal prinzipiell zusammengestellt sind.

Klasse A eine um 8 °C erhöhte/verminderte Betriebstemperatur

Bei den keramischen Materialien wird in der Praxis noch

Klasse B eine um 10 °C erhöhte/verminderte Betriebstempera-
zwischen niederdielektrischer Keramik, NDK-Materialien, und
tur
hochdielektrischer Keramik, HDK-Materialien, unterschieden.

Klasse H eine um 12 °C erhöhte/verminderte Betriebstempera-

NDK-Materialien basieren auf nicht-ferroelektrischen Titana-
tur
ten. Temperaturgang, Verlustfaktor (104 bis 105) und Span-

Kondensatoren: Mit C D Q= U folgt für Kondensatoren die Ka-
nungsabhängigkeit von " r sind gering. Die elektrische Langzeit-
pazität C aus (23.1) zu
stabilität ist gut.

HDK-Materialien basieren auf ferroelektrischem Bariumti-

A

C

"

C D "

0

A
d
tanant mit stark temperatur- und spannungsabhängiger Permit-

0" r

(23.3)

d

F

F=m m2
m
tivität. Der Verlustfaktor ist mit 102 : : : 103 recht hoch.

Als Werkstoffgröße ist die Permittivitätszahl "

In der Tab. 23.3 sind abschließend die Permittivitätszahlen eini-
r des Dielek-
trikums und der damit verbundene Verlustfaktor tan ı für die ger ausgewählter Materialien zusammengestellt.

Dielektrika

24

Egon Döring

III

Teil

24.1 Natürliche anorganische Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

24.2 Natürliche organische Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

24.3 Künstliche anorganische Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

24.4 Künstliche organische Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

24.5 Silikone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

297

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_24

298

24 Dielektrika

Die Dielektrika lassen sich nach ihrem Vorkommen in natür-

Wegen seines Piezoeffektes hat Quarz besondere Bedeutung als
liche und künstliche und nach ihrem chemischen Aufbau in
elektromechanischer Wandler und Resonator zur Frequenzsta-
anorganische und organische unterteilen.

bilisierung in der Nachrichtentechnik. Die durch Umkehrung
des Piezoeffektes sehr stabile mechanische Resonanz des Quar-
zes führt zur Anwendung als „Bandfilter“ mit geringer Band-

24.1

Natürliche anorganische
breite.

Dielektrika

Glas ist Siliziumdioxid das durch schmelzpunkterniedrigende

Zusätze – sog. Flussmittel – aus dem Bereich der Carbonate,

Nitrate und Sulfonate der Alkalimetalle von seinem Schmelz-

Glimmer ist ein leicht spaltbares, schneid- und stanzbares
punkt von 1860 °C auf Erweichungstemperaturen oberhalb von

Naturprodukt mit hervorragenden elektrischen Eigenschaften.

600 °C gebracht wird. Wobei zu beachten ist, dass Glas zu-

Glimmerreste werden mit Kunstharzen verpresst (Mikanit) oder
nächst bei steigender Temperatur erweicht und erst allmählich
nach einem Spezialverfahren zu einem glimmerähnlich nutz-
in einen flüssigen Zustand etwa oberhalb von 1200 °C über-
baren Vlies verarbeitet. E

'

0 bis zu 1000 kV=cm, " r

6 : : : 8,
geht. Die allgemeinen dielektrischen Daten sind: " '

r

5 : : : 16,
tan ı ' 2 104.

E

'

0

10 kV=mm und tan ı ! 0. Letztere Eigenschaft hat
zu Glaskondensatoren geführt, die, zunächst als Glimmerersatz,

Quarz ist reines Siliziumdioxid, hochtemperaturfest, mit ge-
inzwischen für die Raumfahrt wichtig sind. Sie sind auch bei
ringer Wärmedehnung und guter UV-Durchlässigkeit bis
langen Raumflügen gut ladungskonstant und gegen Strahlungen

185 nm. Abgeleitete Produkte sind Quarzglas, Quarzgut, ge-
praktisch aller Art unempfindlich.

züchtete Quarzkristalle und Quarzmehl (Füllstoff). E

D

0

T

D
eil

300 : : : 400 kV=cm, " r

3 : : : 4, tan ı ' 102 : : : 104 (stark

Die andere bedeutende Anwendung ist die Lichtleitung in dün-
von der Reinheit abhängig).

nen Fasern, sog. Lichtwellenleiter. Wie Abb. 24.1 zeigt hat

III

Abb. 24.1 Änderung der Übertragungsdämpfung in dB/km und der daraus folgenden Dämpfungs-„Halbwertslänge“ l im Laufe der Zeit. Nach ANT und Schott

Abb. 24.2 Verlauf der Gesamtdämpfung ˛ in Lichtwellenleitern und der Definition optischer Fenster. Sie liegen bei 850, 1300 und 1500 nm

24.2

Natürliche organische Dielektrika

299

Blau

Gase: Hierbei ist Luft mit einer Durchschlagfestigkeit von

500

20 . . . 30 kV=cm der am häufigsten angewandte Isolator. Tech-

Sichtbarer
grün
nisch sind außerdem noch Stickstoff (N, E

0

20 kV=cm),

Bereich
gelb

Kohlendioxid (CO

'

2, E 0

24 kV=cm) und Schwefelhexafluo-

600

'

orange
rid (SF6, E 0

100 kV=cm) bedeutsam. Wegen der durch

850 nm, Fenster für
erhöhten Druck verminderten Teilchenbeweglichkeit steigt die

Plastikfasern
rot
lonisierungsfeldstärke für den Durchbruch und damit auch die

Durchschlagfestigkeit mit einer Druckerhöhung. Erschwert io-

700
nisierbar sind auch elektronegative Gase, die bevorzugt als
naher

Halogenverbindungen – z. B. CCl

780 nm, Fenster

Fenster für
für

4, CCI2F2, CF4, SF6 u. a. –

Plastikfasern
mit großer lonenmasse und dementsprechend niedriger Wan-

800
derungsgeschwindigkeit genutzt werden. So hat das technisch

1. Fenster für
bedeutsame Schwefelhexafluorid (SF6) eine um etwa den Fak-

Glasfasern, 850 nm
tor 2,5 höhere Durchschlagfestigkeit als Luft.

900

Infrarot

(IR)

24.2

Natürliche organische

1000

Bereich

Dielektrika

1100

Papier weist als Isolierpapier je nach Behandlung und Trän-
kung sehr unterschiedliche Eigenschaften auf. Durch Tränkung

III
entstehen die Öl-, Öllack, Schellack- und Kunstharzpapiere

1200
mit E 0 etwa 25 . . . 50 kV=mm gegenüber ca. 10 kV=mm bei

Teil
einfachen Papieren. Vorteilhaft ist die geringe Dicke von Pa-
pierisolationen, nachteilig sind die hohen Verluste mit tan ı D

2. Fenster für

1300
ferner

Glasfasern, 1300 nm

0;5 : : : 102. " r liegt bei 2 . . . 8.

Textilstoffe werden meist getränkt verarbeitet, wobei besonders

Lackseide (Ölseide) wegen der geringen Dicke und der gu-

1400
ten elektrischen und mechanischen Eigenschaften wichtig ist.

Baumwolle und Seide werden als Fäden und Bänder getränkt
und ungetränkt als Umhüllungen für blanke und lackierte Dräh-

1500
te benutzt.

3. Fenster für

Öle sind als Isolieröle (DIN EN 60296, VDE 0370) hochsieden-

Glasfasern, 1550 nm
de Destillationsprodukte des Erdöls. Isolationswiderstand und

1600

Durchschlagfestigkeit (5 . . . 30 kV=mm) sind besonders in dün-
λ
nen Schichten günstig. tan ı D 103 und " D
r

2 : : : 3 sind
nm
niedrig. Nachteilig sind die starke Wärmedehnung, Temperatur-
abhängigkeit der Viskosität, Entflammbarkeit, Feuchtigkeitsauf-

Abb. 24.3 Übersicht über die Wellenlängenbereiche und die Zuordnung der zur

Übertragung genutzten optischen Fenster, D Wellenlänge (1000 nm D 1 µm ¶
nahme aus der Luft und Alterung durch den Luftsauerstoff. Die

300 THz)

Alterungsprodukte (Säuren, Metallseifen, Schlamm u. ä.) erhö-
hen die Verluste und mindern die Wärmeleitfähigkeit des Öls.

Eine Regeneration ist möglich.

Glas seine „Lichtdurchlässigkeit“ im Laufe der letzten Jahr-
zehnte durch die Entwicklung geeigneter Glassorten erheblich
verbessert. Die Lichtübertragungsstruktur in den verschiedenen

Faserarten, monomode, multimode usw., ist in Abschn. 103.2

24.3

Künstliche anorganische

„Grundmodelle von Lichtwellenleitern“ in Kap. 103 „Nach-

Dielektrika
richtenübertragung über Lichtwellenleiter (LWL)“ in Teil XIII
erläutert.

Vorzugsweise Metalloxide, die als keramische Massen teigig ge-

Bei den Fasern der Lichtwellenleiter bilden sich durch Streu-
formt, getrocknet und gebrannt ihre endgültigen Eigenschaften
ung und Absorption unterschiedliche Dämpfungsbereiche für
erhalten. Nachbearbeitung ist wegen der Härte durchweg nur
die verschiedenen Wellenlängen aus. Wie Abb. 24.2 zeigt, bil-

(nass-)schleifend möglich. Für die praktische Handhabung sind
den diese optimalen Bereiche sog. optische Fenster mit den
noch verschiedene Oberflächenbehandlungen notwendig:

Nummern 1,2 und 3 für 850, 1300 und 1550 nm. In Abb. 24.3
ist noch einmal die wellenlängenmäßige Zuordnung der Fenster

Metallisieren ist für die Kontaktierung bei Dielektrika oder als
und auch die Lage der Farblichtstrahlungen, zusammengestellt.

Basismaterial für Hochfrequenzschaltungen notwendig.

300

24 Dielektrika

Glasieren und Lackieren dient zum Schutz der meist rauen oder
tan ı D 103. Als biologisch ungefährliche synthetische Iso-
porösen Oberfläche gegen Verschmutzung und Feuchtigkeits-
lierflüssigkeit kann Pentaerythrit-Tetraester eingesetzt werden.

aufnahme.

E '

D

0

200 kV=cm, " r

3;3 und tan ı D 103.

Hydrophobieren ist eine besondere Art des Feuchtigkeitsschut-

Polykondensationsprodukte treten vorwiegend als Duroplaste
zes durch Aufbringen dünnster (bis monomolekularer) Sili-
auf, d. h. als Kunststoffe, die beim Erhitzen vorübergehend
konschichten, die durch ihre niedrigen Oberflächenspannungen
schmelzen oder erweichen und dann in einen harten, unlösli-
wasserabweisend sind.

chen und unschmelzenden Endzustand übergehen. Es gibt sie

Metalloxide von Aluminium (Al
rein, modifiziert und plastifiziert. Die wichtigsten sind:

2O3) und Titan (TiO2 ) werden
hochrein wegen ihrer geringen Verluste besonders bei hohen

Phenoplaste (PF) in selbst- oder nichtselbsthärten- der Aus-

Frequenzen als Trägermaterial eingesetzt. E

'

0

10 kV=mm,
führung. Sie finden Anwendung bei Lacken, Pressmas-

Aluminiumoxid: " D
r

9;8 und tan ı D 104 (: : : 103), Titandi-
sen und Schichtstoffen (Hartpapiere und -gewebe). E

D

0
oxid: " D
r

85 und tan ı D 4 103.

5 : : : 20 kV=mm, " D

'

r

4 : : : 9, tan ı D 0;05 : : : 0;3 und T max

Porzellan
hat
als

Ausgangsmaterialien

Kaolin

(Alumi-

160 ıC.

niumsilikat

Al

2O3 SiO2,

H2O,

Porzellanerde),

Feldspat

Aminoplaste (HF) ähneln den Phenoplasten, sind im Ge-

(Al

2 O3 CaO2 SiO2) und Quarz (SiO2).

gensatz dazu jedoch farbecht und lichtbeständig. Sie haben

Das Endprodukt ist durch die Zusammensetzung und geringe
glatte Oberflächen mit geringer Haftfähigkeit und werden
weitere Zusätze in weiten Grenzen beeinflussbar. Porzellane
für Lacke, Schichtstoffe und Pressmassen verwandt. E

D

0
gehören zu den dichten keramischen Massen. Sie sind bei

10 : : : 20 kV=mm, " D

'

r

5 : : : 7, tan ı ' 0;1 und T max

150 ıC.

Teil

Raumtemperatur beständig gegen Basen und Säuren (Ausnah-

Polyester(-harze) (PETF) sind flüssige bis elastische oder auch
me: Flusssäure) und hochwiderstandsfähig gegen elektrische
splitterharte Kunstharze. E '

D

0

30 kV=mm, " r

3, tan ı ' 0;03

III

Funken. Für das bei Isolatoren wichtige Hartporzellan betragen
und T

D 110 ıC.

E D

D
max

0

30 : : : 35 kV=mm, " r

4 : : : 8 und tan ı ' 0;02 : : : 0;1.

Titanate mit Barium (BaTiO

Ungesättigte Polyesterharze (UP) nehmen eine Mittelstellung

3 ), Kalzium (CaTiO3 ) und Stronti-
um (SrTiO
zwischen Kondensations- und Polymerisationsharzen ein, da

3 ) erreichen als HDK-Materialien sehr hohe Permit-
tivitäten ("

die über Katalysatoren erfolgende Aushärtung bereits eine Po-
r bis 104 bei Bariumtitanat, das auch piezoelektrisch
ist). Für NDK-Materialien auf Titandioxid-Basis (Rutil) kann
lymerisation darstellt. Thermisch nicht härtbare Typen von
der Temperaturkoeffizient TK in weiten Grenzen zwischen posi-

Polyestern dienen zur Herstellung mechanisch und elektrisch
tiven und negativen Werten eingestellt werden. " D
hochwertiger Folien und Fasern. Mit Glasfasern als Füllstoff
r

102 : : : 104
und tan ı D 103 : : : 105.

ergeben die Polyesterharze die glasfaserverstärkten Kunststof-
fe (GFK).

Eine andere wichtige Anwendung der künstlichen piezoelek-
trischen Materialien sind Resonanzen zwischen den durch

Epoxidharze (EP) werden wie Polyesterharze eingesetzt, haben
elektrische Spannungen hervorgerufenen mechanischen Ver-
ihnen gegenüber jedoch eine höhere mechanische Festigkeit und
formungs(resonanzen) und den damit möglichen keramischen
ein sehr hohes Haftvermögen auf beinahe allen Untergründen
oder auch dielektrischen Filtern. Im einfachsten Fall quasi ein

(Klebstoff). E D

D

0

40 kV=mm, " r

3 : : : 5, tan ı ' 0;02 und

Kondensator mit einem „Resonator-Dielektrikum“ bis hin zu

T

D
max

130 ıC.

Oberflächenwellenfiltern (OFW) (engl. SAW surface acoustic

Polyurethane (PU) sind lackartig als Lötlacke interessant.

waves). Weitere Einzelheiten hierzu in Abschn. 94.4.9 „Dielek-

T

D
max

120 ıC. Thermisch höher belastbar ist Polyesterimid-
trische Filter“ in Teil XIII.

lack. Die Durchschlagspannung derartig isolierter Drähte liegt
bei etwa 4 . . . 6 kV, tan ı ' 0;01 (stark temperaturabhängig).

24.4

Künstliche organische

Polymerisationsprodukte: Vorwiegend Thermoplaste, d. h. in
der Wärme weich und in der Kälte zähhart bis spröde.

Dielektrika

Polystyrol (PS) ist glasklar und spröde, hat niedrige Verlust-
faktoren noch bis zu sehr hohen Frequenzen und eine geringe

Zellulosekunststoffe sind durch chemische Behandlung von Zel-

Wasseraufnahmefähigkeit. Nachteilig sind die geringe Wärme-
lulose erhaltene Fasern und Folien. Für Isolationen sind die blau
festigkeit ( T

D
max

75 ıC), schlechte Licht- und Wetterbe-
eingefärbten Triazetat-( T

D
ständigkeit sowie die Gefahr von Spannungskorrosionen bei
max

115 ıC) und Azetobutyratfolien

( T

D

D

D

Kontakt mit Lösungsmitteln. Anwendung findet Polystyrol für
max

120 ıC) wichtig. E 0

20 : : : 50 kV=mm, " r

4 und
tan ı ' 0;01 : : : 0;02.

Spritzgussmassen (meist schlagfestes PS), elektrisch hochwer-
tige Formteile und Folien für Kondensatoren und HF-Kabel.

Chlophene sind thermisch und chemisch gut beständige chlo-

E '

'

0

100 kV=mm, " r

3 und tan ı D 3 104.

rierte Diphenyle, die jedoch bei Bränden durch die Bildung
von polychlorierten Biphenylen (PCB) umweltgefährlich sind.

Polyethylen (PE) hat Ähnlichkeit mit Paraffinen, eine wachsar-

Kunststoffe, z. B. phenolhaltige, können von Chlophenen an-
tige Oberfläche, sehr geringe Wasseraufnahmefähigkeit, ist trüb
gegriffen werden! Bei der Entsorgung sind die Sondermüllvor-
und quillt wenig in polaren, aber stark in unpolaren Lösungs-
schriften zu beachten. E

D

0

200 kV=cm, " r

4;5 : : : 6 und mitteln und in der Hitze. Durch Vernetzung (VPE D vernetztes

Literatur

301

PE), d. h. Bildung von Riesenmolekülen aus den durch Polyme-

Meder Electronic AG Singen
risation entstandenen langen PE-Fadenmolekülen, lassen sich

Murata Manufacturing Co. Ltd. Japan
die mechanischen und thermischen Eigenschaften weiter ver-
bessern. Der Isolationswiderstand ist mit 1017 ( cm sehr hoch. Neosid Pemetzrieder GmbH&Co KG Halver

PE findet Anwendung für Spritzgussmassen, Folien, elastische,
sehr korrosionsbeständige Formteile und Hochspannungskabel.

Philips Deutschland GmbH Hamburg

E '

D

D

0

100 kV=mm, " r

2;3, tan ı ' 104 und T max

70 ıC

RFS Radio Frequency Systems GmbH, Hannover

(unvernetzt) bzw. 90 °C (vernetzt, erhöhte Kurzschlussbelast-
barkeit bei Kabeln).

Schott AG Mainz

Polyvinylchlorid (PVC) ist ein weitverbreiteter, abriebfester und

ThyssenKrupp AG, Düsseldorf
zäher Kunststoff mit guten Isolationseigenschaften. Achtung,

VAC Vacuumschmelze, Hanau
beim Verbrennen oder Verschwelen wird HCI abgespalten! PVC
findet für Formteile, Folien und Isolationen vielfältige Anwen-

Voestalpine AG Linz, Österreich
dungen. E

'

D

0

40 kV=mm, " r

3, tan ı D 0;02 : : : 0;1 und

T

D
max

70 ıC.

Polytetrafluorethylen (PTFE) (Teflon) ist das gegen Chemika-
lien beständigste synthetische Material. Es ist außerordentlich
korrosions-, feuchtigkeits- und temperaturbeständig (Betriebs-

Literatur
temperaturen von 200 : : : C260 ıC). E '

'

0

30 kV=mm, " r

2,
tan ı D 2 104 und T

D

1. Boll, R.: Weichmagnetische Werkstoffe, Vacuumschmelze,
max

280 ıC.

Hanau 1977

III

2. Boll, R. u. a.: Magnettechnik, expert Verlag Grafenau 1980

3. Döring, E.: Werkstoffkunde der Elektrotechnik, Verlag

24.5

Silikone

Vieweg, Wiesbaden 1988

Teil

4. Domke, W.: Werkstoffkunde und Werkstoffprüfung, Verlag

Girardet, Essen 1989

Silikone sind Kunststoffe, bei denen die Kettenbildung über

5. Fasching, G.: Werkstoffe für die Elektrotechnik, Springer
das vierwertige Silizium erfolgt. Hervorstechend sind die hohe

Verlag, Wien 2005

Temperaturbeständigkeit und die geringen Temperaturbeiwerte

6. Fischer, H.: Werkstoffe der Elektrotechnik, Hanser Verlag,
der mechanischen und elektrischen Daten. Silikone sind abso-

München 2007
lut tropenfest und neigen nicht zu Schimmelansatz. Sie zeigen

7. Guillery, P. ; Hezel, R.; Reppich, B.: Werkstoffkunde für
gutes Kriechstrom- und Lichtbogenverhalten. Durch elektrische

Elektroingenieure, Verlag Vieweg, Wiesbaden 1985

Funken entsteht isolierendes Siliziumdioxid und kein leitender

8. Heck, C .: Magnetische Werkstoffe und ihre technische An-

Kohlerückstand wie bei organischen Stoffen. Nachteilig ist der
wendung, Hüthig-Verlag, Heidelberg 1975
grundsätzlich höhere Preis gegenüber anderen Werkstoffen.

9. Hofman, Spindler: Werkstoffe in der Elektrotechnik, Hanser

Silikonöle weisen nur eine geringe Änderung der Viskosität

Fachbuchverlag
zwischen 60 : : : C 300 ıC auf. Anwendung (teuer) als Im-

10. Meinke, H.; Gundlach, F. W.: Taschenbuch der Hochfre-
prägniermittel und flüssiges Dielektrikum. E

'

quenztechnik, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New

0

10 kV=mm,

" '

'

York 1992
r

3, tan ı ' 103 und T max

300 ıC.

11. Ivers-Tiffee, E.; Münch, W. v.: Werkstoffe der Elektrotech-

Silikonharze dienen zur Herstellung von warm- und lichtbo-
nik, B.G. Teubner Stuttgart 2007
genfesten, unbrennbaren Pressstücken. E D

0

10 : : : 30 kV=mm,

12. Müller, K.; Scherf, U. (Hgg): Organic Light Emitting Devi-

" '

D
r

3, tan ı D 2 : : : 5 103 und T max

100 : : : 200 (u. U.

ces, Verlag, Wiley-VCH 2006

. . . 300) °C.

13. Michalowsky, L. u. a.: Weichmagnetische Ferrite Expert

Silikonelastomere (Silikonkautschuke) sind gummielastische

Verlag 2006

Massen mit Temperaturbeständigkeit und Biegsamkeit zwi-

14. Michalowsky, L.; Schneider, J. (Hgg): Magnettechnik, Ver-
schen ca. 80 : : : C 250 ıC. Sie finden Anwendung als
lag Vulkan 2006

Isolierungen und dauerelastische, hochwarmfeste Verbindun-

15. Münch, W. v.: Elektrische und magnetische Eigenschaften
gen zwischen praktisch beliebigen Werkstoffen. E

D
der Materie B. G. Teubner, Studienskripten, Stuttgart 1987

0

10 : : : 30 kV=mm, " D

' 16. Philippow, E. (Hrsg.): Bauelemente und Bausteine der In-
r

3 : : : 9, tan ı D 0;01 : : : 0;1 und T max

180 ıC.

formationstechnik, Verlag Technik, Berlin 1989

17. Seitz, D.; Ross, G.; Cassing, W.; Kuntze, K.: Dauermagnete,

Diagramme und Daten wurden aus Veröffentlichungen folgen-

Expert Verlag 2006
der Unternehmen übernommen:

18. Spickermann, D.: Werkstoffe der Elektrotechnik und Elek-
tronik, Verlag Schlembach 2002

EBG Gesellschaft für elektromagnetische Werkstoffe mbH, Bo-

19. Zinke, O. ; Seither, H.: Widerstände, Kondensatoren, Spulen
chum
und ihre Werkstoffe, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg,

EPCOS AG München

New York 1982

Grundlagen der

IV

Elektrotechnik

IV

25

Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

Teil

26

Der Gleichstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

27

Das Elektrische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

28

Das Magnetische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

29

Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

30

Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

31

Drehstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

303

Grundbegriffe

25

Reinhard von Liebenstein

25.1 Aufbau der Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

IV

25.2 Ladungsträger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

Teil

25.3 Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

25.4 Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

25.5 Das Ohm’sche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

25.6 Spezifischer Widerstand, Leitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

25.7 Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes von

Metallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

305

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_25

306

25 Grundbegriffe

25.1

Aufbau der Atome
beschrieben werden. Die Größe U wird als Spannung bezeich-
net.

Die Eigenschaften aller Elemente lassen sich durch den Auf-

U

W

Q
bau der Atome erklären. Die Atome bestehen aus einem Kern

Spannung

U D W

(25.4)

Q

V D J

J

A s
und einer Hülle. Der Atomkern besitzt einen Durchmesser von

A s
ca. 1014 m, die Ausdehnung der Atomhülle hängt von der Ord-
nungszahl im Periodensystem ab und beträgt einige 1010 m. Im

Die Einheit 1 J=A s wird als 1 V (Volt) bezeichnet. Durch diese
positiv geladenen Atomkern befindet sich nahezu die gesamte

Spannung wird auf eine Ladung eine Kraft ausgeübt. Die Span-

Masse des Atoms. Er besteht aus Neutronen und Protonen. Die
nung ist somit Ursache für eine Bewegung von Ladungsträgern.

Hülle ist negativ geladen und wird durch Elektronen gebildet.

Im neutralen Atom sind die Anzahl der Elektronen in der Hül-
le und die Protonenanzahl im Kern gleich. Die Elektronen in
der Hülle können sich nur in bestimmten Schalen, die durch ih-

25.4

Strom
re Energie unterschieden sind, bewegen. In jeder Schale ist nur
eine bestimmte Anzahl von Elektronen maximal möglich. Die

Elektronen der in der Regel nicht vollständig besetzten äußeren

25.4.1

Bewegung von Ladungsträgern

Schalen sind die Valenzelektronen. Jedes Elektron besitzt die ne-
gative Elementarladung

Da man in der Elektrotechnik hauptsächlich metallische Lei-
e D

0

1;60218 1019 A s

(25.1)

ter einsetzt, wird die Bewegung der Ladungsträger in Metallen

Die Masse eines Elektrons ist wesentlich kleiner als die eines
untersucht. Die Ladungsträger führen bei Temperaturen > 0 K

Protons oder Neutrons. Das Verhältnis von Elektronenmasse zu
ständig statistisch verteilt unregelmäßige Bewegungen durch.

Protonenmasse ergibt sich durch

Aus dieser Bewegung ergibt sich eine mittlere Geschwindigkeit.

m el 1
m

(25.2)

mittlere Geschwindigkeit
v D
m

0

(25.5)

mp

1836
s

Wird von einem Atom ein Elektron entfernt, ist der Rest positiv

Wird dieser statistischen Bewegung eine einseitig gerichtete Be-
geladen. Dieses geladene Atom wird Ion genannt. Bei Entfer-
wegung überlagert, bewegen sich alle Elektronen zusätzlich mit

T
nung eines Elektrons entsteht ein einfach positiv geladenes Ion.

einer Strömungsgeschwindigkeit oder auch Driftgeschwindig-
eil

Wird ein Elektron hinzugefügt, liegt ein einfach negativ gelade-
keit vd (Abb. 25.1).

nes Ion vor.

IV

Mit dieser Bewegung ist ein Ladungstransport verbunden. An
einer bestimmten Stelle des Leiters können in der Zeiteinheit

25.2

Ladungsträger
t alle die Elektronen durch den Querschnitt fließen und so-
mit zum Ladungstransport beitragen, deren Abstand kleiner als
l ist. Im Volumen lA befinden sich n el lA Elektronen, wobei n el

Ein Stoff ist nur dann elektrisch leitfähig, wenn er bewegliche
die Dichte der Elektronen (Anzahl pro Volumeneinheit) ist. Da

Ladungsträger besitzt. Die Ladungsträger können negativ oder
jedes Elektron die Elementarladung besitzt, ist die in diesem Vo-
positiv sein. In Metallen liegen immer negative Ladungsträger,
lumen vorhandene Ladung Q.

also Elektronen vor. Hier können sich die Valenzelektronen sehr
leicht vom Atom trennen, sie werden dann freie Elektronen ge-

Q D n el lAe 0

(25.6)

nannt. Auf den festen Plätzen im Kristallgitter bleiben positive

Ionen. Da sie nicht beweglich sind, liefern sie keinen Beitrag
und mit l D v t.

zum Ladungstransport. In Halbleitern können aber auch De-

0
fektelektronen oder Löcher als Ladungsträger vorkommen. In

Gasen und Flüssigkeiten sind auch die Ionen am Ladungstrans-

Ladung pro Volumeneinheit

Q D n el Ae 0 vd t

(25.7)

port beteiligt. Hier ist dann mit dem Ladungstransport auch ein

Massentransport verbunden.

Die Elektronendichte ist eine Materialkonstante und beträgt
z. B. für Kupfer n D
el

8;47 1019 mm3.

25.3

Spannung
v d

Werden elektrische Ladungen getrennt, muss hierzu Arbeit

A
verrichtet werden. Die Größe der Arbeit ist proportional zur La-
dungsmenge und kann durch die Gleichung
l

W D U Q

(25.3)

Abb. 25.1 Driftgeschwindigkeit

25.5

Das Ohm’sche Gesetz

307

25.4.2

Stromstärke

25.5

Das Ohm’sche Gesetz

Die Ladungsmenge Q, die pro Zeiteinheit t durch einen Lei-

Wird an einen Leiter in einem geschlossenen Stromkreis eine
terquerschnitt tritt, ist die Stromstärke I.

Spannung U angelegt, fließt in dem Leiter ein Strom I. Strom
und Spannung sind einander proportional. Die Abhängigkeit

Q

I

Q t
lässt sich beschreiben durch:

Stromstärke

I D

(25.8)

t

A

A s
s

Ohm’sches Gesetz

U D R I

(25.11)

I D n el Ae 0 vd

(25.9)

Die materialabhängige Größe R bezeichnet man als elektrischen

Im Internationalen Einheitensystem (SI-System) ist die Strom-
stärke als Basisgröße durch die Kraft zwischen zwei strom-

U

R

U

I

Widerstand

R D

(25.12)

durchflossenen Leitern definiert:

I

( D V V A

A

Die Einheit ist 1 Ohm D 1 (.

1 Ampere ist die Stärke eines zeitlich unveränderlichen

Der Kehrwert des elektrischen Widerstandes ist der Leitwert.

Stromes, der, durch zwei im Vakuum parallel im Abstand
von 1 Meter voneinander angeordnete, geradlinige, un-

G

R

Leitwert

G D 1
endlich lange Leiter von vernachlässigbar kleinem kreis-

R

S D 1

(

(

(25.13)

förmigen Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern je

1 Meter Leiterlänge die Kraft 2 107 Newton hervorruft.

Seine Einheit ist 1 Siemens D 1 S.

Beispiel

25.6

Spezifischer Widerstand,

Leitfähigkeit

Ein Kupferleiter von A D 1;5 mm2 wird von einem Strom

I D 15 A durchflossen. Wie groß ist die Driftgeschwin-
digkeit der Elektronen?

Der elektrische Widerstand eines metallischen Leiters hängt
vom Material, der Länge l und dem Querschnitt A ab. Er wird
dadurch verursacht, dass die Ladungsträger im Leiter durch Stö-
v D

I
d

IV
n
ße mit den auf festen Plätzen sitzenden Ionen in ihrer Bewegung
el Ae 0
gehemmt werden.

D

15 A

Teil

8;47 1019 mm3 1;5 mm2 1;602 1019 A s
l

Widerstand eines Drahtes

R D

D l

(25.14)

D
mm

0;74

A

~ A
s

Die Größe ist der spezifische Widerstand.

Diese Driftgeschwindigkeit ist relativ gering. Dagegen
breitet sich ein elektrisches Signal mit Lichtgeschwindig-
spezifischer Widerstand
keit aus.

J

RA

D

R

A
l

(25.15)

l

( mm2

( mm2 m
m

Die Einheit von kann umgerechnet werden in

25.4.3

Stromdichte

(

Œ D
mm2

1

D 106 (m

(25.16)

m

In der Technik wichtig für die Belastbarkeit von Leitungen ist

Analog zum Leitwert ist der Kehrwert des spezifischen Wider-
die Stromdichte S, also die auf den Querschnitt bezogene Strom-
standes die Leitfähigkeit ~
stärke.

~

S

I

A

Leitfähigkeit

~ D 1

(25.17)

Stromdichte

S D I

(25.10)

1

( m

A

A

A
mm2

( m
mm2

In Tab. 25.1 sind Zahlenwerte des spezifischen Widerstandes

Da die Querschnittsfläche in der Regel in mm2 angegeben wird,
und der Leitfähigkeit aufgeführt. Der Wert für Kupfer kann je
ist die in der Technik gebräuchliche Einheit der Stromdichte
nach Reinheit schwanken. Der hier angegebene Wert ist der in-

Œ S D 1 A .

ternationale Standardwert.

mm2

308

25 Grundbegriffe

Tab. 25.1 Spezifischer Widerstand und Leitfähigkeit

Tab. 25.2 Temperaturkoeffizient a20

Leiterwerkstoff

[W mm2=m]

~ [S=m]

Leiterwerkstoff
a 20 [K1]

Silber

0,0163

61 106

Silber

3;7 103

Kupfer

0,0173

58 106

Kupfer

3;9 103

Aluminium

0,0263

38 106

Aluminium

3;7 103

Messing

0,0752

13;3 106

Messing

1;6 103

Manganin

0,435

2;3 106

Manganin

0;01 103
metallischer

Halbleiter

Supraleiter

Beispiel

Leiter

Der Widerstand eines Kupferdrahtes der Länge 160 m bei
einem Querschnitt von 1,5 mm2 soll berechnet werden.

l

R D

D 0;0173 ( mm2 160 m D 1;845 (

J

T

T

T

T
c

A
m 1;5 mm2

Abb. 25.2 Prinzipieller Verlauf des spezifischen Widerstandes

Beispiel

Temperaturkoeffizient. Da (25.18) eine Näherung ist, hängt der

Aus Manganindraht von A D 1 mm2 soll ein Widerstand

Wert für a von der Bezugstemperatur ab. Als Bezugstemperatur
von 60 ( gewickelt werden. Wie lang muss der Draht
wird meistens 20 °C genommen.

sein?

S
l D RA~ D 60 ( 106 m2 2;3 106

D 138 m J

Beispiel
m

Bei 10 °C ist der Widerstand eines Kupferdrahtes 200 W.

Wie groß ist er bei 100 °C?

Teil

Zunächst muss der Widerstand R#0 bestimmt werden.

25.7

Temperaturabhängigkeit des

IV
elektrischen Widerstandes

R# D

R#

0

1 C ˛.# 20ı/
von Metallen

D

200 (

D 208;1 (

1 C 3;9 103 K1.10 20/ K

Die elektrische Leitung in Festkörpern ist mit der Bewegung

Dann kann hiermit R# berechnet werden.

von Ladungsträgern verbunden. Diese stoßen mit den auf festen

Plätzen sitzenden Atomen oder Ionen zusammen. Die Schwin-

R# D R# Œ1 C ˛.# #
gung der Atome und Ionen um ihren Platz ist temperaturab-

0

0/
hängig. Deshalb ist auch der elektrische Widerstand tempera-

D 208;1 (Œ1 C 3;9 103.100 20/ D 273 (
turabhängig. Bei höheren Temperaturen ist die freie Weglänge
und die Beweglichkeit der Ladungsträger kleiner und somit der

Die lineare Näherung ist recht grob. Genauer kann die

Widerstand größer. In Metallen ist die Anzahl der freien La-

Temperaturabhängigkeit durch eine quadratische Nähe-
dungsträger temperaturunabhängig, in Halbleitern nicht. Daher
rung angepasst werden.

J
haben Metalle und Halbleiter unterschiedliche Temperaturab-
hängigkeiten.

Der spezifische elektrische Widerstand von Metallen und damit

Quadratische Näherung
auch der Widerstand steigt mit zunehmender Temperatur. Im

Temperaturbereich von ca. 200 bis 400 K lässt sich diese Ab-

R# D R 0.1 C A.# #0/ C B.# #0/2/

(25.19)

hängigkeit bei Metallen in linearer Näherung durch eine Gerade
darstellen.

A und B sind Materialkonstanten. Als Bezugstemperatur wird

# D

0

0 °C angenommen. R 0 ist dann der Widerstand bei 0 °C.

lineare Näherung

R# D R# Œ1 C ˛.# #

Ein oft benutzter Metallwiderstand zur Temperaturmessung ist

0

0/

(25.18)

der Platinwiderstand Pt100, der 100 ( bei 0 °C hat. Für Pt

Dabei ist R# der Widerstand bei der Temperatur # und R# der sind die Konstanten A D 3;90802 103 K1, B D 0;5802

0

Widerstand bei der Bezugstemperatur #0. Die Größe a ist der 106 K2.

25.7

Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes von Metallen

309

Bei Halbleitern fällt der spezifische Widerstand mit steigender

Temperatur zunächst, da hier mehr Ladungsträger frei gesetzt
werden. Anschließend steigt der Widerstand wie bei Metallen,
da die Beweglichkeit verringert wird. Supraleiter zeigen unter-
halb einer charakteristischen Temperatur, der Sprungtemperatur

Tc, überhaupt keinen messbaren Widerstand mehr. Werkstoffe,
bei denen der Widerstand mit steigender Temperatur zunimmt,
haben einen positiven Temperaturkoeffizienten (PTC). Nimmt
der Widerstand ab, besitzen sie einen negativen Temperaturko-
effizienten (NTC), (Abb. 25.2).

IV

Teil

Der Gleichstromkreis

26

Reinhard von Liebenstein

26.1 Zählpfeilsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

IV

26.2 Kirchhoff’sche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

26.3 Schaltung von Widerständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

Teil

26.4 Reale Spannungsquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

26.5 Ersatzstromquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

26.6 Netzwerkberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

26.7 Energie, Leistung, Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

311

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_26

312

26 Der Gleichstromkreis

I

R 1

R 3

I

A I

1

3

I

U

2

R

U

R 2

I

R

4

4

B

Abb. 26.1 Zählpfeilsystem

Abb. 26.3 Knotenregel

I

R 1

R 3

U 1

U 2

U

U

U

1

U

R

3

2

2

U

R

4

4

I

II

R

III

Abb. 26.2 Schaltung

Abb. 26.4 Maschenregel

26.1

Zählpfeilsysteme

26.2.1

Knotenregel

Damit in einem Leiter ein elektrischer Strom fließen kann, muss

Knotenpunkte sind Punkte, an denen sich der Stromkreis ver-
ein geschlossener Stromkreis vorliegen. In elektrischen Schal-
zweigt. Das 1. Kirchhoff’sche Gesetz bezieht sich auf diese
tungen werden die Spannungs- und Stromrichtungen allgemein

Punkte, z. B. im Abb. 26.3 auf die Punkte A und B. In die-
durch Pfeile gekennzeichnet. Die Richtung der Spannung wird
sen Knotenpunkten muss die Summe der zufließenden Ströme
in Schaltbildern durch einen Pfeil dargestellt, der von C nach
gleich der Summe der abfließenden Ströme sein. Im Punkt A
verläuft. Die Stromrichtung wird ebenfalls durch einen Pfeil gilt
angegeben, der beim Verbraucher von C nach gezeichnet
wird. Diese Stromrichtung wird als technische Stromrichtung

I D

C

1

I 2

I 3

(26.1)

bezeichnet; die tatsächliche Bewegung der Elektronen ist die-

I

D

1

I 2

I 3

0

(26.2)

T
ser Richtung entgegengesetzt. In der linken Seite von Abb. 26.1
eil
sind Spannungs- und Strompfeil entgegengesetzt, man spricht

Werden alle in einen Knoten hineinfließenden Ströme mit po-
hier vom Erzeuger-Zählpfeilsystem. Auf der Verbraucherseite
sitivem, alle abfließenden Ströme mit negativem Vorzeichen

IV
sind Spannungs- und Strompfeil gleichgerichtet; hier liegt das
versehen, lässt sich die Knotenregel aufstellen.

Verbraucher-Zählpfeilsystem vor. In den meisten Fällen wird
n
die Pfeilzuordnung im Verbraucher- Zählpfeilsystem vorgenom-

X

Knotenregel

I D 0

(26.3)

men.

k
k D1

Liegt nun eine Schaltung nach Abb. 26.2 vor, so hängt die tat-

Diese Regel wird auch das 1. Kirchhoff’sche Gesetz genannt.

sächliche Stromrichtung von der Höhe der Spannungen U 1 und

U 2 ab. In diesem Fall gibt man für den Strom willkürlich ei-
ne Richtung vor und bezeichnet diese als Bezugsrichtung oder

Zählrichtung. Fließt der technische Strom tatsächlich in der

26.2.2

Maschenregel
willkürlich gewählten Richtung, wird er positiv gezählt, im an-
deren Fall negativ.

Das 2. Kirchhoff’sche Gesetz bezieht sich auf Maschen von

Netzwerken. Maschen sind geschlossene Teile von Netzwer-
ken. In der Schaltung nach Abb. 26.4 gibt es drei Maschen.

26.2

Kirchhoff’sche Gesetze

Masche I wird durch die Spannungsquelle, R 1 und R 2 gebil-
det, Masche II durch R 3, R 4 und R 2 und Masche III durch die

Spannungsquelle, R 1, R 3 und R 4. Die Maschenregel ist eine

Eine elektrische Schaltung besteht in der Regel aus mehreren

Gleichung für die Spannungen innerhalb einer Masche. Bei ei-

Spannungsquellen und Widerständen, die sehr unterschiedlich
nem frei wählbaren Umlaufsinn, hier gegen den Uhrzeigersinn,
miteinander verbunden sein können. Das gesamte System wird
werden die Spannungen, die dem Umlaufpfeil entgegen gerich-
auch als Netzwerk bezeichnet. Für die Berechnung von Strömen
tet sind, negativ gezählt. Die Richtungen der Spannungspfeile
und Spannungen in einem solchen Netzwerk sind die beiden
an den Spannungsquellen ist von C nach , an den einzelnen

Kirchhoff’schen Gesetze, die auch als Knotenregel und Ma-

Widerständen werden die Spannungspfeile in den entsprechen-
schenregel bezeichnet werden, von großer Bedeutung.

den Stromrichtungen gezeichnet.

26.3

Schaltung von Widerständen

313

In der dargestellten Schaltung lassen sich z. B. folgende Ma-

R
schenregeln aufstellen (Abb. 26.4):

U

I)

U U

D

R

2

U 1

0

(26.4)

II)

U

D

R

U 1

2

U 4

U 3

0

(26.5)

III)

U U

D

4

U 3

U 1

0

(26.6)

Abb. 26.6 Beispiel Spannungsteiler

Innerhalb einer Masche gilt immer – unter Berücksichtigung der

Vorzeichen – die Maschenregel.

n

X

Beispiel

Maschenregel

U D
k

0

(26.7)

In der Schaltung nach Abb. 26.6 soll die Teilspannung U
k D1

1
berechnet werden. Die Spannung U ist 300 V.

26.3

Schaltung von Widerständen

U 1 D R D 1I U D

1

100 V

J

U

3 R

3

Für die Kombination von Widerständen gibt es im Prinzip
zwei Möglichkeiten, Reihen- oder Serienschaltung und Paral-
lelschaltung.

26.3.2

Parallelschaltung

26.3.1

Reihenschaltung

In einer Parallelschaltung von Widerständen (Abb. 26.7) liegt an

In einer Reihenschaltung fließt durch jeden Widerstand derselbe
jedem Widerstand die gleiche Spannung U. Somit gilt mit (26.3)

Strom I. Für die Spannungsfälle an den einzelnen Widerständen
und
gilt nach dem Ohm’schen Gesetz U D
k

I Rk. Mit (26.7) gilt
n

X
somit (Abb. 26.5)

U

U

U

I D

I

D
k

Rk

R

Rk

U I R

D
k D1

1

I R 2

I R 3

0

(26.8)

IV
n

X

U D I . R C

C

1

1

1

R 2

R 3/ D I R ges

(26.9)

Parallel- Ersatzwiderstand

D

(26.13)

R

Rk

Teil
n

X
k D1

Reihen-Ersatzwiderstand

R

D
ges

Rk

(26.10)

k D1

Der gesamte Leitwert errechnet sich als Summe der einzelnen

Leitwerte.

Weiterhin folgt für die Spannungsfälle an den einzelnen Wider-
ständen
n

X

Leitwert

G D

G

U W

W

D

W

W
k

(26.14)

1

U 2 U 3

R 1 R 2 R 3

(26.11)

k D1

Hieraus resultiert die Spannungsteilerregel. Sie besagt, dass
sich die Teilspannungen zur Gesamtspannung verhalten, wie die

Oft besteht eine Parallelschaltung nur aus zwei Widerständen.

Teilwiderstände zum Gesamtwiderstand.

Dann errechnet sich der Ersatzwiderstand aus

Uk

Rk

R R

Spannungsteiler

D

(26.12)

1

2

Parallelwiderstand

R D

U

R

(26.15)

ges

R C

1

R 2

R 1

R 2

R 3

I 1

I 2

I 3

U U

U

1

U 2

U 3

R 1

R 2

R 3

Abb. 26.5 Reihenschaltung

Abb. 26.7 Parallelschaltung

314

26 Der Gleichstromkreis

120

2

150

100

240

R

250

2

R 1

360

1

R 3

Abb. 26.8 Beispiel Ersatzwiderstand

3

Beispiel

Abb. 26.10 Stern

2

Berechnung des Ersatzwiderstandes der Schaltung nach

Abb. 26.8.

Die Widerstände werden zu Gruppen zusammengefasst.

R 12 R 23

R D 150 ( 250 ( D

R

I

93;75 (

31

150 ( C 250 (

1

3

1 D 1 C 1 C 1

R D

II

65;45 (

R

Abb. 26.11 Dreieck

II

120 (

240 (

360 (

R D .100 C 93;75 C 65;45/ ( D 259;2 (

J

Aus diesen drei Gleichungen lassen sich Bestimmungsgleichun-
gen für die Umwandlungen ableiten. Sie lauten:

Dreieck in Stern:

26.3.3

Stern-Dreieck Umwandlung

R 31

R D

R 12

1

(26.19)

R

C

C

12

R 23

R 31

R

23

R 12

Nicht immer lassen sich Widerstände zu Gruppen zusam-

R D

(26.20)

T

2

R

C R C R
eil
menfassen. Als Beispiel wird die Schaltung nach Abb. 26.9

12

23

31

R
betrachtet. Zu einer Lösung gelangt man, wenn eine Stern-

23

R D

R 31

3

(26.21)

IV

Dreieckumwandlung
oder
eine

Dreieck-Sternumwandlung

R

C

C

12

R 23

R 31
durchgeführt wird. Hierunter versteht man eine rechnerische

Umwandlung einer Schaltung in eine elektrisch gleichwerti-

Stern in Dreieck:

ge Schaltung. Die Schaltungen sind dann gleichwertig, wenn

R 2

R

D R C R C R 1
zwischen entsprechenden Punkten in den beiden Schaltungen

12

1

2

(26.22)

R 3
gleiche Widerstände oder Leitwerte vorhanden sind. Wenn zwi-

R

2

R 3
schen den Punkten 1 und 2 im Stern und im Dreieck derselbe

R

D

C

C

23

R 2

R 3

(26.23)

R

Widerstand liegen soll, muss gelten:

1

R 1

R

D

C

C R 3

31

R 3

R 1

(26.24)

R

C

R

12. R 23

R 31/

2

R C

D

1

R 2

(26.16)

R

C

C

12

R 23

R 31

Beispiel

C R 12/

R C

D R 23. R 31

2

R 3

(26.17)

R

C

C

In der Schaltung Abb. 26.12 soll der Gesamtwiderstand

12

R 23

R 31

D

C
zwischen den Punkten A und B berechnet werden. R

R

1

23/

R C

D R 31. R 12

10 (, R D 15 (, R D 25 (, R D 5 (, R D 15 (.

3

R 1

(26.18)

2

3

4

5

R

C

C

12

R 23

R 31

Das Dreieck aus R 1, R 3 und R 5 wird in einen Stern umge-
rechnet.

R 1

R 2

R D

R 1 R 3

D

10 25

A

( D 5 (

R C

C

1

R 3

R 5

10 C 25 C 15

A

R 5

B

R D

R 1 R 5

D

10 15

C

( D 3 (

R C

C

1

R 3

R 5

10 C 25 C 15

R

D

R 3 R 5

D

25 15

3

R 4

RD

( D 7;5 (

R C

C

1

R 3

R 5

10 C 25 C 15

Abb. 26.9 Brückenschaltung

26.4

Reale Spannungsquelle

315

15

C

R N

3

I N

A

A

5

I 2

B

I 1

I M

N

I 3

I 1

Abb. 26.14 Erweiterung des Strom-Messbereichs

7.5

5

D

26.3.4.2

Amperemeter

Abb. 26.12 Beispiel Stern-Dreieck-Umwandlung

Für die Messbereichserweiterung eines Strommessgerätes nach

Abb. 26.14 wird ein Widerstand parallel zum Messgerät ge-
schaltet. Um die Größe dieses Nebenwiderstandes zu berech-
nen, muss man von der Knotenregel ausgehen.

Die Ersatzschaltung ergibt dann die in Abb. 26.9 darge-
stellte Schaltung. Der Gesamtwiderstand berechnet sich

I D

C

1

IM

IN

(26.30)

aus

I

I

R

1 D

N

M

1 C

D 1 C

(26.31)

IM

IM

RN

R

D

AB

5 C 18 12;5

( D 12;38 (

(26.25)

18 C 12;5

J

Messbereichsverhältnis
n D I 1

(26.32)

IM

Nebenwiderstand

R D RM

N

(26.33)

n 1

I 1 ist der zu messende Strom, also der neue Messbereich, IM der

26.3.4

Messbereichserweiterung
vorhandene Messbereich.

Durch geeignet gewählte Widerstände lassen sich die Mess-

Beispiel
bereiche von Strom- und Spannungsgeräten anpassen. RM ist
jeweils der Innenwiderstand des verwendeten Messgerätes.

Ein Strommessgerät mit einem Innenwiderstand von

0,45 (, welches den Skalenendwert von 2 A hat, soll für
einen Verbraucherstrom von 20 A eingesetzt werden.

26.3.4.1

Voltmeter

IV
a) Welcher Nebenwiderstand ist zu schalten?

Um den Messbereich eines Voltmeters zu erweitern, ist nach
b) Welche Stellung nimmt der Zeiger an, wenn statt des

Abb. 26.13 ein Vorwiderstand zu schalten. Wenn mit U 1 der
unter a) errechneten Nebenwiderstandes ein Wider-

Teil
neu einzustellende Messbereich und mit UM der vorhandene
stand von 0,025 ( genommen wird.

Messbereich des Gerätes bezeichnet wird, kann mit Hilfe der

Maschen-regel der erforderliche Vorwiderstand berechnet wer-

Lösung:

den.

a)

U D

C

D

D 0;45 ( D

1

UM

UV

(26.26)

n D 20 A

10I

RN

0;05 (

2 A

9

U 1 D 1 C UV D 1 C RV

(26.27)

U
b)

M

UM

RM

RM
n D 1 C

D 1 C 0;45 ( D 19I

R

0;025 (

Messbereichsverhältnis
n D U 1

(26.28)

N

UM

I D

1

19 2 A D 38 A

Vorwiderstand

R D

V

RM. n 1/

(26.29)

20 A 100% D 52;6% des Skalenendwertes J

38 A

U M

U V

R V

V

26.4

Reale Spannungsquelle

R a

Wird eine reale Spannungsquelle durch einen Widerstand be-

U
lastet, sinkt die zwischen den Polen (Klemmen) vorhandene

1

Spannung UK , die als Klemmspannung bezeichnet wird. Ur-

Abb. 26.13 Erweiterung des Spannungs-Messbereichs
sache hierfür ist der immer vorhandene innere Widerstand

316

26 Der Gleichstromkreis

I

I

I

1

I 2

R

R
i

1

U

R

R
k

R

1

2
a

U

U

1

K

U

U K
q

U 1

U 2

R 2

U 2

Abb. 26.15 Reale Spannungsquelle

Abb. 26.17 Kombination von Spannungsquellen

U k

U q

Δ U

R
an, dass die Quelle nicht belastet ist. Die Klemmspannung ist
i = –

Δ I
dann gleich der Quellspannung (Abb. 26.17).

Quellspannung

U D

C
q

U 1

U 2

(26.39)

I k

I

C U 2

Uq

Kurzschlussstrom

I D U 1

D
k

(26.40)

R C R

R

Abb. 26.16 Kennlinie einer Spannungsquelle

1

2
i

Innenwiderstand

R D

C
i

R 1

R 2

(26.41)

einer Spannungsquelle. Die Spannung Uq wird als Quellspan-

26.4.1.2

Parallelschaltung
nung oder Leerlaufspannung bezeichnet. Im Ersatzschaltbild

Abb. 26.15 lässt sich ablesen

Um die Quellspannung und den Innenwiderstand zu bestimmen,
wird zunächst die Quelle nicht belastet ( U D

K

Uq).

IR C

D
i

IRa

Uq

0

(26.34)

U D

K

IRa

(26.35)

U

1

U 2

Ausgleichsstrom

I D I D

(26.42)

Klemmspannung

U D

1

2

K

Uq

IRi

(26.36)

R C

1

R 2

Quellspannung

U D U C I

Sind R
q

2

2 R 2

(26.43)

i und Uq unabhängig vom Belastungsstrom, liegt eine li-

T

U U
eil
neare Quelle vor, deren Kennlinie in Abb. 26.16 dargestellt ist.

1

2

U D

C
q

U

R

(26.44)

Wenn I D 0 ist, folgt aus (26.36) U

D

2

2

C

K

Uq. Ist dagegen der

R 1

R 2

IV

Widerstand R D
a

0 (Quelle kurzgeschlossen), nimmt der Strom

C

D U 1 R 2

U 2 R 1
seinen Maximalwert an.

Uq

(26.45)

R C

1

R 2

Uq

Kurzschlussstrom

I D

K

(26.37)

R

Aus dem Kurzschlussstrom ( I D IK) lässt sich der Innenwider-
i
stand berechnen.

Aus der Kennlinie lässt sich auch der Innenwiderstand Ri be-
stimmen.

Knoten

I D

C

1

I 2

IK

(26.46)

U
rechte Masche

I

C U D 0

(26.47)

Innenwiderstand

R D

2 R 2

2
i

(26.38)

I
linke Masche

I

C

C

D

1 R 1

I 2 R 2

U 2

U 1

0

(26.48)

Eine Spannungsquelle mit einem Innenwiderstand R D
i

0 wird

U

U

D 1 C 2
als ideale Spannungsquelle oder Konstantspannungsquelle be-

Kurzschlussstrom

IK

(26.49)

R 1

R 2
zeichnet.

C U 2 R 1

I D U 1 R 2

K

(26.50)

R

1

R 2

Uq

R 1 R 2

26.4.1

Kombination von Spannungsquellen

Innenwiderstand

R D

D
i

(26.51)

I

C

K

R 1

R 2

R D
i

R 1 parallel R 2

(26.52)

Spannungsquellen können in Reihe oder parallel geschaltet
werden. Von Interesse ist auch hier der resultierende Innenwi-
derstand und die Quellspannung der gesamten Anordnung.

26.5

Ersatzstromquelle

26.4.1.1

Reihenschaltung

Die Kombination kann durch eine einzelne Quelle ersetzt wer-

Jede Quelle kann auch entsprechend Abb. 26.18 durch eine Er-
den, die durch Quellspannung und Innenwiderstand charakteri-
satzstromquelle mit einem Quellstrom Iq und einem parallel
siert wird. Um diese Größen zu berechnen, nimmt man zunächst
dazu liegenden Innenwiderstand betrachtet werden. Es gelten

26.6

Netzwerkberechnung

317

I

I
q

I 1

I 3

I i

I 2

U

R

U 1

U 2

1

R

R 3

R

R

1

2

I

II

Abb. 26.18 Ersatzstromquelle

R 1

Abb. 26.20 Beispiel Netzwerk

R

26.6.1

Gemischte Schaltungen

2

U

Zunächst soll an Hand eines Beispiels die Berechnung mit Hil-
fe der Kirchhoff’schen Gesetze erfolgen. Die Spannungspfeile

Abb. 26.19 Beispiel Ersatzquelle
werden von C nach gezeichnet. Die Strompfeile werden will-
kürlich angenommen. Sollte für einen der Ströme ein negativer

Wert berechnet werden, ist der Pfeil falsch gewählt worden. Die
die Beziehungen

Werte in der Schaltung Abb. 26.20 sind: U D

D

1

20 V, U 2

30 V,

R D

D

D

1

R 2

100 (, R 3

50 (.

Kurzschluss

I D Iq

(26.53)

U D 0

(26.54)

Knotenregel

I

D

1

I 2

I 3

0

I D

D
i

0

(26.55)

Masche I

U 1

I 1 R 1

I 2 R 2

U 2

0

Leerlauf

I D

C

D
i

Iq

(26.56)

Masche II

U 2

I 2 R 2

I 3 R 3

0

I D 0

(26.57)

Mit Zahlenwerten und nach Umstellung

U D IqRi

(26.58)

Knotenregel

I

D

1

I 2

I 3

0

Im Beispiel Abb. 26.19 soll der aktive Zweipol einmal durch

Masche I

100 ( I C

D

1

100 ( I 2

10 V

IV
eine Ersatzspannungsquelle und einmal durch eine Ersatzstrom-

D
quelle dargestellt werden.

Masche II

100 ( I 2

50 ( I 3

30 V

Teil

R

Durch Einsetzen kann dieses Gleichungssystem gelöst werden.

2

Ersatzspannungsquelle

U D
q

U

(26.59)

R C

1

R 2

I D

D

D

1

75 mAI

I 2

175 mAI

I 3

250 mA

R D

R 1 R 2
i

(26.60)

R C

1

R 2

Aus dem negativen Wert für I 2 ist zu erkennen, dass die tat-

I D U
sächliche Stromrichtung der eingezeichneten Pfeilrichtung ent-

K

(26.61)

R 1
gegengesetzt ist.

Ersatzstromquelle

I D U D
q

IK

(26.62)

R 1

Beispiel

R 1 R 2

R D
i

(26.63)

R C

1

R 2

In der Schaltung nach Abb. 26.9 soll der Strom durch den

Widerstand R 5 berechnet werden. Die angelegte Span-
nung ist 100 V.

26.6

Netzwerkberechnung

Ausgehend vom Ergebnis in (26.25) ist der Gesamtstrom

Die Berechnung von Strömen, Spannungen oder Leistungen

I

D 100 V D
ges

8;08 A
in einer beliebigen elektrischen Schaltung bezeichnet man als

12;38 (

Netzwerkberechnung. Zur Berechnung der Ströme und Span-

U

D

AN

8;08 A 5 ( D 40;4 V
nungen kann man im Prinzip immer Knoten- und Maschen-

U

D

NB

100 V 40;4 V D 59;6 V
regeln anwenden. Dies kann allerdings in komplizierten Netz-
werken zu einer großen Zahl von Unbekannten und damit

I D 59;6 V D

D 59;6 V D

2

3;31 AI

I 3

4;77 A

Gleichungen führen. Hier führen manchmal andere Verfahren

18 (

12;5 (
schneller zum Ziel.

318

26 Der Gleichstromkreis

I 1

I 2

I 3

U 1

U 2

U 1 R 1

R

U

3

3

R

R

3

5

R

U

1

R 2

A

B

R

U

2

AB

R 4

I 11

I 21

I 31

U 1

Abb. 26.22 Brücke

R 3

R 1

R 2
sich der Teilstrom I 22 berechnen.

R C

1

R 3

I

I

D U

(26.65)

12

I 22

22

2 R

C

C

1 R 2

R 2 R 3

R 3 R 1

I 32
und daraus weiter:

U 2

R 3

R 3

R

I

D U

(26.66)

1

R 2

12

2 R

C

C

1 R 2

R 2 R 3

R 3 R 1

I D

C

1

I 11

I 12

(26.67)

Abb. 26.21 Überlagerungsverfahren

Haben die Spannungsquellen einen nicht vernachlässigbaren In-
nenwiderstand, darf dieser nicht kurzgeschlossen werden.

T

Die Spannung über R
eil

5 ist gleich der Spannung zwischen

26.6.3

Ersatzspannungsquelle
den Punkten C und D in Abb. 26.12:

IV

U

D

Oft ist in Netzwerken nur nach einer Teilspannung oder ei-

CD

4;77 A 7;5 ( 3;31 A 3 ( D 25;85 V J
nem Teilstrom gefragt. In diesem Fall lässt sich die Methode
der Ersatzspannungsquelle anwenden. Als Beispiel wird die in

Abb. 26.22 dargestellte Brückenschaltung mit einer Last R 5
betrachtet. In der Messtechnik interessiert als Messgröße die

26.6.2

Überlagerungsverfahren

Spannung U AB zwischen den Punkten A und B bei einer Be-
lastung durch ein Messgerät.

Ein weiteres Verfahren ist die Berechnung mit Hilfe des Helm-

Bei nicht belasteter Brücke besteht zwischen den Punkten A und
holtz’schen Überlagerungsverfahrens. Bei der Berechnung von

B die Spannung U AB0. Diese Spannung wird als Quellspannung

Zweigströmen in einem Netzwerk mit mehreren Spannungs-
einer Ersatzspannungsquelle gesehen.

quellen werden zunächst alle Spannungsquellen bis auf eine
kurzgeschlossen. Für diesen Fall werden die Teilströme berech-

U

D

AB0

U 3

U 1

(26.68)

net. Dann wird dasselbe Verfahren für eine weitere Spannungs-

R 3
quelle durchgeführt und wieder die Teilströme berechnet. Der

U

D

R 1

AB0

U

(26.69)

R C

C

3

R 4

R 1

R 2
gesamte Zweigstrom ergibt sich als Summe der Teilströme.

Das Verfahren soll an Hand der Schaltung in Abb. 26.21a

Die Spannung U AB ist dann als Klemmspannung einer Span-
dargestellt werden. Zunächst werden alle Spannungen bis
nungsquelle mit der Quellspannung U AB0 anzusehen. Der
auf U

Innenwiderstand dieser Ersatzspannungsquelle ist durch die

1 kurzgeschlossen. Es entsteht die Ersatzschaltung nach

Abb. 26.21b. Der Teilstrom I

Brückenwiderstände festgelegt. Er wird dadurch bestimmt, dass

11 errechnet sich zu
die äußere Spannungsquelle U kurzgeschlossen wird.

U

C

1

R 2

R 3

I

D

D

11

U 1

(26.64)

R C R 2 R 3

C

C

R 1 R 2

R 3 R 4

1

R

R

R

R

1 R 2

2 R 3

3 R 1

D

C

2C R 3

Innenwiderstand

Ri

(26.70)

R C

C

1

R 2

R 3

R 4

Werden im nächsten Schritt alle Spannungen bis auf U

R 5

2 kurzge-

Brückenspannung

U

D

AB

U AB0

(26.71)

schlossen, entsteht die Ersatzschaltung Abb. 26.21c. Jetzt lässt

R C
i

R 5

26.6

Netzwerkberechnung

319

A

U R

U D

I 2

I 3

U q1

U q2

R 3

R 4

R 1

R 2

U

Abb. 26.24 Nichtlineare Kreise

B

I

Abb. 26.23 Beispiel Methode der Ersatzspannungsquelle

U R

/

2

1

Beispiel

I

A

A

In der Schaltung nach Abb. 26.22 gelten folgende Werte:

U

U

U

D

R

D

D

DA

RA

1; R 3; R 4

100 (;

R 2

200 (;

R D

U

5

1 k(;

U D 10 V:

Abb. 26.25 Bestimmung des Arbeitspunktes

Wie groß ist die Spannung U AB?

100

U

D

100 D

AB0

10 V

1;67 V

26.6.4

Nichtlineare Gleichstromkreise

200

300

R D 100 200
i

( C 100 100 ( D 116;67 (

100 C 200

100 C 100

Bisher wurde vorausgesetzt, dass die Widerstände in den Netz-

1000
werken nicht stromabhängig sind. Derartige Netzwerke werden

U

D

D

AB

1;67 V

1;49 V

J
als lineare Netzwerke bezeichnet. Ist der Widerstand eines Bau-

116;67 C 1000
teils stromabhängig, wird diese Abhängigkeit normalerweise
durch eine Kennlinie dargestellt. Die Bestimmung von Span-
nungen und Strömen im Kreis erfolgt meistens grafisch. Zur

Beispiel

Erläuterung wird die Schaltung nach Abb. 26.24 betrachtet. In

IV

Abb. 26.25 sind auf der Ordinate der Strom und auf der Abszis-

Berechnung des Stromes I 3 durch den Widerstand R 3
se die Spannung UD an der Diode aufgetragen. Die Kennlinie

(Abb. 26.23).

der Diode ist als Kurve 1 eingetragen. Weiter ist als Gerade 2

Teil
die Kennlinie des Ohm’schen Widerstandes eingetragen. Diese

U

D

D

D
q 1

6 V;

Uq 2

4 V; R 1

0;5 (;

Gerade errechnet sich durch

R D

D

D

2

0;8 (; R 3

R 4

6 (

UR

U UD

I D

D

(26.72)

Die im gestrichelten Rechteck liegenden Bauteile werden

R

R
zu einer Ersatzspannungsquelle zusammengefasst. Die

Da durch Widerstand und Diode der gleiche Strom fließt, stellt

Quellspannung kann aus dem unbelasteten Fall bestimmt
sich als Arbeitspunkt A der Schnittpunkt beider Kennlinien ein.

werden.

Es fließt der Strom I A und an der Diode liegt die Spannung UD A.

U

q 1

Uq 2

I D

D

6 V 4 V

D

2

1;54 A

R C

Beispiel

1

R 2

0;5 ( C 0;8 (

U D

C

D
q

Uq 2

I 2 R 2

4 V C 1;54 A 0;8 ( D 1;23 V

Die Diode in der Schaltung nach Abb. 26.24 hat eine

R D 0;8 0;5

Kennlinie gemäß Abb. 26.26. Der Widerstand R
i

( D 0;307 (

1 ist 6 (,

0;8 C 0;5
die Spannung U ist 1,8 V. Um wieviel Prozent ändert sich

Die Klemmspannung sinkt bei Belastung mit
die Spannung UR, wenn zu R 1 ein Widerstand R 2 von 4 (
parallel geschaltet wird?

R 3 R 4

R D

D
a

3 ( auf

Die Kennlinie von R

R C

1 ist die Gerade 2. Der Schnittpunkt

3

R 4
mit der Spannungsachse liegt bei 1,8 V, der mit der Strom-

Ra

3 (

U

D

D

D
achse bei I D U D 1;8 V D 0;3 A. Schnittpunkt mit

AB

Uq

1;23 V

1;11 V

R

6 (

R C

1
a

Ri

3 ( C 0;307 (

Kennlinie 1: U D

D
o;9 V;

I D 1;11 V D

3

0;37 A

J

3 (

U D

D

R

U UD

1;8 V 0;9 V D 0;9 V:

320

26 Der Gleichstromkreis

I

P

0.9

1

0.5

3

R i

R a

2

Abb. 26.27 Leistungsanpassung

0.l

0.2

1.0

1.8

U D

26.7.1

Leistungsanpassung

Abb. 26.26 Beispiel Nichtlinearer Kreis

Wird in einem Gleichstromkreis ein Ohm’scher Verbraucher an
eine reale Spannungsquelle angeschlossen, ist die vom Verbrau-
cher aufgenommene Leistung abhängig von dessen Widerstand.

Der Widerstand R ändert sich durch die Parallelschal-

Betrachtet wird die Schaltung nach Abb. 26.15. U
tung auf den Wert R D 64 ( D 2;4 (. Die zugehörige
q und Ri der

6C4

Spannungsquelle sind bekannt. Die vom Verbraucher aufge-

Kennlinie ist die Gerade 3, die bei I D 1;8 V D 0;75 A

2;4 (
nommene Leistung ist dann
die Ordinate schneidet. Der Schnittpunkt mit der Kurve

1 liegt bei 1,0 V. Die Spannung am Widerstand ist jetzt

Ra

Uq

U 0 D 1;8 V 1;0 V D 0;8 V.

P D U I D U

(26.78)

R

V

K
q R C

C
i

Ra Ri

Ra

R

U 0 U
a

R

R D 0;8 0;9

P D U 2

(26.79)

V D 0;11

V
q . R C R

U
i
a/2

R

0;9

Die Spannung hat sich um 11 % verringert.

J

Für die Extremfälle R

D

D 1
a

0 ( und Ra
verschwindet
die aufgenommene Leistung. Dazwischen muss ein Maximum
liegen. Die Lage dieses Maximums lässt sich mit Hilfe der Dif-
ferentialrechnung bestimmen.

Teil

26.7

Energie, Leistung,
dP

C

C

V

. R

R

R

D
i
a /2 2 Ra. Ri
a /

. C

(26.80)

IV
dR

R

R

Wirkungsgrad
a
i
a/4

Zur Bestimmung der Lage des Maximums muss dieser Aus-

Fließt durch einen Widerstand R eine Ladung Q, wird die Arbeit
druck D 0 werden. Das ist dann der Fall, wenn der Zähler D 0

W nach (25.3) bestimmt.

wird. Man erhält die Gleichung

W

U

I
t

. R C

C
i

Ra/2 2 Ra. Ri

Ra/ D 0

(26.81)

Arbeit

W D U I t

J D W s D V A s

V

A
s

(26.73)

mit der Lösung

Hieraus bestimmt sich die Leistung P.

R D
a

Ri

(26.82)

W

P

U

I

In diesem Fall ist der Leistungsverlust am Innenwiderstand

Leistung

P D

D U I

(26.74)

t

W D V A

V

A
gleich der vom Verbraucher aufgenommenen Leistung. Bei
großen Leistungen kann man keine Leistungsanpassung vorneh-

Die Einheit der Leistung ist das Watt. Die Rückführung auf die
men; verwendet wird sie allerdings häufig in der Nachrichten-

SI-Grundeinheiten ergibt
technik.

J

N m
kg m2

1 W D 1 V A D 1

D 1

D 1

(26.75)

s
s
s3

Beispiel

Für die Leistung lassen sich mit Hilfe des Ohm’schen Gesetzes

In der Schaltung Abb. 26.28 sind U D

D
q

10 V und Ri
nach (25.11) die folgenden Beziehungen ableiten:

0;5 (.

a) Welchen Wert muss Ra haben, damit er eine Leistung

P D U 2

(26.76)

R
von 10 W verbraucht?

b) Welche Leistung kann R

P D R I 2

(26.77)

a maximal umsetzen?

26.7

Energie, Leistung, Wirkungsgrad

321

I

Strom

R i

R a

I D 20 kW D 45;45 A

U q

440 V

Verlust auf der Leitung

Abb. 26.28 Beispiel Leistungsanpassung

P D

L

RL I 2 D 1;65 45;452 W D 3408 W
prozentualer Anteil

Lösung:

100 3408
a)

% D 17 %

J

U

2

20:000
q

P D

D

a

I 2 Ra

Ra

(26.83)

R C
i

Ra

P

C

a. Ri

Ra/2 D U 2 R
q
a

(26.84)

!

U 2 q

26.7.3

Wirkungsgrad

R 2 C 2 R

R C R 2 D 0

(26.85)

a
i
a

P
i
a

Der Wirkungsgrad ist definiert als Verhältnis von zugeführter

R 2 9 ( R C 0;25 (2 D 0
a
a

p

Energie W Zu oder Leistung P Zu zur Nutzenergie WN oder Nutz-

R

D
leistung PN . Da es bei allen Maschinen und Antrieben Verluste
a 1

4;5 C

4;52 0;25 ( D 8;97 (

p

gibt, ist der Wirkungsgrad immer kleiner als 1 oder 100 %.

R

D
a 2

4;5

4;52 0;25 ( D 0;28 (

Wirkungsgrad

D WN D PN 1

(26.86)

b)

W Zu

P Zu

U

2

2
q

10

P

D

D

a max

Ri

0;5 W D 50 W

Die Differenz zwischen zugeführter Leistung und Nutzleistung

R C
i

Ri

1

J
ist die Verlustleistung.

Verlustleistung

P D

V

P Zu

PN

(26.87)

IV

Teil

26.7.2

Leistungsverlust auf Leitungen

26.7.4

Umwandlung elektrischer Energie

Da jede Zuleitung zu einem Verbraucher einen Ohm’schen Wi-

Elektrische Energie kann in andere Energieformen umgewan-
derstand R
delt werden. Beispiele sind Umwandlung in Wärmeenergie

L besitzt, wird immer elektrische Energie verbraucht.

Der Widerstand der Zuleitung berechnet sich nach (25.14). Hier-

(Kochplatte, Tauchsieder) oder mechanische Energie (Antriebe,
bei ist für l die gesamte Leiterlänge, also der doppelte Abstand

Pumpen).

zwischen Verbraucher und Spannungsquelle einzusetzen.

26.7.4.1

Wärme

Beispiel

Die für eine Temperaturerhöhung von T oder J notwendige

Wärmeenergie Q ist gegeben durch

Ein Verbraucher ist 2,4 km von der Spannungsquelle ent-
fernt. Die Leitung besteht aus Kupfer und hat einen

Q D mc T D mc#

(26.88)

Durchmesser von 8 mm. Wieviel Prozent der am Ver-
brauchsort zur Verfügung stehenden Leistung von 20 kW

Da die Kelvin-Skala und die Celsius-Skala dieselben Tempe-
gehen verloren, wenn die Spannung beim Verbraucher
raturschritte haben, kann die Temperaturdifferenz sowohl in K

440 V beträgt (

D

Cu

0;0173 ( mm2 )?

m
als auch in °C angegeben werden. m ist die Masse und c die

Leitungswiderstand
spezifische Wärmekapazität des zu erwärmenden Materials. Sie
beträgt für Wasser

2 l

R D

D 0;0173 4800 4

L

( D 1;65 (
kJ

A

82
c

D

Wasser

4;19 kgK

322

26 Der Gleichstromkreis

Beispiel

Beispiel

Wieviel Liter Wasser lassen sich mit einer elektrischen

Aus einer Grube sollen bei täglich 6 h Arbeitszeit inner-

Energie von 15 kW h von # D

D

1

15 °C auf #2

80 °C
halb von 3 Tagen 12.000 m3 Wasser über eine Förderhöhe
erwärmen (1 Liter Wasser hat die Masse 1 kg)?

von 10 m gepumpt werden. Welche Leistung muss der

Motor aufnehmen, wenn ein Wirkungsgrad D 70 %

1 kW h D 3600 kW s
vorhanden ist?

Q
m D

W

D
pot
mgh I
c .#

2

#1/
mgh

12 106 kg 9;81 m 10 m

P

D

D
s2

D 25;9 kW

D

15 3600 kJ

D

Zu

198;3 kg

J
t

0;7 .3 6 3600/ s

4;19 kJ .80 15/ K
kg K

J

Beispiel

Beispiel

Wie lange dauert es, um 5 l Wasser von # D

Eine Güterzuglokomotive soll einen Güterzug von 500 t

1

15 °C mit
einer Kochplatte, die eine Leistungsaufnahme von 800 W
auf eine Geschwindigkeit von 100 km=h bringen. Die Lo-
hat, zum Sieden zu bringen (# D
komotive nimmt eine konstante Leistung von 2000 kW

2

100 °C)? Der Wir-
kungsgrad beträgt 75 %.

bei einem Wirkungsgrad von 40 % auf. Wie lange braucht
der Zug bis zum Erreichen der Endgeschwindigkeit?

Q
m c .#

2

#1/

P D

I

D

D

N

P Zu

PN

1 mv 2
t
t

W kin

P

D 2

Zu

D

#
t
t

1/
t D m c .#2

500 103 kg . 100 m /2

P

mv 2

3;6 s

Zu

t D

D

2 P Zu

2 0;4 2000 103 kg m2

5 kg 4;19 kJ .100 15/ K
s3
kg K
t D

D

T

241 s D 4 min

J
eil

0;8 kJ 0;75
s

D 2986 s D 49;5 min

J

IV

Beispiel

Ein Gleichstrommotor wird mit dem Drehmoment M D

26.7.4.2

Mechanische Energie

35 N m belastet und hat dabei die Drehzahl n D 1500 1 .

min

Die am Motor liegende Spannung beträgt U D 400 V, der

Elektrische Energie kann auch in potentielle oder kinetische
aufgenommene Strom I D 17 A. Wie groß ist der Wir-

Energie umgewandelt werden. Für diese Energieformen gelten
kungsgrad des Motors?

die Gleichungen:

1

P D

D

N

2 nM I

PN

2 1500

35 N m D 5497 WI

E

D

D 1

60
s
pot
mgh
und

E kin
mv 2

2

P

D

Zu

UI D 400 17 W D 6800 W

PN

(siehe Abschn. 11.2.4).

D

D 5497 W D 0;81 oder 81 %

J

P Zu

6800 W

Hierbei gilt natürlich ebenfalls der Energieerhaltungssatz.

Das Elektrische Feld

27

Reinhard von Liebenstein

27.1 Grundgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

IV

27.2 Materie im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

27.3 Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

323

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_27

324

27 Das Elektrische Feld

Wenn in jedem Punkt des Raumes eine physikalische oder tech-
nische Größe definiert ist, so bezeichnet man dies als Feld. So
kann man z. B. in jedem Punkt eines Zimmers eine Tempera-
tur messen; es ist ein Temperaturfeld definiert. An jedem Punkt

F res
über der Erdoberfläche herrscht eine Anziehungskraft, dies er-
gibt ein Kraftfeld, in diesem Fall das Gravitationsfeld. Im ersten

F 31

F 21

Fall liegt, da die Temperatur eine skalare Größe ist, ein Skalar-
feld, im zweiten Fall ein Vektorfeld vor.

Q 1

27.1

Grundgrößen

Q 2

Q 3

27.1.1

Kräfte zwischen Ladungen

Abb. 27.2 Beispiel Kräfte zwischen Ladungen

Zwischen elektrischen Ladungen bestehen immer Kräfte. Haben
zwei Ladungen das gleiche Vorzeichen, stoßen sie sich ab, bei

Richtungen sind unterschiedlich und verlaufen in Verlän-
ungleichem Vorzeichen ziehen sie sich an. Die Größe der Kraft
gerung der Dreieckseiten.

hängt von der Größe der Ladungen und von deren Abstand ab
und wird durch das Coulomb’sche Gesetz beschrieben.

F

D

1

3 106 A s 3 106 A s D 32;35 N

Q

21

1 Q 2

4"

.0;05 m/2

Coulomb’sches Gesetz

F

D

1

0

12

(27.1)

4"0
r 212

Die Größe der resultierenden Kraft kann entweder aus der

Die Größe "

Zeichnung abgelesen werden oder mit Hilfe der Trigono-

0 heißt elektrische Feldkonstante
metrie berechnet werden:

" D

A s

0

8;854 1012

(27.2)

V m

F

D
res

2 32;35 N cos 30ı D 56 N

J

T

Der Abstand zwischen den beiden Ladungen ist r 12. Die Rich-
eil
tung der Kraft ist durch die Verbindungslinie zwischen beiden

Ladungen gegeben. Die Ladung Q

IV

1 übt auf die Ladung Q 2 die

Kraft F 12 aus. Im Abb. 27.1 oben haben die Ladungen un-

27.1.2

Feldstärke
terschiedliches Vorzeichen, die Kraftpfeile sind aufeinander zu
gerichtet. Im unteren Teil haben die Ladungen gleiches Vorzei-
chen. Die Ladung Q 2 übt auf Q 1 eine entgegengesetzt gleich

Kräfte zwischen Ladungen sind im ganzen Raum vorhanden,
große Kraft aus. Sind mehr als 2 Ladungen vorhanden, wer-
deshalb liegt ein Feld vor. Werden zwei Ladungen Q und q
den zunächst die Kräfte zwischen zwei Ladungen berechnet und
im Abstand r betrachtet, kann man willkürlich eine der beiden
dann aus allen Kräften die resultierende Kraft bestimmt.

Ladungen als felderzeugende Ladung Q, die andere als Probela-
dung q annehmen. Das Coulomb’sche Gesetz lautet dann

Beispiel

1

Qq

F D

(27.3)

Drei Ladungen ( Q

D

D

D

1

3 A s, Q 2

Q 3

3 A s,

4"0
r 2

Abb. 27.2) befinden sich an den Eckpunkten eines gleich-
seitigen Dreiecks ( a D 5 cm). Wie groß ist die Kraft auf

Wird nun, um eine Definition unabhängig von der Probeladung
die Ladung Q
q zu erhalten, der Quotient F betrachtet, erhält man eine Größe,

1?

q
die allein von der felderzeugenden Ladung Q und dem Abstand

Da die Ladungen vom Betrag her gleich sind und glei-
r abhängig ist. Diese Größe nennt man die
che Abstände haben, gilt für die Beträge F

D

21

F 31. Die
elektrische Feldstärke

E

E

F

E

F
q

E D

(27.4)

Q

N

1

Q 2

F
q

D V

N

A s

21

F 12

A s
m
ungleich

Q

F

1

Q 2

21

F 12

Da die Kraft ein Vektor ist, muss auch die elektrische Feldstär-
gleich
r 12
ke ein Vektor sein. Die Richtung von E

E ist gleich der Richtung
von E

F auf eine positive Probeladung. Die Feldstärke ist von der

Abb. 27.1 Coulomb’sches Gesetz
felderzeugenden Ladung und deren geometrischer Anordnung

27.1

Grundgrößen

325

E 1
a
b
c

A

E res

E 2

Q 1

Q 2

Abb. 27.3 Elektrisches Feld

Abb. 27.5 Feldlinienbilder
geladene Platten, rechts für eine positiv geladene Spitze vor ei-
ner ebenen Leiterfläche.

27.1.4

Potential, Spannung

Wenn in einem elektrischen Feld eine positive Ladung von ei-

Abb. 27.4 Dipol
nem Punkt A nach einem Punkt B verschoben wird, muss gegen
die herrschende Kraft Verschiebungsarbeit verrichtet werden.

abhängig. Ist Q eine Punktladung, kann die elektrische Feldstär-

Verschiebungsarbeit
ke nach (27.3) und (27.4) angegeben werden.

B

Z

B

Z

E

Q

W

D

AB

F d E s D
q E

E d E s

(27.6)

Feld einer Punktladung

E D

1

(27.5)

4"0 r 2

A

A

Sind mehrere Ladungen beteiligt, können auch hier wieder die

Es kann gezeigt werden, dass diese Arbeit unabhängig vom Weg
einzelnen Beiträge vektoriell addiert werden. Dies soll am Bei-
ist. Sie hängt nur von der Lage der beiden Punkte im elektri-
spiel eines Dipols nach Abb. 27.3 dargestellt werden. Ein Dipol
schen Feld ab. Das Vorzeichen in (27.6) ist so gewählt, dass zu
besteht aus zwei gleich großen, entgegengesetzten Ladungen.

leistende Arbeit positiv gezählt wird.

Die positive Ladung Q 1 erzeugt im Punkt A die Feldstärke E

E 1.

B

Z

Da Q

E

1 positiv ist, zeigt E

E 1 von Q 1 weg. Die negative Ladung Q 2

W

D

AB
q

Ed E s D qU AB

(27.7)

IV
erzeugt die zur Ladung gerichtete Feldstärke E

E 2. Hieraus ergibt

A
sich die resultierende Feldstärke E

E res.

B

Z

Teil

Spannung

U

D W AB D

E

AB

E d E s

(27.8)

q

A

27.1.3

Feldlinien

Wird der Ausgangspunkt A sehr weit (im Grenzfall ins Unend-
liche) entfernt, ist der Quotient aus der jetzt aufzubringenden

Die Konstruktion nach Abb. 27.3 kann in beliebigen Punkten

Arbeit und der Probeladung q das
durchgeführt werden, somit kann in jedem Punkt der Vektorpfeil

B

Z
der resultierenden elektrischen Feldstärke konstruiert werden.

W 1 B

E

Werden die Anfangspunkte der Pfeile durch tangentiale Linien

Potential

' D

D

B

E d E s

(27.9)

q
verbunden, erhält man für diesen Dipol Linien wie in Abb. 27.4.

1

Diese Linien sind die elektrischen Feldlinien.

Die Spannung zwischen zwei Punkten A und B ist die Potential-

Eigenschaften elektrischer Feldlinien: Sie verlaufen von der po-
differenz zwischen diesen Punkten.

sitiven zur negativen Ladung. Die Tangenten geben die Richtung

D ' ' D '

der Kraft auf eine positive Probeladung an. An den Orten grö-

Spannung

U AB

B

A

(27.10)

ßerer Feldliniendichte ist die Kraftwirkung größer. Elektrische

W D

AB
q '

(27.11)

Feldlinien schneiden sich nie. Da in elektrischen Leitern die La-

Ist das elektrische Feld nach Betrag und Richtung konstant,
dungen frei beweglich sind, werden sie solange verschoben, bis
spricht man von einem homogenen Feld. Wird der Abstand zwi-
keine tangentiale Kraft mehr vorhanden ist. Daher stehen Feld-
schen den Punkten A und B mit d bezeichnet, folgt aus (27.8)

linien immer senkrecht auf elektrischen Leitern.

im homogenen Feld

Im Abb. 27.5 sind einige Feldlinienbilder angegeben. Links für
eine positive Punktladung, in der Mitte für zwei entgegengesetzt
homogenes Feld

U D E d

(27.12)

326

27 Das Elektrische Feld

Allgemeiner formuliert lautet (27.17) in Verbindung mit

(27.13):

Der durch eine geschlossene, beliebig geformte Oberflä-
che A gehende elektrische Fluss ist gleich der Summe
der von dieser Fläche eingeschlossenen Ladungen.

I
n

X

D

E

Dd E

A D

Qi

(27.19)

Abb. 27.6 Äquipotentiallinien
i D1

27.1.5

Äquipotentiallinien

Daraus folgt für die elektrische Feldstärke eine der vier grund-
legenden Maxwell’schen Gleichungen

Werden in einem elektrischen Feld Punkte mit gleichem Poten-

I
n

X
tial durch Linien verbunden, entstehen die Äquipotentiallinien.

E Ed E A D 1

Q

"

i

(27.20)

Zwischen zwei Punkten auf einer Äquipotentiallinie besteht kei-

0" r i D1
ne Potentialdifferenz und auch keine Spannung. Hieraus folgt,
dass bei Verschiebung einer Ladung auf einer Äquipotentiallinie

Steht das elektrische Feld überall senkrecht zu A und ist es kon-
keine Verschiebungsarbeit zu verrichten ist. Weiterhin folgt aus
stant, so ist
der Vektorrechnung, dass Äquipotentiallinien und Feldlinien

Q
immer senkrecht aufeinander stehen müssen. Da Feldlinien auch

D D

(27.21)

A
immer senkrecht auf Leiteroberflächen stehen, sind alle Leiter-
oberflächen auch Äquipotentiallinien. Messtechnisch einfacher
ist es, Potentiallinien auszumessen. Sind sie bekannt, können
die für die Kraftwirkungen wichtigen Feldlinien konstruiert

27.1.7

Energie geladener Teilchen im
werden. Im Abb. 27.6 sind für eine metallische Spitze und
elektrischen Feld
eine ebene metallische Gegenelektrode die Äquipotentiallini-

T
en (durchgezogen) und die elektrischen Feldlinien (gestrichelt)

eil
dargestellt.

Da auf geladene Teilchen im elektrischen Feld immer eine Kraft
wirkt, werden sie nach den Gesetzen der Mechanik immer be-

IV
schleunigt.

27.1.6

Elektrischer Fluss

F D
el
qE D ma

(27.22)

Die elektrischen Ladungen sind Ausgangspunkt der elektrischen

Ist das elektrische Feld konstant, so ist auch die Beschleuni-

Feldlinien. Je größer die Ladung, desto mehr Feldlinien gehen
gung konstant. Nach Durchlaufen einer Potentialdifferenz '

von ihr aus. Denkt man sich eine Kugel mit dem Radius r um
sind die erreichte Bewegungsenergie und die elektrische Ener-
eine Ladung, so bezeichnet man alle durch die Kugeloberfläche
gie nach (27.11) gleich.

durchtretenden Feldlinien als den elektrischen Fluss . Ladung

Q und Fluss sind direkt proportional zueinander. Die Kon-

1
stante wird zu 1 festgelegt und es gilt
mv 2 D q ' D qU

(27.23)

2

D Q

(27.13)

Wenn ein Elektron die Potentialdifferenz von 1 V durchläuft, hat

Für eine Punktladung gilt nach (27.5)

es die Energie von 1;602 1019 A s 1 V D 1;602 1019 J.

Hieraus leitet sich eine Energieeinheit ab:

Q D 4"0 r 2 E

(27.14)

1 Elektronenvolt

1 eV D 1;602 1019 J

(27.24)

Oberfläche einer Kugel

A

D

Kugel

4 r 2

(27.15)

elektrischer Fluss

D Q D A

Kugel

"0 E

(27.16)

Der Fluss, dividiert durch die gesamte Oberfläche der Kugel,

27.2

Materie im elektrischen Feld
wird als Flussdichte D bezeichnet.

D

A

Flussdichte

D D

(27.17)

Befindet sich Materie in einem elektrischen Feld, wirkt auf al-

A

A s

A s
m2
le Ladungen in dieser Materie eine elektrische Kraft. Da in
m2

Leitern und Nichtleitern unterschiedliche Beweglichkeit der La-

D

"

Flussdichte

D D "

0

E

0 E

(27.18)

dungsträger vorliegt, sind auch die beobachteten Effekte von

A s

A s

V
m2

V m
m
den Leitereigenschaften der Materialien abhängig.

27.3

Kondensatoren

327

Tab. 27.1 Permittivitätszahlen bei 20 °C

Werkstoff

" r

Glas

4 . . . 12

Glimmer

5 . . . 8

Porzellan

6

Transformatorenöl

2,3

Wasser

81

Abb. 27.7 Influenz

Luft

1,0006

E 0
erfasst. " r ist die Permittivitätszahl des Materials (Tab. 27.1).

Sind die äußeren Platten mit einer konstanten Spannungsquel-
le verbunden, fließen nach Einbringen eines Dielektrikums so

E
viele Ladungen nach, bis sich das ursprüngliche Feld E 0 wie-

P
der eingestellt hat. Damit wird aber nach (27.13) der elektrische

Fluss und auch die Flussdichte D ebenfalls größer und es gilt

Abb. 27.8 Polarisation

D D " r"0 E

(27.28)

27.2.1

Leiter

27.3

Kondensatoren

In einem Leiter sind die Ladungsträger (in Metallen sind das die

Elektronen) frei beweglich. Bringt man zwei aufeinander liegen-

Wenn zwischen zwei isolierten Leiteroberflächen eine Span-
de Metallplatten in ein elektrisches Feld, werden die Ladungen
nung liegt, laden sich die Leiteroberflächen auf. Ein solches
so verschoben (Abb. 27.7), dass sich eine gleiche Anzahl von

Bauelement ist ein Kondensator. Er dient zur Speicherung elek-

Ladungen auf den entsprechenden Oberflächen gegenüber liegt.

trischer Ladungen und Energie. Die Ladungsmenge Q, die bei

Im Leiter wird durch diese Ladungsverschiebung ein Feld Einfl
vorgegebener Spannung U gespeichert werden kann, hängt von
erzeugt, das denselben Betrag wie das äußere Feld, aber entge-
der Geometrie und vom Material zwischen den Kondensator-
gengesetzte Richtung hat. Das resultierende elektrische Feld im
platten ab. Der Quotient aus Q und U wird als Kapazität

Inneren eines Leiters verschwindet daher immer.

bezeichnet.

E D E E

D 0

(27.25)

IV
i
a
infl

Diese Ladungsverschiebung heißt Influenz. Werden die Platten

27.3.1

Kapazität

Teil
im elektrischen Feld getrennt und dann aus dem Feld genom-
men, bleiben die Platten geladen.

Die Kapazität eines Kondensators ist definiert durch

Q

C

Q

U

27.2.2

Nichtleiter

Kapazität

C D

(27.29)

U

F D A s

A s

V

V

Die Einheit der Kapazität ist 1 F (1 Farad).

In Nichtleitern gibt es keine frei beweglichen Ladungen. Des-
halb ist auch das Innere eines Nichtleiters im elektrischen Feld
nicht feldfrei. Diese Stoffe werden Dielektrika genannt. Hier

27.3.1.1

Plattenkondensator
kann durch das äußere Feld ein inneres Feld erzeugt werden,

Ein Plattenkondensator besteht aus zwei parallelen Platten im
indem die negative Elektronenhülle eines Atoms sich gegen-

Abstand d. Bis auf den Randbereich ist das elektrische Feld
über dem positiven Kern verschieben kann. Es entsteht ein

E homogen. Befindet sich zwischen den Platten Vakuum oder
elektrischer Dipol. Auch können eventuell schon vorhandene

Luft, gilt

Dipole im Feld gedreht werden. Es entsteht ein Polarisations-
feld E

U
p, das dem äußeren Feld E 0 entgegengesetzt gerichtet ist

D D Q D "0 E D "0

(27.30)

(Abb. 27.8). Im Inneren ist das resultierende Feld

A
d

Q

A

E D

C

D

D "

(27.31)

i

E 0

Ep

(27.26)

Pl

0

U
d

Das Feld im Inneren ist gegenüber dem ursprünglichen Feld E 0

Befindet sich zwischen den Platten ein Material mit der Permit-
geschwächt worden. Zahlenmäßig wird dies durch
tivitätszahl " r, dann gilt

E 0

A

E D
i

"

(27.27)

C

D

Pl

"0" r

(27.32)

r
d

328

27 Das Elektrische Feld
r

1

2
h

3

4

L

Abb. 27.9 Blockkondensator
r

27.3.1.2

Spezielle Kondensatoren
d
r

Ein Blockkondensator besteht aus n Platten eines Kondensators,
die wie in Abb. 27.9 verbunden sind. Es ist eine Parallelschal-
tung mit . n 1/ wirksamen Kondensatoren.

Abb. 27.11 Kapazität voin Leitungen

A

Blockkondensator

C

D

Block

. n 1/"0" r

(27.33)

d

Kapazität einer Leitung

Ein Kugelkondensator besteht aus zwei konzentrisch angebrach-
ten Kugeln. Die Vorteile eines Kugelkondensators liegen darin,
dass keine Streufelder auftreten, da keine Ecken vorhanden sind.

L

C D

L

2"

q

(27.36)

Die elektrischen Feldlinien verlaufen radial-symmetrisch und

0" r
ln. h C

. h/2 1/
ändern ihren Abstand von innen nach außen. Das Feld ist al-
r
r
so nicht homogen. Für die Kapazität eines Kugelkondensators
ergibt sich mit der in Abb. 27.10 dargestellten Geometrie:

für h r
r 1 r 2

Kugelkondensator

C

D

Kugel

4"0" r

(27.34)

L
r

2
r 1

C D

L

2"0" r

(27.37)

ln. 2 h /
r

T

Der Zylinderkondensator besteht aus zwei ineinander liegenden
eil
konzentrischen Zylindern. Wird der Radius des äußeren Zylin-
ders mit r

Auch zwei im Abstand d verlaufende Leitungen mit dem Radius

2 und der des inneren Zylinders mit r 1 bezeichnet, gilt

IV
r
bei einer Länge L des Kondensators für die Kapazität:

und der Länge L besitzen eine Kapazität (Abb. 27.11).

L

Kapazität einer Doppelleitung

Zylinderkondensator

C

D

Zyl

2"0" r ln. r 2/

(27.35)

r 1

L

C

D "

q

(27.38)

Jedes Koaxialkabel ist von seiner Bauform her ein Zylinderkon-

DL

0" r
ln. d C

. d /2 1/
densator. In der Hochfrequenztechnik ist diese Kapazität daher

2 r

2 r
zu berücksichtigen. Für die Kapazität einer einzelnen zylindri-
schen Leitung mit dem Radius r, die in einer Höhe h über der
für d r

Erde liegt, gilt

L

C

D

DL

"0" r

(27.39)

ln. d /
r

Beispiel

In einem Plattenkondensator nach Abb. 27.12 sind d D

1

0;3 mm, d D

2

0;5 mm starke Isolierplatten untergebracht.

Ihre Permittivitätszahlen sind "

D

D

1 r

3;8 und "2 r

4;7.

Die Fläche A einer Platte beträgt 900 cm2. Die obere Plat-
te trägt die positive Ladung Q D 2;5 106 A s, die untere
die negative Ladung Q. Wie groß sind die Flussdichten
r 1
und die elektrischen Feldstärken in den beiden Dielek-
r 2
trika und die Spannungen, mit denen die Isolierplatten
beansprucht werden?

Abb. 27.10 Kugelkondensator

27.3

Kondensatoren

329

Q
d 1 d 2

Medium 1

Medium 2
ε r1 ε r2

Q

Abb. 27.12 Beispiel Plattenkondensator
r 1
r 2

Die Flussdichte muss in beiden Materialien gleich sein, da
r
beide Platten des Kondensators die gleiche Ladung tragen.

3

Abb. 27.13 Beispiel Koaxialkabel

Q

A s

D D

D

D 2;5 106 A s D

1

D 2

27;8 106

A

900 104 m2
m2

27;8 106 A s

V

E D D 1 D
m2

D

27.3.2

Schaltungen mit Kondensatoren

1

826 103

"0" r 1

8;854 1012 A s 3;8
m

V m

D

V

826

27.3.2.1

Reihenschaltung
mm

D

27;8 106 A s

2

V

Werden zwei in Reihe geschaltete ungeladene Kondensatoren

E D

D
m2

D

2

"

668 103

0" r 2

8;854 1012 A s 4;7
m
aufgeladen, muss auf jeden Kondensator dieselbe Ladungsmen-

V m
ge Q geflossen sein (Abb. 27.14).

D

V

668 mm

V

Q D

D

1

Q 2

Q

(27.43)

U D

D

1

E 1 d 1

826

0;3 mm D 248 V
mm

U D U C

1

U 2

(27.44)

V

U D

2

668

0;5 mm D 334 V

J

1

U

U
mm

D 1 ;

1 D 2

(27.45)

C 1

Q

C 2

Q

U

C

D U 1

U 2 D U 1 C U 2 (27.46)

IV

Beispiel

Q

Q

Q

Q

1

Ein Koaxialkabel enthält nach Abb. 27.13 zwei Isolati-

D 1 C 1

(27.47)

Teil
onsschichten mit "

D

D

C ges

C 1

C 2
r 1

3 und " r 2

2, einen Innenleiter
mit dem Radius r D

D
n

1

5 mm, einen Außenleiter mit r 3

1

X 1

15 mm. Der Radius r

D

2 ist 7,5 mm. Wie groß ist die Kapa-

Reihenschaltung

(27.48)

C

C
zität des Kabels je km Leitungslänge?

ges
i
i D1

Mit (27.20) wird

27.3.2.2

Parallelschaltung

E D

Q

I

D

Q

1

E 2

2"0" r 1 rl

2"0" r 2 rl
r

Sind zwei Kondensatoren parallel geschaltet, liegt an beiden die

2

Z
r 3

Z

Spannung U. Für die während des Ladens aus der Spannungs-

U D

E 1 dr C

E 2 dr

(27.40)

quelle entnommene Ladung Q gilt jetzt
r 1
r 2

1
r 2
r 3

U D

Q
ln

C 1 ln

(27.41)

Q D Q C

1

Q 2

(27.49)

2"0 l

" r 1
r 1

" r 2
r 2

Die Kapazität pro Länge l

U

U

U

C 0 D Q D

2"0

(27.42)

1

2

Ul

1

C 1

" ln r 2
ln r 3
r 1
r 1

" r 2
r 2

28;85 1012 F

F
nF

C 1 C 2

C 0 D
m D 115;5 1012

D 115

1 ln 7;5 C 1 ln 15
m
km

3

5

2

7;5

J

U

U

Abb. 27.14 Kondensatorschaltungen

330

27 Das Elektrische Feld

C 1

C 3

C 2

C 1

A

B

C

C

2

C 4

3

Abb. 27.15 Beispiel Berechnung der Gesamtkapazität

S

U

Da die Kondensatoren zu Beginn nicht geladen waren ( Q D
v

0),

Abb. 27.16 Beispiel Umladungsvorgänge mit Spannungsquelle
gilt

Q D

D

1

Qn

Qv

Q

(27.50)

S

*

Q

Q C Q

Q

Q

U *

U 2

D 1

2 D 1 C 2

1

C

C

(27.51)

1

2

U

U

U

U

C 3

C

D

C
ges

C 1

C 2

(27.52)

n

X

Parallelschaltung

C

D

Abb. 27.17 Beispiel Umladungsvorgänge ohne Spannungsquelle
ges

Ci

(27.53)

i D1

27.3.2.3

Gemischte Schaltungen

Beispiel

D

Beispiel

Der Kondensator C 1

8 nF ist zunächst mit einer

Spannungsquelle von U D 150 V verbunden, C 2 ist in

Die Gesamtkapazität der Schaltung nach Abb. 27.15 mit
gleicher Richtung auf 50 V aufgeladen, C 3 ist ungeladen.

den Werten C D

D

D

D

Anschließend werden die Kondensatoren in geladenem

1

80 pF, C 2

20 pF, C 3

200 pF, C 4

100 pF soll berechnet werden.

Zustand von den Spannungsquellen getrennt und der

Schalter S geschlossen ( C D

D

2

3 nF und C 3

6 nF). Auf

Die linke Gruppe ergibt 100 pF, die rechte Gruppe 300 pF.

welche Spannungen werden die einzelnen Kondensatoren

Die Gesamtkapazität ist dann C

D 100300
ges
pF D 75 pF.

aufgeladen (Abb. 27.17)?

100C300

J

T

Die Spannungen an den einzelnen Kondensatoren vor
eil

Schließen des Schalters werden mit U bezeichnet, nach

Umladen werden die Spannungen mit U benannt. Für die

IV

Beispiel
einzelnen Spannungen gilt U D

i

Ui U. Die Ladungs-
i

Die in der Schaltung nach Abb. 27.16 vorhandenen
menge, die vom Kondensator C 1 fließt, muss sowohl C 2

Kondensatoren sind zunächst nicht aufgeladen. Welche
als auch C 3 aufladen. Außerdem gilt die Maschenregel.

Ladungen und welche Teilspannungen haben die Konden-

U D U UI

Q D Q D Q
satoren nach Schließen des Schalters S ( C

D
i
i
i

1

2

3

1

300 nF,

C D

D

C U D C U I C U D C U

2

200 nF, C 3

400 nF, U D 120 V)?

1

1

2

2

1

1

3

3

Die Ladungsmenge, die durch C 1 fließt, muss auch durch

Hieraus lassen sich für die drei gesuchten Spannungen für
die Parallelkombination fließen. Es lassen sich folgende
den allgemeinen Fall, dass die Kondensatoren 2 und 3 vor

Gleichungen aufstellen:

dem Umladungsprozess schon aufgeladen sind, die drei

U D U C

I

D

C

Gleichungen ableiten:

1

U 23

Q 1

Q 2

Q 3

C

D

C

D

C

1 U 1

C 2 U 23

C 3 U 23

U 23. C 2

C 3/

U

D

1

U 2

U 3

0I

C 1

U

D

I

C

D

C

23

U 1

C 1 U 1

C 2 U 2

C 1 U

C 2 U

C C

1

2

2

C 3

C

C U C C U D C U C C U

1

1

1

3

3

1

1

3

3

U D U C

D

1

U 1

U 1 1 C

C 1

C C

C

2

C 3

C 2

C 3

Zahlenwerte:

U D

U

D

120 V

D

1

80 V

1 C

C 1

1 C

300

C

U U U D

2 C C 3

200C400

1

2

3

0I

U D

D

2

U U 1

120 V 80 V D 40 V

8 U C

D

1

3 U 2

8 150 V C 3 50 VI

Q D

D

C

D

1

C 1 U 1

300 109 F 80 V D 24 106 A s

8 U 1

6 U 3

8 150 V

Q D

D

2

C 2 U 23

200 109 F 40 V D 8 106 A s

Dieses Gleichungssystem hat die Lösungen

Q D

D

3

C 3 U 23

400 109 F 40 V D 16 106 A sJ

U D

D

D

1

130 VI

U 2

103;33 VI

U 3

26;67 V

J

27.3

Kondensatoren

331

Q

C 1

R
i

W
u C

U

S

U

Abb. 27.18 Energie im elektrischen Feld

Abb. 27.19 Laden eines Kondensators

27.3.3

Energie des elektrostatischen Feldes

Energiedichte

In einem aufgeladenen Kondensator ist eine bestimmte Energie

Z

Z
gespeichert. Die Größe der gespeicherten Energie kann durch
w D

EdD D

"0" rEdE D 1 "0" rE 2 D 1 ED

(27.61)

2

2
die Formel

Soll in einem beliebigen inhomogenen Feld die Energiedichte

W D u q

(27.54)

berechnet werden, muss das Integral bestimmt werden.

Z

Z
bestimmt werden.

W D
wdV D 1

EDdV

(27.62)

Mit u ist die zeitlich veränderliche Spannung am Kondensator

2

V

V
gemeint. Die Ladung q und die Spannung u sind aber nicht un-
abhängig voneinander, sondern über (27.29) verbunden.

Energie eines Kondensators

27.3.4

Laden und Entladen eines

Kondensators

Q

Z

Q

Z q

Q 2

W D
udq D
dq D 1

D 1 CU 2

(27.55)

C

2 C

2

Wenn ein Kondensator nach Abb. 27.19 über einen Widerstand

0

0
aufgeladen wird, vergrößert sich die Ladungsmenge auf den

Grafisch ist die Energie, die bei einer Spannung U und der damit

Kondensatorplatten und damit die Kondensatorspannung uC als
im Kondensator vorhandenen Ladung Q gespeichert ist, durch

Funktion der Zeit. Aus der
die schraffierte Dreiecksfläche in Abb. 27.18 gegeben.

Maschenregel

U D u C

C
iR

(27.63)

IV

W D 1 QU D 1 CU 2

(27.56)

folgt, dass der Strom dann kleiner werden muss. Wegen

2

2

Teil
du

Die im Kondensator gespeicherte Energie befindet sich nicht auf

C
i D dQ D C

(27.64)

den Elektroden, sondern ist im elektrischen Feld zwischen den
dt
dt

Kondensatorplatten gespeichert. Ein wichtiger Begriff ist die
wird die zeitliche Änderung von uC ebenfalls kleiner.

Energie pro Volumen, die Energiedichte. Zur Berechnung wird
die in einem bestimmten Volumen vorhandene Energie durch
du

U D u C
c

RC

(27.65)

das Volumenelement dividiert.

dt

W

Wird zum Zeitpunkt t D 0 der Schalter S geschlossen, hat diese

Energiedichte
w D

(27.57)

V

Differentialgleichung die Lösungsfunktion

Für einen Plattenkondensator lässt sich diese Größe unter Ver-

Laden eines Kondensators
wendung oben abgeleiteter Formeln einfach berechnen.

u D

C

U.1 e t= RC/

(27.66)

"0" rA

W D 1 CU 2 D 1

. Ed/2

(27.58)

Der Kondensator lädt sich auf die Endspannung U auf. Der

2

2
d

Strom nimmt ab.

W D 1 "0" rE 2 Ad D 1 "0" rE 2 V

(27.59)

2

2

Ladestrom
i D I

0
e t= RC

(27.67)

Das Volumen des elektrischen Feldes im Kondensator ist V D

Der Strom I 0 ist der Strom zu Beginn des Ladevorganges, also

Ad. Mit D D e 0 erE gilt
zur Zeit t D 0. Er ist bestimmt durch

U

Energiedichte
w D 1 ED

(27.60)

I D

(27.68)

2

0

R

Gleichung (27.60) gilt in dieser Form nicht nur im homogenen

Das Produkt RC hat die Dimension einer Zeit und wird Zeitkon-

Feld, sondern für konstantes " r allgemein.

stante genannt.

332

27 Das Elektrische Feld
u C

R 1

U

U A

R 2

C

63%

S

0
τ

Abb. 27.22 Beispiel Aufladen eines Kondensators
t

Abb. 27.20 Spannung am Kondensator

Beispiel
i

In der Schaltung nach Abb. 27.22 wird der Kondensator

I 0

C D 100 mF über den Widerstand R D

1

2 k( aufgeladen

( R D

D

2

1 k(, UA

100 V).

a) Auf welche Endspannung lädt sich der Kondensator

37%
auf?

b) Wie groß ist die Spannung am Kondensator nach einer

0
τ
t

Zeit von 30 ms?

Die Spannungsquelle und die beiden Widerstände können

Abb. 27.21 Ladestrom
als Ersatzspannungsquelle mit Innenwiderstand aufge-
fasst werden. Die Spannung, die den Kondensator auflädt,
ergibt sich aus

Zeitkonstante

R 2

U D UA

(27.72)

R C

1

R 2

D

R

C

RC

(27.69)

s D ( F ( D V

F D A s

Der Innenwiderstand der Ersatzspannungsquelle ist

A

V

Teil

R 1 R 2

R D

(27.73)

Diese Größe gibt an, nach welcher Zeit die Spannung auf den
i

R C

1

R 2

IV

Wert 1 e1 D 63 % angestiegen ist, bzw. nach welcher Zeit
der Strom auf den Wert e1 D 37 % gefallen ist. Der Wert für

Mit (27.66) gilt
t kann aus der grafischen Darstellung der Kondensatorspannung
ermittelt werden. Er ergibt sich als Schnittpunkt der Tangente an

R 2
t
u D

C

UA

.1 e /

(27.74)

die Spannungskurve zur Zeit t D 0 mit der gestrichelt gezeich-

R C

1

R 2
neten horizontalen Geraden U (Abb. 27.20).

mit

Beim Entladen eines Kondensators über einen ohmschen Wider-

D RiC

(27.75)

stand R nimmt die Kondensatorspannung im Lauf der Zeit ab;
der fließende Strom ebenfalls. Ist der Kondensator zu Beginn
a) Endspannung
auf die Spannung U aufgeladen, nimmt diese Spannung ab.

1 k( D

Entladen eines Kondensators

U D 100 V

33;33 V

3 k(
b)

u D

C

Ue t= RC D Ue t=

(27.70)

R D 1 2
i
k( D 2 k(

Strom
i D I

1 C 2

3

0
e t= RC

(27.71)

D 2 103 ( 100 106 F D 66;7 ms

3

Die in Abb. 27.21 dargestellte Kurve gilt in dieser Form für den
u

D

Strom beim Laden und Entladen und für die Kondensatorspan-

30 ms

33;33.1 e30 ms=66;7 ms/ D 12;07 V J
nung beim Entladen eines Kondensators.

27.3

Kondensatoren

333
u
u
t
t
i
u C
u R
t
t
u C
i
t
u
u

R

C
t
t

Abb. 27.24 Integrieren
i
u R
t
schen Widerstand, hat einen Verlauf wie in Abb. 27.23 oben.

Die Zeitkonstante nimmt von oben nach unten ab. Je kleiner
die Zeitkonstante gegenüber der Impulsdauer t 0 wird, desto

Abb. 27.23 Differenzieren
schneller fällt die Spannung uR auf 0 ab. Im Grenzfall entstehen

Nadelimpulse. Wird das Rechtecksignal mathematisch differen-
ziert, entsteht das gleiche Funktionsbild. Deshalb spricht man in

27.3.5

RC-Reihenschaltung
diesem Fall auch von einem Differenzierglied.

Die Spannung uC am Kondensator ist im Abb. 27.24 aufgetra-

Legt man an eine RC-Reihenschaltung einen Rechteck-Impuls
gen. Die Zeitkonstante wird hier von oben nach unten immer
an, wird der Kondensator im gleichen Takt aufgeladen und
größer. Bei sehr großem Wert von wird der Kondensator na-
entladen. Ist die Zeitkonstante ungefähr so groß wie die Im-
hezu linear aufgeladen. Dies entspricht dem mathematischen
pulsdauer t 0, kann der Kondensator nicht vollständig aufgeladen

Vorgang des Integrierens. Die Schaltung stellt jetzt ein Integrier-
werden. Der Ladestrom, und damit auch die Spannung am ohm-
glied dar.

IV

Teil

Das Magnetische Feld

28

Reinhard von Liebenstein

28.1 Feldlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

IV

28.2 Magnetische Grundgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

Teil

28.3 Kräfte im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

28.4 Energie des Magnetfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

28.5 Materie im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

28.6 Magnetische Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

335

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_28

336

28 Das Magnetische Feld

Neben den elektrischen Kräften und Feldern gibt es in der Natur

S

N
auch magnetische Kräfte und Felder.

Jede sich bewegende elektrische Ladung erzeugt ein ma-
gnetisches Feld.

I

Jedes magnetische Feld wird durch bewegte Ladungen er-

Leiter
zeugt.

Diese Aussage gilt für Elektromagnete und Dauermagnete.

Fließt durch Elektromagnete ein Strom, ist damit eine Bewe-

Abb. 28.2 Magnetfeld um einen Leiter
gung von Ladungen verbunden. In Dauermagneten sind die
bewegten Ladungen die Elektronen, die immer um die Atom-
kerne kreisen und somit Kreisströme hervorrufen. Außerdem

28.1.2

Stromdurchflossene Leiter
rotieren alle Elektronen um die eigene Achse. Diese Bewegung
wird Spin genannt und erzeugt ebenfalls magnetische Felder. In
vielen Stoffen heben sich die von den einzelnen Elektronen er-

Bringt man eine Magnetnadel in die Nähe eines stromdurchflos-
zeugten Magnetfelder gegenseitig auf; in Dauermagneten nicht.

senen Leiters und führt sie um den Leiter herum, dann ergibt
die tangentiale Verbindung aller Einstellungen Kreise, in deren

Zentrum der Leiter liegt. Die technische Stromrichtung ist durch

28.1

Feldlinien
das Kreuz angegeben, sie zeigt in die Zeichenebene hinein. Die

Richtung der Feldlinien kann durch die Rechtsschrauben-Regel
beschrieben werden (Abb. 28.2).

28.1.1

Dauermagnet

Dreht man eine rechtsgängige Schraube so, dass sie sich in

Wie beim elektrischen Feld wird auch das Magnetfeld durch
der technischen Stromrichtung weiterbewegt, ist die Rich-

Feldlinien dargestellt. Wenn eine drehbar gelagerte Magnetna-
tung der magnetischen Feldlinien durch die Drehrichtung
del um einen Dauermagneten herumgeführt wird, stellt sie sich

T
gegeben.

eil
parallel zu den Feldlinien ein. Verbindet man alle Stellungen
tangential, erhält man das Feldlinienbild eines Dauermagneten

IV

(Abb. 28.1).

Diese Richtung lässt sich auch mit Hilfe der rechten Hand be-

Wird ein Dauermagnet geteilt, haben beide Teile dieselben ma-
stimmen.

gnetischen Eigenschaften wie der Ausgangsmagnet. Es gibt al-
so, im Gegensatz zu den elektrischen Ladungen, keine einzelne
magnetische Pole, sondern nur Dipole. Magnetische Feldlinien

Der Daumen der rechten Hand wird in Richtung der tech-
sind daher grundsätzlich geschlossene Linien. Die magneti-
nischen Stromrichtung gehalten. Die gekrümmten Finger
schen Pole werden aus historischen Gründen Nord- und Südpol
zeigen dann die Richtung der Magnetfeldlinien an.

genannt. Auch die Erde besitzt ein Magnetfeld. Eine Magnet-
nadel wird sich auch hier parallel zu den Feldlinien einstellen.

Der Pol der Nadel, der in die geographische Nordrichtung zeigt,
heißt Nordpol.

28.1.3

Stromdurchflossene Spule

Sind zwei Magnete vorhanden, ziehen sich ungleiche Pole an.

Die magnetischen Feldlinien werden mit Richtungspfeilen ver-
sehen. Ihre Richtung ist willkürlich festgelegt. Im Außenraum

Wenn stärkere Magnetfelder erzeugt werden sollen, werden
eines Dauermagneten verlaufen sie vom Nordpol zum Südpol.

Spulen verwendet. Wird ein Leiter auf einen zylindrischen Spu-

Da die Feldlinien immer geschlossen sind, verlaufen sie im In-
lenkörper gewickelt, erhält man eine Zylinderspule (Abb. 28.3).

neren eines Dauermagneten vom Südpol zum Nordpol.

Jeder Leiter erzeugt ein Magnetfeld. Zwischen den Leitern
heben sich die von den einzelnen Leitern erzeugten Felder ge-
genseitig auf. Im Außenraum und im Inneren der Spule addieren

N

S
sich die einzelnen Beiträge zum Gesamtfeld. Das in der Mitte
der Spule entstehende Feld ist dann die Vektorsumme aller ein-
zelnen Felder. In der Mitte der Zylinderspule kann das Feld bei
großer Spulenlänge als homogen angesehen werden. Im Außen-
raum ist das Feldlinienbild gleich dem eines Dauermagneten.

Man kann einer Zylinderspule somit auch einen Nordpol und

Abb. 28.1 Dauermagnet
einen Südpol zuordnen.

28.2

Magnetische Grundgrößen

337

N

N

S

Äquator

S

Abb. 28.3 Zylinderspule

Abb. 28.5 Magnetfeld der Erde
wird. Der Sonnenwind besteht aus Wasserstoff- und Heliumio-
nen sowie aus Elektronen. Diese Teilchen treffen mit einigen
r

100 km=s die Erde. Dadurch wird das Magnetfeld auf der Tag-
seite stark zusammengedrückt, auf der Nachtseite der Erde wird
das Magnetfeld zu einem langen Schweif deformiert, der bis
über die Mondbahn hinausgeht.

Die Ursache für das Erdmagnetfeld ist nicht genau bekannt.

Wahrscheinlich rührt es von der Bewegung des ionisierten flüs-

A
sigen Erdkerns her. Das Erdmagnetfeld ist in seiner Stärke und

Abb. 28.4 Ringspule
seiner Richtung nicht konstant. Vor etwa 4 Millionen Jahren war
die Polarität entgegengesetzt. Dies kann aus der Richtung der

Magnetisierung in alten Gesteinen festgestellt werden.

Wird der zylindrische Spulenkörper zu einem Kreis gebogen,
entsteht eine Ringspule (Abb. 28.4). Das hier aus der Überla-
gerung aller einzelnen Magnetfelder entstehende resultierende

IV

Feld hat die Eigenschaft, nur im Inneren des Spulenkerns vor-

28.2

Magnetische Grundgrößen
handen zu sein. Es gibt keine Stelle, an der die Feldlinien, die ja
geschlossene Linien darstellen, austreten können.

Teil

28.2.1

Feldstärke

28.1.4

Magnetfeld der Erde

Bringt man in die Nähe eines stromdurchflossenen Leiters eine

Magnetnadel und stellt sie senkrecht zur Richtung der Feldlini-
en, die wie konzentrische Kreise um den Leiter liegen, so wird

Die Erde besitzt ein Magnetfeld. Eine Magnetnadel zeigt in die
die Nadel durch die Wechselwirkung mit dem Magnetfeld in

Richtung zum magnetischen Pol. Da der Nordpol der Magnet-

Richtung der Magnetlinien gedreht. Es wird also ein Drehmo-
nadel in die geographische Nordrichtung zeigt, andererseits aber
ment M ausgeübt. Die Größe von M ist ein Maß für die Stärke
zum magnetischen Südpol weist, liegt der magnetische Süd-
des Magnetfeldes. Dieses wird mit H bezeichnet
pol auf der Nordhalbkugel. Er befindet sich bei ungefähr 74°
nördlicher Breite und 100° westlicher Länge nordwestlich von

M H

(28.1)

Nordgrönland. Der magnetische Nordpol auf der Südhalbkugel
liegt nicht genau gegenüber. Er liegt bei ungefähr 72° südlicher

Erhöht man den Strom I im Leiter, erhöht sich auch das Dreh-

Breite und 155° östlicher Länge in der Antarktis (Abb. 28.5).

moment und somit die Feldstärke

Die Abweichung des Erdmagnetfeldes von der geographischen

Nord-Süd-Richtung ist die Deklination; sie ist abhängig vom

Ort auf der Erde. In Deutschland beträgt diese Abweichung etwa

H I

(28.2)

2° in westlicher Richtung. Die Feldlinien verlaufen – bis auf die

Äquatorgegend – nicht parallel zur Erdoberfläche. Die Neigung

Werden n Leiter verwendet, hängt die Stärke des Drehmomentes
zur Horizontalen wird Inklination genannt.

von allen Strömen ab:

Das Magnetfeld der Erde ist nicht so symmetrisch, wie in
n

X

Abb. 28.5 dargestellt. Durch Satellitenmessungen ist bekannt,

H

Ii

(28.3)

dass das Magnetfeld durch den Sonnenwind stark deformiert
i D1

338

28 Das Magnetische Feld

Beispiel

Ein massiver Kupferleiter ist nach Abb. 28.7 von ei-
nem Kupferrohr umschlossen. Diese Anordnung dient als
r

Hin- und Rückleitung. In beiden Leitern fließt der gleiche

Strom I D 100 A. Wie groß ist die Feldstärke als Funkti-
on des Abstandes vom Mittelpunkt?

H

Zunächst wird der Bereich 0 < r < r 1 betrachtet. Die

I

Stromdichte S ist überall konstant.

I

Abb. 28.6 Magnetfeld um einen Leiter

Stromdichte

S D

1
r 21

Durchflutung

D S

1
r 2

Die Summe aller Ströme, die von einer geschlossenen Feldlinie
umgeben sind, ist die Durchflutung.

Das Feld in einem beliebigen Abstand r wird mit dem

Durchflutungsgesetz berechnet.

n

X

I

Durchflutung

D

Ii

(28.4)

A

A

S

1
r 2

I r 2

Ir
i D1

H D

D

D

D

(28.11)

2 r

2 r
r 22 r

2 r 2

1

1

Zur Berechnung von Feldstärken kann das Durchflutungsgesetz
benutzt werden.

H nimmt linear mit r zu. Für r D r 1 ist die Grenze dieses

Bereiches erreicht.

Ist die Feldstärke nicht konstant, gilt für die Durchflutung:

I

I

A

H D

D

100 A

D 1591

D

E

1

Hd E s

(28.5)

2 r 1

2 0;01 m
m

I
n

X

Im Bereich r 1 < r < r 2 kommt kein weiterer Strom hinzu,

Durchflutungsgesetz

E

Hd E s D

Ii

(28.6)

die Durchflutung bleibt konstant ( Q D I). H nimmt nach
i D1

(28.10) mit 1= r ab bis zum Wert

Teil

Für den Sonderfall einer konstanten Feldstärke ist

I

A

H D

D

100 A

D 795

IV

2

D

2 r 2

2 0;02 m
m

H l:

(28.7)

Der Weg l muss dabei geschlossen sein.

Im Bereich r 2 < r < r 3 nimmt die Durchflutung wieder
ab.

Zur Berechnung des Feldes in einer Ringspule nach Abb. 28.4
wird der mittlere Radius r gewählt. Der geschlossene Weg ist

.

/

r 2 r 22
dann l D 2 r und es gilt:

D 1 I

(28.12)

. r 2 r 2/

3

2

IN

. r 2 r 2/

2

Feld in einer Ringspule

H D

(28.8)

H D

1 I I

(28.13)

2 r

2 r

. r 2 r 2/

3

2

Dieses Feld ist nicht konstant, sondern fällt nach außen mit 1= r

Für Abstände r > r 3 ist die Feldstärke H D 0. Die Ab-
ab. Ist jedoch der mittlere Radius groß gegenüber dem Win-
hängigkeit der Feldstärke vom Abstand ist in Abb. 28.7
dungsdurchmesser d, kann H innerhalb des Ringquerschnittes
unten aufgetragen.

J
als konstant angenommen werden.

Ein weiteres Beispiel für die Anwendung von (28.6) ist die

Berechnung des Magnetfeldes um einen geraden stromdurch-

Soll das Feld in einer Zylinderspule berechnet werden, ist kein
flossenen Leiter. Das Magnetfeld ist auf Kreisbahnen um den
geschlossener Weg zu finden, auf dem die Feldstärke kon-

Leiter konstant. Der nach dem Durchflutungsgesetz geforderte
stant ist. Der für die Berechnung notwendige geschlossene Weg
geschlossene Weg mit konstanter Feldstärke muss gleich dem
wird in einzelne Stücke aufgeteilt. Auf diesen ist entweder H

Umfang eines Kreises sein. Es fließt nur ein Strom I. Nach
konstant, oder Beiträge von verschiedenen Wegelementen kom-

(28.6) gilt
pensieren sich. Wird der Umlaufweg nach Abb. 28.8 gelegt, gilt

H 2 r D I

(28.9)

für die einzelnen Wegabschnitte:

Feld um einen Leiter

H D

I

(28.10)

Auf dem Teilstück 1 ist das Feld konstant und gleich dem ge-

2 r
suchten Feld, H D const.

28.2

Magnetische Grundgrößen

339

I
r 2
r 1
r
r 3
α

Q

P
r

Abb. 28.9 Biot-Savart’sches Gesetz

I

H

H
r
d s
r
r r
r

1

2

3

Abb. 28.7 Beispiel Magnetfeld um konzentrische Doppelleiter

Abb. 28.10 Feld im Zentrum eines Kreisstromes

4

Das Gesetz, nach dem Magnetfelder bei beliebiger Leitergeo-

∞
metrie zu berechnen sind, ist das Biot-Savart’sche Gesetz. Jedes

Teilstück ds eines stromdurchflossenen Leiters, durch den der
l

2

3

Strom I fließt, trägt zum Feld in einem beliebigen Punkt P bei.

2

Der Beitrag eines Teilstückes ds im Punkt Q ist (Abb. 28.9)

Biot-Savart’sches Gesetz

1

I ds
dH D
sin ˛

(28.19)

4 r 2
l 1

Um das gesamte Feld im Punkt P zu bestimmen, müssen al-
le einzelnen Beiträge zusammengefasst werden. Ist ein Leiter

Abb. 28.8 Feld in einer Spule
zum Beispiel zu einem Kreis gebogen, lässt sich das Magnetfeld

IV
genau im Mittelpunkt mit (28.19) berechnen (Abb. 28.10). Für

Alle Beiträge, die auf dem Teilstück 2 entstehen, werden durch
jedes Leiterelement ds gilt ˛ D 90ůnd sin ˛ D 1. Der Abstand

Teil
entgegengesetzte Beiträge auf dem Teilstück 3 kompensiert.

zum Punkt P (Zentrum) ist überall gleich. Die Gesamtlänge der

Das Teilstück 4 ist so weit entfernt gedacht, dass dort H D 0

Strombahn ist 2 r.

gilt. Das Wegintegral aus (28.6) ergibt dann

Zentrum eines Kreisstromes

I

H

C

C

C

D

1
l 1

H 2 l 2

H 3 l 3

H 4 l 4

H 1 l 1

(28.14)

H D
dH D I 2 r D I

(28.20)

4 r 2

2 r

Wird die Windungszahl mit N bezeichnet, so ist die Durchflu-

Für einen Punkt P auf der Mittelpunktsachse ist die Berechnung
tung

D
etwas komplizierter (Abb. 28.11).

NI

(28.15)

NI

H D I sin3 ˇ

(28.21)

Feld in einer Zylinderspule

H D

D

(28.16)

2 R
l
l
p
mit sin Ď R , r D

R 2 C l 2.

In den Randbereichen der Spule ist allerdings das Feld H
r

1 nicht
konstant. Damit (28.16) trotzdem angewendet werden kann,

Achse eines Kreisstromes
muss die Spulenlänge groß sein gegenüber dem Durchmesser
der Spule. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, liegt also eine kurze

H D

IR 2
p

(28.22)

2. R 2 C l 2/3

Spule vor, ist das Feld nicht homogen und muss auf andere Wei-
se ausgerechnet werden. Der Durchmesser der Spulenwicklung
ist d, die Länge l.

r
kurze Zylinderspule

H

D

NI
p

Mitte

(28.17)

l 2 C d 2

R

NI
β

H

D p

Rand

(28.18)

P

2 l 2 C d 2
l

Wenn l d ist, kann d im Nenner von (28.17) vernachlässigt
werden und es folgt (28.16).

Abb. 28.11 Feld auf der Achse eines Kreisstromes

340

28 Das Magnetische Feld

I

I

1

2
a
γ
b
αP
ε

A B

H

H

1

2

H

Abb. 28.12 Beispiel Magnetfeld von 2 Leitern

U

Beispiel
t

Zwei parallel stromdurchflossene Leiter mit einem Ab-

Abb. 28.13 Spannungsstoß
stand von a D 45 mm führen nach Abb. 28.12 die Ströme

I D

D

1

90 A, I 2

70 A. Der angegebene Punkt P ist von

A

A
den Leitern b D 50 mm, c D 30 mm entfernt. Wie groß
n

B
ist die Feldstärke im Punkt P? Welche Richtung hat sie
zur Verbindungslinie der beiden Leiter?

α

Die von den einzelnen Strömen erzeugten Magnetfelder
stehen senkrecht auf den jeweiligen Verbindungslinien
zum Punkt P. Die Beträge berechnen sich nach (28.10).

A

Abb. 28.14 Magnetischer Fluss

H D

90 A

D

I

1

286;5

2 0;05 m
m

A

H D

70 A

D

2

371;4

28.2.2

Fluss, Flussdichte

2 0;03 m
m

Teil

Diese Komponenten können im entsprechenden Maßstab

Die Gesamtheit aller Feldlinien nennt man den magnetischen
unter dem richtigen Winkel gezeichnet werden. Das resul-

IV

Fluss ˚. Diese Größe kann gemessen werden, indem eine
tierende Feld kann aus der Zeichnung abgelesen werden
geschlossene Leiterschleife aus dem Magnetfeld herausgezo-
zu H D 350 A . Der gesuchte Winkel kann ebenfalls ab-
m
gen wird. Während der Bewegung der Leiterschleife entsteht
gelesen werden: " D 56°.

zwischen den Punkten A und B eine zeitlich veränderliche

Soll die Lösung rechnerisch gefunden werden, müssen

Spannung. Die Fläche unter der Spannungskurve wird als Span-
zunächst die Winkel im Dreieck PI 1 I 2 berechnet werden.

nungsstoß bezeichnet (Abb. 28.13).

Dies kann durch die Anwendung von Sinus- und Kosinus-
satz erfolgen.

Dieser Spannungsstoß wird proportional zur Flussänderung ˚
durch die Leiterschleife gesetzt. Der magnetische Fluss wird in

Weber (Wb) gemessen.

cos D a 2 C b 2 c 2 D 0;805

2 ab

Z

D

$

U
t

36;37ıI

˛ D 62;73ı; Ď 80;9ı

Fluss

$ D
udt

(28.23)

Wb D V s

V
s

Der Winkel zwischen H 1 und H 2 ist 180 ˛ D 117;3°,
für die resultierende Feldstärke H gilt

Wird der Fluss auf eine Flächeneinheit bezogen, ergibt sich die
p

Flussdichte B.

H D

286;52 C 371;42 2 286;5 371;4 cos 62;73ı A
m

$

B

$

A

Flussdichte

B D

(28.24)

D

A

A

T D V s

V s
m2

350
n
m2
m

Die Einheit ist 1 Tesla.

Für den Winkel zwischen H und H 2 gilt

Die Fläche An ist dabei die vom Magnetfeld durchsetzte Fläche.

sin ' D 286;5 sin 62;73ıI

' D 46;7ı

Steht das Magnetfeld nicht senkrecht auf der Fläche, gilt nach

350

Abb. 28.14

" D .90ı 80;94ı/ C 46;7ı D 55;76ı

J

A D
n

A cos ˛

(28.25)

28.3

Kräfte im Magnetfeld

341

Zwischen der magnetischen Flussdichte und der magnetischen
v

Feldstärke gilt im Vakuum die Beziehung
ϕ

E B D E

0

H

(28.26)

B

Die Konstante m 0 ist die magnetische Feldkonstante oder auch

Permeabilität des Vakuums.

magnetische Feldkonstante

F

D

V s

Abb. 28.15 Lorentzkraft

0

4 107

(28.27)

A m

Beispiel

B
v

Eine lange Zylinderspule wird von einem Strom I durch-

F
flossen. Wie groß sind das magnetische Feld und die
r

Flussdichte im Inneren der Spule ( N D 1000, I D 5 A,
l D 1 m)?

NI

A

H D

D 1000 5 A D 5000
l

1 m
m

V s

A

Abb. 28.16 Kreisbahn unter dem Einfluss der Lorentzkraft

B D

D

0 H D 4 107

5000

6;28 103 T

A m
m

J

Der Daumen zeigt in Richtung der Geschwindigkeit, der

Die elektrische Feldkonstante und die magnetische Feldkon-

Zeigefinger in Richtung des Magnetfeldes und der Mit-
stante bestimmen die Ausbreitung von elektromagnetischen
telfinger bei positiver Ladung in Richtung der Kraft; bei

Wellen im Vakuum.

negativer Ladung entgegengesetzt zur Kraft.

Ausbreitungsgeschwindigkeit
c D

1
p"

(28.28)

00

Die drei Vektoren E v, E

B und E

F stehen alle senkrecht aufeinander.

IV

Für die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum gilt entsprechend der

Bewegt sich ein Elektron (negative Ladung) in einem Magnet-

SI Definition (s. Abschn. 11.2) c D 299:792:458 m . Somit lässt feld nach Abb. 28.16, stehen die Feldlinien immer senkrecht s
sich hieraus die elektrische Feldkonstante bestimmen zu
auf dem Vektor der Geschwindigkeit des Elektrons. Damit muss

Teil
auch die Kraft immer senkrecht auf der Geschwindigkeit stehen.

" D

1

D

A s

Der Kraftvektor liegt immer in der Zeichenebene. Die Bewe-

0

8;8541878 1012

(28.29)

c 2 0

V m
gung des Elektrons unter dem Einfluss einer zu jedem Zeitpunkt
senkrecht stehenden Kraft ist eine Kreisbahn. Die Kraft ist dann
zum Mittelpunkt gerichtet, die Richtung der momentanen Ge-
schwindigkeit ist die Tangente an den Kreis. Der Radius der

28.3

Kräfte im Magnetfeld

Kreisbahn ergibt sich aus der Überlegung, dass die Zentrifugal-
kraft gleich der Lorentzkraft ist.

28.3.1

Kräfte auf bewegliche Ladungsträger
mv 2 D e 0 vB

(28.31)

r

Im Gegensatz zu elektrischen Feldern, in denen auf Ladungen
r D mv

(28.32)

immer eine Kraft ausgeübt wird, werden im Magnetfeld Kräfte
e 0 B
nur auf bewegte Ladungen ausgeübt. Sie dürfen sich dabei nicht
parallel zu den magnetischen Feldlinien bewegen (Abb. 28.15).

28.3.2

Stromdurchflossener Leiter

Lorentzkraft

F D

L
qvB sin '

(28.30)

Der Winkel ' ergibt sich aus der Richtung der Geschwindigkeit Auch in einem stromdurchflossenen Leiter werden Ladungen
v und der Richtung des Magnetfeldes B. Mit dieser Gleichung
bewegt. Bringt man diesen Leiter in ein äußeres Magnetfeld,
lässt sich nur der Betrag der Lorentzkraft berechnen. Die Rich-
wird auch hier eine Kraft auf die Ladungen und damit auf den
tung kann mit Hilfe der Drei-Finger-Regel der rechten Hand

Leiter ausgeübt (Abb. 28.17). Da die Ladungen negativ sind
bestimmt werden. Die drei Finger werden rechtwinklig zuein-
und die technische Stromrichtung der tatsächlichen Richtung
ander gestellt.

der Elektronenbewegung entgegengesetzt ist, heben sich beide

342

28 Das Magnetische Feld
a

S

F

I

B
b

B

N

I

I

B

Abb. 28.19 Leiterschleife im Magnetfeld

F

Abb. 28.17 Kraft auf Leiter im Magnetfeld

28.3.3

Magnetisches Moment

S

In einem äußeren Magnetfeld wird auf einen weiteren Magne-
ten ein Drehmoment ausgeübt. Eine Magnetnadel wird sich in

Richtung der Feldlinien einstellen. Der Quotient aus Drehmo-

F
ment und Flussdichte wird magnetisches Moment genannt.

magnetisches Moment

N
j M j
j
m

M

B
m j D

(28.35)

Abb. 28.18 Resultierendes Feld um einen Leiter
j B j

A m2

N m D V A s

V s
m2

Das magnetische Moment ist ein Vektor, der vom Süd- zum
negativen Vorzeichen auf. Die Richtung der Kraft kann mit der

Nordpol zeigt. Eine vom Strom durchflossene Spule erfährt in

Drei-Finger-Regel bestimmt werden.

einem Magnetfeld ein Drehmoment, das versucht, die Schleifen-
fläche senkrecht zu den Magnetfeldlinien zu stellen. Die recht-
eckige Leiterschleife und das Magnetfeld sind in Abb. 28.19

Zeigt der Daumen in Stromrichtung und der Zeigefinger

T
dargestellt. Die Kantenlänge b liegt parallel zum Feld B; da-
eil
in Richtung des Magnetfeldes, dann gibt der Mittelfinger
her wird auf diesen Teil des Leiters keine Kraft ausgeübt. Auf
die Kraftrichtung an.

die Rechteckseiten der Länge a wirken gleichgroße, entgegen-

IV
gesetzte Kräfte F D IBa. Die Schleife dreht sich um die Achse
bei b=2.

Die Ermittlung der Kraftrichtung ist auch unter dem Namen Mo-
torregel bekannt. Hier wird allerdings die linke Hand benutzt.

Drehmoment

Sie wird so in das Magnetfeld gehalten, dass die magnetischen
b

Feldlinien in die Innenfläche der linken Hand eintreten und die

M D 2 I B a

D I B a b D I B A

(28.36)

2

Fingerspitzen in Stromrichtung zeigen. Der abgespreizte Dau-
men zeigt dann die Kraftrichtung an.

magnetisches Moment

Das Magnetfeld des Dauermagneten und das durch den Strom
im Leiter erzeugte Magnetfeld überlagern sich. Auf der linken
m D M D I A

(28.37)

Seite von Abb. 28.18 sind das durch den stromführenden Lei-

B
ter und das durch den Dauermagneten erzeugte Feld gezeichnet,
rechts das daraus entstehende resultierende Feld. Die Richtung

28.3.4

Kräfte zwischen zwei parallelen Leitern
der Kraft auf den Leiter ist aus diesem Feldlinienbild zu ent-
nehmen. Die Kraft ist immer zu kleineren Feldstärken, also zu
weiter auseinander liegenden Feldlinien, gerichtet. Die Größe

Befindet sich ein stromführender Leiter in einem Magnetfeld,
der Kraft hängt neben der Flussdichte B und der Stromstärke I
welches durch einen anderen Leiter hervorgerufen wird, muss
auch noch von der Länge des Leiters l im Magnetfeld und vom
auf den Leiter ebenfalls eine Kraft ausgeübt werden. Das Ma-

Winkel, den der Leiter mit den Magnetfeldlinien einschließt, ab.

gnetfeld am Ort von Leiter 2 ist nach (28.10) und Abb. 28.20:

Dies folgt direkt aus (28.30).

H D I 1

(28.38)

Kraft im Magnetfeld

F D lIB sin '

(28.33)

1

2 d

Die Kraft wirkt immer senkrecht zu der Fläche, die durch das

Mit (28.34) gilt für die Kraft auf den Leiter 2, die durch das

Magnetfeld und die Stromrichtung definiert wird. Sind Leiter

Magnetfeld des Leiters 1 hervorgerufen wird:

und Magnetfeld senkrecht zueinander, dann ist die Kraft

D

0 I 1 I 2 l

F D lIB

(28.34)

F 12

0 H 1 I 2 l D

(28.39)

2 d

28.3

Kräfte im Magnetfeld

343
d
y
z

F 21

F 12
x

H 2

H 1
b

I

U

1

I 2
d

H

Abb. 28.20 Kräfte zwischen zwei Leitern

B

I

F

F

Abb. 28.22 Hall-Effekt

28.3.5

Hall-Effekt

F

F

Wird ein leitendes Plättchen in ein senkrecht zu seiner Oberflä-
che stehendes Magnetfeld gebracht und eine Spannungsquelle
nach Abb. 28.22 angeschlossen, fließt im Plättchen ein Strom
in der angegebenen Richtung. Auf diese bewegten Ladungsträ-
ger wird durch das senkrecht zur Bewegungsrichtung stehende

Magnetfeld die Lorentzkraft nach (28.30) ausgeübt. Bei der an-

Abb. 28.21 Feldlinien um zwei Leiter
gegebenen Anordnung wird auf die Ladungsträger eine solche

Kraft ausgeübt, dass die negativen Ladungsträger zur Oberseite
des Plättchens abgelenkt werden und somit an der Untersei-

Die Richtung dieser Kraft kann nach der Rechte-Hand-Regel be-
te ein Überschuss an positiven Ladungen entsteht. Durch die
stimmt werden und ist in Abb. 28.20 eingezeichnet. Durch das

Ladungstrennung wird ein elektrisches Feld zwischen Ober-

Magnetfeld des Leiters 2 wird am Ort des Leiters 1 ein Magnet-
und Unterseite aufgebaut. Es entsteht die Hallspannung U
feld

H . Im

I

Gleichgewicht sind die Lorentzkraft und die durch das elek-

2

H D

2

(28.40)

trische Feld auf die Ladungen wirkende Kraft entgegengesetzt

2 d
gleich groß.

erzeugt. Hierdurch wird nach der gleichen Überlegung die Kraft

F

D ev

IV

0 I 2 I 1 l

Ly
x Bz

(28.42)

F

D

21

0 H 2 I 1 l D

(28.41)

2 d

UH

F D
el
eE D e

(28.43)

Teil
ausgeübt.

d

U D d v

Die Beträge sind gleich, die Richtungen entgegengesetzt. Es gilt

H
xBz

(28.44)

die Aussage:

Mit (25.9) ist

Zwei parallele vom Strom in gleichen Richtungen durch-
v D

I

D

I
x

(28.45)

flossene Leiter ziehen sich an.

neA
nebd

Hallspannung

U D 1 dIB D

IB

H

RH

(28.46)

ne
bd
b

Die von beiden Strömen hervorgerufenen Magnetfelder überla-

R
gern sich.

H
n
e

Hall-Koeffizient

R D 1

H

(28.47)

ne
m3

1

A s

Zwischen den beiden Leitern sind die Richtungen der Feldlinien

A s
m3
entgegengesetzt, das resultierende Feld wird hier geschwächt.

Durch Messung dieser Größe können die Ladungsträgerdich-

Sind beide Ströme gleich groß, verschwindet das Feld genau
te und die Art des Leitungsmechanismus (Elektronen oder
in der Mitte. Die Kraft wirkt in Richtung des schwächeren

Löcherleitung) bestimmt werden. Sind die Ladungsträger Elek-

Magnetfeldes. Die beiden Leiter ziehen sich also an. Sind die
tronen, ist der Hall-Koeffizient negativ; bei Löcherleitung ist

Stromrichtungen in beiden Leitern entgegengesetzt, wird das re-
er positiv (Tab. 28.1). Da die Hallspannung direkt proportio-
sultierende Feld zwischen den Leitern verstärkt. Die Kräfte sind
nal zur Flussdichte B ist, werden Hall-Sonden zur Messung
jetzt so gerichtet, dass sich beide Leiter abstoßen (Abb. 28.21).

von Magnetfeldern verwendet. Bei bekannter Geometrie und
bekanntem und konstantem Strom durch die Hallsonde ist die

Hallspannung proportional zum Magnetfeld.

Zwei parallele vom Strom in entgegengesetzten Richtun-
gen durchflossene Leiter stoßen sich ab.

Eine weitere Anwendung findet der Hallgenerator in der Mess-
technik. Er wird dann eingesetzt, wenn das Produkt zweier

344

28 Das Magnetische Feld

Tab. 28.1 Hall-Koeffizienten

28.5

Materie im Magnetfeld

Werkstoff

RH [1011 m3=A s]

Cu

5,5

Wird Materie in ein magnetisches Feld gebracht, ändert sich,

Al

3,6
analog zur Materie im elektrischen Feld, die Flussdichte B.

Ag

9,0

Diese Änderung wird relativ zur Flussdichte im Vakuum ange-

Au

7,5
geben.

Cd

C6,0

Sn

C14,0

InAs

107
relative Permeabilität

D BM D BM
r

(28.50)

B 0

0 H 0

Induktionsflussdichte

B D

D

M
rB 0
r0 H 0

(28.51)

R V

I H

U H

Die dimensionslose Zahl mr ist die relative magnetische Feld-
konstante oder relative Permeabilität. Die durch die Materie

U

R
zusätzlich hervorgerufene Flussdichte ist die
magnetische Polarisation

I

J D B

M

B 0

(28.52)

B

J D .

D

r

1/ B 0

. r 1/0 H 0

(28.53)

magnetische Suszeptibilität

Abb. 28.23 Hallgenerator

D

M

. r 1/

(28.54)

J D

D

M B 0

M0 H 0

(28.55)

Größen gemessen werden soll. In Abb. 28.23 ist die Prinzip-

Schaltung angegeben. Der Strom IH wird durch die Verbraucher-

Die magnetische Suszeptibilität kann gemessen werden, indem
spannung U festgelegt. Dabei muss dieser Strom klein gegen
der zu untersuchende Stoff in ein inhomogenes Magnetfeld ge-
den Strom durch den Verbraucher gehalten werden. Dies wird
bracht wird. Stoffe mit negativer Suszeptibilität werden zu Orten

T
durch den geeigneten Vorwiderstand RV erreicht. Der Strom
geringerer Feldstärke herausgedrückt, Stoffe mit positiver Sus-
eil
durch den Verbraucher wird durch eine in Reihe geschalte-
zeptibilität zu Orten größerer Feldstärke gezogen (Abb. 28.24).

te Spule geschickt, die das für den Halleffekt erforderliche

IV

Magnetfeld erzeugt. Die Hallspannung ist proportional zum

Die magnetische Polarisation gibt die Änderung der magneti-

Produkt aus Strom und Spannung des Verbrauchers, also auch
schen Flussdichte an. Die Änderung der magnetischen Feldstär-
zu seiner Leistung
ke wird durch die Magnetisierung M beschrieben.

Magnetisierung

M D H H

U

M

0

(28.56)

H

IH B U I P:

(28.48)

M D BM H 0

(28.57)

Der Hallgenerator ist im Prinzip eine Multiplizierschaltung für

0
zwei Ströme. Zur Leistungsmessung muss ein Strom als Mess-

M D

D

r H 0

H 0

. r 1/ H 0 (28.58)

größe an Stelle der Verbraucherspannung genommen werden.

M D MH 0

(28.59)

Polarisation

J D 0 M

(28.60)

28.4

Energie des Magnetfeldes

Die Magnetisierung ist bei vielen Stoffen proportional zur ma-
gnetischen Feldstärke H und somit ist für diese Stoffe M

Analog zu (27.61) gilt im Falle eines Magnetfeldes für die Ener-
giedichte
dia

Z

Energiedichte
w D

HdB

(28.49)

N

S

Wenn der Zusammenhang zwischen Flussdichte B und Feld-
para
stärke H nicht linear ist, kann dieses Integral nicht in einfacher

Weise berechnet werden.

Abb. 28.24 Messung der Suszeptibilität

28.5

Materie im Magnetfeld

345

Tab. 28.2 Einteilung magnetischer Werkstoffe

Tab. 28.3 Suszeptibilität von diamagnetischen Stoffen

Diamagnetisch
r < 1, M < 0

104 < M < 109

Material

M

Paramagnetisch
r > 1, M > 0

106 < M < 102

N2 (gasförmig)

6;75 109

Ferromagnetisch

r

1, M

1
r > 500

Bi

1;5 104

Au

2;9 105

Cu

1 105
konstant. Ausnahme hiervon bilden die nichtlinearen magneti-

Wasser

7 106
schen Werkstoffe, wie z. B. die ferromagnetischen Werkstoffe.

Nach ihrem Verhalten in Magnetfeldern werden Werkstoffe in

B
die in der Tab. 28.2 aufgeführten Hauptklassen eingeteilt.

Das unterschiedliche Verhalten der Materie im Magnetfeld ist
auf die Elektronenstruktur und die damit verbundenen ma-
gnetischen Momente zurückzuführen. Jedes Elektron erzeugt
durch seine Bewegung magnetische Momente. Es gibt zwei
unterschiedliche Bewegungen der Elektronen, die magnetische

Momente erzeugen. Zum einen ist es die Bewegung um den
m

Atomkern. Hierdurch wird das magnetische Bahnmoment er-
zeugt. Zum anderen rotiert das Elektron um seine eigene Achse.

Abb. 28.25 Ursache des Diamagnetismus

Diese Rotation wird Spin genannt. Durch diese Rotation entsteht
das magnetische Spinmoment. In jedem Stoff liegt eine Überla-
gerung von Bahnmoment und Spinmoment vor. Die Magnetisie-

28.5.1

Diamagnetismus
rung M ergibt sich als Summe aller magnetischen Momente.

Ein auf einer Kreisbahn um den Atomkern kreisendes Elek-
tron kann als kreisförmiger Strom betrachtet werden, da Ladung

Der Diamagnetismus ist bei allen Stoffen vorhanden, aber bei
transportiert wird. Bei einer Umlaufzeit T ist dieser
bestimmten Konfigurationen der magnetischen Momente der
einzelnen Atome wird er von anderen magnetischen Eigenschaf-
e
ten überdeckt. Zu beobachten ist der Diamagnetismus bei allen

0

! e 0

Kreisstrom

I D

D

T

2

(28.61)

Stoffen mit abgeschlossenen Elektronenschalen. Ohne äußeres

Magnetfeld kompensieren sich die magnetischen Momente al-

Das magnetische Moment dieses Kreisstromes ist nach (28.37):

ler Elektronen eines Atoms. Unter dem Einfluss eines äußeren

Feldes führen die Momente, analog zur Bewegung eines Krei-

IV
magnetisches Moment
sels, Präzessionsbewegungen aus. Dies ist eine Bewegung, die
ein rotierender Körper durchführt, an dem eine äußere Kraft an-
e

Teil

! e 0 r 2

0! r 2
greift. Der Körper weicht senkrecht zur Kraftrichtung aus. Unter
m D

D

B

IA D

(28.62)

2

2
dem Einfluss des Magnetfeldes B laufen die Spitzen der einzel-
nen magnetischen Momente auf Kreisbahnen um die Richtung

In der Quantenmechanik der Physik wird gezeigt, dass die Be-
von B. Hierdurch entsteht ein zusätzliches Moment, welches
ziehung
der Richtung des äußeren Feldes entgegengesetzt ist und es
schwächt. Somit muss die Suszeptibilität negativ sein. Der Dia-
h
magnetismus wird also durch das äußere Feld induziert. Die
m el! r 2 D 2

(28.63)

Suszeptibilität diamagnetischer Stoffe ist nicht temperaturab-
hängig (Abb. 28.25 und Tab. 28.3).

gilt, mit der Naturkonstanten h, dem Planck’schen Wirkungs-
quant und der Elektronenmasse m el. Gleichung (28.62) kann
hiermit umgeformt werden zu

28.5.2

Paramagnetismus

Bohr’sches Magneton
e 0 h

Diese Stoffe haben normalerweise eine ungerade Anzahl von
m D

B

(28.64)

4 m el

Elektronen, oder die Elektronenschalen sind nicht gefüllt. So-
mit verbleibt für jedes Atom ein resultierendes magnetisches
m D 1;602 1019 A s 6;626 1034 J s

B

Moment. Ohne äußeres Magnetfeld sind alle diese einzelnen

4 9;109 1031 kg

Momente statistisch in alle Richtungen verteilt und das resultie-

D 9;274 1024 A m2

(28.65)

rende Moment verschwindet. Unter dem Einfluss eines äußeren

Magnetfeldes richten sich die atomaren Momente in Feldrich-

Je nach Anordnung und Eigenschaften der magnetischen Mo-
tung aus und verstärken das Magnetfeld. Die Suszeptibilität ist
mente in der Materie reagiert diese in unterschiedlicher Weise
daher positiv. Da die thermische Bewegung der Atome, und da-
auf äußere Magnetfelder.

mit auch die der atomaren Momente, mit steigender Temperatur

346

28 Das Magnetische Feld

Tab. 28.4 Suszeptibilität von paramagnetischen Stoffen

J E

,

Material
cM

B S

O2 (flüssig)

3;6 103

B R

III

O2 (gasförmig)

1;5 106

Neukurve

II

Pt

2;5 104

Al

2;4 105

I

H C

H

Abb. 28.27 Hysterese

H
in mehreren Schritten. Zunächst werden sich die Bezirke, deren

Momente in etwa in Richtung des Magnetfeldes liegen, ver-
größern. Es werden also die Wände zwischen den Weiß’schen

Bezirken verschoben. Bei kleinen Feldstärken ist dieser Vor-
gang reversibel (Bereich I in Abb. 28.27), bei Abschalten des

Feldes werden die Verschiebungen rückgängig gemacht. Wird

H
die Feldstärke weiter vergrößert, werden diese Wandverschie-
bungen irreversibel (Bereich II). Werden die Feldstärken noch
größer, so werden schließlich alle Momente der einzelnen Be-
zirke gedreht, bis sie in der Endstellung parallel zum angelegten

Magnetfeld liegen (Bereich III). Die Magnetisierung hat jetzt
ihren Sättigungswert Ms erreicht.

H

28.5.3.1

Magnetisierungskurve

Teil

Abb. 28.26 Weiß’sche Bezirke

Diese komplizierten Vorgänge verlaufen nicht linear mit stei-
gender Feldstärke, daher ist auch die Magnetisierungskurve

IV
keine Gerade. Üblicherweise wird nicht die Magnetisierung M
zunimmt, wird dieser Ordnungszustand der Momente im äu-
aufgetragen, sondern die Polarisation J oder die Flussdichte B.

ßeren Feld bei höherer Temperatur schlechter. Daher muss die

Da für diese Stoffe

Suszeptibilität von der Temperatur abhängig sein (Tab. 28.4).

1 ist:

C
r

M
r und J B

(28.67)

Curie-Gesetz

D

M

(28.66)

T

Wird die Feldstärke nach Erreichen der Sättigungsmagnetisie-

Die Größe C heißt Curie-Konstante und ist materialabhängig.

rung verringert, verläuft die Magnetisierungskurve auf einem
anderen Weg, da die Vorgänge teilweise irreversibel sind. Wird
das Magnetfeld umgepolt und dann wieder bis zur Sättigung
magnetisiert, erhält man die in Abb. 28.27 aufgezeigte Kurve.

28.5.3

Ferromagnetismus

Aus dieser Hysteresekurve lassen sich folgende Größen ablesen:

Die verbleibende Flussdichte bei abgeschaltetem Magnetfeld

Ferromagnetische Stoffe haben, wie paramagnetische Materia-
wird als Remanenzflussdichte oder Remanenz B
lien, ein resultierendes magnetisches Moment pro Atom. Durch
r bezeichnet. Sie
ist ein Maß für die Stärke von Dauermagneten. Die magnetische
gegenseitige Kräfte stellt sich ein Zustand ein, bei dem in größe-

Feldstärke, die notwendig ist, um den Stoff zu entmagnetisie-
ren Bereichen ohne äußeres Magnetfeld alle Momente in einer
ren (Wert B D 0 einzustellen), wird als Koerzitivfeldstärke H

Richtung ausgerichtet sind. Diese Bereiche, die nach ihrem Ent-
c
bezeichnet.

decker benannten Weiß’schen Bezirke, können Durchmesser bis
zu 1 mm haben. Die Wände, die diese Bezirke trennen, sind die

Wird ein Stoff magnetisiert, muss hierzu Energie aufgewendet

Bloch-Wände. Ohne äußeres Feld sind die Momente der ein-
werden. Diese Energie wird für die Verschiebung der Wände
zelnen Bezirke statistisch verteilt, der Werkstoff ist dann nach
und die Drehung der Momente aufgewendet.

außen unmagnetisch (Abb. 28.26).

Z

Z

Wird ein solches Material in ein Magnetfeld gebracht und dieses
w D

HdB D

H0 r. H/ dH

(28.68)

langsam vergrößert, geschieht die Magnetisierung des Materials

28.5

Materie im Magnetfeld

347

J B

,

J B

,

H

H

J B

,

P

Δ

Abb. 28.28 Magnetisierungsenergie

B 2

B P

Δ H 2

Δ B 1

Da die relative Permeabilität keine Konstante und der mathe-
matische Zusammenhang nicht genau bekannt ist, kann dieses

H

Integral normalerweise nicht berechnet werden. Die Bestim-

P

H

Δ H 1
mung der aufzuwendenden Energie pro Volumeneinheit bis zu
einer bestimmten Magnetisierung kann grafisch geschehen, in-

Abb. 28.31 Bestimmung der Permeabilität
dem die schraffierte Fläche in Abb. 28.28 bestimmt wird.

Da bei einem vollen Durchlauf der Hysteresekurve in Berei-
μ r
chen, in denen der Werkstoff entmagnetisiert wird, Energie frei
wird, ist die gesamte pro Volumeneinheit benötigte Energie bei
μ a
einem vollen Durchlauf der Kurve aus der Fläche der Hystere-
sekurve zu entnehmen (Abb. 28.29).

I
w D

HdB ¶ A

H

Hysterese

(28.69)

Abb. 28.32 Verlauf der Permeabilität

Magnetische Werkstoffe werden in magnetisch harte und ma-
gnetisch weiche Materialien unterteilt. Magnetisch harte Werk-
stoffe besitzen eine große Fläche, und damit bei gleicher Rema-

28.5.3.2

Verlauf der Permeabilität
nenz eine große Koerzitivfeldstärke, magnetisch weiche Stoffe
eine kleine Hysteresefläche (siehe Abb. 28.30).

Die relative Permeabilität mr ist durch (28.50) definiert. Ihr Wert
kann aus der Hysteresekurve bestimmt werden. Hierzu wird der

1. Quadrant der Magnetisierungskurve betrachtet. Bei vorgege-

IV
bener Feldstärke H wird die zugehörige Flussdichte B abgelesen

J B

,
und dann mit (28.50) mr berechnet.

Teil

Wie aus Abb. 28.31 oben zu entnehmen ist, sind bei einer Feld-
stärke bis zu drei verschiedene Flussdichten möglich. Daher
kann es auch drei verschiedene Werte für die relative Permeabi-

H
lität geben. Die relative Permeabilität ist von der magnetischen

Vorgeschichte des Werkstoffes abhängig. Wird die Bestimmung
an der Neukurve vorgenommen (Abb. 28.31 unten), erhält man
für jede Feldstärke nur einen Wert. Dieser Wert ist nicht kon-
stant, sondern von H abhängig. Bestimmt wird r für die

Feldstärke HP, indem vom Nullpunkt eine Gerade zum Punkt

Abb. 28.29 Ummagnetisierungsverluste

P auf der Neukurve gezeichnet wird und dann B 1 und H 1
abgelesen werden. Hieraus wird mr berechnet.

J B

,

B 1
relative Permeabilität

D 1
r

(28.70)

weich
hart

0 H 1

Der prinzipielle Verlauf ist in Abb. 28.32 dargestellt. Ausgehend
von einem Anfangswert a durchläuft die Kurve ein Maximum.

H

Die Werte für a liegen im Bereich von einigen Hundert bis zu
einigen Tausend.

Für manche Überlegungen ist es notwendig, nicht die relative

Permeabilität, sondern eine Größe zu verwenden, die aus der

Steigung der Kurve bestimmt wird. Dies wird differentielle Per-

Abb. 28.30 Harte und weiche Werkstoffe
meabilität d genannt. Im Punkt P wird die Tangente an die

348

28 Das Magnetische Feld

Tab. 28.5 Curie-Temperatur und Sättigungspolarisation
a
b
c

Werkstoff

TC [K]

Js.0/ [V s=m2]

Gd

289

2,54

Ni

631

0,64

Fe

1042

2,18

Abb. 28.34 Magnetische Stoffe. a Ferro, b antiferro, c ferri

Co

1400

1,81

J T

( )/ J
s
s(0)

28.5.4

Antiferromagnetismus

1

Voraussetzung für die ferromagnetischen Eigenschaften sind die

Weiß’schen Bezirke mit den parallel eingestellten magnetischen

Momenten (Abb. 28.34a). Unter bestimmten Bedingungen stel-
len sich in einigen Werkstoffen die Momente nicht parallel,

T T

/

0
c
sondern antiparallel ein (Abb. 28.34b). Für diese Stoffe gilt wie

1
für die Ferromagnetika, dass sie sich oberhalb einer kritischen

Abb. 28.33 Sättigungsmagnetisierung

Temperatur, der Néel-Temperatur TN , paramagnetisch verhal-
ten, da die Ordnung der Momente durch die höhere Temperatur
zerstört wird. Unterhalb der Néel-Temperatur sind diese Stoffe

Hysteresekurve gezeichnet und deren Steigung nach Abb. 28.31
schwach magnetisch, da sich die Momente gegenseitig kompen-
unten durch B
sieren. Typische Substanzen sind MnO, NiO, CoO, CrF3, FeO.

2 und H 2 bestimmt.

B 2
differentielle Permeabilität

D 1
d

(28.71)

0 H 2

28.5.5

Ferrimagnetismus

28.5.3.3

Temperaturabhängigkeit

Grundlage für die ferromagnetischen Eigenschaften ist die Aus-

In ferrimagnetischen Stoffen sind die Momente ebenfalls anti-
richtung der magnetischen Momente in den Weiß’schen Be-
parallel eingestellt. Im Gegensatz zu den antiferromagnetischen
zirken. Diese Ausrichtung wird als spontane Magnetisierung

Stoffen sind sie hier nicht gleich groß (Abb. 28.34c). Die Ferrite

T
bezeichnet. Eine solche Ausrichtung wird durch die thermische
haben große technische Bedeutung, sowohl als weichmagneti-
eil

Energie beeinflusst. Je höher die Temperatur, desto größer ist
sche, als auch als dauermagnetische Werkstoffe. Sie sind keine
die thermische Bewegung, und desto geringer wird der Ord-

Metalle, sondern Ionenkristalle. Im Vergleich zu Metallen (

IV
nungsgrad sein. Bei Überschreitung einer kritischen Temperatur

107 ( m) haben sie einen wesentlich größeren spezifischen
werden die Weiß’schen Bezirke zerstört und der Werkstoff wird

Widerstand (1 < < 103 ( m). Daher treten kaum Wirbel-
paramagnetisch. Als Maß für diesen Ordnungsgrad dient der
ströme auf. Ferrite werden als Spulenkerne für Anwendungen

Sättigungswert der Magnetisierung oder der Polarisation. Die
bei hohen Frequenzen eingesetzt. Die Abhängigkeit der spon-

Temperaturabhängigkeit von Js ist in Abb. 28.33 gezeigt.

tanen Magnetisierung von der Temperatur ist sehr kompliziert
und kann durchaus für die einzelnen Werkstoffe unterschiedlich

Aufgetragen sind relative Sättigungswerte, bezogen auf den
sein. Auch diese Stoffe werden oberhalb der ferrimagnetischen

Wert bei 0 K als Funktion der Temperatur, bezogen auf die kri-

Curie-Temperatur paramagnetisch. Typische Werkstoffe sind
tische Temperatur TC. Diese kritische Temperatur ist die Curie-

MeO Fe

Temperatur. Für Temperaturen oberhalb der Curie-Temperatur

2O3, (Me D Fe, Co, Ni).

gilt für die Suszeptibilität das

Curie-Weiß’sche Gesetz

D

C

M

(28.72)

28.6

Magnetische Kreise

T TC

Die Curie-Temperaturen einiger Stoffe sind in Tab. 28.5 aufge-

Manchmal ist es zur Berechnung der Kombinationen von ma-
führt.

gnetischen Bauteilen hilfreich, formale Analogien zu elektri-
schen Schaltungen herzustellen. Dazu werden eine magnetische

28.5.3.4

Magnetostriktion

Spannung und ein magnetischer Widerstand eingeführt.

Durch die Verschiebung der Bloch-Wände bei der Magnetisie-
rung von ferromagnetischen Stoffen kann eine Längenänderung
des Werkstückes auftreten. Es kommen sowohl Verlängerungen,

28.6.1

Magnetische Spannung
positive Magnetostriktion, als auch Verkürzungen, negative Ma-
gnetostriktion, vor. Die relativen Längenänderungen sind sehr
klein l 4 105. Technische Anwendung findet dieser Effekt

In Analogie zur elektrischen Spannung nach (27.8) kann man
l
bei der Erzeugung von Ultraschall bis zu einer Frequenz bis zu
auch in magnetischen Kreisen eine magnetische Spannung de-
ungefähr 60 kHz.

finieren. Sie hat dann die gleiche formale Struktur wie die

28.6

Magnetische Kreise

349
elektrische Spannung. Die Spannung zwischen den Punkten 1

A
und 2 ist die magnetische Spannung.

2

Z

I
l
magnetische Spannung

V

D

E

12

Hd E s

(28.73)

N

1

Die Addition aller Teilspannungen ergibt die
magnetische Umlaufspannung
o

I

V D

E

H d E l D NI

(28.74)

Abb. 28.35 Spule mit Eisenkern

Dieser Ausdruck ist aber im Durchflutungsgesetz nach (28.6)

aufgetreten.

B

T

D V

(28.75)

1.5

28.6.2

Magnetischer Widerstand

B E

1.0

Der magnetische Fluss in einem konstanten Magnetfeld einer

Ringspule ist

0.5

IN

$ D BA D 0 rHA D 0 r

A

(28.76)

l

0.1

NI D V D $
l

(28.77)

H

0 rA

E 500

1000

1500

H

A/m

In Analogie zu (25.14) wird ein magnetischer Widerstand defi-
niert.

Abb. 28.36 Magnetisierungskurve von Eisen

Magnetischer Widerstand
sigt. Die Neukurve ist in Abb. 28.36 gegeben. Die Windungs-

IV

R

R D
l
m
l

0

A
m

(28.78)

A
zahl der verwendeten Spule ist N. Da die relative Permeabilität

0 rA
m

V s
m2

V s

A m
von Eisen sehr viel größer ist als die von Luft (

r Fe

2000),

Teil
verläuft der in der Spule erzeugte magnetische Fluss fast voll-
magnetischer Leitwert
ständig im Eisenkern, obwohl die felderzeugende Spule nur an

einer Stelle um den Eisenkern liegt. Der Fluss im Eisenkern ist

D 1 D 0 rA

(28.79)

R
daher überall gleich groß. Der Strom I durch die Spule erzeugt
m
l
das Magnetfeld H D I N

E

. Zu diesem Magnetfeld kann aus der

Das Produkt
l

0 r kann als magnetische Leitfähigkeit gedeutet

Magnetisierungskurve die zugehörige Flussdichte BE abgelesen
werden. Die relative Permeabilität ist ein Maß dafür, magne-
werden.

tische Feldlinien zu leiten. Der formal gleiche Aufbau der

Formeln für elektrische und magnetische Größen hat aber nur

Wird nun in den Eisenkern ein Luftspalt der Breite d geschnitten
den Zweck, den Umgang mit magnetischen Größen zu vereinfa-

(Abb. 28.37), sind analog zur Maschenregel zwei magnetische
chen. Es werden völlig andere Größen miteinander verglichen.

Spannungen zu addieren. Der magnetische Gesamtwiderstand
ist gleich der Summe der Einzelwiderstände. Da der Luftspalt
als sehr klein angenommen wird, ist der magnetische Fluss im

28.6.3

Unverzweigte Kreise

Eisen und im Spalt gleich.

Nach (28.77) ist

Ein unverzweigter magnetischer Kreis kann formal behandelt

werden wie eine elektrische Masche

˚
lE

X

NI D

C lL

(28.81)

1

V D D NI

(28.80)

0 A
r

NI D H

C

E lE

HLlL

(28.82)

Ein oft benutzter magnetischer Kreis ist der geschlossenen Ei-

D BE
senkern ohne Luftspalt, wie er in Abb. 28.35 gezeichnet ist.

HL

(28.83)

0

Der Eisenkern hat längs des Umlaufweges l überall den gleichen

NI D H

C BE l

Querschnitt A. Abweichungen in den Ecken werden vernachläs-

E lE

L

(28.84)

0

350

28 Das Magnetische Feld

A

B

T

1.5

I
l E

B

N

S
d

1.0
l L

B E
o

0.5

Abb. 28.37 Spule mit Luftspalt

0.1

H E

500

1000 H S 1500

H

A/m

Beispiel

Abb. 28.38 Einfluss des Luftspaltes

Ein Ringkern mit der in Abb. 28.36 angegebenen Magne-
tisierungskurve hat eine mittlere Länge von l D 35 cm

Ist hingegen bei einer Spule mit Luftspalt die Durchflutung
und eine Querschnittsfläche von A D 4 cm2. Die verwen-
gegeben und nach dem magnetischen Feld gefragt, kann dies
dete Spule hat eine Windungszahl von N D 200.

Problem nur grafisch gelöst werden, da die mathematische Form
der Magnetisierungskurve nicht bekannt ist. Ausgehend von
a) Welche Stromstärke I wird benötigt, um einen Fluss

(28.84) ist zu sehen, dass das Feld im Eisen linear mit zuneh-
von f D 4;4 104 Wb zu erzeugen?

mender Breite des Luftspaltes abnimmt.

b) in den Kern wird ein Luftspalt von 0,3 mm geschnitten.

Welche Stromstärke wird jetzt benötigt?

H

D

E lE

NI BE l

L

(28.85)

Lösung:

0

Die Schnittpunkte dieser Geraden mit den Koordinatenachsen
a)

˚
berechnen sich nach

T

B D

D 4;4 104 Wb D

E

1;1 T
eil

A

NI

4 104 m2

Schnittpunkte

H D

S

(28.86)

lE

IV

Aus der Magnetisierungskurve wird zu diesem B-Wert

0 NI
ein Feld H

D

B D

(28.87)

E

400 A abgelesen. Hierzu wird ein

S
m
lL

Strom von

Die Schnittpunkte dieser „Luftspaltgeraden“ mit der Magneti-

H

sierungskurve ergeben die gesuchten Werte für H

E l

400 A 0;35 m

E und BE .

I D

D
m

D 0;7 A

N

200

Beispiel
benötigt.

b) BE und HE werden wie unter a) bestimmt. Das Feld im

Wie groß ist die Feldstärke und die Flussdichte in einem

Luftspalt ist

Eisenkern mit 0,3 mm Luftspalt und einer mittleren Länge
von 24 cm, wenn durch eine Spule mit 150 Windungen ein

A

H D BE D

1;1 T

D

Strom von 2 A fließt?

L

8;75 105

0

4 107 V s
m

A m

A

H D 2 A 150 D

S

1250

Nach (28.82) ist

0;24 m
m

4 107 V s 2 A 150

A m

H

C

B D

D 1;256 T

E lE

HLlL

S

I D

3 104 m

L

N

Diese Werte und die Gerade werden in Abb. 28.38 ein-

.400 0;35 C 8;75 105 3 104/ A

I D

D
getragen. Die Koordinaten des Schnittpunktes mit der

L

2;01 A

200

Magnetisierungskurve sind H D 280 A und B D 0;97 T.

J

E
m

E

J

28.6

Magnetische Kreise

351

Tab. 28.6 Analogie elektrischer – magnetischer Kreis

Elektrischer Kreis

Magnetischer Kreis

H

Ursache

Elektrische Spannung U; Œ U D 1 V

Magnetische Spannung D

Hds D NI; Œ D 1 A

Wirkung

Strom I; Œ I D 1 A

Fluss $; Œ$ D 1 Wb D 1 V s

Ohm’sches Gesetz

R D U

R D

I
m

$

Widerstand

R D l

; Œ R D 1 (

R D
l

; Œ R

A

m D 1 A

0 r A

Wb

Leitfähigkeit

; Œ D 1 A

D 1 V s

V m

0 r ; Œ0 r D 1 Wb

A m

A m

28.6.4

Verzweigte Kreise
l 1
l 2
l 3

40

Die Berechnung kann analog zu den Überlegungen in elektri-
schen Kreisen durchgeführt werden (Tab. 28.6).

I

II

III
n

X

200

Knotenregel

$ D
i

0

(28.88)

40

80

160

40
i D1
n

X

Maschenregel

D

Hili

(28.89)

360
i D1

Abb. 28.39 verzweigter Kreis

Beispiel

IV

Im mittleren Steg II des Transformatorkernes nach

Abb. 28.39 soll ein Fluss von $ D

2

1;6 103 Wb erzeugt

Teil

Hierzu gehört nach Abb. 28.38
werden. Auf Steg I befindet sich eine Spule mit 150 Win-
dungen. Welcher Strom muss durch die Spule fließen?

A

A

Die Magnetisierungskurve ist durch Abb. 28.38 gegeben.

H D

I

D H 2 l 2 D

I

2

300

H 3

85;7
m
l 3
m

Aus der Zeichnung lassen sich folgende geometrische

B D 0;4 T

Größen bestimmen:

3

D
l D

D

D

$3

B 3 A D 6;4 104 WbI

1

40 cm;
l 2

16 cm;
l 3

56 cm;

A D 1;6 103 m2

$ D

C

D

1

$2

$3

2;24 103 Wb

Da sich die Spule nur auf dem Steg I befindet, sind die

$1

A

B D

D

D
magnetischen Spannungen der beiden Zweige II und III

1

1;4 TI

H 1

1100

A
m
gleich

$

NI D H

C

D

1 l 1

H 2 l 2

488 AI

2

H

D

I

D

D 1;6 103 Wb D

2 l 2

H 3 l 3

B 2

1 T

A

1;6 103 m2

I D

1

3;25 A

J

Induktion

29

Reinhard von Liebenstein

29.1 Induktion bei Änderung der Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

IV

29.2 Induktion bei Änderung des Magnetfeldes . . . . . . . . . . . . . . 355

Teil

29.3 Die Induktivität einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

353

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_29

354

29 Induktion

Eine der wichtigsten Erscheinungen für die Elektrotechnik ist

1
die Induktion. Faraday erkannte im Jahr 1831, dass jede zeitli-
che Änderung des magnetischen Flusses in einer Leiterschleife
eine Spannung hervorruft, die Spannung induziert. Ursache der

Induktion ist die Lorentzkraft.

I
u q

29.1

Induktion bei Änderung der

2

Fläche

Abb. 29.3 Induktion als Ersatzspannungsquelle

B

Bei der Bewegung eines Leiters in einem Magnetfeld senkrecht

H ind
zu der Richtung der Feldlinien wird auf die Elektronen eine

1

Kraft ausgeübt. Die Kraft ist bei den in Abb. 29.1 angegebe-

I
nen Richtungen der Geschwindigkeit v und des Magnetfeldes
u
v
ind

I

B so, dass die Elektronen zum hinteren Teil des Leiters bewegt

F ind
werden.

Im Abb. 29.1 ist die Lorentzkraft auf negative Ladungen ein-

2
gezeichnet. Diese Trennung erfolgt solange, bis das elektro-
statische Gegenfeld und die dadurch erzeugte Kraft F

Abb. 29.4 Lenz’sche Regel
ind sich
aufheben. Für die Beträge gilt
j F j D j j
ind

FL

(29.1)

Bei der betrachteten Bewegung des Leiters wird die Fläche um
j u j
das Stück vergrößert
j
ind
e
j D

0 vB j D j e 0 E ind

(29.2)

l
j

A D l s D l v t

(29.6)

vB j D j E
j
ind

(29.3)

j

Flussänderung

$ D B A D B l v t (29.7)

u
j D j
ind
vBl j

(29.4)

$

T
induzierte Spannung
u

D
ind

(29.8)

eil

Wenn auf die Größen u ind, v, B die rechte Handregel angewendet
t
wird, ( v in Daumen, B in Zeigefinger und u ind in Mittelfinger-

IV
richtung nach Abb. 29.2), ist:

Wird die Leiterschleife in Abb. 29.2 zwischen den Punkten

1 und 2 durch einen Widerstand verbunden, fließt ein Strom.

Induzierte Spannung
u

D
ind
vBl

(29.5)

Hierfür kann das in Abb. 29.3 dargestellte Ersatzschaltbild ver-
wendet werden.

Der Strom, der in Abb. 29.2 durch den Leiter fließt, erzeugt

B
selbst wieder ein Magnetfeld. Die Richtung dieses induzierten

Feldes ist so, dass auf den Leiter eine Kraft ausgeübt wird,
l
die die Bewegung des Leiters hemmt (Abb. 29.4). Das wird als

F L
v

Lenz’sche Regel bezeichnet.

U

F ind

Die durch Bewegung von Magneten oder Leitern erzeug-
ten Induktionsströme haben eine solche Richtung, dass ihr

Abb. 29.1 Änderung der Fläche durch Bewegung des Leiters

Magnetfeld der Bewegung entgegengesetzt wirkt.

Δ s

B

ZF

Es muss also bei der Bewegung Arbeit geleistet werden.

1

Das Magnetfeld stand bei der bisherigen Betrachtung senkrecht

MF

D
v
zur Fläche. Ist dies nicht der Fall, wird der Fluss durch den Flä-
u
l
ind
chenanteil, der senkrecht zum Magnetfeld steht, bestimmt. Eine

ZF

D

Flussänderung kann auch durch Rotation einer Leiterschleife

2
nach Abb. 29.5 bewirkt werden. Die Schleife dreht sich mit der

Winkelgeschwindigkeit !.

Δ

MF

A

Abb. 29.2 Bewegter Leiter im Magnetfeld

Momentaner Fluss t

$ D B A cos ! t

(29.9)

29.2

Induktion bei Änderung des Magnetfeldes

355
l

29.2

Induktion bei Änderung des
v

Magnetfeldes
v t b
b

Bei konstanter Fläche einer Leiterschleife oder einer Spule
kann durch Magnetfeldänderungen eine Flussänderung hervor-
gerufen werden. Dies kann z. B. durch Stromänderung in einer

B

B

Erregerspule erreicht werden. Die Flussänderung ist dann

Abb. 29.5 Rotation einer Leiterschleife
d$

0 N err dI err

Flussänderung

D

(29.14)

dt
l err
dt

Daraus resultiert eine induzierte Spannung

Dieser Effekt wird bei Transformatoren verwendet. Das Induk-
tionsgesetz lautet bei N Windungen einer Feldspule
u

D d$ D
ind

B A ! sin ! t (29.10)

dt

Wechselspannung
u D O u sin ! t

(29.11)

d$

Induktionsgesetz
u

D
ind

N

(29.15)

dt

Scheitelspannung

O u D B A !

(29.12)

dB
dAn

Wird nicht nur eine Schleife, sondern eine Spule mit N Windun-
u

D

C
ind

N

An

B

(29.16)

dt
dt
gen gedreht, ist die

Scheitelspannung

O u D N B A !

(29.13)

An ist der Flächenanteil, der senkrecht zu den Feldlinien steht.

Aus (29.16) geht hervor, dass es gleichgültig ist, ob sich die ma-

Beispiel
gnetische Flussdichte bei gleichbleibender Fläche ( Transforma-
torenprinzip) oder die Fläche bei gleichbleibender Flussdichte

Ein in Richtung Ost-West liegender Metallstab von 2 m

( Generatorenprinzip) ändert.

Länge fällt aus 15 m Höhe zu Boden. Welche Spannung
wird durch das Erdmagnetfeld induziert, wenn der Stab

Entscheidend ist, dass sich der Fluss in einer Leiterschleife än-
den Boden erreicht ( B

D
dert. Wird eine Leiterschleife in einem homogenen Magnetfeld

Erde

20 &T)?

bewegt, ändert sich der Fluss nicht. Die durch die auch hier vor-
p
p
m
m
handene Lorentzkraft verursachte Verschiebung der Elektronen
v D

2 gh D

2 9;81 15

D 17;16
hebt sich in gegenüberliegenden Teilen der Schleife gegenseitig

IV
s
s
auf.

j
m
u
j D j

ind
vBl j D 17;16

20 106 T 2 m
s

Wird eine Schleife im inhomogenen Feld bewegt, entsteht eine

Teil

D 0;68 mV

J

Induktionsspannung, da sich bei der Bewegung der Fluss ändert
und in den gegenüberliegenden Teilen der Schleife unterschied-
liche Spannungen induziert werden. In den in Abb. 29.6 parallel

Beispiel
zur Bewegungsrichtung liegenden Teilen der Schleife werden
keine Spannungen induziert.

Eine quadratische Spule mit der Kantenlänge a D 5 cm
und N

D

1

50 Windungen rotiert mit n D 250 min1
um ihre Symmetrieachse im Inneren einer langen Zy-
linderspule, die je cm 8 Windungen hat und von 6 A
durchflossen wird. Welchen Scheitelwert erreicht die in-
duzierte Spannung?

N Sp I

V s 8 6 A

B

D

I

D

D

Sp

0

B Sp

4 107

6 mT
l Sp

A m 102 m

O u D N

1

B A 2 n

O

V s

1
u D 50 6 103

.5 102 m/2 2 250
m2

60 s

D 20 mV

J

V u = 0V

V u = 0V

Abb. 29.6 Bewegung einer Schleife im homogenen und inhomogenen Feld

356

29 Induktion
φ /10 Wb

–4
zeugte magnetische Fluss $. Wegen dieser Flussänderung wird

5
eine Spannung in der Spule induziert. Dieser Vorgang wird

4

Selbstinduktion genannt. Die induzierte Spannung ist nach der

3

Lenz’schen-Regel dem erzeugenden Strom entgegen gesetzt.

2
d$

1
u D N

(29.17)

dt

0

10 20 30 40 50 t/ms

Da die Flussänderung durch eine Stromänderung verursacht
wird, gilt auch

U/ B
di

5
u D L

(29.18)

dt

4

ˇˇ ˇ
dt ˇ

L
u
i
t

3

Induktivität

L D ˇˇ u ˇˇ

(29.19)

2
di

H D V s

V

A
s

A

1

30 40 50

Die Einheit ist 1 Henry, 1 H.

0

10 20
t/ms

–1

Aus (29.17) und (29.18) folgt

–2
d$

A dB

–3

L D N

D N

(29.20)

di
di

–4
dB
dH

L D NA

(29.21)

dH
di

Abb. 29.7 Beispiel Induktion

Befindet sich kein ferromagnetischer Stoff in der Spule, so ist
dB D 0

(29.22)

dH

Beispiel
dH D N

(29.23)

T

Eine Spule mit N D 100 Windungen wird von einem
di
l
eil

A

Fluss ˚ durchsetzt, der den in Abb. 29.7 oben darge-

Induktivität

L D 0 N 2

(29.24)

l

IV
stellten Verlauf hat. Welchen zeitlichen Verlauf hat die
induzierte Spannung?

Ist der Spulenkörper ferromagnetisch, gilt

In den Zeitintervallen 0 . . . 10 ms, 20 . . . 30 ms, > 40 ms
ändert sich der Fluss nicht, somit ist in diesen Bereichen
dB D 0 d

(29.25)

u

D
dH
ind

0 V.

A

Im Intervall 10 . . . 20 ms gilt

L D 0 dN 2

(29.26)

l
d$ D 4 104 Vs D 40 mV
d ist die differentielle Permeabilität.

dt

10 103 s
d$

Die Induktivität spielt in Wechselstromkreisen eine große Rolle.

u

D

D
ind

N

100 .40 mV/ D 4 V

Sie ist für beliebige Leiteranordnungen und Leitergeometrien
dt
schwierig zu berechnen, lässt sich aber in Wechselstromkreisen

Im Intervall 30 . . . 40 ms hat die induzierte Spannung den-
gut durch Messungen bestimmen (Abb. 29.8).

selben Wert mit umgekehrtem Vorzeichen. Die induzierte

Spannung ist in Abb. 29.7 unten aufgetragen.

J

0 rl

2 l

Einfachleitung

L D
ln

3

(29.27)

2
r

4

0 rl
a

Doppelleitung

L D

C 1

ln

(29.28)

r

4

29.3

Die Induktivität einer Spule

Bei koaxialen Leitern ist die Gesamtinduktivität nach folgenden

Gleichungen zu berechnen:

29.3.1

Selbstinduktion

0 rl

Innenleiter

L D
i

In der Ringspule in Abb. 28.4 mit der Windungszahl N soll

8

(29.29)

der Strom i beliebig veränderbar sein. Wird der eingespeiste

0 rl
r 1

Zwischenraum

L

D

ZW
ln

(29.30)

Strom geändert, so ändert sich auch der von diesem Strom er-

2
r

29.3

Die Induktivität einer Spule

357
l

Sp1

Sp2
r

N1

N2
φ 12

I 1
a
r

Abb. 29.10 Gegeninduktion

Abb. 29.8 Doppel-Leitung
ferromagnetischen Stoffe beteiligt sind. Wie aus Abb. 29.10 er-
sichtlich, wird Spule 2 nicht vom gesamten in Spule 1 erzeugten

Fluss durchsetzt.

Außenleiter

$ D $ C $

1

12

1

(29.38)

0 rlr 4
r 2

.3 r 2 r 2/. r 2 r 2/

$ D $ C $

L D

2

2

1

2

1

2

21

2

(29.39)

a
ln

(29.31)

2. r 2 r 2/
r

4 r 4

2

1

1

2

$12 wird als Hauptfluss, $1 als Streufluss bezeichnet. Es lassen
gesamte Induktivität

L

D

C

C
ges

Li

L ZW

La

(29.32)

ich folgende Ausdrücke definieren:

Streufaktoren

29.3.2

Gegeninduktion

$

$

D 1 I

D 2

1

$

2

(29.40)

1

$2

Befindet sich in der Nähe einer stromdurchflossenen Spule Sp1

Streuinduktivitäten
eine zweite Spule Sp2, so verläuft ein Teil des von der Spule 1
erzeugten Magnetfeldes auch durch die Spule 2. Die Spulen sind

L D

I

D

1

1 L 1

L2

2 L 2

(29.41)

magnetisch gekoppelt. Der vom Strom I 1 in der Spule 1 erzeugte
magnetische Fluss durchsetzt die Spule 2 nur zum Teil. Dieser

Koppelungsfaktoren

Anteil ist $12. Der Gesamtfluss in der Spule 2 ist dann
k D

I

D

1

1 1
k 2

1 2

(29.42)

$

D

G 12

N 2$12

(29.33)

totaler Koppelungsfaktor

N

2$12

I 1

(29.34)

p

N

D
k D
k

2$12

M 12 I 1

(29.35)

1 k 2

(29.43)

IV

Der Faktor M 12 wird als Gegeninduktivität bezeichnet. Bei

Hauptflüsse

Teil

Abwesenheit von ferromagnetischen Materialien ist die Gegen-

$ D k

I

$ D k
induktivität eine Konstante. Wird der Strom in der Spule 1

12

1˚1

21

2$2

(29.44)

geändert, wird in der Spule 2 eine Spannung induziert.

Gegeninduktivität
d$
p
p

12
di 1
u D

D

D

2

N 2

M 12

(29.36)

M D
k 1 k 2 L 1 L 2
k

L 1 L 2

(29.45)

dt
dt

Wird die Spule 2 vom Strom durchflossen, so wird in der Spule

Beispiel

1 eine Spannung

Wie groß sind die Streufaktoren für die in Abb. 29.11
di 2
u D
dargestellte Anordnung zweier konzentrisch ineinander

1

M 21

(29.37)

dt
liegender Zylinderspulen? Die Abmessungen der beiden

Spulen sind
induziert. Die Gegeninduktivitäten sind gleich, wenn die Per-
meabilitäten nicht vom Magnetfeld abhängen, wenn also keine
d D

D

D

1

18 mm;
l 1

60 mm;

N 1

250
d D

D

D

2

10 mm;
l 2

30 mm;

N 2

24
r 2 r 1

Fluss
r
d 2

$ D

D
i 1 N 1

1

1

0 H 1 A 1

0 l 1 4
i 1 N 1 d 22
l

$ D

D

12

0 H 1 A 2

0 l 1 4

Abb. 29.9 Koaxialleiter

358

29 Induktion

N1

N2

R
i
d 1
u
d

L
u

2

U
ind

S
l 1

Abb. 29.12 Spule

Abb. 29.11 Beispiel Gegeninduktion

Ist die Induktivität konstant, enthält die Spule kein ferromagne-
tisches Material, kann dieses Integral berechnet werden.

induzierte Spannung

Energie in einer Spule

W D 1 LI 2

(29.50)

d$12

N 1 N 2 d 2 di 1

2
u D

D

2

2

N 2

0
dt

4 l 1
dt

Bei Anwesenheit von ferromagnetischen Materialien ist zur Be-
stimmung der Energie das grafische Verfahren nach Abb. 28.28

Der Faktor vor di 1 ist die Gegeninduktivität M.

dt
anzuwenden.

Gegeninduktivität

N 1 N 2 d 2

M D

2

29.3.4

Ein- und Ausschaltvorgänge

0

4 l 1

4 107 V s 250 24 .10 103 m/2

Wird im Stromkreis von Abb. 29.12 zur Zeit t D 0 der Schalter

M D

A m

4 60 103 m

S geschlossen, ändert sich der Strom i. Damit wird in der Spule
eine Spannung induziert. Es gilt nach der Maschenregel

Streufaktor
u C u

ind
iR D 0

(29.51)

$ D

1

$1 $12
di
u L

D iR

(29.52)

$

$

D 1 D

12
dt

1

I

T

1

$

$
eil

1

1

Zu Beginn des Vorganges ist der Strom i D 0, am Ende hat der
i
d 2

1 N 1

2

2

Strom seinen Maximalwert I D U erreicht. Die mathematische

0
d

R

IV

D
l 1

4

D

2

Form dieser Differentialgleichung ist wie die beim Aufladen ei-

1

1

1
i
d 2

1 N 1

1
d 1

0
nes Kondensators. Die Lösungsfunktion ist wie in (27.67) durch
l 1

4

eine e-Funktion darzustellen.

2

D

10 mm

D

1

1

0;691

J

18 mm

Einschalten
i D I.1 e R t= L/

(29.53)

i D I.1 e t= /

(29.54)

Zeitkonstante

D L

(29.55)

29.3.3

Energie im Magnetfeld einer Spule

R

Wird eine Spule, durch die ein konstanter Strom I fließt und

Zum Aufbau des Magnetfeldes in einer Spule ist Energie er-
in der ein konstantes Magnetfeld besteht, kurzgeschlossen, wird
forderlich. Ist die Induktivität L bekannt, kann die benötigte
eine Spannung induziert, die nach der Lenz’schen Regel ver-

Energie berechnet werden.

sucht, das Magnetfeld aufrecht zu halten. Der Strom wird seinen

Endwert ebenfalls nach einer e-Funktion erreichen.

di
u D L

(29.46)

dt

Kurzschließen
i D Ie R t= L

(29.56)

dW D u i dt

(29.47)

di
dW D L
i dt D L i di

(29.48)

i
dt

U/ R

Wird die Spule nach Abb. 29.12 geschaltet, steigt der Strom vom

Wert i D 0 A bis zum Maximalwert i D U D I an. Damit be-

R

63%
trägt die der Spule zugeführte und im Magnetfeld gespeicherte

Energie:

I

Z

Energie des Magnetfeldes

W D

Li di

(29.49)

0
τ
t

0

Abb. 29.13 Einschaltvorgang einer Spule

29.3

Die Induktivität einer Spule

359

Beispiel

I

R

Eine Konstantstromquelle nach Abb. 29.14 speist die Rei-
henschaltung aus R D 50 ( und L D 200 mH mit einem

S

Strom I D 2 A. Zum Zeitpunkt t D 0 wird der Schalter

L
geschlossen.

a) Welcher Strom fließt durch den Widerstand nach 2 ms?

b) Welche Spannung liegt dann am Widerstand?

Abb. 29.14 Beispiel Kurzschließen einer Spule
c) Welche Spannung liegt dann an der Spule?

Lösung:

0;2 V s

D 0;2 H D

A

D 4 ms

29.3.5

Zusammenschalten von Induktivitäten

50 (

50 V

A
a)

i D Ie t= D 2 A e2 ms=4 ms D 1;21 A

Für die Zusammenschaltung von Induktivitäten gelten dieselben
b)

u D

R
i R D 1;21 A 50 ( D 60;65 V

Gesetze wie bei Ohm’schen Widerständen.

c)

u D

D

R
n

X

L

L di

L I
e Rt= L
dt

L

D

Reihenschaltung

L ges

Li

(29.57)

i D1
u D

50 (

L

0;2 H 2 A
e2ms=4ms

0;2 H
n

1

X 1

D 60;65 V

Parallelschaltung

D

(29.58)

L ges

Li
u C

D
i D1

R
uL

0

J

IV

Teil

Wechselstrom

30

Horst Steffen

30.1 Grundbegriffe des Wechselstroms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

IV

30.2 Grundschaltelemente im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . 364

30.3 Schaltungen von Wechselstromwiderständen . . . . . . . . . . . . . 367

Teil

30.4 Passive Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

30.5 Schwingkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

30.6 Leistung und Arbeit im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . 379

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

361

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_30

362

30 Wechselstrom

30.1

Grundbegriffe des
induzierte Spannung

Wechselstroms
u
u

D d˚ D
ind

B

A

!

ind

B A ! sin ! t
dt

V

V s
m2

1
m2
s

Wechselstrom oder Wechselspannung sind Größen, bei denen

(30.2)

sich die Werte zeitabhängig periodisch wiederholen. Der arith-
metische Mittelwert der sich periodisch mit der Zeit ändernden

Maximalwert der Spannung (Scheitelwert O u):

Augenblickswerte ist gleich Null. Die Zeitspanne, nach der

Scheitelwert

O u D B A !

(30.3)

sich der periodische Verlauf gleichartig wiederholt, ist die Pe-
riodendauer T. Die Zahl der Perioden pro Zeit nennt man die

Rotiert die Leiterschleife einmal im Magnetfeld, hat sie einen

Frequenz f .

Winkel von 360° überstrichen. Dabei wurde in die Leiterschleife
f

T
eine Wechselspannung induziert, deren zeitlicher Verlauf ei-

Frequenz
f D 1

(30.1)

T

1
s
ner Sinusschwingung entspricht. Die Leiterschleife hat mit der
s

Winkelgeschwindigkeit ! in der Periodendauer T einen Winkel

Die Einheit der Frequenz ist Œ f D s1 D Hz (Hertz).

˛ D 2 (Bogenmaß) überstrichen.

Nach DIN 5488 unterscheidet man periodische Vorgänge, de-

In Anlehnung an die gleichförmige Rotation mit der Winkelge-
ren Mittelwert nicht Null wird und solche, deren Mittelwert
schwindigkeit ! hat man für Wechselgrößen die Kreisfrequenz

Null wird. Ist der Mittelwert Null, spricht man von einer
definiert.

Wechselgröße. Bei den Wechselgrößen unterscheidet man die

!

f
nichtsinusförmigen und die sinusförmigen Vorgänge (Sinusgrö-

Kreisfrequenz

! D 2 f

(30.4)

ßen). Im Abb. 30.1 ist der Verlauf einer Sinusgröße dargestellt.

s1
s1

Die Kreisfrequenz ! gibt an, welcher Bogen in einer Sekunde
überstrichen wird. Hieraus ergibt sich die Periodendauer T.

30.1.1

Erzeugung einer sinusförmigen

Wechselspannung

Periodendauer

T D 2

!

(30.5)

Wird eine Leiterschleife mit konstanter Winkelgeschwindigkeit

Beispiel

! in einem homogenen Magnetfeld gedreht (Abb. 30.2), so

Teil
hängt die Größe der induzierten Spannung von der Winkelge-

Eine Leiterschleife dreht sich mit einer Umdrehung pro
schwindigkeit und der vom Magnetfeld durchsetzten Fläche ab.

Sekunde. Welchen Wert hat die Kreisfrequenz und die Pe-

IV
riodendauer?

Mit f D 1 s1 folgt für die Kreisfrequenz ! D 2 f D

23;141 s1 D 6;28 s1. Die Leiterschleife hat also einen

U

Bogen von 2 in einer Sekunde zurückgelegt.

Für die Periodendauer ergibt sich

90° 180°

270°

360°
α = ω t

T D 2 D 2 3;14 D

!

1 s1:

J

6;28 s1

T

Beispiel

Abb. 30.1 Verlauf einer Sinusgröße

Eine Leiterschleife dreht sich mit 100 Umdrehungen pro

Sekunde. Welchen Wert hat die Kreisfrequenz und die Pe-

N
riodendauer?

Mit f D 100 s1 folgt für die Kreisfrequenz ! D 2 f D
ω

2 3;14 100 s1 D 6;28 102 s1. Die Leiterschleife hat

U
also einen Bogen von 2 100 in einer Sekunde zurück-
gelegt.

Für die Periodendauer ergibt sich

D

2 3;14

D

S

T D 2

102 s1:

J

!

6;28 100 s1

Abb. 30.2 Induktionsvorgang

30.1

Grundbegriffe des Wechselstroms

363
u 1
u 2
x
x
ϕ
ϕ
ϕ

90°

180° 270°

360°

90° 180°

270°

360°

Abb. 30.4 Konstruktion eines Zeigers aus einer Sinusgröße

Abb. 30.3 Liniendiagramm zweier phasenverschobener Spannungen

30.1.2

Phasenverschiebung

U 2

U
ϕ

Werden in einem Magnetfeld zwei Leiterschleifen, die in einem

1

U

Winkel ' zueinander versetzt sind, mit gleicher Winkelge-
schwindigkeit gedreht, so werden in ihnen zwei sinusförmige

Abb. 30.5 Addition zweier Zeiger

Spannungen induziert, die sich nicht decken. Nach Abb. 30.3
erreichen beide Spannungen ihr Maximum um den Phasenwin-
kel ' verschoben.

30.1.4

Darstellungsarten

Die Spannungen sind phasenverschoben. Nach Abb. 30.3 er-
reicht die Spannung u 2 den Maximalwert später als die Span-

Eine Sinusgröße ist eindeutig bestimmt durch die Angabe von
nung u 1. Die Spannung u 2 eilt der Spannung u 1 nach.

Amplitude, Frequenz und Phasenlage. Handelt es sich um Si-
nusgrößen mit gleicher Frequenz, genügen zwei Angaben, um
die Sinusgröße eindeutig zu bestimmen. Aus diesem Grund

30.1.3

Effektivwert
kann bei der Berechnung von sinusförmigen Vorgängen auf
die Darstellung in Abhängigkeit von der Zeit (Frequenz) ver-

Mit dem Scheitelwert O i ergibt sich der Effektivwert I eff eines si-
zichtet werden. Für die Berechnung von Sinusgrößen in der
nusförmigen Wechselstroms:

Elektrotechnik haben sich zwei Verfahren durchgesetzt: die Zei-

O
gerdarstellung und die Darstellung der Größen in der komplexen
i

Effektivwert

I

D p D
eff

0;707 O i

(30.6)

Zahlenebene.

2

IV

Der Effektivwert I eff eines sinusförmigen Stroms verrichtet an

30.1.4.1

Zeigerdarstellung von Sinusgrößen
einem Widerstand R die gleiche elektrische Arbeit wie ein
gleich großer Gleichstrom.

Der zeitliche Verlauf einer sinusförmigen Wechselgröße kann

Teil

Gleiche Überlegungen für die Spannung ergeben den Effektiv-
über ein Linien- oder ein Zeigerdiagramm dargestellt werden.

wert U eff einer sinusförmigen Wechselspannung:

Aus der Geometrie ist bekannt, dass sich eine Sinuskurve aus

O u
der Drehung eines Zeigers im Einheitskreis konstruieren lässt.

Effektivwert

U

D p D
eff

0;707 O u

(30.7)

Umgekehrt kann jede Sinuskurve durch einen Zeiger, der nach

2

Abb. 30.4 rotiert, dargestellt werden.

Effektivwerte werden wie Gleichstromwerte durch Großbuch-
staben bezeichnet, eventuell zusätzlich durch den Index „eff“.

Wird die Länge des Zeigers als Maximalwert der Sinusgröße
festgelegt, kann der Augenblickswert in Abhängigkeit vom zu-

Beispiel
rückgelegten Winkel bestimmt werden.

Welchen Effektivwert weist ein sinusförmiger Wechsel-

Augenblickswert
x D O x sin '

(30.8)

strom mit Scheitelwert O i D 32 A auf?

Zeichnerisch lässt sich der Augenblickswert ermitteln, indem

O i
von der Zeigerspitze das Lot auf die durch den Kreismittelpunkt

I D p

D 0;707 O i D 0;707 32 A D 22;624 A J

2
gehende Gerade gefällt wird. Das Zeigerdiagramm stellt eine

„Momentaufnahme“ der sich drehenden Zeiger dar.

Die Addition zweier sinusförmiger Wechselgrößen in der Zei-

Beispiel
gerdarstellung ergibt sich, wenn ein Zeiger parallelverschoben
wird, bis sein Ursprung auf der Spitze des zweiten Zeigers liegt

Welchen Scheitelwert weist eine sinusförmige Spannung

(Abb. 30.5).

mit dem Effektivwert U D 220 V auf?

p

Die Subtraktion zweier Zeiger ergibt sich, wenn ein Zeiger par-

O u D

2 U D 1;414 220 V D 311;08 V

J
allelverschoben wird, bis seine Spitze auf der Spitze des zweiten

Zeigers liegt (Abb. 30.6).

364

30 Wechselstrom

Der Winkel mit der reellen Achse kann folgendermaßen berech-
net werden:

U

U

Z

2

2

Winkel des Zeigers

˛ D arctan

(30.12)

Z
ϕ

1

1

U

Der Betrag des Zeigers lässt sich über die Phasenlage in den

Abb. 30.6 Subtraktion zweier Zeiger

Realteil und den Imaginärteil zerlegen.

+ Im

Realteil

Z D j Z j cos ˛

(30.13)

1

Imaginärteil

Z D j Z j sin ˛

(30.14)

2
a = ( Z ·
α
cos )

Mit Hilfe dieser Zerlegung kann der Zeiger in der polaren Form

Z

( Z · sin )

α
beschrieben werden.

α
polare Form

Z D j Z j .cos ˛ C j sin ˛/

(30.15)

Re

Mit Hilfe der Euler’schen Gleichung ist die Exponentialform

– Im
des Zeigers möglich:

Abb. 30.7 Zeiger in der komplexen Zahlenebene

Euler’sche Gleichung
cos ˛ C j sin ˛ D ej˛

(30.16)

Exponentialform

Z D j Z j ej˛ D Z ej˛

(30.17)

30.1.4.2

Darstellung von Sinusgrößen in der

Die bisher aufgeführten Möglichkeiten der Darstellung eines
komplexen Zahlenebene

Zeigers in der komplexen Ebene gelten allgemein, also unab-

Eine Sinusgröße lässt sich durch die Zeigerdarstellung relativ
hängig davon, ob der Winkel ˛ konstant oder eine Funktion der
einfach darstellen. Durch das graphische Verfahren dieser Dar-

Zeit ist. Bei der Behandlung von Wechselstromaufgaben muss
stellungsart ist eine genaue Auswertung oft unmöglich oder sehr
jedoch zwischen den Operatoren und den Zeigern unterschieden

T
zeitaufwendig. Aus diesem Grund wurden die Zeiger in der
werden.

eil

Gauß’schen Zahlenebene als komplexe Größen dargestellt und
können somit berechnet werden.

Operatoren sind zeitlich konstante Größen. Sie symbolisieren

IV
meistens Widerstände. Ihr Winkel ˛ zu der reellen Achse ist

In der Gauß’schen Zahlenebene wird jeder Punkt dieser Ebene
zeitlich konstant.

durch eine komplexe Zahl beschrieben.

Zeiger symbolisieren sinusförmige Wechselgrößen. Ihr Winkel
komplexe Zahl

Z D a C jb

(30.9)

˛ ist eine Funktion der Zeit (Summe ! t C '), obwohl diese

Tatsache bei der Darstellung nicht berücksichtigt wird.

Summand a stellt den reellen Anteil dar und Summand jb den

Berücksichtig wird der Unterschied zwischen Operatoren und
imaginären Anteil. Beschreibt man den Endpunkt eines Zeigers

Zeigern bei der mathematischen Behandlung dieser Größen und

Z, der vom Nullpunkt der Gauß’schen Zahlenebene ausgeht,
zwar beim Integrieren und Differenzieren (Abb. 30.11, 30.12
durch eine komplexe Zahl (Abb. 30.7), so ist damit auch der
und 30.13).

komplexe Zeiger eindeutig bestimmt.

kartesische Form

Z D a C jb D Z C Z

(30.10)

1

2

30.2

Grundschaltelemente im

(mit Z D a und Z D jb).

1

2

Wechselstromkreis

Der Zeiger Z kann also durch die Addition der beiden Zeiger Z 1
und Z gebildet werden.

2

30.2.1

Ohm’scher Widerstand

Vereinbarungsgemäß wird für die komplexe Darstellung von

Zeigern das gleiche Symbol und die gleiche Definition benutzt
wie für den Zeiger selbst. Der komplexe Zeiger wird mit dem

Wird ein ohmscher Widerstand an eine Wechselspannung ange-
unterstrichenen lateinischen Buchstaben der Größe bezeichnet.

schlossen, ergibt der 2. Kirchhoff’sche Satz:

Der Betrag wird nur durch den lateinischen Buchstaben angege-
ben.

2. Kirchhoff’sche Satz
u i R D 0

(30.18)

q

Betrag des Zeigers
j Z j D Z D

Z 2 C Z 2

(30.11)

i D u

(30.19)

1

2

R

30.2

Grundschaltelemente im Wechselstromkreis

365
i
u
i
u

;

;

A V

A V
u
u
i
i

90° 180°

270° 360°
ω t

90°

180°

270°

360°

Abb. 30.8 Verlauf von Strom und Spannung am Ohm’schen Widerstand

Abb. 30.9 Verlauf von Strom und Spannung an einer Kapazität

Der Wechselstrom hat also zu jeder Zeit einen Wert abhängig
von u und R. Zwischen Strom und Spannung tritt keine Phasen-
kapazitiver Blindwiderstand
verschiebung auf (Abb. 30.8). Der Scheitelwert des Stroms und

O
der ohmsche Wechselstromwiderstand berechnet sich zu
j
u

!

C

X j D

D

D U D

1

C

XC

O

(30.28)

1

A s
i

I

! C

O
s

V
u

Scheitelwert

O i D

(30.20)

kapazitiver Leitwert

B D ! C

(30.29)

R

C

Der Kondensator im Wechselstromkreis ist also für den Wech-
ohmscher Wechselstromwiderstand
selstrom kein unüberwindliches Hindernis, er wirkt aber trotz-

O
dem wie ein Widerstand. Dieses ist leicht zu verstehen, wenn
u

U

R D

D
man sich vorstellt, dass bei jeder Periode Ladungsträger zwi-

O

(30.21)

i

I
schen den Kondensatorplatten und der Spannungsquelle bewegt
werden.

Wechselstromleitwert

Die Darstellung in der komplexen Schreibweise ergibt (30.30)

O i

I
bis (30.32).

G D 1 D

D

(30.22)

R

O u

U
ohmsches Gesetz

I D U

(30.30)

Die Darstellung in der komplexen Schreibweise ergibt folgende

Z

IV

Gleichungen:

Widerstandsoperator

Teil
ohmsches Gesetz

I D U

(30.23)

Z

Z D

1

D jX D U

C

(30.31)

j! C

I

Widerstandsoperator

Z D R D U

(30.24)

I

Leitwertoperator

Leitwertoperator

Y D 1 D G

(30.25)

Z

Y D 1 D j! C D jBC

(30.32)

Z

30.2.2

Kapazität

30.2.3

Spule

Wird eine Kapazität an eine Wechselspannung angeschlossen,
so ergibt der 2. Kirchhoff’sche Satz

Wird eine Spule an eine Wechselspannung angeschlossen, so

Z
ergibt der 2. Kirchhoff’sche Satz:

2. Kirchhoff’sche Satz
u 1
idt D 0

(30.26)

C
di

2. Kirchhoff’sche Satz
u L

D 0

(30.33)

i D C du D C O u ! cos.! t/

(30.27)

dt
dt
di
u D L

(30.34)

dt

(mit u D O u sin.! t/).

Z

O

Zwischen dem Strom i und der Spannung u besteht eine Phasen-
i D 1
udt D 1
u cos ! t

(30.35)

L

! L
verschiebung von ' D 90° (Abb. 30.9). Teilt man die Spannung
durch den Strom, ergibt sich der kapazitive Blindwiderstand XC

(mit u D O u sin.! t/).

366

30 Wechselstrom
i
u

I

;

A V

U
u

Zeigerbild
i
i

+Im
u

R

90°

180°

270°

360°
ωt

I, R

U

Re
komplexe Darstellung

–Im

Abb. 30.11 Darstellung von Strom und Spannung am ohmschen Widerstand

Abb. 30.10 Verlauf von Strom und Spannung an einer Induktivität
in der Zeiger- und komplexen Form

Zwischen dem Strom i und der Spannung u besteht eine Pha-

Beispiel
senverschiebung von ' D 90° (Abb. 30.10). Teilt man die

Spannung durch den Strom, ergibt sich der induktive Blindwi-

Eine Induktivität von L D 100 m V s wird an einem Wech-

A
derstand XL.

selstromnetz mit U D 220 V und f D 50 Hz betrieben.

induktiver Blindwiderstand

Welchen Wert hat der sich einstellende Strom? Darstel-
lung des Zeigerbildes.

O
j
u

!

L

X j D

D

D U D

L

XL

O

! L

(30.36)

Zeigerdarstellung:

1

V s
i

I
s

A

Z
induktiver Leitwert

B D

1
i D 1
udt D 1

O u cos ! t

L

!

(30.37)

L

L

! L

Die Spule im Wechselstromkreis ist also nicht widerstandslos,

)

I D

U
obwohl der ohmsche Anteil vernachlässigt wird. Der induktive

! L

Blindwiderstand der Spule ist durch die auftretende Selbstin-

D

220 V
duktionsspannung an der Spule zu erklären. Diese Spannung der

2 50 s1 100 103 V s

A

T

Spule bewirkt, dass der Spulenstrom der Wechselspannung um

D
eil

7 A

90° nacheilt.

IV

Die Darstellung in der komplexen Schreibweise ergibt (30.38)

Komplexe Darstellung:

bis (30.40).

U

U ej 0

U

I D

D
ohmsches Gesetz

I D

(30.38)

Z
j! L

Z

U

D

220 V ej 0

Widerstandsoperator

Z D j! L D jX D

L

(30.39)

I
j 2 50 s1 100 103 V s

A

Leitwertoperator

Y D 1 D

1

D jBL

(30.40)

Z
j! L

D 220 V ej 0 D 7 A e j 90

J

31;42 V s ej 90

A

Beispiel

Ein Widerstand von R D 100 ( wird an einem Wech-
selstromnetz mit U D 220 V und f D 50 Hz betrieben.

U

Welchen Wert hat der sich einstellende Strom? Darstel-
i
lung des Zeigerbildes.

I

Zeigerdarstellung

Zeigerdarstellung:

u

L

O

O u
i D I D

D U D 220 V D 2;2 A

R

R

100 (

+Im
ω
j L

Winkel ist nicht darstellbar.

U

Re

Komplexe Darstellung:

I komplexe Darstellung

U

U

–Im

I D

D

D 220 V ej0 D 2;2 A ej 0

J

Z

R

100 ( ej 0

Abb. 30.12 Darstellung von Strom und Spannung am induktiven Widerstand
in der Zeiger- und komplexen Form

30.3

Schaltungen von Wechselstromwiderständen

367

I
i
i

R

C

U
u
u R
u

+Im

I
u L

L

U

Re
j ωC–1

–Im

Abb. 30.14 Induktivität und ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis

Abb. 30.13 Darstellung von Strom und Spannung am kapazitiven Widerstand
in der Zeiger- und komplexen Form

U

U L
ϕ

U

Beispiel

R

I

Eine Kapazität von C D 100 & A s wird an einem Wech-

V
selstromnetz mit U D 220 V und f D 50 Hz betrieben.

Abb. 30.15 Zeigerbild der Reihenschaltung von ohmschen Widerstand und In-

Welchen Wert hat der sich einstellende Strom? Darstel-
duktivität
lung des Zeigerbildes.

Zeigerdarstellung:

punkt. Die Lage der Spannungen zueinander bleibt immer
erhalten. Die Zeiger der Spannungen können also addiert oder
du
i D C

D ! C O u cos ! t
subtrahiert werden. Da Wirk- und Blindanteil immer senkrecht
dt
aufeinander stehen, ist das Spannungsdreieck stets rechtwinklig.

)

I D ! C U

Für die Größen im rechtwinkligen Dreieck gilt:

D

A s

2 50 s1 100 106

220 V D 6;9 A

C

V

Gesamtspannung

U 2 D U 2

U 2

(30.41)

R

B
q

U D

U 2 C U 2

(30.42)

Komplexe Darstellung:

R

B

IV

I D U D j ! C U ej 0

Wirkanteil der Spannung

Z
q

Teil

D

A s

D

D
j 2 50 s1 100 106

220 V ej 0

UR

U 2 U 2

U cos '

(30.43)

B

V

D

A s

0;03142
ej 90 220 ej 0 V D 6;9 A ej 90

J

Blindanteil der Spannung

V
q

U D

D

B

U 2 U 2

U sin '

(30.44)

R

30.3

Schaltungen von

30.3.1.1

Wirkwiderstand und Induktivität

Wechselstromwiderständen

Im allgemeinen enthält jede Induktionsspule neben dem induk-
tiven Widerstand XL auch einen ohmschen Widerstand R. Im

Ersatzschaltbild werden beide Größen in Reihe geschaltet, da

Bei der weiteren Betrachtung von Wechselstromwiderständen
sie vom selben Strom durchflossen werden (Abb. 30.14).

werden nur noch die Effektivwerte der Wechselstromgrößen
verwendet. Es wird nicht mehr ausdrücklich darauf hingewie-

Der Strom erzeugt am Widerstand den Spannungsfall U D

R

I R
sen, ob es sich bei dem benutzten Wert um einen Operator oder
und an der Induktivität den Spannungsfall U D

L

! L I. Bei-
um einen Zeiger handelt.

de Spannungen haben im Zeiger-bild verschiedene Richtungen.

Addiert ergeben die beiden Spannungszeiger den Zeiger der

Gesamtspannung U. Nach Abb. 30.15 liegt der Zeiger UR in

30.3.1

Reihenschaltung von

Richtung des Stroms I, der Zeiger UL eilt dem Strom um 90°

Wechselstromwiderständen
vor.

Das durch die Zeigeraddition entstehende Spannungsdreieck

Im Zeigerbild für die Reihenschaltung drehen sich die Zeiger
kann nach dem Lehrsatz von Pythagoras berechnet werden
der Spannungen gleichmäßig um einen gemeinsamen Dreh-

(Abb. 30.16).

368

30 Wechselstrom

Gesamtspannung

U L

R

U

U 2 D U 2 C U 2 D I 2 R 2 C I 2 X 2 D I 2. R 2 C X 2/

(30.45)

R

L

L

L
ϕ

U

Hieraus folgt das ohmsche Gesetz für Wirkwiderstand und In-

I
duktivität im Wechselstromkreis.

q

Abb. 30.16 Beispiel: Reihenschaltung von ohmschem Widerstand und Induk-

Gesamtspannung

U D I

R 2 C X 2

(30.46)

L
q
tivität

Scheinwiderstand

Z D

R 2 C X 2

(30.47)

L

Der Scheinwiderstand entspricht der Hypotenuse eines recht-

Zeigerdarstellung:

winkligen Dreiecks, dessen Katheten dem Wirkwiderstand R
und dem induktiven Blindwiderstand X
q
p

L entsprechen.

Z D

R 2 C X 2 D

1002 (2 C 2002 (2 D 223;6 (

L

Die Phasenverschiebung zwischen der Gesamtspannung U und

U
dem Strom I erhält man nach Abb. 30.15.

I D

D 200 V D 0;89 A

Z

223;6 (

Phasenverschiebung

U D

R

I R D 0;89 A 100 ( D 89 V

U D

D

L

I XL

0;89 A 200 ( D 178 V

U

I R

R

' D

R
arccos

D arccos

D arccos

(30.48)

XL

200

U

I Z

Z

' D arctan

D arctan

D 63;4ı

R

100

' D

UL

I XL

XL
arctan

D arctan

D arctan

(30.49)

UR

I R

R

Komplexe Darstellung:

In der komplexen Darstellung ergeben sich folgende Zusam-

' D

XL

200
arctan

D arctan

D 63;4ı
menhänge:

R

100

Z D R C jX D 100 ( C j 200 ( D 223;6 ( ej 63;4

Gesamtspannung

L

Teil

I D U D

220 V ej 0

D 0;89 A e j 63;4

U D U C U D I R C I jX D I . R C jX

Z

223;6 ( ej 63;4

R

L

L

L/ D I Z

IV

(30.50)

U D I R

R

D 0;89 A e j 63;4 100 ( ej 0 D 89 V e j 63;4

Scheinwiderstand

U D I X

L

L

D 0;89 A e j 63;4 200 ( ej 90 D 178 V ej 26;6 J

Z D R C jXL

(30.51)

q

Z D

R 2 C X 2

(30.52)

L

30.3.1.2

Wirkwiderstand und Kapazität

Phasenwinkel

Sind in einem Wechselstromkreis ein ohmscher Widerstand R

X

' D

L
und eine Kapazität mit dem kapazitiven Blindwiderstand X
arctan

(30.53)

C

R
nach Ersatzschaltbild (Abb. 30.17) in Reihe geschaltet, erzeugt
der Strom am Widerstand den Spannungsfall U D

R

I R und an
der Kapazität den Spannungsfall U D 1 I.

Beispiel

C

! C

Eine Spule mit einem ohmschen Widerstand von R D

100 ( und einem induktiven Blindwiderstand von X D
i

L

200 ( wird an eine Spannung von U D 200 V ange-
schlossen.

u R

R

Wie groß sind Scheinwiderstand und Stromstärke? Wel-
u
u C

C
che Spannungsfälle treten an den Bauelementen des

Ersatzschaltbildes auf? Welcher Phasenwinkel herrscht
zwischen Spannung und Strom?

Abb. 30.17 Kapazität und ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis

30.3

Schaltungen von Wechselstromwiderständen

369

I

Scheinwiderstand
ϕ

U R

Z D R C jXC

(30.60)

U C
q

U

Z D

R 2 C X 2

(30.61)

C

Abb. 30.18 Zeigerbild der Reihenschaltung von ohmschem Widerstand und

Phasenwinkel

Kapazität

' D

XC
arctan

(30.62)

R

I
ϕ

Beispiel

U

Ein ohmscher Widerstand von R D 100 ( und eine Ka-

U

U

D

C

R
pazität mit einem kapazitiven Blindwiderstand von XC

200 ( werden an eine Spannung von U D 200 V ange-
schlossen.

Abb. 30.19 Beispiel: Reihenschaltung von ohmschem Widerstand und Kapazi-
tät

Wie groß sind Scheinwiderstand und Stromstärke? Wel-
che Spannungsfälle treten an den Bauelementen auf?

Welcher Phasenwinkel herrscht zwischen Spannung und

Beide Spannungen haben im Zeigerbild verschiedene Richtun-

Strom?

gen. Addiert ergeben die beiden Spannungszeiger den Zeiger

Zeigerdarstellung:

der Gesamtspannung U. Nach Abb. 30.18 liegt der Zeiger UR in

Richtung des Stroms I, der Zeiger U
q

C eilt dem Strom um 90°
p
nach.

Z D

R 2 C X 2 D

1002 (2 C 2002 (2 D 223;6 (

C

Das durch die Zeigeraddition entstehende Spannungsdreieck

U

I D

D 200 V D 0;89 A
kann nach dem Lehrsatz von Pythagoras berechnet werden

Z

223;6 (

(Abb. 30.19).

U D

R

I R D 0;89 A 100 ( D 89 V

Gesamtspannung

U D

D

C

I XC

0;89 A 200 ( D 178 V

X

200

U 2 D U 2 C U 2 D I 2 R 2 C I 2 X 2 D I 2. R 2 C X 2 /

(30.54)

C

R

L

C

C

' D arctan

D arctan

D 63;4ı

IV

R

100

Hieraus folgt das ohmsche Gesetz für Wirkwiderstand und In-
duktivität im Wechselstromkreis.

Teil

Komplexe Darstellung:

q

Gesamtspannung

U D I

R 2 C X 2

(30.55)

C

XC

200
q

' D arctan

D arctan

D 63;4ı

R

100

Scheinwiderstand

Z D

R 2 C X 2

(30.56)

C

Z D R jX D

C

100( j 200 ( D 223;6 ( e j 63;4

Der Scheinwiderstand entspricht der Hypotenuse eines recht-

U

I D

D

220 V ej 0

D 0;89 A ej 63;4
winkligen Dreiecks, dessen Katheten dem Wirkwiderstand R

Z

223;6 ( e j 63;4
und dem kapazitiven Blindwiderstand XC entsprechen.

U D I R

R

Die Phasenverschiebung zwischen der Gesamtspannung U und

D 0;89 A ej 63;4 100 ( ej 0 D 89 V ej 63;4
dem Strom I erhält man nach Abb. 30.18.

U D I X

C

C

Phasenverschiebung

D 0;89 A ej 63;4 200 ( e j 90 D 178 V e j 26;6 J

' D

UR

I R

R
arccos

D arccos

D arccos

(30.57)

U

I Z

Z

' D

UC

I XC

XC
arctan

D arctan

D arctan

(30.58)

30.3.1.3

Wirkwiderstand, Induktivität und Kapazität

UR

I R

R

Sind in einem Wechselstromkreis ein ohmscher Widerstand R,

In der komplexen Darstellung ergeben sich folgende Zusam-
eine Induktivität mit dem induktiven Blindwiderstand X
menhänge.

L und
eine Kapazität mit dem kapazitiven Blindwiderstand XC nach

Gesamtspannung

Abb. 30.20 in Reihe geschaltet, erzeugt der Strom am Wider-
stand den Spannungsfall U

D

R

I R, an der Induktivität den

U D U C U D I R C I jX D I . R C jX

R

C

C

C / D I Z

Spannungsfall U D

L

! L I und an der Kapazität den Span-

(30.59)

nungsfall U D 1

C

!

I.

C

370

30 Wechselstrom

Phasenverschiebung
i

R

C

L

U

I R

R

' D

R
arccos

D arccos

D arccos

(30.66)

u R
u
u

C

L

U

I Z

Z
u

U 0

I X 0

' D arctan

D arctan

UR

I R

X X

D

L

C
arctan

(30.67)

R

Abb. 30.20 Kapazität, Induktivität und ohmscher Widerstand im Wechsel-
stromkreis

In der komplexen Darstellung ergeben sich folgende Zusam-
menhänge.

Gesamtspannung

U D U C U 0 D I R C I j . X X

R

L

C /

L

U

D I . R C j . X

L

XC// D I Z

(30.68)

I
ϕ

Scheinwiderstand

U R

U C

Z D R C j . X

L

XC/

(30.69)

p

U

Z D

R 2 C . X

L

XC/2

(30.70)

U < U

L

C

Phasenwinkel

. X X

Abb. 30.21 Zeigerbild der Reihenschaltung vom ohmschem Widerstand, In-

' D

L

C /
arctan

(30.71)

duktivität und Kapazität

R

Bei der Reihenschaltung von R, L und C stellt der ohmsche Wi-
derstand den Realteil dar, während der Imaginärteil eine Zusam-

Die Spannungen haben im Zeigerbild verschiedenen Rich-
mensetzung aus induktiven und kapazitiven Blindwiderstand ist.

tungen. Addiert ergeben die Spannungszeiger den Zeiger der

Der Imaginärteil kann verschiedene elektrische Eigenschaften
aufweisen. Ist der induktive Anteil größer als der kapazitive,

T

Gesamtspannung U. Nach Abb. 30.21 liegt der Zeiger UR in
eil

Richtung des Stroms I, der Zeiger U
ergibt die Zusammenfassung einen induktiv wirkenden Blind-

C eilt dem Strom um 90°
nach und der Zeiger U
widerstand.

IV

L eilt dem Strom um 90° vor.

X

)

D

L > XC

X 0 D XL ers

XL

XC

(30.72)

Das durch die Zeigeraddition entstehende Zeigerbild kann nach
dem Lehrsatz von Pythagoras berechnet werden.

Ist der kapazitive Anteil größer als der induktive, ergibt die Zu-
sammenfassung einen kapazitiv wirkenden Blindwiderstand.

Gesamtspannung

X

)

D

C > XL

X 0 D XC ers

XC

XL

(30.73)

U 2 D U 2 C U 02 D U 2 C . U U

Sind kapazitiver und induktiver Anteil gleich groß, wird der

R

R

L

C /2

Imaginärteil Null; die Schaltung hat einen rein ohmschen Cha-

D I 2 R 2 C I 2 X 02 D I 2. R 2 C . X

L

XC/2/

(30.63)

rakter. In diesem Fall spricht man von einer Reihenresonanz.

Reihenresonanz

Hieraus folgt das ohmsche Gesetz für die Reihenschaltung von

Wirkwiderstand, Induktivität und Kapazität im Wechselstrom-

X D

)

L

XC

X 0 D 0 D ! L

1

(30.74)

kreis.

! C
p

Über die Resonanzbedingung von (30.74) kann die Resonanz-

Gesamtspannung

U D I

R 2 C . X
frequenz f

L

XC/2

(30.64)

0 bzw. !0 berechnet werden.

p

Scheinwiderstand

Z D

R 2 C . X

Resonanzbedingung

L

XC/2

(30.65)

!

)

D 1

)

D

1
p

0

L D

1

!2

!0

Der Scheinwiderstand entspricht der Hypotenuse eines recht-

!

0

0

C

L C

L C
winkligen Dreiecks, dessen Katheten dem Wirkwiderstand R

(30.75)

und der Differenz des induktiven Blindwiderstandes XL und des
kapazitiven Blindwiderstand XC entsprechen.

Resonanzfrequenz

!

Die Phasenverschiebung zwischen der Gesamtspannung U und

0
f D

D

1p

0

(30.76)

dem Strom I erhält man nach Abb. 30.21.

2

2

L C

30.3

Schaltungen von Wechselstromwiderständen

371

Beispiel

Ein ohmscher Widerstand von R D 100 (, eine Induk-
tivität mit einem induktiven Blindwiderstand von X D

L

300 ( und eine Kapazität mit einem kapazitiven Blind-

C

U

L

U > U C
widerstand von X

D

C

200 ( werden an eine Spannung
von U D 200 V angeschlossen. Die Netzfrequenz beträgt
f D 50 Hz.

U
ϕ

Wie groß sind Scheinwiderstand und Stromstärke? Wel-

R

U
che Spannungsfälle treten an den Bauelementen auf?

I

L

U

Welcher Phasenwinkel herrscht zwischen Spannung und

Strom? Welche Resonanzfrequenz hat diese Schaltung?

Zeigerdarstellung:

Abb. 30.22 Beispiel: Reihenschaltung von ohmschen Widerstand, Induktivität
p
und Kapazität

Z D

R 2 C . X

L

XC/2
p

D

1002 (2 C .300 ( 200 (/2 D 141;4 (

30.3.2

Parallelschaltung von

I D U D 200 V D 1;41 A

Wechselstromwiderständen

Z

141;4 (

U D

R

I R D 1;41 A 100 ( D 141 V

Im Zeigerbild für die Parallelschaltung drehen sich die Zeiger

U D

D

L

I XL

1;41 A 300 ( D 423 V
der Ströme gleichmäßig um einen gemeinsamen Drehpunkt. Die

U D

D

C

I XC

1;41 A 200 ( D 282 V

Lage der Ströme zueinander bleibt immer erhalten. Die Zei-

.

ger der Ströme können also addiert oder subtrahiert werden. Da

' D

XL

XC/
arctan

R

Wirk- und Blindanteil immer senkrecht aufeinander stehen, ist

.

das Stromdreieck stets rechtwinklig.

D

300 ( 200 (/
arctan

D 45 ı

100 (

Für die Größen im rechtwinkligen Dreieck gilt:

300 V

V s

L D XL D

A

D 0;955

!

2 50 1

A

Gesamtstrom

I 2 D I 2 C I 2

(30.77)

R

B
s
q

A s

I D

I 2 C I 2

(30.78)

IV

C D

1

D

1

D

R

B

!

15;9 106

XC

2 50 1 200 V

V
q
s

A

!

Wirkstrom

I D

D

R

I 2 I 2

I cos '

(30.79)

0

B

Teil
f D

D

1p

0
q

2

2

L C

Blindstrom

I D

D

B

I 2 I 2

I sin '

(30.80)

R

D

1
q

D

1

40;84

2

0;955 V s 15;9 106 A s
s

A

V

30.3.2.1

Wirkwiderstand und Induktivität

Komplexe Darstellung:

Für jede Parallelschaltung gilt, dass der Gesamtstrom die Sum-
me der Teilströme in den Parallelzweigen ist. In der Parallel-

. X X
schaltung gilt als wesentlicher Grundsatz, dass Leitwerte addiert

' D

L

C /

300 ( 200 (
arctan

D arctan

D 45ı

R

100 (
werden können.

Z D R j. X

L

XC/

Sind ein Wirkwiderstand R und ein induktiver Blindwiderstand

D 100 ( j.300 200/ ( D 141;4 ( ej 45

XL parallelgeschaltet, treibt die anliegende Wechselspannung
nach Abb. 30.23 einen Wirkstrom I

D U D

W

U G durch den

U

R

I D

D 200 V ej 0 D 1;41 A e j 45

Wirkwiderstand und einen Blindstrom I D U D

B

U BL durch

Z

141;4 ( ej 45

XL
den Blindwiderstand.

U D I R

R

Der Wirkstrom zeigt in Richtung der Spannung U (Abb. 30.24),

D 1;41 A e j 45 100 ( ej 0 D 141 V e j 45
der Blindstrom eilt um 90° nach.

U D I X

L

L

Das durch die Zeigeraddition entstehende Zeigerbild kann nach

D 1;41 A e j 45 300 ( ej 90 D 423 V ej 45
dem Lehrsatz von Pythagoras berechnet werden.

U D I X

C

C

Gesamtstrom

D 1;41 A e j 45 200 ( e j 90 D 282 V e j 135

J

I 2 D I 2 C I 2 D U 2 G 2 C U 2 B 2 D U 2 . G 2 C B 2/ (30.81)

R

B

L

L

372

30 Wechselstrom
i
i
i
i
i
i

R

C

R

B

R

C
u

R

L
u

Abb. 30.25 Parallelschaltung von Kapazität und ohmschem Widerstand im

Wechselstromkreis

Abb. 30.23 Parallelschaltung von Induktivität und ohmschem Widerstand im

Wechselstromkreis

I

U

I R

I C
ϕ
ϕ

I R

I B

I

U

Abb. 30.26 Zeigerbild der Parallelschaltung von ohmschem Widerstand und

Kapazität

Abb. 30.24 Zeigerbild der Parallelschaltung von ohmschem Widerstand und

Induktivität

Scheinwiderstand

Hieraus folgt das ohmsche Gesetz für die Parallelschaltung von

Z D 1 D

1

(30.90)

Y

G jB

Wirkwiderstand und Induktivität im Wechselstromkreis.

l
q

Phasenwinkel

Gesamtstrom

I D U

G 2 C B 2

(30.82)

L
q

B

' D

L
arctan

(30.91)

Scheinleitwert

Y D

G 2 C B 2

(30.83)

G

L

Teil

Scheinwiderstand

Z D 1 D

1
q

(30.84)

30.3.2.2

Wirkwiderstand und Kapazität

Y

IV

G 2 C B 2 L

Sind in einem Wechselstromkreis ein ohmscher Widerstand

R und eine Kapazität mit dem kapazitiven Blindwiderstand X

Der Scheinleitwert entspricht der Hypotenuse eines rechtwink-

C
nach Ersatzschaltbild (Abb. 30.25) parallel geschaltet, erzeugt
ligen Dreiecks, dessen Katheten dem Leitwert des Wirkwider-
die Spannung U durch den Widerstand den Strom I D U G
standes R und dem Leitwert des induktiven Blindwiderstandes

R
und durch die Kapazität den Strom I D B U. Beide Ströme

X

C

C

L entsprechen.

haben im Zeigerbild verschiedene Richtungen. Addiert ergeben

Die Phasenverschiebung zwischen der Gesamtspannung U und
die beiden Stromzeiger den Zeiger des Gesamtstromes I. Nach
dem Strom I erhält man nach Abb. 30.24.

Abb. 30.26 liegt der Zeiger IR in Richtung der Spannung U; der

Phasenverschiebung

Zeiger IC eilt der Spannung um 90° vor.

Das durch die Zeigeraddition entstehende Stromdreieck kann

I

U G

G

' D

R
arccos

D arccos

D arccos

(30.85)

nach dem Lehrsatz von Pythagoras berechnet werden.

I

U Y

Y

I

U B

B

Gesamtstrom

' D

L

L

L
arctan

D arctan

D arctan

(30.86)

IR

U G

G

I 2 D I 2 C I 2 D U 2 G 2 C U 2 B 2 D U 2. G 2 C B 2 / (30.92)

R

C

C

C

In der komplexen Darstellung ergeben sich folgende Zusam-
menhänge:

Hieraus folgt das ohmsche Gesetz für die Parallelschaltung von

Wirkwiderstand und Kapazität im Wechselstromkreis.

Gesamtstrom
q

I D I C I D U G C U .j B

Gesamtstrom

I D U

G 2 C B 2

(30.93)

R

L

L / D U . G j BL/ D U Y

C

(30.87)

q

Scheinleitwert

Y D

G 2 C B 2

(30.94)

C

Scheinleitwert

Der Scheinleitwert entspricht der Hypotenuse eines rechtwink-

Y D G jBL

(30.88)

q
ligen Dreiecks, dessen Katheten dem Leitwert des Wirkwider-
standes R und dem Leitwert des kapazitiven Blindwiderstandes

Y D

G 2 C B 2

(30.89)

L

XC entsprechen.

30.3

Schaltungen von Wechselstromwiderständen

373
i

R
i
i L
i C

C

I
u

R

L

C

U

I R
ϕ

I L

Abb. 30.27 Parallelschaltung von Induktivität, Kapazität und ohmschen Wi-

I
derstand im Wechselstromkreis

<

I I

C

L

Die Phasenverschiebung zwischen der Gesamtspannung U und

Abb. 30.28 Zeigerbild der Parallelschaltung von ohmschem Widerstand, In-
duktivität und Kapazität
dem Strom I erhält man nach Abb. 30.26.

Phasenverschiebung

Hieraus folgt das ohmsche Gesetz für die Parallelschaltung von

' D

IR

U G

G
arccos

D arccos

D arccos

(30.95)

Wirkwiderstand, Induktivität und Kapazität im Wechselstrom-

I

U Y

Y
kreis.

I

U B

B

' D

C

C

C
arctan

D arctan

D arctan

(30.96)

p

IR

U G

G

Gesamtstrom

I D U

G 2 C . B

C

BL/2

(30.102)

p

In der komplexen Darstellung ergeben sich folgende Zusam-

Scheinleitwert

Y D

G 2 C . B

C

BL/2

(30.103)

menhänge.

Der Scheinleitwert entspricht der Hypotenuse eines rechtwink-

Gesamtstrom
ligen Dreiecks, dessen Katheten dem Leitwert des Wirkwi-

I D I C I D U G C U jB D U . G C jB
derstand R und der Differenz des Leitwertes des kapazitiven

R

C

C

C / D U Y

(30.97)

Blindwiderstand XC und des Leitwertes des induktiven Blind-
widerstandes XL entsprechen.

Scheinleitwert

Die Phasenverschiebung zwischen der Gesamtspannung U und

Y D G C jB
dem Strom I erhält man nach Abb. 30.28.

C

(30.98)

q

Phasenverschiebung

Y D

G 2 C B 2

(30.99)

C

IV

IR

U G

G

Phasenwinkel

' D arccos

D arccos

D arccos

(30.104)

I

U Y

Y

Teil

B

' D

C

I 0

U B 0

B

B
arctan

(30.100)

' D

C

L
arctan

D arctan

D arctan

(30.105)

G

IR

U G

G

30.3.2.3

Wirkwiderstand, Induktivität und Kapazität

In der komplexen Darstellung ergeben sich folgende Zusam-
menhänge:

Sind in einem Wechselstromkreis ein ohmscher Widerstand R,
eine Induktivität mit dem induktiven Blindwiderstand X

Gesamtstrom

L und
eine Kapazität mit dem kapazitiven Blindwiderstand XC nach

Ersatzschaltbild (Abb. 30.27) parallel geschaltet, erzeugt die

I D I C I 0 D U G C U j . B B

R

C

L/

Spannung durch den Widerstand den Strom I D

R

U G, durch

D U . G C j . B

C

BL// D U Y

(30.106)

die Induktivität den Strom I D

L

BL U und durch die Kapazität
den Strom I D

C

BC U.

Scheinleitwert

Die Ströme haben im Zeigerbild verschiedene Richtungen. Ad-

Y D G C j . B B
diert ergeben die Stromzeiger den Zeiger des Gesamtstroms I.

C

L/

(30.107)

p

Nach Abb. 30.28 liegt der Zeiger I

R in Richtung der Spannung U;

Y D

G 2 C . BC

BL/2

(30.108)

der Zeiger IC eilt der Spannung um 90° vor und der Zeiger IL eilt
der Spannung um 90° nach.

Phasenwinkel

Das durch die Zeigeraddition entstehende Zeigerbild kann nach

. B

C

BL/
dem Lehrsatz von Pythagoras berechnet werden.

' D arctan

(30.109)

G

Gesamtstrom

Bei der Parallelschaltung von R, L und C stellt der ohmsche

I 2 D I 2 C I 02 D I 2 C . I I

Widerstand den Realteil dar, während der Imaginärteil eine

R

R

C

L /2

Zusammensetzung aus induktivem und kapazitivem Blindwi-

D U 2 G 2 C U 2 B 02 D U 2. G 2 C . B

C

BL/2/

(30.101)

derstand ist. Der Imaginärteil kann verschiedene elektrische

374

30 Wechselstrom

I
ϕ

Zeigerdarstellung:

U

I R

I C

G D 1 D

1

D 10 103 SI

I L

R

100 (

B D 1 D

1

D

L

3;33 103 S

XL

300 (

Abb. 30.29 Beispiel: Parallelschaltung von ohmschem Widerstand, Induktivi-

B D 1 D

1

D

C

5 103 S
tät und Kapazität

XC

200 (
p

Y D

G 2 C . B

C

BL/2
q

Eigenschaften aufweisen. Ist der induktive Anteil größer als der

D

.10 103/2 S2 C .5 103 S 3;3 103 S/2
kapazitive, ergibt die Zusammenfassung einen induktiv wirken-

D 10;14 103 S
den Leitwert.

I D U Y D 200 V 10;14 103 S D 2;03 A

B

)

D

L > BC

B 0 D BL ers

BL

BC

(30.110)

I D

R

U G D 200 V 10 103 S D 2 A

Ist der kapazitive Anteil größer als der induktive, ergibt die Zu-

I D

D

L

U BL

200 V 3;3 103 S D 0;66 A
sammenfassung einen kapazitiv wirkenden Leitwert.

I D

D

C

U BC

200 V 5 103 S D 1 A

B

)

D

C > BL

B 0 D BC ers

BC

BL

(30.111)

' D

G

10 103 S
arccos

D arccos

D 9;5 ı

Y

10,14 103 S

Sind der kapazitive und der induktive Anteil gleich groß, wird

X

300 V

V s
der Imaginärteil Null; die Schaltung hat einen rein ohmschen

L

L D

D

A

D 0;955

Charakter. In diesem Fall spricht man von einer Parallelreso-

!

2 50 1

A
s
nanz.

A s

C D

1

D

1

D 15;9 106

Parallelresonanz

! XC

2 50 1 200 V

V
s

A

!0
f D

D

1p

0

B D

)

L

BC

B 0 D 0 D ! C

1

(30.112)

2

2

L C

T

! L
eil

D

1
q

D

1

40;84

Über die Resonanzbedingung von (30.112) kann die Resonanz-

2

0;955 V s 15;9 106 A s
s

IV
frequenz f

A

V

0 bzw. !0 berechnet werden.

Resonanzbedingung

Komplexe Darstellung:

Y D G j. B B

!

)

D 1

)

D

1
p

C

L /

0

C D

1

!2

!

!

0

0

D

0

L

L C

L C

10 103 S j.5 103 3;3 103/ S

(30.113)

D 10;14 103 S ej 9;6

I D U Y

Resonanzfrequenz

D 200 V ej 0 10;14 103 S ej 9;6 D 2;03 A ej 9;6

!0

I D U G
f D

D

1p

R

0

(30.114)

2

2

L C

D 200 V ej 0 10 103 S ej 0 D 2 A ej 0

I D U B

L

L

Beispiel

D 200 V ej 0 3;3 103 S e j 90 D 0;66 A V e j 90

Ein ohmscher Widerstand von R D 100 (, eine Induk-

I D U B

C

C
tivität mit einem induktiven Blindwiderstand von X D

L

D 200 V ej 0 5 103 S ej 90 D 1 A ej 90

J

300 ( und eine Kapazität mit einem kapazitiven Blind-
widerstand von X

D

C

200 ( werden an eine Spannung
von U D 200 V angeschlossen. Die Netzfrequenz beträgt
f D 50 Hz (Abb. 30.29).

30.3.3

Gemischte Schaltungen

Wie groß sind Scheinleitwert und Gesamtstromstärke?

Welche Ströme fließen durch die Bauelemente, welcher

Die Lösung von gemischten Schaltungen im Wechselstromkreis

Phasenwinkel herrscht zwischen Spannung und Strom?

kann ebenfalls mit Hilfe der Zeigerdarstellung und der komple-

Welche Resonanzfrequenz hat diese Schaltung?

xen Rechnung erfolgen. Der Lösungsweg soll an einem Beispiel

(Abb. 30.30) dargestellt werden.

30.3

Schaltungen von Wechselstromwiderständen

375
i
ϕ 1
i 1
i
i

2

3

I 2

I 1
u
ϕ

I

2

3

I ges

U

Abb. 30.30 Gemischte Schaltung im Wechselstromkreis

Abb. 30.31 Beispiel: Gemischte Schaltung im Wechselstromkreis in der Zeiger-
darstellung

Beispiel

Lösung mit Hilfe der Zeigerdarstellung:

I

D

D

3 R

I 3 cos '3

0;89 A cos.0ı/ D 1 A 1 D 1 A

U D 200 VI
f D 50 Hz

I

D

D

3 B

I 3 sin '3

0;89 A sin.0ı/ D 1 A 0 D 0 A

Parallelzweig 1 mit Widerstand R D

I

D I C I C I

1

100 ( und Spule
ges R

1 R

2 R

3 R

X D

D

L

200 (

0;399 A C 0;399 A C 1 A D 1;798 A
q
p

I

D

C

C
ges B

I 1 B

I 2 B

I 3 B

Z D

C

D

1

R 2

X 2

1002 (2 C 2002 (2 D 223;6 (

1

L

D 0;796 A C 0; 796 A C 0 A D 0 A
q
p

I D U D 200 V D

1

0;89 A

D

C

D

Z

I ges

I 2

I 2

1;7982 C 02 A D 1;798 A

1

223;6 (
ges R
ges B

X

' D

L D

200 D

1
arctan
arctan

63;4ı

Die zeichnerische Lösung erfolgt durch Addition der

R 1

100

Stromzeiger nach Abb. 30.31

Strom eilt der Spannung nach!

Lösung in der komplexen Darstellung:

Parallelzweig 2 mit Widerstand R D

2

100 ( und Kapazi-

In der komplexen Darstellung wird zuerst die Gesamtim-
tät X D

C

200 (
q
pedanz Z
p
ges ermittelt.

Z D

C

D

2

R 2

X 2

1002 (2 C 2002 (2 D 223;6 (

2

C

Z D R C jX D 100 ( C j 200 ( D 223;6 ( ej 63;43

1

1

L

IV

U

D

D

I D

D 200 V D

Z

R 2
jXC

100 ( j 200 ( D 223;6 ( e j 63;43

2

0;89 A

2

Z 2

223;6 (

Z D R C j 0 D 200 ( C j 0 D 200 ( ej 0

3

3

Teil

' D

XC D

200 D

2
arctan
arctan

63;4ı

R 2

100

In der Parallelschaltung können Leitwerte addiert werden,
die Impedanzen müssen also in Leitwerte umgerechnet

Strom eilt der Spannung vor!

werden.

Parallelzweig 3 mit Widerstand R D

3

200 (

Y D 1 D

1

D 4;47 103 S e j 63;4

1

Z

223;6 ( ej 63;4

I D U D 200 V D

1

3

1 A

R 3

200 (

D .2;0 j 4;0/ 103 S

' D

0 D

3
arctan

0ı

R

Y D 1 D

1

D 4;47 103 S ej 63;4

3

2

Z

223;6 ( e j 63;4

2

Die rechnerische Addition der Ströme kann erfolgen,

D .2;0 C j 4;0/ 103 S
wenn die Zweigströme in ihre Real- und Blindstroman-
teile aufgelöst werden.

Y D 1 D

1

D 5 103 S ej 0

3

Z

200 ( ej 0

3

I

D

D

1 R

I 1 cos '1

0;89 A cos.63;4ı/

D .5;0 j 0/ 103 S

D 0;89 A 0;448 D 0;399 A

Y

D Y C Y C Y
ges

1

2

3

I

D

D

1 B

I 1 sin '1

0;89 A sin.63;4ı/

D

D

.2;0 C j 4;0/ 103 S C .2;0 j 4;0/ 103 S

0;89 A .0;894/ D 0;796 A

C .

I

D

D

5;0 j 0/ 103S

2 R

I 2 cos '2

0;89 A cos.63;4ı/

D 0;89 A 0;448 D 0;399 A

D .9;0 C j 0/ 103 S D 9;0 103 S ej 0

I

D

D

I

D U Y

2 B

I 2 sin '2

0;89 A sin.63;4ı/
ges
ges

D 0;89 A 0;894 D 0;796 A

D .200 V ej 0/ .9 103 S ej 0/ D 1;8 A ej 0 J

376

30 Wechselstrom

30.4

Passive Filter

Sperrbereich

Durchlaßbereich

1,0

85°

U

0,8

A

Passive Filter sind Schaltungen mit einem frequenzabhängigen

65°

U E 0,6
ϕ

Übertragungsverhältnis der Eingangsgröße zur Ausgangsgröße.

45°

U

Sie bestehen aus einer Zusammenschaltung von ohmschen Wi-

0,4

A
ϕ

U

25°
derständen R, Kapazitäten C und Induktivitäten L zu komplexen

E

0,2

5°

Netzwerken.

0,1

0,2

0,5

1

2

5

10

Ein Filter ist ein Netzwerk, das aus einem Frequenzgemisch
ωω
einen bestimmten Frequenzbereich hervorhebt und einen ande-
g
ren unterdrückt.

Abb. 30.33 Amplituden- und Phasengang der Hochpassschaltung mit Kapazi-

Im Durchlassbereich der Filter werden die zu übertragenden
tät und Ohm’schem Widerstand

Größen kaum, im Sperrbereich dagegen stark gedämpft. Der

Übergang von Sperr- in den Durchlassbereich wird durch die

Grenzfrequenz f

R

G festgelegt. Nach der Lage der Sperr- bzw.

Durchlassbereiche unterscheidet man zwischen Tief -, Hoch-
und Bandpassschaltungen.

u

L
u

E

A

30.4.1

Hochpassschaltung mit RC- und

RL-Glied

Abb. 30.34 Hochpassschaltung mit Induktivität und ohmschem Widerstand

Das in Abb. 30.32 dargestellte RC-Glied stellt einen Hochpass
dar.

Der Phasengang, die Abhängigkeit des Winkels ' zwischen

Ausgangs- und Eingangsspannung, ist stark von der Frequenz

Für die Filter sind Grenzfrequenz und Phasengang von besonde-
abhängig.

rem Interesse. Die Grenzfrequenz ist die Frequenz, bei der das

Verhältnis Ausgangsspannung UA zu Eingangsspannung UE den

Phasengang
arctan ' D f .!/

(30.118)

T

Wert 1
p beträgt.

eil

2

Der Winkel ' nimmt für verschiedene Frequenzen unterschied-

Das Verhältnis von Ausgangsspannung zu Eingangsspannung
liche Werte an. Häufig gebrauchte Grenzwerte:

IV
wird Amplitudengang genannt.

Amplitudengang (RC)

! D

1

0

' D arctan

D arctan.1/ D 90ı

! C R
j U j

R

A

D q

D

1
q
j

(30.115)

U j

! D 1

E

R 2 C X 2

1 C

1

R C

C

.! C R/2

' D

1
arctan

Der Amplitudengang hat für den Fall R D 1

! den Wert

! C R

C

C R
j U j

D arctan

D arctan.1/ D 45ı (Grenzfrequenz)

A

D

1
q

D 1
p

(30.116)

C R
j U j

E

1 C

1

2

1

.! C 1

! /2

D

C

! D 1 ' D arctan !

arctan.0/ D 0ı

C R

Aus (30.116) ergibt sich die Grenzfrequenz:

Im Abb. 30.33 sind Amplituden- und Phasengang einer Hoch-
passschaltung dargestellt.

Grenzfrequenz (RC)

f D

1
g

(30.117)

2 R C

Wird anstatt des RC-Gliedes ein RL-Glied (Abb. 30.34) als

Hochpass eingesetzt, ergeben sich (30.119) und (30.120):

C

Amplitudengang (RL)

j U j

A

D

XL
q

D

1
q
j

(30.119)

U j

E

R 2 C X 2

1 C . R /2
u

L

! L

E

R
u A

Grenzfrequenz (RL)

f D

R
g

(30.120)

Abb. 30.32 Hochpassschaltung mit Kapazität und ohmschem Widerstand

2 L

30.4

Passive Filter

377

Sperrbereich

Durchlaßbereich

R

1,0

85°

U

0,8

A

65°
u

U
ϕ

E

C
u A

E

0,6

U A

45°

0,4

U E
ϕ

25°

0,2

5°

Abb. 30.35 Tiefpassschaltung mit Kapazität und ohmschem Widerstand

0,1

0,2

0,5

1

2

5

10
ω
ω g

Abb. 30.36 Amplituden- und Phasengang der Tiefpassschaltung mit Kapazität

30.4.2

Tiefpassschaltung mit RC- und RL-Glied und ohmschem Widerstand

Das in Abb. 30.35 dargestellte RC-Glied stellt einen Tiefpass

L
dar.

Für einen RC-Tiefpass ergeben sich die charakterisierenden
u

R
u

E

A

Gleichungen (30.121) bis (30.123):

Amplitudengang (RC)

j U j

X

A

D

C
q

D

1
p
j

(30.121)

U j

Abb. 30.37 Tiefpassschaltung mit Induktivität und ohmschem Widerstand

E

R 2 C X 2

1 C .! C R/2

C

Der Amplitudengang hat für den Fall R D 1

! den Wert

C

30.4.3

Bandpassschaltung
j U j

A

D

1
q

D 1
p
j

(30.122)

Bei einem Bandpass sind zwei verschiedene Filter (Hoch- und

U j

E

1 C

1

2

.! C 1

Tiefpass) hintereinander geschaltet (Abb. 30.38).

! /2

C

Daraus folgt die Grenzfrequenz

Ein Bandpass überträgt zwischen zwei Grenzfrequenzen eine

Eingangsspannung an einen Ausgang mit einem Verhältnis

Grenzfrequenz (RC)

f D

1
g

(30.123)

j U j
j U j

A

A max

IV

2 R C

1
p
j U j
j U j

E

2

E

Häufig gebrauchte Grenzwerte:

Teil

Die Differenz der beiden Grenzfrequenzen wird als Bandbreite

! D

1

B bezeichnet.

0

' D arctan

D arctan.0/ D 0ı

! C R

Bandbreite

B D f

go
f gu

(30.126)

! D 1

R C

Für den Bandpass nach Abb. 30.38 folgt für die Ausgangsspan-

' D arctan ! C R
nung:

D

C R
arctan

D arctan .1/ D 45ı (Grenzfrequenz)

Ausgangsspannung Bandpass

C R

! D 1 ' D

1
arctan ! C R D arctan.1/ D 90ı

1 C j! C

U D

R

U

(30.127)

A

1

E

Im Abb. 30.36 sind Amplituden- und Phasengang einer Tief-

C R C 1

1 C j! C
j! C

R
passschaltung dargestellt.

j! RC

U D

U

(30.128)

Wird anstatt des RC-Gliedes ein RL-Glied (Abb. 30.37) als Tief-

A

. j! RC C 1/2 C j! RC

E
pass eingesetzt, ergeben sich (30.124) und (30.125):

Amplitudengang (RL)

C

R
j U j

X

A

D

L
q

D

1
q
j

(30.124)

U j

E

R 2 C X 2

1 C . R /2

L

! L
u E

R

C

A
u

Grenzfrequenz (RL)

f D

R
g

(30.125)

2 L

Abb. 30.38 Bandpassschaltung mit Kapazität und ohmschem Widerstand

378

30 Wechselstrom

Sperrbereich

Durchlaßbereich

30.5

Schwingkreise

0,3

80Ů

Bandbreite

A

40°

Anstelle der Bandpassschaltungen können bestimmte Frequenz-

UE 0,2
ϕ

0°
bereiche auch durch eine Zusammenschaltung von ohmschem

U
ϕ

A

0,1

–40°

Widerstand, Induktivität und Kapazität hervorgehoben oder be-

UE
dämpft werden. Diese Schaltungen werden als Schwingkreise

–80°
bezeichnet.

0,1

0,2

0,5

1

2

5

10
ω
ω g

Abb. 30.39 Amplituden- und Phasengang der Bandpassschaltung mit Kapazi-

30.5.1

Reihenresonanz
tät und ohmschem Widerstand

Bei der Reihenschaltung stellt sich für die Resonanzfrequenz fr
der maximale Strom I D U
r
ein, da sich die Blindwiderstände

Amplitudengang (BP)

R
gegenseitig kompensieren.

j U j

Resonanzfrequenz

A

D

1
q
j

(30.129)

U j

!

E

9 C Œ.! RC/212
r

.! RC/2
f D

D

1p
r

(30.133)

2

2

L C

Die Reihenschaltung verhält sich nach außen wie ein rein ohm-

Die Ausgangsspannung für den Bandpass wird maximal, wenn
scher Widerstand mit dem Phasenwinkel ' D 0°. Innerhalb der
der Faktor ! RC D 1 wird.

Reihenschaltung erreichen die Spannungen an Induktivität und
maximale Ausgangsspannung

Kapazität wesentlich höhere Werte als die Klemmenspannung.

Resonanzspannung an der Induktivität
j U j

D 1 j U j

(30.130)

D

A max

U

I

! L

(30.134)

3

E
rL
r
r

Resonanzspannung an der Kapazität

Die Grenzfrequenzen stellen sich bei einem Bandpass für fol-

Teil
gende Frequenz ein:

Ir

U

D
rC

!

(30.135)

r

C

IV
untere Grenzfrequenz

Die beiden Resonanzspannungen sind gleich groß, haben ihr

Maximum jedoch um 180° verschoben.

f

D
gu

0;303

1

(30.131)

2 R C

Die im Kreis auftretenden Verluste werden über den Dämp-
fungsfaktor d angegeben. Der Dämpfungsfaktor beinhaltet die
obere Grenzfrequenz
an der Spule, am Kondensator und am Widerstand auftretenden
ohmschen Verluste im Verhältnis zum Blindwiderstand.

f

D

R
go

3;303

1

(30.132)

2 R C

Dämpfungsfaktor
d D !

(30.136)

r

L

Häufig gebrauchte Grenzwerte:

Der Kehrwert des Dämpfungsfaktors wird als Güte Q des

Schwingkreises bezeichnet.

r

! D

1 .! R C/2

0

' D arctan

! L

L

3 ! C R
r

Kreisgüte

Q D 1 D

D 1

(30.137)

D arctan.1/ D 90ı
d

R

R

C

Die Güte des Reihenschwingkreises wird größer, wenn die In-

! D 1

' D

1 .! R C/2
arctan
duktivität größer und die Kapazität kleiner wird. Mit Hilfe der

R C

3 ! C R

Güte kann die Bandbreite des Reihenschwingkreises bestimmt

D

1 1
arctan

D arctan.0/ D 0ı
werden.

3

12
fr

! D 1

' D

1 .! R C/2

Bandbreite
f D f f D

D f d

(30.138)

arctan

D
go
gu
r

Q

3 ! C R

3 1

D arctan.1/ D 90ı

Bei den Grenzfrequenzen erreicht die Gesamtimpedanz Z des
p

Kreises den

2-fachen Wert der Resonanzimpedanz.

Im Abb. 30.39 sind Amplituden- und Phasengang einer Band-
p

D

D
passschaltung dargestellt.

Z go

Z gu

2 Zr

(30.139)

30.6

Leistung und Arbeit im Wechselstromkreis

379

30.5.2

Parallelresonanz
p

VA

Ein Parallelschwingkreis ist die Zusammenschaltung von ohm-
schem Widerstand, Induktivität und Kapazität. Bei der Parallel-
schaltung stellt sich für die Resonanzfrequenz fr der minimale
p

Strom I D U
r
ein, da sich die Blindwiderstände gegenseitig

R

2
kompensieren.

Resonanzfrequenz

!

t
r
f D

D

1p

0
π

2 π

1
r

(30.140)

2

2

L C
s

Die Parallelschaltung verhält sich nach außen wie ein rein ohm-

Abb. 30.40 Liniendiagramm der Leistung
scher Widerstand mit dem Phasenwinkel j D 0°. Innerhalb der

Parallelschaltung erreichen die Ströme durch die Induktivität
und die Kapazität wesentlich höhere Werte als der Strom in der

Die Leistung im Wechselstromkreis kann analog zur Berech-

Zuleitung.

nung der Leistung im Gleichstromkreis für Werte erfolgen, die

Resonanzstrom durch die Induktivität
zeitlich zusammenfallen. Die Augenblicks- (Momentan-) Leis-
tung ergibt sich zu:

I

D U
rL

!

(30.141)

r

L

Momentanleistung
p D u i

(30.148)

Resonanzstrom durch die Kapazität

Da am Wirkwiderstand Spannung und Strom gleiche Phasenla-

I

D

rC

U ! r C

(30.142)

ge haben, folgt

Die beiden Resonanzströme sind gleich groß, haben ihr Maxi-
p D O u O i sin2 ! t:

(30.149)

mum jedoch um 180° verschoben.

Das Liniendiagramm (Abb. 30.40) zeigt, dass die Leistung mit

Die im Kreis auftretenden Verluste werden wie bei der Reihen-
doppelter Frequenz oberhalb der Nullachse um den Wert p D
m
resonanz über den Dämpfungsfaktor d angegeben.

O p schwingt.

2

!

r

L

Der Mittelwert der Leistung berechnet sich zu:

Dämpfungsfaktor
d D

(30.143)

R
r

Mittelwert der Leistung

C

IV

Kreisgüte

Q D 1 D

R

D R

(30.144)

2

Z
d

!

O

O

O
r

L

L
u O i
u O i
u O i
p D

D p
p D
m
sin2 ! td. t/ D

U I

2

2

2

2

Teil

Die Güte des Reihenschwingkreises wird größer, wenn die In-

0
duktivität kleiner und die Kapazität größer wird.

(30.150)

fr

Bandbreite
f D f

D

D

Aus (30.150) ergibt sich, dass die Wirkleistung eines Wechsel-
go
f gu
fr d

(30.145)

Q
stroms in einem Stromkreis, der nur mit einem Wirkwiderstand

Bei den Grenzfrequenzen erreicht die Gesamtimpedanz Z des
belastet ist, gleich dem Produkt aus den Effektivwerten von

Kreises den 1
p -fachen Wert der Resonanzimpedanz.

Spannung und Stromstärke ist

2

P

U

I

Z

D

D 1
p

Wirkleistung

P D U I

(30.151)

go

Z gu

Zr

(30.146)

2

V A D W

V

A

Die Stromarbeit ist das Produkt der Wirkleistung P und der

30.6

Leistung und Arbeit im

Zeit t.

Wechselstromkreis

W

P
t

Stromarbeit

W D P t

(30.152)

W h

W
h

30.6.1

Leistung und Arbeit bei

Phasengleichheit von Spannung

30.6.2

Leistung und Arbeit bei
und Strom

Phasenverschiebung von Spannung
und Strom

Die Berechnung der Leistung im Gleichstromkreis erfolgt nach

(30.147).

Sind die Spannungs- und Stromwellen phasenverschoben

Leistung im Gleichstromkreis

P D U I

(30.147)

(Abb. 30.41), wird die Augenblicksleistung in den Bereichen

380

30 Wechselstrom
p

VA

I

I B
p
ϕ

I W

U
i
u

Abb. 30.43 Zeigerdiagramm von Strom und Spannung bei beliebigem Winkel
t

0
π

2 π

1
s

S

Q
ϕ

P

Abb. 30.41 Liniendiagramm der Leistung bei einer Phasenverschiebung zwi-
schen Strom und Spannung

Abb. 30.44 Zeigerdiagramm der Leistung bei beliebigem Winkel (Operatoren)

p

VA

Von Blindleistung spricht man, wenn Strom und Spannung eine

Phasenverschiebung von 90° haben, die Zeiger beider Größen
i
u
p
einen rechten Winkel bilden.

Liegt der Phasenwinkel zwischen 0ůnd 90°, kann die Wirkleis-
tung ermittelt werden, indem eine Zeigergröße in den Winkel 0°
t
gelegt und die andere Zeigergröße in ihre Komponenten zerlegt

1

0
π

2 π
wird, die in Richtung 0ůnd 90° zeigen (Abb. 30.43).

s

Im Abb. 30.43 wird die Spannung nicht verschoben und der

Strom in den Wirkstrom IW und den Blindstrom IB aufgeteilt.

T

Wirkstrom

I

D I cos '

(30.154)

eil

W

D

Abb. 30.42 Liniendiagramm der Leistung bei einer Phasenverschiebung von

Blindstrom

IB

I sin '

(30.155)

IV

90° zwischen Strom und Spannung

Für die entsprechenden Leistungen folgt:

Wirkleistung

P D U I cos '

(30.156)

negativ, in denen Spannung und Strom entgegengesetzte Vor-

Blindleistung

Q D U I sin '

(30.157)

zeichen haben. Der Mittelwert der Leistung verschiebt sich in

Richtung Zeitachse. Die Wirkleistung wird also durch die Pha-

Wirkleistung und Blindleistung haben ihre Maxima im Linien-
senverschiebung kleiner und erreicht ein Minimum, wenn die
diagramm um 90° verschoben, das heißt, man kann die beiden

Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom 90° beträgt

Leistungsanteile als Zeiger darstellen, die einen Winkel von 90°

(Abb. 30.42).

einschließen. Zwischen resultierendem Zeiger und Wirkleistung
ist der Winkel ' (Abb. 30.44).

Der Mittelwert der Leistung liegt im Abb. 30.42 auf der Zeitach-

Der resultierende Zeiger stellt die Scheinleistung S dar.

se und hat den Wert Null. Die Leistungskurve besteht aus
p
positiven und negativen Halbwellen gleicher Größe, die Wirk-

Scheinleistung

S D

P 2 C Q 2

(30.158)

leistung hat den Wert P D 0.

P D S cos '

(30.159)

Beträgt die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung

Q D S sin '

(30.160)

90°, hat der Stromkreis eine rein induktive oder kapazitive Last.

S D U I

(30.161)

Der Effektivwert der Leistungskurve kann wiederum durch die

Effektivwerte von Strom und Spannung bestimmt werden. Es

Die bei effektiver Spannung U und Stromstärke I abgegebene
handelt sich bei dieser Leistung jedoch um keine Wirkleistung,
nutzbare Leistung beträgt also nur den durch den Faktor cos '

sondern um Blindleistung Q.

gegebenen Teil der Scheinleistung. Der andere Teil pendelt als

Blindleistung zwischen der Spannungsquelle und dem Verbrau-

Blindleistung .' D 90ı/ Q D U I

(30.153)

cher hin und her.

Zur Unterscheidung der verschiedenen Leistungsarten, hat man

Von Wirkleistung spricht man, wenn Strom und Spannung kei-
unterschiedliche Maßbezeichnungen eingeführt, und zwar misst
ne Phasenverschiebung (' D 0°) aufweisen, die Zeiger beider man die Wirkleistung in Œ P D W, die Scheinleistung in Œ S D

Größen also gleiche Richtung haben.

V A und die Blindleistung in Œ Q D var.

30.6

Leistung und Arbeit im Wechselstromkreis

381

30.6.3

Leistung in komplexer Schreibweise

Welchen Wert haben a) die Scheinleistung, b) die Wirk-

Die Leistung ist definiert als S D U I. Hieraus ergibt sich für
leistung und c) die Blindleistung?

die komplexe Schreibweise in der Exponentialform:

Lösung:

komplexe Leistung
a) S D U I D 220 V 2 A D 440 V A

S D U I D U I ej' U e j' I D U I ej.' U' I/

(30.162)

b) P D S cos ' D 440 V A 0;766 D 337 W
c) Q D S sin ' D 440 V A 0;643 D 283 var

J

Die komplexe Leistung ist das Produkt aus der komplexen Span-
nung U und dem konjugiert komplexen Strom I.

Da ' D '

U

' I die Verschiebung zwischen Spannung U und

Strom I darstellt, gilt:

30.6.4

Leistungsfaktor

U I D U I .cos ' C j sin '/

(30.163)

Aus der vorhergehenden Definition ergeben sich (30.164) bis

Die von einem Verbraucher aufgenommene Wirkleistung ist

(30.166).

über den Faktor cos ' mit der Scheinleistung verknüpft. Der

Faktor cos ' wird daher als Leistungsfaktor bezeichnet.

Wirkleistung P

Re. U I/ D U I cos '

(30.164)

Blindleistung Q

Im. U I/ D U I sin '

(30.165)

P

Leistungsfaktor
cos ' D

(30.167)

Scheinleistung S
j U Ij D U I

(30.166)

S

Der Leistungsfaktor gibt an, wieviel Prozent der Scheinleistung

Beispiel

S als Wirkleistung P im Verbraucher umgesetzt werden.

Ein induktiver Verbraucher nimmt bei U D
n

220 V einen

In der Praxis soll der Leistungsfaktor möglichst nahe bei Eins

Strom I D 2 A auf. Der Winkel zwischen Strom und
liegen, damit die Zuleitungen nicht unnötig mit Blindstrom be-

Spannung beträgt ' D 40°.

lastet werden, da dieser Blindstrom auf der Zuleitung Verluste
erzeugt.

IV

Teil

Drehstrom

31

Horst Steffen

31.1 Erzeugung von mehrphasigem Wechselstrom . . . . . . . . . . . . 384

IV

31.2 Phasenverkettung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

31.3 Leistung des Dreiphasenstroms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

Teil

31.4 Das unsymmetrische Dreiphasensystem . . . . . . . . . . . . . . . . 387

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

383

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_31

384

31 Drehstrom

31.1

Erzeugung von mehrphasigem

31.2

Phasenverkettung

Wechselstrom

Betrachtet man die im Dreiphasensystem erzeugten Spannungen
in einem beliebigen Zeitpunkt, so ergeben sich beispielsweise

Dreht man in einem homogenen Magnetfeld drei in einem Win-
folgende Werte:

kel von 120° versetzte gleiche Spulen (Abb. 31.1) mit der

Zeitpunkt ' D 0°

Winkelgeschwindigkeit !, so werden folgende Spannungen in
den Spulen induziert:

u D

D

D

1

0I
u 2

0;866 O u I
u 3

0;866 O u

Spannung Spule 1
u D O

Zeitpunkt ' D 90°

1
u sin.! t/

(31.1)

Spannung Spule 2
u D O

2
u sin.! t C 120ı/

(31.2)

u D O

D

D

1
u I
u 2

0;5 O u I
u 3

0;5 O u

Spannung Spule 3
u D O

3
u sin.! t C 240ı/

(31.3)

Zeitpunkt ' D 240°

Das Zeigerdiagramm der erzeugten Spannung ist in Abb. 31.2
u D 0;866 O u I
u D 0I
u D 0;866 O u
dargestellt.

1

2

3

Bei der Bildung der Summen der Augenblickswerte erkennt

Schließt man an jede der Spulen einen ohmschen Verbraucher
man, dass zu jedem beliebigem Zeitpunkt die Gesamtspannung
mit gleichen Werten an, so treiben die Spannungen einen Strom
der drei Stromkreise den Wert Null ergibt. Da die induzierten
durch die Verbraucher, der gleiche Amplitude hat, aber je-

Spannungen stets in ihrer Addition den Wert Null ergeben, kön-
weils um den Winkel von 120° versetzt ist. Solche voneinander
nen die Spulen an einem Spulenende zusammengefasst werden,
unabhängigen Dreiphasensysteme werden in der Praxis nicht
ohne dass ein Kurzschluss entsteht (Abb. 31.3). Werden die Spu-
verwendet, da sie einen hohen Aufwand an Leitungsmaterial
len derart zusammengefasst, spricht man von einer Verkettung.

erfordern und keinen Vorteil gegenüber Wechselstromsystemen

Man unterscheidet zwei Arten der Verkettung: die Sternschal-
bieten.

tung und die Dreieckschaltung.

31.2.1

Sternschaltung

Teil

120.000°

120.000°

Eine Sternschaltung erhält man, wenn die Enden der drei

IV

S

Generatorspulen in einem Punkt, dem Sternpunkt, zusammen-
geschaltet werden (Abb. 31.4). Die in den Spulen induzierte
v

Spannung wird Strangspannung U Str genannt; die zwischen den

Abgangsklemmen des Generators gemessene Spannung ist die

N

Leiterspannung UL:

Ein Zusammenhang zwischen den Strangwerten und den Leiter-
werten des symmetrischen Drehstromsystems in Sternschaltung

120.000°
ist im Abb. 31.5 zu erkennen.

Abb. 31.1 Erzeugen eines Dreiphasensystems

U 1

U 1

S

120°

120°

U 3

N

3

U

U 2

120°

U 2

Abb. 31.2 Zeigerdiagramm der Spannungen gemäß Abb. 31.1

Abb. 31.3 Verkettung eines Dreiphasensystems

31.2

Phasenverkettung

385

W 1

W

U

2

1

V 1

W 2

V 2

U 2

W 1

U 2

V 2

V 1

U 1

Abb. 31.6 Spulenanordnung bei einer Verkettung im Dreieck

Abb. 31.4 Spulenanordnung bei einer Verkettung im Stern

31.2.2

Dreieckschaltung

Nach Abb. 31.5 ergeben sich folgende mathematischen Zusam-
menhänge.

Eine Dreiecksschaltung erhält man, wenn die drei Generator-

Strangspannung
spulen in Reihe geschaltet werden (Abb. 31.6). Die in den

Spulen induzierte Spannung ist die zwischen den Abgangsklem-

U

D

D

D
men des Generators gemessene Spannung.

Str

U 1 N

U 2 N

U 3 N

(31.4)

Leiterspannung 1–2:

Ein Zusammenhang zwischen den Strangwerten und den Leiter-
werten des symmetrischen Drehstromsystems in Dreieckschal-

U

D U

U

D U e j 90 U ej 150
tung ist im Abb. 31.7 dargestellt.

L 1 L 2

1 N

2 N

1 N

2 N

D U

Str

.0;866 j 1;5/ D 1;732 e j 60 U Str

(31.5)

Nach Abb. 31.7 ergeben sich folgende mathematischen Zusam-
menhänge:

Leiterspannung 2–3:

Strangstrom

U

D U

U

D U ej 150 U ej 30

L 2 L 3

2 N

3 N

2 N

3 N

D

D

D

D

U

I Str

I 12

I 23

I 31

(31.9)

Str

.1;732 j 0/ D 1;732 e j 180 U Str

(31.6)

Leiterspannung 3–1:

Leiterstrom 1:

IV

U

D U

U

D U ej 30 U e j 90

L 3 L 1

3 N

1 N

3 N

1 N

I D I

I D I e j 60 I ej 60

1

12

31

12

31

Teil

D U

Str

.0;866 C j 1;5/ D 1;732 e C j 60 U Str

(31.7)

D I

Str

.0 j 1;732/ D 1;732 e j 90 I Str

(31.10)

Strangstrom

Leiterstrom 2:

I

D

D

D

D

D

D

Str

I 1 N

I 2 N

I 3 N

IL 1

IL 2

IL 3

(31.8)

I D I

I D I e j 90 I e j 60

2

23

12

23

12

Die Leiterströme entsprechen in der symmetrischen Sternschal-

D I

Str

.1;5 C j 0;866/ D 1;732 ej 150 I Str

(31.11)

tung den Strangströmen, die Leiterspannungen einer symme-
p
trischen Sternschaltung betragen das 1;732 D

3-fache der

Leiterstrom 3:

Strangspannungen.

I D I

I D I ej 60 I ej 180

Für einen symmetrischen Drehstromverbraucher in Sternschal-

3

31

23

31

23
tung gelten gleiche Bedingungen.

D I

Str

.1;5 C j 0;866/ D 1;732 ej 30 I Str

(31.12)

I 1

I 12

U

U

L3L2

L1N

U L1L2

U L1L2

U

L3L

U

1

L1L2

U L1N

L3L

U

2

U L1L2

U

L2N

U

L3L2

I

I 31

I

U

2

23

L3N

U L3N

L2N

U

I 3

U L2L3

U

U

U

L2L3

L2L3

L2L3

Abb. 31.5 Sternschaltung mit Zeigerbild der Spannungen

Abb. 31.7 Dreieckschaltung mit Zeigerbild der Spannungen

386

31 Drehstrom

Strangspannung

Beispiel

U

D

D

D

Str

U 12

U 23

U 31

(31.13)

Ein symmetrischer Drehstromverbraucher ist im Stern ge-
schaltet. Bekannt sind U D 100 V und R D 100 (.

Die Leiterspannungen entsprechen in der symmetrischen Drei-
eckschaltung den Strangspannungen; die Leiterströme einer
p

Wie groß sind die Strangströme und die Strangspannun-
symmetrischen Dreieckschaltung betragen das 1;732 D

3-
gen und welche Phasenlage haben sie? Welchen Wert hat
fache der Strangströme.

die Scheinleistung?

Für einen symmetrischen Drehstromverbraucher in Dreieck-

U

D U
p D 100 V
p

D 57;7 VI
schaltung gelten gleiche Bedingungen.

Str

3

3

I D U Str D 57;7 V D 0;577 A

R

100 (

31.3

Leistung des Dreiphasenstroms

Mit den Vorgaben im symmetrischen Drehstromnetz folgt
für die Ströme und Spannungen:

In symmetrisch belasteten Dreiphasensystemen sind die Werte

I D 0;577 A e j 90I U

D 57;7 V e j 90
für U, I und ' für die drei Stromkreise (Phasen) gleich. Die

1

1 N

Leistung in jedem Strang ist somit identisch und kann nach

I D 0;577 A ej 150I

U

D 57;7 V ej 150

2

2 N

(30.156) bis (30.161) berechnet werden.

I D 0;577 A ej 60I

U

D 57;7 V ej 60

3

3 N

Strangscheinleistung

S

D

Str

U Str I Str

(31.14)

Scheinleistung:

Strangwirkleistung

P

D

Str

U Str I Str cos '

(31.15)

p
p

S D

Strangblindleistung

Q

D

3 U I D

3 100 V 0;577 A D 100 V A

Str

U Str I Str sin '

(31.16)

oder in der komplexen Form

Die Gesamtleistung des Dreiphasensystems ist die Summe der

Strangleistungen.

S D 3 . U

I / D 3 57;7 V 0;577 A ej..90/.90//

Str

Str

T

Scheinleistung

S D 3 S

D 100 V A ej 0

J
eil

Str

(31.17)

Wirkleistung

P D 3 P Str

(31.18)

IV

Blindleistung

Q D 3 Q Str

(31.19)

Beispiel

Berechnung der Leistung über die Leiterspannung und den Lei-
terstrom:

Gegeben ist ein symmetrischer Verbraucher mit indukti-
ver Last in Dreieckschaltung mit folgenden Werten: U D

Sternschaltung:

100 V; Z D 300 ( ej 20. Welchen Wert und Phasenlage ha-
p
ben die Ströme in den Zuleitungen? Welchen Wert hat die

S D 3 U

D

D

Scheinleistung?

Str

I Str

3 UL
p

IL

3 UL IL

(31.20)

3

Strangströme:

Dreieckschaltung:

p

I

D UL 1 L 2 D 100 V e j 60

12

Z

300 ( ej 20

S D 3 U

D

IL
p D

12

Str

I Str

3 UL

3 UL IL

(31.21)

3

D 0;33 A e j 80 D .0;057 j 0;325/ A

Aus der Übereinstimmung der beiden Gleichungen ergibt sich,

I

D UL 2 L 3 D 100 V ej 180

23
dass die Leistung eines Dreiphasensystems unabhängig davon

Z

300 ( ej 20

23
berechnet wird, ob eine Stern- oder Dreieckschaltung vorliegt.

D 0;33 A ej 160 D .0;31 C j 0;113/ A

Die Wirk- und Blindleistungen im Dreiphasensystem bei sym-

I

D UL 3 L 1 D 100 V ej 60
metrischer Belastung werden entsprechend berechnet.

31

Z

300 ( ej 20

31

D

Aus Gründen der Vereinfachung werden bei Berechnungen die

0;33 A ej 40 D .0;25 C j 0;212/ A

Leiterwerte des Dreiphasensystems ohne Indizes geschrieben.

31.4

Das unsymmetrische Dreiphasensystem

387

Beispiel

I2

I 12

Gegeben ist ein unsymmetrischer, im Stern geschalte-
ter Drehstromverbraucher mit folgenden Werten: U D

I 1

I23

100 V; R D

D

D

1

100 (; R 2

50 (; R 3

100 (.

I

Für die Berechnung muss eine Stern-Dreieck-Umwand-

31

I 3
lung durchgeführt werden.

R R C R R C R R

Abb. 31.8 Zeigerdiagramm der Ströme gemäß Beispiel

1

3

3

2

2

1

R

D

12

R 3

R C

C

3

R 3 R 2

R 2 R 1

R

D R 1

23

R 1

Ströme in der Zuleitung (Abb. 31.8):

R C

C

3

R 3 R 2

R 2 R 1

R

D R 1

31

R

I D I

I

2

1

12

31

D

Mit Hilfe der Umwandlung können die Dreieckwider-

0;057 A j 0;325 A .0;25 A C j 0;212 A/
stände bestimmt werden, die den gleichen Leiterstrom

D 0;193 A j 0;537 A D 0;57 A e j 110
erzeugen, wie die Strangwiderstände der Sternschaltung.

I D I

I

2

23

12

D

R

D 100 ( 100 ( C 100 ( 50 ( C 100 ( 50 (

0;31 A C j 0;113 A .0;057 A j 0;325 A/

12

100 (

D 0;367 A C j 0;438 A D 0;57 A ej 130

D 200 (

I D I

I

3

31

23

R

D 100 ( 100 ( C 100 ( 50 ( C 100 ( 50 (

23

D 0;25 A C j 0;212 A .0;31 A C j 0;113 A/

100 (

D

D

200 (

0;56 A C j 0;1 A D 0;57 A ej 10

R

D 100 ( 100 ( C 100 ( 50 ( C 100 ( 50 (

Scheinleistung:

31

50 (
p
p

D 400 (

S D

3 U I D

3 100 V 0;57 A

D

Nun können die Ströme in der Dreieckschaltung berech-

98;7 V A 100 V A

J
net werden.

IV

I

D UL 1 L 2 D 100 V e j 60

12

R 12

200 V ej 0

A

Teil

31.4

Das unsymmetrische

D 0;5 A e j 60 D 0;25 A j 0;433 A

Dreiphasensystem

I

D UL 2 L 3 D 100 V ej 180

23

R 23

200 V ej 0

A

Nicht bei jedem Verbraucher oder bei jedem Belastungsfall kann

D 0;5 A ej 180 D 0;5 A C j 0 A
gewährleistet werden, dass die Impedanzen der drei Stränge
gleichen Wert oder gleiche Phasenlage haben. Tritt ein Un-

I

D UL 3 L 1 D 100 V ej 60

31
gleichgewicht im Dreiphasensystem auf, hat das Verschiebun-

R 31

400 V ej 0

A
gen im Netz zur Folge. Damit diese Verschiebungen, besonders

D 0;25 A ej 60 D C0;125 A C j 0;216 A
im Niederspannungsnetz, nicht zu große Auswirkungen auf die

Phasenlage haben, wird das Netz, wenn ungleichmäßige Belas-

Ströme in der Zuleitung (Abb. 31.8):

tungen zu erwarten sind, nicht als Dreileiternetz, sondern als

I D I

I

Vierleiternetz ausgeführt.

1

12

31

D 0;25 A j 0;433 A .0;125 A C j 0;216 A/

D 0;125 A C j 0;649 A D 0;66 A ej 79

31.4.1

Das unsymmetrische Dreileiternetz

I D I

I

2

23

12

D 0;5 A C j 0 A .0;25 A j 0;433 A/

Im Dreiphasennetz sind die Leiterspannungen in Größe und

D 0;75 A j 0;433 A D 0;866 A ej 150

Phasenlage vorgegeben. Treten am Verbraucher Unsymmetrien

D

auf, so verschieben sich die Ströme in den Zuleitungen, ergeben

I

I

I

3

31

23
als Summe aber immer noch Null!

D 0;125 A C j 0;216 A .0;5 A C j 0 A/

Beim Verbraucher in der Sternschaltung nehmen die Strang-

D 0;625 A C j 0;216 A D 0;66 A ej 19
spannungen einen anderen Winkel und eine andere Größe ein.

388

31 Drehstrom

I 1

Sind die Ströme in den Zuleitungen bekannt, können die

Spannungen an den Widerständen der Sternschaltung be-

U L1N

U L1L2
rechnet werden.

U L1L2

L3L

U

1

I

U

N

L1N

U

L3L

U

2

U

D I R D 0;66 A ej 79 100 ( D 66 V ej 79

L2N

1 N

1

1

I2

U

D I R D 0;866 A e j 150 50 ( D 43;3 V e j 150

U L3N

U L3N

L2N

U

2 N

2

2

I 3

U L2L3

U L2L3

U

D I R D 0;66 A ej 19 100 ( D 66 V ej 19

3 N

3

3

Abb. 31.9 Sternschaltung mit Zeigerbild der Spannungen im Vierleiternetz

Die Strangspannungen haben bei einer unsymmetrischen

Belastung also nicht mehr den Wert U

D U
p D 100 V
p

D

Str

3

3

57;7 V, den sie bei einer symmetrischen Belastung auf-

Scheinleistung:

weisen. Der Sternpunkt verschiebt sich um einen Wert U 0
aus der Ursprungslage.

S

D

C

C
ges

S 1

S 2

S 3

Scheinleistung:

D U

C

C

L 1 L 2

I 12

UL 2 L 3 I 23

UL 3 L 1 I 31

D 100 V 0;5 A C 100 V 0;5 A C 100 V 0;25 A

S

D

C

C

D

C

C

ges

S 1

S 2

S 3

U 1 N I 1

U 2 N I 2

U 3 N I 3

D 50 V A C 50 V A C 25 V A D 125 V A

J

D 66 V 0;66 A C 43;3 V 0;866 A C 66 V 0;66 A

D 43;56 V A C 37;5 V A C 43;56 V A

D 124;62 V A

J

31.4.2

Das unsymmetrische Vierleiternetz

Beispiel

Muss in einem Dreiphasensystem mit starken Unsymmetri-
en gerechnet werden, wird das Vierleiternetz eingesetzt. Beim

Gegeben ist ein unsymmetrischer, im Dreieck geschal-

Vierleiternetz ist der Sternpunkt des Verbrauchers mit dem
teter Drehstromverbraucher mit folgenden Werten: U D

Sternpunkt der Spannungsquelle über einen separaten Leiter

100 V; R

D

D

D

12

200 (; R 23

200 (; R 31

400 (.

(Neutralleiter) verbunden (Abb. 31.9). Treten am Verbraucher

Teil

Ströme in der Dreieckschaltung:

ungleiche Belastungen in den verschiedenen Phasen auf, wird
der Differenzstrom des Systems über den Neutralleiter zur

IV

I

D UL 1 L 2 D 100 V e j 60

Spannungsquelle zurückgeleitet.

12

R 12

200 V ej 0

A

Neutralleiterstrom

I D I C I C I

(31.22)

N

1

2

3

D 0;5 A e j 60 D 0;25 A j 0;433 A

Ist der Widerstand des Neutalleiters sehr klein gegenüber dem

Widerstand des Verbrauchers, verschiebt sich beim Vierlei-

I

D UL 2 L 3 D 100 V ej 180

23

R
ternetz die Sternpunktspannung nicht; die Strangspannungen

23

200 V ej 0

A

D
bleiben in Phasenlage und Größe erhalten.

0;5 A ej 180 D 0;5 A C j 0 A

Beispiel

I

D UL 3 L 1 D 100 V ej 60

31

R 31

400 V ej 0

A

Gegeben ist ein unsymmetrischer, im Stern geschalte-

D 0;25 A ej 60 D 0;125 A C j 0;216 A
ter Drehstromverbraucher mit folgenden Werten: U D

100 V; R D

D

D

1

100 (; R 2

50 (; R 3

100 (.

Ströme in der Zuleitung:

Unter der Voraussetzung, dass der Widerstand des Neu-

I D I

I

1

12

31
tralleiters gegen Null geht, folgt:

D 0;25 A j 0;433 A .0;125 A C j 0;216 A/

U

D U
p D 100 V
p

D

Str

57;7 VI

D 0;125 A C j 0;649 A D 0;66 A ej 79

3

3

I D I

I

Strangströme:

2

23

12

D 0;5 A C j 0 A .0;25 A j 0;433 A/

U

I D

1 N D 57;7 V e j 90 D 0;577 A e j 90

1

D 0;75 A j 0;433 A D 0;866 A ej 150

R

100 (

U

I D I

I

D

2 N D 57;7 V ej 150 D

3

31

23

I

1;154 A ej 150

2

D

R

50 (

0;125 A C j 0;216 A .0;5 A C j 0 A/

D

D U 3 N D 57;7 V ej 30 D

0;625 A C j 0;216 A D 0;66 A ej 19

I

0;577 A ej 30

3

R

100 (

Literatur

389

Der über den Neutralleiter abfließende Strom ergibt sich
zu:

Literatur

I D I C I C I

1. Hagmann, G.: Grundlagen der Elektrotechnik: Aula-Verlag,

N

1

2

3

D

2006

0;577 A e j 90 C 1;154 A ej 150

2. Hering, E.; Martin, R.; Stohrer, M.: Physik für Ingenieure:

C 0;577 A ej 30

Springer, 2002

D .0 j 0;577/ A C .1;0 C j 0;577/ A

3. Frohne, H.: Moeller Grundlagen der Elektrotechnik: Teubner,

C .

2005

0;5 C j 0;289/ A

4. Zastrow, D.: Elektrotechnik: Vieweg, 2006

D .0;5 C j 0;289/ A D 0;577 A ej 150

J

5. Lindner, H.: Physik für Ingenieure: Fachbuchverlag Leipzig
im Carl-Hanser-Verlag, 2006

IV

Teil

Elektronik

V

32

Leitungsmechanismen bei Halbleitern, pn-Übergang . . . . . . . . 393

33

Dioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

34

Mehrschichtdioden und -trioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

35

Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

36

Besondere Halbleiter-Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

37

Analoge Verstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

38

Endstufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

V

39

Operationsverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

Teil

40

Elektronische Schalter, Kippstufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499

41

Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

42

Schaltungstechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519

43

Optoelektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525

44

Analog-Digital-Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537

45

Digital-Analog-Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541

391

Leitungsmechanismen bei

32

Halbleitern, pn-Übergang

Peter Döring

32.1 Einführung in die Halbleiterphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

32.2 Der pn-Übergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

V

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

393

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_32

394

32 Leitungsmechanismen bei Halbleitern, pn-Übergang

32.1

Einführung in die

4+

Halbleiterphysik

4+

Im Periodischen System der Elemente findet man zwischen den

Metallen und den Nichtmetallen Elemente, die als Halbleiter
freies Elektron
bezeichnet werden. Es handelt sich hierbei um Materialien mit

4+
einer spezifischen Leitfähigkeit, die in dem Bereich zwischen der

4+

Loch
spezifischen Leitfähigkeit von metallischen Leitern und der von

Isolatoren liegt.

Die wichtigsten Halbleiterwerkstoffe sind das Silizium (Si) und

Silizium-Kristall
das Germanium (Ge). Selen (Se) wird dagegen nur noch zur

4+

Herstellung kleinerer Netzgleichrichter verwendet.

Abb. 32.2 Thermische Paarbildung beziehungsweise Generation im Teilchen-

Hinzu kommen jedoch noch die intermetallischen Verbindun-

Modell
gen wie Gallium-Arsenid (GaAs), Gallium-Phosphid (GaP) und

Indium-Arsenid (InAs). Sie werden hauptsächlich zur Herstel-
lung von Fotohalbleitern und Hallgeneratoren verwendet.

me zu schwingen (thermische Eigenbewegung). Unter diesen

Silizium und Germanium sind 4wertige Elemente; also bilden

Bedingungen können Valenzelektronen aus ihren Bindungen

Atome mit vier Valenzelektronen das Kristallgitter (Tetraeder-
herausspringen und werden damit zu freien Elektronen, so dass

Gefüge) von reinem Silizium und Germanium.

die Leitfähigkeit des Materials größer wird.

Bei diesen Elementen werden die Atome durch die Elektronen-

An der Stelle, an der ein Valenzelektron aus seiner Bindung ge-
paarbindung zusammengehalten. In den Atomkoordinationsgit-
rissen wurde, fehlt nun jedoch eine negative Ladung. Infolge der
tern lagern sich die Atome mit ihren äußeren Elektronenschalen
positiven Ladung der Protonen im Atom verbleibt dem Atom
so aneinander, dass ihre Bindung über zwei Elektronen erfolgt.

eine positive Ladung, die als „Defektelektron“ oder „Loch“ be-

Die Atome teilen sich die Elektronen der äußersten Schale.

zeichnet wird.

Diese erhält so nach Abb. 32.1 den Bau einer Edelgasschale

Das Entstehen eines freien Elektrons und eines Loches nach

(Teil III).

Abb. 32.2 wird als „thermische Paarbildung“ oder „Generation“

Bei einem störungsfreien Kristallgitteraufbau und absolutem
bezeichnet. Bei andauernder Energiezuführung werden fortlau-

Temperaturnullpunkt (# D

0

273 ıC D 0 K(elvin) befinden
fend Elektronen frei, die scheinbar ziellos durch den Kristall
sich alle Atome im Ruhezustand. Die Leitfähigkeit des Halblei-
wandern, bis sie auf ein Loch treffen und dort wieder in einen
termaterials ist unter den genannten Bedingungen gleich Null,
festen Atomverband zurückspringen. Dieser Vorgang wird „Re-
und damit ist das Material ein absoluter Nichtleiter.

kombination“ genannt. Paarbildung und Rekombination sind
stets im Gleichgewicht. Die Anzahl der verfügbaren Ladungs-

In reinem Silizium gibt nun jedes Si-Atom an vier Nachbar-
träger hängt aber von der Temperatur ab und wird mit steigender
atome je ein Elektron ab oder nimmt von jedem der vier ein

Temperatur größer.

Elektron zur Aufrechterhaltung der Elektronenpaarbindung an.

In einem reinen Siliziumkristall sind alle Valenzelektronen fest

Im Bereich der Raumtemperatur verdoppelt sich in etwa die An-
gebunden, so dass keine freien Elektronen zur Verfügung ste-
zahl der Ladungsträgerpaare, wenn eine Temperaturerhöhung

T
hen.

um 10 K vorgenommen wird. Diese Erhöhung der Leitfähig-
eil
keit mit steigender Temperatur wird allgemein „Eigenleitung“

Wird ein solcher Kristall der Einwirkung von Energie in Form
genannt.

V
von Licht und/oder Wärme ausgesetzt, so beginnen die Ato-

Beim Anlegen einer Spannung entsteht im Kristall ein elektri-
sches Feld, dass die frei gewordenen Elektronen vom Minuspol
zum Pluspol der Spannungsquelle zieht. Sie springen auf ihrem

4+

Weg dahin immer von einem Loch zum anderen und „fallen hin-
ein“ (rekombinieren). Damit wandern die Löcher aber scheinbar

4+
vom Pluspol zum Minuspol der Spannungsquelle.

In jedem Halbleitermaterial stehen also zum Ladungstransport
sowohl Elektronen als auch Löcher zur Verfügung. Diesen bipo-

4+
laren Leitungsmechanismus gilt es zu nutzen.

4+

Neben dem Teilchen-Modell gibt es noch das Bändermodell, das
auf Überlegungen der Quantentheorie zurückgeführt wird (siehe

Teil III).

Silizium-Kristall

4+

Danach kann Ladung (Energie) nur in Portionen, also bestimm-
ten ganzzahligen Vielfachen der Grundladung e (Elektronen-

Abb. 32.1 Elektronenpaarbindung bei Silizium
energie) existieren. In einem Kristall können nach Pauli nur

32.1

Einführung in die Halbleiterphysik

395

LB

4+

ΔW = 1,1 eV

4+

VB

Abb. 32.3 Generation im Bändermodell

5+

4+
zwei Elektronen dasselbe Energieniveau haben. Dadurch liegen
die Energieniveaulinien der Elektronen des Kristalls sehr dicht

Silizium-Kristall
in Form von Bändern beieinander. Bei Festkörpern geben also

4+

Bänder die möglichen Energiezustände der Elektronen an:

Abb. 32.4 n-Dotierung von Silizium

1. Die Elektronen können keine beliebigen Energiewerte im

Kristall einnehmen, sondern nur solche, die innerhalb eines

Bandes liegen.

4+

2. Die Elektronen können im Kristall keine Energiezustände
einnehmen, deren Werte zwischen den Bändern, das heißt,

4+
in der verbotenen Zone, liegen.

3. Eine Energiezufuhr kann ein Anheben der Elektronen auf
höhere Energiebänder bewirken, das heißt, die verbotene Zo-
ne kann von den Elektronen übersprungen werden.

3+

4+

4. Nur in teilweise besetzten Bändern kann eine Elektronenlei-
tung vonstattengehen. In absolut leeren Bändern sind keine

Elektronen vorhanden, und in völlig besetzten sind keine er-
laubten Energieniveaus mehr vorhanden.

Silizium-Kristall

5. Bei Energieabgabe springen alle vorher angeregten Elektro-

4+
nen auf noch freie Plätze in den niederen Energiebändern
zurück.

Abb. 32.5 p-Dotierung von Silizium

Werden Elektronen aus dem Valenzband VB in das Leitungs-
band LB angehoben, so ist die Elektronenbesetzung des VB

Ein derartiger Einbau von Fremdatomen wird als Dotieren be-
nicht mehr komplett. Dieses VB mit relativ wenig unbesetzten
zeichet. Zum Dotieren sind Stoffe geeignet, die entweder ein

Elektronenzuständen verhält sich nun hinsichtlich der Leitfä-

Valenzelektron mehr oder ein Valenzelektron weniger besitzen
higkeit so, als wären die entstandenen Lücken positiv geladene
als zum Beispiel Silizium.

Teilchen in einem sonst leeren Band.

Die Elemente Phosphor (P), Arsen (As) und Antimon (Sb) haben

Bei den Halbleitern ist deshalb eine n-Leitung durch die nega-
fünf Valenzelektronen und damit ein Elektron mehr als Silizium
tiv geladenen Elektronen im Leitungsband und eine p-Leitung
hat.

durch die positiv geladenen Defektelektronen des Valenzbandes

Bringt man Atome dieser Elemente in das Kristallgitter der
zu unterscheiden.

Halbleiter, so wird ein Elektron für die Elektronenpaarbindung

V

Der „thermischen Paarbildung“ im Teilchenmodell steht also
im Kristall nicht gebraucht. Es entsteht ein Elektronenüber-
hier nach Abb. 32.3 die Anhebung eines Valenzelektrons durch
schuss im Kristallgitter (Elektronenspender = Donatoren).

Temperaturanstieg vom oberen Rand des Valenzbandes zum

Teil

Wird dagegen mit Bor (B), Aluminium (Al), Gallium (Ga) oder
unteren Rand des Leitungsbandes adäquat gegenüber. Die zur

Indium (In) dotiert, entsteht im Kristall ein Elektronenmangel,

Paarbildung notwendige Energie wird Bindungsenergie genannt
weil diese Atome nur über drei Valenzelektronen verfügen. Eine
und entspricht der Breite der verbotenen Zone.

Paarbindung ist nicht komplett, das heißt es fehlt eine negati-
ve Ladung, was bedeutet, dass wir nun nach Abb. 32.5 Löcher

Bei der bisher besprochenen „Eigenleitung“ hängt die Leitfähig-

(Defektelektronen) eingebracht haben (Elektronenempfänger =
keit, also die Anzahl der freien Ladungsträger (Elektronen und

Akzeptoren).

Löcher) nur von der Temperatur ab.

Diese durch gezielte Verunreinigung bewirkte Leitfähigkeit

Wie macht man die Leitfähigkeit möglichst temperaturunabhän-
wird Störstellenleitung genannt. Sie ist maßgebend für die
gig?

Leitfähigkeit aller dotierten Halbleitermaterialien und ist fast
unabhängig von Temperaturänderungen.

Die Leitfähigkeit wird fast temperaturunabhängig, wenn man

Störstellen im Gitter (Abb. 32.4) durch das gezielte Einbringen

Mit Hilfe des Bändermodells lässt sich dieses Phänomen auch
von Fremdatomen in das Kristallgitter des reinen Halbleiterma-
erklären: Durch die Dotierung entstehen zusätzliche Energie-
terials einbaut.

niveaus, so dass ein Ladungsträgertransport bei äußerst kleiner

396

32 Leitungsmechanismen bei Halbleitern, pn-Übergang

LB
p-dotiert
n-dotiert

+

Donatorniveau

Donatorion

VB

Antidiffusionsspannung
n-dotiert

Abb. 32.6 Energieniveau bei n-dotiertem Silizium

+

U

LB

Akzeptorion

Abb. 32.9 pn-Übergang in Sperrrichtung

Akzeptorniveau
p-dotiert
n-dotiert

+

VB
p-dotiert

Abb. 32.7 Energieniveau bei p-dotiertem Silizium

Antidiffusionsspannung

Energiezufuhr möglich ist. Die Lage der neuen Energieniveaus

+
ist im Abb. 32.6 für n-dotiertes Material und Abb. 32.7 für p-
dotiertes Material erkennbar.

U

Wir haben nun n-dotiertes und p-dotiertes Halbleitermaterial zur

Abb. 32.10 pn-Übergang in Durchlassrichtung

Verfügung und kennen zwei Leitungsmechanismen, nämlich n-

Leitung und p-Leitung.

Potentialdifferenz und damit ein elektrisches Feld, die eine wei-
tere Diffusion unterbindet und somit die Breite der Sperrschicht

32.2

Der pn-Übergang
begrenzt. Diese Antidiffusionsspannung ist von der Dotierung,
vom Grundmaterial und der Temperaturspannung abhängig.

Fügt man n- und p-dotiertes Halbleitermaterial aneinander, liegt

Weil diese Spannung, die manchmal auch als Diffusionsspan-
ein pn-Übergang nach Abb. 32.8 vor. Infolge Diffusion (Ver-
nung bezeichnet wird, nur unmittelbar an der Sperrschicht
schieben von Ladungsträgern zwischen den beiden unterschied-
auftritt, kann sie von außen nicht gemessen werden.

lich dotierten Siliziumschichten infolge ihrer Wärmebewegung)

Legt man nun nach Abb. 32.9 von außen an den pn-Übergang
verlagern sich Elektronen aus dem n-Bereich, in dem sie die
eine größere Spannung an, die dieselbe Polarität wie die An-

Majoritätsträger (Mehrheit) darstellen, in den p-Bereich und
tidiffusionsspannung aufweist, also eine Spannungsquelle mit
rekombinieren mit den Löchern. Ebenso diffundieren Defekt-
dem Minus-Pol an den p-Bereich und dem Plus-Pol an den n-
elektronen (Löcher) aus dem p-Bereich in den n-Bereich und

Bereich, so werden Elektronen in den p-Bereich gepumpt, die
rekombinieren mit den Elektronen.

dann ihrerseits mit den Löchern rekombinieren.

Teil

Diese Ladungsträger sind nunmehr für den Stromtransport ver-

In den n-Bereich werden zusätzliche Löcher gepumpt (Elektro-
loren. Es bildet sich eine Grenzschicht aus, die keine oder
nen abgesaugt). Die Folge ist eine Ausweitung der Sperrschicht,

V
nur sehr wenige freie Ladungsträger enthält, die sogenannte
da diese Grenzschicht weiter an Ladungsträgern verarmt. Der

Sperrschicht. Infolge der fehlenden Ladungsträger ist die Leit-

Widerstand der Sperrschicht wird nahezu unendlich groß.

fähigkeit dieser Zone sehr gering.

Polt man nun die Spannungsquelle nach Abb. 32.10 um (Plus-

Da im p-Bereich aufgrund der Dotierung negative Atomrümpfe

Pol an den p-Bereich und den Minus-Pol an den n-Bereich),

(Ionen) und im n-Bereich positive Atomrümpfe im Kristall-
werden Elektronen in den n-Bereich eingebracht, während De-
gitter eingebunden sind, entsteht eine Raumladung, also eine
fektelektronen in den p-Bereich verbracht werden. Die Folge
ist, dass rekombinierte Teilchen sofort durch neue ersetzt, die

Sperrschicht abgebaut und bei genügend großer angelegter
p-dotiert
n-dotiert

Spannung zum Verschwinden gebracht wird. Damit fließt ein
größer werdender Strom durch den pn-Übergang. Überschreitet
die Spannung den Wert der Antidiffusionsspannung, wird der

Durchlassstrom schnell sehr groß.

Ein pn-Übergang ist also ein Bauelement, dessen Widerstand

Antidiffusionsspannung
von der Richtung der angelegten Spannung abhängig ist. Man

Abb. 32.8 pn-Übergang mit Antidiffusionsspannung
unterscheidet eine Sperrrichtung und eine Durchlassrichtung.

Dioden

33

Peter Döring

33.1 Kennlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

33.2 Kenndaten und Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

33.3 Kennzeichnung von Halbleiter-Bauelementen . . . . . . . . . . . . . 401

33.4 Diodenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

33.5 Anwendungsschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

V

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

397

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_33

398

33 Dioden

33.1

Kennlinien

Sperrkennlinien I = f ( U )

R

R

T = 25 C ;
o

T = 100 C
o

BAY 45

U

U

I R

Aus den Diodenkennlinien nach Abb. 33.1 lassen sich Daten für
nA
den Einsatz und das Verhalten der einzelnen Diodentypen ermit-
teln.

104

Der Durchlassbereich wird von den Größen Durchlassspannung

T = 100 C
o

U

UF und Durchlassstrom IF beschrieben ( F steht für forward di-

103
rection, engl.: Vorwärtsrichtung).

Legt man an die Kennlinie in Durchlassrichtung eine Tangen-
te, wenn die Kennlinie in eine Gerade übergeht, so schneidet

102

25 C
o
diese Tangente die Spannungsachse bei der Schleusenspannung

U.TO/.

101

Es gelten folgende Werte:

Ge

)

U.

Mittelwerte

TO/ D 0;2 : : : 0;4 V

100

Streuwerte

Si

)

U.TO/ D 0;5 : : : 0;8 V

Der Sperrbereich wird von den Größen Sperrspannung UR und

10–1

Sperrstrom I

0

50

100

150

V

R beschrieben ( R steht für reverse direction, engl.:

U

Rückwärtsrichtung).

R

Es gelten folgende Werte:

Abb. 33.2 Sperrkennlinien einer Diode als f .T /

Ge

)

I D

R

10 : : : 500 &A

Si

)

I D

Die Temperaturspannung U

R

5 : : : 500 nA

T ist eine Funktion der Temperatur
und lässt sich über den Energieerhaltungssatz aus der Wärme-

Im Koordinatenursprung scheint in der Kennlinie ein Knick zu
lehre ermitteln. Setzt man voraus, dass die Elektronen, bedingt
sein. Bei genauerem Hinsehen findet man als Ursache einen
durch die Temperatur T, eine bestimmte Energie besitzen, ohne

Wechsel der Einheitengröße bei Strom und Spannung. Die
dass eine elektrische Spannung vorhanden ist, so ist die Tempe-

Spannung UR. BR/ ist hier nach Abb. 33.1 die rückwärtige Durch- raturspannung als eine Spannung erklärbar.

bruchspannung.

k T

Die Durchbruchspannung ist als die Spannung definiert, für die

Temperaturspannung

U D

T
j e j

(33.1)

die maximale Feldstärke im pn-Übergang einen kritischen Wert
erreicht und der Sperrstrom sehr plötzlich große Werte annimmt.

mit k D 1;3804 1023 W s=K (Boltzmannkonstante) und
e D 1;602 1019 A s (Elementarladung) (für T D 300 K ist

Der Strom am pn-Übergang setzt sich aus einem Löcherinjek-

U 26 mV).

tionsstrom ins n-Gebiet, einem Elektroneninjektionsstrom ins

T
p-Gebiet und einem Rekombinations-Generationsstrom in der

Tritt nun eine elektrische Feldstärke infolge einer angeleg-

T

Raumladungszone zusammen. Dieser Strom ist temperaturab-
ten Spannung auf, so wird die Bewegung der Elektronen zum
eil
hängig. Je höher die Temperatur wird, umso größer ist die
positiven Potential gerichtet sein. Insgesamt kann der Strom

Wahrscheinlichkeit, dass die Elektronen große Geschwindigkei-
mathematisch wie folgt als die Kennlinie einer Diode in Durch-

V
ten annehmen.

lassrichtung so beschrieben werden:

Diodenkennlinie

I D I f

S eU= UT 1g

(33.2)

I F

Hierbei ist IS eine Konstante (Sättigungsstrom), die von der
a
b

Konstruktion der Diode und verschiedenen Materialparametern
abhängt.

Durchlaßbereich

Sperr- und Durchlassverhalten einer Diode sind temperaturab-

U R(BR)

hängig. Bei einem Anstieg der Sperrschichttemperatur # J um

U

U

R

(TO)

U F
ca. 10 K bei einer Ge-Diode und ca. 7 K bei einer Si-Diode
verdoppelt sich der Sperrstrom. Die Schleusenspannung verrin-
gert sich mit zunehmender Sperrschichttemperatur # J um ca.

2 mV=K.

a) Silizium
b) Germanium

Die Diagramme in Abb. 33.2 und 33.3 zeigen die Temperatur-

Sperrbereich

I R
abhängigkeit der Sperr- beziehungsweise Durchlasskennlinien

Abb. 33.1 Vierquadrantenkennlinie für Silizium- und Germanium-Dioden
für 25 °C und 100 °C.

33.2

Kenndaten und Grenzwerte

399

33.2

Kenndaten und Grenzwerte

Zulässige Impulsbelastbarkeit

Ι F = f t( ); =
i ν

Parameter, U

T = 25 °C

BAY 44, BAY 45, BAY 46

Diodenhersteller geben in den Datenblättern eine Reihe von

I F 102

Kennwerten an. Diese Kennwerte sind getrennt nach Grenzda-

A
ν = 0
t i
ten und Kenndaten zu bewerten.

0,005
t i
ν =

I F

0,01

T

Grenzwerte sind solche Werte, die auf keinen Fall überschrit-

101

T

0,02
ten werden dürfen, weil das Bauelement sonst zerstört werden
könnte. Ein einzelner Grenzwert darf auch dann nicht über-
schritten werden, wenn andere Grenzwerte nicht voll ausgenutzt

100

0,05
sind.

0,1

0,2

Dioden können auf verschiedene Arten elektrisch überlastet

10–1
werden; durch einen zu großen Durchlassstrom IF, eine zu hohe

10–1

10–5

10–4

10–3

10–2

100

101 s

Sperrspannung U
t

R, eine zu große, in ihr umgesetzte Verlustleis-
i
tung PV oder durch eine zu hohe Sperrschichttemperatur # J max.

Abb. 33.4 Zulässige Impulsbelastbarkeit

Die Datenblätter enthalten nach DIN 41782 Strom- und Span-
nungswerte mit folgenden Bedeutungen: Stoßspitzenspannung

U RSM, Periodische Spitzensperrspannung U RRM, Dauergrenz-

Sowohl Spannung als auch Strom sind hier abhängig von der
strom I FAV, Durchlassstrom-Effektivwert I FRMS und Stoßstrom-

Zeit f . t/. Der 1. Teil der Summe in (33.4) beschreibt den DC-

Grenzwert I FSM.

Anteil der Leistung, während der 2. Teil der Summe den AC-

Beim Betrieb einer Diode entsteht sowohl in Durchlassrichtung

Anteil darstellt. Damit ergibt sich P D

C

V

U.TO/ I FAV
rF I 2RMS
als auch in Sperrrichtung eine Verlustleistung P

D

V in der Diode,
und wegen I RMS

F I FAV mit F Formfaktor ergibt sich die
wobei bei niedrigen Frequenzen die Sperrverluste gegenüber
totale Verlustleistung
den Durchlassverlusten vernachlässigbar klein sind.

Verlustleistung

P D

P

P D U

C r

V

UF IF

(33.3)

tot

V

.TO/ I FAV

F . F I FAV/2

(33.5)

Zur Berechnung dieser Verlustleistung muss UF näher bestimmt

Diese Verlustleistung führt zur Erwärmung des Halbleiter-
werden. Es gilt:

kristalls. Die größte zulässige Verlustleistung wird als totale

U D

F

U.TO/ C rF IF

Verlustleistung P tot vom Hersteller für bestimmte Temperatur-

Eingesetzt in (33.3) ergibt sich:

bedingungen angegeben.

In diesem Zusammenhang muss auch die zulässige Impuls-

P D

D

C

V

. U.TO/ C rF IF/ IF

U.TO/ IF
rF I 2

(33.4)

F
belastbarkeit von Dioden gesehen werden. Wird die Diode
mit einer rechteckförmigen Spannung betrieben, kann mit dem

Durchlaßkennlinien I = f ( U )

Diagramm nach Abb. 33.4 gearbeitet werden. Hier ist die Ab-

F

F

T = 25 C ;
o

T
o

U

U = 100 C
hängigkeit des zulässigen Stroms IF von der Impulsdauer ti

BAY 44, BAY 45, BAY 46

3
aufgetragen. Als Parameter wird hier D t

10
i= T angegeben. Je

I
größer der Parameter wird, umso geringer wird der zulässige

F mA

Strom in Durchlassrichtung.

2

10

Mittelwerte

Hauptsächlich durch die Verlustleistung bei Durchlassbetrieb

Streuwerte
entsteht in der Sperrschicht Wärme, durch die sich die Sperr-

V
schichttemperatur erhöht. Diese darf die maximale Sperr-

1

10
schichttemperatur # J max nicht überschreiten, weil der Kristall

Teil
seine Halbleitereigenschaften ansonsten stark verändert und die

0

Diode zerstört wird.

10

T = 100oC

Die höchste zulässige Sperrschichttemperatur hängt vom Ma-

U
terial ab: #

J max

70 ıC bis 90 °C bei Germaniumdioden und

–1

10

#

J max

150 ıC bis 200 °C bei Siliziumdioden.

Besteht die Gefahr, dass die höchstzulässige Sperrschichttempe-

–2

25 C
o
ratur infolge der Verlustleistung und der Umgebungstemperatur

10
überschritten werden kann, so muss die Diode „gekühlt“ wer-
den.

–3

10

Als Kenndaten werden Eigenschaften der Dioden angegeben,

0

0,2

0,4

0,6

0,8 V 1,0

U
die das Verhalten in bestimmten Arbeitspunkten kennzeichnen.

F

Die Kenndaten werden in dynamische und statische Daten un-

Abb. 33.3 Durchlasskennlinien einer Diode als f .T /
terteilt.

400

33 Dioden

Dynamischer Durchlaßwiderstand r F

Diodenkapazität
r = f I

( ); Meßfrequenz f = 1 MHz

C = f ( U )

BAY 44, BAY 45, BAY 46

F

F

R

BAY 44, BAY 45, BAY 46

104

10

C
r F Ω
pF

103

102

5

BAY 44

BAY 45

BAY 46

101

100

10–2

10–1

100

101
mA 102

I F

0

10–1

100

101

V

102

Abb. 33.5 Dynamischer Durchlasswiderstand rF einer Diode

U R

Abb. 33.6 Dioden-Kapazität als Funktion der Sperrspannung

Statische Kenndaten beschreiben das Gleichstromverhalten
während dynamische Kenndaten über das Verhalten bei

Wechselstrom- und Impulsbetrieb informieren.

zwischen den Anschlüssen der Diode und dem Gehäuse auftre-

Der statische Durchlasswiderstand R
tenden Kapazität ergibt sich die Diodenkapazität CD.

F ist der Gleichstromwi-
derstand einer Diode. Er ist nicht konstant, sondern hängt vom

Obwohl diese Diodenkapazität einen relativ kleinen Wert hat,
gewählten Arbeitspunkt ab. Oberhalb der Schleusenspannung
kann sie beim Diodeneinsatz sehr störend wirken. So bildet
ist RF sehr klein, unterhalb aber bereits relativ groß.

eine Diode mit einem Vorwiderstand ein RC-Glied, das eine

Der dynamische Durchlasswiderstand r
bestimmte Zeitkonstante hat. Bei Betrieb mit einer Wechsel-

F ist der Wechselstrom-
widerstand der Diode. Er lässt sich aus der Stromänderung I
spannung sehr hoher Frequenz wirkt das RC-Glied als Tiefpass,

F
infolge einer Spannungsänderung U
bei Impulsbetrieb als Integrierglied, durch das eine Impulsver-

F für einen bestimmten

Arbeitspunkt aus dem Kennlinienbild ermitteln. Der dynami-
formung auftritt.

sche Durchlasswiderstand wird mit steigendem Durchlassstrom

Beim Einsatz in der Digitaltechnik müssen also Dioden mit sehr
kleiner. Sein Wert wird vom Hersteller in den entsprechenden
kleiner Diodenkapazität ausgewählt werden.

Datenblättern in doppelt-logarithmischen Diagrammen, zum

Die Sperrschicht ist abgebaut, wenn eine Diode in Durch-

T

Beispiel im Diagramm nach Abb. 33.5 dargestellt.

eil
lassrichtung betrieben wird. Nun befinden sich zahlreiche La-
dynamischer Durchlasswiderstand
dungsträger im Bereich der Grenzschicht zwischen dem p-

V

und n-Material. Bei schlagartigem Umpolen der äußeren Span-

UF
r D
nung (Übergang vom Durchlass- in den Sperrbetrieb) kann eine

F

(33.6)

IF

Sperrwirkung des pn-Überganges erst dann entstehen, wenn alle

Ladungsträger aus der Grenzschicht abgeflossen sind (Träger-

Der statische Sperrwiderstand RR ist im gesamten zulässigen

Staueffekt, TSE).

Sperrbereich sehr groß. Er ändert sich auch nur relativ wenig in

Abhängigkeit von der Sperrspannung. Wird jedoch die höchst-

Die Zeit, die das Ausräumen der Ladungsträger aus der
zulässige Spitzensperrspannung U RSM überschritten, so wird der

Grenzschicht erfordert, wird Sperrverzögerungszeit t rr (reverse

Sperrwiderstand plötzlich sehr klein. Eine normale Diode ist
recovery time) oder Rückwärtserholzeit t rr genannt. Abb. 33.7
dann nicht mehr funktionsfähig.

zeigt den Zusammenhang zwischen dem maximal auftretenden

Sperrstrom I

Die Sperrschicht, die sich zwischen dem p-dotierten und dem

RM und der Dauer des fließenden Sperrstroms, bis
dieser auf ca. 10 % von I
n-dotierten Material ausbildet, wirkt als Isolator wie ein Dielek-

RM abgesunken ist, bei der die Sperr-
verzögerungszeit endet.

trikum, an das sich auf beiden Seiten ein gut leitendes Material
anschließt. Jede Diode besitzt daher auch ohne angelegte Span-

Die Sperrverzögerungszeit soll aus mehreren Gründen mög-
nung eine Sperrschichtkapazität. Sie wird nach Abb. 33.6 mit
lichst klein sein. So kann unmittelbar nach dem Umschalten
zunehmender Sperrspannung kleiner, weil die Breite der Sperr-
vom Durchlass- in den Sperrbereich bereits eine hohe Sperr-
schicht größer wird. Aus der Sperrschichtkapazität und der
spannung UR anliegen, während noch für eine gewisse Zeit ein

33.3

Kennzeichnung von Halbleiter-Bauelementen

401

I

Sperrschicht Gehäuse), R

F
th GK (Wärmewiderstand Gehäuse

Kühlkörper) und R th K (Wärmewiderstand des Kühlkörpers) zu-
t rr
sammen.

! R

D

C

C
th JU

R th JG

R th GK

R th K
t

I R

Der gesamte Wärmewiderstand R th JU zwischen Sperrschicht
und Umgebungsluft ist nun wegen der großen Oberfläche klei-

I
ner als der Wärmewiderstand R

RM
th JU, der für das Halbleiterbau-
element ohne Kühlkörper gilt. Je kleiner der Wärmewiderstand

I R
ist, umso größere Wärmemengen können von der Sperrschicht
abgeführt werden. Die Wärmespeicherung kann durch entspre-

Abb. 33.7 Sperrverzögerungszeit trr
chende Ersatzschaltbilder (zum Beispiel „Kondensator“) darge-
stellt und berechnet werden.

relativ großer Ausräumstrom IR fließt. Kurzzeitig ergibt sich da-

Zulässige Verlustleistung
durch eine hohe Verlustleistung, durch die die Diode zerstört
werden kann. Eine TSE-Beschaltung (RC-Reihenglied parallel

# #

D

J

U
zur Diode) mindert diesen Effekt.

PV

(33.8)

R

C

C
th JG

R th GK

R th K

Weiterhin bestimmt die Sperrverzögerungszeit aber auch die
höchste Frequenz, die mit der betreffenden Diode noch gleich-

Der Wärmewiderstand R th K eines Kühlkörpers ist aber nicht
gerichtet werden kann. Eine Gleichrichtung ist nur möglich,
nur von der Größe der Oberfläche, sondern auch vom Material
wenn die Dauer der zu sperrenden Halbwelle größer als die
abhängig. Diese Materialabhängigkeit wird meistens in einem

Sperrverzögerungszeit ist.

Diagramm angegeben. Heute werden in zunehmendem Umfang

Rippenkühlkörper verwendet. Sie werden hauptsächlich aus ei-

Bei Betrieb einer Diode (aber auch aller anderen Halblei-
ner Aluminiumlegierung gefertigt.

terbauelemente) wird die in der (oder den) Sperrschicht(en)

auftretende Verlustleistung P

Zwischen dem Gehäuse des Bauelementes und dem Kühlkörper

V in Wärme umgewandelt. Diese

Wärme muss über das den Kristall umschließende Gehäuse aus
soll ein sehr enger Kontakt bestehen, damit der Wärmewider-

Metall, Kunststoff oder Glas an die Umgebungsluft abgeführt
stand R th GK möglichst klein wird. Dies lässt sich mit einer
werden.

Wärmeleitpaste, zum Beispiel Siliconfett erreichen.

Aufgrund der thermischen Gesetze geschieht dieses in dem Ma-
ße, je größer die Temperaturdifferenz zwischen Sperrschicht
und Umgebungsluft ist und je besser die Ableitung der erzeug-

33.3

Kennzeichnung von
ten Wärme erfolgen kann.

Halbleiter-Bauelementen

Wie gut die Wärme von der Sperrschicht (J D junction) durch
das Material an die Luft (U D Umgebung, auch A für engl. D
ambient) abgeführt werden kann, wird durch den Wärmewider-

Die Typenbezeichnung setzt sich nach „Pro Electron“ aus zwei
stand R th JU beschrieben, wobei der Index „th“ den thermischen

(für Typen, die vorwiegend in Rundfunk-, Fernseh- und Magnet-

Widerstand beschreibt.

tongeräten verwendet werden) oder drei (Typen für kommerzi-

Den mathematischen Zusammenhang beziehungsweise die De-
elle Zwecke, beziehungsweise Industrietypen) Buchstaben und
finition des Wärmewiderstandes kann man leicht formulieren.

einer Zahlenkombination zusammen. Bei amerikanischen Her-

V
stellern ist die Bezeichnung 1N . . . für Dioden und 2N . . . für

#

J

# U

Wärmewiderstand

R

D

Transistoren üblich, wobei die Zahl vor dem „N“ die Anzahl der
th JU

(33.7)

Teil

PV
internen pn-Übergänge kennzeichnet. Hier ist das Ausgangsma-

Bei Dioden mit Verlustleistungen P
terial der Bauelemente nicht erkennbar. Die nachfolgende drei-

V < 1 W genügt meist die

Wärmeableitung über die Oberfläche des Gehäuses. Der Wär-
oder vierstellige Zahl ist eine Registriernummer ohne besondere
mewiderstand umfasst den Weg von der Sperrschicht über das
technische Aussage.

Gehäuse an die Umgebungsluft. Bei Verlustleistungen PV >

Das folgende Schema zeigt die Kennzeichnung von Halbleiter-

1 W reicht die Wärmeableitung über das Gehäuse allein nicht

Bauelementen der Firma Siemens und anderer Firmen. Darin
mehr aus, weil die Oberfläche des Gehäuses zu klein ist. Um
bedeuten:

die abstrahlende Oberfläche zu vergrößern, wird die Diode auf
einen zusätzlichen Kühlkörper gesetzt. Hierfür eignen sich Me-

1. Buchstabe (Ausgangsmaterial):

talle, die eine gute Wärmeleitfähigkeit bei gleichzeitig geringem

A Germanium; B Silizium; C Material mit einem Energieab-

Gewicht haben.

stand von mehr als 1,3 eV, zum Beispiel Gallium-Arsenid; D

Werden Dioden mit einem zusätzlichen Kühlkörper betrieben,

Material mit einem Energieabstand von weniger als 0,6 eV, zum
so setzt sich der Wärmewiderstand R th JU aus einer Reihen-

Beispiel Indium-Antimonid; R Halbleiter-Material für Photolei-
schaltung der drei Teilwiderstände ! R th JG (Wärmewiderstand
ter und Hallgeneratoren

402

33 Dioden

Tab. 33.1 Diodenarten und Anwendungsbereiche

Art

Schaltzeichen Anwendungsbereich

Silizium-Flächendiode

Universaldiode zur Gleichrichtung von Spannungen und Strömen in der Elektrotechnik, Elektronik und

Messtechnik

Silizium-Gleichrichterzelle

Gleichrichten von Strömen und Spannungen in der Leistungselektronik

Germanium-Spitzendiode

Gleichrichten von kleinen Wechselspannungen und -strömen bis zu hoher Frequenz. Anwendung als
schnelle Schaltdiode in der Digitalelektronik

Schottky-Diode

Gleichrichten von kleinen Wechselspannungen und -strömen bis zu extrem hoher Frequenz. Anwendung
als sehr schnelle Schaltdiode. Bestandteil monolithischer integrierter Schaltungen in der Digitalelektronik

Backwarddiode

Gleichrichten extrem kleiner Wechselspannungen bei hoher Frequenz

Tunneldiode

Schwingungserzeugung im Mikrowellenbereich. Schnelle Schaltdiode in der Digitalelektronik

Kapazitätsdiode

Abstimmung von Schwingkreisen, automatische Nachstimmschaltungen, Modulationsschaltungen,

Mischer und Frequenzvervielfacher

Z-Diode

Begrenzen von Spannungen, Spannungs-Referenzelement in der Messtechnik, Schaltungen zur

Spannungsneubildung

Magnetdiode

Magnetfeldabhängige Steuerungen

M

Suppressor-Diode

Begrenzen von Überspannungsspitzen im gesamten Bereich der Elektronik

2. Buchstabe (Verwendungszweck):

Al (flüssig)

p-Si

A Allgemeine Kleinsignalgleichrichtung, Schaltdiode; B Ka-

Al

Al
pazitätsdiode; C NF-Transistor; D NF-Leistungstransistor; E
n-Si
n-Si
n-Si

Tunneldiode; F HF-Transistor; G Oszillatordiode für HF-

Legierung
bei T = 600 °C ohmscher Kontakt

Anwendung, auch Multichips; H Diode, die auf ein Magnetfeld
anspricht, Hall-Feldsonde; L HF-Leistungstransistor; N Op-

Abb. 33.8 Prinzip des Legierungsverfahrens
tokoppler; P Fotodiode, Fotoelement (strahlungsempfindliches

Bauelement); Q Leuchtdiode (strahlungserzeugendes Bauele-

3-wertiges Material
p-Si ohmscher
ment); R Elektrisch ausgelöste Steuer- oder Schaltbauteile mit
p-Si

Al

Kontakt

Durchbruchcharakteristik; S Schalttransistor; T Elektrisch oder
n-Si
n-Si
n-Si
mittels Licht ausgelöste Steuer- oder Schaltbauteile mit Durch-

Diffusion bei
ohmscher
bruchcharakteristik; U Leistungs-Schalttransistor; X Verfielfa-

T = 900 ... 1300 °C

Kontakt
cherdiode; Y Leistungsdiode; Z Z-Diode, Referenzdiode

Abb. 33.9 Prinzip des Diffusionsverfahrens

Der 3. Buchstabe (nur X, Y und Z) kennzeichnet kommerzielle

T

Typen.

eil
von Donatoren und Akzeptoren in das Grundmaterial Silizium

V
eingebracht werden, unterscheiden sich die möglichen grund-

33.4

Diodenarten
sätzlichen Herstellungsverfahren.

Beim Legierungsverfahren nach Abb. 33.8 wird eine kleine

Dioden unterscheidet man zweckmäßigerweise nach ihrer An-

Aluminium- oder Indiumkugel (-draht) auf eine n-dotierte Sili-
wendung voneinander. Die bisher beschriebenen Grenz- und
ziumscheibe gebracht. Beides zusammen wird soweit erhitzt, bis

Kenndaten werden hierbei je nach Ausprägung der Dioden und
sich ein kleiner geschmolzener Al-Si-Bereich bildet, der nach
der beabsichtigten Anwendung als Vor- oder Nachteile ange-
dem Abkühlen eine p-leitende Zone bildet. Das Restalumini-
sehen und zielgerichtet verwendet. Die folgenden Diodenarten
um bildet den Kontakt der p-Zone. Die genaue Lage, die Fläche
stellen nur eine willkürliche Auswahl dar (Tab. 33.1).

und die Eindringtiefe des entstandenen pn-Überganges sind nur
schwer exakt zu steuern. Das Legierungsverfahren wird deshalb

Alle mit den Vorgängen im Halbleitermaterial zusammenhän-
nur noch in Sonderfällen eingesetzt.

genden elektrischen Eigenschaften sind durch geeignete Wahl
der Konzentration der Fremdatome (Donatoren beziehungswei-

Das Festkörper-Diffusionsverfahren erlaubt eine wesentlich
se Akzeptoren) beiderseits des pn-Überganges, durch Wahl der
bessere Kontrolle der Eindringtiefe des pn-Überganges. Bei die-

Dicke von p- und n-Bereich, durch Wahl der Kristallfläche
sem Verfahren werden nach Abb. 33.9 einkristalline n-dotierte
und durch das Herstellungsverfahren in weiten Grenzen be-

Si-Scheiben bei hohen Temperaturen einer Dotierstoff enthal-
einflussbar. In der Art, wie die gewünschten Konzentrationen
tenen Atmosphäre ausgesetzt. Die Fremdatome diffundieren in

33.4

Diodenarten

403

3-wertiges
ohmscher
a
b

O

Material

Kontakt

2

SiO2

SiO2

Al
r s
r s
n-Si

C
n-Si
n-Si
n-Si
s

L
p-Si
s

L

Oxydation bei

Diffusion bei
ohmscher
s

C
r

T = 900 ... 1200 °C

T = 900 ... 1200 °C Al Kontakt
j
j

C j

Abb. 33.10 Planar-Diffusionsverfahren

Abb. 33.12 Ersatzschaltungen von Kapazitätsdioden

3-wertiges

Epitaxie-

Material
ohmscher Al
schicht

SiO

SiO

2

2

Kontakt

33.4.1

Kapazitätsdioden
n-Si
n-Si
n-Si
n-Si+
n-Si+
n-Si+
p-Si ohmscher

Substrat

Diffusion bei

Bei den Kapazitätsdioden wird die Sperrschichtkapazität und

T = 900 ... 1200 °C

Kontakt
die Abhängigkeit ihrer Größe von der anliegenden Sperr-

Abb. 33.11 Epitaxie-Planar-Diffusionsverfahren
spannung als gewünschte spezielle Eigenschaft benutzt. Die
in Sperrrichtung betriebene Kapazitätsdiode kann mit einem

Plattenkondensator verglichen werden. Die Breite der Sperr-
das n-Silizium, wobei sich durch geeignete Wahl von Tempera-
schicht, das heißt hier der Plattenabstand, kann durch die Größe
tur und Zeit die Eindringtiefe sehr genau einstellen lässt. Die
der Sperrspannung variiert werden. So wird mit zunehmender

Fläche des für eine einzelne Diode benutzten pn-Überganges

Sperrspannung die Breite der Sperrschicht größer und damit die
wird hierdurch jedoch nicht bestimmt. Diese muss durch Zer-

Sperrschichtkapazität Cj kleiner. Um eine starke Spannungsab-
kleinern in Einzelkristalle gewünschter Größe erfolgen. Der
hängigkeit der Sperrschichtkapazität zu erreichen, bildet man
dann seitlich freiliegende pn-Übergang muss zusätzlich geätzt
hyperabrupte pn-Übergänge. Die Diffusionstechnik macht es
und abgedeckt werden.

möglich, Siliziumdioden mit eng tolerierter und recht verlust-
freier Sperrschichtkapazität herzustellen.

Durch das Planarverfahren ist eine wesentlich bessere Kontrolle
der Geometrie von pn-Übergängen möglich. Bei diesem Ver-

Bei den Kenndaten ist die Nennkapazität von wesentlicher Be-
fahren wird nach Abb. 33.10 auf der einkristallinen n-dotierten
deutung. Sie wird in den Datenblättern stets für bestimmte

Si-Scheibe bei hohen Temperaturen durch Sauerstoffzufuhr ei-

Sperrspannungen angegeben und wird nicht nur durch die Sperr-
ne SiO
schichtkapazität C

2-Schicht aufgebracht, durch die quasi keine Fremdatome
j gebildet. Die Sperrschicht bildet keinen
eindringen können. Durch einen photolithographischen Pro-
idealen kapazitiven Blindwiderstand, sondern ist im Zusammen-
zess wird in diese SiO
hang mit den anderen Anteilen der Diode in den Ersatzschaltun-

2-Schicht ein Fenster eingefügt, das
einer Dotierstoff enthaltenen Atmosphäre ausgesetzt wird. Die
gen nach Abb. 33.12 zu betrachten. Neben der Kapazität Cj ist

Fremdatome diffundieren an dieser Stelle in das n-Silizium. So
auch die Güte Q einer Kapazitätsdiode beim praktischen Einsatz
lässt sich durch geeignete Wahl von Temperatur und Zeit die
von Bedeutung, da Kapazitätsdioden für den Einsatz in HF-

Eindringtiefe und die Fläche des für eine einzelne Diode be-

Schwingkreisen vorgesehen sind. Unter Vernachlässigung der
nutzten pn-Überganges sehr genau einstellen.

Serieninduktivität LS lässt sich die Güte nach Abb. 33.12a defi-
nieren.

Hinsichtlich der inneren Verluste bringt das Epitaxie-Verfahren
nach Abb. 33.11 eine weitere Verbesserung gegenüber dem ein-
fachen Planar-Diffusionsverfahren mit sich. Hierbei wird auf

Güte

Q D

1

(33.9)

! C r C 1
der niederohmigen einkristallinen n-dotierten Si-Scheibe epi-
j
s

! Cj rj

V
taktisch eine ebenfalls, allerdings hochohmige, einkristalline
n-dotierte Si-Scheibe durch chemische Reaktion bei der Entste-

Gleichung (33.9) lässt erkennen, dass die Güte frequenzabhän-

Teil
hung abgeschieden. Die weiteren Schritte entsprechen dem oben
gig ist. Die Serieninduktivität (bedingt durch die Anschluss-
beschriebenen Planar-Diffusionsverfahren.

drähte) ist bei hohen Frequenzen nicht vernachlässigbar. Die
meisten Anwendungen ermöglichen die Verwendung eines Er-

Diese grundsätzlichen Herstellungsverfahren können natürlich
satzschaltbildes nach Abb. 33.12b. Hierbei kann der Sperr-
auch für die Fertigung von Transistoren und anderen HL-
schichtwiderstand rj und die Anschlusskapazität Cs vernachläs-

Bauelementen angewendet werden. Zur Herstellung von Feldef-
sigt werden. In den Datenblättern der Hersteller wird die Abhän-
fekttransistoren und integrierten Schaltkreisen wird neuerdings
gigkeit der Güte von der Frequenz in Diagrammen dargestellt,
die Ionenimplantation angewendet. Bei diesem Verfahren wer-
desgleichen die Temperatur- und Sperrspannungsabhängigkeit
den die Dotierungsatome in einem elektrischen Feld ionisiert
der ausnutzbaren Kapazität.

und mit hoher Geschwindigkeit in das Grundmaterial „geschos-
sen“. Da sich hierbei die Eindringtiefe sehr genau steuern lässt,

Wegen ihrer relativ kleinen Kapazitäten werden Kapazitätsdi-
sind die pn-Übergänge sehr scharf abgegrenzt, so dass uner-
oden überwiegend als Schwingkreiskapazitäten in der Hoch-
wünschte Kapazitäten klein gehalten werden können. Auch die
frequenztechnik eingesetzt. Sie haben in Radio- und Fernseh-

Größe des einzelnen Transistorsystems kann verringert werden,
geräten den früher üblichen mechanischen Drehkondensator
was die Integrationsdichte von ICs erhöht.

weitgehend verdrängt.

404

33 Dioden

C S

I F

R V

U
mA

B

L

U B

Durchlaßbereich
t

C

R

P

C D

U St

I

AP

F

Abb. 33.13 Prinzipschaltung einer Nachstimmschaltung

U

U

R

U BR

B

U

U B U
a

R

AP

I

F

R

U F

U R

U B

U RL

R

R

L

U

Sperrbereich

B

I R

V1

U F
μ A

Abb. 33.15 Kennlinienfeld einer Diode mit Arbeitsgerade und Arbeitspunkten
b

R

– U

Die Schnittpunkte der Durchlass- und Sperrkennlinien mit den

L

RL

Widerstandsgeraden ergeben die sich einstellenden Arbeits-

– U
punkte bei leitender Diode (Schalter geschlossen) und gesperr-

B
ter Diode (Schalter offen).

V1

– U R

Diodenschalter

U D

C

B

IF RL

UF

(Schalter geschlossen)

U D I R C U

Abb. 33.14 Diode als elektronischer Schalter

B

R

L

R

(Schalter offen)

Beim Arbeitspunkt in Durchlassrichtung fällt an der Diode die

Durchlassspannung U FA ab, während am Widerstand die Span-

Die Kapazität der Kapazitätsdiode ist in den Nachstimmschal-
nung ( U

B

U FA) abfällt. Durch beide Bauelemente fließt der
tungen nach Abb. 33.13 meistens nur eine Teilkapazität. Durch

Strom I FA (Durchlassstrom im Arbeitspunkt). Da auch in Sperr-

Ansteuern mit einer veränderbaren Gleichspannung Ust wird die
richtung ein geringer Strom (Sättigungsstrom, Reststrom) fließt,

Sperrschichtkapazität und damit auch die Resonanzfrequenz des
fällt auch am Widerstand in Sperrrichtung eine minimale Span-

Schwingkreises verändert (siehe Teil XIII).

nung ab.

Wichtige Grenzdaten: maximale Sperrspannung U RRM; maxi-
maler Durchlassstrom I FAVM; maximale Sperrschichttemperatur

33.4.2

Schalterdioden

# J max; maximale Verlustleistung P tot; minimale Sperrverzöge-
rungszeit t

T
rr min
eil

D

In einem Stromkreis muss ein Schalter in der Stellung „Ge-

Schaltleistung

PS

I 2 R

I 2

R

F

L

FAVM

L

(33.10)

V
schlossen“ einen möglichst kleinen Widerstand (idealer Wert

Die Schaltleistung P

R D 0 () und in der Stellung „Offen“ einen möglichst großen

S , die mit einer Diode geschaltet werden
kann, ist wesentlich größer als die zulässige Verlustleistung der

Widerstand (idealer Wert R D 1) haben. Mit mechanischen

Diode. Sie hängt praktisch nur von der Betriebsspannung ab.

Schaltern lassen sich die idealen Werte weitgehend erreichen,
bei elektronischen Schaltern jedoch nur näherungsweise.

Die Diode stellt einen elektronischen Schalter dar, wenn ihr

33.4.3

Schottky-Dioden
kleiner Durchlasswiderstand RF und ihr großer Sperrwiderstand

RR als Schalterzustand benutzt werden. Der Schaltzustand der

Diode als Schalter hängt also von der Polarität der angelegten

Unter bestimmten Bedingungen stellt sich eine Gleichrichter-

Betriebsspannung UB in der Schaltung nach Abb. 33.14a, b ab.

wirkung auch zwischen einer n-dotierten Siliziumschicht und

Wird der Lastwiderstand RL als Widerstandsgerade in das Kenn-
einer aufliegenden Metallelektrode ein. Dieser Effekt wurde
linienfeld einer Diode nach Abb. 33.15 eingetragen und eine
nach seinem Entdecker „Schottky-Effekt“ benannt. Weil die

Rechteckspannung UB mit positiven und negativen Amplituden

Elektronen im n-Silizium einen höheren Energiezustand haben
verwendet, so können die jeweils auftretenden Spannungen und
als die Elektronen im Metall, wandern Elektronen aus dem n-

Ströme in den beiden sich einstellenden Arbeitspunkten AP ab-

Silizium in das Metall. Dadurch entsteht in der Grenzschicht
gelesen und die zugehörigen Leistungen ermittelt werden.

eine Raumladungszone.

33.4

Diodenarten

405
p+
n+

U BR

V
i

3000
d n = 100 μm

1000
d n = 30 μm

Abb. 33.16 Schematische Darstellung einer pin-Diode

300
d n = 10 μm

100

In Durchlassrichtung erreichen die frei beweglichen Elektronen

1
des Siliziums eine so hohe Energie, dass sie aus der n-Zone

30

N
in das Metall hineinwandern. Die frei beweglichen Elektronen
cm3
des Metalls können dagegen bei Raumtemperatur das Metall

10

10–17

10–16

10–15

10–14
nicht verlassen. Daher kann auch nach Umpolen der angelegten

Spannung kein Elektronenfluss in dem Silizium-Kristall zustan-

Abb. 33.17 Durchbruchspannung in Abhängigkeit von der Dotierung und der
dekommen. Der Übergang vom Sperr- in den Durchlasszustand

Dicke des Mittelgebietes
und umgekehrt erfolgt sehr schnell, da es praktisch keine Sperr-
schichtkapazität gibt, die von Ladungsträgern geräumt werden

U R

U Z0
muss. Die Schaltzeiten von Schottky-Dioden sind daher sehr

I
klein.

Z0

Darum werden Schottky-Dioden als integrierte Bauelemente in

P tot
integrierten Schaltkreisen der Digitalelektronik (zum Beispiel

Schottky-TTL in 74LSxx-Bausteinen) verwendet.

I Zmax

Schottky-Dioden
werden
auch
als

„Hot-Carrier-Dioden“

(engl. D heiße Ladungsträger-Diode) bezeichnet aufgrund des
höheren Energiezustandes der Elektronen im Silizium im Ver-

I
gleich zum Metall.

R

Wichtige Kennwerte: Einschaltverzögerungszeit t

Abb. 33.18 Charakteristische Kennlinie einer Z-Diode mit Arbeitsbereich
tr

50 ps;

Ausschaltverzögerungszeit t

rr

100 ps; Diodenkapazität CD

10 pF; Sperrstrom I

R

5 &A.

erreichbar, denn hier dürften absolut keine Störstellen enthalten
sein. Leistungsgleichrichter werden deshalb als pCnnC-Diode
oder pCpnC-Diode realisiert.

33.4.4

Gleichrichter-Dioden

Die Durchbruchspannung UR.BR/ von pCnnC-Dioden in Abhän-
gigkeit von der Dotierung und der Dicke dn des n-dotierten

Gleichrichterdioden lassen sich in Klein- und Leistungsgleich-

Mittelgebietes zeigt das Diagramm nach Abb. 33.17. Heute wer-
richterdioden unterteilen. Als Kleingleichrichterdioden werden
den Leistungsgleichrichterdioden mit Durchbruchspannung in
in der Regel Dioden mit höchstzulässigen Durchlassströmen
der Größe von 4800 V hergestellt.

von einigen mA bis zu etwa 5 A bezeichnet. Der Bereich
der Leistungsgleichrichterdioden erstreckt sich von etwa 5 bis

V

2000 A.

33.4.5

Z-Dioden

Die

Durchbruchspannung

U

Teil

R.BR/
eines
normalen
pn-

Überganges liegt für sinnvolle Störstellenkonzentration von
ca. 1016 cm3 in der Größenordnung von einigen 10 V. Das

Wird bei einer Si-Diode die Sperrspannung über den Wert
reicht für Netzgleichrichter (mögliche Sperrspannungen bei

URRM hinaus erhöht, steigt der Strom nach dem Überschreiten
einem 230-V-Netz liegen bei 650 V) nicht aus.

der Durchbruchspannung UR. BR/ plötzlich sehr stark an. Di-
oden, die in Sperrrichtung einen sehr scharf einsetzenden, stei-

Deshalb sind für solche Gleichrichterdioden andere Konstruk-
len Stromanstieg nach Abb. 33.18 besitzen, werden Z-Dioden
tionen notwendig und zwar die pin-Struktur nach Abb. 33.16.

genannt. Wegen ihrer charakteristischen Kennlinie im Sperr-

Hierbei befindet sich zwischen zwei hochdotierten p- und n-
bereich (Bereich der Durchbruchspannung) kann die Z-Diode

Gebieten noch eine eigenleitende Schicht (i-Gebiet) oder eine
zur Stabilisierung oder Begrenzung von Gleichspannungen be-
schwach n- beziehungsweise p-leitende Schicht. Diese Zwi-
nutzt werden. Bei den Z-Dioden überlagern sich im Bereich
schenschicht nimmt nun die gesamte Sperrspannung auf.

der Durchbruchspannungen zwei unterschiedliche physikali-
sche Effekte.

Bei einer pin-Diode ist die Feldstärke über die gesamte i-Schicht
konstant. Damit ist die Sperrspannung UR proportional zur Di-

So tritt bei Z-Dioden mit einer Z-Spannung von UZ < 5 V eine
cke di der i-Schicht. Reine i-Schichten sind in der Praxis nicht
innere Feldemission auf, die als Zener-Effekt bezeichnet wird.

406

33 Dioden

R V

I

Differentieller Widerstand

V
r = f (U )

Z

Z

I Z

1000

U E

V1

U A
r Z

Ω
j = 25 °C

100

IZ = 1mA

Abb. 33.19 Z-Diode mit Vorwiderstand

5mA

10mA

10

Ein Durchbruch aufgrund des Zener-Effektes erfolgt, weil beim

Überschreiten einer bestimmten Feldstärke beim Silizium Elek-
tronen aus dem Gitterverband herausgelöst werden. Die dabei

1
freiwerdenden Elektronen und Löcher erhöhen die Anzahl der

0

5

10

15

20

U Z
freien Ladungsträger und damit die Leitfähigkeit der Diode. Da-

V
durch steigt der Sperrstrom IZ stark an.

Abb. 33.20 Differentieller Widerstand rZ

Bei Z-Dioden mit etwa UZ > 6 V erfolgt dagegen der Durch-
bruch aufgrund des Lawineneffektes (engl.: avalanche break-
down) und führt zu einem scharfen Abknicken der Kennlinie.

Die für eine Z-Diode in den Datenblättern angegebene Z-

Beim Lawinen-Effekt ist die Geschwindigkeit der vorhande-

Spannung gilt oft für einen Strom I D

Z

5 mA. Die Abstufung
nen beweglichen Ladungsträger infolge der hohen Feldstärke
zwischen den Spannungen entspricht häufig der E-24-Reihe.

so groß, dass sie beim Aufprall auf Atome Elektronen und Lö-

Um die Toleranzen der angegebenen Z-Spannungen zu kenn-
cher herauslösen, die als frei bewegliche Ladungsträger nun
zeichnen, wird an die Typenbezeichnung des Grundtyps der
ihrerseits weitere Ladungsträger aus dem Atomverband heraus-

Kennbuchstabe der Güteklasse angehängt.

schlagen. Weil der Sperrstrom IZ dadurch sehr schnell anwächst,
wird dieser Vorgang als Lawinendurchbruch bezeichnet.

Wichtige Grenzdaten: max. Sperrschichttemperatur # J max; ma-
ximale Verlustleistung P tot; maximaler Durchlassstrom I FAVM;

Zwischen etwa 5 und 6 V liegt ein Gebiet, in dem sich Zener-

Wärmewiderstand R th JU.

Effekt und Lawinen-Effekt überlagern.

Wichtige Kenndaten: Nennspannung U

D 5 mA; diffe-

Z-Dioden mit einer Durchbruchspannung U

ZO bei IZ

Z

< 5 V haben rentieller Widerstand r

D 5 mA, 1 mA.

für die Durchbruchspannung einen negativen Temperaturkoef-

Z bei IZ
fizienten, weil eine Temperaturerhöhung eine verstärkte Feld-
emission bewirkt. Bei Z-Dioden mit UZ > 6 V wird mit
zunehmender Temperatur die freie Weglänge der Ladungsträ-

33.5

Anwendungsschaltungen
ger kleiner. Um den gleichen Durchbruchstrom aufgrund des

Lawineneffekts zu erzielen, sind bei größeren Temperaturen
größere Sperrspannungen notwendig. Diese Z-Dioden haben

Dioden sind in vielen Funktionen und Leistungskategorien ein-
einen positiven Temperaturkoeffizienten ˛. Bei positiven Tem-
setzbar. Ihre Anwendung in der Nachrichtentechnik unterliegt
peraturkoeffizienten verschiebt sich die Kennlinie zu höheren
anderen Gesichtspunkten als in der Leistungselektronik oder Di-

Z-Spannungen.

gitaltechnik.

Teil

Der höchstzulässige Sperrstrom IZ max ergibt sich nach

Abb. 33.18 als Schnittpunkt der Leistungshyperbel P tot mit der

V

Sperrkennlinie der Z-Diode. Z-Dioden werden in einem Ar-

33.5.1

Begrenzerschaltungen
beitsbereich betrieben, der zwischen dem Stromwert IZ max und
einem Wert IZ liegt, der unmittelbar hinter dem scharfen Kennli-
nienbereich ist. Lieferbar sind Z-Dioden mit Z-Spannungen UZO

Ein Einsatzgebiet der Diode als Schalter sind Begrenzerschal-
zwischen 2,4 V und einigen 100 V. Da ihr Arbeitspunkt immer
tungen. Das sind Schaltungen, die Spannungsamplituden ober-
im Bereich der Durchbruchspannung liegt, muss zur Strom-
halb oder unterhalb eines bestimmten positiven oder negativen
begrenzung unbedingt ein Vorwiderstand RV nach Abb. 33.19

Pegels durchlassen oder unterdrücken.

verwendet werden.

Im Bereich der Digitaltechnik müssen sowohl Störspannungs-

Wichtig ist der differentielle Widerstand rZ der Diode, der
spitzen unterdrückt wie auch das Rauschen bei Signalen heraus-
die Steilheit der Arbeitskennlinie beschreibt. Je kleiner dieser
gefiltert werden. Diodenschalter wie Differenzier- und Integrier-

Widerstand ist, umso geringer ist die Spannungsänderung bei
glieder lassen sich auch zur Impulsformung einsetzen.

einer bestimmten Stromänderung. Der differentielle Widerstand
rZ liefert also eine Aussage über den Stabilisierungsgrad der

Begrenzerschaltungen werden auch zur Unterdrückung von

Z-Diode. Er ist nicht völlig konstant, sondern hängt von der

Störspannungsspitzen in der Signaltechnik eingesetzt, aber auch

Temperatur, dem Z-Strom und der Z-Spannung nach Abb. 33.20
zur Trennung der einzelnen Amplitudenhöhen eines Fernseh-
ab.

BAS-Signals benutzt.

33.5

Anwendungsschaltungen

407
u a

R

U D
u

G

V1
u
e
a
t

Abb. 33.21 Spannungsbegrenzung auf die Diodenschwellspannung UD und zugehöriges Liniendiagramm
u e

V1

U D
t

G
u e

R
u a
u a
t

Abb. 33.22 Schaltung zur Restspannungsunterdrückung zugehöriges Liniendiagramm
u e

M × U D

V1 V2 V3 V4
t
u e

G
u a

R
u a
t

Abb. 33.23 Begrenzerschaltung mit zugehörigem Liniendiagramm
u

R
a

2· U D
u

G

V1

V3
e
u a

V2

V4
t

2· U D

V

Abb. 33.24 Schaltung zur Begrenzung positiver und negativer Eingangssignale

Teil

Die sinusförmige Eingangsspannung ue ist so klein, dass die
nung ue den Wert der Diodenschwellspannung UD, so fließt

Diodenschwellspannung UD nicht vernachlässigbar klein ist.

ein sinusförmiger Strom durch den Widerstand R und lässt ei-

Abb. 33.21 zeigt eine Begrenzerschaltung, bei der die Aus-
ne proportionale Spannung abfallen. Bei kleinen Amplituden
gangsspannung ua in Durchlassrichtung auf die Schwellspan-
von ue setzt der Stromfluss und damit die Ausgangsspannung ua
nung beschränkt ist. In Sperrrichtung liegt allerdings die Span-
deutlich später als die Eingangsspannung ein. Da bei negativer
nung ue in voller Größe, also mit dem Scheitelwert, an. Die

Eingangsspannung ue die Diode sperrt, ist die Ausgangsspan-

Schaltung dient zum Begrenzen positiver Spannungswerte auf
nung ua in der Zeit gleich Null.

den Wert der Diodenschwellspannung UD, bei Reihenschaltung
mehrerer Dioden auf die entsprechende höhere Spannungssum-

Statt einer Diode sind in der Schaltung nach Abb. 33.23 mehrere
me.

in Reihe geschaltete Dioden V1 bis V4 eingesetzt, so dass außer
der negativen Amplitude auch ein erheblicher Anteil (hier 4

In der Schaltung nach Abb. 33.22 sind Diode V1 und Wi-

0;7 V) der positiven Spannungswerte unterdrückt wird.

derstand R gegenüber Abb. 33.21 getauscht. Die Ausgangs-
spannung ua ist gleich Null, solange die Diode noch gesperrt

Abb. 33.24 zeigt eine Schaltung, die sowohl positive als auch ne-
ist, so dass kein Strom fließt. Überschreitet die Eingangsspan-
gative Eingangssignale ue am Ausgang begrenzt. Die Ausgangs-

408

33 Dioden
u a

R

U B

V1

V2

(

+ U D)

2
u

G
u
e
a
t

R 1

R 2

U

U

B

B

– (

+ U D)

2

Abb. 33.25 Schaltung mit einstellbarem Begrenzungspegel der positiven und negativen Ausgangsspannung mit zugehörigem Liniendiagramm
u a

R

U B + U D

V1
u

G
u
t
e
a

U B

Abb. 33.26 Schaltung mit einstellbarem Begrenzungspegel der positiven Ausgangsspannung und zugehöriges Liniendiagramm
spannung ua wird hier durch die antiparallele Reihenschaltung

U D

I D
von jeweils 2 Dioden (V1, V2 und V3, V4) auf die doppelte

Diodenschwellspannung U

V1

D begrenzt.

U

U

N

1

R

U

L

L

Mit Hilfe der Schaltung nach Abb. 33.25 wird der Begren-
zungspegel der Ausgangsspannung einstellbar gemacht. Die

T1

Spannung UB wird durch die Widerstände R1 in zwei glei-

Abb. 33.27 Einweggleichrichterschaltung (M1) mit ohmscher Last
che Teile aufgeteilt. Diese Teilspannungen spannen die Dioden

V1 und V2 in Sperrrichtung vor, so dass immer dann eine der
beiden Dioden durchlässig wird, wenn die Eingangsspannung
u
lastbarkeit und ihres großen Verhältnisses zwischen Sperrwider-
e in positiver oder negativer Richtung den Wert UB=2 C UD
überschreitet. Ist die Spannung U
stand und Durchlasswiderstand sehr gut geeignet.

B einstellbar, kann der Begren-
zungspegel variiert werden.

Abb. 33.26 zeigt eine Begrenzerschaltung, bei der die Di-

33.5.2.1

Einweggleichrichter (M1)

ode V1 durch die Gleichspannungsquelle UB in Sperrrichtung
vorgespannt ist. Solange sie gesperrt ist, hat sie den größten Wi-

Bei der in Abb. 33.27 dargestellten Schaltung ist die Diode
derstand im Generator- und Batteriestromkreis. Die Diode wird
nur während der positiven Halbwellen der AC leitend. Die
leitend, sobald ihre Anode um den Betrag der Schwellspannung

Schwellspannung UD der Diode V1 sei vernachlässigbar klein
positiver ist als die Kathode. Dies ist der Fall, wenn die Ein-
gegenüber der Spitzenspannung US 1 der vom Transformator ge-
gangsspannung u

C U
lieferten Spannung U 1 (D URMS).

T
e mindestens einen positiven Wert von UB

D
eil
hat. Steigt ue weiter an, bleibt die Ausgangsspannung ua auf die-

Daher fließt auch nur während dieser Zeitdauer ein Strom I
sen Wert begrenzt.

D
durch den Lastwiderstand R

V

L. An diesem Widerstand kann aber
nur dann eine Spannung auftreten, wenn ein Strom fließt. Der

Spannungsverlauf am Lastwiderstand entspricht also einer pul-

33.5.2

Gleichrichter
sierenden DC, die nur aus positiven sinusförmigen Halbwellen
besteht.

Haupteinsatzgebiet der Klein- und Leistungsgleichrichterdioden

Während der negativen Halbwelle liegt die Diode in Sperrrich-
ist die Gleichrichtung niederfrequenter Wechselspannungen,
tung an dem Spitzenwert US
p

1 der AC, d. h., die Diode muss für
insbesondere von Netzspannungen.

U

D

D

S 1

U RRM

. 2 U 1/ geeignet sein.

Im Allgemeinen benötigen elektronische Schaltungen als Ener-

Die am Lastwiderstand RL auftretende Spannung UL ist nach
gieversorgung eine oder mehrere Gleichspannungsquellen. Bei

Abb. 33.28 eine pulsierende Gleichspannung (DC). Wird sie
höherem Energiebedarf ist die Verwendung von Batterien un-
mit einem Gleichspannungs-Messinstrument (Drehspulinstru-
wirtschaftlich. Darum erfolgt eine Speisung aus dem Wech-
ment) gemessen, bildet dieses den arithmetischen Mittelwert
selspannungsnetz (AC). Hierbei ist neben einer Abwärtstrans-

U AVL beziehungsweise den arithmetischen Mittelwert I AVL aus
formation auch eine Gleichrichtung der Wechselspannung zu
der pulsierenden DC. Wird sie dagegen mit einem Dreheisenin-

Gleichspannung (DC) erforderlich. Halbleiterdioden sind hier-
strument gemessen, bildet dieses den quadratischer Mittelwert
für wegen ihrer kleinen Durchlassspannung, ihrer hohen Be-

(Effektivwert) U RMSL aus der pulsierenden DC.

33.5

Anwendungsschaltungen

409

U D

U D
t
t

U L

U

2 · U 1

I = I

L

I = I

L

1

I

L

D

U AV

L

U AV

U AZ

I FAV
t
t
t Aufl.

t Entladung

U D

I

U

Diode

I Diode

Schleuse

I L

I L
t

I FAV

I

=I

Diode

L

I FAV
t

U Diode

Abb. 33.28 Ausgangsspannung der Einweggleichrichterschaltung nach

U Schleuse

Abb. 33.27
t

U D

I

I

D

L

2 · 2 · U 1

V1

I

U

U

C

N

1

U L

R L

C L
mit R ohne C

L

L

T1
mit R und mit C

L

L
ohne R , mit C

L

L

Abb. 33.29 Einweggleichrichterschaltung (M1) mit ohmscher Last und Lade-
kondensator

Abb. 33.30 Strom- und Spannungsverlauf für verschiedene Werte von RL
und CL

Während der positiven Halbwelle der Trafospannung ist die

Tab. 33.2 Charakteristische Werte und Faktoren für einfache Gleichrichter-

Diode jeweils leitend, und es fließt durch die Diode ein peri-
schaltungen
odischer Spitzendurchlassstrom

Schaltungsart

M1

M2

B2
p
p
p
p

Leerlaufspannung U AVL

2 U 1

2 U 1

2 U 1

I

D

FRM

. 2 ID/:

Ausgangsgleichspannung U AV2 1;2 U 1

1;3 U 1

1;3 U 1

Durchlassstrom I FAVM

IL

0;5 IL

0;5 IL
p
p
p

Auswahlkriterien:

Max. Sperrspannung U RRM

2 . 2 U 1/ 2 . 2 U 1/

2 U 1

U

Faktor k ( U

RRM periodische Spitzensperrspannung

Br )

4;8 103 s

1;8 103 s

1;8 103 s

I

Faktor k ( U

FRM periodischer Spitzendurchlassstrom

Br ss)

14 103 s

5 103 s

5 103 s

Frequenz f Br

50 Hz

100 Hz

100 Hz

Die Ausgangsspannung UL einer Einweggleichrichterschaltung
pulsiert so stark, dass sie zur Energieversorgung von elektroni-
schen Geräten nicht geeignet ist. Teilweise Abhilfe schafft die

V

Schaltung nach Abb. 33.29.

le. Damit wird die Welligkeit größer und der arithmetische

Mittelwert U

Der Ladekondensator C

AVL kleiner.

L wirkt in dieser Schaltung als Speicher,

Teil

2. Größe des Lastwiderstandes R
der jeweils in der positiven Halbwelle aufgeladen wird. Durch

L : Je hochohmiger der Lastwi-
derstand R
die Diode V1 fließt dann gleichzeitig der Ladestrom I

L ist, umso geringer ist der Strom, den er in den

C für den
negativen Halbwellen aus dem Ladekondensator C

Kondensator C

L zieht,

L und der Laststrom IL . In den negativen Halb-
das heißt, desto weniger wird der Ladekondensator entladen.

wellen, in denen die Diode sperrt, entlädt sich der Kondensator
über den Lastwiderstand, so dass dieser auch in den Sperrzeiten

Die Größe der mittleren Ausgangsgleichspannung U
der Diode von einem Strom durchflossen wird. Auf diese Art

AVL, aber
auch die ihr überlagerte Brummspannung U
wird die pulsierende DC geglättet.

Br, ist sehr stark
abhängig von der Kapazität des Ladekondensators und vom

Im Abb. 33.30 sind die Strom- und Spannungsverläufe für ver-

Laststrom. Die folgende Tab. 33.2 gilt unter der Voraussetzung,
schiedene Fälle dargestellt.

dass der Kondensator eine Kapazität von 1 mF je 1 mA Last-
strom hat.

Wie gut der Ladekondensator CL diese Glättung bewirkt, hängt
hauptsächlich von zwei Bedingungen ab:

Unter der oben genannten Bedingung kann für die Aus-

1. Kapazität des Ladekondensators: Je kleiner seine Kapazität
gangsgleichspannung U AVL mit hinreichender Genauigkeit nach

C

L ist, desto stärker entlädt er sich in der negativen Halbwel-

Tab. 33.2 U AVL

1;2 U 1 angenommen werden.

410

33 Dioden

Bei R

D 1

L
wird während der negativen Halbwellen kein

I

V1

D

I L

Strom aus dem Kondensator gezogen, so dass für die Leerlauf-

U

Ausgangsgleichspannung gilt

1 U D

U

R

L

L
p

U N

U

D

D

U

AVL

2 U 1

UD

US 1

UD

1 U D

T1

Für große Werte von U 1 kann die Spannung UD vernachlässigt

V2
werden.

Abb. 33.31 Mittelpunktgleichrichterschaltung (M2) mit ohmscher Last

In einer Einweggleichrichterschaltung mit Ladekondensator
ist die Diode nicht mehr während einer gesamten Halbwel-
a
le, sondern nach Abb. 33.30 nur noch während eines kurzen

U D

Zeitabschnittes leitend. Dieser Zeitabschnitt hängt von den Au-
genblickswerten der Spannungsdifferenz zwischen Kathode und

Anode ab.

t

Die Nachladung des Ladekondensators beginnt jeweils während
der positiven Halbwelle der Trafospannung zu dem Zeitpunkt, in

U L
dem die Spannung an der Anode um etwa 0,6 V größer wird als
die Spannung an der Kathode. Die Nachladung wird beendet,
sobald die Spannung an der Anode wieder unter die Spannung
t
an der Kathode, also unter die Kondensatorspannung, abgesun-
ken ist.

b

Da hier in sehr kurzer Zeit eine große Energie nachgeladen

U L
werden muss, ist der Ladestrom erheblich größer als der ent-

U

U
nommene Gleichstrom. Darum geben die Hersteller in den

AV

BrSS

Datenblättern oft einen Höchstwert für den Ladekondensator an.

t

Die maximal mögliche Sperrspannung im Leerlauf ist U

D
p

RRM

2 . 2 U 1/ nach Tab. 33.2, da der Ladekondensator dann auf Abb. 33.32 Ausgangsspannung einer M2-Schaltung mit/ohne Ladekondensa-

+ US 1 aufgeladen ist, jedoch der negative Spitzenwert der Ein-
tor
gangsspannung U 1 den Wert US 1 hat. Abb. 33.30 zeigt diesen

Umstand im unteren Teil auf.

Wegen der fortlaufenden Auf- und Entladung des Kondensators

33.5.2.2

Mittelpunktschaltung (M2)

ist der mittleren Ausgangsgleichspannung U AV2 immer noch
eine Wechselspannung (Restwelligkeit) überlagert, die nichtsi-

Um die Höhe der Brummspannung grundsätzlich zu verklei-
nusförmig ist, aber eine Frequenz f D 50 Hz hat, wenn die
nern, werden nach Abb. 33.31 zwei Einweggleichrichter zu

Gleichrichterschaltung mit Netzfrequenz betrieben wird. Die-
einer Mittelpunktgleichrichterschaltung zusammengefasst. Für
se überlagerte Wechselspannung wird als Brummspannung U
einen solchen Zweiweggleichrichter wird ein Transformator mit

Br
bezeichnet, da sie zum Beispiel in einem Lautsprecher als tiefes
einer Mittelanzapfung benötigt, die auf Masse gelegt wird und

T

Brummen gut hörbar ist.

als Bezugspunkt dient.

eil

Die am Ladekondensator abfallende Brummspannung lässt sich

Eine Analyse der Schaltung ergibt, dass die Diode D1 für die

V
mit den in Tab. 33.2 angegebenen K-Faktoren hinreichend genau

Dauer der positiven Halbwelle der Spannung U 1 leitend ist,
berechnen.

während die Diode D2 gesperrt ist. In der negativen Halbwel-
le verhalten sich die Dioden umgekehrt. Jede Diode wird aber
nur noch mit einem Diodenstrom I

Brummspannung

U

D

D belastet, der dem halben

Br

K IL

(33.11)

CL

Laststrom IL entspricht.

periodischer Spitzenstrom

I

U AVL
p

FRM

(33.12)

Dies führt dazu, dass sowohl in der positiven als auch in der ne-

R
i

RL
gativen Halbwelle ein Strom durch den Lastwiderstand RL fließt.

Da das in derselben Richtung geschieht, muss von DC gespro-

Der Wert der Brummspannung hängt also im Wesentlichen von
chen werden.

der Kapazität des Ladekondensators, der Größe des Laststroms
und einer schaltungsspezifischen Konstanten ab.

Die am RL abfallende Spannung U 2 besteht nach Abb. 33.32
nur aus positiven sinusförmigen Halbwellen mit einer Frequenz

US 1

Einschaltspitzenstrom

I

f D 100 Hz, das heißt, die negativen sinusförmigen Halbwellen

FRME

(33.13)

Ri
werden einfach „nach oben„ geklappt.

Der periodische Spitzenstrom I FRM lässt sich nach (33.12) be-

Genau wie bei einem Einweggleichrichter kann auch hier nach
rechnen, der Einschaltspitzenstrom I FRME nach (33.13).

der Schaltung in Abb. 33.33 ein Ladekondensator parallel zum

33.5

Anwendungsschaltungen

411

V1

I

Tab. 33.3 Technische Daten der Baureihe B40C. . . Blockgleichrichter

D

I L

I C

Typ

U 1

I FRM

Strombegrenzungs-

CL max

U 1 U D

R

U

L

L
widerstand R

C
i

L

U N

B40C800

40 V 0,8 A

1 (

2500 µF

U 1 U

B40C1000

40 V 1,0 A

1 (

2500 µF

D

T1

B40C1500/1000 40 V 1,5 A

1 (

2500 µF

V2

B40C3200/2200 40 V 3,2 A/2,2 A 0,6 (

5000 µF

B40C5000/3300 40 V 5,0 A/3,3 A 0,5 (

10.000 µF

Abb. 33.33 Mittelpunktgleichrichterschaltung mit ohmscher Last und Lade-
kondensator

R

V1

V2

S

I D

I L

U N

U 1

R

U

L

L

C

C

U

L

S

D

V1

V2

T1V3

V4

U

U

R

U

N

1

L

L

Abb. 33.36 B2-Schaltung mit RC-Siebglied

T1 V3 V4

U D

R S

Abb. 33.34 Brückengleichrichterschaltung (B2) mit ohmscher Last

C

U

S

Br1

U Br2

I D

I L

V1

V2

I C

I

U

U

D

Abb. 33.37 Schaltung eines RC-Siebgliedes

N

1

C

R

U

L

L

L

T1 V3 V4
geglättet. Bezüglich der Auflade- und Entladevorgänge ergeben
sich ähnliche Verhältnisse wie bei der Mittelpunktschaltung. Die

Auf- und Entladung des Kondensators erfolgt bei der Brücken-

Abb. 33.35 Brückengleichrichterschaltung (B2) mit ohmscher Last und Lade-
schaltung in jeder Halbwelle. Auch bei der Brückengleich-
kondensator
richterschaltung mit Ladekondensator hat die Ausgangsspan-
nung noch eine Restwelligkeit. Entsprechende Werte können
der Tab. 33.2 entnommen werden.

Lastwiderstand geschaltet werden, der die pulsierende DC ent-
sprechend Abb. 33.32 weiter glättet.

Um den Aufbau von Gleichrichterschaltungen zu vereinfachen,
bieten die Hersteller komplette Gleichrichtersätze in einem

Die Mittelpunktschaltung wird nur noch in Ausnahmefällen ein-

Kunststoff- oder Metallgehäuse an. Lieferbar sind verschiedene
gesetzt. Ein Transformator mit Mittelanzapfung ist teurer und

Baureihen. Der Einsatzbereich kann bei diesen Baureihen von
hat wegen der zweiten Sekundärwicklung ein größeres Gewicht.

Brückengleichrichtern direkt aus der Typenbezeichnung abge-

V
lesen werden.

33.5.2.3

Brückengleichrichterschaltung (B2)

So bedeutet B D Brückenschaltung. Der Buchstabe C bedeu-

Teil

Die am häufigsten verwendete Gleichrichterschaltung ist die
tet, dass der Gleichrichter für eine kapazitive Last, das heißt,

Brückenschaltung. Sie kommt mit einem normalen Transforma-
für den Betrieb mit einem Ladekondensator vorgesehen ist.

tor aus, benötigt aber vier Dioden.

Bei Doppelwerten des Laststroms gilt der erste Wert für eine

In der Schaltung nach Abb. 33.34 kann man bei angenommener

Chassismontage des Gleichrichters, der zweite Wert für eine

Polarität der Spannung U
freistehende Montage (Tab. 33.3).

1 den Strom IL in seinem Flussver-
lauf verfolgen und so erkennen, dass der Laststrom IL, der

Um die Brummspannung am Ausgang der oben beschriebenen
sich aus der Summe der beiden Diodenströme ID bildet, stets

Schaltungen zu senken, schaltet man an den Ausgang der Schal-
in der gleichen Richtung durch den Lastwiderstand RL fließt.

tung nach Abb. 33.35 einen Filter.

Der Spannungsabfall am Lastwiderstand ist also eine pulsieren-
de DC, die nur aus positiven sinusförmigen Halbwellen besteht

Der in die Schaltung nach Abb. 33.36 integrierte RC-Tiefpass
und eine Frequenz f D 100 Hz hat. Die Ausgangsgrößen dieser
reduziert die Brummspannung um den Glättungsfaktor g.

Schaltung sind identisch mit denen der Mittelpunktschaltung.

Der Kondensator in der RC-Tiefpass-Filterschaltung nach

Die pulsierende DC wird nach Abb. 33.35 durch die Parallel-

Abb. 33.37 stellt für höhere Frequenzen einen Kurzschluss be-
schaltung eines Ladekondensators CL zum Lastwiderstand RL
ziehungsweise einen sehr geringen kapazitiven Blindwiderstand

412

33 Dioden

L S

V

U

1

N

U 1

C 1

U Br1

U

C

Br2

U

S

2

T1

C 2

V2

Abb. 33.38 Schaltung eines LC-Siebgliedes

Abb. 33.40 Spannungsverdopplerschaltung (Delon-Schaltung)

dar. Die Schaltung kann als Spannungsteiler mit U Br2 als Aus-

C 1

V2
gangsspannung betrachtet werden.

Glättungsfaktor

U N

U 1

V1

C

U

2

2
q

U Br1
g D

D

!2 R 2 C 2 C 1

(33.14)

T1

U

Br

S

S

Br2

Der RC-Filter nach Abb. 33.37 kann auch durch einen LC-Filter

Abb. 33.41 Spannungsverdopplerschaltung (Villard-Schaltung)

nach Abb. 33.38 ersetzt werden mit dem Vorteil einer effekti-
veren Filterung und geringen ohmschen Verlusten.

q

Schaltungsdaten: Spannung U

D

S 1

12 V, Ladekondensator

Glättungsfaktor
g D

!4 L 2 C 2 C 1

(33.15)

C

D

D

L

10 µF, Siebwiderstand RS

160 (, Siebkondensator

Br

S

S

C D

D

S

50 µF, Lastwiderstand RL

1 k(.

Ein Filter mit der Schaltung nach Abb. 33.19 hat zusätzlich den

Nach ungefähr 100 ms befindet sich die Schaltung im „statio-

Vorteil, dass auch eine Stabilisierung der Ausgangsspannung
nären Zustand„, die Schaltung ist eingeschwungen, und es zeigt
vorgenommen wird, wenn vorausgesetzt werden kann, dass die
sich am Ausgang eine Gleichspannung U

D 8 V, die von

Brummspannung kleine Amplituden aufweist.

AVL
einer geringen Brummspannung überlagert ist.

RV

Glättungsfaktor
g D 1 C

(33.16)

rZ

Wird mit einem Zwei-Kanal-Oszilloskop die Wechselspannung

33.5.3

Spannungsvervielfacher
über dem Ladekondensator CL und dem Siebkondensator CS

(Abb. 33.36) gemessen, also die Spannung UL am Ausgang der

Schaltung, so zeigen nach Abb. 33.39 beide Spannungen deutli-

Zum Betrieb von Oszilloskopen und Bildröhren oder Geiger-
ches Einschwingverhalten.

Müller-Zählrohren werden Gleichspannungen benötigt, die er-
heblich größer als die Netzspannungen sind und damit bereits
im Bereich der Hochspannung liegen.

20.00

10.00

Da diese Spannungsquellen nur sehr kleine Lastströme liefern
u 1

0.00
müssen, ist es meist günstiger, keine speziellen Hochspannungs-

–10.00

–20.00
transformatoren einzusetzen, sondern die hohen Gleichspannun-

T

8.00
gen mit Hilfe von Spannungsverdoppler- oder Spannungsver-
eil
u

6.00

C2
vielfacherschaltungen zu erzeugen.

4.00

V

2.00

Die Delon-Schaltung besteht aus zwei Einwegschaltungen, die

0.00

–2.00
nach Abb. 33.40 zuammengeschaltet sind. Je nach Polarität der

0

10

20

30

40
t

50

Spannung U 1 ist entweder die Diode V1 oder die Diode V2 in
ms

Durchlassrichtung geschaltet. Infolgedessen werden die Kon-

25.00
densatoren C 1 und C 2 mit der angegebenen Polarität geladen.

10.00

Die Ladespannungen beider Kondensatoren liegen in Reihe, so

5.00
u
dass sie sich zur Gesamtspannung U D U

C2

0.00

2

AV 2 (im unbelasteten

–5.00

Zustand) addieren.

8.00
u 1

6.00

Gesamtspannung

U

D

C

D

AV2

UC 1

UC 2

2 US 1

(33.17)

4.00

2.00

0.00

Diese Schaltung ist also eine Spannungsverdopplerschaltung im

–2.00

Leerlaufbetrieb.

0

20

40

60

80
t

100
ms

Abb. 33.41 stellt eine Villard-Schaltung dar. Bei entsprechender

Abb. 33.39 Einschwingverhalten einer B2-Gleichrichterschaltung mit Lade-

Polarität der Spannung U 1 liegt die Diode V1 in Durchlass-
kondensator und RC-Siebglied
richtung und lädt den Kondensator C 1 in der eingezeichneten

33.5

Anwendungsschaltungen

413

C

′

1

C 1

C 1′′

R V

I V

I A

I

U

V ′

′′

Z

1

′ V1

′′

N

U 1

V1

V2

V2

V2

U E

R

U

A

A

V

T2

1

C

′

′′

2

C 2

C 2

U 2

Abb. 33.43 Grundschaltung einer Spannungsstabilisierung mit Z-Diode

Abb. 33.42 Spannungsvervielfacherschaltung nach Villard

Polarität auf den Wert U

D

Dieses kann aber nur eintreten, wenn der Diodenstrom I

C 1

US 1. In der nächsten Halbwel-

Z je-
le liegt die Diode V1 in Sperrrichtung. An V1 liegt dann die
weils um den gleichen Betrag kleiner wird wie der Laststrom

Summe aus U

C

D

I

S 1

UC 1

2 US 1 als Sperrspannung an. Diese

A größer. Der Arbeitspunkt der Z-Diode wandert daher nach

Spannung ist jetzt die Speisespannung für die zweite Gleich-

Abb. 33.44a auf der Kennlinie in Richtung auf A2.

richterstufe. Über V2 wird der Kondensator C 2 dann auf die

Spannung 2 U

Infolge der steilen Kennlinie der Z-Diode ändert sich die Aus-

S 1 aufgeladen.

gangsspannung UA nur um einen kleinen Betrag, das heißt, UZ

Die Dioden müssen eine periodische Spitzensperrspannung
bleibt nahezu konstant, wenn sich der Laststrom IA ändert. Wird

U

D

RRM

2 US 1 in beiden Schaltungen ermöglichen, wäh-
dabei jedoch IZ < IZ min, so wandert der Arbeitspunkt in den
rend der Strom I

D

FM

IL beträgt. Beiden Schaltungen können
waagerechten Bereich der Kennlinie, so dass sich UA sehr stark
nur kleine Lastströme entnommen werden. Die Belastung der
ändert, das heißt, die stabilisierende Wirkung der Z-Diode ist

Schaltungen erfolgt in der Praxis so, dass die Ausgangsspan-
beendet ( I

Z min

0;1 IZ max, IA max

0;9 IZ max/.

nung minimal sinkt.

Ändert sich die Eingangsspannung UE um den Betrag ˙ UE
maximale Ausgangsgleichspannung
bei konstantem Laststrom IA nach Abb. 33.44b, so verschiebt
sich der Arbeitspunkt A0 aufgrund der Parallelverschiebung der

U

AV2

0;8 : : : 0;9 .2 US 1/

(33.18)

Arbeitsgeraden nach A1 oder A2, je nachdem, ob es sich um
eine Spannungserhöhung oder -minderung handelt. Aufgrund

Die Villard-Schaltung lässt sich zur Vervielfacherschaltung er-
der steilen Kennlinie ändert sich UZ deutlich weniger als UE,
weitern. Werden nach Abb. 33.42 zwei oder mehr Villard-
so dass die Ausgangsspannung U D

A

UZ nahezu gleich bleibt

Schaltungen hintereinander geschaltet (hier drei Villard-

( U

E

2 : : : 4 UA, UE min

1;2 : : : 2 UA).

Schaltungen), so entsteht eine Hochspannungskaskadenschal-
tung. Für die Ausgangsspannung U 2 einer unbelasteten Kaska-

Beim praktischen Einsatz der Stabilisierungsschaltung nach
denschaltung gilt (33.17), wobei n die Anzahl der aneinander-

Abb. 33.43 überlagern sich beide Fälle, so dass eine exakte
gereihten Villard-Schaltungen bedeutet.

Trennung kaum noch möglich ist. Der gewählte Vorwiderstand

R
maximale Ausgangsgleichspannung

V muss beiden Erwartungen gerecht werden. Er lässt sich nä-
herungsweise mit der Gleichung II.18 berechnen. Zu verwenden
ist dann ein Widerstandswert nach der E-Reihe, der zwischen

U

AV2
n 2 US 1

(33.19)

den beiden Werten, aber näher an RV max liegt.

Die Dioden müssen eine periodische Spitzensperrspannung

U

D

D

RRM

2 US 1 ermöglichen, während der Strom I FM
n IL be-
trägt. Es sind nur geringe Lastströme möglich. Kaskadenschal-

Δ U Z

U

U

Z

E

V
tungen mit vielen Stufen zeigen deutlich ein Hochlaufen der

Ausgangsspannung, weil die einzelnen Kondensatoren nachein-

I Zmin I Z

A2

R

Teil
ander aufgeladen und die Ladungen von einem Kondensator auf
a

V
den nächsten verschoben werden.

b

P tot

I L

A1

33.5.4

Diode als Konstantspannungsquelle

I

(Z-Diode)

Zmax

U

Abb. 33.43 zeigt die Grundschaltung für die Spannungsstabili-

E

R
sierung mit Hilfe einer Z-Diode. Als stabilisierte Ausgangsspan-

V

I Z
nung UA tritt die an der Z-Diode liegende Spannung UZ auf. Im
zulässigen Arbeitsbereich bleibt sie sowohl bei einer Änderung

Abb. 33.44 Ermittlung der Arbeitspunktverschiebung. a konstante Eingangs-
der Eingangsspannung UE als auch bei einer Änderung des Last-
spannung und variable Last, b konstante Last und schwankende Eingangsspan-
stroms I

D

C

D

A nahezu konstant ( IV

IZ

IA
const).

nung

414

33 Dioden

Vorwiderstand

R V

I V

I A

U

E max

UZ

UE min

UZ

R

I

V min

RV max

(33.20)

Z

I

C

C

Z max

IA min

IZ min

IA max
r

Die Stabilisierung wird bei einer vorgegebenen Z-Diode umso

U

Z

V1

E

R

U

A

A
besser, je größer die Eingangsspannung gewählt wird. Die Ver-
lustleistung am Vorwiderstand R

U

V nimmt allerdings schneller zu

Z0
als der relative Stabilisierungsfaktor S.

Es hat sich als zweckmäßig erwiesen, das Verhältnis der Rela-

Abb. 33.45 Ersatzschaltung einer Z-Diode mit Vorwiderstand und ohmscher
tivwerte der Schwankungen von Eingangs- und Ausgangsspan-

Last
nung als Stabilisierungsfaktor S einzuführen.

Stabilisierungsfaktor

Z-Stroms I

Z angegeben. Damit ergibt sich die Möglichkeit,

U

E

RV

UA
eine Ersatzschaltung für die Z-Diode in der Schaltung nach

S D UE D

1 C

(33.21)

UA
r

U

Abb. 33.43 zu finden. Die Schaltung nach Abb. 33.45 zeigt

U

Z

E

A
eine solche Ersatzschaltung, in der die Z-Diode als Spannungs-

Der differentielle Widerstand rZ einer Z-Diode wird für be-
quelle mit der Quellenspannung UZO und dem Innenwiderstand
stimmte Stromwerte in den Datenblättern der Hersteller ge-

R D
i
rZ verwendet wird. Mit ihrer Hilfe lässt sich der Ausgangs-
nannt. Auch die Z-Spannung UZO wird für konkrete Werte des
widerstand einer solchen Stabilisierungsschaltung bestimmen.

Teil

V

Mehrschichtdioden und

34

-trioden

Peter Döring

34.1 Vierschichtdioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

34.2 Thyristoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

34.3 Diac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

34.4 Triac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

34.5 Schutz der Dioden und Trioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

V

34.6 Zündmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

415

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_34

416

34 Mehrschichtdioden und -trioden

Draufsicht

Von großer Bedeutung ist ihr Einsatz als Leistungsschalter.

Au(Sb) S

Al S
verkleinerte
n+

(anlegiert)

(anlegiert)

Durch die gezielte und vermehrte Anwendung von Thyristo-
ren hat sich inzwischen ein eigenes Fachgebiet der Elektro-

14

–3
p
n(~10

~
cm )

K

S
nik, die Leistungselektronik, entwickelt. Triacs haben wegen
p
ihres Zweirichtungs-Betriebes (aber relativ geringem Durch-

Al(anlegiert)

p+

Au(Sb)-Folie
lassstrom) und ihrer recht einfachen Ansteuermöglichkeit zum

Si-Tablette

MD-Träger

Beispiel über Diacs eine weite Verbreitung in Phasenanschnitt-
schaltungen zur Leistungssteuerung von Lampen (Helligkeit)

Abb. 34.1 Realer Aufbau des Thyristors
und zur Drehzahlsteuerung von Kleinmotoren gefunden.

Silizium-Gleichrichterdioden mit „pin“-Übergang werden we-
gen ihrer hohen Durchlassströme und verhältnismäßig hohen

34.1

Vierschichtdioden

Sperrspannungen überwiegend in industriellen Anlagen zur

Gleichrichtung der Netzwechselspannung eingesetzt. Für zahl-
reiche Anwendungen werden aber regelbare, steuerbare Gleich-

Vierschichtdioden haben nach Abb. 34.2 eine pnpn-Zonenfolge
spannungen gefordert.

in einem Silizium-Kristall. An den beiden äußeren Zonen sind
die Anschlüsse sperrschichtfrei angebracht.

Bereits im Jahre 1958 wurde ein steuerbarer Silizium-

Gleichrichter (SCR D Silicon-controlled-rectifier) entwickelt,

Beim Anlegen einer kleinen Spannung UD in der eingezeich-
der ähnliche Eigenschaften zeigte wie die erwähnte Gleichrich-
neten Polarität (Anode positiver als die Kathode) liegen die
terzelle. Dieses elektronische Bauelement erhielt die Bezeich-

Sperrschichten I und III in Durchlassrichtung, während die
nung „Thyristor“.

Sperrschicht II in Sperrrichtung gepolt ist. An dieser Schicht
fällt dementsprechend die gesamte anliegende Spannung UD ab.

Heute geht man bei der Herstellung von Thyristoren von ei-

Die Vierschichtdiode befindet sich im Blockierbereich (hochoh-
nem hochohmigen n-dotierten Siliziumplättchen aus, in das
miger Bereich), so dass lediglich ein sehr kleiner Sperrstrom ID
von beiden Seiten Akzeptoren (B, Al, Ga) eindiffundiert wer-
durch das Bauelement fließt.

den. Anschließend wird als Kathode eine Sb-dotierte Au-Folie
an der Oberseite einlegiert, wodurch dort ein stark dotiertes

Wird die Spannung UD weiter erhöht, so steigt die Feldstärke in
n-Gebiet (nC) entsteht. Auch die Al-Kontakte für die Steuer-
der Sperrschicht II an. Bei einem bestimmten Spannungswert,
elektrode und die Anode werden anlegiert. Die entstandene
der Nullkippspannung U.BO/ O, wird die Feldstärke jedoch so

„Silizium-Tablette“ nach Abb. 34.1 wird anodenseitig auf einen
groß, dass ein Durchbruch an Sperrschicht II auftritt und plötz-

Molybdänträger aufgebracht. Die Tablette ist meist rund, da so
lich ein stark ansteigender Strom IT durch die Vierschichtdiode
das elektrische Feld an den Rändern besser zu handhaben ist.

fließt. Dieser Vorgang wird als „Zünden“ bezeichnet. Der Strom

IT muss durch einen Vorwiderstand RV begrenzt werden.

Unter dem Sammelbegriff „Thyristoren“ werden häufig die

Die Vierschichtdiode geht in den Durchlassbereich (niederoh-

Mehrschicht-Halbleiter zusammengefasst, die einfach Mehr-
miger Bereich) über, und die Spannung U
schichtdioden und -trioden genannt werden. Sie sind jeweils

D an der Diode sinkt
plötzlich auf einen kleinen Wert ab. Diese Durchlassspannung
aus drei oder mehr pn-Übergängen aufgebaut und haben ein

U
ausgeprägtes Schalt- beziehungsweise Kippverhalten. Diese

T beträgt etwa 0,5 . . . 1,2 V. Der Durchlassbereich einer Vier-
schichtdiode, also ihr weiterer Kennlinienverlauf nach dem

Mehrschicht-Halbleiter besitzen zwei Schaltzustände, und zwar

T

Zünden, ähnelt dem der normalen Silizium-Diode.

eil
den Schaltzustand „Ein“ D leitend und den Schaltzustand

„Aus“ D gesperrt.

Die Vierschichtdiode kippt in den Blockierbereich zurück, wenn

V
der Strom I

Das Umschalten vom gesperrten in den leitenden Zustand wird

T durch die Diode den Haltestrom IH unterschreitet.

Dieser Zusammenhang wird als „Löschen“ bezeichnet.

als „Zünden“ und das Umschalten vom leitenden in den gesperr-
ten Zustand als „Löschen“ bezeichnet. Sowohl der Zündvorgang

Im Sperrbereich der Vierschichtdiode, also im 3. Quadranten
als auch der Löschvorgang laufen in sehr kurzer Zeit ab.

der Kennlinie nach Abb. 34.3, kann man erkennen, dass erst

Bei den Bauelementen mit Einrichtungs-Betrieb (Vierschicht-
diode, Thyristor) werden die beiden Hauptanschlüsse wie bei
der Diode mit Anode und Kathode bezeichnet. Ein Stromfluss
ist nur möglich, wenn die Anode positiv gegenüber der Katho-
p
de ist. Bei den Bauelementen mit Zweirichtungs-Betrieb (Diac,

I

A
n

Triac) werden die Hauptanschlüsse dagegen Anode 1 (A1) und

II
p

Anode 2 (A2) genannt.

III

K
n

Thyristor und Triac haben einen Steueranschluss, der als Gate

(G) bezeichnet wird. Die Zündung erfolgt mit einem Steu-
erstrom über das Gate und löst einen wesentlich größeren

Hauptstrom durch das Bauelement aus.

Abb. 34.2 Zonenfolge in einem Silizium-Kristall

34.2

Thyristoren

417

I F
u a
mA

20V

Durchlaßbereich

I
t

U

U

H

(BR)F

R(BR)

U

Abb. 34.5 Liniendiagramm der sägezahnförmigen Ausgangsspannung

R

U H

U F

V

V

Blockierbereich

Sperrbereich

Ist der Lastwiderstand der Vierschichtdiode zu hochohmig, kann
nicht der erforderliche Haltestrom IH fließen. Es kommt nicht
zum dauerhaften Zünden der Diode. Eine rechnerische Ein-

I R
µA
schätzung ermöglicht (34.1).

Abb. 34.3 Kennlinie einer Vierschichtdiode

34.2

Thyristoren

R 1

56k

Die Einrichtungs-Thyristortrioden werden allgemein als Thyris-
toren bezeichnet und sind generell aufgebaut wie Vierschicht-

U B
dioden. Das einzig neue ist das als Steueranschluss zusätzlich

C 1

50V

100nF
herausgeführte Gate (G).

V1
u a

Der Anschluss ist nach Abb. 34.6 sowohl an der innenliegenden

1k

R 2
p-Schicht (kathodenseitig gesteuerter Thyristor) als auch an der
innenliegenden n-Schicht (anodenseitig gesteuerter Thyristor)

4E20–8
möglich. Auch zwei Gateanschlüsse sind möglich, jedoch wird
die Thyristortetrode selten verwendet. Die wichtigste Bauart ist

Abb. 34.4 Sägezahngenerator mit Vierschichtdiode
der kathodenseitig gesteuerte, rückwärtssperrende Thyristor.

Unabhängig von der Polarität der zwischen Anode und Kathode
bei einer sehr hohen Durchbruchspannung U. BR/ R der Durch- liegenden Spannung ist bei kleinen Spannungswerten mindes-
bruchstrom zum Fließen gelangt. Bei dieser Polarität sind die
tens ein pn-Übergang in Sperrrichtung. Der Thyristor ist daher

Sperrschichten I und III in Sperrrichtung gepolt.

sowohl im Vorwärtsbetrieb (Anode positiv gegenüber Kathode)

als auch im Rückwärtsbetrieb (Anode negativ gegenüber Katho-

Eine Vierschichtdiode „zündet“ also nur, wenn sie in Vorwärts-
de) zunächst gesperrt. Wird im Vorwärtsbetrieb die Spannung
richtung betrieben wird und die anliegende Spannung UD größer
weiter erhöht, kippt der Thyristor genau wie die Vierschicht-
als die Kippspannung U.BO/ O wird. Auch bei einer Verringerung diode bei U
der Spannung U

.BO/ O schlagartig in den leitenden Zustand. Dieser

D bleibt die Diode leitend, sie „löscht“ erst wie-

Vorgang ist zwar technisch zulässig, aber im Sinne einer Steue-
der, wenn der Haltestrom IH unterschritten wird.

rung nicht erwünscht.

Kennwerte: Schaltspannung U.BO/ O ( 20 . . . 200 V), Halte-
strom I

2

H ( 1 : : : 45 mA), Schaltzeit (100 bis 600 ns)

maximale Betriebsspannung

U DRM

U.BO/ O

(34.2)

3

Die Schaltung in Abb. 34.4 zeigt einen Sägezahngenerator mit

V

Um ein Überkopfzünden zu vermeiden, darf die maximale

Vierschichtdiode. Der Kondensator C wird über die Widerstän-

Betriebsspannung des Thyristors die Nullkippspannung nicht
de R1 und R2 aufgeladen, bis dieser den Wert U.BO/ O der erreichen. Für ausreichende Sicherheit kann gesorgt werden, in-

Teil

Vierschichtdiode erreicht. Nach der erfolgten Zündung entlädt
dem ein Thyristortyp mit höherer Nullkippspannung verwendet
sich C sehr schnell über die Diode und den Widerstand R2,
wird.

der den Entladestrom begrenzt. Sobald bei der Entladung der

Haltestrom IH unterschritten wird, kippt die Diode in den Sperr-

In Rückwärtsrichtung verhält sich ein Thyristor wie eine ge-
zustand zurück, und es beginnt ein neuer Ladevorgang.

sperrte Diode. Solange die maximal zulässige Sperrspannung

Die sägezahnförmige Ausgangsspannung nach Abb. 34.5 kann
linearer gemacht werden, indem man das Verhältnis von UB

A

A

A
zu U.BO/ O größer macht. In dem Falle wird nur der nahezu
p
p
p
lineare Beginn der nach der e-Funktion verlaufenden Ausgangs-
n

G
n
n

G2

G
p
p

G1
p
spannung benutzt. Der gleiche Effekt wird erzielt, wenn die
n
n
n

Spannungsquelle durch eine Konstantstromquelle ersetzt wird.

K

K

K

UB

Lastwiderstand

R UB

1

(34.1)

IH

IT max

Abb. 34.6 Anschlüsse der Einrichtungs-Thyristortrioden

418

34 Mehrschichtdioden und -trioden

I D

U G

I

U

TAV

T

Durchlaßbereich

U GTmax

I H

U

Blockierbereich

RRM

I D

I R

U DRM U

Sperrbereich

D

U GT

Abb. 34.7 Charakteristische Kennlinie eines Thyristors

P Gtot

U.BR/ R nicht überschritten wird, fließt nur ein sehr kleiner Sperr-
strom IR. Wird dieser Spannungswert überschritten, so steigt der

Sperrstrom lawinenartig an, und der Thyristor wird zerstört. Die

I

I

GT

GTmax

I G
charakteristische Kennlinie eines Thyristors nach Abb. 34.7 äh-
nelt also stark der Kennlinie einer Vierschichtdiode.

Abb. 34.9 Eingangskennlinie und Zünddiagramm eines Thyristors

Thyristoren können durch Ansteuerung des Gates gezündet wer-
den, wenn die Anode positiver ist als die Kathode. Bei den

I D
kathodenseitig gesteuerten Thyristoren ist eine positive Ga-

I TAV

U T
tespannung U

Vorwärts-

G erforderlich, die einen Gatestrom IG in den

Durchlaßbereich

Thyristor hineinfließen lässt. Der Zündvorgang hängt wesent-

I LAT
lich von der Größe des jeweiligen Gatestroms I

I

G ab. Durch

H

Blockierbereich

U RRM

I
ihn gelangen Ladungsträger in die Halbleiterzonen, und infol-

D

I R

U DRM U
ge der gegenseitigen Beeinflussung der pn-Übergänge kippt

D

Rückwärts-

Vorwärts-
der Thyristor bei niedrigeren Werten von UD in den leitenden

Sperrbereich

Sperrbereich

Zustand. Den Zusammenhang zwischen Kippspannung U.BO/ O
und Zündstrom I

Abb. 34.10 Darstellung der wichtigsten Kenndaten eines Thyristors

GT zeigt das Diagramm nach Abb. 34.8. Die-
se Art der Zündung bezeichnet man als Vertikalsteuerung. Sie
wird selten angewendet, da sich der Zündzeitpunkt nur ungenau
einstellen lässt.

Oberhalb der Zündspannung U GT liegt der Bereich, in dem

Um den Zündzeitpunkt genauer einstellen zu können, geben
zwar eine Zündung erfolgen kann, die aber von mehreren
die Hersteller Zünddiagramme für Thyristoren an, die den Zu-
zusätzlichen Faktoren abhängt, wie zum Beispiel der anlie-
sammenhang zwischen der Gatespannung und dem Gatestrom
genden Durchlassspannung, der Sperrschichttemperatur, u. a.

beschreiben. Diese weisen nach Abb. 34.9 drei wichtige Zonen

Sichere Zündung ist gewährleistet, wenn die Gatespannung
auf:

größer als U GT und der Gatestrom größer als I GT sind. Be-
grenzt wird dieser Bereich durch die Grenzwerte U GTM, I GTM

Unterhalb der Zündspannung U GT ist eine Zündung nicht
und die maximal zulässige Gate-Verlustleistung PG tot.

möglich, weil die erforderliche Zündenergie nicht zur Ver-
fügung steht.

Das Zündverhalten hängt relativ stark von der Sperrschicht-
temperatur des Thyristors ab. Je höher die Temperatur, desto

Teil
kleiner werden die zur sicheren Zündung erforderliche obere

Zündspannung U GT und der obere Zündstrom I GT. Nach dem

V

Zünden kippt der Thyristor sehr schnell vom Blockierbereich

2000
in den Durchlassbereich. Die Durchlasskennlinie ähnelt der

1000
von Silizium-Dioden, jedoch ist die Durchlassspannung etwas
größer. In den Datenblättern werden die Strom- und Spannungs-

V
werte bei gezündeten Thyristoren (Durchlasszustand) als IT und

U

100

T anstelle von ID und UD bezeichnet. Die wichtigsten Kennda-
ten von Thyristoren werden im Kennlinienfeld nach Abb. 34.10
u (BO)

dargestellt.

10

Der hohe Durchlassstrom stellt genügend Ladungsträger zur

Verfügung, um die pn-Übergänge im leitfähigen Zustand zu hal-
ten, wenn der Einraststrom I LAT kurzzeitig überschritten wird.

Kippspannung

Um den Thyristor wieder in den Sperrzustand zu bringen, muss

1
der Durchlassstrom kleiner als der Haltestrom I

0

40

80

120

160 mA 200

H werden. Dieser

Zündstrom I

Strom hängt vom jeweiligen Thyristortyp ab und liegt zwischen

GT
einigen mA und etwa 100 mA. Auch der Haltestrom ist stark

Abb. 34.8 Zündkennlinie eines Thyristors zur Vertikalsteuerung
temperaturabhängig.

34.2

Thyristoren

419

I

Der Thyristor wird jeweils bei ˛ D 90° gezündet und auto-

T
matisch bei ! t D 180°, also beim nächsten Nulldurchgang,

U

R

L

L
gelöscht.

U

Ein Strom fließt also nur während 180ı ! t 90ı durch

U
den Thyristor. Diese Zeitspanne wird auch als Stromflusswin-

V1

T
kel bezeichnet. Der Stromflusswinkel wird zur Berechnung
des arithmetischen Mittelwertes des Stroms I TAV benötigt, aber
natürlich auch zur Berechnung des quadratischen Mittelwertes.

Um diese Berechnung zu vermeiden, wird der Zusammenhang

Abb. 34.11 Thyristor mit Lastwiderstand an Wechselspannung
zwischen Verlustleistung, Stromflusswinkel und Strom I TAV
in Diagrammen angegeben.

Die hier gezeigte Leistungssteuerung wird als Phasenanschnitt-

Wird ein Thyristor nach Abb. 34.11 mit sinusförmiger Wech-
steuerung bezeichnet und ermöglicht eine stufenlose Leistungs-
selspannung betrieben, so erfolgt ein Löschen bei jedem Null-
steuerung.

durchgang der Betriebsspannung, weil dadurch zwangsläufig
der Haltestrom unterschritten wird. Der Thyristor muss also

Grenzdaten: periodische Spitzensperrspannung U DRM und
nach jedem positiven Nulldurchgang erneut gezündet werden.

U RRM; maximale Stoßspitzenspannung U DSM und U RSM; Dau-

Beim Betrieb mit Gleichspannung wird üblicherweise der Thy-
ergrenzstrom I TAV; maximaler periodischer Spitzenstrom I TRM;
ristor gelöscht, indem man einen kurzen negativen Spannungs-
maximaler Durchlassstrom I TRMS.

impuls an die Anode gibt. Dadurch wird der Thyristor kurzzeitig

Kenndaten: Nullkippspannung U.BO/ O; Sperrströme ID, IR;
im Rückwärts-Sperrbereich betrieben und somit gelöscht.

Durchlassspannung UT , Haltestrom IH; Einraststrom I LAT;

Das Löschen über das Gate ist bei den meisten Thyristoren nicht

Zündstrom I GT; Zündspannung U GT.

möglich (Ausnahme: GTO-Thyristor).

Beim Betrieb des Thyristors sind dynamische Kennwerte zu

Bei Wechselspannungsbetrieb ist der Thyristor in der negativen
beachten. Der zum Zünden erforderliche Gatestrom muss min-

Halbwelle stets gesperrt, und eine Zündung ist nur in der po-
destens so lange fließen, bis die Zündung erfolgt ist. Diese Zeit
sitiven Halbwelle möglich. Der Zündvorgang kann jeweils bei
wird als Zündzeit t gt bezeichnet. Zwischen dem Löschzeitpunkt
einem bestimmten Phasenwinkel ˛ der anliegenden Wechsel- im Nulldurchgang des Durchlassstroms und der Wiederkehr ei-
spannung erfolgen. Abb. 34.12 zeigt hier die entsprechenden
ner Spannung in Vorwärtsrichtung muss eine Mindestwartezeit

Zusammenhänge auf.

liegen, die Freiwerdezeit oder Erholzeit tq genannt wird.

Aber auch ein zu schneller Strom- oder Spannungsanstieg im

Zünd- beziehungsweise Löschzeitpunkt kann zu unkalkulier-

U
baren Zuständen einschließlich der Zerstörung des Thyristors
führen (Strom- und Spannungssteilheit).

2 π

Durch entsprechende Schutzbeschaltungen des Thyristors (sie-
π
t,φ
he Abschn. 34.5) kann dem entgegengewirkt werden.

Thyristoren werden in großem Umfang als Leistungsschalter
und zur Leistungssteuerung in Gleich-, Wechsel- und Dreh-

U
stromkreisen eingesetzt.

L

V

Mit einem Thyristor als Steuerelement nach Abb. 34.11 ist nur

Halbwellenbetrieb möglich, das heißt, nur die positiven Halb-

2

Teil
π
wellen (max. Stromflusswinkel D 180°) gelangen an die
α

Θ
π
t,ϕ

Last und erbringen maximal eine Halbierung der wirksamen

Leistungsaufnahme. Eine Verringerung des Stromflusswinkels
bedeutet eine weitere Verringerung der Leistung.

U

Eine Grundschaltung für den Vollwellenbetrieb nach Abb. 34.13

D
ist die Antiparallelschaltung zweier Thyristoren. Hier ist zu
beachten, dass die Gatespannungen UG 1 und UG 2 jeweils po-

2 π
tentialfrei zugeführt werden müssen. Dies erfolgt in modernen
α
π

Steuerungen mit Hilfe von Optokopplern, aber auch mit Über-
t,ϕ
tragern. Die Synchronisation muss so erfolgen, dass jeweils mit
α Zündverzögerungswinkel
dem gleichen Phasenanschnittwinkel ˛ der V1 in der positiven

Θ Stromflußwinkel
und der V2 in der negativen Halbwelle der Betriebsspannung
gezündet wird. Im Liniendiagramm nach Abb. 34.14 wird ein

Abb. 34.12 Liniendiagramm einer sinusförmigen Spannung am Thyristor

Zündwinkel ˛ D 90° angenommen. Bei Vollwellenbetrieb ist

420

34 Mehrschichtdioden und -trioden

I

R L

U
n

R
p

U 1

V1

V2
n
p
n

Abb. 34.13 Antiparallelschaltung zweier Thyristoren für Vollwellenbetrieb

U

Abb. 34.15 Aufbau und Schaltung eines Diacs

2 π
in Abb. 34.15 zu sehen. Während dieser Diac insgesamt 5
π
t, ϕ

Schichten hat, gibt es auch solche mit 3 Schichten (pnp).

Aufgrund der Antiparallelschaltung ergibt sich für den Rück-
wärtsbereich (3. Quadrant) ein spiegelbildlicher Verlauf der

U

Kennlinie im Vorwärtsbereich (1. Quadrant). Nach Überschrei-

L
ten der Durchbruchspannungen U.BR/ R und U.BR/ F kommt ein

Strom in der jeweiligen Richtung schlagartig zum Fließen, der
durch einen Vorwiderstand begrenzt werden muss. Die charak-

2 π
α

Θ
π
teristische Kennlinie eines Diacs mit Blockier- und Durchlass-
t, ϕ
bereich zeigt Abb. 34.16. Sowohl bei Betrieb im Vorwärts- als
auch im Rückwärtsbereich kann der gezündete und damit nie-
derohmige Diac nur durch Unterschreiten seines Haltestroms

U
wieder in den Blockierzustand gebracht werden. Bei Diacs mit

D
drei Schichten erfolgt der Spannungseinbruch nach dem Zünden
nur um einen bestimmten Spannungsbetrag U.

2 π

Diacs lassen sich als elektronische Wechselstromschalter ver-
α
π
t, ϕ
wenden. Sie werden überwiegend für relativ kleine Ströme
gefertigt und hauptsächlich zur Ansteuerung von Triacs einge-
α Zündverzögerungswinkel
setzt.

Θ Stromflußwinkel

Kennwerte: Durchbruchspannungen U.BR/ F, U.BR/ R; Durch-

Abb. 34.14 Liniendiagramm einer sinusförmigen Spannung bei Vollwellenbe-
bruchströme I.BR/ F, I.BR/ R; Halteströme I HF, I HF; maximaler
trieb

Spitzenstrom I max.

Wegen seines Kippverhaltens in Vorwärts- und Rückwärts-
eine Leistungssteuerung zwischen P D 0 W und P D P
richtung werden Diacs hauptsächlich in Zündschaltungen für
max mög-

T
lich. Der Zusammenhang zwischen der gesteuerten Leistung P

Triacs eingesetzt. Die Zündschaltung nach Abb. 34.17 zeigt das
eil
und dem Phasenanschnittwinkel a ist nichtlinear aufgrund der

Prinzip eines Dimmers, wobei der Widerstand RL für den Gate-

Widerstand eines Triacs steht.

V

Nichtlinearität der sinusförmigen Versorgungsspannung.

Bei kleineren Leistungen werden wegen des Schaltungsaufwan-
des statt dieser Antiparallelschaltung von Thyristoren Triacs

I F
und Diacs verwendet.

positiver

Durchlaßbereich

34.3

Diac
positiver

I HF

U

Blockierbereich

R

U(BR)R

U HR
negativer

U HF

U

U

(BR)F

F

Schaltet man zwei Vierschichtdioden antiparallel zueinan-

Blockierbereich

I HR
der intern in einen Silizium-Kristall, so erhält man eine

Zweirichtungs-Thyristordiode, die sowohl in Vorwärts- wie
negativer
auch in Rückwärtsrichtung gezündet werden kann. Die übliche

Durchlaßbereich

Bezeichnung ist „Diac“ (D diode alternating current switch D

Diodenwechselstromschalter), aber auch die Bezeichnung Trig-
gerdiode ist üblich. Prinzipieller Aufbau und Schaltzeichen sind

Abb. 34.16 Kennlinie einer Zweirichtungs-Thyristordiode

34.5

Schutz der Dioden und Trioden

421

230V/50Hz

I D

U T

R 1
positiver

10k

Durchlaßbereich

500k

U

R 2

V1

I
positiver

H

U

– U

(BR)

A2A1

Blockierbereich

U

U A2A1

(BR)

negativer

I H

Blockierbereich

BR100

U

R

C

L

L

20

100nF
negativer

Durchlaßbereich

Abb. 34.17 Prinzip der Zündschaltung eines Dimmers

– U T

– I D

Der Kondensator C wird in dieser Schaltung über R1 und R2

Abb. 34.19 Kennlinie eines Triacs
durch die anliegende AC jeweils auf- und umgeladen. Die RC-

Schaltung muss so ausgelegt werden, dass die Spannung UC in
jeder Halbwelle U.BR/ F beziehungsweise U.BR/ R erreicht, da der des auf der Basis der Kennlinie eines Thyristors. Ein gezündeter

Diac sonst nicht zündet. Wenn der Diac zündet, entlädt sich der

Triac kippt genau wie ein Thyristor nur dann wieder in den

Kondensator C schlagartig über den Diac und den Widerstand

Sperrzustand zurück, wenn sein Haltestrom unterschritten wird.

RL. Dadurch entsteht an RL ein kurzer positiver beziehungsweise
negativer Stromimpuls. Durch Verstellen des Ladewiderstandes

Triacs werden meistens mit einem Impuls gezündet, dessen

R2 kann der Zündzeitpunkt des Diacs während der Halbwel-

Polarität mit der Polarität der an Anschlüssen A1 und A2 an-
len verändert werden. Die Spannungshöhe und die Impulsdauer
liegenden Spannung (I. und III. Quadrant) übereinstimmt. Eine
hängen im Wesentlichen von der Kapazität des Kondensators,
entsprechende Zündung kann auch in den anderen Quadranten
dem Durchlasswiderstand des Diacs und der Spannungsdiffe-
erfolgen, erfordert aber größere Steuerleistungen. Wegen der
renz U des Diacs ab.

vier möglichen Steuerungsarten werden für die Gateströme vier
zugehörige Werte angegeben.

Der Diac bleibt gezündet, bis sein Haltestrom unterschritten
wird, was beim nächsten Nulldurchgang der Wechselspannung

Mit Triacs lassen sich in recht einfacher Weise Phasenan-
eintritt.

schnittsteuerungen für Vollwellenbetrieb aufbauen. Wegen der
niedrigen zulässigen kritischen Spannungssteilheit ist der Ein-
satz bei Lasten mit stark induktivem Anteil nicht gut möglich.

34.4

Triac

34.5

Schutz der Dioden und Trioden

Ein Triac (D triode alternating current switch) kann von sei-
nem technologischen Aufbau her, aber auch aufgrund seiner

Funktion nach Abb. 34.18 als eine Antiparallelschaltung zweier

Dioden, Triacs und Thyristoren müssen, wie alle Bauelemen-

Thyristoren aufgefasst werden.

te in der Elektronik, gegen Überlastung geschützt werden. Den

Überstromschutz übernehmen superflinke Sicherungen und Si-

V

Der Triac hat zwei Vorwärtsrichtungen und kann am Gate mit
cherungsautomaten mit magnetischer und thermischer Schnell-
einem Zündstrom beziehungsweise einer Zündspannung belie-
auslösung.

biger Polarität gezündet werden.

Teil

Die Kennlinie eines Triacs nach Abb. 34.19 zeigt einen spiegel-

Zum Schutz der Bauelemente gegen hohe Spannungsanstiegs-
bildlichen Verlauf im I. und III. Quadranten des Kennlinienfel-
geschwindigkeit ( du= dt) werden RC-Glieder eingesetzt und den

Ventilen nach Abb. 34.20 parallel geschaltet. Die Hersteller ge-

A2
n

R
p

L

A2

R
n

V1

U N
p

G

A1
n
n

C

A1

G

Abb. 34.20 Schutzbeschaltung gegen hohe Spannungsanstiegsgeschwindig-

Abb. 34.18 Aufbau und Schaltzeichen eines Triacs
keit (du=dt)

422

34 Mehrschichtdioden und -trioden

34.6

Zündmethoden

R L

R

U

V1

N

Bei Thyristoren und Triacs muss zwischen der Vertikal- und
der Horizontalsteuerung unterschieden werden. In der Praxis

C
wird der Steuerstrom größer als der obere Zündstrom gewählt.

L S

Begrenzt wird der Steuerstrom durch die zulässige Steuerver-
lustleistung PG, die in Datenblättern für definierte Impulsdauern

Abb. 34.21 Schutzbeschaltung gegen hohe Stromanstiegsgeschwindigkeit
nach Abb. 34.24 angegeben wird. Die Einschaltzeit des Thyris-

(di =dt)

tors muss beendet sein, bevor der Impuls seinen Scheitelwert
erreicht hat.

Die Vertikalsteuerung (Abb. 34.8) wird nur selten angewendet,

R
weil eine genaue Bestimmung der Zündwinkel nicht erreicht

U
werden kann und nur Steuerwinkel bis ˛ D 90° möglich sind.

C

Die Horizontalsteuerung weist diese Mängel nicht auf. Die An-

V1

V2
steuerung erfolgt häufig durch Zündimpulse und ermöglicht das

Zünden auch bei kleiner Spannung und niedriger Temperatur.

Die Steuerung kann mit Einzelbauelementen oder mit Ansteuer-

U N

IC’s verwirklicht werden.

T1

Bei Betrieb der Schaltung nach Abb. 34.25 an Wechselspannung

V3

V4
zündet der Triac bei geschlossenem Schalter S mit dem An-
stieg der sinusförmigen Betriebsspannung. Der Zündzeitpunkt

Abb. 34.22 Fertige Baugruppen zum Schutz gegen Überspannungen
kann durch die Wahl des Gatevorwiderstandes RG und damit
der Einstellung des Gatestroms für Steuerwinkel bis ˛ D 90°

R

0,1mH

L
bestimmt werden. Er löscht wieder, wenn beim nächsten Null-
durchgang der Wechselspannung sein Haltestrom zwangsläufig
unterschritten wird. Solange Schalter S geschlossen ist, fließt

100nF

Dimmer
ein Wechselstrom durch den Lastwiderstand.

230V/50Hz

0,1mH

Die Schaltung ermöglicht das Einschalten von Wechselstrom-
lasten. Ersetzt man die Spannungsquelle und den Schalter S

Abb. 34.23 Entstörmaßnahme für Dimmerschaltungen
ben hier Dimensionierungshilfen in Tabellen- oder Diagramm-

U G

V

70W
form. Die RC-Beschaltung dient gleichzeitig dem Schutz vor

15
den Folgen des Trägerstaueffektes.

20W

Zum Schutz der Bauelemente gegen hohe Stromanstiegsge-

10
schwindigkeit ( di= dt/ werden kleine Schutzinduktivitäten L

7W

S

10μs

T
nach Abb. 34.21 in Reihe zu den Ventilen geschaltet. Hier
eil

2W
reichen unter Umständen bereits die Induktivität des Netztrans-

5
formators oder die Anschlussdrähte der Bauelemente aus.

V

100μs

Um einen gewissen Schutz gegen Überspannungen sicherzu-

DC
t=1ms
stellen, werden von den Herstellern fertig zugeschnittene Bau-

0

1

2

3

4

5

6

7

8

I G
gruppen geliefert, die zusätzlich einen Varistor parallel zum

A

RC-Glied enthalten. Auch andere Schutzorgane finden hier Ver-
wendung. Solche Baugruppen können natürlich auch in Gleich-

Abb. 34.24 Gate-Eingangskennlinie
richterschaltungen wie hier nach Abb. 34.22 integriert werden.

Da Triacs und Thyristoren in wenigen Mikrosekunden zünden,
muss auch der Strom in sehr kurzer Zeit auf den Wert anstei-

R L
gen, den die Last aufgrund der zum Zündzeitpunkt anliegenden

A1

Spannung „zieht“.

U N

S

R

V1

G

Derartig kurze Stromanstiege verursachen jedoch Hochfre-

A2
quenzstörungen, die sich beim Rundfunk- und Fernsehempfang

U
störend bemerkbar machen. Daher sind Entstörmaßnahmen für

Dimmer zum Beispiel nach Abb. 34.23 vorzunehmen (Entstör-
filter).

Abb. 34.25 Zünden eines Triacs durch DC am Wechselstromnetz

34.6

Zündmethoden

423

U

R L

V2

R 1
t, ϕ

R G

R 2

U N

V1

U R1
t, ϕ

C

Abb. 34.26 Grundprinzip einer Phasenanschnittsteuerung

U L

R L
α

Θ
α

Θ
t, ϕ

U L

V1

V2

R 2

R 5

U

V5

U D

U

D
u U

V6

N

R1

R 4

R 1
u C

C 1

U
α
α
t, ϕ

R3

V3

V4

T1

R 3

Abb. 34.27 Schaltung zum Vollwellenbetrieb mit einem Thyristor

Abb. 34.28 Liniendiagramm einer Vollwellenschaltung mit Thyristor

100
durch ein Digitalgatter, kann eine Last kontaktlos und fast leis-

P
tungslos eingeschaltet werden. Wird die Stromzufuhr ins Gate

90

%
unterbrochen, so wird der Triac mit dem nächstfolgenden Null-

80
durchgang des Laststroms löschen (Vertikalsteuerung).

70

Die Schaltung nach Abb. 34.26 zeigt ein Grundprinzip einer

Phasenanschnittsteuerung mit Kondensatorladung. In der posi-

60
tiven Halbwelle der Betriebsspannung wird der Kondensator C

50
über den veränderbaren Vorwiderstand RG aufgeladen. Je nach

Widerstandswert von R2 steigt die Spannung am Kondensa-

40
tor schnell oder langsam an. Dadurch wird die zum Zünden

30
des Thyristors erforderliche Gatespannung erst mit einer ein-
stellbaren Verzögerung gegenüber dem Beginn der positiven

20

Halbwelle der Betriebsspannung erreicht. Auf diese Weise kann
der Zündzeitpunkt „beliebig“ eingestellt werden. Sobald der

10

Thyristor gezündet hat, wird der Kondensator über die Gate-

0

V

0

Kathodenstrecke des Thyristors teilweise wieder entladen. Der
α

0 15 30 45 60 75 90105120135 150165 180

Widerstand R1 begrenzt den maximalen Gatestrom.

Θ

180165

135

150

120 105 90 75 60 45 30 15

0

0

Teil

Der Lastwiderstand ist vor das RC-Glied gezogen worden und

Abb. 34.29 Zusammenhang zwischen Anschnittwinkel, Stromflusswinkel und
bietet den Vorteil, dass die Ladespannung des Kondensators

Leistung
nach dem Zünden auf die geringe Durchlassspannung des Thy-
ristors begrenzt wird. Mit dieser Schaltung lassen sich Strom-
flusswinkel 20ı < < 160ı erreichen.

C1) kann nun der Zeitpunkt eingestellt werden, an dem der

Bei der Horizontalsteuerung erfolgt die Ansteuerung zweckmä-

Unijunction-Transistor (UJT) durchsteuert und Spannungsim-
ßigerweise durch Zündimpulse und ermöglicht präzises Zünden
pulse an R3 hervorgerufen werden, die den Thyristor am Gate
zu jedem gewünschten Zeitpunkt innerhalb der Halbwellen.

ansteuern. Der Widerstand R4 dient zur Begrenzung des Gate-

Dies lässt sich durch eine Synchronisierung des Impulsgenera-
stroms.

tors mit der Netzspannung erreichen.

Aufgrund der Spannung UR 1 ist der Thyristor immer im Vor-

Die Schaltung nach Abb. 34.27 lässt den Vollwellenbetrieb mit
wärtsbetrieb und kann darum in jeder Halbwelle gezündet
einem Thyristor zu. Der B2-Gleichrichter lässt eine Spannung
werden. Die Leistung ist theoretisch zwischen 0 W und P max
am Widerstand R1 abfallen. Mit Hilfe des RC-Gliedes (R5 und
steuerbar, zum Beispiel kann die Helligkeit einer Lampe von

424

34 Mehrschichtdioden und -trioden

0 bis 100 % gesteuert werden. Die Grenzbereiche (˛ < 15ůnd

˛ > 165°) lassen sich mit dieser Schaltung nicht realisieren.

Im Liniendiagramm nach Abb. 34.28 ist ein Phasenanschnitt-
winkel ˛ D 90° angenommen, so dass hier IL und UL jeweils mit
halbierten positiven Halbwellen wirksam sind, also die Hälfte
der maximalen Leistung an die Last (Lampe) gelangt.

Der Zusammenhang zwischen P max und dem jeweiligen Winkel
ist im Abb. 34.29 dargestellt. Hier ist erkennbar, dass der Zu-
sammenhang nichtlinear ist.

Teil

V

Transistoren

35

Peter Döring

35.1 Bipolare Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

35.2 Feldeffekttransistoren (FET) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

V

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

425

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_35

426

35 Transistoren

Der Prototyp des Transistors wurde im Jahre 1948 gefunden, als

C

C
die US-Amerikaner John Bardeen und Walter H. Brattain bei

C

N
der Untersuchung von Diodenübergängen eine Metallprüfspitze

B

P

B

B
auf die n-Schicht aufsetzten und so unbeabsichtigt eine pnp-

N

Schichtfolge entstand. Zu ihrer Überraschung stellten sie bei

E
weiteren Messungen fest, dass bei Widerstandsänderungen in

E

E
der einen Grenzschicht auch der Widerstand der anderen Grenz-

C

C
schicht beeinflusst wird. Damit war das Grundprinzip des Tran-
sistors entdeckt. Das Kunstwort „Transistor“ entstand aus der

C

P

Bezeichnung „transfer resistor“, was soviel wie „Widerstands-

B

N

B

B
änderungen von einer Grenzschicht zur anderen übertragen“

P

E
bedeutet.

E

E

Abb. 35.1 Schichtenfolge, Ersatzschaltbild und Schaltzeichen von npn- und
pnp-Transistoren

35.1

Bipolare Transistoren

35.1.1

Transistoreffekt

Ergänzt man die pn-Schichtenfolge einer Diode um eine wei-
tere n- oder p-Schicht, so erhält man die Schichtenfolge eines

Transistors. Entsprechend der Schichtenfolge unterscheidet man

Durch die in Durchlassrichtung betriebene Basis-Emitter-Diode
npn- oder pnp-Transistoren.

eines npn-Transistors fließt ein großer Durchlassstrom (Emit-
terstrom), der so gerichtet ist, dass die durch Dotierung vorhan-

Am Ladungstransport sind aufgrund der verschiedenen Dotie-
denen Elektronen zur Basis wandern. In der Basis findet diese
rungsarten sowohl Löcher als auch Elektronen beteiligt. Darum
große Menge an Elektronen wegen des geringen Dotierungs-
spricht man hier von „bipolaren“ Transistoren im Gegensatz zu
grades der Basis nur wenig Löcher als Rekombinierungspartner
den „unipolaren“ Transistoren, die im Abschn. 35.2 beschrieben
vor. Es kommt deshalb nur zu einer geringen Anzahl von Re-
werden.

kombinationen. Der größte Teil der vom Emitter kommenden

Die mittlere Schicht bezeichnet man als Basis. Sie dient zum

Elektronen überschwemmt die Basis als freie Ladungsträger.

Steuern des Transistors. Die beiden äußeren Schichten heißen

Da die Basis sehr dünn ist, werden die Elektronen aufgrund ih-

Emitter (sendet Ladungsträger aus) und Kollektor (sammelt
rer Eigengeschwindigkeit zum Kollektor hin abgedrängt. Das

Ladungsträger ein). Der Pfeil am Emitter gibt die technische

Überschreiten der Kollektor-Basis-Sperrschicht bildet für die

Stromrichtung des Emitterstroms an.

Elektronen kein Problem, da sie in der Basis Minoritätsträger
sind. Die Sperrschicht eines pn-Überganges stellt jedoch nur für

Als Ersatzschaltbild nach Abb. 35.1 kann man die Reihenschal-
die Majoritätsträger ein Hindernis dar.

tung zweier Dioden verwenden, die eine gemeinsame Kathode

Wegen der geringen Anzahl von Rekombinationen in der Ba-
beziehungsweise Anode haben. Die eine Diode ist die Basis-
sis gelangen also fast alle vom Emitter ausgesandten Elektronen

Emitter-Diode, die andere die Basis-Kollektor-Diode.

zum Kollektor. Es fließt ein Kollektorstrom, der etwas klei-

Anhand dieses Ersatzschaltbildes nach Abb. 35.1 soll die grund-
ner ist als der Emitterstrom, denn die durch Rekombination in
der Basis gebliebenen Elektronen würden die Basis negativer

T
sätzliche Polung eines als Verstärker betriebenen Transistors
eil
nach folgenden Bedingungen beschrieben werden:

machen, wenn sie nicht nach außen abgeführt würden. Dieser

Elektronenstrom, der aus der Basis herausfließen muss, damit

V

1. Die Basis-Emitter-Diode ist grundsätzlich in Durchlassrich-

Basispotential und Emitterstrom konstant bleiben, stellt den Ba-
tung zu betreiben.

sisstrom dar. Er bestimmt den Arbeitspunkt des Transistors.

2. Die Basis-Kollektor-Diode ist grundsätzlich in Sperrrichtung

Wird der Basisstrom größer, werden mehr Elektronen aus der
geschaltet.

Basis entnommen, als zur Erhaltung eines stabilen Zustandes

Um den Transistor als Verstärker betreiben zu können, müssen
notwendig wäre. Die Basis wird positiver und die Basis-Emitter-
für die Basis zwei Voraussetzungen erfüllt sein:

Spannung und der Emitterstrom werden größer. Werden weni-
ger Elektronen entnommen, so wird der Emitterstrom kleiner.

1. Sie muss sehr gering dotiert sein; Dotierungsgrad 1=100 des

Durch diesen kleinen Basisstrom, der zum Emitterstrom im glei-

Emitters!

chen Verhältnis steht wie der Dotierungsgrad der Basis zum

2. Sie muss sehr dünn sein gegenüber der mittleren freien Weg-

Dotierungsgrad des Emitters, kann der große Emitter- bezie-
länge der Majoritätsträger (1 bis 100 µm).

hungsweise Kollektorstrom gesteuert werden.

Sind diese beiden Voraussetzungen erfüllt, kann mit einem

Beim npn-Transistor sind vorwiegend Elektronen am Ladungs-
kleinen Eingangsstrom (Basisstrom) ein großer Ausgangsstrom
transport beteiligt, während beim pnp-Transistor vornehmlich

(Kollektorstrom) gesteuert werden.

Löcher am Ladungstransport beteiligt sind.

35.1

Bipolare Transistoren

427

– I

I

U

C

C

CE

I B

– I

I

5V
μ A

B

– U

B

U

CE

CE

3V

8V

1000

– U

U

BE

BE

– I

I

E

E

800

Abb. 35.2 Spannungs- und Strompfeile an Transistoren

600

400

200

Deren Bewegungsrichtung ist wegen der umgekehrten Polung
des pnp-Transistors jedoch die gleiche wie die der Elektro-

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 U
nen beim npn-Transistor, nämlich vom Kollektor zum Emit-

BE

V
ter. Somit erübrigt sich die Beschreibung der physikalischen

Wirkungsweise des pnp-Transistors. Letztlich ist ja auch der

Abb. 35.3 Eingangskennlinie eines Transistors

Löcherstrom ein Elektronenstrom, der auf der indirekten Elek-
tronenbewegung beruht (darum sind Elektronen beweglicher als

Löcher).

Da die Basis-Emitter-Strecke eines Transistors eine Diode in

Wegen der unterschiedlichen Beweglichkeit von Elektronen

Durchlassrichtung ist, hat die Eingangskennlinie die Form einer
und Löchern sind npn-Transistoren für hohe Frequenzen bes-

Diodenkennlinie in Durchlassrichtung. Der Basisstrom steigt
ser geeignet als pnp-Transistoren. Viele elegante und einfache
stark an, sobald die Basis-Emitter-Spannung einen bestimm-

Schaltungen lassen sich mit „Komplementärpärchen“ (je ein
ten Wert (die Diffusionsspannung) überschritten hat. Für andere
npn- und pnp-Transistor mit identischen Daten) realisieren.

Werte von U CE ergeben sich andere Eingangskennlinien, wie

Abb. 35.3 zeigt.

Die Spannungen am Transistor werden nach Abb. 35.2 durch
zwei Indices gekennzeichnet, nämlich durch die Indices der

U

BE

0;2 bis 0;3 V bei Ge-Transistoren

Elektroden, zwischen denen die Spannung gemessen wird.

U

BE

0;6 bis 0;7 V bei Si-Transistoren

Die Reihenfolge der Indices beziehungsweise die Richtung
der Spannungspfeile gibt die Messrichtung an: Kollektor-Ba-

Hieraus lässt sich der Ersatzwiderstand r BE zwischen Basis- und
sisspannung U CB, Basis-Emitterspannung U BE und Kollektor-

Emitteranschluss des Transistors berechnen, durch den die Steu-

Emitterspannung U CE.

erspannungsquelle belastet wird.

Die Ströme am Transistor werden durch einen Index gekenn-

DC-Eingangswiderstand

R

D U BEA

(35.1)

zeichnet, und zwar durch den Index der Elektrode, durch die sie

BE

I BA
fließen.

Dieser Gleichstromwiderstand R BE darf nicht mit dem diffe-

Die Festlegung der Richtungspfeile kann man nach verschie-
rentiellen Eingangswiderstand r BE (Kleinsignal-Eingangswider-
denen Gesichtspunkten vornehmen: Entweder nach der tatsäch-
stand) des Transistors verwechselt werden. Er stellt die Steigung
lichen Bewegungsrichtung der Ladungsträger im Kristall und
der Eingangskennlinie im jeweiligen Kennlinienpunkt, sprich
in den Zuleitungen (zur physikalischen Deutung) oder nach

Arbeitspunkt, dar.

der allgemein üblichen technischen Stromrichtung, vom Pluspol
zum Minuspol. Transistoren sind in zahlreichen Gehäuseformen

Für eine Diodenkennlinie gilt (33.2), die dementsprechend auch

(Bauformen) lieferbar, die nur zum Teil genormt sind.

für eine Transistor-Eingangskennlinie gilt. Berechnet man ma-
thematisch die 1. Ableitung der Kurve, so gilt:

V

U BE
dI

U

B

I
e T

I

D 1 D BS

BA
für U

BE

UT

Teil

35.1.2

Transistorkennlinien
dU BE
r BE

UT

UT
differentieller Widerstand
r

UT

BE

(35.2)

Um das Betriebsverhalten eines Transistors im Normal- und

I BA

Grenzfall beschreiben zu können, ist die Kenntnis der Ein- und

Der differentielle Widerstand r BE ist bedeutend kleiner als der

Ausgangsgrößen erforderlich.

Basis-Emitter-Ersatzwiderstand R BE.

Eingangsgrößen: Basis-Emitter-Spannung U BE Basisstrom IB

Bei der Aufnahme der Stromsteuerkennlinie I

D

C
f . IB/ nach

Ausgangsgrößen: Kollektor-Emitter-Spannung U CE Kollektor-

Abb. 35.4 wird der Basisstrom IB verändert, während U CE je-
strom IC
weils konstant gehalten wird. Bereits bei der Untersuchung der

Funktionsweise des Transistors ist erkennbar, dass der Kollek-

Die Eingangskennlinie I

D

B
f . U BE/ eines Transistors ist
torstrom mit dem Basisstrom verknüpft ist.

in Abb. 35.3 dargestellt. Mit dem Basisstrom verändert sich
zwangsläufig auch der Kollektorstrom. Darum müssen Kol-

Die Stromverstärkung B wird durch den Dotierungsgrad der ein-
lektorspannung und Sperrschichttemperatur konstant gehalten
zelnen Schichten des Transistors eingestellt, ist also in erster Li-
werden.

nie hiervon abhängig und weniger von anderen Einflussgrößen.

428

35 Transistoren

I

Ausgangskennlinien I = f ( U

)

C

C

CE
mA

I = Parameter (Emitterschaltung)

B

5

BC 237, BC 238, BC 239

U

= 5V

1000

CE

4 μ A

4

I C

3,5 μ A
μ A

3

I

U

= 3V

CE
μ

C

Δ I C

800

3 A

2

1

2,5 μ A

600

0

5

10

15

20

25

2 μ A

I B

Δ I B
μ A

400

1,5 μ A

Abb. 35.4 Stromsteuerkennlinie

1 μ A

I C

200
mA

I = 0,5 μ A

B

100

U

= 5V

CE

80

0

1

2

3

4

5V

U

60

CE

40

Abb. 35.6 Ausgangskennlinienfeld mit IB als Parameter

20

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 U

Für Kleinsignal-Transistoren stimmt diese Gleichung recht gut,

BE

V
bei Leistungs-Transistoren weichen die errechneten Werte von
den tatsächlichen Größen erheblich ab.

Abb. 35.5 Spannungssteuerkennlinie

Die Ausgangskennlinien beschreiben den Zusammenhang zwi-
schen den beiden Ausgangsgrößen, dem Kollektorstrom IC und
der Kollektor-Emitter-Spannung U

Tatsächlich ist zwischen I

CE. Bei konstanter Sperr-

C und IB über einen weiten Bereich ei-
schichttemperatur muss entweder der Basisstrom oder die
ne Proportionalität vorhanden, der Graph ergibt annähernd eine

Basis-Emitter-Spannung konstant gehalten werden, wenn die

Gerade. Für verschiedene Werte von U CE ergeben sich unter-

Kennlinien eindeutig sein sollen.

schiedliche Stromverstärkungskennlinien, wie Abb. 35.4 zeigt.

Man unterscheidet deshalb zwei Ausgangskennlinienfelder:

Gleichstromverstärkung

B D IC

(35.3)

I

1. das Ausgangskennlinienfeld, bei dem I

B

B konstant gehalten

I
wird ( IB als Parameter, Abb. 35.6)

C

Kleinsignalverstärkung

Ď

(35.4)

2. das Ausgangskennlinienfeld, bei dem U

I

BE konstant gehalten

B
wird ( U BE als Parameter, Abb. 35.7)

T

Die Spannungssteuerkennlinie I

D f . U
eil

C

BE/ ergibt annähernd

Der Verlauf der beiden Ausgangskennlinienfelder ist grund-
den exponentiellen Verlauf einer Diodenkennlinie (siehe Ein-
sätzlich gleich. Bei beiden Kennlinienfeldern steigt der Kol-

V
gangskennlinie). Die Steigung S der Kennlinie nach Abb. 35.5
lektorstrom schon bei kleinen Werten der Kollektor-Emitter-
wird in Anlehnung an die Röhrentechnik als Steilheit S be-

Spannung stark an, um dann ab Erreichen eines bestimmten
zeichnet. Beim „idealen Transistor“, bei dem der Kollektorstrom

Wertes von U CE in die Sättigung überzugehen.

exponentiell mit der Basis-Emitter-Spannung steigt, ist das Ver-
hältnis von Steilheit zu Kollektorstrom konstant.

Dieser Wert von U CE, der vom jeweiligen Basisstrom abhän-
gig ist, heißt Sättigungsspannung U

Die Gleichung ergibt sich aus der 1. Ableitung der Diodenkenn-

CE sat. Wird U CE größer als

U
linie unter Berücksichtigung der Temperaturspannung U

CE sat, steigt der Kollektorstrom nur noch sehr gering an.

T .

Die Kennlinien beider Kennlinienfelder zeigen nach Über-
dIC

IC

Steilheit

S D

Œ S D mA

(35.5)

schreiten der Sättigungsspannung einen sehr flachen Ver-
dU BE

UT

V
lauf. Wenn der Arbeitspunkt eingangsseitig festgehalten wird

( U BE; IB), ändert sich der Kollektorstrom kaum. Die Stromver-

Eine Sperrschichttemperatur von 45 °C ergibt U

D

T

24;4 mV.

stärkung wird durch die Dotierung eingestellt, kann also durch

Die theoretisch mögliche Steilheit eines Transistors für Über-

U CE kaum beeinflusst werden.

schlagsrechnungen beträgt bei dieser Temperatur

Um zu untersuchen, welche Rückwirkung die Ausgangsspan-

Steilheit

S D 36 1 I
nung U CE des Transistors auf die Eingangsspannung U BE aus-

C

(35.6)

V
übt, wird U BE in Abhängigkeit von U CE dargestellt. Damit

35.1

Bipolare Transistoren

429

Ausgangskennlinien I = f ( U

)

C

CE

I C

U

= Parameter (Emitterschaltung)

BE

II

I

BC 237, BC 238, BC 239

1000

I

I

U

= 0,61V

B

C

BE
μ

B=f( U

)

A

CE

800

0,60V

I

U

B

CE

600

0,59V

D = f ( I )

r

= f ( U

)

u

B

400

0,58V

BE

CE

0,57V

III

U BE

IV

0,56V

200

Abb. 35.9 Vier-Quadranten-Kennlinienfeld eines Transistors

0,55V

0,54V

0,53V

I C

0,52V

0,51V

0

P tot

1

2

3

4

5V

U

I = const

B

CE

I Cmax

Abb. 35.7 Ausgangskennlinienfeld mit UBE als Parameter

U BE

V

U CE0

U CE

0,8

I B

0,6

3 μ A

Abb. 35.10 Zulässiger Arbeitsbereich eines Transistors

0,4

2 μ A

I = const.

B

0,2

1 μ A

35.1.3

Kenn- und Grenzwerte des Transistors

0

2

4

6

8

10

U CE

V

Um den Arbeitsbereich eines Transistors nach Abb. 35.10 ein-
zugrenzen, sind Grenzwerte und Kenndaten zu ermitteln und

Abb. 35.8 Spannungsrückwirkungskennlinie
zuzuordnen.

Grenzwerte: zu hohe Kollektor-Emitter-Spannung U CE

>

U
die Kennlinien eindeutig sind, wird der Basisstrom I

CE max, zu großer Kollektorstrom IC > IC max, zu große Verlust-

B konstant
leistung P
gehalten. Abb. 35.8 zeigt für verschiedene Werte von I

V > P tot, zu hohe Sperrschichttemperatur # J > # J max,

B das
zu große Basis-Emitter-Spannung U

Kennlinienfeld der Spannungsrückwirkung D

BE > U BE max, zu großer
u. Es ist erkennbar,

Basisstrom I
dass die Spannungsrückwirkung sehr gering ist. Das Verhältnis

B > IB max können zur Zerstörung des Transistors

V
führen.

von U BE= U CE liegt bei etwa 104 bis 106.

Das Diagramm nach Abb. 35.11 zeigt, wie hoch die Verlust-

Eine Darstellungsweise, die die Zusammenhänge zwischen

Teil
leistung bei einer bestimmten Umgebungstemperatur sein darf.

den einzelnen Kennlinien besonders deutlich macht, ist das

Wird jedoch die im Transistor erzeugte Wärme durch einen

Vierquadranten-Kennlinienfeld. Hier werden alle vier Quadran-

Kühlkörper R
ten eines Koordinatenkreuzes zur Darstellung der verschiedenen
th JG oder durch eine Montage auf ein Chassis bes-
ser abgeführt, so ist die Gesamtverlustleistung auch noch bei

Kennlinien ausgenutzt, wobei die gegenseitige Abhängigkeit in
höheren Umgebungstemperaturen zulässig.

Abb. 35.9 deutlich wird.

Gesamtverlustleistung

Im I. Quadranten wird das Ausgangskennlinienfeld mit IB als

Parameter dargestellt, im II. Quadranten die Stromsteuerkennli-

P D

C

V

U CE IC

U BE IB

P tot

(35.7)

nie, im III. Quadranten die Eingangskennlinie und im IV. Qua-
dranten die Rückwirkungskennlinien.

Wegen

Je flacher die Ausgangskennlinien verlaufen, desto weniger

hängt die Stromsteuerkennlinie vom Parameter U

U CE IC

U BE IB

CE ab.

430

35 Transistoren

Temperaturabhängigkeit der

I

R

C

U

=0V

BE
zulässigen Gesamtverlustleistung

CB

I =0

B

P

= f ( T ); R = Parameter

R

=0

BE
tot

U
th

BC 237, BC 238, BC 239

I =0
normaler

E

P
n
n
tot

Kennlinienverlauf
fe
fe

W
of
of
t
itterdiode
err
itter

Basis
m

0,4
aktiver Bereich

Em
gesp

E

Durchbruchbereich

Übersteuerungsbereich

0,3

R thJU

R thJG

Sperrbereich

U

U

U

U

CB0

CE

U

CER CES

0,2

CE0

U CEV

Abb. 35.12 Durchbruchspannungen und Restströme eines Transistors

0,1
i 1
i 2
u
u

1

2

0

100

Τ U 200

°C

Abb. 35.11 Verlustleistung in Abhängigkeit von der Umgebungstemperatur

Abb. 35.13 Transistor als Vierpol

Basisstrom noch Null ist, fließt zum Beispiel schon ein gerin-
gilt
ger Kollektorstrom. Dies ist der Kollektor-Emitter-„Reststrom“

I

P

CEO. Das ist der auf der Eigenleitung beruhende Sperrstrom der

V

U CE IC

P tot

(35.8)

Kollektor-Emitter-Strecke; er ist stark temperaturabhängig.

Durch die Verlustleistung bei Dauerbetrieb entsteht in der Sperr-

Die oben beschriebenen Kennlinien liefern die Daten für die
schicht Wärme; die Sperrschichttemperatur erhöht sich. Sie

Gleichstromsteuerung und den Großsignalbetrieb. Infolge der
darf bestimmte Werte nicht überschreiten, weil der Kristall an-

Krümmung der meisten Kennlinien muss man zur Beschrei-
sonsten seine Halbleitereigenschaften stark verändert und der
bung des Kleinsignalverhaltens des Transistors die Steigung der

Transistor zerstört wird. Die zulässige Sperrschichttemperatur

Kennlinien im Arbeitspunkt verwenden (Tangente an die Kenn-

TJ hängt vom Halbleitermaterial ab.

linie im AP).

Sperrschichttemperatur #

J

90 °C bei Germanium-Transisto-

Die grafische Ermittlung dieser Kennwerte ist meist unge-
ren und #

J

150 bis 200 °C bei Silizium-Transistoren.

nau. Sie werden darum in den Datenblättern der Hersteller als

Zahlenwert genannt. Die Datenblätter geben die dynamischen

Oberhalb einer bestimmten, vom Basisstrom abhängigen Kol-

Kenngrößen in Form der h-Parameter oder y-Parameter an, die
lektor-Emitter-Spannung wächst der Kollektorstrom plötzlich

T
nur für einen bestimmten Arbeitspunkt, eine bestimmte Tem-
eil
sehr stark mit U CE an. Dieses Verhalten wird als „2. Durch-
peratur und eine bestimmte Frequenz gelten. Sie stellen die
bruch“ bezeichnet. Hier darf ein Transistor nicht mehr betrieben

Wechselstrom-(Signal-)kennwerte dar.

V
werden.

Abb. 35.12 zeigt die wichtigsten Durchbruchspannungen und

Während diese Transistor-Kenndaten im NF-Bereich meist als
h
die zugehörigen Restströme.

-Parameter angegeben sind, werden sie im HF-Bereich und
bei den Feldeffekttransistoren als y-Parameter dargestellt. Die-

Es gilt folgende Beziehung:

se Parameter sind Verhältnisgrößen und beschreiben wegen der

Vierpoltheorie das Gesamtverhalten eines Transistors als Klein-

U CEO < U CER < U CES < U CEV
signalverstärker, wenn man ihn als Vierpol nach Abb. 35.13
betrachtet.

Statische Kenndaten: Gleichstromverstärkung B, Sättigungs-
spannung U

D

C

CE sat, Restströme I CEO.

u 1
h 11 i 1
h 12 u 2

Die Sättigungsspannung ist vor allem dann von Interesse, wenn
i D

C

2
h 21 i 1
h 22 u 2
ein Transistor im Schalterbetrieb arbeitet. Sie ist die Spannung,

Die Begriffe kurzgeschlossener und offener Ein- gang oder
die zwischen Kollektor und Emitter abfällt, wenn der Transistor

Ausgang beziehen sich immer auf den Wechselspannungsanteil
voll durchgesteuert ist. Sie wird auch Restspannung genannt.

eines Signals. Ein solcher Kurzschluss lässt sich zum Beispiel

Gerade bei kleinen Kollektorstromwerten macht sich in den
leicht mit Hilfe eines ausreichend großen Kondensators herstel-
pn-Übergängen der Reststrom störend bemerkbar. Wenn der
len.

35.1

Bipolare Transistoren

431

Stromabhängigkeit der -Parameter
h

Spannungsabhängigkeit der h-Parameter

H = f I

( ); U

H = f U

(

); I = 2mA

C

= 5V
e CE
e

CE

C

BC 107, BC 108, BC 109

BC 107, BC 108, BC 109

102

He

U

= 5V

CE

I = 2mA

C

5

He

2,0
h 11e

101
h 21e

1,5
h

5

11e
h 12e

1,0
h 12e

100
h 21e

5

0,5
h 22e
h 22e

10–1

0

10–1

5

100

5 101

10

20

U

I

CE

C

V
mA

Abb. 35.14 Diagramme zur Umrechnung der h -Parameter für andere Arbeitspunkte

Tab. 35.1 Bedeutung der h -Parameter
i B
i C

Ermittlung aus Kennlinien/Messgrößen
h
i
h

21 B
h

D

D U BE D u BE

Kurzschluss-Eingangswiderstand

11

11
r BE

1

IB
iB

(Einheit ()

u
u
e
h
a

22

Für U

D

D

CE
const und u CE

0
h
u

12 a
h

D

D U BE D u BE

Leerlauf-Spannungsrückwirkung

12

Du

U CE
u CE

(dimensionslos)

Für I D

D

B
const und iB

0

Abb. 35.15 Wechselstrom-Ersatzschaltbild eines Transistors
h

D

D iC

Kurzschluss-Stromverstärkung

21

Ď IC

IB
iB

(dimensionslos)

Für U

D

D

CE
const und u CE

0
h 22 D 1 D IC D iC

Leerlauf-Ausgangsleitwert

Mit den h-Parametern lässt sich das für alle Grundschaltun-
r CE

U CE
u CE

(Einheit eines Leitwertes)

gen des Transistors gültige Wechselstrom-Ersatzschaltbild nach

Für I D

D

B
const und iB

0

Abb. 35.15 beschreiben.

In den Datenblättern werden häufig die für die Emitterschaltung

Auf Transistoren angewendet:

gültigen h-Parameter ( h-Parameter mit dem Index „ e“ gekenn-
zeichnet) angegeben, die sich mit Hilfe der Gleichungen in
u

D

C

BE
h 11 iB
h 12 u CE

Tab. 35.2 leicht in die h-Parameter für die anderen Grundschal-
tungen umrechnen lassen.

V
i D

C
h 21 iB C h 22 u CE

(35.9)

Die in den Datenblättern angegebenen Parameter gelten im-

Wichtig für das Wechselstromverhalten sind die Sperrschicht-

Teil
mer nur für einen ganz genau definierten Arbeitspunkt. Soll
kapazitäten des Transistors; ihr Wert hängt von der anliegenden
der Transistor in einem anderen Arbeitspunkt betrieben werden,

Sperrspannung ab. Die Kollektor-Basis-Kapazität C CB liegt zwi-
müssen die h-Parameter für den neuen Arbeitspunkt umgerech-
schen Emitter- und Basis-Anschluss im Gegenkopplungskreis
net werden.

und bildet mit dem Ausgangswiderstand des Transistors einen

Hochpass für die Signalfrequenzen.

Aus den Diagrammen nach Abb. 35.14 lässt sich jeweils der

Faktor He für den neugewählten Kollektorstrom oder für die

Zusätzlich macht sich bei höheren Frequenzen auch die Laufzeit
neugewählte Kollektorspannung ablesen. Daraus lassen sich die
der Ladungsträger durch den Transistor bemerkbar.

h-Parameter für den neuen Arbeitspunkt berechnen.

umgerechnete h-Parameter

Aus diesen Gründen wird die Stromverstärkung ďes Transis-
tors mit zunehmender Frequenz kleiner. Bei der Grenzfrequenz
h

D

neu
h alt H ei
fg ist die Verstärkung um 3 dB gesunken.

h

D

neu
h alt H eu

Die Frequenzabhängigkeit der Stromverstärkung eines Transis-
h

D

neu
h alt H ei H eu

(35.10)

tors ist in Abb. 35.16 im Prinzip dargestellt.

432

35 Transistoren

Tab. 35.2 Umrechnungsfaktoren

Feldeffekt-Transistoren (FET)

Basisschaltung

Kollektorschaltung
h

D h 11 e

P

D h 12 e he

P

D

D

C

11 b
h
h
h
h

1
h

12 b

11 c

11 e
h 12 c

12 e
e
he
h

D h 21 e C he

P

D h 22 e

P

D

D

21 b
h
h
h

1 h
h
h

22 b

21 c

21 e

22 c

22 e
e
he

P

Sperrschicht-FET

Insulated-Gate-FET
h D

D

C

C

(PN-FET)

(u.a. MOS-FET)

e
h 11 e h 22 e
h 12 e h 21 e
he

1 h 12 e
h 21 e
he
β

N-Kanal-

P-Kanal-

Selbstsperrende

Sonder-

100

Selbstleitende

Sperrschicht Sperrschicht

MOS-FET

MOS-FET

Bauarten

70

FET

FET

10

N-Kanal N-Kanal P-Kanal P-Kanal

Dual-Gate- V-MOS-FET

MOS-FET SIPMOS-FET
f

MHz

1

Abb. 35.17 Übersicht zu den Transistoren

0,001 0,01

0,1

1

10 f T 100
f go

Abb. 35.16 Stromverstärkung in Abhängigkeit von der Frequenz
sind. Die Steuerung des Stromflusses erfolgt bei ihnen durch ein
elektrisches Feld. Deshalb wird bei den unipolaren Transistoren
auch von „Feld-Effekt-Transistoren“ (FET) gesprochen.

Die Frequenz, bei der Ď 1 ist, wird als Transitfrequenz fT

Grundsätzlich muss zwischen zwei FET-Gruppen unterschieden
bezeichnet. Die Transitfrequenz fT hängt sowohl vom Kollek-
werden, und zwar zwischen den Sperrschicht-FET (auch J-FET
torstrom als auch von der Spannung ab.

genannt) und den IG-FET (IG D isoliertes Gate). Bei den IG-

Bei Kleinsignalverstärkern mit geringen Eingangsleistungen ist

FET unterscheidet man zwischen den Typen je nach technischer
das Rauschen von Transistoren im NF- und HF-Bereich von Be-

Ausführung der Isolierschicht und dem verwendeten dotierten
deutung.

Halbleitermaterial. Eine Übersicht bietet Abb. 35.17.

Das Stromrauschen ist dabei auf Unregelmäßigkeiten im La-

In der heutigen Technologie verwendet man als Isolierschicht
dungsträgerfluss zurückzuführen. Solche Effekte treten in Halb-
fast ausschließlich Siliziumdioxyd. Daher kommen MOS-FET
leitern durch Generation und Rekombination von Ladungsträ-

(metal-oxide-semiconductor) am häufigsten vor.

gern auf, aber auch an Metall-Halbleiterübergängen.

Da die Steuerung des Stroms im FET über ein elektrisches Feld

Thermisches Rauschen dagegen beruht auf der regellosen Be-
erfolgt, fließt in den Steuereingang des FET (Gate G) quasi kein
wegung thermisch angeregter Ladungsträger.

Strom. Folglich hat der FET einen sehr hohen Eingangswider-
stand und wird nahezu leistungslos angesteuert.

Mit der Zunahme der Temperatur steigt auch das thermische

Rauschen an.

Der Einsatz als Wechselspannungsverstärker beschränkt sich
dabei fast nur auf die Vorverstärkerstufe im HF- und NF-

Ein Maß für das in einem Transistor erzeugte Rauschen ist

Bereich. Das Hauptanwendungsgebiet der FET liegt jedoch bei

Teil
die Rauschzahl F, die in den Datenblättern meistens im loga-
den integrierten Schaltungen der Analogtechnik und insbeson-
rithmischen Wert in dB angegeben ist. Hiermit kann nun bei
dere der Digitaltechnik, also Verwendung als Schalter.

V
einer gegebenen Verstärkerschaltung die Mindestnutzspannung
berechnet werden, die am Eingang anliegen muss, damit am

Die Weiterentwicklung der FET hat zu Typen wie VMOSFET,

Ausgang des Verstärkers das Nutzsignal um einen bestimmten

SIPMOSFET und IGBT geführt, die die Einsatzgebiete ausge-

Faktor größer als das Rauschen ist.

dehnt haben.

Die so erzeugte Rauschspannung deckt unter Umständen ein
weites Frequenzband ab und führt bei sehr geringen Signalspan-
nungen in der Nachrichtentechnik zu erheblichen Problemen.

35.2.1

Aufbau und Wirkungsweise des

Sperrschicht-FET

35.2

Feldeffekttransistoren (FET)

Sperrschicht-FET werden als P-Kanal- oder N-Kanal-Typ her-
gestellt. Ihre Schaltzeichen sind in Abb. 35.18 dargestellt. Im

Folgenden wird ein N-Kanal-Typ beschrieben.

Neben den bipolaren Transistoren gibt es die „unipolaren“

Transistoren, bei denen am Ladungsträgertransport nur eine La-

Bei einem P-Kanal-Typ sind lediglich die Kanal- und Gatedo-
dungsträgerart, also entweder Löcher oder Elektronen, beteiligt
tierung sowie die Polaritäten der Spannungen zu vertauschen.

35.2

Feldeffekttransistoren (FET)

433

I D
a
b

D

D

I

D

U

D

I D

DS

N-Kanal-JFET

S

–U GS

G

U DS

U DS

–I

G

G

D

P

N-

P

D

Kanal

–U DS

P-Kanal-JFET

S

U GS

G

Abb. 35.18 Schaltzeichen eines Sperrschicht-FET vom N-Kanal-Typ oder P-

S

S

Kanal-Typ

Abb. 35.20 Abhängigkeit der Kanalbreite von der Drain-Source-Spannung UDS

D
a
b

D

I

D

D

I D

N-

U DS

P

P

Kanal

G

G

G

D

S

–U

G

GS

–U GS

S

S

S

Abb. 35.19 Prinzipieller Aufbau eines N-Kanal-Sperrschicht-FET

Abb. 35.21 Abhängigkeit der Kanalbreite von UDS und der Steuerspannung

UGS

Abb. 35.19 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines N-Kanal-

Sperrschicht-FET mit den drei Anschlüssen Gate G, Drain D

Durch eine negative Steuerspannung U GS nach Abb. 35.21a wird
und Source S. Er besteht im Wesentlichen aus einem länglichen
die Breite der Sperrschicht an den pn-Übergängen beeinflusst.

Stück n-dotierten Halbleitermaterial, dessen Anschlüsse an den

Im Betrieb überlagern sich die Wirkungen der beiden Spannun-

Enden Drain (engl.: Abfluss, Senke) und Source (engl.: Quelle)

gen und zeigen die in Abb. 35.21b beschriebene Eingrenzung
genannt werden. In die Seiten wird p-dotiertes Halbleitermate-
des Kanals.

rial eindiffundiert, so dass pn-Übergänge entstehen. Diese sind

Die Steuerspannung U
miteinander verbunden und bilden den Gate-Anschluss. Durch

GS darf bei einem N-Kanal-PN-FET nicht
positiv werden, da dieses zur Zerstörung des Bauelementes füh-
eine entsprechende Steuerspannung U GS zwischen dem Gate-
ren kann.

und Source-Anschluss wird der pn-Übergang in Sperrrichtung
betrieben, so dass in den Steueranschluss lediglich ein geringer

Sperrstrom fließt.

V

Der pn-Übergang darf nicht in Durchlassrichtung betrieben wer-

35.2.2

Aufbau und Wirkungsweise des
den! Verbindet man nun das Gate mit dem Source und legt zwi-

MOSFET

Teil
schen Drain und Source eine Spannung U DS nach Abb. 35.20a,
so bildet sich an beiden pn-Übergängen eine Sperrschicht.

Beim Sperrschicht-FET wird die Veränderung des wirksamen

Dadurch reduziert sich die für die Leitfähigkeit wirksame Ka-

Kanalquerschnittes zur Einstellung des Widerstandes der Drain-
nalbreite, so dass der Kanalwiderstand erhöht wird.

Source-Strecke benutzt. Beim FET mit isoliertem Gate hinge-

Wird die Spannung U DS fortwährend erhöht, so wird der Kanal
gen wird die Variation des Kanalwiderstandes mit Hilfe der
nach Abb. 35.20b schmaler, bis die beiden Sperrschichten anein-

Ladungsträgerdichte betrieben, wobei die Anzahl der geeig-
ander stoßen und den Kanal abschnüren. Am Drain-Anschluss
neten Ladungsträger zwischen Drain und Source durch ein
ist die Abschnürung deutlicher.

elektrisches Feld gesteuert wird. Hierbei unterscheidet man ge-
nerell zwei Versionen.

Dieser Wert der Spannung U DS wird maximale Sättigungsspan-
nung U DSS genannt. Den zugehörigen Wert des Stroms ID nennt

Der IG-FET vom Normally-On-Typ (auch Verarmungstyp,
man maximaler Sättigungsstrom I DS. Für Werte U DS > U DSS

Depletion-Typ genannt) nach Abb. 35.22 ist genau wie der
bleibt der Stromfluss erhalten.

Sperrschicht-FET ein selbstleitender Typ. Bei einer Steuerspan-

434

35 Transistoren

I D

I D

D U DS

D

G

G

U DS

N-Kanal-MOSFET

S

N-Kanal-MOSFET

±

S

U

U

GS

GS

–I D

–I D

–U

D

DS

D

G

–U

P-Kanal-MOSFET

DS

G

± U GS

S

P-Kanal-MOSFET

–U GS

S

Normally-On-Typ

Normally-Off-Typ

Abb. 35.22 Schaltzeichen selbstleitender IG-FET

Abb. 35.24 Schaltzeichen selbstsperrender IG-FET

U DS

S

D

U DS

S

D

U

G

GS

U

G

GS

N

N-Kanal

N

N

N

P

P

U BS

B

U BS

B

Abb. 35.23 Prinzipieller Aufbau eines selbstleitenden N-Kanal-MOS-FET

Abb. 35.25 Prinzipieller Aufbau eines selbstsperrenden N-Kanal-MOS-FET
nung U

D

GS

0 V existiert bereits ein leitender Kanal zwischen
erst, wenn die angelegte Steuerspannung einen Schwellenwert

Drain und Source, dessen Ladungsträgerdichte je nach Kanalart

U GS.TO/ überschreitet.

(N-Kanal oder P-Kanal) und der Polarität der Steuerspannung
weiter erhöht oder verringert werden kann.

Der prinzipielle Aufbau eines selbstsperrenden N-Kanal-MOS-

FET ist in Abb. 35.25 dargestellt. Bei einer Steuerspannung

Der prinzipielle Aufbau eines selbstleitenden N-Kanal-MOS-

U

D

GS

0 V fließt kein Drainstrom, da ein Kanal nicht durch

FET ist in Abb. 35.23 dargestellt. Der Gate-Anschluss ist vom
entsprechende Dotierung eingebaut wurde.

Halbleitermaterial durch eine Isolierschicht getrennt. Bei einer

Steuerspannung U

D

Legt man eine positive Steuerspannung an das Gate, so werden

GS

0 V fließt durch den N-Kanal bereits ein

Drainstrom. Durch eine negative Steuerspannung U

Elektronen aus dem p-dotierten Substrat in Richtung Gate gezo-

GS nimmt
die Elektronendichte im Kanal ab, da die Elektronen durch das
gen und führen dort zur Ausbildung eines N-Kanals. Der zum
elektrische Feld abgedrängt werden. Damit nimmt aber der Wi-

Fließen kommende Drainstrom wird umso größer, je größer die

T
derstand zwischen Drain und Source zu. Bei U

D
positive Steuerspannung wird.

GS

UP existiert
eil
kein N-Kanal mehr zwischen Drain und Source, das heißt, der

Die Funktion eines selbstsperrenden P-Kanal-MOS-FET ent-

Drainstrom I

V

D wird zu Null. Legt man eine positive Steuerspan-
spricht der des selbstsperrenden N-Kanal-MOS-FET.

nung an das Gate, so wird die Ladungsträgerdichte im Kanal
größer; die Leitfähigkeit des Kanals wird vergrößert.

Der IG-FET kann sowohl über die Gate-Source-Spannung als

35.2.3

Kennlinien von FET
auch über eine Spannung zwischen Bulk B und Source S ge-
steuert werden. Der Einfluss dieser Spannung ist aber geringer,
und diese Steuerungsmöglichkeit wird seltener genutzt. Meist

Bei einem J-FET fließt in das Gate nur der Sperrstrom des pn-
sind Bulk und Source miteinander intern verbunden.

Übergangs, so dass eine Eingangskennlinie für den PN-FET
nicht existiert. Interessant sind die Steuer- und Ausgangskennli-

Die Funktion eines selbstleitenden P-Kanal-MOS-FET ent-
nie eines J-FET nach Abb. 35.26.

spricht der des selbstleitenden N-Kanal-MOS-FET.

Diesen Kennlinien können alle relevanten Gleichspannungs-

Der IG-FET vom Normally-Off-Typ (auch Anreicherungs-,
und -stromwerte entnommen werden.

Enhancement- oder selbstsperrender Typ genannt) nach

Abb. 35.24 besitzt bei einer Steuerspannung U

D

D

GS

0 V kei-

Abb. 35.27 zeigt die Steuerkennlinie ID
f . U GS/ eines J-FET.

nen leitfähigen Kanal zwischen Drain und Source. Er bildet sich

Die Steuerkennlinie gilt für U

D

D

DS
const. Bei U GS

0 V hat

35.2

Feldeffekttransistoren (FET)

435

I

I

I

D

Abschnürgrenze

3

D

D

U GS

0 V

I

2

DS

1

D

–1 V

U GS = 0V

S

–2 V

U GS = –1V

G

U

–2V

–3 V

GS =

U GS = –3V

–4 V

U GS = –4V

U

U

P

GS

U DS

U

U

DSP

U DSS

DS

Abb. 35.26 Steuer- und Ausgangskennlinie eines J-FET

Abb. 35.29 Ausgangskennlinienfeld mit UGS als Parameter

I D

I DS

Die Gate-Source-Spannung U GSK für den temperaturunabhängi-
gen Kompensationspunkt lässt sich in Näherung berechnen.

Gate-Source-Spannung

U

C

GSK

UP

0;7 V

Soweit möglich sollte dieser Wert mit der Steuerspannung ein-

– U GS U P
gestellt werden, um eine thermische Arbeitspunktstabilisierung
unnötig zu machen. Von Nachteil ist hier, dass die Kennlinie kei-

Abb. 35.27 Steuerkennlinie ID D f .UGS/ eines J-FET
ne Gerade ist und somit das Ausgangssignal verzerrt sein kann.

Das Ausgangskennlinienfeld ( ID- U DS-Kennlinie mit U GS als Pa-
der Drainstrom I
rameter) nach Abb. 35.29 lässt sich mit Unterstützung durch

D eines J-FET seinen höchsten Wert I DS und
verringert sich mit negativer werdender Steuerspannung. Die

Abb. 35.26 qualitativ erklären.

Spannung U GS, bei der der Drainstrom auf Null reduziert ist,

Steigert man die Spannung U DS von Null an, so steigt der Strom
wird Abschnürspannung UP (engl. pinch-off-voltage) genannt

I

D

D bei U GS
const zunächst linear mit der Spannung, der Ka-
und liegt je nach Typ bei Werten zwischen 2 und 10 V.

nalwiderstand bleibt in etwa konstant (ohmscher Bereich). Mit

Während bei den bipolaren Transistoren der Kollektorstrom mit
wachsendem Strom beginnt sich der Kanal merklich zu veren-
steigender Temperatur ebenfalls ansteigt, wird der Drainstrom
gen, der Kanalwiderstand nimmt zu, und der Anstieg von ID mit
beim J-FET mit steigender Temperatur kleiner.

U DS wird immer geringer, bis beide Sperrschichten sich nahezu
berühren. Man sagt, der Kanal ist abgeschnürt.

Dies hat seine Ursache darin, dass die frei beweglichen und
durch Dotierung entstandenen Ladungsträger durch die ther-

Die Drain-Source-Spannung U DSP, bei der diese Abschnürung
mische Eigenbewegung der Atome in ihrer Beweglichkeit ge-

(pinch off) eintritt, ist in Abb. 35.29 eingezeichnet. U DSP wird
mindert werden. Mit steigender Temperatur wird aber auch die
auch Kniespannung genannt.

Abschnürspannung größer. Beide Effekte zusammen haben zur

Folge, dass es einen Drainstromwert gibt, der temperaturun-

Abschnürspannung

U

C

DSP

U DSS

U GS

(35.11)

abhängig ist, das heißt, der Temperaturkoeffizient wird Null.

Abb. 35.28 zeigt den Temperatureinfluss auf die Übertragungs-

V

Mit wachsender Steuerspannung U GS wird die Abschnürgrenze
kennlinie.

früher, das heißt bei kleinerem Strom ID und kleineren Werten
von U

DSP erreicht. Die ID

U DS-Kennlinien verschieben sich da-

Teil
her mit zunehmender Gate-Source-Sperrspannung zu kleineren

I D

Drainstromwerten.

I DS

Verbindet man alle Abschnürpunkte nach Abb. 35.29 mitein-

T U1
ander, so erhält man die Abschnürgrenze, die den ohmschen

T U2

Bereich (Bereich 1) vom aktiven Bereich (Bereich 2) – auch

T U3

Sättigungsbereich genannt – trennt. Oberhalb von U DSP steigt
der Drainstrom nur noch wenig an.

TK=0

Wird die Spannung U DS zu weit erhöht, so kommt es zu einem

– U

U

Durchbruch (Bereich 3) zwischen Drain und Source, wobei der

GS

P3

U P2 U P1

Drainstrom so stark ansteigt, dass die Gefahr der Zerstörung des

Abb. 35.28 Temperatureinfluss auf die Übertragungskennlinie

FET eintritt.

436

35 Transistoren

I

I

D

D

I D

I D

U GS

2V

5V

D

1V

D

4V

G

G

S

S

0V

3V

2V

–1V

1V

–2V

U GS

U DS

U P

U GS

U DS

Abb. 35.31 Steuer- und Ausgangskennlinie eines selbstsperrenden N-Kanal-

Abb. 35.30 Steuer- und Ausgangskennlinie eines selbstleitenden N-Kanal-

MOS-FET

MOS-FET

Drainstrom wird also mit steigender Temperatur kleiner. Die

Da der J-FET eine quadratische Abhängigkeit des Drainstroms

Gate-Source-Spannung U GSK für den temperaturunabhängigen
von der Steuerspannung hat, sind seine nichtlinearen Verzerrun-

Kompensationspunkt lässt sich in Näherung berechnen.

gen bei einer Spannungsaussteuerung wesentlich geringer als
beim bipolaren Transistor.

Gate-Source-Spannung

U

C

GSK

UP

2;5 V

(35.12)

Für das Betreiben des J-FET im aktiven Bereich, sprich Verstär-

Die Steuer- und Ausgangskennlinie eines selbstsperren-
kerbereich, lässt sich somit die Steilheit S errechnen. Praktische
den N-Kanal-MOS-FET, also vom Normally-Off-Typ, zeigt

Werte für die maximale Steilheit liegen zwischen 1 mA=V Abb. 35.31. Diesen Kennlinien können alle relevanten
und 50 mA=V. Die Steilheit S ist ein direktes Maß für die Gleichspannungs- und Stromwerte entnommen werden.

Spannungsverstärkung einer J-FET-Verstärkerstufe. Je größer

S, umso größer ist auch die zu erwartende Spannungsverstär-

Die Schwellenspannung U GS.TO/ kann als die Spannung an der
kung V

Gateelektrode verstanden werden, die die Störstellenladung und
u .

die Raumladung kompensiert.

Im ohmschen Bereich kann der J-FET als spannungsgesteuerter

Widerstand eingesetzt werden.

Sie ist nur geringfügig von der Temperatur abhängig. Darum
lässt sich die Steuerspannung U GSK für einen temperaturkom-

Bei den IG-FET fließt kein Strom in das Gate, da es durch ei-
pensierten Arbeitspunkt gut näherungsweise berechnen.

ne Isolationsschicht vom übrigen Halbleiter getrennt ist, so dass
auch hier keine Eingangskennlinie existiert.

Steuerspannung

U

GSK

U GS.TO/ C 2;5 V

(35.13)

Die Steuer- und Ausgangskennlinie eines selbstleitenden

Je größer die Steuerspannung U GS ist, umso größer wird der

N-Kanal-MOS-FET,
also
vom

Normally-On-Typ,
zeigt

Drainstrom. Ein maximaler Sättigungsstrom lässt sich daher

Abb. 35.30.

nicht angeben.

Diesen Kennlinien können alle relevanten Gleichspannungs-
und Stromwerte entnommen werden. Da auch der PN-FET ein
selbstleitender FET ist, ergeben sich hier generell zahlreiche

35.2.4

Kennwerte von FET

Übereinstimmungen im Verhalten.

T

Für die Ausgangskennlinie ( I

D

U DS-Kennlinie) gelten im Prin-

Wie bei den bipolaren Transistoren und Dioden unterscheidet
eil
zip die Aussagen zum J-FET. Hier wird die Spannung U GS als
man auch hier Kenn- und Grenzwerte. Für die Kenngrößen wer-

Parameter verwendet, während die Drain-Source-Spannung ver-

V
den in den Datenblättern je nach Bedarf Mittelwerte und/oder
ändert wird.

obere und/oder untere Streuwerte angegeben. Die Kennlini-

Deutlich erkennbar ist die Abhängigkeit des Drainstroms I
endarstellungen sind, falls nicht anders vermerkt, Mittelwert-

D
vom Wert der negativen und positiven Steuerspannung U

Darstellungen und gelten nur für die jeweils angegebene Tem-

GS . Der

Normally-On-Typ kann also sowohl als Verarmungs-FET als
peratur. J-FET können auf verschiedene Weise elektrisch über-
auch wie ein Anreichherungs-FET betrieben werden.

lastet werden:

Der Drainstrom kann durch eine positive Gatespannung U

Drain-Source-Spannung

U

GS

DS > U DS max
nicht weiter beliebig erhöht werden, weil ab einem bestimmten

Drain-Gate-Spannung

U DG > U DG max

Spannungswert eine Vergrößerung der Leitfähigkeit des Kanals

Gate-Source-Spannung

U GS > U GS max
nicht mehr möglich ist.

Drain-Strom

I

D

D > ID max

I DSS

Die Steuerkennlinie ( ID- U DS-Kennlinie) des selbstleitenden N-

Gate-Strom

I

Kanal-MOS-FET zeigt, dass bereits bei U

D

G > IG max

GS

0 V ein

Drainstrom fließt. Selbstleitende MOS-FET haben wie die J-

Verlustleistung

PV > P tot

FET einen geringen positiven Temperaturkoeffizienten. Der

Sperrschichttemperatur

# J > # J max

35.2

Feldeffekttransistoren (FET)

437

Temperaturabhängigkeit der

Temperaturabhängigkeit
zulässigen Gesamtverlustleistung
des Sperrstromes

P

= f ( T )

tot

U

I

= f ( T )

GSS

J

–I

P

GSS
tot
nA

W

0,4

101

100

0,3

10–1

0,2

10–2

0,1

10–3 0

50

100

150

T

0

J

50

100

160

T

°C

U
oC

Abb. 35.33 Temperaturabhängigkeit des Sperrstroms

Abb. 35.32 Temperaturabhängigkeit der zulässigen Verlustleistung

Mit den statischen Kenndaten wird das Gleichstromverhalten

Liegt zwischen dem Kanal- und dem Gate-Anschluss ei-
eines FET beschrieben. Die Transistoren werden nach dem
ne zu hohe Spannung, kann der in Sperrrichtung betriebene

Drain-Source-Kurzschlussstrom I DSS ausgesucht und eventuell
pn-Übergang zerstört werden. Die Spannungswerte U
in Gruppen A, B und C eingeteilt. Der Strom I

DS max,

DSS ist der Drain-

U
strom, der bei einem selbstleitenden FET mit Drain-Source-

DG max und U GS max dürfen nicht überschritten werden und lie-
gen bei den heute verwendeten N-Kanal-J-FET etwa zwischen

Kurzschluss fließt.

20 und 30 V.

Der pn-Übergang wird zwischen Gate und Kanal in Sperrrich-

Der durch das Gate fließende Sperrstrom ist normalerwei-
tung betrieben. Trotzdem fließt hier ein Gate-Reststrom I GSS.

se vernachlässigbar klein. Bei kurzzeitigem Betrieb des pn-

Wie Abb. 35.33 zeigt, hängt die Größe dieses Sperrstroms von

Überganges in Durchlassrichtung darf der dann fließende Strom
der Temperatur ab.

IG den Wert IG max nicht überschreiten. IG liegt meistens in der

Um einen FET zu sperren, ist die Gate-Source-Abschnürspan-

Größenordnung von 10 mA.

nung UP erforderlich. Diese Spannung ist arbeitspunktabhän-

Beim Betrieb eines FET liegt zwischen Drain und Source die
gig und unterliegt einer großen Streuung.

Spannung U DS, und es fließt der Strom ID. Daraus ergibt sich

Den statischen Eingangswiderstand R GS des gesperrten pn-
eine Verlustleistung, die im FET zur Erwärmung des Kristalls

Übergangs kann man in Abhängigkeit von der Spannung U GS
führt. Diese Verlustleistung PV muss kleiner als die größte zu-
aus dem entsprechenden Diagramm in den Datenblättern her-
lässige Verlustleistung P tot sein.

auslesen. Er liegt in der Größenordnung von 109 bis 1011 ( und

V
totale Verlustleistung
kann in vielen Anwendungsfällen vernachlässigt werden.

Für den N-Kanal-J-FET ergeben sich etwa die folgenden prak-

Teil

PV D U

DS

ID

P tot

(35.14)

tischen Richtwerte:

Hauptsächlich durch die Verlustleistung im Dauerbetrieb ent-

Drain-Source-Spannung

U

DS max

25 bis 30 V
steht in der Sperrzone und im Kanal Wärme, durch die sich

Gate-Source-Spannung

U

GS max

8 V
die Temperatur im Bauelement erhöht. Die in den Datenblät-

tern angegebene Sperrschichttemperatur #

Drain-Strom

ID max

25 mA

J bezieht sich auf die
höchste im Kanal auftretende Kanaltemperatur #

Gate-Strom

I

10 mA

J max. Bei den

G max
üblichen FET beträgt # J max etwa 150 bis 200 °C.

Verlustleistung

P

tot

200 mW

In den Datenblättern einiger Hersteller wird ein Diagramm für

Sperrschichttemperatur

#

J max

125 ıC
die Temperaturabhängigkeit der zulässigen Verlustleistung an-
gegeben. In Abb. 35.32 kann direkt abgelesen werden, wie groß

Aufgrund des vorhandenen pn-Übergangs zwischen Bulk und

P tot bei einer bestimmten Umgebungstemperatur ist.

den anderen Anschlüssen müssen die Grenzwerte für diese

438

35 Transistoren

– y
i

12
i

Übertragungskennlinie

1

2

I

I = f (– U

)

D

GS

D

10

Y
u
mA
i
g
e

( y

– y ) u
u

21

12
e
a Y
g

L

9
y + y

8

11

12
y
y

12+ 22

7

Abb. 35.34 AC-Ersatzschaltbild eines FET

6

Δ I D

5

Spannungen beachtet werden.

4

Drain-Bulk-Spannung

U DB > U DB max

3

Gate-Bulk-Spannung

U GB > U GB max

2

Infolge des isolierten Gate ergibt sich für den MOS-FET ein

1
sehr hoher Eingangswiderstand r GS in der Größenordnung von
etwa 1015 (. Statische Aufladungen können dementsprechend

0

1

2

3 – U GS
nicht entladen werden, was zu sehr hohen Feldstärken führt,

V

Δ U GS
die bei Überschreitung einer bestimmten Feldstärke zu einem

Durchschlag und damit zur Zerstörung des MOS-FET führen.

Abb. 35.35 Übertragungskennlinie

Für den N-Kanal-MOS-FET ergeben sich etwa die folgenden
praktischen Richtwerte:

Aus der Steuerkennlinie nach Abb. 35.35 kann grafisch die Vor-
wärtssteilheit y

Drain-Source-Spannung

U

21 ermittelt werden. Hierbei wird die Steilheit der

DS max

22 bis 35 V

Kennlinie im Arbeitspunkt bei U

D

DS
const ermittelt.

Drain-Strom

I

D max

20 bis 50 mA

D

ID

Verlustleistung

P

Vorwärtssteilheit
y 21

(35.16)

tot

150 bis 200 mW

U GS

Sperrschichttemperatur

#

J max
bis 200 ıC

Da eine Annäherung durch eine Gerade im AP häufig zu un-

Drain-Bulk-Spannung

U

genau ist, steht meistens ein entsprechendes Diagramm nach

DB max

30 bis 35 V

Abb. 35.36 zur Verfügung, aus dem die Steilheit für jeden Drain-

Bei der Kleinsignalaussteuerung eines FET können die Kenn-
strom und die A-, B- oder C-Typen ablesbar ist.

linien in einem Bereich um den Arbeitspunkt durch Geraden

Wichtig ist in diesem Zusammenhang der differentielle Aus-
angenähert werden. Der FET verhält sich dann wie ein linearer,
gangswiderstand r ds. Er ist der Kehrwert des Ausgangsleitwer-
aktiver Vierpol.

tes y 22.

Für diesen Vierpol kann das AC-Ersatzschaltbild bei niedri-

ID
gen, aber auch bei hohen Frequenzen bestimmt werden. Um das

Ausgangsleitwert
y

D

22

(35.17)

T

U DS
eil

Wechselstromverhalten eines FET zu beschreiben, werden seine
dynamischen Kennwerte nach Abb. 35.34 angegeben.

Der Ausgangsleitwert beschreibt die Steilheit der Ausgangs-

V
kennlinie im Arbeitspunkt für U

D

GS
const. Seine Bestimmung

Üblich ist es, an Stelle der Hybrid-Koeffizienten ( h-Parameter)

wird im Diagramm nach Abb. 35.37 dargestellt.

die y-Leitwertparameter anzugeben. Sie sind bei FET sinnvol-
ler, da die Stromverstärkung für FET’s nicht angegeben werden

Da eine Annäherung durch eine Gerade im AP häufig zu un-
kann.

genau ist, steht i. d. R. ein entsprechendes Diagramm nach

Abb. 35.38 zur Verfügung, aus dem der dynamische Drain-

Die y-Parameter haben komplexe Werte, das heißt, die Ein- und

Source-Widerstand für jede Gate-Source-Spannung und die A-,

Ausgangsspannungen u 1 und u 2 beziehungsweise die Ein- und

B- oder C-Typen ablesbar ist.

Ausgangsströme i 1 und i 2 sind ebenfalls komplexe Größen.

Erheblichen Einfluss haben im HF-Bereich die dort wirk-

Vierpolgleichungen
sam werdenden Kapazitäten, die beim J-FET durch den pn-

Übergang und bei den IG-FET durch die Isolierschichten entste-
i D y
u C y u
hen. Die Kapazitäten sind es auch, die die y-Parameter komplex

1

11
e

12
a
werden lassen. Wir haben Ein- und Ausgangskapazität sowie die
i D y
u C y u

(35.15)

2

Rückwirkungskapazität nach Abb. 35.39 zu berücksichtigen.

21
e

22
a

35.2

Feldeffekttransistoren (FET)

439

Vorwärtssteilheit y

= f ( I )

21

D

Dynamischer

Drain-Source-Widerstand

U

= 15V ; f = 1 kHz ; T = 25 °C

DS

U
r

= f ( U

–

); U S = 0; f = 1kHz; T = 25 °C

DS

GS

D

U
r DS

7,5
kΩ
y 21

102

BF B

BF C
mS

BF A

BF

A

BF

B

BF

C

5

101

100

2,5

10-1

10-2 0

1

2

3

4

5

0

– U

10

GS

I

20

D

V
mA

Abb. 35.38 Dynamischer Drain-Source-Widerstand

Abb. 35.36 Vorwärtssteilheit

Ausgangskennlinie
anhand des AC-Ersatzschaltbildes nach Abb. 35.34 wie folgt

I = f U

(

) ; U

= Parameter

D

DS

GS
berechnen.

I D 10
mA

U

= 0V

GS

Die betriebliche Spannungsverstärkung des Vierpols ist das Ver-

9
hältnis von Ausgangsspannung zur Eingangsspannung.

8

Spannungsverstärkung

–0,5V

7
u
y
a

21

6

V D

D

(35.18)

u

C

–1V
u
y

Y
e

22

L

Δ I

5

D

4

Der Eingangsleitwert des Vierpols ist das Verhältnis von Ein-

–1,5V
gangsstrom zur Eingangsspannung.

3

Eingangsleitwert

2

–2V

1
y
y

12

21

–2,5V
y D y

C

D y C y V

(35.19)

i

11
y

C Y

11

12
u

L

0

22

5

10

15 U

V

DS

V

Δ U

Der Ausgangsleitwert des Vierpols ist das Verhältnis von Aus-

DS
gangsstrom zur Ausgangsspannung. Um ihn bestimmen zu

Teil

Abb. 35.37 Ausgangskennlinien
können, wird an den Ausgang eine Spannung ua angelegt, wäh-
rend die Stromquelle eine Unterbrechung darstellt.

Ausgangsleitwert

In den Datenblättern der Hersteller werden arbeitspunktbezo-
gen die Werte für die Kurzschluss-Eingangskapazität C iss, die
y
y

12

21

Kurzschluss-Ausgangskapazität C
y D i 2 D y

(35.20)

oss und die Rückwirkungska-

0
u

22
y

C Y
pazität C
a
g
rss angegeben.

11

Analog zum bipolaren Transistor lassen sich auch für den

Aufgrund der spezifischen Kennwerte von J-FET lässt sich

FET die Betriebsgrößen des Vierpols, nämlich die Wechsel-
das Wechselstromersatzschaltbild stark vereinfachen und für die
spannungsverstärkung sowie die Ein- und Ausgangsleitwerte

NF- und HF-Bereiche getrennt darstellen in Abb. 35.40.

440

35 Transistoren

Eingangskapazität

Rückwirkungskapazität

C

= f ( U

–

)

C

= f (– U

)

11

GS

12 GS

U

= 10V ; f = 1 MHz ; T = 25 °C

U

= 20V ; f = 1 MHz ; T = 25 °C

DS

U

DS

U

10

C 11

1,5
pF

8

C 12
pF

7

6

1,0

5

4

3

0,5

2

1

0

0

5

– U

10

5

GS

– U

10

GS

V

V

Abb. 35.39 Kennlinien der Eingangs- und Rückwirkungskapazität
c gd
g
g
gd
d
g
g
gd
d
c gs
c ds
u e
g

S u

*
u a
g

S u
e
u

*
gs
e
g
u
gs
g ds
e
ds
a
s
s
s
s

Abb. 35.40 AC-Ersatzschaltbilder für den NF- und HF-Bereich von J-FET
g
c
d
g
gd
d
c gs
c gs
u e

S u

* e
u
g
a
u e

S u

*
u
ds
e
g
a
ds

T
s
s
s
s
eil

Abb. 35.41 AC-Ersatzschaltbilder für den NF- und HF-Bereich von MOS-FET

V

Die Daten von FET mit isoliertem Gate unterscheiden sich

Bei höheren Frequenzen wird die Gate-Kanal-Kapazität durch
nur unwesentlich von J-FET. Die Steuerkennlinien unterschei-
die Kondensatoren c gs und c gd berücksichtigt. Der Kanal
den sich in der Lage zum Nullpunkt, der Kennlinienverlauf ist
wird in diesem Ersatzschaltbild durch den Ausgangsleitwert
ähnlich. Auch für MOS-FET lässt sich das Wechselstromersatz-
g ds, die Kapazität c ds und die Stromquelle S ue elektrisch
schaltbild stark vereinfachen und für die NF- und HF-Bereiche
dargestellt.

getrennt darstellen in Abb. 35.41.

Vergleicht man diese AC-Ersatzschaltbilder mit dem aktiven

Aufgrund der Isolierschicht zwischen Kanal und Gate sind

Vierpol nach Abb. 35.34, so lassen sich die y-Parameter, also
beim MOS-FET die Leitwerte g gs und g gd zwischen Gate und
die Leitwertparameter, ermitteln. Für die Sourceschaltung von

Source beziehungsweise Gate und Drain so gering, dass sie

FETs werden diese y-Parameter mit einem zusätzlichen Index s
vernachlässigt werden können. Damit ergibt sich dieses AC-
gekennzeichnet, wie wir es schon von den Bipolaren Transisto-

Ersatzschaltbild.

ren her kennen.

Besondere Halbleiter-

36

Bauelemente

Peter Döring

36.1 Unijunction-Transistor (Doppelbasisdiode) . . . . . . . . . . . . . . 442

36.2 Darlington-Transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

36.3 VMOS-Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

36.4 SIPMOS-Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

36.5 IGBT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

V

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

441

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_36

442

36 Besondere Halbleiter-Bauelemente

36.1

Unijunction-Transistor

U EB1

Bereich des

(Doppelbasisdiode)

U P
abnehmenden

Widerstandes

Unijunction-Transistoren (UJTs) werden aus einem homoge-
nen, n-dotierten Si-Kristall als Planartyp oder Legierungstyp

U
nach Abb. 36.1 hergestellt. An zwei gegenüberliegenden Sei-

V
ten sind sperrschichtfreie Anschlüsse angebracht, die als Basis 1

(B1) und Basis 2 (B2) bezeichnet werden. Unsymmetrisch zu

I

I

I

P

V

E
diesen Basisanschlüssen ist als Emitter (E) eine p-Zone ange-
ordnet. Dadurch entsteht ein pn-Übergang, der die Funktion

Abb. 36.3 Kennlinie eines UJT
einer Diode hat.

Aus der physikalischen Wirkungsweise lässt sich das Ersatz-
schaltbild des UJT nach Abb. 36.2 herleiten, wobei sich zwei

Schwellenspannung der Ersatzdiode größer als UA, so wird die
interne Vorgänge überlagern.

Diode in Durchlassrichtung betrieben und es fließt ein Emitter-
strom IE.

Legt man zwischen B2 und B1 eine positive Spannung U BB bei
offenem Emitteranschluss, so fließt ein relativ kleiner Elektro-

Höckerspannung
nenstrom von B1 nach B2, der von der Größe der Spannung

U

U

0;7 V C U D U

BB und der des statischen Interbasiswiderstandes R BB abhängt.

EB1

A

EP

(36.1)

Wird dagegen eine Spannung U EB1 zwischen E und B1 gelegt
ohne eine Spannung U

Wird U

BB, so zeigt diese Strecke das Verhalten

EB1 > U EP, so fließt ein Emitterstrom und es werden
einer Diode.

Löcher in das n-dotierte Silizium injiziert. Damit vergrößert sich
die Leitfähigkeit der Strecke zwischen E und B1. Daher fließt

In einer Schaltung liegen aber beide Spannungen am UJT. Für
jetzt bei einer geringeren Spannung U EB1 ein größerer Strom IE
die Betriebsspannung wirkt der UJT wie ein Spannungsteiler,
als vorher bei einer größeren Spannung U EB1.

der die Spannung U BB im Verhältnis der Teilwiderstände auf-
teilt. Der mit „A“ gekennzeichnete Punkt in der Schaltung liegt

Mit dem Talpunkt („Valley“) beginnt der Sättigungsbereich,
also auf einem Ruhepotential UA.

weil eine weitere Verkleinerung von rB 1 durch Ladungsträger-
injektion nicht mehr möglich ist.

Solange die Eingangsspannung U EB1 kleiner ist als UA, wird
die Diode in Sperrrichtung betrieben und es fließt ein sehr klei-

Die UJT-Kennlinie nach Abb. 36.3 geht daher in die Kennli-
ner Sperrstrom. Wird die Eingangsspannung U EB1 aber um die
nie einer normalen Si-Dioden-Kennlinie über, und der Strom IE
steigt mit steigender Spannung U EB1 wieder an.

Sowohl das Umschalten vom hochohmigen Zustand in den

B 2

Sperrschicht
niederohmigen Zustand als auch das Umschalten vom niederoh-
migen in den hochohmigen Zustand erfolgt sehr schnell, wenn

B 1

B 2
die Spannung U EB1 die Höckerspannung U EP überschreitet be-

E
ziehungsweise unter den Wert der Talspannung U

E

EV absinkt,

P
also U EB1 < U EV wird.

Teil

P

Die Hersteller geben eine charakteristische Kennlinie nach

N-Silizium

Abb. 36.3 an, in der die Definitionen der einzelnen Kennwer-

V

N-Silizium
te angegeben sind.

Grenzwerte: Zu hohe Spannung U BB; zu hohe Spannung U EB1;

B 1
zu hoher Emitterstoßstrom IE; zu hohe Gesamtverlustleistung

PV ; zu hohe Sperrschichttemperatur # J.

Abb. 36.1 Schichtfolge beim UJT als Planartyp oder Legierungstyp

Statische Kenndaten: Interbasiswiderstand r BB; Temperaturbei-

B 2
wert ˛.

r

Aus dem Kennlinienfeld nach Abb. 36.4 ist zu erkennen, dass

U

B2

F
sowohl Höckerspannung und Talspannung als auch der Talstrom

E

B 2

U BB

A
von der Spannung U BB abhängig sind.

I E

B

U

* U

1
r
η

EB1

BB

Anwendungen: Wegen ihres Schaltverhaltens werden UJTs

B1
hauptsächlich in Sägezahn- oder Zündgeneratoren in der Schal-

B 1
tung nach Abb. 36.5 für Thyristoren beziehungsweise Triacs
eingesetzt. Die Spannung uC wirkt in dieser Schaltung als Steu-

Abb. 36.2 Ersatzschaltbild und Schaltzeichen eines UJT
erspannung des UJT.

36.2

Darlington-Transistor

443

I E

36.2

Darlington-Transistor
mA

U

= 0V

BB

16

Eine Möglichkeit, höhere Gleichstrom-Verstärkung zu erhal-

12
ten, bietet der Darlington-Transistor, der in der Schaltung in

Abb. 36.7 zu sehen ist. Der zweite Transistor arbeitet hier als

8

Lastwiderstand für den ersten Transistor, der als Emitterfolger

4

(Kollektorschaltung, siehe Kap. 34) geschaltet ist. Durch eine

U

= 5 10 15

20

30V

0

BB
derartige Kopplung zweier Transistoren mit gleicher Schichtfol-

2

4 6 8 10 12 14 16 18 U EB1
ge ergeben sich für den Darlington-Transistor interessante Werte

V
für den Eingangswiderstand und den Ausgangswiderstand der

Schaltung.

Abb. 36.4 Kennlinienfeld eines handelsüblichen UJT

Eingangswiderstand

U

B

R

D

C
ein
r BE

.Č 1/. RE RA/

(36.2)

R 1

R B1

Ausgangswiderstand
r

C

BE

Rg

R

D
aus

Č

(36.3)

u

1

C

C 1

U

R B2

B1
mit h

D

D

C

11
r BE
r BE1

ˇ1 r BE2 und Ď ˇ1 ˇ2.

Schleusenspannung

U

D U

C U

Abb. 36.5 Sägezahnspannungsgenerator beziehungsweise Zündgenerator mit

BE

BE1

BE2

UJT

Interessant wird der Darlington-Transistor neben hohem

Eingangswiderstand und kleinem Ausgangswiderstand nach

Abb. 36.8 durch seine hohe Stromverstärkung, die i. d. R. bei

Der Kondensator C wird über R1 geladen, und die Spannung uC

B > 2000 liegt. Dieser Transistor gilt aus diesem Grunde als
steigt entsprechend einer e-Funktion nach Abb. 36.6 an. Sobald

DC-Verstärker und wird insbesondere in Leistungsverstärkern
uC > U EP wird, zündet der UJT, und es fließt sowohl der Ent-

(siehe Kap. 38) eingesetzt.

ladestrom des Kondensators als auch der Transistorstrom über
den UJT ab. Aus diesem Grunde treten an RB 2 Spannungsimpul-
se auf. Wird nun uC kleiner als die Talspannung U EV, so sperrt

U B
der UJT wieder und ein neuer Aufladevorgang des Kondensators
beginnt.

R 1

C K1

C

B

C

B

E

C K2

E

U C

R 2

U EP

R E

V

Teil

Abb. 36.7 Verstärker in Kollektorschaltung für höhere Gleichstrom- und

Wechselstrom-Verstärkung

U EV
t
i B

U B1

#
h
i

21* B

I R

E

B1

R g

#
h 11
u 1
i C
u g
u

U

2

R

EV

E

R A
t

Abb. 36.6 Ein- und Ausgangsspannungen der Schaltung nach Abb. 36.5

Abb. 36.8 AC-Ersatzschaltbild eines Darlington-Transistors

444

36 Besondere Halbleiter-Bauelemente

Werden zwei Transistoren mit unterschiedlicher Schichtfolge

Tab. 36.1 Unterschied zwischen Standard-MOS-FET und Leistungs-MOS-FET
zusammengeschaltet, so entsteht ein Komplementär-Darling-

MOS-FET

VMOS-FET
ton-Transistor. Das Verhalten eines Darlington-Transistors wird

Drainstrom ID
mA

A
im Wesentlichen durch die Eigenschaften des ersten Transis-

Einschaltwiderstand R DS .On/

100 . . . 500 (

0,1 . . . 10 (
tors bestimmt. Komplementär-Darlington-Transistoren haben

Gate-Source-Spannung U GS

0 . . . 5 V

0 . . . 10 V
den Vorteil, dass sie nur eine sehr kleine Schleusenspannung

U BE haben.

Darlington-Transistoren beziehungsweise Komplementär-Dar-

Die Source-Elektrode überbrückt die obere N- und P-Schicht,
lington-Transistoren können durch zusammengeschaltete Ein-
was eine parasitäre Diode zwischen Gate und Source ergibt. Bei
zeltransistoren realisiert werden, in den meisten Fällen emp-

Anwendungen mit induktiver Last funktioniert die Diode als
fiehlt sich jedoch die Benutzung eines fertig konfektionierten

Freilaufdiode, so dass eine zusätzliche Schutzbeschaltung der

Typs, wie er von zahlreichen Herstellern (zum Beispiel Sie-

Drain-Source-Strecke i. d. R. unnötig ist.

mens) angeboten wird.

Kennlinien und Grenzwerte von VMOS-FET sind identisch mit
denen der MOS-FET. Der Unterschied besteht lediglich in den

Werten (Tab. 36.1).

36.3

VMOS-Transistoren

Die Parallelschaltung von VMOS-FET ist fast problemlos mög-
lich, da der positive Temperaturkoeffizient des Kanals für ther-

Die Grenzwerte des Drainstroms I DM und der Drain-Source-
mische Stabilität sorgt.

Spannung U DSS begrenzen die mit einem Feldeffekt-Transistor
zu steuernde Leistung. Die höchste mit einem FET zu steuernde

Aufgrund des hohen Eingangswiderstandes, der hohen Span-

Leistung ergibt sich also als P

D

nungsfestigkeit und der hohen Stromverstärkung ist der VMOS-
max

I DM U DSS.

FET ein sehr gut geeignetes Bauteil für Pegelumsetzer und

Höhere Grenzwerte des Drainstroms I DM erfordern eine höhere

Treiberschaltungen (zum Beispiel TTL-, TTL-LS- und CMOS-

Steilheit. Die lässt sich aber nur durch eine Verkürzung des Ka-

Familie).

nals erreichen. Eine Verkürzung des Kanals geht aber zu Lasten
der Drain-Source-Spannung U DSS. In der Konsequenz bedeu-

Für höhere Betriebsspannungen ist die VMOS-Technik nicht
tet dies aber, dass die maximal zu steuernde Leistung gleich
gut geeignet, da die Isolierschicht in der Spitze der V-Rinne
bleibt. Offensichtlich lässt sich mit der bisher beschriebenen
nicht die erforderliche gleichmäßige Dicke besitzt, so dass es

Technologie ein FET zur Steuerung höherer Leistungen nicht
dort zu Durchschlägen kommt.

verwirklichen.

Abb. 36.9 beschreibt den grundsätzlichen Schichtaufbau eines

VMOS-FET (vertical-metal-oxide-semiconductor-field-effekt-

36.4

SIPMOS-Transistoren
transistor). In eine Vier-Lagen-Struktur ist ein V-förmiger Gra-
ben eingeätzt. Hier fließt der Drainstrom ID senkrecht, also
vertikal durch durch den Kristall. Bei positiver Ansteuerung des

Eine wesentlich andere Konstruktion kommt bei den SIPMOS-

Gate bildet sich ein durchgehender Strompfad beiderseits des

Leistungstransistoren

(Siemens-Power-MOS;
eingetragenes

Grabens mit einem sehr niedrigen Bahnwiderstand aus, so dass

Warenzeichen der Siemens AG) nach Abb. 36.10 zur Anwen-
der Drainstrom, durch den V-förmigen Einschnitt geteilt, zu bei-
dung.

den Source-Anschlüssen fließt. Somit ist der Kanalquerschnitt

T

Diese sind vertikal in Planartechnik aufgebaut und haben ei-
eil
groß und die Kanallänge kurz.

ne doppelt implantierte Kanalstruktur. Bei einem N-Kanal-FET

Im Ergebnis bedeutet dies ein Bauteil mit hoher zulässiger Ver-
dient das niederohmige nC-Substrat mit der darunter liegenden

V
lustleistung bei hoher Spannungsfestigkeit und großem Verstär-

Metallschicht als Träger und Drainanschluss. Über dem nieder-
kungsfaktor. Der selbstsperrende N-Kanal-VMOS-FET weist
ohmigen nC-Substrat liegt eine n-Epitaxieschicht, die je nach
praktisch keine Schaltverzögerung auf.

Scource

Al

S

S

G

SiO2

Gate
n+Poly-Si

N

P
n+

N

Electron flow

Epi layer

N
n–

Substrate

Drain

Metal

D
n+

Abb. 36.9 Grundsätzlicher Schichtaufbau eines VMOS-FET

Abb. 36.10 Aufbau eines SIPMOS-FET (Siemens-Bild)

36.4

SIPMOS-Transistoren

445

100V

Tab. 36.2 Typenübersicht und Kenndaten (Fa. Siemens)

4mH

V1

SIPMOS-FET

Typ

U DS (V)

R DS.on/ (() I D.on/ (A) Gehäuse

BUZ 10

50

0,1

12

TO-220

BUZ 20

100

0,2

8

TO-220

5A

D

BUZ 31

200

0,2

12,5

TO-220

R

10V

G

G

V2

BUZ 45

500

0,8

7,5

TO-3

S

BUZ 84

800

2,0

4,7

TO-3

BUZ 54

1000

2,0

4,7

TO-3

Abb. 36.11 Ansteuerschaltung für SIPMOS-FET

IGBT

Typ

U CE (V)

IC (A)

Gehäuse
zu realisierender Sperrspannung verschieden dick und entspre-

BUP 304

1000

25

TO-218
chend dotiert ist. Darüber liegt das Gate aus nC-polykristallinem

Silizium mit hoher Dotierung, eingebettet in isolierendes Silizi-

IGBT-Module
umdioxid.

Typ

U CE (V)

IC (A)

U CE.sat/ (V) Bemerkungen

BSM50GB100D

1000

2 50

5

Halbbrücke

Das Gate bildet eine Gitterstruktur. In die Gitteröffnungen sind

BSM15GD100D

1000

6 15

5

Vollbrücke
die Sourcezellen hineindotiert. Diese werden durch eine abde-
ckende Metallisierung (hier mit Aluminium) parallel geschaltet.

U B

Also kann man sagen, dass ein SIPMOS-FET aus der Paral-
lelschaltung einiger tausend einzelner MOS-Systeme in einem

R L

Chip besteht. Die Gateschicht wird in einer Ecke des Chips un-
bedeckt gelassen und kann dort kontaktiert werden.

V1

V2

V3

V4

D

D

D

D

G

G

G

G

SIPMOS-FET haben sehr hohe Eingangswiderstände, aber

S

S

S

S

Durchlasswiderstände RD . on/ von nur wenigen Ohm. Ihre

R

R

R

R

Schaltzeit liegt in der Größenordnung von einigen hun-

U E
dert Nanosekunden und ist mit einer Ansteuerschaltung nach

Abb. 36.11 variabel machbar, um zu große Stromsteilheiten
beim Einschalten nach Abb. 36.12 zu vermeiden beziehungs-
weise zu variieren. SIPMOS-FET benötigen nur beim Ein-

Abb. 36.13 Parallel geschaltete SIPMOS-FET für höhere Stromleistungen
schalten Energie und zwar hauptsächlich zum Aufladen der

Gate-Drain-Kapazität. Wie der VMOS-FET hat auch dieser FET

U S
einen positiven Temperaturbeiwert und kann sich somit gegen

C

U
thermische Überlastung selber schützen (Tab. 36.2).

T

T1

R

TDA 47xx

BSS110 D

R 1

G

SIPMOS-FET sind selbstsperrende FET und können auch aus

BC550

V2

D

Q

V4

S
diesem Grunde als schneller Leistungsschalter in der Leistungs-

G

V1

V5

S
elektronik Verwendung finden. Reicht der Drainstrom eines

BSS100 D

IN4148

C 1

G

V3

R

S

R

SIPMOS-FET nicht aus, so können nahezu beliebig viele nach

2

G

Abb. 36.13 parallel zueinander geschaltet werden und gleich-

V

Abb. 36.14 Treiberschaltung für schnelles Ein- und Ausschalten von SIPMOS-

FET (Fa. Siemens)

I D

Teil

A

18
zeitig angesteuert werden. Zum Ausgleich von Unsymmetrien

16

18
werden Gate-Widerstände ( R D 4,7 bis 200 () empfohlen.

14

100

12

Gleichzeitig wird eine Drainstromreduzierung um den Faktor

10

470

0,8 empfohlen.

8

1k

6

! I

D

D ges

0;8 ID n . n D Anzahl der FET/

4

Schnelles Ein- und Ausschalten, aber auch sicherer Schutz ge-

2
gen unbeabsichtigtes Einschalten müssen gewährleistet werden.

0

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
t

Die komplementären SIPMOS-Kleinsignaltransistoren BSS100
μs
und BSS110 sind gut geeignet, um auch SIPMOS-FET mit

Abb. 36.12 Schaltverhalten des Drainstroms für verschiedene Gatewiderstän-
großer Eingangskapazität oder parallel geschaltete SIPMOS-
de

FET schnell zu steuern. Die Treiberschaltung nach Abb. 36.14

446

36 Besondere Halbleiter-Bauelemente

Al

Gate

Scource

Al

Gate

Emitter

(Fa. Siemens) bietet auch im spannungslosen Zustand einen si-

SiO2

SiO2
cheren Schutz gegen unbeabsichtigtes Einschalten.

–

N -

Die Versorgungsspannung für die Ansteuerschaltung kann hier

–

– polysilicion

N

P

+

N -polysilicion

N

P

+

D

–

N

UT

10 bis 15 V betragen. Der Widerstandswert von RG liegt

N
ungefähr bei 10 k(, während R 1 D 2,2 k( und R 2 D 1 k( be-

+
tragen. Der Kondensator C1 hat einen Wert von 0,47 µF. Die

N

Drain

P

Collector

Werte für R und C bemessen sich nach der Größe des Transfor-

Abb. 36.15 Aufbau eines SIPMOS-FET und eines IGBT
mators T1 beziehungsweise seiner Leistungsbeanspruchung.

C

36.5

IGBT

C

G

G

Ein IGBT (insulated-gate-bipolar-transistor) beruht grundsätz-

E

E
lich auf der Technologie der SIPMOS-Transistoren.

Abb. 36.15 macht hier die Unterschiede deutlich. Während der

Abb. 36.16 Schaltzeichen und Ersatzschaltbild eines IGBT

SIPMOS-FET auf einem nCn-Substrat am Drain aufgebaut ist,

100

20

I

U

=15V

DS

GS

I

A

DS

A

80

15

60

11V

10

40

8V

U

=15V

GS

5

20

5V

5V

4V

0

200

400

600

800

1000

0

2

4

6

8

10

V

V

DS

DS

V

V

200

20

10V

T

U GS=15V

I
eil

CE

I

A

CE

A

V

150

15

18V

9V

100

10

U GS=15V

50

5

12V

10V

6V

7V

0

200

400

600

800

1000

0

2

4

6

8

10

V

V

CE

CE

V

V

Abb. 36.17 Ausgangskennlinienfeld eines SIPMOS-FET (obere Reihe) und eines IGBT (untere Reihe)

36.5

IGBT

447
hat der IGBT ein homogenes Substrat mit einem speziell aus-

U

Ein

Aus
gebildeten pn-Übergang an dieser Seite. Deshalb wird dieser

U LF

U

Anschluss auch Kollektor genannt. In eingeschaltetem Zustand

U

GE

GE
bewirkt der pn-Übergang die Reduzierung des Einschaltwider-
standes RD.on/ durch Ladungsträgerinjektion.

t

Der IGBT ist eine Kombination aus MOS-FET und Bipolarem

U

U

U

EG

EG

Transistor. Entsprechend verhält sich der IGBT am Eingang wie

LR
ein selbstsperrender MOS-FET und kann nahezu leistungslos
gesteuert werden. Ausgangsseitig ist der IGBT einem bipola-

I
ren Leistungstransistor ähnlich. Deshalb kann er relativ hohe

G

Spannungen (zur Zeit bis 1700 V) und Ströme (zur Zeit unge-
fähr 600 A) pro Chip schalten mit zunehmender Tendenz. Aus
diesem Zusammenhang resultiert das Schaltzeichen und Ersatz-
t
schaltbild eines IGBT nach Abb. 36.16.

Die Ausgangskennlinien nach Abb. 36.17 zeigen einen SIPMOS

BUZ 54 und einen IGBT BUP 304 bei gleicher Chipgröße.

Das Schaltverhalten der beiden Bauelemente unterscheidet sich
hauptsächlich durch den Spannungsabfall im eingeschalteten

Abb. 36.18 Liniendiagramm von Steuerstrom und -spannung

Zustand. So hat der BUZ 54 bereits bei 5 A einen Spannungs-
abfall von 8 V, während der BUP 304 bei 10 A auf weniger als

3 V Spannungsabfall kommt. Erkennbar ist außerdem, dass der

Einschaltwiderstand R

V2

D.on/ weniger spannungsabhängig ist als

U LR
der der SIPMOS-FET.

V3 R G

V5

V6

Im Schaltbetrieb ist die Gesamtverlustleistung quasi identisch

U E

V1
mit der temperaturabhängigen Durchlassverlustleistung. Der

0

Einschaltwiderstand RD.on/ wird in den Datenblättern für 25 °C

V4
angegeben.

U LF

IGBT haben im Gegensatz zu SIPMOS-FET aufgrund der
unterschiedlichen Herstellungstechnologie keine integrierte In-

Abb. 36.19 Prinzipschaltung einer Treiberstufe mit komplementären Transisto-
versdiode. Deshalb muss bei Verwendung des IGBT als Schalter
ren
mit induktiven Lasten eine separate Freilaufdiode geschaltet
werden.

mit negativen Spannungen an der Gate-Emitter-Strecke ange-

In „Modulen“ sind IGBT, Inversdioden und andere erforderliche
steuert.

Schutzbausteine zusammengefasst. Sie sind rationelle Bausteine
im Leistungsteil von selbstgeführten Stromrichtern.

Der Gatevorwiderstand RG begrenzt (wie beim SIPMOS) die
entstehenden Steuerstromimpulse.

Grundsätzlich kann man einen IGBT dadurch abschalten, in-
dem man die Gate-Emitter-Spannung auf „Null“ setzt. Um das

Um die Steuerspannungen zu erzeugen, verwendet man Treiber-

Abschaltverhalten zu verbessern und auch Notabschaltungen
stufen mit komplementären Transistoren, wobei die Schaltung

V
leichter zu ermöglichen, wird der IGBT nach Abb. 36.18 auch
nach Abb. 36.19 nur eine mögliche Prinzipschaltung darstellt.

Teil

Analoge Verstärker

37

Peter Döring

37.1 Bipolarer Transistor als Verstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

37.2 Feldeffekt-Transistor als Verstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

37.3 Mehrstufige Verstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

V

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

449

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_37

450

37 Analoge Verstärker

Der Transistor ist ein aktives Bauelement im Gegensatz zu

+12V
passiven Bauelementen wie zum Beispiel Dioden oder Wi-
vom Siebkondensator
derstände. Einer Transistorschaltung kann am Ausgang mehr

R 1

R C

Signalleistung entnommen werden als ihr am Eingang zur Ver-

C K2
fügung steht.

3

4

C

C

In den meisten Anwendungsfällen werden Transistoren verwen-

K1

1

2

B
det, um kleine Eingangsspannungen und -ströme zu großen

E

Ausgangsspannungen und -strömen zu verstärken. Der Signal-

G

R 2

R L
verlauf, also die Form der Signale, bleibt erhalten, während sich
der Amplitudenwert der Signale vergrößert. Da Eingangs- und
zum Siebkondensator

Ausgangssignale einander ähnlich sind, arbeitet der Transistor
als Analogverstärker.

Abb. 37.1 Transistor als AC-Verstärker

Die zur Umformung (Verstärkung) eines anliegenden Signals
erforderliche Hilfsenergie liefert die Betriebsspannung. Unter

Signal versteht man eine bestimmte Eingangsspannung, einen
von einem Kennlinienfeld in ein anderes, übertragen werden
bestimmten Eingangsstrom oder eine bestimmte Eingangsleis-
können. Daher lässt sich die Verstärkerwirkung eines bipo-
tung mit den entsprechenden Ausgangsgrößen.

laren Transistors im Vierquadranten-Kennlinienfeld besonders
gut darstellen und erläutern.

Zu verstärkende Signale liefern Mikrophone, Tonabnehmersys-
teme von Plattenspielern, CD-Playern, Tonköpfen in Recordern,

In Abb. 37.3 sind die Zusammenhänge für eine prinzipiell zu

Antennen, Vorverstärker. Die verstärkten Signale (Ausgangs-
erstellende Verstärkerschaltung dargestellt und graphisch erläu-
signale) können über entsprechende Wandler (Lautsprecher,
tert.

Bildröhren, Motoren und andere Ausgabeeinheiten) hörbar be-

Zunächst muss die Arbeitsgerade des Kollektorwiderstandes RC
ziehungsweise sichtbar gemacht werden.

(5 k( gewählt) in das Ausgangskennlinienfeld eingezeichnet
werden. Sie verläuft von links oben nach rechts unten und endet
auf der X-Achse bei

37.1

Bipolarer Transistor als

Verstärker

U

D

CE

UB

.10 V gewählt/

(37.1)

auf der Y-Achse bei

Der bipolare Transistor muss als gleichstromsteuerndes Bauele-
ment verstanden werden.

UB

I D

C

.2 mA errechnet/

(37.2)

R

Wechselspannungen, also Signale mit positiven und negativen

C

Amplituden, können nur mit Hilfe von Schaltungskniffen ver-

Der Arbeitspunkt AP1 sollte liegen bei
stärkt werden. Bildet man zumBeispiel eine Mischspannung aus
einer Gleich- und einer Wechselspannung, indem man einem

U

D UB

.5 V errechnet/

(37.3)

Gleichstrom die Signalspannung entsprechend der Schaltung

CEA

2
nach Abb. 37.1 überlagert, so verstärkt der Transistor diese pul-

T

Diese Wahlen ergeben im I. Quadranten einen I

D

C

1 mA,
eil
sierende Gleichspannung.

im II. Quadranten einen I

B

5 &A und weitergeführt in den

Abb. 37.2a stellt die sinusförmigen Ein- und Ausgangsspan-

III. Quadranten ein U

D

BE

0;5 V.

V
nungen an den Punkten 1 und 4 dar. Die Phasenverschiebung

D

D
zwischen den beiden Kurven ergibt sich aus der generellen

Der Arbeitspunkt AP liegt nun fest bei I CA

1 mA und U CEA

Phasenverschiebung bei der Emitterschaltung und der Phasen-

5 V.

verschiebung aufgrund der beiden RC-Glieder.

Legt man nun an die Basis des Transistors eine Eingangswech-
selspannung (AC) U

D 0;1 V, so wird die Gleichspannung

Abb. 37.2b zeigt die Mischspannungen an der Basis (Punkt 2)

ess
von ihr überlagert.

und am Kollektor (Punkt 3) des Transistors.

Für die AC wandert nun der AP im III. Quadranten an der Kenn-

Der Gleichanteil muss so groß bemessen sein, dass die Misch-
linie entlang zwischen I D 2 &A und 8 &A. Somit ändert sich
spannung keine negativen Anteile hat. Ohne diese Maßnahme

B
auch der I

D 0;5 und 1,25 mA.

würden nur die positiven Amplituden verstärkt werden. Durch

C und wandert nun zwischen IC
einen Kondensator kann der Gleichstromanteil am Ausgang der

Die Änderung des Kollektorstroms ruft am Arbeitswiderstand

Verstärkerschaltung unterdrückt werden.

RC eine Spannungsänderung hervor, so dass sich auch U CE zwi-
schen U

D 7;25 und 1,25 V um U D 6 V ändert.

Der besondere Vorteil des Vierquadranten-Kennlinienfeldes ei-

CE

CE
nes bipolaren Transistors liegt darin, dass bestimmte Daten von

Bei einer Änderung der Eingangsspannung Ue um einen be-
einem Quadranten direkt in einen anderen Quadranten, also
stimmten Wert ergibt sich bei diesem Transistor eine Änderung

37.1

Bipolarer Transistor als Verstärker

451
a

U Sig/V

U L/V

1,0

1,0

0,6

0,6

4

0,2

0,2

0

1

0

-0,2

-0,2

-0,6

-0,6

-1,0

-1,0

0

100

200

300

400
t/ms 500
b

U BE/mV

U CE /V

700

2
u

670

BE

640

6,4
u CE

5,8

3

5,2

4,6

4,0

0

100

200

300

400
t/ms

500

Abb. 37.2 Sinusförmige Ein- und Ausganngsspannungen sowie Mischspannungen an Basis und Kollektor

I C

I

II

I

I
c
c

I =
mA

B
mA
const.

I B=

R C=5kΩ

6

R

U

2,0

10µA
c

27µA

CE=5V

8µA

5
mA

4

18µA

1,5

=4

I 3

6µA
c2

Δ I C

1

9µA

1,0

Arbeitspunkt 4µA

0

I B 27 18 9 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U

Δ I

Δ I CE=6V

U

CE

0,5
µA

B=18mA

U

B

I

2µA

CEmin

V

B

U RCmax
µA

8

6

4

2

2

4

6

8

10 U CE
t
t

0,5

U

U

B

V

U CEmax

RCmin

Δ U CE=5,25V

1,0

U

0,1V

CE=5V

Abb. 37.4 Stromsteuerung

1,5

U

U

BE=1,25V

CE=5V

2,0

37.1.1

Grundschaltungen

U BE

III

IV

V

V

Ein Verstärker hat stets zwei Anschlüsse für den Eingang und
zwei Anschlüsse für den Ausgang. Transistoren haben aber

Abb. 37.3 Verstärkerwirkung eines bipolaren Transistors im Vier-Quadranten-
nur drei Elektroden (Beinchen). Wird ein Transistor als Ver-

Teil

Kennlinienfeld
stärker eingesetzt, muss eine dieser Elektroden sowohl zu den

Eingangsanschlüssen als auch zu den Ausgangsanschlüssen ge-
hören.

der Ausgangsspannung Ua um einen entsprechend vergrößerten

Betrag.

Damit ergeben sich drei Möglichkeiten, Transistoren als Ver-
stärker zu betreiben. Diese drei Schaltungen werden als Transis-

Es ist erkennbar, dass die Ausgangsspannung gegenüber der
tor-Grundschaltungen bezeichnet. Die jeweilige Bezeichnung

Eingangsspannung verzerrt ist. Es handelt sich demnach um ei-
der Transistor-Grundschaltung ist von derjenigen Elektrode ab-
ne Spannungssteuerung des Transistors.

geleitet, die gemeinsamer Bezugspunkt für das Eingangs- und

Ausgangssignal ist.

Im Falle einer Stromsteuerung des Transistors (der Basisstrom
entstammt einer „Stromquelle“) kann man von einer Betrach-

Jede der drei Grundschaltungen hat besondere Eigenschaften.

tung nach Abb. 37.4 ausgehen, bei der die Ausgangsspannung

Sie werden durch eine Reihe von Kenngrößen näher beschrie-
nahezu unverzerrt am Kollektorwiderstand abfällt.

ben.

452

37 Analoge Verstärker
i
i
i
i

B

C

B

C
h i
h *i

R

21 B

21

B
g
h 11

1
u
u

R

1
u
u
a
e
a

L
e
h
h

11

22
h 22
u g
h i

12 a

Abb. 37.5 Vierpol-Ersatzschaltbild mit Last und Signalquelle
i
i
b

B

C
c
h *i

21

B

R g
u
h

1
u

R
e

11
a

L

Wichtige Kenngrößen sind: Wechselstromeingangswiderstand
h 22
u g
re, Wechselstromausgangswiderstand ra, Spannungsverstärkung

V
e
e
u, Stromverstärkung Vi, Leistungsverstärkung Vp , Phasendre-
hung des Signals ' und Grenzfrequenz der Schaltung fg.

Abb. 37.6 Ersatzschaltungen bei Vernachlässigung der Spannungsrückwir-

Das Vierpol-Ersatzschaltbild nach Abb. 37.5 in Anlehnung an
kung

Abb. 35.15 gilt ebenso wie die folgenden Betriebsgrößen für
alle Grundschaltungen.

Mit Hilfe von (37.4) bis (37.8) lassen sich die betrieblichen

Für einen beliebigen Abschlusswiderstand RL kann mit Hilfe

Übertragungseigenschaften eines Transistorverstärkers berech-
der Vierpolgleichungen (Tab. 35.1) die Stromverstärkung Vi des
nen. Dabei muss berücksichtigt werden, dass die h-Parameter

Transistors bestimmt werden.

nur für den Kleinsignalbetrieb im NF-Bereich gelten.

iC
h 21

Die Spannungsrückwirkung des Transistors ist in den meisten

Stromverstärkung

V D

D
i

(37.4)

i

B

1 C h 22 RL

Fällen so gering, dass man sie vernachlässigen kann und die

Ersatzschaltungen nach Abb. 37.6 gültig sind. Aufgrund dieser

Die betriebliche Stromverstärkung ist also stets kleiner als die

Tatsache lassen sich Vereinfachungen vornehmen.

Kurzschlussstromverstärkung ďes Transistors als Bauelement. So beschreiben folgende sechs Werte das Verhalten des Transis-

Auch für die Berechnung der betrieblichen Spannungsverstär-
tors selber.

kung Vu werden die Vierpolgleichungen benutzt. Durch ge-
schicktes Einsetzen ergibt sich dann

Stromverstärkung

Spannungsverstärkung

IC

B D IC
und

Ď

D h 21

IB

IB
u

a
h 21 RL

V D

D
u

(37.5)

u

C

Eingangswiderstand
e
h RL
h 11
mit h D h

U

U

11
h 22
h 12 h 21.

BE

BE

R

D

D

D

BE
und
rBE
h 11

IB

IB

Strom- und Spannungsverstärkung sind ebenso wie der Ein-
gangswiderstand re lastabhängige Größen.

Ausgangswiderstand

Teil
h R C

L
h 11

U

U

Eingangswiderstand
r D

CE

CE
e

(37.6)

R

D
und
r

D

D 1

1 C h

R

CE

CE

I

I
h

V

22

L

C

C

22

Der Ausgangswiderstand ra ist vor allem vom Innenwiderstand

Um die Betriebsgrößen der Grundschaltungen bestimmen zu

Rg der Signalquelle abhängig. Er lässt sich nach dem Ohm’schen
können, müssen die Grundbedingungen für den Betrieb der

Gesetz vom Ausgang her berechnen.

Schaltungen definiert werden. Der Arbeitspunkt wird generell
durch eine Gleichspannungsquelle am Eingang eingestellt. Er

Ausgangswiderstand
wird jeweils so eingestellt, dass die Schaltung im linearen Teil
h

C
der Eingangskennlinie arbeitet und Kleinsignalbetrieb vorliegt,

11

Rg
r D ua D
a

(37.7)

also der Arbeitspunkt nicht in den Sättigungs- beziehungsweise
i

C
h C h 22 Rg

Sperrbereich gelangen kann.

Unter Leistungsverstärkung versteht man das Verhältnis von

Zu der Emitter-Grundschaltung nach Abb. 37.7 zählt auch

Ausgangs- zur Eingangsleistung.

der Kollektorwiderstand RC. Dieser ist unbedingt erforderlich,
damit eine Wechselspannung, also ein Ausgangssignal am Kol-

Leistungsverstärkung
lektor entstehen kann. Ohne den Arbeitswiderstand RC liegt
der Kollektor des Transistors über die Gleichspannungsquelle
h 2 RL

V D

21
wechselstrommäßig auf Masse, was einen wechselstrommäßi-

P

.1 C h

C

22

RL/. h 11
h RL/

(37.8)

gen Kurzschluss bedeuten würde.

37.1

Bipolarer Transistor als Verstärker

453

U CC

U CC

R C
u a
u e
u e

R
u a

E

Abb. 37.7 Emitter-Grundschaltung

Abb. 37.9 Kollektor-Grundschaltung
r CE

R C
r BE
r BE

R E

Abb. 37.8 Ein Wechselstrom-Ersatzschaltbild der Emitter-Grundschaltung

Die Eigenschaften der Emitter-Grundschaltung hängen nicht

Abb. 37.10 Wechselstrom-Ersatzschaltbild der Kollektor-Grundschaltung
nur von den Kennwerten des Transistors selbst, sondern auch
von der Größe des Kollektorwiderstandes ab. Die Kennwerte
dieser gesamten Grundschaltung bezeichnet man als Betriebs-

In der Kollektor-Grundschaltung nach Abb. 37.9 liegt der Kol-
größen. Ein mögliches Wechselstrom-Ersatzschaltbild, basie-
lektor wechselstrommäßig auf Masse.

rend auf Abb. 37.6 (Emitter-Grundschaltung) zeigt Abb. 37.8.

Wird der Basisstrom erhöht, so erhöhen sich auch der Kollek-

Wechselstromeingangswiderstand
torstrom und der Spannungsabfall am Emitterwiderstand RE.

Die Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangs-
r

D

D
spannung beträgt also 0°.

eE
r BE
h 11 e

(37.9)

Die Eigenschaften der Kollektor-Grundschaltung hängen nicht

Wechselstromausgangswiderstand
nur von den Kennwerten des Transistors selbst, sondern

auch von der Größe des Emitterwiderstandes ab. Ein Wech-
r

D

aE
r CE

RC

(37.10)

selstrom-Ersatzschaltbild der Kollektor-Grundschaltung zeigt

Abb. 37.10.

Spannungsverstärkung

Da in den Datenblättern der Hersteller die Kenndaten des Tran-

ˇ

ˇ

sistors nur für die Emitter-Grundschaltung angegeben werden,
j

RC r CE

V j D

D
uE
r CE
ist es sinnvoll, die Betriebsgrößen der Kollektor- und Basis-
r

RC

C

BE
r BE. RC
r CE/

(37.11)

V

Grundschaltung auf die Kennwerte der Emitter-Grundschaltung

Stromverstärkung
zurückzuführen.

Teil

Wechselstromeingangswiderstand

V

D
iE

ˇ
r CE

(37.12)

R C

D

C

C
r CE
reC
reE

ˇ RE

(37.14)

Leistungsverstärkung

Wechselstromausgangswiderstand
r C R
r 2 R

BE
g

C
r

D R

V

D

CE
aC

E
pE

ˇ2 .

(37.13)

ˇ

(37.15)

R C

C
r CE/2 r BE

Spannungsverstärkung
maximale Leistungsverstärkung Vp max bei Leistungsanpassung,
also wenn R D

C
r CE Phasendrehung des Signals 180°.

V

uC

1

(37.16)

Die Emitterschaltung liefert sowohl eine Strom- und als auch

Stromverstärkung
eine Spannungsverstärkung, die beide > 1 sind. Somit liefert
r
diese Schaltung die größtmögliche Leistungsverstärkung und

CE

V

D
iC

.Č 1/
wird deshalb häufig angewendet.

. R C

E
r CE/

(37.17)

454

37 Analoge Verstärker

U

)

CC
und für Rg

0 (:

R C
r

aB

RC
r CE

(37.21)

Spannungsverstärkung
u e
u a

V

D

uB

VuE

1

(37.22)

Stromverstärkung

Abb. 37.11 Basis-Grundschaltung

V

iB

1

(37.23)

Leistungsverstärkung
r

R

CE

C

V

pB

VuB

(37.24)

Die Stromverstärkung ist quasi gleich eins und der Ausgangs-
strom praktisch identisch mit dem Eingangsstrom. Damit erfolgt
r BE
eine schnellere Steuerung des Ausgangsstroms durch den Ein-
gangsstrom als bei den anderen Grundschaltungen.

Die obere Grenzfrequenz der Basisschaltung hängt von der

Stromverstärkung des Transistors ab.

Abb. 37.12 Wechselstrom-Ersatzschaltbild der Basis-Grundschaltung
obere Grenzfrequenz
f
a

ˇ fg

(37.25)

Leistungsverstärkung

Wegen ihrer hohen Grenzfrequenz fa wird die Basisschaltung
vorzugsweise in der Hochfrequenztechnik eingesetzt. Sie hat bei

V

einem niedrigen Eingangswiderstand einen verhältnismäßig ho-
pC

ViE

(37.18)

hen Ausgangswiderstand.

Die Kollektorschaltung hat bei hohem Eingangswiderstand
einen niedrigen Ausgangswiderstand. Sie findet also häufig An-
wendung als Impedanzwandler, zum Beispiel zur Anpassung

37.1.2

Arbeitspunktstabilisierung
hochohmiger Generatoren an niederohmige Verbraucher.

Auch in Endstufen von Leistungsverstärkern findet sie Anwen-

Zum Betrieb eines Transistors ist nach Abb. 37.1 und 37.3 ne-
dung, da ihre Stromverstärkung etwa so groß ist wie die der
ben der Spannungsversorgung U

Emitterschaltung.

B auch ein Widerstand RC in der

Kollektorzuleitung erforderlich.

In der Basis-Grundschaltung nach Abb. 37.11 liegt die Ba-

Der Kollektorwiderstand R
sis wechselstrommäßig auf Masse. Wird die Eingangsspannung

C hat zwei verschiedene Aufgaben zu
erfüllen. Er muss den Kollektorstrom I

(Spannung zwischen Emitter und Basis) größer, der Emitter also

C begrenzen und die im

Transistor auftretende Stromverstärkung ˇ in eine Spannungs-

T
negativer, so wird der Transistor niederohmiger. Es fließt da-
eil
verstärkung V
her ein erhöhter Kollektorstrom, der am Kollektorwiderstand
u umwandeln.

V

RC einen erhöhten Spannungsabfall bewirkt. Die Phasenver-

Der Transistor muss mit genau festgelegten Werten für IC und
schiebung zwischen Ausgangs- und Eingangsspannung beträgt

U CE betrieben werden. Das Bestimmen und Einstellen dieser
dann 0°.

Werte bezeichnet man als „in den Arbeitspunkt bringen“ oder

„den Arbeitspunkt einstellen“.

Die Eigenschaften der Basis-Grundschaltung hängen nicht nur
von den Kennwerten des Transistors selbst, sondern auch von

Der Arbeitspunkt AP (siehe Abschn. 37.1) wird durch U CEA und
der Größe des Kollektorwiderstandes ab. Ein Wechselstrom-

I CA festgelegt und durch I BA eingestellt und gehalten. Bei einer

Ersatzschaltbild der Basis-Grundschaltung zeigt Abb. 37.12.

vorgegebenen Betriebsspannung UB lässt sich der erforderliche

RC errechnen.

Wechselstromeingangswiderstand

U

B

U CEA

R D

C

(37.26)

r

D reE
eB

I

ˇ

(37.19)

CA

I CA

I

D

BA

(37.27)

Wechselstromausgangswiderstand

B

Der Arbeitspunkt eines Transistors im Kleinsignalbetrieb als

Rg
r

D

NF-Verstärker sollte möglichst in der Mitte der Widerstandsge-
aB

RC r CE

1 C ˇ

(37.20)

r BE
raden liegen (37.3). Dadurch wird verhindert, dass ein Signal

37.1

Bipolarer Transistor als Verstärker

455

U B

U B

R

R 1

R 1

R

C

C

C

C

K2

K2

C

C

C

K1

K1

B

B

C

E

E

R 2

Abb. 37.13 Einstellung des Arbeitspunktes mit Basisvorwiderstand

Abb. 37.14 Einstellung des Arbeitspunktes mit Basisspannungsteiler
infolge der Kennlinienkrümmungen unsymmetrisch verstärkt

Eine weitere Möglichkeit, einen Transistor in den AP zu brin-
wird.

gen, ist die Erzeugung der Basisvorspannung durch einen Ba-

Bei Ansteuerung des Transistors mit einem sinusförmigen Si-
sisspannungsteiler nach Abb. 37.14.

gnal an der Basis ändert sich der Kollektorstrom um einen

Der Strom durch R1 teilt sich an der Basis auf in den Basisstrom
bestimmten Wert nach oben und unten. Man kann sagen, dass

I BA und den Querstrom Iq, so dass durch R1 die Summe aus Iq
sich der AP an der Widerstandsgeraden entlang um den AP her-
und I BA fließt, durch R2 jedoch nur der Iq.

um hin und her bewegt.

Der Querstrom Iq sollte verhältnismäßig groß gegenüber dem

Der Arbeitspunkt des Transistors kann durch Einstellung des

Basisstrom gewählt werden. Dies erreicht man, indem der Span-

Basisstroms und durch Einstellung der Basis-Emitter-Spannung
nungsteiler entsprechend niederohmig gemacht wird, so dass
festgelegt werden.

er als unbelastet gelten kann und somit eine von Belastungs-

Die Basis-Emitter-Strecke muss in Durchlassrichtung betrieben
schwankungen weitgehend unabhängige U BE liefern kann.

werden, damit ein Kollektorstrom fließen kann. Das wird durch

D .

eine Basisvorspannung U

Richtwert

Iq

2 : : : 10/ IB

BE erreicht, die doppelt so groß sein
muss wie die Schleusenspannung der Basis-Emitter-Diode.

Die Berechnung der Teilerwiderstände ergibt sich aus:

Die einfachste Schaltung zur Erzeugung dieser Basisvorspan-
nung und zur Einstellung des Basisstroms mit Hilfe des Basis-

U BEA

R D UB

1

(37.29)

vorwiderstandes R1 ist in Abb. 37.13 dargestellt.

I C
q

I BA

Der Spannungsabfall an R1 muss so groß sein, dass von der

R D U BEA

2

(37.30)

Spannung U

I

B gerade noch die Basisvorspannung übrig bleibt,
q
die die Basis-Emitter-Diode in Durchlassrichtung betreibt.

Da die Eingangskennlinie sehr steil verläuft, ergibt schon eine

U
kleine Änderung von U

BEA

BEA eine große Änderung des Basis-

Basisvorwiderstand

R D UB

1

(37.28)

stroms. Deshalb erfolgt die genaue Einstellung des Arbeitspunk-

I BA
tes bei dieser Schaltung durch ein Potentiometer anstelle von R 2.

mit I BA nach (37.27).

Die Lage des Arbeitspunktes ist nicht temperaturstabil. Eine

Durch diese Schaltungsmaßnahme (Konstantstrom) wird der
einfache Möglichkeit zur thermischen Arbeitspunkt-Stabilisie-

Arbeitspunkt des Transistors eingestellt.

rung lässt sich realisieren, indem man parallel zum Widerstand

R

V

2 einen NTC-Widerstand schaltet, der unmittelbar an dem

Die Basisvorspannung bleibt sowohl bei Schwankungen von UB

Transistorgehäuse oder an dem Kühlkörper des Transistors in-
als auch bei Temperaturschwankungen nahezu konstant, weil
stalliert wird. Mit steigender Temperatur wird der Widerstands-

Teil
der Spannungsabfall bei einem Ansteigen von I BA an R1 höher
wert des NTC aufgrund des negativen Temperaturkoeffizienten
wird. Dadurch wird U BE wieder kleiner, verbunden mit einem
kleiner.

Rückgang von I BA auf seinen ursprünglichen Wert.

Da der Ersatzwiderstand einer Parallelschaltung immer kleiner

Von Vorteil ist auch der stets sehr hochohmige Widerstand R1,
ist als der kleinste Teilwiderstand, wird auch der Spannungsab-
weil dadurch die Spannungs- und die Signalquelle nur gering
fall an dieser Parallelschaltung kleiner, so dass IB heruntergere-
belastet werden.

gelt wird und damit auch IC nicht weiter ansteigt.

Nachteilig ist dagegen, dass aufgrund der Exemplarstreuun-

Mit dem Widerstand R 2 lässt sich die Wirksamkeit des NTC ein-
gen der Transistoren jede einzelne Transistorstufe abgeglichen
stellen. Je niederohmiger R 2 ist, umso geringer ist der Einfluss
werden muss, was nach einem möglichen Auswechseln eines
des NTC auf den Widerstandswert der Parallelschaltung.

Transistors wiederholt werden muss.

Diese Art der Arbeitspunkt-Stabilisierung wird betrieben, wenn

Die Kondensatoren CK 1 und CK 2 verhindern, dass eine Gleich-
es sich um eine Verstärkerstufe mit hoher Ausgangsleistung
spannung an den Signalgenerator oder eine davor liegende
handelt, man also auf den Emitterwiderstand RE verzichten

Verstärkerstufe gelangt.

möchte (wegen zu großer Leistungsverluste in ihm) und die

456

37 Analoge Verstärker
i 1 u 1
u
u v

1
u v

2

2 i 2

U B

Eingang
i v

1
i v

2

Ausgang

Verstärker

R 1

R C
i k

C K2
u k

Rückführung

C

C K1

B

E
i v

1 = i i

1 – k
u v

1 = u u

1 – k

R 2

R E

Abb. 37.15 Blockschaltbild des Signalflusses bei einem gegengekoppelten Ver-

C E
stärker

Abb. 37.16 Transistorverstärker mit Emitterwiderstand und Emitterkondensa-
infolge der Verlustleistung des Transistors abgegebene Wärme-
tor
menge groß genug ist, um eine ausreichend große Wirkung auf
den NTC-Widerstand auszuüben.

V1

In den meisten Emitterschaltungen wird eine Arbeitspunktstabi-
u 2v
lisierung durch Gegenkopplung angestrebt.

u 1v
i k

Man spricht von einer Rückkopplung, wenn ein Teil der Aus-
u 1

R C
u 2
gangsenergie eines Verstärkers auf seinen Eingang zurückge-
führt wird. Liegt das rückgekoppelte Signal mit dem Eingangs-
u k

R E
signal in Phase, wirkt es also gleichsinnig mit dem Eingangs-
signal, spricht man von Mitkopplung (Schalter- und Trigger-

Anwendungen). Wirkt das rückgekoppelte Signal jedoch dem

Eingangssignal entgegen, so spricht man von Gegenkopplung.

Abb. 37.17 Strom-Spannungs-Gegenkopplung (Regelkreis)

Abb. 37.15 soll den Signalfluss bei einem gegengekoppelten

Verstärker verdeutlichen. Der strichpunktierte Kasten stellt den

0,6 V sinken. Das wiederum führt zu einem Absinken des Ba-
gegengekoppelten Verstärker dar, während der mit „Verstärker“
sisstroms I
gekennzeichnete Kasten den rückkopplungsfreien Verstärker

B .

darstellt. Das mit „Rückführung“ gekennzeichnete Übertra-

Durch die Gleichstromverstärkung B sinkt der Kollektorstrom
gungsglied koppelt nun eine Ausgangsgröße – entweder dem

IC um einen entsprechenden Betrag ab. Das führt zu einer Sen-

Ausgangsstrom oder der Ausgangsspannung proportional – aus
kung der Spannung an RE; der ursprüngliche Zustand ist wieder
und führt diese Größe mit umgekehrtem Vorzeichen dem Ver-
erreicht.

stärkereingang zu.

Da sich U BE bei jeder kleinsten Emitterstromänderung sofort

Vorteile der Gegenkopplung sind: Die Verstärkerkennwerte
mit verändert, wird die thermische Arbeitspunktstabilisierung
werden gegenüber Temperatureinflüssen und Exemplarstreu-
mit Hilfe eines Emitterwiderstandes in fast allen Verstärker-
ung stabilisiert. Die Ein- und Ausgangswiderstände und die
schaltungen angewandt.

Verstärkung lassen sich in ihrer Größe beeinflussen. Die nichtli-

T

Diesen

Effekt
bezeichnet
man
als

Strom-Spannungs-
eil
nearen Verzerrungen (Klirrfaktor) werden verringert. Der Über-

Gegenkopplung, da eine Stromänderung am Ausgang ( I D

E
ik)

tragungsbereich (Bandbreite) eines Verstärkers kann erhöht
in eine Spannungsänderung am Eingang ( U

D

BE
u 1
uk)

V
werden (Verringerung der linearen Verzerrungen).

umgewandelt wird (Abb. 37.17).

Eine Gegenkopplung hat immer eine Verringerung der Verstär-

Die Güte der Stabilisierung des eingestellten Arbeitspunktes
kung zur Folge. Gegenkopplung kann durch das Einfügen eines
hängt von der Spannung am Widerstand RE und damit vom Wi-

Emitterwiderstandes RE in die Schaltung nach Abb. 37.14 er-
derstandswert ab. Die Änderung des Kollektorstroms infolge
reicht werden.

einer Erwärmung des Transistors kann als Störgröße im Gegen-

Der Emitterstrom I
kopplungskreis aufgefasst werden.

E lässt am Widerstand RE in der Schaltung
nach Abb. 37.16 eine Spannung URE abfallen. Ändert sich der

Richtwert

U

.0;1 : : : 0;2/ U

Strom I

RE

B

E im Transistor aufgrund einer Temperaturänderung, so
regelt sich die Transistorschaltung selber aus.

Der Widerstand R2 muss so berechnet werden, dass an ihm die

Summe der Spannungen aus URE und U BE abfällt.

Beschreibung der Regelung

. U

C

BEA

U RE/

Aufgrund einer Temperaturerhöhung erhöht sich der Strom I

R D UB

(37.31)

C .

1

I C
q

I BA

Daraufhin wird die Spannung U RE beispielsweise von 1 auf

C U

1,1 V ansteigen. Da U

RE

R 2 durch den Basisspannungsteiler kon-

R D U BEA

2

(37.32)

stant gehalten wird, muss die Basisvorspannung U

I

BE um 0,1 auf
q

37.1

Bipolarer Transistor als Verstärker

457

U B

U B

R C

R C

C

C K2

K2

R 1

R 1

C K1

C

C

C

B

K1

B

E

E

R 2

Abb. 37.18 Thermische Arbeitspunktstabilisierung mit Spannungs-Strom-

Gegenkopplung

Abb.

37.19 Arbeitspunkteinstellung
durch

Basisspannungsteiler
bei

Spannungs-Strom-Gegenkopplung

R N

In Abb. 37.16 ist der Emitterwiderstand nur dann gleichstrom-
mäßig wirksam, wenn er mit einem Kondensator CE überbrückt
i k
ist, der auch bei der unteren Grenzfrequenz der Verstärkerstufe
i 1
i 1 v
noch sehr niederohmig gegen RE ist und deshalb jede Wech-
selspannung (D Signal), die am Emitter auftritt, nach Masse

R 1
kurzschließt.

u 1
uv

1
u 2

Befindet sich in der Schaltung nach Abb. 37.16 der Kondensator

CE, so ist wechselstrommäßig nur der Kollektorwiderstand RC
wirksam. Diese Schaltung verhält sich wechselstrommäßig wie

Abb. 37.20 Spannungs-Strom-Gegenkopplung (Regelkreis)

eine Emitterschaltung ohne RE, bei der die Batteriespannung um
den Betrag U REA kleiner ist als im vorliegenden Fall.

Kollektorwiderstand

Eine weitere Möglichkeit zur thermischen Arbeitspunktstabili-
sierung zeigt die Schaltung nach Abb. 37.18. Im Gegensatz zur

U CEA

Stromgegenkopplung, bei der eine dem Ausgangsstrom propor-

R D

UB

C

(37.35)

I

C I

C I
tionale Spannung zum Eingang zurückgekoppelt wird, koppelt

CA

BA
q
man hier einen Teil der gegenphasigen Ausgangsspannung zum

Basisspannungsteilerwiderstände

Eingang zurück (Spannungs-Strom-Gegenkopplung).

Die Stabilisierung wird umso besser, je größer das Verhältnis

U BEA

R D U CEA

1

(37.36)

R

I

C I

C = R 1 wird. Die Gegenkopplung geschieht durch den Wider-

BA
q
stand R1, der den Basisstrom I BA zur Arbeitspunkteinstellung

U

D BEA
liefert. Dieser ist jedoch nicht an die konstante Betriebsspan-

R 2

(37.37)

Iq
nung angeschlossen, sondern an das veränderliche Kollektor-
potential. Da der Widerstand R1 gleich- und wechselspan-

Die Wirkung der Spannungs-Strom-Gegenkopplung lässt sich
nungsmäßig wirksam ist, spricht man von einer Gleich- und
nach Abb. 37.20 mit Unterstützung von Abb. 37.15 nachvoll-

Wechselspannungsgegenkopplung.

ziehen. Der Widerstand RN ist der Gegenkopplungswiderstand

R1 nach Abb. 37.19.

V

Ändert sich in dieser Schaltung die Temperatur, so ändert sich
auch der eingestellte Kollektorstrom, damit auch die Spannung

U CE und als Folge davon die Basisvorspannung U BE.

Teil

37.1.3

Emitterschaltungen

U

B

U CEA

R D

C

(37.33)

I

C

CA

I BA

U

Die Emitterschaltung nach Abb. 37.16 ist die am häufigsten ein-

BEA

R D U CEA

1

(37.34)

gesetzte Grundschaltung. Der Emitter ist bei dieser Schaltung

I BA
wechselstrommäßig der gemeinsame Anschluss für den Ein-
gang und Ausgang des Transistors.

Zur Berechnung von RC kann I BA wegen B > 100 vernachlässigt
werden. In der Schaltung nach Abb. 37.19 wird die Arbeits-

Diese Schaltung wird mit dem Abschlusswiderstand RA belas-
punkteinstellung wieder durch einen Basisspannungsteiler unter
tet und von einer Signalquelle uS mit dem Innenwiderstand RS

Ausnutzung der Gegenkopplung vorgenommen.

gespeist.

Die Wechselspannungsgegenkopplung lässt sich hier nur schwer

Abb. 37.21a zeigt das AC-Ersatzschaltbild der Emitterschal-
unwirksam machen, so dass diese Schaltung nicht häufig Ver-
tung mit dem integrierten Emitterkondensator CE, wobei das
wendung findet.

AC-Ersatzschaltbild des Transistors nach Abb. 37.6 verwendet

458

37 Analoge Verstärker
a
b
i B
i C c
i

1

B
i C

2
h *i

21

B

R
h *i

21

B

R

S
g
u

1
e R 1

R 2
h

R
u

1
a

R
u
u

11
h

C

A
e
h 11
a

R L
u

22
h

S

22
u g
b
e
e
i

1

B
i C

2

R
h *i

S

21

B

Abb. 37.23 AC-Ersatzschaltung mit umgerechneter Signalquelle
u

1
e

R
u

R

B
h

R
a

11
h

C

A
u

22

S
und

Abb. 37.21 AC-Ersatzschaltbild der Emitterschaltung mit Emitterkondensator

R
R

D

1

2

1

2
ug
uS R C

S

R 1

R 2
i o

R s

R

R
ein
aus

R
r i
r o

R
gilt für die Spannungsverstärkung

B

C

R A
u s

ˇ

V D

u
r CE

RL

(37.40)

Abb. 37.22 Vollständige AC-Ersatzschaltung
r BE
und die Stromverstärkung
wird. Der Emitterwiderstand RE erscheint nicht in diesem Er-
r

D

CE
satzschaltbild, da er durch C

Vi

ˇ

(37.41)

E kurzgeschlossen wird.

R C

L
r CE

Die Spannungsrückwirkung wird hier vernachlässigt. Der In-
nenwiderstand der Gleichspannungsquelle kann für Wechsel-

Die Leistungsverstärkung der Stufe, also von Klemme 1 nach
spannungen zu Null genommen werden, so dass der Kollektor-

Klemme 2 gemäß Abb. 37.22, ist geringer als die Multiplikation
widerstand und der Widerstand R1 gegen Masse liegen.

der errechneten Spannungs- und Stromverstärkungswerte.

Fasst man die Parallelschaltung der Widerstände R1 und R2 zum

Leistungsverstärkung

Ersatzwiderstand RB zusammen, so erhält man Abb. 37.21b. So-

R r
mit ergibt sich für diese Transistorstufe die Ersatzschaltung nach

B
eE

V

D

Stufe

V 2 u

Abb. 37.22.

R

C

A

. RB
reE/

(37.42)

Der Wechselstrom-Eingangswiderstand R ein wird bei der Emit-

Hier sind jetzt auch die Wechselstromverluste in den Widerstän-
terschaltung hauptsächlich durch den dynamischen Eingangswi-
den RC, R1 und R2, die zur Arbeitspunkteinstellung erforderlich
derstand r BE des Transistors bestimmt. Der Ausgangswiderstand
sind, berücksichtigt.

R aus ergibt sich als Parallelschaltung des Kollektorwiderstandes

R

Bei der Emitterschaltung wird das Ausgangssignal gegenüber

C mit dem Ausgangswiderstand r 0 (Abb. 37.21) des Transis-

T
tors nach Abb. 37.22.

dem Eingangssignal um 180° phasenverschoben verstärkt wie-
eil
dergegeben.

Eingangswiderstand

V

Die Koppelkondensatoren CK 1 und CK 2 stellen im Idealfall für

R

D

D

ein

R 1

R 2
ri

RB
r BE

(37.38)

die Signalspannung einen Kurzschluss dar. Sie bestimmen die
untere Übertragungsfrequenz des Verstärkers ebenso wie der

Ausgangswiderstand

Emitterkondensator, denn je größer ihre Wechselstromwider-

stände mit abnehmender Frequenz werden, umso geringer wird

R

D

D

aus

RC
r 0

RC
r CE

(37.39)

die Spannungsverstärkung der Schaltung. Darum muss für die

Koppelkondensatoren CK 1 und CK 2 eine untere Grenzfrequenz

Der Wechselstrom-Ausgangswiderstand bei der Emitterschal-
fu angegeben werden, für die diese zu berechnen sind. Als
tung wird also wegen r

aE

RC durch den Kollektorwiderstand

Grenzfrequenz ist die Frequenz festgelegt, bei der die Span-

RC bestimmt.

nungsverstärkung Vu auf 0,707 der Verstärkung bei mittleren

Nunmehr lässt sich die AC-Ersatzschaltung nach Abb. 37.22

Frequenzen abgesunken ist. Das entspricht einer Dämpfung von
vollständig umrechnen nach Abb. 37.23 mit den gegebenen

3 dB.

Werten.

Koppelkondensatoren

Mit

C

D C D

1

R D

I

D

K 1

K 2

L

RC

RA

Rg

R 1

R 2

RS

2 f

C
u

. R aus

R ein/

(37.43)

37.1

Bipolarer Transistor als Verstärker

459
i g
a
b
h *i

U

21
g

CC

U CC

C

R

R
g

L
h

R 1

R 1

11

I L

I L
u 1
u 2

R L

V1

V1
u g

R E

C

R 2

V2

E

R E

R E

Abb. 37.24 AC-Ersatzschaltung für Emitterschaltung mit Emitterkondensator

Abb. 37.26 Konstantstromquellen
i

1

B
i C

2
h *i

R

21

B
s

1

Spannungsverstärkung
h 11
h 22
u s

R 1

R 2

R C

R A
h

R
u

21 e

L
e
u a

V 0 D
u

R

Œ h C . h C 1/ R

E

11 e

21 e

E

(37.45)

Durch die AC-Gegenkopplung wird die AC-Verstärkung der

Abb. 37.25 AC-Ersatzschaltung für Emitterschaltung ohne Emitterkondensator

Transistorstufe herabgesetzt. Daraus folgt, dass die Spannungs-
verstärkung V 0 einer Transistorstufe mit R
u

E ohne CE kleiner ist

als bei einer Stufe mit C

E

RE.

In (37.43) beschreibt R aus den Ausgangswiderstand der si-
gnalgebenden Schaltung und R ein den Eingangswiderstand der

Näherung

V 0 RL

(37.46)

aufnehmenden Schaltung beziehungsweise des Lastwiderstan-
u

RE
des. Die Kapazität des Emitterkondensators ergibt sich für eine
r BE
vorgegebene untere Grenzfrequenz f
wenn RE
u mit folgender Überlegung

ˇ .

nach Abb. 37.24.

Die Wechselstromgegenkopplung macht zwar die Spannungs-

Faktisch liegt der Kondensator C
verstärkung kleiner, ergibt jedoch zwei erhebliche Vorteile:

E parallel zum Widerstand

RE und muss somit bei der Berechnung der Spannungsver-

Die Spannungsverstärkung lässt sich auf einen gewünschten
stärkung berücksichtigt werden. Bei der Grenzfrequenz ist die

Wert mit Hilfe der beiden Widerstände RC und RE einstel-

Verstärkung um 3 dB abgesunken. Bei Frequenzen unterhalb der
len! Die Spannungsverstärkung wird praktisch unabhängig von

Grenzfrequenz ist der Emitterkondensator nicht mehr wirksam.

den Daten des Transistors und hängt nur von den beiden Wi-
derständen ab (wichtig beim Bau von Seriengeräten und bei

Emitterkondensator

Reparaturen)!

R C

C
g
r BE

ˇ RE

Es ist erkennbar, dass der AC-Eingangswiderstand der Schal-

C D

E

2 f

C
tung nach Abb. 37.26 andere Werte hat als in der Schaltung nach
u

RE . Rg
r BE/

(37.44)

Abb. 37.22. Der Eingangswiderstand des Transistors als solcher

Wird der Emitterwiderstand R
ist durch die AC-Wirkung des R

E nicht durch den Kondensator

E größer geworden.

V

CE nach Abb. 37.16 überbrückt, so ist er nach Abb. 37.25

Eingangswiderstand
auch wechselstrommäßig wirksam. In diesem Fall liegt eine

Gleich- und Wechselstromgegenkopplung vor. Ein Teil der AC-

R

D

C

C
ein

RB

Œ h 11 e

. h 21 e

1/ RE

(37.47)

Teil

Ausgangsspannung ua, der Signalspannungsabfall an RE, wird
auf den Eingang zurückgekoppelt.

Der Eingangswiderstand der gegengekoppelten Schaltung
wird aber weiterhin im Wesentlichen durch die Größe der

Diese AC-Gegenkopplung hat Auswirkungen auf die Span-

Spannungsteiler-Widerstände bestimmt.

nungsverstärkung.

Der Ausgangswiderstand der Schaltung ohne Beachtung von RC

Vereinfacht gilt:

und RA wird durch den RE erhöht. Es gilt vereinfacht:

mit

Ausgangswiderstand

R

R D

W

E

L

RC

RA
ua

. iB h 21 e/ RL

R

aus
r CE

1 C
h 21 e

.

(37.48)

h

C

C

11 e

RE

RS/
und

Dieser „widerstandsbehaftete“ Transistor lässt sich nutzen. Die

Transistorschaltung mit RE hat das Verhalten einer Stromquel-
u D

C

C
e
iB Œ h 11 e

. h 21 e

1/ RE
le, da der Widerstand RE die Eigenschaft hat, den Signalstrom

460

37 Analoge Verstärker
i

U

B

B
h *i

21

B

R 1

R g
h

C

11

C K1

B
i

C
u 1

C

K2

E
u g
u 2 R E

R L

R 2

R E

Abb. 37.28 AC-Ersatzschaltung der Kollektorschaltung

Abb. 37.27 Kollektorschaltung mit Basisspannungsteiler

Die Kennwerte der vollständigen Schaltung lassen sich aus dem

AC-Ersatzschaltbild nach Abb. 37.28 herleiten und erklären.

zu stabilisieren beziehungsweise bei konstanter Eingangsspan-

Unter Berücksichtigung des Lastwiderstandes und r

R

E
nung konstant zu halten. Konstantstromquellen nach Abb. 37.26

CE

RL gilt dann:

haben einen sehr großen, theoretisch unendlich hohen Innenwi-
derstand.

AC-Eingangswiderstand

Der Kondensator als Lastwiderstand in der Schaltung nach

R

E

RL

Abb. 37.26b wird linear und nicht nach einer Exponentialfunk-

R

C
ein
r BE

ˇ .

(37.51)

R C R
tion geladen. Die Z-Diode V2 stabilisiert die Versorgungsspan-

E

L /
nung VCC.

Der Wechselstrom-Eingangswiderstand der Kollektorschaltung

Der differentielle Innenwiderstand dieser Konstantstromquelle
ist folglich größer als der einer Emitterschaltung, wird jedoch
lässt sich leicht berechnen.

durch die Parallelschaltung des Basisspannungsteilers RB deut-
lich harabgesetzt.

Innenwiderstand

R

Der Wechselstrom-Ausgangswiderstand der Kollektorschaltung

E
r D dUL D

i
r CE

1 C
h 21 e

(37.49)

ist laut Ersatzschaltbild in seinem Wert kleiner als bei der Emit-
dI

C

L

. h 11 e

RE/
terschaltung.

Wegen I

L

IE lässt sich der Strom dieser Konstantstromquelle

AC-Ausgangswiderstand
berechnen.

Laststrom

C Rg

R

D
r BE
aus

RE

U

ˇ

(37.52)

BEA

I U RE D UR 2

L

(37.50)

RE

RE

Für die Spannungsverstärkung gilt grundsätzlich:

Spannungsverstärkung

37.1.4

Kollektorschaltungen

U RE

V D ua D

u

1

(37.53)

u

C
e

U RE

U BE

Teil

Eine Kollektorschaltung mit Basisspannungsteiler ist in

Da die Summe der Spannungen unter dem Bruchstrich größer

Abb. 37.27 dargestellt. Bei der gezeigten Schaltung wird die Ba-
ist als der Wert oberhalb, gilt Vu < 1!

V
sisvorspannung durch den Vorwiderstand R2 erzeugt und der AP
durch den Emitterwiderstand RE stabilisiert. Der Emitterwider-

Für die Stromverstärkung gilt grundsätzlich:

stand darf nicht durch einen Kondensator gebrückt werden, weil
an R
i

I C I

E das Ausgangssignal abgegriffen wird. Die Kondensato-
a

C

B

V D

D

D Č 1

(37.54)

ren C
i
k 1 und Ck 2 trennen den Generator und den Lastwiderstand
ie

IB
gleichstrommäßig von der Schaltung.

Näherungsweise kann mit V
i

ˇ gerechnet werden.

Diese Schaltung wird nun (vgl. Abschn. 37.1.3) mit dem Last-
widerstand R

Da die Leistungsverstärkung V

L belastet und von einer Signalquelle uS mit dem
p das Produkt aus Vu und Vi ist,

Innenwiderstand R
gilt bei V 1 und V ěine Leistungsverstärkung

S gespeist. Die Parallelschaltung der Wider-
u
i
stände R1 und R2 fasst man zum Ersatzwiderstand RB zusam-
men.

V

p

Vi

ˇ

(37.55)

Nun lässt sich die AC-Ersatzschaltung nach Abb. 37.28 mit den

Da ein größerer Basisstrom bei der Kollektorschaltung auch
gegebenen Werten vollständig berechnen.

einen höheren Kollektorstrom und damit Emitterstrom bewirkt,

R
wird auch bei steigendem Basisstrom der Spannungsabfall an

1

R 2

R D

D

g

R 1

R 2

RS;
ug
uS

RE größer. Bei der Kollektorschaltung entsteht somit keine Pha-

R C

S

R 1

R 2
senverschiebung zwischen dem Ein- und Ausgangssignal.

37.2

Feldeffekt-Transistor als Verstärker

461

U

Generell gilt für den Wechselstrom-Ausgangswiderstand der

B

Basisschaltung

R C

R 1

AC-Ausgangswiderstand

C

C

K1 E

C

K2

B
r

C

BE

.Č 1/ RS

R

aus

RC

RC

(37.57)

r

R

R

CE

S

E

C B

R 2

Die Spannungsverstärkung einer Basisschaltung ergibt sich aus
zur Emitterschaltung ähnlichen Zusammenhängen. Da bei der

Basisschaltung r

CE

RC ist, gilt

Abb. 37.29 Verstärkerstufe in Basisschaltung mit Basisspannungsteiler

ˇ RC

Spannungsverstärkung

V
u

(37.58)

i B
i C
r BE
h *i

R

21

B
s

Ist ein Lastwiderstand vorhanden, so liegt dieser parallel zu R
u

1

C

1 R
h
u

E

11

R
h

C

2

R A
und muss entsprechend berücksichtigt werden.

22
u s

ˇ

Stromverstärkung

V D

i

1

(37.59)

Abb. 37.30 AC-Ersatzschaltbild der Basisschaltung

Č 1

Da die Leistungsverstärkung das Produkt aus Spannungs- und

Die Grenzfrequenz unterscheidet sich hier kaum von der der

Stromverstärkung ist, gilt näherungsweise:

Emitterschaltung. Aufgrund des hohen Eingangswiderstandes

ˇ R
und des niedrigen Ausgangswiderstandes wird die Kollektor-

C

Leistungsverstärkung

V

p

Vu

(37.60)

schaltung als Impedanzwandler verwendet; sie ermöglicht die
r BE

Anpassung hochohmiger Signalquellen an kleine Verbraucher-

Aus der Art der Ansteuerung ist erkennbar, dass es keine
widerstände. Durch die geringe Belastung des Signalgenerators

Phasendrehung zwischen Eingangs- und Ausgangssignal geben
ist sie gut verwendbar als Eingangsstufe für mehrstufige Ver-
kann.

stärkerschaltungen.

Die höchste übertragbare Frequenz f go liegt bei der Basis-
schaltung in der Nähe der Transitfrequenz, aber auf jeden Fall

37.1.5

Basisschaltung
oberhalb der Grenzfrequenz der Emitterschaltung. Den Grund
dafür findet man im Wechselstrom-Ersatzschaltbild. Da die Ba-
sis direkt an Masse liegt, kann über die interne Kapazität C CB

Bei der Basisschaltung ist die Basis gemeinsamer Bezugspunkt
des Transistors das Ausgangssignal nicht auf den Eingang zu-

(Elektrode) für das Ein- und Ausgangssignal.

rückgeführt werden.

Abb. 37.29 zeigt eine vollständige Verstärkerstufe, die mit ei-

Die Grenzfrequenz der Basisschaltung errechnet sich daher zu
nem Basisspannungsteiler (R1 und R2) zur Basisvorspannungs-
erzeugung versehen ist. Beachtenswert ist hier der Anschluss-
f

D
go

ˇ f goEmitter

(37.61)

punkt für die Versorgungsspannung UB.

V

Der Arbeitspunkt wird durch den Widerstand R

Aufgrund der hohen Grenzfrequenz wird diese Schaltung fast

E stabilisiert.

Der Kondensator C
ausschließlich in Hoch- und Höchstfrequenzschaltungen einge-

B sorgt dafür, dass die Basis des Transistors
wechselspannungsmäßig auf Masse gelegt wird. Für Wechsel-
setzt (Eingangsstufe für Signalfrequenzen größer 100 MHz).

Teil
spannungen schließt der Kondensator CB den Widerstand R2

Ein weiterer Vorteil ist der niedrige Eingangswiderstand der Ba-
des Spannungsteilers kurz, während der Widerstand R1 durch
sisschaltung, der eine sehr gute und einfache Anpassung an die
die Batterie (Netzteil) kurzgeschlossen wird. Somit ist der Ba-
niedrige Antennenimpedanz von Z D 75 ( ermöglicht.

sisspannungsteiler im AC-Ersatzschaltbild nicht vorhanden.

Die Kennwerte lassen sich aus dem AC-Ersatzschaltbild nach

Abb. 37.30 herleiten und erklären.

37.2

Feldeffekt-Transistor als

AC-Eingangswiderstand

Verstärker
u

1

RE r BE

R

D

D
ein

(37.56)

i

C

1
r BE

.Č 1/ RE

Feldeffekt-Transistoren haben im Vergleich zu den bipolaren

Der Wechselstrom-Eingangswiderstand der Basisschaltung ist

Transistoren für die Anwendung als AC-Verstärker zwei erheb-
wesentlich niedriger als der der beiden anderen Grundschaltun-
liche Vorteile. Auf die geringeren nichtlinearen Signalverzer-
gen.

rungen beim FET ist bereits hingewiesen worden. Die große

462

37 Analoge Verstärker

I D

U

I

B

D
mA

R

10 10

D=2,25kΩ

R

U

Abschnürgrenze

D

RD

9

9

–U GS=0V

8

8

D

7

7

–0,5V

U DS+15V

6

6

–1,0V

–U

G

GS

S

5

5

U DS

A

A

–1,5V

4

4

Δ U GS

3

3

–2,0V

2

2

–2,5V

1

1

0

0

–U

5V4 3 2 1 0

0 2 4

6 8 10 12 14 16 18

GS

U

Abb. 37.31 Prinzipschaltung eines Verstärkers mit J-FET

DS

U

V

DS

U B

Eingangsimpedanz der FET ist ein weiterer Vorteil, denn sie er-
t
t
möglicht eine große Spannungsverstärkung.

Δ U GS=1V

Δ U DS=6,75V

Der Verstärkungsvorgang bei den FET ist im Prinzip identisch
mit dem der bipolaren Transistoren (Abb. 37.31).

Abb. 37.32 Verstärkungsvorgang beim J-FET

Durch eine negative Gate-Source-Spannung U GS wird bei die-
sem N-Kanal-J-FET der Arbeitspunkt eingestellt, der damit

I

I

D

D

I D

I
sowohl für die Übertragungskennlinie wie auch für das Aus-

DS

D

D

D
gangskennlinienfeld bestimmt ist. Dort liegt der Arbeitspunkt

G

G

G

S

S

S
im Schnittpunkt der Arbeitsgeraden mit der ID- U DS-Kennlinie
mit U GS als Parameter. Die Arbeitsgerade gehorcht den gleichen

Bedingungen wie bei den bipolaren Transistoren.

U

U

U

P

U GS

P

GS

U GS

Das zu verstärkende Signal U GS wird der Gate-Source-

Spannung überlagert und lässt nunmehr in der Summe den

Abb. 37.33 Steuerkennlinien der drei N-Kanal-Typen

Arbeitspunkt auf der Arbeitsgeraden wandern. Die positive

Amplitude des Signals lässt die Gate-Source-Spannung U GS
positiver werden und somit den Drainstrom ID ansteigen. Da-

Ruhestrom I DA, da hier die Kennlinie nahezu linear verläuft.

durch erhöht sich der Spannungsabfall am Drainwiderstand

Muss ein temperaturunabhängiger Arbeitspunkt gewählt wer-

RD. Infolge dieser Spannungserhöhung muss die Drain-Source-
den, kann der Kompensationspunkt genommen werden.

Spannung U DS kleiner werden. Ein- und Ausgangsspannung
haben hier also entgegengesetzte Polarität, was von der Emit-

Für diesen Arbeitspunkt wird in Abschn. 35.2 die Gate-Source-
terschaltung bei den bipolaren Transistoren her bekannt ist.

Spannung U GSK ermittelt. Größere Nichtlinearität ist hier aller-
dings die Folge.

Eine nahezu verzerrungsfreie Verstärkung des Signals U GS ist
nur zu erwarten, wenn der Arbeitspunkt im Ausgangskennlini-

T

Bei der Aussteuerung muss gewährleistet werden, dass die
eil
enfeld auch bei maximaler Amplitude des Signals nicht über

Drainspannung die im Datenblatt angegebene Durchbruchspan-
die Abschnürgrenze hinaus in den ohmschen Bereich wandert.

nung U.BR/DS nicht übersteigt.

V

Abb. 37.32 veranschaulicht den beschriebenen Vorgang. Die

Analogie zu den bipolaren Transistoren ist unübersehbar.

In Abb. 37.32 ist der Arbeitspunkt so gewählt, dass U

D

DS

UB=2
ist. Wie bei einem Verstärker mit bipolarem Transistor ist das ein
guter Arbeitspunkt.

37.2.1

Arbeitspunkteinstellung und

Dieser Arbeitspunkt muss nun mit der Gate-Source-Spannung

-stabilisierung

U GS eingestellt werden. Abb. 37.33 zeigt die Steuerkennlinien
der drei möglichen N-Kanal-Typen mit günstigen Arbeitspunk-
ten für den Betrieb in AC-Verstärkern.

Bei der Verwendung des FET als Verstärker wird nur der

Abschnürbereich des Ausgangskennlinienfeldes benutzt. Der

Beim J-FET und beim MOS-FET vom Normally-On-Typ ist die

Arbeitsbereich, also der Bereich, in dem der Arbeitspunkt liegen

Steuerspannung U GS negativ, beim MOS-FET vom Normally-
darf, ist durch folgende Kurven beziehungsweise Werte be-

Off-Typ dagegen positiv zu machen.

grenzt: die Verlusthyperbel, die Abschnürgrenze und die Kenn-

Eine Arbeitspunktstabilisierung ist nur bei der Source Schal-
linien für die maximale und minimale Gate-Source-Spannung.

tung, die der Emitterschaltung entspricht, vorzusehen. Die

Bei Kleinsignal-Aussteuerung legt man den Arbeitspunkt in den
beiden anderen Grundschaltungen sind infolge der internen Ge-
oberen Bereich der Übertragungskennlinie bei einem großen
genkopplung thermisch stabil.

37.2

Feldeffekt-Transistor als Verstärker

463

I DA U B

I

U

DA

B

R D

R D

C A

D

G

U

D

DSA

C E

S

U DSA

–U GS

S

G
u a

R V
u

C

U

R
e

S

RS

S

R

U

V

RS

R S

Abb. 37.35 Vollständige Verstärkerstufe mit J-FET

Abb. 37.34 Arbeitspunktstabilisierung mit automatischer Gate-Source-

Spannung

U

I

B

DA

J-FET sind selbstleitende Typen, bei denen auch ohne Gate-

R 1

R D

Source-Spannung ein großer Drainstrom fließt. Dies ist auch bei

C A
den MOS-FET vom Normally-On-Typ der Fall.

D

C E

G

Dieser Umstand ermöglicht die Arbeitspunkteinstellung und

S

-stabilisierung mit Hilfe der automatischen Gate-Source-
u a

Spannung. Die automatische Erzeugung dieser Spannung mit

C
u

S
e

Hilfe eines Widerstandes R

R 2

R

S in der Sourceleitung zeigt die

S

Schaltung nach Abb. 37.34. Der durch die Widerstände RD und

RS fließende Drainstrom I DA lässt am Sourcewiderstand RS ei-
ne Spannung U RS abfallen. Die Source-Elektrode ist daher um

Abb. 37.36 Verstärkerschaltung mit selbstsperrenden MOS-FET
den Wert dieser Spannung positiver als das über den Wider-
stand RV auf Masse gelegte Gate, wobei daran erinnert sei,
dass die Gate-Source-Strecke quasi einen unendlich hohen Wi-

Bei den selbstsperrenden MOS-FET ist die automatische
derstand darstellt und somit kein Gatestrom fließt. Damit wird

Vorspannungserzeugung nicht möglich. Aus diesem Grun-
deutlich, dass mit Hilfe des Sourcewiderstandes RS die Gate-
de werden die Normally-Off-Typen immer und die anderen

Source-Spannung eingestellt werden kann.

FET bei bestimmten Gelegenheiten mit Hilfe eines Gate-

Gate-Source-Spannung

Spannungsteilers nach Abb. 37.36 „in den Arbeitspunkt ge-
bracht“ und mit dem Sourcewiderstand RS gegen Arbeitspunkt-

U

D

D

schwankungen stabilisiert.

RS

U GS

I DA RS

(37.62)

Für direkt gekoppelte Verstärkerschaltungen können nur FET

Ein steigender Drainstrom führt zu einer negativer werdenden
verwendet werden, deren Drain-Source- und Gate-Source-

Gate-Source-Spannung, die ihrerseits den Drainstrom begrenzt

Spannung gleiche Polarität haben. Je nach Verhältnis der Wi-
beziehungsweise verkleinert. Ein sinkender Drainstrom führt zu
derstände R 1, R 2 und RS lassen sich mit dem Spannungsteiler
einem entgegengesetzten Effekt. Es handelt sich also bei diesem
entsprechende Vorspannungen am Gate einstellen.

V

Sourcewiderstand RS um eine Gleichstrom-Gegenkopplung, wie

Jetzt lassen sich auch Arbeitspunkte im oberen Teil der Über-
sie beim bipolaren Transistor zur thermischen Arbeitspunktsta-
tragungskennlinie einstellen. Unter Vernachlässigung des Gate-
bilisierung bereits behandelt worden ist.

Teil
stroms IG lässt sich der Drainstrom ID berechnen.

Wird der FET mit einer Wechselspannung angesteuert, fällt an

Drainstrom

RS eine Wechselspannung ab, die eine gegenkoppelnde Wir-

R 2
kung hat. Wie in der Emitterschaltung (bipolare Transistoren)

U U

R

B

GS

U 0

U GS

I D

1 C R 2

D

(37.63)

wird auch hier die AC-Verstärkung gemindert. Will man ei-

D

RS

RS
ne AC-Gegenkopplung vermeiden, kann durch einen genügend

Je größer der Spannungsabfall an den Widerständen R
großen Kondensator C

2 und

S der Widerstand RS wechselspannungs-

R
mäßig kurzgeschlossen werden. Die Kondensatoren C

S gewählt wird, umso besser lassen sich Änderungen des

E und CA
nach Abb. 37.35 dienen zur Ein- und Auskopplung des Signals.

Arbeitspunktes durch Exemplarstreuungen des FET oder Tem-
peraturschwankungen reduzieren. Der Spannungsteiler sollte

Je größer der Widerstand RS gewählt wird, umso geringer wird
aber nicht zu hoch gewählt werden, da sonst die exponentiel-
eine mögliche Arbeitspunktverschiebung aufgrund von Exem-
le Temperaturabhängigkeit des Gatestroms wirksam wird. Wird
plarstreuungen des FET sein. Nachteilig ist dann jedoch die sich
der Spannungsteiler zu niederohmig, wird der Wechselstrom-
ergebende Lage des Arbeitspunktes im unteren Teil der Übertra-

Eingangswiderstand der Verstärkerschaltung wesentlich redu-
gungskennlinie.

ziert.

464

37 Analoge Verstärker

U

U

B

B

R

R 1

R

D

D

C

C

A

A

R 2

R 1

D

C E

G

D

S

C E

G

S

R 3

C N

C 3

R 2

R S

Abb. 37.39 Spannungsgegenkopplung ohne Signalgegenkopplung

Abb. 37.37 Bootstrap-Schaltung mit selbstsperrenden FET

Die Spannungs-Gegenkopplung kann für Signalspannungen mit

U B
höherer Frequenz aufgehoben werden. Hierzu wird der Ge-

R D
genkopplungswiderstand in der Schaltung nach Abb. 37.38 in

C A

R 1
zwei Widerstände mit gleichem Widerstandswert aufgeteilt und
ein Kondensator vom Mittelpunkt des Teilers gegen Masse
geschaltet, wie in Abb. 37.39 zu sehen ist. Für die Signalspan-

D

C E
nung bestimmt der Widerstand R

G

2 den Eingangswiderstand der

S

Schaltung.Der Arbeitspunkt bei Drainschaltungen, die den Kol-
lektorschaltungen entsprechen, lässt sich auf die gleiche Weise
wie zuvor beschrieben einstellen.

Abb. 37.38 Verstärkerstufe mit selbstsperrenden FET und Spannungsgegen-
kopplung

37.2.2

Grundschaltungen von FET

Das Betriebsverhalten von FET wird durch die vier typischen

Bei vorgegebenen Werten für den Bereich des gewünschten Ar-

Eigenschaften dieser Transistoren bestimmt:

beitspunktes (Wandern des AP auf der Arbeitsgeraden) lässt
sich der Sourcewiderstand durch Vorgabe des maximalen und
hoher Eingangswiderstand im NF-Bereich
minimalen Ruhestroms ( I
verhältnismäßig geringe Vorwärts-Steilheit

DAC , I DA ) berechnen.

hoher Ausgangswiderstand (da spannungsgesteuerte Strom-
quelle)

Sourcewiderstand

R D U GSAC U GSA

S

(37.64)

vernachlässigbar kleine Spannungsrückwirkung im NF-

I DAC I DA

Bereich.

Der Spannungsteiler kann als unbelastet angenommen werden.

Entsprechend der Emitter-, Kollektor- und Baisschaltung des

Teil
bipolaren Transistors lässt sich der FET als Verstärker in

R 1

UB

Teilerverhältnis

D

1

(37.65)

der Source-, Drain- und Gateschaltung betreiben. Jede dieser

V

R

C

2

I DA RS

U GSA

Grundschaltungen weist hinsichtlich der Betriebsgrößen typi-
sche Eigenschaften auf.

Häufig wird die Spannung U RS in der Größenordnung um

1 V gewählt, während der Querstrom I

Die wichtigsten Kenngrößen dieser Grundschaltungen sind:

q durch den Teiler im

Mikroampere-Bereich liegt.

Wechselstrom-Eingangswiderstand R ein, Wechselstrom-Aus-
gangswiderstand R aus, Spannungsverstärkung Vu, Stromverstär-

Da sich der Drainstrom bei Temperaturerhöhung nur geringfü-
kung Vi, Phasenverschiebung '. In den folgenden Abschnitten
gig verringert, können FET ohne zusätzliche Sicherheitsmaß-
werden die Betriebsgrößen (Kenngrößen) der drei Grundschal-
nahmen parallelgeschaltet werden.

tungen mit N-Kanal-J-FET beschrieben beziehungsweise be-
rechnet.

Weitere Schaltungen zur Arbeitspunkteinstellung und -stabili-
sierung haben zusätzlich zum Ziel, einen hohen Eingangswi-
derstand des Verstärkers zu realisieren. Die Bootstrap-Schaltung

37.2.2.1

Sourceschaltung
nach Abb. 37.37 lässt sich genauso wie die Spannungs-Gegen-

Die Source-Schaltungen nach Abb. 37.35 und 37.41 sind die am
kopplung nach Abb. 37.38 mit selbstsperrenden FET anwenden.

meisten verwendeten Verstärkerschaltungen des FET.

Die Spannungsverstärkung wird durch die Gegenkopplung her-
abgesetzt, was bereits von den bipolaren Transistoren her be-

Mit Hilfe der Widerstände RV , RS und RD oder R 1, R 2, RS und
kannt ist.

RD wird der Arbeitspunkt des FET eingestellt und stabilisiert.

37.2

Feldeffekt-Transistor als Verstärker

465
c gd
a
c gd
g
g
i
gd
gd
i
g
g i
i

1

2 d

1

2 d
g
c gs S*u

R
ds

Z
c
c

Z
e

D

S
u e

S
gs
ds
u
u

Z
e
u
a

A
g

S*u
a

Z
g
c
gs
e
g

L
u

R

R
g
ds
u
gs
ds
s

1

2
ds
s
s
s
s
s
b
c gd

Abb. 37.40 AC-Ersatzschaltbild zur Source- Schaltung nach Abb. 37.35
g i
g gd
i

1

2 d

Z S
c gs S*u e

I

U

R
u

Z

DA

B

B
a

L
u
u
e
c
s
g
ds
gs
g ds

R 1

R D
s
s

C A

Abb. 37.42 AC-Ersatzschaltbilder zur Source-Schaltung nach Abb. 37.41

C

D

E

G

S
u a

Z a

Z
geringe Rückwirkungsleitwert g
s
gd, so dass sich die Gleichung
u e
mit einer rein ohmschen Last RL vereinfachen lässt.

C S
u s

R 2

R

Spannungsverstärkung (NF)

S

S

V D
u

(37.67)

Abb. 37.41 Source-Schaltung mit Gatespannungsteiler
g C
ds

GL

Das negative Vorzeichen in der Gleichung weist auf die Phasen-
verschiebung ' zwischen Ein- und Ausgangssignal hin.

Um eine AC-Gegenkopplung zu verhindern, ist der Sourcewi-
derstand in beiden Schaltungen durch einen genügend großen

Der Kanalwiderstand r

D
ds

1= g ds ist sehr hochohmig, so dass

Kondensator C

S kurzgeschlossen. Die Kondensatoren CE und
gilt: r ds

RL.

CA dienen in beiden Schaltungen zur gleichstrommäßigen Ent-
kopplung des FET-Verstärkers von der Signalquelle und vom

Spannungsverstärkung (NF)

V
u

S RL

(37.68)

Lastwiderstand.

Die betriebliche Stromverstärkung der Source-Schaltung lässt

Aufgrund der komplexen y-Parameter der Vierpol-Ersatzschal-
sich mit (37.41) für niedrige Frequenzen bei rein ohmscher Last
tung soll hier für die vorläufige Betrachtung ein komplexer
berechnen.

Innenwiderstand Z der Signalquelle und ein komplexer Last-

S
widerstand Z als Abschlusswiderstand angenommen werden.

S G

A

L

Stromverstärkung (NF)

V D
i
g

C G

Zur Source-Schaltung nach Abb. 37.35 gehört das AC-Ersatz-
gs. g ds

L /

(37.69)

schaltbild nach Abb. 37.40. Der Widerstand Z steht hier als

L

Mit g

ds

GL gilt dann:

Ersatzwiderstand für die Parallelschaltung von Z und R

A

D.

In der Schaltung nach Abb. 37.41 wird der Arbeitspunkt durch

Stromverstärkung (NF)

V S
i

(37.70)

den Gatespannungsteiler eingestellt.

g gs

Zur Source-Schaltung nach Abb. 37.41 gehört das AC-Ersatz-

V

Da der Leitwert g gs sehr klein ist, ergibt sich rein rechne-
schaltbild nach Abb. 37.42a. Am Eingang des J-FET liegt die
risch eine große Stromverstärkung bei tiefen Frequenzen. Bei

Parallelschaltung von R 1 und R 2, am Ausgang liegt wieder die
hohen Frequenzen bewirken die kapazitiven Elemente des Er-

Teil

Parallelschaltung von Z und R

A

D.

satzschaltbildes eine Reduzierung der Stromverstärkung. Der

Als Vereinfachung findet man R

AC-Eingangswiderstand R ein ist derjenige Widerstand, mit dem

B für R 1

R 2 und Z als Ersatz-

L

die Verstärkerschaltung die Signalquelle belastet. Der komplexe
widerstand für Z
R

A

D in Abb. 37.42b.

Eingangsleitwert y der Source-Schaltung lässt sich nach (37.47)

i

Nimmt man (37.45) in Verbindung mit dem Ersatzschaltbild, so
berechnen. Es ergibt sich folgende Vereinfachung:

erhält man die betriebliche Spannungsverstärkung der Source-

Eingangsleitwert y

Schaltung.

i

Spannungsverstärkung
y D

C

C

C
i
g gs
g gd
j! C iss

. g gd
j! C rss/ Vu

(37.71)

S C g gs

Es ist erkennbar, dass sich der kapazitive Anteil des Eingangs-

V D
u

(37.66)

S C g C

C
leitwertes bei größeren Werten für die Spannungsverstärkung
ds
g gs

GL
beträchtlich erhöht, wodurch die obere Grenzfrequenz erheblich

Bei niedrigen Frequenzen können die kapazitiven Elemente des
reduziert wird. Bei Annahme eines rein ohmschen Generator-

Ersatzschaltbildes ebenso vernachlässigt werden wie der sehr
leitwertes Gg ergibt sich folgender Zusammenhang:

466

37 Analoge Verstärker
obere Grenzfrequenz

U B

R 1

R D
g C

C
gs

Gg
g gd.1 Vu/
f D

C
o

(37.72)

A

2Œ C C
gs

C gd.1 Vu/

D

C E

G

Die kapazitive Rückwirkung über den Kondensator C

S
gd be-
wirkt also die niedrige Grenzfrequenz der Source-Schaltung.

R S′

Der komplexe Generatorleitwert Y lässt sich als Parallelschal-
u a
g

u e
tung Z
R

R 2

S

B berechnen.

C S

Bei niedrigen Frequenzen ist der Eingangsleitwert rein reell und

R S
sehr klein

Eingangsleitwert

Abb. 37.43 Verstärkerschaltung mit einstellbarer Wechselstrom-Gegenkopp-
lung

S g gd
y D

C
i
g gs
g gd.1 C

/

(37.73)

g C

C
ds
g gd

GL
eine Verbesserung des Frequenzganges und der Stabilität. Au-
und kann in vielen Fällen näherungsweise gelten als
ßerdem ergeben sich geringere nichtlineare Verzerrungen des

Signals.

Eingangsleitwert
y
i
g gs

(37.74)

Um nicht die volle Gleichstrom-Gegenkopplung für Wechsel-

Der AC-Ausgangswiderstand R aus ist derjenige Widerstand,
signale wirksam werden zu lassen, benutzt man häufig eine
der als Innenwiderstand der Verstärkerstufe für einen Lastwi-

Schaltung nach Abb. 37.43. Hier wird eine Strom-Spannungs-
derstand wirksam ist. Der komplexe Ausgangsleitwert y der
a

Gegenkopplung durch einen Sourcewiderstand R 0 bewirkt. Die

S

Source-Schaltung lässt sich nach (37.39) berechnen.

kapazitiven Elemente des Ersatzschaltbildes können bei nied-

Ausgangsleitwert
rigen Frequenzen vernachlässigt werden. Bei ohmscher Last
ergibt sich dann folgende Gleichung:

y D

C

C j! C rss. S j! C rss/
a
g ds
j! C oss

(37.75)

Spannungsverstärkung (NF)

g C

C
gs
j! C iss

Yg

S

Bei niedrigen Frequenzen ergibt sich näherungsweise:

V 0
u

G C

C

L
g ds

R 0 G

S

L . S C g ds/

(37.77)

Ausgangsleitwert
y
a
g ds

(37.76)

Bei großer Steilheit S und einem großen Sourcewiderstand R 0 S

Der Ausgangsleitwert lässt sich aus den Kennlinien zum Bei-
wird die Verstärkung nur durch das Verhältnis der Widerstände
spiel nach Abb. 37.33 ermitteln.Die wesentlichen Merkmale der

RL und R 0 bestimmt.

S

Source-Schaltung im NF-Betrieb sind der geringe Eingangs-

Spannungsverstärkung (NF)

leitwert, die große Spannungsverstärkung bei hochohmigem

Lastwiderstand, die große Stromverstärkung und mittlere Werte
für den Ausgangsleitwert.

V 0 RL

(37.78)

T
u

R 0
eil

S

AC-Eingangswiderstand

Der Ausgangswiderstand des Transistors wird durch die „stabi-

V

R

ein

RV
r gs
oder

R ein

RB
r gs
lisierende Wirkung“ des Gegenkopplungswiderstandes erhöht.

Angenähert ergibt sich für den Ausgangswiderstand des Tran-
da r

gs

RV oder r gs

RB gilt folgende Näherung:

sistors folgender Wert:

R

Ausgangswiderstand
ein

RV
oder

R ein

RB

AC-Ausgangswiderstand

1 D r 0 r

/

ds.1 C S R 0
y 0
a

S
a

R

aus

RD
r ds

Der Wert in der Klammer ist die Kreisverstärkung in der Gegen-
da r

ds

RD gilt folgende Näherung:

kopplungsschleife.

R

aus

RD

Wie in Verstärkerschaltungen mit bipolaren Transistoren wird
die untere Grenzfrequenz durch die Widerstände und Kapazi-

Obwohl eine AC-Gegenkopplung die Spannungsverstärkung
täten (Hochpässe) in den Ein- und Ausgangskreisen bestimmt.

mindert, wird sie häufig angewendet, da sie die Source-

FETs sind gleichstromsteuernde Bauelemente und haben keinen

Schaltung positiv beeinflusst. Die AC-Gegenkopplung bewirkt

Einfluss auf die untere Grenzfrequenz fu.

37.2

Feldeffekt-Transistor als Verstärker

467

U
c gs

I

B

DA
g

R 1
g i 1
gs
i 2 d

D

Z

C

S
u
c

( u - u )

E
e
gd
u
e
a
a

Z

C
g
c

A

A
u

R
gd
ds

G

S

S

1 R 2
g

R
ds

S

S u

( - u )

e
a
s
s
u e

R
u a

R 2

S

Abb. 37.45 AC-Ersatzschaltbild zur Drain-Schaltung

Abb. 37.44 J-FET als Verstärkerbauelement in Drainschaltung

Spannungsverstärkung (NF)

S C g gs

V D
u

(37.80)

Die Kapazitätswerte für C

C

C

E und CA lassen sich berechnen nach

S C g ds
g gs

GL
folgenden Gleichungen.

Das AC-Ersatzschaltbild zur Drain-Schaltung nach Abb. 37.44

Koppelkondensatoren
zeigt Abb. 37.45. Der Leitwert GL ist hier der Ersatzleitwert

für R

A

RS. Sind S und GL sehr viel größer als g gs und g ds,

C D

1
kann (37.80) weiter vereinfacht werden. Analog zur Source-

E

2 f

C
u. RB

ZS/

Schaltung lässt sich auch die Stromverstärkung der Drain-

Schaltung ermitteln.

C D

1

A

2 f

C
u. RD

ZA/

Wie bei der Source-Schaltung lässt sich auch der komple-
xe Eingangsleitwert der Drain-Schaltung ermitteln. Für den

Jeder Hochpass in der Verstärkerschaltung bewirkt bei der un-

NF-Bereich und bei rein ohmscher Last vereinfacht sich die
teren Grenzfrequenz eine Absenkung der Verstärkung um 3 dB.

Gleichung.

Soll in jeder Verstärkerstufe insgesamt nur eine Absenkung von

3 dB zugelassen sein, müssen die Kondensatoren 1,7mal so groß

Eingangsleitwert (NF)

wie berechnet gewählt werden.

g gs. S C g gs/

Der Sourcekondensator, der die Gegenkopplung für die Signale
y D

D

C

i
gi
g gs
g gd

(37.81)

S C g C g C G
aufheben soll, kann nach folgender Gleichung berechnet wer-
gs
ds

L
den:

Sind S und GL sehr viel größer als g gs und g ds, ergibt sich mit

S
g

gd

0 eine weitere zulässige Vereinfachung.

C D

S

2 fu

Eingangsleitwert (NF)

g G

37.2.2.2

Drainschaltung
gs

L
y D

D
i
gi

(37.82)

S C GL

Die Schaltung nach Abb. 37.44 zeigt einen J-FET als Verstär-
ker in einer Drain-Schaltung. Hier darf der Sourcewiderstand

Wiederum analog zur Source-Schaltung lässt sich auch der kom-
nicht durch einen Kondensator gebrückt werden, weil in dieser
plexe Ausgangsleitwert der Drain-Schaltung ermitteln. Für den

Schaltung das Ausgangssignal am Sourcewiderstand abgegrif-

NF-Bereich ergibt sich mit g

gd

0 und bei rein ohmschem Ge-
fen wird. Der Koppelkondensator C
neratorleitwert G diese Gleichung.

E verhindert eine Gleich-

V
stromkopplung mit dem Generator.

Ausgangsleitwert (NF)

Da das Sourcepotential dem Gatepotential folgt ( u D

a
ue
u gs/,

Teil

wird die Drainschaltung auch Sourcefolger genannt.

g gs. Gg

S/
y D

D

C
a
ga

S C g ds

(37.83)

g C
gs

Gg

Nimmt man nun (37.45) in Verbindung mit dem Grundersatz-
schaltbild, so ergibt sich die betriebliche Spannungsverstärkung

Der AC-Eingangswiderstand R ein ist derjenige Widerstand, mit
der Drain-Schaltung.

dem die Verstärkerschaltung die Signalquelle belastet.

Spannungsverstärkung

AC-Eingangswiderstand

S C g C

gs
j!. C iss

C rss/

.

V D

R ein

RV

1 C S RS/ r gs
u

(37.79)

S C g C

C

C

gs
g ds
j!. C iss

C oss

2 C rss/ C YL
oder

Die Spannungsverstärkung der Drain-Schaltung ist immer klei-

ner als Eins. Da die Kapazitäten im NF-Bereich vernachlässigt

R

ein

RB

.1 C S RS/ r gs
werden können, vereinfacht sich die Gleichung VI.79 bei rein
ohmscher Last erheblich.

also: R

ein

RV oder R ein

RB.

468

37 Analoge Verstärker

U
c

B
ds

R

R 1
s
i
g

D

1
ds
i 2 d
g

C
u
gd

A

Z
e

S

R
c
u a
gs

Z

D

S
u
g gs

S u

*

R

A
e

D

S
c

G
gd

S
g
g

C E

Abb. 37.47 AC-Ersatzschaltbild zur Gate-Schaltung nach Abb. 37.46
u a
u e

R 2

R S

C

Spannungsverstärkung (NF)

G

S C g ds

V D
u

(37.85)

Abb. 37.46 Gate-Schaltung
g

C

C
gd
g ds

GL

Sehr stark vereinfacht ergibt sich dann:

Der AC-Ausgangswiderstand R aus ist derjenige Widerstand, der

Vu.NF/ S RL
als Innenwiderstand der Verstärkerstufe für einen Lastwider-
stand wirksam ist.

Bei niedrigen Frequenzen liegt die Stromverstärkung bei unge-
fähr V
i

1.

AC-Ausgangswiderstand

Der AC-Eingangswiderstand R

ein ist derjenige Widerstand, mit
dem die Verstärkerschaltung die Signalquelle belastet. In der

R

aus

RS

1= S also: R aus

1= S

Schaltung nach Abb. 37.46 ist erkennbar, dass der Kondensa-

Die Drain-Schaltung ist vergleichbar mit der Kollektorschaltung
tor CG die Widerstände R 1 und R 2 des Gatespannungsteilers
von bipolaren Transistoren. Während der Eingangswiderstand
für Signale kurzschließt, so dass diese Widerstände im AC-
sehr groß ist, wird der Ausgangswiderstand klein. Im Gegensatz

Ersatzschaltbild nach Abb. 37.47 nicht mehr erscheinen.

zur Kollektorschaltung ist der Ausgangswiderstand unabhängig

Eingangsleitwert
von Widerständen im Eingang.

y D

C

C

C
i

S C g gs
g ds
j!. C gs

C ds/

Der Vorteil der Drain-Schaltung gegenüber der Source-

. g C j! C

C j! C

Schaltung ist der geringere Ausgangswiderstand. Deshalb wird

ds
ds/. S C g ds
ds/

C

C

C

(37.86)

die Drain-Schaltung als Impedanzwandler und bei Verwendung
g gd
g ds
j!. C gd

C ds/ C YL
eines Leistungs-FET auch als Leistungsverstärker benutzt.

Für den NF-Bereich sind die Kapazitäten wieder vernachlässig-
bar.

37.2.2.3

Gateschaltung

Eingangsleitwert (NF)

Bei der Gate-Schaltung nach Abb. 37.46 liegt das Eingangssi-
g

ds. GL

S C g gd/
gnal zwischen Source und Gate, während das Ausgangssignal
y D

D

C
i
gi

S C g gs

(37.87)

g

C g C G
zwischen Drain und Gate abgegriffen wird.

gd
ds

L

Analog dazu erhalten wir nun nach (37.33) den Ausgangsleit-

T

Das Eingangssignal soll wieder von einer Signalquelle US mit
eil
wert des FET.

dem komplexen Innenwiderstand Z geliefert werden. Belastet

S
wird die Verstärkerstufe mit dem komplexen Abschlusswider-

Ausgangsleitwert

V
stand Z .

A
y D

C

C

C
a
g gd
g ds
j!. C gd

C ds/

Das AC-Ersatzschaltbild nach Abb. 37.47 zeigt die Besonder-

. g C

C
ds
j! C ds/. S C g ds
j! C ds/
heiten dieser Schaltung und macht die Berechnung der Betriebs-

(37.88)

S C g C g C j!. C C C
größen im Vergleich mit der Vierpol-Ersatzschaltung möglich.

gs
ds
gs
ds/ C Yg

Nimmt man nun (37.45) in Verbindung mit dem Ersatzschalt-

Für den NF-Bereich sind die Kapazitäten wieder vernachlässig-
bild, so ergibt sich die betriebliche Spannungsverstärkung der
bar.

Gate-Schaltung.

Ausgangsleitwert (NF)

Spannungsverstärkung
g

C
ds. g ds

Gg/
y D

D

C
a
ga
g gd

(37.89)

C

S C g C g C G
j! C
gs
ds
g
ds

V D

S C g ds
u

(37.84)

g

C

C

C

Die wesentlichen Merkmale der Gate-Schaltung sind ein großer
gd
g ds
j!. C gd

C ds/ C YL

Eingangs- und ein kleiner Ausgangsleitwert. Mit der Gate-

Im NF-Bereich können wiederum die kapazitiven Leitwerte ver-

Schaltung ist die höchste Grenzfrequenz aller Grundschaltungen
nachlässigt werden, so dass sich bei rein ohmscher Last und

zu erreichen. Sie wird darum fast ausschließlich bei hohen Fre-

R D

L

RD

RA folgende Gleichung ergibt.

quenzen verwendet.

37.2

Feldeffekt-Transistor als Verstärker

469

U

≥ U

U

DS

DSP

B

R S

I L

R V

U GS

U

U

C

L

R L
r DS

U DS

–U GS

Abb. 37.48 Konstantstromquelle mit J-FET

Abb. 37.49 J-FET als spannungsgesteuerter Widerstand

37.2.3

Weitere Anwendungen

I

I

Konstantstromquellen sind Schaltungen mit einem sehr hoch-

D

R
ohmigen Innenwiderstand, die in einem größeren Spannungsbe-

R

U DS
reich nahezu gleichbleibende Ströme zur Verfügung stellen. Mit
selbstleitenden Feldeffekt-Transistoren lassen sich solche Kon-

U

U

St

GS
stantstromquellen besonders einfach realisieren.

Bei der Spannung U

D

GS

0 V fließt durch einen J-FET der
maximale Drainstrom. In der Schaltung nach Abb. 37.48 lässt

Abb. 37.50 Selbstleitender IG-FET als spannungsgesteuerter Widerstand
sich die Gate-Source-Spannung mit Hilfe des Sourcewiderstan-
des RS variieren und damit wiederum der Ausgangsstrom IL
veränderbar gestalten. Der Arbeitspunkt des FET muss im Ab-

Wird ein Festwiderstand RV nach Abb. 37.49 in Reihe zum
schnürbereich des Ausgangskennlinienfeldes liegen, dass heißt,

Drain-Source-Widerstand eines J-FET geschaltet, entsteht ein
die Drain-Source-Spannung U

Spannungsteiler, der sich leicht berechnen lässt.

DS darf nicht kleiner sein als

U DSP.

r DS

Spannungsteiler

U

D j
j

DS

U GS

(37.93)

Unter Vernachlässigung des Gatestroms ergibt sich eine einfa-

R C

V
r DS
che Gleichung.

Der geringste Widerstand der Drain-Source-Strecke ergibt sich,

U D

C

D

B

U DS

U GS

RL IL
wenn die Steuerspannung U GS

0 V ist. Damit ergibt sich eine
interessante Kenngröße (mit ˇ als Materialkonstante), der mini-

Die Gatespannung wird meistens in der Weise gewählt, dass der
male Drain-Source-Widerstand.

Arbeitspunkt in der Mitte der Steuerkennlinie liegt. Hier lässt
sich auch ermitteln, welche Gate-Source-Spannung für einen
minimaler Drain-Source-Widerstand
bestimmten Laststrom IL bei vorgegebenem Sourcewiderstand
erforderlich ist.

r DS.on/ D

1

ˇ

(37.94)

UP

U GS

Laststrom

I D

D

L

ID

(37.90)

R

Der Widerstand der Drain-Source-Strecke lässt sich auch in der

S
folgenden Form angeben:

Bei vorgegebenem Ausgangsstrom darf der Lastwiderstand
einen bestimmten maximalen Wert nicht übersteigen.

Drain-Source-Widerstand

V
r
maximaler Lastwiderstand

DS.on/
r

D

DS

(37.95)

C

1 U GS

U

UP

P

Teil

R

D UB

L max

(37.91)

IL

Durch eine Rückkopplung zwischen Drain und Source wird die

Bei konstanter Betriebsspannung der Schaltung lässt sich der
vorhandene Nichtlinearität weitgehend aufgehoben, wenn ei-

Innenwiderstand dieser Konstantstromquelle berechnen.

ne Spannung U GS gewählt wird, die sich zur Hälfte aus der

Steuerspannung U St am Eingang und der Spannung U DS zusam-

Innenwiderstand
r D

C

C
i

RS
r DS. S RS

1/

(37.92)

mensetzt.

Der Arbeitspunkt eines IG-FET wird nun in den ohmschen

Eine entsprechende Schaltung mit einem selbstleitenden IG-

Bereich der Ausgangskennlinie gelegt und so die Drain-Source-

FET zeigt Abb. 37.50.

Strecke als spannungsgesteuerter Widerstand betrieben. Mit

Für die Drain-Source-Strecke ergibt sich R DS als

Hilfe der Gate-Source-Spannung lässt sich dieser Widerstand
zwischen Werten von einigen Ohm bis in den Megaohm-Bereich
r DS.on/

R

D

D

DS
r DS
hinein nahezu leistungslos variieren. Da die ID- U DS-Kennlinien

1 U St

2 UP
des FET aber nur für kleine Werte von U DS annähernd linear ver-
laufen, sind die Anwendungsmöglichkeiten sehr eingeschränkt.

Damit errechnet sich der gesteuerte Widerstand R St.

470

37 Analoge Verstärker

U B

I D
mA

R

Abschnürgrenze

L

AP2

D

U B

G

R L

S

U

I

A

D(On)

U E

U GS

AP1

Abb. 37.51 Selbstsperrende N-Kanal-IG-FET als Schalter im Serienbetrieb

U GS = 0V

I D(Off)

U B U DS

U DS(On)

V
gesteuerter Widerstand

Abb. 37.52 Ausgangskennlinienfeld eines IG-FET mit Arbeitsgerade

R

D

1

St
r DS

(37.96)

ˇ.

U

U St U

B

V1

2

P/ C 1 U St

U DS

2 R

Wählt man die Widerstände R sehr hochohmig, kann der Strom I
vernachlässigt werden und der Näherungswert aus (37.96) wird
gültig.

V2

U E

U A

Im Vergleich zum bipolaren Transistor weist der FET beim Ein-
satz als Schalter einige Vorteile auf:

nahezu leistungslose Steuerung aufgrund des hohen Ein-

Abb. 37.53 Schalttransistor in C-MOS-Technik
gangswiderstandes

Drainstrom sehr gering im gesperrten Zustand
für integrierte Schaltungstechnik aufgrund der einfachen

Abb. 37.53 leitend, so wird der Lasttransistor V1 gesperrt. Der

Herstellung und geringen Abmessungen gut geeignet

Lasttransistor V1 ist also bei Einschaltung sehr hochohmig, was
selbstsperrende IG-FET für digitale Logikschaltungen be-
im Hinblick auf einen geringen Leistungsverbrauch in integrier-
sonders geeignet, da die einzelnen Schalterstufen direkt
ten Schaltkreisen vorteilhaft ist. Die Schaltung nach Abb. 37.53
gleichstrommäßig gekoppelt werden können
stellt einen Inverter mit komplementären IG-FET dar.

gutes dynamisches Schaltverhalten, da nur Majoritätsträger
am Strom beteiligt sind.

Die Schaltung nach Abb. 37.51 zeigt einen selbstsperrenden

37.3

Mehrstufige Verstärker

N-Kanal-IG-FET als Schalter im Serienbetrieb. Solange die

Eingangs- oder Steuerspannung UE kleiner ist als die Schwel-
lenspannung U GS.TO/, befindet sich der FET im gesperrten Obwohl integrierte Schaltkreise (IC D integrated circuits) die

Zustand und auf der Arbeitsgeraden im Arbeitspunkt AP1. In
bisherigen diskreten Schaltungen und Transistoren immer mehr

Teil
diesem Zustand fließt nur der sehr geringe Drainstrom ID.Off/, verdrängen, werden die Transistoren auch in Zukunft noch in
wobei der Gleichstromwiderstand R DS.Off/ und der differentielle vielen elektronischen Schaltungen eine erhebliche Bedeutung

V

Widerstand r DS.Off/ etwa den gleichen Wert (109–1011 () haben. behalten.

Überschreitet die Eingangsspannung die Schwellenspannung,

Dieses gilt insbesondere auch für die Lösung von Anpassungs-
so verschiebt sich der Arbeitspunkt an der Arbeitsgeraden ent-
problemen an Ein- und Ausgängen von integrierten Schaltkrei-
lang zu größeren Drainstromwerten. Bei einer ausreichenden
sen sowie für die Leistungsverstärker.

Eingangsspannung stellt sich der Arbeitspunkt AP2 im ohm-

Ein Verstärker besteht einerseits aus einer oder mehreren Vor-
schen Bereich des Kennlinienfeldes nach Abb. 37.52 ein. Es
stufen, die hauptsächlich zur Spannungsverstärkung und eventu-
fließt nun ein Drainstrom ID.On/, da die Drain-Source-Strecke ell zur Signalbeeinflussung (zum Beispiel Klangregelung) die-
relativ niederohmig ist, wobei auch hier der Gleichstromwider-
nen. Andererseits besteht er aus einem Leistungsverstärker, der
stand R DS.Off/ und der differentielle Widerstand r DS.Off/ etwa den mit einem Eingangssignal hoher Spannungsamplitude angesteu-
gleichen Wert (10 bis einige 100 () haben.

ert wird und dessen Aufgabe es ist, vor allem eine Leistungs-

Schalterstufen erhalten für die Integration besonders günstige
oder Stromverstärkung vorzunehmen.

Eigenschaften, wenn man als Lastwiderstand ebenfalls einen

Der Leistungsverstärker selbst kann aus einer oder mehreren

IG-FET verwendet, der gegensinnig zum eigentlichen Schalt-

Treiberstufen und einer Endstufe bestehen.

transistor besteuert wird. Das wird sehr einfach, wenn man für

Steuer- und Last-FET komplementäre Systeme verwendet (C-

Treiberstufen haben die Aufgabe, die zum Ansteuern der End-

MOS-Technik). Wird der eigentliche Schalttransistor V2 nach
stufe notwendige Steuerleistung zur Verfügung zu stellen. Um

37.3

Mehrstufige Verstärker

471

U

C

B

K

R

R 1

C1

R 3

R C2

C K3

C K2

C
u e r

R
r

C 1

R 3

R 4

K1

V2

CE1

BE2

V1
u

C
a
u

E

C E
e

R 2

R 4

R

R

R aus

R ein

E

E

Abb. 37.55 Koppelkondensator in Wechselwirkung zwischen Ein- und Aus-

Abb. 37.54 Kapazitive Kopplung zweier Transistorstufen
gangswiderstand

U B
eine optimale Leistungsübertragung zu gewährleisten, sollte

R C2
zwischen Treiber- und Endstufe eine Leistungsanpassung vor-

R 1

R C1
liegen. Das bedeutet, dass der Eingangswiderstand der Endstufe

C K2
gleich dem Ausgangswiderstand der Treiberstufe sein sollte.

C K1

V2

Es nicht ohne weiteres möglich, zwei Verstärkerstufen mitein-

V1
u a
ander zu koppeln, da die Gleichspannungspotentiale der mitein-

C
u

E
e

R E
ander zu koppelnden Schaltungspunkte nicht übereinstimmen.

Die Kopplung hat die Aufgabe, Signalspannungen vom Aus-
gang der einen Stufe möglichst unverfälscht auf den Eingang

Abb. 37.56 Direkte Kopplung zweier Transistorstufen
der nachfolgenden Stufe zu übertragen.

Dabei ist grundsätzlich zwischen drei Kopplungsarten zu
unterscheiden: Übertragerkopplung, kapazitive Kopplung (RC-

Koppelkondensator

Kopplung) und galvanische Kopplung (Gleichstromkopplung).

Die Übertragerkopplung, also die Signalübertragung von einer

C D

1

K

2 f

C R

Stufe zur nächsten mit Hilfe eines „Transformators“, hat in der
gu. R aus
ein/

(37.97)

modernen Elektronik kaum noch eine Bedeutung. Das gilt auch

Die wirksamen Widerstände lassen sich nach Abb. 37.55 als
für die Gleichstromkopplung in der diskreten Schaltungstech-

Parallschaltung berechnen. Die Nennspannung dieses Koppel-
nik. Eine Gegenkopplung über zwei Stufen hinweg lässt sich
kondensators ergibt sich aus der Differenz der Ruhepotentiale
jedoch nur bei der galvanischen Kopplung realisieren.

des Kollektors von V1 und der Basis von V2.

In Operationsverstärkern (OpAmp) ist die galvanische Kopp-

Je niedriger die untere Grenzfrequenz sein soll, um so größer
lung wichtigstes Prinzip.

muss die Kapazität des Koppelkondensators sein.

Die kapazitive Kopplung nach Abb. 37.54 ist wohl die pro-

Die untere Grenzfrequenz f 0 eines mehrstufigen Verstärkers ist
blemloseste Kopplungsart. Aber während bei einer galvanischen
gu
nicht identisch mit der unteren Grenzfrequenz f

Kopplung zwischen zwei Verstärkerstufen sowohl Gleichspan-
gu der gleicharti-
gen Teilverstärkerstufe. Für einen vielstufigen Verstärker mit n
nungs- als auch Wechselspannungssignale übertragen werden,
identischen Stufen gilt dann:

können hier nur Wechselspannungen übertragen werden.

p

Die Kopplung der einzelnen Stufen erfolgt mit Hilfe eines

Grenzfrequenz
f 0 D f

2/. n1/

(37.98)

gu
gu.

V

Koppelkondensators CK 2, während die Stufen des Verstärkers
gleichstrommäßig voneinander unabhängig sind. Daher können

Es findet auch eine Minderung der Verstärkung bei der oberen

Teil
die Arbeitspunkte jeder Stufe getrennt voneinander eingestellt

Grenzfrequenz f 0
statt, da sich die jeweiligen Querkapazi-
go
werden.

täten summieren. Das bedeutet, dass die Bandbreite B 0 des

Gesamtverstärkers kleiner ist als die Bandbreite B der Teilver-

Die untere Grenzfrequenz des Verstärkers hängt wesentlich von
stärkerstufen.

dem RC-Glied (Hochpass) ab, das durch den Koppelkondensa-
tor und den Eingangswiderstand R ein der nachfolgenden Stufe

Bei der RC-Kopplung mehrerer Stufen kann für bestimmte Fre-
sowie den Ausgangswiderstand R aus der vorausgehenden Stufe
quenzen eine große Phasenverschiebung zwischen Ausgangs-
nach Abb. 37.55 gebildet wird.

und Eingangsspannung auftreten. Eine Gegenkopplung kann
unter Umständen in eine Mitkopplung verkehrt werden. We-

Der Koppelkondensator CK muss so bemessen sein, dass Wech-
sentlich günstiger ist es, mehrere Transistoren galvanisch zu
selspannungen bei der unteren Grenzfrequenz noch ungehindert
koppeln und alle Arbeitspunkte der Schaltung durch eine ein-
auf die nächste Stufe übertragen werden. Die Grenzfrequenz des
zige Gleichspannungs-Gegenkopplung zu stabilisieren.

Hochpasses ist gleich der unteren Grenzfrequenz f gu des Ver-
stärkers, wenn CK die einzige beeinflussende Kapazität darstellt.

Diese direkte Kopplung nach Abb. 37.56 ist jedoch nur möglich,

Damit lässt sich die Kapazität des Koppelkondensators berech-
wenn die Potentiale des Kollektors von V1 und der Basis von V2
nen.

gleich sind.

472

37 Analoge Verstärker

U B

U B

R

R

R 1

R 1

C1

C2

R

R

C1

C2

R 3

V3

V1

V1

V1

V2
u a
u
u
e
u
e
a

R 2

R 4

R 2

R 4

Abb. 37.57 Potentialanpassung durch Spannungsteiler

Abb. 37.59 Potentialanpassung durch Spannungsteiler mit Z-Diode

U B

U B

R

R 1

C1

R C2

R 1

R

R 5

R

C1

C2

R 3

C K2

C K2

R 3

V1

V2

V2

V1

V3

C
u
u

E
a
e
u

R 2

R 4

R 5

R 6
a
u e R 2

R 4

R E

Abb. 37.58 Optimierung der Arbeitspunkte durch Potentiometer

Abb. 37.60 Potentialanpassung durch Transistorkonstantstromquelle

Der Nachteil mehrstufiger Verstärker mit direkter Kopplung
liegt darin, dass sich geringe Arbeitspunktverschiebungen der
gleichen Arbeitspunkt wie die 1. Stufe eingestellt. Der Verlust
ersten Stufe verstärkt auf die nachfolgende(n) Stufe(n) auswir-
von Signalspannung am Widerstand R5 ist in dieser Variante
ken. Temperaturänderungen oder Bauteiltolerenzen bei Ersatz-
nicht zu vermeiden.

bestückung können dafür verantwortlich sein.

Die Gesamtverstärkung ist relativ klein, weil die am Ausgang

Wenn die Potentiale des Kollektors von V1 und der Basis von
der 1. Stufe liegende Signalspannung u. a. durch den Span-

V2 jedoch nicht gleich sind, so kann man das Basisruhepotential
nungsteiler und den kleinen Eingangswiderstand der 2. Stufe
von V2 über einen von der Kollektor-Emitter-Spannung von V1
stark herabgesetzt wird.

versorgten Spannungsteiler gewinnen.

Die Herabsetzung der Signalspannung durch das Koppelglied

U BE2

R

4
kann vermieden werden, wenn man einen der beiden Span-

U

C

CE1

R 3

R 4
nungsteilerwiderstände R3 und R4 durch ein Bauelement er-

Nachteilig ist jedoch, dass auch die Signalspannung im Verhält-
setzt, dessen Wechselstromwiderstand (differentieller Wider-
nis der Spannungsteilerwiderstände R3 und R4 nach Abb. 37.57
stand) sich von seinem Gleichstromwiderstand wesentlich un-
terscheidet.

T
herabgesetzt wird.

eil

Damit lässt sich die Gesamtverstärkung näherungsweise berech-

Es erfolgt wie gewünscht eine Herabsetzung des Gleichspan-

V
nen.

nungspotentials, jedoch keine Herabsetzung der Signalspan-
nung.

Gesamtverstärkung

Nun bestehen zwei Möglichkeiten:

U

BE2

R 4
r BE2

V

D

u ges

Vu 1

V

u 1

(37.99)

U

man ersetzt R3 durch ein Bauelement mit niedrigem diffe-

CE1

R C

3

R 4
r BE2
rentiellen Widerstand oder

Der Arbeitspunkt der 1. Stufe nach Abb. 37.58 wird mit Hilfe
man ersetzt R4 durch ein Bauelement mit hohem differenti-
des Widerstandes R2 für den A-Betrieb eingestellt. Der Emit-
ellen Widerstand.

terwiderstand R4 sorgt für die thermische Arbeitspunktstabili-
sierung infolge der Stromgegenkopplung. Da der R4 nicht durch

In beiden Fällen ist das Spannungsteilerverhältnis wechsel-
einen Emitterkondensator gebrückt ist, wirkt sich die Stromge-
strommäßig wesentlich günstiger als bei einer Kopplung mit
genkopplung verstärkungsmindernd auf die Wechselspannung
ohmschem Spannungsteiler. Für die erste Möglichkeit bieten
aus. Arbeitspunktverschiebungen infolge Temperaturänderung
sich Dioden und Z-Dioden an, die nach Abb. 37.59 integriert
werden an die 2. Stufe weitergegeben.

werden.

Zur Verbesserung der Aussteuerbarkeit der 2. Stufe wird deren

Bei der zweiten Möglichkeit wird der Widerstand R4 durch eine

Arbeitspunkt durch den Spannungsteiler aus R3 und R5 auf den

Transistorkonstantstromquelle in Abb. 37.60 ersetzt.

37.3

Mehrstufige Verstärker

473

U

U

B

B

C 1

R

R

R 1

R

C1

C2

C1

R 4

C K2

C K1

V2

C K1

V2

V1

C K2

V1
u a

R 1
u e
u a
u

R 2

R 3

R 5
e

C E

R E

Abb. 37.61 Zweistufiger Verstärker mit komplementären Transistoren

Abb. 37.62 Zweistufiger NF-Verstärker mit galvanischer Kopplung und Gegen-
kopplung

Es gilt

R
i 1

1

U

u 2

CE1

U BE2
ik

In beiden Fällen wird also die Signalspannung durch das Kop-
pelglied nur unwesentlich herabgesetzt. Allerdings sind diese
u 1

R N
u 2

Schaltungen aufwendiger. Sie sollten wegen des besonders
u 1

R 2
hohen Aufwandes für das Koppelglied nur bei hohen Anforde-
rungen an geringes Rauschen verwendet werden.

Die genannten Nachteile lassen sich weitgehend vermeiden,
wenn man den zweistufigen Verstärker mit komplementären

Abb. 37.63 Prinzip der Strom-Strom-Gegenkopplung

Transistoren aufbaut, wie die Schaltung nach Abb. 37.61 zeigt.

Beide Transistoren arbeiten auch hier in Emitterschaltung. Mit

Das Prinzip der Strom-Strom-Gegenkopplung lässt sich anhand
den Widerständen R2 und R4 werden die Arbeitspunkte so ein-
des in Abb. 37.63 dargestellten Regelkreises unter Beachtung
gestellt, dass beide Stufen im A-Betrieb arbeiten, so dass jeweils
der Schaltung nach Abb. 37.62 nachvollziehen. Eine Erhöhung
ein größtmöglicher Aussteuerbereich vorhanden ist. Mit dieser
des Emitterstroms von V2 bewirkt eine Erhöhung des Span-

Schaltung lässt sich eine höhere Verstärkung erreichen.

nungsabfalles an RE, wodurch das Basisruhepotential von V1

Bei mehrstufigen Verstärkern wird neben der gleichstrommäßi-
größer wird. Dadurch wird der Basisstrom von V1 erhöht, was
gen Gegenkopplung auch eine zusätzliche wechselstrommäßige
zu einer Erhöhung des Kollek- torstroms von V1 führt. Damit

Gegenkopplung über mehrere Stufen verwendet.

senkt sich das Basisruhepotential von V2; der Transistor V1
wird weniger leitend und der Emitterstrom von V2 verringert

Eine Gegenkopplung liegt vor, wenn ein Teil der Signalspan-
sich.

nung am Ausgang des Verstärkers gegenphasig, dass heißt mit
einer Phasenverschiebung von 180° auf den Eingang des Ver-

Bei galvanisch gekoppelten Verstärkerstufen sind die Transisto-
stärkers zurückgeführt wird. Solange diese Phasenbedingung
ren direkt oder über ohmsche Widerstände miteinander verbun-
eingehalten wird, kann die Rückkopplung über eine Stufe oder
den. Alle Arbeitspunkte werden durch eine einzige Gleichspan-

V
auch über mehrere Stufen erfolgen. Die Verstärkerkennlinie
nungsgegenkopplung stabilisiert.

wird linearisiert. Dadurch werden die sonst auftretenden Ver-

Durch eine wechselstrommäßige Gegenkopplung können die
zerrungen verringert.

Teil

Eigenschaften des Verstärkers weiter verbessert werden. Bei

Bei der Schaltung nach Abb. 37.62 handelt es sich um einen
geeigneter Dimensionierung kann zum Beispiel die Span-
zweistufigen NF-Verstärker mit galvanischer Kopplung beider
nungsverstärkung weitgehend unabhängig von den Transistor-

Stufen. Für Wechselspannungen arbeiten die Transistoren V1
daten und deren Streuung gemacht werden. Hierbei wird häu-
und V2 in Emitterschaltung ohne Gegenkopplung. Die Wi-
fig eine Spannungs-Spannungs-Gegenkopplung verwendet. In
derstände R1 und RE dienen der Arbeitspunkteinstellung und

Abb. 37.64 wird das Grundprinzip der Spannungs-Spannungs-

-stabilisierung. RE bewirkt eine Gleichstromgegenkopplung für

Gegenkopplung dargestellt.

den Transistor V2. Für Gleichspannungen arbeitet V2 bezüglich

Die Ausgangswechselspannung u
seines Emitterpotentials als Emitterfolger. Bei Vernachlässi-

2 wird über den Widerstand

R1 auf den Emitter von V1 zurückgekoppelt. Das zur Emit-
gung von U BE2 ist damit sein Emitter-DC-Potential gleich dem
terwechselspannung u

Kollektor-DC-Potential von V1.

k phasengleiche Signal u 2 vergrößert uk ,
so dass auch die Eingangswechselspannung u 1 größer wer-

Über den Widerstand R1 ist der Transistor V1 für DC voll ge-
den muss. Die Gesamtverstärkung wird allerdings kleiner. Die
gengekoppelt. Aufgrund des Kondensators CE ist der Verstärker

Schaltung nach Abb. 37.65 gibt dieses Prinzip der Spannungs-
für Wechselgrößen nicht gekoppelt.

Spannungs-Gegenkopplung wieder.

474

37 Analoge Verstärker

U B

R 1

R C1
u 1

C K1

V2

R 1
u 2

V1

C K2
u 1

R 3
uk

R 2
u

R
e

R 2

R 4

C2
u a

C 4

Abb. 37.64 Prinzip der Spannungs-Spannungs- Gegenkopplung

Abb. 37.67 Zweistufiger NF-Verstärker mit Komplementärtransistoren

U B

10

1

R

R

C1

C2

6

C

8

K2

+ U B

4

V2

A

V1

9

3

R K
u a

E

2
u e

TAA 370

0V

R E1

R E2

7

5

Abb. 37.68 Innenbeschaltung des IC TAA 370

Abb.

37.65 Schaltung
mit

Anwendung
der

Spannungs-Spannungs-

Gegenkopplung

U B

R 2

U B

R L

R

R

C 5

C1

C2

Z L

8 10

6

C

4

K2

TAA 370

9 5

3

7

2

1

V2

V1 R

R 4

K
u a

C 1

C 2

C 3
u

R 1
e

C 4

C E

R 3

R

R

E1

E2

Teil

Abb. 37.66 Zweistufiger NF-Verstärker mit galvanischer Kopplung und doppel-

Abb. 37.69 Hörgeräteverstärker als Application des TAA 370
ter Gegenkopplung

V

Macht man nun die AC-Gegenkopplung sehr stark, ˇ

2

Kombiniert man beide Gegenkopplungsverfahren miteinander,

R

C 2= RK

1, so vereinfacht sich die Gleichung weiter.

ergibt sich die Schaltung nach Abb. 37.66. Der Emitter von V1
liegt nun nicht mehr auf Nullpotential. Die Gleichspannung an

Spannungsverstärkung

V 0 RK

(37.100)

R
u

E 1 ist jedoch vernachlässigbar klein, wenn man diesen Wider-

RE 1
stand genügend klein und RK genügend groß wählt.

In Anlehnung an die Schaltung nach Abb. 37.61 kann auch

Diese beiden Widerstände sind für die AC-Gegenkopplung zu-
eine Schaltung nach Abb. 37.67 verwendet werden, in der
ständig, während R1 und RE 2 für die DC-Gegenkopplung über

Komplementärtransistoren miteinander verschaltet sind. Der
beide Stufen hinweg sorgen.

Spannungsabfall am Widerstand RC 1 stellt die Basis-Emitter-

Spannung U BE2 für V2. Der Widerstand R3 stellt die DC-

Die Gegenkopplung hat aber auch einen wesentlichen Einfluss

Gegenkopplung dar. Die Reihenschaltung aus R4 und C 4 ver-
auf die Bandbreite des Verstärkers. So wird die Bandbreite
ringert die Gegenkopplung für Wechselspannungen.

um so größer, je stärker die Verstärkung Vu durch die Ge-
genkopplung auf V 0 verkleinert wird. Dies ist besonders bei

Diese Schaltungskombination ermöglicht oft eine einfachere
u

Breitbandverstärkern von Bedeutung.

Potentialanpassung.

37.3

Mehrstufige Verstärker

475

NF-Verstärker werden häufig in integrierter Schaltungstechnik

(IC) hergestellt. Es handelt sich dabei um galvanisch gekop-
pelte Verstärkerstufen, wobei die Gesamtverstärkung und der

Frequenzgang häufig nur durch eine äußere Beschaltung beein-
flusst werden. Ein Beispiel für einen solchen NF-Verstärker ist
der IC TAA 370 in Abb. 37.68.

Als Schaltungsbeispiel (application) ist in Abb. 37.69 ein Hör-
geräteverstärker dargestellt. Die Ausgangsleistung der Schal-
tung beträgt P D 1;5 mW, wobei sich die Verstärkung und damit
die Lautstärke mit dem Potentiometer R1 einstellen lässt.

U D C

D

D

B

1;3 V;

R 1

25 k(;

R 2

5 k(;

R D

D

D

3

1;5 k(;

R 4

120 k(;

C 1

0;47 &F;

C D

D

D

D

2

22 nF;

C 3

C 4

1 &F;

C 5

2;2 &F;

R D

D

L

100 (;

ZL

300 (

V

Teil

Endstufen

38

Peter Döring

38.1 Betriebsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

38.2 Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

V

Teil

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477

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_38

478

38 Endstufen

38.1

Betriebsarten

I C

Um möglichst große Leistungen an einen Verbraucher, wie zum

Beispiel einen Lautsprecher, abgeben zu können, braucht man

Endstufen. Das sind Verstärkerschaltungen, bei denen eine mög-

AB

B
lichst große Signalleistung im Vordergrund steht, während die

AB-Betrieb

Spannungsverstärkung nur eine Nebenrolle spielt.

t

Da große Leistungen selbstverständlich auch große Spannungen

B-Betrieb
und Ströme bedeuten, werden die Transistorkennlinien in den
t

Endstufen voll durchgesteuert. Eine nicht völlig lineare Kennli-
nie führt dabei zu Verzerrungen des Ausgangssignales.

Abb. 38.1 Lage der Arbeitspunkte bei B- beziehungsweise AB-Betrieb im Kenn-
linienfeld

Bei Leistungsverstärkern können verschiedene Arbeitspunkte
auf der Arbeitsgeraden gewählt werden. Man unterscheidet
dann Verstärker im A-Betrieb, Verstärker im B-Betrieb und Ver-

Bei großen Leistungen spielt der Wirkungsgrad eine erhebliche
stärker im AB-Betrieb.

Rolle. Gute Endstufen erreichen einen Wirkungsgrad von nahe-
zu 70 %. Die Verlustleistung der Transistoren wird im Transistor

Bisher wurde der Arbeitspunkt immer in die Mitte des gerad-
in Wärme umgewandelt und muss an die Umgebungsluft abge-
linigen Kennlinienfeldes gelegt. Diese Betriebsart nennt man
geben werden. Wegen der relativ hohen Verlustleistung sind die

A-Betrieb. Für die Arbeitspunkteinstellung ist die Vorspannung

Endtransistoren meistens auf Kühlkörper montiert.

U BEA erforderlich, aus der ein Basis-Ruhestrom I BA beziehungs-
weise ein Kollektor-Ruhestrom I CA folgt. Der Transistor wird
dabei durch beide Halbwellen des Steuersignals ausgesteuert.

Die Ruheströme fließen aber auch, wenn die Signalspannung

38.2

Schaltungen

Null ist.

Durch den ständig fließenden großen Ruhestrom tritt bei A-

Bei diesen im A-Betrieb arbeitenden Verstärkern werden beide

Betrieb eines Leistungsverstärkers die größte Verlustleistung

Halbwellen einer sinusförmigen Signalspannung mit einem ein-
auf, wenn der Verstärker nicht ausgesteuert wird. Der Wirkungs-
zigen Transistor verstärkt. Man spricht deshalb auch von einem
grad einer solchen Schaltung kann nicht größer als 50 % werden.

Eintakt-Betrieb.

Für Leistungsverstärker werden im allgemeinen Verstärkerstu-

Beim B-Betrieb wird der Transistor ohne Vorspannung U BE be-
fen in Kollektorschaltung (Emitterfolger) verwendet, da sie
trieben. Der Basisstrom und der Kollektorstrom sind Null, wenn
einen hohen Eingangswiderstand bei niedrigem Ausgangswi-
die Signalspannung Null ist. Daraus folgt, dass der Transis-
derstand aufweist. Eine solche Kombination ist zur Speisung
tor nur eine Halbwelle einer Wechselspannung verstärken kann.

niederohmiger Verbraucher wie Lautsprecher notwendig.

Hierbei liegt der Arbeitspunkt im unteren Kennlinienknick der

Steuerkennlinie. Die andere Halbwelle muss von einem zwei-

Die Schaltung nach Abb. 38.2 zeigt einen Emitterfolger mit
ten Transistor verstärkt werden. Man spricht dann von einem
gleich großen positiven und negativen Betriebsspannungen, wie

Gegentakt-Betrieb, weil die zwei Transistoren abwechselnd,
er überwiegend bei Audio-Verstärkern verwendet wird.

T
nämlich im Takt der positiven und negativen Halbwellen, im ak-

Von Vorteil ist die einfache Arbeitspunkteinstellung (keine zu-
eil
tiven Bereich arbeiten. Nach der Verstärkung werden die beiden
sätzlichen Widerstände erforderlich) und der Fortfall der Kop-

Halbwellen wieder zusammengefügt.

pelkapazitäten am Ein- und Ausgang. Der Lastwiderstand R

V

L
steht symbolisch für den Lautsprecher.

Da im B-Betrieb keine Ruheströme fließen, ist die Verlustleis-
tung des Verstärkers wesentlich geringer als beim A-Betrieb,

Infolge der Arbeitspunkteinstellung für A-Betrieb, also im
was kleinere Kühlkörper zur Folge hat und Energie sparen hilft.

linearen Teil der Eingangskennlinie, ergibt sich ein Basis-

Um nichtlineare Verzerrungen zu mildern, bildet man eine Syn-
these zwischen A- und B-Betrieb zum AB-Betrieb. Hierbei wird
wie beim A-Betrieb durch eine Basis-Vorspannung U BE ein Ru-
hestrom eingestellt, der aber wesentlich geringer ist als beim

+U B

A-Betrieb.

V1

Die Vorspannung U BEA ist gerade so groß, dass sie die Schleu-
u e
senspannung der Basis-Emitter-Diode kompensiert. Auch hier
u a

R

R
ist nur ein Gegentakt-Betrieb sinnvoll.

L

E

–U B

Sowohl Vorverstärker als auch Treiberstufen werden haupt-
sächlich als A-Verstärker in Emitter- oder Kollektorschaltung
betrieben.

Abb. 38.2 Emitterfolger mit positiven und negativen Betriebsspannungen

38.2

Schaltungen

479

+U B

+U B

V1

V1
u e
u

R
a
u

E

R
e
u

V2
a

L

R L

–U B

–U B

Abb. 38.3 Emitterfolger in der vereinfachten Form

Abb. 38.4 Serien-Gegentakt-Verstärker

Ruhestrom I BA, ein Kollektor-Ruhestrom I CA und somit eine

Endstufen in A-Betrieb finden in der Praxis Verwendung als

Kollektor-Emitter-Ruhespannung U

CEA

UB. Damit lässt sich

Gegentakt-A-Endstufen bei sehr hochwertigen Endstufen.

die Verlustleistung im Transistor berechnen.

Im Ausgangskennlinienfeld nach Abb. 38.1 ist erkennbar, dass

Transistorverlustleistung
die Amplitude des Ausgangssignals bei B-Betrieb etwa die Grö-

U 2
ße der Betriebsspannung U

D

CE max

UB erreichen kann. Bei

P D

B

T

U CEA I CA

(38.1)

einer entsprechenden Ansteuerung kann jedoch nur eine Halb-

RE
welle des Signals verstärkt werden.

Bei u D
e

0 V ist die auftretende Verlustleistung gleichzeitig die

Dazu bedarf es eines neuen Schaltungskonzeptes. Man schaltet
maximale Transistorverlustleistung. Die bei u ¤
e

0 V auftre-
nach Abb. 38.4 zwei Transistoren gleichstrommäßig in Reihe
tende Verlustleistung ist stets kleiner. Die von den Betriebss-

(Serien-Gegentakt-Verstärker), wobei der eine ein npn- und der
pannungsquellen gelieferte Gesamtleistung lässt sich ebenfalls
andere ein pnp-Transistor mit sonst identischen Daten (Komple-
näherungsweise berechnen.

mentärtransistoren) ist. In dieser Schaltung wird während der
positiven Halbwelle des Eingangssignals nur der npn-Transistor

Gesamtleistung

P

2 U 2 B
ges

(38.2)

(V1) der Gegentakt-Endstufe leitend. Es fließt ein Kollek-

RE
torstrom durch den Lastwiderstand mit der eingezeichneten

Diese Leistung ist völlig unabhängig von der Aussteuerung des

Spannungsrichtung. Während der negativen Halbwelle der Ein-

Transistors. Die an den Lastwiderstand abgegebene Ausgangs-
gangswechselspannung wird der pnp-Transistor (V2) leitend,
leistung hängt vom Widerstandsverhältnis R
und es fließt ein Strom in entgegengesetzter Richtung durch

E = RL ab.

den Lastwiderstand. Die beiden einzeln verstärkten Halbwellen
werden im Lastwiderstand wieder zu einem Gesamtsignal zu-

Ausgangsleistung

P D U 2 B

RL

L

(38.3)

2

2. R C
sammengefügt.

L

RE/2

Die Ausgangsleistung ist bei Leistungsanpassung ( R

D

Es fließt jedoch erst dann ein Kollektorstrom, wenn die Amplitu-

E

RL)

maximal.

de des Ansteuersignals größer ist als der Schwellwert der Basis-

Emitterdiode der Transistoren. Das Ausgangssignal ist daher bei
einem Gegentakt-B-Verstärker im Bereich des Nulldurchgan-
maximale Ausgangsleistung

P

D U 2 B

L max

(38.4)

V

8 R
ges, kleine Eingangsspannungen vorausgesetzt, zwangsläufig

L
verzerrt. Bei größeren Eingangswechselspannungen sind diese

Die Transistorverlustleistung PT ist also 8mal so groß wie die

Übernahmeverzerrungen jedoch von untergeordneter Bedeu-

Teil
maximale Ausgangsleistung. Die von den Betriebsspannungs-
tung.

quellen aufzubringende Leistung ist sogar 16mal so groß wie
die maximale Ausgangsleistung.

Beim AB-Betrieb wird der Arbeitspunkt nach Abb. 38.1 etwas
in Richtung des A-Arbeitspunktes verschoben. Um diesen Ar-

Damit kann der Wirkungsgrad dieser Schaltung berechnet beitspunkt einzustellen, muss an die Basis-Emitterdioden eine
werden.

Basis-Vorspannung U BE gelegt werden, so dass beide Transis-

P
toren schon ohne Ansteuerung geringfügig leitend sind. Die

L max

Wirkungsgrad

D

6;25 %

(38.5)

P

Schaltung nach Abb. 38.5 zeigt die Prinzipschaltung eines
ges

Gegentaktverstärkers in AB-Betrieb mit den beiden Gleichspan-

Abb. 38.3 zeigt die Schaltung nach Abb. 38.2 in der üblichen
nungsquellen U BE, die für die Basisvorspannung erforderlich
vereinfachten Form. Durch die Krümmung der Kennlinien bei
sind.

größeren Aussteuerungen entstehen Verzerrungen.

Da der Ruhestrom nicht gleich Null ist, verschlechtert sich der

Die Nachteile des A-Betriebes sind: kleiner linearer Aussteuer-

Wirkungsgrad der Schaltung geringfügig. Liegt bei dieser Va-
bereich, geringe Ausgangsleistung, kleiner Wirkungsgrad.

riante eine Ansteuerung mit einer kleinen Signalspannung vor,

480

38 Endstufen

+U B

+U B

R 1

V1

V1

U BE1

U BE1

U BE2
u

U

R
a

BE2

R
u

L
u

L
e
e
u a

V2

V2

R 2

–U B

–U B

Abb. 38.6 Spannungsteiler mit integrierten Dioden

Abb. 38.5 Prinzipschaltung eines Gegentaktverstärkers in AB-Betrieb
nen. Die Schaltung nach Abb. 38.6 zeigt einen Spannungsteiler
so ist die Verzerrung deutlich kleiner. Der Verstärkungsvorgang
mit integrierten Dioden.

erfolgt in der gleichen Weise wie beim B-Betrieb.

Die maximale Ausgangswechselleistung, die mit einem

Da die Durchlasskennlinie einer Diode praktisch dieselbe Tem-

Gegentakt-B-Verstärker erreicht werden kann, lässt sich mit
peraturabhängigkeit wie die Eingangskennlinie eines Transis-
folgender Überlegung bestimmen. Zwei Emitterfolger im Ge-
tors aufweist, kann man mit dieser Variante auch die Tempe-
gentakt-B-Betrieb haben eine doppelt so hohe Aussteuerbarkeit
raturdrift der Transistoren auffangen. Wenn die beiden Dioden

(˙ U
sich in der gleichen Weise erwärmen wie die Transistoren

B statt ˙ UB =2) und damit eine 4mal so große Ausgangs-
leistung wie ein Emitterfolger im A-Betrieb.

(gemeinsame Montage auf einen Kühlkörper), nehmen die

Spannungen U BE1 und U BE2 im selben Maße ab wie die Basis-

Die Ausgangsleistung ist bei Leistungsanpassung ( R

D

E

RL)

Emitter-Spannungen der Transistoren. Die Folge ist, dass der
maximal.

Ruhestrom nahezu konstant bleibt.

max. Ausgangsleistung

P

D U 2 B

Das eigentliche Problem beim Gegentakt-AB-Verstärker be-

L max

(38.6)

2 RL
steht in der Stabilisierung des Ruhestroms. Der Ruhestrom

U 2
kann sich wegen der kleinen Lastwiderstände durch thermische

Transistorverlustleistung

P D

B

T

0;1

(38.7)

Rückkopplung leicht aufschaukeln und zur Zerstörung des Tran-

RL
sistors führen.

Bei gleicher Ausgangsleistung ist die Verlustleistung eines

Transistors bei Gegentakt-B-Betrieb ungefähr 40mal kleiner als

Die beiden Emitterwiderstände RE 1 und RE 2 in der Schaltung
bei A-Betrieb.

nach Abb. 38.7 bewirken eine Stromgegenkopplung, also ei-
ne Arbeitspunktstabilisierung. Die Widerstände sind durch die

Die von den Betriebsspannungsquellen gelieferte Gesamtleis-

Dioden V5 und V6 gebrückt, die schon bei geringen Eingangssi-
tung lässt sich bei sinusförmiger Vollaussteuerung näherungs-
gnalen leitend werden. Wäre dieses nicht der Fall, so würde die
weise berechnen.

Wechselstromverlustleistung in den Emitterwiderständen un-
vertretbar groß werden. Der Kollektorruhestrom sollte an den

T

Gesamtleistung

P

D 2 U 2 B

(38.8)

Emitterwiderständen einen Spannungsabfall von ungefähr 0,2
eil
ges

RL
bis 0,3 V hervorrufen (wenn Si-Dioden verwendet werden); die

V

Damit kann der Wirkungsgrad h dieser Schaltung berechnet
werden.

+U B

Wirkungsgrad

D PL max D 78;5 %

(38.9)

R

P

1
ges

V1

Vorteile von Leistungsverstärkern im AB- und B-Betrieb sind:

V3
kleiner Ruhestrom und kleine Verlustleistung, großer Wirkungs-

R E1

V5
grad ( 70 %), großer Aussteuerbereich ( ˙ UB), große

Ausgangswechselleistung.

u

R

V6 R
a

Nachteile sind: Transistoren-Pärchen (Komplementär-Transis-
u

E2

L
e

V4
toren) erforderlich, gegenüber A-Betrieb größere Verzerrungen

V2
bei kleiner Aussteuerung. Will man ohne Komplementär-Tran-
sistoren arbeiten, wird am Eingang für einen Transistor eine

R 2

–U

Phasenumkehrstufe benötigt.

B

Die Vorspannung nach Abb. 38.5 lässt sich relativ einfach über

Abb. 38.7 Gegentakt-AB-Verstärker mit Emitterwiderständen zur Arbeits-
einen Spannungsteiler aus den Betriebsspannungen UB gewin-
punktstabilisierung

38.2

Schaltungen

481

+U B

+U B

R 1

V9

R 1

V9

V7

V7

V1

V1′

R 3

R 3

V1

V3

V5

V3

R E1

R E1

V5

R E2
u

R 5
u

V6
a
e

V4

R

V6
u a

L

R

R 4
u

E2
e

R

V4

L

V2

V8

R 4

V2

V2′

V10

V8

R 2

–U B

V10

R 2

–U B

Abb. 38.8 Gegentakt-AB-Verstärker mit hohem Eingangswiderstand

Abb. 38.9 Gegentakt-AB-Verstärker mit Darlington-Transistoren

Spannungsabfälle sollen bei u

D
e

0 V kleiner sein als die

Schleusenspannungen der Dioden.

Durch den Widerstand R5 werden die Ruheströme von V10 und

V20 stabilisiert. Auf diese Weise kann erreicht werden, dass die

Wird die Eingangsspannung so groß, dass aufgrund des erhöh-

Basis-Ruheströme von V1 und V2 gleich sind, da ansonsten die
ten Emitterstroms der Spannungsabfall an RE den Wert von

Übernahmeverzerrungen nicht vernachlässigbar klein wären.

0,7 V übersteigt, wird die entsprechende Diode leitend. Infolge
des sehr niedrigen differentiellen Widerstandes der Diode fließt

Manchmal ist es schwierig, für Verstärker mit höheren Aus-
praktisch die gesamte Wechselleistung über die Diode, so dass
gangsleistungen geeignete pnp/npn-Transistorpaare zu finden.

an R

Daraus folgt die Absicht, für bestimmte Anwendungen Transis-

E kein wesentlicher Leistungsverlust entsteht und die Span-
nungsabfälle auf die Durchlassspannungen der Dioden begrenzt
toren vom gleichen Leitungstyp für V1 und V2 zu verwenden.

werden.

Dann wird eine Darlington-Schaltung mit komplementären

Diese Schaltung hat allerdings einen erheblichen Nachteil, da

Transistoren, wie die Schaltung nach Abb. 38.10 zeigt, aus-
nur ein Teil des Signaleingangswechselstroms in die Basis der
geführt. Die Transistoren V1 und V2 sind vom gleichen Lei-

Transistoren gelangt, während der andere Teil über die Wider-
tungstyp (npn). Der Darlington-Transistor V10-V1 wirkt wie
stände R1 und R2 ungenutzt abfließt. Die Folge ist eine relativ
der Transistor V1 nach Abb. 38.8 als npn-Transistor und der
geringe Gesamtstromverstärkung der Stufe und damit eine ge-

Darlington-Transistor V20-V2 ebenfalls als npn-Transistor in
ringe Leistungsverstärkung.

der gleichen Funktion wie der Transistor V2 nach Abb. 38.8.

Die Schaltung nach Abb. 38.10 wird als Quasi-Komplementär-

Ersetzt man die Widerstände R1 und R2 in der Schaltung nach

Endstufe bezeichnet. Der Darlington-Transistor V20-V2 benö-

Abb. 38.7 durch Konstantstromquellen, so erhöht man deutlich
tigt zur Vorspannungserzeugung lediglich die Diode V4. Die
den Eingangswiderstand der Schaltung. Der differentielle In-

Widerstände R5 dienen der Ruhestromeinstellung der Transis-
nenwiderstand der Quellen ist sehr hoch.

toren V10 und V20.

Die Schaltung nach Abb. 38.8 hat nun den hohen Eingangs-

Diese Gegentakt-Endstufen bilden die Grundlage für zahlreiche
widerstand eines Emitterfolgers ohne Eingangsspannungsteiler.

weitere Schaltungen. Die vorgestellten Endstufen arbeiten mit

Praktisch haben diese Konstantstromquellen einen unendlich

Emitterfolgern, die eine Spannungsverstärkung V
u

1 aufwei-
hohen Innenwiderstand. Somit muss der Vorverstärker (Signal-
sen. Ziel ist, die Spannungsverstärkung zu erhöhen.

V
quelle) nur noch den für die Aussteuerung der Transisitoren
erforderlichen Basisstrom liefern. Die Z-Dioden werden häufig

Teil
durch die Reihenschaltung aus zwei bis drei in Durchlassrich-

+U
tung betriebene Siliziumdioden ersetzt.

B

R 1

V9

Die mit den bisher besprochenen Schaltungen erzielbaren Aus-

V7 V1′
gangsströme werden von den Transistoren V1 und V2 oder

R 3

V1
deren Stromverstärkungen bestimmt.

V3

R 5 R E1

V5

Um eine höhere Stromverstärkung zu erreichen, verwendet man
u

V6
eine Darlington-Schaltung oder als Endtransistoren Darlington-

R
u
a

V4

E2
e

R L

Transistoren.

R 4

V2′

V8

V2

Die Transistoren V10-V1 beziehungsweise V20-V2 benötigen in

V10

R 2

R 6
der Schaltung nach Abb. 38.9 eine Basis-Emitter-Spannung, die

–U B
doppelt so groß ist wie die in der Schaltung nach Abb. 38.8.

Deshalb benutzt man hier jeweils zwei in Reihe geschaltete Di-

Abb. 38.10 Gegentakt-AB-Verstärker mit Endtransistoren vom gleichen Lei-
oden.

tungstyp

482

38 Endstufen

+U B

+U

R 1

R

B

V9

6

V7

R 7
u′

V1

V1′
e

R 3

C 2

V1

R

V3

V4

5

R

R

E3

E1

V5

V5
υ

R E4

V6

R

R

V6
u

E2

E2
u
a

R 8
e

V4

R

C 1

L

C 3 R

V7

R 4

11

V2′

V2

V3

V2

V8

R 9
u e

R C4

V10

R 2

R
u a

–U

10

R

B

L

C

R

4

12

Abb. 38.11 Gegentakt-AB-Verstärker mit erhöhter Spannungsverstärkung

Abb. 38.13 Quasikomplementäre Endstufe mit unsymmetrischer Spannungs-
versorgung

Die Endtransistoren in der Schaltung nach Abb. 38.11 sind

Darlington-Schaltungen entsprechend den Schaltungen nach

Abb. 38.9 und 38.10. Der Übersichtlichkeit wegen sind sie als
nung u 00. Am Ausgang des Vorverstärkers ist das Eingangs-
e
einfache Transistoren dargestellt. Legt man die Signalspannung

Ruhepotential wieder Null.

ue zwischen die Dioden V3 und V4, so ist die Schaltung iden-
tisch mit Abb. 38.8. Legt man jedoch die Signalspannung u 0

Gegentakt-Verstärker können auch mit unsymmetrischer Span-
e
an den Emitter des Transistors V7, arbeitet dieser bezüglich der
nungsversorgung betrieben werden. Allerdings ist dann ein

Signalspannung als Transistor in Basisschaltung und betrachtet

Koppelkondensator einzufügen. Um einen gleichstrommäßigen
die Stromquelle mit Transistor V8 als Arbeitswiderstand. Da ei-

Kurzschluss zu vermeiden, muss der Lastwiderstand mittels des
ne Basisschaltung ein V

Kondensators mit der Endstufe verbunden sein.

u > 1 hat, tritt am Kollektor von V7 nun
eine Wechselspannung ue auf, die größer ist als die Signalspan-

Die Schaltung nach Abb. 38.13 zeigt eine quasikomplemen-
nung u 0 .

e
täre Endstufe mit unsymmetrischer Spannungsversorgung. Die

Durch den Wechsel des Signaleinganges ist also eine Span-

Transistoren V1 und V2 sind npn-Transistoren und werden
nungsverstärkung erreicht worden. Zu beachten ist jedoch,
durch das komplementäre Transistorenpaar V10 und V20 an-
dass bei Ansteuerung zwischen V3 und V4 das Eingangs-
gesteuert. Der Transistor V3 arbeitet in Emitterschaltung und

Ruhepotential Null ist. Bei Ansteuerung der Schaltung am Emit-
bewirkt eine Spannungsverstärkung. Mit dem Trimmer R5 wird
ter des Transistors V7 liegt jedoch das Eingangs-Ruhepotential
der Ruhestrom der Transistoren V1 und V2 eingestellt.

in der Nähe der Betriebsspannung C U

B (genauer: auf UB

UR).

Um eine zu starke wechselstrommäßige Belastung von V3 zu

Ein Vorverstärker kann also nicht wahlweise angeschlossen
vermeiden und um die Spannungsverstärkung von V3 mög-
werden, sondern sein Ausgangs-Ruhepotential muss angepasst
lichst groß zu machen, ist ein Wechselspannungsbootstrap (C2)

werden. Die Schaltung nach Abb. 38.12 zeigt die Möglichkeit
vorhanden. Der Kondensator C4 und der Widerstand R12 sind
einer Ruhepotentialanpassung.

für eine Wechselspannungsgegenkopplung zur Einstellung einer

Der Vorverstärker liefert die Signalspannung u 00 an die Basis-
definierten Spannungsverstärkung erforderlich.

e

T
verstärkerstufe mit V11, wobei die Widerstände R1 und R6
eil

Der Lastwiderstand R
eine Strom-Spannungs-Gegenkopplung darstellen. Die Wech-

L kann bei unsymmetrischer Spannungs-
versorgung einseitig am Plus- oder Minuspol der Versorgungs-
selspannung u 0 ist entsprechend dem Widerstandsverhältnis

V
e
spannung liegen. Ist der Lastwiderstand R

R1/R2 größer als die vom Vorverstärkers gelieferte Signalspan-

L zum Beispiel am

Minuspol angeschlossen, wird der Kondensator bei leitendem
npn-Transistor etwa auf die halbe Betriebsspannung UB aufge-
laden. Während der Sperrphase des npn-Transistor wirkt der

+U B

R 1

Kondensator als Spannungsquelle für den pnp-Transistor und

V9

V11
treibt einen Strom durch ihn. Dadurch wird der Kondensator
u

R 6
e′

V7
wieder etwas entladen.

u

V1
e′′

R 3 V3 R E1 V5

Die Änderung der Kondensatorspannung muss durch die Wahl
u e
eines genügend großen Kondensators klein gehalten werden.

R

V6
u a

E2

Der Kondensator wird im Takt des Signals auf- und entladen.

V4

R L

R 4

Der Kondensator erspart eine Spannungsquelle mit Mittelan-

V2

V8
zapfung, weil sich an ihm eine Spannung UB=2 aufbaut, die als

Speisespannung für den Transistor V2 wirkt. Von Nachteil ist,

V10

R 2

–U B
dass der Kondensator und der Lastwiderstand einen Hochpass
bilden. Soll dessen untere Grenzfrequenz sehr niedrig sein, muss

Abb. 38.12 Möglichkeit einer Ruhepotentialanpassung mit OP am Eingang
die Kapazität des Kondensators sehr groß sein.

38.2

Schaltungen

483

Gegentakt-AB-Verstärker größerer Leistung und höherer An-

+U B
sprüche bezüglich möglichst kleiner Verzerrungen sind bereits

V14

R 3
sehr aufwendig. Die Schaltung nach Abb. 38.14 realisiert einen

V5

R 4

V3
hohen Eingangswiderstand durch einen Operationsverstärker in

V7

V1

V10
u R 8

Elektrometerschaltung.

e

OP

R 5

V11

R 1

V8

Die Spannungsverstärkung der Gesamtschaltung wird durch

R 6

R 7

R 1

V12

V9
u
das Verhältnis der Widerstände R6 und R7 eingestellt. Da das

R 2
e

R

C

L

R 4

V13

V2

Ausgangspotential des OP gleich Null ist, dient V7 zur Potenti-

V4

V6
alverschiebung.

V15

R 3

–U B

Aufgrund der Aufwendigkeit solcher Schaltungen haben sich
inzwischen Gegentaktverstärker in integrierter Schaltungstech-

Abb. 38.14 Gegentakt-AB-Verstärker großer Leistung mit sehr hohem Ein-
nik durchgesetzt.

gangswiderstand

V

Teil

Operationsverstärker

39

Peter Döring

39.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

39.2 Differenzverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

39.3 Grundlagen des OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

39.4 Operationsverstärker als Verstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

V

Teil

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485

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_39

486

39 Operationsverstärker

+VCC
oo

-

-

A

+

+

+

-VCC

Schaltzeichen nach DIN EN 60617

Übliches Schaltzeichen, nicht genormt;
hier verwendet.

Abb. 39.1 Schaltzeichen eines Operationsverstärkers

39.1

Einführung

U CC

R

R

C1

C2

A
u AB

C

C

Eine wichtige lineare, integrierte Schaltung ist der Operations-

B

B

B

E–

V1 V2
verstärker, der in Kurzform mit OpAmp (operations-amplifier)

E+

E

E
u
oder OP bezeichnet wird. Diese Art von Verstärkern wur-
s1
u s2
de fast ausschließlich als Rechenverstärker, also für Rechen-

R 1

I E

Operationen in Analog-Rechnern eingesetzt. Obwohl er aus

C

B
einer Vielzahl von Transistoren, Dioden und Widerständen auf-

V3

E
gebaut ist, kann er vom Anwender als ein einziges, kompaktes

U D

V4

Verstärker-Bauelement betrachtet werden.

R S

U

V5

D

–U

Der besondere Vorteil der OPs liegt darin, dass sich seine Eigen-

CC
schaften durch einfache äußere Beschaltungen stark variieren

Abb. 39.2 Vollständiger Differenzverstärker
lassen. OPs sind daher in immer größer werdendem Umfang
in analogen Schaltungen, aber auch in Schaltungen der Digi-
taltechnik anwendbar und integrierbar.

bewirkt jedoch in beiden Transistoren eine Verschiebung des

Da dieser Abschnitt einführenden und erklärenden Charakter

Gleichstrom-Arbeitspunktes.

hat, wird hier auf die normgerechte Darstellung der Schaltzei-

Die Kollektorströme ändern sich. In der Realität sind die Tran-
chen an einigen Stellen verzichtet. Ebenso wird die Betriebsmit-
sistoren nicht völlig identisch, so dass das Gleichtaktsignal
telkennzeichnung nach DIN nicht beachtet, da manche Bauteile
eine geringe Änderung des Ausgangssignals zur Folge hat.

trotz identischer Schaltzeichen unterschiedliche Benennungen

Differenzverstärker sind sehr unempfindlich gegenüber Tempe-
hätten und dieser Umstand zu Missverständnissen führen kann
ratureinflüssen. Abb. 39.2 zeigt einen vollständigen Differenz-

(Abb. 39.1).

verstärker. Bezogen auf den Ausgang A heißt der Eingang E

Beispiel für einen Widerstand:

invertierender Eingang und der Eingang EC nichtinvertierender

Teil

Eingang.

Normaler Strombegrenzer R

Betrachtet man die Steuerspannung an beiden Eingängen der

V

Heizwiderstand

E

Messwiderstand

B

Schaltung, können unabhängig vom Aufbau und der Form
dieser Signalspannungen bezogen auf die Wirkung im Diffe-

Für Spulen (Induktivität) und Transformatoren werden die übli-
renzverstärker zwei Aussagen getroffen werden:

chen Schaltzeichen benutzt.

Jede Eingangsspannung an den Eingängen eines Differenz-

Für alle Halbleiterbauteile wird die übliche Kennung „V“ ver-
verstärkers lässt sich immer in zwei Komponenten zerlegen,
wendet.

nämlich in eine Gleichtaktspannung U Gl, die sich als arithme-
tisches Mittel aus den beiden Eingangsspannungen ergibt und
in eine Differenzspannung UD.

39.2

Differenzverstärker

C us 2

Gleichtaktspannung

U

D us 1

GL

(39.1)

2

Operationsverstärker (OP) haben einen Differenzverstärker mit

Differenzspannung

U D

D
us 2
us 1

(39.2)

Transistoren als Eingangsschaltung. Differenzverstärker sind
dadurch gekennzeichnet, dass bei gleicher Ansteuerung der bei-

Die Eingangsspannungsdifferenzen werden mit der hohen Dif-
den Eingänge die Ausgangsspannung UA (nahezu) Null ist; die
ferenzverstärkung vd, gleiche Eingangsspannungen dagegen mit

Gleichtaktverstärkung ist also sehr klein. Das Gleichtaktsignal
der wesentlich kleineren Gleichtaktverstärkung v Gl verstärkt.

39.3

Grundlagen des OP

487

Das Verhältnis der beiden zueinander wird als Gleichtaktunter-
drückung G bezeichnet und beschreibt die Güte eines Differenz-

E–
verstärkers.

Gleichtaktunterdrückung
r a

A

U D r e

V * U

G

0

D

V

C

d
r BE

2 RE .Č 1/

ˇ RE

UE–

G D

D

(39.3)

E+

V

U

Gl

2 r BE
r BE

A

UE+

Meist wird die Gleichtaktunterdrückung G in dB angegeben.

Gleichtaktunterdrückung G in dB

Abb. 39.3 Ersatzschaltbild eines Operationsverstärkers

C

C

MMR
r BE

RE

ˇ

MRR.dB/ D 20 log G

(39.4)

dB

(

( 1

U A

V

Ersetzt
man
die

Transistoren
im

Differenzverstärker
durch Darlington-Transistoren, lässt sich der Differenz-

U A max

15

Eingangswiderstand mindestens verdoppeln. Soll er noch größer

10
werden, verwendet man als Eingangstransistoren FETs.

5

Die Endstufen in OPs bestehen im Wesentlichen aus Gegentakt-

Endstufen oder Eintakt-Endstufen mit „open collector“.

–U

15 10

5

5

10

15 U

D

D
µV

5
µV

10

39.3

Grundlagen des OP

–U

15

A max

–U A

Bei OPs mit Differenzeingang reagiert der Verstärker nur auf die

V

Differenz der beiden Eingangssignale. Die Differenzeingangs-
spannung U

Abb. 39.4 Übertragungskennlinie eines OP

D ist die Spannung, die als resultierende Spannung
am Eingang des Verstärkers liegt.

Differenzeingangsspannung

˙ UA max, bei dem der OP in die Sättigung geht. Wegen der ho-
hen Leerlaufverstärkung wird ein unbeschalteter OP bereits bei

U D

D
us 2
us 1

(39.5)

kleinen Eingangsspannungen in die Sättigung gesteuert.

Diese Spannung UD wird nun mit der Leerlaufverstärkung V 0

So würde zum Beispiel bei V D

0

30:000 eine Störspannung von

(open loop gain) verstärkt an den Ausgang gebracht und ist als
nur 0,1 mV bereits eine Änderung der Ausgangsspannung von

Ausgangsspannung UA messbar.

3 V bewirken.

Ausgangsspannung

U D

Die Daten eines „realen OPs“ können den Datenblättern der

A

V 0 UD

(39.6)

Hersteller entnommen werden. Die Daten eines „idealen“ und

Die Gleichungen geben den mathematischen Zusammenhang

„realen“ OPs sind einander in der Tendenz gegenübergestellt

V
der elektrischen Größen unter der Voraussetzung wieder, dass

(Tab. 39.1 und Tab. 39.2).

in die Eingänge des OPs kein Eingangsstrom fließt.

Die meisten Operationsverstärker werden in einer Rückkopp-

Teil

Das Ersatzschaltbild eines OPs nach Abb. 39.3 „beschreibt“
lungsschaltung betrieben, das heißt, ein Teil der Ausgangsgröße
elektrisch einen „realen OP“ mit den entsprechenden Ein- und

(in der Regel ein Teil der Ausgangsspannung) wird auf den Ein-

Ausgangsgrößen.

gang zurückgeführt. Bei der Rückkopplung unterscheidet man
zwischen einer Mitkopplung und einer Gegenkopplung.

Sollen die Eingangsströme Null sein, muss der Eingangswider-
stand r

Bei der Mitkopplung wird die Ausgangsgröße gleichphasig auf
e des OPs unendlich groß sein. Die Ausgangsspannung

U
den Eingang zurückgeführt, das heißt, das Eingangssignal wird

A muss in der Folge ebenfalls unendlich groß sein können. Da
diese Spannung an einem Lastwiderstand einen entsprechenden
in seiner Wirkung verstärkt. Für den Fall der reinen Mitkopp-

Strom zieht, muss der Ausgangsstrom bei konstanter Ausgangs-
lung der Schaltung nimmt die Amplitude der Ausgangsspan-
spannung ebenfalls konstant sein. Das kann aber nur der Fall
nung so lange zu, bis die Sättigung des Verstärkers erreicht ist.

sein, wenn der Ausgangswiderstand ra des OPs Null ist.

Bei der Gegenkopplung wird ein Teil der Ausgangsgröße gegen-

Deshalb muss die Leerlaufverstärkung V 0 ebenfalls unendlich
phasig auf den Eingang zurückgeführt und somit das Eingangs-
groß sein. Nach Abb. 39.4 sind Ausgangsspannung UA und Ein-
signal in seiner Wirkung geschwächt. Die Gesamtverstärkung
gangsdifferenzspannung UD nur proportional bis zu dem Wert
nimmt ab.

488

39 Operationsverstärker

Tab. 39.1 Operationsverstärker (Auswahl). Kenndaten bei UB D ˙15 V und TU D 25 °C

Typ

Bipolare Eingänge

FET-Eingänge

TBA 221 µA 741 TAA 521 709

TAA 761

LF 355

LF 357

Leerlaufverstärkung (open loop gain)

V 0

100 dB

93 dB

85 dB

80 dB

80 dB

Gleichtaktunterdrückung (CMRR)

G

90 dB

90 dB

79 dB

100 dB

100 dB

Offsetspannung (offset voltage)

U

˙
o

6 mV

˙2 mV

˙6 mV

˙ 3 mV

˙3 mV

Eingangsruhestrom (bias current)

IE

80 nA

300 nA

500 nA

30 pA

30 pA

Eingangswiderstand
re

2 M(

250 k(

200 k(

1012 (

1012 (

Ausgangswiderstand
ra

75 (

150 (
o. K.

50 (

–

Ausgangsstrom (max.)

IA

20 mA

10 mA

70 mA

25 mA

–

Ausgangsspannung (max.)

U

˙

A max

13 V

˙13 V

˙13 V

˙13 V

˙13 V

Transitfrequenz
fT

500 kHz

5 MHz

200 kHz

2,5 MHz

25 MHz

Tab. 39.2 Gegenüberstellung von idealem und realem OP

Charakteristische Eigenschaften Idealer OP

Realer OP

U D

Leerlaufverstärkung V

1

0

103 bis 107

R 2

Eingangswiderstand r

1
e

106 bis 1014 (

U 1

U 2

Ausgangswiderstand ra

0 (

30 bis 100 (

Temperaturdrift

Nicht vor-

Von 50 °C bis C75 °C

U N

R 1
handen
vernachlässigbar

Übertragungsbandbreite B

1

104 bis 107 Hz

Aussteuerbereich U D

A
f . UE/

1 bis C1 UB bis C UB

Abb. 39.6 Grundschaltung des idealen nichtinvertierenden OP

I

R 1

1

A I 2

R 2

I N

0A

Ausgangswiderstand des beschalteten OP

U D

U N

U 1

0V
ra

Vu
r 0 D

C r
a

(39.8)

U 2
a

V 0

V 0

Der Eingangswiderstand eines „realen“ OPs ist nicht, wie beim

IdealerOP

„idealen“ OP angenommen, unendlich groß. Darum gilt:

Eingangswiderstand des beschalteten OP

Abb. 39.5 Grundschaltung des idealen invertierenden OP
r 0 D R
e

1

(39.9)

Die Grundschaltung des Inverters (invertierender OP) wird dar-

Beschaltet man einen OP gemäß Schaltung nach Abb. 39.6, so
gestellt in Abb. 39.5.

entsteht ein nichtinvertierender Verstärker.

Teil

Wegen V D 1

D

0
gilt ) UD

0 V. Deshalb liegt der Punkt A

Die Verstärkung des nichtinvertierenden OPs hängt nur von der
auf Masse. Punkt A ist „ virtueller Nullpunkt“, und es gilt:

äußeren Beschaltung ab und kann in weiten Grenzen unabhän-

V

U
gig von der Leerlaufverstärkung frei festgelegt beziehungsweise

2

R 2

Spannungsverstärkung

V D

D
u

(39.7)

eingestellt werden.

U 1

R 1

Gleichung (39.10) lässt erkennen, dass die Verstärkung Vu nicht

Diese Gleichung gilt für den „idealen“ OP.

kleiner als 1 werden kann, was beim invertierenden OP möglich
ist.

Die Verstärkung wird also nur durch das Widerstandsverhältnis
und damit unabhängig von den spezifischen Kenngrößen des OP
festgelegt.

Spannungsverstärkung

V D
u

1 C R 2

(39.10)

R 1

Der Fehler bei Annahme eines „idealen“ OPs gegenüber kor-
rekter Rechnung beträgt nur ungefähr 1 %. Unter Beachtung der

Bei niedrigen Frequenzen ( f < 100 Hz) tritt als Eingangswider-

Widerstandstoleranzen kann in der Praxis mit der Gleichung für
stand r 0 der Schaltung der sehr hohe Gleichtaktwiderstand r
e

Gl
den „idealen“ OP bei V
des OPs auf.

0

60 dB gearbeitet werden.

Bezogen auf einen an den Ausgang geschalteten Verbraucher

Eingangswiderstand des beschalteten OP
wird der endliche Ausgangswiderstand r 0 des realen OP um den
a

Faktor der Schleifenverstärkung g niederohmiger.

r 0
r
e

Gl

(39.11)

39.4

Operationsverstärker als Verstärker

489

R 2

R 2

+U B

I

R 1

N

R 1

7

2

6

741

3

1

5

I

4

P

U 1

U 2

U 1

U 2

R 3

R 3

–U B

10k

Abb. 39.7 Kompensation der Eingangsruheströme

Abb. 39.8 Kompensation der Offset-Spannung

Ausgangswiderstand des beschalteten OP

Die Kompensation der Eingangsruheströme erfolgt in Abb. 39.8

V
durch Widerstand R3 nach (39.13).

u
r 0 D r

(39.12)

a
a

V 0

Unerwünschte und unvermeidbare interne Schalt- und Tran-
sistorkapazitäten ergeben zusammen mit den Widerständen in

Die beiden Eingänge EC und E sind eigentlich die Basisan-
den OPs Tiefpässe. Ähnlich wie bei den Transistorverstärkerstu-
schlüsse der Eingangstransistoren der Differenzverstärkerstufe.

fen führt das zu frequenzabhängigen Verstärkungsfaktoren, das

Es fließt daher ein Basisstrom, das heißt, in den OP fließen die
heißt, Vu bleibt nicht konstant bis zu höchsten Frequenzen. Der

Eingangsruheströme IN und IP. Obwohl diese Ströme sehr klein

Frequenzgang ist also nicht linear.

sind, können sie infolge der unterschiedlichen Spannungsabfäl-

Auch die Phasendrehung zwischen Ein- und Ausgang ändert
le an den äußeren Widerständen eine Spannungsdifferenz an den
sich und kann aus einer Gegenkopplung eine Mitkopplung

Eingängen des OPs bewirken. Diese Spannungsdifferenz wird
machen, so dass die OP-Schaltung „schwingt“. Der OP geht
verstärkt und würde ohne geeignete Maßnahmen als Störgröße
in den Oszillatorbetrieb über, er arbeitet als „Signalgenera-
am Ausgang des OPs auftreten.

tor“. Diese unangenehme Nebenwirkung kann mit Hilfe eines

Die Kompensation der Eingangsruheströme lässt sich durch den

RC-Gliedes, das nach Herstellerangaben zu dimensionieren ist,

Widerstand R3 in der Schaltung nach Abb. 39.7 erreichen.

durch Frequenzkompensation vermieden werden. In zahlreichen

OP-Typen wird die Frequenzkompensation bereits im Innern

Dabei gilt:

des OP vorgenommen.

R D

3

R 1

R 2

(39.13)

Die identischen Spannungsabfälle an den beiden Eingängen ver-

39.4

Operationsverstärker als
hindern eine Differenzspannung an den Eingängen.

Verstärker

Soll ein nichtinvertierender OP zur Anwendung kommen, um-
geht man diese Schwierigkeit generell durch Verwendung eines

In elektronischen Schaltungen werden Verstärker mit unter-

OPs mit FET-Eingang. Bei diesen Typen können die Eingangs-
schiedlichen Verstärkungsfaktoren und mit bestimmtem dyna-
ruheströme ganz vernachlässigt werden.

mischen Übertragungsverhalten benötigt.

Beim realen OP sind die Transistoren der Differenzverstärker-

Außerdem sind zusätzlich Schaltungen erforderlich, die diverse

V
stufe am Eingang natürlich nicht absolut identisch. Die interne

Rechenoperationen, wie zum Beispiel Addieren, Subtrahieren,

Differenzspannung zwischen U BE1 und U BE2 wird als Offset-

Multiplizieren, Dividieren, Integrieren, Differenzieren ausfüh-

Spannung U

Teil

O bezeichnet. Diese Spannung ist die Ursache dafür,
ren können. Das gewünschte Verhalten kann man durch eine
dass die Ausgangsspannung UA am Ausgang ungleich Null ist,
entsprechende Beschaltung eines OP erreichen.

auch wenn die Spannung UD am Eingang durch Kurzschließen
und auf Masse legen der beiden Eingänge zu Null gemacht wur-
de.

39.4.1

Verstärker mit frequenzunabhängiger

Je nach OP-Typ gibt es verschiedene, vom Hersteller emp-
fohlene Schaltungsmöglichkeiten zur Kompensation der Offset-

Gegenkopplung

Spannung UO.

Besonders einfach ist die äußere Beschaltung für die Offset-

Wenn bei OP-Verstärkern im Gegenkopplungszweig ausschließ-
lich ohmsche Widerstände benutzt werden, ist die Gegenkopp-

Spannungskompensation beim Typ 741. Nach Abb. 39.8 ist
lung frequenzunabhängig.

lediglich ein 10 k(-Widerstand zwischen Pin 1 und Pin 5 an-
zuschließen und abzugleichen. Dieser Abgleich ist in der Weise

Dadurch ist die Verstärkung Vu im zulässigen Arbeitsbereich des
vorzunehmen, dass bei an Masse gelegtem Eingang des OP die

Verstärkers konstant und unabhängig von der Frequenz des Si-

Ausgangsspannung gleich Null wird.

gnals.

490

39 Operationsverstärker

R 6

0,1V

+15V

R 3

6k8

R 6 1%

R 7

R 2

R 3

R 4

D1

99k

1k2

9M

330

1N4148

82k

1M

+15V

R 1

1V

2 7 LH 0042

U

R 7

E

1%

6

10k

761

U

900k

R 1

R 5

A

U m

3

1

R 8

C 1

5

10k

10V 1M

R 8

4

R 5

220

90k 1%

100nF

R 2

100k

47pF

C 1

1k

100V

R 9

R 9

10k

D2

10k 1%

–15V

0,1mA

1N4148

1k2

R 10

–15V

6k8

Abb. 39.11 Spannungsmessgerät mit OP in Elektrometerschaltung

Abb. 39.9 Umkehrverstärker mit kontinuierlich einstellbarer Verstärkung

7

R 2

2

82k

6

741

3

1

7

5

2

4

6

741

U A

U

3

1

E

5

U E

U A

4

R 1

33k

10k

10k

R 3

U

BF 245

St

1M

Abb. 39.12 Impedanzwandler mit OP

Abb. 39.10 Regelverstärker mit kontinuierlicher Einstellung der Verstärkung

Messwiderständen gebildet. Er ist so dimensioniert, dass sich
die Messbereiche 100 mV, 1 V, 10 V und 100 V ergeben.

Der Widerstand R1 dient zur Strombegrenzung in dem OP. Zu-

Wird R 2 < R 1, so wird auch Vu < 1. Die Eingangsspannung UE
sammen mit C1 bildet er einen Tief- pass, dessen Aufgabe es ist,
wird nicht verstärkt, sondern gedämpft.

Oberschwingungen und Spannungsspitzen wegzufiltern. Die an-

Einen Umkehrverstärker mit kontinuierlich einstellbarer Ver-
tiparallelen Dioden zwischen den OP-Eingängen begrenzen die
stärkung (Abgleich von Reglerschaltungen) zeigt die Schaltung

Eingangs-Differenz-Spannung des OP. Der Trimmer R5 ermög-
nach Abb. 39.9. Die Verstärkung wird mit R1, R2 und R3 einge-
licht einen Abgleich des Messinstrumentes.

stellt. Offsetspannung und Offsetstrom werden mit R7, R8 und

Die Verstärkung Vu eines nicht-invertierenden OP-Verstärkers

R9 sowie R5 eingestellt. Die Dioden D1 und D2 bilden mit R6
berechnet sich nach (39.10). Lässt man den Wert des Wider-
und R10 einen Massepunkt. Hier wird ein OP 761 mit open-
standes R1 gegen 1 gehen, so wird der Bruchwert zu Null. Das
collector-Ausgang eingesetzt.

gleiche geschieht, wenn man R D

2

0 ( setzt. Die Verstärkung

T

D
eil

Eine kontinuierliche Einstellung der Verstärkung kann mit Hilfe
der Schaltung nach Abb. 39.12 wird damit zu Vu

1, das heißt,
des Feldeffekttransistors in der Schaltung nach Abb. 39.10 vor-

U D

E

UA. Es gelten (39.11) und (39.12).

V
genommen werden. In diesem Regelverstärker wird der Vorteil

Ausgangswiderstand
ausgenutzt, dass beim Elektrometerverstärker eine Änderung
der Rückkopplungswiderstände keinen Einfluss auf den Ein-
r 0 D ra
mit V D 1

(39.14)

gangswiderstand der Schaltung hat.

a
u

V 0

Der Eingangswiderstand beträgt hier R D

1

33 k(. Der norma- Diese Schaltung bewirkt also eine Impedanzwandlung, da sie
lerweise hohe Eingangswiderstand eines Elektrometerverstär-
einen hohen Eingangswiderstand und einen sehr niedrigen Aus-
kers wird in dieser Schaltung also nicht genutzt.

gangswiderstand hat.

Die Verstärkungseinstellung erfolgt durch Änderung des Drain-

Die Schaltung nach Abb. 39.13 realisiert eine Spannungsquelle

Source-Widerstandes R DS des FET, der in bestimmten Grenzen
mit sehr kleinem Innenwiderstand bei unsymmetrischer Span-
durch eine gesteuerte Gleichspannung variiert werden kann. Die
nungsversorgung des OP.

Verstärkung dieses Regelverstärkers ist etwa im Bereich von

V D

D

Die Referenzspannung liefert eine Z-Diode. Am Ausgang des
u

1 bis Vu

150 veränderbar.

OP steht diese Spannung nun mit dem sehr kleinen Ausgangs-

Die Elektrometerschaltung ist in Abb. 39.11 tragendes Element
widerstand des Spannungsfolgers zur Verfügung, während der
in dem sehr hochohmigen Spannungsmessgerät. Der Eingang
dynamische Innenwiderstand der Z-Diode Werte von ca. 10 bis
dieser Messschaltung wird durch einen Spannungsteiler aus

100 ( haben kann.

39.4

Operationsverstärker als Verstärker

491

20V

R 2

R

R 1

7

7

1k8

2

R 1

2

6

6

741

3

1

741

5

3

1

4

U

5

2

4

U A

ZTK 9

U

U

1

A

10k

10k

Abb. 39.13 OP als Spannungsquelle mit sehr kleinem Innenwiderstand

Abb. 39.15 OP als Addierer

U B

R 2

R 1

R 2

R

7

7

2

2

6

6

R 3

3 741

R 1

741

1

3

1

5

5

4

U E1

4

U

U

R 2

A
z

U

R 1

A

U E2

10k

10k

Abb. 39.16 OP als Subtrahierer

Abb. 39.14 Konstantspannungsquelle mit einstellbarer Ausgangsspannung

Der Addierer kann auf eine beliebige Anzahl n von Eingängen

Deshalb kann der Ausgang der Schaltung erheblich stärker be-
erweitert und nach folgender Gleichung berechnet werden:

lastet werden als bei einer Stabilisierungsschaltung ausschließ-
lich mit Z-Diode.

Ausgangsspannung

Um die Ausgangsspannung regel- oder einstellbar zu machen,

R

R

R

U D

U C

U C : : : C

U

(39.18)

kann auch die Prinzipschaltung in Abb. 39.14 einer Konstant-

A

1

2

R 1

R 2

Rn
spannungsquelle verwendet werden.

Bei der Dimensionierung eines Addierer muss beachtet werden,
dass die maximale Ausgangsspannung eines OP knapp 1 V unter

Ausgangsspannung

U D

A

1 C R 2

UZ

(39.15)

R
der Versorgungsspannung des OP liegt.

1

Die Schaltung nach Abb. 39.16 ist ein Subtrahierer. Sie ent-

Auch hier ist der Ausgangswiderstand durch die hohe Verstär-
spricht im Prinzip der Schaltung des Differenzverstärkers.

kung des OP sehr klein und kann durch einen nachgeschalteten

Mit ihr wird die zwischen den beiden Eingängen wirksame

Spannungsfolger noch gemindert werden.

Spannung verstärkt. Zur Vereinfachung, aber auch um eine

Offset-Stromkompensation realisieren zu können, werden die

V

Der Operationsverstärker in der Schaltung nach Abb. 39.15 ist

Widerstände nach Abb. 39.16 gewählt. Werden beide Eingänge
so beschaltet, dass die zwei Eingangsspannungen U 1 und U 2
gleichzeitig angesteuert, so gilt:

elektrisch addiert und verstärkt werden.

Teil

Ausgangsspannung

Ausgangsspannung

R 2

U D

. U U

A

E 2

E 1/

(39.19)

U D R

C R

R

A

U 1

U 2

(39.16)

1

R 1

R 2

Mit den gewählten Widerständen arbeitet der Subtrahierer kor-

Setzt man R D

D

1

R 2

R 3, so vereinfacht sich die Gleichung zu
rekt, da die Eingangsspannungen mit dem gleichen Verstär-
kungsfaktor verstärkt und dann subtrahiert werden. Unsymme-

Ausgangsspannung
trien in der Brücke können mit dem Potentiometer abgeglichen
werden.

R

U D

C

A

. U 1

U 2/

(39.17)

R

Im Zusammenhang mit Messbrücken (Brückenschaltung) nach

3

Abb. 39.17 bietet der Subtrahierer die Möglichkeit, die masse-

Das Minuszeichen in der Gleichung weist lediglich auf die Pha-
freie Brückenspannung in eine massebezogene Spannung um-
sendrehung des invertierenden OP hin.

zuwandeln, die dann weiterverarbeitet werden kann.

492

39 Operationsverstärker

+U B

R 3

R 6

R 2

R 4

2 7

1k

1k

6

V1

V2

741

3

1

R 1

5

7

4

B

2

OP 2

10k

6

+U 15k

741

B

3

1

5

U 2

2 7

4

6

OP 1

U

10k

3

820

741

3

U 1

C

1

5

10k

4

U

10k

1k

A

15k

500

10k

–U B

Zweiweggleichrichter-Schalter mit OPs

Abb. 39.17 Subtrahierer als Verstärker in Messbrücken

Abb. 39.19 Gleichrichter für kleine Spannungen mit OP (Zweiweggleichrich-
ter)

V1

V2 I 2

Wird jedoch der Widerstand R6 anders gewählt, so gilt:

R 1

R 2

U 2

R 6

Ausgangsspannung

U

D

S 3

US 1

(39.21)

R

U 1

V3

V4

OP1

Der Zweiweggleichrichter nach Abb. 39.19 liefert eine pulsie-
rende Gleichspannung wie eine normale B2-Schaltung.

Abb. 39.18 OP als Gleichrichter mit massefreier Gleichspannung

Ein Drehspulinstrument am Ausgang zeigt wegen seiner mecha-
nischen Trägheit einen konstanten (arithmetischen) Mittelwert
an.

Sollen Wechselspannungen mit kleiner Amplitude in einer nor-
malen Brückengleichrichterschaltung B2 gleichgerichtet wer-
den, ergibt sich wegen der Schwellenspannungen der Dioden

39.4.2

Verstärker mit frequenzabhängiger
der Nachteil, dass zwischen den positiven Halbwellen am Aus-
gang je nach Wert der Amplitude mehr oder weniger deutlich

Gegenkopplung

Lücken erkennbar sind.

Besonders in der Messtechnik sind Gleichrichterschaltungen er-

Werden die ohmschen Widerstände, die bisher in den Schaltun-
forderlich, die auch kleine Spannungen linear verarbeiten.

gen ausschließlich verwendet wurden, durch Kapazitäten oder

Induktivitäten ersetzt, ist die Verstärkung Vu für Frequenzen un-

In der Schaltung nach Abb. 39.18, die einen OP mit Brücken-
terhalb f 0 nicht mehr konstant.

gleichrichter im Rückkopplungszweig zeigt, muss der Gegen-
kopplungsstrom wegen des Gleichrichters stets in gleicher Rich-

Mit Wechselstromwiderständen ist der Frequenzgang des be-
tung durch den Lastwiderstand in der Brücke fließen.

schalteten OP definierbar als

T

Frequenzgang
eil

Ein Drehspulinstrument als Lastwiderstand R2 im Querzweig
der Brücke zeigt den arithmetischen Mittelwert dieses nicht-

V
lückenden Stroms an.

F. j!/ D Rückführimpedanz

(39.22)

Eingangsimpedanz
arithmetischer Mittelwert

Die Darstellung des frequenzabhängigen Übertragungsverhal-

I

D 2 IS D 2 US
tens, aufgeteilt in den Frequenzgang der Amplitudenverstär-

AV

(39.20)

R

1

kung in doppeltlogarithmischer Darstellung und den Frequenz-
gang der Phasenverschiebung linearer Darstellung, wird Bode-

Diese Gleichrichterschaltung B2 ist zur Spannungsversorgung

Diagramm genannt. Ein BodeDiagramm zeigt, wie ein Bau-
potentialfreier Lastwiderstände, wie zum Beispiel Anzeigein-
stein ein sinusförmiges Eingangssignal frequenzabhängig an
strumente geeignet.

den Ausgang bringt.

Soll das gleichgerichtete Messsignal jedoch einen Lastwider-

Frequenzgang der Amplitudenverstärkung
stand speisen, der einpolig an Masse liegt, so ist die obige

Schaltung ungeeignet. Die Schaltung nach Abb. 39.19 besteht
ua

F D

D f .!/

(39.23)

aus einem Einweggleichrichter mit OP und einem Addierer.

ue

Wenn R D

D

D

D

D

1

R 2

R 3

2 R 4

R 6

R gewählt wird, dann ist

Die Amplitudenverstärkung wird meistens in Dezibel (dB)

U

D

S 3

US 1.

umgerechnet. Dezibel ist eine logarithmische Maßeinheit und

39.4

Operationsverstärker als Verstärker

493
u C

C
i

C

C

R 4
i R

R 1

7

R 1

2

6

741
u e
u a

3

1

5

4
u e
u a

R 3

Abb. 39.20 Integrierer mit invertierendem OP

10k

Vu/dB
ϕ/Deg

40

–250

Abb. 39.22 Realer Invertierer mit invertierendem OP

20

–258

0

–266

Ausgangsspannung

–20

–274

–40

–282
t

Z

–60

–290
u D

1
a
uedt C Ua 0

(39.26)

10

100

1 k

10 k

100 k

R

1

C

Frequenz in Hz

0

Abb. 39.21 Bodediagramm eines Integrierers

Ua 0 ist die Spannung, die zu Beginn der Integration am Ausgang
der Schaltung vorhanden ist. Das Produkt R

1

C D TI wird

Integrierzeit genannt.

wurde ursprünglich als Maß für die Dämpfung eingeführt. Sie

Ist die Eingangsspannung u

D
e. t/ D

UE
const (also eine
kennzeichnete ein Leistungsverhältnis.

Gleichspannung), so ist auch der Strom I

D

D

R

IC
const.

Es gilt:

Damit vereinfacht sich die Integralgleichung zur folgenden li-
nearen Gleichung

Leistungsverhältnis

U

E
t

P

D
a

Pa

Ausgangsspannung

U

(39.27)

in dB D 10 lg

(dB)

A

R C

P

1
e

Pe

10 dB D 1 B .Bel/

(39.24)

Somit ist die Ausgangsspannung UA eine lineare Größe und ver-
läuft nicht, wie am Kondensator erwartet, nach einer e-Funktion.

Oft drückt man auch das Verhältnis zweier Spannungen oder

Sie kann je nach Polarität der Eingangsspannung nur noch linear

Ströme in dB aus.

ansteigen oder abfallen.

Spannungsverhältnis

In der Praxis erweist sich eine Schaltung nach Abb. 39.20 als

U
wenig zweckmäßig. Die endliche Gleichtaktunterdrückung, der
a

Ua
in dB D 20 lg

(dB)

(39.25)

Eingangsruhestrom und die Drift werden aufsummiert. Der In-

Ue

Ue
tegrator würde immer in eine Endlage „laufen“.

V

Die Schaltung nach Abb. 39.20 zeigt einen Integrator mit

Der Widerstand R3 in der Schaltung nach Abb. 39.22 dient
invertierendem OP. Beim Integrator wird ein Teil der Aus-
zur Kompensation des Eingangsruhestroms. Der Widerstand R4

Teil
gangsspannung über einen Kondensator auf den invertierenden
bestimmt die Gleichspannungsverstärkung Vu beziehungsweise

Eingang des OPs zurückgekoppelt.

stabilisiert den Gleichspannungsbetriebspunkt.

Das Bodediagramm eines Integrators zeigt Abb. 39.21, wobei

Elektrolytkondensatoren sollten wegen der relativ hohen
die linke Achse die Verstärkung (gain) in dB und die rechte Ach-

Leckströme nicht verwendet werden. Durch den theoretisch un-
se die Phasenverschiebung (phase range) in Grad (deg) anzeigt
endlich großen Eingangswiderstand des OP entlädt sich der

(hier für R D

1

100 k( und C D 1 nF).

Kondensator fast nie.

Eine RC-Schaltung verursacht eine Phasenverschiebung der

Die Schaltung nach Abb. 39.23 zeigt die Prinzipschaltung ei-

Ausgangsspannung um 90°. Zusammen mit der Phasenver-
nes Differentiators mit invertierendem OP. Betrachten wir den
schiebung des invertierenden OP von 180° ergibt das die

OP wieder als ideal, dass heißt, die Leerlaufverstärkung V
dargestellte Phasenverschiebung von 270°. Diese ist jedoch

0 geht
gegen Unendlich, so gilt
identisch mit einer Verschiebung von C90°.

Unter der Voraussetzung, dass der OP ideale Eigenschaften auf-
due

Ausgangsspannung
u D

a

R 1 C

(39.28)

weist, gilt die Gleichung:

dt

494

39 Operationsverstärker
u
i
e

R

R 1
u C

C 3
u a

R 3
i C

R 2
u e
u a

R 1

Abb. 39.23 Prinzipschaltung eines Differentiators

Z 1

C 1

C 2

Abb. 39.25 OP als Wechselspannungsverstärker

R 1
u e

R 4

7

2

6

C 3
u

C

741
a

3

1

R 3

5

R 2
u

4
e
u

C 1
a

R 3

A

10k

R 1

Abb. 39.24 Reale Schaltung eines Differentiators

Abb. 39.26 NF-Bootstrap-Verstärker mit OP

Die Ausgangsgröße ua des Differentiator hängt also von der

Die Schaltung stellt insgesamt einen AC-Verstärker mit
zeitlichen Änderung der Eingangsspannung ue ab. Eine konstan-

Hochpass-Verhalten dar. Die untere Grenzfrequenz f
te Eingangsspannung verursacht beim Differentiator also keine
u lässt sich
analog zu CR-Gliedern berechnen als

Ausgangsgröße.

Die Schaltung eines Differentiators nach Abb. 39.23 ist kaum
untere Grenzfrequenz
f D

1

(39.29)

zu verwenden, da Signale höherer Frequenzen mit der Leer-
u

2 R 1 C 1
laufverstärkung V 0 verstärkt werden. Mit dem Kondensator C2

( R

1

C 2

R 4 C gewählt) in der Schaltung nach Abb. 39.24

Der Eingangswiderstand der Schaltung ist praktisch gleich R3.

kann das durch Störfrequenzen verursachte Rauschen des Dif-
ferentiators herabgesetzt werden.

Hier ist nun eine Variante des Elektrometer-NF-Verstärkers
hilfreich. Der NF-Bootstrap-Verstärker in der Schaltung nach

Die Kreisfrequenz ! sollte wegen R

4 C (Eingangszeitkonstante)

Abb. 39.26 hat einen besonders hohen Eingangswiderstand.

geschickt gewählt werden (!
1= R

4

C).

T

Der Widerstand R3 liegt nicht an Masse, sondern am Punkt
eil

Im Bode-Diagramm eines Differentiators ist der Amplituden-

A, der eine Wechselspannung führt, die wegen U

0 V
gang eine Gerade, die mit 20 dB=Dekade ansteigt.

D
fast genau den gleichen Wert hat wie die Eingangswechselspan-

V

In der Schaltung nach Abb. 39.25 wird ein OP als Wechselspan-
nung ue. Deshalb fließt durch den Widerstand R3 praktisch kein
nungsverstärker verwendet. Aufgrund der vorhandenen Kon-

Wechselstrom. Der Widerstand R3 und damit der Eingangs-
densatoren muss man hinsichtlich AC- und DC-Verstärkung/-
widerstand dieser Schaltung werden dynamisch (also wechsel-

Verhalten unterscheiden.

strommäßig) hochtransformiert. Die Ausgangs-Offsetspannung
ist kleiner als in der oben erwähnten Schaltung.

So trennt der Kondensator C3 den OP gleichspannungsmäßig
von der Signalquelle, während der Widerstand R3 dafür sorgt,
dass ein Ruhestrom fließen kann. Der Kondensator C1 macht
die Gegenkopplung für DC voll wirksam.

39.4.3

OP als Leistungsverstärker

Das bedeutet aber, dass Aus- und Eingang unter Berücksichti-
gung der Offset-Spannung auf dem gleichen Gleichspannungs-

Bei Operationsverstärkern vom Typ 741 (Gegentaktausgang)

potential liegen.

liegt der zulässige Ausgangsstrom bei 20 mA, beim Typ 761

Eine Korrektur der Eingangsruheströme und ihrer Spannungs-

(open collector) liegt er bei 70 mA. Lieferbar sind von verschie-
abfälle an R2 und R3 lässt sich leicht vornehmen, indem man
denen Herstellern auch Operationsverstärker, die Ausgangsleis-

R

2

R 3 wählt.

tungen von 25 W bei einem Ausgangsstrom von 3,5 A bereitstel-

39.4

Operationsverstärker als Verstärker

495

+U B

2N3055

30V

R 2

R 2

R 3

V1

9k

1M

C 3

7

R 1

R 1

2

1nF

E

6

R 5

E

1k

3 741

15

14 13 11

10 9

A

1

16

5

0,4/5W

4

8

C 1

C 2 1

ICL 8063

A

R 6

1nF

1nF

V1

12

2

4

5

6

7

0,4/5W

C 4

R 4

–U

C 5

1M

B

–30V

Abb. 39.27 OP-Verstärker mit Leistungsendstufe

2N2955

+12V

R 2

Abb. 39.29 Leistungs-OP ICL 8063 (Intersil)

100k
v

R 1

7

BC 140
dB

0,01

0,1

1

10

100

1000

E

2

6

R 5

10k
ω

741

A

3

–3

1
ω

68
g

5

4

BC 160

–10

60 dB/Dekade

R 3

10k

–20
bzw. 18 dB/Oktave

–30

–12V

–40

Abb. 39.28 OP mit Gegentakt-Emitterfolger im AB-Betrieb

–50
len. Zu ihrer Realisierung geben Datenblätter die häufig recht

Abb. 39.30 Normiertes Bode-Diagramm eines aktuven Tiefpass-Filters
einfache externe Beschaltung an.

Bei zahlreichen Anwendungen sind noch höhere Leistungen

39.4.4

Aktive Filterschaltungen
erforderlich, die sich erreichen lassen, wenn dem OP eine

Gegentakt-Leistungsendstufe nachgeschaltet wird. Diese End-
stufen sind dann meistens mit externen Leistungstransistoren

Netzwerke aus ohmschen, induktiven und kapazitiven Wider-
aufgebaut.

ständen, die eingesetzt werden, um den Frequenzgang gezielt
zu beeinflussen, nennt man Filter.

Bei der Schaltung eines OP-Verstärkers nach Abb. 39.27 ist
als Leistungsendstufe ein komplementärer Emitterfolger für

Ideale Tiefpass-Filter sollen Nutzsignale mit f < fg unverfälscht

B-Betrieb angefügt. Der Gegenkopplungswiderstand R2 des in-
übertragen und alle Störsignale mit f > fg unterdrücken. Dieses
vertierenden OP muss am Ausgang der Endstufe angeschlossen

Ziel kann mit konstantem Übertragungsfaktor im Durchlassbe-
werden.

reich ( f < fg) und mit starkem Amplitudenabfall oberhalb der

V

Die Übernahmeverzerrungen in der obigen Schaltung lassen

Grenzfrequenz erreicht werden. Der Übergang vom Durchlass-
sich mit der Schaltung nach Abb. 39.28 erheblich reduzieren.

bereich zum Sperrbereich ( f > fg) sollte sehr steil erfolgen.

Teil

Dieser nachgeschaltete Gegentakt-Emitterfolger ermöglicht im-

Durch das Einbringen eines Verstärkerelementes in den Filter
merhin schon einen zulässigen Laststrom von ungefähr 200 mA.

erreicht man, dass aus der generellen Dämpfung des Signals ei-

Müssen die Übernahmeverzerrungen auf fast Null reduziert wer-
ne Verstärkung mit Vu

1 wird.

den, erhöht sich der Schaltungsaufwand erheblich. Hier muss

Es gibt sehr viele Schaltungsvarianten zu Aufbau und Ausfüh-
unter Umständen der Gegentakt-Emitterfolger im AB-Betrieb
rung von aktiven Filtern.

betrieben werden.

Man unterscheidet aktive Tief- und Hochpässe sowie selektive

Um den Schaltungsaufwand zu reduzieren, wurden Ansteuer-

Filter wie aktive Bandsperren und Bandpässe.

schaltungen in integrierter Schaltungstechnik entwickelt. Eine

Abb. 39.30 zeigt das normierte Bode-Diagramm eines aktiven

Möglichkeit ist der ICL 8063 nach Abb. 39.29, der für eine An-

Tiefpass-Filters 3. Ordnung.

steuerung mit dem OP-Typ 741 ausgelegt ist. Der Kurzschluss-
schutz für die beiden angesteuerten Leistungstransistoren ist im

Die Frequenz-Achse ist normiert, so dass der Durchlassbereich

IC enthalten. Dem Ausgang der nebenstehenden Schaltung kön-
des TP bei f = f D
g

1 endet und Spannungen mit Frequenzen f >
nen Ströme bis ca. 3 A entnommen werden.

fg hier mit 60 dB=Dekade oder 18 dB=Oktave bedämpft werden.

496

39 Operationsverstärker
u e

R

C 1

C 2

R
u a

R

C

R 3

C

C

Gauss-Filter 3. Ordnung

C 3

1

R 1

R 2
f
als Grenzfrequenzeiner Filterstufe

0 = 2 πRC
u e
u a

Abb. 39.31 Tiefpass-Filter 3. Ordnung mit OPs

Vu/dB

20

Abb. 39.33 Aktive Bandsperre mit OP

0

–20

Um nur bestimmte Frequenzen zu verstärken oder zu unter-

–40
drücken, benötigt man selektive Filter. Mit einer Kombination

–60
von Hoch- und Tiefpass kann man selektive Filter aufbauen.

–80

Die Schaltung nach Abb. 39.33 zeigt eine leicht berechenbare

10

100

1 k

10 k

100 k

Bandsperre.

Frequenz in Hz

Wählt man R D

D

D

D

1

R 2

2 R 3 und C 1

C 2

C 3=2, so gilt für

Abb. 39.32 Bode-Diagramm eines Gauß-Filters
die Mittenfrequenz dieser Bandsperre folgende Gleichung:

Mittenfrequenz
f D

1

(39.30)

Das normierte Bode-Diagramm eines aktiven Hochpass-Filters

2 R

1

C 1
zeigt, dass der Durchlassbereich des HP bei f = f D
g

1 beginnt

Dieses Filter überträgt Signale hoher und tiefer Frequenzen
und Spannungen mit Frequenzen f < fg mit 60 dB=Dekade oder unverändert. In einem bestimmten Frequenzbereich werden je-

18 dB/Oktave bedämpft werden. Bei der Grenzfrequenz fg tritt
doch die Signale stark unterdrückt. Bei der Grenzfrequenz
eine Dämpfung/Verstärkung von 3 dB=Dekade/3 dB=Dekade (Resonanzfrequenz) hat das Filter einen hohen Übertragungs-
auf.

widerstand.

In der Schaltung nach Abb. 39.31 sind RC-Glieder mit OPs als

Das Bode-Diagramm nach Abb. 39.34 zeigt das normier-

Impedanzwandler zu einem Tiefpass 3. Ordnung zusammen-
te Bode-Diagramm einer Bandsperre. Es ist erkennbar. dass
geschaltet. Durch die direkte Gegenkopplung der OPs ist die
die obere Grenzfrequenz des Tiefpasses unterhalb der unteren

DC-Verstärkung der Gesamtschaltung gleich eins. Jede der n

Grenzfrequenz des Hochpasses liegt.

Filterstufen hat bei der Frequenz f 0 eine Dämpfung von 3 dB/

Dekade. Die gesamte Schaltung hat aber bei der Frequenz f

Zur Verstärkung bestimmter Frequenzen kann das Doppel-T-

0 ei-
ne Dämpfung von n 3 dB=Dekade.

Filter in die Rückkopplung als Gegenkopplung des OP geschal-
tet werden.

Der Tiefpass 3. Ordnung nach Abb. 39.31 hat eine Dämpfung
von 3 dB=Dekade bei der Grenzfrequenz f

Die Schaltung nach Abb. 39.35 zeigt einen aktiven Bandpass.

g < f 0. Oberhalb der

T

Frequenz f

Beim Bandpass werden Spannungen unterhalb und oberhalb

0 wird die Ausgangsspannung mit 60 dB=Dekade be-
eil
dämpft. Diese Schaltung realisiert ein Gauß-Filter, da das Bode-

Diagramm nach Abb. 39.32 die Gaußfunktion eines Tiefpass-

V

Filters zeigt.

v
r
dB

0,01

0,1
g1
r

1
g2 10

100

1000

Charakteristikum eines Gauß-Filters ist der relativ flache Ein-

–3
ω
ω
satz des Amplitudenganges oberhalb der Grenzfrequenz f
g
g. Der

–10
flache Einsatz ist aber gemessen am idealen Filter ein erhebli-

BS
cher Nachteil. Dem gegenüber steht der Vorteil dieses Filtertyps,

TP

–20

HP
dass bei sprungförmiger Änderung der Eingangsspannung die

–30

Ausgangsspannung nicht überschwingt.

Durch Vertauschen von R und C erhält man einen Hochpass 3.

–40

Ordnung. Gauß-Filter höherer Ordnung lassen sich so aufbauen.

–50

Es gibt viele Methoden zum Aufbau aktiver Tief- und Hoch-
passfilter höherer Ordnung. Bei den meisten Filtern ist ihre

Berechnung und Dimensionierung äußerst aufwendig.

Abb. 39.34 Normiertes Bode-Diagramm einer Bandsperre

39.4

Operationsverstärker als Verstärker

497

R 1

R 2

C 3

C 1

C 2

R 3
u e

C 4

R 4
u a

R 5

Abb. 39.35 Aktiver Bandpass
bestimmter Frequenzen bedämpft und das Frequenzband dazwi-
schen unverändert übertragen.

In der Regel wird man versuchen, die Signale mit der favorisier-
ten Frequenz zu verstärken.

V

Teil

Elektronische Schalter,

40

Kippstufen

Peter Döring

40.1 Transistor als Schalter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500

40.2 Kippschaltungen mit Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

40.3 Operationsverstärker als Schalter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

40.4 Kippschaltungen mit Operationsverstärker . . . . . . . . . . . . . . 507

V

40.5 Zeitgeber 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

40.6 Trigger TCA 345 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

499

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_40

500

40 Elektronische Schalter, Kippstufen

40.1

Transistor als Schalter

I C

A2

I Cmax

Wird ein Transistor als Schalter betrieben, so hat er zwei

Arbeitspunkte, zwischen denen er im Betriebsfall je nach Be-
triebszustand wechselt. Der Übergang von einem Arbeitspunkt
zum anderen wird durch ein entsprechendes Steuersignal am

I B

Eingang des Transistors erreicht.

Damit dieser Übergang möglichst schnell ablaufen kann, muss
das Steuersignal einen sprungartigen Verlauf im Schaltzeit-

A1
punkt haben (Rechteckimpuls).

I B=0A

U B

U CE

Abb. 40.1 zeigt einen Transistorschalter mit ohmschem Lastwi-
derstand im Serienbetrieb. Das Kennlinienfeld nach Abb. 40.2

Abb. 40.2 Ausgangskennlinienfeld mit Arbeitsgerade und Arbeitspunkten
zeigt die Anordnung der Arbeitspunkte A1 und A2 auf der Ar-
beitsgeraden. Die Arbeitsgerade ist die Kennlinie des Kollektor-
widerstandes R

I

C , der in diesem Betriebsfall der Lastwiderstand

B

R Last ist.

Bei I

D

B

0 A fließt der sehr geringe Kollektor-Emitter-

Reststrom I

CEO. Damit ist U CE

UB. Der Arbeitspunkt A1
kann weiter nach unten verschoben werden, indem die Basis
beispielsweise auf negatives Potential gelegt wird.

–I B
t

I C

Ausräumstrom

Steuert man den Transistor mit einem großen Basisstrom IB an,
fließt ein großer Kollektorstrom (Arbeitspunkt A2). Die Span-

90%
nung U

D

CE nimmt einen minimalen Wert U CE min

U CE sat bei

U

D

CB

0 V an.

10%

Der Idealzustand eines Schalters mit R D 1 (Arbeitspunkt A1)

t d t r
t s t f
t
und R D 0 ( (Arbeitspunkt A2) wird von einem Transistor-
t ein
t aus
schalter nicht realisiert. Der Transistor erreicht seine Arbeits-

Abb. 40.3 Ein- und Ausschaltverhalten des Transistors
punkte jeweils entlang der Arbeitsgeraden.

Je mehr ein Transistor übersteuert wird, umso sicherer wird der

Arbeitspunkt A2 erreicht und gehalten. Als Folge des überhöh-
ten Basisstroms ergibt sich ein weiter reduziertes U

Anfang ungeladen ist und die Emitterdiode in Durchlassrich-

CE sat. Den

Grad der Übersteuerung gibt man als den Übersteuerungsfaktor
tung gepolt werden muss. Die Anstiegszeit tr (rise time) ist eine
ü an. Er ist das Verhältnis zwischen dem tatsächlich fließenden
definierte Größe, d. h., sie ist die Zeit, während der der Aus-

Basisstrom I
gangsstrom vom 0,1 auf den 0,9fachen Endwert ansteigt. Die

B ist und dem Basisstrom IB soll, der eigentlich nur
erforderlich wäre, um U

D

Einschaltzeit t

CB

0 V zu erreichen.

ein wird mit zunehmendem Basisstrom kleiner.

T

Im Schalterbetrieb wird ein Transistor meistens übersteuert. Je

Nachteilig ist jedoch, dass damit die Ausschaltzeit t
eil
stärker die Übersteuerung, desto kürzer wird die Einschaltzeit
aus des

Transistors größer wird. Die Basis-Emitter-Strecke wird durch
t ein des Transistors.

den großen Basisstrom mit Ladungsträgern überschwemmt und

V

Die Einschaltzeit ergibt sich als Summe aus Verzögerungszeit td
muss beim Ausschalten erst von ihnen geräumt werden, um
und Anstiegszeit tr. Die Verzögerungszeit td(delay time) ergibt
zu sperren. Diese Speicherzeit ts (storage time) ergibt sich aus
sich aus der Tatsache, dass die Sperrschichtkapazität C EB am
der Sperrschichtkapazität C CB. Hinzu kommt die Abfallzeit tf

(fall time) als definierte Zeitgröße. Den Zusammenhang macht

Abb. 40.3 deutlich.

U B

Die Einschaltzeit lässt sich durch kleine Werte für RB und große

R

Übersteuerung verkürzen. Eine Schaltung zur Realisierung sol-

Last
cher Zustände zeigt Abb. 40.4. Der Basisvorwiderstand RB wird
durch die Teilwiderstände RB 1 und RB 2 ersetzt.

R V

E

Im Einschaltmoment schließt der Kondensator C1 den Wider-
stand RB 2 kurz, so dass der Basisstrom nur durch RB 1 begrenzt
wird und somit zur schnellen Übersteuerung führt. Ist der Kon-
densator geladen, begrenzt der Basisvorwiderstand RB wieder

Abb. 40.1 Transistorschalter mit ohmscher Last
den Basisstrom. Im Ausschaltmoment läuft der gleiche Prozess

40.1

Transistor als Schalter

501

U CC

U B

R

L

C

Last

C 1

R Last

R B1
u a

R

R V

B2
u e

E

Abb. 40.4 Schaltung zur Verbesserung des Schaltverhaltens

Abb. 40.5 Transistorschalter mit induktiv-ohmscher Last
mit umgekehrtem Vorzeichen.

Bei Transistoren im Schalterbetrieb ergibt sich die gesamte Ver-
lustleistung P

I
ges als die Summe der Teilverluste.

B ist

Übersteuerungsfaktor
ü D

(40.1)

IB soll

Verlustleistung

P

D

C

C
ges

P Sperr

PD

P Sch

(40.6)

mit

Bei Leistungstransistoren liegen die Werte für die Ein- und Aus-

I
schaltzeiten im Bereich von 1 . . . 3 ms.

C

I

D

B soll

(40.2)

B

Wenn die Lasten zudem noch in größeren Zeitabständen ge-
schaltet werden, gilt folgende Vereinfachung:

gewählt: ü 2 : : : 10

Für T . t

C t
mit R D
ein
aus/ gilt

C

R Last:

U

P

P D U

I

D P

B

U CE sat

UE

U BE
ges

D

CE sat

CA2

V

(40.7)

R D

D

C

RB

IC

IB

Für den Impulsbetrieb (im Gegensatz zum Dauerbetrieb) kann
eine mittlere Verlustleistung definiert und berechnet werden.

Überschlägig kann R

B

10 RC gewählt werden.

mittlere Verlustleistung

Die Sperrverluste sind sehr klein gegenüber den Durchlassver-
lusten und können daher meistens vernachlässigt werden.

U 2

D

D

Verlustleistung im Sperrzustand

Pm

PV

(40.8)

R

Periodendauer

T D t C
i
tp

P

D

Sperr

U CE I CBO

(40.3)

ti

Tastverhältnis

D

(40.9)

Die Durchlassverluste lassen sich messtechnisch und rechne-

T
risch recht einfach bestimmen.

In der Praxis werden Transistoren für den Betrieb als Leis-

Verlustleistung im Durchlasszustand
tungsschalter bezüglich ihrer Verlustleistung meistens recht

V
großzügig ausgewählt. Es muss auf die korrekte Bemessung der

P D

D

Kühlkörper geachtet werden. Auch die Einhaltung der Grenz-

D

U CE sat I CA2

PV

(40.4)

werte U

Teil

CE max und IC max des ausgewählten Transistors muss ge-

Die Umschaltverluste lassen sich nicht so leicht bestimmen,
währleistet sein. Das ist besonders wichtig im Hinblick auf den
weil die Strom- und Spannungswerte sich während des Um-
kleinen Kaltwiderstand einer Glühlampe im Einschaltmoment
schaltens ständig ändern. Bei einem Schalter mit ohmscher Last
oder auch wegen des hohen Anlaufstroms von Gleichstrommo-
sind Ein- und Ausschaltverluste beim Umschalten gleich groß,
toren.

was bei kapazitiven und induktiven Lasten nicht der Fall ist. In

Relais, Hubmagnete oder Motore haben einen überwiegend
der Praxis sind die wesentlich größeren Ausschaltverluste bei
induktiven Anteil und können insgesamt durch die Ersatzschal-
induktiven Lasten besonders zu beachten.

tung einer Spule (Induktivität und ohmscher Spulenwiderstand

Die Berechnung der Umschaltverluste kann allenfalls über-
in Reihe) elektrisch beschrieben werden.

schlägig erfolgen.

In der Schaltung nach Abb. 40.5 ist der R Last so gewählt, dass

Umschaltverluste
er mit dem in Abb. 40.1 übereinstimmt. Die Arbeitsgerade, die
sich aus diesem Widerstand ergibt, ist im Kennlinienfeld gestri-

. t C
ein
t aus/

P

chelt eingetragen. Auf ihr liegen die statischen Arbeitspunkte

Sch

UB IC max

(40.5)

T

A1 und A2.

502

40 Elektronische Schalter, Kippstufen

I C

I

P

C
tot

A2

I Cmax

I Cmax

I B

I B

I B= 0 A

A1 I B = 0 A

U

U

B

CE

U

U

B

CE

Abb. 40.6 Ausgangskennlinienfeld mit eingezeichnetem Verlauf des Arbeits-

Abb. 40.8 Ausgangskennlinienfeld mit Arbeitsgerade und Verlusthyperbel
punktwechsels

U B

U B

L Last

R S

C

R

Last

Last

R Last

D S

R V

R V

E

E

Abb. 40.9 Transistor mit Kondensator als Last

Abb. 40.7 Transistorschalter mit Freilaufdiode

Aufgrund der Selbstinduktionsspannung kann der Kollektor-
um. Die Wirkung dieser Schutzmaßnahme ist im Kennlinienfeld
strom zunächst nur gering ansteigen, was zur Folge hat, dass
nach Abb. 40.6 eingezeichnet.

sich der dynamische Arbeitspunkt dem Arbeitspunkt A2 von

Die Arbeitsgerade kann beim Schalterbetrieb des Transistors
unten nähert. Diesen Vorgang zeigt das Kennlinienfeld nach
nach Abb. 40.8 durch die Verlustleistungshyperbel verlaufen, je-

Abb. 40.6.

doch müssen die statischen Arbeitspunkte außerhalb liegen. Bei
induktiver beziehungsweise kapazitiver Last muss darauf geach-

Im Moment des Ausschaltens wird die in der Induktivität
tet werden, dass der dynamische Arbeitspunkt nicht zu lange in
gespeicherte Energie frei und bewirkt eine hohe Selbstinduk-
der Hyperbel verweilt.

tionsspannung, die so gepolt ist, dass sie als positive Kollek-
torspannung wirkt. Die Selbstinduktionsspannung erhöht die

In der Schaltung nach Abb. 40.9 ist die Prinzipschaltung eines

Teil

Kollektor-Emitter-Spannung U CE soweit, dass sie größer als die

Transistorschalters mit einem Kondensator als Lastwiderstand

Betriebsspannung UB werden kann. Sie kann Werte erreichen,
dargestellt. Der Kondensator ist als „reale“ Kapazität dargestellt.

V
durch die der Transistor zerstört wird ( U CE > U CEO).

Ohne diesen Parallelwiderstand, der im Kennlinienfeld nach

Der Umschaltvorgang verläuft entlang der dynamischen Um-

Abb. 40.10 als gestrichelte Arbeitsgerade dargestellt ist, wäre
schaltkurve nach Abb. 40.6 und macht die Spannungsüberhö-
ein statischer Betrieb im Arbeitspunkt A2 nicht möglich.

hung deutlich. Aus diesem Grund muss ein Transistorschalter

Der Wert dieses R
im Serienbetrieb mit induktiven Lasten (Relais) vor Überspan-

Last
ist mit dem Widerstandswert nach

Abb. 40.1 identisch gewählt, um die Wirkung von C
nungen im Ausschaltmoment geschützt werden.

Last anschau-
licher darstellen zu können.

Ein einfacher, aber wirksamer Schutz ist eine Freilaufdiode, wie

Qualitativer Verlauf und Richtung des Arbeitspunktverlaufs
sie in der Schaltung nach Abb. 40.7 zu sehen ist. Die Freilaufdi-
beim Ein- und Ausschalten sind im Kennlinienfeld nach
ode liegt für die Betriebsspannung UB in Sperrrichtung und ist

Abb. 40.10 eingezeichnet. Je niedriger der Kapazitätswert ist,
somit unwirksam. Erst im Ausschaltmoment, also dann, wenn
desto mehr nähert sich die Übergangskennlinie der gestrichel-
infolge der Induktionsspannung die Kollektorspannung größer
ten Arbeitsgeraden.

als UB wird, liegt die Diode in Durchlassrichtung. Der dann
fließende Strom IF baut die Energie des Magnetfeldes so rasch

In der Schaltung nach Abb. 40.11 wird ein Transistor als Schal-
ab, dass eine gefährliche Überspannung nicht auftreten kann.

ter verwendet, um ein Leistungsrelais an den Ausgang eines

Der Widerstand RS begrenzt den Strom durch die Diode auf zu-

Digitalgatters (hier NOT-Glied) anzupassen. Liegt der Ausgang
lässige Werte und wandelt die magnetische Energie in Wärme
des Gatters auf L-Potential, so ist der Transistor gesperrt; bei

40.2

Kippschaltungen mit Transistoren

503

I C

40.2

Kippschaltungen mit

I

Transistoren

Cmax

Kippschaltungen bestehen hauptsächlich aus zwei Transistor-

I B

Schaltstufen, bei denen gleichzeitig eine Stufe leitend und die
andere Stufe gesperrt ist.

Je nachdem, wie ein Kippvorgang ausgelöst oder eingeleitet
wird, aber auch nach der Anzahl der stabilen Zustände ei-

I B= 0 A
ner Kippschaltung, unterscheidet man folgende Arten: bistabile

U

Kippstufen, monostabile Kippstufen, astabile Kippstufen und

B

U CE

Triggerschaltungen.

Abb. 40.10 Ausgangskennlinienfeld mit eingezeichnetem Verlauf des Arbeits-

Die Art der Kippstufen hängt nach Abb. 40.13 von der techni-
punktwechsels
schen Ausführung der Koppelelemente Z1 und Z2 ab. Sind die

Koppelelemente Z1 und Z2, wie hier im Bild dargestellt, ohm-
sche Widerstände R1 und R2, so ist diese Kippschaltung eine

+5V

„bistabile Kippstufe“.

Ist das Koppelelement Z1 ein ohmscher Widerstand R1, jedoch

V2

K 1
das Koppelelement Z2 durch das Koppelelement Z4 (C2 und

R 1

R2) ersetzt, so ist diese Kippschaltung eine „monostabile Kipp-

R 2

E

1

V1
stufe“.

Ist das Koppelelement Z2 weiterhin ein ohmscher Widerstand

R2, wird jedoch das Koppelelement Z1 durch das Koppel-
element Z3 (C1 und R1) ersetzt, so handelt es sich bei der

Abb. 40.11 Transistorschalter als „Interface“

Kippschaltung ebenfalls um eine „monostabile Kippstufe“.

Werden in der Kippschaltung sowohl Koppelelement Z1 durch

Koppelelement Z3 wie auch Koppelelement Z2 durch Koppel-

U CC
element Z4 ersetzt, so handelt es sich bei dieser Kippschaltung
um eine „astabile Kippstufe“.

R C

R B1

40.2.1

Bistabile Kippstufe
u a
u

Eine bistabile Kippstufe nach Abb. 40.14, auch „Flip-Flop“
e

R B2

(FF) genannt, besitzt zwei stabile Schaltzustände. Hier sind bei-
de Transistorschalter identisch dimensioniert. Es ist erkennbar,
dass der Kollektor von V1 direkt auf die Basis des Transistors

V2 einwirkt wie auch der Kollektor von V2 direkt auf die Basis

V

Abb. 40.12 Transistorschalter mit Unterstützung zum sicheren Sperren
des Transistors V1 einwirkt.

Teil

U B

Z 1

Z 2

H-Potential hingegen ist der Transistor leitend und damit das

R

R

C1

C2

Relais im erregten Zustand.

R 1

R 2

U

V1

V2

A1

A2

U

Um zu verhindern, dass auch bei L-Potential der Transis-

R

R

B1

B2
tor leitend wird, verwendet man häufig eine Schaltung nach

Abb. 40.12. Hier reicht das L-Potential häufig nicht aus, um eine

E 1

E 2

Basisvorspannung zu bewirken, die den Transistor leitend wer-
den lässt. In der Signalverarbeitung wird der Transistorschalter

Z 3

Z 4
meistens an seinem Ausgang durch die Eingangswiderstände

R 1

R 2
nachfolgender Transistorschalter belastet. Diese Belastung kann

C 1

C 2
sowohl gegen Masse als auch gegen die Betriebsspannung UB
auftreten.

Abb. 40.13 Gemeinsame Kriterien und Synthese von Kippstufen

504

40 Elektronische Schalter, Kippstufen

U

U

B

B

R C1

R C2

R C1

R 2

R C2

R 1

R 2

R 1

C 2

U

V1

V2

U

V1

V2

U

A1

A1

A2

R B1

R B2

R B2

E 2

E 1

E 2

Abb. 40.14 Bistabile Kippstufe, auch „Flip-Flop“ (FF)

Abb. 40.16 Prinzipschaltung einer monostabilen Kippstufe

U B

Die Diode V3 bewirkt in dieser Schaltung, dass der Transistor

R C1

R C2

V1 immer vor dem Transistor V2 leitend wird und nach dem

R 1

V3

R 2

Einschalten der Versorgungsspannung somit U

A 1

U CE sat ist.

Berechnet werden kann eine solche Schaltung prinzipiell nach

U

V1

V3

A1

U A2
folgenden Gleichungen ( U

R

BE und UV 3 vernachlässigt):

B1

R B2

Kollektorwiderstand

E 1

E 2

U CEsat

R

D R D UB

UB

(40.10)

Abb. 40.15 Bistabile Kippstufe mit definiertem Grundzustand

C 1

C 2

IC

IC

Vorwiderstand

Ist der Transistor V2 im Sperrzustand, so ist V1 leitend und

D

D 1

damit U

R 1

R 2

RC B

(40.11)

A 1

U CE sat. Die Basis des Transistor V1 liegt über
ü
den Widerstand R 2 und RC 2 an UB. Somit liegt die Basis von

V2 über R

Durch weitere Maßnahmen, wie zum Beispiel Parallelschaltung

1und RC 1 an U CE sat1 von V1 und ist sicher gesperrt.

Je nachdem, welcher der beiden Transistoren als erster durch-
von Kondensatoren zu den Widerständen R1 und R2, kann die
steuert, stellt sich ein bestimmter, aber dann nicht von selbst

Flankensteilheit der Ausgangsspannungen verbessert werden.

veränderbarer Zustand an den Ausgängen ein.

Parallelkondensatoren

An die Basisanschlüsse der Transistoren V1 und V2 nach

R C

C

RB

Abb. 40.14 sind die Eingänge E1 und E2 angebunden. Geht man

C

K

(40.12)

4;6 f R

C

RB
von obiger Darstellung aus, das heißt, V1 leitend und V2 ge-
sperrt, und bringt man nun auf den Eingang E1 einen positiven
mit der Frequenz der Eingangssignale f D f ein .

Spannungsimpuls U

2

E 1 , so wird V2 leitend und V1 gesperrt und
damit U

A 1

UB. Dies hat zur Folge, dass die Basis von V2 über

R1 auf UB gehalten wird und der Transistor V2 leitend bleibt.

T

40.2.2

Monostabile Kippstufe
eil

Bringt man nun auf den Eingang E2 einen positiven Span-
nungsimpuls UE 2, so wird V1 leitend. Die beiden positiven

V

Spannungsimpulse auf E1 und E2 haben also den ursprüngli-

Es
gibt
zwei

Versionen
der
monostabilen

Kippstufe
chen Zustand wiederhergestellt. Die Werte für U

(Abb. 40.13). Sie werden mit Kennzeichnung der Eingänge

A 1 und UA 2 sind
einander entgegengesetzt. Zum Umschalten in den jeweils ent-

E1 und E2 vorgestellt. Ein positives Signal auf den Eingang E2
gegengesetzten Zustand ist nur ein kurzzeitiger Eingangsimpuls
lässt das Monoflop nach Abb. 40.16 vom stabilen Zustand in den
am jeweiligen Steuereingang erforderlich. Der dann eingenom-
nichtstabilen Zustand kippen. Nach einer von der Schaltungs-
mene Zustand wird solange gespeichert, bis ein entsprechender
dimensionierung abhängigen Zeit ti kippt er von selbst in die

Impuls am anderen Eingang einen neuen Zustand herbeiführt.

stabile Schaltstellung zurück und kann nach einer bestimmten

Zeit t rec erneut gesetzt werden.

Aus diesem Grund können Flip-Flops (bistabile Kippstufen) in
der Digitaltechnik als Informationsspeicher eingesetzt werden.

Beim Anlegen der Versorgungsspannung UB wird der Transistor

V1 leitend, weil sein Basisstrom über RC2 und R2 größer ist als

Beim Anlegen der Spannung UB an ein FF tritt ein beliebiger,
derjenige nach V2. Der Kondensator C2 wird über RC 2 geladen,
aber stabiler Ausgangszustand ein, der nur von den Parameter-
das heißt, die Spannung UC 2 am Kondensator ist am Ende des
streuungen der Transistoren abhängt.

Ladevorganges gleich der Spannung UB.

Soll nach dem Anlegen der Spannung UB ein definierter Aus-

Es fließt kein Strom mehr über C2 in die Basis des Transis-
gangszustand festliegen, so muss die Schaltung nach Abb. 40.14
tors. Lediglich der normale Basisstrom IB fließt über R2 zu. Die
entsprechend Abb. 40.15 modifiziert werden.

Spannung U BE am Transistor V1 beträgt ca. 0,7 V.

40.2

Kippschaltungen mit Transistoren

505

U

U

B > 6V

B

R

R

R 1

R 2

C1

R 1

R C2

C1

R C2

C 1

C 2

C 1

R 2

U

V1

V2

U

A1

A2

V1

V2

U A2

R

V3

B1

Abb. 40.18 Prinzipschaltung einer astabilen Kippstufe

E 1

Abb. 40.17 Verbesserte monostabile Kippstufe

12V

CQY 26

CQY 26

390

33k

33k

9

3 0

Ein positives Signal auf den Eingang E2 lässt den Transistor V2
leitend werden, wodurch die Spannung an der Basis von V1 auf

0,047m

0,047m
einen Wert von U

D

BE

UB heruntergezogen wird, da der po-

BC 107

BC 107
sitive Anschluss von C2 auf Masse gelegt wird. Der Transistor

V1 sperrt infolgedessen. Der Kondensator C2 beginnt nun da-

BA 170

BA 170
mit, sich über den Widerstand R2 auf die Batteriespannung C UB

Blinkschaltung mit LEDs

( =
f

0,5Hz)

umzuladen. Wenn sich der Kondensator auf U

D C

BE

0;7 V um-
geladen hat, wird der Transistor V1 wieder leitend und damit

Abb. 40.19 Blinkschaltung mit LEDs

U

A 1

0 V.

Schaltzeit
t D

i

R 2 C 2 ln 2

(40.13)

Schaltung zwei instabile Zustände. Sie kippt daher fortlaufend
von einem instabilen Zustand in den anderen und erzeugt dabei

Der Kondensator C2 muss sich wieder in den normalen Zustand
eine Ausgangsspannung mit einem kontinuierlichen, rechteck-
umladen, also von ca. 0 V auf U

D C

C 2

UB. Man spricht hier
förmigen Verlauf (Rechteckgenerator).

von der

Gleichstrommäßig sind die beiden Transistorschalter so ausge-

Erholzeit
t

D

rec

5 RC 2 C 2

(40.14)

legt, dass sie bei fehlenden Kondensatoren voll leiten würden.

Die Frequenz der Ausgangsspannung sowie das Impuls-Pausen-

Die nächste Triggerung (positives Signal an E2) des Mono-

Verhältnis hängen von den Zeitkonstanten der beiden RC-
flops sollte nicht vor Ablauf der Erholzeit erfolgen, da sonst

Glieder R

2

C 2 beziehungsweise R 1 C 1 ab.

C2 nicht voll aufgeladen wird und die Schaltzeit „unkalkulier-
bar“ verkürzt wird. Mit handelsüblichen Bauteilen lassen sich

Periodendauer

T D . R

C

1

C 1

R 2 C 2/ ln 2

(40.15)

Impulszeiten von ca. 10 ms bis maximal 10 s erreichen. Bei Ver-
wendung von FET können längere Zeiten erreicht werden.

Die Blinkschaltung in Abb. 40.19 ist in dieser Form verwendbar.

Die Dioden vor der Basis der Transistoren haben die gleiche

Wegen t
i
t rec ist für ti durch C2 eine untere Grenze gegeben,

Funktion wie in Abb. 40.17 beschrieben.

die praktisch bei t T
i
liegt.

10

Im Moment der Triggerung liegt die volle negative Batterie-

V
spannung UB an der Basis-Emitter-Strecke des Transistors und

40.2.4

Triggerschaltungen
beansprucht sie in Sperrrichtung. Diese BE-Strecken haben aber
schon bei Spannungen um 6 V ihre Durchbruchspannungen, wo-

Teil
durch dieser pn-Übergang stark gefährdet ist. Die Zeit t

Als Schmitt-Trigger wird eine Kippschaltung bezeichnet, die
i wird
durch die schnelle Entladung des Kondensators stark verkürzt.

beim Überschreiten einer bestimmten Eingangsspannung UE 1

Abhilfe schafft hier die Diode V3 nach Abb. 40.17.

vom Ruhezustand in den Arbeitszustand kippt und erst beim Un-
terschreiten einer bestimmten Eingangsspannung UE 2 wieder in
den Ruhezustand zurückkippt. Schmitt-Trigger nach Abb. 40.20
werden häufig als Schwellenwertschalter eingesetzt.

40.2.3

Astabile Kippstufe

Wie bei jeder Kippschaltung erfolgt das Kippen stets sprung-
haft, so dass auch bei einem beliebigen Verlauf der Eingangs-

Im Prinzip ist eine astabile Kippstufe nach Abb. 40.18 eine ge-
spannung die Ausgangsspannung eines Schmitt-Triggers recht-
schickte Kombination zweier Monoflops ohne Eingänge. Beide
eckförmig ist und nur die beiden Spannungswerte UA min und

Monoflops sind so geschaltet, dass sie sich jeweils nach Ablauf

UA max erscheinen, also ein digitales Signal vorliegt. Da das
der durch die Zeitglieder bestimmten Schaltzeiten gegenseitig

Kippen meistens schnell erfolgt, ergeben sich steile Flanken.

triggern (schalten). Da beide Schalter nur noch über Konden-

Das Eingangssignal ist ein analoges Signal; der Schmitt-Trigger
satoren wechselstrommäßig miteinander gekoppelt sind, hat die
kann also als Analog-Digital-Wandler gelten.

506

40 Elektronische Schalter, Kippstufen

U B

U B

R

R C1

K

C1

R C2

R 3

V3

R 1

R 1

C 1

V1

V2

V1

V2

R 2

R

R 2

L

U A

U E

V4

U

R

U

R E

RE

E

RE

Dämmerungsschalter

Abb. 40.20 Schmitt-Trigger als Schwellenwertschalter

Abb. 40.22 Lichtabhängiger Schwellenwertschalter

Über den gemeinsamen Emitter-Widerstand RE liegt eine

Solange auf die Fotodiode V4 kein Licht fällt, ist diese hochoh-
gleichstrommäßige Mitkopplung zwischen den beiden Tran-
mig, V1 leitend und damit V2 gesperrt. Fällt ausreichend Licht
sistoren vor. Der Spannungsteiler aus R1 und R2 muss so
auf V4, kippt der Trigger und das Relais K zieht an.

dimensioniert sein, dass V2 mit der sich einstellenden Emitter-
spannung U

Als Hilfe zur Berechnung eines Schmitt-Triggers können fol-

RE voll durchgesteuert ist. Die Ausgangsspannung

U

C
gende Überlegungen dienen:

A min ist die Summe aus U RE

U CE sat. Der Schmitt-Trigger
befindet sich jetzt im Ruhezustand.

Ruhelage 1

Er bleibt im Ruhezustand, solange die Eingangsspannung

U

V1 gesperrt, V2 leitend mit U

E

< UE 1 ist, wobei UE 1 die obere Schwellspannung des

E < UE 1

Schmitt-Triggers darstellt. Die Mitkopplung bewirkt, dass der

Einschaltspannung

Schmitt-Trigger bei einer Erhöhung von UE über UE 1 hinaus
sehr schnell vom Ruhezustand in den Arbeitszustand kippt, wo-

U

D

C

D

C

E 1

U RE2

U BE1

IC 2 RE

U BE1

(40.16)

bei V1 leitend und V2 gesperrt ( U

D

A max

UB/ ist. Dieser

Arbeitszustand bleibt solange erhalten, wie UE > UE 2 ist. Wird

Kollektorstrom
die Eingangsspannung UE < UE 2, kippt der Schmitt-Trigger in

U
den Ruhezustand zurück.

CE sat

I

D UB

C 2

(40.17)

R

C

C 2

RE

Die Spannungsdifferenz zwischen UE 1 und UE 2 wird als Schal-

Ausgangsspannung
thysterese des Schmitt-Triggers bezeichnet. Der Zusammen-
hang zwischen Ein- und Ausgangsspannung wird in Abb. 40.21

U D

C

A

URE 2

U CE sat2

(40.18)

in Form der Übertragungskennlinie dargestellt. Die Flanken-
steilheit kann durch Parallelschalten eines Kondensators zu R1
verbessert werden. Sprunghafte Änderungen des Kollektorpo-

T

Ruhelage 2
tentials von Transistor V1 wirken sich so schneller auf V2 aus.

eil

V1 leitend, V2 gesperrt mit UE > UE 2

V

Bei
dem
lichtabhängigen

Schwellenwertschalter
nach

Ausschaltspannung

Abb. 40.22 wird der Schaltvorgang bei einer bestimmten Be-
leuchtungsstärke ausgelöst.

U

D

C

D

C

E 2

U RE1

U BE1

IC 1 RE

U BE1

(40.19)

Kollektorstrom

U A

U CEsat1

I

D UB

C 1

(40.20)

R

C

C 1

RE

Ausgangsspannung

U D

A

UB

(Leerlauf)

(40.21)

Hilfreich zur Berechnung ist die Überlegung, dass beim Aus-

–U
schalten für den Ausschaltmoment I

D I

E

U

U

U

E2

E1

E

C 1

C 2 sein muss!

D

Abb. 40.21 Übertragungskennlinie des Schmitt-Triggers

Hysteresespannung

UE

UE 1

UE 2

(40.22)

40.4

Kippschaltungen mit Operationsverstärker

507

40.3

Operationsverstärker als

R 1

Schalter

U E

U A

Wird ein OP ohne Gegenkopplung betrieben, so ist seine Leer-
laufverstärkung V 0 voll wirksam. Legt man den OP nach

Abb. 40.23 mit dem invertierenden Eingang auf Masse und
an den nichtinvertierenden Eingang eine variable Spannung, so

Abb. 40.25 Schaltung eines invertierenden Komparators
ist diese Eingangsspannung UE auch gleichzeitig die Differenz-
spannung UD, die mit V 0 verstärkt als Ausgangsspannung UA an

U A
den Ausgang des OP gelangt.

Durch die sehr hohe Leerlaufverstärkung (beim idealen OP ist

V D 1

0

) gelangt der OP schnell in die Sättigung, das heißt die

Ausgangsspannung erreicht schnell die positive oder negative

Aussteuergrenze des jeweiligen OP nach Abb. 40.24.

–U

U

E

E

Beispiel

Die Aussteuergrenze eines OP soll U D ˙

A

12 V und die

Leerlaufverstärkung V D

0

105 betragen.

–U A

Es gilt: U D

)

D

D ˙

A

UD V 0

UD

UA= V 0

12 V=105 D

˙

Abb. 40.26 Übertragungskennlinie eines invertierenden Komparators

0;12 mV.

J
gangsspannung des OP 741 liegt zum Beispiel bei 1 V=ms, das

Demnach reicht eine Eingangsspannung von ˙0;12 mV aus, um heißt, der Wechsel der Ausgangsspannung von der positiven zur
den OP an die jeweilige Aussteuergrenze zu bringen. Der Si-
negativen Aussteuergrenze (und umgekehrt) dauert im obigen
gnalwechsel am Ausgang findet also theoretisch immer beim

Beispiel ca. 24 µs. Außerdem muss eine zusätzliche „Erholzeit“

Polaritätswechsel der Eingangsspannung statt. Der OP realisiert
infolge der Übersteuerung des OP berücksichtigt werden.

einen Komparator ohne Hysterese (Komparator D Spannungs-

Vergleicher; to compare: engl. D vergleichen).

Legt man nach Abb. 40.25 den nichtinvertierten Eingang auf

Natürlich ändert sich die Ausgangsspannung nicht in unendlich

Masse und an den invertierten Eingang die Eingangsspannung
kurzer Zeit. Die Anstiegsgeschwindigkeit (slew rate) der Aus-
nach nebenstehender Schaltung, so kehren sich die oben darge-
stellten Überlegungen um (siehe Abb. 40.26).

Der Schaltpunkt dieser Schwellwertschalter liegt also bei einer

R 1

Spannung UE nahe 0 V.

U E

U A

40.4

Kippschaltungen mit

V

Operationsverstärker

Abb. 40.23 Nichtinvertierender OP als Schalter

Teil

U A

40.4.1

Triggerschaltungen mit

Operationsverstärker

Ein Schwellwertschalter ohne Hysterese ist in der Praxis kaum
verwendbar, denn die dem eigentlichen Signal überlagerten

–U

Störspannungen führen zum mehrfachen Umschalten.

E

U E

Durch Mitkopplung lassen sich Schaltungen realisieren, die die-
se Hysterese aufweisen. In der Schaltung nach Abb. 40.27 wird
die Spannung am Widerstand R2 mitgekoppelt. Weil die Ein-

–U
gangsspannung auf den invertierenden Eingang geführt wird,

A
heißt diese Schaltung „Invertierender Komparator mit Hystere-

Abb. 40.24 Übertragungskennlinie eines Komparators nach Abb. 40.23
se“.

508

40 Elektronische Schalter, Kippstufen

U

R 3

A

R 1

U E

U A

R 2

–U E

U

U

E2

E1

U E

Abb. 40.27 Schwellwertschalter mit Hysterese

–U A

Die Ausgangsspannung kann nur zwei definierte Werte anneh-

Abb. 40.29 Übertragungskennlinie eines Komparators einstellbarer Schalt-
men, nämlich U ˙

A

UB.

schwelle

Mitkopplungsspannung

U

D

R 2

R 2

UB

(40.23)

–U

R C

Ref

2

R 3

R 4

Wenn das Eingangssignal UE den Wert von UR 2 erreicht, kippt
die Ausgangsspannung von C UB nach UB um. Der Grund

R 3

A
liegt darin, dass die Differenzspannung UD ihren Nullpunkt
durchläuft. Nun liegt der nichtinvertierende Eingang wegen des

R 1

Spannungsteilers aus R2 und R3 auf einem negativen Potential,

U E
nämlich auf U

U

R 2.

A

Wenn das Eingangssignal den Wert von UR 2 erreicht, kippt die

U 2 R 2

Ausgangsspannung von UB nach C UB um. Die rückgekoppel-
te Spannung UR 2 des Spannungsteilers stellt also die Ein- und
die Ausschaltschwelle des Komparators dar.

Abb. 40.30 Komparator mit frei wählbaren Schaltpunkten

Das Übertragungsverhalten des Komparators ist in Abb. 40.28
dargestellt. Die Schaltpunkte liegen symmetrisch um das Null-
potential. Der Betrag der Schalthysterese ist also die Summe aus

U

Die Übertragungskennlinie nach Abb. 40.29 zeigt das prinzipi-

E 1 und UE 2 und lässt sich berechnen als
elle Schaltverhalten. Der OP in der Schaltung nach Abb. 40.30
schaltet um, wenn das Potential am Punkt A den Wert Null

Hysteresespannung

U

D

R 2

Hy

2 UB

(40.24)

R C
durchläuft. Mit den Widerständen R1 und R2 sind die Ein- und

2

R 3

Ausschaltpunkte im Zusammenhang mit R3 und R4 einstellbar.

Sollen die Schaltpunkte nicht symmetrisch um das Nullpotential

In dieser Schaltung sind die Schaltpunkte völlig frei wählbar.

liegen, muss der jeweils benutzte Eingang auf den gewünschten

Spannungswert (Referenzspannung) mit umgekehrtem Vorzei-

T
chen gelegt (vorgespannt) werden.

Beispiel
eil

Die Ausgangsspannung UA ist wiederum die positive oder nega-

Ein invertierender Komparator (mit idealem OP) soll für

V
tive Aussteuergrenze des OP.

die Schaltpunkte U

D

D

E 1

10 V und UE 2

8 V berechnet
werden. Die Aussteuergrenzen des OP liegen bei U D

A

˙12 V. R D

D

D

3

R 4

100 k( und R 2

33 k(.

U A

Zu bestimmen sind die Referenzspannung, die Mitkopp-
lungsspannung U 2 und der Wert von R2.

Lösung:

In zwei Schaltbilder sind die Potentiale unmittelbar vor

–U

U

U
dem Signalwechsel von UA einzutragen. Daraus kann man

E

E2

E1

U E
erkennen:

Die Hysterese beträgt 2 V. Die Spannung am Punkt A
verändert sich nur um 1 V infolge der Spannungsteilung

–U
durch R3 und R4, wenn sich die Eingangsspannung von

A

10 auf 8 V ändert.

Abb. 40.28 Übertragungsverhalten eines Komparators mit Hysterese

40.4

Kippschaltungen mit Operationsverstärker

509

U B

R 3

R 5

R 3

OP1

R 1

R 4

I

R 1

Q

U E

U

U

A

A

R 2
u

U

C

2

R 2

C

Abb. 40.31 Komparator mit einstellbarer Schaltschwelle und einstellbarer Hys-
terese

Abb. 40.33 Astabile Kippstufe mit OP

U A

Der Kondensator lädt sich über den Widerstand R3 auf die Span-
nung UA auf. Erreicht die Kondensatorspannung uc den Wert von

U 2, so kippt der Ausgang, und der Kondensator lädt sich in die
andere Richtung um. Dieser Vorgang wiederholt sich kontinu-
ierlich.

U C

A

U 2

Impulsdauer
t D

i

R 3 C 1 ln

(40.25)

U

A

U 2

–U A

U

U

U

E2

E1

E

Da t D
i
tp ist und somit T D 2 t und außerdem U 2 ersetzbar ist,

Abb. 40.32 Übertragungskennlinie zum Komparator nach Abb. 40.31
erhält man für die

Periodendauer

Dieselbe Spannungsänderung muss durch die Mitkopp-

T D 2 R

3

C 1 ln 1 C 2 R 2

(40.26)

R
lungsspannung U

D

1

2 erfolgen; somit muss U 2

0;5 V sein.

Damit kann R2 als Teilerwiderstand berechnet werden.

Mit f D 1= T lässt sich die Taktfrequenz der astabilen Kippstufe

Wegen R D
berechnen. Die Ausgangsspannung ist eine Rechteckspannung

3

R 4 und theoretisch unendlich großem OP-

Eingangswiderstand ist U

D
mit positiver und negativer Amplitude (Rechteckgenerator).

R 3

UR 4.

Mit U

D

D

D

0 V gilt im Schaltaugenblick: UR 3

10 V

0;5 V D 9;5 V. Damit ergibt sich als Referenzspannung

U

D

Ref

9 V!

J

40.4.3

Monostabile Kippstufe mit

Operationsverstärker

Die Schaltung nach Abb. 40.31 zeigt einen invertierenden Kom-
parator, bei dem Schaltschwelle und Hysterese mit Hilfe der

Schaltet man parallel zum Kondensator C1 nach Abb. 40.34

V

Potentiometer R5 und R3 eingestellt werden. Der OP liegt
eine Diode V1, dann sorgt die Schleusenspannung US der Di-
an einer unsymmetrischen Versorgungsspannung, so dass die
ode dafür, dass der Kondensator sich nur in einer Richtung
bis zur Mitkopplungsspannung U

Teil

Ausgangsspannung UA entsprechend der Übertragungskennlinie

2 laden kann (Voraussetzung:

nach Abb. 40.32 maximal zwischen 0 V und U

U

B springen kann.

2 > US gewählt).

40.4.2

Astabile Kippstufe mit

R 3

Operationsverstärker

U

Beschaltet man den Eingang eines invertierenden Komparators

C

R 1

(mit Hysterese) nach Abb. 40.33 mit einem RC-Glied, das sei-

U A
ne Spannung vom Ausgang des OP bezieht, so erhält man eine

U

C 1

V1

E

R 2
astabile Kippstufe.

Die Mitkopplungsspannung U 2 hat dieselbe Polarität wie die

Ausgangsspannung und wird durch den Spannungsteiler erstellt.

Abb. 40.34 Monostabile Kippstufe mit OP

510

40 Elektronische Schalter, Kippstufen

+U

U E

R2

Reset
t

R 1

A

U A

U 2 > 0,7V

U 2
u

Set

R 3
e

R 4

0,7V
t

–U 2

Abb. 40.36 Bistabile Kippstufe mit OP
u c

–U A
t
t
i
rec

(umladen über R 3)

40.5

Zeitgeber 555

Abb. 40.35 Liniendiagramm einer monostabilen Kippstufe

Monostabile und astabile Kippschaltungen lassen sich für zahl-

Die Schaltung kann nur nach einem der beiden Ladevorgänge
reiche Anwendungen mit einer integrierten Standardschaltung
kippen. Es handelt sich also um eine monostabile Kippstufe.

realisieren, die als Zeitgeber mit der Typenbezeichnung IC 555

(Abb. 40.37) bekannt ist.

Die Ausgangsspannung wird für eine bestimmte Zeit ti auf ei-

Der Timer-IC 555 ist in der Schaltung nach Abb. 40.38 als mo-
nem bestimmten Pegel gehalten. ( Timer, Zeitglied).

nostabile Kippstufe beschaltet. Die Verweilzeit ti hängt nur von
dem zeitbestimmenden RC-Glied und nicht von der Betriebs-

Die Polarität der Ausgangsspannung wird von der Richtungsla-
spannung des IC ab. Pin 2 ist der „Set“-Eingang, der auf die
ge der Diode V1 bestimmt.

negative Flanke des Set-Signals reagiert.

U C

D

A

0;7 V

An Pin 5 ist stets ein Kondensator CB

10 nF gegen Masse

Impulsdauer
t D

i

R 3 C 1 ln

(40.27)

U
zu schalten. Bei einer Versorgungsspannung von V

D C5 V

A

U 2

CC
ist der Ausgang TTL-kompatibel; während der Verweilzeit ti ist

U V

Abgerufen wird hier die Zeit t
a

CC. Die Zeit kann zwischen 1 ms und ca. 15 min liegen.

i, indem man für einen Moment
den nichtinvertierenden Eingang des OP negativer als den inver-

D

tierenden Eingang macht. Dadurch kippt der OP am Ausgang

Verweilzeit
ti

R 1 C ln 3

(40.28)

auf UA, der nichtinvertierende Eingang wird somit auf U 2
gelegt, und der Kondensator lädt sich nach Abb. 40.35 um. Wird

Die einfache monostabile Kippstufe ist in der Schaltung nach
u D

Abb. 40.39 zu einer nachtriggerbaren monostabilen Kippstufe

C

U 2, so kippt der OP erneut.

erweitert worden. Gibt man innerhalb der Verweilzeit ti einen

Der Kondensator lädt sich aber jetzt nur auf die Schleusenspan-
nung US der Diode, so dass ein weiterer Kippvorgang nicht
ausgelöst wird. Wird die Diode umgepolt, so ist der Ablauf ge-

1
nau umgekehrt zu verfolgen. Die Zeit t

VCC
rec, die der Kondensator

T

Trigger/Set

Discharge
eil
benötigt, um sich von U 2 auf US aufzuladen, sollte bis zum
nächsten Abrufen des Zeitgliedes verstreichen, da sonst ti nicht

Output

Threshold

V
immer gleich ist.

Reset

Control

Voltage

IC 555

CMOS-Version 7555

40.4.4

Bistabile Kippstufe mit

Abb. 40.37 Belegungsplan eines IC 555

Operationsverstärker

U B

1

Eine bistabile Kippstufe mit OP stellt die Schaltung nach

R 1

Abb. 40.36 dar.

555
u

C

C

Die Wirkungsweise der Schaltung ergibt sich aus dem Aufbau.

U

U

Tr

A

Der Schaltungsaufwand ist sehr gering gegenüber dem Auf-

C
wand, der betrieben werden muss bei der Realisierung einer

B
solchen Schaltung mit Transistoren. Auch die Schaltschnellig-
keit des OP ist deutlich höher.

Abb. 40.38 Timer-IC 555 als monostabile Kippstufe

40.6

Trigger TCA 345 A

511

Als Trigger wird der IC 555 in der Schaltung nach Abb. 40.41

U B
verwendet. Fällt Licht auf den Fototransistor, wird er niederoh-

1

R 1
mig, und die abfallende Flanke triggert den IC 555, der aufgrund

V2

555
der Ausgangsspannung U

a

V CC und des Ausgangsstroms

(max. 200 mA) unmittelbar ein Relais schalten könnte.

U
u c

Tr

U

C

A

22

C B

100k

V1

40.6

Trigger TCA 345 A

Abb. 40.39 Nachtriggerbarer Timer mit dem IC 555

Neben einer Vielzahl an Triggern, z. B. aus der TTL-Typenreihe

74xx und der CMOS-Typenreihe 40xx, gibt es auch andere

Trigger-IC-Typen. Der TCA 345A nach Abb. 40.42 ist einfach

U B
in eine Schaltung zu integrieren und durch die Auswahl der

R 1

1

Versorgungsspannung UB leicht entsprechend dem zugehörigen

Diagramm auf bestimmte Schwellwerte und zugehörige Hyste-

555
resespannungen einzustellen.

R 2

Die Schaltung nach Abb. 40.43 zeigt einen Dämmerungsschal-

U a
ter mit dem LDR RPY 63 und dem TCA 345 A.

C B

C

Die Schaltung wird mit dem Poti R2 so abgeglichen, dass bei

Tageslicht (LDR niederohmig) die Eingangsspannung des TCA
größer als U

Abb. 40.40 Astabile Schaltung mit dem IC 555

Ein ist, so dass der Ausgang (Pin 4) auf 10 V liegt.

Dadurch wird ein Schalten des Relais verhindert. Nach Einbruch
der Dunkelheit unterschreitet die Eingangsspannung den Wert

U B
von U Aus und das Relais zieht an.

R 1

1

555

A

U I

V

C B

1

7

I

TCA

Q

6

U

Hysterese

Ein

U CC

345 A

5

4

Abb. 40.41 Lichtabhängiger Trigger mit dem IC 555

3

U Aus

2

1
erneuten Impuls mit negativer Flanke auf den Trigger (Pin 2),

2 4 6 8 10 12 14 16 U B
so wird dadurch das Rückkippen der KS verzögert. Bei einer

V

Schaltzeichen,
schnellen Folge von Impulsen kann dadurch das Rückkippen der
allgemein

KS beliebig verzögert werden.

Abb. 40.42 TCA 345 mit Belegungsplan und Übertragungskennlinie

V

Das „Nachtriggern“ wird solange fortgesetzt, bis eine ausrei-
chend lange Impulslücke auftritt. Die Verweilzeit t 0 nach dem
i
letzten Impuls hängt allerdings auch von V

10V

CC ab.

RPY63

Teil

Der IC 555 ist auch als astabile Kippstufe einsetzbar. Während

R 1

2
der Impulsdauer t

i ist die Ausgangsspannung Ua

V CC. Im-

1
pulsdauer ti und Pausendauer tp sind unabhängig voneinander

4
einstellbar.

3

5k6

Für die astabile Schaltung nach Abb. 40.40 gelten folgende Re-

R 2

TCA 345A
geln:

R 3

2k

Impulsdauer
t D

C
i

. R 1

R 2/ C ln 2

(40.29)

Pausendauer
t D

p

R 2 C ln 2

(40.30)

Abb. 40.43 TCA 345-Applikation als Dämmerungsschalter

Oszillatoren

41

Peter Döring

41.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

41.2 Sinusgeneratoren (RC-Oszillatoren) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

41.3 Funktionsgeneratoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516

V

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

513

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_41

514

41 Oszillatoren

41.1

Allgemeines

Verstärkungs- oder Kopplungsfaktor mit wachsender Amplitu-
de „automatisch“ auf K v D 1 verringern.

Oszillatoren sind elektronische Schwingungserzeuger. Sie die-

Sind die Schwingungsbedingungen nur für eine Frequenz er-
nen zur Erzeugung von ungedämpften sinusförmigen Schwin-
füllt, schwingt der Verstärker nur auf dieser einen Frequenz; die
gungen. Einsatzgebiete liegen vor in Sendern (Erzeugung der

Schwingung ist sinusförmig.

Hochfrequenz), Empfängern (Bildung der Zwischenfrequenz),

Messgeräten (Sinus-, Rechteckgeneratoren) und elektronischen

Musikinstrumenten (Synthesizer).

41.2

Sinusgeneratoren

Oszillatoren bestehen aus einem Verstärker und einem Rück-
kopplungsnetzwerk, das meistens eine Mitkopplung darstellt.

(RC-Oszillatoren)

Diese Rückkopplung muss bestimmte Bedingungen erfüllen,
damit Sinusschwingungen entstehen.

Bei sehr hohen Ansprüchen an die Genauigkeit der erzeug-

Das Rückkopplungsnetzwerk besteht aus einem Resonator und
ten Frequenz wird als frequenzbestimmendes Bauteil anstelle
einer Anpassungsschaltung. Unter einem Resonator ist ein
des Schwingkreises ein Schwingquarz eingesetzt. Die maximale
schwingungsfähiges Netzwerk, zum Beispiel ein Schwingkreis

Abweichung seiner Eigenschwingungen beträgt etwa 0,0001 %.

oder ein Schwingquarz, zu verstehen, das mit seiner Eigen-
frequenz die Schwingfrequenz des Oszillators bestimmt. Da

RC-Oszillatoren werden vorzugsweise für den Frequenzbereich
ein Resonator normalerweise verlustbehaftet ist, würde nach
von 0,01 Hz bis 500 kHz verwendet, da LC-Oszillatoren in
dem Anschwingen die Ausgangsamplitude exponentiell abneh-
diesem Bereich nur durch „unhandlich“ große Induktivitäten
men, so dass eine gedämpfte Schwingung statt der gewünschten

(schlechte Güte, relativ hohes Gewicht) und Kapazitäten reali-
ungedämpften Schwingung zustande käme. Die Verluste der
siert werden können.

Schaltung müssen also durch einen Verstärker kompensiert wer-
den.

Man unterscheidet zwei Arten von RC-Oszillatoren: Phasen-
schieber- und Wien-Brücken-Oszillatoren.

Deshalb wird ein Teil der Ausgangsgröße (Spannung oder

Strom) auf den Resonator zurückgeführt, so dass die Schwin-

Das Prinzip des Phasenschieberoszillators lässt sich nach
gung des Resonators erneut angestoßen wird (Selbsterregung).

Abb. 41.1 erläutern. Die Ausgangsspannung ua einer Emit-
terschaltung ist gegenüber der Eingangsspannung um 180°

Eine Selbsterregung kann nur bei einer Phasengleichheit von
phasenverschoben. Um die Phasenbedingung (Mitkopplung) zu

Eingangs- und Ausgangsgröße entstehen, das heißt, es muss ei-
erfüllen, muss das Rückkopplungsnetzwerk ebenfalls eine Pha-
ne Mitkopplung vorliegen (Phasenbedingung).

senverschiebung von 180° zwischen der Ausgangsspannung des

Eine Mitkopplung hat als generelle Tendenz die Übersteuerung

Verstärkers und der rückgekoppelten Teilspannung erzeugen.

des Verstärkers zur Folge und liefert keine sinusförmige Aus-
gangsspannung mehr. Es muss also eine Amplitudenbegrenzung

Mindestens drei in Reihe geschaltete RC-Glieder sind erfor-
vorgenommen werden.

derlich, um diese Phasenverschiebung zu erzeugen, da jedes

Glied eine Phasenverschiebung von weniger als 90° bewirkt. Im

Bildet man das Verhältnis von Ausgangsspannung ua zur Ein-

Allgemeinen werden alle Kondensatoren und Widerstände der
gangsspannung ue und nennt diese Verstärkung v, so kann

Phasenschieberkette gleich groß gemacht. Eine Selbsterregung
man auch das Verhältnis von rückgekoppelter Spannung ur zur
tritt ein, wenn die am Poti R

T

C abgegriffene Rückkopplungsspan-
eil

Ausgangsspannung ua bilden und nennt dieses Verhältnis Kopp-
nung groß genug ist.

lungsfaktor K.

V

Der Oszillator schwingt mit der Frequenz f 0, für die diese

Grundbedingung
v D ua
u D

Phasenschieberkette insgesamt genau eine Phasenverschiebung
r

K ua

(41.1)

ue
von 180° bewirkt. Die Phasenverschiebung der einzelnen RC-

Glieder ist nicht gleich groß, da jeweils das folgende Glied das

Das Produkt K v bezeichnet man als Ringverstärkung. Die
vorausgehende belastet.

Ringverstärkung muss mindestens gleich eins sein ( K v D

1), damit die Selbsterregung einsetzen kann (Amplitudenbe-
dingung). Dieser Mindestwert reicht aus, um eine bestehende

Schwingung zu erhalten (ungedämpfte Schwingung).

+U B

R 1

Ist die Ringverstärkung K v < 1, kommt keine Schwingung

R C
zustande oder eine vorhandene Schwingung „reißt“ ab.

V1

Ist die Ringverstärkung K v > 1, schaukelt sich die Amplitude

C

C

C
u a
der Schwingung auf, und es treten durch Übersteuerung Verzer-

R

R

R 2

R E
rungen auf.

C E

Soll ein Oszillator anschwingen, muss die Ringverstärkung

K v > 1 sein; nach dem Anschwingen jedoch muss sich der Abb. 41.1 Prinzip des Phasenschieberoszillators

41.2

Sinusgeneratoren (RC-Oszillatoren)

515

+U B

R B

R

R
u e

C

C

R

R

R

V1

C B
u a

C

C

C

R

C
u a

Abb. 41.2 Phasenschieberoszillators

Abb. 41.3 Wien-Brücke als Rückkopplungsnetzwerk

Frequenz der Ausgangsspannung
f D

1
p
und die maximale

0

(41.2)

6 2 R C

Die Widerstände R1, R2 und r

D 1

BE ergeben sich durch den Verstär-

Ausgangsspannung bei f 0

Ua max

Ue

(41.6)

3
ker. Deshalb sind die Widerstände R danach zu dimensionieren.

Wird ein Oszillator mit der Wien-Brücke aufgebaut, darf der

Widerstandsbestimmung

R D R

1

R 2
r BE

(41.3)

Verstärker zwischen Aus- und Eingangsspannung keine Phasen-

Rückkopplungsfaktor

K D 1

(41.4)

verschiebung haben. Es müssen also zwei Emitterschaltungen

29
in Reihe verwendet werden. Bei Verwendung eines Operations-

Um die Amplitudenbedingung zu erfüllen, muss der Verstär-
verstärkers muss die Rückkopplung auf den nichtinvertierenden
kungsfaktor des Verstärkers generell ! v 29 sein.

Eingang erfolgen. Die Schaltung nach Abb. 41.4 zeigt einen

Wien-Brücken-Oszillator mit OP, bei dem die rückgekoppelte

Die Kondensatoren und Widerstände der Phasenschieberkette

Spannung ur auf den nichtinvertierenden Eingang gelegt ist. Die
können auch gemäß der Schaltung nach Abb. 41.2 vertauscht

Ausgangsspannung ua der Schaltung ist hier die Eingangsspan-
werden, ohne dass sich die Wirkungsweise grundsätzlich ändert.

nung der Wien-Brücke.

Die Amplitudenbegrenzung erfolgt hier durch eine Verstär-
kungsregelung. Bei großer Amplitude lädt sich der Kondensa-

Die Verstärkung Vu des OP kann mit den Widerständen R1 und
tor C

R2 eingestellt werden und muss, da der Kopplungsfaktor nach

B aufgrund der Gleichrichterwirkung der Basis-Emitter-

Strecke auf. Dadurch kommt es zu einer Arbeitspunktverschie-

(41.6) bekannt ist, zum Anschwingen größer als 3 sein.

bung des Transistors, wodurch die Verstärkung geringer wird,

Mit R D 22 k( und R D 10 k( ergibt sich eine Verstärkung
bis die Ringverstärkung K v D 1 ( v D 29) ist.

2

1

V

D
u

3;2, die zum Anschwingen ausreicht. Die gegeneinan-

Bei Phasenschieberoszillatoren ist die Amplitudenstabilisierung
der geschalteten Z-Dioden parallel zum Widerstand R2 dienen
sehr kritisch, da die Abstimmelemente R oder C synchron ver-
hier zur Amplitudenbegrenzung, führen also die Verstärkung auf
änderbar sein müssen. Die Frequenzkonstanz dieser Schaltung

V D
u

3 zurück.

genügt selten den Ansprüchen moderner Schaltungen. Aus die-
sen Gründen werden Phasenschieberoszillatoren in der Praxis

Bessere Eigenschaften als die Wien-Brücke zeigt ihre Weiter-
wenig angewendet.

entwicklung zur Wien-Robinson-Brücke als Rückkopplungs-
netzwerk nach Abb. 41.5. Der Wien-Brücke ist ein fester,

V

Eine wesentliche Verbesserung ergibt sich bei Verwendung
frequenzunabhängiger ohmscher Spannungsteiler parallel ge-
einer Wien-Brücke als Rückkopplungsnetzwerk. Die Wien-

Teil

Brücke nach Abb. 41.3 ist ein frequenzabhängiger Spannungs-
teiler. Die Schaltung besteht aus der Reihenschaltung eines

RC-Tiefpasses mit einem RC-Hochpass, wobei die Ausgangs-
spannung ua am Hochpass abgegriffen wird.

R 2

Bildet man mathematisch das Verhältnis von Ausgangsspan-

R 1
nung ua zur Eingangsspannung ue, ergibt sich für eine be-
stimmte Frequenz eine maximale Ausgangsspannung und ein

R

Phasenverschiebungswinkel von 0° zwischen Aus- und Ein-
gangsspannung.

u

C
a

Daraus ergibt sich bei ue D 3 C j .! RC/21 und Trennung von
ua

! RC
u r

R

C

Real- und Imaginärteil die

Resonanzfrequenz
f D

1

0

(41.5)

2 RC

Abb. 41.4 Wien-Brücken-Oszillator mit OP

516

41 Oszillatoren
u

Multiplizierer
e
und Sinusformer

R

R 1 = 2 R 2

Eing.-AM

1

16

Symmetrie

Ausg.

2

15

Sinus/Dreieck

C
u a

3

14

Ausg. Multipl.

Kurvenform

4

13

V+

Frequenz-

5

VCO 12 DV
bestimmender

Kondensator

6

11

Synchronis.-Ausgang

R

C

R 2

Frequenz-

Referenz.-

7

10
bestimmender

Filterkondens.

Widerstand

8

9

FSK-Eingang

Stromschalter

Abb. 41.5 Wien-Robinson-Brücke als Rückkopplungsnetzwerk

Abb. 41.7 Pin-Belegung des integrierten Funktionsgenerators XR 2206

C

Ausstattungskategorien hergestellt. Die Signale können in den

R 1

R
verschiedensten Frequenzbereichen, mit unterschiedlichen Am-
plituden und in variablen Anstiegs- oder Abfallzeiten bei den
u a

C

Sägezahn- und Dreiecksignalen Verwendung finden.

R

R 4

R 2

Eine Dreieckspannung kann mit Hilfe eines Operationsverstär-
kers erzeugt werden, der als Integrierer geschaltet ist und eine

V2

V1

Rechteckspannung als Eingangsspannung hat.

C 1

Sägezahngeneratoren erzeugen eine sägezahnförmige Aus-

R 3
gangsspannung. Sie kann auf vielfältige Art erzeugt werden. Die

Ladekurve von Kondensatoren, die mit einer Stromquelle, mit

Abb. 41.6 Wien-Robinson-Oszillator mit OP
einem Unijunction-Transistor UJT oder mit einem OP geladen
werden, können zu diesem Zweck benutzt werden.

Rechteckgeneratoren können mit monostabilen Kippstufen, mit
schaltet, dessen Widerstände R1 und R2 im Verhältnis 2 W 1 ste-

Schmitt-Triggern oder mit Operationsverstärkern hergestellt
hen. Im Resonanzfalle ist die Ausgangsspannung dieser Brücke
werden.

u

D
a

0 V. Das Verhalten der Wien-Robinson-Brücke kommt
dem eines idealen Schwingkreises wesentlich näher.

Wird ein Funktionsgenerator gesucht, der alle diese Signalspan-
nungen erzeugen soll, können integrierte Bauelemente wie zum

Die Wien-Robinson-Brücke muss etwas verstimmt betrieben

Beispiel der IC 8038 oder der XR 2206 verwendet werden.

werden, da ihre Ausgangsspannung im Resonanzfall gleich Null
ist, also auch die Rückkopplungsspannung gleich Null wäre.

Der XR 2206 ist ein monolithisch integrierter Funktionsge-

Die Verstärkerstufe muss eine relativ große Verstärkung haben.

nerator, der Sinus-, Rechteck-, Dreieck-, Rampen- und Puls-

Die Schaltung nach Abb. 41.6 zeigt einen einfachen Wien-
frequenzen von hoher Stabilität liefert. Die Ausgangssignale

T

Robinson-Oszillator.

können durch eine externe Spannung sowohl amplituden- als
eil
auch frequenzmoduliert werden. Allein durch die äußere Be-

Der Widerstand R2 nach Abb. 41.5 ist hier ersetzt durch die
schaltung kann die Arbeitsfrequenz im Bereich von 0,01 Hz bis

V

Reihenschaltung des Widerstandes R2 mit dem FET V1. Das
über 1 MHz gewählt werden. Die Pin-Belegung zeigt Abb. 41.7.

Netzwerk aus Diode V2, Kondensator C1 und Poti R3 bewirkt
eine Stabilisierung der Ausgangsamplitude.

Die Frequenz f 0 der Schwingungen hängt von dem Kondensator

CT zwischen den Pins 5 und 6 und dem Widerstand RT an Pin

Die Frequenz des Oszillators lässt sich durch Verstellen der

7 beziehungsweise Pin 8 ab. Für Widerstandswerte von 4 bis
beiden Widerstände R verändern, die allerdings Doppelpoten-

200 k( ist die Temperaturstabilität optimal; für den Kondensa-
tiometer mit guten Gleichlaufeigenschaften sein müssen.

tor werden Werte zwischen 1 nF und 100 mF empfohlen.

Die Schaltung nach Abb. 41.8 zeigt die Standardbeschaltung zur

Erzeugung von Sinussignalen, wobei der Schalter S1 geschlos-

41.3

Funktionsgeneratoren
sen sein muss. Das Poti an Pin 7 dient der Frequenzeinstellung.

Wird der Schalter S1 geöffnet, werden dreieckförmige Signa-
le erzeugt. Ihre Amplitude ist etwa doppelt so groß wie die der

Als Funktionsgeneratoren werden Signalgeneratoren bezeich-
sinusförmigen Spannung.

net, die mindestens zwei verschiedene Ausgangsspannungen
mit jeweils unterschiedlichem Verlauf erzeugen. Kompakte Ge-

Der XR 2206 kann nach Abb. 41.9 mit zwei verschiedenen Wi-
räte dieser Art werden in breit gefächerten Qualitäts- und
derständen an den Pins 7 und 8 betrieben werden. Je nach dem

41.3

Funktionsgeneratoren

517

Amplitude

1

16

Ausg.

2

15

Sinus/Dreieck

100K

R

3

14

B

4

13

33K

1

16

25K

5

12

25K 47K

2

15

S 1

6

11

R 1

3

14

Offset

R

V+

A

7

10

V

4

13

+

8

9

C

10K

> 2V

T

5

12

500Ω

R 2

R

< 1V

T

6

11

7

10

Ausg.

2µ 1K

8

9

1µF

Rechteck

Abb. 41.9 Widerstandsauswahl durch Pegelbeschaltung

Abb. 41.8 Schaltung zur Erzeugung von Sinussignalen

1

16

2

15

V+

3

14

Pegel des logischen Signals an Pin 9 ist entweder der Wider-

4

13
stand R1 oder der Widerstand R2 wirksam.

4,7K

5

12

R

6

11

Die Schaltung nach Abb. 41.10 erzeugt Impuls- und Sägezahn-

1

7

10
spannungen. Impulsbreite und Tastverhältnis beziehungsweise

8

9

Anstiegs- und Abfallzeit können durch Wahl der Widerstände

R 2

R1 und R2 zwischen 1 und 99 % gewählt werden. Ihre Werte
sollten zwischen 1 k( und 2 M( liegen.

Abb. 41.10 Impuls- und Sägezahnspannungserzeugung

V

Teil

Schaltungstechniken

42

Peter Döring

42.1 Integrierte Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

42.2 SMD-Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522

V

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

519

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_42

520

42 Schaltungstechniken

42.1

Integrierte Schaltungen

Anode Kathode

SiO2

SiO2

Integrierte Schaltungen (IC D integrated circuit) werden in
n
n+
p
n
n
weiter zunehmender Zahl auf den Markt gebracht. Niedrige Her-
stellungskosten bei großen Stückzahlen, hohe Zuverlässigkeit,

R
p-Silizium

D
p-Silizium
geringer Platzbedarf und hohe Arbeitsgeschwindigkeiten sind
die wesentlichen Vorteile der integrierten Schaltungen im Ver-

Ermittler Basis Kollektor
gleich zu Schaltungen mit diskreten Bauelementen.

SiO2

SiO2

Die Bauelemente eines IC und ihre Verdrahtung werden in ei-
nem gemeinsamen Fertigungsprozess auf einem einkristallinen
n p
n+
n

Halbleiterplättchen aus Silizium (Chip) hergestellt. Diese Chips
n
nach Abb. 42.1 sind nur wenige Quadratmillimeter groß und
p-Silizium

C
p-Silizium
werden in ein Gehäuse eingebaut, wobei die Chipanschlusskon-
takte durch sehr dünne Drähte mit den „Pins“ des Gehäuses

Abb. 42.2 Schichtenfolge der Bauelemente
verbunden werden. Aus Kostengründen werden möglichst viele

Chips auf einer Siliziumscheibe (wafer) untergebracht.

Die Komplexität der Schaltungen auf den Chips steigt stetig mit
weiter voranschreitender Integrationsdichte, also der Anzahl der

1

Transistorfunktionen je Chip. Möglich wird das durch die be-
reits in Abschn. 33.4 beschriebene Planartechnik.

1

Metall-

Bei den monolythisch integrierten Schaltungen sind alle zum
bahnen

Funktionieren erforderlichen Bauelemente der Schaltung, die
p
p
auf einem konventionellen Vorbild mit diskreten Bauelementen
n
n
n

SiO
n+
n+
n+

2
beruht, in einen Halbleiterkristall hineindotiert, auch Bauele-

Kondensator

Widerstand
mente wie Kondensatoren, Dioden, Transistoren oder Wider-

Transistor
stände nach Abb. 42.2. Neben bipolaren Transistoren werden
p-Si
auch MOS-FET in Planartechnik (Abschn. 35.2) in monoly-

Abb. 42.3 Monolythischer IC und konventionelles Vorbild
thisch integrierten Schaltungen eingebracht. Im Kristall müssen
die Einzelbauelemente durch Isolierschichten voneinander ge-
trennt sein.

p-dotierten Gebieten zur gegenseitigen Isolierung umgeben, so

Überwiegend werden npn-Transistoren in den IC realisiert, da
dass sich immer in Sperrrichtung liegende pn-Übergänge erge-
sie bessere elektrische Eigenschaften haben und einfacher her-
ben.

stellbar sind als pnp-Transistoren. Die besondere Anordnung

Abb. 42.3 zeigt eine einfache Schaltung mit diskreten Bau-
der einzelnen dotierten Bereiche ergibt sich aus technologischen
elementen und ihre Realisierung in monolythisch integrierter

Notwendigkeiten. Die Kontakte können nur auf der Silizium-

Technik.

oberfläche angebracht werden, und die Transistoren sind von

Als Isolationsschicht zwischen der Siliziumoberfläche und den

Leiterbahnen dient eine SiO2-Schicht, die durch thermische

Teil

Oxydation der Siliziumoberfläche erzeugt wird. Weitere Leiter-
bahnschichten können auf ähnliche Weise darübergelegt wer-

V
den, während Löcher in der SiO2-Schicht zum Anschluss von

Kontakten eingebracht werden. Die Leiterbahnen bestehen im

Wesentlichen aus Aluminium.

Dual-Line-Gehäuse

Auch bei den integrierten Schaltungen unterscheidet man zwi-

14 Pin (DTP 14)

schen Bipolarschaltungen und MOS- Schaltungen und ferner
zwischen integrierten Analog- und Digitalschaltungen. Die Her-
stellungsverfahren sind zwar weitgehend identisch, aber wäh-
rend man bei Analogschaltungen mit einigen hundert Einzel-
bauelementen auf einem Chip auskommt, werden bei Digital-
schaltungen einige hunderttausend Einzelbauelemente benötigt.

Die Frage, ob bipolare oder unipolare Systeme günstiger sind,
lässt sich nur über Nebenbedingungen klären, wie zum Bei-
spiel die Integrationsdichte und die beabsichtigte Anwendung

(Tab. 42.1).

Wafer

Chips

Integrierte Schaltkreise in Bipolar-Technik kommen als Analog-

Abb. 42.1 Wafer, Chip und Bauform eines IC
und Digitalschaltungen zur Anwendung, im ersten Fall als Ver-

42.1

Integrierte Schaltungen

521

Tab. 42.1 Integrationsgrade (Fa. Siemens)

Integrationsgrad

Anzahl der Funktionen

Mittlere Anzahl der

System

Mittlerer Flächenbedarf

Transistoren
in mm2

SSI (small scale integration)

2–20

100

Bipolar digital C analog

3

MSI (medium scale integration)

20–100

500

Bipolar digital C analog

8
unipolar digital MOS-IC

LSI (large scale integration)

100–50.000

< 100.000

Bipolar digital C analog

20
unipolar digital MOS-IC

VLSI (very large scale integration)

> 50.000

> 100.000

Unipolar digital CMOS-IC

>30

7

Eingänge zum

+ U

+ U

D

Widerstand

D

T3

A

3

T1 T2

T3
usgang
n n n n
p
p
p

T

2

1 T
n
n
n

2

6

T4

Eingänge

Transistor T1 Transistor T2 Widerstand

0 (Multiemitter-

T4
eingänge)

Abb. 42.5 NAND-Gatter in TTL-Technik (Fa. Siemens)

1

5

+ U D

4

R ext

C1.1 C1.2 B1 C1.3

C2.2 C2.3 B.2

C2.1

Innenschaltungeines TL x741x

+V R ext

Gatter 1

Gatter 2
p
p
p
n

Abb. 42.4 Innenbeschaltung eines Operationsverstärkers

PNP

PNP

C1.1

C2.1

C1.2

C2.2
n+

C1.3

C2.3

NPN B1 B2 NPN

Gatter 1

Gatter 2
stärker (siehe Kap. 37) und im zweiten Fall als Schalter (siehe

Abb. 42.6 NAND-Gatter in I2L-Technik (Fa. Siemens)

Kap. 40). Als Vorteile gegenüber der MOS-Technik ist hier die

Fähigkeit zu nennen, große Ströme zu treiben und die kurze

Schaltzeit beziehungsweise die hohe Grenzfrequenz der bipo-

Abb. 42.5 stellt ein NAND-Gatter in TTL-Ausführung dar. Die
laren Transistoren.

Eingänge des Gatters sind als mehrere Emitter eines Transistors

Integrierte monolythische Schaltungen für analoge Anwen-
in der integrierten Schaltung erkennbar. Die einzelnen Bauele-
dungen enthalten überwiegend widerstandsgekoppelte Verstär-
mente sind durch p-dotiertes Silizium voneinander getrennt.

ker ohne Koppelkondensatoren. Analogschaltungen setzen sich
meist aus verhältnismäßig einfachen Grundschaltungen zusam-

Eine Weiterentwicklung dieser TTL-Technik zu höherer In-
men, wie sie in Kap. 37 besprochen werden. Differenzverstärker
tegrationsdichte und verbesserten Schaltzeiten erbrachte die
werden aufgrund der Temperaturkompensation häufig verwen-

I2L-Technik. Über die zusätzlich integrierten Komplementär-
det. Die tatsächliche Innenbeschaltung ist für den Anwender
transistoren nach Abb. 42.6 bekommen die eigentlichen Tran-
nicht bedeutsam, jedoch wird der innere Funktionsablauf und
sistoren einen konstanten Strom, so dass die Schaltung frei von
größeren Stromschwankungen bleibt. Die rasche Änderung des

V
die Wirkungsweise der Gesamtschaltung durch Blockschaltbil-
der beschrieben. Die Komplexität der Innenbeschaltung eines
differentiellen Innenwiderstandes der Konstantstromquelle er-
einfachen Operationsverstärkers (Kap. 39) zeigt die Schaltung
gibt höhere Arbeitsgeschwindigkeiten. Wesentlichster Vorteil

Teil
nach Abb. 42.4.

der I2L-Technik ist jedoch, dass ungefähr 11mal soviele Gatter
auf einer bestimmten Fläche integriert werden können als bei

Andere integrierte Analogschaltungen dienen Regelungszwe-
der TTL-Technik.

cken, in der Energieelektronik zum Zünden von Thyristoren und

Triacs oder sind für zahlreiche Anwendungen in Rundfunk- und

Integrierte Schaltkreise in MOS-Technik bringen den großen

Fernsehgeräten entworfen worden.

Vorteil mit, dass ein MOS-Transistor fast leistungslos gesteu-
ert wird (siehe Abschn. 35.2). Der Stromkanal mit den Source-

Spannungsregler (TDB 78xx), Zeitgeberschaltungen (TDB
und Drain-Gebieten ist von den umgebenden p-Gebieten elek-

555), Drehzahlregler (TCA 955) und viele mehr sind in der ver-
trisch isoliert. Da dieses auch beim Gate der Fall ist, stellt
fügbaren Bestellpalette enthalten.

ein MOS-FET ein selbstisolierendes Bauelement dar, das nicht

Die integrierten Digitalschaltungen unterscheidet man nach der
durch zusätzliche Maßnahmen im Chip von anderen Bauele-

Ausführungsform der Grundgatter und spricht von Logikfamili-
menten isoliert werden muss. Dieser und weitere Effekte sorgen
en. Von den wichtigsten bipolaren Familien (TTL D transistor
dafür, das MOS-Schaltungen erheblich weniger Platz beanspru-
transistor logic; ECL D emitter coupled logic; I2L D integrated
chen als gleichartige bipolare Schaltkreise. Die CMOS-Technik
injection logic) werden zwei kurz behandelt (siehe Teil VII).

(C D complementary) ist heute die dominierende Technik bei

522

42 Schaltungstechniken

+ U D

42.2

SMD-Technik

Si-Oxid

+ U

Ausgang

D

Eingang

Auch bei den Schaltkreisen mit diskreten Bauelementen geht

Tp
der Trend zu kleineren Schaltungsaufbauten mit höherer Be-

Tp

E

Dp A
stückungsdichte und zur Automatisierung der Fertigung. In

Dn

Isol.-Zonen
gedanklicher Fortentwicklung der Hybrid-Technologie kommt

Tn

Tn
man von der Einsteck- zur Oberflächenmontage. Dazu mussten

Sn
p-Wanne

Sn n-Si-Substrat
neue Gehäuseformen entwickelt werden.

Oberflächenmontierbare Bauelemente nennt man SMD (surface

Abb. 42.7 Inverter in CMOS-Technik (Fa. Siemens)

mounted devices). Die Fertigungstechniken zur Verarbei-
tung solcher Bauelemente nennt man SMT (surface mounted

Kondensator

Transistor

+ U
technology).

Masse

CC

Die oberflächenmontierbaren Bauelemente werden auf der glei-

Eingang

Ausgang
chen Seite der Platine aufgebracht, auf der sich die Leiterbahnen

+ U
befinden. Deshalb lassen sie sich auf beiden Platinenseiten mon-

CC

Glasträger

Masse
tieren (Abb. 42.9), was bei der Einsteckmontage nur mit großem

Basisvorwiderstand

Leitung

Kollektorwiderstand

Aufwand zu bewerkstelligen ist. Die Bauelemente haben keine
oder nur sehr kurze Anschlussdrähte und sind in ihren Abmes-

Abb. 42.8 Hybrid-Dünnschicht-Schaltkreis und realisierte Schaltung
sungen relativ klein. Die Platine muss nicht mit Bohrlöchern
für die Bestückung versehen werden. Es sind alle Leiterplatten-
materialien geeignet; sowohl Keramiksubstrate als auch flexible
den integrierten digitalen Schaltkreisen, weil sie leistungsarm

Träger werden eingesetzt. Die Leiterplatten können verkleinert
ist und sehr hohe Integrationsdichten ermöglicht. Im Abb. 42.7
werden, und es ergeben sich verbesserte Hochfrequenzeigen-
ist erkennbar, dass eine Aluminiumschicht den gesamten Chip
schaften.

überzieht. Da direkte Kontaktierungen in den meisten Fällen
nicht notwendig sind (isoliertes Gate), kann auf ausgeprägte

Als Gesamtvorteile werden genannt: Miniaturisierung und Ra-

Leiterbahnen verzichtet werden. Die Schaltung in Abb. 42.7
tionalisierung bei höherer und gleichmäßigerer Qualität sowie
zeigt einen Inverter in CMOS-Technik.

Zuverlässigkeit.

Die Aufteilung von integrierten Schaltungen in Standard-

Allerdings werden sehr hohe Anforderungen an die Positionier-

Schaltungen und in kundenspezifische Schaltungen ist fließend.

genauigkeit und Zuverlässigkeit der Bestückungsautomaten und

Als Standard-Schaltungen werden IC bezeichnet, die jedem
die Löt-(Klebe-)verfahren gestellt.

Anwender zugänglich sind und ohne weitere Abänderung ver-

Die neuentwickelten Gehäuseformen müssen den Anforde-
wendet werden können.

rungen hinsichtlich geringer Abmessungen, geeigneter Löt-

Kundenspezifische Schaltungen sind IC, die im Auftrag von An-
anschlüsse, hoher Lötwärmebeständigkeit, automatengerechter
wendern auf der Grundlage spezieller technischer Vorgaben und

Verpackung und automatischer Bestückbarkeit gerecht werden.

Konzepte realisiert werden.

Abb. 42.10 zeigt einige bei der Fa. Siemens gefertigte SMD-

Gehäuseformen. Nahezu alle diskreten aktiven und passiven

Integrierte Schaltkreise in Hybrid-Technik (hybrid D gemischt)

T

Bauelemente sowie zahlreiche integrierte Schaltungen gibt es
eil
werden bei geringen Stückzahlen für kundenspezifische Schal-
mittlerweile in SMD-Gehäusen.

tungen eingesetzt. Wenn eine Schaltung zu viele passive Schalt-

V
elemente (Kondensatoren) enthält, so dass eine monolythisch

Als Verpackungsart setzt sich zunehmend der Gurt gegenüber
integrierte Schaltung nicht angezeigt erscheint, setzt man diese
dem Magazin durch. Einige Magazinformen zeigt Abb. 42.11.

Technologie ebenfalls ein. Dabei werden die passiven Bauele-
mente auf eine isolierende Trägerplatte aus Glas oder Keramik
aufgebracht. Sie existieren als Schicht auf der Oberfläche, Wi-

Bedrahtete Bauelemente
derstände, zum Beispiel in Mäanderform. Transistoren und inte-
grierte Halbleiterschaltkreise werden in Form von Chips auf die

Trägerplatte gebracht und durch dünne Gold- und Silberdrähte
mit den anderen Teilen der Schaltung verbunden. Bei der Ge-

Leiterplatte

Einsteckmontage
samtherstellung ist zwischen der Dickschicht- und Dünnschicht-

SMD
technologie zu unterscheiden. Erstere benutzt man für kleinere

Serien, deren Schaltungsfunktionen flexibel sein sollen, letztere

Leiterplatte
für große Stückzahlen mit festen Schaltungsfunktionen. Dünn-
schichtschaltungen lassen sich für fast alle Anwendungsberei-

SMD
che bis hin zur Höchstfrequenztechnik herstellen. Abb. 42.8

Oberflächenmontage
zeigt als Beispiel einen Hybrid-Dünnschicht-Schaltkreis, der die
dargestellte konventionelle Schaltung nachbildet.

Abb. 42.9 Einsteck- und Oberflächenmontage

42.2

SMD-Technik

523

Kerko

Heißleiter

Tantal-Ko

MKT-Ko

Simit 01

Kaltleiter

Varisto

Varisto

Trafo

Flächenmagazin

CEREC SMD SOD 80

SOD 123

Optokoppler

Stapelmagazin

SOT 23

SOT 123

Stangenmagazin

MIKROPACK

Linearmagazin

SO 6 ... SO 20 L

PLCC

Abb. 42.11 Gebräuchliche Magazintypen

Abb. 42.10 Gebräuchliche SMD-Gehäuse
zunächst Lötpaste auf die Lötflächen aufgebracht, anschlie-

Für die SMD-Technik mussten neue Layoutregeln entwickelt
ßend werden die Lötanschlüsse der Bauelemente in die Paste
werden, in denen berücksichtigt wird, wie die Platine gefertigt,
gedrückt und schließlich die Paste durch Wärmeeinwirkung auf-
geprüft, repariert und gewartet werden soll.

geschmolzen.

Bei den geringen Abmessungen der Bauteile und der großen

Bestückungsautomaten haben die Probleme der Kleberdosie-

Packungsdichte wirken sich Löt- und Klebefehler oder Unre-
rung und der Lötungen praktisch gelöst. Zusätzliche Anforde-
gelmäßigkeiten im Lötvorgang besonders gravierend aus. Hier
rungen an den Bestückungsautomaten müssen von Fall zu Fall
müssen Lötverfahren und Klebeverfahren sorgfältig ausgesucht
entschieden und gelöst werden. So sollten möglichst alle Bau-
werden.

elemente mit einem Bestückkopf bestückbar und eine genaue

Da zum Beispiel beim Wellenlöten die Platine mit dem Bauteil

Platzierung der Bauelemente gewährleistet sein. Auch sollte der
kopfunter liegt, muss der Klebepunkt das Bauteil sicher fixie-

Bestückungsautomat keine Auswirkung auf das Layout haben.

ren. Liegt zuviel Kleber unter dem Bauteil, verschiebt es sich

Welche Bestückungsautomaten eingesetzt werden, hängt vor
eventuell. Liegt zuwenig Klebemittel an, hält das Bauteil beim
allem von der Zahl der zu bestückenden Platinen und der

Lötvorgang die Position nicht ein, zumal die SMD-Bauteile vom

Häufigkeit des Platinenwechsels ab. Bei der Pick-and-Place-

Lötmittel voll umflutet werden und der hohen Temperatur des

Methode wird ein Bauelement nach dem anderen aufgesetzt, bei

Bades ausgesetzt sind. Es muss also nach dem Grundsatz „so
der Simultan-Methode dagegen werden mehrere Bauelemente
wenig wie möglich, aber so viel wie nötig“ verfahren werden.

gleichzeitig erfasst und auf der Platine gleichzeitig abgesetzt,

Bei Verwendung von Keramiksubstraten mit einem Reflow-
was hohe Stückzahlen ermöglicht. Bei einem Platinenwechsel

Lötvorgang kann auf Kleber ganz verzichtet werden. Hier wird
werden dann aber hohe Rüstzeiten erforderlich.

V

Teil

Optoelektronik

43

Peter Döring

43.1 Grundsätzliche Überlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

43.2 Optoelektronische Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

43.3 Anzeigeeinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533

43.4 Signalübertragung mit Optokoppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

43.5 Faseroptische Übertragungsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

V

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

525

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_43

526

43 Optoelektronik

43.1

Grundsätzliche Überlegungen

–1,5

9

+0,5
ca.6

14

0,6

6

–9,

Alle Halbleitermaterialien werden bei Energiezufuhr von au-
ßen in Form von Wärme oder Licht niederohmiger, da neue

15

Ladungsträgerpaare gebildet werden, die die Eigenleitfähigkeit

Typischer Aufbau

LDR 03
erhöhen. Die Zahl der durch das auftreffende Licht freigesetzten

Elektronen wird umso größer, je größer die Beleuchtungsstärke

Abb. 43.1 Typischer Aufbau und Bauform eines LDR
ist, weil erhöhte Lichteinstrahlung eine Energiezufuhr bedeutet.

Dieser Vorgang wird als „Innerer foto- elektrischer Effekt“ be-

10000
zeichnet.

R

Ω

Trifft Licht auf eine pn-Sperrschicht, werden infolge der Ener-
giezufuhr Kristallbindungen aufgerissen. Es entstehen bewegli-

1000
che Ladungsträger-Paare, die in- folge des vorhandenen elek-
trischen Feldes sofort abfließen. Dabei wandern die Löcher in
die p-Schicht und die Elektronen in die n-Schicht. Ohne ange-

100
legte äußere Spannung wird die p-Schicht zum Pluspol und die
n-Schicht zum Minuspol einer Spannungsquelle.

Licht ist physikalisch gesehen eine elektromagnetische Strah-

10

10

100

1000

10000
lung in einem bestimmten Frequenzbereich. Dabei wird sicht-

E v
bares Licht von nichtsichtbarem Licht unterschieden. Das natür-
lx
liche weiße Sonnenlicht ist eine Mischung von elektromagne-
tischen Schwingungen der verschiedensten Wellenlängen. Wel-

Abb. 43.2 Kennlinie des LDR 03
lenlänge und Frequenz sind zueinander umgekehrt proportional.

Die Energie der Lichtstrahlung ist der Frequenz proportional.

43.2.1

Fotowiderstand (LDR – light dependent

Die Farbanteile des Lichtes werden als Spektralfarben bezeich-
resistor)

net. Das unsichtbare Infrarotlicht (IR) hat eine Wellenlänge
von 780 bis etwa 1000 nm. Rotes, sichtbares Licht (780 bis

630 nm) schließt sich an, geht in orangefarbenes Licht (630

Fotowiderstände bestehen aus Halbleiter-Mischkristallen als
bis 590 nm) über, während gelbes Licht (590 bis 560 nm) den

Basismaterial. LDR können sowohl an Gleichspannung wie
farblichen Übergang zum Grünbereich (560 bis 490 nm) bildet.

auch an Wechselspannung betrieben werden, da sie ohne pn-

Über den Anteil an blauem Licht (490 bis 440 nm) und violetter

Sperrschicht sind. Der Widerstandswert von Fotowiderständen

Spektralfarbe (440 bis 380 nm) endet der sichtbare Teil und geht
wird mit zunehmender Beleuchtungsstärke kleiner. Ein LDR hat
in den nichtsichtbaren Teil (380 bis 10 nm), dem ultravioletten
bei einer bestimmten Lichtwellenlänge seine größte Empfind-

Licht (UV) über.

lichkeit.

Für die Herstellung von LDR, deren spektrale Empfindlichkeit
im Bereich des sichtbaren Lichtes liegt, werden als Halbleiter-

Teil
materialien Cadmiumsulfid (CdS) und Cadmiumselenid (CdSe)

43.2

Optoelektronische
verwendet.

V

Bauelemente

Die spektrale Empfindlichkeit von LDR aus Bleisulfid (PbS)

und Indiumantimonid (InSb) liegt dagegen im Infrarotbereich;
die spektrale Empfindlichkeit von Germanium und Silizium
liegt zwischen 800 und 1600 nm.

Bauelemente zur Umwandlung elektrischer Größen in opti-
sche Strahlung und umgekehrt werden als optoelektronische

Fotowiderstände haben die höchste Lichtempfindlichkeit unter

Bauelemente bezeichnet. Man unterscheidet dabei zwischen
den fotoelektronischen Halbleiterbauelementen. Abb. 43.1 zeigt
lichtemittierenden (lichtabstrahlenden) und lichtabsorbierenden
den typischen mäanderförmigen Aufbau eines LDR.

(lichtaufnehmenden) Bauelementen.

Die wichtigsten Kennwerte von LDR sind der Dunkelwider-
stand und der Hellwiderstand, der in den Datenblättern meistens

Bei einigen, im sichtbaren Licht arbeitenden Fotohalbleitern
für eine Beleuchtungsstärke von 100 Lux angegeben wird.

führt auch die vom Auge nicht wahrgenommene infrarote Strah-
lung zu einer Änderung der Leitfähigkeit. Hier werden für

Die Kennlinie des LDR 03 zeigt Abb. 43.2. Seine maximale
bestimmte Anwendungen optische Filter verwendet, um deren

Versorgungsspannung beträgt U D

B

150 V und seine maximale

Einflüsse gering zu halten.

Verlustleistung P

D
tot

100 mW.

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43.2

Optoelektronische Bauelemente

529

Dunkelwiderstand

101

20sec nach Lichtsperre

1000M
nach 5min Beleuchtung

R F
mit E=

100M

R
f t

F = ( ), E = Por.

l Fot 100

( )

Ω

500Lx

5Lx
µA

5000Lx

10M

50Lx

1M

10–1

100k

5Lx

10k

Hellwiderstand

10–2

50Lx nach Einschalten

1k
der Beleuchtung

500

500Lx
mit E =

200

100

10–3

50

5000Lx

20

10

1 2 5 10 20 50 100

100 (msec)

10–4

0,1

1

10

100

1000

(sec)

t

10–2

10–1

100

101

102

103

E v
lx

Abb. 43.3 Einstellträgheit eines Silizium-LDR

Abb. 43.5 Zusammenhang zwischen Fotostrom und Beleuchtungsstärke

U B

R V

43.2.2

Fotodiode und Fotoelement

Ohne Beleuchtung fließt durch die pn-Sperrschicht einer Foto-
diode wie bei jeder normalen Diode ein Sperrstrom, der bei den

U

Fotodioden meistens als Dunkelstrom I

F

R 0 bezeichnet wird. Als

D 1

Folge der Beleuchtung tritt ein zusätzlicher Fotostrom I Fot auf,
der linear mit der Beleuchtungsstärke ansteigt. Abb. 43.5 zeigt
den Zusammenhang zwischen Fotostrom und Beleuchtungsstär-
ke.

Abb. 43.4 Fotodiode mit Vorwiderstand

Wie jedes Halbleiter-Bauelement hat auch die Fotodiode eine
deutliche Temperaturabhängigkeit (Abb. 43.6). Besser zu erken-

Dunkelwiderstand R D
nen ist diese Abhängigkeit im Abb. 43.7, deren Kennlinie das

0

Widerstandswert nach 1 Minute völli-
ger Abdunkelung; R

Verhältnis normiert darstellt. Bei einer Änderung der Tempe-

0 > 10 M(.

ratur kann der Korrekturfaktor abgelesen werden, mit dem der

V

Hellwiderstand R

D
bezogene Fotostrom multipliziert wird.

H

Widerstandswert bei 100 Lux oder

1000 Lux; R

D

H 100

500 ( : : : 50 k(.

Wie alle lichtempfindlichen Bauelemente haben auch die Fo-

Teil

Beim praktischen Einsatz von Fotowiderständen muss beachtet
todioden eine spektrale Empfindlichkeit. Für die Fotodiode
werden, dass der Widerstandswert einer Änderung der Beleuch-

BPW 32 ist die relative spektrale Empfindlichkeit in Abb. 43.8
tungsstärke mit einer relativ hohen Trägheit folgt. Abb. 43.3
dargestellt. Die größte Empfindlichkeit dieser Fotodiode liegt
zeigt prinzipiell die Einstellträgheit eines Silizium-LDR.

bei einer Wellenlänge von 800 nm, was etwa einer Farbe
zwischen Dunkelrot und Infrarot entspricht.

Fotowiderstände sind daher nicht besonders gut für einen Ein-

Dies ist auch bei den meisten anderen Typen von Silizium-
satz geeignet, bei dem schnelle Änderungen der Beleuchtungs-
stärke erfasst werden müssen. Bei E D 50 Lx benötigt dieser

Fotodioden der Fall. Zu unterscheiden ist zwischen den pn-

LDR eine Zeit von 100 ms, um seinen Widerstandswert R

Fotodioden und den pin-Fotodioden.

F von

100 M( auf 10 k( zu mindern; bei E D 500 Lx noch eine Zeit

Der großflächige pn-Übergang bei den Fotodioden hat eine
von 15 ms.

große Sperrschichtkapazität zur Folge. Daher liegen die Schalt-
zeiten von pn-Fotodioden im Bereich von Mikrosekunden.

Fotodioden werden in Sperrrichtung an einer äußeren Spannung
betrieben; damit ist zu ihrem Betrieb nach Abb. 43.4 ein Vorwi-

Um die Sperrschichtkapazität zu verkleinern, wurden die pin-
derstand und eine Betriebsspannung erforderlich.

Fotodioden entwickelt, deren Schaltzeiten im Nanosekunden-

530

43 Optoelektronik

104

%

100

I Ro
pA

S rel

80

103

60

102

40

101

20

100 0

20

40

60

80

100

0

T

400

600

800

1000

1200 nm

U

°C
λ

Abb. 43.6 Temperaturabhängigkeit einer Fotodiode

Abb. 43.8 Relative spektrale Empfindlichkeit der Fotodiode BPW 32

1,2

Lichteinfall

I Fot

–

I Fot(25°C)

SiO -Abdeckung

2

1,0
p-Gebiet

Instrinsic-Zone

0,8

Metallkontakt
n-Gebiet

+

Abb. 43.9 Technologischer Aufbau einer pin-Fotodiode

0,6

Beweglichkeit der Ladungsträger verbessert das Schaltverhal-
ten. Infolge der relativ breiten i-Schicht haben pin-Fotodioden

0,4
wesentlich höhere Sperrspannungen. Sie liegen bei U

50

T

R
eil
bis 100 V. Die Fotoströme sind bei den pin-Fotodioden nur etwa
halb so groß wie bei den pn-Fotodioden.

V

0,2

In den letzten Jahren haben pin-Fotodioden eine steigende Be-
deutung erlangt. Sie werden zum Beispiel aufgrund ihrer hohen

0

Empfindlichkeit im Infrarotbereich und wegen ihrer kurzen

–30 –20 –10 0 10 20 30 40 50 60 70 80°C

Schaltzeiten bei der Fernsteuerung mit moduliertem Infrarot-

T
licht eingesetzt.

U

Fotodioden können wegen des gleichartigen technologischen

Abb. 43.7 Normierte Darstellung der Temperaturabhängigkeit einer Fotodiode

Aufbaues und des gleichen Funktionsprinzips auch als Foto-
elemente betrieben werden. Sie arbeiten dann im IV. statt im

III. Quadranten des Kennlinienfeldes (Abb. 43.10). Infolge der

Bereich liegen (Abschn. 33.4.4). Abb. 43.9 zeigt den technolo-

Ladungstrennung in der pn-Schicht durch das einfallende Licht
gischen Aufbau von pin-Fotodioden, bei denen sich zwischen
und mit Unterstützung der Diffusionsspannung bildet sich eine
den sehr dünnen p- und n-Schichten eine breite Intrinsic-

Spannung in Durchlassrichtung, das heißt, es ist keine äußere

Schicht befindet. Wegen der daraus resultierenden hohen Feld-

Betriebsspannung notwendig.

stärke in dieser Schicht werden die bei Beleuchtung erzeugten

Ladungsträger-Paare viel schneller als bei den pn-Fotodioden

Legt man einen Widerstand an die Kontaktierung der p- und
in die p- beziehungsweise n-Schicht abgesaugt. Diese größere
n-Schichten, fließt ein Strom, der in Bezug auf die Spannung

43.2

Optoelektronische Bauelemente

531

II

I

I
mV

F

700

70

0 U 600

60 I K

I
µA

K

U 0

500

50

– U /V

F

U F/V

400

40

U 0

0,3

E = 0Lx

5 0,1 0,2

0,4

300

30

200Lx

10

200

20

400Lx

Leerlaufspannung

I

15

Kurzschlußstrom

K

100

10

600Lx

20

0

0

800Lx

25

E

1000Lx

30

Kennlinien eines Fotoelements

Meßschaltungen

I R/pA

III

IV

Abb. 43.13 Kennlinie und Messschaltung eines Fotoelementes

Abb. 43.10 Vier-Quadranten-Kennlinienfeld einer Fotodiode

C

Licht
n-Schicht

Metallelektroden

E

U A

C
pn-Übergang

–

B

+

C

B
p-Schicht

E

Abb. 43.11 Schnitt durch ein Fotoelement

E

Abb. 43.14 Ersatzschaltbild und Schaltzeichen von Fototransistoren
negativ zu sehen ist. Damit hat man eine Spannungsquelle, die

Licht direkt in elektrische Energie umwandelt (Fotoelement,

Die Kennwerte von Fotoelementen, wie Leerlaufspannung U

Solarzelle). Fotoelement und Solarzelle unterscheiden sich nur

0
und Kurzschlussstrom I
dadurch, dass eine Solarzelle zur Erzeugung höherer Leistungen

K lassen sich mit den Messschaltungen
nach Abb. 43.13 ermitteln.

vorgesehen ist.

Eine typische Solarzelle ist 10 cm 10 cm groß und besteht aus

Solarzellen werden in zunehmendem Maße für die Energiever-
kristallinem Silizium. Der interne Aufbau und die Kontaktie-
sorgung ortsfester Verbraucher mit niedrigem Verbrauch, wie
rung der Anschlüsse ist in Abb. 43.11 erkennbar. Die Oberfläche
zum Beispiel Leuchtbojen, Sendeanlagen, Parkscheinautomaten
ist mit einer „Antireflex-Schicht„ (schwarzblaue Oberfläche)

in Großstädten, kleinere Wochenendhäuser, verwendet.

versehen, damit möglichst viel Licht eindringen kann. Zur Er-
zeugung höherer Leistungen werden solche Zellen parallel und
in Reihe zusammengeschaltet.

43.2.3

Fototransistoren

Hundert solcher Solarzellen erbringen eine elektrische Leistung
von 100 W unter der Bedingung, dass die Strahlungsleistung der

Wie jeder Transistor enthält auch der Fototransistor zwei pn-

V

Sonne 1000 W=m2 beträgt. Der Wirkungsgrad liegt folglich bei

10 %. Zur Energieumwandlung trägt bei Verwendung von Sili-

Übergänge, die lichtempfindlich sind, weshalb normale Tran-
zium nicht nur das sichtbare Licht bei, sondern nach Abb. 43.12
sistoren in lichtundurchlässige Gehäuse gegossen werden. Hier

Teil
auch Licht mit höherer Wellenlänge.

wird die Kollektor-Basis-Sperrschicht als lichtempfindliche

Schicht benutzt. Die Wirkungsweise und damit das Ersatz-
schaltbild nach Abb. 43.14 entspricht einer Fotodiode parallel
zur CB-Strecke. Der durch die freigesetzten Ladungsträger

%

100
hervorgerufene Strom wirkt wie ein Basisstrom. Die Lichtemp-

80

CdSe

Si
findlichkeit ist um den Verstärkungsfaktor B des Transistors

60

Sonnen-
größer als die der Fotodiode. Der Basisanschluss kann herausge-
spektrum

40

20
führt sein, was die Einstellung eines Arbeitspunktes erleichtert

0
und die Steuermöglichkeiten vergrößert.

400

500

600

700

800

900 1000 1100
sichtbares

Das Ausgangskennlinienfeld des Transistors nach Abb. 43.15

Licht

Wellenlänge λ
hat nicht mehr den Basisstrom IB als Parameter, sondern die

Beleuchtungsstärke E. Bei E D 0 Lx fließt praktisch kein Kol-

Abb. 43.12 Strahlungsspektrum des Sonnenlichtes und Spektralempfindlich-
lektorstrom IC. Mit größer werdender Beleuchtungsstärke steigt
keit von Solarelementen
der Strom an. Die IC-Achse im Kennlinienfeld ist meistens lo-

532

43 Optoelektronik

Tab. 43.1 Übliche Zusammensetzung von LED’s und IRED’s

Werkstoff

SiC

GaP

GaP

GaAsP

GaAs

GaAsP

GaAs

GaAs

Schleusenspannung

2,7 V

2,4 V

2,2 V

1,6 V

1,4 V

Dotierung

SiC

Stark mit N

Schwach mit N Schwach mit N Mit P

Zn C O

Zn

Si

Wellenlänge (nm)

480

565

590

625

650

700

900

930

Farbe

Blau

Grün

Gelb

Orange

Hellrot

Rot

Infrarot

Infrarot

100

100

I C

%

V

E=3000lx
λ

80

I rel

10

1000lx

60
een
d
ge
ed
red
gr

300lx

40
w
e
ran
er-r
re-
er-re
o
p
lu
u
een
ello
y
b
p
gr
y
sup
h

1

20

100lx

0

30lx

400

450

500

550

600

650

700
λ

0,1

Abb. 43.16 Spektralkennlinien und Strahlungsmaxima einiger LED’s

0lx

0,01 0

5

10

15

20

25

U B

U CE

R

Abb. 43.15 Kennlinienfeld eines Fototransistors

V
garithmisch eingeteilt, da sich der Kollektorstrom um mehrere

Zehnerpotenzen ändert.

U F

Die Schaltgeschwindigkeiten von Fototransistoren liegen zwi-

D 1
schen 2 und 100 ms und sind damit kleiner als die der Fotodi-
oden. Die Schaltgeschwindigkeit ist umso niedriger, je kleiner
der Lastwiderstand und je größer die Amplitude des Lichtimpul-
ses ist. Um die Lichtempfindlichkeit weiter zu erhöhen, kann der

Abb. 43.17 LED mit Vorwiderstand

Transistor auch als Darlington-Fototransistor ausgeführt wer-
den.

baren Lichtes werden grün-, gelb-, orange-, rot- und blauleuch-
tende LED’s geliefert. Für den nichtsichtbaren Infrarotbereich

43.2.4

Lumineszenzdioden und Flüssigkristalle werden verschiedene IRED (infrared emitting diode) angebo-

T
ten. In allen Fällen erstreckt sich das erzeugte Lichtspektrum
eil
jeweils nur über einen schmalen Bereich (monochromatische

In den lichtemittierenden Fotohalbleitern wird elektrische Ener-

Leuchtquellen). Abb. 43.16 zeigt die Strahlungsmaxima und die

V
gie in Strahlungsenergie umgewandelt. Das geschieht im Be-

Spektralkennlinien einiger LED’s. Tab. 43.1 gibt eine Übersicht
reich einer dünnen pn-Sperrschicht. Hierbei wandern etwa
über die Zusammensetzung einiger LED’s mit den zugehörigen
gleich viele Elektronen von der n-Schicht in die p-Schicht wie

Gallium-Verbindungen und Dotierungsstoffen. Als Fremdatome

Löcher von der p-Schicht in die n-Schicht. Die n-Schicht ist je-
dienen Zinkdampf (Zn C O), Stickstoff (N), Phosphor (P) oder
doch deutlich stärker dotiert als die p-Schicht. Dies führt dazu,

Silizium (Si).

dass der Strom durch die Sperrschicht fast vollständig ein Elek-
tronenstrom ist. Die in die p-Schicht gelangenden Elektronen

In der Prinzipschaltung nach Abb. 43.17 ist der zur Strom-
rekombinieren mit den dort vorhandenen Löchern. Dabei wird
begrenzung und Spannungseinstellung erforderliche Widerstand

Energie frei, die je nach Ausgangsmaterial der Diode als sicht-

RV enthalten. Die erzeugte Lichtstärke IV wird bei LED’s für
bares Licht oder als Infrarotstrahlung nach außen tritt.

den sichtbaren Lichtbereich meistens in Millicandela (mcd)

angegeben. Sie hängt nahezu linear von der Größe des Durch-

Technisch benutzt wird dieser Effekt in der Leuchtdiode, die
lassstroms I
auch als Lumineszenzdiode (LED D light emitting diode)

F ab. Für den praktischen Betrieb von LED’s ist der

Zusammenhang zwischen I
bezeichnet wird. LED’s werden grundsätzlich in Durchlassrich-

F und UF von Bedeutung. Kennwerte
einer Leuchtdiode sind die Leuchtfläche, die Strahlungsleistung
tung betrieben.

(Lichtstrom) und die Lichtstärke (Helligkeit). Die Schleusen-

Grundmaterial für Leuchtdioden sind Gallium-Verbindungen
spannung ist aufgrund anderer Ausgangsmaterialien höher als
mit unterschiedlichen Dotierungen. Für den Bereich des sicht-
bei Silizium-Dioden.

43.3

Anzeigeeinheiten

533

20°

10°

0°

10°

20°

0°

10°

60°

Glassubstrat

1,0

1,0

30°

Abstandshalter

0,9

0,8

50°

0,8

40°

0,7

Flüssig-

50° 0,6

40°
kristall-

0,6

60°

30°
schicht

70° 0,4

80°

0,5

0,4

0,2

0

0,2

0,4

0,2

0

Abb. 43.18 Richtcharakteristiken von LED’s (Erläuterung siehe Text)

transparente
elektrisch
leitende

SnO2-Elektrode
teilreflektierender
reflektierende

Belag

Rückfläche

P

Abb. 43.20 Prinzipaufbau einer LCD-Anzeige

15...30°

N

1...2µm
austretender

Laserstrahl

Eine interessante und zukunftsträchtige Variante zur Anzeige
von Informationen stellen die Flüssigkristalle (engl.: liquid cry-

Abb. 43.19 Prinzipieller Aufbau einer Laserdiode
stal) dar. Flüssigkristalle sind glasklare Flüssigkeiten, deren

Moleküle einen regelmäßigen einkristallinen Aufbau aufweisen.

Sie befinden sich in einem speziellen Aggregatzustand, in dem

Grenzwerte:

Stoffe aus dem flüssigen in den festen Zustand übergehen. Flüs-
sigkristallwerkstoffe zeigen bei Einwirkung eines elektrischen

U

D

D

R max

5 V;

IF max

50 mA;

Feldes Veränderungen ihrer Kristallstruktur.

P

D

D
tot

100 mW; # J max

100 ıC

Je nach Grundsubstanz gehen sie entweder vom durchsichtigen
in den weitgehend undurchsichtigen Zustand über (wird meist

Durch entsprechende Form der aufgesetzten Kunststoffkörper
verwendet) oder umgekehrt. Dieses geschieht dadurch, dass ihre
ist es möglich, den LED’s unterschiedliche Richtcharakteris-

Moleküle sich in bestimmter Weise ausrichten.

tiken zu geben. In Abb. 43.18 sind die Richtcharakteristiken

Nach Abschalten des elektrischen Feldes stellt sich der ur-
für zwei Standardausführungen mit Öffnungswinkeln von 60°
sprüngliche Zustand wieder ein. Flüssigkristalle leuchten nicht.

(breit) und 25° (gebündelt) angegeben.

Einfallendes Fremdlicht wird an den undurchsichtigen Berei-

Die Lebensdauer von LED’s und IRED’s liegt bei normalen
chen reflektiert und macht damit die flächenmäßige Form der

Betriebsbedingungen bei 100.000 h. Geringer Spannungs- und

Elektroden des elektrischen Feldes sichtbar. Mit Unterstützung

Strombedarf (je nach Typ 5, 10 oder 20 mA), kleine Abmessun-
von Polarisationsfiltern und geschickt angebrachten Lichtquel-
gen, einfache Montage und hohe Packungsdichte geben ihnen
len kann der Prinzipaufbau nach Abb. 43.20 vollendet werden.

einen sehr breiten Anwendungsbereich.

LCD-Anzeigen (liquid crystal display) werden in Uhren, Ta-
schenrechnern und zahlreichen anderen Geräten verwendet. Bei

Da LED’s Schaltzeiten von 5 bis 20 ns haben, können sie auch

V
wirksamen Spannungen von 1,5 bis 3 V und einem Strom in der
zur Abstrahlung von sich sehr schnell ändernden Lichtsignalen

Größenordnung von 1 &A werden Anzeigen mit sehr geringen
verwendet werden, zum Beispiel in Optokopplern (siehe Ab-
elektrischen Leistungsanforderungen erreicht.

Teil
schn. 43.4).

Bei den Laser-Dioden (engl.: light amplification by stimulated
emission of radiation) wird das im pn-Übergang erzeugte mo-

43.3

Anzeigeeinheiten
nochrome Licht im Inneren des Kristalls an den inneren Flächen
verspiegelt und tritt an der Stirnfläche mit relativ schmalem

Abb. 43.21 zeigt eine einfache Schaltung zur Kontrollanzei-

Austrittswinkel, aber großer Lichtstärke aus. Abb. 43.19 zeigt
ge der Betriebsspannung mit einer LED. Eine Umpolung der
den grundsätzlichen Aufbau einer Laserdiode als Kantenstrah-

LED macht die Schaltung zur Anzeige einer negativen Betriebs-
ler. Wird das Licht impulsartig abgestrahlt, sind mit diesen
spannung fähig. Soll eine solche Anzeige für Wechselspannung

Bauelementen Leistungen bis ungefähr 100 W möglich. Sie
installiert werden, muss die LED vor der hohen Sperrspannung
eignen sich zur Nachrichten- und Datenübermittlung in Licht-
geschützt werden.

wellenleitern. Zur Abtastung von CD-Plattenspielern und als

Lesestift in Scannergeräten werden sie ebenfalls benutzt. Laser

Eine antiparallel geschaltete normale Diode übernimmt diesen
höherer Leistung sind zum Beispiel aus der Medizin (optisches

Schutz, da sie eine Schleusenspannung von 0,7 V hat und dar-

Skalpell) nicht mehr wegzudenken.

um die Sperrspannung an der LED unter 5 V hält. Die beiden

534

43 Optoelektronik

24V/50Hz
a
b

1k2
f

CQY87
g

1N4148
c
e

Abb. 43.21 Betriebsspannungsanzeige

Kathode
d

+10V

Abb. 43.24 7-Segment-Anzeige mit Leuchtdioden

390

CQY85

CQY87

Abb. 43.22 Farbige Polaritätsanzeige mit LED’s

=LEDs

R V

D1 ... D3=1N4148

Abb. 43.25 7-Segment-Anzeige mit Dezimalpunkt und LED’s

150

D4

D1

D5

D6

D7

LED’s angeordnet, deren Licht über Lichtleiter nach außen ge-

+12V
führt wird. Abb. 43.25 zeigt eine 7-Segment-Anzeige in ihrer
mechanischen Ausführung.

D 8

Erhöht man die Anzahl der Segmente auf sechzehn, können

D2

D3
außer Ziffern auch Buchstaben und Sonderzeichen dargestellt
werden. Diese Sechzehnsegment-Anzeigen nach Abb. 43.26 be-

D4 ... D8 = CQY 85
zeichnet man als alphanumerische Anzeigeeinheit. Diese Anzei-
gen werden auch mehrstellig angeboten und können zu langen

Abb. 43.23 Polaritätsanzeige mit Symbolen

Zeilen erweitert werden.

Bei der Realisierung solcher Anzeigen mit LED’s stößt man auf

T

LED’s in Abb. 43.22 haben unterschiedliche Farbabstrahlungen,
eil
ein gewichtiges Problem. Diese Dioden haben eine Stromauf-
übernehmen den gegenseitigen Schutz und zeigen die jeweilige
nahme von ca. 20 mA und vervielfachen sich mit der Anzahl der

V

Polarität farblich verschieden an.

Abb. 43.23 zeigt eine Schaltung, bei der LED’s so geschaltet
sind, dass sie die Polarität in Symbolen anzeigt. Ist zum Beispiel

1

2
die Betriebsspannung positiv, so sind die Dioden D1 und D3 in

Sperrrichtung geschaltet. Auf diese Weise kann der Strom nur
den Weg über alle LED’s und die Diode D2 nehmen. Ist dagegen

8

9

10

11

3
die Betriebsspannung negativ, so fließt der Strom über die dann
in Durchlassrichtung liegenden Dioden D1 und D3 sowie über
die LED’s D5 bis D7.

16

12

Zur Darstellung einer beliebigen Dezimalziffer kann man 7-

Segment-Anzeigen nach Abb. 43.24 verwenden. Für jedes

7

15

14

13

4

Segment ist ein Anschluss (a bis g) nach außen geführt, im
vorliegenden Bild zusätzlich der Anschluss für die gemeinsame

Kathode. Bei manchen 7-Segment-Anzeigen wird die gemein-

6

5
same Anode herausgeführt, so dass die Anzeige mit negativen

Spannungen angesteuert werden kann. In den Segmenten sind

Abb. 43.26 Darstellung der Segmente einer alphanumerischen Anzeigeeinheit

43.5

Faseroptische Übertragungsmittel

535
verwendeten LED’s. Mehrstellige Anzeigen lassen die Strom-

7.62

5.7
versorgung für kleine Geräte nahezu unlösbar werden.

6.5

5.5

1min

6.3

0,8min

Baut man sowohl die 7-Segment-Anzeigen wie auch die alpha-

3.5 3.3

0.35

0.9
numerischen Anzeigen mit Flüssigkristallen auf, lassen sich

3.3 2.9

0.25

0.6

18

0.55
sehr komplexe Anzeigeeinheiten mit zahlreichen Zeilen und

7.62

0.45

2.54 typ

8.82

Stellen aufbauen, die infolge ihrer geringen Leistungsaufnah-
spacing
me direkt an digitalen IC mit hoher Integrationsdichte betrieben

1

6 Anode-1

6-Base
werden können.

2

5Cathode-2

5-Collector

3

4

N.C.-3

4-Emitter

CNF 17F

43.4

Signalübertragung mit

1

6 Anode-1

6-

2

5Cathode-2

5-Collector

3

4

Optokoppler

N.C.-3

4-Emitter

BRT 11H/M
input circuit
output circuit

BRT 23H/M

1

6 An.(+)-1

6-Anode 2
not definet

Optokoppler sind optoelektronische Koppelelemente zur Signal-

2

5 Cat.(–)-2

3

4

N.C.-3

5-Potential A1/A2
übertragung bei galvanischer Trennung von Ein- und Ausgang.

4-Anode 1

Als Sender dient eine IR-Diode, die über einen Lichtleiter direkt
auf einen Empfänger strahlt. Als Empfänger dienen überwie-

Abb. 43.28 Optokopplertypen (Fa. Siemens)

gend Fotodioden, Fototransistoren mit und ohne herausgezo-
gene Basis und Fototriacs. Die Schaltungen nach Abb. 43.27
zeigen den prinzipiellen Aufbau einiger Optokoppler. Zwischen

Bei LED’s als Sender macht sich eine alterungsbedingte Abnah-

Eingangs- und Ausgangsseite dürfen, je nach Bauform, Potenti-
me ihrer Strahlungsleistung über einen längeren Zeitraum durch
aldifferenzen bis zu einigen kV bestehen.

eine Verringerung des CTR-Wertes bemerkbar. Hohe Ströme
und/oder hohe Umgebungstemperaturen sind der Grund dafür

In Optokopplern werden elektrische Signale in optische Signa-
und sollten vermieden werden.

le umgewandelt und über eine Isolationsstrecke übertragen. Im

Anschluss daran wird das optische Signal wieder in ein elek-

Optokoppler lassen sich sehr günstig in Verbindung mit Digi-
trisches Signal umgewandelt. Der Optokoppler ist durch das
talschaltungen verwenden. Sie werden in Interface-Schaltungen

System der Signalübertragung absolut rückwirkungsfrei.

verwendet, um zum Beispiel eine Potentialtrennung zwischen
der Zentraleinheit eines Computers und seinen Peripheriegerä-

Die wichtigsten Kenngrößen sind das Stromübertragungsver-
ten herbeizuführen.

hältnis CTR (current transfer ratio), dass das Verhältnis von

Ausgangsstrom zu Eingangsstrom beschreibt, und die Grenz-

Wird die optische Kopplung zwischen Lichtsender und Licht-
frequenz fg, bei der der AC-CTR-Wert auf 50 % des DC-CTR-
empfänger nicht im Inneren des Bauelementes, sondern über

Wertes abgesunken ist. Abb. 43.28 zeigt einige Optokoppler der
äußere Reflexstellen vorgenommen, spricht man von Licht-

Fa. Siemens mit Pin-Belegung, Bauform und innerer Schaltung.

schranken. Nur wenn das Licht an einer geeigneten, dafür vor-

Bei Optokopplern mit Fotodioden ergibt sich ein CTR-Wert von
gesehenen Stelle reflektiert wird, gelangt es an den Empfänger.

ca. 1 %, bei Fototransistoren kann der CTR-Wert 100 % betra-

Derartige Bauelemente werden auch Reflexsensoren genannt.

gen. Werden im Optokoppler Darlington-Transistoren verwen-

In die Gruppe der Lichtschranken gehören auch die Gabellicht-
det, steigt der CTR-Wert auf bis zu 500 %. Manche Optokoppler
schranken, bei denen Lichtsender und -empfänger in getrennten
verfügen über eine Grenzfrequenz nahe bei 10 MHz. Bei Opto-

Holmen eines U-förmigen Gehäuses integriert sind. Der Licht-
kopplern mit einem Fototransistor als Empfänger ergeben sich
strahl kann durch einen dazwischengeschobenen Gegenstand

V

Schaltzeiten von ungefähr 3 µs.

unterbrochen werden.

Gabellichtschranken werden zur Prozessüberwachung verwen-

Teil

I

I

I

I

E

A

E

A
det, aber auch in Alarmanlagen, Positions- meldern, zur Dreh-

C

C

C
zahlüberwachung oder zur Informationsübernahme in Belegle-

U

U
sern (Scanner).

E

E

E

LED

Fototransistor

LED

Fotodiode

43.5

Faseroptische

I

I

I

I

E

A

E

A

C

C

C

C

Übertragungsmittel

U

U

B

E

E

E

E

Die optische Nachrichtenübertragung über Lichtwellenleiter

LED

B

LED

Darlington-

(LWL) gewinnt ständig an Bedeutung. Um hohe Frequenzen

Fototransistor

Fototransistor
realisieren zu können, wird als Strahlungsquelle eine IR- oder

Abb. 43.27 Prinzipschaltbilder einiger Optokoppler
eine Laserdiode und als Empfänger eine Fotodiode verwendet.

536

43 Optoelektronik

Elektrische

Gehäuse Reflektor

Schnittstelle (z.B.

Faserum-

TTL-ECL)

Faserkern mantelung

Optische

Schnittstelle

Sender

(z.B.DIN-,SMA- Empfänger

Steckverbin.)

Eingang

Ausgang

Bohrung

Trägerband

(Faser-

Linse Chip

(elektrische
aufnahme)

Anschlüsse)

Treiber,

Sende-

Empfangs- Verstärker

Signalver-
diode
diode

Signalauf-

Abb. 43.30 Empfangsdioden für Plastik-LWL (Fa. Siemens)

arbeitung
bereitung

Abb. 43.29 LWL-Übertragungsstrecke (Fa. Siemens)

gelegt. Vorteile dieser Technik liegen in der Unempfindlichkeit
gegenüber elektromagnetischen Störungen und in der eindeuti-
gen galvanischen Trennung zwischen Sender und Empfänger.

Medien für die optische Übertragung sind Glas oder Plastik.

Zur Nachrichtenübertragung mit hohen Übertragungsraten bei

Abb. 43.29 zeigt das Schema eines optischen Übertragungssys-
großen Entfernungen werden bevorzugt Glasfasern verwendet.

tems für den lokalen Bereich, hier eine Schnittstelle zwischen

Plastikfasern dagegen sind für niedrige Übertragungsraten im
einer TTL-Technologie und einer ECL-Technologie.

lokalen Bereich und zur Lösung vielfältiger Anwendungen in

Die Anbindung der LWL an die LWL-Bauteile und die opto-
der Steuer- und Regelungstechnik verwendbar.

mechanische Verbindung der LWL miteinander sind die eigent-

Bedingt durch die gegenwärtige Fasertechnologie werden die
lichen Probleme dieser Technologie, die sich aber durch hohe
aktiven LWL-Bauteile für die Wellenlängen um 850 nm aus-

Präzision bei der Montage bewältigen lassen (Abb. 43.30).

Teil

V

Analog-Digital-Wandler

44

Peter Döring

44.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

44.2 Spannungs-Frequenz-Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

44.3 Sägezahnverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

44.4 Dual-Slope-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

44.5 Flash-Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

44.6 Wandler nach dem Wägeverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540

V

44.7 Integrierte Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

537

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_44

538

44 Analog-Digital-Wandler

44.1

Grundlagen

Da sich der Kondensator nur in einer endlichen Zeit entlädt,
kommt hier ein systematischer Messfehler zum Tragen.

Häufig werden physikalische Größen (Temperatur, Druck, Län-
ue

Erzeugte Frequenz
f

(44.1)

gen, Drehzahl, u. a.) dezentral erfasst und zentral ausgewertet,

U

V

R 1 C 1
dargestellt und bearbeitet. Mit Hilfe entsprechender Sensoren
unter der Bedingung für die Rückstellzeit
erhält man die Messgröße meist in analoger Form als Strom-
stärke oder als Spannung. Ein digitales Signal lässt sich aber
u

a

R 2 C 1
besser über größere Entfernungen ohne Signalwertfälschung
t

)

R

R 1 C 1

U
übertragen. Außerdem kann mit bestimmten Verfahren der

B

Nachrichten- und Datentechnik (Multiplexverfahren) eine Über-

Schaltet man hinter diesen Umsetzer einen digitalen Frequenz-
tragungsleitung mehrfach ausgenutzt werden.

messer, so wird die Gesamtschaltung zu einem digitalen Span-
nungsmesser.

Um vorhandene analoge Signale in verwertbare digitale Signale
umzuwandeln, benötigt man Analog-Digital-Wandler.

Für R 1 D 100 k(, R 2 D 700 (, R 3 D 800 (, C 1 D 1;25 nF,

U D 15 V und u D 10 V ergibt sich nach (44.1) eine Fre-

Eine digitale Messung lässt sich als Zählvorgang begreifen.

B
e
quenz von 10 kHz. Da die Rückstellzeit nicht berücksichtigt ist,

Also kann man die analoge Größe in eine Impulsreihe mit be-
liegt der tatsächliche Wert niedriger. Der Spitzenwert von u
stimmter Frequenz umformen und diese Impulse dann in einer
a und

U
bestimmten Zeiteinheit zählen.

V liegt bei 8 V.

44.2

Spannungs-Frequenz-Wandler

44.3

Sägezahnverfahren

Beim Sägezahnverfahren wird die analoge Spannung u

Zur Umformung einer Signalspannung in eine der Span-
e mit
einer linear ansteigenden Sägezahnspannung nach Abb. 44.2
nung proportionale Frequenz verwendet man einen Spannungs-
verglichen. Die Komparatoren N1 und N2 vergleichen die

Frequenz-Umsetzer (-Wandler) nach Abb. 44.1. Der Opera-

Messgröße und die Sägezahnspannung miteinander. Sobald die
tionsverstärker N1 ist hier als Integrator geschaltet, der die

Sägezahnspannung 0 V wird, beginnt der Vergleich, denn nun

Spannung ue über die Zeit integriert und damit eine negative
liegt der eine Eingang des EXCLUSIV-ODER-Gatters (N3) auf

Sägezahnspannung ua bewirkt. Je größer die Eingangsspannung

„H“, das UND-Gatter (N4) ist vorbereitet, und die Impulse des
ist, desto steiler ist der Anstieg der Ausgangsspannung.

Rechteckgenerators (Oszillators) gelangen an den Ausgang A

Die Spannung U
der Schaltung.

e vergleicht der Operationsverstärker N2 (Kom-
parator) mit der negativen Spannung UV des Spannungsteilers

Wenn die Sägezahnspannung den Wert der Messgröße ue er-
aus R2 und R3. Sobald ua den Wert UV erreicht, kippt der
reicht, kippt der Komparator N1 am Ausgang von „L“ auf „H“.

Komparator N2 und steuert den Transistor V1 durch. Der lei-

Der Ausgang des EXCLUSIV-ODER-Gatters (N3) verändert
tende Transistor hebt die Vergleichsspannung auf nahezu 0 V
sich auf „L“, und das UND-Gatter (N4) sperrt weiteren Impul-
an. Gleichzeitig entlädt sich der Kondensator C1 über den Tran-
sen des Rechteckgenerators den Durchgang zum Ausgang.

sistor, bis die Ausgangsspannung u D
a

0 V wird.

Die beiden Schaltpunkte der Komparatoren N1 und N2 begren-

Dieser Vorgang führt dazu, dass der Komparator erneut seine

T
zen also die Zeitdauer t, während der die Impulse gezählt
eil

Ausgangsspannung umkehrt und nun den Transistor sperrt. Da-
werden. Bei linearer Sägezahnspannung ist t der Messgröße
mit beginnt der Integrationsvorgang der Messgröße ue erneut.

u

V
e direkt proportional, und die Anzahl der Impulse entspricht

Am Ausgang der Schaltung erhält man Impulse, deren Frequenz
der Höhe der Eingangsspannung. Nach jeder Messung muss der
vom Wert der Eingangsspannung abhängt. Die Frequenz f ist

Zähler auf Null zurückgesetzt werden. Das letzte Zählergebnis
proportional zur Spannung u
kann mit einem Anzeigespeicher bis zur Vorlage des nächsten
e.

Zählergebnisses festgehalten werden, um eine ruhende Anzeige
zu ermöglichen.

C 1

0V

R 1

R 1

N1

N1

N3

N2

N4
u

R 4
e
u a

V1
u e

=1

A

&

C 1

R 3

U V
f ~ u

N2
e

G

0V

R 2

–U

G

B

Abb. 44.1 Spannungs-Frequenz-Umsetzer

Abb. 44.2 Schaltung zum Sägezahnverfahren

44.5

Flash-Wandler

539

Es lassen sich Messgenauigkeiten von etwa 0,1 % des End-
auch der Komparator N2 ein „H“-Signal an das UND-Gatter N3,
wertes erreichen. Um Oberwellen der Messgröße aus dem
so dass die Impulse des Oszillators an den Ausgang gelangen.

Messergebnis herauszuhalten, ist ein Tiefpassfilter am Eingang

Der Zählvorgang beziehungsweise die Zeit T2 ist beendet, so-
vorteilhaft.

bald sich der Kondensator auf u D
a

0 V entladen hat und der

Komparator N2 ein „L“-Signal an das UND-Gatter N3 gibt, wo-

44.4

Dual-Slope-Verfahren
mit er weitere Impulse unterdrückt.

Es lassen sich Messgenauigkeiten von etwa 0,01 % des Endwer-

Beim „Doppelintegrationsverfahren“ (dual-slope-converter) er-
tes erreichen, wenn die Integrierzeit T1 durch Frequenzteilung
folgt die Umwandlung in zwei aufeinander folgenden Schritten.

von der Oszillatorfrequenz bestimmt wird. Die mittlere Umset-
zungszeit liegt bei etwa 5 ms. AD-Wandler nach diesem Prinzip

Die Messgröße ue wird während der konstanten vorgegebenen
haben eine große Verbreitung gefunden.

Zeit T1 integriert. Die Ausgangsspannung ua (Sägezahnspan-
nung) ändert sich entsprechend (44.2).

Ausgangsspannung

44.5

Flash-Wandler
u

a. t/ D

1
ue T 1

(44.2)

R

1

C 1

Beim Verfahren mit parallelen Komparatoren nach Abb. 44.4

Bei konstanter Integrationszeit wird der Höchstwert der Aus-
wird die angelegte Messspannung UE mit genau festgeleg-
gangsspannung u
ten Referenz- und Teilreferenzspannungen verglichen. Der hier
a durch den Wert der Eingangsspannung ue
bestimmt.

dargestellte 3-Bit-AD-Umsetzer macht 7 Komparatoren und
ebenso viele Vergleichsspannungen erforderlich, die über einen

Im zweiten Schritt wird der Kondensator C1 über die Kon-

Spannungsteiler erzeugt werden. Solange die angelegte Mess-
stantspannungsquelle entladen. Die Ausgangsspannung ua des
spannung UE kleiner ist als die über R8 abfallende Vergleichs-

Integrators N1 in der Schaltung nach Abb. 44.3 ändert sich li-
spannung, zeigt der Ausgang des Komparators N7 eine logische
near, bis der Komparator N2 den Spannungswert Null feststellt.

„0“ an, die in eine logische „1“ übergeht, sobald die angeleg-

Die Entladezeit T2 richtet sich ausschließlich nach der vorher
te Messspannung UE größer wird als die über R8 abfallende
im 1. Schritt aufgenommenen Ladungsmenge, also nach dem

Vergleichsspannung. Dieser Trend setzt sich mit größeren Mess-

Höchstwert von ua.

spannungen UE entsprechend fort.

Diese Entladezeit wird genutzt, um die Digitalisierung der

Ist die angelegte Messspannung UE größer als die Spannungs-

Messgröße ue zu bewirken, indem der Oszillator N4 während
summe über den Widerständen R5 bis R8, aber kleiner als die
der Entladezeit T2 seine Impulse auf den Ausgang gibt.

Spannungssumme über den Widerständen R4 bis R8, zeigt der

Die Zählzeit T2 und die konstante Oszillatorfrequenz bestim-

Ausgang des Komparators N4 eine logische „1“ an, während der
men die Anzahl der Impulse.

Ausgang des Komparators N3 eine logische „0“ verzeichnet.

ue

Der X/Y-Dekoder ermittelt zunächst den Komparator, bei dem

Zählzeit

T D

2

T 1

(44.3)

U
die Vergleichsspannung erstmalig größer ist als die Messspan-
ref
nung. Das wird durch eine UND-Verknüpfung eines jeden Kom-

Der Steuerlogik-Baustein bildet die Integrationszeit durch Fre-
parators mit dem nächsten erfolgen. Mit weiteren Codierstufen
quenzteilung aus dem Oszillator N4, hält den FET-Transistor V1
erhält man hier das 3-Bit-Ausgangssignal an den Ausgängen QA
für die Integrationszeit T1 leitend und den FET-Transistor V2
bis QC. Für einen 8-Bit-AD-Wandler sind 255 Komparatoren
gesperrt. Nach Ablauf der Integrationszeit T1 gibt die Steuer-
mit den entsprechenden Vergleichsspannungen aufzuwenden.

V
logik ein „H“-Signal auf das UND-Gatter N3 und schaltet die

Transistoren um, so dass sich der Kondensator über die Kon-

Teil
stantspannungsquelle U ref entlädt. Während dieser Zeit T2 gibt

Q A Q B Q C

X/Y-Decoder
u e

D

G

V1

C 1

S R 1

N1
u a

N2

D

N7

G

V2

N6

S

N3

T1

N5

T2

A

N4

N3

U

&

N2

Ref

N1

N4

Steuerlogik

U

G

E

T2

Oszillator

U

R 1

R 2

R 3

R 4

R 5

R 6

R 7

R 8

N5

Ref

Abb. 44.3 Dual-Slope-Verfahren

Abb. 44.4 Prinzipschaltung eines Flash-Wandlers

540

44 Analog-Digital-Wandler

AD-Umsetzer nach diesem Verfahren mit parallelen Kompara-

44.7

Integrierte Wandler
toren ermöglichen Umsetzfrequenzen von mehr als 100 MHz.

Diese Umsetzer werden als Flash-Wandler bezeichnet. Es gibt
sie als IC-Bausteine (8- und 12-Bit-Umsetzer).

Analog-Digital-Umsetzer sind als integrierte CMOS-Schaltun-
gen für vielfältige Anwendungen verfügbar. Je nach der vor-
gesehenen weiteren Verwendung der digitalen Ausgangsgrößen

44.6

Wandler nach dem
werden diese ICs mit dual-codierten Ausgängen, parallelen

BCD-Ausgängen oder n-Digit-BCD-Multiplexausgängen unter-

Wägeverfahren
schieden.

BCD-Ausgänge werden für die Ansteuerung von digitalen An-

Das Wägeverfahren ist ein Vergleichsverfahren, bei dem die di-
zeigeeinheiten verwendet, während dual codierte Parallelaus-
gitale Aussage an die gegebene analoge Eingangsgröße durch
gänge für die digitale Datenverarbeitung mit Computern benö-
schrittweise Annäherung (sukzessive Approximation) ermittelt
tigt werden.

wird.

Alle Wandler sind durch zwei wesentliche Kenngrößen cha-

Die digitale Ausgangsgröße wird über einen Operationsverstär-
rakterisiert: die Auflösung und die Umsetzzeit. Die Auflösung
ker, der als bewerteter Addierer geschaltet ist, in die analoge
sagt aus, wie fein ein Analogwert von dem Wandler in einen

Form (Treppenspannung) zurückversetzt und dann über einen

Digitalwert umgesetzt wird. Sie wird in Bit angegeben. 4 Bit

Komparator mit der analogen Messgröße verglichen. Dabei wird
entsprechen einer Genauigkeit von ca. 7 %, während 8 Bit eine
zunächst das höchste Bit des Speichers auf „1“ gesetzt.

Genauigkeit von 0,4 % bieten und dem Standard entsprechen.

Das Zahlenbeispiel (Tab. 44.1) soll die schrittweise Umsetzung

Die Umsetzzeit gibt an, wieviel Zeit der Wandler benötigt, um
des Wertes 165 bei einem 8-Bit-AD-Wandler verdeutlichen.

den Wert der anliegenden Spannung in ein Digitalwort umzu-
setzen. Bei der digitalen Bildverarbeitung werden extrem kurze

Das Umsetzungsverfahren benötigt zwar viele Schritte, arbeitet

Zeiten verlangt, während sie bei anderen Gelegenheiten eher
aber insgesamt wesentlich schneller als ein Wandler nach dem
von untergeordneter Bedeutung sind. Je nach gewünschter Um-

Integrationsverfahren. Die mittlere Umsetzungszeit beträgt für
setzzeit werden die verschiedenen Verfahren eingesetzt.

einen 10-Bit-AD-Wandler etwa 10 µs.

Mit sukzessiver Approximation arbeiten die AD-Wandler der

ADC-08xx-Familie. Sie haben eine Auflösung von 8 Bit, ei-

Tab. 44.1 Zahlenbeispiel zur schrittweisen Umsetzung
ne Umsetzzeit von 100 &s und eine Zugriffszeit von 135 ns

1. Schritt

128 < 165

Q D
bei einer einfachen Versorgungsspannung von 5 V. Die Refe-

7

1

128

2. Schritt

165 128 D 37

Q D
renzspannung ist wählbar. Der Wandler ist für den direkten

6

0

0

64 > 37

Anschluss an den Mikroprozessor 8080 und seine Verwandten

3. Schritt

32 < 37

Q D
konzipiert worden.

5

1

32

4. Schritt

37 32 D 5

Q D

4

0

0

Der von der Fa. Datel hergestellte ADC 847 hat bei einer Auf-

16 > 5
lösung von 8 Bit eine Umsetzzeit von 9 µs.

5. Schritt

8 > 5

Q D

3

0

0

6. Schritt

4 < 5

Q D

2

1

4

Der MAX132 der Fa. Maxim ist ein relativ langsamer 18-Bit-

5 4 D 1

AD-Wandler mit seriellem Ausgang, der nach dem Multi-Slope-

7. Schritt

2 > 1

Q D

1

0

0

Verfahren arbeitet. Es können bis zu 100 Wandlungen pro Se-

T

8. Schritt

1 D 1

Q D

0

1

1

P
kunde erfolgen. Er eignet sich besonders für den Einsatz in Da-
eil

165
tenerfassungssystemen, Waagen und Schalttafel-Instrumenten.

V

Digital-Analog-Wandler

45

Peter Döring

45.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542

45.2 D/A-Wandler-Varianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542

45.3 Integrierte Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543

V

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

541

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_45

542

45 Digital-Analog-Wandler

45.1

Grundlagen

U Ref

Q D

R

2 R
g

R

Um vorhandene digitale Signale in verwertbare analoge Signa-

Q C
le umzuwandeln, benötigt man Digital-Analog-Wandler. Diese

2 R

Wandler stellen das unverfälschte analoge Signal wieder her

R

Q B

U
und ermöglichen seine analoge Weiterverarbeitung (zum Bei-
a
spiel Verstärkung).

2 R

R

Q A

Voraussetzung ist in den meisten Anwendungsfällen, dass das

2 R
digitale Signal ein parallel anstehendes Datenwort ist, das eine

2 R
mehrstellige Binärzahl darstellt.

Abb. 45.3 R -2R -Netzwerk für einen 4-Bit-Wandler

45.2

D/A-Wandler-Varianten

Faktor 0,1 je Dekade kleiner werden. Diese Art der Erweiterung

Eine einfache Schaltung eines 3-Bit-DA-Wandlers mit Operati-
kann theoretisch beliebig erweitert werden.

onsverstärker zeigt Abb. 45.1. Es handelt sich hierbei um einen

Die Anforderungen an die Genauigkeit der Widerstände werden
invertierenden OP, bei dem die Eingangswiderstände entspre-
bei den Stellen höchster Wertigkeit sehr groß und lassen sich
chend der Wertigkeit der digitalen Stelle mit nachgeschalteter
kaum noch erfüllen. Darum benutzt man ein Schaltungsprinzip,

Umkehrstufe gewählt werden müssen.

bei dem die verwendeten Widerstände in derselben Größenord-

Das 3-Bit-Eingangssignal Q
nung liegen.

A bis QC liegt an den Eingängen

E

D

D

D

1 bis E 3 , so dass R 1

R, R 2

R=2 und R 3

R=4

Im Prinzip wird in der Schaltung nach Abb. 45.1 eine Summa-
gewählt werden müssen. Ein weiterer Eingang E4 mit einem
tion der bewerteten Einzelströme durchgeführt. Das lässt sich

Eingangswiderstand R D

4

R=8 erweitert diesen Wandler zu ei-
auch mit einem Kettenleiter oder R-2 R-Netzwerk für einen 4-
nem 4-Bit-DA-Wandler.

Bit-Wandler nach Abb. 45.3 bewerkstelligen.

Dieser 3-Bit-DA-Wandler wandelt ein 3-Bit-Datenwort in eine

Entsprechend dem logischen Zustand der digitalen Eingänge
analoge Treppenspannung U

Q

A 2 nach Abb. 45.2 am Ausgang um.

A bis QD werden die Umschalter entweder auf Masse gelegt
oder auf den invertierenden Eingang des OP geschaltet, so dass

Der 4-Bit-DA-Wandler lässt sich für weitere Dekaden nach dem
der bewertete Strom im Addierer summiert wird (oder gegen 0-

8-4-2-1-BCD-Code erweitern. Für jede weitere Dekade sind

Potential abfließt) und als Ausgangsspannung Ua erscheint.

vier Widerstände erforderlich, deren Widerstandswerte um den

Die Umschalter werden durch elektronische Schalter realisiert.

Der Gegenkopplungswiderstand Rg lässt sich je nach gewünsch-

R 3
ter analoger Ausgangsspannung Ua berechnen, da durch ihn der

E 3

Summenstrom fließt.

R 2

R 5

R 8

E 2

Integrierte Schaltkreise der Industrie enthalten zusätzlich oft

R 1

E 1

R 7
einen Speicher für das digitale Datenwort. Üblich sind 8-Bit-

T

DA-Wandler.

eil

U E

U A1

U

Die Schaltung nach Abb. 45.4 soll die Grundlage für den

A2

R 6

V

R 9

Einstieg in eine knappe Netzwerkberechnung bieten. Die Wi-
derstände R7 und R8 liegen zueinander parallel, haben also

Abb. 45.1 Schaltung eines 3-Bit-DA-Wandlers mit OP
insgesamt den Widerstand R. Als Reihenschaltung mit R6 er-
gibt sich wieder der Wert 2 R. Der Widerstand R5 mit 2 R liegt

U

U

E/V

A2/V

6

3

R 2

R 4

R 6

0

12

10

U Ref

R 1

R 3

R 5

R 7

R 8

8

6

4

2

0

R 2 = R 4 = R 6 = R

–2

0

4

8

12

16
t/ms 20

R 1 = R 3 = R 5 = R 7 = R 8 = 2R

Abb. 45.2 Liniendiagramm zur Schaltung nach Abb. 45.1

Abb. 45.4 Schaltung zur Netzwerkberechnung

45.3

Integrierte Wandler

543
nun parallel zum Ersatzwiderstand der bisher berechneten Wi-

V = 5V

CC
derstände R6, R7 und R8.

13

A 5

1

14 5M

Das Netzwerk hat einen Gesamtersatzwiderstand von R. Die Re-

6

VRef

A 2
ferenzspannungsquelle U

15 5k
ref wird also mit R belastet. Der ihr

A 7

3
entnommene Strom teilt sich auf R1 und R2 zu gleichen Tei-

08

A 8

4

2

08
len auf, was sich an allen Knoten wiederholt.

5M

A 9

510

DAC

Durch die senkrecht gezeichneten Widerstände des Netzwerkes

A 6

4

11
nach Abb. 45.4 fließen Ströme, deren Werte sich jeweils hal-

A 7

16

U

12
a

A
bieren (von der Spannungsquelle aus betrachtet), aber in allen

8

C 1

Schaltumständen konstant bleiben.

3

V = –15V

EE

Abb. 45.5 Digital/Analog-Umsetzer mit dem IC/DAC 0808

45.3

Integrierte Wandler

Ausgangsspannung

Der DAC 0808 ist ein monolithisch integrierter Digital/Analog-

Wandler mit einer Einstellzeit von 150 ns für Vollaussteuerung

A 1

A 2

A 8

U D 10 V

C

C : : : C

(45.1)

des Ausgangsstroms. Die digitalen Eingänge sind TTL- und
a

2

4

256

CMOS-kompatibel. Bei einer Versorgungsspannung von ˙5 V
werden maximal 33 mW aufgenommen. Einen Digital/Analog-

Als Operationsverstärker lässt sich der LM741 verwenden. Für

Umsetzer für eine Ausgangsspannung von 10 V zeigt die Schal-
den Kondensator C1 reichen 0;1 &F aus. Als digitale Eingänge
tung nach Abb. 45.5.

stehen die Anschlüsse A 1 bis A 8 zur Verfügung.

V

Teil

Technische Kommu-

VI
nikation/Technisches

Zeichnen

46

Grundlagen der zeichnerischen Darstellung . . . . . . . . . . . . . . 547

47

Schaltungsunterlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561

48

Schaltungssynthese und -analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

49

CAD-Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581

VI

Teil

545

Grundlagen der zeichneri-

46
schen Darstellung

Peter Döring

46.1 Zeichengeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548

46.2 Normen für Technische Zeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548

46.3 Normteile und Konstruktionselemente . . . . . . . . . . . . . . . . . 549

46.4 Nutzen der Normung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

VI

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

547

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_46

548

46 Grundlagen der zeichnerischen Darstellung

46.1

Zeichengeräte

Tab. 46.1 Auswahl wichtiger Normen für das technische Zeichnen

DIN EN ISO 128

Linien

DIN EN ISO 3098

Normschrift

Eine Technische Zeichnung muss nach DIN 6774 Teil 1 in der

DIN EN ISO 5455

Blattgröße, Maßstäbe

Weise angefertigt werden, dass sie übersichtlich, unmissver-

DIN EN ISO 5457

Faltungen von Technischen Zeichnungen
ständlich, auch in verkleinertem Maßstab lesbar bleibt, kosten-

DIN 6771

Schriftfelder und Stücklisten
günstig reproduzierbar und dauerhaft archivierbar ist. Zu dem

DIN 6774

Ausführungsrichtlinien

Zweck benötigt man entsprechendes Papier und angepasstes

DIN ISO 5455

Maßstäbe

Zeichengerät.

DIN 6789

Zeichnungssystematik

Für die Entwurfzeichnung verwendet man Bleistifte, heute in der

DIN ISO 286

Allgemeine Toleranzen

Form nachfüllbarer Feinminenhalter mit Minen definierter Här-

DIN ISO 1302

Oberflächenangaben
te und Linienbreite.

DIN ISO 5456

Dreidimensionale Projektion

DIN ISO 128

Ansichten, Schnittdarstellung

Buchstaben kennzeichnen die Härtegrade von Minen:

DIN 406

Arten und Regeln der Maßeintragung

B

D schwarz (weich)

DIN ISO 6410

Darstellung von Gewinde

H

D hart

DIN 461

Graphische Darstellungen

HB D hart, schwarz (mittelhart)

DIN EN 61082

Schaltungsunterlagen, graf. Symbole für Schalt-

F

D fest.

pläne

DIN EN 61082 T. 1

Schaltungsunterlagen, Begriffe, Einteilung

Ziffern verweisen auf feinere Abstufungen der Härtegrade.

DIN EN 61082 T. 2

Regeln für Stromlaufpläne, Funktions- und

Zirkel, Lineale und Schablonen erleichtern und beschleunigen

Schaltpläne
die Zeichenarbeit. Zur Erstellung der endgültigen Zeichnung

DIN EN 61082 T. 3

Verbindungspläne und -listen, Geräteverdrah-
tungspläne
werden Tuschefüller und Schrift- sowie Schreibschablonen ver-

DIN 40719 T. 2

Kennzeichnung von Betriebsmitteln
wendet, die der Prüfnorm DIN 6775 entsprechen. Sie können für

DIN IEC 60971

Stromrichterbenennungen und -kennzeichen
das normgerechte Zeichnen und Beschriften nach DIN 15 Teil 1

DIN VDE 0281/0293 Leitungen
und 2 verwendet werden.

DIN EN 60617

Schaltzeichen für Schaltungsunterlagen

Auf die Geräte und Maschinen, die beim computergestützen

DIN EN 60617-6

Elektrische Maschinen

Zeichnen (CAD D computer aided design) Verwendung finden,

DIN EN 60617-11

Messgeräte, Zähler, Anzeigen, Messgrößenum-
soll in Kap. 49 eingegangen werden.

former

DIN VDE 0530

Anschlussbezeichnungen und Drehsinn

Zeichenpapier ist meist dicker als normales Schreibpapier und

DIN 40717

Schaltpläne, Installationspläne
für die Verwendung von Tuschefüllern geeignet. Häufig wird

DIN 40712

Veränderbarkeit, Einstellbarkeit, Widerstände
festes, durchscheinendes Transparentpapier verwendet, das für

DIN 40713

Schaltglieder, Antriebe, Auslöser
das Lichtpausverfahren geeignet ist.

DIN 40714

Transformatoren, Drosselspulen, Wandler

Die Blattgröße, sprich das Papier-Format, ist nach DIN 6771 T6

DIN 40719 T9

Ausführung von Anschlussplänen
festgelegt. Diese Normreihe ist so gestaltet, dass durch fortge-

DIN 40719 T10

Ausführung von Anordnungsplänen
setztes Falten bzw. Schneiden des Blattes in der Mitte jeweils

DIN 40719 T11

Zeitablaufdiagramme – Schaltfolgediagramme
das nächst kleinere Format entsteht. Das Ausgangsformat ist

DIN 66001

Informationsverarbeitung
gleich der metrischen Flächeneinheit, d. h., A0 entspricht der

IEC 617-12

Computertechnik

Größe 1 m2.

DIN 46199

Anschlussbezeichnungen

Alle Zeichenblattgrößen können in der Hoch- oder Querlage
verwendet werden. Bevorzugt sind die Formate A4 bis A0 zu
verwenden. Bei A4-Format wird die Hochlage bevorzugt.

ist weitestgehend symbolhaft mit einem Minimum an Textanga-
ben, was die internationale Kooperation vereinfacht.

Die Übersichtlichkeit und Eindeutigkeit von Technischen Zeich-

46.2

Normen für Technische
nungen wird durch das strikte Einhalten von vereinbarten

Regeln erreicht. Diese Regeln werden als Zeichnungsnormen

Zeichnungen
vom Deutschen Institut für Normung (DIN) herausgegeben,

T
wobei diese die Normen und Empfehlungen der Internationa-
eil
len Normenorganisation (ISO D International Organization for

Die moderne Produktion ist gekennzeichnet durch eine extreme

Standardization) zur weltweiten Vereinheitlichung berücksich-

VI

Arbeitsteilung. Die Technische Zeichnung ist hierbei als Infor-
tigen (Abb. 46.1).

mationsträger über Planungsvorgaben, die Vorbereitung und

Ausführung von Anlagen und Geräten zu betrachten. Es handelt

Eine Auswahl wichtiger Normen für das technische Zeichnen,
sich um Beschreibungen, die vollständig alle Fakten wiederge-
hier besonders für die Elektrotechnik, sind in Tab. 46.1 zusam-
ben, aber keine unnötigen Angaben enthalten. Die Darstellung
mengefasst.

46.3

Normteile und Konstruktionselemente

549

8

7

10

9

1

2

6

1 Festschaltstück (Hauptkontakt

Festschaltstück (Hauptkontakt))

2 Schaltbrücke (Hauptkontakt

(Hauptkontakt))

3 Hilfsschalter HS 107

4 Lichtbogenkammer

5

5 Schaltstückträgerplatte

4

6 Schaltkopf mit beweglichen

Magneten (Anker)

3

7 Rückstellfeder

8 Spul

Spulee

9 Festmagnet

10 Sockel

Abb. 46.1 Explosionszeichnung als Serviceplan

46.3

Normteile und

Tab. 46.2 Schutzarten nach IEC 529/DIN 40050

Konstruktionselemente

Schutzumfang IP xx

Berührungs- und Fremdkörper-

Wasserschutz
schutz

Nach DIN 57100/IEC 364-4-41/VDE 0100 Teil 410 sind

0 Kein Schutz gegeben

Kein Schutz gegeben

Schutzmaßnahmen gegen gefährliche Körperströme zu treffen.

1 Schutz gegen Fremdkörper

Schutz gegen senkrecht fallendes
d > 50 mm

Tropfwasser

Zum Schutz gegen direktes Berühren von aktiven Teilen elektri-

2 Schutz gegen Fremdkörper

Schutz gegen schräg fallendes
scher Betriebsmittel können die aktiven Teile als solche isoliert
d > 12 mm

Tropfwasser
werden oder der Schutz kann durch Abdeckungen oder Umhül-

3 Schutz gegen Fremdkörper

Schutz gegen Sprühwasser
lungen, sprich Gehäuse, bewirkt werden. Es handelt sich also
d > 2;5 mm
um konstruktive Maßnahmen.

4 Schutz gegen Fremdkörper

Schutz gegen Spritzwasser
d > 1 mm

Im Zusammenhang mit dem Schutz gegen gefährliche Kör-

5 Schutz gegen Staubablagerung

Schutz gegen Strahlwasser
perströme werden die elektrischen Betriebsmittel (Geräte und

6 Schutz gegen Staubeintritt

Schutz bei Überflutung

Anlagen) nach VDE 0100 in Schutzklassen, z. B. Schutzklasse

7 –

Schutz beim Eintauchen

II (Schutzisolierung) eingeteilt. Bei der Schutzisolierung wer-

8 –

Schutz beim Untertauchen
den elektrisch nichtleitende Materialien zur Herstellung der

Gehäuse verwendet, so dass aktive Teile räumlich und elektrisch
vom Benutzer bzw. Anwender völlig getrennt sind. Gehäuse aus
elektrisch leitfähigen Materialien werden mit einem Anschluss

DIN 57470/VDE 0470 keine aktiven Teile berührt werden kön-
für den Schutzleiter PE/PEN versehen.

nen.

Die Einteilung der Betriebsmittel in Schutzarten hat eine an-

Kunststoff-Leergehäuse für die Aufnahme von Schaltern und
dere Bedeutung. Nach IEC 529 (1976)/DIN 40050 (1980)

Schützen werden nach IP 54, IP 55 oder IP 65 ausgefertigt. Aus
werden mechanische Eigenschaften eines Betriebsmittels fest-

Kostengründen ist die Schutzart nicht zu hoch anzusetzen.

gelegt, nämlich die Abdichtung, sprich Kapselung, gegen feste

Zusätzliche Schutzarten nach VDE 0170/171 betreffen den

Fremdkörper und gegen Wasser. Die jeweils gültige Schutzart

Schlagwetter- und Explosionsschutz.

wird durch ein Kurzzeichen angegeben, das aus den Buchstaben

IP (engl.: international protection) und zwei Kennziffern nach

Die Leitungseinführung in die Gehäuse erfolgt über Kabeltüllen

VI

Tab. 46.2 besteht. Die erste Kennziffer gibt den Berührungs- und
bzw. Kabelverschraubungen nach DIN 43620 mit normierten

Fremdkörperschutz und die zweite Kennziffer den Wasserschutz

Bohrungen mit Pg-Gewinde oder Vorprägungen im Gehäuse.

an.

Teil

Für die Errichtung von Verteileranlagen in Schaltanlagen gilt

Aus Betriebsgründen notwendige Gehäuseöffnungen (z. B.

die Norm DIN VDE 0660/IEC 947, EN 60947, für die Errich-

Steckverbindungen oder zur Kühlung erforderliche Öffnungen)

tung von Installationsverteilern und Zählerplätze gilt DIN VDE
müssen so beschaffen sein, dass mit dem „IEC-Prüffinger“ nach

0603.

550

46 Grundlagen der zeichnerischen Darstellung

Tab. 46.3 Schaltglieder, Antriebe und Schaltgeräte nach DIN 40900/IEC 617

Benennung

DIN 40900/IEC 617

Schaltglieder

Antriebe

Steuergeräte

Steuergeräte

Schließer

Handantrieb, allgemein

Druckschalter (nicht rastend)

Öffner

Betätigung durch Drücken

Tastschalter mit Schließer und Öffner,
handbetätigt durch Drücken

Wechsler mit Unterbrechung

Betätigung durch Ziehen

Tastschalter mit Raststellung und

1 Schließer, handbetätigt durch Drücken

Voreilender Schließer eines

Betätigung durch Drehen

Tastschalter mit Raststellung und

Kontaktsatzes

1 Öffner, handbetätigt durch Schlagen

(z.B. Pilzdrucktaster)

Nacheilender Öffner eines

Betätigung durch Schlüssel

Grenz-/Endschalter

Kontaktsatzes

Schließer

Schließer, schließt verzögert bei

Betätigung durch Rolle, Fühler

Öffner

Betätigung

Öffner, schließt verzögert

Kraftantrieb allgemein

Näherungsschalter induktiv,

Fe
bei Rückfall

Schließerverhalten

Schaltschloß mit mechanischer

Druckwächter, öffnend

P

Antriebe elektromechanisch, elektromagnetisch

Freigabe

Elektromechanischer Antrieb,
allgemein, Relaisspule, allgemein

Betätigung durch Motor

M

Schwimmerschalter, schließend

Antrieb mit besonderen Eigen-

Schaltgeräte
schaften, allgemein

Notschalter

Schütz (Schließer)

Elektromechanischer Antrieb mit

Ansprechverzögerung

Betätigung durch elektromagnetischen

Überstromschutz

3poliges Schütz mit drei elektrother-

Elektromechanischer Antrieb mit
mischen Überstromauslösern

Rückfallverzögerung

Betätigung durch thermischen

Überstromschutz

Elektromechanischer Antrieb mit

Ansprech- und Rückfallverzögerung

Betätigung durch elektromagnetischen

3poliger Trennschalter

Antrieb

Elektromechanischer Antrieb eines

Thermorelais

Betätigung durch Flüssigkeitspegel

3poliger Leistungsschalter

3poliger Schalter mit Schaltschloß
mit drei elektrothermischen Über-
stromauslösern, drei elektromagne-
tischen Überstromauslösern, Motor-

I> I>

I>
schutzschalter

Die Gehäuse können Schnellbefestigungsschienen (Hutschiene
und Schaltgeräten wieder. Nicht alle Schaltereigenschaften sind
u. ä.) für Kleinschütze, Schmelzsicherungen, Zeitrelais, LS-
durch Schaltzeichen darstellbar.

Automaten und weitere Kleingeräte nach DIN 46277/EN 50022

Die Schaltglieder nach Tab. 46.3 können einzeln oder in Grup-
enthalten. Für Gehäuseabmessungen sollte das 25 mm Raster-
pen beliebig kombiniert werden. Der Antrieb der Schaltglieder
grundmaß nach DIN 43660 verwendet werden, also z. B. 150,

175, 187,5, 225, . . . , 750 mm.

a
b
c

Schalter sind Betriebsmittel, die elektrische Geräte oder Anla-
gen von anderen Anlagen oder Geräten in der Weise trennen,

Teil
dass sie Strompfade verbinden, unterbrechen oder trennen.

Schalter werden nach VDE 0660 unterschieden hinsichtlich

VI
ihrer Bauform, ihrem mechanischen Verhalten in den Schalt-
stellungen, nach der Betätigungsart, nach dem Schaltvermögen,
nach dem Verwendungszweck und nach der Art der Lichtbogen-
löschung.

Abb. 46.2 Schaltglieder mit verschiedenen Antrieben. a Schließer als Rast-
schalter mit Handantrieb, b Öffner als Tastschalter, Betätigung durch Drücken,

Tab. 46.3 gibt die wichtigsten grundlegenden Schaltzeichen
c einpoliger Schlossschalter mit elektrothermischer und -magnetischer Auslö-
nach DIN 40900/IEC 617 für die Darstellung von Schaltern
sung

46.3

Normteile und Konstruktionselemente

551
a
b
c
d

Abb. 46.3 Schaltgeräte (VDE 0660). a dreipoliger Leistungstrenner b Trennschalter, Lastschalter, Leistungsschalter

Leistungsschalter haben ein Einschalt- und Ausschaltvermögen
in Höhe der möglichen Kurzschlussströme, während Motor-
schalter zum Schalten von Motoren geeignet sind und für
den Anlaufstrom der Motoren bemessen sind. Leistungsschalter
werden vornehmlich an Netzschaltstellen mit Dauereinschal-
tung oder geringer Schalthäufigkeit verwendet. Sie können
nach VDE 0113 auch als Hauptschalter verwendet werden,
die für Be- und Verarbeitungsmaschinen vorgeschrieben sind
und im Reparaturfall eine Maschine gänzlich vom Netz trennt.

Es werden häufig Nockenschalter mit abschließbarem Antrieb

Abb. 46.4 „Abschließbarer“ Hauptschalter als Reparaturschalter
nach Abb. 46.4 verwendet. Ein einfaches Einhängebügelschloss
bringt hier Sicherheit.

Lastschalter haben ein Schaltvermögen bis etwa zum doppelten
kann per Hand, durch Motor, elektromagnetisch oder elek-

Nennstrom.

tromechanisch erfolgen. Die Antriebssymbole können je nach

Funktionsabsicht den Schaltgliedern zugeordnet werden.

VDE 0660 beschreibt auch Hilfsstromschalter, die vornehmlich
in Steuerstromkreisen als Taster, Steuerkontakte an Schützen

Während bei Rastschaltern das Schaltglied in der jeweiligen
und Hilfsschalter verwendet werden. An die Kontakte werden

Schaltstellung bleibt, kehrt das Schaltglied von Tastschaltern
nur geringe Leistungsanforderungen gestellt.

bei Aufhebung des Tastdruckes selbsttätig in die Ausgangsstel-
lung zurück. Schlossschalter nach Abb. 46.2 sind Schalter mit

Haupt- oder Leistungsschütze verfügen über Kontakte für große

Rückstellkraft und mechanischer Sperre, wobei eine Freiaus-

Leistungen und zusätzliche sogenannte Hilfskontakte, während
lösung integriert ist. Die Freigabe der Sperre kann per Hand

Hilfsschütze ohne Leistungskontakte gebaut werden, da sie aus-
erfolgen, aber auch, wie hier dargestellt, durch elektrothermi-
schließlich zu Steuerungszwecken gebaut werden.

sche und elektromagnetische Überstromauslösung.

Nach DIN EN 50005 und DIN EN 50011/50012 erfolgt die An-

Die gestrichelte Wirklinie wird häufig weggelassen, wenn die
schlusskennzeichnung von Schützen und Hilfsschützen gemäß

Funktion eindeutig zugeordnet ist. Mehrpolige Schlossschal-

Abb. 46.5. Die Schützspule hat die Anschlusskennung A1-A2,
ter nach Abb. 46.3 werden nach DIN 40900/IEC 617 auch als
die Hauptkontakte haben die Einerziffern 1–2/3–4/5–6 während

Schaltgeräte bezeichnet.

die Steuerkontakte mit Doppelziffern gekennzeichnet sind. Mit
der 1. Ziffer werden die Kontakte fortlaufend nummeriert (Ord-

Die Einteilung der Schalter nach ihrem Schaltvermögen erfolgt
nungszahl) während die 2. Ziffer einen Öffner, Schließer oder
nach VDE 0660. Leerschalter bzw. Trennschalter dienen aus-

Wechsler (Funktionsziffer) kennzeichnet.

schließlich zum fast stromlosen Schalten von Stromkreisen. Sie
sollten nur als NH-Sicherungstrenner vor einem Leistungsschal-

Zeitrelais haben eine Kontaktkennung nach DIN EN 50042 ge-
ter verwendet werden.

mäß Abb. 46.6, während die Kontaktkennung für die Wechsler

Schließeranschlüsse:

Öffneranschlüsse:

Wechsleranschlüsse:

2.Ziffer 3-4

2.Ziffer 1-2

2.Ziffer 1-2-4

1

3

5

13

23

33

41

51

61

72

74

A1

VI

2

4

6

A2

14

24

34

42

52

62

71

Teil

Hauptkontakte:

Schützspule:

Steuerkontakte:

Einerziffer

A1-A2

Doppelziffer

Abb. 46.5 Anschlusskennzeichnung von Schützen und Hilfsschützen nach DIN EN 50005 und DIN EN 50011/50012

552

46 Grundlagen der zeichnerischen Darstellung

17

15

15
an thermischen Überstromauslösern (z. B. Motorschutzrelais)

nach Abb. 46.7 erfolgt.

Steckvorrichtungen sind zweiteilige Schaltgeräte zum Verbin-
den von ortsfesten Betriebsmitteln mit beweglichen Geräten

18

16

16

18
oder Leitungen. Sie bestehen aus Stecker und Steckdose bzw.

Kupplung innerhalb eines Leitungszuges. Es werden Steckvor-

Abb. 46.6 Kennzeichnung von zeitverzögerten Steuerkontakten
richtungen mit und ohne Schutzleiter verwendet sowie zweipo-
lige und vielpolige Steckvorrichtungen für vielfältige Aufgaben
zum Einsatz gebracht.

95

Steckverbinder (Messer- und Federleisten), Steckverbinderleis-
ten nach DIN 41612 und andere (z. B. HF- und NF-Steck-

96

98
verbinder nach DIN 47284) werden als Steckerbuchse(n) und

Steckerstift(e) nach DIN 40713 gemäß Abb. 46.8 gezeichnet.

Abb. 46.7 Kennzeichnung von thermischen Überstromauslösern

Damit die elektrischen Geräte verschiedener Hersteller von der

Konstruktion her kompatibel sind, wurde mit DIN 41494 eine
einheitliche „Bauweise für elektronische Einrichtungen„ er-

DIN 40713
stellt. Diese Norm entspricht der sog. „19-Zoll“-Bauweise. Das

Steckerbuchse

Steckerstift
hierbei bevorzugte Leiterplattenformat für die Messerleisten ist
die sog. „Europakarte“. Normal ist, dass die Federleiste beim

DIN 40717

Einbau dem Gestell, sprich Gehäuse, zugeordnet ist.

Einfach-Steckdose

Als zweipolige Steckvorrichtung mit Schutzleiter wird in
ohne Schutzkontakt

Deutschland das sog. „Schuko®-System“ mit Steckgeräten ge-

Einfach-Schutzkontakt-
mäß DIN 49440 verwendet. Die zeichnerische Darstellung

Steckdose
erfolgt nach DIN 40717 gemäß Abb. 46.8. Dreipolige Steckver-

Schutzkontaktstecker
binder mit Schutzkontakt werden nach Abb. 46.9 gezeichnet.

Für die Herstellung von mehrpoligen Industriesteckvorrichtun-

Abb. 46.8 Einfache Steckverbindungen nach DIN 40713 und DIN 40717
gen, bekannt unter der nicht mehr gültigen Norm CEE 17, gelten

VDE 0623 Teil 1 und Teil 20, die den Normen IEC 309-1 und

IEC 309-2 (ab 1995 allein gültig) entsprechen. Industriesteck-

4

4
vorrichtungen haben ein rundes Profil gemäß Abb. 46.10b mit
einer Unverwechselbarkeitsnut bzw. -nase, die der Sicherstel-
lung der richtigen Einstecklage des Steckers dient. Die Buchsen

Abb. 46.9 Dreipoliger Steckverbinder mit Schutzkontakt
bzw. Stifte sind auf einem Kreis (Teilkreis) angeordnet. Die
a
b
c

Pos.

l

Strom-

Netzspannung

C

L
und Bild
in A
art
in V

L2

L3

L
a

16

E

220 bis 240

6h

L1

N
b

32

380 bis 415

9h
c

D

220/380 bis 240/415

6h
d
e

Pilotbuchse

L
d

E

220 bis 240

6h
e

63

380 bis 415

9h

L
f

125

D

3× 380 bis 415

6h
g
ß

8

3

/

0

2

2
s
i
b

5

1

4

/

0

4

2

6h

T
f
g
eil

Pilotbuchse

C Code für die Lage der Schutzleiterbuchse als Uhrzeigerstellung

L2

(„Uhrzeit“);

L3

VI

L2

E Einphasen-Wechselstrom;

L1

L3

D Drehstrom

L1

N

Abb. 46.10 Beispiele von Steckdosen für die genormten Netzspannungen nach DIN IEC 38

46.3

Normteile und Konstruktionselemente

553

Tab. 46.4 Anwendungsklassen und Zuverlässigkeitsangaben nach DIN 40040

Kenn- 1. Stelle 2. Stelle 3. Stelle

4. Stelle

5. Stelle

6. Stelle

7. Stelle
buch-

Feuchtebeanspruchung

Ausfallrate Beanspru- Mechanische

Luftdruck
stabe
chungs-

Beanspruchung

#
dauer
min

#min

Jahres- 30 Tage 60 Tage Übrige Bemerkun-

Beispiele des

Untere

Max. Höhe

[°C]

[°C]

mittel
im Jahr
im Jahr

Tage
gen zu Bau-
in h

Bauelemente-

Druckgrenze über NN
elementen
einsatzes
in mbar
in m

A

400

100

BE dauernd
nass

B

350

C

300

95

100

100

BE betaut

D

250

80

100

90

BE betaut

0,1

E

65

200

75

95

85

BE leicht

0,3
betaut

F

55

180

75

95

85

BE nicht

1
betaut

G

40

170

65

85

75

BE nicht

3
betaut

H

25

155

50

75

65

BE nicht

10
betaut

I

10

140

50

50

50

50

30

K

0

125

100

L

C5

110

300

M

100

1000

N

90

3000

840

1000

P

85

10.000

Q

80

30.000

300.000

An Verbren-
nungsmotoren
angebaut

R

75

90

100

95

BE betaut

100.000

100.000

Für Bordelektro-

700

2200
nik

S

70

300.000

30.000

Für Bordelektro-

600

3500
nik

T

65

1.000.000

10.000

In tragbaren Ge-

530

4300
räten

U

60

3.000.000

3000

In Schiffsanlagen

300

8500

& Autoradios

V

55

10.000.000 1000

In ortsfesten

85

16.000

Stromerzeugern

& nicht erschüt-
terungsfreien

Anlagen

W

50

30.000.000 300

In erschütterungs- 44

20.000
freien Geräten &

Anlagen

Y

40

20

26.000

Z

Schutzkontakte müssen beim Einführen des Steckers früher

Abb. 46.11 eine Schützschaltung die Leitung spannungslos

Kontakt geben und sich später trennen als die den Betriebsstrom
schalten kann.

führenden Kontakte. Die Lage der Buchsen und Stifte für die ge-
normten Netzspannungen nach DIN IEC 38 stellt Abb. 46.10a

Elektronische Bauelemente werden nach ihrer technischen
dar. Hier wird die Unverwechselbarkeit zusätzlich durch die La-

Funktion und Leistung unter Berücksichtigung ihrer individu-
ge der Kontakte gewährleistet.

ellen Grenz- und Kennwerte ausgewählt. Zusätzlich werden sie

VI
aber auch nach dem Grad ihrer klimatischen und mechanischen

Sogenannte Pilotkontakte nach Abb. 46.10d bis 46.10g sorgen

Beanspruchung und hinsichtlich ihrer Zuverlässigkeit, sprich ih-
bei Bedarf dafür, dass die Steckverbindung nur im spannungs-
rer Ausfallrate bestimmt.

Teil
losen Zustand betätigt werden kann. Diese Kontakte schließen
beim Einstecken nach den übrigen Kontakten bzw. öffnen beim

Nach DIN 40040 werden die „Anwendungsklassen und Zu-

Herausziehen vor den übrigen Kontakten, so dass z. B. nach
verlässigkeitsangaben für Bauelemente der Nachrichtentechnik

554

46 Grundlagen der zeichnerischen Darstellung

Tab. 46.5 Buchstabenkombination und ihre Bedeutung
stimmungen hin, die den Herstellerangaben direkt zugeordnet

1. Stelle

Untere Grenztemperatur

Klimatische Anwendungsklasse
werden müssen.

2. Stelle

Obere Grenztemperatur

Widerstände und Kondensatoren werden als einstellbare (im

3. Stelle

Feuchtebeanspruchung

Wert variierbare) Bauteile hergestellt, aber auch als Festwi-

4. Stelle

Ausfallquotient

Zuverlässigkeitsangabe
derstände bzw. Festkondensatoren.Die Kennzeichnung erfolgt

5. Stelle

Beanspruchungsdauer
durch Farbcode nach DIN 41429 oder durch Zahlen und Buch-

6. Stelle

Mechan. Beanspruchung

Mechan. Anwendungsklasse
staben nach DIN 40825. Bei DIN 41429 kann die Codierung

7. Stelle

Luftdruck
mit zwei oder drei zählenden Ziffern erfolgen. In Abb. 46.12

8. Stelle

Sonderbeanspruchung
ist die Kennzeichnung von Widerständen in der ersten Version
hinsichtlich der Leserichtung und der Codierung gemäß Farb-
auswahl dargestellt.

Da bei der Herstellung von Widerständen und Kondensato-
ren bei großer Serien- und Massenfertigung die ausgewiesenen

Nennwerte ohne erhöhte Kosten nicht genau eingehalten werden

Pilotkontakt
können, erhalten diese unter Berücksichtigung ihrer Funkti-
on und der erforderlichen Genauigkeit maximal zugelassene

Abb. 46.11 Steckverbinder mit Pilotkontakt

Abweichungen, Toleranzen. Von festgelegten Toleranzen aus-
gehend werden nach DIN 41426 Staffelwerte für sogenannte
und Elektronik„ bestimmt und gekennzeichnet. Tab. 46.4 bie-

E-Reihen (Internationale Normreihen) berechnet als geometri-
tet eine Übersicht. Zur Kennzeichnung der Anwendungsklassen
sche Reihen.

werden drei bis achtstellige Buchstabenkombinationen verwen-
det, die entsprechend dem Schlüssel nach Tab. 46.5 zusammen-

Es sind folgende E-Reihen genormt:

gefügt werden:

E6 D ˙20 %I

E12 D ˙10 %I

E24 D ˙5 %

Über Stellen, die den Kennbuchstaben X tragen, werden keine

Angaben gemacht. Der Kennbuchstabe Z weist auf Einzelbe-

E48 D ˙2 %I

E96 D ˙1 %I

E192 D ˙0;5 %

1.Ring
ohne Angabe
des Temperatur-
beiwertes

Der erste Ringe liegt
näher am Ende
des Widerstandes

Widerstände
mit zwei
zählenden Ziffern

Der Abstand zwischen

Temperaturbeiwert
mit Angabe

(umlaufend, unterbrochen
des Temperatur-
oder Punkt) und Toleranzring
beiwertes
ist größer als zwischen den

Wertringe

Multiplikator Toleranz

TK
anderen Ringen.

Kenn-

Wert-

Multiplikator

Toleranz

Temperatur-

Bemerkungen
farbe
ziffer
beiwert a R

10–6 K–1
keine

–

–

±20

–

Die Farben gold und silber
silber

–

× 10–2 Ω = 1110,01 Ω

±10

–
sind leitend
gold

–

× 10–1 Ω = 1110,1 Ω

±15

–
und deshalb nicht
schwarz

0

× 100 Ω = 1111,0 Ω

–

±200
immer verwendbar.

braun

1

× 101 Ω = 1110 Ω

±1

±100

Ausweichmöglichkeiten:

T
rot

2

× 102 Ω = 1100 Ω

±2

±150
statt gold: für 10–1 weiß
eil
orange

3

× 103 Ω = 1111 kΩ

–

±115
für ±5% grün
gelb

4

× 104 Ω = 1110 kΩ

–

±125
statt silber: für 10–2 grau

VI
grün

5

× 105 Ω = 1100 kΩ

±10,5 %

–
für ±10% weiß
blau

6

× 106 Ω = 1111 MΩ

±10,25 %

–
violett

7

× 107 Ω = 1110 MΩ

±10,1 %

–
grau

8

× 108 Ω = 1100 MΩ

–

–
weiß

9

× 109 Ω = 1000 MΩ

–

–

Abb. 46.12 Kennzeichnung von Widerständen durch Farbcode (Auszug)

46.3

Normteile und Konstruktionselemente

555

E-Reihen (Auszug)

Nach DIN 41426

E6

1,0

1,5

2,2

3,3

4,7

6,8

E12

1,0

1,2

1,5

1,8

2,2

2,7

3,3

3,9

4,7

5,6

6,8

8,2

E24

1,0 1,1 1,2 1,3 1,5 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,7 3,0 3,3 3,6 3,9 4,3 4,7 5,1 5,6 6,2 6,8 7,5 8,2 9,1

1,00

1,21

1,47

1,78

2,15

2,61

3,16

3,83

4,64

5,62

6,81

8,25

E48

1,05

1,27

1,54

1,87

2,26

2,74

3,32

4,02

4,87

5,90

7,15

8,66

1,10

1,33

1,62

1,96

2,37

2,87

3,48

4,22

5,11

6,19

7,50

9,09

1,15

1,40

1,69

2,05

2,49

3,01

3,65

4,42

5,36

6,49

7,87

9,53

DIN-Reihe

Nach DIN 323

R5

1,00

1,60

2,50

4,00

6,30

R10

1,00

1,25

1,60

2,00

2,50

3,15

4,00

5,00

6,30

8,00

R20

1,00 1,12 1,25 1,40 1,60 1,80 2,00 2,24 2,50 2,80 3,15 3,55 4,00 4,50 5,00 5,60 6,30 7,10 8,00 9,00

R40

1,00 1,12 1,25 1,40 1,60 1,80 2,00 2,24 2,50 2,80 3,15 3,55 4,00 4,50 5,00 5,60 6,30 7,10 8,00 9,00

1,06 1,18 1,32 1,50 1,70 1,90 2,12 2,36 2,65 3,00 3,35 3,75 4,25 4,75 5,30 6,00 6,70 7,50 8,50 9,50

Bei jeder Reihe können die üblichen Toleranzen gewählt werden.

Abb. 46.13 E-Reihen und DIN-Reihen (Auszüge)

Schicht-Festwiderstände

Schichtmaterial

Kohle

Kohle-

Metall

Metall-

Metall-
gemisch
oxid
glasur

Anforderungen
allgemein
erhöht
erhöht
allgemein
erhöht
erhöht
erhöht

DIN

44051 (983)

44052 (9.83)

44055 (9.83)

44054 (9.83)

44061 (9.83)

44063 (9.83)

44064 (9.83)

Anwendungsklasse

FKF (FHF)

FKF

FKF

FKF

FKF

FHF

FHF

FZF

Widerstandswertereihe E24

E24

E24

E24

E24

E24

E24

Widerstands-

±2 %

±2 %

±1 %

±12 %

±0,5 %

±2 %

±0,5 %
abweichung

±5 %

±5 %

±2 %

±10 %

±1 %

±5 %

±1 %
bei Anlieferung

±2 %

±2 %

Temperatur-

–150 bis –1500

±1300

B1): 0 ± 100

±250

B1): 0 ± 100
koeffizient in

C:

0 ± 150

C:

0 ± 150

10–6/K (zwischen

D:

0 ± 125

20 °C und 70 °C)

E:

0 ± 115

∆ R
nach 1000 h

±(5 % · R

±(2 % · R

±(1 % · R

±4 % · R

+1 % · R

±2 % · R

±1 % · R
zul

Dauerprüfung bei P

+ 0,1 Ω)

+ 0,05 Ω)

+ 0,05 Ω)

–2 · R

–0,5 % · R

+0,1 Ω

+0,1 Ω

70
bis 1 M Ω
bis 1 M Ω
bis 1 M Ω

+0,1 Ω

+0,05 Ω

+10 % · R

+4 % · R

+2 % · R

–5 % · R

–2 % · R

–1 % · R
über 1 M Ω
über 1 M Ω
über 1 M Ω

∆ R
nach 8000 h

(+10 % · R

(+4 % · R

(+2 % · R

(+4 % · R

(+2 % · R

(+4 % · R

(+2 % · R
zul

Dauerprüfung bei P

–1 % · R

–2 % · R

–1 % · R

–15 % · R

–0,5 % · R

–3 % · R

+0,1 Ω)

70

+ 0,1 Ω)

+ 0,05 Ω)

+ 0,05 Ω)

+0,1 Ω)

+0,05 Ω)

+0,1 Ω)

bis 1 M Ω
bis 1 M Ω
bis 1 M Ω

+20 % · R

+8 % · R

+4 % · R

–5 % · R

–2 % · R

–1 % · R
über 1 M Ω
über 1 M Ω
über 1 M Ω

1) Diese Buchstaben sind der 2. Kennbuchstabe der Baugrößebeziehung.

Abb. 46.14 Übersicht über Schicht-Festwiderstände

Außer nach E-Reihen sind Widerstandswerte ebenfalls nach

Halbleiter-Bauelemente wie Dioden, Transistoren und ICs sind
sog. (DIN-)R-Reihen gemäß DIN 323 genormt. Abb. 46.13 stellt
ebenfalls nur z. T. genormt. Bei den ICs und den Bausteinen

Auszüge aus E- und DIN-Reihen dar.

aus dem Computerbau ist die Normung der Bauformen am

VI
weitesten fortgeschritten, was die Kompatibilität von Mikro-

Eine Übersicht über Schicht-Festwiderstände auf der Basis des
chips erheblich erhöht. Die Übersicht nach Abb. 46.17 zeigt

Teil
bisher gesagten liefert Abb. 46.14. Die Bauformen von Wider-
nur eine Auswahl an genormten und nicht genormten Baufor-
ständen nach Abb. 46.15 sind nur teilweise genormt. Dies gilt
men, wobei zu beachten ist, dass zahlreiche Bauformen das
auch für Kondensatoren nach Abb. 46.16, wobei hier die An-

Rastermaß von 2,54 mm einhalten, was die Layouterstellung
zahl aufgrund der verwendeten Materialien größer ist.

vereinfacht.

556

46 Grundlagen der zeichnerischen Darstellung

0,5

33,5–1,5

4,06

33,5

–0,5

–1,5

1,8–0,2

6
lackiert

0,65

34,5–1,5

7,1

34,5

–0,5

–1,5

3,3–0,2

Farbringe für Widerstandswerte

Farbring für Toleranz

0,8

Cu-Draht verzinnt

30+5

17 max

30+5

5,4 max

3 max

3 max

Abmessungsangaben nach
mit Lack bedeckt

DIN 41099 (Entw.)

3 oder 4 Farbringe für Widerstandswerte

Farbring für Toleranz
d

–

38+3
l

–

38+3

0

Abb. 46.15 Bauformen von Widerständen (teilweise genormt)

Teil

VI

Abb. 46.16 Auswahl an Kondensator-Bauformen (teilweise genormt)

46.3

Normteile und Konstruktionselemente

557

4,1+0,1

E

B

C B

E

,40

,1

4

+ –

,3

5

–0,1

+0 –

,1

0,

,8

,15

,8

0,85

–0

+

–0

–

,1

23

–0

1,1

1,1

–0

–0

13,1

+0 –

E

B

0,13,2

20,2

16,9

31,4

14,45

14,2

39,55

30,1

–

10,9+15

–

2

6+1,5

10+1 8,2–0,6

2

–

10+0,5

–

71+4

26,2

18,6

–0,2

–0,2

–

12+0,5 8

8–0,6

–0,8

B A 3 DIN 41878(TO-8)

3 A 2 DIN 41472(TO-3)

–

6+0,1

0,5

–

25+0,2

–

5+0,2

E

B C

5+0,5

0,45

1,1

,15

,15

C

–0

–0

5,5

4,75

,5

9+0,5

–

13,5+1

5,2

+0

–0,3

5

B

–

2,54+0,3

–

0,9 x 0,16+0,02

18 A 3 DIN 41876 (TO-18)

50 B 3 DIN 418676 (TO-50)

Maßbild

SOT-54

12,7min.

ax.

E

B

4,8m

0,8

.9,8max.

2,54

C

4,8max.

1,5

4,5

7,6min.

1,3

4,8max.

7

4,2max.

5,2max.

1,5

3,0

6

6,7max.

10,0max.

3,

Kühlblech

4,6max.

1,5

15,2max.

3,2

15,0

2

45°

14

12,7

3,2

4,25

1,5

4,15

.

7,6

Maßbild
max

21max.

0,75

7

3,0

8,3

12,7min

SOT-93

12,

1,3

45°

0,4

1,15

0,55

10,7min.

0,95

5,1

13,6min.

0,9

2,5

2,55

11,5max.

5,5 5,5

1,6

TO 202

5,1

TO 220

Abb. 46.17 Bauformen von Dioden, Transistoren und ICs (teilweise genormt)

VI

Teil

558

46 Grundlagen der zeichnerischen Darstellung

1,5max.

–

15,25+0,25

–

7,6+0,2
in.

ax.

in.

0,5m

0,5m

4max.

,5
in. 5,1m

0,46x0,28

–0

0,45x0,25

6,4

–

–0,2

14+0,25

3,6

3,2m

2,54

1,5max.

2,4max.

1,6 2,54

–

15,9+0,6

7,6+0,6

24

13

4 3

Kunststoff-Steckgehäuse

Kunststoff-Steckgehäuse
ähnl. 20A 24 DIN 41866

20A 24 DIN 41866

24 Anschlüsse

4 Anschlüsse

Gewicht etwa 3g

1 2

6–0,3

12

33,4–0,2

5

0,45 9,5+0,5

6

4

,2

–0

3

7

8,4

2

8

5,84

11,5+0,5

1

9

9,2–0,2

0,5

62,5

0,56

4

–0,1

Kathode

:

9,5

26,5

0,05

5

Kathode

25,4min.

7,62max.

25,4min.

2,71max.

Glasgehäuse DO-7

Kunststoffgehäuse DO-13

–

100+5

90

42,5min.

52,5min.

13,5max.

0,8

40

29 max.

0,8

3,3

8,5max.

– +0,05

9

3

8

8,5

– +0

7

8m

5

M5

6,3
ax.

ax.

Kathode
m

Anode

SW 11

22min.

26

4,5

26

Sinterglasgehäuse DOM 22

Metallgehäuse DO-13

Metallgehäuse 101 A 2

Abb. 46.17 (Fortsetzung)

Teil

VI

46.4

Nutzen der Normung

559

46.4

Nutzen der Normung

Die Technische Zeichnung als Informationsträger dient bei
einem Fertigungs- bzw. Erstellungsauftrag als Verständigungs-
mittel zwischen der Planungs- bzw. Projektierungsstelle und
der Werkstatt bzw. der Montagestelle. Durch das durchgängige

Verwenden der Zeichnungsnormen wird die Zeichenarbeit er-
leichtert und eine klare Darstellung des Werkstückes bzw. der

Anlage erreicht.

Die Normung stellt durch Vereinheitlichung eine zweckdienli-
che Ordnung von Erzeugnissen und Verfahren her. Sie legt die

Form, Größe und Ausführung gleichartiger Erzeugnisse fest, so
dass eine beliebige Austauschbarkeit von Teilen herbeigeführt
wird. Dieser Umstand ermöglicht die Serien- und Massenferti-
gung und die damit verbundene Automatisierung. Normen sind
bewährte Lösungen für häufig wiederkehrende Aufgaben.

Technische Fortschritte können immer nur mit zeitlichem Ver-
zug eingearbeitet werden, so dass die Normen eher konservativ
denn innovativ sind.

VI

Teil

Schaltungsunterlagen

47

Peter Döring

47.1 Schaltzeichen nach DIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564

47.2 Elektrische Betriebsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566

47.3 Schaltungsunterlagen der Energietechnik . . . . . . . . . . . . . . . 566

47.4 Schaltungsunterlagen der Elektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571

47.5 Projektierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575

VI

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

561

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_47

562

47 Schaltungsunterlagen

Tab. 47.1 Wichtige VDE-Bestimmungen

VDE 0100

Bestimmungen für das Errichten von Starkstromanlagen bis 1000 V

VDE 0101

Bestimmungen für das Errichten von Starkstromanlagen über 1 kV

VDE 0102

Leitsätze für die Berechnung der Kurzschlussströme

VDE 0105

VDE-Bestimmungen für den Betrieb von Starkstromanlagen

VDE 0107

Bestimmungen für elektrische Anlagen in medizinisch genutzten Räumen

VDE 0108

Bestimmungen für das Errichten und den Betrieb von Starkstromanlagen in Versammlungsstätten, Waren- und Geschäftshäusern, Hoch-
häusern, Beherbergungsstätten und Krankenhäusern

VDE 0128

Vorschriften für Leuchtröhrenanlagen mit Spannungen von 1000 V und darüber Merkblatt für den Betrieb elektrischer Anlagen in land-
wirtschaftlichen Betrieben

VDE 0132

Merkblatt für die Bekämpfung von Bränden in elektrischen Anlagen

VDE 0134

Anleitungen zur Ersten Hilfe bei Unfällen (VDE-Druckschrift)

VDE 0141

Bestimmungen und Richtlinien für Erdungen in Wechselstromanlagen für Nennspannungen über 1 kV

VDE 0160

Bestimmungen für die Ausrüstung von Starkstromanlagen mit elektronischen Betriebsmitteln

VDE 0165

Bestimmungen für die Errichtung elektroscher Anlagen in explosionsgefährdeten Betriebsstätten

VDE 0168

Bestimmungen für das Errichten und den Betrieb elektrischer Anlagen in Tagebauen, Steinbrüchen und ähnlichen Betrieben

VDE 0190

Bestimmungen für das Einbeziehen von Rohrleitungen in Schutzmaßnahmen von Starkstromanlagen mit Nennspannungen bis 1000 V

VDE 0193

Richtlinien für den Anschluss und die Anbringung von Elektroden-Durchlauferhitzern

VDE 0210

Bestimmungen für den Bau von Starkstrom-Freileitungen über 1 kV

VDE 0211

Bestimmungen für den Bau von Starkstrom-Freileitungen mit Nennspannungen bis 1000 V

VDE 0228

VDE-Bestimmungen für Maßnahmen bei Beeinflussung von Fernmeldeanlagen durch Starkstromanlagen

VDE 0410

Regeln für elektrische Messgeräte

VDE 0411

VDE-Bestimmungen für elektronische Messgeräte und Regler

VDE 0413

Bestimmungen für Geräte zum Prüfen der Schutzmaßnahmen in elektrischen Anlagen

VDE 0414

Bestimmungen für Messwandler

VDE 0426

Bestimmungen für einpolige Spannungssucher bis 250 V Wechselspannung gegen Erde

VDE 0510

Bestimmungen für Akkumulatoren und Akkumulatoren-Anlagen

VDE 0530

Bestimmungen für umlaufende elektrische Maschinen

VDE 0532

Bestimmungen für Transformatoren und Drosselspulen

VDE 0541

Bestimmungen für Stromquellen zum Lichtbogenschweißen mit Wechselstrom

VDE 0550

Bestimmungen für Kleintransformatoren

VDE 0612

BDE-Bestimmungen für Baustromverteiler für Nennspannungen bis 380 V Wechselspannung und für Ströme bis 630 A

VDE 0620

Vorschriften für Steckvorrichtungen bis 750 V 100 A

VDE 0660

Bestimmungen für Niederspannungsschaltgeräte

VDE 0675

Leitsätze für den Schutz elektrischer Anlagen gegen Überspannungen

VDE 0680

Bestimmungen für Schutzbekleidung, Schutzvorrichtungen und Werkzeuge zum Arbeiten an unter Spannung stehenden Betriebsmitteln

VDE 0701

Bestimmungen für die Instandsetzung, Änderung und Prüfung gebrauchter elektrischer Verbrauchsmittel (Geräte)

VDE 0710

Vorschriften für Leuchten mit Betriebsspannungen unter 1000 V

VDE 0712

Bestimmungen für Entladungslampenzubehör mit Nennspannungen bis 1000 V

VDE 0800

Bestimmungen für Errichtung und Betrieb von Fernmeldeanlagen einschließlich Informationsverarbeitungsanlagen

VDE 0855

Bestimmungen für Antennenanlagen

VDE 0860

Bestimmungen für netzbetriebene Rundfunk- und verwandte elektronische Geräte

VDE 0871

Bestimmungen für die Funk-Entstörung von Hochfrequenzgeräten und -anlagen

VDE 0874

VDE-Leitsätze für Maßnahmen zur Funk-Entstörung

VDE 0875

Bestimmungen für die Funk-Entstörung von Geräten, Maschinen und Anlagen für Netzfrequenzen von 0 bis 10 kHz

VDE 0877

Leitsätze für das Messen von Funkstörungen

Beim Zeichnen von Schaltplänen werden alle zugehörigen Ma-
und vom Europäischen Komitee für elektrotechnische Normung
schinen, Geräte, Schaltteile und Leitungen nicht maßstabsgetreu

(CENELEG) in Europäischen Normen (EN) für nahezu al-

T
und der tatsächlichen Ausführung ähnlich gezeichnet, sondern
le europäische Länder, z. B. in DIN EN 50005 „Industrielle
eil
durch genormte graphische Symbole dargestellt.

Niederspannungsgeräte, Anschlussbezeichnungen und Kenn-
zahlen„ oder in sog. Harmonisierungsdokumenten, z. B. HD 21

VI

Bei der Erstellung von Schaltungsunterlagen für die Elektro-
als DIN 57281/VDE 0281 „VDE-Bestimmungen für Stark-
technik sind zusätzlich zur rein zeichnerischen Darstellung die
stromleitungen“.

einschlägigen elektrotechnischen Vorschriften und Normen, ins-
besondere DIN 57100/VDE 0100, zu beachten.

Für nationale Normung ist die Deutsche Elektrotechnische

Kommission im DIN und VDE (Verband Deutscher Elektro-

Normen werden erstellt und publiziert von der Internationalen
techniker) zuständig, wobei möglichst IEC-Publikationen mit

Elektrotechnischen Kommission (IEC) in IEC-Publikationen
eingearbeitet oder übernommen werden bzw. auch umgekehrt.

47 Schaltungsunterlagen

563

2
g

A
nun

3
en Ein-

1

I

Ben heit

2

0

1

–1

0 0

1

Einheit

3 Benennung

(Formelzeichen)

–2

Abb. 47.1 Diagrammdarstellung nach DIN 461 und DIN 40719

–200

–100

0

100

V

200

U

Abb. 47.3 Diagramm mit linearer Einteilung

R d
erstan

105
d

Wi

R

104

LDR 07

103

LDR 02

Frequenz f

102

Abb. 47.2 Diagramm im kartesischen Koordinatensystem

101101

102

103

104

105

EV

Eine Auswahl der wichtigsten VDE-Bestimmungen zeigt
lx

Tab. 47.1.

Abb. 47.4 Diagramm mit doppelt-logarithmischer Einteilung

Schaltungsunterlagen sind Schaltpläne, Tabellen, Diagramme
und Beschreibungen, die Angaben für das Fertigen, Errichten
und die Erhaltung elektrischer Anlagen vermitteln.

10o

10o

0o

20o

20o

1,0

Die Norm DIN 40719 legt die Einteilung von Schaltungs-
unterlagen und die entsprechenden Begriffe, wie sie in der

Elektrotechnik üblich sind, fest. Schaltungsunterlagen werden
in zwei Gruppen eingeteilt und zwar nach dem Zweck und der

0,8

30o

30o

Art der Darstellung.

Ein Schaltplan (engl.: diagram) zeigt die Art, in der die ver-

0,6
schiedenen elektrischen Betriebsmittel zueinander in Beziehung

40o
stehen und miteinander verbunden sind.

40o

Ein Diagramm (engl.: chart) ist die graphische Darstellung

50o

0,4

50o
errechneter oder gemessener Werte und sollte nach DIN 461
dargestellt werden. Die Linienbreiten werden nach DIN 15 etwa

60o

60o

VI
im Verhältnis Netz zu Achsen zu Kurve wie 1 W 2 W 4 gewählt in

0,2
der Darstellung nach Abb. 47.1.

70o

70o

Teil

80o

80o

Prinzipiell unterscheidet man Diagramme im kartesischen Ko-
ordinatensystem (Abb. 47.2, 47.3 und 47.4), Diagramme im

Polarkoordinatensystem nach Abb. 47.5, Flächendiagramme

Abb. 47.5 Diagramm im Polarkoordinatensystem
nach Abb. 47.6 und Nomogramme nach Abb. 47.7.

564

47 Schaltungsunterlagen

90

80

70

60

50

40

2

30

1

20

3

10

6

0

1

2

3

4

5

6

5

4
nutzbare

30%

Energie

100%

30%

40%

Verluste

Abb. 47.6 Flächendiagramme
o

–10

–5

0

5

10

C 15

Wh

Wh Wattstunden

10

20

30

40

50
oF 60

Abb. 47.7 Nomogramm

Meßgerät,
integrierend

Das Übersichtsdiagramm (z. B. charakteristische Darstellung)

nach Abb. 47.2 wird ohne Achseneinteilung gezeichnet; auf eine

Wattstundenzähler
nichtlineare Teilung ist hinzuweisen.

Wh

Diagramme zur quantitativen Darstellung erhalten an den Ach-
sen eine bezifferte Teilung, wobei jeder negative Wert mit dem
entsprechenden Vorzeichen zu versehen ist. Mindestens der
erste und der letzte Teilstrich ist mit dem Wert der Eintei-

Wattstundenzähler
mit Drucker,
lung zu versehen. Die Einteilung kann linear nach Abb. 47.3,

Wh
fernbetätigt
doppelt-logarithmisch nach Abb. 47.4 erfolgen oder auch in
linear-logarithmischer Einteilung. Die Einheit darf nicht in

Klammern gesetzt werden.

Abb. 47.8 Schaltzeichen aus Symbol- und Grundelementen

Bei mehreren Kurven nach Abb. 47.4 werden an jede Kennlinie
der Parameter oder andere Hinweise mit evtl. näherer Erläute-

Teil 1 bis Teil 13 der Internationalen Elektrotechnischen Kom-
rung in der Bildunterschrift verwendet.

mission (IEC) als Norm vor.

Betriebsmittel einer Schaltung werden durch genormte Schalt-

Teil

47.1

Schaltzeichen nach DIN
zeichen dargestellt. Es muss das Schaltzeichen gewählt werden,
das für eine beabsichtigte Aussage gerade ausreichend ist, al-

VI

In DIN 40700 bis DIN 40717, letztere teilweise ersetzt durch
so ist das Schaltzeichen so einfach wie möglich zu halten. Ein

DIN 40900, sind die Schaltzeichen als „Graphische Symbole für
gewähltes Schaltzeichen sollte durchgängig in der Zeichnung

Schaltungsunterlagen“ der Elektrotechnik mit ihrer Benennung
verwendet werden.

und Bedeutung festgelegt.

Schaltzeichen setzen sich aus Symbolelementen und Grund-

DIN 40900 Teil 1 bis Teil 13, „Graphische Symbole für die
elementen wie in Abb. 47.8 zusammen. Blocksymbole nach

Elektrotechnik“, liegt in der harmonisierten Fassung IEC 617

Abb. 47.9 sind vereinfachte Darstellungen von Funktionseinhei-

47.1

Schaltzeichen nach DIN

565

Tab. 47.2 Schaltzeichen nach DIN 40900 (Auszug)

Tab. 47.2 (Fortsetzung)

Passive Bauelemente

DIN 40900 Teil 4

Halbleiter-Bauelemente

DIN 40900 Teil 5

Widerstand, allgemein

Sperrschicht-FET mit N-Kanal (JFET)

Widerstand, veränderbar, allgemein

Isolierschicht-FET, Anreicherungstyp mit

N-Kanal (IGFET, MOS-FET)

Widerstand mit Schleifkontakt

Widerstand, spannungsabhängig Varistor

Isolierschicht-FET, Verarmungstyp mit N-

Kanal (IGFET, MOS-FET)

U

Hall-Generator

Widerstand, temperaturabhängig Heißleiter
ϑ

Kondensator, allgemein

Fotoelektrische Bauelemente

DIN 40900 Teil 5

Fotowiderstand

Kondensator, gepolt, z. B. Elektrolyt-

Kondensator

Fotodiode

Kondensator, veränderbar

Fotoelement Fotozelle

Spule, Wicklung, Induktivität

Spule mit Magnetkern

Piezoelektrischer Kristall, Schwingquarz

Fototransistor NPN-Typ

Leuchtdiode

Halbleiter-Bauelemente

DIN 40900 Teil 5

Halbleiterdiode, allgemein

Optokoppler

Z Diode, Esaki-Diode

Kapazitätsdiode

Tunneldiode
f1

3
f2

=

Zweirichtungsdiode, Diac

Abb. 47.9 Blocksymbol als Funktionseinheit

Thyristortriode, Kathode gesteuert
ten oder Baueinheiten durch ein einzelnes Schaltzeichen. Wenn

Thyristortriode, bidirektional Triac
für ein konkretes Betriebsmittel kein genormtes Schaltzeichen
existiert, so kann durch die Kombination von Grundsymbolen,

Symbolelementen, Kennzeichen oder Schaltzeichen ein neues

Schaltzeichen entworfen werden.

NPN-Transistor

Die Lage, in der Schaltzeichen in den Normblättern darge-

VI
stellt sind, ist nicht die einzig gültige. Schaltzeichen dürfen
nach Abb. 47.10 gedreht oder gespiegelt werden, wenn ihre Be-

Unijunction Transistor, Basis N-Typ

Teil
deutung dadurch nicht verändert wird. Werden Schaltzeichen
verkleinert oder vergrößert, so sollen ihre Proportionen wie in

Abb. 47.11 erhalten bleiben.

566

47 Schaltungsunterlagen

U

U

U V W

9

1

2

8

K

U

U

M

L

7

R8

M1

3

M

X3

U

U

U

U

U

V

W

1

Abb. 47.10 Variable Lage von Schaltzeichen im Schaltplan

R7

X1

7

M

M4

3

2

Abb. 47.13 Vereinfachte Betriebsmittelkennzeichnung

Abb. 47.11 Darstellungsgrößen von Schaltzeichen

Die Kennzeichnung der Funktion in Kennzeichnungsblock 3
kann entfallen, wird sie jedoch vorgenommen, so sind die

47.2

Elektrische Betriebsmittel

Kennbuchstaben nach Tab. 47.5 entsprechend DIN 40719 zu
verwenden.

Für die Kennzeichnung der Anlage und des Ortes benennt

Die Kennzeichnung von Betriebsmitteln erfolgt nach IEC 750

DIN 40719 weitere Kennbuchstaben, die hier aber nicht aufge-

(1983)/DIN 40719 Teil 2 (1978) und stellt die Beziehung her
führt werden sollen.

zwischen dem Betriebsmittel in der Anlage und den verschiede-
nen Schaltungsunterlagen, wie z. B. Schaltplänen, Stücklisten,

Stromlaufplänen und Anweisungen. Sie erfolgt in Kennzeich-

47.3

Schaltungsunterlagen der
nungsblöcken mit Vorzeichen zur sicheren Unterscheidung der

Blöcke (Tab. 47.3 und 47.4).

Energietechnik

Bei senkrechtem Leitungsverlauf nach Abb. 47.12 steht die Be-

Bei der Ausfertigung elektrischer Schalt- und Verdrahtungsplä-
triebsmittelkennzeichnung links und die Anschlusskennzeich-
ne genügt oft eine einzige Linienbreite nach DIN 15. Für A4-
nung rechts; bei waagerechtem Verlauf dagegen steht die Be-
und A3-Formate ist die Linienbreite 0,5 günstig.

triebsmittelkennzeichnung unten.

Stromwege werden geradlinig und möglichst kreuzungsfrei dar-

Kann auf die Kennzeichnung der Anlage und des Ortes verzich-
gestellt. Die Verbindungslinien verlaufen parallel zu den Rän-
tet werden, so kann die Kennzeichnung der Betriebsmittel und
dern der Zeichnung. Die Anschlussstellen an Betriebsmittel
der Anschlüsse nach Abb. 47.13 erfolgen. In den meisten Fällen
werden nicht besonders dargestellt, sie werden aber gemäß
reicht der Kennzeichnungsblock 3 aus.

DIN 42400 mit einer Anschlusskennzeichnung versehen nach

Abb. 47.14. Zusammengehörende Anschlüsse werden mit 1 und

2 gekennzeichnet. Von der Energieseite her gesehen gilt 1 D

13

Eingang und 2 D Ausgang.

Anlage

= 2K

Art, Zählnummer

–K8

Hat ein Betriebsmittel nach Abb. 47.15 mehrere Anschlüsse,

Ort

+M4
so wird fortlaufend numeriert. Die Anschlüsse von Drehstrom-

14

Abb. 47.12 Lage der Betriebsmittelkennzeichnung im Plan

1

1

A1

1

Tab. 47.3 Kennzeichnungsblöcke nach DIN 40719

A2

2

Kennzeichnungsblock

Vor-

Beispiel Erklärung zum

2

2
zeichen

Beispiel

Teil

1

Anlage

D

D B3

Anlage B3

Abb. 47.14 Kennzeichnung der Anschlussstellen von Betriebsmitteln

2

Ort

C

C D4

Stockwerk D,

VI

Raum 4

1.1 2.1 3.1

3

Art

Zähl-

Funk-

K2T

Schütz, Nr. 2,

1

3

5
nummer tion

Zeitrelais

4

Anschluss

W

W 12

Anschluss Nr. 12

Nur zur Kennzeichnung erforderliche Blöcke angeben, Vorzeichen kann ent-

1.2 2.2 3.2

2

4

6
fallen, wenn Verwechselung des Blockes ausgeschlossen ist Mindestangabe
in Block 3 ist die Zählnummer.

Abb. 47.15 Anschlussnummerierung mehrpoliger Betriebsmittel (allgemein)

47.3

Schaltungsunterlagen der Energietechnik

567

Tab. 47.4 Kennbuchstaben für die Art der Betriebsmittel

Kennbuchstabe Art des Betriebsmittels

Beispiele

A

Baugruppen, Teilbaugruppen

Verstärker, Magnetverstärker

B

Umsetzer von nichtelektrischen auf elektrische Größen und umge- Messumformer, thermoelektrische Fühler, Thermozellen, Mikro-
kehrt
fon, u. ä.

C

Kondensatoren

D

Verzögerungseinrichtungen, Speichereinrichtungen, binäre Ele-

Plattenspeicher, Magnetbandgeräte, Verzögerungsleitungen
mente

E

Verschiedenes

Beleuchtungseinrichtungen, Heizeinrichtungen; Einrichtungen,
die ansonsten hier nicht benannt werden

F

Schutzeinrichtungen

Sicherungen, Schutzrelais, Trennsicherungen, Überspannungs-
ableiter

G

Generatoren, Stromversorgungen

Rotierende Generatoren, Batterie

H

Meldeeinrichtungen

Optische und akustische Meldegeräte

K

Relais, Schütze

Leistungsschütze, Hilfsschütze, Zeitrelais

L

Induktivitäten

Drosselspulen

M

Motoren

N

Verstärker, Regler

Operationsverstärker

P

Messgeräte, Prüfeinrichtungen

Anzeigende, schreibende und zählende Messeinrichtungen, Uhren

Q

Starkstrom-Schaltgeräte

Leistungsschalter, Schutzschalter, Motorschutzschalter

R

Widerstände

Einstellbare Widerstände, Heißleiter

S

Schalter, Wähler

Taster, Endschalter, Steuerschalter

T

Transformatoren

Spannungswandler, Stromwandler

U

Modulatoren, Umsetzer

Diskriminator, Frequenzwandler, Umformer, Wechselrichter

V

Röhren, Halbleiter

Elektronenröhren, Dioden, Transistoren, Thyristoren

W

Übertragungswege, Hohlleiter, Antennen

Schaltdrähte, Sammelschienen, Dipole

X

Klemmen, Stecker, Steckdosen

Trennstecker und -steckdosen, Prüfstecker, Lötleisten, Klemmen-
leisten

Y

Elektrisch betätigte mechanische Einrichtungen

Bremsen, Kupplungen, Ventile

Z

Abschluss, Ausgleichseinrichtungen, Filter, Begrenzer, Gabelan-

Kabelnachbildungen
schlüsse

Tab. 47.5 Kennbuchstaben für die allgemeine Funktion

U1 V1 W1

U

V

W

U

V

W

Kennbuchstabe

Allgemeine Funktion

A

Hilfsfunktion

B

Bewegungsrichtung

U2 V2 W2

C

Zählung

D

Differenzierung

Abb. 47.16 Anschlusskennzeichnung von Drehstrommotoren

F

Schutz

G

Prüfung

1U

1V 1W 1N

1U

1V 1W

1N

H

Meldung

1U1

1V1

1W1

J

Integration

1U2

1V2

1W2

K

Tastbetrieb

T4

T4

L

Leiterkennzeichnung

2U2

2V2

2W2

M

Hauptfunktion

N

Messung

2U1

2V1

2W1

P

Proportional

2U

2V

2W 2N

2U

2V

2W 2N

O

Zustand (Stop, Start, Begrenzung)

Abb. 47.17 Anschlusskennzeichnung von Drehstromtransformatoren

R

Rückstellen, Löschen

S

Speichern, aufzeichnen

T

Zeitmessung, verzögern
motoren werden nach Abb. 47.16 gekennzeichnet, während die

V

Geschwindigkeit (beschleunigen, bremsen)

Anschlüsse von Drehstromtransformatoren gemäß Abb. 47.17a

VI

W

Addieren
gekennzeichnet werden, wobei unter Umständen auch die In-

X

Multiplizieren
nenanschlüsse nach Abb. 47.17b zu kennzeichnen sind.

Teil

Y

Analog

Z

Digital

Leitungsverbindungen ohne Klemmpunkt nach Abb. 47.18 sind
für zu plottende Zeichnungen vorgesehen; sie werden auch mit

568

47 Schaltungsunterlagen
ausgefülltem Punkt dargestellt. Leitungskreuzungen haben kei-
ne elektrische Verbindung.

Bei der Art der Darstellung von Schaltungsunterlagen unter-
scheidet DIN 40719 zwischen ein- oder mehrpoliger Darstel-
lung. Bei der einpoligen Darstellung (engl.: single-line repre-
sentation) werden zwei oder mehr Leiter durch eine einzige

Leitungsverbindungen
keine Leitungsverbindung

Linie mit entsprechender symbolhafter Ergänzung dargestellt.

Abb. 47.18 Leitungsverbindungen mit/ohne Klemmpunkt

Mehrere gleiche Geräte oder Bauelemente können durch ein
einziges Schaltzeichen dargestellt werden.

400V 3/PE 50Hz

~

Bei mehrpoliger Darstellung (engl.: multiline representation)

4
wird jedes Betriebsmittel durch ein Schaltzeichen dargestellt.

3

–F1

Bezüglich der Darstellung der Schaltzeichen kann eine weitere

Unterscheidung vorgenommen werden. Bei der zusammenhän-

4

3
genden Darstellung (engl.: assembled representation) werden
alle Schaltzeichen eines Betriebsmittels (z. B. Relais mit Schalt-

–K1

3

–K2

3
kontakten) zusammenhängend gezeichnet. Bei der aufgelösten

3

Darstellung (engl.: detached representation) werden Schalt-

3
zeichen für elektrische Betriebsmittel (z. B. Relais mit Schalt-

–F2

4
kontakten) getrennt gezeichnet und so angeordnet, dass jeder

Stromweg (Strompfad) geradlinig verläuft und somit gut zu ver-

M

–M1
folgen ist.

3 ~

Ein

Übersichtsschaltplan

(engl.:

block
diagram)

nach

Abb. 47.19 Übersichtsschaltplan einer Wendeschützschaltung

DIN 40719 ist die vereinfachte Darstellung einer Schaltung,

Hauptstromkreis

Hilfsstromkreis

X1:14

400 V 3/PE

~50 Hz

L1

X1:13

L2 X1:15

L1

L3 X1:16

1

X1:11

PE

~F3

2

95

–F1

–F2

96

X1:5

11

–S0

12

1 3 5

1 3 5

11

11

–K1

–K2

–S2

S1

2 4 6

2 4 6

12

12

X1:6

X1:8

13

14

13

14

–S1

K1

K2

S2

14

13

14

13

1 3 5

96

–F2

X1:7

X1:9

2 4 6

95

21

21

T

K2
eil

K1

22

22

1:1

1:3

1:4

X

X1:2

X

X

A1

A1

VI

1

–K1

–K2

U1

V1

W

PE

A2

A2

N

M

X1:12

–M1

3

Abb. 47.20 Stromlaufpläne in aufgelöster Darstellung für Haupt- und Hilfsstromkreis

47.3

Schaltungsunterlagen der Energietechnik

569

L1 L2 L3

M

A1 1

3

5 13 21

A1 1

3

5

13 21

–M1

3

K1

K2

1

1

E

U

V

W1

P

A2 2

4

6 14 22

A2 2

4

6

14 22

X1:8

X1:7

11

13

1

3

5

95

–S1

F2

12

14

F3

F1

2

4

6

96

X1:5

11

13

–S0

–X1 1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

12

14

E

2

V1

U1

W1

PE

1:13

P

N

L1

L

L3

11

13

S0:11

S2:12

S

S1:11

S2:14

–S2

Netz

12

14

X1:9

X1:6

Abb. 47.21 Verdrahtungsplan einer Wendeschützschaltung
wobei nur die wesentlichen Teile zur Gliederung elektrischer
a

Einrichtungen und ihrer Systembeschreibung berücksich-

41

~48V

41
tigt werden. Im Beispiel nach Abb. 47.19 ist der einpolige

42

~48V

42

–24V

Übersichtsschaltplan einer Wendeschützschaltung ohne Steuer-

43

43

44

+24V

44
leitungen dargestellt.

Leitungsnummern

Ein Stromlaufplan (engl.: circuit diagram) ist die ausführliche
b

Darstellung einer Schaltung mit ihren Einzelteilen. Er zeigt die

–X1

–X2

Arbeitsweise einer elektrischen Einrichtung. Er kann in auf-

X2:16

X1:22
gelöster und zusammenhängender Darstellung zur Anwendung

21

15

22

X2:15

X1:21

16
kommen. Abb. 47.20 zeigt die Stromlaufpläne in aufgelös-

23

X2:17

X1:23

17
ter Darstellung für den Hauptstromkreis und die Steuerung
einer Wendeschützschaltung. Die Kontaktbelegungspläne der

Zielbezeichnungen

Schütze fehlen im Steuerstromkreis, aber die Anschlussbezeich-
nungen für die Klemmleisten sind integriert. Diese Form der

Abb. 47.22 Kennzeichnung von Verbindungsleitungen mit a Leitungsnum-
mern oder b Zielbezeichnungen

Stromlaufpläne ist die meist verwendete Darstellungsform. Aus
ihm wird der Verdrahtungsplan entwickelt.

Verdrahtungspläne (engl.: wiring diagrams) zeigen die inneren
nungen versehen, d. h., am Ende einer Verbindungsleitung wird
und/oder äußeren Verbindungen zwischen elektrischen Betriebs-
angegeben, mit welcher Anschlussklemme das andere Leitungs-
mitteln, ohne Aufschluss über die Wirkungsweise zu geben.

ende verbunden ist. Der Verdrahtungsplan dient als Unterlage

Verdrahtungspläne können durch entsprechende Tabellen ersetzt
für die Fertigung und Montage und wird bei umfangreichen An-
werden. Der Verdrahtungsplan nach Abb. 47.21 gibt die Schal-
lagen unterteilt in Geräteverdrahtungspläne, Verbindungspläne

VI
tungen nach Abb. 47.19 und II-20 wieder. Die Schütze K1 und
und Anschlusspläne.

K2 werden wie auch das Motorschutzrelais F2 durch ein Recht-

Die Verbindungen innerhalb eines Gerätes stellt der Geräte-

Teil
eck dargestellt.

verdrahtungsplan (engl.: unit wiring diagram) dar, während

Die Verbindungsleitungen können einzeln oder zusammenge-
der Verbindungsplan (engl.: interconnection diagram) die Ver-
fasst gezeichnet werden. Die Anschlussstellen werden nach
bindungen zwischen den verschiedenen Geräten einer Anlage

Abb. 47.22 mit Leitungsnummern oder mit den Zielbezeich-
darstellt.

570

47 Schaltungsunterlagen

–X1

Ein Anschlussplan (engl.: terminal diagram) zeigt die An-
schlusspunkte einer elektrischen Einrichtung und die daran

–M1:U1

–F2:2

1
angeschlossenen inneren und äußeren leitenden Verbindungen.

–M1:V1

–F2:4

2

–M1:W1

–F2:6

Der Anschlussplan nach Abb. 47.23 zeigt die Belegung der

3

NYY 4x2,5

–M1:PE

4

Klemmenleiste X1. Die zum Motor M1 am Planort T4 abge-
hende Leitung W2 ist vom Typ NYY 4 2,5.

Anschlußplan

Ein Ersatzschaltplan (engl.: equivalent circuit diagram) ist eine
besondere Ausführung eines erläuternden Schaltplanes für die

Abb. 47.23 Anschlussplan der Klemmenleiste X1

Analyse und Berechnung von Stromkreiseigenschaften.

Ein Ablaufdiagramm oder eine Ablauftabelle (engl.: sequence
chart or table) zeigt Arbeitsvorgänge in einer festgelegten Rei-
henfolge, während Zeitablaufdiagramme (engl.: time sequence

Balkon
chart or table) zusätzlich die Zeitabstände zwischen aufeinan-

Kind

Wohnraum
derfolgenden Arbeitsvorgängen zeigen.

Gerätelisten schlüsseln die für eine Fertigung erforderlichen

Eßraum

Konstruktionselemente, Geräte, elektrischen Einrichtungen und

Leitungen auf nach Anzahl, Typ und auch Bestellnummern der

Hersteller.

Bad

Im Installationsplan nach DIN 40719 Teil 5 werden die Be-

Flur 1
triebsmittel mit Schaltzeichen in einpoliger Darstellung an-

Flur 2
nähernd lagerichtig in den Gebäudegrundriss eingezeichnet.

Abb. 47.24 zeigt den Elektro-Installationsplan für eine Woh-

E

Diele
nung mit mehreren Installationsbereichen nach VDE 0100.

DIN 18015 Teil 1 legt sowohl Installationszonen als auch die

Leitungsführung und die räumliche Lage der meisten Betriebs-
mittel fest.

Eltern

Küche

WC

Im Übersichtsplan nach Abb. 47.25 werden die Stromkreise

E
festgelegt und die Nennwerte der Betriebsmittel eingetragen.

Nach DIN 57100/VDE 0100 ergibt sich auch die Verwen-

Abb. 47.24 Elektro-Installationsplan einer Wohnung
dung entsprechender Leitungen und Schutzmaßnahmen, z. B.

FI-Schutzschalter.

16A

Balkon/Kind

FI1

16A

Bad/Eltern

I = 25A

N
vierpolig

16A

Eßraum/Wohnraum

I

=30mA

DN

16A

Küche/Kühlgerät

FI2

16A

Küche

I = 25A

N

Flur 1,2/Diele/WC
vierpolig

16A

I

=30mA

DN

20A
hWh

Elektroherd

T

16A

Heißwassergerät
eil

16A

Waschmaschine

VI

FI

16A

Geschirrspülmaschine

3

I = 40A

N

16A

Wäschetrockner
vierpolig

I

=300mA

16A

Elektrogerät, allgemein

DN

E

Abb. 47.25 Übersichtsplan zum Installationsplan

47.4

Schaltungsunterlagen der Elektronik

571

47.4

Schaltungsunterlagen der

103

Elektronik



Z

102

Ersatzschaltpläne, bzw. Ersatzschaltbilder sind nach DIN 40719
besondere Ausführungen eines erläuternden Schaltplanes für die
o

Analyse und Berechnung von Schaltkreisen und realen Bauteil-

101

–60 C

–30 C
o
eigenschaften im Vergleich zu „idealen“ Bauelementen.

0 C
o

40oC

So hat z. B. jeder Kondensator außer der gewünschten Kapazität

100
noch weitere elektrische Eigenschaften, die sich als Kompo-
nenten in einem Ersatzschaltbild nach Abb. 47.26 darstellen
und analysieren lassen. Die Serieninduktivität L ergibt sich als

Folge der Wirkung der Anschlussdrähte bei höheren Frequen-

10–1

101 102 103 104 105 106 107 108 Hz
zen und der Serienwiderstand RS als Kontaktwiderstand an den
f

Anschlüssen. Die Kondensator-Kapazität C ist die gewünschte

Größe, während der Parallelwiderstand R is als Isolationswider-

Abb. 47.28 Scheinwiderstand eines Kondensators in Abhängigkeit von der
stand des Dielektrikums zu verstehen ist, der bei bestimmten

Temperatur

Kondensatoren für die Selbstentladung des Kondensators ver-
antwortlich ist.

DIN 40900

DIN alt

USA

Die Frequenzabhängigkeit eines realen Kondensators lässt sich

NICHT

1
mit entsprechenden Ortskurve nach Abb. 47.27 darstellen, wäh-
rend sich z. B. die Temperaturabhängigkeit mit einem doppelt-

UND

&
logarithmischen Diagramm ( Z D f . f / mit der Temperatur # als

ODER

>1

=

Parameter) nach Abb. 47.28 darstellen lässt.

NAND

&

&

NOR

>1

=

>1

=

47.4.1

Allgemeines

Abb. 47.29 Schaltsymbolvergleich

Die Darstellung logischer Elemente und Verknüpfungen wird
in Katalogen und Datenbüchern unterschiedlich gehandhabt.

47.4.2

Schaltzeichen nach DIN 40900 Teil 12

Abb. 47.29 zeigt daher eine Gegenüberstellung der logischen

Binäre Elemente

Grundfunktionen, die noch häufig anzutreffen sind. Die Darstel-
lung der Schaltzeichen nach DIN 40900 setzt sich aber immer
weiter durch.

Symbolaufbau

Ein Symbol besteht aus einer Kontur, dem Block, oder aus

Kombinationen von Konturen und den Funktionskennzeichen.

C

Das Seitenverhältnis der Konturen ist ohne Bedeutung. Die

L

R S

Eingangsleitungen werden nach Abb. 47.30 links und die Aus-

R is
gangsleitungen rechts angeordnet. Die Funktionskennzeichen
nach Abb. 47.31 beschreiben die logische Funktion der Schal-

Abb. 47.26 Ersatzschaltbild eines Kondensators (reales Verhalten)

tung.

j

X

Funktions-

Kontur
kennzeichen
ω

VI

R

*

*

*

*

S

Z

R

Eingangs-

Ausgangs-
linien
linien

Teil

*

*

*

*

Abb. 47.27 Ortskurve eines Kondensators, d. h. Beschreibung des Frequenz-
verhaltens

Abb. 47.30 Kontur

572

47 Schaltungsunterlagen

Zeichen Bedeutung

Symbol

Beschreibung

&

UND-Verknüpfung

Negierter Eingang

>1

=

ODER-Verknüpfung

Negierter Ausgang

=1

Exclusiv-ODER-Verknüpfung



Negierter Eingang

Summierer

COMP

Komparator

Negierter Ausgang

CTR

Zähler

Eingang mit Hysterese

DIV

Teiler

Ausgang mit offenem Kollektor

MUX

Multiplexer

3-state-Ausgang

P–Q

Subtrahierer

Freigabeeingang

SRG

Schieberegister

X/Y

Codierer oder Codeumsetzer

Schiebeeingang rechts

Schmitt-Trigger

Schiebeeingang links

Monostabile Kippstufe (allgemein)

aktiv bei ansteigender Flanke Dynamischer

}

1

Monostabile Kippstufe (nicht nachtriggerbar)

aktiv bei abfallender Flanke

Eingang

G

Astabile Kippstufe (allgemein)

Abb. 47.33 Kennzeichnung von Ein- und Ausgängen

Abb. 47.31 Funktionskennzeichen

Beispiele hierzu. Die Adressen-Abhängigkeit ( A/ kennzeichnet

Symbol

Beschreibung

Adresseneingänge eines Speichers. Die Steuer-Abhängigkeit

( C/ kennzeichnet Zeitsteuer- oder Takteingänge. Das Kennzei-

Element-Kontur
chen ist häufig bei Flipflops zu sehen.

Steuerblock-Kontur

Anwendungsbeispiele

Bei Anwahl eines Eingangs über die Abhängigkeitsnotation G

Beispiel: a
nimmt der interne Logikzustand des Ausgangs den internen

Zustand des Eingangs an. Liegt an den drei Eingängen beispiels-
a
b
weise „1“, „1“, „1“ wird der Eingang 7 zum Ausgang geschaltet.

b

Mit dem Eingang EN kann der Multiplexer aktiviert werden
c
c

(low-aktiv), (Abb. 47.35).

d
d

Die gesteuerten Eingänge des Richtungstreibers sind UND-
verknüpft. Die freigewählte Zahl (hier 3) wird neben dem Buch-

Abb. 47.32 Steuerblock-Kontur
staben G geschrieben und an jedem weiteren UND-verknüpften

Eingang (EN). 1 und 2 des Freigabeeingangs geben jeweils in

Verbindung mit dem Verstärker die Richtung an, wie sie die

Besitzt eine Schaltung einen oder mehrere Eingänge, die zu

Zahlenfolge am 3-state-Ausgang zuordnet (Abb. 47.36).

mehr als einem Element der Schaltung führen, kann ein Steu-
erblock nach Abb. 47.32 benutzt werden (siehe auch Anwen-

Über die Steuereingänge M wird die Betriebsart wie links schie-
dungsbeispiele).

ben, rechts schieben oder paralleles Laden dargestellt. Den

Einfluss des Takteingangs C wird durch die entsprechende Zahl
und die Schieberichtung durch zusätzliche Pfeile gekennzeich-

Ein- und Ausgänge
net. Über die Eingänge 4,5D werden anstehende Daten mit der

Die Symbole der Ein- und Ausgänge nach Abb. 47.33 legen die
ansteigenden Flanke an C5 parallel geladen (Abb. 47.37).

Beziehungen zwischen den internen und externen Logikzustän-

Über den Steuereingang C3 kann der BCD-Zähler die 3D-
den fest. Die Negation am Ein- und Ausgang kann unterschied-

Eingänge parallel laden. Die Betriebsart: Zählrichtung (vorwärts
lich dargestellt werden. DIN 40900 empfiehlt auf nationaler

„C“, rückwärts „“) erfolgt über den Eingang M2 und mit

Ebene den Negationskreis zu verwenden. In Datenbüchern fin-

G1 erfolgt die Zählfreigabe. Mit dem Rücksetzeingang R wird
det man häufig die zweite Darstellungsweise.

der Zähler rückgesetzt. Nach jeder erneuten Zählung liefert der

T

Ausgang PIN 7 einen negativen Impuls (Abb. 47.38).

eil

Abhängigkeitsnotation

Bei Speichern können die Speicherstellen durch Adressein-

VI

Mit Hilfe der Abhängigkeitsnotation werden Zusammenhän-
gänge (Kennzeichen A) angewählt wer- den. Der dargestellte
ge zwischen Eingängen, Ausgängen oder Ein- und Ausgängen

Speicher besitzt 1024 Speicherstellen (1 k) mit den Adressen
angegeben, ohne interne Elemente und Zwischenverbindungen

0 bis 1023. Die Daten können am Ausgang ((0)A . . . (7) A,
im einzelnen genau darzustellen. Somit lassen sich kompakte

8 Bit) mit „ H“ am Steuereingang gelesen und mit „ L“ über
und aussagekräftige Symbole herstellen. Abb. 47.34 gibt ei-
die mit 2D gekennzeichneten Leitungen eingeschrieben werden
ne Übersicht über Arten der Abhängigkeit und zeigt einige

(Abb. 47.39).

47.4

Schaltungsunterlagen der Elektronik

573

Kennbuchstabe und

Wirkung bei „1“ am Eingang

Wirkung bei „0“ am Eingang

Abhängigkeitsform

A

Adresse

C

Steuerung

Erlaubt die Funktion

Verhindert die Funktion

EN Freigabe

Erlaubt die Funktion

Verhindert Zugriff der Eingänge

 Ausgänge hochohmig

G

UND

Erlaubt die Funktion

Ausgang „0“

M

Modus

Erlaubt die Funktion

Verhindert die Funktion
bei gewählter Betriebsart

N

Exclusiv-ODER

R

Rücksetzen

S

Setzen

Beispiele:

UND, G
a
a

1
a

&
a

G1
b

>
b
b

= 1

G1

&
b

G2

&
c
c
c

1
c

1

ODER, V

N, Exclusiv-ODER
b
a

V1 1
b
b
a

N1
a

>
b

= 1
a

=1
c

1
c

C, STEUERUNG

& S

C1

&
a

S

C1
a
a &
b

C2

&
b

&
b

R

1D
c

R
c

1,2D

Abb. 47.34 Abhängigkeitsnotation

7

MUX

SRG4

11

0

11

10

0

9

C5/2 /3

0

9

G 7

1

10

M

2

4

4

1

1

3

2

6

2

2,5D

15

1

7

3

4,5D

15

4

14

4,5D

14

13

5

13

4,5D

12

6

4,5D

12

7

3,5D

Abb. 47.35 Multiplexer

Betriebsart (MODE)

M

19

G3

0 0

Halt

1

3EN1

0 1
rechts schieben

3EN2

1 0
links schieben

1 1
paralleles Laden

1

Abb. 47.37 Schieberegister

2

8

1

2

3

7

1

CTRDIV10

4

6

1

15

1,2+/1,2–

5

5

1

10

M2

5

6

4

1

G1

1

C3

7

3

1

9

R

8

2

1

4

6

9

1

1

3D

12

11

VI

13

14

Abb. 47.36 Richtungstreiber

3

2

Teil

1,2CT=0

7

1,2CT=0

Abb. 47.38 Zählerbaustein

574

47 Schaltungsunterlagen

RAM 1k x 8

Schaltplan

0

0

( ) A,2D

Lageskizze

1

( ) A,2D

2

( ) A,2D

0

3

( ) A,2D

A

Layoutentwurf

1023

4

( ) A,2D

5

( ) A,2D

6

( ) A,2D

9

7

( ) A,2D

Layoutvorlage

Belichten

1C2(Write)

1EN(Read)

G1

Entwickeln

Ätzen

Abb. 47.39 RAM (random access memory)

Bohre

47.4.3

Entwurf von Schaltungen

Bestücken

Abb. 47.40 Arbeitsschritte zur Herstellung eines Labormusters

47.4.3.1

Verdrahtungsplan mit Universalplatinen

Kleinere elektronische Einzelschaltungen lassen sich mit ge-

47.4.3.2

Entwurf und Herstellung gedruckter
ringem Aufwand durch Universalplatinen realisieren. Solche

Schaltungen

Platinen sind Lochrasterplatten aus einem meist 1,5 mm star-
kem Isoliermaterial (Hartpapier oder Pertinax) mit Bohrungen

Gedruckte Schaltungen sind heute Bestandteil der meisten elek-
im 1=1000-Raster (2,54 mm) und 1 mm Durchmesser oder sie tronischen Geräte. Ihr Vorteil liegt in der computergesteuerten
bestehen aus einem Isolierstoff mit Längsleiterbahnen oder

Fertigung und der schnellen Austauschbarkeit im Servicefall.

Lötaugen aus Kupfer (Auflage 35 mm) mit einem Rastermaß

Zur Herstellung gedruckter Schaltungen verwendet man heu-

1=1000 und einem gleichmäßigen Rastermaß mit Löchern von te vorwiegend fotobeschichtete Platinen aus Hartpapier oder
ebenfalls 1 mm Durchmesser. Außer Streifen- und Punktraster-

Epoxyd-Hartgewebe als Trägermaterial. Sie können einseitig
platien sind Printplatten mit zusätzlich verschiedenen Stecker-
oder beidseitig fotobeschichtet sein. Ihre Kupferauflage ist
leistenanschlüssen nach DIN 41612 im Angebot der Herstel-
meist 35 mm und die Platinengröße unterschiedlich (Beispiele:

lerfirmen. Die gebräuchliche Europlatine hat die Abmessungen

60 mm 100 mm, 250 mm 250 mm). Die Bauelemente wer-

160 mm 100 mm. Tab. 47.6 führt gängige Maße von Printpla-
den abschließend über Verbindungsleitungen aus Kupfer mit-
tinen auf.

einander verbunden. Die folgende Abb. 47.40 zeigt die notwen-

Ausgangslage zur Schaltungsrealisierung ist in allen Fällen der
digen Schritte bei der Herstellung eines Labormusters bis zur

Schaltplan und die Stückliste aller benötigten Bauelemente. Die
fertigen Platine und Abb. 47.41 wählt als Beispiel die Schaltung

Bauelemente sollten steckbar sein und müssen in das 1=1000-
eines Rechteckgenerators zur Erläuterung der Arbeitsabläufe.

Raster passen. Nach Festlegung der Platinengröße wird eine

Die Anordnung der Leiterbahnen auf der Platine nennt man Lay-

Lageskizze (Entwurf) mit der Lage der Bauelemente und den
out. Zur Layouterstellung benötigt man transparentes 1=1000-
notwendigen Verbindungen erstellt. Bei der Bauelementeposi-

Rasterspapier, eine Folie, Klebesymbole, Leiterstreifen und
tionierung kann für einen übersichtlichen Aufbau der Eingang

Lötaugen. Von der Lageskizze werden auf einem ersten Blatt
links und der Ausgang rechts vorgesehen werden oder alle
entsprechend der Größe die Lage der Bauelemente und ihre

Anschlüsse werden auf eine Leiterplattenseite gelegt. Die Ver-

Anschlüsse übertragen. Anschließend wird ein zweites Blatt
bindungen sollten kurze Wege aufweisen und Kreuzungen nach
über das erste gelegt und die Verbindungsleitungen eingezeich-

Möglichkeit nicht vorhanden sein.

net. Dieses Blatt dient als Vor- lage für alle Klebematerialien.

Bei Verwendung einer Lochrasterplatine werden die Bauele-

Zunächst werden alle Lötaugen aufgebracht, danach die Leiter-
mente lagerichtig auf die Platine gesteckt und auf der Unterseite
bahnen.

mit Silberdraht verlötet.

Das völlig lichtundurchlässige Layout wird unter die fotobe-

Wird eine Platine mit vorhandenen Leiterbahnen eingesetzt,
schichete Platine nach Abb. 47.42 gelegt und von unten ca.

sollte der Entwurf die notwendigen Unterbrechungen und

2 Minuten mit ultraviolettem Licht (UV-Licht) bestrahlt, um

Brücken aufweisen.

die Leiterbahnen auf die Fotoschicht zu übertragen. Die Platine

T
wird daraufhin in ein Entwicklerbad gegeben, wo die belichte-
eil
ten Stellen von einer Schutzschicht (Fotolack) entfernt werden.

Tab. 47.6 Maße von Printplatinen

Beim anschließenden Ätzen werden alle Kupferflächen, die

VI

Plattenstärke

1, 1,5, 2 mm
nicht zum Layout gehören, entfernt.

Lochdurchmesser

0,8, 1 mm

Der Ätzvorgang dauert bei Verwenden von Eisen- III-Chlorid

Rastermaße

2,54, 5,08 mm
und einer Temperatur von 40 °C etwa 10 bis 20 Minuten. Die

Leiterbreite

> 0,8 mm

Platine wird gewässert, um Ätzmittelreste abzuspülen und mit

Leiterabstand

> 0,8 mm
einem Lösungsmittel (Azeton) kann der Abdecklack entfernt

Kupferauflage

35, 70 µm
werden.

47.5

Projektierung

575

Schaltung

Stückliste

Name

Bezeichnung

Type/Wert

R1

R1

Trimmwiderstand

100k

R2

Kohleschichtwiderstand

10k

V1

V2

+

R2

R3

Kohleschichtwiderstand

100k

7 LM741

2 –

R4

Trimmwiderstand

100k

6

3 +

R5

Kohleschichtwiderstand

10k

5

4 1

R3

R6

Trimmwiderstand

4,7k

–

C1

Kunststoffkondensator

0,01µF

R4

R6

A

V1

Siliziumdiode

1N4001

KOND v

V2

Siliziumdiode

1N4001

R5

IC

Operationsverstärker
uA741

Anordnung der

Aufbringen der

Herstellen der

Bauelemente

Lötaugen

Verbindungen

Lageplan

Lageskizze

R1

V2

V1 R2

R4R5

Brücke

+

–

C1 R4

A

R6



R3

Abb. 47.41 Arbeitsschritte am Beispiel eines Rechteckgenerators

Fotoschicht

47.5

Projektierung

Kupferschicht

Basismaterial

Leiterbahn

Werden technische Geräte oder Schaltungen entwickelt und
konstruiert ist eine umfangreiche Planung erforderlich. Zu-

Basismaterial
nächst muss das Problem definiert werden mit den jeweiligen

Forderungen an die Schaltung und ihren Eigenschaften. Bei

Abb. 47.42 Vor und nach dem Ätzvorgang
komplexen Aufgaben empfiehlt es sich im Team zu arbeiten
und nach Lösungsmöglichkeiten mit den auftretenden Vor- und

Nachteilen zu suchen. Ist eine Entscheidung getroffen, werden

Als Ätzmittel wird häufig Eisen-III-Chlorid (FeCl3), Ätzna-

Aufgaben und Prioritäten aufgelistet und Verantwortlichkeiten
tron (NaOH) oder Ammoniumpersulfat (NH4)2S2O8 verwen-
zugewiesen. Ein festgelegter Zeitplan ist genauso einzuhalten
det. Aus Sicherheitsgründen sollten bei Umgang mit allen Che-
wie die Obergrenze der zugestandenen Geldmittel. Nach Durch-
mikalien Handschuhe und Schutzbrille getragen werden. Des
führung der Arbeit erfolgt eine Auswertung.

Weiteren ist eine sachgerechte Entsorgung zu gewährleisten.

Der Ätzvorgang selbst hängt von der Konzentration des Ätz-
mittel, der Temperatur und der Ätzzeit ab. Bei zu langer Ätzzeit

Beispiel
oder zu hoher Ätzkonzentration kommt es zu Unterätzungen.

Leiterbahnen werden vor Oxidation geschützt, wenn sie mit

Universal-Eingabeplatine für einen Einplatinencomputer

Zinn, Silber oder Gold überzogen oder mit Lötlack eingesprüht

Definition: Platine mit Stromversorgung, Eingangsbuch-
werden.

sen für den Analog-Digitalteil und Ausgangsbuchsen für

Die Breite der Leiterbahnen sollte in Abhängigkeit der durch-
den Digital-Analogteil.

fließenden Ströme gewählt werden, damit keine unzulässigen

Ziel: Die Schaltung soll innerhalb einer Woche erstellt

Erwärmungen (i. d. R. max. 65 °C) auftreten. Ein Leiter von
und getestet sein. Die Einzelteile sollen weniger als

35 mm Dicke kann bei 1 bis 2 mm Breite mit etwa 1,5 bis 2 A be-

25,00 C kosten. Vorhanden ist eine veränderbare Gleich-
lastet werden. Hierbei tritt eine Temperaturerhöhung von 10 K
spannungsquelle 2 bis 15 V/2 A.

auf. Um Spannungsüberschläge zu vermeiden dürfen Leiterbah-
nen nicht beliebig eng zueinander verlegt werden.

Die konstruierte Schaltung muss zur Verfügung stellen:

VI

Nach der Platinenherstellung werden die Löcher in den Lötau-

C5 V stabil für die Computerplatine
gen mit einer Ständerbohrmaschine mit Hartmetallbohrern ge-

C12 V für externe Versuchsschaltungen

Teil
bohrt. Anschließend kann die Bestückung erfolgen. Diese so

2 DA-Ausgänge
von Hand erstellten Layouts haben den Nachteil, dass Fehler

4 AD-Eingänge

J
nie ganz ausgeschlossen werden können.

576

47 Schaltungsunterlagen

Durchführungsplan:

Entwurf der Schaltung

Beschaffung der Materialien

Aufbau des Prototyps auf einer Steckplatine

Herstellung der Platine

Erprobung der Platine

Die Schaltung (Abb. 48.3) wird in Abschn. 48.2 beschrieben
und in Kap. 49 die Realisierung der Platine.

Teil

VI

Schaltungssynthese und

48

-analyse

Peter Döring

48.1 Beispiele aus der Elektrotechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578

48.2 Beispiele aus der Elektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578

VI

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

577

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_48

578

48 Schaltungssynthese und -analyse

1

2

3

4

5

6

7

8

L1

400V 3/PE

50Hz

30 x 5 Cu

L1

L2

L2

A

=. D3/4.8

L3

L3

= .D4/6.1

A

PE

PE

25 x 3 Cu

2L1

230V

50Hz

1 1 1

=. M1/2.3

F1...F3

25A

2L2

1

3

2 2 2

Q1

B

10A

B

1 3 5

1 3 5

1 3 5

I

I

–K3

–K2

2

2,5

–K1

2

2 4 6

2 4

4

6

+T4

7-12A 2 4 6

–X1:8

–F4

95

–M1

F4

96

98

W2

U1

X1 11

U2

M

V1

1

C

S2

V2

3

W1

C

2

+3P4

2

2,5

7,5kW

400V

X1 12

3

X1:7

S1

4

+3P4

13

X1

D

5

D

K4

13

13

6

K3

K1

14

14

Leitungen ohne Querschnittsangabe

21

21

H07V-U1,5

K2

K3

22

22

A1

A1

A1

A1

E

E

–K3

–K2

–K4

–K1

A2

A2

A2

A2

X1:9,10

14

13

4

14

13

0...30s

14

13

5

22

21

4

22

21

3

22

21

2

1

6

3

2

1

4

D3

5

2

1

6

4

3

3

4

3

4

4

3

6

6

5

3

6

5

4

6

5

6

F

F

Datum

Zeichnungsnr. d Auftraggebers

=2B4.D3

Bearb.

Auftraggeber

Firma

+2E4

Gepr.

Blatt 5

Zeichnungsnummer

Zust.

Änderung

Datum

Name

Norm

Urspr.

Ers. f.

Ers. d.

7 Bl

1

2

3

4

5

6

7

8

Abb. 48.1 Stern-Dreieck-Schützschaltung

48.1

Beispiele aus der

Der Motor ist am Aufstellungsort CT4 installiert, während die

Tasterkombination im Schaltpult C3P4 integriert ist. Der Hin-

Elektrotechnik
weis auf ein anderes Blatt wird nach einem Schrägstrich, der

Planabschnitt nach einem Punkt geschrieben; die Hauptstrom-
versorgung kommt also von Blatt 4 (D .D3/4..; 2B4-Anlage mit

Für die Schaltungssynthese wie auch die -analyse ist die Kennt-

Funktionsgruppe D D Leistungskreis) und geht nach Blatt 6
nis der Schaltzeichen, der Kennzeichnung von Betriebsmitteln

(D .D4/6..), um dort in Planquadrat 1 (D .D4/... 1) fortgeführt
und der Anschlusskennzeichnung notwendig. Auch die umfang-
zu werden. Die Steuerspannung kommt von Blatt 2 aus Plan-
reichsten und komplexesten Schaltungsaufgaben setzen sich aus
quadrat 3.

der Kombination bzw. Verknüpfung einiger Grundschaltungen

Für die Wartung und Instandhaltung sind zusätzliche Informa-
zusammen. Weil das Problem einer zu planenden Steuerung
tionen einzufügen, wie z. B. die Nennstromwerte für Sicherun-
in der Regel durch die Darstellung einer Schaltung in einem
gen und Auslösebereich der Motorschutzschalter bzw. -relais.

Stromlaufplan gelöst wird, ist dieser besonders wichtig und dar-

Die Reihenklemmenanschlüsse für den Motor (X1: 1, 2, 3, 4, 5,
um im Beispiel nach Abb. 48.1 dargestellt.

6, 7) und die Tasterkombination (X1: 11, 12, 13) sind ebenfalls

Im Schriftfeld der Zeichnung werden unten rechts die Blatt-
angegeben.

nummer und die Anzahl der Blätter für eine Anlage angegeben,
hier also Blatt 5 von 7 Blättern. Darüber im Schriftfeld an-
geordnet steht mit einem Gleichheitszeichen als Vorzeichen

48.2

Beispiele aus der Elektronik
der Kennzeichnungsblock „Anlage“ (hier D2B4.D3) und mit
einem Pluszeichen als Vorzeichen der Kennzeichnungsblock

Teil

„Einbauort“ (hier Schaltschrank C2E4). Diese Kennzeichnung

Schaltungen in der Elektronik werden so dargestellt, dass sich
gilt für alle auf diesem Blatt dargestellten Betriebsmittel und
der Signalfluss von links nach rechts ergibt. Dies bezieht sich

VI
muss auf diesem Blatt folglich nicht mehr angegebenen werden.

auch auf die Nummerierung der Bauelemente.

48.2

Beispiele aus der Elektronik

579

1

2

3

4

5

6

7

8

A

A

B

B

R3

R6

V3

R5

C3

C

V1

C

+

C1

V2

C2

R8

+

+

+

–

V4

D

D

R1

R2

R4

R7

E

E

F

F

Datum

Zeichnungsnr. d Auftraggebers

Bearb.

Auftraggeber

Firma

Gepr.

Blatt 2

Zeichnungsnummer

Zust.

Änderung

Datum

Name

Norm

Urspr.

Ers. f.

Ers. d.

4 Bl

1

2

3

4

5

6

7

8

Abb. 48.2 Kopfhörerverstärker

Beispiel 1

Abb. 48.2 zeigt beispielhaft die Schaltung eines Kopfhö-
rerverstärkers.

Die Eingangsspannung wird über R1 eingespeist. Die-
ser Widerstand dient auch zur Lautstärkeeinstellung. Über
den Operationsverstärker wird das Signal verstärkt und
gelangt über C2 zur Komplementärendstufe. Diese be-
steht aus einem npn- und pnp-Transistor der jeweils
die negative oder positive Signalhalbwelle über C3 dem

Kopfhöreranschluss zuführt. Beide Transistoren arbeiten
in Kollektorgrundschaltung. Ihre Basisspannung und da-
mit ihr Ruhestrom wird über zwei in Durchlassrichtung
betriebene Dioden V1 und V2 eingestellt. Ohne V1 und

V2 würden Übernahmeverzerrungen entstehen.

Die Schaltung ist für eine unsymmetrische Spannung
ausgelegt. Sie benötigt daher R3 und R4, um den invertie-
renden Eingang auf die halbe Betriebsspannung zu legen.

J

VI

Teil

580

48 Schaltungssynthese und -analyse

1

2

3

4

5

6

7

8

A

A

+12V

V2

V1

+5V
a1

Uin

UI 7805 U0
a2
a3

B
a4

1N4007

GND

B
a5

R1

R4
a6

C1

C2
a7

V5

V6
a8

39k

33k
a9
a10

V3
a11
a12
a13

R2

R5

R7

R8
a14
a15

1,5k

4,7k

560

560
a16
a17

+

C
a18

+
a19

C
a20

–
a21
a22
a23
a24

TLC272
a25
a26
a27

V4
a28
a29
a30
a31

D
a32

D

+ +

–

R3

R6

27k

27k

E

E

F

F

Datum

Zeichnungsnr. d Auftraggebers

Bearb.

Auftraggeber

Firma

Gepr.

Blatt 2

Zeichnungsnummer

Zust.

Änderung

Datum

Name

Norm

Urspr.

Ers. f.

Ers. d.

4 Bl

1

2

3

4

5

6

7

8

Abb. 48.3 Stromversorgung für einen Einplatinencomputer

Beispiel 2

Abb. 48.3 zeigt die Stromversorgung für einen Einplati-
nencomputer. Die Schaltung selbst wird mit einer Gleich-
spannung betrieben. V1 dient zur Vermeidung einer
falschen Polung. Die notwendigen 5 V für den Computer
werden mit dem Stabilisierungs-IC 7805 erreicht. Die 12-

V-Spannung dient zur Spannungsversorgung zusätzlicher

Versuchsschaltungen. Um ohne Messgerät auszukommen
wurden zwei Komparatoren eingesetzt, die über Leucht-
dioden die gewünschte Spannung anzeigen (LED grün)

oder bei zu hoher Spannung warnen (LED rot).

J

Teil

VI

CAD-Technik

49

Peter Döring

49.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

49.2 Hardware und Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

49.3 Erstellen von Schaltplänen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

49.4 Erstellen von Layouts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

49.5 Anwendungen in der Elektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586

49.6 Auswahl von CAD-Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586

VI

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

581

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_49

582

49 CAD-Technik

49.1

Allgemeines
ermöglichen eine optimale Darstellung. Mit Hilfe von Bautei-
leeditoren können Bauteilebibliotheken selbst erweitert werden.

Eigene Symbole lassen sich somit herstellen und Vergößerun-

Unter CAD (Computer Aided Design) versteht man ganz all-
gen und Verkleinerungen sind problemlos durchzuführen. Da
gemein computergestütztes konstruieren. Hierbei steht die Er-

Zeichnungen reproduziert werden können sind auch nachträg-
stellung technischer Unterlagen im Vordergrund. Für die Elek-
liche Änderungen möglich. Die Zeichnungsausgabe erfolgt auf
trotechnik und Elektronik sind dies einmal Stromlauf- und
einem Drucker oder Plotter. CAD-Zeichnungen lassen sich ab-

Funktionspläne, Verdrahtungspläne, Lagepläne oder Layouts
speichern und in andere Programme wie beispielsweise Textver-
zur Herstellung gedruckter Schaltungen und zum anderen Si-
arbeitungsprogramme einfügen. Der Einsatz von CAD bedeutet
mulationsprogramme, die Entwicklungsarbeiten erheblich ver-
eine erhebliche Zeitersparnis gegenüber Arbeiten am konventio-
kürzen.

nellen Zeichenbrett.

Vorteile beim Einsatz dieser Technik liegen in der schnellen

Korrigierbarkeit von Fehlern.

49.4

Erstellen von Layouts

49.2

Hardware und Software

EAGLE ist ein bekanntes und weitverbreitetes CAD-Programm
und für den Entwurf von Platinenlayouts optimiert. Die Ausga-
be der Layouts kann über Matrixdrucker, Plotter, Fotoplotter,

Unter Hardware versteht man alle Geräte die zu einer Computer-

Laserdrucker und Bohrmaschinen erfolgen. Mit dem Layout-
anlage gehören. Hierbei unterscheidet man Eingabegeräte wie

Editor lassen sich beliebige Leiterbahnbreiten, Lötaugenformen

Tastatur, Maus, Grafiktablett mit Lupe und Scanner. Ausgabe-
und -durchmesser herstellen. Er kann für konventionelle und
geräte sind Bildschirm, Drucker und Plotter.

SMD-Technik eingesetzt werden.

Die Zeichnungen werden häufig mit Hilfe der Maus durch-

Schaltpläne können auch mit anderen CAD-Programmen bei-
geführt. Hierbei werden die Bewegungen der Rollkugel in
spielsweise mit ORCAD gezeichnet werden. Die im Anschluss

Signale umgewandelt und von einem Maustreiber (spezielles
an die Zeichenarbeit erstellte Netzliste kann in EAGLE-Script-

Programm) ausgewertet. Der Scanner wird eingesetzt, um über

Dateien konvertiert werden. In der Netzliste (Netlist) befinden
eine Optik Punkt für Punkt ganze Bilder einzulesen. Neben dem
sich alle verwendeten Bauelemente und ihre Verbindung unter-

Drucker wird als Pheripheriegerät zur Ausgabe von Grafiken der
einander.

Plotter eingesetzt. Mit seinem Schreibstift kann direkt auf Pa-
pier oder Folie geschrieben werden. Beim Fotoplotter belichtet
ein Lichtstrahl das Papier.

Beispiel

Oft arbeiten CAD-Systeme mit zwei Bildschirmen, wobei der

Entwurf einer gedruckten Schaltung mit dem Programm
eine als Grafik- und der andere als Textbildschirm genutzt wird.

EAGLE

Grundvoraussetzung vieler CAD-Programme sind Rechner ab

486 mit 16 MB-RAM. Beispiele für Zeichenprogramme sind

Mit dem EDIT-Befehl wird der Schaltplan (Schematic)

AUTOCAD, AUTOSKETCH und besonders auf die Bedürfnis-
und mit USE-Befehl die gewünschte Bibliothek (Libra-
se in der Elektrotechnik und Elektronik abgestellt ORCAD und
ry) geöffnet. Aus dieser kann das entsprechende Bauteil

WSCAD. Zur Layouterstellung wird häufig EAGLE eingesetzt
gewählt und in einem zuvor gewählten Rahmen (Frames)

und im Bereich der Simulationsprogramme sind PSPICE und
platziert werden. Der Schaltplan nach Abb. 49.1 kann mit

MICROCAP und für den Ausbildungsbereich ELECTRONIC
den Befehlen „Schieben (MOVE), Löschen (DELETE)

WORKBENCH zu nennen.

und Drehen (ROTATE)„ korrigiert und geändert werden.

Bauelemente werden mit Namen (NAME) und Wert (VA-

Um CAD-Systeme richtig und effektiv einzusetzen bedarf es ei-

LUE) eindeutig gekennzeichnet. Mit dem NET-Befehl
ner gründlichen Einarbeitung.

lassen sich die entsprechenden Verbindungen zeichnen
und Verbindungspunkte mit einem Lötpunkt (JUNCTI-

ON) versehen.

J

49.3

Erstellen von Schaltplänen

Teil

Der Befehl ERC (Electrical Rule Check) ermöglicht eine Über-

Bei der Erstellung technischer Zeichnungen am Bildschirm kön-
prüfung der Verbindungen auf Kurzschlüsse. Mit dem Speicher-

VI
nen Fehler schnell korrigiert werden. Häufig verwendete Sym-
befehl (WRITE) wird die Schaltung abgespeichert.

bole sind in Bibliotheken gesammelt und können dort abgerufen
werden. Sie lassen sich beim Laden beliebig platzieren und

Der BOARD-Befehl lässt auf dem Bildschirm eine Leerpla-
können gedreht oder gespiegelt werden. Nachträgliches Ver-
tine erscheinen mit allen Bauelementen des Schaltplans nach
schieben von Baugruppen, Bauteilen, Leitungen oder Schriften

Abb. 49.2. Die dem Bauelement im Schaltplan zugeordnete

49.4

Erstellen von Layouts

583

U1

D1

7805

1

3

+BATT

VI

V0

F

GND

F

LED

LED

1N4007
μ

2
μ

R1

R4

39k

33k C1

10

C2

10
rt

D3

D2
grn

R2

R5

1.5k

4.7k

8

R7

R8

3

560R

560R

1

U2A

TLC272P

2

4

VG64FMIR

5

7

U2B

6

TLC272P

R3

27k

R6

27k

+5V

+5V

CC1

1

CC2

2

CC3

3

CC4

4

CC5

5

CC6

6

CC7

7

CC8

8

CC9

9

CC10

10

CC11

11

+12V

CC12

12

+12V

CC13

13

CC14

14

CC15

15

CC16

16

CC17

17

CC18

18

CC19

19

A0_0

CC20

20

A0_1

CC21

21

CC22

22

CC23

23

CC24

24

CC25

25

CC26

26

AI_3

CC27

27

AI_2

CC28

28

AI_1

CC29

29

CC30

AI_0

30

CC31

31

GND

CC32

32

U$2C

Document:

REV:

Anschluß für BASIC-EMUF

Date: 15.10.1994 09:09:16

Sheet: 1/1

Abb. 49.1 Schaltplan

Bauform erscheint automatisch. Man braucht sich beispielswei-
schließend auch noch Korrekturen durchführen. Dies ist in der
se keine Gedanken mehr zu machen, ob das IC TLC272 mit 8

Praxis not-wendig, nicht weil Verbindungen falsch gelegt oder
oder 14 PINs (Anschlüsse) versehen ist. Die Bauelemente sind
vergessen worden sind, sondern weil beispielsweise Versor-
durch Luftlinien (Gummileitungen) miteinander so verbunden,
gungsspannungsleitungen breiter ausgelegt werden sollen. Nach
wie der Schaltplan dies vorgegeben hat.

Abschluss der Designarbeit erzeugt das Programm die verschie-
denen Daten zur Platinenherstellung. Hierzu gehören Layout,

Die Elemente können nach den Wünschen des Entwicklers ver-

Lötmaske, Lageplan und Stücklisten. Abb. 49.4 zeigt den La-
schoben und auf die vorgegebene Leerplatine platziert werden
genplan und Abb. 49.5 das entsprechende Layout.

VI

(Abb. 49.3).

Mit dem Befehl AUTO erfolgt ein automatisches Routen (Her-

Von Hand erstellte Layouts haben den Nachteil, dass Fehler nie

Teil
stellen des Layouts, Leiterplattenentflechtung) oder mit dem
ganz ausgeschlossen werden können. Bei CAD-Systemen treten

Befehl ROUTE ein manuelles. Am BOARD lassen sich an-
keine Fehler mehr auf, wenn das Programm richtig bedient wird.

584

49 CAD-Technik

U$2C

VG64FMIR

32

1

U1

7805

R8

560R

R2

1.5k

U2 TLC272

D2

D1

R3

27k R1

39k

D3

R5

4.7k

R7

560R

R6

27k

R4

33k

F

F





C1

10

C2 10

Abb. 49.2 Leerplatine und Bauelemente

Teil

VI

49.4

Erstellen von Layouts

585

U$2

U$2

G64FMIR

V

G64FMIR

V

32

1

32

1

560R

R8

D2

560R

R7

D3

R6

R3

R3

R6

27k

27k

R7

2

D3

560R

27k

27k

U

TLC272

U2

TLC272

R2

R5

1.5k

4.7k

R8

D2

33k

4.7k

1.5k

39k

560R

F

F





C2

C1

10

10

R1

F

F

R4

R5

R2

R1

39k

R4

33k





E$11

E$12

C1

10

C2 10

7805

1

U1

W

7805

D

D1

U1

5.3 K/

SK-07

Abb. 49.3 Anordnung der Bauelemente auf der Platine

Abb. 49.4 Lageplan

VI

Teil

586

49 CAD-Technik

49.5

Anwendungen in der Elektronik

Elektronische Schaltungen

Schaltungsentwurf

Entwurf gedruckter Schaltungen

Layout

Leiterplattenentflechtung

Stücklistenerstellung

PWR8052.brd

Bestückungsplan

49.6

Auswahl von CAD-Systemen

Entwurf gedruckter Schaltungen

Richtlinien zum Entwurf

Herstellung gedruckter Schaltungen

Stromlaufplan

Layouterstellung (Freihand, CAD)

Bestückungsliste

Stückliste

Maske für Lötstoplack

Bearbeitungszeichnung

Abb. 49.5 Layout

Teil

VI

VII

Datentechnik

VII Teil

50

Digitaltechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589

51

Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik . . . . . . . . . . . . . . . 633

52

Mikrocomputertechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661

53

Computertechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729

54

Programmiertechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741

55

Datenkommunikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747

587

Digitaltechnik

VII

50 Teil

Heribert Gierens

50.1 Grundbegiffe der Digitaltechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590

50.2 Logische Grundschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590

50.3 Schaltalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

50.4 Zahlensysteme in der Digital- und Datenverarbeitung . . . . . . . . 602

50.5 Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606

50.6 Digitale Grundschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

589

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_50

590

50 Digitaltechnik

Teil

50.1

Grundbegiffe der
positive Logik
negative Logik

VII

Digitaltechnik

1

H-Pegel

0

H-Pegel

Als Teilgebiet der Elektronik, Automatisierungs-, Nachrichten-

0

L-Pegel

1

L-Pegel
und Datenverarbeitungstechnik kann mit Hilfe der Digitaltech-
nik eine große Zahl technischer Probleme gelöst und das Ver-

Abb. 50.1 Pegelzuordnung
ständnis komplexer Systeme gefördert werden. Im Gegensatz zu
analogen Schaltungen, wo Werte über einen Bereich kontinu-

Informationseinheiten
ierlich ausgegeben werden, können Ein- und Ausgangssignale
digitaler Schaltungen nur zwei mögliche stabile Zustände an-

1 Bit

("0" oder "1")

1 Byte

=

2

=

8 Bit
nehmen. Man spricht daher von einem binären System, das

1 kByte

=

210

=

1024 Bit
aufgrund der Zweiwertigkeit logische Entscheidungen ermög-

1 MByte

=

220

=

1048576 Bit
licht. Die Schaltungen selber nennt man logische Schaltungen.

Hierbei sind die binären Zustände zwei Spannungswertberei-

Begriffe
chen (Pegeln) zugeordnet. Der niedrigere Spannungsbereich

(näher an minus unendlich) wird mit LOW und der positivere

1

0

1

1

0

1

1

0

Spannungsbereich (näher an plus unendlich) wird mit HIGH be-

Bit Bit Bit Bit Bit Bit Bit Bit
zeichnet. Die genauen Werte sind von der schaltungstechnischen

Realisierung abhängig. Soll technologieunabhängig gearbeitet

Tetrade

Tetrade
werden, also ohne auf die besonderen Bedingungen zu ach-

Byte
ten, mit denen die Schaltung später vielleicht realisiert werden
soll, werden die binären Zustände mit den Zeichen „0“ und „1“

Abb. 50.2 Informationseinheiten und Begriffe
beschrieben. Je nach gewähltem Bezugspunkt wird zwischen
positiver und negativer Logik unterschieden. Dabei entspricht
bei positiver Logik die „1“ dem H- und die „0“ dem L-Pegel;
bei negativer Logik dagegen die „0“ dem H- und die „1“ dem L-

(Disjunktion) beschreiben. Weitere abgeleitete Verknüpfungen

Pegel (Abb. 50.1). Die Zeichen „0“ und „1“ heißen Bits. Das Bit
vereinfachen die Realisierung digitaler Schaltungen. Es handelt

(Binary Digit D Binärzeichen) ist die kleinste Informationsein-
sich dabei um die Funktionen: NAND, NOR, Exclusiv ODER
heit. Vier Bits ergeben eine Tetrade oder Nibble, und 2 Tetraden

(Antivalenz) und Exclusiv NOR (Äquivalenz).

ergeben ein Byte. Die nachfolgend größeren Informationsein-

Als Übersicht zeigt Abb. 50.3 die Schaltzeichen aller Grund-
heiten sind mit Potenzen zur Basis 2 festgelegt (Abb. 50.2).

verknüpfungen mit einer Funktionsbeschreibung in Form einer

Ein Byte nennt man in 8-Bit-Systemen auch „Wort“. Allgemein

Wertetabelle, eines Impulszeitplans und einer Funktionsglei-
kann aber ein „Wort“ auch aus mehreren Bytes zusammenge-
chung. Besitzt eine Verknüpfung nur einen Eingang, sind zwei
setzt sein. Die höchste und niederwertigste Stelle eines Wortes

Eingangskombinationen, bei zwei Eingängen vier verschiedene
wird besonders gekennzeichnet. Man spricht vom MSB (Most

Eingangskombinationen möglich. Bei n Eingängen gibt es 2 n

Significant Bit) und vom LSB (Least Significant Bit).

verschiedene Eingangskombinationen.

Die Grundelemente digitaler Schaltungen sind logische Grund-
bausteine. Sie besitzen voneinander unabhängige Eingänge und
einen Ausgang, dessen Ausgangsvariable jeweils von Eingangs-

50.2

Logische Grundschaltungen
variablen abhängt. Bausteine mit solchen Grundverknüpfungen
nennt man Gatter. Jede Verknüpfung kann durch ein Schalt-
zeichen, eine Wertetabelle (Wahrheitstabelle, Funktionstabelle),

50.2.1

Grundverknüpfungen
eine Gleichung oder einen Impulszeitplan (Funktionszeitplan)

dargestellt werden. Die grafische Darstellung mit Schaltzeichen
wird verwendet, um größere Zusammenhänge aufzuzeigen. Die

Einfache Schaltungen aus Leuchtdiode und Schalter, bei der

Wertetabelle drückt in übersichtlicher Weise aus, welche Aus-
die Eingangsgröße der Schalter mit den Zuordnungen: Schalter
gangszustände sich bei allen möglichen Eingangszuständen er-
offen D „0“ und Schalter geschlossen D „1“, und die Ausgangs-
geben. Der Impulszeitplan stellt den Zusammenhang zwischen
größe die Leuchtdiode mit den Zuordnungen: LED leuchtet

Eingangs- und Ausgangssignalen dar und erlaubt damit den Zu-
nicht D „0“ und LED leuchtet D „1“ ist, verdeutlichen die je-
gang zu den Messtechniken.

weilige Funktion (Abb. 50.4).

Gleichungen sind Hilfsmittel, um mit dem Einsatz der Schalt-

50.2.1.1

NICHT-Verknüpfung
algebra vereinfachte Schaltungen zu finden. Die Aussage jeder
dieser genannten Darstellungsformen ist dabei dieselbe. Alle

Die NICHT-Verknüpfung (NOT) hat nur eine Eingangsvariable.

logischen Zusammenhänge in der Digitaltechnik lassen sich

Da die Ausgangsvariable immer den entgegengesetzten Wert
durch die drei Grundverknüpfungen beziehungsweise Grund-
der Eingangsvariablen annimmt, spricht man auch von einem
funktionen NICHT (Negation), UND (Konjunktion) und ODER

Inverter. Ist der Schalter geöffnet („0“), kann Strom durch die

50.2

Logische Grundschaltungen

591

Schaltzeichen

Wertetabelle

Impulszeitplan

Funktionsgleichung

UND

B A

Q

A

VII

0 0

0
t

A

B

&

0 1

Q

0

B

1 0

0
t

Teil

1 1

1

Q
t

Q = A B

ODER

B A

Q

A
t

0 0

0

A

0 1

1

B

>

= 1

Q
t

B

1 0

1

1 1

1

Q

Q = A

B
t

NICHT

A

Q

A
t

0

1

1

0

A

1

Q

Q

Q = A
t

NAND

B A

Q

A

0 0

1
t

A

B

&

0 1

Q

1

B

1 0

1
t

1 1

0

Q

Q = A

B
t

NOR

B A

Q

A
t

0 0

1

A

>

0 1

B

= 1

Q

0

B

1 0

0
t

1 1

0

Q

Q = A

B
t

Exclusiv

B A

Q

A

ODER

0 0

0
t

A

B

=1

Q

0 1

1

B

1 0

1
t

1 1

0

Q

Q = A

B
t

Exclusiv

B A

Q

A

NOR

0 0

1
t

A

=

0 1

B

Q

0

B

1 0

0
t

1 1

1

Q

Q = A

B
t

Abb. 50.3 Logische Verknüpfungen

Leuchtdiode fließen und sie leuchtet („1“). Bei geschlossenem

50.2.2

Realisierungsmöglichkeiten logischer

Schalter („1“) ist die Diode kurzgeschlossen. Damit fließt durch

Verknüpfungen
die Leuchtdiode kein Strom und sie leuchtet nicht („0“).

50.2.1.2

UND-Verknüpfung

Logische Verknüpfungen lassen sich durch Mechanik (Schal-
ter, Schütze), Elektronik oder Software realisieren. In der

Eine UND-Verknüpfung (AND) besitzt mindestens zwei Ein-

Elektronik werden Schalter durch Dioden und Transistoren
gangsvariable. Der Ausgang wird nur „1“, wenn alle Eingänge
ersetzt. Abb. 50.5 zeigt Grundverknüpfungen solcher Bauele-

„1“ sind, wenn also A UND B UND n gleichzeitig 1 ist. Die
mente. Man spricht auch von Dioden-Widerstandslogik oder

Schaltung zeigt, dass die Diode nur leuchten kann („1“ ergibt),

Transistor-Diodenlogik. Ihr Einsatz ist so heute nicht mehr üb-
wenn der eine UND der andere Schalter geschlossen ist (also
lich. Die Schaltungen dienen lediglich zum Grundverständnis

„1“ aufweist).

logischer Schaltungen.

Der Eingang ist jeweils mit A beziehungsweise B und der Aus-

50.2.1.3

ODER-Verknüpfung
gang mit Q gekennzeichnet. Bei der UND-Schaltung stellt sich

Eine ODER-Verknüpfung (OR) erhält am Ausgang dann eine
beispielsweise nur die Spannung C5 V („1“) am Ausgang ein,

„1“, sobald eine Eingangsvariable „1“ ist, wenn also ein ODER
wenn A und B an C5 V („1“) liegen, weil dann beide Dioden
zwei ODER n Eingänge „1“ sind. In der Schaltung leuchtet die
gesperrt sind. In den drei möglichen anderen Fällen ergibt sich

Diode („1“), sobald einer der Schalter geschlossen („1“) ist.

eine Spannung von ca. 0,7 V („0“) am Ausgang.

592

50 Digitaltechnik

Teil

R

Bei der ODER-Schaltung reicht es, wenn A oder B auf C5 V
liegt, um am Ausgang ungefähr 5 V („1“) zu erzeugen.

VII

+

S

Liegt bei der NICHT-Schaltung A auf Masse („0“), ist der

NICHT

Transistor gesperrt, und die Ausgangsspannung nimmt den Be-

–
triebsspannungswert C5 V („1“) an. Der Transistor schaltet nur
durch, wenn der Eingang A mit C5 V („1“) verbunden wird. Die

S1

S2

Ausgangsspannung beträgt in diesem Fall etwa 0,2 V („0“).

R

Heute setzt man integrierte Standardbausteine ein. Die angebo-

+
tenen Logikfamilien unterscheiden sich durch unterschiedliche

UND

Pegel, durch Verlustleistungen und Laufzeiten. Die Bausteine

–
selbst besitzen oft mehrere Gatter (Abb. 50.6).

Ihre PIN- oder Anschlussbelegung können aus den entsprechen-
den Datenbüchern entnommen werden. Bei Betrachtung des

R

S1

IC’s von oben (On Top) ist die Zählrichtung immer von links

S2
oben nach rechts oben. Bei der Darstellung von Funktionsplänen

+
werden die Betriebsspannungsanschlüsse nicht mit gezeichnet.

ODER

Als Beispiel dient ein Baustein mit vier NAND-Gattern. Weite-

–
re Beispiele sind in den Abschn. 42.1 „Integrierte Schaltungen“
und 51.8.3 „Programmierbare Logikbausteine“ zu finden.

Abb. 50.4 Grundverknüpfungen

5V

5V

5V

5V

R

R1

R2

R1

R2

A

V1

Q

Q

A

V1

Q

V1

V2

V1

V2

B

V2

Q

A

V3

A

V3

B

V2

B

R

V3

UND

ODER

NICHT

NAND

UA UB UQ

UA UB UQ

UA UQ

UA UB UQ

0V 0V 0,7V

0V 0V 0,7V

0V 5,0V

0V 0V 5,0V

0V 5V 0,7V

0V 5V 5,0V

5V 0,2V

0V 5V 5,0V

5V 0V 0,7V

5V 0V 5,0V

5V 0V 5,0V

5V 5V 5,0V

5V 5V 5,0V

5V 5V 0,7V

Abb. 50.5 Dioden- und Transistorlogik

Zählrichtung

Betriebsspannung

PIN-Belegung

+5V

1

14

1

14

2

13

2

13

&

&

3

12

3

12

4

IC

11

4

11

5

10

5

7400

10

&

&

6

9

6

9

7

8

7

8

Zählrichtung
von oben gesehen!

Abb. 50.6 Standardbaustein mit NAND-Gattern

50.3

Schaltalgebra

593

Symbole für

Vorrangregel

Verknüpfung mit

Verknüpfungszeichen
einer Konstanten

Q = A

B C

VII

UND

A

B A

B

Q = A

B

(

C)

A

&

Q = A

1

ODER

+

A

B A +B

A

B

&

Q

A

NICHT

A

A

Teil

&

C

&

Q = 0

+

0

XOR

+

A

B A

B

A

>1 Q = 1

Erweiterung

1

=

Q = A A

Q = A A

A

>1 Q =

=

A

A

A

A

A

0

&

Q

A

&

Q

>1

A

>1 Q

A

A

A

Q

=

A

=

Kommutativgesetz

Verknüpfung mit
dem Komplement

A B = B A

A B = B A

A

B

A

>

B

>

A

&

Q

&

Q

1 Q

1 Q

B

A

B

=

A

=

&

Q

A

= 0

A

Assoziativgesetz

>1 Q

A

= 1

=

(A B) C = A (B C)

(A B) C = A (B C)

A

A

&

>

B

&

1

Q

B

=

>

= 1 Q

Doppelnegation

C

A

C

A

B

&

Q

B

>1 Q

=

A = A

A

C

A

C

B

&

Q

B

>

>

= 1 Q

A

&

1

A

=

1

1

A

C

C

Distributivgesetz

Abgeleitete Regeln

A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

A (A B)= A B

A

A

A (A B)= A

B

>

&

Q

B

>

=

Q

1

1

C

=

&

C

A B

A B = A B

A (A B)= A B

B

B

&

>1

A (A B)= A

=

A

>1 Q

=

A

&

Q

&

>1

C

C

=

De Morgansche Gesetz

A B = A B

A B = A B

A

>

A

>

A

&

A

Q

1 Q

1

Q

=

&

Q

B

B

=

B

B

Abb. 50.7 Regeln und Gesetze der Schaltalgebra

50.3

Schaltalgebra

Vertauschungsgesetz genannt. Danach können die einzelnen

Eingangsvariablen vertauscht werden. So darf beispielsweise
nach Abb. 50.4 bei der UND-Verknüpfung zuerst S1 und dann

50.3.1

Allgemeines

S2 oder umgekehrt geschaltet werden. Die Reihenfolge der

Schalter hat keinen Einfluss auf die Funktion der Gesamtschal-

Die Schaltalgebra ist ein Hilfsmittel zur mathematischen Be-
tung. Dasselbe gilt auch für die Parallelschaltung der Schalter
schreibung logischer Funktionen. Mit ihren Regeln und Geset-
bei der ODER-Verknüpfung.

zen können Gleichungen umgeformt, vereinfacht und so Schal-

Mit dem Assoziativgesetz werden Variable einer UND- oder
tungen optimal realisiert werden (Synthese von Schaltungen).

einer ODER-Verknüpfung zusammengefasst. Weil das Assozia-

Für die Verknüpfungszeichen von Variablen existieren unter-
tivgesetz Variable durch Klammern verbindet, heißt das Gesetz
schiedliche Darstellungen. Die beiden in der Digitaltechnik
auch Verbindungsgesetz. Klammern können hierbei gesetzt oder
häufig angewandten Formen sind in der Übersicht (Abb. 50.7)

fortgelassen werden. Wird für eine Schaltung eine festgelegte
mit aufgeführt.

Anzahl von Eingängen benötigt, lässt sich die Aufgabe mit die-

In der Schaltalgebra muss eine bestimmte Rangfolge der
sem Gesetz lösen.

Operationen eingehalten werden. Sie besagt, dass NICHT-

Das Distributiv- oder Verteilungsgesetz ist aus der Algebra be-

Verknüpfungen vor UND- und ODER-Verknüpfungen durchzu-
kannt. Hiermit kann eine gemeinsame Variable ausgeklammert
führen sind (Vorrangregel). Das Kommutativgesetz wird auch
werden.

594

50 Digitaltechnik

Teil

Wertetabelle

Minterme

Maxterme

VII

C

B

A

Q

0

0

0

1

A

B

C

A

B C

A

B

C

0

0

1

1

A

B

C

A

B C

A

B

C

0

1

0

0

A

B

C

A

B

C

A

B C

0

1

1

0

A

B

C

A

B

C

A

B C

1

0

0

1

A

B

C

A

B C

A

B

C

1

0

1

0

A

B

C

A

B

C

A B C

1

1

0

1

A

B

C

A

B C

A

B

C

1

1

1

0

A

B

C

A

B

C

A B C

Gleichungen

Konjunktive Normalform

Q = A

B

C

A

B C

A

B C

A B C

(I-1)

Q = A

B

C

A

B C

A

B C

A B C

(I-2)

Q = Q

(I-3)

Disjunktive Normalform

Q = A

(

B

C)

A

(

B

C)

(A

B C)

A

(

B C)

(I-4)

Abb. 50.8 Disjunktive und konjunktive Normalform

Das De Morgan’sche Gesetz hilft bei der Umsetzung der

A

B

C

A

B

C

A

B

C

A

B

C

Grundfunktionen in NOR- und NAND-Technik. Eine NAND-

Verknüpfung der Variablen A und B kann durch Negierung die-

&

&

&

&
ser Variablen in eine ODER-Verknüpfung umgewandelt werden,
und bei einer NOR-Verknüpfung ist durch Negieren der Varia-
blen ein Ersatz durch UND möglich (siehe auch Abb. 50.11).

Da alle Grundfunktionen durch NAND oder NOR nachgebildet

Q
werden können (Abb. 50.12), lässt sich die Lagerhaltung durch
den Einsatz dieser Techniken verkleinern.

Abb. 50.9 Umsetzung einer Gleichung in eine Schaltung

Im Abb. 50.7 sind die Verknüpfungen mit einer Konstanten und
wichtige abgeleitete Regeln zusammengefasst. Sind beispiels-
nennt man Minterme. Von Interesse ist, wann die Funktion „1“
weise Doppelnegierungen bei einer Variablen vorhanden, so
ist. Sie soll nach der Wertetabelle den Wert „1“ erhalten in der
heben sich diese praktisch auf. Eine Erweiterung mit einer ein-

Zeile 0, ODER in Zeile 1, ODER in Zeile 4, ODER in Zeile
mal vorhandenen Variablen darf immer durchgeführt werden,

6. Damit lässt sich (I-1) für Q aufstellen. Man spricht von der
weil hiermit das Resultat nicht beeinflusst wird.

disjunktiven (ODER-) Normalform (DNF). Sind in einer Wer-

Vom Absorptionsgesetz spricht man, wenn eine der Varia-
tetabelle die Anzahl der „0“-Funktionen für Q geringer, ist es
blen keine Auswirkung auf das Ergebnis hat. Bei der Analy-
günstiger, die Gleichung für /Q aufzustellen und anschließend
se logischer Schaltungen können mit Hilfe der Schaltalgebra
das Ergebnis zu invertieren.

Schaltfunktionen in die entsprechende Wertetabelle umgesetzt
werden. Erfolgt die Programmierung in der SPS mit nicht gra-

50.3.2.2

Konjunktive Normalform
fikfähigen Programmiergeräten, sind ebenfalls Kenntnisse der

Schaltalgebra zur richtigen Programmierung notwendig.

Die konjunktive (UND-) Normalform (KNF) erhält man, wenn
die Maxterme, also alle ODER-Verknüpfungen, die Q D „0“ er-
geben, UND-verknüpft werden (I-4). Jede Schaltung lässt sich
durch eine Gleichung in disjunktiver oder konjunktiver Normal-

50.3.2

Normalform einer binären Funktion
form beschreiben.

50.3.2.1

Disjunktive Normalform

50.3.2.3

Umwandeln der Gleichung in Schaltzeichen

Geht man von der Wertetabelle in Abb. 50.8 aus, kann für jede

Gleichungen lassen sich in die genormte Darstellung umwan-

Zeile dieser Tabelle ein Funktionsterm geschrieben werden. Für
deln, indem die entsprechenden Schaltzeichen der Verknüp-

Zeile 1 zum Beispiel: /A /B /C (sprich: A nicht UND B nicht
fungen gezeichnet werden, wie das beispielhaft für (I-1) im

UND C nicht). Die so durch UND verknüpften Funktionsterme

Abb. 50.9 gezeigt wird.

50.3

Schaltalgebra

595
nach (I-1)

nach (I-4)

C B A

C B A

VII

&

Teil

&

Q

&

Q

&

&

Abb. 50.10 Schaltungen aus (I-1) und (I-4)

Q = A

B

C

A

B C

A

B C

A B C

C B A

1

Q =

A B C

A BC

AB C

AB C

&

Q = A B

( C

C )

AC

(B

B )

1

Q

Q = A B

1

AC

1

&

Q = A B

AC

1

Abb. 50.11 Schaltungsminimierung

Grundfunktion

Ersatz durch NAND

Ersatz durch NOR

A

&

Q

&

A

&

Q

B

&

A

Q

&

&

B

&

A

&

Q

&

&

B

&

A

&

Q

&

B

&

Abb. 50.12 Ersatz der Grundfunktionen durch NAND- und NOR-Technik

Oft sind keine negierten Eingänge wie /A, /B, /C vorhanden.

50.3.2.4

Schaltungsminimierung mit Hilfe der

Dann heißen die Eingänge A, B und C, und die notwendige In-

Schaltalgebra
vertierung wird durch ein NICHT-Gatter realisiert. Abb. 50.10
verdeutlicht dies an der Umsetzung von (I-1) und (I-4), wobei

Mit Hilfe der Schaltalgebra lassen sich die Gleichungen ver-
die Eingangsinverter durch die Invertierungszeichen dargestellt
einfachen und in eine digitale Schaltung umsetzen. Abb. 50.11
sind.

zeigt die Vereinfachung von (I-1).

596

50 Digitaltechnik

Teil

C B A

50.3.2.5

Umsetzung in NAND- oder NOR-Technik

3 x NICHT

2 x UND

1 x ODER

Jede Grundfunktion lässt sich nach Abb. 50.12 durch NAND-

VII

&
oder NOR-Funktionen ersetzen.

&

&

&

Besteht nun der Wunsch, die Schaltung nach (I-4) nur aus

&

&

Q

NAND- oder NOR-Bausteinen aufzubauen, werden die Baustei-
ne entsprechend eingesetzt, und man erhält eine funktionsfähige

&

&

&

Schaltung. Treten hierbei Doppelnegierungen auf, dürfen Gatter

&
entfallen, wie dies im Abb. 50.13 am Beispiel der Umsetzung in

NAND- und NOR-Technik gezeigt wird.

Die Gesamtschaltung benötigt dann eine geringere Anzahl an

C B A

Gattern.

3 x NICHT

2 x UND

1 x ODER

Das umständliche Verfahren, andere Grundfunktionen so durch

NAND zu ersetzen, kann umgangen werden, wenn die Aus-
gangsgleichung sofort nach de Morgan umgewandelt wird.

Hierbei wird bei Änderung des Verknüpfungszeichens (aus

Q

UND wird ODER und umgekehrt) eine Negierung über beide

Variable aufgetrennt.

Abb. 50.14 weist dies in Form einer Tabelle nach. Die eigent-
liche Umwandlung kann ganz formal erfolgen (Abb. 50.15).

Gleichung (I-5) wird zweimal negiert. Dadurch ändert sich die

Abb. 50.13 Umsetzung einer Schaltung in NAND- und NOR-Technik

Gleichung nicht. Nun wird, unter Ersatz des ODER-Zeichens
durch das UND-Zeichen, die untere Invertierung überall dort,
wo sich das ODER-Zeichen befindet, unterbrochen. Jede Inver-

Mit dem Distributivgesetz erhält man eine ODER-Verknüpfung
tierung wird dann zu einem NAND erweitert.

mit dem Komplement der Variablen. Da dies „1“ ergibt, kann
die entsprechende Variable aufgrund der UND-Verknüpfung mit

Der Vorteil in diesem Verfahren liegt darin, dass man in (I-6)

dieser Konstante entfallen. Das Ergebnis bildet die Gleichung
schon die Schaltung „sehen“ kann.

(I-5). Zur besseren Übersicht werden bei den Gleichungen die

Tritt die Forderung nach NAND mit nur zwei Eingängen auf,

UND-Zeichen fortgelassen.

werden die entsprechenden Doppelnegierungen in eine Glei-

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A B

A

B

A

B

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

0

0

1

Abb. 50.14 Umwandlung nach de Morgan

Q

&

Q = A B

A C

(I-5)

&

&

Q = A B

A C

&

&

&

A

B

A

C

A

A

Q = A B

A C

(I-6)

B

C

Abb. 50.15 Umsetzung nach NAND

50.3

Schaltalgebra

597

A B C D

A B C D

A B C D

(I-7)

chung eingefügt. Die Umsetzung von (I-7) in NAND-Technik
zur NAND-Form (I-8) und der Ergebnisbildung (I-9) werden im

Abb. 50.16 verdeutlicht.

VII

A B C D

A B C D

A B C D

(I-8)

Eine aus dieser Gleichung erstellte Schaltung ist recht auf-
wendig. Sie kann rationeller hergestellt werden, wenn vorhan-

Teil

A B C D

A B C D

A B C D
dene Verknüpfungen mehrmals genutzt werden, wie das in

(I-9)

Abb. 50.17 aus der Entwicklung von (I-7) dargestellt ist. Man

Abb. 50.16 NAND-Umwandlung für zwei Eingänge
spricht dann von einer Vermaschung.

A B C D

&

&

&

&

&

&

&

&

&

Q

&

&

&

&

&

&

&

&

&

Abb. 50.17 Vermaschung

Wertetabelle

Aufteilung der Variablen

Zeile

B

A

A

A

A

A

0

0

0

B

B

1

0

1

2

1

0

B

B

3

1

1

Zuordnung der Zeilen

Zeile

B

A

A

A

A

A

0

0

0

A

B

B A B A B

B

3

2

1

0

1

A

B

2

1

0

A

B

B A B A B

B

1

0

3

1

1

A

B

Vereinfachung

Zeile

B

A

Q

A

A

A

A

0

0

0

1

B

1

Q = A

B

B

1

1

0

1

0

2

1

0

1

B

1

Q = A

B

B

1

3

1

1

0

Q =

A

B

A

B = A

Q = A

Abb. 50.18 Entwicklung der KV-Tabelle

598

50 Digitaltechnik

Teil
für 2 Variable

Wertetabelle

VII

A

Zeile

B A

A

A

B

1

0

0

0 0

B 3

2

1

1

0 1

2

1 0

B 1

0

0

3

1 1
für 3 Variable

A

Zeile

C B A

A

A

BC

1

0

0

0 0 0

3

2

C

1 1

1

0 0 1

B

2

0 1 0

7

6

1 0

3

0 1 1

C

4

1 0 0

5

4

0 0

5

1 0 1

B

6

1 1 0

1

0

C

0 1

7

1 1 1
für 4 Variable

BA

Zeile D C B A

A

A

DC

1 1 1 0 0 0 0 1

0

0 0 0 0

3

7

6

2

D

1 1

1

0 0 0 1

B

2

0 0 1 0

11 15

14

10

1 0

3

0 0 1 1

D

4

0 1 0 0

9

13 12

8

0 0

5

0 1 0 1

B

6

0 1 1 0

1

5

4

0

D

0 1

7

0 1 1 1

8

1 0 0 0

C

C

C

9

1 0 0 1

10

1 0 1 0

11

1 0 1 1

12

1 1 0 0

13

1 1 0 1

14

1 1 1 0

15

1 1 1 1
für 5 Variable

CBA

A

A

ED 111 110 100 101 001 000 010 011

11

D

B

10

D

00

B

D

01

C

C

C

C

C

E

E

E

Abb. 50.19 KV-Diagramme für 2 bis 5 Variable

50.3.2.6

KV-Tabelle
nach einer Vereinfachung nur eine Variable das Ergebnis bildet.

Damit sind Vereinfachungen durch Schleifenbildung möglich.

Das von Karnaugh und Veitch entwickelte Verfahren ist prak-

Abb. 50.19 zeigt verschiedene Darstellungen von KV-Tafeln für
tisch eine besondere Art, eine Wertetabelle zu schreiben. Jedem

2 bis 5 Variable.

Kästchen des Diagramms ist eine Zeile der Wertetabelle zuge-
ordnet. Damit ergibt sich die Anzahl der Felder aus der Zahl

Verknüpft, d. h. zu Schleifen zusammengefasst, werden dür-
der Eingangskombinationen. Die Anordnung erfolgt so, dass
fen immer nur 2; 4; 8; : : : also 2 n Variable in senkrecht oder
sich jeweils von Feld zu Feld nur eine Variable ändern darf
waagerecht nebeneinander liegenden benachbarten Feldern. Die

(Abb. 50.18).

Randfelder gelten ebenfalls als benachbart.

Im Bild sind die entsprechenden Felder schraffiert und die Zu-

Abb. 50.20 zeigt hierzu Beispiele mit den sich hieraus erge-
ordnung der Zeilen zu den Feldern gekennzeichnet. Vergleicht
benden Gleichungen. Alle Schleifen sind durch UND verbun-
man zwei benachbarte Felder und verknüpfen die dafür stehen-
den. Für die Ergebnisbildung muss jede dieser Schleifen durch
den konjunktiven (UND-) Verknüpfungen disjunktiv (ODER),

ODER verknüpft werden. Eine teilweise gegenseitige Überde-
wie in der Gleichung dargestellt, dann lässt sich erkennen, dass
ckung der Schleifen ist hierbei zulässig. Es sollten möglichst

50.3

Schaltalgebra

599

A

A

A

A

A

A

A

A

1

C

1

C

C

VII

B

B

B

B

1

1

1

Teil

C

C

C

1

1

1

Q2 = AB

B

B

B

B

C

1

C

1

1

C

Q1 = BC

Q = AB

Q = C

Q = AC

Q = BC

AB

A

A

A

A

A

A

1

1

D

1

1

D

1

1

1

D

B

B

B
x
x
x
x

D

D

D
x
x
x

B

B

B

1

1

1

1

D

1

1

D

1

1

D

C

C

C

C

C

C

C

C

C

Q1= CD

Q2 = BD

Q1= A

Q2 = BC

Q = CD BD

Q = CD

Q = A

BC

Abb. 50.20 Beispiele für Schleifenbildung

Schaltung

Gleichungen

C

B

A

Q0 = A

Q =Q4 Q3

Q2

1

Q4 = AB

&

Q =AB AC

BC

Q =AB AC

BC

Q3 = AC

&

=

Q

Q1= BC

Q2 = BC

&

1

Tabelle:

C B A

Q0 = A

Q1= BC Q2 = BC Q3 = AC

Q4 = AB Q = Q2 Q3 Q4

0 0 0

1

1

0

0

0

0

0 0 1

0

1

0

0

0

0

0 1 0

1

1

0

0

1

1

0 1 1

0

1

0

0

0

0

1 0 0

1

1

0

1

0

1

1 0 1

0

1

0

0

0

0

1 1 0

1

0

1

1

1

1

1 1 1

0

0

1

0

0

1

Nachweis:

C B A

Q

Q = ABC

ABC

ABC

ABC

0 0 0

0

0 0 1

0

0 1 0

1

0 1 1

0

Q =

1 0 0

1

AB

AC

BC

1 0 1

0

1 1 0

1

1 1 1

1

Abb. 50.21 Analyse einer Schaltung

600

50 Digitaltechnik

Teil

Technologieschema

VII

T1

Anlage

T2

Schaltung

Meldung M

T3

Wertetabelle

Gleichung

T3 T2 T1 M

M =

T1 T2 T3

T1 T2 T3

T1 T2 T3

T1 T2 T3

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

M = T1 T2

T1 T3

T2 T3

Schaltung aus der Gleichung

Umwandlung nach NAND

T3 T2 T1

M =

T1 T2

T1 T3

T2 T3

&

&

> 1

=

M

M =

T1 T2

T1 T3

T2 T3

&

Zuordnung der PIN-Belegung

T3 T2 T1

IC 1

IC 2

1

3

4

2 &

5 &

6 M

4

6

5 &

12

1

&

11

3

9

&

2

10 &

8

13

IC = 7400

Abb. 50.22 Synthese einer Schaltung
viele Variable in die Schleifenbildung einbezogen werden, um
jeweiligen Zuständen „1“ beziehungsweise „0“ in eine Tabelle
so den Gesamtausdruck der Gleichung zu verkleinern. Damit
eingeordnet. Der Ausgang Q D Q2 _ Q3 _ Q4 beinhaltet dann
reduzieren sich die benötigten Bauelemente einer Schaltung
die eigentliche Lösung. Es kann eine Überprüfung der gefunde-
unter Umständen erheblich. Können bestimmte Eingangskom-
nen Gleichung vorgenommen werden, wenn die Lösungsglei-
binationen nicht auftreten, dann darf dies in der KV-Tafel
chung mit den Regeln der Schaltalgebra vereinfacht wird.

gekennzeichnet werden (z. B. durch ein x). Für eine optimale

Lösung werden diese Felder mit in die Schleifenbildung einbe-
zogen.

50.3.2.8

Synthese logischer Schaltungen

Soll eine Schaltung entworfen werden, spricht man von der Syn-

50.3.2.7

Analyse logischer Schaltungen
these einer Schaltung. Das meist in verbaler Form vorliegende

Problem wird skizziert, und Variable und Ausgänge werden ent-

Soll eine Übersicht über alle möglichen Ausgangszustände in
sprechend zugeordnet. Über eine Wertetabelle werden bei allen

Abhängigkeit der jeweiligen Eingänge erstellt werden, ist die
möglichen Eingangskombinationen die gewünschten oder ge-

Wertetabelle eine geeignete Darstellungsform. Wird sie aus ei-
forderten Ausgangskombinationen beschrieben. Anschließend
ner Schaltung ermittelt, spricht man von der Analyse einer
erfolgt die Umsetzung der Wertetabelle in eine Gleichung, die
digitalen Schaltung.

dann gegebenenfalls vereinfacht wird. Über diese Gleichung

Abb. 50.21 zeigt beispielhaft einen Lösungsweg auf. An die
wird die Schaltung gezeichnet. Anschließend wählt man die ent-

Ausgänge der Gatter werden die entsprechenden Verknüp-
sprechenden Standardbausteine zur Realisierung der Schaltung
fungsgleichungen (hier Q0 bis Q4) geschrieben und mit ihren
aus.

50.3

Schaltalgebra

601

Wertetabelle

Q0

Q1

A

A

Dual

Gray

1

1

1

1

VII

B

B

D C B A

Q3 Q2 Q1 Q0

1

1

1

1

D

D

Teil

0 0 0 0

0

0

0

0

1

1

1

1

0 0 0 1

0

0

0

1

0 0 1 0

0

0

1

1

1

1

1

1

0 0 1 1

0

0

1

0

0 1 0 0

0

1

1

0

C

C

0 1 0 1

0

1

1

1

0 1 1 0

0

1

0

1

Q2

Q3

0 1 1 1

0

1

0

0

A

A

1 0 0 0

1

1

0

0

1

1

1 0 0 1

1

1

0

1

B

B

1 0 1 0

1

1

1

1

1 0 1 1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1 1 0 0

1

0

1

0

D

D

1

1

1

1

1

1

1 1 0 1

1

0

1

1

1 1 1 0

1

0

0

1

1 1 1 1

1

0

0

0

1

1

C

C

Gleichung 1

Schaltung 1

Gleichung 2

Schaltung 2

D C B A

Q0 = A B

D C B A

Q0 = AB AB

Q1 = BC BC

Q1 = B C

Q2 = CD CD

&

Q2 = C D

=1

Q0

Q3 = D

1

Q3 = D

> 1

=

Q0

=1

Q1

1

=1

Q2

&

Q3

&

> 1

=

Q1

1

&

&

1

> 1

=

Q2

&

Q3

Abb. 50.23 Synthese einer Schaltung

Beispiel 1

Beispiel 2

Eine Anlage soll von drei Temperatursensoren überwacht

Konzeption eines Dual-Gray-Codierers. Ziel der Schal-
werden. Überschreitet die Temperatur einen vorgegebe-
tung ist es, eine anliegende 4-Bit-Dualzahl in den Grayco-
nen Wert, soll eine Meldung durch eine Anzeige erfolgen.

de umzuwandeln. Die Schaltung besitzt jeweils 4 Ein- und

Dies ist immer dann der Fall, wenn mindestens zwei der

Ausgänge. Zur Lösung der Aufgabe empfiehlt es sich, zu-

Sensoren „1“ melden. Die Schaltung soll mit dem Stan-
nächst wieder die Wertetabelle aufzustellen (Abb. 50.23).

dardbaustein 7400 realisiert werden. Abb. 50.22 zeigt das

J

Technologieschema, die Wertetabelle und eine mögliche

Lösung.

J

602

50 Digitaltechnik

Teil

50.4

Zahlensysteme in der Digital-

50.4.1

Dualsystem Synthese

VII
und Datenverarbeitung

50.4.1.1

Bildung der Dualzahlen und Umwandlung
in Dezimalzahlen

Zahlen in der Digitaltechnik werden in binärer Form dargestellt.

Im Dualsystem (Zweiersystem) werden nur die Ziffern „0“ und

In der Datenverarbeitung sind das Dualsystem und das Hexa-

„1“ verwendet. Die Dualzahlen werden vom Prinzip her wie die
dezimalsystem von Bedeutung. Jedes Zahlensystem besteht aus

Dezimalzahlen gebildet. Der Wert der Dualzahl ist die Summe
einer Anzahl von Ziffern zu einer Basis. Der Exponent bestimmt
der Produkte von Ziffer und Stellenwert. An zwei Beispielen
den Stellenwert, also die Wertigkeit der Ziffer. Die Ziffern selbst
wird dies durch Umwandlung einer Dual- in eine Dezimalzahl
sind die Faktoren der Stellenwerte. Beim Dualsystem liegt die
verdeutlicht (Abb. 50.25).

Basis 2 mit den Zeichen „0“ und „1“ und beim Hexadezimal-
system die Basis 16 mit den Zeichen „0“ bis „F“ zugrunde. Das

50.4.1.2

Umwandlung dezimal nach dual

Dezimalsystem mit der Basis 10 besitzt einen Ziffernvorrat von

„0“ bis „9“, also 10 Zeichen oder Ziffern. Abb. 50.24 zeigt die

Die Dualzahl aus der Dezimalzahl erhält man, indem die De-
drei Zahlensysteme im Vergleich.

zimalzahl jeweils durch zwei dividiert wird. Treten Restbeträge

Dezimalsystem

Dualsystem

Hexadezimalystem

101 100

23 22 21 20

161 160

Basis

Ziffer nvorrat

0

0

0

1

1

1

2

1

0

2

3

1

1

3

4

1

0

0

4

5

1

0

1

5

6

1

1

0

6

7

1

1

1

7

8

1

0

0

0

8

9

1

0

0

1

9

1

0

1

0

1

0

A

1

1

1

0

1

1

B

1

2

1

1

0

0

C

1

3

1

1

0

1

D

1

4

1

1

1

0

E

1

5

1

1

1

1

F

1

6

0

0

0

0

1

0

1

7

0

0

0

1

1

1

1

8

0

0

1

0

1

2

1

9

0

0

1

1

1

3

2

0

0

1

0

0

1

4

Abb. 50.24 Zahlensysteme

4

3

2

1

0

–1

–2

–3

–4

2

2

2

2

2

0

2

2

2

2

Beispiel 1

Beispiel 2

1 0 1 0 1 0 1 0 (2)

1 0 1 0 ,1 0 1 (2)

0

–3

0*2

=

0 (10)

1*2

=

0,125 (10)

1

–2

1*2

=

2 (10)

0*2

=

0

(10)

2

–1

0*2

=

0 (10)

1*2

=

0,5

(10)

3

0

1*2

=

8 (10)

0*2

=

0

(10)

4

1

0*2

=

0 (10)

1*2

=

2

(10)

5

2

1*2

=

32 (10)

0*2

=

0

(10)

6

3

0*2

=

0 (10)

1*2

=

8

(10)

7

1*2

=

128 (10)

10,625 (10)

170 (10)

Abb. 50.25 Umwandlung von Dual- in Dezimalzahlen

50.4

Zahlensysteme in der Digital- und Datenverarbeitung

603

135 (10)

0,62

1

5 (10)

135 :

2 = 67 Rest

1

10 : 2 = 5 Rest

0

67 :

2 = 33 Rest

1

5 : 2 = 2 Rest

1

VII

33 :

2 = 16 Rest

1

2 : 2 = 1 Rest

0

16 :

2 =

8

Rest

0

1 : 2 = 0 Rest

1

Teil

8 :

2 =

4

Rest

0

4 :

2 =

2

Rest

0

1 0 1 0, 1 0 1

2 :

2 =

1

Rest

0

1 :

2 =

0

Rest

1

1,25

:

2

0,625*2 =

0,25 *2 =

0,5

1 0 0 0 0 1 1 1 (2)

0,5

*2 =

1

Abb. 50.26 Umwandlung von Dezimal- in Dualzahlen

1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1

(2)

Dividend im Divisor enthalten ist. Dies geschieht wie bei dem

F

0

A

5

Dezimalsystem durch Subtraktion.

F 0 A 5

(16) 0

5 * 16 =

5

1

10* 16 =

160

2

0 * 16 =

0

3

50.4.4

Zahlen in Rechenanlagen

15* 16 = 61440

61605(10)

50.4.4.1

Darstellung von Zahlen

Abb. 50.27 Bildung und Umwandlung von Hexadezimalzahlen

In Rechenanlagen unterscheidet man die Darstellung als Fest-
punkt- oder Gleitpunktzahl. Bei den Festpunktzahlen erfolgt
auf, wird dies durch „1“, sonst durch „0“ gekennzeichnet. Die
die Kennzeichnung einer positiven Zahl mit dem MSB D „0“

Folge der sich ergebenden 0- und 1-Werte entspricht dann der

(MSB D Most Significant Bit D Höchstwertigstes Bit), und die

Dualzahl. Man sucht also die in der Dezimalzahl enthaltenen
negative Zahl besitzt „1“ als MSB (Abb. 50.29). Da die negati-

Zweierpotenzen. Zahlen hinter dem Komma werden mit 2 mul-
ve Zahl im Zweierkomplement dargestellt ist, setzt dies voraus,
tipliziert und das Vorkommaergebnis jeweils hinter das Komma
dass eine bestimmte Wortbreite n festliegt. Damit ist auch der

D
der Dualzahl übertragen (Abb. 50.26).

Zahlenbereich bei nur positiven Zahlen ( Z) mit Z min

0 und

Z

D
max

2 n und bei positiver und negativer Zahlendarstellung
mit Z

D

D
min

2. n1/ und Z max

2. n1/ 1 begrenzt. Das Bei-

50.4.2

Hexadezimalsystem
spiel führt bei unterschiedlichen Wortbreiten die kleinste und
größte darstellbare Zahl auf und zeigt in Form einer Tabelle und
am Zahlenkreis die Zahlen 8 bis C7 bei einer Wortbreite von

Für die Darstellung der dezimalen Zahlen 10 bis 15 werden im
n D 4.

Hexadezimalsystem die zusätzlichen Zeichen A, B, C, D, E und

F verwendet. Bei großen Zahlenwerten benötigen Dualzahlen

Bei der Gleitpunktzahlendarstellung ist das MSB wie bei den
sehr viele Ziffern. Sie werden unübersichtlich lang und damit

Festpunktzahlen dem Vorzeichen vorbehalten, es folgen Binär-
unhandlich. Man verwendet daher Hexadezimalzahlen, die sich
stellen für den Exponent und für die Mantisse. Der darstellbare
auf einfache Weise aus Dualzahlen bilden lassen. Jeder Tetra-

Zahlenbereich hängt vom Exponenten ab. Häufig werden Dop-
de wird eine Hexadezimalzahl zugeordnet. Die Umwandlung
pelworte, wie z. B. zwei 16-Bit-Worte benutzt. Abb. 50.30
einer Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl und umgekehrt er-
beschreibt das Format dualer Gleitpunktzahlen auch anhand ei-
folgt vom Prinzip her wie die Umwandlung beim Dualsystem.

nes Beispiels.

Abb. 50.27 führt ein Beispiel auf.

50.4.4.2

Einer- und Zweierkomplement

50.4.3

Rechnen mit Dualzahlen

Das Zweierkomplement ZK einer Zahl Z ist deren Ergänzung zur
nächsthöheren Wertigkeit Bn, wobei n die Stellenanzahl und B

Basis des Zahlensystems ist. Dagegen ist das Einerkomplement

Abb. 50.28 zeigt die Grundregeln für zweistellige Dualzahlen

EK die Ergänzung der Zahl Z zur nächsthöheren Wertigkeit
und Beispiele für mehrstellige Dualzahlen, wo die jeweilige

Bn 1. Dies sollen die in Abb. 50.31 aufgeführten Beispiele

Dezimalzahl im Vergleich mit angegeben ist. Bei der Additi-
in Form einer Tabelle an Dezimal- und an Dualzahlen verdeut-
on entsteht bei der Summenbildung 1 C 1 ein Übertrag, der
lichen.

zur nächsthöheren Stelle addiert werden muss. Bei der Sub-
traktion 0 1 muss eine Zahl von der nächsthöheren Stelle

Bei den Dualzahlen erhält man das Einerkomplement der Zahl
geholt (geborgt) werden. Die Multiplikation erfolgt wie bei

Z durch Invertierung aller Stellen der Zahl und das Zweierkom-
den Dezimalzahlen durch Teilproduktbildung mit anschließen-
plement einer Zahl Z durch die Addition des Einerkomplements
der Addition. Bei der Division wird festgestellt, wie oft der
mit „1“.

604

50 Digitaltechnik

Teil

Addition von Dualzahlen

VII

Addition zweier Dualzahlen

Addition mehrstelliger Dualzahlen

A

0

1

0

1

A = 67 =

1 0 0 0 0 1 1

+ B

0

0

1

1

+ B = 33 =

1 0 0 0 0 1

S

0

1

1

+ 1 0

+ 1

Übertrag

S = 100 =

1 1 0 0 1 0 0

Übertrag

Subtraktion von Dualzahlen

Subtraktion zweier Dualzahlen

Subtraktion mehrstelliger Dualzahlen

A

0

1

0

1

A = 67

=

1 0 0 0 0 1 1

– B

0

0

1

1

– B = 33

=

1 0 0 0 0 1

D

0

1

– 1 1

1 0

– 1

Übertrag

D =

=

0 1 0 0 0 1 0

Übertrag

Multiplikation von Dualzahlen

Multiplikation zweier Dualzahlen

Multiplikation mehrstelliger Dualzahlen

A

0

1

0

1

A = 13

1 1 0 1 *

* B

0

0

1

1

0 0 1 1

0 0 0 0

P

0

0

0

1

B = 3

0 0 0 0

1 1 0 1

1 1 0 1

A * B = 39

= 1 0 0 1 1 1

Division von Dualzahlen

Division zweier Dualzahlen

Division mehrstelliger Dualzahlen

A

0

1

0

1

A =44

1 0 1 1 0 0 : 1 0 0 = 1 0 1 1

: B

0

0

1

1

– 1 0 0

B = 4

Q

0

0

0

1

1 1 0

– 1 0 0

1 0 0

– 1 0 0

A : B =11

0 0 0

Abb. 50.28 Rechnen mit Dualzahlen

Beispiel

Beispiele

Dualzahl:

01010101

A D 10 D 00001010

EK:

10101010

EK

10101010

B D 2 D 11111110

C1

A C . B/ D

00001000 D 8

ZK

10101011

J

A D

2 D 00000010

B D 10 D 11110110

A C . B/ D

11111000 D 8

50.4.4.3

Subtraktion mit Hilfe des Komplements

Vorgehensweise des Rechners:

Mit Hilfe des Zweierkomplements lassen sich Subtraktionen

B D 00000010 ! EK D 11111101
durchführen. Der Rechner führt diese Subtraktion praktisch auf

C
eine Addition zurück. Er bildet zunächst das Zweierkomple-

1
ment der zu subtrahierenden Zahl durch Invertieren der Zahl

11111110 D ZK. B/

(EK) und führt anschließend eine Addition mit „1“ durch. Wer-

A D 00001010
den Festpunktzahlen mit beliebigen Vorzeichen addiert, muss

ZK. B/ D 11111110
der Rechner das Ergebnis auf seine Korrektheit überprüfen. Das

Ergebnis ist falsch, wenn die Operanden gleiches Vorzeichen

A C . B/ D 00001000

J
besitzen und das Ergebnis ein davon verschiedenes Vorzeichen.

50.4

Zahlensysteme in der Digital- und Datenverarbeitung

605

Format

Beispiel
n

Zmin

Zmax

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

4

– 8

7

VII

8

– 128

127

0
positive Zahl

Bit

Teil

16

– 32768

32767

1
negative Zahl

Vorzeichen-Bit (MSB)

dual
dezimal

Zahlenkreis

MSB

0100

0011

0101

0 1 1 1

7

3

4

5

0 1 1 0

6

0010

0110

2

6

0 1 0 1

5

0 1 0 0

4

0001

1

7

0111

0 0 1 1

3

0 0 1 0

2

0000

0

– 8

1000

0 0 0 1

1

0 0 0 0

0

1 1 1 1

– 1

1111

– 1

– 7

1001

1 1 1 0

– 2

1 1 0 1

– 3

1110

– 2

– 6

1010

1 1 0 0

– 4

– 3

– 5

1101

– 4

1011

1 0 1 1

– 5

1 0 1 0

– 6

1100

1 0 0 1

– 7

1 0 0 0

– 8

Abb. 50.29 Festpunktzahlen

Format

Exponent

Mantisse

MSB Mantisse

Beispiel:

Festpunktzahl

Gleitpunktzahl

Dualzahl

10,625

0,10625 * 102

1010,101

Mantisse

Exponent

Dualzahl
duale Gleitpunktzahl

1010,101

01010101 * 24

0 0 0

0

0

0

1

0

0

1

0

1 0

1

0

1

. . . 0

Abb. 50.30 Gleitpunktzahlen
n
n

Z

ZK

B
n

B

Z

EK

B – 1

22

78

100

10

2

100

22

77

99

99

635

365

1000

10

3

1000

635

364

999

999

101

011

1000

2

3

1000

101

101

111

111

1010

0110

10000

2

4

10000

1010

1010

1111

1111

Abb. 50.31 Bildung des Komplements

606

50 Digitaltechnik

Teil

50.5

Codes

50.5.3

BCD-Code

VII

Im BCD-Code (BCD D Binary Coded Decimal) wird jede Stel-

50.5.1

Allgemeines
le einer Dezimalzahl durch ein binäres 4-Bit-Muster (Tetrade)

dargestellt. Da man mit vier Stellen sechzehn Kombinationen

Nach DIN 43300 sind Codes eindeutige Zuordnungen von
bilden kann, werden sechs dieser Bit-Kombinationen, die nicht

Zeichen eines Zeichenvorrates zu den Zeichen des anderen Zei-
benötigt werden, Pseudotetraden (Pseudo griech. scheinbar) ge-
chenvorrates. Codierung ist die Zuordnung eines Zeichens aus
nannt. Allgemein werden diese überschüssigen Elemente als
dem Zeichenvorrat X zu einem Zeichen des Zeichenvorrats Y,

Redundanz (siehe auch 1.5.6) bezeichnet. Die einzelnen BCD-
und Decodierung ist die Rückführung des Zeichens aus dem

Codes unterscheiden sich durch die Lage der Pseudotetraden.

Zeichenvorrat Y zum Zeichen des Zeichenvorrats X. Ist die

Beim BCD-Dual-Code sind dies beispielsweise die Codewörter
codierte Information eine Zahl, spricht man von einem nume-

1010 bis 1111 und beim Aikencode die Codewörter von 0101
rischen Code. Sind zusätzlich Buchstaben und Zeichen codiert,
bis 1010. Durch Reihenbildung der jeweiligen Codewörter kön-
ist es ein alphanumerischer Code. Kommt in einem Code die
nen beliebig lange Dezimalzahlen codiert werden.

Wertigkeit der Stellen zum Ausdruck, ist es ein bewerteter (z. B.

BCD) oder gewichteter Code. Ist die Anordnung im Code ohne

50.5.3.1

BCD-Code

Wertigkeit der einzelnen Stelle, spricht man von einem un-
bewertetem oder ungewichtetem Code (z. B. 3-Excess-Code).

Dieser Code wird allgemein BCD-Code oder auch 8-4-2-1-

Ändert sich das vorherige Zeichen zum nachfolgenden immer

Code genannt. Da die Stellenbewertung im Dualsystem ange-
nur um 1 Bit, ist es ein einschrittiger (z. B. Gray-Code), ansons-
geben ist, ist dieser Code ein bewerteter Code.

ten ein mehrschrittiger Code. Die Zuordnungsvorschrift wird in

Codetabellen festgelegt. Abb. 50.32 zeigt eine Übersicht gängi-

Beispiel
ger 4-Bit-Codes (tetradische Codes).

Wertigkeit:

8 4 2 1

Dualzahl:

1 0 0 1 D 1 8 C 0 4 C 0 2 C 1 1

50.5.2

Binär-Code

D 8 C 1 D 9

Treten bei der Addition Pseudotetraden auf, ist eine Kor-

Als Binärcode bezeichnet man Wörter aus Binärzeichen. Die
rektur mit C6 dual nötig.

J

Darstellung erfolgt wie bei den Dualzahlen.

Dual–Code

BCD–Code

3–Excess–Code

Aiken–Code

Gray–Code

8421

8421

2421
ahl
alzahl
alz
alzahl
alzahl
zim
zimalzahl
zim

De

8 4 2 1

De

8 4 2 1

De

Dezim

2 4 2 1

Dezim

0

0 0 0 0

0

0 0 0 0

0

0 0 0 0

0

0 0 0 0

Pseudo–

1

0 0 0 1

1

0 0 0 1

1

0 0 0 1

1

0 0 0 1

2

0 0 1 0

2

0 0 1 0

Tetraden

2

0 0 1 0

2

0 0 1 1

3

0 0 1 1

3

0 0 1 1

0

0 0 1 1

3

0 0 1 1

3

0 0 1 0

4

0 1 0 0

4

0 1 0 0

1

0 1 0 0

4

0 1 0 0

4

0 1 1 0

5

0 1 0 1

5

0 1 0 1

2

0 1 0 1

5

0 1 1 1

6

0 1 1 0

6

0 1 1 0

3

0 1 1 0

6

0 1 0 1

7

0 1 1 1

7

0 1 1 1

4

0 1 1 1

Pseudo–

7

0 1 0 0

8

1 0 0 0

8

1 0 0 0

5

1 0 0 0

Tetraden

8

1 1 0 0

9

1 0 0 1

9

1 0 0 1

6

1 0 0 1

9

1 1 0 1

10

1 0 1 0

7

1 0 1 0

10

1 1 1 1

11

1 0 1 1

8

1 0 1 1

5

1 0 1 1

11

1 1 1 0

12

1 1 0 0

Pseudo–

9

1 1 0 0

6

1 1 0 0

12

1 0 1 0

13

1 1 0 1

Tetraden

7

1 1 0 1

13

1 0 1 1

Pseudo–

14

1 1 1 0

8

1 1 1 0

14

1 0 0 1

Tetraden

15

1 1 1 1

9

1 1 1 1

15

1 0 0 0

Abb. 50.32 Codes

50.5

Codes

607

0

1

1

0

0

0

1

1

1

0

0

0

Beispiel

VII

BCD–7–

BCD–7–

BCD–7–

A D 15 D 0100 1000

Segment–

Segment–

Segment–

B D 17 D 0100 1010

Decoder

Decoder

Decoder

Teil

1000 0010

1101 0011

Korrektur

A C B D 32 D 0110 0101

Bei diesem Code können gerade und ungerade Zahlen
durch die letzte Stelle leicht unterschieden werden und

Abb. 50.33 Ansteuerung mit BCD-Code
eine Komplementbildung ist durch Vertauschen von „0“
und „1“ ebenfalls einfach auszuführen.

J

Beispiel

50.5.3.3

Aiken-Code

A D 15 D 0001 0101

Der Aiken-Code ist ein symmetrischer Code mit der Bewertung

B D 17 D 0001 0111

2421.

0010 1100

Pseudotetrade

0000 0110

Korrektur

Beispiel

A C B D 32 D 0011 0010

BCD-Code

A D 11 D 0001 0001

B D 12 D 0001 0010

Wertigkeit:

2 4 2 1

A C B D 23 D 0010 0011

Dualzahl:

1 1 0 1 D 1 2 C 1 4 C 0 2 C 1 1

D 2 C 4 C 1 D 7

Abb. 50.33 zeigt eine häufige Anwendung des BCD-

Codes, wie dieser Code auch allgemein genannt wird.

Ungerade und gerade Zahlen sind wie beim 3-Excess-

Er steuert dort über einen Decoder 7-Segmentanzeigen

Code durch die letzte Stelle leicht erkennbar. Dieser Code

(Abb. 50.34). Handelsübliche Anzeigen gibt es mit einer
benötigt beim Rechnen keine Korrekturen.

J
gemeinsamen Anode oder einer gemeinsamen Katode.

Bei einem Segment mit einer gemeinsamen Anode leuch-
tet beispielsweise die „0“ auf, wenn die Segmente a, b, c,
d, e und f Spannung erhalten („1“ sind).

J

50.5.4

Gray-Code

50.5.3.2

3-Excess-Code

Der Gray-Code lässt sich für jede Wortbreite realisieren. Er ist
ein unbewerteter oder ungewichteter Code und unterscheidet

Der 3-Excess-Code ist ein nicht bewerteter, symmetrischer Co-
sich von dem vorherigen und nachfolgenden Bitmuster jeweils
de. Seine „Spiegelachse“ liegt zwischen 410 und 510. Beim
nur um ein Bit. Man spricht auch von einem einschrittigen Code.

Rechnen sind Korrekturen notwendig.

Er wird oft zur Umwandlung analoger Größen in eine digitale

BCD–Code

7–Segment–Code

23 22 21 20
g
f
e
d
c
b
a

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1
a
a

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0
b
b

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1
a
a

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1
c
c
f
b
f
g
b

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0
d
d

0

1

0

1

1

1

0

1

1

0

1
e
c
e
c

0

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1
e
e

0

1

1

1

0

0

0

0

1
d
d

1

1
f
f

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1
g
g

Abb. 50.34 7-Segmentanzeigen und Ansteuerung

608

50 Digitaltechnik

Teil

BCD-Code

Gray-Code

Tab. 50.1 Zahlen und Buchstaben im ASCII-Code

0

30

A

41
a

61

VII

1

31

B

42
b

62

2

32

C

43
c

63

3

33

D

44
d

64

4

34

E

45
e

65

5

35

F

46
f

66

6

36

G

47
g

67

0 1 1 1

0 1 0 0

7

37

H

48
h

68

1 0 0 0

1 1 0 0

8

38

I

49
i

69

9

39

J

4A
j

6A

K

4B
k

6B

L

4C
l

6C

M

4D
m

6D

N

4E
n

6E

O

4F
o

6F

P

50
p

70

Q

51
q

71

Fehlabtastung

R

52
r

72

S

53
s

73

Abb. 50.35 Abtastung und Fehljustierung

T

54
t

74

U

55
u

75

Information umgesetzt, wie beispielsweise die Bestimmung ei-

V

56
v

76
ner Position auf einer Wegstrecke. Abb. 50.35 veranschaulicht

W

57
w

77
dies an einem Codelineal, das von Sensoren abgetastet wird.

X

58
x

78

Mögliche Fehljustierungen beschränken bei diesem Code den

Y

59
y

79

Fehler auf ein Bit. Bei Einsatz des Dual-Codes würden sich

Z

5A
z

7A
beim Übergang von der Zahl 3 nach 4 drei Stellen verändern
und bei Fehljustierung der Sensoren einen erheblichen Fehler
erzeugen.

Er ist ein 7-Bit-Code, mit dem man 27 D 128 Zeichen codie-
ren kann. Außer den Ziffern 0 bis 9 und den Buchstaben a bis z
beinhaltet dieser Code Sonder- und Steuerzeichen. Abb. 50.36

50.5.5

Codierung alphanumerischer Zeichen
beschreibt die Möglichkeit der Zeichenzuordnung zu den je-
weiligen Binärzeichen. Benötigt man beispielsweise den Code
für A, dann lässt sich der über die Bitfolge Bit7, Bit6, Bit5

Der ASCII-Code (ASCII D American Standard Code of In-
mit 100 und Bit4, Bit3, Bit2 und Bit1 mit 0001 finden ( A D
formation Interchange D Amerikanischer Standardcode zum

1000001). Die häufig benötigten Zahlen und Buchstaben sind

Datenaustausch) (Abb. 50.36, Tab. 50.2) ist genormt nach DIN
in Hex-Darstellung unter der Tab. 50.1 zusammengefasst. Bei

6603.

Übertragungen wird ein 8. Bit (Parity-Bit D Paritäts-Bit) zur

Fehlererkennung mit übertragen.

0

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

Beispiel

0 0 0 0 NUL DLE

0

@

P
p

0 0 0 1 SOH DC1

1

A

Q
a
q
für die Codierung:

0 0 1 0 STX DC2

"

2

B

R
b
r

0 0 1 1 ETX DC3

#

3

C

S
c
s

0 1 0 0 EOT DC4

$

4

D

T
d
t

R

O

M

0 1 0 1 ENQ NAK

%

5

E

U
e
u

1010010

1001111

1001101

J

0 1 1 0 ACK SYN

&

6

F

V
f
v

0 1 1 1 BEL ETB

7

G

W
g
w

1 0 0 0 BS

CAN

(

8

H

X
h
x

1 0 0 1 HT

EM

)

9

I

Y
i
y

1 0 1 0 LF

SUB

*

:

J

Z
j
z

1 0 1 1 VT

ESC

+

;

K
k

50.5.6

Fehlererkennung und Redundanz

1 1 0 0 FF

FS

<

L
l

1 1 0 1 CR

GS

=

M
m

1 1 1 0 SO

RS

>

N
n

Um einen Fehler bei der Übertragung digitaler Informationen zu

1 1 1 1 SI

US

/

?

O

–
o

DEL
erkennen, müssen außer den eigentlichen Daten weitere Zeichen

Bit 7 6 5 4 3 2 1

ASCII-CODE
übertragen werden. Ein Maß für diese zusätzlichen Zeichen ist

Abb. 50.36 ASCII-Code
die Redundanz (Weitschweifigkeit).

50.5

Codes

609

Tab. 50.2 Bedeutung der Abkürzungen im ASCII-Code

P

D6 D5 D4 D3 D2 D1 D0

NUL

NULL

Null
gerade

0

1

0

1

0

1

0

1

VII

SOH

START OF HEADING

Beginn der Kopfzeile

STX

START OF TEXT

Textbeginn

Paritätsbit

Daten

ETX

END OF TEXT

Textende

Teil
ungerade

1

1

0

1

0

1

0

1

EOT

END OF TRANSMISSION

Übertragungsende

ENQ

ENQUIRE

Anfrage für Übertragung

ACK

ACKNOWLEDGE

Antwort bejahend

Abb. 50.37 Paritätsbit

BEL

BELL

Klingelzeichen

BS

BACK SPACE

Rückschritt

HT

HORIZONTAL TABULATION

Tabellierung (horizontal)

50.5.6.1

Einfache Prüfung auf Parität

VT

VERTICAL TABULATION

Tabellierung (vertikal)

Wird ein Bit der eigentlichen Information zur Fehlererken-

LF

LINE FEED

Zeilenvorsprung
nung zugefügt, spricht man von einem Paritätsbit. Es kann das

FF

FORM FEED

Seitenvorschub

Wort auf eine gerade Anzahl von „1“sen (even parity check)

CR

CARRIAGE RETURN

Wagenrücklauf
oder ungerade Anzahl von „1“sen (odd parity check) ergänzen

SO

SHIFT OUT

Dauerumschaltung

(Abb. 50.37).

SI

SHIFT IN

Rückschaltung

DLE

DATA LINK ESCAPE

Datenumschaltung

Erzeugt werden kann das Paritätsbit (gerade Parität) mit Hil-

DC1...4 DEVICE CONTROL

Steuersignale
fe von EXOR-Verknüpfungen. Abb. 50.38 zeigt eine mögliche

NAK

NEGATIVE ACKNOWLEDGE

Antwort verneinend

Schaltung zu Erzeugung gerader Parität und die Überprüfung ei-

SYN

SYNCHRON

Synchronisation
nes Datenwortes. Soll eine ungerade Parität erzeugt werden, ist

ETB

END OF TRANSMISSION

Übertragungsblockende
ein zusätzlicher Inverter nötig. Eine nicht korrekte Datenüber-

BLOCK
tragung wird durch Paritätsprüfung im Empfänger erkannt. Die

EM

END OF MEDIUM

Aufzeichnungsende
genaue Ortung des Fehlers ist allerdings so nicht möglich.

ESC

ESCAPE

Umschaltung

FS

FILE SEPARATOR

Trennzeichen

50.5.6.2

Kreuzsicherungsprüfung

GS

GROUP SEPARATORS

Gruppentrennzeichen

Eine weitere Möglichkeit, Fehler zu erkennen und eine Kor-

RS

RECORD SEPARATOR

Untergruppenkennzeichen
rektur vorzunehmen, ist die Kreuzsicherungs- oder Kreuzpari-

US

UNIT SEPARATOR

Teilgruppentrennzeichen

DEL

DELETE

Löschen

Erzeugung des Paritätsbit

P

1 1 0 1 0 0 0 1

Beispiel

=1

Wird ein 4-Bit-Wort übertragen, ergeben sich 24 D 16

=1

Kombinationsmöglichkeiten. Daraus folgt, dass mit n Bits

=1

2 n D Z Kombinationen möglich sind. Um beispielswei-

=1
se die Ziffern 0 bis 9 darzustellen, sind nur 10 Zeichen

=1
notwendig. Die gesuchte Anzahl n, die zur Darstellung

=1
dieser Zeichen notwendig ist, lässt sich über den Loga-
rithmus zur Basis 2 (Log. dualis) finden (50.1)).

Überprüfung des Paritätsbit
ld Z D ln Z D ln 10 D 3;3219

(50.1)

ln 2
ln 2

1 1 0 1 0 0 0 1
korrekte Daten

Dies bedeutet, dass 3,32 Bit eigentlich nur notwendig

=1
sind. Da zur Darstellung dieser Zeichen aber 4 Bit benutzt

=1
werden, ist die Redundanz R nach (50.2) 0,68 Bit.

=1

"1" "0"

=1

R D n ld Z D 4 Bit 3;32 D 0;68 Bit

(50.2)

=1

Beim ASCII-Code beträgt demnach die Redundanz mit

=1
n D 8: R D 8 Bit 7 Bit D 1 Bit. Der Dual- und Gray-

Code enthält keine Redundanz, da hier alle Codewörter
fehlerhafte Daten
benutzt werden.

J

Abb. 50.38 Erzeugung und Überprüfung des Paritätsbits

610

50 Digitaltechnik

Teil

Übertragungs–

Tab. 50.3 Daten- und Prüfbits
fehler

Wortbreite

8

16

32

64

VII

Parity-Bit

Datenbits

4

11

26

57

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

Prüfbits

4

5

6

7

Parity-Bit

0

1

1

0

0

1 0

0

1

0

0

Parity-Bit

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0
kc

Parity-Bit

1

1

0

0

0
lo

1

1

0

0

0
sb
von der Informationswortbreite abhängt. Den Zusammenhang

Parity-Bit

1

0

0

1

0

1

0

0

1

0
ng
zwischen Informationswortbreite und Anzahl der Redundanz-

Parity-Bit

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1
agu
bits nennt man auch Hamming-Distanz. In Tab. 50.3 sind für

Parity-Bit
tr

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1
übliche Wortbreiten die Anzahl der Datenbits und Prüfbits an-

Über
gegeben.

Parity-Wort

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

Beispiel

Abb. 50.39 Kreuzparitätsprüfung
zur Bildung des Übertragungswortes (Abb. 50.40): P1
wird aus D3, D2 und D0 gebildet. Für die gerade Parität
tätsprüfung. Hierbei wird ein Datenblock mit Paritätsbits für
steht „0“ und für ungerade Parität „1“. Die Quersumme
die Reihen und mit einem Paritätswort für die Spalten des
der „1“en aus a, b und c ergibt mit dem Prüfbit immer eine

Übertragungsblockes versehen. Im Abb. 50.39 wurde der aus
gerade Parität. Für eine 4-Bit-Information werden 3 Prüf-
sieben 4-Bit-Worten bestehende Datenblock mit zusätzlichen
bits benötigt. Damit wird das Datenwort 7 Bit breit. Nach

Paritätsbits übertragen. Im Empfänger erfolgt anschließend ei-
dem Beispiel werden die Daten mit D2, D4, D5 und D6
ne Prüfung auf Parität. Fehlerhafte Daten werden erkannt, da
ohne Änderung übertragen. Die entsprechenden Prüfbits
die Ortung durch den Kreuzungspunkt (im Bild gekennzeich-

P0(D0), P1(D1) und P2(D3) werden jeweils in Abhän-
net) erfolgt. Durch Invertierung kann eine Korrektur erfolgen.

gigkeit der durch Pfeile gekennzeichneten Daten gebildet:

Mehrfachfehler können auf diese Weise allerdings nicht korri-
a D P0, D0, D2 und D3; b D P1, D0, D1 und D3; c D P2,
giert werden.

D0, D1 und D2 und nach Zusammensetzung des zu über-
tragenden Datenwortes: a D D0, D6, D4 und D2; b D D1,

50.5.6.3

Hamming-Code

D6, D5 und D2; c D D3, D6, D5 und D4.

Mit Hilfe des Hamming-Codes ist es möglich, fehlerhafte Bits

Die Prüfung der Daten erfolgt so, dass ein Prüfbit mit
genau zu bestimmen und danach zu korrigieren. Hierzu wer-
mindestens zwei Datenbits in Verbindung gebracht wird.

den mehrere Prüfbits übertragen, wobei die Anzahl der Prüfbits

Daten

Daten + Redundanz

Daten korrekt

D3 D2 D1 D0 D0 D1 D2 D3 D4 D5 D6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

0

1

0

0

D6 D5 D4 D3

1

D2 D1 D0

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

1

0

0

=1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

=1 0

0

1

1

0

1

1

0

0

1

1

0

=1

0

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

=1

1

0

0

1

0

0

1

1

0

0

1

=1 0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

=1

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

=1

1

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

=1 0

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

0

=1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

P0 P1 D3 P2 D2 D1 D0

Abb. 50.40 Bildung des Übertragungswortes beim Hamming-Code

50.6

Digitale Grundschaltungen

611

Paritätsbit fehlerhaft

Datenbit fehlerhaft

D6 D5 D4 D3 D2 D1 D0

D6 D5 D4 D3 D2 D1 D0

VII

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

Teil

=1

=1

=1 0

=1 1

=1

=1

=1

=1

=1 0

=1 1

=1

=1

=1

=1

=1 1

=1 0

=1

=1

Abb. 50.41 Fehlerermittlung
den (kombinatorische Schaltungen). Schaltwerke sind Schalt-

Je nach 3-Bit-Ausgangswort ist das fehlerhafte Bit, Da-
netze, die ein zusätzliches Speicherverhalten aufweisen kön-
tenbit oder Paritätsbit, erkannt und kann durch Inver-
nen (sequentielle Schaltungen). Die meisten Grundschaltungen
tierung korrigiert werden. Die Prüfung nach der Daten-
brauchen nicht aus einzelnen Gattern aufgebaut werden, son-
übertragung zeigt an, dass alle Daten korrekt übertragen
dern werden von den Herstellern als komplexe digitale Schal-
wurden, weil das Prüfausgangswort 0 0 0
tung für universelle Einsätze angeboten oder können durch

2 ergibt. Bei
fehlerhafter Datenübertragung wird dies durch das Prüf-
zusätzliche äußere Beschaltung den individuellen Wünschen
ausgangswort in der Weise angezeigt, dass es mindestens
angepasst werden. In diesem Zusammenhang spielen program-
zwei „1“sen beinhaltet. Wurde das Paritätsbit selber feh-
mierbare Digitalbausteine wie PAL’s und Gal’s eine immer
lerhaft übertragen, wird dies nur durch eine „1“ mitgeteilt.

größere Rolle. Sie werden in der Automatisierungs-, Mess- und

Da die Bitkombinationen den entsprechenden Daten-

Datentechnik eingesetzt oder sind Teilbausteine größerer hoch-
beziehungsweise Paritätsbits zugeordnet sind, kann der
integrierter Schaltungen.

Fehler erkannt und behoben werden. Abb. 50.41 veran-
schaulicht mögliche Fehlerkombinationen. Im ersten Fall
ist D0 (Paritätsbit) fehlerhaft und im zweiten Fall das Da-
tenbit D6.

J

50.6.2

Schaltnetze

Logische (kombinatorische) Schaltungen, deren Ausgänge ein-
deutig von den Eingangsvariablen bestimmt werden, bezeichnet

50.6

Digitale Grundschaltungen
man als Schaltnetze. In diesen Schaltungen befinden sich keine

Speicherelemente.

50.6.1

Allgemeines

50.6.2.1

Rechennetze

Digitale Schaltungen können nach Schaltnetzen und Schaltwer-

Eine der wesentlichen Rechenschaltungen ist der Addierer, weil
ken unterschieden werden. Schaltnetze sind Schaltungen, deren
die Recheneinheit des Prozessors viele Rechenoperationen auf

Ausgänge eindeutig von den Eingangsvariablen bestimmt wer-

Additionen zurückführt.

Beispiel

Wertetabelle

Schaltung

Schaltzeichen

B

A

CO

B A

X = 0 1 0

Y =

1 1

0

0

0

0

A

P

0

1

1

0

X+Y = 1 0 1

=1

1

0

1

0

1

1

0

1

B

Q

CO

A =

1

B =

1

&

CO

A+B = 1 0

Summe

Übertrag CO

Abb. 50.42 Addition einer Binärstelle und Halbaddierer

612

50 Digitaltechnik

Teil

50.6.2.1.1

Halbaddierer

50.6.2.1.2

Volladdierer

VII

Sollen n-stellige Zahlen addiert werden, wird für jede Binärstel-

Halbaddierer addieren zwei binäre Werte und zeigen die Summe
le ein Addierwerk benötigt. Ein Halbaddierer ist mit seinen zwei
und den Übertrag an (Abb. 50.42).

Eingängen hierzu nicht geeignet, weil eventuelle Überträge der
niederwertigeren Stelle auch verarbeitet werden müssen. Schal-
tungen, die den Eingangsübertrag mit verarbeiten können, nennt

Beispiel

Schaltzeichen
man Volladdierer. Abb. 50.43 zeigt dies beispielhaft.

Ein Volladdierer lässt sich aus Halbaddierern aufbauen, wenn

X = 0 1 0
die Summe A C B eines Halbaddierers einem zweiten Halb-

Y =

1 1

A

P
addierer zugeführt und dort mit dem Übertrag der niederwer-

X+Y = 1 0 1

B

Q
tigen Stelle addiert wird. Der Übertragsausgang muss über ein

Cl

Cl

CO

ODER-Gatter gesondert herausgeführt werden (Abb. 50.44).

1

Übertrag Cl

Der Eingang für den Eingangsübertrag wird mit CI D Carry

A =

1

B =

1

In und der Übertragsausgang mit CO D Carry Out abgekürzt.

A+B = 1 0

Die Realisierung eines Volladdierers kann auch über die Wer-

Summe
tetabelle vorgenommen werden, wie Abb. 50.45 zeigt. Die

Übertrag

Gleichung für den Übertrag lässt sich vereinfachen.

Abb. 50.43 Volladdierer

50.6.2.1.3

Serieller n-Bit-Addierer

Schaltung

Führt man dem Addierer nacheinander taktweise die Zahlen A
und B zu und verarbeitet eventuell auftretende Überträge, die

A

P

P
beim nachfolgenden Takt addiert werden müssen, dann ergibt
sich aus den Einzelsummen die Gesamtsumme nach n-Takten.

B

Q

Q

Das Beispiel Abb. 50.46 zeigt das Prinzip für zwei 4-Bit-Zahlen.

Für die Ein- und Ausgabe werden hier Schieberegister benö-

CI

>1

=

CO
tigt, die taktsynchron gesteuert werden müssen. Im dargestellten

Beispiel steht die Summe nach dem vierten Takt in einem Spei-

Abb. 50.44 Volladdierer aus zwei Halbaddierern
cher zur Verfügung.

Wertetabelle

Schaltung

CI B

A

CO

CI

B

A

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

&

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

&

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

KV-Diagramme

&

A

A

1

1

&

B

B

1

1

1

CI

CI

&

1

1

1

&

CO

CO = AB

BC

AC

&

Abb. 50.45 Volladdierer aus Grundgattern

50.6

Digitale Grundschaltungen

613

Bit

Mindestadditionszeit (Add Time) bezeichnet. Kürzere Rechen-

Bit

3

2

1 0

3 2

1 0

A
zeiten erhält man mit speziellen Rechenbausteinen (Carry Look

P

Ahead). Hier wird der Übertrag durch Verknüpfungsschaltun-

VII

B

Q

Carry
gen „vorausschauend“ direkt aus den Eingangswerten ermittelt.

3 2

1

CI

0

CO

In Abb. 50.48 ist noch einmal die Wertetabelle und die Glei-

Teil
chung für den Übertrag angegeben. Setzt man die Gleichung für

C
beliebige Stellen um, so ergibt sich die Gleichung für ci C 1.

A = 1001

P

1 0 0 1

Diese Gleichung teilt man auf in die Variable gi (Carry Gene-

B = 0101

Q

0 1 0 1

CI

0 0 1 0
rate), die angibt, ob ein Übertrag auftreten wird und pi (Carry

CO

0 0 0 1

Propagate), die in Verbindung mit c0 den Übertrag weiterleiten

1 1 1 0
muss.

Abb. 50.46 Serielle Addition

Das Bild zeigt die Entwicklung einer Stelle und die Gleichun-
gen für einen 4-Bit-Addierer. Mit steigender Stellenzahl erhöht
sich der Schaltungsaufwand erheblich, aber die Zeit bleibt auf

50.6.2.1.4

Paralleler n-Bit-Addierer
zwei Gatterlaufzeiten begrenzt. Als Standardbaustein bietet sich

Look ahead Carry Generator 74182 an.

Da der Aufbau eines parallelen n-Bit-Addierers über die Werte-
tabelle zu aufwendig ist, wird er aus Volladdierern hergestellt.

Für jede zu addierende Bitstelle ist hierbei ein Volladdierer vor-

50.6.2.1.5

Subtrahierer
zusehen. Da bei der niedrigsten Stelle kein Eingangsübertrag

Subtrahierer können mit Hilfe von Volladdierern realisiert wer-
anfällt, würde hier ein Halbaddierer ausreichen. In der Pra-
den, indem der Eingangsübertragsanschluss CI auf „1“ (C U)

xis baut man Addierer nur aus Volladdierern auf und legt den
gelegt wird und der Subtrahend invertiert wird. Diese Vorge-

Eingangsübertragseingang der niederwertigsten Stelle auf „0“
hensweise entspricht der Addition mit dem Zweierkomplement

(Masse). Das Prinzip eines 4-Bit-Volladdierers und ein Stan-

(Abb. 50.49).

dardbaustein sind im Abb. 50.47 dargestellt.

Ändert man die Schaltung nach Abb. 50.50, erhält man ein

Die Rechenzeit der Schaltung ist gegenüber der eines ein-
universelles Additions-Subtraktionsnetz. Die Eingänge S0 bis
zelnen Volladdierers größer, da die Summe bei diesem erst

S4 sind Steuereingänge, mit denen entsprechende Operationen
gebildet werden kann, wenn die Überträge den nachfolgen-
durchgeführt werden können. S0 und S1 dienen zum Durch-
den Stufen zugeführt wurden. Ergibt sich beispielsweise bei
schalten der Zahlen A und B, und mit S2 und S3 kann jeweils
der niederwertigsten Stufe ein Übertrag, wirkt sich dies auf
eine Invertierung vorgenommen werden, um das Einer-Kom-
alle folgenden Stufen aus. Die benötigte Zeit wird auch als
plement zu bilden. Mit S4 wird nach Wunsch zusätzlich „1“

B3

B2

B1

B0

74LS83

A3

A2

A1

A0

10

0

8

CI

CI

CI

CI

3

0

9

1

3

6

11

0

2

CO

CO

CO

CO

7

3

15

4

CO3

CO2

CO1

CO0

16

3

3

2

1

0

13

CI

CO

14

Abb. 50.47 Paralleler 4-Bit-Volladdierer und Standardbaustein
p

A B ci ci + 1
ci + 1 = ABC ABC ABC ABC

A
i

=1

B

&

0 0 0

0

= C(AB AB) AB(C C)

0 0 1

0
ci
g

0 1 0

0

= C(A B) AB
i
c + 1

&
i

0 1 1

1
ci + 1 = ci pi gi

1 0 0

0

1 0 1

1

1 1 0

1

Gleichungen für einen 4-Bit-Addierer

1 1 1

1
c1= g0 p0c0
ci = C
c2= g1 p1c1= g1 p1 (g0 p0c0)=g1 p1g0 p1p0c0
c3= g2
p2c2
c4= g3
p3c3

Abb. 50.48 Carry-Look-Prinzip

614

50 Digitaltechnik

Teil

B B B B

A A A A

50.6.2.2

Komparatoren

3 2 1 0

3 2 1 0

VII

74LS83

50.6.2.2.1

Einfacher Komparator

0

Einfache Komparatoren (Abb. 50.52) prüfen zwei Zahlen A und

0

B auf Gleichheit. Nur wenn beide Eingangsvariablen „0“ oder

3

1

0
beide Eingangsvariablen „1“ sind, wird der Ausgang Q D „1“

1

3

(Wertetabelle). Diese Aufgabe erfüllen die dargestellten Schal-

1

3
tungen.

CI

CO

1

Für n Bit bietet sich eine einfache Erweiterung durch eine Äqui-

+ 5V
valenzschaltung für jede Bitstelle und anschließender UND-

Verknüpfung an, wie das Beispiel für den 4-Bit-Komparator

Abb. 50.49 4-Bit-Subtrahierer
zeigt. Als Standardbaustein bietet sich der 8-Bit-Komparator

74HC688 an.

A0

&

=1

50.6.2.2.2

Komparator mit Größer- und Kleiner-Vergleich

A1

Weitergehende Komparatoren vergleichen zusätzlich nach den

&

=1

0

Gesichtspunkten A < B und A > B. Abb. 50.53 zeigt die ent-

1 P 0
sprechende Wertetabelle für den 1-Bit-Vergleich, die Schaltung

B0

0

1

&

Q

1

=1
und das Schaltzeichen.

CI CO

B1

Ein Komparator für n Bitstellen wird durch Zusammenschalten

&

=1
mehrerer Universalkomparatoren erstellt. Abb. 50.54a–d zeigt
die Entwicklung dieses Komparators auf.

S0 S1

S2 S3

S4

Außer den Eingängen für die Vergleichbits besitzt der Univer-
salkomparator drei zusätzliche Eingänge, um bei einem Ver-

Abb. 50.50 Einfaches Rechenwerk
gleich mehrerer Binärstellen die einzelnen Stufen miteinander
zu verbinden. Der Eingang A D B D „1“ hat die Aufgabe, die

Schaltung so zu aktivieren, dass ein Bitvergleich möglich wird.

addiert, um in Verbindung mit S2 beziehungsweise S3 das

Bei A > B wird mit dem Ausgang A D B die nächstniederwerti-

Zweier-Komplement zu erhalten. Soll die Operation A B
ge Stelle gesperrt und die Meldung A > B über die nachfolgende
durchgeführt werden, muss S0 und S1 auf „1“, S2 auf „1“, S3

ODER-Verknüpfung sofort dem Ausgang gemeldet. Weil der
auf „0“ und S4 auf „1“ liegen.

Vergleich bei der Stelle mit der höchsten Wertigkeit beginnt,
wird die dafür zuständige Stufe nach Abb. 50.55 beschaltet. Die

Eingänge A > B und A < B liegen auf „0“ (Masse) und der

50.6.2.1.6

Addierer für BCD-Dualzahlen

Eingang A D B auf „1“ (C U).

Vom Prinzip lassen sich zwei 4-Bit-Volladdierer zur Additi-

50.6.2.3

Codewandler und Decoder
on zweier BCD-Dualzahlen verwenden (Abb. 50.51). Hierbei
muss nur berücksichtigt werden, dass eine Summe > 910 einen

Übertrag für die nächste Decade anzeigen und eine Ergebniskor-

50.6.2.3.1

Codewandler
rektur erfolgen muss. Die Korrekturschaltung addiert mit Hilfe

Ein Codewandler (Codierer) ordnet einen Code einem anderen
des 2. Addierers zu jeder Summe des 1. Addierers bei Auftreten

Code zu. Er setzt einen Quellcode in einen Zielcode um, er ist
einer Pseudotetrade oder eines Übertrages 62.

praktisch ein „Übersetzer“.

Beispiel

Schaltung

A =

9 =

1001

0

0

0

0

B =

4 =

0100

A

P

P

A+B = 13 =

1101

3

3

3

3

0

0
orrektur

K

+ 0110

B

Q

Q

&

3

3

Übertrag

1 0011 = 3

CI

CO

CI

CO

&

CO

Abb. 50.51 Addierer für BCD-Zahlen

50.6

Digitale Grundschaltungen

615

Einfache Komparatoren

VII

Wertetabelle

Schaltzeichen

Standartbaustein

Teil

B

A

Q0

COMP

COMP

G1

1

0

0

1

P

2

0

0

1

0

P=Q

4

6

1

0

0

Q

8

P

1

1

1

11

13

Schaltung

16

7

17

P=Q

1-Bit-Komparator

4-Bit-Komparator

3

0

5

7

B A

A0

9

Q

12

B0

14

16

7

A1

18

Q

B1

B A

&

Q

A2

B2

&

&

Q

A3

B3

&

Abb. 50.52 Einfache Komparatoren

Wertetabelle

Schaltung

Schaltzeichen

B A

A=B

A<B

A>B

B A

COMP

0 0

1

0

0

P

P<Q

0 1

0

0

1

P=Q

1 0

0

1

0

&

A<B

1 1

1

0

0

Q

P>Q

A=B

A>B

&

Abb. 50.53 1-Bit-Komparator

Beispiel

50.6.2.4

Multiplexer und Demultiplexer

Multiplexer und Demultiplexer sind „elektronische Schalter“,

Um einen Gray/BCD-Codierer zu entwerfen, wird Quell-
die Eingangsinformationen verschiedener Datenleitungen auf
und Zielcode in einer Wertetabelle gegenübergestellt. Für
einen Ausgang (Multiplexer) oder eine Eingangsinformation auf
jede Stelle muss dann ein KV-Diagramm benutzt und
verschiedene Ausgangsdatenleitungen (Demultiplexer) schal-
die Gleichung ermittelt werden. Anschließend ist aus der
ten. Welche Leitungen durchgeschaltet werden, bestimmt die

Gleichung die Schaltung zu zeichnen (Abb. 50.56).

J

Steuerung des „Schalters“ (Abb. 50.58).

Aufgabe dieser Bausteine kann es sein, die parallel anliegenden

Daten eines Sendebausteins über eine Leitung zu übertragen und

50.6.2.3.2

1-aus-n-Decoder
im Empfängerbaustein die Daten wieder parallel anliegen zu
lassen. Dies geschieht mittels Zeitmultiplexverfahren, wobei die

Wie aus der Wertetabelle (Abb. 50.57) hervorgeht, erhält jeweils
entsprechenden Datenleitungen zeitlich nacheinander und syn-
ein zugewiesener Ausgang „1“ in Abhängigkeit einer dualen
chron durchgeschaltet werden.

Eingangsinformation. Q1 schaltet beispielsweise bei der Ein-
gangskombination A D „1“ und B D „0“ auf „1“. Hierbei kann

50.6.2.4.1

Multiplexer
die Schaltung um einen zusätzlichen Freigabeeingang erweitert
werden. Ein Steuersignal kann dann den Baustein aktivieren. Ist

Multiplexer verteilen die Daten D verschiedener Eingänge,
der Freigabeeingang F = „0“, sind auch alle Ausgänge „0“. Mit
die durch Adressen angewählt werden, auf einen Ausgang Q

Decodern lassen sich z. B. verschiedene Speicherbausteine oder

(Abb. 50.59). Soll beispielsweise das Datenbit von D0 zum Aus-

Baugruppen anwählen.

gang Q gelangen, muss A0 mit „0“ und A1 mit „0“ angewählt

616

50 Digitaltechnik

Teil
a
b

A = B

VII

B

B

A

A

&

&

&

&

&

&

&

&

<

A B

=

A B

> B

A =

A < B

A B

>

A B
c
d

=

A B

<

A B

A = B

>

A B

B

B

A

A

&

&

&

&

&

&

&

&

<

A B

=

A B

>

A B

<

A B

=

A B

A > B

Abb. 50.54 Universalkomparator

B3

B2

B1

B0

A3

A2

A1

A0

A>B

A>B

A>B

A>B

A>B

A>B

A>B

A>B

A>B

A=B

A=B

A=B

A=B

A=B

A=B

A=B

A=B

A=B

A<B

A<B

A<B

A<B

A<B

A<B

A<B

A<B

A<B

Abb. 50.55 Komparator für 4 Bit

50.6

Digitale Grundschaltungen

617

Quell-Code

Ziel-Code

Gleichungen

X/Y

Gray

BCD

VII

A

= AD ABC ABCD ABC ABC

BCD

GRAY/BCD

D C B A

D C B A

1

1

0

0 0 0 0

0 0 0 0

B

= BCD CB

BCD

Teil

2

2

1

0 0 0 1

0 0 0 1

2

0 0 1 1

0 0 1 0

4

4

C

= CD

BCD

3

0 0 1 0

0 0 1 1

8

8

4

0 1 1 0

0 1 0 0

D

= D

BCD

5

0 1 1 1

0 1 0 1

6

0 1 0 1

0 1 1 0

7

0 1 0 0

0 1 1 1

8

1 1 0 0

1 0 0 0

9

1 1 0 1

1 0 0 1

KV-Tafeln

Schaltung

A

A

A B C D

1

1

1

1

&

B

B
x
x
x
x
x
x
x
x

D

D
x

1
x
x
x

&

1

1

1

1

&

A

C

C

A

B

BCD

BCD

&

A

A

&

1

1

B

B
x
x
x
x
x
x
x
x

D

D

&
x
x
x

1

1
x

B

1

1

&

C

C

C

D

BCD

BCD

&

C

D

Abb. 50.56 Gray-BCD-Codewandler
werden. Dies wird auch aus der Gleichung deutlich. Die An-
erforderlichen Auswahlleitungen (Adressen) sind abhängig von
zahl der notwendigen Adressleitungen ist von der Anzahl der
der Anzahl der Ausgangs-Datenleitungen.

gewünschten Dateneingänge abhängig.

Nach Abb. 50.60 kann die Schaltung zusätzlich mit einem

Freigabeeingang versehen werden. Bei FE D „1“ gelangt das

50.6.3

Schaltwerke
angewählte Datenbit zum Ausgang Q. Standardbausteine besit-
zen häufig einen 3-state-Ausgang.

Schaltwerke (Sequentielle Logik) sind Schaltnetze mit einem

Ein Anwendungsbeispiel für Multiplexer zeigt das Prinzip des

Speicherverhalten. Die wichtigste Grundschaltung ist das Flip-
gemultiplexten Adress-Datenbusses (Abb. 50.61) auf. Einige
flop (bistabile Kippstufe).

Prozessoren und Controller besitzen, um Anschlussleitungen
einzusparen, so einen Bus. Hierbei werden Adressen und Daten

50.6.3.1

Speicherbausteine
zeitlich nacheinander auf das Bussystem geschaltet. Die Steue-
rung nimmt die CPU vor.

50.6.3.1.1

Allgemeines Flipflop

50.6.2.4.2

Demultiplexer

Unter Flipflops versteht man Schaltungen, deren zwei Aus-
gänge immer komplementäre stabile Zustände aufweisen. Das

Mit Hilfe von Demultiplexern kann eine Eingangsinformation

Ausgangsverhalten selbst wird über zwei Eingänge beeinflusst.

auf verschiedene Ausgänge verteilt werden (Abb. 50.62). Die

Damit ist die Speicherung einer binären Information möglich.

618

50 Digitaltechnik

Teil

B

A

Funktion

B

A

Speicher 1

VII

0

0

Speicher 1 angewählt

Speicher 2

&

0

1

Speicher 2 angewählt

1

0

Speicher 3 angewählt

Speicher 3

1

1

Speicher 4 angewählt

&

CE

Speicher 4

CE

&

CE

&

CE

Decoder

Wertetabelle

Schaltungen

B

A

Q0

Q1

Q2

Q3

B

A

B

A

0

0

1

0

0

0

F

&

Q0

&

Q0

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

1

0

0

0

1

&

Q1

&

Q1

Schaltzeichen

&

Q2

&

Q2

DEC

&

Q3

&

Q3

0

0

0 1

G

2

3
ohne Freigabe-
mit Freigabe-Eingang

1

3

Abb. 50.57 1-aus-4-Decoder und Anwendungsbeispiel

Multiplexer

Demultiplexer
eines Flipflops. Diese Eingangskombination, die diesen

Ausgangszustand hervorruft, ist daher logisch „verboten“,
sie ist irregulär. Sind die Eingangspegel komplementär

(ein Eingang „0“ und der andere „1“ oder umgekehrt),
schaltet das Flipflop. Bei „1“ an beiden Eingängen bleibt

Steuerung
der vorherige Zustand erhalten; man spricht dann vom

Abb. 50.58 Prinzip

Speicherzustand. Oft werden Schalter oder Taster als Ein-
gabe von digitalen Systemen eingesetzt. Hierbei kann es
zu Prellen kommen. Der Kontakt öffnet sich kurzzeitig

Bei den, durch einen Takt gesteuerten Flipflops, wird nach takt-
wieder, und die konkrete Schaltung erkennt mehrere Im-
zustandsgesteuerten und taktflankengesteuerten Flipflops unter-
pulse. Durch Pull-up-Widerstände an den Eingängen ist
schieden. Flipflops lassen sich mit NAND- und NOR-Gattern
die Eingangskombination A D „0“ und B D „0“ nicht
realisieren.

möglich. Sobald der Taster gedrückt ist, wird der Zustand
gespeichert. Abb. 50.64 zeigt das Prinzip des Prellens und

Flipflop aus NAND-Gattern

Abhilfe durch ein Flipflop.

J

Ein NAND erzeugt am Ausgang immer eine „1“, wenn
mindestens ein Eingang mit „0“ belegt ist. Damit ergeben
sich die Ausgangszustände Abb. 50.63a–c.

50.6.3.1.2

RS-Flipflop

Die Wertetabelle fasst alle Schaltzustände zusammen.

Beim RS-Flipflop (R D Reset D Rücksetzen, S D Set D Setzen)

Q1 D „1“ und Q2 D „1“ entspricht nicht der Funktion
folgt der Ausgang Q immer dem Eingang S. Die Eingangs-
zustände S D R D „1“ sind „verboten“, und die Speicherung

50.6

Digitale Grundschaltungen

619

Schaltung

Schaltzeichen

A1 A0

VII

&

&

MUX

Teil

A0

0

0

&

G

&

A1

1

3

D

D0

0

D

&

D1

1

&

D2

2

D3

3

&

&

D0

D1

Gleichung:

D2

D3

A0 A1 D0

A0 A1 D1

A0 A1 D2

A0 A1 D3

Abb. 50.59 Multiplexer

Schaltung

MUX

EN

"1"=Adressen

A1 A0

74LS251

G1

"0"=Daten

MUX

&

A0

&

7

EN

D0

A0

A1

11

0

Adressen

A2

G0

&

10

7

5

D1

A1

&

A3

9

2

6

Q

4

0

D2

A2

&

&

3

1

2

2

D0

D3

A3

&

1

3

D1

&

15

4

Daten

D2
t

D0

14

5

D3

D1

13

6

D2

12

7

Abb. 50.61 Gemultiplexter Adress-Datenbus

D3

FE
nicht auf. Abb. 50.67 zeigt ein D-Flipflop aus NAND-Gattern

Abb. 50.60 Multiplexer mit Freigabeeingang und Standardbaustein
mit der zugehörenden Wertetabelle und dem Schaltzeichen.

Da das Flipflop das Eingangssignal verzögert, spricht man auch
erfolgt bei S D R D „0“. RS-FF’s lassen sich aus NAND- oder
von einem Delay-Flipflop (siehe Impulsdiagramm Abb. 50.68).

NOR-Gattern aufbauen (Abb. 50.65).

Soll der Zustand vom Dateneingang in Abhängigkeit einer

Flanke übernommen werden, spricht man vom einflankenge-
steuerten D-Flipflop. Der Eingangswert kann mit der anstei-

50.6.3.1.3

Flipflops mit dominierenden Eingängen
genden oder abfallenden Flanke des Clock- beziehungsweise

Bei Flipflops mit dominierenden Eingängen (Abb. 50.66) kön-

Taktsignals übernommen werden. Von einem taktzustandsge-
nen aufgrund der Eingangsbeschaltung irreguläre Zustände an
steuertem Flipflop spricht man, wenn die Daten nur bei C D „1“
den Ausgängen nicht auftreten. Das R-Flipflop ist ein RS-FF
oder C D „0“ übernommen werden. D-Flipflops werden für
mit dominierendem R-Eingang, weil ein Rücksetzen immer bei
kurzzeitige Speicheroperationen eingesetzt. Hierbei werden die

R D „1“ erfolgt, unabhängig vom Zustand an S. Das S-Flipflop
an den D-Eingängen anliegenden Informationen mit dem Takt
ist ein RS-FF mit dominierendem Setzeingang. Unabhängig
übernommen. Der Takt bestimmt damit den Zeitpunkt der Da-
vom Zustand am R-Eingang wird das Flipflop bei S D „1“ ge-
tenübernahme (Abb. 50.69).

setzt. Das E-Flipflop speichert bei gleichen Eingangszuständen

R D S immer.

50.6.3.1.5

JK-Flipflop

Erweitert man das RS-FF nach Abb. 50.70 durch zwei UND-

50.6.3.1.4

D-Flipflop

Gatter und entsprechender Rückkopplung, werden unzulässige

Mit dem D-Flipflop (Data Latch) lässt sich eine binäre Informa-

Eingangskombinationen verhindert. Die entgegengesetzten Zu-
tion speichern, solange C D „1“ ist. Irreguläre Zustände treten
stände an den Eingängen J und K werden beim nächsten Takt

620

50 Digitaltechnik

Teil

Schaltung

Schaltzeichen

Gleichungen

VII

A0

A1

&

D0

DX

D0 A0

=

A1 D

A0

0

0

G

D1 A0

=

A1 D

&

D1

A1

1

3

0

D0

D2 A0

=

A1 D

1

D1

&

D2

D3 A0

=

A1 D

D

2

D2

3

D3

D

&

D3

Abb. 50.62 Demultiplexer
a
b
c
d

A

A

A

A

0

Q

0

Q

1

Q

1

Q

&

1

&

1

&

0

&

0

Q

Q

Q

Q

B

&

1

B

&

0

B

&

1

B

&

1

0

1

0

0

1

We etabelle
rt

A

B

Q

Q

Bemerkungen

0

0

1

1
irregulär

0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

0

1

Speiche ng
ru

Abb. 50.63 Funktion eines Flipflops mit NAND-Gattern

+

+

+

Q

&

A

Q

Q

Q

B

Q

&

Q

Q

1

1

0
t

0
t
prellen

A

Speicherung

B

Abb. 50.64 Prinzip des Prellens und entprellter Schalter

Schaltungen

Wertetabelle

Schaltzeichen

S

R

Q

Q

S

&

Q

R

Q

S

Q

&

0

0

1

1

0

1

1

0

1

0

0

1

R

1

1

0

1

Q

Q

&

R

&

S

Abb. 50.65 RS-Flipflop aus NAND- und NOR-Gattern mit Wertetabelle und Schaltzeichen

50.6

Digitale Grundschaltungen

621

R-Flipflop

S-Flipflop

E-Flipflop

S

S

VII

S

Q

&

Q

&

Q

Teil

Q

Q

Q

&

R

&

R

R

S

R

Q

Q

S

R

Q

Q

S

R

Q

Q

S

Q

S1

Q

S1

Q

0

0

Q

Q

0

0

Q

Q

0

0

Q

Q

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1R

1

1

1

0

R

1

1

Q

Q

R1

Abb. 50.66 Flipflop mit dominierenden Eingängen

Schaltung

Wertetabelle

Schaltzeichen

D

&

Q

&

C

D

Q

Q

Q

0

0

Q

Q

1D

0

1

Q

Q

1

0

0

1

Q

C1

C

&

1

1

1

1

&

&

Abb. 50.67 D-Flipflop

Impulszeitdiagramm
übernommen. Ist J D K D „0“, ändert sich der Ausgang nicht,
und bei J D K D „1“ schaltet das Flipflop mit jedem Takt um.

Übernahme der "1"

Hierbei wirkt das Flipflop dann wie ein T-Flipflop.

Übernahme der "0"

D 1

50.6.3.1.6

Master-Slave-JK-Flipflop

0
t

Das Master-Slave-JK-Flipflop (Abb. 50.71) ist ein zweiflanken-

C 1
gesteuertes Flipflop, weil es bei ansteigender oder abfallender

Flanke die Eingangsinformation aufnimmt und speichert und

0
t
mit der zur Eingangsübernahme komplementären Flanke die In-

Q 1
formation zum Ausgang weiter schaltet. Es besteht immer aus
zwei JK-Flipflops, dem Master (Herr) und dem Slave (Diener).

0
t

Das Zeichen an den Ausgängen deutet einen retardierenden
td

Ausgang an. Dies bedeutet nach DIN 40700, dass der Zustands-
wechsel des Flipflops an den Ausgängen erst dann wirksam

Abb. 50.68 Impulsdiagramm
wird, wenn die Eingangsvariable zu ihrem ursprünglichen Wert
zurückgekehrt ist.

taktzustandsgesteuert
taktflankengesteuert

Abb. 50.72 beschreibt die Funktion und zeigt die Auswirkung

Q

Q

Q
der Eingangsbeschaltung auf den Ausgang Q. Das Master-

1D

1D

1D

Slave-Flipflop übernimmt bei der ansteigenden Flanke die Ein-
gangsinformation. Während dieser Zeit ist der Slave gesperrt

C1

C1

C1
und gibt bei abfallender Flanke die Information – hier sperrt das

Master-FF – an den Slave weiter.

Betrachtet man die Auswirkung des Clock-Signals in einer
zeitlichen Reihenfolge, so ergeben sich die dargestellten Zu-
stände im Master-Slave-JK-FF. Jeweils beim Überschreiten der

Abb. 50.69 Taktgesteuerte Flipflops

Schwelle 1 und 2 laufen die dargestellten Reaktionen ab. Mit

622

50 Digitaltechnik

Teil

RS-Flip-Flop

JK-Flip-Flop

VII

S

Q

Q

Q

Q

&

S

1S

&

S

1J

J

C

C1

C

C1

K

&

R

1R

&

R

1K

R

Abb. 50.70 JK-Flipflop

Prinzip

Schaltzeichen

Wertetabelle

J K Q

Q

Q

1J

1J

1J

0 0

Q

0 1

0

C1

C1

C1

1 0

1

1K

1K

1K

1 1

Q

1

Abb. 50.71 Master-Slave-Prinzip

1

C

C

Schwelle 2
t
t

J

J

Schwelle 1
t
t

K

K

0
t

Slave wird gesperrt

Slave öffnet
t
t

Master öffnet

Master sperrt

Q

Q

Abb. 50.72 Zeitverhalten des Master-Slave-JK-Flipflop
t
t
der ansteigenden Flanke wird der Slave gesperrt, und der Mas-

Abb. 50.73 Impulsdiagramm Master-Slave-JK-Flipflop
ter kann die Eingangsinformation übernehmen, um sie mit der
abfallenden Flanke zum Slave zu bringen. Während dieser Zeit
ist der Master gesperrt. Abb. 50.73 verdeutlicht diesen Zusam-
kurzzeitigen Speicherung kleiner Datenmengen wie 8-, 16- oder
menhang mit dem Impulszeitdiagramm, und Abb. 50.74 zeigt

32-Bit-Datenworte dienen, und Schieberegister, die die gespei-
die Anschlussbelegung von drei gängigen Standardbausteinen.

cherte Information jeweils mit einem Takt weitergeben. Mit dem

Taktsignal (C D Clock) werden die Daten in das Register ein-

50.6.3.1.7

T-Flipflop
gegeben, und mit OE (Output Enable) können die gespeicherten

Das T-Flipflop (Trigger-Flipflop, Toggle-Flipflop) ist flanken-

Daten freigegeben werden.

gesteuert und besitzt nur den Takteingang. Es schaltet wie
das JK-Flipflop bei der Eingangskombination J D „1“ und

50.6.3.2.2

Schieberegister

K D „1“ jeweils mit der Taktflanke die Ausgangszustände um

(Abb. 50.75). T-Flipflops werden in Zähler- und Teilerschaltun-

Schieberegister bestehen aus hintereinander geschalteten D-
gen eingesetzt.

Flipflops oder JK-Flipflops mit untereinander verbundenen

Takteingängen. Sie geben die gespeicherte Information jeweils

50.6.3.2

Grundschaltungen aus Speicherbausteinen
mit einem Takt von Flipflop zu Flipflop weiter. Abb. 50.76 zeigt
eine mögliche Schaltung und beschreibt die Funktion mit dem

50.6.3.2.1

Register

Impulszeitdiagramm.

Register sind aus Speicherbausteinen zusammengesetzte Ein-

Zur Verdeutlichung sind die Pegel-Ausgänge Q0 bis Q3 geson-
heiten. Man unterscheidet hierbei allgemeine Register, die zur
dert herausgeführt. Das Datenbit liegt am Eingang D an und

50.6

Digitale Grundschaltungen

623

74LS74

74LS73

74LS109

5

S

4

S

5

14

1J

12

6

2

1J

VII

3

C1

1

C1

4

C1

2

1D

6

3

1K

13

3

1K

7

Teil

1

R

2

R

1

R

11

S

10

S

9

7

1J

9

10

14

1J

11

C1

5

C1

12

C1

12

1D

8

10

1K

8

13

1K

9

13

R

6

R

15

R

7 GND

11 GND

8 GND

14 VCC

4 VCC

16 VCC

Abb. 50.74 Standardbausteine Master-Slave-JK-Flipflop

T-Flipflop

Impulszeitdiagramm

Bausteine mit gleichen Eigenschaften

C

+

Q

1J

1D

Q

Q
t

C

T

Q

C

C1

C

C1

1K
t

Abb. 50.75 T-Flipflop mit Impulsdiagramm und funktionsgleiche Bausteine

Q0

Q1

Q2

Q3

Q

Q

Q

Q

D

1J

1J

1J

1J

C1

C1

C1

C1

Q

Q

Q

Q

&

1K

1K

1K

1K

C

Serien-Parallel-Umsetzer

Q0

Q1

C

Q2

Q3
t
t+1

D
t
t+2

Q0

1
t
t+3

Q1

1
t
t+4

Q2

1
t

Q3

1
t

Impulszeitdiagramm

Abb. 50.76 Schieberegister

624

50 Digitaltechnik

Teil

D0

D1

D2

D3

EN

VII

&

&

&

&

S

S

S

S

1J

1J

1J

1J

Q

C1

C1

C1

C1

1

1K

1K

1K

1K

R

R

R

R

T

R

Abb. 50.77 Parallel-Serien-Register
parallel/seriell
seriell/parallel

SRG8

SRG8

G1(Shift)

C1/

G2(Load)

R

C3/

+

1D

0

1

1

1

0

3D

1

0

0

0

0

0

1

1

1

2D

1

1

0

0

0

0

1

1
ingabeE 1

2D

1

1

0

0

0

0
usgabe

1

1

A
eel 1

1

1

0

0

0

0

1

1
rallele
arallP

1

1

1

0

0

0

0

1

1

Pa

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

Laden
nach 1. Schieben

°

°

°
nach 7. Schieben
nach 8. Schieben

Abb. 50.78 Schieberegisteranwendung
wird mit dem 1.Takt übernommen. Damit wird Q0 „1“. Mit
mit dem Freigabeeingang zu. Register mit seriellem Datenein-
dem nächsten Takt wird „0“ von D übernommen, und die „1“
gang und parallelen Datenausgängen bezeichnet man auch als
von Q0 gelangt nach Q2. Nach dem 5. Takt ist das Schiebe-

Serien-Parallel-Umsetzer und Register mit parallelen Eingän-
register „leer“. Man unterscheidet Schieberegister nach ihrer
gen und seriellem Datenausgang als Parallel-Serienumsetzer.

Länge und ihrer Betriebsart. Je nach Datenein- und ausgabe

(seriell, parallel) und Schieberichtung (links, rechts) unterschei-

Im Abb. 50.78 sind zwei Standardbausteine für eine serielle
den sich die Betriebsarten der Schiebere- gister. Ist ein Ausgang

Übertragung zusammengeschaltet. Die anliegenden parallelen
mit dem Eingang verbunden, spricht man vom Ringschiebere-

Daten werden geladen und mit jedem Takt über eine Leitung
gister. Im Abb. 50.77 ist ein Schieberegister für die parallele
dem Baustein 74164 zugeführt. Dieser Baustein stellt nach

Eingabe dargestellt. S und R sind zusätzliche Vorbereitungsein-

8 Takten das eingegebene Datenwort wieder zur Verfügung.

gänge. Die Ansteuerung verhindert das gleichzeitige Anstehen

In der Mikroprozessortechnik sind solche parallel/seriell- und
von Setz- und Rücksetzsignal und lässt die parallelen Daten nur
seriell/parallel-Wandler Bestandteile von Interfaceschaltungen.

50.6

Digitale Grundschaltungen

625

Schaltung
und Teiler bestehen aus gleicher Hardware mit unterschiedlicher

+

Signalauswertung. Der Teiler besitzt immer einen Eingang und
einen seriellen Ausgang, während der Zähler seine Information

VII

&
als paralleles Wort ausgibt. Durch entsprechende Verknüpfun-

1J

1J

1J

D
gen lassen sich ungeradzahlige Teilerverhältnisse realisieren.

Teil

C

C1

C1

C1

Daher wird auch nach geradzahligen und ungeradzahligen Tei-

1K

1K

1K
lern unterschieden. Abb. 50.79 gibt die Schaltung eines 5 zu

R

R

R

1-Teilers wieder.

Nach dem 5. Impuls erfolgt eine Rücksetzung über das NAND-

Impulsdiagramm

Gatter, um mit Rückstellung aller Flipflops neu zu beginnen.

Will man das Impulspausenverhältnis gleich machen, dann muss

C

1

2

3

4

5
am Ausgang D ein zusätzliches Flipflop eingesetzt werden. Ein

Anwendungsbeispiel ist in Abb. 50.80 dargestellt. Aus einem
t

Rechteckgenerator gewinnt man durch zwei Teilerbausteine un-
terschiedliche Frequenzen.

QA
t

50.6.3.2.4

Zähler

QB

Zähler gehören zu den Grundbausteinen der Digitaltechnik. Sie
werden z. B. zum Zählen von Stückzahlen, Zählen von Umdre-
t
hungen eines Motors oder Zählen einer Zeiteinheit eingesetzt.

D

1

Die Impulse zur Ansteuerung des Zählers liefert eine Zeitbasis
oder unterschiedliche Sensoren. Die Eigenschaft des Zählers,
t
zu addieren oder zu subtrahieren (immer 1) und zu speichern,
lässt sich mit Flipflops erreichen. Die gezählten Impulse er-

Abb. 50.79 Frequenzteiler 5 W 1
scheinen an einem Parallelausgang. Die Zählerkapazität ist von
der Anzahl n der Flipflops abhängig. Dabei gilt als maxima-
le Zählerkapazität K

D
max

2 n. Ein Zähler aus 4 Flipflops hat

50.6.3.2.3

Frequenzteiler
somit K

D
max

16. Er erreicht nach 16 Zählimpulsen wieder

Null. Man spricht von einem „Modulo-16- Zähler“. Ist nach

Frequenzteiler erzeugen nach z Impulsen an ihrem Eingang
dem n-Zählimpuls der Zustand Null erreicht, bezeichnet man
einen Ausgangsimpuls und teilen somit die Eingangsfrequenz
den Zähler allgemein als „Modulo-n-Zähler“. Zähler lassen sich
durch z. Sie bestehen aus Flipflops, die hintereinander geschaltet
nach der Zählrichtung als Vorwärts- oder Rückwärtszähler, nach
sind und deren Ausgang Q jeweils das nachfolgende Flipflop an-
der Zahlendarstellung, z. B. als BCD- oder Dualzähler und nach
steuert. Jedes Flipflop teilt im Verhältnis 2 W 1. Mit vier Flipflops

Art der Taktansteuerung als Asynchron- oder Synchronzähler
lässt sich ein Teilerverhältnis von 24 D 16 realisieren. Zähler
einteilen. Abb. 50.81 zeigt einen universellen Standardbaustein.

74LS90

74LS90

CTR

CTR

&

7CT0

&

7CT0

G7

G7

G

+ DIV2

+ DIV2

0

0

CT

+

+

CT

2

2

DIV5

DIV5

1000Hz

500Hz

100Hz

20Hz

10Hz

Abb. 50.80 Zählerbausteine als Frequenzteiler

626

50 Digitaltechnik

Teil

4510B

4510B

CTRDIV1 0

7

TC

VII

15

1,2 + / 1,2 –

4 0

0 6

10

M2

5

G1

12 1

Vo r-

1 11

1

C3

Lade-

Rü ck wär ts-

9

R

13 2
schaltung

2 14

Zähler

3

3

4

3D

6

3

2

PL

1

CP

CE

Reset

12

11

15

UP/DN

10

13

14

5

9

3

2

1,2C T = 9

7

1,2C T = 0

Abb. 50.81 Universalzähler

Schaltung

Schaltbild

Q0

Q1

Q2

Q3

CTR DIV16

C

1J

1J

1J

1J

+

Q0

C

C1

C1

C1

C1

+

1K

1K

1K

1K

Q1

+

Q2

+

Q3

Abb. 50.82 Asynchronzähler

Impulsdiagramm

C

1 2

3 4

5 6

7

8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2

3

4
t

QA
t

QB
t

QC
t

QD
t

Abb. 50.83 Impulsdiagramm eines Asynchronzählers

50.6

Digitale Grundschaltungen

627

Schaltung

Schaltbild

CTR DIV16

VII

Q0

Q1

Q2

Q3

C

Teil

–

Q0

1J

1J

1J

1J

C

C1

C1

C1

C1

–

Q1

1K

1K

1K

1K

–

Q2

–

Q3

Impulsdiagramm

C

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 16 1 2 3 4
t

QA
t

QB
t

QC
t

QD
t

Abb. 50.84 Rückwärtszähler und Impulsdiagramm

50.6.3.2.5

Asynchroner Zähler
flops, wie dies in Abb. 50.84 dargestellt ist. Im Gegensatz zum

Vorwärtszähler erhält das jeweils nachfolgende Flipflop seinen

Bei einem Asynchronzähler wird der Takt nur dem ersten Flip-

Zustand von /Q. Damit kehrt sich die Zählrichtung entsprechend
flop zugeführt. Die nachfolgenden Stufen werden jeweils von
um.

der Vorstufe gesteuert. Im Abb. 50.82 wurden zum Aufbau ei-
nes Vorwärtszählers JK- Flipflops eingesetzt. Die Arbeitsweise

Abb. 50.85 zeigt eine mögliche Umschaltung für die Zählrich-
der Flipflops entspricht der von T-Flipflops, da J D K D „1“
tung.

anliegt.

Die asynchrone Schaltung hat den Nachteil, dass falsche Aus-

Geht man davon aus, dass vor Einsetzen des ersten Taktes an
gangszustände bei höheren Frequenzen auftreten, weil hier
den Ausgängen Q0 bis Q3 „0“ anliegt (Abb. 50.83), wird mit der

Verzögerungszeiten eine Rolle spielen. Beispielsweise können
abfallenden Flanke des 1. Taktes Q0 auf „1“ und mit der abfal-
beim Übergang von 3 nach 4 noch die Zustände 2 und 0
lenden Flanke des nachfolgenden Taktes Q0 auf „0“ gesetzt. Da

(Abb. 50.86) oder beim Übergang von 7 nach 8 die Zustände
der Ausgang Q0 als Takt für das nachfolgende Flipflop wirkt,

6, 4 und 0 auftreten.

schaltet Q1 mit der abfallenden Flanke von Q0 auf „1“. Nach
dem 7. Impuls liegt am parallelen Ausgang der Schaltung die

50.6.3.2.6

Asynchroner BCD-Vorwärtszähler

Binärfolge 0111 unter Berücksichtigung der Wertigkeiten Q0
mit 20 D „1“, Q1 mit 21 D „1“, Q2 mit 22 D „1“ und Q3 mit

Der asynchrone Dualzähler (Abb. 50.87) kann als BCD-Zähler

23 D „0“ an. Nach dem 16. Impuls sind alle Ausgänge „0“, und
arbeiten, wenn nach der 9 die Rückstellung auf 0 erfolgt.

der Vorgang wiederholt sich. Damit handelt es sich um einen

Modulo-16-Zähler.

Dies erreicht man durch eine Auswertschaltung. Der Zähler-
stand 10 wird zum Rückstellen benutzt (Abb. 50.88). Da die

Der Rückwärtszähler unterscheidet sich vom Vorwärtszähler

RESET-Schaltung (hiermit werden alle Flipflop-Ausgänge auf
schaltungstechnisch durch die Steuerung der einzelnen Flip-

„0“ gesetzt) Low-aktiv ist, genügt ein NAND mit Anschluss

628

50 Digitaltechnik

Teil

Umschaltlogik

Schaltbild

VII

CTR DIV16

+

+

C1+/2-

M1

M2

1J

1J

&

C

C1

&

C1

+ –

Q0

1K

1K

&

+ –

Q1

+ –

Q2

S

&

+ –

Q3

Abb. 50.85 Schaltung zur Zählerumkehr

0011 = 3

50.6.3.2.7

Synchroner Dual-Vorwärts-1-Zähler

C

Bei den synchronen Zählern werden die Takteingänge aller

FFs gleichzeitig (synchron) angesteuert, und alle Ausgangszu-

1

2

3

4

5

6
stände ändern sich ebenfalls gleichzeitig. Sie sind daher ge-
t
genüber Asynchronzählern schneller. Bei der Realisierung mit

QA

JK-Flipflops werden die Vorbereitungseingänge entsprechend
geschaltet. Hilfreich ist es hierzu, die Zustände der Flipflops vor
und nach dem Taktimpuls zu betrachten und jeweils das Flipflop
t
an der Stelle zu kennzeichnen, wo eine Umschaltung erfolgen

QB
muss. Mit dieser Überlegung kann dann durch Verknüpfung ent-
schieden werden, ob J D K D „1“, das heißt das Flipflop durch
t
den Eingangstakt schalten soll. Abb. 50.89 zeigt eine Tabelle
mit der entsprechenden Kennzeichnung durch Pfeile.

QC

Da das FF1 hiernach mit jedem Takt umschalten muss, wird

J D K auf „1“ gelegt. Das FF2 muss jedesmal schalten, wenn
t
auch Q0 schaltet. Alle Gleichungen sind nachfolgend aufge-

QD
führt. Das schaltungstechnische Umsetzen der nachfolgenden

Gleichungen führt zur Schaltung Abb. 50.90.

t

Gleichungen:

0010 = 2
für FF1: J D K D 1

0000 = 0
für FF2: J D K D Q0

0100 = 4
für FF3: J D K D Q0 Q1
für FF4: J D K D Q0 Q1 Q2

Abb. 50.86 Fehler durch Signallaufzeiten

50.6.3.2.8

Zähler für mehrere Decaden
an die Ausgangswertigkeiten 23 D Q3 und 21 D Q1. Um ein

Sollen mehrere BCD-Zähler zusammengeschaltet werden, kann
korrektes Rücksetzen zu erreichen, ist in der Praxis eine Ver-
das asynchron oder synchron vorgenommen werden. In der Pra-
zögerung notwendig. Hier wird das durch die Laufzeit zweier
xis bevorzugt man die synchrone Zusammenschaltung, weil

Gatter realisiert.

hier keine Zwischenzustände auftreten können. Im Beispiel

0

Q

1

Q

Q2

Q3

+

+

+

+

&

1J

1J

1J

1J

C

C1

C1

C1

C1

1K

1K

1K

1K

&

&

Abb. 50.87 Asynchroner BCD-Vorwärtszähler

50.6

Digitale Grundschaltungen

629

Impulsdiagramm

Abb. 50.91 ist einmal die asynchrone und die synchrone Zu-
sammenschaltung dargestellt. Bei der synchronen Zusammen-
schaltung werden beide Zählerbausteine gleichzeitig vom Takt

VII

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4

C
angesteuert. Mit G1 D „0“ ist der Zähler jeweils gesperrt.

Teil
t

QA

50.6.4

Sonderschaltungen

1 0
t

50.6.4.1

Monoflops

QB

Monostabile Kippstufen oder Monoflops besitzen eine stabile

0 0

Lage und können durch einen Steuerimpuls für eine bestimm-
t
te Zeit ti in eine instabile Lage versetzt werden und an einem

QC

Ausgang einen Impuls liefern. Hierbei kann je nach Schaltungs-
dimensionierung eine Impulsverlängerung oder Impulskürzung

0 0
erfolgen (Abb. 50.92). Der Ausgangsimpuls ist nur von den Da-
t
ten des Monoflops und nicht von der Dauer des Steuerimpulses

QD
abhängig.

In Abb. 50.93 sind zwei Monoflops als Beispiel mit unterschied-

1 0
t
lichen Grundgattern aufgeführt. Das NAND-Monoflop verlässt
seine stabile Lage bei einer kurzen Ansteuerung mit einem L-

Abb. 50.88 Impulsdiagramm des BCD-Zählers

Pegel. Dieser erzeugt einen H-Impuls am Ausgang G1 und –
weil C zunächst als Kurzschluss wirkt (der Kondensator ist nicht
geladen) – damit einen L-Pegel am Ausgang G2. Nach Öff-

Q3 Q3+1

Q2 Q2+1

Q1 Q1+1

Q0 Q0+1
nen des Tasters wird dieser Zustand solange beibehalten, bis der

Kondensator C sich aufgeladen und am Eingang von G2 L-Pegel

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0
anliegt. Damit erhält der Ausgang G2 H-Pegel und der Aus-

0

0

0

0

1

1

0

1
gang G1 wieder L-Pegel. Die stabile Lage ist wieder erreicht.

0

0

0

1

1

0

1

0

Die Zeitdauer des L-Pegels am Ausgang G2 entspricht der Zeit

0

0

1

1

0

0

0

1
ti und hängt von der Zeitkonstanten R C ab. Die stabile Lage

0

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

1

1

1

0

1
des NOR-Monoflops wird durch einen kurzen H-Impuls unter-

0

0

1

0

1

0

1

0
brochen. Da der Kondensator C zuvor nicht geladen war (der

1

1

0

0

0

0

0

1

Ausgang G1 führte H-Pegel und der Eingang G2 über R1 eben-

1

1

0

0

0

1

1

0
falls), ergibt der H-Impuls am Eingang ein L am Ausgang G1

1

1

0

0

1

1

0

1
und damit ebenfalls am Eingang G2. Der H-Impuls im Rück-

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1
kopplungszweig hält diesen Zustand solange aufrecht, bis der

1

1

1

1

0

1

1

0

Kondensator C über R1 aufgeladen die Schaltspannung erreicht

1

1

1

1

1

1

0

1
hat und am Ausgang wieder einen L-Pegel erzeugt. Die An-

1

1

1

0

1

0

1

0
steuerung von Monoflops erfolgt über Differenzierglieder. Die

Abb. 50.93 zeigt zwei Beispiele, die je nach gewünschter Steu-

Abb. 50.89 Tabelle zur Realisierung des Synchronzählers
erflanke gewählt werden können.

Schaltung

Q0

Q1

Q2

Q3

&

&

1J

1J

1J

1J

C

C1

C1

C1

C1

1K

1K

1K

1K

R

R

R

R

Abb. 50.90 Synchronzähler

630

50 Digitaltechnik

Teil

Stelle 101

Stelle 100

Stelle 101

Stelle 100

VII

CTR DIV10

CTR DIV10

CTR DIV10

CTR DIV10

G1

G1

G1

G1

0

0

0

0

1+

1+

1+

1+

CT

CT

CT

CT

CT = 0

3

CT = 0

3

CT = 0

3

CT = 0

3

C

C
asynchron
synchron

Abb. 50.91 Asynchroner und synchroner Zähler für zwei Stellen

Schaltzeichen

Impulsverlängerung

Impulskürzung

A

A

Q

1

A
t
t
ti

Q

Q

Q
t
t
t
t
t
t
i
i
i
i

Abb. 50.92 Monoflop und Betriebsarten

+

+

+

G1

C

G2

G1

C

G2

&

&

R

R

Ansteuer
eite
ungsmöglichk
n

+

&

&

Abb. 50.93 Monoflops aus Grundgattern und Ansteuermöglichkeiten

50.6

Digitale Grundschaltungen

631

+

74121

11

10

R

VII

3

6

&

4

1

Teil

5

1

&

1

4528B

2

+

1

6

R

5

4

1

C

7

3

14

15

1

10

11

12

1

9

13

Abb. 50.94 Integrierte Monoflops

UC

R

V

1,6

0,8
t

UQ

Q

V

5,0

C
t

R

R1

&

Q1

G1

G2

C2

1

1

C

R2

C1

&

Q2

Abb. 50.95 Generatorschaltungen

In der Praxis setzt man integrierte Bausteine ein (Abb. 50.94).

50.6.4.2

Astabile Kippstufen

Die entsprechende Zeit ti wird durch externe Beschaltung mit
einem Widerstand R und einem Kondensator C festgelegt, wo-

Astabile Kippstufen sind Rechteckgeneratoren und Bestandteil
bei die Werte den Datenbüchern der Hersteller entnommen
vieler digitaler Schaltungen. Sie dienen als Zeitbasis digitaler
werden können. Durch die vorhandenen Eingänge sind unter-

Messgeräte, als Taktoszillator für ein Controller- oder Prozes-
schiedliche Triggermöglichkeiten vorhanden. Man unterschei-
sorsystem oder werden als Baudratengenerator eingesetzt. Sie
det nichtretriggerbare und retriggerbare Monoflops. Bei der
können mit Hilfe von Gatterschaltungen aufgebaut werden.

nichtretriggerbaren Stufe ergeben sich bei erneuter Ansteuerung

Abb. 50.95 zeigt eine Schaltung mit einem Schmitt-Trigger,
durch einen Impuls während der aktiven Zeit ti keine Ausgangs-
dem zugehörenden Impulsdiagramm und zwei weitere mögliche
änderungen. Der Baustein 4528B besitzt zwei retriggerbare und

Schaltungen. Liegt am Ausgang L-Pegel, kann sich der Konden-
rücksetzbare Monoflops.

sator über R entladen. Bei Unterschreiten der Einschaltschwelle

632

50 Digitaltechnik

Teil

MR

MR

4060B

4060B

4060B

CTR14

VII

9

Cx

11

&

&

11

&

&

10

Rx

+

11

3

7

10

9

&

10

9

12

5

100k

CT = 0

4

R

C

6

14

CT

2,2k

13

9

15

1

11

1
f =

2

100pF

2,3 * R * C

13

3

22..37pF
nach Datenbuch der Firma Philips

Abb. 50.96 Standardbaustein mit Taktgenerator
am Eingang des Schmitt-Trigger nimmt der Ausgang Q H-Pegel
an, und C kann über R wieder aufgeladen werden, bis die Aus-
schaltschwelle erreicht ist, um an Q wieder einen L-Pegel zu
erzeugen. Die Frequenz der Ausgangsspannung ist von der Zeit-
konstante tau D R C abhängig.

Zum Einsatz kommen auch hier integrierte Schaltungen. Als

Beispiel dient der Baustein 4060B. Er besteht aus einem Gene-
rator und einem sich anschließenden Teiler. Zu seiner Funktion
brauchen nur wenige externe Bauelemente zugefügt werden

(Abb. 50.96). Seine Oszillatorfrequenz lässt sich bis 214 teilen.

Dies hängt vom gewählten Ausgang ab.

Integrierte Schaltkreise der

VII

51 Teil

Digitaltechnik

Heribert Gierens

51.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634

51.2 Umgang mit integrierten Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 634

51.3 Daten und Begriffe der Logikschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . 634

51.4 TTL-Familie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637

51.5 Emittergekoppelte Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641

51.6 Integrierte MOS-Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642

51.7 Interfaceschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646

51.8 Anwendungsspezifische integrierte Schaltungen . . . . . . . . . . . 647

51.9 Gehäuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

633

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_51

634

51 Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

Teil

51.1

Allgemeines

51.2

Umgang mit integrierten

VII

Schaltungen

Integrierte Schaltkreise (Integrated Circuit, IC) bestehen aus
einer großen Anzahl von Transistorfunktionen, die auf einem

IC’s sind elektrostatisch gefährdete Bauelemente (EGB). Sie

Halbleiterkristall (Chip) integriert sind. Der Chip ist in einem
müssen daher geschützt werden. Der Hersteller versieht diese

Kunststoff- oder Keramikgehäuse eingebaut. Über Anschlüsse

Bauteile mit einem besonderen Kennzeichen (Hand als Pikto-

(Pin’s) erfolgt die Verbindung zur Schaltung. Mit Hilfe mo-
gramm). Bei MOS-Schaltungen ist eine Schutzschaltung häufig
derner Herstellungsverfahren wird die Integrationsdichte dieser
integriert. Trotzdem kann es zur Zerstörung der Bauteile bei

Schaltungen immer größer und die entsprechenden Chips klei-

Berührung der Bausteinanschlüsse durch elektrostatische Ent-
ner, leistungsfähiger und kostengünstiger. IC’s lassen sich nach
ladungen kommen, wenn nicht besondere Regeln beim Um-

Kriterien wie Integrationsdichte, Funktion und Technologie ein-
gang mit diesen Bauelementen beachtet werden. Hierzu zählen
ordnen. Bei der Integrationsdichte wird beispielsweise nach SSI

Schutzmaßnahmen am Arbeitsplatz wie hochohmig leitende

(Small Scale Integration), MSI (Medium Scale Integration), LSI

Fußbodenbeläge und ein Handgelenkband mit Erdung über

(Large Scale Integration) und VLSI (Very Large Scale Integra-
einen Ableitwiderstand. Die Werkzeuge müssen ebenfalls aus
tion) unterschieden. Die Grenzen zwischen den Gruppen sind
einem antistatischen Material bestehen bzw. leitend sein. Alle
fließend und nicht einheitlich festgelegt.

Geräte für Reparaturzwecke sind zu erden. Dies gilt beispiels-
weise auch für einen Lötkolben, dessen Erdung über einen

Digitalschaltungen (Logik- und Speicherschaltungen) werden in

Widerstand durchgeführt wird. Bei hoher Arbeitsfrequenz der
bipolarer oder unipolarer Technik hergestellt. Bei den bipolaren

Bauelemente gelangen beim Umschalten Stromspitzen auf die

Logikschaltungen wird nach TTL (Transistor-Transistor-Logic)

Betriebsspannungsleitung. Bei der Schaltungsentwicklung muss
und ECL (Emitter Coupled Logic) unterschieden, bei den uni-
daher gesorgt werden, dass alle Spannungsversorgungen direkt
polaren Logikschaltungen nach MOS (Metal Oxide Silicon)

am Versorgungsanschluss des IC’s durch einen Kondensator
und CMOS-Typen (Complementary MOS). Sind beide Tech-
abgeblockt sind. Um die Einkopplung von Fremdsignalen zu
nologien auf einem Chip realisiert, spricht man von BiCMOS-
vermeiden, ist es weiterhin notwendig, dass keine langen Lei-

Technik.

terbahnen bei der Entwicklung eines Layouts verlegt werden.

Außer den zuvor genannten Standardschaltungen bieten die

Hersteller anwendungsspezifische Schaltungen (ASIC D App-

51.3

Daten und Begriffe der
lication Specific IC) an, die sich nach vollkundenspezifischen

(full custom) und halbkundenspezifischen (semi custom) Schal-

Logikschaltungen
tungen unterscheiden. Hierunter versteht man vor allem Gate

Arrays, Cell Arrays und PLD’s (PLD D Programmable Logic

51.3.1

Grenz- und Kenndaten

Device). Unter einem Array versteht man allgemein eine Ma-
trix, die verknüpft werden kann.

Grenzdaten sind absolute Grenzwerte. Bei Überschreitung die-

Abb. 51.1 zeigt eine Übersicht digitaler integrierter Schaltkreise.

ser Werte kann die integrierte Schaltung zerstört werden. Kenn-

Speicher und Prozessoren sind in gesonderten Kapiteln aufge-
daten sind Mittelwerte, die durch Angabe eines garantierten
führt.

Streubereiches (worst case) ergänzt wurden.

Digitale integrierte Schaltungen

Standard Logik

ASIC

Prozessoren

Speicher

PLD

Gate Array

Cell Array

TTL

ECL

CMOS

BiCMOS

PROM

PLA

FPGA

PAL

GAL

Abb. 51.1 Übersicht: Integrierte digitale Schaltungen

51.3

Daten und Begriffe der Logikschaltungen

635

VII

Teil

Abb. 51.2 Pegelwerte und Störabstand

Übertragungskennlinie

Meßschaltung

UO

TTL

V

5

4

&

&

3

4

2,

V

I

U

V

UO

2

1

0,4 UI

0

V

0

1

2

3

4

5

0,8

2

Abb. 51.3 Übertragungskennlinie und Messschaltung

51.3.2

Pegel

Störabstand. Störspannungen bis zur Größe des Störspannungs-
abstandes haben keinen Einfluss auf die logische Funktion
der Schaltung. Bei Standard-TTL beträgt der statische Stör-

H- und L-Pegel sind bestimmten Spannungsbereichen zugeord-
spannungsabstand 1,2 V (siehe Abb. 51.2). Unter dynamischer
net, die eingehalten werden müssen, um die logische Funktion

Störsicherheit versteht man die Sicherheit gegen Störspannun-
zu gewährleisten. Für Ein- und Ausgang einer Schaltung gel-
gen mit kürzeren Zeiten als die Gatterlaufzeit. Die Werte des
ten unterschiedliche Pegelwerte. Abb. 51.2 veranschaulicht dies
dynamischen Störabstandes sind von der Dauer des Störimpul-
am Beispiel eines Standard-TTL-Bausteins. Die Schaltung er-
ses, der Temperatur und der jeweiligen Schaltung abhängig.

kennt „L“ von 0 . . . 0,8 V ( U IL) und „H“ von 2 . . . 5 V ( U IH).

Liefern muss die Schaltung für „L“ 0 . . . 0,4 V ( U OL) und für

„H“ 2,4 . . . 5 V ( U QH) (siehe auch Tabelle II-1). Der Bereich

51.3.4

Lasteinheit
zwischen „L“ und „H“ ist nicht definiert. Man spricht hier auch
von dem „verbotenen Bereich“.

Um die Pegelwerte einhalten zu können, darf das Gatter nur

In Datenbüchern wird häufig die Übergangskennlinie, also die
vorgegebenen Belastungen ausgesetzt sein. Jeder Eingang ei-

Abhängigkeit der Spannung UO ( U Output) von UI ( U Input),
nes Gatters belastet das vorherige Gatter. Bei Standard-TTL
angegeben (Abb. 51.3). Die Schraffierung kennzeichnet hier den
fließt bei L ein maximaler Strom von 1,6 mA aus dem Gat-
verbotenen Bereich. Mit der angegebenen Messschaltung kann
ter ( I

D 1;6 mA). Diese Stromgröße wird mit Fan IN D 1
diese Kennlinie statisch aufgenommen werden.

IL

(Eingangslastfaktor FI) bezeichnet. Bei H fließt ein max. Strom
von 40 µA in das Gatter ( I

D

IH

40 µA). Die Stromrichtung zwi-
schen zwei Gattern bei unterschiedlichen Pegeln ist in Abb. 51.4

51.3.3

Störsicherheit
deutlich hervorgehoben. Häufig liegen die gemessenen Strom-
werte weit unter den maximal zulässigen Werten. Da I QL max

16 mA beträgt, dürfen unter worst-case-Bedingungen höchstens

Unter statischer Störsicherheit versteht man die Sicherheit ge-

10 Gattereingänge einen Ausgang belasten. Die Ausgangsbe-
gen eingekoppelte Störspannungen, deren Einwirkung zeitlich
lastung (Ausgangslastfaktor) nennt man Fan Out. Hiermit wird
größer als die Gatterlaufzeit ist. Man spricht hier auch vom
ausgesagt, mit wieviel Lasteinheiten ein Ausgang belastet wer-

636

51 Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

Teil

+U

+U

51.3.5

Temperaturbereich

I

VII

OH

Bei der Angabe des Temperaturbereichs wird zwischen La-
gerungstemperatur und zulässiger Umgebungstemperatur im

Betrieb unterschieden. So liegt beispielsweise die Lagerung-

IIH
stemperatur bei IC’s mit Kunststoffgehäusen zwischen 55 und

125 °C, die zulässige Umgebungstemperatur im Standardbe-

IIL
reich bei der 74LS-Serie von 0 bis 70 °C und bei den MOS-

IOL

Typen der 4000B-Serie von 40 bis 85 °C.

H

L

H

&

A

&

51.3.6

Gatterlaufzeit

IIL

L

H

L

&

A

&

Ändert man den Eingangspegel einer Gatterschaltung, z. B. ei-

IIH
nes Inverter, von L nach H, so dauert es eine gewisse Zeit, bis der

Ausgang auf die Eingangsänderung reagiert. Das Zeitverhalten

Abb. 51.4 Stromrichtung zwischen den Gattern und Kennzeichnung der Strö-
me
gibt die Gatterlaufzeit (tpd D propagation delay time) wieder,
wobei die Angabe sich auf die Differenz der Ein- und Ausgangs-
flanke in 50 %iger Höhe bezieht. Bei Aufbau von Schaltungen
den darf. Für Standard-TTL gilt ein Fan out von 10 und für
mit Mehrebenen können durch unterschiedliche Laufzeiten feh-

CMOS ein Fan out von 50. Sollen mehr als 10 Eingänge an
lerhafte und ungewünschte Verhaltensweisen wie kurzzeitige
einen Standard-TTL-Ausgang angeschlossen werden, müssen

Impulse (Glitches) am Ausgang auftreten. Im Abb. 51.5 durch-

Treiberstufen eingesetzt werden.

laufen die Signale A und B drei Gatter, während C zwei und D

Laufzeit

Laufzeitunterschiede

100%

Ebene 1

Ebene 2

Ebene 3

50%

A

&
t

B

&
tpHL
tpLH

&

Q

C

100%

D

50%

A
t

B

&

Q

Ausnutzung von Laufzeiten

C

G1

D

G2

G3

B

A

&

C

&

&

Q

A

A

&

B

&

Q
t

C

B

&

D
t

C
t

Q
t
tpd

Abb. 51.5 Gatterlaufzeiten

51.4

TTL-Familie

637

P tp
mW ns

VII

25

Teil

20

15

10

5

74

74H

74L

74S

74LS

74ALS

74AS

74F

Abb. 51.6 Verlustleistung und Gatterlaufzeit (Prinzipdarstellung, bausteinabhängig)

nur ein Gatter durchläuft. Durch Umorganisation der Schaltung

51.4

TTL-Familie
kann erreicht werden, dass die Eingangssignale gleiche Zeiten
durchlaufen. Oft wird auch statt der Signallaufzeit die maxima-
le Schaltfrequenz angegeben.

51.4.1

Eigenschaften und Kenndaten

Für kurze Impulse kann die Gatterlaufzeit, wie dargestellt ist,
ausgenutzt werden. Das Zeitliniendiagramm beschreibt die Pe-

Abb. 51.6 zeigt die Mitglieder-TTL-Familie im Vergleich von
gel an den einzelnen Gattern. Der Ausgang B ist zunächst „H“,

Gatterlaufzeit und Verlustleistung. In Tab. 51.1 sind ihre Kenn-
da der Eingang A L-Pegel führt. Nimmt A H-Pegel an, schal-
daten aufgelistet.

tet B nach der Verzögerungszeit auf L. C schaltet nach L und

Die Bausteine der einzelnen Untergruppen sind PIN-kompatibel
der nachfolgende Inverter G3 gibt den Impuls mit der Impuls-

(gleiche Funktion und Anschlussbelegung) und besitzen als ge-
zeit einer Verzögerungszeit heraus. Wünscht man Impulszeiten
meinsame Kenndaten die Betriebsspannung, Pegelwerte und
mehrerer Gatterlaufzeiten, sind zusätzlich jeweils zwei Inverter
den Temperaturbereich. Unterschiede bestehen vor allem in der
zwischen G1 und G2 einzusetzen.

Gatterlaufzeit und der Verlustleistung. Bei der Low-Power- und

High-Speed-Untergruppe sind die internen Widerstandswerte
gegenüber Standard verändert, um die Leistungsaufnahme ge-

51.3.7

Verlustleistung
ringer zu machen (Low) und die Geschwindigkeit zu erhöhen

(High). Die beiden Eigenschaften verlaufen allerdings gegen-
sätzlich.

Bei digitalen Schaltungen wird häufig die Verlustleistung pro

Gatter angegeben. Hierbei handelt es sich um einen Mittel-

Weitverbreitet sind die Low-Power-Schottky-Typen mit ihrer
wert, der davon ausgeht, dass der Gatterausgang abwechselnd
gegenüber Standard-TTL geringeren Leistungsaufnahme und

L- und H-Pegel führt. Bei den einzelnen Familien gibt es er-
hebliche Unterschiede, wie auch dem Abb. 51.6 entnommen

Tab. 51.1 Kennwerte ausgewählter TTL-Serien
werden kann. Vergleicht man ferner die Stromaufnahme eines

Standard-TTL-Bausteins, sind auch deutliche Unterschiede der

Kennwerte

74

74S

74LS

74ALS 74F

Stromwerte zu erkennen, wenn alle Ausgänge einmal L- und

Betriebsspannung (V) ˙5 % 5

5

5

5

5
einmal H-Pegel führen. Die größte Verlustleistung tritt im dyna-

UIL (V) <

0,8

0,8

0,8

0,8

0,8
mischen Betrieb bei hohen Frequenzen auf. Der Schaltungsent-

UIH (V) >

2

2

2

2

2
wickler sollte beim Einsatz digitaler Schaltungen darauf achten,

UOL (V) <

0,4

0,5

0,5

0,5

0,5
dass die Verlustleistung der eingesetzten Bausteine möglichst

UOH (V) >

2,4

2,7

2,7

U-2V

2,7
gering ist. Hierdurch können die Netzteile klein und kompakt di-

IOL (mA) max

16

8

20

30

24
mensioniert werden, und die geringere Wärmeentwicklung der
tp (ns)

10

9

3

5

3

Bauelemente erspart aufwendige Kühlmaßnahmen. Ein Beispiel

P (mW)

10

2

20

1,2

4
hierfür ist die 3,3 V-Technologie. In diesem Zusammenhang ist
nach Unterlagen der Firma Philips
auch der Begriff Speed-Power-Product zu nennen, der das Pro-

Abkürzungen: UIL Eingangsspannung für L-Pegel; UIH Eingangsspannung
dukt aus Geschwindigkeit und Leistungsaufnahme eines Gatters
für H-Pegel; UOL Ausgangsspannung für L-Pegel; UOH Ausgangsspan-
in Verbindung mit Energiebilanzen angibt.

nung für H-Pegel; IOL Ausgangsstrom bei L-Pegel

638

51 Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

Teil
etwa gleicher Geschwindigkeit. Abb. 51.7 zeigt einige LS-

Bausteine aus dem umfangreichen Herstellerangebot mit ih-
den Transistor V2 und schaltet diesen und auch V4 durch.

VII
ren Anschlussbelegungen. Advanced-Schottky und Advanced-

Offene Eingänge wirken wie anliegende H-Pegel. Man

Low-Power-Schottky sind verbesserte Nachfolgetypen sowie
legt daher bei NAND- und UND-Gattern die nichtbenö-
die FAST-Serie, die gegenüber der LS-Serie ihre Gatterdurch-
tigten Eingänge auf C5 V und bei ODER- und NOR-
laufzeit erhöhen konnte.

Gattern auf 0 V.

Müssen Ausgänge verschiedener Gatter logisch mit-
einander verknüpft werden, ist dies mit Totem- pole-

51.4.2

Standard-TTL

Schaltungen nicht möglich. Gatter mit solchen Gegen-
taktendstufen dürfen an ihren Ausgängen nicht parallel
geschaltet werden, da ein Kurzschluss entstehen kann,

Bei den Standardbausteinen der TTL-Familien haben sich fol-
wenn ein Gatterausgang „L“ und der andere „H“ lie-
gende Funktionseinheiten herausgebildet:

fert. Abhilfe schaffen Gatter mit offenem Kollektor (Open

Grundgatter wie z. B. NICHT (Inverter), UND, ODER, NOR

Collector, o.C., siehe Beispiel 2).

J
und XOR

Flipflops wie z. B. RS-Flipflop, D-Flipflop und JK-Flipflop

Multiplexer und Datenselektoren

Demultiplexer und Decoder

Beispiel 2

Rechenschaltungen wie z. B. Addierer

Komparatoren

Baustein IC 7401

Zähler und Frequenzteiler

Im Abb. 51.9 sind die Innenschaltung des Baustein 7401

Schieberegister
und der Aufbau eines Gatters dargestellt. Ein Lastwider-

Treiber
stand RL muss extern eingebaut werden, da der Ausgang

Sonderschaltungen wie z. B. Schmitt-Trigger und Zeitglieder
ohne Lastwiderstand keinen Pegel ausgeben kann.

Schaltungen der Standardserie (Bezeichnung 74xx) bestehen

Stufen mit offenem Kollektor (o.C.) lassen am RL Be-
aus bipolaren Transistoren, die als Schalter arbeiten. Sie sind
triebsspannungen von 15 oder 30 V zu. TTL-Treiber kön-
so dimensioniert, dass sie beim Durchschalten übersteuert wer-
nen damit Kleinverbraucher direkt ansteuern. Gatter mit
den und so voll in den Sättigungsbereich gelangen (gesättigte
o.C. dürfen mit ihren Ausgängen parallel geschaltet wer-

Logik). Die TTL-Familie ist die Weiterentwicklung der DTL
den. Der Ausgang erreicht nur dann H-Pegel, wenn alle

(Dioden-Transistor-Logik) und RTL (Widerstands-Transistor-

Eingänge auf H-Pegel liegen; ansonsten liegt L-Pegel am

Logik). Drei typische Vertreter der Standardserie dienen als

Ausgang an. Man spricht von einer verdrahteten UND-

Beispiel.

Schaltung (Wired AND). Wird der Ausgang mit einem
nachfolgenden Inverter verbunden, ergibt sich eine ver-

Beispiel 1
drahtete ODER-Verknüpfung (Wired OR). Abb. 51.10
zeigt die beiden genannten Schaltungen und verdeutlicht

Baustein IC 7400
die Funktion anhand der Wertetabelle und der Gleichun-

Abb. 51.8 zeigt die Innenschaltung des 14poligen IC’s
gen.

und den Aufbau eines NAND-Gatters. Hier erkennt

Der Wert des Kollektorwiderstandes lässt sich für eige-
man die Merkmale der weitverbreiteten Logik mit ei-
ne Bedürfnisse berechnen oder man nutzt für Standard-
nem Multiemitter-Transistor im Eingang (V1) und einer
anwendungen die Tabellen der Hersteller (Tab. 51.2).

Gegentaktendstufe (Totem-Pol-Stufe) am Ausgang (V3,

Das Berechnungsbeispiel bezieht sich auf die Schaltung

V4). Von der Funktion her lässt sich diese Schaltung

Abb. 51.11.

als Weiterentwicklung der RTL (Widerstands-Transistor-

Logik) und der DTL (Dioden-Transistor-Logik) ansehen.

UOL

RL >

Umax

IOL

N IIL

Wenn jetzt ein oder beide Eingänge der Schaltung auf
max

Masse liegen (L-Pegel), kann der Transistor V2 nicht

UOH

RL <

Umin

(51.1)

durchschalten. Damit ist auch V4 gesperrt, und V3 schal-
n IOH C N IIH
tet durch und erzeugt einen H-Pegel am Ausgang. Liegen
beide Eingänge auf C5 V (H-Pegel), schaltet V2 durch,

RL >

5;25 V 0;4 V

16 mA 4 1;6 mA
und am Ausgang entsteht ein L-Pegel, da auch V3 durch-
schaltet. Transistor V4 ist dann gesperrt.

RL > 505 (

An dieser Schaltung erkennt man auch die Auswirkung

RL <

4;75 V 2;4 V
offener Eingänge auf den Ausgang der Schaltung. Werden

2 250 &A C 4 40 &A
beide Eingänge offen gelassen, fließt über die Basis-

Kollektor-Diode des Multiemitter-Transistors Strom in

RL < 3560 (

J

51.4

TTL-Familie

639

74LS00

74LS02

74LS32

74LS86

74LS10

1

2

1

1

&

1

3

1

3

3

2

3

2

2

2

&

12

VII

4

5

4

4

13

6

4

6

6

5

&

6

5

5

3

Teil

4

&

6

9

&

8

9

9

8

10

8

8

10

9

10

10

5

9

12

&

11

12

12

11

13

11

11

10

&

8

13

12

13

13

11

74LS16

74LS73

74LS75

74LS393

1

1

2

14

12

13

C1

CTRDIV10

1J

4

C2

3

1

4

1

C1

CT= 0

0

16

3

1K

2

1D

1

5

+

1

6

2

13

R

CT

15

3

1D

3

9

1

8

14

7

9

9

1J

7

2D

11

1

10

8

5

C1

10

6

2D

13

1

12

10

1K

11

6

R

8

74LS85

74LS151

74LS138

COMP

10

0

7

MUX

EN

12

11

DX

P

0

0

1

15

13

10

G

15

3

2

7

14

P<Q

7

9

2

9

0

4

13

6

3

11

P=Q

6

3

12

Q

14

2

5

11

1

3

P>Q

5

1

10

15

2

<

14

4

9

3

=

13

5

&

7

4

>

12

6

74LS244

1

2

18

EN

19

2

18

11

9

4

16

4

16

13

7

6

14

15

5

6

14

8

12

17

3

8

12

1

Abb. 51.7 Digitalbausteine mit Anschlussbelegung

14

1

14

R1

R2

R3

&

2

13

&

V3

3

12

V2

10

V7

4

V1

11

8

&

9

V4

5

V5

V6

10

&

6

R4

9

7

8

7

Abb. 51.8 Baustein 7400

640

51 Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

Teil

14

1

14

VII

R1

R2

2

13

&

3

12

V2

&

9

4

V1

11

8

10

V3

5

10

V4

V5

&

6

R3

9

&

7

8

7

Abb. 51.9 Baustein 7401

+

+

Beispiel 3

RL

RL

UND

ODER

Baustein IC 7402

Schaltung

Schaltung

Liegt an beiden Eingängen der Schaltung Abb. 51.12 ein

A

&

Q

A

&

&

Q

L-Pegel, wird V3 und V4 gesperrt und damit auch V6. V5
schaltet durch und erzeugt einen H-Pegel am Ausgang.

B

Bei Anliegen eines H-Pegels an nur einem der Eingänge

&

B

&
entsteht am Ausgang ein L-Pegel. Die Schaltung erfüllt

Wertetabelle

Gleichung

Wertetabelle

Gleichung
damit die NOR-Funktion.

J

A

B

Q

A

B

Q

L

L

L

L

L

L

Q = A

B

Q = A

B

L

H

L

L

H

H

H

L

L

H

L

H

51.4.3

Schaltungen mit 3-state

H

H

H

Q = A

B

H

H

H

Q = A

B

Abb. 51.10 Verdrahtete UND- und ODER-Schaltung

Tristate-Schaltungen besitzen außer den Pegelausgaben L und

Tab. 51.2 Ermittlung des Kollektorwiderstandes

H noch eine dritte Möglichkeit. Sie sind in der Lage, mit einem

Steuereingang (EN Enable D Freigabe) einen Ausgang hochoh-

RLmax

RLmin
mig zu schalten. Damit können diese Schaltungen in parallelen

N

Bussystemen eingesetzt werden. In der Hauptsache handelt es
n

1

2

3

4

5

6

7
sich bei Einsatz dieser Schaltungen um Leistungstreiber, Rich-

1

8100

4350

2970

2260

1820

1520

1310

337
tungstreiber, Zwischenspeicher und Speicherschaltungen. In der

2

7120

4050

2830

2170

1760

1480

1280

379

Prinzipdarstellung (Abb. 51.13) schaltet ein H-Pegel am Ein-

3

6350

3790

2700

2100

1710

1450

1250

433
gang EN die Transistoren V6 und V7 durch und sperrt damit

4

5730

3560

2580

2020

1660

1410

1230

505
die beiden Endstufentransistoren V3 und V4. Der Ausgang Q

5

5220

3350

2470

1950

1620

1380

1200

607
besitzt damit keinen definierten H- oder L-Pegel mehr. Er ist

6

4790

3170

2370

1890

1570

1350

1180

758
praktisch abgeschaltet; man spricht auch davon, dass der Aus-

7

4430

3010

2280

1830

1530

1320

1150

1110
gang hochohmig ist.

8

4120

2860

2190

1780

–

–

–

1515

9

3850

–

–

–

–

–

–

3030
nach Datenbuch der Firma ITT

+

+

RL

L

R

L

IR

IRL

IIL

H

IO

IIH

H

L

IQ

H

L

L

&

IIL

&

&

IIH

&

IIL

IOH

IIH

L

H

L

L

&

IIL

&

&

IIH

&
n = 2

N = 4
n = 2

N = 4

Abb. 51.11 Stromrichtung und -größe bei unterschiedlichen Ansteuerungen

51.5

Emittergekoppelte Logik

641

14

1

14

R1

R2

R3

R5

VII

2

13

1

V3

V5

V4

3

12

1

8

V1

V2

Teil

4

11

V9

9

5

10

1

10

6

9

V6

V7

V8

1

7

8

R4

7

Abb. 51.12 Baustein IC 7402

Schaltung

Schaltzeichen
tungsaufnahme von etwa 2 mW pro Gatter und des höheren Fan

+
out gegenüber Standard Typen. Die Schaltzeiten dieser Serie

1

R1

R2

R3

Q
liegen bei 9 ns. Abb. 51.14 zeigt ein Gatter der Schottky-TTL-

EN

Serie.

V3

E

E

Q

V1

V2

V5

EN

Q

51.5

Emittergekoppelte Logik

Prinzip

V4

R5

V6

V7

Kennzeichen der emittergekoppelten Logik (Emitter Coupled

EN

R4

R6

Logic) ist der Differenzverstärker im Eingang und die Auskopp-
lung über den Emitter (Abb. 51.15). Aufgrund des technologi-
schen Aufbaus können ECL-Schaltungen auch zwei Ausgänge

Abb. 51.13 3-state-Gatter
führen, deren Pegel invers zueinander sind. Man spricht dann
von einem AND/NAND-Gatter oder OR/NOR-Gatter. Bau-
steine der ECL-Familie sind bedeutend schneller als andere

+

Bausteinfamilien. Sie erreicht Schaltzeiten von kleiner 1 ns.

R1

R2

R6

Der Grund ist die Konstantstromquelle des Differenzverstär-
kers, der die Transistoren nicht in die Sättigung kommen lässt

V8

(ungesättigte Logik). Ein weiterer Vorteil ist der relativ ho-

V2

A

V10
he Ausgangslastfaktor von 25. Nachteil dieser Technik sind

V7

R7
hohe Verlustleistungen bis 40 mW. Auffallend sind die drei

V1

Betriebsspannungen UEE, UCC1 und UCC2. UCC1 dient als

Q

V4

V6

B

V5

V11

UCC1

UCC2

V3

R3

R4

R5

V9

AB

Abb. 51.14 Low-Power-Schottky-Gatter

AB

A

51.4.4

Schottky-TTL und Low-Power-Schottky

B

Schottky-Dioden besitzen einen Metall-Halbleiterübergang und

Schwellspannungen, die zwischen denen von Germanium- und

Silizium-Dioden bei ca. 0,4 V liegen. Ein Schottky-TTL-Gatter
besitzt wesentlich kürzere Schaltzeiten als ein Standardgatter;
es hat aber den Nachteil, dass die Leistungsaufnahme sehr

UEE
hoch (20 mW) ist. Weitverbreitet sind heute die Bausteine der

LS-Serie (Low-Power-Schottky) wegen der geringeren Leis-

Abb. 51.15 ECL-Gatter mit zwei Ausgängen

642

51 Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

Teil

Tab. 51.3 Kenndaten
r
ve
n-Kanal-In
ter
r
ve
p-Kanal-In
ter

10K-Reihe

100k-Reihe

+

+

VII

Betriebsspannung (V)

5,2

4,5

Low-Pegel (V) <

0,81

0,88

High-Pegel (V) >

1,85

1,81

Q

Ausgangsstrom (mA)

50

55

D

D
tp (ns)

2

0,80

A

B

A

B

G

G

Q

P (mW)

25

40

S

S

Hilfsspannung für Abschlusswiderstände. Häufig werden aber
die beiden Anschlüsse UCC1 und UCC2 gemeinsam auf Masse

A

Q

Bemerkung

A

Q

Bemerkung
zusammengelegt. Tab. 51.3 fasst die Kenndaten dieser Baugrup-

0

1
n-Kanal sperrt

0

1
p-Kanal leitet
pe zusammen.

1

0
l
n-Kana l
t
eite

1

0
l
p-Kana
perr
s
t

Abb. 51.16 n-Kanal- und p-Kanal-Schalter

51.6

Integrierte MOS-Schaltungen

+

Der Vorteil gegenüber Schaltungen in bipolarer Technik ist
der geringere Leistungsbedarf, der allerdings mit zunehmender

V1

Frequenz steigt. MOS-Schaltungen (MOS D Metal Oxide Semi-
conductor) sind sehr hochohmig und nehmen praktisch nur im
dynamischen Betrieb Leistung auf. Weiter lassen sich hohe Pa-

V2
ckungsdichten erreichen, und es werden weniger Einzelschritte

Eingang

Ausgang
bei der Herstellung benötigt. Der Nachteil liegt in der Verarbei-
tungsgeschwindigkeit durch stets vorhandene Streukapazitäten.

MOS-Schaltungen sind somit viel langsamer als Standard-TTL-

Schaltungen. Auch hier haben sich unterschiedliche Familien

Abb. 51.17 CMOS-Inverter
ausgebildet.

Gegenüber MOS-Schaltkreisen ist die Leistungsaufnahme bei

51.6.1

NMOS- und PMOS-Technik
verbesserten Schaltzeiten und größerem Störspannungsabstand
wesentlich kleiner. Gegenüber bipolarer Technik ist die höhere

Integrationsfähigkeit hervorzuheben. Die Pegeländerungen von

Kennzeichen dieser Schaltungstechnik ist, dass sie entweder

H nach L und umgekehrt liegen genau bei halber Betriebsspan-
nur mit NMOS- oder nur mit PMOS-Typen aufgebaut sind.

nung. Aufgrund des sehr hohen Eingangswiderstandes werden

Das Einsatzgebiet der MOS-Technik liegt bei hochintegrierten

CMOS-Schaltungen gegen statische Aufladungen mit Schutz-

Schaltungen wie z. B. der Speichertechnologie. Abb. 51.16 zeigt
schaltungen versehen (Dioden im Ein- und Ausgang). Da die
das Prinzip eines P- und NMOS-Schalters als Inverter mit der je-

FET’s direkt zwischen Betriebsspannung und Masse liegen,
weiligen Wertetabelle. Der n-Kanal-Type leitet bei Ansteuerung
wirkt der durchgeschaltete Transistor immer als Lastwiderstand.

mit einem H-Pegel und der p-Kanal-Type bei Ansteuerung mit

CMOS-Schaltungen besitzen einen großen Spannungsversor-
einem L-Pegel.

gungsbereich (2 bis 15 V) und damit je nach Betriebsspannung
einen großen Störabstand. Aufgrund der niedrigen Leistungs-
aufnahme sind CMOS-Schaltungen auch für den Batteriebetrieb

51.6.2

CMOS-Inverter
gut einsetzbar.

Die CMOS-(Complementary MOS-)Logikfamilie besteht aus

51.6.2.1

4000-Serie

N- und P-Kanal-MOS-Transistoren. Abb. 51.17 verdeutlicht die

Funktion am Beispiel eines Inverters. Je nach Ansteuerung ist

Bei den CMOS-Typen der 4000-Familie unterscheidet man die
immer einer der beiden Transistoren leitend. Bei Ansteuerung
ungepufferte Serie A (ältere Serie) und die gepufferte Serie B.

mit „L“ leitet der p-Kanal V1 und bei Ansteuerung mit „H“

Die Ausgänge der B-Serie sind mit Puffern, die aus Doppelin-
der n-Kanal V2. CMOS-Gatter nehmen praktisch nur im dyna-
verter bestehen, versehen. Abb. 51.18 zeigt ein NOR-Gatter
mischen Betrieb Leistung auf. Die statische Verlustleistung ist
beider Typen. Sobald ein Eingang H-Pegel besitzt, wird V1 oder
nahezu Null, weil stets einer der beiden Transistoren gesperrt ist

V2 gesperrt und ergibt für den Ausgang Q einen L-Pegel. Nur
und damit kein Strom mehr durch die Schaltung fließt.

wenn beide Eingänge mit einem L-Pegel angesteuert werden,
leitet V1 und V2, während V3 und V4 gesperrt sind. In diesem

Die Betriebsspannung kann zwischen 2 und 15 V liegen.

Fall führt der Ausgang H-Pegel.

51.6

Integrierte MOS-Schaltungen

643

Type A

Type B

+

+

A

A

VII

V1

B

B

Teil

V2

Q

Q

V3

V4

V3

A

A

1

Q

1

1

1

Q

B

B

Abb. 51.18 CMOS-NOR

UO

UO

V

V

15

A B

CMOS

5

4

10

TTL

3

2

5

1

UI

UI

0

0

V

V

0

1

2

3

4

5

0

5

10

15

Abb. 51.19 Übertragungskennlinie

Abb. 51.19 vergleicht die Übertragungskennlinien eines Inver-

P
ters beider Serien bei unterschiedlichen Betriebsspannungen.

mW

Das steile Schaltverhalten der B-Serie ist deutlich zu erkennen.

100,0

Die Leistungsaufnahme bei unterschiedlichen Frequenzen be-

10,0
schreibt Abb. 51.20. Erst ab etwa 1 MHz erreichen diese Bau-

LSTTL
elemente die Verlustleistung von LS-Typen.

1,0

Tab. 51.4 gibt die Kenndaten der CMOS-Familie wieder. Bei

0,1

CMOS
positiver Logik liegt die Betriebsspannung zwischen C3 und

C

0,01

15 V. Die Spannung für den H-Pegel muss mindestens 70 %
und für den L-Pegel mindestens 30 % der Betriebsspannung be-

0,001
tragen. Offene Eingänge sind nicht zulässig, und unbenutzte

Eingänge müssen auf Masse (0) oder Betriebsspannung (1) lie-
f

0,0001
gen. CMOS-Gatter dürfen mit ihren Ausgängen nicht parallel

Hz

100

1k 10k 100k 1M 10M
geschaltet werden, weil sich je nach Ansteuerung ein undefi-

Abb. 51.20 Leistungsaufnahme
nierter Ausgangszustand ergibt.

Die Ein- und Ausgänge dieser Schaltungen sind mit Schutzdi-
oden gegen statische Überspannungen gesichert (Abb. 51.21).

state-Schaltungen benutzt werden. Nach Abb. 51.22 wird die

Schaltung bei EN D L in den hochohmigen Zustand versetzt.

Sollen mehrere Bausteine trotzdem eine gemeinsame Signal-

Ist EN D H, wird der anliegende Eingangspegel (L oder H) zum
leitung bekommen, müssen, wie bei den TTL-Bausteinen, 3-

Ausgang Q übertragen.

644

51 Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

Teil

Serie A

Serie B

+

+

VII

V1

V2

V6

V8

V1

V2

V7

V10 V12

V4

V5

V3

V5 V7

V3

V4

V6

V11

V8

V9

Abb. 51.21 Schaltung mit Schutzdioden

OUT

IN

Enabl e

Abb. 51.22 Schaltung mit 3-state

Tab. 51.4 Daten der CMOS-Familie
werden. Eingang und Ausgang können beliebig zugeordnet wer-

4000B

LSTTL

HC

HCT
den. Eine Signalverstärkung erfolgt allerdings nicht. Abb. 51.23

Betriebsspannung

3–15 V

5 V ˙ 5 %

2–6 V

5 V ˙ 10 %
zeigt als Beispiel den Baustein IC 4016 mit seiner Anschlussbe-

Verlustleistung

1 µW

2 mW

2,5 nW

2,5 nW
legung und den Aufbau eines der vier Schalter.

(statisch)

CMOS-Schaltungen müssen aufgrund der extrem hohen Ein-

Verlustleistung

100 µW

2 mW

75 nW

75 nW
gangswiderstände (> 100 M() gegen statische Aufladungen

(100 kHz)

geschützt werden. Sie besitzen daher im Eingang Schutzschal-

Gatterlaufzeit

94 ns

10 ns

8 ns

8 ns
tungen, die je nach Typ und Hersteller unterschiedlich sind. Wie

Max. Taktfrequenz

4 MHz

33 MHz

55 MHz

55 MHz
schon bei der TTL-Familie, bieten auch hier die Hersteller unter-

Ausgangstreiberstrom 0,5 mA

8 mA

4 mA

4 mA
schiedliche Bausteine an. Abb. 51.24 zeigt eine kleine Auswahl
gebräuchlicher IC’s.

51.6.2.2

CMOS-Schalter CMOS-Bausteine

51.6.2.3

High-Speed-CMOS

Der bilaterale CMOS-Schalter besteht aus einem p- und n-

Kanal-MOS. Durch einen L-Pegel am Steueranschluss E0 wer-

Die HC/HCT-Logikreihe (High-Speed-CMOS/HC-TTL kom-
den beide Transistoren mit den Anschlüssen Y0 und Z0 leitend.

patibel) verbindet die Vorteile der bipolaren Technik mit ihrer

Durch einen anliegenden H-Pegel sperren beide Transistoren.

hohen Schaltgeschwindigkeit und die geringere Leistungsauf-

Der Schalter kann für analoge und digitale Signale eingesetzt
nahme der Standard-CMOS-Serie (Tab. 51.2). Dadurch sind

4016 B

Y0

+

Y0

Z0

1

2

# E0

13

V1

V2

4

3

#

5

E0

8

9

#

6

11

10

#

12

Z0

Abb. 51.23 CMOS-Schalter

51.6

Integrierte MOS-Schaltungen

645

4001B

4011B

4030B

4073B

4555B

2

1

0

X/Y

4

1

1

1

1

3

&

1

3

=1

3

2

&

3

2

1

5

2

2

2

9

VII

2

8

6

5

1

5

4

&

5

4

=1

4

3

1

EN

3

7

6

6

6

4

&

6

8

1

10

8

&

8

10

=1

10

5

14

1 X/Y 0

12

9

9

9

Teil

11

13

2

1

11

12

1

12

&

12

=1

12

&

10

11

11

11

2

10

13

13

13

13

EN

15

3

9

VDD 16

GND 8

4068B

40106B

4518B

4502B

4015B

4

0

EN

3

SRG4

1

1

+

12

G1

2

2

9

C1/

5

1

1

1

4

3

1

CT

6

R

4

4

3

4

2

3

1

5

5

3

5

1

6

5

7

6

3

6

6

7

10

7

10

9

1

8

9

1

2

8

0

11

SRG4

+

1

C1/

13

11

1

10

11

10

9

1

10

9

12

CT

13

R

12

13

1

10

12

12

13 13

11

13

11

15

3

14 15

14

10

15

2

VDD 16

GND 8

Abb. 51.24 CMOS-Bausteine

UO

V

V3

5

V1

4

100

170

V4

3

HCT

HC

V2

V5

2

1

UI

0

V

0

1

2

3

4

5

Abb. 51.25 HC-Eingangsschaltung und Übertragungskennlinie
diese Bausteine den 74LS- und 4000-Typen überlegen. Die

51.6.2.4

BICMOS

74HCT-Serie ist TTL-kompatibel und kann bei einer Betriebs-
spannung von 5 V jeden LS-Typ ersetzen, da eine zusätzliche

BICMOS (Bipolar CMOS) vereinigen bipolare mit CMOS-

Kompatibilität der Spannungspegel vorliegt (Tab. 51.5). Zu be-

Technik. Durch die CMOS-Technik wird die Leistungsaufnah-
achten ist aber, dass der Ausgangstreiberstrom nur die Hälfte
me wesentlich gesenkt und durch die bipolare Technik die
des LSTTL beträgt. Die 40xxHC/HCT-Serie ist pinkompati-

Geschwindigkeit erhöht. Zu dieser Serie zählen die Baustei-
bel zur 4000-Serie. Abb. 51.25 zeigt die Eingangsschaltung
ne 74BCxx und 74ABTxx. Während bei den BC-Typen die
einer HCT-Version und die Übertragungskennlinien bei einer

Gatterlaufzeiten bei einer Betriebsspannung von 5 V bei 3,8 ns

Betriebsspannung von 5 V.

liegen, bewegen sich die Gatterlaufzeiten bei ABT unter 3 ns.

Die beiden Widerstände im Eingang und V1 und V2 die-

Die Bauelemente sind funktions- und pinkompatibel zu LS-TTL
nen als Schutzschaltung bei elektrostatischen Entladungen. Im
oder FAST (74F/74S/74HC). Relativ neu ist die Entwicklung

Gegensatz zu LS-Typen besitzen HC-Typen einen größeren Ver-
und das Angebot von Niederspannungsschaltkreisen; sogenann-
sorgungsspannungsbereich (4 bis 6 V). Für die Übergänge von
te 3,3-V-Logikschaltkreise (Low Voltage). Die Verlustleistung

„L“ nach „H“ und umgekehrt liegen die Schaltspannungen bei
dieser Bausteine gegenüber der 5-V-Technik ist etwa um 1=3

30 bzw. 70 % der Betriebsspannung. Abb. 51.26 vergleicht die
niedriger.

Betriebsspannung und die Pegelbereiche der gängigsten Typen.

646

51 Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

Teil

LSTTL

HC

HCT

Betriebsspannung

Ue

Ua

Ue

Ua

Ue

Ua UCC

VII

LS

HCT HC

V

V

V

V

V

V

V

6

6

6

6

H

H

5

5

5

5

4

4

4

4

H

3

3

H

3

3

2

H

2

2

H

2

L

1

L

1

1

1

L

L

L

L

0

0

0

0

UCC

UCC

UCC

4,5V

5,5V

4,5V

5,5V

4,5V

5,5V

Abb. 51.26 Betriebsspannungen und Pegelbereiche

51.7

Interfaceschaltungen
up-Widerstand realisieren. Bei 5 V Betriebsspannung ist auch
eine direkte Kopplung möglich (Tab. 51.5). Abb. 51.27 zeigt

Beispiele, bei denen die Logik-Familien mit unterschiedlichen

Interfaceschaltungen passen die Logikfamilien untereinander

Betriebsspannungen betrieben werden.

an. Das ist bei unterschiedlichen Pegelwerten notwendig. Sie
verbinden auch Logikschaltungen mit weiteren elektronischen

Der Pull-up-Widerstand Rp beträgt 2 bis 10 k( bei der Umset-

Systemen. Die Verbindung von CMOS zu TTL lässt sich über
zung von TTL nach Standard-CMOS. Für die Umsetzung von

Puffer realisieren und von TTL nach CMOS über einen Pull-

Standard-CMOS mit einer Betriebsspannung von 6 bis 15 V

UCC

UCC

UCC

4049

Rp

TTL

Standard

Standard

74HC

CMOS

CMOS

UCC

UCC

UCC

TC5020BP

UCC

U1

U2

IN

OUT

74HC

Standard

74HC

Standard

CMOS

CMOS

Nach Datenblatt der Firma Toshiba

Abb. 51.27 Interface-Schaltungen

51.8

Anwendungsspezifische integrierte Schaltungen

647

Tab. 51.5 Anpassung unterschiedlicher Familien bei 5 V Betriebsspannung

Zu

VII

Von

74HC/5 V

74HCT

4000B/5 V

4000B/6-15 V

TTL

74HC/5 V

Direkt

Direkt

Direkt

Puffer

Direkt

74HCT

Direkt

Direkt

Direkt

Puffer

Direkt

Teil

4000B/5 V

Direkt

Direkt

Direkt

Puffer

Direkt

4000B/6-15 V

Puffer

Puffer

Puffer

Direkt

Puffer

TTL

Pull-up-Widerstand

Direkt

Pull-up-Widerstand

Puffer

Direkt
nach 74HC ist ein zusätzlicher Umsetzer (4049/50B) beispiel-

Gate Array
haft eingesetzt. Das 74HC-Standard-CMOS-Interface wurde
zum einen mit einem Transistor und zum anderen mit einem

Basic cell

Umsetzer (TC5020BP) erreicht.

51.8

Anwendungsspezifische
integrierte Schaltungen

I/O cell

51.8.1

Allgemeines

Standard cells

Um eine gewünschte Schaltung zu realisieren, kann bei der

Entwicklung digitaler Systeme auf Standardbausteine der un-
terschiedlichen Logikfamilien zurückgegriffen werden. Mit ih-
nen werden Baugruppen geschaffen, deren Bausteine durch

Signalverbindungen jeweils miteinander verbunden sind. Je-
der Baustein benötigt eine eigene Spannungsversorgung. Die

ROM

RAM

Größe der Baugruppe ist jeweils von der Komplexität ihrer

Aufgabe abhängig. Soll der Platzbedarf reduziert werden, wer-

RAM
den anwendungsspezifische integrierte Schaltungen (ASIC D

Application Specific IC) gewählt. Sie besitzen eine höhere In-
tegrationsdichte und bei Reduzierung der Systemverlustleistung
eine geringere Ausfallrate in Verbindung mit hoher Flexibili-

Abb. 51.28 Gate-Array und Standard Cells
tät. Anwendungsspezifische integrierte Schaltungen können in
zwei Hauptgruppen unterteilt werden, zum einen in die Grup-
pe der kundenspezifischen IC’s (Custom IC) mit den Bereichen
für Großkunden mit großen Produktionsmengen wirtschaftlich.

der halbkundenspezifischen (Semi Custom) und den vollkun-

Semi-custom-Bausteine umfassen die Typen Gate-Arrays und
denspezifischen (full custom) Schaltungen und zum anderen in

Cell-Arrays oder Standard Cells (Abb. 51.28). Sie sind von den
die Gruppe der programmierbaren Logikbausteine (PLD D Pro-

Herstellern als Gruppen von Gatterbausteinen und Logikzellen
grammable Logic Device).

aufgebaut.

Das für den Anwendungsfall notwendige Systemwissen wird

Ausgangsbasis der Gate-Arrays sind vorgefertigte Grundbau-
vom Anwender selbst eingebracht oder er nutzt Hersteller-
steine aus vielen P- und N-Kanal-MOS-Transistoren, die als

Design-Zentren, die durch Beratung und gezielte Unterstützung

Gatter aufgefasst werden können. Nach Wünschen des Kunden
eine optimale Lösung anstreben.

werden die Basiszellen zu einer Logikschaltung entsprechend
verdrahtet.

Erste Muster für den Kunden sind schon nach wenigen Wochen

51.8.2

Kundenspezifische IC’s
verfügbar, so dass die Entwicklungskosten gegenüber den voll-
kundenspezifischen Schaltungen deutlich niedriger liegen. Der

Silizium-Ausnutzungsgrad bei einem beliebigen Layout liegt

Bei den kundenspezifischen IC’s wird nach Full-custom-
bei etwa 40 %. Bei den Cell-Arrays bedient sich der Entwickler
und Semi-custom-Bausteinen unterschieden. Der Full-custom-
beim Schaltungsentwurf der Zellbibliotheken, die gewünschte

Baustein wird vom Hersteller nach den Kundenanforderungen

Funktionen wie Zähler, Multiplexer oder Speicher beinhalten.

entwickelt und hergestellt.

Im Gegensatz zu den Gate-Arrays, wo Grundfunktionen erstellt

Bei einer relativ langen Entwicklungszeit von über einem Jahr
werden, sind diese „Basiszellen“ mit größeren Teilaufgaben vor-
und dem hohen Fertigungsaufwand sind solche Bausteine nur
gefertigt. Der Entwicklungsaufwand dieser Bausteine ist größer

648

51 Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

Teil
und die Schaltungsentwicklung erfolgt durch Software. Damit

Schaltungsentwurf
ergeben sich kurze Entwicklungszeiten bei niedrigen Kosten. Je

VII
nach Hersteller existieren unterschiedliche Bezeichnungen pro-
grammierbarer Schaltkreise. FPGA (Field programmable Gate

Umsetzung

Array) sind für Logikschaltungen mit bis zu 10000 Gattern pro
in einen

Array universell einsetzbar und schnell umzuprogrammieren.

Logikplan

Ihre Versorgungsspannung beträgt 5 V. PLA (Programmable Lo-
gic Array) eignen sich für Logikschaltungen bis zu 300 Gattern
pro Array. Ihr Betriebsspannungsbereich geht von 2 bis 6 V und

Logiksimulation
ihr Stromverbrauch liegt bei 8 mA. EPLD (Erasable PLD) und

EEPLD (Electrically EPLD) sind weitere Bezeichnungen für
programmierbare Schaltkreise.

Layouterstellung

Bekannte Vertreter dieser Bausteine sind PAL’s und GAL’s.

Im Gegensatz zu den Gate-Arrays kann der Anwender ihre

Funktion durch Programmierung mit entsprechenden Program-

Logiksimulation
miergeräten selbst bestimmen. Hierzu muss die Information in
mit Einfluß der
einer JEDEC-Datei vorliegen. Während GAL’s mehrmals pro-

Verdrahtung
grammiert werden können, kann dies bei PAL’s nur einmal
durchgeführt werden. Die Grundstruktur und die Programmie-

Masken-
rung der unterschiedlichen PLD-Typen sind einander sehr ähn-
herstellung
lich.

Prototyp-

51.8.3.1

PROM
herstellung

PROM-Bausteine (Programmable Read Only Memory) werden
in Abschn. 50.6.3.1 „Speicherbausteine“ beschrieben. An dieser

Stelle soll nur auf die von anderen PLD’s verschiedene Grund-

Muster-
struktur hingewiesen werden. Das AND-Array (UND-Matrix)

untersuchung
ist bei diesen Bausteinen festverdrahtet, während das OR-Array

(ODER-Matrix) einmal programmiert werden kann. PLA’s be-
sitzen eine programmierbare UND- und ODER-Matrix und

Serienfertigung

PAL’s nur eine programmierbare UND-Matrix (Abb. 51.30).

Abb. 51.29 Array-Entwicklung

51.8.3.2

PAL

PAL (Programmable Array Logik) sind Bauelemente, die ei-
ne Logikmatrix enthalten und vom Anwender programmiert
als bei den Gate-Arrays. Da jedoch die Anordnung der Zellen
werden können. Mit ihnen können mehrere kleinere Logik-
und auch die Zellbreite vom Entwickler gewählt werden, ergibt
schaltungen in einem Gehäuse untergebracht werden. PAL’s
sich eine optimal genutzte Chipfläche, die bei hohen Stückzah-
enthalten eine Matrix (Verbindungen aus Zeilen und Spalten)

len Kostenvorteile mit sich bringen kann. Abb. 51.29 zeigt den
und logische Funktionsbausteine wie NICHT, UND, ODER und

Ablaufplan einer Cell-Array-Entwicklung.

Flipflops. Während sich im Eingang eine programmierbare Ma-
trix befindet, ist die nachfolgende ODER-Matrix fest verdrahtet.

Abb. 51.31 zeigt eine UND-Matrix mit intakten Sicherungen.

51.8.3

Programmierbare Logikbausteine

Da der UND-Baustein das invertierte und nichtinvertierte Signal
erhält, ist Q D „0“. Dies wird auch durch die angegebene Glei-

Programmierbare Logikbausteine (PLD D Programmable Lo-
chung deutlich. Eine programmierte Matrix erkennt man an den
gic Device) sind Standardbausteine, deren Funktion erst durch
defekten Sicherungen. Nicht programmierte (intakte) Brücken

Software hergestellt wird. Ihre innere Struktur besteht je

(Fuse = Sicherung) sind an dem Kreuz im Schnittpunkt zu er-
nach Type aus einer programmierbaren UND- und ODER-
kennen. Im nichtprogrammierten Zustand ist der Ausgang der

Matrixschaltung für Ein- und Ausgänge unter Einbeziehung

UND-Verknüpfung immer „0“. Die Verknüpfungsausgänge der
weiterer Logikbausteine wie beispielsweise Flipflops, Regis-

UND-Matrix (Produktlinien) werden dann der ODER-Matrix
ter und Treiberstufen. Der universelle Einsatz derselben Bau-
zugeführt und bei einigen PAL-Bausteinen mit dem Ausgang
steine für unterschiedliche Funktionen ist möglich. Hinzu
verbunden. Abb. 51.32 zeigt hierzu Beispiele.

kommt, dass die Gesamtschaltung in einem IC-Baustein unter-
gebracht werden kann, wozu sonst mehrere TTL- oder CMOS-

Die Bausteine 10L8 und 14L8 zeigen, dass die Ausgänge auch

Standardbausteine nötig wären. Hieran erkennt man den Vorteil
invertiert sein können. Bei den PALTypen können verschiedene
programmierbarer Bausteine gegenüber diskreten Logikbaustei-

Ausgangskonfigurationen bei einer allen gemeinsamen UND-
nen. Ihre Integration ist höher, sie sind flexibler zu handhaben,

Matrix im Eingang unterschieden werden (Abb. 51.33). Man

51.8

Anwendungsspezifische integrierte Schaltungen

649

PROM

PLA

PAL

Matrix

Matrix

Matrix

Matrix

VII

&

&

&

Teil

1

1

1

Abb. 51.30 Strukturen unterschiedlicher PLD’s
nicht programmierte UND-Matrix

A

B

A

B

Q =

A * A * B * B

Fuse

&

Q

&

Q
programmierte UND-Matrix

A

B

A

B

Q =

A * B

Fuse

&

Q

&

Q

Abb. 51.31 Prinzip und vereinfachte Darstellung der Matrix PAL

10H8

10L8

14H4

1

20

1

20

1

20

2

1

19

2

1

19

2

19

3

1

18

3

1

18

3

18

4

1

17

4

1

17

4

1

17
ix
ix
ixtr
atr

5

1

16

5

1

16

5

1

16

-M

D-Ma

6

1

15

6

1

15

6

1

15

UND-Matr

UND

UN

1

1

7

14

7

14

7

1

14

8

1

13

8

1

13

8

13

9

1

12

9

1

12

9

12

10

11

10

11

10

11

Abb. 51.32 Einfache PAL-Bausteine

650

51 Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

Teil

Ausgangskonfigurationen

L-Typen

R-Type

VII

&

1

&

&

&

1

&

1

&

&

&

1D

&

&

&

&

&

C1

Abb. 51.33 Ausgangskonfigurationen

Tab. 51.6 PAL-Typen und Bezeichnungen

Zwei Beispiele sollen das Programmieren von PAL’s veran-

H

UND-ODER (High aktiv)

schaulichen.

L

UND-NOR (Low aktiv)

C

UND-ODER

Beispiel 1

R

UND-ODER-Inverter-Register

X

UND-ODER-EXODER-Register

Ein Decoder soll zur Auswahl dreier Speicher so konzi-
piert werden, wie das die Schaltskizze Abb. 51.35 zeigt.

Zur Verfügung steht ein PAL 12L6. Die Zuordnung der
findet die gewünschten Bauteile anhand der Typenbezeichung

Eingänge und der Ausgänge mit frei wählbaren Namen zu

(Tab. 51.6). Der Typenname beschreibt die Anzahl der Ein- und
den Anschlüssen des PAL-Bausteins ist beliebig. Damit

Ausgänge durch jeweils eine Zahl, während der Buchstabe die
kann das Platinenlayout je nach Wunsch und Notwen-
interne Funktion und Struktur des PAL angibt. Die Zahl nach
digkeit angepasst werden. Hier wurde die Zuordnung
dem Buchstaben gibt die Anzahl der Ausgänge an.

festgelegt.

Abb. 51.34 zeigt am Beispiel des Bausteins 16L8 die Grund-

Zuordnung der Eingangssignale zu den PAL-Anschlüs-
struktur von PAL-Bausteinen. Die UND-Matrix besteht aus ein-
sen:

unddreißig Spalten. Sieben Zeilen werden jeweils der ODER-

Programm: Adressdecoder

Verknüpfung zugeführt und eine Zeile dem Ausgangs-3-state-

Treiber.

CS D pin 1; Freigabeanschluss des Decoders

A11 D pin 2; Anschlüsse an den Adressbus

Um die Programmierung durchzuführen, wird eine JEDEC-

A12 D pin 3

Datei (JEDEC D Joint Device Engineering Council, Komitee

A13 D pin 4
für Standards in der Datentechnik) erzeugt und einem Pro-

A14 D pin 5
grammiergerät zugeführt. Die jeweiligen Verbindungen werden

A15 D pin 6
durch die Programmierung aufgetrennt. Eine Zerstörung der so-
genannten „Security Fuse“ verhindert das Auslesen des PAL’s.

3-state-Ausgang:

Die Schaltungsbeschreibung selbst erfolgt mit Booleschen Glei-
chungen, Wahrheitstabellen, Status-(State-)Diagrammen, Grafi-

CE1.OE D CS
ken oder in einer höheren Programmiersprache. Normalerweise

CE2.OE D CS
kann jeder übliche Editor eingesetzt werden. Bei der Schreib-

CE3.OE D CS
weise gibt es je nach Anwendungsprogramm unterschiedliche

Gleichungen:

Darstellungsformen. Darstellungsformen für Verknüpfungen:

!CE1 D A15 &A14 & A13 & A12 & !A11

!CE2 D A15 & A14 & !A13 & A12 & A11

Funktion

Darstellung

!CE3 D A15 & A14 & !A13 & !A12 & !A11

J

NICHT

=

!

UND

&

ODER

C

|

#

Mit einem Compiler wird eine JEDEC-Datei erzeugt, aus der
ersichtlich ist, an welcher Stelle jeweils eine Sicherung des

Viele Hersteller bieten hierzu Entwicklungskits an, die au-

PAL-Bausteins zerstört bzw. nicht zerstört wurde. Die „0“ gibt
ßer Programmierungsmöglichkeiten zusätzliche Simulations-
die intakte und die „1“ die unterbrochenen Fuse an. Man kann
programme beinhalten. Damit lässt sich bereits statisch fest-
sich auch vorstellen, es sei nur noch dort, wo sich die „0“ be-
stellen, ob der Baustein die gewünschten Funktionen auch
findet, eine Verbindung mit einem Eingang. Abb. 51.36 zeigt
tatsächlich, wie geplant, durchführt.

einen Auszug aus der JEDEC-Datei ab Adresse 0000. Die

51.8

Anwendungsspezifische integrierte Schaltungen

651

1

Adressen 0032 bis 0063 sind gesondert herausgezogen. Hier

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3
sind auch die intakten Sicherungen in den Spalten 1, 4, 8, 12

0
und 16 gekennzeichnet. Sie stellen die jeweiligen Verbindun-

VII

1

1

2
gen zu den Eingängen dar und sind UND-verknüpft. Mit dem

3

19

4

CS-Anschluss wird der Decoder freigegeben (Steuerung der 3-

5

Teil

6
state-Ausgänge).

7

Abb. 51.37 zeigt dies im Zusammenhang mit den Eingängen für

2
einen Ausgang.

8

9

1

Die Funktionsbeschreibung einer Schaltung kann auch mit ei-

10

11
ner Wertetabelle erfolgen (Beispiel 2). Zur Überprüfung können

18

12

13

Testvektoren zugefügt werden. Die mit einem Compiler er-

14
zeugte JEDEC-Datei wird daraufhin softwaremäßig mit einem

15

Simulator getestet. Allen programmierten Zeilen ist eine Adres-

3
se zugeordnet.

16

17

18

1

Beispiel 2

19

17

20

21

Mit dem PAL 16L8 soll eine 7-Segmentanzeige zur Dar-

22

23
stellung in hexadezimaler Form genutzt werden. Im Ge-

4
gensatz zum Beispiel 1 erfolgt die Eingabe hier mit einer

Wertetabelle.

24

25

1

26

Programm: HEX-Decoder mit 7-Segmentanzeige

27

28

16

29

Zuordnung der Eingangssignale zu den PAL-Anschlüs-

30
sen:

31

5

A D pin 2

B D pin 3

32

33

1

C D pin 4

34

35

15

D D pin 5

36

37

Ausgangssignale des Decoders:

38

39
a D pin 19

6
b D pin 18

40
c D pin 17

41

1

42
d D pin 16

43

14

44
e D pin 15

45
f D pin 14

46

47
g D pin 13

7

Wertetabelle:

48

49

1

50

D

C

B

A

W a b c d e f
g

51

13

0

0

0

0

W 1 1 1 1 1 1 0

52

53

0

0

0

1

W 0 1 1 0 0 0 0

54

55

0

0

1

0

W 1 1 0 1 1 0 1

0

0

1

1

W 1 1 1 1 0 0 1

8

0

1

0

0

W 1 0 1 1 0 1 1

56

0

1

0

1

W 1 0 1 1 0 1 1

57

1

58

0

1

1

0

W 1 0 1 1 1 1 1

59

12

0

1

1

1

W 1 1 1 0 0 0 0

60

61

1

0

0

0

W 1 1 1 1 1 1 1

62

1

0

0

1

W 1 1 1 1 0 1 1

63

1

0

1

0

W 1 1 1 0 1 1 1

9

11

1

0

1

1

W 0 0 1 1 1 1 1

1

1

0

0

W 1 0 0 1 1 1 0

Abb. 51.34 PAL 16L8

1

1

0

1

W 0 1 1 1 1 0 1

1

1

1

0

W 1 0 0 1 1 1 1

1

1

1

1

W 1 0 0 0 1 1 1

J

652

51 Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

Teil

Schaltskizze

PAL-Baustein

VII

12L6

CS 1

20

CE1

A11 2

19 CE1

Decoder

ROM

4Kx8Bit

A12 3

18 CE2

CE2

CS

A13 4

17 CE3

CS

CE3

RAM1

A14 5

16

2Kx8Bit

CS

A15 6

15

7

14

RAM2

16Kx8Bit

8

13

CS

9

12

10

11

Abb. 51.35 PAL-Baustein als Decoder

Spalte 0 1

4

8

12

16

31

L0032

1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

&

PIN

A11 2

A12 3

A13 4

A14 5

A15 6

Abb. 51.36 Auszug aus der JEDEC-Datei und Darstellung der UND-Verknüpfung

PIN

Abb. 51.38 zeigt einen Auszug aus der JEDEC-Datei und

Abb. 51.39 einen Auszug aus der Fuse-Map. Die Fuse-Map oder

CS 1

Fuse-Matrix, die ebenfalls vom Compiler erzeugt wird, dient

A11
zur Dokumentation und zur Kontrolle. Sie beschreibt das logi-

A11 2
sche Verhalten des Bausteins. Die Reihen und Spalten sind wie
bei der Bausteinbeschreibung durchnummeriert. 8 Reihen füh-

A12 3

A12
ren jeweils über das ODER-Gatter zum Ausgang. Die Eingänge
steuern die Spalten von 0 bis 31.

A13 4

A13

&

Die Kreuze in der Fuse-Map kennzeichnen hierbei die Verbin-

A14 5

A14
dungen zwischen Reihen und Spalten. Nimmt man beispielswei-
se den Bereich der Reihen 0 bis 7 für den Ausgangsanschluss

A15 6

A15
des Segments „a“, PIN 19, kommt man zu folgender Gleichung:

a D =B =C D C B C C =D C C =D B C =A

Abb. 51.37 Umsetzung der Gleichung für CE1

51.8

Anwendungsspezifische integrierte Schaltungen

653

*L0000

*L0032

*L0064

0

OE

VII

*L0096

1

+

*L0128

2

+

*L0160

3

+ !pin19

*L0256

+

Teil

4

*L0288

5

+

*L0320

6

+

*L0352

7

+

*L0384

*L0512

8

OE

*L0544

9

+

*L0576

10

+

*L0608

11

+ !pin18

*L0640

12

+

*L0672

13

+

*L0768

14

+

15

+

*L0800

*L0832

16

OE

*L0864

17

+

*L0896

18

+

*L0928

19

+ !pin17

*L1024

20

+

*L1056

21

+

*L1088

22

+

*L1120

23

+

*L1152

*L1280

24

OE

*L1312

25

+

*L1344

26

+

27

+ !pin16

*L1376

28

+

*L1408

29

+

*L1440

30

+

*L1536

31

+

*L1568

*L1600

32

OE

*L1632

33

+

*L1664

34

+

*L1696

35

+ !pin15

*C9B81

36

+

*V1

37

+

*V2

38

+

*V3

39

+

*V4

40

OE

41

+

Abb. 51.38 Auszug aus der JEDEC-Datei (Beispiel 2)

42

+

43

+ !pin14

44

+

45

+

46

+

Hierbei gilt folgende Zuordnung:

47

+

A D Spalte 0

48

OE

49

+

/A D Spalte 1

50

+

B D Spalte 4

51

+ !pin13

52

+

/B D Spalte 5

53

+

C D Spalte 8

54

+

55

+

/C D Spalte 9

D D Spalte 12

56

OE

57

+

/D D Spalte 13

58

+

59

+ !pin12

Zum gleichen Ergebnis für das Segment „a“ kommt man, wenn

60

+
die Gleichung aus der Wertetabelle mit Hilfe einer KV-Tabelle

61

+

62

+
vereinfacht wird. Die Software setzt damit nicht nur die Werte-

63

+
tabelle um, sie vereinfacht auch gleichzeitig.

pin2

3

4

5

6

7

8

9
pin1

18

17

16

15

14

13

11

Abb. 51.39 Auszug aus der Fuse-Map (Beispiel 2)

654

51 Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

Teil

1

Eingänge sind wie bei allen MOS-Bausteinen mit +UCC oder

GND zu verbinden. Die Programmierung erfolgt mittels ge-

VII
eigneter Programmiergeräte. Das Auslesen der GAL-Funktion

8

OLMC
kann mit Hilfe einer programmierten Sicherheitszelle verhin-

19
dert werden (Kopierschutz). GAL’s besitzen gegenüber PAL’s

2
eine programmierbare Ausgangszelle (OLMC D Output Logic

Macro Cell).

8

Abb. 51.40 zeigt die innere Struktur dieses Bausteins mit seiner

OLMC

18

Anschlussbelegung. Die programmierbare UND-Matrix ist wie

3
bei den PAL-Bausteinen aufgebaut. Für jeden Ausgang ist eine
programmierbare Ausgangszelle vorgesehen.

Abb. 51.41 zeigt eine der OLMC’s im Zusammenhang und ihre

8

OLMC

17

Programmiermöglichkeiten. Je nach zugeführtem Kontrollwort
ergibt sich eine der aufgeführten Ausgangskonfigurationen.

4

Zur Programmierung von GAL-Bausteinen sind Programmier-
geräte erforderlich. Ihre Handhabung ist einfach, da sie nur

8

OLMC

16
an einem Computer angeschlossen werden. Der Schaltungsent-
wurf hängt vor allem von den Möglichkeiten der zugehörigen

5

Software ab. Die eigentliche Programmierung erfolgt wie bei
den PAL-Bausteinen. Nach der Eingabe von Boole’schen Glei-
chungen oder von Wertetabellen mit einem Editor erzeugt

8

OLMC

15
ein GAL-Assembler die erforderliche JEDEC-Datei. Die An-
schlussbelegung für den Programmierbetrieb unterscheidet sich

6
vom Arbeitsbetrieb nach Abb. 51.42. An den Anschlüssen

RAG0 bis RAG5 erfolgt die Adressierung der 64 Zeilen des

8

Bausteins. Die Daten werden seriell mit dem Anschluss CLK

OLMC

14
dem Dateneingang SDIN zugeführt und zu Kontrollzwecken

7

(verify) dem Datenausgang SDOUT entnommen.

Abb. 51.43 zeigt das Prinzip mit der Zuordnung der Adres-
sen. Am Anschluss P, /V wird dem Baustein mitgeteilt, ob

8

OLMC

13
programmiert oder ob Daten ausgelesen werden sollen. Im Pro-
grammierbetrieb muss dem Anschluss EDIT eine Spannung von

8

16,5 V zugeführt werden.

8

OLMC

12

51.8.3.4
pLSI, ispLSI

9
pLSI-Bausteine (pLSI D programmable Large Scale Integra-
tion) und ispLSI (in-system pLSI)-Bausteine der Firma Lattice
gehören zu den PLD’s, mit denen auch komplexere Schaltungen

11
realisiert werden können. Im Abb. 51.44 ist die Struktur dieser

Bausteine beispielhaft dargestellt. Tab. 51.5 gibt eine Übersicht
über die Familienmitglieder.

Abb. 51.40 GAL 16V8

Im GRP (Global Routing Pool) liegen die Verbindungen zu den

GLB’s (Generic Logic Blocks) und zu den Ein- und Ausgän-

51.8.3.3

GAL
gen. Das Prinzip eines GLB beschreibt Abb. 51.45. Über 18

Eingänge können 20 Produktterme gebildet und den Ausgängen

GAL’s (Generic Array Logic) sind von der Firma Lattice
kombinatorisch über AND, OR oder XOR oder über Register

Semiconductor entwickelt worden. Sie können als eine Wei-
zugeführt werden. Bei den Registern kann man zwischen D-, T-
terentwicklung der PAL’s aufgefasst werden. Diese Bausteine
und JK-Registern wählen.

können PAL’s ersetzen und bis zu 100mal elektrisch gelöscht
und neu programmiert werden. Nach Lattice wird ein Datener-

Zur Programmierung der ispLSI-Bausteine ist kein externes
halt von 20 Jahren garantiert. Die CMOS-Bausteine besitzen

Programmiergerät erforderlich. Die Pro- grammierdaten werden

TTL-kompatible Ein- und Ausgänge, und die Verzögerungszei-
dem Baustein über ein Interface von der Druckerschnittstelle des
ten liegen je nach Type zwischen 10 und 35 ns. Unbenutzte

PC zugeführt.

51.8

Anwendungsspezifische integrierte Schaltungen

655

OLMC als Ausgang

OLMC als Eingang

VII

VCC
ix
ix

1

Teil

-Matr

-Matr

=1

UND

UND

XOR(n)

OLMC als Ein-/Ausgang

OLMC als Registerausgang
rix
ix

1

1
atr

=1

=1

1D

UND-Mat

UND-M

C1

XOR(n)

XOR(n)

CLK

OE

Abb. 51.41 OLMC und ihre Programmiermöglichkeiten

CLK

Normalbetrieb

Programmierbetrieb

SDIN

Schieberegister

SDOUT

GAL16V8

GAL16V8

63

32

31

0

0

1

I/CLK

VCC

20

1

VIL

VCC

20

2

I

I/O/Q

19

2

EDIT

P/V

19

Matrix

Matrix

3

I

I/O/Q

18

3

RAG1

RAG0

18

4

I

I/O/Q

17

4

RAG2

VIL

17

31

32

Elektr. Signatur

Elektr. Signatur

5

I

I/O/Q

16

5

RAG3

VIL

16

6

I

I/O/Q

15

6

RAG4

VIL

15

33

Reservierter Adreßbereich

7

I

I/O/Q

14

7

RAG5

VIL

14

59

8

I

I/O/Q

13

8

SCLK

VIL

13

60

Architektur-Kontrollwort

82 Bits

9

I

I/O/Q

12

9

SDIN

SDOUT

12

61 SECURITY CELL

62 RESERVED

10

GND

I/OE

11

10

GND

STR

11

63 BULK ERASE

Abb. 51.43 Interne Struktur des GAL 16V8

Abb. 51.42 Anschlussbelegung im Arbeits- und Programmierbetrieb

656

51 Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

Teil

I/O

I/O

I/O

I/O

IN

VII

RESET

Output Routing Pool

IN

Generic Logic Block D7 D6 D5 D4 D3 D2 D1 D0

A0

C7

I/O

I/O

A1

C6
ool

A2

C5
oolP

I/O

I/O

A3

C4

A4

C3

I/O

I/O

A5

C2

Output Routing P

Global Routing Pool

Output Routing

A6

C1

I/O

I/O

A7

C0

SDI/IN

B0

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

MODE/IN 1

Clock

Output Routing Pool

Network
ispEN

I/O

I/O

I/O

I/O

Abb. 51.44 Baustein 1032

Product

Term

Ausgänge zu
von GRP

Logic Array

OLMC

Sharing

GRP, ORP oder I/O

18

20

4

4

Array

Abb. 51.45 Prinzip GLB
pLSI- und ispLSI-Familie:

Über eine programmierbare Schaltermatrix (Abb. 51.46) kön-
nen jeweils Schalterverbindungen von Ax nach Bx hergestellt

Type

1016

1024

1032

1048
werden. Hierbei ergeben sind nach Abb. 51.47 verschiedene
f max (MHz)

80

80

80

70

Konfigurationsmöglichkeiten. Der Baustein erlaubt Signallauf-
tpd (ns)

15

15

15

20
zeiten von 7,5 ns und benötigt einen Strom im Stand-by-Betrieb

GLB’s

16

24

32

48
von 25 mA.

Register

96

144

192

288

I/O

36

54

72

106

In der Funktionstabelle sind die verschiedenen Programmier-

Pin/Gehäuse

44/PLCC

68/PLCC

84/PLCC

120/PLCC
möglichkeiten aufgeführt. Beispielsweise ist der Schalter S nur
geschlossen, wenn C0 H-Pegel und C1 L-Pegel besitzt. Durch

C0 D „0“ wird der 3-state-Treiber, der das Signal vom Multi-

Beispiel
plexer erhält, gesperrt.

Schalter ispGDS22

Die Programmierung des Bausteins kann beispielsweise über
eine parallele Schnittstelle eines Mikrocontrollersystems oder

Es handelt sich hierbei um programmierbare Schalter
über den PC und ein Interface direkt erfolgen. Hierbei sind

(GDS D General Digital Switch) der Firma Lattice Semi-
jeweils nur 4 Zuleitungen nötig (Abb. 51.48). Die Program-
conductor. Sie ersetzen die bekannten mechanischen DIP-
mierdaten müssen mit Hilfe eines Taktes (CLK) seriell am

Schalter. Die Bezeichnung isp (in-system programmable)

Bausteinanschluss SDIN eingelesen werden. Die Betriebsart
bedeutet, dass es sich um einen im System programmier-
wird am Anschluss MODE durchgeführt, und die Kontrolle er-
baren Baustein handelt. Weitere Bausteine dieser Serie
folgt durch Lesen der Daten am PIN SDOUT.

sind die IC’s ipsGD18 und ipsGD14. Sie unterscheiden
sich nur in der Zahl der Anschlüsse und damit der Anzahl

Abb. 51.49 beschreibt über das State-Diagramm die notwen-
der programmierbaren Schalter.

J
digen Programmierzustände. Die Pegelzustände sind für die

Signale MODE und SDIN beschrieben. Um beispielsweise die

51.8

Anwendungsspezifische integrierte Schaltungen

657

Schalter
x
matri

A0

I/O
l

Cel

VII

A1

I/O
l

Cel
ispGDS22

1

A0

B0

28

A2

I/O
l

Cel

Teil

2

A1

B1

27

3

A2

B2

26

A3

I/O
l

Cel

4

N

SDI

SDOUT

25

A4

I/O
l

Cel

5

A3

B3

24

6

A4

B4

23

A5

I/O
l

Cel

7

VCC

B5

22

8

A5

GND

21

A6

I/O
l

Cel

9

A6

B6

20

10

A7

B7

19

A7

I/O
l

Cel

11

MODE

SCLK

18

A8

I/O
l

Cel

12

A8

B8

17

13

A9

B9

16

A9

I/O
l

Cel

14

0

A1

B10

15

A10

I/O
l

Cel

B10 B9 B8 B7 B6 B5 B4 B3 B2 B1 B0

Abb. 51.46 Schaltermatrix und Bausteinanschlüsse des ipsGDC22

I/O Macrocell Konfiguration

VCC

MC-System
ispGDS

S

MUX

C1

0

0

C2

1 G

SDIN

3

Q

SCLK

MODE

I/O-Port

SDOUT

Schalter

Matrix

C0

Abb. 51.48 Anschluss an ein MC-System

Funktionstabelle

Die einfache Programmierung dieses Bausteins zeigt das nach-

C2

C1 C0

Q

Bemerkung
folgende Programm: Die Schalterfunktion ist aus der Zuwei-

0

0

0

0

(TTL Low)

0

1

0

1

(TTL High)

sung der PIN’s ersichtlich. PIN 20 soll aktiv „H“ und PIN 19

1

0

0

0

(Aktiv Low)

aktiv „L“ sein.

1

1

0

1

(Aktiv High)

title = ’Stupid cross connect test’

1

0

1

X

(Eingangspegel)

"device = ispgds22

"Network

Abb. 51.47 Konfigurationsmöglichkeiten
pin 27 = pin 2
pin 26 = pin 3
pin 5 = pin 24
pin 6 = pin 23

Identifikationsnummer des Bausteins lesen zu können, wird der
pin 20 = h
pin 19 = l

Baustein mit MODE D „H“ und „SDIN“ D „L“ unter Zufüh-
pin 17 = pin 8
rung eines Taktes am Anschluss SCLK in den Ausgangszustand
pin 16 = pin 9

(Normal Operation) gebracht. Anschließend wird mit 7 Takten
pin 15 = pin 10
die 8-Bit-Information am Anschluss SDOUT ausgegeben.

JEDEC file for ispGDS22, created by GASM v1{,}0

658

51 Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

Teil

State Diagramm

VII

Load

Shift

Load

Execute

ID

ID

Command

Command

HL

LX

LX

LX

Idle State

Shift State

Execute State

HH

HH

(Normal

(Load

(Execute

Operation)

Commands)

Command)

HL
nach Datenblatt der Firma Lattice

Abb. 51.49 State-Diagramm

*
title = ’Schalter Test1’

F0*

"device = ispgds18

QP28*QF219

"Network

L0000
pin 24 = pin 1

11111111110
pin 24 = pin 1

11111111101
pin 24 = pin 1

11111111011
pin 24 = pin 1

11111110111
pin 24 = pin 1

11111101111
pin 24 = pin 1

11011111111
pin 24 = pin 1

1011111111
pin 24 = pin 1

0111111111
pin 24 = pin 1

1111111111

1111111111

Nach Aufruf des Assemblers erscheint die nachfolgende Mel-

1111111111*
dung:

L0121

00000000000000000000000000000000*

GASM: ispGDS Assembler

L0153

0001110000011111100111*

L0175
copyright © 1992 Lattice Semiconductor, written by Guy Town-

1110011011111100011000
send

L0197

1111110011111111111111*

Reading Source File

C1464*

Für viele Logik-Compiler besteht die Schaltungsbeschreibung

Fuse Checksum =
aus einem Deklarationsteil und einer Beschreibung der ge-

JEDEC file successfully written to disk
wünschten Logik. Im Deklarationsteil wird der gewählte Bau-
stein eingetragen und in einem weiteren Teil erfolgt für die

DOC file successfully written to disk

Anschlussbelegung eine gewünschte sinnvolle Namenszuord-
nung (Definition der Signale). Bei einigen Compilern sind

Der JEDEC file gibt Aufschluss über die jeweiligen Verbindun-

Kenntnisse über die Innenschaltung des Bausteins (Datenbuch)

gen, die an der „0“ zu erkennen sind.

zur Beschreibung erforderlich, um Ein- und Ausgänge nicht
zu vertauschen. Andere Compiler geben eine Maske mit der

JEDEC file for ispGDS18, created on 1/4/1994

Anschlussbelegung des Bausteins aus. Das nachfolgende Pro-
gramm dient als Beispiel.

Created by GASM v1,0

51.9

Gehäuse

659

P-LCC44

P-DIP 14

1-40

VII

Teil

14

1

Plastic package

(Plastic dual inline package)

40-LEAD TSOP

C-QFP-24

24

1

Ceramic package

1

P-ZIP-20/19

C-PGA 68

68

Plastic zigzag inline package

Ceramic pin grid array

Abb. 51.50 Gehäuseformen

51.9

Gehäuse

Die Hersteller bieten digitale Schaltungen in unterschiedli-
chen Gehäusen an. Bei den Standardbausteinen verwendet
man hauptsächlich das DIL-(Dual-In-Line-)Gehäuse. Der PIN-

Abstand beträgt hierbei 1/10 Inch (2,54 mm). Bei Prozessoren
und Controllern werden PLCC-(Plastic Leadless Chip Carrier-)

Gehäuse eingesetzt. Das nachfolgende Abb. 51.50 gibt eine

Übersicht gängiger Gehäuseformen mit ihren Bezeichnungen.

Mikrocomputertechnik

VII

52 Teil

Heribert Gierens

52.1 Komponenten eines Mikrocomputers . . . . . . . . . . . . . . . . . 662

52.2 Mikroprozessoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662

52.3 Halbleiterspeicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676

52.4 Peripheriebausteine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689

52.5 Mikrocontroller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708

52.6 Maschinensprache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718

52.7 Befehlsvorrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726

52.8 Hinweise zur Programmierung und Progammbeispiele . . . . . . . 726

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

661

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_52

662

52 Mikrocomputertechnik

Teil

52.1

Komponenten eines

52.2

Mikroprozessoren

VII

Mikrocomputers

52.2.1

Allgemeines

Mikrocomputer (Abb. 52.1) bestehen aus hochintegrierten

Funktionseinheiten wie der Zentraleinheit (CPU D Central-

Man unterscheidet nach der Architektur der CPU CISC-Prozes-

Process-Unit), dem eigentlichen Mikroprozessor, Speicher-
soren (Complex Instruction Set Computer), RISC-Prozessoren
einheiten, wie ROM (Read Only Memory D Nur-Lese-

(Reduced Instruction Set Computer) und Signalprozessoren.

Speicher) und RAM (Random-Access Memory D Schreib-

Das RISC-Konzept unterscheidet sich von der in PC’s (Perso-

Lese-Speicher), die das auszuführende Programm in Maschi-
nal Computer) eingesetzten CISC-CPU, die viele Befehle mit
nensprache enthalten sowie Ein- beziehungsweise Ausgabeein-
komplexen Funktionen und damit mehreren Maschinenzyklen
heiten, die die Verbindung mit peripheren Geräten wie Steuer-
besitzt, im Wesentlichen durch einen gekürzten, einfacheren Be-
und Messeinrichtungen oder Bildschirm, herstellen.

fehlssatz und durch eine schnellere Befehlsabarbeitung, da die
meisten Befehle nur einen Maschinenzyklus benötigen. Wäh-

Ein- und Ausgabeeinheiten werden auch als Schnittstellen (In-
rend RISC- und CISC-Prozessoren nach dem Prinzip der Rech-
terfaces) bezeichnet. CPU, Speicher und E/A-Einheit ergeben
nerarchitektur arbeiten;wie sie von Von Neumann entwickelt
die Hardware des Mikrocomputers. Untereinander verbunden
wurde, besitzen digitale Signalprozessoren eine Architektur, bei
sind die Hardwarekomponenten durch Leitungen, denen un-
der die Bussysteme für Daten und Programme getrennt sind. Al-
terschiedliche Aufgaben zugeordnet sind. Die jeweils parallel
le Befehle, die von der CPU ausgeführt werden können, stellen
liegenden Leitungen werden auch Bussystem genannt. Man un-
den Befehlssatz (Instruction Set) des Prozessors dar. Der Mi-
terscheidet daher nach Daten-, Adress- und Steuerbus. Damit
kroprozessor kann nur Befehle ausführen, die in binärer Form
der Mikroprozessor Funktionen ausführen kann, ist außerdem
vorliegen (Maschinensprache). Der von den Prozessoren an-

Software erforderlich, wie beispielsweise das Betriebs- oder
gesprochene mögliche Adressraum ist von der Anzahl seiner

Startprogramm.

Adressleitungen abhängig. Hieraus ergibt sich die mögliche

Informationsmenge (Speicherkapazität), die der Prozessor ver-
arbeiten kann. Der Adressbus ist unidirektional ausgelegt, da

MP
die Adressen nur von der CPU aus übertragen werden, während
der Datenbus, über den der gesamte Datenverkehr abgewickelt
wird, bidirektional ausgelegt ist, weil Daten von der CPU und

Zentraleinheit
zur CPU gelangen müssen. Eine wichtige Kenngröße ist die

Breite des Datenbusses. Man unterscheidet je nach Datenverar-
beitungsbreite 8-Bit-, 16-Bit-, 32-Bit- und 64-Bit-Prozessoren.

Die Leistungsfähigkeit von Prozessoren wird durch die Zahl
möglicher Befehle pro Sekunde (MIPS = Million Instructions

Per Second) bestimmt. Dies hängt wesentlich von der Takt-
frequenz ab, mit der das System arbeitet. Mit dem Steuerbus

Speichereinheit
bestimmt die CPU, mit welchen Baugruppen (z. B. Speicher
oder E/A-Bausteine) eine Kommunikation stattfinden soll.

52.2.2

Architektur

Ein/Ausgabe

Mikroprozessoren besitzen weitgehend gleiche Grundfunkti-
onseinheiten wie Steuerwerk, Rechenwerk und Speicher- oder

Registerwerk. Über ein internes Bussystem (Adressen-, Daten-
und Steuerbus) erhält der Prozessor Zugang zu den Einheiten
des Mikrocomputers. Das Steuerwerk holt einen Befehl von

Peripherie
einer externen Speicherstelle zur CPU und decodiert ihn im Be-
fehlsregister. Unter eventueller Einbeziehung von Rechen- und

Abb. 52.1 Mikrocomputersystem

Registerwerk veranlasst das Steuerwerk dann die Ausführung

52.2

Mikroprozessoren

663

Befehl

VII
aus dem Speicher
holen

Teil

Steuerwerk

Befehls-

Befehl

Rechenwerk

Speicherwerk

Decodierung
dekodieren

Befehls-

Ausführung

Befehl
ausführen

Abb. 52.2 Operationsprinzip

Steuerwerk

Rechenwerk

Interner

Datenbus

Befehls-

Flag-

Arbeits-

Register

Register

Register

Befehls-

Decoder

Akkumulator

Stapel-

Steuerung

ALU
zeiger

Zwischen-

Befehls-

Register
zähler

Adreßbus

Steuer- und Meldeleitungen

Abb. 52.3 Blockbild einer CPU
des Befehls. Der Mikroprozessor arbeitet dabei in zyklischen
der Zustandsbits Sprünge zu programmieren (siehe auch Ab-

Zeitabläufen. Er liest einen Befehl (Fetch), führt die Operation
schn. 52.6 „Maschinensprache“). Dem Rechenwerk ist ein Spei-
durch (Execute) und holt den nächsten Befehl (Von Neumann
cherwerk angeschlossen. Dort befinden sich allgemeine Register

Architektur und Operationsprinzip) (Abb. 52.2).

(Arbeitsregister), in denen vorübergehend Zwischenergebnisse
abgespeichert werden können. Ein Register besitzt meist eine

Die Aufgabe des Steuerwerkes besteht in der Befehlsannahme
auf ein Datenwort beschränkte Kapazität (8-, 16- oder 32-Bit).

durch ein Befehlsregister (Instruction-Register), der anschlie-
ßenden Decodierung und der Steuerung zur Durchführung des

Register mit bestimmten Aufgaben sind der Befehlszähler

Befehls. Bei der Decodierung wird die eingehende Bit-Folge

(Program-Counter) und der Stapelzeiger (Stackpointer). Der
in ein Mikroprogramm umgewandelt. Ferner muss das Steuer-

Befehlszähler zeigt immer auf die nächstfolgende Adresse,
werk auf externe Signale reagieren. Beispielsweise muss nach
die der Prozessor abarbeiten soll. Er erhöht sich nach jedem
einem RESET der Anfangszustand der CPU erreicht werden.

Adressenaufruf automatisch jeweils um 1 und legt damit die

Abb. 52.3 zeigt schematisch die wesentlichen Bestandteile ei-

Reihenfolge der Operationen fest. Speicherstelle für Speicher-
nes Prozessors, die nachfolgend beschrieben und am Beispiel
stelle wird somit nacheinander abgearbeitet (Abb. 52.4).

der 8-Bit-Prozessoren 8085 und Z80 konkretisiert werden.

Nur bei Sprungbefehlen, Unterprogrammaufrufen oder Unter-
brechungsanforderungen wird der Befehlszähler auf einen neu-

Das Rechenwerk mit dem Akkumulator und dem Zwischenre-
en Wert gesetzt.

gister, in denen sich die Operanden befinden, kann arithmetische
und logische Operationen mit Hilfe der ALU (Arithmetic-Logic-

Der Stapelzeiger (siehe auch Abschn. 52.6 „Maschinenspra-

Unit) durchführen. Die ALU besteht im Prinzip aus einem
che“) ist ein besonderer Adressenzeiger, der immer auf die

Paralleladdierwerk und einer logischen Einheit, mit der die

Adresse des Stapelspeichers zeigt, in der die letzte Einga-

Verknüpfungen NICHT, UND, ODER und XOR durchgeführt
be erfolgte (Ende des Stack). Als Stapelspeicher (Stack oder
werden können. Das Kennzeichen-, Status- oder Flagregister

Kellerspeicher) kann jeder beliebige Teil des Arbeitsspeichers
gibt Aufschluss über die Ergebnisse der Operationen, beispiels-

(RAM) verwendet werden. Bei jeder Dateneingabe wird der Sta-
weise ob das Ergebnis Null (Zero) war oder ob ein Übertrag
pelzeiger decrementiert (erniedrigt), so dass sich der „Stapel“

(Carry) aufgetreten ist. Es wird so möglich, in Abhängigkeit
von einer vorgegebenen Adresse zu immer niedrigeren Adres-

664

52 Mikrocomputertechnik

Teil

Speicher

Tab. 52.1 Übersicht gängiger Mikroprozessoren

Adresse

Inhalt

Typ

Adressraum Datenbus

Adressbus

Taktfrequenz

VII

0000

Befehl 1

Adress-/Datenbus

0001

Befehl 2

6502

64 kB

D0 . . . D7

A0 . . . A15

4 MHz

Befehlszähler

0002

Befehl 3

Z80

64 kB

D0 . . . D7

A0 . . . A15

4 MHz

8080

64 kB

AD0 . . . AD7

A8 . . . A15

4 MHz

0000

8085

64 kB

AD0 . . . AD7

A8 . . . A15

4 MHz

0001

0002

8086

1 MB

AD0 . . . AD15

A16 . . . A19 10 MHz

+1

68000

16 MB

D0 . . . D15

A0 . . . A23

16 MHz

80286

16 MB

D0 . . . D15

A0 . . . A23

16 MHz

68020

4 GB

D0 . . . D31

A0 . . . A31

16 MHz

Abb. 52.4 Prinzip Befehlszähler

80386

4 GB

D0 . . . D31

A0 . . . A31

16 MHz

80486

4 GB

D0 . . . D31

A0 . . . A31

25 MHz

Last in

First out

Tab. 52.2 Bedeutung der Anschlüsse

Daten

AD0 . . . AD7

Adress-/Datenbus

A8 . . . A15

Adressbus

Daten

/RD

Ausgangssignal zum Lesen einer Speicher-

Daten
stelle oder eines Portbausteins

/WR

Ausgangssignal zum Schreiben einer Spei-

Arbeitsspeicher
cherstelle oder eines Portbausteins

ALE

Steuersignal zur Adressenzwischenspeiche-

Abb. 52.5 Lifo-Prinzip
rung des L-Adressbytes

X1, X2

Quarzanschluss

IO//M

E/A-Bausteine und Speicherunterscheidung
sen aufbaut. Die Daten werden in der Reihenfolge, in der sie

S0, S1

Kontrollsignale und Statussignale
eintreffen, auf den Stack gebracht und müssen in umgekehrter

Trap

Interrupteingänge mit festen Verzweigungs-

Reihenfolge zurückgeholt werden (Abb. 52.5). Man bezeichnet
adressen
ihn daher auch als LIFO-Speicher (Last In, First Out).

RST7.5, RST6.5, RST5.5 Interrupteingänge mit festen Verzweigungs-
adressen

Aufgabe des Stack ist es, bei Interrups (Unterbrechungsanfor-

INTR

Interrupteingang mit vereinbarter Verzwei-
derungen) oder Unterprogrammaufrufen die Hauptprogramm-
gungsadresse
adresse zu speichern, um nach Rückkehr in das Hauptprogramm

/INTA

Interruptbestätigung von INTR
bei richtiger Adresse mit dem Programm fortfahren zu kön-

SID

Serieller Eingang
nen (siehe auch Abschn. 52.6 „Maschinensprache“). Außerdem

SOD

Serieller Ausgang
dient er zur Datensicherung der Arbeitsregister des Hauptpro-

HOLD

Eingang zur Abkopplung der CPU (Aufruf
gramms, wenn einzelne Register im Unterprogramm benötigt
externer Geräte)

werden.

HLDA

Bestätigung von HOLD durch die CPU

/RESET IN

Rücksetzen (ADR 0000)

Um die genaue zeitliche Folge der Vorgänge (Timing) durchfüh-

RESET OUT

Quittung auf RESET IN
ren zu können, benötigt der Prozessor einen quarzgesteuerten

READY

Wartezustand der CPU

Taktgenerator. Dieser liefert das Bezugssignal für alle Abläu-
fe in einem Mikroprozessorsystem und bestimmt damit die

Arbeitsgeschwindigkeit des Mikrocomputers. Bei einigen Pro-
zessoren ist der Generator integriert, so dass nur noch ein

52.2.4

8-Bit-Mikroprozessoren
externer Quarz angeschlossen werden muss.

52.2.4.1

8085-CPU

52.2.3

Übersicht gängiger Mikroprozessoren

Abb. 52.6 zeigt die Pinbelegung (Anschlussbelegung) und
den Registerplan, Abb. 52.7 die Architektur des Prozessors.

Tab. 52.2 gibt die Bedeutung der Anschlüsse wieder. Der Pro-

Tab. 52.1 zeigt Beispiele gängiger Mikroprozessoren mit mög-
zessor 8085 ist mit den 8-Bit-Arbeitsregistern B, C, D, E, H
lichem Adressraum, Daten- und Adressbusbreite und Taktfre-
und L und den 16-Bit-Registern Stapelspeicher, Befehlszähler
quenz. Die Mikroprozessoren einer Familie mit weitergehenden
und Adressenzwischenspeicher ausgestattet. Die Arbeitsregister

Eigenschaften können Maschinenprogramme ihrer Vorgänger-

B/C, D/E und H/L stehen für die Datenspeicherung und bei der
typen ausführen, sie sind also aufwärtskompatibel.

Durchführung von Befehlsoperationen zur Verfügung.

52.2

Mikroprozessoren

665

8085

1

12

X1

AD0

13

AD1

14

VII

AD2

15

AD3

2

16

X2

AD4

17

Teil

AD5

18

AD6

9

19

RST5

AD7

8

21

RST6

A8

7

22

RST7

A9

23

Akkumulator

A10

Flag-Register

10

24

INTR

A11

6

25

TRAP

A12

B-Register

C-Register

36

26

RESIN

A13

27

A14

39

28

D-Register

E-Register

HOLD

A15

35

READY

32

H-Register

RD

L-Register

5

31

SID

WR

37

CLKO

30

ALE

Stapelzeiger

29

S0

33

S1

34

IO/M

Befehlszähler

38

HLDA

3

RESO

4

SOD

11

INTA

Abb. 52.6 PIN-Belegung und Registerplan der 8085 CPU

SOD

SID

INTA INTR RST5.5

RST6.5 RST7.5 TRAP

Steuerung für
serielle

Unterbrechungssteuerung

Ein- und Ausgabe

Befehls-

Akkumulator

Zwischen-

Flag-

B-Register

C-Register

Register

Register

Register

D-Register

E-Register

Decoder

H-Register

L-Register

ALU

Stapelzeiger

Befehlszähler

X1

X2

Adressen-

CLK
zwischenspeicher

Zeit- und Ablaufsteuerung

READY

RESET IN

Adressenpuffer

Daten/Adressen-

RESET OUT

HLDA HOLD IO/M SI SOWR RD ALE
puffer

A8..A15

AD0..AD7

Adreßbus

Adreß/Datenbus

Abb. 52.7 8085-Prozessor CPU

666

52 Mikrocomputertechnik

Teil

CPU

+

Akkumulator, Zwischenregister und ALU mit Flagregister und

Befehlsregister sind ebenfalls für die Aufnahme von 8 Bit

VII

1D

1
konstruiert. Die Arbeitsregister B/C, D/E und H/L können als

X1

C1

Registerpaare (RP) zusammengefasst werden, um 16 Bit auf-
nehmen zu können.

X2

Die Funktionen innerhalb des Prozessors werden durch die

Zeit- und Ablaufsteuerung bestimmt. Der Baustein besitzt hier-
zu einen internen Generator, der nur von einem zusätzlichen

Quarz beschaltet werden muss. Eine Taktgeberschaltung erzeugt

CLK OUT
die entsprechenden Taktsignale. Der Ausgang CLK gibt die hal-

Abb. 52.8 Takterzeugung
be Quarzfrequenz aus (Abb. 52.8).

Der Adressbus ist 16 Bit breit. A0 bis A7 (niederwertiges

Adressbyte) wird über den Daten-/Adressbus AD0 bis AD7
im Zeitmultiplexbetrieb übertragen. Mit Hilfe der Steuerleitung

8085

ALE (Address Latch Enable) können die Adressen zwischenge-

AD0/AD7

D0..D7
speichert werden (Abb. 52.9).

Die Anschlüsse A8 bis A15 entsprechen dem höherwertigen

1D

A0..A7

Adressbyte des Adressbusses. Mit 16 Adressleitungen wird der
mögliche Adressraum 216 kB D 65:536 kB D 16 kB groß. Da

EN
der zeitliche Verlauf der Daten und Adressen bei Darstellung je-

ALE

C
der Bit-Position unübersichtlich wird, werden hier Daten- und

A8..A15

A8..A15

Adresseninhalte schematisch in einem Liniendiagramm zusam-
mengefasst. Abb. 52.10 verdeutlicht dies an einem Beispiel.

Während die Adressen A8 bis A15 konstant bleiben, werden die

Abb. 52.9 Adressenzwischenspeicher

Adressen A0 . . . A7 und Daten D0 bis D7 umgeschaltet. Adres-

Adresse

Daten

Darstellung im Liniendiagramm

0

AD0

1

0

D0..D7

AD1

1

A0..A7

0

0

AD2

10

EB

0

AD3

1

0

AD4

1

0

AD5

1

0

AD6

1

0

AD7

1

A8

1

A9

1

A8..A15

A10

1

EF

A11

1

0

A12

A13

1

Adresse:

10EF

Daten:

EB

A14

1

A15

1
t

Abb. 52.10 Darstellung der Daten und Adressen

52.2

Mikroprozessoren

667

T1

T2

T3

T1

T2

T3

VII

CLK

CLK

Teil

A8..A15

A8..A15

IO/M

IO/M

A0.A7

D0..D7

A0.A7

D0.D7

AD0..AD7

AD0..AD7

ALE

ALE

WR

RD

Speicher schreiben

Speicher lesen

Abb. 52.11 Bustiming
sen und Dateninhalte werden immer in hexadezimaler Form

Tab. 52.3 Funktionstabelle 74LS138
angegeben. Die Darstellung des Zusammenwirkens aller Signa-

E1

E2

E3

A0

A1

A2

Y0

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y6

Y7
le auf dem Bussystem bezeichnet man als Bustiming. Abb. 52.11

1

1

1

1

1

1

1

1

1
zeigt die beteiligten Signale während eines Speicherschreib-

1

1

1

1

1

1

1

1

1
und Lesezugriffs.

0

1

1

1

1

1

1

1

1

In Datenbüchern findet man häufig zusätzlich Pfeile im Zeitli-

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1
niendiagramm, die gegenseitige Abhängigkeiten kennzeichnen.

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

Sind weder Daten noch Adressen vorhanden, ist der Bus im

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

Ruhezustand; er ist hochohmig. Dies ist durch die gestrichelte

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

Linie bei den Signalen AD0 . . . AD7 im Lesezyklus dargestellt.

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

Beim Lesezyklus gibt die CPU zunächst die 16-Bit-Adresse auf

0

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1
den Adressbus. Mit dem Taktsignal ALE wird eine Adressen-

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1
speicherung A0 bis A7 ermöglicht, und die Leseaufforderung

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0
an /RD geht danach auf „L“-Pegel. Der Datenbus wird kurz
hochohmig und gibt dann dem angewählten Speicherplatz die

Möglichkeit, Daten auf den Datenbus zu bringen. Die Daten

Zur Unterscheidung zwischen Speicher und I/O-Baustein kann
stabilisieren sich auf dem Bus und werden gelesen. Mit der
auch ein Decoder eingesetzt werden. Wird der Decoder entspre-
ansteigenden Flanke des RD-Signals ist der Vorgang beendet.

chend Abb. 52.12 angeschlossen, erhält man an den gekenn-

Beim Schreibzyklus werden die Daten sofort nach dem L-Byte
zeichneten Ausgängen das Signal für „Speicher lesen (/MR)“,
der Adresse von der CPU ausgegeben. Für den Schreib- oder

„Speicher schreiben (/MW)“, „Ein-Ausgabebaustein lesen (/I-

Lesezyklus sind jeweils drei Taktzyklen erforderlich.

OR)“ und „Ein- und Ausgabebaustein schreiben (/IOW)“. Dies
lässt sich über die Funktionstabelle (Tab. 52.3) des 74LS138

Der Steuerbus kann mit seinen Anschlüssen in unterschiedliche
leicht nachvollziehen.

Aufgabenbereiche gegliedert werden. Die System-Kontrollsi-
gnale steuern die Baugruppen wie z. B. RD, WR, IO/M, die

Die CPU unterscheidet zwischen folgenden Zeitabläufen: Ope-
an das Mikrocomputersystem unmittelbar angeschlossen sind.

rationsholzyklus, Speicherlese- und -schreibzyklus, E/A-Lese-

Mit Low am Ausgang /RD oder /WR (Low-aktive Ausgänge)

und Schreibzyklus, Interruptquittung und Bus-Ruhezustand.

teilt die CPU mit, ob sie lesen oder schreiben will. Hierbei

Allgemein spricht man von Maschinenzyklen, die in unter-
ist eine Verknüpfung mit den Adresssignalen notwendig, da-
schiedlichen Verbindungen einen Befehlszyklus beschreiben.

mit ein bestimmter E/A-Baustein adressiert oder eine bestimmte

Der Maschinenzyklus selbst besteht wieder je nach Aufgabe aus

Speicherzelle beschrieben oder ausgelesen werden kann. Die
einer unterschiedlichen Anzahl von Taktzyklen. In Abb. 52.13 ist

Unterscheidung zwischen Speicher und I/O-Baustein wird mit
der Zusammenhang zwischen Takt-, Maschinen- und Befehlszy-
der Steuerleitung IO, /M durchgeführt. Bei „L“ an diesem Aus-
klus an einem Beispiel aufgezeichnet.

gang wird lesend oder schreibend auf den Speicher und bei „H“

Der erste Maschinenzyklus ist immer ein Operationscodeholzy-
auf einen I/O-Baustein zugegriffen.

klus. In ihm ist der Operationscode (OP-Code), und damit alle

668

52 Mikrocomputertechnik

Teil

8085

X1

AD0

AD1

VII

AD2

AD3

IO/M RD WR MR MW IOR IOW

X2

AD4

AD5

AD6

0

0

1

0

1

1

1

RST5

AD7

74LS138

RST6

A8

0

1

0

1

0

1

1

RST7

A9

DEC

A10

1

0

1

1

1

0

1

INTR

A11

0

TRAP

A12

0

1

1

0

1

1

1

0

RESIN

A13

0

G

1

MR

A14

7

HOLD

A15

3

2

MW

READY

RD

3

IOR

SID

WR

CLKO

+

4

IOW

ALE

S0

5

S1

IO/M

6

HLDA

&

RESO

7

SOD

INTA

Abb. 52.12 Steuerung der Schreib- und Lesesignale mit Decoder

Taktzyklus

Speicher

00111110

Operationscode-

Speicher-

Befehl
holzyklus
lesezyklus

11111111

Maschinenzyklus 1

Maschinenzyklus 2

Daten

Befehlszyklus

Operationscode

1. Speicherstelle lesen

2. Speicherstelle lesen

Abb. 52.13 Takt-, Maschinen- und Befehlszyklus

Tab. 52.4 Statussignale

Mit RESET IN wird der Programmzähler auf die Adresse 0000

S0

S1

Funktion
gesetzt, und die Interrupteingänge werden gesperrt. Eine Be-

0

0

Bus-Ruhezustand
stätigung wird an RESET OUT durchgeführt. Damit können

0

1

CPU liest (Speicher, E/A)

weitere Bausteine zurückgesetzt werden. In Abb. 52.20 ist ei-

1

0

CPU schreibt (Speicher, E/A)

ne übliche RESET-Schaltung mit dargestellt. Beim Einschalten

1

1

CPU liest Operationscode
wirkt der Kondensator C als Kurzschluss und ermöglicht durch

„L“ einen RESET. Die Diode V sorgt für ein schnelles Entladen
des Kondensators, so dass bei kurzzeitigem Aus- und Einschal-
ten des Systems RESET wieder wirksam wird.

Steuerungsvorgänge für den Prozessor, enthalten. Ob weitere

Maschinenzyklen folgen, hängt von dem entsprechenden Be-

Bei READY „L“ geht die CPU in den Wartezustand, bis
fehl ab. Obwohl der Operationscodeholzyklus auch vom Prinzip

READY wieder „H“ wird. Dieser Anschluss dient zur Steue-
her ein Speicherlesezyklus ist, besitzt er im Gegensatz hierzu
rung externer Geräte, die langsamer als die CPU sind. Der
einen Taktzyklus mehr, weil während dieser Zeit die Decodie-

READY-Eingang kann auch zur schrittweisen Überprüfung von
rung im Befehlsregister erfolgen muss. Im aufgeführten Beispiel

Programmen genutzt werden.

bekommt der Prozessor mit dem OP-Code (Maschinenzyklus

1), der aus dem Speicher geholt und zur Decodierung dem

Bus-Kontrollsignale ermöglichen einem anderen Prozessor oder

Befehlsregister zugeführt wird, gesagt, dass er den Inhalt der
auch Massenspeichern Zugriff auf das CPU-eigene Bussystem
nachfolgenden Speicherstelle in den Akkumulator laden soll.

(DMA, Direct Memory Access D direkter Speicherzugriff). Das

Folglich befördert der nächste Maschinenzyklus (Maschinenzy-

Bussystem wird von der CPU abgekoppelt. Hierzu zählen die
klus 2) die Daten zum Akkumulator.

Anschlüsse HOLD und HLDA. Abb. 52.14 zeigt das Prinzip.

Die Prozessor-Kontrollsignale geben Aufschluss über bestimm-

Wünscht der MP2 (Mikroprozessor) einen Speicherzugriff, so
te Zustände des Prozessors oder geben eine bestimmte Meldung
gibt er eine Meldung „H“ an den Anschluss HOLD des MP1.

an die CPU. Hierzu gehören die Anschlüsse: S0, S1, RESET

Dadurch wird das interne Bussystem des Prozessors vom exter-

IN, RESET OUT, READY. S0 und S1 geben Aufschluss über
nen Bussystem getrennt (hochohmig). Der MP2 erhält gleich-
den Zustand der CPU bei der Befehlsbearbeitung (Tab. 52.4).

zeitig eine Quittung über die Leitung HLDA mit „H“, um

52.2

Mikroprozessoren

669

Speicher

VII

Teil

S0 S1

Funktion

0

0

Bus-Ruhezustand

0

1

CPU liest

(Speicher,E/A)

1

0

CPU schreibt (Speicher,E/A

1

1

CPU liest Operationscode

HOLD

1

HLDA

1

MP1

MP2

Abb. 52.14 Prinzip DMA
sein internes Bussystem an den externen Bus anzuschließen.

Tab. 52.5 Interrupt

In der Praxis werden hier DMA-Kontroller eingesetzt, die ex-

Name

Priorität

Adresse

Eigenschaft

Triggerung
ternen Geräten das direkte Arbeiten mit dem CPU-eigenen

TRAP

1

24

Nicht maskierbar

„L“ ! „H“

Arbeitsspeicher ermöglichen.

RST7.5

2

3C

Maskierbar

„H“

RST6.5

3

34

Maskierbar

„H“

Ein Prozessor muss auf äußere Ereignisse (Impulse, Pegel), wie

RST5.5

4

2C

Maskierbar

„H“
auf die Meldung von Sensoren, Tastern oder externer Geräte
reagieren können. Bei deren Ansprache muss ein Programm
eine gewünschte Reaktion auslösen. Eine Möglichkeit besteht
darin, alle Sensoren und Geräte softwaremäßig nacheinander

Der Eingang RST7.5 reagiert auf die ansteigende Flanke und
abzufragen. Man spricht dann von der Polling-Methode. Dies ist
speichert die Anforderung in einem Flipflop.

allerdings sehr zeitintensiv. Effektiver ist der Aufruf eines Un-

Von der Softwareseite besteht für einige Interrupts die Möglich-
terprogramms bei der Reaktion eines Sensors. Erreichen kann
keit, diese zu maskieren. Hierunter versteht man, Interrupts zu
man das durch eine Programmunterbrechung (Interrupt). Hier-
sperren oder zuzulassen. Die Programmierung läuft über den In-
unter versteht man den direkten Zugriff externer Geräte auf die
halt des Akkumulators in Verbindung mit dem Befehl SIM (Set

CPU. Wird ein Interrupteingang aktiviert, bearbeitet der Prozes-

Interrupt Mask) ab. Abb. 52.16 zeigt die vom Hersteller angege-
sor noch den gerade begonnenen Befehl und verzweigt dann in
benen Bitpositionen.

die Interruptroutine, zum Interrupt-Programm, um auf die An-
forderung des Interrupts einzugehen. Der 8085 besitzt fünf In-

Mit den Befehlen EI (Enable Interrupt) können alle Interrupts
terrupteingänge. Zu den Unterbrechungs-Kontrolleitungen ge-
zugelassen und mit DI (Disable Interrupt) alle gesperrt werden
hören die Unterbrechungseingänge (Interrupteingänge) TRAP,

(Ausnahme: TRAP). Das Prinzip verdeutlicht Abb. 52.17 am

RST7.5, RST6.5, RST5.5 mit unterschiedlicher Priorität, um

Beispiel des RST7.5-Eingangs. Nur wenn durch den Befehl SIM
bei gleichzeitiger Aktivierung aller Eingänge eindeutige Zu-
die Maske für RST7.5 gesetzt und durch den Befehl EI die Zu-
ordnungen zu gewährleisten, und der Eingang INTR mit dem
lassung der Interrupts ermöglicht wurde, kann bei anliegendem

Quittungssignal INTA.

Signal an RST7.7 eine Interruptannahme durch die CPU erfol-
gen, und der Programmzähler ruft die Adresse 3C auf.

Da gleichzeitige Anforderungen mehrerer Geräte vermieden
werden müssen, ist bei vielen Prozessoren ein Prioritätsde-

Der Interruptvorgang wird in Abb. 52.18 erläutert. Tritt im
coder oder Interruptcontroller erforderlich, weil sie nur einen
laufenden Hauptprogramm ein Interrupt auf, wird der gerade

Interrupteingang besitzen. Abb. 52.15 zeigt für den 8085 beide
begonnene Befehl noch bearbeitet. Der Programmzählerinhalt

Möglichkeiten auf.

wird zum Stack gebracht, und der Programmzähler zeigt auf
die festgelegte Einsprungadresse, um das Interrupt-Programm

Beim 8085 ist die Priorität hardwaremäßig festgelegt. Tab. 52.5
ausführen zu können. Das Interrupt-Programm selbst befindet
führt die Hardwareeinsprungadressen und die Prioritäten auf.

sich im Arbeitsspeicher, da sich zwischen den Interruptein-
sprungadressen – hier steht in der Regel nur ein Sprungbefehl

Des Weiteren ist der Tabelle zu entnehmen, mit welchem Pegel
zum Arbeitsspeicher – nur wenige freie Speicherplätze befinden
der Interrupteingang angesprochen werden muss (Triggerung)

(siehe auch Tab. 52.7). Ein Interrupt-Programm ist wie ein Un-
und welche Interrupteingänge softwaremäßig abgeschaltet wer-
terprogramm zu behandeln. Registerinhalte sind zu „retten“ und
den können. Die Eingänge RST6.5, RST5.5 und INTR müssen
auf den Stack zu bringen. Den Abschluss bildet der Befehl RET
mit Pegeln angesprochen werden. Bis zur Annahme durch die

(Return). (Programmbeispiele siehe Abschn. 52.6 „Maschinen-

CPU muss der Pegel bei den genannten Eingängen anliegen.

sprache“.)

670

52 Mikrocomputertechnik

Teil

CPU

CPU

VII

RST7.5

RST7.5

RST6.5

RST6.5

Speicher

Speicher

RST5.5

RST5.5

INT

E/A 1

E/A 1

Prioritäts-

Decoder

E/A 2

E/A 2

E/A 3

E/A 3

Name

Priorität

Adresse

Eigenschaft

Triggerung

TRAP

1

24
nicht maskierbar
und H bis Abfrage

RST7.5

2

3C
maskierbar

H bis Abfrage (Speicherung)

RST6.5

3

34
maskierbar

H bis Abfrage

RST5.5

4

2C
maskierbar

H bis Abfrage

INTR

5

Abb. 52.15 Interruptmöglichkeiten

Akkumulator

Akkumulator

Bit

7

6

5

4

3

2

1

0

Bit

7

6

5

4

3

2

1

0

7.5 MSE 7.5 6.5

5.5

7.5

6.5 5.5

IE

7.5 6.5

5.5

Flipflop
rücksetzen "1"

Interruptmasken

Freigabe für

Maske setzen "1"

Interruptfreigabe

Interruptmasken

"1" Sperren

Anstehende Interrupt

"0" Freigabe

Maskierung

Lesen

Abb. 52.16 Interruptmaske setzen und lesen

RST7.5

S

Akkumulator

Interrupt-

1D

&

Annahme

RESET IN

R

0 0 0 0 1 0 1 1

SIM

C1

3C

Programmzähler

EI

S

DI

R

Abb. 52.17 RST7.5

52.2

Mikroprozessoren

671

Hauptprogramm

Tab. 52.6 Bedeutung der Anschlüsse CPU

A0 . . . A15 Adressbus

VII

(Befehlszähler)

D0 . . . D7

Datenbus

--> Stack

/RD

Lesen

Befehl

/WR

Schreiben

Teil

Weitere Interrupts

/RFSH

A0 . . . A7 führen Refreshadresse (für dynamische Speicher)

Befehl
sperren

/HLT

Software-Halt, die CPU wartet auf ein Interruptsignal

Befehl

/WAIT

Wartesignal (CPU beginnt mit Wartezyklen)

/INT

Interrupteingang

Interruptadresse

Interrupt-

/NMI

Nicht maskierbarer Interrupt (ADR 0066)

--> Befehlszähler

Anforderung

/MREQ

Speicheranforderung. Bei „L“ an diesem Anschluss steht
auf dem Adressbus eine Adresse für einen Speicherzugriff

Interrupt-
an

Programm ausführen

/IOREQ

E/A-Bausteinanforderung

/BUSRQ

Busanforderung externer Geräte. Das interne Bussystem

Alle Interrupts
wird in den hochohmigen Zustand gebracht, damit externe
wieder zulassen

Geräte Adress-, Daten- und Steuerbus nutzen können

/BUSAK

Busanforderungsbestätigung. Hiermit wird externen Gerä-
ten bestätigt, dass Adress-, Daten- und Steuerbus benutzt

(Stack) -->
werden darf

Befehlszähler

/RESET

Rücksetzen

/M1

Statusleitung (Maschinenzyklus 1)

Abb. 52.18 Interruptvorgang

Tab. 52.7 Peripheriebausteine für ein Z80-System

Z80-PIO

Parallel-E/A-Baustein

SID

Z80 CTC

Zähler und Zeitgeberbaustein

Z80 DMA

Baustein für direkten Speicherzugriff

Z80 SIO

Serieller E/A-Baustein

Die Speicherkapazität der Bausteine lässt sich aus der An-
zahl der Adressleitungen ermitteln. Die Auswahl der Bausteine
erfolgt mit den Adressleitungen A11 und A12, so dass ein

SOD

1D

Speicherplan aufgestellt werden kann (Abb. 52.21). Die Port-
adressen können mit Hilfe der Beschreibung der Bausteine 8755

C1
und 8156 (siehe Peripheriebausteine) gefunden werden.

1

52.2.4.2

Beispiel Z80 CPU

Der Z80 besitzt die 6 Arbeitsregister B, C, D, E, H, L, die

Abb. 52.19 Bitposition im Akkumulator für den seriellen Ein- und Ausgang
jeweils 8-Bit-Operationen oder als Registerpaare BC, DE und

HL 16-Bit-Operationen ermöglichen, einen Akkumulator und
das Flagregister als Hauptregister-Block. Die gleiche Anzahl

Für die serielle Datenübertragung besitzt der Prozessor 8085

Register sind als Zweitregister-Block vorhanden (Abb. 52.22).

einen eigenen Ein- und Ausgang (SID D Seriell In Data, SOD D

Außer Befehlszähler und Stapelzeiger sind die Spezialregister

Seriell Out Data). Hierbei wird die Information Bit für Bit zeit-

IX und IY als Indexregister, das I-Register (Interrupt-Vektor)

lich nacheinander übertragen. Die Steuerung erfolgt über ein
und R-Register (Refresh-Speicher), der ein direktes Arbeiten

Programm und der serielle Datenfluss über den Akkumulator.

mit dynamischen Speichern ohne zusätzlichen Bausteinaufwand

Mit dem Befehl RIM gelangt das Bit am SID-Anschluss nach
ermöglicht, vorhanden. Die 16-Bit-Index-Register dienen zur

Bit 7 des Akkumulators. Von dort ist eine weitere Verarbeitung

Bearbeitung von Tabellen und Datenverschiebungen im Ar-
möglich. Zur Datenausgabe wird ebenfalls Bit 7 des Akkumu-
beitsspeicher.

lators benutzt. Hierzu muss der Ausgang SOD mit dem Befehl

Als Taktgenerator wird ein externer Oszillator eingesetzt.

SIM freigegeben worden sein (Abb. 52.19).

Abb. 52.23 zeigt die Z80 CPU und deren Anschlussbelegung

Um das Zusammenwirken mit Peripheriebausteinen darzustel-
mit Taktgenerator und Treiberstufen. Im Gegensatz zur 8085
len, ist in Abb. 52.20 ein 8085-Minimalsystem mit einem RAM

CPU sind 16 Adressleitungen und 8 Datenleitungen heraus-

(256 Byte), EPROM (2 kB), Zeitgeber und E/A-Ports abgebil-
geführt. In Tab. 52.6 werden die Funktionen der jeweiligen
det.

Anschlüsse des Prozessors beschrieben.

672

52 Mikrocomputertechnik

Teil

8755

VII

8085

RESET

+

X1

AD0

AD1

CE

AD2

AD3

AD0..AD7

X2

AD4

+

AD5

+

CLK

AD6

RST5

AD7

IOR

RST6

A8

RST7

A9

A8..A10

Port A

A10

INTR

A11

PROG/CE

TRAP

A12

RESIN

A13

IO/M

A14

READY

HOLD

A15

Port B

READY

RD

RD

SID

WR

CLKO

WR

ALE

S0

ALE

S1

IO/M

HLDA

8156

RESO

SOD

INTA

Port A

RD

WR

ALE

Port B

CE

IO/M

Port C

RESET

AD0..AD7

Abb. 52.20 Minimalsystem nach Datenbuch Fa. Siemens

Speicherplan

Portadressen

52.2.5

16-Bit-Prozessoren

Port A: 19

18FF

Port B: 1A

8156

In Personalcomputern ist die 8086-Familie sehr verbreitet

RAM

(8086, 80286, 80386, 80486).

1800

Port C: 1B

52.2.5.1

8086/80286

Die Prozessoren besitzen einen gemultiplexten Daten-Adress-
bus (AD0 . . . AD15) und die Adressleitungen A16 . . . A19. Da-

07FF

Port A: 00
mit steht ein Adressbereich von 1 MB (220 D 1:048:576) zur

8755

ROM

Verfügung. Der 8086 kann in den Betriebsarten MIN- und

Port B: 01

MAX-Mode eingesetzt werden. Die Auswahl erfolgt mit dem

0000

Anschluss MN/MX. Im MIN-Mode werden die Steuersignale

Abb. 52.21 Adressen der Bausteine 8156 und 8755
für Speicher und E/A-Bausteine vom Prozessor erzeugt, und
im MAX-Mode werden komplexere Systeme mit einem zu-
sätzlichen Steuerbaustein zur Systemsteuerung (Buscontroller)

Der Z80 verfügt über den Befehlssatz des 8085 hinaus über wei-
betrieben. Abb. 52.24 zeigt die Pinbelegung beider Prozesso-
tere Befehle und zusätzliche Adressierungsarten wie indizierte
ren und Tab. 52.8 die Bedeutung der Anschlüsse. Tab. 52.9 und
und relative Adressierung (siehe auch Abschn. 52.6 „Maschi-

52.10 beschreiben Steuerfunktionen.

nensprache“). Der Operationscode ist mit dem Code der 8085

CPU identisch. Unterschiede bestehen in der Mnemonik (As-

Das Prinzip des Prozessors beschreibt Abb. 52.25, und der Re-
sembler).

gistersatz ist im Abb. 52.26 wiedergegeben.

52.2

Mikroprozessoren

673

Hauptregister

Zweitregister

Akkumulator

Flags

A

F

VII

B

C

B

C

D

E

D

E

Teil

H

L

H

L

Interrupt

I

Refresh

R

Indexregister

IX

Indexregister

IY

Spezialregister

Stackpointer

SP

Befehlsz„hler

PC

Abb. 52.22 Registerplan der Z80 CPU

2x74LS244

EN

Z80CPU

EN

EN

Adreßbus

EN

74LS245

G3

INT

3EN1

3EN2

NMI

1

HALT

2

RFSH

M1

Datenbus

RESET

BUSRQ

BUSAK

WAIT

RD

WR

MREQ

IORQ

Abb. 52.23 Z80-System

674

52 Mikrocomputertechnik

Teil

8086

80286

Tab. 52.10 Statusinformation

16

36

34

AD0

D0

A0

S2

S1

S0

Funktion

VII

19

15

38

33

CLK

AD1

D1

A1

14

40

22

0

0

0

Interruptbestätigung

AD2

D2

A2

22

13

42

28

0

0

1

E/A-Lesen

READY

AD3

D3

A3

21

12

44

27

RESET

AD4

D4

A4

0

1

0

E/A-Schreiben

11

46

26

AD5

D5

A5

31

10

48

25

0

1

1

Halt

HOLD

AD6

D6

A6

30

9

50

24

HLDA

AD7

D7

A7

1

0

0

Codezugriff

8

37

23

AD8

D8

A8

1

0

1

Speicher lesen

18

7

39

22

INTR

AD9

D9

A9

6

41

21

1

1

0

Speicher schreiben

AD10

D10

A10

17

5

43

20

NMI

AD11

D11

A11

1

1

1

Passiv

4

45

19

AD12

D12

A12

23

3

47

18

TEST

AD13

D13

A13

2

49

17

AD14

D14

A14

33

39

51

16

MN/MX AD15

D15

A15

38

15

In der Befehlseinheit werden die von der Befehlswarteschlange

AD16

A16

37

14

(Instruction Queue) gelieferten Befehle decodiert. Bei Befehls-

AD17

A17

36

13

AD18

A18
ausführung kann die Befehlswarteschlange parallel mit dem

35

12

AD19

A19

11
nachfolgenden Maschinencode geladen werden.

A20

26

10

DEN

A21

27

8

Damit steuert diese Einheit alle Vorgänge des Systems. Haupt-

DT/R

A22

28

31

7
bestandteil der Ausführungseinheit ist die aus 8-Bit-Systemen

M/IO

CLK

A23

63

READY
bekannte ALU.

25

64

1

ALE

HOLD

BHE

24

57

5

INTA

INTR

S0

Die vier Hauptregister der Execution Unit A, B, C und D sind

59

4

NMI

S1

34

61

67
aus je zwei 8-Bit-Registern (L D Low und H D High) zu-

BHE

PREQM/IO*

32

54

66

RO

BUSC/INTA*
sammengesetzte 16-Bit-Register. Sie dienen zur Aufnahme von

29

53

68

WR

ERROR LOCK
arithmetischen und logischen Operanden. Die Breite der übri-

29

65

RESET HLDA

52

6
gen Register beträgt 16 Bit. Das SP-Register (Stack Pointer)

CAP

PEACK
und BP-Register (Base Pointer) können für Stack- und 16-

Abb. 52.24 CPU 8086 und 80286

Bit-Operationen verwendet werden. SI- und DI-Register sind

Indexregister (Source Index D Quelle, Destination D Ziel).

Tab. 52.8 Bedeutung der Anschlüsse

AD0 . . . AD15 Adress-/Datenbus

RD

Read

Lesen

Memory Interface

WR

Write

Schreiben

ALE

Adress Latch Enable

Adresszwischenspeicherung

INTR

Interrupt Request

Interruptabfrage

INTA

Interrupt Acknowledge

Interruptbestätigung

NMI

Non Mascable Interrupt Nicht maskierbarer Interrupt

6

TEST

Test

Überprüfung des Wartezyklus

Instruktion

Stream

5

RESET

Reset

Rücksetzen

4

Byte

CLK

Clock

Takt

ES

3

Queue

2

MN/MX

Min/Max

Minimum-/Maximum-Mode

CS

1

BHE/S7

Bus High Enable/Status Freigabe von L- oder H-

SS

Adressteil

DS

DEN

Data Enable

Busfreigabe (Datenübertra-

Control
gung)

IP

System

DT/R

Data Transmit/Receive

Datenübertragung/-empfang

BIU

M/IO

Memory/IO

Speicher und E/A-Zugriff

EU

HOLD

Aufruf externer Geräte

(DMA)

HLDA

Bestätigung auf HOLD

(DMA)

AH

AL

LOCK

Angabe über Sperrung

BH

BL
der CPU

CH

CL

S0, S1, S2

Statusinformation

DH

DL

Operands

Tab. 52.9 Steuerfunktionen

SP

Flags

BHE

A0

Funktion

BP

0

0

Gesamtes Wort

SI

0

1

Oberes Byte von/zu Adresse

DI

1

0

Unteres Byte von/zu Adresse

1

1

Keine Funktion

Abb. 52.25 Blockbild der 8086 CPU

52.2

Mikroprozessoren

675

Allgemeine Registerkarte

Segment Register

Multiplikation

VII

AH

AL

CS Code Segment

Division

DH

DL

DS Data Segment

E/A-Befehle

CH

CL

— Schiebebefehle

SS Stack Segment

Teil

BH

BL

ES Extra Segment

Basis-Register

BP

SI

Index-Register

F

Flags

DI

I

Befehlszeiger

SP

— Stackpointer

WSW

Status Word

15

Bit

0

15

Bit

0

Abb. 52.26 Registersatz und Funktion

Arbeitsspeicher

FFFFF

Segment

Offset

31

16 15

0

64kB
gewählter

Operand

64kB

64kB

CS

SS

DS

64kB

ES

00000

0

0 0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

Offset

0

0

0

0

0 0

1

0 0

0

0

0

0

0

0

0

Segment

Addierer

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0 0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

2

0

F

F
physikalische Adresse

Abb. 52.27 Bildung der physikalischen Adresse

52.2.5.2

Adressenbildung

Segmente in vier Bereiche bis zu 64 kB zu verwalten (Real

Mode). Die Anfangsadressen stehen jeweils in den Segmentre-

In der BIU befinden sich die Segmentregister ES (Extra-
gistern. Mit ihrer Hilfe und dem Befehlszeiger IP (Offset) wird

Segment), CS (Code-Segment), SS (Stack Segment) und DS
die physikalische Adresse (absolute Adresse) nach Abb. 52.27

(Daten-Segment). Ihre Aufgabe ist es, den Speicherbereich über
gebildet. Hierbei wird die 16-Bit Offsetadresse als L- und die

676

52 Mikrocomputertechnik

Teil

Clock-Generator

BUS-Controller

8086 CPU

VII

RES

Latch

Speicher

ADR

Daten

Transceiver

Abb. 52.28 8086-System

16-Bit-Segmentadresse als H-Teil einer fiktiven 20-Bit-Adresse

Adressbus
angesehen. Das gewählte Segment gibt die Anfangsadresse des

Segments an, und der Offset zeigt auf den gewählten Operanden.

Datenbus

Ihre Addition ergibt somit die physikalische 20-Bit-Adresse.

Ein Mikroprozessorsystem mit 16-Bit-Prozessoren besitzt au-
ßer den bekannten Speicher- und Ein- und Ausgabeeinheiten

A0

1

D0

A1
spezielle Peripheriebausteine, die jeweils eine besondere Auf-

D1

A2
gabe übernehmen, wie beispielsweise der Buscontroller (siehe

D2

A3
auch Peripheriebausteine). Abb. 52.28 zeigt schematisch ein

A4

0

D3

8086-System. Der Transceiver ist vergleichbar mit dem Zwei-

A

D4

A5

1023

D5
richtungstreiber in 8-Bit-Systemen. Über den Eingang T wird

A6

D6

A7
die Datenrichtung festgelegt, und mit /OE kann der BUS hoch-

D7

A8
ohmig geschaltet werden.

A9

10

WE

CS

52.3

Halbleiterspeicher

Aktivierungsleitung

Schreib-Lese-Leitung

52.3.1

Allgemeines

Abb. 52.29 Anschlüsse an einem Speicherbaustein

Speicher dienen zur Speicherung und Sicherung von Daten und

52.3.2

Kenndaten und Technologie

Programmen. Der Speicherbaustein muss den Prozessor mit

Daten beliefern, und der Prozessor muss Daten darin ablegen
können. Zur Auswahl eines bestimmten Speicherplatzes, ei-

Wichtige Kenndaten eines Speichers sind die Speicherkapazi-
ner Adresse, werden dem Baustein Adressleitungen zugeführt.

tät (Capacity) in Verbindung mit der Angabe über die Spei-

Die Daten gelangen über den Datenbus zum und vom Spei-
cherorganisation, die Zugriffszeit (Access Time), die von der
cher, wenn der Prozessor die Schreib-Lese-Leitung aktiviert und

Ansprache des Speichers vergeht bis zur Verfügbarkeit der Da-
die Speicherzelle ausgewählt wurde. Um eine Unterscheidung
ten und die Leistungsaufnahme im aktiven und Ruhe-Betrieb
verschiedener Speicher durchführen zu können, besitzt der Bau-

(Standby). Die Speicherkapazität gibt die Informationsmenge
stein Aktivierungs- oder Auswahleingänge. Abb. 52.29 zeigt die
an, die der Speicher aufnehmen kann. Sie wird üblicherweise

Anschlüsse eines 1 K 8 Bit-Schreib-Lese-Speichers.

in Kbit, KByte oder MByte angegeben. Die Kenndaten selbst

52.3

Halbleiterspeicher

677

Speicher-Technologien

VII

Bipolare Speicher

MOS-Speicher

TTL

ECL

NMOS

CMOS

Teil

Eigenschaften

50 ns

15 ns

Zugriffszeit

100 ns

150 ns

600 mW

700 mW

Verlustleistung

200 nW

20nW

Abb. 52.30 Speichertechnologien und Eigenschaften

Tab. 52.11 Anschlussbedeutungen

A0 . . . An

Adressleitungen; über diese Leitungen wird der

1

2

3

4

Speicherplatz angewählt

A0

D0 . . . Dn

Datenleitungen; über diese Leitungen gelangen

5

6

7

8

Daten vom oder zum Speicher

CE, CE1, CE2, CS Chip Enable, Chip Select; über diese Leitung(en)

9

10

11

12

X-Decodierer
kann der Speicherbaustein angewählt werden

A1

13

14

15

16

WE, WR

Write Enable, Write; diese Leitung wird von der

CPU aktiviert, wenn Daten in den Speicher ge-
schrieben werden sollen

Y-Decodierer

RD

Read; diese Leitung wird von der CPU aktiviert,

A2

A3
wenn Daten vom Speicher gelesen werden sollen

O0 . . . On

Output, Datenausgänge

Abb. 52.31 Speichermatrix

OE

Output Enable; mit dieser Leitung werden die Aus-
gänge eines Speichers freigegeben

ALE

Adress Latch Enable; an diesem Anschluss kann die

CPU bei einem gemultiplexten Adress-/Datenbus
die Adresse zwischenspeichern

52.3.4

Organisation und Aufbau

RAS

Row Adress Select, Zeilenauswahlleitung

CAS

Column Adress Select, Spaltenauswahlleitung

Vpp

Programming Voltage; an diesem Anschluss wird

Die Speicherzellen in einem Speicherbaustein sind matrixför-
die Programmierspannung angelegt
mig angeordnet, um die Anzahl der Auswahlleitungen mög-

VCC

Betriebsspannungsanschluss
lichst gering zu halten. Die Ansprache der Speicherzelle ist nur

GND

Ground, Masseanschluss
möglich, wenn jeweils gleichzeitig eine Zeilenleitung und eine

Spaltenleitung, oder auch X- und Y-Leitung, aktiv sind. Durch
die Anordnung innerhalb der Matrix ist jede Speicherstelle ein-
sind von der Technologie, also dem Herstellungsverfahren des
deutig bestimmt. Die Auswahl der Speicherstelle in der Matrix

Speichers, abhängig. Hier unterscheidet man bipolare Speicher,
erfolgt über einen Zeilen- und Spaltendecoder, der jeweils über
deren Grundelemente der TTL- oder ECL-Technologie ent-

Adressleitungen angesteuert wird. Die Anzahl der Adressleitun-
sprechen, von unipolaren Speichern, deren Grundelemente in
gen ist von der Anzahl der Speicherstellen abhängig.

MOS-Technologie gefertigt sind.

Bipolare Speicher besitzen zwar eine geringere Zugriffszeit, ha-

Beispiel
ben aber eine höhere Leistungsaufnahme sowie eine geringere

Integrationsdichte als unipolare Speicher (siehe Abb. 52.30).

Für einen 16-Bit-Speicher (siehe Abb. 52.31) sind nor-

Die heutigen großen Speicherkapazitäten werden mit CMOS-
malerweise 16 Auswahlleitungen erforderlich. Durch den

Speichern erreicht. Für den Entwickler spielt das Preis-
matrixförmigen Aufbau reduzieren sich die Auswahllei-

Leistungsverhältnis und notwendige zusätzliche Steuerbaustei-
tungen auf 8, da 4 Zeilen- und 4 Spaltenleitungen benötig
ne noch eine bedeutende Rolle.

werden. Mit Hilfe jeweils eines 4-aus-1-Decoders können
die 4 Leitungen von zwei Adressen angesprochen werden.

Damit ergeben sich für den 16-Bit-Speicher insgesamt 4

52.3.3

Bedeutung der Anschlüsse

Adressleitungen.

Um n Speicherstellen zu adressieren, benötigt man 2 n

Tab. 52.11 fasst die Anschlussbedeutungen, die bei Speichern

Adressleitungen.

J
auftreten, zusammen.

678

52 Mikrocomputertechnik

Teil

RAM 4k x 1

Adesse

A0

0

VII

D0

1

2

0

A 4095

D0

A11

11

WE

4096

CS

Abb. 52.32 Prinzip und Schaltbild eines bitorganisierten Speichers

RAM 1k x 4

Adresse

A0

0

D0

1

0

D1

D3

A

D2

2

1023

D2

D3

D1

D0

A9

9

WE

1024

CS

4-Bit-Wort

Abb. 52.33 Prinzip eines wortorganisierten Speichers und Schaltbild

Beispiel

RAM 1k x 1

D3

RAM 1k x 1

Ein Speicher mit der Organisation 4 K 8 Bit besitzt

D2

4096 Speicherstellen mit einer Wortbreite von 8 Bit. Da-

RAM 1k x 1
mit sind 12 Adressleitungen nötig.

Adressbus

D1

RAM 1k x 1

D0

Adressleitungen D ln Speicherkapazität D ln 4096 D 12

0
ln 2
ln 2

WE

(52.1)

A

0

J

1023

9

52.3.4.1

Bitorganisierter und wortorganisierter

CS

Speicher

Abb. 52.34 Vom bit- zum wortorganisierten Speicher

Der bitorganisierte Speicher speichert pro Adresse nur ein Bit.

Er ist somit unabhängig von der Datenwortbreite. Beim wortor-
ganisierten Speicher steht in jeder Adresse ein Datenwort. Da-

Anzahl der Speicherstellen zugrunde, dann besitzen beide dar-
mit sind n-Bitstellen gemeint, die gleichzeitig von einer Adresse
gestellten Speicher die gleiche Speicherkapazität.

angesprochen werden. Wortorganisierte Speicher, deren Wort-

Ist beim bitorganisierten Speicher eine bestimmte Wortbreite
breite der Datenbreite des Mikroprozessors entsprechen, werden
erforderlich, müssen verschiedene Speicher mit der gleichen
häufig für Arbeitsspeicher bei kleineren Mikroprozessor- oder

Adresse angesprochen werden. Für ein 4-Bit-Datenwort müssen

Mikrocontrollersystemen eingesetzt (z. B. 8-Bit-Systemen).

4 Speicherbausteine adressenmäßig parallel geschaltet und mit

/CS und /WE gleichzeitig angesprochen werden (Abb. 52.34).

Ein Speicher mit der Kapazität von 4096 Bit kann als bi-
torganisierter Speicher (4 K 1 Bit) (Abb. 52.32) oder als

Zur Aus- und Eingabe von Daten ist eine interne Steuerschal-
wortorganisierter Speicher (1 K 4 Bit) (Abb. 52.33) aufgebaut
tung notwendig, die je nach Speicher unterschiedlich sein kann.

sein (1 KBit D 210 Bit). Beim bitorganisierten Speicher ist jeder

Sie erfolgt über die Steuereingänge WE (Write Enable D

Speicherzelle eine Adresse zugeordnet, während der wortorga-

Schreibfreigabe) und CS (Chip Select D Bausteinauswahl) und
nisierte Speicher pro Wort eine Adresse besitzt. Legt man die
ist häufig „Low“-aktiv (Abb. 52.35).

52.3

Halbleiterspeicher

679

DO

Speicher

MP

AD0..AD7

256 x 8

VII

CS

&

ALE

Teil

Adreß-

Latch

RD/WR

CS

&

WE

Speicher

AD0..AD7

D0..D7

MP

256 x 8

A0..A7

Speichermatrix

Adreß-

Latch

ALE

RD/WR

Zeilendecoder

CS

Spaltendecoder

Adressen

AD-Bus

A0..A7

D0..D7

ALE

CS

WE

Funktion

Abb. 52.36 Speicher mit und ohne Adressenzwischenspeicher

0

0

Einschreiben der Daten

0

1

Auslesen der Daten

1
x

Baustein hochohmig

(Abb. 52.37). Beispielsweise muss zunächst die gewünschte

Abb. 52.35 Prinzip der Datensteuerung

Adresse auf dem Adressbus anliegen, dann muss der Bau-
stein, der diese Adresse besitzt, mit dem Auswahlsignal /CS
angewählt werden. Des Weiteren müssen Daten vom Datenbus

Mit /CS oder /CE wird der einzelne Speicherbaustein ausge-
angeboten werden, um sie danach mit dem Schreibsignal in den
wählt. Beschrieben und ausgelesen wird er durch Pegelumschal-

Speicher zu bringen.

tung am WE- oder RD- und /WR-Eingang.

52.3.4.2

Speicher mit Adressenzwischenspeicher
tWC

Außer Schreib-Leseeingang und Bausteinauswahl gibt es Spei-

Adress
cher, die einen weiteren Steuereingang ALE (Adress-Latch-

Enable) besitzen und damit ein internes Adressenzwischenregis-
ter. Sie können direkt an den gemultiplexten Daten-Adressbus

CS
eines Mikrocontrollers oder Mikroprozessors angeschlossen
tAS
t
werden. Speicher und Prozessor sparen so Anschlussleitungen.

WP

Die Adressen und Daten werden hier zeitlich nacheinander auf

WE
gleichen Leitungen übertragen. Mit ALE übergibt der Prozessor
tDW
tDH
seine Adresse einem Adressenzwischenspeicher im Speicher-
baustein und liefert oder holt anschließend die Daten. Speicher

DATA IN

DATA VALID
ohne Adressenzwischenregister können von einem Prozessor
mit gemultiplextem Daten-Adressbus nur über ein externes

Zwischenregister angesteuert werden. Im Abb. 52.36 ist ein
tRC

Speicher mit und ohne Steuereingang ALE an einem Mikropro-

Adress
zessor angeschlossen.

tAA

CS

52.3.5

Zeitverhalten
tOH

DATA OUT

DATA VALID

Damit der Speicher seine Funktion durchführt, muss der Pro-
zessor über den Steuerbus zeitliche Bedingungen einhalten

Abb. 52.37 Zeitverhalten auf den Bus- und Steuerleitungen

680

52 Mikrocomputertechnik

Teil

Festwertspeicher

ROM

VII

Type

Programmierung

Löschverfahren

Wird vom Hersteller
nicht löschbar

ROM
mit Hilfe einer

Read only Memory

Maske gefertigt

Durch Einsatz von
nicht löschbar

PROM

Programmiergeräten

Programmable ROM

(elektrisch)

Durch Einsatz von

Durch UV_Licht

EEPROM

Programmiergeräten
nur völlig löschbar

ELectrically PROM

(elektrisch)

elektrisch in der

Durch elektrische

EEPROM

Schaltung

Impulse gezielt

Electrically Erasable
programmierbar
löschbar

PROM
elektrisch in der
elektrisch in der

Flash-EPROM

Schaltung

Schaltung
programmierbar
nur völlig löschbar

Abb. 52.38 Festwertspeicher

Damit die gewünschten Daten den Speicher oder die Daten des

ROM 1K x 4

ROM 1K x 4

Speichers den Prozessor erreichen, müssen bestimmte zeitli-
che Bedingungen eingehalten werden. Zwischen dem Anliegen

(0) A

0

0
der Adresse ( t

D

(1) A

WC

Write Cycle Time) und dem Einschrei-
ben der Daten ist eine Zeitspanne t

(2) A

AS (Adress Setup Time)

erforderlich, weil sonst die Daten eine falsche Speicherstelle er-

(3) A

0

0

A

A
reichen. Die Zeit, die benötigt wird, um das Einschreiben der

1023

1023

Daten in den Speicher zu gewährleisten, ist die Mindestdauer
des Schreibimpulses (/WE) und wird t WP (Write Pulse Width)

genannt. Zur korrekten Datenübertragung müssen die Daten auf

9

9
dem Datenbus stabil sein. Diese Zeit, in der sich die Daten auf

EN

EN
dem Datenbus (Data Valid D Daten gültig) eingependelt haben,

A
nennt man t DW (Data Valid Time). Mit t DH (Data Hold Time)

wird die Zeit nach Ablauf des Schreibimpulses bezeichnet, so-
lange noch Daten und Adressen anliegen. Beim Lesezyklus t RC

(Read Cycle Time) stabilisieren sich die Adressen auf dem Bus
in der Zugriffszeit t AA (Adress Access Time). Anschließend
können die Daten gelesen werden.

Abb. 52.39 Schaltbild eines ROM und vereinfachte Darstellung

52.3.6

Speichertypen
ohne anliegende Betriebsspannung beibehalten. Daten und Pro-
gramme gehen bei Ausfall der Spannungsversorgung nicht ver-
loren. Abb. 52.38 gibt eine Übersicht über Festwertspeicher.

Es werden zwei Hauptgruppen von Speichertypen unter-
schieden: Schreib-Lesespeicher und Festwertspeicher. Während

Schreib-Lesespeicher als Arbeitsspeicher dienen, liegen in Fest-

52.3.6.1.1

Masken-ROM
wertspeichern häufig benötigte konstante Daten vor, wie bei-

Für Standardanwendungen kann der Hersteller ROM-Bausteine
spielsweise Tabellen oder Teile eines Betriebssystems (Firm-
mit Hilfe einer Maske fertigen. Man spricht dann von einem
ware).

Masken-ROM. Der Inhalt des Speichers ist nicht mehr verän-
derbar. Abb. 52.39 zeigt das Schaltbild eines ROM und die
vereinfachte Darstellung. Speicher

52.3.6.1

Festwertspeicher

ROM (Read Only Memory = Nur-Lese-Speicher) sind Speicher,

52.3.6.1.2

PROM
die im Normalbetrieb nicht beschrieben, sondern nur ausgele-
sen werden. Es sind Festwertspeicher (Nonvolatile Read-Only-

ROM, die mit Hilfe von Programmiergeräten programmiert wer-

Memory D nicht flüchtige Speicher), da sie ihre Information
den können, sind PROM (Programmable Read Only Memory)

52.3

Halbleiterspeicher

681

Prinzip

Speicherinhalt

+

VII

0

0

1

0

Adresse

D3

D2

D1 D0

00

0

0

1

0

X0

Teil

01

0

1

0

0

X1

A0

10

0

0

0

0

X2

A1

11

1

1

0

0

Adreß-Decodierer

X3

CS

Y0

Y1

Y2

Y3

Ausgangstreiber

OE

D3

D2

D1

D0

Abb. 52.40 Speicher mit Diodenmatrix

PIN-Belegung

Funktionsbild

0 0 0 0 0 0 0 0

Daten

0 1 2 3 4 5 6 7

Programmier-

Kapazität

2716

18K

CE/PGM

Logik und

Ausgabe-

8

9

Organisation

A0

D0

OE

2K x 8

7

10

Bausteinauswahl

Treiber

A1

D1

6

11

A2

D2

Zugriffszeit

350 ns

5

A3

D3

13

4

A4

D4

14

A0

Programmier-

3

A5

D5

15

A1

Y-Decodierer

Y-Gatter

25V

2

16
spannung

A6

D6

A2

1

A7

D7

17

23

Verlustleistung

A8

A3

22

A9

A4

525 mW

19
aktiv

A10

A5

Speicher-

A6

18

X-Decodierer

Matrix

Verlustleistung

CE/PG

A7

132 mW

20

OE

A8

16384 Bit
standby

A9

21

VPP

A10

Programmierzeit

100 s

Abb. 52.41 EPROM
oder fusible PROM (Sicherungs-PROM). Der Hersteller oder

Die Funktion einer Speicherzelle beruht auf Veränderung der

Anwender kann diese Bausteine nach eigenem Wunsch pro-

Leitfähigkeit eines MOS-Transistors mit einem schwebenden
grammieren. Aufgebaut sind solche Festwertspeicher in Form

(nicht angeschlossenen) Gate (FAMOS = Floating Gate Avalan-
einer Dioden- oder Transistormatrix (Abb. 52.40). Beim Pro-
che Injection MOS). Im nicht programmierten Zustand sperrt
grammiervorgang werden durch einen Stromstoß leitende Ver-
der Transistor. Leitend wird der Transistor durch den Program-
bindungen abgeschmolzen. Einmal programmierte PROM be-
miervorgang, bei dem dem Gate mit Hilfe des Lawineneffekts
halten ihre Daten und sind nicht mehr löschbar.

(Avalance-) eine Ladung aufgeprägt wird (Abb. 52.41).

Die Ausgänge D0 . . . D4 können in Abhängigkeit der Adres-
se die einprogrammierten Daten ausgeben. Die Leitungen

EPROM-Bausteine besitzen auf ihrer Oberseite ein Glasfenster,

X0 . . . X3 nennt man Wortleitungen, die Leitungen Y0 . . . Y3
um ein Löschen zu ermöglichen. Dies geschieht durch Bestrah-
werden Bit-Leitungen genannt. Mit 2 Adressleitungen lassen
lung mit UV-Licht mit definierter Wellenlänge und Strahlungs-
sich 4 Wortleitungen ansprechen. Der Eingang CS (Chip Select)

dichte. Die Dauer der Bestrahlung ist vom Bausteintyp abhängig
dient zur Anwahl des Speichers, und mit OE (Output Enable)

(ca. 30 Min.). Der Löschvorgang löscht den gesamten Spei-
werden die Ausgangstreiber aktiviert.

cherinhalt. Eine unprogrammierte oder gelöschte Speicherstelle
besitzt immer „1“ als Information.

52.3.6.1.3

EPROM

Zur Programmierung werden entsprechende Programmierge-

Ein EPROM (Erasable PROM) ist ein programmierbarer und
räte benötigt. Die notwendige Programmierspannung ist vom
löschbarer Festwertspeicher. Der Speicherinhalt kann durch

Bausteintyp abhängig und höher als die Betriebsspannung

Löschen und erneutes Beschreiben geändert werden. Beim Ab-

(Tab. 52.12). Nach dem Programmiervorgang ist das Löschfens-
schalten der Betriebsspannung gehen die Daten nicht verloren.

ter zuzukleben, um kein Außenlicht eindringen zu lassen.

682

52 Mikrocomputertechnik

Teil

Programmieren

Lesekontrolle

VII

Adressen

Adresse N

Daten

Daten für ADR n

Daten

OE

45 ms

CE/PGM

Abb. 52.42 Programmierzyklus

27512 27128 2754 2732

2716

2716 2732 2754 27128 27512

A15

Vpp

Vpp

VCC

VCC VCC

A12

A12

A12

PGM PGM A14

A7

A7

A7

A7

A7

VCC VCC

NC

A13 A13

A6

A6

A6

A6

A6

A8

A8

A8

A8

A8

A5

A5

A5

A5

A5

A9

A9

A9

A9

A9

A4

A4

A4

A4

A4

A11 A11

A11

A11 A11

A3

A3

A3

A3

A3

OE

OEVpp OE

OE

OEVpp

A2

A2

A2

A2

A2

A10 A10

A10

A10 A10

A1

A1

A1

A1

A1

CE

CE

CE

CE

CE

A0

A0

A0

A0

A0

07

07

07

07

07

00

00

00

00

00

06

06

06

06

06

01

01

01

01

01

05

05

05

05

05

02

02

02

02

02

04

04

04

04

04

GND GND

GND GND GND

03

03

03

03

03

Abb. 52.43 Anschlüsse verschiedener EPROM-Typen

Tab. 52.12 EPROM-Beispiele

Löschen

Type

Kapazität Organisation Zugriffszeit Leistungsaufnahme

Das Löschen geschieht mit ultraviolettem Licht. Nach dem

Programmierspannung

Löschen liegt in jeder Speicherzelle die Information „1“.

2716

16 K

2 K 8

350 ns

500/125 mW 25 V

Programmieren

2732

32 K

4 K 8

250 ns

625/175 mW 21 V

Die Adresse der Speicherstelle, die programmiert werden

2764

64 K

8 K 8

250 ns

500/200 mW 21 V
soll, muss anliegen. Mit OE (Output En- able) werden dann

27C256

256 K

32 K 8

120 ns

150/0,5 mW

12,5 V
die Ausgangstreiber gesperrt und die Programmierspannung

27C512

512 K

64 K 8

120 ns

150/0,5 mW

12,5 V
von 25 V angelegt. Während sich die Daten auf dem Daten-

27C100

1 M

128 K 8

120 ns

150/0,5 mW

12,5 V
bus befinden, wird über den Eingang CE/PGM (Chip Ena-
ble) der Programmierimpuls zugeleitet. Die Einhaltung der

(Nach Datenblatt der Firma Intel)

Adressenreihenfolge ist nicht notwendig. Allerdings müssen
gewisse zeitliche Bedingungen wie die Impulslänge am Ein-
gang CE eingehalten werden.

Nachteil: Es ist nur möglich, den Gesamtbaustein zu löschen.

Dazu muss er aus der Schaltung herausgenommen werden.

Abb. 52.42 zeigt das Impulsdiagramm der Programmierung
mit anschließender Lesekontrolle. Nach der Programmierung

Beschreibung der Betriebsarten:

eines Datenwortes sollte immer eine Kontrolle der program-
mierten Bits erfolgen, um festzustellen, ob die gewünschten

Lesezyklus

Daten im Speicher vorhanden sind (Verify Check). Hierbei darf

Nach dem Anlegen einer gültigen Adresse wird der Baustein
bei diesem Baustein die Spannung am Anschluss V

D
pp

25 V
mit CE D „0“ aktiviert. Anschließend kann mit OE D „0“
angeschaltet bleiben.

der Dateninhalt der Adresse auf die Datenleitungen geschal-
tet werden. Danach wird mit OE D „1“ und CE D „1“ der

EPROM-Programmiergeräte können, da die Speicherbausteine

Datenausgang hochohmig.

standardisiert sind, sowohl 24polige als auch 28polige EPROMs

Standby
aufnehmen (Abb. 52.43).

Im nicht aktiven Zustand (standby) werden interne Stufen
des Bausteins abgeschaltet. Dadurch vermindert sich die

52.3.6.1.4

EEPROM

Verlustleistung. Der Wartezustand wird durch eine „1“ am

Eingang CE erreicht. Die Ausgänge sind in dieser Betriebs-

EEPROM (Electrically Erasable PROM), oft auch als E2PROM
art hochohmig, unabhängig vom Eingang OE.

bezeichnet, haben eine geringere Speicherdichte als EPROM’s.

52.3

Halbleiterspeicher

683

CAT28C64B

Funktionsbild

64K-Bit EEPROM

VII

Buffer

Row

A5..A12

Latches

Decoder

8192 x 8Bit

Teil

CE

Array

OE

Control

High Voltage

WE

Logic

Generator

VCC

DATA Polling

32 Byte Page

Timer

Toggle Bit

Register

Buffer

A0..A4

ColumnDecoder

I/O-Buffers

Latches

I/O0

I/O7

Nach Datenblatt der Firma CATALYST

Abb. 52.44 Funktionsbild eines EEPROM

Tab. 52.13 EEPROM-Beispiele

Im Gegensatz zur EPROM’s, die nur durch UV-Licht gelöscht

Type

Kapazität

Organisation

Zugriffszeit
werden können, sind Flash-EPROM’s elektrisch und in der

HN58064

64 K

8 K 8

250 ns

Schaltung löschbar. Der Baustein kann insgesamt oder sek-

HN58C256

256 K

32 K 8

200 ns
torweise gelöscht werden. Alle Bits müssen – abgesehen von

HN58C1001

1 M

28 K 8

200 ns
neueren Typen – vor dem Löschen zuerst auf „0“ gesetzt wer-
den. Die gelöschten Speicherstellen besitzen „1“ als Informa-

(Nach Datenblatt der Firma Hitachi)

tion. Bei der Programmierung verhalten sich Flash-EPROM’s
wie EEPROM’s. Sie können in der Schaltung Byte für Byte
beschrieben werden. Allerdings erlauben diese Bausteine eine

Ihr Speicherprinzip beruht, wie bei den EPROM-Typen, auf
höhere Zahl von Programmierzyklen (bis zu 100.000 Zyklen).

dem „Floating Gate“ eines MOS-Transistors. EEPROM’s kön-

Die Programmierzeit liegt etwa bei 1=10 der Zeit eines EPROM.

nen Wort für Wort elektrisch gelöscht und neu programmiert

Die längste Programmierzeit benötigen EEPROM’s. Adressen
werden. Allerdings ist die Zahl der möglichen Löschund Pro-
und Daten werden zwischengespeichert (Adress Latch, Da-
grammiervorgänge (ca. 10.000 Programmierzyklen) begrenzt.

ta Latch). Die gewünschten Betriebsarten wie Löschen und

War der Datenerhalt vor einiger Zeit noch mit bis zu 10 Jahren

Programmieren realisiert man über ein Kommandoregister. Im
angegeben, so liegen heutige Angaben bei bis zu 100 Jahren.

Signature Mode (Hersteller-Kennzeichnung) befindet sich un-

EEPROM’s verlieren ihre Daten bei Betriebsspannungsausfall
ter der Adresse 000016 der Hersteller-Code und unter Adres-
nicht. Der Vorteil gegenüber EPROM’s liegt darin, dass die
se 000116 der Baustein-Code. Die Hersteller geben in der

Daten der einzelnen Speicherstellen gezielt in der Schaltung

Regel den Lösch- und Programmier-Algorithmus in den ent-
verändert werden können, ohne den Baustein zu entnehmen.

sprechenden Datenbüchern mit an. Flash-EPROM lassen sich

Der schnelle Löschvorgang innerhalb weniger Millisekunden
kostengünstiger als EEPROM herstellen. Abb. 52.45 zeigt als
ist ein weiterer Vorteil. Ein EEPROM benötigt eine Program-

Beispiel das Funktionsbild und die Anschlussbelegung eines
mierspannung von 5 V. Dies stimmt allerdings nur für die

512 K 1 Bit-CMOS-Flash-Speichers. Mit den beiden TSOP-
externe Zuführung. Im Inneren des Bausteins befindet sich ein

Gehäusevarianten lassen sich Platinenlayouts vereinfachen.

Spannungsgenerator, der die Programmierspannung erheblich
erhöht.

52.3.6.2

Schreib-Lesespeicher

EEPROM’s werden als parallele oder serielle Speicher mit

Die Daten dieses Speichers können über eine Adresse belie-
verschiedenen Betriebsspannungen wie 1,8, 2,5, 2,7 und 5 V
big oft gelesen oder eingeschrieben werden. Beim Ausfall der
angeboten. Tab. 52.13 führt einige Typen mit unterschiedli-

Betriebsspannung sind die Daten des Speichers allerdings ver-
chen Kapazitäten auf. Abb. 52.44 zeigt das Funktionsbild eines
loren. Man spricht daher auch von flüchtigen Speichern (Volatile

EEPROM.

RAM). Eine Übersicht verschiedener Schreib-Lese-Speicher
zeigt Abb. 52.46.

52.3.6.1.5

Flash-EPROM

52.3.6.2.1

SRAM

Flash-EPROM (Flash-Memory) verbinden die Eigenschaften ei-

Statische RAM werden in bipolarer oder MOS-Technik ausge-
nes RAM, EPROM und EEPROM.

führt. Sie arbeiten nach dem Prinzip einer bistabilen Kippstufe

684

52 Mikrocomputertechnik

Teil

I/O

VII

Funktionsbild

Lösch-

Spannungs

I/O-Puffer

Schalter

WE

Programmier-

Kommando-

LATCH

Spannungs

CE,OE-Logik
register

Schalter

CE

OE

Y-Decoder

Speicher-

A0..A15

Latch

Matrix

X-Decoder

Verify-

Schalter

TSOP (Standard Pinout)

CAT28F512

TSOP (Reverse Pinout)

A11

OE

OE

A11

A9

A10

A10

A9

A8

CE

CE

A8

A13

I/O7

I/O7

A13

A14

I/O6

I/O6

A14

NC

I/O5

I/O5

NC

WE

I/O4

I/O4

WE

VCC

I/O3

I/O3

VCC

Vpp

Vss

Vss

Vpp

NC

I/O2

I/O2

NC

A15

I/O1

I/O1

A15

A12

I/O0

I/O0

A12

A7

A0

A0

A7

A6

A1

A1

A6

A5

A2

A2

A5

A4

A3

A3

A4

Abb. 52.45 Pin-Belegung und Funktionsbild eines Flash-Bausteins

Schreib-Lesespeicher

RAM

Type

Speicher prinzi p

SRAM

Flipflop als Speicherzelle

Static RAM

NVRAM

Statistische RAM mit Hintergrund EEPROM

Non volatile SRAM

Transistor mit Kapazität

DRAM

Refresh notwendig

Dynamic RAM

PSRAM

SRAM mit internem Refresh

Pseudo RAM

Abb. 52.46 Schreib-Lesespeicher

(Abb. 52.47). SRAM werden mit unterschiedlicher Kapazität
tenmatrix in 16 4 Spalten zur Ansteuerung unterteilt. Damit
und Organisation angeboten (Tab. 52.14). Aus der Tabelle ist
ergeben sich für den Spaltendecoder 4 Adressleitungen. Die
zu erkennen, dass diese Speicher mit ihrer kurzen Zugriffszeit

Verbindung zum Datenbus erfolgt über die Ein- und Ausgabe-
recht schnell sind.

schaltung. Die Steuerung der Bausteinauswahl geschieht hier
über den Steuereingang /CS. Mit RD, /WR kann die Steuerung

Abb. 52.48 zeigt das Funktionsbild eines Schreib-Lese-
für Lesen oder Schreiben erfolgen. Datenein- und Datenausgabe

Speichers. Die Auswahl der 4-Bit-Speicherstelle erfolgt über
erfolgt über Tristate-Treiber, über die es möglich ist, den Aus-
die Matrix. Bei einer 64 64-Speichermatrix wird die Spal-
gang hochohmig zu schalten.

52.3

Halbleiterspeicher

685

Prinzip

Funktion

VII

CS

RD/WR

Bemerkung
a

D0

1D

0

0

D0 einschreiben

CS

&

0

1

Q lesen

Teil

&

C1

1

0
hochohmig

1

1
hochohmig

&

RD/WR

Abb. 52.47 Prinzip einer Speicherzelle

I/O1

I/O2

A0 A1 A2 A9

I/O3

RD/WR

&

E/A Schaltung

Spaltendecodierer

I/O4

&

CS

A3

Speicher-Matrix

A4

A5

64 Zeilen

A6

64 Spalten

A7

Zeilendecodierer

Abb. 52.48 Funktionsbild eines SRAM-Bausteins

CS

Schreib- und

WE

STORE

Leseschaltung

RECALL

Steuerung

Speicher-Matrix

Speicher-Matrix

STORE

Adressen

SRAM

EEPROM

RECALL

Zeilendecodierer

Spaltendecodierer

Abb. 52.49 Prinzip eines NVRAM

52.3.6.2.2

NVRAM

52.3.6.2.3

DRAM

Das NVRAM (Nonvolatile SRAM) ist ein statisches RAM mit

Dynamische RAM-Speicherzellen (Dynamic RAM’s) bestehen
der Fähigkeit, über die Steuerleitung STORE seine Daten in
im Prinzip aus einem Transistor und einer Kapazität. Dadurch
ein spiegelbildgleiches EEPROM zu kopieren. Damit sind die
ergeben sich kleine Verlustleistungen bei großen Integrations-

Daten nicht mehr flüchtig. Sie bleiben bei Ausfall der Betriebs-
dichten (Abb. 52.51). Der Transistor ist der Schalter, der die
spannung erhalten. Die EEPROM-Daten können jederzeit über

Kapazität auflädt oder entlädt, um den Informationszustand „1“
die Steuerleitung RECALL in das SRAM zurückgeholt wer-
oder „0“ zu erhalten. Da sich die Kapazitäten in kurzer Zeit über
den. Abb. 52.49 zeigt das Funktionsbild eines NVRAM, und

Sperrschichten und Dielektrikum entladen, verliert der Speicher

Abb. 52.50 erläutert die Steuerung der beiden unterschiedlichen
seine Information, und in bestimmten Zeitabständen muss ein

Betriebsarten.

Auffrischzyklus erfolgen. Beispielsweise kann nach 2 ms der

686

52 Mikrocomputertechnik

Teil

CAT22C10

Betriebsarten

VII

NC

VCC

A4

NC

CS WE RECALL STORE

A3

A5

Standby

1
x

1

1

A2

I/O3

Speicher lesen

0

1

1

1

A1

I/O2

Speicher schreiben

0

0

1

1

A0

I/O1

EEPROM nach RAM
x

1

0

1

CS

I/O0

EEPROM nach RAM

1
x

0

1

VSS

WE

RAM nach EEPROM
x

1

1

0

STORE RECALL

RAM nach EEPROM

1
x

1

0

Abb. 52.50 NVRAM und Betriebsarten

Prinzip

PIN-Belegung

2117

RAS

Speicher-Matrix

VBB

VSS

Latch
w-Adreß-

DIN

CAS

Ro

WE

OUT

Zeilendecodierer

RAS

A6

Adresse

A0

A3

Spaltendecodierer

A2

A4

A1

A5

Column-Adreß-

CAS

VDD

VCC

Latch

Abb. 52.51 Prinzip eines DRAM

Tab. 52.14 SRAM-Beispiele

Tab. 52.15 DRAM-Beispiele

Type

Kapazität

Organisation

Zugriffszeit

Type

Kapazität

Organisation

Zugriffszeit

HM6287P

64 K

64 K 1

70 ns

21256

256 K

256 K 1

150 ns

HM6264

64 K

8 K 8

150 ns

21464

256 K

64 K 4

150 ns

HM6207

256 K

256 K 1

45 ns

21010

1 M

1 M 1

130 ns

HM6208

256 K

64 K 4

45 ns

21044

4 M

1 M 4

130 ns

HM62256

256 K

32 K 8

150 ns

(Nach Datenblatt der Firma Intel)

HM621100

1 M

1 M 1

35 ns

HM628128

1 M

128 K 8

120 ns

HM621664

1 M

64 K 16

25 ns
tenadresse D Column-Adress), die zeitlich nacheinander mit

HM621400

4 M

1 M 4

35 ns
den jeweiligen Steuerleitungen RAS (Row Address Strob D

Reihenadressenzugriff) und CAS (Column Adress Strobe =

Spaltenadressenzugriff) den Baustein ansprechen. Zunächst
gesamte Speicher aufgefrischt werden (Blockrefresh). Ein zu-
wird dem Baustein über den Adressbus die Zeilenadresse zu-
sätzlicher Takt leitet den Zyklus ein. Während dieser Zeit kann
geführt und im Latch gespeichert. Anschließend gelangt die
die CPU nicht auf den Speicher zugreifen. Die Refreshzeiten

Spaltenadresse zum Column-Latch. Den zeitlichen Zusammen-

(refresh D auffrischen) der einzelnen Speicher sind unter-
hang eines Lese- und Schreibzyklus beschreibt Abb. 52.52.

schiedlich. Der Betrieb dynamischer RAM’s hat eine besondere

DRAM-Speicher sind deutlich langsamer als SRAM-Speicher,

Adressierung, wie das folgende Beispiel zeigt.

wie aus der nachfolgenden Tab. 52.15 hervorgeht. Überlegen
sind sie statischen Speichern allerdings durch eine höhere Inte-

Der

Speicher

2117 besitzt
eine

Speicherkapazität
von
grationsdichte und geringerer Verlustleistung.

16 K 1 Bit. Die Speichermatrix selbst ist in Reihen und Spal-
ten angeordnet. Um alle Speicherplätze anzusprechen, werden

52.3.6.2.4

PSRAM

14 Adressleitungen benötigt. Damit man dennoch mit einem

14-DIL-Gehäuse auskommt, werden die Adressen in zwei

PSRAM (Pseudo SRAM) sind nach außen hin wirkende stati-

Gruppen aufgeteilt (Zeilenadresse D Row-Adress und Spal-
sche RAM-Bausteine mit einer inneren Struktur und notwen-

52.3

Halbleiterspeicher

687

Lesezyklus

VII

RAS

CAS

Teil

Adresse

Zeilenadresse

Spaltenadresse

Dout

Ausgangsdaten

WE

Schreibzyklus

RAS

CAS

Adresse

Zeilenadresse

Spaltenadresse

Dout

Daten

WE

Abb. 52.52 Lese- und Schreibzyklus eines DRAM

Tab. 52.16 PSRAM-Beispiele

Type

Kapazität

Organisation

Zugriffszeit

Hilfe der Auswahleingänge CS jedem Speicher ein be-

HM65256

256 K

32 K 8

150 ns
stimmter Speicherbereich zugeordnet. Es werden dazu die

HM658128

1 M

128 K 8

120 ns

Adressleitungen benutzt, die nicht zu den Adressenleitun-

HM658512

4 M

512 K 8

120 ns
gen gehören, die an den Speichern angeschlossen sind.

Da bei diesem Verfahren nicht alle Adressleitungen des

(Nach Datenblatt der Firma Hitachi)

Systems in Gebrauch sind, können Speicher mit mehre-
ren Adressen angesprochen werden. Beispielsweise wird
mit der ADR 8000H dieselbe Speicherstelle wie mit der
digen Hilfsschaltungen eines dynamischen RAM. Die Refresh-

ADR 0000
schaltung ist in diesem Baustein integriert (Tab. 52.16).

H angesprochen. Man spricht auch von unvoll-
ständiger Decodierung.

Häufig werden Decodierer zur Unterscheidung der Spei-
cher eingesetzt (Abb. 52.54). Der Decodierer wird dann

52.3.7

Speichererweiterung
von Adressleitungen, die nicht an die einzelnen Speicher
angeschlossen sind, gesteuert. Um eine Mehrfachanspra-
che von Speicherstellen zu vermeiden, sollte ein Decodie-

Der Zentralspeicher oder Hauptspeicher eines Mikrocomputers
rer gewählt werden, der einen Auswahleingang besitzt.

besteht aus mehreren Speicherbausteinen (RAM, ROM). Die

Mit Hilfe einer einfachen Logik können alle Adressen

Erweiterung des Speicherraumes wird durch Parallelschalten al-
in die Decodierung mit einbezogen werden. Man spricht
ler Daten- und Adressleitungen erreicht. Um das gleichzeitige
dann von vollständiger Decodierung (Tab. 52.17). Die

Ansprechen mehrerer Bausteine zu verhindern, sind Auswahl-

Anfangs- und Endadressen der einzelnen Speicher wer-
bedingungen erforderlich.

den jeweils aufgeführt. Da die Speicher eine Speicherka-
pazität von 2 K 8 Bit besitzen, sind jeweils 11 Adress-

Beispiel 1 (siehe Abb. 52.53)

leitungen (A0 . . . A10) vorhanden (211 D 2048 D 2 K).

Zur Unterscheidung der Speicher (Decodierung) werden

An einem 8-Bit-Prozessor sollen 4 Speicher mit einer
die zwei nachfolgenden Adressleitungen A12 und A13

Kapazität von 2 K 8 Bit angeschlossen werden. Da al-
benutzt. Alle übrigen Adressleitungen werden über eine
le Speicher mit ihren Adressleitungen A0 bis A10 an

ODER-Verknüpfung zur Deaktivierung bzw. Aktivierung
dem Adressbus liegen, würden alle Speicher bei Aus-
des Decoders eingesetzt. Damit sind die Speicherplätze
gabe einer Adresse im Bereich bis 07FF H gleichzeitig
eindeutig bestimmt und ergeben den in Abb. 52.54 darge-
angesprochen werden. Um dies zu verhindern, wird mit
stellten Speicherplan.

J

688

52 Mikrocomputertechnik

Teil

Adresse

A0

Speicher 1

4FFF

VII

Speicher 2

Speicher 4

4800

Speicher 3
us

2FFF

Speicher 3

A10

Speicher 4

2800

A11

1

CS

Adreßb

1FFF

Speicher 2

A12

CS

1800

A13

2K x 8Bit

CS

07FF

Speicher 1

A14

CS

0000

A15

Abb. 52.53 Unvollständige Decodierung und Speicherplan

Adresse

A15 A14 A13

A12 A11

A10..A0

1FFF

Speicher 1

Speicher 4

Speicher 2

1800

Speicher 3

17FF

Speicher 3

Speicher 4

1000

0

0FFF

CS

DEC

Speicher 2

1

CS

2K x 8Bit

0800

2

CS

07FF

Speicher 1

1

CE

3

CS

0000

Abb. 52.54 Vollständige Decodierung

Tab. 52.17 Vollständige Decodierung

Adreßleitung

A15 A14 A13 A12 A11 A10 A9

A8

A7

A6

A5

A4

A3

A2

A1 A0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

Speicher 1

0

7

F

F

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

Speicher 2

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

Speicher 3

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

Speicher 4

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Grundbereich

Codierung

Speicher 1 bis 4

Deaktivierung des Zentralsspeichers
bei Adressen > 1FFF

52.4

Peripheriebausteine

689

ALE

FFFFF

8086 CPU

Latch

VII

AD0..AD15

Adreßbus

System-ROM

A16..A19

Teil

BHE

BHE

A0

ROM-Erweiterungen

FFFFF

FFFFE

C0000

Bildschirmspeicher

A0000

Arbeitsspeicher

3

2

1

0

00000

Bank1

Bank 0

Abb. 52.55 Blockbild eines 1-MByte-Speichers und SPeicherorganisation

52.3.8

Zentralspeicher
um über Bank-Switching die Adressierung eines größe-
ren Speicherbereiches zuzulassen. Prozessoren ab 80286

Der Zentralspeicher eines Mikroprozessorsystems ist sein
können mehr als 1 MB adressieren. Der Speicher ober-

Hauptspeicher. Soll ein solcher Zentralspeicher für ein Mi-
halb 1 Mbyte wird Extendet Memory genannt und kann
kroprozessorsystem entworfen werden, muss die Größe des
durch zusätzliche Speicherkarten realisiert werden (Er-
gewünschten Speichers bekannt sein. Anschließend können
weiterungsspeicher). Mit Hilfe initialisierbarer Steuerpro-
gängige Speicherbausteine ausgewählt, ein Speicherplan aufge-
gramme kann dieser Speicherbereich zum Speichern von
stellt und der Adressdecodierer geplant werden.

Daten oder zur Verwendung von Programmen genutzt
werden.

Beispiel

Bei der Speicherverwaltung der 80 86 unterscheidet
man die Betriebsarten Real Mode und Protected Mode.

Ein Zentralspeicher für einen 8-Bit-Prozessor soll mit

Im Real Mode wird ein Speicherbereich von 1 MB ver-
seinem 64-K-Speicherraum voll ausgenutzt werden. Als
waltet, da nur die Adressleitungen A0 bis A19 verwendet

Speicherbausteine stehen 16 K 8-Bit-Speicher zur Ver-
werden. Damit sind in dieser Betriebsart die Prozes-
fügung. Zu jedem Speicher gehen somit 14 Adresslei-
soren mit dem 8086 kompatibel. Im Protected Mode
tungen (A0 . . . A13). Die Adressleitungen A14 und A15
werden alle Adressleitungen und damit der Speicherbe-
können dann zur Decodierung der vier Speicherbausteine
reich oberhalb von 1 MB (Extended Memory D Erweite-
herangezogen werden.

rungsspeicher) ausgenutzt. Der 80286 kann somit einen

Speicherbereich von 16 MB adressieren.

J

Der Zentralspeicher eines PC mit 8086/80286 CPU und
seinem 1-MB-Adressbereich ist physikalisch in zwei

Speicherblöcke mit je 512 kB aufgeteilt (Abb. 52.55). Die

Auswahl wird über die Adresse A0 (Bank 0) und die

Steuerleitung/BHE (Bank 1) vorgenommen. Die Daten-
leitungen sind so aufgeteilt, dass D0 bis D7 Bank 0 und

52.4

Peripheriebausteine

D8 bis D15 Bank 1 verbinden, während die Adressleitun-
gen A1 bis A19 an beiden Speicherblöcken anliegen.

52.4.1

Allgemeines

Der Adressbereich ist in einen RAM- und ROM-Bereich
unterteilt. Dem eigentlichen Arbeitsspeicher sind max.

640 kB zugeordnet und dem Bildschirmspeicher die nach-

Peripheriebausteine sind Schnittstellenbausteine, die periphe-
folgenden 128 kB. Das BIOS (Basic Input/Output Ser-
re Geräte wie Monitor, Tastatur, Drucker oder Disketten-
vices) liegt mit ebenfalls 128Kbyte bis zur Adresse

Laufwerke mit dem Bussystem des Prozessors verbinden. Man

FFFFF. Der zwischen Bildschirmspeicher (Video-RAM)

unterscheidet einfache (nichtprogrammierbare) Bausteine, die
und BIOS liegende Bereich ist für ROM-Erweiterungen
ihre Funktion durch die hardwaremäßige Beschaltung in Verbin-
wie beispielsweise das BIOS des Festplattenkontrollers
dung mit den Ein- und Ausgabebefehlen des Prozessors durch-
reserviert. Aus diesem Speicherbereich werden eben-
führen und programmierbare Bausteine, die zunächst durch
falls 64 kB als Expansionsspeicher (EMS) verwendet,

Software initialisiert werden müssen. Bausteine mit besonderen

Aufgaben sind Treiberstufen, Taktgeneratoren, Zeitgeberbau-

690

52 Mikrocomputertechnik

Teil

Memory-mapped

I/O-mapped

Einrichtungs- (unidirektional) und Zweirichtungstreiber (bidi-
rektional). Ihr Einsatz ist abhängig von der Datenflussrichtung.

VII

Adresse

Adresse

Während Einrichtungstreiber beispielsweise als Adressenbus-

FFFF

FFFF
treiber eingesetzt werden, dienen Zweirichtungstreiber zur Da-
tenübertragung. Mit einem Eingang (OE D Output Enable) kön-

RAM-Bereich
nen die Treiber in einen hochohmigen Zustand (Tristate, siehe

RAM-Bereich
auch Abschn. 42.1 „Integrierte Schaltungen“) versetzt werden.

Der Zweirichtungstreiber besitzt neben diesem Freigabeeingang

I/O-Bereich
einen weiteren Eingang zur Umschaltung der Datenflussrich-

0000

0000
tung (DIR D Direction). Abb. 52.57 zeigt einen Mikroprozessor

FF
mit Treiberstufen und erläutert über eine Funktionstabelle das

I/O-Bereich

Prinzip der Umschaltung des Zweirichtungstreibers. Mit dem

00

Eingang OE D „0“ wird der Baustein aktiviert. Bei DIR D

„1“ gelangen die Daten von A0 nach B0; bei DIR D „0“ von

Abb. 52.56 Adressierungsarten und Adressenaufteilung

B0 nach A0. Eine „1“ am Steuereingang des Tristatetreibers
veranlasst diesen durchzuschalten, ansonsten ist der Ausgang
hochohmig.

steine (TIMER) und Steuerbausteine für den direkten Speicher-
zugriff (DMA D Direct Memory Access).

Die Schnittstelle wird Interface genannt. Sie passt die Signa-

52.4.3

Einfache E-/A-Bausteine für den
le der Schnittstellenbausteine an die Signale, die der Prozessor
liefern oder empfangen kann, an. Damit ergibt sich für jeden
parallelen Betrieb

Baustein eine Bus- und eine Geräte-Schnittstelle.

E-/A-Bausteine nennt man auch Portbausteine, da sie das „Tor“

Generell kann die Datenein- und -ausgabe mit dem Lesen und
zur Außenwelt sind. Sie werden direkt an den Datenbus an-

Beschreiben eines Speicherbausteins verglichen werden. Hat die
geschlossen und können als Ein- oder Ausgabebaustein funk-

Adresse den gleichen Aufbau wie die Speicheradresse, spricht
tionieren. Zur Auswahl der Bausteine ist ein Adressdecoder
man von „ Memory-mapped-Adressierung“. Der E-/A-Baustein
nötig, der aus einer simplen Logik aufgebaut sein kann. Bringt
wird hierbei als Teil des Speichers angesehen. Um Speicher und
man die Steuersignale WR und RD mit in die Decodierung des

E-/A-Baustein zu unterscheiden, schafft man mit Adressdeco-

Adressdecoders ein, kann die gleiche Adresse für Ein- und Aus-
dern unterschiedliche Adressbereiche. Bei einem 16 Bit breiten
gabeport benutzt werden, weil ein Zugriff mit RD nur lesend

Adressbus liegen dann E-/A- Baustein und Speicher in einem
und mit WR nur schreibend erfolgt. Mit dem Eingabebefehl ge-

Adressbereich von 0000 bis FFFF.

langen die Daten vom Eingabeport zum Akkumulator und mit

Wird die Unterscheidung zu den Speichern mit Signalen wie
dem Ausgabebefehl vom Akkumulator zum Ausgabeport. Der

IO/M oder IORQ des Steuerbusses durchgeführt, spricht man

Datenfluss läuft immer über den Akkumulator. Da die Eingabe-
von „ I/O-mapped-Adressierung“. Hierbei wird bei IN-Befehlen
daten für den Portbaustein nur kurzzeitig anliegen brauchen, um
oder OUT-Befehlen eine 8-Bit-Adresse auf dem Low-Adressbus
von der CPU angenommen zu werden, lassen sich auch Tristate-
übertragen. Unter Ausnutzung aller Adressen ergibt sich hierbei

Treiber als Eingabebausteine benutzen. Anwendungen für die
ein Adressbereich von 00 bis FF. Abb. 52.56 stellt die beiden

Eingabe sind von Hand oder durch Maschinen betätigte Schal-

Adressierungen gegenüber.

ter, Taster oder Optokoppler. Mechanische Taster prellen oft.

Der Prozessor erkennt dann unter Umständen mehrere Impul-
se. Dies muss durch Software oder Hardware ausgeschlossen
werden.

52.4.2

BUS-Treiber

Um einen eindeutigen H-Pegel bei geöffneten Schaltern zu er-
halten, sind jeweils Widerstände gegen CUCC gelegt (Pull-up-

Jeder Bausteineingang, der an die CPU angeschlossen ist, be-

Widerstände). Ihre Werte liegen üblicherweise zwischen 1 k(
lastet die CPU-Ausgänge. Dabei wird zwischen statischem
und 10 k(. Die Ausgabedaten stehen nur kurzzeitig während
und dynamischem Lastverhalten unterschieden. Beim dynami-
des Ausgabe-Befehls an der Peripherie an. Da die Daten bis
schen Lastverhalten spielen die parasitären Kapazitäten, also
zur nächsten Ausgabe anstehen sollen, müssen sie gespeichert
die Eigenkapazität der Bauteile und Kapazitäten, die durch den
werden. Dies erreicht man mit D-Flipflops. Abb. 52.58 zeigt als

Schaltungsaufbau bedingt sind, eine große Rolle, weil hierdurch

Beispiel einen Eingabebaustein mit Decoder. Mit dem Befehl

Signale verformt werden. Da auch die statische Belastbarkeit

„IN FF“ gelangen die anliegenden Daten zum Akkumulator.

der CPU gering ist, dürfen nicht beliebig viele Bauelemente

Abb. 52.59 zeigt die Innenschaltung des Ausgabebausteins mit
an den Prozessor angeschlossen werden. Um ein Fehlverhal-
dem entsprechenden Adressdecodierer. Mit dem Befehl „OUT
ten der CPU auszuschließen, werden BUS-Treiber zur Laster-

FF“ werden die Daten des Akkumulator zum Ausgangsport ko-
weiterung und Signalformung eingesetzt. Handelsüblich sind
piert.

52.4

Peripheriebausteine

691

Prozessor mit Treiberstufen

Zweirichtungstreiber

Zweirichtungstreiber

VII

D0.D7

DIR

&

&

OE

Teil

A1

2

B1

1

WR

3EN2
zu den anderen

3EN1

Kanälen

G3

74LS245

A0..A15

Einrichtungstreiber

OE

G3

DIR

3EN1 (BA)

3EN2
a

(AB)

A1

B1

EN

A2

B2

A3

B3

A4

B4

A5

B5

A6

B6

EN

A7

B7

A8

B8

OE

DIR

Datenrichtung

0

0

B -> A

EN

0

1

A -> B

1

X
hochohmig

Z80 CPU

EN

Abb. 52.57 Prozessor mit Treiberstufen und Zweiruchtungstreiber

Eingabepor t

Adreßbus

A7..A0

+

&

&

EN

D0

IOR

D1

&

D2

D3

D4

Decoder

D5

D6

D7

Datenbus

Abb. 52.58 Einfaches Eingabeport mit Decoder

692

52 Mikrocomputertechnik

Teil

Adreßbus

A7..A0

VII

EN

&

&

Ausgabeport

C1

D0

1D

IOW

D1

&

D2

D3

D4

Decoder

D5

D6

D7

Datenbus

D0

D1

D2

D3

D4

D5

D6

D7

1D

1D

1D

1D

1D

1D

1D

1D

C1

C1

C1

C1

C1

C1

C1

C1

LE

OE

D0

D1

D2

D3

D4

D5

D6

D7

Abb. 52.59 Ausgabeport mit Decodierer und Portbaustein

Interner Datenbus

D7 D6 D5 D4 D3 D2 D1 D0

Port-Register

Port A

Steuerwort-Register

Port A

Port-Register

Port B

Funktion

Port B

Port C

A0

Adreßdecodierer

Port-Register

Port C

A1

3 2 1 0

Abb. 52.60 Prinzip eines programmierbaren Portbausteins

52.4.4

Programmierbare

Ports und Steuerwortregister können über Adressen angespro-

Schnittstellenbausteine
chen werden. Besitzt ein Baustein ein zusätzliches Zustands-
oder Statusregister, über das Zustände der Ports abgefragt wer-
den, kann seine Adresse mit der Adresse des Kommandoregis-

Ein Kennzeichen dieser Bausteine (Abb. 52.60) sind 16 bzw.

ters übereinstimmen. Die Unterscheidung der beiden Register

24 programmierbare Ein-/Ausgabeleitungen, wobei 8 Leitungen
erfolgt dann über die Steuerleitungen /RD und /WR. Um den
jeweils zusammengefasst ein Port darstellen.

Baustein zu initialisieren und die gewünschte Funktion zu spei-
chern, muss zunächst das Steuerwort in das Steuerwortregister

Die Funktion dieser Bausteine ist nicht allein hardwaremä-
gebracht werden. Komplexere Bausteine, wie der 8156, besit-
ßig festgelegt. Über ein Kommando- oder Steuerwortregister
zen zusätzlich einen Zeitgeber und Speicher. Sie benötigen dann
kann die gewünschte Funktion und Betriebsart softwaremäßig
mehr als zwei Adressleitungen.

eingegeben werden. Damit können Ports als Eingabe- oder Aus-
gabeports arbeiten. Des Weiteren können Betriebsarten gewählt

Häufig eingesetzte Bausteine sind der 8255 von INTEL und
werden, bei denen Portleitungen als Steuer- oder Meldeleitun-

Z80-PIO von ZILOG. Die Adressierung dieser Bausteine erfolgt
gen definiert sind. Die einmal gewählte Funktion bleibt solange
wie bei den Speichern über einen Auswahleingang /CS (Chip
erhalten, bis der Inhalt des Steuerwortregisters überschrieben

Select). Das Signal für CS kann im einfachsten Fall aus dem Si-
wird oder eine Rückstellung erfolgt.

gnal IO/M bzw. IORQ und einem Adresssignal gebildet werden.

52.4

Peripheriebausteine

693

Tab. 52.18 Bedeutung der Anschlüsse

A0

A0

A1

A1

Anschlüsse

Funktion

VII

D0 . . . D7

Datenbus

COMP

8255

+5V

0

RESET

Rücksetzungseingang

A2

P P<0

CS

Bausteinauswahl

Teil

A3

3

P=0

&

CS

RD

Leseeingang

0

P>0

WR

Schreibeingang

Q

3

A0, A1

Adressleitungen

<

PA0 . . . PA7

Port A

=

PB0 . . . PB7

Port B

>

PC0 . . . PC7

Port C

VCC

C5 V Betriebsspannung

A4

COMP

0

A5

A6

P

A7

P<0

3

P=0

Häufiger findet man Adressdecoder aus Vergleicherstufen. Der

0

P>0

Ausgang dieser Stufen wird nur dann „1“, wenn die Bitmuster

Q

3
am Eingang A mit denen an Eingang B übereinstimmen. Mit

<

Hilfe von Jumpern (Steckbrücken) oder DIL-Schaltern ist dann

+5V

=
jede Adresse von 00 bis FF wählbar. Abb. 52.61 stellt ein Bei-

>
spiel für einen Adressdecoder dar. Die Anschlussbelegung des

Abb. 52.61 Adressdecoder für I/O-Bausteine

Portbausteins erkennt man im Abb. 52.62. Abb. 52.63 zeigt das

Funktionsbild des 8255.

8255

Der Baustein besitzt 3 TTL-kompatible Ports mit je 8 Leitungen

PA3

PA4
oder Kanälen. Port C kann in 2 Gruppen zu je 4 Leitungen unter-

PA2

PA5
teilt werden. Hierbei gibt es allerdings nur die Möglichkeit, die

PA1

PA6

PA0

PA7

L-Bits, das sind die Leitungen PC0 bis PC3, und die H-Bits mit

RD

WR
den Leitungen PC4 bis PC7 zusammenzufassen. Die Steuerlo-

CS

RESET
gik bestimmt mit dem Kommando- oder Steuerwort, ob ein Port

GND

D0
als Eingabe- oder Ausgabeport arbeitet. Das Format dieses Steu-

A1

D1

A0

D2
erwortes sehen Sie im Abb. 52.64. Hierbei kommt jeder Bitstelle

PC 7

D3
eine bestimmte Bedeutung zu. D1 entscheidet beispielsweise

PC 6

D4
über Ein- oder Ausgabe von Port B, und D4 ordnet die Eigen-

PC 5

D 5
schaften dem Port A zu (Tab. 52.19).

PC 4

D6

PC 0

D7

Der 8255 unterscheidet die Betriebsarten 0, 1 und 2.

PC 1

Vc c

PC 2

PB7

In der Betriebsart 0 können die Ports jeweils als Ein- oder Aus-

PC 3

PB6
gabe programmiert werden, wobei das Port C noch in zwei

PB0

PB5

PB1

PB4

4-Bit-Leitungsgruppen unterteilt ist. Die Eingabedaten gelan-

PB2

PB3
gen ohne Zwischenspeicherung zum Datenbus, während bei der

Ausgabe der Daten eine Zwischenspeicherung erfolgt. Die im

Abb. 52.62 PIN-Belegung des 8255

Abb. 52.64 aufgeführten Beispiele gelten für diese Betriebs-

Funktionsbild

PA0..PA7

Daten

Steuerung

Puffer

Kanal A

Gruppe A

PC4..PC7

Kanal C
höher-
wertig

Steuer-

RD

PC0..PC3

Logik

WR

Kanal C

A1
nieder-
wertig

A0

CS

PB0..PB7

Steuerung

RESET

Kanal B

Gruppe B

Abb. 52.63 Funktionsbild des 8255

694

52 Mikrocomputertechnik

Teil

Beispiele

Kommandowort

VII

D7 D6 D5 D4 D3 D2 D1 D0

Kanal C

(L-Bits)

8255

Port A

1 = Eingabe

10011011

0 = Ausgabe

Port C

Kanal B

Port B

1 = Eingabe

0 = Ausgabe

Betriebsart

8255

Port A

0 = Betriebsart 0

1 = Betriebsart 1

10000000

Port C

Kanal C (H-Bits)

Port B

1 = Eingabe

0 = Ausgabe

Kanal A

8255

Port A

1 = Eingabe

0 = Ausgabe

10001001

Port C

Betriebsart

00 = Betriebsart 0

Port B

01 = Betriebsart 1

1x = Betriebsart 2

8255

Port A

Kennzeichenbit

1 = aktiv

H-Bits

10010001

Betriebsart

L-Bits

Port B

Abb. 52.64 Format des Steuerwortes und Beispiele

Eingabe

Ausgabe

RD

WR

Eingang

D7..D0

A1,A0

A1,A0

CS

CS

D7..D0

Ausgang

Abb. 52.65 Impulsdiagramm für die Betriebsart 0

Tab. 52.19 Definition der Steuersignale in der Betriebsart 1 und 2

Baustein mit der Bausteinauswahlleitung /CS. Ein H-Pegel am

STB

Strobe

„0“ ermöglicht es, Daten in den Eingangs-

Eingang RESET setzt alle internen Register zurück.

zwischenspeicher zu laden

Bei der Betriebsart 1 (getastete Ein-Ausgabe) kann Port A oder

IBF

Input Buffer Full

„1“ zeigt an, dass Daten geladen wurden

Port B als Eingabe oder Ausgabe benutzt werden. Das Port C

OBF

Output Buffer Full wird „0“, wenn Daten geschrieben wurden
dient mit je drei Leitungen zur Steuerung (Abb. 52.66). In dieser

ACK

Acknowledge

Quittungseingang

Betriebsart ist Handshake-Betrieb möglich (Abb. 52.67). Diese

INTR Interrupt

Unterbrechungsanforderung

Betriebsart wird verwendet, wenn Geräte, die nicht synchroni-
siert sind, Daten austauschen sollen. Sobald die Eingabedaten
den Portbaustein erreicht haben, kann über ein Interrupt der
art. Das zeitliche Zusammenwirken der Signale für die Ein-

CPU eine Meldung gemacht werden. Über eine Interruptroutine
und Ausgabe gibt Abb. 52.65 wieder. Mit einem L-Pegel am
werden die Daten eingelesen. Die genaue Funktion verdeutlicht

Eingang /WR können Daten oder Steuerworte in den Baustein
das Prinzip im Abb. 52.68 in Verbindung mit dem gleichzeitig
geschrieben und mit einem L-Pegel am Eingang RD können Da-
dargestellten Impulsdiagramm.

ten vom Baustein gelesen werden. Während dieser Zeit muss

Input Buffer Full (IBF) ist zunächst „0“. Damit wird dem Ein-
die gültige Adresse an A0 und A1 anliegen. Angewählt wird der
gabegerät ein Zugang zu dem Eingabebaustein ermöglicht. Der

52.4

Peripheriebausteine

695

8255

Baustein 8255 zeigt an, dass er Daten aufnehmen kann. Stellt

PA0..PA7
das Eingabegerät nun Daten zur Verfügung, wird dies dem

Baustein durch STB D „0“ mitgeteilt, und die Daten werden

VII

OBF

ACK
übernommen. Gleichzeitig wird IBF D „1“ gesetzt und dem

INTR

Eingabegerät signalisiert, dass keine weiteren Daten übertragen

Teil

PC4
werden. Über INTRB D „1“ wird die Meldung von der Ankunft

PC5
der Daten an die CPU übermittelt und kann über eine Inter-

PB0..PB7
ruptroutine von ihr bearbeitet werden. Beim Lesen der Daten
werden INTRB und IBF wieder auf „0“ gesetzt (Tab. 52.15).

STB

IBF

Sind die Ausgabedaten vom Ausgabegerät übernommen wor-

INTR
den, kann dies wiederum über ein Interrupt der CPU mitgeteilt
werden. Die CPU sendet Daten zum Baustein und gibt eine Mel-

Abb. 52.66 Steuerleitungen für die getastete Ein-Ausgabe
dung über OBF D „0“ zum Ausgabegerät, um die Ankunft neuer

Daten mitzuteilen. Das Ausgabegerät kann die Daten überneh-
men und mit ACKA D „0“ bestätigen und anschließend über

8085 CPU

8255

Daten

INTRA neue Daten von der CPU anfordern.

Daten

Eingabe

IBF

Bei der Betriebsart 2 erfolgt der Datenaustausch nur über einen

STB

INTR
gemeinsamen Datenbus. Die Adressen steuern in Verbindung

RD

ACK

OBF
mit /WR und /RD die Auswahl der Ports oder des Steuerwortre-

WR

Ausgabe

RST 6.5
gisters.

Daten

RST 5.5

Voraussetzung für die Programmierung des Bausteins sind

Kenntnisse der Registeradressen und der Steuerlogik. Tab. 52.20

Abb. 52.67 8255 in der Betriebsart 1
zeigt die Zusammenarbeit der Steuersignale und Adressen mit

1D

1D

1D

1D

1D

1D

1D

1D

1D

Daten

Daten

1D

1D

1D

1D

1D

1D

1D

WR

C1

C1

ACK

STB

IBF

S

S

OBF

RD

INTR

R

R

&

S

&

S

INTE

INTR

INTE

&

R

R

Impulsdiagramm für die Betriebsart 1

Eingabe

Ausgabe

STB

WR

Daten

OBF

IBF

INTR

INTR

ACK

RD

Ausgang

Daten

Abb. 52.68 Funktionsprinzip der Betriebsart 1

696

52 Mikrocomputertechnik

Teil

Tab. 52.20 Zusammenarbeit der Steuersignale und Adressen und ihre Auswir-
kung auf die Datenrichtung

8109 FA 15 81 JM PORTA ; -> Port A

VII

/CS

/RD

/WR

A1

A0

Funktion

810C CA 1A 81 JZ PORTB ; -> Port B

810F DB 02 IN ADRPC ;Port C Eingabe

0

0

0

0

0

Kanal A ! Datenbus

8111 C3 1C 81 JMP RUECK ;

0

0

0

0

1

Kanal B ! Datenbus

8114 DB 00 PORTA: IN ADRPA ;Port A Eingabe

0

0

0

1

0

Kanal C ! Datenbus

8116 C3 1C 81 JMP RUECK ;

0

1

1

0

0

Datenbus ! Kanal A

8119 DB 01 PORTB: IN ADRPB ;Port B Eingabe

0

1

1

0

1

Datenbus ! Kanal B

811B 77 RUECK: MOVE M,A ;(A) -> (@HL)

0

1

1

1

0

Datenbus ! Kanal C

811C C1 POP B: ;Stack -> BC

0

1

1

1

1

Datenbus ! Steuerlogik

811D F1 POP PSW ;Stack -> AF

811E C9 RET ;zum Hauptprogramm zurück

J

1

0

Hochohmig

0

1

1

Ungültige Bedingung

0

1

1

Hochohmig

52.4.5

Zeitgeberbausteine
ihrer Auswirkung auf die Datenrichtung. Zur Verdeutlichung
sind die Adressen der Register zusätzlich extra aufgeführt. Die

Initialisierung erfolgt immer so, dass zunächst das entsprechen-

Zeitgeberbausteine (TIMER) dienen zur Anpassung zeitbeding-
de Kommandowort in den Akkumulator geladen und anschlie-
ter Programmabläufe zwischen dem Prozessor und peripheren
ßend der Inhalt des Akkumulators über einen OUT-Befehl mit

Geräten. Sie enthalten meist voneinander unabhängige Zähler

Angabe der Steuerwortadresse zum Kommandoregister kopiert
und können wie ein programmierbarer E/A-Baustein über ein
wird. Danach können die Ports mit ihren Adressen angespro-

Steuerwortregister für verschiedene Betriebsarten programmiert
chen werden. Arbeitsregister für Ein- und Ausgabe ist immer
werden.

der Akkumulator. Das nachfolgende Programm zeigt beispiel-
haft eine einfache Byteeingabe in der Betriebsart 0 (siehe auch

Beispiel

Abschn. 52.6 „Maschinensprache“).

Beispiel

Der 8253 besitzt zur Steuerung die Siganaleingänge /WR,

/RD und /CS. Als Adressleitungen sind A0 und A1 zu-

Im Hauptprogramm wird über das C-Register bestimmt,
geführt. Der Datenbus D0 bis D7 ist 8 Bit breit. Der
von welchem Port die Daten geholt werden sollen. Die

Baustein verfügt über drei voneinander unabhängige Zäh-
eingelesenen Daten sollen dann zu der Adresse gebracht
ler mit jeweils drei externen Anschlüssen: Signalaus-
werden, auf die das HL-Register zeigt. Das nachfolgende
gang OUT, Takteingang CLK und Steuereingang GATE

Listing zeigt eine mögliche Lösung:

(Abb. 52.69).

; Unterprogramm DATIN für 8255 und 8085 CPU

Die Adressleitungen A0 und A1 sind häufig direkt mit

; Byte-Eingabe über ein Port in Abhängigkeit des C-Registers
dem Adressbus des MP-Systems verbunden. Mit ihrer

; Das gewünschte Port wird im Hauptprogramm

Hilfe erfolgt die Auswahl eines der Zähler und die

; über das Register C angewählt:

Adressierung des Steuerwort-Registers zur Betriebsart-

; Ist der Inhalt des Registers C = 00, dann wird Port A gewählt

Auswahl (MODE). Angewählt wird der Baustein über

; Ist der Inhalt des Registers C = 01, dann wird Port B gewählt
die Auswahlleitung /CS. Dieser Anschluss wird zur

; Ist der Inhalt des Registers C = 02, dann wird Port C gewählt

; Die Eingabedaten werden zu der Adresse gebracht,

Adressenbildung über einen Adressdecodierer gesteuert

; auf die das HL-Register zeigt

(Abb. 52.70). Tab. 52.21 beschreibt die Datenrichtung in

;

Abhängigkeit von Adress- und Steuersignalen.

J

; Programmbeginn ist die Adresse 8100

;

; *************************************************

Die einzelnen Zähler sind voreinstellbare Abwärtszähler für ei-

ORG 8100
ne 16-Bit-Wortbreite, die mit dem Signal des CLK-Eingangs

ADRPA EQU 00 ;Adresse Port A
getaktet werden. Die Taktfrequenz darf max. 2 MHz betragen.

ADRPB EQU 01 ;Adresse Port B

Abb. 52.71 zeigt das Prinzip eines der Zähler.

ADRPC EQU 02 ;Adresse Port C

ADRKR EQU 03 ;Adresse Kommandoregister

Das Zählregister kann über den Datenbus mit einem Wert ge-

KW EQU 9B ;Kommandowort
laden werden, der bei Zählbeginn in den eigentlichen Zähler

;alle Port auf Eingabe
gelangt. Der Zählerzwischenspeicher enthält den jeweiligen

8100 F5 DATIN: PUSH PSW ;(AF) zum Stack

Zählerstand und kann softwaremäßig abgefragt werden. Mit

8101 C5 PUSH B ;(BC) zum Stack

8102 3E 9B MVI A,KW ;8255 initialisieren

Hilfe des Steuerwortregisters kann die Zählart (dual oder dezi-

8104 D3 03 OUT ADRKR ;
mal) und die Betriebsart (Betriebsart 0 bis 5) festgelegt werden.

8106 79 MOV C,A ;Wahl zum Akkumulator

Abb. 52.72 gibt das Format des Steuerwortes und die Adressen

8107 FE 01 CPI 01 ;(A) -- 1, Flag setzen
der Zähler an. Mit Bit 7 und Bit 6 kann einer der Zähler ge-
wählt werden, mit Bit 1, 2 und 3 wird die Betriebsart festgelegt.

52.4

Peripheriebausteine

697

Funktionsbild

PIN-Belegung

8253

VII

CLK 0

D7

VCC

Datenbus

Puffer

Zähler 0

GATE 0

D6

WR

Teil

OUT 0

D5

RD

D4

CS

RD

CLK 1

WR

Steuer-

D3

A1

A0
logik

Zähler 1

GATE 1

A1

D2

A0

CS

OUT 1

D1

CLK2

CLK 2

D0

OUT2

Steuer-
wort-

Zähler 2

GATE 2

CLK0

GATE2

Register

OUT0

CLK1

OUT 2

GATE0 GATE1

GND

OUT1

Abb. 52.69 Funktionsbild und Anschlussbelegung des 8253

8085

8253

AD0..AD7

Adreß/Datenbus

Daten

OUT

A0

GATE

A1

CLK

Latch

Decodierer

CS

OUT

GATE

ALE

A0..A7

CLK

A8..A15

Adreßbus

A9..A15

OUT

IO/M

GATE

RD

CLK

WR

Abb. 52.70 Baustein mit 8085 CPU

Tab. 52.21 Datenrichtung in Abhängigkeit von Adress- und Steuersignalen
am Ausgang aus. Man spricht bei dieser Betriebsart auch von

/CS

/RD

/WR

A1

A0

Funktion

Interrupt bei Zählernulldurchgang, weil sich die positive Flanke

0

1

0

0

0

Zähler 0 laden
am OUT-Ausgang zum Auslösen von Unterbrechungsanforde-

0

1

0

0

1

Zähler 1 laden
rungen gut eignet. Abb. 52.73 zeigt die beteiligten Signale

0

1

0

1

1

Zähler 2 laden
beispielhaft für einen Zähleranfangswert D 4.

0

1

0

1

1

Steuerwort laden

Der Ausgangspegel bleibt so lange erhalten, bis der Zähler neu

0

0

1

0

0

Zähler 0 lesen
geladen wird. Der Zählvorgang selbst kann am Anschluss GATE

0

0

1

0

1

Zähler 1 lesen
mit „0“ unterbrochen werden und mit „1“ fortgeführt werden

0

0

1

1

0

Zähler 2 lesen

(Abb. 52.73, 52.74).

0

0

1

1

1

Datenbus hochohmig

In der Betriebsart Mode 1 kann eine monostabile Kippstufe

1

Baustein nicht angesprochen
nachgebildet werden. Nach dem Laden des Zählers wird er

0

1

1

Datenbus hochohmig
durch „1“ am Anschluss Gate gestartet. Der Ausgang wird dann

„0“, bis der Zählerstand Null erreicht ist.

Bit 0 legt den Zählmodus fest und Bit 4 und 5 haben Einfluss

In der Betriebsart Mode 2 kann ein Zähler als Teiler oder Ge-
auf das L- und H-Byte beim Lesen oder Beschreiben des Bau-
nerator arbeiten. Nach dem Erreichen des Nullwertes beginnt
steins. Die Betriebsarten unterscheiden sich durch verschiedene
sofort ein erneuter Zählvorgang.

Ausgangsimpulse.

In der Betriebsart Mode 3 arbeitet der TIMER als Rechteckge-
nerator.

In der Betriebsart Mode 0 wird der Zähler über das Zählregis-
ter mit einem Anfangswert geladen, während der Ausgang OUT

In der Betriebsart Mode 4 spricht man auch vom softwarege-
zu Beginn der Zählung „0“ ist. Mit jedem Takt wird der Zähler
steuerten Signal, weil der Ausgang beim Erreichen des Null-
dekrementiert und gibt bei Erreichen des Wertes Null eine „1“
wertes für die Dauer einer Taktperiode von „1“ auf „0“ geht.

698

52 Mikrocomputertechnik

Teil

Zählregister

VII

8 Bit

8 Bit
us
tenba

Ausgabe-

16 Bit Zähler

D
und Triggerschaltung

OUT
ner

CLK

Inter

Zwischenregister

GATE

Abb. 52.71 Prinzip eines Zählers

Zähler Lesen/Laden Betriebsart Zählweise

SC1 SC0 RL1 RL0 M2

M1 M0 BCD

0 = dual

1 = dezimal

Adressierung

0

0 0

0

0

0 1

1

Adresse

Register
x

1 0

2

Betriebsarten

A1

A0
x

1 1

3

1

0 0

4

0

0

Zähler

0

1

0 1

5

0

1

Zähler

1

1

0

Zähler

2

0

0

Zählerinhalt zwischenspeichern

1

1

Steuerwort

0

1
höherwertiges Byte

Zähler

0

0

1

0
niederwertiges Byte

Zähler

0

1

1

1

1. L-Byte,

2. H-Byte

Zähler

1

0

Steuerwort

1

1

Abb. 52.72 Format des Steuerwortes und Adressen der Register

CLK

WR

4

3

2

1

0

(n = 4)

n

OUT
bzw.

WR

GATE

5

4

3

2

1

0

OUT

(m = 5)

Abb. 52.73 Signalverlauf in der Betriebsart 0

In der Betriebsart Mode 5 spricht man von einem hardware-

Eine mögliche Anwendung ist die, den TIMER für Ereignis-
gesteuerten Signal, weil der Zähler erst mit der ansteigenden
zählungen einzusetzen. Man versteht darunter, dass der Zähler

Flanke des GATE-Signals startet. Wie in der Betriebsart Mode
kontinuierlich bis zum Eintreffen einer Bedingung (eines Er-

4 geht der Ausgang beim Erreichen des Nullwertes für die Dau-
eignisses) zählt. Hierbei ist es notwendig, den Zählerstand
er einer Taktperiode von „1“ auf „0“.

abzufragen und in Abhängigkeit von diesem Wert den Prozes-

52.4

Peripheriebausteine

699

BUS
cher angeboten. Beispiele hierfür sind der 8155 und 8755. Der

8755 besitzt ein internes ROM von 2 K 8 Bit und ein 8-Bit-

Port PA und PB, wobei im Gegensatz zum 8255 die einzelnen

VII

Trigger-

Schaltung

Bitleitungen als Aus- oder Eingang programmiert werden kön-

Abwärts-

Ausgangs-
nen.

CLK

Zähler

Logik

Teil

&

OUT

Beispiel

GATE

8155/8156

Abb. 52.74 Blockbild eines Zählers

Der Unterschied zwischen dem 8155 und dem 8156
besteht lediglich im Bausteinauswahlanschluss CE. An
diesem Eingang wird der 8155 mit „0“, der 8156 mit
sor Entscheidungen treffen zu lassen. Der Zählerinhalt aller drei

„1“ angesteuert. Der Baustein besitzt 2 TTL-kompatible

Zähler kann ausgelesen werden. Es gibt zwei Möglichkeiten,

Ports (A und B) mit je 8 Leitungen und ein Port C
den Zählerstand zu erfahren. Einmal kann der gewünschte Zäh-
mit 6 Leitungen. Die Speicherkapazität des RAM beträgt
ler über A0 und A1 addressiert werden und mit /RD zur CPU

256 8 Bit. Ferner ist ein 14-Bit-Zähler integriert. Der
gelangen. Wenn RL0 und RL1 auf „1“ gesetzt sind, handelt es
direkte Anschluss an den AD-Bus der 8085 CPU oder
sich um einen 16-Bit-Wert. Der Lesebefehl muss dann zweimal
eines Mikrocontrollers ist wegen des vorhandenen Adres-
erfolgen. Mit dem ersten Befehl wird das LSB (niederwerti-
senregisters (Adress-Latch) möglich (Abb. 52.75). Die
ges Byte) und mit dem zweiten das MSB (höherwertiges Byte)

Bedeutung der Anschlüsse werden in der Tab. 52.22 er-
eingelesen. Während dieser Zeit muss aber das CLK-Signal ab-
klärt. Alle weiteren technischen Daten zeigt Abb. 52.77.

geschaltet sein, beispielsweise durch den GATE-Anschluss, um

Für parallele Ein- und Ausgaben besitzt der Baustein drei
einen gültigen Zählerinhalt zu bekommen.

Ports: Port A und Port B mit 8 und Port C mit 6 Leitungen.

Eine zweite Möglichkeit besteht darin, den Zählerinhalt in den

Port C kann durch das Kommando-Register so program-

Zwischenspeicher zu bringen und zu lesen, ohne den eigentli-
miert werden, dass an den Anschlüssen Steuersignale für
chen Zählvorgang zu unterbrechen. Hierbei wird der entspre-
die parallele Ein- und Ausgabe mit Quittungsbetrieb zur
chende Zähler über das Steuerwort mit SC0 und SC1 ausge-

Verfügung stehen. In der Betriebsart ALT4 arbeiten dann
wählt, und RL0 und RL1 werden auf „0“ gesetzt. Die übrigen
die beiden anderen Ports im Handshake-Betrieb, während

Bits sind hierbei ohne Bedeutung. Eine einfache Programmse-
drei Leitungen von Port C dem Port A und 3 Leitun-
quenz zeigt dies beispielhaft für den Zähler 1.

gen dem Port B zugeordnet sind. Ein Beispiel für den

Anschluss peripherer Geräte im Quittungsbetrieb (Hand-
shaking) zeigt Abb. 52.76. Die Steuerleitungen können

Beispiel
in der Betriebsartentabelle mit ALT4 verglichen werden.

In den Betriebsarten ALT1 und ALT2 arbeiten alle Ports

Lesen des Zählerzustands
als einfache Ein- und Ausgabeports. Für die Adressierung

MVI A, 40 ;Zähler 1 und Zählerinhalt zwischenspeichern
der Ports, des Kommando-Registers und des Zeitgebers

OUT 03 ;Steuerwort-Register, Wert zwischenspeichern
kommt der Baustein mit zwei Adressleitungen nicht mehr

IN 01 ;(Zähler 1, L-Byte) -> Akkumulator
aus, daher dienen A0, A1 und A2 zur Adressierung.

J

MOV L,A ;(Akkumulator) -> L-Register "retten"

IN 01 ;(Zähler 1, H-Byte) -> Akkumulator

MOV H,A ;(Akkumulator) -> H-Register "retten"

;Der Zählerstand liegt jetzt im Registerpaar H vor

Die Programmierung erfolgt über das Kommando-Register. Ei-

Damit der Zähler seine Tätigkeit aufnimmt, muss er mit
ne einfache Programmsequenz zeigt den Programmiervorgang
einem Zähleranfangswert geladen werden. Hierzu ist es
zur Ausgabe über das Port A.

notwendig, das entsprechende Steuerwort ins Steuerwort-

Register zu schreiben und anschließend den gewünschten

Beispiel

Zählwert einzubringen. Von Bedeutung ist nur die zuvor
festgelegte Reihenfolge durch das Steuerwort mit RL0

MVI A,01 ;Portbaustein initialisieren
und RL1.

J

;PA = Ausgang

OUT 00 ;Adresse des Kommando-Registers

MVI A,FF ;Daten -> Akkumulator

OUT 01 ;Datenausgabe an Port A

;am Port A liegen jetzt alle Ausgänge auf "1"

52.4.6

Programmierbarer E/A-Baustein mit

Neben dem Kommando-Register besitzt der 8155 ein Zu-

Speicher und Zeitgeber
standsregister, wo der Zustand des Zeitgebers und der Zu-
stand der Steuerleitungen abgefragt werden können. Die

Neben programmierbaren E/A-Bausteinen werden solche mit

Adresse ist die des Kommando-Registers. Das ist möglich,
zusätzlichen integrierten Baustufen wie TIMER und/oder Spei-

700

52 Mikrocomputertechnik

Teil

Blockbild

PIN-Belegung

8155

VII

PC3

VCC

Zustands-

PC4

PC2

Register

Tin

PC1

RESET

PC0

Kommando-

PA0..PA7

PC5

PB7

Register

A

Port A

Tout

PB6

IO/M

PB5

CE

PB4

PB0..PB7

RD

PB3
statisches RAM

AD-Bus

WR

PB2

256 x 8 Bit

B

Port B

ALE

PB1

AD0

PB0

AD1

PA7

PC0..PC5

AD2

PA6

ALE

Adreß-Latch

C

Port C

AD3

PA5

IO/M

AD4

PA4

RESET

AD5

PA3

WR

Zeitgeber

AD6

PA2

RD

AD7

PA1

VSS

PA0

Tin

Tout

Abb. 52.75 Blockbild und Anschlussbelegung des 8155

8155

Peripherie-Schnittstelle

Port A

Ausgabe-Daten

A INTR

(Daten empfangen)

Ausgabegerät

A BF

(Daten bereit)

(Quittung der empfangenen Daten)

A STB

Port C

B STB

(Lädt den Datenspeicher Port B)

B BF

(Puffer voll)

Eingabegerät

B INTR

(Puffer zum Lesen bereit)

Port B

Eingabe-Daten

RST-Eingang (8085)

Impulsdiagramm für die Eingabe

BF

STROBE

INTR

RD

Eingabedaten

Abb. 52.76 Baustein im Quittungsbetrieb
weil in das Kommando-Register nur eingeschrieben wer-
der Zählung betriebsartenabhängig verhält, d. h. am Aus-
den kann und das Zustands-Register nur gelesen wird.

gang TIMER OUT einen Rechteckimpuls ausgibt, wenn

Der Zeitgeber des Bausteins ist ein 14-Bit-Abwärtszähler,
das Ende der Zählung erreicht ist. Die Bedeutung der Bits
der die Impulse am Eingang Tin zählt und sich nach Ende
für den Zeitgeber sind ebenfalls im Bild dargestellt.

J

52.4

Peripheriebausteine

701

Format des Steuerwortes

VII

TM2 TM1 IEB

IEA PC2 PC1 PB

PA

0 = Eingang

Teil

1 = Ausgang

00 = ALT1

11 = ALT2

Betriebs-

01 = ALT3
arten

10 = ALT4

Unterbrechungfreigabe

1 = freigeben

0 = sperren

Zeitgeber

00 = NOP

01 = STOP

10 = STOP nach TC

11 = START

Betriebsarten

Adressierung

ALT1

ALT2

ALT 3

ALT4

A2

A1

A0

PC0

Eingabe

Ausgabe

A INTR

A INTR

0

0

0

Kommando-Register

PC1

Eingabe

Ausgabe

A BF

A BF

0

0

1

Port A

PC2

Eingabe

Ausgabe

A STB

A STB

0

1

0

Port B

PC3

Eingabe

Ausgabe

Ausgabe

B INTR

0

1

1

Port C

PC4

Eingabe

Ausgabe

Ausgabe

B BF

1

0

0

Zähler (L-Byte)

PC5

Eingabe

Ausgabe

Ausgabe

B STB

1

0

1

Zähler

Zeitgeber-Format

M2

M1

T13

T12

T11 T10

T9

T8

T7

T6

T5

T4

T3

T2

T1

T0

Betriebsart

Höherwertige Bits

Zählwert

Niederwertige Bits

Betriebsarten des Zeitgeber s

Betriebsarten-Bi t

(MODE)

Impulsdiagramm an Tout

Beginn der

Ende der

Funktion

M2

M1

Zählung

Zählung

0

0

Ein Rechteckimpuls

Re chteck -

0

1

Generator

Ein Impul s a m

1

0

Ende der Z„hlung

1

1

Fortlaufende

Impulse

Abb. 52.77 Technische Daten des 8155

702

52 Mikrocomputertechnik

Teil

Tab. 52.22 Bedeutung der Anschlüsse

Beispiel

PIN

Funktion

Anmerkungen

VII

D0 . . . D7

Datenbus

Der Portbaustein 8755 besitzt als Speicher ein EPROM

(elektrisch programmierbarer und UV-löschbarer Spei-

AD0, AD7

Adressen-/Datenbus

Die Adresse wird mit der abfal-
lenden Flanke des Signals ALE
cher) mit einer Speicherkapazität von 2 K 8 Bit. Zur
gespeichert

Bausteinauswahl sind die beiden Anschlüsse /CE1 (low-
aktiv) und CE2 (high-aktiv) anzusprechen. Als Ports be-

ALE

Adress Latch Enable

Adressenspeicher-Freigabe
sitzt der Baustein das Port A und das Port B mit jeweils

RESET

Rücksetzeingang

Eingang High-aktiv; ein H-

8 Leitungen oder Kanälen (Abb. 52.78). Im Gegensatz

Pegel an diesem Eingang setzt
zu vielen anderen Portbausteinen kann hier jeder Kanal
alle Register zurück und bringt
die Ports in die Betriebsart 0 auf
als Eingabe- oder Ausgabekanal arbeiten. Die Funktion

Eingabe
wird durch die entsprechende Adressierung vorgenom-

IO, /M

E/A-Speicherwahl
men. Der Ein- oder Ausgabezustand jeden Kanals be-
stimmt das Datenrichtungs-Register (DDR). Die Funktion

CE

Baustein-Auswahl

Eingang High-aktiv
eines Kanals beschreibt Abb. 52.79.

J

/RD

Lese-Eingang

Eingang Low-aktiv

/WR

Schreib-Eingang

Eingang Low-aktiv

PA0 . . . PA7

Port A

Bit 0 . . . Bit 7

PB0 . . . PB7

Port B

Bit 0 . . . Bit 7

52.4.7

Eingabe-Ausgabe-Bausteine für den

PC0 . . . PC5

Port C

Bit 0 . . . Bit 6
seriellen Betrieb

TIMER IN

Zeitgebereingang

TIMER OUT Zeitgeberausgang

52.4.7.1

Allgemeines

VCC

Betriebsspannung C5 V

Bausteine für den seriellen Betrieb übernehmen die Daten

GND

Masse 0 V
wortweise vom Prozessor und wandeln sie in eine kontinu-
ierliche Folge serieller Informationen um. Des Weiteren kön-

Blockbild

PIN-Belegung

CLK

8755

READY

PROG/CE1

VCC

PA0..PA7

CE2

PB7

CLK

AD0..AD7

PB6

RESET

A

Port A

PB5

EPROM

VDD

PB4

READY

PB3

A8..A10

2K x 8 Bit

IO/M

PB2

PB0..PB7

IOR

PB1

CE2

RD

PB0

IOW

IO/M

B

Port B

PA7

ALE

ALE

PA6

Adreß-Latch

AD0

/ RD

PA5

AD1

/ IOW

PA4

AD2

RESET

PA3

AD3

/ IOR

PA2

AD4

PA1

AD5

PA0

PROG/CE

VDD GND

VCC

AD6

A10

AD7

A9

GND

A8

Adressierung

A1

A0

0

0

Kanal A

0

1

Kanal B

1

0

DDR A

1

1

DDR B

Abb. 52.78 E/A-Baustein

52.4

Peripheriebausteine

703

52.4.7.2

USART

D0 1D

Beim Senden gelangen die parallel gelieferten Daten vom Pro-

VII

C1
zessor über Zwischenregister (Latch) und Parallel-Serienwand-
ler auf die Sendeausgangsleitung. Beim Empfang müssen die

Teil
seriellen Daten wieder in parallele Worte rückgeführt werden.

PA0

Damit der Prozessor hinsichtlich des Zeitpunktes, wann Da-

D0

1D
ten von ihm gesendet bzw. empfangen werden sollen, flexibler

C1
ist, wird ein zusätzliches Sende- und Empfangsregister einge-

R
baut. Der Sender fügt noch zusätzliche Bits in den Datenstrom
ein, damit der Prozessor sich nicht mit den Besonderheiten

&
der speziellen Übertragungsverfahren wie beispielsweise Start-
und Stopbits beschäftigen muss. Ähnlich muss der Empfänger

Zeichen, die nicht zum Dateninhalt gehören, entfernen. Hierzu

PA

DDR A

RESET

PA
dient eine Steuerung des Taktstromes (Abb. 52.81). Die eigent-
schreiben
schreiben
lesen
liche Bausteinfunktion wird durch die Software festgelegt.

Abb. 52.79 Datenrichtungs-Register mit Datenleitung

Beispiel

Der USART 8251 ist ein universeller Synchron/
nen Daten seriell empfangen werden und für den Prozessor

Asynchron-Sender/Empfänger-Baustein und kann durch
in ein Datenwort parallel umgewandelt werden. Wesentlicher
den Prozessor für die gebräuchlichen Datenübertragungs-

Bestandteil sind Parallel-Serienwandler und Serien-Parallel-
verfahren programmiert werden. Abb. 52.82 gibt die
wandler. Abb. 52.80 zeigt das Prinzip der seriellen Übertra-

Anschlussbelegung wieder und zeigt das Blockbild des
gung mit einem E/A-Baustein. Der Aufwand, die Realisierung

Bausteins. Tab. 52.23 beschreibt die Bedeutung der An-
dieser Wandler mit logischen Schaltungen vorzunehmen, ist
schlüsse.

unwirtschaftlich. Man bedient sich daher USART’s (univer-
sell asynchron receiver/transmitter D Universeller Asynchron-

Der Baustein kann im Synchron- oder Asynchronbetrieb

Empfänger Sender) oder SIO’s (serial input/output D Serieller
eingesetzt werden. Die Betriebsarten unterscheiden sich

E/A-Baustein).

CPU

Sendeleitung

Adreßbus

E-/A-Baustein

Peripherie

Datenbus

Empfangsleitung

Steuerbus

Abb. 52.80 Prinzip der seriellen Übertragung mit E/A-Baustein

Parallel-

Sende-

Serien-

Latch

Wandler

Senden

Daten-

Datenbus

Steuerung

Steuerung des Taktstroms

Latch

Serien-

Empfangs-

Empfangen

Parallel-

Latch

Wandler

Abb. 52.81 Prinzip eines USART

704

52 Mikrocomputertechnik

Teil

Datenbus-

Hilfs/Ein-

OSR

VII

Puffer

Ausgabe

DTR

RTS

8251

D2

D1

RESET

Sender

D3

D0

CLK

TxC

RxD

VCC

CS

Schreib-

GND

RxC

C/D

Lese-

D4

DTR

WR

Steuerung

TxC

D5

RTS

RD

Sende-

CTS

D6

DSR

Steuerung

TxEMPTY

D7

RESET

TxRDY

TxC

CLK

WR

TxD

CS

TxEMPTY

Empfänger

RxD

C/D

CTS

RD

SYN/BD

RxRDY

TxRDY

RxC

Empfangs-

SYNCFT/BO
steuerung

RxRDY

Abb. 52.82 Blockbild des 8251 und Anschlussbelegung

Tab. 52.23 Bedeutung der Anschlüsse
im Aufbau des Übertragungszeichens und der Synchro-

PIN

Funktion
nisation. Beim Synchronbetrieb bestimmt das periphere

D0 . . . D7

Datenbus

Gerät die Übertragungsrate. Beim Asynchronbetrieb wer-

RESET

Rücksetzen
den die Daten mit vorgegebener Taktfrequenz übertragen.

CLK

Systemtakt

Clock

Ein interner Frequenzteiler kann mit dem Mode-Wort
auf die Teilverhältnisse 1, 16 oder 24 eingestellt wer-

CS

Bausteinauswahl

Chip Select
den. Mit zugeführtem Sendetakt und programmiertem

C/D

Kennzeichnung der Daten als

Control/Data

Teilerverhältnis wird die Übertragungsgeschwindigkeit

Steuer- bzw. Statuswort/Zeichen

(Baudrate 1 Byted D 1 Bit=s) bestimmt. Der Baustein

RD

Daten oder Zustand lesen

Read
lässt Übertragungsgeschwindigkeiten bis zu 64 kBd zu.

WR

Daten oder Steuerinformation schei-

Write

Jede Übertragung beginnt mit einem Start-Bit und en-
ben
det je nach Programmierung mit dem Paritybit und mit

DSR

Betriebsbereitschaft

Data Set Ready
bis zu 2 Stop-Bits. Die Wortübertragung beginnt stets mit

DTR

DE-Einrichtung betriebsbereit

Data Terminal Ready

D0. Die Länge der zu übertragenden Worte ist zwischen

RTS

Sender einschalten

Request to Send

5 und 8 Bit programmmierbar. Der Sendevorgang über

TxD

Serielle Sendedaten

Transmit Data
die Leitung TxD wird durch den Sendetakt TxC ausge-

TxC

Sendetakt

Transmitter Clock
löst. Steht kein Sendezeichen an, hat der TxD-Ausgang

CTS

Senderfreigabe

Clear to Send

H-Pegel. Der Baustein 8251 empfängt die seriellen Da-

TxEMPTY Senderegister leer

Transmitter Empty
ten über die Leitung RxD. RxD liegt normalerweise auf

H-Pegel. Bei fallender Flanke an diesem Eingang und

TxRDY

Sender kann Daten annehmen

Transmitter Ready

Startbits erfolgt der Empfangsvorgang. Die Daten ge-

RxD

Serielle Empfangsdaten

Receive Data
langen zum Datenbus-Puffer und können vom Prozessor

RxC

Empfangstakt

Receiver Clock
abgeholt werden. Der Datenempfang wird durch den An-

RxREADY Empfänger kann Daten liefern

Receiver Ready
schluss RxRDY mit einem H-Pegel gemeldet.

VCC

Betriebsspannung 5 V

Zum Handshaking ist bei Empfangssteuerung der Aus-

GND

Masse 0 V
gang RxRDY zuständig. SYNDET/BD hat unterschiedli-
che Funktionen, je nach programmierter Betriebsart. Die

Tab. 52.24 Übertragungsfehler

Anschlüsse DSR, DTR und RTS dienen zur Modemsteue-

Parity-Error

Paritätsfehler
rung.

J

Overrun-Error

Überlauffehler

Framing-Error

Sperrschrittfehler

Treten Fehler bei der Übertragung auf, wird dies im Statusregis-

Break-Detection

Break-Erkennung
ter (Tab. 52.24) gekennzeichnet.

52.4

Peripheriebausteine

705

Tab. 52.25 Register-Adressierung

Statuswort-

Kommandowort-

Register

Register

C/D

RD

WR

VII

1

0

1

Statuswort-Register

Betriebs-

1

1

0

Kommandowort-Register
artenwort-

Teil

Register

52.4.8

Bausteine mit Sonderfunktionen

&

&

Sender

Einige Mikroprozessorsysteme besitzen außer den bekannten

&

&

Speicher- und Ein- und Ausgabeeinheiten spezielle Peripherie-

Empfänger
bausteine, die jeweils eine besondere Aufgabe übernehmen. Als

Beispiel wurde ein 80286-System gewählt (Abb. 52.86). Au-
ßer dem bekannten Adress-Latch und dem Transceiver, einem

Zweirichtungstreiber und dem Prozessor gehören als weite-

Abb. 52.83 Prinzip der Adressierung
re Bausteine ein Taktgenerator, ein Bus-Controller und ein

Interrupt-Controller zum System.

Der Taktgenerator 82284 (Abb. 52.87) besteht aus einem Os-

Die Programmierung erfolgt wie bei den anderen E-/A-Bau-
zillator (Osz. 9), der für den Systemtakt verantwortlich ist,
steinen durch Laden des Kommandoregisters vom Prozessor
einer Synchronisationseinheit, einer RESET-Schaltung und dem
über den Datenbus. Mit dem Steuerwort für MODE werden die

PCLK-Generator. Der Taktgenerator selbst kann durch einen ex-
allgemeinen Betriebseigenschaften wie Synchron- oder Asyn-
ternen Generator gesteuert werden, oder der interne Oszillator
chronbetrieb, Zeichenlänge und Paritätsart festgelegt. Mit dem
wird nur noch mit einem Quarz versehen (Anschluss X1 und

Kommandowort wird die Sende- und Empfangssteuerung be-

X2), der dann die Frequenz bestimmt. Der Anschluss F/C (Fre-
einflusst (Abb. 52.83). Die Reihenfolge „Betriebsart festlegen“
quency/Crystal select) dient zur Auswahl der Takterzeugung.

und anschließend „Kommandowort eingeben“ muss eingehal-

Das PCLK-Signal (Peripheral Clock), das über ein Flipflop
ten werden, da beide Codes mit der gleichen Adresse Anschluss

(PCLK-Generator) vom CLK-Signal erzeugt wird, ist für die

C/D D „1“ übergeben werden. Das Statusregister kann bei

Synchronisation peripherer Geräte verantwortlich. Die Erzeu-

C/D D „1“ gelesen werden (Tab. 52.25). Dadurch kann der
gung des /READY-Signals ist von der entsprechenden Steue-

Prozessor den Zustand des Bausteins zu jeder Zeit abfragen
rung abhängig (/ARDYEN, /ARDY, /SRDYEN, /SRDY). Das

(Abb. 52.84 und 52.85).

Signal dient zur Steuerung langsamerer Peripheriegeräte und

D7

D6

D5

D4

D3 D2

D1 D0

Sende-Parallelregister frei

0
nein

1
ja

Zeichen im Empf angsregister bereit

0
nein

1
ja

Senderegister leer

0
nein

1
ja

Paritätsfehler bei Empf ang

0
nein

1
ja

Überlauffehler bei Empf ang

0
nein

1
ja

Stopbit nicht erkannt

0
nein

1
ja

Break Zustand

0
nein

1
ja

Pegel an DSR

0
nein

1
ja

Abb. 52.84 Statuswort

706

52 Mikrocomputertechnik

Teil

Mode-Wort

VII

D7

D6

D5

D4

D3 D2

D1 D0

Betriebsart

0

0

Synchron

0

1

Asynchron

1

0

Asynchron

1

1

Asynchron

Zeichenlänge

0

0

8 Bit

0

1

6 Bit

1

0

7 Bit

1

1

8 Bit

Paritätsbit

0
ohne

1
mit

Paritätsart

0
ungerade

1
gerade

Anzahl der Stopbits

0

0 nicht zulässig

0

1

1

1

0

1.5

1

1

2

Kommando-W ort

D7

D6

D5

D4

D3 D2

D1 D0

Sender freigeben

0
nein

1
ja

DTR setzen

0

H

1

L

Empfänger freigeben

0
nein

1
ja

BREAK-Zustand (L_Pegel) senden

0
nein

1
ja

Fehlerbits rüc ksetzen

0
nein

1
ja

Ausgang RTS setzen

0

H

1

L
nächstes Steuerwort ist Mode-Wort

0
nein

1
ja

Bei Asynchronbetrieb ohne Auswirkung

0

1

Abb. 52.85 MODE- und Kommandowort

52.4

Peripheriebausteine

707

Bus-Controller

VII

AEN

MRDC

Speicher lesen

MWTC

Speicher Schreiben

MB

IORC

E/A-lesen

Teil

CMDLY

Taktgenerator

IOWC

E/A-schreiben

INTA

Interrupt-Bestätigung

ALE

82288

MCE

X2

X1

DEN

RES

S0

S0

DT/R

S1

S1

READY

READY

CLK

CLK

M/IO

RESET

C

RESET

M/IO

OE

CLK

Adreß-

BHE

AB

Latch

82284

READY

A0..A23

S1

S0

CAS

A0

INTR

INT

CS

INTA

Prozessor

WR

80286

RD

D0..D15

SP/EN

Interrupt-

Controller

IR0..IR7

D0..D7

8259

Trans-

DB

Ceiver

DIR

&

OE

Abb. 52.86 Mikroprozessorsystem mit 80286 CPU
fügt Wartezustände (Wait States) in einen Schreib- oder Lese-

Tab. 52.26 Kommando- und Kontrollsignale
zyklus ein. Am /RES (Reset in) kann das Reset-Signal erzeugt

Kommandosignale

Kontrollsignale
werden.

INTA

DT/R

Der Buscontroller 82288 (Abb. 52.88) decodiert die Statussi-

IORC

DEN
gnale (S0, S1 und M/IO) des Prozessors und erzeugt mit dem

IOWC

ALE

CLK-Signal die Kommando- und Kontrollsignale (Tab. 52.26).

MRDC

MCE

MWTC

Interrupt-Controller sollen bei einer Unterbrechungsanforde-
rung eines externen Gerätes am Prozessor einen Interrupt aus-

708

52 Mikrocomputertechnik

Teil

VII

82284

RES

RESET

1

1

Synchronisation

X1

MUX

Osz.

X2

CLK

EFI

F/C

ARDYEN

&

Synchronisation

ARDY

SRDEN

&

Ready-Logik

READY

SRDY

S1

™ 1

PCLK-Generator

PCLK

S0

Abb. 52.87 Taktgenerator 82284

82288

Pro-

Schnitt-

INTA

Takt-

Daten-
gramm-
stelle

S0

Control

IORC
generator
speicher

Status
speicher
seriell

S1

Output

IOWC

Decoder

Logic

MRDC

M/IO

State

MWTC

Schnitt-

CLK

Machine

Watchdog
stelle

Timer
parallel

DT/R

CEN/AEN

Control

Control

DEN

CENL

CPU

Input

Output

ALE

CMDLY

Logic

Logic

Unter-

MCE

System-

READY
brechungs-
steuerung
steuerung

Mikrocontroller

MB

Zeit-

Abb. 52.88 Bus-Controller

A/D-

D/A

Zähler

Wandler

Wandler
geber
lösen. Der Baustein 8259 im Abb. 52.86 besitzt 8 Eingänge
für Interruptquellen (IR0 . . . IR7). Der Prioritätsdecoder hat die

Abb. 52.89 Komponenten eines Mikrocontrollers

Aufgabe, bei gleichzeitiger Anforderung mehrerer Quellen eine

Reihenfolge der Bearbeitungssequenzen festzulegen.

und Regelzwecke sind Analog-Digital-Wandler (AD-Wandler),

Digital-Analog-Wandler (DA-Wandler) und Zähler integriert.

52.5

Mikrocontroller

Ein Watchdog-Timer („Wachhund“) kontrolliert den gesamten

Arbeitsablauf. MC’s besitzen eigene Programmspeicher, die als

ROM oder EPROM ausgeführt sein können und als Arbeitsspei-

52.5.1

Allgemeines
cher ein internes RAM (siehe auch Abschn. 52.3 „Halblei-
terspeicher“). Weiter besteht die Möglichkeit, das MC-System

Mikrocontroller (MC) sind Bauelemente, bei denen auf einem
mit externen Speichern zu erweitern. Abb. 52.89 zeigt in einer

Chip alle erforderlichen Bausteine eines Mikroprozessorsys-

Übersicht Komponenten eines Mikrocontrollers. Je nach Ver-
tems integriert sind. Hierzu gehören je nach Type der eigentliche
wendungszweck sind bei den unterschiedlichen Typen nicht alle

Rechenkern mit Multiplikations- und Divisionseinheit und Takt-

Funktionsstufen enthalten, dafür sind andere Stufen mehrfach
oszillator, die Systemsteuerung und die Interrupteinheit. Die
vorhanden. Um die Gehäusegröße und damit PIN-Zahl in Ab-

Kommunikation mit externen Baugruppen wird über parallele
hängigkeit der Funktionsaufgaben möglichst gering zu halten,
und serielle Schnittstellen ermöglicht. Für Mess-, Steuerungs-
sind viele Anschlüsse für Doppelfunktionen vorgesehen.

52.5

Mikrocontroller

709

Tab. 52.27 Mikrocontroller

Type

ROM (kB)

RAM (B)

E/A 8-Bit-Port

ADC/E 8-Bit

Clock (MHz)

TIMER

VII

8031

–

128

4

–

12

2

8051

4

128

4

–

12, 16

2

8052

8

256

4

–

12, 16, 20

3

Teil

80C52

8

256

4

–

12

3

80512

4

128

6 C 1E

8

12

2

80513

12

256

4

–

12, 16

3

80515

12

256

6 C 1E

8

12, 16

3

80C517

12

256

7 C 1,5E

12

12, 16

4

Daten-

T0

Zähler

Speicher

T1

Programm-

RxD

UART

Speicher

TxD

Port

8051

PIO

CPU

0..3

INT0

INT1

Abb. 52.90 Vereinfachtes Blockbild

Aus der Vielzahl der Einsatzgebiete sind die Schwerpunk-

Mikrocontrollern dieser Serie werden zwei Versionen unter-
te Datenverarbeitung, Industrieelektronik, Mess-, Steuerungs-
schieden. Man spricht von ROM-Versionen, wenn der Anwender
und Regelungstechnik, Unterhaltungselektronik und Kraftfahr-
über das interne ROM verfügen kann und von ROM-losen Ver-
zeugtechnik zu nennen. Weitverbreitet sind 4-Bit- und 8-Bit-
sionen, wenn das interne ROM abgeschaltet ist. Der bis dahin

Versionen. Mikrocontroller verdrängen den klassischen Pro-
interne Bereich ist dann als externer Bereich ansprechbar. Wei-
zessor aus einigen Anwendungsbereichen, weil „Ein-Chip-
tere Unterschiede liegen in der Anzahl der E/A-Ports und der

Systeme“ dort wirtschaftlicher zum Einsatz kommen. Einige

Anzahl der Zeitgeber.

Anwendungen, wie beispielsweise in der Automobilindustrie,
werden erst durch MC’s ermöglicht. Bei größeren Stückzah-
len sind MC’s mit ihrer integrierten Peripherie kostengüns-
tiger als Prozessoren mit externen Peripheriebausteinen. Der

52.5.2

8-Bit-Mikrocontroller

Platzbedarf verringert sich erheblich, und die Betriebssicher-
heit steigt auf Grund der kleineren Anzahl von Fehlerquellen.

52.5.2.1

Funktionsbeschreibung des MC 8051

Die Leistungsfähigkeit der MC’s liegt einmal in der relativ
hohen Verarbeitungsgeschwindigkeit, da die meisten Befeh-

Der MC 8051 besitzt einen Daten- und Programmspeicher.

le mit nur einem Befehlszyklus (z. B. 1 ms) auskommen, der

Eine Kommunikation mit peripheren Geräten ist über die se-
flexiblen Adressierungsarten und den zahlreichen Bitverarbei-
rielle Schnittstelle (UART) und über parallele Schnittstellen
tungsmöglichkeiten. Beispielsweise können logische Befehle

(Port 0 bis 3) möglich. Um auf externe Geräte zu reagieren,
mit einzelnen Bits durchgeführt oder einzelne Portbits gesetzt
sind Interrupteingänge vorhanden. Der TIMER ist als Zähler
oder rückgesetzt werden, ohne andere Bits zu beeinflussen (sie-
oder Zeitgeber programmierbar. Hauptbestandteil ist die 8051
he auch Abschn. 52.6 „Maschinensprache“).

CPU, der eigentliche Prozessor (Abb. 52.90). Bei dem Mi-
krocontroller 8051 können eine Reihe von Anschlussleitungen

Werden in einem System mehrere Mikrocontroller eingesetzt,
für unterschiedliche Verwendungen genutzt werden. Erkennbar
spricht man von einem Multi-Controller-System, bei dem aus
sind die Doppelbelegungen anhand der PIN-Zuordnung, wie in

Verwaltungsgründen MC’s als Master oder Slave arbeiten. Der

Abb. 52.91 dargestellt. In der Tab. 52.28 ist die Bedeutung der

Master übernimmt hierbei die Organisation der Datenübertra-
jeweiligen Anschlüsse aufgeführt.

gung. Der entsprechende Einsatz wird den Bausteinen durch

Software mitgeteilt. Die Kommunikation untereinander erfolgt

Das Funktionsbild des Bausteins gibt Abb. 52.92 wieder. Die
über eine serielle Schnittstelle.

CPU besteht aus dem Befehlszähler (PC), dem Befehlsdeco-
der der ALU (Rechen- und Logikeinheit) und der Steuerlo-

Tab. 52.27 führt beispielhaft Mikrocontroller der 80x1x-Familie
gik. Der Progammzähler steuert den Programmablauf, und der
auf, die sich weltweit als Standard durchgesetzt hat. Bei den

Befehlsdecoder sorgt für die Befehlsausführung (siehe auch

710

52 Mikrocomputertechnik

Teil

8051

P1.0

VCC

XTAL1

AD0

VII

P1.1

P0.0

AD0

AD1

AD2

P1.2

P0.1

AD1

AD3

PORT 0

XTAL2

P1.3

P0.2

AD2

AD4

P1.4

P0.3

AD3

Ad5

AD6

P1.5

P0.4

AD4

AD7

P1.6

P0.5

AD5

EA

P1.7

P0.6

AD6

RST

RST

P0.7

AD7

PSEN

RxD

P3.0

EA

PORT 1

ALE

TxD

P3.1

ALE

INT0

P3.2

PSEN

RxD

INT1

P3.3

P2.7

A15

TxD

T0

P3.4

P2.6

A14

A8

INT0

A9

T1

P3.5

P2.5

A13

PORT 3

INT1

A10

WR

P3.6

P2.4

A12

T0

A11

RD

P3.7

P2.3

A11

A12

PORT 2

T1

A13

XAL2

P2.2

A10

WR

A14

XAL1

P2.1

A9

RD

A15

GND

P2.0

A8
nach Datenblatt der Firma Siemens

Abb. 52.91 Anschlussbelegung beim MC 8051

Tab. 52.28 Bedeutung der Anschlüsse 8051

Adresse angesprochen, und die jeweiligen Registersätze wer-

Bezeichnung

Funktion
den durch Umschaltung aktiviert. Wie bei der Standard-CPU

AD0 . . . AD7 Adress-Datenbus
sind Stapelzeiger (Stack-Pointer), der hier bei einem RESET auf

RST

Rücksetzen bei H-Pegel

Adresse 07 gesetzt wird, der Programmzähler (PC D Program

VPD

Bei Anschluss Ruhestrom für internes RAM

Counter) und das vom Mikroprozesser bekannte Kennzeichen

RxD

Serielle Schnittstelle
oder Flagregister (hier: PSW D Programm Status Word) vor-

TxD

Serielle Schnittstelle
handen. Die von einem herkömmlichen 8-Bit-Prozessor abwei-

/INT0

(Interrupt)/Unterbrechungseingang
chenden zusätzlichen Baustufen sind im Blockbild Abb. 52.92

/INT1

(Interrupt)/Unterbrechungseingang
besonders gekennzeichnet. Der Datenzeiger (DPTR D Data

T0

(Timer 0)/Zähler/Zeitgeber 0

Pointer) zeigt auf die als nächstes zu bearbeitende Adresse des

T1

(Timer 1)/Zähler/Zeitgeber 1

Datenspeichers.

/WR

(Write)/Schreiben

Zur Steuerung interner Funktionen dienen Spezial-Funktions-

/RD

(Read)/Lesen

Register (SFR D Special-Function-Register). Im Funktionsbild

XAL2

Quarzanschluss, Externe Taktmöglichkeit
sind sie mit dem Block SFR und Zähler gekennzeichnet. Die

XAL1

Quarzanschluss
genaue Aufteilung dieses Blockes zeigt Abb. 52.93. Tab. 52.29

/E/A

External Access/Externer Programmspeicherzugriff (bei
erläutert die entsprechenden Kürzel der Registernamen.

L-Pegel); bei H-Pegel: 4 K intern, ab 4 K extern

/PSEN

Program Store Enable/Externe Programmspeicherfreiga-
be

52.5.2.2

Ein-/Ausgabeeinheit

ALE

Adress Latch Enable/Signal zur Adressenzwischenspei-

Die 4 E/A-Ports mit einer 8-Bit-Breite arbeiten bidirektional
cherung

(in beiden Richtungen) und können jeweils einzeln unabhän-

PX.0 . . . PX.7 Port (0, 1, 2, 3) digitale E/A, 8 Bit
gig voneinander als Eingabe- oder Ausgabekanal arbeiten.

Abb. 52.94 verdeutlicht dies an Hand der Portstruktur eines

Kanals. Die Ausgabeinformation („0“ oder „1“) wird mit dem

Schreibsignal dem D-Flipflop übergeben und steht somit dem

Abschn. 52.2 „Mikroprozessoren“). Die ALU des 8051 kann

Portausgang zur Verfügung. Der Zustand des D-Flipflops kann
folgende Operationen durchführen: Addition, Subtraktion, Mul-
über Lesen des D-Flipflops (Latch lesen) jederzeit abgefragt
tiplikation, Division, Vergleichen, Rotieren. Außerdem können
werden. Soll eine Information eingelesen werden, wird das D-
die logischen Operationen UND, ODER, Exclusiv ODER und

Flipflop gesperrt. Mit dem Lesesignal (PIN lesen) gelangt das

Bitmanipulationen durchgeführt werden. Als Arbeitsregister
anliegende Bit zum Datenbus. Bei einem RESET wird der Port-
dienen Akkumulator, die Register R0 bis R7 mit ihren vier Bän-
anschluss auf Eingang geschaltet.

ken (siehe auch Abb. 52.102) und das B-Register. Die Bänke
können mit dem Alternativ-Registersatz der Z80 CPU vergli-

Port 0, 2 und 3 besitzen Doppelfunktionen. Beispielsweise wird
chen werden und die Register R0 bis R1 mit den von den
das Port 0 zur Adressierung externer Speicher mit verwendet.

8-Bit-Prozessoren bekannten Registern B, C, D, E, H und L.

Port 0 arbeitet dann als Adress-/Datenbus. Abb. 52.95 zeigt den

Im Gegensatz zu den genannten Registern wird beim 8051 eine

Anschluss eines externen Speichers an den Baustein.

52.5

Mikrocontroller

711

P0.0-P0.7

P2.0-P2.7

VII

Port 0

Port 2

Treiber

Treiber

Teil

ADR

RAM

Latch

Latch

ROM

Programm-

B-Register

Akkumulator

Adreß-

Register

Stapel-

Buffer

TMP2

TMP1
zeiger

Programm-
zähler

ALU

SRF
und Zähler

PC

Incremen-
tierer

PSW

Befehls-

DPTR

Register

Latch

Latch

Steuerung

Port 1

Port 3

Osz.

Treiber

Treiber

P1.0-P1.7

P3.0-P3.7
nach Datenblatt der Firma Intel

Abb. 52.92 Funktionsbild

SFR und Zähler

Zähler/Zeitgeber-

Steuerung

Port 3

TCON

TMOD

TL0

Serielles Port

Unterbrechungs-

TH0

SCON

Steuerung

TL1

SBUF

(Senden)

IE

TH1

SBUF

(Empfang)

IP
interner Bus

Abb. 52.93 Special-Function-Register und Zähler

712

52 Mikrocomputertechnik

Teil

Tab. 52.29 Special-Function-Register

80(C)515

+5V

8051

Bezeichnung Funktion

VII

P0

Port 0

+ C

SP

(Stack-Pointer)/Stapelzeiger

RESET

+

DPL

(Data-Pointer)/Datenzeiger

L-Byte

RESET

R

DPH

(Data-Pointer)/Datenzeiger

H-Byte

TCON

(Timer/Counter) Zeitgeber/Zähler

Control

TMOD

(Timer/Counter) Zeitgeber/Zähler

Betriebsart

Abb. 52.96 RESET-Schaltungen

TL0

(Timer/Counter) Zeitgeber/Zähler 0

L-Byte

TL1

(Timer/Counter) Zeitgeber/Zähler 1

L-Byte

TH0

(Timer/Counter) Zeitgeber/Zähler 0

H-Byte
geführt. Port 3 kann neben Ein- und Ausgabe von Daten die im

TH1

(Timer/Counter) Zeitgeber/Zähler 1

H-Byte

Anschlussplan angegebenen Funktionen durchführen.

P1

Port 1

SCON

(Serial Interface Control) Status/Kontroll-

52.5.2.3

RESET-Schaltung

Register

SBUF

(Serial Data Buffer)/Serielles Pufferregister

Damit die CPU nach dem Einschalten in einen definierten

P2

Port 2

Anfangszustand gebracht wird, ist eine RESET-Schaltung not-

IE

(Interrupt Enable)/Interruptmaske/-freigabe
wendig (Abb. 52.96). Die CPU arbeitet dann immer ab Adresse

P3

Port 3

0000 des Speichers. Der Baustein wird durch einen „H“-Pegel

IP

(Interrupt Priority)/Interruptpriorität
am Anschluss RST zurückgesetzt. Beim Einschalten der Be-

PSW

Program Status Word
triebsspannung muss der Anschluss mindestens für die Zeit von

ACC

Accumulator B

B-Register

1 ms H-Pegel besitzen. Bei der dargestellten Schaltung wirkt
der Kondensator bei Anlegen der Versorgungsspannung wie
ein Kurzschluss und legt zunächst „H“-Pegel an den RESET-

Eingang. Nach Aufladung des Kondensators liegt „L“-Pegel an.

Der MC 80(C)515 benötigt nur einen Kondensator am RESET-

1D

Anschluss, weil ein interner Widerstand vorhanden ist.

C1

PIN

52.5.2.4

Taktgenerator

Der interne Taktgenerator des MC 8051 braucht nur noch mit
dem Quarz ergänzt zu werden, um seine Funktion ausführen zu

Latch

PIN Latch
können. Die Quarzfrequenz liegt in einem Bereich bis zu 12
schreiben lesen lesen

MHz. Der Baustein kann auch über einen externen Taktgene-
rator gesteuert werden. Es wird dann XTAL1 auf Masse gelegt
und XTAL2 über einen Treiber angeschlossen (Abb. 52.97). Der

Abb. 52.94 Portstruktur eines Kanals

Taktgenerator erzeugt alle benötigten Taktsignale des Systems.

8051

RAM

P0.0

256 x 8 Bit

52.5.2.5

Stromaufnahme

XTAL1 P0.1

P0.2

Um die Stromaufnahme zu reduzieren, besitzt die CMOS-

XTAL2 P0.3

Adreß/Datenbus

Version, beispielsweise der MC 80C51, zwei Betriebsarten. Im

P0.4

P0.5

Power-down-Mode wird der interne Taktgenerator abgeschaltet

P0.6
und der MC damit in einen inaktiven Zustand gebracht. Die im

P0.7

+
internen RAM gespeicherten Daten bleiben erhalten. Mit ei-

EA

P2.0

CS
nem Hardware-Reset kann diese Betriebsart beendet werden.

Im Idle-Mode wird der Taktgenerator nur von der CPU getrennt

RST

ALE

ALE
und versorgt alle anderen Komponenten wie Zähler und serielle

RD

RD

WR

WR

+5V

Abb. 52.95 Anschluss an einen externen Speicher

8051

8051

C1

R

XTAL1

XTAL1

Da der dargestellte Speicher einen internen Adressenzwischen-
speicher besitzt (Eingang ALE), ist kein zusätzlicher Zwischen-

XTAL2

1

XTAL2

C2
speicher erforderlich. Besitzt der externe Speicher eine größere

Kapazität als 0,25 k, wird Port 2 ebenfalls in die Adressierung
mit einbezogen. Hier wird die Bausteinauswahl mit P2,0 durch-

Abb. 52.97 Taktgenerator

52.5

Mikrocontroller

713

OSC

:12

5 Bits

8 Bits

VII

C/T=0

C/T=1

&

TL0

TH0

TF0

Interrupt

Teil

T0

PIN

TR0

INT0

PIN

1

Control

1

Gate

Abb. 52.98 TIMER in der Betriebsart 0

Tab. 52.30 Stromaufnahme I (mA)

TCON-Register

VCC

Active Mode

Idle Mode

TF1 TTR1 TF0

TR0

IE1

IT1

IE0

IT0

Frequenz

4 V

5 V

6 V

4 V

5 V

6 V

TMOD-Register

0,5 MHz

1,6

2,2

3

0,6

0,9

1,2

3,5 MHz

4,3

5,7

7,5

1,1

1,6

2,2

GATE C/T

M1

M0

GATE C/T M1

M0

8,0 MHz

8,3

11

14

1,8

2,7

3,7

12 MHz

12

16

20

2,5

3,7

5

TIMER 1

TIMER 2

Betriebsarten

Schnittstelle weiterhin mit Taktsignalen. Diese Betriebsart kann

M1

M2

Funktion
über ein Reset oder aber auch über ein Interrupt beendet wer-

0

0

13-Bit-Zähler/Zeitgeber
den. Die unterschiedliche Stromaufnahme wird in Tab. 52.30

0

1

16-Bit-Zähler/Zeitgeber
dargestellt.

1

0

8-Bit-Zähler/Zeitgeber

1

1

Timer 0 TL0 ist 8-Bit Zähler
oder Zeitgeber

52.5.2.6

TIMER

TH0 ist 8-Bit Zeitgeber

1

1

Timer 1 Zähler stoppt

Der MC 8051 verfügt über 2 interne 16-Bit-Zähler T0 und T1,
die als Zähler (Counter) oder Zeitgeber (Timer) programmiert

Abb. 52.99 Zähler-Betriebsarten und Register
werden können. Man spricht von einem Zeitgeber, wenn der in-
terne Takt benutzt wird. Mit Zähler/Zeitgeber können Ereignisse
gezählt, Zeitintervalle oder Pulszeiten gemessen und Baudra-
gestellte Teilung durch 12. Im Abb. 52.99 sind die Bitanordnung
ten für die serielle Schnittstelle erzeugt werden. Die jeweilige
der zuständigen Register und die verschiedenen Betriebsarten

Arbeitsweise wird in den entsprechenden SFR’s, dem TMOD-
aufgeführt.

Register (Timer Modus) und TCON-Register (Timer Control)

festgelegt. Hiermit kann beispielsweise der Zähler gestartet oder
angehalten werden. Auch können in der Betriebsart 2 beide

Zähler als 16-Bit-Zähler verwendet werden. In der Betriebsart

52.5.2.7

Unterbrechungssystem

3 wird der Timer automatisch bei einem Überlaufen nachgela-

Dem MC 8051 stehen 5 Interruptquellen (Interrupt D Unterbre-
den. Man spricht hier auch von der Betriebsart „Auto Reload“.

chung) mit 2 Prioritätsebenen zur Verfügung. Nach Abb. 52.100

Ein gerade vorhandener Zählerstand lässt sich aus den SFR T1
sind dies die beiden Eingänge INT0 und INT1, die beiden Zäh-
bzw. T2 ablesen. Die Zähler/Zeitgeber sind Aufwärtszähler, die
ler und eine interne serielle Schnittstelle. Nur das Interrupt der
ein Überlauf-Kennzeichen erzeugen, beispielsweise beim 16-
seriellen Schnittstelle wird durch Software ausgelöst, alle übri-

Bit-Zähler von FFFF nach 0000. Die Überlaufkennzeichen sind
gen sind Hardware-Interrupts. Die Interrupteingänge INT0 und

Bestandteil des TCON-Registers (Bit 7: TF1, Bit 5: TF0). Diese

INT1 können je nach Programmierung flanken- oder pegelge-

Kennzeichen dienen auch als Unterbrechungs-kennzeichen (Ti-
steuert sein. Nach einer Interruptanforderung wird das gerade
mer Interrut Flags) und werden durch ein Programm abgefragt.

laufende Programm unterbrochen, und es erfolgt ein Sprung

Abb. 52.98 zeigt das Prinzip eines 13-Bit-Zählers/Zeitgebers in
zum Interruptprogramm. Über eine Maske können Interrupts
der Betriebsart (Mode) 0.

einzeln zugelassen oder gesperrt oder über die Interruptfreiga-

Über TR0, INT0(PIN) und Gate wird der Zeitgeber über eine
be alle Quellen freigegeben oder alle gesperrt werden. Liegen

TOR-Schaltung (das UND-Gatter wirkt als Schalter) aktiviert.

mehrere Interruptanforderungen gleichzeitig an, gilt die Prio-

Die Frequenz des Zeitgebers ist vom Quarz abhängig. Da jeder
ritätenreihenfolge. Bei gewünschten Interrupts wer- den die

Maschinenzyklus den TIMER incrementiert und jeder Maschi-
entsprechenden Einsprungadressen des internen Programmspei-
nenzyklus aus 12 Taktperioden besteht, erfolgt die im Bild dar-
chers angewählt (siehe auch Abb. 52.102).

714

52 Mikrocomputertechnik

Teil

Unterbrechungssystem

VII

Programmspeicher

INT0

Externe

03

Unterbrechung

Zähler 0

0B

INT1

Externe

Einsprungadresse

13

Unterbrechung

Zähler 1

1B

Serielle

23

Schnittstelle

Interrupt-

Interrupt-

Maske

Freigabe

= 0

Sperren

EA = 0

Sperren aller Interrups

EX0..ES

= 1

Setzen

EA = 1

Freigabe aller gesetzten

Interrups

EA

ES

ET1 EX1 ET0 EX0

Externer Interrupt 0

Zähler 0

Externer Interrupt 1

Zähler 1

Serieller Port

Abb. 52.100 Unterbrechungssystem

52.5.2.8

Speicher

R0 . . . R7 befinden. Dieser Speicherbereich ist direkt und in-
direkt adressierbar (siehe Abschn. 52.6 „Maschinensprache“).

Als Speicher sind ein 128 bzw. 256 Byte RAM und 4 oder 8 kB

Der sich anschließende bitadressierbare Bereich (jedes Bit ist

ROM integriert. Der 8052AH-BASIC besitzt zusätzlich intern
einzeln ansprechbar) ist direkt nur bis Adresse 2F adressierbar.

einen Basicinterpreter mit 8 kB EPROM. Mikrocontroller un-

Der weitere Datenspeicherbereich ist von einer Anzahl Regis-
terscheiden nach Daten- und Programmspeicher (Abb. 52.101).

tern, die teilweise ebenfalls bitadressierbar sind, belegt. Es sind

Befehle stehen daher nur im Programmspeicher. Der MC 8051

Register mit speziellen Funktionen, wie der Stackpointer SP mit
kann als 8-Bit-Mikrocontroller höchstens jeweils 64 KByte
der Adresse 81. Die entsprechende Adressenaufteilung von 80
adressieren.

bis 7F sind in der Tab. III-34 zu finden. Der 64 KByte externe

Datenspeicher ist nur indirekt adressierbar.

Der MC besitzt als Programmspeicher ein internes 4KB ROM.

Liegt der /EA-Anschluss auf „1“, wird von dort aus gelesen.

Bei /EA „0“ wird der externe Programmspeicher angesprochen.

52.5.2.9

Serielle Schnittstelle

Im internen Programmspeicher sind Einsprungadressen reser-
viert, wie der internen Speicheraufteilung zu entnehmen ist

Alle Mikrocontroller der 8051-Familie verfügen über mindes-

(Abb. 52.102). Eine Gesamtübersicht verschafft Tab. 52.31. Der
tens eine serielle Schnittstelle, mit der im Asynchron- oder
interne Datenspeicherbereich liegt von 00 bis FF, wobei sich

Synchronbetrieb eine serielle Datenübertragung durchgeführt
bis Adresse 1F vier Registerbänke mit jeweils acht Registern
werden kann. Nach Abb. 52.103 besteht die chipinterne Schnitt-

52.5

Mikrocontroller

715

Programmspeicher

Datenspeicher

FFFF

FFFF

VII

64K
extern

Teil

60K

64K
nur indirekt
adressierbar

FF
extern

SFR

1FFF

80

0FFF

4K

7F

128
intern
intern

0000

00

0000

Abb. 52.101 Speicherplan

Interner Programmspeicher

Interner Datenspeicher

0FFF

B

FF

ACC

SFR

PSW

80

IP

7F

P3

IE

30

0023

Interrupt S

P2

2F

SBUF
bitadessierbar

001B

Interrupt T1

SCON

20

P1

R7

1F

Bank 3

0013

Interrupt 1

TH1

R0

18

TH0

R7

17

Bank 2

000B

Interrupt T0

TL1

R0

10

TL0

R7

0F

Bank 1

0003

Interrupt 0

TMOD

R0

08

TCON

R7

07

Bank 0

0000

Reset

DPH

R0

00

DPL

SP

P0

Abb. 52.102 Speicheraufteilung
stelle aus dem Datenregister SBUF und dem Kontroll- oder Sta-

52.5.3

16-Bit-Mikrocontroller
tusregister SCON. Das Datenregister SBUF besitzt ein Sende-
und Empfangsregister, auf das lesend oder schreibend zuge-

Abb. 52.105 zeigt die Architektur des MC SAB80C515/535
griffen wird. Die Eingangsdaten gelangen über den Anschluss
als vereinfachtes Blockbild. Der Baustein besitzt außer den 6

RxD in ein Schieberegister, wo eine Umwandlung des seri-

Ports (D 48 Kanäle) zur digitalen Ein- und Ausgabe einen
ellen Datenstroms in eine parallele Information erfolgt. Nach

8-Bit gemultiplexten A/D-Wandler-Eingang. Das 256 Byte in-

Ausmaskierung der nicht zur Information gehörenden Bits wie
terne RAM kann extern bis zu 64 kB erweitert werden und

Start- und Stopbit gelangen die Daten ins Empfangsregister.

ist bei Betriebsspannungsausfall über einen Anschluss ruhe-

Die Ausgangsdaten gelangen über das Senderegister und über
stromversorgt. Im Gegensatz zum . . . 515 hat der . . . 535 keinen
das SCON-Register zum Ausgang TxD. Mit dem Kontroll-
internen Programmspeicher. Seine Programme müssen in ei-

/Statusregister SCON kann die gewünschte Betriebsart (Mode
nem externen ROM untergebracht werden. Außerdem ist im

0, 1, 2, 3) gewählt werden. Weiter enthält es die Steuerbits für

. . . 535 ein Watchdog-Timer integriert. Seine Aufgabe ist es,

Empfänger- und Senderinterrupt. In der Betriebsart 0 werden die
bei Störungen einen Reset auszulösen. Es handelt sich hierbei

Daten über RxD (P3,0) gesendet oder empfangen, und an TxD
im Prinzip um einen 16-Bit-Zähler, der mit jedem Maschinen-

(P3,1) wird ein Sendetakt mit dem Tastverhältnis 1 W 1 bei einer
zyklus inkrementiert wird. Bei Überlauf erfolgt ein interner
festen Frequenz von f osz=12 ausgegeben.

Reset, und ein Statusbit wird gesetzt, das durch eine Abfra-
ge die Resetursache kennzeichnet. Im Programmablauf wird

Abb. 52.104 zeigt die Bedeutung der Bitanordnung im SCON-
der Watchdog-Timer jedesmal vor dem Überlauf zurückge-

Register und die Bitzuordnung zur Einstellung der einzelnen
setzt. Weitere Besonderheiten dieses Bausteins sind Capture-,

Betriebsarten.

Compare- und Reload-Funktionen des Zählers/Zeitgebers 2.

716

52 Mikrocomputertechnik

Teil

Tab. 52.31 Register- und Adressenübersicht

Bit-Adressen

Byte-Adresse

VII

SFR

Bit 7 (MSB)

Bit 6

Bit 5

Bit 4

Bit 3

Bit 2

Bit 1

Bit 0 (LSB)

B

F7

F6

F5

F4

F3

F2

F1

F0

F0

ACC

E7

E6

E5

E4

E3

E2

E1

E0

E0

PSW

D7

D6

D5

D4

D3

D2

D1

D0

D0

IP

BF

BE

BD

BC

BB

BA

B9

B8

B8

P3

B7

B6

B5

B4

B3

B2

B1

B0

B0

IE

AF

AE

AD

AC

AB

AA

A9

A8

A8

P2

A7

A6

A5

A4

A3

A2

A1

A0

A0

SBUF

99

SCON

9F

9E

9D

9C

9B

9A

99

98

98

P1

97

96

95

94

93

92

91

90

90

TH1

8D

TH0

8C

TL1

8B

TL0

8A

TMOD

89

TCON

8F

8E

8D

8C

8B

8A

89

88

88

DPH

83

DPL

82

SP

81

P0

87

86

85

84

83

82

81

80

80

Serielle Schnittstelle (UART)

Übertragungsrahmen

7

6

5

4

3

2

1

0

SCON

Kontroll-/Status-

TxD

SM0 SM1 SM2 REN

SCON

TB8 RB8

TI

Ri
register

SM0

SM1

MODE

Übertragungs-
rate

SBUF

0

0

0
fosz/12

Senderegister

0

1

1
variabel

1

0

2
fest

1

1

3
variabel

SBUF

Empfangsregister

Betriebsart

0

Daten

Betriebsart

1

Schieberegister

RxD

Takt

Startbit

Daten

Stopbit

Abb. 52.103 Serielle Schnittstelle

Betriebsart

2,3

Abb. 52.104 Bitzuordnung im SCON-Register und Betriebsarten

Bei der Capture-Funktion (capture D einfangen) sind Zeitmes-
sungen realisierbar, weil durch ein externes Signal ein Zwi-
schenspeichern des Zählerstandes in ein entsprechendes SFR
tenmodulation) durchführen. Solche Signale können verwendet
ausgelöst wird. Bei der Compare-Funktion (compare D verglei-
werden, um beispielsweise Schritt- oder Gleichstrommotoren
chen) kann eine Meldung (z. B. Interrupt) erfolgen, wenn der
steuern zu können.

Inhalt des laufenden Timers 2 mit dem des Compare-Registers
übereinstimmt. Mit der Reload-Funktion wird die Zykluszeit

Die Port-Kanäle können digital oder analog über die gemulti-
der Timer variiert. Hiermit lässt sich dann eine PWM (Pulswei-
plexten Eingänge genutzt werden. Der Baustein verfügt über

52.5

Mikrocontroller

717

Oszillator

Baud-

RAM

ROM

TIMER 0

TIMER 2

VII
raten

Watchdog

256 x 8

8k x 8

Generator

CPU

USART

TIMER 1

Teil

8 Bit

Interner Bus

U

A/D

P6

P5

P4

P3

P2

P1

P0

Ref.

URef AGND
nach Datenblatt der Firma Siemens

Abb. 52.105 Blockbild des SAB 80C515/C535

ADCON

BD

CLK

BSY ADM MX2 MX1 MX0

AN0..AN7

MUX

S&H

A/D

ADDAT

AGND

IREF

Interne Referenzspannung

AREF

AGND

D/A

DAPR

Obere Grenze

Untere Grenze
der
der

Referenzspannung

Referenzspannung

Abb. 52.106 AD/DA-Wandler
eine programmierbare Referenzspannungsquelle. Der Vorteil in
zeigt das Blockbild des A/D-Wandlers mit dem SFR DAPR
der Programmierbarkeit der Referenzspannung liegt einmal in

(D/A-Program-Register). Im L-Nibble ist die untere Grenze der
der eventuell gewünschten unterschiedlichen Referenzspannung

Referenzspannung und im H-Nibble die obere Grenze definiert.

pro Kanal und in der veränderbaren Wandlerauflösung.

Die Wahl des Analogeingangs ist im SFR ADCON festgelegt

(A/D-Controll-Register), in dem auch festgelegt ist, ob nur eine

Der Wandler selbst arbeitet nach dem Prinzip der sukzessiven
oder fortlaufende Wandlungen stattfinden sollen.

Approximation mit einer Wandlungszeit von 15 ms. Abb. 52.106

718

52 Mikrocomputertechnik

Teil

52.6

Maschinensprache

Hier sind alle Register zusammengefasst, auf die man als Pro-
grammierer Einfluss üben kann. Die Register Akkumulator bis

VII

L-Register sind 8-Bit-Register. Der Stapelzeiger und der Be-

52.6.1

Allgemeines
fehlszähler sind 16-Bit Register. Damit ist die Bit-Zahl gemeint,
die das jeweilige Register aufnehmen kann. Die Register B, C,

Soll ein Mikrocomputer Anweisungen ausführen, müssen die

D, E und H, L können zusammengefasst werden. Sie arbeiten
dazu erforderlichen Befehle in binärcodierter Form im Speicher
dann als Registerpaare B, D und H. Der Name des Registerpaa-
vorliegen. Jeder in dieser Form zum Mikroprozessor gebrachte
res gibt an, wo sich jeweils die höherwertigen Bits befinden.

Befehl gelangt zum Befehlsregister, wird dort interpretiert und

Akkumulator und Flag-Register (Kennzeichen-Register) fasst
veranlasst die CPU, die dazugehörende Operation auszuführen.

man unter dem Namen PSW (Progamm Status Word) zusam-

Da der Mikroprozessor diese Anweisungen direkt in Operatio-
men.

nen umsetzen kann, spricht man von Maschinensprache. Der

Maschinencode (Mikrocode, Operationscode), nach denen der

Mikroprozessor seine Operationen durchführt, ist hardwaremä-

52.6.2

Maschinencode
ßig festgelegt und bei den Prozessoren unterschiedlich.

Alle Befehle, die der Mikroprozessor ausführen kann, stel-

Für alle Befehle eines Mikroprozessors existiert eine Struktur
len seinen Befehlssatz (Instructions Set) dar. Er wird in den
unterschiedlicher Bits, die eine bestimmte Systematik beinhal-

Datenbüchern der Hersteller ausführlich beschrieben. Um in
tet. Daher lassen sich aus dem Format des Maschinencodes und

Maschinensprache zu programmieren, muss der Programmierer
aus der Kenntnis der Registertabelle weitere Befehle herleiten.

den Prozessor kennen. Hierbei ist vor allem die Kenntnis des

Der Registername oder die Registerkennung und der Operati-

Registerplans und des Befehlssatzes der CPU wesentlich. Als
onscode sind hardwaremäßig festgelegt.

Beispiel dient der Prozessor 8085. Ein Auszug des Befehlssat-
zes befindet sich in Tab. 52.31 und 52.32. Abb. 52.107 zeigt den

Beispiel

Registerplan der 8085 CPU.

Der Befehl „INR D“ (Increment D) bedeutet, dass sich

Program Status Word PSW
der Registerinhalt nach Befehlsausführung um 1 erhöht.

Der Operationscode lautet 00sss1002 (Abb. 52.108). Für
die Platzhalter sss kann jetzt die Registerkennung 010 D

Akkumulator

Flag-Register

2

D-Register eingefügt werden, und man erhält den Maschi-

Registerpaar B
nencode 000101002.

J

B

C

Registerpaar D

Beispiel

D

E

Die Bitfolge 10110sss2 bedeutet, dass der Akkumulator

Registerpaar H
mit einem Register eine Oder-Verknüpfung durchführen
soll. Mit welchem Register dies zu geschehen hat, ist
wieder durch die Platzhalter sss (Quellenregister) symbo-

H

L
lisiert. Damit lautet der Befehl ORA B: 101100002 und

ORA C: 101100012.

Stapelzeiger

SP

Die Z80 CPU besitzt bei gleichen Befehlen den gleichen

Maschinencode. Die MC’s 8085 und Z80 arbeiten mit In-

Befehlszähler

PC
formationseinheiten von 8 Bit (1 Byte).

J

Abb. 52.107 Registerplan der 8085 CPU

Beispiel

0

0

0

B-Register

0

0

0

Register-Kennung

0

0

1

C-Register

0

0

1

0

0
s
s
s

1

0

0

0

1

0

D-Register

0 0

0

1

0

1

0

0

0

1

1

E-Register

0

1

1

INR D

Operationscode

1

0

0

H-Register
für den Befehl

1

0

0

INR

1

0

1

L-Register

1

0

1

1

1

1

A-Register

1

1

1

Abb. 52.108 Registertabelle und Herleitung von Befehlen

52.6

Maschinensprache

719

Befehl

52.6.4

Befehlsdarstellung

Operationsteil

Operand

VII

Heute ist es nicht mehr üblich, in binärcodierter Form zu

MOV

Transport
programmieren. Wenn von Maschinenprogrammen gesprochen

JMP

Sprung

Teil
wird, meint man die Assemblerdarstellung der Befehle. Die

ADD

Addition

Mnemoniks (Symbole) der Operationscodes (Assembler) lassen
sich mit einiger Übung leicht merken, da sie sich aus den Be-
fehlsfunktionen ableiten lassen. Die Darstellung der Daten und

Abb. 52.109 Aufbau eines Befehls

Adressen erfolgt hierbei in hexadezimaler Form.

Beispiel

52.6.3

Befehlsaufbau

Mnemonik/

Kommentar

Ein Befehl besteht aus einem Operationsteil und einem Operan-

Assembler
den (Abb. 52.109). Das erste Byte des Befehls ist immer der

MVI A,FF

Kopiere die Daten 111111112 zum Akku- (8085)

Befehlscode (Operationscode).

mulator

LD A,FF

Kopiere die Daten 111111112 zum Akku- (Z80)

Hiermit wird dem Prozessor mitgeteilt, welche Operation aus-
mulator
geführt werden soll. In weiteren Bytes können sich Daten oder

STA 8200

Kopiere den Inhalt des Akkumulators zur

(8085)

Adressen befinden. Soll der Prozessor Daten vom Akkumulator

Adresse
zu einer Speicherstelle bringen, dann ist dies mit einem Byte

1000 0010 0000 00002
nicht mehr zu codieren, da die Adresse des Speichers schon 16

Bit ausmacht. Folglich wird dem Prozessor im ersten Byte mit-

Um Schreibarbeit zu sparen und Programme übersichtlich
geteilt, dass er Daten zu einer Speicherstelle zu kopieren hat; in
zu halten, verwendet man bei Kommentaren häufig eine
den beiden folgenden Bytes wird dann die Adresse angegeben.

Kurzschreibweise. Alles, was in der Klammer steht, be-

Unterschieden werden dem Aufbau nach 1-Byte-, 2-Byte- und
deutet dann den Inhalt eines Registers oder einer Adresse.

3-Byte-Befehle (Abb. 52.110).

Ein Pfeil gibt die Datenrichtung an.

Der 1-Byte-Befehl bedeutet, dass vom Akkumulatorinhalt der

Inhalt des Registers B subtrahiert wird. Das Ergebnis wird

Beispiel:

wieder zum Akkumulator geschrieben. Im 2-Byte-Befehl wer-

(A) ! B bedeutet:

Akkumulatorinhalt nach B brin-
den die Daten 111111112 zum Akkumulator gebracht, und im
gen

3-Byte-Befehl gelangen die Daten des Akkumulator zur Spei-

(8200) ! A bedeutet: Inhalt der Adresse 8200 zum Ak-
cherstelle 1000 0010 0000 00002. Bei Angabe der Adresse ist
kumulator bringen.

wesentlich, dass die Reihenfolge genau eingehalten ist. Zu-
nächst muss dem Befehlsregister das L-Byte (niederwertigsten

Die Umsetzung der Mnemonik und der Hexform in die

8 Bit) und dann das H-Byte (höherwertigsten 8 Bit) zugeführt

Binärform des Maschinencodes erfolgt mit einem Über-
werden.

setzerprogramm (Assembler).

J

1-Byte-Befehl

2-Byte-Befehl

3-Byte-Befehl

11111111 ->A

(A) -> 1000001000000000

(A) - (B) ->A

Daten

H-Byte

L-Byte

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1 0

Adresse

Operationscode

Operationscode

1

1

1

1

1 1

1 1

0

0

1

1

0

0

1

0

Daten

Operationscode

0

0

0

0

0

0

0

0

L-Byte der Adresse

1

0

0

0

0

0

1

0

H-Byte der Adresse

Abb. 52.110 Befehlsformate

720

52 Mikrocomputertechnik

Teil

MOV A,B
zur Speicherstelle A002 gebracht. Nach dem Programm-

VII

Ziel

Quelle
ablauf befindet sich in der Speicherstelle A002 der Inhalt

14 H bzw. 0001 01002.

B

Daten

A

Adresse

Operations

Assembler

Kommentar

0000

3A 00 A0

LDA A000

(A000) ! A

Abb. 52.111 Assemblerschreibweise

0003

47

MOV B,A

(A) ! B „ret-
ten“

0004

3A 01 A0

LDA A001

(A001) ! A

52.6.5

Befehle

0007

80

ADD B

(A) C (B) ! A

0008

32 02 A0

STA A002

(A) ! A002

Die Befehle eines Mikroprozessors lassen sich unter dem Ge-

000B

76

HLT

Halt
sichtspunkt der Befehlsfunktionen oder nach Adressierungsar-
ten ordnen.

Mit den Schiebe-Befehlen (Rotations-Befehle) kann der

Inhalt vom Akkumulator links oder rechts jeweils um ei-

52.6.5.1

Befehlsfunktionen
ne Bitstelle verschoben werden. Dadurch gelangt Bitstelle

Bei den Datentransport-Befehlen (Kopierbefehlen) werden Da-

7 bei Links-Rotation zur Bitstelle 0 und Bitstelle 0 bei
ten unmittelbar in ein Register eingegeben oder Daten werden

Rechts-Rotation zur Bitstelle 7. Hierbei wird auch gleich-
zwischen den Registern oder zwischen Speicher und Registern
zeitig das Carrybit verändert. Eine weitere Befehlsart lässt
kopiert. Bei den Transportbefehlen wird zwischen verschie-
die Rotation nur über das Carrybit zu. Abb. 52.112 führt
denen Adressierungsarten unterschieden. In der Assembler-
die verschiedenen Befehle auf.

schreibweise ist es üblich, zunächst das Ziel und dann die Quelle

Mit Hilfe der logischen Befehle können zwischen dem
anzugeben. MOV A,B bedeutet, dass Daten von B nach A trans-

Akkumulator und den Registern oder mit Konstan-
portiert werden sollen (Abb. 52.111).

ten logische Verknüpfungen wie UND, ODER und

Mit Hilfe der arithmetischen Befehle werden Daten oder Regis-

EXKLUSIV-ODER durchgeführt werden. Durch diese
terinhalte miteinander addiert, subtrahiert, inkrementiert (um 1

Befehle wird das Flag-Register beeinflusst.

erhöht) oder dekrementiert (um 1 vermindert).

Mit den Sprungbefehlen wird der Ablauf eines Pro-
gramms geändert. Der Prozessor arbeitet normalerweise

Beispiel

Adresse für Adresse nacheinander ab. Es können unbe-
dingte oder bedingte Sprünge programmiert werden. Ein

Die Inhalte der Speicherstellen A000 (Inhalt D 03 H/ und
unbedingter Sprung enthält im Befehl selbst eine Adresse

A001 (Inhalt D 11 H/ werden addiert und das Ergebnis
und wird immer ausgeführt.

J

Beispiel
vor der Befehlsausführung
nach der Befehlsausführung

Akkumulator

CY

D7 D6 D5 D4 D3 D2 D1 D0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

RAL

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

RAR

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

RLC

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

RRC

Abb. 52.112 Rotationsbefehle

52.6

Maschinensprache

721

8085

Z80

S

Z

AC

P

CY

S

Z

AC

PV N CY

Das Parity-Flag gibt eine „1“-Meldung, bei gerader Pa-
rität der 1-Bit-Stellen im Akkumulator und eine „0“-

VII

Abb. 52.113 Bitanordnung im Flagregister

Meldung bei ungerader Parität

Teil

.A/ D 1010 11112 P D „1“

.A/ D 1010 1101

Beispiel

2

P D „0“

J

JMP 8200 ;Springe zur Adresse 8200

Der bedingte Sprung ist von einer Bedingung abhän-

Beispiel
gig. Hierbei ist zwischen bejahenden und verneinenden

Sprüngen zu unterscheiden.

J

Abfrage des Zero-Flag

Bei einfachen Zählschleifen wird der Inhalt eines Regis-
ters so lange dekrementiert, bis der Registerinhalt Null ist.

Beispiel

Adresse

Operationscode Assembler

Bemerkung

JNZ ;Springe, wenn Z nicht "1" gesetzt ist.

0000

3E FF

MVI A,FF

FF ! A

JZ ;Springe, wenn Z "1" gesetzt ist.

J

0002

3D

DCR A

(A) 1 ! A

0003

C2 02 00

JNZ 0002

Null?

0006

76

HLT

Halt

Die Bedingung überprüft der Mikroprozessor im Flagregister

(Kennzeichen-Register). In Abb. 52.113 befindet sich die An-

J
ordnung der Bits. Die Bitstellen (Flags) werden bei bestimmten

Operationen wie arithmetischen und logischen Befehlen gesetzt.

Unterprogramm- und Stapelspeicherbefehle: Programmteile

Beispiele
oder Programme, die innerhalb eines Hauptprogramms häufi-
ger benötigt werden, brauchen nur einmal programmiert wer-

Das Carry-Flag wird bei arithmetischen Operation gesetzt
den. Solche Programme nennt man Unterprogramme. Wie bei
oder zurückgesetzt. Flagregister

Sprungbefehlen gibt es bedingte und unbedingte Unterpro-
grammbefehle. Ein unbedingter Unterprogrammaufruf wird mit

.A/

D 1010 1111
dem Befehl CALL erreicht. Der Rücksprung zum Hauptpro-

2

.

gramm erfolgt mit dem Befehl RET. Mit Aufruf des Unter-

B/

D 0110 00002

.

programms wird die nachfolgende Hauptprogrammadresse zum

A/ C .B/ D 1 0000 11112 Cy wird auf „1“ gesetzt

Stack gebracht, um beim Rücksprung aus dem Unterprogramm
das Hauptprogramm dort fortsetzen zu können. Oft werden

Ist das Ergebnis bestimmter Operationen „0“, dann wird
im Unterprogramm Register benötigt, die im Hauptprogramm
das Zero-Flag gesetzt. Stack
schon Daten übertragen bekommen haben und deren Inhalte

.

sich nicht während des Unterprogrammablaufs ändern dürfen.

A/

D 1011 11112

Zur „Rettung“ dieser Daten wird dann ebenfalls der Stapelspei-

.B/

D 1011 11112
cher eingesetzt.

.A/ .B/ D 0000 00002 Z wird auf „1“ gesetzt

Der Stapelspeicher (Stack) selbst ist Teil des Arbeitsspeichers.

.A/

D 1010 00012

Er ist bei Programmierung von Unterprogrammen im Haupt-

.B/

D 0101 1111
programm stets zu initialisieren. Hiermit ist gemeint, dass der

2

.A/ C .B/ D 1 0000 0000

Stapelzeiger mit einer Adresse geladen wird. Dabei kann jeder

2 Z und Cy wird auf „1“ gesetzt
beliebige Teil des Speichers als Stack verwendet werden.

Das Sign-Flag (Vorzeichen) bezieht sich auf das MSB

Da der Stapelspeicher mit der Adresse des Stackpointer begin-

(Most Significant Bit D höchstwertigstes Bit) des Ak-
nend bei jedem Aufruf je die zwei niederwertigeren Adressen
kumulators bei Interpretation des Datenwortes in Zwei-
mit Daten füllt, ist es zweckmäßig, ihn an die höchste Adresse
erkomplementdarstellung.

des Arbeitsspeichers zu legen. Aus Abb. 52.114 geht das Prinzip
hervor. Hier wird der Stackpointer auf die Adresse 27FF ge-

.A/ D 0011 11112 S D „0“
bracht. Nach Aufruf des Unterprogramms mit CALL steht der

.A/ D 1000 11012 S D „1“

Stackpointer auf der Adresse 27FD. Mit den Befehlen PUSH

PSW und PUSH B im Unterprogramm werden die Inhalte der

Das Hilfscarry-Flag wird durch arithmetische und logi-

Register auf den Stack gebracht, sie werden für das Hauptpro-
sche Verknüpfungen bei Entstehen eines Übertrags von
gramm „gerettet“. Der Stackpointer zeigt auf die Adresse 27F9.

Bit 3 nach Bit 4 gesetzt.

Im Unterprogramm kann jetzt mit den Registern A, B und C ge-
arbeitet werden, weil am Ende des Unterprogramms durch POP

722

52 Mikrocomputertechnik

Teil

Hauptprogramm

Unterprogramm

VII

UP

PUSH PSW

1

.

PUSH B

CALL UP

..

POP B

2

3

POP PSW

RET

CALL UP

4

HLT

Adresse

Speicher

LAST IN

FIRST OUT

Nach dem Befehl

27F8

3

PUSH B

Stapelzeiger

27F9

(C)

Nach dem Befehl

27FA

(B)

2

1

PUSH PSW

Stapelzeiger

27FB

(F)

Stapelzeiger

POP B

27FC

(A)

1

2

CALL ADR Stapelzeiger

27FD

Rücksprung-

Stapelzeiger

POP PSW

27FE

Adresse

3

Stapelzeiger

27FF

Stapelzeiger

RET

Abb. 52.114 Stack-Prinzip

B und POP PSW der Originalzustand der Register B und A wie-
das laufende Programm nach Abarbeitung des gerade in Ar-
der hergestellt wird. Mit POP B wird beispielsweise der Inhalt
beit befindlichen Befehls unterbrochen. Es erfolgt ein Sprung zu
der Adresse 27F9 zum C-Register und der Inhalt der Adresse
einer vom Hersteller hardwaremäßig festgelegten Adresse, zur

27FA zum B-Register gebracht. Bei der Programmierung ist,

Interrupt-Routine. Der Befehlszählerstand wird auf dem Stack
wie auch das Beispiel zeigt, darauf zu achten, dass der zuletzt
gespeichert, um nach dem Rücksprung aus der Routine mit dem
zum Stack gebrachte Registerinhalt als erstes vom Stack zu-

Programm fortfahren zu können.

rückgerufen wird (Last In-First Out), weil sonst Registerinhalte
vertauscht werden.

Die Anzahl der Interrupteingänge sind bei den Prozessoren un-
terschiedlich. Der MC 8085 besitzt die fünf Interrupteingänge

Ein- und Ausgabe-Befehle: Sollen Daten von einer E/A-Einheit

TRAP, RST7.5, RST6.5, RST5.5 und INTR. Hierbei wird zwi-
zur CPU oder von der CPU zur E/A-Einheit geleitet werden,
schen maskierbaren und nichtmaskierbaren Interrupteingängen
wird das mit IN (Eingabebefehl) und OUT (Ausgabebefehl)

unterschieden. Mit dem Befehl SIM (Set Interrupt Mask) und
durchgeführt. Hierbei muss hinter dem IN- und OUT-Befehl die

Verwendung des Akkumulatorinhalts können die maskierbaren
jeweilige Adresse der E/A-Einheit (des Ports) angegeben wer-

Interrupts gesperrt oder freigegeben werden, wenn allgemein
den.

Interrupts mit dem Befehl EI (Enable Interrupt) zugelassen
werden. Mit DI (Disable Interrupt) kann die Zulassung der In-

Beispiel
terrupts verweigert werden. Aus Abb. 52.115 wird die Wirkung
der Befehle sichtbar. Eine Interruptannahme erfolgt nur, wenn

IN FF:

Die Daten gelangen von der Portadresse FF
mit SIM die entsprechende Maske gesetzt wurde und mit EI
zum Akkumulator
die Freigabe erfolgt. Nicht von diesen Befehlen betroffen ist

OUT FF: Die Daten werden vom Akkumulator zur Port-
der TRAP-Interrupt (nicht maskierbar). Er wird bei einer An-
adresse FF gebracht.

forderung immer wirksam und besitzt Vorrang vor allen anderen

Interruptzugriffen.

Bei Einsatz eines programmierbaren Portbausteins ist die-
ser zunächst zu initialisieren.

J

Ermöglicht die Interrupt-Maske Zugang verschiedener Geräte
zur CPU und erfolgen Interruptanforderungen gleichzeitig, tritt
die vom Hersteller festgelegte Priorität ein. In Abb. 52.116 ist

Interrupt-Befehle dienen zur Unterbrechungssteuerung (siehe
die Priorität und die Lage der Hardware-Verzweigungen darge-
auch Abschn. 52.2 „Mikroprozessoren“). Durch einen Impuls
stellt. An der jeweiligen Adresse kann nur eine kleine Routine
oder einen Pegel an einem Interrupteingang des Prozessors wird
geschrieben werden, oder es steht dort ein Sprungbefehl zum

52.6

Maschinensprache

723

TRAP

SIM

+

+

EI

7.5

MS

7.5

6.5

5.5

VII

SIM

DI

&

Teil

&

RST7.5

Flipflop
setzen

Maske

+

"1"

"1" setzen

"1" freigeben

"0" rücksetzen

"0" sperren

&

&

RIM

RST6.5

+

7.5

6.5

5.5

IE

7.5

6.5

5.5

&

&

RST5.5

Zustände

Maske

&

Abb. 52.117 Bit-Anordnung für SIM- und RIM-Befehl

INTR

Maske

Adressierung enthält der Befehl die zu verarbeitende Konstan-

Abb. 52.115 Interruptannahme
te. Hierbei kann es sich um eine 8-Bit- oder 16-Bit-Konstante
handeln. Man spricht von direkter Adressierung, wenn die Spei-

Speicher
cherstelle im Befehl benannt wird. Die 16-Bit-Adresse folgt

00

RST 0
direkt hinter dem Operationscode. Bei der indirekten Adressie-

08

RST 1
rung wird die Adresse, die angesprochen werden soll, zuvor in
einem Registerpaar abgelegt (siehe Beispiele Abb. 52.119).

10

RST 2

Priorität

Der MC Z80 kennt außerdem noch die relative und indizierte

18

RST 3 INTR

Adressierung. Bei der relativen Adressierung erhält der Sprung-

20

RST 4

1

TRAP

24
befehl eine durch eine Konstante festgelegte Distanzadresse, um

28

RST 5
von einer absoluten Adresse unabhängig zu sein. Die indizierte

4

RST5.5

2C

Adressierung legt das Indexregister und die Adressen fest. Bei-

30

RST 6

3

RST6.5

34
spiel: LD A, (IX C 0009) Sprung um (IX) C 9 Adressen.

38

RST 7

2

RST7.5

3C

40

52.6.6

Befehlszyklus und Befehlszeiten

Abb. 52.116 Interruptadressen und Priorität

52.6.6.1

Befehlszyklus

Alle Befehle, die ein Mikroprozessor durchführen soll, stehen

Arbeitsspeicher. Wie ein Unterprogramm wird die Routine mit
im Speicher. Das Zusammenwirken von CPU und Speicher zeigt

RET abgeschlossen.

Abb. 52.120 an einem 2-Byte-Befehl. Beim Einschalten wird
der Programmzähler immer auf die Adresse (ADR) 0000 ge-

Mit dem Befehl RIM (Read Interrupt Mask) wird der Akku-
stellt, die Steuerung der CPU wird mit RD (Read) aktiviert,
mulator geladen. Damit können die Maske und tatsächliche
und der Inhalt der ADR 0000 wird zur CPU gebracht. Dort

Unterbrechungen abgefragt werden, wie die Anordnung der Bits
erfolgt die Decodierung. Der Programmzähler erhöht sich au-

Abb. 52.117 zeigt. Der INTR-Interrupteingang dient als Vekto-
tomatisch um 1 und legt die ADR 0001 auf den Adressbus.

rinterrupt. Bei seiner Auslösung zeigt er nach Abfrage INTA

Der Inhalt dieser Adresse wird von der CPU wieder über den

(Interrupt Acknowledge) des Datenbusses auf eine der 8 Hard-

Datenbus gelesen. Mit der Information 3E erhält die CPU den
wareadressen (Abb. 52.117).

Befehl, das nächste Byte zum Akkumulator zu bringen. Diese

Befehlsbearbeitung erfordert eine gewisse Zeit. Das Einlesen
und Ausführen eines Befehls bezeichnet man als Befehlszy-

52.6.5.2

Adressierungsarten
klus (instruction cycle). Er wird in bestimmte Zeiteinheiten mit

Bei den Transportbefehlen lassen sich verschiedene Adressie-
definierten Vorgängen, den Operationsschritten (states), aufge-
rungsarten (Abb. 52.118) unterscheiden. Die implizite Adressie-
teilt; jeder Operationsschritt wiederum in mehreren Taktzyklen.

rung enthält keine Operanden-Adresse, wie das beispielsweise

Der erste Operationszyklus ruft immer einen Befehl auf und
bei dem Kopieren der Daten von einem zum anderen Regis-
wird daher Befehlsabrufzyklus (Opcode Fetch) genannt. Weitere
ter der Fall ist. Hier ist im Befehl implizit (inbegriffen) die

Operationszyklen können der Speicher-Lesevorgang (Memo-

Funktion gegeben. Man bezeichnet diese Adressierungsart auch
ry Read) und der Speicher-Einschreibvorgang (Memory Write)

als Registeradressierung. Bei der unmittelbaren (immediate)

oder Ein-/Ausgabeschnittstelle lesen oder schreiben sein.

724

52 Mikrocomputertechnik

Teil
implizite Adressierung

Register

Register

VII

Kopiere Daten von Register zu Register
unmittelbare Adressierung

Konstante

Register

Bringe eine Konstante in ein Register
oder ein Registerpaar

Konstante

RP
direkte Adressierung

Register

Speicher

Kopiere Daten von und zu einer

Speicherstelle

Register

Speicher
indirekte Adressierung

Register

Speicher

Bringe Daten von einem Register in
die Speicherstelle, auf die ein Registerpaar zeigt

.

RP

Bringe Daten von der Speicherstelle, die

Register

Speicher
in einem Registerpaar steht, zum Register

RP

Abb. 52.118 Übersicht: Adressierungsarten

Befehl

Vor dem Befehl

Nach der Befehlsausführung

Implizite

MOV B, C

C

C

Adressierung

03

FF

B

B

FF

FF

Unmittelbare

MVI D, FF

D

D

Adressierung

03

FF

Indirekte

MOV A, M

A

A

Adressierung

03

FF

Speicher

Speicher

ADR 8200

FF

ADR 8200

FF

RP H

RP H

8200

8200

Abb. 52.119 Beispiele

Die Operationszyklen werden auch als Maschinenzyklen be-

Beispiel
zeichnet. Abb. 52.121 führt dies beispielhaft für den Befehl STA

8200 an. Mit diesem Befehl wird der Inhalt des Akkumulators

Bei einem Taktzyklus von 0,5 µs ergibt sich mit 7 C
zur Adresse 8200 kopiert.

.15 5/ 3 D 79 Takten eine Zeitdauer von 39,5 µs
für die in Abb. 52.122 dargestellte Zeitschleife. Soll die

52.6.6.2

Befehlszeiten

Zeitschleife genau 40 µs dauern, kann ein NOP-Befehl
eingefügt werden.

J

Die Befehlszeit (Dauer eines Befehls) ist zum einen von der

Taktdauer und zum anderen von der Anzahl der Takte pro Befehl
abhängig. Hieraus lässt sich die Zeit, die ein Programm benötigt,
berechnen.

52.6

Maschinensprache

725

Adreßbus

Programmzähler
auf ADR 0000

Datenbus

VII

CPU Steuerung RD

ADR 0000 lesen

Daten

Adresse

Teil

(ADR 0000 = 3E)

CPU

3E

0000
über Datenbus

FF

0001
zur CPU

00

0002

CPU decodiert

76

0003

3E

RD

Programmzähler

+ 1 = ADR 0001

WR

Speicher

Steuerung

CPU Steuerung RD

ADR 0001 lesen

(ADR 0001 = FF)

über Datenbus
zum Akkumulator

Programmzähler

+ 1 = ADR 0002

Abb. 52.120 Zusammenwirken von Speicher und CPU

Befehlszeit

Befehlszyklus

Befehls-
abruf

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Takt-
zyklus

Operations-

Operations-

Operations-

Operations-

Schritt

Schritt

Schritt

Schritt

1

2

3

4

OP-Code lesen

Adresse lesen Adresse lesen

Akkumulator

L-Byte

H-Byte
zum Speicher

32

00

82
schreiben

Vor dem Befehl STA 8200

Nach Befehlsausführung

Adresse

Seicher

Adresse

Seicher

Akkumulator

Akkumulator

8100

32

8100

32

FF

FF

8101

00

8101

00

PC

8102

82

PC

8102

82

8100

8103

8103

8103

8200

03

8200

FF

Abb. 52.121 Befehlszyklus

726

52 Mikrocomputertechnik

Teil

Zeit

VII

Anzahl der Takte

05 -->A

Zeit:

MVI A,05

7 Takte

NEXT:

DCR A

5 Takte

JNZ NEXT

10 Takte bei Rücksprung

RET
sonst 7 Takte

(A) - 1 ->A
nein

Null?

ja

RET

Abb. 52.122 Zählschleife

52.7

Befehlsvorrat

Beispiel 1

Für eine langsame Ausgabeeinheit wird eine Zeitschleife

Der Befehlsvorrat eines Prozessors enthält alle Befehle, die er
benötigt. Daher soll ein Unterprogramm mit dem Namen
ausführen kann. Die nachfolgende Tab. 52.32 gibt einen Auszug

TIME programmiert werden. Im Hauptprogramm wird
aus dem Befehlsvorrat des MC 8085 und die Anzahl der Opera-
die Zeitdauer in das Registerpaar BC gebracht.

tionszyklen an. Tab. 52.33 informiert über den Operationscode
einiger Befehle.

Unterprogamm: TIME

ORG 0100

TIME PUSH PSW ;AF zum Stack "retten"

PUSH B ;BC zum Stack {\glqq}retten{\grqq}

52.8

Hinweise zur Programmierung

LOOP: DCX B

;Registerpaar BC - 1 -> BC

MOV A,B ;Flagbeeinflussung
und Progammbeispiele

ORA C

JNZ LOOP ;Springe, wenn nicht Null, nach LOOP

Größere Programme werden in überschaubare Blöcke zerlegt

POP B

;vom Stack zurückholen
und in Bibliotheken als Module gespeichert. Sie lassen sich

POP PSW ;AF vom Stack zurückholen
dann für andere Programme nutzen. Beispiele für immer wie-

RET

;Zurück zum Hauptprogramm
der benötigte Module sind Zählschleifen, Tabellenverarbeitung,

Eine Flagbeeinflussung muss hier vorgenommen wer-

Rechenprogramme, Interruptverarbeitung und Ein- und Ausga-
den, weil beim Inkrementieren eines Registerpaares keine
ben.

Flags gesetzt werden, also auch nicht bei Null.

Programme werden mit einem Textverarbeitungsprogramm

(Editor) geschrieben und anschließend assembliert. Der As-

Adresse OP-Code Marke

Assembler

Bemerkung
sembler übersetzt die Mnemonik in den Maschinencode und

0100

F5

PUSH PSW (AF) ! Stack
überprüft das Programm auf Syntaxfehler. Weiterhin stellt das

0101

C5

PUSH B

(BC) ! Stack

Assemblerprogramm Hilfen zur Programmierung bereit. Dazu

0102

0B

LOOP: DCX B

(BC) 1 ! BC
gehören z. B. Zuweisungen von Marken (Labels) und Anwei-

0103

78

MOV A,B

(B) ! A
sungen wie ORG (Origin D Anfang) und EQU (Equate D

0104

B1

ORA C

(C) OR (A) ! A
gleichsetzen). EQU weist dem Namen der Marke einen Operan-

0105

C2 02 01

JNZ LOOP

(BC) D 0?

den zu, und mit ORG wird die Anfangsadresse des Programms

0108

C1

POP B

(Stack) ! BC
festgelegt.

0109

F1

POP PSW

(Stack) ! AF

010A

C9

RET

Zum Hauptprogramm

J

52.8

Hinweise zur Programmierung und Progammbeispiele

727

Tab. 52.32 Befehlsvorrat

Assembler

Bedeutung

Operationszyklen Taktzyklen

Flags

VII

Transportbefehle

MOV D,S

Move Data; Übertrage Daten

1

4

–

MVI K

Load Data Immediate Into Register; Lade Daten unmittelbar in das Register

2

7

–

Teil

LDA ADR

Load Akku From Memory; Bringe den Inhalt einer Adresse zum Akku

4

13

–

STA ADR

Store Akkumulator From Memory; Speichere Akkuinhalt direkt zum Speicher

LXI KK

Load 16 Bit Into Register Pair; Lade 16 Bit in ein Registerpaar

Arithmetische und logische Befehle

INR D

Increment Register; Inkrementiere Registerinhalt

1

4

Z,S,P,HC

DCR D

Decrement Register; Dekrementiere Registerinhalt

1

4

Z,S,P,HC

ADD S

Add Register; Addiere Registerinhalt zum Akkumulator

1

4

Z,S,P,HC

ADC S

Add Register With Carry; Addiere mit Übertrag

1

4

Z,S,P,HC

SUB S

Subtract Register; Subtrahiere Registerinhalt vom Akkumulator

1

4

Z,S,P,HC

CMP

Compare Register; Vergleiche Register mit Akkumulator (der Akkumulatorin-

1

4

Z,S,P,HC
halt ändert sich hierbei nicht)

ADI K

Add Immediate; Addiere direkt zum Akkumulator

2

7

Z,S,P,Cy

ACI K

Add With Carry; Addiere mit Carry zum Akkumulator

2

7

Z,S,P,Cy

SUI K

Subtract Immediate; Subtrahiere direkt zum Akkumulator

2

7

Z,S,P,Cy

SBI K

Subtract With Borrow; Subtrahiere direkt vom Akkumulator mit Borger

2

7

Z,S,P,Cy

CPI K

Compare With Immediate Data; Vergleiche direkt

2

7

Z,S,P,Cy

CMA

Complement With Akkumulator; Komplementbildung

1

4

-STC

STC

Set Carry; Carryflag setzen

1

4

Cy

INX RP

Increment; Inkrementiere Registerpaar

1

6

–

DCX RP

Decrement; Dekrementiere Registerpaar

1

6

–

ANA S

AND Register; UND-Verknüpfung mit Akkumulator

1

4

Z,S,P,Cy

XRA S

EXCLUSIV-OR; XOR-Verknüpfung mit Akkumulator

1

4

Z,S,P,Cy

ORA S

ÔR Register; ODER-Verknüpfung mit Akkumulator

1

4

Z,S,P,Cy

ANI K

UND-Verknüpfung mit Konstante

2

7

Z,S,P,Cy

XRI K

XOR-Verknüpfung mit Konstante

2

7

Z,S,P,Cy

ORI K

ODER-Verknüpfung mit Konstante

2

7

Z,S,P,Cy

Rotationsbefehle

RLC

Rotate Akku Left

1

4

Cy

RAL

Rotate Akku Left Through Carry

1

4

Cy

RRC

Rotate Akku Right

1

4

Cy

RAR

Rotate Akku Right Through Carry

1

4

Cy

Sprungbefehle

JMP ADR

JUMP; direkter Sprung

3

10

–

JZ ADR

Jump On Zero; Springe, wenn Z-Flag gesetzt

3

10

–

JNZ ADR

Jump If Not Zero

3

10

–

JM ADR

Jump On Minus; Springe, wenn S-Flag gesetzt

3

10

–

JC ADR

Jump On Carry

3

10

–

JPO ADR

Jump On Parity Odd; Springe bei ungerader Parität

3

10

–

JPE ADR

Jump On Parity Even; Springe bei gerader Parität

3

10

–

Unterprogrammaufruf und Stapelspeicher

CALL ADR

Unterprogrammaufruf

5

18

–

RET

Return, Rücksprung zum Hauptprogramm

3

10

–

PUSH B

BC zum Stack schreiben

3

12

–

PUSH D

DE zum Stack schreiben

3

12

–

PUSH H

HL zum Stack schreiben

3

12

–

PUSH PSW

AF zum Stack schreiben

3

12

–

POP B

BC vom Stack holen

3

10

–

POP D

DE vom Stack holen

3

10

–

POP H

HL vom Stack holen

3

10

–

POP PSW

AF vom Stack holen

3

10

–

E/A-Befehle

IN

Eingabe zum Akkumulator

3

10

–

OUT

Ausgabe vom Akkumulator

3

10

–

728

52 Mikrocomputertechnik

Teil

Tab. 52.32 (Fortsetzung)

Assembler

Bedeutung

Operationszyklen Taktzyklen

Flags

VII

Interruptbefehle

EI

Enable Interrupts; Interrupts freigeben

1

4

–

DI

Disable Interrupts; Interrupts sperren

1

4

–

SIM

Set Interrupt Mask; Interruptmaske setzen

1

4

–

RIM

Read Interrupt Mask; Interruptmaske lesen

1

4

–

Sonstige Befehle

HLT

Halt

1

5

–

NOP

No Operation

1

4

–

Tab. 52.33 Befehle und Operationscode (Auswahl)

A

B

C

D

E

H

L

M

MOV A,

7F

78

79

7a

7B

7C

7D

7E

MOV B,

47

40

41

42

43

44

45

46

MOV C,

4F

48

49

4A

4B

4C

4D

7E

MOV D;

57

50

51

52

53

54

55

56

MOV E

5F

58

59

5A

5B

5C

5D

5E

MOV H,

67

60

61

62

63

64

65

66

MOV L,

6F

68

69

6A

6B

6C

6D

6E

MOV M,

77

70

71

72

73

74

75

MVI A,K

3E XX

INR A

3C

DCR A

3D

MVI B,K

06 XX

INR B

04

DCR B

05

MVI C,K

0E XX

INR C

0C

DCR C

0D

MVI D,K

16 XX

INR D

15

DCR D

15

MVI E,K

1E XX

INR E

1C

DCR E

1D

MVI H,K

26 XX

INR H

24

DCR H

25

MVI L,K

2E XX

INR L

2C

DCR L

2D

STA ADR

32 XX XX

LDA ADR

3A XX XX

JMP ADR

C3 XX XX

CALL ADR

CD XX XX

JZ ADR

CA XX XX

RET

C9

JNZ ADR

C2 XX XX

JM ADR

FA XX XX

PUSH PSW

F5

POP PSW

F1

PUSH B

C5

POP B

C1

PUSH D

D5

POP D

D1

PUSH H

E5

POP H

E1

Beispiel 2

Marke

Assembler

Bemerkung

Löschen eines Speicherbereiches

PUSH PSW

(AF) ! Stack

PUSH H

(HL) ! Stack

Die Anzahl der zu löschenden Speicherstellen steht im

SUB A

A D 0

Register B (Anzahl) und die erste zu löschende Spei-

CLEAR:

MOV M,A

1. Stelle löschen
cherstelle im HL-Register (Zeiger). Erhöht sich das HL-

INX H

Zeiger C 1

Register um 1, steht automatisch die nächste Speicherstel-

DCR B

Zähler 1
le im Registerpaar. Damit zeigt das HL-Register immer

JNZ CLEAR

Ende?

auf die gewünschte Speicherstelle. Nach jedem Löschvor-

POP H

(Stack) ! HL
gang wird der Zähler um 1 vermindert und ein erneuter

POP PSW

(Stack) ! AF

Löschvorgang durchgeführt, bis der Zähler auf Null steht.

HLT

J

Computertechnik

VII

53 Teil

Heribert Gierens

53.1 Komponenten eines Computers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730

53.2 Massenspeicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730

53.3 Eingabegeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736

53.4 Ausgabegeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

729

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_53

730

53 Computertechnik

Teil

CD-Rom-Laufwerk

Drucker

Monitor

3' Disketten-Laufwerk

VII

5 1/4'Disk-Laufwerk

Mikroprozessor und

Arbeitsspeicher

Tastatur

Mouse

Abb. 53.1 Hardwarekomponenten eines Computers

53.1

Komponenten eines Computers

Ein Computer besteht immer aus der Hard- und der Software.

Die Software lässt sich aufteilen in Programme, die die Zen-
traleinheit ausführt, und Daten, mit denen sie arbeitet. Zur

Hardware gehört die Zentraleinheit und eine Anzahl periphe-

Beschriftungsfeld-
feld
rer Geräte. Von ihrer Leistungsfähigkeit in Verbindung mit

Vlies
dem Prozessortyp und der Größe des Arbeitsspeichers hängt die

Leistungsfähigkeit des gesamten Computersystems ab. Periphe-
re Geräte können nach ihrer Aufgabe eingeteilt werden in Ein-

Schreibschutz

Diskette
und Ausgabegeräte wie Tastatur, Monitor, Drucker und Plotter
und in periphere Speicher wie Magnetplattenspeicher und op-

Abb. 53.2 3,500-Diskette
tische Speicher. Die Anzahl und Art der Peripheriegeräte hängt
von der Aufgabe und vom Einsatzgebiet des Computers ab.

können. Sie besteht aus einer etwa 2 µm dicken Kunststoffträ-

In einem Personalcomputer (PC) (Abb. 53.1) ist die Zentral-
gerfolie, auf der beidseitig eine magnetisierbare Schicht (z. B.

einheit mit der Speichereinheit in einem Tisch- oder Tower-

Eisenoxidschicht) aufgebracht ist. Man unterscheidet Maxi-
gehäuse untergebracht. Als Speicher für das Betriebssystem

(800), Mini-(5,2500) und Mikro-Disketten (3,500), wobei die beiden
und für Anwenderprogramme dient eine Festplatte oder ein
letzten sich bei PC’s durchgesetzt haben. Die Größenangabe be-

CD-ROM-Laufwerk. Zur Datensicherung und Datenverwaltung
zieht sich auf den Durchmesser der Diskettenscheibe, die fest
werden 3,500- und 5,2500-Laufwerke eingesetzt. Der angeschlos-
in einer rechteckförmigen Kunststoffhülle mit ausgekleideten
sene Drucker wird für die Text- oder Grafikausgaben benutzt.

Vliesinnenseiten eingeschlossen ist. Dort ist sie gegen kleinste

Tastatur und Monitor ermöglichen die Kommunikation zwi-

Verschmutzungen (Staub, Fingerabdrücke), die zum Datenver-
schen Mensch und Maschine. Die heute überwiegend grafisch
lust führen können, geschützt. Da Disketten unter dem Einfluss
orientierten Anwenderprogramme vereinfachen ihre Bedienung
magnetischer Felder ebenfalls ihre Daten verlieren, dürfen sie
mit einer Maus.

solchen Feldern nicht ausgesetzt werden. Einmal beschriebe-

Prozessrechner besitzen eine zusätzliche Prozessperipherie für
ne Disketten können vor einem erneuten Beschreiben, und
digitale und analoge Eingangs- und Ausgangssignale.

damit vor einem eventuellen Datenverlust, dadurch geschützt
werden, dass die Schreibschutzkerbe bei den 5,2500-Disketten
mit einem lichtundurchlässigen Klebestreifen versehen wird.

53.2

Massenspeicher

Die 3,500-Disketten besitzen einen Schieber, mit dem man die

Schreibschutzöffnung schließen kann (Abb. 53.2).

Massenspeicher lassen sich nach ihrer Funktion in Magnetplat-

Disketten erhalten erst ihre Funktion, wenn sie vom Rechner
ten, optische Speichermedien und Halbleiterspeicher einordnen.

durch ein Programm formatiert wurden. Durch die Formatie-
rung wird die Diskette in konzentrische Spuren (Tracks) und
radiale Sektoren aufgeteilt (Abb. 53.3). Beispielsweise kann ei-

53.2.1

Magnetplatten
ne Diskettenseite 80 Spuren mit 18 Sektoren besitzen.

Auf den Spuren der einzelnen Sektoren befinden sich nach ei-

53.2.1.1

Diskette und Diskettenlaufwerk
nem Speichervorgang die entsprechenden Daten, die dort in Da-

Die Diskette (Floppy-Disk) ist ein Speichermedium, auf der
tenblöcken zusammengefasst werden. Außer dem Datenblock

Daten gespeichert, gelöscht und wieder überschrieben werden
enthält ein Sektor eine Sektorerkennung, eine Erkennungs- und

53.2

Massenspeicher

731

Zur Kennzeichnung des Sektors 0 dient ein Indexloch oder ein

Erkennungsbyte. Die sich ergebenen Datenblöcke sind fortlau-
fend nummeriert. Auf jeder Spur innerhalb eines Sektors kann

VII
eine bestimmte Anzahl Daten, z. B. 256 oder 512 Byte gespei-
chert werden. Dies ist jeweils abhängig von der Spurdichte. Je

Teil
mehr Spuren sich auf der Diskette befinden, desto mehr Da-
ten kann sie aufnehmen. Die Spurdichte wird mit TPI (Tracks

Per Inch D Spuren pro Zoll) angegeben und die Aufzeichnungs-
dichte in BPI (Bits per Inch). Man spricht auch von FCI (Flux

Changes per Inch D Flusswechsel pro Zoll). Da die inneren

Spuren einen geringeren Umfang besitzen, sind sie die Basis für
die Anzahl der Daten. Die mittleren Zugriffszeiten bei Disketten

Spur 0

Sektor
betragen 100 bis 200 ms. Die übliche Speicherkapazität beträgt
heute 1,44 MB. Standardlaufwerke verwenden beide Seiten der

Abb. 53.3 Diskettenscheibe

Diskette und besitzen daher zwei Schreib- und Leseköpfe (Kom-
biköpfe). Ist ein PC mit mehreren Laufwerken ausgestattet, hat
das Erstlaufwerk den Namen A und das Zweitlaufwerk den Na-
eine Datenblocklücke. In der Sektorerkennung befinden sich
men B. Der Name C ist in der Regel der Festplatte vorbehalten.

Sektor- und Spurnummer (Abb. 53.4). Liegt in Spur 0 ein Ver-

Das Prinzip der Aufzeichnung und das Lesen von Daten zeigt
zeichnis der Datennamen mit Zuordnung von Sektoradresse und

Abb. 53.5. Beim Speichern der Daten erzeugt ein Schreibstrom

Spurnummer, kann die gewünschte Information schnell ausge-
im Schreib- und Lesemagnetkopf ein Magnetfeld, das im Luft-
lesen werden. Die Speicherkapazität einer Diskette ist von der
spaltbereich des Kopfes auf der Diskette eine Magnetisierung

Formatierung abhängig. Beispielsweise ergibt sich bei der oben
bewirkt. Beim Lesen entsteht in der Kopfwicklung durch ma-
genannten Diskette bei 512 Byte/Sektor und zwei Aufzeich-
gnetische Induktion eine Spannung, die von der Magnetisierung
nungsseiten eine Kapazität von 1440 kB.

(Ausrichtung der Molekularmagnete) der Diskette abhängt.

Sektorerkennung

Spur

Spur

Sektor

Kopf

Erkennungs-

Datenfeld

Datenblock-

Nr.

Nr.

Nr.

Lücke

Lücke

Sektor

Abb. 53.4 Spurformat

Schreibstrom

Lesespannung

Magnetschicht

Trägermaterial

Bewegung

Kombikopf

Schreibstrom
oder

Lesespannung

Luftspalt

Bewegung

Magnetschicht

Diskettenscheibe

Abb. 53.5 Schreib-Lesekopf

732

53 Computertechnik

Teil

Prinzip

VII

1

1

0

0

1

0

1

1

Daten

Schreibstrom

1

1

0

0

1

0

1

1

Magnetisierung

Flußwechsel

FM-Verfahren

Takt

Daten

1

1

0

0

1

0

1

1

Synchronisation

Schreibstrom

Magnetisierung

MFM-Verfahren

Takt

Daten

1

1

0

0

1

0

1

1

Synchronisation

Schreibstrom

Magnetisierung

Abb. 53.6 Codierungsverfahren

Abb. 53.6 verdeutlicht den Zusammenhang zwischen Daten,

Beim Schreibvorgang wandelt der Controller die eingehenden

Schreibstrom und Magnetisierung und zeigt mögliche Codie-
zu speichernden parallelen Daten in einen seriellen Datenstrom
rungsverfahren auf. Beim FM-Verfahren (Frequency Modula-
um und steuert über einen Schreibverstärker den Schreib-
tion D Frequenzmodulationsverfahren) werden den Datenbits

Lesemagnetkopf an. Abb. 53.7 zeigt das Prinzip eines Disket-

Synchronisationsbits zugefügt. Ein Datenbit „1“ erhält hierbei
tenlaufwerks mit Controller.

die Codierung „1.1“ und ein Datenbit „0“ die Codierung „1.0“.

Bei MFM-Verfahren (Modified FM) wird nur ein Synchronisa-

Beim Lesen von der Diskette wird jeder Flusswechsel vom Le-
tionsbit auf die Diskette gebracht, wenn eine „0“ als Datenbit
sekopf aufgenommen und als Wechselspannung einem nachfol-
vorausging. Weil dieses Verfahren weniger Flusswechsel benö-
genden Schreibverstärker zugeführt. Hochfrequente Störspan-
tigt, erhöht sich die mögliche Speicherkapazität.

nungen werden vorher über ein Filter (Tiefpass) ausgesiebt.

Über eine Differenzierstufe und nachfolgenden Komparator

Das Diskettenlaufwerk wird über den Floppy-Disk-Controller
wird das Lesesignal in eine gewünschte digitale Form gebracht,
von der CPU angesteuert. Der Antriebsmotor lässt die Diskette
um hier je nach Codierungsverfahren dem FDC die decodierten

300-mal in der Sekunde rotieren und die Schrittmotorsteuerung

Daten zur Verfügung zu stellen (Abb. 53.8). Dort wird der seri-
bringt die Köpfe in die richtige Position auf der Diskette. Ferner
elle Datenstrom dann wieder in das parallele Format gebracht.

erhält der FDC Signale für die Spur 0- und Schreibschutzerken-

Die entsprechenden Signale der einzelnen Blöcke sind mit dar-
nung.

gestellt.

53.2

Massenspeicher

733

Schreib/Lesekopf

Diskette

Adresse

VII

Schrittmotor

Motor

Teil

Schreibschutz

Spur 0

Floppy-

Daten

Disk-

Motorsteuerung

Controller

Leseverstärker

Steuerung

Schreibverstärker

Abb. 53.7 Diskettenlaufwerk mit Cotroller

Diskette

Schreib/Lesekopf

Daten-

Daten
regene-

Komparator

Differenzierer

Verstärker

Filter
rierung

Magnetisierung

Lesespannung
t

Differenzierer
t

Komparator
t

Digitalspannung
t

Daten

1

1

0

0

1

0

1

1

Abb. 53.8 Aufbereitung von Diskettendaten

Abb. 53.9 zeigt beispielhaft einen Floppy-Disk-Controller, in

53.2.1.2

Festplatte und Festplattenlaufwerk
dem sich alle notwendigen Funktionseinheiten befinden, mit
seiner 34poligen Steckerleiste und dem Anschluss an das Bus-

Die Funktion der Festplatte beruht wie bei den Disketten auf
system.

der Magnetisierung einer Oberfläche. Das Trägermaterial von

Festplatten ist Aluminium, auf der eine sehr dünne magne-

Der Baustein selbst wird wie ein E/A-Baustein über eine Adres-
tisierbare Schicht (z. B. Eisenoxid) aufgebracht ist. Um die
se angesprochen. Vorgänger des 82077AA sind die Controller

Speicherkapazität zu erhöhen, sind mehrere Platten übereinan-

8272 und NEC765A.

der (Abb. 53.10) auf einer gemeinsamen Achse angebracht. Die

734

53 Computertechnik

Teil

A0..A15

82077AA

VII

A0

DENSL

2

1

A1
no

4

3

A2
no

6

5

INDEX

8

7

D0..D7

MEA

10

9

OSB

12

11

TC

OSA

14

13

DACK

MEB

16

15

DRQ

DIR

18

17

GND

INT

STEP

20

19

WR

WDATA

22

21

RD

WE

24

23

RESET

WAK00

26

25

13

WP

28

27

RDATA

30

29

HDSEL

32

31

CS

Adreß-

DSKCD

34

33

A9..A15

Decoder

Abb. 53.9 Floppy-Disk-Controller mit Anschlüssen

Achse

Platten
mit Magnetschicht

Linearmotor

Motor

Daten

Schreib/leseköpfe

Abb. 53.10 Prinzip des Festplattenlaufwerks

Platte selbst ist – wie bei den Disketten auch – in konzentrische
der auf der Platte liegen. Je dichter die Spuren nebeneinander

Spuren und radiale Sektoren aufgeteilt.

verlaufen, desto größer ist die mögliche Speicherkapazität. Die
genau übereinander liegenden Spuren eines Plattenstapels nennt

Die Platten rotieren im Gegensatz zu den Disketten ständig mit
man Zylinder. Die Zylinder sind jeweils wieder in kleinere Spei-

Geschwindigkeiten ab 5200 Umdrehungen pro Minute. Da sich
chereinheiten (Sektoren) aufgeteilt. Die Anzahl der Sektoren
bei den hohen Rotationsgeschwindigkeiten zwischen Platten-
ist auf allen Spuren gleich. Die größte Datendichte liegt so-
oberfläche und Kopf ein Luftpolster bildet, können sich Kopf
mit auf der innersten Spur. Da auf der äußeren Spur die gleiche
und Platte nie berühren. Der Kopf „fliegt“ somit über die Plat-

Dateninformation liegt, ist die Datendichte hier geringer. Aus-
te. Zum Starten und Landen des Kopfes dient eine nicht zum
nahmen bilden Platten mit Zone-Bit-Recording, wo die inneren

Speicherbereich gehörende Randzone, die sogenannte landing

Spuren weniger Sektoren als die äußeren enthalten und somit
zone. Beim Ausschalten des Rechners erfolgt das korrekte Lan-
die Platzverschwendung auf den äußeren Sektoren entfällt. Der
den („Parken“) automatisch.

Controller speichert zusätzlich Kontrolldaten, um die Position

Festplatten sind stoßempfindlich. Ein Berühren der Platte durch
der Magnetköpfe zu bestimmen.

die Köpfe (Headcrash) führt zu deren Zerstörung.

Bei den Vorgängertypen war die Geschwindigkeit der Festplat-

Der Vorteil der Festplatten gegenüber Diskettenlaufwerken liegt
ten größer als der mögliche Rechnerzugriff. Die Spur eines Sek-
in der Geschwindigkeit (mittlere Zugriffszeit 10 ms) und in der
tors konnte nicht bei jeder Umdrehung der Festplatte, sondern
wesentlich höheren Speicherkapazität (2 GB und mehr). Unter
erst bei der zweiten oder dritten Umdrehung gelesen werden.

Zugriffszeit versteht man die Zeit, die der Schreib-Lesekopf

Ein Interleave-Faktor passte die Umdrehungsgeschwindigkeit
benötigt, um zur gewünschten Spur (Einstellzeit) und dem ge-
der Festplatte an die Geschwindigkeit des Prozessors bzw. an
wünschten Sektor (Latenzzeit) zu kommen.

die Geschwindigkeit an, mit welcher der Controller Daten von
oder zur Festplatte übertragen kann. Abb. 53.11 vergleicht die

Durch die Formatierung werden Datenspuren in konzentrischen

Sektorenfolge der Festplatte mit einem Interleave-Faktor 3 und

Kreisen eingerichtet und festgelegt, wo Sektoren und Zylin-
eine mit dem Interleave-Faktor 1.

53.2

Massenspeicher

735

VII

Sektor

Teil

Interleave 1

Interleave 2

1

7

13

2

8

14

3

9

15

4

10

16

5

11

17

6

2

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

Abb. 53.11 Interleave-Faktor

Tab. 53.1 Standard CD

53.2.1.3

Magnetbandgeräte

Durchmesser

120 mm

Magnetbandgeräte (Streamer) dienen zur Aufnahme und Siche-

Drehzahl

200–530 min1
rung großer Datenmengen. Die Aufzeichnung der Daten erfolgt

Abtastrichtung

Von innen nach außen
durch die Magnetisierung einer dünnen Eisenoxidschicht, die

Abtastgeschwindigkeit

Konstant
sich auf einer Trägefolie befindet. Ein unmittelbarer freier Zu-

Spurbreite

0,6 µm
griff auf bestimmte Daten ist nicht möglich.

Abstand benachbarter Spurabschnitte

1 µm

CD

Lasereinheit

53.2.2

CD-ROM- und CD-Laufwerk

Motor

Daten-

Das CD-Laufwerk (CD D Compact Disc) gehört heute zur
verarbeitung

Grundausstattung eines PC-Systems. Die CD zählt zu den opti-
schen Speichern, bei denen zwischen CD-WROM (Write Once

Read Multiple, kann einmal beschrieben werden) und CD-ROM
unterschieden wird. Ihr Vorteil gegenüber Festplatten liegt in

Servo-
der sehr hohen Speicherkapazität (über 500 MB) und den relativ

Steuerung
kurzen Zugriffszeiten (unter 1 ms). Die Datenspur liegt spiral-
förmig auf der CD vor und wird von innen nach außen gelesen.

Abb. 53.12 Prinzip eines CD-Laufwerkes

Die Daten der Standard CD sind in Tab. 53.1 zusammengefasst.

Abb. 53.12 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines CD-Laufwer-

Die Festplatte selbst kann in mehrere logische Laufwerke unter-
kes. Die Motordrehzahl ist zwischen der Innenabtastung und der
teilt (partioniert) werden, die dann vom Betriebssystem jeweils

Außenabtastung variabel, weil beim Lesen der CD ein konstan-
als eigenständige physikalische Laufwerke behandelt werden.

ter Datenstrom erzeugt werden muss. Gegenüber Single-Speed-

Wechselplatten sind nicht fest installiert. Sie können problemlos

Laufwerken mit Datenübertragungsraten von 150 kB pro Se-
ausgewechselt und transportiert werden.

kunde ist der Faktor heutiger Laufwerke 20 und mehr. Die

CD und Digitalsignal

Reflektion des Laserlichtes

Reflexionsschicht

Schutzschicht

Land

Pit

1 0 0 1

0 1

0 0 0 1

0 0 1

Information

Abb. 53.13 Signale und Reflexion des Laserlichtes

736

53 Computertechnik

Teil

CD

Die Funktion der Tastenmatrix ist aus Abb. 53.16 ersicht-
lich. Die Tastatur erzeugt aus einem Tastendruck ein Bitmuster

VII

(Scan-Code D Zuordnung zur Tastennummer).

Focussierlinse

Der Tastatur-Controller (Beispiel 8048) wertet hierbei die Ein-
gabe der Tastatur aus. Unterschieden wird zwischen dem

Drücken der Taste („Make“-Codes) und dem Loslassen der

Strahlteiler

Taste („Break“-Codes). Die beiden Codes unterscheiden sich
nur durch das höchstwertigte Bit. Wird eine Taste gedrückt

Lesedetektor
und nach bestimmter Zeit (z. B. 0,5 s) nicht losgelassen, sen-

Objektiv
det der Tastatur-Controller fortlaufend den gleichen Tastencode

(Autorepeat-Funktion). Mit Hilfe des erzeugten Taktes durch
den Mikrocontroller werden die Daten seriell zum Tastatur-

Laser

Interface geschrieben. Dort werden die seriellen Daten von
einem weiteren Mikrocontroller (z. B. 8042) empfangen und

Abb. 53.14 Leseprinzip
in parallele Daten umgesetzt, die dann der CPU zur Ver-
fügung gestellt werden. Die Zuordnung der Scan-Codes zu
den ASCII-Werten kann mit Hilfe eines Tastaturtreibers, z. B.

Servosteuerung sorgt für eine gezielte Führung der Abtastein-

KEYBGR.COM, selbst definiert werden. Die Übertragung zur
heit (Focus und Spurhaltung) über die Datenspur.

CPU wird durch INT (Interrupt 1) ausgelöst.

Die digitalen Informationen auf der CD sind durch Vertiefun-
gen auf der spiralförmig angeordneten Spur eingeprägt. Die

Vertiefungen heißen Pits und die Stege dazwischen bezeich-

53.3.2

Maus
net man mit Land. Der Wechsel zwischen Land und Pit wird
beim Lesen der Daten von innen nach außen als „1“ interpretiert

Text- und Grafik-Software verwenden einen Cursor (z. B. kur-

(Abb. 53.13). Hierbei wird die Spur durch den gebündelten La-
ze blinkende Linie oder Lichtmarke verschiedener Form), um
serstrahl abgetastet. Trifft der Laserstrahl auf ein Pit, erfolgt eine
an die Stelle des Bildschirms zu zeigen, an der das nachfol-

Reflektion, die im Idealfall zur Absorbtion des Lichtes führt.

gende Zeichen entsteht. Der Cursor kann sowohl mit Hilfe

Trifft er auf keine Vertiefung, dann wird der Strahl voll reflek-
der Cursortasten als auch mit der Maus bewegt werden. Die
tiert.

Maus-Software bewegt den Cursor auf dem Bildschirm genau

Abb. 53.14 verdeutlicht das Leseprinzip. Eine Laserdiode sen-
in die Richtung, in der die Maus bewegt wird. Hierbei wird
det das Laserlicht durch einen halbdurchlässigen Spiegel, einen
die Maus zu einer wichtigen Eingabeeinheit. Installiert wird sie

Strahlteiler und eine Focussierlinse auf die Reflexionsschicht
durch die entsprechenden Maustreiber. Auf dem Markt exis-
der CD. Das reflektierte Licht gelangt über den Strahlteiler
tieren unterschiedliche Maustypen, z. B. mit zwei oder drei
auf den Lesedetektor. Der Lesedetektor besteht aus Fotodioden,

Tasten. Bei beiden ist wesentliches Element die Rollkugel. X-
die aus dem gewonnenen elektrischen Signal die Daten zur
und Y-Richtung und Status der Maustasten wird an die serielle

Verarbeitung weitergeben und Signale für die Servosteuerung

Schnittstelle weitergegeben.

gewinnen.

53.4

Ausgabegeräte

53.3

Eingabegeräte

53.4.1

Datensichtgeräte

53.3.1

Tastatur

Datensichtgeräte dienen zur Wiedergabe alphanumerischer und

Zur Eingabe von Zeichen und Befehlen wird in PC-Systemen
grafischer Informationen.

die Tastatur (Keyboard) verwendet. Bei den Tastenelementen
selbst sind unterschiedliche Tastenarten und Anordnungen ge-
bräuchlich. Die deutsche Tastatur hat die sogenannte QWERTZ-

53.4.1.1

Monitor

Anordnung mit Funktions- und Cursortasten und Nummern-

Nach Abb. 53.17 besteht der Monitor aus einer Bildröhre
block. Bei der internationalen Anordnung sind Z mit Y ver-
und aus Schaltungen für die Hochspannungserzeugung, Strahl-
tauscht (QWERTY-Anordnung).

stromablenkung (Ablenkeinheit), Synchronisierung und Signal-

Die Tastatur besteht aus einer Tastaturmatrix, einem Mikrokon-
verstärkung (Videoverstärker). Angesteuert wird der Monitor
troller und einem Puffer-Speicher für die seriellen Daten, die der
vom Videointerface (Grafikkarte) mit dem Videosignal und der

Tastaturschnittstelle (Tastatur-Interface) auf dem Motherboard

Synchronisation. Das Videosignal ist das eigentliche Bildsignal
zur Verfügung gestellt werden. Abb. 53.15 zeigt das Block-
und die Synchronisationssignale dienen dazu, ein stehendes Bild
schaltbild.

auf dem Monitor zu erzeugen.

53.4

Ausgabegeräte

737

Tastaturkomponenten

VII

Teil

Tastatur-Puffer

Tastatur-

Tastatur-

Controller

Matrix

Takt

Reset

3

1

5

4

–5V

2

Tastatur-

Serielle Daten

Decoder

Tastatur-Interface

Mikro-
zur Tastatur

Datenbus

D0..D7

Controller

Reset

RC

Takt

A20

Serielle Daten

INT

Schlüsselschalter

Abb. 53.15 Tastaturinterface und -komponenten

(Katode) und dem Bildschirm. Die von der Kathode austreten-

Erzeugung des
den Elektronen treffen durch Hochspannung beschleunigt auf

Paritätsbit
dem Bildschirm auf und erzeugen hier einen sichtbaren Punkt,

Taste
dessen Farbe bei monochromen (einfarbigen) Bildschirmen von
der Leuchtschicht (weiß, grün, bernstein) des Bildschirmes ab-

Q
hängt. Zur Helligkeitseinstellung dient ein Einsteller, der von

W
außen zugänglich ist und den Strahlstrom durch Potentialän-

E
derung zwischen Kathode und Steuergitter (Wehneltzylinder)

beeinflusst. Das Steuergitter ist die Elektrode in der Bildröhre,

R
die sich unmittelbar hinter der Katode befindet. Um ein ein-

Z
wandfrei scharfes Bild zu erhalten, muss der Elektronenstrahl
gebündelt den Bildschirm erreichen. Dies wird durch ein elek-

7

6

5

4

3

2

1

0
trostatisches Feld erreicht, das wie eine Elektronenoptik wirkt.

2

2

2

2

2

2

2

2

Eine Einstellmöglichkeit bietet der FOCUS-(Schärfe-) Einstel-
ler.

Strobe

Daten

Da der Elektronenstrahl das Bild zeilenweise erstellt, wird eine

Abb. 53.16 Prinzip: Tastaturmatrix

Ablenkschaltung benötigt, die den Elektronenstrahl durch Ma-
gnetfelder entsprechend ablenkt. Hierzu dienen die Horizontal-
und Vertikalablenkspulenpaare (Ablenkeinheit).

Würde der Einsetzpunkt des Bildes nicht immer an derselben

Um eine gleichmäßige Ablenkung von links nach rechts zu

Stelle liegen, hat man den Eindruck, das Bild würde „durchlau-
erhalten, wird den Horizontalablenkspulen ein sägezahnförmi-
fen“. Die zur Monitoransteuerung notwendigen Daten befinden
ger Strom zugeführt. Während des Rücklaufs (von rechts nach
sich im Bildschirmspeicher, der Teil des Arbeitsspeichers ist
links) wird der Elektronenstrahl dunkel getastet. Die Anzahl
oder im Video-RAM auf der Grafikkarte. Die Bildröhre selbst
der horizontalen Abtastungen pro Sekunde ergibt die Zeilen-

(Kathodenstrahlröhre) besteht aus einem Strahlerzeugersystem
oder Horizontalfrequenz, die bei den einzelnen Herstellern un-

738

53 Computertechnik

Teil

Ablenkeinheit

Bildröhre

VII

Eingangs-

Video-

Schaltung

Verstärker

Kontrast

Bildhöhe

Bildkipp-Endstufe
und

Bildkipposzillator
eit
e

Vertikal-

Bildfrequenz

Synchronisation

Schärf

Helligk

Horizontal-

Synchronisation

Zeilenoszillator
und

Zeilenendstufe

Hochspannungs-

Zeilenfrequenz

Erzeugung

Abb. 53.17 Blockbild eines Monitors

IV

1

2 3

4 5

6 7
t

8

Vorlauf

Rücklauf

Vertikalablenkung
t

Abb. 53.19 Zeilensprungverfahren

Zeilenhinlauf
der Fall ist. Hierbei werden zunächst die ungeraden und dann

Zeilenrücklauf
die geraden Zeilen geschrieben (Abb. 53.19). Der Rücklauf ist
immer unsichtbar. Bei 25 Halbbildern in der Sekunde wird bei-

Abb. 53.18 Vertikale und horizontale Ablenkung
spielsweise eine Bildfrequenz von 50 Hz vorgetäuscht (Trägheit
der Augen).

terschiedlich ist (z. B. 30 . . . 80 kHz bei 1400-Monitoren). Die

Der Farbmonitor besitzt eine in-line-Röhre mit drei Elektronen-
lineare Ablenkung des Elektronenstrahls von oben nach unten
erzeugungssystemen jeweils für die Grundfarben Rot (R), Grün
bewirken die Vertikalablenkspulen. Abb. 53.18 zeigt den Zu-

(G) und Blau (B), mit der die entsprechenden Farbstreifen an-
sammenhang zwischen vertikaler und horizontaler Ablenkung.

geregt werden (Abb. 53.20).

Die Amplitude der Bildablenkspannung ist für die Bildhöhe
verantwortlich. Häufig ist hierfür ein Einsteller von außen zu-

Um eine gute Farbwiedergabe zu erhalten, müssen die Elektro-
gänglich.

nenstrahlen ihre zugeordneten Farbstreifen durch den gemein-
samen Schnittpunkt der Schlitzmaske treffen (Konvergenz). Mit

Zur Darstellung eines flimmerfreien Bildes müssen bei der

Hilfe von Dauermagneten, die um den Röhrenhals angeordnet

Negativdarstellung (helle Zeichen auf dunklem Grund) min-
sind, kann eine eventuell notwendige Nachjustierung erfolgen.

destens 50 Bilder pro Sekunde geschrieben werden. Dies er-
gibt eine Bildwiederholfrequenz von 50 Hz. Die Positivdarstel-

Bei der Trinitron-Farbbildröhre besteht die Gittermaske aus
lung (dunkle Zeichen auf hellem Grund) erfordert mindestens
senkrecht angeordneten Metallstreifen. Zur Stabilität können

70 Hz. Die meisten Monitore arbeiten heute mit Bildfrequen-
zusätzlich zwei Streifen waagerecht eingezogen sein. Das Elek-
zen zwischen 60 und 120 Hz. Eine Möglichkeit, Flimmern zu
tronenerzeugersystem besteht aus drei Kathoden. Im Gegensatz
reduzieren, ist das Verschachteln zweier Halbbilder nach dem
zur In-line-Röhre sind alle anderen Elektroden nur einmal vor-

Zeilensprungverfahren (interlaced), wie das bei Fernsehgeräten
handen.

53.4

Ausgabegeräte

739

Tab. 53.2 Grafikkarten (Entwicklung)

Ablenkeinheit

Karte

Format/Bildpunkte

Anzahl der Farben Bild-/Zeilenfrequenz

Farbreinheitmagnet

VII

Hercules 768 320

–

50/18430

Konvergenzmagnete

CGA

320 200

4

60/15750

EGA

640 350

16

60/21850

Teil

VGA

640 480

256

70/18750

(800 600)

werden. Den Abstand benachbarter Bildmittelpunkte bezeichnet

Elektronenstrahl
man als Dot Pitch.

Fixierungsringe

Die vom Videointerface gelieferten Signale (wenige Volt) müs-
sen noch verstärkt werden, um die Bildröhre aussteuern zu
können. Die Amplitude des Signals ist mit dem Kontrasteinstel-

Lochmaske
ler veränderbar.

Monitore erzeugen Röntgenstrahlen und elektromagnetische

Felder. Während für Röntgenstrahlen eine Röntgenverordnung

R

G

B
existiert, gibt es für elektrostatische und magnetische Felder nur

Elektronenstrahlsysteme
die allgemeinen Vorschriften VDE 0848. Die heutigen Monito-
re genügen alle der schwedischen MPR-Norm (Statens mät-och
prorad), die jeweils Höchstwerte an der Bildschirmoberfläche
vorschreiben. Sie können als strahlungsarm eingestuft werden.

Monitor und Grafikarte müssen aufeinander abgestimmt sein,
da die Karten mit unterschiedlichen Zeilen- und Bildfrequen-

Lochmaske
zen angeboten werden. Der Multiscan-Monitor dagegen ist in
der Lage, die Signale aller gängigen Grafikkarten zu verar-
beiten, weil er das Bild automatisch nach den angebotenen

Frequenzen einstellt (Bildfrequenzen 50 . . . 90 Hz, Zeilenfre-

BGR
quenzen 15 . . . 45 kHz).

Farbstreifen

Das Videointerface (Abb. 53.21) überträgt Daten zum Monitor.

Die Grafikkarte besteht im Prinzip aus einem Zeichengene-

Abb. 53.20 Farbbildröhre und Inlineprinzip
rator, der alle Zeichen, die auf dem Bildschirm dargestellt
werden können, enthält, und aus einem Bildspeicher, in dem der
gesamte Bildschirminhalt abgelegt ist. Der Bildspeicher wird

Das Verhältnis von Breite zur Höhe ist bei allen Standardmoni-
dann z. B. 60-mal in der Sekunde abgefragt und zur Anzeige
toren 4 W 3. Damit reicht die Bildschirmdiagonale zur Angabe
gebracht. In kürzester Zeit haben sich immer bessere Grafik-
über die Monitorgröße aus.

standards herausgebildet. Tab. 53.2 gibt einen Überblick über

Die Zahl der vertikal und horizontal ansprechbaren Bildpunk-
die Entwicklung von Grafikkarten. EGA-Karten können bei-
te (Pixel) gibt die Auflösung an. Eine Angabe von 1024 768
spielsweise maximal 16 aus 64 Farben darstellen, während im
bedeutet, dass horizontal 1024 und vertikal 786 Pixel dargestellt

VGA-Standard 256 Farben dargestellt werden können. Weitere

Videosignal

Zeilen-Synchronisation

Prozessor

Video-Controller

Monitor

Bild-Synchronisation
us
us

ASCII

Matrixcode

Datenb

Adreßb

Bildschirm-

Zeichen-Generator
speicher

Abb. 53.21 Videointerface

740

53 Computertechnik

Teil

1

80
gramme und Zeichnungen zu erstellen. Im Wesentlichen un-

1

Zeilen
terscheidet man heute Typenrad-, Nadel-, Tintenstrahl- und

VII

Laserdrucker.

53.4.2.1

Typenraddrucker

25

Typenraddrucker waren die ersten eingesetzten Drucker in Ver-
bindung mit Computersystemen. Sie arbeiten nach dem Prinzip

Spalten
der Typenradschreibmaschine und erzeugen ein ausgezeichnetes

Abb. 53.22 Darstellung im Textmodus

Schriftbild. Nachteile sind die geringe Druckergeschwindigkeit
und die Unfähigkeit, Grafiken zu drucken. Ein weiterer Nachteil
ist die Notwendigkeit, das Typenrad zu wechseln, wenn unter-

Unterschiede liegen in der Signalübergabe zum Monitor. Wäh-
schiedliche Schriftarten in einem Schreiben verwendet werden
rend EGA mit digitalen Signalen arbeitet, werden bei den heute
sollen.

üblichen VGA- oder SVGA-Karten analoge Signale übertragen.

Bei Grafikkarten wird nach zwei grundsätzlichen Betriebsar-

53.4.2.2

Matrixdrucker
ten, dem Text- und dem Grafikmodus, unterschieden. Im Text-

Sehr weite Verbreitung haben die Nadel- oder Matrixdrucker
oder Alphamodus liegt die Bildinformation zeichenorientiert
gefunden, weil sie relativ preiswert sind. Die Zeichen werden
im ASCII-Code mit einem zusätzlichen Attributbyte vor. Das
durch ein Punktraster dargestellt. Die Steuerung erfolgt über

Attribut bestimmt z. B. die Farbe des ASCII-Zeichens. Auf-

Nadeln des Druckkopfes. Üblich sind 9- bzw. 24-Nadeldrucker.

geteilt wird der Bildschirm nach Textzeilen und Textspalten

Matrixdrucker sind relativ schnell, grafik- und farbfähig. Als

(Abb. 53.22), z. B. in 80 Zeichen pro Zeile und 25 Zeilen. Hier-

Nachteil kann das etwas höhere Arbeitsgeräusch empfunden
zu ist eine relativ große Videobandbreite erforderlich.

werden

53.4.1.2

LCD-Bildschirm

53.4.2.3

Tintenstrahlrucker

Neben dem Monitor, der mit einer Bildröhre bestückt ist, sind

LCD-Bildschirme im Einsatz. Sie sind als Flachbildschirme auf-

Durch sehr kleine Düsen wird Tinte auf das Blatt gebracht. Bei
gebaut und benötigen weniger Platz. Ein weiterer Vorteil ist der
den Vorgängertypen trockneten häufig diese Düsen ein, wenn
geringere Stromverbrauch. Als Nachteile sind Kontrastarmut,
der Drucker wenig im Gebrauch war. Tintenstrahldrucker wur-
vor allem bei Fremdlichteinwirkung, Temperaturabhängigkeit
den in letzter Zeit durch unterschiedliche technische Verfahren
und Trägheit zu nennen.

wesentlich verbessert. Sie arbeiten sehr leise und sind farb- und
grafikfähig.

53.4.2

Drucker

53.4.2.4

Laserdrucker

Das Drucksystem eines Laserdruckers kann mit dem Prinzip

Drucker (Printer) ermöglichen die Ausgabe alphanumerischer
eines Fotokopierers verglichen werden. Die Druckgeschwindig-

Zeichen für die Textverarbeitung und sind in der Lage, Dia-
keit ist sehr groß und das Druckbild hervorragend.

Programmiertechnik

VII

54 Teil

Heribert Gierens

54.1 Programmiersprachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742

54.2 Grundlagen der Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

741

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_54

742

54 Programmiertechnik

Teil

Aufgabe der Programmiertechnik ist es, Verfahren bereitzu-

Aus der Verwendung einer höheren Programmiersprache resul-
stellen oder zu entwickeln, mit deren Hilfe die Eigenschaften
tiert daher eine bessere Übertragbarkeit (Portierung) auf andere

VII
programmierbarer Geräte verändert werden können. Vorausset-

Rechnersysteme sowie eine effizientere Programmierung; aller-
zung dafür ist, dass diese Geräte über einen Befehlsvorrat sowie
dings steigt der Speicherbedarf teilweise drastisch an.

über die Freiheit verfügen, die Auswahl und die Reihenfolge

Guter Programmierstil ist nur sehr bedingt von der verwendeten
der auszuführenden Befehle zu variieren. Die genannten „Ge-

Programmiersprache abhängig. Mit der nötigen Disziplin und
räte„ beinhalten in der Regel mindestens einen Prozessor oder

Sorgfalt lässt sich auch mit Sprachen, die nicht modular ange-

Controller.

legt sind, sauber arbeiten. Es folgt daher eine unvollständige,

Während eine SPS eindeutig programmierbar ist, erscheint ei-
alphabetisch sortierte Liste einiger Programmiersprachen, um
ne Waschmaschine, obwohl sie einen Controller enthält, nur
die babylonische Vielfalt wenigstens zu benennen. Aufgrund
auf den ersten Blick programmierbar: über den Programm-
der enormen Innovationsgeschwindigkeit können viele der bei
wahlschalter wählt der Benutzer aus fertigen, von ihm nicht
einer Sprache genannten Eigenschaften zurzeit bereits in eine
veränderbaren Abläufen einen aus. Seine „Programmierung“
andere Sprache übernommen worden sein.

bezieht sich auf die Auswahl der berücksichtigten Daten (Art
der Wäsche, Temperatur, . . . ). Da diese Daten (oder Parameter)

dem Gerät keine grundsätzlich neuen Eigenschaften verleihen,
nennt man diese Vorgang nicht Programmieren sondern Para-

54.1.1

Assembler
metrieren.

Der Begriff Assembler ist doppeldeutig. Zum einen wird damit
die (hier gemeinte) Assemblersprache und zum anderen das Pro-

54.1

Programmiersprachen
gramm, das aus einem Quelltext (siehe Beispiel) die Maschinen-
befehle übersetzt, bezeichnet. Diese Dualität der Bezeichnungen
findet sich auch bei anderen Programmiersprachen.

Der Begriff Programmiersprache entstammt der Analogie mit
der menschlichen Sprache. Hier wie dort gibt es die Vokabeln

„Assembler“ ist eine Programmier sprache, weil der einzelne,

(Befehle) und die Grammatik (Regeln).

vom Zielprozessor verstehbare Befehl durch ein sinnvolles Syn-

Dem Programmierstil der Pionierzeit lag keine „Sprache“ in
onym dargestellt wird. Diese Synonyme werden Mnemonics
diesem Sinne zugrunde, denn es fehlten die „Vokabeln“, die Be-

(Mneme: Gedächtnis, Erinnerung) genannt, da sie die Aktion
griffe, die synonym für bestimmte Inhalte (Befehle) standen.

des betreffenden Befehls in kürzester Form beschreiben.

So war die Programmierung dadurch gekennzeichnet, dass je-
des einzelne Bit im Speicher per Hand (Schalter) gesetzt bzw.

Beispiel
gelöscht werden musste. Unter einer höheren Programmierspra-
che ist im Folgenden zu verstehen, dass ein Befehl in eben dieser

LD B,3E ; Lade das B-Register mit dem Wert 3E16

Sprache mehrere Maschinenbefehle zu seiner Umsetzung benö-
tigt.

Hier steht die Abkürzung (Mnemonic) LD für „lade“!

In PASCAL lautet z.B. die Anweisung zur Addition zweier

Obwohl die Programmierung in Assembler hohe An-

Variablen-Werte :

forderungen an den Programmierer stellt, weil er den

Zielprozessor sehr gut kennen muss, gehört diese Spra-

U_Gesamt := U_R1 + U_R2 ;
che zu den niederen: jeder benutzte Maschinenbefehl

In Z80-Assembler sind für den (prinzipiell) gleichen Vorgang
wird durch eine Assembler-Anweisung dargestellt. Da-
die folgenden Anweisungen nötig:

her liefert diese Sprache keine Strukturierungshilfen

Vorplanung der Registerbelegung:

(Wiederhol-Schleifen, Datentypen etc.) mit. Wer diese

Sprache beherrscht, wird durch keine Sprachkonventio-

HL D Adresse des 1. Operanden
nen reglementiert; man muss allerdings die volle Ver-

.HL C 1/ D Adresse des 2. Operanden
antwortung selbst für einfachste Programmelemente (z.B.

Ende einer Zählschleife) tragen. Der Vorteil dieser Spra-

.HL C 3/ D Adresse des Ergebnisses
che liegt in dem sehr schnellen Ablauf der erzeugten

A D Rechenregister

Programme sowie dem geringen Speicherplatzbedarf. J

B D Hilfsregister

LD HL, 8000 ; Adresse des 1. Operanden in das HL-Register

LD A , (HL) ; Lade das A-Register mit dem 1. Operanden

INC HL

; erhöhe den Inhalt des HL-Registers um 1

54.1.2

ADA

LD B, (HL) ; Lade das B-Register mit dem 2. Operanden

ADD B

; Addiere den Inhalt des B-Registers zum Inhalt

; des A- Registers (das Ergebnis verbleibt im A-Register)

INC HL

; erhöhe den Inhalt des HL-Registers um 1

Sowohl für den kommerziellen, den industriellen und den

LD (HL), A ; lade die Speicheradresse, auf die das HL-Register zeigt,
militärischen Bereich geeignet, ist ADA (Augusta Ada By-

; mit dem Ergebnis
ron, 1816–1862) eine universelle Sprache. Sie wurde mit den

54.1

Programmiersprachen

743

Schwerpunkten leichte Wartung/Prüfung sowie Portierbarkeit

C von Assembler die extrem hohe Abarbeitungsgeschwindig-
entwickelt. Ähnlich PASCAL dokumentiert sie sich weitgehend
keit mit einem sehr kompakten Code und von den (blockorien-
selbstständig und erlaubt aufgrund des modularen Konzeptes
tierten) höheren Sprachen deren Modularität und damit die gute

VII
das arbeitsteilige Vorgehen bei großen Softwareprojekten.

Dokumentation und Wartungsfähigkeit.

Eine geringe Innovationsgeschwindigkeit dieser Sprache ist der

Teil

Mit der größeren Nähe zur Prozessorebene obliegt dem Pro-

Preis für ein stabiles, an feste Spezifikationen gebundenes Kon-
grammierer, ähnlich wie bei den Asembler-Sprachen, eine
zept.

größere Verantwortung bei der Kontrolle des Programmes. Bei-
spielsweise müssen Typüberprüfungen von Objekten veranlasst
werden, während diese in PASCAL automatisch durchgeführt
werden.

54.1.3

ALGOL

Aus diesen Gründen wird C gern als Programmiersprache
für systemnahe Probleme verwendet. Beschränken sich die

Die technisch-wissenschaftlich orientierte Sprache ALGOL ( Al-

Programmierer auf den Kernighan-Ritchie- oder den ANSI-
go rithmic L anguage) ist seit ca. 1960 verfügbar. Sie ist der

Standard, so ist eine leichte Portierung auf die verschiedensten

„Urahn“ der modernen, blockorientierten und prozeduralen

Rechnersysteme möglich.

Sprachen (Klammerung durch BEGIN . . . END). Hier wird erst-
malig zwischen der Zuweisung WD und dem Vergleich D schon
bei den verwendeten Operatoren unterschieden. Dazu wird die

Prozedur als Statement und die Funktion als Variable einsetzbar.

54.1.6

FORTRAN

Die geschriebenen Prozeduren und Funktionen können sich sel-
ber aufrufen (echte Rekursion) und die Bool’sche Algebra wird
im Befehlsvorrat berücksichtigt.

Seit
ca.

1955
verfügbar,
ist

FORTRAN

( For mular

Tran slator) eine der ersten Hochsprachen für den technisch-
wissenschaftlichen Bereich. Ermöglicht wurde die (teilweise)

Ablösung von den Assemblersprachen zu diesem Zeitpunkt

54.1.4

BASIC
durch größere, zur Verfügung stehende Arbeitsspeicher (4 bis

16 kB).

Die leichte Erlernbarkeit stand im Vordergrund, als die Sprache

Durch die Hochsprachen-Eigenschaften sind die mit FORT-

BASIC ( B eginner’s a ll pupose s ymbolic i nstruction c ode) an-

RAN geschriebenen Programme austauschbar (portabel). So
fang der sechziger Jahre am Dartmouth College/USA aus dem
entstanden rasch große Programmsammlungen, die dieser Pro-

Vorbild FORTRAN als „verdünnter Aufguss“ entstand. Da BA-
grammiersprache auch heute noch ihr Dasein sichern, obwohl

SIC ein Interpreter ist, ergeben sich kurze Testzeiten für die
es zu dieser Programmiersprache mittlerweile Alternativen gibt.

Programme. Allerdings werden diese recht langsam, wenn das

Programm lang ist und viele Erklärungen (REM) sowie umfang-
reiche Kontrollstrukturen enthält.

Die Sprache BASIC ist einfach, beansprucht wenig Speicher-

54.1.7

PASCAL
platz und kann auf (fast) jedem Mikroprozessorsystem instal-
liert werden.

Die modernen PASCAL-Sprachen lehnen sich alle an das von

Da jeder Hersteller „sein“ BASIC weiterentwickelte und/oder

Niklaus Wirth Anfang der 70er-Jahre in Zürich entwickelte
an sein Mikroprozessorsystem anpasste, entstanden im Laufe

PASCAL (Blaise Pascal, 1623–1662) an.

der Zeit unzählige, nichtkompatible aber immer leistungsfähi-

PASCAL, das ebenso wie ALGOL eine blockorientierte, pro-
gere BASIC-Dialekte. Die modernen BASIC-Versionen sind zu
zedurale Sprache ist, wurde von Wirth ursprünglich für seine
vollwertigen Konkurrenten der Sprachen C oder PASCAL ge-

Studenten entwickelt, damit diese sich einen sauberen, struk-
worden.

turierten Programmierstil erwerben konnten. Hält sich der Pro-

Der große Bekanntheitsgrad sowie die Leistungsfähigkeit ha-
grammierer an wenige Regeln, entsteht ein sich selbst dokumen-
ben dazu geführt, dass professionelle Anwenderprogramme
tierender Quelltext, so dass Wartung und Pflege der Programme

(Textverarbeitung, Tabellenkalkulation, Datenbanken) BASIC-
vereinfacht werden. Zudem ermöglicht die Modularisierung so-

Dialekte als Makrosprache zur Parametrierung benutzen.

wie die Unterscheidung in lokale und globale Objekte eine

Entwicklung großer Projekte in arbeitsteiligen Gruppen.

Diese Eigenschaften, sowie wesentlich verbesserte PASCAL-

54.1.5

C

Dialekte, tragen dazu bei, dass diese Sprache zunehmend als

(semi-)professionelle Programmiersprache gilt. Die Verbesse-
rungen der einzelnen Dialekte ohne Normung bzw. Standard

Die Eigenschaften von C stellen eine Mittlerfunktion zwischen
führt allerdings dazu, dass die erzeugten Programme kaum por-
den Assembler-Sprachen und höheren Sprachen dar. So besitzt
tabel sind.

744

54 Programmiertechnik

Teil

54.1.8

PL/M

Steuer- und Regelaufgaben) einen beachtlichen Befehlsvorrat
und sind so klein, dass sie im Masken-ROM eines Controllers

VII

Platz finden.

Für die Mikroprozessoren 8080/85 und 8088/8086 sowie
für die Controller-Familie 8051 wurde die Sprache PL/M

( P rogramming L anguage for M icroprozessors) aus der älte-
ren Sprache PL/1 entwickelt. Diese erlaubt eine strukturierte

54.2.2

Compiler

Programmierung in Modulen, die separat übersetzt und später
gebunden werden können. Für zeitkritische Aufgaben können
auch Programmteile in Assembler eingefügt werden.

Ein Compiler (Übersetzer) ist ein Programm, das ein Quellpro-
gramm komplett übersetzt und dann anschließend bei Bedarf

Die Nutzung dieser Sprache setzt allerdings gute Kenntnisse des
ablaufen lässt. Bei der Übersetzung werden die Kommentare

Zielprozessor-Systems voraus, so dass die Anwender im profes-
zwar gelesen, aber nicht bearbeitet; ebenso erzeugt ein langer
sionellen Bereich zu finden sind.

Variablenname (oder ein beliebiger Bezeichner) genau den glei-
chen Verweis auf einen Speicherplatz wie ein kurzer Name, so
dass die Übersetzungszeit zwar ansteigt, nicht aber die Laufzeit.

54.2

Grundlagen der

Als weiterer Vorteil verbleibt die gute Selbstdokumentation ei-

Programmierung
nes solchen, mit aussagefähigen Variablennamen geschriebenen

Quellprogrammes, das auch durch die reichliche Verwendung
von Leerzeilen und Zeichen zur Verbesserung der Übersicht

Die Aufgabe beim Programmieren besteht darin, eine Befehls-
nicht langsamer ausgeführt wird.

folge (Programm) für ein bestimmtes Prozessorsystem in dessen

Speicher zu schreiben, so dass es vom Prozessor ausgeführt wer-

Das so erzeugte, lauffähige Programm kann später ohne An-
den kann.

wesenheit des Compilers gestartet werden. Diese Eigenschaft
macht die erzeugten Programme kommerziell nutzbar, weil das

Da der Prozessor nur binäre Befehle verstehen und verarbei-
erzeugte Programm (im Gegensatz zum Compiler oder Interpre-
ten kann, der Mensch wiederum lieber mit einer ihm vertrauten
ter) geistiges Eigentum des Programmierers ist und somit nicht

Sprache umgeht, wird das Programm möglichst in einer höheren
unter den Urheberrechtsschutz des Compiler-Lieferanten fällt.

Programmiersprache verfasst und dann in die maschinenübli-
che, binäre Form übersetzt. Die lästige, syntaktische Strenge
der meisten Programmiersprachen wird nun zu einem Vorteil,
weil diese Arbeit des Übersetzens durch einen Computer mit

54.2.3

Editor
einem entsprechenden Übersetzungsprogramm ausgeführt wer-
den kann.

Der Editor ist ein Programm, das dem Schreiben des Quellpro-
grammes dient. Im Grunde ist dazu jedes Textverarbeitungs-
programm, das den geschriebenen Text (Quellprogramm oder

54.2.1

Interpreter

Quelltext) in unformatierter Form abspeichern kann, geeignet.

Unformatiert bedeutet hier ohne Textmerkmale wie fett, unter-
strichen oder ähnlichen, z. B. für die Korrespondenz wichtigen

Wie der Name ausdrückt, deutet (übersetzt) ein Interpreter das

Eigenschaften.

ihm zur Verfügung stehende Quellprogramm Anweisung für

Anweisung, während das zu übersetzende Programm abläuft.

Der Quelltext muss im reinen ASCII-Format vorliegen, da-

Dieses Verfahren bedingt, dass sich der Interpreter und das zu
mit der Interpreter, Compiler oder Assembler ihn verarbeiten
übersetzende Programm immer gleichzeitig im Speicher befin-
können. Gleichzeitig bieten die Editoren großer, kommerzieller
den müssen, wenn das Programm ablaufen soll. Weiterhin wird

Textverarbeitungen vielfältige Annehmlichkeiten:

jede Anweisung bei jedem Programmdurchlauf erneut gedeu-

Blockbefehle (suchen, verschieben, kopieren, löschen, . . . )

tet (übersetzt), wodurch sich zu den Programmablaufzeiten auch
komfortable Dateiverwaltung
noch die Übersetzungszeiten addieren.

Arbeit mit mehreren Dateien gleichzeitig (Fenster-Technik)

Der größte Nachteil liegt somit in der großen Ausführungszeit
der damit laufenden Programme. Da auch Leerstellen, lange Be-
zeichner und (teilweise) erklärende Kommentare die Laufzeit
verlängern, verzichten viele Programmierer auf eine übersichtli-

54.2.4

Integrierte Entwicklungsumgebung
che Programmierung zugunsten der Geschwindigkeit. Die Folge
sind komplizierte, weil optimierte Programme, die kaum gewar-

Unter einer integrierten Entwicklungsumgebung versteht man
tet werden können.

ein Programmpaket, das alle Hilfsprogramme enthält, die zur

Ein Vorteil liegt in der Möglichkeit, relativ kleine und damit be-

Programmerstellung gebraucht werden: Editor, Interpreter oder
grenzt leistungsfähige Interpreter einzusetzen. Diese Interpreter

Compiler, Linker und Debugger. Diese Hilfsprogramme werden
liefern aufgrund ihrer engen Zweckbestimmung (z. B. Mess-,
dann je nach geforderter Aktivität menügesteuert aufgerufen.

54.2

Grundlagen der Programmierung

745

Ebene 1

Gesamtproblem

VII

Berechnung und Beschreibung
eines Verstärkers mit Tiefpaß-Eigenschaften

Teil

Ebene 2

Teilproblem 1

Teilproblem 2

Berechnung

Darstellung

Ebene 3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Bereitstellung

Auswahl

Konstruktion des

Zeichnen
der
möglicher

Koordinaten-
der Graphen

Rechenverfahren

Bauelemente

Systems

Abb. 54.1 Top-Down-Methode

Häufig gehört auch ein umfassendes Hilfesystem dazu, das Syn-

Vorkenntnisse der Benutzergruppe (Online-Hilfe-System;
taxfehler erkennt und Abhilfe vorschlägt. Diese Entwicklungs-

Handbuch für Benutzer?)

umgebungen, die für die meisten höheren Programmiersprachen
gemeinsamer Datenzugriff mehrerer Benutzer? (Konsistenz
verfügbar sind, beschleunigen die Programmerstellung enorm,
des Datenbestandes, Vermeidung unvollständiger Transak-
weil die Zeit für einen Durchlauf – Quelltext erstellen und Pro-
tionen)

gramm testen – (Turn-Around-Time) drastisch verkürzt wird.

Eine große Sorgfalt im frühen Planungsstadium zahlt sich durch
eine geringe Änderungswahrscheinlichkeit im Laufe der Arbeit
aus.

54.2.5

Methoden der Programmentwicklung

54.2.7

Top-Down-Methode

Obwohl es theoretisch unendlich viele Wege zum Programm
gibt, haben sich die Top-Down- und die Bottom-Up-Methoden

Unter Anwendung der Top-Down-Methode wird das Problem
etabliert, die es erlauben, den Weg nach ausgesuchten Kri-
zu Beginn global, also in seiner Gesamtheit beschrieben. Dieses
terien zu optimieren. Eine exakte Problembeschreibung set-

Gesamtproblem wird dann hierarchisch immer weiter aufgeteilt
zen allerdings beide Methoden voraus. Die Bearbeitung sehr
in Teilprobleme, bis diese zu lösbaren Aufgaben werden.

großer Software-Projekte setzt weitergehende Verfahren voraus

(Software-Engineering). Dazu gehört vor allem die Planung der

Nach Bearbeitung der ersten, globalen Ebene stehen die bei-
zeitlichen Abhängigkeiten verschiedener Arbeitsteams (Netz-
den Teilprobleme exakt beschrieben fest. Je nach Umfang sollte
plantechnik).

auch hier die Problembeschreibung, jetzt für die zweite Ebe-
ne, detailliert und schriftlich erfolgen. Wird die Arbeit an den

Teilproblemen verschiedenen Arbeitsgruppen übertragen, sind
diese Beschreibungen verbindliche Abgrenzungen zu den ande-

54.2.6

Problembeschreibung
ren Teilproblemen.

Auf der niedrigsten Stufe der Hierarchisierung werden sämtli-

Der Abnehmer eines Programmes sollte vom Programmierer
che Aufgaben bearbeitet und die Ergebnisse entsprechend zu

(-team) dazu gedrängt werden, eine schriftliche Beschreibung
den höheren Ebenen zurückgereicht. Bis auf die unvermeidba-
der erwarteten Leistungen des Programmes anzufertigen. Diese
re Fehlersuche ist das Programm damit fertig, denn der obige

Beschreibung kann oder sollte gemeinsam mit dem Fachmann

Hierarchisierungsplan liefert gleichzeitig das Rahmen- oder

(Programmierer) erstellt werden, um überzogene, vom Sys-

Hauptprogramm nebst Dokumentation.

tem nicht erfüllbare Anforderungen sofort auszuschließen oder
ein anderes Zielsystem einzuplanen. Diese Beschreibung, auch

Pflichtenheft genannt, sollte u. a. enthalten:

54.2.8

Bottom-Up-Methode
erwartete Ausgangsinformationen des Systems (eventuell
grafisch; Farbdarstellung/Monochrom?)

Auch bei der Bottom-Up-Methode wird das Gesamtproblem
benötigte Eingangsinformationen (Datei-Formate; Tastatur;
in einem Pflichtenheft beschrieben. Der daran anschließende

Maus; Sensoren; . . . )

Lösungsweg beginnt nun aber auf der niedrigsten, der Aufga-

746

54 Programmiertechnik

Teil
benebene. Zu dem Beispiel in Abbildung würde das bedeuten,

54.2.10

Programm-Test
je nach Interessenlage oder Vorkenntnissen des Programmie-

VII
rers stehen etliche, mögliche Aufgaben zur Bearbeitung an. Er
könnte mit einer Sammlung in Frage kommender Formeln der

Hiermit ist die Prüfung eines Programmes auf logische Fehler
komplexen Rechnung beginnen bzw. bei mangelnden Kennt-
gemeint, denn die syntaktischen Fehler (Fehler in der Schreib-
nissen, sich in diese einarbeiten. Nachdem alle für notwendig
weise, Verletzung von Konventionen) werden bereits vom Inter-
erachteten Aufgaben erledigt sind, werden sie in einem über-
preter oder Compiler erkannt.

geordneten Rahmen (-Programm) zusammengefasst, bis das

Fehlerfreie Programme gibt es nicht! Denn Fehlerfreiheit be-

Gesamtproblem gelöst ist.

deutet nicht nur, dass aus der Anweisung A WD 12/B das

Ergebnis „3“ resultiert, wenn die Variable B augenblicklich den

Wert 4 besitzt. Darin eingeschlossen ist die Erwartung, dass das

54.2.9

Bewertung der Methoden

Programm nicht einfach die Bearbeitung abbricht, falls „B“ den

Wert Null annehmen sollte, sondern den Benutzer darüber in-

Die Top-Down-Methode entspricht in ihrer Struktur am ehes-
formiert, dass dieser Fall eingetreten ist. Noch besser wäre es,
ten der Struktur effizienter, menschlicher Handlungsweise und
wenn der Benutzer dann unter Alternativen wählen könnte, wie
verspricht daher ein zielgerichtetes, von unnötigen Seitenwegen
das Programm damit umgehen soll.

freies Vorgehen.

Ein Instrument zur Fehlererkennung ist der Bleistifttest: alle

Damit wird gleichzeitig eine geringe Fehlerwahrscheinlichkeit
vorkommenden Variablen werden in einer Tabelle aufgeführt
sowie eine gute Selbstdokumentation erzielt.

und das Modul mit extremen Werten für die Eingangswerte „auf
dem Papier“ gestartet. Alle Änderungen der Variablen werden in

Die Gefahr dieser Methode liegt darin, „das Rad ständig neu“
der Tabelle festgehalten und geben so ein Bild über die Zuläs-
zu erfinden: auf der letzten, der Aufgaben-Ebene werden Pro-
sigkeit und den Erfolg der einzelnen Befehle des Programmes.

grammteile (Module) geschrieben, die die geforderte Aufgabe
möglichst genau erledigen. Das führt zwangsläufig zu einer ge-

Weiterhin existiert bei der Top-Down-Methode bereits ein Rah-
ringen Wiederverwertbarkeit der Module und schließt zudem
menprogramm (Hauptprogramm), wenn die Module getestet
die Verwendung bereits vorhandener, ähnlicher Module aus.

werden sollen. Diesem Rahmenprogramm werden die oben ge-

Die Bottom-Up-Methode empfiehlt sich ausschließlich für
nannten extremen Eingangswerte für die zu testenden Module
kleinste Programmiervorhaben, denn die Gefahr, sich in De-
übergeben und das Hauptprogramm mit den Modulen gestartet.

taillösungen zu verirren, ist sehr groß. Zusätzlich besteht die

Noch nicht fertige Module können in ihrem Ein-und Ausgabe-

Wahrscheinlichkeit, dass ergänzende Anforderungen einer der
verhalten durch kleine Simulationsmodule ersetzt werden, um
höheren Hierarchisierungsebenen an die (fertigen) Module von
das Hauptprogramm lauffähig zu machen.

diesen dann nicht erfüllt werden können; dies führt häufig zur

Zeigen sich dabei Unregelmäßigkeiten, bieten die Entwick-
völligen Neukonzeption einiger Module.

lungsumgebungen die Möglichkeit, den vorliegenden Quelltext

Erschwerend kommt die nachträgliche Dokumentation des Vor-
des Modules schrittweise abzuarbeiten und dabei die aktuellen
habens hinzu. Da diese erst am Ende des dann fertigen Program-

Werte der Variablen in einer Tabelle auf dem Bildschirm zu ver-
mes erfolgen kann, steht die Dokumentation zwangsläufig nicht
folgen.

als Strukturierungshilfe während der Arbeit zur Verfügung;

Die Simulation von Programmen ist ein Verfahren, das bei der
strukturelle Schwächen des Programmes sind so unvermeidbar.

Software-Entwicklung für Microprozessoren und Controllern

Als „Königsweg“ bietet sich die Top-Down-Methode unter Be-
angewandt wird. Hier wird das Programm ja nicht auf dem Ziel-
achtung folgender Bedingungen an:

system (z. B. Controller), sondern auf einem PC entwickelt. Um
die so erstellten Programme dennoch auf dem PC testen zu

1) frühzeitig, auf höchstmöglicher Ebene, wird bereits geprüft,
können, bieten viele derartige Entwicklungsumgebungen eine
ob es für die zu lösenden Teilprobleme/Aufgaben Standard-

Simulation auf dem Entwicklungsrechner an.

Lösungen (Module) gibt, bzw. ob es sich lohnt ein vorhande-
nes anzupassen

Ungefähr die Hälfte der vorhandenen Fehler können so vom

2) muss ein Modul vollständig neu geschrieben werden, ist auf

Programmierer selbst entdeckt und behoben werden. Weite-
gute Wiederverwertbarkeit zu achten; daraus folgt, dass Mo-
re Fehler können durch andere (objektivere) Mitglieder des
dule, die nicht wiederverwertbar sind, so klein wie möglich

Entwicklungsteams gefunden werden und ca. 10 % der Fehler
sein sollten (Verweis auf Modularisierung/Bibliotheken)

bleiben unerkannt.

Datenkommunikation

VII

55

Ulrich Lindemann

Teil

55.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748

55.2 Computernetzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749

55.3 Einteilung von Netzwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750

55.4 Netzwerk-Topologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752

55.5 Das OSI-Referenzmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754

55.6 Industrial Ethernet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

747

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_55

748

55 Datenkommunikation

Teil

55.1

Einführung

Lastverbund:

– jede Maschine kann jede Aufgabe bearbeiten

VII

– kürzere mittlere Antwortzeiten durch gleichmäßige Ver-

Eine Datenverarbeitungsanlage (DVA) arbeitet nach dem Prin-
teilung der Rechenlast auf alle Maschinen
zip Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe. Eine isoliert arbeitende

– Bereitstellen skalierbarer (leicht erweiterbarer) Rechner-

DVA, ein „System“, kann nur die Daten verarbeiten, auf die
leistung für viele Nutzer:

sie lokal zugreifen kann. Viele Aufgabenstellungen machen es

„Server-Farmen“ für WWW-Server; Datenbankserver
wünschenswert oder sogar zwingend erforderlich, Daten zwi-

(z. B. bei Google); . . .

schen Systemen auszutauschen; oder aber die Vernetzung der

Leistungsverbund:

Systeme erlaubt neue Funktionalitäten, mehr Effektivität, mehr

– Parallelrechner: die Aufgabe wird aufgeteilt auf verschie-

Produktivität – oft bei gleichzeitiger Kostensenkung. Mit Sys-
dene Maschinen und dann parallel (zeitgleich) von allen
tem ist hier nicht nur ein Großrechner oder ein PC gemeint,

Maschinen bearbeitet (falls die Aufgabe auch paralleli-
auch Produktionsmaschinen oder Roboter in der Industrie, ein
sierbar ist!):

Mikrokontroller zur Steuerung eines Außenspiegels am Pkw ist

Wettervorhersage; Erstellen von Computeranimationsfil-
in diesem Sinn ein System.

men

Diesen Vorteilen stehen leider auch einige Nachteile gegenüber:

Abhängigkeit vom Netzwerk:

55.1.1

Warum Datenkommunikation?

– bei Abhängigkeit von der Netzwerkverbindung geht ohne
das Netz nichts mehr . . .

Ohne triftigen Grund wird keine neue Technologie eingeführt.

Gefahr durch Angriffe über das Netz:

Erst wenn deutliche Vorteile sichtbar sind, erfolgt der Schwenk

– mögliche Angriffe: Datendiebstahl, Spionage, Sabotage:

in die neue Richtung. Die Vernetzung von eigenständigen Sys-
durch

Computer-Viren,

Würmer,

Trojaner,

Hacker;
temen bietet diese Vorteile:

„Denial-of-Service-Angriffe“: können das System zum

Stillstand oder zum Absturz bringen (PC, Firmen-Server,

Kostensenkung:

Produktionsanlagen, Infrastruktur, z. B. Stromnetze; . . . )

– durch höhere Effektivität:

schnelle und preiswerte Kommunikation über E-Mail und

Bezieht man das Internet und Menschen mit ein in die Daten-

Voice-over-IP (VoIP); gemeinsamer Zugriff auf Projekt-
kommunikation, so können gerade hier noch weitere gravieren-
daten, . . .

de Nachteile auftreten:

– durch Automatisierung von Produktionsabläufen:

Rationalisierungen:

Vernetzung von der Unternehmensleitebene bis zum Pro-

– Personalabbau besonders in kundennahen Bereichen wie
duktionsprozess; Fernwartung und Fernsteuerung von

E-Banking, E-Shopping

Produktionsanlagen; . . .

Datenabgleich und Überwachung:

– durch Rationalisierungen:

– einfache elektronische Überwachung

E-Banking; E-Shopping; B2B, Business-to-Business-

– Tendenz zur Aufhebung der Trennung von Privatsphäre

Systeme („Elektronischer Einkauf“); . . .

und betrieblichen Interessen

Datenverbund:

beobachten der Internet-Nutzer durch Cookies; Personen-

– Zugriff auf räumlich verteilte Daten einmal erfasste Daten

Recherche im Internet vor Einstellung (Achtung: das
sind netzweit verfügbar

„Netz“ vergisst nichts, seien Sie vorsichtig mit dem, was

– Sicherung der Datenkonsistenz und Aktualität:

Sie dort von sich eintragen. . . )

aktuelle Projektdateien sind überall verfügbar; Flugre-
soziale Auswirkungen:

servierungen sind weltweit möglich; . . .

– Heimarbeit

Funktionsverbund:

– Outsourcing

– Zugriff auf spezielle Funktionen im Netz:

– „Internet-Sucht“

Großrechner; Datenbanken; . . .

– keine räumlichen Einschränkungen für den Arbeitsplatz:

Teleworking; . . .

Verfügbarkeitsverbund:

55.1.2

Geschichte der Datenkommunikation

– redundante und fehlertolerante Systeme: hohe Zuverläs-
sigkeit für sicherheitskritische oder unternehmenskriti-

Batch-Betrieb
sche Anwendungen

Ampelsteuerung; Autopilot; redundante Firmen-Server;

In den 60er-Jahren war der Batch-Betrieb mit Operateuren

. . .

für die Rechnerbedienung Standard in der Datenverarbeitung.

55.2

Computernetzwerke

749

Die Programmeingabe erfolgte typischer Weise über Lochkar-

55.2

Computernetzwerke
ten, die Ergebnisse kamen auf einem Zeilendrucker aus der

Maschine. Vereinzelt gab es Prozessrechner, z. B. in der Che-

VII
mie. Eine Datenkommunikation zwischen den DV-Anlagen fand

Ein Computernetzwerk besteht aus mehreren unabhängigen
nicht statt.

Computern, die über ein Netzwerk verbunden sind. Man unter-

Teil
scheidet Server und Clients:

Zentralrechner
ein Server stellt im Netzwerk einen Dienst bereit, den

In den 70er-Jahren ging die Entwicklung hin zu Zentralrech-
ein Client über das Netzwerk in Anspruch nehmen kann.

nern („Mainframe“, Großrechner) mit Time-Sharing-Betrieb
und Dialogterminals. Die Terminals standen immer weiter ent-

Je nach Organisation der Stationen im Netz unterscheidet man
fernt vom „Rechnerraum“ in den „Terminalräumen“ oder direkt

Peer-to-Peer-Netze („P2P“) und Client/Server-Netze („C/S“).

am Arbeitsplatz des Sachbearbeiters, z. B. in Banken und Rei-
sebüros.

Die erforderliche Datenkommunikation zwischen Rechner und

Terminal erfolgte meist über analoge Leitungen, wobei jeder

55.2.1

Peer-to-Peer-Netz

Hersteller seine eigene Technik einsetzte. Die Terminalnet-
ze verschiedener Hersteller waren inkompatibel zueinander,
manchmal sogar die neuen Varianten zu den älteren desselben

In einem Peer-to-Peer-Netz (P2P-Netz) sind alle Stationen

Herstellers. Bekannte Standards waren:

gleichberechtigt: jede Station kann gleichzeitig Client und Ser-
ver sein. Jede Station dient primär als Arbeitsplatzrechner. Der

SNA (System Network Architecture, IBM)

Aufbau des Netzes ist einfach: es müssen nur alle Stationen

DECNET (DEC)

miteinander verbunden werden; es ist kein spezieller Server not-

TRANSDATA (Siemens)

wendig. Nachteilig ist der hohe Wartungsaufwand durch die
dezentrale Verwaltung, da in jeder Station alle Rechte für

Der PC
alle anderen Stationen verwalten werden müssen. Daher sind

1971 war mit dem Intel 4004 der erste Mikroprozessor verfüg-

P2P-Netze nur in sehr kleinen Netzen bis etwa zehn Stationen
bar; 1978 erschienen dann der Intel 8086 und gleichzeitig der
sinnvoll, z. B. in kleinen Büros. Ein typischer Vertreter der P2P-

IBM PC, der auf der Basis der 8086-Architektur das Konzept ei-

Netze war Windows für Workgroups.

nes kompakten, Persönlichen Computers („PC“) realisierte. Der

PC hatte genügend Rechenleistung, um sowohl autark zu arbei-
ten als auch Datenkommunikation betreiben zu können.

55.2.2

Client/Server-Netz

Vernetzung

Die Leistungsfähigkeit der PCs wuchs mit jedem neuen Mikro-

In einem Client/Server-Netz sind die Aufgaben klar getrennt:

prozessor extrem schnell. Anfangs wurden PCs nur isoliert als

Einzelplatzrechner betrieben. Aber bald erkannte man, dass ver-
der/die Server stellen zentrale Dienste bereit
netzte PCs eine viel preiswertere Alternative zu Zentralrechner
die Clients rufen die Dienste ab.

sind – solange die zu verarbeitenden Datenmengen klein genug
sind. Hieraus ergab sich ein wirtschaftlicher Druck zur standar-

Mit „Server“ bezeichnet man meist einen besonders leistungs-
disierten Vernetzung aller Rechner.

fähigen und betriebssicheren Rechner; oder aber das Programm,
das einen Server-Dienst realisiert. Es gibt eine Vielzahl von
möglichen Server-Diensten, z. B.

Internet

Das Internet entstand ursprünglich aus einer Initiative der US-

WWW-Server: stellt Webseiten ins Netz

Regierung über ein Forschungsprojekt zur Realisierung eines

Datenbank-Server
ausfallsicheren kontinentalen Netzwerkes. 1969 startete es mit

File-Server: zentraler Datenspeicher
vier Rechnerknoten. In der Folgezeit schlossen sich erst im-

Druck-Server: zentrales Drucken
mer mehr Universitäten, dann auch Forschungseinrichtungen

DNS-Server: Domain Name Service
und andere Einrichtungen an. Heute besteht das Internet aus

Mail-Server: für E-Mails
einem Zusammenschluss von vielen Netzwerken verschiedener

Authentifikations-Server (Anmelde-Server)

Institutionen und Provider, die einen Internetanschluss auch für

. . .

Privatkunden bereitstellen.

Wenn ein Server hinreichend leistungsstark ist und die Daten-

Grundlage des Internets ist seit 1983 das Protokoll TCP/IP
verarbeitung für die Clients mit übernimmt, muss der Client nur

Version 4 (IPv4), das nur sehr zögerlich von der verbesserten
noch die Ergebnisse anzeigen. Dafür reicht dann auch ein „Thin

Version 6 (IPv6) abgelöst wird. TCP/IP ist zurzeit der De-

Client“, ein leistungsschwächerer und entsprechend preiswerter
facto-Marktstandard: es steht kostengünstig für alle wichtigen

Rechner. Hiermit nähert man sich wieder der Struktur mit Zen-

Rechnertypen zur Verfügung!

tralrechner von früher.

750

55 Datenkommunikation

Teil

55.3

Einteilung von Netzwerken

VII

Netzwerke lassen sich nach räumlicher Ausdehnung oder

Dienstart in Kategorien einteilen:

Abb. 55.1 Kanalvermittlung

55.3.1

Ausdehnung

GAN

Weltweite Netze bezeichnet man als GAN. Typische Verbindun-
gen erfolgen über Satellit mit z. B. n 36 MBit=s ( n D Anzahl
der Kanäle) oder über Glasfasern mit typisch n 10 GBit=s.

Abb. 55.2 Verbindungsloser Dienst

WAN

Im Bereich um 1000 km spricht man vom WAN. Der Datentrans-
port erfolgt per Telefon, Datex-P, ISDN (9,6 bis 64 kBit=s) oder 55.3.2.2 Kanalvermittlung
über Glasfasern (100 MBit=s . . . 10 GBit=s).

Die Kanalvermittlung (Abb. 55.1) erstellt eine feste Leitung für
die Dauer der Vermittlung, einen „Tunnel“ durch das Netz. Dazu

MAN
ist ein Auf- und Abbau der Verbindung erforderlich.

Ein MAN, umfasst etwa den Bereich einer großen Stadt

Die Daten fließen nach dem FIFO-Prinzip (First In, First Out)

(100 km). Typische Verbindungen sind als Glasfaserstrecke
durch das Netz. So bleibt die Reihenfolge der Pakete erhalten.

mit Datenraten von 100 . . . 10.000 MBit=s ausgelegt (FDDI,

Beispiele:

Fibre Distributed Data Interface, 100 MBit=s; ATM, Asyn-
chronous Transfer Mode, 622 MBit=s, GE, Gigabit Ethernet,

Telefon: feste physikalische Verbindung (früher) oder virtu-

1000 MBit=s).

elle Verbindung (heute)

ATM, TCP: feste virtuelle Verbindung

LAN

55.3.2.3

Verbindungsloser Dienst

Netzwerke bis etwa 10 km Ausdehnung bezeichnet man als

LAN. Auf kurzen Entfernungen dominieren verdrillte Kupfer-

Ein verbindungsloser Dienst (Abb. 55.2) benutzt eine Paketver-
kabel (Twisted-Pair-Kabel, TP-Kabel) in Haus und Büro bis
mittlung: Pakete werden an das Netz übergeben und im Netz

100 m (CAT-5-Kabel: 100 MBit=s bis 100 m; CAT-7 S/FTP-

„irgendwie“ von Knoten zu Knoten weitergereicht; jeder Kno-

Kabel: 10 GBit=s bis 100 m). Auch größere Entfernungen sind ten ist bei der Weiterleitung autark. Im Internet sind die Knoten
mit TP-Kabeln möglich (DSL: 3 km mit 1 MBit=s); interessan- als IP-Router realisiert.

ter sind aber die bereits verlegten Kabel-TV-Netze, die technisch

Bandbreiten von 800 MBit=s und mehr bieten können. Für ho- Es ist kein Auf- oder Abbau der Verbindung erforderlich, der
he Datenraten setzt man Glasfasern oder Kunststofffasern ein;

Datendurchsatz ist maximal; allerdings können Pakete sich
diese bieten gleichzeitig eine galvanische Trennung.

überholen und in falscher Reihenfolge am Ziel ankommen.

Beispiele:

Briefpost

55.3.2

Dienstarten und Verbindungen

IP, Internet Protokoll

UDP, User Data Protocol

Man unterscheidet verbindungsorientierte und verbindungslose

Dienste, Punkt-zu-Punkt-Kanäle und Rundsendekanäle.

55.3.2.4

Punkt-zu-Punkt-Kanäle

Je zwei Netzknoten sind mit einer Leitung verbunden,

55.3.2.1

Verbindungsorientierter Dienst

Abb. 55.3. Die Netzknoten reichen die Nachricht weiter, bis sie
am Ziel ist.

Ein verbindungsorientierter Dienst liefert einen zuverlässigen

Nachrichtenstrom (z. B. Dokumente zum Drucker), einen zu-

Da alle Netzknoten gleichzeitig senden können, ist der Gesamt-
verlässigen Bytestrom (z. B. Sitzung am Remote Terminal) oder
durchsatz des Netzes maximal. Die Verbindungen werden als
auch nur eine unzuverlässige Verbindung bei minimaler Verzö-

TP-Kabel oder als Glasfaser ausgeführt; seltener auch als Funk-
gerung ( z. B. VoIP, „Internet-Telefonie“).

strecke.

55.3

Einteilung von Netzwerken

751

VII

Teil

Abb. 55.3 Punkt-zu-Punkt-Kanäle

Abb. 55.6 Breitbandübertragung

Typische Satellitenkommunikationskanäle haben eine Band-
breite von 36 MBit=s und können damit ca. 500 PCM-Kanäle
mit 64 kBit=s gleichzeitig übertragen.

Abb. 55.4 Rundsendekanäle

In Kabelfernsehnetzen (Standard DOCSIS 3, Data over Cable

Service Interface Specification) erreicht man bei Zusammen-
legen von z. B. 16 Kanälen eine Bandbreite von 800 MBit=s

(Downstream), die sich alle Teilnehmer in einem Netzwerk-
segment teilen müssen. Die Übertragung erfolgt über analoge

Verstärker mit der vorhandenen Kabelfernsehnetz-Infrastruktur.

Da das Kabelfernsehnetz ursprünglich nur unidirektionalen Da-
tentransport zulässt, müssen für den Rückkanal (Upstream)

entweder ein zweites Medium (z. B. Telefon; selten) oder ein

Abb. 55.5 Basisbandübertragung
zweiter Frequenzbereich bereitgestellt werden (DOCSIS 3:

VHF-Kanäle 2, 3 und 4); dies setzt „Rückkanalfähige“ Kom-
ponenten voraus (z. B. Hausanschlussverstärker).

55.3.2.5

Rundsendekanäle

Alle Netzknoten hören auf einem gemeinsamen Medium alle

Nachrichten mit und ignorieren die nicht an sie selbst gerichte-

55.3.4

FDM – DWDM – TDM
ten, Abb. 55.4.

Die Verzögerungszeit je Nachricht ist minimal; für Rundsen-

Das Frequenzmultiplexverfahren FDM (Frequency Division
dungen (Broadcasts, ein Sender und viele Empfänger) ist diese

Multiplexing) teilt jeder Station ein Frequenzband zu. Bei we-

Struktur ideal; bei hoher Datenlast wird der Kanal jedoch zum
nigen Stationen erfolgt eine statische Vergabe der Frequenzbän-

Flaschenhals. Ethernet (speziell mit Koax-Kabeln: 10Base5,
der. Es handelt sich um die analoge Technik der Breitbandüber-

10Base2; veraltet) arbeitete nach diesem Prinzip; ebenso aktuell
tragung, siehe oben.

viele Funknetze.

Das Wellenlängenmultiplexverfahren DWDM (Dense Wave-
length Division Multiplexing) ist die optische Variante von

FDM. Da die Bandbreite der elektrischen Sender und Emp-

55.3.3

Basisband – Breitband
fänger begrenzt ist, koppelt man mehrere Strahlen mit leicht
unterschiedlichen Wellenlängen über ein Gitter oder ein Prisma
in die Glasfaser ein, Abb. 55.7.

Bei der Basisbandübertragung (Abb. 55.5) gehen die Digitalsi-
gnale direkt ins Kabel und belegen den Frequenzbereich von der

DWDM-Systeme mit 160 Wellenlängen à 10 GBit pro Sekunde

Frequenz null bis zur System-Bandbreite B.

sind bereits verfügbar; die Übertragungskapazität einer einzel-
nen (!) Glasfaser liegt damit im Bereich Terabit pro Sekunde

Die Schnittstellen sind preiswert, das Netz ist einfach und billig

(TBit=s). Systeme mit mehr als der zehnfachen Kapazität sind
zu installieren und zu warten. Das Medium ist bidirektional ver-
wendbar, die Datenraten reichen bis 10 GBit=s bei 100 m oder

10 MBit=s bei 1 km (Kupfer-Kabel). Die Basisbandübertragung
ist sehr verbreitet, viele Standards bauen darauf auf: V.24, USB,

Ethernet, . . .

Bei der Breitbandübertragung (Abb. 55.6) ist die gesamte Band-
breite des Mediums aufgeteilt in mehrere Frequenzbänder mit
einer Kanalbandbreite von z. B. 8 MHz; dies entspricht einem

Fernsehkanal. Die Datenrate beträgt typisch 50 MBit=s (je 8-

MHz-Kanal).

Abb. 55.7 Wellenlängenmultiplexverfahren

752

55 Datenkommunikation

Teil

VII

Abb. 55.8 Zeitmultiplexverfahren

Abb. 55.10 Hub und Switch im Sternnetz
ebenfalls im Labor machbar, werden zurzeit aber (noch?) nicht
benötigt.

Das Zeitmultiplexverfahren TDM (Time Division Multiplexing)

verschachtelt die verschiedenen Kanäle zeitlich hintereinander,

Abb. 55.8. Jede Station erhält für einen Zeitintervall T die ge-
samte Bandbreite B des Übertragungskanals. Kritisch ist die

Steuerung der Vergabe der Zeitfenster, hierin unterscheiden sich
die verschiedenen realisierten Verfahren ganz erheblich:

ATM ist deterministisch, echtzeitfähig und kann QoS (Qua-

Abb. 55.11 Busnetz
lity of Service) bieten

Token-Ring-Netze sind ebenfalls berechenbar und gut geeig-

Die Nachteile sind:

net auch für „harte“ Echtzeit

CSMA/CD ist sehr einfach, bei wenig Netzlast auch schnell,
der Ausfall der Zentrale legt das Netz lahm
aber weder deterministisch noch zuverlässig und nicht „hart“
der Verkabelungs aufwand ist mittel bis hoch.

echtzeitfähig

Beispiele: Ethernet-LAN mit TP-Kabeln oder Glasfasern

EtherCAT teilt die Daten auf in Prozessdaten, die extrem

(10 . . . 10.000 MBit=s)

zeitgenau versendet werden, und restliche Daten, die in der
verbleibenden Zeit über das Netz geschickt werden

Die Zentrale wurde früher als „ HUB“ ( „Multiport-Repeater“,

Signalverstärker mit mehreren Ein- und Ausgängen) ausgeführt,

Abb. 55.10. Dies ist zwar sehr preiswert, hat aber den Nach-

55.4

Netzwerk-Topologien
teil, dass der Hub immer nur eine einzige Verbindung herstellen
kann; was schnell zum Flaschenhals werden kann.

Zur Verkabelung des Netzwerkes können die verschiedensten

Verbesserung bringt ein „ Switch“, der als „Schalter“ nur ge-

Topologien angewandt werden: Stern, Bus, Ring, Baum, Voll-
nau die Leitungen durchschaltet, die für den Datentransport
verbindung oder Kombinationen davon.

erforderlich sind und gegebenenfalls auch Datenpakete zwi-
schenspeichern kann, falls eine Zielleitung gerade blockiert
sein sollte („Store-and-Forward“). Durch das Schalten mehrerer
paralleler Datenpfade wird der Flaschenhals im zentralen Kno-

55.4.1

Sternnetz
tenpunkt entschärft.

Im Sternnetz (Abb. 55.9) hat die Zentrale Punkt-zu-Punkt-

Verbindung zu allen Stationen. Der Datenaustausch erfolgt nur

55.4.2

Busnetz
über die Zentrale.

Die Vorteile sind:

Im Busnetz (Abb. 55.11) sind alle Stationen parallel an den Bus
angeschlossen. Jede Station kann Daten direkt zu jeder anderen
sehr einfache Verkabelung

Station senden („ Rundsendungen“). Das Medium für den Bus
der Ausfall einer Station ist unkritisch
ist ein Koax-Kabel, TP-Kabel mit einem Hub oder Funk.

Die Vorteile sind:

es können alle gleichzeitig hören
der Ausfall einer Station ist unkritisch
der Verkabelungsaufwand ist gering
kein Aufwand für Vermittlung

Die Nachteile sind:

es ist nur eine Verbindung auf dem Bus möglich

Abb. 55.9 Sternnetz
bei hoher Netzlast wird der Bus zum Flaschenhals

55.4

Netzwerk-Topologien

753

VII

Teil

Abb. 55.14 Baumnetz

Abb. 55.12 Ringnetz

Abb. 55.13 Kabelkonzentratoren

Abb. 55.15 Vollverbindung
die Fehlersuche im Bus ist schwierig
der Bus ist leicht abzuhören

55.4.4

Baumnetz
ein Ausfall des Mediums legt das Netz lahm

Im Baumnetz senden alle Stationen zur Kopfstation, diese
verteilt die Nachrichten wieder im Netz (Abb. 55.14). Dies

Verfahren ist ideal zur Verwendung auf bestehenden Kabelfern-

55.4.3

Ringnetz
sehnetzen.

Beispiele: Kabelnetze; USB (Universal Serial Bus).

Alle Stationen sind ringförmig verbunden, Abb. 55.12. Die Da-
ten werden mit genau 1 Bit Verzögerung von Station zu Station
weitergereicht. Die Vorteile sind:

55.4.5

Vollverbindung
geeignet für Echtzeitanwendungen
der Verkabelungsaufwand gering

Bei einer Vollverbindung (Abb. 55.15) ist jede Station direkt mit
jeder anderen verbunden. Dies ergibt minimale Transportverzö-

Die Nachteile sind:

gerung und viele redundante Wege im Netz; jedoch auf Kosten
die Übertragungsdauer steigt mit der Zahl der Stationen
eines maximalen Verkabelungsaufwandes.

der Ausfall einer Station legt das Netz lahm.

Beispiele: die Anfänge der Telefonnetze in den USA; redundan-

Im doppelten Ring wird der Ausfall einer Station durch Umkon-
te Verbindung einiger (z. B. 2 C 2) Router zur Verbesserung der
figurieren aufgefangen.

Ausfallsicherheit.

Beispiele:

IBM Token Ring: 4/16 MBit=s

55.4.6

Mischformen

FDDI: Fibre Distributed Data Interface 100 MBit=s

HSTR: High Speed Token Ring 100/1000 MBit=s

55.4.6.1

Stern-Stern-Netz

SERCOS III, EtherCAT: Ringnetzwerke zur schnellen Steue-
rung von Maschinen und Anlagen („Industrial Ethernet“)

ein Stern als Hauptverteiler (Abb. 55.16)

dazu ein Stern je Arbeitsgruppe

Zur Überbrückung nicht aktiver Stationen hat die Firma IBM
oder ein Stern je Etage

Kabelkonzentratoren eingeführt (Abb. 55.13), die als Verteiler-
wenn der Hauptverteiler ausfällt, ist das Netz in der Etage
stationen am Ring hängen und extern eine einfache sternförmige
noch funktionsfähig.

Verkabelung erlauben. Der Kabelkonzentrator stellt dann intern
die logische Ringstruktur her; nicht aktive Stationen kann er er-

55.4.6.2

Stern-Bus-Netz
kennen und überbrücken. Neue Entwicklungen (z. B. EtherCAT)

besitzen diese Funktionalität in jedem Netzwerkanschlusskno-

Bus als Hauptverteiler („Backbone“, Abb. 55.17)

ten.

sonst wie Stern-Stern-Netz.

754

55 Datenkommunikation

Teil

55.5

Das OSI-Referenzmodell

VII

Das OSI-Referenzmodell (Abb. 55.20) besteht aus sieben auf-
einander aufbauenden Ebenen sowie der Schicht 0, dem Über-
tragungsmedium. Es unterscheidet Dienste, Schnittstellen und

Protokolle und ist genormt in ISO 7498.

Ein Protokoll ist eine logische Verbindung in einer Schicht:

z. B. http, das Hyper Text Transfer Protocol, verbindet einen

Abb. 55.16 Stern-Stern-Netz

WWW-Client mit einem WWW-Server

Ein Dienst stellt in einer Schicht eine definierte Menge
von Funktionen bereit und bietet diese der nächst höheren

Schicht an: IP bietet TCP an, Pakete durchs Netz zu trans-
portieren

Eine Schnittstelle liegt zwischen zwei Schichten und defi-
niert Zahl und Art der Parameter und Ergebnisse für den

Zugriff auf Dienste der tieferen Schicht

Im OSI-Modell erfüllt jede Schicht genau eine Funktion und
kann dabei auf Dienste der unter ihr liegenden Schicht zugrei-

Abb. 55.17 Stern-Bus-Netz
fen; als Ergebnis stellt die Schicht Dienste für die nächst höhere

Schicht bereit. Die Grenzen zwischen den Schichten sind so
gewählt, dass der Informationsfluss über die Schnittstellen zwi-
schen den Schichten möglichst gering ist. Nur auf derselben

Schicht fließen Informationen vom Sender zum Empfänger und
zurück. Art, Umfang und Inhalt der Informationen sind im Pro-
tokoll dieser Schicht festgelegt: jede Schicht hat also ihr eigenes

Abb. 55.18 Linien-Netz

Protokoll.

Das Protokoll stellt damit eine logische Verbindung zur glei-
chen Schicht in verschiedenen Stationen her: die Bitübertra-
gungsschicht überträgt Bits entsprechend dem Bitübertragungs-
protokoll; die Datensicherungsschicht überträgt Datenrahmen
entsprechend dem Datensicherungsprotokoll, die Vermittlungs-
schicht überträgt Datenpakete entsprechend dem Vermittlungs-

Abb. 55.19 Ring-Netz
protokoll usw.

Sind zwei Stationen nicht direkt über das Übertragungsmedi-

55.4.7

Sonderformen
um verbunden, sondern über eine Vermittlungsstelle, die auf

Schicht 3 arbeitet (Router), so werden hier die Daten bis auf

Schicht 3 hoch „ausgepackt“, entsprechend dem Vermittlungs-

55.4.7.1

Linien-Netz
protokoll von Schicht 3 analysiert, wieder „eingepackt“ und
zur Schicht 0 geschickt, wo sie dann zur Zielstation gelangen

Sonderform eines Sternnetzes (Abb. 55.18)

(Abb. 55.21). Liegen mehrere Vermittlungsstationen zwischen

Switch im Gerät eingebaut

Sender und Empfänger, so wiederholt sich der Vorgang entspre-
die Verbindung wird von Gerät zu Gerät weitergezogen
chend oft.

Einsatz in der Automatisierungstechnik.

55.4.7.2

Ring-Netz

55.5.1

Aufteilen langer Nachrichten

Liniennetz mit einfacher Redundanz (Abb. 55.19): Ausfall
eines Kabels oder Switches ist unkritisch

Die mit einer Nachricht maximal übertragbaren Datenmengen

Switche müssen die Schleife erkennen, z. B. mit:

sind je nach Schicht begrenzt. Zu lange Nachrichten werden in

– MRP: Media Redundancy Protocol
mehrere kleine aufgeteilt (Abb. 55.22).

– RSTP: Rapid Spanning Tree Protocol

Um die ursprüngliche Nachricht wieder korrekt zusammen-

Einsatz in der Automatisierungstechnik.

setzen zu können, erhalten alle Teilnachrichten (Fragmente)

55.5

Das OSI-Referenzmodell

755

VII

Teil

Abb. 55.20 OSI-Referenzmodell

Abb. 55.21 Datenfluss mit Router

Abb. 55.22 Aufteilen langer Nachrichten

Zusatzinformationen in einem Nachrichtenkopf („Header“), der
die Nachricht im Empfänger von einer Schicht „nach oben“
direkt vor der ursprünglichen Nachricht gesendet wird. Bei
weitergereicht wird, wird der Header der Schicht entfernt. Die

Bedarf kann jede Schicht einen eigenen Protokoll-Header zur

Datensicherungsschicht fügt neben dem Header auch noch eine

Nachricht hinzufügen; dieser wird aber nur innerhalb dersel-

Endanweisung („Trailer“) zur Nachricht hinzu; in ihr steht bei
ben Schicht verwendet und im Empfänger ausgewertet. Bevor

Ethernet die 32-Bit-CRC-Prüfsumme zur Fehlererkennung.

756

55 Datenkommunikation

Teil

VII

Abb. 55.23 Koaxialkabel

Abb. 55.24 Twisted-Pair-Kabel

55.5.2

Schicht 0: Übertragungsmedien

55.5.2.1

Koaxialkabel

Abb. 55.25 RJ45-Stecker, Kontakt- und Farbschema

Koaxialkabel eignen sich ideal zum Aufbau von Busnetzen

(Abb. 55.23). Auch die ersten Ethernet-Netzwerke benutzten

Koaxialkabel:

55.5.2.3

RJ45-Stecker

10base2: „Thinwire Ethernet“ oder „Cheapernet“, 10 MBit=s

Der RJ45-Stecker hat acht Kontakte für vier verdrillte Aderpaa-
bis 185 m (1985), 5 mm Außendurchmesser
re. Folgende Aderpaare werden benutzt (Abb. 55.25):

10base5: „Yellow Cable“, 10 MBit=s bis 500 m (1986),

12 mm Außendurchmesser

Ethernet 10/100: Paare 2 C 3

Gigabit-Ethernet: Paare 1 C 2 C 3 C 4

Das „Yellow Cable“ hat einen 2,6 mm starken Innenleiter aus

ISDN: Paare 1 C 3
massivem Kupfer. Das „Cheapernet“-Kabel ist wesentlich dün-
ner, flexibler und preiswerter; wegen seiner höheren Dämpfung

Ein Kabel mit vier Aderpaaren kann bei passender (Spar-)

ist die maximale Länge eines Segmentes aber auch stark re-

Verdrahtung also zwei Ethernet 10/100 Anschlüsse oder einen
duziert. Sehr nachteilig ist die maximale Datenrate von nur

Ethernet-10/100 und einen ISDN-Anschluss versorgen; ein spä-

10 MBit=s, die das Busnetz zum Flaschenhals macht. Koaxial-
terer Umstieg auf Gigabit-Ethernet ist dann aber ausgeschlos-
kabel sind heute nur noch in Altinstallationen zu finden, sie wer-
sen, weil dieses alle vier Aderpaare benötigt. Daher sollte bei
den beim Netzausbau gegen Twisted-Pair-Kabel ausgetauscht.

Neuinstallationen jede Anschlussdose mit einem kompletten

Einzig in Kabelfernsehverteilernetzen sind Koaxialkabel nach

Kabel versorgt werden.

wie vor Stand der Technik.

Für die Adern im RJ45-Stecker gibt es die Farbschemata T568A
und T568B. Ein Crossover-Kabel hat zwei verschiedene Ste-
cker, einen mit dem Farbschema T568A und einen mit T568B.

55.5.2.2

Twisted-Pair-Kabel

Sind beide Enden gleich, so handelt es sich um ein Patch-Kabel.

TP-Kabel sind seit langer Zeit im rauen Einsatz erprobt und be-
währt. Durch die Verdrillung der zwei zusammengehörenden

55.5.2.4

Lichtwellenleiter (LWL)

Adern und die Übertragung differenzieller Signalpegel ist ei-
ne sehr störarme Übertragung auch hoher Frequenzen möglich

Bei hohen Datenraten und großen Entfernungen kommen Glas-

(Abb. 55.24), zudem sind die Kabel preiswert. Neuverkabelun-
fasern als Lichtwellenleiter zur Anwendung. Unterseekabel mit
gen erfolgt mindestens mit CAT5-Kabel („Kategorie 5“, für

Glasfasern verbinden zuverlässiger und preiswerter als Satelli-

Fast-Ethernet, 100 MBit=s bis 100 m) oder besser gleich mit ten die Kontinente. FLAG: Fiber-Optic Link Around the Globe:

CAT7-Kabel (für 10-Gigabit-Ethernet bis 100 m).

28.000 km, 10 GBit=s, von England bis Japan; SEA-ME-WE3:

South-East Asia–Middle East–Western Europe 3, 39.000 km,

Die Verbindung zur Netzwerkkarte erfolgt über preiswerte

48 10 GBit=s, von Europa bis Australien;

RJ45-Stecker. Beim Anschluss eines Rechners an einen Hub
oder Switch wird ein Patch-Kabel benötigt, in dem alle

TAT-14: Transatlantisches Telefonkabel Nr. 14, Deutschland–

Adern 1 W 1 durchgeführt sind. Bei der direkten Verbin-

USA, 64 10 GBit=s. Unterseekabel sind besonders gefährdet
dung zweier Rechner muss ein Kabel mit gekreuzten Leitungen
durch Seebeben und Schiffsanker.

(„Crossover-Kabel“) benutzt werden, damit die Sendeleitun-

In der Automatisierungstechnik werden zur galvanischen Tren-
gen der Station A auf den Eingangsleitungen der Station B und
nung Kunststofflichtwellenleiter eingesetzt, die robust und
umgekehrt ankommen.

preiswert sind, aber auch eine sehr hohe Dämpfung aufweisen;
dies ist bei den hier typischen kurzen Entfernungen von unter

Neuere

Geräte
für

Gigabit-Ethernet

(1000Base-T)

und

500 m aber kein Problem.

10GBase-T beherrschen mittlerweile eine automatische Er-
kennung der Sende- und Empfangsleitungen (Auto-MDIX);

Anhand ihres physikalischen Aufbaus unterscheidet man drei
damit sind keine Crossover-Kabel mehr erforderlich.

Arten von Lichtwellenleitern:

55.5

Das OSI-Referenzmodell

757

Entfernungen, sind aber teurer und mit dem sehr kleinen Kern-
durchmesser schwieriger zu verarbeiten.

VII

Weitere Einzelheiten zu Lichtwellenleitern siehe Kapitel Nach-
richtentechnik XII Nachrichtenübertragung über Lichtwellen-
leiter (LWL).

Teil

Abb. 55.26 Stufenindexfaser

55.5.2.5

Ethernet-Medien

Ethernet bezeichnet einen Firmenstandard, der ursprünglich von

Xerox, DEC und Intel für ein 10-MBit=s-Netz erarbeitet wur-
de und der später als Vorlage für die Norm IEEE 802.3 diente.

Heute bezeichnet man mit „Ethernet“ meist alle Netze, die dem

Standard IEEE 802.3 entsprechen. Alle Ethernet-Netze haben
eine logische Bus-Struktur, aber nur mit Koax-Kabeln hat ein

Abb. 55.27 Gradientenindexfaser

Ethernet-Netz auch eine physikalische Bus-Struktur: TP-Kabel
und Glasfasern sind physikalisch immer als Stern-Struktur ver-
legt. Derzeit sind u. a. diese Kabeltypen für Ethernet genormt:

(Standard-)Ethernet, 10 MBit=s:

10Base2 185 m
dünnes Koax-Kabel

10Base5 500 m
dickes Koax-Kabel, das „Yellow Cable“

10BaseT 150 m

Twisted Pair Kabel

Abb. 55.28 Mono-Mode-Faser

10BaseF

2 km Glasfaserkabel

Fast-Ethernet, 100 MBit=s:

Stufenindexfaser

100BaseT

100 m

TP-Kabel CAT 5

Die maximale Länge der Stufenindexfaser (Abb. 55.26) ist be-

100BaseF

2 km

Glasfaserkabel
grenzt durch die starke Moden-Dispersion in der Faser. Mit

Moden-Dispersion bezeichnet man die Impulsaufweitung durch

Gigabit-Ethernet, 1 GBit=s:

unterschiedliche Weglängen der verschiedenen Ausbreitungs-
wege der Lichtstrahlen in der Faser.

1000Base-T

100 m

TP-Kabel CAT 5e

1000Base-SX

500 m

Multi-Mode-Faser

Der Durchmesser des Kerns einer Glasfaser beträgt 50 µm oder

62,5 µm; der des Mantels 125 µm (50/125 oder 62,5/125). Die

1000Base-LX

5 km

Mono-Mode-Faser

Dämpfung beträgt D < 5 dB=km bei Glasfasern.

10 Gigabit-Ethernet mit 10 GBit=s:

Kunststofffasern gibt es als HCS-Faser (Hard Clad Silica

Optical Fiber, 200/230 µm, bis 2 km; Kern Quarzglas, Man-

10GBase-T

100 m

TP-Kabel CAT 6a
tel Kunststoff) und als POF-Faser (Polymeric Optical Fiber,

10GBase-LX

300 m

Multi-Mode-Faser

980/1000 µm, bis 100 m, Kern PMMA, Polymethylmethacrylat,

10GBase-LX

10 km

Mono-Mode-Faser

Mantel Kunststoff).

10GBase-EX

40 km

Mono-Mode-Faser

Gradientenindexfaser

55.5.2.6

Strukturierte Verkabelung

Der Durchmesser ist identisch zur Stufenindexfaser (50/125

Die Europäische Norm EN 50173-1 definiert Grundsätze für ei-
oder 62,5/125). Ein optimierter gradueller Verlauf des Bre-
ne dienst- und anwendungsneutrale strukturierte Verkabelung.

chungsindexes von der Mitte der Faser zum Rand hin verringert

In einem systematischen „Top-Down-Ansatz“ ist jeder An-
die Moden- Dispersion, Abb. 55.27. Die Dämpfung beträgt
schlusspunkt nach Ort und Leistungsfähigkeit spezifiziert. Dies

D < 3;5 dB=km bei 850 nm und D < 1;0 dB=km bei 1300 nm reduziert die Kosten bei Betrieb und Fehlersuche im Netz. Die

Wellenlänge.

Norm unterscheidet Primärbereich, Sekundärbereich und Terti-
ärbereich:

Mono-Mode-Fasern

Primärbereich

Der Außendurchmesser ist auch hier 125 µm; der Kerndurch-

Verbindung verschiedener Standortverteiler oder Gebäudever-
messer ist mit 9 µm so klein, dass die Moden-Dispersion
teiler; meist mit Glasfasern (galvanische Trennung!); eventuell
nicht mehr auftreten kann (Abb. 55.28). Die Dämpfung beträgt
auch DSL.

D < 1;0 dB=km bei 1310 nm Wellenlänge. Mono-Mode-Fasern
eignen sich daher am besten für hohe Datenraten und hohe

Große Entfernungen, hohe Datenraten, wenig Anschlusspunkte.

758

55 Datenkommunikation

Teil

Sekundärbereich

(Basisbandübertragung), ergibt sich bei einer binären Übertra-
gung eine maximale Datenrate von

Anschluss der Etagen- oder Gruppenverteiler (Switches) an die

VII

Standort- oder Gebäudeverteiler; mit Glasfasern; bis ca. 500 m.

BR

D
max

2 B

ŒBit=s

Tertiärbereich

Bei einer mehrstufigen Übertragung mit N Stufen je Schritt ver-
größert sich die Datenrate um die Zahl der Bits je Schritt ld. N/,

Anschluss der Endgeräte an die Etagen- oder Gruppenverteiler.

wobei ld der Logarithmus Dualis, also der Logarithmus zur Ba-

Typisch mit max. 100 m Twisted-Pair- (TP-) Kupferkabel, da-
sis 2, ist und sich über den natürlichen Logarithmus berechnen
von 90 m fest verlegt und zweimal fünf Meter Patchkabel; bei
lässt:

besonderen Anforderungen auch Glas- oder Kunststofffasern.

BR

D
max

2 B ld. N/ ŒBit=s
ld. N/ D ln. N/= ln.2/

55.5.3

Schicht 1: Bitübertragung

Hat ein Telefonkanal eine Bandbreite von B D 2400 Hz, so
ergibt die bei binärer Übertragung ( N D 2) eine maximale Da-

Das Protokoll der Bitübertragungsschicht legt fest, wie die Bits
tenrate von:

im Übertragungsmedium physikalisch kodiert sind hinsichtlich

BR

D 2 B ld. N/

Spannung, Strom, Frequenz, Phasenwinkel, Amplitude oder In-
max
tensität und Zeitdauer. Hier sind die Elektrotechnik oder auch

D 2 2400 1 D 4800 Bit=s
die Optik gefragt. Aktive Komponenten in Schicht 1 sorgen nur

Das
ist
deutlich
weniger
als

Standard-Ethernet
mit
für eine Signalverstärkung im Medium (Repeater, Multiport-

10.000.000 Bit=s.

Repeater D Hub) und sind völlig unabhängig von allen Proto-
kollen höherer Schichten.

Das Rauschen begrenzt die maximale Zahl der fehlerfrei er-
kennbaren Stufen; binäre Codierungen mit N D 2 sind ja gerade
wegen ihrer Störunempfindlichkeit so weit verbreitet. Die Grö-

55.5.3.1

Bit /s und Baud
ße des Rauschen wird angegeben als Rauschabstand, der aus

Die Übertragungsrate einer Verbindung wird angegeben in
dem Quotienten von Signalleistung und Rauschleistung berech-

Bit=s, das ist die Zahl der übertragenen Bits je Sekunde. Mit
net wird ( S= N, Signal-to-Noise), meist in dB:

Baud („Schritt“) bezeichnet man die Zahl der Signaländerungen
je Sekunde; also ist 1 Baud gleich 1 Signaländerung je Sekunde.

S= N D 10 log. S= N/ ŒdB

Ist also 1 Bit=s gleich 1 Baud?

Im Telefonnetz ist typisch S W N D 1000 W 1 oder S= N D 30 dB.

Die maximale Bitrate eines verrauschten Datenkanals berechnet

Ja, falls 1 Signaländerung genau 1 Bit überträgt. Dies ist der
sich zu

Fall bei einer digitalen Übertragung, in der nur die Zustän-
de 0 oder 1 vorkommen. Diese Art der Übertragung ist sehr

BR

D
max

B ld.1 C S= N/
störsicher und daher auch sehr weit verbreitet. Einige Bei-
spiele:

Für den Telefonkanal mit B D 2400 Hz und S= N D 30 dB ergibt

– serielle V.24-Schnittstellen (PC: COM1)

dies als maximale Datenrate von:

– Ethernet 10BaseX

– USB

BR

D
max

B ld.1 C S= N/

Nein, falls 1 Signaländerung mehrere Bits gleichzeitig über-

D 2400 ld.1 C 1000=1/
trägt. Kann ein mehrstufiges Signal 8 Zustände annehmen,

D 24:000 Bit=s
dann kann nach jeder Signaländerung einer der Zustände

0 D 0002 bis 7 D 1112 angenommen werden. Damit hat

Hätte der Telefonkanal CD-Qualität ( B D 40:000 Hz, S= N D

1 Schritt 3 Bit Informationsgehalt; in diesem Beispiel gilt:

90 dB), dann ergäbe das auch nur ca. 1,2 MBit=s.

1 Baud D 3 Bit=s. Beispiele:

– 10GBase-T (10 GBit=s Ethernet),

Hohe Datenraten kann man auf einfache Weise nur mit einem

Modulationsverfahren: 128-DSQ

Medium erreichen, das eine möglichst hohe Bandbreite hat.

128 Punkte, 7 Bit je Symbol: drückt die Signalfrequenz

Reicht die Bandbreite nicht aus, muss man auf mehrstufige Co-
auf 400 MHz; 800 MBaud: 1 Schritt D 1,25 ns
dierungen ausweichen.

– DVB-T: max. 64-QAM (6 Bit je Symbol)

– DVB-C: 256-QAM (8 Bit je Symbol)

55.5.3.3

Bitkodierungen

– DVB-C2: 4096-QAM (12 Bit je Symbol)

55.5.3.3.1

V.24

55.5.3.2

Maximale Bitrate

Die Norm CCITT V.24, gleich mit RS 232 C und DIN 66020,

Für einen idealen Übertragungskanal mit der Bandbreite B, das
beschreibt eine weit verbreitete, sehr einfache serielle, asyn-
heißt, er überträgt nur Frequenzanteile im Bereich von 0 bis B
chrone binäre Datenübertragung, die auch vom PC her als

55.5

Das OSI-Referenzmodell

759

VII

Teil

Abb. 55.30 Manchester-Codierung

Abb. 55.29 V.24-Schnittstelle: Datenübertragung

Schnittstelle COM1 bekannt ist. Die Baudrate – hier gleich mit
der Bitrate – ist in einem weiten Bereich von z. B. 110 bis

115.200 Baud einstellbar. Die maximale Reichweite bei klei-
nen Datenraten liegt bei ca. 100 m, bei 115.200 Baud eher im

Meterbereich. Trotz der hohen – aber auf Masse bezogenen –

Abb. 55.31 NRZI/Invert-Codierung

Signalpegel sind längere Kabel doch sehr störempfindlich.

Zu Beginn der Datenübertragung synchronisiert das Startbit den

Empfänger, Abb. 55.29. Es folgen die Datenbits, beginnend

10 MBit=s (10BaseX) arbeitet mit der Manchester-Kodierung;
mit dem niederwertigstem Bit (LSB, Least Significant Bit). Die
die maximale Frequenz im 10BaseX-Kabel beträgt 10 MHz, die

Zahl der Datenbits ist meist einstellbar, z. B. von fünf bis acht.

minimale 5 MHz.

Nach den Daten kann optional ein Parity-Bit (Prüfbit) folgen;
mit diesem sind alle 1-Bit-Fehler erkennbar. Den Abschluss des

55.5.3.3.3

NRZI – Non Return to Zero/Invert

Übertragungsrahmens bildet immer ein Stopbit. Stehen keine
weiteren Daten zur Übertragung bereit, so wird das Stopbit be-

Die Codierung (Abb. 55.31) verringert die Frequenzen im Ka-
liebig verlängert.

bel:

Die Redundanz bei der Übertragung eines Bytes (8 Bit) beträgt
bei 0 bleibt das Signal konstant
mindestens 20 % (ein Startbit plus ein Stopbit zu jedem Byte). Je
bei 1 erfolgt eine Pegelumkehr in der Mitte des Bitintervalls
nach Dateninhalt kann ein Gleichanteil im Signal enthalten sein;

Damit entspricht die maximale Frequenz im Kabel nur noch
damit ist nur eine Basisbandübertragung möglich. Eine direkte
der halben Datenrate. Auch hier ist der Takt im Signalstrom

Übertragung über Telefon oder eine transformatorische galvani-
enthalten. Jedoch ist je nach Kodierung etwas Gleichanteil
sche Trennung sind nicht möglich, da der Gleichanteil im Signal
im Signal: eine lange Folge von Nullen erzeugt einen kon-
nicht übertragen werden kann.

stanten Signalpegel und muss daher vermieden werden. Dafür
sorgt ein RLL-Code (Run Length Limited Code), z. B. mit ei-

55.5.3.3.2

Manchester-Kodierung
ner 4B/5B-Kodierung bei Ethernet 100BaseTx oder mit einer

8B/10B-Kodierung wie bei 1000BaseX. Die Redundanz beträgt

Die Manchester-Kodierung (Abb. 55.30) ist frei von Gleichan-

20 %.

teilen im Signal und lässt sich daher sehr gut übertragen. Weitere

Vorteile sind der im Signalstrom enthaltene Takt zur Synchro-
nisierung der Datenbits sowie die Erkennbarkeit von Kurz-

55.5.3.3.4

4B/5B-Code
schluss und offener Leitung. Den Vorteilen steht die recht hohe

Abb. 55.32 zeigt die Codetabelle.

Redundanz von 50 % gegenüber; daher wird die Manchester-

Kodierung nur bei kleinen Datenraten eingesetzt (10Base-T).

55.5.3.3.5

MLT3-Kodierung

Die Codierung erfolgt als 1B/2B-Codierung, d. h. aus einem Da-
tenbit werden zwei Bits im Datenkanal:

Zur Übertragung von Ethernet mit 100 MBit=s benötigt man
bei binärer Übertragung ein Kabel mit mindestens 50 MHz
aus 1 wird 10

Bandbreite. Mit einer mehrstufigen Übertragung kann man
aus 0 wird 01

Bandbreite sparen, also auch preiswertere Kabel nutzen. MLT-3

In der Bitmitte ist also immer ein Pegelwechsel, der zur Syn-

(Multilevel Threshold-3, Abb. 55.33) verwendet eine dreistufi-
chronisation der PLL im Empfänger genutzt wird. Ethernet mit
ge (ternäre) Übertragung und kommt so bei einer Datenrate von

760

55 Datenkommunikation

Teil

VII

Abb. 55.34 PAM-5-Codierung

Abb. 55.32 4B/5B-Code

Abb. 55.35 128 DSQ-Codierung
vier Adernpaaren und fünf Zuständen je Paar ergeben sich 625
mögliche Symbole für ein Byte.

55.5.3.3.7

128 DSQ-Kodierung

Für die Datenübertragung mit 10 GBit=s über 100 m auf TP-

Kabeln bei 10 Gigabit-Ethernet (10GBase-T) nutzt man die

128 DSQ-Kodierung (DSQ = Double Square), Abb. 55.35. 128

Punkte je Symbol ergeben sieben Bit je Symbol, drei Bit als

Abb. 55.33 MLT-3-Codierung

Feld-Index („Coset“) und vier Bit für die Position im Feld.

Alle vier Adernpaare werden bidirektional benutzt; die Sym-
bolrate beträgt 800 MBaud, die Leitungskodierung erfolgt über

100 MBit=s mit einer Bandbreite von 31,25 MHz (statt 50 MHz)

D/A-Wandler (DAC) mit einer PAM-16 (16 Stufen). Die Signal-
aus.

verarbeitung übernimmt ein digitaler Signalprozessor (DSP),
der in einem Trainingsmodus – vor dem normalen Betrieb –

Bei der MLT-3-Codierung führt eine 0 zu einem konstanten Si-
einige Leitungsparameter bestimmt und so bekannte Eigenstö-
gnal, eine 1 bewirkt eine Pegeländerung. Daher ist auch hier zur
rungen aus dem Empfangssignal heraus rechnet (Echo-Anteile,

Minimierung des Gleichanteils ein RLL-Code notwendig. Das

NEXT, Near End Cross Talk, Nahnebensprechen, FEXT, Far

Signal kann drei Pegel annehmen: C1, 0, 1. Der Takt ist im

End Cross Talk, Fernnebensprechen).

Signalstrom enthalten; je nach RLL-Code verbleibt ein mini-
maler Gleichanteil im Signal. Mit dem 4B/5B-Code beträgt die

Redundanz 20 %.

55.5.4

Schicht 2: Datensicherung

55.5.3.3.6

PAM-5-Kodierung

Gigabit-Ethernet (1000Base-X) nutzt einen 8B/10B-Code

Schicht 2 legt fest, wie der Sender Datenübertragungsrahmen
mit einer Symbolrate von 125 MBaud. Auf Kupferkabeln

( Data Frames) erstellt, ob und wie der Empfänger Quittungs-

(1000Base-T) wird über alle vier Adernpaare gleichzeitig ge-
rahmen erstellt und wie die üblichen Probleme – beschädigte,
sendet und empfangen, Abb. 55.34. Jedes Adernpaar überträgt
verloren gegangene oder duplizierte Datenrahmen – behandelt
zwei Bit; alle vier Adernpaare parallel zusammen ein Byte.

werden. Teilweise erfolgt auch eine Datenflusssteuerung um

Die zwei Bit auf einem Adernpaar sind über Trellis-Code-
einen Überlauf im Empfänger bei zu schnellem Sender zu ver-

Modulation (TCM) auf drei Bit erweitert; damit erhält man die
meiden. Aktive Komponenten in Schicht 2 sind die Bridges
notwendige Redundanz (33,3 %) für eine Vorwärtsfehlerkorrek-

(Brücken), die verschiedene LANs nach 802.3, 802.4 und 802.5
tur bei einer Bruttoübertragungsrate von 1,5 GBit=s. Je drei Bit verbinden können. Ein „Ethernet-Switch“ arbeitet ebenfalls auf
der TCM werden dynamisch auf eine der fünf Stufen der PAM-5

Schicht 2 und sorgt als Zentrale im Sternnetz für maximalen Da-

(Puls-Amplituden-Modulation mit fünf Stufen) abgebildet; mit
tendurchsatz.

55.5

Das OSI-Referenzmodell

761

VII

Teil

Abb. 55.36 Buszuteilungsverfahren nach IEEE 802.3: CSMA/CD

Nach Festlegung der sieben Schichten des OSI-Modells stellte

Zur Auflösung der Kollision „würfelt“ jede Station über eine
man fest, dass Schicht 2 etwas überladen war und so teilte man

Zufallszahl eine Wartezeit bis zu ihrem nächsten Sendeversuch.

sie auf in Schicht 2a und 2b, wobei 2b noch weiter unterteilt

Solange die Zufallszahlen unterschiedlich sind, wird die Station
wurde:

mit der kleinsten Wartezeit als nächste allein das (dann hof-
fentlich freie) Medium beanspruchen und ihre Nachricht senden

2a: LLC, Logical Link Control, IEEE 802.2
können. Sollte es nach einer Wartezeit erneut zu einer Kollision

2b: MAC, Media Access Control
kommen, so wird die maximale Wartezeit solange verdoppelt,

IEEE 802.3, CSMA/CD
bis der Sendeversuchszähler sein Maximum überschritten hat

IEEE 802.4, Token Bus
und der Sendeversuch mit einer Fehlermeldung abgebrochen

IEEE 802.5, Token Ring
wird.

IEEE 802.11, Wireless

55.5.4.1.2

Late Collisions

55.5.4.1

IEEE 802.3: CSMA/CD

CSMA/CD setzt voraus, dass Kollisionen erkannt werden. Da-

CSMA/CD (Carrier Sense Multiple Access with Collision De-
her müssen alle Stationen eine Mindestnachrichtenlänge einhal-
tection) ist ein Buszuteilungsverfahren mit sehr geringer logi-
ten, die so groß ist, dass auch in großen Netzen mit endlicher
scher Komplexität (Abb. 55.36). Es lässt sich sehr flexibel mit

Signalausbreitung im Medium alle Kollisionen sicher erkannt
beliebig vielen Stationen einsetzen; allerdings steigt mit der
werden. Ist das Netz zu groß – oder die Nachricht zu kurz – so ist

Zahl der Stationen auch die Wahrscheinlichkeit von Kollisionen.

es möglich, dass die sendende Station die Nachricht zwar fehler-

Die Effizienz ist extrem abhängig vom Gesamtverkehrsauf-
frei auf die Reise schickt, aber in einiger Entfernung im Medium
kommen im Netz, bis 40 % Auslastung ist es problemlos; bei
die Nachricht doch noch zerstört wird – ohne das die sendende
deutlich höherer Netzlast kann das Netz zusammenbrechen.

Station dies bemerken kann. Diese Late Collisions können den

Das Zugangsverfahren ist nicht determiniert: weder Erfolg noch

Netzbetrieb empfindlich stören.

Wartezeit lassen sich vorhersagen. Zudem neigt CSMA/CD
dazu, „unfair“ zu sein: eine Station kann durch viele andere be-
liebig lange am Senden gehindert werden. Damit ist CSMA/CD

55.5.4.1.3

Autonegotiation
nicht geeignet für „harte“ Echtzeitanwendungen.

Nerzwerkkarten nach dem Standard 10baseT prüften in Über-
tragungspausen alle 16 ms mit einem Normal Link Pulse (NLP)

55.5.4.1.1

Funktionsweise
die Verbindung zur Gegenseite, Abb. 55.37. Wird die Verbin-
dung durch Einstecken des Kabels hergestellt und werden zwei

Laufende Übertragungen werden nicht unterbrochen. Eine sen-
bis zehn NLPs empfangen, gilt die Leitung als aktiv und an
dewillige Station hört daher zunächst das Medium ab, bis dieses
der Netzwerkkarte leuchtet die „Link LED“ auf. Fehlt der NLP
frei ist (Carrier Sense). Ist das Medium frei, so dürfen alle sen-
länger als 100 ms, so gilt die Leitung als unterbrochen und die
dewillige Stationen gleichberechtigt mit ihren Übertragungen

„Link LED“ erlischt.

beginnen (Multiple Access). Sollten jetzt zwei oder mehr Sta-
tionen gleichzeitig senden, so kommt es zur Kollision der Daten

Der Standard 100baseT definiert einen Fast Link Pulse Burst
im Medium. Alle beteiligten Stationen erkennen die Kollision

(FLP), der eine kompatible Erweiterung des NLPs ist. Zum Ver-

(Collision Detection) und bestätigen sie mit einem Jam-Signal.

bindungsaufbau oder nach Leitungsunterbrechung sendet die

762

55 Datenkommunikation

Teil

VII

Abb. 55.37 Autonegotiation

Abb. 55.39 Token Ring

Eine Station kann ein Token reservieren, falls die eigene Prio-
rität höher ist als die des Frei-Tokens. Die Station mit der
höchsten Priorität erhält das Senderecht; Stationen mit zu klei-
ner Priorität können unter Umständen bei ausgelastetem Netz
nie senden. Die zu sendenden Daten werden an das reservierte
freie Token angehängt. Die Zielstation bestätigt den Empfang;

Daten und Bestätigung kommen am Sender wieder an; der

Sender kann dann die Integrität der Daten prüfen. Nach Ab-
schluss der Sendung muss der Sender ein Frei-Token generieren.

Aus der Token-Haltezeit und der Zahl der Stationen im Ring

(plus Laufzeit im Kabel) kann eine maximale Wartezeit bis zur
nächsten Sendung berechnet werden – sofern alle Stationen mit

Abb. 55.38 100baseT-Standard: Fast Link Pulse Burst
gleicher Priorität arbeiten.

Station alle 16 ms eine Impulsserie mit 17 Takt- und 16 Daten-
impulsen, Abb. 55.38. Diese bilden zusammen das 16 Bit-Link-

55.5.5

Schicht 3: Vermittlung

Code-Wort, das den höchsten möglichen Übertragungsmodus
der Station anzeigt:

Die Vermittlungsschicht bestimmt die Paketleitwege, z. B. über

1. 100Base-TX Vollduplex

Tabellen (Routing-Tabellen). Optionale Funktionen sind die Ab-

2. 100Base-T4
rechnung der Kosten, die Behandlung von Überlastsituationen

3. 100Base-TX Halbduplex

(z. B. zu viele Pakete im Netz) und – immer wichtiger werdend

4. 10Base-TX Vollduplex

– die Abwehr unzulässiger Zugriffe und Angriffe durch Paket-

5. 10Base-TX Halbduplex

Filter-Firewalls.

Beide Stationen wählen den höchsten gemeinsamen Modus.

55.5.5.1

Internet Protokoll, Version 4 (IPv4)

55.5.4.2

IEEE 802.5: Token Ring

Das Internet Protokolls, Version 4 ist genormt in RFC 791 und

MIL-STD 1777. IP fragmentiert Pakete bei Bedarf; ein Paket

Ein Ringnetz nach IEEE 802.5 besteht aus einer Summe von
kann maximal 64 kB (inkl. Kopf) groß sein; mindestens 576-

Punkt-zu-Punkt-Verbindungen in Form eines Rings. Es kommt

Byte-Pakete muss jeder Knoten verarbeiten können. Es gibt eine
felderprobte Verbindungstechnik (Koax-Kabel, TP-Kabel, Lwl)

Kopfprüfsumme, aber keine Datenprüfsumme; Prüfsummen für
zum Einsatz. Die Daten sind im differentiellen Manchester-
die Daten müssen bei Bedarf die höheren Schichten berechnen.

Code verschlüsselt; die ungültigen Codes dienen als Frame Start

Im LAN rechnet Ethernet auch eine 32-Bit-CRC-Prüfsumme.

und End Delimiter.

Die Lebensdauer eines Paketes ist begrenzt.

Das gesamte Netz ist in rein digitaler Technik realisiert; jegliche
analogen Komponenten wie die Kollisionserkennung bei IEEE

IP-Protokollkopf

802.3 fehlen. Jede Station verzögert die Nachricht um genau 1

Bit; dazu kommen noch die Laufzeiten im Kabel.

Der Protokollkopf von IPv4 besteht aus mindestens fünf 32-

Bit-Worten und kann durch Angabe von Optionen noch länger
werden, Abb. 55.40. Die wichtigsten Felder sind die 32-Bit

55.5.4.2.1

Funktionsweise

Internet-Adressen von Sender und Empfänger. Die Felder sind
im Einzelnen:

Es kreist immer genau 1 Token im Ring (Abb. 55.39). Das Token
ist 3 Bytes gleich 24 Bit lang. Ist der Ring nicht lang genug, um

Version: 4 (! IPv4)

das Token aufzunehmen, dann verlängert die Überwachungssta-

Länge: Zahl der 32-Bit-Worte für den IP-Header (variabel in
tion den Ring künstlich. Wer das Token besitzt, darf senden;

IPv4!)

aber spätestens nach der Token-Haltezeit (10 ms) muss das To-

Servicetypen: Priorität, Wartezeit, Durchsatz und Zuverläs-
ken weitergegeben werden.

sigkeit (wird aber derzeit von fast allen Router ignoriert)

55.5

Das OSI-Referenzmodell

763

VII

Teil

Abb. 55.40 IPv4: Protokollkopf

Paketlänge: max. 65.535 Bytes, Header C Daten

55.5.5.2.2

Netzmaske

ID: eindeutige Identifikation für Fragmente, um diese wieder

Netzmasken oder Subnetzmasken ( Subnet Mask) unterteilen
zusammensetzen zu können
den IPv4-Adressraums in Teilnetze (Subnetze). IP-Adresse und

Flaggen:

Netzmaske legen das Subnetz einer Station fest. Eine Station

– DF: „don’t fragment“ Paket wird nie fragmentiert (son-
kann nur andere Stationen im „eigenen“ Subnetz direkt errei-
dern ggf. gelöscht)

chen; für alle anderen Stationen muss ein Router vermitteln.

– MF: „more fragments“: es folgen weitere Fragmente

Fragmentabstand: bei MF D 1: Startadresse (geteilt durch 8)

Als Binärzahl betrachtet besteht eine Netzmaske immer aus ei-
der Daten dieses Fragmentes im Gesamtpaket
ner links beginnenden, lückenlosen Folge von Einsen. Hiervon

Lebensdauer: TTL, „time to live“, jeder Router zählt TTL um
ist eine andere Schreibweise abgeleitet: anstelle der Dezimal-
eins herunter; bei einer TTL von null wird das Paket gelöscht

Punkt-Schreibweise für die Netzmaske schreibt man die Zahl

Transport-ID: ID des Transportprotokolls, z. B. 6 D TCP,
ihrer Einsen hinter einen Schrägstrich. Das für die Konfigurati-

17 D UDP, . . .

on einer Station notwendige Paar IP-Adresse/ Netzmaske kann

Kopfprüfsumme: Prüfsumme nur für den Header; muss we-
dann so aussehen:

gen kleiner werdender TTL auf jedem Knoten neu berechnet
werden

IP-Adresse/Netzmaske

Senderadresse,

10:1:42:2=255:255:255:192

Empfängeradresse: 4-Byte Internet-Adressen

10:1:42:2=11111111:11111111:11111111:11000000

Optionen: z. B. für Netzwerkmanagement oder Sicherheit

Füllzeichen: zum Auffüllen auf 32-Bit-Worte

10:1:42:2=26

Zwei Stationen sind genau dann in demselben Subnetz, wenn

55.5.5.2

IP-Adressen
das Ergebnis der Bit-weisen UND-Verknüpfung der binären IP-

Adresse mit der binären Subnetzmaske bei beiden gleich ist. Ein

55.5.5.2.1

Schreibweisen

Beispiel:

Mit 32 Bit Länge könnten die IP-Adressen theoretisch vier Mil-
liarden Stationen eindeutig adressieren. Zur einfacheren Hand-

IP-Adresse/NM

Netzmaske

Netzadresse
habung der 32-Bit-Zahlen sind diese bei Eingabe und Anzeige

10:1:42:10=24

255:255:255:0 10:1:42:0
stets unterteilt in vier Gruppen zu je 8 Bit, also vier Bytes,

10:1:42:50=24

255:255:255:0 10:1:42:0
die dann getrennt durch Punkte als einzelne Dezimalzahlen von

10:1:43:50=24

255:255:255:0 10:1:43:0

0 bis 255 dargestellt werden (Dotted Decimal Format). Eine

Darstellung als Hexadezimalzahl hat sich bei IPv4 nicht durch-

Die beiden ersten Stationen liegen im selben Netzwerk und kön-
setzen können; erst bei IPv6 kam man darauf zurück. Zwei
nen sich gegenseitig erreichen; die letzte Station liegt isoliert

Beispiele:

in einem anderen Netzwerk und wäre nur über einen zusätzli-

IP-Adresse:

chen Router zu erreichen. Falls möglich, kann man aber auch
dezimal: 10.1.42.2
die Netzmasken so weit verkürzen, dass alle Stationen in einem
hexadezimal: 0A011A02

Netz liegen:

binär: 00001010.00000001.00101010.00000010

IP-Adresse/NM

Netzmaske

Netzadresse

Netzmaske:

10:1:42:10=23

255:255:254:0 10:1:42:0
dezimal: 255.255.255.192

10:1:42:50=23

255:255:254:0 10:1:42:0
hexadezimal: FFFFFFC0
binär: 11111111.11111111.11111111.11000000

10:1:43:50=23

255:255:254:0 10:1:42:0

764

55 Datenkommunikation

Teil

Jetzt liegen alle Stationen im selben Netz und jede kann jede
die IP-Adresse muss der Klasse A, B, oder C angehören
erreichen. Bei der Konfiguration eines Netzes sollte dringend
sie darf mit der Netzmaske der Station keine Netzwerk- oder

VII
beachtet werden, dass alle Stationen dieselbe Netzmaske haben!

Broadcast-Adresse ergeben
falls die Station ans Internet angeschlossen werden soll, muss
die IP-Adresse weltweit eindeutig sein und es darf keine pri-

55.5.5.2.3

Host-Adressen
vate IP-Adresse sein (siehe unten)

Der Teil der IP-Adresse, der nicht zur Netzadresse gehört, ist

0.0.0.0 ist reserviert für „keine Adresse“
die Host-ID. Je kürzer die Netzmaske ist, desto mehr Host-
das Netz 127.0.0.0/8 ist reserviert für interne Loopback-Tests

Adressen passen in ein Netz. Die kleinste (binär alles Nullen)

( localhost)

und die größte (binär alles Einsen) Host-ID sind reserviert als

255.255.255.255 ist reserviert für Broadcast

Netzwerkadresse und als Broadcast-Adresse (BC-Adresse) und
dürfen nicht für Stationen benutzt werden:

55.5.5.3

Private IP-Adressen

IP-Adresse/NM: 10.1.42.10/16

In RFC 1597 und RFC 1918 Address Allocation for Private In-

Netzwerkadresse: 10.1.0.0
ternets (RFC, Request for Comment; „Internet-Normen“) sind
kleinste Host-Adresse: 10.1.0.1
drei Adressbereiche zum Aufbau privater Intranets beschrieben:

Host-IDs: 0.1 . . . 255.254
größte Host-Adresse: 10.1.255.254

Klasse A: 10.0.0.0 bis 10.255.255.255

Broadcast-Adresse: 10.1.255.255

Klasse B: 172.16.0.0 bis 172.31.255.255

Klasse C: 192.168.0.0 bis 192.168.255.255

Damit berechnet sich die maximale Zahl der Stationen in einem

APIPA: 169.254.1.1 bis 169.254.254.254

Netz zu zwei hoch (Anzahl der Nullen in der Netzmaske) minus
zwei (keine Station auf Netz- oder BC-Adresse):

In Intranets sind dieselben Adressen weltweit beliebig oft ver-
wendbar, solange die Netze voneinander isoliert sind. Kein

Netzmaske
max. Stationen im Netz

Internet-Router leitet ein Paket mit einer privaten IP-Adresse

=8

224 2 D 16:777:214
weiter. Daher ist keine direkte Verbindung zum Internet mög-
lich; aber auch kein direkter Angriff aus dem Internet auf eine

=16

216 2 D 65:534
private Adresse.

=24

28 2 D 254

APIPA

(Automatic

Private

IP

Addressing,

„Auto-IP“,

=23

29 2 D 510

RFC 3927, Dynamic Configuration of IPv4 Link-Local Addres-

=
ses) oder Zeroconf (Zero Configuration Networking) ermöglicht

30

22 2 D 2
eine konfigurationsfreie Vernetzung von Geräten im lokalen

Netzwerk: jede Station berechnet für sich eine pseudozufällige

Große Netze mit sehr vielen Stationen können zur effiziente-

Netzwerkadresse aus diesem Bereich. Sollte es damit im Netz
ren Organisation und Verwaltung des Netzes durch Wahl einer
zu einer Adresskollision kommen, so berechnet sich die Station
längeren Netzmaske in mehrere kleine Netze aufgeteilt werden;
eine neue pseudozufällige Adresse.

dies erfordert dann aber den Einsatz von zusätzlichen Routern.

55.5.5.4

NAT: Network Address Translation

55.5.5.2.4

IP-Adressklassen

Eine Verbindung aus einem Netz mit privaten IP-Adressen

Die IP-Adressen sind in Adressklassen unterteilt, die eine einfa-
in das Internet erfordert ein Gateway oder einen Router mit
che und bedarfsgerechte Verteilung für große und kleine Netze

NAT ( Network Address Translation oder IP-Masquerading),
möglich machen sollten:

Abb. 55.41. Erste Entwürfe für NAT gab es ab Anfang der 90er

Klasse A: 0.0.0.0 bis 127.255.255.255/255.0.0.0

Jahre. Die Ziele waren:

Klasse B: 128.0.0.0 bis 191.255.255.255/255.255.0.0
den Engpass bei den IP-Adressen zu beseitigen

Klasse C: 192.0.0.0 bis 223.255.255.255/255.255.255.0
das private Netz nach außen zu verstecken

Klasse A umfasst 128 Netze für je bis zu 16 Millionen Stationen.

das private Netz vor Angriffen von außen zu schützen

Diese Netze belegen den halben Adressraum; sie wurden in der

Der NAT-Router hat eine offizielle Internet-Adresse und eine im

Anfangszeit schnell vergeben, sind aber praktisch leer. Klasse B
privaten Netz. Er nimmt ein Paket aus dem privaten Netz an,
umfasst 16.384 Netze mit je 65.534 nutzbaren Adressen; diese
merkt sich den Absender im privaten Netz in einer Tabelle, setzt
sind gut geeignet für große Firmen. Es bleiben noch ca. zwei
als Absender seine eigene offizielle Internet-Adresse ein und lei-

Millionen Klasse-C-Netze mit je 254 nutzbaren Adressen.

tet das Paket ins Internet weiter. Die Antwort aus dem Internet

Die Adressen ab 224.0.0.0 sind nicht im Internet nutzbar; sie
kommt zurück an die Adresse des Routers und er leitet das Paket
werden teilweise für spezielle Anwendungen in lokalen Netzen
weiter an die richtige Station im privaten Netz.

benutzt.

Das gesamte private LAN 192.168.1.0/24 besitzt hier nur genau

Bei der Vergabe von IP-Adressen sind einige Einschränkungen
eine öffentliche IP-Adresse, die des Routers (141.71.24.151).

zu beachten:

Übliche DSL-Router arbeiten immer mit NAT, ihre offizielle

55.5

Das OSI-Referenzmodell

765

Passt kein Eintrag oder ist die Lebensdauer (TTL) des Paketes
abgelaufen, dann löscht der Router das Paket.

VII

Der Eintrag 0.0.0.0/0.0.0.0 in der Tabelle passt auf alle Adres-
sen; dies ist der Standard-Gateway-Eintrag. Das Standard-

Gateway ist der Default-Router, der immer dann benutzt wird,

Teil
wenn kein anderer Eintrag passt. Bei mehreren Standard-

Gateway-Einträgen wird zuerst das erste Standard-Gateway
benutzt, fällt dieses aus, dann wird automatisch auf das nächste
umgeschaltet.

55.5.5.6

Routing-Protokolle

Router tauschen ihre Informationen über vorhandene Paketleit-
wege mit Routing-Protokollen untereinander aus (RIP: Router

Information Protocol; OSPF: Open Shortest Path First; BGP:

Border Gateway Protocol).

Wenn ein Router Anschluss an ein neues Netzwerk erhält oder
ein benachbarter Router ausfällt, wird die Änderung der Netz-

Abb. 55.41 Network Address Translation
konfiguration von Router zu Router weitergegeben. In sehr
großen Netzen kann es eine Weile dauern, bis alle Router auf
dem aktuellen Stand sind; unmittelbar nach dem Ausfall eines

IP-Adresse beziehen sie bei der Einwahl dynamisch per DHCP

Routers können daher noch einige Pakete verloren gehen.

(siehe unten) vom jeweiligen Provider.

Für größere Netzwerke gibt es auch NAT-Gateways, die mehrere

55.5.5.7

Paketfilter-Firewall

Internet-Adressen besitzen.

Ein Router packt die Datenpakete bis auf Schicht drei aus, um
die Ziel-IP-Adresse auswerten zu können. Damit kann er auf die

55.5.5.5

Router

Absender-IP-Adresse zugreifen und es besteht die Möglichkeit,
den Datenverkehr an Hand der IP-Adressen im Paket zu filtern

Router verbinden verschiedene Netze indem sie Pakete anneh-
und unerwünschte Verbindungen zu unterbinden. Eine solche
men und bestmöglich weiterleiten. Per Definition kann eine

Paketfilter-Firewall ist sehr schnell, aber auch sehr grob: An-

Station nur andere Stationen im selben Netz erreichen; Statio-
griffe von zugelassenen IP-Adressen kann sie nicht verhindern;
nen in fremden Netzen sind nur über einen Router erreichbar.

Würmer und Trojaner, die in den Datenpaketen z. B. via E-Mail
kommen, sind für eine Paketfilter-Firewall absolut unsichtbar.

IP

NM

Gateway

Schnittstelle

0:0:0:0

0:0:0:0

141:71:24:1 141:71:24:2

55.5.5.8

Kostenabrechnung

10:0:2:2

255:255:255:0

10:0:2:2

10:0:2:2

Der Router kann an jedem Paket an den IP-Adressen erkennen,

10:0:2:2

255:255:255:255 127:0:0:1

127:0:0:1
woher es kommt und wohin es geht. Damit kann er auch für

141:71:24:0 255:255:255:0

141:71:24:2 141:71:24:2
eine Kostenabrechnung die Datenmenge je IP-Adresse (oder je

141:71:24:2 255:255:255:255 127:0:0:1

127:0:0:1

Gruppe/Abteilung) erfassen.

192:168:1:0 255:255:255:0

10:0:2:3

10:0:2:2

55.5.5.9

IPv6

Eine Routing-Tabelle enthält u. a. diese Einträge: Zieladresse

(IP), Netzmaske (NM), nächster Router zum Ziel (Gateway,

IPv6 ist wesentlich leistungsfähiger, bringt einige Sicherheits-

GW) und Schnittstelle des Routers, an die das Gateway ange-
optionen mit, benötigt aber auch wesentlich mehr Rechenleis-
schlossen ist. Der Router vergleicht die Ziel-IP-Adresse eines
tung, weshalb man gerne bei IPv4 bleibt. Aber spätestens wenn
ankommenden Paketes, UND-verknüpft mit der NM aus der Ta-
keine offiziellen IPv4-Adressen mehr verfügbar sind, müssen
neue System mit IPv6 arbeiten. So schätzt die Internet Assigned
belle, mit der IP aus derselben Zeile der Routing-Tabelle. Bei
einem Treffer schickt er das Paket entsprechend dem am besten

Numbers Authority (IANA), dass dies um 2011/2012 der Fall
passenden Eintrag weiter:

sein könnte. IPv4 hat einige Schwachstellen:

Die IP-Adressen werden knapp, da die Verteilung mit den

Ziel-IP
via Schnittstelle
an Gateway

Klasse-A/B/C-Adressen wenig effektiv war.

10:0:2:50 10:0:2:2

10:0:2:2

Jeder Router muss für jedes der max. 2 Mio. Klasse-C-Netze
einen Tabelleneintrag im Speicher halten.

10:0:2:2

127:0:0:1

127:0:0:1

In absehbarer Zeit sollen etwa eine Milliarde Handys und

10:1:2:50 141:71:24:2

141:71:24:1

„Wireless Devices“ angeschlossen werden.

766

55 Datenkommunikation

Teil

Das Routing benötigt sehr viel Prozessorleistung für das

Fragmentieren von Paketen im Router und zum Berechnen

VII
der Prüfsummen im IP-Kopf, die sich wegen der TTL stän-
dig ändern.

Es gibt kein QoS (Quality of Service), etwa reservierte Band-
breite für Echtzeitdaten wie Telefon (VoIP, Voice over IP)

oder Video.

Es gibt keinen Standard für Verschlüsselung oder Authenti-
fizierung.

IPv6 (Internet Protokoll, Version 6) soll diese Schwächen be-
seitigen. Klassische Protokolle werden weiter unterstützt (TCP,

UDP, ICMP; RIP, OSPF, BGP). Die IPv6-Adressen sind auf

128 Bit erweitert, die alten IPv4-Adressen sind darin enthalten.

Das Routen kostet weniger Prozessorleistung und wird schnel-
ler: weil Pakete nicht mehr fragmentiert werden (das muss bei

Bedarf der Sender machen). Der Basis-Header hat eine feste

Länge, weniger Felder und enthält keine Checksumme mehr; bei

Abb. 55.42 TCP/IP-Referenzmodell

Bedarf folgen dem Basis-Header noch Erweiterungs-Header.

zuverlässige Übertragung
standardisierte Anwendungsprotokolle

55.5.6

Schicht 4: Transport

TCP/IP realisiert diese Anforderungen, indem es Netzknoten als

Paketvermittlungsrechner (Router) einsetzt und über Routing-

Schicht 4 ist zuständig für den Aufbau und Abbau der Ver-

Protokolle dynamisches Routing ermöglicht: die Router infor-
bindung. Sie kann die Art der Verbindung festlegen, etwa
mieren sich gegenseitig über neue und ausgefallene Teilnetze.

hinsichtlich Dienstgüte wie Bandbreite, Zuverlässigkeit, usw.

TCP nutzt den Paket-Datenübertragungsdienst von IP. IP ist ein

Abhängig von den Fähigkeiten der Schicht 3 muss sie even-
verbindungsloses, unzuverlässiges Protokoll, das ggf. auch die
tuell die Nachrichten im Sender in kleinere Pakete zerlegen

Nachricht in kleinere Pakete zerlegt und wieder zusammensetzt;
und im Empfänger wieder in der richtigen Reihenfolge zusam-
und bei Überlast notfalls auch mal Pakete löschen darf. Die Ro-
mensetzen. Allgemein bietet die Transportschicht eine genormte
bustheit gegen Ausfälle von Teilen des Netzes erreicht man mit

Schnittstelle für die Sitzungsschicht durch Kapselung der tiefe-

IP.

ren Schichten.

TCP sorgt als zuverlässiges Transportprotokoll mit Sicherungs-
funktionen für eine sichere Ende-zu-Ende-Datenübertragung.

55.5.6.1

TCP/IP

Insbesondere muss TCP die Unzuverlässigkeit von IP wieder
ausgleichen.

Die Entwicklung von TCP/IP (Transport Control Protocol/Inter-
net Protocol) begann 1969 im ARPANET mit 4 Knoten: UCLA

(University of California at Los Angeles), UCSB (University of

55.5.6.3

Das TCP/IP-Referenzmodell

California at Berkley), SRI (Stanford Research Institute) und die

University of Utah koppelten zum ersten Mal vier Rechner.

Das TCP/IP-Referenzmodell (Abb. 55.42) besteht aus vier

Schichten:

1983 erfolgte die Umstellung des ARPANETs von NCP ( Net-
work Control Program) auf TCP/IP Version 4 (IPv4); diese

1. Subnetzwerk: überträgt die Daten; der Dienst wird ge-

Version ist auch heute noch aktuell(!). 1990 bestand das Inter-
braucht, aber nur die Schnittstelle zu ihm definiert. Hier
net aus einem Zusammenschluss von 3000 Netzen und 200.000
findet man Ethernet, Token Ring usw.

Rechnern auf der Basis von TCP/IP; 2000 waren es ca. 20 Mio.

2. Netzwerk: hier sorgt IP für die optimale Zustellung der Pa-

Rechner. Laut EITO nutzen Anfang 2008 1,23 Milliarden Men-
kete durch das Netz.

schen das Internet.

3. Transport: hier kümmert sich TCP um die zuverlässige Zu-
stellung der Nachrichten von Programm zu Programm oder

TCP/IP ist zurzeit der De-facto-Marktstandard: es steht kosten-
von Prozess zu Prozess; alternativ kann UDP die Daten auch
günstig für alle wichtigen Rechnertypen zur Verfügung!

schneller, aber unzuverlässig transportieren

4. Anwendung: hier arbeiten die Programme und Prozesse, die

55.5.6.2

Ziele von TCP/IP
über das Netzwerk Daten austauschen wollen

Die Architektur von TCP/IP verfolgte diese Ziele:

55.5.6.4

TCP/IP-Socket
robust bei Ausfall von Teilen des Netzes
unabhängig von Netzwerktechnologien und Hostrechnern

Zur Adressierung von Anwendungen und Diensten benutzt
universelle Verbindungsmöglichkeiten im Netz

TCP/IP- Sockets. Ein Socket ist ein Kommunikationsendpunkt

55.5

Das OSI-Referenzmodell

767

55.5.6.5

TCP: Transport Control Protocol

TCP benutzt für seine Aufgaben eine voll duplex-fähige, bidi-

VII
rektionale, sichere, virtuelle Verbindung mit geregeltem Verbin-
dungsauf- und -abbau ( TCP-3-Wege-Handshake), Abb. 55.44.

Teil

Der Benutzer sieht nur einen bidirektionalen Datenstrom von

Bytes, aber keine Blöcke oder Pakete. Die Transportbenut-
zer-Adressierung erfolgt über 16-Bit-Portnummern. 32-Bit-Se-
quenznummern (SEQ) und 32-Bit-Quittungsnummern (ACK)

mit Zeitüberwachung, sowie Prüfsummen mit Empfangsquit-
tungen garantieren die Datensicherheit.

Der Verbindungsaufbau findet über das TCP-3-Wege-Hand-
shake statt.

1. Eine Station sendet einen Verbindungsaufbauwunsch mit der

Flagge SYN D 1 und der Sequenznummer X.

2. Die Gegenstation sendet ihrerseits einen Verbindungsauf-

Abb. 55.43 TCP/IP-Socket, Ports
bauwunsch für den Rückkanal mit SYN D 1 und ihrer

Sequenznummer Y; gleichzeitig bestätigt sie dem Empfang
mit über die Sequenznummer ACK D X C 1.

und besteht aus einer 32-Bit-IPv4-Adresse sowie einer 16-Bit-

3. Die erste Station bestätigt den Aufbau des Rückkanals über

TCP-Portnummer (Abb. 55.43). Mit der IP-Adresse ist eine
die Sequenznummer ACK D Y C 1. Die Verbindung ist auf-

Station eindeutig identifiziert; mit der Portnummer ist in der
gebaut, die Daten können ausgetauscht werden.

Maschine ein Socket eindeutig festgelegt. Jedes Programm, das

Die Datenflusssteuerung übernimmt das Sliding Window: jede

Daten über das Netz austauschen will, muss dazu vorher einen

Station übermittelt eine Fenstergröße, die die Zahl der unbestä-

Socket öffnen.

tigt, also im Voraus gesendeten Bytes festlegt. Ist diese Zahl von

Mit der 16-Bit-Portnummer sind 65.536 Ports in einer Station

Bytes gesendet, muss der Sender auf eine Bestätigung warten.

möglich; jeder Port ermöglicht einen Datenübertragungskanal.

Kommt eine Bestätigung, so darf der Sender um die Zahl der

Der Bereich der Ports ist aufgeteilt in diese Bereiche:

bestätigten Bytes weiter senden. Ist die Fenstergröße null, so

0 . . . 1023

„ Well-Known Ports:“ für Serverprozesse
muss der Sender anhalten.

1024 . . . 49151 „ Registered Ports:“ offiziell bei der IANA (In-
ternet Assigned Numbers Authority) beantrag-

55.5.6.6

UDP: User Data Protocol
te Ports

49152 . . . 65535 „ Private Ports:“ frei verfügbare Ports

UDP ist eine vereinfachte Alternative zu TCP. UDP benutzt

Beispiele für „ Registered Ports“:

wie TCP Portnummern zur Adressierung. Aber im Gegensatz
zu TCP ist UDP verbindungslos, hat keine Quittungen, ist un-

Port: Dienst/Anwendung:

zuverlässig – aber schnell! Datensicherung und Flusssteuerung

21 FTP, File Transfer Protocol
übernehmen bei Bedarf die Anwendung oder ein zuverlässiges

22 ssh, Secure Shell (sicher)

Netzwerk (z. B. Ethernet). UDP eignet sich damit sehr gut im

23 Telnet, virtuelles Terminal (unsicher)

LAN für eine unzuverlässige, aber sehr schnelle Datenüber-

53 DNS, Domain Name Service
mittlung wie Sprach- und Videoübertragung sowie für lokale

80 WWW, World Wide Web, HTTP

Services wie NFS (Network File System) oder DNS (Domain

110 POP3, Post Office Protocol Version 3

Name Service).

Abb. 55.44 Transport Control Protocol

768

55 Datenkommunikation

Teil

55.5.7

Aufgaben der Schichten 5–7

VII

Im TCP/IP-Referenzmodell sind die OSI-Schichten fünf bis sie-
ben zu einer Schicht „Anwendung“ zusammengefasst, was in
den meisten Fällen auch kein Problem macht.

Im OSI-Modell regelt Schicht 5 (Sitzungsschicht) Datentrans-
port und gehobene Dienste, z. B. den Zugang zu Time-

Sharing-Systemen, die Dialogsteuerung oder ggf. ein Token-

Management (die Operation darf nur ausführen, wer das To-

Abb. 55.45 Domain Name Service
ken hat). Die Synchronisierung großer Dateien mit Fixpunkten

(check points).

Schicht 6 (Darstellung) stellt häufig gebrauchte Funktionen für

DNS-Einträge waren ursprünglich alle statisch, d. h. vom Admi-
den Anwender bereit, wie Datenkompression, Kryptographie
nistrator der Domäne von Hand eingepflegt. Eine Verbesserung

(SSL, Secure Socket Layer) und analysiert ggf. Syntax und Se-
ist der DDNS (Dynamic Domain Name Service; RFC 2136). Ac-
mantik der Daten zur Konvertierung von ASCII in EBCDIC,
tive Directory von Windows 2000/2003 benutzt ebenfalls einen

1er- in 2er-Komplement oder Little- in Big-Endian.

DDNS als Name Service.

Die DNS-Server im Internet müssen besonders geschützt wer-

In Schicht 7 (Anwendung) laufen die typischen Server- und
den, da verfälschte Adresse/Namenzuordnungen in der DNS-

Client-Anwendungen: WWW-Server und WWW-Browser; Ter-

Datenbank die betroffenen Adressen praktisch unerreichbar
minal-Emulationen, Dateitransfer, E-Mail-Server und -Clients,
machen.

Application Gateway Firewalls und sonstige Anwenderpro-
gramme.

55.5.7.1.2

DNS-Namen

55.5.7.1

DNS: Domain Name Service

Ein vollständiger DNS-Name (FQDN, Fully Qualified Domain

Name) kann so aussehen:

Zum Aufbau einer Verbindung benötigt man die IP-Adresse
der Gegenstation. In der Anfangszeit benutzte man eine Datei
hostname:subdomain:domain:top-level-domain

HOSTS.TXT, die den wenig lesbaren IP-Adressen gut lesba-

Ein Beispiel:

re Name zuordnete. Im ARPANET lag eine zentrale Datei

HOSTS.TXT mit den Adressen aller Stationen im Netz im NIC

FQDN:

www.etech.fh-hannover.de

(Network Information Center), die per FTP von allen Stationen
top-level-domain: .de
lesbar war und als lokale Kopie im Verzeichnis /etc/hosts auf je-
domain:

.fh-hannover
der Unix-Maschine verfügbar war. Mit der stark steigenden Zahl
subdomain:

etech
der Stationen wurde diese Praxis zu aufwändig.

hostname:

www

Die höchste Hierarchiestufe der Internet-Domänen steht am En-

Abhilfe brachte der DNS (Domain Name Service; RFCs 1034,
de des Namens; die Namen der einzelnen Hierarchiestufen sind

1035, 1101, 1183, 1032) als „Internet Directory Service“, der
durch Punkte getrennt. Groß- und Kleinschreibung wird nicht
die Zuordnung von symbolischen Namen zu Internet-Adressen
beachtet. Zusammengesetzte Namen können bis 63 Zeichen
über ein hierarchisches, auf Domänen basierendes Benennungs-
lang sein; der gesamte Pfadname kann maximal 255 Zeichen
schema einführte. Der DNS beruht auf einer verteilten Daten-
lang sein. Seit kurzem sind auch deutsche Umlaute (ä, ö, ü) im
bank, die DNS-Server verwalten.

Namen erlaubt ( aber noch nicht in allen Programmen problem-
los benutzbar).

55.5.7.1.1

Funktionsweise

Einige allgemeine Top-Level Domänen sind:

Ein Client will eine Verbindung zu einem Ziel-Host aufbauen,

.int
internationale Organisationen
hat dessen DNS-Namen und benötigt nun für den Verbin-

.mil Amerikanische Streitkräfte
dungsaufbau die IP-Adresse (Abb. 55.45). Zur Namensauflö-

.com Kommerzielle Unternehmen
sung schickt der Client den Namen über den Resolver (einen

.net Netzbetreiber

DNS-Client) an seinen lokalen DNS-Server, den er aus sei-

.edu education: Universitäten u. ä.

ner Netzwerkkonfiguration kennt. Kann der lokale DNS-Server

.org nicht-kommerzielle Organisationen
den Namen auflösen, so schickt den Namen mit zugehöriger

.gov US-Bundesregierung

IP-Adresse an den Client zurück. Kann er den Namen nicht
auflösen, so befragt der lokale DNS-Server den in der Namens-

Ebenso hat jedes Land eine eigene Top-Level Domäne:

hierarchie nächst höheren Server. Dieser Vorgang wiederholt

.de Deutschland
sich, bis der DNS-Server gefunden ist, der zu diesem Namen

.fr Frankreich
verbindlich Auskunft geben kann. Das Ergebnis ist dann die ge-

.jp Japan
suchte IP-Adresse oder die Auskunft, dass der Name ungültig

.tv Tuvalu (Inselstaat im Stillen Ozean)

ist.

usw.

Literatur

769

55.5.7.2

DHCP: Dynamic Host Configuration Protocol

Fernwartung, Ferndiagnose und Fernzugriff über WAN sind
möglich

Jede Station muss eine netzwerkweit eindeutige IP-Adresse ha-
nur eine Netzwerk-Technologie vom Büro bis zur Produkti-

VII
ben. In großen Netzwerken kann dies schnell unübersichtlich
onsmaschine ist zu pflegen
werden.

Die transparente Kommunikation über alle Geschäftsbereiche,

Teil

Abhilfe schafft ein DHCP-Server, der dynamisch IP-Adressen
und Netzmasken für den Client aus einem Bereich von freien
von der Unternehmensleitebene (ERP-Systeme, Enterprise Re-

IP-Adressen an die DHCP-Clients verteilt. Neben den Adressen
source Planning) über die Nutzung etablierter IT-Techniken zur
verteilt der DHCP-Server auch die IP-Adressen von DNS-

Datenvisualisierung und Kommunikation bis hin zur Datener-

Server, Standard-Gateway, den DNS-Domänennamen u. a. m.

fassung und Steuerung von Maschinen in der Produktionszelle

Der DHCP-Client erhält eine Lease mit allen IP-Parametern, de-
kann mit dem Ethernet-Standard abgedeckt werden.

ren Nutzungsdauer ( Lease Time) allerdings zeitlich begrenzt ist

Gegenüber dem Einsatz im Büro ergeben sich je nach Einsatzort

(z. B. auf 24 Stunden).

deutlich höhere Anforderungen an die Robustheit der Netz-

Der DHCP-Client erhält beim Booten vom DHCP-Server sei-
werkkabel und Netzwerkgeräte, speziell hinsichtlich der Umge-
ne Konfiguration. Bieten mehrere DHCP-Server eine Lease an,
bungsbedingungen, z. B. bei mechanischen Beanspruchungen,
kann der Client sich eine Lease aussuchen.

Vibrationen, Schmutz und Feuchtigkeit, Temperaturbereich,

UV-Strahlung und Resistenz gegenüber elektromagnetischen

Der Vorteil des DHCP-Dienstes liegt in der zentralen Verwal-

Störungen.

tung aller Clients über den DHCP-Server. Der DHCP-Client
erhält nach dem Starten immer eine aktuelle IP-Konfiguration.

Damit gibt es weniger Konfigurationsfehler und der Aufwand

Echtzeit-Betrieb
zur Netzadministration sinkt; Änderungen in der Netzwerk-

Industrielle Steuerungen müssen oft schnell und zuverlässig
konfiguration werden einfach via DHCP verteilt. Neu in Netz
reagieren: soll die Bewegung eines mehrachsigen Roboters in
aufgenommene Stationen werden automatisch mit den passen-

Echtzeit über ein Netzwerk gesteuert werden, so müssen alle
den Konfigurationsdaten versorgt.

Steuerdaten nicht nur hinreichend rechtzeitig (nicht zu spät),

Bei Bedarf können feste Adressen von der dynamischen Ver-
sondern auch gleichzeitig (nicht zu früh und nicht spät) eintref-
gabe ausgeschlossen werden. Für Router, Server oder Drucker
fen. Die Abweichung von der Sollzeit heißt „Jitter“; dieser muss
können auch feste Adressen reserviert werden; die Erkennung
für die Anwendung klein genug sein. Meist ist hierfür eine Syn-
der Geräte erfolgt über die MAC-Adressen. In Netzen mit hohen
chronisation der Uhren in allen Stationen notwendig, z. B. über

Sicherheitsanforderungen können auch nur Clients mit bekann-
das Precision Time Protocol (PTP, IEEE 1588).

ten MAC-Adressen Zugang zum Netz erhalten. Damit kann sich

Die benutzten Industrial-Ethernet-Protokolle unterscheiden sich
ein Angreifer nicht ohne weiteres ins Netz einschleichen.

stark in ihrer Echtzeitfähigkeit und dem Grad der dazu not-

Die Erneuerung der DHCP-Lease erfolgt immer beim Neu-
wendigen Modifikation von Standard-Ethernet-Software und
start des Clients innerhalb der Gültigkeitsdauer. Ist die Lease-

-Hardware:

Time zu 50 % abgelaufen, dann versucht der DHCP-Client

Software-Modifikationen:

„prophylaktisch“, seine Lease beim aktuellen DHCP-Server zu
verlängern um einen unterbrechungsfreien Netzwerkbetrieb zu

Modbus-RTPS: Zykluszeit 5 . . . 10 ms
gewährleisten. Ist der DHCP-Server nicht erreichbar und die
zusätzlich mit IEEE 1588-Hardware:

Lease-Time ist zu 87,5 % abgelaufen, dann der DHCP-Client
sucht mit einem Broadcast nach beliebigen DHCP-Servern im

EtherNet/IP mit CIPsync: Zykluszeit 300 µs bei 30 Antrieben

Netz. Gelingt auch dies nicht und ist die Lease-Time zu 100 %
abgelaufen, dann muss der Client seine Lease freigeben; und es

Spezieller Netzwerk-Controller (ASIC/FPGA):

ist für ihn kein weiterer Zugriff auf das Netz mehr möglich.

PROFInet Echtzeit-Subnetz V3: Zykluszeit 1 ms bei 100 An-

Eine Anzeige der aktuellen IP-Konfiguration erhält man unter
trieben

Windows 9x mit dem Befehl winipcfg (ausgeführt in einer DOS-

SERCOS III: Zykluszeit 250 µs bei 100 Antrieben

Konsole); unter Windows NT/2000/2003 mit ipconfig/all und

EtherCAT: Zykluszeit 100 µs bei 100 Antrieben
unter Linux mit ifconfig.

55.6

Industrial Ethernet

Literatur

Industrial Ethernet beschreibt die Anwendungen von Ethernet in
industriellen Produktionsprozessen. Der Einsatz von Ethernet-

1. Tanenbaum, A. S.: Computernetzwerke, 4., aktualisierte Auf-

Standards in der industriellen Automatisierungstechnik hat die-
lage, Pearson, 2003
se Vorteile:

2. c’t extra 03/2009 Netzwerke, Heise
die Ethernet-Technologie ist bekannt, bewährt und preiswert

3. c’t magazin für computertechnik, Heise
die Fertigung und die Produkte lassen sich verbessern und

4. http://www.heise.de/netze/

Kosten reduzieren

5. http://de.wikipedia.org/wiki/Rechnernetz

Automatisierungs-

VIII
technik

VIII

Teil

56

Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773

57

Automatisierungsgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775

58

Grundzüge der SPS-Norm IEC 61131-3 . . . . . . . . . . . . . . . . 779

59

Programmstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787

60

Eingabe- und Ausgabesignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789

61

Eingabe-/Ausgabebaugruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791

62

Verknüpfungssteuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793

63

Aufruf und Wertübergaben zwischen Bausteinen nach IEC 61131-3 803

64

Ablaufsteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807

65

Kommunikation in Automatisierungssystemen . . . . . . . . . . . . 813

66

Steuerungssicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817

67

Regelungstechnische Grundbegriffe der Automatisierungstechnik

821

68

Regelstrecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825

69

Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831

771

Einführung

56

Günter Wellenreuther und Dieter Zastrow

VIII

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

773

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_56

774

56 Einführung

Automatisierung Reale Aufgaben der Automatisierungstech-
nik sind im Allgemeinen sehr komplex. Als umfassender Aus-
druck für Steuerungs-, Regelungs- und Visualisierungs-Vorgän-
ge hat sich der Begriff der Automatisierung durchgesetzt. Er
beinhaltet, dass Automatisierungsgeräte selbsttätig Programme
befolgen und dabei Entscheidungen auf Grund vorgegebener

Führungsgrößen und rückgeführter Prozessgrößen aus der An-
lage sowie erforderlicher Daten aus internen Speichern des

Systems treffen, um daraus notwendige Ausgangsgrößen für
den Betriebsprozess zu bilden.

Teil

Steuerung Steuern oder Steuerung wird als Ablauf in einem

VIII

System definiert, bei dem eine oder mehrere Eingangsgrößen
andere Größen als Ausgangsgrößen aufgrund der dem System
eigentümlichen Gesetzmäßigkeiten beeinflussen. Kennzeichen
für das Steuern ist der offene Wirkungsablauf über der Steu-
erstrecke. Eine Steuerung liegt also vor, wenn Eingangsgrößen
nach einer festgelegten Gesetzmäßigkeit Ausgangsgrößen be-
einflussen. Die Auswirkung einer nicht vorhersehbaren Störgrö-
ße wird nicht ausgeglichen.

Regelung Immer dann, wenn Störgrößenänderungen das Sys-
tem nicht hinnehmbar beeinflussen können, werden Regelungen
erforderlich. Die Regelgröße (Aufgabengröße) muss sich mess-
technisch erfassen lassen, denn eine Regelung ist ein Vorgang,
bei dem die Regelgröße fortlaufend erfasst, mit der Führungs-
größe verglichen und abhängig vom Ergebnis dieses Vergleichs
im Sinne einer Angleichung an die Führungsgröße beeinflusst
wird. Der sich dabei ergebende Wirkungsablauf findet in einem
geschlossenen Kreis, dem Regelkreis, statt. Programmierbare

Automatisierungsgeräte können die Aufgaben des Steuerns und

Regelns ausführen, denn beide Funktionen beruhen auf Pro-
grammen unter Verwendung desselben Operationsvorrates.

Automatisierungsgeräte

57

Günter Wellenreuther und Dieter Zastrow

VIII

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

775

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_57

776

57 Automatisierungsgeräte

Strom-

Zentraleinheit

Signalbaugruppen (SM)

versorgung

(CPU)

SF

(PS)

16DE

16DA

16DE

16DA

2 AE

2 AA

DC5V

FRCE

E 0.0

A 4.0

EW 8

AW 12

PEW

PAW

RUN

DC24V

320

336

STOP

PUSH

..

..

322

338

EIN

AUS

E 0.7

A 4.7

RUN

Teil

STOP

MRES

230 V~

E 1.0

A 5.0

VIII

.. PG/PC-

..

..

..

24 V=

Anschluss

E 1.7

A 5.7

Abb. 57.1 Aufbau einer Speicherprogrammierbaren Steuerung ohne Feldbusanschluss. DE D Digitale Eingänge, DA D Digitale Ausgänge, AE D Analoge Eingänge,

AA D Analoge Ausgänge

Eingänge

Zentralbaugruppe (CPU)

Ausgänge

Signalzustände
der Eingänge E

Steuerwerk und Taktsystem
übernehmen

E0.0

A4.0

Speicher

Programm
abarbeiten

Akku

Zeiten

1. Anweisung
assung
assung

Bearbeitung

Anp

Anp

2. Anweisung

Merker

Zähler

Zyklische

Letzte Anweisung

Prozess-

Prozess-

E.0.7

A4.7
abbild
abbild

Eingänge

Ausgänge

Signalzustände
der Ausgänge A
ausgeben

Schnittstelle zu PG/PC

Abb. 57.2 SPS-Struktur und zyklische Programmbearbeitung

Die derzeit am weitesten verbreitete Hardware-Plattform der
von SPS-Steuerungen ist die zyklische Programmbearbeitung,

Steuerungstechnik ist die Speicherprogrammierbare Steuerung
wie in Abb. 57.2 angedeutet.

SPS, wie sie in Abb. 57.1 abgebildet ist, dort jedoch ohne den

In der Praxis werden nicht mehr ausschließlich SPS-basierte
heute schon üblichen Anschluss an ein Feldbussystem zur Ver-

Automatisierungssysteme eingesetzt, sondern vernetzte Steue-
netzung mit anderen Steuerungskomponenten.

rungssysteme bestehend aus SPSen und PCs mit unterschied-

Eine Speicherprogrammierbare Steuerung hat die Struktur eines
lichen Aufgaben, wobei die SPS mehr prozessnah und der

Rechners, deren Funktion als Programm gespeichert ist. Sie be-

PC mehr übergeordnet und datenverarbeitend genutzt wird.

steht im einfachsten Fall aus einer Stromversorgung PS, einem

Soll die Steuerungsfunktionalität nicht mehr von einer moder-

Steuerungsprozessor CPU, einigen zentralen digitalen Einga-
nen SPS, sondern von einem PC ausgeführt werden, so gibt
be- und Ausgabebaugruppen sowie einem internen Bussystem.

es diese Lösung als Industrie-PC mit eingebauter SPS-Karte

Bei Bedarf können auch Baugruppen zur Analogwertverar-
und zusätzlicher Feldbus-Schnittstelle. In Sonderfällen kommt
beitung oder für besondere Funktionen wie Regler, schnelle
auch eine sog. Soft-SPS-Lösung in Frage, bei der in einem

Zähler und Positionierungen hinzukommen. Die Peripheriebau-

PC die Funktion einer SPS softwaremäßig nachgebildet und
gruppen und die Programmiersprachen sind auf die Belange

Steuerungsaufgaben „nebenher“ miterledigt werden. Für die
der Steuerungstechnik ausgerichtet. Speicherprogrammierbare

Programmerstellung macht es keinen Unterschied, ob die Hard-

Steuerungen gibt es als modulare und kompakte Systeme für
ware-Plattform ein PC oder eine SPS ist.

unterschiedliche Anforderungsniveaus. Ein typisches Merkmal

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Grundzüge der SPS-Norm

58

IEC 61131-3

Günter Wellenreuther und Dieter Zastrow

VIII

Teil

58.1 Programmorganisationskonzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780

58.2 Deklaration von FB- und FC-Bausteinen . . . . . . . . . . . . . . . . 780

58.3 Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782

58.4 Programmiersprachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

779

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_58

780

58 Grundzüge der SPS-Norm IEC 61131-3

Auch wenn das Programmieren von Steuerungen und Regelun-
immer denselben Ausgangswert zurück. Die SPS-Norm enthält
gen noch immer ein sehr individueller Prozess ist, muss seit
einen Katalog von Standardfunktionen, die in SPS-Systemen

Jahren der Standard der SPS-Programmier-Norm IEC 61131-3
zur Verfügung stehen sollten. Falls eine spezielle Funktion
zu Grunde gelegt werden, der eine rationellere Programmerstel-
benötigt wird, kann diese vom Anwender selbst erzeugt wer-
lung und größere Herstellerunabhängigkeit zum Ziel hat. Den
den, dabei muss jedoch beachtet werden, dass keine internen

Anwendungsprogrammierern müssen wirksame Mittel an die

Zustandsvariablen deklarierbar sind, da der Bausteintyp Funk-

Hand gegeben werden, um wiederverwendbare und damit kos-
tion dafür keine Speicherfähigkeit (Gedächtnis) besitzt. Eine
tensparende Programme entwickeln zu können. Die Norm IEC

Funktion stellt das Funktionsergebnis unter dem deklarierten

61131-3 bzw. DIN EN 61131-3 richtet sich daher in erster Linie

Funktionsnamen zur Verfügung, sodass keine Ausgangsvaria-
an SPS-Hersteller. Für Anwendungsprogrammierer ist die SPS-
ble deklariert werden muss. Es ist jedoch zulässig, Funktionen

Teil

Norm eher ein Dokument im Hintergrund, denn sie sind für ihre
mit mehreren Ausgangsvariablen zu bilden. Funktionen können

Arbeit auf ein reales IEC 61131-3 kompatibles Programmier-
innerhalb eines Programmzyklus mehrfach aufgerufen werden,

VIII
und SPS-System angewiesen.

um mit unterschiedlichen Werten der Eingangsvariablen ent-
sprechende Funktionsergebnisse zu ermitteln.

Die Grundzüge dieser SPS-Norm werden in den folgenden Ab-
schnitten dargelegt und bilden die Voraussetzungen dafür, mit
einem der SPS-Norm entsprechenden Programmiersystem rich-

Funktionsbaustein Dieser POE-Typ ist geeignet, wenn aus
tig umgehen zu können.

den Werten von Eingangs- und Ausgangsvariablen sowie bau-
steininterner Zustandsvariablen neue Ergebnisse für eine oder
mehrere Ausgangsvariablen ermittelt werden sollen. Alle Werte
der Ausgangs- und Zustandsvariablen bleiben von einer Bear-

58.1

Programmorganisationskonzept beitung des Funktionsbausteins bis zur folgenden erhalten. Das
bedeutet, dass es bei einer erneuten Bearbeitung des Funkti-
onsbausteins mit den gleichen Werten der Eingangsvariablen

Es ist ein hierarchisch gegliedertes System von so genann-
zu anderen Ausgangsergebnissen kommen kann. Anschaulich
ten Programmorganisationseinheiten (POE) eingeführt worden,
spricht man hier von einem Bausteintyp mit Gedächtnis. Um
bestehend aus einem Hauptprogrammtyp (Schlüsselwort: PRO-
die Fähigkeiten eines Funktionsbausteins in einem Programm

GRAM) mit Zugriffsmöglichkeit auf SPS-Eingänge/-Ausgänge
auch mehrfach nutzen zu können, ist die sog. Instanziierung der
und zwei Unterprogrammtypen davon einen Typ mit Gedächt-

Funktionsbausteine erforderlich, worunter man das Erzeugen ei-
nisfunktion (Schlüsselwort: FUNCTION_BLOCK) und einen
ner Kopie (Instanz) des Bausteines versteht. Jede Instanz muss

Typ ohne Gedächtnisfunktion (Schlüsselwort: FUNCTION).

mit einem eigenen Namen versehen werden. Unter dem In-

Durch dieses Programmorganisationskonzept in Verbindung mit
stanznamen werden die jeweils letztgültigen Variablenwerte auf
dem Datentyp- und Variablenkonzept zur Entwicklung struk-
entsprechenden Speicherplätzen verwaltet, während das Bau-
turierter Programme wird die Wiederverwendbarkeit von Bau-
steinprogramm im Original verbleibt und dort den Instanzen bei
steinen bei späteren Anwendungen ermöglicht. Dadurch ist die
deren Ausführung zur Verfügung steht. Die SPS-Norm schlägt
neue Anwendungsprogrammierung sehr viel anspruchsvoller
viele Standardfunktionsbausteine vor, die in SPS-Systemen ver-
als die herkömmliche SPS-Programmierung geworden.

fügbar sein sollten. Spezielle Funktionsbausteine können vom

Ein Steuerungsprogramm (Anwenderprogramm) ist eine in Pro-

Anwender selbst erzeugt werden. Auch sie unterliegen bei ihrer
gramm-Organisations-Einheiten (POE) gegliederte Einheit. An-

Anwendung der Instanzenbildung.

stelle der unhandlichen Bezeichnung Programmorganisations-
einheit wird vereinfacht auch nur von Bausteinen gesprochen.

Programm Dieser POE-Typ bildet die oberste Hierarchieebe-
ne der Programmorganisationseinheiten. Die SPS-Norm sieht

Programm-Organisationseinheiten
vor, dass Programme (P) in Ressourcen (SPS-Systeme) auch in-
stanziiert werden können. Einige SPS-Systeme verwenden den

Programm

Funktionsbaustein

Funktion

Bausteintyp Programm (P) als alleiniges Hauptprogramm zur

(P)

(FB)

(FC)

Organisation des Anwenderprogramms, dass aus Funktionen

(FC) und Funktionsbausteinen (FB) besteht. Der Programmin-
halt eines solchen (Haupt-)Programms besteht dann nur aus

Jeder Baustein besteht aus einem

Aufrufen der Funktionen und Funktionsbausteine und um deren

Deklarationsteil für die Definition aller lokal verwendeten

Eingangs-/Ausgangs-Variablen mit realen SPS-Ein-/Ausgängen

Variablen und einem
zu verbinden.

Rumpf für die Anweisungen (Befehle) des ausführbaren Pro-
gramms.

58.2

Deklaration von FB- und

Funktion Dieser POE-Typ ist geeignet, wenn ein Funktionser-

FC-Bausteinen
gebnis ausschließlich aus den Eingangsvariablen des Bausteins
zu ermitteln ist und unter dem Funktionsnamen des Bausteins

Anwenderprogramme bestehen immer auch aus sog. abgeleite-
zur Verfügung gestellt werden soll. Der Aufruf einer Funkti-
ten Funktionen (FC) und/oder Funktionsbausteinen (FB), die
on mit denselben Werten der Eingangsvariablen liefert deshalb
erst durch Deklaration und Programmierung erzeugt werden

58.2

Deklaration von FB- und FC-Bausteinen

781
müssen. Dabei sind Vorschriften zu beachten. Die Deklara-

Erstellen eines Funktionsbausteins mit dem Namen FB 1
tion bezieht sich auf die Festlegung des Bausteintyps und

Die Deklaration eines Anwender-Funktionsbausteins in Text-
auf die Bildung der Außenschnittstelle mit ihren Eingangs-
form erfolgt in ähnlicher Weise wie bei der Anwender-Funktion,
und Ausgangsvariablen (-parametern) sowie der außen nicht
dabei sind folgende Elemente zu verwenden:

erkennbaren bausteininternen Zustandsvariablen bei Funktions-
bausteinen. Die Programmierung bezieht sich auf den Baustein-
das einleitende Schlüsselwort FUNCTION_ BLOCK ge-
rumpf, der die Steuerungslogik enthalten muss. Deklaration
folgt vom Funktionsbausteinnamen ohne einen Datentyp,
und Programmierung kann in Textform oder in Grafik erfol-
das Konstrukt VAR_INPUT...END VAR, mit dem die Na-
gen.

men und Datentypen der Eingangsvariablen des Funktions-
bausteins festlegt werden,
das Konstrukt VAR_OUTPUT...END VAR, mit dem die

Erstellen einer Funktion mit dem Funktionsnamen FC 1

Namen und Datentypen der Ausgangsvariablen des Funkti-
onsbausteins deklariert werden (mehrere Ausgangsvariablen

Bei der Deklaration in Textform sind folgende Elemente zu ver-

VIII
sind zulässig),
wenden:

das Konstrukt VAR_IN_OUT...END VAR, das die Namen
das einleitende Schlüsselwort FUNCTION gefolgt vom
und Datentypen von Durchgangsvariablen des Funktions-

Teil

Funktionsnamen, einem Doppelpunkt und dem Datentyp des
bausteins festlegt, deren Werte innerhalb des Bausteins durch

Funktionswertes,
das Programm verändert werden dürfen,
das Konstrukt VAR_INPUT...END VAR, mit dem die Na-
das Konstrukt VAR...END VAR, das die Namen und Daten-
men und Datentypen der Eingangsvariablen der Funktion
typen der bausteininternen Zustandsvariablen des Funktions-
festlegt werden,
bausteins festlegt. Dieses Konstrukt wird auch verwendet,
das Konstrukt VAR_OUT...END VAR für die Namen und
um im Funktionsbaustein eine Instanz eines Standardfunk-

Datentypen von Ausgangsvariablen,
tionsbausteins zu erzeugen,
das Konstrukt VAR_IN_OUT...END VAR, das die Namen
einen Funktionsbausteinrumpf mit dem auszuführenden Pro-
und Datentypen von Durchgangsvariablen der Funktion fest-
gramm,
legt,
das abschließende Schlüsselwort
falls erforderlich das Konstrukt VAR...END VAR, mit dem

END_FUNCTION_BLOCK.

die Namen und Datentypen von internen temporären Hilfs-
variablen festlegt werden können, deren Daten jedoch bei

Beispiel 2

Beendigung der Funktion verloren gehen,
einen Funktionsrumpf mit dem auszuführenden Programm,

Deklaration eines Funktionsbausteins FB
das abschließende Schlüsselwort END_FUNCTION.

Allgemein

Ausführung in Textform

FUNCTION_BLOCK FB 1

FUNCTION_BLOCK FB 1

Beispiel 1

(*Außenschnittstelle*)

(*Außenschnittstelle*)

VAR_INPUT

VAR_INPUT

Bezeichner_1:Datentyp;

Start:BOOL;

Deklaration einer Funktion FC

Bezeichner_2:Datentyp;

Reset:BOOL;

END_VAR

END_VAR

VAR_OUTPUT

VAR_OUTPUT

Bezeichner_3:Datentyp;

Ausg:BOOL;

Allgemein

Ausführung in Textform

END_VAR

END_VAR

FUNCTION FC1 : BOOL

FUNCTION FC1 : BOOL

VAR

VAR

(*Außenschnittstelle*)

(*Außenschnittstelle*)

Bezeichner_4:Datentyp;

SRO_1:RS;

VAR_INPUT

VAR_INPUT

END_VAR

END_VAR

(*Funktionsbausteinrumpf*)

(*Funktionsbausteinrumpf*)

Bezeichner1:Datentyp;

Start:BOOL;

Bezeichner2:Datentyp;

Ventil:BOOL;

SRO_1

END_VAR

END_VAR

Programm

(*Funktionsrumpf*)

(*Funktionsrumpf*)

RS

Programm

Start

S

Q1

Ausg

END_FUNCTION

AND

END_FUNCTION_BLOCK

Reset

R1

Start

FC1

Ventil

END_FUNCTION_BLOCK

END_FUNCTION

Ausführung in Grafik

FUNCTION_BLOCK FB 1

Ausführung in Grafik

(*Außenschnittstelle*)

FUNCTION FC1 : BOOL

FB1

BOOL

BOOL

(*Außenschnittstelle*)

Start

Ausg

BOOL

Reset

FC1

BOOL

BOOL

Start

BOOL

Ventil

(*Funktionsbausteinrumpf*)

(*Funktionsrumpf*)

SRO_1

AND

RS

Start

FC1

Start

S

Q1

Ausg

Ventil

Reset

R1

END_FUNCTION

J

END_FUNCTION_BLOCK

J

782

58 Grundzüge der SPS-Norm IEC 61131-3

Tab. 58.1 Elementare Datentypen

Schlüsselwort

Datentyp

Größe

Schreibweise und Wertebereiche

Bit-Datentypen

BOOL

Boolesche Variablen

1 Bit

FALSE, TRUE

BYTE

Bit-Folge und 8 Bit-Hex-Zahlen

8 Bit

16# 0...FF

WORD

Bit-Folge und 16 Bit-Hex-Zahlen

16 Bit

16# 0000...FFFF

DWORD

Bit-Folge und 32 Bit-Hex-Zahlen

32 Bit

16# 0000_0000...FFFF_FFFF

CHAR

ASCII-Zeichen

8 Bit

‘A’

Arithmetiktypen

T

INT

Ganze Zahlen (Festpunktzahlen)

16 Bit

32.768 bis C32.767
eil

DINT

Ganze Zahlen (Festpunktzahlen)

32 Bit

L# 2.147.483.648 bis C2.147.483.647

REAL

Reelle Zahlen (Gleitpunktzahlen)

32 Bit

Dezimalzahl mit Punkt: 341,7 oder Exponentialdarstellung: 3,417EC02

VIII

Zeittypen

TIME

Zeitdauer (IEC-Format)

32 Bit

TIME# 24d20h31m bis C24d20h31m

TIME OF DAY

Uhrzeit (Tageszeit)

32 Bit

TIME_OF_DAY#23:59:59,9

DATE

Datum

16 Bit

DATE#1990-01-01

Hinweis: Es existiert kein besonderer Datentyp für BCD-Zahlen (Binär Codierte Dezimalzahlen), diese sind eine Teilmenge der Hexadezimalzahlen, für
die es die Datentypen BYTE, WORD und DWORD gibt.

58.3

Variablen

Tab. 58.2 Schlüsselwörter zur Deklaration von Variablen

Schlüsselwort

Bezeichnung und Gebrauch der Varia-
blen

In Funktionen (FC) und Funktionsbausteinen (FB) sollte nur

VAR_INPUT ... END_VAR

Eingangsvariable: von außerhalb kom-
mit symbolischen Variablen programmiert werden, um damit bi-
mend, nicht innerhalb des Bausteins
bliotheksfähige Programme zu erhalten, die keine Festlegungen
änderbar
bezüglich der Verwendung realer SPS-Eingänge/Ausgänge oder

VAR_OUTPUT ... END_VAR Ausgangsvariable: nach außen lieferbar

Merker enthalten. Erst auf der Ebene der Programme (P) sollte

VAR_IN_OUT ... END_VAR

Durchgangsvariable: von außen kom-
die Zuordnung der SPS-Eingänge/Ausgänge/ Zähler/Zeitglieder
mend, innerhalb des Bausteins änderbar,
zu den direkten (realen) Eingangs- und Ausgangsvariablen er-
nach außen lieferbar
folgen.

VAR ... END_VAR

Zustandsvariable: Gebrauch nur inner-
halb des Bausteines

Eine Variable ist ein mit einem Namen (Bezeichner) versehe-

VAR_GLOBAL ... END_VAR Globalvariable: Globaler Geltungsbe-
ner Speicherplatz, der im Anwenderprogramm als Platzhalter
reich in SPS
für Daten fungiert, die sich zur Laufzeit des Programms ändern

VAR RETAIN

Zustandsvariable gepuffert (Remanenz-
können. Diese Variablen können symbolisch oder direkt adres-
verhalten)

siert sein.

CONSTANT

„Konstante Variable“, nicht veränderbar

AT

Zuweisung eines direkten Speicherortes

Unter Daten sollen hier Informationen aus technischen Anla-
gen verstanden werden, wie z. B. Messdaten über Temperaturen,

Füllstände, Durchflussmengen, die verarbeitet und gespeichert
werden müssen. Die Variablen sind die Mittel, um die Daten zu
sie deklariert wurde, d. h. die Variable ist nur in diesem Baustein
erfassen. Dabei wird für die Variablen ein bestimmter Datentyp
bekannt. Eine Ausnahme von dieser Regel bilden symbolisch
festgelegt. Dieser Datentyp hängt direkt zusammen mit den auf
adressierte Globalvariablen, die in allen Bausteinen der SPS be-
ihn zulässigen Operationen.

kannt sind aber nur sparsam verwendet werden sollten. Bei der

Deklaration von Variablen in Textform sind die in Tab. 58.2

Einzelelement-Variablen enthalten einzelne Datenelemente
angegebenen Schlüsselwörter zu verwenden. Bei grafischer De-
mit einfachem Datentyp, die in der Tab. 58.1 auszugsweise
klaration führt das Programmiersystem die Anwendung dieser
dargestellt und bei der Deklaration der Variablen zu berücksich-

Regeln im Hintergrund aus.

tigen sind.

Multielement-Variablen enthalten mehrere Datenelemente die

Die Deklaration symbolischer Variablen erfolgt im dafür vorge-
in Feldern (Arrays) oder Strukturen zusammengefasst sind.

sehenen Deklarationsteil der Bausteine unter einem Namen (Be-
zeichner) durch Verwendung von Schlüsselwörtern wie VAR,

VAR_INPUT, VAR_OUTPUT, VAR_IN_OUT und Angabe ei-

Feld (Array)

nes Datentyps wie bei der Deklaration der Bausteine FC und FB
bereits gezeigt. Der Speicherort wird durch das Betriebssystem

Ein Feld ist eine Sammlung von Datenelementen des glei-
automatisch festgelegt. Der Gültigkeitsbereich einer symboli-
chen Datentyps, die durch in eckigen Klammern [ ] angegebene
schen Variablen ist lokal auf den Baustein beschränkt, in dem

Feldindizes angesprochen werden. Als Datentyp für Indizes sind

58.3

Variablen

783

Tab. 58.3 Präfix für Speicherort und Größe der Operanden

Präfix

Bedeutung

Beispiele für direkte Variablen

I

Speicherort Eingang

Einzel-Eingänge

%IX0,7 ... %IX0,0

Q

Speicherort Ausgang

Einzel-Ausgänge

%QX0,7 ... %QX0,0

M

Speicherort Merker

Eingangsbyte

%IB0 = %IX0,7 ... %IX0,0

X

(Einzel)-Bit-Größe

Ausgangsbyte

%QB0 = %QX0,7 ... %QX0,0

B

Byte-(8 Bit) Größe

Eingangswort

%IW0 = %IB0 + %IB1

W

Wort-(16 Bit) Größe

Ausgangswort

%QW0 = %QB0 + %QB1

D

Doppelwort-(32 Bit)

Eingangsdoppelwort

%ID0 = %IW0 + %IW1
z. B. INT, WORD, BYTE, BOOL zulässig. Es gibt eindimensio-

VIII

Beispiel 4
nale und mehrdimensionale Felder.

Deklaration einer direkten Variablen

Teil

Beispiel 3

Allgemein

Eindimensionales Feld

VAR

AT %Operand : Datentyp ;

(*Deklaration*)

END_VAR

VAR

Tabelle : ARRAY [0..3] OF BYTE := 16#00, 16#0F, 16#80, 16#FF ;

Ausführung in Textform

END_VAR

VAR

VAR_OUTPUT

AT %IX4,7 : BOOL ;

Wert : BYTE ;

END_VAR

J

END_VAR

(*Abfrage*)

Wert := Tabelle [2] ;

J

In einer zweiten Variante können zur Erzielung einer bes-
seren Programmlesbarkeit Variablennamen eingeführt werden,
die jedoch im Unterschied zu den richtigen symbolischen

Struktur

Variablen direkt mit dem physikalischen Speicherort (SPS-

Eingang/Ausgang, Merker) verbunden sind (Beispiel 5).

Eine Struktur ist eine Sammlung von Datenelementen un-
terschiedlicher Datentypen. Die Datenelemente sind in einer

Hierarchie geordnet, z. B. Produkt, Version, Seriennummer,

Beispiel 5

Datum.

Deklaration einer direkten Variablen mit symbolischen

Namen

Direkte Variablen

Allgemein

In der obersten Hierarchieebene der Programmorganisationsein-

VAR
heiten steht der Bausteintyp Programm (P). In diesem Baustein

Bezeichner AT %Operand : Datentyp ;
müssen nicht nur die zum Anwenderprogramm gehörenden

END_VAR

Funktionsbausteine (FB) und Funktionen (FC) aufgerufen, son-
dern auch die Verbindungen zu den SPS-Eingängen/Ausgängen

Beispiel
hergestellt werden. Nach den Vorschriften der Norm IEC 61131-

VAR

3 sind diese Adressen dem Programm (P) jedoch nicht automa-

Endschalter AT %IX4,7 : BOOL ;
tisch bekannt, d. h. sie müssen erst durch Deklaration bekannt

END_VAR

J
gemacht werden, dazu dienen die sog. direkten Variablen.

Bei der direkten Adressierung von Variablen wird als Va-
riablenname der physikalische Speicherort des Datenelements

Anm.: Direkte Variablen sollten nicht in den Bausteintypen
verwendet, also ein SPS-Eingang/Ausgang oder auch Merker.

FB und FC verwendet werden, weil diese Programmteile da-

Zur Unterscheidung der direkten Variablen von ihrem Speicher-
durch hardwarespezifische Festlegungen enthalten würden wie
ort wird ein vorgesetztes Prozentzeichen (%) gefolgt von einem
beispielsweise, an welchen SPS-Eingang ein bestimmter Sen-

Präfix zur Kennzeichnung des Speicherortes und ein Präfix für
sor angeschlossen wird. Das aber widerspricht der Forderung
die Speichergröße verwendet, wie in der Tab. 58.3 angege-
nach einer bibliotheksfähigen Gestaltung von FB- und FC-
ben.

Bausteinen.

784

58 Grundzüge der SPS-Norm IEC 61131-3

Tab. 58.4 Operatoren der Anweisungsliste (AWL)

Operator

Modifizierer

Operand/Typ

Bedeutung

LD (Load)

N

Variable/Bool

Setzt das aktuelle Ergebnis (AE) dem Operanden gleich

ST (Store)

N

Speichert das aktuelle Ergebnis (boolesche 1 oder 0) auf die Operandenadresse

S (Set)

Setzt booleschen Operator auf 1

R (Reset)

Setzt booleschen Operator auf 0 zurück

AND

N, (

Boolesches UND

OR

N, (

Boolesches ODER

XOR

N, (

Boolesches Exklusiv-ODER

T

)

Bearbeitet die eingeklammerte Operation
eil

CAL (Call)

C, N

Instanzname

Aufruf eines Funktionsbausteins

JMP

C, N

Marke

Sprung zur Marke

VIII

GT

(

Vergleich auf größer als, >

GE

(

Vergleich auf größer gleich,

EQ

(

Vergleich auf ist gleich, D

NE

(

Vergleich auf ungleich, ¤

LE

(

Vergleich auf kleiner gleich,

LT

(

Vergleich auf kleiner als, <

ADD

(

Addition

SUB

(

Subtraktion

MUL

(

Multiplikation

DIV

(

Division

Globale Variablen

FBS) sowie die übergeordnete Ablaufsprache (AS) mit grafi-
schen und textuellen Elementen.

Globale Variablen sind solche, die durch eine entsprechende De-
klaration in allen Bausteintypen innerhalb einer SPS bekannt

Der Programmierer kann auswählen, ob er das Bausteinpro-
gemacht wurden, also einen globalen Geltungsbereich haben.

gramm in einer grafischen Sprache oder in einer Textsprache

Der Deklarationsort ist der Baustein Programm (P).

programmieren will.

Globale Variablen werden verwendet, um auf einfache Art

Für die grafischen Sprachen stehen in Standardbibliothe-
einen bausteinübergreifenden Datenaustausch zu erreichen. Das
ken grafische Symbole für Standardfunktionen (FC) und
kann jedoch unerwünschte Nebenwirkungen haben und die Ver-

Standardfunktionsbausteine (FB) zur Verfügung. Diese Bau-
wendbarkeit eines Bausteins einschränken. Eine bessere Lösung
steinsymbole müssen in das Anwenderprogramm je nach
besteht in der Deklaration von Übergabevariablen im Baustein

Bedarf eingefügt werden, um die bezeichneten Aktionen dort

Programm (P), um die entsprechenden Eingänge und Ausgänge
ausführen zu lassen.

der dort aufgerufenen Bausteine miteinander zu verbinden.

Die Textsprachen benutzen anstelle von Standardbausteinen
sog. Standardoperatoren, die der Programmiersprache impli-

Beispiel 6
zit bekannt sind. Ein Operator ist ein textliches Symbol, das
eine Aktion darstellt, die an einem Operanden, d. h. einer

Deklaration einer Globalvariablen
symbolischen oder direkten Variable, ausgeführt wird.

PROGRAM PRG

(*Deklaration*)

Bei der Textsprache AWL stehen die einzelnen Anweisungen

VAR_GLOBAL
in Listenform untereinander. Jede Anweisung besteht aus einem

Bezeichner : Datentyp ;

Operator, der ggf. mit einem Modifizierer ergänzt wird [N für

END_VAR
eine Negation, C für eine Bedingung, ( für Klammer auf, ) für

(*Programmrumpf*)

Klammer zu], gefolgt von einem oder mehreren durch Kommas

Programm
getrennten Operanden. Eine Anweisung kann auch durch eine

END_PROGRAM

J

Sprungmarke gekennzeichnet sein. Die Verarbeitung der An-
weisungen erfolgt in einem Ergebnisregister, dieses enthält das
sog. Aktuelle Ergebnis (AE), das auf folgende Weise für das

Beispiel in Abb. 58.1 ermittelt wird:

58.4

Programmiersprachen

LD E0

Lade den Wert des 1. Operanden (E0) in das Ergeb-
nisregister.

Zur Erstellung der Steuerungsprogramme mit Hilfe einer Pro-

ANDN E1 Verknüpfe das Aktuelle Ergebnis mit dem negierten
grammiersoftware stehen gemäß DIN EN 61131-3 fünf Pro-

Wert des 2. Operanden (E1).

grammiersprachen zur Verfügung stehen: Zwei textuelle Fach-

ST A4

Speichere das veränderte Aktuelle Ergebnis im Ziel-
sprachen (AWL, ST) und zwei grafische Fachsprachen (KOP,
operanden (A4).

58.4

Programmiersprachen

785

Programmiersprachen

Textsprachen

Grafische Sprachen

Ablaufsprache

AS

Anweisungsliste

Strukturierter Text

Funktionsbaustein-

Kontaktplan

AWL

ST
sprache

FBS

KOP

LD

E0

AND

S0

S1

A4

ANDN E1

A4 = S0 AND NOT S1

S0

A4

( (

ST

A4

S1

VIII

Abb. 58.1 Übersicht zu genormten SPS-Programmiersprachen

Teil

Die Tab. 58.4 zeigt die Standardoperatoren der Anweisungslis-
te (AWL) mit kurzen Erläuterungen, auf die nicht mehr weiter
eingegangen wird. Die den Standardoperatoren entsprechenden

Standardbausteine werden weiter unten jedoch noch näher dar-
gestellt.

Programmstrukturen

59

Günter Wellenreuther und Dieter Zastrow

VIII

Teil

59.1 Lineares Programm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788

59.2 Gegliedertes Programm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788

59.3 Parametrierbares Programm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

787

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_59

788

59 Programmstrukturen

Programm (P)

Programm (P)

LD Var1

FC 10 Var2, Var3

FC 10

Programm-

Zyklisch
bearbeitung

LD Var1

FC 20 Var2, Var3

FC 20

Teil

Abb. 59.1 Lineares Programm

Abb. 59.2 Das Steuerungsprogramm besteht aus zwei unterschiedlichen Pro-

VIII
grammteilen

Unter einer Programmstruktur versteht man den Aufbau ei-
nes Anwenderprogramms aus Codebausteinen. Es können drei

Programm (P)

FB 10

Strukturen unterschieden werden.

CAL Instanz1

Var1=

Instanz1

59.1

Lineares Programm

Var2=

CAL Instanz2

Var1=

Instanz2

Das gesamte Programm befindet sich in dem zyklisch bearbeite-

Var2=
ten Programm (P). Die CPU arbeitet die Anweisungen der Reihe
nach ab und beginnt dann wieder von vorne, wie in Abb. 59.1
gezeigt.

Abb. 59.3 Das Steuerungsprogramm besteht aus zwei Instanzen eines Pro-
grammteils

59.2

Gegliedertes Programm

59.3

Parametrierbares Programm

Das Programm ist in mehrere Bausteine aufgeteilt, wobei jeder

Baustein nur das Programm einer Teilaufgabe enthält. Die Pro-

Ein Unterprogramm ist parametrierbar, wenn es seine Eingangs-
grammorganisationseinheit Programm (P) enthält die Aufruf-
und Ausgangsvariablen dem Hauptprogramm bei jedem Aufruf

Anweisungen, nach deren Reihenfolge die einzelnen Bausteine
erneut zur Verfügung stellt und sein Programm für jeden Aufruf
bearbeitet werden. Gegenüber dem linearen Programm besteht
erneut ausführt, um so aufrufspezifische Ergebnisse zu erzielen.

der Vorteil in den besser überschaubaren kleinen Einheiten.

Im Abb. 59.3 ist die Parametrierbarkeit am Beispiel eines Funk-

Abb. 59.2 lässt die Gliederungsstruktur und den Aufruf der
tionsbausteins (FB) dargestellt. Grundsätzlich ist dies auch bei
beiden Funktionen mit der erforderlichen Parameterübergabe er-

Funktion (FC) möglich, jedoch mit der Einschränkung der nicht
kennen.

gegebenen Gedächtnisfähigkeit dieses Bausteintyps.

Eingabe- und Ausgabe-

60
signale

Günter Wellenreuther und Dieter Zastrow

VIII

Teil

60.1 Binäre Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 790

60.2 Digitale Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 790

60.3 Analoge Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 790

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789

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_60

790

60 Eingabe- und Ausgabesignale
u

60.2

Digitale Signale

30 V

Ein digitales Signal ist eine mehrstellige Bitkette, die durch Co-

Signalzustand “TRUE (1)”

dierung eine festgelegte Bedeutung erhält, z. B. als Zahlenwert.

Ein typischer Digitalsignal-Geber ist ein Zifferneinsteller. Um

15 V
z. B. die Zahlen 0 bis 9 darstellen zu können, sind vier Binär-
stellen erforderlich.

5 V

Signalzustand “FALSE (0)”

Dualzahl

T

0
eil
t

Dezimalzahl 8

4

2

1

Wert

0

0

0

0

0

VIII

Abb. 60.1 Signalzustände und Spannungspegel

1

0

0

0

1

2

0

0

1

0

3

0

0

1

1

In den technischen Prozessen treten physikalische Größen wie

4

0

1

0

0

Temperaturen, Drucke, Durchflüsse etc. auf. Automatisierungs-

5

0

1

0

1
geräte können in der Regel nur elektrische Signale erkennen und

6

0

1

1

0
ausgeben. Wo erforderlich, muss also eine Signalumwandlung

7

0

1

1

1
erfolgen. Man unterscheidet verschiedene Signalarten.

8

1

0

0

0

9

1

0

0

1

1 Binärstelle D 1 Bit

60.1

Binäre Signale

1 Byte D 8 Bit

1 Wort D 2 Byte D 16 Bit

1 Doppelwort D 32 Bit

Ein binäres Signal ist ein 1 Bit-Signal, das nur einen von
zwei möglichen Signalzuständen annehmen kann. Ein typischer

Binärsignal-Geber ist ein Schalter.

60.3

Analoge Signale

Ein Signal heißt binär, wenn es nur zweier Werte fähig ist:

(TRUE D 1, FALSE D 0). Die SPS-Hersteller haben für ih-

Für ein analoges Signal ist charakteristisch, dass der Signal-
re Steuerungskomponenten ein Toleranzschema festgelegt, das
parameter (z. B. die Spannung) innerhalb bestimmter Grenzen
den Wertebereich konkreter Spannungen den binären Signalzu-
jeden beliebigen Wert annehmen kann. Automatisierungsgeräte
ständen zuordnet, die von den Geräten verarbeitet werden.

können intern keine analogen Signale verarbeiten. So genannte

Die Automatisierungsgeräte können nicht den Schaltzustand

Analogbaugruppen nehmen eine Signalumsetzung vor und wan-
von angeschlossenen Schaltern, sondern nur anliegende Signa-
deln ein analoges Signal in ein digitales Signal um bzw. auch
le erkennen, d. h. die unterschiedliche Wirkung von Öffner- und
umgekehrt.

Schließerkontakten in Anlagen muss bei der Programmerstel-
lung bedacht werden.

Offene (unbeschaltete) Steuerungseingänge erzeugen Signalzu-
stand „0“.

Eingabe-/Ausgabebaugruppen 61

Günter Wellenreuther und Dieter Zastrow

VIII

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

791

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_61

792

61 Eingabe-/Ausgabebaugruppen

10 V

255
quenzobergrenze für Eingangssignale bei etwa 50 Hz. Die Di-
gitaleingabebaugruppen formen die Pegel der externen digita-
len Signale aus dem Prozess in den internen Signalpegel des
it

SPS-Systems um. Die Baugruppen sind z. B. geeignet für den

Signal

8B

Anschluss von Schaltern und 2-Draht-Näherungsschaltern (BE-

Auflösung

RO).

Digitalausgabebaugruppen gibt es für Lastspannungen DC

4 V

51

24 V oder AC 120/230 V bei spezifizierter Strombelastbarkeit
und Potenzialtrennung mittels Optokoppler. Die Schaltfrequenz

T
der Ausgänge wird nach ohmscher Last, induktiver Last und
eil

Lampenlast unterschieden und liegt im Bereich bis 100 Hz. Die

0

Digitalausgabebaugruppen formen den internen Signalpegel des

VIII

0

Zeit

SPS-Systems in die externen, für den Prozess benötigten Signal-
pegel um. Die Baugruppen sind z. B. geeignet für den Anschluss

Umsetzer

Register
von Magnetventilen, Schützen, Kleinmotoren, Lampen und Mo-

0
torstartern.

Analog

MSB

0

Analogeingabebaugruppen wandeln analoge Signale aus dem

1

Prozess in digitale Signale für die interne Verarbeitung inner-

1
halb der SPS um. Es können Spannungs- und Stromgeber, Ther-

0
moelemente, Widerstände und Widerstandsthermometer ange-
schlossen werden:

0

1

Spannung
z. B. ˙10 V

Digital

1

LSB

Strom
z. B. 4 bis 20 mA

Widerstand
z. B. 0 . . . 300 (

Thermoelement
z. B. Typ E, N, K mit Kennlinien-

Abb. 61.1 Ein Spannungswert wird in eine Zahl umgesetzt (vereinfacht)

Linearisierung

Widerstandsthermometer z. B. Pt 100-Standard mit Kennlinien-

Linearisierung

Die in Abb. 57.1 angedeuteten Eingabe- und Ausgabebaugrup-

Die Baugruppen verfügen über eine parametrierbare Auflösung
pen der SPS werden üblicherweise als zentrale digitale Eingabe-
von z. B. 9 bis 15 Bit C Vorzeichen, unterschiedliche Mess-
und Ausgabebaugruppen bezeichnet im Gegensatz zu den de-
bereiche (einstellbar durch Messbereichsmodule und Software)

zentralen Baugruppen (Slaves), die über ein Feldbussystem
sowie Alarmfähigkeit (Diagnose und Grenzwertalarme an die
angeschlossen sind. Die digitalen Eingabe- und Ausgabebau-

CPU).

gruppen umfassen meistens 1 Byte D 8 Bit; 2 Byte D 16 Bit;

4 Byte D 32 Bit Eingänge bzw. Ausgänge. Im Steuerungspro-

Analogausgabebaugruppen wandeln digitale Signale aus der
gramm können Bits, Bytes, Worte oder Doppelworte abgefragt

SPS in analoge Signale für den Prozess um und sind für den
oder angesteuert werden. Bei Analogbaugruppen sind entspre-

Anschluss analoger Aktoren geeignet. Als Ausgangsbereiche
chend die Anzahl der Eingänge bzw. Ausgänge angegeben.

werden angeboten:

Spannungsausgang z. B. ˙10 V

Digitaleingabebaugruppen gibt es für DC 24 V und AC

Stromausgang
z. B. 0 bis 20 mA

120/230 V mit Potenzialtrennung über Optokoppler sowie An-
zeige des aktuellen Signalzustandes durch Leuchtdioden. Auf-

Die Baugruppen haben eine Auflösung von 12 bis 15 Bit. Es sind
grund von Filtermaßnahmen gegen Störsignale liegt die Fre-
unterschiedliche Messbereiche je Kanal einstellbar.

Verknüpfungssteuerungen

62

Günter Wellenreuther und Dieter Zastrow

VIII

Teil

62.1 Logische Grundverknüpfungen in verschiedenen Darstellungen . . 794

62.2 Zusammengesetzte logische Grundverknüpfungen . . . . . . . . . 794

62.3 Schließer- und Öffnerkontakte, Drahtbruchsicherheit,

Erdschlussgefahr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794

62.4 Speicherfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795

62.5 Flankenauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797

62.6 Darstellung und Eigenschaften elektropneumatischer Stellglieder . 797

62.7 Regeln für das Umsetzen von Schützschaltungen in

SPS-Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798

62.8 Zeitfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799

62.9 Zählerfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799

62.10 Vergleichsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 800

62.11 MOVE-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801

62.12 EN/ENO-Mechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

793

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_62

794

62 Verknüpfungssteuerungen

Funktion

Zeitdiagramm

FBS

KOP

AWL

UND

E1

E1

E2

A4

E1

&

A4 = E1 ∧ E2

( )

LD

E1

A4 = E 1 & E 2

E2

A4

E2

AND E2

A4 = E1 E2

ST

A4

A4

ODER

E1

E1

E1

>=1

A4 = E1 ∨ E2

LD

E1

E2

A4

A4

E2

( )

OR

E2

E2

T

ST

A4
eil

A4

VIII

NICHT

E1

E1

A4

LDN

E1

A4 = E1

E1

1

A4

( )

ST

A4

A4

Ausgangs-

E1

E1

&

E1

E2

A4

LD

E1

NEGATION

( )

AND E2

A4 = E1 ∧ E2

E2

A4

STN

A4

E2

A4

Abb. 62.1 Logische Grundverknüpfungen nach IEC 61131-3

SPS-Programme werden mit einem IEC 61131-3 orientierten

62.2

Zusammengesetzte logische

Projektierungssystem (z. B. CoDeSys) als Projekte angelegt, in

Bausteine programmiert und unter einem Dateinamen abgespei-

Grundverknüpfungen
chert.

Als Verknüpfungssteuerungen bezeichnet man solche Program-

Zu den logischen Grundverknüpfungen zählen auch die bei-
me, die Ausgangssignale überwiegend unter Verwendung einfa-
den häufig vorkommenden Strukturen UND-vor-ODER sowie
cher Logikbeziehungen, Speicherfunktionen, Zeitglieder, Zäh-

ODER-vor-UND, die in Abb. 62.2 in grafischer Form (FBS)

ler u. a. in zyklischer Bearbeitungsweise erzeugen. Damit stellen
und Textform (AWL) dargestellt sind. Die zugehörigen Schalt-

Verknüpfungssteuerungen den größten Teil der SPS-Programme
funktionen heißen Disjunktive Normalform für die UND-vor-
dar. Neben den Verknüpfungssteuerungen gibt es noch die Pro-

ODER-Struktur und Konjunktive Normalform für die ODER-
grammart der Ablaufsteuerungen.

vor-UND-Struktur.

62.1

Logische Grundverknüpfungen

62.3

Schließer- und Öffnerkontakte,
in verschiedenen Darstellungen

Drahtbruchsicherheit,

Erdschlussgefahr

Nachfolgend wird eine Auswahl wichtiger Programmierfunk-
tionen zur Realisierung von Verknüpfungssteuerungen gezeigt.

In Abb. 62.1 werden die logischen Grundverknüpfungen UND,

Befehlsgeber können auf einer Schließer- oder Öffner-Funktion

ODER, NEGATION gezeigt. Die in diesen Beispielen vorkom-
beruhen, d. h. bei Betätigung ein 1-Signal oder ein 0-Signal an
menden Eingangs-/Ausgangsbezeichnungen wie E1, E2, A4
den Steuerungseingang liefern.

oder auch S1 usw. sind als kurze Namen von deklarierter Varia-
blen mit zutreffenden Datentyp in entsprechenden Bausteinen

Ein Startbefehl für eine Steuerung ist mit einem 1-Signal, ein
zu betrachten und nicht zu verwechseln mit bekannten SPS-

Haltbefehl mit einem 0-Signal auszuführen. Bei Gleichzeitig-

Operanden.

keit muss der Haltbefehl Vorrang haben.

62.4

Speicherfunktionen

795

UND-vor-ODER-Verknüpfung

E1

&

LD

E1

1) Allgemeiner Fall

AND

E2
siehe nachfolgend bei DNF

E2

ANDN E3

A = E1 E2 E3 ∨ E1 E2 ∨ E3

E3

>= 1

OR(

AND

E1

ANDN E2

E1

&

)

E2

OR

E3

ST

A4

E3

A4

2) Spezieller Fall:

LD

E1

Antivalenz (Exclusiv-ODER)

XOR

E2

E1

&

>=1

ST

A5

A = E1

E2

E2

VIII

E1

&

E2

A5

Teil

ODER-vor-UND-Verknüpfung

E1

LD

E1

>=1

A = (E1 ∨ E2) ∧ (E1 ∨ E2) ∧

OR

E2

E3

E2

&

AND(

ORN

E1

E1

>=1

ORN

E2

)

E2

AND

E3

ST

A4

E3

A4

Abb. 62.2 Zusammengesetzte logische Grundverknüpfungen nach IEC 61131-3

1

3

+

1

3

+

24 V

24 V

2

4

2

4

0

1

2

3

4

5

6

7

M

0

1

2

3

4

5

6

7

M

Eingänge

Eingänge

SPS

SPS

Ausgänge

Ausgänge

0

1

2

3

4

5

6

7

24V

0

1

2

3

4

5

6

7

24V

1
oder

2

3 oder

4

Erdschlüsse lösen

Kurzschlüsse aus,
bleibt ohne
bleibt ohne
die zurAbschaltung

Auswirkung

Auswirkung
derAnlage führen.

1
und

2

3
und

4

Abb. 62.4 Auswirkung von Erdschlüssen im geerdeten Steuerkreis
bewirken
verhindern
ungewolltes
gewolltes

Einschalten

Ausschalten

Abb. 62.3 Auswirkungen von Erdschlüssen im nicht geerdeten Steuerkreis

62.4

Speicherfunktionen

Viele Steuerungsaufgabe erfordern die Verwendung von Spei-

Das Einschalten einer Steuerung durch einen Schließerkontakt
cherfunktionen. Eine Speicherfunktion liegt dann vor, wenn ein

(Arbeitsstromprinzip) und das Ausschalten mit einem Öffner-
kurzzeitig auftretender Signalzustand über den Programmzy-
kontakt (Ruhestromprinzip) macht die Steuerung drahtbruchsi-
klus hinaus festgehalten, d. h. gespeichert und erst zu einem
cher. Bei Auftreten eines Drahtbruchs erfolgt kein unbeabsich-
späteren Zeitpunkt wieder gelöscht werden muss. Die Ausfüh-
tigtes Einschalten der Steuerung, jedoch wird eine eingeschal-
rung einer Speicherfunktion umfasst das Setzen und Rücksetzen
tete Steuerung abgeschaltet. Die Erdschlussgefahr erfordert ge-
des Speichers. Für die Speicherfunktionen stehen bistabile Stan-
erdete Steuerkreise oder Isolationsüberwachung (Abb. 62.3 und
dardfunktionsbausteine zur Verfügung, aus denen sich Instanzen

62.4).

zur Verwendung im Anwenderprogramm bilden lassen. Zu un-

796

62 Verknüpfungssteuerungen
terscheiden sind zwei Speicherbausteintypen, die unterschied-

Verriegeln über die Rücksetzeingänge
lich auf gleichzeitiges Eintreffen von Setz- und Rücksetzsigna-
len reagieren.

Sp1

RS

Speichern mit vorrangigem Rücksetzen

E1

S Q1

A4

E2

R1

Funktionsplan

Anweisungsliste

Sp2

Speicher

LD

E1

T

ST

Speicher.S

RS
eil

RS

LDN E0

E3

S Q1

A5

E1

S

Q1

A4

ST

Speicher.R1

VIII

CAL Speicher

E0

R1

E4

>= 1

R1

LD

Speicher.Q1

ST

A4

A4

Zeitdiagramm

Verriegeln über die Setzeingänge

E1

E0

Sp1

E1

RS

&

A4

A5

S Q1

A4

E2

R1

Sp2

Speichern mit vorrangigem Setzen

E4

RS

&

A4

S Q1

A5

Funktionsplan

Anweisungsliste

E3

R1

Speicher

LD

E1

ST

Speicher.S1

SR

LDN E0

Reihenfolgeverriegelung

E1

S1 Q1

A4

ST

Speicher.R

CAL Speicher

Bei einer Reihenfolgenverriegelung darf ein Speicher nur ge-

E0

R

LD

Speicher.Q1
setzt werden, wenn zuvor ein oder mehrere andere Speicher

ST

A4
gesetzt sind. Ein Beispiel sind hintereinander geschaltete För-

Zeitdiagramm
derbänder. Auch bei der Reihenfolgeverriegelung gibt es zwei

Ausführungsvarianten.

E1

Verriegeln über den Rücksetzeingang

E0

Sp1

A4

RS

E1

S Q1

A4

E2

R1

Gegenseitiges Verriegeln

Sp2

Zwei Arten von Verriegelungen lassen sich unterscheiden, Bei

RS
dem gegenseitigen Verriegeln dürfen die Speicher nicht gleich-

E3

S Q1

A5
zeitig gesetzt sein, z. B. für Motor-Rechtslauf und Linkslauf. Für

E4

>= 1

R1
die Ausführung von Speicherverriegelungen gibt es zwei Vari-
anten.

A4

62.6

Darstellung und Eigenschaften elektropneumatischer Stellglieder

797

Verriegeln über den Setzeingang
gungsdauer des Signalgebers. Das ist z. B. wichtig, wenn bei
einer Sicherheitsschaltung überprüft werden muss, ob ein Taster

Sp1
wirklich betätigt wurde oder nur dauerhaft durch Manipulation
niedergehalten wird.

RS

E1

S Q1

A4

Im Abb. 62.5 werden Beispiele gezeigt, wie die Impulsgewin-
nung unter Verwendung von Standardfunktionsbausteinen für

E2

R1

Flankenerkennung gelöst werden kann. P-Flanke und N-Flanke
sind die Namen der Instanzen der Funktionsbausteine. Der Zy-

Sp2
kluszeitimpuls steht als Impulsoperand IO zur Verfügung.

E3

RS

&

A4

S Q1

A5

E4

R1

62.6

Darstellung und Eigenschaften

VIII
elektropneumatischer

Teil

62.5

Flankenauswertung

Stellglieder

Die Flankenauswertung eines Signals ist dann erforderlich,

Elektropneumatische Stellglieder können mit Ausgangssignalen
wenn aus einem Signalwechsel von FALSE nach TRUE oder
einer SPS angesteuert werden. Ihre Hilfsenergie ist Druckluft,
umgekehrt ein kurzer Impuls der Zeitdauer von einer Pro-
mit der pneumatische Zylinder betätigt werden. Abb. 62.6 zeigt
grammzykluszeit herzuleiten ist, unabhängig von der Betäti-
drei häufig verwendete elektropneumatische Stellgliedtypen.

FUP

AWL

Zeitdiagramm

Positive (steigende) Flanke 0 → 1

LD

S1

S1

P_Flanke

ST

P_Flanke.CLK

CAL P_Flanke

P_Flanke

R_TRIG

LD

P_Flanke.Q

ST

IO

IO

S1

CLK

Q

IO

Zyklen 1 2 3 .. n n+1

Negative (fallende) Flanke 1 → 0

LD

S1

S1

N_Flanke

ST

F_Flanke.CLK

CAL F_Flanke

F_Flanke

F_TRIG

LD

F_Flanke.Q

ST

IO

IO

S1

CLK

Q

IO

Zyklen 1 2 3 .. n n+1

P_Flanke

Speicher

LD

E1

Der Impulsoperand IO kann

ST

P_Flanke.CLK
entfallen, wenn die Flankenaus-

R_TRIG

RS

CAL P_Flanke
wertung nur an einer Stelle des

E1

CLK

Q

S

LD

P_Flanke.Q

Programms benötigt wird, im

ST

Speicher.S

Beispiel zum Setzen des RS-

E0

R1 Q

A4

LDN E0

Speichers.

ST

Speicher.R1

Abb. 62.5 Flankenauswertung nach IEC 61131-3

Einfachwirkender Zylinder

Doppeltwirkender Zylinder

Doppeltwirkender Zylinder
mit Ansteuerung durch ein
mit Ansteuerung durch ein
mit Ansteuerung durch ein

3/2-Wegeventil

5/2-Wegeventil

5/3-Wegeventil
a
b

1Y1

2Y1

2Y2

3Y1

3Y2

Abb. 62.6 Beispiele elektropneumatischer Stellglieder

798

62 Verknüpfungssteuerungen

3/2-Wegeventil Elektromagnetisches Ventil mit Rückstellfeder

Eingabevariablen deklariert, wenn derselbe Kontakttyp bei-
hat nur einen elektrischen Steuereingang Y1 und kann durch ein
behalten wird.

Stellsignal aus der Schaltstellung b in die Schaltstellung a ge-

7. Die bejahte Abfrage von Signalgebern in Regel 6 gilt nicht
schaltet werden. Nach Beendigung des Stellsignals erfolgt eine
bei Verwendung der Speicherfunktion anstelle der Selbsthal-
federmechanische Rückstellung des Ventils, dessen Vorteil die
tung.

definierte Schaltstellung im unbetätigten Zustand ist.

8. Die Umsetzungsregeln 1 bis 6 verändern nicht die vorge-
gebene Steuerungsstruktur, wenn die Schütze keine Zeit-

5/2-Wegeventil Elektromagnetische Impulsventile haben zwei
verzögerungen oder Wischerkontakte enthalten. Einschalt-
elektrische Steuereingänge Y1 und Y2, sie können durch
und Ausschaltverzögerungen müssen mit Zeitgliedern und
kurze Ansteuerimpulse aus einer Schaltstellung in die an-

Wischerkontakten mit Flankenauswertung nachgebildet wer-

T
dere umgeschaltet werden. Die Ventile übernehmen die RS-
eil
den. Impulse von Wischerkontakten beim Einschalten (Aus-

Speicherfunktion der Steuerung. Nachteil des Speicherverhal-
schalten) entsprechen steigenden (fallenden) Flanken.

VIII
tens ist die nicht definierte Schaltstellung im unbetätigten Zu-
stand, daher erfolgt meistens eine Ansteuerung von Y1 und Y2
mit inversen Signalen.

Beispiel 1

5/3-Wegeventil Bei elektromagnetischen Impulsventilen mit

Umsetzung einer Schützschaltung in ein SPS-Programm

Federzentrierung geht das Ventil im unbetätigten Zustand in
die Mittelstellung. Daher kann neben der Vorwärts- und Rück-
wärtsbewegung des Zylinderkolbens auch eine Halteposition

Hauptstromkreis

Steuerstromkreis
bleibt erhalten
wird ersetzt
veranlasst werden.

L1

F3

L2

Funktionsdiagramme zeigen den Bewegungsverlauf von Zy-

L1

L3
lindern. In der Ordinate wird der zurückgelegte Weg und in der

PE

Abszisse werden Schritte oder Zeiten aufgetragen. Zusätzlich

F2
können die Zustände von Magnetspulen der Ventile dargestellt

F1
werden.

K1

S0

62.7

Regeln für das Umsetzen von

Schützschaltungen in

SPS-Programme

F2

S1

K1

Eine gegebene Schützsteuerung, die z. B. zur Ansteuerung von

M

Elektromotoren oder Elektropneumatik eingesetzt wurde, kann

M1

3~

K1
durch eine SPS-Steuerung unter sinngemäßer Anwendung der

N
nachfolgenden Umsetzungsregeln ersetzt werden.

Ersatz-Funktionsplan

1. Der Hauptstromkreis wird unverändert außerhalb der SPS

F2

&
beibehalten.

2. Hauptschütze werden von den SPS-Ausgängen angesteu-

S1

S0

>=1
ert und werden als OUT- oder IN-OUT-Variable deklariert.

K1

K1

Der Schaltzustand des Hauptschützes wird somit außerhalb

Aufruf FC 10 im Programm (P)

des Bausteins in einem SPS-Ausgang gespeichert. Wird

Die Signalspeicherung für das Hauptschütz K1 erfolgt
im SPS-Ausgang A 4.0, daher genügt der Bausteintyp
ein Kontakt K1 des Hauptschützes K1 am Bausteineingang

Funktion. Die direkten Variablen müssen in Baustein
abgefragt, ist K1 als Durchgangsvariable (IN_OUT) zu de-

(P) deklariert werden.

klarieren.

FC 10

3. Hilfsschütze werden durch temporäre oder statische Varia-

EN
blen innerhalb des Bausteins ersetzt. Wenn Hilfsschütze

%IX 0.2

F2
interne Speicherfunktionen ausüben, muss für jedes Hilfs-
schütz eine statische Speichervariable (VAR) deklariert wer-

%IX 0.0

S0
den.

%IX 0.1

S1

4. Parallelschaltungen von Schützkontakten werden durch

%QX4.0

K1

ENO

1)

ODER-Verknüpfungen und Reihenschaltungen durch UND-

Verknüpfungen der Variablen ersetzt.

5. Öffner von Schützkontakten werden negiert und Schließer

1) K1 ist als Durchgangsvariable (IN_OUT) deklariert.

Auf die SPS-Ausgangsadresse %QX4.0 kann lesend
bejaht abgefragt.

und schreibend zugegriffen werden.

6. Öffner- und Schließerkontakte von Signalgebern wie Taster

J
und Schalter werden im Programm bejaht abgefragt und als

62.9

Zählerfunktionen

799

Name

Funktion

Zeitdiagramm

Grafische Darstellung

TP

Erzeugen eines Impulses

1

IN 0

TP
t

1

BOOL

IN

Q

BOOL

Q

PT

PT

PT

0

TIME

PT

ET

TIME
t

ET

PT
t

VIII

TON

Einschaltverzögerung

1

IN 0
t

Teil

TON

1

BOOL

IN

Q

BOOL

Q

PT

PT

0

TIME

PT

ET

TIME
t

ET

PT
t

TOF

Ausschaltverzögerung

1

IN 0

TOF
t

1

BOOL

IN

Q

BOOL

Q

PT

PT

0

TIME

PT

ET

TIME
t

ET

PT
t

Operandenbedeutung:

IN = Startbedingung; PT = Zeitvorgabe; Q = Status der Zeit; ET = Aktueller Zeitwert

Abb. 62.7 Zeitglieder nach IEC 61131-3

62.8

Zeitfunktionen

Grundsätzlich lassen sich Zähler in Automatisierungssystemen
auf drei verschiedene Arten realisieren.

Zähler werden als Funktionsbausteine oder Funktionen im

Die Zeitbildung ist eine Grundfunktion der Steuerungstechnik.

Steuerungsprogramm aufgerufen und parametriert. Diese

Es können zeitliche Abläufe, wie Warte- und Überwachungszei-

Zähler können je Zykluszeit nur einen Vorwärts- und einen
ten, Zeitmessungen oder Taktimpulse programmiert werden. In

Rückwärtszählimpuls verarbeiten. Die Verarbeitung von ex-
der Norm DIN EN 61131-3 sind neben einer Echtzeituhr drei
ternen Zählimpulsen ist von der Zykluszeit und der Schalt-

Standardfunktionsbausteine für die Zeitbildung aufgeführt, die
frequenz der Signaleingänge abhängig. Innerhalb dieses Ka-
in Abb. 62.7 gezeigt werden.

pitels wird ausschließlich diese Zählerart verwendet.

Zähler werden durch eine Variable vom Datentyp Integer
oder Doppelinteger realisiert. Das Auf- bzw. Abwärtszählen
erfolgt bei diesen Zählern mit Additions- bzw. Subtraktions-

62.9

Zählerfunktionen
befehlen. Diese Zähler können je Zykluszeit mehrere interne

Vorwärts- bzw. Rückwärtszählimpulse verarbeiten. Die Ver-
arbeitung von externen Zählimpulsen ist jedoch wieder von

Zählerfunktionen werden in Steuerungsaufgaben benötigt, um
der Zykluszeit abhängig.

bestimmte Mengen oder Positionen durch Aufzählen von Im-

Zähler sind auf einer speziellen Baugruppe untergebracht
pulsen zu erfassen, Frequenzen zu ermitteln oder die Funktion
oder sind als „Schnelle Zähler“ mit separaten Signaleingän-
von Steuerwerken zu übernehmen.

gen Teil des Betriebssystems der Zentralbaugruppe CPU.

800

62 Verknüpfungssteuerungen

Name

Grafische Darstellung

Arbeitsweise in ST-Sprache

Aufwärts-Zähler

CTU

IF R THEN CV := 0;

ELSIF CU AND (CV < Pvmax)

BOOL

CU

Q

BOOL

Then CV := CV+1;

BOOL

R

END_IF;

Q := (CV >= PV)

INT

PV

CV

INT

Abwärts-Zähler

CTD

IF LD THEN CV := PV;

ELSIF CD AND (CV < Pvmin)

BOOL

CD

Q

BOOL

Then CV := CV-1;

Teil

BOOL

LD

END_IF;

Q := (CV <= 0)

INT

PV

CV

INT

VIII

Auf-Abwärts-Zähler

CTUD

IF R THEN CV := 0;

ELSIF LD THEN CV := PV;

BOOL

CU

QU

BOOL

ELSIF CU AND (CV < Pvmax)

BOOL

CD

QD

BOOL

THEN CV := CV+1;

ELSIF CD AND (CV < Pvmin)

BOOL

R

THEN CV := CV-1;

BOOL

LD

END_IF;

INT

PV

CV

INT

QU := (CV >= PV)

QD := (CV <= 0)

Bedeutung der Eingänge und Ausgänge: CU = Vorwärtszähleingang steigende Flanke; CD = Rückwärtszählein-
gang steigende Flanke; R = Rücksetzeingang; LD = Ladeeingang; PV = Ladewert; QU = Status Zählerstand

(CV größer gleich Ladewert); QD = Status Zählerstand (CV kleiner gleich 0); CV = Zählerstand.

Hinweis: Die numerischen Werte der Grenzvariablen Pvmax und Pvmin sind implementierungsabhängig. Mög-
liche Werte sind Pvmax = 32767 und Pvmin = –32768.

Abb. 62.8 Zählfunktionen nach IEC 61131-3

Mit diesen Zählern ist es möglich, externe Zählimpulse zu

Tab. 62.1 Vergleichsfunktionen
erfassen, die schneller als die Zykluszeit sind. Innerhalb des

Name

Symbol

Beschreibung

Steuerungsprogramms können Zählerstände mit Übergabe-

GT

>

IN1 größer IN2
variablen abgerufen werden.

GE

>D

IN1 größer gleich IN2

Bei der Realisierung von Zählern unterscheidet man Vorwärts-

EQ

D

IN1 gleich IN2
bzw. Aufwärts-Zähler, Rückwärts- bzw. Abwärts-Zähler und

LE

<D

IN1 kleiner gleich IN2

Vor-Rückwärts- bzw. Auf-Abwärts-Zähler. Der Zählerstand er-

LT

<

IN1 kleiner IN2
gibt sich aus der Anzahl der positiven Signalflanken an den

NE

<>

IN1 ungleich IN2

Eingängen für Vorwärts- und Rückwärtszählen.

In der Norm DIN EN 61131-3 sind für die drei Zähler die
zutrifft und mit FALSE, wenn er nicht zutrifft. Die Tab. 62.1
grafische Darstellung und die Arbeitsweise der Standardfunk-
zeigt die Vergleichsmöglichkeiten für den einfachsten Fall von
tionsbausteine festgelegt wie in Abb. 62.8 abgebildet.

zwei Vergleichseingängen IN1 und IN2.

62.10

Vergleichsfunktionen

Beispiel 2

Vergleich auf „größer“

Mit Vergleichsfunktionen werden die Werte zweier digitaler

Operanden des gleichen Datentyps verglichen. Das sind in den

GT

BOOL
meisten Fällen Variablen mit Datentypen für Zahlenwerte wie

INT

Wert

IN1

>> Marke1

REAL (Dezimalzahlen mit Komma), INT (Ganzzahlen mit Vor-

INT

Sprung-

20

IN1
symbol
zeichen) und WORD (vorzeichenlose Zahlen).

Zur Durchführung von Vergleichen stehen Standardfunktionen

(FC) zur Verfügung, die beliebig oft mit verschiedenen Ein-

Die Eingangsvariable „Wert“ vom Datentyp Integer wird
gangsparametern aufgerufen werden können. Das Vergleichs-
mit der Integerkonstanten „20“ auf „größer als“ vergli-
ergebnis steht als binärer Signalzustand im aktuellen Ergebnis
chen, siehe Abbildung. Am Ausgang des Vergleichers ist

(AE) zur Verfügung, und zwar mit TRUE, wenn der Vergleich

62.12

EN/ENO-Mechanismus

801

MOVE
das Sprungsymbol durch eine Signallinie mit Doppelpfeil

BOOL

ANY

EN

OUT
am Ende angegeben. Der Sprung ist bedingt, weil er vom

ANY

BOOL

Ausgang des Vergleichs abhängig ist. Ist die Vergleichs-

IN

ENO
bedingung erfüllt, wird das Programm an der Stelle von

Abb. 62.9 MOVE-Funktion mit Ausführungssteuerung EN/ENO

Marke1 fortgeführt. Ist die Vergleichsbedingung nicht
erfüllt, läuft das Programm linear weiter. Im Vergleichs-
baustein ist der Name der Vergleichsfunktion angegeben

(GT).

J

62.12

EN/ENO-Mechanismus

EN steht für Enable IN (boolescher Freigabe-Eingang) und

ENO für Enable OUT (boolescher Freigabeausgang). Die SPS-

VIII

62.11

MOVE-Funktion

Norm sieht vor, dass Funktionen (FC) in den Programmierspra-
chen FBS und KOP über diese Möglichkeit der Ausführungs-
steuerung verfügen müssen. Der Freigabe-Eingang EN kann

Teil

Die MOVE-Funktion zählt zu den arithmetischen Standardfunk-
mit einer Logikverknüpfung beschaltet sein (z. B. UND-Glied,
tionen. Sie hat genau einen Eingang und einen Ausgang und

Vergleicher). Der boolesche Ausgang ENO kann zur Ansteue-
bewirkt das „Durchreichen“ von Daten der Eingangsvariablen
rung nachfolgender Funktionen benutzt werden, weil er anzeigt,
an die Ausgangsvariable in Abhängigkeit von einem booleschen
ob die Bausteinfunktion ordnungsgemäß ausgeführt wurde oder

Freigabesignal EN, dabei darf der Datentyp auf der Ausgangs-
nicht.

und Eingangsseite sogar verschieden sein. Die Nutzung der

MOVE-Funktion zur Datentypumwandlung hat enge Grenzen.

Die Variablen EN/ENO müssen nicht benutzt werden, wenn die

Sinnvoll ist z. B. die Umwandlung von BYTE in WORD. Mit

Ausführung der Funktion in jedem Fall erfolgen soll.

der Datentypangabe ANY in Abb. 62.9 ist kein neuer Datentyp

Ist bei Funktionsaufruf EN D 0, wird die Funktion nicht ausge-
gemeint. ANY ist der ranghöchste der sog. allgemeinen Daten-
führt und ENO = 0 ausgegeben.

typen der SPS-Norm, die sich nur an Hersteller wendet und
mitteilt, dass jeder nachgeordnete Datentyp verwendet werden

Ist bei Funktionsaufruf EN D 1, wird die Funktion ausgeführt
darf. Die Ausgestaltung der MOVE-Funktion ist herstellerab-
und der Ausgang meldet mit ENO D 1 die Fehlerfreiheit der
hängig.

Ausführung oder mit ENO D 0 einen Ausführungsfehler.

Aufruf und Wertübergaben

63
zwischen Bausteinen nach

IEC 61131-3

Günter Wellenreuther und Dieter Zastrow

VIII

Teil

63.1 Aufrufhierarchie der Bausteine P, FB und FC . . . . . . . . . . . . . 804

63.2 Aufruf von Funktionsbausteinen in FBS . . . . . . . . . . . . . . . . 804

63.3 Aufruf von Funktionsbausteinen in AWL . . . . . . . . . . . . . . . . 804

63.4 Aufruf von Funktionen in AWL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

803

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_63

804

63 Aufruf und Wertübergaben zwischen Bausteinen nach IEC 61131-3

63.1

Aufrufhierarchie der Bausteine

Beispiel 1

P, FB und FC

Programm P ruft Funktionsbaustein FB auf

Das Anwenderprogramm einer SPS hat einen

PROGRAM PRG
hierarchischen Aufbau

(*Deklaration*)

VAR_INPUT

An oberster Stelle steht ein Baustein des Typs Programm (P),

Wert1 AT %IX0.0 : BOOL ;
dessen Deklaration und Gebrauch identisch ist mit denen der be-

Wert2 AT %IX1.0 : BOOL ;
reits beschriebenen Funktionsbausteine, jedoch mit den begren-

Wert3 AT %IX1.7 : BOOL ;

T
zenden Schlüsselwörtern PROGRAM ... END_PROGRAM.

eil

END_VAR

In diesem Baustein können Instanzen von Funktionsbausteine

VAR

Instanz1 : FB 10 ;

VIII

(FB) sowie Funktionen (FC) aufgerufen werden.

END_VAR

An mittlerer Stelle stehen die Bausteine des Typs Funktions-

VAR_OUTPUT
baustein (FB). Innerhalb eines Funktionsbausteins können In-

Wert4 AT %QX4.0 : BOOL ;
stanzen anderer Funktionsbausteine oder auch Funktionen (FC)

END_VAR
aufgerufen werden

(*Bausteinrumpf*)

Instanz1

An unterster Stelle stehen die Bausteine vom Typ Funktionen

(FC). Innerhalb einer Funktion können andere Funktionen (FC)

FB 10
aufgerufen werden.

(*Deklarationsteil*)

Wert1

E0

A4

Wert4

63.2

Aufruf von

Wert2

E1

Funktionsbausteinen in FBS

Wert3

E2

(*Bausteinrumpf*)

Am einfachsten gestalten sich Bausteinaufrufe und die damit

Programmteil
verbundenen Werteübergaben in grafischer Programmierspra-

(unsichtbar)

che, z. B. FBS. Die Einbindung eines Funktionsbausteins (FB)

in ein Programm (P) geschieht in der logischen Reihenfolge:

END_PROGRAM

J

Deklarieren einer Instanz des Funktionsbausteins, Einfügen des

Bausteinsymbols aus der Bausteinbibliothek und Zuordnung
des Instanznamens, Anbindung der Instanz-Eingänge/Ausgänge
an Variablen des aufrufenden Bausteins, z. B. auch an di-

Beispiel 2
rekte Variablen, welche die Verbindung zu den realen SPS-

Eingängen/Ausgängen halten.

Programm P ruft Funktionsbaustein FB auf

Instanzen werden deklariert wie Variablen durch Angabe eines

PROGRAM PRG

Namens und eines Typs. Als Typ wird der Name des Funktions-

(*Deklaration*)

bausteins verwendet.

VAR_INPUT

Wert1 AT %IX0.0 : BOOL ;

Wert2 AT %IX1.0 : BOOL ;

63.3

Aufruf von

Wert3 AT %IX1.7 : BOOL ;

END_VAR

Funktionsbausteinen in AWL

VAR

Instanz1 : FB 10 ;

END_VAR

Gleicher Deklarationsteil wie in der Grafiksprache FBS. Etwas

VAR_OUTPUT
schwieriger gestaltet sich der Bausteinaufruf und die damit ver-

Wert4 AT %QX4.0 : BOOL ;
bundenen Werteübergaben in Textsprache, z. B. AWL. Es stehen

END_VAR
mehrere Methoden zur Verfügung, deren einfachste ist die mit

(*Bausteinrumpf*)

der formalen Argumentenliste, die auch vom Hersteller fest

CAL Instanz1 (
vorgegeben sein kann. Bei dieser Methode muss ein Funktions-

E0 := Wert1,
baustein mit dem Befehl CAL (unbedingt) oder CALC (bedingt)

E1 := Wert2,
aufgerufen werden, gefolgt vom Instanznamen und der offenen

E2 := Wert3,

A4 => Wert4 )

Klammer. Darunter erscheint die auszufüllende Liste mit den

END_PROGRAM

Parametern des aufgerufenen Instanzbausteins, die mit der ge-

J
schlossenen Klammer beendet wird.

63.4

Aufruf von Funktionen in AWL

805

63.4

Aufruf von Funktionen in AWL

Beim „ nichtformalen Aufruf “ muss zuerst der erste Eingangspa-
rameter in das Ergebnisregister geladen werden. Dann kommt
die Anweisung mit dem Namen der Funktion als Operator,

Gegenüber dem Aufruf von Funktionsbausteinen entfällt die In-
gefolgt von den restlichen Eingangsparametern in richtiger Rei-
stanzbildung. Der Aufruf in der Grafiksprache FBS ist sonst
henfolge und durch Kommas getrennt im Operandenteil. Mit
der gleiche wie bei Funktionsbausteinen. Unterschiede beste-
dem Abschluss dieser Anweisung berechnet die Funktion das
hen beim Aufruf in der Textsprache AWL, da nicht der Operator

Ergebnis und stellt es in das Ergebnisregister. In der letzten An-

CAL verwendet werden darf. Der Funktionsname ist als Opera-
weisung wird das Aktuelle Ergebnis (AE) des Ergebnisregisters
tor in der Anweisung anzugeben. Es sind zwei Aufrufmethoden
in der Zielvariablen gespeichert.

zu unterscheiden.

Beim „ formalen Aufruf “ wird als erste Anweisung einfach der

Beispiel 4

Name der aufzurufenden Funktion geschrieben, gefolgt von
der offenen Klammer. Danach wird je Anweisungszeile ein

Nichtformaler Aufruf einer Funktion

VIII

Eingangsparameter übergeben, wie bei der obigen formalen

Argumentenliste, jedoch nur für die Funktionseingänge. Dann

PROGRAM PRG

Teil
folgt die geschlossene Klammer, mit der die Funktion bearbei-

(*Deklaration*)

tet und das Ergebnis im Ergebnisregister gespeichert wird. Die

VAR_INPUT

Wert1 AT %IX0.0 : BOOL ;
letzte Anweisung speichert das Aktuelle Ergebnis (AE) des Er-

Wert2 AT %IX1.0 : BOOL ;
gebnisregisters in der Zielvariablen.

Wert3 AT %IX1.7 : BOOL ;

END_VAR

Beispiel 3

VAR_OUTPUT

Wert4 AT %QX4.0 : BOOL ;

END_VAR

Formaler Funktionsaufruf einer Funktion

(*Bausteinrumpf*)

LD Wert1

PROGRAM PRG

FC 10 Wert 2, Wert 3

(*Deklaration*)

ST Wert4

VAR_INPUT

END_PROGRAM

Wert1 AT %IX0.0 : BOOL ;

J

Wert2 AT %IX1.0 : BOOL ;

Wert3 AT %IX1.7 : BOOL ;

END_VAR

VAR_OUTPUT

Wert4 AT %QX4.0 : BOOL ;

END_VAR

(*Bausteinrumpf*)

FC 10 (

E0 := Wert1,

E1 := Wert2,

E2 := Wert3,

);

ST

Wert4

END_PROGRAM

J

Ablaufsteuerung

64

Günter Wellenreuther und Dieter Zastrow

VIII

Teil

64.1 Ablauf-Funktionsplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808

64.2 Grafische Darstellung von Ablaufsteuerungsfunktionen . . . . . . . 808

64.3 Betriebsartenteil und Bedienfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

807

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_64

808

64 Ablaufsteuerung

Steuerungsprogramme, die einen schrittweisen Prozessablauf

64.2

Grafische Darstellung von
nach den Vorgaben von Ablauf-Funktionsplänen ausführen,
werden Ablaufsteuerung en genannt.

Ablaufsteuerungsfunktionen

Zur Darstellung von Ablaufstrukturen werden Ablauf-Funkti-
onspläne verwendet, die auch als SFC (Sequential Function

64.1

Ablauf-Funktionsplan

Chart) bezeichnet werden.

Darstellung von Schritten und Transitionen

T

Der Ablauf-Funktionsplan ist eine eigenständige Planart zur
eil
prozessorientierten Darstellung von Steuerungsaufgaben. Eine

Jeder mögliche Zustand einer Steuerung wird im Ablauf-
verbale Aufgabenstellung soll aus Gründen der Klarheit und

Funktionsplan durch einen Schritt dargestellt. Ein Schritt ist

VIII

Vollständigkeit durch eine grafische Darstellung ersetzt werden,
entweder aktiv oder inaktiv und stellt einen Zustand der Steue-
die bei der Planung, Inbetriebnahme und Störungssuche hilf-
rung dar. Ein Schritt muss grafisch durch einen Block dargestellt
reich sein soll. Ein richtig entworfener Ablauf-Funktionsplan
werden, der einen Schrittnamen in Form eines Bezeichners ent-
muss bereits die Lösung einer entsprechenden Steuerungsauf-
hält, siehe Abb. 64.1.

gabe darstellen.

Eine Sonderstellung nimmt der Anfangsschritt ein, der durch

Geeignete Steuerungsaufgaben sind solche, bei denen unter-
eine doppelte Umrahmung gekennzeichnet ist. Der Anfangs-
scheidbare Aktionen in einer ereignis- oder zeitgesteuerten
schritt muss beim Start des Ablaufsals einziger Schritt aktiv

Reihen- oder auch Parallelfolge ablaufen und die auf Wie-
sein. Die Schritte sind durch gerichtete Verbindungen in Form
derholung gerichtet sind. Anschauliche Beispiele dafür sind
von vertikalen Linien miteinander verbunden. Die Eigenschaft

Produktionsanlagen.

eines Schrittes, aktiv oder inaktiv sein zu können, setzt ein Spei-
cherverhalten im Steuerungsprogramm voraus. Jedem Schritt ist

Der Ablauf-Funktionsplan stellt nur die grafischen Elemente für
normalerweise eine Aktion zugeordnet, die in einem Aktions-
eine Ablaufbeschreibung zur Verfügung. Die Entwurfsmethode
block angegeben und mit dem Schritt verknüpft werden kann.

besteht darin, dass Steuerungszustände eingeführt und mit Ak-

Die Aktion ist nicht Bestandteil des Schrittes. Die Ablaufket-
tionen verknüpft sowie Übergangsstellen zur Berücksichtigung
te besteht aus einer Folge von Schritten und Transitionen, die
von Steuersignalen vorgesehen werden.

einfach oder verzweigt sein kann.

Die Darstellung von Ablauf-Funktionsplänen kann auf zwei ver-
schiedenen Normen beruhen:

Einfache Ablaufkette

Der Wechsel von Schritt und Transition wird als Folge wieder-

DIN EN 60848 GRAFCET, Spezifikationssprache für Funk-
holt. Es wird eine Kettenschleife gebildet, um wieder zum An-
tionspläne der Ablaufsteuerung. (Nachfolger der DIN 40719-
fang zurückzukehren. Die zurückführende Wirkungslinie kann

6). Diese Norm definiert eine grafische Entwurfssprache für
durch eine Pfeildarstellungen mit Angabe von Schrittnummern
die funktionale Beschreibung des Verhaltens des Ablauf-
ersetzt werden (Abb. 64.2).

teils eines Steuerungssystems. Die Entwurfssprache wird

„GRAFCET“ genannt.

DIN EN 61131, Speicherprogrammierbare Steuerungen, Teil

Verzweigte Ablaufkette

3: Programmiersprachen, hierin Elemente der Ablaufsprache

Man unterscheidet je nach Art der Verzweigung zwischen

(AS). Der Zweck der Ablaufsprache ist die Darstellung von
der Alternativ-Verzweigung und der Simultan-Verzweigung

Ablauffunktionen in SPS-Programm-Organisationseinheiten

(Abb. 64.3).

des Typs Funktionsbaustein oder Programm. Dazu gibt die

Norm zwei Darstellungsvarianten für ihre Elemente an, eine
ausführlich behandelte grafische Variante und eine textuelle

Variante.

Anfangsschritt

S_1

(Initialschritt)

DIN EN 60848 und DIN EN 61131-3 haben jeweils ihren

Transition
gerichtete Verbindungen
eigenen spezifischen Anwendungsbereich. Während die Ent-

(Übergang)

(Wirkungslinien)

wurfssprache GRAFCET für die Beschreibung des Verhaltens
unabhängig von einer speziellen Realisierung (elektronisch,

Schritt

S_2

(Zustand)

elektromechanisch, pneumatisch oder gemischt) ist, legt IEC

61131-3 die Beschreibungsmittel der Ablaufsprache AS zwecks

Aktion

Programmrealisierung fest. Bei der Darstellung der Aktionsblö-
cke wird auf die Unterschiede eingegangen.

Abb. 64.1 Darstellung von Ablaufschritten

64.2

Grafische Darstellung von Ablaufsteuerungsfunktionen

809

Verzweigungen werden durch waagerechte Einfachlinien
dargestellt.

Simultan-Verzweigung (Parallelbearbeitung mehrerer Ket-

S_1
tenstränge, UND-Verzweigung); es erfolgt die gleichzeitige

%IX1.0

&

Aktivierung der Anfangsschritte mehrerer Kettenstränge, die

%IX1.1

TRAN12
dann aber unabhängig voneinander bearbeitet werden. Al-
le Kettenstränge unterliegen auf der Anfangsseite nur einer
vorgelagerten gemeinsamen Transitionsbedingung. Bei der

S_2

Aktion

Zusammenführung der Kettenstränge (Endeseite) darf nur

%IX2.0

&
eine gemeinsame Transitionsbedingung vorhanden sein. An-

%IX2.1
fang und Ende von Simultan-Verzweigungen werden durch

TRAN23
waagerechte Doppellinien dargestellt.

Wenn zum Beispiel der Anfangsschritt S_1 aktiv ist und

VIII

S_3

Aktion
die Transitionsbedingung von TRAN_17 den booleschen Wert

&

%IX3.0

TRUE liefert während die Transitionsbedingung von TRAN_12

Teil

TRAN31
den booleschen Wert FALSE hat, wird der Schritt S_7 aktiviert
und Schritt 1 deaktiviert. Damit kann es in dieser Phase des Ab-
laufs nicht mehr zu einer Aktivierung der Schritte S_2 und S_5

Abb. 64.2 Einfache (lineare) Ablaufkette
kommen. Der Übergang von Schritt S_8 zu Schritt S_4 erfolgt
erst, wenn die Transitionsbedingung von TRAN_84 den boo-

TRAN41
leschen Wert TRUE annimmt. Schritt S_8 wird dann von S_4

Alternativ-Verzweigung

(Anfang)

zurückgesetzt.

S_1

Simultan-Verzweigung

Für den Fall, dass der Anfangsschritt S_1 aktiv ist und die Tran-

(Anfang)

sitionsbedingungen von TRAN_12 und TRAN_17 den boole-

Stern

Priorität
schen Wert TRUE haben, wird wegen der festgelegten Priorität

1

2

TRAN12

TRAN17
die Simultan-Verzweigung bearbeitet. Es werden die Schritte

S_2 und S_5 aktiviert und der Vorgängerschritt S_1 deaktiviert.

Der Schritt S_4 wird erst erreicht, wenn die Vorgängerschrit-

S_2

S_5

S_7
te S_3 und S_6 aktiv sind und die Transitionsbedingung von

TRAN_34 den booleschen Wert TRUE annimmt. Die Schritte

TRAN23

TRAN56

TRAN78

S_3 und S_6 werden dann von S_4 zurückgesetzt.

S_3

S_6

S_8

Schleifen und Sprünge

Ein Sprung führt unter Steuerung durch eine Transitionsbedin-

TRAN34

TRAN84
gung von einem Schritt zu einem entfernten anderen Schritt,
wobei der durch den Sprung gebildete Zweig keine Schritte ent-
hält (Abb. 64.4).

S_4

Simultan-Verzweigung

Eine Schleife kann die Folge eines Sprunges sein, indem unter

(Ende)

Steuerung durch eine Transitionsbedingung auf einen Vorgän-

TRAN41

Alternativ-Verzweigung
gerschritt zurückgesprungen wird. Dabei muss verhindert wer-

S_1

(Ende)

den, dass sich das Programm in einer Endlosschleife verfängt.

Abb. 64.3 Verzweigte Ablaufkette

Aktionen, Aktionsblock

Mit einem Schritt ist in der Regel eine Aktion verbunden. Ein

Alternativ-Verzweigung (1- aus n-Verzweigung, ODER-

Schritt ohne zugehörige Aktion übt eine Warte-Funktion aus

Verzweigung); es erfolgt die Auswahl und Bearbeitung nur
bis die nachfolgende Transitionsbedingung erfüllt ist. Da der
eines Kettenstranges aus mehreren Kettensträngen. Am Ver-

Ablauf-Funktionsplan beschreiben soll, was in der gesteuerten
zweigungsanfang darf zur gleichen Zeit nur eine Transiti-

Anlage zu geschehen hat, wird in der Norm der Begriff Aktion
onsbedingung wahr sein (Verriegelung) oder es muss eine
anstelle von Befehl verwendet.

Priorität vorgegeben werden, indem der Strang mit der nie-
dersten Nummer die höchste Priorität hat. Zusätzlich wird

Der Aktionsblock ist ein grafisches Element zur Darstellung von
mit einem Stern (*) angegeben, dass die Transitionen von

Aktionen. Der Aktionsblock ist nicht Teil eines Schrittes und
links nach rechts bearbeitet werden. Jedes Strang-Ende muss
damit auch nicht Teil der Ablaufkette. Der Aktionsblock kann
eine eigene Transitionsbedingungen zum Verlassen des Ket-
mit einem Schritt verknüpft oder als grafisches Element in einer
tenstranges aufweisen. Anfang und Ende von Alternativ-

Kontaktplan- bzw. Funktionsplandarstellung verwendet werden.

810

64 Ablaufsteuerung

Tab. 64.1 Symbole für Aktionen nach GRAFCET

Schleife

Speichernde Aktion

S_1

Aktion wird bei Aktivierung des Schrit-
tes gespeichert

S_6

Aktion A:=1

Beispiel: Setze den Wert der booleschen

Variablen A auf TRUE

TRAN12

TRAN14

Sprung

Endlos-

Zeitverzögerte Aktion
schleife

Die verzögerte Aktion ist eine konti-

S_2

S_4

3s/S_7
nuierlich wirkende Aktion, bei der die

S_7

Aktion B

Zuweisungsbedingung erst nach 3 s er-

Teil
füllt ist

TRAN23

TRAN45

Beispiel: Ausgang B nimmt den Wert

VIII

TRUE an, nachdem drei Sekunden seit

S_3

S_5
der Aktivierung von Schritt S_7 vergan-
gen sind

Zeitbegrenzte Aktion

Die begrenzte Aktion ist eine konti-

TRAN31

TRAN54

TRAN52

3s/S_8
nuierlich wirkende Aktion, bei der die

S_8

Aktion C

Zuweisungsbedingung während der Dau-
er von 3 s erfüllt ist

Abb. 64.4 Sprung und Schleife

Beispiel: Ausgang C erhält den Wert

TRUE für drei Sekunden nach Aktivie-
rung von Schritt S_8

Nachfolgend wird jedoch die Verknüpfung von Schritt und Ak-

Bedingte Aktion
tionsblock bevorzugt.

Die Zuweisungsbedingung S3 beein-

S3
flusst die kontinuierlich wirkende Aktion

In vollständiger Darstellung besteht der Aktionsblock aus vier

S_9

Aktion V

Beispiel: Ausgang V erhält den Wert

Teilflächen, die nicht alle genutzt werden müssen:

TRUE, wenn in Schritt 9 Bedingung S3
erfüllt ist

Als boolesche Gleichung: V D S_9 & S3

S_2

“a”

“b”

“c”

“d”

L

S_3

Pumpe Ein
t # 20s

Feld „a“: Bestimmungszeichen

N

Zylinder_vor

Pos_1

Feld „b“: Aktionsname

Pos_1

Feld „c“: Anzeigevariable

Feld „d“: Beschreibung der Aktion in AWL; ST; KOP, FBS

Im Aktionsfeld „c“ kann eine boolesche Anzeige-Variable ein-

Im einfachsten Fall wird in Feld „b“ der Name einer booleschen
getragen werden, die durch die Aktion gesetzt werden kann, um

Variablen und in Feld „a“ ein zutreffendes Bestimmungszeichen
die Erledigung oder einen Fehlerfall (z. B. Zeitüberschreitung)

eingetragen.

anzuzeigen oder als Weiterschaltbedingung verwendbar ist.

Bestimmungszeichen für Aktionen (IEC 61131-3)

D

Die Verknüpfung einer Aktion mit einem Schritt erfolgt formal

S_2

Heizung Ein
t #10s
durch ein sog. Bestimmungszeichen. Für jedes Bestimmungs-
zeichen (N, S, R, L, D u. a.) muss in der Ablaufsteuerung eine

Programmteil mit einer entsprechenden Ansteuerlogik für die
im Feld „b“ angegebene boolesche Ausgangsvariable vorhan-

Die Aktion wird ausgeführt, wenn der zugehörige Schritt ge-
den sein. Im Abb. 64.5 ist für einzelne Bestimmungszeichen die
setzt ist und eine Aktionssteuerung die Freigabe erteilt. Die

Art der Ansteuerlogik mit Liniendiagrammen beschrieben.

Aktionssteuerung sorgt für die richtige Umsetzung der im Feld

Die DIN EN 60848 unterteilt den Aktionsblock nicht. Die Art

„a“ eingetragenen Bestimmungszeichen. Im Beispiel lautet die
der Aktionsausgabe wird dort durch Symbole am Aktionsblock

Aktion „Heizung EIN“ und es ist das Bestimmungszeichen D
festgelegt, siehe Tab. 64.1.

zusammen mit einer Zeitangabe im Feld „a“ eingetragen. Er-
gebnis: Die Heizung wird verzögert eingeschaltet.

Welche der Darstellungen verwendet wird, bestimmen in der

Praxis die Vorteile für den jeweiligen Anwendungszweck. Ab-

Es ist zulässig, mehrere Aktionen mit einem Schritt zu verbin-
laufsteuerungen werden mit speziellen Software-Tools der Au-
den. Dies wird grafisch dargestellt durch aneinander gereihte
tomatisierungsfirmen entwickelt, die viel Detailarbeit überneh-

Aktionsblöcke.

men.

64.3

Betriebsartenteil und Bedienfeld

811

N-Befehl (nichtgespeichert)

1

Schritt 2

0

S_2

N

Motor Ein

1

Motor

0

S-Befehl (Setzen, gespeichert)

1

S_3

S

Motor Ein

Schritt 3

0

1

Motor

0

R-Befehl (Rücksetzen)

1

S_5

VIII

R

Motor Aus

Schritt 5

0

Teil

1

Ist Schritt 6 kürzer als T#20s, verkürzt

L-Befehl (zeitbegrenzt)

Schritt 6
sich auch die Einschaltzeit der Pumpe.

0

S_6

L

Zeitg1:Pumpe Ein

20s
t # 20s

1

Pumpe

0

1

D-Befehl (zeitverzögert)

Schritt 8

0

S_8

D

Zeitg2:Heizung Ein

10s
t # 10s

1

Heizung

0

Abb. 64.5 Bestimmungszeichen N, S, R, L und D für Aktionen nach IEC 61131-3

64.3

Betriebsartenteil und

Bedienfeld

Bedienfeld

Signale

Ablaufsteuerungen in der Praxis bestehen aus Ablaufketten

Betriebsartenteil
und verfügen über einen übergeordneten Betriebsartenteil für
die Inbetriebnahme, Anlagenbetrieb und Störungsbeseitigung.

Signale

Betriebsartensignale

Schrittnummer

Ablaufsteuerungen bestehen im Prinzip immer aus folgenden
der Anlage

B0 B1

B2

B3

Komponenten:

Ablaufkette

Verriegelg.

Betriebsartensignale

Zeiten,

Schrittnummer

Betriebsartensignale sind die vom Betriebsartenprogramm er-

Zähler
zeugten Steuersignale für das Weiterschalten und Rückset-

Aktionsausgabe
zen der Ablaufkette sowie für die Freigabe von Aktionen

(Abb. 64.6).

Signale an Stellgeräte

Abb. 64.6 Struktur einer Ablaufsteuerung

Rücksetzen RESET (B0) RESET wirkt durch die Über-
gabevariable B0 auf einen Eingangsparameter RUECKSETZ
des Ablaufkettenbausteins und versetzt die Schrittkette in die
bei Hand-Einzelschrittbetrieb oder ein Dauersignal bei Automa-

Grundstellung oder wirkt über den RESET-Eingang des Ak-
tikbetrieb sein.

tionsbausteins und setzt dort Speicher, Zeitglieder und Zähler
zurück.

Freigabe der Kette ohne Bedingungen FREI_K_oB (B2)

FREI_K_oB wirkt durch die Übergabevariable B2 auf einen

Freigabe der Kette mit Bedingungen FREI_K_mB (B1)

Eingangsparameter WEITER_oB im Ablaufkettenbaustein. Nur

FREI_K_mB wirkt durch die Übergabevariable B1 auf einen
wenn B2 = 1 ist, wird im Hand-Einzelschrittbetrieb der nächs-

Eingangsparameter WEITER_mB im Ablaufkettenbaustein.

te Schrittspeicher gesetzt, ohne dass die Weiterschaltbedingung

Nur wenn B1 = 1 ist, wird bei erfüllten Weiterschaltbedingun-
erfüllt sein muss. Das B2-Signal muss immer ein Impulssignal
gen der nächste Schritt gesetzt. Das B1-Signal kann ein Impuls
mit der Länge von einer Zykluszeit sein.

812

64 Ablaufsteuerung

Steuerung

Betriebsarten

A4

Automatik

A5

AUS

EIN

E0

E1

Beenden

E4

E2

Autom. Betr.

0

Hand / Einzelschritt

Schrittanzeige

Weiter_oB

A0

E5

0

Weiter_mB

T

A1

Start / Quittierung
eil

A2

Aktion_Freigabe

E3

VIII

A3

E6

Abb. 64.7 Beispiel eines Bedienfeldes für Ablaufsteuerung

Freigabe Aktion FR_AKTION (B3) FR_AKTION wirkt
ten der Ablaufkette mit Bedingungen sowie die
durch die Übergabevariable B3 auf einen Eingangsparameter

Freigabe der Aktionen eingeschaltet und somit der

FREIGABE des Aktionsbausteins und kann dort einen Aktions-
automatische Ablauf der Kette gestartet.

ausgang freischalten bzw. sperren.

Bei E2 D 0 (Hand-/Einzelschrittbetrieb) er-
folgt bei Betätigung von E3 eine Einzelschritt-

Funktionen eines Bedienfeldes

Weiterschaltung der Schrittkette.

Eingriffe in Steuerungen sollen von einem Bedienfeld aus erfol-

Bei ausgeschalteter Steuerung kann durch Betäti-
gen, dessen Bedienoberfläche auf die Erfordernisse von Ablauf-
gen der Start/Quittierungs-Taste ein RESET zum
steuerungen mit Betriebsartenteil abgestimmt ist.

Rücksetzen der Schrittkette und der gespeicherten

Aktionen ausgelöst werden, wenn sich die Anlage

Die Kenntnisnahme der Einzelfunktionen der Befehlsgeber und
in der Grundstellung befindet.

Anzeigen des beispielhaften Bedienfeldes verdeutlicht die Kom-

Taster E4:

Beenden Automatikbetrieb
plexität und Praxisnähe von Ablaufsteuerungen (Abb. 64.7).

Vorwahl zum Beenden der Betriebsart Automatik

Taster E0:

Steuerung: AUS
bei Erreichen der Grundstellung der Ablaufkette

Taster E1:

Steuerung: EIN

(vollständig beendeter Bearbeitungsprozess).

Hinweis: Statt der beiden Taster kann auch ein

Schalter E5: Weiterschaltbedingung für Hand-/Einzel-

EIN-AUS-Schalter bzw. ein Schlüsselschalter ver-
schrittbetrieb
wendet werden.

Bei E2 D 0 (Hand-/Einzelschrittbetrieb) muss die

Schalter E2: Betriebsart

Art der Ablaufketten-Weiterschaltung festgelegt

Wahl der Betriebsart: E2 D 1 für Automatik,
werden. Zur Auswahl stehen E5 D 1 (Weiterschal-

E2 D 0 für Handbetrieb.

ten ohne Bedingungen) und E5 D 0 (Weiterschal-

Während eines Bearbeitungsprozesses kann zwi-
ten mit Bedingungen).

schen Automatik und Handbetrieb umgeschaltet

Taster E6:

Aktions-Freigabe
werden.

In der Betriebsart Handbetrieb wird durch Taster

Taster E3:

Start/Einzelschritt

E6 die Aktion des aktiven Schrittes solange ausge-

Bei E2 D 1 (Automatik) werden durch Betätigung
führt, wie E6 betätigt ist.

von E3 der Automatikbetrieb für das Weiterschal-

Kommunikation in Automati-

65
sierungssystemen

Günter Wellenreuther und Dieter Zastrow

VIII

Teil

65.1 Bussysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814

65.2 PROFINET – Offener Industrial Ethernet Standard . . . . . . . . . . 815

65.3 OPC-Technologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

813

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_65

814

65 Kommunikation in Automatisierungssystemen

Die Automatisierungstechnik befindet sich im Umbruch. Durch
ohne großen Mehraufwand zusätzlich zur Verfügung stehen und

Anwendung moderner Kommunikationstechnik erhofft man

Fernparametrierungen intelligenter Sensoren möglich sind.

sich entscheidende Verbesserungen bei Effizienz und Flexibili-

Je nach Anwendungsbereich werden in der Automatisierungs-
tät der Automatisierungsprozesse. Der Begriff der Automatisie-
technik unterschiedliche Bussysteme eingesetzt, deren wichtigs-
rungstechnik umfasst heute mehr als nur das Automatisieren im
te Merkmale ihre sog. Echtzeitfähigkeit und Störsicherheit sind.

Sinne von Steuern, Regeln und Visualisieren, eingeschlossen ist

Echtzeit bedeutet, dass die neuen Daten immer „rechtzeitig“
auch das Kommunizieren.

eintreffen. Zu spät eintreffende Daten können sonst zu gefähr-

Zwischen den Anlagenkomponenten eines Automatisierungs-
lichen Anlagenzuständen führen. Verwendet werden nur noch
systems müssen in der Regel Informationen ausgetauscht wer-
standardisierte, offene Bussysteme. Standardisiert bedeutet in-

T
den. Das sind im einfachsten Fall Signale von Sensoren und
ternational genormt in der IEC 61158 und Offenheit gewährt den
eil

Aktoren, die zum übergeordneten Automatisierungsgerät ge-

Zugang zu Spezifikationen und Technologien, damit sich neue

Anbieter mit eigenen Produkten am System beteiligen können.

VIII
langen müssen oder von dort herkommen. In anderen Fällen
handelt es sich um Messwerte, Statusmeldungen und Diagno-

Für die Nutzer ergibt sich so der Vorteil einer größeren Unab-
seinformationen, die schon kompliziertere Daten darstellen.

hängigkeit von Herstellern bei der Auswahl der zu vernetzenden

Realität ist auch, dass Auftragsdaten der Produktion zwischen

Anlagenkomponenten.

Büro und Fertigungsanlage übertragen werden müssen. Es lie-

Im prozessnahen Bereich der Anlage, der Feldebene, findet man
gen also umfangreiche Kommunikationsbeziehungen in der
überwiegend sogenannte Feldbussysteme mit Master-Slave-

Automatisierungstechnik vor, zu deren Bewältigung moderne

Kommunikation vor. Die Slaves sind die Buskomponenten, über

Kommunikationssysteme verwendet werden.

die alle Eingangs- und Ausgangssignale der Anlage erfasst bzw.

ausgegeben werden. Die Master-Station ist ein Kommunikati-
onsprozessor, der für die zyklische Bedienung der zugeordneten

65.1

Bussysteme

Slave-Stationen sorgt, indem er die Daten von Eingängen der

Slaves abholt bzw. an Ausgänge von Slaves ausliefert. Bekann-
te Master-Slave-Systeme für den Feldbereich sind der AS-i-Bus

Die klassische Informationsübertragung von Prozesssignalen

(Aktor-Sensor-Interface), der PROFIBUS-DP (Process Field
mittels analoger Spannungs- oder Stromwerte passt nicht zur di-

BUS-Dezentrale Peripherie), der INTERBUS-S und andere
gitalen Datenverarbeitung in den Automatisierungsgeräten. Es

Systeme. In der Feldebene zählen Bussysteme seit vielen Jahren
ist deshalb naheliegend, auch die Informationsübertragung auf
zum Stand der Technik. In komplexeren Anlagen mit mehreren
eine digitale Grundlage zu stellen. Um gleichzeitig den Ver-

SPSen kann jedoch auch ein Datenaustausch zwischen Steue-
kabelungsaufwand so gering wie möglich zu halten, überträgt
rungsstationen (SPSen) erforderlich sein. Das erfordert bereits
man Daten über Bussysteme in Form serieller Zweidrahtver-
die höherwertige Master-Master-Kommunikation, die aber auch
bindungen, an die alle Teilnehmer angeschlossen sind. Für
noch dem Produktionsbereich der Fabrik zuzurechnen ist. Muss
den Informationsaustausch werden Telegramme mit entspre-
ein noch weitergehender Datenaustausch unter Einbeziehung
chenden Sende- und Empfangsadressen sowie den Nutzdaten
von Bürobereichen, z. B. der Fertigungssteuerung, verwirklicht
gebildet. Ein solches digitales Kommunikationssystem ist leich-
werden, so wird eine zweite Netzinfrastruktur neben dem vor-
ter erweiterbar durch Anschluss weiterer Teilnehmerstationen
handenen Feldbussystem erforderlich. Hierfür bietet sich dann
und Änderungen erfordern zum großen Teil nur softwaremä-
das im Bürobereich bereits etablierte Ethernet-TCP/IP-Netz
ßige Eingriffe. Digitale Kommunikationssysteme vereinfachen
an. Schon lange wurde gefordert, das TCP/IP-Netz in die Fer-
nicht nur den sonst erforderlichen Verdrahtungsaufwand ra-
tigungsebene zu verlängern bei gleichzeitiger Erfüllung der
dikal, sondern bringen für den Anlagenbetreiber auch noch

Echtzeitbedingung. Ein Beispiel hierfür ist PROFINET als
einen Zusatznutzen, indem außer den eigentlichen Messwer-
neues Kommunikationssystem. Abb. 65.1 gibt eine Übersicht zu
ten nützliche Anlageninformationen wie z. B. Fehlermeldungen

Bussystemen in der industriellen Kommunikation.

Produktionssteuerung und Wirtschaftlichkeit

Bussysteme:

Kommunikations-

Verfügbarkeit und Qualität
protokolle:

Aufträge

Unternehmes-

IT-

Ethernet-

HTTP

Instandhaltung
leitebene

ERP

Kommunikation

TCP/IP

OPC

Anlagenvisualisierung

(S)RT

Betriebsleit-

Daten-

PROFINET

Programmierung

IRT
ebene

MES

Kommunikation
auf Switched

Diagnose

UDP/IP

Fast Ethernet

TCP/IP

SPS

Steuerungs--

DP, PA

Control

PROFIBUS

Feld-

Aktoren, Sensoren
ebene

AS-Interface

Kommunikation

Bedienen/Beobachten

Fertigung-, Prozess-, Gebäude-

EIB

Automatisierung

Produktion

Abb. 65.1 Industrielle Kommunikation. ERP D Enterprise Ressource Planning, MES D Manufacturing Execution Systems

65.2

PROFINET – Offener Industrial Ethernet Standard

815

65.2

PROFINET – Offener Industrial

Ziffer PROFINET IO

PROFIBUS DP Bemerkung

Ethernet Standard

1

IO-System

DP-Master-

Alle Geräte (IO-Controller,
system

IO-Devices) und Kommu-
nikationsverbindungen

2

IO-Controller

DP-Master

Gerät, über das ange-

PROFINET bietet sich als ein offenes und durchgängiges Kon-
schlossene Feldgeräte
zept für Automatisierungslösungen auf Ethernetbasis an, im
angesprochen werden

Bereich von Einzelmaschinen bis hin zu modular aufgebauten

3

IO-Device

DP-Slave

Dezentrale Feldgeräte z. T.

Anlagen mit verteilter Steuerungsintelligenz und gewährleistet
mit eigener CPU
dabei durch Einbinden von PROFIBUS DP einen Investitions-

4

Industrial

Profibus

Netzwerkinfrastruktur mit
schutz.

Ethernet

Switches (in Abb. 65.2
nicht dargestellt)

Das Grundkonzept besteht aus

5

IO-Supervisor

PG/PC

Programmieren, Inbetrieb-

PROFINET IO (dezentrale Feldgeräte) und

DP-Master
nahme/Diagnose

VIII

PROFINET CBA (verteilte Automatisierung)

Klasse 2

6

HMI D Human

HMI

Gerät zum Bedienen und
und schließt folgenden Leistungsumfang ein:

Machine Interface

Beobachten mit Zugriff

Teil
auch auf IO-Devices über

Industrial Ethernet-Netzwerke mit aktiven Netzkomponen-

Ethernet!

ten (Switches, Router)

7

GSD

GSD

Gerätebeschreibungsdatei

Integration bestehender Feldbussysteme (PROFIBUS DP,

(XML-Datei)

(ASCII-Datei)

für die IO-Devices und

INTERBUS, . . . )

DP-Slaves

Kommunikationskanäle für anforderungsabhängige Übertra-
gungsleistung

Herstellerübergreifendes

Engineeringkonzept

(Projektie-

PROFINET-Kommunikationskanäle
rung, Programmierung)

Die PROFINET-Kommunikation findet über Industrial Ethernet

Einsatz
von

IT-Technologien

(Netzwerkadministration,
statt. Dabei werden die folgenden Übertragungsarten unter-

Webserver, E-Mail, OPC)

stützt:

Sicherheitsgerichtete Kommunikation

Zyklische Übertragung von zeitkritischen Daten (Nutzdaten)

Azyklische Übertragung von Engineering-Daten und zeitun-

PROFINET IO
kritische Parametrierungs-, Konfigurierungs- und Diagnose-

PROFINET IO ist die Kurzbezeichnung für das Steuerungskon-

Daten.

zept „Dezentrale Feldgeräte“, dass mit einem Industrial Ethernet

Für die genannten Übertragungsarten werden unterschiedli-

Netzwerk ein zentrales Steuerungsgerät (IO-Controller) mit
che Transportprotokolle verwendet, die man sich vereinfacht
dem dezentralen Feldgerätebereich (IO-Devices) verbindet und
als Transportkanäle unterschiedlicher Leistungsstufen vorstel-
somit eine Ähnlichkeit mit dem weitverbreiteten Feldbussystem
len kann. Abb. 65.3 gibt eine Übersicht.

PROFIBUS-DP besitzt. Die Nutzdaten der Feldgeräte werden
auch wieder zyklisch in Echtzeit in das Prozessabbild des IO-

TCP/UDP-IP-Kanal (Standard-Transportprotokoll der IT-

Controllers übertragen oder in umgekehrter Richtung an die

Welt) für die Übertragung zeitunkritscher PROFINET-Daten.

IO-Devices ausgegeben. Das verwendete Kommunikationsmo-

Dieser Transportkanal steht auch zur generellen Anbin-
dell heißt Provider-Consumer-Verfahren und nicht mehr Master-
dung der Automatisierungssysteme an die übergeordneten

Slave-Verfahren, obwohl der Datenverkehr mit den Feldgeräten

Ethernet-Netze wie den Firmen-eigenen Intranets und dem
in beiden Systemen nach dem gleichen Prinzip abläuft. PROFI-
öffentlichen Internet zur Verfügung.

BUS regelt den Buszugriff über die Token-Weitergabe, von der

SRT-Kanal (Soft Real Time) für zeitkritische PROFINET-
die DP-Slaves ausgeschlossen sind. Im Ethernet-System ist das

Daten. Hierbei handelt es sich um ein spezielles Trans-
nicht möglich, weil alle Teilnehmer am Netz beim Buszugriff
portprotokoll von PROFINET, um die im Feldbusbereich
gleichberechtigt sind. Der Provider sendet seine Daten ohne
geforderte Echtzeitkommunikation zu ermöglichen. Werden

Aufforderung des Kommunikationspartners. Den IO-Devices

Aktualisierungszeiten von ca. 10 ms bei zyklischer Daten-
wird deshalb beim System-Hochlauf mitgeteilt, dass sie mit ei-
übertragung gefordert, wird von „weicher“ Echtzeitbedin-
nem Buszyklus von z. B. 10 ms mit aktuellen Daten versorgt
gung gesprochen. Das SRT-Transportprotokoll wird als Soft-
werden. Die Eigenschaften der IO-Devices werden durch deren
ware auf Basis vorhandener Controller realisiert.

GSD-Datei (General Station Description auf XML-Basis) be-

IRT-Kanal (Isochrone Real Time) für ganz besonders
schrieben, wie dieses auch von PROFIBUS DP her bekannt ist.

anspruchsvolle Anforderungen an die Übertragung von

PROFINET-Daten wie beispielsweise für Antriebssteuerun-

Die Steuerungsintelligenz in Form eines Anwenderprogramms
gen. Hier sind „harte“ Echtzeitbedingungen einzuhalten, d. h.

befindet sich bei PROFINET IO oftmals nur im IO-Controller,

Aktualisierungszeiten von ca. 1 ms bei einer garantierten
kann aber auch teilweise in intelligenten IO-Devices (Feldgeräte

Taktgenauigkeit bis auf 1 µs. Die IRT-Kommunikation ist
mit eigener CPU) untergebracht sein, auch wieder vergleichbar
zeitschlitzgesteuert und setzt eine entsprechende Konfigu-
mit dem PROFIBUS DP-System.

rierung mit IRT-fähigen Geräten einschließlich der Swit-

Abb. 65.2 zeigt zusammen mit der anschließenden Gegenüber-
ches voraus. IRT-fähige Switches schalten die Verbindun-
stellung der Grundbegriffe die Ähnlichkeit beider Systeme auf.

gen zeitsynchronisiert (nicht adressgesteuert) bereits vor

816

65 Kommunikation in Automatisierungssystemen

1

2

GSDML

GSDML

GSD

7

5

4

Teil

3

VIII

6

Abb. 65.2 Bussystem PROFINET IO

IT-Applikationen

PROFINET-Anwendungen

1 TCP/IP-Kanal

HTTP

Parametrieren und Konfigurieren

FTP

Standard

Echtzeit

Lesen von Diagnosedaten

SNMP

Kanal

Kanal

Aushandeln des Nutzdatenkanals

DHCP

OPC

1

2

3

2 SRT-Kanal

TCP/UDP

Zyklische Nutzdatenübertragung

Ereignisgesteuerte Meldungen
undAlarme

IP

SRT

IRT

3 IRT-Kanal

Ethernet

Taktsynchrone

Nutzdatenübertragung

Abb. 65.3 Kommunikationskanäle bei PROFINET
dem Eintreffen der Ethernet-Telegramme durch. Die Reali-

Hardware, die als gerätespezifischer Datenlieferant angesehen
sierung des IRT-Transportprotokolls erfolgt auf Hardware-
werden kann. OPC ist ein Client-Server-System.

Basis durch einen ASIC. PROFINET nutzt auch das Prinzip

Ein OPC-Server ist eine Software-Komponente, die der Herstel-
der „Telegramm-Priorisierung“, um die Übertragung der
ler einer SPS-Hardware für diese zur Verfügung stellt, damit

Daten durch das Ethernet-Netzwerk zu verbessern. Vordring-
von übergeordneten Anwenderprogrammen (z. B. MS Excel)

lichere Telegramme sollen die weniger eiligen Telegram-
aus auf die spezifische Hardware zugegriffen werden kann. Für
me überholen können. Netzwerkkomponenten wie Switches
den OPC-Server, der auf einem PC läuft, muss eine unterla-
können den Datenfluss priorisierter Telegramme steuern, da-
gerte Kommunikationsverbindung zur Hardware des Herstellers
zu verwenden sie Zwischenspeicher.

eingerichtet werden, z. B. PROFIBUS oder Industrial Ethernet-

TCP/IP.

65.3

OPC-Technologie

Im Anwenderprogramm muss ein OPC-Client angelegt und
konfiguriert werden, um auf einen OPC-Server und somit
auf die Prozessdaten beispielsweise einer SPS lokal oder ent-

Die OPC-Technologie (OLE for Process Control) bildet ei-
fernt zugreifen zu können. Die Entwicklung eines OPC-Client-
ne Datenbrücke zwischen einer Applikation, die Prozessda-

Programms kann beispielsweise mit Excel-VBA oder durch
ten übergeordnet zu verarbeiten hat und einer Steuerungs-

Einbindung eines fertigen ActiveX-Elements gelöst werden.

Steuerungssicherheit

66

Günter Wellenreuther und Dieter Zastrow

VIII

Teil

66.1 Europäische Richtlinien und Sicherheitsnormen . . . . . . . . . . . 818

66.2 Sicherheitsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

817

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_66

818

66 Steuerungssicherheit

Typ

Sicherheits-

A-Normen
grundnormen

Gestaltungsleitsätze,

Grundbegriffe für Maschinen

Typ

Sicherheits-

B-Normen
gruppennormen

B1-Normen

B2-Normen

Allgemeine

Bezug auf spezielle

T

Sicherheitsaspekte

Sicherheitseinrichtungen
eil

Typ C-Normen

VIII

Fach-
normen

Spezifische Sicherheitsmerkmale
einzelner Maschinengattungen

Abb. 66.1 Hierarchie des europäischen Normenwerkes für Sicherheit von Ma-
schinen

Jede Maschinensteuerung ist mit einem Fehlerrisiko behaftet,

Die europäischen Normen zur Sicherheit von Maschinen weisen
das sich durch besondere Maßnahmen bei der Entwicklung, Fer-
eine dreigeteilte hierarchische Struktur auf (Abb. 66.1):

tigung, Inbetriebnahme und Bedienung verringern aber nicht

Typ A-Normen: Enthalten Gestaltungsleitsätze, die für alle
völlig ausschließen lässt. Fehlerursachen sind technisches oder

Maschinen gültig sind.

menschliches Versagen.

Typ B-Normen: Sind Sicherheits-Gruppennormen, die auf

Sicherheitsrelevante Maßnahmen sind nicht allein unter dem
unterschiedliche Maschinengruppen anwendbar sind, wie

Aspekt der technischen Funktion (Wie funktioniert die Si-
z. B. DIN EN 60204-1: Elektrische Ausrüstung von Maschi-
cherheitsmaßnahme?) sondern besonders auch unter rechtlichen
nen. B2-Normen behandeln spezielle Sicherheitseinrichtun-

Gesichtspunkten (Welche Sicherheitsvorschriften gelten?) zu
gen, wie z. B. DIN EN 418: NOT-AUS-Einrichtungen.

sehen. Hinter allem aber steht eine soziale Verantwortung des

Typ C-Normen: Sind Sicherheits-Fachnormen und beschrei-

Geräteherstellers und Betreibers, der sich bewusst sein sollte,
ben konkrete Anforderungen an einzelne Maschinenarten.

dass der Werker an einer Maschine davon ausgeht, dass diese

Für Normen von Typ C gilt das „Vermutungsprinzip“, d. h. bei
sicher ist.

Einhaltung dieser Normen darf vermutet werden, dass die An-
forderungen der betreffenden EG-Richtlinien erfüllt sind.

66.1

Europäische Richtlinien und

Sicherheitsnormen

66.2

Sicherheitsbegriff

Der Begriff Sicherheit eines Steuerungssystems ist auf die mög-

Drei für die Steuerungstechnik wichtige EG-Richtlinien seien
lichen Folgen von auftretenden Fehlern bezogen, die Personen
hier besonders erwähnt:

und Sachen betreffen. Davon zu unterscheiden ist der Begriff der

Verfügbarkeit eines technischen Systems, die zwischen 0 und

Niederspannungsrichtlinie 73/23/EWG: Schutz vor Gefah-
ren durch elektrischen Strom bei Niederspannungsgeräten im

100 % liegen kann, unabhängig von der Bedeutung der mögli-
chen Folgen eines Ausfalls.

Spannungsbereich 50 . . . 1000 VAC, 75 . . . 1500 VDC, CE-

Kennzeichnungspflicht seit 1997.

Um funktionale Sicherheit einer Maschine zu erreichen, ist es

Maschinenrichtlinie 89/392/EG, letzte Fassung 98/37 EG:

erforderlich, dass die sicherheitsbezogenen Teile der Schutz-

Grundlegende Anforderungen an die Sicherheit der Ma-
und Steuereinrichtungen korrekt funktionieren und sich im Feh-
schinen zum Schutz der Gesundheit des Betreibers. In-
lerfall so verhalten, dass die Maschine in einem sicheren Zu-
zwischen gilt diese Richtlinie auch für Sicherheitsbauteile,
stand bleibt oder dorthin gebracht wird (Tab. 66.1).

CE-Kennzeichnungspflicht seit 1995.

Das Maß für die erreichte funktionale Sicherheit wird in den

EMV-Richtlinie 89/336/EWG (Elektromagnetische Verträg-

Normen mit unterschiedlichen Wertigkeitsstufen ausgedrückt,
lichkeit): Zwei grundlegende Anforderungen an die Ge-
und zwar mit:

räte sind die sehr allgemein gehaltenen Grenzen für

Störaussendung und Störfestigkeit bei Einstrahlung, CE-

Safety Integrity Level in IEC 61508: SIL 1 bis SIL 4 (Höchst-

Kennzeichnungspflicht seit 1996.

stufe)

66.2

Sicherheitsbegriff

819

Tab. 66.1 Beschreibung der Anforderungen für Sicherheitskategorien

Kategorie Kurzfassung der Anforderungen

Systemverhalten

Maßnahmen

B

Sicherheitsbezogene Teile von Steuerungen nach dem

Das Auftreten eines Fehlers kann zum Ver-
z. B. 1-kanaliger Sicherheitskreis,

Stand der Technik
lust der Sicherheitsfunktion führen.

Erdung des Steuerstromkreises

Bauteile müssen den zu erwartenden Einflüssen stand-
halten

1

Anforderungen von „B“ müssen erfüllt sein

Das Auftreten eines Fehlers kann zum Ver-

Zusätzlich z. B.: zwangsöffnende

Einsatz bewährter Bauteile und Sicherheitsprinzipien
lust der Sicherheitsfunktion führen, aber
und zwangsgeführte Kontakte
höhere Zuverlässigkeit als in Kategorie B

2

Anforderungen von „B“ müssen erfüllt sein. Einsatz

Das Auftreten eines Fehlers kann zum Ver-

Zusätzlich z. B.: Funktions-
bewährter Bauteile und Sicherheitsprinzipien
lust der Sicherheitsfunktion zwischen den

/Anlauftestung

Testung der Sicherheitsfunktion in angemessenen

Prüfungsabständen führen. Der Verlust der

Zeitabständen durch die Steuerung

Sicherheitsfunktion wird durch die Prüfung
erkannt

VIII

3

Anforderungen von „B“ sind zu erfüllen, Einsatz be-

Wenn der einzelne Fehler auftritt, bleibt die

Zusätzlich z. B.: 2-kanalige Aus-
währter Bauteile und Sicherheitsprinzipien

Sicherheitsfunktion immer erhalten. Einige
führung von Sicherheitskreisen

Einfehler-Sicherheit: Ein einzelner Fehler führt nicht
aber nicht alle Fehler werden erkannt. Eine

Teil
zum Verlust der Sicherheitsfunktion

Anhäufung unerkannter Fehler kann zum

Der einzelne Fehler wird erkannt mit der Einschränkung

Verlust der Sicherheitsfunktion führen

„wann immer und in angemessener Weise durchführbar“

4

Anforderungen von „B“ sind zu erfüllen, Anwendung

Wenn Fehler auftreten, bleibt die Sicher-

Zusätzlich z. B.: Selbstüberwa-
bewährter Prinzipien
heitsfunktion immer erhalten. Die Fehler
chung der Sicherheitskreise,

1-Fehlersicherheit ist gewährleistet
werden rechtzeitig erkannt, um einen Ver-

Querschlusserkennung

Erkennung des einzelnen Fehlers vor oder bei nächster
lust der Sicherheitsfunktion zu verhindern

Anforderung an die Sicherheitsfunktion (Selbstüberwa-
chung)

Falls die Erkennung des einzelnen Fehlers nicht möglich
ist, darf eine Anhäufung von Fehlern nicht zum Verlust
der Sicherheitsfunktion führen

Kategorien in der DIN EN 954-1: KAT 1 bis KAT 4 (Höchst-
stufe)

Stopp-

Performance Level in ISO 13849-1: PLa bis PLe (Höchststu-

Befehl

EIN
fe)

Startfunktion

AUS

M

Start-Funktionen müssen durch Erregen des entsprechenden
t

3 ~

Kreises erfolgen.

Stoppfunktionen

Abb. 66.2 Stopp-Kategorie 0

Stopp-Funktionen müssen durch Entregen des entsprechen-
den Kreises erfolgen und haben Vorrang vor zugeordneten

Stopp-

Still-

Start-Funktionen. Das Rücksetzen der Stopp-Funktion darf

Befehl
stand
keinen Gefahr bringenden Zustand einleiten. Bei den Stopp-
n=0

Funktionen gibt es die Kategorien 0, 1 und 2.

EIN

Antreiben

Bremsen

Anforderungen der Stopp-Kategorien:

Stillsetzen

1. Kategorie 0 ist ein Stillsetzen durch sofortiges Abschalten

AUS
der Energiezufuhr zu den Antrieben, d. h. ein ungesteuertes
t

Stillsetzen, z. B. durch Betätigung des Motor Leistungsschal-
ters und aller Bremsen (mechanischer Stillsetzeinrichtun-

M

3~
gen), (Abb. 66.2).

2. Kategorie 1 ist ein gesteuertes Stillsetzen, bei dem die Ener-

Abb. 66.3 Stopp-Kategorie 1
giezufuhr zu den Maschinenantrieben beibehalten wird, um
das gesteuerte Stillsetzen ausführen zu können. Die Ener-
giezufuhr wird erst dann unterbrochen, wenn der Stillstand

Handlungen im Notfall (NOT_AUS)

erreicht ist, z. B. Gegenstrombremsung von Drehstrommoto-
ren (Abb. 66.3).

Der neue Begriff Handlungen im Notfall ist Teil eines neuen Si-

3. Kategorie 2 ist ein gesteuertes Stillsetzen, bei dem die Ener-
cherheitskonzepts und steht für eine differenzierte Betrachtung
giezufuhr zu den Maschinenantrieben erhalten bleibt, z. B.

der Handlungen, die im Notfall auszuführen sind. Im informa-

Anhalten durch Vorgabe von Sollwert „0“ (Abb. 66.4).

tiven Anhang der Norm DIN EN 60204-1 wird das noch in der

820

66 Steuerungssicherheit
det werden. Zusätzlich darf die Funktion nicht von einer

Stopp-

Stopp
elektronischen Schaltlogik (Hardware oder Software) oder

EIN

Befehl

Energie
von der Übertragung von Befehlen über ein Kommunikati-

Sollwert auf
onsnetzwerk oder eine Datenverbindung abhängen.

Null setzen

Bei der Stopp-Funktion der Kategorie 1 für die Stillsetz-

Bewegung

M

Funktion im Notfall muss die endgültige Abschaltung der

AUS
t

Energie der Maschinen-Antriebselemente sichergestellt sein
und muss durch Verwendung von elektromechanischen Be-

G
triebsmitteln erfolgen.

Anmerkung der Norm: Die Norm weist in ihrem deut-

T

Abb. 66.4 Stopp-Kategorie 2
eil
schen Vorwort daraufhin, dass in Fällen, in denen andere

Normen andere technische Lösungen zulassen als in DIN

VIII

EN 60204-1 festgelegt ist, diese anderen technischen Lö-

Beratung befindliche Konzept erläutert. Eine Handlung im Not-
sungen zur Anwendung gelangen dürfen! Damit ist auch
fall schließt einzeln oder in Kombination ein:

klargestellt, dass elektronische Betriebsmittel doch für NOT-

1. Stillsetzen im Notfall (Risiko durch einen Prozessablauf

AUS-Einrichtungen unabhängig von der Stopp-Kategorie
oder eine Bewegung)

eingesetzt werden dürfen, wenn diese unter Anwendung der

2. Ingangsetzen im Notfall!

Normen DIN EN 954-1 (Risikoanalyse) und/oder IEC 61508

3. Ausschalten im Notfall (Risiko durch elektrische Gefähr-
die gleiche Sicherheit erfüllen, wie nach DIN EN 60204-1
dung)

gefordert.

4. Einschalten im Notfall!

Ausschalten im Notfall sollte vorgesehen werden, wo ein

Die Norm macht nur Aussagen über Stillsetzen im Notfall so-

Schutz gegen direktes Berühren aktiver Stromkreisteile (z. B.

wie Ausschalten im Notfall und bestimmt, dass beide durch eine

Schaltgeräte in elektrischen Betriebsräumen) nur durch Ab-
einzige menschliche Handlung auszulösen sind.

stand oder Hindernisse erreicht wird oder wo es die Mög-
lichkeit einer anderen Gefährdung durch elektrische Energie

Es besteht eine enge Anbindung der Notfallsignale an die Stopp-
gibt.

kategorien:

Ein Ausschalten im Notfall wird durch Abschalten der Ma-

Stillsetzen im Notfall muss entweder als Stopp der Kategorie
schine von der Versorgung erreicht mit der Folge eines

0 oder 1 wirken und über die Risikoanalyse bestimmt wer-
ungesteuerten Stillsetzens (Stopp-0-Kategorie) der Maschi-
den.

ne. Ist das nicht zulässig, kann es notwendig sein, einen

Für das Stillsetzen im Notfall der Kategorie 0 dürfen nur
anderen Schutz z. B. gegen direktes Berühren vorzusehen,
festverdrahtete, elektromechanische Betriebsmittel verwen-
sodass ein Ausschalten im Notfall nicht notwendig ist.

Regelungstechnische Grund-

67
begriffe der Automatisie-
rungstechnik

Günter Wellenreuther und Dieter Zastrow

VIII

Teil

67.1 Unterschied zwischen Steuern und Regeln, regelungstechnische

Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822

67.2 Regler-Technologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

821

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_67

822

67 Regelungstechnische Grundbegriffe der Automatisierungstechnik

Die folgenden Abschnitte über regelungstechnische Grundbe-
w
y
x
griffe, Regelstrecken und Regler sind nur eine enge Ausschnitts-

Steuer-

Steuerstrecke
einrichtung
betrachtung einer umfassenden Wissenschaft, die sich mit der

(Prozess)

gezielten Beeinflussung dynamischer Prozesse während des

Prozessablaufs beschäftigt und dafür mathematische Methoden
z
zur Systembeschreibung und -untersuchung entwickelt hat. Es
geht hier nicht um die mathematische Behandlung von Re-

Abb. 67.2 Struktur einer Steuerung
gelkreisen, sondern im Kern nur darum, für eine bestimmte

Regelungsaufgabe einen geeigneten Reglertyp auszuwählen und

+ U
den Einfluss seiner Regelparameter auf das Verhalten im Regel-

Teil
kreis kennenzulernen.

VIII

Regler

Regelstrecke
w
y

67.1

Unterschied zwischen Steuern

Auf
y R
x
und Regeln,

Ab
r

M
regelungstechnische Größen

Rückführung
z

Kennzeichen einer reinen Steuerung ist der sog. offene Wir-

- U
kungsablauf, d. h. die Eingangssignale enthalten keine Rück-
meldungen über ihre aktuelle Auswirkung auf den Prozess.

Abb. 67.3 Drehzahlregelung

Dieser Fall ist z. B. bei einer einfachen Drehzahlsteuerung ei-
nes Motors gegeben, wie in Abb. 67.1 dargestellt. Mit dem
einstellbaren Widerstand kann die Motordrehzahl gesteuert wer-

Im Gegensatz zum Typ der Vorwärtssteuerung hat eine Rege-
den. Eine unterschiedlich schwere Last tritt als Störgröße auf
lung einen Informationsrückfluss, sodass ein geschlossener Wir-
und beeinflusst die tatsächliche Motordrehzahl. Eine solche
kungsablauf entsteht, den man als Regelkreis bezeichnet. Beim

Wirkungsstruktur bezeichnet man als Steuerung, im Sinne von

Motor in Abb. 67.3 wird die tatsächliche Drehzahl zu einem

Vorwärtssteuerung.

Regler zurückgeführt. Hat sich die Drehzahl durch eine stär-
kere Belastung verringert, kann dies erkannt und nachgeregelt

Um die Darstellung unabhängig von einer bestimmten An-
werden. Steuerungen mit Rückführung werden als Regelung en
wendung zu machen, führt man allgemeingültige Symbole und
bezeichnet.

steuerungstechnische Größen ein, wie Abb. 67.2 zeigt, die man
sich für den jeweiligen Anwendungsfall anschaulich übersetzen

Regeln ist ein Vorgang, bei dem eine Größe, die man die
muss, z. B.:

Regelgröße nennt, fortlaufend erfasst und mit einer anderen

Größe, die man als Führungsgröße bezeichnet, fortlaufend ver-
w D Führungsgröße ) die Ausgangsspannung des Potenzio-
glichen wird. Abhängig vom Ergebnis des Vergleichs muss das
meters (Sollwertvorgabe)

Regelungsprogramm eine Ausgangsgröße bilden, welche die
y D Stellgröße

) die Motorspannung;

Regelgröße im Sinne einer Angleichung an die Führungsgrö-
x D Steuergröße

) die Drehzahl, bei der man einen ge- ße beeinflusst. Der sich dabei ergebende Wirkungsablauf findet
wünschten Sollwert und einen tatsächlichen
in einem geschlossenen Kreis, dem Regelkreis, statt.

Istwert zu unterscheiden hat;
z D Störgröße

) die unterschiedlichen Lasten.

Das Erfassen der Regelgröße erfolgt durch Messen ihres aktu-
ellen Wertes (Istwert). Die fortlaufende Erfassung bedeutet für
eine SPS als Regler soviel wie eine hinreichend häufige Abtas-

+ U
tung des Messwertes. Die Angleichung der Regelgröße an die

Führungsgröße wird durch das ablaufende Regelungsprogramm
erreicht.

Die SPS als Regler führt dabei einen Vergleich zwischen Füh-
rungsgröße w und Regelgröße x (genauer: Rückführgröße r)

Auf
w

Y
durch und ermittelt dabei die Regeldifferenz e. Aus der Regeldif-
x
ferenz wird über die Reglerfunktion das Reglerausgangssignal

Ab

M
yR ermittelt. Dieses ist eine leistungsarme Signalgröße, die ei-
nem Stellgerät zugeführt wird, das den passenden Anschluss
an die Regelstrecke herstellt. Das Stellgerät besteht oft aus ei-
nem Stellantrieb und einem Stellglied. Der Stellantrieb bildet

- U
z
aus dem Reglerausgangssignal yR die Stellgröße y und betä-
tigt das Stellglied, welches den Massen- oder Energiestrom für

Abb. 67.1 Drehzahl-Steuerung
die geregelte Anlage dosiert. Die Regelstrecke ist derjenige Teil

67.2

Regler-Technologien

823
z

Vergleicher

Stellort

Messort
w
y

+
e = w-x

R
y

Stell-
x

Regelfunktion

Stellantrieb
glied

Strecke
x

Regler

Stellgerät

(r)

Mess-

Mess-
umformer
fühler

Regeleinrichtung

Regelstrecke

Abb. 67.4 Ausführlich dargestellte Struktur eines Regelkreises

VIII
des Regelkreises, in dem die Regelgröße geregelt wird. Sie be-

Teil
ginnt am Stellort, also dort, wo die Stellgröße y in den Massen-

1
oder Energiestrom eingreift und endet am Messort, wo sich
w
y
e
der Messfühler zur Erfassung der Regelgröße x befindet. Der

+

+

+

R

P

I

Kp

Stellantrieb wird zur Regeleinrichtung gezählt, weil er ein eige-

-

+
nes Zeitverhalten besitzt und damit das Gesamtzeitverhalten der
x

Regeleinrichtung beeinflusst. Das Stellglied dagegen wird zur

D

Regelstrecke gerechnet, weil es sich um deren Ventile, Schieber,

Klappen oder elektronische Schalter (Transistoren, Thyristoren)

Abb. 67.5 PID-Regelfunktion
handelt. Der Messfühler gehört ebenfalls zur Regelstrecke, denn
er arbeitet nicht trägheitslos und beeinflusst damit das Zeit-

Takt

TA
verhalten der Regelstrecke. Abb. 67.4 zeigt die Struktur einer

Regelung in ausführlicher Darstellung. Gebräuchlich sind aber
w
e
y
auch vereinfachte Darstellungen, wenn sie ihren Zweck erfül-

#

+

#

Regel-

#

D
algorithmus
len.

-

A
y
x #

In den Lösungen von Automatisierungsaufgaben kommen

A

Steuerungen und Regelungen zusammen vor. Geregelt werden

D
x
muss immer dann, wenn Größen auf genaue Werte geführt oder
gegen den Einfluss veränderlicher Störgrößen z konstant ge-

Abb. 67.6 Vereinfacht dargestellter Aufbau eines Digitalreglers. Mit # gekenn-
halten werden müssen. So ist z. B. eine Ablaufsteuerung vom
zeichnete Größen sind die zu Regelungssignalen proportionalen Zahlenwerte

Prinzip her eine Steuerung. Wenn aber während der Zeitdauer
eines Schrittes z. B. die Temperatur eines Mischgutes bei unter-
schiedlichen Füllmengen im Behälter konstant gehalten werden

Signale sind solche, die innerhalb bestimmter Grenzen wie z. B.

muss, kann dies nur mit einer unterlagerten Regelung erreicht

˙10 V jeden beliebigen Wert annehmen können. Diese sog.

werden. Die SPS kann eine Vielzahl zeitgleich ablaufender Vor-

Analogregler bestehen technologisch betrachtet aus einem Ver-
gänge steuern und regeln.

stärker und benötigen eine Energiequelle. Verstärken ist dabei
ein Vorgang, bei dem mit möglichst kleinem Energieaufwand
am Verstärkereingang eine möglichst kräftige Energieabgabe

67.2

Regler-Technologien
der Energiequelle an den Verstärkerausgang signalgesteuert er-
folgt. Als Verstärker für analoge Regler kommen elektronische
aber auch pneumatische und hydraulische Elemente in Frage.

In späteren Abschnitten werden Reglertypen nur noch im Sin-

Bei den elektronischen Operationsverstärkern werden die typi-
ne von ausführbaren Regelfunktionen, also recht abstrakt, be-
schen Reglerfunktionen, die man mit den Kennbuchstaben P für
schrieben. Die technologische Ausführung von Reglern dagegen
proportional, I für integral und D für differenzial bezeichnet,
unterliegt der technischen Entwicklung.

durch spezielle Beschaltungsmaßnahmen erreicht, die den An-
wender jedoch nicht interessieren müssen. Den Schlusspunkt

Die ersten Regler waren schaltende Regler, die rein elektrome-
dieser Entwicklung bildet der Universalregler in der Ausführung
chanische realisiert wurden und deren bekanntester Vertreter der
als analoger PID-Regler, der alle Funktionen ausführen kann,
noch heute verwendete Bimetallkontaktregler ist, wie er in ein-
wie in Abb. 67.5 schematisch dargestellt.

fachen Geräte, z. B. Toastern, vorkommt.

Mit der Verfügbarkeit von preiswerten Mikrocontrollern lassen

Es wurden dann Regler für anspruchsvollere Regelfunktionen
sich heute sog. digitale Regler mit entsprechender Software für
benötigt, um sowohl analoge Eingangssignale verarbeiten als
den Regelalgorithmus sowie AD- und DA-Umsetzern für die
auch analoge Ausgangssignale ausgeben zu können. Analoge

Signalumwandlungen realisieren. Die Signale außerhalb des di-

824

67 Regelungstechnische Grundbegriffe der Automatisierungstechnik
gitalen Reglers können nach wie vor analog sein, im Innern des

Da auch der Analog-Digital-Umsetzer zur Umwandlung eines

Reglers werden nur digitale (zahlenmäßige) Signale verarbeitet.

Momentanwertes der Regelgröße eine gewisse Zeit benötigt,

Abb. 67.6 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines digitalen Reg-
muss dieser Wert für den Wandlungszeitraum mit einem Hal-
lers, der auch für die SPS zutrifft.

teglied konstant gehalten werden, um Umwandlungsfehler zu
vermeiden. Bei der Digitalisierung der Regelgröße x im Analog-

Der digitale Regler führt eine taktgesteuerte Abtastregelung aus,

Digital-Umsetzer kann je nach seiner Stellenzahl nur eine
weil er neue Eingangswerte erst entgegennehmen kann, wenn
bestimmte Unterscheidungsfähigkeit für Signalwerte erreicht
er einen Berechnungszyklus abgeschlossen hat, für den er eine
werden. Bei einer Stellenzahl von 8 Bit stehen nur 28 D 256
gewisse Rechenzeit benötigt. Das hat zur Folge, dass neue Ein-
mögliche Zahlenwerte zur Verfügung, sodass sich bei einem
gangsgrößen nur zu diskreten Zeitpunkten eingelesen und die

Analogsignalbereich von 0 bis 10 V nur Spannungsstufen von

T

Stellgröße nur zur diskreten Zeitpunkten ausgegeben werden
eil
ca. 40 mV unterscheiden lassen.

können. Im Regelungsprogramm, dass in gleichen Zeitabstän-
den bearbeitet werden muss, wird aus dem Momentanwert der

Auf Grund der wert- und zeitdiskreten Signalverarbeitung der

VIII
digitalisierten Regelgröße x# und einer Führungsgröße w# die
digitalen Regler ergeben sich Grenzen hinsichtlich der Verar-

Regeldifferenz e# berechnet und daraus nach programmierten
beitung höherer Signalfrequenzen. Dafür können digitale Regler

Funktionen die Stellgröße y# gebildet. Die genau einzuhalten-
aber nicht nur die PID-Regelfunktion nachbilden, sondern er-
den Zeitabstände werden als Abtastzeit TA bezeichnet.

möglichen auch die Realisierung neuartiger Reglertypen.

Regelstrecken

68

Günter Wellenreuther und Dieter Zastrow

VIII

Teil

68.1 Beispiele für Regelstrecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826

68.2 Beschreibungsmittel zur Darstellung von

Regelstreckeneigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

825

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_68

826

68 Regelstrecken

68.1

Beispiele für Regelstrecken

Verzögerung bedeutet, dass die Regelgröße x einer sprungarti-
gen Änderung der Stellgröße y nicht sprunghaft folgen kann,
sondern erst nach einer bestimmten Zeit einen neuen stabilen

Das nachfolgend beschriebene Ordnungsschema soll helfen, um

Wert erreicht. Verzögerungen treten bei technischen Prozessen
sich besser in der unübersehbaren Vielfalt möglicher Regelstre-
immer auf, wenn Energie zu- oder abgeführt oder Massen be-
cken zurecht zu finden.

schleunigt oder abgebremst werden müssen.

Erstes Ordnungskriterium Regelstrecken mit und ohne Aus-

Drittes Ordnungskriterium Regelstrecken mit und ohne Tot-
gleich
zeit

Teil

Regelstrecken

Regelstrecken

VIII
mit Ausgleich
ohne Ausgleich
ohne Totzeit
mit Totzeit

Als Beispiel für eine Regelstrecke mit Ausgleich sei die Tempe-

Ein bekanntes Beispiel für eine Regelstrecke mit Totzeit ist
raturregelung einer Heizungsanlage genannt. Bei Veränderung
das Förderband. Durch eine Schieberöffnung (Stellgrößenän-
der Mischventilstellung erreicht die Raumtemperatur auf verän-
derung y/ gelang mehr Fördergut auf das Band. Die höhere
dertem Niveau wieder einen stabilen Wert.

Ausschüttmenge (Regelgrößenänderung x/ wirkt sich am En-
de des Förderbandes jedoch nicht sofort aus, sondern erst nach

Ausgleich bedeutet, dass die Regelgröße x der Strecke nach einer
einer Totzeit, die von der Geschwindigkeit und der Länge des
sprungartigen Änderung der Stellgröße y innerhalb einer abzu-

Bandes abhängt.

wartenden Übergangszeit wieder einen stabilen Zustand, den
sog. Beharrungszustand erreicht.

In der Praxis vorkommende Regelstrecken weisen zumeist

Kombinationen von Eigenschaften auf. Die Kriterien Aus-

Regelstrecken mit Ausgleich und konstantem Übertragungsbei-
gleich, Verzögerung und Totzeit treten dann gemeinsam auf.

wert K PS haben einen proportionalen Charakter und werden

Tab. 68.1 zeigt Beispiele für Regelstrecken mit den genannten
deshalb auch P-Strecken genannt.

Ordnungskriterien. Die definierten Streckenparameter und typi-
schen Sprungantworten werden im Anschluss erläutert.

Bei einer Regelstrecke ohne Ausgleich würde die Regelgröße x
nach einer sprungartigen Änderung der Stellgröße y keinen neu-
en Beharrungszustand finden. Dies ist z. B. der Fall bei einem

Behälter mit dem Füllstand als Regelgröße x, wenn die Ablauf-

68.2

Beschreibungsmittel zur
menge in m3/h durch eine Pumpe konstant gehalten wird. Jede

Änderung der Zulaufmenge in m3/h führt dann entweder zum

Darstellung von

Überlaufen oder Leerlaufen des Behälters.

Regelstreckeneigenschaften

Regelstrecken ohne Ausgleich haben einen integralen Charakter
und werden daher als I-Strecken bezeichnet.

Für die Auswahl eines geeigneten Reglers muss das Verhalten
der Regelstrecke bekannt sein. Man versucht das Verhalten der

Zweites Ordnungskriterium Regelstrecken mit und ohne

Regelstrecken durch die Angabe von Kennlinien und Zeitfunk-

Verzögerung
tionen zu beschreiben, um daraus die Regelstreckenparameter
abzuleiten.

Regelstrecken

Kennlinien von Strecken mit Ausgleich,

Übertragungsbeiwert KPS

Die Kennlinie einer Regelstrecke ist die grafische Darstellung
des Zusammenhangs zwischen Stellgröße y und Regelgröße x.

ohne Verzögerung
mit n Verzögerungen

Eine Kennlinie ist somit ein Diagramm, bei dem die Abhän-

(0. Ordnung)

(n. Ordnung)

gigkeit einer physikalischen Größe von einer anderen physikali-
schen Größe (nicht der Zeit) dargestellt ist. Auf der senkrechten

Achse können z. B. die Raumtemperatur und auf der waag-
mit einer Verzögerung

(1. Ordnung)

rechten Achse die Stellung des Mischventils aufgetragen sein:

T D f .˛/.

68.2

Beschreibungsmittel zur Darstellung von Regelstreckeneigenschaften

827

Tab. 68.1 Regelstrecken

Art der Strecke Beispiel

Sprungantwort

Streckenparameter

Signalflussplandarstellung

P-Strecke
x

KPS
y
x
x
y
x

Druck und Durchfluss in Flüssigkeits-
rohrnetzen
t

PT1-Strecke
x

KPS, TS

Ts
x = n
y

M
e-Funktion
y
x

Drehzahl
t

VIII

PT2-Strecke
x

KPS, Tu, Tg

Tg

Teil
y
x
x

Ks

Tu

Tg
y
t

Tu

Ofentemperatur

P-Strecke mit Totzeit

KPS, Tt
x

Tt
y
x

Ks

Tt
t

Fördermenge

I-Strecke
x

KIS
y
x

∆x = Kis ∆ y ∆ t

Kis
t

Füllstand

Der Übertragungsbeiwert Ks der Regelstrecke ist durch den
ganzen Regelbereich einsetzen:

Quotienten der Änderung der Regelgröße x und der Ände-

X
rung der Stellgröße y bestimmt. Im Signalflussplan entspricht
h

K

D

PS
dies dem Verhältnis der Ausgangsgröße bezogen auf die Ein-

Yh
gangsgröße. Damit kann bei bekanntem Übertragungsbeiwert
mit X D

D
h

Stellwirkung (Regelbereich der Strecke), Yh

Stell-
der Regelstrecke bei einer Änderung der Stellgröße y die bereich des Reglers.

zu erwartende Änderung der Regelgröße x bestimmt wer-
den. Die Zeit für die Änderung spielt dabei insofern keine

Häufig haben Regelstrecken jedoch nichtlinearer Kennlinien,

Rolle, weil die zu jeder Stellgrößenänderung sich ergebende
d. h. sie sind gekrümmt, sodass der Übertragungsbeiwert K PS

Regelgrößenänderung abgewartet werden muss (Erreichen des
keine Konstante ist. Das möchte man vermeiden, weil solche

Beharrungszustandes). Man spricht deshalb auch von der stati-

Strecken viel schwieriger zu regeln sind. Abhilfe kann durch ei-
schen Kennlinie der Regelstrecke.

ne umgekehrt nichtlineare Kennlinie des Stellgliedes geschaffen
werden. Dieser mögliche „Trick“ zeigt auch, warum das Stell-
glied zur Regelstrecke gehört.

Die Kennlinie zeigt den Zusammenhang zwischen Regelgröße
x und Stellgröße y innerhalb des Laufbereichs beider Größen
bei konstantem Störgrößeneinfluss. Zu jedem Stellgrößenwert

Zeitverhalten von Regelstrecken mit Ausgleich
y ist der zugehörige Regelgrößenwert x im Beharrungszustand

Ausgangspunkt der Betrachtung sei eine Regelstrecke mit Aus-
aufgetragen, siehe Abb. 68.1.

gleich und linearer Kennlinie. Damit ist die Regelstrecke noch
nicht eindeutig beschrieben, denn es fehlt noch die Kenntnis

Ist diese statische Kennlinie eine Gerade aus dem Achsenur-
über das Zeitverhalten der Strecke. Die zusätzliche Fragestel-
sprung, spricht man von einer P-Regelstrecke mit konstantem
lung lautet: Wie reagiert die Regelgröße x der Strecke auf eine

Übertragungsbeiwert K PS (Index P für proportional, Index S für
plötzliche Änderung der Stellgröße um y dargestellt im zeitli-

Strecke). Zur Berechnung von K PS darf man deshalb auch den
chen Verlauf?

828

68 Regelstrecken

P-Regelstrecke mit linearer Kennlinie

1. Aufzeichnung der Übertragungsfunktion,

Eintrag der Wendetangente,
x

Bestimmung der Verzugszeit Tu,

Ausgleichszeit T und

Änderung der Regelgröße Δx
x
x

KPS =

= konstant
y
x
y

Regelgröße

Stellgröße
y
xΔ

T
angente
eil

P-Regelstrecke mit nichtlinearer Kennlinie
endet

W

VIII
x

T u

T g
t
x
y
e
x

KPS =

= konstant
x
y

2. Ersatzfunktion mit Tuals Totzeit und Tg
als Verzögerungszeit Ts eines
y

Regelgröß

PT1-Gliedes bilden.

Stellgröße
y
x

Abb. 68.1 Kennlinien von Regelstrecken mit Ausgleich

37%
x

1. Regelstrecke mit Ausgleich 0. Ordnung: P-Strecke

Δ

Kennzeichen einer P-Strecke ist die proportionale Reaktion

63%
der Regelgröße x auf die Änderung der Stellgröße y. Wird
die Stellgröße sprungartig verändert, reagiert die Regelgrö-

T

T S = T
u
g
t
ße ebenfalls sprungartig. In der Tab. 68.1 ist als Beispiel für
eine P-Strecke ein Durchfluss in einer Rohrleitung angege-
ben. Wird durch stärkeres Öffnen eines Ventils am Anfang

3. Die Regelstrecke kann näherungsweise
der Rohrleitung der Durchfluss erhöht, ist dies auch am En-
durch ein P-Glied, ein Totzeitglied und
de der Rohrleitung sofort in gleicher Weise der Fall, da die
ein PT1-Glied mit deren Strecken-
parametern Kps, T , T ,T beschrieben

Flüssigkeit nicht komprimierbar ist.

t
u g
werden.

Die P-Strecke ist allein durch den Streckenparameter KPS

(Übertragungsbeiwert) gekennzeichnet.

2. Regelstrecke mit Ausgleich 1. Ordnung: PT1-Strecke
y
x

Kennzeichen einer PT1-Strecke ist ein anfänglich schnel-
ler Anstieg der Regelgröße x, der sich dann aber immer
x
mehr verzögert und erst nach längerer Zeit den neuen Be-

K PS = y

T t = T u

T S = T g
harrungszustand erreicht. In der Tab. 68.1 ist als Beispiel
für eine PT1-Strecke die Drehzahländerung eines Motors

Abb. 68.2 Bestimmung der Regelparameter einer unbekannten Regelstrecke
angegeben. Der Motor hat auch ohne angeflanschte Arbeits-
maschine eine eigene Schwungmasse, die sich einer sofor-
tigen Drehzahländerung widersetzt. Abstrakt ausgedrückt:

Die PT1-Strecke ist eine Strecke mit Ausgleich und einen

Die Streckenparameter aus der Sprungantwort der PT2-

Energiespeicher, der die Verzögerung bewirkt.

Strecke sind K PS (Übertragungsbeiwert) und die durch die

Die PT1-Strecke ist durch die Streckenparameter K PS (Über-
eingetragene Wendetangente gebildeten Zeitkonstanten Tu
tragungsbeiwert) und TS (Verzögerungskonstante) gekenn-

(Verzugszeit) und Tg (Ausgleichszeit).

zeichnet. Die Verzögerungskonstante lässt sich durch Anle-

Das Ordnungszahlschema lässt sich entsprechend der An-
gen einer Tangente an die Sprungantwort ermitteln.

zahl der in einer Regelstrecke vorkommenden Speicher noch

3. Regelstrecke mit Ausgleich 2. Ordnung: PT2-Strecke
weiter erhöhen.

Kennzeichen einer PT2-Strecke ist ein anfänglich langsamer

4. Regelstrecke mit Ausgleich und Totzeit: PT t

Anstieg der Regelgröße x, der sich dann aber beschleunigt

Kennzeichen eines Totzeitverhaltens ist, dass sich die Re-
und danach wieder verzögert bis der neue Beharrungszu-
gelgröße x zwar in gleicher Weise sprunghaft ändert wie die
stand erreicht wird. Als Beispiel für eine PT2-Strecke wird

Stellgröße, jedoch erst um die Totzeit Tt zeitverzögert. In der
in Tab. 68.1 eine Heizung angegeben. Es sind zwei Speicher

Tab. 68.1 ist als Beispiel ein Förderband angegeben, bei dem
vorhanden. Wird der Heißwasserdurchfluss sprungartig er-
eine gewisse Zeit vergeht, bis eine veränderte Schüttmenge
höht, muss sich erst der Heizkörper auf die neue Temperatur
am Ende des Förderbandes ankommt.

einstellen und dann erst wird mit dem Aufheizen der Raum-

Die Streckenparameter der PT t-Strecke sind K PS (Übertra-
luft begonnen.

gungsbeiwert) und Tt (Totzeit).

68.2

Beschreibungsmittel zur Darstellung von Regelstreckeneigenschaften

829

5. Regelstrecke ohne Ausgleich 0. Ordnung: I-Strecke
wird mit einem y t-Schreiber aufgezeichnet und liegt dann

Bei den I-Strecken bildet sich die Regelgröße x durch Auf-
als Liniendiagramm vor. An den Kurvenverlauf der Sprung-
summieren einer Stellgrößenänderung y über fortlaufen-
antwort wird die Wendetangente eingezeichnet und aus den
de Zeitabschnitte t. Kennzeichen einer I-Strecke ist der

Achsenabschnitte die Verzugszeit Tu und die Ausgleichszeit
zeitproportionale Anstieg oder Rückgang der Regelgröße,

Tg bestimmt.

verbunden mit Überlauf oder Leerlauf, wenn nicht genau

2. Daraus kann eine Ersatzfunktion, bestehend aus einem Tot-

Abfluss gleich Zufluss ist. Als Beispiel für eine I-Strecke ist
zeitglied mit der Totzeit Tt und einem PT1-Glied mit der
in der Tab. 68.1 ein offener Behälter mit freiem Zulauf ange-

Verzögerungszeit TS gebildet werden.

geben.

3. Die Übertragungsbeiwerte beider Glieder können als ein

Übertragungsbeiwert KPS in einem P-Glied zusammenge-

Bestimmung der Regelstreckenparameter
fasst werden. Da es sich im einfachsten Fall um eine Regel-
strecke mit Ausgleich und linearer Kennlinie handeln soll,

Damit ein zur Regelstrecke passender Regler gefunden und
lässt sich der Übertragungsbeiwert aus
günstig dimensioniert werden kann, müssen zuerst einmal die

VIII

Streckenparameter der Regelstrecke bekannt sein. Dazu muss
x
ein Signalflussplan mit dem zugehörigen Übertragungsbeiwert

K

D

PS

Teil

K
y

PS und den Zeitkonstanten ermittelt werden, der die zunächst
noch unbekannte Regelstrecke möglichst gut beschreibt. Das
berechnen. Abb. 68.2 zeigt das Vorgehen anschaulich.

kann auf experimentelle Art durch Aufnahme der Sprungant-
wort auf einen Stellgrößen- oder Störgrößensprung geschehen.

Erfahrungen haben ergeben, dass das Verhältnis von Verzugs-

Der Ablauf des Experimentes gliedert sich in folgende Schritte:

zeit Tu zu Ausgleichszeit Tg Auskunft über die Regelbarkeit der

Strecke ergeben:

1. Das Stellglied wird zum Zeitpunkt t 0 um den Wert y ver-
stellt. Da es sich um eine Strecke mit Ausgleich handeln

Gut regelbar

Noch regelbar

Schlecht regelbar
soll, wird die Regelgröße x einen um x verschobenen Be-

Tu < 1

Tu D 1

Tu > 1
harrungszustand einnehmen. Die Antwort der Regelgröße x

Tg

10

Tg

5

Tg

3

Regler

69

Günter Wellenreuther und Dieter Zastrow

VIII

Teil

69.1 P-Regler, P-Regelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832

69.2 I-Regler, I-Regelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834

69.3 PI-Regler, PI-Regelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834

69.4 PID-Regler, PID-Regelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834

69.5 Vergleich der verschiedenen Reglertypen . . . . . . . . . . . . . . . 835

69.6 PID-Reglerbaustein für digitale Abtastregelung . . . . . . . . . . . 835

69.7 SPS als kontinuierlicher PID-Abtastregler . . . . . . . . . . . . . . . 836

69.8 Digitaler Schrittregler mit PI-Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . 837

69.9 Zweipunktregler, Zweipunkt-Regelfunktion . . . . . . . . . . . . . . 838

69.10 Regelgüte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

831

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_69

832

69 Regler

Aufgabe der Regler ist es, bei Abweichung der Regelgröße x

Y h
von der Führungsgröße w die Reglerausgangsgröße y
w + e=w-x

R so zu

K
y

PR

R
verändern, dass die Regelgröße x in möglichst kurzer Zeit opti-

-
mal an die Führungsgröße w angeglichen wird. Ursache für die
x

Abweichung kann eine aufgetretene Störgröße z oder die verän-
derte Führungsgröße w sein.

y R

In traditioneller Einteilung der Regler unterscheidet man

Y
stetige und unstetige Regler
h

T
oder
eil
schaltende Regler (Zweipunkt-, Dreipunktregler),

VIII
analoge Regler und

X
digitale Regler.

P

0
x

0
w

Aus Gründen der Umfangsbeschränkung soll hier auf die Dar-
stellung der schaltungs- und gerätetechnischen Ausführungen

Zahlenbeispiel:

von Reglern verzichtet werden. Es werden nur die typischen

Eigenschaften bekannter Reglertypen anhand ihrer Regelfunk-
w = 3,75 V,

K PR =4, Y =10V
h
tion und durch ihre sog. Sprungantworten beschrieben, siehe
x
e
y

Übersicht in Abb. 69.2. Danach wird übergeleitet zum PID-

R

1,25 V

2,5 V

10 V

Regelalgorithmus für den digitalen Abtastregler, der als Soft-

1,75 V

2,0 V

8 V
wareregler in einer SPS realisiert werden kann.

2,25 V

1,5 V

6 V

2,50 V

1,25 V

5 V

2,75 V

1,0 V

4 V

-Bereich

3,25 V

0,5 V

2 V

69.1

P-Regler, P-Regelfunktion

P

3,75 V

0,0 V

0 V

X

Der P-Regler ist ein proportional wirkender Regler, der in

Y h

10 V
seinem Arbeitsbereich, den man als Proportionalbereich be-

X P =

=

= 2,5 V

K

4
zeichnet, durch die Regelfunktion

PR
y D

D

R

K PR e mit K PR

Proportionalbeiwert

Abb. 69.1 Kennlinie des P-Reglers
beschrieben ist. Eine sprunghafte Änderung der Regeldifferenz
e am Eingang führt ohne Zeitverzögerung zu einer proportio-

Die feste Zuordnung von x und yR kann anschaulich als statische
nalen sprunghaften Änderung der Reglerausgangsgröße yR am

Kennlinie des P-Reglers dargestellt werden, deren Achsenab-

Ausgang, solange sich die Regeldifferenz e innerhalb des Pro-
schnitte sich aus
portionalbereichs bewegt.

Setzt man die Regeldifferenz e D w x in den Regelfunktion
y D

R

K PR . w x/
ein, so erhält man:

berechnen lassen:

y D

R

K PR . w x/

Für y D 0

) x D w

Diese Beziehung lässt erkennen, dass der P-Regler nicht das

R
leisten kann, was von Reglern allgemein erwartet wird, nämlich

Für y D

D

)

R

Yh

XP K PR
x D w XP
die genaue Heranführung der Regelgröße x an die Führungsgrö-
ße w. Bei x D w wird die Reglerausgangsgröße y

D

Das Zahlenbeispiel zeigt, dass bei einem P-Regler die Ein-

R

0 und
damit erhält die Regelstrecke kein Stellsignal y, um die Regel-
gangsgröße x und Ausgangsgröße yR einander starr zugeordnet
größe x bilden zu können: Eine Heizung, der kein Wärmeträger
sind, solange sie sich im Proportionalbereich befinden. Wird
zugeführt wird, kann keinen Temperaturwert bilden.

in Folge einer Störeinwirkung z auf die Regelstrecke eine Än-
derung der Reglerausgangsgröße yR erforderlich, dann ist

Andererseits kennzeichnet den P-Regler eine direkte Zuordnung
dies nur bei einer gleichzeitigen Änderung der Regelgröße x
von Regelgröße x zu Stellgröße yR bei fest eingestelltem Propor-
möglich. Der P-Regler kann also eine Störung nicht völlig aus-
tionalbeiwert K PR und vorgegebener Führungsgröße w, solange
regeln. Der neue Beharrungszustand ist ein anderer Punkt auf
sich die Regelgröße x noch innerhalb des Proportionalbereich
der y

R
x-Kennlinie des P-Reglers, in deren fallenden Verlauf

XP befindet. Der Proportionalbereich XP lässt sich aus dem Stell-
die Umkehrung des Wirkungssinns der Regelung zum Ausdruck
bereich Yh und dem Proportionalbeiwert K PR berechnen:

kommt.

Yh

X D

Die Änderung der Regelgröße x bei einer erforderlichen gleich

P

K PR
großen Änderung der Reglerausgangsgröße yR lässt sich ver-

69.1

P-Regler, P-Regelfunktion

833
e Einheitssprung
e
t

Symbol

Signalflussplan

Sprungantworten

Bemerkung

P-Regler

Vorteil:

w
y

Günstiges

R

+
w
e

Zeitverhalten

P
y
x

.

R

K

K PR e

-

PR
y R
t

Nachteil:

x

Lastabhängige

Y h
bleibende

VIII

X P =

P-Bereich

K

Regeldifferenz

PR

Teil

I-Regler

T I =Integrierzeit

Vorteil:

Keine bleibende
w
y

Regeldifferenz

R

+
w
e

K

Nachteil:

I
y

.

.

IR
y

K
e  t
x

IR

R

-

R

Ungünstiges
t

Zeitverhalten
x

 t Y

K
h

IR = T .

I X h

PI-Regler

K PR =Propotional-
verstärkung

Vorteile:

w

Günstiges

K
y

PR

R

Zeitverhalten,

+
w
e

+

PI
y
y

.

x

K

Keine bleibende

R
e

-

R

PR

+
t

Regeldifferenz
x

K IR

T n

T n = Nachstellzeit

Vorteile:

PID-Regler

Schnelleres

K

Ausregeln einer

PR
w

D-Anteil

Regeldifferenz
y
gegenüber dem

+
w
e

+

R

PI-Regler

K

PID
y

IR
y

I-Anteil
x

R

-

R

+

.

+

K PR e

Keine bleibende
x
t

Regeldifferenz

P-Anteil

K DR

T n

Geeigent für
schwierige

(Idealisierte Sprungantwort)

Regelstrecken

Abb. 69.2 Signalflusspläne und Sprungantworten der wichtigsten Reglertypen
ringern, wenn der Proportionalbereich XP verkleinert wird, in-

Der P-Regler als einfachster kontinuierlicher Regler mit sehr
dem man KP vergrößert. Dieser Verbesserung des P-Reglers sind
schnellem Reglereingriff kann überall dort gut verwendet wer-
aber Grenzen gesetzt, weil der Regelkreis instabil wird. Der P-
den, wo die Strecke einen kleinen Regler-Proportionalbereich

Regler mit einem großen KP-Wert reagiert überempfindlich auf
erlaubt. Das ist der Fall, wenn entweder nur geringe Störgrößen
kleinste Regelgrößenänderungen mit zu starken Ausschlägen
z auftreten oder das Verhältnis der Streckenzeitkonstanten Tg= Tu
bei der Stellgröße, die dann in extremer Weise ständig zwischen
groß ist und geringe bleibende Regeldifferenzen x hinnehmbar
y

D

R = 0 und yR

Yh umschaltet.

sind.

834

69 Regler

69.2

I-Regler, I-Regelfunktion

Die Regelfunktion lässt erkennen, dass die Änderung der Reg-
lerausgangsgröße yR zum einen proportional zur Regeldifferenz
e und zum anderen proportional zum Produkt aus Regeldifferenz

Der I-Regler ist ein integral wirkender Regler, der die Reg-
und Zeit ist. Der erste Anteil sorgt für den schnellen und stabi-
lerausgangsgröße yR in vielen kleinen Stellschritten solange
len Reglereingriff und der zweite Anteil für die Beseitigung der
ändert, bis eine aufgetretene Regeldifferenz e D w x vollstän-
bleibenden Regeldifferenz.

dig beseitigt ist. Dabei ist die Änderungsgeschwindigkeit der

Stellgröße direkt proportional zur noch vorhandenen Regeldif-

Eine bekanntere Darstellungsform der PI-Regelfunktion ersetzt
ferenz e und einem Übertragungsbeiwert K
den Integrierbeiwert K

IR:

IR durch einen Quotienten

T
dyR D

eil

K IR e

K

D K PR
dt

IR

Tn

VIII

In der Arbeitsweise gleicht der I-Regler einem Boten, dessen

Laufgeschwindigkeit von der Dringlichkeit des Auftrags abhän-
mit dem Vorteil, den Proportionalbeiwert KPR ausklammern zu
gig ist, wenn man die Regeldifferenz e als Dringlichkeitsmaß
können, sodass die PI-Regelfunktion nun in der Form
deutet. Solange noch eine Regeldifferenz besteht, ist der I-Reg-

Z

ler damit beschäftigt, sie zu beseitigen.

y D

R

K PR
e C 1
e dt

Tn

Summiert man die unendlich vielen kleinen Stellschritte zur
erzeugten Reglerausgangsgröße yR, so erhält man die I-
entsteht. Die darin neu erscheinende Größe Tn wird Nachstell-

Regelfunktion:

zeit genannt. Ausdrücken möchte man, dass der PI-Regler im

Z

Prinzip ein I-Regler ist, dessen Wirkungsbeginn aber um die
y D

R

K IR
e dt

Nachstellzeit Tn vorverlegt erscheint, also schneller eingreift.

Tatsächlich beruht der schnellere Eingriff aber auf dem P-
mit K

D

IR

Integrierbeiwert (Übertragungsbeiwert).

Anteil.

In der Regelfunktion ist K IR als Integrierbeiwert nicht ganz

K PR und Tn sind die Regelparameter (Einstellgrößen) mit de-
leicht verständlich zu deuten. K IR beinhaltet eine Zeit TI, die
nen der PI-Regler an die Regelstrecke optimal angepasst werden
man als Integrierzeit bezeichnet, und die angibt, wie lange es
kann. Beide Parameter können einzeln oder gleichzeitig verstellt
dauert, bis der I-Regler den vollen Stellbereich Yh durchlaufen
werden:

hat, wenn als Eingangsgröße die Regelgröße x um den vollen

Bereich X

Lässt man zunächst K
h geändert wird:

PR konstant und verändert nur Tn, bleibt
der P-Anteil in der Reglerausgangsgröße gleich hoch, es lässt

Yh

K

D
sich aber die Stellgeschwindigkeit beeinflussen. Vergrößert man

IR

T

I

Xh

Tn, verringert sich die Stellgeschwindigkeit bei der Regleraus-

Die beiden Bereiche Y
gangsgröße y
h und Xh sind konstruktiv festliegende

R. Wird die Nachstellzeit Tn soweit vergrößert, dass

Werte, sodass als Einstellparameter des I-Reglers die Integrier-
sie gegen unendlich geht, erhält man das Verhalten eines P-Reg-
zeit T
lers. Umgekehrt erhöht sich die Stellgeschwindigkeit, wenn man

I in Frage kommt. Je kleiner die Integrierzeit TI gewählt
wird, umso schneller ändert sich die Reglerausgangsgröße y
die Nachstellzeit verringert. Dieses darf nicht zu weit getrie-

R in

Abhängigkeit von der Regeldifferenz e.

ben werden, weil es die Schwingneigung und Instabilität des PI-

Reglers erhöht.

I-Regler arbeiten langsamer als P-Regler, lassen dafür aber kei-
ne bleibende Regeldifferenz bestehen. I-Regler sind ungeeignet

Was geschieht, wenn die Nachstellzeit Tn fest eingestellt bleibt
für Regelstrecken mit großen Zeitkonstanten oder bei Strecken
und die Proportionalverstärkung KPR verändert wird? Durch die
ohne Ausgleich. Für Regelstrecken, die nur durch eine Totzeit

Änderung von K PR ändern sich beide Anteile der Regleraus-
charakterisiert sind, ist der I-Regler von allen Reglertypen der
gangsgröße im gleichen Verhältnis. Bei einer Vergrößerung von
am besten geeignete.

K PR erhöht sich der P-Anteil an der Gesamtverstellung und die

Stellgeschwindigkeit.

Der PI-Regler ist für den Einsatz in allen Streckentypen gut ge-

69.3

PI-Regler, PI-Regelfunktion
eignet.

Die Eigenschaften von P-Reglern und I-Reglern ergänzen sich
gut, weil P-Regler dynamisch besser sind als I-Regler und I-

69.4

PID-Regler, PID-Regelfunktion

Regler statisch besser sind als P-Regler. Also ist es naheliegend,
die beiden Regelverhalten zum PI-Regler zu kombinieren.

Die Regelfunktion des PI-Reglers ergibt sich aus der Addition

Der PID-Regler ist ein PI-Regler mit einem zusätzlichen D-
der P-Regelfunktion und I-Regelfunktion:

Anteil (D D Differenzial). Die Vorstellung von der Wirkung

Z
eines D-Anteils in einem Regler entspricht einem kurz ge-
y D

schlagenen Konterschlag gegen eine sehr starke Änderung der

R

K PR e C K IR
e dt

Regelgröße x, die sich infolge einer Störgröße z einstellen

69.6

PID-Reglerbaustein für digitale Abtastregelung

835
würde. Der D-Anteil bewirkt eine sehr kräftige aber nur kurz
und den Kenngrößen KPS, Tu und Tg verhalten, wenn die Aus-
wirkende Veränderung der Reglerausgangsgröße, die sich aus
wirkung einer aufgetretenen Störgröße z auf die Regelgröße x
ausgeregelt werden soll.

y D
de

D

R

K DR
mit K DR

Differenzierbeiwert
dt

69.6

PID-Reglerbaustein für digitale
berechnet und dabei der zeitlichen Änderung der Regeldifferenz
e proportional ist. In der Regelungstechnik wird die Eigenschaft

Abtastregelung
eines Reglers, auf eine sich abzeichnende Entwicklung bereits
im Voraus zu reagieren, als Vorhalt bezeichnet. Im Voraus

Eine Faustformel besagt, dass digitale Abtastregler gute Regel-
bedeutet, der Regler beobachtet die Veränderung der Regeldif-
ergebnisse liefern, wenn die größte Strecken-Zeitkonstante TS
ferenz bereits im aller ersten Ansatz bei ihrer Entstehung.

etwa 10mal größer als die Abtastzeit TA sein kann. Der Abtast-

Die PID-Regelfunktion bildet sich aus der PI-Regelfunktion er-
zeitwert bestimmt sich aus der Programmbearbeitungszeit des

VIII
weitert mit dem Vorhaltglied:

Rechners einschließlich der Wandlungszeit des A/D-Umsetzers.

Z

Ein gut zu erreichender Abtastzeitwert bei einer SPS liegt bei
de

100 ms. Systembedingt kann sich bei Abtastreglern das Reg-

Teil
y D

R

K PR
e C 1
e dt C Tv

T
lerausgangssignal yR nur wertdiskret, also bestenfalls feinstufig,
n
dt
und zeitdiskret, nämlich im Takt der Abtastzeit TA, ändern, wie

Die Vorhaltzeit Tv ist vergleichbar der Nachstellzeit Tn eine

Abb. 69.4 zeigt.

eingesparte Zeit. Damit ist der PID-Regler im Prinzip ein PI-

Zusätzlich muss die PID-Regelfunktion an die arithmetischen

Regler, dessen Wirkungsbeginn um die Vorhaltzeit Tv vorver-

Möglichkeiten eines digitalen Rechners angepasst werden. Die
legt erscheint, allerdings kann dies nicht in der Sprungantwort
originale PID-Regelfunktion muss ersetzt werden durch einen
dargestellt werden. Der Vorteil des PID-Reglers gegenüber dem
wirkungsähnlichen PID-Regelalgorithmus, bei dem das Inte-

PI-Regler ist die etwas schnellere Beseitigung einer aufgetrete-
gral des I-Anteils durch eine Summe und das Differenzial des
nen Regeldifferenz.

D-Anteils durch einen Differenzenquotienten ersetzt wird. Die

Weil der PID-Regler alle bisher besprochenen Regelparameter,
differenziell kleine Zeitspanne dt in der Regelfunktion wird
nämlich die Proportionalverstärkung K
durch die Abtastzeit T

PR für den P-Anteil, die

A ersetzt. Eine SPS als Softwareregler ver-

Integrierzeit T
fügt dann mit ihren Additions-, Subtraktions-, Multiplikations-

I bzw. die Nachstellzeit Tn für den I-Anteil und
die Vorhaltzeit T
und Divisions-Befehlen über die notwendigen Rechenopera-
v für den D-Anteil enthält, wird er auch als

Universalregler bezeichnet. Der PID-Regler ist wegen der Viel-
tionen zur Durchführung des PID-Regelprogramms, der die
zahl der möglichen Einstellkombinationen zur Anpassung an

Stellgröße yR für jeden Abtastzeitpunkt k neu berechnet:

alle Regelstreckentypen geeignet, aber etwas schwierig in der

k

X

Handhabung.

y

C
e. k/ e. k 1/

R. k/ D K PR
e. k/ C 1
e. i/ TA

Tv

Tn

TA
i D1

69.5

Vergleich der verschiedenen

Die in der Formel noch vorhandene fortlaufende Summen-
bildung kann mit einem rekursiven Algorithmus ausgeführt

Reglertypen
x

Als Abschluss der Betrachtung verschiedener Reglertypen soll

T S
in Abb. 69.3 vergleichend gezeigt werden, wie sich die Regler
w
bei optimaler Einstellung an einer Regelstrecke mit Ausgleich
x
ohne Regler
t

TA

I-Regler
yR

PI-Regler

P-Regler
t

PID-Regler
t

Abb. 69.3 Unterschiedliches Ausregeln einer Störung bei verschiedenen Reg-
lertypen an einer Regelstrecke mit Ausgleich

Abb. 69.4 Istwertabtastung und Regelspannungsausgabe

836

69 Regler

P_SEL

TRUE

0.0

FALSE
w

KPR

TA

Tn

I_SEL

I

+
e

100.0

TRUE

+
y
x

+

0.0

T

-
eil
x

FALSE

+

0.0

T

VIII

A

Tv

D_SEL

D

TRUE

0.0

FALSE

Abb. 69.5 Funktionsschema eines PID-Reglerbausteins für Stellungsalgorithmus (w D Sollwert, x D Istwert, e D Regeldifferenz, KPR D Proportionalverstärkung,

TA D Abtastzeit, Tn D Nachstellzeit, Tv D Vorhaltzeit, y D Stellgröße, P_SEL D P-Anteil, I_SEL D I-Anteil, D_SEL D D-Anteil)

werden, sodass eine Speicherung aller Regeldifferenzen e nicht

Da die PID-Reglerfunktion über Speichereigenschaften verfügt,
erforderlich ist. Es ergibt sich eine Formel zur Berechnung
wird das Programm mit einem Funktionsbaustein realisiert.

der Reglerausgangsgröße yR. k/ zu den bestimmten Zeitpunk- Über den Eingangsparameter EIN kann die Regelfunktion ein-
ten k und bezeichnet sie als Stellungsalgorithmus (Abb. 69.6).

oder ausgeschaltet werden. Im ausgeschalteten Zustand werden

Die analoge Wertausgabe dieser Reglerausgangsgröße am Ab-
alle gespeicherten Werte zurückgesetzt. Weitere Eingangspara-
tastreglerausgang der SPS, also nach der Digital-Analog-
meter des Funktionsbausteins sind die Führungsgröße w (SW),

Umsetzung, muss auf ein P-Stellglied geführt werden, das die
die Regelgröße x (IW) sowie die Einstellwerte Proportionalbei-
richtige Stellgröße y an die Regelstrecke abgibt:

wert KPR(KP), Nachstellzeit Tn (TN), Vorhaltzeit Tv (TV) und

die Abtastzeit TA (TA).

e. k/ e. k 1/
y

R . k/ D K PR
e. k/ C TA e SUM. k/ C Tv

T

Es wird angenommen, dass die Führungsgröße w und die Re-
n

TA
gelgröße x als Gleitpunktzahlen im Bereich von 0,0 bis 100,0

PID-Stellungsalgorithmus
vorliegen. Die Proportionalverstärkung KP und die Zeitwerte

Digitale Abtastregler steuern häufig auch sog. I-Stellglieder an.

TN, TV und TA sind ebenfalls als Gleitpunktzahlen anzugeben.

Das sind motorische Stellantriebe, die erst durch ihren Vor-

Bei den Zeitwerten TN, TV und TA entspricht dabei der Zah-
schub die Stellgröße y bilden. Da solchen I-Stellgliedern nicht
lenwert einem Zeitwert in Sekunden.

der Stellgrößenwert, sondern nur die Stellengrößenänderung zu

Mit den binären Eingangsparametern P_SEL, I_SEL und
geführt werden darf, gibt es auch noch einen zweiten PID-

D_SEL können die einzelnen Anteile mit einem „1“-Signal zu-

Algorithmus, der nur die Änderung der Reglerausgangsgröße

geschaltet und mit einem „0“-Signal abgeschaltet werden.

yR pro Abtastzeit TA berechnet und als Geschwindigkeitsalgo-
rithmus bezeichnet wird. Dieses Signal kann zur Bildung von

Die Ausgangsgröße STG des PID-Reglerbausteins ist die konti-
entsprechend langen oder kurzen Schritt-Stellsignalen für die
nuierliche Stellgröße yR in einem Gleitpunktzahlenbereich von
sog. Schrittregler verwendet werden.

0,0 ... 100,0.

Der PID-Reglerbaustein muss entsprechend der gewählten Ab-
y D K

PR
e. k/ e. k 1/ C TA e. k/

Tn
tastzeit T

A in gleichen zeitlichen Abständen zur Bearbeitung
aufgerufen werden.

C Tv . e. k/ 2 e. k 1/ C e. k 2//

TA

PID-Geschwindigkeitsalgorithmus

69.7

SPS als kontinuierlicher

Nachfolgend wird die Umsetzung des beschriebenen Stel-
lungsalgorithmus in ein universelles PID-Reglerprogramm ge-

PID-Abtastregler
zeigt, dessen P-Anteil, I-Anteil bzw. D-Anteil einzeln zu und
abschaltbar sind, um quasikontinuierliche P-, PI- oder PID-

Regelfunktionen ausführen zu lassen. Abb. 69.5 zeigt zunächst

Der in Abschn. 69.6 beschriebene PID-Reglerbaustein für den
das Funktionsschema des zu realisierenden PID-Reglerbau-

Stellungsalgorithmus ist noch kein gebrauchsfertiger digitaler
steins.

SPS-Regler. Abb. 69.7 zeigt in vereinfachter Form, was noch

69.8

Digitaler Schrittregler mit PI-Verhalten

837

EIN = FALSE

Lokale stationäre Variablen des Funk-

A

J

N

I

E

N
tionsbausteins:

EK1 = Regeldifferenz des vorhergehenden

STG:= 0

STG:= 0

Abtastzeitpunktes mit dem Proportional-

ESUM:=0

EK:= KP (SW - IW)

EK1:=0

ESUM:= ESUM + EK
beiwert KP multipliziert.

STGI:= (ESUM TA)/TN

ESUM = Summe aller Regeldifferenzen,

STGD:= TV ( EK - EK1)/TA
die mit dem Proportionalbeiwert KP

EK1:= EK
multipliziert sind.

P_SEL = TRUE

Lokale temporäre Variablen des Funk-

STG:= STG + EK
tionsbausteins:

I_SEL = TRUE

EK = Regeldifferenz mit dem Proportio-
nalbeiwert KP multipliziert. Der Wert

VIII
entspricht dem P-Anteil.

STG:= STG + STGI

STGI = Berechneter I-Anteil der Stell-

D_SEL = TRUE
größe STG.

Teil

STGD = Berechneter D-Anteil der Stell-

STG:= STG + STGD
größe STG.

STG < 0.0

JA

NEIN

STG:= 0.0

STG < 100.0

JA

NEIN

STG:= 100.0

Abb. 69.6 Struktogramm des PID-Reglerbausteins mit Stellungsalgorithmus

Takt

Zahlenformat-
umwandlung

PID-Stellungs-

Sollwert
algorithmus

Analogwert

0 0 0 0

BCD
ausgeben

EIN
w

REAL

SW

IW

STG

KP

REAL

TN

Stell-

AA

TV
größe

Regel-

TA

AE
größe
y

P_SEL
x

REAL

I_SEL

D_SEL

Analogwert
einlesen

Abb. 69.7 SPS-Regelstruktur (vereinfacht)

alles benötigt wird. Die SPS muss neben der CPU-Baugruppe

69.8

Digitaler Schrittregler mit
selbstverständlich auch über eine Analogeingabebaugruppe und
eine Analogausgabebaugruppe verfügen. Programmmäßig ist

PI-Verhalten
nicht nur der Regelalgorithmus, sondern auch das Einlesen der
analogen Regelgröße x und die Ausgabe der analogen Stellgröße

In der klassischen Analogregeltechnik wurde dieser Regler-
y auszuführen, d. h. die Anbindung der SPS an den Messaufneh-
typ mit einem Dreipunktregler und verzögerter Rückführung
mer und das Stellglied der realen oder simulierten Regelstrecke
über dem Schaltverstärker realisiert, weshalb er dort auch als
zu realisieren. Praktisch umsetzen lässt sich eine solche SPS-

Dreipunkt-Schrittregler bezeichnet wurde. Die digitale Nachbil-

Reglerlösung nur mit fertigen Programmierbausteinen aus der
dung dieses Reglertyps beruht nicht mehr auf dem Dreipunkt-

SPS-Bibliothek.

regler, sondern auf dem PID-Geschwindigkeitsalgorithmus mit

838

69 Regler
e
x
x<w
x=w

AUS
x
x<w
t

2
x 1
y ,y

1 2

EIN
y1
y2
t

T
y
eil

YI
t
y

VIII
y = K
e

P

PR

EIN

Tn

Tn
t

AUS
t

Abb. 69.8 Impulsverhalten eines PI-Schrittreglers

Abb. 69.9 Zweipunkt-Regelfunktion mit Verlauf der Regelgröße
einer nachgesetzten Impulsausgabe zur Ansteuerung eines mo-
torischen Stellantriebs, der einen Schieber oder ein Ventil mit
den unteren Grenzwert unterschreitet. Die Leistungszufuhr wird
einer Folge von Stellschritten öffnet oder schließt. Die so
abgeschaltet, sobald die Regelgröße x den oberen Grenzwert
gebildete Stellgröße ist quasi-kontinuierlich, da jede Stellglied-
überschreitet.

position innerhalb des Stellbereichs erreichbar ist, wenn auch
in kleinen Schritten. Werden keine Impulse ausgegeben, bleibt

Es ist charakteristisch für Zweipunktregler, dass es für die Re-
die Stellgröße unverändert. Mit den beiden binär wirkenden Im-
gelgröße x keinen Beharrungszustand gibt, dem sie zustreben
pulsausgängen können die erforderlichen drei Schaltzustände
kann. Die Stellgröße schaltet ständig um und die Regelgröße

„Rechtslauf“, „Linkslauf“ und „Aus“ für den Stellantrieb rea-
verändert sich fortwährend im Rahmen einer noch zulässigen
lisiert werden.

Schwankungsbreite, die durch die Differenz der beiden Schalt-
punkte x 2 und x 1 festgelegt ist. Diese sog. Schalthysterese trägt

Auf eine sprungförmige Änderung der Regeldifferenz e rea-
zur Beruhigung des Regelvorgangs bei. Den Einfluss einer Stör-
giert der PI-Schrittregler sofort mit einem „langen“ Schritt. Das
größe z korrigiert der Zweipunktregler durch Änderung seines

Stellsignal y 1 gibt dazu einen langen Impuls aus, der durch

EIN-AUS-Schaltverhältnisses.

den P-Anteil des Regelalgorithmus verursacht wird. Die dar-
auffolgenden kürzeren Impulse werden durch den I-Anteil des

Grafisch lässt sich der Zweipunkt-Regelungsvorgang anschau-

Regelalgorithmus gebildet, siehe Abb. 69.8. Der PI-Schrittregler
lich darstellen, wie Abb. 69.9 zeigt.

wirkt solange, bis keine Regeldifferenz mehr besteht.

69.10

Regelgüte

69.9

Zweipunktregler,

Zweipunkt-Regelfunktion

Ein Regler hat die Aufgabe, die Regelgröße x möglichst genau
auf den durch die Führungsgröße w vorgegebenen Sollwert zu

Bei der Zweipunkt-Regelfunktion wird ein binäres Stellgrö-
bringen und auch dort gegen den Einfluss einer Störgröße z zu
ßensignal mit den Zuständen „EIN“ und „AUS“ erzeugt. Bei
halten. Außerdem wird gefordert, dass der Regelungsvorgang

„EIN“ erfolgt 100 % Leistungszufuhr für die Regelstrecke und
in möglichst kurzer Zeit und nur unter vorübergehenden noch
bei „AUS“ dagegen 0 %.

zulässigem Überschwingen abgeschlossen wird. Diese Forde-
rungen lassen sich nicht alle erfüllen, da einzelne Bedingungen

Die Kennlinie des Zweipunktreglers zeigt die Position der bei-
sich auch widersprechen. Dämpft man beispielsweise die Über-
den Schaltpunkte auf der Regelgrößenachse x, deren Mittenlage
schwingweite, vergrößert sich die Ausregelzeit. Es ist daher nur
durch die eingestellte Führungsgröße w festgelegt ist. Die Zu-
möglich für eine vorliegende Regelungsaufgabe die günstigsten
schaltung der Leistungszufuhr erfolgt, wenn die Regelgröße x

Reglereinstellungen im Sinne eines Kompromisses zu finden.

Literatur

839
x

+ 5%
x
w
ü

Literatur

-5%

1. DIN EN 61131-3, Speicherprogrammierbare Steuerungen,

Teil 3: Programmiersprachen, Dezember 2003, Beuth Verlag

Berlin

2. DIN 19226 Teil 4, Leittechnik; Regelungstechnik und Steue-

T
t
rungstechnik; Begriffe für Regelungs- und Steuerungssyste-
an

T
me, Februar 1994, Beuth Verlag Berlin
aus

3. Gehlen, P.: Funktionale Sicherheit in Maschinen und Anla-
gen, Siemens AG (Hrsg.), Verlag: Publicis Corporate Publis-

Abb. 69.10 Kriterien zur Regelgüte
hing, Erlangen 2007

VIII

4. Lepers, H.: SPS-Programmierung nach IEC 61131-3, Franzis

Verlag Poing, 2005

Beurteilungsmaßstäbe für die Regelgüte sind die An- und Aus-

Teil

5. Mann, H., Schiffelgen, H., Froriep, R.: Einführung in die Re-
regelzeit sowie die Überschwingweite, wie in Abb. 69.10 darge-
gelungstechnik, Hanser Verlag München, 8. Auflage 1997
stellt.

6. Reuter, M., Zacher, S.: Regelungstechnik für Ingenieure,

1. Die Anregelzeit T

Vieweg Verlag, 11. Auflage 2004
an ist die Zeit, die bis zum erstmaligen Er-
reichen des Sollwertes der Regelgröße vergeht.

7. Seitz, M.: Speicherprogrammierbare Steuerungen, Fachbuch-

2. Die Ausregelzeit T
verlag Leipzig, 2003
aus ist die Zeit, die vergeht bis die Re-
gelgröße x endgültig in den Toleranzbereich einmündet und

8. Wellenreuther, G., Zastrow, D.: Automatisieren mit SPS,
darin verbleibt.

Theorie und Praxis, Verlag Vieweg Wiesbaden, 4. Auflage

3. Die Überschwingweite x

2008
ü wird in Prozent des Sollwertes der

Regelgröße x festgelegt.

9. Wellenreuther, G., Zastrow, D.: Automatisieren mit SPS,

Übersichten und Übungsaufgaben, Verlag Vieweg Wiesba-
den, 4. Auflage 2009

Regelungstechnik

IX

IX

Teil

70

Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843

71

Strukturbild und Übertragungsglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . 847

72

Übertragungsverhalten linearer, zeitinvarianter

Übertragungsglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853

73

Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859

74

Entwurf von Regelkreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865

841

Einführung

70

Joachim Horn

IX

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

843

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_70

844

70 Einführung

Störgröße

Führungsgröße

Regeldifferenz

Stellgröße
z(t)

Regelgröße
w(t)

Vergleichsglied
e(t)

u(t)

y(t)

Regelglied

Regelstrecke

Abb. 70.1 Klassischer Regelkreis
von außen vorgebbaren Stellgröße u. t/ besitzt die Strecke noch
z(t)

eine weitere Eingangsgröße, die Störgröße z. t/: Im Gegensatz
w(t)

u(t)

y(t)

zur Führungsgröße kann die Störgröße nicht von außen vorge-

Steuereinrichtung

Steuerstrecke
geben und häufig auch nicht gemessen werden, ihr zeitlicher

Verlauf ist also unbekannt.

Abb. 70.2 Steuerkette

Beim Regelungsentwurf, auch als Regelungssynthese bezeich-
net, geht es nun darum, ein geeignetes Regelungsglied zu
bestimmen, so dass die Regelgröße hinreichend genau der

Regelungstechnik ist die Wissenschaft von der automatischen

Führungsgröße folgt; die Wirkung der Störgröße muss hierzu
hinreichend unterdrückt werden.

T
gezielten Beeinflussung dynamischer Prozesse [3]. Dynamisch
eil
bedeutet, dass die Prozessgrößen sich zeitlich ändern.

In der Norm DIN IEC 60050-351 [1] werden die Bestandtei-
le des Regelkreises detaillierter gegliedert. Die Messung der

IX

Prozesse laufen in Systemen ab, also Einheiten, die mit der

Regelgröße erfolgt durch die Messeinrichtung, in der Litera-

Umwelt durch Ein- und Ausgangsgrößen verbunden sind. Der
tur auch als Messglied bezeichnet. Das Stellglied als Teil der

Zusammenhang von Ein- und Ausgangsgrößen wird durch ma-

Strecke wandelt die Stellgröße vom niedrigen Leistungspegel
thematische Beziehungen, beispielsweise Differenzialgleichun-
des Regelglieds zu einem höheren Leistungspegel. Der Regler
gen, beschrieben. Das zu beeinflussende System wird auch als
umfasst laut Norm das Vergleichsglied und das Regelglied; im

Regelstrecke oder kurz Strecke bezeichnet, die Begriffe Prozess,
üblichen Sprachgebrauch werden Regelglied und Regler jedoch

System und Strecke werden im Folgenden synonym verwen-
synonym verwendet. Ist die Führungsgröße konstant, so spricht
det. Je nach Anwendungsfall kann es sich um ein technisches
man von einer Festwertregelung, bei einer zeitabhängigen Füh-
oder auch um ein nichttechnisches System, beispielsweise ein
rungsgröße von einer Folgeregelung.

biologisches oder ökonomisches, handeln. Die im Folgenden
behandelten Methoden der Regelungstechnik verwenden stets

Charakteristisch für eine Regelung ist die Rückführung oder
ein mathematisches Modell, also eine abstrahierte Beschreibung

Rückkopplung von Prozessgrößen, im klassischen Regelkreis
des Prozesses.

gemäß Abb. 70.1 der Regelgröße y. t/. Wird durch die Störgröße
eine Abweichung der Regelgröße von der Führungsgröße, also

Abb. 70.1 zeigt die klassische Struktur zur gezielten Beeinflus-
eine Regeldifferenz ungleich Null, verursacht, so kann diese, ein
sung dynamischer Prozesse, den Regelkreis. Die zeitveränder-
geeignetes Regelglied vorausgesetzt, im geschlossenen Kreis
liche Größe y. t/; die im Idealfall exakt einem vorgegebenen wieder ausgeregelt werden. Auch wenn die dynamischen Eigen-

Verlauf folgen soll, wird gemessen und mit der Sollgröße w. t/
schaften der Strecke nur näherungsweise bekannt sind, wird bei
verglichen. y. t/ wird als Regelgröße, w. t/ als Führungsgröße Verwendung eines geeigneten Regelglieds der Betrag der Re-
bezeichnet. Die Differenz e. t/ D w. t/ y. t/ heißt Regeldiffe- geldifferenz hinreichend klein sein. Diese Eigenschaft wird als renz, Regelabweichung oder Regelfehler. Die Differenzbildung

Robustheit bezeichnet.

von Soll- und Istwert der Regelgröße wird als Soll-Istwert-

Vergleich bezeichnet. Das Regelglied berechnet aus der Re-

Im Gegensatz zu einem geschlossenen Regelkreis findet bei ei-
geldifferenz e. t/ die Stellgröße u. t/; und zwar so, dass die ner offenen Steuerkette oder kurz Steuerung gemäß Abb. 70.2

Regelgröße der Führungsgröße möglichst gut folgt. Neben der
keine Rückführung von Prozessgrößen statt. Die Strecke wird
u (t)

V

Vorsteuerung
w(t)

e(t)

y(t)

u (t)

R

Regelglied

Regelstrecke

Abb. 70.3 Regelkreis mit Vorsteuerung

70 Einführung

845
hier als Steuerstrecke bezeichnet, die steuernde Einheit als
sigbar ist. Sind diese Voraussetzungen erfüllt, kann mit einer

Steuereinrichtung oder kurz ebenfalls als Steuerung. (Hinweis:

geeignet entworfenen Steuerung die Ausgangsgröße der Stre-

Der Begriff „Steuerung“ wird in der Automatisierungstechnik
cke schneller auf einen neuen Sollwert gebracht werden als mit
noch mit einer weiteren Bedeutung verwendet, nämlich als
einer Regelung. Für die Aufgabenstellung der Folgeregelung

Kurzform von „ereignisdiskrete Steuerung“, die eine Rückfüh-
wird daher häufig die Regelung mit einer Steuerung, als Vor-
rung wertediskreter Prozessgrößen (z. B. „Ventil geöffnet“ oder
steuerung bezeichnet, kombiniert. Wie in Abb. 70.3 dargestellt,

„Ventil geschlossen“) auf wertediskrete Stellgrößen bezeich-
setzt sich hierbei die Stellgröße u. t/ aus einem Vorsteuerungs-
net.)

anteil uV . t/ und einem Regelungsanteil uR. t/ zusammen. Der

Regelungsanteil der Stellgröße kompensiert die Wirkung von

Eine offene Steuerkette kann dann angewendet werden, wenn

Modellungenauigkeiten und Störungen, der Vorsteuerungsanteil
das dynamische Verhalten und der Anfangszustand der Steu-
gewährleistet, dass die Regelgröße schnell der Führungsgröße
erstrecke genau bekannt sind sowie die Störgröße vernachläs-
und damit der Solltrajektorie folgt.

IX

Teil

Strukturbild und Über-

71
tragungsglieder

Joachim Horn

IX

Teil

71.1 Strukturbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848

71.2 Übertragungsglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848

71.3 Klassifikation von Übertragungsgliedern . . . . . . . . . . . . . . . 849

71.4 Beschreibung von Übertragungsgliedern um einen Arbeitspunkt . 849

71.5 Impulsantwort und Sprungantwort einfacher Übertragungsglieder 850

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

847

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_71

848

71 Strukturbild und Übertragungsglieder

Tab. 71.1 Funktionalbeziehung und Blocksymbol einfacher Übertragungsglieder

Übertragungsglied

Funktionalbeziehung

Blocksymbol

P-Glied (Proportionalglied)

y. t/ D K u. t/

K
u(t)

y(t)

u(t)

y(t)

oder

K

R t

I-Glied (Integrierglied)

y. t/ D K
u. / d

0

K
u(t)

y(t)

u(t)

y(t)

oder

K
s

D-Glied (Differenzierglied)

y. t/ D K P u. t/

K
u(t)

y(t)

u(t)

y(t)

oder

K s

TZ-Glied, Tt-Glied (Totzeitglied)

y. t/ D K u. t Tt/ mit Tt > 0

K

Tt
u(t)

y(t)

u(t)

y(t)

t

-T s
oder

K e

S-Glied (Summierglied)

y. t/ D ˙ u 1. t/ ˙ u 2. t/
u (t)

t
y(t)

1

T

-
eil
u (t)

2

KL-Glied (Kennlinienglied)

y. t/ D F. u. t//

IX
u(t)

y
y(t)

u(t)

y(t)

oder

F(u)

u

M-Glied (Multiplizierglied)

y. t/ D K u 1. t/ u 2. t/
u (t)

t
y(t)

1
u (t)

2

PT 1-Glied, VZ 1-Glied

T P y. t/ C y. t/ D K u. t/

K

T

(Verzögerungsglied erster Ordnung)

u(t)

y(t)

u(t)

y(t)

K
oder

1+Ts

PT 2-Glied, VZ 2-Glied

T 2 R y. t/ C 2 d T P y. t/ C y. t/ D K u. t/
d

(Verzögerungsglied zweiter Ordnung)

K

T
u(t)

y(t)

u(t)

K
y(t)

oder

2 2

1+2dTs +T s

71.1

Strukturbild

71.2

Übertragungsglieder

Das Strukturbild eines dynamischen Systems, auch Signal-

Ein Übertragungsglied wird durch die Funktionalbeziehung
flussplan genannt, ist eine grafische Darstellung der Funktio-
zwischen den Eingangsgrößen und den Ausgangsgrößen be-
nalbeziehungen der zeitveränderlichen Größen. Die zeitverän-
schrieben. Übertragungsglieder werden im Strukturbild als
derlichen Größen werden dabei als Pfeile dargestellt. Blöcke

Block dargestellt. In Tab. 71.1 sind einfache Übertragungs-
charakterisieren die Funktionalbeziehung zwischen den Ein-
glieder mit den gebräuchlichen Blocksymbolen aufgelistet.

gangsgrößen und den Ausgangsgrößen, beispielsweise durch

Bei linearen, zeitinvarianten Übertragungsgliedern (siehe Ab-
eine Differenzialgleichung. Blöcke sind rückwirkungsfrei.

schn. 71.3.2 und 71.3.3) wird entweder die Sprungantwort h. t/;
also die Ausgangsgröße y. t/ bei einem Einheitssprung . t/ als

Das Strukturbild stellt eine anschauliche Beschreibung des dy-

Eingangsgröße u. t/; im Blocksymbol dargestellt oder die in Ab-
namischen Systems dar. Rückkopplungen oder unabhängige
schn. 71.3.1 definierte Übertragungsfunktion G. s/ angegeben.

Teilsysteme können in dieser grafischen Darstellung viel ein-
facher erkannt werden als direkt aus den Gleichungen der
zeitveränderlichen Größen des Systems.

71.4

Beschreibung von Übertragungsgliedern um einen Arbeitspunkt

849

71.3

Klassifikation von

71.3.3

Zeitinvariante und zeitvariante

Übertragungsgliedern

Übertragungsglieder

Die Funktionalbeziehung zwischen der Eingangsgröße u. t/ und Ein Übertragungsglied heißt zeitinvariant, wenn es das Ver-
der Ausgangsgröße y. t/ eines Übertragungsgliedes sei durch
schiebungsprinzip,
den Operator A gemäß
y. t t 0/ D A f u. t t 0/g
y. t/ D A f u. t/g
für jede Eingangsgröße u. t/ und jedes t 0 > 0, erfüllt [3]. An-
beschrieben.

dernfalls heißt es zeitvariant.

Das Übertragungsverhalten eines zeitinvarianten Übertragungs-
gliedes ist also unabhängig von der Zeit, das Übertragungs-

71.3.1

Statische und dynamische
verhalten eines zeitvarianten Übertragungsgliedes ist dagegen

Übertragungsglieder
abhängig von der Zeit. Alle Übertragungsglieder in Tab. 71.1
sind zeitinvariant. Ein Übertragungsglied, dessen Übertragungs-
verhalten durch eine Differenzialgleichung mit zeitabhängigen

Bei einem statischen Übertragungsglied hängt die Ausgangs-

Koeffizienten beschrieben wird, beispielsweise
größe zum Zeitpunkt t nur von der Eingangsgröße zum selben

Zeitpunkt t ab. Das P-Glied mit der Funktionalbeziehung y. t/ D
a 0. t/ y. t/ C a 1. t/ P y. t/ D b 0. t/ u. t/ C b 1. t/ P u. t/; K u. t/ und das KL-Glied mit der Funktionalbeziehung y. t/ D

F. u. t// sind statische Übertragungsglieder.

ist dagegen zeitvariant.

IX

Bei einem dynamischen Übertragungsglied hängt die Ausgangs-

Technische Systeme sind, verursacht unter anderem durch Alte-
größe zum Zeitpunkt t von der Eingangsgröße zu einem anderen

Teil
rung und Verschleiß, stets zeitvariant. Jedoch können sie, wenn

Zeitpunkt ab, typischerweise von der Eingangsgröße bis zum
man lediglich einen begrenzten Zeitraum betrachtet, in guter

Zeitpunkt t. Das I-Glied mit der Funktionalbeziehung y. t/ D

R t

Näherung als zeitinvariant beschrieben werden.

K
u./ d ist ein dynamisches Übertragungsglied.

0

71.3.2

Lineare und nichtlineare

71.3.4

Kausale und akausale

Übertragungsglieder

Übertragungsglieder

Ein Übertragungsglied heißt linear, wenn es das Überlagerungs-

Ein Übertragungsglied heißt kausal, wenn die Eingangsgröße zu
prinzip (Superpositionsprinzip),
einem beliebigen Zeitpunkt die Ausgangsgröße für t < nicht
beeinflusst. Andernfalls heißt es akausal.

A f u 1. t/ C u 2. t/g D A f u 1. t/g C A f u 2. t/g

Alle Übertragungsglieder in Tab. 71.1 sind kausal. Ein TZ-Glied
für beliebige u
mit negativer Totzeit, T

1. t/ und u 2. t/, und das Verstärkungsprinzip,
t < 0, ist dagegen akausal.

A f c u. t/g D c A f u. t/g

Technische Systeme sind stets kausal. Damit ein Reglergesetz
technisch realisiert werden kann, muss das Übertragungsverhal-
für beliebige c und u. t/, erfüllt [3]. Andernfalls heißt das Über-
ten kausal sein.

tragungsglied nichtlinear.

Mit

71.4

Beschreibung von
y 1. t/ D A f u 1. t/g;
y 2. t/ D A f u 2. t/g

Übertragungsgliedern um einen
und der Eingangsgröße

Arbeitspunkt
u. t/ D c

1
u 1. t/ C c 2 u 2. t/
lautet die Ausgangsgröße eines linearen Systems

71.4.1

Arbeitspunkt eines

Übertragungsgliedes
y. t/ D c

1
y 1. t/ C c 2 y 2. t/:

Das I-Glied ist ein lineares Übertragungsglied. Das KL-Glied –

Im Arbeitspunkt eines Übertragungsgliedes, auch als Betriebs-
den Sonderfall des P-Gliedes ausgenommen – ist ein nichtlinea-
punkt, Ruhelage oder stationärer Zustand bezeichnet, sind alle
res Übertragungsglied.

zeitveränderlichen Größen konstant. Die zeitlichen Ableitungen

850

71 Strukturbild und Übertragungsglieder
sind damit gleich Null. Wird das Übertragungsverhalten durch

Als triviales Beispiel werde die nichtlineare Kennlinie y D F. u/
die Differenzialgleichung
mit der Ruhelage y D

R

F. uR/ betrachtet. Mit
f . u. t/; P u. t/; : : : ; . m/
u . t/; y. t/; P y. t/; : : : ; . n/
y . t// D 0

(71.1)

f . u; y/ D y F. u/
beschrieben, so gilt für die Ruhelage
erhält man

ˇ
f . u

D Ď

R; 0; : : : ; 0; yR; 0; : : : ; 0/ D 0:

a 0

1 .

1;
uR; yR/ˇ

@ F. u/ˇ

Žu einem vorgegebenen u

ˇ

ˇ

R können unendlich viele oder end-
b D

D

0

ˇ

F 0. u/

:

uR
lich viele Lösungen oder genau eine oder auch keine Lösung y

@ u

R

. uR; yR/
existieren.

Aus (71.2) folgt somit die lineare Approximation

ˇ
y. t/ D F 0. u/ˇ u. t/:

71.4.2

Linearisierung um den Arbeitspunkt
uR

Das KL-Glied kann also in der Umgebung des Arbeitspunktes

Betrachtet man das Übertragungsverhalten eines nichtlinea-
uR; yR durch ein P-Glied
ren Übertragungsgliedes in der Umgebung des Arbeitspunktes

T
u
y. t/ D K u. t/

R; yR; dann genügt es häufig, eine lineare Approximation zu
eil
verwenden. Man spricht dann von der Linearisierung um den

Arbeitspunkt. Diese Vorgehensweise ist insbesondere dann an-
mit

IX
gemessen, wenn mit einer Festwertregelung ein dynamisches

Šystem trotz Störungen im Arbeitspunkt gehalten werden soll.

K D F 0. u/ˇ uR

Mit den Abweichungen
angenähert werden.

u. t/ D u. t/ uR;
y. t/ D y. t/ yR

71.5

Impulsantwort und
erhält man durch Taylorreihenentwicklung und Vernachlässi-
gung des Restgliedes aus (71.1) die lineare Näherung

Sprungantwort einfacher

Übertragungsglieder
a

0
y. t/ C a 1 P y. t/ C : : : C an . n/
y . t/

D b

0
u. t/ C b 1 P u. t/ C : : : C bm . m/
u . t/

(71.2)

Als Impulsantwort g. t/ eines Übertragungsgliedes bezeichnet
man die Ausgangsgröße y. t/; die sich als Reaktion auf einen
mit

Dirac-Impuls ı. t/ am Eingang u. t/ des Übertragungsgliedes

ˇ

@
ergibt. Als Sprungantwort h. t/ bezeichnet man die Ausgangs-
f ˇ
a D

ˇ
größe y. t/; die sich als Reaktion auf einen Einheitssprung . t/

0

;

@ yˇ. uR;0;:::;0; yR;0;:::;0/

ˇ
am Eingang u. t/ ergibt.

@ f ˇ
a D

ˇ

1

;

@P yˇ. uR;0;:::;0; yR;0;:::;0/

:::

71.5.1

P-Glied

ˇ

@ f ˇ
a D

ˇ
n

ˇ

;

Für das P-Glied mit der Funktionalbeziehung

@. n/
y . uR;0;:::;0; yR;0;:::;0/

ˇ

@ f ˇ
b D

ˇ
y. t/ D K u. t/

0

;

@ u ˇ. uR;0;:::;0; yR;0;:::;0/

ˇ

@ f ľautet die Impulsantwort
b D

ˇ

1

;

@P u ˇ. uR;0;:::;0; yR;0;:::;0/
g. t/ D K ı. t/

:::

ˇ
und die Sprungantwort (Abb. 71.1)

@ f ˇ
b D

ˇ
m

ˇ

:

@. m/
u . u
h. t/ D K . t/:

R;0;:::;0; yR;0;:::;0/

71.5

Impulsantwort und Sprungantwort einfacher Übertragungsglieder

851
h(t)

h(t)

K

K

0
t

0

T
t
t

Abb. 71.1 Sprungantwort h .t/ des P -Gliedes

Abb. 71.4 Sprungantwort h .t/ des TZ -Gliedes
h(t)

h(t)

K

K

0

1
t

Abb. 71.2 Sprungantwort h .t/ des I -Gliedes

0

T
t

Abb. 71.5 Sprungantwort h .t/ des PT1-Gliedes
h(t)

K

71.5.4

TZ-Glied

IX

0
t

Für das TZ-Glied mit der Funktionalbeziehung

Teil

Abb. 71.3 Sprungantwort h .t/ des D -Gliedes
y. t/ D K u. t Tt/;

Tt > 0;
lautet die Impulsantwort

71.5.2

I-Glied
g. t/ D K ı. t Tt/

Für das I-Glied mit der Funktionalbeziehung
und die Sprungantwort (Abb. 71.4)

t

Z
h. t/ D K . t Tt/:

y. t/ D K
u./ d

0
lautet die Impulsantwort

71.5.5

PT1-Glied
g. t/ D K . t/

Für das PT 1-Glied mit der Funktionalbeziehung
und die Sprungantwort (Abb. 71.2)

T P y. t/ C y. t/ D K u. t/;

T > 0
h. t/ D K t . t/:

lautet die Impulsantwort
g. t/ D K e tT . t/

71.5.3

D-Glied

T
und die Sprungantwort (Abb. 71.5)

Für das D-Glied mit der Funktionalbeziehung

h. t/ D K 1 e tT . t/
y. t/ D K P u. t/
lautet die Impulsantwort

71.5.6

PT2-Glied
g. t/ D K Pı. t/
und die Sprungantwort (Abb. 71.3)

Für das PT 2-Glied mit der Funktionalbeziehung
h. t/ D K ı. t/:

T 2 R y. t/ C 2 d T P y. t/ C y. t/ D K u. t/;

T; d > 0

852

71 Strukturbild und Übertragungsglieder
h(t)

h(t)

K

K
d=1,5
d=3
d=2

0
t

0
t

Abb. 71.6 Sprungantwort h .t/ des PT2-Gliedes im aperiodischen Fall für ver-

Abb. 71.7 Sprungantwort h .t/ des PT2-Gliedes im aperiodischen Grenzfall
schiedene Dämpfungen d
d=0,25
h(t)

d=0,5
sind in Abhängigkeit von der Dämpfung d drei Fälle zu un-

K
terscheiden: der aperiodische Fall für d > 1; der aperiodische

Grenzfall für d D 1 und der periodische Fall für 0 < d < 1.

d=0,75

Im aperiodischen Fall für d > 1 lautet die Impulsantwort

K
t
t
g. t/ D
e T 1 e T 2 . t/

T

0
t

1

T 2

Teil
mit

Abb. 71.8 Sprungantwort h .t/ des PT

2 -Gliedes im periodischen Fall für ver-
p

schiedene Dämpfungen d

IX

T D

1

T d C
d 2 1 ;

p

T D

2

T d
d 2 1

Im periodischen Fall für 0 < d < 1 lautet die Impulsantwort
und die Sprungantwort (Abb. 71.6)

K
p
t

g. t/ D
p
e d tT sin

1 d 2

. t/
t
t

T

1 d 2

T
h. t/ D K

K

T

T

T

1
e

1 T 2 e

2

. t/:

T

1

T 2
und die Sprungantwort (Abb. 71.8)

Im aperiodischen Grenzfall für d D 1 lautet die Impulsantwort

K
p
t
h. t/ D K p
e d tT sin

1 d 2

C

. t/
g. t/ D K t e tT . t/

T

T 2

1 d 2
und die Sprungantwort (Abb. 71.7)

mit

h. t/ D K K e tT K t e tT

. t/:

cos D d;

0 < <

:

T

2

Übertragungsverhalten

72
linearer, zeitinvarianter

Übertragungsglieder

Joachim Horn

IX

Teil

72.1 Übertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854

72.2 Frequenzgangfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854

72.3 Frequenzkennlinien elementarer Übertragungsfunktionen . . . . . 855

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

853

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_72

854

72 Übertragungsverhalten linearer, zeitinvarianterÜbertragungsglieder

Als Pole der Übertragungsfunktion bezeichnet man die Nullstel-
x(t)

y(t)

LZI-Glied
len des Nennerpolynoms

N. s/ D sn C a

n1
sn1 C : : : C a 1 s C a 0;

Abb. 72.1 Lineares, zeitinvariantes Übertragungsglied
als Nullstellen der Übertragungsfunktion die Nullstellen des

Zählerpolynoms

Betrachtet werde ein lineares, zeitinvariantes Übertragungsglied

( LZI-Glied) mit der Eingangsgröße u. t/ und der Ausgangsgröße

Z. s/ D bm sm C bm1 sm1 C : : : C b 1 s C b 0;
y. t/; siehe Abb. 72.1. Die Ausgangsgröße y. t/ berechnet sich bei wobei vorausgesetzt ist, dass Zähler- und Nennerpolynom keine verschwindenden Anfangswerten durch Faltung von Impulsant-gemeinsame Nullstelle besitzen. Die Anzahl m der Nullstellen
wort g. t/ und Eingangsgröße u. t/ gemäß
ist kleiner oder gleich der Anzahl n der Pole. Die Polynom-
t

Z
koeffizienten an; : : : ; a 0 des Nennerpolynoms sind reell, daher
y. t/ D
g. t / u./ d:

(72.1)

treten ausschließlich reelle Pole oder konjugiert komplexe Pol-
paare auf. Entsprechendes gilt für die Polynomkoeffizienten

D0
bm; : : : ; b 0 des Zählerpolynoms und die Nullstellen der Über-
tragungsfunktion.

72.1

Übertragungsfunktion

T

72.2

Frequenzgangfunktion
eil

Durch Laplace-Transformation und Anwendung der Faltungsre-
gel erhält man aus (72.1) im Bildbereich

IX

Y. s/ D G. s/ U. s/:

Betrachtet man die Übertragungsfunktion G. s/ auf der imagi-
nären Achse, d. h. für s D j!, so erhält man die Frequenzgang-

G. s/ wird als Übertragungsfunktion des linearen, zeitinvarian- funktion
ten Systems bezeichnet. Die Übertragungsfunktion G. s/ ist also
ďie Laplace-Transformierte der Impulsantwort g. t/. Für eine

F. j!/ D G. s/ˇ

:

s D j!

beliebige Eingangsgröße u. t/ kann die Übertragungsfunktion
gemäß

Die Frequenzgangfunktion eines stabilen Übertragungsgliedes
kann direkt gemessen werden: Schaltet man eine harmonische

G. s/ D Y. s/

U. s/

Schwingung mit der Frequenz ! und der Amplitude 1 auf den

Eingang des linearen, zeitinvarianten Übertragungsgliedes,
als Quotient der Laplace-Transformierten Y. s/ der Ausgangs-
größe y. t/ und der Laplace-Transformierten U. s/ der Eingangs-
u. t/ D sin.! t/;
größe u. t/ berechnet werden.

so erhält man am Ausgang nach dem Abklingen der Ein-

Wird das Übertragungsverhalten des linearen, zeitinvarianten
schwingvorgänge ebenfalls eine harmonische Schwingung mit

Systems durch die Differenzialgleichung
derselben Frequenz !, einer Amplitude A.!/ und einer Phasen-

. n/
verschiebung '.!/,
y . t/ C a

. n1/

P

n1
y . t/ C : : : C a 1 y. t/ C a 0 y. t/

D
y. t/ D A.!/ sin.!. t/ C '.!//:

b . m/

. m1/

P

m
u . t/ C bm1
u . t/ C : : : C b 1 u. t/ C b 0 u. t/

Der Betrag der Frequenzgangfunktion für die Frequenz ! be-
beschrieben, so erhält man durch Laplace-Transformation und
trägt

Anwendung der Differenziationsregel bei verschwindenden An-
fangswerten im Bildbereich
j F. j!/j D A.!/;

. sn C a

n1
sn1 C : : : C a 1 s C a 0/ Y. s/
die Phase

D . b

m
sm C bm1 sm1 C : : : C b 1 s C b 0/ U. s/:

j F. j!/ D '.!/;

Die Übertragungsfunktion ist damit durch die gebrochen ratio-
nale Funktion
und damit ergibt sich die Frequenzgangfunktion zu
b

m
sm C bm1 sm1 C : : : C b 1 s C b 0

F. j!/ D A.!/ ej'.!/

G. s/ D
sn C a

n1
sn1 C : : : C a 1 s C a 0
für die betrachtete Frequenz !. Aufgrund der Linearität des
gegeben. Solche Übertragungsglieder werden als R-Glieder be-

Übertragungsgliedes kann die Messung mit einer beliebigen
zeichnet. Mit den Polen pi und den Nullstellen nj erhält man die

Eingangsamplitude O

U durchgeführt werden, die Ausgangsam-

Darstellung

Q
plitude ergibt sich dann zu O

Y D A.!/ O

U.

m

. s n
j D1
j/

G. s/ D K Q

:

Wiederholt man das Experiment für verschiedene Frequenzwer-
n

. s p
i D1
i/
te, erhält man die Frequenzgangfunktion F. j!/.

72.3

Frequenzkennlinien elementarer Übertragungsfunktionen

855

Von besonderer Bedeutung sind zwei grafische Darstellungen
der Frequenzgangfunktion: Die Ortskurve zeigt F. j!/ für ! 0

|F| dB
in der komplexen Ebene. Im Bode-Diagramm werden Betrag

KdB
und Phase von F. j!/ in zwei separaten Frequenzkennlinien dar-
gestellt.

Stellt man die Frequenzgangfunktion F. j!/ als Produkt

F

F. j!/ D F 1. j!/ : : : Fn. j!/

0°
dar, so erhält man mit
j F. j!/j ej j F. j!/ D j F 1. j!/j ej j F 1. j!/ : : : j Fn. j!/j ej j Fn. j!/

0,1

0,2

0,3

0,5

1

2

3

5 ω

10

D j F 1. j!/j : : : j Fn. j!/j ej.j F 1. j!/C:::Cj Fn. j!//

Abb. 72.2 Frequenzkennlinien von F .j !/ D K
für den Betrag
j F. j!/j D j F 1. j!/j : : : j Fn. j!/j

20

|F|dB
und für die Phase

10
j F. j!/ D j F

0

1. j!/ C : : : C j Fn. j!/:

-10

Geht man zum Betrag in Dezibel gemäß

-20
j F. j!/j D
dB

20 log j F. j!/j

IX

0°
über, so ergibt sich

Teil
j F. j!/j D j

C

F
dB

F 1. j!/jdB

: : : C j Fn. j!/jdB:

-45°

Betrags- bzw. Phasenkennlinie von F. j!/ erhält man also als

Summe der Betrags- bzw. Phasenkennlinien von F 1. j!/ bis

F

-90°
n. j!/: Die Frequenz wird im Bode-Diagramm logarithmisch
aufgetragen.

0,1

0,2

0,3

0,5

1

2

3

5

10
ω

72.3

Frequenzkennlinien

Abb. 72.3 Frequenzkennlinien von F .j !/ D 1j!

elementarer

Übertragungsfunktionen

72.3.3

Differenzierer

72.3.1

Verstärkungsfaktor

Mit F. j!/ D j! ergibt sich der Betrag in Dezibel zu (Abb. 72.4)

j F. j!/j D
dB

20 log !;

Mit F. j!/ D K, K > 0 ergibt sich der Betrag in Dezibel zu

(Abb. 72.2)

die Phase zu
j F. j!/j D
dB

20 log K;
j F. j!/ D 90ı:

die Phase zu
j F. j!/ D 0ı:

72.3.4

Reeller Pol

72.3.2

Integrierer

Mit F. j!/ D

1

, T > 0, ergibt sich der Betrag zu

1C j! T

Mit F. j!/ D 1
j! ergibt sich der Betrag in Dezibel zu (Abb. 72.3)

j F. j!/j D

1
p

:

1 C !2 T 2
j F. j!/j D
dB

20 log !;

Für !
1 erhält man näherungsweise
die Phase zu

T
j F. j!/ D 90ı:

j F. j!/j 1

856

72 Übertragungsverhalten linearer, zeitinvarianterÜbertragungsglieder

20

|F| dB

0

10

|F| dB

0

-10

-10

-20

-20

90°

0°

F

F

45°

-45°

0°

-90°

0,1

0,2

0,3

0,5

1

2

3

5

10

0,1

0,2

0,3

0,5

1

2

3

5

10
ω
ω
ω0

Abb. 72.4 Frequenzkennlinien von F .j !/ D j !

Abb. 72.5 Frequenzkennlinien von F .j !/ D

1

T

1Cj !T
eil
und damit

IX

20
j

|F|

F. j!/j

dB
dB

0:

10

Die 0-dB-Linie ist also die Asymptote für !
1 .

T

0

Für !
1 erhält man näherungsweise

T
j F. j!/j 1

!

90°

T
und damit

F

45°
j F. j!/j D
dB

20 log ! 20 log T:

0°

Die Asymptote für !
1 ist also eine Gerade, die mit 20 dB

T
pro Dekade abfällt. Die Betragskennlinie kann damit durch eine

0,1

0,2

0,3

0,5

1

2

3

5

10

Knickgerade approximiert werden.

0

Abb. 72.5 zeigt den exakten Betrag und die Approximation als

Knickgerade. Die Abweichung zwischen der exakten Betrags-

Abb. 72.6 Frequenzkennlinie von F .j !/ D 1 C j ! T
kennlinie und der Approximation durch die Knickgerade ist bei
der Knickfrequenz ! D 1

0
maximal, sie beträgt dort 3 dB.

T

72.3.6

Konjugiert komplexes Polpaar

Die Phase ergibt sich zu
j F. j!/ D arctan.! T/:

Mit F. j!/ D

1

, 0 < d < 1, T > 0, ergibt sich der

1C2 d j! T C. j! T/2

Betrag zu

72.3.5

Reelle Nullstelle
j F. j!/j D

1
p

:

.1 .! T/2/2 C .2 d ! T/2

Die Frequenzkennlinie einer reellen Nullstelle mit

Für !
1 erhält man näherungsweise

T

F. j!/ D 1 C j! T;

T > 0;
j F. j!/j 1
erhält man aus den Frequenzkennlinien einer reellen Polstelle
und damit
durch Vorzeichenumkehr, d. h. durch Spiegelung an der 0-dB-
j

bzw. 0°-Linie (Abb. 72.6).

F. j!/jdB

0:

72.3

Frequenzkennlinien elementarer Übertragungsfunktionen

857
d=

0°
d=

20

0,05

0,05

0,1

0,1

0,15

0,15

10

0,2

F

0,2

|F|

0,25

0,25
d=
dB

0,3
d=

0

0,4

0,3
d=

0,5

0,4

0,3

-90°

0,6

0,5

-10

0,4

0,8

0,6

0,5

0,99

0,8

0,6

0,99

-20

0,8
d=

0,99

0,05

0,1

0,15

-30

0,2

-180°

0,25

-40

0,1

0,2

0,3

0,5

1

2

3

5

10

0,1

0,2

0,3

0,5

1

2

3

5
ω
ω

10
ω
ω

0

0

Abb. 72.8 Phasenkennlinie von F .j !/ D

1
in Abhängigkeit

Abb. 72.7 Betragskennlinie von F .j !/ D

1
in Abhängigkeit

1C2d j !T C.j !T /2

1C2d j !T C.j !T /2
von der Dämpfung d
von der Dämpfung d

40

30

Die 0-dB-Linie ist also die Asymptote für !
1 .

T

|F| dB
d=

0,99

20

0,8

IX

Für !
1 erhält man näherungsweise

T

0,6

0,5

10

0,4

0,3

Teil
j F. j!/j

1

.! T/2

0
d=

0,25

-10
und damit

0,2

0,15

0,1

-20

0,05
j F. j!/j
dB

40 log ! 40 log T:

0,1

0,2

0,3

0,5

1

2

3

5

10
ω

Die Asymptote für !
1 ist also eine Gerade, die mit 40 dB
ω

T

0
pro Dekade abfällt.

Abb. 72.9 Betragskennlinie von F .j !/ D 1 C 2 d j ! T C .j ! T /2 in

Abb. 72.7 zeigt die Betragskennlinie von

Abhängigkeit von der Dämpfung d

F. j!/ D

1

1 C 2 d j! T C . j! T/2

72.3.7

Konjugiert komplexes Nullstellenpaar
p
in Abhängigkeit von der Dämpfung d. Für d < 2

2

Die Frequenzkennlinien eines konjugiert komplexen Nullstel-
lenpaares mit F. j!/ D 1 C 2 d j! T C . j! T/2, 0 < d < 1,
kommt es zur sogenannten Resonanzüberhöhung. Der Maxi-

T > 0, erhält man aus den Frequenzkennlinien eines kon-
malwert der Betragskennlinie wird für die Resonanzfrequenz
p
jugiert komplexen Poolpaares durch Vorzeichenumkehr, d. h.

! D

D 1

R

!0

1 2 d 2 mit !0
erreicht und beträgt

T
durch Spiegelung an der 0-dB- bzw. 0°-Linie (Abb. 72.9 und

72.10).

max j F. j!/j D

1
p

:

2 d

1 d 2

72.3.8

Totzeit

Diese Resonanzüberhöhung wird für d ! 0 unendlich groß.

Die Phase ergibt sich zu

Mit F. j!/ D e j! Tt , Tt > 0; ergibt sich der Betrag zu

(Abb. 72.11)

j

2 d ! T

F. j!/ D arctan

:

j F. j!/j D 1

1 .! T/2
und damit

Abb.

72.8
zeigt
die

Phasenkennlinie
von

F. j!/

D

1
in Abhängigkeit von der Dämpfung d.

j F. j!/j D
dB

0:

1C2 d j! T C. j! T/2

858

72 Übertragungsverhalten linearer, zeitinvarianterÜbertragungsglieder

180°
d=

0,25

0,2

|F|

0,15
dB

0,1

F

0,05
d=

0
d=

0,99

0,99

0,8

0,8

0,6

-10

90°

0,6

0,5

0,5

0,4

0,4

0,3

0,3
d=

0,25

0°

0,2

0,15

F

0,1

0,05

0°

-90°

0,1

0,2

0,3

0,5

1

2

3

5 ω

10
ω

-180°

0

0,1

0,2

0,3

0,5

1

2

3

5

10

Abb. 72.10 Phasenkennlinie von F .j !/ D 1 C 2 d j ! T C .j ! T /2 in
ω

Abhängigkeit von der Dämpfung d
ω0

Abb. 72.12 Frequenzkennlinie von F .j !/ D 1j!T

1Cj !T

|F| dB

Teil

0°
d=

0

0,05

0,1

IX

0,15

0,2

-10

F

0,25
d=

0,3
d=

0,4

0,3

0,5

0°

0,4

-180°

0,6

-57°

0,5

0,8

F

0,6

0,99

0,8

-180°

0,99
d=

0,05

0,1

0,15

-360°

0,2

-360°

0,25

-540°

0,1

0,2

0,3

0,5

1

2

3

5
ω

10

0,1

0,2

0,3

0,5

1

2

3

5 ω

10
ω0
ω0

Abb. 72.13 Frequenzkennlinie von F .j !/ D 12dj!TC.j!T/2

Abb. 72.11 Frequenzkennlinien von F .j !/ D ej!Tt

1C2d j !T C.j !T /2

Die Phase beträgt

!

j

72.3.10

Allpass zweiter Ordnung

F. j!/ D ! T D

180ı
t

!0

mit ! D 1

0

.

Tt

Mit F. j!/ D 12 d j! T C. j! T/2 , 0 < d < 1, T > 0, ergibt sich der

1C2 d j! T C. j! T/2

Betrag zu (Abb. 72.13)

72.3.9

Allpass erster Ordnung
j F. j!/j D 1

Mit F. j!/ D 1 j! T , T > 0, ergibt sich der Betrag zu

1C j! T
und damit

(Abb. 72.12)

j
j

D

F. j!/j D 1

F. j!/jdB

0:

und damit

Die Phase beträgt
j F. j!/j D
dB

0:

2 d ! T

Die Phase beträgt
j F. j!/ D 2 arctan

;

1 .! T/2

F. j!/ D 2 arctan.! T/;
sie ist gleich der doppelten Phase eines reellen Pols mit der Zeit-
sie ist gleich der doppelten Phase eines konjugiert komplexen
konstanten T.

Poolpaares mit der Dämpfung d und der Zeitkonstanten T.

Stabilität

73

Joachim Horn

IX

Teil

73.1 Definition der Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860

73.2 Stabilitätskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

859

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_73

860

73 Stabilität

73.1

Definition der Stabilität

Im

Im
stabil
instabil
s-Ebene
s-Ebene

Für die Stabilität eines linearen, zeitinvarianten Übertragungs-
gliedes existieren verschiedene Definitionen. Bei der asympto-

Re

Re
tischen Stabilität wird gefordert, dass der Systemausgang nach
einer kurzzeitigen Systemanregung mit wachsender Zeit wieder
gegen Null geht. Bei der BIBO-Stabilität (Bounded Input-

Bounded Output) wird gefordert, dass bei einem beschränkten

Systemeingang der Systemausgang ebenfalls beschränkt ist.

Abb. 73.1 Beispiel für die Polkonfiguration eines stabilen und eines instabilen

R -Gliedes
w(t)

y(t)

73.1.1

Asymptotische Stabilität

G (s)

o

Ein LZI-Glied heißt asymptotisch stabil, wenn seine Im-
pulsantwort g. t/ für t ! 1 gegen Null strebt. Andernfalls
heißt es instabil.

Abb. 73.2 Standardregelkreis

Teil

Gleichwertig hierzu ist die Forderung, dass die Sprungantwort
wobei Zählerpolynom Z. s/ und Nennerpolynom N. s/ koprim

IX
h. t/ für t ! 1 gegen einen endlichen Wert strebt.

seien, d. h. keine gemeinsame Nullstelle besitzen, so sind die

Pole der Übertragungsfunktion G. s/ gleich den Nullstellen des

Nennerpolynoms N. s/. Die Pole eines stabilen R-Gliedes besit-
zen also alle einen negativen Realteil. Abb. 73.1 zeigt jeweils

73.1.2

BIBO-Stabilität
ein Beispiel für die Polkonfiguration eines stabilen und eines
instabilen R-Gliedes.

Betrachtet man den Standardregelkreis gemäß Abb. 73.2, so er-

Ein LZI-Glied heißt BIBO-stabil (Bounded Input-
gibt sich die Führungsübertragungsfunktion G

Bounded Output), wenn die Systemantwort auf jede be-
w. s/ D Y. s/

W. s/ zu
schränkte Eingangsgröße ebenfalls beschränkt ist.

Gw. s/ D

Go. s/ :

1 C Go. s/

Die BIBO-Stabilität wird auch als Übertragungsstabilität be-
zeichnet. Aus der BIBO-Stabilität folgt stets die asymptotische

Mit der Übertragungsfunktion Go. s/ des offenen Kreises gemäß

Stabilität, die BIBO-Stabilität stellt also eine strengere For-

Z
derung an das Übertragungsglied. Für den wichtigen Fall der
o. s/

Go. s/ D

R-Glieder stimmen jedoch asymptotische Stabilität und BIBO-

No. s/

Stabilität überein, so dass im Folgenden nur noch von Stabilität
gesprochen wird.

erhält man

Gw. s/ D

Zo. s/

:

Zo. s/ C No. s/

73.2

Stabilitätskriterien

Damit folgt das grundlegende Stabilitätskriterium für Regelkrei-
se:

73.2.1

Grundlegendes Stabilitätskriterium

Ein Regelkreis ist genau dann stabil, wenn alle Nullstellen
des Polynoms Z

Ein R-Glied ist genau dann stabil, wenn alle Pole sei-
o. s/ C No. s/ links der imaginären Achse
der komplexen Ebene liegen.

ner Übertragungsfunktion links der imaginären Achse der
komplexen Ebene liegen.

Die zur Bestimmung der Nullstellen zu lösende Gleichung

Betrachtet man ein R-Glied mit der Übertragungsfunktion

Zo. s/ C No. s/ D 0

Z. s/

G. s/ D

;
wird als charakteristische Gleichung des Regelkreises bezeich-

N. s/
net.

73.2

Stabilitätskriterien

861

Für eine Stabilitätsaussage ist die Kenntnis der exakten Lage
der Pole von G. s/ bzw. Gw. s/ nicht erforderlich. Es muss le-

Die Nullstellen des Polynoms P. s/ liegen genau dann
diglich die Frage beantwortet werden, ob alle Pole links der
alle links der imaginären Achse, wenn die Hurwitz-
imaginären Achse liegen. Hierfür wurden verschiedene Krite-

Determinanten H 1; : : : ; Hn alle positiv sind.

rien entwickelt. Im Folgenden werden als wichtige Vertreter das

Hurwitz-Kriterium und das Nyquist-Kriterium vorgestellt.

Betrachtet man das R-Glied mit der Übertragungsfunktion

G. s/ D Z. s/

N. s/ ; so ist zur Stabilitätsuntersuchung gemäß dem

73.2.2

Hurwitz-Kriterium
grundlegenden Stabilitätskriterium zu prüfen, ob alle Pole, also
alle Nullstellen des Nennerpolynoms N. s/; links der imaginären

Achse liegen. Durch Anwendung des Hurwitz-Kriteriums erhält

Betrachtet wird das Polynom
man folgenden Satz:

P. s/ D a

n
sn C an1 sn1 C : : : C a 1 s C a 0
mit reellen Koeffizienten ai, i D 0; : : : ; n, und

Das R-Glied mit der Übertragungsfunktion G. s/ D Z. s/

N. s/
a
ist genau dann stabil, wenn die Hurwitz-Determinanten
n > 0:

H

1 ; : : : ; Hn des Nennerpolynoms N. s/ D an
sn C : : : C

Zu untersuchen ist, ob alle Nullstellen des Polynoms P. s/ links
a

1
s C a 0, an > 0, alle positiv sind.

der imaginären Achse liegen. Ein solches Polynom wird als

Hurwitz-Polynom bezeichnet.

IX

Eine notwendige Bedingung hierfür ist, dass alle Polynomkoef-

Betrachtet man den Standardregelkreis gemäß Abb. 73.2 mit der
fizienten positiv sind, d. h.

Übertragungsfunktion Go. s/ D Zo. s/

No. s/ des offenen Kreises, so
lautet die Führungsübertragungsfunktion

Teil
ai > 0 für i D 0; : : : ; n:

Z

Eine notwendige und hinreichende Bedingung erhält man, in-
o. s/

Gw. s/ D

:

dem man die Hurwitz-Matrix

Zo. s/ C No. s/

2

3
a

0

Damit ergibt sich das Hurwitz-Kriterium für Regelkreise:

6 n1 an3 an5 an7 an9

6

7

6 an
an2
an4
an6
an8

0 7

6

7

6 0
a

7
n1
an3
an5
an7

6

7

7

H D 6 0
a

6
n
an2
an4
an6

7

Ein Regelkreis mit der Übertragungsfunktion Go. s/ D

6

7

0

0
a

Zo. s/

6
n1
an3
an5

7

N

6 :

:

:

:

:

7
o . s/
des offenen Kreises ist genau dann stabil, wenn

4 :

7

:

::

::

::

::

5
die Hurwitz-Determinanten H 1; : : : ; Hn des charakteris-
tischen Polynoms Zo. s/ C No. s/ des Regelkreises alle

0

0
a 0
positiv sind.

mit n Zeilen und n Spalten sowie a D
i

0 für i < 0 betrachtet.

Der Index der Koeffizienten nimmt mit jeder Spalte um 2 ab und
mit jeder Zeile um 1 zu, wobei a D

Mit
i

0 für i > n gilt.

Aus der Hurwitz-Matrix H
werden nun die Hurwitz-

Z
sn C : : : C b s C b

Determinanten H
o. s/ D bn

1

0
und

1; : : : ; Hn gebildet, die Hauptabschnittsdeter-
minanten oder „nordwestlichen“ Unterdeterminanten von H

N

o. s/ D an
sn C : : : C a 1 s C a 0
gemäß
lautet das charakteristische Polynom des Regelkreises

H D

1
an1;

ˇˇ

ˇ

ˇ

ˇ
a

ˇ

Z

C
o. s/ C No. s/ D . an
bn/ sn C : : :

H D
n1
an3

2

ˇˇ

ˇ
a

ˇ ;

C

C

C
n
an2

. a 1
b 1/ s C . a 0
b 0/:

ˇˇ

ˇ

ˇ a

ˇ

ˇ n1 an3 an5ˇˇ

Beim Hurwitz-Kriterium für Regelkreise gemäß obiger Formu-

H D

3

ˇˇ an an2 an4ˇ;
lierung ist vorausgesetzt, dass

ˇ

ˇ

0
a

ˇ
n1
an3

::

a C b

:

n
n > 0

H D
n
det H:

gilt.

862

73 Stabilität

Im

Ist der offene Kreis stabil, so ist der geschlossene Kreis

1
genau dann stabil, wenn die Ortskurve des offenen Kreises

-1

Re
den Punkt 1 weder umkreist noch durchdringt.

F (j )

ω
o

F(j )

ω = 1+F (j )

ω
o

Bei einer einfachen Gestalt der Ortskurve kann folgende Formu-
ω
lierung angewandt werden:

Abb. 73.3 Komplexer Zeiger vom kritischen Punkt 1 zur Ortskurve Fo .j !/

Ist der offene Kreis stabil, so ist der geschlossene Kreis
des offenen Kreises
genau dann stabil, wenn der Punkt 1 links der Ortskurve
des offenen Kreises liegt.

73.2.3

Nyquist-Kriterium

Zur Definition von „links“ ist die Ortskurve mit wachsender Fre-
quenz ! zu durchlaufen.

Das Nyquist-Kriterium ermöglicht, aus dem Frequenzgang

Fo. j!/ des offenen Kreises direkt auf die Stabilität des Stan- Die zwei Formulierungen des Nyquist-Kriteriums für einen sta-
dardregelkreises gemäß Abb. 73.2 zu schließen. Für eine einfa-
bilen offenen Kreis können dahingehend erweitert werden, dass

T
che Formulierung des Kriteriums sei der Fall betrachtet, dass
der offene Kreis neben den Polen links der imaginären Achse
eil
einen einfachen oder zweifachen Pol in s D 0 besitzen darf.

IX

Go. s/ D Zo. s/

Alle genannten Formulierungen des Nyquist-Kriteriums gelten

No. s/
auch bei einer zusätzlichen Totzeit im offenen Kreis, also
mit

Zo. s/

Go. s/ D
e Tt s:

N
lim G
o. s/
o. s/ D 0
s!1

Beispiele für die Anwendung des Nyquist-Kriteriums bei ei-
gilt. Der Grad des Zählerpolynoms Zo. s/ ist also kleiner als der nem offenen Kreis mit Polen links der imaginären Achse sind in

Grad n des Nennerpolynoms No. s/; der offene Kreis ist nicht Abb. 73.4 dargestellt, bei einem offenen Kreis mit Polen links
sprungfähig. Nun betrachtet man den komplexen Zeiger vom
der imaginären Achse mit Ausnahme eines einfachen Poles in
kritischen Punkt 1 zur Ortskurve Fo. j!/ des offenen Kreises
s D 0 in Abb. 73.5, sowie bei einem offenen Kreis mit Po-
gemäß Abb. 73.3.

len links der imaginären Achse mit Ausnahme eines zweifachen

Poles in s D 0 in Abb. 73.6. Bei einer komplizierten Gestalt

Mit
der Ortskurve ist es zweckmäßig, die erste Formulierung des

Nyquist-Kriteriums, die auch als allgemeine Form bezeichnet

F. j!/ D 1 C Fo. j!/
wird, zu verwenden, und damit unklare Begriffe wie „umkrei-
sen“ und „links“ zu vermeiden.

bezeichnet man die stetige Winkeländerung des komplexen Zei-
gers vom kritischen Punkt 1 zur Ortskurve Fo. j!/, wenn !

von 0 bis 1 läuft, als j F. j!/.

n

73.2.4

Phasenreserve und Amplitudenreserve
r sei die Anzahl der Pole des offenen Kreises rechts der ima-
ginären Achse, na die Anzahl auf der imaginären Achse. Dann
lautet das Nyquist-Kriterium:

Interpretiert man das Nyquist-Kriterium unter Verwendung der

Phasenreserve bzw. der Amplitudenreserve, welche aus dem

Bode-Diagramm des offenen Kreises einfach abgelesen werden

Der geschlossene Kreis ist genau dann stabil, wenn
können, so erhält man zwei weitere Kriterien für die Stabilität

des geschlossenen Kreises. Es sei der Fall
j F. j!/ D n C na
r

Q

2
m

. s n
j1
j/

G

Q
o. s/ D K
n
gilt.

. s p
i1
i/
mit K > 0, m < n und Ref p g
i

< 0, i D 1; : : : ; n, betrach-

Ist der offene Kreis stabil, liegen also alle Pole des offenen Krei-
tet. Weiterhin sei vorausgesetzt, dass die Ortskurve genau einen
ses links der imaginären Achse, so gilt n D

D

Schnittpunkt mit dem Einheitskreis um den Ursprung bzw. mit
r
na

0. Der ge-
schlossene Kreis ist also genau dann stabil, wenn j F. j!/ D 0
der negativen reellen Achse besitzt.

gilt. Für diesen Fall kann das Nyquist-Kriterium auch folgen-

Abb. 73.7 zeigt zwei Ortskurven mit den zugehörigen Frequenz-
dermaßen formuliert werden [3]:

kennlinien. Im Fall a) liegt der kritische Punkt 1 links der

73.2

Stabilitätskriterien

863

Im

Im

-1

= +

= 0

= +

= 0

Re

-1

Re

F (j )

o

F (j )

o
geschlossener

Kreis stabil
geschlossener

Kreis instabil

Im

-1

= +

Re

Im

Im

= +

= 0

Re

-1

= +

= 0

Re

IX

F (j )

o

F (j )

o
geschlossener

Teil

Kreis instabil
geschlossener

Kreis stabil

Abb. 73.4 Anwendung des Nyquist-Kriteriums bei einem offenen Kreis mit Polen links der imaginären Achse

Im

Im
bzw. in logarithmischer Darstellung durch
geschlossener
geschlossener

Kreis stabil

Kreis instabil
j F

D
o. j! D/jdB

0

-1

= +

= +
charakterisiert. Die zugehörige Frequenz !

Re

-1

Re

D wird als Durch-
trittsfrequenz bezeichnet. Der geschlossene Kreis ist stabil für
j Fo. j! D/ > 180ı und instabil für j Fo. j! D/ 180ı. Der

F (j )

Abstand von j F

F (j )

o. j! D/ zu 180ı wird als Phasenreserve oder
o
o

Phasenrand

= +0

= +0

' D j

R

Fo. j!/ C 180ı

Abb. 73.5 Anwendung des Nyquist-Kriteriums bei einem offenen Kreis mit Po-
definiert. Anhand der Phasenreserve kann nun direkt das Stabi-
len links der imaginären Achse mit Ausnahme eines einfachen Poles in s D 0
litätsverhalten des geschlossenen Kreises bestimmt werden:

Ortskurve des offenen Kreises, der geschlossene Kreis ist also

Der geschlossene Kreis ist genau dann stabil, wenn
stabil. Im Fall b) liegt der kritische Punkt 1 rechts der Ortskur-

'

ve des offenen Kreises, der geschlossene Kreis ist also instabil.

R > 0 gilt.

Betrachtet man den Schnittpunkt der Ortskurve mit dem Ein-
heitskreis um den Ursprung, so ist die Phase im stabilen Fall
größer als 180°, im instabilen Fall dagegen kleiner oder gleich

Dabei sei zusätzlich vorausgesetzt, dass 540ı < j Fo. j!/ <

180°.

180ı für ! < ! D erfüllt ist. Dieses Kriterium gilt auch dann,
wenn Go. s/ einen ein- oder zweifachen Pol in s D 0 besitzt und

In der Frequenzkennliniendarstellung ist der Schnittpunkt der
eine Totzeit enthält [3].

Ortskurve mit dem Einheitskreis durch die Bedingung

Betrachtet man den Schnittpunkt der Ortskurve mit der nega-
j Fo. j! D/j D 1
tiven reellen Achse, so ist der geschlossene Kreis stabil, wenn

864

73 Stabilität

Im

Im

= +0
geschlossener
geschlossener

= +0

Kreis instabil

Kreis stabil

F (j )

o

F (j )

o

-1

= +

= +

Re

-1

Re

Abb. 73.6 Anwendung des Nyquist-Kriteriums bei einem offenen Kreis mit Polen links der imaginären Achse mit Ausnahme eines zweifachen Poles in s D 0
a)

geschlossener Kreis stabil
b)

geschlossener Kreis instabil

S

R

R

D

S

-1

D

-1

R

F (j )

o

F (j )

o

Teil

IX

|F (j )|

|F (j )|
o
dB
o
dB

A |

< 0

R dB

0

0

A |

> 0

R dB

D

S

S

D

F (j )

F (j )

o
o

0°

0°

-90°

> 0

R

-90°

< 0

R

-180°

-180°

-270°

-270°

D

S

S

D

Abb. 73.7 Stabilitätsuntersuchung anhand der Frequenzkennlinien
der Betrag des Schnittpunkts kleiner als Eins ist, und instabil,
definiert. Aus der Betragskennlinie kann die Amplitudenreserve
wenn der Betrag größer oder gleich Eins ist. In der Frequenz-
in Dezibel gemäß
kennliniendarstellung ist der Schnittpunkt der Ortskurve mit der
ňegativen reellen Achse durch die Bedingung

A Ď j

R

F
dB
o. j! S/jdB
j Fo. j! S/ D 180ı
direkt abgelesen werden. Anhand der Betragsreserve in Dezi-
bel kann nun direkt das Stabilitätsverhalten des geschlossenen
charakterisiert. Mit der zugehörigen Amplitude j Fo. j! s/j wird

Kreises bestimmt werden:

die Amplitudenreserve oder der Amplitudenrand als

A D

1

R
j

Der geschlossene Kreis ist genau dann stabil, wenn

F

ˇ
o. j! S/j

A ˇ

R

> 0 gilt.

dB

Entwurf von Regelkreisen

74

Joachim Horn

IX

Teil

74.1 Forderungen an die Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866

74.2 Reglertypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867

74.3 Faustregeln für die Wahl der Reglerstruktur und der

Reglerparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869

74.4 Reglerentwurf mit dem Frequenzkennlinienverfahren . . . . . . . . 870

74.5 Einstellregeln bei speziellen Regelstrecken . . . . . . . . . . . . . . 871

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

865

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_74

866

74 Entwurf von Regelkreisen
z(t)

74.1.2

Stationäre Genauigkeit
w(t)

)

t

(
e
u(t)

)

t

(
y

G (s)

R

G (s)

S

Die Regelgröße y. t/ eines stabilen Regelkreises strebt bei einer
konstanten Führungsgröße w. t/ D w und einer konstanten Stör-
größe z. t/ D z gegen einen endlichen Wert y 1: Der Regelkreis
wird als stationär genau bezeichnet, wenn y 1 gleich w ist, und
zwar für beliebiges z. Ein stationär genauer Regelkreis ist somit

Abb. 74.1 Standardregelkreis
durch
lim e. t/ D 0
t!1

Betrachtet werde der Standardregelkreis gemäß Abb. 74.1.

charakterisiert, die bleibende Regelabweichung ist also gleich

GS. s/ bezeichnet die Übertragungsfunktion der Strecke, die

Null.

bekannt sei. GR. s/ bezeichnet die Übertragungsfunktion des

Regelgliedes, dessen Struktur und Parameter so zu bestimmen

Die Definition der stationären Genauigkeit kann auch auf nicht
sind, dass der geschlossene Regelkreis die gewünschten Ei-
konstante Führungs- und Störgrößen, beispielsweise Rampen
genschaften besitzt. Zunächst sollen diese Forderungen an die
oder Sinusschwingungen, verallgemeinert werden.

Regelung dargestellt und die zu ihrer Erfüllung erforderlichen

Ein stabiler Regelkreis wird als hinreichend stationär genau be-

Bedingungen hergeleitet werden.

zeichnet, wenn

Teil
j lim e. t/j < "

74.1

Forderungen an die Regelung
t!1

IX
mit einem genügend kleinen " > 0 für w D 1 erfüllt ist, wenn
also der Betrag der bleibenden Regelabweichung hinreichend

74.1.1

Stabilität
klein ist.

Betrachtet man das Führungsverhalten für w. t/ D w, so erhält

Die grundlegende Forderung nach Stabilität bedeutet, dass die
man mit

Regelgröße y. t/ bei einer konstanten Führungsgröße w. t/ D w
und einer konstanten Störgröße z. t/ D z asymptotisch gegen

W. s/ D w
einen konstanten, endlichen Wert y
s

1 strebt. Sie darf also insbe-
sondere nicht gegen eine Dauerschwingung oder betragsmäßig
und
ins Unendliche streben.

Go. s/

Die Laplace-Transformierte der Regelgröße y. t/ des Standard-

Y. s/ D

W. s/

1 C G
regelkreises ergibt sich zu
o. s/

G
die Laplace-Transformierte der Regelabweichung e. t/ zu
o. s/

Y. s/ D

W. s/ C

1

Z. s/

1 C Go. s/

1 C Go. s/
w

E. s/ D

1

:

mit der Übertragungsfunktion des offenen Kreises

1 C Go. s/
s

G

Mit dem Endwertsatz der Laplace-Transformation folgt daraus
o. s/ D GR. s/ GS. s/:

Die Führungsübertragungsfunktion
lim e. t/ D lim s E. s/
t!1
s!0

GR. s/ GS. s/

1

G

D

w. s/ D
lim
w:

1 C GR. s/ GS. s/
s!0 1 C Go. s/
und der Störübertragungsfunktion

Besitzt die Übertragungsfunktion Go. s/ des offenen Kreises
einen Pol in s D 0, so folgt

Gz. s/ D

1

1 C GR. s/ GS. s/
lim e. t/ D 0:

t!1
besitzen dieselben Pole, nämlich die Lösungen der charakteris-
tischen Gleichung

Ein stabiler Regelkreis mit einem I-Anteil in Go. s/ ist also be-
züglich des Führungsverhaltens stets stationär genau.

1 C GR. s/ GS. s/ D 0:

Besitzt der offene Kreis dagegen P-Verhalten mit Go.0/ D K,

Gemäß dem grundlegenden Stabilitätskriterium muss daher die
so folgt

Übertragungsfunktion GR. s/ des Regelgliedes so gewählt wer-
den, dass diese Pole links der imaginären Achse liegen, damit
lim e. t/ D 1 w :

der Regelkreis stabil ist.

t!1

K

74.2

Reglertypen

867

74.1.4

Hinreichende Schnelligkeit
h(t)

h

Die Schnelligkeit des Regelkreises kann anhand verschiedener

1+

Kennwerte beurteilt werden. In Abb. 74.2 sind die Anregelzeit

1

1-

T cr und die Ausregelzeit T cs dargestellt:

Die Anregelzeit T cr (control rise time) bezeichnet den Zeitpunkt,
an dem die Sprungantwort h. t/ erstmals einen Toleranzstreifen
der Breite 2" um ihren Sollwert erreicht. Die Ausregelzeit T cs

(control settling time) bezeichnet den Zeitpunkt, ab dem die

Sprungantwort vollständig in dem Toleranzstreifen der Breite

2" verläuft, also
j h. t/ 1j "

für alle t T cs gilt.

T

T
t
cr
cs

Die Schnelligkeit des Regelkreises kann anhand der in Ab-

Abb. 74.2 Führungssprungantwort des Regelkreises und Kennwerte des dyna-
schn. 73.2.4 definierten Durchtrittsfrequenz ! D bewertet wer-
mischen Verhaltens
den, da der geschlossene Regelkreis näherungsweise durch ein

Verzögerungsglied mit T D 1

! beschrieben werden kann [3].

D

Je größer die Durchtrittsfrequenz, umso schneller ist der Ein-

IX

Der Regelkreis ist somit nicht stationär genau. Um eine hinrei-
schwingvorgang.

chende stationäre Genauigkeit zu erzielen, muss die Verstärkung

Als weitere Forderungen seien die Robustheit des Regelkrei-

Teil

K genügend groß gewählt werden.

ses gegenüber (kleinen) Variationen der Strecke gegenüber

Betrachtet man das Störverhalten für z. t/ D z, so erhält
dem Nominalmodell sowie die hinreichende Unterdrückung des
man dasselbe Ergebnis für die stationäre Genauigkeit. Betrach-

Messrauschens im Regelkreis genannt.

tet man einen Regelkreis, bei dem die Störung innerhalb der

Strecke angreift, so bleibt das Ergebnis für die stationäre Ge-
nauigkeit unverändert, sofern die Störung nach dem I-Anteil
eingreift.

74.2

Reglertypen

Zusammengefasst ergibt sich:

Grundsätzlich kommt jede realisierbare Übertragungsfunktion

G. s/ für den Regler in Frage. In der Praxis wird jedoch meist

Ein stabiler Regelkreis ist genau dann stationär genau,
einer der in Abschn. 74.2.1 beschriebenen Standardregler ein-
wenn Go. s/ einen I-Anteil enthält.

gesetzt. Die in Abschn. 74.2.2 dargestellten Korrekturglieder
werden in der Regel für anspruchsvolle Regelungsaufgaben ein-
gesetzt.

Falls die Strecke keinen I-Anteil besitzt, ist also ein Regler mit

I-Anteil zu verwenden, um die stationäre Genauigkeit zu ge-
währleisten.

74.2.1

Standardregler

74.1.3

Hinreichende Dämpfung

Einen PID-Regler erhält man gemäß Abb. 74.3 durch Par-
allelschaltung eines Proportional-, eines Integral- und eines

Um ein zu starkes Über- oder Unterschwingen bei Führungs-
oder Störgrößensprüngen zu vermeiden, muss der Regelkreis
hinreichend gedämpft sein.

P

Anwendungsspezifisch kann eine zulässige Überschwingweite
h, siehe Abb. 74.2, definiert werden. Für eine Vielzahl von
e(t)

u(t)

Regelkreisen kann die Dämpfung anhand der in Abschn. 73.2.4

I
behandelten Phasenreserve bewertet werden. Eine hinreichende

Dämpfung des Führungsverhaltens ist typischerweise für eine

Phasenreserve von ca. 60° gewährleistet. Wird lediglich das

D

Störverhalten betrachtet, so reicht meist eine Phasenreserve von

30° aus.

Abb. 74.3 Struktur eines PID-Reglers

868

74 Entwurf von Regelkreisen

Tab. 74.1 Auswahl von Standardreglern
e(t)

u(t)

G (s)

G (s)

. . .

G (s)

Reglertyp

Übertragungsfunktion G

K1

K2

Kn

R. s/

P-Regler

KR

PI-Regler

K 1C TR s

R

Abb. 74.4 Reglerstruktur als Reihenschaltung von Korrekturgliedern
s

Realer PD-Regler

K 1C TR s

R

, T

T

1C T

N

R

N s

Realer PID-Regler

K .1C TR 1 s/.1C TR 2 s/

R

T
s.1C T

R 1 ; TR 2

N s/

, TN

74.2.2

Korrekturglieder

Differenzialanteils. Der Zusammenhang zwischen der Regeldif-

Einen Regler kann man gemäß Abb. 74.4 als Reihenschaltung
ferenz e und der Störgröße u wird im Zeitbereich durch
von Korrekturgliedern erhalten. Die Auswahl geeigneter Kor-
rekturglieder und die Bestimmung geeigneter Parameter erfolgt
t

Z
unter Verwendung des Bode-Diagramms der Strecke. Nachfol-
u. t/ D K

de. t/
gend werden die wichtigsten Korrekturglieder vorgestellt.

P
e. t/ C KI
e./ d C KD
dt

0

74.2.2.1

Proportionalglied (P-Glied)

beschrieben. Aufgrund des P-Anteils führt eine große Regeldif-

Das Einfügen eines Proportionalglieds mit der Übertragungs-
ferenz zu einer großen Stellgröße, aufgrund des I-Anteils führt
funktion
eine anhaltende Regeldifferenz zu einem zusätzlichen Beitrag

Teil
zur Stellgröße, und aufgrund des D-Anteils führt eine Änderung

GK. s/ D K;

K > 0;
der Regeldifferenz zu einem zusätzlichen Beitrag zur Stellgrö-

IX
ße. Die Übertragungsfunktion des PID-Reglers lautet
und den Frequenzkennlinien gemäß Abb. 72.2 verschiebt die

Betragskennlinie des offenen Kreises um den Wert

KI

G

C

C

ˇ

R. s/ D Kp

KD s:

s

KĎ 20 log K;
dB

Häufig wird diese Übertragungsfunktion in der Form
die Phasenkennlinie des offenen Kreises bleibt unverändert.

Durch geeignete Wahl von K kann beispielsweise die gewünsch-
te Phasenreserve eingestellt werden. Ist hierfür eine Verschie-

ˇ

G

C

R . s/ D KP

.1 C 1

TD s/

ˇ

T
bung der Betragskennlinie um A
erforderlich, dann ist K

I
s
dB
gemäß
dargestellt, wobei KP als Proportionalbeiwert bezeichnet wird,

A jdB

T D KP

D KD

I
als Nachstellzeit und T
als Vorhaltezeit.

K D 10 20

K

D

I

KP

Lässt man Anteile des PID-Reglers weg, so erhält man bei-
zu wählen.

spielsweise einen P-Regler, einen I-Regler, einen PI-Regler oder
einen PD-Regler.

74.2.2.2

Integrierglied (I-Glied)

Für die Bestimmung geeigneter Reglerparameter ist die Darstel-
lung der Übertragungsfunktion des PID-Reglers gemäß

Das Einfügen eines Integrierglieds mit der Übertragungsfunkti-
on

.1 C T

R 1
s/ .1 C TR 2 s/

G

R. s/ D KR

G
s

K . s/ D 1
s
oder
und den Frequenzkennlinien gemäß Abb. 72.3 ist zur Gewähr-
leistung der stationären Genauigkeit erforderlich, sofern die

T

R
s C T 2 s 2

Strecke kein Integrierglied enthält, wie bereits in Abschn. 74.1.2

G

1 C 2 dR

R

R. s/ D KR
s
dargelegt.

mit 0 < dR < 1 besser geeignet, siehe Abschn. 74.3.

74.2.2.3

Lead-Glied

Eine Übertragungsfunktion mit einem Zählergrad größer als

Das Lead-Glied oder phasenanhebende Korrekturglied besitzt
der Nennergrad ist weder realisierbar noch als Regler geeignet,
die Übertragungsfunktion
da hochfrequentes Messrauschen die Stellgröße stark beeinflus-
sen würde. Daher wird die „ideale“ Übertragungsfunktion eines
s

Reglers mit D-Anteil im Nenner um den Faktor .1 C T

GK . s/ D 1 C TZ

; TZ > TN:

N
s/

1 C T

N
s
mit hinreichend kleinem TN ergänzt. So erhält man beispiels-
weise aus dem „idealen“ PD-Regler den „realen“ PD-Regler

Die Frequenzkennlinien sind in Abb. 74.5 für den Fall T

D

Z

(Tab. 74.1).

10 TN dargestellt.

74.3

Faustregeln für die Wahl der Reglerstruktur und der Reglerparameter

869

20

Für !
1 beträgt der Betrag in Dezibel näherungsweise

TZ

TZ

|F (j

|
j F

D

K . j!/jdB

20 log

:

K
dB

TN

T

T

Z

N

0

Mit dem Lag-Glied kann die Betragskennlinie für !
1

1

1

TZ

T

T
gezielt abgesenkt und damit die gewünschte Betragsreserve ein-

90°

Z

N
gestellt werden, ohne die Verstärkung des offenen Kreises zu
reduzieren und damit die stationäre Regelabweichung bei einem
offenen Kreis mit P-Verhalten zu erhöhen.

F (j

K

0°

1

1

T

T

Z

N

74.3

Faustregeln für die Wahl der

Abb. 74.5 Frequenzkennlinien von FK .j !/ D 1Cj!TZ für T

1Cj !T

Z D 10TN

Reglerstruktur und der

N

Reglerparameter

0

Bei einer Strecke ohne I-Anteil empfiehlt sich die Verwendung

|F (j

|

K
dB
eines Reglers mit I-Anteil, beispielsweise eines PI-Reglers, um

IX
stationäre Genauigkeit zu erzielen. Allerdings kann die Phasen-

-20
absenkung um 90° aufgrund des I-Anteils die Einstellung einer

1

1
hinreichenden Phasenreserve erschweren. Daher sollte bei einer

Teil

T

T

N

Z

0°

Strecke mit I-Anteil ein Regler ohne I-Anteil, beispielsweise ein
realer PD-Regler, verwendet werden. Greift jedoch eine Stör-
größe vor dem I-Anteil der Strecke ein, so ist ein Regler mit

F (j

K

I-Anteil für die stationäre Genauigkeit erforderlich. Besitzt die

Strecke ein Doppel-I-Verhalten, also zwei I-Anteile, so wird

-90°
meist eine Phasenanhebung, beispielsweise durch einen realen

1

1

T

T

PD-Regler oder ein Lead-Glied, zur Stabilisierung des geschlos-

N

Z
senen Kreises erforderlich sein.

Abb. 74.6 Frequenzkennlinien von FK .j !/ D 1Cj!TZ für T

1Cj !T

Z D TN

N

10

Um eine hohe Dynamik des geschlossenen Kreises zu erzie-
len, ist es häufig sinnvoll, die langsamen Streckenanteile, d. h.

Die maximale Phase tritt bei der Mittenfrequenz
die am weitesten rechts liegenden Streckenpole links der ima-
s
ginären Achse, durch entsprechende Nullstellen des Reglers

! D

1
zu kompensieren. Hierzu wählt man beispielsweise bei ei-

M

(74.1)

T
nem PI-Regler T

Z

TN

R gleich der größten Nennerzeitkonstante der

Strecke. Treten jedoch mehrere große Streckenzeitkonstanten
auf und beträgt
auf, so empfiehlt es sich, TR gleich der Summenzeitkonstante

P n

T

T† D

T

Z 1
i D1
i, d. h. der Summe der Zeitkonstanten im Nenner
j

T

F . j!

N

:

(74.2)

der Streckenübertragungsfunktion, zu wählen. Bei Verwendung

K

M / D arcsin TZ C 1
eines realen PID-Reglers können zwei Pole der Strecke kompen-

TN
siert werden, also entweder zwei reelle Pole oder ein konjugiert

Mit dem Lead-Glied kann die Phasenkennlinie im gewünsch-
komplexes Polpaar. Besitzt die Strecke bereits Nullstellen in der
ten Frequenzbereich gezielt erhöht und damit die erforderliche

Nähe von Polen, so tritt eine näherungsweise Pol-Nullstellen-

Phasenreserve eingestellt werden.

Kompensation auf, die Pole sind also für das Übertragungsver-
halten der Strecke von untergeordneter Bedeutung und müssen

74.2.2.4

Lag-Glied
daher nicht durch den Regler kompensiert werden. Streckenpole
auf oder rechts der imaginären Achse können in der Praxis nicht

Das Lag-Glied oder phasenabsenkende Korrekturglied besitzt
durch Nullstellen des Reglers kompensiert werden, da die Lage
die Übertragungsfunktion
der Pole nicht exakt bekannt ist und auch durch Alterung oder
s

Verschleiß der Strecke variiert. Durch Wahl der Reglerverstär-

GK. s/ D 1 C TZ

; TZ < TN:

1 C T
kung KR kann die Verstärkung des offenen Kreises so bestimmt

N
s
werden, dass beispielsweise die geforderte Phasenreserve oder

Die Frequenzkennlinien sind in Abb. 74.6 für den Fall T D TN

Z
die hinreichende stationäre Genauigkeit bei einem offenen Kreis

10
dargestellt.

ohne I-Anteil gewährleistet wird.

870

74 Entwurf von Regelkreisen

74.4

Reglerentwurf mit dem

60

Frequenzkennlinienverfahren

|F

|
o (j
dB 40

24,8

20

Der Reglerentwurf mit dem Frequenzkennlinienverfahren wird

0
im Folgenden an zwei Beispielen vorgestellt. Das erste Beispiel

-20
behandelt den Entwurf eines PI-Reglers für ein Verzögerungs-
system mit reellen Polen. Im zweiten Beispiel wird für eine

-90°
doppelt integrierende Strecke ein Regler als Reihenschaltung

-120°
geeigneter Korrekturglieder entworfen.

Fo(j

-180°

74.4.1

Entwurf eines PI-Reglers für ein

-270°

0,01

0,03

0,1

0,3

1

3

10

Verzögerungssystem

Abb. 74.7 Frequenzkennlinien von F0.j !/ D

10
j !.1Cj ! /.1Cj !/

10

Betrachtet werde ein Verzögerungssystem, also ein System,
dessen Übertragungsfunktion keine Nullstellen besitzt. Die Pol-

T
stellen seien alle reell, und die Übertragungsfunktion laute
eil
h (t)

w

1

IX

GS. s/ D

10

:

.1 C 0;1 s/ .1 C s/ .1 C 10 s/

0,8

Der „langsamste“ Dynamikanteil der Strecke wird durch die
größte Streckenzeitkonstante T

D

S 3

10 beschrieben, also durch
den Pol bei s D 1= T D

0,6

S 3

0;1. Wählt man als Reglertyp einen

PI-Regler mit der Übertragungsfunktion

0,4
s

G

1 C TR

R. s/ D KR

;
s

0,2
so kann dieser Streckenpol durch die Reglernullstelle kompen-
siert werden, indem T D

R

10 gewählt wird. Die Übertragungs-
funktion des offenen Kreises lautet dann

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20
t

Go. s/ D GR. s/ GS. s/ D

10 KR

:

s .1 C 0;1 s/ .1 C s/

Abb. 74.8 Sprungantwort des geschlossenen Kreises für G0.s/

D

0;575
s.1C0;1s/.1Cs/

Aufgrund des I-Anteils des Reglers ist der geschlossene Kreis
stationär genau. Der Parameter KR wird nun so gewählt, dass die

Phasenreserve 60° beträgt und somit eine hinreichende Dämp-

74.4.2

Reglerentwurf für eine doppelt
fung gewährleistet ist.

integrierende Strecke

Abb. 74.7 zeigt die Frequenzkennlinien des offenen Kreises für

K D

R

1. Zu einer Phase von 120° liest man den Betrag von ca.

24,8 dB ab. Eine Phasenreserve von 60° erhält man also, wenn

Betrachtet werde eine doppelt integrierende Strecke mit der
die Betragskennlinie um 24,8 dB nach unten verschoben wird.

Übertragungsfunktion

Hierzu muss KR gemäß

ˇ

GS. s/ D 1 ;

K Ď
s 2

R

24;8
dB
für die ein Regler als Reihenschaltung geeigneter Korrekturglie-
gewählt werden, d. h.

der entworfen werden soll. Um eine hinreichende Dämpfung
und eine hinreichende Schnelligkeit zu gewährleisten, sei eine

K D

R

1024;8=20 0;0575:

Phasenreserve von ' D

R

60ı bei einer Durchtrittsfrequenz von

! D

D

10 gefordert. Da die Phase der Strecke konstant 180° ist,

Abb. 74.8 zeigt die Sprungantwort des geschlossenen Kreises
muss eine Phasenanhebung von 60° für ! D 10 erfolgen. Hier-
für die Reglerparameter K D

D

D

R

0;0575, TR

10.

für wird ein Lead-Glied gemäß Abschn. 74.2.2.3 mit ! M

10

74.5

Einstellregeln bei speziellen Regelstrecken

871

50

|F (j

|
o
dB

0
h (t)

w

-28,6

1

-50

0,8

-90°

F (j
o

-120°

0,6

-150°

0,4

-180°

0,1

1

10

100

1000

0,2

Abb. 74.9 Frequenzkennlinien von F0.j !/ D

1Cj !0;373

.j!/2.1Cj!0;0268/

00

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2
t
und j FK. j! M/ D 60ı eingesetzt. Aus (74.1) folgt

Abb. 74.10 Sprungantwort des geschlossenen Kreise für G0.s/ D 26;9

1C0;373s 1

1C0;0268s
s2

IX

T

D 1

Z

TN

!2 M

Der Regler ergibt sich als Reihenschaltung eines Proportio-

Teil
und aus (74.2)

nalglieds und eines Lead-Glieds, die Übertragungsfunktion des

Reglers lautet

1 C sin j FK . j! M/

T

D

Z

TN

:

1 sin j F

1 C T

Z
s

K . j! M /

GR. s/ D K 1 C T

N
s

Damit erhält man die Parameter des Lead-Glieds zu
s
mit T

N

TZ. Es handelt sich also um einen realen PD-Regler.

1 C sin j F

Abb. 74.10 zeigt die Sprungantwort des geschlossenen Kreises.

K . j! M /

T D 1

Z

;

! M

1 sin j FK. j! M/
s 1 sinj F

74.5

Einstellregeln bei speziellen

K . j! M /

T D 1

N

:

! M

1 C sin j FK. j! M/

Regelstrecken

Für das betrachtete Beispiel ergibt sich

Für spezielle Regelstrecken wurden Einstellregeln entwickelt,

T D
die eine direkte Berechnung der Reglerparameter aus den

Z

0;373;

Streckenparametern ermöglichen. Im Folgenden werden zwei

T D

N

0;0268 :

Einstellregeln, das Betragsoptimum und das symmetrische Op-
timum, vorgestellt.

Abb. 74.9 zeigt die Frequenzkennlinien des offenen Kreises
bei Verwendung dieses Lead-Glieds, d. h. für die Übertragungs-
funktion des offenen Kreises gemäß

74.5.1

Betragsoptimum

G

1
o. s/ D 1 C 0;373 s

:

1 C 0;0268 s s 2

Betrachtet wird ein Verzögerungssystem der Ordnung n mit aus-
schließlich reellen Polen, die Übertragungsfunktion der Strecke

Damit die Durchtrittsfrequenz wie gefordert ! D

D

10 beträgt,
lautet also
muss die Betragskennlinie durch ein in Reihe geschaltetes Pro-
portionalglied um ca. 28,6 dB angehoben werden. Aus

ˇ

GS. s/ D

KS

Q

:

n

.1 C T
i
s/

KĎ 28;6
i D1
dB

In Tab. 74.2 sind für zwei Fälle die Einstellregeln des Be-
folgt
tragsoptimums angegeben: im Falle einer großen Zeitkonstante
die Einstellregeln für die Parameter eines PI-Reglers und im

K D 1028;6=20 26;9:

Falle zweier großen Zeitkonstanten die Einstellregeln für die

872

74 Entwurf von Regelkreisen

Tab. 74.2 Einstellregeln des Betragsoptimums

Strecke

Regler

Reglerparameter

P

G

n

1C TR s

D

1

P

D

S . s/ D

KS

Q n .

T

, PI-Regler

K

, T

T
i D2
i

GR. s/ D KR

R
n

R

1
i D1 1C Ti / , T 1
s

2 KS
i D2 Ti

P

G

n

.1C TR 1 s/.1C TR 2 s/

D

1

P

D

D

S . s/ D

KS

Q n .

T

, idealer PID-Regler K

, T

T

T
i D3
i

GR. s/ D KR

R
n

R 1

1, TR 2

2
i D1 1C Ti s/ , T 1 ; T 2
s

2 KS
i D3 Ti

Tab. 74.3 Einstellregeln des symmetrischen Optimums

Strecke

Regler

Reglerparameter

Q k

Allgemeiner Fall

G

.1C TR s/ k

D

1

i D1 Ti

R . s/ D KR

K
s

R

2 KS˙

.4 k†/ k

GS. s/ D

KS

Q

Q

D
k

.

l

.

TR

4 k †
i D1 1C Ti s/
j D1 1C j s/

P

T

l

1 ; : : : ; Tk

† D

j D1 j

Eine große Zeitkonstante

G

1C TR s

D

T 1

R . s/ D KR

K
s

R

8 KS2

G

†

S . s/ D

KS

Q

PI-Regler

.

D

1C T
l

T

4

1 s/

.

R

†
j D1 1C j s/

P

T
l

1

† D

j D1 j

Zwei große Zeitkonstanten

G

.1C TR s/2

D T 1 T 2

R . s/ D KR

K
s

R

128 KS3

G

†

S . s/ D

KS Q
idealer PID-Regler

.

D

1C T
l

T

8

1 s/.1C T 2 s/

R

†
j D1 1C j s

P

T

l

1 ; T 2

† D

j D1 j

Teil

IX

Parameter eines PID-Reglers. In [3] ist die Herleitung der Ein-
angesetzt, der Zählergrad ist also gleich der Anzahl der großen
stellregeln des Betragsoptimums angegeben, außerdem werden

Zeitkonstanten. In Tab. 74.3 sind die Einstellregeln des sym-
weitere Fälle betrachtet.

metrischen Optimums für ein allgemeines k, für den Fall einer
großen Zeitkonstanten, d. h. k D 1, und den Fall zweier großer

Im Falle einer großen Zeitkonstante T 1 wird der Streckenpol

Zeitkonstanten, k D 2, angegeben. Für k D 1 erhält man einen
bei 1 durch die Reglernullstelle des PI-Reglers bei 1

T 1

TR

PI-Regler, für k D 2 einen idealen PID-Regler. Die Herleitung
kompensiert. Entsprechend werden im Falle zweier großen Zeit-
dieser Einstellregeln des symmetrischen Optimums findet sich
konstanten T 1 und T 2 die Streckenpole bei 1 und 1 durch

T 1

T 2
in [3].

die Reglernullstellen des PID-Reglers bei 1 und 1 kom-

TR 1

TR 2
pensiert.

Im Gegensatz zum Betragsoptimum findet beim symmetrischen

Optimum keine Kompensation von Polstellen der Strecke durch

Nullstellen des Reglers statt.

74.5.2

Symmetrisches Optimum

Betrachtet wird wieder ein Verzögerungssystem mit ausschließ-
lich reellen Polen, wobei die Zeitkonstanten in eine Gruppe

Literatur
großer Zeitkonstanten T 1; : : : ; TK und eine Gruppe kleiner Zeit-
konstanten 1; : : : ; l mit

1. DIN IEC 60050-351. Beuth. 2009.

l

X

2. Dorf, R. C., Bishop, R. H.: Moderne Regelungssysteme. Pear-

T

1; : : : ; TK

† D
j
son Studium. 10., überarbeitete Auflage 2007.

j D1

3. Föllinger, O.: Regelungstechnik: Einführung in die Metho-
den und ihre Anwendung. Hüthig. 10., durchgesehene Aufla-
eingeteilt werden können. Die Übertragungsfunktion der Stre-
ge 2008.

cke lautet also

4. Horn, M., Dourdoumas, N.: Regelungstechnik. Pearson Stu-

K
dium. 2004.

S

GS. s/ D Q

Q

:

k

.

5. Lunze, J.: Regelungstechnik 1: Systemtheoretische Grundla-

1 C T s/
l

.1 C s/
i D1
i
j D1
j
gen, Analyse und Entwurf einschleifiger Regelungen. Sprin-

Der Regler wird gemäß
ger. 8. Auflage 2010.

6. Lutz, H., Wendt, W.: Taschenbuch der Regelungstechnik: mit

.1 C T

R
s/ k

MATLAB und Simulink. Harry Deutsch. 8., ergänzte Auflage

G

R. s/ D KR
s

2010.

Messtechnik

X

75

Grundlagen und Grundbegriffe der Messtechnik . . . . . . . . . . . 875

X

76

Analog anzeigende Messgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885

77

Oszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889

Teil

78

Schreibende Messgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895

79

Digital anzeigende Messgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897

80

Messverfahren zur Messung elektrischer Größen . . . . . . . . . . . 901

81

Messverfahren zur Messung nichtelektrischer Größen . . . . . . . . 921

82

Messdatenaufbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943

83

Bussysteme für die Messtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947

84

Probleme bei der Digitalisierung analoger Messwerte . . . . . . . . 953

85

PC-gestützte Messverfahren und Messsignalanalyse . . . . . . . . 957

873

Grundlagen und Grund-

75
begriffe der Messtechnik

Wilfried Plaßmann

X

Teil

75.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876

75.2 Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876

75.3 Messabweichung, Messfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877

75.4 Abweichungsfortpflanzung, Fehlerfortpflanzung . . . . . . . . . . . 879

75.5 Fehlerangaben von Messgeräten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881

75.6 Arithmetischer Mittelwert und Effektivwert von Wechselgrößen . . 882

75.7 Häufigkeitsverteilung, Vertrauensbereich . . . . . . . . . . . . . . . 882

75.8 Bearbeitung und Auswertung von Messwerten . . . . . . . . . . . . 883

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

875

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_75

876

75 Grundlagen und Grundbegriffe der Messtechnik

75.1

Begriffe

Justieren: Einstellen oder Abgleichen eines Messgerätes mit
dem Ziel, die Anzeige des Messgerätes möglichst nahe an den
richtigen Wert der Messgröße anzugleichen.

Es ist eine wesentliche Aufgabe der Messtechnik, technische

Eichen: Von einer Eichbehörde nach den gesetzlichen Vorschrif-

Vorgänge quantitativ zu erfassen und anhand der gemessenen
ten und Anforderungen vorzunehmende Prüfung und Stempe-

Größen Funktionsabläufe zu steuern. Als Beispiel sei ein Kraft-
lung von Messgeräten.

werk zur Energieerzeugung genannt, bei dem nur über die

Messung von Temperaturen, Leistungen, Drücken und anderen

Beispiele: Elektrizitätszähler, Waagen, Zapfsäulen.

Größen Aussagen über den momentanen Zustand möglich sind

Messumformer
und bei Abweichungen vom Sollwert geeignete Eingriffe in das

: Messgerät, das ein analoges Eingangssignal in
ein eindeutig damit zusammenhängendes analoges Ausgangssi-

System erfolgen können. Damit eine eindeutige Kommunika-
tion möglich wird, sind die in der Messtechnik verwendeten
gnal umformt.

Begriffe, Messverfahren und Maßeinheiten in entsprechenden

Beispiel: Temperaturmessung; eine Temperaturänderung wird

Normen oder Vorschriften festgelegt:

in eine Widerstandsänderung umgeformt.

Messwandler: Am Ein- und Ausgang tritt die gleiche physikali-

DIN 1301

Einheiten
sche Größe auf; es wird keine Hilfsenergie benötigt.

DIN 1304

Allgemeine Formelzeichen

DIN 1313

Physikalische Größen und Gleichungen

Beispiele: Spannungswandler, Stromwandler.

DIN 1319

Grundbegriffe der Messtechnik

Messumsetzer: Die Signalstruktur von Ein- und Ausgang ist ent-

VDI/VDE 2600

Metrologie (Messtechnik)

weder unterschiedlich (analog-digital oder digital-analog) oder
nur digital.

Einige häufig verwendete Begriffe aus der Messtechnik sind im

Analoge Messverfahren: Der Messgröße wird ein Signal zuge-
folgenden auszugsweise und zum Teil gekürzt nach DIN 1319
ordnet, das mindestens im Idealfall eine eindeutig umkehrbare
oder VDI/VDE 2600 wiedergegeben:

Abbildung der Messgröße ist (häufig Skalenanzeige).

Messen ist der experimentelle Vorgang, durch den ein speziel-

Digitale Messverfahren: Der Messgröße wird ein Signal zu-
ler Wert einer physikalischen Größe als Vielfaches einer Einheit
geordnet, das eine mit fest gegebenen Schritten quantisierte
oder eines Bezugswerts ermittelt wird.

Abbildung der Messgröße ist (häufig Ziffernanzeige).

Messwert: Gemessener spezieller Wert einer Messgröße.

Teil

Messergebnis ist ein aus mehreren Messwerten einer physika-

75.2

Einheiten
lischen Größe oder aus Messwerten für verschiedene Größen

X
nach einer festgelegten Beziehung ermittelter Wert oder Werte-
verlauf.

Messen heißt „Vergleichen“. Die zu messende Größe wird damit
als Vielfaches einer Einheit dargestellt. Hat eine Messung eine

Messprinzip: Charakteristische physikalische Erscheinung, die

Spannung von 5 V ergeben (Größenwert), so heißt das, dass die
bei der Messung benutzt wird.

gemessene Spannung das Fünffache der Einheit der Spannung 1

Beispiele: Temperaturmessung; Änderung des elektrischen Wi-

Volt beträgt.

derstandes eines metallischen Leiters durch Temperaturände-
rung.

Größenwert D Zahlenwert Einheit

Messverfahren: Spezielle Art der Anwendung eines Messprin-

Wird in Gleichungen grundsätzlich das Produkt aus Zahlenwert
zips.

und Einheit eingesetzt, spricht man von Größengleichungen. Sie

Beispiel: Abgleich einer Instrumentenanzeige auf Null. Wird
gelten unabhängig von der Wahl der Einheiten und sind bevor-
z. B. bei Brückenschaltungen als Nullabgleichverfahren be-
zugt gegenüber Zahlenwertgleichungen anzuwenden, bei denen
zeichnet.

man die Einheiten vereinbart und nur noch Zahlenwerte in die

Gleichungen einsetzt.

Messgerät: Liefert oder verkörpert Messwerte.

Für die in der Physik verwendeten Einheiten hat man die folgen-

Messbereich: Bereich von Werten des Eingangssignals eines
den sieben SI-Basiseinheiten (Système International d’Unités)

Messgerätes, der entsprechend der Kennlinie dieses Messgerä-
nach Tab. 75.1 eingeführt:

tes eindeutig und innerhalb vorgegebener Fehlergrenzen durch

Aus diesen Basiseinheiten werden weitere SI-Einheiten abgelei-

Werte des Ausgangssignals abgebildet wird.

tet, von denen einige in Tab. 75.2 aufgeführt sind.

Empfindlichkeit: Verhältnis einer Änderung der Ausgangsgröße

Die Darstellung, die Bewahrung und die Weitergabe der SI-
zu der sie verursachenden Eingangsgröße.

Basiseinheiten und wichtiger abgeleiteter SI-Einheiten werden

Kalibrieren: Ermitteln des gültigen Zusammenhanges zwischen
wegen des beträchtlichen apparativen Aufwandes national von
dem Messwert oder dem Wert des Ausgangssignals und dem

Staatsinstituten wahrgenommen; in der Bundesrepublik von der
konventionell richtigen Wert der Messgröße.

Physikalisch-Technischen Bundesanstalt in Braunschweig.

75.3

Messabweichung, Messfehler

877

Tab. 75.1 SI-Basiseinheiten
relative Messabweichung in %

Basisgröße

Basiseinheit

F
x x

Name

Einheitenzeichen
a
r
f D

D

100 %

(75.3)

Länge

Meter
m
xr
xr

Masse

Kilogramm
kg

Die Ursachen für die Messabweichungen lassen sich nach der

Zeit

Sekunde
s

Art ihrer Entstehung einteilen.

Elektrische Stromstärke

Ampere

A

Thermodynamische Temperatur

Kelvin

K

Lichtstärke

Candela
cd

Stoffmenge

Mol
mol

75.3.1

Systematische Abweichungen

Tab. 75.2 Abgeleitete SI-Einheiten (Auswahl)

Abgeleitete Größe

Name

Zeichen Zusammenhang zu anderen

Sie entstehen beispielsweise durch das Messinstrument selbst,

SI-Einheiten
das den Messkreis beeinflusst (Spannungsfall am Strommes-

Kraft

Newton N

1 N D 1 kg m=s2
ser) und sind in der Regel nach Betrag und Vorzeichen bekannt

Energie

Joule

J

1 J D 1 N m
und somit korrigierbar. Diese Abweichungen machen, wenn sie

Leistung

Watt

W

1 W D 1 J=s
nicht korrigiert werden, ein Messergebnis unrichtig.

Elektrische Spannung

Volt

V

1 V D 1 W=A

Bekannte systematische Abweichungen A

Elektrischer Widerstand Ohm

(

1 ( D 1 V=A
a werden durch die

Korrektion K erfasst. Man erhält damit den berichtigten Mess-

Elektrische Kapazität

Farad

F

1 F D 1 A s=V
wert x

Induktivität

Henry

H

1 H D 1 V s=A
r :

Magnetischer Fluss

Weber

Wb

1 Wb D 1 V s

Korrektion

K D A
berichtigter Messwert
x D

C
r
xa

K

(75.4)

75.3

Messabweichung, Messfehler

Eine Messabweichung ist der Unterschied zwischen dem erhal-

75.3.2

Zufällige Abweichungen
tenen und dem wahren Wert, oder, wenn der wahre Wert nicht
bekannt ist, einem als richtig geltenden Wert, dem konventio-

Sie entstehen durch Einflüsse, die dem Zufall unterliegen, wie
nell richtigen Wert. Der früher durchgehend gebrauchte Begriff
zum Beispiel Rauschen, Störungen, Abnutzung und Bauteilän-

Fehler sollte der Beschreibung von Messgeräten vorbehalten

X
derungen. Sie sind prinzipiell nicht bekannt und können deshalb
bleiben, die festgestellte systematische Abweichungen aufwei-
auch nicht korrigiert werden. Diese Abweichungen machen ein
sen (DIN 1319). In diesem Abschnitt wird der Übersichtlichkeit

Messergebnis unsicher.

Teil
halber vorwiegend der Begriff „Abweichung“ verwendet.

Das Ziel eines Messvorganges ist es, den Wert der Messgröße so

Häufig kann man für die zufälligen Abweichungen die Abwei-
genau wie möglich zu bestimmen. Bei einem Messvorgang wird
chungsgrenzen G angeben, innerhalb derer der Messwert x „mit
aber im allgemeinen nicht der gesuchte „wahre“ Wert gemessen,
großer Wahrscheinlichkeit“ liegt:

sondern ein Wert, der von diesem abweicht. Soll eine Aussage

˙
über diese Abweichung gemacht werden, muss der wahre Wert

Messwert mit Abweichungsgrenzen
xr

G

(75.5)

bekannt sein. Da dieser wahre Wert in der Regel aber nicht ge-

funden werden kann, wird ein als „richtig“ angenommener oder

Das bedeutet, dass der Messwert x im Bereich xr

G x

C
vereinbarter Wert für die Messung zugrunde gelegt, der konven-
xr

G liegt.

tionell richtige Wert. Sofern dies möglich ist, kann man ihn in

Beispiel 1 zeigt die unterschiedlichen Arten der Darstellung von
der Praxis dadurch erhalten, dass man die zu messende Größe

Abweichungsgrenzen.

mit einem Messgerät mit sehr viel kleinerer Abweichung (1=10
oder kleiner, d. h. Präzisionsmessgerät) misst.

Beispiel 1

Die absolute Messabweichung F ist der Unterschied zwischen
dem erhaltenen Messwert xa und dem konventionell richtigen

5 V ˙ 0,2 V; 16,2 (1 ˙ 0,02) A; (1 ˙ 10 %) kW. Die

Wert xr:

Abweichungsgrenzen werden hier, den Erfahrungen aus
absolute Messabweichung

F D x
der Praxis entsprechend, symmetrisch zum konventionell
a
xr

(75.1)

richtigen Wert angegeben.

J

Die relative Messabweichung f ergibt sich zu:

relative Messabweichung

Mit der maximal auftretenden Abweichung lässt sich auch die

F
x
a
xr
f D

D

(75.2)

maximale relative Messabweichung (75.2) berechnen (der Be-
xr
xr
griff „maximal“ entfällt meist):

878

75 Grundlagen und Grundbegriffe der Messtechnik

(Maximale) relative Messabweichung

Der arithmetische Mittelwert kommt dem konventionell richti-
gen Wert meist schon sehr nahe, da in der Praxis die Abweichun-
x ˙

˙
r

G xr

G
gen der Einzelmessungen sowohl positives als auch negatives
f D

D

(75.6)

xr
xr

Vorzeichen haben und sich damit teilweise aufheben. Trotzdem
darf man nicht annehmen, dass der arithmetische Mittelwert

Die (maximale) relative Messabweichung wird in der Messtech-
gleich dem wahren Wert ist.

nik bevorzugt angegeben.

Beispiel 3

Beispiel 2

Eine wiederholt durchgeführte Spannungsmessung liefert

Zwei unterschiedliche Spannungen werden gemessen:

die Einzelwerte: 5,0 V; 5,1 V; 4,9 V; 5,2 V; 5,0 V; 5,1 V.

U

D

D

1

8 V ˙ 0;1 V; U 2

80 V ˙ 0;1 V. Die Abwei-

Der nach (75.7a) berechnete arithmetische Mittelwert er-
chungsgrenzen sind für beide Messungen gleich. Erst die
gibt 5,05 V. Eine zweite Messreihe ergibt die Einzelwerte:

(maximale) relative Messabweichung zeigt, dass die Mes-

5,0 V; 5,3 V; 4,8 V; 5,2 V; 5,2 V; 4,8 V. Der arithmetische
sung von U 2 genauer ist als die von U 1:

Mittelwert ist wiederum 5,05 V.

J
f D ˙

1

0;1 V=8 V D ˙0;0125 D ˙1;25 %I
f D ˙

2

0;1 V=80 V D ˙0;00125 D ˙0;125 %:

J

75.3.4

Standardabweichung

Zur Festlegung der Abweichungsgrenzen G werden praktische

Die Erfahrung zeigt, dass trotz des zahlenmäßig gleichen arith-

Erfahrungen, umfangreiche Messungen gleicher oder ähnlicher

Art und die Statistik herangezogen. Überhaupt spielt die Sta-
metischen Mittelwertes der Messreihen aus Beispiel 3 dem

Mittelwert der ersten Messreihe eher der konventionell richti-
tistik bei der Angabe von Abweichungen eine entscheidende
ge Wert zugeordnet werden kann als dem zweiten, weil bei ihr

Rolle. Da man den „wahren“ Wert niemals messen kann, lässt
sich von einem Messwert nur angeben, mit welcher Wahrschein-
die Einzelmessungen weniger voneinander abweichen. Deshalb
wird die (empirische) Standardabweichung s (meist nur kurz als
lichkeit er innerhalb eines bestimmten Wertebereiches liegt.

Standardabweichung bezeichnet) als Beurteilungskriterium für

Dazu werden die zwei Begriffe arithmetischer Mittelwert und

(empirische) Standardabweichung verwendet.

eine Messreihe gebildet, die die Differenzen zwischen den Ein-

T
zelmessungen und dem arithmetischen Mittelwert erfasst und
eil
diese Differenzen vor der Summation quadriert, damit sie sich
bei entgegengesetztem Vorzeichen nicht teilweise aufheben:

X

75.3.3

Arithmetischer Mittelwert,

Standardabweichung

Erwartungswert
v
u
u
n

X
s D Ct

1

. x N
i
x/2

(75.8a)

Der Einfluss von zufälligen Abweichungen auf das Messergeb-
n 1 i D1
nis lässt sich in der Regel dadurch verringern, dass zunächst
die Messung häufig wiederholt wird, eventuell sogar mit unter-

Der Ausdruck ( n 1) im Nenner anstatt n weist darauf hin, dass
schiedlichen Messgeräten, und anschließend aus den n Einzel-
die Bildung der Standardabweichung erst für mehr als einen
messungen xi der arithmetische Mittelwert gebildet wird:

Messwert sinnvoll ist.

n

X

Das Quadrat der Standardabweichung wird mit Varianz bezeich-
arithmetischer Mittelwert

N x D 1
x
net:

i

(75.7a)

n
i D1

Varianz
s 2 oder auch 2

(75.8b)

n Anzahl der Messungen; xi die einzelnen Messwerte.

Dabei wird s 2 für eine endliche Anzahl von Messwerten verwen-

Lässt man die Zahl der Messungen gegen unendlich gehen, geht
det, während 2 den Grenzwert für unendlich viele Messwerte
der arithmetische Mittelwert N x in den Erwartungswert über,
bezeichnet, siehe (75.16), Gaußverteilung.

von dem man annimmt, dass er den konventionell richtigen Wert
mit großer Wahrscheinlichkeit repräsentiert.

Beispiel 4
n

X xin

Die Standardabweichung s errechnet sich nach (75.8a) für

Erwartungswert

D lim

(75.7b)

n!1
n
die erste Messreihe von Beispiel 3 zu s D

1

0;105 V; für
i D1
die zweite Messreihe ergibt sich s D

2

0;217 V.

J
n Anzahl der Messungen; xin die einzelnen Messwerte.

75.4

Abweichungsfortpflanzung, Fehlerfortpflanzung

879

Je größer die Standardabweichung s ist, desto mehr „streuen“

Systematische Abweichungen bzw. Fehler sind nach Betrag und
die Messwerte, und umso weniger wird man vom arithmetischen

Vorzeichen bekannt und müssen deshalb mit Vorzeichen ein-

Mittelwert auf den konventionell richtigen Wert schließen kön-
gesetzt werden. Daraus kann sich ergeben, dass sich bei der
nen.

Addition der Einzelterme eine Abweichungsverringerung oder
sogar eine vollständige Abweichungsaufhebung ergibt, wie Bei-

Die Behandlung von Messabweichungen oder Messfehlern ge-
spiel 9 zeigt.

schieht nach Gesetzen der Wahrscheinlichkeitstheorie. Danach
werden Messwerte als Werte aufgefasst, die mit einer bestimm-
ten Wahrscheinlichkeit in einem gegebenen Wertebereich auf-

@ f . x; y; z; : : : /

@ f . x; y; z; : : : /

F D
x C
y
treten (Abschn. 75.7). Einzelheiten dazu sind z. B. in DIN 1319

@ x

@ y
aufgeführt.

@ f . x; y; z; : : : /

C
z C : : :

@

(75.11b)

z

75.4

Abweichungsfortpflanzung,
absolute Abweichungsgrenze für systematische Abweichungen;
x; y; z; : : : sind vorzeichenrichtig einzusetzen.

Fehlerfortpflanzung

F

@

@

D 1
f . x; y; z; : : : /
f . x; y; z; : : : /
x C
y

Werden mehrere unterschiedliche abweichungsbehaftete Grö-

F

F

@ x

@ y
ßen gemessen (z. B. Spannung U und Strom I), um daraus eine

@ f . x; y; z; : : : /
weitere Größe rechnerisch zu bestimmen (z. B. den Widerstand

C
z C : : :

(75.11c)

@ z

R), gehen die Messabweichungen der Einzelgrößen in die rech-
nerisch bestimmte Größe in der nachfolgend dargestellten Weise
ein. Gegeben ist F D f . x; y; z; : : : /. Darin steht F für den Ge-
relative Abweichungsgrenze für systematische Abweichungen;
samtfehler (z. B. von R), der durch die Einzelfehler der Größen
x; y; z; : : : sind vorzeichenrichtig einzusetzen.

x; y; z; : : : (z. B. U; I) bestimmt wird. Die Einzelfehler erhält
man durch partielles Differenzieren:

Zufällige Abweichungen: Bei ihnen sind nur die Abwei-
chungs grenzen bekannt.

@ F

@

@

@

D f . x; y; z; : : : / I

F D f. x; y; z;: :: /I

@ x

@ x

@ y

@ y

Für
x; y; z; : : : werden die zugeordneten Abwei-

@
chungsgrenzen ˙ G

F

@
x; ˙ Gy; ˙ Gz; : : :

eingesetzt. Wichtig ist,

D f . x; y; z; : : : / I : : :

(75.9)

dass die Vorzeichen der einzelnen Abweichungsgrenzen

@ z

@ z

. x; y; z; : : : / so gewählt werden, dass sich die größtmög-

X
liche Gesamtabweichungsgrenze F ergibt. Die tatsächlich

Bei den Abweichungen bzw. Fehlern handelt es sich um endli-
auftretende Gesamtabweichungsgrenze kann damit niemals
che Differenzen, so dass aus (75.9) folgt:

Teil
größer werden als die berechnete. Formelmäßig lässt sich

@ f . x; y; z; : : : /
das dadurch erreichen, dass bei den Einzelabweichungen die

F D

x
x I

@

Beträge gebildet und dann insgesamt addiert werden. Das
x

@

„˙“-Zeichen vor dem Ausdruck erfasst die größtmögliche
f . x; y; z; : : : /

F D

Abweichungsgrenze sowohl in positiver als auch in negativer
y
y I

@ y

Richtung.

@

f . x; y; z; : : : /

F D

z
z I : : :

(75.10)

@

ˇ

ˇ ˇ

ˇ
z

ˇ@ f . x; y; z; : : : /

ˇ ˇ@ f . x; y; z; : : : /

ˇ

F D ˙ ˇˇ
xˇ ˇ
yˇ

@

Č ˇ

@

Ďer Gesamtfehler F berechnet sich aus der Summe der Ein-
x
y

ˇ

ˇ

zelfehler:

ˇ@

Č ˇ f . x; y; z; : : : /

ˇ
zˇ

(75.11d)

@ z

Č : : :

@ f . x; y; z; : : : /

@ f . x; y; z; : : : /

F D
x C
y

@ x

@ y
absolute Abweichungsgrenze für zufällige Abweichungen.

@

C f . x; y; z; : : : / z C : : :

(75.11a)

@ z

ˇ

ˇ ˇ

ˇ

F

ˇ@ f . x; y; z; : : : /

ˇ ˇ@ f . x; y; z; : : : /

Ď ˙ 1 ˇˇ
xˇČ ˇˇ
yˇĎieser Ausdruck wird in der Mathematik als totales Differential

F

F

@ x

@ y

ˇ

ˇ

bezeichnet.

ˇ@

Č ˇ f . x; y; z; : : : /

ˇ
zˇČ : ::

(75.11e)

Bei der Anwendung dieser Formel ist zu unterscheiden, ob es

@ z
sich um systematische oder zufällige Abweichungen bzw. Feh-
ler handelt.

relative Abweichungsgrenze für zufällige Abweichungen.

880

75 Grundlagen und Grundbegriffe der Messtechnik

Beispiel 5

Beispiel 7

An einem Spannungsteiler werden die zwei Teilspannun-

Spannung und Strom an einem Widerstand werden ge-
gen U D

D

1

12 V˙0;2 V und U 2

16 V˙0;1 V gemessen.

messen: U D 100 V ˙ 0;5 V; I D 2;0 A ˙ 20 mA.

Daraus sollen die Gesamtspannung und der Gesamtfehler

Zu bestimmen sind die relativen Abweichungen für die
bestimmt werden. Bezogen auf (75.11a) gilt: x $ U 1;

Leistung an R und für den Widerstand R, wenn beide
y $ U )

C

D

2

F D f . U 1; U 2/ D U 1

U 2; x D U 1
rechnerisch bestimmt werden. Die systematischen Fehler

˙0;2 V; y D U D ˙

2

0;1 V. Mit (75.11a) folgt:

durch die Innenwiderstände der Messinstrumente werden
vernachlässigt.

@.

C

@.

C

U 1

U 2/

U 1

U 2/

F D

U C

U

@

1

2

Wie in den Beispielen 5 und 6 ausführlich gezeigt, ergibt

U 1

@ U 2
sich für P folgende Formel:

D 1 U C

1

1 U 2

@. U I/

@. U I/

F D

U C

I D I U C U I:

Die Gesamtspannung aus diesen zwei Messwerten ergibt

@ U

@ I
sich zu:

Daraus folgt die Leistung:

.12 C 16/ V C F D 28 V ˙ .0;2 C 0;1/ V

P D U I ˙ . I U C U I/

D 28 V ˙ 0;3 V:

D 100 V 2 A ˙ .2 A 0;5 V C 100 V 20 mA/

Die relative Messabweichung beträgt:

D 200 W ˙ .1 W C 2 W/

D 200 W ˙ 3 W

Œ.28 ˙ 0;3/ V/ 28 V=28 V D ˙0;011

D ˙

Die
relative

Messabweichung
errechnet
sich
zu

1;1 %:

J

˙3 W=200 W D ˙1;5 %. Für den Widerstand gilt:

@.

@.

U= I/

U= I/

F D

U C

I

Beispiel 6

@ U

@ I

D U= I . U= I 2/ I:

(75.12)

Die Differenz zweier Ströme soll aus den zwei gemesse-

T

R D 100 V=2 A˙ ..0;5 V=2 A/ C.100 V=4 A2/ 20 mA/
nen Strömen I D 290 mA ˙ 5 mA und I D 265 mA ˙
eil

1

2

5 mA berechnet werden.

D 50 ( ˙ 0;75 (:

X

Mit den Zuordnungen entsprechend Beispiel 5 und

Die relative Messabweichung beträgt ˙0;75 (=50 ( D

(75.11a) erhält man: x $ I

)

1; y $ I 2

F D f . I 1; I 2/ D

˙1;5 %.

I

D ˙

D ˙

1

I 2; x D I 1

5 mA; y D I 2

5 mA.

Das bei der mathematischen Berechnung in (75.12) auf-

@.

@.

tretende Minuszeichen wird mit den Vorzeichen der Ein-

I 1

I 2/

I 1

I 2/

F D

I C

I

@

1

2

I
zelmessabweichungen so verknüpft, dass sich wieder die

1

@ I 2

D
größtmögliche Gesamtmessabweichung ergibt.

J

1 I C

1

1 I 2

Daraus folgt:

Beispiel 8

I

D

1

I 2

.290 265/ mA ˙ .5 C 5/ mA

D

Aus zwei parallel geschalteten Widerständen soll der Ge-

25 mA ˙ 10 mA:

samtwiderstand Rp bestimmt werden.

Die relative Messabweichung beträgt

Gegeben: R D

D

1

1000 ( ˙ 10 (; R 2

200 ( ˙ 2 (.

f D ˙10 mA=25 mA D ˙0;4 D ˙40 %:

@. R 1 R 2 /

@. R 1 R 2 /

R

R

F D

1 C R 2

R C

1 C R 2

R

@

1

2

R 1

@ R 2

Das Vorzeichen der Messabweichungen wurde entspre-
chend der Anmerkung zu (75.11a) eingesetzt.

R 2

R 2

D

2

R C

1

R

.

1

2

R C

C

1

R 2/2

. R 1

R 2/2

Die Messabweichung wird umso größer, je geringer die

Differenz der Einzel-Messwerte ist.

F D 4 104 10 C 106 2 ( D 1;67 (

.1;44 106/

Nach Beispiel 6 soll die rechnerische Differenzbildung
vermieden werden, wenn sich zwei abweichungsbehafte-

Damit ergibt sich: R D
p

167 ( ˙ 1;67 (. Der relative
te Messwerte nur wenig voneinander unterscheiden.

J

Fehler beträgt ˙1;67 (=167 ( D ˙1 %.

J

75.5

Fehlerangaben von Messgeräten

881

Beispiel 9

Beispiel 10

Ein Widerstand R soll aus einer Spannungs- und einer

Ein Messgerät gehört der Klasse 1 an und hat den

Strommessung berechnet werden. Die beiden Messungen

Messbereichsendwert 100 V. Dann ist die Fehlergrenze
sind mit je einem systematischen Fehler behaftet:

˙1 % vom Messbereichsendwert 100 V, also ˙1 V. Diese

Fehlergrenze gilt für jeden angezeigten Messwert. Be-

U D 10 V C 10 mVI

I D 5 mA C 5 &A:

trägt der Messwert 20 V, so ist der relative Fehler f D

Œ.20 ˙ 1/ V 20 V=20 V D ˙5 %.

J

Für die absolute Fehlergrenze ergibt sich mit (75.11b):

U

U

R D C

I

I

I 2

D 10 mV 10 V 5 &A

75.5.2

Digital anzeigende Messgeräte

5 mA

.5 mA/2

D 2 ( 2 ( D 0:

Durch die Elektronik im Instrument setzt sich der Gesamtfeh-
ler aus mehreren Anteilen zusammen. In der Praxis findet man

Man erhält rechnerisch den gleichen (korrekten) Wert aus

10 V
häufig die folgende Fehlerangabe für den maximal auftretenden
bzw. 10;01 V .

J

5 mA

5;005 mA

(absoluten) Fehler F max, der hier an einem Beispiel gezeigt wer-
den soll:

absoluter Fehler

75.5

Fehlerangaben von

F

D ˙
max

.0;1 % v:A: C 0;1 % v:E: C 1 LSB/

(75.13)

Messgeräten
v.A. von der Anzeige, also abgelesener Wert (of reading); v.E.

vom Endwert, Anzeigebereichsendwert (of range); LSB Bit mit
der geringsten Wertigkeit, in der Regel die Stelle ganz rechts,

Bei Messgeräten wird in der Regel die Fehlergrenze angegeben.

Quantisierungsfehler (least significant bit).

Sie ist der maximal zugelassene prozentuale Fehler, der häufig
auf den Messbereichsendwert bezogen wird (DIN 43780). Sie
gilt außerdem nur bei Einhaltung gewisser Referenzbedingun-

Beispiel 11

X
gen (z. B. Referenzfrequenz 45 bis 65 Hz ˙ 5 Hz).

Angezeigter Messwert: U D 7;50 V; Anzeigebereichs-

Endwert: U

D 9;99 V; 3-stellige Anzeige. Absoluter

Teil
sk

Fehler F max (mit den Angaben aus (75.13)):

75.5.1

Analog anzeigende Messgeräte

F

D ˙
max

.0;001 7;50 V C 0;001 9;99 V C 0;01 V/

D ˙0;0275 V

Bei analog (direkt wirkenden) anzeigenden Messgeräten sind

Genauigkeitsklassen nach DIN 43780 festgelegt. Die dort ange-

Relativer Anzeigefehler:

gebenen Klassenzeichen sind gleich dem Betrag der Fehlergren-
zen in Prozent. Dabei ist der absolute Fehler auf einen Bezugs-
f

D ˙0;0275 V=7;50 V D ˙0;00367 D ˙0;367 %
wert bezogen, in der Regel auf den Messbereichsendwert. Wird
max

J
dagegen ein Messwert abgelesen, so ist dieser Messwert der Be-
zugswert. Da der Bezugswert aber stets kleiner oder höchstens
gleich dem Messbereichsendwert ist, wird der Fehler umso grö-
ßer, je kleiner der gemessene Wert ist. Deshalb gilt:

Der Bezugswert für den relativen Anzeigefehler ist auch hier der
angezeigte Messwert; der Fehler steigt mit kleiner werdendem

Anzeigewert. Deshalb gilt auch hier:

Messwerte möglichst im oberen Drittel der Skala ablesen!

Messwerte möglichst im oberen Drittel der Anzeige able-

Folgende Genauigkeitsklassen sind nach DIN 43780 festgelegt:

sen!

0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1; 2,5; 5.

882

75 Grundlagen und Grundbegriffe der Messtechnik

75.6

Arithmetischer Mittelwert und

75.7

Häufigkeitsverteilung,

Effektivwert von

Vertrauensbereich

Wechselgrößen

Trägt man die einzelnen Messwerte einer gemessenen Größe,

Der Effektivwert einer periodischen Wechselspannung (eines
der zufällige Fehler überlagert sind, in Form einer Häufigkeits-
periodischen Wechselstromes) gibt die gleiche Leistung ab wie
verteilung (Histogramm) auf, erhält man in der Regel einen
eine gleichgroße Gleichspannung (Gleichstrom). Deshalb soll
charakteristischen Verlauf, der sich für eine gegen unendlich
auch in der Regel der Effektivwert gemessen werden. Er be-
gehende Anzahl von Messwerten der Normal- oder Gauß-
rechnet sich nach der Formel:

Verteilung („Gauß’sche Glockenkurve“) annähert. Sie ist wie
folgt definiert:

Effektivwert einer Wechselspannung u. t/:

v
u

Normalverteilung
u

T

Z
u

U D t 1
f u. t/g2 dt

(75.14a)

. xN x/2

T
p. x/ D

1
p
e 22

(75.16)

0

2 2

Effektivwert eines Wechselstromes i. t/:

v

N x siehe (75.7a), 2 siehe (75.8b).

u
u

T

Z
u

Die Erfahrung hat gezeigt, dass der berechnete Mittelwert

I D t 1
f i. t/g2 dt

(75.14b)

N x einer Messreihe mit den Einzel-Messwerten x

T
i mit zuneh-

0
mender Wahrscheinlichkeit dem konventionell richtigen Wert
entspricht, je mehr sich die aus den Messwerten xi gebildete Ver-

Der arithmetische Mittelwert oder Gleichanteil einer periodi-
teilung der Normalverteilung annähert und je größer die Anzahl
schen Wechselspannung oder eines periodischen Wechselstro-
der Messwerte ist. Obwohl der Mittelwert N x nicht zwangsläufig
mes ergibt sich aus:

gleich dem wahren Wert ist, kann man ein Intervall um N x herum

Arithmetischer Mittelwert einer Wechselspannung u. t/:

angeben, in dem der wahre Wert mit einer vorgegebenen Wahr-
scheinlichkeit .1˛/ liegt. Die Grenzen dieses Intervalls heißen

T

Z

Vertrauensgrenzen. Das Intervall ist der Vertrauensbereich, der

N u D 1
f u. t/g dt

(75.15a)

T
sich aus dem Vertrauensniveau .1 ˛/ (Angabe in %, siehe
eil

T

0

Tab. 75.3) ergibt.

X

Arithmetischer Mittelwert eines Wechselstromes i. t/:

Obere Vertrauensgrenze

N x C t
p s

(75.17a)

T

Z
n

N i D 1
f i. t/g dt

(75.15b)

T

Untere Vertrauensgrenze

N x t
p s

(75.17b)

n

0

In der Messtechnik hat er eine gewisse Bedeutung, weil Dreh-

N x siehe (75.7a), n Anzahl der Messungen, s Standardabweichung
p
spulmessinstrumente diesen Wert anzeigen und Oszilloskope in

(75.8a), t= n siehe Tab. 75.3.

der Schalterstellung „AC“ für die Eingangsspannung diesen Si-
p
gnalanteil unterdrücken (Kap. 77 „Oszilloskop“).

Tab. 75.3 zeigt Auszüge für t und t= n nach DIN 1319 Teil 3.

p

Tab. 75.3 Werte für t und t = n für verschiedene Werte des Vertrauensniveaus .1 ˛/

Anzahl n der

.1 ˛/ D 68;26 %

.1 ˛/ D 95 %

.1 ˛/ D 99;5 %

Einzelmessungen
p
p
p
t
t= n
t
t= n
t
t= n

2

1,84

1,30

12,71

8,98

127,32

90,03

5

1,15

0,51

2,78

1,24

5,60

2,50

10

1,06

0,34

2,26

0,71

3,69

1,17

30

1,02

0,19

2,05

0,37

3,04

0,56

100

1,00

0,10

1,98

0,20

2,87

0,29

75.8

Bearbeitung und Auswertung von Messwerten

883

Tab. 75.4 Zu Beispiel 12
p

Messung Nr.

Spannung U

N

N
i in V

. xi x/ in V

. xi x/2 in V
t für .1 ˛/ D 95 %
t= n für .1 ˛/ D 95 %

1

100,2

0,4

0,16

Aus Tab. 75.3

Aus Tab. 75.3

2

100,4

0,6

0,36

3

99,3

0,5

0,25

4

99,0

0,8

0,64

5

100,1

0,3

0,09

P

P

N x D 99;8 V

D 0 V

D 1;50 V

2,78

1,24
s D 0;612 V

Beispiel 12

75.8

Bearbeitung und Auswertung
von Messwerten

Eine Spannung wird fünfmal gemessen. Zu bestimmen
sind die Vertrauensgrenzen für ein Vertrauensniveau von

95 %. Das Messergebnis ist anzugeben.

Die Bearbeitung und Auswertung von Messwerten ist in der Re-
gel rechenintensiv und wurde deshalb erst durch den Einsatz von

Daraus ergibt sich die obere Vertrauensgrenze zu:

Rechnern in größerem Umfang möglich. In diesem Zusammen-

99;8 V C 1;24 0;612 V D 99;8 V C 0;759 V; die untere
hang haben Begriffe wie
zu 99;8 V 0;759 V. Das Messergebnis für die Spannung
lautet: 99;8 V ˙ 0;759 V.

J

Chi-Quadrat-Test,

Quantile, Median,

Regression,

Splines und

Klassierung
an Bedeutung gewonnen. Sie werden im Kap. 85 „PC-gestützte

Messverfahren und Messsignalanalyse“ dargestellt.

X

Teil

Analog anzeigende

76

Messgeräte

Wilfried Plaßmann

X

Teil

76.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886

76.2 Drehspul-Messwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886

76.3 Dreheisen-Messwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887

76.4 Elektrodynamisches Messwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887

76.5 Symbole und Instrumentenbeschriftungen . . . . . . . . . . . . . . 888

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

885

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_76

886

76 Analog anzeigende Messgeräte

76.1

Grundlagen

Auch hier gilt für die Richtungsbeziehung der Größen B, I
und F die „ Rechte-Hand-Regel“. Die magnetische Flussdichte

B kann durch einen Dauermagneten (Drehspulmesswerk), durch

Die analog anzeigenden Messgeräte sind zum großen Teil
die stromdurchflossene Spule selbst (Dreheisenmesswerk) oder
von den digital anzeigenden abgelöst worden, weil letztere
durch eine zweite Spule (Prinzip des Elektromagneten wie beim
i. Allg. einen kleineren Messfehler und einen geringeren Ei-

Elektrodynamischen Messwerk) zur Verfügung gestellt werden.

genverbrauch besitzen und häufig Funktionen wie automati-
sche Messbereichswahl, Speicherung von Messdaten und eine

Im Folgenden werden nur die Messwerke, also die den Aus-

Schnittstelle zur Messdatenerfassung und -verarbeitung bieten.

schlag direkt erzeugenden Elemente, betrachtet. Gehäuse, An-

Die Analogmessgeräte sollen hier deshalb nur auszugsweise
schlussklemmen, Bereichsumschalter, Vor- und Nebenwider-
und kurz behandelt werden.

stände zur Messbereichserweiterung und andere Bauteile, die
das Messwerk zum Messgerät ergänzen, bleiben unberücksich-

Die Wirkungsweise der im Folgenden vorgestellten Messgerä-
tigt.

te beruht auf der Kraftwirkung auf einen stromdurchflossenen
elektrischen Leiter im Magnetfeld:

Kraft

E F D Q .E v E B/ bzw. F D Q v B

(76.1)

76.2

Drehspul-Messwerk
für E v?E

B; E

F?E

B, E

F?E v.

Den prinzipiellen Aufbau zeigt Abb. 76.1a. Eine drehbar gela-

F Kraft in N, Q Ladung der den Leiter durchfließenden Elek-
gerte Spule befindet sich im Feld eines Dauermagneten. Ab-
tronen in A s, v Geschwindigkeit der Elektronen in m=s, B
hängig von der Richtung des durchfließenden Stromes dreht
magnetische Flussdichte in V s=m2.

sie sich gemäß der Lorentz-Kraft nach (76.2) rechts oder links

Es wird vorausgesetzt, dass v und B senkrecht zueinander auftre-
herum. Die Länge l ist die Spulenlänge „nach hinten“. Durch
ten. F steht senkrecht auf v und B, die Richtung ergibt sich aus
eine Rückstellfeder (Spiralfeder), die gleichzeitig als Strom-
der „Rechten-Hand-Regel“. Benutzt man die zwei Beziehungen
zuführung dient, wird eine Gegenkraft erzeugt. Der Zeiger

Q D I t und v D I= t für den Stromfluss in einem elektrischen
kommt zum Stillstand, wenn das elektrische Moment und das

Leiter und setzt beides in (76.1) ein, folgt daraus eine Darstel-
mechanische Moment der Feder im Gleichgewicht sind. Die
lung für die Kraft, die auch unter dem Namen Lorentz-Kraft

Skalenteilung ist linear, da das elektrische Moment linear vom
bekannt ist:

Strom I und das mechanische Moment linear vom Drehwinkel
a abhängt. Die Ausschlagrichtung hängt von der Stromrichtung

Lorentz-Kraft

F D B I l

(76.2)

T
ab (76.2). Die für einen Zeigerausschlag erforderliche Leistung
eil
l Spulenlänge, I Leiter- bzw. Spulenstrom in A, B magnetische

(Eigenverbrauch) ist sehr gering. So benötigt das Messwerk des

Flussdichte in V s=m2.

Messinstrumentes „UM“ (AEG) für Vollausschlag einen Strom

X
a
b

1

N

1

S

2

7

3

N

S

4

6

5

4

5

6

3

2

7

1 Permanentmagnet

1 Spannband

2 Weicheisenkern

2 Spiegel

3 Polschuhe

3 Dauermagnet

4 Drehspule

4 Spule mit Rahmen

5 Spiralfeder und Stromzuführung

5 Spannfeder

6 Nullpunkteinstellung

6, 7 Stromzuführung

7 Äquilibrierarm

Abb. 76.1 a Drehspulmesswerk (H & B), b Spiegelgalvanometer

76.4

Elektrodynamisches Messwerk

887
von 10 µA bei einer Spannung von 60 mV. Das entspricht einer

Leistung von 0,6 µW.

Skala

Das Messwerk zeigt den arithmetischen Mittelwert (Gleichan-
teil) des fließenden Stromes an. Bei der Messung von Wechsel-
strömen führt das bei den häufig vorkommenden sinusförmigen

Zeiger

Stromverläufen zu der Anzeige Null (Voraussetzung: Frequenz

Spiralfeder
f 1 Hz, d. h., das Instrument kann wegen seiner Trägheit
dem Momentanwert des Stroms nicht mehr folgen). Damit das

Festeisen

Messwerk überhaupt einen Ausschlag zeigt, wird der Strom

Nullsteller

Dreheissen
durch das Instrument (nicht der zu messende Laststrom) durch
einen Einweg- oder Zweiweggleicher so in der Form geän-
dert, dass der arithmetische Mittelwert nicht mehr Null ist. Bei

Rundspule

Dämpferflügel

Wechselströmen soll in der Regel der Effektivwert des Stromes
gemessen werden, der im Allgemeinen nicht mit dem arith-

Abb. 76.2 Dreheisenmesswerk (H & B)

metischen Mittelwert übereinstimmt. Damit die Anzeige des

Stromes wenigstens für sinusförmigen Stromverlauf richtig ist,
wird die Skala des Instrumentes entsprechend korrigiert. Für si-
magnetisiert und stoßen sich umso mehr ab, je größer der Strom
p
nusförmigen Stromverlauf ist der Effektivwert I D O i= 2, der ist. Die Kraft F ist proportional zu I 2 (Prinzip „Elektromagnet“:

arithmetische Mittelwert bei Einweggleichrichtung N i

D O

F B 2 I 2). Damit ist die Ausschlagrichtung des Zeigers
ew
i=
bzw. bei Zweiweggleichrichtung N i

D
nicht mehr von der Stromrichtung abhängig. Bei der Mes-
zw

2 O i=. Also wird die

Skalenbeschriftung mit dem Wert I=N i multipliziert. Dieser Wert sung von Wechselströmen bildet das Instrument bei Frequenzen
heißt Kurvenformfaktor oder kurz Formfaktor und beträgt für
des Stromes
1 Hz wegen seiner Trägheit den Mittelwert al-

Sinusform bei Einweggleichrichtung =1;41 D 2;22 bzw. bei ler quadrierten Momentanwerte, so dass der in (75.14b) unter

Zweiweggleichrichtung =.2 1;41/ D 1;11. Bei nicht sinus- der Wurzel stehende Ausdruck gebildet und damit das Quadrat
förmigem Stromverlauf ist das Verhältnis von Effektivwert zu
des Effektivwertes angezeigt wird. Durch eine entsprechende
arithmetischem Mittelwert nicht mehr gleich dem in die Skala

Formgebung der Bleche kann man erreichen, dass sich eine
eingearbeiteten Wert und damit der vom Instrument angezeigte
näherungsweise lineare Skalenteilung für die Ablesung des Ef-

Wert falsch!

fektivwertes ergibt.

Die Messung von Gleich- und Wechselspannungen geschieht

Theoretisch zeigt das Instrument den Effektivwert des Wech-
über das Ohmsche Gesetz. Eine angelegte Spannung verursacht
selstromes unabhängig von der Kurvenform an. In der Praxis
bei bekanntem Messwerkwiderstand einen ihr proportionalen
dagegen wird der Messfehler bei der Messung von sinusförmi-
gen Strömen mit Frequenzen oberhalb etwa (400 . . . 1000) Hz

X

Strom.

durch die Induktivität der Spule und das Verhalten des Ei-

Eine vor allem in der Präzisionsmesstechnik verwendete Son-
sens mit steigender Frequenz größer. Deshalb ist bereits das

Teil
derbauform ist das Galvanometer. Die Drehspule ist an einem

Messen nichtsinusförmiger Ströme mit Frequenzen weit un-
dünnen Metallfaden mit rechteckigem Querschnitt befestigt, der
terhalb (400 . . . 1000) Hz mit erhöhten Messfehlern behaftet,
einseitig fest eingespannt ist und am anderen Ende durch eine
weil die Oberschwingungsanteile oberhalb (400 . . . 1000) Hz

Feder gespannt wird, Abb. 76.1b. Damit tritt so gut wie keine
zunehmend unberücksichtigt bleiben und damit der gemessene

Lagerreibung auf. Die Spule befindet sich auch hier im Feld ei-

Stromverlauf vom tatsächlichen Stromverlauf abweicht (Fou-
nes Dauermagneten. Fließt ein Strom durch sie hindurch, dreht
rierzerlegung des nichtsinusförmigen Stromverlaufes).

sie sich und tordiert (verdrillt) den Metallfaden. Dadurch ent-
steht die Rückstellkraft. An dem Metallfaden ist ein Spiegel

Da das magnetische Feld durch eine Spule und nicht durch einen
angebracht ( Spiegelgalvanometer), der sich mitdreht und des-

Dauermagneten erzeugt wird und vorwiegend in Luft verläuft,
sen Drehwinkel proportional zum Spulenstrom ist. Über einen
ist die Flussdichte und damit die Kraft für die Zeigerauslenkung

Lichtstrahl und Umlenkspiegel können so kleinste Ströme im
relativ klein. Daraus folgt, dass die für Vollausschlag erforderli-
nA-Bereich durch kleinste Winkelauslenkungen des Spiegels in
che Leistung um den Faktor 10.000 bis 1.000.000 größer ist als
großen Entfernungen (1 bis 10 m) als bequem ablesbare Licht-
bei Drehspulmesswerken.

markenauslenkungen gemessen werden.

Daten eines Dreheisen-Messwerkes (A-V-Multizet):

Daten des Spiegelgalvanometers BSGe (Ruhstrat):

Strom für Vollausschlag 60 mA; Innenwiderstand 100 (. Dar-

Ein Strom von 40 nA ergibt auf einer Skala in 25 cm Entfernung
aus errechnet sich die Leistung für Vollausschlag zu .60 mA/2
vom Spiegel eine Lichtstrahlauslenkung von 1 mm.

.100 (/ D 360 mW.

76.3

Dreheisen-Messwerk

76.4

Elektrodynamisches Messwerk

Beim Dreheisen-Messwerk befinden sich nach Abb. 76.2 ein

Nach Abb. 76.3 besteht das elektrodynamische Messwerk aus
festes und ein drehbar gelagertes Metallblech im Feld einer vom
einer feststehenden, vom Strom I 1 durchflossenen Spule S1, die

Messstrom durchflossenen Spule. Die beiden Bleche werden
die Flussdichte B 1 erzeugt, und einer zweiten, drehbar gela-

888

76 Analog anzeigende Messgeräte

Die feststehende Spule bildet den Strompfad, die bewegliche
den Spannungspfad. Die Ausschlagrichtung des Zeigers hängt
von dem Anschluss der beiden Pfade zueinander ab; beim Aus-
schlag des Zeigers in die falsche Richtung (an den Anschlag
links) müssen die zwei Anschlüsse eines der beiden Pfade
vertauscht werden. Auch aus diesem Grund kennzeichnen die

S1

Hersteller je einen Anschluss beider Pfade mit einem Stern oder
einem Pfeil. Weitere Einzelheiten hierzu sind bei der Leistungs-
messung aufgeführt.

Die

Messung
der

Wirkleistung
bei
nichtsinusförmigem

S2

Spannungs- und Stromverlauf ist nur bedingt möglich. Hier
gelten ähnliche Einschränkungen wie beim Dreheisenmess-
werk.

Viele Hersteller haben für den Spannungspfad u. a. die Mess-

Abb. 76.3 Elektrodynamisches Messwerk (H & B)

bereiche 120, 240 und 480 V vorgesehen; für den Strompfad
die Messbereiche 5, 1 A. Für eine Messbereichserweiterung mit

Spannungs- und Stromwandler sind in der Regel die Messbe-
gerten Spule S2, die vom Strom I 2 durchflossen wird. Es gilt:

reiche 100 V und 5 A erforderlich. Weitere Einzelheiten hierzu

B D

1
k 1 I 1; F D k 2 B 1 I 2 (mit (76.2)); F D k 1 k 2 I 1 I 2 bzw.

folgen im Abschn. 80.7.4 „Messbereichserweiterung bei der

F D k

D

3

I 1 U 2 mit U 2
k 4 I 2 ( ki Konstante).

Leistungsmessung“.

Die Kraft oder das Moment des Zeigers ist proportional dem

Produkt zweier Ströme, oder, wenn man einen der beiden Strö-
me proportional zu einer Spannung macht, dem Produkt aus

76.5

Symbole und

Spannung und Strom. Darin liegt die große Bedeutung dieses

Instrumentenbeschriftungen

Messwerkes. Es wird hauptsächlich zur Leistungsmessung ein-
gesetzt.

In Tab. 76.1 ist ein Auszug aus DIN 43780 der auf Instru-

Die Wirkleistung P eines Verbrauchers berechnet sich bei sinus-
menten aufgedruckten Symbole und Beschriftungen enthalten.

förmigen Spannungen und Strömen aus P D U I cos '. Schickt Besonders wird auf das Symbol „Dreieck mit innenliegendem

T
man den Strom des Verbrauchers durch die feststehende Spule
eil

Ausrufungszeichen“ hingewiesen. Es bedeutet, dass in der Be-

(größerer Querschnitt, I 1 im Bereich 1 . . . 10 A) und macht den
triebsanleitung wichtige Hinweise zum Betrieb des Messgeräts

Strom I

X

2 proportional zur angelegten Spannung am Verbraucher,
enthalten sind!

so zeigt das elektrodynamische Messwerk die Wirkleistung des

Verbrauchers an. Das Messwerk muss aus den zugeführten Grö-

So kann ein Messgerät zwar einen Messbereich 5000 V haben,
ßen U und I das Moment für den Zeigerausschlag bilden. Damit
aber die Prüfspannung zwischen den Anschlussklemmen und
wird der cos ' automatisch berücksichtigt.

dem Gehäuse ist geringer.

Tab. 76.1 Beschriftungen auf Messinstrumenten (Auszug aus DIN 43780)

Elektrodynamisches Meßwerk

Wechselstrominstrument

Eisengeschlossenes, elektrodynamisches

Gleich- und Wechselstrominstrument

Meßwerk

Drehstrominstrument mit einem Meßwerk

Elektrodynamisches Quotientenmeßwerk

Drehstrominstrument mit zwei Meßwerken

Eisengeschlossenes, elektrodynamisches

Quotientenmeßwerk

Drehstrominstrument mit drei Meßwerken

Induktions-Meßwerk

Senkrechte Gebrauchslage

Bimetall-Meßwerk

Waagrechte Gebrauchslage

Elektrostatisches Meßwerk

Schräge Gebrauchslage mit

Angabe des Neigungswinkels

Vibrations-Meßwerk

Zeigernullstellvorrichtung

Thermoumformer allgemein

Drehspul-Meßwerk mit

Prüfspannungszeichen:

Thermoumformer
die Ziffer im Stern bedeutet die Prüfspannung in kV

(Stern ohne Ziffer 500 V Prüfspannung)

Isolierter Thermoumformer

Achtung

Gleichrichter

(Gebrauchsanweisung beachten)

Drehspul-Meßwerk

Instrument entspricht bezüglich
mit Gleichrichter

Prüfspannung nicht den Regeln

Oszilloskop

77

Wilfried Plaßmann

77.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890

X

77.2 Aufbau eines Oszilloskopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890

Teil

77.3 Zusatzeinrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

889

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_77

890

77 Oszilloskop

77.1

Übersicht

– GND: In dieser Schalterstellung (GROUND oder kurz

GND) wird der Verstärkereingang intern auf den Wert 0 V
gelegt (Masse, Ground, Bezugspotential, Gehäuse). Hier

Das Oszilloskop wird häufig eingesetzt, um den zeitlichen Ver-
kann man erkennen, wo sich die Nulllinie des Eingangs-
lauf von Spannungen sichtbar zu machen. Aus dem Spannungs-
signals befindet, siehe Einstellmöglichkeit Position weiter
verlauf lassen sich weitere Größen bestimmen. Auch Größen,
unten. Bei vielen Oszilloskopen wird die Nulllinie des Si-
die keine Spannungen sind, lassen sich darstellen, wenn man
gnals intern ermittelt und auf dem Display eingeblendet.

sie in proportionale Spannungen umwandelt. Als Beispiel soll

Eingangsteiler, Eingangsverstärker: Der Eingangsteiler-
die Darstellung von Stromverläufen genannt werden, die über

Verstärker passt den Spannungsbereich des Eingangssignals
einen bekannten ohmschen Widerstand in Spannungsverläufe

(z. B. 24 bis C45 mV oder 56 bis C12 V) an den
überführt werden können, ohne dass sich der zeitliche Verlauf

Spannungsbereich des Analog-Digital-Umsetzers (z. B. 1
ändert. Der Widerstandswert ist dann der Proportionalitätsfak-
bis +1 V) an, indem das Eingangssignal entsprechend ver-
tor. Bei entsprechendem technischem Aufwand sind auch mehr
stärkt oder abgeschwächt wird. Der Wert der Abschwächung
als ein Signal gleichzeitig auf dem Display darstellbar (2-
bzw. Verstärkung wird vom Anwender über Links-Rechts-

Kanal-, 4-Kanal-Oszilloskope).

Impulsschalter eingestellt. Das Display blendet den zugehö-
rigen Y-Ablenkkoeffizienten ein, der die Zuordnung zwischen

Bei den Oszilloskopen lässt sich der Leistungsumfang grob so
der Amplitude der Eingangsspannung (in Volt) und der auf
klassifizieren:

dem Schirm des Displays dargestellten Amplitude (in cm)

Erfassen periodischer Signale mit Frequenzen von wenigen
festlegt. Er wird in V=cm oder in V=DIV (division, kurz DIV,

Hz bis (20 . . . 50) MHz, ein bis maximal 2 Kanäle (Standard-

Teilstrich) angegeben und lässt sich häufig in den Stufungen
ausführung)

1-2-5 von 1 mV=DIV bis 50 V=DIV fest einstellen. Damit

Erfassen periodischer Signale mit Frequenzen von Null bis
ist eine direkte Zuordnung zwischen der Spannungsamplitu-

(100 . . . 500) MHz und Erfassen einmaliger Signale, häufig
de in V und der Darstellungslänge in cm möglich. Häufig ist

4 Kanäle, 2 davon schaltbar als Differenzeingang, farbiges
auf dem Display ein Raster eingeblendet, oft im cm-Abstand.

Display, weitere nachrüstbare oder eingebaute Optionen, wie

Um von der Rasterlänge unabhängig zu sein, wählt man die
weiter unten dargestellt („Luxusausführung“)

Angabe V= Division.

Erfassen periodischer Signale mit Frequenzen bis zu etlichen

Triggerung

GHz, Sampling-Oszilloskope (Spezialausführung)

– Intern: Über einen Triggerbaustein kann der Anwender
festlegen, bei welchem Spannungswert (z. B. C2,7 V, ein-
geblendet durch eine waagerechte farbige Linie) und

Teil
welcher Steigung (z. B. positiv) die Signalaufzeichnung

77.2

Aufbau eines Oszilloskopes
beginnen soll.

X

– Pretrigger: Häufig bietet die Triggerschaltung die Mög-
lichkeit der Pretriggerung: Das Oszilloskop beginnt mit

Das Prinzipschaltbild eines Zweikanal-Oszilloskopes zeigt
der Signalaufzeichnung bereits vor dem eingestellten

Abb. 77.1. Wesentliche Baugruppen sind die folgenden

Wert (Beispiel oben: 2,7 V, positive Steigung), wobei die

Funktionseinheiten:

Eingangsteiler-Verstärker,

Triggerung,

Vorlaufzeit einstellt werden kann. Das hat den Vorteil,

Analog-Digital-Umsetzer, Digitalspeicher (RAM), Multiplexer-
dass z. B. bei Rechtecksignalen, bei denen man gezwun-

Display-Ansteuerung, Farbdisplay. Eine Steuereinheit sorgt für
genermaßen auf die positive bzw. negative Flanke triggern
den geordneten Ablauf der Vorgänge. Die Bezeichnungen sind
muss, auch diese Flanke noch dargestellt werden kann.

häufig in englischer Sprache angegeben, manchmal kann man

Andernfalls greifen Aufzeichnungsbeginn und Flanke in-
die Sprache der im Display eingeblendeten Bezeichnungen
einander, so dass der Beginn der Flanke nicht mehr
wählen und über die Bedienelemente auf dem Gehäuse eine
ausreichend genau dargestellt werden kann.

Schablone in der unterstützten Sprache kleben.

– LINE: In der Regel ist für die Triggerung noch die Be-

Eingangskopplung: Zunächst muss der Anwender einstellen,
triebsart LINE einstellbar. Das Gerät triggert selbsttätig
wie das darzustellende Signal in den Eingang des Oszillo-
auf die Netzwechselspannung. Diese Triggerart ist nütz-
skopes gelangen soll (Eingangskopplung):

lich für die Energietechnik und für Untersuchungen bei

– DC (Gleichgröße, Direct Current): Das Eingangssignal

Einkopplung von 50-Hz-Netzwechselgrößen in Signal-
wird original in das Gerät eingespeist.

kreise.

– AC (Wechselgröße; Alternating Current): Das Eingangs-

– AUTO: Das Oszilloskop legt die Triggerspannung selbst-
signal wird über einen in Reihe geschalteten Kondensator
tätig fest, in der Regel bei 0 V.

in das Gerät eingespeist. Damit wird der Gleichanteil

– EXTERN: Es gibt Signalverläufe, die sich innerhalb je-

(arithmetischer Mittelwert) des darzustellenden Signals
der Periode mehr oder weniger ausgeprägt ändern. Das
zu Null erzwungen, übrig bleibt der Wechselanteil. Diese
kann z. B. eine modulierte Trägerschwingung sein. Dann

Betriebsart ist vorteilhaft, wenn z. B. einer Gleichspan-
ist es erforderlich, ein geeignetes Triggersignal extern zu
nung von C15 V eine Wechselspannung von einigen mV
erzeugen.

überlagert ist. Dann kann diese Wechselspannung z. B.

Position: Über ein Potentiometer mit der Bezeichnung Po-
mit einem Ablenkfaktor von 2 mV/Division „bildschirm-
sition ( Y-Position oder kurz Y-POS) lässt sich das Oszillo-
füllend“ dargestellt werden.

gramm auf dem Display in vertikaler Richtung verschieben.

77.2

Aufbau eines Oszilloskopes

891

Teiler/

A-D-

Speicher

Verstärker

Umsetzer

RAM
u ein1

Farbdisplay

Display-

Kanal 1
ansteuerung

Teiler/

A-D-

Speicher

Verstärker

Umsetzer

RAM

Steuerung
u ein2

Netzteil

Kanal 2

Abb. 77.1 Prinzipschaltbild eines Zweikanal-Oszilloskopes

Bei mehreren Signalen auf dem Display kann man den Ab-
erst nach manuellem Rücksetzen und erneuter Triggerung
lenkfaktor und die Verschiebung so vorwählen, dass sich alle
möglich.

Signale untereinander in der gewünschten Reihenfolge und

– ( x- y)-Betrieb: Das Oszilloskop besitzt einen zusätzlichen
ohne Überlappung darstellen lassen. Allerdings geht dabei

Eingang für eine Spannung mit der Bezeichnung x-
die Information darüber verloren, wo sich der Spannungs-

Eingang mit nachfolgendem Eingangsteiler-Eingangsver-
wert 0 V bei den einzelnen Signalen befindet. Abhilfe schafft
stärker und nachgeschaltetem A-D-Umsetzer. Der Um-
entweder die oben genannte Schalterstellung GND bei jedem
setzer erhält die gleichen Umsetzimpulse wie der A-D-

Kanal oder es sind intern Schmitt-Trigger für jeden Kanal

Umsetzer für die y-Achse. Jedem Spannungswert auf der
eingebaut, die den Wert 0 V erkennen und ihn entsprechend
x-Achse ist damit ein Spannungswert auf der y-Achse
links als kleinen Pfeil einblenden.

eindeutig zugeordnet, beide werden gespeichert. Man er-

Zeitachse (x-Achse)

hält damit die funktionale Abhängigkeit u D
y
f . ux/. Die

Hier gibt es drei Betriebsarten.

Spannung ux kann eine periodische Spannung mit z. B.

– ( x- t)-Betrieb: Die Skalierung der x-Achse erfolgt linear in
sinusförmigem oder sägezahnförmigem Verlauf sein, sie

X

Zeitwerten. Angegeben wird ein Wert Zeit=Länge, wähl-
kann aber auch ein einmaliger Vorgang sein. dann muss
bar von etwa 10 ns=DIV bis 10 s=DIV in den Abstufungen
die Frequenz der Umsetzimpulse lediglich der Frequenz

1, 2, 5 innerhalb einer Dekade. Zu den Bezeichnungen
des Signals u

Teil
x angepasst werden.

gelten die gleichen Ausführungen wie unter dem Punkt

Diese Betriebsart wird z. B. zur Darstellung einer Dioden-

„Eingangsteiler, Eingangsverstärker“ oben. Über einen
kennlinie i

D

D
f . uD) eingesetzt. Diode und (niederoh-

Links-Rechts-Impulsschalter wird ein passender Wert
miger) Widerstand liegen in Reihe und werden von einer
eingestellt, der im Display eingeblendet wird. Intern bil-
periodischen Spannung uG (häufig Sinus- oder Sägezahn-
det das Oszilloskop daraus die Zeitpunkte zur Bildung der
verlauf) mit einer Frequenz im Bereich (10 . . . 1000) Hz

Abtastwerte des A-D-Umsetzers für den Spannungswert
gespeist. Die periodische Spannung gibt die Spannungs-
der y-Achse. Damit gekoppelt ist die Zahl der auf dem
werte in x-Richtung vor, die Spannung am Widerstand,

Display dargestellten Perioden. Die Zeitpunkte für die
die dem Strom proportional ist, die zugeordneten Werte

Bildung der Abtastwerte liefert ein Frequenzgenerator,
in y-Richtung.

häufig in Form eines Zählers. Bei einem Ablenkfaktor von

Analog-Digital-Umsetzer: Das in der Amplitude an den
z. B. 1 ms=cm, einer Displaybreite von 10 cm und 1000

Analog-Digital-Umsetzer (A-D-Umsetzer) angepasste Si-

Abtastwerten pro waagerechtem ( x-Achsen-)Durchlauf
gnal wird digitalisiert, wobei die Abtastfrequenz vom Her-
erhält der A-D-Umsetzer im Abstand von 10 µs einen
steller häufig so gewählt worden ist, dass sich für das

Umsetzbefehl: .1 ms/=.cm/ .10 cm/ .1=1000/ D 10 µs.

dargestellte Signal 1000 Abtastwerte ergeben. Sie werden

Auf dem Display wird ein Zeitbereich von .1 ms=cm/
im Digitalspeicher (z. B. RAM) abgelegt, zusammen mit

.10 cm) D 10 ms abgebildet.

dem Zeitmaßstab und weiteren Kenngrößen. Bei Mehrkanal-

Die Abtastung und Speicherung der y-Amplitudenwerte
oszilloskopen erhält entweder jeder Kanal seinen eigenen
geschieht periodisch, und durch die Triggerung ergeben

A-D-Umsetzer mit zugehörigem Digitalspeicher, oder es
sich i. Allg. zu gleichen Zeitpunkten auf der x-Achse auch
stehen nur ein A-D-Umsetzer und ein Digitalspeicher zur
gleiche y-Achsen-Werte.

Verfügung, die im Zeitmultiplexverfahren (siehe Kap. 100

– Single-Shot: Hiermit werden einmalige Vorgänge aufge-

„Mehrfachübertragung – Multiplexverfahren“) den einzel-
zeichnet. Nach der Triggerung wird der Zeitbereich der
nen Kanälen nacheinander zugeordnet werden. Das be-
x-Achse einmal durchlaufen und die zugehörigen Abtast-
schriebene erste Verfahren ist kostenintensiver, ermöglicht
werte werden gespeichert. Ein erneutes Durchlaufen ist
aber mehr Umsetzungen pro Zeiteinheit als das zweite. Die

892

77 Oszilloskop

Grenzfrequenz des Oszilloskopes hängt entscheidend von
an andere Personen steht ein Netzwerkanschluss (LAN)

der Zahl der Umsetzungen pro Sekunde des A-D-Umset-
zur Verfügung. Wegen seiner universellen und einfachen
zers ab. Es besteht folgender prinzipieller Zusammenhang:

Verwendbarkeit hat er die Datenübertragung über spezi-

Eine Grenzfrequenz des Oszilloskopes von 100 MHz er-
elle Messdatenbussysteme teilweise abgelöst.

fordert eine Abtastfrequenz von etwas mehr als 200 MHz

– Cursoreinblendung: Mehrere Cursor für die Zeitachse

(Shannon, siehe Signal- und Systemtheorie, VIII Abtasttheo-

( x-Achse) und die Spannungsamplitudenachse ( y-Achse)

rem), womit sich ein sinusförmiger Spannungsverlauf mit
ermöglichen das direkte Ablesen von Zeit- und Zeitdif-
der Frequenz 100 MHz auf dem Display darstellen lässt. Soll
ferenz-Werten sowie Amplituden- und Amplitudendiffe-
dagegen ein unbekannter Signalverlauf mit der bekannten
renz-Werten.

Frequenz 100 MHz einigermaßen originalgetreu dargestellt

– Tastkopf-Erkennung: Der Anschluss eines Tastkopfes
werden, sind erfahrungsgemäß alle Frequenzanteile bis zur
bietet Vorteile (siehe weiter unten), hat aber den Neben-

20. Harmonischen einschließlich zu erfassen, was eine Ab-
effekt, dass die Spannung am Eingang des Oszilloskopes
tastfrequenz von etwas mehr als 4 GHz erfordert (2 GHz
nur noch 1=10 oder 1=100 der tatsächlichen Spannung
ist dann die erforderliche Grenzfrequenz des Oszillosko-
am Tastkopfeingang beträgt. Dieser verringerte Wert wird
pes). Ein weiteres Kriterium für die Auswahl eines A-D-
auch auf dem Schirm eingeblendet, was zu Fehlinter-

Umsetzers ist die bit-Zahl, mit der der digitalisierte Ana-
pretationen führen kann. Es gibt Tastköpfe mit einem
logwert erfasst wird. Für die Darstellung auf dem Display

Zusatzkontakt, der dem Oszilloskop (sofern dafür einge-

(häufig 10 cm breit, 10 cm hoch) ist eine Umsetzung in
richtet) den Teilungsfaktor mitteilt und das daraufhin die
einen mit 8 bit kodierten Wert durchaus ausreichend. Das er-

Werteeinblendung entsprechend korrigiert.

gibt einen Quantisierungsfehler von ˙0;125 %. Sollen aber

– Differenzverstärker: Alle Signaleingänge eines Oszillo-
weitere Berechnungen (siehe „Mathematik-Option“ weiter
skopes haben einen gemeinsamen Bezugspunkt (Mas-
unten) durchgeführt werden, kann ein A-D-Umsetzer mit ei-
se, Gehäuse, Abschirmung). Soll eine Spannung dar-
ner höheren bit-Zahl erforderlich werden, was sich im Preis
gestellt werden, die keinen direkten Anschluss an die-
niederschlägt. Die A-D-Umsetzer sind demnach ein wesent-
sem Bezugspunkt hat, wendet man Differenzverstärker
licher Kostenfaktor der Oszilloskope.

an, siehe unten. Voraussetzung ist mindestens ein 2-

Weiterverarbeitung: Die im Digitalspeicher oder in den Di-

Kanal-Oszilloskop, bei dem dann diese 2 Eingänge ihre
gitalspeichern abgelegten Werte können ausgelesen, in eine

Spannungswerte voneinander subtrahieren. Schaltungs-
zur Anzeige geordnete Form gebracht, evtl. weiter aufberei-
technisch erfordert diese Verstärker-Betriebsart einen er-
tet, mit Zusatzinformationen versehen (Einblendung Cursor,
höhten Aufwand.

Ablenkfaktoren, Triggerwerten, . . . ) und dann dem Display

– Automatische Einstellung: Das Oszilloskop analysiert

Teil
zugeführt werden. Über Zusatzelektronik können die Digi-
das anliegende Eingangssignal und stellt selbsttätig
talwerte auch z. B. über einen Netzwerkanschluss (LAN) in

Amplituden- und Zeit-Ablenkfaktoren, Triggerschwelle

X
ein Netz eingespeist, abgerufen, weiterverarbeitet oder auch
und weitere Größen so ein, dass das Eingangssignal in der
ausgedruckt werden. Hier bewährt sich die Maßnahme, dass

Regel nahezu optimal auf dem Schirm dargestellt wird.

zu jedem Oszillogramm auch die Kenndaten eingeblendet

Diese Option ist hilfreich, wenn der Anwender Probleme
werden. Häufig können die Daten auch über einen USB-
mit der Einstellung des Gerätes hat. Der Leistungsumfang

Anschluss auf einen Speicher-Stick übertragen werden.

der Oszilloskope erfordert meist eine sehr intensive und

Zusatzoptionen: Die folgenden Optionen sind häufig insge-
damit lang andauernde Beschäftigung mit dem Gerät!

samt oder teilweise in die Oszilloskope der „Luxusausfüh-

Netzteil: Das Netzteil versorgt die Baugruppen mit Spannung
rung“ (s. o.) integriert:

und sorgt für die galvanische Trennung des Oszilloskopes

– Mathematik-Option: In das Gerät ist ein Rechner in-
vom 230-V-Energieversorgungsnetz. Es ist als Schaltnetzteil
tegriert. Damit lassen sich von dem aufgezeichneten
ausgelegt, das einen hohen Wirkungsgrad aufweist.

Spannungsverlauf beispielsweise Kenngrößen wie Schei-
telwert, Frequenz, arithmetischer Mittelwert und Effek-
tivwert berechnen, statistische Kenngrößen und die Dar-
stellung durch mathematische Funktion und ähnliches

77.3

Zusatzeinrichtungen
ermitteln und selbstdefinierte Berechnungen durchführen.

– Farbige Displays: Es werden häufig LCD-Anzeigeeinhei-

Differenzverstärker: Beim Einsatz von Mehrkanal-Oszillo-
ten verwendet, wie sie auch bei Rechner-Bildschirmen
skopen haben alle Eingangsspannungen das Gehäuse des
verwendet werden. Bei den Mehrkanal-Oszilloskopen

Oszilloskopes als gemeinsames Bezugspotential. Ein Os-
werden die Spannungsverläufe der einzelnen Kanäle far-
zilloskop mit Differenzverstärker-Eingang (-Eingängen) ist
big dargestellt, um die Übersichtlichkeit zu erhöhen. In
prinzipiell ein Mehrkanal-Oszilloskop, bei dem jeweils 2
das Schirmbild werden Amplituden, Ablenkfaktoren, Da-

Kanäle in geeigneter Weise zusammengeschaltet werden.

tum, Zeit, Triggerpegel, Nulllinien, Eingangskopplung

Die Kanäle CH 1 (Channel 1) und CH 2 (Channel 2) ha-
usw. für die einzelnen Kanäle oder insgesamt ebenfalls
ben einen gemeinsamen Wahlschalter mit den Stellungen
in Farbe eingeblendet.

SINGLE/ADD. Einer oder beide Kanäle haben außerdem

– LAN-Anschlüsse:

Zur

Dokumentierung

(Papieraus-
einen Wahlschalter mit den Stellungen NORM/INV (Nor-
druck), Weiterverarbeitung, Speicherung und Versendung
mal/Invertiert). In der Stellung SINGLE werden beide Kanä-

77.3

Zusatzeinrichtungen

893
a

R i

U

G

U

U
s

1
e
u( t)

C

C

L

R
e
e

L

R

Meßobjekt

Koaxial-

Eingang
u

Y1

R

G
kabel

Oszilloskop
u 1
u

Y1 + Y2

C

2

Y2

Y2 INVERT.

b

R TK

Oszilloskop

R i

U

G

U
s
e
u( t)

Abb. 77.2 Anwendung eines Differenzverstärkers

C

C

TK

L

C

R
e
e

2

3

7
periodisches

Meßobjekt Tastkopf

Koaxial-

Eingang

4

1

5

6

Meßsignal
kabel

Oszilloskop
t S
t p

Abtastimpulse
c

Schirmbild
t S+ t


realer Verlauf

C zu klein

C zu groß
idealer Verlauf

Abb. 77.4 Tastkopf. a Oszilloskop mit Signalquelle und Kabel b zusätzlich mit

Abb. 77.3 Prinzip des Sampling-Oszilloskopes

Tastkopf c dargestelltes Signal bei Tastkopfabgleich
le unabhängig voneinander verwendet, das Gerät arbeitet als

Zweikanal-Oszilloskop. In der Schalterstellung INV wird
der Spannungen gelangen auf ein Abtast- Halte-Glied, an
das dargestellte Signal invertiert. In der Schalterstellung
dem ein formtreues Abbild des Originalsignals mit geringe-

ADD werden CH 1 und CH 2 so verknüpft, dass die an
rer Frequenz steht und das dann auf dem Schirm angezeigt
den beiden Eingängen anliegenden Signale addiert werden.

wird.

Stellt man den Schalter bei CH 2 auf INV, wird das Signal an

In der Praxis kann der zeitliche Abstand zweier Abtastim-

CH 2 vom Signal an CH 1 subtrahiert. Damit lassen sich auch
pulse auch so gewählt werden, dass die Periodendauer ts

X

Signalverläufe darstellen, die keinen gemeinsamen Bezugs-
zwischen zwei Abtastzeitpunkten mehrmals vergangen ist:

punkt, also eine gemeinsame Gleichtaktspannung, haben.

t D

C
a
n ts
t mit n D 1; 2; 3; : : : Diese Betriebsart er-

Teil

Wichtig bei Messungen mit Differenzverstärker-Eingang ist
fordert eine weniger kurze Abtastdauer tp, dafür dauert ein
die vom Hersteller angegebene maximal zulässige Gleich-

Bildaufbau entsprechend länger.

taktspannung (COMMON-MODE-VOLTAGE).

Kalibrier-Spannungsquelle: An einer zusätzlichen An-

In Abb. 77.2 soll die Spannung am Widerstand R dargestellt
schlussbuchse mit der Bezeichnung CAL OUT kann in der
werden, wobei die Spannungsquelle und das Oszilloskop ein

Regel ein Rechtecksignal mit kalibrierter Amplitude, Tast-
gemeinsames Bezugspotential (Masse, Gehäuse) haben, das
grad und Periodendauer entnommen werden. Häufig handelt
nicht am Widerstand liegt. Die beiden Anschlüsse des Wi-
es sich um ein symmetrisch zur Nulllinie gelegenes Recht-
derstandes werden mit den Eingängen CHANNEL 1 und
ecksignal mit der Amplitude ˙1 V, einem Tastgrad 1 W 2 und

CHANNEL 2 verbunden, die Betriebsweise wird auf ADD
der Frequenz 1 kHz. Damit kann, wenigstens teilweise, die
eingestellt und CHANNEL 2 invertiert. Dann bildet das Os-

Funktionstüchtigkeit des Y- und X-Verstärkers kontrolliert
zilloskop intern
werden. Daneben dient dieses Signal auch zur Kalibrierung
von Tastköpfen.

u C

Tastköpfe: Der Eingang eines Oszilloskopes stellt für die

1

. u 2/ D uR

(77.1)

ihn speisende Quelle eine Last von etwa 1 M( ( Re) paral-
und stellt damit die Spannung am Widerstand R dar.

lel zu etwa 50 pF ( Ce) dar (Abb. 77.4a). Aus Gründen der

Sampling-Oszilloskope: Sampling-Oszilloskope werden dort

Störunterdrückung werden die darzustellenden Signale dem
eingesetzt, wo die Darstellung des Signals nicht mehr in

Oszilloskopeingang über abgeschirmte Kabel, meist Koaxi-

Echtzeit erfolgen kann, also bei Signalfrequenzen oberhalb
alkabel mit einem Wellenwiderstand von (50 . . . 75) (, zu-
etwa 1000 MHz. Das Prinzip ist in Abb. 77.3 gezeigt. Das
geführt. Diese haben eine Kapazität von etwa (50 . . . 100) pF

Signal wird abgetastet, und zwar mit Abtastimpulsen, de-
pro Meter ( CL=m). Selbst wenn man die Induktivität und
ren Dauer tp möglichst klein und deren zeitlicher Abstand
die ohmschen Widerstände des Kabels vernachlässigt, bilden
ta nur wenig größer . t/ als die Periodendauer ts des darzu-

Leitungskapazität CL und Eingangskapazität Ce mit dem In-
stellenden Signals ist ( t D

C
a
ts
t). Die Momentanwerte
nenwiderstand Ri der Signalquelle einen Tiefpass.

894

77 Oszilloskop

Das Verhältnis der Spannungen U = U berechnet sich für si- nungsteiler. Damit ist das Spannungsverhältnis:

e
s
nusförmige Spannungen mit C D C C
e

CL zu:

1 R
j! C
e

1

1

R

U

C Re
j! C
e
e D
j! C

D

1

(77.4)

U

1 C R

1
e D
j! C
e

D

1

U

R

1
j! C
e

C R TK 1
j! C TK

1 C

1C j! ReC

1C j! R

1

TK C TK

U

1 R

1

C R

C Re

R TKC

1
s
j! C
e

C
e
j! C
j! C

R

1 C R j! C

TK

1 C R
i
i

Re
j! C
e
j! C

Dieses Verhältnis wird frequenz un abhängig, wenn gilt:

D

1

D

1

(77.2)

1 C R 1C Rej! C

C

i

1 C Ri

R
j! C

R

C

D R C

(77.5)

R
i

TK

TK
e
e

Re

Ue

1

Damit wird die Signalform eines beliebigen Eingangssignals

U

1 C R j! C
nicht verändert, denn gemäß Fourierzerlegung dieses Signals
s
i
werden alle vorkommenden Frequenzanteile um den gleichen

R

Faktor herabgesetzt.

e wird mit 1 M( und Ri mit 50 ( angenommen; damit
ist der Summand Ri= Re im Nenner vernachlässigbar. Die

Da C in der Regel größer als 100 pF ist und C TK als einstellbare

Grenzfrequenz fg ergibt sich, wenn Imaginär- und Realteil

Kapazität maximal etwa 30 pF gemacht werden kann, wird R TK
im Nenner von (77.2) gleich sind: 1 D !

g

C Ri und
größer als Re gewählt. Es werden Tastköpfe mit Teilerverhält-
daraus
nissen 10 W 1 und 100 W 1 angeboten.

f D

C

Hinweise: Korrekterweise müsste für die Teiler der Wert 1 W 10
g

1=.2 C Ri/ mit C D CL

Ce

(77.3)

oder 1 W 100 angegeben werden, es wird aber der Kehrwert ge-
nommen.

Beispiel 1

Der am Oszilloskop eingestellte Y-Ablenkkoeffizient ist durch
die Teilung mit dem Tastkopf nicht mehr gültig. Einige Oszil-

Ein Koaxialkabel von 2 m Länge und einer Kapazi-
loskope erkennen den Anschluss eines Tastkopfes und geben
tät von 50 pF=m ( C

D

L

2 m 50 pF=m D 100 pF),
eine Oszilloskop-Eingangskapazität von 50 pF und ein
eine entsprechende Mitteilung aus oder blenden den korrigier-
ten Wert in die Anzeige oder den Schirm ein.

Signalquellen-Innenwiderstand von 50 ( führen zu einer

Grenzfrequenz nach (77.3) von etwa 21,2 MHz. Nimmt

Beim Einsatz von Tastköpfen erhöht sich der Eingangswider-

Teil
man an, dass bei nichtsinusförmigen Signalen mindes-
stand auf den Wert R C
e

R TK, während sich die Kapazität durch
tens noch die 10. Harmonische gemäß Fourierzerlegung
die Reihenschaltung von C

C

TK und . CL

Ce/ verringert ( C TK <

X
erfasst werden muss, werden Signale mit Frequenzen

CL; Ce).

oberhalb etwa 2,2 MHz bereits mehr oder weniger ver-
fälscht dargestellt.

J

Damit die Bedingung aus (77.5) für unterschiedliche Werte Re
und Ce von Oszilloskop-Eingängen mit dem jeweiligen Tast-
kopf erfüllt werden kann, schließt man an den Eingang des

Tastkopfes die oben beschriebene Kalibrier-Spannungsquelle an

Um diese Probleme zu umgehen, hat man die Tastköpfe entwi-
und gleicht mit dem einstellbaren Kondensator das Bild auf
ckelt, deren interner Aufbau in Abb. 77.4b dargestellt ist. Der
dem Oszilloskopschirm auf ein Rechteck ab. Ist die Bedingung

Kondensator C TK ist von außen einstellbar und liegt parallel zu
nach (77.5) nicht erfüllt, ergeben sich Signalverläufe, wie sie in

R

C

TK. R TK mit C TK und C D CL

Ce mit Re bilden einen Span-

Abb. 77.4c dargestellt sind.

Schreibende Messgeräte

78

Wilfried Plaßmann

78.1 Betriebsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896

X

78.2 Schreibstiftauslenkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

895

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_78

896

78 Schreibende Messgeräte

Die schreibenden Messgeräte werden hauptsächlich eingesetzt,

Die zwei Kanäle sind in ihren Eigenschaften und Einstellmög-
um Vorgänge aufzuzeichnen und zu dokumentieren, die sich im
lichkeiten denen beim Oszilloskop sehr ähnlich (-AC, -DC,

Minuten- und Stunden-Bereich abspielen. Sie sind weitgehend

-GND, Eingangsteiler, Eingangsverstärker, Position, Vorschub-
durch Oszilloskope oder elektronische Geräte ähnlich einem
geschwindigkeit beim Schreiber (cm=min) entspricht dem Kehr-

Oszilloskop ersetzt worden, die entsprechend für Langzeitauf-
wert der x-Achsen-Skalierung beim Oszilloskop (ms=cm)).

nahmen ausgelegt sind. Der Vorteil dieser Geräte gegenüber den
schreibenden Messgeräten ist der, dass die Daten dauerhaft ge-
speichert sind, einschließlich der notwendigen Kenngrößen wie

78.2

Schreibstiftauslenkung

Zeitmaßstab, Amplitude, Datum, Aufzeichnungsgerät usw., und
sich in dieser Form beliebig oft ausdrucken und vor allem direkt
weiterverarbeiten lassen. Weiterhin entfallen die Probleme mit

Die Umsetzung der Ausgangsspannung des Y-Verstärkers all-
der Mechanik, dem Papier und den Schreibstiften. Deshalb folgt
gemein und des X-Verstärkers in der x- y-Betriebsart in eine
hier eine nur kurze Darstellung der Geräte.

Schreibstiftauslenkung erfolgt im Wesentlichen auf zwei Arten:

Direkte Auslenkung: Das Prinzip lässt sich an einem

78.1

Betriebsarten

Drehspulmesswerk zeigen (Abb. 76.1, Abschn. 76.2). Die

Verstärker-Ausgangsspannung wird an die Drehspule ange-

Schreibende Messgeräte haben, wie ein Oszilloskop, die ( y- t)-
schlossen, verursacht einen proportionalen Strom und damit
und die ( x- y)-Betriebsart.

eine proportionale Zeigerauslenkung. An der Spitze des Zei-
gers ist der Schreibstift befestigt, der auf dem darunter

( y- t)-Betriebsart: Ein Schreibstift wird in y-Richtung proportio-
vorbeilaufenden Papier den Momentanwert der Spannung
nal zur darzustellenden Spannung u von der Ruhelage in der
markiert.

Mitte (0 V) nach hinten ( u > 0) oder nach vorn ( u < 0) aus-

Kompensationsverfahren: Der Schreibstift kann durch eine
gelenkt. Unter ihm wird ein Papierstreifen von in der Regel

Schlittenführung über einen Elektromotor und einen Seilzug

20 oder 30 cm Höhe (für die y-Auslenkung) und einer Länge
in Y-Richtung über das Papier geführt werden. An der Schlit-
ab 10 m bis 100 m mit konstantem einstellbarem Vorschub von
tenführung ist in voller Papierbreite eine Potentiometerbahn
einer Rolle links ab- und auf eine zweite Rolle rechts wieder auf-
befestigt. Am Schreibstift sitzt der Schleifer dieses Potentio-
gewickelt ( x-Richtung, Zeitmaßstab bzw. Geschwindigkeit, z. B.

meters, so dass der abgegriffene Spannungswert der Stellung

1 cm=min). Dazu werden meist Schrittmotoren eingesetzt. Die
des Schreibstiftes proportional ist. Das Ausgangssignal des

Rollen haben einen Abstand von ebenfalls 20 oder 30 cm, was

Y-Verstärkers und der am Potentiometer abgegriffene Span-

T
für diese Betriebsart aber ohne Bedeutung ist. Der Schreibstift
nungswert werden einem Differenzverstärker zugeführt. Ist
eil
zeichnet den Spannungsverlauf auf dem vorbeiziehenden Papier
die Differenz nicht Null, wird der Schreibstift über den Elek-
und damit als Funktion der Zeit auf. Es kann sich um periodi-

X
tromotor entsprechend verstellt, bis die Differenz zu Null
sche oder einmalige Signale handeln. Die Aufzeichnungsdauer
geworden ist. Dann hat der Schreibstift seine Sollstellung er-
wird begrenzt durch die Vorschubgeschwindigkeit (den Zeit-
reicht.

maßstab) und die Länge der Papierrolle. Die Frequenz des

Signals sollte unter etwa 5 Hz liegen, weil der Schreibstift als

Der Vorteil dieses Verfahrens gegenüber dem der direkten Aus-
bewegtes mechanisches Gebilde wegen seiner Massenträgheit
lenkung liegt zum einen in einer höheren Grenzfrequenz, da
diesen Wert vorgibt. Der Einsatz mehrerer farbiger Stifte bei
das Erreichen der Sollstellung des Schreibstiftes mit relativ

Mehrkanalschreibern ist möglich, aber aufwändig.

großer Leistung über den Elektromotor erfolgen kann. Zum an-
deren ist es mit einem kleineren Fehler behaftet, weil kleine

( x- y)-Betriebsart: Hierbei wird das Papier nicht bewegt, es kann

Abweichungen von der Sollstellung, z. B. durch Reibung des
auch ein Papierblatt von 20 cm mal 20 cm oder 30 cm mal 30 cm

Stiftes auf dem Papier, vom Kompensationsverfahren erkannt
auf den Schreiber fest aufgelegt werden. Es wird ein zusätzli-
und korrigiert werden; bei der direkten Auslenkung fehlt diese
cher Kanal benötigt, der für die Auslenkung des Schreibstiftes

Rückmeldung.

in x-Richtung sorgt. Der andere, bereits vorhandene Kanal sorgt,
wie bei der ( y- t)-Betriebsart, wiederum für die Auslenkung in y-

Für die Auslenkung des Schreibstiftes zusätzlich in X-Richtung

Richtung. Damit erhält man die Darstellung u D
y
f . ux/, wie
wird ebenfalls bevorzugt das Kompensationsverfahren einge-
beim Oszilloskop.

setzt.

Digital anzeigende Messge-

79
räte

Wilfried Plaßmann

X

79.1 Digitalvoltmeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898

Teil

79.2 Digitalmultimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898

79.3 Messung von Kapazitäten, Frequenzen und Stromverstärkungen . 899

79.4 Messung von Temperaturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

897

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_79

898

79 Digital anzeigende Messgeräte

Tab. 79.1 Vorteile von analog und digital anzeigenden Messgeräten

Analog anzeigende Messgeräte

Digital anzeigende Messgeräte

Meist keine Hilfsenergie (Batterie) erforderlich

Geringer Messfehler, vor allem bei Gleichspannungsmessung (j f j < 103)

Tendenzen/Änderungen leicht erkennbar (einfacher

Hoher Instrumenten-Innenwiderstand bei Spannungsmessung (10 M( bis 100 G()

Abgleich auf Extremwert)

Einfache Messwert-Speicherung und -Weiterverarbeitung

Erfassen mehrerer Messwerte gleichzeitig (Flug-

Mehrere Messungen (10 bis 1000) pro Sekunde möglich
zeugkanzel, Leitzentrale in Kernkraftwerken)

Erweiterung zu Multimetern (Messung von Widerständen, Frequenzen, Kapazitäten, Temperatu-
ren, . . . )

Die im Kap. 76 behandelten analog anzeigenden Messgerä-
b) Der Effektivwert wird tatsächlich gemessen. Das geschieht
te werden zunehmend durch digital anzeigende Geräte ergänzt
wiederum nach zwei Verfahren:

oder ersetzt. In der Tab. 79.1 sind einige Vorteile beider Verfah-
b1) Der analoge Spannungsverlauf wird quadriert, dann über
ren einander gegenübergestellt.

eine Periode integriert, auf diese Periode bezogen, aus
dem so erhaltenen Wert die Wurzel gezogen und dann an-

Um die Vorteile beider Verfahren zu kombinieren, werden digi-
gezeigt. Damit wird die mathematische Darstellung des
tal anzeigende Messgeräte mit einer zusätzlichen Balkenanzeige

Effektivwertes schaltungstechnisch realisiert:

mit bis zu 100 Einzelelementen gefertigt. Auf diese Weise wird
eine quasi-analoge Anzeige nachgebildet.

v
u
u

T

Z
u

Effektivwert

U D t 1
f u. t/g2 dt

(79.1)

T

79.1

Digitalvoltmeter

0
b2) Der analoge Spannungsverlauf wird pro Periode 100mal

Digital anzeigende Messgeräte haben in der Regel einen
oder mehr abgetastet und über einen Analog-Digital-

Analog-Digital-Umsetzer für Gleichspannungen eingebaut. Für

Umsetzer in Digitalwerte umgesetzt. Diese digital ko-
diese Umsetzer werden, je nach messtechnischer Anforderung,
dierten Spannungswerte werden dann, um (79.1) zu
unterschiedliche Verfahren verwendet. So sind diejenigen nach
erfüllen, quadriert, die Werte einer Periode summiert,
dem Prinzip des Mehrrampenverfahrens besonders für die Prä-
durch die Anzahl der Werte geteilt, aus dem so erhaltenen
zisionsmesstechnik geeignet, da sie mit maximalen relativen

Wert die Wurzel gezogen und angezeigt. Da hier Um-

T

Messfehlern im Bereich ˙103 bis ˙106 behaftet sind. Al-
setzer mit einer Umsetzzeit verwendet werden müssen,
eil
lerdings benötigen sie für einen Messzyklus Zeiten zwischen
die sich aus der Periodendauer der Wechselspannung, ge-

0,1 s (Fehler ca. ˙103) und 10 s (Fehler ca. ˙106). Für Fehler
teilt durch die Zahl der Abtastwerte pro Periode, ergibt,

X
j˙105j werden diese Umsetzer als Integrierte Bausteine ge-
kommen nur Umsetzer nach dem Flash-Verfahren in Fra-
fertigt und haben häufig einen Eingangs-Spannungsbereich von
ge. Diese haben Umsetzzeiten im Bereich von einigen

0 bis ˙200 mV oder 0 bis ˙2 V. Maximale Fehler und Stel-

Mikrosekunden oder weniger, die erreichten relativen
lenzahl der Anzeige werden in der Regel einander angepasst,

Fehler liegen häufig bei > j˙103j. Bedingt durch die
so dass die Anzeige dann den Wertebereich von 0 bis ˙1999
zusätzlichen mathematischen Operationen nach (79.1)

(Fehler ca. ˙103/, 0 bis ˙19.999 (Fehler ca. ˙104) oder 0
haben Digitalvoltmeter in den Gleichspannungsmessbe-
bis ˙199.999 (Fehler ca. ˙105) erfasst. Im ersten Fall spricht
reichen kleinere Fehler als in den Wechselspannungs-
man von einer 3 1 -stelligen Anzeige, und entsprechend für die
messbereichen.

2
anderen Fälle von 4 1 - oder 5 1 -stelliger Anzeige. In die Anzei-

2

2

Die Messbereiche integrierter Digitalvoltmeterbausteine kön-
ge muss ein Komma eingefügt werden, wenn der angezeigte
nen zur Messung größerer Spannungen durch ohmsche Wider-

Zahlenwert der Spannung in Volt entsprechen soll. Daneben
standsteiler (Abb. 80.1) erweitert werden. Der Eingangswider-
gibt es auch Digitalvoltmeterbausteine mit 3 3 -, 4 3 - oder 5 3 -

4

4

4
stand dieser Digitalvoltmeterbausteine liegt in der Größenord-
stelliger Anzeige mit einem Wertebereich von 0 bis ˙3999, 0
nung 100 M( bis 1 G(; beim Einsatz von Widerstandsteilern
bis ˙39.999 oder 0 bis ˙399.999.

zur Messbereichserweiterung wird der resultierende Eingangs-

Zur Messung von Wechselspannungen werden zwei Verfahren
widerstand des Digitalvoltmeters durch den resultierenden Wi-
eingesetzt:

derstand dieses Teilers bestimmt. Er liegt für Gleich- und

Wechselspannungen häufig bei 10 M(.

a) Die zu messende Spannung wird gleichgerichtet und dann de-
ren Scheitelwert gemessen. Anschließend wird dieser Wert
durch 1,41 geteilt und angezeigt. Da aber nur für sinusförmi-
gen Spannungsverlauf der Faktor 1,41 zwischen Effektivwert

79.2

Digitalmultimeter
und Scheitelwert besteht, ist die Messung von Wechsel-
spannungen auf diesen Signalverlauf beschränkt. Man findet

In Anlehnung an die analogen Multimeter wird auch bei Di-
dieses Verfahren häufig bei den Digitalvoltmetern mit 3 1 -

2
gitalvoltmetern durch Zusatzeinrichtungen die Messung von
oder 3 3 -stelliger Anzeige, seltener bei denen mit 4 1 - oder

4

2

Strömen und Widerständen möglich und damit das Instrument

4 3 -stelliger Anzeige.

zum Digitalmultimeter erweitert.

4

79.3

Messung von Kapazitäten, Frequenzen und Stromverstärkungen

899

Messung von Widerständen: In das Instrument wird eine
höheren Fehler aufweisen, der sich durch Überlastung noch

Konstantstromquelle eingebaut, deren Strom den unbekann-
vergrößern kann. Bei der Wechselstrommessung kommen
ten Widerstand durchfließt. Die an dem Widerstand ent-
noch zusätzlich die bereits bei der Messung von Wech-
stehende Spannung ist dem Strom proportional und wird
selspannungen gegenüber Gleichspannungen vorhandenen
gemessen. Der Strom der Stromquelle und der Messbe-
höheren Messfehler hinzu.

reichsendwert für den jeweiligen Widerstandsmessbereich
werden so gewählt, dass sich beispielsweise ein Spannungs-
wert von 200 mV ergibt: Im 200-(-Messbereich wird ein

Strom für die Stromquelle von 1 mA eingestellt; im Mess-

79.3

Messung von Kapazitäten,
bereich 2 k( entsprechend 0,1 mA. Bei einigen Messgeräten

Frequenzen und
kann der Strom um den Faktor 10 höher gewählt werden

(Bezeichnung „HIGH“ im Gegensatz zu „LOW“), so dass

Stromverstärkungen
sich eine maximale Spannung von 2 V ergibt. Das ist vor-
teilhaft, wenn der Widerstand von Dioden oder Transistoren

Viele Digitalmultimeter sind noch zusätzlich mit einer oder
in Durchlassrichtung gemessen werden soll, da dann auch
mehreren der folgenden Messmöglichkeiten ausgestattet.

die Schwellspannung von Siliziumhalbleitern überschritten
wird.

Frequenzmessung: Für die Frequenzmessung wird der für

Die Messbereiche sind meist dekadisch gestuft und rei-
die Analog-Digital-Umsetzung erforderliche interne Taktge-
chen von 200 ( bis 20 M(. Der Fehler des Messgerätes bei
ber, meist ein Quarzoszillator, zur Bereitstellung der Torzeit

Widerstandsmessungen liegt deutlich höher als bei Gleich-
des Zählers herangezogen. Der Zähler selbst ist wegen des
spannungsmessungen, da die Stromquelle mit einem entspre-

Mehrrampenverfahrens bei der Analog-Digital-Umsetzung
chend höheren Fehler behaftet ist.

ebenfalls schon im Baustein vorhanden. Als Messbereiche

Bei der Messung von Widerständen < 10 ( gehen sowohl
stehen häufig 20 und 200 kHz zur Verfügung, manchmal
die Zuleitungswiderstände zum Messinstrument als auch die
auch zusätzlich 2 MHz; der relative Fehler liegt bei ca. ˙1 %.

Art des Anschlusses am zu messenden Widerstand in das

Kapazitätsmessung: Zur Messung der Kapazität eines Kon-

Messergebnis ein. Um dieses Problem zu umgehen, bieten
densators wird die für die Widerstandsmessung erforderliche

Digitalmultimeter für Widerstands-Präzisionsmessungen die

Stromquelle benutzt. Bei Konstantstromladung eines Kon-

Vierpolmessung an. Dazu muss der Widerstand Potentialan-
densators C mit dem Strom I 0 über eine festgelegte Zeit
schlüsse haben, an denen die Spannung über dem Widerstand
t ergibt sich eine Spannungszunahme U am Konden-
unabhängig von der Art des Anschlusses und der Länge
sator. Den Zusammenhang zwischen diesen Größen erhält
der Messleitungen gemessen wird. Der Strom wird in die
man über die dem Kondensator zugeführte Ladung Q ( Q D

Stromanschlüsse eingespeist. Damit ist die Länge der Zulei-

C U D I

0
t). Daraus folgt für C: C D I 0 t= U. Die

X
tungen ohne Bedeutung. Besitzt der Widerstand keine Poten-

Messbereiche sind häufig zu 2 nF, 200 nF und 2 µF gewählt.

tialanschlüsse, kann man versuchen, sie durch Anklemmen

Der Fehler liegt in der Größenordnung (˙1 : : : ˙5/ %.

Teil
oder Anlöten zweier zusätzlicher Anschlüsse nachzubilden.

Stromverstärkung: Für die Messung der Stromverstärkung

Messung von Strömen: Sie wird auf eine Spannungsmes-
h 21 von Transistoren wird in die Basis des Transistors ein
sung zurückgeführt, indem der zu messende Strom I einen in

Strom aus der für Widerstandsmessungen erforderlichen
das Instrument eingebauten bekannten Widerstand R 0 durch-

Stromquelle eingespeist und der Kollektorstrom gemessen.

fließt. Damit ist die gemessene Spannung U dem Strom I

Wählt man den Strom der Stromquelle zu 0,01 mA und
proportional ( U D I R 0). Die Messbereiche sind in der Regel
wird der Kollektorstrom zu 1,53 mA gemessen, muss nur
mit dem Faktor 100 gestuft und ergeben sich damit zu 2 mA,
das Komma in der Anzeige unterdrückt werden, damit die

200 mA und 20 A. Die Widerstände haben die Werte 100,

Stromverstärkung 153 angezeigt wird.

1 und 0,01 (, damit sich beim Messbereichsendwert eine

Spannung von 200 mV einstellt. Der 20-A-Messbereich ist in

Für die hier angesprochenen Messungen von Kapazitäten, Fre-
der Regel über getrennte Buchsen erreichbar und über eine
quenzen und Stromverstärkungen gilt, dass der Fehler meist im

Feinsicherung abgesichert. Da Sicherungen in den anderen

Bereich von ˙1 % bis ˙5 % liegt, und zwar relativ unabhängig
niedrigeren Strommessbereichen nicht vorgesehen sind, be-
von der Anzahl der Stellen des Digitalmultimeters.

steht die Gefahr einer Überlastung der Widerstände durch zu
hohe Ströme, was entweder zu ihrer Zerstörung oder aber zur

Änderung ihres Wertes und damit zur Erhöhung des Mess-

79.4

Messung von Temperaturen
fehlers führen kann.

Es können sowohl Gleich- als auch Wechselströme gemessen
werden. Da die Strommessung auf eine Spannungsmessung

Manchmal ist einem Digitalmultimeter eine Temperaturmess-
zurückgeführt wird, gelten bei der Messung von Wechsel-
einrichtung in Form eines Widerstandsthermometers mit Platin-
strömen die im Abschn. 80.4 „Messung von Wechselspan-

Widerstandselement (Nennwert meist 1000 oder 10.000 ()

nungen“ aufgeführten Verfahren und Probleme hier gleicher-
beigefügt. Zur Messung der Temperatur wird entweder die
maßen. Der Messfehler ist bei Gleichstrommessungen um
bereits mehrfach erwähnte Stromquelle oder eine Brücken-
ein bis zwei Größenordnungen größer als bei Gleichspan-
schaltung eingesetzt. Daneben werden auch Thermoelement-
nungsmessungen, weil die Widerstände einen entsprechend

Temperaturaufnehmer eingesetzt. Die Vergleichsstelle (Ver-

900

79 Digital anzeigende Messgeräte
gleichstemperatur) wird durch die Umgebungstemperatur gebil-
det, so dass die Messgeräte nur in einem eng begrenzten Um-
gebungstemperaturbereich betrieben werden sollen (Beispiel:

(C10 . . . C30) °C; siehe dazu Betriebsanleitung des Messgerä-
tes). Innerhalb dieses Temperaturbereiches findet häufig eine

Korrektur über die Temperaturabhängigkeit der Schwellspan-
nung einer Diode statt. Die maximal messbare Temperatur
liegt hier höher (ca. (400 . . . 600) °C) als bei den Platin-

Widerstandsthermometern (ca. 300 °C).

Einzelheiten dazu im Abschn. 81.1.6 „Thermische Aufnehmer“.

Teil

X

Messverfahren zur Messung

80
elektrischer Größen

Wilfried Plaßmann

X

80.1 Messung von Gleichspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902

Teil

80.2 Messung von Gleichströmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903

80.3 Messbereichserweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904

80.4 Messung von Wechselspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904

80.5 Messung von Wechselströmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906

80.6 Widerstands- und Impedanzmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . 906

80.7 Leistungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911

80.8 Messung der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916

80.9 Messung von L, C, Gütefaktor und Verlustfaktor . . . . . . . . . . 917

80.10 Messung magnetischer Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

901

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_80

902

80 Messverfahren zur Messung elektrischer Größen

80.1

Messung von

Schalterstellung

Meßbereich

1

400V

Gleichspannungen

2

40V

3

4V

4

0,4V

9,0M

5

0,04V

Die Messung von Gleichspannungen kann mit analog oder digi-

5
tal anzeigenden Messgeräten erfolgen.

900k

4

Digitalvoltmeter

3

90k

2

Meßbereich:

1

80.1.1

Analog anzeigende

R

9k

1

40mV

U

Spannungsmessgeräte
ein

C 1

1k

R e>100M

Je nach maximal zulässigem Fehler werden entweder Drehei-

Schutzbeschaltung
gegen Überspannung
sen-Messinstrumente der Klassen 1, 2,5 und 5 oder Drehspul-

R ca. 100k bis 1M

Messinstrumente der Klassen 0,2, 0,5 und 1, für Präzisions-

1

C 1 ca. 10nF bis 100nF
messungen der Klassen 0,05 und 0,1 eingesetzt (Definition des

Begriffs „Klasse“ in Abschn. 75.5). Die Messinstrumente sind

Abb. 80.1 Typischer Eingangsspannungsteiler eines Digitalvoltmeters
entweder für nur einen Messbereich ausgelegt oder verfügen
durch den Einbau einer Messbereichserweiterung über mehrere

R 1

Messbereiche. Die am häufigsten anzutreffenden Stufungen bei
mehreren Messbereichen sind 1-3-10-30 . . . und 2-5-20-50 . . .

V

U

R

U

0

2

2

U2

Bei der Spannungsmessung wird das Messinstrument von einem

R i
der Spannung proportionalen Strom durchflossen, der wiederum

Meßinstrument
den proportionalen Zeigerausschlag bewirkt. Dieser Strom wird
dem Messkreis entnommen und verändert den Wert der zu mes-

Abb. 80.2 Messabweichung bei der Spannungsmessung
senden Spannung. Um die Belastung durch das Messinstrument
erfassen zu können, wird häufig dessen Kennwiderstand rK in

(=V angegeben. Er muss mit dem Messbereichsendwert multi-

T
pliziert werden, um den Widerstand des Instrumentes (Innen-

80.1.3

Messabweichung durch den
eil
widerstand) zu erhalten. Bei Drehspulmessinstrumenten liegt

Innenwiderstand des

X
der Kennwiderstand im Bereich von 20 k(=V bis 200 k(=V,

Spannungsmessers
bei Dreheisenmessinstrumenten dagegen nur bei etwa 200 (=V

(siehe auch Beispiel 1).

Ist der Innenwiderstand des Spannungsmessers (analog oder di-
gital anzeigend) nicht unendlich groß, wird die zu messende

Spannung durch das Messinstrument verändert. In der Schal-

80.1.2

Digital anzeigende
tung Abb. 80.2 soll die Spannung über dem Widerstand R 2

Spannungsmessgeräte
gemessen werden. Das Instrument hat den Innenwiderstand Ri.

Ohne angeschlossenes Messinstrument beträgt die Spannung U 2
an R 2:

Digital anzeigende Spannungsmesser (Digitalvoltmeter) besit-
zen in der Regel mehrere Messbereiche, die dekadisch gestuft

U D

C

2

U 0 R 2=. R 1

R 2/
sind: 0,2, 2, 20, 200 und 1000 V oder 0,4, 4, 40, 400 und 1000 V.

Als höchster Messbereich wird 1000 V gewählt, weil es sich bei
mit angeschlossenem Messinstrument:

Spannungen größer 1000 V um Hochspannung handelt und da-

mit besondere Isolationsmaßnahmen erforderlich werden.

U 0 D U . R
R

C R
R

2

0

2
i/=. R 1

2
i/

Der Innenwiderstand ist unabhängig vom gewählten Messbe-
reich und wird vom Eingangsspannungsteiler zur Messbereichs-

Die gemessene Spannung ist damit kleiner als der tatsächliche
erweiterung gebildet (Abb. 80.1). Er liegt häufig bei 10 M(,

Wert ohne Instrument. Die daraus resultierende systematische
bei Präzisionsmessgeräten ist er ausnahmsweise im kleinsten

Messabweichung lässt sich berechnen, indem U 2 und U 0 in die

2

Messbereich durch Abtrennen des Eingangsspannungsteilers

Formel für den relativen Fehler eingesetzt werden:

erheblich größer, z. B. 10 G(. Der Eingangswiderstand des

Analog-Digital-Umsetzers ist 10 G( und beeinflusst damit

U 0
f D . x

D

D 2
a
xr/= xr

. U 0

U

1

2

2/= U 2
nicht das Teilerverhältnis des Widerstandsteilers beim Umschal-

U 2
ten des Messbereiches. Der Messfehler liegt erfahrungsgemäß

U Ri R 2

0

C

R

R 2
bei j˙5 103j, wenn Geräte der unteren Preisklasse unbe-

D
i C R 2

R 1

1

Ri R 2 C R

U R
rücksichtigt bleiben.

R

1

0

2
i C R 2

80.2

Messung von Gleichströmen

903

Nach Gleichungsumformung folgt daraus:

R iN

Systematische Messabweichung

R i

U N

R N
f D

1

(80.1)

R k U

U

1 C

Ri

k

U a
x

Ri R 2

Die durch das Messinstrument verursachte Messabweichung

Nullindikator

Meßobjekt
wird umso kleiner, je größer dessen Innenwiderstand Ri im Ver-
hältnis zur Parallelschaltung der Widerstände Ri und R 2 ist.

Abb. 80.3 Prinzip des Kompensators

Deshalb gilt allgemein:

Mit Präzisionskompensatoren lassen sich Spannungen mit ei-

Der Innenwiderstand von Spannungsmessern sollte so
nem Fehler f < j ˙ 104j messen.

groß wie möglich sein!

Allerdings verliert dieses Messverfahren an Bedeutung, weil

Präzisions-Digitalvoltmeter im 0,2-V- und 2-V-Messbereich

Fehler in der gleichen Größenordnung aufweisen und häufig

Beispiel 1

Innenwiderstände im Bereich 1 G( bis 10 G( besitzen. Da-
mit kann die Messabweichung nach (80.1) meist vernachlässigt

Ein analog anzeigendes Messinstrument mit dem Kenn-
werden.

widerstand r

D

K

100 k(=V hat im Messbereich

0,3 V einen Innenwiderstand von 100 k(=V 0;3 V D

30 k(; im Messbereich 300 V einen Innenwiderstand von

100 k(=V 300 V D 30 M(. Ein Digitalvoltmeter hat

80.2

Messung von Gleichströmen
den messbereichsunabhängigen Innenwiderstand 10 M(.

Dann ist der Innenwiderstand des analog anzeigenden

Messgerätes in den Messbereichen > 100 V größer als der

80.2.1

Analog anzeigende Strommessgeräte
des Digitalvoltmeters.

J

Drehspulmesswerke benötigen einen Strom von etwa 10 &A
bis 100 &A für Vollausschlag. Der Innenwiderstand liegt bei

X

100 ( bis 10 k(, so dass sich im kleinsten Strommessbereich

80.1.4

Spannungsmessung mit dem
ein Spannungsfall über dem Messwerk von 10 bis 100 mV er-
gibt. Für größere Ströme wird dem Messwerk ein entsprechend

Teil

Kompensator
kleinerer Widerstand parallelgeschaltet (Prinzip Stromteiler).

Der Fehler der Strommessung ist durch die Klasse des Instru-

Die Messabweichung durch den endlichen Innenwiderstand des
mentes gegeben und entspricht dem Fehler bei der Spannungs-

Spannungsmessers lässt sich vermeiden, wenn der für die Mes-
messung.

sung notwendige Strom von einer Hilfsenergiequelle geliefert
wird. In Abb. 80.3 ist das Prinzip gezeigt. Die Spannung UN ist
bekannt, sie wird z. B. von einem Normalelement geliefert. Ihr

Innenwiderstand RiN ist ebenfalls bekannt. Der Widerstandstei-

80.2.2

Digital anzeigende Strommessgeräte
ler ist ein Präzisionsteiler mit dem Gesamtwiderstand RN und
dem einstellbaren Teilwiderstand RK . Er wird häufig als einstell-
barer Stufenwiderstand mit mehreren Dekaden ausgeführt. Die

Der zu messende Strom durchfließt einen bekannten Wider-
zu messende Spannung ist Ux, der Innenwiderstand ist Ri. Zur
stand und verursacht an ihm einen Spannungsfall. Besitzt der

Messung wird der Abgriff am Widerstand RN solange verändert,

Widerstand dekadische Werte (1, 10, 100 (, . . . ), ist der Zah-
bis der Nullindikator den Strom Null anzeigt. Dann gilt:

lenwert der gemessenen Spannung durch entsprechendes Setzen
eines Kommas in der Anzeige als Stromwert in µA, mA oder A

U D

D

D

C
x

Ua

UK

UN RK=. RiN

RN /

(80.2)

ablesbar. Meist wird eine Stufung in Anlehnung an die Span-
nungsmessbereiche, aber mit dem Multiplikator 100, verwendet

Mit diesem Verfahren ist es möglich, auch die Leerlaufspan-

(200 µA, 20 mA, 2 A). Der Fehler der Strommessung ist mit
nung von Spannungsquellen mit sehr großem Innenwiderstand
f j˙102j deutlich höher als bei der Spannungsmessung.

zu messen. Für die zu messende Spannung gilt: Ux < UN.

Für ein 4 1 -stelliges Digitalmultimeter beträgt der Spannungs-

2

Der Fehler des Verfahrens hängt davon ab, wie genau die Span-
fall beim Maximalstrom unabhängig vom Messbereich typisch
nung UN , deren Innenwiderstand RiN und die Widerstände RK

200 mV, der Fehler liegt bei ˙(0,4 % of reading C 3 LSB), siehe
und RN bekannt sind und wie empfindlich der Nullindikator ist.

dazu auch Kap. 79.

904

80 Messverfahren zur Messung elektrischer Größen

R 1

I
a
b

A

R

R

I
v
iI

I

A

U

I

0

R

V

I
i

U

U

X

X

U

R iU

Abb. 80.4 Messabweichung bei der Strommessung

R p

Abb. 80.5 Messbereichserweiterung. a Spannungsmessung, b Strommessung

80.2.3

Messabweichung durch den

Innenwiderstand des Strommessers

80.3.2

Strommessung

In Abb. 80.4 soll der Strom durch den Widerstand R 1 gemessen

Hier wird zum Instrument ein Widerstand Rp parallel geschaltet
werden.

(Abb. 80.5b), sofern ein größerer Strom als dem Messbereich

Ohne Strommesser ergibt sich der Strom durch den Widerstand
entsprechend gemessen werden soll. RiI ist der Innenwiderstand

R

C

1 zu: I D U 0= R 1, mit Strommesser dagegen zu I 0 D U 0=. R 1
des Strommessers in einem Messbereich (Wahl siehe unten), der

Ri/. Eingesetzt in die Fehlerformel folgt daraus:

zu messende Strom ist Ix. Ist II der am Strommesser abgelesene

Strom, folgt mit dem Stromteiler:

f D . x

D
a
xr/= xr

. I 0 I/= I

I

R

U
x
iI

0

U 0

D

D Ri C R 1

R 1 D

1

(80.3)

II

RiI

Rp

U 0

1 C R 1

R 1

Ri

In der Praxis wird man für Rp einen Stufenwiderstand mit meh-

Die Messabweichung durch den endlichen Innenwiderstand des
reren Dekaden wählen, den kleinsten Wert einstellen und diesen

Strommessers ist umso kleiner, je kleiner er im Verhältnis zum
solange erhöhen, bis sich ein Ausschlag oder eine Anzeige

Widerstand R 1 ist.

im oberen Drittel des Messbereichs ergibt. Achtung: Für den

Dekadenwiderstand muss eine Ausführung mit nichtunterbre-
chendem Schalter verwendet werden, da der Strommesser sonst

Der Innenwiderstand von Strommessern sollte möglichst
im Umschaltmoment durch den fehlenden Parallelwiderstand
klein sein!

überlastet wird!

Teil

X

80.4

Messung von

80.3

Messbereichserweiterung

Wechselspannungen

80.3.1

Spannungsmessung

80.4.1

Analog anzeigende

Wechselspannungsmessgeräte

Soll mit einem analog oder digital anzeigenden Spannungsmes-
ser, dessen Innenwiderstand in einem Messbereich (Wahl des

Messbereichs siehe unten) mit RiU gegeben ist, eine höhere

Zur Messung von Wechselspannungen werden Messgeräte

Spannung Ux gemessen werden, schaltet man einen Widerstand
mit Dreheisenmesswerk, Drehspulmesswerk und Thermoum-

Rv in Reihe zu dem Spannungsmesser (Abb. 80.5a). Dieser
formermesswerk eingesetzt.

Spannungsteiler liefert die Beziehung:

U

D

C

80.4.1.1

Spannungsmesser mit Dreheisenmesswerk
x= UU

. RiU

Rv/= RiU

Die den Zeigerausschlag verursachende Kraft lässt sich durch

Darin ist UU die am Instrument abgelesene Spannung. Da man
die Lorentzkraft darstellen ( F D B I I). Die Flussdichte B

Ux im Allgemeinen nicht kennt, sind Rv und der Messbereich
wird ebenfalls durch den Strom I erzeugt, so dass F D k

1

I 2 D
des Spannungsmessers so einzustellen, dass sich ein Ausschlag
k

2 U 2 gesetzt werden kann. Durch die mechanische Trägheit des
oder eine Anzeige möglichst im oberen Drittel des Messbe-

Zeigers wird daraus der Mittelwert der Spannung bei Frequen-
reichs ergibt, da dann der Fehler klein ist. In der Praxis wird
zen
1 Hz gebildet. Berücksichtigt man die Wurzelbeziehung
man für Rv einen Stufenwiderstand mit mehreren Dekaden wäh-
beim Aufbringen der Skalenteilung, wird theoretisch der Effek-
len, den höchsten Wert einstellen und dann den Widerstand
tivwert U angezeigt:

stufenweise verringern, bis der genannte Ausschlag erreicht
v
ist. Achtung: Für den Dekadenwiderstand muss eine Ausfüh-
u
u

T

Z
rung mit unterbrechendem Schalter verwendet werden, da der
u

Effektivwert

U D t 1
f u. t/g2 dt

(80.4)

Spannungsmesser sonst im Umschaltmoment durch den kurz-

T
geschlossenen Reihenwiderstand überlastet wird!

0

80.4

Messung von Wechselspannungen

905

In der Praxis gilt das aber nur für sinusförmige Spannungen mit
dem Strom proportionale Größe messbar. Ein Nachteil ist, dass

Frequenzen bis etwa (400 . . . 1000) Hz. Oberhalb dieser Fre-
der Strom durch den Widerstandsdraht einige mA betragen
quenzen nimmt der Zeigerausschlag ab. Ein Grund dafür ist die
muss, um Drahttemperaturen oberhalb 100 °C und damit aus-
mit steigender Frequenz zunehmende Impedanz ( j! L) der Spu- reichend große Spannungen am Thermoelement zu bewirken.

le. Bei nichtsinusförmigen Spannungen wird der Signalverlauf

Damit der Messkreis nicht unzulässig hoch belastet wird, hat
nach Fourier zerlegt. Dabei muss die höchste noch zu berück-
man elektronische Lösungen gefunden, die den Strom durch
sichtigende Signalfrequenz, das ist in der Regel die 10. bis 20.

den Widerstandsdraht einer Hilfsspannungsquelle entnehmen,

Harmonische, an der oberen Grenze des genannten Frequenzbe-
die durch die zu messende Spannung gesteuert wird.

reiches liegen. Auf diese Weise können bereits nichtsinusförmig
verlaufende Spannungen mit einer Frequenz von 50 Hz mit ei-
nem erhöhten Messfehler durch Verfälschung der Kurvenform
behaftet sein.

80.4.2

Digital anzeigende

Wechselspannungsmessgeräte

80.4.1.2

Spannungsmesser mit Drehspulmesswerk

Das Drehspulmesswerk zeigt den arithmetischen Mittelwert der

Zur Messung des Effektivwertes einer Spannung werden unter-

Wechselspannung an. In der Praxis interessiert aber der Ef-
schiedliche Messverfahren eingesetzt.

fektivwert, weil er für die Leistung maßgebend ist. Da aber
arithmetischer Mittelwert und Effektivwert zahlenmäßig nicht

1. Verfahren: Vor allem bei Digitalmultimetern der unteren
übereinstimmen und der Umrechnungsfaktor zwischen beiden

Preisklasse wird bei der Spannungsmessung der Scheitelwert
von der Kurvenform abhängt, ist dieses Instrument nicht zur
gemessen, durch 1,41 geteilt und angezeigt. Diese Umrechnung

Messung von Wechselspannungen geeignet. Es besitzt jedoch
zwischen Scheitel- und Effektivwert gilt aber nicht allgemein
besondere Vorteile, nämlich geringen Eigenverbrauch und linea-
für beliebige Spannungsverläufe, so dass der Effektivwert nur
re Skalenteilung. Deshalb hat man, allerdings nur für sinusför-
bei sinusförmigem Spannungsverlauf richtig angezeigt wird.

mige Spannungen, die Skala so beschriftet, dass der korrekte

Die Scheitelwertmessung ist wegen des hohen Eingangswider-

Wert abgelesen wird. Da der arithmetische Mittelwert eines si-
standes des Analog-Digital-Umsetzers einfach möglich. Vergli-
nusförmigen Signals Null ist, wird der Spannungsverlauf mit
chen mit der Gleichspannungsmessung ist der Eingangswider-
einem Einweg- oder einem Brückengleichrichter so verändert,
stand gleich, der Fehler ist um den Faktor 5 bis 10 größer.

dass der arithmetische Mittelwert ungleich Null ist und damit

2. Verfahren: Der Effektivwert wird tatsächlich gemessen; des-
ein Ausschlag erfolgt. Der Kurvenformfaktor oder kurz Form-
halb spricht man auch von einer „echten“ Effektivwertmessung.

faktor ist das Verhältnis von Effektivwert zu arithmetischem

Verwendet werden elektronische Schaltkreise, die nach (80.4)

Mittelwert bei Einweg- bzw. Brückengleichrichtung. Er beträgt

X
den analogen Spannungswert am Eingang zunächst quadrieren,
bei sinusförmigem Verlauf und Einweggleichrichtung 2,22 und
diesen dann integrieren, auf die Periodendauer beziehen und
bei Brückengleichrichtung 1,11. Mit diesen Faktoren werden die
anschließend die Wurzel ziehen. Der Fehler dieses Verfahrens

Teil

Werte auf der Skala multipliziert. Es sind Spannungen mit Fre-
ist > j ˙ 103j, weil die erforderlichen mathematischen Ope-
quenzen bis zu einigen 10 kHz messbar.

rationen u. a. durch Logarithmieren und Potenzieren realisiert
werden.

Messinstrumente mit Drehspulmesswerk und Gleichrich-

Vor allem bei Geräten der Präzisionsmesstechnik wird die zu
ter zeigen nur bei sinusförmigen Wechselspannungen den
messende Spannung pro Periode 100mal oder mehr abgetas-

Effektivwert richtig an!

tet und in Digitalwerte umgesetzt. Anschließend werden diese
digital kodierten Werte den erforderlichen Rechenoperationen
nach (80.4) zur Bildung des Effektivwertes unterzogen. Der so
bestimmte Effektivwert ist mit einem kleineren Fehler behaftet

80.4.1.3

Spannungsmesser mit
als beim rein analogen Verfahren, erfordert aber einigen Auf-

Thermoumformermesswerk
wand. Es ist ein Analog-Digital-Umsetzer mit 8 bit oder mehr

Bei diesem Messwerk durchfließt ein der Spannung proportio-
und einer Umsetzzeit erforderlich, die nur ein Bruchteil der
naler Strom einen sehr dünnen (einige &m) Widerstandsdraht. Periodendauer der zu messenden Spannung ist (Umsetzzeit D

Der Draht erwärmt sich; seine Temperaturdifferenz zur Umge-

Periodendauer/Abtastwerte pro Periode).

bungstemperatur ist dem Effektivwert des Stromes proportional.

Bei Messgeräten mit „Echt-Effektivwertmessung“ gibt es Aus-

Die Temperatur wird mit einem Thermoelement gemessen (Ab-
führungen, die zwar den Effektivwert tatsächlich messen, an
schn. 81.1.6).

das zu messende Signal aber die Bedingung knüpfen, dass der

Der Vorteil dieses Verfahrens liegt darin, dass der Frequenz-
arithmetische Mittelwert Null ist. Das liegt daran, dass im Ein-
bereich für sinusförmige Spannungen von etwa 0,2 Hz bis
gangskreis des Messgerätes ein Kondensator in Reihe zu den

65 MHz reicht, bei Sonderausführungen bis 300 MHz bzw.

Messanschlüssen eingefügt ist. Dadurch vereinfacht sich zwar

10 GHz. Die untere Frequenzgrenze ist dadurch gegeben, dass
der elektronische Aufwand innerhalb des Messgerätes, schränkt
die Temperatur des Widerstandsdrahtes unterhalb 0,2 Hz dem
aber seinen Einsatz wesentlich ein. Nicht immer weist die Be-

Momentanwert des Stromes folgt. Gleichspannungen sind als
triebsanleitung eindeutig auf diese Tatsache hin.

906

80 Messverfahren zur Messung elektrischer Größen

Eine wichtige Kenngröße bei der Messung von Wechselspan-
a
b
nungen und -strömen ist der Crestfaktor als Verhältnis von

Z 1

Z

R
u

3

1

R

U

3

Scheitelwert zu Effektivwert. Er darf einen bestimmten Wert
u
d0

U
d0
sp
sp
nicht überschreiten und liegt in der Größenordnung 4 bis 10.

Z

U

2

Z 4

2

R

U

2 R 4

4

Bei einem Crestfaktor von 4 kann demnach eine rechteckför-
mige Spannung mit einem Tastgrad 5 nur noch mit erhöhtem

Abb. 80.6 Messbrücke. a allgemein, b Wheatstone-Messbrücke für ohmsche

Fehler gemessen werden.

Widerstände

80.5

Messung von Wechselströmen

80.6.1

Gleichstrom-Messbrücken zur

Widerstandsmessung

80.5.1

Analog anzeigende

Wechselstrommessgeräte

Eine Messbrücke besteht nach Abb. 80.6a aus vier Impedanzen
oder Widerständen Z 1 oder R 1 bis Z 4 oder R 4 und wird von einer

Hier werden die gleichen Messwerke verwendet wie bei der

Spannungsquelle mit der Spannung u sp gespeist. Zur Messung

Wechselspannungsmessung. Da bei ihnen der Ausschlag strom-
von Widerständen kann u sp sowohl eine Gleich- als auch eine
proportional ist, können die Aussagen über die Wechselspan-

Wechselspannung sein, zur Impedanzmessung wird in der Regel
nungsmessung entsprechend übernommen werden.

eine sinusförmige Spannung verwendet. Man spricht dann von

Gleich- oder Wechselstrom-Messbrücken.

Strommesser mit Dreheisenmesswerk: Theoretisch wird der Ef-
fektivwert unabhängig von der Kurvenform angezeigt, in der

80.6.1.1

Grundlagen

Praxis dagegen wird der Zeigerausschlag bei Frequenzen ober-
halb 400 bis 1000 Hz geringer. Die Innenwiderstände sind

Mit der Gleichstrom-Messbrücke lassen sich nur ohmsche
gleich denen bei der Gleichstrommessung.

Widerstände messen. Eventuell vorhandene induktive Anteile

(in Reihe liegend durch die wendelförmige Widerstandsbahn-

Strommesser mit Drehspulmesswerk: Die Anzeige ist ebenfalls

Anordnung) ergeben den Wert Null, kapazitive Anteile (2 von-
nur für sinusförmige Ströme richtig, die Frequenzgrenze für
einander isolierte Folien) den Wert unendlich.

sinusförmige Ströme liegt auch bei einigen 10 kHz. Die Innen-
widerstände entsprechen denen bei der Gleichstrommessung,

Die Spannung Ud 0 in der Brückendiagonalen (Abb. 80.6b) er-
sofern die Instrumente einen elektronischen Präzisionsgleich-
gibt sich zu:

Teil
richter eingebaut haben.

U

D

d 0

U 2

U 4

(80.5)

Strommesser mit Thermoumformermesswerk: Die Innenwider-

X
stände entsprechen denen bei der Gleichstrommessung, der Fre-

R 1 und R 2 sowie R 3 und R 4 bilden einen Spannungsteiler. Der
quenzbereich reicht von 0,2 Hz bis ca. 65 MHz oder 300 MHz

Strom in der Brückendiagonalen ist Null (Index „0“ für Ud 0/,
bzw. 10 GHz.

und es werden folgende Teilspannungen abgegriffen:

U D

R 2

I

D

R 4

2

U sp

U

U

(80.6)

C

4
sp

C

80.5.2

Digital anzeigende

R 1

R 2

R 3

R 4

Wechselstrommessgeräte

Für Ud 0 folgt daraus:

R 2

R 4

Die Wechselstrommessung wird, wie bei der Gleichstrommes-

U

D

d 0

U sp

R C

C

1

R 2

R 3

R 4
sung, auf eine Spannungsmessung zurückgeführt. Deshalb sind

R

C R

R

R
die Innenwiderstände in beiden Fällen gleich. Entsprechend gilt

D

2 R 3

2 R 4

1 R 4

2 R 4

U

sp
analog zur Wechselspannungsmessung:

. R C

C

1

R 2/. R 3

R 4/

R

2 R 3

R 1 R 4

Der Fehler ist größer als bei der Wechselspannungsmessung,

D U
sp

. C

C
weil der Fehler des Strommesswiderstandes in das Messergeb-

R 1

R 2/. R 3

R 4/

(80.7)

nis eingeht.

Für die Anwendung der Brückenschaltung zur Widerstands-
messung gibt es zwei Verfahren: 1. Abgleichverfahren: Die

Spannung Ud 0 wird durch Abgleich zu Null gemacht. 2. Aus-

80.6

Widerstands- und
schlagverfahren: Die Spannung Ud 0 ist ein Maß für die Abwei-

Impedanzmessung
chung eines zu messenden Widerstandes von einem Sollwert.

80.6.1.2

Wheatstone-Messbrücke im

Für die Widerstands- und Impedanzmessung werden hauptsäch-

Abgleichverfahren
lich die Brückenschaltung, der Vergleich mit einem bekannten

Widerstand und die kombinierte Messung aus Strom und Span-

Der unbekannte Widerstand ist R 1. Mindestens einer der Wider-
nung eingesetzt.

stände R 2 bis R 4 wird solange verändert, bis Ud 0 Null ist. Dann

80.6

Widerstands- und Impedanzmessung

907

U sp

I

R 4

R x

R x

U x R 1 R 3

U 1

U 3

R

R

U d0

2

1

R zu

U

R

R
sp

2

4

R
l
l

N

2

1

Abb. 80.7 Schleifdraht-Messbrücke

Abb. 80.8 Thomson-Messbrücke
gilt nach (80.7):

R 3

R D

1

R 2

(80.8)

hochohmig. Für die Parallelschaltung aus den Zuleitungswider-

R 4
ständen R

C
zu und . R 1

R 2/ wird Rp eingeführt:

Die Brücke ist abgeglichen. In der Praxis ist R 2 stetig verän-

. R C

1

R 2/ R zu
derbar, während das Verhältnis R

R D

(80.11)

3= R 4 in dekadischen Stufen
p

R C R C R
eingestellt werden kann und damit der Messbereich für den zu

1

2
zu
messenden Widerstand gewählt wird. Die Messunsicherheit die-

Damit erhält man für die Brückendiagonalspannung Ud 0:

ser Messbrücken ist < j ˙ 103j. Sie lässt sich auf < j ˙ 104j
verringern, wenn auch für den Widerstand R 2 Stufenwiderstän-

U

D

d 0

U 3

Ux

U 1
de eingesetzt werden, die mehrere Dekaden überstreichen und

R 3

R 1
deren kleinste Stufung bei 1 oder 0,1 ( liegt. Es können Wider-

D I. R C

C

x

Rp

RN /

I Rx

I Rp

R C R

R C R
stände im Bereich von etwa 10 ˝ bis 10 M( gemessen werden.

3

4

1

2

R R

R R

D

Rx R 3 C p 3 C RN R 3 p 1

Bei der Schleifdraht-Messbrücke nach Abb. 80.7 werden die Wi-

Ud 0

I

Rx

R C

C

C

C

3

R 4

R 3

R 4

R 3

R 4

R 1

R 2
derstände R

„ ƒ‚ …

„ ƒ‚ …

1 und R 2 durch einen homogenen Widerstandsdraht

A

B

X
mit konstantem Querschnitt gebildet. Damit sind die Widerstän-

(80.12)

de den jeweiligen Drahtlängen l proportional.

Teil

D

Die Thomson-Brücke ist für Ud 0

0 abgeglichen. Diese Bedin-
l 1
l 2

R D

I

D
gung wird unabhängig von R

1

R 2

(80.9)

p und damit von R zu, wenn sich die

A

A
beiden oben gekennzeichneten Summanden A und B aufheben:

spezifischer elektrischer Widerstand in ( m, l Drahtlänge in

R 3

R 1
m, A Drahtquerschnittsfläche in m2.

D

(80.13)

R C

C

3

R 4

R 1

R 2

Daraus folgt die Abgleichbedingung:

Das lässt sich z. B. durch eine entsprechende mechanische

Kopplung der Widerstände R

R

1 und R 3 sowie R 2 und R 4 errei-

1
l 1

R D

D

chen.

x

R 4

R 4

(80.10)

R 2
l 2

Setzt man die Abgleichbedingung aus (80.13) in (80.12) ein,

Der Schleifdraht wird häufig entweder als ausgestreckter Draht
so folgt durch Auflösen des Ausdruckes nach dem unbekannten
von 1 m Länge oder als Schleifdrahtwendel auf einem walzen-

Widerstand Rx:

förmigen Körper ausgeführt.

R 3

R D
x

RN

(80.14)

R 4

80.6.1.3

Thomson-Messbrücke im Abgleichverfahren

Es können Widerstände bis herab zu etwa 105 ( gemessen

Die Messung von Widerständen kleiner 10 ( erfordert die An- werden.

wendung von Potentialanschlüssen, um den Einfluss von Über-
gangswiderständen an den Anschlussklemmen zu verringern,

80.6.1.4

Wheatstone-Messbrücke im
da diese in der Größenordnung der zu messenden Widerstän-

Ausschlagverfahren
de liegen. Die dann verwendete Thomson-Messbrücke ist nach

Abb. 80.8 aufgebaut. Rx ist der zu messende Widerstand, RN

Bei der Messbrücke im Ausschlagverfahren wird die Span-
ein bekannter Widerstand. R 1 bis R 4 sind im Vergleich zu Rx
nung Ud 0 gemessen. Dann lässt sich der Widerstand R 1 nach

908

80 Messverfahren zur Messung elektrischer Größen

Tab. 80.1 Viertel-, Halb- und Vollbrücken mit CR oder ˙R
a
b

R

I d
iE

A

Brückenanordnung

Exakt

Näherung

R 1

I

U d

R
d

3

U

D

R

R
d 0

U sp

U

U

4 R C2 R
sp 4 R
sp

U d0

U d

R d

R

+Δ R

R

A R d B

U

R
sp

2

R 4

R

U d0

R

B

U

D

R

R
d 0

U sp

U

4 R C2 R
sp 4 R

Abb. 80.9 Brückenersatzschaltung mit Widerstand in der Brückendiagonalen.

a Schaltbild, b Ersatzschaltbild

+Δ R

U

D

R

R
d 0

U sp

U

D

D

2 R C R
sp 2 R

R 3

R 4

R für R D 0 ist sinnvoll, weil hierfür gilt: Die

+Δ R

Spannung in der Brückendiagonalen ist für R ¤ 0 maximal.

+Δ R

Zwischen der Spannung Ud 0 und der Widerstandsänderung R
besteht kein linearer Zusammenhang. Je nach Anwendungsfall

U

D

R
d 0

U sp 2 R
und zulässiger Messabweichung kann unter Umständen mit ei-

+Δ R
nem linearen Zusammenhang gerechnet werden:

−Δ R

R

U

U
für j R j R

(80.16)

U

D

2 R R

R
d 0
sp
d 0

U sp

U

4 R

4 R 2. R/2
sp 2 R

+Δ R

−Δ R

Die beschriebene Brücke wird auch als Viertelbrücke bezeich-
net, weil nur ein Widerstand veränderlich ist. In der Praxis wer-
den Brückenschaltungen häufig so eingesetzt, dass zwei oder

U

D

R.2 R R/

R
d 0

U sp

U

4 R 2. R/2
sp 2 R

+Δ R
vier Widerstände veränderlich sind und Widerstandsänderungen
mit positivem und negativem Vorzeichen gleichzeitig auftreten.

−Δ R

Für diese Halb- oder Vollbrücken sind die Änderungen in posi-
tiver und negativer Richtung in der Regel gleich groß (j R j D

U

D

R
d 0

U sp R

+Δ
jC

R

−Δ R

R j). In Tab. 80.1 sind die verschiedenen Brückenanordnun-
gen zusammengestellt. Ist der Zusammenhang zwischen Ud 0

−Δ R

+Δ R
und R nichtlinear, kann er häufig durch eine lineare Abhän-

Teil
gigkeit angenähert werden.

X

(80.7) bestimmen, wenn R

80.6.1.5

Wheatstone-Messbrücke im

2 bis R 4 bekannt sind. Im Gegen-
satz zum Abgleichverfahren ist jetzt aber der Widerstand R

Ausschlagverfahren mit Widerstand in der

1
veränderlich. Als Beispiel dient ein temperaturabhängiger Wi-

Brückendiagonalen
derstand, bei dem die Temperatur über den Widerstandswert

Bei der Berechnung der Spannung U
erfasst wird. In der Praxis ergibt sich häufig die Forderung, dass
d 0 wurde der Strom in der

Brückendiagonalen bisher zu Null angenommen. Ist dagegen
eine Widerstandsänderung gegenüber einem Arbeitspunkt (Soll-
ein Widerstand R
wert) gemessen werden soll. Für diesen Fall wird die Brücke
d vorhanden (Abb. 80.9a), empfiehlt sich zur

Berechnung der Spannung in der Brückendiagonalen das Ver-
so ausgelegt, dass die vier Widerstände im Arbeitspunkt gleich
fahren mit Ersatzspannungsquelle und Ersatzinnenwiderstand,
sind, die Brücke also abgeglichen ist (temperaturabhängiger Wi-
bezogen auf die Anschlusspunkte A und B (Abb. 80.9b). Die
derstand bei 0 °C). Die Abweichungen des Widerstandes vom

Ersatzspannung U

Arbeitspunkt (Sollwert) werden dann zweckmäßigerweise mit

E ist die Leerlaufspannung und damit die

Spannung Ud

R bezeichnet.

0 , die für einen unendlich großen Widerstand Rd
berechnet worden ist (80.15). Der Ersatzinnenwiderstand RiE er-

Setzt man in (80.7) R D

D

D

D

2

R 3

R 4

R und R 1

R C R ein,
gibt sich, wenn die Spannungsquelle „kurzgeschlossen“ und der
so folgt für Ud 0:

Gesamtwiderstand zwischen A und B bestimmt wird. Er lässt

sich direkt ablesen.

R 2 . R C R/ R

U

D

d 0

U sp

.

R C R C R/ 2 R

R

D
iE

. R 1 R 2/ C . R 3 R 4/

(80.17)

R R C R 2 R 2

D U

Für den Fall, dass alle 4 Widerstände gleich groß sind ( R/ und
sp

.

(80.15)

2 R C R/ 2 R
dass eventuelle Widerstandsänderungen ˙ R unberücksichtigt

R
bleiben, was wegen der kleinen Werte zulässig ist, folgt für R

U

D

iE :

d 0

U sp .4 R C 2 R/

R

D

iE

. R R/ C . R R/ D R

(80.18)

R ist mit Vorzeichen einzusetzen! Das bedeutet, dass bei ei-
ner Widerstands abnahme von R

1 , d. h. R 1

R, die Spannung Wird jetzt ein Widerstand Rd in die Brückendiagonale zwischen

U

D

D
d 0 positiv ist (Abb. 80.6b). Die Dimensionierung R 1

R 2
die Anschlüsse A und B eingefügt, berechnen sich der Strom Id

80.6

Widerstands- und Impedanzmessung

909
in Rd und die Spannung Ud zu:

Brückendiagonalen ist nur dann Null, wenn sie nach Betrag und

Phase Null ist. Damit muss sowohl ein Betrags- als auch ein

Phasenabgleich durchgeführt werden. Messbrücken dieser Art

I D

Ud 0

I

D

d

Ud

Id Rd

(80.19)

R

C
iE

Rd
besitzen also immer zwei Abgleichelemente, die wechselseitig
solange einzustellen sind, bis die Spannung U

Null ist. Da
d 0

Diese Art der Berechnung ist dann von Vorteil, wenn bei
zwei Abgleichbedingungen vorhanden sind, können auch zwei
der Messung im Ausschlagverfahren in der Brückendiagonalen
unbekannte Größen für die zu messende Impedanz bestimmt
empfindliche Strommesser, z. B. Galvanometer oder Digital-
werden.

voltmeter im kleinsten Spannungsmessbereich eingesetzt wer-
den.

Angewendet wird dieses Verfahren zur Bestimmung der Ele-
mente von realen Induktivitäten und Kapazitäten. Das Ersatz-
schaltbild einer realen Induktivität besteht aus der Reihenschal-
tung der Induktivität mit einem ohmschen Widerstand, der

80.6.2

Wechselstrom-Messbrücken zur
im Wesentlichen durch den Widerstand der Wicklung verur-

Widerstands- und Impedanzmessung
sacht wird. Ein realer Kondensator wird durch den Kondensator
mit einem parallelgeschalteten Widerstand dargestellt, wobei
der Widerstand den Isolationswiderstand erfasst. Neben diesen

Wechselstrommessbrücken dienen dazu, entweder ohmsche Wi-
anschaulichen Ersatzschaltbildern werden noch zwei weitere,
derstände oder Impedanzen zu messen. Die die Brücke speisen-
weniger anschauliche, verwendet: In Reihe zu C wird ein Wider-
de Spannung hat zweckmäßigerweise sinusförmigen Verlauf,
stand R bzw. parallel zu L ein Widerstand Rp geschaltet. Beide
weil nach Fourier keine Oberschwingungen auftreten und die

Darstellungsarten lassen sich ineinander umrechnen.

Werte der Impedanzen eindeutig angegeben werden können.

Außerdem ermöglichen Wechselspannungsverstärker für eine

Für den Abgleichfall gilt prinzipiell die gleiche Ableitung wie

Frequenz eine erhöhte Störspannungsunterdrückung (siehe auch
bei der Gleichstrom-Messbrücke mit dem Unterschied, dass an
folgender Abschnitt).

die Stelle der Widerstände teilweise oder insgesamt Impedan-
zen treten. Zur Berechnung setzt man für die Impedanzen die

Summe aus einem Wirk- und einem Blindanteil ein:

80.6.2.1

Messung von ohmschen Widerständen

Die Brückenschaltung kann sowohl im Abgleich- als auch im

Z D R C jX I

Z D R C jX I

1

1

1

2

2

2

Ausschlagverfahren eingesetzt werden. Es wird vorausgesetzt,

(80.20)

Z D R C

I

D

C

3
jX 3

Z

R 4
jX 4
dass die Widerstände keinen Blindanteil enthalten. Dann können

3

4

(80.5) bis (80.8) und (80.14) mit dem Zusatz übernommen wer-

X
den, dass alle Spannungen sinusförmigen Verlauf haben, also

Die Abgleichbedingung lautet:

auch U . Besonders bei der Verwendung der Brückenschaltung
d 0
im Ausschlagverfahren liegen die auszuwertenden Spannungen

Z Z D Z Z

Teil

1

4

2

3
in der Brückendiagonalen häufig im Bereich µV . . . mV und

)

. R C

C

C

C

1
jX 1/ . R 4
jX 4/ D . R 2
jX 2/ . R 3
jX 3/
sind aufgrund von Störspannungen, die in der gesamten Mess-

(80.21)

einrichtung auftreten, schwierig zu messen. Ist dagegen ud 0
sinusförmig mit der Frequenz f

R R X X C j. R X C R X

0, wird eine Messeinrichtung ver-

1

4

1

4

1

4

4

1/

(80.22)

wendet, die nur Signale der Frequenz f

D

C

C

0 auswertet und damit die

R 2 R 3

X 2 X 3
j. R 3 X 2

R 2 X 3/

Wirksamkeit von Störspannungen und Rauschen auf einen sehr
begrenzten Frequenzbereich um f 0 herum einschränkt. Driftvor-

Real- und Imaginärteil müssen jeweils Null sein.

gänge beispielsweise durch Temperaturänderungen oder Alte-
rung besitzen Frequenzen im Bereich unterhalb 1 Hz und treten

D

damit nicht mehr störend in Erscheinung. Die Frequenz f

Realteil D 0 W

R 1 R 4

X 1 X 4

R 2 R 3

X 2 X 3

0 wird
in der Regel zu 420 Hz, 5 kHz oder 10 kHz gewählt. Die Fre-

Imaginärteil D 0 W

R

C

D

C

1

X 4

R 4 X 1

R 3 X 2

R 2 X 3
quenz von 420 Hz wird eingesetzt, damit man etwa in der Mitte

(80.23)

zwischen der 7. und 8. Oberschwingung der Netzfrequenz von

50 Hz liegt (Fourierzerlegung z. B. von nichtsinusförmigen Ver-

Damit können beispielsweise Realteil R 1 und Imaginärteil X 1
braucherströmen am 50-Hz-Netz).

von Z aus den bekannten Größen R

1

2 bis R 4 und X 2 bis X 4 be-
stimmt werden.

80.6.2.2

Messung von Impedanzen

Ist der reale Kondensator als Parallelschaltung aus Rp und

Mit der Wechselstrommessbrücke lassen sich Impedanzen mes-

1= j! Cp gegeben, lässt sie sich in eine äquivalente Reihenschal-
sen, die aus einer Induktivität L oder einer Kapazität C mit oder
tung aus Rr (Realteil) und Cr (Imaginärteil) umrechnen und in
ohne ohmschen Anteil R bestehen. Dabei kann R parallel oder

(80.20) bis (80.23) einsetzen. Dazu wird der Ausdruck der Par-
in Reihe zu L oder C angeordnet sein. Die Spannung U
in der
allelschaltung konjugiert komplex erweitert und in die Summe
d 0

910

80 Messverfahren zur Messung elektrischer Größen

I
a
b

I

I

R

I

R

A

A

R

U

I



N

N

U



0

U

V

U

V

U

0

U

V
x

R
x

R

U

R

U

R

R

U
x
x

Abb. 80.11 Widerstandsbestimmung durch Strom- und Spannungsmessung.

a spannungsrichtige Schaltung b stromrichtige Schaltung

Abb. 80.10 Widerstandsmessung durch Spannungsvergleich

80.6.4

Messung von Strom und Spannung
aus Real- und Imaginärteil zerlegt:

R 1
p

Werden an einem unbekannten Widerstand Strom und Span-
j! C

Rp

Rp 1 j! RpCp

Z D
p

D

D
nung gleichzeitig gemessen, kann der Widerstandswert mit dem

R C 1

C

!2

C
p

R

1

R 2

C 2

1
j! C
pj! Cp
p
p
p

Ohm’schen Gesetz berechnet werden. Abb. 80.11 zeigt das Ver-

R

R 2! C
fahren. Zur Erfassung von U und I sind zwei Messschaltungen
p
p
p

Z D
j
möglich.

R 2!2 C 2 C 1

R 2!2 C 2 C 1
p
p
p
p

"

#

In der spannungsrichtigen Schaltung (Abb. 80.11a) wird die

R

R 2!2 C

D
p

C 1
p
p
am Widerstand anliegende Spannung U richtig gemessen, der

R 2!2 C 2 C 1
j!

R 2!2 C 2 C 1
p
p
p
p

Strommesser erfasst zusätzlich den Strom I durch den Span-

„
ƒ‚

…

nungsmesser mit dem Innenwiderstand RU. Die hierdurch ver-

1

Cr
ursachte systematische relative Messabweichung berechnet sich

R

R 2!2 C 2 C 1
wie folgt:

)

p
p
p

R D

I

D

r

Cr

(80.24)

R 2!2 C 2 C 1

R 2!2 C

Angezeigter (gemessener) Wert x D R

R
p
p
p
p
a
x

U ; richtiger Wert
x D
r

Rx; eingesetzt folgt:

Die Abgleichbedingungen können auch in der Exponentialform

R
R

dargestellt werden.

x

U

Rx RU

RU

Rx

RU
f D

1 D

1 1 D

R

R C R

R

R C R

T
x
x

U
x
x

U
eil

Z D R C jX D j Z j ej' D Z ej'

(80.25)

systematische relative Messabweichung

) Z

D

C

D

C

1

Z 4

Z 2 Z 3
und

'1

'4

'2

'3

(80.26)

X
f D

1

(80.28)

Die Anwendungen von Messbrücken zur Widerstands- und Im-

1 C RU

Rx
pedanzmessung werden in den Abschn. 81.1 und 81.2 gezeigt.

Die Messabweichung ist als systematische Messabweichung
korrigierbar und umso kleiner, je größer der Innenwiderstand

R

80.6.3

Vergleich mit bekanntem Widerstand –

U des Messgerätes im Verhältnis zu dem zu messenden Wider-
stand Rx ist. Damit eignet sich dieses Verfahren besonders zum

Spannungsvergleich

Messen kleiner Widerstände.

In der stromrichtigen Schaltung (Abb. 80.11b) wird der Strom

Das vor allem in der Präzisionsmesstechnik angewendete Ver-
richtig gemessen, der Spannungsmesser misst zusätzlich den
fahren ist in Abb. 80.10 dargestellt. Ein bekannter Widerstand

Spannungsfall U am Innenwiderstand Ri des Strommessers.

RN und der unbekannte Widerstand Rx sind in Reihe geschal-

Die relative systematische Messabweichung berechnet sich zu:

tet und werden vom gleichen Strom durchflossen. Dann ergeben

Angezeigter (gemessener) Wert x D

C
a

Ri

Rx; richtiger Wert
sich die folgenden Beziehungen:

x D
r

Rx.

U D

I

D

N

I RN

Ux

I Rx

Setzt man diese Ausdrücke in die Formel für die relative Mess-
abweichung ein, folgt:

ineinander eingesetzt folgt:

Relative Messabweichung

Ux

C

R D

Rx
x

RN

(80.27)

U
f D Ri

1 D Ri

(80.29)

N

Rx

Rx

Voraussetzung bei dieser Ableitung ist, dass der Innenwider-

Die Messabweichung ist als systematische Messabweichung
stand des Spannungsmessers groß gegenüber den Widerständen
korrigierbar und umso kleiner, je größer der unbekannte Wi-

RN und Rx ist. Kann er nicht vernachlässigt werden, ist die hier-
derstand Rx im Verhältnis zum Innenwiderstand Ri des Strom-
durch verursachte Messabweichung umso kleiner, je mehr die
messers ist. Deshalb ist dieses Verfahren bevorzugt zur Messung
zwei Widerstände in ihrem Wert übereinstimmen.

großer Widerstände einsetzbar.

80.7

Leistungsmessung

911

A

R I

A

I x

R

A
v

U

V

U

R v
sp

0

U x R x

U sp

I 0

R x

R U

B

Meßschaltung

B

Meßschaltung

Skala



Skala



Abb. 80.12 Widerstandsmessung nach dem Prinzip des Spannungsvergleiches

Abb. 80.13 Widerstandsmessung nach dem Prinzip des Stromvergleiches

80.6.5

Widerstandsmessung mit analogen

Stromvergleich oder Reihenverfahren: Bei diesem Verfahren

Multimetern

(Abb. 80.13) wird der Strommesser bei Messbeginn und bei

Kurzschluss zwischen den Messklemmen A und B durch Ver-

Analoge Multimeter bieten die Möglichkeit, den Wert von Wi-
ändern des Widerstandes Rv auf Vollausschlag eingestellt. Dann
derständen wenigstens überschlägig zu messen. Dazu werden
ergibt sich für I 0:

zwei Verfahren benutzt.

U sp

I D

0

(80.34)

Spannungsvergleich oder Parallelverfahren: Zunächst wird, sie-

R C
v

RI
he Abb. 80.12, bei Leerlauf an den Messklemmen A und B

R

( R ! 1

I ist der Innenwiderstand des Strommessers und U sp die Span-
x

) mit dem Potentiometer Rv Vollausschlag am Mess-
nung einer eingebauten Batterie. Mit dem unbekannten Wider-
instrument eingestellt. RU ist der Innenwiderstand des Messin-
stand R
strumentes, U
x zwischen den Anschlüssen A und B fließt dann der
sp wird von einer eingebauten Batterie geliefert.

Strom

Dann gilt für U 0:

U sp

I D
x

(80.35)

R C R C R

U D

RU
v

I
x

0

U sp

(80.30)

R C

U

Rv

Gleichung (80.35) wird nach Rx aufgelöst, und mit (80.34) folgt:

Wird der unbekannte Widerstand Rx angeschlossen, ergibt sich

1 Ix

I 0

X
für die Spannung Ux:

R D

C
x

. Rv

RI/

(80.36)

Ix

I 0

R

U

Rx

Teil

U D

D Č
x

U sp

(80.31)

Mit den Abkürzungen Ix= I 0
und . Rv

RI/ D RiI ergibt

R

C

U

Rx

Rv
sich:

Löst man (80.31) nach R

1 ˇ
x auf und setzt für U sp den entsprechend

R D
x

RiI
umgeformten Ausdruck aus (80.30) ein, so folgt

ˇ

(80.37)

U

Der sich daraus ergebende Skalenverlauf ist ebenfalls in

R
x

U

Rv

U

R D

0

Abb. 80.13 dargestellt.

x

(80.32)

R C

U

Rv 1 Ux

U 0

Der unbekannte Widerstand Rx lässt sich überschlägig im Be-

reich 0;1 RiI < Rx < 10 RiI messen. Nach Abtrennen des

Mit den Abkürzungen Ď U

D
x= U 0 und RU

Rv

RiU ergibt
zu messenden Widerstandes ist der Strom durch das Instrument
sich (80.33)

Null, so dass die Lebensdauer der Batterie nicht dadurch ver-
kürzt wird, dass das Instrument nicht ausgeschaltet wurde.

ˇ

R D

x

RiU 1 ˇ

(80.33)

In Abb. 80.12 ist auch der daraus folgende Skalenverlauf darge-

80.7

Leistungsmessung
stellt. Für U D

! 1

D
x

U 0 (Vollausschlag) geht Rx

; für Ux

0
ist R D
x

0. Eine überschlägige Messung von Rx ist im Bereich

Neben der Wirkleistung P sind vor allem in der Energietechnik

0,1 RiU < Rx < 10 RiU möglich.

noch die Blindleistung Q und die Scheinleistung S von Bedeu-

Durch entsprechende Wahl von R
tung. Zwischen ihnen besteht die Beziehung
v und RiU (z. B. Vorwiderstän-
de) lassen sich mehrere „Messbereiche“ einstellen. Nach dem

S 2 D P 2 C Q 2

(80.38)

Abtrennen des zu messenden Widerstandes ist das Instrument
auszuschalten, weil sonst ein ständiger Strom durch das Instru-

Hier wurde vorausgesetzt, dass die Spannungs- und Stromver-
ment fließt und die Lebensdauer der Batterie herabsetzt.

läufe sinusförmig sind.

912

80 Messverfahren zur Messung elektrischer Größen

80.7.1

Wirkleistungsmessung
a
b
c

Die Wirkleistung P ist für beliebige Spannungs- und Stromver-
läufe definiert über

T

Z

1 2 3

5

1 2 3

5

1 2 3

5

Wirkleistung

P D 1
u. t/ i. t/ dt

(80.39)

T

0

L1

L1

L1 A

V

Für den Fall, dass Spannung und Strom sinusförmigen Verlauf

N

N

N
haben, ergibt sich

Abb. 80.14 Leistungsmesserschaltungen. a Stromrichtig, b spannungsrichtig,
c vollständige Messschaltung

P D U I cos '

(80.40)

U; I Effektivwerte von Spannung und Strom in V bzw. A, cos '

Phasenwinkel zwischen U und I.

Um die Überlastung eines Leistungsmessers ohne eingebauten

Überlastschutz erkennen zu können, wird die vollständige Mess-

Ein positiver Winkel bedeutet, dass die Spannung dem Strom
schaltung nach Abb. 80.14c eingesetzt. Dazu schaltet man einen
voreilt. Damit besitzen ideale Induktivitäten einen Phasenwin-

Strommesser in Reihe zum Strompfad und einen Spannungs-
kel ' D 90ı, ideale Kapazitäten ' D 90ı.

messer parallel zum Spannungspfad. Diese Kontrollinstrumente

Die Leistungsmessung erfolgt entweder analog mit einem elek-
können die Klasse 2,5 oder 5 besitzen, da sie nur zum Erkennen
trodynamischen Messwerk oder durch Auswertung der Be-
der ungefähren Größe von Spannung und Strom dienen und ge-
ziehung nach (80.39) durch elektronische Baugruppen. Die
gebenenfalls eine Überlastung anzeigen. Da die Netzspannung

Klemmenbezeichnungen sind DIN 43807 entnommen und in
relativ konstant ist, wird oft auf den zusätzlichen Spannungs-

Abb. 80.14 eingetragen. Die vom Strom durchflossene Spule
messer verzichtet. Leistungsmesser mit elektrodynamischem
wird im Schaltzeichen als waagerechter, durchgehender, dicker

Messwerk besitzen in der Regel keinen Überlastschutz, so dass

Leiter eingezeichnet und als Strompfad bezeichnet, der senk-
hier häufig die vollständige Messschaltung zum Einsatz kommt.

rechte dünnere Strich entspricht der Spannungsspule und heißt

Wird die Leistung auf elektronischem Wege gemessen, erübrigt

Spannungspfad.

sich der Einsatz der Kontrollinstrumente dann, wenn diese Ge-
räte eine eingebaute Überlasterkennung besitzen.

Teil

80.7.1.1

Wirkleistungsmessung bei Wechselstrom

Hinweis: Die Begriffe „spannungsrichtig“ und „stromrichtig“

X
beziehen sich durchgehend auf die Verbraucherseite.

Strom und Spannung werden nach Abb. 80.14 gleichzeitig
gemessen, so dass sich, wie bei der Widerstandsmessung im Ab-
schn. 80.6.4, Abb. 80.11, zwei mögliche Schaltungen ergeben:

80.7.1.2

Wirkleistungsmessung in

Stromrichtige Schaltung (Abb. 80.14a) und spannungsrichtige

Drehstromsystemen

Schaltung (Abb. 80.14b). Die durch die Messschaltung entste-
henden systematischen Messabweichungen nach (80.28) und

Drehstromsystem ist die übliche Bezeichnung für ein dreipha-
siges Wechselstromsystem. Die drei Spannungen haben unter-

(80.29) sind auch hier gültig. Die Lastimpedanzen Z sind in der

L
einander einen Phasenwinkel von 120° bzw. 240°. Hier ist zu

Regel vergleichsweise klein, so dass man nach Abschn. 80.6.4
unterscheiden, ob das Drehstromsystem symmetrisch belastet
die spannungsrichtige Schaltung verwenden sollte. In der Praxis
ist (gleiche Impedanz der drei im Stern und/oder im Dreieck
dagegen wird vorwiegend die stromrichtige Schaltung einge-
setzt, weil je ein Spannungs- und ein Strompfadanschluss am
geschalteten Verbraucher), oder aber unsymmetrisch belastet ist

(die drei an die Außenleiter angeschlossenen Lastimpedanzen

Leistungsmesser gekennzeichnet sind (Stern, Pfeil, . . . ) und die
sind nicht gleich). Bei symmetrischer Last kann der Null- oder

Vereinbarung gilt, dass die gekennzeichneten Anschlüsse zu

Neutralleiter
verbinden und an einen der Außenleiter L1, L2 oder L3 an-
entfallen!

zuschließen sind. Diese Regelung ist erforderlich, um bei der

Aron-Schaltung eine Aussage über das Vorzeichen der gemes-

80.7.1.3

Symmetrisch belastetes Drehstromsystem
senen Leistung zu bekommen (Abschn. 80.7.1.4).

Ist die Last im Stern geschaltet und der Sternpunkt zugänglich,
wird der nicht gekennzeichnete Anschluss des Spannungspfa-

Beispiel 2
des an den Sternpunkt angeschlossen. Andernfalls wird eine

Messschaltung nach Abb. 80.15 eingesetzt. Die zwei externen

Ein Leistungsmesser mit den Messbereichen 100 V und

Widerstände R

5 A wird im Spannungspfad mit 50 V und im Strompfad

U sind gleich dem Widerstand des Spannungspfa-
des und bilden einen künstlichen Sternpunkt (Abb. 80.15). Der
mit 10 A betrieben. Damit wird der Strompfad überlastet,

Null- oder Neutralleiter kann entfallen.

obwohl der Leistungsmesser gerade Vollausschlag zeigt.

J

Auch hier wird in kritischen Fällen die vollständige Messschal-
tung eingesetzt, wobei die Kontrollinstrumente grundsätzlich so

80.7

Leistungsmessung

913

1

P
a
b

P 1

P 2

I 1
f

U 1N U

U

R

12

U 31 U 3N

1 2 3

5

U ZN

1 2 3

5

1 2 3

5
f U 23

L1

* *

* *

I 3

L2

L1

L3

L2
f Winkel der Last
ges

P

·

= 3

1

P
x

2 R U

L3

P

= P + P
ges

1

2
künstlicher Sternpunkt

Abb. 80.16 Zwei-Leistungsmesser-Verfahren nach Aron. a Anordnung der

Leistungsmesser, b Zeigerdiagramm für den Sonderfall der symmetrischen Last

Abb. 80.15 Leistungsmesserschaltung bei symmetrischer Last
in Sternschaltung
eingeschaltet werden, dass ein Strommesser in Reihe zu jedem

Darin ist '1 der Winkel zwischen U
und I und entsprechend

12

1

Strompfad eines Leistungsmessers und ein Spannungsmesser

'3 der zwischen U und I . Die Ausschläge der zwei Leistungs-

32

3
parallel zu jedem Spannungspfad in die Schaltung eingefügt
messer sind vorzeichenrichtig zu addieren, da auch negative
wird.

Ausschläge möglich sind (siehe unten). In der Praxis ist der

Fall der unsymmetrischen Last in Sternschaltung kritisch, da die

Da in der Regel die gesamte Wirkleistung P ges gemessen wer-

Höhe der Spannungen an den Lastimpedanzen vom Wert der
den soll, muss der vom Leistungsmesser gemessene Wert P 1 mit
einzelnen Lastimpedanzen abhängt.

3 multipliziert werden. Es gibt Leistungsmesser, die diese Mul-
tiplikation intern vornehmen und damit die Gesamtwirkleistung

In Abb. 80.16 ist das Zeigerdiagramm für symmetrische Last in
anzeigen.

Sternschaltung dargestellt. Die Phasenwinkel der drei Lastim-
pedanzen sind gleich. Bezeichnet man sie mit ' L und zerlegt die
zwei Winkel aus (80.42a) in die Summe oder Differenz aus dem

80.7.1.4

Beliebig belastetes

Phasenwinkel '

Dreileiter-Drehstromsystem

L der Last und dem Winkel von 30° (zwischen

Leiterstrom und Mittelpunktspannung), so erhält man

X

Hier wird vorwiegend das Zwei-Leistungsmesser-Verfahren
nach Aron eingesetzt. Die in Abb. 80.16 dargestellte Anordnung

P

D

C

ges

U 12 I 1 cos.' L

30ı/ C U 32 I 3 cos.' L

30ı/I

Teil
der zwei Leistungsmesser in der Messschaltung kann man an-
symmetrische Last

(80.42b)

hand der Momentanwerte von Strom und Spannung ableiten.

Die Last ist im Stern geschaltet, der Index „“ kennzeichnet den

' L Winkel der Last.

Sternpunkt.

Hinweis: U
hat die entgegengesetzte Zeigerrichtung von U .

32

23
p D u

C

C

1 i 1
u 2 i 2
u 3 i 3

Anhand des Lastfalles „Symmetrische Last“ wird auf einige Be-
i C

C

D

D

1
i 2
i 3

0

)

i 2
i 1
i 3
sonderheiten bei der Leistungsmessung nach Aron hingewiesen:

p D i

1

. u 1 u 2/ C i 3 . u 3 u 2/I

(80.41)

1. Nach (80.42b) hat ein Leistungsmesser einen negativen Aus-
u

I

1 u 2 D u 12
u 3 u 2 D u 32
schlag bei ' L > 60° oder ' L < 60°. Bei Zeigerinstrumen-
p D i

C

1
u 12
i 3 u 32
ten muss dann der Spannungspfad umgepolt werden. Eine

Umpolung des Strompfades ist möglich, aber ungünstig,

Aus (80.41) folgt, dass kein Null- oder Neutralleiter ange-
da Ströme im Ampere-Bereich geschaltet werden müssen
schlossen sein darf, weil sonst die verwendete Beziehung i C

1
und die Unterbrechung von induktiven Verbrauchern we-
i C

D

2
i 3

0 nicht mehr gilt. Der Übergang von den Moment-
gen möglicher Spannungsüberhöhungen problematisch sein
anwerten zu den Effektivwerten wird z. B. beim elektrodynami-
kann. Viele Leistungsmesser besitzen deshalb einen entspre-
schen Messwerk durch die Trägheit des mechanischen Systems,
chenden Umschalter im Spannungspfad. Die so abgelesene
bestehend aus Drehspule mit Zeiger, bewirkt oder aber in elek-

Leistung ist bei der Berechnung der Gesamtwirkleistung ne-
tronischen Messgeräten durch Mittelwertbildung.

gativ einzusetzen.

Ausgedrückt durch U, I und cos ' ergibt sich die gesamte um- 2. Auch der Ausschlag Null ist bei einem Leistungsmesser

D

D
gesetzte Wirkleistung P
möglich, wenn gilt: ' L

60° oder ' L

60°.

ges für den allgemeinen Lastfall zu:

3. Beim Anschluss von idealen Blindwiderständen sind die An-

P

D

C

zeigen der zwei Leistungsmesser nicht Null, da sie nicht den
ges

U 12 I 1 cos '1

U 32 I 3 cos '3

(80.42a)

Winkel der Last mit C90° oder 90° erhalten, sondern einen

Formelgrößen siehe Text
um C30° oder 30° veränderten Winkel. Allerdings sind

914

80 Messverfahren zur Messung elektrischer Größen

3

P

2

P

1

P

1

Q

1 2 3

5

1 2 3

5

1 2 3

5

1 2 3

5

1

I

L1

L1

L2

L2

23

U

L3

L3

= 3
ges

Q

· 1

Q (9.72)

N

P

= P + P +
ges

1

2

3

P

Abb. 80.18 Blindleistungsmessung im symmetrisch belasteten Dreileiter-

Drehstromsystem; Zeigerbild für ohmsche Last

Abb. 80.17 Leistungsmesserschaltung im beliebig belasteten Vierleitersystem

80.7.2.2

Blindleistungsmessung in symmetrisch
die Ausschläge der zwei Leistungsmesser entgegengesetzt
belasteten Dreileiter-Drehstromsystemen
gleich groß, so dass sich als Gesamtwirkleistung nach vor-

Im Zeigerbild sind Spannung und Strom für einen ohmschen
zeichenrichtiger Addition der korrekte Wert Null ergibt.

Verbraucher RL eingetragen (Abb. 80.18). Damit ist der Pha-
senwinkel der Last Null. Der Leistungsmesser erhält aber die

Spannung U
und den Strom I , die den Winkel 90° zuein-

80.7.1.5

Beliebig belastetes

23

1
ander haben. Er zeigt damit die Blindleistung für diesen Fall

Vierleiter-Drehstromsystem
korrekt zu Null an. Andere Phasenwinkel der Last werden für

Die Leistungsmessung geschieht durch drei Leistungsmesser,
die Blindleistungsmessung ebenfalls richtig erfasst. Wegen der
die nach Abb. 80.17 angeschlossen werden. Dabei kann die
symmetrischen Last kann der Nullleiter entfallen.

Last aus einer beliebigen Kombination von Verbrauchern be-

Die gesamte Blindleistung erhält man mit folgender Beziehung:

stehen (Verbraucher im Dreieck und/oder im Stern geschaltet
p
und/oder Wechselstromverbraucher). Die gesamte umgesetzte

Q

D

I
ges

3 Q 1
symmetrische Last

(80.44)

T

Wirkleistung P ges ergibt sich aus der Summe der drei von den
eil

Q 1 vom Leistungsmesser angezeigte Blindleistung in Var; Q ges

Leistungsmessern angezeigten Einzelwirkleistungen: P

D
ges
gesamte Blindleistung in Var.

P C P C P

X

1

2

3.

Da die Spannung am Spannungspfad um den Faktor U

D
p

23= U 1 N

3 zu groß ist, muss zur Berechnung der gesamten Blind-
p
leistung Q ges zunächst durch

3 geteilt und anschließend die

80.7.2

Blindleistungsmessung
gemessene Blindleistung Q
p

1 mit 3 multipliziert werden. Das er-
p
gibt den Faktor 3= 3 D

3 in (80.44).

Für sinusförmigen Spannungs- und Stromverlauf berechnet sich

80.7.2.3

Blindleistungsmessung in beliebig
die Blindleistung Q zu
belasteten Vierleiter-Drehstromsystemen

Die Messschaltung nach Abb. 80.19 entspricht der Aron-

Blindleistung

Q D U I sin ' L

(80.43)

Schaltung
bei
der

Wirkleistungsmessung. Die

Gesamt-

Blindleistung wird unabhängig von der Art der angeschlossenen

' L Winkel der Last; U; I Effektivwerte von Spannung und Strom Last richtig gemessen, wenn folgende Grundsätze beachtet wer-
in V bzw. A.

den:

In größeren Firmen muss die meist durch Motoren verursachte

1. Die angezeigten Blindleistungen Q 1 und Q 2 der zwei Leis-
induktive Blindleistung kompensiert werden, weil die zugehöri-
tungsmesser sind vorzeichenrichtig zu addieren und an-
p
gen Ströme das Netz zusätzlich belasten.

schließend mit dem Faktor 3 zu multiplizieren.

2. Beim Anschluss der zwei Leistungsmesser ist auf richtige

Polung zu achten (Abb. 80.19).

80.7.2.1

Blindleistungsmessung bei Wechselstrom
p

Der Faktor

3 entsteht auf die gleiche Weise wie im symme-

Sie wird in der Praxis selten angewendet. Bei den analog anzei-
trisch belasteten Drehstromsystem, jetzt aber über den zu groß
genden Blindleistungsmessern wird ein Phasenschieber einge-
gemessenen Strom.

p
baut, der im Spannungspfad eine Phasenverschiebung von 90°

Q

D

3 . Q C Q
erzeugt (sin ' D cos.90ı '/). Bei den digital anzeigenden
ges

1

2/;
beliebige Last

(80.45)

Leistungsmessern wird der Phasenwinkel elektronisch gemes-

Q 1, Q 2 von den Leistungsmessern angezeigte Blindleistung in
sen und die Blindleistung nach (80.43) rechnerisch ermittelt.

Var; Q ges gesamte Blindleistung in Var.

80.7

Leistungsmessung

915

Q

2

Q

1

P 1

1 2 3

5

1 2 3

5

1 2 3

5

L1
k
l

L2

L1

U
u

K

L

L3

N

V
v

Q

= 3( Q + Q )

ges

1

2

L2

Abb. 80.19 Blindleistungsmessung im beliebig belasteten Drehstromsystem

Abb. 80.20 Leistungsmesserschaltung mit Spannungs- und Stromwandler

80.7.3

Scheinleistungsmessung

Nennübersetzung des Stromwandlers

I Np
k

D

NI

(80.48)

Die Scheinleistung S ist das Produkt aus Spannung und Strom

I Ns
für ' D

L

0°:

I Np primärseitiger Nennstrom in A; I Ns sekundärseitiger Nenn-

Scheinleistung

S D U I

(80.46)

strom in A.

Der sekundärseitige Nennstrom beträgt in der Regel 5 A bei pri-

Sie wird gemessen, indem entweder U und I getrennt gemes-
märseitigem Nennstrom.

sen und dann multipliziert werden, oder aber Spannungs- und

Strompfad erhalten je einen Gleichrichter mit anschließender

Bei der Leistungsmessung mit Spannungs- und Stromwandlern

Glättung im Spannungspfad. Dann werden beide Größen mul-
ergibt sich die Beziehung zwischen der mit dem Leistungs-
tipliziert, entweder analog im elektrodynamischen Messwerk
messer gemessenen Leistung P 1 und der tatsächlich in der
oder analog oder digital auf elektronischem Wege im digital an-

Lastimpedanz Z umgesetzten Wirkleistung PZ aus
zeigenden Leistungsmesser.

P D

Z
k NU k NI P 1

(80.49)

X

PZ Wirkleistung in der Impedanz Z in W; k NU, k NI siehe (80.47),

(80.48); P 1 vom Leistungsmesser angezeigte Wirkleistung in W.

Teil

80.7.4

Messbereichserweiterung bei der

Leistungsmessung

Wichtig beim Einsatz von Stromwandlern ist, dass sie nie-
mals sekundärseitig im Leerlauf betrieben werden dürfen,
weil sonst sehr hohe lebensgefährliche Spannungen anliegen.

Für die Messbereichserweiterung von Spannungs- und Strom-

Pro Spannungswandler können sekundärseitig mindestens drei
pfad sind grundsätzlich die im Abschn. 80.3 aufgeführten

Instrumente (Spannungspfade, Spannungsmesser) parallelge-

Maßnahmen mit Vor- und Parallelwiderstand möglich. Aller-
schaltet werden; pro Stromwandler ebenfalls mindestens drei
dings wird der Einsatz von Spannungs- und Stromwandlern

(Strompfade, Strommesser) in Reihe. Beide Wandler sind se-
bevorzugt, weil diese neben einer günstigeren Leistungsbilanz
kundärseitig zu erden, damit bei Fehlern im Wandler (sich

(keine Verluste an Vor- und Nebenwiderständen) eine galva-
verringernde Übergangswiderstände zwischen Primär- und Se-
nische Trennung zwischen Leistungskreis und Messkreis be-
kundärwicklung) sekundärseitig keine unzulässig hohen Span-
wirken. Abb. 80.20 zeigt eine Leistungsmesserschaltung mit
nungen auftreten.

Spannungs- und Stromwandler.

Eine Kenngröße für den Spannungswandler ist die Nennüber-
setzung k NU.

80.7.5

Leistungsfaktormessung

Nennübersetzung des Spannungswandlers

Der Leistungsfaktor cos ' ist bei sinusförmigen Spannungen

U Np
k

D
und Strömen gleich dem Kosinus des Winkels ' zwischen U und

NU

(80.47)

U Ns

I. Er wird entweder rechnerisch über zwei der drei gemessenen

Größen P, Q und S über die Beziehungen ' D arctan. Q= P/ oder

U Np primärseitige Nennspannung in V; U Ns sekundärseitige

' D arccos. P= S/ bestimmt, oder er wird mit einem entspre-

Nennspannung in V.

chend konstruierten cos '-Messgerät mit Kreuzspulmesswerk

Die sekundärseitige Nennspannung ist in der Regel zu 100 V
gemessen. Digital anzeigende Leistungsmesser setzen häufig
festgelegt, wenn die primärseitige Nennspannung anliegt.

das rechnerische Verfahren ein.

916

80 Messverfahren zur Messung elektrischer Größen

80.8

Messung der Arbeit
wert der Wirkleistung proportional. Über ein Zählwerk werden
die Momentanwerte addiert und damit die vom Elektrizitäts-

Versorgungsunternehmen (EVU) gelieferte Arbeit gemessen.

Die elektrische Arbeit W berechnet sich bei konstanter Leistung

Sie wird aus praktischen Erwägungen nicht in Wattsekunden,

P zu:

sondern in Kilowattstunden angegeben.

Arbeit

W D P t
für P D const

(80.50a)

Der dargestellte Induktionszähler ist für die Messung in Wech-
selstromkreisen ausgelegt, kann aber auf die Erfassung der

W elektrische Arbeit in W s bzw. kW h, P Leistung in W bzw.

Arbeit in Drehstromsystemen dadurch erweitert werden, dass
kW, t Zeit in s bzw. h.

die Spulenanordnung dreimal (für jeden Außenleiter getrennt)

Ändert sich die Leistung mit der Zeit, müssen die Momentan-
angebracht wird. Damit sind dann drei Spannungs- und drei
werte addiert werden. Mathematisch ausgedrückt heißt das, dass

Stromspulen vorhanden. Der Anschluss geschieht, wie bei der
über die Momentanwerte p. t/ der Leistung integriert werden

Leistungsmessung in Wechselstromkreisen oder Drehstrom-
muss:

systemen, nach Abb. 80.14 oder Abb. 80.17. Intern ist der

Elektrizitätszähler für die stromrichtige Messschaltung verdrah-

T

Z
tet. Die Proportionalitätskonstante zwischen der Anzahl der

Arbeit

W D
p. t/ dt

(80.50b)

Umdrehungen der Aluminiumscheibe und der Arbeit heißt Zäh-
lerkonstante und wird auf dem Typenschild des Zählers in

0

Umdrehungen/kWh angegeben.

W elektrische Arbeit in Ws bzw. kWh, p. t/ Momentanwert der Für die Elektrizitätszähler werden auch elektronische Geräte

Leistung in W bzw. kW (zeitabhängig), T Dauer der Erfassung
eingesetzt, die (80.50b) mathematisch auswerten. u. t/ und i. t/
in s bzw. h.

werden als Momentanwerte in allen 3 Leitern erfasst, multi-

Die Messung der elektrischen Arbeit geschieht in jedem Haus-
pliziert und integriert. Die Entwicklung dieser elektronischen
halt zum Zweck der Gebührenerfassung mit einem Elektrizi-

Elektrizitätszähler war insofern schwierig, weil sie die geringe
tätszähler, der nach dem Prinzip des Induktionszählers nach

Ausfallrate, den geringen Messfehler auch bei nichtsinusförmi-

Abb. 80.21 aufgebaut ist. Der von der Stromspule SP1 her-
gen Spannungen und vor allem Strömen und den geringen Preis
vorgerufene sinusförmige magnetische Fluss ˚1 und der von der herkömmlichen Induktionszähler erreichen sollten. Ihr Vor-
der Spannungsspule SP2 verursachte magnetische Fluss ˚2
teil liegt darin, dass der Momentanwert der Leistung unmittelbar
bewirken ein resultierendes Drehmoment für die Aluminium-
zur Verfügung steht, dass Leistung und Arbeit jederzeit abrufbar
scheibe, das dem Momentanwert der Wirkleistung proportional
und speicherbar sind und dass eine aktuelle Gebührenerfassung

Teil
ist. Der Bremsmagnet BM erzeugt in der Scheibe Wirbelströme,
möglich ist. Im Bedarfsfall können die gemessenen Größen dazu
die ein Gegendrehmoment proportional zur Drehzahl bewir-
dienen, Schaltvorgänge auszulösen (Großverbraucher in kriti-

X
ken. Sind beide Drehmomente im Gleichgewichtszustand, ist
schen Versorgungsfällen zu- oder abschalten). Auch Blind- und
der Momentanwert der Drehzahl der Scheibe dem Momentan-

Scheinleistung lassen sich erfassen, speichern und auswerten.

SP1

Schnitt A–B
i t

1( )

ϕ 2

J1
ϕ 1( t)

ϕ 1
ϕ 1

SP2

J2
i w
i w
i t

2( )

N
ϕ 2( t)

BM

A

B
ϕ t
ϕ t

AS

Aluminiumscheibe

J1

1( )

1( )

AS

SP1 Stromspule

SP2 Spannungsspule

BM Bremsmagnet

J1

Joch Stromspule

Zählwerk

J2

Joch Spannungsspule

Abb. 80.21 Prinzip eines Induktionszählers für Wechselstrom

80.9

Messung von L, C, Gütefaktor und Verlustfaktor

917

80.9

Messung von L , C , Gütefaktor

Gütefaktor einer Spule
und Verlustfaktor

Q D

1

D ! L= RL
tan ı

In der Praxis hergestellte Induktivitäten und Kapazitäten sind

Gütefaktor eines Kondensators
keine idealen Bauelemente in dem Sinne, dass sie einen Pha-
senwinkel von genau C90° oder 90° zwischen U und I

Q D

1

D ! C R
besitzen. Vielmehr treten Verluste auf, die in einem einfachen

C

(80.51)

tan ı

Ersatzschaltbild durch ohmsche Widerstände dargestellt werden

(Abb. 80.22). In Reihe zu der als ideal angenommenen Induk-

Zur Messung der Induktivität oder der Kapazität gibt es zwei
tivität L liegt der Wirkwiderstand R
prinzipiell unterschiedliche Messverfahren.

L , der im Wesentlichen den

Wicklungswiderstand der Spule erfasst. Es wird vorausgesetzt,
dass die Spule keinen Eisenkern besitzt, weil dann durch die
nichtlineare Beziehung zwischen der magnetischen Feldstärke

80.9.1

Messung von |Z |

|

L oder |Z C

H des Eisens und der Flussdichte B die Induktivität L vom Strom
abhängt. Parallel zum Kondensator C liegt der Widerstand RC,

Dieses

Messverfahren
wird
hauptsächlich
in

Vielfach-
der den Isolationswiderstand darstellt. Damit ergeben sich die

Messinstrumenten oder L- und C-Messgeräten der unteren

Zeigerdiagramme in Abb. 80.22.

Preisklasse eingesetzt. In den zu messenden Kondensator oder
in die Spule wird ein sinusförmiger Strom bekannter Frequenz

Eine reale Spule kommt der idealen Spule umso näher, je kleiner

(z. B. 1 kHz) eingespeist. Die sich einstellende Spannung wird

R

D

L im Verhältnis zur Impedanz XL

! L ist. Für dieses Verhält- gemessen und ist dem Betrag der Impedanz proportional.

nis gilt (! L/= R D

L
tan '. Damit könnte man durch die Angabe
von ' oder tan ' die Eigenschaft einer Spule charakterisieren
q
mit der Tendenz, dass eine reale Spule der idealen umso näher

U D

C

L

I

R 2

.! L/2 D I Z

L

L
kommt, je mehr sich ' dem Wert 90° oder tan ' dem Wert 1
nähert. Aus praktischen Erwägungen heraus hat man nicht den

U D

D

C

I

1
q

I ZC

(80.52)

Winkel ', sondern den Ergänzungswinkel zu 90°, ı, gewählt.

. 1 /2 C .! C/2

RC
tan ı wird als Verlustfaktor bezeichnet, der Kehrwert 1= tan ı als

Gütefaktor Q. Für reales L und C ergibt sich

Die gemessenen Impedanzen stimmen mit denen von Spule
bzw. Kondensator umso mehr überein, je kleiner RL und je grö-
ßer R

C ist. Da bei Kondensatoren häufig RC

1=.! C/ ist,
ergeben sich dann relativ genaue Werte für C. Bei Induktivitä-

X

L

C
ten sind in vielen Fällen Überschlagsmessungen für L möglich.

I

R

L

I

L

I
c

C

I

R

Teil

Rc
c

U R

U

L

L

U

U

80.9.2

Messung von ZL , ZC , Gütefaktor und

Verlustfaktor

Reihenersatzschaltung

Parallelersatzschaltung
im
im

Die verwendeten Messverfahren messen in der Regel L und RL
bzw. C und R

U

C . Daraus wird Q oder tan ı entweder manuell

I
errechnet oder durch ein in das Messgerät eingebautes Rechen-
δ
δ

I
programm bestimmt. Grundlage für die Messverfahren ist die

U
c

L

Brückenschaltung, die nach Abschn. 80.6.2.2 und (80.23) die
φ
φ

Möglichkeit bietet, zwei Größen einer Impedanz zu messen:

U

I
e
r

I
re

R

R

U

L
c

Realteil

D 0 W R

D

1

R 4

X 1 X 4

R 2 R 3

X 2 X 3

Komplexer

Komplexer

Imaginärteil

D 0 W R

C

D

C

1

X 4

R 4 X 1

R 3 X 2

R 2 X 3

Widerstand:

Leitwert:

(80.53)

Z = R + j L

L

L
ω

Y = (1/ R ) + j C

C

C
ω

V
π
erlustwinkel:

V
π
erlustwinkel:

In Abb. 80.23 sind drei Brückenanordnungen dargestellt. All-
δ =

– | φ|
δ =

– | φ|

2

2
gemein gilt, dass die zu messende Größe mit dem Index „ x“

Verlustfaktor:

Verlustfaktor:

versehen ist und an der Stelle von Z angeordnet wurde. Die

P

P

1
tan δ =
tan δ =

|Q|

|Q|
jeweils zwei Abgleichelemente sind wechselseitig solange zu
verstellen, bis die Spannung in der Brückendiagonalen Null ist.

Abb. 80.22 Ersatzschaltbild und Zeigerdiagramm realer Spulen und Konden-

Dann lassen sich mit (80.53) die zwei unbekannten Elemente
satoren
bestimmen.

918

80 Messverfahren zur Messung elektrischer Größen
a
b
c

R

R
x
x

R x

R

C

3

R

N

L

3

C
x

U

C
x
sp
x

U sp

U sp

R 2

R

R 2

C

R

4

R 4

4

3

R 4

C 4

C 2

R

R

R

C = C

4

3

3

1000
x

2 ·

; R = R
x

2 ·

L = R
x

2·R3·C ; R = R

4
x

2·

Dim.: R 4 =
tan δ = R

C

4

4

R 3

R 4

R 4

R

C

C = C

4

4
x

N ·

; R = R
x

3 ·

R 3

C N

C

5

4
tan d = 10 · F 1
mit

= 2 ·

· 50 s

Abb. 80.23 Beispiele für L - und C -Messbrücken. a Kapazitätsmessbrücke, b Induktivitätsmessbrücke nach Maxwell-Wien, c Schering-Messbrücke

Bei der Kapazitätsmessbrücke ist das Reihenersatzschaltbild für
zu messenden Bauelementes. Der Nullabgleich geschieht voll-
den Kondensator angegeben, das sich aber in das anschaulichere
automatisch. Güte- und Verlustfaktor werden berechnet, das

Parallelersatzschaltbild umrechnen lässt. Dieses Ersatzschalt-

Ersatzschaltbild des Kondensators oder der Spule kann sowohl
bild hat den Vorteil, dass die folgende einfache Zuordnung der
in der Paralleldarstellung ( Cp und RCp oder Lp und RLp paral-

Elemente von (80.53) nach den Elementen der Abb. 80.23a gilt:

lel) als auch in der Reihendarstellung ( Cr und RCr oder Lr und

R

R !

I

!

Lr in Reihe) auf einem LCD-Bildschirm dargestellt werden.

1

Rx

X 1

1=.! Cx/I

Die einzelnen Größen einschließlich Messfrequenz und Mess-

R !

I

!

2

R 2

X 2

1=.! C 2/I
strom werden ebenfalls zahlenmäßig eingeblendet. Die Angabe

R !

I

!

I

D

D

3

R 3

R 4

R 4

X 3

X 4

0
des Messstromes ist wichtig für Spulen mit Eisenkern: Durch
die Hysteresekennlinie hängt die Induktivität vom Messstrom

Beispiel 3
ab; streng genommen ist die Induktivität eine Funktion des Mo-
mentanwertes des Stromes. Angegeben werden kann nur ein wie

Umrechnung eines Reihen-Ersatzschaltbildes in ein
auch immer gebildeter „Mittelwert“ über eine Stromperiode.

Teil

Parallel-Ersatzschaltbild.

Ein anderes Verfahren speist einen konstanten sinusförmigen

1

R

r

! Cr j

Wechselstrom vorgegebener Frequenz in das zu messende Bau-

X

Z D R

D
r
j ! C
element ein. Zwei Spannungsmesser mit phasenempfindlichem
r

! Cr

1

!

!

!

C

Gleichrichter messen die Spannung über dem Bauelement und

D

Cr

D Cr. Rr

Cr
j/
filtern jeweils die Inphase-Komponente der Spannung mit dem

Z

R

r

! Cr j

. Rr ! Cr/2 C 1

Strom (entspricht dem Wirkanteil) und die ˙90°-Komponente

R !2 C 2

! C

D
r
r

C
r
j

(entspricht dem induktiven oder kapazitiven Blindanteil) heraus.

. R

r

! Cr/2 C 1

. Rr ! Cr/2 C 1

Daraus lassen sich dann die zu messenden Größen berechnen
und anzeigen.

D 1 C j! Cp

Rp

. R ! C

C

)

r
r /2 C 1
r

R D

I

D
p

Cp

R

80.10

Messung magnetischer
r

!2 C 2

. R ! C
r
r
r /2 C 1

J

Größen

Die Schering-Messbrücke dient zum Messen von Hochspan-

Die am häufigsten gemessenen magnetischen Größen sind der
nungskondensatoren für die Energietechnik. Damit ist die Fre-
magnetische Fluss ˚ in Weber (1 Wb D 1 V s), die magne-
quenz zu 50 Hz festgelegt, die Brückenspeisespannung kann
tische Flussdichte B in Tesla (1 T D 1 V s=m2 D 1 Wb=m2/,
mehrere kV betragen. Durch die angegebene Dimensionierung
die magnetische Feldstärke H in A=m und die Permeabilität
von R

( D D B= H).

4 lässt sich der Verlustfaktor direkt messen. Dieser darf

0
r
bei Hochspannungskondensatoren bestimmte Werte nicht über-
schreiten, denn die Erfahrung hat gezeigt, dass der Verlustfaktor
eine Aussage liefert über die im Kabel enthaltenen Fehlstellen.

Diese Fehlstellen können dazu führen, dass sich das Kabel z. B.

80.10.1

Magnetischer Fluss
stark erwärmt und sich damit selbst zerstört.

Moderne Messgeräte verwenden intern häufig die Brücken-

Zeitlich veränderlicher Fluss: Handelt es sich um einen sinus-
schaltungen zur Bestimmung von Real- und Imaginärteil des
förmig veränderlichen Fluss, der in seiner Gesamtheit durch

80.10

Messung magnetischer Größen

919
a
b
c

/

H

U V

Schaltsymbol

0

1,

U = f ( )

H

B
d

H

U

I

0

–1,

0

1,

B/T

B

–1,0

RHY 10

Abb. 80.24 Hallsonde. a Schaltsymbol, b Aufbau, c Kennlinie RHY 10 (Siemens)

eine bestimmte Fläche hindurchtritt (kein Streufluss), legt man
durchsetzt. Dann kann nach Abb. 80.24 eine Spannung, die so-
um diese Fläche eine Spule mit N Windungen. In der Spule wird
genannte Hallspannung, abgegriffen werden. Sie entsteht durch
dann eine Spannung u. t/ induziert:

die Lorentzkraft, die auf die in einem Magnetfeld bewegten

Elektronen eine Kraft ausübt und eine Ladungstrennung be-
d˚. t/
wirkt.

u. t/ D N

(80.54)

dt

Hallspannung

U D

H

. kH I B/= d

(80.56)

Mit ˚. t/ D ˚

m
sin ! t und d.˚. t//= dt D ! ˚ m cos ! t folgt
für die Beziehung der Scheitelwerte um und ˚ m

UH Hallspannung in V; kH Hallkonstante in m3=A s; I Strom in

A; B magnetische Flussdichte in V s=m2; d Plattendicke in m.

u D
m

N ! ˚ m

(80.55)

Die Hallkonstante kH ist besonders groß bei den technologisch

Dieses Verfahren hat den Vorteil, dass an Form und Größe der
gut beherrschten Materialien Indiumantimonid und Galliumar-

Fläche, durch die der Gesamtfluss hindurchtritt, keine Bedin-
senid. Sie liegt in der Größenordnung .102 : : : 103/ cm3=A s.

gungen gestellt werden, da die Spule nur diese Fläche voll

Die Hallsonde vom Typ RHY 10 (Siemens) hat einen Gehäuse-
umfassen muss.

durchmesser von 2,5 mm. Der Nennstrom ist 100 mA. Bei einer

Zeitlich konstanter Fluss: Ist der zu messende magnetische

Flussdichte von 1 T ergibt sich eine Leerlauf-Hallspannung von

Fluss zeitlich konstant, kann man den Strom, der den Fluss
etwa 100 mV. Der Innenwiderstand der Hallspannungsquelle

X
verursacht, ein- oder ausschalten. Durch diese Flussänderung
und der Stromeinspeisungsseite betragen jeweils etwa 2 (. Häu-
wird eine Spannung in der benutzten Spule induziert. Der Mo-
fig wird die Leerlauf-Empfindlichkeit angegeben: Ausgangs-
spannungsänderung zu Stromänderung Flussdichteänderung

Teil
mentanwert der induzierten Spannung hängt natürlich von dem
zeitlichen Verlauf des Schaltvorgangs und damit vom zeitlichen
in der Einheit V=A T. Damit können unterschiedliche Hallson-

Verlauf des Flusses ˚. t/ ab. Integriert man aber die Momentan- den miteinander verglichen werden. Für die Sonde RHY 10
werte der Spannung mit einem elektronischen Integrierer, so ist
ergibt sich ein Wert von 0;1 V=.0;1 A 1 T/ D 1 V=A T. Das
der erhaltene Spannungswert u

Vorzeichen der Hallspannung hängt von der Richtung des Ma-
ges dem Gesamtfluss ˚ges propor-
tional.

gnetfeldes ab.

Weiterhin lassen sich zur Messung magnetisch steuerbare Wi-

Eine weitere Möglichkeit zur Flussmessung unabhängig vom
derstände (Feldplatten) verwenden. Werden sie von einem Ma-
zeitlichen Verlauf ist mit der bei der Messung der magnetischen
gnetfeld durchsetzt, nimmt ihr Widerstand R mit zunehmender

Flussdichte B beschriebenen Hall-Sonde möglich. Diese misst

Flussdichte B zu. Die Abhängigkeit ist nichtlinear.

zwar die magnetische Flussdichte B, wenn aber B auf der Flä-
che A konstant ist, erhält man ˚ durch Multiplikation mit der Die Feldplatte FP 30 N 60 E (Siemens) hat die äußeren Ma-

Fläche A (˚ D B A). Ist B nicht konstant auf A, teilt man die ße 3,2 mm 1,2 mm. Der Widerstand beträgt bei B D 0 etwa Fläche in kleine Teilflächen auf, misst die jeweilige Flussdichte

50 (; bei B D 0;3 T ist er auf den Wert 1;4 50 ( angestiegen,

B und summiert die erhaltenen Werte zum Gesamtfluss auf.

bei B D 1 T auf 550 (. Durch eine Wechsel-Vormagnetisierung
lassen sich Flussdichten im &T-Bereich messen. Der Wider-
stand ist ein reiner Wirkwiderstand, der nicht von der Richtung
des Magnetfeldes abhängt.

80.10.2

Magnetische Flussdichte

Die magnetische Flussdichte B wird zunehmend mit der Hall-

80.10.3

Magnetische Feldstärke
sonde gemessen (Abb. 80.24). Der Strom I durchfließt ein

Plättchen der Dicke d, wobei d klein ist gegenüber der Länge
und der Breite. Das Plättchen wird senkrecht in der einge-

In Materialien, in denen die Permeabilitätszahl r konstant ist
zeichneten Weise von einem Magnetfeld mit der Flussdichte B

( ¤
r
f . i/), wird die magnetische Feldstärke dadurch bestimmt,

920

80 Messverfahren zur Messung elektrischer Größen
dass man die magnetische Flussdichte B mit einem der oben
a

R
genannten Verfahren misst und über die Beziehung B D

2

0 r

H die Feldstärke errechnet.

U
u t

2( )

In ferromagnetischen Materialien ändert sich die Permeabilitäts-

C

R 1
zahl r mit der Flussdichte B. Zur Messung nutzt man aus, dass
in parallelen magnetischen Kreisen die magnetische Spannung
i t

1( )

u t

1( )

gleich groß ist. Der eine Kreis ist der Kreis mit dem ferroma-
gnetischen Material, der andere parallele Kreis ein Luftkreis.

b

Wird in beiden Kreisen ein homogenes Feld erzeugt, bestimmt

B
man die Feldstärke im Luftkreis und hat damit gleichzeitig den

Wert für den anderen Kreis. Die Feldstärke im Luftkreis wird

N Neukurve

N
über die induzierte Spannung gemessen, indem von (80.55) und

B r

˚ D

B
magn. Remanenz

B A D H A Gebrauch gemacht wird.

r (Restmagnetismus)

H

H Koerzitivfeldstärke
c

H c

80.10.4

Permeabilität

Abb. 80.25 Messung der Hystereseschleife. a Messschaltung, b Hysterese-

Die magnetischen Eigenschaften ferromagnetischer Werkstof-
schleife
fe werden häufig durch die Magnetisierungskurven B D f . H/
beschrieben. Ändert man die Feldstärke periodisch zwischen
einem positiven und einem gleich großen negativen Wert, be-

Y-Verstärker des Oszilloskops zugeführt. Dieser Tiefpass wirkt
kommt man die Hystereseschleife nach Abb. 80.25.

dann als Integrierer mit einer Phasenverschiebung von nahe-
zu 90°, wenn seine Grenzfrequenz wesentlich geringer ist als

Im Teil a) ist die Messschaltung zu deren Aufnahme darge-
die Frequenz der den Transformator speisenden Spannung. Mit
stellt. Die magnetische Feldstärke H. t/ ist dem Strom i

D

1. t/ D

R 2

1 M( und C D 1 &F ergibt sich eine Grenzfrequenz von

I
m sin ! t in der Primärspule proportional. Dieser Strom wird als
etwa 1 Hz, und damit ist diese Bedingung bei einer Transforma-
proportionaler Spannungsfall u 1. t/ D i 1. t/ R 1 dem X-Verstärker
torspeisung mit 50 Hz erfüllt.

eines Oszilloskops zugeführt. Damit ist u 1. t/ D k H. t/. Die

T

Über die Messung der Scheitelwerte von B und H nach ei-

Flussdichte B. t/ wird über ˚. t/ ermittelt. Für die in der Sekun-
eil
nem der oben beschriebenen Verfahren kann auf der X- und
därspule induzierte Spannung u 2. t/ gilt nach (80.54): u 2. t/ D

Y-Achse eine Skalierung angebracht werden. Der dargestellten

X

N d˚. t/= dt. Für ˚. t/ D ˚ m sin ! t ergibt sich u 2. t/ D

Hystereseschleife lässt sich die flussdichteabhängige Permeabi-

N ! ˚

m
cos ! t D N ! Bm A cos ! t.

lität gemäß B D H entnehmen. Die von der Hystereseschleife

Zwischen B. t/ und H. t/ besteht aber noch eine Phasenverschie- eingeschlossene Fläche ist der für die Wirbelströme aufzubrin-
bung von 90°. Deshalb wird die Spannung u 2. t/ zunächst über genden Arbeit proportional. Weiterhin lassen sich die Koerzitiv-
einen Tiefpass aus R 2 und C geschickt und anschließend dem
feldstärke Hc und die Remanenzflussdichte Br ablesen.

Messverfahren zur Messung

81
nichtelektrischer Größen

Wilfried Plaßmann

X

81.1 Messaufnehmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923

Teil

81.2 Messverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 930

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

921

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_81

922

81 Messverfahren zur Messung nichtelektrischer Größen

Tab. 81.1 Vor- und Nachteile des elektrischen Messens nichtelektrischer Größen

Vorteile

Nachteile

Hohe Messgenauigkeit

Meist Hilfsenergie erforderlich

Große Empfindlichkeit

Manchmal höherer Preis

Meist geringe Rückwirkung auf den Messkreis (sowohl elektrisch als auch mechanisch)

Gute Anpassungsmöglichkeit an die Messgröße

Einfache Messwertübertragung über 2-Draht-Leitung oder drahtlos

Einfache Speicherung, Registrierung und Weiterverarbeitung

Grenzfrequenz der Messeinrichtung wesentlich höher als die der zu messenden Größe

Große Ausgangsleistung durch elektrische Verstärker möglich

Geringere mechanische Abmessungen möglich
konstanten Strom in eine auswertbare Spannungsänderung um-

Hilfsenergie
gesetzt werden. Das geschieht in einem weiteren Messglied.

Meßglieder

Manche Messeinrichtungen erfordern drei oder mehr Mess-
glieder, wie z. B. die Kraftmessung mit Dehnungsmessstreifen

Meßobjekt

Auswerter

(Abschn. 81.2.1). Die zu messende Kraft wird zunächst in ei-

Sensor

Umformer

Umformer

Ausgeber
ne Längenänderung, dann in eine Widerstandsänderung, diese

 ϑ

 R

 U 1

 U 2
γ
in eine Spannungsänderung und schließlich in einen Zeiger-
ausschlag umgesetzt. Ziel der Messtechnik ist es, bei aktiven

Meßgröße

Widerstands-

Brücken-

Spannungs-

Spannungs-

Meßwert

Temperatur thermometer
schaltung
verstärker
messer

Sensoren die nichtelektrische Energie direkt, also ohne Zwi-


schenschalten weiterer Energieformen, in elektrische Energie
ϑ

 R

 U 1

 U 2
c k1 = 
c
c

R
k2 =  U
k3 =
c k4 =
γ
umzusetzen. Bei passiven Sensoren versucht man, die Zahl der

1

 U 2

Messglieder so klein wie möglich zu halten. Am Ende der Mess-

 ϑ
c = c

· c · c · c
k k1
k2
k3
k4 =
γ
kette steht der Ausgeber, der das Signal zur Anzeige und/oder
zur Auswertung oder Weiterverarbeitung (Rechner) bereitstellt.

Abb. 81.1 Prinzip einer Messkette

Messglied, Messkettenkoeffizient: Die Eigenschaften der einzel-
nen Messglieder werden durch den Messgliedkoeffizienten cki
erfasst, der definiert ist als das Verhältnis von Eingangsgröße zu

Die elektrische Messung nichtelektrischer Größen gewinnt zu-

Ausgangsgröße. Das Verhalten der gesamten Messeinrichtung

T
nehmend an Bedeutung, da einerseits sehr leistungsfähige Mess-
eil
ergibt sich dann durch Multiplikation der einzelnen Messglied-
verfahren entwickelt worden sind und andererseits die Messda-
koeffizienten zum Messkettenkoeffizienten ck (siehe Beispiel 1).

X
tenverarbeitung auf elektrischem Wege in Rechnern geschieht
und damit die Umsetzung der nichtelektrischen Größen in elek-

Beispiel 1
trische Größen zwingend notwendig ist. In Tab. 81.1 sind einige

Vor- und Nachteile der elektrischen Messung nichtelektrischer

Temperaturmessung
mit

Widerstandsthermometer;

Größen gegenüber der nichtelektrischen Messung dargestellt.

Abb. 81.1 und Abschn. 81.1.1. R.#/ D R

0 .1 C ˛ # / D

In Abb. 81.1 ist eine Messeinrichtung zur Messung nichtelek-

R C

D

0

R 0 ˛ #; R.#/ R 0

R D R 0 ˛ #.

trischer Größen mit den verwendeten speziellen Bezeichnungen

Daraus
ergibt
sich
der

Messgliedkoeffizient
ck 1
dargestellt. Ein Teil der Begriffe wurde schon im Abschn. 75.1
mit ˛

D

4 103=°C und R

D

0

100 ( zu:

erläutert.

c

D

k 1

#= R D 1=. R 0 ˛/ D 2;5 °C=(.

Messkette: Die gesamte Messeinrichtung wird als Messkette

Wird R in einer Viertelbrücke gemessen, so gilt für ck 2

bezeichnet. Sie beginnt bei dem Messobjekt, dessen nichtelek-
mit U 1

U sp

R=.4 R/ (Näherungslösung, siehe
trische Größe, hier am Beispiel der Temperaturmessung darge-

Tab. 80.1; im Folgenden als exakte Beziehung verwen-

D

D

D
stellt, gemessen werden soll. Die Messgröße Temperatur wird
det): ck 2

R= U 1

4 R= U sp

40 (=V D

D
von einem Sensor oder Messaufnehmer erfasst, der das erste

40 m(=mV (mit U sp

10 V).

von mehreren Messgliedern ist. Der Sensor kann entweder aktiv

Ein eventuell erforderlicher Spannungsverstärker mit der
oder passiv sein. Ein aktiver Sensor setzt die thermische Energie

Ausgangsspannung U

D

2 ist gekennzeichnet durch ck 3
in elektrische Energie um. So steht beim Thermoelement ei-

U

D

D

1= U 2

1 mV=1000 mV („Verstärkung“ 1= ck 3
ne reale Spannungsquelle mit temperaturabhängiger Leerlauf-

1000).

spannung und Innenwiderstand zur Verfügung, der ein Strom
entnommen werden kann. Beim passiven Sensor wird eine elek-

Abweichend von Abb. 81.1 wird der Zusammenhang zwi-
trische Größe durch die nichtelektrische Größe beeinflusst (in
schen U 2 des Verstärkers und dem Strom Ii eines Zei-
ihrem Wert geändert), wie das bei den temperaturabhängigen
gerinstrumentes über c

D

D
k 4 zugeordnet: ck 4

U 2= Ii

Widerständen, beispielsweise Widerstandsthermometern, NTC-

1 mV=10 mA („Innenwiderstand“ c D
k 4

100 (). Schließ-
und PTC-Widerständen, der Fall ist. Der sich ändernde Wi-
lich werden Strom und Ausschlag über ck 5 erfasst:

derstandswert kann nicht direkt ausgewertet werden, sondern
c

D
k 5

10 mA=1 Skt.

muss erst über einen Spannungsteiler oder einen eingeprägten

81.1

Messaufnehmer

923
a

R

R

Den Zusammenhang zwischen der Temperatur und den

Ra

R

Skalenteilen erhält man durch Multiplikation der 5 Mess-
x
gliedkoeffizienten zum Messkettenkoeffizienten c

2
k :

1
a

1
c D

x
k
ck 1 ck 2 ck 3 ck 4 ck 5
l
c D

2
k

.2;5 ıC=(/ .40 m(=mV/ .1 mV=1000 mV/

1 Schleifer

.1 mV=10 mA/ .10 mA=1 Skt/

2 Widerstandsmaterial
auf Träger
c D
b
k

104 ıC=Skt

R

R

In Abb. 81.1 wird U
x

2 auf einen Spannungsmesser gege-

1 Schleifer
ben. Dann gilt c

D

D
k 4

U 2=, ck

#=.

1

2 Wicklung aus

Widerstandsdraht

Hinweise:

3

2

3 Träger

1. Die Messgliedkoeffizienten werden in der Regel auch
c
d
dann mit Einheiten angegeben, wenn sie dimensions-

I = 0

I = 0
los sind, siehe ck 3.

U

I

1

R

1

R

2. Teile oder Vielfache der Einheiten sind beliebig wähl-

R v

R

U
v
bar, sollten sich aber an der Praxis orientieren: c

D

2

U 2
k 4

1 mV=10 &A D 1 V=10 mA D 100 V=1 A. Hier ent-

R v

·
spricht die Angabe 1 mV/10 mA am ehesten den in der

U = U

2

1

U = I

R

R

2

1
v

Schaltung auftretenden Größen.

U ~ R ~ x

2
v
bzw. a

U ~ R ~ x

2
v
bzw. a

3. Die Bedeutung (Definition) eines Messglied- oder

Messkettenkoeffizienten lässt sich in der Regel an sei-

Abb. 81.2 Potentiometer. a Schichtpotentiometer, b Drahtpotentiometer,
c Auswerteschaltung mit Spannungsquelle, d Auswerteschaltung mit Strom-
nen Einheiten ablesen.

quelle

4. Auch wenn „Skt.“ (Skalenteile) keine Einheit ist, wur-
de sie hier zum besseren Verständnis verwendet.

J
ist vom Potentiometer her bekannt, wobei das Verändern
der Schleiferstellung entweder durch eine Drehbewegung

(Drehpotentiometer mit Teilwiderstand R˛, Abb. 81.2a) oder
eine Linearbewegung (Linearpotentiometer, „Flachbahnpo-

X

81.1

Messaufnehmer
tentiometer“ mit Teilwiderstand Rx, Abb. 81.2a, b) erfolgen
kann. Im einfachen Fall besteht der Widerstand aus einer

Teil

Zunächst werden die physikalischen Prinzipien einiger wichti-

Kohleschicht oder aus leitfähigem Kunststoff. Über einen
ger Aufnehmer aus messtechnischer Sicht dargestellt.

Schleifkontakt aus Metall wird der Teilwiderstand abgegrif-
fen.

Besonders
zuverlässig
sind

Drahtpotentiometer
nach

Abb. 81.2b. Allerdings können die über den Schleifer ab-

81.1.1

Ohm’sche Aufnehmer
gegriffenen Widerstandswerte nur stufig eingestellt werden.

Die messtechnische Erfassung des Widerstandswertes ge-
schieht entweder über einen Spannungsteiler (Abb. 81.2c),

Es werden Widerstände betrachtet, die im hier vorkommen-
eine Stromquelle (Abb. 81.2d) oder in einer Brückenschal-
den Frequenzbereich weder eine kapazitive noch eine induktive
tung (Abschn. 80.6.1, Tab. 80.1 und (80.16)). Hat das

Komponente besitzen. Der elektrische Widerstand R berechnet

Spannungsmessgerät (Abb. 81.2c, d) einen entsprechend
sich zu
hohen Eingangswiderstand ( I 0), besteht eine lineare
l
l

Beziehung zwischen Widerstandswert und zugeordneter

R D

D

(81.1)

Spannung. Damit kann man mit diesen Potentiometern Län-

A

A
gen und Drehwinkel erfassen.

l Länge des Leiters in m, A Querschnittsfläche des Leiters in m2,
elektrische Leitfähigkeit in 1=.( m/, spezifischer elektri-

Beispiel 2
scher Widerstand in ( m.

Ein Draht-Potentiometer mit R D 1000 ( besteht aus

Um den Wert des Widerstandes zu ändern, gibt es mehrere Mög-

N D 1000 Windungen. Dann kann der über den Schleifer
lichkeiten:

abgegriffene Widerstand in Stufen von 1000 (= N D 1 (

1. Ändern der Länge l: Über einen Schleifkontakt wird nur
eingestellt werden. Dabei wird angenommen, dass der
ein Teil des Gesamtwiderstandes R erfasst. Das Prinzip

924

81 Messverfahren zur Messung nichtelektrischer Größen

Tab. 81.2 Messung elektrischer und nichtelektrischer Größen durch Widerstandsänderungen

Einflussgröße

Widerstandsänderung

Temperatur T

R. T/ Widerstand bei der Temperatur T

R 0 Widerstand bei der Temperatur T 0, häufig 0 °C

Abhängigkeit des Widerstandes von der Temperatur:

1. R. T/ D R 0.1 C A. T T 0/ C B. T T 0/2/, gilt allgemein für metallische Leiter, z. B. Cu, Pt, Ni.

Näherung: R. T/ R 0.1 C A. T T 0//, für A wird hier auch ˛ verwendet.

A (bzw. ˛), B Materialkonstanten; A im Bereich C.3 : : : 6/ 103 K1, B im Bereich .1 : : : C10/ 106 K2;

Silizium-Temperatursensoren A 7;7 103 K1, B 19 106 K2; R 0 im Bereich .1 : : : 10/ k(.

2. R. T/ D R 0 exp. B.1= T 1= T 0//, gilt für spezielle Materialien, hier NTC-Widerstand, B Materialkonstante
in der Größenordnung 3000 bis 4000 K.

3. R. T/ D RN exp.˛. T TN//, gilt für spezielle Materialien, hier PTC-Widerstand, näherungsweise in
einem begrenzten, technisch ausgenutzten Temperaturbereich T

max

T TN gültig; Typenspektrum für

TN im Bereich von ca. 20 bis 350 °C und für RN im Bereich von ca. 1 ( bis 100 k(; ˛ Materialkonstante im

Bereich (0,1 . . . 0,7) K1 oder meist angegeben in der Form (10 . . . 70) %=K

Licht, hier Beleuchtungsstärke E

R. E/ D R 0. E= E 0/ ;

R. E/ Widerstand bei der Beleuchtungsstärke E; R 0 Widerstand bei der Beleuchtungsstärke E 0; Materialkon-
stante im Bereich 0,5 . . . 1,2

Kraft, hier mechanische relative Deh-

R= R D K l= l;
nung l= l eines elektrischen Leiters

K Materialkonstante, mit „ K-Faktor“ bezeichnet; bei Dehnungsmessstreifen (DMS) gilt: K 2 R= R relative

Widerstandsänderung des DMS; l= l relative Längenänderung von DMS und Werkstück, auf den der DMS
aufgeklebt ist

Magnetfeld, hier magnetische Fluss-

R D

B

R 0.1 C k B 2/;
dichte B

RB Widerstand bei der Flussdichte B; R 0 Widerstand bei der Flussdichte 0; k Materialkonstante, angegeben
wird meist RB= R 0, liegt bei B D 1 T im Bereich 5 bis 15; R 0 im Bereich ca. 10 ( bis 1 k(

81.1.2

Kapazitive Aufnehmer

Schleifer ideal von Windung zu Windung übergreift. Man
beachte, dass der relative Fehler durch diese Stufigkeit

Die Kapazität eines Plattenkondensators berechnet sich unter
dann besonders groß ist, wenn kleine Widerstandswer-

Vernachlässigung der Randeffekte nach der Formel
te abgegriffen werden und ein Widerstandswert genau

T
in der Mitte zwischen zwei abgreifbaren Werten einge-
eil

C D "

0

" r A= d

(81.2)

stellt werden soll. Die maximal mögliche Abweichung
zwischen Ist- und Sollwert beträgt ˙0,5 R= N, hier al-

X

" r Dielektrizitätszahl; A Plattenfläche in m2; d Plattenabstand in
so ˙0,5 (, unabhängig vom abgegriffenen Widerstands-
m.

wert. Der maximal mögliche relative Fehler nimmt also
mit abnehmendem abgegriffenem Widerstandswert zu. So

Hierin können " r, A und d verändert werden. Aus der sich dann
ergibt sich bei einem einzustellenden Widerstandswert
ändernden Kapazität kann bei bekanntem rechnerischem Zu-
von 20,5 ( ein relativer Fehler von ˙0,5 (=20;5 (
sammenhang die zu messende Größe bestimmt werden. Dies

˙2;4 %. Deshalb werden manchmal Potentiometer mit
sind in der Regel: 1. Längen oder Abstände, erfasst über d, 2.

einem Drehwinkel von 270° eingesetzt, wobei für die ei-

Drehwinkel, gemessen über A nach dem Prinzip des Drehkon-
gentliche Messung nur der Bereich von 180° bis 270°
densators, und 3. Füllstände in Behältern, erfasst über das von
ausgenutzt wird. Dadurch bleibt der Fehler durch die Stu-

Luft verschiedene " r des eingefüllten Mediums.

figkeit in vorgegebenen Grenzen.

J

Gemessen wird zunächst die Kapazität C nach Abb. 81.3 ent-
weder durch Erfassen des Spannungsfalls an dieser Kapazität
bei Speisung aus einer sinusförmigen Wechselstromquelle be-

2. Ändern von oder : Die elektrische Leitfähigkeit bzw. der kannter Frequenz oder durch Einfügen in eine Wechselstrom-
spezifische Widerstand kann durch Temperatureinwirkung
messbrücke. Die entsprechenden Formeln sind in Abb. 81.3

(Widerstandsthermometer, NTC-, PTC-Widerstände), Licht-
eingetragen. Zur Berechnung der Spannung U
in der Brücken-
d 0
einwirkung (Fotowiderstände), mechanische Dehnung oder
diagonalen wird (80.7) verwendet, wobei für die Widerstände

Stauchung (Dehnungsmessstreifen) und Magnetfeldeinwir-

R

D

D

1 bis R 4 die Wechselstromwiderstände Z

1= j! C

1

1 bis Z 4
kung (magnetfeldabhängige Widerstände) geändert werden

1= j! C 4 der als ideal angenommenen Kondensatoren eingesetzt

(Tab. 81.2).

werden. C 3 und C 4 sind hier gleich groß gewählt worden; sie

3. Ändern der Fläche A: Hier ist im Wesentlichen der bereits
können auch unterschiedliche Werte aufweisen und damit dem
im vorigen Abschnitt genannte und im Abschn. 81.2.1 näher

Messaufbau angepasst werden. Der mathematische Zusammen-
beschriebene Dehnungsmessstreifen zu nennen. Die relati-
hang zwischen der Kapazität C und der zu messenden Größe
ve Dehnung l= l eines elektrischen Leiters hat auch eine wird in die Skala analog anzeigender Messgeräte eingearbeitet
relative Flächenänderung zur Folge, die über die Querkon-
oder bei digital anzeigenden Messgeräten softwaremäßig be-
traktionszahl im „ K-Faktor“ erfasst ist.

rücksichtigt.

81.1

Messaufnehmer

925
a

A
μ 0 · μ r

C

C 3

U
r
sp

I

U d0

G

U

C

C

2

C 4
l
b

1

C – C

U = I ·

U

2
d0 = U sp
j c



2( C + C )

2

L

3

L
d
mit C = C

U = I ·

3

4
sp

U
j e e

I

0 r A
e · e
d0

U

0
r · A – C

G

2

L

U

L

C: Plattenkondensator
d

4

L

2

U d0 = U sp
e · e

0
r · A

2

+ C

(

(

2
d

L 2 – L

U = I · j L

C: Plattenkondensator
d0

U

=
sp

U

2( L 2 + L)

2
μ μ A N

0
r
t
mi

3

L = 4

L

U = I · j

Abb. 81.3 Messschaltungen für kapazitive Aufnehmer
l

2

N μ μ

0
r A

L 2 –
l
sp

U

2

N μ μ A

81.1.3

Induktive Aufnehmer

(

0
r

2 L 2 +

)

l

Spulen ideal

Die Induktivität L einer Spule nach Abb. 81.4a mit der Länge

Abb. 81.4 Induktive Aufnehmer. a Zur Berechnung der Induktivität, b Mess-
l, der Querschnittsfläche A D r 2 , der Windungszahl N und schaltungen
einem Material innerhalb der Spule mit der Permeabilität D

0
r berechnet sich für r l näherungsweise aus

L N 2

0 r

A= l

(81.3)

Licht ist der vom Auge wahrnehmbare Teil der Strahlung. Da
die von einer Lichtquelle ausgesendete Strahlung meist aus

N Windungszahl; r Permeabilitätszahl; A Spulenquerschnitts- einem Gemisch verschiedener Frequenzen und damit Farben be-
fläche in m2; l Spulenlänge in m.

steht, muss der optische Aufnehmer auf diesen Frequenzbereich

Im Gegensatz zu den kapazitiven Aufnehmern kann in der Pra-
abgestimmt werden; er muss dort seine größte spektrale Emp-
xis nur die Permeabilitätszahl
findlichkeit aufweisen.

r geändert werden, indem ein

X

Material mit ¤
r

1 mehr oder weniger tief in die Spule einge-

Zu den wichtigen optischen Aufnehmern zählen: Fotowider-
taucht wird. Die Möglichkeit, die Induktivität durch Abgreifen
stand (wurde bereits bei den ohmschen Aufnehmern behandelt),
von Teilwindungen über Schleifkontakte zu ändern, wird kaum

Teil

Fotodiode und Fotovervielfacher.

angewendet, da hierfür die Potentiometergeber besser geeig-
net sind. Die Messverfahren zur Messung der Induktivität L
nach Abb. 81.4b entsprechen denen der kapazitiven Aufnehmer.

81.1.4.1

Fotodiode

Die Ableitung von U
geschieht auf die gleiche Weise wie zu
d 0

Abb. 81.3b beschrieben. Es gilt L D

Sie kann entweder aktiv oder passiv betrieben werden

3

L 4. Induktive Aufnehmer
werden bevorzugt zur Messung von Längen bzw. Abständen

(Abb. 81.5). Die typische Kennlinie ist im Teil a dargestellt.

eingesetzt.

Zum Kennlinienfeld im IV. Quadranten gehört die Schaltung b,
in der die Fotodiode als aktives Element geschaltet ist. Der von
ihr gelieferte Strom ist der Beleuchtungsstärke E proportional.

Durch Einfügen eines Widerstandes R kann eine proportionale

81.1.4

Optische Aufnehmer

Spannung U

L

E abgegriffen werden. Nähert sich aller-
dings die Spannung über der Fotodiode ihrer Schwellspannung,

Einheiten für die lichttechnischen Größen sind das Lumen (lm)

wirkt dies wie eine parallel liegende Diode und ergibt die nach
und das Lux (lx).

rechts steil ansteigenden Kennlinienabschnitte. Im III. Quadran-
ten wird die Fotodiode mit der Schaltung nach Abb. 81.5c in

Ein Lumen ist die Einheit des Lichtstromes ˚, der die gesamte Sperrrichtung und damit passiv betrieben. Der Sperrstrom steigt
von einer Lichtquelle abgegebene Strahlungsleistung darstellt.

mit steigender Beleuchtungsstärke E, wobei der Zusammenhang

Ein Lux ist die Einheit der Beleuchtungsstärke E unter Berück-
zwischen Sperrstrom und Beleuchtungsstärke linear ist. Über
sichtigung der beleuchteten Fläche.

einen Widerstand R kann eine entsprechende Spannung UR er-
zeugt werden.

Beleuchtungsstärke E D Lichtstrom ˚ I

Fläche A

Beide Betriebsarten sind zur Messung der Beleuchtungsstärke E
lm

1 lx D 1

(81.4)

geeignet, wobei der passive Betrieb zwar eine Hilfsspannungs-
m2
quelle erfordert, aber durch die in Sperrrichtung vorgespannte

926

81 Messverfahren zur Messung nichtelektrischer Größen
a

U AK I AK

I AK
uA

60
b
c

II

40

I

I R

20

I L

R

U R

–5 –4 –3

–2

–1 0

0,1 0,2 0,3

0,5 V

+

U

U

–

AK

R

L

E V = 600 lx –20

1200 lx –40

E

1800 lx –60

V

III

IV

R = 10k

R = 10k

BPW 20

Abb. 81.5 Fotodiode. a Kennlinie, b aktive Betriebsart, c passive Betriebsart

Tab. 81.3 Eigenschaften von optischen Aufnehmern

Aufnehmer

Fotowiderstand

Fotodiode aktiv

Fotodiode passiv

Fotovervielfacher

Grenzfrequenz in Hz

102

103

108

102

Stromempfindlichkeit in µA=lx

102

101

101

105

Material

CdS

Si

Si

Sb, Cs

Max. spektrale Empfindlichkeit bei der Wellenlänge in mm 0,65

0,85

0,85

0,4

Temperatureinfluss auf die Messgröße

Groß

Mittel

Mittel

Sehr klein

Diode eine kleine Sperrschichtkapazität und damit eine hohe

1. Piezoelektrischer Effekt: Durch mechanische Verformung

Grenzfrequenz für Wechselgrößen von 10 . . . 100 MHz erreicht
tritt an den gegenüberliegenden Seiten eines Plättchens ei-
wird. In der aktiven Betriebsart erhält man nur wenige kHz.

ne Ladungsverschiebung und damit eine Polarisation auf

Teil

(Abb. 81.6a). Da der elektrische Widerstand der Materiali-
en sehr hoch ist ( > 1013 ( cm), hat eine Ladungsänderung

X

81.1.4.2

Fotovervielfacher

Q eine Spannungsänderung U gemäß Q D C U zur

Folge, wobei man diese Spannung über entsprechend ange-

Die Wirkungsweise besteht darin, dass Lichtquanten aus ei-
brachte Elektroden abgreifen kann. Damit ist die Spannung
ner fotoempfindlichen Kathode Elektronen (entsprechend einem
eine Funktion der Verformung oder der die Verformung be-

Strom iK) auslösen, die auf ihrem Weg zu einer ersten Anode
wirkenden Größe, z. B. einer Kraft. Die Ladungsänderung ist
beschleunigt werden, und zwar so, dass jedes Elektron beim
der Kraftänderung proportional.

Auftreffen mehrere Elektronen (Vervielfachungsfaktor n) aus-
löst. Diese Elektronen werden wiederum auf ihrem Weg zu einer

Q D k

I
p

F

)

F D Cp U= kp
zweiten Anode beschleunigt, wo sich die Vervielfachung wie-

derholt. Insgesamt sind bis zu k D 10 Anoden vorhanden, so
kp

.2 : : : 250/ 1012 A s=N

(81.5)

dass der Anodenstrom an der letzten Anode i D i

K
nk be-

Darin ist kp die piezoelektrische Konstante. Die durch ei-
trägt. Fotovervielfacher sind so empfindlich, dass sich bei einem
ne konstante Krafteinwirkung entstandene Spannung steht

Verstärkungsfaktor nk D 108 einzelne Lichtquanten nachweisen
allerdings nicht beliebig lange zur Verfügung, da sich die
lassen.

Ladungen über den endlichen Widerstand Ri des Piezoma-

Die für die Messtechnik wichtigen Eigenschaften der drei auf-
terials ausgleichen. Das elektrische Ersatzschaltbild zeigt
geführten Aufnehmer sind in Tab. 81.3 zusammengestellt. Der

Abb. 81.6b.

Temperatureinfluss wurde nur grob klassifiziert angegeben, da
er von der jeweiligen Beleuchtungsstärke abhängt.

a
b

F

81.1.5

Ladungsliefernde Aufnehmer

+ + + +
u
u

– – – –
i

R

C
i
p

Bei bestimmten Kristallen (z. B. Quarz oder Bariumtitanat) oder

F
organischen Polymeren (z. B. Polyvinylidendifluorid PVDF)

treten zwei Effekte auf.

Abb. 81.6 Piezoaufnehmer. a Aufbau b Ersatzschaltbild

81.1

Messaufnehmer

927

Beispiel 3

81.1.6.1

Thermoelemente

Verbindet man zwei elektrisch leitende, unterschiedliche Mate-

Ein Piezomaterial hat folgende Daten:

rialien nach Abb. 81.7a punktförmig miteinander und hat diese

Verbindungsstelle die Temperatur T
k D

M , so entsteht dort eine Ther-
p

1011 A s=N, Fläche A D 10 cm2, Dicke d D 1 mm,

D
mospannung ( Seebeck-Effekt).

1014 ( cm, " D
r

5, F D 10 N.

Daraus lassen sich folgende Größen berechnen:

Thermospannung

U D

th
k AB TM

(81.7)

Innenwiderstand R D
i
d= A D .1014 0;1=10/ ( cm
k AB Thermoempfindlichkeit der Materialien A und B in V=K
cm=cm2 D 1012 (.

oder mV=100 K; TM Temperatur der Verbindungsstelle.

Kapazität C

D

p

"0 " r A= d D .8;85 1012 5

Sie ist der Temperatur der Verbindungsstelle proportional. Die

103=103/ F D 44 pF.

Konstante k AB ist die Thermoempfindlichkeit und wird in der

Regel in mV/100 K angegeben. Die Indizierung gibt die Rich-

Ladung Q D k
p

F D 1011 10 A s D 1010 A s.

tung der Spannung, bezogen auf die Materialien A und B, an.

Spannung U D 1010 A s=44 pF D 2;27 V

Ist k AB positiv, hat Material A das positivere Potenzial gegen-
über Material B. In der Praxis bezieht man zur Angabe der

Entladezeitkonstante t D R

D
i Cp

1012441012 s D 44 s

Thermoempfindlichkeit die einzelnen Materialien ( x) auf das

Soll die Entladezeitkonstante durch ein angeschlossenes

Bezugsmaterial Platin (Pt) und gibt dann kx Pt an. Zur Bestim-

Spannungsmessgerät nicht wesentlich verringert werden,
mung von k AB bildet man die Differenz:

ist der Innenwiderstand des Spannungsmessgerätes grö-
k

D k
k
ßer als R

AB

A Pt

B Pt

(81.8)

i zu wählen. Häufig wird die zu messende

Spannung zunächst einem elektronischen Messverstärker

In der Praxis treten Thermospannungen grundsätzlich bei Tem-
mit entsprechend hohem Eingangswiderstand zugeführt
peratur differenzen auf. Insofern entspricht Abb. 81.7a nicht
und erst anschließend gemessen.

J
der Wirklichkeit. Vielmehr muss die entstehende Spannung
gemessen oder anderweitig ausgewertet werden. Dazu wird

2. Pyroelektrischer Effekt: Bei den genannten Materialien wird
an die zwei freien Enden nach Abb. 81.7b ein Messgerät
eine Polarisation auch durch Temperaturänderungen hervor-
angeschlossen, von dem angenommen werden soll, dass es
gerufen. Der formelmäßige Zusammenhang lautet:

einen durchgehenden elektrischen Kreis aus einem Material
besitzt (Beispiel: Drehspulmesswerk mit Cu-Zuleitungen, Cu-

Q D k
q

A T

(81.6)

Anschlussklemmen, internen Cu-Leitern, Cu-Drehspule). Dann
k
entsteht an jeder Verbindungsstelle zweier unterschiedlicher
q pyroelektrische Konstante in A s=(m2 K); A Fläche in m2;

X

T Temperaturänderung in K.

Materialien eine Thermospannung, deren Wert nach Gleichung

Dieser Effekt wird häufig bei den Bewegungsmeldern einge-

(81.7) eingesetzt wird. Die drei Teilspannungen werden zur

Teil
setzt. Eine sich nähernde Person bewirkt durch ihre Körper-

Gesamt-Leerlaufspannung U th0 addiert (Strom durch das Mess-
wärme eine Änderung der Umgebungstemperatur, die von
gerät zu Null angenommen).

dem pyroelektrischen Aufnehmer erfasst wird.

U

D

C

C

D

C

C

I
th0

U 1

U 2

U 3
k CA T 1
k AB T 2
k BC T 3

Beispiel 4
mit (81.8) folgt daraus

Eine 50 µm dicke Scheibe liefert mit k

D
q

2

U

D

C

C

th0

. k CPt k APt/ T 1

. k APt k BPt/ T 2

. k BPt k CPt/ T 3

104 A s=(m2 K), " D
r

50 und T D 1 K:

und nach einer Umformung und entsprechender Zusammenfas-

U D Q= C
sung

D k

q

A T=."0 " r A= d/ D kq T d=."0 " r/

U

D k

T

T

T

D
th0

C Pt. T 1

3/ C k A Pt. T 2

1/ C k B Pt. T 3

2/:

2 104 1 50 106=.8;85 1012 50/ V D 20 V

Sorgt man dafür, dass die beiden zum Messgerät führenden Ver-

Das Ersatzschaltbild ist gleich dem des Piezoaufnehmers
bindungsstellen die gleiche Temperatur besitzen, also T D

1

T 3
in Abb. 81.6b.

J
und wählt die für die Praxis anschaulichen Bezeichnungen T D

1

T D

D

3

TV als Temperatur der Vergleichsstelle und T 2

TM als

Temperatur der Messstelle, dann vereinfacht sich die Formel zu:

81.1.6

Thermische Aufnehmer

U

D

th0
k A Pt. TM

TV / C k B Pt. TV

TM/

Zu den wichtigsten thermischen Aufnehmern gehören tempera-

Schließlich wird unter Verwendung von (81.8) daraus:

turabhängige Widerstände (Ohm’sche Aufnehmer), pyroelektri-

U

D . k
k

T
sche Aufnehmer (Ladungsliefernde Aufnehmer) und Thermo-
th0

A Pt

B Pt/ . TM

V /

D

elemente.

k AB . TM

TV /

(81.9)

928

81 Messverfahren zur Messung nichtelektrischer Größen
a
c

Anschlußkopf

Material

Material

A

B

U

Anschlußklemme
th

Anschlußsockel
b

Haltering

T 2

Halterohr

U 2

Anschlagflansch

Material

Material

A

B

U 1 U 3
keramisches

T 1

T 3

Schutzrohr

Material

Material

V

C

C

Meßeinsatz

U

Nennlänge
th0
d

Anschlußkopf

Meßstelle

T V

Material

Material A

A
e

T M

Material C

T V I

Material

Material B

B

T

T M

V

V

Ausgleichsleitung

T V

Abb. 81.7 Thermoelemente. a Theoretisches Prinzip, b praktisches Modell, c Ausführungsformen, d Ausgleichsleitung, e Messschaltung Teil

Die Spannung U

th0 ist der Temperaturdifferenz TM

TV pro-

Tab. 81.4 Thermoempfindlichkeit geeigneter Thermoelement-Materialien
portional. Um die Temperatur TM messen zu können, muss die

X

Material x
kx Pt in mV=100 K

Temperatur TV bekannt sein. In der Praxis wird die Temperatur

Konstantan

3,47 . . . 3,04

TV der Vergleichsstelle durch z. B. „Eiswasser“ mit 0 °C (genau

Nickel

1,9 . . . 1,3

C0,01 °C) hergestellt und die zwei Verbindungsstellen in dieses

Platin

0,0

Eis-Wasser-Gemisch eingetaucht.

Kupfer

C0,75

In Abb. 81.7c sind zwei gängige Ausführungsformen von Ther-

Eisen

C1,9
moelementen zum Messen auch in Flüssigkeiten dargestellt.

Nickel-Chrom

C2,2

Um die Vergleichsstelle aus dem Anschlusskopf an einen ge-

Silizium

C42 . . . C50
eigneteren Ort zu verlegen, werden Ausgleichsleitungen nach

Abb. 81.7d verwendet, die aus dem gleichen Material wie das
eigentliche Thermoelement bestehen, aber billiger und flexibel

Beispiel
sind. Damit entstehen im Anschlusskopf keine Thermospannun-
gen.

Beispiel 5 Ein Thermoelement aus der Materialkom-

Der in der Messschaltung nach Abb. 81.7e fließende Strom
bination Eisen-Konstantan liefert bei einer zu messen-
berechnet sich aus I D U

C
den Temperatur T

D 800 °C und einer Temperatur
th0=. Ri

RI /, worin Ri der Innenwider-

M
stand des Thermoelementes und R
der Vergleichsstelle von T

D 0 °C eine Thermo-

I der des Messinstrumentes

V
ist. Der Innenwiderstand des Thermoelementes ergibt sich durch

Leerlaufspannung von U

D

th0

. k FeKonst/ . TM

TV /
den ohmschen Widerstand der Thermoelementanordnung.

5;2 .800 0/ K mV=100 K D 41;6 mV.

J

In Tab. 81.4 sind die Thermoempfindlichkeiten einiger Mate-
rialien gegenüber Platin eingetragen. Zwar sind theoretisch alle

Da die entstehenden Thermospannungen relativ klein sind, ist
elektrischen Leiter untereinander zu Thermoelementen zu kom-

Silizium ein bevorzugtes Thermoelementmaterial. Allerdings
binieren, aber nur wenige Paarungen erfüllen die in der Praxis
gibt es bei der Fertigung zur Zeit noch technologische Proble-
gestellten Forderungen: Die Verbindungsstelle muss schweiß-
me, die den Einsatz erschweren.

bar, die Schweißstelle muss über lange Zeit chemisch und
mechanisch stabil und die Thermoempfindlichkeit sollte so groß

Tab. 81.5 enthält häufig verwendete Materialkombinationen und
wie möglich sein.

deren Eigenschaften.

81.1

Messaufnehmer

929

Tab. 81.5 Eigenschaften häufig verwendeter Thermoelemente

Materialkombination A-B

Typ

Maximal messbare Temperatur in °C k AB in mV=100 K

Eisen-Konstantan

J
ca. 1800
ca. 5,2

Kupfer-Konstantan

T
ca. 1400
ca. 4,2

Nickelchrom-Nickel

K
ca. 1300
ca. 3,7

Platinrhodium-Platin, verschiedene Legierungen möglich R, S, B
ca. 1700 . . . 1800
ca. 0,6 . . . 1,1

U

Messverstärker mit entsprechend hohen Eingangswiderständen
ein.

G

B

Die Glaselektrode hat nur eine begrenzte Lebensdauer und muss
jeweils nach einigen Jahren ausgetauscht werden. Deshalb hat
man nach weiteren Messmöglichkeiten gesucht. Zurzeit sind

M
pH-Wert-Aufnehmer mit Feldeffekttransistor in der Entwick-
lung, die eine höhere Lebensdauer und die Zuverlässigkeit der

Glaselektrodenausführung haben.

G Glasmeßelektrode enthält

Flüssigkeit mit pH0

B Bezugselektrode

81.1.7.2

Aufnehmer zur Messung der

M Meßflüssigkeit mit pHx

Sauerstoffkonzentration

U Meßspannung

Erhitzt man Keramik aus Zirkonoxid (ZrO

Abb. 81.8 Messung des pH-Wertes mit Glaselektroden

2 ) und Yttriumoxid

(Y2O3) auf mindestens 350 °C, leitet sie Sauerstoffionen. Nach

Abb. 81.9a bringt man an den gegenüberliegenden Seiten po-

81.1.7

Chemische Aufnehmer
röse Platinelektroden an. Stehen die zwei Elektroden unter dem

Einfluss unterschiedlicher Sauerstoff-Partialdrücke p 1 und p 2, so
entsteht eine Spannung

Chemische Aufnehmer werden zunehmend für Messungen im

Zusammenhang mit Prozesssteuerungen und der Umweltmess-

D
technik eingesetzt. Hier sollen einige wenige vorgestellt wer-

U 0

0;05 T lg. p 2= p 1/ mV
in mV

(81.11)

K
den: pH-Wert-Messeinrichtung mit Glaselektrode, Aufnehmer
zur Messung der Sauerstoffkonzentration und Aufnehmer zur

T Keramiktemperatur in K; p 1; p 2 Partialdrücke in Pa oder bar.

Messung von Gaskonzentrationen allgemein.

Bei T D 800 K und p D 10 p

D

X

2

1 ergibt sich ein Wert von U 0

40 mV.

81.1.7.1
pH-Wert-Messeinrichtung mit Glaselektrode

Teil

Eine Sonderausführung ist die aus der Automobiltechnik be-

Der pH-Wert ist der mit 1 multiplizierte dekadische Logarith-
kannte Lambda-Sonde (Abb. 81.9b). Erhält der Motor genau
mus der Konzentration von HC-Ionen. Eine Lösung mit dem
soviel Sauerstoff, wie zur vollständigen Verbrennung des Kraft-
pH-Wert 7 ist neutral (z. B. Trinkwasser), ein pH-Wert < 7 kenn- stoffes erforderlich ist, so ist D 1; bei < 1 fehlt Sauerstoff,
zeichnet saure, ein pH-Wert > 7 alkalische Flüssigkeiten.

und man spricht von „fettem Gemisch“, bei > 1 ist zu viel

Den Aufbau einer Messsonde zeigt Abb. 81.8. Die Glaselek-

Sauerstoff und damit ein „mageres Gemisch“ vorhanden. Durch
trode G ist mit einer Flüssigkeit vorgegebener Wasserstoffio-

Verwendung des Platin-Katalysators hat man erreicht, dass sich
nenkonzentration pH
die Spannung an der Sonde im Bereich 0;9 1;1 sehr

0 gefüllt und nach unten hin so dünn,
dass eine gewisse Leitfähigkeit (Widerstand 107 : : : 1010 () zur stark ändert, nämlich von ca. 1 V auf 40 mV (Leerlaufkennli-

Flüssigkeit mit der gesuchten Konzentration pH
nie Abb. 81.9b: p ist der Partialdruck des thermodynamischen
x besteht. Die

1

Bezugselektrode B ist mit einer speziellen Salzlösung gefüllt

Gleichgewichtes).

und steht über das poröse Glasgefäß in relativ guter elektrischer

Verbindung mit der Messflüssigkeit. Für die sich einstellende

Spannung U pH ist folgender Zusammenhang gefunden worden:

81.1.8

Aufnehmer zur Messung von

Gaskonzentrationen allgemein

U

D

pH

2 104 T .pH
pH / V=K:

0
x

Mit T D 273 K, entsprechend 0 °C, folgt daraus

Abb. 81.10 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines Aufnehmers

U

D

der Firma Figaro. Durch den Heizdraht wird die Oberfläche
pH0

0;0546 .pH

/

0
pH x
in V

(81.10)

soweit erhitzt, dass die im Innern befindlichen Gase entwe-

Unterscheiden sich beide pH-Werte um 1 (pH0 > pH x), beträgt der oxidieren oder reduzieren und eine Elektronenverarmung
die Spannung 54,6 mV. Da der Innenwiderstand dieser Span-
oder Anreicherung bewirken. Damit ändert sich die Leitfähig-
nungsquelle im Bereich 107 : : : 1010 ( liegt, muss das Mess-
keit zwischen den Elektroden, und der Widerstand ist ein Maß
gerät zur Spannungsmessung einen wesentlich höheren Ein-
für die Gaskonzentration. Prinzipiell reagieren diese Aufneh-
gangswiderstand aufweisen. Deshalb setzt man häufig spezielle
mer auf Konzentrationsänderungen sowohl von reduzierenden

930

81 Messverfahren zur Messung nichtelektrischer Größen
a
b
p
p

Abgas

1

2

Pt-Elek-

1000

1,9·10–27

O

O
troden
p 1* in bar

1

2
mV

U 0

U 0

600

Pt

Pt

Luft

ZrO2

400

Y O

ZrO

2

3

2
keram. Schutzschicht

200

T>350°C
u 0

0

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4
λ
p 1* siehe Text

Abb. 81.9 Aufnehmer zur Messung der Sauerstoffkonzentration. a Prinzip, b Lambda-Sonde (nach Unterlagen Fa. Bosch): Aufbau und Leerlaufspannung
a
b

Luft

Elektrode

10

R

R 0

Methan

Heizdraht

1

Elektrode

Kohlenmonoxid
gesintertes

Isobutan

Keramikrohr

SnO2

Teil

Wasserstoff

0,1

Ethanol

X

500 1000 2000

5000 10000

Konzentration [ppm]

Abb. 81.10 Gassensor (Fa. Figaro). a Aufbau, b Kennlinie

Gasen wie H2, CO, CH4, Kohlenwasserstoffen und Alkoholen
von eingesetzten Verfahren handelt. Dabei wird das der Mes-
als auch von oxidierenden Gasen wie N2 und O2, so dass eine
sung zugrunde liegende Verfahren etwas ausführlicher gezeigt,

Widerstandsänderung nicht einem bestimmten Gas zugeordnet
um damit das Verständnis für hier nicht aufgeführte Verfahren
werden kann. Ändert allerdings nur ein Gas seine Konzentrati-
zu erleichtern.

on, während die der anderen vorhandenen Gase konstant bleibt,
lässt sich die Gaskonzentration messen. Nach diesem Verfah-
ren werden z. B. Räume mit Gasheizanlagen auf ausströmendes

81.2.1

Kraftmessung mit

Erdgas (CH4) überwacht.

Dehnungsmessstreifen (DMS)

Durch die erforderliche Heizleistung von einigen Watt sind die-
se Aufnehmer nicht für Batteriebetrieb geeignet. Wurde die

Die Messung von Kräften geschieht in der Mehrzahl der An-

Heizung unterbrochen, stellt sich erst nach einer Betriebszeit
wendungen mit Dehnungsmessstreifen, weil dieses Verfahren
von einigen Tagen der stabile Arbeitspunkt wieder ein. Even-
sehr genau und technisch ausgereift ist. Das Prinzip beruht dar-
tuell ist sogar eine Neukalibrierung erforderlich.

auf, dass ein Messkörper (z. B. ein Stab) durch die Einwirkung
einer Kraft (Zug oder Druck) eine Längenänderung erfährt.

Auf diesen Messkörper ist ein elektrischer Leiter aufgeklebt,

81.2

Messverfahren
der den Längenänderungen zwangsweise folgen muss. Dadurch
wird der Leiter länger und dünner oder kürzer und dicker und
ändert seinen elektrischen Widerstand. Der mathematische Zu-

Ergänzend zu den im Abschn. 80.1 „Messaufnehmer“ beschrie-
sammenhang zwischen der Widerstandsänderung und der Kraft
benen Messverfahren sollen hier einige weitere vorgestellt wer-
lässt sich für verschiedene Messkörper ableiten, das Ergebnis
den, wobei es sich um eine kleine Auswahl unter einer Vielzahl
wird im Folgenden angegeben.

81.2

Messverfahren

931
a

F

Für a), b), c) gilt:

K

, materialabhängi

2
g
t

DMS mi ε 0
µ = 0,3

1,4 DMS gedehnt
h

1

2 DMS gestaucht

4
b
x

6 ·x·F
l

1

R
ε = – ε =

=

0
u

2

( ) = ·

E·b·h
l 0
k

R
b
c
ε
ε
t

M

1

2

F

2

1
d

45°
ε

2

1

1
ε 2
t

M

DMS

DMS

A

Fläche

F
l

1

R

16(1+ μ)

l

1

R

– ε =

=

=

·
ε = M

=

=

·

2

A E

·
l

K

R

1
t

3

E· ·d
l

K

R
ε

–

= μ · ε
ε = –

1

2

2
ε 1
d

Abdeckung

Abdeckung
erankerung

V
räger

T
r

Meßgitte

V rstärkung
e

Anschlüsse
räger

T

Meßgitter

Anschlüsse

X

Teil
erankerung

V
e Meßgitterlänge
iv
akt
e Meßgitterlänge
iv
akt

DMS mit Drahtmeßgitter

DMS mit Folienmeßgitter

DMS-Rosette

Abb. 81.11 Anordnung von Dehnungsmessstreifen. a Einseitig eingespannter Stab, b Kraftmessdose, c Torsionsstab, d technische Ausführungen Dehnungsmessstreifen (DMS) werden nach Abb. 81.11d ent-teilungen. Der Zusammenhang zwischen der relativen Längen-
weder als Drahtgitter-DMS oder als Folien-DMS mit aufge-
änderung l= l des Messkörpers und damit des DMS und der
dampftem Messdraht in den Vorzugswerten 120, 350 und 600 (
relativen Widerstandsänderung R= R ist gegeben durch
hergestellt. Bestimmte Anwendungen erfordern einen geeig-

neten DMS-Aufbau; so dient beispielsweise die DMS-Rosette

R= R D K l= l D K " mit " D l= l

(81.12)

zum Messen von mehrachsigen mechanischen Spannungsver-

Formelzeichen siehe Text.

932

81 Messverfahren zur Messung nichtelektrischer Größen

K steht für K-Faktor. Sein Wert ist materialabhängig. Für me-
tordierter Stab zur Messung des Drehmomentes verwendet. In
tallische Leiter gilt K 2. Die maximale relative Dehnung "max

Tab. 81.6 sind die für diese Messkörper möglichen Anordnun-
beträgt für Metalle 103, damit man im elastischen Bereich
gen für DMS und die sich daraus ergebenden Spannungen Ud 0
bleibt. Daraus folgt die maximale relative Widerstandsänderung
aufgeführt. Dazu wurde in (80.7) für die Widerstände jeweils
zu 2 103. Um derart kleine Widerstandsänderungen mes-

R ˙
i

Ri, i D 1 : : : 4, eingesetzt. Häufig sind die Widerstän-
sen zu können, werden DMS in Brückenschaltungen eingesetzt.

de R

D

D

D

D
i gleich groß, d. h. R 1

R 2

R 3

R 4

R, weil die

Gleichung (81.12) gilt auch für den Fall, dass der Messkörper

Brückenschaltung dann die größte Empfindlichkeit besitzt und
gestaucht wird. Dann sind R= R und " negativ einzusetzen, damit maximales Ud 0 liefert. In Tab. 81.6 ist diese Dimensionie-Abb. 81.11b, c.

rung zugrunde gelegt. Für die genannten Messkörper gelten die
folgenden Beziehungen:

Ein Problem beim Einsatz von Dehnungsmessstreifen ist die

Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes. Bei ei-

1. Einseitig fest eingespannter Stab: Die Dehnung ist abhän-
ner Temperaturänderung von 1 °C errechnet sich die relative
gig vom Ort des Aufklebens, die Abhängigkeit ist in (81.13)

Widerstandsänderung von Kupfer mit ˛ D 4 103=K zu:

gegeben und in Abb. 81.11a erläutert.

R D R

C

0.1 C ˛ T / D R 0

R 0 ˛ T

D 6 x F

D I D e E

)

.

o
mit u
o

(81.13)

R R

D

D

0/= R 0

R= R 0

˛ T D .4 103=K/ 1 K
b h 2

D 4 103
o Spannung auf der Oberseite und u Spannung auf der Un-
terseite des Balkens in N=m2; F Kraft in N; b Balkenbreite in

Damit bewirkt eine Temperaturänderung von 1/2 °C die gleiche
m; h Balkenhöhe in m; x Aufklebeort der DMS, vom freien

Widerstandsänderung wie die maximal zulässige Dehnung "max.

Balkenende aus gemessen; " D l= l relative Dehnung oder

Um dennoch mit DMS sinnvoll messen zu können, wird folgen-

Stauchung; E Elastizitätsmodul in N=m2.

dermaßen verfahren:

D
u
o gilt nur für den Fall, dass die DMS oben und unten

Erstens wählt man als Material für die DMS Konstantan mit ˛ <
genau untereinander aufgeklebt sind.

j105 K1j, und zweitens verwendet man in der Brückenschal-

Ein Sonderfall ergibt sich, wenn der Balken nur von oben
tung zwei oder vier DMS. Beim Einsatz von zwei DMS spricht
oder nur von unten zugänglich ist. Dann kann man zwei
man von einer Halbbrücke, bei vier DMS von einer Vollbrücke.

DMS aufkleben, die in der Brückenschaltung diagonal ange-

Die zwei DMS in der Halbbrücke werden „untereinander“ an-
ordnet werden müssen. Diese Anordnung ist weder tempe-
geordnet. Da sich deren Widerstände – gleiche Temperatur
raturkompensiert noch liefert sie eine lineare Abhängigkeit

T
zwischen U
eil
vorausgesetzt – gleichsinnig mit der Temperatur ändern, wird
d 0 und R= R. Einziger Vorteil: Die Spannung
die Spannung in der Brückendiagonalen von Temperaturände-

Ud 0 ist doppelt so groß wie beim Einsatz nur eines DMS.

X
rungen unabhängig. Natürlich muss man dafür sorgen, dass ein

Bei der Vollbrücke müssen die zwei DMS oben genau ne-

DMS gedehnt, der andere gestaucht wird, da sich andernfalls
beneinander angeordnet werden, und die zwei DMS unten
auch die Nutzsignale aufheben würden. Durch die gegensin-
müssen sich genau unter den zwei oberen befinden, damit
nigen Widerstandsänderungen der DMS erhält man bei der
gleiche Dehnungen oder Stauchungen erfolgen und die be-

Halbbrücke weiterhin ein größeres Ausgangssignal gegenüber
rechnete Abhängigkeit gültig ist.

dem Einsatz von nur einem DMS. Sind außerdem die Wi-

2. Kraftmessdose: Bei Dehnung (C") oder Stauchung (")

derstandsänderungen bei Dehnung und Stauchung gleich groß
eines Zylinders in Längsrichtung findet gleichzeitig eine

(C R und R), ergibt sich ein linearer Zusammenhang zwi-

Umfangsabnahme ( U= U) oder -zunahme (C U= U) in
schen der Widerstandsänderung und der Spannung U

Querrichtung statt. Beide haben entgegengesetztes Vorzei-
d 0 in der

Brückendiagonalen. Man wird deshalb die Halbbrücke der Vier-
chen und sind über die Querkontraktionszahl D 0;3
telbrücke vorziehen. Kann man Dehnung und Stauchung nicht
miteinander verknüpft: U= U D 0;3 ". Kraftmessdosen
gleichzeitig mit zwei DMS erfassen, wählt man trotzdem zwei
werden als Vollbrücke aufgebaut und sind damit temperatur-

DMS, von denen einer die Dehnung oder Stauchung erfasst, der
kompensiert. Die Abhängigkeit zwischen R= R und Ud 0 ist
andere als „Dummy“ in innigem Wärmekontakt zum messenden
wegen ¤ 1 nichtlinear.

DMS steht, aber nicht aufgeklebt wird. Er besorgt dann lediglich

Der Zusammenhang zwischen " und der Kraft F ergibt sich
die Temperaturkompensation.

mit dem Hooke’schen Gesetz und der Beziehung „Spannung
gleich Kraft pro Fläche“ zu

Bei der Verwendung von vier DMS in einer Vollbrücke gelten
die gleichen Aussagen wie bei der Halbbrücke mit dem Zusatz,

F
dass die Spannung in der Brückendiagonalen nochmals größer

" D

D

(81.14a)

E

A E
ist, maximal doppelt so groß, wenn C R und R gegeben
sind. Die Anordnung der DMS ist in der Brückenschaltung so

E Elastizitätsmodul in N=m2; A Fläche des Zylinders in m2;
zu wählen, dass sich die zwei gestauchten diagonal gegenüber-

F Kraft in N.

liegen, ebenso die zwei gedehnten.

Darin ist A die Querschnittsfläche des Voll- oder Hohlzylin-

Als Messkörper (Abb. 81.11a–c) werden in der Regel ein einsei-
ders. In der Regel werden Hohlzylinder verwendet, da sie
tig fest eingespannter Stab, ein in Längsrichtung mit einer Kraft
gegenüber Vollzylindern bei gleicher Querschnittsfläche ei-
beaufschlagter Zylinder, auch Kraftmessdose genannt, und ein
ne größere Stabilität aufweisen.

81.2

Messverfahren

933

Tab. 81.6 Messkörper mit Dehnungsmessstreifen
einseitig eingespannter Stab

F

R

1

+ Δ R 1

3

R

Δ R

U

U

= –U
sp

U
d0
sp 2 R

R
d0

− Δ R

R

2

4

2

F

R

1,4

+ Δ R 1

3

R− Δ R

Δ R

U

U

= –U
sp

U
d0
sp R

R
d0

− Δ R

R+ Δ R

2

4

2,3

R

1,4

+ Δ R 1

3

R

Δ R

U

U

= –U
sp

U
d0
sp 2 R + Δ R

R
d0

R + Δ R

2

4

F

Kraftmeßdose

1

2

4

3

R + μ Δ

· R

1

3

R − Δ R

Δ R(1+ μ)

U

U

= –U
sp

U
d0
sp 2 R + Δ R( μ–1)

R
d0

− Δ R

R + μ Δ

· R

2

4

Mantelabwicklung

Torsion

M t

2

3

R

1

+ Δ R 1

3

R − Δ R

Δ R

U

U

= –U
sp

U
d0
sp R

4

R
d0

− Δ R

R + Δ R

2

4

X

Teil

3. Tordierter Stab: Die relative Widerstandsänderung R= R 81.2.2

Füllstandsmessung und Messung der
hängt mit dem Torsionsmoment Mt wie folgt zusammen:

Foliendicke

R D K M 16 .1 C /
t

(81.14b)

R

E d 3

Das Prinzip beruht darauf, dass das Dielektrikum Luft eines

Plattenkondensators durch einen Stoff mit " r > 1 verdrängt
wird. Damit ändert sich die Kapazität der Gesamtanordnung.

K K-Faktor ( K 2); Querkontraktionszahl ( D 0;3); Abb. 81.12 zeigt zwei Modelle. Das erste dient zur Messung

E Elastizitätsmodul in N=m2; d Torsionsstabdurchmesser in
der Füllstandshöhe, das zweite zur Messung der Foliendicke von
m; Mt Torsionsmoment in N m.

Kunststofffolien.

Bei der gezeigten Anordnung von 4 DMS sind deren Deh-
nung und Stauchung entgegengesetzt gleich groß, so dass

In der Praxis hat sich bewährt, die relative Änderung der Kapa-
sich ein linearer Zusammenhang zwischen R= R und Ud 0
zität C= C 0 in Abhängigkeit von der gesuchten Füllstandshöhe
ergibt.

h oder Foliendicke d anzugeben. Dabei ist C 0 die Kapazität für

Da die Spannung in der Brückendiagonalen bei allen drei
h D 0 oder d D 0. Die angegebenen Formeln sind entsprechend
aufgeführten Messkörpern maximal einige mV beträgt, ver-
dargestellt.

wendet man häufig zur Speisung der Brücke eine sinus-
förmige Wechselspannung mit 420 Hz oder 10 kHz. Dann

1. Füllstandsmessung: Es wird ein rechteckförmiger Behälter
kann zur Messung der Brückendiagonalspannung ein selek-
verwendet, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten mit Folie
tiver Wechselspannungsverstärker mit phasenempfindlichem
beklebt oder bedampft sind und bei einem elektrisch leiten-

Gleichrichter eingesetzt werden, so dass Messfehler durch
den Schüttgut oder einer elektrisch leitenden Flüssigkeit mit

Störeinflüsse verringert werden.

einer Kunststoff-Isolierschicht versehen sind. Von Vorteil

934

81 Messverfahren zur Messung nichtelektrischer Größen
a
b
n
ondensatorplatte

K

Fläche A
ε r = 1
ε r = 1

D
d

H
ε r

1

>
h
ε r > 1
l
b
ε ·H l

·
ε ·A

0

0

C =

(

C

=

= 0)

C =

(

C

=

= 0)

0
h
b

0
d

D



C

C =
h

–

( > 0) C

C =

0



C d

–

( > 0)

0

C

= ε ε ·h·l

0 r

+ ε
h

H –

(

·

) l

0

– ε ·H·l

0

= ε ·A

0

·
ε

(

1)

–

·d
r
b
b
b

D
d

–

(1 ε r) +
ε r D

= ε ·l

0

·h

( C( d

>0): Reihenschaltung zweier
ε

( r 1)

–
b
ondensatoren)

K

C

 = h ( ε

C


ε

1

–
r
r – 1)

=

H
d

–

(1 ε

0

C

0

C
r) + ε r D

Abb. 81.12 Kapazitive Verfahren zur Messung von a Füllstand, b Foliendicke

T
ist, dass die Messeinrichtung nicht in den Füllraum hinein-
pro Umdrehung mehrere Impulse erzeugt. Dann gilt folgender
eil
ragt und damit nicht beschädigt werden kann und auch den

Zusammenhang zwischen der Zahl der Impulse und der Dreh-

X

Füllvorgang nicht behindert. Ist die Oberfläche durch eine
zahl:

Kunststoffschicht abgedeckt, können auch agressive Medi-
en eingefüllt werden. Bei körnigem Schüttgut ist die obere

Impulszahl

N D n p t

(81.15)

Füllhöhe nicht eindeutig festgelegt, kann aber meist durch

Erfahrungswerte oder durch Glätten der Oberfläche ausrei-
chend genau erfasst werden.

N gezählte Impulse; n Drehzahl in min1; p Zahl der Impulse

2. Foliendicke: Man kann zeigen, dass die Kapazität der An-
pro Umdrehung; t Messzeit in min.

ordnung nicht davon abhängt, wo sich die Folie innerhalb der

Darin ist N die Zahl der in der Zeit t in einem elektronischen

Kondensatorplatten befindet. Die Dicke d der Folie wird über

Zähler gezählten Impulse, n die gesuchte Drehzahl in min1,
die Kapazität der Kondensatoranordnung gemessen und bei
p die Zahl der Impulse pro Umdrehung und t die Zeit in min,
einer Abweichung vom Sollwert entsprechend eingestellt,
während der die Impulse gezählt werden. Man wird zweckmä-
wenn sie sich auf dem Weg von der Spritzdüse zu der Aufwi-
ßigerweise p t so wählen, dass sich als Einheit 1 min ergibt,
ckelrolle befindet. Dabei darf die Folie nicht berührt werden,
denn dann entspricht die Zahl N der Drehzahl n. Setzt man vor-
da sie noch heiß ist und sich im Zustand der Vernetzung be-
aus, dass der Fehler der Messeinrichtung vernachlässigbar klein
findet.

ist, was in der Regel auch zutrifft, dann ergeben sich für p > 1
folgende Vorteile:

81.2.3

Drehzahlmessung

1. Die Drehzahl als Zahl N steht in weniger als 1 Minu-
te zur Verfügung und ermöglicht das Erfassen von Dreh-
zahl änderungen.

Die Drehzahl wird in min1 angegeben, die Drehfrequenz in

2. Bei unveränderter Messzeit steht die Drehzahl als Zahl N mit
s1. Zur Messung der Drehzahl kann im einfachsten Fall ein
einer höheren Stellenzahl und damit höherer Genauigkeit zur

Impuls pro Umdrehung erzeugt und die Zahl der Impulse für

Verfügung. Voraussetzung ist, dass sich die Drehzahl wäh-
genau eine Minute erfasst werden. Dieses Verfahren ist nur sinn-
rend der Messzeit nicht ändert.

voll, wenn sich die Drehzahl innerhalb der Messzeit 1 min nicht
ändert. Außerdem muss eine Minute gewartet werden, bis das

Es stehen Messeinrichtungen mit einem maximalen p von etwa

Messergebnis zur Verfügung steht. In der Praxis werden deshalb

5000 zur Verfügung (Abb. 81.13c).

81.2

Messverfahren

935
a
b
a
b

M

M

S

W
u

M Magnete

W Welle

S Spalte mit Eisenkernen

SM

SE RM

SM Schaltmagnet

RM Rücksetmagnet

SE

Sensorelement
c

Licht-
c
empfänger

Lichtquelle

Segmentscheibe

Prinzip einer

Segmentscheibe

Abb. 81.14 Durchflussmessung (nach Unterlagen Fa. Siemens (a, b) und Fa.

Abb. 81.13 Digitale Verfahren zur Drehzahlmessung. a Spannungsinduktion,

Orlicek (c)) a Flügelradzähler, b Woltmanzähler, c Ovalradzähler
b Fe-Blendenrad (nach Unterlagen Fa. VAC), c optische Verfahren

Der Vorteil der Verfahren nach Abb. 81.13a und b liegt dar-

Beispiel 6
in, dass sie sehr betriebssicher sind. Das gilt auch für das im

Abb. 81.13c dargestellte optische Verfahren. Als Lichtsender

Eine Drehzahl wird mit einem Geber mit p D 120 ge-
werden Leuchtdioden (LED) verwendet, und die Lichtempfän-
messen. Wählt man p t D 1 min, dann verringert sich
ger sind Fotodioden. Auf der Welle werden industriell gefer-

X
die Messzeit auf .1=120/ min D 0;5 s, und die Zahl N
tigte Kunststoffscheiben mit Kreissegmenten angebracht, bei
der Impulse entspricht der Drehzahl in min1. Auf diese
denen sich lichtdurchlässige und lichtundurchlässige Segmen-

Weise ist auch das Erfassen der Drehzahlerhöhung von
te abwechseln. Die Anzahl der auf einer Scheibe angeordneten

Teil

Motoren vom Einschaltmoment bis zum Erreichen der

Segmente kann bis zu maximal 10.000 (5000 lichtdurchlässige

Nenndrehzahl möglich. Beträgt die Messzeit andererseits
und 5000 lichtundurchlässige) betragen.

1 min, erhält man bei einer (konstanten) Drehzahl von

Die analogen Verfahren zur Drehzahlmessung, die u. a. nach

3000 min1 eine Anzeige N D 3000 120 D 360:000.

dem Prinzip des Wechselstromgenerators aufgebaut sind („Dy-

Hier wird man zweckmäßigerweise p D 100 wählen und
namoprinzip“), verlieren an Bedeutung, weil die Auswertung
erhält dann N D 300:000. Bei entsprechender Komma-
bzw. Anzeige auf digitalem Wege geschieht und der mechani-
setzung ergibt sich die Drehzahl n D 3000;00 min1. J
sche Verschleiß der Digitalverfahren geringer ist.

In Abb. 81.13 sind einige digitale Verfahren zur Drehzahl-

81.2.4

Durchflussmessung
messung dargestellt. Abb. 81.13a zeigt eine Anwendung des

Induktionsgesetzes. Nähert sich der Magnet der Spule, nimmt
der magnetische Fluss zu, beim Entfernen ab. Durch diese Fluss-

Bei den in Abb. 81.14 gezeigten Durchflussmessern ist der Mo-
änderungen wird eine Spannung in der Spule induziert, die
mentanwert der Drehzahl der Flügel- oder Turbinenräder dem
aber mit sinkender Drehzahl kleiner wird. Bei diesem Verfah-

Momentanwert der Menge des durchfließenden Mediums und
ren hat der Einsatz mehrerer Magnete auf der Welle noch den
damit seiner Geschwindigkeit proportional. Zur Bestimmung
zusätzlichen Vorteil, dass die durch einen Magneten entstehen-
des gesamten in einer gegebenen Zeit durchgeflossenen Medi-
de Unwucht bei mehreren Magneten verringert werden kann.

ums müssen die Momentanwerte der Drehzahl addiert werden,
d. h., es muss die Gesamtzahl der Umdrehungen erfasst werden.

Eine Weiterentwicklung zeigt Abb. 81.13b (nach Unterlagen der

Deshalb ist die Durchflussmessung verbunden mit einer Dreh-

Fa. Vakuumschmelze). Durch den Einsatz magnetfeldabhängi-
zahlmessung, wobei die erforderliche Summenbildung häufig
ger Schalter hängt die Signalhöhe nicht mehr von der Drehzahl
über ein mechanisches Zählwerk geschieht („Wasserzähler“ im
ab. Das entsprechend geformte Rad muss an oder auf der Welle

Haushalt). Beim Flügelradzähler werden die Flügel tangential
angebracht werden.

angeströmt, beim Woltmann-Zähler axial.

936

81 Messverfahren zur Messung nichtelektrischer Größen

B

E2

S1
c + v · cos α
v
c v

–

· cos α

V

F m
d
α

L

S2

E1

I

Abb. 81.16 Ultraschall-Durchflussmessung

U

Beispiel 7
v

B

Ein Dauermagnet erzeugt eine Flussdichte von B D

0;1 V s=m2; der Rohrdurchmesser beträgt d D 5 cm.

Bei einer Strömungsgeschwindigkeit des Mediums von

D 0;1 m=s ergibt sich eine Spannung von U D

Abb. 81.15 Durchflussmessung nach dem Prinzip der magnetischen Induktion

101 .Vs=m2/ 5 102 m 101 .m=s/ D 5 104 V D

500 &V. Für V 0 folgt daraus V 0 D .5 102 m =4/ .5

104 V=.101 V s=m2// D 1;96 104 m3=s.

J

Bei den Durchflussmessern nach dem Verdrängungsprinzip, wie
sie bei den Gasmengenzählern im Haushalt angewendet werden,
rollen zwei Ovalräder aufeinander und zur Messkammer hin ab

Die entstehenden Spannungen liegen im &V- oder mV-Bereich.

und schließen ein bestimmtes Volumen des Mediums ein (Oval-

Der Innenwiderstand dieser Spannungsquelle ist sehr groß
radzähler Abb. 81.14c). Wird die Zahl der Umdrehungen erfasst,

(Megaohm-Bereich). Deshalb sind geeignete Maßnahmen zur

T
ist auch das insgesamt durchgeströmte Volumen des Mediums

Störunterdrückung erforderlich.

eil
bekannt. Die Drehung der Ovalräder wird durch den Druck des
anströmenden Mediums auf das untere Rad im Abb. 81.14c

Bei der Ultraschall-Durchflussmessung nach Abb. 81.16 erzeu-

X
links bewirkt.

gen zwei Ultraschallsender (S1, S2) kurze Ultraschallimpulse,
die auf die zugeordneten Empfänger (E1, E2) gerichtet sind und

Beim Prinzip der magnetischen Induktion nutzt man die Kraft-
von diesen empfangen werden. c ist die Geschwindigkeit, mit
wirkung auf bewegte elektrische Ladungen Q im Magnetfeld
der sich der Ultraschall in dem im Rohr befindlichen Medi-
aus (Abb. 81.15). Sie ist durch F

D
um ausbreitet, wenn dieses ruht. Strömt das Medium mit der
m

Q v B gegeben, wobei

B und v senkrecht aufeinander stehen. Dann ist F

Geschwindigkeit v durch das Rohr, breiten sich die Schallwel-
m wiederum
senkrecht zu B und v. Die magnetische Flussdichte B wird
len vom Sender S1 langsamer als mit c aus. Der genaue Wert
durch einen von außen angebrachten Magneten erzeugt. Die er-
ergibt sich aus c

D

1
c v cos ˛. Entsprechend folgt für
forderlichen elektrischen Ladungen Q stehen bei Flüssigkeiten
die Geschwindigkeit der von S2 ausgesendeten Schallimpulse
durch die meist vorhandene Dissoziation in Form von Ionen
c D

2
c C v cos ˛. Mit der Entfernung L der zwei Sender und
zur Verfügung. In die Wand des Rohres werden an zwei ge-

Empfänger voneinander folgt für die Laufzeiten
genüberliegenden Stellen elektrische Kontakte in das elektrisch
nichtleitende Rohr eingebracht, an denen die Spannung abge-

L

L
t D

I

D

1
t 2
griffen wird. Die elektrische Kraft ist durch F D
c v cos ˛
c C v cos ˛

(81.17)

e

Q E D Q U= d
gegeben. Es gilt F D
m

Fe und damit v D U=. B d/. Der Durch-
fluss, also das pro Zeiteinheit durchströmende Volumen V 0 in

Die Laufzeitdifferenz berechnet sich zu
m3=s errechnet sich bei gegebener Strömungsgeschwindigkeit n
v cos ˛
und der Fläche A aus V D v A D v d 2 =4. Dann folgt für das
t

D

1
t 2

2 L c 2 v 2 cos2 ˛

(81.18)

pro Zeiteinheit durchströmende Volumen V 0:

In Flüssigkeiten kann der Term v 2 cos2 ˛ in (81.18) vernachläs-

V 0 D . d 2 =4/ . U=. B d// D . d =4/ . U= B/

(81.16)

sigt werden, so dass sich als Näherungslösung ergibt
d Rohrdurchmesser in m, U gemessene Spannung an den Elek-
v cos ˛
t 2/
t

)

1
t 2

2 L
v c 2. t 1
troden in V, B magnetische Flussdichte in V s=m2.

c 2

2 L cos ˛

(81.19)

81.2

Messverfahren

937
a

Eingangs-

Zeit

Meßsignal schaltung

X1 Start-

X2

X4

Anzeige

(Verstärker,

Stop

&

Zähler
f x

Filter ...)

t

Frequenz
x

X3

Steuer-

Frequenz

Zeit
ung
b

Start

Stop

X1

Frequenz-

Normal-
teiler
frequenz-

0,1Hz
generator

X2

1Hz

10MHz

10Hz

X3

X4

Abb. 81.17 Zeit- und Frequenzmessung. a Prinzip, b Ablaufdiagramm

Das Messergebnis hängt allerdings noch von der Schallausbrei-
wird zunächst einer Eingangsschaltung zugeführt, die den Span-
tungsgeschwindigkeit c ab. Um diese Abhängigkeit auszuschal-
nungswert an die Erfordernisse der nachfolgenden Torschaltung
ten, hat man z. B. die Ansteuerung der Ultraschallsender so
anpasst. Sie enthält einen Abschwächer für große Signalampli-
gewählt, dass ein Schallimpuls, von S1 ausgesendet und von
tuden, einen Verstärker für kleine Signalamplituden und eine

E1 empfangen, sofort wieder von S2 ausgesendet wird, von E2

Signalformerstufe. Letztere wandelt das Eingangssignal in ein
empfangen und unverzögert von S1 ausgegeben wird. Für die
rechteckförmiges Signal mit gleicher Frequenz um. Weiterhin

Frequenzen f 1 und f 2 der Sender S1 und S2 folgt
können frequenzselektive Filter zugeschaltet werden, die uner-

X
wünschte Störfrequenzanteile ausfiltern. Außerdem kann häufig
c v cos ęin Gleichanteil im Messsignal durch einen Kondensator unter-
f D 1 D

I

1
t 1

L
drückt werden (entsprechend den Schalterstellungen AC oder

Teil

DC beim Oszilloskop). Die Torschaltung besteht aus einem
f D 1 D c C v cos ˛ I

2

(81.20)

t

UND-Glied und lässt das Signal mit der Frequenz fx für die von

2

L
der Zeiteinheit vorgegebene Zeit passieren. Die Impulse werden

Aus der Differenz dieser zwei Frequenzen
vom Zähler gezählt. Nach Schließen des Tores wird der Zähler-
stand in die Anzeige übernommen und sichtbar gemacht. Wählt
man als Torzeit nicht eine Sekunde, sondern dekadische Teile
f

D 2 v cos ˛

2
f 1

(81.21)

L
oder Vielfache davon, muss in der Anzeige lediglich das Kom-
ma entsprechend gesetzt werden. Je kürzer die Torzeit gewählt
ergibt sich für die Strömungsgeschwindigkeit v unabhängig von
wird, desto schneller steht das Messergebnis zur Verfügung, al-
der Schallgeschwindigkeit c
lerdings mit verminderter Stellenzahl, da in der vorgegebenen

Zeit weniger Zählimpulse in den Zähler gelangen. Für genaue

L
v D

. f

Messungen wird man deshalb Torzeiten von z. B. 10 s wählen.

2
f 1/

(81.22)

2 cos ˛

Die Steuerung hat innerhalb eines Messzyklus hauptsächlich
folgende Aufgaben: Setzen des Zählerstandes auf Null; Öffnen

81.2.5

Zeit- und Frequenzmessung
der Torschaltung für die eingestellte Zeit (. . . ; 0,1 s; 1 s; 10 s;

. . . ); Speichern des aktuellen Zählerstandes für die Anzeige in
einem Anzeigespeicher; Ansteuerung der Anzeigen im meist

Die Messung der Zeit und der Frequenz geschieht auf digitalem
verwendeten Multiplexverfahren; Ansteuerung eines weiteren

Wege, wobei die Messeinrichtung die Messung von Zeit und

Zählers zur Bereitstellung der Torzeit.

Frequenz ermöglicht. Das Prinzip ist in Abb. 81.17 dargestellt.

Die Torzeit wird dadurch gewonnen, dass ein Quarzoszillator

Ein Normalfrequenzgenerator stellt die Zeiteinheit in Form ei-
auf einer relativ hohen Frequenz von 1 MHz oder 10 MHz
ner Sekunde oder dekadischer Teile oder Vielfache davon dar.

schwingt. Diese Oszillatoren sind sehr frequenzstabil, wenn

Das periodische Signal mit der zu messenden Frequenz fx
man die beiden wesentlichen Einflussgrößen „Temperatur“ und

938

81 Messverfahren zur Messung nichtelektrischer Größen

„Alterung“ so weit wie möglich ausschaltet. Die Temperaturab-
a
hängigkeit der Frequenz von j˙105 K1j kann durch Wahl

R

R

R
einer optimalen Schnittebene für den Quarz und durch Einbau in
a

R x
einen Thermostaten weiter verringert werden. Zur Herabsetzung

1

2
der Frequenzänderung infolge Alterung von j˙105 a1j wer-
a

1
den die Quarze dadurch künstlich gealtert, dass man sie etli-
x
chen Temperaturzyklen aussetzt. Zahl, Temperaturendwerte und
l

2

Dauer dieser Zyklen sind Erfahrungswerte und werden von den

1 Schleifer

Firmen i. Allg. nicht veröffentlicht. Ein Zyklus kann so ausse-

2 Widerstandsmaterial
hen: Durchfahren des Temperaturbereiches von 20 °C bis 80 °C
auf Träger
und zurück mit einer Dauer von 2 bis 4 Stunden, und das insge-

R x

R

R

R
samt 20mal.

Die Frequenz des Quarzoszillators wird über einen Zähler aus

0

0
mehreren Zähldekaden geteilt, wobei z. B. eine Frequenz von
x
a
l

270°

1 Hz einer Periodendauer von 1 s entspricht und diese dann
zur Öffnung der Torschaltung verwendet wird. Andere Tor-
b
öffnungszeiten werden durch Zu- oder Abschalten einzelner

Fläche A

Fläche A

Zähldekaden erreicht.

1

C 0

3

U sp

Die Messung von Zeiten oder Periodendauern geschieht da-
ε
d
d

U d0
durch, dass das Eingangssignal mit der zu messenden Perioden-

C 0

2
dauer tx mit der ersten positiven Flanke die Torschaltung öffnet
und mit der folgenden wieder schließt. Während das Tor ge-

C

1,2 ortsfeste Platten
öffnet ist, zählt der Zähler die Impulse des Quarzoszillators (1

3
bewegliche Platte
oder 10 MHz). Damit ist sein Zählerstand der Periodendauer

U
x

= – U
d0
sp d
t

C
x proportional. Es ist deshalb wichtig, dass die Frequenz des
d

Quarzoszillators möglichst hoch ist, damit der Zähler auch bei
kleinen Periodendauern im ms-Bereich noch ausreichend Im-
c
pulse zählen kann und so eine möglichst hohe Auflösung des

0

L
x

Messwertes möglich ist.

U

T
d0
eil

Frequenzen > 10 kHz und Periodendauern > 1 ms sind mit ei-
nem Zähler mit einer Quarzfrequenz von 10 MHz und einer

L

0
μ
x
r

1

X

Torzeit von 1 s mit 4 oder mehr Stellen messbar. Hat das zu

L

= L( x

)

messende Signal dagegen Frequenzen < 10 kHz oder Perioden-

= L( μ = 0
μ )

dauern < 1 ms, ergibt die Anzeige weniger als 4 Stellen. Dann
sollte man zur Frequenzmessung auf die Periodendauermes-

U d0
sung und zur Periodendauermessung auf die Frequenzmessung

R 0
x
übergehen. Die gewünschte Größe ergibt sich dann über eine

U d0

U sp

Rechnung aus der Beziehung f D 1= T. Komfortable Zähler

0

0
x
wenden dieses Verfahren bereits automatisch an.

R 0

Abb. 81.18 Weg- und Winkelmessung: Prinzip und Kennlinie von a ohmschen,

81.2.6

Weg- und Winkelmessung
b kapazitiven, c induktiven Aufnehmern

Mit den im Abschn. 81.1 vorgestellten ohmschen, kapazitiven
pazität sowohl durch eine wegproportionale Abstandsänderung
und induktiven Aufnehmern können auch Wege (Abstände) und
als auch durch eine wegproportionale Flächenänderung variiert.

Drehwinkel gemessen werden.

Verwendet man einen Differentialkondensator und misst die

In Abb. 81.18 ist das jeweilige Messprinzip gezeigt. Wenn mög-

Kapazitätsänderung in einer Wechselstrom-Brückenschaltung,
lich, werden Differentialausführungen verwendet, da die Kenn-
erhält man einen linearen Zusammenhang zwischen Weg- und
linie einer angestrebten linearen Abhängigkeit nahe kommt.

Kapazitätsänderung. Auch die induktiven Differentialausfüh-
rungen werden zum Messen in Brückenschaltungen eingefügt.

Für die resistiven Wegaufnehmer stehen Ausführungen von
einigen mm bis zu einem Meter zur Verfügung. Die Winkelauf-

Für die Wechselstrom-Messbrücken werden Frequenzen im
nehmer werden auch für Winkel bis zu 360° gefertigt. Bei den
kHz-Bereich verwendet, um den Einfluss von Oberschwingun-
induktiven Wegaufnehmern lässt sich erkennen, dass die Kenn-
gen der 50-Hz-Energieversorgung klein zu halten. Außerdem
linie der Differential-Ausführung bereichsweise nahezu linear
lassen sich Filterschaltungen zur Messung der Spannung in der
ist und außerdem positive und negative Wege vom Bezugspunkt

Brückendiagonalen mit kleineren Bauelementewerten realisie-
aus messbar sind. Bei den kapazitiven Aufnehmern wird die Ka-
ren.

81.2

Messverfahren

939
x = 0

0

1

2

3
x

4
x ma

16

5
x max

10

31

31

6

26 x

7

31 max
x = 0
x

8
max
x max

9

10000

11010

10

20

31

11

Wegaufnehmer, binär koordiniert

12

13

001011

14

11

15
α =

· 360°

63

16

17

18

19
α = 0

20

000000

Wegaufnehmer

21

111111

Gray-kodiert

22
α = 360°

23

24

25

26

45

27

101101 α =

· 360°

63

28

29

Winkelaufnehmer, binär koordiniert

30
x max

31

Abb. 81.19 Kodierte Weg- und Winkelaufnehmer

Bei den kodierten Weg- und Winkelaufnehmern ist jeder Weg-
von r C r=4 zueinander haben. Trifft das Maximum von u 1
länge oder jedem Drehwinkel ein eindeutig kodiertes digitales
mit einer ansteigenden Spannung u 2 zusammen, bewegt sich der

Signal zugeordnet (Abb. 81.19).

Gegenstand nach rechts, bei einer Linksbewegung trifft das Ma-

X
ximum von u 1 mit einer abfallenden Spannung u 2 zusammen.

Diese Signale haben den Vorteil, dass sie auch in einer gestör-
ten Umgebung eine weitgehend sichere Messsignalübertragung

Zur Festlegung des Bezugswertes für den Weg ( x D 0) muss der

Teil
gestatten. Außerdem steht das Signal in einer für die Weiter-

Gegenstand in eine vorgesehene Position gebracht und der Zäh-
verarbeitung in einem Rechner geeigneten Form zur Verfügung.

ler auf Null gesetzt werden. Auf die Streifen lassen sich Raster

Auch der Messaufbau ist relativ störunanfällig. Für die Kodie-
mit einem Abstand von minimal einigen mm aufbringen. Damit
rung der Scheiben wird häufig nicht der Binärcode verwendet,
sind auch Wegmessungen bis zu dieser Größenordnung herab
der eine eindeutig zugeordnete Stellenwertigkeit aufweist, son-
möglich.

dern der Gray-Code, bei dem sich zwei benachbarte Codewörter
nur in einer Stelle unterscheiden. Da die einzelnen Kodierungen
bei Weg- oder Winkeländerungen nacheinander überstrichen

81.2.7

Beschleunigungsmessung
werden, sind Übertragungsfehler einfach erkennbar. Allerdings
benötigt das Auswertegerät einen Codewandler.

Die Messung nutzt den Zusammenhang zwischen der Kraft F
und der Beschleunigung a ( F D a m) aus. In Abb. 81.21a ist ein

Inkrementale Wegaufnehmer verwenden nach Abb. 81.20a eine
gedämpftes Feder-Masse-System dargestellt. Wird das Gehäuse

Leiste aus Glas oder Kunststoff (1), auf der in Querrichtung ab-
beschleunigt, ändert die Masse wegen ihrer Trägheit ihre Lage
wechselnd lichtdurchlässige und lichtundurchlässige Segmente
innerhalb des Gehäuses. Die zugeordnete Differentialgleichung
aufgebracht wurden. Dieser Streifen wird an dem Gegenstand
lautet:

befestigt, dessen Weg gemessen werden soll. Das von einer

Lichtquelle ausgesendete Licht wird bei Bewegung des Ge-
d 2 yG
m d 2 yM C w dyM C c y D

D

M
m
m a

(81.23)

genstandes um eine Rasterlänge r durch die ortsfeste Leiste
dt 2
dt
dt 2

(2) einmal unterbrochen. Zählt man die Zahl der Hell-Dunkel-

Formelzeichen siehe Text.

Wechsel oder der Dunkel-Hell-Wechsel und erhält den Wert n,
so ist der zurückgelegte Weg n r.

Darin ist m die Masse des an der Feder aufgehängten Körpers,
c die Federsteifigkeit (Federrate), w ein Maß für die Dämpfung

Soll auch die Richtung des Weges von einem Bezugspunkt aus
und a die gesuchte Beschleunigung. Zu beachten ist, dass Ge-
erfasst werden, bringt man nach Abb. 81.20b auf dem ortsfesten
häuse und Masse nicht starr miteinander verbunden sind und

Streifen (2) zwei Hell-Dunkel-Segmente an, die einen Abstand
deshalb yG- und yM-Koordinaten eingesetzt worden sind.

940

81 Messverfahren zur Messung nichtelektrischer Größen
a

Licht
r
u

1

U r

2
x
u k

G
u

+
u k

U

–
r
x
u
b

Licht
u
r

+
k1
u

Zähltakte vorwärts

1

&

^

1

–

Q

= Rechtsbewegung

1D

2

C1

Q

+
u

Zähltakte rückwärts

2

&

^

–
u

= Linksbewegung
k2

G

G

U r

U r Referenzspannung
u 1
u 2

1 bewegliche Leiste

2 ortsfeste Leiste
u k1
t
u k2

Rechtsbewegung

T

Q
eil

Q

X
u k1
u k2

Linksbewegung

Q

Q

Abb. 81.20 Inkrementale Wegmessung. a Prinzip, b Erfassung der Richtung
a
b

F

Gehäuse

Dehnungsmeßstreifen

Feder

(auf Ober u. Unterseite)

Dehnung
y M

Masse

Dämpfung

0

Feder
y G

Masse

0

Gehäuse

Abb. 81.21 Beschleunigungsaufnehmer. a Gedämpftes Feder-Masse-System, b Biegebalken mit Dehnungsmessstreifen

81.2

Messverfahren

941

Je nach Dimensionierung erhält das System unterschiedliche Ei-

3. Große Masse, weiche Feder und geringe Dämpfung (m groß,
genschaften.

c und w klein):

In (81.23) bleibt nur noch zu berücksichtigen

1. Steife Feder und kleine Masse (c groß und m klein):

Dann können die zwei ersten Summanden der linken Seite
d 2 y
d 2 y
aus (81.23) vernachlässigt werden, und die Differentialglei-

M

G D a

(81.27)

chung geht näherungsweise über in
dt 2
dt 2
a c y

Nach zweimaliger Integration folgt

M = m

(81.24)

Diese Dimensionierung ergibt einen Beschleunigungs-
y

M
yG

(81.28)

aufnehmer, da die Auslenkung yM der Beschleunigung
a näherungsweise proportional ist. Die Eigenfrequenz !2 D

0

Es handelt sich um einen Wegaufnehmer, der in dieser Form
c= m dieses schwingungsfähigen Systems ist sehr groß.

z. B. zur Messung von Erdbeben und zur Überwachung von

2. Kleine Masse, weiche Feder und große Dämpfung (m und c

Schwingtischen eingesetzt wird.

klein, w groß):

Dann folgt in erster Näherung

Eine weitere Ausführungsform ist in Abb. 81.21b dargestellt.

Gezeigt wird nur der eigentliche Aufnehmer ohne Gehäuse.

w
dy
d 2 y

M

G

Die Dimensionierung wird so vorgenommen, dass sich die

(81.25)

m
dt
dt 2

Abhängigkeit aus (81.24) ergibt. Der Biegebalken wird mit

Integriert man beide Seiten, ergibt sich

Dehnungsmessstreifen auf Ober- und Unterseite beklebt. Die

Widerstandsänderungen sind der Dehnung und diese wieder-
w
dy

G
y

D
um der Kraft proportional. Die Kraft ist schließlich über die

M
vG

(81.26)

m
dt

Masse mit der Beschleunigung verknüpft. Die Widerstände

Damit hat man einen Geschwindigkeitssensor für die Ge-
der Dehnungsmessstreifen werden in einer Brückenschaltung
schwindigkeit vG des Gehäuses realisiert.

gemessen.

X

Teil

Messdatenaufbereitung

82

Wilfried Plaßmann

82.1 Verringerung der Störeinflüsse von außen . . . . . . . . . . . . . . . 944

X

82.2 Messverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

943

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_82

944

82 Messdatenaufbereitung

Die von den Messaufnehmern gelieferten elektrischen Größen
a
sind häufig Spannungen im µV- oder mV-Bereich. Zur Weiter-

H Stör
d
verarbeitung in Rechnern müssen sie zunächst auf Werte im

V-Bereich verstärkt werden, weil die Analog-Digital-Umsetzer

Meßkreis
i

Last
entsprechende Größen benötigen. Außerdem wird eine eventuell

Stör
erforderliche Übertragung der Messgröße in analoger Form über

1

2
größere Entfernungen mit geringem Fehler möglich. Zu diesem

Zweck muss der Einfluss der stets vorhandenen Störungen auf

Fläche A
das Messsignal so klein wie möglich gehalten werden. Theo-
u Stör

G

G
u Mess
retische Untersuchungen und praktische Erfahrungen haben zu
den im Folgenden dargestellten Schaltungen geführt, die für ei-
b
ne Vielzahl von Messaufgaben anwendbar sind.

H Stör
d

R

Meßkreis
e

Last

82.1

Verringerung der Störeinflüsse

C
von außen

1

K

2

R

C L
i
u Stör

G

Unter Störungen sollen hier unerwünschte Signale verstanden

G
u Mess
werden, die von außen in den Messkreis gelangen. Das kann
nach Abb. 82.1 induktiv oder kapazitiv geschehen. Störquellen

Abb. 82.1 Einwirken von Störungen in einem Messkreis. a induktiv, b kapazitiv
sind beispielsweise das 50-Hz-Wechselstromnetz, Gleichstrom-
steller für Motoren, Dimmer, Leuchtstofflampen, nahe gelegene
a

Hochfrequenzsender oder Schaltvorgänge an Verbrauchern.

+



–

Induktive Einwirkung: Die Störspannung u Stör hat im Leiter 1

R

C
i

LS
einen Strom i Stör zur Folge, dessen magnetischer Fluss ˚Stör in

G

U

R

Mess

R

2
der Zuleitung zum Messverstärker (Leiter 2) eine Störspannung

1
induziert, die sich dem Messsignal überlagert. Um die induzier-
b
te Störspannung klein zu halten, sollte der Abstand d möglichst

T

+


eil
groß und die vom Leiter 2 eingeschlossene Fläche A möglichst

–
klein gemacht werden. Letzteres erreicht man z. B. durch Ver-

R

C

 +
i

LS

–

X
drillen der Hin- und Rückleitung von Leiter 2. Allerdings hat das

G

U

R

Mess

R

2
den Nachteil, dass die Kapazität zwischen diesen Leitern größer

1
wird und die im Messsignal enthaltenen hohen Frequenzanteile

Abb. 82.2 Abschirmung von Signalleitungen. a Grundschaltung, b Abschir-
schwächt.

mung mit nachgeführtem Potential

Kapazitive Einwirkung: Zwischen den zwei Leitern 1 und 2

(Abb. 82.1b) besteht die durch den Aufbau bedingte Koppel-

Dann ist die Spannung an C
kapazität C

LS ebenfalls 0 und dieser Kon-

K , die mit der Parallelschaltung aus der Kapazität
densator ohne Wirkung.

des Leiters 2, dem Eingangswiderstand Re des Messverstär-
kers und dem Innenwiderstand Ri der Signalquelle u Mess einen

Eine besondere Bedeutung kommt dem Anschluss mit den ge-

Spannungsteiler bildet. Der Einfluss von Ck ist umso kleiner, je
bräuchlichen Bezeichnungen „Erde, Masse, Systemerde oder
größer d ( C
k

1= d) und CL und je kleiner Re und Ri sind.

Gehäuse“ zu. An diesen Anschluss, der in der Regel mit dem

Gehäuse verbunden ist und der außerdem mit „Erde“ (meist über

Die genannten Maßnahmen zur Störspannungsverringerung
den Schutzleiter) in Verbindung steht, wird die Abschirmung
sind nur in begrenztem Maße anwendbar, sodass man grund-
der Leitungen gelegt. Dabei werden die Abschirmungen nur an
sätzlich die Zuleitung vom Messwertaufnehmer zum Verstärker
einer Seite, zweckmäßigerweise an der Verstärkereingangsseite,
abschirmt (Abb. 82.2a). Dann wird bei induktiver Einwirkung
mit diesem Punkt verbunden.

eine Spannung in der Abschirmung induziert, die aber nicht
mehr in den Messkreis gelangt. Bei kapazitiver Einwirkung ent-

Abb. 82.3a zeigt zunächst den Fall, dass die Abschirmung an
steht die Koppelkapazität zur Abschirmung und damit gegen
beiden Enden mit Masse verbunden ist. Da die beiden Mas-
den gemeinsamen Bezugspunkt („Masse“). Allerdings bildet
seanschlüsse in der Regel nicht auf gleichem Potential liegen,
nun die Abschirmung mit dem Innenleiter eine Kapazität C LS,
sondern einen Potentialunterschied up aufweisen, überlagert
so dass eine frequenzabhängige Spannungsteilung zwischen Ri
dieser sich dem Nutzsignal u Mess. Wird dagegen die Abschir-
und C LS stattfindet. Um die Kapazität C LS unwirksam zu ma-
mung nur einseitig an Masse angeschlossen und der untere
chen, wird das Potential der Abschirmung auf dem gleichen

Anschluss der Messspannungsquelle getrennt von der Masse

Wert gehalten wie das des Innenleiters, und zwar über eine
zum Eingang des Verstärkers geführt, ist der Potentialunter-
nachgeführte Spannungsquelle (Impedanzwandler mit Opera-
schied wirkungslos. Deshalb sind auch die Masseanschlüsse
tionsverstärker) mit dem Innenwiderstand 0 (Abb. 82.2b).

einzelner Baugruppen und weiterer Abschirmungen sternförmig

82.2

Messverstärker

945
a
a

+

+



–

–

R

C
i

LS
u 1

U

G

R

Mess

R

2
u

R
a

1

2

R 1
u

Falsch!

p

R

+
u

2
a= (1+

) u 1

R

–

1

R

C
i

LS
b

U

G

R

Mess

R

2

1

+



R

R
u

0

0

1

–

Richtig!

b

Analog-

R 2

Digital-

Analoge

Umsetzer

Digitale

Baugruppen

Baugruppen

+



R 1

–
u a

R 2

Analoge

Digitale

Masse

Masse

–



System-

R

R

Masse/Erde

+

0

0
u 2

Abb. 82.3 Erdung von Messsystemen. a Wirkung einer Erdschleife, b sternför-
mige Erdung, Analog- und Digitalteil getrennt

2 R
u

2
a= (1+

)( u – u )

2

1

R 1
in einem Punkt zusammenzuführen (Abb. 82.3b). Bei Bau-

Abb. 82.4 Messverstärker mit Operationsverstärkern. a Nichtinvertierender
gruppen, die sowohl einen Analog- als auch einen Digitalteil

Verstärker, b Messverstärker oder Instrumentation Amplifier
enthalten (A-D- oder D-A-Umsetzer), sind in der Regel die

Masseanschlüsse für den Analog- und den Digitalteil getrennt
rauscharmer Verstärker aus einer großen Stückzahl lohnen kann.

herausgeführt, damit die relativ hohen Ströme im Digitalteil in

Die am Eingang handelsüblicher Verstärker auftretende Rausch-
der Masseleitung des Analogteiles keinen Spannungsfall hervor-

X
spannung ist von der Bandbreite B abhängig und liegt bei B D
rufen. Er würde sich sonst dem Analogsignal überlagern.

1 kHz in der Größenordnung 100 nV bis 10 µV (siehe auch Ab-

Teil
schn. 92.4.11.1).

82.2

Messverstärker

Offsetspannung: Durch innere Unsymmetrien, die eine statis-
tische Verteilung haben, ist die Ausgangsspannung nicht Null,
wenn die Eingangsspannung Null ist. Dem Nutzsignal ist da-

Als Messverstärker werden Operationsverstärker eingesetzt, die
mit eine Fehlspannung (Gleichspannung) überlagert. Durch
geeignet ausgesucht und beschaltet werden. Da die zu verstär-

Anlegen einer entgegengesetzt gleich großen Spannung (Off-
kenden Spannungen häufig im mV- oder µV-Bereich liegen,
setspannung) an den Eingang des Verstärkers lässt sich diese
dürfen die durch den Verstärker selbst hervorgerufenen „inne-

Fehlspannung kompensieren. Sie ist eine verstärkerspezifische
ren“ Störungen nicht in die Größenordnung des Nutzsignals

Kenngröße und kann wegen der statistischen Verteilung durch
kommen, denn sie werden um den gleichen Faktor verstärkt

Aussuchen entsprechender Exemplare klein gehalten werden. Je
wie das Nutzsignal. Damit bleibt das Verhältnis von Nutz- zu
nach Verstärkertyp und Fertigungsverfahren liegt die Offsetspan

Störsignal am Ein- und Ausgang des Verstärkers gleich. Als
nung im Bereich ˙5 mV . . . ˙0,5 µV. Am Ausgang des Ver-
wichtigste innere Störquellen sind zu nennen:

stärkers tritt die Offsetspannung aber multipliziert mit der am

Operationsverstärker eingestellten Verstärkung auf. Operations-

Rauschen des Verstärkers: Das Rauschen wird hervorgerufen
verstärker mit Offsetspannungen im unteren µV-Bereich werden
durch thermische Vorgänge in den Widerständen und Halblei-
entweder bei der Fertigung durch Lasertrimmung von Wider-
tern, die nach statistischen Gesetzen ablaufen. Es tritt prinzipiell
standsbahnen abgeglichen oder es werden selbstabgleichende
bei Temperaturen oberhalb 0 K auf und lässt sich in zwei An-

Verstärker eingesetzt, die ihre aktuelle Offsetspannung messen
teile aufteilen: Weißes Rauschen, das für alle Frequenzen die
und automatisch kompensieren (siehe Drift) oder sie werden
gleiche Amplitude aufweist, und 1= f -Rauschen, dessen Am- gegen Aufpreis aus einer Vielzahl gefertigter Exemplare aus-
plituden mit steigender Frequenz abnehmen. Durch die Wahl
gesucht.

geeigneter technologischer Verfahren bei der Fertigung der Ver-
stärker lässt sich das Rauschen in gewissen Grenzen verringern.

Drift: Kenngrößen ändern sich unter der Einwirkung von Ein-

Weiterhin kann man bei Verstärkern des gleichen Typs Unter-
flussgrößen. Für die hier betrachteten Messverstärker ist beson-
schiede im Rauschen feststellen, so dass sich das Aussuchen
ders die Abhängigkeit der Offsetspannung von der Temperatur

946

82 Messdatenaufbereitung
und der Zeit wichtig. Es wurden deshalb für besonders kri-

Soll dagegen die Spannung in der Brückendiagonalen einer
tische Anwendungen Baugruppen entwickelt, bei denen der

Rückenschaltung verstärkt werden und muss ein Anschluss
eigentliche Verstärker seine Funktion periodisch für kurze Zeit
der Brückenspeisespannung geerdet werden, ist eine Schaltung
unterbricht, den Momentanwert seiner Offsetspannung selbst-
nach Abb. 82.4a nicht möglich, weil aus Gründen der Stör-
tätig ermittelt und diese an seinen Eingang zur Kompensation
spannungsverringerung auch der übliche Masseanschluss des
anlegt.

Operationsverstärkers mit dem Erdanschluss verbunden werden
sollte. Dann wird eine Kombination aus drei Operationsverstär-

Messverstärker mit Operationsverstärkern werden häufig in
kern nach Abb. 82.4b verwendet. Die Verstärkung ergibt sich
zwei Schaltungen nach Abb. 82.4 eingesetzt. Im Teil a) handelt
zu:

es sich um einen nichtinvertierenden Verstärker, dessen Ver-
stärkung v durch das Widerstandsverhältnis bestimmt ist ( v D
u D

a

.1 C 2 R 2= R 1/ . u 2 u 1/

(82.1)

1 C R 2= R 1). Der Eingangswiderstand der Schaltung ist gleich
dem des Operationsverstärkers. Geeignet ist diese Schaltung für

Für eine hohe Gleichtaktunterdrückung ist es wichtig, dass

Messspannungen, deren einer Anschluss mit dem Erdanschluss
gleich bezeichnete Widerstände nach Abb. 82.4b in ihrem Wert
des Operationsverstärkers verbunden werden kann.

um weniger als ˙1 % voneinander abweichen.

Teil

X

Bussysteme für die

83

Messtechnik

Wilfried Plaßmann

X

Teil

83.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948

83.2 IEC-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948

83.3 DIN-Messbus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949

83.4 Aktuator-Sensor-Interface (ASI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949

83.5 CAN-BUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952

83.6 USB-Übertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952

83.7 LAN (L ocal A rea N etwork) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

947

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_83

948

83 Bussysteme für die Messtechnik

Die hier betrachteten Bussysteme werden bevorzugt in der

Tab. 83.1 Spannungspegel der seriellen Rechnerschnittstelle V.24

Messtechnik eingesetzt und dienen dazu, den Befehls- und

Daten

Steuersignale

Messdatenverkehr zwischen Messgeräten und der Erfassungs-

Low ¶ (3 . . . 15) V
typ. 10 V Low ¶ (C3 . . . C15) V typ. C10 V
und Verarbeitungsstation (Rechner) zu organisieren.

High ¶ (C3 . . . C15) V typ. C10 V High ¶ (3 . . . 15) V typ. 10 V

83.1

Grundbegriffe

Sind mehr als zwei Geräte (ein Rechner und/oder weitere Rech-
ner/Messgeräte) miteinander verbunden, kann es zu Kollisionen
kommen, wenn gleichzeitig mehrere Geräte bzw. Rechner auf

Ergänzend zu den im Abschn. 107.1 genannten Begriffen wer-
die gemeinsame Verbindungsleitung zugreifen. Hier sollen nur
den einige weitere dargestellt.

einige Prinzipien zum reibungslosen Ablauf des Datenverkehrs

Die Befehls- und Datenworte können seriell oder parallel und
kurz dargestellt werden. Beim Token-Verfahren wird ein „Zei-
synchron oder asynchron übertragen werden. Die Umwandlung
chen“ zentral vergeben und weitergereicht. Nur der momentane
von parallel anstehenden Digitalworten in serielle und umge-

Besitzer des Zeichens kann Daten senden. Die Haltezeit des Zei-
kehrt geschieht über Schieberegister.

chens ist zeitlich beschränkt. Greifen z. B. beim Peer-to-Peer-

Netzwerk mehrere Rechner/Geräte gleichzeitig auf die Leitung

Serielle Übertragung: Es genügt eine Zweidrahtleitung zur
zu, wird ein Signalpegel auf der Leitung verändert (Open-

Übertragung, wenn der Takt aus dem Bitmuster zurückgewon-

Collector-Verknüpfung aller Geräte), so dass alle Geräte den
nen werden kann, andernfalls überträgt man den Takt über

Zugriff beenden und jeder einzelne nach einer statistisch vor-
eine dritte Leitung (Abschn. 96.4.4.7). Beginn und Ende des
gegebenen Zeit einen erneuten Verbindungsaufbau startet. Eine

Wortes werden i. Allg. über ein Start- und ein Stopbit gekenn-

Verbesserung ergibt sich, wenn ein spezieller Übertragungs-
zeichnet. Der Informationsaustausch lässt sich vereinfachen und
kanal belegt werden kann und dies von den anderen Geräten
beschleunigen, wenn noch einige zusätzliche Leitungen zur Ver-
eindeutig erkannt wird. Ein Übertragungsprotokoll sorgt dafür,
fügung stehen. So hat die serielle Rechnerschnittstelle V.24
dass jedes Gerät innerhalb einer bestimmten Zeit eine Verbin-

(auch mit RS-232 bezeichnet) insgesamt 8 Leitungen. Die seri-
dung aufbauen kann.

elle Übertragung wird bevorzugt für die Überbrückung größerer

Entfernungen eingesetzt.

Serielle Rechnerschnittstelle V.24 oder RS-232: Die Daten wer-
den üblicherweise seriell und asynchron, mit Blocks zu je 7 oder

Parallele Übertragung: Die in der Regel 8 Bit breiten Worte

8 Datenbits plus Start- und Stopbit, übertragen. Am Rechner
werden über 8 parallele Leiter übertragen. Damit wird die Über-

T
befindet sich ein 25- oder 9-poliger Sub-D-Stecker. Die Span-
eil
tragung beschleunigt, erfordert aber einen höheren Aufwand an
nungspegel zeigt Tab. 83.1.

Leitungen. Bei der parallelen „Centronics“-Rechnerschnittstelle

X

(LPT) sind 8 Datenleitungen und 9 Steuerleitungen sowie 8

Für die Verbindung von nur zwei Geräten (Rechner zum Mess-

Masseleitungen vorhanden. Diese Schnittstelle wurde zunächst
gerät) kann eine Verbindung über ein Nullmodem-Kabel ausrei-
speziell für die Ansteuerung eines Druckers entwickelt und dann
chend sein.

universell für Peripheriegeräte, wie Streamer, Scanner und ex-
terne Datensicherungsgeräte, eingesetzt. Sie wird nur noch in

Parallele oder Centronics-Rechnerschnittstelle: Die Signale

Ausnahmefällen, z. B. bei bestehenden Anlagen, eingesetzt.

werden mit TTL-Pegel (0 V, C5 V) asynchron im Handshake-

Verfahren übertragen.

Synchrone Übertragung: Der Datenfluss geschieht kontinuier-
lich, und die einzelnen Bits lassen sich anhand des parallel
übertragenen Taktsignals eindeutig zuordnen. Synchronisati-
onszeichen kennzeichnen Anfang und Ende der Übertragung.

83.2

IEC-Bus

Ein Übertragungsprotokoll stellt die erfolgreiche Übertragung
sicher.

Asynchrone Übertragung, Handshake-Verfahren: Im einfachs-

Die folgenden Begriffe werden verwendet:

ten Fall sind für diese Art der Übertragung zunächst zwei

Talker: Das Gerät ist zurzeit nur als Sender (Sprecher) tätig.

Leitungen erforderlich, von denen die eine die bevorstehende

Übertragung eines Datenwortes durch den Sender signalisiert

Listener: Das Gerät ist zurzeit nur als Empfänger (Hörer) tätig.

und die andere nach erfolgter Übertragung die erfolgreiche

Übernahme durch den Empfänger meldet. Die Daten werden

Tab. 83.3 stellt die verwendeten Busbefehle dar.

über weitere Leitungen parallel oder seriell übertragen.

Jedes der angeschlossenen Messgeräte erhält eine nur ihm zuge-

Zugriff „Client-Server“: Der Client, z. B. der Benutzerrechner,
teilte Identifikationsnummer (möglich sind 1 bis 14, einstellbar
fordert einen Dienst an, z. B. ein Anwenderprogramm oder eine
über Schalter an jedem Gerät), mit dem es individuell erkannt

Datenblattsammlung, den der Server zur Verfügung stellt.

und angesprochen werden kann. Es wird unterschieden zwi-
schen Geräte- und Schnittstelleninformationen.

Zugriff „Peer-to-Peer“: Alle Rechner sind gleichberechtigt, und
jeder stellt jedem seine freigegebenen Ressourcen zur Verfü-

Geräteinformationen: Messbereichseinstellungen, Messdaten,
gung.

Statusabfragen.

83.3

DIN-Messbus

949

Tab. 83.2 Daten IEC-Bus

Schnittstelleninformationen: Sie gliedern sich wie folgt auf:

Daten

Erläuterungen, Ergänzungen
a) Universalbefehle: Sie wirken auf alle angeschlossenen Gerä-

Normen

IEEE-488

24poliger Steckera
te.

IEC 625

25poliger Steckera
b) Adressierte Befehle: Mit dem Befehl wird die Geräteadresse

Max. Gerätezahl

15

1 Controller; 14 Messgeräte
übertragen, so dass nur das angesprochene Gerät entspre-

Max. Leitungslänge 20 m
chend reagiert.

insgesamt
c) Weitere Befehle: Sie lassen sich den genannten zwei Befehls-

Max. Leitungslänge 2 m

Verbindung der Geräte
arten nicht eindeutig zuordnen.

zwischen 2 Geräten
über Stecker-Buchse-

Kombination

Damit könnte die Datenübertragung über den IEC-Bus prinzipi-

Übertragungsrate

20 . . . 1000 kByte=s Evtl. schnelle Treiber erfor-
ell so aussehen wie in Tab. 83.5 beschrieben.

derlich

Leitungen

8 Datenleitungen:

Für parallele Übertragung

D0 . . . D7

83.3

DIN-Messbus

3 Steuerleitungen

Datenübergabe/Handshakeb

5 Steuerleitungen

Steuerung Datenaustausch

Steuersignale

TTL-Pegel:

Negative Logik; Open-

Dieser Bus ist relativ einfach aufgebaut und wurde für Anwen-

(0 . . . 1,4) V

Collector-Verbindung aller
dungen in der Messtechnik entwickelt. Seine Kenndaten sind in

(2,5 . . . 5) V

Teilnehmer

DIN 66348, Teil 2, enthalten. Tab. 83.6 listet einige Eigenschaf-

Daten

TTL-Pegel:

Positive Logik
ten auf.

(0 . . . 1,4) V

(2,5 . . . 5) V
a sonst völlig gleichwertig; b in Tab. 83.3

83.4

Aktuator-Sensor-Interface (ASI)

Tab. 83.3 Befehle am IEC-Bus

ASI ist von einer größeren Anzahl von Unternehmen als Schnitt-

Befehl

Bedeutung

Funktion
stelle im Bereich der Prozesssteuerung eingeführt worden. Es

REN

Remote enable

Gerätebedienung nur über IEC-BUS
werden nur binäre Elemente miteinander vernetzt, so dass es

ATN

Attention

Gerätenachrichten oder Schnittstellennach-
vom Prinzip her Einschränkungen im Funktionsumfang gibt.

richten

Sind diese Einschränkungen ohne Bedeutung, ergibt sich ein

SRQ

Service request

Dienstanforderung
kostengünstiges und unkompliziertes System. Abb. 83.1 stellt

EOI

End of identify

Letztes Byte der Übertragung
den prinzipiellen Aufbau dar, Tab. 83.7 listet einige Eigenschaf-

IFC

Interface clear

Rücksetzen der Geräte in Ausgangszustand
ten auf. Weitere Einzelheiten können der Literatur entnommen

DAVa

Data valid

Daten sind gültig

X
werden (http://www.as-interface.net).

NRFDa Not ready for data Nicht zur Datenaufnahme bereit

NDACa No data accepted

Daten nicht übernommen

Kernstück des ASI-Systems ist ein Slave-Chip, der die Sen-

Teil
a
soren S bzw. Aktuatoren A (Abb. 83.1) an die ASI-Leitung

Handshake-Befehle
ankoppelt. Er kann in den Sensor/Aktuator eingebaut werden,

Tab. 83.4 Befehle innerhalb der Schnittstelleninformationen
wenn nur ein Element zum Einsatz kommt (Abb. 83.1, un-

Universalbefehle

Bedeutung

Funktion
ten links), oder es wird ein Modulbaustein in den ASI-Slave

LLO

Local lockout

Sperren der Bedienele-
integriert, so dass maximal vier S/A-Elemente verwendet wer-
mente
den können (Abb. 83.1, unten rechts). Ein Sensor kann z. B.

DCL

Device clear

Rücksetzen
der Grenzwertschalter für eine maximal zulässige Temperatur

PPU

Parallel poll unconfigure Ende Statusabfrage
sein, ein Aktuator der Ein-Aus-Schalter für eine Heizung. Der

SPE

Serial poll enable

Statusabfrage

SPD

Serial poll disable

Sperren Statusabfrage

Rechner (PC), SPS

Steuerung

Adressierte Befehle

Bedeutung

Funktion

GTL

Go to local
manueller Gerätebetrieb

ASI-Master

GET

Group execute trigger

Trigger für Messstart

ASI-Leitung

SDC

Select device clear

Rücksetzen Listener

Netz-

PPC

Parallel poll configure

Listenerkonfiguration
gerät

ASI-Slave

ASI-Slave

Weitere Befehle

Bedeutung

Funktion

UNL

Unlisten

Adressen aller Listener-

Sensor/

Modul-

Geräte gelöscht

Aktuator
baustein

UNT

Untalk

Adressen aller Talker-

Geräte gelöscht

S/ S/ S/ S/

LAD x

Listener address

Empfängeradresse x

A

A

A

A

TAD x

Talker address

Senderadresse x

Abb. 83.1 Prinzipieller Aufbau des ASI-Systems

950

83 Bussysteme für die Messtechnik

Tab. 83.5 Prinzipieller Ablauf einer Datenübertragung über den IEC-Bus

Steuerbefehle/Steuerleitungen

Datenleitungen D0 . . . D7 Erläuterungen

ATN

REN

SRQ

IFC

EOI

0

0

0

0

0

–

Ausgangszustand

0

1

0

0

0

–

Gerätebedienung über IEC-Bus aktivieren

1

1

0

1

0

–

Geräte in den Ausgangszustand setzen

1

1

0

0

0

UNL

Adressen aller Listener-Geräte werden gelöscht

1

1

0

0

0

LAD 1 LAD 2 usw.

Gerät 1 als Listener Gerät 2 als Listener usw.

1

1

0

0

0

TAD 3

Gerät 3 als Talker; die vorhergehende Talkeradresse wird automatisch gelöscht

0

1

0

0

0

Datenwort 1

0

1

0

0

0

Datenwort 2

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

0

1

0

0

1

Letztes Datenwort

1

1

0

0

0

UNL

Adressen aller Listener-Geräte werden gelöscht

Tab. 83.6 Einzelheiten zum DIN-Messbus (DIN 66348, Teil 2)

Kenngröße

Daten

Erläuterungen

Organisation

1 Master, Slaves

Regelfall: Rechner als Master, Messgeräte als Slaves

Maximale Teilnehmerzahl

32

Übertragungsart

Seriell, asynchron

Datenwortlänge

7 bit C Paritätsbit

Prüfverfahren

Paritätsbit C Blockprüfung (DIN 66022, 66219)

Evtl. Polynomprüfung möglich (DIN 66219)

Betriebsart

Blockübertragung mit Start-Stop-Betrieb, max. 128

Byte je Block

Übertragungsrate

Typisch 9,6 kbit=s; bis zu 1 Mbit=s möglich

Maximale Bus-Leitungslänge

500 m

Mit Repeatern einige km; Busleitung an den Enden
mit Widerständen abgeschlossen (100 . . . 510 (; DIN

66348, Teil 2)

Maximale Leitungslänge Gerät-Bus
ca. 5 m

Verbindungsleitung (Busleitung und

5adrig C Abschirmung: 2 für Senden 2 für Empfangen Signalleitungen paarweise verdrillt; Betriebserde:

T

Verbindung Gerät-Bus)

1 für Betriebserde 1 für Schirmung

Verbindung der potentialfreien Bezugspunkte unterein-
eil
ander

Spannungspegel

Ähnlich Tab. 83.1; Einzelheiten u. a. in EIA RS-485

Galvanische Trennung zwischen Bus und Geräten

X
vorgeschrieben

Steckverbindung

Sub-D-Stecker, 15-polig, abgeschirmt, am Gerät

Pin-Nr. – Belegung: 1 – Abschirmung, 2 – Sender-

Daten, 9 – Sender-Daten, 4 – Empfänger-Daten, 11 –

Empfänger-Daten, 8 – Betriebserde

Tab. 83.7 Einzelheiten zum ASI-System

Eigenschaft

Daten

Erläuterungen

Organisation

1 Master; max. 31 Slaves

Je Slave max. 4 binäre Sensoren/Aktuatoren; 5-bit-

Adresse erforderlich

Übertragungsart

Seriell

Mit Start- und Stoppbit

Datenwortlänge

Masteraufruf: 14 bit; Slaveantwort: 7 bit

Siehe auch Abb. 83.2

Prüfverfahren (siehe auch Abb. 83.2)

Startbitfehler

1. Impuls stets negativ strenger Wechsel pos./neg.

Alternierungsfehler

Pause: max. 1 Impulslänge folgt aus Kodeeigenschaft

Pausenfehler
gerade Parität (posit. Imp.) letzter Impuls stets positiv

Informationsfehler

Zeiten definierter Pause

Paritätsfehler

Endebitfehler

Aufruflängenfehler

Verbindungsleitung

Energieversorgung (24 V DC) und Datenübertragung

Entkopplung über Parallelschaltung R mit L je Leiter
über gemeinsame Zweidrahtleitung, nicht abgeschirmt

(39 (, 50 &H)

Übertragungsrate

167 kbit=s; davon 53,3 kbit=s für Daten

Systemreaktionszeit max. 5 ms (bei 31 Slaves); verrin-
gert sich mit abnehmender Slaveanzahl

Maximale Leitungslänge

100 m

Repeater für größere Leitungslängen

Steckverbindung

M 12, vierpolig, nach IEC 947-5-2 Anhang D

Netz-Topologie

Linie, Baum und deren Kombinationen

Energieversorgung der Slaves

24 V DC; max. ca. 100 mA je Slave; max. ca. 2 A

Bei höherem Gesamtstrom größere Leitungsquer-
insgesamt
schnitte erforderlich

Modulationsart

Sensor: Non-Return-to-Zero-Kode (NRZ);

Siehe Abschn. 96.4.4;
daraus Manchester-II-Kode, übertragen in Alternieren- Impulse in (sin2 x)-Form
der Puls-Modulation (APM)

83.4

Aktuator-Sensor-Interface (ASI)

951

Master-

Slave-

Masteraufruf
pause

Slaveantwort
pause

0 SB A4 A3 A2 A1 A0 I4 I3 I2 I1 I0 PB 1

0 I3 I2 I1 I0 PB 1

ST

EB

ST

EB

ST

Startbit

SB

Steuerbit

A4 ... A0 Slaveadresse

I4 ... I0

Information Master an Slave

I3 ... I0

Information Slave an Master

PB

Paritätsbit

EB

Endebit (Stoppbit)

Abb. 83.2 Aufbau einer ASI-Nachricht

Tab. 83.8 Einzelheiten zum CAN-Bus (Auszug)

Topologie:

Teilnehmerzahl:

Bus
maximal 64 (durch Standard-Treiberbausteine begrenzt);
durch Repeater zu erhöhen

Takt:

Teilnehmerberechtigung:

NRZ-Codierung;
alle Teilnehmer gleichberechtigt
keine Taktübertragung;

Busbelegung:

ständige Flankensynchronisation, auch über Frame-(Rahmen-)Beginn;
gemäß festgelegter Prioritätenliste (wichtige Daten haben Vorrang)

erzwungener Takt nach 5 aufeinander folgenden Bits ohne Wechsel

Leitungswiderstand:

Zugriffszeit auf die Daten:

120 (
erhöht sich mit wachsender Teilnehmerzahl

Kabellänge:

Ausgänge der Teilnehmer:

40 m bei 1 MBit=s; 1 km bei 50 kBit=s

Wired-AND-Verknüpfung

Signalübertragung:

Datenbits:

Differenzspannung;
maximal 8 Byte (64 Bit)

< 0,5 V ! High-Pegel

> 0,9 V ! Low-Pegel

Schnittstelle:

Datenübertragung:

ISO 11898, 11519

Seriell

X

2 Ausführungen:

3adriges Kabel:

Low Speed (max. 125 kBit=s)

2 Leiter für Differenzspannung, 1 Leiter

High Speed (max. 1 MBit=s)

für Masse (Bezugspunkt)

Teil

Frame-Länge:

Beispiel Übertragungsrate:

64 Bit (Daten) C 30 Bit (Steuerdaten) C 10 Bit (Leerzeit) D 104 Bit

500 kBit=s ! 2 µs=Bit;

Verarbeitungszeit im Rechner:

92 µs (geschätzt)

Neuer Datenblock aussendbar nach:

(104 Bit) (2 µs=Bit) C 92 µs = 300 µs

Fehlererkennung in mehreren Stufen (hier eine Auswahl):

– 15 Bits zur Fehlererkennung, Hamming-Distanz 6

– Prüfung der Struktur des übertragenen Frames

– Prüfung, ob mindestens ein Empfänger das Signal empfangen hat (Empfänger quittieren den erfolgreichen Frame-Empfang oder senden andern-
falls eine Fehlermeldung)

– Jeder Sender prüft, ob sein momentan geforderter Pegel auch tatsächlich auf der Busleitung vorhanden ist (u. a. zur Kurzschluss- und Kollisi-
onserkennung)

– Fehlerzähler trennt Teilnehmer beim Erreichen eines kritischen Wertes vom Bus

– Beim Erkennen eines Fehlers wird der Frame erneut angefordert

ASI-Master verbindet die ASI-Leitung mit dem Steuergerät, das

Die genannte Modulationsart erfordert eine geringe Kanalband-
ein Rechner, aber auch eine speicherprogrammierbare Steue-
breite. Durch die in Abb. 83.2 dargestellte Kodierung ist eine
rung (SPS) sein kann. Aus dem prinzipiellen Aufbau folgt, dass
sehr effektive Fehlererkennung möglich: Bis zu 3 Fehler pro
das ASI-System hierarchisch unterhalb der Feldbussysteme an-

Nachricht werden sicher erkannt, 4 und 5 Fehler mit einer Wahr-
zusiedeln ist und die Aufgabe hat, den Verdrahtungsaufwand
scheinlichkeit von 99,9999 %. Die Korrektur erfolgt dann über

(Stichwort „Kabelbaum“) zu verringern.

eine erneute Datenübermittlung.

952

83 Bussysteme für die Messtechnik

83.5

CAN-BUS
xis tatsächlich erreichten Werte sind niedriger und hängen ab
von den Komponenten des Gesamtaufbaus der Übertragungs-
strecke. Die Systeme 3.0, 2.0 und 1.1 (kaum noch eingesetzt,

Dieser Bus (CAN, C ontroller A rea N etwork) wurde ursprünglich
da technisch überholt) sind in der Regel untereinander abwärts-
für die Automobiltechnik entwickelt. Die dort zur Übertragung
kompatibel.

anstehenden Daten sind in nicht unerheblichem Maße Messwer-
te, so dass der Einsatz für die Messdatenübertragung auch außer-

Vorhandensein von Peripheriebausteinen.

halb des Automobiles naheliegt. Aus dem Einsatz in der Auto-
mobiltechnik ergeben sich die folgenden Eigenschaften:

Verfügbarkeit von Literatur, Modellentwicklungen.

Niedriger Preis durch die hohen Stückzahlen

Die Geräte können an jeden Rechner angeschlossen und die vor-

Hohe Zuverlässigkeit und Sicherheit in der Datenübertra-
handenen Daten weiterverarbeitet werden. Weiterhin kann das
gung (Datenpaketaufbau)

Messgerät ferngesteuert werden.

Hohe Störsicherheit gegenüber Störungen von außen

Relativ einfache Verdrahtung durch 3adrige Leitung, auch

2adrig und 1adrig (Übertragung über Lichtleiter) möglich

83.7

LAN (L ocal A rea N etwork)

Tab. 83.8 listet in Auszügen einige Eigenschaften des CAN-

Busses auf.

Es handelt sich hierbei um eine Entwicklung, die ursprüng-

Beispiel 1
lich für die Rechnervernetzung einschließlich Peripheriegeräten
z. B. in Firmen vorgesehen war. Dieses System bietet sich zur

Nach dem Beispiel in Tab. 83.8 kann ein neuer Daten-

(Mit-)Benutzung an, wenn Messgerätedaten an unterschiedliche
block nach etwa 300 µs ausgesendet werden. Bei einer

Rechner, Server oder Drucker zwecks Weiterverarbeitung oder

Gefahrensituation und der höchsten Priorität des Daten-

Archivierung gesendet werden sollen und günstigenfalls schon
frames steht er auch nach 300 µs zur Anwendung bereit.

eine Vernetzung über ein LAN besteht. Durch den Einsatz von

Fährt das Fahrzeug mit der Geschwindigkeit 100 km=h,

Drahtlosverbindungen (Wireless Local Area Network, WLAN)

hat es in 300 µs einen Weg von etwas weniger als 2 cm
hat sich der Einsatzbereich weiter vergrößert. Es können auch
zurückgelegt.

J
mobile Messstationen in einem lokal begrenzten Bereich (Fir-
mengelände) ihre Messdaten an Auswertestationen senden. Die
übermittelten Daten können verschlüsselt werden. Der Vorteil

T
dieses Systems ist auch, dass Daten in beiden Richtungen ver-
eil

83.6

USB-Übertragung
sendet werden können. Damit lassen sich Messgeräteparameter
einstellen (Messbereich, Abtastrate, . . . ). Die Datenübertra-

X

Bei dieser Übertragung wird die von den Rechnern eingesetzte
gungsrate liegt momentan bei maximal 1 GBit=s (theoretisch)

USB-Schnittstelle verwendet. Die Vorteile sind:

bzw. (400 . . . 600) MBit=s (praktisch).

Sehr schnelle Datenübertragung, USB 2.0 mit maximal

Wie bei Druckern weit verbreitet werden Messgeräte zuneh-

400 MBit=s und USB 3.0 mit maximal 5 GBit=s. Die in der Pra-
mend mit den beiden Schnittstellen USB und LAN versehen.

Probleme bei der Digitalisie-

84
rung analoger Messwerte

Wilfried Plaßmann

X

Teil

84.1 Fehler bei der Digitalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954

84.2 Signal-Quantisierungs-Geräuschabstand . . . . . . . . . . . . . . . 954

84.3 Verbesserung des Signal-Rausch-Verhältnisses . . . . . . . . . . . . 955

84.4 Abtast-Halte-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955

84.5 Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955

84.6 Erfassung von Momentanwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

953

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_84

954

84 Probleme bei der Digitalisierung analoger Messwerte

Messwerte liegen häufig in analoger Form als Spannungswerte

84.2

Signal-Quantisierungs-
vor. Sie werden in eine digital kodierte Form umgesetzt, wenn

Geräuschabstand
eine (nahezu) fehlerfreie Übertragung erforderlich ist (siehe
dazu auch Abschn. 96.4.4 und 108.1);

Signal verläufe gespeichert werden sollen (Speicheroszillo-

Im Abschn. 96.4.4.5, Abb. 96.33, ist das Quantisierungsrau-
skop);
schen (Quantisierungsgeräusch) für den Fall eines sinusförmi-
eine Weiterverarbeitung (Rechner, PC) erfolgen soll; Digita-
gen Signalverlaufes dargestellt. Der Verlauf der Quantisierungs-
lisierungsfehler
rauschspannung u NQ (Abb. 84.1) ist abhängig vom Nutzsignal-

Messungen mit sehr geringem Messfehler notwendig sind
verlauf uS, kann aber näherungsweise durch einen sägezahn-

(Vorteil Digitalmessgerät gegenüber Zeigermessgerät).

förmigen Verlauf erfasst werden, der mit x 0 periodisch ist. Ihr

Effektivwert U NQ berechnet sich wie folgt:

Die zu diesem Zweck eingesetzten Analog-Digital-Umsetzer
v
sind an anderer Stelle dieses Buches beschrieben. Hier soll auf
u
u
x 0

Z

2
einige Probleme, die durch den Umsetzvorgang entstehen, aus
u
x

U

O

NQ
t 1
ux 1

2
dx
messtechnischer Sicht eingegangen werden. Inwieweit die ein-
x 0
x 0
zelnen Anteile bei der Anwendung noch berücksichtigt werden

0
r
r
müssen, hängt davon ab, ob es sich um ein fertiges Gerät (z. B.

D O

1 O 1 1

Digitalvoltmeter) oder einen zu entwickelnden Messaufbau han-
ux
u AD

3

2 N

3
delt.

mit

O u O

1
x
u AD

(84.3)

84.1

Fehler bei der Digitalisierung

2 N

Formelzeichen siehe Abb. 84.1, (84.2) und Text.

Der Analog-Digital-Umsetzer hat den Eingangsspannungsbe-

Für den Signal-Quantisierungs-Geräuschabstand (das Signal-
reich 0 : : : CO u

Rausch-Verhältnis) a

AD (Unipolarausführung) bzw. O
u AD : : : CO u AD

SQ ergibt sich:

(Bipolarausführung). Bei einem N-Bit-Umsetzer beträgt die

p
kleinste Quantisierungsstufe O u

US

US

T

AD=.2 N 1/ (unipolar) bzw. 2
a

D

SQ

20 lg

20 lg

2 N

3

(84.4)

eil

O u

O

AD=.2 N 1/ (bipolar). Daraus ergeben sich die Fehlergrenzen

U NQ
u AD

F (absolut) und f (relativ), wenn der Momentanwert der Si-

X
gnalspannung bei einem Unipolarsignal mit u

U

S bezeichnet wird

S Effektivwert der Signalspannung uS; U NQ Effektivwert der
bzw. bei einem Bipolarsignal mit u

Quantisierungsrauschspannung; O u

S C (größter positiver Signal-

AD maximale Eingangsspan-
wert) und u
nung des A-D-Umsetzers (siehe Text zu (84.2)).

S (Bipolarsignal, kleinster negativer Signalwert),
zu:

Für eine sinusförmige Signalspannung uS mit dem Scheitelwert
p

O u

D O u

2 folgt daraus die im

1

AD und dem Effektivwert US

AD=

F D ˙ 1 O
u
u AD

(unipolar)

bzw.

2

2 N 1

2

F D ˙ 1 O
b
u AD

(bipolar)

(84.1)

2

2 N 1
u s

O u AD
f D ˙ 1

1
u

(unipolar)

2
uS

2 N 1
bzw.

O u AD
f D ˙ 1

2
b

. bipolar/

(84.2)

2
uS C C j uSj 2 N 1

U

Formelzeichen siehe Text.

NQ
û x

Aus (84.2) geht hervor, dass für eine kleine Fehlergrenze die

0
x
x

Zahl N möglichst groß und der Wert der Signalspannung nur ge-

0
ringfügig kleiner als der Spannungsbereich des Umsetzers sein
sollte. Bei kleinen Signalspannungen u

O
s kann für uS
u AD
durch Zuschalten eines geeigneten Spannungsverstärkers die

Abb. 84.1 Zur Ableitung des Effektivwertes der Quantisierungsrauschspan-

Fehlergrenze fu bzw. fb entsprechend klein gehalten werden.

nung uNQ

84.3

Verbesserung des Signal-Rausch-Verhältnisses

955
a

84.3

Verbesserung des
u
u s

Signal-Rausch-Verhältnisses

Neben dem Quantisierungsgeräusch sind dem zu messenden Si-
gnal noch weitere Rauschanteile überlagert, die sowohl vom

Messsignal selber als auch vom Messaufbau herrühren. Für die

Wirkung aller Anteile zusammen werden deren Effektivwerte

( UN 1; UN 2) errechnet und, da sie voneinander unabhängig (un-

T
t
korreliert) sind, in folgender Weise zum resultierenden Signal-
u NQ

Rausch-Verhältnis a SN verknüpft:

2

3

6

US

7
a

D

SN

20 lg 4 q

5

(84.6)

U 2 C U 2 C : : :

N 1

N 2

U
b

S Effektivwert der Signalspannung, UN 1; UN 2 Effektivwerte
zweier Rausch-(Stör-)Spannungen (unkorreliert).

u
u s

Handelt es sich bei den zu messenden Größen um Gleichsignale,
kann durch n-faches Messen und Mittelwertbildung das Signal-

Rausch-Verhältnis a SN. n/ verbessert werden [5]:

U
p

S
a

SN. n/ D 20 lg
n

(84.7)

UN
t
n Zahl der Messungen für die Mittelwertbildung, U

T

S Effektiv-
u NQ

2
wert der Signalspannung, UN Effektivwert der Rausch-(Stör-)

Spannung.

Das Verfahren kann auch bei periodischen Wechselsignalen mit

X
konstanter Kurvenform angewendet werden, sofern durch ein
geeignetes Triggersignal die zeitliche Zuordnung und damit die

Mittelwertbildung für ein oder mehrere Signalwerte erfolgen

Teil
kann.

Abb. 84.2 a Quantisierungsrauschspannung uNQ des Spannungsverlaufes uS ,
b wie a, aber mit Oversampling, OSR D 2

Für die Messung von Gleichgrößen besteht weiterhin die Mög-
lichkeit, den Frequenzbereich von Störungen bzw. Rauschen
und damit deren Wirkung auf das Nutzsignal durch Filter auf

Abschn. 96.4.4.5 angegebene Gleichung (96.43):

sehr niedrige Werte einzugrenzen.

O u
p

AD
a

p

SQ

20 lg

2 N

3

Sinus

O u

AD

2

"

r #

84.4

Abtast-Halte-Glied

D

3

20 lg 2 N

20 lg 2 N

(84.5)

2

Über ein Abtast-Halte-Glied muss der analoge Eingangswert für

Formelzeichen siehe (84.4).

den Umsetzer solange konstant gehalten werden, bis der Um-

Oversampling: Die Signalabtastfrequenz f

D
setzvorgang abgeschlossen ist. Im Abschn. 96.4.4.3, ist darge-
ab

.2;2 : : : 4/ fM max
nach Shannon (siehe Abschn. 96.4.4.2 „Aliasing-Effekt“ und
stellt, inwieweit sich diese Forderung mit nichtidealen Bauteilen

(96.35)) wird um einen Faktor, die Oversamplingrate OSR,
erfüllen lässt.

erhöht. Unter der Voraussetzung, dass sich zwei benachbarte Si-
gnalamplitudenwerte ohne Oversampling um mehr als den Wert
einer Quantisierungsstufe unterscheiden, wird durch die erhöhte

84.5

Aliasing

Abtastfrequenz ein „Zwischenwert“ nach Abb. 84.2 eingefügt
und damit die Quantisierungsrauschspannung u NQ im Bereich
dieses Abtastwertes verringert. Für den Fall, dass die Am-

Der mit Aliasing bezeichnete Effekt bei der Abtastung von
plitudenverringerung von u NQ bei allen Abtastwerten auftritt,
p
periodischen Signalverläufen ist im Abschn. 96.4.4.2 „Aliasing-
verringert sich der Effektivwert U NQ um den Faktor 1= OSR.

Effekt“ dargestellt.

956

84 Probleme bei der Digitalisierung analoger Messwerte

84.6

Erfassung von
tende Signal ist sinusförmig mit f D fM max (nur höchstmögliche

Signalfrequenz vorhanden). In der Umgebung des Nulldurch-

Momentanwerten
ganges ergibt sich mit der Näherung u. t/ O u 2 t= T und der

Beziehung T D 1= fM max:

Über ein Antialiasing-Filter wird erreicht, dass die höchste im

1
gegebenen Signalverlauf vorkommende Frequenz fM max beträgt.

u

D

max
u. t D t 1/ u. t D 0/ D u
u. t D 0/

Die größte Steigung ergibt sich für 0° bzw. 180°:

f ab
fM max
u D O u sin.2 f

O u 2

M max
t/
f ab

)

du D O u 2 f

M max
cos.2 fM max t/

(84.8)

dt

Für den maximalen relativen Fehler folgt daraus:

Zwei benachbarte Abtastwerte unterscheiden sich umso mehr,
u max
je kleiner die Abtastfrequenz f

D

ab ist und je näher man sich
f max

2 fM max

(84.9)

O u
f
am Nulldurchgang des Signalanteiles mit der Frequenz f
ab

M max
befindet. Die größte Differenz ergibt sich für den (theoreti-
f
schen) Fall f

D

M max Frequenz des höchsten sinusförmigen Signalanteiles, f ab
ab

2 fM max zu 2 O u, wenn genau der positive

Abtastfrequenz.

und der negative Scheitelwert erfasst werden (Abschn. 96.4.4.2

„Aliasing-Effekt“). Eine Abschätzung des maximal möglichen

Der Einfluss dieses Fehlers ist dann von besonderer Bedeutung,

Unterschiedes u max zweier benachbarter Abtastwerte erhält
wenn Momentanwerte, d. h. Signal- bzw. Messwerte in Echtzeit,
man für folgende Annahmen: 1. f

ab
fM max; 2. Das abzutas-
erfasst werden sollen.

Teil

X

PC-gestützte Messverfahren

85
und Messsignalanalyse

Wilfried Plaßmann

X

Teil

85.1 Statistische Verfahren zur Messsignalauswertung . . . . . . . . . . 958

85.2 Graphische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958

85.3 Ermittlung von Kenngrößen, Klassierung . . . . . . . . . . . . . . . 959

85.4 Messsignalanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959

85.5 Automatisierung von Messabläufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 960

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 960

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

957

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_85

958

85 PC-gestützte Messverfahren und Messsignalanalyse

Der Rechner oder PC wird in der Messtechnik zunehmend ein-

Chi-Quadrat-Test: Vereinfacht ausgedrückt werden die Dif-
gesetzt, um
ferenzen zwischen den einzelnen Messwerten und den zu-
geordneten Werten der Normalverteilung gebildet, quadriert

1. umfangreichere statistische Berechnungen zur Verringerung
und addiert. Überschreitet die Summe einen kritischen Wert,
der Fehlergrenzen auszuführen,
sind die Messwerte nicht normalverteilt.

2. die funktionale Abhängigkeit einer Messreihe in einem Dia-

Vertrauensgrenzen: Weiterhin können die Vertrauensgren-
gramm optimal darzustellen,
zen errechnet werden, wobei die erforderlichen Zahlenwerte

3. Kenngrößen des Signalverlaufes zu ermitteln,

(siehe Abschn. 75.7, Tab. 75.3 und DIN 1319 Teil 3) im Pro-

4. das Messsignal zu analysieren, damit die gewünschte Größe
gramm abgespeichert sind:

möglichst fehlerfrei bestimmt wird, und

5. häufig vorkommende Messabläufe zu automatisieren.

t

Obere Vertrauensgrenze

N x C p s

(85.4a)

n

Die Messwerte gelangen entweder manuell in den Rechner,
z. B. durch die Eingabe einer Messwerttabelle über die Tasta-

Untere Vertrauensgrenze

N x t
p s

(85.4b)

n
tur, oder aber der Rechner kommuniziert über ein Bussystem

(siehe Kap. 83) mit der Messeinrichtung und liest die Messwer-

Quantile, Median, Zentralwert: Ein ˛-Quantil teilt eine nach
te automatisch ein. Es hängt vom verwendeten Programm zur
der Größe der Werte geordnete Wertetabelle (Stichprobe)

Messwerterfassung und Messsignalanalyse ab, welche der im
so in zwei Teile, dass ˛ 100 % der Werte unterhalb und

Folgenden aufgeführten Funktionen ausführbar sind bzw. wel-

.1 ˛/ 100 % oberhalb der Trennungslinie liegen. Häu-
che zusätzlichen Funktionen noch zur Verfügung stehen.

fig wird das 0,50-Quantil (˛ D 0;50) verwendet, das die

Wertetabelle halbiert. Es wird auch mit Median oder Zentral-
wert bezeichnet. Angewendet werden Quantile, um die Lage
von einzelnen Messwerten bezüglich einer Gesamtheit zu er-

85.1

Statistische Verfahren zur
fassen (daher die Bezeichnung „Lagemaß“). Sie werden von

Messsignalauswertung

Ausreißern relativ wenig beeinflusst (sie sind robust).

In Abschn. 75.3.3 und 75.3.4 sind der arithmetische Mittelwert

85.2

Graphische Darstellung
und die Standardabweichung von Messwerten aufgeführt:

Approximation: Mit geeigneten Rechnerprogrammen werden
arithmetischer Mittelwert

T
die vorliegenden Messwerte (Tabelle oder direkt eingelesen)

eil
n

X
in Form eines Diagramms dargestellt. Da die funktionale

X

N x D 1
x

Abhängigkeit in vielen Fällen mathematisch nicht vorgege-
i

(85.1)

n
i D1
ben ist, muss eine geeignete Formel gefunden werden. Dazu
wählt der Anwender aus einer Vielzahl von möglichen Funk-

Standardabweichung
tionen eine ihm geeignet erscheinende aus. Beispiele hierfür
v
sind:

u
u
n

X

Potenzreihendarstellung:

s D Ct

1

. x N
i
x/2

(85.2)

n 1
y D a C

0
a 1 x C a 2 x 2 C a 3 x 3 C : : :

i D1

Exponentialdarstellung:

n Anzahl der Messungen; xi die einzelnen Messwerte.

x
y D b C

b

0
b 1 e 2

Sie lassen sich mit einem entsprechenden Rechnerprogramm
berechnen.

Geradendarstellung:

Sind den Messwerten zufällige Messabweichungen überlagert,
y D c C

0
c 1 x
ergibt sich (theoretisch, für n

! 1) die Normal- oder

Logarithmische Darstellung:

Gauß’sche Verteilung:

x

Normalverteilung
y D d C

0
d 1 log

(85.5)

d 2

. xN x/2

Im allgemeinen Fall geht die gewählte Funktion nicht durch
p. x/ D

1
p
e 22

(85.3)

2 2
alle vorgegebenen Messpunkte, was in der Praxis auch nicht
unbedingt wünschenswert ist (sonst beeinflussen „Ausrei-

N x siehe (85.1), 2 D s 2 (siehe (75.8a), (75.8b) und (85.2)).

ßer“ den Verlauf überproportional). Das Rechnerprogramm
ermittelt die Zahlenwerte für die Abweichungen zwischen

Da die Zahl der Messwerte endlich ist und sie nur bedingt die
den einzelnen Messwerten und der gewählten Kurvenannä-

Normalverteilung erfüllen, ist das folgende Testverfahren ent-
herung, quadriert und addiert sie. Eine geeignete Kurven-
wickelt worden:

form ist in der Regel diejenige, bei der diese Summe ein

85.3

Ermittlung von Kenngrößen, Klassierung

959

Minimum erreicht. Das Verfahren wird auch mit „kleinste
noch Knickpunkte zu haben, müssen der Wert und die erste

Summe der Abweichungs- bzw. Fehlerquadrate“ bezeichnet.

Ableitung beider Kurven im Verbindungspunkt gleich sein.

Unter dieser Vorgabe optimiert das Programm anschließend

Die so bestimmten Kurvenverläufe bezeichnet man mit Spli-
die Koeffizienten a 0; a 1; a 2; a 3; : : : für die Potenzreihendar-
nes.

stellung, b 0; b 1; b 2 für die Exponentialdarstellung usw.

Regression: Die funktionale Abhängigkeit wird in der Form
y D a C

0
a 1 x C : : : C am xm angenommen, und die Ko-

85.3

Ermittlung von Kenngrößen,
effizienten a 0 bis am werden unter der Zielsetzung „kleinste

Klassierung

Summe der Abweichungsquadrate“ bestimmt.

Für den Fall, dass n Messungen durchgeführt wurden, gilt
folgender Ansatz, der sich in Matrizenschreibweise darstel-

Liegt dem Rechner der funktionelle Zusammenhang zweier
len lässt:

Größen vor, können wichtige Kenngrößen durch Berechnen der
zugeordneten mathematischen Formel ermittelt werden. Dazu
y D

C

C

C

1
a 0
a 1 x 1
a 2 x 2

: : : C a xm

1
m

1
gehören:

:::

Arithmetischer Mittelwert (Berechnung nach (75.15a) und

(75.15b));
y D

C

C

C

n
a 0
a 1 xn
a 2 x 2

: : : C a xm
n
m
n

0

1 0 1

Effektivwert (Berechnung nach (75.14a) (75.14b));

1
x

xm
a

Extremwert (Maximalwert, Minimalwert; durch Berechnung

B

1

1

0

: : : : : : : : : : : :C B: : :C
der ersten und zweiten Ableitung und Vorzeichenerfassung);

)

B

C B C
y D B

D

Gleichrichtwert (Betragsbildung und Berechnung nach

@

C B C

X a (85.6)

: : : : : : : : : : : :A @: : :A

(75.15a) und (75.15b)).

1
xn

: : : xm
a
n

„
ƒ‚

…

m

„ƒ‚…

Das Rechnerprogramm kann häufig auch Klassierungen durch-

X
a
führen, d. h. bei einem Kollektiv von gleichartigen Elementen

(z. B. gemessenen Spannungswerten) die Häufigkeitsverteilung

Die gesuchte Koeffizientenmatrix a ergibt sich zu:

nach bestimmten Merkmalen (z. B. Abweichungen vom Soll-
wert) in vorgegebene oder vereinbarte Klassen feststellen (z. B.

a D . XT X/1 XT y

(85.7)

Abweichung (0 . . . C1) %, (> C1 . . . C2) %) (DIN 1319 Blatt

1). Zur Klassierung gehören auch Begriffe wie Spitzenwert (re-

XT transponierte Matrix, . XT X/ Matrizenprodukt, . XT X/1
lativ, absolut), Verweildauer (Zeitdauer, während der ein Wert
inverse Matrix des Matrizenproduktes . XT X/.

einen Referenzwert überschritten/unterschritten hat) und Span-

Auf den Beweis, dass es sich bei dem dargestellten Rechen-
nenwert (Differenz zwischen einem Maximalwert und dem

X
gang tatsächlich um einen Kurvenverlauf mit der kleinsten
benachbarten Minimalwert). Weitere Begriffe und Einzelheiten

Summe der Abweichungsquadrate handelt, wird hier ver-
enthält DIN 45667.

zichtet.

Teil

Lineare Regression: Es wird vorausgesetzt, dass eine Abhän-
gigkeit in der Form y D a C

0
a 1 x besteht. Die Koeffizienten

85.4

Messsignalanalyse
a 0 und a 1 werden wiederum unter der Zielsetzung „kleinste

Summe der Abweichungsquadrate“ ermittelt. Für die lineare

Regression gilt in (85.6) m D 1, so dass die Matrix X nur

Bei den nachfolgend dargestellten Verfahren sind die gemes-
die ersten zwei Spalten besitzt, von denen die erste wiede-
senen Signalwerte zeitabhängig. Dabei kann das Messsignal
rum nur aus Einsen besteht. Die Koeffizienten der gesuchten
selber zeitabhängig sein, oder aber ein zeitunabhängiges Mess-

Geraden ergeben sich analog zu (85.7):

signal wird von einem zeitabhängigen Störsignal überlagert.

!

Es wird jeweils nur das Prinzip dargestellt, weitere Einzelhei-
a

ten können den Teilen XIII und XIV in diesem Buch sowie

1
a D

0

D XT X

XT y

(85.8)

a
der einschlägigen Literatur entnommen werden. Gemeinsames

1

Kennzeichen der aufgeführten Verfahren ist, dass sie aufwen-
dige mathematische Berechnungen erfordern, womit sich der

XT transponierte Matrix, . XT X/ Matrizenprodukt, . XT X/1

Einsatz eines Rechners anbietet.

inverse Matrix des Matrizenproduktes . XT X/.

Die so ermittelte Gerade wird auch als Ausgleichsgerade be-
zeichnet.

Abweichungsgrenzen, Vertrauensbereich: Diese Größen kön-

85.4.1

Verfahren
nen meist vom Rechnerprogramm berechnet und in das

Diagramm eingezeichnet werden.

Fourierzerlegung, Fouriertransformation: Für periodische

Splines: Lässt sich keine Kurvenform finden, die alle gegebe-
und nichtperiodische Signale werden die im Signalverlauf
nen Messwerte ausreichend genau annähert, zerlegt man den
enthaltenen Frequenzanteile bestimmt. Mit der Fast-Fourier-

Wertebereich der Messwerte in mehrere Teilbereiche und

Transformation (FFT) ist ein für den Rechnereinsatz beson-
sucht für jeden Teilbereich eine geeignete Kurvenform. Um
ders geeignetes Verfahren entwickelt worden (siehe auch
an der Stoßstelle zweier benachbarter Kurven weder Sprünge

Abschn. 92.4.9.2, 92.4.9.3, und Teil XIV).

960

85 PC-gestützte Messverfahren und Messsignalanalyse

Autokorrelation, Kreuzkorrelation: Das gemessene Signal

85.4.2.3

Abstandsmessung
wird bei der Autokorrelation zeitlich verschoben und mit

Ein (bandbegrenztes) Rauschsignal wird von einem Mikrofon
dem nichtverschobenen Signal verglichen. Die Übereinstim-
aufgenommen (S1), verstärkt und von einem Lautsprecher ab-
mung ist maximal, wenn die Verschiebung Null ist. Bei der
gestrahlt (S2). Führt man mit S1 und S2 eine Kreuzkorrelation

Kreuzkorrelation werden zwei Signalverläufe miteinander
durch, ergibt sich ein Maximum für eine Zeitverschiebung t bei-
verglichen und auf Übereinstimmung untersucht (siehe auch
der Signale zueinander, die genau der Laufzeit zwischen Mikro-

Abschn. 92.4.11.2, und Systemtheorie).

fon und Lautsprecher entspricht (siehe auch Abschn. 92.4.11.2,

Digitale Filter: Sie haben den Vorteil, dass die Filtercha-
und Systemtheorie).

rakteristik (Tiefpass, Bandpass, . . . ) und die Grenz- bzw.

Resonanzfrequenzen softwaremäßig programmiert werden
können und sich letztere auch auf sehr niedrige Werte ein-

85.4.2.4

Erkennung periodischer Signalanteile
stellen lassen (siehe auch Abschn. 97.2.2).

Liegt ein durch z. B. Rauschen gestörter Signalverlauf vor,
können darin enthaltene periodische Anteile dadurch erkannt
werden, dass das Signal autokorreliert wird. Es ergeben sich

85.4.2

Anwendungen

Maxima im Abstand der Periodendauer des im Signal enthal-
tenen periodischen Anteils (siehe auch Abschn. 108.3).

85.4.2.1

Messung des Klirrfaktors

Nach der Fourierzerlegung des gemessenen periodischen Si-
gnalverlaufes wird der Klirrfaktor nach der Formel

85.5

Automatisierung von
q

Messabläufen

U 2 C U 2 C U 2 C : : :

2

3

4

Klirrfaktork 0 D

(85.9)

U 1

Besitzen die Messgeräte eine Schnittstelle zur Verwendung
berechnet. Für eine weitere Definition des Klirrfaktors siehe Ab-
eines Bussystems nach Kap. 83, können Messabläufe auto-
schn. 92.4.12.3.

matisiert werden. Der Rechner kann im einfachsten Fall die

Messablaufsteuerung (Wahl des Messgerätes, Messbereichs-
einstellung, Messzeitpunkt) mit anschließender Messwertspei-

85.4.2.2

Geräuschmessung zur
cherung übernehmen. Darüber hinaus können die Messwerte

Schadenfrüherkennung

T
bearbeitet, analysiert und auf Grund der Ergebnisse erforderli-
eil

Die Lager von Motoren und Generatoren unterliegen dem Ver-
che Steueraufgaben ausgeführt werden. Auf diese Weise laufen
schleiß. Bei einem notwendigen Austausch des Lagers sind we-

Industrieprozesse ab.

X
niger die Kosten für das Lager und den Austausch als vielmehr
das entgangene Entgelt während der Ausfallzeit entscheidend.

Es wird deshalb angestrebt, Lagerschäden möglichst früh zu
erkennen und den Austausch optimal vorzubereiten (auszutau-
schendes Lager vorhanden, Außerbetriebnahme während einer

Literatur

Zeit geringer Auslastung). Das ist möglich, weil in der Re-
gel zunächst nur geringe Schäden auftreten: Nur eine der im

Kugellager vorhandenen 20 Kugeln ist defekt, und das Lager

Literatur allgemein
kann noch einige Tage oder Wochen weiter benutzt werden.

Erst dann wird die Betriebssicherheit durch den Ausfall wei-

1. Bergmann, K.: Elektrische Messtechnik. Verlag Vieweg
terer Kugeln verringert, bis schließlich durch das Blockieren

Braunschweig/Wiesbaden. 6. Auflage 1996
des Lagers der Stillstand erzwungen und der Schaden maximal

2. Felderhoff, R.: Elektrische und elektronische Messtechnik.

wird. Zur Schadenfrüherkennung nimmt man über ein Mikrofon

Verlag Hanser München, Wien. 8. Auflage 2007
das Geräusch des intakten Lagers auf und führt eine Frequenz-

3. Schrüfer, E.: Elektrische Messtechnik. Verlag Hanser Mün-
analyse durch, die im Rechner als Sollmuster gespeichert wird.

chen, Wien. 9. Auflage 2007

Die Geräuschmessung mit anschließender Analyse erfolgt jetzt

4. Hoffmann, J. (Hrsg.): Taschenbuch der Messtechnik. Verlag
periodisch, und das aktuell aufgenommene Spektrum wird mit

Hanser München. 6. Auflage 2010
dem gespeicherten Sollmuster verglichen. Mit jeder defekten

Kugel ändert sich das Spektrum, so dass die oben geschilder-
ten Maßnahmen rechtzeitig ergriffen werden können. Im Laufe

Spezielle Literatur
der Zeit hat man Erfahrungen sammeln können, wie bestimm-
te Lagerschäden das Frequenzspektrum verändern, so dass das

5. Schrüfer, E.: Signalverarbeitung. Verlag Hanser München,

Messverfahren immer zuverlässiger geworden ist.

Wien. 1. Auflage 1990

Energietechnik

XI

86

Elektrische Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963

87

Elektrische Energieversorgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009

88

Elektrische Energieanwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075

XI

Teil

961

Elektrische Maschinen

86

Reinhard von Liebenstein

86.1 Transformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964

86.2 Drehstrommaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976

86.3 Einphasen-Asynchronmotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988

86.4 Drehstrommotor im Einphasenbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . 989

86.5 Sonderbauformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 989

86.6 Gleichstrommaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 991

86.7 Auswahl von Motoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001

XI

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

963

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_86

964

86 Elektrische Maschinen

Elektrische Maschinen sind Energiewandler, deren Funktion auf
den Gesetzen des Elektromagnetismus beruht. Zu den elektri-
schen Maschinen gehören die Transformatoren (ruhende elektri-
sche Maschinen) und die rotierenden Maschinen, die elektrische

Energie in mechanische Energie (Elektromotor) oder mecha-
nische Energie in elektrische Energie (Generator) umformen.

Nach der Stromart unterscheidet man Gleichstrom-, Drehstrom-
und Einphasenwechselstrommaschinen.

Abb. 86.1 Einphasen-Kerntransformator

OS-Wicklung

US-Wicklung

86.1

Transformatoren

86.1.1

Aufgaben eines Transformators

Mit Hilfe eines Transformators wird Wechsel- oder Drehstrom-
leistung gegebener Spannung und Frequenz in solche höherer
oder niedrigerer Spannung bei gleichbleibender Frequenz um-
gewandelt. Ohne die Transformatorentechnik ist der heutige

Einsatz der elektrischen Energie in allen Bereichen unseres

Lebens nicht denkbar. Die in den Kraftwerken erzeugte elektri-

Abb. 86.2 Einphasen-Manteltransformator
sche Energie wird durch Transformatoren auf Spannungsebenen
umgewandelt, die einen rationellen Transport über weite Ent-

1 OS-Wicklung

2 NS-Wicklung
fernungen ermöglichen. Transformatoren großer Leistung wer-
den in den Netzen der Energieversorgungsunternehmen (EVU)

1 2
eingesetzt. Im unteren Spannungsbereich werden Einphasen-

Transformatoren in großer Stückzahl verwendet, um die für die
dortigen Anwendungen erforderlichen Spannungen zu erzeu-
gen. Ebenso wandeln Transformatoren Signale der Nachrichten-
technik um (Übertrager), oder sie dienen in der Messtechnik zur

Anpassung der zu messenden Signale an den Messbereich des

Messgerätes (Wandler). Obwohl Transformatoren kein rotieren-

Abb. 86.3 Drehstrom-Dreischenkeltransformator
des Teil besitzen, werden sie in der Energietechnik zum Bereich
der Maschinen gezählt.

Beim Drehstrom-Transformator erfolgt die Aufteilung der

Wicklungen auf die Schenkel des Transformators wie in

86.1.2

Bauteile eines Transformators

Abb. 86.3 gezeigt. Die Sonderbauform des Fünfschenkel-Trans-
formators findet man bei großen Energietransformatoren, da

T
hierbei die Querschnitte der Joche nur ungefähr 58 % der Säu-
eil

Ein einfacher Transformator besteht aus einem geschlossenen
lenquerschnitte betragen. Dadurch verringert sich die Baugröße

Eisenkern und zwei Spulen, die auf diesen Kern gewickelt sind.

erheblich.

XI

Der Eisenkern besteht aus einzelnen, gegeneinander elektrisch
isolierten speziellen Dynamoblechen, um den Wirbelstrom, der
bei Wechselströmen entsteht, zu unterdrücken.

86.1.2.2

Wicklungen

Im Aufbau der Wicklung unterscheidet man zwei Arten, die Zy-

86.1.2.1

Eisenkerne
linderwicklung und die Scheibenwicklung.

Die Vielzahl der Einsatzgebiete der Transformatoren erfordert

Bei der Zylinderwicklung wird die Röhre der Oberspan-
verschiedene Bauformen. Es gibt die Kern- oder Mantelbau-
nungswicklung über die der Unterspannungswicklung gestülpt
form. In den Bildern Abb. 86.1 und 86.2 sind Einphasen-

(Abb. 86.4). Diese Wicklungsart findet man bei den meisten

Transformatoren in verschiedenen Bauformen dargestellt.

Transformatoren. Die Scheibenwicklung unterteilt die Ober-
und Unterspannungswicklung in einzelne übereinander ange-

Beim Einphasen-Kerntransformator sind die beiden äußeren
ordnete Scheiben (Abb. 86.5).

Schenkel mit jeweils der halben Windungszahl der Ober- (OS)

und der Unterspannungsseite (US) bewickelt. Beim Einphasen-

86.1.2.3

Kühlung

Manteltransformator befinden sich die beiden Wicklungen auf
dem mittleren Schenkel. Der mittlere Schenkel wird wie von ei-

Wie bei allen elektrischen Maschinen erzeugen die Transfor-
nem Mantel durch zwei Außenschenkel umgeben.

matoren Verluste, die Wicklungen und Eisenkerne erwärmen.

86.1

Transformatoren

965

US

OS

N1

N2

Abb. 86.4 Zylinderwicklung

Abb. 86.6 Einphasen-Transformator

1 Unterspannung

2 Oberspannung

Beispiel

1

Typenschildaufschrift AN Trockentransformator mit na-

2
türlicher Luftkühlung; OFAN Öltransformator mit er-

1
zwungener Ölkühlung und natürlicher Luftkühlung.

J

2

1

2

1

86.1.3

Wirkungsweise eines

Abb. 86.5 Scheibenwicklung

Einphasen-Transformators

In den Grundlagen der Elektrotechnik werden die Begriffe

Diese Verluste müssen vom Transformator an die Umgebung

Selbstinduktion und gegenseitige Induktion anhand zweier ge-
abgeführt werden. Transformatoren werden in Trockentrans-
koppelter Spulen erläutert. Ein Einphasen-Transformator be-
formatoren und solche mit flüssigem oder gasförmigem Wär-
steht aus einer Wicklung auf dem linken Schenkel (Primär-
meüberträger eingeteilt. Bei den Trockentransformatoren über-
wicklung mit der Windungszahl N 1) und einer Wicklung auf
nimmt die Umgebungsluft den Wärmetransport über Konvekti-
dem rechten Schenkel (Sekundärwicklung mit der Windungs-
on oder mittels Strahlung (Selbstkühlung). Neben der Selbst-
zahl N 2).

kühlung kann die Wärme durch künstlichen Zug, z. B. durch

Lüfter, abgeführt werden (Zwangskühlung). Transformatoren

Beide Wicklungen sind magnetisch über den geschlossenen
mit flüssigem Wärmeübertrager, in der Hauptsache Öl, wei-

Eisenkern miteinander verbunden (Abb. 86.6). Bei der weite-
sen gegenüber den Trockentransformatoren einige Vorteile auf.

ren Betrachtung des Transformators wird angenommen, dass

Infolge des größeren spezifischen Gewichts, der größeren spe-
die Primärwicklung an eine sinusförmige Wechselspannung U 1
zifischen Wärme und der größeren Wärmeleitfähigkeit kann
angelegt wird und alle anderen Größen ebenfalls einen sinus-
einerseits die erzeugte Wärmemenge der Wicklungen und des
förmigen Verlauf aufweisen. Verzerrungen durch Sättigung und

Eisenkerns besser abgeführt, zum anderen eine große Wär-

Oberschwingungen werden vernachlässigt.

memenge in der Kühlflüssigkeit gespeichert werden, was bei
kurzzeitigen Überlastungen bedeutsam ist. Das im Transforma-

86.1.3.1

Leerlauf

XI
tor eingesetzte Kühlverfahren erkennt man am Typenschild. Die

Bei offener Sekundärwicklung ( I

D

2

0) erregt der Strom I 1,

Bedeutung der Kurzzeichen sind in Tab. 86.1 aufgeführt.

der durch die Primärspule fließt, den magnetischen Fluss ˚ D

1

Teil

˚ C ˚1.

Tab. 86.1 Kühlmittel und Kurzzeichen

Der Hauptfluss ˚ h ist durch den Eisenkern mit beiden Spu-
len verkettet und induziert in den Spulen die Spannungen

Kühlmittel

Kurzzeichen

(Abb. 86.7):

Mineralöle oder entsprechende synthetische Flüssigkeiten

O
mit einem Brennpunkt 300 °C

Leerlauf-Primärspannung

Andere synthetische Flüssigkeiten

L

Gas, Brennpunkt > 300 °C

G

U

U

D

10
f

N 1

˚ h

10
j 4;44 f N 1 ˚ h

(86.1)

Luft

A

V

Hz

1

V s

Wasser

W

Kühlmittelbewegung

Leerlauf-Sekundärspannung

Natürlich

N

Erzwungen, gerichtet

D

U

U

D

20
f

N 2

˚ h

20
j 4;44 f N 2 ˚ h

(86.2)

Erzwungen, nicht gerichtet

F

V

Hz

1

V s

966

86 Elektrische Maschinen

Φ 0

Φ

I + I

0 Φ 1

Φ 2

0

2

I

I

2

0

Φ 1σ

Φ 1σ

Φ 2σ

U

U

U

U

N1 N2

U

U

1

10

20

2

N1 N2

U

U

1

10

20

2

Abb. 86.8 Einphasen-Transformator bei Last

Abb. 86.7 Einphasen-Transformator im Leerlauf

R 1

X

X

R

1s

2s

2

I

Übersetzungsverhältnis

1
i 0
i Fe
i
magn
s
ü D U 10 D N 1

(86.3)

U 1

R

X

U

Fe
h
h

U 2

U 20

N 2

Die beiden Spannungen sind phasengleich; ihre Beträge verhal-
ten sich wie die Windungszahlen. Das Verhältnis der beiden

Leerlaufspannungen U 10 und U 20 zueinander bezeichnet man
als Übersetzungsverhältnis ü des Transformators. Der Streufluss

Abb. 86.9 Vollständiges Ersatzschaltbild des Einphasen-Transformators

˚1 ist nur mit der Primärspule verkettet und induziert dort die

Selbstinduktionsspannung.

P 0 bezeichnet, da der Leerlaufstrom sehr gering ist und die Ver-

Selbstinduktionsspannung
luste am Widerstand R 1 in diesem Fall vernachlässigbar klein
sind.

U

U

10
f

N 1

˚1

1 D j 4;44 f N 1

˚1

(86.4)

V

Hz

1

V s

Leerlaufspannung

Hieraus lässt sich die Streuinduktivität und die Streureaktanz be-

U

D

10

R Fe I Fe

(86.9)

rechnen.

Eisenverlustleistung ( Leerlaufleistung)

Streuinduktivität

˚

U 2

P Fe

U 10

R Fe

1

L

D 10

L

1

N 1

˚1 I 1

P Fe

1 D N 1

(86.5)

I

V s

R Fe

W

V

(

(86.10)

1

1

V s

A

A

Streureaktanz

86.1.3.2

Belastung

T

X 1

!

L 1

Wird an den Klemmen der Sekundärspule ein Belastungswider-
eil

X 1 D ! L 1

(

(86.6)

Hz

V s
stand angeschlossen (Abb. 86.8), fließt durch die Sekundärspule

A
ein Strom I

XI

2.

Die Spannungsgleichung für den leerlaufenden Transformator

Dieser Strom erzeugt am Wirkwiderstand R
lautet (Abb. 86.9):

2 der Sekundär-
spule und an der Streuinduktivität X 2 s einen Spannungsfall.

Primärspannung

Die Spannungsgleichungen des belasteten Transformators lau-
ten (Abb. 86.9):

U D . R C jX

C U

1

1

1 / I 1

1 h

(86.7)

Primärspannung

Sekundärspannung

U D . R C jX

C U

1

1

1 / I 1

1 h

(86.11)

U D U

2

20

(86.8)

Sekundärspannung

R 1 ist der ohmsche Widerstand der Primärwicklung. Durch
das ständige Ummagnetisieren des Eisenkerns entstehen dort

U D . R C jX

C U

2

2

2 / I 2

20

(86.12)

Verluste. Diese Verluste berücksichtigt man durch einen Ersatz-
widerstand R

D

Fe, der parallel zur Hauptinduktivität Lh angeordnet

Der Strom I 2 verursacht eine magnetische Durchflutung 2
und vom Strom I

Fe durchflossen wird. Die in dem Widerstand

N 2 I 2. Hierdurch wird ein magnetischer Fluss ˚2 erzeugt, der

R Fe erzeugte Verlustleistung P Fe wird auch als Leerlaufleistung
entgegen ˚1 gerichtet ist. Nach dem Durchflutungsgesetz gilt:

86.1

Transformatoren

967
resultierende Durchflutung

P

I

0

0

W

A

1 2

D

1

2

(86.13)

A

A

A

U

V

1N

V U = U

2

0

2

Durchflutung im Primärkreis

D

1

N 1. I

I

1

Fe/

(86.14)

Abb. 86.10 Schaltung im Leerlaufversuch mit Messanordnung

Diese Formel gilt für alle Belastungsfälle, muss also ausgehend
vom Leerlauf über verschiedene Belastungsfälle bis zum Kurz-
schluss Gültigkeit haben. Es folgt für den Leerlauf:

Berechnung muss umständlich ausgeführt werden. Dieses um-

Leerlauf Durchflutung
geht man, indem beide Seiten des Transformators auf eine

Spannungsebene, die der Primärspannung oder die der Se-

D N

D

1

I D

N

. I

I /

(86.15)

10

1

0

Fe
kundärspannung, umgerechnet werden. Die Umrechnung der

Sekundärgrößen erfolgt mit dem Übersetzungsverhältnis ü. Die

Im Belastungsfall mit I 2 nimmt der Transformator aus dem Netz
umgerechneten Größen werden mit einem „0“ gekennzeichnet.

einen Strom I

D

1 auf, der die Gegendurchflutung

N

I

2

2

2

Durch die Umrechnung erhält man folgende Größen:

kompensiert. Für den Primärstrom ergibt sich aus dem Durch-
flutungsgesetz nach Division durch N 1:

U 0 D ü U

2

2

(86.23)

Primärstrom

I 0 D 1 I

2

2

(86.24)

N
ü

2

I D I

C

I

(86.16)

1

C I Fe

N

2

R 0 D ü 2 R

1

2

2

(86.25)

X 0

Für große Leistungstransformatoren ergibt ein Vergleich der

2 D ü 2 X 2

(86.26)

Magnetisierungsdurchflutung mit der Durchflutung 2 N, Mit Hilfe der umgerechneten Größen kann das Ersatzschaltbild
dass die durch den sekundären Nennstrom hervorgerufene
und das Zeigerdiagramm so gezeichnet werden (Abb. 86.9), als

Durchflutung viel größer ist als die Magnetisierungsdurchflu-
handele es sich um einen Stromkreis mit einer Bezugsspannung.

tung. Damit gilt:

Die Größen in dem Ersatzschaltbild können durch zwei Versu-

D

che, Kurzschluss- und Leerlaufversuch, bestimmt werden.

(86.17)

1

C 2

2

I 1

N

D 2 D 1

(86.18)

I 2

N 1
ü

86.1.3.3

Leerlaufversuch

Die Ströme verhalten sich also umgekehrt zu ihren Windungs-

Der Leerlaufversuch wird mit offenen Sekundär- oder Pri-
zahlen. Geht man von einem idealen Transformator ohne Wirk-
märklemmen gefahren (Abb. 86.10). Bei offenen Primärklem-
verluste und Streuinduktivitäten aus, so ist die Scheinleistung,
men wird die Nennspannung U 2 N an die Sekundärklemmen
die auf der Primärseite vom Transformator aufgenommen wird,
angelegt und der sich einstellende Strom I 0, die Leistung P 0 und
gleich der sekundären Scheinleistung.

der Leistungsfaktor cos '0 gemessen.

Mit den gemessenen Werten können, wenn sie auf Strangwerte

XI

S D

D

D

1

U 1 I 1

S 2

U 2 I 2

(86.19)

umgerechnet sind, die Hauptinduktivität Lh und der fiktive Ei-

Mit dieser Annahme ergeben sich folgende Abhängigkeiten:

senverlustwiderstand R Fe bestimmt werden. Dabei werden der

Teil

Wirkwiderstand der Kupferwicklung und die induktive Streure-

U 1
aktanz vernachlässigt.

D I 2

(86.20)

U 2

I 1

D

U 2 Z D U 2 Z

Eisenverluststrom

I Fe

I 10 cos '0

(86.27)

1

1

2

2

(86.21)

Magnetisierungsstrom

I

D I sin '

U 2

N 2
magn

10

0

(86.28)

1 D Z 1 D 1 D ü 2

(86.22)

U

U 2

Z

N 2

D 10

2

2

2

Eisenverlustwiderstand

R Fe

(86.29)

I Fe

Die Widerstände der Sekundärseite verhalten sich mit dem Qua-
drat der Windungszahl umgekehrt zu denen der Primärseite.

Blindwiderstand der Hauptinduktivität

Berechnungen am Transformator oder das Zeichnen von Zei-
gerbildern erfordert einen großen Aufwand, da Primär- und

U

Sekundärseite normalerweise eine andere Spannungsebene ha-

10

X D
h

(86.30)

ben. Zeigerbilder müssten einen anderen Maßstab erhalten, die

I magn

968

86 Elektrische Maschinen

Wird der Leerlaufversuch nicht mit Nennspannung durchge-

P

I = I

K
führt, muss der gemessene Leerlaufstrom I

K

1N

W

10 auf den eigentli-
chen Nennwert umgerechnet werden.

A

U 1 N

Nenn-Leerlaufstrom

I

D

10 N

I 10

(86.31)

U

U

1K

V

V U 2 = 0

10

Da der im Leerlauf fließende Strom im Verhältnis zum Nenn-
strom sehr gering ist, und um Vergleiche mit anderen Trans-
formatoren herstellen zu können, wird für Transformatoren das

Abb. 86.11 Schaltung im Kurzschlussversuch mit Messanordnung
relative Leerlaufstromverhältnis i 0 angegeben.

relatives Leerlaufstromverhältnis

I 1K R 1

X 1

X 2s

R 2s

I 0 N
i
i D

0

I 0 N

I 1 N

0

100 %

(86.32)

I 1 N

%

A

A

U 1K

Die im Leerlaufversuch gemessene Wirkleistung P 0 ist identisch
mit der am Eisenverlustwiderstand erzeugten Leistung P Fe. Fin-
det der Leerlaufversuch bei Nennbedingungen statt, so gilt:

Abb. 86.12 Ersatzschaltbild des Kurzschlussversuchs

Eisenverlustleistung

P

P

D

D

Fe

P 10 N

U 1 N

I 10 N

Fe

P 10 N

U 1 N I 10 N cos '0

86.1.3.4

Kurzschlussversuch

W

W

V

A

(86.33)

Beim Kurzschlussversuch wird eine Trafoseite kurzgeschlossen
und an die andere Trafoseite eine variable Spannung ange-

Kann der Versuch nicht unter Nennbedingungen durchgeführt
schlossen (Abb. 86.11).

werden, muss die gemessene Leistung auf den Nennwert hoch-
gerechnet werden.

Die Spannung wird hochgeregelt, bis im Transformator Nenn-

strom fließt. Gemessen werden die so eingestellte Spannung

U 2

P

D

1 N

Uk, die aufgenommene Wirkleistung Pk und der Leistungsfaktor

0 N

P 0

(86.34)

U 210
cos ' k.

Beispiel

Unter Vernachlässigung des Magnetisierungsstroms und der

Eisenverluste ( I

0

IN ) kann das Ersatzschaltbild des Trans-

Bei einem Einphasen-Transformator sind das relative
formators wie im Abb. 86.12 dargestellt werden. Die Größen

Leerlaufstromverhältnis i D

0

2 % und der Leistungsfak-

R 1; R 0 ; X
werden durch Rechnung ermittelt.

2

S 1; X 0 S 2
tor im Leerlauf cos ' D

0

0;1 bekannt. Die Nenndaten des

Transformators sind U D

D

N

60=10 kV; SN

1 MV A. Wie

Uk

Kurzschlussimpedanz

Z D

(86.35)

groß ist der Eisenverlustwiderstand und die Hauptinduk-
k

Ik
tivität bei f D 50 Hz?

Kurzschlusswiderstand

R D

k

Zk cos ' k

(86.36)

T

Kurzschlussblindwiderstand

X D

k

Zk sin ' k

(86.37)

eil

I

D SN D 1 MV A D

1 N

16;67 A

U 1 N

60 kV

I

Bei Leistungstransformatoren gilt:

XI

1 N

I

D i 0

D 2 % 16;67 A D

10 N

0;333 A

100 %

100 %

R D

C
k

R 1

R 0

(86.38)

Über den Leistungsfaktor können die Ströme durch den

2

Eisenverlustwiderstand und die Hauptinduktivität berech-

R D

D

1

R 0

R
ü 2

(86.39)

2

2
net werden.

Widerstand der Primärwicklung

I

D

D

Fe

I 0 cos '0

16;67 A 0;1 D 1;667 A

I

D

D

R
magn

I 0 sin '0

16;67 A 0;99 D 16;58 A
k

R D

1

(86.40)

2

R

D U 1 N D 60 kV D

Fe

35;99 k(

I Fe

1;667 A

Widerstand der Sekundärwicklung

U 1 N

X D

D 60 kV D

H

3;61 k(

I

R
magn

16,58 A
k

R D

2

(86.41)

V s

2 ü 2

L D

XH

D 3610 ( D

H

11;49

J

2 f

D

C

2 50 1

A

Xk

XS 1

X 0

(86.42)

S 2
s

X

D

D

S 1

X 0

X
ü 2

(86.43)

S 2

S 2

86.1

Transformatoren

969

Streublindwiderstand im Primärkreis

D

D

X
des Transformators sind UN

60=10 kV; SN

1 MV A.

k

X

D

S 1

(86.44)

Wie groß sind die Widerstände der Wicklungen, welchen

2

Wert haben die Streuinduktivitäten bei f D 50 Hz? Wie

Streublindwiderstand im Sekundärkreis
hoch ist der im Kurzschlussfall sekundärseitig maximal
fließende Strom?

Xk

X

D

S 2

(86.45)

2 ü 2

SN

I

D

D 1 MV A D

1 N

16;67 A

U 1 N

60 kV

Erfolgt die Messung nicht unter Nennbedingungen ( I ¤
k

IN ),

U
müssen die ermittelten Werte auf Nennwerte umgerechnet wer-

N

U

D uk

D 4 % 60 kV D
kN

2400 V
den.

100 %

100 %

UkN

Z D

D 2400 V D 144 (

I
k
kN

I

16;67 A

Nenn-Kurzschlussspannung

U

D

N
kN

Uk

(86.46)

Ik

Über den Leistungsfaktor cos '

I

2
k können die Widerstände
kN

Nenn-Kurzschlussverluste

P

D

kN

Pk

(86.47)

und Streuinduktivitäten berechnet werden.

Ik

R D Z cos ' D 144 ( 0;5 D 72 (

Die im Kurzschlussversuch ermittelte Verlustleistung P
k
k
k
k ist
identisch mit der in den Wicklungen erzeugten Kupferverlust-

X D

D
k

Zk sin ' k

144 ( 0;866 D 124;7 (
leistung P Cu. Findet der Kurzschlussversuch mit Nennstrom

D Rk D 72
statt, gilt:

R 1

( D 36 (I

2

2

Kupferverluste

P

D

D

D Rk D 72

Cu

P 1 kN

U 1 kN I 1 N cos ' k

(86.48)

R 0

( D 36 (

2

2

2

Ferner wird aus den Messergebnissen die relative Kurzschluss-

R 0

R D

2 D 36 ( D

2

1 (
spannung uk bestimmt. Die relative Kurzschlussspannung gibt
ü 2

. 60kV/2

10 kV
den Spannungsfall am Transformator bei Nennbetrieb an und
liegt zwischen 4 % und 16 %.

X

D 124;7

1 D Xk

( D 62;35 (

2

2
relative Kurzschlussspannung

Xk

X 0

D 124;7 ( D 62;35 (

2 D 2

2

UkN
u

X 0
u D

k

UkN

UN

2
k

100 %

(86.49)

X

D 62;35 ( D 1;73 (

U

2 D

N

%

V

V
ü 2

. 60kV/2

10 kV

Tritt am Transformator bei Nennbetrieb ein sekundärseitiger

Der bei diesem Trafo maximal fließende Strom berechnet

Kurzschluss auf, kann der hierbei fließende Dauerkurzschluss-
sich zu
strom ID über die relative Kurzschlussspannung bestimmt wer-
den.

I

2 N

I 1 N ü

I

D

D 2

100 % D

100 %

Dauerkurzschlussstrom
uk
uk

D 16;67 A 6 100 % D 2500;5 A

J

I

4 %

I D IN

D

IN
uk

D

100 %

(86.50)

u

A

A

%

XI
k

Erfolgt der Kurzschlussversuch nicht bei Transformatornenn-

Teil
temperatur von # D 75 °C, muss die ermittelte Kupferverlust- 86.1.3.5 Wirkungsgrad
leistung auf Nenntemperatur umgerechnet werden.

Der Wirkungsgrad eines Systems ergibt sich aus

Verlustleistung bei Nenntemperatur

Wirkungsgrad

D P ab

(86.52)

P

P zu

P

D

235 C 75

Cu 75

P Cu K

# K

Cu 75

P Cu K

(86.51)

235 C # K

W

W
ıC

Für den Transformator ergibt sich unter Berücksichtigung der

Verluste:

Beispiel
zugeführte Wirkleistung

Bei einem Einphasen-Transformator sind die relative

D

C

D

C

C

Kurzschlussspannung u

D

P zu

P ab

PV

P ab

P Fe

P Cu

(86.53)

k

4 % und der Leistungsfak-
tor im Kurzschluss cos ' D
k

0;5 bekannt. Die Nenndaten

D

P ab

(86.54)

P

C

C
ab

P Fe

P Cu

970

86 Elektrische Maschinen

Die Eisenverluste P Fe werden messtechnisch im Leerlaufver-
such bestimmt. Sie sind gleich den Nennverlusten im Leerlauf

P

D

Fe

P 0 N . Da die Leerlaufverluste nur von der angelegten

I

II

III

Spannung abhängig sind, müssen die Verluste bei Spannungs-

1
änderung entsprechend umgerechnet werden.

U

2

P D P

(86.55)

2

Fe

Fe

UN

P Eisenverluste bei beliebiger Spannung U.

Fe

Die Kupferverluste P Cu sind identisch mit den Verlusten PkN aus

2U

2V

2W
dem Kurzschlussversuch. Sie entstehen an den Wicklungen des

Abb. 86.13 Drehstrom-Transformator

Transformators und sind nur abhängig vom Strom. Entspricht
der Strom nicht dem Nennstrom, müssen die Kupferverluste ent-
sprechend umgerechnet werden.

Jahres-Wirkverlustarbeit

I

2

P D P

(86.56)

W Cu

P Cu
tB

Cu

Cu

W

D P t

(86.64)

I

Cu

Cu

B

N

W h

W
h

P Kupferverluste bei beliebigem Strom I.

Cu
tB Betriebszeit; tE Einschaltzeit.

Der Wirkungsgrad h des Transformators kann jetzt für jeden Ar-
beitspunkt bestimmt werden.

Beispiel

P

P

D
ab

D
ab

Bei einem Einphasen-Transformator sind die Kurz-

P

C

C

2

2
ab

P

P

Fe

Cu

P

C

U

C

I

D
ab

P Fe

P
schlussspannung U

1500 V und der Leistungsfaktor

U

Cu

1 k

N

IN

D

(86.57)

im Kurzschluss cos ' k

0;5 bekannt. Die Nenndaten des

Transformators sind U D

D

N

60=10 kV; SN

1 MV A. Wie

Der optimale Wirkungsgrad des Transformators ergibt sich,
hoch ist der Wirkungsgrad im Nennbetrieb bei cos ' D 1,
wenn die Eisenverluste gleich den Kupferverlusten sind. Für den
wenn die Leerlaufverluste P

D

Fe N

10 kW betragen und

Normalbetrieb kann davon ausgegangen werden, dass die Span-
die Kurzschlussspannung bei I

D

1 k

0;625 IN ermittelt
nung U der Nennspannung entspricht und konstant ist ( P D
wurde?

Fe

P Fe). Der optimale Wirkungsgrad stellt sich ein, wenn gilt:

I

D SN D 1 MV A D

1 N

16;67 A

I

2

U 1 N

60 kV

P

D

Fe

P Cu

(86.58)

I

P

D I U cos '

N
kN

N
kN
k
s

16;67 A

P
p

Fe

P Fe

D 16;67 A 1500 V

0;5

I D I

D

N

IN
a
a D

(86.59)

0;625 16;67 A

P Cu

P Cu
p

D 20 kW

P

D P a

(86.60)

T
ab

N

P
eil

D
ab

N

Eine Aussage über den wirtschaftlichen Einsatz eines Trans-

P

C

C
ab

P Fe N

P Cu N

XI
formators kann über den Wirkungsgrad nicht erfolgen, da der

D

1 MW

D 0;97

J

Trafo nicht ständig gleichmäßig belastet wird. Eine wirtschaft-

1 MW 10 kW 20 kW
liche Betrachtung erfolgt mit dem Jahreswirkungsgrad a.

Jahreswirkungsgrad

W

D
ab

86.1.4

Aufbau und Schaltung von
a

(86.61)

W

C

C
ab

W Fe

W Cu

Drehstrom-Transformatoren
elektrische Jahresarbeit

86.1.4.1

Wirkungsweise

W

W

D

ab

P ab
tB
ab

P ab tB

(86.62)

W h

W
h

In Drehstromnetzen werden zum Transformieren von Spannun-
gen Drehstrom-Transformatoren eingesetzt.

Jahres-Leerlaufarbeit

Bei den Drehstrom-Transformatoren werden drei Einphasen-

Transformatoren auf einem gemeinsamen Eisenkern mit drei

W

W

D

Fe

P Fe
tE

Fe

P Fe tE

(86.63)

Schenkeln gewickelt (Abb. 86.13). Die Schenkel des Trans-

W h

W
h
formators sind, da sie in einer Ebene angeordnet werden,

86.1

Transformatoren

971

Tab. 86.2 Kurzzeichen der Wicklungsschaltung

1U 1V 1W

2U 2V 2W N

U
u

OS

US

Yyn0

Dreieck

D
d

W

V w
v

Stern

Y
y

Zickzack

–
z

1U 1V 1W

U
w

Sternpunkt geerdet

N
n
v

Dy5

W

V

2U 2V 2W
u
unterschiedlich lang. Diese Anordnung führt zu unterschied-

1U 1V 1W
lichen Magnetisierungsströmen. Bei symmetrischer Last sind

U
w
die Unterschiede so gering, dass der Drehstrom-Transformator

Yzn5
in seinem Betriebsverhalten wie ein Einphasen-Transformator
v
betrachtet werden kann. Im Drehstromtransformator können die

W

V

2U 2V 2W N
u

Wicklungen im Dreieck oder im Stern geschaltet werden. Aus
dieser Schaltungsart ergibt sich beim Berechnen der Größen des

Abb. 86.14 Auswahl von Schaltgruppen

Transformators, dass sämtliche Rechnungen vorzugsweise im

Strang erfolgen sollten.

86.1.4.3

Unsymmetrische Belastungen

Für die Dreiecksschaltung gilt:

Jeder Transformator muss sowohl im elektrischen als auch im

S

D 1

N Str

SN

(86.65)

magnetischen Gleichgewicht sein, d. h., die in den einzelnen

3

Schenkeln des Transformators auftretenden Flüsse müssen sich

U

D

N Str

UN

(86.66)

immer zum Fluss im Leerlauf ergänzen. Unsymmetrische Belas-
tungen führen bei einigen Schaltungsarten zu Streuflüssen, die

I

D 1
p

N Str

IN

(86.67)

3
das Transformatorgehäuse unzulässig erwärmen können. Trans-
formatoren mit den Schaltgruppen Yyn, Dyn, Yzn und Dzn

Für die Sternschaltung gilt:

können unsymmetrische Lasten problemlos übertragen.

S

D 1

N Str

SN

(86.68)

3

U

D 1
p

N Str

UN

(86.69)

86.1.5

Parallelschalten von Transformatoren

3

I

D

N Str

IN

(86.70)

Sollen mehrere Transformatoren parallelgeschaltet werden,

SN Gesamtnennscheinleistung; SN Str Nennscheinleistung eines
müssen folgende Bedingungen nach VDE 0532 eingehalten

Strangs (Phase); UN Außenleiternennspannung; UN Str Strang-
werden:

nennspannung; IN Leiternennstrom; IN Str Strangnennstrom.

Übersetzungsverhältnis muss gleich sein und Schaltgruppen

86.1.4.2

Schaltgruppen
müssen passen, sonst treten Ausgleichsströme im Leerlauf auf.

Beim Drehstromtransformator können die Wicklungen auf der

Kurzschlussspannungen gleich bei maximaler Abweichung von

Oberspannungsseite (primär) und auf der Unterspannungsseite

10 % ( u

Š
k 1
uk 2), sonst erfolgt eine unterschiedliche Lastauftei-

(sekundär) unterschiedlich geschaltet werden. Neben der Drei-
lung.

ecksschaltung und der Sternschaltung wird auf der Unterspan-

Nennleistungsverhältnis nicht kleiner als 1 W 3.

XI
nungsseite die Zickzackschaltung eingesetzt. Die eingesetzten

Schaltungsarten werden am Transformator durch Buchstaben

Die Zusammenschaltung zweier Transformatoren mit unter-
kenntlich gemacht (Tab. 86.2).

Teil
schiedlichen Schaltgruppen kann nach VDE 0532 Teil 10 er-

Die gebräuchlichsten Schaltgruppen nach VDE 0532 sind in
folgen. Sind zwei Transformatoren mit unterschiedlichen Span-

Abb. 86.14 dargestellt.

nungen zusammengeschaltet (Stufenschalter nicht auf gleicher

Stellung), fließt zwischen den Transformatoren ein Ausgleichss-

Die nach den Buchstaben stehende Zahl gibt die Phasenver-
trom folgender Höhe:

schiebung der Unterspannungsseite gegen die Oberspannungs-
seite an. Die Verschiebung kann durch Multiplikation der nach-

Ausgleichsstrom
gestellten Zahl mit dem Winkel 30° berechnet werden.

u
u u

I D

K 1

Ia

I 1 N

(86.72)

Beispiel
a

.. uk 1 / C . uk 2 //

%

%

A

A

I 1 N

I 2 N

Yy0 ! 0 30ı D 0ıI

Dy5 ! 5 30ı D 150ı (86.71)

u [%] Abweichung der Trafospannungen U 1, U 2.

J

Dieser Ausgleichsstrom fließt schon im Leerlauf und erzeugt

Verluste. Außerdem reduziert er die übertragbare Leistung der

972

86 Elektrische Maschinen

Transformatoren, da er sich ebenfalls zum Laststrom addiert.

2,0

Die Parallelschaltung von Transformatoren mit unterschiedli-

1
t = 0,5
cher Kurzschlussspannung uK führt dazu, dass der Transfor-

1,8
mator mit der kleineren Kurzschlussspannung einen prozentual
höheren Anteil der Last übernehmen muss. Die Lastaufteilung

1,6

2
wird wie folgt berechnet:

rel. Ersatzkurzschlussspannung

1,4 4
k 2

S

6

N ges
u
u

D
k ers
uk 1

SN

1,2
k ers
f. SN 1 / C . SN 2 / C . SN 3 /g

%

%

V A

8
uk 1
uk 2
uk 3

12

(86.73)

1,0

. u

k ers

S ges/

S D

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1

SN 1 . u
k 1

SN ges/

(86.74)

k 1
uk ers relative Ersatzkurzschlussspannung der Parallelschaltung,

Abb. 86.15 k1 und k2 für Öltransformatoren bei 20 °C Umgebungstemperatur

S

C

C

N ges Summe der Trafonennleistungen S 1

S 2

: : :, S ges tat-
sächlich abgenommene Scheinleistung der Parallelschaltung.

die Zersetzungsgase produzieren. Diese Gase werden im Buch-

Beispiel
holzschutz aufgefangen. Ab einer bestimmten Gasmenge erfolgt
über Schwimmerkontakte eine Meldung oder die Abschal-

Die Transformatoren T1 mit U

D

D
tung des Transformators. Ein innerer Lichtbogen (Kurzschluss)

N

10=0;4 kV, SN

630 kV A, u D

D

D
hat zur Folge, dass eine starke Ölströmung im Transformator
k

4 % und T2 mit UN

10=0;4 kV, SN

1000 kV A und u D
auftritt. Diese Ölströmung bewirkt am Stauschieber im Buch-
k

4;5 % werden parallelgeschaltet. Al-
le weiteren Voraussetzungen einer Parallelschaltung sind
holzrelais eine Kontaktgabe. Der Transformator wird sofort
gegeben. Welche maximale Last darf diese Parallelschal-
abgeschaltet. Die Temperaturmessung verhindert bei Wechsel-
tung übertragen, ohne dass einer der Transformatoren
belastungen eine thermische Zerstörung des Transformators,
überlastet wird?

indem die jeweils zulässige Temperatur über Grenzkontakte ein-
gestellt wird. Bei einer Überschreitung dieser Temperatur wird

Ermittlung der relativen Ersatzkurzschlussspannung:

der Transformator abgeschaltet.

SN ges
u

D

1630 kV A

D
k ers

4;29 %
f. SN 1 / C . SN 2 /g

. 630kVA C 1000kVA/
uk 1
uk 2

4 %

4;5 %

86.1.7

Überlastung von Transformatoren

Da keiner der Transformatoren überlastet werden darf,

. u
muss das Produkt
k ers S ges /

Transformatoren sind so ausgelegt, dass sie ihre Nenndaten bei

. uk SN ges/ mit der kleinsten relativen

Kurzschlussspannung den Wert 1 ergeben.

Dauerbetrieb über 24 h und einer bestimmten Kühlmitteltem-
peratur (normalerweise 20 °C) ohne Schädigung der Isolation

Scheinleistung
und anderer Betriebsgeräte aufrechterhalten können. Für den

T

Notfallbetrieb können Transformatoren überlastet werden, d. h.,
eil

. u
k 1

SN ges/

S

D

D 4 % 1630 kV A D
sie können kurzfristig eine Leistung höher als die Nennleistung
ges

1519;8 kV A
uk ers

4;29 %
abgeben (VDE 0536 oder Herstellerangaben). Erfolgt dieser

XI

J

Notbetrieb nach einer Nennbelastung, muss der Betreiber ei-
ne Verkürzung der Lebensdauer des Transformators in Kauf
nehmen. Erfolgt eine Überlastung nicht aus dem Nennbetrieb
heraus, kann anhand von Diagrammen die mögliche Überlast,
die nicht zur Verminderung der Lebensdauer führt, bestimmt

86.1.6

Transformatorschutz
werden.

Zur Ermittlung der möglichen Überlast S 2 muss die vorausge-

Der Schutz von Transformatoren kann über vorgeschaltete
gangene Belastung des Transformators S 1 für .24 t/ Stunden

Schutzeinrichtungen (Sicherungen, elektronische Schutzrelais)

und die Nennleistung bekannt sein. Jetzt kann aus (86.75) und
oder über direkt am Transformator eingebaute Schutzgeräte er-

(86.76) die mögliche Überlast mit der maximalen Überlastzeit
folgen. Zu diesen im Trafo eingebauten Schutzgeräten gehört
als Parameter aus der Abb. 86.15 ermittelt werden.

der Buchholzschutz ebenso wie eine Temperaturüberwachung.

S 1

Der Buchholzschutz ist eine sehr einfache, aber wirksame

Faktor der Vorbelastung

K D

1

(86.75)

S

Schutzmethode. Treten an den Isolationen der Spulen Schwach-

N
stellen auf und kommt es dadurch zu Windungsschlüssen, so

S 2

Faktor der Überlast

K D

2

(86.76)

entstehen als Folgewirkung dieser Schlüsse Teilentladungen,

SN

86.1

Transformatoren

973

Sollte der Transformator mit Überlast betrieben werden, muss

I
der Strom auf das 1,5fache begrenzt werden (Notfallbetrieb:

U1 I

1

1

I2

2fache des Nennstroms).

N1

Beispiel

U2

N2

III

I2

Wie lange kann ein Drehstromöltransformator mit S

D

N

1000 kV A eine Überlast von 200 kVA übernehmen, wenn
der Transformator mit einer Dauerlast von S D 800 kV A
betrieben wird?

Abb. 86.16 Spartransformator

S 1

K D

D 800 kV A D

1

0;8

SN

1000 kV A

S 2

K D

D 1200 kV A D

Reihenwicklung

2

1;2

SN

1000 kV A

Nach Abb. 86.15 ergibt sich eine Überlastzeit von unge-

N1
fähr 5 h.

J

N2

Parallelwicklung

86.1.8

Aufstellen von Transformatoren

Abb. 86.17 Ersatzschaltbild eines Spartransformators

Beim Aufstellen von Transformatoren ist darauf zu achten, dass
sie leicht zugänglich sind, die Sicherheitsabstände eingehalten
werden, die Austauschbarkeit gewährleistet ist, eine ausrei-
resultieren zwei Leistungsbegriffe: die Durchgangsleistung SND
chende Belüftung oder Klimatisierung vorhanden ist und die
und die Typen- oder Eigenleistung SNE. Für den Einphasenspar-

Geräuschentwicklung berücksichtigt wird.

transformator gilt:

Bei Transformatoren mit Isolierflüssigkeiten als Kühlmittel

Durchgangsleistung
sind Auffangwannen oder Gruben vorzusehen, die die gesam-
te Isolierflüssigkeit und auftretendes Wasser aufnehmen können

S

S

D U I

ND

U 1 N

I 1 N

(86.77)

(Pumpensumpf vorsehen). Bei Transformatoren mit mehr als

ND

1 N

1 N

VA

V

A

1000 l brennbarer Isolierflüssigkeit ist zwischen Transformator
und Grube eine Schottervorlage anzuordnen. Nähere Angaben

Eigenleistung
im AGI Blatt J 11 (Arbeitsgemeinschaft Industriebau e. V.).

S

D

NE

. U 1 N U 2 N/ I 1 N

(86.78)

Die Eigenleistung ist derjenige Leistungsanteil, der über den

86.1.9

Sondertransformatoren
magnetischen Kreis übertragen werden muss. Der Vorteil des

Spartransformators gegenüber einem Volltransformator ist, dass

XI

Zu den Sondertransformatoren zählen diejenigen Transforma-
durch die kleinere Eigenleistung erhebliche Materialeinsparun-
toren, die aufgrund ihrer Bauart besondere Eigenschaften auf-
gen erzielt werden. Ein Nachteil ist, dass die Ober- und Un-
terspannungsseite galvanisch miteinander gekoppelt sind. Ein-

Teil
weisen oder nicht alle Anforderungen eines Transformators
erfüllen.

gesetzt werden Spartransformatoren als Kuppeltransformatoren
zwischen dem 380 kV- und dem 220-kV-Netz, um Spannungen
nach längeren Leitungen hochzutransformieren, als Anlass-

86.1.9.1

Spartransformatoren
transformator für Asynchronmotoren und als Vorschaltgerät für

Bei Spartransformatoren weisen Ober- und Unterspannungs-

Natrium-Dampflampen.

wicklung einen gemeinsamen Teil auf, der als Parallelwicklung
bezeichnet wird (Abb. 86.16, 86.17).

Beispiel

Der weitere Anteil der Wicklung ist auf die Oberspannung be-
schränkt und heißt Reihenwicklung. Beide Wicklungsteile sind

Ein Spartransformator soll in einem 110-kV-Drehstrom-
in Reihe geschaltet und sitzen auf einem gemeinsamen Eisen-
netz den Spannungsfall der Leitung von U D

L

1 kV aus-
kern. Die elektrische Leistung wird beim Spartransformator
gleichen. Die zu übertragende Leistung beträgt 10 MV A.

nicht nur magnetisch übertragen, sondern je nach Übersetzungs-

Der Spannungsfall auf der Leitung ist als Strangspannung
verhältnis auch direkt über die galvanische Verbindung. Hieraus

974

86 Elektrische Maschinen
zu betrachten. Der Spartransformator wird normalerweise
a
in den Strang als Einphasen-Transformator eingeschaltet.

Dm

Zur Berechnung der Durchgangsleistung ist deshalb die

Strangspannung des Netzes zu berechnen.

Strangspannung

>500

U

D UN
p D 110 kV
p

D

Str

63;51 kV

3

3

Nennstrom

Abb. 86.18 Aufstellung einer Strombegrenzungsspule; a Abstand der Drossel-

SN
spulen-Mittelachse zum Metallteil

I D p

D 10 MV A
p

D

N

52;5 A

3 UN

3 110 kV

Drosselspule muss soweit von Metallteilen entfernt aufgestellt

Durchgangsleistung
werden, dass keine unzulässige Erwärmung solcher Teile durch

Wirbelströme auftreten kann. Der Abstand zu Konstruktionstei-

S

D

ND

63;51 kV 52;5 A D 3;34 MV A
len aus Stahl sowie Eisenarmierungen sollte mehr als 500 mm
betragen. Kann nicht auf metallische Konstruktionsteile ver-

Eigenleistung
zichtet werden, sollten diese durch nichtleitende Materialien
getrennt werden. Ferner sollte die magnetische Feldstärke den

S

D

D

Wert von H D 20 A=cm nicht überschreiten. Zur Ermittlung der

NE

U I 1 N

1 kV 52;5 A D 52;5 kV A

J

Feldstärke kann folgende Formel benutzt werden (Abb. 86.18):

Feldstärke

86.1.9.2

Drosselspulen

N Dm

H

I

H D 0;1 IN

N

Dm
a

N

(86.83)

A

Drosselspulen werden häufig als Reihendrosselspulen zur Be-
a 2

A
cm
cm

–
cm
grenzung von Kurzschlussströmen eingesetzt. Die Drosselspu-

Dm mittlerer Durchmesser der Drosselspule; a Abstand der
len werden als kurzschlussstrombegrenzende Spulen stets ohne

Drosselspulenmittelachse zum Metallteil; N Windungszahl der

Eisenkern gebaut, damit die im Kurzschluss auftretenden hohen

Drosselspule.

Feldstärken keine Sättigungserscheinungen hervorrufen. Ge-
kennzeichnet wird die Drosselspule durch ihren Spannungsfall

Beispiel
im Nennbetrieb UN Str, den Nennstrom IN, die Eigenleistung
und die Bauleistung.

Die Kurzschlussleistung an einer Verteilung soll von

D

D

Eigenleistung

S D

S 00

600 MV A auf S 00

100 MV A reduziert wer-

E

3 UN Str IN

(86.79)

K 1

K 2
p
den. Die Nennspannung ist U D

N

10 kV, der Nennstrom

Bauleistung

S D

D

3 UN IN

(86.80)

I D

N

600 A. Welche Daten muss die Kurzschlussdrossel-

T
spule haben?

eil

Übliche Baugrößen liegen bei einem prozentualen Spannungs-
fall u

Der prozentuale Spannungsfall berechnet sich zu:

XI

N im Nennbetrieb von 3 bis 10 %.

prozentualer Spannungsfall

C

S 00
u D

S 00 K 1

K 2

N

1;1 100 % SD

p

S 00 S 00

K 1

K 2

UN Str
p
u D

N

3 100 %

(86.81)

U

D 1;1 100 % 3 10;000 V 600 A

N

Der für eine Drosselspule benötigte Spannungsfall ergibt sich

600 106 V A 100 106 V A D 9;53 %
aus der Reduzierung der Kurzschlussleistung nach der Drossel-

600 106 V A 100 106 V A
spule.

Der Spannungsfall an der Drossel sollte mindestens

S 00 C S 00

9,53 % betragen. Die Eigenleistung der Spule hat dann
u D

K 1

K 2

N

1;1 100 % SD

(86.82)

folgenden Wert:

S 00 S 00

K 1

K 2

S 00 Kurzschlussleistung ohne Drosselspule; S 00 Kurzschluss-

S D

E

3 UN Str IN

K 1

K 2
leistung mit Drosselspule.

D 3 9;53 % 10:000 V
p

600 A D 0;99 MV A J

Bei der Aufstellung von Drosselspulen ist darauf zu achten,

100 %

3
dass die Stromwärmeverluste abgeführt werden können. Die

86.1

Transformatoren

975
a
b

L1

K

L zum

U 1 U 2 U 3

U 1

V 1 V

, 2

U 2

Verbraucher

Ober-
spannung
e
k
l

Unter-

Abb. 86.20 Schaltung eines Stromwandlers
n
spannung
u v

1

1, v 2
u

2

86.1.10.1

Spannungswandler
v v

1
v

2 3

Spannungswandler werden mit induktiver und kapazitiver Über-
setzung gebaut. Die Grundschaltungen von Spannungswandlern

Abb. 86.19 Schaltungen von Spannungswandlern. a drei einpolig isolierte
in Drehstromnetzen und die Schaltzeichen sind in Abb. 86.19

Wandler mit Hilfswicklung in offener Dreiecksschaltung, b zwei zweipolig iso-
dargestellt.

lierte Wandler in V-Schaltung

Da der Strom im Sekundärkreis des Spannungswandlers sehr
klein ist ( Ri o), folgt, dass bei einem Kurzschluss im Se-

86.1.9.3

Streufeldtransformatoren
kundärkreis des Spannungswandlers die Kurzschlussströme zur

Streufeldtransformatoren haben eine hohe Kurzschlussspan-

Zerstörung des Wandlers führen können. Spannungswandler
nung. Dadurch wird erreicht, dass im Transformator bei auf-
werden zwei- oder einpolig isoliert gefertigt. Zweipolig isolier-
tretendem Kurzschluss kein hoher Strom fließen kann, der den
te Wandler (Anschluss zwischen zwei Außenleitern) besitzen

Transformator zerstört. Dieses Verhalten nennt man auch span-
eine Primärwicklung, die mit allen Anschlüssen entsprechend
nungsweich. Zu den Streufeldtransformatoren gehören Klingel-,
dem Isolationspegel des Hochspannungsnetzes isoliert ist. Bei

Spielzeug-, Schutz-, Zünd- und Schweißtransformatoren sowie
einpolig isolierten Wandlern (Anschluss zwischen Außenleiter

Transformatoren für Leuchtröhrenanlagen.

und Erde) ist nur eine Klemme der Primärwicklung für die vol-
le Netzspannung isoliert. Der zweite Anschluss wird geerdet.

Als Isoliermittel für Spannungswandler wird Gießharz einge-
setzt.

86.1.10

Messwandler

Messwandler sollen Spannungen und Ströme in elektrischen

86.1.10.2

Stromwandler

Anlagen für Mess-, Schutz- und Verrechnungszwecke auf mess-

Stromwandler werden hauptsächlich als induktive Wandler ge-
bare Werte mit genormten Messbereichen umwandeln. Die
baut. Die Schaltzeichen und Schaltungen von Stromwandlern
wesentlichen Anforderungen sind sichere Trennung zwischen
sind in Abb. 86.20 dargestellt.

Mittelspannungsnetz und Messstromkreis und eine möglichst
genaue Abbildung der zu messenden Größen. Diese Forderun-

Da der Stromwandler nahezu im Kurzschluss betrieben wird,
gen werden bisher überwiegend mit induktiven Wandlern gelöst.

entsteht beim Öffnen der Sekundärseite an den Sekundärklem-

Induktive Wandler sind Spezialtransformatoren kleiner Leis-
men eventuell eine Überspannung, die zur Gefährdung von Per-
tung entsprechend dem Leistungsbedarf der angeschlossenen
sonen und zum Überschlag führen kann. Die genormten Ströme

Messeinrichtung. Die elektrischen Eigenschaften von Wandlern
der Sekundärseite sind: Messkern 5 A, 1 A (2 A), 0,5 A; Schutz-
lassen sich wie bei Transformatoren erklären, wobei Spannungs-
kern 5 A, 1 A. Stromwandler werden in den verschiedensten

XI
wandler fast im Leerlauf arbeiten ( Ri o) und Stromwandler Ausführungen hergestellt. Nach Art der Wicklung unterscheidet
fast im Kurzschluss ( Ri n). Messwandler sind entsprechend man zwischen den Einleiterstromwandlern, die primär nur eine
ihrer Genauigkeit in Klassen eingeteilt. Normwerte sind: Klas-

Windung besitzen, und den Wickelstromwandlern, bei denen die

Teil
sen 0,1–0,2–0,5–1,0–3,0–5,0–10. Ferner werden die Wandler

Primär- und Sekundärwicklungen aus vielen Windungen beste-
noch nach der Art ihres Einsatzes unterschieden. Soll der Wand-
hen. Der Vorzug der Einleiterstromwandler liegt in ihrer großen
ler für Messungen eingesetzt werden, wird das mit einem „M“

Kurzschlussfestigkeit, da auf einen ohne Schleife durch den
hinter der Klasse verdeutlicht. Wandler für Schutzaufgaben er-

Kern geführten Leiter praktisch keine mechanischen Beanspru-
halten ein „P“ hinter der Klasse (z. B. die Klasse 1,0 M oder
chungen wirksam werden. Der Wickelstromwandler lässt sich

Klasse 1,0 P). Zur Veranschaulichung, bis zu welchem Strom
dagegen besser bei kleinen primären Strömen einsetzen. Er kann
die Klassengenauigkeit eingehalten wird, steht hinter der Ein-
durch Umschaltlaschen in der Primärwicklung an verschiedene
satzart noch der Faktor, bezogen auf den Nennstrom, bis zu dem

Nennströme angepasst werden. In einem Stromwandler lassen
die Klassengenauigkeit nicht überschritten wird. Beispiel: Klas-
sich mehrere Kerne unterbringen, die für verschiedene Aufga-
se 5P10 bedeutet, dass der Wandler bis 10 IN einen Messfehler
ben eingesetzt werden, so z. B. ein Kern für Messungen und ein

< 5 % hat.

Kern für Schutzaufgaben.

976

86 Elektrische Maschinen

86.2

Drehstrommaschinen

Tab. 86.3 Zusammenhang zwischen Polpaarzahl und Drehzahl

Polpaar-

Polzahl Anzahl der Winkel zwischen Zeit für eine Umdre-
zahl

Spulen
den Spulen in °
hung des Drehfeldes

Werden an einem Ständer drei Spulensysteme in einem Win-

1

2

3

120

1 T
kel von 120° angeordnet und schließt man diese Spulen an ein

2

4

6

60

2 T

Drehspannungssystem wie in Abb. 86.21 dargestellt an, so er-

3

6

9

40

3 T
zeugt der dann fließende Strom eine resultierende Durchflutung,
p

2 p

3 p

360ı
pT
die sich um den Ständer dreht und im Luftspalt ein umlaufendes

3 p

Feld (Drehfeld) erzeugt.

I 1 R 1

X 1

X 2s

R 2s

Dieses Drehfeld hat, bei drei Spulen im Ständer, einen Winkel

I 0
von 360° überstrichen, wenn die Spannung eine Periode durch-
i Fe
i magn
laufen hat. Die Umlaufgeschwindigkeit des Drehfeldes ist also

U

U

1

R Fe

X h

U 2
h
von der Frequenz der angelegten Spannung abhängig. Ordnet
man sechs Spulen, die um 60° verdreht sind, im Ständer an

(Abb. 86.22), benötigt das Drehfeld zwei Perioden, bis es einen

Winkel von 360° überstrichen hat.

Abb. 86.23 Vollständiges Ersatzschaltbild der Drehstromasynchronmaschine
als Käfigläufer (Läuferspulen kurzgeschlossenen) im Stillstand

Damit ist die Umlaufgeschwindigkeit des Drehfeldes auch von
der Anzahl der im Ständer vorhandenen Pole abhängig.

f 60
n
f
p

86.2.1

Die Drehstromasynchronmaschine

Drehzahl
n D

(86.84)

p
min1

Hz

–

Die Drehstromasynchronmaschine spielt in der Antriebstech-
n Drehzahl des Drehfeldes; f Frequenz der Netzspannung; p An-
nik eine überragende Rolle, da sie aufgrund ihres einfachen
zahl der Polpaare.

Aufbaus nahezu wartungsfrei ist und durch die Frequenzum-

Die Anzahl der Polpaare kann aus dem Winkel zwischen den
richtertechnik problemlos gesteuert werden kann. Asynchron-

Ständerspulen ermittelt werden.

maschinen gibt es von Leistungen < 1 kW bis in den MW-

Bereich. Die Asynchronmaschine ist eine Drehfeldmaschine
und besitzt daher im Ständer eine Drehstromwicklung. Der Läu-
fer ist ebenfalls mit einer Drehstromwicklung ausgestattet, die

1U1
beim Schleifringläufer über Schleifringe und Bürsten heraus-
geführt wird, beim Kurzschlussläufer aus Profilstäben (Kupfer

2V1

2W1
oder Bronze) besteht, die an den Enden verbunden sind. Bei
kleineren Maschinen werden die Läuferwicklungen im Spritz-
gussverfahren aus Aluminium hergestellt.

86.2.1.1

Wirkungsweise der Asynchronmaschine

1W1

1V1

Die Betrachtung der Asynchronmaschine im Stillstand zeigt ein

Teil

Verhalten wie ein Transformator. Das Drehfeld im Ständer in-

2U1
duziert im Läufer eine Spannung und diese wiederum einen

XI

Strom. Die ohmschen Verluste kennzeichnen die Ständer- oder

Abb. 86.21 Grundaufbau einer zweipoligen Drehfeldmaschine

Läuferwicklung, die Streuinduktivitäten entstehen an den Wi-
ckelköpfen und an den Nuten.

1U1

2V2

2W2

Das Ersatzschaltbild der Asynchronmaschine ist im Stillstand
also identisch mit dem Trafoersatzschaltbild (Abb. 86.23). Bei

2W1

1V1
der Betrachtung der Asynchronmaschine bei sich drehendem

Läufer kann das Trafoverhalten nicht mehr ohne weiteres her-

2U2

1U2
angezogen werden. Durch die induzierte Spannung im Läufer
wird ein Stromfluss hervorgerufen, der mit dem umlaufenden

Ständerdrehfeld eine Kraft auf den Läufer ausübt.

2V1

1W1

F D I

L

B St l sin ˛

F

IL

B St
l

(86.85)

N

A

V s
m

1W2

1V2
m2

2U1

IL Läuferstrom; B St Ständerfluss; l Länge der Spulen im Feld; ˛

Abb. 86.22 Grundaufbau einer vierpoligen Drehfeldmaschine

Winkel zwischen I und B normal 90°.

86.2

Drehstrommaschinen

977

Das hieraus resultierende Drehmoment beschleunigt den Läufer

I 1 R 1

X s1

X s2

R s2
in Richtung des Drehfeldes.

i 0
i Fe
i magn

M

F
d

M D F d

(86.86)

1– s

U 1

R

X

U

Fe
h

U 2
h

×

2

N m

N
m

R 2
s
d Läuferdurchmesser.

Da der Läufer ebenfalls in Richtung des Drehfeldes bewegt
wird, entsteht in ihm ein geringerer Stromfluss ( U D

Abb. 86.24 Vollständiges Ersatzschaltbild der Drehstromasynchronmaschine
i

B v l)

und somit ein kleineres resultierendes Moment. Hat der Läufer
als Käfigläufer
die gleiche Drehzahl wie das Drehfeld erreicht, ist I D 0 )

M D 0. Bedingt durch Reibungs- und Widerstandsverluste im

Läufer, muss immer ein Drehmoment zur Deckung der Verluste
mit s D f und X D 2 p f L
f

H

H .

vorhanden sein. Der Läufer kann also niemals synchron mit dem

Diese Beziehung kann gleichermaßen für die Streuinduktivität

Ständerdrehfeld mitlaufen. Der Unterschied zwischen der syn-

X
chronen Drehzahl und der tatsächlichen Drehzahl des Läufers
s und den Eisenverlustwiderstand R Fe aufgestellt werden. Für
die Ständerspannungsgleichung ergibt sich hieraus:

wird als Schlupf s bezeichnet.

Ständerspannung
nL
f

Schlupf
s D n 0

D f fL D

(86.87)

n 0
f
f

. sR

Fe
jsXH/

U 0 D 0 D I 0 . R 0 C jsX 0 / C I

(86.93)

2

2

2
s 2

0

. sR C jsX
n D f 60

D fL60

Fe

H /

0
synchrone Drehzahl; n

Läuferdrehzahl.

p

L
p

R 0

. R

Fe
jXH/

U 0 D 0 D I 0

2 C jX 0

C I

(86.94)

2

2
s
s 2

0

. R C jX

86.2.1.2

Betriebsverhalten der Asynchronmaschine

Fe

H /

Das Betriebsverhalten der Drehstromasynchronmaschine ist

Gleichung (86.94) ergibt sich aus (86.94) durch Ausklammern
nicht mehr mit dem des Transformators zu vergleichen, da diese
des Schlupfes s. Den ohmschen Widerstand im Läuferkreis von

Maschine eine elektrische Leistung in eine mechanische Leis-

(86.95) kann man wie folgt aufteilen:

tung umformt. Damit das Verhalten der Asynchronmaschine
deutlicher wird, betrachtet man verschiedene Betriebszustände

R 0

Ständerwirkwiderstand

2 D R 0 C 1 s R 0

(86.95)

und verallgemeinert hieraus das Verhalten.

s

2
s

2

Das Ersatzschaltbild der Asynchronmaschine ist identisch mit

86.2.1.2.1

Spannungsgleichung, Ersatzschaltbild
dem des Transformators (Abb. 86.24). Der auf der Sekun-

Im Stillstand der Asynchronmaschine gilt das Transformatorer-
därseite angeordnete Widerstand R 0 .1 s/ entspricht einem

2
s
satzschaltbild und die Transformatorgleichung im Kurzschluss.

Lastwiderstand beim Transformator. Die in diesem Widerstand

Die Ständerspannungsgleichung lautet:

umgesetzte Leistung ist die an der Welle der Maschine abgege-
bene oder aufgenommene mechanische Leistung einschließlich

Ständerspannung
der Reibungsverluste.

. R

Fe
jXH/

U 0 D 0 D I 0 . R 0 C jX 0 / C I

(86.88)

2

2

2
s 2

0

. R C

Fe
jXH/

86.2.1.2.2

Leistungsfluss

Die Läuferspannungsgleichung lautet:

Die von einer Asynchronmaschine aufgenommene Wirkleistung

XI
berechnet sich wie folgt:

Läuferspannung

aufgenommene Wirkleistung

Teil

. R

Fe
jXH/

U D I . R C jX

(86.89)

1

1

1
s 1/ C I 0

. R C

Fe
jXH/

P

D

D

zu

P el

3 U Str1 I Str1 cos '1

(86.96)

Die induktiven Widerstände X 0 und X
s 2

H sowie die Eisenverluste

Von dieser Leistung werden die im Ständer auftretenden Ver-

R Fe sind proportional zur Frequenz zwischen Ständer und Läu-
luste P
fer. Da sich diese Frequenz mit steigender Drehzahl verringert,

Cu1 und P Fe abgezogen. Die verbleibende Leistung wird
über den Luftspalt als Luftspaltleistung Pı übertragen. Die an
verringern sich auch die Widerstände.

der Welle abgegebene Leistung ist die Luftspaltleistung abzüg-

Ständer-Läufer-Impedanz
lich der im Läufer auftretenden Verluste P Cu2.

X D 2 f L

Luftspaltleistung

H

H

(86.90)

f

X D 2 f L f D 2
f L

R 0

H

H

H

(86.91)

2
f
f

Pı D P

C

D

el

. P Cu1

P Fe/ D 3 I 02

3 U

I 0 cos '

2Str

H

2
s

2

X D s X

(86.97)

H

H

(86.92)

978

86 Elektrische Maschinen

I

X

R

4000

6

1

2s

2s

–1

A
i
min ; W

1
i

0

Fe
i
n
cos
magn

3000

4,5

0,9

1– s
h

U

X

1

R
h

U

U

Fe

2
h

× R 2
s

P zu

2000

3

0,6

I
n, P

I 1

P ab

1000

1,5

0,3

Abb. 86.25 Vereinfachtes Ersatzschaltbild der Drehstromasynchronmaschine
cos
als Käfigläufer

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Nm

M

Kupferverlustleistung im Läufer

Abb. 86.26 Belastungskennlinie eines 1 kW-Drehstrom-Asynchronmotors

P

D

D

Cu2

3 I 02

R 0
s P

2Str

2
ı

(86.98)

mechanisch abgebbare Leistung
mit Nennfrequenz keinen großen Einfluss auf die Kennlinie
hat. Bei kleineren Maschinen werden die Betriebskennlinien

P

D

D

D
ab

P mech

Pı P Cu2

Pı s Pı D .1 s/ Pı
für erste Betrachtungen hinreichend genau erfasst. Nach dem

(86.99)

vereinfachten Ersatzschaltbild ist die Spannung an der Haupt-
induktivität gleich der Netzspannung und somit der Magneti-

Die mechanische Leistung der Asynchronmaschine ist also stark
sierungsstrom I
schlupfabhängig, d. h., für den Schlupf s D 1 (Stillstand) kann

0 nur von der Höhe der angelegten Spannung
abhängig. Da der Strom im Ständerkreis auch direkt von der
an der Welle keine Leistung abgegeben werden. Die gesamte
angelegten Spannung abhängig ist, ergibt sich für das Moment

Leistung, die über den Luftspalt transportiert wird, setzen die
folgende Abhängigkeit:

Läuferwicklungen in Verlustwärme um. Beim Schlupf s D 0

(Synchronismus) ist die über den Luftspalt transportierte Leis-
tung Null, da der Widerstand im Ständerkreis gegen 1 geht

M D d F D I 0 B l d sin ˛I

2

St

R 0

2

2

( 2 ! 1). Zwischen s = 1 und s D 0 durchwandert die Luft-
s

B

I U I

I 0 U

)

M U 2
spaltleistung ein Maximum, das beim Kippschlupf s

St

0

H

2

H

H

K auftritt.

Der Wirkungsgrad des Asynchronmotors ergibt sich aus dem

Ebenso wie die Luftspaltleistung hat das Moment sein Maxi-

Verhältnis der abgegebenen zur aufgenommenen Wirkleistung.

mum beim Kippschlupf. Dieses Moment wird als Kippmoment

Wirkungsgrad

MK bezeichnet. Die Spannungsgleichung des vereinfachten Er-
satzschaltbildes ergibt sich zu:

P

P

P

D ab D
mech

Š ı P Cu2 D 1 s (86.100)

P

C
zu

Pı C P Fe

P Cu1

Pı

R 0

U

D U D I 0

2 C jX 0

(86.103)

Str1

H

Str2
s

Das an der Welle auftretende Drehmoment berechnet sich zu:

s

Motormoment

Die Stromgleichung zu:

T

"

#
eil

P

R 0

M D P mech
mech
n

M

(86.101)

2

X 0

2 p n

W
s1

N m

I 0

D

UH

s
s

Str2

D U

j

R 0

H

R 0

2

R 0

2

XI

2 C jX 0

2

C X 02

2

C X 02

Pı
s
s
s
s
s
s

M D

(86.102)

(86.104)

2 p n 0

Gleichung (86.102) ergibt sich durch Ersetzen von n D .1 s/

Aus der Gleichung erkennt man, dass der Strom für s D 1
n

D
einen Maximalwert annimmt und für s D 0 Null wird.

0 und P mech

.1 s/ Pı.

Der Leistungsfaktor steigt mit sinkendem Schlupf bis zu einem

86.2.1.2.3

Betriebskennlinien

Maximalwert und fällt dann wieder. Die Abhängigkeiten von I 0 ,

2

M, P und cos ' vom Schlupf sind in Abb. 86.26 dargestellt.

Mit (86.90) und (86.95) kann die Betriebskennlinie des Asyn-
chronmotors berechnet werden. Diese Berechnung erfordert
jedoch einen hohen Rechenaufwand. Deshalb wird die Be-

86.2.1.3

Kurzschlussläufer
triebskennlinie des Asynchronmotors über ein vereinfachtes

Die Läuferwicklungen beim Kurzschluss- oder Käfigläufer be-

Ersatzschaltbild (Abb. 86.25) ermittelt.

stehen aus Stäben, die in eine vorgefertigte Nut eingelegt oder

Hierbei werden die Ständerverluste und Ständerstreuinduktivi-
gespritzt werden. Die gebräuchlichsten Nutformen sind der
täten vernachlässigt, was für Maschinen > 15 kW beim Betrieb

Rundstab, Hochstab und Doppelstab (Abb. 86.27).

86.2

Drehstrommaschinen

979

Rundstabläufer

Doppelstabläufer

3

Hochstabläufer

M

3

Abb. 86.27 Nutformen des Drehstrom-Asynchronmotors

Abb. 86.29 Ständerspannungsänderung mit Thyristorsteller

M

1

Kippmoment ansteigt. Diese Verminderung des Moments verur-

2
sachen Oberwellenmomente, die sich dem Grundmoment über-

3
lagern. Die Oberwellen werden bei der theoretischen Betrach-
tung der Asynchronmaschine vernachlässigt, da ihr Einfluss nur
im unteren Drehzahlbereich auftritt. Das durch den Momen-
tenabfall entstehende minimale Moment bezeichnet man als

Sattelmoment. Beim Anfahren der Maschine ist darauf zu ach-
n

1 Doppelstabläufer
ten, dass das Gegenmoment nicht größer als das Sattelmoment

2 Hochstabläufer
wird (nähere Festlegungen in VDE 0530).

3 Rundstabläufer

Abb. 86.28 Drehzahl-Drehmomentkennlinien verschiedener Nutformen des

86.2.1.3.1

Anlassverfahren

Drehstrom-Asynchronmotors

Befindet sich der Läufer der Asynchronmaschine im Stillstand

(Anlauf), wird ein hoher Strom (6–8-facher Nennstrom) aus
dem Netz aufgenommen. Dieser Strom verursacht auf den

Der Rundstabläufer hat praktisch die gleichen Eigenschaften

Zuleitungen einen erhöhten Spannungsfall. Deshalb versucht
wie ein Läufer mit gewickelten Spulen. Beim Hochstab- oder
man, diesen Strom zu verringern. Möglichkeiten der Anlauf-

Doppelstabläufer bewirkt die Form der Nuten, dass nicht mehr
strombegrenzung sind die Senkung der Ständerspannung, der
alle Nutabschnitte von der gleichen Anzahl von Feldlinien ge-

Stern-Dreieckanlauf und die Beschaltung mit einem Widerstand
schnitten werden. Hieraus resultiert, dass die tiefer liegenden
im Ständerkreis. Durch Verändern der Ständerspannung kann

Nutbereiche von mehr Feldlinien, die Bereiche in der Nähe
die Höhe des Stroms und des Moments beeinflusst werden. Da
des Luftspaltes dagegen von weniger Feldlinien umschlossen
der Motor normalerweise für die angelegte Netzspannung ge-
sind. Als Folge dieser ungleichmäßigen Feldlinienverteilung
kauft wurde, ist eine Spannungsänderung nur in eine Richtung
ist die Selbstinduktivität am unteren Nutbereich größer als am
möglich.

Luftspalt. Die Induktionsspannung ist also am Luftspalt am
geringsten. Der Strom ist nicht mehr gleichmäßig in der Nut

Die Ständerspannung kann durch einen Transformator (Spar-
verteilt, sondern wird in Richtung Luftspalt gedrängt. Als Folge
trafo) oder durch einen Thyristorschalter (Abb. 86.29) verän-
dieser Stromverdrängung wird der Wirkwiderstand größer, die
dert werden. Bei der Spannungverringerung verändert sich der

XI

Streuinduktivität kleiner. Der resultierende Scheinwiderstand

Strom proportional zur Spannung, das Moment jedoch qua-
wird kleiner, der Strom im Läufer also größer. Ausschlaggebend
dratisch ( I U; M U 2). Eine Anlaufschaltung durch

Spannungssenkung ist aus diesen Gründen nur für leichte An-

Teil
ist jedoch, dass das Läufermoment wesentlich stärker steigt als
der Strom, da das Moment im Anlauf von der im Luftspalt um-
laufbedingungen möglich.

gesetzten Wirkleistung abhängig ist. Hat der Käfigläufer nicht

Beim Stern-Dreieck-Anlauf (Abb. 86.30) werden die Ständer-
einen Rundstab, sondern eine andere Stabform, so bezeichnet
wicklungen während des Anlaufvorganges im Stern geschaltet.

man den Käfigläufermotor auch als Stromverdrängungsläufer.

Hierdurch liegt an den Wicklungen eine geringere Spannung

Der Stromverdrängungsläufer hat jedoch den Nachteil, dass

(Strangspannung) an, und es fließt ein kleinerer Strom. Mit dem
im Bereich der synchronen Drehzahl die Streuinduktivität im

Strom verringert sich jedoch das Anlaufmoment

Gegensatz zum Normalmotor größer und somit der Leistungs-

U

I
p
faktor schlechter ist. Ebenso ist das Kippmoment kleiner als

Y

Stromverhältnis

D

3 Z
p

D 1

(86.105)

bei stromverdrängungsfreien Motoren. Die realen Drehmoment-

I

3 U

3

Z

Drehzahlkennlinien dieser Maschinen sind im Abb. 86.28 dar-

. U
p /2
gestellt. Im Bereich kleiner Drehzahlen fällt auf, dass das

MY

Momentenverhältnis

D

3

D 1

(86.106)

Moment von seinem Anlaufwert leicht abfällt und dann bis zum

M

U 2

3

980

86 Elektrische Maschinen

L1L2L3

Tab. 86.4 Faktor zur Bestimmung des Gleichstroms beim Gleichstrombremsen
von Asynchronmotoren

Schaltungsart
a
b
c
d
k-Faktor

1,225

1,41

2,21

2,45

Tab. 86.5 Faktor zur Bestimmung der Gleichspannung beim Gleichstrombrem-
sen von Asynchronmotoren

Schaltungsart
a
b
c
d

C-Faktor

2

1,5

0,667

0,5

W1

W2

V1

M

V2
a
c

U1

3

U2

Abb. 86.30 Stern-Dreieck-Anlauf-Stromplan

L1L2L3
b
d

Abb. 86.32 Schaltung zum Gleichstrombremsen von Asynchronmotoren
sung, die Gegenstrombremsung und die übersynchrone Brem-

M
sung. Bei der mechanischen Bremsung wird der Motor nicht

3
belastet. Nachteil dieser Bremsart ist, dass die Bremsbeläge
einem hohen Verschleiß unterliegen und somit ein hoher War-
tungs- und Ersatzaufwand notwendig ist. Diese Bremsart sollte

Abb. 86.31 Stromlaufplan der KUSA-Schaltung
nur als Zusatz- oder Notbremse eingesetzt werden.

Die Gleichstrombremsung ist die effektivste Bremsmethode.

Der Stern-Dreieck-Anlauf darf nur bei leichten Anlaufbedin-

Hierbei wird der Motor vom Netz getrennt und die Ständer-
gungen eingesetzt werden, wenn der Motor mit verminderter
wicklungen nach Abb. 86.32 an einen Gleichstrom niedriger

Last anläuft, da beim Umschalten von Stern- auf Dreieck-

Spannung angeschlossen. Das sich dabei einstellende Moment
kann aus der Drehzahl-Drehmomentenkennlinie ermittelt wer-

T
schaltung ein Stromstoß auftritt, der annähernd gleich dem
eil

D

Anlaufstrom sein kann.

den, indem die Drehzahl n durch die Bremsdrehzahl n BG
n 0
n ersetzt wird. Der Bremsgleichstrom I BG sollte den 2,5fachen

XI

Schaltet man einen Widerstand in einen Strang (Abb. 86.31),

Wert des Nennstromes nicht überschreiten. Bei dieser Bremsart
so verhält sich der Asynchronmotor wie ein Wechselstrom-
ist kein Anlauf in entgegengesetzter Richtung möglich, und die
motor mit Hilfswicklung. Diese Schaltung wird auch KUSA-

Wärmeentwicklung in den Spulen ist gering. Anhaltswerte für

Schaltung (Kurzschlussläufer-Sanftanlauf) genannt. Durch den
die Berechnung des Gleichstroms sind in (86.107) und Tab. 86.4

Widerstand in einem Strang wird das Drehfeld in ein elliptisches
zusammengefasst.

Feld verwandelt, und das Moment sinkt mit zunehmendem Wi-
derstand. Der Strom in dem mit dem Widerstand behafteten

Bremsgleichstrom

I

BG
k IN 1;5

(86.107)

Strang sinkt zwar, dafür steigen jedoch die Ströme in den an-
deren beiden Strängen. Durch die KUSA-Schaltung erhält man

Die Gleichspannung berechnet sich nach (86.109) und Tab. 86.5
ein kleineres Moment, jedoch keine kleineren Ströme.

Bremsgleichspannung

U

D

Gl

C I BG R Str
oder
warm

86.2.1.3.2

Bremsverfahren

U

D

Gl

1;3 C I BG R Str

(86.108)

kalt

Mögliche Bremsverfahren für den Asynchronmotor sind die

Abbremsung über mechanische Bremsen, die Gleichstrombrem-

U

D

Gl

1;3 C I BG R Str

(86.109)

kalt

86.2

Drehstrommaschinen

981

Beispiel

Netz

Ausgang

Ein Drehstromasynchronmotor mit einem Nennstrom

I D

D
n

50 A und einem Strangwiderstand R Str

2 ( wird
im warmen Zustand über eine Gleichstrombeschaltung
nach Schaltungsart b abgebremst. Welcher Gleichstrom
darf maximal zugelassen und welche Gleichspannung
sollte an die Wicklungen angelegt werden?

a
b

I

I

Für Schaltungsart b gilt:

I

BG
k IN 1;5 D 1;41 IN 1;5 D 1;41 50 A 1;5
t
t

D 105;75 A

6-pulsig

12-pulsig

U

D

D

Gl

C I BG R Str

1;5 105;75 A 2 (
warm

D 317;25 V

J

Abb. 86.33 Stromzwischenkreisumrichter

Dadurch treten weniger Verluste in der Primärwicklung und in

Die Gegenstrombremsung hat eine extreme Bremswirkung.

den Zuleitungen auf.

Hierbei werden zwei Phasen des Ständers vertauscht. Am Stän-
der stellt sich ein gegenläufiges Drehfeld ein, das versucht, den

Läufer mitzureißen. Der Schlupf wird größer 1. Wird eine Ge-

86.2.1.3.5

Frequenzänderung
genstrombremsung aus einer Nenndrehzahl nahe der Leerlauf-
drehzahl ausgeführt, ist die thermische Motorbelastung zweimal

Eine Frequenzänderung hat zur Folge, dass die synchrone Dreh-

D
so groß wie beim Anlauf. Bei der Gegenstrombremsung wird
zahl der Maschine entsprechend der Beziehung n 0
f = p
die mechanische Leistung und zusätzlich die aufgenommene
beeinflusst wird. Da durch eine Frequenzänderung die Höhe
elektrische Leistung in Wärme umgewandelt. Deshalb muss
der induktiven Widerstände ebenfalls verändert wird, muss ne-
überprüft werden, ob der Bremsvorgang länger als 5 s dau-
ben der Frequenz auch die Spannung in gleicher Richtung
ert, da die Maschine sonst thermisch überlastet wird. Damit die
variiert werden. Zur Drehzahlsteuerung von Asynchronmaschi-

Maschine nicht in entgegengesetzte Richtung anläuft, muss ein
nen werden deshalb Frequenzumrichter eingesetzt, bei denen

Drehzahlwächter den Bremsvorgang überprüfen und die Netz-
durch geeignete Maßnahmen die Frequenz und die Spannung
spannung kurz vor dem Stillstand abschalten.

parallel beeinflusst werden. Zum Einsatz gelangen zwei Arten
von Frequenzumrichtern, der Spannungszwischenkreisumrich-

Die übersynchrone Bremsung kann nur eingesetzt werden, wenn
ter und der Stromzwischenkreisumrichter.

die Last den Motor antreibt. Die Asynchronmaschine arbeitet
dann als Generator und hat einen Schlupf s < 0; der Läufer

Beim Stromzwischenkreisumrichter (Abb. 86.33) wird die
dreht also schneller als das Ständerfeld. Dieser Bremsvorgang

Netzspannung über eine gesteuerte Gleichrichterbrücke in ei-
hat wenig Stromwärmeverluste. Eingesetzt wird er bei Dah-
ne Gleichspannung mit variabler Höhe umgewandelt. Auf der
landerantrieben, bei Frequenzumrichterantrieben und bei einer

Motorseite wird die Gleichspannung in 120°-Rechteckblöcke

Beschleunigung der Maschine durch die Last, wie z. B. bei He-

(mit der entsprechenden Frequenz) auf die Wicklungsstränge
bezeugen.

des Motors gegeben. Eine Induktivität im Gleichstromkreis be-
stimmt die Höhe des Gleichstroms. Die Motorspannung stellt
sich annähernd sinusförmig mit überlagerten Kommutierungs-

XI

86.2.1.3.3

Drehzahlsteuerung
spitzen ein. Die Oberschwingungen des Stroms weisen ihre
höchsten Amplituden bei den niedrigen Ordnungszahlen auf.

Eine Drehzahländerung des Käfigläufermotors kann durch Ver-

Teil

Bei Teilbelastung gehen die Oberschwingungen anteilig zurück,
ändern der Ständerspannung, Veränderung der Frequenz und
da sie stromabhängig sind. Um die Oberschwingungen klein zu
geeignetes Umschalten von Spulengruppen in der Ständerwick-
halten, sollte ein zwölfpulsiger Umrichter eingesetzt werden.

lung erfolgen.

Stromzwischenkreisumrichter werden bei mittleren und größe-
ren Leistungen eingesetzt, da sie Bremsenergie in das Netz

86.2.1.3.4

Ständerspannungsänderung
zurückspeisen können. Im Gegensatz zum U-Umrichter kann
der I-Umrichter nicht mehrere Motore gleichzeitig versorgen.

Die Ständerspannungsänderung lässt eine Drehzahlsteuerung

Der U-Umrichter nimmt Blindleistung aus dem Netz auf und
nur bis zum Kippschlupf zu. Einschränkungen: Die Verluste
gibt Oberwellen an das Netz ab.

vergrößern sich, der Wirkungsgrad sinkt, und es besteht die

Möglichkeit, dass durch Lastwechsel ein Gegenmoment auftritt,

Beim Spannungszwischenkreisumrichter (Abb. 86.34) wird über
das größer als das Kippmoment ist und damit zum Stillstand
einen Gleichrichtersatz eine Gleichspannung konstanter Höhe
des Motors führt. Spannungsverminderung wird bei getakteten
aus dem Drehstromnetz erzeugt. Diese Gleichspannung wird

Motoren eingesetzt. Läuft der Motor im Leerlauf, kann der Leer-
mit elektronischen Schaltern (Transistoren, Thyristoren) in ei-
laufstrom durch eine Spannungsverminderung gesenkt werden.

ne Wechselspannung mit veränderbarer Frequenz und Span-

982

86 Elektrische Maschinen

RΔ x

XΔ x

Netz

Ausgang

GΔ x

C x

Δ

Abb. 86.36 Ersatzschaltbild Leitungsstück

U
t
geschwindigkeit können ferner Spannungsspitzen entstehen, die
die Isolation des Motors beanspruchen und zerstören können.

Durch kapazitive Ableitungen werden Messanordnungen beein-

Abb. 86.34 Spannungszwischenkreisumrichter
flusst. Filter am Ausgang des Frequenzumrichters können diese

Vorgänge vermeiden oder mindern. Sie dürfen die Frequenzen
unter 100 Hz jedoch nicht beeinflussen! Je höher die Schalt-
frequenz, desto besser der Einfluss der Filter. Je kleiner die

Netz

Ausgang

Schaltfrequenz, desto teurer die Filter. Optimale Schaltfrequen-
zen liegen bei 20 kHz. Für Frequenzumrichter ohne Filter kann
ein 10 m langes Motorkabel schon als lange Leitung betrachtet
werden. Die Spannung am Anfang der Leitung ist dann nicht
mehr gleich der Spannung am Ende (in der 50-Hz-Technik liegt
a
b
die Grenze bei 50 km).

I

I

Für einen Leitungsabschnitt gilt folgendes Ersatzschaltbild

(Abb. 86.36). Für hohe Frequenzen kann R ! 0 und G ! 0
t
t
gesetzt werden.

6 pulsig

18 pulsig

Beispiel

Abb. 86.35 Spannungszwischenkreisumrichter in PAM-(Chopper-)Schaltung

Mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit v und dem Wel-
lenwiderstand Z ergeben sich für ein Kabel NYY-I 4
nung umgeformt. Eine veränderbare Spannung wird erzeugt,

2;5 mm2 mit R D 14 (=km, L D 0;7 H=km und C D
indem die Pulsbreite der Ausgangsimpulse verändert wird (Puls-

100nF=km folgende Werte:

weitenmodulation, PWM). Bei dieser Steuerungsart werden

Ausbreitungsgeschwindigkeit

Oberschwingungen niedriger Ordnungszahlen weitgehend un-
terdrückt (5; 7; 11). Die der Pulsfrequenz entsprechenden Ober-
schwingungen bleiben jedoch unabhängig von der Grundfre-

L

C
v
v D

1
p

(86.110)

V s

A s
m
quenz in voller Amplitude wirksam. Im Strom bilden sich eben-

L C

A

V
s
falls Oberschwingungen aus, die aus den vorhandenen Span-

Teil
nungsoberschwingungen und den induktiven Einflüssen (Wick-

Wellenwiderstand
lung) resultieren. Moderne Frequenzumrichter arbeiten mit
r

XI

Pulsfrequenzen im kHz-Bereich. Dadurch werden die Strom-

L

L

C

Z

Z D
oberschwingungen stark verringert, da die Induktivitäten einen

C

V s

A s

(

(86.111)

A

V
hohen Widerstand in diesem Frequenzbereich darstellen. Bei der

PWM schalten moderne MOS-FET’s oder IGBT’s Spannungs-

) Z D 84 ( und v D 120 m=&s.

J
impulse von 500 V in 200 ns (Änderungsgeschwindigkeit von

2500 V=ms) auf die Ausgänge des Frequenzumrichters. Wenn
diese Potentialsprünge ungefiltert an die Ausgangsklemmen ge-

Ist die Leitung nicht mit dem Wellenwiderstand abgeschlossen,
geben werden, wirken sie sich direkt auf die Motorzuleitung
liegt eine Fehlanpassung vor, d. h., Teile des Signals werden am
aus. Mit den Leitungsinduktivitäten und -kapazitäten entstehen

Leitungsende reflektiert. Für einen Umrichter mit R
Z und

Schwingkreise, die von den Rechteckimpulsen des Frequenz-
i
einem Motor mit R
Z ist die Verbindungsleitung beidseitig
umrichters immer wieder angeregt werden und sich unkontrol-
i
nicht angepasst. Der Reflexionsfaktor berechnet sich zu:

liert aufschaukeln können. Ebensolche Vorgänge können mit
den Streuinduktivitäten und Wicklungskapazitäten des Motors

Z
auftreten. Die Folge dieser Schwingungen sind Störstrahlungen,

Umrichterreflexionsgrad
r D Ri

Š 1

(86.112)

R C Z
die durch eine abgeschirmte Leitung gemildert werden können.

i

Hierdurch entstehen aber weitere Kapazitäten, die wiederum

Ri

Z

Motorreflexionsgrad
r D

Š 1

(86.113)

Schwingkreise aufbauen. Durch die hohe Spannungsänderungs-

R C
i

Z

86.2

Drehstrommaschinen

983

Am Motor wird die Spannung erhöht (Faktor 2), am Umrichter

86.2.1.3.6

Polumschaltung
wird sie umgedreht.

Die Umschaltung von Spulen im Ständer erfordert getrenn-

Ein Spannungssprung wird nach einer Laufzeit t

D
te Wicklungen, woraus sich eine geringere Ausnutzung des

1
l= v am

Kabelende reflektiert.

Wicklungsmaterials ergibt. Die Aufteilung der Wicklung in
verschiedene Bereiche (Dahlander) ermöglicht ebenfalls die

U D E C

D

Veränderung der Drehzahl. Die Drehzahländerungsmöglichkei-

2

U 2

U 2

2 U 2

(86.114)

ten sind bei diesen Maschinen abhängig von der Polpaarzahl und

Am Kabelanfang wird die Welle erneut reflektiert und in der
können nur unter 3000 min1 liegen. Da die Läuferpolpaarzahl

Polarität umgekehrt.

entsprechend der des Ständers ausgeführt werden muss, eignen
sich hauptsächlich Käfigläufermotoren für die Polumschaltung.

Für hohe Frequenzen wird die Motorinduktivität groß und die

Eine Besonderheit der Dahlanderschaltung ist die Ausführung

Motorkapazität klein. Daher wird die Spannungsflanke verklei-
der Wicklungen als Polamplitudenmodulationswicklung (PAM-
nert und auf eine Sinuswelle mit einer Wellenlänge der 4fachen

Wicklung). Diese Wicklungsform lässt eine höhere Ausnutzung

Kabellänge heruntergedämpft. Diese Sinusschwingung nimmt
des eingesetzten Materials zu.

exponential ab.

Frequenz der Sinusschwingung

86.2.1.4

Der Schleifringläufer
v
v

Beim Schleifringläufer sind die Läuferspulen gewickelt und
f D

D

D

1
p

(86.115)

über Schleifringe herausgeführt. Es ist somit möglich, die Läu-

4 l

4 l

L C
ferwicklung zu beschalten oder eine Fremdspannung an diese

Wicklung anzuschließen. Ein großer Nachteil des Schleifring-

Für eine Länge von 100 m folgt eine Frequenz von f

D läufers im Verhältnis zum Käfigläufer ist der erheblich höhere

300 kHz. Durch den Frequenzumrichter wird neben der 50 Hz-

Wartungsaufwand.

Sinusschwingung eine Sinusschwingung von 300 kHz auf das

Kabel gegeben. Diese hochfrequente Schwingung führt zu Stör-
strahlungen auf benachbarte Betriebsmittel.

86.2.1.4.1

Anlassverfahren

Soll die Ausbildung einer hochfrequenten Sinusschwingung

Die für den Käfigläufer eingesetzten Anlassverfahren können
vernachlässigbar klein bleiben, muss die Anstiegszeit der Span-
überwiegend auch für den Schleifringläufer eingesetzt werden.

nung über dem 10fachen der Signallaufzeit liegen, also unter

Durch die Möglichkeit der Beschaltung der Läuferspulen bietet

10 m Kabellänge (ohne Filter). Nach VDE 0530 T 1 Beiblatt
sich beim Schleifringläufer als Anlassverfahren die Beschaltung

2 treten keine Motorschäden auf, wenn U < 1000 V und mit Vorwiderständen an. Für das Motormoment gilt:

du= dt < 500 V=&s ist. Schnelle Halbleiterschalter reduzieren

R 0
zwar die Schaltverluste im Umrichter, erhöhen aber die Verluste

Motormoment

M P

2
ı D 3 I 0

(86.116)

2
im Motor. Deshalb muss auch die Wärmeklasse der Motoren be-
s
rücksichtigt werden. Y D 90°; A D 105°; E D 120°; B D 130°;

Ein gleiches Moment erhält man, wenn bei einer Veränderung

F D 155°; H D 180° (Grenztemperatur). Durch hohe oder sich
von R 0 der Schlupf s gleichermaßen geändert wird. Hieraus er-

2
schnell ändernde Spannung wird die Isolation einer schnelleren
gibt sich:

Alterung unterzogen! Beim Einsatz von Frequenzumrichtern

C
zur Steuerung eines DAsM müssen einige Fakten beachtet wer-

R 0

. R 0

R 0 /

2 D

2
v
den:

s
s

(86.117)

s

Mit der Drehzahl ändert sich auch die Kühlwirkung des auf der

R D

v

R 2

1
für s > s

(86.118)

Motorwelle mitlaufenden Lüfters. Bei kleinen Drehzahlen tritt
s

XI
dadurch eine schlechtere Kühlung des Motors ein, die nur zum

Durch einen zusätzlichen Läuferwiderstand kann der Anlauf-

Teil durch Abnahme der Eisenverluste ausgeglichen wird. Bei
strom begrenzt und gleichzeitig das Anlaufmoment erhöht

Teil

Drehzahlerhöhung über die Nenndrehzahl nehmen die Eisenver-
werden. Durch eine stufenweise Verringerung der Größe des
luste stärker zu als die Kühlwirkung des Lüfters.

Vorwiderstandes kann der Motor nun angelassen werden.

Die Umrichterausgangsspannungen und -ströme sind mit Ober-

Der Anlassvorgang erfolgt durch Widerstandskaskaden, die
wellen behaftet, die im Motor Zusatzverluste verursachen.

über Schütze abgeschaltet werden, oder durch einen Thyristor-
schalter (Abb. 86.37), der den Widerstand stufenlos zu- oder

Die Motorgeräusche können durch die Oberwellen höher wer-
abschalten kann. Bei dieser Anlaufvariante werden zusätzliche
den. Der Maximaldrehzahl sind durch mechanische Vorgaben

Verluste im Vorwiderstand P

D 3 I 2 R

Grenzen gesetzt (Kugellager, kritische Drehzahl).

Rv

2
v erzeugt, die abgeführt
werden müssen.

Die Vorteile gegenüber dem Gleichstrommotor sind: Ver-

Das maximale Anlaufmoment wird erreicht, wenn der Vorwi-
schleißfrei, hohe Schutzart, höhere Überlastbarkeit, schneller
derstand folgenden Wert hat:

unsteuerbar.

1

Baugrößen zurzeit bei U-Umrichter bis 900 kV A, bei I-Umrich-

Läufervorwiderstand

R D

v

R 2

1

(86.119)

tern bis 3,4 MV A.

sK

984

86 Elektrische Maschinen

M

M

3
α = 150 α = 0
n o*
n o n

Abb. 86.39 Drehzahl-Drehmomenten Kennlinie für verschiedene Ansteuerwin-
kel der Untersynchrone Kaskade bei Schleifringläufermotoren

Abb. 86.37 Widerstandsanlassen von Schleifringläufermotoren

Gleichspannung des Läuferkreises
p

!

2 3

U D D

UL

(86.120)

3

M

3

Verändert sich der Schlupf, so verändert sich auch die gleichge-
richtete Läuferspannung.

U D D
s
s U D

(86.121)

I

U =

Diese Gleichspannung muss betragsgleich mit der am Wechsel-

U = α
richter erzeugten Spannung sein.

Wechselrichterspannung

U D D
s

U D˛

(86.122)

Die am Wechselrichter erzeugte Spannung muss nun wiederum
mit der Netzspannung gleich sein.

Abb. 86.38 Untersynchrone Kaskade bei Schleifringläufermotoren

U D˛ D U D

T
cos ˛

(86.123)

Hierbei läuft der Motor mit Kippmoment an. Nachteile dieser

˛ Zündwinkel des Wechselrichters.

Anlaufvariante sind, dass im Vorwiderstand eine erhebliche Ver-

lustleistung erzeugt wird und die Schaltung recht aufwendig ist.

Netzspannung

U D D

p

T

UT

(86.124)

.3 2/

T

Da die Läuferspannung am Gleichrichter nicht umgekehrt wer-
eil

86.2.1.4.2

Bremsverfahren
den kann, ist mit dieser Schaltung nur untersynchroner Betrieb

XI

Zusätzlich zu den bekannten Bremsverfahren des Käfigläufer-
möglich (0 s 0;5). Hieraus ergibt sich, dass der Motor
motors kann beim Schleifringläufer die Kennlinie beim Gleich-
mit dieser Beschaltung nicht ohne Hilfsmittel anlaufen kann.

strombremsen durch Vorschaltwiderstände so verändert werden,

Der Motor muss bis zur halben Drehzahl mit einem Anlass-
dass der Motor mit Kippmoment abgebremst wird.

widerstand hochgefahren werden. Aus der Bedingung für die

Spannungen im Gleichstromkreis ergibt sich für den Zündwin-
kel ęin Wert zwischen 90ı ˛ 150ı.

86.2.1.4.3

Drehzahlsteuerung

Durch diese Steuerung wird die Drehzahl-Drehmomentenkenn-

Eine zusätzliche Möglichkeit, die Drehzahl und das Moment des
linie in ihrer Form erhalten (Abb. 86.39); es stellt sich abhängig

Schleifringläufers zu ändern, bietet die Änderung der Läufer-
vom Ansteuerwinkel eine neue Leerlaufdrehzahl n ein.

0
spannung (Untersynchrone Kaskade, USK). Hierbei werden die

herausgeführten Läuferspulen an einen Gleichrichter, der eine

U D T
n D n

0

1 C
cos ˛

(86.125)

Gleichspannung erzeugt, angeschlossen (Abb. 86.38).

0

U D

Diese Gleichspannung ist über einen nachgeschalteten Wech-

Ein Teil der in dem Läufer übertragenen Wirkleistung kann
selrichter und Transformator mit dem Netz verbunden. Die
wieder an das Netz abgegeben werden. Da diese Art der Dreh-
erzeugte Gleichspannung verhält sich zur Läuferspannung fol-
zahlsteuerung sehr aufwendig ist, wird sie nur bei größeren
gendermaßen:

Maschinen (20 kW . . . 20 MW) eingesetzt.

86.2

Drehstrommaschinen

985
a Kurzständer, Reaktionsschiene auf dem ganzen Weg

Nachteile: Luftspalt ist größer als beim Asynchronmotor, da-
durch größere Magnetisierungsströme, größere Verluste; Läufer
v
muss den gesamten Weg abdecken, dadurch hohe Kosten; die

Speisefrequenz muss variabel sein (Anlauf, Abbremsen). Ei-
b Kurzläufer, Ständer auf dem ganzen Weg
ne Realisation hat der Linearmotor beim Transrapid gefunden.

v

Hier wird jedoch der Ständer mit dem Läufer vertauscht. In die

Schiene sind die Drehstromspulen eingebaut, und im Fahrzeug
befindet sich die Läuferschiene. Dieser Aufbau hat den Vorteil,

Abb. 86.40 Linearmotor als a Kurzständer, b Kurzläufermotor
dass dem Fahrzeug die Antriebsenergie nicht über Schleifringe
zugeführt werden muss.

86.2.2

Linearmotor

86.2.3

Drehstromsynchronmaschinen

In der Antriebstechnik wird normalerweise eine geradlinige Be-
wegung aus einer drehenden Bewegung eines Motors abgeleitet.

Der Linearmotor formt die elektrische Energie direkt in eine ge-

Im Unterschied zur Asynchronmaschine (DAsM) wird bei der
radlinige Bewegung um, ein Getriebe kann entfallen.

Synchronmaschine (DSM) das Polrad (Läufer) mit Gleichstrom
erregt. Der Ständer besitzt wie bei der DAsM eine Drehstrom-
wicklung. Da der Strom im Polrad nicht über den Luftspalt

86.2.2.1

Aufbau des Linearmotors
induziert, sondern von einer Gleichspannung erzeugt wird, ist

Beim Linearmotor wird der Ständer als flaches, doppeltes oder
die Läuferfrequenz f

D

2

0. Die Frequenz des Ständers wird
einseitiges Blechpaket gebaut. Zwischen, oberhalb oder unter-
aus der Drehzahl und den Polpaarzahlen bestimmt, wenn es
halb des Ständerblechpaketes liegt der gestreckte Läufer (Läu-
sich um einen Generator handelt, sonst bestimmen die Fre-
ferschiene), die Reaktionsschiene.

quenz und die Polpaare die Drehzahl. Ein weiterer Vorteil der

DSM ist, dass der zur Erregung des Läufers benötigte Strom

Durch die gestreckte Anordnung (Abb. 86.40) wird das Dreh-
nicht aus dem Netz als Blindleistung bezogen werden muss,
feld in ein Wanderfeld (Schubfeld) umgeformt. Neben dem
sondern aus einem Gleichstromnetz stammt. Deshalb kann
asynchronen Linearmotor kann auch ein Synchron- oder Gleich-
der Luftspalt der DSM etwas vergrößert werden. Die Größe
stromlinearmotor aufgebaut werden. Beide haben in der techni-
des Luftspalts der DSM liegt zwischen 0,5 cm und 11,5 cm;
schen Anwendung jedoch keine Bedeutung. Beim asynchronen
im Vergleich dazu bei DASM < 0,3 cm. Beim Einsatz der

Linearmotor wird im Ständer das Wanderfeld aufgebaut, in-

DSM als Generator wird die Polpaarzahl von der Antriebs-
dem die Spulen durch ein Drehstromnetz gespeist werden. Das
maschine bestimmt. Als Antriebsmaschinen dienen Dieselma-

Wanderfeld hat eine Synchrongeschwindigkeit vS. Es wandert
schinen mit n D 1000 : : : 1800 min1, Wasserturbinen mit
während einer Periode um die Strecke eines Polpaares 2 p (dop- n D 100 : : : 400 min1 und Dampf- oder Gasturbinen mit n D
pelte Polteilung).

3000 min1. Die Erregung der DSM kann über eine direkt auf

Synchrongeschwindigkeit
der Welle angebrachte Erregermaschine, meist eine Außenpol-
maschine, oder über Umrichter direkt aus dem Netz erfolgen.

v

Die DSM kann als Außen- oder Innenpolmaschine gebaut wer-
v D

S
p f

S

2 p f

(86.126a)

m
den. Bei der Außenpolmaschine liegen die Erregerwicklungen
m

1
s
s
im Ständer, und der Läufer nimmt die Drehstromwicklung auf.

Bei der Innenpolmaschine nimmt der Ständer die Drehstrom-
p Polteilung; f Netzfrequenz.

wicklung und der Läufer die Erregerwicklung auf. Ferner wird

XI

Die Polzahl hat im Gegensatz zum Asynchronmotor keinen
die DSM als Schenkelpol (geringe Drehzahl) oder als Turboläu-

Einfluss auf die Synchrongeschwindigkeit. Das Wanderfeld in-
fer (hohe Drehzahl) gebaut.

Teil
duziert in den Läufer (Reaktionsschiene) eine Spannung, die
einen Strom fließen lässt. Strom und Wanderfeld bilden eine

Da die Erregung der DSM aus einem Gleichstromnetz ent-
magnetische Kraft, die zu einer geradlinigen Bewegung führt.

nommen wird, hängt die Leerlaufspannung nur vom fließenden

Wie beim Asynchronmotor tritt beim asynchronen Linearmotor

Erregerstrom ab. Die Abhängigkeit ist im Abb. 86.41 dargestellt.

ein Schlupf s zwischen Wanderfeld und Bewegungsgeschwin-
digkeit v auf.

86.2.3.1

Wirkungsweise der Synchronmaschine

Bewegungsgeschwindigkeit

Bei der DSM besteht der Ersatzstromkreis aus dem im Ständer
enthaltenen Widerstand, der Streuinduktivität des Ständers und
v D .1 s/ 2
p
f

(86.126b)

der Spannung Ui (Abb. 86.42).

Vorteile eines Linearmotors: Kein Getriebe erforderlich, daher

Die Spannung Ui setzt sich aus dem stromabhängigen Span-
weniger Verluste; Kühlung sehr gut, da der Läufer nur kurz er-
nungsfall an der Hauptinduktivität und der durch das Polrad
wärmt wird; Läufer nicht mehr am Gerät; Bremsen wie beim
induzierten Spannung Up zusammen. Vernachlässigt man die

Asynchronmotor.

Abhängigkeit der Hauptinduktivität von der Sättigung und setzt

986

86 Elektrische Maschinen

U i
a
d

N

S

N
n

R

U

I

S
e
b

Abb. 86.41 Leerlaufkennlinie U

N
i -f .Ie / der Synchronmaschine

I

S

1

X

R
h

X s

1

U 1

U p

U i
n

N

S

Abb. 86.42 Ersatzschaltbild der Drehstromsynchronmaschine
c
d

I 1

X

R
d

1

N

S

U 1

U p
n

N

Abb. 86.43 Vereinfachtes Ersatzschaltbild der Drehstromsynchronmaschine

S

Abb. 86.44 Stellung des Polrades der Synchronmaschine bei a Generatorbe-
den Widerstand zu Null, so vereinfacht sich der Ersatzstrom-
trieb, b Leerlauf, c Motorbetrieb
kreis der DSM wie im Abb. 86.43 dargestellt.

Die Polradspannung Up berechnet sich zu:

Polradspannung
hinter sich her (Abb. 86.44). Wird die DSM als Generator einge-
setzt, muss die an den Klemmen abgegebene Spannung immer

N
v
l

B

U
einen konstanten Wert haben. Der Erregerstrom muss ständig

U D

P

P

B l v N

(86.127)

der Belastung nachgeführt werden. Das kann eine erhebliche

T

–
m
m

V s

V
eil
s
m 2

Erhöhung des Erregerstroms gegenüber dem Leerlauf zur Folge
haben. Der Erregerstrom kann jedoch nicht immer schnell genug

Durch entsprechende Ausführung des Polrades erzielt man

XI
nachgeführt werden. Deshalb können bei plötzlichen Lastände-
einen sinusförmigen Verlauf der Polradspannung. Beim DS-
rungen Spannungsschwankungen auftreten.

Motor hängt die Drehzahl wie bei der DAsM von der Polpaar-
zahl des Polrades ab ( n D f = p/. Beim DS-Generator hängt die Bei steigender Belastung wird die Klemmenspannung sinken,
erzeugte Frequenz von der Polpaarzahl und der Drehzahl des
bei sinkender Belastung wird die Klemmenspannung ansteigen.

Polrades ab ( f D n p). Wird die DSM an ein Drehstromnetz

Im Abb. 86.45 sind verschiedene Betriebszustände einer DSM
angeschlossen, fließt im Ständer ein Drehstrom, der zusammen
dargestellt. Aus Abb. 86.45 erkennt man, dass die Spannung
mit dem induzierten Strom vom Polrad ein resultierendes Dreh-

U
feld erzeugt. Dieses Drehfeld rotiert mit synchroner Drehzahl

1 mit der Spannung Up in Phase liegt, wenn ein reiner Blind-
strom fließt. Wird ein Wirkstrom gefordert, verschieben sich die
parallel zum Polrad, wenn die DSM nicht belastet wird. Im

Spannungen zueinander; im motorischen Bereich wandert die
motorischen Zustand verschiebt sich das Polrad um einen nach-

Spannung U
eilenden Winkel ı, dem Polradwinkel, entsprechend der Last.

p in Richtung der negativen, imaginären Achse (der

Winkel ı wird negativ); im generatorischen Bereich wandert die

Hierdurch wird das Polrad vom resultierenden Magnetfeld wie

Spannung U
durch ein Gummiband bei synchroner Drehzahl hinterhergezo-
p in Richtung der positiven, imaginären Achse (der

Winkel ı wird positiv). Da die Spannung U
gen.

p über den Erreger-
strom eingestellt wird, kann durch Veränderung des Stromes IE

Im generatorischen Zustand verschiebt sich das Polrad um einen
die Spannung Up variiert werden. Durch Übererregen ( Up > U 1/
voreilenden Winkel und zieht somit das resultierende Drehfeld
wird der Strom I 1 so gelegt, dass sich die Maschine wie eine Ka-

86.2

Drehstrommaschinen

987
a
b
c
a
b
c

U d

U

U

U

U

U
d
xd

U 1

1
xd
p

U

U

U p
d

1

U 1

1

U

U p

U p

U 1
p

U
p

U
d
d

I

I

I

Abb. 86.46 Synchronmaschine im Phasenschieberbetrieb. a Untererregt, in-

I

I
duktiv, b Leerlauf, c übererregt kapazitiv

Abb. 86.45 Belastung eines verlustlosen Synchrongenerators a im Leerlauf un-
zusammen und vernachlässigt den Widerstand R
tererregt, b bei Belastung kapazitiv, c bei rein ohmscher Belastung

1 , ergibt sich
die vereinfachte Spannungsgleichung der DSM

U D I jX C U

(86.131)

pazität verhält. Durch Untererregen ( U

1

1
d

P
p < U 1/ verhält sich die

Maschine wie eine Induktivität. Man erkennt, dass der Strom I 1
annähernd in Phase oder in Gegenphase mit der Netzspannung

86.2.3.3

Anlauf und Synchronisation

U 1 ist. Neben der Wirkleistung wird auch Blindleistung abgege-

D
ben oder verbraucht. Dieses ist jedoch nicht beliebig regulierbar.

Im Leerlaufbetrieb ist der Ständerstrom I 1

0, die Klem-
menspannung gleich der Polradspannung U

D

1

Up. Bei of-
fenen Klemmen ist die Klemmenspannung abhängig von der

Regeln für die Synchronmaschine

Erregung. Wird die Synchronmaschine an ein Netz konstan-

Blindleistung kann nur über die Erregung gesteuert werden.

ter Spannung angeschlossen und die Polradspannung gleich

Wirkleistung kann nur durch Änderung der mechanisch zu- oder
der Klemmspannung eingestellt, so ist der Ständerstrom gleich
abgeführten Leistung an der Welle eingestellt werden. Diese

Null. Eine Erhöhung der Polradspannung hat zur Folge, dass
beiden Kriterien können nicht nur einzeln, sondern auch zusam-
das Spannungsgleichgewicht nicht mehr vorhanden ist. Es muss
men zum Steuern der Maschine eingesetzt werden.

ein Ständerstrom fließen, der an dem induktiven Widerstand der

Maschine einen Spannungsfall UXd erzeugt. Dieser Spannungs-

Hieraus ergeben sich folgende Betriebszustände der Maschine:

fall stellt das Spannungsgleichgewicht in Phasenlage und Größe

In Netzen sind meist induktive Verbraucher vorhanden, somit
wieder her.

kann über die DSM ein Ausgleich der Blindleistung erzeugt

Man nennt diesen Betriebszustand Phasenschieberbetrieb, da
werden, indem man die Maschine im übererregten Zustand
die Maschine bei U
betreibt. Wird im über- oder untererregten Zustand keine Wirk-
p > U 1 einen kapazitiven Strom aus dem

Netz aufnimmt (kompensiert) und für U
leistung abgenommen, betreibt man den sogenannten Phasen-

P < U 1 einen induktiven

Strom aufnimmt (Abb. 86.46). Die DSM wird als Phasenschie-
schieberbetrieb (cos ' D 0). Synchronmaschinen sind generell ber in Verbrauchernähe eingesetzt, um das Übertragungssystem
im Stern geschaltet, da die dritte Oberwelle bei dieser Schaltung
von der Bereitstellung von Blindleistung zu entlasten. Setzt man
nicht auftritt. Bei Dreieckschaltung würde die dritte Oberwelle
die DSM als Motor ein, erfolgt kein Anlauf ohne Hilfseinrich-
einen Kreisstrom in den Wicklungen erzeugen, der erhebliche
tungen, da das Ständerfeld den Läufer so schnell überstreicht,

Verluste zur Folge hätte.

dass kein resultierendes Moment gebildet werden kann. Bei

XI
größeren Maschinen erfolgt der Anlauf mit Anwurfmotoren.

86.2.3.2

Spannungsgleichung der Synchronmaschine

Hat der Anwurfmotor die DSM soweit beschleunigt, dass die

Teil

Nach vollständigem Ersatzschaltbild lautet die Spannungsglei-
synchrone Drehzahl erreicht ist, kann die Maschine unter fol-
chung für den Ständer:

genden Bedingungen an das Netz geschaltet werden: gleiche

Spannungen; gleiche Phasenlage; gleiche Phasenfolge; gleiche

Ständerspannung

Frequenz.

U D I . R C jX

C I / jX

Eine weitere Hilfseinrichtung ist eine zusätzliche Käfigwick-

1

1

1

S 1/ C Œ. I 1
e

H

(86.128)

lung im Läufer. Wird die Netzspannung angelegt, läuft die

Polradspannung

Maschine asynchron hoch und geht nach Erreichen der Leer-
laufdrehzahl in den Synchronismus über. Bei diesem Anlauf-

U D I jX
verfahren ist zu beachten, dass die Erregerwicklungen über

P
e

H

(86.129)

U D I . R C jŒ X C X

(86.130)

einen Widerstand kurzgeschlossen werden müssen, da sonst ei-

1

1

1

S 1

H / C UP
ne unzulässig hohe Spannung in den Spulen durch das Drehfeld

Die Spannung Up wird als Polradspannung bezeichnet. Sie ist
induziert wird. Nach Erreichen der synchronen Drehzahl ver-
diejenige Spannung, die vom Erregerfeld in die Drehstromspu-
hält sich der unbelastete Motor wie ein Phasenschieber. Wird
len induziert wird. Fasst man die Induktivitäten von (86.130)

der Motor belastet, muss über den Luftspalt eine Wirkleistung

988

86 Elektrische Maschinen
übertragen werden; das Netz muss Wirkleistung liefern. Die Be-

Z1

M
lastung bremst die Welle ab, es entsteht zwischen Läuferfeld
und Ständerfeld ein Winkel. Dieser Winkel erzeugt eine Kraft

C

X

B

H
mit C
zwischen den beiden Feldern; mit dem Läuferradius wird ein

Moment auf die Welle M D F r übertragen. Ein Moment

I

X A

H
bedeutet, dass Wirkleistung übertragen wird. Da die Synchron-

U Z

2, 2

U 1

I A U
ohne C
maschine „keine“ Wirkleistungsverbraucher besitzt, wird die

1
gesamte aus dem Netz aufgenommene Wirkleistung an die Wel-

N

L
n
le weitergegeben.

Abb. 86.47 Schaltbild und Drehzahl-, Drehmomentverlauf eines Kondensator-
motors mit Betriebskondensator

86.3

Einphasen-Asynchronmotoren

Tab. 86.6 Kapazität in Abhängigkeit von der Nennspannung

Einphasen-Asynchronmotoren (Wechselstrommotoren) werden

CB (µF=kW)

UN (V)

wegen des einfachen Einphasenanschlusses dort eingesetzt, wo

220

127
preiswerte und robuste Motoren benötigt werden. Der Einpha-

70

230
senmotor hat einen ähnlichen Aufbau wie ein Drehstrommotor.

25

380

Der Läufer ist immer als Kurzschlussläufer ausgebildet. Man
unterscheidet den einsträngigen Motor und den zweisträngigen

Motor.

Arbeitwicklung. Soll bei dieser Anordnung ein Kreisdrehfeld
erzeugt werden, müsste die Spannung der Hilfswicklung UH ge-

86.3.1

Einsträngiger Motor
genüber der Spannung der Arbeitswicklung UA um genau 90°
voreilend sein. Die Ströme müssten zu ihren Spannungen die

Beim einsträngigen Motor besteht die Ständerwicklung im
gleiche Phasenlage haben, und die Durchflutung der Wicklun-
einfachsten Fall nur aus einem Wicklungsstrang, der Arbeits-
gen müsste gleich sein. Diese Bedingungen lassen sich nicht im
wicklung. Diese Wicklung ist auf die Klemmen U1 und U2
gesamten Betriebsbereich des Motors verwirklichen, da durch
herausgeführt. Sie erzeugt beim Anlegen einer Wechselspan-
den Schlupf sowohl die Widerstände und Ströme als auch der
nung ein Wechselfeld; der Motor kann nicht anlaufen. Soll der

Phasenwinkel in den beiden Zweigen verändert werden. Man

Motor zum Drehen gebracht werden, muss er in eine beliebi-
wählt deshalb den Nennbetriebspunkt für die Symmetriebedin-
ge Richtung angeworfen werden (Anwurfmotor). Nach diesem
gung. Als Richtwert für die in den Hilfsstrang einzuschaltende

Anwurfvorgang bleibt der Motor im Betrieb. Der einsträngi-

Betriebskapazität CB gilt: CB

25 &F bis 35 &F je kW Motor-
ge Motor hat sehr schlechte Betriebswerte. Seine abgegebene
leistung an 230 V.

Leistung beträgt nur etwa 50 bis 60 % der eines gleich großen

In Abb. 86.47 ist die Schaltung eines Kondensatormotors mit

Drehstrommotors, das Kippmoment liegt bei 40 % eines Dreh-

Betriebskondensator dargestellt. Bei der Auswahl der Konden-
strommotors und der Leistungsfaktor ist sehr gering. Aus diesen
satoren sind die Vorschriften nach DIN 48501 und VDE 0560

Gründen wird diese Motorform nur sehr selten eingesetzt.

zu beachten, da die Spannung am Kondensator stets größer
ist als die Speisespannung des Netzes. In der Praxis kom-
men Kondensatorspannungen von bis zu 550 V vor, obwohl

T

86.3.2

Zweisträngiger Motor
eil
die Netzspannung nur 230 V beträgt. Kondensatormotore laufen
selbständig an und weisen verbesserte Betriebseigenschaften

XI

Beim zweisträngigen Motor wird zusätzlich zur Arbeitswick-
gegenüber dem Anwurfmotor auf. Allerdings ist im Vergleich
lung eine um 90° elektrisch versetzte Hilfswicklung angeordnet.

zum Drehstrommotor das Anlauf- oder Kippmoment noch sehr

Durch diese Hilfswicklung (Klemme Z1 und Z2) sollte ein
gering. Eine Erhöhung des Anlaufmomentes kann durch eine

Strom fließen, der zum Strom durch die Arbeitswicklung eine

Reihenschaltung eines weiteren Kondensators (Anlaufkonden-

Phasenverschiebung von 90° hat. Dadurch erreicht man, dass
sator) zum Betriebskondensator erreicht werden. Dieser Kon-
beim Anlegen der Spannungen im Motor ein magnetisches Feld
densator verschiebt den Symmetriepunkt zum Anlaufpunkt. Der
entsteht, das sich ähnlich dem Drehfeld um den Ständer bewegt.

Nachteil dieser Beschaltung ist jedoch, dass durch die hohe

Durch die Hilfswicklung kann der Motor selbständig anlaufen;

Kapazität in Verbindung mit der Spule der Blindwiderstand
die Betriebseigenschaften verbessern sich. Am häufigsten wird
herabgesetzt wird und damit ein höherer Strom erzeugt wird,
der zweisträngige Motor als Kondensatormotor oder als Spalt-
der den Motor zu stark erwärmt. Aus diesem Grund wird der
polmotor ausgeführt.

Anlaufkondensator über eine geeignete Einrichtung beim Errei-
chen einer vorgegebenen Drehzahl abgeschaltet.

86.3.3

Kondensatormotor

Der Anlaufkondensator sollte die dreifache Kapazität des Be-
triebskondensators haben. Im Abb. 86.48 ist die Schaltung eines

Wird ein Kondensator vor die Hilfswicklung geschaltet, ist

Kondensatormotors mit Anlauf- und Betriebskondensator dar-
der Strom in der Hilfswicklung voreilend zum Strom in der
gestellt (Tab. 86.6).

86.5

Sonderbauformen

989

Z1

V

M

C A

X H

C B
mit C A und C B

U

I

X

H

A

U 2, Z 2

U 1

I
ohne C

A

U 1

N

L
n

U

W

I

Abb. 86.48 Schaltbild und Drehzahl-, Drehmomentverlauf eines Kondensator-
motors mit Betriebs- und Anlaufkondensator

U

Abb. 86.50 Schaltung eines Asynchronmotors im Einphasenbetrieb (Stein-

F

F H

K
metzschaltung)

L

Bei der Steinmetzschaltung wird ein Kondensator entsprechend

Abb. 86.50 parallel zu einer Drehstromwicklung geschaltet. Da-

Kurzschlußring

N
durch erzielt man einen selbständigen Anlauf des Motors mit

F
ungefähr 25 bis 35 % des Nennanlaufmomentes. Bei folgender

K

F H

Auslegung der Kapazität kann der Motor mit etwa 75 bis 80 %
seiner Nennleistung betrieben werden.

Abb. 86.49 Prinzipdarstellung des Spaltpolmotors mit Kurzschlussring

Ein höheres Anlaufmoment erzielt man durch einen Anlaufkon-
densator, der die zweifache Kapazität des Betriebskondensators
aufweist. Dieser Kondensator sollte nach erfolgtem Anlauf ab-

86.3.4

Spaltpolmotor
geschaltet werden.

Der Spaltpolmotor ist dem Prinzip nach ein Einphasenmo-
tor. Der Läufer hat – wie ein normaler Asynchronmotor –

86.5

Sonderbauformen
einen Kurzschlusskäfig. Der Ständer ist durch ausgeprägte Pole
mit konzentrischen Wicklungen und durch einen Kupfer- oder

Zu den Sonderbauformen von Drehstrommotoren gehören der

Aluminiumring, der teilweise vom Hauptfluss durchsetzt wird,

Schrittmotor und der Servomotor.

gekennzeichnet (Abb. 86.49).

Dieser Ring dient als Hilfsphase. In ihn wird ein Strom indu-
ziert, der ein Magnetfeld aufbaut, das dem Hauptfeld entgegen-
gesetzt ist. Durch die Phasenverschiebung zwischen Hauptfluss

86.5.1

Schrittmotor
und Ringfluss entsteht ein sich um den Ständer bewegendes

Feld. Dieses Feld ermöglicht ein selbständiges Anlaufen des

Der Schrittmotor entspricht in seinem Aufbau und seiner Wir-

Spaltpolmotors. Eingesetzt wird der Spaltpolmotor wegen sei-
kungsweise dem Synchronmotor. Mit dem Schrittmotor kann je
nes geringen Anzugsmomentes für Kleinantriebe.

nach Bauform ein elektrischer Impuls in eine Drehbewegung
mit definiertem Winkel umgeformt werden.

XI

Der Schrittmotor ist aus einem Läufer, bestehend aus Perma-

86.4

Drehstrommotor im
nentmagneten, und einem Ständer mit mehreren, voneinander

Teil

Einphasenbetrieb
unabhängigen Spulen, aufgebaut. Im Abb. 86.51 ist ein Schritt-
motor in unipolarer Ausführung dargestellt. Werden die Spulen

A1 und B1 erregt, nimmt der Läufer die Stellung „I“ ein. Wird

Der einphasige Betrieb eines Drehstrommotors kann durch ei-
anstelle der Spule A1 die Spule A2 erregt, dreht sich der Läufer
ne Störung, aber auch gewollt, herbeigeführt werden. Ohne
in die Position „II“. Der Läufer hat seine Position um den Win-
zusätzliche Beschaltung verhält sich ein Drehstrommotor im
kel ˛ (Schrittwinkel) verändert. Wird anstelle von B1 die Spule

Einphasenbetrieb wie ein Einphasen-Asynchronmotor. Er läuft

B2 erregt, dreht sich der Läufer wiederum um den Winkel ˛ in
nicht selbständig an, das Motormoment wird kleiner, die auf-
die Stellung „III“. Wird als nächster Schaltschritt die Spule A1
genommene Leistung wird bei gleicher Belastung höher als im
wieder erregt, dreht sich der Läufer in die Position „IV“. Der
dreiphasigen Betrieb. Somit steigen die Verluste im Motor, und
nächste Schritt, Erregung A1 und B1, bringt den Läufer wieder
er erwärmt sich. Soll ein Drehstrommotor am Einphasennetz
in die Ausgangsposition zurück. Der Schrittmotor hat nach vier
betrieben werden, muss, wie beim Einphasen-Asynchronmotor,

Schritten seine Ausgangsposition erreicht. Dieses Beispiel zeigt,
eine Beschaltung mit einem Kondensator erfolgen. Diese Schal-
dass ein Schrittmotor mit zwei Phasen im Ständer und einem
tung wird Steinmetzschaltung genannt.

Polpaar im Läufer pro Schritt einen Winkel von 90° zurückle-

990

86 Elektrische Maschinen

Dauermagnet

S

N

A1

A1

N

S

S

N

N

S

S

N

S

N

B e

A2

A2

N

S

Kohlebürste

I A

L+

Läuferscheibe

B1

B2

B1

B2

+

+

L–

–

–

I)

II)

N

S

N

S

A1

A1

B e

N

S

S

N

N

N

S

S

A2

A2

Abb. 86.52 Servoscheibenläufermotor

S

N
trische Grenzwerte überschritten werden. Es kann bis zum

B1

B2

+

B1

B2

+
zehnfachen Wert des Nennmomentes betragen. Der Kurzzeit-

–

–
oder Impulsstrom I Imp ist der Strom, der das Impulsdrehmo-
ment erzeugt. Bei Drehstrommotoren ist die Strombegrenzung

III)

IV)

auf den Scheitelwert dieses Stroms einzustellen. Der Regelungs-

Abb. 86.51 Schrittmotor
faktor kN gibt an, wie sich die Motordrehzahl bei konstanter

Klemmenspannung ändert, wenn an der Welle eine zusätzliche

Belastung auftritt.

gen kann. Der Schrittwinkel ˛ hängt also von der Polpaarzahl Regelungsfaktor
und der Phasenzahl des Motors ab.

n
n

M
k

Schrittwinkel

˛ D 360ı

(86.132)

k D

N

(86.133)

2 m p

N

M
min1

N m

1
min N m
p Polpaarzahl des Läufers; m Phasenzahl des Ständers.

Je kleiner der Regelungsfaktor kN ist, desto weniger Einfluss

Neben dem Vollschrittbetrieb (bei einem Schrittmotor mit 90°
haben Momentenänderungen auf die Drehzahl.

Schrittwinkel sind vier Schritte für eine Umdrehung notwendig)

kann der Halbschrittbetrieb eingesetzt werden. Beim Halb-

86.5.2.1

Scheibenläufermotor
schrittbetrieb wird nach jedem zweiten Schritt eine Spule
abgeschaltet. Das führt dazu, dass sich der Rotor in eine Zwi-

Der Scheibenläufermotor ist nach Abb. 86.52 aufgebaut. Das
schenlage (einen halben Schritt) bewegt. Im Halbschrittbetrieb

Magnetsystem besteht aus axial angeordneten Dauermagneten,
können anstatt der vier Schritte acht Schritte ausgeführt werden.

die Ankerscheibe aus Leiterbahnen, die auf die Scheibe auf-

Eine weitere Verfeinerung stellt der Mini- oder Mikroschritt-
geklebt oder durch fotochemische Ätzverfahren aufgebracht
betrieb dar. Hierbei wird der Strom in den einzelnen Phasen
werden.

schrittweise vermindert oder erhöht. Dadurch kann ein Voll-

T

Die Stromzuführung erfolgt über axial angeordnete Kohle-
eil
schritt in kleine Einzelschritte unterteilt werden. Die genaue
bürsten. Im Gegensatz zum herkömmlichen Motor sind die

Steuerung dieser Schritte benötigt eine umfangreiche Steuerlo-

Richtungen von Ankerstrom und Ständerfluss vertauscht, das

XI
gik und ist deshalb sehr teuer. Machbar ist heute eine Auflösung

Funktionsprinzip ist aber erhalten geblieben. Die magnetische
eines Vollschritts in bis zu 250 Einzelschritte.

Kraft entsteht durch Zusammenwirken des Ständerflusses und
des Ankerstroms. Durch die relativ große Scheibenoberfläche
kann die erzeugte Verlustwärme sehr gut abgeführt werden.

86.5.2

Servomotor

Scheibenläufermotoren sind daher gut geeignet für Anwen-
dungen, die kurze Baulängen, hohe Beschleunigungen, große

Der Maschinenbau fordert in zunehmendem Maße Motoren,

Wellendurchmesser und geringe Induktivität fordern.

die kurzzeitig die Drehzahl verändern können. Hierzu eig-
nen sich besonders die Servomotoren. Mit ihnen lassen sich

86.5.2.2

Stabankermotoren

Winkel, Wege und Lagen hochdynamisch und beschleuni-
gungsoptimal einstellen. Der Servomotor kann als Scheiben-

Stabankermotoren (Abb. 86.53) gleichen in ihrer Bauweise den
läufer- oder Stabankermotor gefertigt werden. Mit Ausnahme
herkömmlichen Gleichstrommotoren. Die Erregung wird wie
des Drehstrom-Asynchronmotors sind Servomotoren fast aus-
bei den Scheibenläufermotoren durch Dauermagnete erzeugt.

schließlich mit Permanentmagneten bestückt.

Durch geeignete Formgebung des Ankers und der Kommu-

Das Impuls- oder Spitzendrehmoment M Imp ist das maximal
tatorstege kann der Stabankermotor bis zu Drehzahlen von
zulässige Drehmoment, bei dem weder mechanische noch elek-

0,2 min1 eingesetzt werden. Kleine Ankerdurchmesser ergeben

86.6

Gleichstrommaschinen

991

Permanentmagnet

Hauptpolkern

L +

N

Erregerwicklung

Kollektor

Läuferblechpaket

I A
mit Ankerwicklung

Stromwender

B E

Wendepolkern

L –

S

Wendepolwicklung

Kohlebürsten

Abb. 86.53 Servo-Stabankermotor
a
b

Steuersignal

Spulensystem

Steuerltg.

Lagegeber

Abb. 86.55 Gleichstrommaschine

Dauermagnet

N S

S N

Steuerltg.

bewickelt, die die Spannung über einen Schleifkontakt (Kollek-
tor, Bürsten) zugeführt bekommen.

Aufbau

Prinzipschaltung

Der Anker dreht durch ein Magnetfeld, das von feststehenden

Spulen (Stator) erzeugt wird. Beim Antrieb der Gleichstrom-

Abb. 86.54 Bürstenloser Servomotor
maschine wird in den Ankerspulen eine Spannung Ui induziert.

Bei Beschaltung des Kollektors mit einem Widerstand treibt
diese Spannung einen Strom durch die Spule. Die am äußeren
kleine Massenträgheitsmomente und somit kleine mechanische

Widerstand messbare Spannung errechnet sich aus der Indukti-

Zeitkonstanten. Nachteil des Stabankermotors ist, dass das Spit-
onsspannung und dem Spannungsfall der Spule.

zendrehmoment im Bereich hoher Drehzahlen zu reduzieren ist,
da die Kommutierungsgrenze leicht erreicht wird (Strom muss

Klemmenspannung

U D U
i

I Ra

(86.134)

gesenkt werden ) U
i

I= t). Ferner treten bei diesem Mo-
tortyp Bürsten- und Kommutatorverschleiß auf (wartungsinten-

Ra Widerstand im Ankerkreis.

siv). Eine Alternative zu dem Stabankermotor mit Kommutator

Die Gleichstrommaschine arbeitet also als Generator. Wird da-
ist der bürstenlose Gleichstrom-Servomotor (Abb. 86.54).

gegen an den Kollektor eine Spannung angelegt, treibt diese

Bei diesem Motortyp ist die Erregung in den Rotor und die

Spannung einen Strom durch die Ankerspulen. Der Anker-

Wicklungen in den Stator eingebaut. Die Drehbewegung wird
strom erzeugt mit dem Statorfeld ein magnetisches Moment, die
durch eine elektronische Kommutierungseinrichtung erzeugt,

Maschine fängt an, sich zu drehen. Dreht sich die Maschine,
die die Statorspulen entsprechend der vorgegebenen Drehzahl
induziert das Statorfeld wiederum eine Spannung in den Anker-
mit einem getakteten Gleichstrom versorgt. Ein reibungsloser
wicklungen, die den Strom verringert.

Betrieb dieser Maschine ist nur mit einem Lagegeber möglich.

Der Lagegeber meldet der Steuerelektronik die jeweilige Lage

Netzspannung

U D U C
i

I Ra

(86.135)

des Rotors. Vorteile des bürstenlosen Gleichstrom-Servomotors
sind wegfallende Bürstengeräusche und kein Verschleiß oder

Die Gleichstrommaschine arbeitet als Motor. Die induzierte

Abbrand an den Bürsten, stufenlos steuerbares Moment und

Spannung Ui berechnet sich zu

Drehzahl, schneller Reversierbetrieb und hohe Schutzart.

induzierte Spannung

XI

Ui

B
l
v

86.6

Gleichstrommaschinen

U D
i

B l v

(86.136)

V

V s
m
m
m2
s

Teil

˚

Ui

N

˚
t

Gleichstrommaschinen werden wegen ihrer günstigen Betriebs-

U D
i

N

(86.137)

t

V

–

V s
s
eigenschaften für regelbare Antriebe eingesetzt. Nachteil der

Gleichstromantriebe gegenüber den Drehstromantrieben ist,

Bei der Gleichstrommaschine sind die mechanischen Daten des
dass für die Rotorwicklung ein Stromwender vorhanden sein

Stators und des Ankers konstant, sie verändern sich während
muss. Trotz der daraus resultierenden hohen Wartungskosten
des Betriebes nicht. Die Veränderung des magnetischen Flusses
hat sich der Gleichstrommotor bei großen Leistungen gegenüber
nach der Zeit kann über die Drehzahl erfasst werden. Gleichung
den umrichtergesteuerten Drehstrommotoren behauptet.

(86.137) für die in den Ankerspulen induzierte Spannung verän-
dert sich unter diesen Voraussetzungen:

86.6.1

Aufbau und Wirkungsweise

U

U D

i
k 1

˚
n
i
k 1 ˚ n

(86.138)

V

–

V s
s1

Der Aufbau einer Gleichstrommaschine ist im Abb. 86.55 dar-
gestellt. Ein drehbar gelagerter Rotor (Anker) ist mit Spulen
k 1 Maschinenkonstante der Gleichstrommaschine.

992

86 Elektrische Maschinen

Die Leistungsbilanz der Gleichstrommaschine ergibt sich, wenn
a
b
die Spannungsgleichungen (86.135) und (86.136) mit dem flie-
neutrale
ßenden Strom multipliziert werden.

Zone

Generator

U I D I U
i

I 2 Ra

(86.139)

P D

el

P mech

Pv

(86.140)

Motor

U I D I U C
i

I 2 Ra

(86.141)

P D

C
el

P mech

Pv

(86.142)

Feldverlauf ohne

Feldverlauf mit

Kompensations-

Kompensations-

Das an der Gleichstrommaschine vorhandene Drehmoment be-
wicklung
wicklung
rechnet sich zu:

Abb. 86.56 Feldverlauf Gleichstrommaschine

P mech

M

P
n

Drehmoment

M D

(86.143)

2 n

N m

W
s1

Der Stromwender liegt nicht mehr in der neutralen Zone, also
nicht mehr im Winkel von 90° zum Gesamtfeld der Maschine.

Gleichung (86.142) eingesetzt in (86.143) ergibt:

Dadurch wird am Generator nicht mehr die maximale Spannung
abgenommen und bei Motorbetrieb nicht mehr das maximale

U
i

I

U

Drehmoment erzeugt. Ferner erfolgt die Stromwendung nicht

Drehmoment

M D
i

I
n

M

2 n

V

A
s1

N m
mehr im spannungslosen Zustand der Wicklung. Durch den bei

(86.144)

der Stromwendung auftretenden Kurzschluss kann es zum Bürs-
tenfeuer an den Kommutatorstegen kommen. Diese Ankerrück-

Wird die induzierte Spannung durch (86.138) ersetzt, ergibt sich
wirkungen lassen sich durch Einbau der Wendepole beseitigen.

für das Drehmoment der Gleichstrommaschine:

Wendepole sind immer direkt im Bereich der Stromwendung
angebracht. In diesen Bereichen wird der Strom in den Spulen

˚ n I
von C I nach I oder umgedreht geändert. Da diese Stromände-

M D k 1

(86.145)

2 n
rung relativ schnell erfolgt, wird in der jeweiligen Spule eine
k

Spannung erzeugt ( U di= dt). Je höher die Drehzahl der Ma-

1

˚ I
i

M D

2

(86.146)

schine, desto größer die induzierte Spannung. Das hätte eine

Funkenbildung zwischen den Bürsten und Kommutatorlamel-

Beispiel
len zur Folge (Bürstenfeuer). Zur Vermeidung des Bürstenfeuers
wird durch die Wendepole ein Magnetfeld aufgebaut, das eine

Gegenspannung im Bereich der Stromwender erzeugt, die der

Von einem Gleichstrommotor sind folgende Werte be-
induzierten Spannung entgegenwirkt. Der Wendepol wird vom
kannt: U

D

D

D

D

N

200 V; IN

10 A; PN

1;9 kW; nN

Ankerstrom durchflossen, damit beide induzierten Spannungen

1800 min1. Wie groß ist der Ankerwiderstand Ra, die im
bei unterschiedlichen Betriebszuständen gleich sind. Eine wei-

Nennbetrieb induzierte Spannung UiN und das Nennmo-
tere Aufgabe der Wendepole ist, die Verschiebung des Haupt-
ment MN?

feldes im Bereich der Bürsten zu kompensieren. Bei großen,

P
schnelllaufenden Maschinen können die Ankerrückwirkungen

D

N

T

MN
nicht allein durch die Wendepole aufgefangen werden. Deshalb
eil

2 nN
müssen zusätzlich Kompensationswicklungen eingebaut wer-

D

1900 V A

D 10;08 W s
den. Die Kompensationswicklungen sind in den Polschuhen der

XI

2 1800 min1 1 min

60 s

Maschine untergebracht und werden ebenfalls vom Ankerstrom

PN
durchflossen. Durch die Kompensationswicklung werden Feld-

U

D

D 1900 V A D
iN

190 V

I
verzerrungen im Bereich der Polschuhe verhindert.

N

10 A

U D

C

N

UiN

IN Ra

U U

)

N
iN

R D

D 200 V 190 V D

86.6.2

Betriebsverhalten von
a

1 (

J

IN

10 A

Gleichstrommaschinen

Die Gleichstrommaschinen unterscheidet man nach der Zu-

86.6.1.1

Ankerrückwirkungen
sammenschaltung der Spulensysteme des Ankerkreises und des

Stators. Haben Anker und Stator eine separate Spannungsver-

Durchströmt ein Strom die Ankerspule, wird von ihm ein Ma-
sorgung, handelt es sich um eine fremderregte Maschine. Haben
gnetfeld aufgebaut, das quer zum Feld des Stators liegt. Beide
beide Systeme dieselbe Spannungsversorgung und sind parallel-

Felder ergeben zusammen ein nicht mehr symmetrisch von ei-
geschaltet, handelt es sich um eine Nebenschlussmaschine. Sind
nem Statorpol zum anderen verlaufendes, sondern ein verzerrtes
die Anker- und die Statorspule in Reihe geschaltet, handelt es

Feld (Abb. 86.56).

sich um eine Reihenschlussmaschine.

86.6

Gleichstrommaschinen

993
a
b

M

L+

L+

M A

L–

L–

L–

L+

A1

A1

A2

F2

F1

A2

E2

E1

B2

B2

M N

B1

B1
n N n o
n
fremderregte

Nebenschluß-

GS-Maschine

Maschine

Abb. 86.58 Drehzahl-, Drehmomenten-Kennlinie der Nebenschluss-Maschine

Abb. 86.57 Schaltungen von Gleichstrom-Maschinen

M

86.6.2.1

Nebenschlussmotor

I *

Für den fremderregten Motor (Nebenschlussmotor) gelten

I N

< I N
die im Abschn. 86.6.1 angeführten Grundgleichungen. In

Abb. 86.57 sind die Schaltungen der Maschinen dargestellt.

Die Erregerwicklung liegt jeweils an einer konstanten Span-
nung. Damit sind Erregerstrom und Erregerfeld konstant (An-
kerrückwirkungen vernachlässigt). Nach (86.138) ergibt sich für
n

*
die Drehzahl
n

0
n 0

Ui

Drehzahl
n D ˚

(86.147)

k

Abb. 86.59 Drehzahl-, Drehmomenten-Kennlinie der Nebenschluss-Maschine

1
in Abhängigkeit von der Erregung
n D U I Ra

(86.148)

˚ k 1
n D

U

I Ra
ergibt sich, dass ein fremderregter Gleichstrommotor im Anlauf

˚

(86.149)

k 1

˚ k 1
einen Zusatzwiderstand zur Strombegrenzung erhalten muss.

Bereiche oberhalb vom Anlaufmoment auf der Kennlinie sind

Durch Ersetzen von I durch die umgeformte Gleichung (86.147)

nicht zugelassen. Hierbei müsste das Lastmoment größer als
folgt
das Anlaufmoment werden. Der Motor würde entgegen seiner

U

M R
ursprünglichen Richtung gedreht, der entstehende Strom wäre
a
n D

˚

(86.150)

so groß, dass die Motorwicklungen verbrennen würden. Eine
k

1

˚2 k 1 k 2

Drehzahlsteuerung bei der fremderregten Gleichstrommaschine

Maschinenkonstante
und der Gleichstromnebenschlussmaschine ist durch folgende

Maßnahmen möglich:

k D
k 1

2

Änderung der Spannung, des Flusses, des Ankerwiderstandes

2

(86.151)

oder der magnetischen Erregung. Da die Nennerregung meist

XI

Der Motorbetrieb stellt sich bei positivem Moment und positiver
im Bereich der Sättigung liegt, kann eine Änderung nur durch

Drehzahl ein (Abb. 86.58). Der Nennbetrieb ( U

Schwächung der Erregung erfolgen. Das wird durch einen

N ; ˚ N ; Ra) liegt

Vorwiderstand im Erregerkreis möglich. Durch eine Feldschwä-

Teil
im Bereich von 0,9 . . . 0;99 n 0 (kleine bis große Maschinen).

Aus diesem Grund wird nur der Teil der Kennlinie im Bereich
chung verschiebt sich die Leerlaufdrehzahl zu höheren Werten.

der Leerlaufdrehzahl betrachtet. Für den Leerlaufpunkt ( M D 0)

Wenn mit Feldschwächung gearbeitet wird, muss darauf geach-
gilt:

tet werden, dass die Drehzahl nicht in Bereiche gelangt, die zur
mechanischen Zerstörung der Maschine führt (Abb. 86.59). Das

UN

Leerlaufdrehzahl
n D

Anlaufmoment wird kleiner, da es proportional von ˚ abhängig

0

(86.152)

k

1

˚ N
ist. Soll bei höherer Drehzahl das gleiche Lastmoment abge-
nommen werden, muss der Ankerstrom erhöht werden. Das geht

Für den Anlaufpunkt ( n D 0) gilt:

für den Dauerbetrieb jedoch nur bis zu In. Es folgt für das Mo-
ment:

k

2

˚ N UN

Anlaufmoment

M D

A

(86.153)

Ra

M D k

2

˚ IN

(86.154)

˚

Da die induzierte Spannung im Anlauf gleich Null wird, hängt

M D

(86.155)

die Größe des Anlaufstroms nur noch von U

M

˚

N und Ra ab. Hieraus

N

N

994

86 Elektrische Maschinen

M
a

M

R v2

R v1

Rα
n

M
n 0
n

– n 0
n

+

R

R *
o
n

+

M

>

V

V

Br

Abb. 86.60 Drehzahl-, Drehmomenten-Kennlinie der Nebenschluss-Maschine

*

M Br
in Abhängigkeit vom Ankerkreiswiderstand

R*

V > 0

R V = 0
a
b
n so ll

U

M

1 U 2 U n

V1 4

R n R i
b

M

P0 1
i is t
n

M
n is t

M
n
n
n

02

01 n 0

N
n

+

R

R *

Br >

Br

Abb. 86.61 a Drehzahl-, Drehmomenten-Kennlinie der Nebenschluss-

Maschine in Abhängigkeit von der Spannung, b Thyristorschaltung zur Span-
nungsänderung

R*

Br > 0

R Br = 0

Abb. 86.62 Drehzahl-, Drehmomenten-Kennlinie der Nebenschluss-Maschine

Durch die Erhöhung der Drehzahl erfolgt die Kommutierung an
a beim Gegenstrombremsen b beim Widerstandsbremsen
den Wendepolen schneller, und die Stromänderungsgeschwin-
digkeit nimmt zu ( dI= dt). Hieraus folgt eine höhere Indukti-
onsspannung, die zu Funkenüberschlägen an den Kommutator-

Das Abbremsen von fremderregten Gleichstrommaschinen kann
lamellen und zum Bürstenrundfeuer führen kann. Aus diesen
auf verschiedene Arten erfolgen. Beim mechanischen Bremsen

Gründen wird die maximale Drehzahl in der Praxis auf 3 n 0 be-
oder Wirbelstrombremsen wird Energie auf ein Bremssystem
schränkt. Mit einem zusätzlichen Widerstand Rv im Ankerkreis
gegeben, das direkt auf die Welle wirkt. Beim Nutzbremsen
wird der Ankerstrom heruntergesetzt. Da das Moment direkt
muss die Drehzahl über der Leerlaufdrehzahl liegen. Dann wer-
proportional zum Ankerstrom ist ( M Ia), folgt für die Ab-
den Moment und Ankerstrom negativ. Diese Bremsart wird
hängigkeit vom Vorwiderstand:

beispielsweise bei Gefällestrecken ausgenutzt (Förderbänder,

Triebfahrzeuge). Der Motor geht in den generatorischen Zu-

M

1

(86.156)

stand über. Beim Widerstandsbremsen wird der Motor vom Netz

R C
a

Rv
abgeschaltet, und im Ankerkreis wird ein Widerstand einge-
schaltet. Aus der Maschengleichung folgt:

T

Eine Drehzahlsteuerung der fremderregten Gleichstrommaschi-
eil
ne wird in der Praxis kaum durchgeführt, da durch Vorschalten

U D U C

)

D
i

I Ra

U D 0

)

Ui

I Ra

XI
eines Widerstandes zusätzliche Verluste an diesem entstehen

(86.157)

( P

D
vz

I 2 Ra). Ferner ist die Drehzahl im Nennbereich durch

Widerstandsregelung kaum variierbar.

Im Bremsbetrieb wird der Strom umgekehrt (Momentenum-

Der Zusatzwiderstand dient nur zum Hochfahren der Maschi-
kehr). Beim Gegenstrombremsen wird die Ankerspannung um-
ne, um einen hohen Anlaufstrom zu vermeiden (Kennlinie
gekehrt. Hierdurch kehren sich auch Strom und Moment um.

Abb. 86.60). Durch die Änderung der Ankerspannung kann die

Die Gleichung hierfür lautet:

Drehzahl der Maschine kontinuierlich von Null bis zur Nenn-

C

)

D
drehzahl gefahren werden (Abb. 86.61).

U D I Ra

U

U

U
i
i
i

)

I R D
a

U C Ui

(86.158)

Durch Umpolen der Ankerspannung ist auch ein Drehzahlbe-
reich von n , C

0
n 0 möglich. Die Spannungsregelung wurde

Damit der Strom ( I) im Bremsbetrieb nicht zu groß wird, muss
früher mit einem Leonard-Umformer realisiert. Heute werden
ein Bremswiderstand in den Ankerkreis geschaltet werden.

Thyristorschaltungen eingesetzt. Durch den Einsatz der moder-
nen Elektronik ist eine Rückspeisung von Energie in das Netz

Beim Gegenstrombremsen muss im Nulldurchgang der Dreh-
möglich, wenn der Gleichrichter bei Lastbremsung als Wech-
zahl abgeschaltet werden, da die Maschine sonst beschleunigt
selrichter eingesetzt wird. Die Steuerung der Drehzahl durch
wird und entgegengesetzt anläuft. Im Abb. 86.62 sind verschie-

Spannungsänderung ist ohne Zusatzverluste möglich!

dene Bremskennlinien dargestellt.

86.6

Gleichstrommaschinen

995

L+

M

L–

M A

A1

D2

D1

A2

M N

B2
n N
n

B1

Abb. 86.64 Drehzahl, Drehmomenten-Kennlinie der Reihenschluss-Maschine

Abb. 86.63 Schaltung einer Reihenschluss-Maschine

Da die Erregerwicklung in Reihe mit dem Ankerkreis geschaltet
ist, gilt hier die Beziehung ˚ D f . I/. Für den linearen Be-

Beispiel
reich der Magnetisierungskennlinie kann die Beziehung in eine
linearabhängige Form überführt werden:

Von einem Gleichstromnebenschlussmotor sind bekannt:

U

D

D

D

D

N

200 V; IN

10 A; PN

1;9 kW; nN

Erregerfluss

˚ D c I

(86.160)

1800 min1; R D

D
a

1 (; UiN

190 V. Wie groß ist die

Leerlaufdrehzahl n

Gleichung (86.139) und (86.160) ergeben:

0, der Anlaufstrom Ia, der Strom beim

Gegenstrombremsen I und der Strom beim Widerstands-

Induktionsspannung
bremsen ohne Zusatzwiderstand?

U D

i
k 1 ˚ n D k 1 c I n D k 3 I n

(86.161)

n D

UiN

N

˚

N
k 1

Maschinenkonstante

U

U

)

˚

D iN D i 0

N
k 1
n

D

N
n 0
k 3
k 1 c

(86.162)

)

n D Ui 0

D 200 V

0
nN

1800 min1

U

Weiter kann für die mechanische Leistung und das Moment fol-
iN

190 V
gende Umformung der Grundgleichung vorgenommen werden:

D 1894;7 min1

U D

C

D

N

IA Ra

UiA
mechanische Leistung

P mech
k 3 n I 2

(86.163)

U U

)

N
iA

Motormoment

M D k I 2

(86.164)

I D

D 200 V 0 V D

4

A

200 A

Ra

1 (

D k 3

I R D

C

Maschinenkonstante
k 4
a

UN

UiN

2

(86.165)

U C U

)

N
iN

I D

D 200 V C 190 V D 390 A

Aus (86.163) und (86.164) geht hervor, dass beide vom

Ra

1 (

Quadrat des Stromes abhängig sind. Eine Drehmoment-

U

D
iN

I Ra

Drehzahlabhängigkeit kann über die Spannungsgleichung her-

UiN
gestellt werden.

XI

)

I D

D 190 V D 190 A

J

R

P
a

1 (

U

Ra

Motordrehzahl
n D

(86.166)

Teil
k

3

I
k 3

U 2

Motormoment

M D
k 4 P

(86.167)

86.6.2.2

Reihenschlussmotor

. k

3
n C

Ra/2

Die Schaltung des Reihenschlussmotors ist in Abb. 86.63 dar-

Aus (86.167) und der dazugehörigen Kennlinie (Abb. 86.64)

gestellt.

erkennt man, dass die Drehzahl für ein sinkendes Gegenmo-

D

Es gelten die Grundgleichungen der Gleichstrommaschine. Für
ment steigt. Für ein Gegenmoment MG

0 steigt die Drehzahl
den Ankerkreiswiderstand gilt jedoch:

n ! 1; der Motor „geht durch“. Der Reihenschlussmotor
muss also immer mit einem Gegenmoment betrieben werden,

X
damit er nicht durch zu hohe Drehzahlen zerstört wird. Da

Ankerkreiswiderstand

R D

C

C
a

Ra

Rb

Rd

(86.159)

das Drehmoment M I 2 ist, steht beim Anlauf ein sehr ho-
hes Moment zur Verfügung. Der Reihenschlussmotor wird für

Rb Widerstand der Wendepolwicklung; Rd Widerstand der Erre-

Antriebe eingesetzt, die im Anlauf ein hohes Moment erfor-
gerwicklung.

dern (Elektrofahrzeuge, Hebezeuge). Eine Drehzahlsteuerung

996

86 Elektrische Maschinen

M
a

M

M A

M (I )

A N

M N

M*
n N
n

A

M Br

*

M

I < I

N

N

N
n n*
n
b

M

Abb. 86.65 Drehzahl, Drehmomenten-Kennlinie der Reihenschluss-Maschine
bei verringerter Erregung

M

M

N
n N
n

M A

M Br

R Br > 0

M*

A

R Br = 0

M N

Abb. 86.67 Drehzahl-, Drehmomenten-Kennlinie der Reihenschluss-Maschine
im Bremsbetrieb. a Mit Vorwiderstand, b Gegenstrombremsen
n *
n N
n

Abb. 86.66 Drehzahl, Drehmomenten-Kennlinie der Reihenschluss-Maschine
bei verringerter Spannung
gleichlaufend durch die Erregerwicklung und erzeugt wiederum
eine Induktionsspannung im Anker. Durch die Umpolung des

Ankers fließt der Strom entgegengesetzt durch den Anker und
des Reihenschlussmotors erfolgt über eine Feldschwächung,
erzeugt mit dem Erregerfeld ein Moment entgegen der Dreh-
eine Spannungsänderung oder einen Vorwiderstand im Anker-
richtung. Mit sinkender Drehzahl werden Ui und damit auch der
kreis.

Strom kleiner.

Eine Schwächung des Erregerfeldes kann nur erfolgen, wenn

Beim Gegenstrombremsen wird die Ankerwicklung umgepolt
ein Widerstand parallel zur Spule geschaltet wird. Dieser Wi-
und ein Bremswiderstand in den Kreis eingeschaltet, der zu
derstand Rp muss niederohmig ausgeführt werden, da RD auch
hohe Ströme verhindern soll. Im Abb. 86.67 sind die Kennli-
niederohmig ist.

nienverläufe der Bremsvorgänge dargestellt.

Durch eine Feldschwächung wird das Anlaufmoment ebenfalls
geschwächt. Im Nennbetrieb erfolgt bei gleichem Moment ei-

T

Beispiel
eil
ne Drehzahlerhöhung (Abb. 86.65). Eine Spannungsänderung

(Absenkung) bewirkt, dass weniger Strom durch die Maschine

XI

Von einem Gleichstromreihenschlussmotor sind folgende
fließt und somit eine Verkleinerung des Anlaufmoments auftritt.

Daten bekannt: U D 200 V; I D 10 A; P D 1;9 kW;

Ebenfalls wird bei gleichem Moment die Drehzahl der Maschi-

N

N

N

P
n D 1800 min1;

R D 1 (.

ne reduziert.

a

Das Nennmoment berechnet sich zu:

Die Drehzahl-Drehmomentenkurve (Abb. 86.66) wird zu klei-
neren Werten verschoben.

PN

1900 V A 60 s

M D

D
min D

N

10;08 W s

Eine Widerstandsänderung hat die gleichen Auswirkungen auf

2 nN

2 1800 1
min
das Verhalten der Maschine wie eine Spannungsänderung.

Über das Nennmoment und den Nennstrom können die

Bei der Reihenschlussmaschine ist keine Nutzbremsung mög-

Motorkonstanten berechnet werden:

lich (keine konstante Spannung). Das Abbremsen der Maschine
erfolgt über die Widerstands- oder Gegenstrombremsung. Bei

MN
der Widerstandsbremsung wird der Motor vom Netz genommen
k D

D

3

2 k 4

2 I 2
und der Ankerkreis umgepolt. Da der Stromfluss bei der Netz-

N
trennung unterbrochen wird, die Maschine aber mit ungefähr

D 2 10;08 W s D

V s

0;633
gleicher Drehzahl weiter läuft, erzeugt die verbleibende Rema-

102 A2

A
nenzspannung einen Stromfluss im Motor. Dieser Strom fließt

86.6

Gleichstrommaschinen

997

L+

U i

L–

A1

E1

E2

A2

D2

D1

B2

R

U

I e

B1

Abb. 86.68 Schaltung einer Doppelschluss-Maschine

Abb. 86.69 Leerlaufkennlinie U –f .I / des Gleichstromgenerators

Ebenso wie bei den Motoren unterscheidet man zwischen

Da die Momente quadratisch von den Strömen abhängen,
fremderregtem Generator, Nebenschlussgenerator und Reihen-
kann der Strom bei halbem Moment bestimmt werden:

schlussgenerator. Für die folgenden Betrachtungen wird ange-
r
s
nommen, dass die Antriebsdrehzahl konstant ist. Die Spannung,

MN

10;08 W s
die sich an den Generatorklemmen im unbelasteten Betrieb ein-

I D I

D

N

10 A

M

0;5 10;08 W s
stellt (Leerlaufspannung U 0), entspricht der induzierten Span-
s
nung Ui nach (86.138).

D

1

10 A

D 7;07 A

Im Abb. 86.69 ist die Abhängigkeit der Leerlaufspannung

0,5
vom Erregerstrom dargestellt. Ausgehend von der Remanenz-
spannung U

Um die neue Drehzahl berechnen zu können, muss zuerst

R folgt die Spannungskurve entsprechend der Ma-
gnetisierungskennlinie dem Erregerstrom. Wird der Generator
die Induktionsspannung bestimmt werden:

belastet, fließt durch die Ankerspule ein Strom, der in den An-

X
kerwicklungen einen Spannungsfall U

D I R

U D U I

R
a
a verursacht
i

N
a
und ebenfalls ein Ankerquerfeld erzeugt, das zu Ankerrückwir-

D 200 V .7;07 A 1 W/ D 192;93 V
kungen (Feldschwächung) führt. Aus diesen Gründen sinkt die

Klemmenspannung bei Belastung am Generator.

Die Drehzahl bei halbem Nennmoment berechnet sich
jetzt wie folgt:

86.6.3.1

Fremderregter Generator

U

192;93 V 60 s
n D
i

D
min D 2586;6 min1 J

Soll der fremderregte Generator mit konstanter Klemmenspan-
k

3

I

0;633 V s 7;07 A

A
nung betrieben werden, muss der Erregerstrom kontinuierlich
nachgeregelt werden. Kann die Erregung nicht nachgeführt wer-
den, sinkt die Klemmenspannung. Da die Erregung jedoch
nur indirekt von der Belastung abhängig ist (Feldschwächung),

86.6.2.3

Doppelschlussmotor
liefert der fremderregte Generator bei Belastung eine verhältnis-

Der Doppelschlussmotor besitzt im Gegensatz zu den anderen
mäßig konstante Klemmenspannung. Die Klemmenspannung

Gleichstrommaschinen zwei Erregerwicklungen (Abb. 86.68).

schwankt je nach Größe der Maschine zwischen 10 und 2 %.

XI

Diese Erregerwicklungen sind als Nebenschluss- und als Rei-
henschlusswicklung ausgeführt. Je nachdem, welches Verhalten

86.6.3.2

Nebenschlussgenerator
beim Motor überwiegen soll, wird eine der Wicklungen stärker

Teil
ausgelegt. Der Doppelschlussmotor hat den Vorteil, dass auch

Beim Nebenschlussgenerator ist keine Fremdspannungsquelle
bei einem Reihenschlussverhalten ein „Durchgehen“ der Ma-
vorhanden, die den Erregerstrom liefert.

schine ausgeschlossen ist, da die Nebenschlusswicklung eine

Der Generator muss die Erregerspannung selbst liefern. Wird
definierte Leerlaufdrehzahl vorgibt.

der Generator mit konstanter Drehzahl angetrieben, erzeugt
der vorhandene Restmagnetismus eine Remanenzspannung UR.

Diese Spannung treibt einen Strom durch den Erregerkreis. Die-

86.6.3

Betriebsverhalten von
ser Strom erzeugt eine höhere Induktionsspannung, die einen

Gleichstromgeneratoren
höheren Erregerstrom zur Folge hat. Dieser Vorgang hält so lan-
ge an, bis ein Gleichgewicht zwischen der Induktionsspannung

Obwohl der Einsatz von Gleichstromgeneratoren durch die Ent-
und dem Spannungsfall an den Widerständen des Erregerkreises
wicklung der Leistungselektronik stark zurückgegangen ist, soll
herrscht.

hier ein Überblick über das Betriebsverhalten der verschiedenen

D

C

Generatoren gegeben werden.

Induktionsspannung

Ui

Ie . Ra

Re/

(86.168)

998

86 Elektrische Maschinen
a
sondern auch der Laststrom. Das hat zur Folge, dass Klemmen-
o

U

R*
spannung und treibende Spannung für den Erregerstrom sinken.

v > R v
n = n (const.)

N

Je nach Größe von I Ra stellt sich ein neuer Betriebspunkt am

Generator ein. Die Kennlinie zeigt, dass die Klemmenspannung

U = f( I E)

*
n < n N

I R

* a

R

*
mit steigender Last bis zum Nullpunkt (Kurzschluss) kontinu-
ierlich sinkt. Der Nebenschlussgenerator liefert im Kurzschluss

I*( R v+ R E)

n <

+ n*
einen Strom, der nicht größer als der Nennstrom wird.

86.6.3.3

Reihenschlussgenerator

Da der Reihenschlussgenerator seine Erregung durch den im

I E

Anker fließenden Strom erhält, kann der Generator nur im
b

Kurzschluss angefahren werden. Die vorhandene Remanenz-

U
spannung erzeugt einen Strom im kurzgeschlossenen Genera-

U on

U i
torkreis, der die Generatorspannung erhöht. Bei Belastung des

Reihenschlussgenerators schwankt die Klemmenspannung sehr

U Kl
stark mit dem Laststrom, der gleichzeitig Erregerstrom ist. Ein

Einsatz dieses Generatortyps ist nicht zu empfehlen.

86.6.3.4

Doppelschlussgenerator

Der Doppelschlussgenerator hat, wie der Doppelschlussmotor,

I
zwei Erregerwicklungen, die auf dem gleichen Polkern über-
einandergewickelt sind. Eine der Wicklungen wird mit der

Abb. 86.70 Kennlinie U –f .I / des Gleichstromgenerators. a Leerlaufkennlinie

Ankerspule in Reihe geschaltet, die andere Wicklung parallel.

für verschiedene Drehzahlen mit Lastwiderstand, b Belastungskennlinie für eine

Je nach Schaltung und Auslegung der Wicklungen spricht man

Drehzahl
von einem kompoundierten Generator. Der Reihenschlussan-
teil der Wicklung erzeugt ein Feld in Richtung des Neben-

I

I e
schlussfeldes. Die Reihenschlusswicklung ist kleiner als die

U Ra

R a

R e

Nebenschlusswicklung. Dadurch wird die Spannung nahezu

R
konstant gehalten. Der überkompoundierte Generator hat einen

L

U Kl

U
starken Reihenschlussanteil; die Spannung steigt mit zuneh-
i

X E
mender Belastung. Der gegenkompoundierte Generator hat die

I a

Reihenschlusswicklung so geschaltet, dass das Reihenfeld dem

Feld der Nebenschlusswicklung entgegenwirkt. Mit zunehmen-

Abb. 86.71 Ersatzschaltbild des Nebenschlussgenerators
der Belastung sinkt die Spannung.

Aus der Kennlinie Abb. 86.70 ist abzulesen, dass der stabile

86.6.4

Gleichstrommaschine am Wechsel-

Betriebspunkt für die Leerlaufspannung vom Widerstand des

Teil

Leerlaufkreises und der Drehzahl der Maschine abhängt. Für
oder Drehstromnetz
kleine Drehzahlen kann ein Punkt erreicht werden, an dem keine

XI

Selbsterregung der Maschine einsetzt.

Häufig steht kein geeignetes Gleichstromnetz für den Be-

Ist die Polung der Erregerwicklung falsch angeschlossen, wird
trieb einer Gleichstrommaschine zur Verfügung. Die benötigte
durch den Erregerstrom eine Spannung induziert, die der Re-

Gleichspannung wird deshalb aus dem vorhandenen Wechsel-
manenzspannung entgegenwirkt. Das Ersatzschaltbild des Ne-
oder Drehstromnetz durch Gleichrichterschaltungen erzeugt. In
benschlussgenerators ist in Abb. 86.71 dargestellt. Es gelten
diese Gleichrichterschaltungen können Dioden oder ansteuer-
folgende Gleichungen für den Erreger- oder Ankerkreis:

bare Ventile (Transistor, Thyristor) eingesetzt werden. Über
die ansteuerbaren Ventile besteht die Möglichkeit, die Höhe

Ankerkreisspannung

U D U

der Gleichspannung zu verändern. Einen Überblick über diese
i

Ra . I C Ie/

(86.169)

stromrichtergespeisten Gleichstromantriebe gibt Tab. 86.7.

Erregerkreisspannung

U D I
e

Re

(86.170)

Durch die beliebige Ansteuerbarkeit dieser Stromrichter kann

Unter der Voraussetzung I
I

e und Re

Ra ergibt sich:

die Drehzahl der Gleichstrommaschinen durch eine Spannungs-
änderung geregelt werden. Ferner kann durch geeignete Maß-

R

a

I D Ui

Ie Re

(86.171)

nahmen eine Rückspeisung von Energie in das Netz erfolgen

(Mehrquadrantenantriebe). Zur optimalen Nutzung dieser Me-

Wird ein Widerstand RL an den leerlaufenden Generator ange-
thode sollten die Anker- und Erregerwicklungen durch getrennte
schlossen, fließt über den Widerstand Ra nicht nur der Erreger-,

Spannungsquellen versorgt werden.

86.6

Gleichstrommaschinen

999

Tab. 86.7 Stromrichter für Gleichstrommaschinen

Bezeichnung

Betriebsbereiche

Zusatzmaßnahmen

Einquadrantenantrieb mit Einfachstromrichter,

I. oder III. Quadrant,

Keine
halbgesteuert
nur Motorbetrieb

Einquadrantenantrieb mit Einfachstromrichter,

I., IV. oder III., II. Quadrant,

Keine
vollgesteuert

Motor- und Generatorbetrieb

Mehrquadrantenantrieb, Einfachstromrichter,

I., IV. und III., II. Quadrant,

Umschaltung im Ankerkreis,
vollgesteuert

Motor- und Generatorbetrieb
momentenfreie Pause 0,1 bis 0,2 s

Mehrquadrantenantrieb, Einfachstromrichter,

I., IV. und III., II. Quadrant,

Umschaltung im Erregerkreis,
vollgesteuert

Motor- und Generatorbetrieb
momentenfreie Pause 0,5 bis 2 s

Mehrquadrantenantrieb, Zweifachstromrichter,

I., IV. und III., II. Quadrant,
kreisstromfreie Gegenparallelschaltung,
vollgesteuert

Motor- und Generatorbetrieb
momentenfreie Pause 2 bis 10 ms

Mehrquadrantenantrieb, Zweifachstromrichter,

I., IV. und III., II. Quadrant,
kreisstromführende Kreuzschaltung,
vollgesteuert

Motor- und Generatorbetrieb
keine momentenfreie Pause

L d

L d

V1

V2

V1

V2

R

R

M

M

U

U da

U

U da

L M

L M

V3

V4

V3

V4

Abb. 86.73 Symmetrische halbgesteuerte Einphasen-Brückenschaltung

Abb. 86.72 Unsymmetrische halbgesteuerte Einphasen-Brückenschaltung

L d

86.6.4.1

Wechselstrombrücken

V1

V2

R M

Wird die Gleichspannung aus dem Einphasenwechselstromnetz

U

U d
erzeugt, stehen die nachfolgend dargestellten Gleichrichter-
a
schaltungen zur Verfügung.

L M

V3

V4

86.6.4.1.1

Einquadrantenantrieb (1-Q-Betrieb)

Abb. 86.74 Vollgesteuerte Einphasen-Brückenschaltung

Der Einquadrantenantrieb wird durch eine halbgesteuerte

Einphasen-Brückenschaltung erreicht. Hierbei wird die Hälf-
te der Dioden durch steuerbare Ventile ersetzt. Die Maschine
spannung und Nennstrom bei vollkommen geglätteter Gleich-
kann nur als Motor im I. oder III. Quadranten betrieben werden.

spannung. Pulsierende Gleichspannungen enthalten Wechsel-

Unterschieden wird bei dieser Brückenschaltung zwischen der
stromanteile, die zusätzliche Verluste in der Maschine erzeugen.

symmetrischen und der unsymmetrischen Schaltung.

Für den Betrieb von Gleichstrommaschinen an Stromrichtern
geben die Hersteller deshalb einen Zuschlagsfaktor F (der Fak-

Bei
der
unsymmetrischen

Einphasen-Brückenschaltung
tor F ist aus den Herstellerlisten zu ermitteln) an, mit dem die

(Abb. 86.72) können die Ventile mit einem Zündwinkel von

˛ D

Nennleistung für Stromrichterbetrieb berechnet werden muss.

0° bis ˛ D 180° angesteuert werden. Hierdurch ergibt sich

XI
eine Gleichspannung von 100 bis 0 %.

Maschinenleistung bei Stromrichterbetrieb

Die symmetrische Brückenschaltung (Abb. 86.73, 86.74) lässt

Teil
nur einen Zündwinkel von maximal 150° zu, da sonst Kippge-

P D

T

MN 2 nN F

(86.173)

60
fahr besteht. Der Unterschied der beiden Gleichrichterschaltun-
gen besteht darin, dass sich der Ankerstrom bei der symmetrisch
gesteuerten Brücke gleichmäßig auf Thyristoren und Dioden

86.6.4.1.2

Zweiquadrantenantrieb (2-Q-Betrieb)

aufteilt, bei der unsymmetrischen Brücke bewirken die zu ei-

Der Zweiquadrantenantrieb wird durch eine vollgesteuerte
nem Freilaufzweig angeordneten Dioden eine Entlastung der

Einphasen-Brückenschaltung aufgebaut (Abb. 86.75).

Thyristoren. Die mit diesen Brücken erzeugte Gleichspannung
berechnet sich zu:

Alle Gleichrichterdioden werden durch steuerbare Ventile er-

Gleichspannung nach der Brücke
setzt. Die Zündimpulse für die Ventile werden aus dem Verlauf
p
der Netzspannung abgeleitet. Abwechselnd zündet man zwei

2

U

diagonal angeordnete Thyristoren, wodurch die beiden anderen
di ˛ D

U .

1 C cos ˛/

(86.172)

gelöscht werden. Im Gleichrichterbetrieb (I. oder III. Quadrant)

Die maximale Drehzahl erreicht die Maschine bei ˛ D 0°. steht für den Motor eine Spannung U di ˛ zur Verfügung, deren

Die für die Maschine angegebene Nennleistung gilt für Nenn-

Höhe abhängig vom Steuerwinkel der Thyristoren ist.

1000

86 Elektrische Maschinen

L d

L d

V1

V2

R M

L1

M

R

U

U

L2
daI
daIl
d

U a

U

U

L
d

M
a

L3

L

L K

K

L

M

V3

V4

Abb. 86.77 Vollgesteuerte Drehstrom-Brückenschaltung in Gegenparallel-
schaltung

K2

K1

Abb. 86.75 Vollgesteuerte Einphasen-Brückenschaltung mit Wendeschütz-

Winkel ˛ < 90° kann die Maschine in entgegengesetzter Rich-
kombination für Vierquadrantenbetrieb
tung hochfahren.

L

Der Vierquadrantenbetrieb ist ebenfalls durch eine Umkehr der
d

Erregerspannung möglich. Hierbei ist jedoch eine längere Pause

V1

V2

V3
zwischen den Schaltvorgängen einzuhalten!

L1

R M

L2

U da

86.6.4.2

Drehstrombrücken

L

L3

M

Steht dem Betreiber ein Drehstromnetz zur Verfügung, bieten

V4

V5

V6
sich folgende Brückenschaltungen zur Erzeugung von Gleich-
stromnetzen an.

Abb. 86.76 Vollgesteuerte Drehstrom-Brückenschaltung

86.6.4.2.1

Zweiquadrantenbetrieb (2-Q-Betrieb)

p

Brückenspannung

U

di ˛ D 2

Wird eine vollgesteuerte Drehstrombrückenschaltung nach

2 U cos '

(86.174)

Abb. 86.77 eingesetzt, so ergibt sich der Wert der Gleichspan-

Bei einem Zündwinkel von ˛ D 90° ist die Gleichspannung nung zu:

U di˛ D 0. Es steht kein Moment mehr zur Verfügung, der Motor
p
steht. Wird der Winkel ˛ über 90° vergrößert, geht die Maschi-

Brückenspannung

U

di ˛ D 3

2 U cos ˛

(86.175)

ne in den Generatorbetrieb und die Brückenschaltung in den

Wechselrichterbetrieb über; die Maschine arbeitet im IV. oder

Diese Brückenschaltung ermöglicht kleine Transformatorbau-

II. Quadranten. Als maximaler Zündwinkel sollte ˛ D 150° formen. In der gleichgerichteten Spannung sind nur Ober-
nicht überschritten werden, da die Freiwerdezeit der Ventile zu
schwingungen mit Frequenzen vorhanden, die ein Vielfaches
berücksichtigen ist. Eine Momentenumkehr ist mit dieser Schal-
der sechsfachen Netzfrequenz betragen. Der Stellbereich ist
tung nicht ohne weiteres möglich, daher kein generatorisches
wesentlich größer als bei der Wechselstrombrücke, und die

Bremsen.

Stromflussdauer beträgt in allen Brückenzweigen 120° (kein

Lückbetrieb vorausgesetzt).

86.6.4.1.3

Vierquadrantenantrieb (4-Q-Betrieb)

86.6.4.2.2

Vierquadrantenbetrieb (4-Q-Betrieb)

T

Beim Vierquadrantenbetrieb wird ebenfalls eine vollgesteuerte
eil

Einphasen-Brückenschaltung eingesetzt.

Mit den Wechselstrombrücken ist der Bremsbetrieb nur durch
ein Umpolen der Erreger- oder Ankerspannung möglich. Das

XI

Über eine Wendeschützkombination im Ankerkreis kann die
eignet sich nicht für Antriebe, die eine schnelle Drehrichtungs-

Spannung am Motor umgepolt und somit die Drehrichtung um-
umkehr verlangen. Wird eine schnelle Drehrichtungsumkehr
gedreht werden (Abb. 86.76). Hierdurch ist ein Betrieb der
verlangt, kann die Drehstrombrücke in Gegenparallelschaltung

Maschine in allen vier Quadranten möglich. Eine Umschaltung
nach Abb. 86.78 eingesetzt werden.

sollte möglichst stromlos erfolgen, um Schaltüberspannungen
und Drehmomentenstöße zu verhindern. Hierzu muss der Strom

Hierbei wird eine Stromumkehr durch zwei Drehstrombrücken,
im Ankerkreis gemessen und der Istwert der Umschalteinrich-
die mit entgegengesetzten Ventilrichtungen aufgebaut sind, er-
tung übermittelt werden. Ein Umschaltvorgang läuft wie folgt
möglicht. Die beiden Drehstrombrücken arbeiten parallel, je-
ab:

doch mit einem Zündwinkel, der gewährleistet, dass sich der

Mittelwert der beiden Brückenspannungen in jedem Zeitpunkt

Der Steuerwinkel sollte auf 150° gebracht werden. Der dann
vom Betrag her gleicht, jedoch ein entgegengesetztes Vor-
herrschende Wechselrichterbetrieb lässt den Strom schnell auf
zeichen hat. Soll die Gleichspannung Ud˛ verändert werden,

Null abklingen. Im Stromnulldurchgang werden die Zündim-
müssen beide Zündwinkel ˛

D

I und ˛II

180ı ˛I entspre-
pulse gesperrt, es wird umgeschaltet. Ist die Umschaltung abge-
chend verstellt werden. Da die beiden Teilspannungen der
schlossen, werden die Zündimpulse mit einem Winkel von 150°

Brücken nicht in jedem Zeitpunkt gleich sind, stellt sich über die
wieder freigegeben. Durch eine Verringerung des Zündwinkels

Teilstromrichter ein Strom ein, der durch diese Wechselspan-
auf 90° bremst die Maschine bis zum Stillstand ab. Bei einem
nungskomponente erzeugt wird. Dieser Strom wird durch die

86.7

Auswahl von Motoren

1001

U=

Tab. 86.8 Gegenüberstellung der Kurzzeichen für die Bauformen nach DIN IEC

U~

34 Teil 7 und der alten DIN 42950

1H2

1H1 1D2

1D1

2D2

2D1 2H2

2H1

DIN IEC 34 Teil 7

DIN 42950

IM B 3

IM 1001

B 3

IM V 5

IM 1011

V 5

A1

IM V 6

IM 1031

V 6

IM B 6

IM 1051

B 6

A2

IM B 7

IM 1061

B 7

IM B 8

IM 1071

B 8

Abb. 86.78 Schaltung eines Universalmotors

IM B 35

IM 2001

B 3/B 5

IM B 34

IM 2101

B 3/B 14

IM B 5

IM 3001

B 5

Kreisdrossel L

IM V 1

IM3011

V 1

K begrenzt. Bei Antrieben mit größeren Leistun-
gen wird ein Teilstromrichter nicht angesteuert, somit können

IM V 3

IM 3031

V 3
die Kreisströme vermieden werden. Die Umschaltung erfordert

IM B 14

IM 3601

B 14
hier jedoch eine gewisse Totzeit.

IM V 18

IM 3611

V 18

IM V 19

IM 3631

V 19

IM B 10

IM 4001

B 10

IM V 10

IM 4011

V 10

86.6.5

Universalmotor

IM V 14

IM 4031

V 14

IM V 16

IM 4131

V 16

Ein Universalmotor ist ein kleiner Reihenschlussmotor, der mit

IM B 9

IM 9101

B 9

Gleich- und Wechselstrom betrieben werden kann. Im Unter-

IM V 8

IM 9111

V 8
schied zum reinen Gleichstrommotor ist das Ständerblechpaket

IM V 9

IM 9131

V 9
zur Vermeidung von Wirbelströmen aus Dynamoblech zusam-
mengesetzt. Die Baugröße des Universalmotors geht bis zu
einer Leistung von ungefähr 2000 W. Die Drehzahlbereiche
sind anders als beim Einphasenwechselstrommotor nicht fre-
quenzabhängig. Universalmotoren werden mit Drehzahlen von

M B 3

IM B 6

IM B 7

IM B 8

IM V 5

1500 min1 bis 30.000 min1 gebaut. Wird der Motor mit Wech-
selstrom betrieben, entsteht in der Erregerwicklung neben dem
ohmschen Widerstand noch der induktive Widerstand. Dadurch
gehen Drehzahl und Leistung beim Übergang von Gleich- auf

Wechselstrom zurück.

IM V 6

IM B 5

IM V 1

IM V 3

IM B 9

Soll die Leistung für Gleich- und Wechselstrom konstant gehal-
ten werden, muss die Maschine eine höhere Windungszahl für
den Gleichstrombetrieb erhalten.

IM V 8

IM V 9

IM B 14

IM V 18

IM V 19

86.7

Auswahl von Motoren

IM B 35

IM B 34

XI

Wird ein Motor für einen Antrieb ausgewählt, müssen vor-

Abb. 86.79 Die gebräuchlichsten Bauformen für Drehstrommotoren
her einige Vorgaben geklärt sein. Bekannt sein müssen die für

Teil
den Antrieb maßgebende Drehzahl/Drehmomentenkennlinie,
die geforderte Dauerleistung, die geforderte Drehzahl, die mög-

86.7.1.1

Bauform und Baugrößen
liche Spannungsversorgung des Motors, der Aufstellungsort, die

Betriebsart des Antriebs, eventuell erforderliche Zusatzmaßnah-

Die Bauformen für elektrische Maschinen sind in DIN 42950
men und der notwendige Motorschutz.

(alt) und in der DIN IEC 34 Teil 7 festgelegt. Die DIN IEC 34
unterscheidet zwei Codetabellen für die Bezeichnung der Bau-
formen. In Tab. 86.8 und Abb. 86.79 sind die gebräuchlichsten

Bauformen und Baugrößen aufgeführt.

86.7.1

Auswahl unter Berücksichtigung der

Normen

86.7.1.2

Schutzart

In den DIN- und VDE-Vorschriften werden dem Betreiber

Durch die Wahl einer geeigneten Schutzart wird verhindert, dass

Vorgaben gemacht, die zur Auswahl von geeigneten Motoren
schädigende Einwirkung von Wasser, Fremdkörpern und Staub
herangezogen werden sollten.

das Betriebsverhalten des Motors verändern. Weiter muss die

1002

86 Elektrische Maschinen

Tab. 86.9 Schutzarten

Erste

Erklärung

Zweite

Erklärung

Dritter

Erklärung

Vierter

Erklärung

Kennziffer

Kennziffer

Buchstabe

Buchstabe

0

Kein Schutz

0

Kein Schutz

1

Schutz gegen zufäl-

1

Schutz gegen senkrecht A

Geschützt gegen

M

Betriebsmittel geprüft
liges großflächiges
fallendes Wasser

Zugang mit dem
auf die schädliche Wir-

Berühren; Schutz ge-

Handrücken (50 mm)

kung durch Eintritt von
gen Eindringen von

Wasser, wenn die be-

Fremdkörpern größer
weglichen Teile des
als 50 mm

Betriebsmittels in Be-
trieb sind

2

Schutz gegen Berühren

2

Schutz gegen

B

Geschützt gegen Zu-

W

Geeignet zur Verwen-
durch Finger; Schutz

Tropfwasser bei
gang durch Finger
dung unter festgelegten
gegen Eindringen

Schrägstellung des

(12 mm Durchmesser,

Wetterbedingungen
von Fremdkörpern

Gerätes bis zu 15°

80 mm Länge)

und ausgestattet mit

> 12,5 mm
zusätzlichen schützen-
den Maßnahmen oder

Verfahren

3

Schutz gegen Berühren

3

Schutz gegen Sprüh-

C

Geschützt gegen Zu-

H

Hochspannungs-
mit Werkzeugen oder
wasser aus einem
gang mit Werkzeug
betriebsmittel
gegen Eindringen von

Winkel bis zu 60°

(2,5 mm Durchmesser,

Fremdkörpern von

100 mm Länge)

einer Dicke > 2,5 mm

4

Schutz gegen Berühren

4

Schutz gegen Spritz-

D

Geschützt gegen Zu-

S

Betriebsmittel geprüft
mit Werkzeugen oder
wasser aus beliebigen
gang mit Draht (1,0 mm
auf schädliche Wir-
gegen Eindringen von

Richtungen

Durchmesser, 100 mm
kung durch Eindringen

Fremdkörpern von

Länge)

von Wasser, wenn die
einer Dicke > 1 mm
beweglichen Teile im

Stillstand sind

5

Vollständiger Schutz

5

Schutz gegen Strahl-
gegen Berühren; Schutz
wasser aus allen
gegen schädliche

Richtungen

Staubablagerungen

6

Vollständiger Schutz

6

Schutz gegen vorüber-
gegen Berühren; Schutz
gehende Überflutung,
gegen Eindringen von
z. B. schwere See

Staub

7

7

Schutz gegen schäd-
liches Eindringen von

Wasser beim Eintau-
chen

8

8

Schutz gegen jegliches

Eindringen von Wasser

Teil

Berührung von rotierenden Teilen im Inneren eines Motors und
me vor. Beide beginnen mit den Buchstaben IC (International
das Berühren von spannungsführenden Teilen verhindert wer-

Cooling). Bei der vollständigen Kennzeichnung folgen auf die

XI
den. Die Schutzarten sind in der DIN 40050 zu EN 60529/VDE

Buchstaben IC zwei Blöcke mit je einem Buchstaben und zwei

0470 Teil 1 festgelegt. Als Kurzzeichen für die jeweilige Schutz-

Ziffern, z. B. IC W 337 A 71. Die deutsche Norm empfiehlt dem
art steht die Abkürzung IP (International Protection), gefolgt

Anwender bei luftgekühlten Maschinen die vereinfachte Kenn-
von zwei Kennziffern und zwei Buchstaben. Von den beiden
zeichnung einzusetzen. Bei der vereinfachten Kennzeichnung

Kennziffern gibt die erste Ziffer den Personen- oder Fremd-
beschreibt die erste Kennziffer die Art des Kühlmittelumlaufs,
körperschutz an, die zweite Ziffer den Wasserschutz. Der dritte
die zweite Ziffer die Art des Antriebs für den Kühlmittel-

Buchstabe kann für einen zusätzlichen Schutz stehen, und der
umlauf.

vierte Buchstabe stellt eine Ergänzung dar. Die ersten beiden

Die für den Antrieb vorgegebene Kühlungsart gewährleistet

Ziffern müssen nach dem IP-Zeichen vorhanden sein. Ist eine
bei einer Kühlmitteltemperatur (KT) von 40 °C und einer Auf-

Ziffer nicht ausgeführt, muss sie durch ein X ersetzt werden.

stellungshöhe bis 1000 m, dass der Antrieb mit Nennleistung

Der dritte und vierte Buchstabe muss nicht vorhanden sein.

betrieben werden darf. Bei abweichenden Bedingungen ist die
zulässige Leistung entsprechend nachstehender Tabelle zu be-

86.7.1.3

Kühlart
stimmen. Diese Angaben sind Richtwerte. Es ist von jedem

Die Art der Kühlung von Maschinen ist nach DIN IEC 34

Hersteller eine genaue Information über die Reduktionsfaktoren

Teil 6 festgelegt. Diese DIN sieht zwei Kennzeichnungssyste-
einzuholen!

86.7

Auswahl von Motoren

1003

Tab. 86.10 Kühlungsarten von Motoren

1. Kennziffer Bedeutung

2. Kennziffer Bedeutung

0

Maschine mit freiem Luftein- und -austritt

0

Selbstkühlung

1

Maschine mit Rohranschluss, ein Einlasskanal

1

Eigenkühlung (Ventilator)

2

Maschine mit Rohranschluss, ein Auslasskanal

2

Eigenkühlung durch eine nicht auf der Welle angebrachten

Belüftungseinrichtung

3

Maschine mit Rohranschluss, Ein- und Auslasskanal

3

Fremdkühlung durch eine an die Maschine angebaute Be-
lüftungseinrichtung. Antrieb von der Maschine abhängig

4

Oberflächengekühlte Maschine (Umgebungsluft)

4

5

Maschine mit eingebautem Wärmetauscher (Kühlmittel

5

Fremdkühlung durch eine eingebaute Belüftungseinrich-

Umgebungsluft)

tung. Antrieb nicht von der Maschine abhängig

6

Maschine mit aufgebautem Wärmetauscher (Kühlmittel

6

Fremdkühlung durch eine an die Maschine angebaute

Umgebungsluft)

Belüftungseinrichtung. Antrieb nicht von der Maschine
abhängig

7

Maschine mit eingebautem Wärmetauscher (Kühlmittel ist

7

Fremdkühlung durch eine nicht auf die Maschine aufgebau-
nicht Umgebungsluft)

te Belüftungseinrichtung. Antrieb nicht von der Maschine
abhängig oder durch Druckluft aus dem Versorgungsnetz

8

Maschine mit aufgebautem Wärmetauscher (Kühlmittel ist

8

Verdrängungskühlung (Fahrtwind)

nicht Umgebungsluft)

9

Maschine mit getrennt aufgestelltem Wärmetauscher

Falls Motor und Antriebsmaschine nicht über ein Rohrsystem

Tab. 86.11 Reduktionsfaktoren für die Nennleistung abhängig von der Höhe
direkt ins Freie fremdbelüftet sind, muss die von den Maschinen
und Temperatur
erzeugte Wärmemenge über die Raumluft abgeführt werden.

Aufstellungshöhe

Kühlmitteltemperatur (KT) in °C

Hierzu ist eine gute Frischluftversorgung zur Kühlung der
über NN in m

< 30

30–40

45

50

55

60

Maschinennotwendig. Ein oberflächengekühlter 110-kW-Motor

1000

1,07

1,00

0,96

0,92

0,87

0,82
mit 1500 min1 benötigt in einer Stunde ungefähr 2200 m3

1500

1,04

0,97

0,93

0,89

0,84

0,79

Kühlluft. Der erforderliche Kühlluftstrom berechnet sich nach

2000

1,00

0,94

0,90

0,86

0,82

0,77
folgender Formel:

2500

0,96

0,90

0,86

0,83

0,78

0,74

Kühlluftstrom

3000

0,92

0,86

0,82

0,79

0,75

0,70

3500

0,88

0,82

0,79

0,75

0,71

0,67

P

4000

0,82

0,77

0,74

0,71

0,67

0,63

P

VL

PV

#

V D

0;77

L

PV

#

(86.176)

m3
kW

K
s

Tab. 86.12 Grenztemperaturen von Isolierungen

P

Klasse

Y

A

E

B

F

H

C

V gesamte Verlustleistung; # zulässige Temperaturdifferenz

(Differenz zwischen Lufteintritts- und zulässiger Raumtempe-

Grenztemperatur in °C 90

105

120

130

155

180

> 180
ratur).

nicht berücksichtigen. Zum Einsatz als Motorschutzgeräte kom-

86.7.1.4

Isolierstoffklassen
men die thermischen Auslöser oder der Motorvollschutz. Bei

In der DIN VDE 0530 sind die Isolierstoffe einschließlich der
größeren Motoren auch Relais, die das Wärmeabbild des Mo-

Tränkmittel in Isolierstoffklassen eingeteilt, denen genau fest-
tors wiedergeben. Thermische Überlastungen eines Motors sind

XI
gelegte Temperaturwerte zugeordnet sind. Die höchstzulässige
durch folgende Ursachen möglich:

Dauertemperatur der Isolierstoffe setzt sich aus der Kühlmittel-

Teil
temperatur und der Grenzübertemperatur der Wicklung zusam-

Erhöhte Verluste durch die Art des Betriebes; Blockieren des
men. Weiter ist noch eine Erwärmungstoleranz zur Sicherheit

Läufers während des Betriebes; Anschluss- und Schaltfehler;
zu berücksichtigen, da die Messungen nur einen Mittelwert der
erhöhte Verluste durch Netzstörungen; Phasenausfall; Netz-

Erwärmung liefern. Bei den Grenztemperaturen wird davon aus-
spannung; Beeinträchtigung der Kühlung.

gegangen, dass die Kühlmitteltemperatur den Wert 40 °C nicht
übersteigt.

86.7.1.5.1

Thermischer Auslöser

Der thermische Auslöser (Motorschutzschalter) befindet sich

86.7.1.5

Motorschutz
im Hauptstromkreis und wird vom Motorstrom durchflossen.

Motoren müssen durch geeignete Maßnahmen gegen zu hohe

Der Motorschutzschalter ist für kleinere und mittlere Antrie-

Erwärmung geschützt werden. Dabei ist zu beachten, dass Si-
be geeignet. Die Kosten dieser Schutzeinrichtung sind gering.

cherungen nur ein Schutz gegen Kurzschlüsse sind und nicht

Die Schutzfunktion ist jedoch nicht optimal, da der Motor-
gegen zu hohe Erwärmung, da sie die Vorbelastung des Motors
schutzschalter nicht die Wicklungstemperatur direkt überwacht,

1004

86 Elektrische Maschinen

Tab. 86.13 Betriebsarten

S1 – Dauerbetrieb

Betrieb mit konstantem Belastungszustand, dessen Dauer ausreicht, den thermischen Beharrungszustand zu errei-
chen. Vorgabe ist die Leistung. Beispiel: S1; 50 kW

S2 – Kurzzeitbetrieb

Betrieb mit konstantem Belastungszustand, der aber nicht so lange dauert, dass der thermische Beharrungszustand
erreicht wird. Mit einer nachfolgenden Pause, die so lange besteht, bis die Maschinentemperatur nicht mehr als

2 K von der Temperatur des Kühlmittels abweicht. Vorgabe ist die Leistung und die Betriebsdauer. Beispiel: S2;

20 min; 30 kW

S3 – Aussetzbetrieb ohne Einfluss

Betrieb, der sich aus einer Folge gleichartiger Spiele zusammensetzt, von denen jedes eine Zeit mit konstanter
des Anlaufvorganges

Belastung und eine Pause umfasst. Der Anlaufstrom beeinflusst die Erwärmung nicht merklich. Vorgabe ist die

Leistung, die Einschaltzeit t

D

B und die Spieldauer tS oder die relative Einschaltdauer tr . tr
tB= tS. Beispiel: S3;

10 %; 50 min; 20 kW

S4 – Aussetzbetrieb mit Einfluss

Betrieb, der sich aus einer Folge gleichartiger Spiele zusammensetzt, von denen jedes eine merkliche Anlaufzeit
des Anlaufvorganges
tA, eine Zeit mit konstanter Belastung und eine Pause t St umfasst. Vorgabe ist die relative Einschaltdauer, die Zahl
der Anläufe pro Stunde und die Leistung. t D

C

C

C
r

. tA
tB/=. tA
tB
t St/. Beispiel: S4; 35 %; 400 Anläufe; 25 kW

S5 – Aussetzbetrieb mit Einfluss

Betrieb, der sich aus einer Folge gleichartiger Spiele zusammensetzt, von denen jedes eine merkliche Anlaufzeit,
des Anlaufvorganges und der elek- eine Zeit mit konstanter Belastung, eine Zeit schneller elektrischer Bremsung t Br und eine Pause umfasst. Vorgabe
trischen Bremsung
wie bei der Betriebsart S4, jedoch mit der Angabe der Bremsart. t D

C C

C C

C
r

. tA tB t Br/=. tA tB t Br t St/. Beispiel:

S5; 25 %; 250 Spiele=h Gegenstrombremsung; 40 kW

S6 – Durchlaufbetrieb mit Aus-

Betrieb, der sich aus einer Folge gleichartiger Spiele zusammensetzt, von denen jedes eine Zeit mit konstanter
setzbelastung

Belastung und eine Leerlaufzeit umfasst. Es tritt keine Pause auf. Vorgabe wie Betriebsart S3. t D
r
tB= tS. Beispiel:

S6; 20 %; 45 kW

S7 – Ununterbrochener Betrieb mit Betrieb, der sich aus einer Folge gleichartiger Spiele zusammensetzt, von denen jedes eine merkliche Anlauf-

Anlauf und elektrischer Bremsung
zeit, eine Zeit mit konstanter Belastung und eine Zeit mit schneller elektrischer Bremsung umfasst. Es tritt keine

Pause auf. Vorgabe wie Betriebsart S5, jedoch keine relative Einschaltzeit t

D
r

1. Beispiel: S7; 10 kW; 300

Reversierungen=h

S8 – Ununterbrochener Betrieb mit Betrieb, der sich aus einer Folge gleichartiger Spiele zusammensetzt. Jedes Spiel umfasst eine Zeit mit konstan-
periodischer Drehzahländerung
ter Belastung und bestimmter Drehzahl. Anschließend eine oder mehrere Zeiten mit anderer Belastung, denen
unterschiedliche Drehzahlen entsprechen. Vorgaben wie bei Betriebsart S5, jedoch für jede Drehzahl

S9 – Ununterbrochener Betrieb

Betrieb, bei dem sich Belastung und Drehzahl innerhalb des zulässigen Betriebsbereiches nichtperiodisch ändern.

mit nichtperiodischer Last- und

Es treten häufig Belastungsspitzen auf, die weit über der Nennleistung liegen können. Vorgabe ist eine passend

Drehzahländerung
gewählte Dauerbelastung, deren Grundlage die Wurzel aus dem quadratischen Mittelwert der Leistung oder des
q P 2 t t t

Stromes sein sollte. P D

1 1 C P 2

2 2 C P 2

3 3
t 1C t 2C t 3
sondern nur die Stromaufnahme des Motors. Fehlfunktionen des

86.7.1.6

Abstimmung des Motors auf die

Motorschutzschalters können eintreten, wenn seine Belüftung

Arbeitsmaschine
nicht einwandfrei funktioniert. Dann kann der Motorschutz-
schalter bei erhöhter Umgebungstemperatur auslösen, ohne dass

Für die Auswahl eines geeigneten Motors für einen Antrieb
der Motor überlastet ist. Wird der Motorschutzschalter jedoch
müssen folgende Daten bekannt sein: Betriebsart; Anlauf-,
besser gekühlt als der Motor, so erfolgt keine Auslösung, ob-

Brems- und Umsteuervorgänge; Fremdträgheitsmomente; Mo-
wohl der Motor überlastet wird.

mentenverlauf der Arbeitsmaschine; Drehzahlsteuerung; Netz-
verhältnisse; Aufstellungshöhe; Kühlmitteltemperatur; Bedarfs-

Teil
leistung der Arbeitsmaschine. Die Nennleistung des Motors

86.7.1.5.2

Thermistor-Motorvollschutz
soll auf die Bedarfsleistung der Antriebsmaschine abgestimmt

XI

Von einem Motorvollschutz spricht man, wenn in den Wick-
sein, da ein zu groß bemessener Motor einen höheren Anzugs-
lungssträngen des Ständers des zu schützenden Motors tempe-
strom verursacht, wodurch größere Sicherungen und stärkere
raturabhängige Widerstände eingebaut sind. Diese Widerstände

Leitungen erforderlich sind. Auch fährt der Motor in einem
sind meistens Kaltleiter (PTC). Der Kaltleiter wird so ausge-
unwirtschaftlichen Betrieb, da der Leistungsfaktor und unter
legt, dass ein definierter Strom bei Betriebstemperatur durch

Umständen der Wirkungsgrad unter Teillast schlechter sind. Das
den Schutzkreis fließt. Erhöht sich die Wicklungstemperatur

Drehmoment der Antriebsmaschine ist aus entsprechenden Un-
auf unzulässige Werte, steigt der Widerstand des Kaltleiters
terlagen des Herstellers zu entnehmen. In Abb. 86.80 sind einige
sehr stark an. Im zugehörigen Auslösegerät wird dieser Wi-
typische Drehzahl-Drehmomentverläufe dargestellt.

derstandsanstieg durch einen Stromabfall registriert; der Motor
wird vom Netz geschaltet oder es erfolgt eine Störungsmeldung.

Kurve 1: Drehmoment praktisch gleichbleibend, Leistung pro-

Dieser Schutz ist für ständerkritische Motoren ausreichend.

portional der Drehzahl. Gilt z. B. für Hebezeuge, Kolbenpum-

Läuferkritische Motoren benötigen zusätzlich noch ein Überla-
pen und Verdichter bei Förderung gegen konstanten Druck,
strelais. Das Überlastrelais schützt den Motor, wenn der Läufer

Kapselgebläse, Walzwerke, Förderbänder, Mühlen ohne Lüf-
festgebremst ist. Zusätzlich übernimmt es noch den Leitungs-
terwirkung, Werkzeugmaschinen mit gleichbleibender Schnitt-
schutz.

kraft.

86.7

Auswahl von Motoren

1005

Tab. 86.14 Überlastschutzeinrichtungen im Vergleich (CC sehr gut; C gut; gering)

Schutzeinrichtung

Überlastschutz

Kurzschlussschutz

Schalthäufigkeit

Leitung

Motor (Ständer) Motor (Läufer)

Motor

Leitung

Sicherung, Leistungsschalter (Überlast;

CC

CC

CC

CC

CC

Kurzschluss)

Sicherung; Schütz; Überlastschutz

CC

CC

CC

CC

CC

CC

Sicherung; Leistungsschalter (Überlast);

C

CC

+

CC

CC

Thermistor

Sicherung; Schütz; Thermistor

C

CC

C

CC

CC

CC

Sicherung; Schütz; Überlastschutz; Ther-

CC

CC

CC

CC

CC

CC
mistor

Tab. 86.15 Liste von Wartungsarbeiten in Abhängigkeit vom Motortyp

Zeitraum

Lager

Maschinentyp

Wartungsarbeiten

Wälzlager

Gleitlager

Käfig

Schleifring

Stromwender

Alle 1 bis 2 Wochen

Lagergeräusch und Lagererwärmung kontrollieren

Ölstandskontrolle

Kontrolle der Oberfläche des Stromwenders und der

Bürsten einschließlich Halterung

Alle 1 bis 2 Monate

Oberflächenkontrolle der Schleifringe und des Strom-
wenders, der Bürsten, der Haltevorrichtung und der

Bürstenabhebevorrichtung

Alle 3 bis 4 Monate

Überprüfung des Bürstendrucks

Kontrolle der Anschlussklemmen

Jährliche Wartung

Kontrolle der Lager und Messung der Lagertemperatur

Messung des Isolationswiderstandes der Wicklungen

Reinigung verschmutzter Wicklungen

Messung der Wicklungstemperatur

Kontrolle der Schleifringe und Stromwender mit Zubehör

M

4

Regelvorgänge interessant. Kommt bei Zerspanungsmaschinen,

Aufwickel- und Rundschälmaschinen vor. Für den Anlauf ist

1
das mittlere Lastmoment Ml aus dem Moment Me nach beende-
tem Hochlauf zu bestimmen. Eine Überschlagsbestimmung für

2
die angegebenen Kennlinien ergibt: Kurve 1: M D
l

Me; Kurve 2:

3

M D

D
l

Me=2; Kurve 3: Ml

Me=3; Kurve 4: Ml. Ist das mittlere

Hochlaufmoment Mm bekannt, ergibt sich für die Anlaufzeit ta
des Antriebs folgender Wert:

n

Anlaufzeit

XI

P

Abb. 86.80 Drehzahl-, Drehmomentkennlinien verschiedener Arbeitsmaschi-

J n 0
t
nen
t D
a

J
n 0

M bmi
a

(86.177)

9;55 M bmi
s
kg m2
min1

N m

Teil

Kurve 2: Drehmoment wächst proportional zur Drehzahl, Leis-
mittleres Beschleunigungsmoment
tung proportional zum Quadrat der Drehzahl. Maschinen zum

M

D M M

Glätten von Geweben und Papier, Heißmangel und Kalander.

bmi
m
l

(86.178)

Kurve 3: Drehmoment wächst proportional zum Quadrat der

J Gesamtträgheitsmoment des Antriebes.

Drehzahl, Leistung proportional zur dritten Potenz der Dreh-

Das Gesamtträgheitsmoment setzt sich aus dem Motorträgheits-
zahl. Gilt für Kreiselpumpen, Ventilatoren, Kolbenmaschinen,
moment, dem Trägheitsmoment der Arbeitsmaschine und den
die in ein offenes Rohrnetz fördern, Maschinen mit Schleuder-

Trägheitsmomenten von Kupplungen und Riemenscheiben, um-
wirkung, Schiffsantriebe, Rührwerke.

gerechnet auf die Drehzahl der Motorwelle, zusammen. Kann

Kurve 4: Drehmoment nimmt umgekehrt proportional zur Dreh-
wegen großer Trägheitsmomente/Lastmomente kein einwand-
zahl ab, die Leistung ist konstant. Dieser Verlauf ist nur für
freier Anlauf erreicht werden, muss ein Sonderläufer oder ein

1006

86 Elektrische Maschinen

Tab. 86.16 Störungen an Gleichstrommaschinen, ihre Ursache und Behebung

Störungsart

Ursache

Abhilfe

Motor läuft nicht an

Sicherung defekt

Sicherung ersetzen

Bürsten liegen nicht auf

Bürstensitz überprüfen, Bürstenhalter reinigen, Bürsten auswechseln

Lager festgefressen

Lager auswechseln

Anker- oder Feldwicklung unterbrochen

Durchgang überprüfen, Wicklung ersetzen

Motor läuft schwer an

Körperschluss der Wicklung

Auf Körperschluss prüfen (Kurbelinduktor), Wicklung erneuern

Erregerwicklung unterbrochen

Erregerwicklung auf Durchgang prüfen

Bürstenbrücke verstellt

Bürstenbrückenstellung prüfen (Markierung beachten)

Unruhiger Lauf

Defekte Kugellager

Kugellager ersetzen

Verspannte Lagerschilder

Befestigungsschrauben gleichmäßig nachziehen

Bürstenfeuer zu stark

Motor überlastet

Belastung verringern

Kollektor unrund oder verschmutzt

Kollektor abdrehen, Glimmerisolation auskratzen, Kollektor reinigen

Wendepole falsch geschaltet

Schaltung überprüfen

Motor läuft zu schnell

Erregerwicklung hat Windungsschluss

Wicklung erneuern

Klemmenspannung zu hoch

Gleichspannung verringern

Tab. 86.17 Störungen an Asynchronmaschinen, ihre Ursache und Behebung

Störungsart

Ursache

Abhilfe

Motor läuft nicht an

Schutz hat angesprochen

Schutzgerät überprüfen, einschalten

Lager festgefressen

Lager auswechseln

Motor läuft schwer an

Wicklungsstrang im Läufer unterbrochen

Wicklungsstränge auf Durchgang prüfen

Ständerwicklungen haben Phasen- oder Körperschluss

Wicklungen überprüfen, auswechseln

Klemmenspannung zu niedrig

Spannungsfall auf Zuleitung überprüfen

Motor wird im Leerlauf zu warm

Windungsschluss

Strangwiderstände messen, defekten Strang
austauschen

Falsche Ständerschaltung bei zu hoher Betriebsspan-

Ständer von Dreieck- auf Sternschaltung umschalten
nung

Motor wird im Dauerbetrieb zu warm Belastung zu hoch

Verringerung der Belastung

Eine Sicherung hat angesprochen (Zweiphasenlauf)

Klemmenspannung prüfen

Belüftung fehlt

Motor abstellen, bis Belüftung wieder vorhanden

Motor brummt

Wicklungsstrang des Ständers hat Wicklungsschluss

Wicklung durchmessen, austauschen

Zweiphasenlauf

Klemmenspannung messen

Am Klemmbrett sind zwei Phasen und der Mittelleiter

Klemmenspannung messen
angeschlossen

Drehzahl sinkt bei Belastung stark ab Maschine überlastet

Verringerung der Belastung

Läuferstäbe ausgelötet oder abgerissen

Läuferwicklung prüfen (Brandstellen)

T

Läuferblechpaket auf der Welle verschoben

Sitz des Läuferblechpaketes prüfen
eil

XI
größerer Motor eingesetzt werden, der dann aber bei Normalbe-
einem ständigen Verschleiß unterliegen. Welche Wartungsarbei-
trieb schlechter ausgenutzt wird. Deshalb sollte ein Schleifring-
ten in welchen Abständen durchgeführt werden sollten, ist in
läufermotor, eine Anlaufkupplung oder ein Frequenzumrichter

Tab. 86.15 dargestellt. Die Angaben der Tabelle beziehen sich
eingesetzt werden.

auf normale Betriebsbedingungen, also Dauerbetrieb über acht

Stunden, Nennumgebungstemperatur und keine Verschmutzun-
gen in der Kühlluft. Eine Veränderung der normalen Betriebs-

86.7.1.6.1

Wartung von Maschinen
bedingungen ergibt andere Wartungsinter-valle. Wartungs- und

Elektrische Maschinen haben nur wenige Teile, die einem

Kontrollarbeiten sollten in Motorstillstandszeiten durchgeführt

Verschleiß unterliegen. Diese Verschleißteile bedürfen aber be-
werden. Neben den erwähnten Wartungs- und Kontrollarbeiten
sonderer Beobachtung und regelmäßiger Wartung. Insbesondere
gehört auch die Überprüfung der Schutzgeräte in den Wartungs-

Lager sollten mit besonderer Sorgfalt gewartet werden, da sie
plan.

Literatur

1007

Tab. 86.18 Gegenüberstellung von alten und neuen Bezeichnungen bei Maschinen

Art der Maschine

Neue Bezeichnung

Alte Bezeichnung

Transformator

Oberspannung

1U1, 1V1, 1W1

U, V, W

1U2, 1V2, 1W2

X, Y, Z

Unterspannung

2U1, 2V1, 2W1
u, v, w

2U2, 2V2, 2W2
x, y, z

Gleichstrommaschine

Ankerwicklung

A1–A2

A–B

Wendepolwicklung

B1–B2

GW–HW

Geteilte Wendepolwicklung

1B1–1B2 2B1–2B2

Kompensationswicklung

C1–C2

GK–HK

Reihenschlusswicklung

D1–D2

E–F

Nebenschlusswicklung

E1–E2

C–D

Fremderregte Wicklung

F1–F2

I–K

Wechselstrommaschine

Dreiphasenmaschine

U1, V1, W1

U, V, W

U2, V2, W2

X, Y, Z

Schleifringläufer

K, L, M
u, v, w

Erregerwicklung

F1–F2

I, K

Kondensatormotor

U1–U2

U–V

Z1–Z2

W–Z

86.7.1.7

Störungsbeseitigung

Die Tab. 86.17 soll dem Betreiber einige Hinweise geben, wel-

Literatur
che Ursache einer eventuell aufgetretenen Störung zugrunde
liegt.

1. Schröder (Hrsg.): Elektrische Antriebe Bd. 1. Berlin: Sprin-
ger 2002, ISBN 3-540-66846-2

86.7.1.8

Anschlusskennzeichnungen von Maschinen

2. Giersch/Harthus/Vogelsang: Elektrische Maschinen. Stutt-
gart: Teubner, ISBN 3-519,46821,2

Siehe Tab. 86.18.

3. Constantinescu/Simon/Liviu (Hrsg.): Elektrische Maschinen
und Antriebssysteme. Wiesbaden: Vieweg 1999, ISBN 3-

528-06426-9

XI

Teil

Elektrische Energie-

87
versorgung

Detlef Schulz

87.1 Energiewirtschaftliche Rahmenbedingungen . . . . . . . . . . . . . 1010

87.2 Elektrische Energieerzeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013

87.3 Elektrische Energieübertragung und Energieverteilung . . . . . . . 1034

87.4 Elektrische Betriebsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074

XI

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1009

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_87

1010

87 Elektrische Energieversorgung

87.1

Energiewirtschaftliche

Investitionen in die Infrastruktur durch Gebietsmonopole abzu-
sichern. Ein Wettbewerb unterschiedlicher Anbieter war daher

Rahmenbedingungen
nicht vorgesehen. Zur Abschaffung der Oligopole (natürliche

Monopole) in der Stromerzeugung und zur Sicherstellung ei-

87.1.1

Einführung
nes Wettbewerbs wurde das EnWG im Jahr 1998 neu gefasst.

Damit wurde die EG-Richtlinie zum Energiebinnenmarkt um-
gesetzt, die ein Unbundling (buchhalterische Entflechtung) der

Nur mit einer zuverlässigen und wirtschaftlichen elektrischen

Teilbereiche Erzeugung, Übertragung/Verteilung und Vertrieb

Energieversorgung ist eine nachhaltige gesellschaftliche Ent-
forderte und damit erstmals den freien Wettbewerb in einem
wicklung von Industrienationen möglich. Gleichzeitig muss
liberalisierten Energiemarkt ermöglichte. Nach vier weiteren
diese selbst so nachhaltig, d. h. umweltverträglich gestaltet wer-

Novellierungen ist die aktuelle Fassung des EnWG aus dem
den, dass auch zukünftige Generationen nicht in ihrer Entfal-

Jahr 2011 gültig, die in Teilen letztmalig im Jahr 2014 geän-
tung behindert werden. Eine versorgungssichere, wirtschaftliche
dert wurde. In der Tab. 87.1 sind die wesentlichen Inhalte und
und umweltverträgliche Energiebereitstellung ergibt sich nicht

Änderungen zum EnWG in Kurzform zusammengefasst.

zwingend allein aus einer technisch evolutionären Entwicklung
und ist auch bis heute nicht ausschließlich nur mit einer der be-

Mit dem Stromeinspeisungsgesetz aus dem Jahr 1990 wurde
kannten Wandlungstechnologien nachweislich realisierbar.

erstmals die Abnahmepflicht und Vergütung für Strom aus Anla-
gen mit regenerativer Erzeugung mit Leistungen unterhalb von

Daher wird die Energieversorgung insgesamt, wegen ihrer ge-

5 MW geregelt. Im Jahr 2000 wurde das Stromeinspeisungs-
sellschaftlichen Relevanz jedoch insbesondere die elektrische
gesetz durch das Erneuerbare-Energien-Gesetz abgelöst, das

Energieversorgung, durch politische Steuerungsinstrumente und
unterschiedliche Vergütungssätze für die regenerativen Wand-

Gesetzgebung gelenkt. Dazu gehören neben dem Energiewirt-
lungstechnologien vorsah und inzwischen mehrfach bis zur
schaftsgesetz das Stromeinspeisungsgesetz, europäische Richt-
aktuell vorliegenden Form überarbeitet wurde.

linien, das Erneuerbare-Energien-Gesetz sowie verschiedene
weitere Instrumente zur Regulierung und Setzung von Investi-
tionsanreizen.

Neben der Gesetzeslage existieren politische Festlegungen. Im

87.1.3

Struktur der Elektrizitätswirtschaft

Energiekonzept der Bundesregierung ist festgeschrieben, dass
der Anteil der Stromerzeugung aus erneuerbaren Energien am

Mit der seit 1998 umgesetzten Liberalisierung der Elektrizitäts-

Bruttostromverbrauch 35 % bis 2020 betragen soll und danach
wirtschaft und dem damit verpflichtenden Unbundling, d. h. der

50 % bis 2030, 65 % bis 2040 und 80 % bis 2050. Dazu gehört
organisatorisch-rechtlichen Entflechtung, hat sich die Struktur
ein Übergangsprozess von der Nutzung fossiler Energieträger
der Energieversorgung grundlegend gewandelt. Vor der Libe-
hin zu erneuerbaren Energien, der auch als Energiewende um-
ralisierung existierten zumeist in Großkonzernen organisierte
schrieben wird. Dabei stellen der verbesserte Klimaschutz und

Energieversorgungsunternehmen, die innerhalb der gesamten
der bereits 2002 beschlossene Atomausstieg die zwei Oberziele

Kette der Erzeugung, Übertragung und Verteilung eine Mono-
dieses Prozesses dar, denen Maßnahmen in verschiedenen Tech-
polstellung hielten und die bei ihnen erzeugten Energiemengen
nologiebereichen zugeordnet werden.

über ihren Vertrieb mittels langfristiger Verträge an die Endkun-
den verkauften. Heute werden die erzeugten Mengen von den

Kraftwerksbetreibern über den Stromhandel an Vertriebe veräu-

87.1.2

Gesetzliche Rahmenbedingungen
ßert, die diese Mengen dann an ihre Kunden verkaufen. Unver-

T
ändert muss dabei jeweils der Grund-, Mittel- und Spitzenlastbe-
eil

Das von 1935 bis 1998 inhaltlich unverändert bestehende Ener-
darf sowie der Bedarf an Regelleistung abgedeckt werden. Dazu

XI
giewirtschaftsgesetz (EnWG) verfolgte das Ziel, die erheblichen
werden Liefermengen mit unterschiedlichen Vorlaufzeiten und

Tab. 87.1 Entwicklung des Energiewirtschaftsgesetzes

Fassung/Jahr

Jahr

Wesentlicher Inhalt/Änderung

Erstfassung

1935

„die Energieversorgung so sicher und billig wie möglich zu gestalten“ (Präambel), kein „schädlicher“ Wettbewerb

Korrekturen

1978

Streichung überholter Begriffe und Bestimmungen, keine inhaltliche Änderung

Novelle

1998

Unbundling von Erzeugung, Übertragung und Verteilung, Sicherstellung eines Wettbewerbs

Novelle

2003

Äquivalenz Strom/Gas, Verbändevereinbarungen

Novelle

2005

Unbundling für Energieversorger mit mehr als 100.000 Kunden, regulierter anstatt verhandelter Netzzugang, Regulie-
rungsbehörden überwachen die Netzbetreiber, Gasnetzzugangsverordnung, liberalisierte Zähler-Ablesung

Novelle

2008

Öffnung des Messwesens bei Strom und Gas für Wettbewerb

Novelle

2011
weitergehende Entflechtung von Übertragungs-, Fernleitungs- und Verteilnetzbetreibern, Neuregelung der Vorschriften
zu Messeinrichtungen und Messsystemen, Unabhängige Regulierungsbehörden

Änderung

2014

Systemwechsel beim Anschluss von Offshore-Windparks, befristete Regelungen zur Gewährleistung der Versorgungs-
sicherheit bei konventioneller Erzeugung, Modernisierungsanreize für bestehende Pumpspeicher

87.1

Energiewirtschaftliche Rahmenbedingungen

1011

Abb. 87.1 Vertragsbeziehungen in der Energiewirtschaft

XI

Teil

Abb. 87.2 Prinzip des Energiehandels von langfristig vereinbarten Liefermengen
verschiedenen Vertragslaufzeiten gehandelt. Langfristverträge
handelt werden (over the counter), findet der kurzfristige Handel
zur Grundlastabdeckung werden bis zu fünf Jahre vor dem Lie-
über Strombörsen statt. Dies erfolgt beispielsweise über die
ferzeitpunkt geschlossen, zur Deckung von Spitzenlasten oder

Strombörse European Energy Exchange (EEX) in Leipzig, an

Regelbedarfen findet ein tagesaktueller Einkauf statt. Während
der Stromprodukte aus Österreich, Frankreich und Deutschland
langfristige Verträge direkt zwischen den Vertragspartnern ge-
gehandelt werden.

1012

87 Elektrische Energieversorgung

125

P in MW

100

Tageslastganglinie

Stundenkontrakte

Ausgleichsenergie

75

Spitzenlast (Peakload)

Ausgleichsenergie

50

Langfristige Verträge - Blocklieferung

Grundlast (Baseload), Spotmarkt

25

Langfristige Grundlast - Bandlieferung

0

0

3

6

9

12

15

18

21
t in h

24

Abb. 87.3 Arten von Stromprodukten zur Bedarfsdeckung

87.1.4

Vertragsbeziehungen und

Erneuerbare

Braunkohle,

Gas,

Energiehandel

Energie

Kernkraft

Steinkohle, GuD

Öl

100

In Abb. 87.1 sind die Vertragsbeziehungen in der Energie-
wirtschaft in stark vereinfachter Form dargestellt. Detailliertere

Beschreibungen zur Vertragsgestaltung können der Literatur

75
entnommen werden.

€/MWh

Zur Absicherung der Stromproduktion werden die Energie-

Angebotskurve

50
mit Zertifikatskosten
mengen bereits lange vor ihrer Produktion gehandelt, siehe

Abb. 87.2. Dadurch entstehen für die Kraftwerke belastbare

Nachfragekurven

Informationen für den Brennstoffeinkauf. Auf der Käufersei-

25
niedrig mittel hoch

Strompreis in
te werden insbesondere Industriestrompreise gut kalkulierbar,

Angebotskurve
was bei energieintensiven Prozessen wiederum eine marktge-
ohne Zertifikatskosten
rechte Produktkalkulation ermöglicht. Dazu werden von den

0

Kraftwerken fünf Jahre vor dem Lieferzeitpunkt beginnend Lie-

10

20

30

40

50

60

70

80
fermengen in Tranchen zwischen 10 % und 30 % angeboten. Bis

Erzeugungsleistung in GW
zum Lieferzeitpunkt erfolgen pro Tranche bis zu zehn weitere

T

Handelsschritte, d. h. Ein- und Verkäufe von/an andere Händ-

Abb. 87.4 Preisbildung an der Strombörse
eil
ler und Lieferanten. Gleichzeitig findet eine Absicherung der

Handelsmengen beispielsweise mit anderen Börsengeschäften

XI
statt. Im Laufe der Handelsschritte stellt sich ein marktabhängi-
kosten der Kraftwerke, die zu deren wirtschaftlichem Betrieb
ger Preis ein, d. h. die Preisspannen zwischen An- und Verkauf
erforderlich sind. Diese werden durch die Kosten für Brenn-
nehmen mit der Annäherung an den Lieferzeitpunkt ab. Somit
stoffe, Betrieb und Wartung bestimmt. Aufgrund des besseren
trägt der Energiehandel zur marktgerechten Preisbildung der

Umwandlungswirkungsgrads können neuere Kraftwerke ihre

Liefermengen bei. Der Handel findet direkt oder an verschiede-

Energie günstiger anbieten als ältere Kraftwerke gleichen Typs.

nen Strombörsen statt, z. B. auch an der deutschen Strombörse

Ältere Kraftwerke, die schon abgeschrieben sind, können wie-

EEX (European Energy Exchange) in Leipzig. Neben direkt
derum vergleichsweise günstig produzieren.

(OTC-over the counter) gehandelten Bandlieferungsverträgen

Abhängig von den Grenzkosten ergibt sich eine Einsatzreihen-
mit zeitlich kontinuierlichen Energiemengen und Blockliefer-
folge (Merit Order) der Kraftwerke. Zuerst kommen erneuer-
verträgen mit konstanten Mengen über mehrere Stunden werden
bare Kraftwerke zum Einsatz, da sie Einspeisevorrang besitzen

Stunden- und Spitzenlastmengen entweder OTC oder über die
und ihre Grenzkosten am geringsten ausfallen. Dann folgen die

Börse verkauft, Ausgleichs- bzw. Regelenergie wird kurzfristig
konventionellen Kraftwerke in der Reihenfolge ihrer Grenzkos-
an der Börse gehandelt, siehe Abb. 87.3.

ten, bis die verbleibende Last (Residuallast) gedeckt ist. Der

An der Börse stellt sich der Strompreis als Schnittpunkt zwi-

Börsenstrompreis ergibt sich aus dem letzten Gebot, das noch
schen Angebots- und Nachfrageseite ein, siehe Abb. 87.4. Der
einen Zuschlag erhält, dem sog. Market Clearing Price. Somit

Angebotspreis für elektrische Energie ergibt sich aus den Grenz-
bestimmt das teuerste noch benötigte Kraftwerk den Preis am

87.2

Elektrische Energieerzeugung

1013

150

Öl

125

100

€/MWh

Gas

75

GuD

Steinkohle

50

GuD

Grenzkosten in

Braunkohle

Kern-

25

Erneuer- energie
bare

Energie

0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Kapazität in GW

Abb. 87.5 Beispiel für die Grenzkosten-Einsatzreihenfolge (Merit-Order) des deutschen Kraftwerkparks

Strommarkt. In Abb. 87.5 ist ein Beispiel für die Einsatzrei-
scheidend für den Aufbau des Gesamtsystems ist der Ener-
henfolge (Merit-Order) des deutschen Kraftwerkparks gezeigt.

gieverbrauch, d. h. der Bedarf an elektrischer Energie. Wie in

Ein höherer Anteil erneuerbarer Energie verschiebt die An-

Abb. 87.6 gezeigt, sinkt der Primärenergieverbrauch Deutsch-
gebotskurve nach rechts, dadurch liegt der Schnittpunkt mit
lands im Mittel kontinuierlich ab. Hingegen steigt der Strom-
der Nachfragekurve bei einem geringeren Preis. Je größer das
verbrauch weiter an, was durch einen höheren Komfortanspruch

Angebot aus erneuerbaren Energien wird, umso geringer wird
insbesondere in den Privathaushalten verursacht wird. Hierbei
der Spotpreis für die gesamte Handelsmenge. Seit einiger Zeit
wirkt sich neben der Anschaffung von mehr Elektrogeräten
entstehen dadurch Probleme mit der Wirtschaftlichkeit konven-
beispielsweise auch verbrauchserhöhend aus, dass ältere Elek-
tioneller Kraftwerke. Insbesondere die als Spitzenlastkraftwerke
trogeräte trotz ihres Ersatzes durch energieeffizientere neue Ge-
notwendigen Gaskraftwerke werden teilweise kurz nach ihrer
räte weiter in Betrieb bleiben. Der Stromverbrauch erfolgt nach

Fertigstellung außer Betrieb gesetzt, da sie aufgrund ihrer ho-

Angaben des Bundesverbandes der Elektrizitäts- und Wasser-
hen Brennstoffkosten zu teuer anbieten. Ölbefeuerte Kraftwerke
wirtschaft e.V. (BDEW) im Jahr 2013 zu 47 % in der Industrie,
weisen die höchsten Kosten auf und kommen nur noch zeitweise
zu 25 % in Haushalten, zu 24 % in Handel, Gewerbe und öffent-
bei einem sehr hohem Leistungsbedarf zum Einsatz.

lichen Einrichtungen, mit 2 % im Verkehr und mit 2 % in der

Landwirtschaft.

Für den später in den Abschn. 87.3.3 und 87.3.4 noch detaillier-

87.2

Elektrische Energieerzeugung
ter beschriebenen Netzbetrieb ist zwischen frequenzunabhän-
gigen und -abhängigen Verbrauchern zu unterscheiden, wobei
damit die Abhängigkeit der Leistung von der Frequenz be-

87.2.1

Elektrischer Energieverbrauch
schrieben wird. Vorwiegend finden sich frequenzunabhängige

Verbraucher im Netz, wie z. B. Beleuchtung, Elektroheizungen

XI

Die elektrische Energieversorgung kann in die Bereiche Er-
und andere Lasten mit ohmscher Widerstandscharakteristik. Ei-
zeugung, Transport sowie Verbrauch unterteilt werden. Ent-
ne Frequenzabhängigkeit liegt bei rotierenden Verbrauchern wie

Teil

Primärenergieverbrauch

Stromverbrauch

16.000

800

PJ

TWh

12.000

600

8.000

400

4.000

200

0

0

1990

1995

2000

2005

2010

2015

1990

1995

2000

2005

2010

2015

Abb. 87.6 Primärenergie- und Stromverbrauch in Deutschland seit 1990

1014

87 Elektrische Energieversorgung

87.2.2

Anteile an der Stromerzeugung und

Kraftwerksleistung

Momentan nehmen die fossil befeuerten Kraftwerke noch den
größten Anteil bei der Stromerzeugung ein. Doch dies wird
sich aufgrund der schon erwähnten Klimaschutzziele und des

Atomausstiegs mittel- und langfristig stark verändern. Zur Er-
reichung dieser Ziele muss ein grundlegender Umbau der Ener-
gieversorgung erfolgen. Mit dem Ziel einer klimaverträglichen
und risikoarmen Energieversorgung erfolgt der Umbau zu einer

CO2-armen Erzeugung ohne Kernkraft. Langfristig werden da-
her immer mehr Kohlekraftwerke vom Netz gehen, die letzten

Kernkraftwerke werden laut Entscheidung des Deutschen Bun-
destages vom 30. Juni 2011 im Jahr 2022 abgeschaltet. Im Jahr

2014 lieferten Braunkohlekraftwerke 25,5 %, Steinkohlekraft-
werke 18 %, Kernenergiekraftwerke 15,9 % und Gaskraftwerke

9,6 % des Strombedarfs in Deutschland, siehe Abb. 87.7. Die
erneuerbaren Energien waren insgesamt bereits mit 25,8 % be-
teiligt, ihr Anteil wird innerhalb der nächsten Jahre weiter stark
ansteigen. Im Jahr 2014 sind bereits 35 GW Windenergie- und

Abb. 87.7 Beiträge der Kraftwerksarten zur deutschen Stromerzeugung im

Jahr 2014 nach BDEW

38 GW Photovoltaikleistung installiert. Für den Endausbau al-
lein der Windenergie werden in Deutschland bis zu 160 GW
erwartet.

Lüftern, Ventilatoren, Pumpen und anderen Antriebsmaschinen

Mit 181,2 GW Kraftwerksleistung im Jahr 2014 liegt der deut-
vor. Wesentlich für die Gestaltung des Gesamtsystems ist die
sche Kraftwerkspark weit oberhalb der Jahreshöchstlast von

Jahreshöchstlast, die in Deutschland bei einem nahezu konstan-

81 GW, siehe Abb. 87.8. Diese Kraftwerksleistung steht nicht
ten Wert von 81 GW liegt. Sie tritt immer im Winter auf, meist
in vollem Umfang zur Verfügung, sie wird durch die nicht
in den ersten Januartagen. In den Sommermonaten sinkt der Be-
einsetzbare Leistung, Ausfälle, Revisionen und Reserven für
darf bis auf die Mindestlast im Bereich von 25 bis 35 GW ab.

Systemdienstleistungen reduziert. Zur Kategorie der nicht ein-

199,2 Gesamte Kraftwerksleistung Inlan
d

193,6

181,2

178,0

160,1

T

95,3

Nicht einsetzbare Leistung
eil

89,3

81,4

61,3

80,5

XI

4,7

4,7

Ausfälle

4,3

4,4

4,5

1,4

1,4

Revisionen

1,5

1,5

1,4

5,0

5,0

Reserve für Systemdienstleistungen

4,7

5,0

5,0

93,1

92,7

Gesicherte Leistung

88,2

86,6

88,8

12,1

11,7

Verbleibende Leistung

6,4

5,5

7,8

81,8

81,0

81,0

81,0

81,0

Last

Leistungen in GW

2012

2013

2014

2015

2016

Abb. 87.8 Kumulierte und geschätzte Kraftwerksleistungen in Deutschland in den Jahren 2012 bis 2016, Datenquelle BMWi, Leistungsbilanzbericht 2013

87.2

Elektrische Energieerzeugung

1015
setzbaren Leistung gehören Kraftwerke mit ungünstigen Strom-
gestehungskosten, wie z. B. ältere Kohlekraftwerke sowie Öl-
und Gaskraftwerke. Mit den Systemdienstleistungen wird die

Frequenz- und Spannungsregelung beschrieben, für die eine mit
den Kraftwerken vertraglich vereinbarte Reserveleistung vorge-
halten wird. Die gesicherte Leistung muss einen ausreichenden

Abstand zur Jahreshöchstlast aufweisen, dies ist die verbleiben-
de Leistung im Sinne eines Sicherheitspuffers. Im Jahr 2013
betrug dieser Puffer aufgrund des strukturellen Umbaus im
deutschen Kraftwerkspark nur 5,5 GW, was zu verstärkten Dis-
kussionen über die Robustheit der Energieversorgung führte. Im

Abb. 87.8 ist erkennbar, dass für die nächsten Jahre ein Anstieg
der verbleibenden Leistung prognostiziert wird. In den nächsten

Abschnitten soll näher auf die Erzeugungstechnologien einge-
gangen werden.

87.2.3

Überblick und Klassifizierung von

Kraftwerksarten

Kraftwerke können auf verschiedene Weise klassifiziert werden,
z. B. nach der Art ihrer:

Feuerung: fossil befeuert (Kohle, Gas, Öl), Kernenergie oder
regenerativ versorgt, d. h. mit aus nach menschlichem Er-
messen unerschöpflichen Energiequellen versorgt (Wasser,

Wind, Biomasse, Sonne, Erdwärme), siehe Abb. 87.9

Arbeitsmedien: Dampf, Gas, Öl, Wasser, Wind, Sonne, Erd-
wärme

CO2-Beiträge: hoch bei allen fossil befeuerten, gering bei

Kernenergie und ohne bei regenerativen und z. B. Brennstoff-
zellen; Biomasse muss hierbei gesondert betrachtet werden

Erzeugungscharakteristik: kontinuierlich bei fossil befeuer-
ten Kraftwerken, Kernenergie und Wasser, Biomasse, Erd-

Abb. 87.9 Klassifizierung und Überblick der Kraftwerksarten
wärme und Brennstoffzellen und diskontinuierlich bei Wind
und Sonne.

Weitere mögliche Bewertungen können nach der Einsatzart,

Prozesses wesentlich erhöht werden, wodurch der Wirkungs-
dem Entwicklungsstand, dem Innovationsgehalt, der Regelbar-
grad auf bis zu 47 % verbessert wurde. Ein Dampfkraftwerk
keit und der Wirtschaftlichkeit erfolgen, wodurch sich z. B.

besteht aus dem Kesselhaus mit Brennstoffaufbereitung, Feue-
erst ein komplettes Bild der Fusionskraft ergibt. Jedoch ist
rungsraum mit Brennern, Verdampfer und Überhitzer, einem
mit keiner dieser Unterteilungen allein eine eindeutige Aus-
durch das Kesselhaus geführten Wasser-Dampf-Kreislauf mit

XI
sage über den praktischen Einsatz möglich. In den nächsten
externem Kühlturm, der Turbine mit angekoppeltem Generator

Abschnitten sollen die heute relevanten und zukünftig einsetz-
und der Rauchgasführung mit Schornstein, siehe Abb. 87.11.

baren Kraftwerksarten beschrieben werden. In Abb. 87.10 sind

Im Dampfkraftwerk laufen die drei Prozessschritte Verbren-

Teil
die Umwandlungswirkungsgrade wichtiger Kraftwerksarten ab-
nung und Verdampfung sowie Umwandlung der thermischen in
hängig von ihrer Leistung gezeigt.

mechanische Energie ab. Der Wirkungsgrad wird dabei umso
besser, je höher die genutzte Energiedifferenz, d. h. die sog. En-
thalpie H ist. Diese hängt von der temperaturabhängigen inneren

87.2.4

Fossil befeuerte Kraftwerke

Energie U sowie den Prozessgrößen Druck p und Volumen V ab:

H D U C p V

(87.1)

87.2.4.1

Kohlebefeuerte Dampfkraftwerke

Massebezogen ergibt sich die spezifische Enthalpie h:

87.2.4.1.1

Aufbau und Wirkungsweise

H

U
p V
h D

D

C

(87.2)

m
m
m

Die ersten kohlebefeuerten Dampfkraftwerke wurden 1882 von

Thomas Edison in New York und London in Betrieb genom-

Moderne Dampfkraftwerke mit einem Wirkungsgrad von bis zu
men. Seit dieser Zeit konnten der Druck und die Temperatur des

47 % arbeiten mit einem Dampfdruck von ca. 280 bar und einer

1016

87 Elektrische Energieversorgung

100

%

90

Wasserkraftwerk

80

70

Brennstoffzelle

60

GuD-

Kraftwerk

50

Windkraft-
anlage

Kohlekraftwerk

40
irkungsgrad

Kern-

W
kraftwerk

30

Öl- und

Blockheiz-

Gaskraftwerk

20
kraftwerk

Gasturbinenkraftwerk

10

Photovoltaikanlage

0

0,01

0,1

1,0

10

100

1.000

MW

10.000

Kraftwerksleistung

Abb. 87.10 Elektrischer Wirkungsgrad wichtiger Kraftwerksarten

Teil

XI

Abb. 87.11 Prinzipieller Aufbau eines Dampfkraftwerks

Temperatur von bis zu 600 °C. Eine Erhöhung dieser Größen
ist nur durch den Einsatz höher belastbarer Werkstoffe mög-
lich. Ältere Kraftwerke arbeiten mit Drücken von 160 bar und

Temperaturen um 530 °C; sie erreichen deshalb nur Wirkungs-

Abb. 87.12 Kreisprozess eines Dampfkraftwerks
grade von bis zu 38 %. Wird zusätzlich zur elektrischen Energie
auch die Abwärme genutzt, steigt der Gesamtwirkungsgrad we-
sentlich an. Dies erfordert jedoch große Wärmeverbraucher

87.2.4.1.2

Wasser-Dampf-Kreisprozess
wie Fernwärmenetze in einem Versorgungsradius von 5 bis

10 km. In diesem Fall spricht man von Heizkraftwerken mit

In Dampfkraftwerken läuft ein Kreisprozess ab, mit dessen Be-

Kraft-Wärme-Kopplung. Heutige Dampfkraftwerke werden in
schreibung beim kalten Speisewasser begonnen werden soll,

Leistungsstufen, den sog. Blockgrößen, von 500 bis 900 MW
siehe Abb. 87.12. Das Speisewasser wird in mehreren Stufen
gebaut.

vorgewärmt und anschließend verdampft. Im Feuerungskessel

87.2

Elektrische Energieerzeugung

1017
wird die Verbrennungswärme der Kohle an Rohre abgegeben.

Tab. 87.2 Heizwerte fester Brennstoffe bei 25 °C, wf – wasserfrei

Durch diese Rohre, auch Verdampfer genannt, fließt Wasser

Brennstoff

Heizwert HU (wf)

Brennwert HO (wf)

mit hohem Druck von bis zu 290 bar, das anschließend in den
in MJ=kg
in MJ/kg

Dampfzustand übergeht. Dieser Dampf enthält noch kleinste

Nadelholz

18,8

20,2

Wassertröpfchen, er wird deshalb auch Sattdampf oder Nass-

Laubholz

18,4

19,7
dampf genannt. Im nachfolgenden Überhitzer erfolgt der voll-

Papier

15
ständige Übergang in den Gaszustand. Hier entsteht durch wei-

Getreidepflanzea

17,0

19,0
tere Wärmezufuhr der Heißdampf, auch Frischdampf genannt,

Getreidekörnera

17,0

18,4
mit einer Temperatur von ca. 570 °C. Danach kann die Tempe-

Getreidestroha

17,3

18,5
ratur noch in einem Zwischenüberhitzer weiter erhöht werden.

Braunkohle

20,6

Anschließend wird der Dampf in eine Turbine geleitet, in der

Steinkohle

25–32,7

29–32,7
die Umwandlung der thermischen Energie in Bewegungsenergie

Kohlenstoff

32,8

32,8
erfolgt. Die Turbine besteht aus einem Hoch-, Mittel- und Nie-
a
derdruckteil, die nacheinander vom Dampf durchströmt werden.

Getreide: Weizen/Roggen

Bei hohem Druck und hoher Temperatur ist das Dampfvolumen
am kleinsten, weshalb die Abmessungen des Niederdruckteils
am größten sind. In der Turbine wird die im Dampf gespeicher-

REA wird das Rauchgas über ein Gemisch aus gemahlenem
te Energie in eine Drehbewegung umgesetzt. Mit dem an der

Kalkstein und Wasser geführt, als Reaktionsprodukt entsteht

Turbinenwelle angekoppelten Generator wird dabei elektrische
dabei Gips. In der DENOX wird das Rauchgas über Katalysa-

Energie erzeugt.

toren geleitet. Der Staub wird in den Elektrofiltern mit einem
elektrischen Feld aus dem Abgas entfernt. Bei modernen Koh-

Nach der Turbine hat der Dampf nur noch eine geringe Tem-
lekraftwerken kann aufgrund der umfangreichen Abgasbehand-
peratur von z. B. 33 °C und wird in einen Kondensator geleitet,
lung auf hohe Schonsteine verzichtet werden, das gereinigte
in dem ihm bei Unterdruck so viel Wärme entzogen wird, dass

Abgas wird in der Mitte des Kühlturms in den warmen Abdampf
er kondensiert. Dies erfolgt meist durch von Wasser durchflos-
geleitet und erhält dabei den erforderlichen Auftrieb. Sollen
senen Wärmetauschern, wobei die Wärme in einem Kühlturm

Dampfkraftwerke besonders schadstoffarm betrieben werden,
abgegeben wird. Das Kondensat wird mit einer Pumpe in den
wird bei Blockgrößen bis 300 MW die Wirbelschichtfeuerung

Speisewasserbehälter gefördert, an dem die Beschreibung des
eingesetzt. Hierbei wird Kohlestaub mit Ballaststoffen versetzt

Kreisprozesses begann. Der Wirkungsgrad des Wasser-Dampf-
und mit einer geregelten und vorgewärmten Verbrennungsluft

Prozesses kann durch die Vorwärmung des Speisewassers mit
in den Feuerungskessel eingedüst. Dabei wird der Luftstrom

Anzapfdampf aus der Turbine optimiert werden.

so eingestellt, dass sich im Kessel ein Wirbelbett bildet. Da-
durch kommt der Kohlestaub intensiv mit der Verbrennungsluft
in Berührung und die Verbrennung erfolgt nahezu vollständig.

87.2.4.1.3

Feuerung und Abgasbehandlung

Durch die im Vergleich zur konventionellen Kohlestaubfeue-

Zur Feuerung werden Braun- oder Steinkohle eingesetzt. In
rung geringere Verbrennungstemperatur von 850 °C entstehen

Tab. 87.2 sind zum Vergleich die Heizwerte fester Brennstof-
keine Stickoxide. Zur Vermeidung von schwefelhaltigem Abgas
fe zusammengefasst. Neben der vollständigen Verbrennung des
wird zusätzlich zum Brennstoff gemahlener Kalkstein einge-

Kohlenstoffs tritt praktisch auch ein unvollständiger Stoffum-
bracht, daher ist keine REA notwendig. Die Entstaubung erfolgt
satz und wegen des Schwefelgehalts der Kohle eine Schwefel-
mit Elektrofiltern. Wegen der geringeren Temperatur liegt der
oxidation auf:

Wirkungsgrad bei 35 bis 38 %.

vollständige Verbrennung:

C C O !

2

CO2
unvollständige Verbrennung:

2 C C O !

87.2.4.1.4

Einsatz und Entwicklungspotenzial

2

2 CO

XI

Schwefeloxidation:

S C O !

2

SO2

Dampfkraftwerke benötigen für das Anfahren einige Stunden,
da die Bauteile sich temperaturbedingt ausdehnen; der Kes-

Teil

Als Feuerungsarten werden die Rostfeuerung zur Verbrennung
sel eines 500-MW-Kraftwerks ist 80 m hoch, er dehnt sich
fester Brennstoffe, die Staubfeuerung sowie die Wirbelschicht-
beim Anfahren um bis zu 30 cm in der Höhe aus. Aufgrund
feuerung eingesetzt. Die Rostfeuerung findet bei neuen Kraft-
ihrer trägen Regelung werden Dampfkraftwerke zur Grund-
werksbauten keine Anwendung mehr. Zur Feuerung moderner
lastversorgung eingesetzt. Teilweise werden in neueren Kraft-

Dampfkraftwerke wird Kohle genutzt, die zuvor in Kohlemüh-
werken sog. Regelblöcke mit kleineren Leistungen und gerin-
len zu Staub gemahlen wurde. Der Kohlestaub wird mit Luft in
geren thermischen Zeitkonstanten zur besseren Regelfähigkeit
den Feuerraum geblasen und verbrennt bei einer Temperatur von
eingesetzt. Aber auch durch die Neuauslegung großer Kraft-
ca. 1200 °C. Höhere Kesseltemperaturen werden vermieden, da
werksblöcke mit Leistungen von bis zu 1200 MW wird eine
es dann zur Ascheerweichung und zur Bildung von Schlacke im
bessere Regelfähigkeit erreicht. Weiteres Entwicklungspoten-

Kessel kommen würde. Das bei der Verbrennung entstehende
zial liegt in der Verbesserung des Wirkungsgrades sowie der

Abgas muss aufwändig behandelt werden. Dies erfolgt mit ei-

Verringerung von Emissionen. Soll der Wirkungsgrad wei-
ner Rauchgasentschwefelungsanlage (REA), einer Entstickung,
ter erhöht werden, muss der Temperaturbereich über 600 °C
d. h. einer Anlage zur Verringerung der Stickoxide (DENOX)

erschlossen werden. Dafür müssen geeignete Materialen ent-
und Elektrofiltern zur Entstaubung, siehe Abb. 87.11. In der
wickelt und erprobt werden. Dies ist anspruchsvoll, da sehr

1018

87 Elektrische Energieversorgung
temperaturfeste Materialien oft nur eine unzureichende me-
chanische Festigkeit aufweisen. Insbesondere für die Turbi-
nen werden daher neue technologische Schritte erforderlich,
wie etwa das Gießen von Mischmaterialien mit hoher mecha-
nischer Festigkeit im Kernbereich und hochtemperaturfesten

Oberflächen. Eine große Bedeutung kommt zukünftig der er-
weiterten Abgasbehandlung zu, da Kohlekraftwerke im Ver-
gleich die höchsten Emissionen verursachen. Wesentlich ist
hierbei die Abscheidung von Kohlendioxid. Prinzipiell kann
die CO2-Abscheidung auf drei Arten erfolgen: Pre-Combustion-

Verfahren, Post-Combustion-Verfahren und Oxyfuel-Prozess.

Beim Pre-Combustion-Verfahren werden die kohlenstoffhalti-

Abb. 87.13 Prinzip einer Gasturbine
gen Brennstoffanteile vor der Verbrennung entfernt, beim Post-

Combustion-Verfahren wird das Kohlenstoffdioxid nach der

Verbrennung aus dem Rauchgas entfernt und beim Oxyfuel-

Prozess erfolgt die Verbrennung in reiner Sauerstoffatmosphäre
mit anschließender Verflüssigung des entstehenden Kohlenstoff-
dioxids. In Verbindung mit der Abgasbehandlung sind auch
die Risiken von Dampfkraftwerken zu sehen. Mit der Abschei-
dung des Kohlendioxids entstehen zwei wesentliche Probleme.

Einerseits sinkt der Wirkungsgrad vorrangig wegen der auf-
wändigen Aufbereitung der Verbrennungsluft, aber auch durch
die Kühlung und Kompression des Abgases um bis zu zehn

Wirkungsgradpunkte. Solch eine Verschlechterung kann nur
mittel- oder langfristig durch innovative Entwicklungsschritte
zur weiteren Prozessoptimierung ausgeglichen werden. Ande-

Abb. 87.14 Gasturbinen-Prozess
rerseits muss das komprimierte Gas gelagert oder verwertet
werden. In Deutschland existiert ein Versuchskraftwerk zur

CO2-Abscheidung im Braunkohlekraftwerk Schwarze Pumpe
die Außenkühlung und Keramikauskleidung der Brennkammer
bei Spremberg, das im Jahr 2014 wegen der geringen Chancen
sowie wärmestabile Turbinenschaufeln möglich. Die heißen
zur industriellen Nutzung dieser Technologie stillgelegt wurde.

Abgase durchströmen dann die Turbine, dabei wird ihre ther-

Projekte zur möglichen Verpressung von flüssigem Kohlendi-
mische Energie in mechanische Bewegungsenergie gewandelt.

oxid in unterirdische Hohlräume, sog. Kavernen, sind bisher

Werden die dann immer noch über 600 °C heißen Abgase an-
aufgrund widersprüchlicher Bewertungen von Gefahrenpoten-
schließend ins Freie geleitet, handelt es sich um einen offenen
zialen am Widerstand der Bevölkerung gescheitert. Es gibt

Gasturbinenprozess, siehe Abb. 87.14. Der Wirkungsgrad mo-
jedoch erste Erfolge mit der stofflichen Nutzung von Kohlen-
derner Gasturbinen-Kraftwerke beträgt bis zu 40 %, sie werden
dioxid in der chemischen Industrie, z. B. bei der Produktion von
bis zu einer Leistung von 375 MW gebaut. Im Vergleich zu

Dämmstoffen.

Kohlekraftwerken weisen sie geringere Investitionskosten und
höhere Brennstoffkosten auf. Gasturbinen sind schnell anfahr-
bar und werden vorrangig als Spitzenlastkraftwerke eingesetzt.

T

87.2.4.2

Gasturbinen-Kraftwerke
eil

Das Entwicklungspotenzial von Gaskraftwerken liegt vorrangig

Etwa ab 1935 begann die industrielle Nutzung von Gasturbi-
im Einsatz hochtemperaturfester Materialien für die Brennkam-

XI
nen, 1940 setzte ein Kraftwerk in Neuenburg in der Schweiz
mer und die Turbinenschaufeln. Neben gasförmigen können
die erste Gasturbine ein. Ein Gasturbinen-Kraftwerk beinhal-
auch flüssige Brennstoffe wie Dieselkraftstoff, Kerosin, Heiz-
tet die Brennstoffzufuhr, die Gasturbine und den angekoppelten
öl, oder Schweröl genutzt werden. In der Tab. 87.3 sind zum
elektrischen Generator. Auf der Welle der Gasturbine sind

Vergleich die Heiz- und Brennwerte gasförmiger Brennstoffe
der Verdichter, eine ringförmig aufgebaute Brennkammer, ei-
und in Tab. 87.4 die Kenndaten flüssiger Brennstoffe aufgelistet.

ne Turbine und der Rauchgaskanal hintereinander angeordnet

(siehe Abb. 87.13). Im Verdichter wird die Frischluft ange-
saugt und auf einen Druck von 15 bar bis 20 bar komprimiert,

Tab. 87.3 Heizwerte gasförmiger Brennstoffe bei 25 °C
dafür werden ca. 50 % der Wellenleistung benötigt. Rund 70
bis 80 % der verdichteten Luft werden der Brennkammer als

Brennstoff

Heizwert HU

Brennwert HO

Primärluft zugeführt, der Rest wird als Sekundärluft zur Küh-
in MJ=kg
in MJ=kg
lung der Brennkammer verwendet. Die verdichtete Luft wird

Wasserstoff

120

141,8
mit dem Brennstoff Erdgas vermischt und den Brennern in

Kohlenmonoxid

10,1

10,1
der Ringbrennkammer zugeführt, wo das Gemisch gezündet

Methan

50

55,5
wird. Bei der Verbrennung werden Temperaturen von bis zu

Erdgas

38

42

1500 °C erreicht. Solch hohe Temperaturen sind nur durch

Propan

46,3

50,3

87.2

Elektrische Energieerzeugung

1019

Abb. 87.15 Gas- und Dampfturbinen-Prozess

Tab. 87.4 Heizwerte flüssiger Brennstoffe bei 25 °C

Brennstoff

Heizwert HU

Brennwert HO
in MJ=kg
in MJ=kg

Spiritus

26

Methanol

19,9

22,7

Ethanol

26,8

29,7

Benzin

41

44

Diesel, Heizöl

42,6

45,4

Kerosin

41

43

Schweröl

39,5

42,5

Biodiesel (RME)

37

40

Abb. 87.16 Blockheizkraftwerk mit Kraft-Wärme-Kopplung

87.2.4.3

Gas- und Dampf-Kraftwerke

Beim Gas- und Dampf-Kraftwerk (GuD-Kraftwerk), auch Kom-
brennungsmotoren über eine Pleulstange in eine Drehbewegung
bikraftwerk genannt, wird der Gasturbine zur Nutzung der
umgesetzt. Zur Erhöhung des Wirkungsgrades kann auch bei
hohen Abgastemperaturen ein Dampfkraftwerksprozess nach-

BHKWs die Kraft-Wärme-Kopplung eingesetzt werden, d. h.

geschaltet. Hierbei erfolgt die Verdampfung des Wassers mit
die Abwärme wird dann als Heiz- oder Prozesswärme genutzt,
dem Abgas der Gasturbine in einem Wärmetauscher. Die Ge-
siehe Abb. 87.16. Damit können Gesamtwirkungsgrade von bis
samtanlage ist zweiwellig ausgeführt, d. h. mit je einem eigenen
zu 85 % erreicht werden. Der Leistungsbereich reicht von ei-

Generator, siehe Abb. 87.15. Der nachgeschaltete Dampfpro-
nigen kW bis in den MW-Bereich, Anlagen mit Leistungen
zess liefert nochmals rund 50 % der Gasturbinennennleistung.

von 1 bis 5 kW elektrisch und 5 bis 10 kW thermisch wer-

Durch die Kopplung kann der Gesamtwirkungsgrad abhängig
den als Mikro-BHKW und von 5 bis 10 kW elektrisch und
von der Kraftwerksgröße auf über 60 % gesteigert werden. Auch

10 bis 30 kW thermisch als Mini-BHKW bezeichnet. Mikro-

XI
hier kann der Wirkungsgrad durch Kraft-Wärme-Kopplung wei-
und Mini-BHKW werden für den Einsatz in Ein- und Mehrfa-
ter verbessert werden.

milienhäusern angeboten, für den industriellen Einsatz werden

Teil
größere Leistungen bis zu 15 MW gefertigt. Die Fertigungszah-
len sind in Deutschland in den letzten Jahren stark angestiegen

87.2.4.4

Blockheizkraftwerke
und lagen im Durchschnitt bei über 2 GW pro Jahr, wobei die

Bei einem Blockheizkraftwerk (BHKW) treibt ein mit Erdgas
größten Anteile immer noch in den Export gehen. Es werden in
oder Diesel betriebener Verbrennungsmotor oder mit Wärme

Deutschland bereits einige Anlagenbaureihen vertrieben, in de-
versorgter Stirlingmotor einen elektrischen Generator an. Der
nen anstatt des Verbrennungsmotors Brennstoffzellen eingesetzt

Wirkungsgrad von Dieselmotoren liegt bei 43 % und von Gas-
werden.

motoren abhängig von der Motorenart bei 42 bis 44 %. Stir-
lingmotoren sind Wärmekraftmaschinen, bei denen sich ein

87.2.4.5

Brennstoffzellen
fest eingeschlossenes Arbeitsgas durch äußere Erwärmung und

Kühlung zwischen zwei Zylindern bewegt und dabei einen

Das Prinzip der Brennstoffzelle wurde bereits 1839 von Wil-

Kolben antreibt. Die Kolbenbewegung wird wie bei den Ver-
liam Robert Grove entdeckt. Im Jahr 1954 wurde der Prototyp

1020

87 Elektrische Energieversorgung

Abb. 87.17 Prinzip einer Brennstoffzelle und eines Brennstoffzellen-Stacks

Abb. 87.18 Übersicht über Brennstoffzellen-Typen
einer alkalischen Hochdruckzelle von Francis T. Bacon entwi-
tionsgleichungen der Brennstoffzelle lauten:

ckelt. Ab 1966 begann mit der Anwendung von Niedertempe-
raturbrennstoffzellen in verschiedenen Raumfahrtprogrammen

H !

2

2 e C 2 HC
die industrielle Nutzung, die sich allerdings nur sehr langsam

Anodenreaktion: Oxidation, Elektronenabgabe
entwickelte. Inzwischen kann diese Technologie als marktnah

T

!

eil
bezeichnet werden. Der Einsatz von Brennstoffzellen erfolgt in

2 HC C 2 e C 1 O2

H2O

Wasserstoff-Pkws und Bussen, in der Luftfahrt als möglicher

2

Kathodenreaktion: Reduktion, Elektronenaufnahme

XI

Ersatz für die heute genutzte Gasturbine zur Hilfsenergieversor-
gung, in der Schifffahrt als Energiequelle für den Antrieb von

H C 1 O ! H
kleineren Schiffen und Unterseebooten sowie als sog. Mikro-,

2

2

2O

2

Mini- und Industriekraftwerk mit Kraft-Wärme-Kopplung. In

Gesamtreaktion
einigen Ländern ist diese Technologie schon weit verbreitet,
so sind z. B. in Japan rund 40.000 Brennstoffzellenheizgeräte

Pro Brennstoffzelle wird eine Spannung von nur 0,5 bis 1 V er-
installiert, in den USA sind einige hundert Brennstoffzellen-
zeugt. Zur Erhöhung der Spannung müssen viele Zellen in Reihe
systeme mit Kraft-Wärme-Kopplung im Leistungsbereich von
geschaltet werden, praktisch werden sie in sog. Stacks hinter-
mehreren hundert MW im Betrieb. Eine Brennstoffzelle be-
einander verschraubt. Niedertemperaturzellen arbeiten bei 80
steht aus der Gaszu- und -abführung, dem Elektrolyt sowie
bis 220 °C, Hochtemperaturzellen werden bei 600 bis 1000 °C
der negativen (Anode) und positiven (Kathode) Elektrode zur
betrieben und benötigen deshalb temperaturfeste Materialien,

Stromableitung, siehe Abb. 87.17. Wasserstoff und Sauerstoff
siehe Abb. 87.18. Dafür können sie direkt mit entschwefeltem
reagieren zu Wasserdampf, zusätzlich verbleibt ein Anteil von

Erdgas betrieben werden, während Niedertemperaturtypen für
nicht reagiertem Restgas. Bei dieser Reaktion werden Elektro-
den Betrieb mit reinem Wasserstoff ausgelegt sind und bei der
nen freigesetzt, es wird eine Gleichspannung erzeugt, die für

Speisung mit Erdgas zusätzliche Reaktionsstufen zur Gasauf-
bestimmte Nutzungsarten wie z. B. zur Netzeinspeisung, erst
bereitung und -reinigung benötigen. Aus diesem Grund liegt
noch in Wechselspannung gewandelt werden muss. Die Reak-
trotz des höheren Temperaturniveaus und der damit verbun-

87.2

Elektrische Energieerzeugung

1021

Abb. 87.20 Kernkraftwerk mit Druckwasserreaktor

Abb. 87.19 Kernkraftwerk mit Siedewasserreaktor
denen Wärmeverluste der Wirkungsgrad von technisch aus-
gen ihrer einfachen Bauweise Siedewasserreaktoren errichtet
geführten Hochtemperaturzellen mit 48 % höher als bei den
wurden, haben sich inzwischen wegen ihres kleineren Kontroll-

Niedertemperaturtypen mit 34 bis 38 %. Welche Temperatu-
bereichs Druckwasserreaktoren durchgesetzt. Im vom Wasser
ren erreicht werden, hängt von der Art der Brennstoffzelle ab.

durchflossenen Reaktorbehälter von Leichtwasserreaktoren be-

Hierbei können folgende Niedertemperaturtypen unterschieden
finden sich in bis zu 250 Rohren die Brennstäbe. Als Brennstoff
werden: Alkalische Brennstoffzelle (< 100 °C), Polymer Elek-
wird angereichertes Uran verwendet, d. h. U 238 angereichert
trolyt Membran Brennstoffzelle (60 bis 120 °C), Phosphorsaure
mit 2,5 bis 3,5 % des Isotops U 235. Ein Beschuss des Urans

Brennstoffzelle (160 bis 220 °C); die Direkt Methanol Brenn-
mit Neutronen kann eine Kernspaltungs-Kettenreaktion verur-
stoffzelle (60 bis 120 °C) nimmt wegen ihrer Speisungsart eine
sachen, wenn die Geschwindigkeit der Neutronen gering genug

Sonderstellung ein. Zu den Hochtemperaturtypen gehören die
ist. Dazu wird Wasser als sog. Moderator eingesetzt, da es die

Schmelzkarbonat- (600 bis 660 °C) und die oxidkeramische

Neutronen abbremst. Durch die Kernspaltung wird das Wasser

(800 °C bis 1000 °C) Brennstoffzelle. Das Potenzial von Brenn-
erhitzt, der Dampf treibt eine Turbine an und erzeugt über den
stoffzellen ist als sehr hoch einzuschätzen, da ihr theoretisch
angetriebenen Generator Strom. Prinzipiell kann die Leistung
möglicher Wirkungsgrad im Bereich von 95 % bei geringen
von Kernkraftwerken relativ schnell verändert werden. Wegen

Temperaturen und 70 % bei hohen Temperaturen oberhalb des
des vergleichsweise geringen Druck- und Temperaturniveaus

Carnot-Wirkungsgrads für Gasprozesse liegt und technisch noch
werden Sattdampfturbinen eingesetzt. Der Wirkungsgrad von
lange nicht ausgeschöpft ist.

Kernkraftwerken liegt deshalb nur bei 30 %. Jedoch ist die im

Brennstoff gespeicherte Energiemenge sehr hoch, der Heizwert
von Uran U 235 beträgt 7;9 107 MJ=kg. Zum Vergleich beträgt

87.2.4.6

Kernkraftwerke
der Heizwert von Braunkohle 20 MJ/kg.

Das Entwicklungspotenzial von Kernkraftwerken ist nahezu

87.2.4.6.1

Kernspaltung
ausgeschöpft, da der Druck- und Temperaturbereich nicht ohne

Otto Hahn und Fritz Straßmann entdeckten im Dezember
weiteres erhöht werden kann. Zu beachten ist, dass die Kühlung

1938 die Spaltung des Urankerns. Lise Meitner und Otto
der Brennstäbe stets garantiert sein muss, da auch abgeschaltete

Brennstäbe Wärme entwickeln. Ein Ausfall der Kühlung kann

XI

Frisch lieferten 1939 die erste physikalisch-theoretische Deu-
tung. Das erste Kernkraftwerk der Welt mit einer Leistung von
zu einem starken Temperaturanstieg und damit zur Gefahr einer

5 MW ging 1954 im russischen Obninsk in Betrieb. Im Jahr

Kernschmelze führen.

Teil

1955 wurde im englischen Calder Hall das erste kommerzielle

Neben den zwei beschriebenen Reaktorarten existieren folgende

Kraftwerk mit 55 MW Leistung eingeschaltet. Der Wasser-
weitere Typen:

Dampf-Kreislauf eines Kernkraftwerks funktioniert prinzipi-
ell wie beim Dampfkraftwerk. Die Verdampfung des Was-

Schwerwasserreaktor: hier wird als Kühlmittel und Moderator
sers im Reaktor erfolgt durch die Energie einer gesteuerten
schweres Wasser (Deuterium) genutzt, dessen Herstellung sehr

Kernspaltungs-Kettenreaktion. Beim Siedewasserreaktor befin-
teuer ist. Schwerwasserreaktoren benötigen jedoch kein ange-
den sich der Reaktor, die Dampfturbine und der Kondensator in
reichertes Uran und können somit dann eingesetzt werden, wenn
einem gemeinsamen Kreisprozess, das Wasser wird bereits im
keine Uran-Anreicherung verfügbar ist.

Reaktorbehälter verdampft, siehe Abb. 87.19. Der Druckwasser-
reaktor verfügt über zwei getrennte Kreisläufe für den Reaktor

Hochtemperaturreaktor: hier werden die Kernbrennstäbe in
und den Turbinenbereich, die Verdampfung erfolgt über einen

Form von Blöcken oder Kugeln mit Graphit als Moderator

Wärmetauscher, siehe Abb. 87.20. Somit ist beim Druckwas-
umhüllt. Es sind theoretisch wesentlich höhere Arbeitstempera-
serreaktor der kontaminierte Kontrollbereich wesentlich kleiner
turen möglich. Ein wirtschaftlicher Einsatz dieser Technologie
und der Überwachungsaufwand geringer. Während anfangs we-
fand noch nicht statt.

1022

87 Elektrische Energieversorgung

Deutorium

Helium

Eisenkern

Transformatorspulen

P+

P+

P+

Vertikalfeld-

N

N

N N
spulen

P+

P+

Energie

Tritium

N N

P+

N N

N

Abb. 87.21 Prinzip der Kernfusion, N – Neutron, P – Positron

Toroidalspulen

Plasma

Abb. 87.22 Schematischer Aufbau des Fusionsreaktors ITER

Brutreaktor: hier wird als Brennstoff ein Uran-Plutonium-

Mischoxid genutzt. Es kann gleichzeitig mit der Energiewand-
lung mehr spaltbares Material produziert werden als im Reaktor
verbraucht wird. Plutonium ist wegen seiner möglichen militäri-

Seitdem wurde intensiv an der kontrollierten Fusion gearbei-
schen Nutzung wesentlich problematischer als Uran. Zusätzlich
tet, jedoch gelang erst im Jahr 1991 im englischen Oxfordshire
erfordert das für diesen Reaktortyp als Kühlmittel verwendete
eine nur zwei Sekunden dauernde Kernfusion im Joint Euro-

Natrium besondere Brandschutzmaßnahmen.

pean Torus (JET), einer europäischen Forschungseinrichtung,
bei der zwei MW erzeugt wurden. Allerdings musste dafür
ein Vielfaches der produzierten Energie aufgewendet werden.

87.2.4.6.2

Kernfusion

Im südfranzösischen Forschungszentrum Cadarache wird am

Ernest Rutherford konnte im Jahr 1917 und damit vor der

„International Thermonuclear Experimental Reactor“ (ITER)

Entdeckung der Kernspaltung erste Fusionsreaktionen im La-
gearbeitet, dessen schematischer Aufbau in Abb. 87.22 gezeigt
bor nachweisen, sein Assistent Mark Oliphant führte 1934 die
ist. Als Zielstellung soll sich die Fusionsreaktion von Deuterium
erste gezielte Reaktion im Labor durch. Bei der Kernfusion
und Tritium energetisch selbst versorgen und somit ein kontinu-
verschmelzen zwei Atomkerne, zum Beispiel die Isotope des
ierlicher Prozess ablaufen. Hierbei soll eine Leistung von 500

Wasserstoffs Deuterium und Tritium. Da Deuterium auf ver-

Megawatt über einige Minuten erzeugt werden. Das Plasma soll
schiedenen Wegen erzeugt werden kann, ist kein Uran mehr als
durch Magnetfelder gehalten werden, die durch gekühlte elek-

Brennstoff notwendig. Bei der Kernfusion haben die Endpro-
trische Spulen erzeugt werden. Es wird erwartet, dass bis zur
dukte der Reaktion nicht die gleiche Masse wie die Anfangspro-
ersten industriellen Anwendung noch 50 bis 80 Jahre intensiver
dukte. Die Massendifferenz wird nach Einsteins Formel E D m

Forschung erforderlich sind. Auch bei der Kernfusion entsteht
c 2 in Energie umgesetzt. Bei der Fusion wird eine im Vergleich
eine erhebliche radioaktive Strahlung, dadurch können hohe ge-
zu anderen Reaktionen enorm große Energiemenge freigesetzt,
sundheitliche Risiken auftreten. Gleichzeitig gibt es wie bei der
beispielsweise 18,5 MeV bei der Reaktion von Deuterium (D)

Kernspaltung, wenn auch mit vergleichsweise geringerem Um-
und Tritium (T) zu Helium (He):

fang, das Problem der atomaren Endlagerung.

2d C 3t ! 4He C 1n

1

1

2

0

87.2.5

Regenerative Kraftwerke

T

(Energieumsatz E D 18;5 MeV).

eil

Hierbei ist d ein Kern des Deuterium (Deuteron), t ein Kern

87.2.5.1

Wasserkraftwerke

XI
des Tritium (Triton) und n ein Neutron, siehe Abb. 87.21. Es
ergibt sich ein Heizwert von 3;6 108 MJ=kg. Zum Vergleich

Wasserkraft wird in Form ihrer bewegten Masse mit einer Dich-
liegt der Heizwert von Uran U 235 bei der Kernspaltung bei
te von rund 1 kg/dm3 bei Normaldruck und 3,98 °C für die

7;9107 MJ=kg. Der Vorteil der Kernfusion gegenüber der Kern-

Energieerzeugung nutzbar. Die Nutzungsmöglichkeiten sind ab-
spaltung liegt somit in der wesentlich höheren Energieausbeute
hängig von den Niederschlagsmengen und den geologischen
pro Brennstoffmenge. Eine solche Reaktion läuft auf der Sonne

Bedingungen sehr unterschiedlich. In Norwegen werden z. B.

und allen anderen leuchtenden Sternen ab. Sie findet in einer

99 % der elektrischen Energie aus Wasserkraft gewonnen, in

Wolke aus Plasma statt. Plasma ist eine Mischung aus allen

Deutschland sind es ca. 3 %. Bereits im Jahr 1880 baute man
drei Aggregatzuständen fest, flüssig und gasförmig und wird
in England das erste Wasserkraftwerk zur Erzeugung elektri-
deshalb oft als vierter Aggregatzustand bezeichnet. Die Pro-
scher Energie, 1896 entstand an den Niagarafällen in den USA
bleme bei der technischen Umsetzung ergeben sich aus der
das erste Großkraftwerk. Die industrielle Nutzung begann mit
hohen Reaktionstemperatur von 100 Mio. °C sowie insbesonde-
der Entwicklung effektiver Turbinen Anfang des 20. Jahrhun-
re aus einer noch höheren Zündtemperatur des Prozesses von
derts. Ein Wasserkraftwerk besteht aus einer Wasserturbine
bis zu 400 Mio. °C. Die Kernfusion wird seit den 1930er Jah-
mit angekoppeltem elektrischem Generator. Zur Inbetriebnah-
ren intensiv erforscht. Zuerst wurde die unkontrollierte Fusion
me der Wasserturbinen müssen nur Schieber geöffnet werden,
bei der Entwicklung der Wasserstoffbombe militärisch einge-
deshalb beträgt die Anfahrzeit nur ein bis zwei Minuten. Eine
setzt, 1952 detonierte die erste Wasserstoffbombe im Pazifik.

Unterscheidung kann nach der Bauart und Wasserspeicherung

87.2

Elektrische Energieerzeugung

1023

Gezeitenkraftwerke: Die veränderlichen Anziehungskräfte
von Sonne, Mond und Erde verursachen den Gezeiteneffekt,
dessen Tidenhub sich zur Energiegewinnung nutzen lässt. Bei

Hochwasser wird ein Speicherbecken gefüllt, das bei Niedrig-
wasser entleert wird. Die dabei auftretenden Wasserströmungen
werden über Kaplan-Turbinen geführt, wegen ihrer Mindestfall-
höhe ist ein minimaler Tidenhub von 5 m erforderlich. Zur Ener-
giegewinnung wird ein großes Wasserbecken benötigt, wobei
erst natürliche Buchten einen wirtschaftlichen Bau ermöglichen.

Das größte Gezeitenkraftwerk liegt in der Bucht von St. Malo in

Frankreich und weist eine Leistung von 240 MW bei 12 bis 16 m

Tidenhub auf.

Abb. 87.23 Prinzip eines Pumpspeicherwerks

Wellenkraftwerke: Es wird die Bewegungsenergie von Wellen
genutzt, die bei 3 bis 6 m Wellenhöhe bei bis zu 40 kW pro Me-
erfolgen. Laufwasserkraftwerke sind Fließkraftwerke und stel-
ter Wellenkamm liegen kann. Als direkte Wandlungsprinzipien
len prinzipiell eine Staustufe in einem Fluss dar. Sie nutzen die
sind die Nick-Bewegung von asymmetrischen Schwimmkör-
anfallende Wassermenge und können abhängig von der Größe
pern, die Relativbewegung von Körpern zueinander, z. B. von
bei hohen Leistungen Wirkungsgrade bis 94 % erreichen. Spei-

Schwimmflossen sowie die Bewegung aufrecht stehender Kol-
cherkraftwerke hingegen, auch Talsperrenkraftwerke genannt,
ben, bekannt. Darüber hinaus kann auch eine Plattform mit Was-
nutzen das zufließende Wasser nicht unmittelbar. Es wird in
ser überspült werden, das anschließend über Turbinen zurück

Zeiten mit geringem Stromverbrauch gesammelt und in Zeiten
ins Meer geleitet wird. Eine Sonderform stellt das Brandungs-
mit hohem Leistungsbedarf genutzt. Pumpspeicherwerke wei-
kraftwerk dar, bei dem Wasser in Hohlkammern geleitet wird,
sen im Gegensatz dazu wie in Abb. 87.23 gezeigt einen oberen
aus denen beim Einströmen Luft durch eine weitere Auslass-
und unteren Speichersee auf. In Schwachlastzeiten wird das
öffnung verdrängt und beim Ausströmen wiederum eingesaugt

Wasser mit preiswerter elektrischer Energie in den oberen Spei-
wird. Dabei wird eine Luftturbine angetrieben. Kommerziell
chersee gepumpt. In Zeiten erhöhten Stromverbrauchs wird die
betriebene Wellenkraftwerke existieren bisher als Brandungs-
potenzielle Energie des Wassers über Turbinen und Generato-
kraftwerke.

ren in elektrische Energie gewandelt, indem es in den unteren

Strömungskraftwerke: Hierbei wird die Wasserströmung im

See abfließt. Bei großen Anlagen sind Wirkungsgrade bis 90 %

Meer oder in Flüssen genutzt. Dafür lassen sich ähnlich wie
pro Speicherrichtung erreichbar. Pumpspeicherwerke werden
bei Windenergieanlagen zwei oder dreiflügelige Horizontalro-
als Spitzenlastkraftwerk und zur Netzregelung eingesetzt. Die
toren, aber auch vertikal drehende Rotoren nutzen. Da sich
in ihnen gespeicherte potenzielle Energie Ep errechnet sich mit
die Meeresströmungen gezeitenabhängig umkehren, müssen die
der Masse m, der Fallbeschleunigung g und der nutzbaren Fall-

Rotoren um 180° drehbar sein. Es existieren einige Prototypen,
höhe hp:

wie z. B. die SeaGen-Anlage vor der Küste Nordirlands mit 16

E D
m Rotordurchmesser und 1,2 MW Leistung.

p
m g hp

(87.3)

Osmosekraftwerke: Süß- und Salzwasser werden in zwei Be-

Für die Masse können das Volumen V und die Dichte einge- hälter gefüllt, die durch eine gemeinsame Membran miteinander
setzt werden:

verbunden sind. Durch die Membran erfolgt ein Konzentrations-

E D
ausgleich, es dringt Süßwasser in den mit Salzwasser gefüllten
p

V g hp

Behälter. Das Süßwasser verdünnt das Salzwasser und erhöht

Um das Ergebnis in der Einheit kWh anstatt Ws zu erhalten,
dessen Druck, der z. B. über eine Turbine in Energie umgewan-

XI
werden die Umrechnungsfaktoren eingesetzt:

delt werden kann. Das Osmosekraftwerk wird deshalb auch als

Salzgradientenkraftwerk bezeichnet. Dieser Kraftwerkstyp wird

Teil
in Verbindung mit zum Meer ablaufendem Süßwasser verwen-

E D

1

p

V g hp

3;6 106
det und noch nicht industriell genutzt. Jedoch existiert seit dem

Jahr 2009 ein Kleinstkraftwerk im norwegischen Tofte.

Die potenzielle Leistung P ergibt sich aus der angenommenen

Lade-/Entladezeit t, diese Zeit ist abhängig vom realisierbaren

Volumenstrom:

87.2.5.2

Windenergieanlagen

Ep

Ab 1891 wurden in Dänemark Windenergieanlagen (WEA) zur

P D

(87.4)

t

Versorgung netzferner Regionen mit elektrischer Energie aufge-
baut. Die wissenschaftlichen Grundlagen für die systematische

In Deutschland werden Pumpspeicherwerke mit einer Gesamt-

Nutzung der Windenergie wurden in den 1920er-Jahren ge-
leistung von 6600 MW und einer mittleren Speicherzeit von acht
legt. Im Jahr 1941 wurde in den USA die erste Großanlage

Stunden genutzt.

mit 1250 kW errichtet. Ab 1975 wurde die Stromerzeugung

Neben den beschriebenen Wasserkraftwerken existieren noch
aus Windenergie international vorangetrieben. In Deutschland
weitere Typen:

begann die industrielle Nutzung von Windenergieanlagen mit

1024

87 Elektrische Energieversorgung
dem Stromeinspeisungsgesetz von 1990, in dem die Abnahme

P

P max
und Vergütung von elektrischer Energie geregelt wurde. Seit
v = 13 m/s

2000 gilt das Erneuerbare-Energien-Gesetz, dass im Schnitt al-

Windgeschwindigkeit
le vier Jahre überarbeitet wird. Hierin wurden der vorrangige

12 m/s

Netzanschluss regenerativer Energien sowie garantierte Vergü-
tungssätze festgeschrieben, was zu einem starken Zubau geführt

11 m/s
hat. Inzwischen wird Windenergie auch direkt vermarktet, wo-
bei ein höheres wirtschaftliches Risiko für den Anlagenbetreiber

10 m/s
entsteht. Eine Nutzung der Windenergie ist sowohl an Land

Rotorleistung

9 m/s

(Onshore) als auch auf dem Meer (Offshore) möglich. Offshore-

8m/s

Installationen sind wesentlich kostenintensiver, dafür ist ihre

7m/s

Energieausbeute höher. Heutige Leistungen ausgeführter An-
lagen reichen bis zu acht MW, WEA mit zehn MW sind in
der Entwicklung, es besteht noch ein Entwicklungspotenzial bis

Drehzahl
n max n
weit oberhalb von zehn MW.

Abb. 87.24 Leistungs-Drehzahl-Kennlinienfeld von Windkraftanlagen und

Kennlinie des drehzahlvariablen Betriebs

87.2.5.2.1

Energieentnahme aus dem Wind

Wind entsteht aufgrund von Temperatur- und Druckunterschie-
den von Luftmassen. Die theoretische Leistung des Windes P 0
der Windgeschwindigkeit erreicht der Rotor von WEA Dreh-
ist von der Windgeschwindigkeit v 3 zur dritten Potenz und da-
zahlen im Bereich von 8 bis 22 Umdrehungen pro Minute. Ob
mit vom Standort sowie der Turmhöhe und der angeströmten
für die Drehzahlanpassung zwischen WEA-Rotor und Genera-

Rotorkreisfläche A abhängig. Die Luftdichte hat nur einen ge- tor ein Getriebe erforderlich ist, hängt von der Polpaarzahl des
ringen Einfluss, sie ändert sich in Abhängigkeit von Druck und

Generators ab. Die Summe der magnetischen Nord- und Süd-

Temperatur. Somit erhält man für die theoretische Leistung des
pole ist die Polzahl der elektrischen Maschine. Die Polpaarzahl

Windes:

ergibt sich als die Menge der Paare von Magnetpolen, sie ent-
spricht der halben Polzahl. Aus der vom Generatorgleichrichter

P D 1
bestimmten Statorfrequenz des Generators f

0

A v 3

(87.5)

1 und der Polpaar-

2
zahl p errechnet sich die Synchrondrehzahl nS des Generators in

Umdrehungen pro Minute:

Die Energieentnahme aus dem Wind ist physikalisch begrenzt,
die Umwandlung der kinetischen Energie bewegter Luft in me-
f

1

60 s
min
chanische Arbeit erfolgt nach (87.6):

n D

S

(87.7)

p

Die Synchrondrehzahl einer elektrischen Maschine beschreibt

P D 1 A v 3 cp

(87.6)

2
den Punkt, an dem der Rotor synchron zum Drehfeld des Stators
rotiert. Werden im Generator viele Stator-Wicklungsspulen rea-

Der Leistungsbeiwert cp gibt an, wie viel der im Wind ent-
lisiert, resultieren daraus eine hohe Polpaarzahl und nach (87.7)

haltenen Energie mit der Windturbine entnommen wird. Die
eine geringe Synchrondrehzahl. Liegt die Synchrondrehzahl des
theoretisch erreichbare Energieausbeute liegt nach BETZ bei

Generators im Bereich der WEA-Rotordrehzahl, kann auf ein
c D
p

0;593, bei höherer Energieentnahme würde sich der nach- Getriebe verzichtet werden. Neben der Anlage befindet sich

Teil
folgende Wind aufstauen. In der Praxis ist der Leistungsbeiwert
der Transformator, der bei Einzelanlagen den Anschlusspunkt
kleiner, er wird wesentlich durch das Rotorblattprofil bestimmt.

zum öffentlichen Netz der Mittelspannung bei beispielsweise

XI

Typische Werte moderner WEA liegen bei c D
p

0;43 bis 0,5. 20 kV bildet. Oft werden viele Anlagen in einem Windpark

Der Verlauf des Leistungsbeiwerts verursacht den Abfall der
konzentriert, dann erfolgt der Netzanschluss über eine größe-

Leistungs-Drehzahl-Kennlinie, siehe Abb. 87.24. Das Maxi-
re Schaltanlage am Hochspannungsnetz bei 110 kV oder bei
mum der Leistung liegt abhängig von der Windgeschwindigkeit
sehr großen Windparks auch auf der Höchstspannungsebene
bei unterschiedlichen Drehzahlen, weshalb WEA zur Optimie-

220 oder 380 kV.

rung der Energiewandlung drehzahlvariabel betrieben werden.

87.2.5.2.3

Funktionsprinzip von Windenergieanlagen

87.2.5.2.2

Prinzipieller Aufbau und Netzanbindung

Das Funktionsprinzip von Windenergieanlagen besteht in der

Der Aufbau und die Netzkopplung von Windenergieanlagen

Umwandlung der Windenergie über Rotorblätter in mechani-
sind in Abb. 87.25 gezeigt. In der Praxis finden sich fast aus-
sche Bewegungsenergie. Für die Erzeugung elektrischer Energie
schließlich Dreiblattanlagen mit Windanströmung von vorn,
wird der Windgeschwindigkeitsbereich von 4 bis 25 m=s (14
sog. Luvläufer. Es wird zwischen Konzepten mit Getriebe
bis 90 km=h) genutzt, bei höheren Geschwindigkeiten schal-
und Standardgeneratoren mit kleiner Polpaarzahl, wegen der
ten die Anlagen zum Schutz der Mechanik ab. Anlagen auf
hintereinander liegenden Komponenten aufgelöster Triebstrang

See werden für höhere Windgeschwindigkeiten bis 30 m=s
genannt, und getriebelosen Anlagen mit hochpoligen Genera-

(108 km=h) dimensioniert. Zur aerodynamischen Regelung ste-
toren (konzentrierter Triebstrang) unterschieden. Abhängig von
hen die stall-, active-stall- und pitch-Regelung zur Verfügung,

87.2

Elektrische Energieerzeugung

1025
a
b
c
d

Abb. 87.25 Aufbau von Windenergieanlagen: a Prinzipdarstellung einer WEA mit Getriebe und vierpoligem Generator (aufgelöster Triebstrang), b Übersichtsschaltbild für den Netzanschluss eines doppelt gespeisten vierpoligen Generators, c Übersichtsschaltbild für den Netzanschluss einer getriebelosen Anlage mit
vielpoligem Synchrongenerator, d Turmkopf einer getriebelosen WEA mit vielpoligem Generator (konzentrierter Triebstrang)

XI

Abb. 87.26 Aerodynamische Leistungsbegrenzung am Rotorblatt von WEA, von links: stall, active-stall, pitch, Übersicht des Gesamtaufbaus

Teil
siehe Abb. 87.26. Ältere Anlagen mit Leistungen unterhalb
können die Anströmungseigenschaften der Rotorblätter durch

1 MW werden stall-geregelt, d. h. abhängig von der Windge-
drehbare Achsen an die Windgeschwindigkeit angepasst wer-
schwindigkeit findet ein Strömungsabriss an der Hinterkante
den. Steigt die Windgeschwindigkeit und damit die mechani-
des Rotorblatts statt. Bei diesen Anlagen wird ein von den
sche Belastung der WEA an, können die Rotorblätter unterstützt

Windverhältnissen am Standort abhängiger Rotorblattwinkel
von der Windkraft schnell verstellt werden. Bei modernen
fest eingestellt. An den Enden der Rotorblätter befinden sich

Anlagen im Leistungsbereich ab 1 MW wird inzwischen aus-
mehrere Meter lange Bremsspitzen, sog. tip-Spitzen, die mecha-
schließlich die pitch-Regelung eingesetzt. Zu beachten ist, dass
nisch oder hydraulisch betätigt werden. Diese unterstützen den
die pitch-Antriebe zur Sicherstellung einer hohen Verfügbar-
mechanischen Bremsvorgang zur Stillsetzung der WEA. Auch
keit doppelt ausgeführt werden müssen, da keine Bremsspitzen
bei der active-stall-Regelung findet ein Strömungsabriss statt,
mehr an den Rotorblättern vorhanden sind. Seit einigen Jahren
der jedoch über eine Bewegung des Rotorblatts nach vorn in
werden die Rotorblätter von WEA abhängig von ihrer Position
den Wind eingestellt werden kann. Aufgrund der Gegenkräfte
einzeln pitch-geregelt, um auf die Windscherung reagieren zu
benötigt der Einstellvorgang etwas Zeit. Bei der pitch-Regelung
können und damit zusätzliche Kraftwirkungen auf die Anlage

1026

87 Elektrische Energieversorgung
a

Für die Netzkopplung von WEA-Generatoren können unter-
schiedliche Konzepte genutzt werden, die mit unterschiedli-
chem technischem Aufwand verbunden sind.

b

Direkt gekoppelter Asynchrongenerator: Bei diesem Typ
werden die Statorklemmen des Generators direkt mit dem Netz
verbunden, siehe Abb. 87.27a. Für eine netzverträgliche Zu-
schaltung wird ein Thyristorsteller verwendet, der im Normal-
c
betrieb mit einem Schalter überbrückt wird. Diese Ausführung
wird als „Dänisches Konzept“ mit stall-Regelung und drehzahl-
starrer Ausführung in den Anfangsjahren der netzeinspeisenden

Windenergienutzung eingesetzt. Es ist keine Drehzahlregelung
d
vorhanden und die Einspeisung von Wirk- und Blindleistung ist
nicht regelbar. Hier werden alle Windschwankungen unverzö-
gert als Leistungsschwankungen in das Netz übertragen. Der
variable Stromfluss verursacht variable Spannungsfälle über der
e

Netzimpedanz und trägt somit zu Spannungsschwankungen bei.

Diese wirken sich negativ auf das Drehmomentverhalten von

Drehfeldmaschinen aus und verursachen Leuchtdichteschwan-
kungen an Beleuchtungseinrichtungen. Aufgrund seiner starken
f

Netzbeeinflussung ist dieses Konzept inzwischen nicht mehr zu-
lässig.

Umrichtergekoppelter Asynchrongenerator: Hier werden
durch den Frequenzumrichter zwischen Generator und Netz

Abb. 87.27 Mögliche Generator-Leistungselektronik-Varianten zur Netzkopp-
deren unterschiedliche elektrische Frequenzen über den
lung von Windenergieanlagen

Gleichspannungszwischenkreis voneinander entkoppelt, siehe

Abb. 87.27b. Somit wird ein drehzahlvariabler Betrieb des

Generators möglich. Im Generator wird ein Drehstromsystem
durch höhenabhängig unterschiedliche Windgeschwindigkeiten
erzeugt, dessen Amplitude und Frequenz proportional zur Dreh-
oder auch den Turmschatteneffekt zu vermeiden.

zahl sind. Die Drehzahl des Generators ergibt sich aus der
mechanischen Antriebsleistung des Windes. Mit dem Gene-

87.2.5.2.4

Generatoren und Konzepte zur Netzkopplung
ratorwechselrichter, der als gesteuerter Gleichrichter arbeitet,
von Windenergieanlagen
wird dieses Drehstromsystem in eine Gleichspannung umge-
formt. Durch die Gleichspannung können die unterschiedlichen

An den Rotor ist ein elektrischer Generator gekoppelt, der die

Frequenzen auf der Generator- und Netzseite voneinander ent-

Energie direkt oder über leistungselektronische Wandler in das
koppelt werden. Über den Gleichspannungszwischenkreis wird

Netz einspeist. Dafür werden Asynchron- oder Synchrongene-
nur Wirkleistung übertragen. Zur Netzeinspeisung wird aus der
ratoren mit meist leistungselektronischer Netzkopplung einge-

Gleichspannung des Zwischenkreises mit dem Netzwechsel-

Teil
setzt, siehe Abb. 87.27. Bei den verwendeten Symbolen für die
richter durch die im Abschn. 87.2.5.2.5 beschriebene Pulswei-
leistungselektronischen Frequenzumrichter ist zu beachten, dass
tenmodulation ein Drehstromsystem mit drei Sinusspannungen

XI
sie jeweils wie in Abb. 87.25 gezeigt aus einem generator- und
erzeugt, wobei sich abhängig von der Pulsfrequenz Abwei-
netzseitigen Wechselrichter bestehen. Die in WEA genutzten
chungen von der Sinusform ergeben. Somit existieren auf der

Drehstrom-Generatoren unterscheiden sich in der Wirkungswei-

Generator- und Netzseite Drehstromsysteme mit unterschiedli-
se nach dem Synchron- und Asynchronprinzip. Damit wird das
chen Frequenzen, die durch eine Gleichspannung voneinander

Verhältnis der elektrischen Größen von Stator und Rotor zu-
getrennt und damit entkoppelt sind. Seit ca. 15 Jahren wer-
einander beschrieben. Synchron arbeitende Maschinen weisen
den nur noch drehzahlvariable WEA mit leistungselektronischer
keine Geschwindigkeitsdifferenz der Drehfelder im Stator- und

Netzkopplung in Kombination mit pitch-Regelung zur Ro-

Rotorkreis auf, beide Felder rotieren synchron zueinander. Syn-
torblattverstellung eingesetzt. Beim drehzahlvariablen Betrieb
chronmaschinen rotieren stets mit der Synchrondrehzahl nach
kann durch den generatorseitigen Wechselrichter der Arbeits-

(87.7). Asynchron arbeitende Maschinen weisen unterschiedli-
punkt des Generators geregelt werden; zur ökonomischen Op-
che Geschwindigkeiten von Stator- und Rotorfeld auf. Es tritt
timierung wird bei der Netzeinspeisung ein maximaler Wirk-
eine Drehzahldifferenz zur Synchrondrehzahl auf. Die Differenz
und minimaler Blindleistungsanteil eingestellt. Damit wird der
wird als Schlupf s bezeichnet. Der Schlupf errechnet sich aus der
höchste Wirkungsgrad möglich, gleichzeitig wird auch die Er-

Synchrondrehzahl nS und der aktuellen Drehzahl n:

wärmung des Generators begrenzt. Da bei diesem Konzept die
gesamte Nennscheinleistung des Generators über den dadurch
n
n

S
n
s D

D

(87.8)

kostenintensiven Frequenzumrichter geführt wird, wird dieser
nS
nS
auch als Vollumrichter bezeichnet.

87.2

Elektrische Energieerzeugung

1027

Tab. 87.5 Flussrichtung der Leistungen im Generatorbetrieb des DGASG: Ab-
n / n s
gabe, C Aufnahme

Betriebsart

Drehzahl-

Schlupf s

P

0,3
s

Pr
bereich

Untersynchron
n < ns

> 0

C

Synchronbetrieb n D ns

0

0

0

-0,3

Übersynchron
n > ns

< 0

0,3

P r / P s

Doppelt gespeister Asynchrongenerator (DGASG): Bei die-
sem Konzept wird der Stator des Generators direkt und der

-0,3

Rotor über einen bidirektional arbeitenden Frequenzumrichter
mit dem Netz verbunden, siehe Abb. 87.27c. Im untersynchro-
nen Generatorbetrieb, d. h. unterhalb der Synchrondrehzahl des

Abb. 87.28 Drehzahl-Leistungsbereich des Rotorkreises des DGASG beim Ein-

Generators nach (87.7) nimmt der Rotor Leistung auf und der
satz in WEA

Stator gibt Leistung ab, im übersynchronen Bereich geben Rotor
und Stator Leistung ab. Tab. 87.5 zeigt die Leistungsflussrich-
tungen des DGASG im Generatorbetrieb. Die Gesamtleistung P

Auch wenn nur ein Teil der Gesamtleistung über den Rotorum-
wird aus der Stator- ( PS) und Rotorleistung ( PR) bestimmt, das
richter geregelt wird, können die gesamte Wirk- und Blind-

Vorzeichen der Summation ergibt sich abhängig vom Drehzahl-
leistung unter Anwendung der hier nicht näher beschriebenen
bereich nach Tab. 87.5:

Zweiachsentheorie voneinander entkoppelt und damit unabhän-
gig voneinander eingestellt werden, d. h. die Verstellung der

P D P ˙

S

PR

(87.9)

Wirkleistung kann ohne Veränderung der aktuellen Blindleis-

Die Rotorleistung P
tung erfolgen.

R ist bei vereinfachter Betrachtung unter

Vernachlässigung der Verluste direkt von der Statorleistung PS

Umrichtergekoppelter Synchrongenerator mit elektrischer
und dem Schlupf s abhängig:

Erregung: Bei diesem Konzept werden Standardgeneratoren
mit der Polpaarzahl zwei in Kombination mit Getriebe oder

P D

R

PS s

(87.10)

hochpolige Generatoren mit Polpaarzahlen im Bereich von
p D 40 als getriebelose Anlagen eingesetzt, siehe Abb. 87.27d.

Der Betriebsbereich von DGASG wird so gewählt, dass der

Der Rotor des Generators wird mit Gleichspannung versorgt

Umrichter kostensparend dimensioniert werden kann. In der
und baut einen Magnetpol auf, der durch die Rotorbewe-

Praxis wird der Drehzahlbereich des Generators um maximal

˙
gung der WEA bei anliegender Statorspannungserregung einen

30 % um die Synchrondrehzahl variiert. Im Drehzahlbereich

Stromfluss in den Statorwicklungen erzeugt. Obwohl der Syn-
n D ˙0;3 ns nimmt der Schlupf s einer vierpoligen Dreh-
chrongenerator gut regelbar ist, muss auch bei diesem Konzept
stromasynchronmaschine mit der Polpaarzahl p D 2 nach (87.8)

wegen der variablen mechanischen Drehzahl und der damit
folgende Werte an:

verbundenen variablen Ausgangsfrequenz des Generators eine
n

Frequenzentkopplung über den Gleichspannungszwischenkreis
s

0;7 ns
s

D

D

30 %

0;3
erfolgen. Der Frequenzumrichter muss wie beim umrichterge-
ns

koppelten Asynchrongenerator für die gesamte Nennscheinleis-

1;3 ns
s C

D ns

D
tung dimensioniert werden. Grundsätzlich kann der elektrisch

30 %

0;3
ns
erregte Synchrongenerator in Kombination mit einer Hilfsspan-

XI
nungsquelle für den Netzaufbau genutzt werden, d. h. er ist

Die dabei über den Rotorumrichter übertragene Leistung PR er-
schwarzstartfähig. Dieser Generatortyp weist bei hohen Pol-
rechnet sich nach (87.10) aus der Statorleistung PS und dem
paarzahlen große Abmessungen und ein hohes Gewicht auf,

Teil

Schlupf s:

die elektrische Erregung verursacht Verluste. Der Vorteil die-

P D

˙
ser Erregungsart liegt darin, dass das Verhalten des Generators

R

PS

0;3
jederzeit gut regelbar ist.

Somit muss der Rotorumrichter bei einer in der Praxis an-

Umrichtergekoppelter Synchrongenerator mit Permanent-
zutreffenden maximalen Drehzahlvariation des Generators von

˙
magneterregung: Hierbei wird ein Synchrongenerator mit Per-

30 % um die Synchrondrehzahl nur für 30 % der Gesamtleis-
manentmagnetrotor mit einem Vollumrichter kombiniert, siehe
tung dimensioniert werden, siehe Abb. 87.28.

Abb. 87.27e. Zur Realisierung einer kompakten Erregung wer-

Die Drehzahl des DGASG ergibt sich wegen der doppelten
den auf dem Rotor Permanentmagnete befestigt. Diese Magnete

Speisung aus der Frequenzdifferenz der elektrischen Größen im
aus einer Neodym-Eisen-Bor-Legierung weisen hohe magneti-

Rotor und Stator:

sche Feldstärken im Bereich von H D 880 kA=m und volume-

˙
trische Energiedichten von w D 460 kJ=m3 auf, dadurch können
fS
n D fR

(87.11)

die Abmessungen und das Gewicht dieses Generatortyps im
p

Vergleich zum elektrisch erregten Typ um 30 bis 50 % reduziert

1028

87 Elektrische Energieversorgung

Abb. 87.29 Dreiphasiger Wechselrichter (links) und vereinfachte Ersatzschaltung (rechts)

Abb. 87.30 Einphasiger Wechselrichter (links) und vereinfachte Ersatzschaltung (rechts)

werden. Da die magnetische Feldstärke durch das Material be-
folgt, soll dieses Prinzip hier vertieft werden. In WEA wer-
stimmt wird, kann die Erregung nicht geregelt werden und auch
den ausschließlich dreiphasige Wechselrichter eingesetzt, sie-
keine Verluste verursachen. Die Ausgangsspannung des Gene-
he Abb. 87.29. Diese bestehen aus drei Brückenzweigen mit
rators UG hängt wegen der fest eingebauten Magnetisierung nur
je zwei Halbleiterschaltern, weshalb diese Schaltungstopolo-
noch von der Drehzahl n ab:

gie auch als B6-Brückenschaltung bezeichnet wird. Als Halb-
leiterschalter werden meist IGBTs (Insulated Gate Bipolar

U

G
n D k n

(87.12)

Transistor-Bipolartransistoren mit isoliertem Steueranschluss)

k-Konstante.

verwendet. Antiparallel zu den eigentlichen Schaltern sind

Dioden angeordnet, die den Stromfluss bei ausgeschalteten

Zum Schutz gegen Korrosion und die damit verbundene De-

Schaltern übernehmen, um diese gegen Überspannungen und
gradation muss das Magnetmaterial versiegelt werden. Durch

Zerstörung durch Durchschlag zu schützen. Vereinfacht kann
die Kombination mit einem Vollumrichter bleibt das netzseitige
ein dreiphasiger Wechselrichter durch Schalter nachgebildet

Verhalten der WEA gut über die Leistungselektronik regelbar,
werden, siehe Abb. 87.29 rechts. Die Wechselrichter werden

Wirk- und Blindleistung werden auch hier unabhängig vonein-
selbstgeführt betrieben, d. h. sie erzeugen ihre Schaltsignale un-
ander eingestellt.

abhängig von der Netzspannung selbst. Dazu wird das Verfahren

Direkt gekoppelter Synchrongenerator mit Drehzahlwand-
der Pulsweitenmodulation (PWM) genutzt.

ler: Bei diesem relativ neuen Konzept wird ein elektrisch
erregter Synchrongenerator mit einer kleinen Polpaarzahl von

Deren grundsätzliche Funktionsweise soll zur besseren Veran-
schaulichung anhand eines einphasigen Wechselrichters erläu-

T
meist zwei direkt mit dem Netz verbunden, siehe Abb. 87.27f.

eil

Da der Synchrongenerator in direkter Netzkopplung immer bei
tert werden, siehe Abb. 87.30, da die Ergebnisse unmittelbar auf

Netzfrequenz einspeist, muss seine Drehzahl genauso wie die
dreiphasige Systeme übertragbar sind. Der einphasige Wechsel-

XI
herkömmlicher Kraftwerksgeneratoren konstant bleiben. Da-
richter besteht aus zwei Brückenzweigen mit je zwei Schaltern,
zu ist er mit einem Drehmomentwandler mit dem Rotor der
zu denen jeweils eine Diode antiparallel (parallel, jedoch in

WEA gekoppelt, der in mechanischer Bauart als Planetengetrie-

Gegenrichtung leitend) verschaltet ist. Der Wechselrichter wird
be oder hydrodynamisch als Hydraulikgetriebe ausgeführt sein
aus dem Gleichspannungszwischenkreis des Frequenzumrich-
kann. Der Wandler wird so eingestellt, dass er unabhängig von
ters gespeist. Zwischen den Brückenzweigen befindet sich eine
der Eingangsdrehzahl des WEA-Rotors immer eine konstante
ohmsch-induktive Last. Zur vereinfachten Betrachtung soll die

Ausgangsdrehzahl für den Antrieb des Synchrongenerators lie-

Ersatzschaltung aus Abb. 87.30 rechts verwendet werden, in der
fert. Da der Synchrongenerator mit seiner elektrischen Erregung
die Transistoren durch Schalter ersetzt wurden.

netzseitig gut regelbar ist, kann die Leistungselektronik bei die-

Zur Umwandlung von Gleichspannung in Wechselspannung
sem Konzept entfallen.

wird die Periodendauer der gewünschten Sinusspannung in ei-
ne Vielzahl von Zeitabschnitten mit der Pulsperiodendauer TP

87.2.5.2.5

Pulsweitenmodulation (PWM) bei
unterteilt, siehe Abb. 87.31. Innerhalb dieser Pulsperiodendau-
selbstgeführten Wechselrichtern
er kann eine konstante Gleichspannung ein- und ausgeschaltet

Da sowohl bei den Windenergieanlagen als auch bei den spä-
werden:

ter behandelten Photovoltaikanlagen die Wandlung von Gleich-

D

C
zu Wechselgrößen mit der Pulsweitenmodulation (PWM) er-

TP
t ein
t aus

(87.13)

87.2

Elektrische Energieerzeugung

1029
u 1 2

3

Unter der Bedingung eines konstanten Stromes ist auch die

Ausgangsleistung des Wechselrichters P WR proportional zum

Tastverhältnis:

P

WR

TV

(87.20)

0

10

20 ms

T
t

P

Damit lässt sich (87.15) um die Leistung erweitern:

u
a

TV P

Der Ausgangsstrom i des Wechselrichters errechnet sich aus
u

1
u

2
u

3
a
t
u
der Ausgangs-spannung u und den Impedanzen des Wechsel-
a
ein
t
t
aus
t
richters Z
sowie des Netzes Z :

WR

N
aus
t ein
ein
u

N u

TV N u
u
a
a;max
i D

D

(87.21)

a

Z

C

C

WR

ZN

Z WR

ZN

0

T

0

0

P
t

T P t

T P t

In der oberen Halbschwingung nach Abb. 87.31, d. h. den ers-
ten 10 ms, werden dabei jeweils die Schalter bzw. Transistoren

Abb. 87.31 Prinzip der Pulsweitenmodulation, oben: Spannungs- und Pulsver-

T1 und T4 innerhalb der Pulsperiodendauer T
lauf, unten: Variation der Einschaltdauer innerhalb einer Pulsperiode

P gemäß (87.14)

gepulst, es stellt sich der in der Ersatzschaltung in Abb. 87.30
rechts markierte Stromverlauf über der Last ein. Für die untere

Halbschwingung erfolgt von 10 ms bis 20 ms die Pulsung der

Damit ergibt sich im Zeitabschnitt TP das Verhältnis aus der

Schalter bzw. Transistoren T2 und T3. Dabei stellt sich ein zur

Einschaltzeit t ein zur Gesamtperiodendauer, das mit dem Tast-
in Abb. 87.30 rechts gezeigten Stromrichtung entgegengesetzter
verhältnis TV beschrieben wird:

Stromfluss über die Last ein. Zur Erzeugung einer Wechsel-
spannung benötigt der Wechselrichter Steuersignale, die z. B.

TV D
t ein

D t ein

(87.14)

t

C
ein
t aus

TP
durch einen Sinus-Dreieck-Vergleich erzeugt werden können,
siehe Abb. 87.32. Beim Sinus-Dreieck-Vergleich entstehen in

Wird die Gleichspannung über die volle Periodendauer TP ein-
den oberen und unteren Halbschwingungen Schnittpunkte der
geschaltet, ist TV D 1 und der Mittelwert der Spannung im
zwei Funktionen.

Zeitintervall entspricht dem vollen Gleichspannungswert. Wird
eine volle Periodendauer nicht eingeschaltet, ist TV D 0 und

Diese liefern die Schaltsignale zur Ansteuerung der vier Schal-
der Mittelwert ebenfalls null. Dazwischen liegende Werte der
ter des einphasigen Wechselrichters. Soll ein dreiphasiger

Ausgangsspannung ua lassen sich durch die Variation der Ein-

Wechselrichter angesteuert werden, verwendet man an Stelle
schaltzeit tein proportional einstellen:

einer Sinusfunktion drei um je 120° zeitlich zueinander verscho-
bene Sinuskurven als Vergleichsfunktionen zur Dreiecksfunkti-
t ein
t ein
u

on und erhält damit die erforderlichen sechs Schaltsignale zur
a

TV

(87.15)

t

C
ein
t aus

TP

Ansteuerung der Transistoren.

Somit kann im Zeitverlauf durch Variation der Einschaltzeit t ein

Es muss sichergestellt werden, dass in den Brückenzweigen
jeder beliebige Amplitudenwert einer Sinuskurve nachgebildet
des Wechselrichters kein Kurzschluss auftritt. Deswegen dürfen
werden, siehe Abb. 87.31.

die Transistoren eines Brückenzweigs nie gleichzeitig schalten.

Der Spannungswert errechnet sich aus dem Tastverhältnis und

Die Sinusspannung wird dadurch erzeugt, dass die Transisto-
der Gleichspannung, die bei Wechselrichtern Zwischenkreis-
ren T1/T4 in der positiven und die Transistoren T2/T3 in der

XI
spannung U
negativen Halbwelle angesteuert werden. Die antiparallelen Di-

ZK genannt wird:

oden führen den Strom in den Zeiten, in denen die Transistoren
t ein
u

D

ausgeschaltet sind, sie ermöglichen somit einen kontinuierli-

TV

U ZK

(87.16)

Teil
t

C
ein
t aus
chen Stromfluss. Bei der Sinus-Dreieck-Ansteuerung entsteht
u

D

TV

TV U ZK

(87.17)

ein PWM-Signal nach Abb. 87.32. Die Nachbildung der ge-
wünschten Sinus-Ausgangsspannung ist umso besser, je höher

Das mittlere Tastverhältnis TV kann durch Mittelwertbildung
die Frequenz der Dreiecksspannung gewählt wird. Wenn das
über die Anzahl der Pulsperioden m bestimmt werden:

Verhältnis der Frequenzen von der Dreiecksfunktion und der

P m

Sinusfunktion kleiner als 15 ist, sollten die Funktionen syn-

TVn

TV D
n D1

(87.18)

chronisiert sein, d. h. sie sollten identische Nulldurchgänge
m
aufweisen. Wird diese Bedingung nicht erfüllt, verläuft die Aus-

Daraus lässt sich bei bekannten Einzelwerten in den betrach-
gangsspannung halbwellenunsymmetrisch. Wird die Frequenz
teten Zeitintervallen der Mittelwert der Spannung N u
der Dreiecksspannung größer als 750 Hz gewählt, ist dieser
a in einem
beliebigen Zeitraum ermitteln:

Effekt vernachlässigbar. Bei der Wahl einer Frequenz der Drei-

P
eckspannung von z. B. 1 kHz entsteht eine gepulste Spannung
m
u

N

TVn
u D
n D1

D
nach Abb. 87.33. Der Stromverlauf kann ebenfalls dem Bild ent-
a

TV U ZK

(87.19)

m
nommen werden, seine Form wird durch die Art der Last und

1030

87 Elektrische Energieversorgung
a

400

V

200

U

0

-200

-400

0

0,005

0,01

0,015
s

0,02
b

20

V

10

U

0

0

0,005

0,01

0,015
s

0,02

20

V

10

U

0

0

0,005

0,01

0,015
s

0,02
t

Abb. 87.32 Prinzip des Sinus-Dreieck-Vergleichs. a Funktionsverläufe, b Schaltsignale für die obere und untere Halbschwingung
u,i

U ·t

DC
ein
und liegt bei rund 1000 Watt pro Quadratmeter. Solare Strah-
lung lässt sich thermisch zur Aufheizung und in Kopplung mit
anderen Prozessen zur Stromerzeugung bzw. mit dem photo-
voltaischen Effekt, das heißt mit der Umwandlung von solarer
i real

Strahlung auf dotierten Halbleitern in Elektronen, auch direkt
u ideal
zur Stromerzeugung nutzen.

Δ T

T

Δ
t

Obwohl der photoelektrische Effekt bereits 1839 entdeckt wur-
de und ab den 1950er-Jahren an photovoltaischen Zellen ge-

Abb. 87.33 Gepulste Spannung und Strom bei der PWM mit Sinus-Dreieck-
forscht wurde, begann wegen der im Vergleich hohen Kosten

Vergleich bei einer Pulsfrequenz von 1 kHz
und geringen Wirkungsgrade die industrielle Nutzung der Pho-
tovoltaik in Deutschland erst nach der Einführung des Strom-
einspeisungsgesetzes im Jahr 1990. Zur direkten Wandlung von
die Pulsfrequenz der Spannung bestimmt. Innerhalb der Pulspe-
solarer Strahlungsenergie in elektrische Energie wird der photo-

T
riodendauern TP verlaufen die an- und absteigenden Stromver-
eil
elektrische Effekt genutzt: dotierte, das heißt gezielt mit anderen
läufe in Form von Exponentialfunktionen. Der Zusammenhang

Materialien verunreinigte Halbleiter, setzen bei der Bestrahlung
zwischen der gepulsten Spannung und der Sinusspannung wird

XI
mit Licht Ladungsträger frei. Meist wird dafür dotiertes Sili-
deutlich, wenn die gepulste Spannung gefiltert wird. Dazu könn-
zium genutzt. Solarzellen können monokristallin, polykristallin
te z. B. ein Widerstand mit einem Parallelkondensator genutzt
oder in Dünnschichttechnologie aufgebaut sein. Typische Wir-
werden. Da der Filter eine Zeitkonstante aufweist, wäre die ge-
kungsgrade sind 14 % bis 18 % für monokristalline, 13 % bis
filterte Spannung zeitlich zur Sinusspannung verschoben.

16 % für polykristalline und 10 % bis 12 % für Dünnschichtzel-

Netzwechselrichter müssen zur Synchronisation vor der Netz-
len. Daraus ergibt sich ein Platzbedarf in m pro kW p, wobei
aufschaltung immer die vier Zuschaltbedingungen gleiche
der Indizes p für Peak-(Spitzen)-Leistung steht, die wie auch

Spannungsamplitude, gleiche Frequenz, gleiche Phasenfolge
die Wirkungsgrade unter Standard-Testbedingungen bei einer
und gleiche Phasenlage erfüllen, damit stromlos zugeschaltet

Einstrahlung E von 1000 W/m2, einer Temperatur T von 25 °C
wird. Wird asynchron zugeschaltet, kann es zu hohen Aus-
und einem Sonnenspektrum AM (Air Mass – Einheit für die zu
gleichsströmen und damit verbundenen Schäden kommen.

durchdringende Schichtdicke der Atmosphäre) von 1,5 ermittelt
wird. Der prinzipielle Aufbau einer Solarzelle ist in Abb. 87.34
gezeigt. Sie besteht aus zwei unterschiedlich dotierten Silizium-

87.2.5.3

Photovoltaische Kraftwerke

Schichten. Silizium als Element der IV. Hauptgruppe wird ent-

Außerhalb der Erdatmosphäre wirkt die sogenannte extraterrest-
weder mit Elementen der III. Hauptgruppe, z. B. Bor, zu einem
rische Sonnenstrahlung E 0 mit 1367 W=m2. Die Einstrahlung p-Halbleiter oder mit Elementen der V. Hauptgruppe, z. B. Phos-

E auf der Erdoberfläche wird durch die Atmosphäre gedämpft
phor, zu einem n-Halbleiter dotiert. Werden n- und p-dotierte

87.2

Elektrische Energieerzeugung

1031

E = 1 kW/m²

MPP

2,5

25 °C

I

A

1,5 E = 0,5 kW/m²

1,0

60 °C

0,5

0 0

0,2

0,4

0,6

V

0,8

U

Abb. 87.36 Kennlinie einer Solarzelle

Abb. 87.34 Aufbau einer Solarzelle
damit I ¤

P

0:

UD

I D

UD

Z

I Ph

IS
exp

1

(87.25)

m UT

RP

IS ist dabei der Sättigungsstrom der Diode. Der Serienwider-
stand RS bildet die Kontakt- und Übergangswiderstände nach,
die so klein wie möglich sein sollen und in der Praxis mit R D

S

20 m( angesetzt werden. Bei der Berechnung des Zellstromes

Abb. 87.35 Eindiodenmodell der Solarzelle
könnte vereinfachend der Spannungsabfall über RS vernachläs-
sigt werden ( R !

S

0), hier wurde er jedoch berücksichtigt. Für
die Diodenspannung U

D

C

D gilt: UD

UZ

IZ RS, damit errechnet

Schichten kombiniert, entsteht eine Grenzschicht, die bei Be-
sich der Zellenstrom IZ zu:

strahlung Ladungsträger freisetzt, die an Elektroden abgeleitet

C

C

werden können. Solarzellen werden heute in Standardabmes-

UZ

IZ RS

IZ RS

I D

UZ

Z

I Ph. E/ IS
exp

1
sungen von 5 Zoll mit 12,7 cm x 12,7 cm oder 6 Zoll mit 15,2
m UT

RP
cm x 15,2 cm gefertigt. Das früher übliche Format von 4 Zoll

(87.26)

mit 10 cm x 10 cm wird inzwischen nicht mehr gefertigt.

Die Temperaturspannung UT der Diode wird mit 25 mV an-

Als Ersatzschaltung zur Berechnung einer Solarzelle kann das
gesetzt. Der Diodenfaktor m liegt zwischen 1 und 2. Dabei

Eindiodenmodell verwendet werden, siehe Abb. 87.35.

wird unter der Annahme einer idealen Sperrschicht der Di-

Für den Photostrom I
ode m D 1, bei Annahme von vollständiger Rekombination

Ph gilt, das er sich bei konstanter Tempera-
tur T mit dem Faktor c proportional zur Einstrahlung E verhält:

m D 2 gesetzt. Mit dem Eindiodenmodell lässt sich die Cha-
rakteristik der Solarzelle gut nachbilden. In Abb. 87.36 ist die

I

Strom-Spannungs-Kennlinie einer Solarzelle gezeigt. Charakte-

Ph

E D c E

(87.22)

ristische Werte sind dabei der Kurzschlussstrom IK im Bereich
von 2,5 bis 3 A und die Leerlaufspannung U

Der Photostrom wird durch eine gesteuerte Stromquelle nach-

L im Bereich von

0,5 bis 0,7 V. Neben der Abhängigkeit von der Einstrahlung tritt
gebildet. Die Spannung der Solarzelle UZ erhält man aus der
noch eine Temperaturabhängigkeit auf, d. h. die Leerlaufspan-

Differenz der Diodenspannung U

XI

D und dem Spannungsabfall
nung nimmt mit steigender Temperatur ab.

am Serienwiderstand RS:

Die einzelnen Zellen werden in Modulen zusammengeschaltet,

Teil

U D

Z

UD

IZ RS

(87.23)

da jede einzelne nur eine geringe Spannung von 0,5 V bis 0,7 V
liefert. Eine Photovoltaikanlage besteht aus dem aus Modulen

Der Zellenstrom IZ ist der um den Diodenstrom ID und den Par-
aufgebauten Solargenerator, dem nachgeschalteten Wechsel-
allelstrom IP verminderte Photostrom I Ph:

richter sowie einer bidirektionalen Sicherheitsschnittstelle zum

Netz (BISI), siehe Abb. 87.37. Die Module liefern abhängig

I D

Z

I Ph

ID

IP

(87.24)

Für einen großen Parallelwiderstand RP wird der Strom IP sehr
klein: I !

! 1
p

0 für Rp

. Der Parallelwiderstand entspricht
dem fertigungsbedingten Leckwiderstand an den Rändern des
p-n-Übergangs, der in der Größenordnung von 1 k( liegt. Bei

Dünnschichtzellen bzw. bei in Modulen vergossenen Zellen ist
dieser Leckwiderstand kleiner, so dass die Leckströme größer
werden. Für den Zellenstrom I

¤ 1

Z ergibt sich mit RP
und

Abb. 87.37 Prinzip einer netzgekoppelten Photovoltaikanlage

1032

87 Elektrische Energieversorgung

Abb. 87.38 Photovoltaikanlage in einer Hausinstallation
von der Einstrahlungsleistung eine elektrische Leistung. Da es

87.2.5.4

Solarthermische Kraftwerke
sich um Gleichspannung handelt, muss noch eine Anpassung

Industriell eingesetzte konzentrierende solarthermische Anla-
an den Wechselstrom im Netz erfolgen. Diese Aufgabe über-
gen nutzen nur den direkten Strahlungsanteil, bei der die
nimmt der Wechselrichter, der dafür das im Abschn. 87.2.5.2.5

Sonnenstrahlung in einem Brennpunkt konzentriert wird. Die-
beschriebene Prinzip der Pulsweitenmodulation nutzt. Mit der
se Technologie spielt in Deutschland keine Rolle, da sie erst
bidirektionalen Sicherheitsschnittstelle wird gewährleistet, dass
ab einer direkten Sonneneinstrahlung von 1700 kW h=m2 und
die Anlage bei einem Netzausfall abschaltet und nicht bei einem

Jahr sinnvoll einsetzbar ist. Bereits 1912 wurden Parabolrin-
zufällig vorhandenen Leistungsgleichgewicht von erzeugter und
nen zur Dampferzeugung für eine 45-kW-Dampfmotorpumpe
lokal verbrauchter Wirk- und Blindleistung unkontrolliert in
in Ägypten eingesetzt. Die industrielle Nutzung zur Stromer-
den Inselbetrieb übergeht. Sonst würde bei abgeschaltetem
zeugung begann 1984 in den USA, seither wurden weltweit

Netz weiter Spannung in der Hausinstallation anliegen. Bei
rund 15 Projekte realisiert. Das solare Parabolrinnenkraftwerk
der Wiederzuschaltung des Netzes könnten zudem hohe Aus-
besteht aus Reihen von Parabolrinnen, die der Sonne nach-
gleichsströme auftreten, wenn die Phasenlage der Spannung im
geführt werden, siehe Abb. 87.39 links. Ein nachgeschalte-

Inselnetz zur Netzspannung verschoben ist. Durch die Verschal-
tes Dampfkraftwerk erzeugt über den angetriebenen Generator
tung vieler Module sind nahezu unbegrenzte Anlagenleistungen

Strom. Es sind Kraftwerksleistungen im Bereich von 10 MW
realisierbar; hierbei tritt jedoch ein hoher Flächenverbrauch auf.

bis 300 MW realisierbar. Bei solaren Turmkraftwerken wird

Abhängig vom Wirkungsgrad der Zellen kann hierbei von ei-
die Sonnenstrahlung über zweiachsig nachgeführte Spiegel auf
nem Flächenverbrauch von 10 m2 pro kW p installierter Leistung
das Absorberfenster einer Turmkonstruktion fokussiert, siehe
ausgegangen werden. Photovoltaische Anlagen in Mitteleuro-

Abb. 87.39 Mitte. Hinter dem Absorber wird Luft erhitzt, die
pa weisen abhängig von der Einstrahlung und dem Material
eine nachgeschaltete Gasturbine mit Generator antreibt und
am jeweiligen Standort eine energetische Amortisationszeit von

Strom erzeugt. Realisiert wurden bisher zwei Versuchsanlagen
zwei bis drei (Dünnschicht) bzw. drei bis fünf Jahren (poly-
in Kalifornien und Südspanien sowie ein kommerziell nutzbares
kristallin) auf. Das Entwicklungspotenzial dieser Kraftwerks-

Kraftwerk in Südspanien, in den USA sind mehrere Anlagen im
technologie ist noch lange nicht ausgeschöpft, insbesondere der

Bau. Mit dieser Bauart sind Kraftwerksleistungen zwischen 10

Erhöhung der Wirkungsgrade kommt eine große Bedeutung
und 1000 MW erreichbar. Eine andere Ausführung solarthermi-
zu.

scher Kraftwerke sind die Dish-Stirling-Systeme. Sie bestehen

T

In Abb. 87.38 ist die Einbindung einer Photovoltaikanlage in die
wie in Abb. 87.39 rechts gezeigt aus einem zweiachsig nach-
eil

Hausinstallation gezeigt. Die eingespeiste und bezogene Leis-
geführtem Parabolspiegel (Dish), in dessen Brennpunkt sich
tung wird in einem Kombigerät getrennt erfasst und verrechnet.

als Wärmekraftmaschine der im Abschn. 87.2.4.4 beschriebe-

XI

Zukünftig wird der seit einiger Zeit ansteigende Eigenverbrauch
ne Stirlingmotor befindet. Der Stirlingmotor setzt die Wärme in
von elektrischer Energie aus Photovoltaikanlagen weiter zuneh-

Bewegungsenergie um und treibt einen elektrischen Generator
men, da die Kosten der Eigenerzeugung bereits unterhalb der
an. Es sind Leistungen bis zu 250 kW möglich. Diese Kraft-

Strombezugskosten liegen.

werksart ist vorrangig für netzferne Versorgungen konzipiert.

Absorber und

Absorberfenster

Reflektor

Wärmekraftmaschine

Reflektor

Reflektorspiegel

Absorber

Abb. 87.39 Solarthermische Kraftwerksprinzipien, links: Parabolrinnenkraftwerk, Mitte: Turmkraftwerk, rechts: Parabolspiegel-Kraftwerk mit Stirling-Maschine

87.2

Elektrische Energieerzeugung

1033

87.2.5.5

Biomassekraftwerke

Biomasse kann auf drei Arten zur Strom-, Wärme- und Treib-
stofferzeugung genutzt werden. Die erste Art, die thermoche-
mische Energiewandlung, erfolgt durch direkte Verbrennung
mit Hilfe eines Sauerstoffüberschusses, durch Vergasung un-
ter Sauerstoffmangel oder Verflüssigung bzw. Pyrolyse unter

Sauerstoffabschluss. Beispielsweise ist der Betrieb von Wasser-

Dampf-Kraftwerken auch mit Biomassefeuerung möglich. Gas-
turbinen und BHKWs können auch mit Biogas betrieben wer-
den. Bei der zweiten Art, den physikalisch-chemischen Ver-
fahren, wird aus ölhaltiger Biomasse ein Flüssigenergieträger
gewonnen. So kann ölhaltige Saat durch Pressung zum Bei-
spiel in einer Ölmühle und Extraktion mit Lösemitteln zu einem

Pflanzenöl umgewandelt werden. Dieses ist ein Ausgangsstoff
für Biodiesel und kann direkt in umgerüsteten Dieselmotoren
verwendet werden. Biodiesel ist ein Ester, der aus Pflanzen-
ölen hergestellt wird. Ester entsteht aus der Reaktion einer

Säure mit Alkohol unter Abspaltung von Wasser. Zur dritten

Art der Energieumwandlung zählen die biochemischen Ver-

Abb. 87.40 Prinzip einer Geothermieanlage
fahren. Sie werden sowohl zur Alkoholerzeugung aus zucker-,
stärke- und zellulosehaltiger Biomasse als auch zur Biogas-
bereitstellung eingesetzt. Um höhere Gesamtwirkungsgrade zu
eingesetzt werden. Deshalb werden nutzbare Standorte neben
erzielen, werden Biomassekraftwerke meist als Blockheizkraft-
ihrem Temperaturpotenzial vorrangig so ausgewählt, dass über
werk mit Kraft-Wärme-Kopplung betrieben. In Deutschland hat

Heiznetze eine ausreichende Anzahl von Wärmeverbrauchern
die Nutzung von Biomasse noch ein hohes Potenzial. Vor allem
angeschlossen werden kann. Es wird zwischen oberflächenna-
die Biokraftstoffe der “zweiten Generation“ werden dabei eine
her Nutzung und der in Abb. 87.40 gezeigten Tiefengeothermie
große Rolle spielen, da hierbei die Nutzungskonkurrenz zu an-
unterschieden. Die oberflächennahe Nutzung erfolgt mit Erd-
deren Verwertungsarten schwächer ausgeprägt ist. Während bei
wärmepumpen; eine direkte Wärmenutzung flüssiger Wärme-
der Erzeugung von Biokraftstoffen der ersten Generation nur die
bzw. Kältespeicher (Aquiferen) erfordert starke Temperaturan-

Frucht selbst für die Kraftstoffproduktion genutzt wird, findet
omalien.

bei Kraftstoffen der zweiten Generation fast die gesamte Pflan-

Im italienischen Larderello wurde bereits im Jahr 1904 ein Geo-
ze Verwendung. Darüber hinaus spricht man bei der Nutzung
thermiekraftwerk errichtet. Inzwischen sind dort 21 geothermi-
von Algen zur Kraftstofferzeugung von der „dritten Generation“
sche Kraftwerke mit einer elektrischen Gesamtleistung von über
von Biokraftstoffen. Beispielsweise planen große Flugzeugher-

560 MW installiert. Bei einer Bohrtiefe von vier Kilometern
steller bereits Testflüge mit Algenkraftstoff. Ein großer Vorteil
werden 350 °C Dampftemperatur erreicht. Solche hydrother-
der Stromerzeugung aus Biomasse ist, dass man damit teilwei-
malen Lagerstätten können bis zu großen Tiefen von einigen
se Schwankungen bei der Windenergieeinspeisung ausgleichen

Kilometern genutzt werden. Wenn keine natürlichen Heißwas-
kann.

serquellen vorhanden sind, kann Wasser zum Aufheizen in eine

Tiefenbohrung verpresst und wieder an die Erdoberfläche ge-

87.2.5.6

Geothermische Kraftwerke
pumpt werden. Das Wasser erhitzt sich beim Durchströmen
des heißen Tiefengesteins (hot dry rock). Mit geothermischen

Eine weitere mögliche Form der Energiegewinnung ist die

XI

Kraftwerken ist eine kontinuierliche Stromerzeugung möglich,

Nutzung der natürlichen Erdwärme (Geothermie). Vorrangig
weshalb diese Technologie wie auch die Biomassenutzung gut
speist die Erdwärme sich aus radioaktiven Zerfallsprozessen im
geeignet ist, den wetterabhängig schwankenden Windstrom aus-

Teil

Erdinneren. Der natürliche tiefenabhängige Temperaturgradient

zugleichen. Weltweit sind mehr als 470 geothermische Kraft-

T= L liegt bei 3 K pro 100 m:

werke mit einer Gesamtleistung von über 9000 MW installiert,

T
der Hauptteil davon in den USA. In Deutschland ging im Jahr

D 3 K

(87.27)

2003 das erste Kraftwerk mit einer elektrischen Leistung von

L

100 m

230 kW in Neustadt-Glewe in Mecklenburg-Vorpommern in Be-

Die einfachste Form der Nutzung ist bei natürlichen Gege-
trieb; es wurde bereits seit 1994 als Heizkraftwerk betrieben.

benheiten mit höheren Temperaturgradienten, sog. Tempera-

Dieses Kraftwerk wird mit 98 °C heißem Wasser aus einer 2250
turanomalien, in Form von Heißwasser- und Heißdampfreser-

Meter tiefen Bohrung gespeist. Im Jahr 2007 hat in Landau
voirs möglich. Diese können direkt für Heizzwecke eingesetzt
in der Pfalz ein Geothermiekraftwerk mit einer Bohrtiefe von
werden. Das vorhandene Temperaturniveau wird über einen

3400 Metern und einer elektrischen Leistung von 3,8 MW den

Wärmetauscher zur Dampferzeugung genutzt, um Dampfturbi-

Betrieb aufgenommen. Neue Anlagen wurden auch 2009 im
nen anzutreiben. Wegen der hohen Erschließungskosten muss
bayerischen Unterhaching mit 3580 Metern und 3,4 MW sowie
für den wirtschaftlichen Betrieb die Kraft-Wärme-Kopplung
in Bruchsal mit 2500 Metern und 550 kW fertiggestellt.

1034

87 Elektrische Energieversorgung

87.3

Elektrische Energieübertragung Die Wirkleistung P errechnet sich aus den Effektivwerten von

Spannung und Strom:

und Energieverteilung

P D U I cos '

(87.30)

87.3.1

Spannungssysteme

Für die Blindleistung Q erhält man analog:

Q D U I sin '

(87.31)

87.3.1.1

Gleichstromnetze

Im Gleichstromnetz sind Strom und Spannung immer phasen-

Die Scheinleistung S berechnet sich wie folgt:

gleich, es tritt nur Wirkleistung auf, siehe Abb. 87.41:

p

S D

3 U I

(87.32)

P D U I

(87.28)

Da die Leistung im einphasigen 50-Hz-Wechselstromnetz mit

Im Vergleich zur Nutzung von Wechsel- oder Drehstrom tritt

100 Hz pulsiert, kann damit kein zeitlich konstantes Drehmo-
keine Blindleistung auf, weshalb Gleichstromnetze zur Übertra-
ment an Motoren eingestellt werden. Darüber hinaus ist ein
gung von elektrischer Energie über weite Entfernungen genutzt

Einphasennetz in seiner Übertragungsleistung durch den Lei-
werden. Die Übertragungsverluste errechnen sich hierbei nur
tungsdurchmesser begrenzt. Bahnnetze werden einphasig ver-
aus den ohmschen Verlusten:

sorgt, dann ist nur ein Stromabnehmer erforderlich. Hierbei
kommt aus historischen Gründen überwiegend eine Spannung

P D

V

I 2 R

(87.29)

mit einer Frequenz von 16 2 Hz zum Einsatz, es existieren je-

3
doch auch einphasige 50-Hz-Bahnnetze.

Gleichstromnetze können als Zwei- oder Einleiternetze betrie-
ben werden. Zweiphasige Netze werden zur Hochspannungs-

Gleichstromübertragung (HGÜ) mit Spannungen von bis zu

87.3.1.3

Drehstromnetze

˙800 kV eingesetzt, siehe Abb. 87.42. Auch im schienengebun- Drehstromnetze können, wie z. B. meist auf der Mittelspan-
denen Verkehr werden Gleichspannungen genutzt, z. B. nutzen
nungsebene eingesetzt, entweder nur mit den Leitern L1, L2 und

U-Bahnen einphasige Netze mit einer Spannung von 750 V.

L3 als Dreileiternetz oder mit zusätzlichem Neutralleiter N als

Vierleiternetz betrieben werden, siehe Abb. 87.44. Verbraucher

87.3.1.2

Wechselstromnetze
können in Stern- oder Dreieckschaltung angeschlossen werden.

Zu deren Versorgung werden die Außenleiterspannungen zwi-

Bei Wechselstrom kann eine Phasenverschiebung zwischen
schen den Leitern L1, L2 und L3 genutzt, die Ströme werden

Strom und Spannung um den Phasenwinkel ' auftreten, siehe dann als Leiterströme bezeichnet. Verbraucheranschlüsse wer-

Abb. 87.43.

den üblicherweise mit U, V und W bezeichnet. Stranggrößen
treten bei Verbrauchern bei der Sternschaltung zwischen Außen-
leiter und Sternpunkt, bei der Dreieckschaltung zwischen den

Außenleitern auf. Die Außenleiterspannungen sind um den Ver-
kettungsfaktor größer als die Strangspannungen:

U
p

LL D 3

(87.33)

U LN

Teil

Abb. 87.41 Gleichstromnetz mit Zeigerbild

Bei symmetrischer Belastung aller drei Phasenleiter ist die zeit-
liche Summe der Außenleiterströme null und der Neutralleiter

XI
daher stromlos. Bei Dreieckschaltung gilt für die Verhältnisse
von Leiter- (ohne Indizes) und Stranggrößen (Index Str):

U D U Str

(87.34)

p

I D

3 I Str

(87.35)

Abb. 87.42 Hochspannungs-Gleichstromübertragung
u,i
u
i
ϕ
t
ϕ

Abb. 87.43 Verlauf von Spannung und Strom im Wechselstromnetz und Zeigerbild

87.3

Elektrische Energieübertragung und Energieverteilung

1035

87.3.2

Aufbau und Betrieb von

Energieversorgungsnetzen

87.3.2.1

Spannungsebenen

Spannungen bis 1 kV werden als Niederspannung, darüber
bis 52 kV als Mittelspannung, bis 150 kV als Hochspannung
und über 150 kV als Höchstspannung klassifiziert. Bei der

Übertragung und Verteilung elektrischer Energie werden unter-
schiedliche Spannungsebenen genutzt, siehe Abb. 87.45 links.

Zur Vermeidung hoher Transportverluste gilt bei der Wahl
der Spannungshöhe, dass die Spannung in kV immer größer
als die Entfernung in km sein muss. Mit höherer Spannung

Abb. 87.44 Drehstromnetz mit Verbrauchern in Stern- und Dreieckschaltung
lassen sich größere Leistungen bei geringen Verlusten übertra-
gen, deshalb erfolgt die Einbindung in das europäische Ver-
bundnetz und der weiträumige Stromtransport im deutschen

Bei Sternschaltung gilt:

Übertragungsnetz mit Spannungen von 380 und 220 kV. An
p
dieser Spannungsebene werden große Kraftwerke und Ver-

U D

3 U
braucher mit Leistungen oberhalb von 300 MW angeschlossen.

Str

(87.36)

Mit der 110 kV Spannungsebene werden die Verteilnetze be-

I D I Str

(87.37)

trieben, z. B. erfolgt die Einspeisung von Großstädten meist
über mehrere dieser Verteilnetzleitungen. Innerhalb der Städte

Dreiphasige Systeme weisen gegenüber einphasigen Systemen
wird die Mittelspannung im Bereich von 20 oder 10 kV ein-
einige Vorteile auf. Es werden bei gleicher Leistungsübertra-
gesetzt. Auf der 400-V-Ebene (dreiphasig) bzw. 230-V-Ebene
gung im Vergleich zu drei einphasigen Systemen drei Über-

(einphasig) werden die Privatverbraucher versorgt. Deutsch-
tragungsleitungen eingespart. In dreiphasigen Systemen ist der
land verfügt über ein über lange Zeiträume gut ausgebautes

Mittelwert der Leistung zeitlich konstant, während er in einpha-

Übertragungs- und Verteilungsnetz, das hervorragend an die
sigen Systemen zeitlich schwankt. Mit dreiphasigen Systemen

Erfordernisse der Versorgung aus großtechnischen Kraftwerks-
kann ein magnetisches Drehfeld bereitgestellt werden, wie es
strukturen angepasst ist. Dazu gehören laut Bundesnetzagen-
für alle rotierenden Drehstrommaschinen erforderlich ist.

tur im Jahr 2013 rund 35.000 km Höchstspannungsleitungen,

Die dreiphasige Wirkleistung P errechnet sich mit der Außen-

96.000 km Hochspannungs-leitungen, 510.000 km Mittelspan-
leiterspannung (Leiter-Leiter-Spannung) U:

nungsleitungen und 1.156.000 km Niederspannungsleitungen.

p

Darüber hinaus existieren zwei Hochspannungs-Gleichstrom-

P D

3 U I cos '

(87.38)

Übertragungsleitungen (HGÜ) nach Dänemark und Schweden.

Das deutsche Übertragungsnutz ist in vier Regelzonen aufge-

Für die dreiphasige Blindleistung Q erhält man analog:

teilt, siehe Abb. 87.45 rechts.

p

Q D

3 U I sin '

(87.39)

87.3.2.2

Netzformen

Als Netzformen werden Strahlennetze, Ringnetze und Ma-

Die dreiphasige Scheinleistung S berechnet sich wie folgt:

schennetze eingesetzt, siehe Abb. 87.46. Das Strahlennetz ist
p
einfach aufgebaut und daher kostengünstig. Nachteilig sind der

S D

3 U I

(87.40)

XI

Spannungsabfall zum Leitungsende hin und die geringe Versor-
gungssicherheit. Diese Netzform wird bei geringen Lastdichten

Bei der Anwendung der klassischen Leistungstheorien mit Be-
und bei kleineren Anschlussleistungen eingesetzt. Ringnetze

Teil
zug auf sinusförmige Größen wird stets von einem symmetri-
sind etwas kostenaufwändiger, bieten jedoch eine höhere Ver-
schen Drehstromsystem ausgegangen, bei dem die Summe aller
sorgungssicherheit. Im Normalbetrieb werden sie offen betrie-

Größen zu jedem Zeitpunkt Null ist. Im Bereich der Energie-
ben, die Lasten werden zur einfacheren Netzführung also immer
versorgungsnetze können jedoch Asymmetrien im Netzaufbau
einseitig über ein Strahlennetz gespeist. Im Fehlerfall kann
oder bei der Belastung zu abweichenden Verhältnissen führen.

der verbleibende fehlerfreie Netzabschnitt über die dann zu

In diesem Fall kann die Methode der symmetrischen Kompo-
schließende Trennstelle mit versorgt werden. Dazu müssen die
nenten zur Zerlegung der zeitlichen Größen in ein Mit-, Gegen-

Leitungen so dimensioniert werden, dass sie auch den Laststrom
und Nullsystem genutzt werden, um beispielsweise Fehlerbe-
des Parallelzweigs führen können. Das Maschennetz weist viele
rechnungen in Netzen durchzuführen. Für den praxisgerechten

Querverzweigungen auf. Es bietet eine hohe Versorgungssicher-

Einsatz von leistungselektronischen Betriebsmitteln kann es
heit und ermöglicht wegen seines geringen Innenwiderstands
darüber hinaus erforderlich sein, Leistungen bei nicht sinusför-
die beste Spannungshaltung. Aus Kostengründen wird es nur bei
migen Vorgängen oder bei unsymmetrischen Verhältnissen zu
hohen Lastdichten in Industrienetzen eingesetzt. Nachteilig sind
berechnen. Für diesen Fall sind die umfassender anwendbaren
die hohen Kurzschlussströme, die daraus resultierende Geräte-

Leistungsgrößen nach DIN VDE 40110 zu nutzen.

auslegung, ein aufwändiger Netzschutz sowie eine schwierige

1036

87 Elektrische Energieversorgung

50Hertz Transmission GmbH

TenneT TSO GmbH

Amprion GmbH

TransnetBW GmbH

Abb. 87.45 Aufbau der Netzebenen (links) und Regelzonen (rechts)

T

Abb. 87.46 Netzformen: Strahlennetz, Ringnetz mit Verzweigung, Maschennetz mit Mehrfacheinspeisung
eil

XI

Wiederinbetriebnahme nach einem Netzausfall. Daher werden
den gleichen Wert von 50 Hz auf. Grundlage der Frequenzrege-

Maschennetze nur im Niederspannungsbereich genutzt, wäh-
lung ist das Gleichgewicht zwischen erzeugter und verbrauchter
rend Strahlen- und Ringnetze sowohl für die Nieder- als auch
elektrischer Wirkleistung zu jedem Zeitpunkt. Übersteigt der
für die Mittelspannung eingesetzt werden. Für die Mittelspan-

Verbrauch die erzeugte Wirkleistung, werden die Kraftwerks-
nung werden bei weiter ausgedehnten Netzen wegen der bes-
generatoren gebremst und die Frequenz sinkt ab. Bei einem
seren Übersichtlichkeit und der einfacheren Betriebsführung

Überschuss an erzeugter Wirkleistung steigt die Frequenz an.

verzweigte Ringnetze anstatt Maschennetze gebaut.

Die grundlegende Bedingung für den störungsfreien und zuver-
lässigen Netzbetrieb ist das Gleichgewicht von erzeugter und
verbrauchter Wirk- und Blindleistung zu jedem Zeitpunkt und
damit der Momentanleistungen p. t/:

87.3.3

Frequenzregelung

. P C jQ/ E. t/ D . P C jQ/ V. t/

(87.41)

Im Energieversorgungsnetz werden sowohl die Frequenz als
p. t/ D

E
p. t/ V

(87.42)

auch die Amplitude der Spannung geregelt, dies wird unter dem

Begriff der Systemdienstleistungen zusammengefasst. Die Fre-

Der Zusammenhang zwischen Frequenz und Wirkleistung lässt
quenz ist eine netzglobale Größe und weist in jedem Netzzweig
sich mit (87.43) verdeutlichen. Aus der Leistung P kann das

87.3

Elektrische Energieübertragung und Energieverteilung

1037
f
f
f 0
f 1
f 1

Δ

Δ
f
f
f

2

Δ P
f 2

Δ P
f n

P 1

P 2

P n

P

P 1

P 2

P

Abb. 87.47 Frequenzkennlinien, links: Erzeugerkennlinie, rechts: Kennlinie frequenzabhängiger Verbraucher
an der Rotorwelle anliegende mechanische Moment M mit der

Die Netzleistungszahl hat die Einheit MW=Hz und errechnet

Kreisfrequenz ! wie folgt ermittelt werden:

sich nach:

P

M D P

D

! mit ! D 2 n

(87.43)

(87.48)

60
f

Mit ! D 2 f nimmt bei konstanter Generatorleistung P bei Eine Umrechnung der Leistungszahl in die dimensionslose
steigendem Lastmoment M die Frequenz f ab:

Statik st erfordert die Normierung auf die Nennleistung und

-frequenz:

! D 2 f D P

(87.44)

M

Pn

Auf Grund der Bedingung nach (87.42) müssen bei vernach-
st D 1

(87.49)

f 0
lässigten Verlusten mechanisches Turbinenmoment M mech und
elektrisches Generatormoment M el gleich groß sein:

Die Anpassung der Momente nach (87.46) erfolgt durch die

Primärregelung: der Drehzahlregler der Turbine stellt die Leis-

M

D
mech

M el

(87.45)

tung entsprechend einer Netzkennlinie (Statik-Kennlinie), deren

Steigung die Netzleistungszahl ist, die im ENTSO-E-Netz (eu-

Wegen des Zusammenhangs nach (87.44) steigt bei M

D
mech
ropean network of transmission system operators for electricity)

const die Generatordrehzahl bei abnehmender elektrischer Leis-
bei 40.000 MW=Hz liegt:

tung, sie sinkt bei erhöhter Leistungsabnahme. Steigt die Be-
lastung des Generators durch zusätzliche Verbraucher im Netz

@ P
um P el an, tritt ein um M höheres elektrisches ( M el) und

D

D 40:000 MW

(87.50)

mechanisches ( M

@ f

Hz
mech) Generatormoment auf, J ist das Massen-
trägheitsmoment:

Fällt im ENTSO-E-Netz eine Kraftwerkleistung von P

D

KW

4000 MW Leistung aus, ergibt sich eine Frequenzänderung von

M

D

C

C
mech

M el

M el

J d!

(87.46)

dt

0,1 Hz:

XI

Bei einer Leistungszunahme im Netz mit M el > 0 gilt

P

KW
f D

D

4000 MW

D
d!= dt < 0, die Generatordrehzahl und -frequenz sinken. Nimmt

0;1 Hz

(87.51)

40:000 MW=Hz

Teil
die Netzleistung ab, gilt M el < 0 und d!= dt > 0, die Genera-
tordrehzahl und -frequenz steigen. Dieser Zusammenhang tritt

Erst bei einem Ausfall von 100.000 MW würde sich eine Fre-
bei allen Kraftwerksgeneratoren auf. Die resultierende Erzeu-
quenzänderung von 2,5 Hz einstellen, bei der alle Kraftwerke
gerkennlinie zeigt einen Frequenzabfall bei Belastung zwischen
vom Netz getrennt werden müssten:

der oberen Leerlauf-Frequenzgrenze fo und der unteren Fre-
quenzgrenze fu bei Nennleistung, siehe Abb. 87.47 links Die
f D P KW D 100:000 MW D 2;5 Hz

Leistung frequenzabhängiger Verbraucher steigt mit der Fre-

40:000 MW=Hz
quenz an, siehe Abb. 87.47 rechts. Die Steigung der Kennlinien
ist die Statik st, der normierte Kehrwert die Netzleistungszahl

Durch die Primärregelung, d. h. die lokale Drehzahlregelung

. Für die in Abb. 87.47 links gezeigte Kennlinie wird die Statik an Kraftwerksgeneratoren sowie die Sekundärregelung, d. h.

mit der oberen und unteren Frequenzgrenze ermittelt:

pro Regelzone zeitlich nachgeordnete Frequenzregelung, wird

die Frequenz in engen Grenzen geregelt, siehe Abb. 87.48.

fu
st D fo

(87.47)

Bereits geringe Frequenzabweichungen würden hohe Qualitäts-
fu
verluste in Produktionsanlagen verursachen, da die Drehzahl

1038

87 Elektrische Energieversorgung

Abb. 87.48 Prinzip der Frequenzregelung
von Drehfeldmaschinen direkt von der Speisefrequenz abhängig

Leistung und Frequenz besteht:

ist. Daher werden die Kraftwerke bei einer Unterfrequenz von

47,5 Hz bzw. Überfrequenz von 51,5 Hz vom Energieversor-

P f 3 D K f 3

(87.54)

gungsnetz getrennt. Die Frequenzregelung im Netz wird auf die
einzelnen Generatoren verteilt. Ab Frequenzabweichungen von

Im Zeitraum von 5 bis 15 min wirkt die als Tertiärregelung

10 mHz reagieren die Primärregler von Kraftwerken mit Leis-
bezeichnete Minutenreserve, bei der von den Netzleitstellen
tungen ab 100 MW und regeln die Frequenzabweichung grob
schnell hochfahrbare Kraftwerke, wie z. B. Gasturbinenkraft-
aus. Die Primärregelung wirkt als Proportionalregelung, sie ar-
werke oder Kraftwerke benachbarter Regelzonen abgerufen
beitet im Zeitbereich bis maximal 30 s und kann Abweichungen
werden. Die Tertiärregelung ist keine Regelung im eigentlichen
von der Sollfrequenz nicht vollständig ausregeln. Proportional-

Sinn, es handelt sich hierbei um eine kostenoptimale Verteilung
regler weisen folgendes Stellverhalten zwischen Ausgang y und
der Regelleistung auf den Kraftwerkspark. Kleinere Frequenz-

Eingang x auf:

änderungen innerhalb eines Totbandes von ˙10 mHz werden
zur Schonung der Kraftwerksturbinen ausschließlich durch die
y. t/ D K x. t/

(87.52)

Sekundärregelung ausgeregelt.

Abhängig vom Verstärkungsfaktor K wird ohne Zeitverzug

Die zuvor beschriebenen Abläufe der Frequenzregelung werden
ein Ausgangssignal erzeugt, dass jedoch im Regelfall noch
in der Praxis nach einem bei ENTSO-E vereinbarten Organi-
vom gewünschten Frequenzwert abweicht. Verbleibende Fre-
sationsschema ausgeführt, siehe Abb. 87.49. Hierbei findet zur
quenzabweichungen werden mit einem Leistungsabgabefaktor

Sicherstellung einer koordinierten Netzregelung auch eine Zeit-
gewichtet und mit der Sekundärregelung in Form von Spit-
überwachung der Regelvorgänge statt.

zenlastkraftwerken ausgeglichen. Dafür wird ein Regler mit

Zur Vermeidung einer Frequenzabsenkung durch Überlast wur-

Integralcharakteristik genutzt, der folgendes Stellverhalten zwi-
de bei ENTSO-E im Frequenzbereich zwischen 49,2 und 48 Hz
schen Ausgang y und Eingang x aufweist:

T
ein minimal verpflichtender Unterfrequenz-Lastabwurf über
eil

Z
sechs Stufen vereinbart, siehe Abb. 87.50. Diese Vereinbarung
y. t/ D 1
x. t/ dt

(87.53)

wurde vom FNN (Forum Netztechnik/Netzbetrieb im VDE)

XI

TI
übernommen.

Die Sekundärregelung wirkt im Zeitbereich ab 30 s bis 5 min,
aufgrund des Integralverhaltens arbeitet dieser Regler langsa-
mer, es verbleibt nach Abschluss des Regelvorgangs jedoch

87.3.4

Spannungsregelung
keine Frequenzabweichung mehr. Zu beachten ist, dass pro

Netzregelzone jeweils nur ein Sekundärregler eingesetzt wer-
den darf, da parallel geschaltete Integralregler zum Schwingen

Im Gegensatz zur Frequenz ist die Netzspannung eine lokale
neigen, wodurch die Netzregelung gefährdet wäre. Zur Sekun-

Größe mit ortsabhängig unterschiedlichen Amplituden. Daher
därregelung werden bei Teillast betriebene Kraftwerke sowie
wird sie lokal über den Stromfluss geregelt. Je nach Phasenlage

Pumpspeicherkraftwerke eingesetzt. Dabei erfolgt eine kosten-
des Stroms zur Netzspannung entsteht an der Netzimpedanz ein
optimale Kraftwerksauswahl. Zusätzlich wirkt der Selbstrege-

Spannungsfall mit gleicher oder entgegengesetzter Orientierung
lungseffekt. Da Verbrauch und Erzeugung im Netz immer gleich
des Spannungszeigers. Zu beachten ist, dass neben der nach-
groß sein müssen, passt sich der Verbrauch der möglichen Er-
folgend zuerst beschriebenen statischen Spannungshaltung im
zeugungsleistung an, wenn die Generatorleistung nicht mehr

Normalbetrieb auch eine dynamische Spannungsregelung bei
erhöht werden kann. Dies trifft z. B. auf Lüfter und Pumpen-

Netzfehlern erforderlich sein kann, die im Abschn. 87.3.4.5 er-
antriebe zu, bei denen eine kubische Abhängigkeit zwischen
läutert wird.

87.3

Elektrische Energieübertragung und Energieverteilung

1039

Abb. 87.49 Regelungsschema der Frequenzregelung ENTSO-E

P V,ab

Trennung der

Lasten vom Netz

50%

45%

40%

35%

30%

Nicht

25%
notwendiger

Lastabwurf-

20%
bereich

Minimaler,

15%
verpflichtender

10%

Anteil der
abgeworfenen

5%

Verbraucherleistung

0%

50,0

49,5

49,2 49,0 48,8 48,6 48,4 48,2 48,0

Hz

47,5
f

Abb. 87.50 Minimal verpflichtender Unterfrequenz-Lastabwurf in sechs Stufen nach FNN und ENTSO-E

Zusätzlich muss der transiente Spannungsfall an der Netzin-
duktivität LN berücksichtigt werden. Hierfür muss der Einfluss
der Einspeisung von Wirk- und Blindstrom betrachtet werden.

Da der Wirkstrom iP in Phase zur sinusförmigen Netzspannung

XI
liegt, wird hierfür die Sinusfunktion verwendet:

i D I sin

Teil

P

P

.! t C ' U; N/

(87.56)

Abb. 87.51 Prinzip der Spannungsregelung, links: Ersatzschaltbild, Mitte:

Zeigerdiagramm bei Wirkstromeinspeisung, rechts: Zeigerdiagramm bei Blind-

Der transiente Spannungsfall über die Netzinduktivität LN er-
stromeinspeisung
rechnet sich durch die Ableitung der Sinus-Stromfunktion:

diP

87.3.4.1

Allgemeiner Fall
u D

D

P

LN

LN IP ! cos.! t C ' U; N/
dt

Grundlage der Betrachtung ist das Ersatzschaltbild der Netz-

D U

P
cos.! t C ' U; N/

(87.57)

einspeisung in Abb. 87.51 links. Dieses enthält die Netzspan-
nungsquelle sowie die Ersatzgrößen der Leitung R und L. Ist

Als Ergebnis erhält man eine cosinusförmige Spannung, die um
der ohmsche Widerstand R

90° zur Netzspannung verschoben ist, siehe Abb. 87.51 Mitte.

N des Netzes nicht vernachlässigbar,
entsteht bei der Einspeisung von Wirkstrom ein stationärer ohm-

Somit kann durch eine Wirkstromeinspeisung an der Netzin-
scher Spannungsfall u
duktivität kein gutes Stellergebnis für die Spannung erreicht

R:

werden. Nun soll die Blindstromeinspeisung betrachtet wer-
u D

R
i R

(87.55)

den. Da der Blindstrom iQ zeitlich um 90° zur sinusförmigen

1040

87 Elektrische Energieversorgung

Tab. 87.6 Zulässige Spannungsänderungen durch Schalthandlungen

Spannungsebene

Zulässige Spannungsänderung
durch Schalthandlungen

Niederspannung

3 %

Mittelspannung

2 %

Hoch- und Höchstspannung,

0,5 %
einzelne Erzeugungseinheiten

Hoch- und Höchstspannung,

2 %

Abb. 87.52 Prinzip eines Transformators mit direkter Spannungsstellung, St –
gesamte Anlage

Stammwicklung, F – Feinstufenwicklung

Hoch- und Höchstspannung,

5 %
gestörter Betrieb

Abb. 87.52. Die Stufenstellung des Schalters erfolgt immer auf
der Oberspannungsseite, da er dort einer geringeren Strom-

Netzspannung verschoben ist, wird hierfür die Cosinusfunktion
belastung unterliegt. Es werden maximal ˙13 Wicklungsanzap-
verwendet:

fungen ausgeführt, die für einen maximalen Stellbereich von

˙22 % ausgelegt werden. Bei der indirekten Spannungsstel-
i D

Q

IQ cos.! t C ' U; N/

(87.58)

lung wird neben der Amplitude auch die Phasenlage eingestellt.

Dazu werden Teilspannungen aus unterschiedlichen Wicklun-

Der transiente Spannungsfall über die Netzinduktivität LN er-
gen addiert, die Gesamtspannung ergibt sich somit indirekt
rechnet sich durch die Ableitung der Kosinus-Stromfunktion:

durch die Überlagerung von Amplitude und Phasenlage der

Einzelspannungen. In Abb. 87.53 ist das Prinzip der indirek-

diQ
u D

D

Q

LN

LN IQ ! sin.! t C ' U; N/
ten Spannungsstellung gezeigt. Der Transformator weist neben
dt
dem Hauptteil aus Primär- und Sekundärwicklung noch einen

D U

Q
sin.! t C ' U; N/

(87.59)

Zusatztransformator auf, der aus der Reihenwicklung RW und
der Erregerwicklung EW besteht. Der lastabhängige Stromfluss

Als Ergebnis erhält man eine sinusförmige Spannung, die in
durch die Reihenwicklung erzeugt eine Spannung in der Erre-

Phase zur Netzspannung liegt, siehe Abb. 87.51 rechts. Somit
gerwicklung, mit der die Zusatzwicklung ZW gespeist wird. Die
kann durch eine Blindstromeinspeisung an der Netzinduktivität

Zusatzwicklung speist einen zusätzlichen Spannungsanteil in
ein linear wirkendes Stellergebnis für die Spannung erzielt wer-
der Sekundärwicklung. Mit dem Umschalter S kann die Strom-
den.

flussrichtung über die Reihenwicklung RW festgelegt werden,
um sowohl den Spannungsabfall bei steigender Belastung als

87.3.4.2

Allgemeine Beschreibung der
auch den Spannungsanstieg bei zunehmender Einspeisung kom-

Spannungsregelung auf den Netzebenen
pensieren zu können. Die Ausgangsspannung U ergibt sich aus

A
der Überlagerung der komplexen Größen U und U
aus der

Wendet man den zuvor beschriebenen allgemeinen Fall auf die

S

ZW

Sekundär- und der Zusatzwicklung:

Spannungsebenen an, kommt man zu folgendem Ergebnis:

1. Ist der ohmsche Widerstand nicht vernachlässigbar klein, be-

U D U C U

(87.60)

A

S

ZW
einflusst der Wirkstrom die Spannungsamplitude.

2. Betrachtet man nur die Netzinduktivität, liefert die Regelung

87.3.4.4

Spannungsstellung auf

T
des Blindstromes eine gute Stellmöglichkeit für die Span-

Niederspannungsebene mit regelbaren
eil
nungsamplitude.

Ortsnetztransformatoren

XI

Für die Niederspannungsebene wirken beide Effekte, weshalb

Auf der Niederspannungsebene werden die Leitungsquerschnit-
die Spannungsamplitude hier sowohl durch den Wirkstrom
te so dimensioniert, dass im Belastungsfall durch den Stromfluss
als auch durch den Blindstrom beeinflusst wird. Hingegen ist
der ohmsche Widerstand des Netzes auf der Mittel-, Hoch-
und Höchstspannungsebene vernachlässigbar. Deshalb wird die

Spannung auf diesen Netzebenen nur über den Blindstrom ge-
regelt.

87.3.4.3

Direkte und indirekte Spannungsstellung

Auf allen Spannungsebenen müssen die zulässigen Spannungs-
toleranzen von jeweils ˙10 % der jeweiligen Nennspannung
eingehalten werden. Dies schließt auch die schaltbedingten

Spannungsänderungen ein, die nach Tab. 87.6 nur geringe Pro-
zentwerte annehmen dürfen. Zur Stellung der Spannung kann
deren Amplitude direkt über Spannungsabgriffe an der Fein-

Abb. 87.53 Prinzip eines Transformators mit indirekter Spannungsstellung,
stufenwicklung (F) des Transformators verändert werden, siehe

ZW – Zusatzwicklung, EW – Erregerwicklung, RW – Reihenwicklung

87.3

Elektrische Energieübertragung und Energieverteilung

1041

Tab. 87.7 Maximal zulässiger Spannungsfall im Hauptstromversorgungssys-
ren Ortsnetztransformatoren zu unterscheiden. Die Erfassung
tem auf der Niederspannungsebene nach den Technischen Anschlussbedingun-
der Spannungswerte auf der Unterspannungsseite kann ent-
gen (TAB)

weder nur über einen einzelnen Sensor direkt am Ausgang

Leistungsbedarf

Zulässiger Spannungsfall
der Sekundärwicklung oder zusätzlich mit Sensoren am En-

Bis 100 kVA

0,50 %
de von Leitungszügen realisiert werden. Die Installation und

Über 100 bis 250 kVA

1,00 %

Einbindung zusätzlicher, entfernter Sensoren für eine genauere

Über 250 bis 400 kVA

1,25 %

Spannungsregelung verursacht zwar einen erheblichen Mehr-

Über 400 kVA

1,50 %
aufwand, ist jedoch bei Strahlennetzen in ländlichen Regionen
oft die einzige Möglichkeit zur Vermeidung des Netzausbaus.

87.3.4.5

Dynamische Spannungsregelung

Während die zuvor beschriebenen Maßnahmen zur quasi-
stationären (statischen) Spannungsregelung dienen, kann auch
eine zeitlich schnellere Reaktion auf Spannungsänderungen er-
forderlich sein. Dies gilt auch für den Normalbetrieb, wenn
schnelle Spannungsschwankungen unzulässige Effekte auslö-
sen. Dazu gehören z. B. Flicker, die sich als wahrnehmbare

Abb. 87.54 Prinzip des regelbaren Ortsnetztransformators

Leuchtdichteschwankungen aufgrund von Spannungsschwan-
kungen einstellen, da sich die Leuchtdichte LV von Glühlampen
proportional zum Quadrat der Spannung verhält:

über der Netzimpedanz ein maximal zulässiger Spannungsfall
von u nicht überschritten wird. Die Höhe des Spannungs-

L

V

U 2 D k U 2

(87.61)

falls wird in den Technischen Anschlussbedingungen (TAB)

festgelegt, siehe Tab. 87.7. Bei räumlich ausgedehnten Strahlen-

Andere Beleuchtungseinrichtungen wie Energiespar- oder LED-
netzen kann die Spannung am Leitungsende bei hoher elektri-

Lampen, verhalten sich grundsätzlich anders als Glühlampen,
scher Last unzulässig absinken oder bei der Energieeinspeisung,
wodurch dieser Effekt zukünftig rückläufig sein wird. Jedoch
z. B. aus Photovoltaikanlagen, und gleichzeitig geringem Ver-
ist auch das Drehmoment von Drehfeldmaschinen wie z. B.

brauch, unzulässig ansteigen. Mit der ansteigenden Verbreitung

Asynchronmaschinen, abhängig von der Netzspannung, siehe
dezentraler Einspeisungen sind tageszeitabhängig gegenläufige

Abb. 87.56:

Spannungsstellungen erforderlich. Diese werden durch regelba-

M

U

2
re Ortsnetztransformatoren realisiert, siehe Abb. 87.54. Hierbei

D

(87.62)

wird die Oberspannungsseite des Ortsnetztransformators abhän-

M neu

U neu
gig von der Spannungsdifferenz zwischen Unterspannungsaus-

Spannungsschwankungen verursachen hierbei starke Drehmo-
gang und einem Messpunkt am Ende der Niederspannungs-
mentschwankungen, was sich negativ auf Fertigungsprozesse
leitung automatisch gestellt. Dafür wird ein motorbetriebener
auswirkt.

Stellschalter genutzt, der vorhandene Wicklungsanzapfungen an
der Mittelspannungswicklung kontaktiert. In der Praxis wird bei

Ein Beispiel für dynamische Störeffekte liefert der sich im
hoher Netzbelastung die Ausgangsspannung des Transforma-

Fehlerfall einstellende Spannungstrichter, siehe Abb. 87.57. In
tors erhöht, damit die Spannung am Leitungsende ausreichend

Abb. 87.57 links ist der ungestörte Spannungsverlauf eines ver-
groß ist. Bei hohen Einspeiseleistungen am Leitungsende und
maschten Netzes im Normalbetrieb gezeigt, Abb. 87.57 rechts
der damit verbundenen Spannungsanhebung wird die Ausgangs-
zeigt den Spannungseinbruch bei Kurzschluss. Von oben gese-

XI
spannung des Transformators verringert, siehe Abb. 87.55.

hen verläuft dieser trichterförmig zum Kurzschlussort. Um die

Es ist der Einzel- und Mehrfachsensor-Betrieb von regelba-
räumliche Ausdehnung des Spannungstrichters und damit die

Teil

U

U

Belastungsfall

Einspeisefall

+10%

+10%

U n

U n

-10%

-10%
x
x

Abb. 87.55 Spannungsregelung mit regelbarem Ortsnetztransformator. Links: bei Belastung und rechts: bei Einspeisung, die gestrichelten Linien zeigen den

Spannungsverlauf nach dem Stellvorgang an

1042

87 Elektrische Energieversorgung
n

VDN (Verband der Netzbetreiber e.V. beim VDEW) wird

U
quasistationäres Verhalten bei einem Frequenzgradienten von

0,5 %/min bzw. einem Spannungsgradienten von 5 %=min
definiert. Als Erzeugungseinheiten gelten sowohl konventionel-
le Verbrennungskraftwerke als auch EEG-Erzeugungseinheiten
wie Windenergie- und Photovoltaikanlagen, die nach dem

Erneuerbare-Energien-Gesetz (EEG) vergütet werden. Alle Er-
zeugungseinheiten müssen folgende Hauptanforderungen erfül-

M
len:

Beteiligung an der Frequenzregelung nach Statiken (quasi-

Abb. 87.56 Spannungsabhängige Drehzahl-Drehmoment-Kennlinie einer
stationär)

Asynchronmaschine

Wirkleistungsabgabe im dynamischen Kurzzeitbereich (dy-
namisch)

Statische Spannungsregelung

Anzahl möglicher Verbraucherausfälle zu vermindern, kann im

Durchfahren von Spannungseinbrüchen bei Netzfehlern und

Bereich der Flanken des Trichters Blindstrom in das Netz ein-

Einspeisung von Blindstrom zur Spannungsstützung (dyna-
gespeist werden, um einen Spannungsbeitrag gemäß (87.59) zu
misch).

erhalten. Dies ist nur so lange erforderlich, bis die Schutztech-
nik den Fehler abgeschaltet hat, was einstellungsgemäß nach

150 Millisekunden der Fall ist. Die dynamische Einspeisung von

87.3.4.6.1

Frequenzhaltung durch Wirkleistungsstellung

Blindstrom im Fehlerfall kann nicht von der statischen Span-

Zur Regelung der Frequenz muss wie im Abschn. 87.3.3 be-
nungsregelung erfüllt werden; sie wird nach definierten Einstell-
schrieben die Wirkleistung verändert werden. Bei Überfrequenz
werten von dezentralen Erzeugungseinheiten wie Windenergie-
muss im Hoch- und Höchstspannungsnetz die Leistung mit
und Photovoltaikanlagen mit leistungselektronischer Netzkopp-

1 % der Nennleistung pro Minute reduziert werden. Kraftwerke
lung erbracht, siehe Abschn. 87.3.4.3.

mit Leistungen ab 100 MW müssen sich an der Primärreg-
lung beteiligen, EEG-Erzeugungseinheiten können davon be-

87.3.4.6

Systemdienstleistungen von
freit werden. Sinkt die Frequenz ab, wird zu wenig Wirkleistung

Erzeugungseinheiten
in das Netz eingespeist. Diese kann bei Verbrennungskraft-
werken durch die Turbinenregelung erhöht werden, wodurch

Zur Sicherstellung der Netzstabilität werden beim Netzan-
der Brennstoffverbrauch ansteigt. Bei erneuerbaren Kraftwer-
schluss von Erzeugungseinheiten Anforderungen an deren Re-
ken ohne Brennstoffzufuhr steht diese Möglichkeit nicht zur
gelfähigkeiten und ihren Beitrag zu den Systemdienstleistun-

Verfügung, aber auch diese Kraftwerke müssen sich an den
gen, d. h. zur Frequenz- und Spannungshaltung, gestellt. Hierbei

Systemdienstleistungen beteiligen. In Abb. 87.58 sind die Min-
wird zeitlich zwischen quasistationären und dynamischen An-
destanforderungen für die quasistationäre Wirkleistungsabgabe
forderungen unterschieden. Im TransmissionCode 2007 des
auf der Hoch- und Höchstspannungsebene abhängig von der

Teil

XI

Abb. 87.57 Spannungstrichter im Fehlerfall

87.3

Elektrische Energieübertragung und Energieverteilung

1043

Mindestanforderungen an

Normal-
vorgeschriebene
bei einer Frequenz im Bereich von 48,5 bis 51,5 Hz wieder mit
die Wirkleistungsabgabe
betrieb

Statikkennlinien

P/ P
dem Netz synchronisieren können.

n
bei Unterfrequenz
bei Überfrequenz

100%

Sinkt die Netzfrequenz durch einen kurzzeitigen Leistungsman-
gel auf bis zu 49 Hz ab, müssen Erzeugungseinheiten das Netz

95%
stützen, indem sie weiter ihre Wirkleistung einspeisen, siehe

Netz

Netz
g

Abb. 87.60. Hier ist eine Reaktion auf einen Frequenzgradien-

90%
ten von > 0,5 %/min gefordert, weshalb die Anforderung dem

85%
zulässi
dynamischen Kurzzeitbereich zugeordnet wird. Der Schnitt-
punkt mit der Hüllkurve in Abb. 87.60 markiert, wie lange

80%
rennung vom
rennung vom

T

T
die vom ÜNB vorgegebene Leistung konstant gehalten wer-

4%

5% 8%

75%
den muss. Im Beispiel sinkt die Frequenz auf 49,6 Hz ab, dann

47,5

48 48,5

49 49,5

50

50,5

51 51,5 Hz
f
muss die vorgegebene Wirkleistung nach ca. 3 s wieder erreicht

49,8 50,2
sein und ab dann bis ca. 51 s konstant gehalten werden. Ist
der Leistungsmangel dann nicht behoben, findet an der Erzeu-

Abb. 87.58 Mindestanforderungen für die quasistationäre Wirkleistungsabga-
gungsanlage eine Wirkleistungsabgabe gemäß Abb. 87.58 statt;
be abhängig von der Netzfrequenz nach VDN TransmissionCode 2007
parallel wird die Frequenz-Wirkleistungsregelung im Energie-
versorgungsnetz fortgesetzt.

Netzfrequenz nach VDN TransmissionCode 2007 gezeigt. Bei

87.3.4.6.2

Spannungshaltung durch Blindleistungsstellung
abnehmender Frequenz darf die Wirkleistungsabgabe im Be-
reich ab 49,5 bis 47,5 Hz nur linear auf maximal 80 % abgesenkt

Im Abschn. 87.3.4 wurde bereits die Funktionsweise der Span-
werden. Bei einer Überfrequenz ab 50,2 bis 51,5 Hz muss die
nungsregelung mit einer Blindleistungseinspeisung und im Ab-

Leistung mit einer Statik von 4 bis 8 % und einem Leistungs-
schn. 87.3.4.5 wurde das Problem des Spannungstrichters im
gradienten von 0,5 P

Fehlerfall beschrieben. Nun sollen die Anforderungen zur Be-
n =Hz bis 0,25 Pn/Hz reduziert werden.

EEG-Erzeugungseinheiten müssen bei einer Frequenz von mehr
reitstellung von Blindleistung betrachtet werden. In Abb. 87.61
als 50,2 Hz die momentane Wirkleistung mit einem Gradienten
sind zwei von insgesamt drei Varianten für die Blindleis-
von 40 % der momentan verfügbaren Leistung des Generators
tungsbereitstellung aus Erzeugungsanlagen auf der Hoch- und
je Hertz absenken. Auf der Mittelspannungsebene gilt dies nach

Höchstspannungsebene nach VDN TransmissionCode 2007 ge-
der BDEW-Mittelspannungsrichtlinie für alle Erzeugungsein-
zeigt. Die Übertragungsnetzbetreiber können aufgrund unter-
heiten. Unterhalb von 47,5 Hz und oberhalb von 51,5 Hz ist die
schiedlicher Netzanforderungen eine dieser Varianten vorgeben,

Trennung vom Netz zulässig.

deren Blindleistungswerte im gesamten Nennleistungsbereich
bereitgestellt werden müssen. Dabei muss der Generator der

Die Abb. 87.59 zeigt die Mindestanforderungen für die Wirk-

Erzeugungsanlage weiterhin in jedem möglichen Arbeitspunkt
leistungsabgabe im zulässigen Spannungsbereich auf der Hoch-
gemäß seinem Leistungsdiagramm laut Herstellerangaben be-
und Höchstspannungsebene abhängig von der Netzfrequenz
trieben werden können. Die in Abb. 87.61a gezeigte Variante
nach VDN TransmissionCode 2007. Der Bereich der dauernd

1 weist den größten induktiven Blindleistungsstellbereich auf,
zu realisierenden Wirkleistungsabgabe liegt im Frequenzband
die in Abb. 87.61b gezeigte Variante 3 den größten kapazitiven
von 49 bis 50,5 Hz und im Spannungsbereich von 85 bis 112 %

Stellbereich. Der Stellbereich der hier nicht gezeigten Variante 2
der Nennspannung. Nach einer Netztrennung müssen die Kraft-
ist eine Schnittmenge der Varianten 1 und 3. Auf der Mittelspan-
werke im Inselbetrieb ihren Eigenbedarf decken und sich später
nungsebene muss nach der BDEW-Mittelspannungsrichtlinie

XI

U bN

440 253 127

Teil

420 245 123
kV

Netz
t &
t &
t &
dauernd
t & 30 min

10 min 20 min 30 min

380 220 110
zulässig
rennung vom

360 210 100
rennung vom Netz

T

T
t & 2 h

350 193

96

325 185

93

Trennung vom Netz zulässig

47,5 48,0 48,5 49,0 49,5 50,0 50,5

Hz

51,5
f

Abb. 87.59 Mindestanforderungen für die Wirkleistungsabgabe im zulässigen Spannungsbereich abhängig von der Netzfrequenz nach VDN TransmissionCode

2007

1044

87 Elektrische Energieversorgung
f
pedanz ist abhängig von der Entfernung zum Fehlerort und

50,0
wird hauptsächlich durch die vorhandenen Transformatoren be-
stimmt. Somit bricht die Spannung bei einem Kurzschluss auf

Hz

Beispiel
sehr geringe Werte ein, wenn die Entfernung zum Fehlerort

49,5
klein ist oder sich kein Transformator zwischen Kurzschlussort
und Netzanschlusspunkt von Erzeugungsanlagen befindet. Ist

49,0

Lastabwurf
im Umkehrschluss ein Transformator zwischen Kurzschlussort
und Netzanschlusspunkt vorhanden bzw. ist der Kurzschluss-

0

10

20

30

40

50

60
s 70
t
ort weit entfernt, fällt der Spannungseinbruch geringer aus.

Sowohl im TransmissionCode 2007 für das Hoch- und Höchst-

Abb. 87.60 Mindestanforderungen für die Wirkleistungsabgabe im dynami-
spannungsnetz als auch in der BDEW-Mittelspannungsrichtlinie
schen Kurzzeitbereich auf der Hoch- und Höchstspannungsebene nach VDN
werden dabei unterschiedliche Anforderungen an Erzeugungs-

TransmissionCode 2007
anlagen vom Typ 1 mit direkt gekoppeltem Synchrongenerator
und vom Typ 2 mit Netzkopplung über Frequenzumrichter
der Leistungsfaktor im Bereich 0,95 induktiv und 0,95 kapazitiv
gestellt. Anlagen vom Typ 1 müssen auch auf der Mittel-
einstellbar sein, alternativ kann eine leistungsabhängige Kenn-
spannungsebene kurzzeitige Spannungseinbrüche bis auf null
linie für den Leistungsfaktor vorgegeben werden.

durchfahren können, siehe Abb. 87.62. Die Zeitspanne von 150
ms ergibt sich aus der typischen Fehlerklärungszeit, in der ein

Treten Kurzschlüsse im Netz auf, bricht die Spannung abhängig

Kurzschluss abgeschaltet wird und die Spannung wieder zur
vom Kurzschlussstrom Ik und der Kurzschlussimpedanz Zk auf

Verfügung steht.

die Kurzschlussspannung Uk ein:

An den Typ 2 werden im Bereich I identische Anforderungen

U D I Z D I . R C j! L
wie an den Typ 1 gestellt, es ist keine Trennung vom Netz zu-
k
k
k
k
k
k/

(87.63)

lässig, siehe Abb. 87.63a. Spannungseinbrüche im Bereich II

Bei Mehrfachspeisung ergibt sich der Kurzschlussstrom aus den
müssen ebenfalls durchfahren werden, in Absprache mit dem

Teilströmen der Einspeisungen. Die Größe der Kurzschlussim-

Netzbetreiber darf die Anlage sich kurzzeitig vom Netz trennen,
a

U bN

440 253 127

420 245 123

400 233 117
kV

380 220 110

350 193

96

0,90

0,925 0,95

0,975

1,0

0,975

0,95

0,925 0,90
cos ϕ

Teil
kapazitiv (untererregt)

induktiv (übererregt)

XI
b

U bN

440 253 127

420 245 123

400 233 117
kV

380 220 110

350 193

96

0,90

0,925 0,95

0,975

1,0

0,975

0,95

0,925 0,90
cos ϕ
kapazitiv (untererregt)

induktiv (übererregt)

Abb. 87.61 Mindestanforderungen für die Blindleistungsbereitstellung auf der Hoch- und Höchstspannungsebene nach VDN TransmissionCode 2007. a Variante

1 mit größter induktiver und b Variante 3 mit größter kapazitiver Blindleistung

87.3

Elektrische Energieübertragung und Energieverteilung

1045

U U

/ nN Störungseintritt

Δ I B I Ι n

100%

Totband

Bereich Ι
unterer Wert des

70%

Spannungsbandes

-50%

-10%

10% 20%

Δ U/ U nN

30%

Steigung gemäß
k-Faktor

0%

0 150

700

1500
ms

3000
t

-100%

Abb. 87.62 Grenzlinie für einen Spannungseinbruch im Mittelspannungsnetz
an einer Erzeugungsanlage vom Typ 1 mit direkt gekoppeltem Synchrongenera-

Abb. 87.64 Prinzip der Spannungsstützung bei Netzfehlern bei Erzeugungsan-
tor nach BDEW-Mittelspannungsrichtlinie 2008
lagen mit regenerativen Energiequellen nach VDN TransmissionCode 2007
a

U/ U

Störungseintritt
nN

< 20 ms Blindstrom einspeisen, die Steigung der dabei ver-

Grenzlinie 1

100%
wendeten Kennlinie wird abhängig vom Blindstrom IB, dem

Nennstrom I

Bereich Ι
unterer Wert des
n, der Spannungsdifferenz U sowie der Nenn-

70%

Spannungsbandes
spannung Un mit einem k-Faktor beschrieben, siehe Abb. 87.64:

ΙΙ

Grenzlinie 2

ΙΙΙ

Ib= In

30%
k D

2;0 p.u.

(87.64)

U= Un

0%

Nach der Rückkehr in das Spannungstotband von ˙10 % muss

0 150

700

1500
ms

3000
t
die Spannungsstützung über weitere 500 ms aufrecht erhalten
b
werden, danach muss die Blindleistungsabgabe nach wenigen

U/ U

Störungseintritt
nN

Minuten dem vom Netzbetreiber vorgegebenen Sollwert ent-

Grenzlinie 1
sprechen.

100%

Bereich Ι
unterer Wert des

70%

Spannungsbandes

ΙΙ

87.3.5

Herausforderungen bei einer

45%

ΙΙΙ

Grenzlinie 2

Energieversorgung mit fluktuierender

Erzeugung

0%

0 150

700

1500
ms

3000
t

Mit zunehmend dezentraler Energiewandlung aus fluktuieren-
der Wind- und Solarenergie entstehen neue Anforderungen für

Abb. 87.63 Grenzlinien für einen Spannungseinbruch an einer Erzeugungs-
anlage vom Typ 2 mit Netzkopplung über Frequenzumrichter a im Mittel-
innovative Lösungsansätze. Dabei soll stets eine hohe Versor-
spannungsnetz nach BDEW-Mittelspannungsrichtlinie 2008, b im Hoch- und
gungssicherheit zu bezahlbaren Preisen gewährleistet bleiben.

Höchstspannungsnetz nach TransmissionCode 2007

Mit diesem Ziel sind neuartige Strukturen für das gesamte Ener-
gieversorgungssystem zu entwickeln. Hierbei ist zu beachten,
dass der Einsatz innovativer Einzeltechnologien oft nur sehr

XI
wenn sie sich nach 2 s wieder zuschaltet. Im Bereich III ist eine
begrenzt wirkt, während systemtechnische Ansätze eine ho-
kurzzeitige Trennung der Anlage vom Netz zulässig.

he Wirksamkeit aufweisen. Mit 181,2 GW Kraftwerksleistung
im Jahr 2014 liegt der deutsche Kraftwerkspark weit ober-

Teil

Ähnliche Anforderungen gelten auch wie in Abb. 87.63b ge-
halb der Jahreshöchstlast von 81 GW, siehe Abschn. 87.2.2.

zeigt für die Hoch- und Höchstspannung, allerdings müssen

Im Jahr 2014 sind bereits 35 GW Windenergie- und 38 GW
hier im Bereich I nur kurzzeitige Spannungseinbrüche bis auf

Photovoltaikleistung installiert. Für den Endausbau allein der

45 % der Nennspannung durchfahren werden. Der Grund dafür

Windenergie On- und Offshore werden in Deutschland bis zu
liegt in der zuvor beschriebenen höheren Kurzschlussimpe-

160 GW erwartet. Beim Umbau der Energieversorgung zu einer
danz aufgrund eines Transformators zwischen physikalischem

CO

Anschlusspunkt einer Erzeugungsanlage und der Hoch- bzw.

2-armen Erzeugung müssen Wind- und Sonnenkraft intensiv
genutzt werden. Die dabei gelieferten wetterabhängigen und da-

Höchstspannungsebene.

mit fluktuierenden Energiebeiträge schwanken stark. Aufgrund

Erzeugungsanlagen mit regenerativen Energiequellen müssen
der hohen installierten Leistungen liegen die größten Probleme
darüber hinaus während des Spannungseinbruchs zur Span-
bei der Integration der Windenergie, da hierbei starke jahres-
nungsstützung Blindleistung ins Netz speisen, um die räumliche
und tageszeitliche Schwankungen auftreten, siehe Abb. 87.65.

Ausdehnung eines Spannungstrichters nach Abschn. 87.3.4.5 zu

Solche Schwankungen erschweren die Prognostizierbarkeit und
begrenzen. Dazu müssen sie innerhalb einer Anregelzeit von

Planbarkeit der Energiebeiträge und begründen eine Vielzahl

1046

87 Elektrische Energieversorgung

18

16

14
in m/s v 12

Nennbereich

10

8

6

4

Einschaltbereich

Windgeschwindigkeit

2

0

Jan.

Feb. März

Apr.

Mai

Juni

Juli

Aug. Sep. Okt.

Nov.

Dez.

Abb. 87.65 Verlauf der Windgeschwindigkeit über ein Jahr
von Fragestellungen zu Versorgungssicherheit, Ersatzkraftwer-

3. Flaute: Es steht keine Erzeugungsleistung zur Verfügung,
ken, Energiespeichern und Netzausbau.

die benötigte Verbraucherleistung muss durch andere Kraft-
werke oder Energiespeicher bereitgestellt werden.

Die Problemstellungen durch fluktuierende Energiebereitstel-

4. Gradient: Zeitlich steile Anstiege oder Abfälle der Wind-
lung lassen sich anhand der in Abb. 87.66 dargestellten Zusam-
leistung müssen durch die Regelung anderer Kraftwerke
menhänge von links beginnend systematisch klassifizieren:

oder Energiespeicher kompensiert werden.

1. Erzeugung > Last: Zur Sicherstellung der Frequenzstabi- Zur technischen Beherrschung der vier Problemstellungen wer-
lität muss die nicht benötigte Erzeugungsleistung entweder
den aktuell vier Technologie- und Maßnahmenansätze verfolgt,
durch zusätzliche Verbraucher umgesetzt, in Energiespei-
die nachfolgend detaillierter behandelt werden:

chern gespeichert oder abgeschaltet werden.

2. Prognoseabweichung: Zur Absicherung der Differenz zwi-

1. Netzertüchtigung und Netzausbau
schen prognostizierter und eingespeister Erzeugungsleistung

2. Flexible Erzeugung
müssen andere Kraftwerke oder Energiespeicher herangezo-

3. Flexibler Verbrauch durch steuerbare Lasten
gen bzw. Verbraucher abgeschaltet werden.

4. Energiespeicherung

T

Regelzonenlast
eil

Leistung

XI

Erzeugung > Last

Gradient

Prognose-
abweichung

Flaute

Einspeisung Wind

Prognose Wind (gestrichelt)

Zeit

Abb. 87.66 Zeitlicher Verlauf von Regelzonenlast, Windprognose und Windeinspeisung

87.3

Elektrische Energieübertragung und Energieverteilung

1047

Abb. 87.67 Links: Struktur einer dezentralen Energieversorgung, rechts: Netzausbau nach Netzentwicklungsplan, Datenquelle: Bundesnetzagentur 2013

87.3.5.1

Netzausbau

Zur Erhöhung der elektrischen Transportkapazität kann die

Spannungsamplitude erhöht werden. Damit ergibt sich mit der

Bei der Netzertüchtigung und dem Netzausbau geht es einerseits

Netzimpedanz Z eine zur Spannungserhöhung quadratisch an-
um die planmäßige Erneuerung und Schaffung von Transport-
steigende Übertragungsleistung:

und Verteilungskapazitäten für elektrische Leistungen. Der Be-
darf hierfür entsteht einerseits durch die dezentral verteilten

P D U 2

(87.65)

regenerativen Energien, siehe Abb. 87.67 links. Dabei müs-

Z
sen neben dem klassischen Netzausbau auch neue Richtungen

In der Praxis stehen weitere Möglichkeiten für eine erhöhte

XI
des Leistungsflusses, z. B. durch die Einspeisung von Photo-

Transportkapazität klassischer Drehstromsysteme zur Verfü-
voltaikanlagen auf der Niederspannungsebene, hin zu höheren
gung:

Spannungsebenen technisch beherrscht werden.

Teil

I

Temperatur-Monitoring: Durch die Messung der Tempe-

In Deutschland besteht vor allem die Aufgabe, die Windkrafter-
ratur von Leiterseilen können diese bis 80 °C und damit
zeugung im Norden Deutschlands mit den Verbraucherzentren
stärker belastet werden als durch sichere Abschätzung nach
im Süden zu verbinden. Darüber hinaus werden zukünftig auch

DIN EN 50182 unter den dort angenommenen ungünsti-

Leistungsflüsse aus dem Süden in Richtung Norden erwartet,
gen Kühlbedingungen mit einer Außentemperatur von 35 °C,
wenn die im Süden mit hoher Gesamtleistung installierte Pho-
einer Windgeschwindigkeit von 0,6 m=s und 100 % Son-
tovoltaik mit maximaler Leistung einspeist. Daher enthält der
neneinstrahlung. Dadurch kann die Leitungskapazität bei

Netzentwicklungsplan vier Gleichstromtrassen, wovon zukünf-
damit verbundenen höheren Verlusten um bis zu 50 % er-
tig drei über weite Entfernungen von Süd nach Nord geführt
höht werden, wenn sich z. B. bei der Einspeisung höherer
werden, siehe Abb. 87.67 rechts. Bei der Gleichstromübertra-

Ströme aus Windparks gleichzeitig mit der windbedingten
gung fallen zwar höhere Installationskosten an, jedoch ist die

Leistung eine gute Kühlung der Leiterseile gewährleistet
wirtschaftliche Übertragungslänge wesentlich größer, da wegen
ist. Gleichzeitig müssen jedoch die Leitungstransformatoren
der im Vergleich zur klassischen Drehstromübertragung fehlen-
ausgetauscht und die Schutzeinrichtungen angepasst werden.

den Blindleistung nur geringe Transportverluste auftreten.

Diese Methode wird selten eingesetzt, da die Ausrüstung

1048

87 Elektrische Energieversorgung
nur eines Leitersystems nicht ausreichend im Sinne der
mit alternierenden Energiebeiträgen für den notwendigen Leis-

. n 1/-Ausfallsicherheit ist. Also müssen mit den damit tungsaustausch besser untereinander gekoppelt werden können.

verbundenen steigenden Kosten mindestens zwei parallele

Insbesondere bei weit auseinander liegenden Energieerzeugern

Leitungssysteme ausgerüstet werden oder die Leitung wird
mit Leistungen im Gigawatt-Bereich ist der Netzausbau alter-
als sog. Einspeisenetz in alleiniger Verantwortlichkeit z. B.

nativlos. Hingegen stellt sich bei weit verzweigten Netzen im
eines Windparkbetreibers genutzt.

ländlichen Raum mit gleichzeitig geringer Lastdichte bei einem

II Nutzung von Hochtemperatur-Leiterseilen: Hierbei wer-
starken Zubau von dezentralen Erzeugungseinheiten oft die Fra-
den die Standard-Leiterseile mit Stahlseele und 80 °C Grenz-
ge nach alternativen Verbrauchsszenarien zur Vermeidung des
temperatur gegen Ausführungen mit Kunststoffseele oder
dann nicht wirtschaftlichen Netzausbaus.

Keramikfaserseele mit Grenztemperaturen von 175 oder

Neben dem für das Gesamtsystem der elektrischen Energiever-

210 °C ausgetauscht, siehe Abb. 87.74 im Abschn. 87.4.1.4
sorgung wesentlichen Ausbau von Übertragungstrassen werden

„Leiterseile“. Wegen der höheren Ströme und Temperaturen
auch Lösungen für den Ersatz innerstädtischer Hochspannungs-
müssen die Leitungstransformatoren, die Seilaufhängungen
kabel durch platzsparende Hochtemperatur-Supraleiter (HTS)

und Isolatoren ausgetauscht sowie die Schutztechnik an-
getestet. Bisher existiert in Essen eine Teststrecke von 1 km
gepasst werden. Nach der Umrüstung kann bei höheren
mit einem 10-kV-HTS-Kabel als Ersatz für eine 110-kV-

Verlusten bis zur doppelten Leistung übertragen werden.

Kabelstrecke, wobei die Kosten geringer als bei konventionellen

Wie beim Temperaturmonitoring ergibt sich eine Einschrän-

110-kV-Kabeln, jedoch wesentlich höher als bei 10-kV-VPE-
kung bei der . n 1/-Ausfallsicherheit. Da die Kosten der Kabeln sind. Zusätzlich zum dem Netzausbau kommt auch

Umrüstung im Bereich von Neubaukosten liegen, wird die-
der Bestimmung der freien Aufnahmekapazitäten von Netz-
se Technologie in Deutschland bisher nur in verschiedenen
knoten große Bedeutung zu, z. B. für den Anschluss oder die

Testprojekten eingesetzt, in den USA, China und Indien exis-

Erweiterung von Windparks. Dazu ist wegen der leistungselek-
tieren kommerziell genutzte Systeme.

tronischen Netzkopplung von Windenergieanlagen die Kenntnis

III Ersatz von Systemen durch Systeme mit höherer Span-
der frequenzabhängigen Netzimpedanz erforderlich. Um die-
nung: Es ist möglich, zwei 220-kV-Systeme auf einem Mast
se zu bestimmen, muss das Netz elektrisch angeregt werden,
durch ein 400-kV-System zu ersetzen oder 400-kV-Systeme
beispielsweise durch die Pulsung einer definierten Last. Dies er-
durch 500-kV-Systeme abzulösen. Dies muss wegen der

.

fordert den Bau von dafür dimensionierten Messeinrichtungen
n 1/-Ausfallsicherheit mindestens jeweils auf zwei par-
insbesondere für die Mittelspannung bei 10 und 20 kV sowie
allelen Trassen erfolgen. Der Bau von bisher in Deutschland
die Hochspannung mit der 110-kV-Netzebene. In Abb. 87.68
nicht eingesetzten 500-kV-Systemen wird wegen der fehlen-
links ist der getestete Prototyp einer Messeinrichtung für die
den Standardkomponenten auch zukünftig nur eine theoreti-

Mittelspannung bis 20 kV gezeigt, in Abb. 87.68 rechts ist ein
sche Option sein.

gemessener Frequenzverlauf der Netzimpedanz abgebildet. Die

IV Leitungsneubau: Der Netzausbau ist das wirksamste In-

Netzimpedanz Z ergibt sich aus den Wirk- und Blindwiderstän-
strument zur Beherrschung dieser Problembereiche. Dies
den:

wurde in verschiedenen Studien bestätigt. Hierbei geht es
ausschließlich um den Bau neuer Freileitungssysteme. Der

Z D R C j! L C 1

(87.66)

Neubau von Leitungstrassen erhöht die Übertragungskapazi-
j! C
tät sehr wirksam, er war in den vergangenen Jahrzehnten we-
gen der langen Planungs- und Bauzeit von bis zu 12 Jahren

Bedeutung der Netzimpedanz
jedoch nur ein langfristiges wirkendes Instrument. Mit dem

Nicht sinusförmige Spannungen im Netz erzeugen an passiven

Energieleitungsausbaugesetz wurden 2009 die gesetzlichen

T

Verbrauchern nicht sinusförmige Ströme und umgekehrt. Die
eil

Grundlagen zum Bau von energiewirtschaftlich bedeutsamen

Oberschwingungen von Strom i
und Spannung u
sind über

Übertragungsnetzen geschaffen. Der Ausbaubedarf des Ons-

N; n

N; n
die Impedanz des Netzes Z verknüpft:

N

XI
hore-Stromnetzes wird von den vier Übertragungsnetzbetrei-
bern unter Beteiligung der Bundesnetzagentur festgestellt,
u
u
i

D N; n D

N; n

(87.67)

die zweite Fassung des Netzentwicklungsplans Onshore liegt

N; n

Z

C

C 1

N

RN
j! LN
j! CN
seit 2013 vor. Daraus ergibt sich in den nächsten 10 Jahren
ein Ausbaubedarf von 1700 km Hochspannungs-Drehstrom-

Im Gegensatz zur Mittel- und Hochspannungsebene ist der
leitungen und 2100 km Hochspannungs-Gleichstromleitun-
kapazitive Anteil der Netzimpedanz im Niederspannungsnetz
gen, 4400 km des Übertragungsnetzes müssen verstärkt und
im Vergleich zum ohmsch-induktiven Anteil vernachlässigbar
optimiert werden. Der Netzentwicklungsplan Offshore wird
klein. Für die Effektivwerte der Stromharmonischen erhält man
vom Bundesamt für Seeschifffahrt und Hydrographie erstellt
somit:

und liegt in seiner ersten Fassung seit 2013 vor. Durch das
seit 2013 geltende Bundesbedarfsplangesetz („Zweites Ge-

I

D UN; n D

UN; n

N; n
q

(87.68)

ZN
setz über Maßnahmen zur Beschleunigung des Netzausbaus

R 2 C . n! L

N

N /2

Elektrizitätsnetze“) wird sichergestellt, dass 36 energiewirt-

Bei vorhandenen Stromoberschwingungen können die Ober-
schaftlich bedeutsame Projekte in absehbaren Zeiträumen
schwingungen der Netzspannung U
realisierbar werden.

N; n für jede Harmonische
ermittelt werden:

Mit dem Netzausbau kann stets eine große Wirkung erzielt

D

C
werden, da durch zusätzliche Transportkapazitäten Regionen

UN; n

IN; n . RN
j! LN/

(87.69)

87.3

Elektrische Energieübertragung und Energieverteilung

1049

70

Leiter A

B

C

60

50

Ω 40

| in|Z 30

20

10

0 0

2

4

6

8

10

Frequenz in kHz

Abb. 87.68 Prototyp einer Messeinrichtung für die Mittelspannung bis 20 kV (links), gemessener frequenzabhängiger Impedanzverlauf (rechts)

In der VDE 0838 Teil 3, EN 61000-3-3 sind Bezugsimpedanzen

| Z|
angegeben, die bei 50 Hz nicht überschritten werden sollten:

Außenleiter-Null-Leiter

Z

D

L;Null

.0;4 C j 0;25/ ( D 0;4 ( C ! 0;8 mH

(87.70)

Außenleiter

Z D

L

.0;24 C j 0;15/ ( D 0;24 ( C ! 0;478 mH (87.71)

Null-Leiter
f res
f

Z

D

Null

.0;16 C j 0;1/ ( D 0;16 ( C ! 0;318 mH (87.72) Abb. 87.69 Impedanzverläufe für eine ohmsch-induktive (gestrichelt) und
ohmsch-induktiv-kapazitive Netzimpedanz

Wegen U

D I Z ist bei höherer Netzimpedanz und glei-

N

N

N
chem Oberschwingungsstrom eine höhere Oberschwingungs-
spannung zu erwarten. Deshalb wird oft die Netzimpedanz
ermittelt, um Aussagen über den zu erwartenden Oberschwin-

Resonanz tritt auf, wenn kapazitiver und induktiver Imaginärteil
gungsgehalt der Spannung zu treffen. Bei Messungen im Versor-
gleich groß und der resultierende Imaginärteil der Impedanz Z
gungsnetz muss die an den einzelnen Netzknoten unterschiedli-
null ist:

che Impedanz des Netzes berücksichtigt werden. Dabei können
auch die Frequenzen von Netzresonanzen festgestellt werden.

j! L D

N
j! CN

(87.74)

Mit ! D 2 f erhält man für die Netzresonanzfrequenz

Einfluss von Netzresonanzen
f res; N mit der Netzinduktivität LN und der Netzkapazität CN für

Kapazitäten verursachen bei der Reihen- oder Parallelschal-

Reihen- und Parallelresonanz:

XI
tung mit Induktivitäten Resonanzen im Netz. Das führt zu einer

Impedanzverringerung bei der Reihenresonanz und Impedanz-
f

D

1
p
res; N

(87.75)

Teil
erhöhung bei der Parallelresonanz. Dadurch werden z. B. die

2 L

N

CN

Pegel einzelner Spannungsharmonischer überhöht, auch wenn
die Ströme der zugehörigen Frequenz relativ gering sind. Liegt

In Abb. 87.69 sind die Verläufe für eine ohmsch-induktive
eine Reihenschaltung von Widerstand, Induktivität und Kapazi-

(gestrichelt) und ohmsch-induktiv-kapazitive Impedanz gezeigt.

tät vor, wird die Impedanz nach (87.66) wie folgt ermittelt:

Enthält die Impedanz einen kapazitiven Anteil, kann sich wie in

Abb. 87.69 gezeigt eine Netzresonanz nach (87.75) einstellen.

Z D R C X C X D R C j! L C

1

N

N

L

C

N

N
j! CN

87.3.5.2

Flexible Erzeugung

Bei der im Netz beim Verbraucheranschluss vorliegenden Par-
allelschaltung von Impedanzen wird die Admittanz Y als Kehr-

Hierzu gehören sowohl die Flexibilisierung des konventionellen
wert der Impedanz berechnet:

Kraftwerksparks als auch die virtuellen Kraftwerke. Konventio-
nelle Kraftwerke werden durch eine schnellere Regelmöglich-

1

Y

D 1 C 1 C 1 D 1 j

C j! C
keit flexibler einsetzbar, weil sie dann schneller den schwan-

N

N

(87.73)

RN

X

X

R

! L

L

C

N

N
kenden Verbrauchskurven folgen können. Dies wird durch die

1050

87 Elektrische Energieversorgung

Auslegung von Kraftwerksblöcken mit im Vergleich geringe-

87.3.5.4

Energiespeicherung
rer Leistung möglich, z. B. 50 anstatt 500 MW. Bei kleineren

Es soll hier nur die Energiespeicherung im Energieversorgungs-

Leistungen sind der Kessel sowie Rohrlängen und -durchmesser
netz betrachtet werden, d. h. die Speicherung von Leistungen im
kleiner und weisen damit geringere thermische Zeitkonstanten

Megawatt-Bereich. Dafür stehen weiterhin nur wenige Techno-
auf. Neuauslegungen und Retrofit-Lösungen großer Kraftwerks-
logien mit unterschiedlichen Reifegraden zur Verfügung, hierzu
blöcke mit Leistungen von 800 bis 1200 MW ermöglichen
gehören die Pumpspeicherwerke, die Druckluftspeicherung und
inzwischen auch eine bessere Regelfähigkeit.

die Wasserstoffspeicherung.

Virtuelle Kraftwerke entstehen z. B. durch die Zusammenfas-

Vor der detaillierten Technologiebetrachtung steht die Frage der
sung mehrerer Kraftwerke mit unterschiedlichen Wandlungs-
notwendigen Speicherkapazität. Um den Einfluss der gesetz-
prinzipien und/oder Energiespeicher. Das Ziel besteht darin,
ten Randbedingungen auf die Kapazität von Energiespeichern
einen besser prognostizierbaren zeitlichen Leistungsverlauf rea-
zu verdeutlichen, wird folgendes Beispiel genutzt. Bei einer
lisieren zu können. Dafür bedarf es einer gemeinsamen Anla-
angenommenen Vollversorgung mit regenerativen Energien in
gensteuerung sowie der Einbindung der virtuellen Kraftwerke in

Deutschland besteht weiterhin die Aufgabe, die Jahreshöchst-
die Netzführung des Verteil- und Übertragungsnetzes. Bei wei-
last von 80 GW bereitzustellen. Damit dies möglich ist, müsste
ter abnehmendem konventionellem Kraftwerkspark müssen sich
die Leistung unter der Annahme einer zweiwöchigen Windflau-
virtuelle Kraftwerke in steigendem Maße auch an der Netzrege-
te über diesen Zeitraum gespeichert werden. Damit ergibt sich
lung beteiligen.

eine Speicherleistung von ca. 27 Terrawattstunden (1 Terrawatt-
stunde entspricht 10 hoch 9 Kilowattstunden). Dies entspricht

87.3.5.3

Flexibler Verbrauch durch steuerbare Lasten
dem 450-fachen der heute in Deutschland verfügbaren Spei-
cherenergie aus Pumpspeicherwerken von 60 GWh. In diesem

Die vier beschriebenen Problemstellungen nach Abb. 87.65

Beispiel wurden mit dem kompletten Ausfall jeglicher Energie-
erfordern neben den Technologieansätzen einen Paradigmen-
erzeugung bei Flauten bewusst ungünstige Randbedingungen
wechsel für eine versorgungssichere elektrische Energieversor-
gewählt. Die hiermit errechnete Erweiterung der Speicherka-
gung mit fluktuierenden Energien. Während bei einer konven-
pazität wäre technisch und wirtschaftlich nicht realisierbar.

tionell strukturierten Energieversorgung die Energie bedarfsge-

Energiespeicher können offensichtlich nicht als alleiniger Lö-
recht bereitgestellt wird, ist dies bei wetterabhängig fluktuie-
sungsansatz beim weiteren Ausbau der regenerativen Energie
render Erzeugung nicht möglich. Hier wird das Energieangebot
dienen. Eine zukünftige Energieversorgung darf zur Minimie-
dann am besten genutzt, wenn der Verbrauch der Erzeugungs-
rung der Gefahr großflächiger Ausfälle nicht nur auf einer
charakteristik folgt. Dies ist nicht für alle Verbraucher möglich,
einzigen Wandlungstechnologie basieren und sollte schon al-
offensichtlich wird das bei der Beleuchtung oder abhängi-
lein aus Kostengründen auch nicht den zuvor errechneten hohen
gen industriellen Produktionsprozessen. Daneben existiert eine

Speicherbedarf erzwingen.

Vielzahl unabhängiger Verbraucher in sog. unkritischen Pro-
zessen, hierzu zählen Kühl- und Wärmeprozesse sowie viele

Pumpspeicherwerke werden schon seit der ersten Installation

Kreislaufprozesse mit großen Zeitkonstanten. Insbesondere der
im Jahre 1930 über viele Jahrzehnte zur Abdeckung von Last-
zukünftige Verbrauch fluktuierender Energie in zuschaltbaren
spitzen eingesetzt und weisen im Vergleich aller Netzspeicher
industriellen Prozessen (Power to Gas, Power to Heat, Power
den höchsten technischen Reifegrad auf. Heutige Installations-
to Process) besitzt ein hohes Ausbaupotenzial. Zur Umsetzung
kosten liegen zwischen 800 und 2000 C/kW. In Deutschland
eines angebotsgesteuerten Verbrauchs müssen folgende Teilpro-
sind Pumpspeicher mit einer Gesamtleistung von rund 7 GW in-
bleme gelöst werden:

stalliert. Das neueste und größte Pumpspeicherwerk Goldisthal

T
weist eine Leistung von 1060 MW und eine Speicherkapazi-
eil
a) Bereitstellung von Informationen über das Energieangebot
tät von 8480 MW h auf. Pumpspeicherwerke bestehen aus zwei
und den Preis

Wasserbecken auf unterschiedlichen Höhenniveaus, zwischen

XI
b) Zeitaufgelöste Erfassung des elektrischen Verbrauchs
denen sich ein Generator/Turbinensatz befindet. Bei einem
c) Zentrale bzw. dezentrale Schalteinrichtungen für Verbraucher

Überangebot an Energie wird Wasser in das höher gelegene
d) Zusammenfassung (Pooling) von Verbrauchern

Becken gepumpt und dort als potenzielle Energie gespeichert.

e) Zeitgenaue Zuordnung und Abrechnung von Energiemengen

Diese kann bei Bedarf wieder in elektrische Energie gewandelt
mit unterschiedlicher Wertigkeit
werden, indem das Wasser über die Turbine in das Unterbecken
fließt. Die dabei auftretenden Verluste sind vergleichsweise ge-

Diese Fragestellungen soll das zukünftige Smart Grid mit Hilfe
ring, der Gesamtwirkungsgrad von Pumpspeicherwerken liegt
von Smart Metern für die zeitaufgelöste Erfassung des elektri-
bei großen Anlagen bei bis zu 80 %. Aufgrund der geringen
schen Verbrauchs lösen. Dafür sind hohe Investitionen in die

Leistungsdichte von Wasser sind Pumpspeicherwerke jedoch

Informations- und Kommunikationstechnik erforderlich. Dar-
nicht für die langfristige Speicherung großer Energiemengen ge-
über hinaus ergeben sich neue technische Herausforderungen
eignet, sie können z. B. nicht als saisonale Speicher zwischen
für die Verarbeitung und Speicherung großer Datenmengen

Sommer und Winter genutzt werden.

sowie neue Marktrollen mit hoher Verantwortung für den Daten-
schutz. Die breite gesellschaftliche Akzeptanz für die Steuerung

Druckluftspeicher können in Verbindung mit Gasturbinen-
elektrischer Verbraucher, insbesondere im Privatbereich, muss

Kraftwerken zum Ausgleich von Leistungsschwankungen ein-
erst noch hergestellt werden.

gesetzt werden. Dabei werden unterirdische Hohlräume, sog.

87.3

Elektrische Energieübertragung und Energieverteilung

1051

Kavernen, zur Speicherung von Druckluft genutzt. Die In-

Tab. 87.8 Kosten von Langzeitspeichern mit wöchentlichem Ladezyklus, DLS-
stallationskosten betragen 700 C/kW bis 800 C/kW ohne die

Druckluftspeicher, PSW-Pumpspeicherwerk, Datenquelle VDE-Studie 2009

Berücksichtigung der Kosten zur Erschließung von Kavernen.

Speichertechnologie

Heutige Kosten in

Zukünftige Kosten in

Die Energiedichte von Druckluft ist rund viermal höher als die
ct=kW h
ct=kW h
von Wasser. In Deutschland existiert ein Druckluft-Kraftwerk

Wasserstoff

23

9 (in > 10 Jahren)

in Huntorf bei Bremen, das eine Leistung von 290 MW über

DLS

38

22 (in > 10 Jahren)

eine Zeit von zwei Stunden speichern kann. Bei Leistungsbe-

PSW

3 bis 11

Nicht berücksichtigt
darf wird die gespeicherte Druckluft als Frischluft in eine mit

Erdgas befeuerte Gasturbine geleitet und erhöht dabei deren

Tab. 87.9 Kosten von Langzeitspeichern mit stündlichem Ladezyklus, DLS-

Wirkungsgrad. Der Gesamtwirkungsgrad dieser Druckluftspei-

Druckluftspeicher, PSW-Pumpspeicherwerk, Datenquelle VDE.-Studie 2009
cherung beträgt 42 %, da die bei der Kompression entstehende

Speichertechnologie

Heutige Kosten in

Zukünftige Kosten in

Wärme verloren geht. Wird ein zusätzlicher Wärmespeicher
ct=kW h
ct=kW h
eingesetzt, kann der Gesamtwirkungsgrad auf bis zu 70 % an-

Wasserstoff

24

11 (in > 10 Jahren)

steigen. Aufgrund der vielfältigen Nutzungsmöglichkeiten von

DLS

6

3 (in > 10 Jahren)

Kavernen zur Speicherung von Erdöl und Erdgas besteht eine

PSW

2,5 bis 5,5

Nicht berücksichtigt
starke Nutzungskonkurrenz, die den Zubau von Druckluftspei-
chern momentan behindert.

Wasserstoff-Speicher: Grundsätzlich kann Wasserstoff gasför-
kompakten Gestaltung und guten Skalierbarkeit sind Redox-
mig in Kavernen oder Tanks bzw. flüssig in Tanks gespeichert

Flow-Speicher auch grundsätzlich als Energiespeicher innerhalb
werden. Er weist bei einem Druck von 70 MPa im Vergleich zu
von Stadtgebieten einsetzbar. Die Erforschung und Entwicklung

Wasser einen 1700-mal höhere und im Vergleich zu Druckluft
chemisch unbedenklicher Elektrolytflüssigkeiten könnte solche
eine 450-mal höhere Energiedichte auf. Deshalb ist die Speiche-

Anwendungen zukünftig weiter beschleunigen.

rung von Wasserstoff eine Option auch für die saisonale Spei-

Die Wirtschaftlichkeit von Energiespeichern wird von den
cherung über mehrere Monate. Die Erzeugung von Wasserstoff

Investitions- und Betriebskosten, der Nutzungsdauer und -häu-
kann über die klassische Niederdruck-Elektrolyse in großen Be-
figkeit sowie primär von der Preisdifferenz aus Energiebezug
cken mit darin angeordneten Elektroden bei Wirkungsgraden
und -lieferung bestimmt. In der Tab. 87.8 sind die Kosten von
von bis zu 70 % erfolgen oder auch mittels der Hochdruck-

Langzeitspeichern mit wöchentlichem Ladezyklus gezeigt. Es

Elektrolyse in invers betriebenen Brennstoffzellensystemen bei
wird deutlich, dass noch auf längere Sicht sowohl die Wasser-

Wirkungsgraden von maximal 40 %. Hierfür sind abhängig vom
stoffspeicherung als auch die Druckluftspeicherung weit höhere

Reifegrad der Technologie und den Kosten der Gasverdich-

Kosten als die etablierte Pumpspeicherung aufweisen werden.

tung und -speicherung Installationskosten von 2000 C/kW bis

Dies gilt auch bei stündlichen Ladezyklen, siehe Tab. 87.9. Da

5000 C/kW erforderlich. Die Hochdruck-Elektrolyse weist ein
für Pumpspeicher geeignete geologische Randbedingungen vor-
besseres dynamisches Verhalten bei der Nutzung von stark fluk-
handen sein müssen, ist deren weiterer Ausbau zumindest in
tuierendem Windstrom für die Herstellung von Wasserstoff auf
der konventionellen Ausführung stark begrenzt. Als Alternative

(Power to Gas), Niederdruckanlagen sind hierfür nicht ein-
dazu sind jedoch Pumpspeicher in künstlichen Strukturen wie
setzbar. Zukünftige Brennstoffzellensysteme mit steuerbaren
z. B. in ehemaligen Tagebauen des Kohle- oder Kalksteinabbaus

Membranen und verbessertem dynamischen Verhalten werden
denkbar, um auch zukünftig größere Speicherkapazitäten zubau-
momentan erforscht.

en zu können.

Zur Speicherung kleinerer Mengen Wasserstoff kann das in sei-

Für den Betrieb von Energiespeichern ergeben sich momentan
nem Betriebsdruck sehr variable Erdgasnetz genutzt werden,
viele Unsicherheiten. Dazu gehört die schwer abzuschätzen-
dem ohne Probleme bis zu einige Prozent Wasserstoff bei-
de Entwicklung der Preisspanne für Energiemengen zur Ein-

XI
gemischt werden können. Der Gesamtwirkungsgrad der Was-
und Ausspeicherung. Wegen ihrer hohen Investitionskosten
serstoffspeicherung sinkt nach der Elektrolyse noch durch die
und den daraus folgenden langen Amortisationszeiten benöti-
notwendige Verdichtung ab. Bei größeren Mengen ist zur Ein-

Teil
gen Speicher jedoch langfristig kalkulierbare Einnahmen, um
speisung in das Erdgasnetz eine weitere Reaktion erforderlich,
sich verlässlich amortisieren zu können. Es ergibt sich zudem
die Methanisierung des Wasserstoffs, die den Wirkungsgrad
die Notwendigkeit, heute mit dem Speicherbetrieb verbundene
nochmals um rund 30 % reduziert.

Kosten wie z. B. Netznutzungsgebühren neu zu bewerten. Die

Marktintegration von Energiespeichern ist momentan nicht ge-

Neben den drei beschriebenen Speichertypen werden wegen
geben, weshalb Speicher nicht wirtschaftlich betrieben werden
ihres technologischen Fortschritts auch Redox-Flow-Speicher
können. Dazu gehört beispielsweise auch die zukünftige Defini-
mit Leistungen bis zu einigen hundert Kilowatt immer inter-
tion der Verantwortlichkeiten beim Betrieb der Speicher.

essanter für den Einsatz als Stundenspeicher in der elektrischen

Energieversorgung. Sie bestehen aus zwei Tanks, zwischen de-

Der Begriff der Energiewende beinhaltet neben der Stromver-
nen eine Elektrolyt-Flüssigkeit hin und her gepumpt wird. Dabei
sorgung auch die Wärmebereitstellung und die Treibstoffe für
läuft in einer Fließrichtung eine Oxidation mit Energieabgabe
den Verkehr. In den letzteren zwei Sektoren wirken jedoch
und in der anderen eine Reduktion mit Energieaufnahme ab.

im Vergleich zur Stromerzeugung größere Zeitkonstanten, es

Der Wirkungsgrad kann bis zu 75 % betragen. Aufgrund ihrer
besteht keine Notwendigkeit für zeitkritische Steuerungseingrif-

1052

87 Elektrische Energieversorgung

Tab. 87.10 Durchschnittliche Benutzungsstundenzahlen und gesicherte Leistung von Erzeugungstechnologien

Kraftwerksart

Stromgestehungs-

CO2-Intensität in

CO2-Äquivalente in

Vollbenutzungs-

Gesicherte Leistung
kosten in ct=kW h a
a
a
el
g=kW hel
g=kW hel
stunden pro Jahrc
in %d

Import-Steinkohle-Kraftwerk

4,0 . . . 5,0

897

949

6000 . . . 7000

93

Import-Steinkohle-Heizkraftwerk 2,5 . . . 3,5

508

622

6000 . . . 7000

93

Braunkohle-Kraftwerk

4,0 . . . 5,0

1142

1153

6000 . . . 7000

93

Braunkohle-Heizkraftwerk

2,5 . . . 3,5

703

729

6000 . . . 7000

93

Erdgas-GuD-Kraftwerk

4,0 . . . 5,0

398

428

6000 . . . 7000

93

Erdgas-GuD-Heizkraftwerk

3,5 . . . 4,5

116

148

6000 . . . 7000

93

Erdgas-Blockheizkraftwerk

7,0 . . . 8,0

5

49

6000 . . . 7000

93

Kernkraftwerk

4,5 . . . 5,5

31 . . . 61

32 . . . 65

6000 . . . 7000

93

Windpark onshore

6,5 . . . 8,0b

23

24

1800 . . . 2400

20

Windpark offshore

10,5 . . . 16,5b

22

23

3500 . . . 4500

40

Photovoltaik

14,0 . . . 20,5b

89

101

800 . . . 900

11

Solarthermisches Kraftwerk

19,0 . . . 23,0b

25

27

2000

30e

Wasserkraftwerk

5,0 . . . 10,0

39

40

4000 . . . 6000

50–80f

Biogas-Blockheizkraftwerk

6,0 . . . 8,0

-414

-409

6000 . . . 7000

93
a Quelle: Öko-Institut Darmstadt: Arbeitspapier Treibhausemissionen und Vermeidungskosten der nuklearen, fossilen und erneuerbaren Strombereitstel-
lung, 2007
b Fraunhofer ISE: Studie Stromgestehungskosten Erneuerbare Energien, 2012
c Technisch mögliche Stundenzahl, die reale Nutzung kann davon marktabhängig stark abweichen
d Werte teilweise geschätzt
e Bei vorhandenem Energiespeicher
f Abhängig von der Wasserzuführung
fe wie bei der Netzregelung im elektrischen Versorgungsnetz.

pelstellen zwischen den Regelzonen zum Leistungsaustausch.

Dies ist der Grund dafür, dass viele technische Verbesserungs-

Dies gilt auch für die Kopplung der Ländernetze untereinander.

maßnahmen zuerst im Bereich der Stromerzeugung eingesetzt

Für die Energieerzeugung ist sichergestellt, dass der Ausfall ei-
werden. Jedoch wird stets die Kopplung zwischen den Syste-
nes oder auch mehrerer Kraftwerke durch Regelvorgänge bei
men Strom, Wärme und Gas mit dem Ziel einer optimierten
den verbleibenden Kraftwerken kompensiert werden kann. Bei
gesamten Energieversorgung betrachtet. Dies trifft auch auf die
der Sicherstellung der Versorgungsleistung spielen die Volllast-

Energiespeicherung zu, hier wird die systemübergreifende Spei-

Benutzungsstundenzahlen der Kraftwerksarten eine entschei-
cherung von Strom zu Wasserstoff (Power to Gas), Strom zu
dende Rolle, siehe Tab. 87.10. Da nicht alle Kraftwerksarten

Wärme (Power to Heat) bzw. Strom zu prozessbezogener Spei-
in ihrer Leistung unabhängig steuerbar sind, wird zur Bewer-
cherung (z. B. Power to Steel) genutzt. Durch die Steigerung
tung des jeweiligen Beitrags zur Sicherstellung der notwendigen
der Energieeffizienz in allen Bereichen kann der Verbrauch ge-

Erzeugung die gesicherte Leistung verwendet. Diese beschreibt
senkt werden, wodurch weniger Kosten für die notwendigen
die zuverlässig verfügbare Leistung der Erzeugungsart. Natur-
technischen Anpassungsmaßnahmen in der Energieversorgung
gemäß ist dieser Leistungsanteil bei wetterabhängig fluktuie-
entstehen.

renden Energien geringer als bei kontrolliert durch Feuerung

Teil
betriebenen Kraftwerksarten.

87.3.5.5

Versorgungssicherheit

Dezentrale regenerative Erzeugungsanlagen übernehmen mit ih-

XI
rem weiteren Zubau immer weitergehende Aufgaben zur Sicher-

Es ist erforderlich, die Frequenz innerhalb der vorgegebenen
stellung der Systemsicherheit. Dazu gehören das Durchfahren

Grenzwerte zu regeln, wozu ein Gleichgewicht von erzeug-
von Spannungseinbrüchen im Fehlerfall, die statische und dy-
ter und verbrauchter Leistung eingestellt werden muss, siehe
namische Stützung der Netzfrequenz sowie die Beteiligung an

Abschn. 87.3.3. Dazu ist eine ausreichende Kraftwerksleis-
der Spannungsregelung. Ein bisher nicht endgültig untersuch-
tung notwendig, siehe Abb. 87.8 im Abschn. 87.2. Daneben
tes Problem beim Übergang zu einer überwiegend regenerativ
muss sichergestellt werden, dass die erzeugte elektrische Ener-
versorgten Energieversorgung ist die Stabilität der Netzregelung
gie zuverlässig die Verbraucher erreicht und Ausfälle vermieden
ohne Großkraftwerke mit rotierenden Massen.

werden. Dazu wird in der elektrischen Energieversorgung in

Europa grundsätzlich das . n 1/-Kriterium für eine erhöh- Trotz des in dieser Form noch nirgendwo vollzogenen Um-
te funktionale Versorgungssicherheit angewendet. Die bedeutet,
baus der deutschen Energieversorgung von einer auf verbrau-
dass der Ausfall eines Betriebsmittels, z. B. einer Freileitung
chernahen Großkraftwerken basierenden Erzeugung zu einer
bei der Energieübertragung, noch nicht zum Ausfall der Versor-
klimafreundlichen regenerativen und damit wetterabhängigen
gungsspannung führen darf. Für die Frequenzregelung sind in
fluktuierenden Erzeugung, d. h. der Energiewende, sind die Aus-

Deutschland die Übertragungsnetzbetreiber in den vier Regel-
fallzeiten im europäischen Vergleich gering, siehe Abb. 87.70.

zonen zuständig, siehe Abb. 87.45 rechts im Abschn. 87.3.2.1.

Dies zeigt, dass diese Form einer umfassenden Transformation

Zur weiteren Erhöhung der Frequenzstabilität existieren Kup-
der Energieversorgung bisher ohne eine Verringerung der Ver-

87.4

Elektrische Betriebsmittel

1053

Luxemburg

10,0

Dänemark

11,3

Schweiz

15,0

Deutschland

15,3

Niederlande

23,0

Österreich

34,0

Italien

42,3

Großbritannien

54,7

Slowenien

60,0

Ungarn

67,2

Frankreich

68,1

Schweden

70,8

Litauen

72,7

Portugal

88,7

Griechenland

96,0

Tschechische Rep.

98,0

Slowakische Rep.

110,9

Kroatien

176,1

Polen

254,9

Malta

360,0

Abb. 87.70 Ländervergleich der durchschnittlichen Unterbrechung der Stromversorgung je Kunde in Minuten im Jahr 2013, nach CEER Benchmarking Report

Update 2015
sorgungssicherheit umgesetzt werden konnte. Allerdings hat die

380 kV mit Freileitungen übertragen, außerhalb Europas werden

Zahl der kurzfristigen Eingriffe der Übertragungsnetzbetreiber
bei größeren Entfernungen auch Spannungen von 500, 735, 750,
in den Kraftwerkseinsatz zur Vermeidung von Netzengpässen,

1000 und 1500 kV genutzt.

das sog. Redispatch, in den letzten Jahren stark zugenommen.

Durch solche Maßnahmen entstehen hohe Kosten, z. B. 132,6

Mio. C für Redispatch-Eingriffe an 232 Tagen des Jahres 2013

87.4.1.1

Aufbau
mit einem Gesamtvolumen von 4390 GWh.

Freileitungen bestehen aus den Masten mit den zugehörigen

Fundamenten und Erdungen, den an den Traversen aufgehäng-
ten Isolator-Garnituren mit Isolatoren aus Glas, Porzellan oder

87.4

Elektrische Betriebsmittel

Kunststoff, einem oder mehreren Erdseilen an der Mastspitze,
sowie den Leiterseilen. Die drei Leiterseile eines Drehstrom-
systems werden als Leitersystem bezeichnet. An der Mastspitze

87.4.1

Freileitungen
können ein oder zwei Erdseile angeordnet werden. Der grund-
sätzliche Aufbau einer Freileitung ist in Abb. 87.71 gezeigt.

Zur Energieübertragung über große Entfernungen werden Frei-
leitungen genutzt. Hierbei sollte zur verlustarmen Übertragung

87.4.1.2

Masten
die Spannung in kV immer höher als die Entfernung in km sein.

XI

In Europa werden Spannungen ab der Mittelspannung und dar-

Die Mastformen sind abhängig von der Spannungsebene und
über hinaus in den genormten Spannungsebenen 110, 220 und
der Anzahl der geführten Systeme, siehe Abb. 87.72. Es wird

Teil

Abb. 87.71 Aufbau einer Freileitung

1054

87 Elektrische Energieversorgung
a
b
c
d
e

Abb. 87.72 Freileitungsmasten. a Betonmast für 20 kV Mittelspannung, b Einebenenmast für zwei Systeme 110 (Bildmaße) bis 380 kV, c Donaumast für zwei Systeme 110 bis 380 kV (Bildmaße), d Donaumast für vier Systeme und zwei Erdseile 110 bis 380 kV (Bildmaße), e Wintrack-Mastsystem als zukünftige 380-kV-Sondermasten für Windstromtrassen

Tab. 87.11 Typische Spannweiten von Freileitungsmasten

87.4.1.3

Isolatoren

Nennspannung Un in

Mittlere Spannweite l

Mastart

Isolatoren können stehend in Stützen- oder hängend in Ketten-
kV
in m
oder Langstabform ausgeführt werden, siehe Abb. 87.73. Bisher

Bis 1

60 . . . 80

Stahlbeton
werden Stützenisolatoren aus Porzellan oder Glas nur in Span-

10 . . . 30

100 . . . 160

Stahlbeton
nungsbereichen bis 52 kV eingesetzt. Zukünftig werden sie je-

10 . . . 30

. . . 200

Gitter
doch auch für die Wintrack-Mastsysteme im Spannungsbereich

110

250 . . . 350

Gitter
bis 380 kV in Form von isolierenden Traversen vorgesehen,

220

350 . . . 450

Gitter
da aufgrund ihrer höheren Kraftaufnahme ein geringer Durch-

380

400 . . . 500

Gitter
hang der Leiterseile und damit geringere Masthöhen realisierbar
sind, siehe Abb. 87.72e. Ab dem Hochspannungsbereich werden
meist Isolatorketten aus Glaskappen, oder Langstabisolatoren
unterschieden zwischen Horizontalmasten, auch Einebenen-
aus Keramik (Hartporzellan oder Steatit) eingesetzt. Darüber
masten genannt, siehe Abb. 87.72a und Abb. 87.72b, Tonnen-
hinaus kommen auch Verbundisolatoren mit einem Kern aus
masten mit einer Leitung pro Traversenseite (hier nicht gezeigt),
glasfaserverstärktem Kunststoff (GFK) mit aufgespritzter Sili-

Donaumasten mit mehreren Leitern pro Traversenhälfte, siehe
konschirmung zum Einsatz. Um die Sicherheit der Aufhängung

Abb. 87.72c und Abb. 87.72d. Insbesondere für die Trassenfüh-
zu erhöhen, werden Hängeisolatoren oft parallel ausgeführt,
rung zwischen großen Windparks und Umspannstationen sollen
insbesondere bei der Trassenquerung von Straßen und Sied-

Teil
zur Erzielung einer höheren Akzeptanz Masten mit reduzierter
lungsgebieten. Bei höheren Spannungsebenen können entwe-

Höhe und Trassenbreite eingesetzt werden, siehe Abb. 87.72e.

der wie in Abb. 87.73 gezeigt Isolatorketten aus genormten

XI

Der geringere Mastabstand ergibt sich durch isolierende Traver-

Standard-Isolatoren oder auch durchgehende Langstabisolato-
sen, mit der Nutzung von Stützisolatoren können die Seilkräfte
ren eingesetzt werden.

besser beherrscht und damit der Mastabstand reduziert werden.

Zur geraden Leitungsführung werden Tragmasten genutzt, bei

87.4.1.4

Leiterseile
denen die Leiterseile mit Tragklemmen unterhalb der Isolatoren
fixiert werden. Wirken zusätzliche Horizontalkräfte auf die Lei-

Leiterseile bestehen aus verseilten Drähten, siehe Abb. 87.74.

terseile, wie bei der Seilführung vom Mast in ein Umspannwerk

Die einzelnen Lagen der Leiterseile werden vorrangig aus
oder bei der Richtungsänderung von Seilführungen, werden Ab-
mechanischen Gründen mit entgegengesetztem Seilschlag aus-
spannmasten genutzt, bei denen die Leiterseile durch spezielle
geführt. Als Leitermaterial wird im Nieder- und Mittelspan-

Keilabspannklemmen gehalten werden.

nungsbereich Kupfer, Aldrey, das ist eine Legierung aus 99 %

Aluminium und je 0,5 % Magnesium und Silizium, oder Alu-

Mit Endmasten erfolgt die Zuführung der Leiterseile in Schalt-
minium verwendet. Im Hochspannungsbereich werden Einfach-
anlagen, hierbei müssen hohe einseitige Kräfte aufgenommen

Leiterseile oder Verbund-Leiterseile mit einer Stahlseele und
werden. Der Abstand, d. h. die Spannweite l von Freilei-

Aluminium-Leitermaterial genutzt, siehe Abb. 87.74a, b. Alu-
tungsmasten wird unter Beachtung des Durchhangs nach Ab-
minium weist bei gleichem Gewicht einen größeren Quer-
schn. 87.4.1.4.1 nach wirtschaftlichen Gesichtspunkten gewählt,
schnitt und damit einen höheren Leitwert als Kupfer auf und
siehe Tab. 87.11.

ist deshalb wesentlich kostengünstiger, weshalb es bevorzugt

87.4

Elektrische Betriebsmittel

1055
a
b
c
d

430 mm

100 mm1

4000 mm

150 mm

175 mm

Schutzring

Abb. 87.73 Isolatoren. a Stützisolator, b Glaskappenisolator, c Langstabisolator, rechts: Doppel-Isolatorenkette einer 380-kV-Freileitung
a
b
c
d

Abb. 87.74 a Einfach-Leiterseil, Dauerstrombelastbarkeit 520 A bei 80 °C, b Leiterseil mit Stahlseele, Dauerstrombelastbarkeit 1150 A bei 80 °C,
c Hochtemperatur-Leiterseil mit sektorförmigen Leitern mit Kohlefaser-Verbundkern, Dauerstrombelastbarkeit 2069 A bei 175 °C, d Hochtemperatur-Leiterseil mit Keramikfaser-Verbundkern, Dauerstrombelastbarkeit 2327 A bei 210 °C
eingesetzt wird. Die Stahlseele bei Verbund-Leiterseilen er-

Bei Freileitungen werden die Induktivität und Kapazität durch
höht bei größeren Querschnitten die mechanische Festigkeit.

die Anordnung der Leiter untereinander und zum Erdpotenzi-

Verbund-Leiterseile werden nach DIN EN 50182 nach ih-
al bestimmt. Zur Vergleichmäßigung der Betriebswerte werden
ren Materialquerschnitten bezeichnet, z. B. 184-AL1/30-ST1A

Freileitungen verdrillt, d. h. dass Ihre Lage zueinander an sog.

(früher 185/30-AL/St), womit der Querschnitt des Aluminium-

Verdrillmasten so verändert wird, dass jede Leitung über der

Leitermaterials von 184 mm2 und der Stahlseele von 30 mm2

Gesamtlänge gesehen die gleiche Strecke in jeder Position war.

beschrieben wird. Standard-Leiterseile sind im Normalbetrieb

Würden die Leiterseile über die gesamte Übertragungsstrecke
bis zu einer Grenztemperatur von 80 °C belastbar, im Kurz-
an der gleichen Position bleiben, wären die Betriebswerte der
schlussfall können nach DIN VDE 0103 kurzzeitig viel höhere

Induktivität und Kapazität für jeden Leiter unterschiedlich und

Temperaturen von bis zu 200 °C auftreten. Sollen ohne eine
es würden Unsymmetrien in der Spannung auftreten. Ab Span-

Änderung des Leiterquerschnitts auf vorhandenen Trassen kurz-
nungen von 220 kV werden oft Bündelleiter verwendet, da
zeitig höhere Leistungen übertragen werden, z. B. bei der Netz-
hierbei an den Leitern geringere elektrische Randfeldstärken
einspeisung aus Windparks, können Hochtemperatur-Leiterseile
unterhalb von 17kV/cm auftreten und die verlustbehafteten Ko-
eingesetzt werden. Hierfür stehen Leiterseile mit sektorförmi-
ronaeffekte, die bei Dunkelheit und feuchter Luft als Glimmen
gen Leitern und Kunststoff-Verbundseele für eine Grenztem-
an den Freileitungen sichtbar sind, vermieden werden können.

peratur im Normalbetrieb von 175 °C zur Verfügung, siehe

Bei 220-kV-Systemen werden meist Zweier-Bündel, bei 380 kV

Abb. 87.74c. Leiterseile mit Keramikfaser-Verbundkern sind

Dreier- oder Viererbündel eingesetzt, siehe Abb. 87.75. Zur

XI
sogar bis 210 °C belastbar, siehe Abb. 87.74d. Hochtemperatur-

Berechnung der Betriebswerte von Bündelleitern kann ein Er-

Leiterseile werden im Vergleich zu Standardseilen teilweise
satzradius r ers errechnet werden, der abhängig von der Anzahl
abweichend bezeichnet, hierbei sind die Querschnittsflächen
der Bündelleiter n, vom Leiterradius r, und dem Radius des

Teil
nicht immer wie in Abb. 87.74c aus der Bezeichnung ab-

Bündelleiters rB ist und allgemein beschrieben wird mit:

zuleiten. Beispielsweise weist das in Abb. 87.74d gezeigte
q

Leiterseil ACCR-1334-T13 einen Querschnitt des Aluminium-
r

D n
ers
n r rn1

(87.76)

B

Leitermaterials von 676 mm2 und der Stahlseele von 86 mm2
auf.

Während die Leiterseile zur Leistungsübertragung dienen, wird
das Erdseil zum Schutz der Leiter gegen Blitzeinschlag an

Bei stromabhängig quadratisch ansteigenden Verlusten kann mit
der Mastspitze befestigt und besitzt somit Erdpotenzial. Das

Hochtemperatur-Leiterseilen bis zur doppelten Leistung über-

Erdseil bildet einen Blitzschutzraum, der nach beiden Seiten
tragen werden. Zu beachten ist, dass eine Umrüstung von Frei-
als Kreisabschnitt mit dem Radius der doppelten Erdseilhö-
leitungen auf Hochtemperatur-Leiterseile weitere Umrüstungen
he bis zum Erdboden abfällt. Wenn bei breiten Traversen und
von Seilaufhängungen, Isolatoren und Transformatoren erfor-
mehreren Systemen ein höherer Blitzschutz erforderlich ist,
dert und deshalb sehr kostenintensiv ist. In Deutschland exis-
können sich auch zwei Erdseile an der Mastspitze befinden,
tieren mehrere Teststrecken zum Betrieb von Hochtemperatur-
siehe Abb. 87.72d. Erdseile werden meist erst oberhalb der

Leiterseilen.

Mittelspannung verwendet. Oft enthalten sie zusätzliche Licht-

1056

87 Elektrische Energieversorgung

Abb. 87.75 Ausführung von Leiterbündeln mit Abstandhaltern als Zweier-, Dreier- und Viererbündel, Abstand a und Ersatzradien rB

Abb. 87.76 Darstellung des Seildurchhangs

Tab. 87.12 Mindestabstände von Leiterseilen

Durchhang D bzw. von Vertikalkraft FV und Spannweite l ein-

Betriebsspannung U
stellt. Für die Seilmitte würde dieses Gleichgewicht zwischen
b

Mindestabstände d in m
in kV

Horizontalmoment M
senkrecht
waagerecht

H und Vertikalmoment MV lauten:

Bis 123

6,00

3,00
l

Bis 245

6,75

3,75

M D

D

D

H

MV

D FH

FV

(87.79)

2

Bis 420

7,80

4,80

Bei der Spannweite l=4 stellt sich gemäß Abb. 87.76 rechts ein

Vertikalmoment abhängig von der Vertikalkraft F 0 pro Längen-

V
wellenleiter zur Datenübertragung, die in einer Röhre innerhalb
einheit dL des Seils ein:

der Stahlseele geführt werden. Zur Dämpfung von meist wind-
l
l
bedingten Schwingungen werden neben der Seilaufhängung

M D

D

D

H

MV

D FH

F 0

(87.80)

V

Schwingungsdämpfer vorgesehen. Abhängig von der Span-

2

4
nungsebene ergeben sich die Mindestabstände der Leiterseile

Allgemein lässt sich für den Seildurchhang die Kettenlinie mit
zur Erdoberfläche und gegenüber den Masten, siehe Tab. 87.12.

T
dem Cosinus hyperbolicus beschreiben, wobei der Parameter h
eil
wie in Abb. 87.76 rechts gezeigt der tiefste Punkt der Kettenlinie
ist:

XI

87.4.1.4.1

Seildurchhang

Auf das Leiterseil wirkt die in Abb. 87.76 links eingezeichnete
y D k. x/ D h cosh. b x/

(87.81)

Seilzugkraft FS, die sich aus der Gewichts- bzw. Vertikalkraft

F

Die Länge des Leiterseils L lässt sich als Bogenlänge l des Gra-

V und der Zug- bzw. Horizontalkraft FH errechnet:

phen von f über die in Abb. 87.76 gezeigten Punkte A und B
q
errechnen:

F D

C

S

F 2

F 2

(87.77)

H

V

A

Z p

Die mittlere Seilzugkraft errechnet sich aus der Horizontalkraft
l D

1 C . f 0. x/2/ dx

(87.82)

FH, der Seillänge L und der Spannweite l:

B

L

F D

87.4.1.4.2

Ersatzschaltbild von Freileitungen

S

FH

(87.78)

l

Symmetrisch aufgebaute Freileitungssysteme werden mit dem

Der Seildurchhang kann ermittelt werden, indem man eine sog.

…- oder T-Ersatzschaltbild abgebildet, siehe Abb. 87.77. Als

Kettenlinie betrachtet, bei der sich an jeder Stelle ein Momen-

Elemente des Ersatzschaltbilds werden längenbezogene Grö-
tengleichgewicht aus den Produkten von Horizontalkraft FH und
ßen, sog. Leitungsbeläge für die Kapazität C, die Induktivität

87.4

Elektrische Betriebsmittel

1057

Abb. 87.77 Ersatzschaltbilder von Freileitungen

L, den Wirkwiderstand R und den Wirkleitwert G verwendet.

Querschnitt des Leiters errechnet werden, sondern ist den Tabel-

Der Zahlenwert der Größen ergibt sich, wenn der jeweilige
lenwerten der Hersteller zu entnehmen, siehe Tab. 87.13, 87.14

Leitungsbelag mit der Länge multipliziert wird, z. B. für die Ka-
und 87.15. Hierbei werden längenbezogene Werte R 0 in (=km
pazität C:

angegeben, der Widerstandswert R kann daraus bei bekannter

Länge l ermittelt werden:

C D C 0 l

(87.83)

R D R 0 l

(87.85)

Während beim …- Ersatzschaltbild das Ein- und Ausgangsver-
halten allein durch die Leitungskapazitäten abgebildet wird und

Bei Gleich- und Wechselstromleitungen ist die Länge l gleich
es damit gut für hohe Frequenzen geeignet ist, werden beim
der doppelten Übertragungsstrecke und entspricht somit der

T-Ersatzschaltbild die Induktivitäten besser berücksichtigt. Im

Hin-und Rückleitung, im symmetrischen Drehstromnetz ist l

Bereich der Netzfrequenz sind beide Ersatzschaltbilder gleich-
gleich der einfachen Übertragungsstrecke anzusetzen. Da die
wertig, sie sind grundsätzlich nur weit unter ihrer Eigenfrequenz

Tabellenwerte für eine Umgebungstemperatur von 20 °C an-
gültig, im Bereich der Energieübertragung ist dies der Fre-
gegeben werden, muss der Widerstandswert bei abweichender
quenzbereich bis ca. 1 kHz. Die Eigenfrequenz der Leitung ˝ L

Temperatur rechnerisch ermittelt werden, für den Temperatur-
errechnet sich zu:

beiwert kann ˛ 0;004 K1 angenommen werden:

˝ D

D

1

R

L

2 fL
p

(87.84)

# D R 20Œ1 C ˛.# 20 ıC/

(87.86)

L C=2

Bei Bündelleitern errechnet sich der Betriebswirkwiderstand

R 0 , indem durch die Anzahl der Teilleiter n dividiert wird:

87.4.1.4.3

Wirkwiderstand von Leiterseilen
b; B

Der ohmsche Widerstand RL (Resistanz-Realteil des komple-

R 0

R 0

D L

(87.87)

xen Widerstands Z) von Freileitungsseilen kann aufgrund der
b; B
n
verlängerten Leiterführung durch den Seilschlag und Wirbel-
stromeffekten bei Verbundseilen nicht wie sonst bei Leitern

Der Betriebsableitwert G 0 beschreibt die ohmsche Kopplung der
b
üblich aus dem spezifischen Widerstand, der Länge und dem

Leiterseile und nimmt Werte im Bereich von 3 nS=km an.

Tab. 87.13 Dauerstrombelastbarkeit, Wirkwiderstände, Seilbruchkraft und Querschnitte von Kupferfreileitungsseilen (hart, blank) nach DIN EN 48201/1

Sollquerschnitt

Nennquerschnitt Anzahl der

Draht-¿ Seil-¿ D Seilgewicht Rechn. Seilbruch- Rechn. Seilwiderstand Dauerstrombelast-

A in mm2

A in mm2

Drähte

D in mm
in mm
in kg=km
kraft F in kN

R 0 bei 20 °C in (=km
barkeit I

L
d in A

XI

10

10,02

7

1,35

4,10

90

4,02

1,8051

90

16

15,89

7

1,70

5,10

143

6,37

1,1384

125

Teil

25

24,25

7

2,10

6,30

218

9,72

0,7460

160

35

34,36

7

2,50

7,50

310

13,77

0,5264

200

50

49,48

7

3,00

9,00

446

19,84

0,3656

250

50

48,35

19

1,80

9,00

437

19,38

0,3759

250

70

65,81

19

2,10

10,50

596

26,38

0,2762

310

95

93,27

19

2,50

12,50

845

37,39

0,1949

380

120

116,99

19

2,80

14,00

1060

46,90

0,1554

440

150

147,11

37

2,25

15,80

1337

58,98

0,1238

510

185

181,62

37

2,50

17,50

1649

72,81

0,1003

585

240

242,54

61

2,25

20,30

2209

97,23

0,7527

700

300

299,43

61

2,50

22,50

2725

120,04

0,0610

800

400

400,14

61

2,89

26,00

3640

160,42

0,0456

960

500

499,83

61

3,23

29,10

4545

200,38

0,0365

1110

625

626,20

91

2,96

32,60

251,04

0,0292

1058

87 Elektrische Energieversorgung

Tab. 87.14 Dauerstrombelastbarkeit, Wirkwiderstände, Seilbruchkraft und Querschnitte von Aluminium- Freileitungsseilen nach DIN 48201, EN 50182

Sollquer-

Bezeich- Nennquerschnitt Anzahl der Draht-¿

Leiter Seil-¿ Seilgewicht Rechn. Bruch- Gleichstromwider- Dauerstrombelast-
schnitt
nung alt

A in mm2

Drähte

D in mm

D in mm
m in kg=km kraft F in kN
stand R 0 bei 20 °C
barkeit I

L
d in A

16-AL1

16

15,9

7

1,70

5,10

43,4

3,02

1,7986

110

24-AL1

25

24,2

7

2,10

6,3

66

4,17

1,181

145

34-AL1

35

34,4

7

2,50

7,5

94

5,78

0,833

180

49-AL1

50

49,5

7

3,00

9,0

135

7,94

0,579

225

48-AL1

50

48,3

19

1,80

9,0

133

8,45

0,595

225

66-AL1

70

65,8

19

2,10

10,5

181

11,32

0,437

270

93-AL1

95

93,3

19

2,50

12,5

256

15,68

0,308

340

117-AL1

120

117,0

19

2,80

14,0

322

18,78

0,246

390

147-AL1

150

147,1

37

2,25

15,8

406

25,30

0,196

455

182-AL1

185

181,6

37

2,50

17,5

500

30,54

0,159

520

243-AL1

240

242,5

61

2,25

20,3

670

39,51

0,119

625

299-AL1

300

299,4

61

2,50

22,5

827

47,70

0,097

710

400-AL1

400

400,1

61

2,89

26,0

1104

60,86

0,072

855

450-AL1

450

449,8

61

3,07

27,6

1246

68,70

0,065

910

500-AL1

500

499,8

61

3,23

29,1

1379

74,67

0,058

990

626-AL1

625

626,2

91

2,96

32,6

1732

95,25

0,046

1140

802-AL1

800

802,1

91

3,35

36,9

2218

118,39

0,036

1340

1000-AL1 1000

999,7

91

3,74

41,1

2767

145,76

0,029

1540

87.4.1.4.4

Induktivität von Leiterseilen

Bei kleinem Abstand der Bündelleiter untereinander kann die

Mittelung näherungsweise entfallen:

Die Induktivität von Leiterseilen wird als längenbezogener Wert

L 0 in mH=km angegeben, die Induktivität L kann daraus bei be-

kannter Länge l ermittelt werden:

d 1 B
d 2 B
d 3 B
d 4 B
d dmB

(87.95)

L D L 0 l

(87.88)

Für den Ersatzradius r ers kann mit dem Leiterradius r, und dem

Radius des Bündelleiters rB nach (87.75) angesetzt werden:

Die Leiterinduktivität einer Wechselstromleitung Lb; WS errech-
p
net sich mit dessen Radius r, dem Leiterabstand d, der Länge l
r

D 4 r 4 r
und der Permeabilität
ers

B

(87.96)

0:

Bei Bündelleitern bewirkt der größere Ersatzradius r

0 l
d

B eine star-

L

D

D
b;WS
ln

0

4 104 H=km

(87.89)

2
r
ke Verminderung der Induktivität, wodurch die Übertragungs-
fähigkeit verbessert wird. Die längenbezogene Betriebsreaktanz

Für die längenbezogene Betriebsinduktivität L 0
ergibt sich:

b;WS

X 0
wird aus der Betriebsinduktivität errechnet:

b; B

0
d

L 0

D
ln

C 0;25

(87.90)

X 0

D ! L
b;WS
b

! D 2 f

(87.97)

2
r
b; B

Teil

Bei einer Drehstrom-Einfachleitung mit verdrillten Leitern wird

Die Betriebsreaktanz von Drehstrom-Freileitungen liegt bei
die längenbezogene Betriebsinduktivität L 0
über das geome-

Einfachleitungen im Bereich von 0,35 bis 0,4 (=km, bei Dop-

XI
b;DS
trische Mittel der Leiterabstände d
pelleitungen bei 0,3 (=km und bei Vierer-Bündelleitern bei
m bestimmt:

0,25 (=km.

0
dm

L 0

D
ln

C 0;25

(87.91)

b;DS

2
r
p

87.4.1.4.5

Kapazität von Leiterseilen
d D 3

m

. d 12 d 13 d 23/

(87.92)

Der Kapazitätsbelag von Leiterseilen wird als längenbezogener

Für die Berechnung der Betriebsinduktivität von Bündelleitern

Wert C 0 in nF/km angegeben, die Kapazität C kann daraus bei

L 0
ist deren mittlerer Abstand d
b; B
mB sowie der Ersatzradius rers
bekannter Länge l nach (87.83) im Abschn. 87.4.1.4.2 ermittelt
einzusetzen, n ist die Anzahl der Bündelleiter:

werden:

0
dmB

L 0

D
ln

C 1

(87.93)

b; B

C D C 0 l

2
r ers

4 n

Der Abstand d

Damit kann die kapazitive Reaktanz X
mB beschreibt die Entfernung der Bündelleiter zu

C errechnet werden:

den Teilleitern eines anderen Bündels:

p

D

1
d

D 4

XC

! D 2 f

(87.98)

mB

. d 1 B d 2 B d 3 B d 4/

(87.94)

! C

87.4

Elektrische Betriebsmittel

1059

Tab. 87.15 Dauerstrombelastbarkeit, Wirkwiderstände, Seilbruchkraft und Querschnitte von Aluminium- / Stahl - ACSR Freileitungsseilen Typ AL1/ST1A nach

DIN48204 und 48201/8, EN 50182:2001

Sollquerschnitt nach Bezeich-

Nennquer-

Drähte Al

Drähte Stahl

¿ Seile/

Seilgewicht Rechn. Seil- Gleichstrom-

Dauerstrom-

EN 50182
nung alt
schnitt Al=St Anzahl/¿

Anzahl/¿ in Leiter
gesamt
bruchkraft
widerstand R 0 bei belastbarkeit

L

DIN 48201 in mm2
in St=mm

St=mm
in mm
in kg=km

F in kN

20 °C in (=km

Id in A

15-AL/1/3-ST1A

16/2,5

15,3 / 2,54

6/1,80

1/1,80

1,80/5,40

61,6

5,80

1,8769

105

24-AL/1/4-ST1A

25/4

23,9/3,98

6/2,25

1 / 2,25

2,25/6,75

96,3

8,95

1,2012

140

34-AL1/6-ST1A

35/6

34,4/5,73

6/2,70

1/2,70

2,70/8,10

138,7

12,37

0,8342

170

44-AL1/32-ST1A

44/32

44/31,7

14/2,00

7/2,40

7,20/11,2

369,3

44,24

0,6574

–

48-AL1/8-ST1A

50/8

48,3/8

6/3,20

1/3,20

3,20/9,6

194,8

16,81

0,5939

210

51-AL1/30-ST1A

50/30

51,2/29,8

12/2,33

7/2,33

6,99/11,7

374,7

42,98

0,5644

–

70-AL1/11-ST1A

70/12

70/11,4

26/1,85

7/1,44

4,32/11,7

282,2

26,27

0,4132

290

94-AL1/15-ST1A

95/15

94,4/15,3

26/2,15

7/1,67

5,01/13,6

380,6

34,93

0,3060

350

97-AL1/56-ST1A

95/55

96,5/56,3

12/3,20

7/3,20

9,60/16,0

706,8

77,85

0,2992

–

106-AL1/76-ST1A

105/75

105,7/75,5

14/3,10

19/2,25

11,3/17,5

885,3

105,82

0,2742

–

122-AL1/20-ST1A

120/20

121,6/19,8

26/2,44

7/1,90

5,70/15,5

491,0

44,50

0,2376

410

122-AL1/71-ST1A

120/70

122,1/71,3

12/3,50

7/3,60

10,8/18,0

894,5

97,92

0,2364

–

128-AL1/30-ST1A

125/30

127,9/29,8

30/2,33

7/2,33

6,99/16,3

587,0

56,41

0,2260

425

149-AL1/24-ST1A

150/25

148,9/24,2

26/2,70

7/2,10

6,30/17,1

600,8

53,67

0,1940

470

172-AL1/40-ST1A

170/40

171,8/40,1

30/2,70

7/2,70

8,10/18,9

788,2

74,89

0,1683

520

184-AL1/30-ST1A

185/30

183,8/29,8

26/3,00

7/2,33

6,99/19,0

741,0

65,27

0,1571

535

209-AL1/34-ST1A

210/35

209,1/34,1

26/3,20

7/2,49

7,47/20,3

844,1

73,36

0,1381

590

212-AL1/49-ST1A

210/50

212,1/49,5

30/3,00

7/3,00

9,0/21,0

973,1

92,46

0,1363

610

231-AL1/30-ST1A

230/30

230,9/29,8

24/3,50

7/2,33

6,99/21,0

870,9

72,13

0,1250

630

243-AL1/39-ST1A

240/40

243,1/39,5

26/3,45

7/2,68

8,04/21,8

980,1

85,12

0,1188

645

264-AL1/34-ST1A

265/35

263,7/34,1

24/3,74

7/2,49

7,47/22,4

994,4

81,04

0,1095

680

304-AL1/49-ST1A

300/50

304,3/49,5

26/3,86

7/3,00

9,00/24,4

1.227,3

105,09

0,0949

740

305-AL1/39-ST1A

305/40

304,6/39,5

54/2,68

7/2,68

8,04/24,1

1151,2

96,80

0,0949

740

339-AL1/30-ST1A

340/30

339,3/29,8

48/3,00

7/2,33

6,99/25,0

1.171,2

91,71

0,0852

790

382-AL1/49-ST1A

380/50

381,7/49,5

54/3,00

7/3,00

9,00/27,0

1.442,5

121,30

0,0758

840

386-AL1/34-ST1A

385/35

386/34,1

48/3,20

7/2,49

7,47/26,7

1333,6

102,56

0,0749

850

434-AL1/56-ST1A

435/55

434,3/56,3

54/3,20

7/3,20

9,60/28,8

1.641,3

133,59

0,0666

900

449-AL1/39-ST1A

450/40

448,7/39,5

48/3,45

7/2,68

8,04/28,7

1.549,1

119,05

0,0644

920

490-AL1/64-ST1A

490/65

490,3/63,6

54/3,40

7/3,40

10,2/30,6

1852,9

150,81

0,0590

960

494-AL1/34-ST1A

495/35

494,4/34,1

45/3,74

7/2,49

7,47/29,9

1632,6

117,96

0,0584

985

511-AL1/45-ST1A

510/45

510,5/45,3

48/3,68

7/2,87

8,61/30,7

1765,3

133,31

0,0566

995

550-AL1/71-ST1A

550/70

549,7/71,3

54/3,60

7/3,60

10,8/32,4

2.077,2

166,32

0,0526

1020

562-AL1/49-ST1A

560/50

561,7/49,5

48/3,86

7/3,00

9,00/32,2

1.939,5

146,28

0,0515

1040

571-AL1/39-ST1A

570/40

571,2/39,5

45/4,02

7/2,68

8,04/32,2

1887,1

136,0

0,0506

1050

653-AL1/45-ST1A

650/45

653,5/45,3

45/4,30

7/2,87

8,61/34,4

2159,9

156,18

0,0442

1120

679-AL1/86-ST1A

680/85

678,6/86,0

54/4,00

19/2,40

12,0/36,0

2.549,7

206,56

0,0426

1150

1046-AL1/45-ST1A 1045/45

1045,6/45,3

72/4,30

7/2,87

8,61/43,0

3.248,2

21892

0,0277

1580

XI

Für den Einzelleiter einer Wechselstromleitung wird die Be-

Der Ersatzabstand D errechnet sich mit der Leiterhöhe h und

Teil
triebskapazität Cb;WS aus der Koppelkapazität CK zwischen den dem Leiterabstand d:

Leitern und der Erdkapazitäten CE zwischen Leitern und Erd-
p
potenzial errechnet:

D D

.2 h/2 C d 2

(87.101)

Damit ergibt sich die Betriebskapazität C

C

D

C
b;WS zu:

b;WS

2 CK

CE

(87.99)

C

D

2"0 l

(87.102)

Die längenbezogene Betriebskapazität C 0 ergibt sich als Ge-
b;WS
b
ln

2 hd
p
samtkapazität eines Leiters mit der Permittivitätszahl "

r

.2 h/2C d 2

0, der

Leiterhöhe h, dem Leiterabstand d, dem Leiterradius r und dem

Bei der Drehstromleitung addieren sich die Teilkapazitäten der

Ersatzabstand D zu:

Leiter zur Betriebskapazität Cb;DS:

A s

C 0

D 2"0

" D 8;854 1012

(87.100)

C 1

C 2

C 3
b;WS

0

D

C

C
ln 2 hd

V m

Cb;DS

(87.103)

rD

3

3

3

1060

87 Elektrische Energieversorgung

Fall 1: Leerlaufende Freileitung

Zuerst soll der Leerlauf einer Freileitung, d. h. der Fall mit

Z ! 1 betrachtet werden, siehe Abb. 87.79. In diesem Fall

2
tritt keine induktive Blindleistung auf ( Q D

L

0), jedoch kapazi-
tive Blindleistung beim Aufladen der Kapazitäten ( Q ¤

C

0).

Abb. 87.78 Ersatzschaltbild der verlustlosen Freileitung

Die Leitung wird mit der Eingangsspannung U
versorgt.

1

Die Kapazitäten verursachen einen kapazitiven Ladestrom, der
einen Spannungsfall über der Betriebsinduktivität verursacht.

Die Ausgangsspannung ergibt sich als Summe der Eingangs-

Zur Berechnung der Betriebskapazität der Drehstromleitung
spannung und der Spannungsfälle:

wird folgende Grundbeziehung für die Kapazität eines Zylin-
derkondensators genutzt:

U D U C I j! L D U C I j! L 0 l

(87.106)

2

1

C

1

C

Da der Spannungsbeitrag durch das Produkt aus I und L 0 mit

C D 2"0 l

(87.104)

1
ln r 2
der Länge l zunimmt, steigt die Spannung zum Leitungsende
r 1
hin immer weiter an, siehe Abb. 87.80. Dieser Effekt wurde

Gleichung (87.103) wird zur näherungsweisen Bestimmung der
nach seinem Entdecker als Ferranti-Effekt benannt. Der kapa-

Betriebskapazität C
zitive Ladestrom nimmt zum Leitungsende hin ab.

b; DS so modifiziert, dass für r 2 der Ersatz-
durchmesser der Dreileiteranordnung dm nach (87.91) einge-
setzt wird, für r 1 kann der Leiterradius r eingesetzt werden:

Fall 2: Zufällig abgeschlossene (nicht angepasste)

Freileitung

C

2"0 l
b;DS

(87.105)

Nun wird die Leitung mit dem Lastwiderstand Z abgeschlos-

2
ln dm
r
sen, der Leistungsfaktor der Last ist cos ' D 1. Die Eingangs-
spannung U versorgt die Last und treibt den Strom I . Am

1

1

Als Richtwerte für Betriebskapazitäten ergeben sich bei 20 kV

Ausgang stellen sich abhängig von Z die Spannung U und

2

2

Werte von 4 . . . 5 nF=km, bei 110 kV Werte von 8 . . . 9 nF=km, der Strom I ein, siehe Abb. 87.81. In diesem Fall tritt sowohl

2
bei 220-kV-Zweierbündeln 12 nF=km und bei 380-kV-Vierer-
induktive Blindleistung ( Q ¤

L

0) als auch kapazitive Blindleis-
bündeln 12 . . . 14 nF=km.

tung auf; jedoch sind beide Anteile ungleich groß ( Q ¤

L

QC),
es fließt z. B. wie in Abb. 87.82 gezeigt ein kapazitiver Strom.

87.4.1.4.6

Betriebsverhalten von Freileitungen

In Abb. 87.82 sind die Zeigerbilder der elektrischen Größen
für die Fälle kurze und lange Leitung gezeigt. Bei der kurz-

Zur Beschreibung des Betriebsverhaltens von symmetrisch auf-
en Leitung liegt ein induktives Verhalten vor und es tritt ein
gebauten Freileitungen soll das Ersatzschaltbild der verlustlosen

Spannungsfall zum Leitungsende hin auf, bei der langen Lei-

Freileitung aus Abb. 87.78 verwendet werden. Zu beachten ist,
tung liegt ein kapazitives Verhalten vor und die Spannung steigt
dass für Leitungen ab ca. 300 km Länge deren Wellenverhal-
zum Leitungsende hin an. Auch wenn am Leitungsende we-
ten maßgeblich ist, d. h. dass die elektrischen Größen nicht nur
gen cos ' D 1 der Last Z die Spannung U und der Strom
zeit- sondern auch ortsabhängig sind. Die Leitung wird mit

2

2

I in Phase liegen, trifft dies nicht auf Spannung und Strom am
dem Lastwiderstand Z abgeschlossen, die Eingangsspannung

2

2

Leitungsanfang zu. Der Grund dafür liegt darin, dass die kapazi-

U versorgt die Last und treibt den Strom I . Am Ausgang stel-

T

1

1
tive und induktive Blindleistung ungleich groß sind. Aufgrund
eil
len sich abhängig von Z die Spannung U und der Strom I

2

2

2
der Welleneigenschaften langer Leitungen stellt sich abhängig
ein.

von der Leitungslänge und unabhängig vom Phasenwinkel ' ein

XI

Nachfolgend sollen vier Belastungsfälle beschrieben werden:

Verdrehwinkel ) in der Größe von 6°=100 km ein.

1. Leerlaufende Freileitung mit Z ! 1

2

Fall 3: Gezielt abgeschlossene (angepasste) Freileitung

2. Zufällig abgeschlossene (nicht angepasste) Freileitung

Z ¤ Z

Im zuvor betrachteten Fall 2 hat sich gezeigt, dass ein zufäl-

2

W

3. Gezielt abgeschlossene (angepasste) Freileitung Z D Z
liger Abschluss der Freileitung durch die Last zu einem Un-

2

W

4. Berücksichtigung des ohmschen Leitungswiderstands R ¤ 0
gleichgewicht von kapazitiver und induktiver Blindleistung im

Abb. 87.79 Ersatzschaltbild und Zeigerbild der verlustlosen Freileitung im Leerlauf

87.4

Elektrische Betriebsmittel

1061

U 1 = U n

U 2

Dazu wird der Abschlusswiderstand Z in der Größe des Wel-

Ι

U(x)

2

1
lenwiderstands ZW gewählt; dieser wird aus den Leitungsbelä-

I(x)

x

P
gen L 0 für die Induktivität und C 0 für die Kapazität errechnet,

2 = 0

Q
siehe Abb. 87.83:

2 = 0

U
r

1,1

U

L 0
n

Z D Z D Z

D

(87.108)

1

2

W

C 0

Der Abschluss einer Leistung mit ihrem Wellenwiderstand wird

1,05
als Leistungsanpassung bezeichnet, die Leitung wird dabei im
sog. natürlichen Betrieb belastet. Sie nimmt hierbei eine Wirk-

1,0
leistung auf, die als natürliche Leistung P nat bezeichnet wird:

0

100

200

300

U 2

P

D nN

(87.109)

Ι
nat

Z

0,5

W

Ι n

0,4

Typische Werte für den Wellenwiderstand und die natürliche

Leistung sind in der Tab. 87.16 angegeben. Es ist ersichtlich,

0,3
dass die natürliche Leistung weit unterhalb der thermischen

0,2

Grenzleistung liegt. Es wird später noch gezeigt, dass lange

0,1

Leitungen zur Sicherstellung der Spannungsstabilität stets un-
terhalb ihrer natürlichen Leistung belastet werden.

0

0

100

200

300

Bei der Leistungsanpassung haben Strom und Spannung stets

Länge x in km
konstante Amplituden entlang der Leitung und liegen in Phase,
es tritt jedoch ein mit der Leitungslänge zunehmender Ver-

Abb. 87.80 Ortsabhängige elektrische Größen, Spannungs- und Stromverlauf
einer langen Freileitung im Leerlauf
drehwinkel zwischen Anfang und Ende der Leitung auf, siehe

Abb. 87.84.

Fall 4: Berücksichtigung des ohmschen

Leitungswiderstands

Ist der ohmsche Widerstand R ¤ 0 und damit nicht vernachläs-
sigt, treten zusätzliche Spannungsabfälle auf, in deren Folge der
fließende Strom zum Leitungsende hin abnimmt.

Abb. 87.81 Ersatzschaltbild der verlustlosen Freileitung mit nicht angepasster

Belastung

Realisierung des Leitungsabschlusses mit dem

Wellenwiderstand

Übertragungssystem und damit zu Spannungsabsenkungen oder

Lange Leitungen ab ca. 300 km Länge werden mit ihrem Wel-

-anhebungen führt. Daher soll nun der Abschlusswiderstand an-
lenwiderstand abgeschlossen, um auf ihnen ein Gleichgewicht
gepasst und so ausgewählt werden, dass die Blindleistungen
von kapazitiver und induktiver Blindleistung einzustellen. Dies
auf der Übertragungsleitung im Gleichgewicht sind und kei-
erfolgt wie in Abb. 87.85 gezeigt mittels einer einstellbaren
ne Zufuhr der Blindleistung von außen erfolgen muss. Dies

Drosselspule an der Tertiärwicklung des Transformators am
kann erreicht werden, wenn der Abschlusswiderstand Z so aus-

2

Ende der 380-kV-Leitung. Durch diese einstellbare Induktivi-
gewählt wird, dass er der Eingangsimpedanz Z der Leitung

XI

1
tät kann der Wellenwiderstand des Leitungszuges an die Last
entspricht:

angepasst werden. Damit liegt auch bei Teillast immer ein natür-
licher Betrieb vor. Die nachfolgende 110-kV-Leitung benötigt

Teil

U

U

Z D

1 D Z D

2

(87.107)

aufgrund ihrer kürzeren Länge keinen einstellbaren Abschluss

1

I

2

I

1

2
am Leitungsende.

a
b

Abb. 87.82 Zeigerbilder der mit einem Widerstand Z abgeschlossenen verlustlosen Freileitung. a Kurze Leitung, b lange Leitung

1062

87 Elektrische Energieversorgung

Tab. 87.16 Wellenwiderstand und natürliche Leistungen von Freileitungen

Nennspannung Un

Seilquerschnitt A von Al=St

Wellenwiderstand ZW

Natürliche Leistung P nat

Thermische Grenzleistung P th
in kV
in mm2
in (
in MW
in MV A

10

50/8

330

0,3

3

20

120/20

335

2,7

14,2

110

240/40

380

32

123

220

2 240/40

276

175

492

380

4 240/40

240

602

1700
mit ihrem Wellenwiderstand abgeschlossen: Z

D Z

2

W , es
wird die natürliche Leistung P nat übertragen. Im unternatürli-
chen Betrieb der Leitung ist der Abschlusswiderstand größer
als der Wellenwiderstand: Z

> Z

2

W , damit weist die Leitung
ein kapazitives Verhalten auf, das zu einem Spannungsanstieg
am Leitungsende führt. In der Praxis wird dieser Effekt je-

Abb. 87.83 Ersatzschaltbild der verlustlosen Freileitung mit angepasster Be-
doch durch den ohmschen Leitungswiderstand abgeschwächt.

lastung

Wegen des im Vergleich zum natürlichen Betrieb größeren Ab-
schlusswiderstandes fließt ein geringerer Strom und es wird
weniger Wirkleistung als im natürlichen Betrieb übertragen.

Wirkleistung als Funktion der Leitungslänge

Hingegen ist im übernatürlichen Betrieb der Leitung der Ab-

Die übertragbare Wirkleistung wird durch die Leitungslänge be-
schlusswiderstand kleiner als der Wellenwiderstand: Z < Z

2

W ,
stimmt, siehe Abb. 87.86. Auf kurzen Strecken bis ungefähr
die Leitung weist ein induktives Verhalten mit einem Span-

80 km ist wie im Bereich 1 des Bildes gezeigt allein die thermi-
nungsfall zum Leitungsende hin auf. Dieser wird durch den
sche Grenzleistung des Übertragungsmediums maßgebend. Im
ohmschen Leitungswiderstand noch verstärkt. Wegen des klei-

Bereich 2 zwischen 80 und 320 km entscheidet der Spannungs-
neren Abschlusswiderstandes fließt ein höherer Strom und es
fall über die übertragbare Wirkleistung. Über 320 km verhalten
wird mehr Wirkleistung als im natürlichen Betrieb übertragen.

sich Freileitungen bei der Leistungsübertragung stets kapazitiv,

Diese Betriebsart ist bei der möglichen Zuschaltung großer
deshalb müssen im Bereich 3 Leitungen zur Sicherstellung der

Konstantleistungslasten zu vermeiden, wie anschließend gezeigt

Spannungsstabilität immer unternatürlich betrieben werden, um
wird.

Spannungsinstabilitäten zu vermeiden.

Vermeidung von Spannungsinstabilitäten bei der

Betriebsarten von Freileitungen

Zuschaltung von Konstantlasten

Freileitungen können abhängig von der Art ihres Abschlusswi-

Der durch das Zuschalten von Konstantleistungslasten auftre-
derstands natürlich, unternatürlich oder übernatürlich betrieben
tende Spannungsfall führt zu einer Stromerhöhung, die wie-
werden. Im natürlichen Betrieb der Leitung wird die Leitung
derum einen Spannungsfall verursacht; diese Abfolge führt zur
b

Teil
a

XI

Abb. 87.84 Zeigerbilder der mit einem Widerstand Z abgeschlossenen verlustlosen Freileitung. a Kurze Leitung, b lange Leitung

Abb. 87.85 Realisierung des Leitungsabschlusses mit dem Wellenwiderstand mit einstellbarer Drosselspule an der Tertiärwicklung des Transformators

87.4

Elektrische Betriebsmittel

1063

P

P nat 3,0

2,5

2,0
induktiv

1,5

1,0

0,5

1

2

3
kapazitiv

0

0

160

320

480

640

800

960

Leitungslänge in km

Abb. 87.86 Übertragene Wirkleistung als Funktion der Leitungslänge

Verletzung des Spannungsbandes und damit zur Abschaltung.

Tab. 87.17 Eigenschaften von Kupfer und Aluminium

Dies lässt sich vermeiden, indem lange Leitungen unternatür-

Parameter

Kupfer

Aluminium Verhältnis Cu=Al
lich betrieben werden. In diesem Fall nimmt bei der Zuschaltung

Dichte in kg=dm3

8,9

2,7

3,2
einer Konstantlast durch die Annäherung an den natürlichen

Ausdehnungskoeffizient in

17

24

0,7

Betrieb die im unternatürlichen Betrieb auftretende Blindleis-

106=K
tung und damit der Blindstrom auf der Leitung ab, wodurch

Spezifische Wärmekapazität

0,4

0,9

0,4
die Stromerhöhung durch die Konstantleistungslast kompensiert
in J=g K
wird. Dies ist dadurch begründet, dass die Zuschaltung einer

Schmelzpunkt in °C

1080

660

1,6

Last eine Verringerung des Abschlusswiderstands der Leitung

Wärmeleitfähigkeit in W=mK 380

220

1,7
verursacht.

Leitfähigkeit in m=( mm2

58

36

1,6

Preis gerundet in C=kg

5

1,5

3,3

87.4.2

Kabel

Leiterformen

Als Leiterformen kommen ein- und mehrdrähtige Rundleiter so-

Drehstromkabel stehen für Spannungen von 0,4 bis 380 kV
wie sektorförmige Leiter zum Einsatz. Bei Querschnitten bis 35
zur Verfügung, sie werden bevorzugt im Bereich bis 110
mm2 weisen Sektorleiter gegenüber Rundleitern kleinere Kabel-
kV eingesetzt. Gleichspannungskabel werden in Kombination
durchmesser auf.

mit Hochspannungs-Gleichstromanlagen für Spannungsberei-
che bis zu 800 kV gefertigt, kommen jedoch insgesamt nur

Schirmleiter
selten zum Einsatz und werden daher hier nicht vertieft. Von
den im Abschn. 87.3.2.1 genannten Stromkreislängen im Dreh-

Metallische Schirme aus Kupfer, Stahl oder Blei leiten den La-

XI
stromnetz werden 90 bzw. 80 % als Kabel auf der Nieder- und
destrom beim Einschalten, den Ableitstrom im Fehlerfall und

Mittelspannungsebene ausgeführt, jedoch nur 9 bzw. 0,3 % auf
dienen als Berührungsschutz.

Teil
der Hoch- und Höchstspannungsebene.

87.4.2.2

Isolierstoffe

87.4.2.1

Leiterwerkstoffe und Leiterformen

Zur Isolation von Kabeln stehen die Stoffe Polyvinylchlo-
rid (PVC), Polyethylen (PE), Vernetztes Polyethylen (VPE),

Leiterwerkstoffe für Kabel sind Kupfer und Aluminium, siehe

Ethylen-Propylen-Kautschuk (EPR) zur Verfügung. Ältere

Tab. 87.17. Auch bei Kabeln gilt, dass Aluminium bei glei-

Mittel- und Hochspanungskabel weise eine öl- oder masse-
chem Gewicht einen größeren Querschnitt und damit einen
getränkte Papierisolierung auf, diese Art der Kabelisolierung
höheren Leitwert als Kupfer aufweist und deshalb wesentlich
wird jedoch aus Umweltschutzgründen heute nicht mehr ein-
kostengünstiger ist, weshalb es ab der Mittelspannungsebe-
gesetzt. Wesentliche Eigenschaften der Isolierstoffe sind in
ne bevorzugt eingesetzt wird. Auf der Niederspannungsebene
der Tab. 87.18 gezeigt. Im Niederspannungsbereich wird die
werden wegen ihrer besseren Klemm- und Kontaktierungsei-

Schichtdicke der Isolierung vorrangig durch die mechanische
genschaften hauptsächlich Kupferleitungen eingesetzt, erst bei

Beanspruchung während der Verlegung bestimmt, mit steigen-
hohen Strömen werden Kabel mit mehrdrähtigen Rundleitern
der Spannung hängt die Isolierschichtdicke immer mehr von der
oder sektorförmigen Leitern aus Aluminium genutzt.

elektrischen Feldstärke ab.

1064

87 Elektrische Energieversorgung

Tab. 87.18 Wesentliche Eigenschaften von Kabelisolierstoffen PVC – Polyvinylchlorid, PE – Polyethylen, VPE – Vernetztes Polyethylen, EPR – Ethylen-Propylen-

Kautschuk, angepasst nach Constantinescu-Simon: Handbuch Elektrische Energietechnik 1997

Parameter

PVC

PE

VPE

EPR

Papier/Öl

Spezifischer Widerstand

> 108

> 1011

> 1011

> 108

> 108
in M( m

Verlustfaktor tan ı in 103

50

0,4

0,4

5

3

Permittivitätszahl " r

4

2,3

2,3

3

3,5

Versprödungstemperatur

10

60

60

50

Versprödet nicht

Tv in °C

Zulässige Leitertemperatur 70

70

90

90

60 . . . 80

TL in °C

Zulässige Leitertemperatur 140 . . . 160

150

250

250

140 . . . 180

T Lk bei Kurzschluss in °C

Spezifischer Wärmewider-

6,0

3,5

3,5

4–5

5,0
stand R th in K=W

Dichte in kg=dm3

1,3

0,92

0,92

1,3

1,0

Zugfestigkeit ˇ Z in

16

15 . . . 20

15 . . . 20

6 . . . 10
gering

N=mm2

Reißdehnung " in %

200 . . . 250

400 . . . 600

300 . . . 500

350 . . . 500

0

Flexibilität

Mittel

Mittel

Mittel

Hoch

Gering

Spannungsbereich

Niederspannung, Mit-

Alle Spannungsebenen Mittel- Hoch- und

Alle Spannungsebenen Mittel- Hoch- und
telspannung bis 20 kV

Höchstspannung

Höchstspannung

Anwendungsbereich: Iso-

Kabel

Nur Kabelmantel

Kabel

Isolatoren, Anschlüsse

Kabel für AC und DC
lierung von

Garnituren

(HGÜ)

a
b
c

Die kapazitive Blindleistung errechnet sich zu:

Q D

D

C

U IC

U 2 ! C

(87.111)

Zur Berechnung des Verlustfaktors tan ı können die Leitwerte
gemäß Ersatzschaltbild aus Abb. 87.87b oder auch die Leis-
tungen bzw. Ströme verwendet werden, siehe Abb. 87.87c und

Abb. 87.87d:

d

Pı

Iı
tan ı D 1= R D

D

!

(87.112)

C

QC

IC

Der Winkel ı beschreibt die Abweichung von der 90°-

Phasenverschiebung der idealen Kapazität, er ist abhängig vom

T
eingesetzten Material sowie den Parametern Frequenz, Tempe-
eil

Abb. 87.87 Ermittlung des Verlustwinkels ı von Isolierstoffen. a Ersatzan-
ordnung als Plattenkondensator, b Ersatzschaltbild des realen Kondensators,
ratur und Feldstärke:

c Zeigerbild der Leitwerte, d Zeigerbild der Ströme

XI
ı D 90ı j'j

(87.113)

Verlustfaktor tan ı

In der Praxis treten abhängig von der Isolationsqualität nur sehr

Zur Bewertung der Isolationsqualität wird der Verlustfaktor
kleine Verlustwinkel auf, z. B. ı D 0;05ı. Für die Hoch- und
tan ı genutzt, der sich aus den ohmschen Verlusten des Isolier-

Höchstspannung werden nur Isolierstoffe mit kleinem Verlust-
stoffs ergibt. Wird der Isolierstoff vereinfacht als Dielektrikum
faktor tan ı, also kleinen dielektrischen Verlusten, eingesetzt.

eines Plattenkondensators betrachtet, siehe Abb. 87.87a, lässt

Aus (87.112) lässt sich direkt der Zusammenhang zwischen Ver-
er sich durch das in Abb. 87.87b gezeigte Ersatzschaltbild des
lustleistung und kapazitiver Blindleistung ableiten:

realen Kondensators abbilden. Zur Berücksichtigung der ohm-
schen Verluste wird ein Widerstand parallel zum Kondensator

Pı D tan ı QC
verschaltet. Damit ergibt sich das Zeigerbild in Abb. 87.87d, Iı
ist der Strom durch den Widerstand R, mit dem die im Dielek-

Setzt man dies in (87.111) ein, erhält man für die Kabelverlust-
trikum umgesetzte Wirkleistung (dielektrische Verlustleistung)

leistung P

P
ı die in der Praxis genutzte Beziehung:

ı errechnet wird:

Pı D U Iı

(87.110)

Pı D ! C tan ı U 2

(87.114)

87.4

Elektrische Betriebsmittel

1065

Aluminiumleiter

Leiterisolation aus PVC

Füllmischung
konzentrische Leiter mit Kontaktwendel

Abb. 87.89 Teilentladungen (water trees) beim Eindringen von Wassermole-

Mantel aus PVC
külen in die Kunststoffisolation
zitätszahl von Wasser Feldstärkespitzen im Dielektrikum, die
wegen ihrer Form als „water trees“ bezeichnet werden, siehe

Abb. 87.89. Dies führt zu Teilentladungen, die über längere

Zeiträume elektrische Durchschläge verursachen können.

Abb. 87.88 Aufbau eines dreiadrigen Niederspannungskabel NAYCWY oder

NA2XCWY mit konzentrischem Leiter und sektorförmigen Leitern, ohne konzen-

Dieser Effekt wäre bei Hoch- und Höchstspannungskabeln stark
trischem Leiter NAYY, NA2XY
ausgeprägt. Daher wird hier unter dem eigentlichen Kabel-
mantel aus PE ein zusätzlicher Aluminium-Schichtenmantel
vorgesehen, der das Eindringen von Wasser in die Kabelisolie-

87.4.2.3

Aufbau von Kabeln
rung verhindert und als Querwasserdichtung bezeichnet wird,
siehe Abb. 87.90. Kabel für Hoch-und Höchstspannungen wei-
sen ebenfalls die zuvor für Mittelspannungskabel beschriebenen

87.4.2.3.1

Kunststoffkabel
zusätzlichen Isolationsmerkmale auf. Darüber hinaus haben sie

Im Niederspannungsbereich werden die Leiter rund oder bei
über den Kupferschirm eine weitere Schicht aus leitfähigen
größeren Querschnitten auch sektorförmig ausgeführt. Es wer-

Bändern, um das elektrische Feld zu vergleichmäßigen.

den oft Vierleiter-, aber auch Dreileiterkabel mit verseilten Lei-
tern aus Kupfer oder Aluminium eingesetzt, siehe Abb. 87.88.

87.4.2.3.2

Massekabel

Meist wird die Aderisolierung mit Polyvinylchlorid (PVC) rea-
lisiert, dass jedoch im Vergleich mit VPE-Vernetztem Polyethy-

Bei dieser Ausführung wird die Isolation durch ölgetränktes
len (VPE) nach Tab. 87.18 eine geringere Wärmebelastbarkeit

Papier realisiert, die Tränkmasse hat den Begriff Massekabel
aufweist und deshalb schrittweise durch VPE abgelöst wird.

geprägt. Massekabel werden im Niederspannungsnetz seit den

Die Leiter werden durch eine gemeinsame Umhüllung aus ei-
siebziger Jahren nicht mehr und im Mittelspannungsnetz immer
ner Füllmischung zusätzlich isoliert. Teilweise wird wie in
seltener verlegt. Ein großer Teil der verlegten Kabel ist jedoch

Abb. 87.88 gezeigt als Schirmung eine leitfähige Schicht mit
aufgrund der Lebensdauer von 50 Jahren noch in Betrieb und
konzentrischem Leiter realisiert. Der Kabelmantel besteht aus
wird schrittweise erst innerhalb der nächsten Jahre ausgetauscht.

PVC oder Polyethylen (PE), das eine höhere mechanische Fes-

Einadrige Massekabel werden aufgrund ihrer guten Isolierstoff-
tigkeit und Kältebeständigkeit aufweist.

eigenschaften bei Gleichspannungen für HGÜs im Spannungs-
bereich bis 400 kV genutzt. Die Adern werden einzeln mit

Im Mittelspannungsbereich werden mehrdrähtige Leiter aus

Kuper und Aluminium mit Isolierungen aus VPE und einem

Mantel aus PE eingesetzt. VPE weist neben der höheren Wär-

Kupferleiter, mehrdrähtig

XI
mebelastbarkeit auch einen wesentlich geringeren Verlustfaktor
tan ı als PVC auf, siehe Tab. 87.18. Mittelspannungskabel wer-
innere Leitschicht
den bis 10 kV drei- und einadrig ausgeführt, darüber hinaus

VPE-Isolierung

Teil
fast nur noch als Einleiterkabel. Für Nennspannungen ab 10
äußere Leitschichten
kV werden zur Vergleichmäßigung der Feldstärken und zur

Kupferschirm

Vermeidung von Feldspitzen um den Leiter und die Isolierung
leitfähige Bänder
zusätzlich eine innere und äußere Leitschicht aus halbleitendem

Aluminium-Schichtenmantel

Kunststoff vorgesehen, über der sich ein Quellvlies, ein Kup-

PE-Mantel
ferschirm, eine Trennschicht und ein PE-Mantel befinden. Das

Quellvlies quillt beim Eindringen von Wasser auf und verhin-
dert die Ausbreitung von Feuchtigkeit in Längsrichtung, es wird
deshalb auch als Längswasserdichtung bezeichnet. Das Eindrin-
gen von Wasser muss verhindert werden, erfolgt jedoch auch
durch Diffusion über den Kabelmantel. Dringt Wasserdampf in
die VPE-Kabelisolierung ein, lagern sich Wassermoleküle zwi-
schen den vergleichsweise großen Kunststoffmolekülen an und

Abb. 87.90 Aufbau eines VPE-Höchstspannungskabels 2XS(FL)2Y 1x800
bilden bei anliegender Feldstärke E durch die hohe Dielektri-

RM/50 220/380 kV

1066

87 Elektrische Energieversorgung

Kupferleiter, mehrdrähtig

Aderisolation aus getränktem Papier

Kupferhohlleiter, mehrdrähtig

Gürtelisolation aus getränktem Papier

Leiterglättung aus Rußpapier

Bleimantel
getränkte Papierisolierung

Druckschutzbandage

Abschirmung
innere Schutzhülle

Bleimantel

Stahlbandbewährung

Druckbandage
äußere Schutzhülle

Bewicklung als Korrosionsschutz

PVC-Außenmantel

Abb. 87.91 Aufbau eines dreiadrigen Mittelspannungs-Gürtelkabels NKBA

Abb. 87.92 Aufbau eines Ölkabels NÖKUDEY für Spannungen von 60 bis

3x95 RM 6/10 kV

400 kV
dieser Kabeltyp aus Umweltschutzgründen nicht mehr zulässig.

15 bis 30 mm breiten Papierbändern lagenweise geschichtet

Als Alternative stehen VPE-isolierte Kabel oder gasisolierte Ka-
und überlappend umwickelt und anschließend mit zähflüssiger
bel zur Verfügung.

Masse oder Öl imprägniert. Diese flüssige Imprägnierung kann
durch das Eindringen in Hohlräume zeitweilige auftretende

Fehlerstellen beseitigen und somit Teilentladungen verhindern.

87.4.2.3.4

Gasdruckkabel

Zusätzlich werden bei der geschichteten Isolierung Fehlerstel-

Bei diesem Kabeltyp sind drei einadrige Massekabel gemein-
len der Einzelschicht durch benachbarte Schichten abgedeckt,
sam in einem Stahlrohr angeordnet, das mit Stickstoff bei einem
dies wird als Schottung bezeichnet. Im Spannungsbereich bis

Druck von 15 bar befüllt ist. Beim Gasaußendruckkabel werden

10 kV wird die Ausführungsart als Gürtelkabel eingesetzt, siehe
die Blei-Kabelmäntel von außen zusammengedrückt, wodurch

Abb. 87.91. Hierbei werden die einzeln isolierten Leiter zu-
vorhandene Hohlräume der massegetränkten Papierisolierung
sätzlich durch die Gürtelisolation aus öl- oder massegetränktem
geschlossen werden und so die Isolierfähigkeit verbessert wird,

Papier umhüllt. Oberhalb der Niederspannung werden innere
siehe Abb. 87.93. Im Gegensatz dazu weisen die Adern des
und äußere Leitschichten vorgesehen. Die innere Leitschicht

Gasinnendruckkabels keinen Kabelmantel auf, hier dringt der
wird durch leitfähiges Rußpapier realisiert, die äußere Leit-
komprimierte Stickstoff in die Hohlräume der Papierisolierung
schicht aus metallisiertem Papier, der sog. Höchstädter-Folie.

ein und erhöht die Isolierfähigkeit abhängig vom Gasdruck.

Daraus abgeleitet werden diese Kabel im Spannungsbereich von

Dreiadrige Gasdruckkabel benötigen weniger Platz als einad-

10 kV bis 30 kV als Höchstädter-Kabel bezeichnet. Zum mecha-
nischen Schutz und gegen eindringende Feuchtigkeit werden ein

Bleimantel, eine Druckschutzbandage, eine innere Schutzhülle,

Kupferleiter, mehrdrähtig
eine Stahlbandbewehrung und eine äußere Schutzhülle vorgese-

Leiterglättung aus Rußpapier

T
hen, siehe Abb. 87.91.

eil
getränkte Papierisolierung

Aderabschirmung

XI

87.4.2.3.3

Öldruckkabel

Bleimantel

Druckschutzbandage

Bei Ölkabeln werden die Leiter durch ölgetränktes Papier iso-

Zwickelfüllung
liert, das in Form von Papierbändern lagenweise geschichtet

Stahlflachdrahtbewehrung
und überlappend gewickelt wird. Um Hohlräume auszufüllen

Stahlrohr
und somit Teilentladungen zu vermeiden, wird durch Ölkanäle

PE-Schutzhülle
dünnfüssiges Öl in das Kabel gedrückt. In Abb. 87.92 ist ein
einadriges Ölkabel gezeigt, dessen Bauform in weiten Span-
nungsbereichen von 60 bis 400 kV eingesetzt wird. Hier ist
der Kupferleiter als Hohlleiter ausgeführt, der die Aufgabe des

Ölkanals übernimmt. Als innere Leitschicht wird leitfähiges

Rußpapier verwendet, auf der Isolation wird eine Schirmung
aus Rußpapier oder metallisiertem Papier vorgesehen, die ge-
meinsam mit dem Bleimantel die Lade-und Ableitströme führt.

Der Bleimantel dient gemeinsam mit der Druckbandage, der

Bewicklung und dem PVC-Außenmantel dem mechanischen

Abb. 87.93 Aufbau eines dreiadrigen Gasaußendruckkabels NPKDvFSt2Y

Schutz. Da bei mechanischen Beschädigungen Öl ausfließt, ist

3x400 OM 64/110 kV

87.4

Elektrische Betriebsmittel

1067
rige VPE-Hochspannungskabel, sie sind durch das umhüllende

Tab. 87.19 Bauartenkurzzeichen für Kabel nach VDE 0271

Stahlrohr mechanisch gut geschützt und robust gegenüber Be-

Kurzzeichen für Kabel mit Kunststoffisolierung
schädigungen bei Bauarbeiten. Sie werden deshalb bevorzugt

A

Aluminiumleiter
im Innenstadtbereich eingesetzt.

I

Installationskabel (Gasinnendruckkabel)

Y

PVC-Isolierung (äußere und innere Schutzhülle)

87.4.2.4

Bezeichnung von Kabeln

2X

VPE-Isolierung

HX

Halogenfreie Polymer-Isolierung

Normkabel werden in ihrem Aufbau durch Buchstaben ge-

C

Konzentrischer Leiter aus Kupfer
kennzeichnet. Der erste Buchstabe N beschreibt Normkabel

CW

Konzentrischer Leiter aus Kupfer, wellenförmig aufgebracht
gemäß den VDE-Bestimmungen, danach folgt die Beschreibung

CE

Konzentrischer Leiter aus Kupfer bei dreiadrigen Kabeln
der Kabelelemente von innen nach außen. Kupferleiter, ge-

S

Schirm aus Kupfer
tränkte Papierisolierungen und innere und äußere Leitschichten

SE

Schirm aus Kupfer bei mehradrigen Kabeln
bei Kunststoffkabeln werden nicht aufgeführt. Nicht genormte,

(F)

Schirmbereich längswasserdicht
jedoch gebräuchliche Kurzzeichen werden in Klammern ange-

K

Bleimantel
geben. In der Tab. 87.19 sind wichtige Kurzzeichen für Kabel

Y

PVC-Mantel zwischen Kupferschirm bzw. konzentrischem Lei-
aufgeführt.

ter und Bewehrung

F

Bewehrung aus verzinktem Stahlflachdraht

R

Bewehrung aus verzinktem Stahlrunddraht

87.4.2.5

Betriebsverhalten von Kabeln im Vergleich

G

Gegen-oder Haltewendel aus verzinktem Stahlband
zu Freileitungen

2Y

PE-Mantel

Für Kabel können die in Abb. 87.77 gezeigten Ersatzschaltbilder

(L)2Y Querwasserdicht
von Freileitungen genutzt werden. Im Vergleich zu Freilei-

-FE

Isolationserhalt im Brandfall
tungen kann der ohmsche Anteil jedoch nicht vernachlässigt

Kurzzeichen für Kabel mit Papierisolierung
werden. Für Einleiterkabel kann man die Betriebskapazität an-

A

Aluminiumleiter
hand der Beziehung für die Berechnung der Kapazität eines

H

Höchstädter-Folie (Einzeladerabschirmung mit metallischem

Zylinderkondensators nach (87.104) abschätzen, indem für r

Papier)

1
der Innenradius r

HX

Halogenfreie Polymer-Isolierung
i und für r 2 der Außenradius ra eingesetzt wird:

E

Schutzhülle mit eingebetteter Schicht aus Elastomerband oder

Kunststofffolie

C D 2"0 l
ln r 2

Y

Innere und äußere PVC-Schutzhülle
r 1

B

Bewehrung aus Stahlband

F

Bewehrung aus Stahlflachdraht

Nimmt man nun an, dass für den Vergleich von Freileitung

FO

Bewehrung aus Stahlflachdraht, offen
und Kabel der Innenradius dem Leiter- bzw. Ersatzleiterradius

R

Bewehrung aus Stahlrunddraht
entsprechen soll und der Außenradius bei der Freileitung dem

RO

Bewehrung aus Stahlrunddraht, offen

Abstand zum Erdpotenzial und beim Kabel dem Abstand zum

G

Gegen-oder Haltewendel aus Stahlband

Kabelschirm entspricht, ergibt sich bei größerem Abstand ei-

A

Äußere Schutzhülle aus Faserstoffen (Jute)

ne kleinere Kapazität. Noch deutlicher wird dies, wenn man die

Kurzzeichen für Öl- und Gasdruckkabel

Anordnung Freileitung-Erdboden bzw. Innenleiter-Kabelschirm

Y

Innere und äußere PVC-Schutzhülle
sehr stark vereinfacht als Plattenkondensator mit der Fläche A

YV

Verstärkter PVC-Mantel
und dem Abstand d betrachtet:

Ö

Ölkabel (Papier mit Öltränkung)

EK

Mehrfacher Bleimantel

C D " A

(87.115)

KL

Aluminiummantel (gepresst, glatt)

XI
d

D

Druckschutzbandage

Wegen ihrer im Abschn. 87.4.1.4.5 ermittelten Kapazitäten im

V

Verseilte Adern

Teil

Bereich von nF=km kann bei Freileitungen eine wirtschaftlich

P

Gasaußendruckkabel (Papier mit Massetränkung)

Energieübertragung bis zu einer Länge vom 1000 km erfolgen.

I

Gasinnendruckkabel (Papier mit Massetränkung)

Betrachtet man ein dreiadriges Niederspannungs-Gürtelkabel,

ST

Stahlrohr
so wirken hier die Koppelkapazitäten CK zwischen den Lei-

Kurzzeichen für Kabel U0/U 0,6/1 kV
ter sowie jeweils die Erdkapazitäten CE zwischen Leiter und

-J

Kabel mit grün-gelber Ader

Kabelschirm. Daraus ergibt sich eine längenbezogene Betriebs-

-O

Kabel ohne grün-gelber Ader
kapazität C 0
von:

b; K

C 0

D 3 C 0 C C 0

(87.116)

b; K

K

E
bezeichnet. Mit steigender Belastung steigt die induktive Blind-

Kabel weisen Kapazitätswerte im Bereich von 0,3 µF=km bis
leistung an, im übernatürlichen Betrieb überwiegt dieser Anteil

0,4 µF=km auf. Durch den im Vergleich zu Freileitungen hohen gegenüber der kapazitiven Blindleistung. Durch den Ladestrom

Kapazitätsbelag wird schon im Leerlauf ein kapazitiver Lade-
werden auch bei Teillast Verluste verursacht, weshalb die wirt-
strom verursacht. Dies wird als Selbstauslastung eines Kabels
schaftliche Übertragungslänge im Hochspannungsbereich bei

1068

87 Elektrische Energieversorgung

Spannungswandler

Schutz- und

Steuereinrichtung

Sammel-
schienen-
raum

Leistungsschalter-
einschub mit

Stromwandler

Vakuumschaltröhre

Arbeitserder

Kabel mit

Kabelendverschluss

Spannungswandler

Abb. 87.94 Aufbau einer Mittelspannungs-Schaltanlage, links: mechanischer Aufbau, rechts: Schaltbild
ca. 30 km liegt. Bei der Netzanbindung von Offshore-Windparks
werden zumeist als Innenraum-Ausführungen installiert, es sind
werden auch größere Längen bis 120 km realisiert. Dazu müssen
jedoch auch Anlagen zur Installation innerhalb von Freiluftin-
an den Leitungsenden Kompensationsdrosselspulen eingesetzt
stallationen verfügbar.

werden, in denen ohmsche Betriebsverluste auftreten. Solche

Offshore-Windparkkabel werden abhängig von den Windver-
hältnissen nur in wenigen Wochen im Jahr mit Nennleistung

87.4.3.2

Aufbau von Schaltanlagen
betrieben.

Schaltanlagen werden in Form von Schaltfeldern aufgebaut.

Nach ihrer Funktion werden diese beispielsweise als Eingangs-,

Abgangs-, und Messfelder bezeichnet. Die Felder werden ge-

87.4.3

Schaltanlagen
geneinander lichtbogensicher geschottet, d. h. ein Abbrand
durch Lichtbogeneffekte bei einem Schalterversagen weitet sich

Schaltanlagen sind die Knotenpunkte des Energieversorgungs-
im Regelfall nicht auf die benachbarten Felder aus. Als Leiter-
netzes. Sie dienen der sicheren und flexiblen Schaltung und
material für Schaltanlagen werden wegen der hohen Ströme un-

Verteilung von elektrischer Energie, indem sie über Freileitun-
isolierte und meist rechteckförmige, aber auch runde Sammel-
gen und Kabel angeschlossene elektrische Betriebsmittel und
schienen aus Kupfer oder Aluminium verwendet. Diese können

Verbraucher miteinander verbinden und voneinander trennen.

als Einfach-, Doppel- oder Dreifachsammelschienen ausgeführt

Durch die flexible Verschaltung können im Fehlerfall, bei Über-
sein und werden auf isolierenden Stützern an der Rückwand der
last oder für Wartungsarbeiten Betriebsmittel spannungsfrei

Schaltfelder montiert. Im unteren Bereich werden die Ein- und
geschaltet und bei Bedarf die Netztopologie angepasst werden.

Abgänge von Kabeln angeschlossen, dort befinden sich auch die

Dazu werden die Betriebsgrößen über Messwandler gemessen

Messwandler für den Strom und die Spannung. Im oberen Front-
und in Schutzgeräten ausgewertet. Mit einem Steuerungs- und
bereich sind die Anzeigen der Strom- und Spannungswandler

Leitsystem werden die Anlagen überwacht und Fehlerzustände
sowie die Steuerung für das Schaltfeld untergebracht. Das we-

Teil
protokolliert.

sentliche Element, der Schalter, befindet sich in der Mitte des

Schaltfeldes vor den Sammelschienen, siehe Abb. 87.94. Im

XI

Kurzschlussfall steigt der Druck in der Schaltanlage schlagartig

87.4.3.1

Technologien und Einsatzbereiche
an und könnte zu mechanischen Zerstörungen führen. Deshalb

Als Technologien stehen luftisolierte Innenraum- und Freiluft-
befinden sich bei luftisolierten Anlagen Druckentlastungsklap-

Schaltanlagen und gekapselte, mit Schwefelhexafluorid (SF6)

pen auf der Oberseite der Schaltfelder, die bei Beanspruchung
gasisolierte Schaltanlagen zur Verfügung. Das Isoliergas SF6
nach außen öffnen. Bei gasisolierten Schaltanlagen sind solche
wird wegen der durch die Paschen-Kurve beschriebene druck-

Klappen wegen des Betriebsdrucks nicht nutzbar, hier werden
abhängige Isolierstofffestigkeit bei Drücken von 5 bis 10 bar
sog. Berstscheiben eingesetzt, die im Falle eines starken Druck-
eingesetzt und weist mit 80 kV=cm etwa das 2,4-fache Iso- anstiegs zerstört werden.

liervermögen gegenüber Luft mit 33 kV=cm auf. Nieder- und

Mittelspannungsschaltanlagen werden immer in geschlosse-
nen Gebäuden ausgeführt. Für die Niederspannung werden

87.4.3.3

Schalter
ausschließlich luftisolierte Schaltanlagen eingesetzt. Auf der

Mittelspannungsebene findet man luftisolierte und gasisolierte

Abhängig von der Spannungsebene und dem Einsatzzweck

Schaltanlagen. Für die Hoch- und Höchstspannung werden luft-
werden verschiedene Schalterarten in unterschiedlichen Tech-
isolierte Freiluft-Schaltanlagen oder SF6-gasisolierte Schaltan-
nologien und Ausführungen benötigt. Schalter dienen neben
lagen eingesetzt, die nur 10 % des Platzbedarfs von Freiluftan-
ihrer eigentlichen Schaltfunktion auch als Schutzelement zur
lagen haben, jedoch wartungsintensiver sind. SF6-Schaltanlagen

Abschaltung von Fehlerströmen bei Kurz- oder Erdschlüssen.

87.4

Elektrische Betriebsmittel

1069

87.4.3.3.1

Anforderungen an Schalter

Ein Schalter muss für die elektrischen, thermischen und me-
chanischen Anforderungen seines Anwendungsspektrums aus-
gelegt werden.

Abb. 87.95 Symbole der Schalterarten für Schaltanlagen

Elektrische Anforderungen

Zu den elektrischen Anforderungen gehören bei Wechselstrom-
schaltern die Stromlöschung, die stets im Nulldurchgang des

Hochleistungssicherungen (NH), über 1 bis 36 kV mit Hoch-

Stromes erfolgt, die dauerhafte Isolierung der offenen Kontakt-
spannungs-Hochleistungssicherungen (HH) und darüber hinaus
stelle sowie die Beherrschung von Überspannungen.

mit übergeordneten Leistungsschaltern kombiniert. Trennschal-
ter können hingegen keine Ströme schalten und dürfen deshalb

Zur sicheren Abschaltung muss insbesondere die thermische
nur im spannungslosen Zustand betätigt werden. Sie werden

Belastung durch Lichtbogen beherrscht werden.

zur Schaffung sichtbarer Trennstellen und als Arbeitserder an
abgeschalteten Betriebsmitteln eingesetzt. Zur Einsparung von

Thermische Belastung durch Lichtbogen

Kosten werden Lasttrennschalter eingesetzt, bei denen im aus-
geschalteten Zustand eine offene Trennstelle sichtbar ist. Die

Wird der Stromfluss durch den Schalter unterbrochen, treten

Symbole der in Schaltanlagen eingesetzten Schalterarten sind
während des Schaltvorgangs Spannungsüberschläge auf, solan-
in Abb. 87.95 gezeigt.

ge der Kontaktabstand die Spannung über den Schalterpolen
noch nicht isolieren kann. Dabei kommt es durch eine Gas-

Typischerweise werden vor und nach den Leistungsschaltern
ionisation zur Ausbildung eines Lichtbogens, dessen Plasma

Trennschalter eingesetzt, um sichtbare Trennstellen für War-
bei Temperaturen zwischen 6000 und 12.000 K brennt und
tungsarbeiten an Schaltanlagen zu schaffen. In Abb. 87.96 links
erst ab 2000 K in Luft und 3000 K in SF
ist ein typischer Kabelabzweig mit einem Leistungsschalter, den

6 erlischt. Der Ener-
gieumsatz des Plasmas erfolgt zu 95 % in Wärme und zu 5 %

Trennschaltern zur Sammelschiene und zur Leitungsseite, dem
durch Elektrodenabbrand und Wärmestrahlung. Stromschwache

Arbeitserder und den Strom- und Spannungswandlern gezeigt.

Lichtbogen verlöschen im Stromnulldurchgang, bei hohen Strö-

Werden ausfahrbare Leistungsschalter genutzt, liegt nach dem
men muss eine Löschung erfolgen. Dies kann durch Kühlung

Abschalten eine sichtbare Trennstelle vor und es sind keine zu-
des Lichtbogens und eine Wegverlängerung, z. B. durch Anströ-
sätzlichen Trennschalter erforderlich, siehe Abb. 87.96 rechts.

mung mit Gas oder das Einschieben von Schaltkammern mit
mäanderförmigem Kanalverlauf erfolgen. Für das Schalten von

87.4.3.3.3

Technologien und Einsatzbereiche von Schaltern

Lichtbogen vorgesehene Schalter müssen sowohl in ihrer ther-
mischen Kapazität als auch für den Elektrodenabbrand durch

Lichtbogen dimensioniert werden und den Energieaustausch

Niederspannung
zwischen den Kontakten beherrschen können.

Für die Niederspannung werden offene luftisolierte Leistungs-
schalter (Air Circuit Breaker – ACB), Kompaktleistungsschalter

Mechanische Belastung

(Moulded Case Circuit Breakers – MCCB), Lasttrennschalter

(Load Break Switches – LBS) mit und ohne vorgeschalte-

Beim Stromfluss treten hohe mechanische Kräfte auf, insbeson-
te Sicherung sowie Leitungsschutzschalter (Miniatur Circuit
dere im Kurzschlussfall und bei länger anstehenden Lichtbogen.

Breaker – MCB) eingesetzt. Die Leistungsschalter, auch als

Schalter müssen in ihrem Auslösemechanismus und ihrer Be-

Motorschutzschalter bezeichnet, sind in ihrer thermischen oder
festigung dafür ausgelegt sein. Um Schaltüberspannungen zu
magnetischen Auslösung einstellbar.

XI
vermeiden, darf die Abschaltung nicht zu schnell erfolgen, in
der Praxis werden Schaltzeiten von 30 ms realisiert. Schal-

Teil
ter werden dafür mit Handantrieben oder Kraftantrieben über

Magnete, Motoren, mechanische Federn oder Druckluft ausge-
rüstet.

87.4.3.3.2

Schalterarten

Sollen neben den Betriebsströmen auch Fehlerströme geschal-
tet werden können, kommen Leistungsschalter zum Einsatz.

Aufgrund ihrer Dimensionierung für hohe elektrische, ther-
mische und mechanische Beanspruchung weisen sie die im

Vergleich höchsten Kosten auf. Günstigere Lastschalter können

Betriebsströme schalten, sind jedoch nicht für das Schalten von

Kurzschlussströmen geeignet. Deshalb werden sie zur Realisie-

Abb. 87.96 Typischer Aufbau eines Abzweigs, links: mit Leistungsschalter,
rung des Kurzschlussschutzes bis 1 kV mit Niederspannungs-
rechts: mit ausfahrbarem Leistungsschalter

1070

87 Elektrische Energieversorgung

Abb. 87.97 Doppelsammelschienensystem

Abb. 87.98 Doppelsammelschienensystem mit Umgehungssammelschiene

Mittelspannung

Hier werden bis 40 kV bevorzugt Vakuumschalter eingesetzt,
die das kleinste Bauvolumen auf der Mittelspannung aufweisen.

Nach der Paschenkurve liegt bei Vakuum das höchste Isolier-
vermögen luftisolierter Anordnungen vor. Außerdem weisen

Vakuumschalter ein gutmütiges Kurzschlussverhalten im Ver-
gleich zu den ebenfalls nutzbaren SF6-Schaltern auf.

Hoch- und Höchstspannung

Auf der Hoch- und Höchstspannungsebene werden in Frei-
luftanlagen luftisolierte, Schalter und gekapselte Schalter ver-

Abb. 87.99 Doppelsammelschienensystem mit 2-Leistungsschalter-Methode
wendet. Bei Freiluftschaltern muss wegen der geringen Isolier-
fähigkeit von Luft die Isolierstrecke sehr groß dimensioniert
werden, der Lichtbogen brennt frei und dehnt sich aufgrund
versorgt wird, kann jeder Abzweig der Anlage ohne Unter-
der thermischen Effekte nach oben aus. Für Trennschalter wie
brechungen freigeschaltet werden. Wenn aufgrund zu hoher

Scheren- oder Drehtrennschalter ist dies unproblematisch, da sie

Kurzschlussströme galvanisch voneinander getrennte Teilnetze
leistungslos geschaltet werden. Bei hohen Spannungen kommt
betrieben werden müssen, werden auch Dreifachsammelschie-
es vorrangig auf ein gutes Löschverhalten bei Lichtbögen an.

nensysteme eingesetzt.

Dafür werden gekapselte Schalter in der Ausführung als Druck-

Bei der in Abb. 87.99 gezeigten Schaltanlage mit 2-Leistungs-
luftschalter, SF6-Schalter und seltener Ölschalter eingesetzt. Bei
schalter-Methode sind für jeden Abzweig ein Leistungsschalter

Druckluftschaltern wird der Lichtbogen von Luft mit einem
und zwei Trennschalter je Sammelschiene vorgesehen. Damit

Druck von 30 bar angeströmt, dabei gekühlt und im Weg ver-
sind Freischaltungen der Sammelschienen und Abzweige sowie
längert und dadurch ausgeblasen. Dies gilt in ähnlicher Weise
unterbrechungslose Umschaltungen zwischen den beiden Sam-
mit kleineren Volumina bei der Nutzung von SF6. Bei den seit
melschienen möglich.

den siebziger Jahren durch SF6-Schalter abgelösten Ölschaltern
verdampft durch den Lichtbogen ein kleiner Teil des Öls und

Mit der in Abb. 87.100 gezeigten 1 1 -Leistungsschalter-Me-

2

T
erzeugt damit eine Strömung, die den Löschvorgang einleitet.

thode wird im Vergleich zur 2-Leistungsschalter-Methode bei
eil
weniger Schaltern die gleiche Flexibilität erzielt. Auch hier
sind Freischaltungen ohne Betriebsunterbrechungen möglich.

XI

87.4.3.4

Topologien von Schaltanlagen

Im Betrieb sind alle Schalter eingeschaltet, wodurch sich ei-

Bei größeren Schaltanlagen werden die in Abb. 87.97 gezeig-
ne kostenoptimale Auslastung der Betriebsmittel ergibt. Die
ten Doppelsammelschienen verwendet. Hier sind Reinigung,

Revision und Reparatur ohne Betriebsunterbrechungen reali-
sierbar, da ein getrennter Betrieb der einzelnen Sammelschienen
möglich ist. Im gezeigten Beispiel sind alle Leistungsschalter
ausfahrbar und somit keine zusätzlichen Trennschalter erfor-
derlich. Die vorhandenen Trennschalter dienen lediglich zur

Vorwahl des Sammelschienensystems. Der Leistungsschalter-

Zweig zwischen den Sammelschienen wird als Querkupp-
lung bezeichnet. Bei noch größeren Anlagen werden auch

Sammelschienen-Längstrennungen vorgesehen, wodurch sich
die Flexibilität im Betrieb weiter erhöhen lässt.

Auch mit der in Abb. 87.98 gezeigten Umgehungssammelschie-
ne US lässt sich die betriebliche Flexibilität weiter erhöhen.

Abb. 87.100 Doppelsammelschienensystem mit 1 1 -Leistungsschalter-Metho-

2

Indem die US-Sammelschiene über einen eigenen Abzweig
de

87.4

Elektrische Betriebsmittel

1071

Tab. 87.20 Nenn-Steuerfrequenzen und obere Sendepegel von TRA nach

VDEW

Nenn-Steuerfrequenz in Hz

Oberer Sendepegel in %

110

1,7

168

1,7

183

3

194

2

206

2

217

3

228

2

270

3

283

3

317

3

383

3

425

3

485

4

600a

4

750

4

Abb. 87.101 Hochspannungsabzweig mit Transformator zur Mittelspan-

1050

3
nungsebene, Drosselspule mit parallel geschaltetem Stoßstrombegrenzer und

1350

3

Tonfrequenz-Rundsteueranlage (TRA)

1600

2,5
a Einspeisung im Nullsystem

Abzweige können über die Verbindungsschalter V zur jeweils
anderen Sammelschiene durchgeschaltet werden.

benötigt. Der Leistungsbedarf beim Betrieb von TRA ist hoch,
bei Mittelspannung werden 80 bis 200 kVA und bei Hochspan-

87.4.3.5

Drosselspulen und Stoßstrombegrenzer
nung bis zu 2400 kVA für die Signaleinkopplung benötigt. Die

Funktion der TRA kann nur gewährleistet werden, wenn die

Zur Begrenzung des Kurzschlussstroms werden Drosselspu-

Steuerspannungen definierte Pegel aufweisen. Eine Abschwä-
len eingesetzt, deren Induktivität erst im Fehlerfall wirksam
chung führt zum Totalausfall der TRA oder Fehlschaltungen.

wird. Um die ohmschen Verluste im Normalbetrieb zu vermei-

Tab. 87.20 zeigt die Nenn-Steuerfrequenzen der TRA und ihre
den, werden ihnen Stoßstrombegrenzer parallel geschaltet, siehe
oberen Sendepegel. Im Bereich dieser Frequenzen können nur

Abb. 87.101. Dies ist ein pyrotechnisches Betriebsmittel, das
geringfügige Oberschwingungspegel toleriert werden, die eine
aus einer Halterung mit einer parallel geschalteten Schmelzsi-
maximale Absenkung des Steuerspannungspegels von 10 bis
cherung und einem Einsatz mit der Hauptstrombahn besteht.

20 % nicht überschreiten. Als Alternative zur TRA kann auch

Die runde Hauptstrombahn ist in vier Segmente aufgeteilt, in
die Funkrundsteuertechnik genutzt werden, die auf Langwellen-
der Mitte befindet sich eine Sprengkapsel. Bei Überschrei-
funkfrequenzen oder bei neueren Anlagen auch mit UKW-Funk
tung eines Stoßstromwertes i= t zündet, gesteuert über eine betrieben wird.

Auslöseelektronik, die Sprengkapsel. Dadurch werden die vier

Segmente der Hauptstrombahn in der Mitte getrennt und nach
beiden Seiten nach außen gedrückt. Der Strom kommutiert auf
die parallele Sicherung, die kontrolliert abschmilzt, um einen

87.4.4

Netzformen und Schutz auf der

Stromabriss und somit Überspannungen zu verhindern.

Niederspannungsebene

XI

Im Abschn. 87.3.1.3 wurden schon die elektrischen Größen und

Teil

87.4.3.6

Tonfrequenz-Rundsteuerung in

Schaltanlagen
der allgemeine Aufbau von Drehstromnetzen beschrieben. Im

Niederspannungsnetz werden die drei Phasenleiter L1, L2 und

In Abb. 87.101 ist auf der Mittelspannungsebene die Sendeanla-

L3 sowie der Neutralleiter N zur Energieübertragung benötigt.

ge bzw. Einkopplungseinheit einer Tonfrequenz-Rundsteueran-

Abhängig von der Netzform kann der Neutralleiter gleichzeitig
lage (TRA) gezeigt. Innerhalb der Mittel- und Hochspanungs-
die Funktion des Schutzleiters PE (protective earth) übernehmen
netze nutzen die Netzbetreiber solche Anlagen zur Übermittlung
und wird dann mit PEN bezeichnet. Auch die Art des Netzschut-
von Informationen, um z. B. Schaltgeräte anzusteuern, Beleuch-
zes hängt von der Netzform ab.

tungseinrichtungen zu- und abzuschalten oder Tarifumschaltun-
gen vorzunehmen. Das wird mit Hilfe von Steuerspannungen

87.4.4.1

Netzformen
realisiert, die der Netzspannung aufmoduliert werden, was im

Prinzip einer unidirektionalen Power Line Communication ent-

Nach VDE werden die Netzformen TN, IT und TT unterschie-
spricht. Zur Nutzung der TRA werden eine Signaleinspeisung
den. Das TN-Netz wird weiter unterteilt in TN-S-, TN-C- und
mit einer Sendeanlage und einer Ankopplungseinrichtung nach

TN-C-S-Netze. In der Bezeichnung beschreibt der erste Buch-

Abb. 87.101 sowie Empfängeranlagen an den Betriebsmitteln
stabe die Erdungsbedingung, T (Terra, Erde) steht für eine

1072

87 Elektrische Energieversorgung

Abb. 87.102 Netzvariante Niederspannung TN-S mit separatem Neutral- und

Abb. 87.104 Netzvariante Niederspannung TN mit kombiniertem und separa-

Schutzleiter
tem Neutral- und Schutzleiter TN-C-S

Abb. 87.103 Netzvariante Niederspannung TN-C mit kombiniertem Neutral-

Abb. 87.105 Netzvariante Niederspannung TT mit lokalem Schutzleiter
und Schutzleiter
rungen des Netzaufbaus speziell mit einem Fehlerstromschutz
niederohmige Erdung. Ist der erste Buchstabe ein I (isoliert),
ausgerüstete Steckdosen zu installieren, bei denen die Auftren-
sind alle aktiven Teile von der Erdung isoliert. Mit dem zweiten
nung des PEN-Leiters und Fehlerstrom-Überwachung intern

Buchstaben wird die Art der Erdung von passiven leitfähi-
erfolgt. Hierbei bleibt der Personenschutz jedoch nur auf den
gen Anlagenteilen beschrieben. Erfolgt die Erdung über den
einzelnen Steckdosenanschluss beschränkt.

Neutral- oder Schutzleiter des Netzes, wird hierfür ein N ver-
wendet. Wird unabhängig von einer bestehenden Erdung direkt

Bei Leitungsführungen über große Entfernungen steigt der Wi-
lokal geerdet, wird dies mit einem T gekennzeichnet. In neuen
derstand mit der Leitungslänge an. Dabei kann das mitgeführte

Niederspannungs-Hausinstallationen ist die in Abb. 87.102 ge-

Sternpunktpotenzial des Neutralleiters über dem lokalen Erd-
zeigte Netzform TN-S mit separater Verwendung von Neutral-
potenzial liegen und dann nicht mehr für die Schutzerdung
und Schutzleiter vorgeschrieben, da ansonsten der nach DIN
geeignet sein. In diesem Fall ist ein TT-Netz mit einer lokalen

VDE 0100-100 geforderte Fehlerstromschutz nicht realisiert

Erdung erforderlich, die durch den zweiten Buchstaben T be-
werden kann, siehe Abschn. 87.4.4.2 „Personen- und Anlagen-
schrieben wird, siehe Abb. 87.105. Der Anschluss aller passiven
schutz“.

leitfähigen Teile muss jetzt direkt oder über den Schutzleiter PE
an der lokalen Schutzerdung erfolgen, die meist durch den Fun-

In einem TN-C-Netz wird ein PEN-Leiter verwendet, der
damenterder gebildet wird. Die Größe des Erdungswiderstands
gleichzeitig Neutralleiter N und Schutzleiter PE ist, siehe
wird durch Messung nachgewiesen, sie sollte wie auch bei TN-

Abb. 87.103. Diese Netzform ist oft in älteren Hausinstallatio-

Netzen üblich unterhalb von 1 ( liegen. Die Netzform TT ist

T
nen zu finden, für neue Installationen und nach wesentlichen
bei weit abgelegenen Wohnsiedlungen und landwirtschaftlichen
eil

Umbauten der elektrischen Hausanlage ist diese Netzform un-

Betrieben zu finden.

zulässig, da kein Fehlerstromschutz realisiert werden kann.

XI

Darüber hinaus liegt bei unterbrochenem PEN-Leiter die Lei-

Soll ein Netz mit erhöhter Verfügbarkeit betrieben werden und
terspannung an leitfähigen Gehäusen von Verbrauchern an. In
auch bei einem einpoligen Kurzschluss nicht abschalten, nutzt

Niederspannungs-Verteilnetzen wird das TN-C-Netz weiter ver-
man ein IT-Netz (I-isoliert, T-Erde) mit einem isoliert geführten
wendet, allerdings muss der Leiterquerschnitt dabei 10 mm2 bei

Schutzleiter, siehe Abb. 87.106. Die Verbraucher werden zwi-

Kupfer oder 16 mm2 bei Aluminium betragen, damit ein Bruch
schen den Phasenleitern angeschlossen, der PE-Leiter wird für
des PEN-Leiters unwahrscheinlich wird.

den Anschluss der Gehäuse und aller weiteren leitfähigen An-

Soll der Personenschutz in einem bestehenden TN-C Netz ver-
bessert werden, kann der PEN-Leiter aufgetrennt werden und
in Form von zwei separaten N- und PE-Leitern geführt wer-
den. Dann liegt eine Kombination aus TN-C- und TN-S-Netz
vor, die als TN-C-S bezeichnet wird, siehe Abb. 87.104. Die

Erdung darf jetzt nur noch über den PE-Leiter erfolgen, da bei
dessen Bruch im Gegensatz zur Verwendung des PEN-Leiters
keine unzulässige Spannung an leitfähigen Gehäusen anliegen
kann. Auch die Installation von Fehlerstrom-Schutzschaltern
wird möglich. Es ist möglich, im TN-C-Netz ohne Verände-

Abb. 87.106 Netzvariante Niederspannung IT mit isoliertem Schutzleiter

87.4

Elektrische Betriebsmittel

1073

Abb. 87.107 Symbole von Schutzeinrichtungen
lagenbestandteile wie z. B. Rohrleitungen genutzt. Dies dient
dem Potenzialausgleich zwischen den leitfähigen Teilen und
ist zur Vermeidung unzulässiger Berührungsspannungen un-
bedingt erforderlich. Beim Auftreten eines Erdschlusses wird

Abb. 87.108 Wirkprinzip und Stromlaufplan eines dreipoligen (links) und ein-
dieser über eine Isolationsüberwachung angezeigt, es erfolgt je-
poligen (rechts) FI-Schutzschalters
doch keine Abschaltung. Dazu würde es erst kommen, wenn
ein zweiter Erdschluss eines anderen Phasenleiters zu einem

Kurzschluss über den PE-Leiter führt. Wegen ihrer hohen Ver-
current operated Circuit-Breaker with Overcurrent protection
sorgungssicherheit wird diese Netzart im industriellen Bereich,

(RCBO) bezeichnet werden. Zu beachten ist, dass nach den
in medizinischen Einrichtungen und bei Schiffsbordnetzen ein-

Technischen Anschlussbedingungen (TAB) für Niederspannung
gesetzt.

nur Schutzgeräte eingesetzt werden dürfen, die ein Kurzschluss-

Ausschaltvermögen von 6 kA aufweisen.

87.4.4.2

Personen- und Anlagenschutz

87.4.4.2.2

Anlagenschutz

Es wird zwischen dem Personen- und Anlagenschutz un-
terschieden. Der Personenschutz umfasst den Schutz gegen
unzulässige Berührungsspannungen sowie den Schutz ge-

Überstromschutz
gen unzulässige Körperströme. Beim Anlagenschutz werden

Betriebsmittel können durch hohe Kurzschlussströme oder dau-
die Betriebsmittel gegen Zerstörung durch Kurzschlussströ-
erhafte Überströme mit der dadurch verbundenen thermischen
me, thermische Überlastung und Überspannungen geschützt. In

Überlastung geschädigt werden. Zur Sicherstellung einer aus-

Abb. 87.107 sind die Symbole der nachfolgend behandelten
reichenden Stromschutzfunktion muss das Grenzlastintegral der

Schutzeinrichtungen gezeigt.

Schutzeinrichtung kleiner als das des zu schützenden Objekts
sein:

87.4.4.2.1

Personenschutz

0

1

0

1
tS

Z
tS

Z

Mit der zuvor im Abschn. 87.4.4.1 „Netzformen“ beschrie-

@ i 2. t/ dt A

< @ i 2. t/ dt A

(87.117)

benen Schutzerdung mit Potenzialausgleich wird sicherge-

0

Schutz

0

Objekt
stellt, dass keine unzulässigen Berührungsspannungen auf-
treten können. Zur Vermeidung unzulässiger Körperströme

Dafür stehen Sicherungsautomaten (Leitungsschutzschalter) zur

XI
werden Fehlerstrom-(FI)-Schutzschalter eingesetzt, die auch

Verfügung, deren gebräuchlichste Auslösecharakteristiken in
als Residual-Current Circuit Breaker (RCCB) oder Residual-
der Tab. 87.21 aufgeführt sind. Die in älteren Anlagen genutzten

Current Device (RCD) bezeichnet werden. Die Phasen- und

Schmelzsicherungen werden bei Neuinstallationen nicht mehr

Teil
der Neutralleiter werden gemeinsam durch einen Stromwand-
eingesetzt.

ler geführt, der Schutzleiter verläuft außerhalb. In Abb. 87.108
sind die Stromlaufpläne eines einpoligen und dreipoligen FI-

Sicherungsautomaten weisen jeweils eine im Zeit-Strom-Dia-

Schutzschalters gezeigt. Im FI-Schalter wird die Stromsumme
gramm abfallende thermische und daran anschließende steile
überwacht, die im Normalbetrieb null sein muss. Tritt ein Erd-
elektromagnetische Auslösekennlinie auf. In Abb. 87.109 sind
fehlerstrom auf, steigt die Stromsumme an und der FI-Schalter
die Strom-Zeit-Verläufe für die Charakteristiken B, C, D und K
löst aus. Bei Auslöseströmen von 10 mA bis 30 mA liegt ein
gezeigt.

Personenschutz vor. Zur Vermeidung von Überhitzungen durch

Fehlerströme und beim Anschluss von Geräten über lange Kabel

Überspannungsschutz
mit kapazitiven Ladeströmen werden auch FI-Schalter mit höhe-
ren Ansprechwerten eingesetzt. Dieser muss von der Netzseite

Betriebsfrequente Unter- und Überspannungen werden durch
aus gesehen vor dem Überstromschutz, also vor den Leitungs-

Relais zur Spannungsüberwachung abgeschaltet. Zum Schutz
schutzschaltern, installiert werden. Es werden auch kombinierte
elektrischer Betriebsmittel gegen hohe transiente Spannungen

Leitungs- und FI-Schutzschalter eingesetzt, die als Residual
wird ein Überspannungsschutz nach DIN VDE 0185 vorge-

1074

87 Elektrische Energieversorgung

5

10

4

10

3

10
s

2

10

1

10

Auslösezeit in

0

10

B

C

D

K

-1

10

-2

10

1

2

5

10

20

1

2

5

10

20

Vielfaches des Bemessungsstroms

Abb. 87.109 Strom-Zeit-Kennlinien von Sicherungsautomaten

Tab. 87.21 Auslösecharakteristiken gebräuchlicher Sicherungsautomaten nach

Danksagung Dem Laboringenieur Herrn Endrik Waldhaim

DIN VDE 0641/T11 und DIN VDE 0660-101
der Professur für Elektrische Energiesysteme der Helmut-

Charak- Beschreibung

Thermische

Elektromagnetische

Schmidt-Universität/Universität der Bundeswehr Hamburg dan-
teristik

Auslösung bei

Auslösung bei
ke ich für die freundliche Unterstützung bei der Erstellung der

A

Nicht genormt: Halb-

1,13 . . . 1,45 In 2 . . . 3 In

Abbildungen.

leiterschutz, hohe

Netzimpedanz

B

Standardschutz für

1,13 . . . 1,45 In 3 . . . 5 In

Leitungen

C

Für höhere Einschalt-

1,13 . . . 1,45 In 5 . . . 10 In

Literatur
ströme

D

Für stark induktive

1,13 . . . 1,45 In 10 . . . 20 In

1. Heuck, K.; Dettmann, K.-D.; Schulz, D.: Elektrische Ener-
oder kapazitive Lasten
gieversorgung, 9. Auflage, Wiesbaden: Springer Vieweg

E

„Exakt“, als Hauptlei-

1,05 . . . 1,2 In

5 . . . 6,25 In

2013
tungsschutzschalter

2. Constantinescu-Simon, L. (Hrsg.): Handbuch Elektrische

K

„Kraft“, für hohe

1,05 . . . 1,3 In

8 . . . 14 In

Energietechnik, 2. Auflage, Wiesbaden: Vieweg 1997

Einschaltströme und

3. Herold, G.: Elektrische Energieversorgung II, 2. Auflage,

T
sensible Überlastauslö-

Wilburgstetten: J. Schlembach 2010
eil
sung

4. Crastan, V.: Elektrische Energieversorgung 1, 2. Auflage,

Z

Halbleiterschutz, hohe

1,05 . . . 1,2 In

2 . . . 3 In

XI

Netzimpedanz

Berlin, Heidelberg: Springer 2007

5. Kießling, F., Nefzger, P.,Kaintzyk, U.: Freileitungen, 5. Auf-
lage, Berlin, Heidelberg: Springer 2001

6. Kämpfer, S., Kopatsch, G.: Schaltanlagen-Handbuch, 12.

sehen, der den Blitz- und Geräteschutz umfasst. Für den Ge-

Auflage, Berlin: Cornelsen 2012
räteschutz werden drei aufeinander aufbauende Schutzstufen

7. Konstantin, P.: Praxisbuch Energiewirtschaft, 2. Auflage,
mit Überspannungsableitern realisiert, siehe Abb. 87.107 un-

Berlin, Heidelberg: Springer 2009
ten. Der Grobschutz vom Typ 1 (alt Klasse B) wird in der

8. Hosemann, G. (Hrsg.): Elektrische Energietechnik Band 3:

Gebäudeeinspeisung vorgesehen. Er hat die Aufgabe, je nach

Netze, Berlin, Heidelberg: Springer 2001
genutzter Schutztechnologie die in das Gebäude einlaufende

9. Schulz, D., Schulz, K.: Energiequellen und Kraftwerke, In:

Restspannung bei Blitzeinschlag auf 1300 bis 6000 V zu be-

Informationen zur politischen Bildung Heft 319 Energie und
grenzen. Die Aufgabe des darauf folgenden Mittelschutzes vom

Umwelt, Bonn: Bundeszentrale für politische Bildung 2013,

Typ 2 (alt Klasse C) ist die Begrenzung der Überspannungen

Ausgabe 3/2013
auf 600 bis 2000 V in den Etagenverteilungen. Der in speziellen

10. Schulz, D.: Integration von Windkraftanlagen in Energie-

Steckdosen, als Zwischenstecker oder in den Geräten realisierte
versorgungsnetze - Stand der Technik und Perspektiven für

Feinschutz vom Typ 3 (alt Klasse D) schützt die Geräte gegen
die dezentrale Stromerzeugung. Habilitationsschrift, Berlin,

Betriebsüberspannungen.

Offenbach: VDE-Verlag 2006

Elektrische Energie-

88
anwendung

Reinhard von Liebenstein

88.1 Kompensationsanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076

88.2 Beleuchtungsanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081

XI

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1075

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_88

1076

88 Elektrische Energieanwendung

88.1

Kompensationsanlagen

In elektrischen Wechsel- und Drehstromnetzen entsteht neben
der Wirkleistung auch Blindleistung, die im Netz zwischen

Verbraucher und Erzeuger hin und her pendelt. Der durch Blind-
leistung verursachte Strom belastet die Zuleitungen, erzeugt

Spannungsfälle auf den Zuleitungen und Stromwärmeverluste.

M

M

M

Regler

M

M

Es ist daher anzustreben, möglichst wenig umhervagabundie-
rende Blindleistung auf dem Netz zu haben. Einige Verbraucher

Abb. 88.3 Zentralkompensationsanlage
benötigen aber Blindleistung (Motore, Transformatoren, auch

Leitungen). Deshalb muss versucht werden, diese Blindleistung
am Ort des Bedarfs bereitzustellen, ohne die Zuleitungen damit

Die Zentralkompensation (Abb. 88.3) wird überwiegend als
zu belasten. Da die meisten Verbraucher induktive Blindleis-

Blindleistungsregelanlage eingesetzt.

tung benötigen, bietet sich die kapazitive Kompensation dieser

Blindleistung an. Für die Leistungen gelten folgende Gleichun-

Sie ist normalerweise direkt einer Schaltanlage zugeordnet und
gen (88.1) bis (88.3):

kann verschiedene Kondensatorgruppen ein- oder ausschalten.

Welche dieser Kompensationsarten die für den jeweiligen

Wirkleistung

P D S cos '

(88.1)

Zweck geeignete ist, hängt von den Verbrauchern und der Belas-

Blindleistung

Q D S sin '

(88.2)

tungsart ab. Bei großen Verbrauchern mit konstantem Leistungs-

Blindleistung

Q D P tan '

(88.3)

bedarf und großer Einschaltdauer ist eine Einzelkompensation
wirtschaftlich. Bei vielen kleinen Verbrauchern mit unterschied-

Aus den Formeln ist ersichtlich, dass der Winkel ' (Leistungs- lichem Leistungsbedarf und wechselnder Einschaltdauer ist ei-
faktor cos ') ein Maß für die Blindleistung ist. Der Winkel '

ne Zentralkompensation vorteilhafter. Die Einzelkompensation
gibt eine Verschiebung zwischen Strom und Spannung wieder.

wird hauptsächlich bei größeren Motoren und Transformatoren

Ist diese Verschiebung groß, wird im Netz viel Blindleistung
eingesetzt. Hierdurch werden die Zuleitungen und Schaltele-
benötigt. Es ist daher anzustreben, einen möglichst kleinen Win-
mente vom Blindstrom entlastet. Bei der Kompensation eines
kel zwischen Strom und Spannung zu fahren. Da in den Netzen

Motors ist darauf zu achten, dass bei Teilbelastung keine Über-
unterschiedliche Verbraucher verschiedene Lastwechsel aufwei-
kompensation und beim Auslauf nach erfolgter Abschaltung
sen, verändert sich bei jedem Lastwechsel der Leistungsfaktor
keine Selbsterregung des Motors auftritt. Deshalb wird der Mo-
cos ' und somit auch der Winkel zwischen Strom und Span- tor nur bis 90 % der Leerlaufblindleistung kompensiert. Im
nung.

Vollastbetrieb ergibt diese Kompensation einen Leistungsfaktor

Es bieten sich drei Kompensationsarten an, und zwar die Einzel-
von cos ' 0;9, im Leerlauf etwa 0,95 bis 0,98. Die erforder-
kompensation, die Gruppenkompensation und die Zentralkom-
liche Kondensatorleistung ist
p
pensation.

Q D

C

0;9

3 U I 0

(88.4)

Bei der Einzelkompensation (Abb. 88.1) wird der Kondensator
direkt am Betriebsmittel angeschlossen und ist nur mit diesem

I 0 Leerlaufstrom des Motors.

Betriebsmittel gemeinsam am Netz.

Eine weitere Möglichkeit, die Kondensatorleistung zu ermitteln,

T

Bei der Gruppenkompensation (Abb. 88.2) wird die Kompensa-
ist eine aus der Praxis abgeleitete Formel, wonach die Kon-
eil
tionseinrichtung jeweils einer Verbrauchergruppe zugeordnet.

densatorleistung ungefähr das 0,35fache der Nennleistung des

Motors betragen sollte ( Q

C

0;35 PN). Anhand der Tab. 88.1

XI

Tab. 88.1 Faktor zur Ermittlung der erforderlichen Kondensatorleistung je kW

Wirkleistung

Vorhande- Gewünschter cos '

ner cos '

M

M

M

M

0,80

0,85

0,90

0,92

0,94

0,50

0,98

1,11

1,25

1,31

1,37

Abb. 88.1 Einzelkompensationsanlage

0,60

0,58

0,71

0,85

0,91

0,97

0,70

0,27

0,40

0,54

0,60

0,66

0,80

–

0,13

0,27

0,33

0,39

0,82

–

0,08

0,21

0,27

0,33

0,84

–

0,03

0,16

0,22

0,28

0,86

–

–

0,11

0,17

0,23

M

M

M

M

0,88

–

–

0,06

0,11

0,17

0,90

–

–

–

0,06

0,12

Abb. 88.2 Gruppenkompensationsanlage

0,92

–

–

–

–

0,06

88.2

Beleuchtungsanlagen

1077
kann, ausgehend von dem vorhandenen Leistungsfaktor, die er-

Tab. 88.2 Erforderliche Kondensatorleistung in Abhängigkeit von Trafoleistung
forderliche kapazitive Blindleistung ermittelt werden, um den
und Spannung
gewünschten Leistungsfaktor zu erhalten. Hierzu muss die vor-

Bemessungsleistung des Transformator mit Oberspannung
handene Wirkleistung mit dem ermittelten Faktor multipliziert

Transformators in kV A

Kondensatorleistung in kvar
werden.

5–10 kV

15–20 kV

25–30 kV

25

2

2,5

3

Beispiel

50

3,5

5

6

75

5

6

7

Der vorhandene Leistungsfaktor von cos ' D

100

6

8

10

1

0;6 bei

P D 200 kW soll auf einen Leistungsfaktor cos ' D

160

10

12,5

15

2

0;9 verbessert werden. Welche Kondensatorleistung muss

250

15

18

22
dem Netz hinzugeschaltet werden?

315

18

20

24

400

20

22,5

28

Q D

630

28

32,5

40

C

P Faktor D 200 103 V A 0;85 D 170 103 V A

Die Kondensatorleistung müsste dann 170 kvar betragen.

J

Bei Festkompensation von Transformatoren kann der Konden-
sator sowohl auf der Oberspannungsseite wie auch auf der

Verdrosselte Kom-
pensation mit der

Unterspannungsseite angeschlossen werden. Nach den Richtli-

Möglichkeit die
nien vom VDEW sind Kondensatorleistungen nach Tab. 88.2

Resonanzfrequenzen
auf der Unterspannungsseite des Transformators anzuschließen.

der einzelnen Kreise
auf die Oberschwin-

Werden Kondensatoren an der Unterspannungsseite des Trans-

M
gungen einzustellen
formators installiert, kann es bei Wegfall der induktiven Last zu

Spannungserhöhungen kommen, wenn die Kondensatoren ein-

Abb. 88.4 Verdrosselte Zentralkompensationsanlage
geschaltet bleiben. Nach (88.5) kann die Spannungserhöhung
hinreichend genau berechnet werden.

Spannungserhöhung

Beispiel

u u
u D u QC
k

QC

SN
k

(88.5)

Im Netz ist die 5. Oberwelle vorhanden, also 250 Hz. Die

SNT

%

%

V A

V A

Resonanzfrequenz sollte also im Bereich von 200 bis 220

Hz liegen. Alle Frequenzen oberhalb der 5. Oberwelle er-

Beispiel
zeugen an der verdrosselten Einheit nur noch induktive

Ströme. Im Netz ergeben sich keine Resonanzen mehr.

Ein Transformator mit S

D

D

N

315 kV A, uk

4 % und

J

U D

N

10=0;4 kV wird mit einer Kondensatorleistung von

Q

D

C

180 kvar beschaltet. Welche Spannungsüberhö-
hung tritt im Leerlauf auf?

Bei der Auslegung des Sicherungsorgans für Kondensatoran-

XI
lagen sollte der Nennstrom der Sicherung den 1,6–1,8fachen

Nennstrom der Kondensatoranlage haben.

u D u QC D

D
k

4 % 180 103 V A

2;28 % J

SNT

315 103 V A

Teil

88.2

Beleuchtungsanlagen

Durch den Einsatz moderner Leistungselektronik sind in Dreh-
stromnetzen sehr oft Oberwellen vorhanden. Durch Oberwellen
kann es in kompensierten Netzen zu Resonanzerscheinungen

Beleuchtungsanlagen dienen dazu, Sicherheit und Arbeitsqua-
kommen, die Überströme, erhöhte Spannungen und verzerrte
lität zu erhöhen. Bei der Planung einer Beleuchtungsanlage ist

Spannungsformen zur Folge haben.

darauf zu achten, dass die Beleuchtung dem jeweiligen Zweck
unter optimalem Energieeinsatz entspricht. Wichtige Kriterien

In Netzen mit Oberwellen ist es deshalb erforderlich, Kom-
einer guten Beleuchtung sind Blendungsfreiheit, Leuchtdich-
pensationsanlagen mit verdrosselten Kondensatoren einzuset-
teverteilung, Lichtfarbe, Gleichmäßigkeit und Farbwiedergabe.

zen (Abb. 88.4). Bei verdrosselten Kondensatoren wird dem

Kriterien zur Auswahl von Leuchten und Planung von Be-

Kondensator eine Drosselspule vorgeschaltet. Die Resonanzfre-
leuchtungsanlagen werden von der „Fördergemeinschaft Gutes
quenzen des Kondensators und der Drosselspule sollten unter-

Licht“ entworfen und sind in der DIN 5035 sowie in der Publi-
halb der ersten Oberwelle des Netzes liegen.

kation Nr. 3,5 der LiTG festgehalten.

1078

88 Elektrische Energieanwendung

Tab. 88.3 Mittelwerte für Leuchtdichten

Tab. 88.4 Beleuchtungsstärken für verschiedene Raumarten

Strahlendes Objekt

Leuchtdichte in cd=cm2

Art des Raumes

Beleuchtungsstärke in lx

Sonne

Ungefähr 150.000

Büroraum – normal

500

Klarer Himmel

0,2 bis 1,2

Büroraum – Großraumbüro

750 bis 1000

Mond
ungefähr 0,25

Zeichenraum

750

Glühlampe klar

100 bis 2000

Verkehrswege in Gebäuden

100

Leuchtstofflampe

0,3 bis 1,3

Maschinenräume, Energieverteilräume

100

Xenon-Hochdrucklampe

15.000 bis 95.000

Räume zur Montage feinster Teile

1500

Gut beleuchtete Straße

0;2 103

Untere Grenze der Hellempfindlichkeit

1 108
ε

88.2.1

Grundgrößen der Lichttechnik
r

I
r
h

I

Grundgrößen der Beleuchtungstechnik:

Lichtstrom ˚ in Lumen (lm),

Lichtstärke I in Candela (cd),
a

Beleuchtungsstärke E in Lux (lx).

Abb. 88.5 Beleuchtungsstärke in einem Punkt bei senkrechtem und bei schrä-

Aus diesen Grundgrößen ergeben sich die Leuchtdichte und die
gem Lichteinfall

Lichtausbeute nach (88.6) und (88.7).

I

L

I

A

Leuchtdichte

L D

(88.6)

In DIN 5053 sind Beleuchtungsstärken für verschiedene Raum-

A
cd
cd
m2
m 2
arten vorgegeben. Tab. 88.4 listet eine Auswahl der Raumarten

˚

˚

P
auf.

Lichtausbeute

D

Li

(88.7)

P
lm
lm

W

W

Die Beleuchtung sollte so beschaffen sein, dass Gegenstände auf
einer Arbeitsfläche gleichmäßig beleuchtet werden. Eine direk-

Der Lichtstrom ˚ ist das von der Lichtquelle nach allen Seiten
te oder indirekte Blendung sollte möglichst vermieden werden.

abgestrahlte Licht. Die Lichtstärke I ist ein Maß für die Inten-

Außerdem soll die Nennbeleuchtungsstärke in einem Raum
sität der Lichtstrahlung. Die Lichtausbeute h Li ist ein Maß für

(Raumzone) als Mittelwert in einer Höhe von 0,85 m über dem
das Verhältnis von erzeugtem Lichtstrom zur eingesetzten elek-

Fußboden konstant sein.

trischen Leistung. Die Leuchtdichte L einer Lichtquelle oder
einer beleuchteten Fläche ist für den im Auge entstehenden

Lichtreiz verantwortlich und damit für den im Gehirn hervor-
gerufenen Helligkeitseindruck. Mittelwerte von Leuchtdichten

88.2.2

Lichtquellen
sind in Tab. 88.3 zusammengefasst.

Die Beleuchtungsstärke E ist ein Maß für das auf eine Flä-

Die zur Lichterzeugung eingesetzten Lichtquellen werden als
che treffende Licht. Die Beleuchtungsstärke beträgt 1 lx, wenn

T

Lampen bezeichnet. Unter den Lampen gibt es eine große Aus-
eil
senkrecht einfallendes Licht mit einem Lichtstrom von 1 lm
wahl, die von preiswerten Glühlampen mit eine Lichtausbeute
gleichmäßig auf eine Fläche von 1 m2 trifft.

von 20 lm=W bis hin zu Niederdruck-Natriumdampflampen mit

XI

Da sich der Lichtstrom in der Praxis normalerweise nicht gleich-
einer Lichtausbeute von bis zu 183 lm=W reicht.

mäßig über die Fläche verteilt, ist die nach der Flächenformel
ermittelte Beleuchtungsstärke als mittlere Beleuchtungsstärke

Em aufzufassen. Die Beleuchtungsstärke in einem Punkt wird
aus der Entfernung zur Lichtquelle und der Stärke der Licht-

88.2.3

Glühlampen
quelle berechnet (Abb. 88.5).

Beleuchtungsstärke

Glühlampen stehen bis zu einer Leistungsaufnahme von 2000 W

I

I
zur Verfügung. Das Glühlampenlicht wird zur allgemeinen

E D
cos " D
cos3 "

(88.8)

Wohnraumbeleuchtung und für spezielle, stimmungsbetonte
r 2
h 2

Lichteffekte eingesetzt. Die Lichterzeugung erfolgt durch Tem-

Nach dem fotometrischen Entfernungsgesetz nimmt die Be-
peraturstrahlung eines auf etwa 2500 °C erhitzten Wolframdrah-
leuchtungsstärke mit dem Quadrat der Entfernung ab. Dieses
tes. Die Lebensdauer einer Glühlampe beträgt ungefähr 1000 h

Gesetz gilt jedoch nicht für flächige Lichtquellen wie Leuch-
bei einer Lichtausbeute zwischen 9 bis 15 lm=W. Sie benö-
tenbänder oder Leuchtenflächen. Auch zusätzlich durch Begren-
tigt keine zusätzlichen Betriebsmittel. In neueren Glühlampen
zungsflächen reflektiertes Licht wird durch die Punktbeleuch-
wird ein Halogen eingebracht. Die Lichterzeugung erfolgt wie
tungsformel nicht erfasst.

bei der normalen Glühlampe; durch das Halogen wird eine

88.2

Beleuchtungsanlagen

1079

Kolbenschwärzung verhindert und die Lebensdauer der Lampe

(monochromatisches Licht) entsteht. Die Lichtausbeute liegt
verdoppelt. Die Lichtausbeute liegt zwischen 15 und 25 lm=W. zwischen 70 und 150 lm=W, die Lebensdauer bei 9000 h. Zum

Die Halogen-Niedervoltlampen benötigen einen Transformator.

Betrieb ist ein Vorschaltgerät und bei einigen Typen ein Zündge-
rät erforderlich. Der volle Lichtstrom steht nach 5 bis 7 Minuten
zur Verfügung, eine Wiederzündung erfolgt in weniger als einer

Minute.

88.2.4

Leuchtstofflampen

Leuchtstofflampen haben Leistungsstufen zwischen 4 und 58 W.

Die Lichterzeugung erfolgt durch elektrische Entladungen zwi-

88.2.6

Leuchten
schen zwei Elektroden in einer Quecksilberdampfatmosphäre.

Durch diese Entladungen wird unsichtbares UV-Licht erzeugt,
das einen Leuchtstoff, der an der Innenwand der Leucht-

Leuchten haben die Aufgabe, den von einer Lichtquelle (Lam-
stofflampe angebracht ist, zum Leuchten anregt. Die Lichtfar-
pe) erzeugten Lichtstrom so zu beeinflussen, dass eine optimale
be der Leuchtstofflampe kann je nach Leuchtstoffkombinati-

Beleuchtung erreicht wird. Die Leuchte soll die Lampe und
on verändert werden. Die Lichtausbeute dieser Lampen liegt
die übrigen elektromechanischen Innenteile gegen mechani-
zwischen 60 und 100 lm=W, die Lebensdauer bei ungefähr sche Beschädigung sowie vor Staub und Feuchtigkeit schützen.

7500 h. Eingesetzt werden Leuchtstofflampen für wirtschaftli-

Bei der Auswahl der Leuchte, sorgfältiger Abstimmung von
che Beleuchtungszwecke in der Innen- und Außenbeleuchtung.

Beleuchtungsniveau, Lichtfarbe und Körperfarbe ist es emp-

Neben den Standard-Leuchtstofflampen werden die Kompakt-
fehlenswert, sich anhand der Unterlagen der Hersteller zu ver-

Leuchtstofflampen produziert. Kompakt-Leuchtstofflampen ar-
gewissern, dass die Leuchten nicht nur den lichttechnischen
beiten wie die Standardlampen, sind jedoch erheblich kürzer

Anforderungen genügen, sondern auch den entsprechenden Ge-
oder flacher. Zur Erzeugung der Zündimpulse und zur Strom-
setzen und Vorschriften über Leuchten und Beleuchtungsanla-
begrenzung werden Vorschaltdrossel und Starter benötigt (elek-
gen. Wichtige Gesetze und Vorschriften:

tronisches Vorschaltgerät).

DIN VDE 0710, DIN VDE 0100; DIN VDE 0875 und DIN

40050.

88.2.5

Entladungslampen

Bei der Auswahl der Leuchte ist zu beachten, dass ein erhebli-
cher Teil der Energie in Wärme umgewandelt wird. Diese Wär-
meentwicklung ist bei der Auswahl und Montage der Leuchte

Unter Entladungslampen versteht man Metalldampflampen. Zu
zu berücksichtigen. In DIN VDE 0100 Teil 559 sind Kriterien
den Metalldampflampen gehören die Quecksilber-Hochdruck-
niedergelegt, die der Errichter von Beleuchtungsanlagen beach-
lampe (HQL), die Halogen-Metalldampflampe (HQI) und die
ten muss, damit die Anlage nicht Personen und Nutztiere durch

Natrium-Hochdrucklampe (NAV).

gefährliche Körperströme und Sachen nicht durch zu hohe Tem-

Bei der Quecksilber-Hochdrucklampe wird die Lichterzeugung
peraturen gefährdet. In der Norm wurden Klassen geschaffen,
durch eine Entladung im Quecksilberdampf im Quarzbrenner
nach denen man die von der Leuchte ausgehende Gefährdung
bei Überdruck eingeleitet. Der Glaskolben ist mit einem rot
durch Wärmeentwickelung abschätzen kann. Folgende Eintei-
strahlenden Leuchtstoff (Yttrium-Vanadat) versehen, der durch
lung wurde gewählt.

die UV-Strahlung zum Leuchten angeregt wird. Die Lichtaus-
beute dieser Lampe liegt bei 32 bis 60 lm=W, die Lebensdauer
bei 9000 h. Zum Betreiben wird ein Vorschaltgerät benötigt. Der

Kennzeichen

XI
volle Lichtstrom wird nach ungefähr 4 bis 5 Minuten erreicht.

Eine Wiederzündung ist erst nach Abkühlen der Lampe mög-
lich.

Gilt nur für Leuchten mit Entladungslampen. Temperaturen von

Teil

130 °C im normalen Betrieb und 180 °C im Fehlerfall des Vor-

Bei der Halogen-Metalldampflampe werden dem Quecksil-
schaltgerätes werden nicht überschritten. Für direkte Montage
ber Halogenverbindungen bestimmter Metalle beigemischt. Die
auf Gebäudeteilen aus nichtbrennbaren, schwer- und normalent-

Lichterzeugung erfolgt durch Verdampfen der Metallhalogene
flammbaren Baustoffen nach DIN 4102 Teil 1.

in der Quecksilberatmosphäre. Die Lichtausbeute liegt zwi-
schen 62 und 100 lm=W, die Lebensdauer zwischen 2000 und

6000 h. Zum Betrieb ist ein Vorschalt- und ein Zündgerät er-
forderlich. Der volle Lichtstrom steht nach 2 bis 4 Minuten zur

Kennzeichen

Verfügung. Eine Wiederzündung kann nach 2 bis 15 Minuten

Gilt für Leuchten mit Glühlampen und Leuchten mit Entla-
erfolgen.

dungslampen. Leuchten mit begrenzter Oberflächentemperatur.

Die Natrium-Hochdrucklampen ergeben Licht, indem in ei-

Im Fehlerfall können keine Temperaturen auftreten, die zur
nem Keramikbrenner Natriumdampfentladungen erzeugt wer-

Entzündung von brennbaren Stäuben und Fasern führen. Für
den. Der Keramikbrenner lässt in heißem Zustand Licht durch

Montage in Betriebsstätten geeignet, die durch brennbare Stäu-
sein Kristallgitter, so dass eine starke Natrium-Linienstrahlung
be und Fasern feuergefährdet sind.

1080

88 Elektrische Energieanwendung

Tab. 88.5 Reflexionsgrade

Farbe/Material

Reflexionsgrad

Farbe/Material

Reflexionsgrad

Weiß, lichtcreme

70–80 %

Hellelfenbein, RAL 1015

75 %

Hellgelb

55–65 %

Hellgrün, rosa

45–50 %

Pastellorange, RAL 2003

50 %

Himmelblau

40–45 %

Kieselgrau, RAL 7032

40 %

Braunbeige, RAL 1011

30 %

Ockergelb, olivgrün, hellbraun

25–35 %

Orange, zinnoberrot

20–35 %

Betongrau, RAL 7023

20 %

Dunkelgrün, -rot, -grau

10–15 %

Brillantblau, RAL 5067

10 %

Schwarz

4 %

Ahorn, Birke

50–60 %

Eiche hell

30–40 %

Nussbaum

15–20 %

Verputz, Gips

80 %

Fliesen, weiß

60–75 %

Ziegel, gelb

35–40 %

Beton

20–40 %

Ziegel, rot

10–25 %

Email, weiß

65–75 %

Aluminium, matt

55–60 %

Glas, klar

6–10 %

Kennzeichen

Tab. 88.6 Beleuchtungswirkungsgrad Bel (%) in Abhängigkeit vom Raumfak-
tor und den Reflexionsgraden für eine Anbauspiegelraster-Leuchte

Gilt für Leuchten und Entladungslampen. Temperaturen von

Reflexionsgrad

130 °C im normal Betrieb und 180 °C im Fehlerfall des Vor-

Decke

80

80

50

50

70

50

30
schaltgerätes werden an der Befestigungsfläche und an allen, der

Wand

50

30

50

30

50

30

50

Leuchte benachbarten Flächen, nicht überschritten. Für Mon-

Boden (Nutzebene) 30

30

30

30

20

10

10
tage auf Einrichtungsgegenständen (Möbel, daher „M“) aus

Raumindex 0,6

39

33

37

32

37

36

31

Werkstoffen, die in ihrem Brandverhalten nichtbrennbaren oder

0,8

48

42

46

41

46

44

39
schwer- oder normalentflammbaren Baustoffen nach DIN 4102

1,0

54

48

51

46

51

49

44

Teil 1 entsprechen, selbst wenn sie beschichtet, furniert oder la-

1,25

61

55

57

53

57

54

50
ckiert sind.

1,5

66

60

62

58

62

58

54

2,0

71

66

66

62

66

61

58

2,5

75

71

70

67

69

64

61

Kennzeichen

3,0

79

75

73

70

72

67

64

Gilt für Leuchten mit Glühlampen und Leuchten mit Entla-

4,0

81

78

75

72

74

68

66
dungslampen. Temperatur von 115 °C wird im Fehlerfall an der

5,0

84

81

77

75

76

70

67

Befestigungsfläche sowie an allen der Leuchte benachbarten

Stellen nicht überschritten. Für direkte Montage auf Einrich-
tungsgegenständen aus Werkstoffen, die in ihrem Brandverhal-

Sind Räume rund oder n-eckig und nicht zu lang gestreckt, kann
ten nichtbrennbaren oder schwer- oder normalentflammbaren

(88.10) angewendet werden:

Baustoffen nach DIN 4102 Teil 1 entsprechen, auch wenn sie
beschichtet, furniert oder lackiert sind.

A

A
h

T

K D
p
r

(88.10)

eil
h 2

A
m2
m

XI

Soll in dem zu beleuchtenden Raum eine Leuchte mit indirekter

88.2.7

Berechnung von Beleuchtungsanlagen

Charakteristik eingesetzt werden, gilt (88.11):

K D

3 a b
r

2 h . a C b/

(88.11)

Bei der Berechnung von Beleuchtungsanlagen in geschlossenen

1

Räumen spielt neben der Leuchtenauswahl und den Raum-

Kr Raumfaktor; a Länge des Raumes; b Breite des Raumes; h
abmessungen auch die Raumgestaltung eine Rolle. Für die

Lichtpunkthöhe über Nutzebene; A Fläche des Raumes; h 1 De-

Auslegung der Raumbeleuchtung ist der Raumwirkungsgrad ei-
ckenhöhe über Nutzebene.

ne wichtige Größe. Er ergibt sich aus dem Raumfaktor und den

Die Bestimmung der Reflexionsgrade des Raumes ist in der Pra-

Reflexionsgraden der Raumbegrenzung (Wände, Decken, Fuß-
xis nicht so ohne weiteres möglich, da die Raumgestaltung in
boden). Der Raumfaktor ist abhängig von den geometrischen
der Planungsphase noch nicht eindeutig vorliegt. Es ist darum

Abmessungen des Raumes und deshalb sehr exakt zu berech-
erforderlich, voraussichtliche Reflexionsgrade mit dem Bau-
nen. Für normale, rechteckige Räume gilt:

herren abzustimmen. In Tab. 88.6 sind einige Reflexionsgrade
aufgeführt.

a
b
h

Raumfaktor

K D
a b
r

(88.9)

Sind Raumfaktor und Reflexionsgrade bekannt, kann mit Hil-
h . a C b/
m
m
m
fe der Herstellerlisten der Beleuchtungswirkungsgrad Bel be-

Literatur

1081

Tab. 88.7 Einteilung der Farbwiedergabeeigenschaften
dadurch ein harmonisches Farbklima erreicht, das sich auf Stim-

Stufe der Farbwiedergabe Beschreibung
mung und Wohlbefinden des Menschen positiv auswirkt. Die

1

Sehr gute Farbwiedergabe

Lichtfarbe der Lampen hängt stark von der Erzeugung des

1A

Erfüllt höchste Ansprüche

Lichtes ab. Damit unterschiedliche Lampen in ihrer Lichtfarbe

1B

Erfüllt hohe Ansprüche
verglichen werden können, wird sie durch die Farbtempera-

2

Gute Farbwiedergabe
tur gekennzeichnet. Ferner wird eine Einstufung der Güte der

2A

Erfüllt die Ansprüche der üblichen Sehaufga-

Farbwiedergabe unternommen. In Tab. 88.8 sind die genormten
ben in Büroräumen und Werkstätten

Stufen der Farbwiedergabe aufgeführt.

2B

Erfüllt viele Ansprüche

3

Weniger gute Farbwiedergabe

Beispiel

4

Die Erkennung von Farben ist stark einge-
schränkt oder gar nicht möglich

Für einen Büroraum mit den Abmessungen Breite a D

5 m, Länge b D 7 m, Leuchtenhöhe über Nutzebene

Tab. 88.8 Lichtfarben und die Farbwiedergabeeigenschaft
h D 1;95 m und Raumhöhe h D

R

2;8 m soll eine Beleuch-

Lichtfarbe

Ähnlichste

Stufe der Farb- Handelsbezeichnungen
tungsanlage ausgelegt werden. Für Büroräume beträgt die

Farbtemperatur wiedergabe

Osram-Typ Philips-Typ

Nennbeleuchtungsstärke E D
m

500 lx.

Warmweiß

2700 K

1B

41

82

(ww)

Für den Raumfaktor ergibt sich bei direkter Lichtvertei-

1A

–

92
lung

3000 K

3

30

29
a b

1B

31

83

K D

D

5 m 7 m

D
r

1;49 1;5

1A

32

93
h . a C b/

1;95 m .5 m C 7 m/

Neutralweiß 4000 K

2B

20

33

(nw)

Mit einer Leuchtstofflampe der Lichtfarbe weiß wird vom

2A

25

25

Hersteller ein Lichtstrom von 5400 lm angegeben. Die

1B

21

84

Reflexionsgrade der Decke (70 %), der Wände (50 %)

1A

22

94
und des Fußbodens (20 %) werden geschätzt. Für eine

Tageslicht-

5000 K

1B

11

95

Spiegelrasterleuchte zum Deckenanbau ergibt sich ent-
weiß (tw)

sprechend dem Raumfaktor und den Reflexionsgraden ein

Beleuchtungswirkungsgrad von

D

Bel

0;62. Die Anzahl
der Leuchten berechnet sich jetzt zu
stimmt werden. Er ist das Produkt aus Leuchtenwirkungsgrad

p E A

1;25 500 lm .5 m 7 m/

Lb und Raumwirkungsgrad R.

m
n D

D
m2

Bel
z ˚

0;62 1 5400 lm

Beleuchtungswirkungsgrad

D

Bel

R Lb

(88.12)

D 6;5 Leuchten

Die für einen Raum erforderliche Leuchtenzahl kann mit Hilfe
von (88.13) ermittelt werden.

Gewählt werden 7 Leuchten.

J

Leuchtenzahl

A
n
p

E

A
z

n D p Em

Bel

˚

(88.13)

Bel
z ˚

–

–
lm
m2

–

–
lm
m2

XI
p Planungsfaktor > 1, berücksichtigt die Alterung; z Anzahl der Literatur

Lampen pro Leuchte.

Teil

Die hier gemachten Angaben und Formeln geben nur einen

1. Heuck/Dettmann/Schulz:

Elektrische

Energieversorgung.

kleinen Überblick in die Auslegung von Beleuchtungsanlagen.

Wiesbaden: Vieweg, 7. Auflage 2007

Für das einwandfreie Erkennen von Gegenständen ist die Licht-

2. div. Verfasser: Schalten, Schützen, Verteilen in Niederspan-
farbe der Lichtquellen von großer Bedeutung. Außerdem wird
nungsnetzen. München: Publicis MCD; Siemens AG, 1997

Leistungselektronik

XII

89

Halbleiter in der Leistungselektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085

90

Leistungshalbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087

91

Einsatz von Leistungshalbleitern als Schalter . . . . . . . . . . . . . 1109

XII

Teil

1083

Halbleiter in der Leistungs-

89
elektronik

Wilfried Plaßmann

XII

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1085

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_89

1086

89 Halbleiter in der Leistungselektronik

Die in diesem Buch im Teil V „Elektronik“ behandelten Elektro-

77 mit einer Leistung von etwa 20 kW; terrestrische Sender für
nischen Bauelemente „Dioden“, „Transistoren“, „ Thyristoren“

Digital-Fernsehen mit einer Leistung von z. B. 5 kW; Audio-
und „Triacs“ finden Anwendung bei Strömen bis etwa 5 A und

Verstärker mit einer Leistung von 10 kW bei Musik-Großver-
bei Spannungen bis etwa 100 V. Werden diese Werte wesent-
anstaltungen
lich überschritten, befindet man sich im Anwendungsgebiet der

Die in der Leistungselektronik eingesetzten Bauelemente und

Leistungselektronik. Es hat sich gezeigt, dass die genannten
die daraus aufgebauten Schaltungen sollten so betriebssicher

Bauelemente auch hier vorteilhaft eingesetzt werden können,
aufgebaut werden, dass Ausfälle auf ein Minimum reduziert
wenn man sie den gegebenen Betriebsbedingungen anpasst.

werden. Die Bauteile an sich sind dabei nicht der Kostenfak-

Dazu gehören u. a. die höheren elektrischen Feldstärken, die
tor, vielmehr sind es die Ausfälle der angeschlossenen Ge-
höheren Stromdichten sowie die höheren Verlustleistungen und
räte und die Folgeschäden, die enorme Kosten verursachen
die damit verbundenen Wärmeableitprobleme. Außerdem gibt
können.

es spezielle Schaltungen, die vornehmlich in der Energietechnik
angewendet werden.

Es sei darauf hingewiesen, dass die Hersteller von Leis-
tungshalbleitern Datenblätter und Applikationsberichte vorrä-

Elektronische Bauelemente werden in der Energietechnik be-
tig haben, die wertvolle Informationen z. B. zu den Themen
vorzugt eingesetzt als Schalter und als Signalverstärker.

Schaltungsbeispiele, Dimensionierung und Betriebssicherheit

Beispiel für den Einsatz als Schalter: Die Leistungsabgabe
enthalten Besonders zur Optimierung der Leistungshalbleiter-
von z. B. Motoren kann durch Ansteuerung mit Rechteck-

Ansteuerung sollten diese Unterlagen zu Rate gezogen werden.

Spannungsimpulsen mit variablem Tastgrad t ein= T Periode einge- Sie können oftmals direkt aus dem Internet geladen werden.

stellt werden (Gleichstromsteller). Dabei sind die mechanischen

Im Folgenden werden zunächst bekannte Halbleiter-Bauele-

Rückwirkungen auf den Motor umso geringer, je höher die Fre-
mente dargestellt, siehe auch Teil V „Elektronik“, die allerdings
quenz f D 1= T Periode ist.

für die Anwendung in der Leistungselektronik optimiert sind.

Beispiele für den Einsatz als Verstärker: Die Endstufen von Sen-

Es folgt deren Einsatz als Schalter, der häufigsten Anwendung
dern mit Frequenzen im kHz- und MHz-Bereich können mit
in der Leistungselektronik, einschließlich der zum ordnungsge-

Leistungstransistoren aufgebaut werden; „Uhrensender“ DCF
mäßen Betrieb erforderlichen Peripherie.

Teil

XII

Leistungshalbleiter

90

Wilfried Plaßmann

90.1 Halbleiterdioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088

90.2 Bipolartransistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091

90.3 Feldeffekttransistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097

90.4 IGBT-Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1100

90.5 Thyristoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101

XII

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1087

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_90

1088

90 Leistungshalbleiter

90.1

Halbleiterdioden

Spitzensperrspannung U DRM: höchstzulässiger Augenblicks-
wert der auftretenden Spannung im Sperrzustand in Vor-
wärtsrichtung;

90.1.1

Aufbau, statisches Verhalten,

Spitzensperrspannung U RRM: wie U DRM, aber in Rückwärts-
richtung.

Kenngrößen, Grenzwerte

Da Dioden häufig bei sinusförmigen Spannungsverläufen mit ei-
ner Frequenz von 50 Hz eingesetzt werden, gibt man für diesen

Den prinzipiellen Aufbau einer Halbleiterdiode zeigt Abb. 90.1.

Betriebsfall den

Sie besteht in der einfachsten Ausführung aus einem PN-

Dauergrenzstrom I

Übergang. Bei positivem, konstantem Potential der Anode (A)

FAV.1/
gegenüber der Kathode (K) ( U AK > 0) fließt der Durchlass- an; der Index (1) steht für eine definierte Gehäusetemperatur,
strom iF, der von der angelegten Spannung und der in Reihe
die dem Datenblatt zu entnehmen ist.

liegenden Impedanz Z (Last) bestimmt wird. Ist dagegen das

Potenzial der Anode gegenüber der Kathode negativ ( U AK < 0),
fließt der Sperrstrom iR, der durch die Eigenschaften der Diode
bestimmt wird und wesentlich von der Dotierung, der angeleg-

90.1.2

Dynamisches Verhalten, TSE
ten Spannung und der Diodentemperatur abhängt. Abb. 90.2
zeigt schematisch den Zusammenhang zwischen der Spannung

Das dynamische Verhalten gibt Auskunft über den zeitlichen
uF bzw. uR an der Diode (Index F für Flussrichtung, Durchlass-

Verlauf von Dioden-Spannung und -Strom bei Laständerung
richtung, Vorwärtsrichtung; Index R für Reverse, Sperrrichtung,
oder Änderung der den Lastkreis speisenden Spannung u

Rückwärtsrichtung) und dem Strom i

0. Be-

F bzw. iR in Durchlass-
sonders anschaulich lässt es sich einer Darstellung entnehmen,
und Sperrrichtung. Die an der Diode auftretende Spannung in
bei der die Spannung U

Durchlassrichtung liegt bei Siliziumdioden und den in der Leis-

0 rechteckförmigen Verlauf mit Polari-
tätswechsel besitzt. Abb. 90.3 gibt den Verlauf von u
tungselektronik auftretenden Strömen im Bereich 1 . . . 2,5 V.

F ; uR, iF
und i

Bei einem Effektivwert des durch die Diode fließenden Stro-

R in Abhängigkeit von U 0 wieder. Die eingetragenen Grö-
ßen haben folgende Bedeutung:

mes von z. B. 1000 A und einer Spannung in Durchlassrichtung
von 2,5 V entsteht an der Diode eine Verlustleistung von 2,5 kW.

U 0, u 0 die den Lastkreis speisende Spannung, hier rechteckför-

Die dadurch entstehende Wärme muss, mit einigem Aufwand
miger Verlauf mit Polaritätswechsel,
für die Kühlvorrichtung, abgeführt werden. Für den praktischen
uF

Spannung an der Diode in Vorwärtsrichtung,

Einsatz der Diode sind die folgenden Grenzwerte wichtig:

uR

Spannung an der Diode in Rückwärtsrichtung,
iF

Strom durch die Diode in Vorwärtsrichtung,

IR

Strom durch die Diode in Rückwärtsrichtung,
u FM

Scheitelwert der Spannung im Sperrzustand in Vorwärts-
richtung,
u RM
wie u Fm, aber in Rückwärtsrichtung,
i FM

Scheitelwert des Diodenstromes in Vorwärtsrichtung,
i RM

Scheitelwert des Diodenstromes in Rückwärtsrichtung,
t fr

Durchlassverzögerungszeit,

Abb. 90.1 Schematischer Aufbau einer Halbleiterdiode
t rr

Sperrverzögerungszeit.

Teil

XII

Abb. 90.2 Kennlinie einer Halbleiterdiode

Abb. 90.3 Ein- und Ausschaltverhalten einer Halbleiterdiode

90.1

Halbleiterdioden

1089

Nach Abb. 90.3 geht die Diode nach Anlegen einer Span-
a
b

c

d
nung in Durchlassrichtung innerhalb der Zeit t fr, ca. 1 bis

1

1

1

20 µs, in den leitenden Zustand über. Dieses Verhalten wird

-
durch die Größen u FM und t fr hinreichend genau beschrieben.

Der Ausschaltvorgang beginnt mit dem Anlegen einer Span-

L1

3

3

3

L2
nung in Sperrrichtung. Der Stromfluss wird zunächst über den

L3

Nullpunkt hinaus in negativer Richtung fortgesetzt, da sich im

Bereich des PN-Überganges noch ausreichend Ladungsträger

2

2

2
befinden: Trägerspeichereffekt, TSE. Erst wenn diese Ladungen

+
abgebaut sind, verringert sich die Anzahl der am Stromtransport
beteiligten Ladungsträger und führt zu einer Abnahme des Di-

Abb. 90.4 Beispiele für Diodenmodule, a – d siehe Text
odenstromes. Nach Ablauf der Zeit t rr, ca. 10 . . . 60 µs, ist der

Strom auf Werte abgesunken, die in der Regel vernachlässigbar
sind.

In den Datenblättern wird in der Regel ein Diagramm bzw. ein

Während des Betriebes können einzelne nicht periodische

Wert für die maximal zulässige Verlustleistung des Halbleiters

Stromimpulse auftreten, deren höchstzulässiger Augenblicks-
angegeben. Häufig wird ein Startwert (Diagramm) oder ein Wert
wert durch den Stoßstromgrenzwert I FSM.1/ festgelegt wird. Der (Tabelle) für eine Gehäusetemperatur von 25 °C des Halbleiters

Index (1) steht stellvertretend für vorgegebene Bedingungen für
zugrunde gelegt, der aber mit den gängigen Kühlkörpern nicht
den zeitlichen Verlauf dieser Impulse, die dem Datenblatt zu
erreichbar ist. Siehe dazu auch Abschn. 91.3 „Halbleiterküh-
entnehmen sind.

lung“.

90.1.3

Verlustleistung

90.1.4

Bauarten

Beim Betrieb von Halbleiterdioden besteht eine wesentliche

Aufgabe darin, die an der Diode entstehende Verlustwärme

Für spezielle Anwendungen sind Dioden entwickelt worden, die
abzuführen. Dazu ist zunächst die an der Diode entstehende Ver-
sehr kleine Sperrverzögerungszeiten t rr (Schottkydioden) und
lustleistung P
kleine Ströme i

V zu berechnen. Der weitaus größte Anteil entsteht

RM aufweisen. Sie besitzen dafür aber etwas
im Durchlassbetrieb, der Anteil in Sperrrichtung kann i. Allg.

höhere Durchlassspannungen und niedrigere Spitzensperrspan-
vernachlässigt werden. Auf der sicheren Seite befindet man sich,
nungen.

wenn man den höchsten vorkommenden Diodenstrom iF max mit
der zugehörigen Diodenspannung u

Werden Hochleistungsdioden bei niedrigen Frequenzen (z. B.

F max multipliziert:

50 Hz) betrieben, wird zwischen die stark dotierten P- und

P

D

N-Zonen ein schwächer dotiertes S-Gebiet eingefügt. Diese

V max
uF max iF max

(90.1)

PSN-dotierten Dioden erreichen Durchlassspannungen von et-

Wird der Halbleiter als Schalter eingesetzt mit dem Tastgrad
wa 2,5 V bei 1000 A und Spitzensperrspannungen von etwa
t 0= T 0 und verlaufen uF und iF (nahezu) rechteckförmig mit die- 4000 V.

sem Tastgrad, kann PV berechnet werden zu:

Halbleiterdioden stehen für Ströme bis ca. 5000 A und Span-
t 0 max
nungen bis ca. 5000 V zur Verfügung. Für z. B. Stromrichter

P

V
uF iF

(90.2)

T 0
werden häufig mehrere Dioden benötigt. In einem Modul sind
deshalb eine entsprechende Anzahl für einen bestimmten Ver-

Praktisch ist diese Formel für variables t 0 (z. B. Gleichstrom-
wendungszweck bereits zusammengefasst. Abb. 90.4 zeigt vier
steller) mit der Nebenbedingung 0 < t 0 < T 0, wobei für t 0 der Beispiele. Modul b) findet Verwendung in der M2-Gleich-
größte mögliche Wert t 0 max einzusetzen ist.

richterschaltung (Mittelpunktschaltung), c) als eine Hälfte einer

Für periodische nicht rechteckförmige Signalverläufe von u

B2-Gleichrichterschaltung oder in einer Spannungsvervielfa-

F
und i
cher-Schaltung, a) und b) zusammen in einer B2-Gleichrichter-

F muss PV allgemein bestimmt werden nach der Formel
schaltung (Brückengleichrichter), d) in einer B6-Gleichrichter-

T 0

Z
schaltung (3-Phasen-Gleichrichter). Die Dioden in a) und b)

P D 1
lassen sich parallel schalten und ähneln sich in ihren tempera-

V
uF. t/ iF. t/ dt

(90.3)

T 0
turabhängigen Parametern, da sie auf einem Block thermisch

0
gekoppelt untergebracht sind. Kennwerte zu a), b) und c): Spit-

XII

Wird der Halbleiter als schneller Schalter im oberen kHz- oder
zensperrspannung etwa 1400 V, maximaler Strom etwa 170 A
im MHz-Bereich eingesetzt, ist eine Überprüfung der zusätz-

(DD 171N-Series). Kennwerte zu d): Spitzensperrspannung et-

Teil
lichen Verluste beim Übergang Sperren-Leiten und umgekehrt
wa 1600 V, maximaler Strom etwa 200 A (A DD B6U 205 N16);
nach Abb. 90.2 und 90.3 sinnvoll.

[1, 2].

1090

90 Leistungshalbleiter

V

C R
r R

R

C
r F

Abb. 90.5 TSE-Schutzbeschaltung

Abb. 90.6 Ersatzschaltbild einer Halbleiterdiode

90.1.5

Schutzschaltungen, TSE-Beschaltung

Grenzlastintegral
t 2

Z

Sind die durch den Trägerspeichereffekt (TSE, s. Ab-

. i. t//2 dt .Strom zeitabhängig/ bzw. I 2 t .Gleichstrom/
schn. 90.1.2) vorhandenen Ladungen abgebaut, nimmt der
t 1

Strom in Sperrrichtung innerhalb weniger µs von i Rm auf nahezu

(90.4)

Null ab (Abb. 90.3). Befinden sich im Lastkreis der Diode Ver-
braucher mit induktivem Verhalten, können durch diese großen

Darin ist die Dauer des Stromes begrenzt (z. B. auf 2 ms oder

Stromänderungen pro Zeiteinheit Spannungsimpulse auftreten,

10 ms, weitere Einzelheiten siehe Datenblatt). Der errechnete
die den höchstzulässigen Augenblickswert der periodisch auf-

Grenzwert hat die Einheit A2s (z. B. 250.000 A2s). Für sinus-
tretenden Spannung, U RRM, an der Diode überschreiten und
förmige 50-Hz-Netze wird häufig ein daraus bereits berechne-
sie unter Umständen zerstören. Eine wirksame Schutzbeschal-
ter und auf eine Halbschwingung zugeschnittener Grenzeffek-
tung wird in Abb. 90.5 gezeigt. Parallel zur Diode V liegt ein
tivstrom I FRMS bei definierter Gehäusetemperatur angegeben.

Kondensator C, der die vorhandenen Spannungsspitzen in der

Die zwei genannten Grenzwerte sind für die Auswahl einer

Amplitude verringert. Damit der Kondensatorstrom bei sehr

Sicherung entscheidend. Überschreitet innerhalb der vorgege-
großen Spannungsänderungen nicht zu groß wird, ist ein Wi-
benen Zeit (z. B. 10 ms) das Grenzlastintegral den angegebenen
derstand R in Reihe geschaltet. Bei Anschlussspannungen im

Wert, muss die Sicherung den Stromkreis unterbrechen (siehe

Bereich (230 . . . 500) V empfehlen viele Hersteller, Widerstän-

Abschn. 91.5.2 „Überstromschutz“).

de im Bereich (30 . . . 150) ( und Kondensatoren im Bereich

(0,1 . . . 0,47) &F einzusetzen. Die TSE-Schutzbeschaltung soll-
te, unabhängig von der Last, in jedem Fall vorgesehen wer-
den, da sie auch in der Lage ist, Spannungsspitzen über den

90.1.7

Zusammenschaltung von Dioden

Dioden durch andere Verursacher zu verringern (siehe auch

Abschn. 90.1.7 „Zusammenschaltung von Dioden“ und Ab-

Durch geeignetes Zusammenschalten mehrerer Dioden kön-
schn. 91.5 „Schutzschaltungen“).

nen der Dauergrenzstrom und die Spitzensperrspannung einer

Einzeldiode überschritten werden. Das in Abb. 90.6 gezeigte Er-
satzschaltbild einer Diode gibt ihr statisches und dynamisches

90.1.6

Sicherungen

Verhalten für die meisten Anwendungsfälle ausreichend genau
wieder.

Die Diode wird als ideal angenommen. Für die weiteren Ele-

Wird der Strom durch eine Diode zu groß, wird sie durch die zu
mente gilt:

hohe Stromdichte und die damit verbundene erhöhte Wärmeent-
wicklung zerstört. Zunächst verliert sie ihre Eigenschaft als Di-
rF Widerstand der Diode in Durchlassrichtung, ergibt sich aus
ode, und bei weiter steigender Temperatur schmelzen Bereiche
dem Quotienten uF= iF im aktuellen Arbeitspunkt, stromab-
innerhalb der Diode. Die Zerstörung kann bereits nach wenigen
hängig, evtl. durch einen konstanten Wert angenähert (z. B.

µs seit Beginn des Überlastfalles einsetzen. Kritisch dabei ist,

2 m();
dass der elektrische Widerstand eines Halbleiters mit steigen-
rR Widerstand der Diode in Sperrrichtung, ergibt sich aus dem
der Temperatur sinkt und damit eine bestehende unvermeidbare

Quotienten uR= iR im aktuellen Arbeitspunkt, in erster Nähe-

Inhomogenität der Stromdichte weiter begünstigt wird. Beson-
rung als nahezu unabhängig von der angelegten Spannung
ders problematisch ist der Fall von Strom änderungen, weil dann
angenommen;
die Stromdichte kurzzeitig (Bereich µs) besonders ungleichmä-

CR Kapazität des PN-Überganges, hier speziell in Sperrrich-
ßig über der Fläche des PN-Überganges verteilt ist. Bereiche mit
tung, abhängig von uR, evtl. durch einen konstanten Wert

Teil

Übertemperatur senken den Widerstand und erhöhen damit den
angenähert. Die Kapazität des PN-Überganges in Durchlass-

Stromfluss und die Temperatur überproportional (Durchbruch 2.

richtung ist wegen r

F

1 ( ohne Bedeutung.

XII

Art). Ein Grenzwert für den Strom lässt sich nicht ohne Weiteres
angeben, da die genannten Effekte nicht kalkulierbar sind und

1. Parallelschaltung von Leistungsdioden
außerdem der zeitliche Verlauf des Stromes eine Rolle spielt.

Ein Maß zur Abschätzung der entstehenden Verlustleistung und

Da die Kennlinien i D

F
f . uF/ der Einzeldioden nicht identisch
der damit verbundenen Wärmeentwicklung ist durch das Grenz-
sind (fertigungstechnisch bedingt, temperaturabhängig), ergibt
lastintegral ge geben:

sich eine unsymmetrische Stromaufteilung unter den Dioden in

90.2

Bipolartransistoren

1091
haben, denn rR unterliegt starken Exemplarstreuungen (her-
stellungsbedingt, temperaturbedingt). Da rR meist größer ist
als 100 k(, spielen die Verluste an R 2 kaum eine Rolle.

Daneben ist noch eine weitere Maßnahme erforderlich. Än-
dert sich die Spannung über der Reihenschaltung der Dioden
sehr schnell (Schaltvorgang), findet gemäß Ersatzschaltbild

Abb. 90.7 Zusammenschaltung von Halbleiterdioden. a Parallelschaltung,

(Abb. 90.6) vorübergehend eine Spannungsaufteilung in um-
b Reihenschaltung
gekehrtem Verhältnis der Kapazitäten CR zueinander statt.

Diese Kapazitäten unterliegen Bauteilstreuungen und ändern
sich stark während eines Schaltvorganges. Beim Übergang

Durchlassrichtung. Eine nahezu symmetrische Aufteilung des
vom Leit- in den Sperrzustand entfernen sich die p- und

Gesamtstromes kann man dadurch erreichen, dass man
n-Schichten voneinander und ändern gemäß Q D C U

1. Dioden des gleichen Herstellers mit gleicher Typenbezeich-
die Kapazitäten der Dioden, aber nicht bei beiden völlig
nung verwendet;
synchron. Beim Übergang vom Sperr- in den Leitzustand

2. Dioden mit angenähert gleicher Kennlinie aussucht;
finden ähnliche Vorgänge mit teilweise umgekehrtem Vor-

3. die Dioden durch thermische Kopplung auf etwa gleicher
zeichen statt. Auch wenn diese vorübergehende Spannungs-

Temperatur hält (Kennlinie i D
aufteilung nur wenige µs andauert, kann sie den Halbleiter

F
f . uF/ ist temperaturabhän-
gig);
gefährden. Abhilfe schafft ein zu den Dioden jeweils paral-

4. zusätzlich einen Widerstand R
lel geschalteter Kondensator C

1 (Abb. 90.7a) in Reihe zu je-

1 (Abb. 90.7b), dessen Wert
der Diode anordnet.

mindestens 10mal so groß ist wie der größte an den Dioden

Wählt man R
auftretende Kapazitätswert. Der Widerstand R

1 so groß, dass etwa 0,4 V an ihm abfallen,

3 begrenzt den
weichen die Ströme der Dioden um weniger als 20 % vonein-

Kondensatorstrom.

ander ab. Nachteilig ist die an R 1 auftretende Verlustleistung,

Für die genannten Bauteile folgen einige Angaben zur Dimen-
die die an der Last zur Verfügung stehende Leistung verrin-
sionierung: C
gert und die unter Umständen eine gesonderte Abführung

1 erfordert Werte im unteren nF-Bereich, R 3 Werte
im Bereich (100 . . . 1000) (.

der entstehenden Wärme erfordert. Wirkungsweise von R 1:

Die Spannung an R 1 der Diode mit dem größeren Strom wä-

Eine in der Regel vorhandene TSE-Beschaltung erfordert we-
re größer als die an R 1 mit dem kleineren Strom. Da die
sentlich größere Kapazitätswerte und wesentlich kleinere Wi-

Summe . u C

F
uR 1/ beider Dioden gleich sein muss, muss derstandswerte (s. Abschn. 90.1.5 und oben), so dass diese
die Spannung uF der Diode mit dem größeren Strom sinken,
gleichzeitig auch eine wirksame Schutzschaltung für die Rei-
was gemäß Kennlinie einen geringeren Strom zur Folge hat.

henschaltung von Leistungsdioden darstellt.

Der andere Diodenkreis reagiert entsprechend uF und da-
mit stromerhöhend. Je konsequenter die Maßnahmen 1 bis

3 durchgeführt werden, desto kleiner kann der Wert vom

Widerstand R 1 ausgelegt werden. Bei einem Halbleiterersatz

90.2

Bipolartransistoren
sind die Punkte 1 und 2 von besonderer Bedeutung.

In der Leistungselektronik werden überwiegend Silizium-

2. Reihenschaltung von Leistungsdioden

Transistoren eingesetzt, weil ihre maximale Kristalltempera-
tur im Bereich (150 . . . 170) °C liegt und die Kühlung durch

Bei der Reihenschaltung können Probleme während des Betrie-

Wärmeabgabe in die Umgebung erfolgen kann. Die Kollektor-
bes in Sperrrichtung auftreten. Im stationären Zustand verhalten

Emitter-Restspannung liegt bei (1 . . . 2,5) V. Die Spannung
sich die Teilspannungen an den Dioden wie die Sperrwider-
an der Last wird um diesen Wert reduziert, was aber in
stände rR der Einzeldioden (s. Abb. 90.6 und 90.7b). Diese
der Regel von untergeordneter Bedeutung ist. Wie bei al-
unterliegen aber großen Exemplarstreuungen und sind stark
len Leistungshalbleitern muss bei höheren Strömen für eine
temperaturabhängig. Um eine nahezu gleichmäßige Spannungs-
ausreichende Kühlung gesorgt werden. Germanium-Halbleiter
aufteilung zu erhalten, gibt es folgende Maßnahmen:

dagegen finden evtl. dort noch Anwendung, wo die Versor-

1. Dioden des gleichen Herstellers mit gleicher Typenbezeich-
gungsspannung niedrig ist (z. B. 12-V-Akku zum Betrieb eines
nung verwenden;

Gleichstrom-Motors in einer Brückenschaltung mit 4 Transis-

2. Dioden mit angenähert gleichem Widerstand rR aussuchen;
toren zur Drehrichtungsumkehr), weil die Kollektor-Emitter-

3. die Dioden durch thermische Kopplung auf etwa gleicher

Restspannung unterhalb 1 V liegt. Allerdings ist die maximale

Temperatur halten ( rR, Abb. 90.6, ist temperaturabhängig);

Kristalltemperatur etwa (60 . . . 70) °C, und damit wird die Küh-

4. zusätzlich einen Widerstand R 2 (Abb. 90.7b) parallel zu jeder
lung bei Umgebungstemperaturen oberhalb 50 °C zum Problem.

XII

Diode anordnen.

Germanium-Transistoren werden manchmal auch noch einge-

Sind diese Widerstände an beiden Dioden gleich groß, ergibt
setzt in Gegentakt-Endstufen von Niederfrequenz-Verstärkern,

Teil
sich für den statischen Fall eine Halbierung der an der Rei-
weil Temperaturen von 50 °C oder höher im häuslichen Bereich
henschaltung anliegenden Spannung. Bedingung ist, dass die
nicht erreicht werden, und wenn in Ausnahmefällen doch, dann

Widerstände R 2 maximal 1/10 des Wertes vom kleinsten rR
kann eine Sicherheitsabschaltung der Endstufe erfolgen.

1092

90 Leistungshalbleiter

Abb. 90.9 NPN-Transistor als Schalter in Emitterschaltung

Abb. 90.8 Schematischer Aufbau eines Bipolartransistors. a PNP-Typ, b NPN-

Typ

Restspannung U CEsatliegt im Bereich 1 bis 2,5 V. Sie ist in
erster Näherung unabhängig vom durchfließenden Strom und

Von den zwei Typen PNP- und NPN-Transistor (Erläuterungen
kann auch durch Einspeisen eines höheren Basisstromes als
im nächsten Kapitel) werden die NPN-Typen häufiger einge-
erforderlich (Übersteuerung, erhöht die Ausschaltzeit, siehe Ab-
setzt, weil sie insgesamt etwas günstigere Daten aufweisen. In
schn. 90.2.2) nicht mehr wesentlich verringert werden. Damit
der Verstärkertechnik sind Leistungsendstufen häufig mit einem
lässt sich der Zustand Schalter geschlossen nicht ideal nachbil-

NPN- und einem PNP-Typ aufgebaut, die etwa die gleichen
den.

Eigenschaften haben und allgemein als „Pärchen“ bezeichnet

Die Restspannung U CEsat verringert die an der Last zur Verfü-
werden. Durch diese Konfiguration vereinfacht sich der Auf-
gung stehende Spannung UL gegenüber der Betriebsspannung
wand für die Schaltung.

UG um ca. 1 bis 2,5 V. Die am Transistor entstehende Ver-
lustleistung kann z. B. Werte von 65 W (2N6032, I D
c

50 A,

U

D

UCEsat

1;3 V) erreichen.

90.2.1

Aufbau, statisches Verhalten,

Eine weitere Kenngröße ist die bereits angesprochene Großsi-

Kenngrößen, Grenzwerte, SOAR
gnal-Stromverstärkung h 21 (auch mit B bezeichnet). Sie hängt
mehr oder weniger von der Größe des Kollektorstromes ab und
unterliegt außerdem starken Exemplarstreuungen. Deshalb ist

Abb. 90.8 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines NPN- und ei-
bei einer Schaltungsdimensionierung der kleinstmögliche Wert,
nes PNP-Transistors. Ihre Wirkungsweise ist prinzipiell gleich.

h 21 min ( B min) einzusetzen (Datenblatt). Außerdem muss der sich

Der wesentliche Unterschied besteht darin, dass beim PNP-
daraus ergebende minimale Basisstrom I

D

B

Ic= h

Transistor der Emitter das positivste, beim NPN-Transistor das
min ( IB min

21 min)

mit einem „Sicherheits“-Faktor 1,2 . . . 2 multipliziert werden,
negativste Potential besitzt. In der Leistungselektronik werden
damit der Transistor wie gewünscht sicher durchschaltet. An-

Transistoren vorwiegend im Schalterbetrieb oder in Leistungs-
dernfalls läuft man Gefahr, dass die Spannung U CE nicht den
verstärkern eingesetzt; im Schalterbetrieb in der Emitterschal-

Minimalwert U CEsat erreicht und der Transistor durch die erhöh-
tung (Abb. 90.9). Das Ausgangskennlinienfeld eines NPN-
te Verlustleistung und die daraus resultierende Zunahme der

Transistors in Emitterschaltung zeigt Abb. 90.10. Wird in die

Kristalltemperatur seine Funktionsfähigkeit verliert. Ein Nach-

Basis kein Strom eingespeist, d. h. I D

B

0, fließt ein nur gerin-
teil dieser aus Sicherheitsgründen erforderlichen Übersteuerung
ger Kollektorstrom I CEV der Kollektorreststrom (Basisanschluss
ist, dass die Ausschaltzeit des Transistors zunimmt (s. Ab-
offen, bei beschalteter Basis ist der Wert noch geringer; Strom
schn. 90.2.2).

ist temperaturabhängig). Er liegt bei Leistungstransistoren ma-
ximal bei etwa (0,5 . . . 20) mA. Der Transistor befindet sich

In Abb. 90.10 sind drei für den Betrieb eines Transistors als
im AUS-Zustand (Sperrzustand). Damit wird der Betriebsfall

Schalter wichtige Grenzwerte eingetragen. Die höchstzulässi-

„Schalter geöffnet“ für Anwendungen in der Leistungselektro-
nik „nahezu ideal“ nachgebildet. Die am Transistor stehende

Spannung zwischen Kollektor und Emitter, U CE, ist fast gleich
der Betriebsspannung UG:Da der Kollektorreststrom im unteren
mA-Bereich liegt, ist die am Transistor entstehende Verlustleis-
tung im Sperrzustand klein (einige Watt oder weniger) und muss

T
für die Halbleiter-Kühlung nicht berücksichtigt werden.

eil

Durch Einspeisen eines ausreichend großen Basisstromes IB

XII
in die Basis arbeitet der Transistor im EIN-Zustand (Schal-
ter geschlossen, Leitzustand, Transistor durchgeschaltet). Der
erforderliche Wert von IB ergibt sich durch Division des Last-
stromes im Kollektorkreis (angenähert UG= RL, Abb. 90.9)

durch die Großsignal-Stromverstärkung h 21 (oder auch B, bei-
des wird verwendet) des Transistors. Die verbleibende Span-
nung zwischen Kollektor und Emitter, die Kollektor-Emitter-

Abb. 90.10 Kennlinienfeld eines NPN Transistors mit SOAR-Bereich

90.2

Bipolartransistoren

1093
ge Vorwärts-Sperrspannung U CE0 darf, auch nicht kurzzeitig,
überschritten werden, da es sonst zu einem Lawinendurchbruch

(zu hohe Feldstärke) bzw. zu einem Durchbruch 2. Art (Er-
klärung weiter unten) innerhalb des Transistors kommen kann.

Der höchstzulässige Mittelwert des Kollektorstromes, I CM, darf
ebenfalls nicht überschritten werden. Die am Transistor erzeugte
statische Verlustleistung muss unterhalb der Verlustleistungs-
hyperbel Pv liegen. Dem Datenblatt des Transistorherstellers
ist zu entnehmen, welche Bedingungen der eingetragenen Ver-
lustleistungshyperbel zugrunde liegen; häufig wird von einer
maximal zulässigen Sperrschichttemperatur für Siliziumtransis-
toren von (150 . . . 170) °C, einer Umgebungstemperatur von

(30 . . . 50) °C und einem vorgegebenen Kühlkörper ausgegan-

Abb. 90.11 Einschaltverhalten eines NPN-Bipolartransistors
gen. Der Sperrbereich kann nicht verwendet werden, und der

Sättigungsbereich ist zu vermeiden (Abschn. 90.2.2 „Dynami-
sches Verhalten“).

2. Während des Überganges vom sperrenden in den leitenden

Zustand entsteht am Transistor eine zeitabhängige Leistung

Damit ist der für den statischen Betriebsfall erlaubte Arbeitsbe-
p, deren prinzipieller Verlauf eingezeichnet ist. Sie ergibt
reich eines Transistors festgelegt; er wird SOAR (safe-operating-
sich zu p D u

CE
iC. Die unter dieser Kurve liegende Fläche
area) genannt und ist in Abb. 90.10 als nicht schraffierter und
ist ein Maß für die bei einem Einschaltvorgang entstehende
nicht grau unterlegter Bereich dargestellt. Für den dynamischen

Verlustleistung bzw. Verlustenergie.

Betriebsfall gilt ein Sonderfall: Liegt die Widerstandsgerade mit
ihrem mittleren Teil in dem grau unterlegten Bereich, die zwei

Endpunkte aber im nicht gekennzeichneten Bereich, kann der

2. Ausschaltvorgang

Transistor für den Übergang zwischen den zwei Schaltzustän-

Der Übergang vom leitenden in den sperrenden Zustand ist
den diesen Bereich durchfahren, sofern das ausreichend schnell
beim Basisstrom dadurch gekennzeichnet, dass zunächst ein
geschieht. Das heißt, die Schaltverluste und die Halbleiterküh-

Strom iB 2 für die Dauer ts ( Speicherzeit) aus der Basis her-
lung müssen aneinander angepasst sein.

ausfließt (Abb. 90.12). Während dieser Zeit ändert sich der

Die Vorwärts-Sperrspannung U

Kollektorstrom kaum. Erst nach Ausräumen der Basisladun-

CE0 gilt für den Fall, dass die

Basis des Transistors offen (unbeschaltet) ist. Wählt man dage-
gen (schraffierter Teil) beginnt der Basisstrom und damit auch
gen die Basis-Emitter-Spannung kleiner 0 V (NPN-Transistor),
der Kollektorstrom abzunehmen ( Abfallzeit tf ), die Vorgänge
erhöht sich die Sperrspannung U

D ähneln jetzt denen beim Einschalten. Deshalb gelten die beim

CE0 auf den Wert: U CEV

.1;2 : : : 2/ U

Einschaltvorgang dargestellten Folgerungen auch beim Aus-

CE0. Allerdings gilt: U BE min

5 V (genauer Wert
siehe Datenblatt).

schalten, allerdings mit dem wesentlichen Zusatz, dass beim

Ausschalten eines Transistors eine Speicherzeit ts auftritt, die
um einiges größer ist als die Verzögerungszeit td des Ein-
schaltvorganges (Faktor 2 bis 10). Aus diesem Grund werden

90.2.2

Dynamisches Verhalten
spezielle Schaltungsmaßnahmen zur Verringerung der Speicher-
zeit ts nach Abb. 90.13 angewendet.

Das dynamische Verhalten gibt Auskunft über den Verlauf von

Abb. 90.13a: Ist der Transistor im durchgeschalteten Zustand,

Kollektorstrom und Kollektor-Emitter-Spannung beim Über-
verursacht der Basisstrom iB an RB 2 einen Spannungsabfall.

gang des Transistors vom Sperr- in den Leitzustand (Abb. 90.11)

RB 2 und C müssen so dimensioniert werden, dass sich C wäh-
und umgekehrt (Abb. 90.12). Als Lastimpedanz wurde ein
rend der Leitphase des Transistors durch den Basisstromabfall

Wirkwiderstand eingesetzt.

1. Einschaltvorgang

Wird ein Basisstrom i D

B
iB 1 in die Basis eingespeist, so vergeht
bis zu einem merklichen Anstieg des Kollektorstromes (10 %
vom Endwert) die Verzögerungszeit td; anschließend steigt der

Kollektorstrom innerhalb der Anstiegszeit tr auf 90 % des End-
wertes. Gleichzeitig sinkt die Kollektor-Emitter-Spannung auf
ca. 10 % des ursprünglichen Wertes ab. Zwei wichtige Folge-

XII
rungen ergeben sich aus Abb. 90.11.

1. Der Transistor benötigt endliche Zeit (einige Mikrosekun-

Teil
den), um in den leitenden Zustand zu gelangen. Der Ansteue-
rung von Verbrauchern mit rechteckförmigen Spannungen
und variablem Tastgrad zur Leistungseinstellung sind damit

Grenzen bei (10 . . . 30) kHz gesetzt

Abb. 90.12 Ausschaltverhalten eines NPN-Bipolartransistors

1094

90 Leistungshalbleiter

Abb. 90.13 Transistorschaltstufen zur Ausschaltzeitverkürzung, a mit Be-
schleunigungskondensator b mit Sättigungsschutzdioden

Abb. 90.14 SOAR-Diagramm eines Bipolartransistors
an RB 2 auf etwa (1 . . . 3) V auflädt. Das sollte angenähert der
stationäre Endwert sein. Das Steuergerät für die Bereitstellung

„statischen“ Betrieb sinnvoll, weil der Verringerung der Rest-
des Basisstromes muss diesen Spannungsabfall berücksichtigen.

spannung eine Erhöhung der Speicherzeit tS gegenübersteht.

Der negative Pol der Kondensatorspannung liegt an der Basis

Für Transistoren mit U

D 1000 V und I

D 150 A liegt
des Transistors. Schaltet das Steuergerät den Transistor in den

CE0

CM
beispielsweise t

Sperrzustand durch u

D
r bei etwa (2 . . . 10) µs, ts bei etwa (15 . . . 30) µs.

S

0, liegt durch die „ideale“ Span-

Spezielle schnelle Schalttransistoren mit U

D 400 V; I

D
nungsquelle mit der Spannung u

CE0

CM

S und dem Innenwiderstand

50 A weisen z. B. folgende Werte auf: t 0;5 µs; t 4 µs.

R
r
i. us/
1 ( der positive Kondensatorpol am Emitter ( U 0 sei 0)

und der negative Anschluss an der Basis. Die Basisladungen des

Zur Kennzeichnung des SOAR-Bereiches eines Leistungstran-

Transistors werden direkt durch die Kondensatorladungen kom-
sistors im dynamischen Betrieb verwenden die Hersteller häufig
pensiert. Der Wert von RB 1 ist als Begrenzungswiderstand des-
das in Abb. 90.14 dargestellte Diagramm. I CPM ist der höchst-
halb ausreichend klein zu wählen oder kann evtl. ganz entfallen.

zulässige Mittelwert des Kollektorstromes bei Pulsbetrieb mit

Für C haben sich Werte im Bereich (50 . . . 500) pF und für RB 2
definiertem Tastgrad tp= T. Er ist größer als der Wert I cm. Bei

Werte im Bereich (5 . . . 100) ( bewährt. RB 2 und uS legen aber

Gleichstrombelastung wird der erlaubte Bereich durch die mit
auch den Basisstrom für den Leitzustand des Transistors fest

DC gekennzeichnete Linie begrenzt. Der Geradenteil a ergibt
und sollten eine Übersteuerung vermeiden. Die Spannungsquel-
sich durch die Wärmeentwicklung infolge der auftretenden Ver-
le mit der Spannung U 0 ((1 . . . 2) V) ist bei Bedarf einzusetzen,
lustleistung, der Geradenteil b, um einen zweiten Durchbruch zu
sie beschleunigt den Entladevorgang zusätzlich. Hinweise: Die
verhindern. Der Tastgrad tp= T beträgt 0,01. Es handelt sich also
negative Spannung an der Basis des Transistors darf den Wert
um sehr kurze Einschaltdauern im Vergleich zur Periodendauer.

von etwa 5 V nicht unterschreiten (Datenblatt gibt den genau-
en Wert an). Die optimale Dimensionierung dieser Schaltung

Der Durchbruch 2. Art entsteht dadurch, dass bei einem großen
sollte durch Versuche ermittelt werden. Auch die Technischen

Stromanstieg pro Zeiteinheit die Stromdichte zunächst nicht ho-

Unterlagen der Transistorhersteller können eine wertvolle Hilfe
mogen über der Kristallfläche verteilt ist. Flächen mit hoher
sein.

Stromdichte erwärmen sich überproportional, was wiederum ih-
ren Widerstand verringert und damit die Stromdichte weiter

Abb. 90.13b: Diese Schaltungsmaßnahme sorgt dafür, dass
erhöht. Das kann zu einem Schmelzen lokaler Bereiche führen
durch eine bewusste und begrenzte Übersteuerung sowohl ein
und damit den Halbleiter zerstören.

beschleunigtes Einschalten (in der Regel Nebeneffekt) als auch
vor allem eine gewisse Verringerung der Restspannung U CE sat

Enthält der Lastkreis auch Induktivitäten oder Kapazitäten, kann
und damit eine Verringerung der am Transistor entstehenden
der Verlauf von iC und u CE erheblich von dem nach Abb. 90.11

Verlustleistung erreicht wird. Das verringert den Aufwand für
bzw. 90.12 abweichen. Kritisch ist der in der Leistungselektro-

Teil
die Kühlung. Gilt: 0;7 V C u BE > 0;3 V C U CE sat, fließt ein Teil
nik häufig vorkommende Fall, dass die Lastimpedanz induktive
des Stromes iS über die Germaniumdiode und die Kollektor-

Anteile, z. B. durch Motoren oder Transformatoren, enthält.

XII

Emitter-Strecke des Transistors. Damit wird der Basisstrom

Dann tritt im Ausschaltmoment des Transistors an der Induk-
und damit die Übersteuerung begrenzt. Durch Reihenschaltung
tivität eine Spannungsüberhöhung auf, die unter Umständen
mehrerer Dioden (Schwellspannung Germaniumdioden etwa
bewirkt, dass die Kollektor-Emitter-Spannung den Grenzwert

0,3 V; Siliziumdioden etwa 0,7 V) kann eine Optimierung er-

U CE0 überschreitet und der Transistor zerstört wird. Deshalb
reicht werden (evtl. experimentell ermitteln). Diese Maßnahme
sind dann geeignete Schutzbeschaltungen erforderlich (s. Ab-
ist für den Schalterbetrieb bei niedrigen Frequenzen oder für den
schn. 90.2.5).

90.2

Bipolartransistoren

1095

90.2.3

Verlustleistung

Die Berechnung der Verlustleistung wird hier unter dem Pro-
blem der ausreichenden Halbleiterkühlung gesehen.

1. Transistor als Schalter

Die Gesamtverluste setzen sich aus 4 Anteilen zusammen:

1. Verluste beim Übergang vom AUS- in den EIN-Zustand;

Abb. 90.15 Darlington-Leistungstransistor mit Zusatzelementen

2. Verluste im EIN-Zustand; 3. Verluste beim Übergang vom

EIN- in den AUS-Zustand; 4. Verluste im AUS-Zustand.

Die Berechnung der Verlustleistung nach (90.8) ist in der

Die Verluste unter Punkt 4 können vernachlässigt werden, weil

Regel schwierig, da es sich häufig um stochastische Signale
der Kollektor-Reststrom im unteren mA-Bereich oder weni-

(z. B. Musik, Sprache) handelt. Dann führen Messungen oder
ger liegt. Das ergibt bei 1 mA und einer Kollektor-Emitter-
sog. „Worst-Case-Abschätzungen“ zu brauchbaren Ergebnis-

Spannung von 1000 V eine Verlustleistung von 1 W. Die Ver-
sen: u
luste in den 2 Umschaltzeiten, Punkte 1 und 3, sind im Prinzip

CE max aus Messung oder Datenblatt, iC max durch Versor-
gungsspannung und Lastimpedanz.

als p D p. t/ in den Abb. 90.11 und 90.12 dargestellt. Formal
ist die Gesamtleistung durch Integrieren von p. t/ über eine Pe-
riode und das Beziehen auf die Periode zu bestimmen. In der

Praxis wird man auf Erfahrung oder Näherungslösungen zu-
rückgreifen. Gut geeignet zur Erfassung sind die im Teil XIII

90.2.4

Bauarten

„Nachrichtentechnik“, Kap. 97 „Filter“, Abschn. 97.3.2 „Tief-
passfilter“ genannten Simulationsprogramme. Die Praxis zeigt,

Bipolar-Leistungstransistoren werden auch in Modulform ange-
dass sich erst bei höheren Frequenzen ab unterem kHz-Bereich
boten. Neben dem eigentlichen Transistor sind noch Zusatz-
evtl. zu berücksichtigende Anteile an der Gesamtleistung erge-
elemente eingebaut, die als Schutzelemente wirken oder den
ben, weil das Maximum von p. t/ Leistungsanpassung zwischen

Einsatz komfortabler gestalten. Beispiele dafür sind:

Transistorwiderstand und Lastwiderstand (Lastimpedanz) be-
deutet. Die Verluste nach Punkt 2, EIN-Zustand, sind in der

4 Transistoren in einem Modul, Einsatz z. B. in einer

Regel die größten. Sie lassen sich nach (90.2), mit entsprechend

Brückenschaltung zur Drehrichtungsumkehr bei Gleich-
angepassten Bezeichnungen, berechnen.

strommotoren;

Wird der Halbleiter als Schalter eingesetzt mit dem Tastgrad

Darlingtontransistor, erkennbar an einer Stromverstärkung
t
von mehr als 1000 und einer Basis-Emitter-Schwellspannung

0= T 0 und verlaufen uF und iF (nahezu) rechteckförmig mit die-
sem Tastgrad, kann die Verlustleistung P
von 1,4 V (2 Siliziumtransistoren), siehe dazu die folgenden

V berechnet werden zu:

Erläuterungen und Abb. 90.15;
t 0 max

Diode (V

P

2) parallel zur Kollektor-Emitter-Strecke, siehe

V
u CE iC

(90.5)

T

Abb. 90.15;

0
eingebauter Optokoppler zur potentialgetrennten Ansteue-

Die Formel berücksichtigt, dass t 0 i. Allg. variabel ist (z. B.

rung;

Gleichstromsteller) und dass dann dessen Maximalwert einzu-
eingebauter Temperaturfühler. Er dient zur aktuellen Erfas-
setzen ist: 0< t 0 < t 0 max < T 0.

sung der Halbleitertemperatur.

Abb. 90.15 zeigt ein Beispiel für den internen Aufbau eines

2. Transistor als Leistungsverstärker

Transistormoduls. Die Diode V2 soll verhindern, dass die Kol-

Die Spannungs- und Stromverläufe . u
lektor-Emitter-Spannung negativer als etwa 1 V werden kann

CE; iC / können beliebig
und nichtperiodisch sein. Deshalb lässt sich die Verlustleistung

(Schutzfunktion). Der Transistor T1 ist der eigentliche Leis-
dann nur nach der allgemeinen Formel berechnen:

tungstransistor. Bei Strömen oberhalb etwa 50 A liegt seine

Z

Z

Stromverstärkung merklich unter 100, er benötigt also einen

Basisstrom von 1 A oder mehr, um durchzuschalten. Der von

P D 1

V

. u CE. t/ iC. t// dt C . u BE. t/ iB. t// dt

(90.6)

T
außen über den Basisanschluss B in die Basis von Transistor T2
eingespeiste Strom wird mit dessen Stromverstärkung (i. Allg.

Da aber gilt:

> 100) verstärkt und gelangt als Emitterstrom in die Basis von

T1. Theoretisch ist die resultierende Stromverstärkung dieser

XII

I

I

C

IB

U CE > U BE;

(90.7)

Darlington-Schaltung das Produkt der Stromverstärkungen von

T1 und T2, in der Praxis ist sie geringer, liegt aber um den
vereinfacht sich (90.6) zu

Teil

Faktor 10 . . . 100 über der von T1. Damit beträgt der in den Ba-

Z

sisanschluss B des Moduls einzuspeisende Strom einige mA.

P 1

Der Nachteil dieser Schaltung liegt darin, dass beim Anlegen

V

. u CE. t/ iC. t// dt :

(90.8)

T
der Spannung 0 V an den Basisanschluss B (zum Sperren des

1096

90 Leistungshalbleiter

Transistors T1) im Transistor T2 der Kollektor-Emitter-Rest-
strom fließt, der direkt in die Basis von T1 gelangt und diesen
nicht vollständig zum Sperren bringt. Der Kollektor-Emitter-

Reststrom von T2 ist relativ hoch, weil er in etwa die gleiche

– hohe – Temperatur hat wie T1. Abhilfe schafft der Widerstand

R2, über den der Reststrom zum größten Teil (Anhaltswert etwa

9=10) umgeleitet wird. Allerdings wird auch der Steuerstrom
für T1 auf 1/10 reduziert, was aber durch den Stromverstär-
kungsfaktor
10 von T2 mehr als ausgeglichen wird. Über den

Abb. 90.16 Parallelschaltung von Bipolar-Leistungstransistoren, a mit Emit-

Widerstand R1 können die in der Basis von T1 gespeicherten
terwiderstand RE zur Stromsymmetrierung, b mit Basiswiderstand RB zur Strom-

Ladungen beim Ausschalten von T
symmetrierung

1 abfließen, weil T2 bereits
sperrt. V1 verhindert, dass die Basis-Emitter-Spannung von T2
kleiner 0,7 V werden kann. Leitet V1, wird R1 „überbrückt“,
und die Basisladungen von T

2. Das Potenzial des Kollektors ist beim NPN-Transistor nega-

1 werden sehr schnell ausgeräumt.

In das Modul ist also einiges Nützliche integriert worden.

tiv gegenüber dem Emitter. Dieser Zustand entsteht häufig
bei Verbrauchern mit induktivem Anteil und großen Strom-

Wichtig ist, dass besonders bei Leistungstransistoren das Da-
änderungen pro Zeiteinheit. Er lässt sich dadurch vermeiden,
tenblatt eingesehen wird, um Informationen über derartige Zu-
dass eine Diode mit der Anode an den Emitter und mit
satzelemente zu erhalten. Hinweis: Einige Hersteller erwähnen
der Kathode an den Kollektor angeschlossen wird (s. V2
nicht unbedingt oder aber sehr versteckt den Begriff Darlington-
in Abb. 90.15). Bei einem PNP-Transistor sind die Pola-

Transistor, dann erkennt man das an einer Stromverstärkung von
ritäten entsprechend zu ändern. Wird gemäß Punkt 1 eine
mehr als 1000 und einer Basis-Emitter-Schwellspannung von

Z-Diode vorgesehen, so erfüllt sie gleichzeitig die hier ge-

1,4 V (Siliziumtransistor) im Datenblatt!

forderte Schutzfunktion

Hier ein Beispiel für Leistungstransistoren der oberen Leis-

3. Überschreiten des höchstzulässigen Mittelwertes des Kol-
tungsklasse: U

lektorstromes bei Gleichstrom ( I

CE0

4000 V; I cm

1500 A, beide Werte

CM ) oder bei Pulsbetrieb
zusammen sind aber nicht von einem Transistor erreichbar.

( I CPM). Dieser Fall kann z. B. bei Kurzschluss im Verbrau-

Durch einen Darlington-Transistor-Aufbau wird bei einem Kol-
cherkreis auftreten. Da die maximale zeitliche Dauer für den
lektorstrom von 400 A noch eine Gesamtstromverstärkung von

Strom I CPM vom Hersteller vorgegeben ist, dient das bei
minimal 80 erreicht. Ein Ein-Aus-Schaltzyklus erfordert ei-
den Dioden behandelte Grenzlastintegral (90.5) zur Auswahl
ne Zeit von ca. (10 . . . 20) µs, der Wärmewiderstand Kristall-
einer geeigneten Überstromschutzeinrichtung (Schmelzsi-

Gehäuse liegt bei etwa 0,08 K=W.

cherung oder dgl.).

90.2.5

Schutzschaltungen

90.2.6

Parallelschaltung von bipolaren

Transistoren

Die Beschädigung eines Transistors hat im wesentlichen drei

Ursachen

Die Zusammenschaltung von Transistoren beschränkt sich im

Wesentlichen auf die Parallelschaltung zur Erhöhung des maxi-

1. Überschreiten der höchstzulässigen Vorwärts-Sperrspan-
mal möglichen Laststromes. Die Reihenschaltung ist prinzipiell
nung U CE0 bzw. U CEV. Ursachen hierfür können Induktivi-
möglich, erfordert aber einen erhöhten Aufwand in der Ansteu-
täten im Lastkreis und Überspannungen der Versorgungs-
erelektronik, damit die Grenzwerte in keinem Fall überschritten
spannung sein. Einen gewissen Schutz bieten Z-Dioden
werden.

entsprechender Spannung parallel zu den Kollektor-Emitter-

Anschlüssen des Transistors. Die Überspannungen bei einer

Die einfachste Möglichkeit der Parallelschaltung, d. h. jeweils

„abrupten“ Unterbrechung des Stromflusses durch Indukti-
die Basis-, die Emitter- und die Kollektor-Anschlüsse meh-
vitäten können durch eine Diode, die sog. „Freilaufdiode“,
rerer Transistoren zu verbinden, ist problematisch, da durch
parallel zum Verbraucher verhindert werden, Anode beim
die nicht identischen Eingangskennlinien (Basisstrom als Funk-

NPN-Transistor an den Kollektor, Kathode an die Betriebs-
tion der Basis-Emitter-Spannung) und die unterschiedlichen
spannung. Bei nur sehr kurzzeitig auftretenden Überspan-

Stromverstärkungen der Einzeltransistoren eine ungleichmäßige

Teil
nungen hilft sowohl die bei den Dioden erwähnte TSE-

Stromaufteilung auftritt. Ungünstig ist auch, dass der Transistor

Schutzschaltung als auch die Parallelschaltung eines span-
mit dem höchsten Kollektorstrom die höchste Verlustleistung

XII
nungsabhängigen Widerstandes (Varistor). Z-Dioden und
und damit Erwärmung erfährt. Dadurch verschiebt sich die

Varistoren können nur einen zeitlich begrenzten Schutz bis

Eingangskennlinie zu noch höheren Basis- und damit Kollek-
in den oberen ms-Bereich gewährleisten. Dann muss eine
torströmen (positive Rückkopplung; j T j D 1 K ) j
j

UBE

Überstromschutzeinrichtung (Schmelzsicherung oder dgl.)

2 mV). In Abb. 90.16 sind zwei häufig benutzte Möglichkeiten
den Stromkreis unterbrechen.

gezeigt, eine mehr oder weniger gleichmäßige Stromaufteilung

90.3

Feldeffekttransistoren

1097
zu erreichen. In Schaltung a) sollte der Spannungsabfall an RE

90.3

Feldeffekttransistoren
etwa (0,3 . . . 0,8) V betragen. Um diesen Spannungsabfall wird
die Spannung am Verbraucher verringert. Die Widerstände RE
müssen für eine Verlustleistung P

D

V

. IC/2 RE ausgelegt 90.3.1 Aufbau, statisches Verhalten,
werden. Sie benötigen Platz, und die entstehende Wärme muss

Kenngrößen, Grenzwerte
abgeführt werden. Diese Schaltung ist sehr wirkungsvoll, weil
der Transistor mit dem größeren Strom ein größeres U RE be-
wirkt und damit seine Spannung U BE verringert und damit seinen

In der Leistungselektronik (z. B. Frequenzumrichter und Steller)

Kollektorstrom wieder verkleinert (gängiges Verfahren zur Ar-
werden vorwiegend N-Kanal-Feldeffekttransistoren mit isolier-
beitspunktstabilisierung von Transistoren). Schaltung b) bewirkt
tem Gate (MOSFET, IGFET) vom Anreicherungstyp verwendet
eine nur angenähert gleichmäßige Stromaufteilung (Erfahrungs-
und als Schalter eingesetzt (Abb. 90.18). Gegenüber den P-
wert: Abweichung bis zu ˙25 % vom Idealwert, Abweichung

Kanal-Feldeffekttransistoren haben sie in der Summe etwas bes-
nimmt ab mit steigendem Wert von R

D

B). Die Kennlinien IB
sere elektrische Eigenschaften. Der Drainstrom iD wird durch
f . U BE/ und die Stromverstärkungen der Transistoren sind nicht

Anlegen eines elektrischen Feldes zwischen Gate G und Source
gleich (Zufallsprozess bei der Fertigung). Sind die Widerstands-

S beeinflusst. Für u

D

GS

0 fließt nur der sehr kleine Drain-
werte RB gleich und werden von einigen ( auf einige k( erhöht, reststrom I DSS. Sein Wert steigt exponentiell mit steigender
geht die Spannungsansteuerung (über U BE) gleitend über in ei-

Transistortemperatur; bei Zimmertemperatur liegt er bei ma-
ne Stromansteuerung (über IB). Dadurch sinkt der Einfluss der
ximal einigen Milliampere. Mit steigender Spannung u GS >

Kennlinienabweichungen I

D

B
f . U BE/. Es bleibt der Einfluss 0 nimmt der Widerstand der Drain-Source-Strecke ab, er er-
der unterschiedlichen Stromverstärkungen. Deshalb werden die
reicht bei der höchstzulässigen Gate-Source-Spannung U GSM

Widerstände RB häufig als Potentiometer ausgelegt und die
den kleinsten Wert, der in der Größenordnung (10 . . . 100) (

Stromaufteilungen durch Abgleich aneinander angenähert. Der
liegt. Da dieser Wert für den Einsatz in der Leistungselektronik

Abgleich ist bei der Fertigung und auch bei einer eventuel-
zu groß ist, hat man auf einem Substrat bis zu tausend Einzel-
len Ersatzteilbestückung durchzuführen. Allerdings darf pro
transistoren integriert und eingangs- und ausgangsseitig parallel

Transistor nicht mehr der höchstzulässige Kollektorstrom I CM
geschaltet. Auf diese Weise werden Drain-Source-Widerstände
zugrunde gelegt werden (Sicherheitsabstand). Dafür sind aber

R DS.on/ von weniger als 0,1 ( erreicht. Allerdings erhöht sich
die Widerstände bzw. Potentiometer von den Abmessungen her
dadurch auch die Gesamtkapazität C GS zwischen Gate und
kleiner und setzen außerdem eine weit geringere Verlustleistung

Source auf bis zu 10 nF. Bei der Fertigung wird häufig die in
in Wärme um als in Schaltung a). Außerdem ist die Span-

Abb. 90.18 eingezeichnete Diode zwischen Drain und Source
nung am Verbraucher um die genannten 0,3 . . . 0,8 V gegenüber
integriert. Sie soll verhindern, dass der Drainanschluss negati-

Schaltung a) größer.

veres Potential bekommt als der Sourceanschluss, weil dadurch
der Transistor zerstört werden könnte.

Für den Betrieb als Schalter sind neben den drei bereits genann-

90.2.7

Anwendungen
ten Kenngrößen bzw. Grenzwerten noch die folgenden von Be-
deutung: Drain-SourceDurchbruchspannung U.BR/DSS; höchst-
zulässiger Wert des Drainstromes I DM; höchstzulässiger Au-

Bipolare Leistungstransistoren sind prinzipiell für Anwendun-
genblickswert des Drainstromes bei Pulsbetrieb mit definiertem
gen als Linearverstärker und als Schalter geeignet. Allerdings

Tastgrad tp= T, I DPM. Die Darstellung der Grenzwerte geschieht
stehen für Schaltanwendungen weitere Halbleiterbauelemente
von Seiten der Hersteller wiederum in einem SOAR-Diagramm,
zur Verfügung (siehe Abschn. 90.3, 90.4 und 90.5), die für

Abb. 90.17. Nähere Erläuterungen dazu siehe Abb. 90.14 mit
diese Aufgabe optimal geeignet sind und die Bipolartransisto-
dem erklärenden Text. Gegenüber den entsprechenden Wer-
ren hier zunehmend verdrängen. Aber auch für die Anwendung
ten bei Bipolartransistoren können bei Feldeffekttransistoren
in Leistungsverstärkern tritt das Halbleiterbauelement MOS-
im Pulsbetrieb höhere Ströme und Verlustleistungen zugelassen

FET zunehmend in den Vordergrund. Dieser Transistortyp er-
werden. Das liegt an folgendem: Beim Übergang des Feldeffekt-
laubt höhere Frequenzen und hat nicht das Problem des 2.

Transistors vom Sperr- in den Leitzustand tritt auch bei ihm

Durchbruchs, was die Stromsymmetrierung bei der Transistor-
vorübergehend eine ungleichmäßige Stromdichte innerhalb des

Parallelschaltung in gewissem Rahmen automatisch erfüllt und

Halbleiters auf. Bereiche mit höherer Stromdichte erwärmen
höhere Ströme bei Impulsbetrieb zulässt (Abschn. 90.3.1). Wei-
sich mehr als solche mit geringerer Stromdichte. Der Wider-
tere Unterschiede zum MOSFET sind in den folgenden Ab-
stand aber steigt mit steigender Temperatur, und das wirkt der
schn. 90.3.1 und 90.3.2 dargestellt. Die Hauptanwendung für bi-
ungleichmäßig verteilten Stromdichte entgegen. Dieser Effekt
polare Leistungstransistoren als Schalter liegt damit im Bereich
gilt sowohl für einen Einzeltransistor, für mehrere parallel ge-
der 50-Hz-Stromversorgung bis 1000 V und einigen 100 A. Ei-
schaltete Transistoren auf einem Substrat (Verringerung des

XII
ne besondere Stellung nehmen die IGBT-Transistoren ein. Sie

Widerstandes im EIN-Zustand) und für die Stromsymmetrie-
sind eine Kombination aus Feldeffekt- und Bipolar-Transistor
rung bei mehreren extern parallelgeschalteten Transistoren zur

Teil
mit dem Ziel, die Vorteile beider Transistortypen zu kombinie-

Erhöhung des geschalteten Laststromes. Es entfällt damit die
ren. Siehe dazu Abschn. 90.4 „IGBT-Transistoren“.

Gefahr des 2. Durchbruchs, denn im ungünstigen Fall wäre

1098

90 Leistungshalbleiter

Abb. 90.17 SOAR-Diagramm eines Feldeffekttransistors, Periodendauer T D 1
die lokale Stromdichte so groß, dass Halbleiterbereiche schmel-
zen würden. Mehrere Hersteller bieten Transistoren der oberen

Abb. 90.18 Schaltverhalten eines Feldeffekttransistor. a Schaltungsaufbau,

Leistungsklasse mit folgenden Werten an: U.

b Verlauf der Steuerspannung, c Verlauf des Drainstromes

BR/DSS

2000 V;

I

DM

500 A; R DS.on/ < 0;01 (; R th JG < 0;05 K=W. Allerdings
können die Maximal-Werte 2000 V und 500 A nicht von einem

Transistor erfüllt werden.

der relativ niedrigen Umschaltfrequenz gegenüber den Verlus-
ten im leitenden Zustand häufig vernachlässigt werden können.

Feldeffekttransistoren werden auch in Modulform angeboten,
d. h., auf einem Substrat sind dann z. B. zwei oder vier Tran-
sistoren angeordnet. Damit lässt sich z. B. durch Einsatz eines
b) Frequenzen 1 kHz
solchen 4er-Moduls ein Gleichstrommotor durch Einbau in ei-

Feldeffekttransistoren können bei diesen Frequenzen eingesetzt
ner Brückenschaltung in seiner Drehrichtung einstellen. Da die
werden, weil sie gegenüber Bipolartransistoren die folgenden

Einzeltransistoren untereinander und damit vom Gehäuse elek-

Unterschiede aufweisen:

trisch isoliert sein müssen, steigt der Wärmewiderstand dieser

Module auf bis zu 0,5 K=W.

1. Die Verzögerungszeiten td und die Anstiegszeiten tr sind um
den Faktor 2 bis 10 kleiner als bei Bipolartransistoren, und
sie hängen jetzt wesentlich von der äußeren Beschaltung
ab. In Abb. 90.18 bzw. Abb. 90.19 ist die Gate-Source-

90.3.2

Dynamisches Verhalten

Kapazität C GS eingezeichnet. Durch die Parallelschaltung
vieler Einzeltransistoren auf einem Chip kann die resultie-
rende Kapazität C GS.ges/ Werte bis zu 10 nF annehmen, bei

Im Prinzip werden Feldeffekttransistoren leistungslos gesteu-

Sonderausführungen kann dieser Wert auch wesentlich hö-
ert, und die Schaltzeiten sind niedriger als bei Thyristoren bzw.

her sein. Diese Kapazität muss über den Innenwiderstand

Bipolartransistoren. Für die Ansteuerung sind 2 Fälle zu unter-

RG der Spannungsquelle in kürzester Zeit umgeladen wer-
scheiden: niedrige Frequenzen im Bereich bis 1 kHz und hohe
den. Die die Umladung bestimmende Zeitkonstante ergibt

Frequenzen im kHz-Bereich.

sich mit C

D

GS.ges/ D 10 nF und RG

5 ( zu:

D R C GS.ges/ D 10 nF 5 ( D 50 ns:

(90.9)

T
a) Frequenzen im Bereich < 1 kHz
eil

Hat die Spannungsquelle mit der Spannung u

D

G in Abb. 90.18

Mit uG

10 V muss die Spannungsquelle einen Spitzen-

XII
den dargestellten rechteckförmigen Verlauf, so ergeben sich die
strom von 2 A liefern. Ihr Innenwiderstand muss also sehr
eingezeichneten zugehörigen Spannungs- und Stromverläufe.

niedrig sein; bei Schaltfrequenzen im Bereich 10 kHz ¶

Der Widerstand RG beinhaltet den Innenwiderstand der Steu-

100 µs) weniger als 2 ( (Gleichung II.9). Es werden zweck-
erspannungsquelle uG. Die Spannung u GS steigt gemäß einer
mäßigerweise nicht mehr die Zeiten td und tr (Bilder II-11
e-Funktion an und fällt entsprechend ab mit der Zeitkonstanten
und II-12) angegeben, sondern die in einem realen Aufbau

D R

G C GS. Diese Zeitkonstante bestimmt wesentlich die Ver-
erreichte Einschaltverzögerungszeit td.on/ und die Einschalt-
luste in den Umschaltmomenten des Transistors, die aber wegen
zeit t.on/ bei einem gegebenen Wert für RG.

90.3

Feldeffekttransistoren

1099

U
und Ausschaltzeiten werden unabhängig voneinander an die

B

Z

Anforderungen angepasst. Abb. 90.19 zeigt ein Beispiel. Die

L

Einschaltzeit wird durch RZ vorgegeben, die Ausschaltzeit dem-

C

C
gegenüber verkürzt durch die Parallelschaltung von RZ und

GD

DS

R

R 1 über D 2. Abb. 90.20 zeigt die sich bei Ansteuerung erge-

Z

1

D
benden Signalverläufe. Hinweis zu Abb. 90.20: Die einzelnen

MOS FET

Diagramme haben unterschiedliche Amplituden und Einheiten.

u e

R 1 D

Sie wurden deshalb so gewählt, damit ihre prinzipiellen Verläufe

2

C

ZD

GS
übersichtlich und in zeitlicher Zuordnung zueinander darge-
stellt werden können. Das Einschalten wird verzögert durch den

0

Miller-Effekt, wie der Verlauf von u GS in Abb. 90.20 zeigt:

Abb. 90.19 MOSFET-Ansteuerung
u DS fällt in sehr kurzer Zeit von UB auf einige Volt, und da-
mit muss die Kapazität C GD zunächst umgeladen werden, was
der Steuerspannung ue entgegenwirkt (Bereich flacher Steigung

2. Die Speicherzeiten ts und die Ausschaltzeiten tf sind eben-
von u GS). Damit vergrößert sich die Einschaltdauer. Der gleiche
falls um den Faktor 2 bis 10 kleiner als bei Bipolartransis-

Vorgang spielt sich prinzipiell beim Übergang des Transistors
toren. Deshalb bestimmt auch hier die externe Beschaltung
vom leitenden in den sperrenden Zustand ab mit dem Unter-
ganz wesentlich diese Zeiten: Zu der beim Ausschalten
schied, dass die Umladung jetzt über ZL erfolgen muss und
durch den Eingangskreis nach Punkt 1 geschilderten Verzö-
nicht wie vorher über den leitenden Transistor (j Z j

L

> r DS);
gerung kommt noch eine zweite hinzu, die dadurch entsteht,
in Abb. 90.20 wiederum ein Bereich flacher Steigung von u GS.

dass sich der Kondensator C DS.ges/ über den Lastwiderstand Die Umladung nimmt also mehr Zeit in Anspruch und hängt

RL entladen muss. Auch hier gibt man i. Allg. die Aus-
jetzt auch wesentlich von RZ ab. Um den Einfluss von RZ zu
schaltverzögerungszeit td.off/ und die Ausschaltzeit t.off/ bei verringern, liegt parallel zu ihm die Reihenschaltung aus D 2
gegebenem RL an.

und R 1. Sie ist wegen D 2 nur beim Ausschalten wirksam und
schaltet R

Bei Frequenzen
1 kHz bekommen die Gateansteuerung und

1 (näherungsweise) parallel zu RZ . In Abb. 90.20 sieht
man am Diagramm von i
der Widerstand R

RZ (Einschalten, links im Diagramm,

Z in Abb. 90.19 eine besondere Bedeutung.

R

Dieser Widerstand kann zusätzlich eingefügt werden, ist aber

1 nicht wirksam) und den Diagrammen i RZ und iR 1 (Ausschal-
ten, rechts im Diagramm) die Aufteilung der Ströme in diese
prinzipiell nicht erforderlich. Er vergrößert in jedem Fall die

2 Anteile. Die Umladung nur über R

Schaltzeit, was aber manchmal sinnvoll sein kann, wenn bei-

Z hätte mehr Zeit in An-
spielsweise die beim Schalten auftretende große Stromänderung
spruch genommen und die Ausschaltzeit damit verlängert. Der

Verlauf von u
di= dt an der Last oder im Netz Probleme verursacht. Weite-

DS und iD ist interessant, denn damit können die

Verluste beim Umschaltvorgang erfasst werden. Das Diagramm
re Beispiele: Aus schalten induktiver Lasten, Ein schalten ka-
p

D p
pazitiver Lasten, zu hohe hochfrequente Störsignalamplituden

MOSFET

MOSFET. t/ D u DS. t/ i ZL. t/ zeigt den Momen-
tanwert der im Transistor erzeugten Verlustleistung. Die Fläche

(Fourierzerlegung). In der Regel dauert auch das Einschalten
ohmscher Lasten länger als das Ausschalten, verursacht durch
unter der Kurve gibt die (Wärme-)Energie eines Umschaltvor-
den Miller-Effekt. Deshalb kann folgende Vorgehensweise sinn-
ganges an. Siehe dazu auch Abschn. 90.3.3 „Verlustleistung“.

voll sein: Der Innenwiderstand der Ansteuerquelle wird sehr

Mit Feldeffekttransistoren stehen sehr schnelle Schalter zur Ver-
niedrig gehalten (< 1 (, Standard-Ansteuer-ICs), und die Ein-
fügung. So werden z. B. folgende Werte erreicht: t.on/ 50 ns;

120
p MOSFET
u GS
t 100
xe
u DS
e Th 80
esi
i ZL

60

40
u e

20

XII

0
i RZ
i R1 i RZ

Teil

-20 0

200

400

600

800

1000 ns

Zeit

Abb. 90.20 Diagramme zu Abb. 90.19. Hinweise dazu im Text

1100

90 Leistungshalbleiter

Abb. 90.21 Feldeffekttransistor mit interner Schutzbeschaltung

Abb. 90.22 Zusammenschaltung von Feldeffekttransistoren. a Parallelschal-
t
tung, b Reihenschaltung

.

D
off/ 400 ns bei RG

10 ( (Abb. 90.18). Damit sind Puls-
frequenzen von mehr als 16 kHz möglich. Eine Hilfe bei der

Schaltungsdimensionierung sind die im Teil XIII „Nachrich-
tentechnik“, Kap. 97 „Filter“, Abschn. 97.3.2 „Tiefpassfilter“
nicht überschritten werden. Eine genaue Auskunft über die be-
aufgeführten Simulationsprogramme.

reits integrierten Schutzschaltungen gibt das zum Transistor
gehörende Datenblatt. Im Bedarfsfall lassen sich die bei den

Bipolartransistoren dargestellten Schutzbeschaltungen auch bei

Feldeffekttransistoren anwenden.

90.3.3

Verlustleistung

Zur Berechnung der am Transistor entstehenden Verlustleistung

90.3.5

Zusammenschaltung von
können die beim Bipolartransistor verwendeten Gleichungen

(90.6) bis (90.9) übernommen werden, wenn die Bezeichnungen

Feldeffekttransistoren
entsprechend zugeordnet werden. Da die Gehäuse bei beiden

Transistortypen häufig gleich sind, werden auch hier Wärmewi-

1. Parallelschaltung
derstände von typisch (0,01 . . . 0,2) K=W erreicht.

Im Gegensatz zu Bipolartransistoren können Feldeffekttransis-

Eine grobe Abschätzung der durch Ein- und Ausschaltvorgänge
toren durch Verbinden aller Gate- bzw. aller Source- bzw. aller
entstehenden Verlustleistung P dyn. f / im Transistor erhält man, Drain-Anschlüsse parallel geschaltet werden (Abb. 90.22a). Bei
wenn man in dem Produkt aus Drainstrom ID (Schalter ge-
zunächst vorhandener unsymmetrischer Stromaufteilung der
schlossen) und Drain-Source-Spannung U DS (Schalter geöffnet)

Einzeltransistoren erwärmt sich derjenige mit dem höchsten
während der Umschaltzeiten tr bzw. tf jeweils nur den halben

Drainstrom am meisten, vergrößert seinen Kanalwiderstand und

Wert einsetzt und diesen Wert mit der Frequenz f multipliziert:

verringert dadurch seinen Strom wieder, sodass sich die Teilströ-
me der einzelnen Transistoren einander automatisch angleichen.

P

ID

C
dyn. f / U DS

. tr
tf / f

(90.10)

2

2

2. Reihenschaltung

In dieser Gleichung sind nur die Verluste enthalten, die während
des Umschaltens (Ein-Aus und Aus-Ein) auftreten; dazu müssen

Auch die Reihenschaltung ist nach Abb. 90.22b relativ einfach
die Verluste addiert werden, die während des leitenden und wäh-
zu realisieren. Im gesperrten Zustand sorgen die Widerstände
rend des gesperrten Zustandes entstehen. Für u

D

R für eine gleichmäßige Spannungsaufteilung unter den Tran-

DS

1000 V,
i D

C
sistoren. Wichtig ist die bei den Transistoren nicht in jedem

D

100 A, . tr
tf / D 10 µs, f D 50 Hz folgen daraus 12,5 W.

Beim Einsatz der genannten Simulationsprogramme lässt sich

Fall eingebaute Diode nach Abb. 90.19. Wenn nämlich T2 einen
der Verlauf von p
höheren Sperrwiderstand als T1 hat, schließen die Dioden von

MOSFET integrieren und daraus ein genauerer

Wert bestimmen als er sich aus der Näherungsrechnung nach

T2 Gate und Source kurz, sodass die über R festgelegte Span-

(90.10) ergibt.

nungsteilung erzwungen wird. Beim Übergang von T1 in den
leitenden Zustand sinkt das Drainpotenzial an D1 gegenüber
dem von G2, und T2 wird automatisch leitend.

90.3.4

Schutzschaltungen

Teil

90.4

IGBT-Transistoren

Ein Teil der für Feldeffekttransistoren erforderlichen Schutz-

XII
schaltungen ist häufig schon in den Transistoraufbau integriert,
siehe Abb. 90.21. Das ist zum einen die bereits erwähnte Di-

Die Verbindung bestimmter Eigenschaften von bipolaren Tran-
ode nach Abb. 90.18, zum anderen eine Kombination aus zwei
sistoren und Feldeffekttransistoren führte zur Entwicklung einer

Z-Dioden, die verhindern soll, dass die Gate-Source-Spannung
neuen Transistorgeneration. Die geringe erforderliche Ansteu-
weder einen negativen Grenzwert unterschreitet noch den Wert
erleistung von Feldeffekttransistoren wurde mit der geringen

U GSM überschreitet. Eine zusätzliche externe Beschaltung muss

Kollektor-Emitter-Restspannung eines Bipolartransistors kom-
sicherstellen, dass die Grenzwerte U.BR/DSS, I DM und I DPM
biniert: Es entstand der IGBT.

90.5

Thyristoren

1101

Abb. 90.24 BIMOS-Schaltstufe
tung übernimmt der steuernde Feldeffekttransistor die Strom-
symmetrierung, bei der Reihenschaltung sorgen die Z-Dioden

Abb. 90.23 Aufbau (a) und Schaltsymbol (b) eines IGBT
zwischen Gate und Source mit den Widerständen R für eine
symmetrische Spannungsaufteilung.

90.4.1

Aufbau von IGBT-Transistoren

1. Aufbau

90.4.2

BIMOS-Schaltstufe

Den Aufbau eines IGBT ( I nsulated- G ate- B ipolar- T ransistor)

zeigt Abb. 90.23a. Zusätzlich zu den zwei Transistoren sind

Die Schaltzeiten des IGBT werden durch die Eigenschaften des
noch Zusatzelemente eingebaut. V2 verhindert, dass der Kol-

Bipolartransistors bestimmt. Für besonders schnelle Schaltstu-
lektor C gegenüber dem Emitter E negativ wird. R sorgt für
fen wird eine Transistorkombination nach Abb. 90.24 einge-
einen geringen nach außen wirkenden Kollektor-Reststrom des
setzt. T1 ist für eine hohe Sperrspannung bemessen, hat aber

Bipolartransistors im Sperrzustand, und über V1 können die
einen relativ großen Drain-Source-Widerstand R DS.on/, der in

Basisladungen des Bipolartransistors beim Übergang vom lei-
dieser Schaltung auch benötigt wird. T3 besitzt eine niedrige
tenden in den sperrenden Zustand direkt ausgeräumt werden,

Sperrspannung, dafür aber einen niedrigen Bahnwiderstand. Im
wodurch sich die Speicherzeit verringern lässt. Es werden z. B.

Einschaltmoment liefert T1 den Basisstrom für T2, der gleich-
folgende Daten erreicht (Transistoren der mittleren Leistungs-
zeitig durch R DS.on/ von T1 begrenzt wird. T3 schaltet durch
klasse): U

D

D

D

D

CE0

1200 V; I CM

400 A; tr

1 µs; ts

3 µs;
den Widerstand R verzögert gegenüber T1 ein (Zeitkonstante
t D

D

D
f

1 µs; U CE sat

3 V; R th JC

0;2 K=W. Die Bezeichnungen D R C GS), aber unverzögert über V1 aus. T2 und T3 die-
entsprechen denen eines Bipolartransistors, die Ansteuerung ge-
nen als Schalter. Im Ausschaltmoment sperrt T3 sofort, dadurch
schieht wie bei Feldeffekttransistoren.

steigt das Emitterpotenzial von T2 stark an, und die Basis von

IGBT werden auch in Modulform als Kombination von z. B.

T2 wird über die Z-Diode V2 in sehr kurzer Zeit entladen.

vier Einzeltransistoren zum Aufbau einer Brückenschaltung ge-
liefert. Wegen der elektrischen Isolation der Einzeltransistoren
untereinander liegt der Wärmewiderstand bei minimal etwa

90.5

Thyristoren

(0,05 . . . 0,8) K=W.

Ein weiteres Beispiel für die Leistungsfähigkeit von IGBT-

Halbleitern der oberen Leistungsklasse zeigen die auszugsweise

90.5.1

Aufbau, statisches Verhalten,
aufgelisteten Daten eines Moduls mit 3 IGBTs auf einem Chip

Kenngrößen, Grenzwerte
bei # D

J

25 °C (1MBI3600U4D-170, Fuji): max. 1700 V; max.

3600 A (Gleichstrom), t

on

1;8 µs, t off

1;3 µs, C GS

330 nF, R

D
th JG

0;0067 K=W; U DS

2 V (bei # J

125 °C

Ein Thyristor besteht aus vier Schichten abwechselnder Dotie-
und I

D

3500 A).

rung, PNPN. Abb. 90.25 zeigt diesen Aufbau und das Schalt-
zeichen. Über einen Steueranschluss G, das Gate, kann die

2. Schutzschaltungen

Funktionsweise beeinflusst werden. Prinzipiell gilt, dass bei un-
beschaltetem Gate der Thyristor, unabhängig von der Polarität

Die für einen IGBT-Transistor erforderlichen Schutzschaltun-
der angelegten Spannung U
gen setzen sich aus einer Kombination der Schutzschaltungen

AK, stets sperrt: Für U AK > 0 durch
die Sperrschicht S2, Abb. 90.25, für U AK < 0 durch die Sperr-

XII
nach den Abb. 90.7 und 90.21 zusammen, wobei ein Teil bereits
schicht S1 (S3 besitzt wegen der hohen Dotierung nur geringe
in den Transistoraufbau integriert sein kann.

Sperrfähigkeit). Der Thyristor lässt sich für U AK > 0 dadurch

Teil
in den leitenden Zustand versetzen, dass in die hochdotierte un-

3. Zusammenschaltung
tere P-Schicht ausreichend Ladungsträger eingebracht werden.

IGBT können wie Feldeffekttransistoren in Reihe und parallel

Ist diese Schicht räumlich genügend schmal, so diffundieren
geschaltet werden, siehe auch Abb. 90.22. Bei der Parallelschal-
die Ladungsträger in die darüberliegende N-Schicht und heben

1102

90 Leistungshalbleiter

Abb. 90.25 Schematischer Aufbau und Schaltsymbol eines Thyristors (rück-
wärts sperrend)

Abb. 90.26 Kennlinie eines rückwärts sperrenden Thyristors
die Sperrwirkung der Sperrschicht S2 auf. Der jetzt einset-
zende Anoden-Kathoden-Strom sorgt für die Aufrechterhaltung
des Stromflusses ( Zündvorgang). Es genügt also, einmal kurz-

2. durch eine sehr große Spannungssteilheit ( du= dt) der
zeitig Ladungen in die Sperrschicht S2 einzubringen, um den

Anoden-Kathoden-Spannung. Da an der Sperrschicht S2 ei-

Thyristor dauernd leitend zu machen. Eine Unterbrechung des
ne Spannung U steht und Ladungen Q vorhanden sind, kann

Stromflusses ist nur dadurch zu erreichen, dass der Strom durch
man ihr gemäß Q D C U eine Kapazität C zuordnen.

den Thyristor unter einen bestimmten Wert sinkt (z. B. durch

Steigt nun die Anoden-Kathoden-Spannung und damit die
den natürlichen Nulldurchgang des Netzwechselstromes). Der

Spannung an S2 in sehr kurzer Zeit (Bereich einige Mikrose-

Übergang in den leitenden Zustand für U AK < 0 ist nicht mög-
kunden) merklich an, so muss sich der Kondensator auf den
lich.

neuen Spannungswert aufladen, es fließt also ein zusätzli-

Die Kennlinie in Abb. 90.26 hat drei voneinander unterscheid-
cher „Lade“-Strom in die Sperrschicht. Erreicht dieser Strom
bare Bereiche, I, II und III. Der Bereich I wird Vorwärts-
einen bestimmten Wert, wird der Thyristor gezündet.

Sperrzustand (oder Blockierzustand) genannt und ist dadurch

Durch geeignete Schutzschaltungen bzw. Schaltungsdimensio-
gekennzeichnet, dass die Anode positiv gegenüber der Katho-
nierung wird erreicht, dass das Zünden eines Thyristors durch
de ist, der Gate-Anschluss unbeschaltet ist bzw. kein Strom
die zwei zuletzt genannten Effekte verhindert wird.

in den Gateanschluss eingespeist wird und ein sehr geringer

Strom, der Sperrstrom der Sperrschicht S2, fließt. Er steigt mit

Ist der Thyristor gezündet und wird der fließende Strom ständig
zunehmender Anoden-Kathoden-Spannung an. Beim Erreichen
verringert, werden die durch den Stromfluss in die Sperrschicht
des kritischen Spannungswertes U.BO/0, der Nullkippspannung, S2 eingebrachten Ladungen irgendwann nicht mehr ausreichen,
ist der Sperrstrom so groß geworden, dass der beschriebene
die Sperrfähigkeit aufzuheben: Der Thyristor erlischt, geht also

Zündvorgang einsetzt. Dieser Vorgang, ausgelöst durch den
in den Bereich I über ( Löschvorgang). Derjenige Strom, der un-

Sperrstrom, heißt Überkopfzünden. Der Thyristor befindet sich
terschritten werden muss, damit der Thyristor sicher löscht, ist
jetzt im Durchlasszustand, seine Eigenschaften werden durch
der Haltestrom IH, er ist in der Regel kleiner als 1=1000stel des
die Durchlasskennlinie, Bereich II, dargestellt. Die Anoden-
maximal zulässigen Stromes durch den Thyristor.

Kathoden-Spannung, die Durchlassspannung, nimmt nur ge-
ringfügig mit steigendem Strom zu und beträgt weniger als 2 V

Der Bereich III in Abb. 90.26 ist der Rückwärts-Sperrzustand,
bei Strömen von 1200 A.

er ist gegeben durch die in Sperrrichtung betriebene Diode mit
der Sperrschicht S1. Solange die Spannung am Thyristor die

Das Einbringen von Ladungen in die Sperrschicht S2 zum

Spitzensperrspannung in Rückwärtsrichtung, U RRM, nicht über-
kontrollierten Zünden des Thyristors kann auf zwei Arten ge-
schreitet, bleibt er gesperrt. Es gilt: j U.

j

BR/j > j U RRM . U.BR/ ist
schehen:

die Durchbruchspannung in Rückwärtsrichtung.

1. durch Einspeisen eines Stromes in den Gateanschluss; dies

Für den Betrieb sind außerdem folgende Kenn- bzw. Grenzwerte
ist die gebräuchlichste Art der Zündung, da man Zeitpunkt
wichtig:

und Dauer des Überganges in den leitenden Zustand durch
den zeitlichen Verlauf des Gatestromes bestimmen kann;

U DRM: Spitzensperrspannung in Vorwärtsrichtung, höchst-

2. durch Bestrahlen mit Licht; die Energie des Lichtes erzeugt
zulässiger Augenblickswert der periodisch auftretenden
zusätzliche Ladungsträger in der Sperrschicht S2, und bei

Spannung im Sperrzustand in Vorwärtsrichtung;

T
ausreichender Anzahl wird der Thyristor ebenfalls gezündet.

eil

I TAV.1/: Dauergrenzstrom, höchstzulässiger Mittelwert des

Anwendung findet dieses Verfahren im Fotothyristor (siehe

Durchlassstromes (sinusförmige Halbschwingung bei 50 Hz,

XII

Abschn. 90.5.8.5).

definierte Gehäusetemperatur);

I

Die zwei folgenden Effekte können zu einem unkontrollierten

TSM.1/: Stoßstromgrenzwert, höchstzulässiger, nicht peri-
odisch auftretender Augenblickswert eines einzelnen Strom-
und damit ungewollten Zünden eines Thyristors führen
impulses bei definierter Gehäusetemperatur, Wiederholung

1. durch den Sperrstrom selbst (Überkopfzünden; dabei hängt
erst nach definierter Mindestzeit zulässig;
der Zündeinsatzpunkt unter anderem von der Temperatur ab;

I TRMS.1/: Grenzeffektivstrom, höchstzulässiger Effektivwert
siehe auch Erläuterungen zu Abb. 90.26;
des Durchlassstromes bei definierter Gehäusetemperatur.

90.5

Thyristoren

1103

Abb. 90.27 Zünddiagramm eines Thyristors

Im Datenblatt des Herstellers stehen für (1) nähere Erläuterun-
gen.

Abb. 90.28 Einschaltverhalten eines Thyristors

Daten für einen Thyristor (Serienfertigung, obere Leistungs-
klasse, TT1190N-Serie, Infineon, Auszug Datenblatt): U

DRM

U

RRM

1600 V; I TAV.25 ıC/ 1190 A; Durchlassspannung
max. 2,05 V; Haltestrom min. 500 mA; Gate-Triggerspannung
dem zwei- bis fünffachen Wert des Haltestromes eines Thyris-
min. 2 V; Gate-Triggerstrom typ. 250 mA. Neueste Entwicklun-
tors.

gen: 5 kA bei 8,5 kV und 6 kA bei 6,7 und 7,2 kV [7].

Es wurde oben bereits beschrieben, dass ein Zündvorgang auch
durch eine zu hohe Spannungssteilheit . du= dt/ hervorgerufen
werden kann. Ein Grenzwert, die kritische Spannungssteil-

90.5.2

Dynamisches Verhalten
heit . du= dt/ c, wird in Datenblättern angegeben und liegt in
der Größenordnung (200 . . . 2000) V=µs. Dieser Wert soll von
der Fertigung her möglichst groß sein (Störspannungsimpulse)

Die am häufigsten angewendete Art der Zündung ist das Ein-
und wird dadurch erreicht, dass man parallel zu der Stre-
speisen eines Stromes in den Gateanschluss. Wichtig ist dabei,
cke Gate–Kathode intern niederohmige Widerstände legt. Zwar
dass eine bestimmte Anzahl Ladungen über das Gate in die
wird dadurch die erforderliche Gate-Steuerleistung größer, der

Schicht S2 eingebracht wird. Nach einer Zündverzögerungszeit

Thyristor benötigt aber weniger externe Schutzbeschaltung, da-
td von einigen Mikrosekunden breitet sich die leitende Stre-
mit die kritische Spannungssteilheit nicht überschritten wird.

cke in einem Zeitraum von (10 . . . 50) µs, der Durchschaltzeit

Das Ausschalten (Löschen) eines Thyristors kann nur durch
tr, über den gesamten Querschnitt aus. Während tr tritt örtlich

Unterschreiten des Haltestromes geschehen. In Abb. 90.29 ist
ein ungleichmäßiger Stromfluss und damit eine ungleichmäßige
angenommen, dass die den Lastkreis speisende Spannung uL ei-

Stromdichte auf. Höhere Stromdichte hat eine höhere Tempe-
ne periodische Wechselspannung ist. Nach dem Nulldurchgang
ratur zur Folge, was den Widerstand verringert und die Strom-
von uL ( t= T 0;5) fließt zunächst ein Strom in Rückwärts-
dichte weiter erhöht. Dieser positive Rückkopplungseffekt kann
richtung, bis nach der Ausräumzeit t rr die Ladungen aus der
zum lokalen Schmelzen des Halbleitermaterials führen und

Sperrschicht abgeflossen sind. Für den Betrieb in Rückwärts-
den Halbleiter zerstören (2. Durchbruch). Man speist deshalb
richtung sperrt der Thyristor zwar, aber in der für das Sperren
einen bis zum 10fachen Wert des minimal erforderlichen Zünd-
in Vorwärtsrichtung maßgebenden Sperrschicht S2 (Abb. 90.25)

Gatestromes ein, um diesen Übergangzustand so schnell wie
sind noch zu viele Ladungsträger vorhanden. Erst wenn die-
möglich zu überwinden. Weiterhin wählt man für den Gate-
se nach Ablauf der Freiwerdezeit tq ( tq > t rr) ausgeräumt
anschluss eine kammförmige Anordnung, um die Einspeisung
sind, kann ein Sperren in Vorwärtsrichtung erreicht werden.

parallel an mehreren Orten gleichzeitig vornehmen zu können.

Die Zeit tq liegt zwischen 400 µs (Netzthyristoren bei Betrieb

Abb. 90.27 zeigt ein Zünddiagramm, das Auskunft darüber gibt,
mit 50 Hz) und 10 µs (spezielle Bauarten). Kleine Freiwerdezei-
in welchem Bereich sich die Gate-Kathoden-Spannung UG und
ten sind z. B. für Wechselrichter mit Frequenzen oberhalb ca.

der Gatestrom IG befinden müssen, um gar keine Zündung (Be-

1 kHz erforderlich. Diese „ Frequenzthyristoren“ sind in spezi-
reich I, wichtig für Störgrößen), eine mögliche (Bereich II,
ellen Fertigungsverfahren hergestellt worden, wobei u. U. eine
unerwünscht, da unsicher) oder eine sichere Zündung (Bereich
etwas erhöhte Durchlassspannung in Kauf genommen werden

III, U

G

U GT; IG

I GT) zu erreichen. Die Verläufe von Gate-
muss.

strom iG, Spannung uT am Thyristor und Strom iT durch den

Thyristor mit der dazugehörigen Verlustleistung p D u

T
iT

Kleine Freiwerdezeiten haben auch die asymmetrisch sperren-

XII
am Thyristor enthält Abb. 90.28. td und tr sind die oben er-
den und die rückwärts leitenden Thyristoren. Ein asymmetrisch
wähnten Zündverzögerungs- bzw. Durchschaltzeiten. Wenn der
sperrender Thyristor besitzt in Rückwärtsrichtung nur eine ver-

Teil

Lastkreis, wie das häufig der Fall ist, Induktivitäten enthält,
gleichsweise geringe Sperrfähigkeit (Größenordnung 20 V), da-
steigt der Strom nach der Zündung nur langsam an. Dann muss
für nehmen Freiwerdezeit und Durchlassspannung ab. Diese
der Gatestrom solange fließen, bis der Laststrom den Einrast-

Leistungshalbleiter lassen sich allerdings nur dort einsetzen, wo
strom oder dynamischen Haltestrom erreicht hat. Dieser liegt bei
auf die Sperrfähigkeit in Rückwärtsrichtung verzichtet werden

1104

90 Leistungshalbleiter

Abb. 90.30 Zusammenschaltung von Thyristoren mit Schutzbeschaltungen.

a Reihenschaltung, b Parallelschaltung

Abb. 90.29 Ausschaltverhalten eines Thyristors

1. Überschreiten der höchstzulässigen Spitzensperrspannung in

Vorwärts- bzw. Rückwärtsrichtung . U DRM, U RRM);

2. Überschreiten der höchstzulässigen Spitzensperrspannung in
kann. Bei rückwärts leitenden Thyristoren liegt zur Anoden-

Vorwärts- bzw. Rückwärtsrichtung durch den Trägerspei-

Kathoden-Strecke eine Diode in Antiparallelschaltung. Dadurch
chereffekt, insbesondere beim GTO-Thyristor während des
nehmen Freiwerdezeit und Durchlassspannung auf etwa das

Löschens bei induktiver Last;

0,5fache gegenüber symmetrisch sperrenden Thyristoren ab. Ein

3. ungleichmäßige Spannungsaufteilung, statisch und dyna-

Betrieb in Rückwärtsrichtung ist auch hier nicht möglich.

misch, bei Reihenschaltung mehrerer Thyristoren;

4. ungleichmäßige Stromaufteilung, statisch und dynamisch,
bei Parallelschaltung mehrerer Thyristoren;

90.5.3

Verlustleistung

5. Überschreiten der kritischen Spannungssteilheit . du= dt/;

6. Überschreiten der kritischen Stromsteilheit . di= dtc/;

7. Überschreiten der höchstzulässigen Kristalltemperatur # J

Abb. 90.28 zeigt auch den prinzipiellen Verlauf der Verlustleis-
durch zu hohe Verlustleistung;
tung p. t/ beim Zünden. Beim Löschen ergibt sich ein ähnlicher 8. Überschreiten der höchstzulässigen Grenzströme ( I TAV,

Verlauf, sodass sich die Verlustenergie am Thyristor pro Schalt-

I TRMS).

zyklus durch Addition beider Flächen ergibt. Die Berechnung
der am Thyristor entstehenden Gesamtverlustleistung geschieht

In Abb. 90.30 sind Schutzschaltungen für die Parallel- und Rei-
gemäß (90.7) bis (90.9). Zur groben Abschätzung der Umschalt-
henschaltung von Thyristoren gezeigt. Diese Schutzschaltungen
verluste allein kann auch wieder (90.10) verwendet werden
bieten auch teilweise einen mehr oder weniger wirkungsvollen

Schutz gegen die genannten kritischen Betriebsfälle. Es folgen

In den Datenblättern wird noch eine kritische Stromsteilheit

.

einige grundsätzliche Überlegungen zur Schutzbeschaltung, im
di= dt/ c angegeben. Sie hat Bedeutung für die Einschaltverlus- konkreten Fall sind die Datenblätter, Applikationsschriften und
te. Bei einer Induktivität im Lastkreis steigt der Strom nach dem

Dimensionierungsvorschläge der Hersteller maßgebend.

Zünden verlangsamt an, sodass die stationäre niedrige Durch-
lassspannung am Thyristor bereits erreicht ist, wenn der Strom

Schaltung a) erfüllt die Forderungen der Punkte 2, 3 und 5, die
eine nennenswerte Größe erreicht. Damit sind die auftretenden
von Punkt 1 teilweise, je nach Art der auftretenden Überspan-

Einschaltverluste klein. Wenn sich dagegen ein Kondensator
nung. Werden keine Thyristoren in Reihe geschaltet, entfällt R 2.

im Lastkreis befindet (Kondensatorlöschung) und sich im Ein-

R 1 und C 1 werden nach den Forderungen von Punkt 2 bzw.

schaltmoment über den Thyristor entlädt, dann steigt der Strom

Punkt 5 dimensioniert und erfüllen dann gleichzeitig Punkt 3
sofort stark an, noch bevor sich die Spannung am Thyristor
mit (s. Ausführungen zu den Schutzmaßnahmen bei den Halb-
wesentlich verringert. Daraus folgt eine höhere Einschaltver-
leiterdioden, Abschn. 90.1.5). Nach Schaltung b) sind zu jedem
lustleistung. Bei hohen Wiederholfrequenzen kann der Thyristor

Thyristor ein Widerstand R und eine Induktivität L in Reihe
thermisch zerstört werden. Die kritischen Werte liegen bei etwa
geschaltet. Werden mehrere Thyristoren parallel geschaltet, so

(50 . . . 400) A=µs. Eventuell erforderliche Schutzmaßnahmen sorgt R für eine statische Stromsymmetrierung bei allerdings
werden im Abschn. 90.5.4 vorgestellt.

entsprechend höheren Verlusten. Eine zum Schutz des Thy-

Teil
ristors in Reihe liegende Sicherung kann u. U. diese Aufgabe
übernehmen. Die Induktivität L verbessert bei Parallelschal-

XII

90.5.4

Schutzschaltungen
tung die Stromsymmetrierung bei Stromänderungen (Punkt 4).

Sie kann auch das Erreichen der kritischen Stromsteilheit nach

Punkt 6 verhindern; Einzelheiten dazu siehe im Abschn. 90.5.3,

Beim Einsatz von Thyristoren können einige oder auch alle der

Verlustleistung. Werden keine Thyristoren parallel geschaltet,
nachfolgend genannten acht kritischen Betriebsfälle eintreten,
kann der Widerstand R entfallen. Um in der Schutzschaltung
wenn sie nicht durch geeignete Schutzschaltungen verhindert
nach Abb. 90.30a eine ausreichende Schutzwirkung zu erhal-
werden:

ten, wird der Widerstand R 1 im Bereich (50 . . . 200) ( gewählt.

90.5

Thyristoren

1105

V

L

1

C 2

Th2 U aus

1

+

Th1

U 1

U ein

Z

V

Last

2

Abb. 90.31 Schutzbeschaltung eines Thyristors, Brückenschaltung

-

Abb. 90.33 Thyristor-Löschkreis, Beispiel 1

Strömen weitgehend zu verhindern. Es soll daran erinnert wer-
den, dass zwischen dem Halbleiter und seinem Gehäuse eine
elektrisch leitende Verbindung besteht (geringer Wärmewider-

Abb. 90.32 Schutzbeschaltung eines GTO-Thyristors
stand R th JG), sodass z. B. bei einer Reihenschaltung nur durch
zusätzliche elektrische Isoliermaßnahmen mehrere Thyristoren
auf dem gleichen Kühlkörper montiert werden können.

Zündet der Thyristor, so entlädt sich der Kondensator ( C 1 im

Bereich (0,1 . . . 0,47) µF) über den Thyristor und erhöht die

Stromsteilheit (Punkt 6).

90.5.6

Löschen von Thyristoren

Abb. 90.31 zeigt eine häufig angewendete Schutzbeschaltung,
die Brückenschaltung. Ihr Ziel ist es, die beim Zünden auftre-

Thyristoren können nur dadurch vom Leit- in den Sperr-Zustand
tenden Kondensator-Entladeströme zu vermeiden. C 2 dient zum
gebracht werden, dass der Anoden-Kathoden-Strom einen Min-

Schutz vor einer zu großen Spannungssteilheit, er kann sich
destwert, den Haltestrom, für (300 . . . 800) µs unterschreitet, der
über R 2 entladen. R 1 und C 1 bieten Schutz vor Überspannun-
bei Leistungsthyristoren im Bereich von etwa (0,5 . . . 5) A liegt.

gen durch den Trägerspeichereffekt bzw. anderen auftretenden

Der genaue Wert ist dem Datenblatt des Halbleiters zu ent-

Überspannungen. Die Diode V verhindert einerseits, dass ein
nehmen. Wird der Thyristor mit Wechselspannung betrieben
momentan aufgeladener Kondensator C 1 die Schutzwirkung

(z. B. 50-Hz-Versorgungsnetz), wechselt der Strom 50mal pro
von C 2 beeinträchtigt, andererseits wird C 1 zu C 2 parallelge-

Sekunde die Polarität, ist also 100mal pro Sekunde für eine
schaltet, falls die Spannung an C 2 größer werden will als an
ausreichend lange Zeit ausreichend klein, um den Thyristor zu

C 1. Wird der Thyristor gezündet, kann sich wegen der Dioden-
löschen. Diese Löschung geschieht automatisch, deshalb muss

Brückenschaltung keiner der Kondensatoren über die Anoden-
der Thyristor nach jedem Stromnulldurchgang wieder neu ge-

Kathoden-Strecke entladen und dadurch die Stromsteilheit er-
zündet werden, in diesem Beispiel also 100mal pro Sekunde.

höhen.

Schaltet der Thyristor eine Gleichspannung, muss die Löschung
durch externe Schaltungsmaßnahmen erzwungen werden. Es

In der Schutzschaltung für GTO-Thyristoren nach Abb. 90.32
sind mehrere elektronische Schaltungen zur Löschung entwi-
werden die Forderungen der Punkte 1 bis 7 relativ gut erfüllt:

ckelt worden, von denen 2 hier vorgestellt werden sollen.

Zündet der Thyristor, kann sich der Kondensator C wegen der

Gemeinsames Kennzeichen ist, dass der Strom durch den Thy-

Induktivität L nur verzögert entladen. Bei auftretenden Über-
ristor zusammen mit einem zusätzlich eingespeisten Strom in
spannungen in Vorwärtsrichtung wird der Kondensator C über
entgegengesetzter Richtung den Haltestrom unterschreitet.

die Diode V direkt zum Thyristor parallelgeschaltet. Die Über-
schreitung der Grenzströme, Punkt 8, lässt sich durch den Ein-

In Abb. 90.33 ist Th1 der Schaltthyristor, Th2 der Löschthyris-
bau von Sicherungen weitgehend vermeiden. Eines muss aber
tor. Zuerst wird Th2 bei gesperrtem Th1 gezündet, und C lädt
stets bedacht werden: Diese Maßnahmen sind nur wirkungsvoll
sich über Th2 und Z Last auf (nahezu) U 1 auf; C an Punkt 1, an
bei Störungen, die im Mikrosekundenbereich ablaufen und dann

Punkt 2. Der Aufladevorgang endet, wenn der Aufladestrom den
beendet sind. Siehe dazu auch Abschn. 91.5 Schutzschaltungen.

Haltestrom von Th2 unterschreitet. Jetzt wird Th1 gezündet. C
lädt sich über Th1 und V1 um, weil C und L einen Schwingkreis
bilden: C an Punkt 2, an Punkt 1. Ein weiteres Umladen ver-
hindert die Diode V1. Zum Sperren von Th1 wird Th2 gezündet.

90.5.5

Zusammenschaltung von Thyristoren

C entlädt sich über Th2 und Th1. Dabei sind Kondensatorstrom

XII
und Laststrom entgegengesetzt gerichtet. Ist der Entladestrom
von C gleichgroß oder größer als der Laststrom, wird der Hal-

Teil

Mehrere Thyristoren können sowohl parallel als auch in Rei-
testrom von Th1 unterschritten und Th1 löscht. Während der
he geschaltet werden, Abb. 90.30. Wichtig ist, dass die im
folgenden Sperrphase von Th1 kann sich C über Zünden von
vorigen Abschnitt erwähnten Schutzbeschaltungen vorgesehen

Th2 erneut umladen auf U 1: C an Punkt 1, an Punkt 2. Für
werden, um ungleichmäßige Aufteilungen von Spannungen und
die Zündfolge muss das Steuergerät einen geeigneten Ablauf

1106

90 Leistungshalbleiter

A2

Th2

-
u

R
aus C +

+

Th1

V2

U

Th1

1
u

Z
ein

Last

V

ZD1

ZD2

-

V1

Th2

Abb. 90.34 Thyristor-Löschkreis, Beispiel 2

A1
bereitstellen, und die Bauteile müssen entsprechend dimensio-

Abb. 90.35 Interner Aufbau eines Diacs
niert werden. Die Resonanzfrequenz des Schwingkreises ist so
zu dimensionieren, dass sich C während der Leitphase von Th1
sicher umladen kann. C muss so groß sein, dass sein Entlade-

Löschen liegt in der Größenordnung 1=3 bis 1=5 des Laststro-
strom nach der Zündung von Th2 größer ist als der Laststrom.

mes. Durch die aufwändige Fertigung sind GTO-Thyristoren

Abb. 90.34 zeigt eine weitere Löschschaltung. Th1 leitet, Th2
teuer, und sie werden deshalb vorwiegend bei Gleichspannung
sperrt zunächst. Der Kondensator C wird über R auf (nahezu) U 1
und großen Leistungen im Bereich P > 500 kW eingesetzt.

in der eingezeichneten Polarität aufgeladen. Soll Th1 gelöscht
werden, wird Th2 gezündet. Der Entladestrom von C über Th1

Abb. 90.32 und der zugehörige Text, Abschn. 90.5.4, stellen ei-
und Th2 muss dazu größer sein als der Laststrom. Dann fließt
ne Schutzbeschaltung für einen GTO-Thyristor dar.

ein „negativer“ Strom durch Th1, der Haltestrom ist also sicher
unterschritten. Sobald Th1 sperrt, löscht automatisch auch Th2,

90.5.8.2

DIAC
weil der Entladestrom von C Null wird. Die Bauelemente R
und C müssen einige Bedingungen erfüllen. Der Strom durch R

Diacs ( Di ode for A lternating C urrent) sind vom Prinzip her Thy-
muss kleiner sein als der Haltestrom von Th2, andernfalls löscht
ristoren ohne Steueranschluss (Gate). Sie zünden beim Errei-

Th2 nach Aufladung von C nicht. C muss ausreichend groß sein,
chen der Nullkippspannung in Vorwärtsrichtung (Überkopfzün-
um für ca. (300 . . . 800) µs den „negativen“ Strom durch Th1
den) und sperren in Rückwärtsrichtung. Wie ein Thyristor gehen
aufrecht halten zu können. Die Zeitkonstante R C muss es ge-
sie beim Unterschreiten des Haltestromes in den sperrenden Zu-
statten, dass sich der Kondensator in der Leitphase von Th1 auf
stand über. Damit die Bedingungen für das Überkopfzünden

(nahezu) U
bei der Fertigung vorgegeben werden können (Zündspannung),

1 aufladen kann.

wird in den Diac eine Z-Diode integriert. Außerdem ist sein

Einsatz nur bei Wechselspannung sinnvoll. Er besteht deshalb

90.5.7

Einsatz in kritischen Anwendungsfällen
nach Abb. 90.35 aus den 2 antiparallelgeschalteten gleichen

Bauteilgruppen 1 (V1, ZD1, Th1) und 2 (V2, ZD2, Th2). Für

UA 2 < UA 1 sind V1, ZD1 und Th1 wirksam, für UA 2 > UA 1 ent-

Es kann sein, dass der Hersteller im Datenblatt darauf hin-
sprechend V2, ZD2, Th2. Steigt das Potential vom Anschluss
weist, dass er bei einem vorgesehenen Einsatz der Thyristoren

A 2 gegenüber Anschluss A1 an, sperrt der Diac solange, bis
in sicherheits- und ausfallkritischen Anwendungen wie in der
die Durchbruchspannung der Z-Diode ZD2 erreicht ist. V2 be-

Luftfahrt, der Medizintechnik und dgl. in den Herstellungspro-
ginnt zu leiten, und bei weiterem Ansteigen des Potenzials wird
zess eingebunden werden sollte, um die Risiken zu minimieren.

ein zunehmender Strom in das Gate von Th2 eingespeist, er

Oder aber er rät vom Einsatz dieses Bauelementes in den ge-
zündet. Baugruppe 1 ist über V1 gesperrt. Abb. 90.37a zeigt
nannten kritischen Anwendungen ab.

den prinzipiellen Kennlinienverlauf. In einer praktisch dimen-
sionierten Schaltung ist es sinnvoll, den Gatestrom sprunghaft
ansteigen zu lassen, um ein schnelles und sicheres Zünden zu er-

90.5.8

Spezielle Bauarten von Thyristoren
reichen. Weiterhin muss der Gatestrom begrenzt werden, und er
muss unterhalb des Zündstromes von Th2 liegen, wenn Th2 den

Neben den bereits erwähnten Bauarten „asymmetrisch sper-

Haltestrom unterschreitet und löschen soll. Die Durchbruch-
rend“ und „rückwärts leitend“ haben sich weitere Sonderbau-
spannung der Z-Diode, U RBr, ist fertigungstechnisch vorwählbar
arten herausgebildet.

und damit auch die Zündbedingung von Th2. Für UA 2 < UA 1
arbeitet die Baugruppe 1 entsprechend. Der Bereich der Z-

Teil

Dioden-Durchbruchspannung U

90.5.8.1

GTO-Thyristor

Z erstreckt sich bei industriell
gefertigten Diacs in Sprüngen von 5 bis 10 V von etwa 15 bis

XII

Prinzipiell lässt sich jeder Thyristor über einen negativen Ga-

200 V. Der Bereich für Anwendungen ist eingeschränkt, weil
testrom abschalten. Der GTO-( G ate- T urn- O ff-)Thyristor ist für
der Diac nur bei einem über die Z-Dioden fest vorgegebenen
diesen Anwendungsfall optimiert. Durch den negativen Ga-

Wert j U

j

C

A 2

UA 1

UZ

.0;7 C 2 : : : 3/ V zündet und die-
testrom werden der Sperrschicht S2 (Abb. 90.25) so viele
se Zündung nicht mit einem optimierten Zündimpuls erfolgt.

Ladungen entzogen, dass sich der Stromfluss nicht mehr auf-

Der jeweils nicht beteiligte Thyristor zündet nicht, weil er mit
recht halten kann. Der PN-Übergang geht in den Vorwärts-
einem „negativen“ Strom angesteuert wird, der zum Zünden

Sperrzustand über. Der in das Gate einzuspeisende Strom zum
aber nicht ausreicht, siehe GTO-Thyristor. Der maximal zuläs-

90.5

Thyristoren

1107

L

R 1

U Netz

C 3

P

DIAC TRIAC

R 2

C

C

1

2

Abb. 90.36 Dimmerschaltung, siehe dazu auch Abb. 90.29
sige Laststrom liegt damit bei etwa 1 A. Insofern werden Diacs
dem Kleinleistungsbereich zugeordnet.

Abb. 90.37 Kennlinie und Schaltsymbol von a DIAC, b TRIAC

Anwendungen:

Impulserzeugung allgemein. Man erhält einen Impuls mit
erkennen. Die Elemente C 3 und L in Abb. 90.36 dienen zur
einem steilen Abfall und einem darauffolgenden Anstieg ge-

Verringerung der Oberschwingungsamplituden des nicht mehr
mäß einer e-Funktion, wenn man einen Kondensator über
sinusförmigen Stromverlaufes (Störsignalunterdrückung). Der
einen Widerstand dauernd auflädt und parallel zum Konden-

Triac sei gesperrt, was bei jedem Stromnulldurchgang der Glüh-
sator einen Diac schaltet. Heute gibt es zur Impulserzeugung
lampe automatisch geschieht. Der Kondensator C 1 lädt sich über
auf diese Anwendung optimierte Integrierte Schaltkreise.

R 1 und P nach einer e-Funktion auf. Die Spannung an C 2 folgt

Lebensdauererhöhung beim Leuchtmittel „ Glühlampe“.

der an C 1 nur geringfügig verzögert, R 2 und C 2 sollen verhin-
a) Wird ein Diac in Reihe zur „Glühlampe“ (Nennspannung
dern, dass kurze Störimpulse Diac und Triac zünden. Erreicht

230 V) geschaltet, verringert sich der Effektivwert der Span-
die Spannung an C 2 die Durchbruchspannung des Triacs (et-
nung um einige Prozent bei einer Durchbruchspannung der
wa (15 . . . 30) V), zündet dieser, seine Spannung sinkt innerhalb

Z-Diode von 20 V, was zu einer wesentlichen Erhöhung der
einiger µs auf wenige V, und am Gate des Triacs steht eine

Lebensdauer führt. (Die verringerte Helligkeit lässt sich evtl.

ausreichend hohe Spannung, um diesen zu zünden. C 1 und C 2
durch die nächst höhere Nenn-Wattzahl des Leuchtmittels
entladen sich über R 2, Diac und Triac und liefern den erforder-
ausgleichen.) b) In den normalen Ein-Aus-Schalter der Haus-
lichen Zünd-Gatestrom. Über P kann die Aufladezeit und damit
installation ist ein Integrierter Schaltkreis mit einer Dimmer-
das Erreichen der Diac-Durchbruchspannung in Grenzen einge-
schaltung integriert (siehe Abschn. 90.5.8.3 „Triacs“), der
stellt werden. Schleifer von P in oberer Stellung heißt schnelle
nach dem Ein-Schalten des Schalters den Dimmer selbsttätig

Aufladung – frühe Zündung – große Helligkeit; Schleifer von
innerhalb von etwa 1 s von dunkel bis maximal hell einstellt

P in unterer Stellung entsprechend langsame Aufladung – späte
und damit den für Glühlampen als Kaltleiter sehr hohen Ein-

Zündung – geringe Helligkeit.

schaltstrom (etwa 8- bis 10-facher Wert des Nennstromes
im Heißzustand) begrenzt und damit lebensdauerverlängernd

Die Diacs haben, wie die Anwendungen zeigen, an Bedeutung
wirkt.

verloren.

Zündimpulserzeugung in Energiesparlampen. Die Zündim-
pulserzeugung in „Leuchtstoffröhren“ erfolgt überwiegend

90.5.8.3

TRIAC
mit Glimmlampen (Haushalt, Kleingewerbe), in den im

Ein TRIAC ( Tri ode- A lternating-Current-Switch) besteht aus der

Haushalt eingesetzten „Energiesparlampen“ diverser Baufor-

Antiparallelschaltung zweier Thyristoren mit verbundenem Ga-
men auch mit Diacs. Die „Energiesparlampen“ sind für die
te. Allerdings sind die zwei Thyristoren unterschiedlich aufge-

Anwendung im häuslichen Bereich ebenfalls auf dem Rück-
baut, weil sich der Triggerimpuls zwangsweise stets auf eine
zug und werden zunehmend durch LED-Leuchtmittel ersetzt.

der beiden Anoden bezieht. Der Zündvorgang ist damit nicht

Abb. 90.36 zeigt das Schaltbild eines Dimmers. Das Prinzip
optimiert und verlängert die Zündzeit. Für kleine Leistungen
besteht darin, dass ab jedem Nulldurchgang der sinusförmigen
bei einer Frequenz von 50 Hz und sinusförmigen Größen ent-

Netzspannung (50 Hz ¶ 20 ms ) Nulldurchgang alle 10 ms)

stehen dadurch kaum Probleme. Der Triac ist damit für den
der Triac erst nach Ablauf einer über ein Potentiometer ein-

Einsatz im 50-Hz-Wechselstromnetz gut geeignet, wobei die
stellbaren Zeit zwischen etwa 0,5 und 9 ms verzögert gezündet

Löschung des leitenden Thyristors automatisch beim Stromnull-
wird. Die Glühlampe wird also mit nahezu der gesamten Sinus-
durchgang stattfindet. Damit lassen sich auch Verbraucher mit
halbwelle gespeist (0,5 ms Verzögerung, fast volle Helligkeit)

kombinierter ohmsch-induktiver Last ohne „Freilaufdiode“ oder
bis herunter zur Speisung mit nur dem Anteil zwischen 9 und
ähnliche Schutzschaltungen betreiben (z. B. Universalmotoren

XII

10 ms (minimale Helligkeit). Der Leistungsverbrauch der Glüh-
in Bohrmaschinen, Heizung und Motoren in Waschmaschi-
lampe darf nicht zu klein sein, weil es dann Probleme mit
nen). Der Schaltungsaufbau ist sehr einfach, wie das Schaltbild

Teil
dem Haltestrom gibt. Dieses Verfahren wird auch mit Pha-
einer Dimmerschaltung für das Leuchtmittel „Glühlampe“ zur
senanschnittsteuerung bezeichnet, siehe dazu auch Abb. 90.29.

Helligkeitseinstellung mittels Phasenanschnitt in Abb. 90.36,

Dort ist der „verspätet“ einsetzende Stromfluss durch die Last

Abschn. 90.5.8.2, zeigt. Wichtig für eine sichere Betriebsweise
und das automatische Löschen beim Stromnulldurchgang zu
ist ein niedriger Widerstand zwischen dem Gate-Anschluss und

1108

90 Leistungshalbleiter

90.5.8.4

GATT

Beim GATT ( G ate- A ssisted- T urn-Off- T hyristor, abschaltunter-
stützter Thyristor) wird die Freiwerdezeit dadurch verkürzt, dass
nach Unterschreiten des Haltestromes eine negative Spannung
an das Gate gelegt wird. Die in den Halbleiterschichten vor-

Abb. 90.38 Fotothyristor als Hilfsthyristor
handenen Ladungen können so in weniger als der halben Zeit
gegenüber einem normalen Thyristor ausgeräumt werden.

der Kathode. Er ermöglicht die Zündung in beiden Schaltrich-

90.5.8.5

Foto-Thyristor
tungen. Abb. 90.37b zeigt die Kennlinie und das Schaltzeichen.

TRIACS werden für Spannungen bis ca. 1500 V und Ströme bis

Es wurde bereits darauf hingewiesen, dass auch durch Licht-
ca. 150 A gefertigt und bevorzugt bei Netzfrequenz 50 Hz ein-
einwirkung Ladungsträger erzeugt werden können. Thyristoren
gesetzt. Für höhere Ströme und höhere Schaltfrequenzen sind
werden in der Regel so gefertigt, dass der Anodenanschluss,

Thyristoren besser geeignet.

bei Hochleistungsthyristoren auch der Kathodenanschluss, mit

Metallscheiben elektrisch verbunden ist, sodass ein guter Wär-

Anwendungen:

meübergang zwischen dem Halbleiterkristall und einem Kühl-

Schaltungen zur Leistungsreduzierung (siehe auch Ab-
körper gewährleistet wird. Um das Potential des Thyristors
schn. 90.5.8.2 DIAC). Beispiele: Beim Leuchtmittel „ Glüh-
von dem des Steuergerätes – auch aus Sicherheitsgründen –
lampe“ ist es wünschenswert, die Helligkeit einstellbar zu
galvanisch zu trennen, führt man einen Lichtleiter mit dem
machen, bei Bohrmaschinen ist es praktisch, Drehzahl und
einen Ende bis in die Nähe der Sperrschicht S2 (Abb. 90.25).

Drehmoment vorwählen zu können. Die Heizleistung bei

Am anderen Ende befindet sich eine Leucht- oder Laserdiode,

Waschmaschinen kann vorgewählt werden. Für diese An-
die mit einem kurzen Stromimpuls hoher Stromstärke (Dau-
wendungen wird entweder die Kombination aus Triac und
er ca. (0,1 . . . 10) ms, Strom ca. (0,2 . . . 2) A) angesteuert wird.

Diac eingesetzt, oder es werden optimierte Integrierte Schalt-

Da die Lichtleistung, die die Sperrschicht erreicht, im unteren
kreise zur Ansteuerung der Triacs verwendet. Zwar ist die

Milliwatt-Bereich liegt, muss zur Zündung ein Hilfsthyristor

Glühlampe auf dem Rückzug, aber das Prinzip der Hellig-
nach Abb. 90.38 eingesetzt werden. Der Aufbau sieht dann so
keitseinstellung wird auch bei den Nachfolgern, den LED-
aus, dass der Hilfsthyristor V1 ein Fotothyristor kleiner Leis-

Leuchtmitteln, erfolgreich eingesetzt, wenn auch mit abge-
tung ist, der den Leistungsthyristor V2 zündet. Manchmal ist
wandelten elektronischen Verfahren.

V1 bereits in den Thyristoraufbau von V2 integriert. Über die

Phasenanschnittsteuerung zur Leistungsreduzierung. Einge-

Länge des Lichtleiters kann eine galvanische Trennung erreicht
setzt im 4-Leiter-Drehstromnetz 230/400 V.

werden.

Teil

XII

Einsatz von Leistungshalb-

91
leitern als Schalter

Wilfried Plaßmann

91.1 Schalter allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1110

91.2 Halbleiter-Relais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111

91.3 Halbleiterkühlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112

91.4 Ansteuerschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115

91.5 Schutzschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1120

XII

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1109

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_91

1110

91 Einsatz von Leistungshalbleitern als Schalter

91.1

Schalter allgemein
nen. Die Kosten hierfür stehen meist in keinem Verhältnis zu
den in der Anlage auftretenden Schäden. Außerdem können
die weiter unten dargestellten unterschiedlichen Schalterar-

Schalter dienen dazu, elektrische Kreise an einer vorgesehenen
ten (mehrpolig, Umschalter, Stufenschalter) durch geeignete

Stelle zu verbinden (Schalter EIN) oder aufzutrennen (Schalter

Ansteuerung mehrerer Halbleiterschalter beliebig nachgebil-

AUS). In der Energietechnik werden in der Regel Verbraucher
det werden.

oder Energienetze ein- bzw. ausgeschaltet. Es gibt zwei Ar-

Zu beachten ist die Ausfallwahrscheinlichkeit von elektro-
ten von Schaltern: 1. Elektronische Schalter (Halbleiterschalter)

nischen Bauteilen. Diese steigt zwar mit steigender Anzahl
mit den Bauteilen Transistoren, Thyristoren, Triacs und de-
von Kalt-Warm-Zyklen der Halbleiter, liegt aber erfahrungs-
ren Sonderformen und 2. Elektromechanische Schalter, die mit
gemäß über der von mechanischen Schaltern.

einem Elektromagneten aufgebaut sind, der mechanisch mit-

Nachteile von elektronischen Schaltern, eingesetzt in der Leis-
tels Kraftwirkung Kontakte zusammenpresst oder trennt. Beide
tungselektronik, sind im Wesentlichen:

Schalterarten haben ihre Vor- und Nachteile, sodass letztlich der

Einsatz den geeigneten Typ festlegt. Der Steuerkreis stellt die

EIN-Widerstand. Bei einem Leistungshalbleiter einige (;
für das Betätigen des Schalters erforderliche Leistung zur Ver-
durch Parallelschaltung von z. B. bis zu 1000 Transistoren
fügung (Spannung, Strom), im Lastkreis wird die gewünschte
in einem Gehäuse: 100 µ( bis einige m(. Die daraus re-
elektrische Verbindung hergestellt oder unterbrochen.

sultierende Temperaturerhöhung des Halbleiters bei höheren

Strömen muss durch Kühlung begrenzt werden.

Vorteile von elektronischen Schaltern, eingesetzt in der Leis-

AUS-Widerstand. Durch die Parallelschaltung von bis zu
tungselektronik, sind im Wesentlichen:

1000 Transistoren im Bereich k( bis einige M(. Die daraus

Kurze Schaltzeiten im mittleren µs-Bereich bzw. hohe Grenz-
resultierenden Sperrströme und die Temperaturerhöhungen
frequenzen im kHz-Bereich. Erst dadurch werden neue tech-
der Halbleiter sind in der Leistungselektronik i. Allg. ver-
nische Lösungen möglich, z. B. Gleichstromsteller.

nachlässigbar.

Keine mechanisch bewegten Teile und damit keine Geräusch-

Galvanische Trennung. Nur mit Zusatzschaltungen erreich-
entwicklung, keine Erschütterungen, keine Materialermü-
bar. Hierbei sind 2 Fälle zu unterscheiden: Fall 1: Galvani-
dung.

sche Trennung Steuerkreis $ gesteuerter Kreis (Lastkreis).

Kein Kontaktprellen.

Die Ansteuerung des Halbleiterschalters erfolgt häufig durch

Ansteuerbar über Rechnerprogramm, d. h. viele Schaltvor-
einen Rechner oder ein im Prinzip ähnliches Gerät. Dann
gänge (EIN oder AUS) gleichzeitig oder gezielt zeitversetzt
muss der Lastkreis, sofern dort Spannungen oberhalb 24 V
durchführbar; Notprogramme schnell und gezielt einleitbar,
auftreten (genauer Wert siehe VDE-Vorschriften), vom Steu-

Fehlerauswirkungen (Kurzschluss) schnell und wirksam be-
ergerät galvanisch getrennt werden. Das ist möglich durch
grenzbar.

den Einsatz von Optokopplern oder Lichtleitern, erfordert

Kein mechanischer Kontakt-Verschleiß, damit hohe Anzahl
aber einen erhöhten Aufwand (siehe VDE-Vorschriften).

von Ein-Aus-Schaltzyklen. Siehe kurze Schaltzeiten oben.

Fall 2: Im Kreis mit Spannungen oberhalb 24 V (genau-

Kein Lichtbogen beim Öffnen oder Schließen der Kontakte.

er Wert siehe VDE-Vorschriften) muss ein Teil des Kreises

Wichtig für den Einsatz in explosionsgefährdeten Umgebun-
von einem anderen Kreis elektrisch und damit galvanisch
gen. Trotzdem: Überspannungen beim Schalten induktiver
getrennt werden (z. B. Reparatur- oder Service-Arbeiten).

Lasten vermeiden.

Die galvanische Trennung kann durch Öffnen des elektro-

Eigensicherheit bei Schalter-(Halbleiter-)Defekt. Darunter
nischen Schalters i. Allg. nicht erfolgen. Hier müssen die
soll verstanden werden, welchen Zustand die Schalter bei

Kreise zwangsweise und vollständig getrennt werden (me-

Defekt (tritt in der Regel während eines Schaltvorganges ein)

chanischer Schalter, Sicherungen, Netzstecker ziehen, An-
einnehmen. Beim Schalter-(Halbleiter-)Defekt gibt die Aus-
schlusskabel abklemmen – je nachdem, was geeignet ist;
fallstatistik (evtl. Datenblatt oder Hersteller) eine Tendenz
evtl. zusätzliche Zwangserdung des getrennten Kreises, siehe
an, die aber zur Schadensbegrenzung nur bedingt hilfreich

VDE-Vorschriften).

ist. Allerdings können durch zusätzliche oder schon vorhan-

Empfindlichkeit gegenüber Störgrößen in Form von Span-
dene Sensoren, die auch zur intelligenten Ansteuerung von
nungs- und Stromspitzen. Prinzipiell sind Halbleiterschalter
z. B. Thyristoren beim Zündvorgang eingesetzt werden, die-
empfindlich gegenüber diesen Störgrößen, auch wenn sie nur
se Defekte erkannt und geeignete Maßnahmen eingeleitet
kurzzeitig (ms- oder µs-Bereich) auftreten. Der negative Ein-
werden. Siehe Abschn. 91.4 „Ansteuerschaltungen“.

fluss von Störgrößen kann dadurch verringert werden, dass

Eigensicherheit bei Spannungswiederkehr nach einem
für die Halbleiter ein geeigneter höherer Sicherheitsabstand

Teil

Stromausfall. Hier kann durch eine geeignete Programmie-
zwischen den vom Hersteller angegebenen zulässigen Grenz-
rung der Steuerung ein gewünschter Zustand gezielt einge-
werten und den Betriebsgrößen eingeplant wird. Das ist oft

XII
nommen werden und auch ein komplexer geordneter Ablauf
nicht möglich, weil Grenzwert und Betriebswert nur ge-
des Einschaltvorganges realisiert werden.

ringfügig voneinander abweichen (es gibt keine geeigneten

Vorteile der Rechnersteuerung nutzen. Allgemein lässt sich

Halbleiter auf dem Markt, es soll aber ein Halbleiterelement
sagen, dass die Nutzung der Rechnersteuerung Vorteile
wegen bestimmter Vorteile eingesetzt werden). Ev. kann man
bringt insofern, als dass durch den Einbau geeigneter Sen-
durch eine in Reihe zur Last geschaltete Induktivität Strom-
soren trotz Aufwandes für die galvanische Trennung Fehler
spitzen in ihrer Amplitude begrenzen. Ein parallel zur Last
erkannt und geeignete Maßnahmen ergriffen werden kön-
geschalteter Kondensator kann Spannungsspitzen begrenzen.

91.2

Halbleiter-Relais

1111

Beide Maßnahmen sind kombinierbar, sie bilden ein Tief-

8. Werden elektrische Kreise mit Kondensatoren eingeschaltet,
passsystem. Siehe auch Abschn. 91.5 „Schutzschaltungen“.

muss der Aufladestrom begrenzt werden. Das kann durch

Maximal schaltbare Leistung. Die maximal schaltbaren Strö-
einen niederohmigen Reihenwiderstand erreicht werden, der
me liegen zurzeit bei etwa 3 bis 3,5 kA (Schalter EIN,
die Funktionsfähigkeit der Schaltung nur unwesentlich be-

Hochstrom-Typ, Serienfertigung), die Spannungen bei zur-
einflusst. Der Widerstand kann nach erfolgter Aufladung
zeit maximal etwa 2 bis 3,5 kV (Schalter AUS, Hoch-
evtl. auch überbrückt werden.

spannungstyp, Serienfertigung). Damit liegen die maximal
schaltbaren Leistungen bei etwa (50 . . . 100) kW, da nicht
beide genannten Maximalwerte von einem Halbleiter gleich-
zeitig erreicht werden. Es lassen sich Halbleiter parallel

91.2

Halbleiter-Relais
schalten zur Erhöhung des (Last-)Stromes und in Reihe
schalten zur Erhöhung der (Sperr-)Spannung, siehe Zu-

Diese Baugruppe erfüllt die Funktionsweise eines Relais, in-
sammenschaltung bzw. Parallelschaltung bei den einzelnen
dem eine Steuerspannung Leistungstransistoren, Thyristoren

Halbleitertypen in Kap. 90.

oder Triacs in den leitenden oder sperrenden Zustand schaltet.

Hinweise und Bezeichnungen zu Schaltern:

Zwischen der Steuerspannung (meist max. j˙24j V; manch-
mal auch 230 V) und dem Lastkreis (meist 230 V) muss aus

1. Arbeitskontakt, Schließer, ohne Ansteuersignal ist der Schal-

Sicherheitsgründen i. d. R. eine galvanische Trennung herge-
ter offen. NO (engl.) ! N ormally O pen.

stellt werden. Für die Art der zu schaltenden Spannung ist

2. Ruhekontakt, Öffner, ohne Ansteuersignal ist der Schalter
entscheidend, welche elektronischen Schaltelemente im Relais
geschlossen. NC (engl.) ! N ormally C losed.

verwendet worden sind:

3. Einpolig, zweipolig, usw. ! ein, zwei oder mehr Kontakte
schließen bzw. öffnen „gleichzeitig“, „galvanisch vonein-

1. Ein Leistungs-Feldeffekttransistor
ander getrennt“ (Idealfall, Praxis siehe Datenblatt). SP, DP

Bipolartransistoren sind wenig gebräuchlich. Das Relais

(engl. S ingle P ole, D ouble P ole usw.). Anwendung: Zwei-
hat eine ˙-Kennzeichnung, und das Potential am „C“-
polig, wenn Phase und Neutralleiter gleichzeitig ein- bzw.

Anschluss muss stets das positivere gegenüber dem anderen
ausgeschaltet werden sollen. In der Energietechnik i. Allg.

Anschluss sein. Eine häufig schon intern integrierte, zum
durch 2 Schalter nach Punkt 1 bzw. 2 nachgebildet.

Transistor parallel geschaltete, Diode schützt den Transistor

4. Umschalter ! Ein Kontakt schließt, ein weiterer öffnet
vor Schäden durch Verpolung. Feldeffekttransistoren wirken

„ gleichzeitig“. Sie haben i. d. R. einen gemeinsamen An-
im Leitzustand wie ein nahezu konstanter ohmscher Wi-
schluss (intern verbunden). Für den Umschaltvorgang gibt
derstand, der als „Kontaktwiderstand“ einfach kalkulierbar
es zwei Schaltarten: 1. „ unterbrechend“, „nicht kurzschlie-
ist. Der Wert liegt i. Allg. bei (1 . . . 5) ( (Kleinleistungs-
ßend“, d. h., dass der öffnende Kontakt erst sicher geöffnet
bereich, ein Transistor) ; bei der internen Parallelschaltung
haben muss, bevor der andere Kontakt schließt; Beispiel:

mehrerer Transistoren (Leistungselektronik) auch im unte-

Umschalten zwischen zwei Spannungsquellen. 2. „nicht un-
ren m(-Bereich.

terbrechend“, „kurzschließend“, d. h., dass der erste Kontakt

2. Zwei Leistungs-Feldeffekttransistoren in Anti-Parallelschal-
erst öffnen darf, wenn der andere Kontakt schon sicher ge-
tung
schlossen hat; Beispiel: stromdurchflossene Spulen im Kreis.

Die zu schaltende Spannung kann beliebige Polarität auf-

In der Energietechnik wird der Umschalter i. Allg. durch
weisen. In Reihe zu jedem Transistor liegt eine Diode,
einen Schließer und einen Öffner mit geeigneter Ansteue-
um die zwei Polaritäten dem entsprechenden Transistor zu-
rung nachgebildet.

zuordnen. Diese Konfiguration kommt dem mechanischen

5. Stufenschalter ! ein Anschluss kann mit einem von meh-

Relais am Nächsten. Sie wird deshalb u. a. auch im Dual-
reren anderen Anschlüssen verbunden werden. ST (engl.)

In-Line-Gehäuse, 6-polig, mit Optokoppler zur galvanischen

S ingle T hrow (einstufig, steht im englischen auch für einen

Trennung, für eine zu schaltende Spannung von maximal
einpoligen Ein-Aus-Schalter), DT (engl.) D ouble T hrow

230 V bei Strömen bis maximal 1 A gefertigt.

(zweistufig) usw. Diese Schalterart wird in der Energietech-

3. Ein Thyristor
nik durch die oben genannten Schalterarten nach Punkt 1 und

Der Thyristor zündet erst dann sicher, wenn die zu schalten-

2 mit geeigneter Ansteuerung nachgebildet.

de Spannung und die Lastimpedanz zusammen einen Strom

6. Manchmal werden für elektronische Schalter auch die
ergeben, der den Einraststrom überschreitet. Beim Unter-

Bezeichnungen „Relais“ oder „elektronische Relais“ oder
schreiten des Haltestromes löscht der Thyristor. Er muss,

„Halbleiter-Relais“ verwendet. Ob eine Lösung für die „Gal-
je nach Kurvenform der geschalteten Spannung, evtl. neu
vanische Trennung“ bereits in den Baustein integriert ist,
gezündet werden. Das Ausschalten muss über eine Lösch-
zeigt das Datenblatt.

schaltung für den Thyristor geschehen, was den Einsatz

7. Werden elektrische Kreise mit Spulen ausgeschaltet, muss
dieser Ausführung wesentlich einschränkt. Am Thyristor

XII
der Strom durch die Induktivitäten bis zum endgültigen
und damit zwischen den Schalterkontakten steht eine Span-

Abbau des magnetischen Feldes weiterfließen können, um
nung im Bereich von einigen Volt, die nur gering vom Strom

Teil

Überspannungen zu vermeiden. Folgende Bauteile sind
abhängt.

dabei hilfreich: Widerstände, Dioden, Z-Dioden, VDR-

4. Zwei Thyristoren in Anti-Parallelschaltung

Widerstände (spannungsabhängige Widerstände), Funken-

Es hängt vom Modell des Thyristors ab, ob die Sperrfähig-
strecken, Glimmstrecken.

keit in Rückwärtsrichtung den Einsatz von 2 Dioden erspart.

1112

91 Einsatz von Leistungshalbleitern als Schalter

Die zu schaltende Spannung kann beide Polaritäten besit-
zen, ansonsten gelten die bei einem Thyristor dargestellten

Eigenschaften. Diese Konfiguration ist besonders geeignet
zur Verwendung im 50-Hz-Stromversorgungsnetz bei niedri-
gen bis mittleren Leistungen, weil die Löschung automatisch
beim Strom-Nulldurchgang erfolgt.

5. Ein Triac
v

Er besitzt im Wesentlichen die Eigenschaften der Zwei-

C 8

C 8

Thyristor-Konfiguration. Diese Variante wird häufig im 50-

0 V 0 C

O

Hz-Stromversorgungsnetz bei kleinen bis mittleren Leistun-
gen eingesetzt. Ein Optokoppler zur galvanischen Trennung

Abb. 91.1 Kombiniertes Ersatzschaltbild zur Halbleiterkühlung: Thermisch –
ist i. d. R. schon integriert. Das Gehäuse kann auf einem

Elektrisch; statisches Verhalten

Kühlkörper montiert werden. Die Ansteuerung ist einfach,
siehe Abb. 90.36, Dimmerschaltung. Die Löschung erfolgt
in jedem Nulldurchgang des Netzstromes mit anschließen-
das Halbleiterbauelement seine Funktionsfähigkeit. Durch ge-
der erneuter Triggerung. Damit sind die Ausschalt- und
eignete Maßnahmen zur Wärmeabfuhr (Kühlung über Kühl-

Einschalt-Zeitpunkte vorgegeben als Vielfache von 10 ms.

körper) kann erreicht werden, dass # J den Wert # J max nicht

Hinweis: Es kann sein, dass der Hersteller im Datenblatt darauf
erreicht. Die Grundlage der Berechnung von Kühlkörpern bil-
hinweist, dass er das betrachtete Halbleiter-Relais nicht für den
den die Gesetze des Wärmeströmungsfeldes. Vergleicht man

Einsatz in der Luftfahrt, im medizinischen Bereich oder ande-
die bestehenden Analogien zwischen dem Wärmeströmungs-
ren kritischen Anwendungsfällen empfiehlt, in Bereichen also,
feld und dem elektrischen Strömungsfeld, können die statischen
in denen Zuverlässigkeit und Ausfallsicherheit eine besondere
und dynamischen Vorgänge eines Wärmeströmungsfeldes wie

Rolle spielen.

die eines elektrischen Strömungsfeldes behandelt werden. Die

Analogien zeigt Tab. 91.1. Daraus ergibt sich das elektrisch-

Es folgen 3 Beispiele für Halbleiter-Relais aus der Serienferti-
thermische Ersatzschaltbild nach Abb. 91.1. Hilfreich für die
gung (z. T. Näherungswerte, Datenblätter enthalten die verbind-

Analogie sind die Einheiten; ein Vergleich Wärmekapazität mit
lichen Daten).

elektrischer Kapazität ergibt: W s=K $ A s=V. Damit lassen

1. 400 V bei 1000 mA (PVX6012, Infineon, IR); 20 V bei 4 A
sich Temperatur und elektrische Spannung sowie Leistung und

(Wechselstrom) bzw. 6 A (Gleichstrom) (PVN012As, Infi-
elektrischer Strom einander zuordnen. Die thermische Größe
neon, IR). Die folgenden Werte gelten für beide Typen:

„Wärmestrom“ wird also behandelt wie die elektrische Grö-

Einschaltzeit 7 µs; Ausschaltzeit 1 µs; Widerstand im Ein-
ße „Leistung“ (die im Halbleiter entstehende Verlustleistung)

schaltzustand einige ( bzw. 15 m(. Für die galvanische für eine Stromquelle. Weiterhin sind Wärmewiderstand in K=W

Trennung zwischen Steuer- und Lastkreis gilt: Isolations-
und elektrischer Widerstand in V=A einander zugeordnet. Er-
spannung 4000 V, Widerstand 1012 (. Kapazität 1 pF. Diese
gebnis: Man berechnet ein elektrisches Netzwerk und ersetzt

Relais haben intern Feldeffekttransistoren eingebaut.

zum Schluss bei den Zahlenwerten die elektrischen Einhei-

2. 48
bis

660 V

Netzwechselspannung

50 Hz,

100 A,
ten durch die zugeordneten thermischen Einheiten! Die in

(SSRL660DC100, Omega), 1,6 V max. Spannungsabfall,

Abb. 91.1 eingezeichneten Wärmewiderstände haben folgende

Ein-Schaltzeit 20 ms, Aus-Schaltzeit 30 ms, Isolationsspan-

Bedeutung:

nung 4000 V. Dieses Relais schaltet mit Thyristoren.

Wärmewiderstand R th JU zwischen Halbleiterkristall und

3. Für den Kleinleistungsbereich sind Bausteine entwickelt

Umgebung: Das ist der vorhandene Wärmewiderstand für
worden, die Ströme bis etwa 1 A bei Spannungen bis 230 V
den Fall, dass das Gehäuse des Leistungshalbleiters ohne
schalten können und einen integrierten Optokoppler zur
irgendwelche zusätzlichen Maßnahmen zur Kühlung mecha-

Galvanischen Trennung haben. Sie sind in ein 6poliges Dual-
nisch montiert ist („frei in der Luft hängt“) und nur die

In-Line-Gehäuse eingebaut. Es gibt sie mit einem FET für
daran vorbeistreichende Luft für Kühlung sorgt. Er wird in

Gleichspannung und 2 FETs für Wechselspannung.

der Leistungselektronik nicht weiter berücksichtigt, da er
häufig größer als 50 K=W ist und parallel zu der um Grö-
ßenordnungen kleineren Widerstandssumme R

C

C
th JG

R th GK

91.3

Halbleiterkühlung

R th KU liegt, siehe Abb. 91.1. Würde der Halbleiter nur auf
diese Weise gekühlt, sorgte eine Verlustleistung von 3 W

Teil
bei 50 K=W bereits für eine Kristalltemperatur von .3 W/

91.3.1

Grundlagen, statisches Verhalten

.50 K=W/ D 150 °C über der Umgebungstemperatur!

XII

Wärmewiderstand R th JG zwischen Kristall und Gehäuse: Er

Die Funktionsweise von Halbleiterbauelementen hängt ent-
ist durch den internen Aufbau des Halbleiters fest vorgege-
scheidend von PN-Übergängen ab, die in Sperrrichtung be-
ben und erreicht Werte kleiner 0,05 K=W.

trieben werden. Durch die während des Betriebes an ihnen

Er lässt sich dadurch klein halten, dass man dem Halbleiter
auftretende Verlustleistung erwärmen sich diese Sperrschichten
ein relativ großes metallenes Teil-Gehäuse (Bodenplatte oder

(engl. J unction). Überschreitet die Sperrschichttemperatur # J

Kreisscheibe, einseitig oder oben und unten) mit geschliffe-
die maximal zulässige Sperrschichttemperatur # J max, verliert
ner Oberfläche gibt und diejenige Kristallschicht, an der die

91.3

Halbleiterkühlung

1113

Tab. 91.1 Analogien zwischen thermischen und elektrischen Größen

Physikalische Größe ! Analogie zur Elektrotechnik

FZ

EZ

EZ

Physikalische Größe

FZ

EZ

Sonderfall

Temperatur ! im Schaltbild eine Spannung an einer

#

K

°C

Spannung

U

V

Stromquelle, einem Kondensator, einem Widerstand

Temperatur-Differenz ! im Schaltbild ein Spannungsabfall #

K oder °C

°C

Spannungsabfall

U

V

Wärmestrom ! im Schaltbild eine Stromquelle mit dem

P

W

W

„Stromquelle“ mit dem Strom

P

W D V A

Strom „(Verlust-)Leistung“

„Leistung, Verlustleistung“

Wärmewiderstand ! im Schaltbild ein Widerstand

R th

K=W

°C=W

Widerstand

R

( D V=A

Wärmekapazität ! im Schaltbild ein Kondensator

C th

W s=K

W s=°C

Kapazität

C

F D A s=V

Eine Wärmeinduktivität gibt es nicht

FZ: Formelzeichen, EZ: Einheitenzeichen, EZ Sonderfall: Bei den Berechnungen hier handelt es sich um Temperatur differenzen, und wegen # D 1 K ¶

# D 1 °C darf hier Kelvin durch Grad Celsius ersetzt werden.

höchste Verlustleistung entsteht, mit dem Gehäuseteil groß-

2. der Lage des Kühlkörpers im Raum: Es soll soviel Luft
flächig verbindet. Diese Kristall-Metall-Verbindung besitzt
wie möglich ohne Wirbelbildung am Kühlkörper ent-
gute Wärmeleit-Eigenschaften und damit einen kleinen Wär-
langströmen können.

mewiderstand R th JG. Allerdings nimmt damit das Gehäuse

3. der Form des Kühlkörpers: Hier haben sich z. B. Profile
das Potenzial des Halbleiterkristalles an.

mit rippenförmigem Aufbau (Abb. 91.2) bewährt, durch

Wärmewiderstand R th GK zwischen Gehäuse und Kühlkör-
den die Oberfläche vergrößert wird und die Wärmeab-
per: Da das Halbleitergehäuse das Potenzial des Kristalles
gabe durch Konvektion und Strahlung begünstigt. Die
hat, nimmt auch der Kühlkörper dieses Potential an, wenn

Industrie bietet vielfältige Profile und Formen an, weil
der Halbleiter direkt auf dem Kühlkörper montiert wird.

evtl. nur ein vorgegebenes Platzangebot besteht. Aus-

Wenn das nicht von Bedeutung ist, wird so vorgegangen:

kunft geben die Datenblätter der Hersteller.

Bei der Montage kann sich zwischen Halbleitergehäuse und

4. der Oberflächenfarbe des Kühlkörpers: Kühlkörper mit

Kühlkörper z. B. durch Staub, Fremdkörper oder Unebenhei-
geschwärzter Oberfläche haben einen etwas geringe-
ten eine dünne Luftschicht bilden, die einen vergleichsweise
ren Wärmewiderstand als solche mit metallisch blanker
hohen Wärmewiderstand hat (Luft ist ein schlechter Wär-

Oberfläche.

meleiter). Deshalb wird bei Leistungshalbleitern eine sog.

5. der Art der Kühlung: Selbstkühlung, Fremdkühlung oder

Wärmeleitpaste zwischen Halbleitergehäuse und Kühlkörper

Flüssigkeitskühlung, siehe weiter unten.

aufgetragen, die selber einen sehr kleinen Wärmewiderstand
hat. Sie soll die Luft verdrängen. Deshalb gilt: Die Flächen

Die Forderung nach ausreichender Kühlung von Halbleiter-
von Halbleiter und Kühlkörper sollen an der gemeinsamen
bauelementen führt in der Regel auf die Berechnung des

Berührungsfläche eben sein, die Flächen müssen gereinigt

Wärmewiderstandes R
werden, die Wärmeleitpaste ist dünn und flächendeckend
th KU des Kühlkörpers. Dazu geht man
von folgenden gegebenen Größen oder Erfahrungswerten aus
aufzutragen, die Befestigungsschrauben sind fest anzuzie-

(Abb. 91.1):

hen. Für diesen Wärmewiderstand kann man nur einen

Erfahrungswert angeben, der auch von der verwendeten

Wärmeleitpaste und der Schichtdicke abhängt. Er kann, bei

1. der Umgebungstemperatur # U, von der man annimmt, dass
sorgfältiger Montage, im Bereich (0,01 . . . 0,1) K=W ange-
sie sich durch den Kühlvorgang nicht ändert und deren
nommen werden. Soll der Kühlkörper nicht das Potenzial des

Maximalwert man entweder kennt oder geeignet annimmt.

Halbleitergehäuses annehmen, werden dünne Isolierschei-

So wird häufig für die maximal auftretende oder zu er-
ben aus Glimmer oder Kunststoff oder aber spezielle Wär-
wartende Umgebungstemperatur # U max ein Wert im Be-
meleitpasten, die gleichzeitig elektrisch isolieren (Kombi-
reich (30 . . . 70) °C eingesetzt. Elektrotechnisch entspricht

Wärmeleit-Isolier-Pasten), zwischen Halbleiter-Gehäuse und
das dem „unendlich großen“ Kondensator C 1 in Abb. 91.1,

Kühlkörper angebracht. Auch hier sollte Wärmeleitpaste ver-
der seine Spannung UC 1 trotz dauernder Aufladung mit I 0
wendet werden, wenn nicht die Isolierpaste zum Einsatz
nicht ändert.

kommt. Die Werte für den Wärmewiderstand der Isolierma-

2. der im Halbleiter erzeugten Verlustleistung P. Sie wird ent-
terialien kann man dem Datenblatt entnehmen, wobei stets
weder z. B. nach den im Kap. 90 angegebenen Gleichungen
ein Zuschlag für den Auftrag der Wärmeleitpaste erfolgen

(90.5) bis (90.8) berechnet oder abgeschätzt.

muss. Für die Isolierpaste gibt das Datenblatt ausführliche

3. dem Wärmewiderstand R th JG laut Datenblatt.

Montagehinweise.

4. der maximal zulässigen Sperrschichttemperatur # J max laut

XII

Wärmewiderstand R th KU zwischen Kühlkörper und Umge-

Datenblatt.

bung: Er ist durch den verwendeten Kühlkörper gegeben und

5. einem der Praxis entnommenen Erfahrungswert für R th GK

Teil
hängt im Wesentlichen von folgenden Faktoren ab:

von z. B. 0,05 K=W (ohne elektrische Isolierung) oder

1. der Größe des Kühlkörpers: Der Wärmewiderstand

0,1 K=W (mit elektrischer Isolierung). Nützliche Hinweise
nimmt mit wachsenden Abmessungen ab, oberhalb einer
zur Festlegung des Wertes bieten die Datenblätter der Her-
gewissen Größe nur noch geringfügig.

steller der beteiligten Komponenten.

1114

91 Einsatz von Leistungshalbleitern als Schalter

Abb. 91.3 Verlauf der Temperatur zwischen Sperrschicht und Gehäuse eines

Leistungshalbleiters bei Gleichstrom (a) und bei Impulsstrom (b)

Abb. 91.2 Leistungshalbleiter (Schraubzelle) mit Kühlkörper und thermischem

Ersatzschaltbild

Wärmekapazitäten C th sind dann von Interesse, wenn die Halb-
leiter mit periodischen Wechsel-Spannungen und -Strömen be-
trieben werden. Der zeitliche Verlauf der Temperaturen # J, # G

Ein Spannungsumlauf im Netzwerk nach Abb. 91.1 liefert (elek-
und #

D

K hängt dann von den Zeitkonstanten JG

R th JG C th JG,
trische Bezeichnungen links von den gestrichelten Linien):

D

D

GK

R th GK C th GK und KU

R th KU C th KU ab. Das thermi-
sche Verhalten im Halbleiter selbst ist durch die Zeitkonstante

I

C

C

0

. R thJG

R th GK

R th KU/ C UC 1 UI 0

(91.1a)

JG gegeben. Abb. 91.3a zeigt den Verlauf der Temperaturän-

Dabei wurde folgende Näherung verwendet: . R

C

C derung #
th JG

R th GK

JG an der Sperrschicht bei Belastung durch einen

R

C

C Gleichstrom ( i. t/ D i
th KU/

R th JU, und daraus folgt Œ. R thJG

R th GK

0). Setzt zum Zeitpunkt t

D 0 der

R

C

C

Stromfluss ein, steigt die Temperatur an der Sperrschicht ver-
th KU/ k . R th JU/ . R th JG

R th GK

R th KU/
zögert an, da die Wärmekapazität zwischen Sperrschicht und

Für den entsprechenden „thermischen Umlauf“ folgt (thermi-

Gehäuse zunächst einen Teil des Wärmestromes durch Speiche-
sche Bezeichnungen rechts von den gestrichelten Linien):

rung abzieht (Stichworte elektrotechnisch: Kondensatoraufla-

P

C

C

dung, Energiespeicher). Dieser Verlauf lässt sich auch erklären
v

. R thJG

R th GK

R th KU/ C # U

# J

(91.1b)

durch die Annahme eines zeitveränderlichen Wärmewiderstan-

(Näherung wie unter (91.1a)).

des, den man als transienten inneren Wärmewiderstand Z th JGt

Daraus lässt sich R
bezeichnet. Sein Wert ist zu Beginn des Stromflusses gering;
th KU berechnen und ein geeigneter Kühlkör-
per (Form, Profil, Mindestabmessungen) auswählen:

er geht innerhalb kurzer Zeit (etwa 1 . . . 2 s) in einen grö-
ßeren stationären Endwert über, siehe Kurvenverlauf DC in

Abb. 91.4. In Abb. 91.3b wird der Leistungshalbleiter mit ei-

R

D 1

C
th KU

.# J # U/ . R thJG

R th GK/

(91.2)

Pv
nem Impulsstrom der Größe 2 i 0 und dem Tastgrad 1=2, also
dem gleichen arithmetischen Mittelwert i

Zweckmäßigerweise setzt man in dieser Formel die „ungüns-

0 wie bei Gleichstrom
nach Abb. 91.3a, betrieben. Der Kurvenverlauf von #
tigsten“ Werte ein und erhält den größten möglichen Wärmewi-

JG zeigt,
dass sein Maximalwert den Wert aus Abb. 91.3a pro Periode
derstand des Kühlkörpers, der aus Sicherheitsgründen um 10 bis
zeitweise wesentlich überschreitet. Die Größe des Scheitel-

20 % unterschritten werden sollte:

wertes hängt ab vom Tastgrad und der Stromflussdauer. Die

Kurvenschar im Abb. 91.4 stellt den transienten inneren Wär-

R

C
th KU.max/ D

1

.# J # U.max// . R thJG R thGK/ (91.3)

P
mewiderstand Z
v.max/
th JGt in Abhängigkeit vom Stromflusswinkel
dar: D 0 ! kein Stromfluss; D 180 ! Tastgrad 1=2;

Andererseits kann ein vorhandener Kühlkörper auf seine Eig-
nung überprüft werden, wenn man die vorhandenen Werte in

(91.1b) einsetzt und damit die sich ergebende Kristalltemperatur
berechnet. Auch hier ist ein Sicherheitszuschlag bei der Umge-
bungstemperatur sinnvoll.

In Abb. 91.2 sind die in Abb. 91.1 eingezeichneten Wärme-
widerstände und Temperaturen am Schema eines auf einem

Kühlkörper montierten Halbleiters gezeigt. Die zusätzlich skiz-

Teil
zierten Kapazitäten werden im nächsten Kapitel beschrieben.

XII

91.3.2

Dynamisches Verhalten

Bisher wurde angenommen, dass der Leistungshalbleiter mit

Gleichspannung betrieben wird und thermisch der einge-

Abb. 91.4 Transienter innerer Wärmewiderstand Zth JGt als Funktion der Zeit
schwungene Zustand vorliegt. Die in Abb. 91.2 eingezeichneten
und des Stromflusswinkels

91.4

Ansteuerschaltungen

1115

Tab. 91.2 Typische Werte für Wärmewiderstände
hat. Die erwärmte Flüssigkeit kann eine hohe Fließgeschwin-

Gehäuse-

Wärmewiderstand in K=W
digkeit haben, und sie wird zu entfernten Orten geleitet,
bauform
wo sie ausreichend schnell abgekühlt werden kann. Auch

R th JG

R th GU
die Siedekühlung wird angewendet, bei der ein wesentlicher

Selbstküh- Fremdkühlung

Flüssigkeits-
lung Luft

Luft (Gebläse)

kühlung

Anteil der Wärmeabfuhr durch das Verdampfen einer Flüs-

Schraubzellen

2,5 . . . 0,8

5,0 . . . 1,0

2,0 . . . 0,4

0,08
sigkeit entsteht. Der Dampf kondensiert an einer weiter vom

Scheibenzellen 0,1 . . . 0,03 0,5 . . . 0,2

0,4 . . . 0,08

0,02

Halbleiter entfernten kühleren und für das Kondensieren gut
geeigneten Stelle, und die Flüssigkeit wird dem Kreislauf
erneut zugeführt ( Wärmerohrkühler, „ heat pipes“). Es gibt

D
einige geeignete Flüssigkeiten mit Siedepunkten zwischen

360 ! Gleichstrom. Das Diagramm ist dann praktisch,
etwa 40 und 100 °C. Die Hersteller geben einen Wärmewi-
wenn der Stromflusswinkel einen konstanten Wert hat (weni-
derstand R
ger häufig) oder in gegebenen Grenzen variabel ist. Dann wählt
th KU oder R th GU an, der das gesamte Kühlsystem
umfasst und eventuelle Vormontagen berücksichtigt.

man den größten Stromflusswinkel zur Festlegung des Wärme-
widerstandes. Aus Abb. 91.4 lässt sich auch ablesen, welchen

Einfluss die Periodendauer der Stromimpulse auf Z th JGt hat: bis

91.4

Ansteuerschaltungen

20 ms gilt der Ersatzwert für 20 ms (entspricht 50 Hz oder mehr,

Anwendung 50-Hz-Energieversorgungsnetz), ab etwa 1,5 s der
stationäre Endwert.

91.4.1

Ansteuerschaltungen allgemein

In gleicher Weise wird ein zeitabhängiger transienter äu-
ßerer Wärmewiderstand Z th GUt definiert, der sich durch den

Unter Ansteuerschaltungen werden hier elektronische Schal-
verwendeten Kühlkörper ergibt. Sein Verlauf entspricht dem
tungen verstanden, die am Ausgang ein Signal zur Verfügung
aus Abb. 91.4, der stationäre Endwert wird aber erst nach
stellen, mit denen Leistungshalbleiter direkt am Gate bzw. an

(10 . . . 1000) s erreicht. Häufig ist ein Diagramm nach Abb. 91.4
der Basis angesteuert werden können.

auch im Datenblatt für den Kühlkörper abgebildet, sodass für

Für die Ansteuerschaltungen ist die folgende Unterteilung nütz-
den aktuellen Anwendungsfall der Wärmewiderstand bestimmt
lich:

und in (91.1b) eingesetzt werden kann.

1. Die eigentliche Ansteuerschaltung für den Einsatz bei Fre-

Tab. 91.2 zeigt typische Werte für Wärmewiderstände. Dass
quenzen < 1 kHz.

R th GU angegeben ist, liegt daran, dass Hersteller von Leistungs- 2. Die eigentliche Ansteuerschaltung für den Einsatz bei Fre-
halbleitern vorgefertigte Kühlmodule liefern können, die sie für
quenzen im KHz- und unteren MHz-Bereich.

einen minimalen Wärmewiderstand optimiert haben und für die

3. Die elektrische und mechanische Integration der Ansteuer-
sie dann den resultierenden Wärmewiderstand R th GU angeben

.

schaltung in den Leistungsteil.

R

D

C
th GU

R th GK

R th KU/.

Für alle 3 Punkte gilt generell: Die Ansteuerung sollte mit

Selbstkühlung: Diese Art der Kühlung liegt vor, wenn der
speziell entwickelten optimierten Integrierten Schaltungen er-

(die) Leistungshalbleiter auf einem Kühlkörper montiert ist
folgen. Diese berücksichtigen, dass Spannungen und Ströme

(sind) und die Wärme darüber an die Umgebung abgeführt
vorgegebene Verläufe in Abhängigkeit von der Zeit besitzen und
wird.

vorhandene Grenzwerte nicht über- bzw. unterschreiten. Und sie

Fremdkühlung: Hier sorgt ein zusätzliches Element am Kühl-
bieten auch, je nach Modell, nützliche Zusatzfunktionen.

körper, meist in Form eines Gebläses, für einen erhöhten

Luftstrom und damit für eine vergrößerte Wärmeabfuhr, was

Zu Punkt 1: Die Ansteuerung kann i. Allg. mit Integrierten
sich rein formal in der Verringerung des Widerstandes R th KU

Schaltungen ohne zusätzliche weitere Optimierungsmaßnahmen
niederschlägt. Wie effektiv ein Gebläse ist, hängt wesentlich
erfolgen.

ab von seiner Drehzahl, seiner Flügelform, seinem Rotor-

Zu Punkt 2: Die Ansteuerung muss evtl. noch optimiert werden.

Durchmesser und seiner Ausrichtung zum Kühlkörper. Zur

Es sei an die Ansteuerschaltung in Abb. 90.19 erinnert, bei der

Einschätzung der Wirksamkeit ist Erfahrung notwendig, oder
eine Möglichkeit zur Ansteuersignal-Optimierung gezeigt ist.

es sind Messungen am fertigen Objekt erforderlich. Die Her-

Allgemein sollten die von den Halbleiterherstellern herausgege-
steller geben häufig die pro Stunde geförderte Luftmenge des
benen Applikationsberichte unbedingt zu Rate gezogen werden.

Gebläses an, ein Wert, der sich nur schwerlich in eine Abnah-
me des Kühlkörper-Wärmewiderstandes umrechnen lässt.

Zu Punkt 3: Die Ansteuerschaltungen benötigen eine Ener-

Hier haben sich temperaturabhängige Widerstände, montiert
gieversorgung, in der Regel eine galvanische Trennung zur
direkt am Halbleitergehäuse oder nahe neben dem Halbleiter

Befehlseingabe und eine elektrische Verbindung zwischen
auf dem Kühlkörper, bewährt.

Ansteuer- und Lastkreis.

XII

Flüssigkeitskühlung: Die entstehende Wärme wird von einer

Die gesamte Ansteuerung setzt sich i. d. R. aus vier Baugruppen
vorbeiströmenden Flüssigkeit (z. B. Wasser) aufgenommen
zusammen:

Teil
und anschließend an die Umgebung abgegeben. Hierbei wird
ausgenutzt, dass die vorbeiströmende Flüssigkeit eine ho-

1. Externes Steuergerät oder Befehlseingabe, z. B. Rechner,
he Wärmekapazität und einen kleinen Wärmewiderstand

Ablaufsteuerung, Bedienelemente, Notauslöser. Die ausge-

Halbleitergehäuse-Flüssigkeit bzw. Kühlkörper-Flüssigkeit
gebenen Signale liegen häufig als Digitalsignal vor mit den

1116

91 Einsatz von Leistungshalbleitern als Schalter
zwei Logikpegeln 5 V und 0 V. Die Frequenz liegt bei mehr

(Basis und Emitter bzw. Gate und Kathode) erfordern besonde-
als 10 MHz und ist damit für die Anwendungen in der Leis-
re Aufmerksamkeit. Der Einsatz eines Integrierten Bausteines
tungselektronik ausreichend.

ist von Vorteil, weil die angesprochenen Leitungen sehr kurz

2. Galvanische Trennung. Ein Potentialunterschied von bis zu
gehalten werden können, auf ganzer Länge verdrillbar sind

400 V ermöglicht die Verwendung von Optokopplern. Sie
und der kompakte und symmetrische Aufbau die elektrische
werden als Integrierter Baustein in einem 6-poligen Dual-In-

Einstreuung von Störgrößen minimiert. Ihre Amplituden stei-

Line-Gehäuse gefertigt und enthalten intern eine Leuchtdi-
gen mit steigenden Amplituden von geschalteter Spannung und
ode (LED) und einen Fototransistor oder eine Fotodiode. Es
geschaltetem Strom, siehe dazu auch Teil X „Messtechnik“,
gibt sie auch mit VDE-Zulassung. Für Spannungen > 400 V Kap. 82 „Messdatenaufbereitung“, Abschn. 82.1 „Verringerung
bieten sich Lichtleiter an mit der Impulseingabe über eine
der Störeinflüsse von außen“. Somit gelangt die optimale Si-

Laserdiode und der Impulsabnahme über eine Fotodiode.

gnalform der Ansteuerschaltung nahezu unverändert auf den

Der eigentliche Lichtleiter kann der geforderten Potential-

Steuereingang des Leistungshalbleiters.

trennung durch seine Länge angepasst werden. Optokoppler

Die Ansteuersignale sind keine Digitalsignale, sie haben viel-
und Lichtleiter benötigen auf der Empfängerseite meist noch
mehr Analogcharakter. Optokoppler bzw. Lichtleiter sind für
eine Impulsaufbereitung.

die Übertragung von Analogsignalen nicht optimal ausgelegt

3. Stromversorgung für den Ansteuerbaustein. Die Stromver-
bzw. nicht geeignet, ihre Übertragungsgeschwindigkeit für Di-
sorgung muss i. d. R. eine Spannung im Bereich (15 . . . 30) V
gitalsignale ist aber allemal ausreichend. Insofern sollte die
und einen Strom von (1 . . . 10) A zur Verfügung stellen. Das
galvanische Trennung so verwirklicht werden, dass entweder
kann über einen Netztransformator, ausgeführt als Trenn-
der Bezugspunkt der Ansteuerschaltung auf dem Potential vom
transformator, aus dem 230-V-Wechselstromnetz erfolgen.

Emitter bzw. von der Kathode bzw. vom Source-Anschluss des

Je höher die Potentialdifferenz ist, desto aufwändiger wer-

Leistungshalbleiters liegt und die Potentialtrennung vor den
den die Transformatoren. Man kann die Versorgung aber

Eingang der Ansteuerschaltung platziert wird, oder bei niedri-
auch aus demjenigen Netz entnehmen, das die Last speist.

gen Potentialunterschieden von maximal 400 V ein Netztrans-

Die Spannung muss dann nur auf den erforderlichen Wert
formator als Trenntransformator die Netzspannung von 230 V

(15 . . . 30) V herabgesetzt werden. Die galvanische Tren-
auf (15 . . . 30) V für die Energieversorgung der Ansteuerschal-
nung ist an dieser Stelle nicht erforderlich. Woher die Strom-
tung heruntertransformiert.

versorgung auch bezogen wird, es muss sichergestellt sein,
dass sie für den Ansteuerbaustein gepuffert ist, damit dieser
bei einem wo auch immer auftretenden Fehler (Speisekreis,

Lastkreis, . . . ) noch die Möglichkeit hat, dringend erforder-

91.4.2

Ansteuersignale für Bipolartransistoren
liche Schaltfunktionen durchzuführen.

4. Eigentliche Ansteuerschaltung und ihr elektrischer An-
schluss an den Leistungshalbleiter. Hier sollen die Proble-

Für einen Bipolartransistor im gesperrten Zustand sind der
me beim Anschluss der Ansteuerschaltung an den Leis-

Basisstrom, die Basis-Emitter-Spannung und damit die bereit-
tungshalbleiter dargestellt werden. Folgende Näherungswer-
zustellende Leistung Null. Soll er dagegen leiten, ist ein Strom
te werden den Berechnungen zu Grunde gelegt: 10 cm

IB in die Basis einzuspeisen, dessen Größe sich zu

Cu-Verbindungsleitung haben einen Widerstand von etwa

2,2 m( (1 mm Durchmesser) bzw. etwa 0,09 m( (5 mm

I D

D

B
m IC max

IB.on/

(91.4)

B

Durchmesser) und eine Induktivität von etwa 0,1 µH (Wert
min
soll hier durchmesserunabhängig sein). Der sog. Masse-
ergibt (Erläuterungen siehe Text).

anschluss des Ansteuerbausteines muss direkt an den An-

I
schluss Emitter bzw. Source bzw. Kathode des Leistungs-
cmax ist der maximal mögliche Kollektorstrom, der bei mini-
maler Lastimpedanz und bei maximaler Spannung (Scheitel-
halbleiters angeschlossen werden. Schließt man ihn z. B.

wert der den Lastkreis speisenden Spannung) auftritt. Für die

10 cm vom Anschluss Emitter bzw. Source bzw. Katho-

Großsignal-Stromverstärkung B. h
de des Leistungshalbleiters an die Zuleitung zum Halb-

21/ ist der kleinste mögliche

Wert, B
leiter an, addiert sich der Spannungsabfall auf der Zulei-
min , einzusetzen, da B sehr großen Exemplarstreuungen
unterliegt und auch vom Kollektorstrom und der Temperatur ab-
tung zum Ansteuersignal des Leistungshalbleiters. Aller-
hängt. Zusätzlich führt man noch einen Sicherheitsfaktor m ein,
dings liegt der Wert wegen des großen Leiterquerschnittes
der im Bereich 1,2 bis 2 liegt. Der so bestimmte Basisstrom
im unteren mV-Bereich. Kritischer sind die 10 cm Leitungs-
sollte nicht unterschritten werden, da andernfalls die Kollektor-
länge beim Schaltvorgang. Werden z. B. 100 A innerhalb

T

Emitter-Restspannung U CE sat u. U. nicht ihren Minimalwert
eil

500 ns geschaltet, ergibt sich eine Spannung von u D L
di
erreicht und als Folge davon die Temperatur im Transistor auf

0;1 H 100 A 20 V. Diese Spannung überlagert sich
dt

500 ns
unzulässige Werte ansteigt. Diese Art der Ansteuerung hat aller-

XII
der Ansteuerspannung des Leistungshalbleiters während des
dings den Nachteil, dass in der Regel ein zu großer Basisstrom

Umschaltvorganges und beeinflusst ihn wesentlich. Dazu
fließt, was wiederum die Ausschaltzeit verlängert und dadurch
kommen noch die Auswirkungen des Miller-Effektes, siehe
eventuell die Betriebsweise beeinträchtigt.

Abschn. 90.3 „Feldeffekttransistoren“.

Die genannten Probleme lassen sich durch den Einsatz spezi-

Die elektrischen Verbindungsleitungen zwischen dem Ausgang
eller integrierter Schaltkreise lösen, die für bestimmte Anwen-
des Ansteuerbausteines und den Anschlüssen Gate und Source
dungsfälle optimiert sind. Ihre prinzipielle Wirkungsweise soll

91.4

Ansteuerschaltungen

1117
heit F3 ausgewertet und führt beim Erreichen eines kritischen

Wertes zum dauernden Sperren des Transistors. Über die Funk-
tionseinheit F4 können Grenzwerte für die Einschalt- bzw.

Ausschalt-Dauer vorgegeben werden. F5 erfasst die Tempera-
tur des Transistorkühlkörpers. Die Steuereinheit F6 wertet die
eingehenden Informationen aus und stellt den Basisstrom iB ent-
sprechend ein. Über den Eingang E1 werden die Steuersignale
zum Ein- bzw. Ausschalten des Transistors einer Anpassschal-
tung zur Pegelanpassung, F7, zugeführt. F8 schließlich erzeugt
die Versorgungsspannung für die Steuerschaltung.

Abb. 91.5 Verlauf eines optimierten Basisstromes für einen Leistungstransistor

Es gibt Ansteuerschaltungen, die den Widerstand RM nicht er-
fordern. Die Überwachung des Stromgrenzwertes erfolgt dann
in der Funktionseinheit F1: Steigender Laststrom bedeutet eine
anhand der Abb. 91.5 und 91.6 erläutert werden. Der Basisstrom
zwar geringe aber auswertbare Zunahme der Kollektor-Emitter-
iB von Leistungstransistoren hat den in Abb. 91.5 dargestell-

Restspannung U CE sat, sodass durch deren Überwachung ein
ten Verlauf. Zum Übergang vom sperrenden in den leitenden
vorgegebener Stromgrenzwert erkannt wird und der Transistor

Zustand wird zunächst ein Strom i

B
iB.on/ nach (91.4) ein- gesperrt werden kann.

gespeist, um eine kurze Einschaltzeit zu erhalten. Anschließend

Eine galvanische Trennung von Steuer- und Lastkreis geschieht
wird der Basisstrom auf den minimal erforderlichen aktuellen
hier sinnvollerweise dadurch, dass man die zur Ansteuerung an

Wert . Ic/=. B/ verringert, damit keine überflüssigen Ladungen E1 anzulegenden Digitalsignale bereits über Optokoppler oder
in der Basis gespeichert werden. Das setzt eine Überwachung

Lichtleiter zuführt und die eigentliche Steuerschaltung elek-
der Kollektor-Emitter-Restspannung U CE sat voraus, und das ge-
trisch mit dem Leistungstransistor verbindet.

schieht in der Funktionseinheit F1 in Abb. 91.6. Mit Beginn des

Ausschaltvorganges wird ein Strom aus der Basis herausgeführt,
der betragsmäßig größer ist als der im Leitzustand eingeprägte

91.4.3

Ansteuersignale für

Strom . Ic/=. B/, um die gespeicherten Ladungen so schnell wie
möglich auszuräumen. Steigt die Spannung zwischen Basis und

Feldeffekttransistoren und IGBT

Emitter in negativer Richtung merklich an, muss der Stromfluss
unterbrochen werden, Funktionseinheit F2. Die über dem Wi-

Im Prinzip benötigen Feldeffekttransistoren keine Steuerleis-
derstand RM anstehende Spannung ist dem durch den Transistor
tung am Gate. Durch die Parallelschaltung von bis zu 1000
fließenden Strom proportional. Sie wird in der Funktionsein-

Einzeltransistoren zu einem „Gesamt“-Leistungstransistor ent-

XII

Teil

Abb. 91.6 Blockschaltplan einer Steuerschaltung zur Erzeugung des optimalen Basisstromes nach Abb. 91.5

1118

91 Einsatz von Leistungshalbleitern als Schalter
steht aber zwischen Gate und Source eine Kapazität von bis
zu 10 nF (häufiger Wert, auch > 50 nF möglich; Datenblatt!),
die innerhalb einer Zeit von weniger als 1 µs von etwa 0 V
auf (12 . . . 15) V und umgekehrt umgeladen werden muss. Eine

Überschlagsrechnung liefert: Ein Feldeffekttransistor hat 10 nF

Gate-Source-Kapazität und soll in 100 ns von 12 auf 0 V umge-
laden werden. Dann fließt ein Strom von i D C duC D 10 nF
dt

12 V D 1;2 A. Diesen Strom muss die Ansteuerschaltung bei je-

100 ns
dem Umschaltvorgang für etwa 100 ns liefern, und damit muss
ihr Innenwiderstand
1 ( sein. Auch hier sollte man für die

Ansteuerung speziell entwickelte Schaltungen einsetzen. Mit

Abb. 91.7 Leistungsthyristor mit Transistor-Zündstufe
derartigen Bausteinen können beispielsweise folgende Werte er-
reicht werden: Bei einer Lastkapazität (Gate-Source-Kapazität)

von 10 nF steht ein Spitzenstrom für den Umladevorgang von

(10 . . . 500) µs. Bei induktiver Last muss diese Mindestdauer

6 A zur Verfügung, die Anstiegs- und Abfallzeiten betragen
u.U. soweit verlängert werden, bis der dynamische Halte-
maximal 80 ns, die Verzögerungszeit zwischen Eingangs- und
strom (Einraststrom) sicher erreicht ist.

Ausgangssignal liegt bei 40 ns. Legt man an den Eingang die-

3. Der Anstieg des Gatestromes pro Zeiteinheit soll so groß
ser Ansteuer-Bausteine 5 V, wird der Leistungstransistor in den
wie möglich sein, um ein schnelles ganzflächiges Zünden der

Ein-Zustand gesteuert, bei 0 V schaltet er aus. Die Ansteuerung

Sperrschicht zu erreichen. So schreiben die meisten Herstel-
kann also durch digitale Logikschaltungen erfolgen. Die Bau-
ler Werte diG= dt > 1 A=µs vor.

steine selbst benötigen eine Versorgungsspannung im Bereich

4. Eine Beanspruchung der Gate-Kathoden-Strecke in Sperr-

(15 . . . 30) V. Sie sind sinnvollerweise (siehe Punkt 4.1 oben)

richtung von weniger als 5 V ist nicht zulässig.

mit dem Leistungstransistor elektrisch verbunden. Durch den

5. Während des Betriebes in Rückwärtsrichtung dürfen Steuer-

Einsatz von Optokopplern kann eine galvanische Trennung zum
impulse am Gate, gleich welcher Polarität, nicht auftreten.

Digital-Eingang des Ansteuerkreises erreicht werden. Ist die Be-
triebsfrequenz der Transistoren niedrig, z. B. 50 Hz, genügt es

Eine häufig verwendete Zündstufe zeigt Abb. 91.7. Durch Anle-
in der Regel, das Gate mit einem Rechteckimpuls anzusteu-
gen einer Spannung uz schaltet der Transistor durch, und in das
ern, wenn man die Umladung der Gate-Source-Kapazität durch

Gate fließt ein Strom iG von näherungsweise
einen Treiberbaustein mit den oben genannten Eigenschaften

(Innenwiderstand
1 (, Umladestrom bis 2 A möglich) be-
i

UB

G

(91.5)

treibt. Wird der Transistor dagegen bei Frequenzen > 1 kHz

R C
i

R
betrieben, muss das Gate-Ansteuersignal evtl. noch optimiert
werden, siehe Abb. 90.19. Es kann sinnvoll sein, das Gatesi-

Ri Innenwiderstand der speisenden Quelle.

gnal zum Sperren, zumindest für den Übergang vom Leiten

Durch Reihenschaltung von R wird ein geeigneter Wert für
zum Sperren, nicht nur zu 0 V, sondern negativ zu wählen, so-
iG eingestellt. Der Spannungsteiler aus R 1 und R 2 dient der
weit das von der Transistorphysik her zulässig ist (Anhaltswert:

Erhöhung der Störsicherheit. Je geringer der Wert von R 2

U GS > 5 V, genauer Wert siehe Datenblatt). Der Grund da- ist, desto weniger können Störimpulse zu unerwünschter Zün-
für ist, dass beim Ausschalten die Drain-Source-Spannung von
dung des Thyristors führen. Der Spannungsteiler R 1, R 2 ist so
nahezu 0 V auf die Betriebsspannung des geschalteten Elemen-
zu bemessen, dass bei gegebenem uz ein zum Durchschalten
tes ansteigt und sich dieser positive Impuls über die Drain-Gate
des Transistors ausreichender Basisstrom fließt. Eine galvani-

Kapazität, verstärkt mit dem Miller-Effekt, auf das Gate über-
sche Trennung zwischen Ansteuerkreis und Thyristor lässt sich
trägt und damit dem Ausschaltvorgang entgegenwirkt, Auch aus
durch einen Transformator erreichen (Abb. 91.8). Er arbeitet
diesem Grund ist der Innenwiderstand des Ansteuer-Bausteines
nahezu im sekundärseitigen Kurzschluss. Mit dem Widerstand

1 ( zu realisieren.

R 1 wird der Gatestrom eingestellt. R 2 und V2 ermöglichen
den Stromfluss nach Abschalten des Transistors (Transformator
hat induktive Komponente; V2 als „Freilaufdiode“). V1 sorgt

91.4.4

Ansteuersignale für Thyristoren
dafür, dass die Gatespannung nicht negativ wird. Der Trans-
formator arbeitet als Impulsübertrager. Bei rechteckförmiger

Basis-Emitter-Spannung uz am Transistor ergibt sich auf der Se-

T

Zur Zündung von Thyristoren reichen im Allgemeinen kurze
kundärseite des Transformators ein Gatestrom gemäß Abb. 91.9.

eil

Stromimpulse aus, die in das Gate eingespeist werden. Für ihren

Die Steilheit des Stromanstieges wird durch die Zeitkonstante
zeitlichen Verlauf und ihre Amplituden gelten folgende Anfor-

XII

derungen:

e erfasst:

1. Nach Abb. 90.27 müssen der Gatestrom bzw. die Gatespan-

L

T

D

e

(91.6)

nung so groß gewählt werden, dass man sich im Bereich III
e

R C

C

1

Ri

RW

2
befindet, d. h. im Bereich sicherer Zündung.

2. Für die Mindestdauer des Zündimpulses gibt der Her-

L Streuinduktivität des Transformators, Rw Transformator-
steller entsprechende Werte an; sie liegen im Bereich

Wicklungswiderstand, Ri Innenwiderstand der Spannungsquelle

91.4

Ansteuerschaltungen

1119

Abb. 91.8 Leistungsthyristor mit Transistor-Zündstufe und Impulsübertrager
zur galvanischen Trennung

Abb. 91.11 Verlauf des Gatestromes beim GTO-Thyristor, Zünd- und Löschvor-
gang
dargestellt ist. Die Spannungsquelle mit der Spannung UB muss
potenzialfrei bereitgestellt werden. Das kann beispielsweise
durch einen Transformator geschehen, dessen Sekundärspan-
nung gleichgerichtet und stabilisiert wird. Neben ausreichender

Abb. 91.9 Zeitlicher Verlauf des Gatestromes bei Ansteuerung durch eine

Spannungsfestigkeit werden keine weiteren Forderungen an

Zündstufe nach Abb. 91.8
ihn gestellt. Die galvanische Trennung vom Zündsignal wird
durch den Optokoppler erreicht. Diese Schaltung hat damit den

Vorteil, dass Gateströme einstellbarer Amplitude (über R bei ge-

UB, sekundärseitige Größen auf die Primärseite umgerechnet, Te
gebenem R

Anstiegszeit.

i) und beliebiger Dauer zur Verfügung stehen.

Da die untere Grenzfrequenz eines Transformators nicht Null
ist, sinkt der Strom auf der Sekundärseite mit einer Zeitkonstan-

91.4.5

Ansteuersignale für GTO-Thyristoren
ten a gemäß

D LH
a

(91.7)

R ges

Gegenüber einem Steuerteil für Thyristoren muss dasjenige für

GTO-Thyristoren einige Besonderheiten aufweisen:

Darin ist R

C

C
ges die Parallelschaltung von . R 1

Ri

Rw/ mit dem

Widerstand der Gate-Kathoden-Strecke im leitenden Zustand.

1. Der Zündstrom ist prinzipiell höher.

L

2. Zum Löschen ist ein negativer Stromimpuls in das Gate ein-

H ist die Hauptinduktivität des Transformators. Der Transfor-
mator hat das Übersetzungsverhältnis 1 W 1.

zuspeisen. Sein Amplitudenwert liegt bei 1=3 bis 1=5 der

Amplitude des fließenden Anodenstromes.

Um den Mindeststrom i GT für die gesamte Dauer T des Zünd- 3. Um ein vorzeitiges Löschen bei geringen Lastströmen zu
impulses bereitzustellen, ist zu Beginn des Zündvorganges ein
verhindern, ist es häufig notwendig, einen Dauerstrom in das
höherer Wert einzuspeisen.

Gate einzuspeisen.

Übersteigt der Potentialunterschied zwischen Primär-und Se-

Aus Punkt 3 folgt, dass die Verwendung eines Impulsübertra-
kundärwicklung etwa 600 V, steigt durch den erforderlichen
gers nicht ohne weiteres möglich ist. Der typische Gatestrom-
größeren Abstand zwischen beiden Wicklungen die Streuinduk-
verlauf besteht aus iG 1 und iG 2 und hat einen Verlauf wie in
tivität L . Damit sinkt die Steilheit des Stromanstieges auf Werte Abb. 91.11 dargestellt. Er wird im Steuerteil durch zwei Span-

< 1 A=µs. Man wählt deshalb ein Konzept, wie es in Abb. 91.10 nungsquellen erzeugt, Abb. 91.12.

Zum Zünden wird zunächst ein Gatestrom i Gm mit ausreichen-
der Amplitude und Dauer erzeugt, anschließend wird er auf
einen Dauerstrom i GD verringert. Zum Löschen speist man einen
negativen Gatestrom ein. Dabei geht die Gate-Kathoden-Strecke
bereits in den Sperrzustand über, bevor der Thyristor vollständig
sperrt. Zu diesem Zeitpunkt zieht die Induktivität L durch ihre

XII

Induktionsspannung weiterhin Strom aus dem Gate, wobei die

Gate-Kathoden-Strecke für einige Mikrosekunden durchbricht.

Durch diese Stromflussverlängerung wird der GTO-Thyristor

Teil
sicher gesperrt.

Abb. 91.10 Leistungsthyristor mit Transistor-Zündstufe und Optokoppler zur

Abb. 91.12 zeigt auch, wie die Potentialtrennung zwischen dem
galvanischen Trennung

Steuerteil und der Ansteuerung des GTO-Thyristors erreicht

1120

91 Einsatz von Leistungshalbleitern als Schalter

Abb. 91.12 Blockschaltplan einer Ansteuerschaltung zur Erzeugung des Stromverlaufes nach Abb. 91.11 mit galvanischer Trennung zwischen Steuer- und Leistungsteil
wird. Die eigentlichen Steuersignale werden über Optokoppler

Schaltvorgänge, atmosphärische Störungen, elektrische Über-
übertragen, zwei Transformatoren sorgen für eine potenzialfreie
schläge oder induktive Kopplungen entstehen. Um eine Be-

Bereitstellung der Versorgungsspannung beider Funktionsein-
schädigung der Halbleiter durch diese äußeren Überspannungen
heiten.

zu verhindern, wird neben der Schutzschaltung gegen inne-
re Überspannungen eine zweite gegen äußere Überspannungen
eingesetzt. Im allgemeinen schützen die hier vorgestellten Maß-

91.5

Schutzschaltungen
nahmen den gesamten Schaltungsaufbau „hinter“ der Schutz-
schaltung. Ein wirksamer Überspannungsschutz ist nach dem

Prinzip einer zeitlichen Staffelung aufgebaut. Zunächst spre-

Der Zweck von Überspannungs- und Überstrom-Schutz ist,
chen Schutzelemente an, die sehr schnell reagieren (Bereich

Spannungen und Ströme oberhalb eines Grenzwertes auf einen
einige ns), aber ein geringes Energieabsorptionsvermögen ha-
zulässigen Wert zu reduzieren oder zu Null zu erzwingen.

ben [3]. Sie werden vor ihrer Zerstörung durch Überhitzung

Der Grund ist, dass die zu hohen Werte Geräte, Verbraucher,
durch Elemente mit verzögerter Ansprechzeit (Bereich unte-
elektronische Schaltungen und dgl. beschädigen (könnten). Die
rer µs-Bereich) und mit erhöhter Energieabsorption abgelöst

– theoretische – Idee, durch entsprechende Widerstände und

[6]. Bevor diese Elemente zerstört werden, trennt ein weite-

Reihen- bzw. Parallelschaltung zu den gefährdeten Teilen die zu
res letztes Element mit der höchsten Ansprechzeit (ms- bis s-
hohen Werte zu reduzieren oder umzuleiten, scheitert an zwei

Bereich) den gefährdeten Kreis endgültig von der Überspan-

Dingen. 1. Die Überspannungen und Überströme treten oft in-
nung ([9] und Text zu Abb. 91.15). Dieses Element schaltet
nerhalb von ns bis µs auf, und die zu schützenden Elemente
sicher ab: Schmelzsicherung mit angepasster Auslösecharakte-
können innerhalb dieser Zeit bereits zerstört werden, und 2. die
ristik, im Kleinleistungsbereich evtl. auch Sicherungsautomaten

„Vernichtung“ der zu hohen Spannungen bzw. Ströme erfor-

(ermöglichen mehrfaches Abschalten). Ein Problem beim Über-
dert Absorber mit evtl. sehr großer Energieaufnahme. Daraus
spannungsschutz ist, dass nur sehr wenig über Dauer und Form
folgt das Grundprinzip der Schutzschaltungen: Erkennen des
der Störgrößen bekannt ist. Die Erfahrung zeigt, dass Störungen
kritischen Zustandes innerhalb von ns, (nahezu) „unverzögerter“
häufig entweder sehr kurzzeitig auftreten (unterer µs-Bereich

Energieabbau mit kleinen preiswerten zuverlässigen Elementen
bis unterer ms-Bereich, z. B. durch Schaltvorgänge) oder län-
ohne deren Zerstörung solange, bis ein für solche Fälle opti-
gerfristig (ab einigen Millisekunden, z. B. Beschädigung der
miertes Organ mit konstruktionsbedingter höherer Reaktionszeit

Last). Insofern hat sich die genannte Staffelung in der Praxis

(Verzögerungszeit) eine Totalabschaltung vornimmt.

bewährt: Häufig auftretende, sehr kurzzeitige, Überspannungen
werden durch Energievernichtung begrenzt, und die angeschlos-
sene Schaltung (Last) bleibt weiter funktionsfähig. Tritt die

Teil

91.5.1

Überspannungsschutz

Überspannung für längere Zeiträume auf (ab mittlerer ms-Be-
reich), liegt ein kritischer Störfall vor, der die Funktionsfähigkeit

XII
des angeschlossenen Systems nicht mehr sicherstellt und die

Die bisher betrachteten Überspannungen wurden durch den

Abschaltung eine zwingend notwendige Maßnahme ist. Für den

Einsatz der Leistungshalbleiter selbst, d. h. „im Innern“, hervor-

Fall des endgültigen Abtrennens wird letztlich das Auslösen der
gerufen (z. B. Trägerspeichereffekt, Reihenschaltung mehrerer
vorgeschalteten Sicherung vorausgesetzt. Dazu ein wichtiger

Halbleiter). Daneben können auch von außen erzeugte Über-

Hinweis: Beim Ersetzen der Sicherung ist unbedingt darauf zu
spannungen über das speisende Wechsel- oder Gleichstrom-
achten, nur solche mit den vom Entwickler der Schutzeinrich-

Netz auf die Halbleiter einwirken, die z. B. durch externe
tung vorgegebenen Werten (Auslösestrom, Auslösecharakteris-

91.5

Schutzschaltungen

1121
oder in Kombination einsetzen. Die Sicherung ist wiederum das

Element, dass den Stromkreis unterbricht, bevor bei anstehender
länger andauernder Überspannung die eingesetzten Überspan-
nungselemente durch Überhitzung Schaden nehmen und die

Überspannung nicht weiter abbauen können.

Abb. 91.13 Schutzbeschaltung gegen äußere Überspannungen, Teil 1

Der Kondensator C 1 und die Spule L zusammen dienen dazu,

Überspannungen und Oberschwingungen, die im Verbrau-
tik) einzusetzen, weil diese Werte für den Überspannungsschutz
cher erzeugt worden sind, zu verringern, bevor sie in das Netz
optimal ausgesucht worden sind! Abb. 91.13 zeigt ein Beispiel
gelangen.

zum Überspannungsschutz. Die Z-Dioden V1 und V2 besit-

Die Spule L verlangsamt den Strom anstieg auf der Last-
zen eine Durchbruchspannung, die nur geringfügig über dem
seite. Sofern der Spannungsabfall, die Phasenverschiebung

Scheitelwert der Spannung zwischen L1 und L2 liegt. Der bei
und die Wärmeentwicklung nicht von Bedeutung sind, kann

Überspannung auftretende zunehmende Stromfluss durch die-
die Effektivität und die Funktionssicherheit nachfolgender
se Dioden und die Last wird durch die Induktivität L zunächst

Schutzorgane erhöht werden.

soweit verlangsamt, dass entweder die Überspannung abge-

Der Gasableiter GS besteht aus einem gasgefüllten Glasge-
klungen ist, bevor die Dioden zerstört werden, oder bei länger
fäß mit 2 Elektroden. Beim Überschreiten einer über das
andauernder Überspannung die Sicherung Si rechtzeitig den

Gasgemisch vorwählbaren Spannung zünden die Gasablei-

Stromkreis unterbricht. Weiterhin verringert der Ladestrom des
ter. Wird der Strom extern auf Werte
1 A begrenzt, findet

Kondensators C durch den Spannungsabfall an L die Amplitu-
eine Glimmentladung statt (bekannt von der Glimmlampe)

de einer Überspannung. R begrenzt den Kondensatorstrom. Es
und die Spannung wird auf (50 . . . 150) V begrenzt. Dieser
wird vorausgesetzt, dass der Spannungsabfall an L und deren

Effekt ist hier wenig hilfreich. Schließt man dagegen den

Phasenverschiebung die nachfolgende Apparatur nicht wesent-

Gasableiter direkt an die zu überwachende Leitung an, ent-
lich beeinflussen. Die Reaktionszeit (Verzögerungszeit) der Z-
steht bei einem Strom ab etwa 1 A eine Bogenentladung.

Dioden liegt im Bereich einiger µs, die sich durch den Einsatz

Die Spannung, die sich einstellt, kann über das Gasgemisch
von Lawinendioden verkürzen lässt. Das sind Z-Dioden mit sehr
im Bereich (80 . . . 4500) V voreingestellt werden [4], [5].

geringen Reaktionszeiten beim Übergang vom gesperrten in den

Durch die u. U. hohe Wärmeentwicklung muss die Sicherung
leitenden Zustand. Die heute verwendeten CMOS-Bausteine der
den Stromkreis rechtzeitig unterbrechen. Die Ansprechzeit

Nachrichten- und Datentechnik können bereits durch Überspan-
beträgt (1 . . . 2) µs, sie steigt mit steigender Spannungsan-
nungsimpulse von der Dauer einiger ns zerstört werden. Einen
stiegszeit du= dt und sinkender Umgebungstemperatur. Die

Schutz bieten hier die speziell entwickelten Suppressordioden,

Gasableiter dienen als sog. Grobschutz. Nach einer Zün-
auch mit T ransient V oltage S uppressor-Dioden (TVS-Dioden)

dung müssen sie, abhängig vom durchgeflossenen Strom,
oder T ransient A bsorption Z-Dioden (TAZ-Dioden) bezeich-
evtl. ausgetauscht werden. Der für den Hochspannungssektor
net. Sie besitzen eine Verzögerungszeit von einigen ns, haben
vorgesehene Gasableiter SA-xxx-STD hat z. B. folgende Da-
ein vergrößertes Energieabsorptionsvermögen und bei höhe-
ten: Zünd-Gleichspannung max. 7200 V; Ableitstrom 5 kA
ren Strömen eine steilere Kennlinie i D f . u/ als Z-Dioden.

(durchschnittlich 5 Zyklen) bzw. 10 kA (1 Zyklus); An-

Die Durchbruchspannung beträgt maximal einige hundert Volt.

sprechzeit 50 ns; Kapazität 1 pF; Isolationswiderstand 109 (.

Sie werden in uni- und in bipolarer Ausführung gefertigt. Es

Die Hochstromausführung 2063-xx-A weist folgende Wer-
gibt spezielle Suppressordioden, die auch für die Energietech-
te auf: Zünd-Gleichspannung (230 . . . 800) V; Ableitstrom
nik einsetzbar sind: Durchbruchspannung 6 bis 800 V; 600 W

100 kA (1 Zyklus); 60 kA (5 Zyklen). Einzelheiten siehe Da-

Impulsleistung bei einem 10=1000 µs-Impuls (Erklärung siehe
tenblätter [4], [5]).

weiter unten bei den Varistoren); Verzögerungszeit 1 ps. Wei-

Der Kondensator C 2 und die Spule L verringern die Ampli-
tere Einzelheiten siehe [3]. Die Suppressordioden haben die
tuden sehr kurzer Störspannungsimpulse (Tiefpass).

Z-Dioden als Überspannungsschutz abgelöst, das Schaltzeichen

Der Widerstand RV ist ein Varistor (spannungsabhängiger
ist für beide gleich.

Widerstand, VDR-Widerstand, V oltage D ependent R esistor).

Bis zu einer durch die Mischung und den Aufbau vorein-

Eine evtl. mögliche Methode zur Überspannungsbegrenzung
stellbaren Spannung ist der Widerstand sehr groß (100 k(
beim Einsatz von Thyristoren als Schalter besteht darin, diese,
oder größer), darüber hinaus hat er einen sehr kleinen Wi-
sofern sie sperren, beim Überschreiten eines kritischen Span-
derstand (einige (). Die Kennlinie verläuft gemäß i un
nungswertes zwischen Anode und Kathode durch Z-Dioden
mit n D 2 bis n > 30. Bei entsprechendem Aufbau sind
oder Varistoren „notzuzünden“. Die Überspannung tritt damit
sie in der Lage, auch energiereichere Überspannungen zu
an der Last auf, aber diese Variante darf folglich nur dann an-
begrenzen. Allerdings können nur Überspannungen bis zu
gewendet werden, wenn sie dort keinen Schaden verursacht.

einigen µs abgefangen werden. Dazu einige Daten eines

XII

Die vorgeschaltete Sicherung sollte so schnell wie möglich

Varistors mit hoher Energieaufnahme [6], BB-Serie: Ener-
auslösen. Da diese Zündung sehr schnell (Bereich einige Mi-
gieabsorption 10.000 J; Spannungsbereich 1100 bis 2800 V
krosekunden oder weniger) erfolgen muss, verwendet man auch

Teil

(AC), 1400 bis 3500 V (DC); Spitzenstrom 70 kA bei ei-
hier entsprechend schnelle Triggerschaltungen.

nem 8=20 µs-Impuls; 10.000 J bei einer Dauer von 2 ms.

Abb. 91.14 zeigt weitere Möglichkeiten zur Überspannungsbe-

Hinweis: Der 8=20 µs-Impuls ist ein in IEC 61000-4-5 und
grenzung. Die hier gezeigten Maßnahmen lassen sich einzeln

IEC 61643-321 festgelegter „Norm-Test“-Impuls, mit dem

1122

91 Einsatz von Leistungshalbleitern als Schalter

Si

L

ZD

Th

Vom

R

R 2

C

GS

V

Zum

1

Netz

C 2 U

Verbraucher

R 1

C 3

Abb. 91.14 Schutzbeschaltung gegen äußere Überspannungen, Teil 2
auch die Störspannungsfestigkeit von elektrischen Geräten

91.5.2

Überstromschutz
geprüft werden kann. In einer ersten groben Näherung steigt
seine Amplitude in 8 µs (10 µs) nahezu linear auf 100 %,
und in einem abgerundeten Übergang fällt sie ähnlich ei-

Beim Überstromschutz sind zwei Überlastfälle zu unterschei-
ner e-Funktion so ab, dass sie nach 20 µs (1000 µs) seit
den:

Anstiegsbeginn auf 50 % abgefallen ist. Die Werte in Klam-

Fall1: ein Halbleiterstrom, der kurz- oder langzeitig den
mern gelten für den oben angeführten 10=1000 µs-Impuls.

Nenn- bzw. Dauergrenzstrom ( IN bzw. I AVM) um ein Viel-

Je nach externem Aufbau und der Möglichkeit der Wärme-
faches übersteigt, und
abgabe an die Umgebung kann er für einige µs sehr große

Fall2: ein Halbleiterstrom, der den Nenn- bzw. Dauergrenz-

Energien aufnehmen. Seine Ansprechzeit liegt im unteren
strom ( IN bzw. I AVM) nur geringfügig, aber für längere Zeit,
ns-Bereich, er ist also sehr schnell. Damit kann er Überspan-
überschreitet.

nungen fast unverzögert solange abbauen, bis andere trägere

Überspannungsschutzorgane mit der Möglichkeit größerer

In der Hausinstallation sind die Leitungsschutzschalter (Siche-

Energieübernahme oder Abschaltung ansprechen.

rungsautomaten) auf diese zwei Überlastfälle ausgelegt: Ein

Die Schaltung aus R
elektromagnetischer Auslöser erfasst Fall 1, ein thermischer

1, R 2, C 3, ZD und Th bildet eine
sog. Crowbar-Schaltung (engl., Brecheisen). Sobald die zu

Auslöser Fall 2.

überwachende Spannung die Spannung der Z-Diode über-

Zu hohe Ströme in Leistungshalbleitern entstehen u. a. durch
schreitet, beginnt sie zu leiten und speist Strom in das

Überlast oder Beschädigung des Verbrauchers sowie durch

Gate des Thyristors, der daraufhin zündet. Damit wird die

Fehler in den Zuleitungen (Kurzschluss). Weiterhin sind sie

Spannung zu nahezu 0 V erzwungen („kurzgeschlossen“),
möglich durch Ansprechen von Schutzeinrichtungen („Notzün-
eine sehr wirkungsvolle Art des Überspannungsschutzes.

dung“ bei energiereichen Überspannungen oder Ansprechen

Der Thyristor kann auf einem Kühlkörper montiert werden
einer oder mehrerer der in den Abb. 91.13 und 91.14 auf-
und die Leistung solange aufnehmen, bis die Sicherung den
geführten Schutzeinrichtungen). Da die Wärmekapazität von

Stromkreis endgültig unterbricht. Die Ansprechzeit liegt im

Leistungshalbleitern gering ist, müssen superflinke Sicherungen

Bereich (10 . . . 100) µs, ist also relativ groß. Das liegt dar-
zur Überstromabschaltung bei Leistungshalbleitern verwendet
an, dass der Strom durch die Z-Diode ebenfalls in dieser
werden. Maßgebend für die Auswahl einer geeigneten Siche-
zeitlichen Größenordnung ansteigt. Damit wird der Thyristor
rung ist das die Stromwärme erfassende Integral
nicht optimal schnell gezündet. Durch den Einsatz von Lawi-
nendioden kann diese Zeit verkürzt werden. Es gibt deshalb
tA

Z
speziell für diese Anwendung entwickelte Integrierte Schal-

. i
tungen, sog. Watchdogs (engl., Wachhunde). Sie haben eine

K . t//2 dt

(91.8)

eigene Stromversorgung und sehr schnelle Komparatoren.

0

Die Thyristoren werden, wenn bei kritischen Anwendungen

Erläuterungen siehe Text.

gewünscht, dauernd mit einem Strom knapp unterhalb des
minimalen Zündstromes betrieben. Im Schadensfall wird in-

Darin ist iK der die Sicherung durchfließende Strom und tA die
nerhalb von wenigen ns ein Strom von mehreren 100 mA

Zeit bis zum Auslösen der Sicherung. Der Wert, der sich nach
bis zu einigen A für (10 . . . 300) ms in das Gate eingespeist.

(91.8) ergibt, muss stets kleiner sein als das Grenzlastintegral

Teil

Damit zündet der Thyristor sehr schnell und sicher. Die-
des Halbleiters (s. (90.4)). In Abb. 91.15 sind zwei Kennlini-
ses Schaltungsprinzip ist u. a. für Schaltnetzteile entwickelt
en eingetragen. Die mit H1 bezeichnete gibt an, wie lange ein

XII
worden, die aus einer höheren Spannung eine niedrigere er-
bestimmtes Vielfaches des Nenn- bzw. Dauergrenzstromes ( IN
zeugen (Abwärtswandler), und bei denen ein Schadensfall
bzw. I AVM) den Halbleiter durchfließen darf, ohne ihn zu beschä-
mit großer Wahrscheinlichkeit so aussieht, dass die höhere
digen, die andere, mit Si gekennzeichnet, nach welcher Zeit die

Spannung auf die Niederspannungsseite „durchgeschaltet“

Sicherung bei gegebenem Strom schmilzt (Schmelzsicherung).

wird, verursacht durch einen Kurzschluss im Leistungstran-

Der Halbleiterschutz ist um so wirkungsvoller, je größer die
sistor, der in Längsrichtung zwischen Ein- und Ausgang

Differenz beider Kennlinien für steigende Vielfache des Stro-
angeordnet ist.

mes IN bzw. I AVM ist. Damit der Halbleiter im Kurzschlussfall

91.5

Schutzschaltungen

1123
auf der Verbraucherseite nicht durch den großen Strom und die
damit verbundene hohe Stromdichte zerstört wird, muss die in

Abb. 91.14 eingezeichnete Induktivität L verwendet werden:

Der Stromanstieg wird verlangsamt, sodass die kritische Strom-
dichte innerhalb des Halbleiters noch nicht erreicht ist, wenn
die Sicherung aufgrund der Wärmeentwicklung nach (91.8) den

Stromkreis unterbricht.

Auch PTC-Widerstände (Positiv Temperature Coeffizient, Kalt-
leiter) sind einsetzbar. Bis zu einer über die Materialmischung
bestimmbaren Bezugstemperatur T 0 sinkt der Widerstand mit
steigender Temperatur (bis dahin also NTC-Verhalten, Heißlei-
terverhalten), ab T 0 steigt der Widerstand exponentiell so an,
dass bei T C

0

2 °C der Widerstand auf das 103- bis 106-fache
angestiegen ist. Die Widerstandswerte werden auch im unteren

˝-Bereich gefertigt und können dann mit Strömen oberhalb 1 A
beaufschlagt werden. Bei höheren Strömen kann der Einsatz ei-
nes Stromteilers zu Erkennung des zu hohen Stromes eingesetzt
werden. Das nutzbare Zeitfenster liegt im Millisekunden- bis

Abb. 91.15 Überstromschutz. H1 Überstromkennlinie eines Leistungshalblei-
unterem Sekunden-Bereich.

ters, Si Schmelzkennlinie der vorgeschalteten Sicherung

Bei den heute zunehmend verwendeten integrierten Bausteinen
zur Ansteuerung von Leistungshalbleitern sind häufig zwei Zu-
satzschaltungen zur Erhöhung der Betriebssicherheit eingebaut,

Die thermische Überwachungsschaltung bietet einen Schutz vor
s. auch Abschn. 91.4.2. Die eine erfasst laufend die Tempera-

Zerstörung bei nicht zu großer Überlast ( I < .1;2 : : : 2/ IN), die
tur des Kühlkörpers, auf dem der Halbleiter montiert ist, die
über einen längeren Zeitraum (Sekunden bis Minuten) auftritt.

zweite wertet den Strom durch den Halbleiter aus. Überschrei-

Die Stromüberwachung dagegen kann bereits eine beliebige
tet einer der Werte einen vorzuwählenden Grenzwert, wird der

Überlast, die für mindestens (10 . . . 100) µs auftritt, erken-

Halbleiter in den nichtleitenden Zustand gesteuert. Die Kühl-
nen. Dadurch können Transistoren relativ schnell abgeschal-
körpertemperatur wird mit temperaturabhängigen Widerständen
tet werden, bei Thyristoren dagegen ist das erst im nächsten
erfasst, der Strom durch Messen der Spannung an einem mit

Stromnulldurchgang möglich, sofern sie an Wechselspannung
dem Leistungshalbleiter in Reihe liegenden Widerstand. Bei
betrieben werden. Es bleibt zu überlegen, ob nicht eine Lösch-

Transistoren ist auch die Erfassung eines unzulässigen Stroman-
schaltung, wie unter Abschn. 90.5.6 beschrieben, vorgesehen
stieges durch Messen der Kollektor-Emitter-Spannung möglich.

werden sollte.

XII

Teil

Nachrichtentechnik

XIII

XIII Teil

92

Grundlagen der Nachrichtenübertragung . . . . . . . . . . . . . . . 1127

93

Zweitore, Vierpole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147

94

Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1161

95

Antennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193

96

Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203

97

Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229

98

Empfängerschaltungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245

99

Ton- und Bildübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249

100

Mehrfachübertragung – Multiplexverfahren . . . . . . . . . . . . . 1257

101

Richtfunktechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1261

102

Nachrichtenübertragung über Satellit . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265

103

Nachrichtenübertragung über Lichtwellenleiter (LWL) . . . . . . . . 1269

104

Funkmesstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277

105

Elektroakustische Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283

106

Vermittlungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293

107

Kommunikations- und Datennetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1299

108

Optimierte Nachrichten- und Datenübertragung . . . . . . . . . . . 1309

1125

Grundlagen der Nachrichten-

XIII

92
übertragung

Teil

Wilfried Plaßmann

92.1 Prinzip der elektrischen Nachrichtenübertragung . . . . . . . . . . 1128

92.2 Aufgaben der Nachrichtentechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129

92.3 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129

92.4 Nachricht, Information und Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1130

92.5 Kenngrößen der Übertragungsstrecke . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1127

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_92

1128

92 Grundlagen der Nachrichtenübertragung

Teil

92.1

Prinzip der elektrischen

Bei der Nachrichtenübertragung ist es wünschenswert, die fol-
genden Bedingungen zu erfüllen:

XIII

Nachrichtenübertragung

1. Die Übertragung soll über sehr große Entfernungen un-
beeinflusst von Hindernissen (Häusern, Bergen) möglich

Die Nachrichtentechnik hat die Aufgabe, Nachrichten auszutau-
sein. Häufig wird zusätzlich ein lückenloser Empfang inner-
schen. Nachrichten sind z. B. Fragen, Beobachtungen und Be-
halb eines vorgegebenen geografischen Gebietes gefordert
fehle; der Begriff wird im Abschn. 92.3 weiter aufgeschlüsselt.

(Rundfunk- und Fernsehempfang).

Unter dem Begriff Nachrichtenübertragung wird hier die elek-

2. Es sollen viele unterschiedliche Nachrichten gleichzeitig
trische Nachrichtenübertragung verstanden, denn zur Übermitt-
übertragen werden, die der Empfänger aber wieder eindeutig
lung von Nachrichten werden Spannungen und Ströme sowie
voneinander trennen kann.

elektrische und magnetische Felder eingesetzt. Die Übertragung

3. Der Empfänger kann entscheiden, ob er die Nachricht emp-
beginnt nach Abb. 92.1 mit der Nachrichtenquelle, die die Nach-
fangen will oder nicht.

richten aussendet, und endet mit der Nachrichtensenke, die sie

4. Die Übertragung von Daten und deren Weiterverarbeitung
empfängt. Zwischen beiden liegt das elektrische Nachrichten-
soll einfach möglich sein.

übertragungssystem, dessen Funktionseinheiten dargestellt sind

Die elektrische Nachrichtentechnik erfüllt diese Forderungen
und anhand der Rundfunk-Sprachübertragung erläutert werden.

in nahezu idealer Weise: Die überbrückbaren Entfernungen

Das Sprachsignal in Form von Luftdruckänderungen wird mit
reichen um den Erdball, bis zum Mars und darüber hinaus
einem Mikrofon in proportionale Spannungsänderungen umge-

(Punkt 1). Weltweit senden einige Tausend Sender ihre Pro-
wandelt und verstärkt. Da viele unterschiedliche Nachrichten
gramme, ohne dass es zu nennenswerten gegenseitigen Beein-
gleichzeitig übertragen werden (große Zahl von Rundfunksen-
flussungen kommt (Punkt 2). Durch Ausschalten der Energie-
dern mit unterschiedlichen Programmen), muss der Frequenz-
versorgung kann der Empfang von Nachrichten beendet werden.

bereich des Sprachsignals (15 Hz bis 15 kHz) in einen anderen

Im Vergleich dazu kann beispielsweise bei akustischer Nach-

Frequenzbereich umgesetzt werden. Das geschieht im Modu-
richtenübertragung durch Lautsprecher der Empfänger nicht so
lator. Anschließend stellt der Sender die für die Übertragung
ohne Weiteres den Empfang beenden (Punkt 3). Die übertra-
erforderliche Leistung (kW bis MW) bereit und sorgt über eine
genen Daten liegen bereits in einer für die Weiterverarbeitung

Antenne für die Aussendung in Form eines elektromagneti-
optimalen Form vor (Punkt 4).

schen Feldes. Dieses wird von der Antenne des Empfängers
aufgenommen. Da viele Nachrichten gleichzeitig, aber mit un-

Die Übertragung geschieht entweder drahtgebunden (z. B. Fern-
terschiedlichen Frequenzbereichen, an der Empfängerantenne
sprechverkehr im Nahbereich, lokale Datennetze) oder drahtlos
vorhanden sind, filtert ein selektiver Empfänger einen bestimm-
durch elektromagnetische Felder (z. B. Rundfunk- und Fernseh-
ten Frequenzbereich und damit eine bestimmte Nachricht (den
übertragung, Fernsprechverkehr im Fernbereich, Satellitenkom-
gewünschten Rundfunksender) aus. Der Demodulator setzt den
munikation). Für die drahtlose Übertragung werden Frequenzen
empfangenen Frequenzbereich wieder in den Originalfrequenz-
im Bereich von etwa 10 kHz bis zurzeit 250 GHz benutzt.

bereich (15 Hz bis 15 kHz) um. Das Signal wird verstärkt und

Tab. 92.1 gibt einen Überblick über die Nutzung dieses Fre-
einem Lautsprecher zugeführt, der das elektrische Signal in ein
quenzbereiches durch die Rundfunk- und Fernsehsender, die bis

Schalldrucksignal umwandelt, damit es vom Ohr (Empfänger)

etwa 1 GHz den weitaus größten Teil davon belegen. Daneben
aufgenommen werden kann.

sind auch Frequenzzuteilungen für den Amateur- und den Poli-

Elektrisches Nachrichten-Übertragungssystem

Signalübertragung

Übertragungs-
kanal

Mikrofon

Verstärker

Elektro-
selektiver

Lautsprecher
als

Modulator
magnetisches

Empfänger
als

Umsetzer

UKW-Sender

Feld

Demodulator

Umsetzer

Sprecher,

Verstärker

Ohr,

Nachrichtenquelle

Nachrichtensenke

Störquellen

Abb. 92.1 Prinzip der Nachrichtenübertragung am Beispiel der Rundfunk-Tonübertragung

92.2

Aufgaben der Nachrichtentechnik

1129

Tab. 92.1 Frequenz- und Wellenlängenbereiche und deren Nutzung durch einige wichtige Dienste

Bezeichnung

Frequenz

Wellenlänge

Definition

Verwendet

Definition

Verwendet

XIII

Myriameterwellen (VLF)

3 . . . 30 kHz

100 . . . 10 km

Radiowellen (RF)

ab 30 kHz

10 km

Teil

Kilometerwellen (LF, LW)

30 . . . 300 kHz

10 . . . 1 km

Rundfunk auf „Langwelle“

150 . . . 285 kHz

2 . . . 1,05 km

Hektometerwellen (MF, MW)

300 . . . 3000 kHz

1000 . . . 100 m

Rundfunk auf „Mittelwelle“

525 . . . 1605 kHz

571 . . . 187 m

Amateurfunk

1875 kHz

160 m

Dekameterwellen (HF, KW)

3 . . . 30 MHz

100 . . . 10 m
u. a. Rundfunk auf „Kurzwelle“

6 . . . 19 MHz

49 . . . 16 m

Amateurfunk

3,5 . . . 30 MHza

80 . . . 10 ma

Meterwellen (VHF)

30 . . . 300 MHz

10 . . . 1 m

Fernsehen Band I

41 . . . 68 MHz

7,3 . . . 4,4 m

Polizei

86,5 MHz

3,5 m

UKW-Rundfunk

87 . . . 108 MHz

3,5 . . . 2,9 m

Amateurfunk

144 . . . 146 MHz

2,08 . . . 2,05 m

Fernsehen Band III

174 . . . 230 MHz

1,7 . . . 1,3 m

Hochfrequenzwellen

300 . . . 300 GHz

1 m . . . 1 mm

Dezimeterwellen (UHF)

300 . . . 3 GHz

100 . . . 10 cm

Fernsehen Band IV/V

470 . . . 960 MHz

64 . . . 31 cm

Amateurfunk

430 . . . 440 MHz

70 . . . 68 cm

Amateurfunk und Ortungsfunkdienst

1250 . . . 1300 MHz;

24 . . . 23 cm;

2300 . . . 2350 MHz

13 . . . 12,7 cm

Zentimeterwellen (SHF) oder Mikrowellen

3 . . . 30 GHz

10 . . . 1 cm

Satellitenfunk

10,95 . . . 12,75 GHz

2,7 . . . 2,4 cm

Strahlung
ab 3000 GHz

100 mm
a Für die Funkamateure stehen in diesem Bereich mehrere schmale Frequenzbereiche zur Verfügung.

Erläuterungen der Abkürzungen siehe Text.

zeifunk eingetragen. Insgesamt gibt es noch eine Vielzahl von

92.2

Aufgaben der
weiteren Anwendern, denen Frequenzbereiche zugeteilt worden
sind. Als Beispiel seien hier aufgeführt: Feste und bewegliche

Nachrichtentechnik

Seefunkdienste, Navigationsfunkdienste, Raumforschung und

Weltraumfunkdienste, Normalfrequenz- und Zeitzeichenfunk-

Ein wesentliches Problem bei der Nachrichtenübertragung liegt
dienste, Wetterfunkdienste. Weiterhin gibt es Frequenzen, die
darin, dass die Nachrichten durch Störungen verfälscht wer-
speziellen Verwendungen vorbehalten sind, z. B. Grubenalarm-
den. Deshalb entwickelt die Nachrichtentechnik Verfahren, mit
funk (68,010–68,030 MHz), Funkstellen in Rettungsfahrzeu-
denen diese Verfälschungen so klein wie möglich gehalten wer-
gen (243,000 MHz), Weltraum-Notruf-Frequenz (20,007 MHz),
den können. Für die nicht vermeidbaren Verfälschungen wird

Seefunk-Not- und Anruffrequenz (2,182 MHz).

gefordert, dass sie erkennbar sind und sich korrigieren las-

Die in Tab. 92.1 verwendeten Abkürzungen haben folgende Be-
sen. Aber auch bei einer ungestörten Nachrichtenübertragung
deutung (nach DIN 40015):

treten Verfälschungen auf. Sie werden durch den begrenzten

Frequenzbereich des Übertragungskanals verursacht. Hier muss

VLF V ery L ow F requencies
die Nachrichtentechnik Lösungen finden, mit denen eine mög-

RF

R adio F requencies
lichst große Anzahl von Nachrichten mit einem vertretbaren

LF

L ow F requencies

Maß an Verfälschungen übertragen werden kann.

MF

M edium F requencies

HF

H igh F requencies

VHF V ery H igh F requencies

UHF U ltra H igh F requencies

92.3

Grundbegriffe

SHF S uper H igh F requencies

EHF E xtremely H igh F requencies

LW

Langwelle

Die Nachrichtentechnik bekam ihre ersten Impulse durch den

MW Mittelwelle
weltweiten Einsatz des Telefons, aber erst 1948 begründete

KW

Kurzwelle

Shannon mit seiner Informationstheorie die moderne Nachrich-

UKW Ultrakurzwelle
tentechnik. Es werden folgende Begriffe verwendet (auszugs-

UV

Ultraviolettstrahlung
weise DIN 44300):

1130

92 Grundlagen der Nachrichtenübertragung

Teil

Nachricht:

Sie besteht aus der Information und dem Si-

Diese drei Forderungen werden durch die folgende Formel er-
gnal. Sie wird unverändert weitergegeben.

füllt:

XIII

Information:

Sinngehalt der Nachricht ( was mitgeteilt wer-
den soll).

Informationsgehalt

Signal:

Die physikalische Realisierung der Nachricht

( wie es mitgeteilt wird).

1

I. xi/ D ld

Daten:

Sie werden, im Gegensatz zu Nachrichten,
p. xi/
in bit

(92.1)

verändert und weiterverarbeitet.

Analoge Signale: Kontinuierlich über der Zeit dargestellte Si-
xi die einzelnen Zeichen; ld Logarithmus zur Basis 2; p. xi/
gnale.

Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des Zeichens xi.

Digitale Signale: Zu diskreten Zeitpunkten dargestellte Signale;

Die Wahl der Basis 2 ist nicht zwingend, aber naheliegend, da
die Amplitudenwerte sind codiert.

die binäre Kodierung mit ihren zwei Zuständen sehr häufig an-
gewendet wird.

Beispiel 1

Aus (92.1) ergibt sich eine wichtige Aussage: Es handelt sich

Jemand hat sich einen Hund zugelegt und möchte das
nur dann um eine echte Information, wenn der Empfänger sie
einem anderen mitteilen. Die Information „Ich habe
nicht schon vorher kennt.

mir einen Hund zugelegt“ kann durch unterschiedliche

Signale übermittelt werden: Das Wort „Hund“ als ge-

Beispiel 2
schriebener Text, ein Bild des Hundes, das Wort „Hund“
im Morsealphabet oder beliebige andere Zeichen. Wich-
tig ist, dass die im Signal vorhandenen Zeichen vorher

Die Wahrscheinlichkeit, 6 „richtige“ Zahlen im Lot-
zwischen Sender und Empfänger in ihrer Bedeutung ver-
to „6 aus 49“ ausgewählt zu haben, ist ungefähr
einbart worden sind, sonst „versteht“ der Empfänger die

1=14.000.000. Mit (92.1) ist der Informationsgehalt der

Nachricht nicht.

J

Nachricht, tatsächlich 6 richtige Zahlen zu haben, etwa
ld.14:000:000/ 23;7 bit. In dem hohen Zahlenwert
spiegelt sich wider, wie wichtig diese Nachricht für den

Empfänger ist. Demgegenüber ist die Wahrscheinlich-
keit, keine 6 richtigen Zahlen getippt zu haben, etwa

92.4

Nachricht, Information und

.1 1=14:000:000/ 0;99999993. Daraus folgt der

Signal

Informationsgehalt zu ungefähr ld.1=0;99999993/ bit
ld.1;00000007/ bit 0;0000001 bit. Der sehr kleine

Zahlenwert zeigt, dass diese Nachricht unwichtig ist, weil

Um zu zeigen, welche Signalverläufe zur Nachrichtenübertra-
man sie „so gut wie sicher erwartet hat“. Wendet man
gung geeignet sind, muss zunächst der Begriff „Informationsge-
die Ergebnisse auf das Morsealphabet an, so war es sinn-
halt“ erläutert werden.

voll, dem am häufigsten vorkommenden Buchstaben „e“
mit der Auftrittswahrscheinlichkeit p. e/ 14 % die kür-
zeste Codierung, einen Punkt, zuzuordnen. Ein einzelner

Punkt kann bei der Übertragung am ehesten „verloren ge-

92.4.1

Informationsgehalt
hen“. Da aber I. e/ nur etwa 2,84 bit ist, trägt ein fehlender

Buchstabe „e“ nur geringfügig zur Nachrichtenverfäl-

Bereits Morse hatte in seinem Alphabet den am häufigsten vor-
schung bei. Anschaulich liegt das daran, dass man diesen
kommenden Buchstaben „e“ mit einem Punkt, also mit der

Buchstaben am ehesten in verfälschte Texte einfügt, weil
kürzesten Codierung, dargestellt. Um zu zeigen, dass das tat-
er „sowieso erwartet“ wird und man damit erfahrungs-
sächlich sinnvoll ist, wird zunächst ein Maß dafür gesucht, wie
gemäß die Verfälschung schnell und einfach korrigiert

„wichtig“ eine Nachricht (ein Zeichen) ist. Da einerseits die

(siehe auch Abschn. 108.1.1, „Quellencodierung“).

J

Nachricht aus mehreren Zeichen (Buchstaben, Ziffern) zusam-
mengesetzt ist, andererseits die Wichtigkeit der Nachricht von
persönlichen Dingen beeinflusst wird und damit nicht wert-
neutral ist, kann sich die Bewertung nur darauf beziehen, wie
häufig die einzelnen Zeichen auftreten. Die zu definierende

92.4.2

Signale in der Nachrichtentechnik

Größe wird Informationsgehalt I genannt und muss, um nicht
mit den Gesetzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung im Wider-
spruch zu stehen, die drei folgenden Bedingungen erfüllen:

Abb. 92.2 stellt eine Übersicht über die in der Elektrotechnik

1. Der Informationsgehalt ist um so kleiner, je größer die
verwendeten Signalverläufe unter dem Gesichtspunkt dar, ob

Wahrscheinlichkeit p ist, dass dieses Zeichen auftritt. 2. Der
sie zur Informationsübertragung geeignet sind. Da ein Signal

Informationsgehalt eines Zeichens mit der Wahrscheinlichkeit
nur dann Information enthält, wenn sein Verlauf vorher nicht
p D 1 (das Zeichen tritt sicher auf) ist Null. 3. Der Informati-
bekannt ist, sind auch nur die stochastischen Signale für die
onsgehalt voneinander unabhängiger Zeichen soll sich addieren.

Nachrichtentechnik geeignet.

92.4

Nachricht, Information und Signal

1131

Signale

XIII

DETERMINISTISCHE SIGNALE

STOCHASTISCHE SIGNALE

Der zukünftige, zeitliche Signal-

Der zukünftige Signalverlauf

Teil
verlauf ist vorherbestimmbar
ist nicht bekannt (nicht deter-
miniert). Die statistische

Struktur des Signals kann
jedoch bekannt sein.

STATIONÄR

NICHT STATIONÄR

STATIONÄR

NICHT STATIONÄR

Vorgang mit kon-

Vorgang mit nicht
statistischer Vorgang
stanten Kenngrö-
konstanten Kenn-
mit zeitunabhängigen
ßen, funktionell
größen, funktionell
statistischen Eigen-
beschreibbar
beschreibbar
schaften: Effektivwert,
arithmetischer Mittel-
wert

PERIODISCH

NICHT PERIODISCH

Nachrichtentechnik

Signale der

Testsignale der

Wechselstromtechnik,

Meß- und Regelungs-
harmonische, nicht
technik und der
harmonische Schwin-

Nachrichtentechnik:

gungen mit zeitlich

Sprungfunktion,
konstanten Kenngrößen:

Dirac-Impuls

Amplitude, Leistung,

Effektivwert, Frequenz,

Phasenwinkel

Abb. 92.2 Signale in der Nachrichtentechnik

92.4.3

Entropie

92.4.4

Redundanz

Da sich eine Nachricht in der Regel aus mehreren Zeichen

Sind die Wahrscheinlichkeiten p

(Buchstaben, Ziffern) zusammensetzt und der Informationsge-
i für das Auftreten der Zei-
chen x
halt der einzelnen Zeichen nach (92.1) bestimmt wird, ergibt
i nicht gleich, ergibt sich eine Entropie, die kleiner ist
als der Maximalwert H
sich der Informationsgehalt der vollständigen Nachricht durch

0. Die Differenz zwischen H 0 und H
wird Redundanz R („Weitschweifigkeit“) genannt, die relative
die Bildung der Summe aus dem Informationsgehalt der ein-

Redundanz r ergibt sich durch Division durch H
zelnen Zeichen, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit ihres

0:

Auftretens. Dieser Wert wird Entropie genannt und mit H be-

Redundanz

R D H H
in bit

(92.4a)

zeichnet:

0

H

0

H

Entropie oder mittlerer Informationsgehalt

Relative Redundanz
r D
in bit

(92.4b)

H

X

0

1

H D
p
i
ld
in bit

(92.2)

p

Die Redundanz ist der Anteil, der keine Information enthält und
i
i
damit überflüssig ist. Sie verlängert die Zeitdauer zur Über-
pi Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des Zeichens xi.

tragung, gestattet andererseits aber eine Fehlererkennung und

-korrektur (Abschn. 108.1). Das wird am folgenden Beispiel 3

Der Wert ist stets positiv. Er wird maximal, wenn alle Zeichen xi
gezeigt.

mit der gleichen Wahrscheinlichkeit p

D
i auftreten: pi
p 0. Man
nennt diesen Wert Entscheidungsgehalt H 0.

Entscheidungsgehalt

Beispiel 3
n

X

1

Wenn in der deutschen Sprache die 26 Buchstaben mit

H D

D

0

H max
p 0 ld p
gleicher Wahrscheinlichkeit ( p D 1=26) aufträten, folg-

0
i

1
te daraus H D H D

0
ld 26 D 4;7 bit. Nach Küpfmüller

D 1

1

1
n ld

D ld

(92.3)

ergibt sich aber H 1;3 bit. Das liegt daran, dass 1. die
n
p 0
p 0

Buchstaben nicht gleichwahrscheinlich auftreten (z. B. e
alle Zeichen gleich wahrscheinlich mit der Wahrscheinlich-
häufiger als k), 2. bestimmte Buchstabenfolgen häufiger
keit p 0.

1132

92 Grundlagen der Nachrichtenübertragung

Teil
a
c
sind als andere (z. B. „ei“ häufiger als „kp“ oder „ein“

XIII
häufiger als „dol“) und 3. bestimmte Buchstabenfolgen
sehr unwahrscheinlich sind (z. B. „aai“ oder „sfk“). Damit

V 1

V 1
ergibt sich die relative Redundanz r .4;7 1;3/=4;7

T

D

T

72 %. Das heißt, dass nur 28 % der Sprache Information

S

= D

D S1

S2

S
enthalten und 72 % überflüssig sind. Der positive Aspekt

2 · B

2 · B

= 2 · B

S1

S2
der Redundanz liegt darin, dass auch dann eine nahe-
b
zu fehlerfreie Sprachübermittlung möglich ist, wenn die

Übertragung gestört ist: In einer lärmerfüllten Fabrikhal-

D
le kann man sich relativ fehlerfrei verständigen, obwohl

T
man wegen der Geräusche nur einen Bruchteil der gespro-
chenen Worte vollständig versteht.

J

92.4.5

Informationsfluss

D

Der Informationsfluss F gibt den pro Zeiteinheit übermittelten

2 · B

B
mittleren Informationsgehalt an:

Abb. 92.3 Nachrichtenquader: a gegebenes Signal mit DS1, BS1, TS , b Kanal

H
bit
mit gegebenem B , D , c an den Kanal (b) angepasstes Signal (a)

Informationsfluss

F D
in

(92.5)

Tm
s

Tm mittlere Zeit zur Übertragung eines Nachrichtenelementes in

P
s, siehe (92.6).

S Signalleistung in W, PN Rausch- bzw. Störleistung in W, B

Bandbreite des Signals in Hz, D Dynamik (siehe Abschn. 92.4.7

Da ein Nachrichtenelement meist aus mehreren Symbolen (Zei-
und (92.7b)).

chen) besteht, berechnet sich Tm zu:

X

Der Zusammenhang zwischen der Kanalkapazität C und den

T D
m
piTi
in s

(92.6)

Größen B, PS und PN wurde von Shannon abgeleitet, die
i

Erklärung für die Dynamik D folgt im anschließenden Ab-
schn. 92.4.7. Die Kanalkapazität eines gegebenen Übertra-

Ti Dauer zur Übertragung eines Symbols mit der Wahrschein-
gungskanals hängt von dessen technischer Realisierung ab und
lichkeit pi in s.

ist eine Konstante, die gleichzeitig ein Maß für seine Leistungs-
fähigkeit ist.

92.4.6

Kanalkapazität, Dynamik

Die Kanalkapazität C ist der maximale Informationsfluss, der

92.4.7

Nachrichtenquader
über einen gegebenen Nachrichtenkanal ohne Fehler übertragen
werden kann:

Ein Übertragungskanal kann nur dann ein zeit- und amplituden-

Kanalkapazität

diskretes Signal (Begriffe siehe Abschn. 92.4.8) fehlerfrei über-

H
tragen, wenn es eine maximale Frequenz f

C D F

D

D
g und eine maximale
max

2 B D
in bit=s

(92.7a)

Tm

Anzahl N unterschiedlicher Amplitudenwerte besitzt, die binär
max
mit D

D

S
ld N bit codiert werden. Liegt ein kontinuierliches

Tm mittlere Zeit zur Übertragung eines Nachrichtenelementes

Signal vor, lässt es sich auf ein zeit- und amplitudendiskretes Si-
nach (92.6) in s, B Bandbreite des Signals in Hz, D Dynamik
gnal zurückführen. DS ist die Dynamik des Signals. Es wird nach

(siehe Abschn. 92.4.7 und (92.7b)).

dem Abtasttheorem von Shannon theoretisch mit 2 fg, praktisch

Dynamik

D D ld N
in bit

(92.7b)

mit 2;2 fg abgetastet. Für seine Übertragung wird die Zeit TS
benötigt. Dann kann man die Gesamtheit des Signals darstellen

N

Anzahl
der
diskreten

Amplitudenstufen,
siehe

Ab-
als das „Volumen V 1“ eines Quaders mit den „Seitenlängen“
schn. 92.4.7.

Bandbreite 2 BS 1, Dynamik DS 1 und Zeit TS, Abb. 92.3.

Weiterhin gilt:

s

Der Kanal quader ist in seinem „Querschnitt“ 2 B D vorgegeben.

P

Der „Querschnitt“ des Signal quaders muss so gewählt werden,

S

PS

C D 2 B ld

C 1 D B ld

C 1
in bit=s
dass er durch die Öffnung des Kanalquaders „hindurchpasst“,

PN

PN
ohne im Idealfall Lücken zu lassen. In Abb. 92.3 wurde die zu

(92.7c)

große Bandbreite BS 1 des gegebenen Signals verringert und die

92.4

Nachricht, Information und Signal

1133

Dynamik DS 1 entsprechend vergrößert und damit der Kanalka-
a
b
pazität angepasst: 2 B

D

S 1 DS 1

2 B D. Gelingt dies bei gleicher
s t

( )

s t

( )

Zeit TS im Signal- und im Kanalquader, wie in Abb. 92.3 darge-

XIII
stellt, spricht man von Echtzeitübertragung. Für die Modulation
und die Codierung von Signalen wird die Anpassung zwischen
t

T 2 T 3 T
t

Teil

Signal und Kanal wie folgt vorgenommen (Signalgrößen mit In-
dex „ S“, Kanalgrößen ohne Index):

c
d
s( t)

s( t)

C D CS

Echtzeitübertragung. Dies wird für die fol-
gende

Zusammenstellung
vorausgesetzt.

3·Δ U

3·Δ U

( C > CS ist zwar möglich, wird aber ver-

2·Δ U

2·Δ U
mieden, da dann die teuren Kanalkapazitäten

Δ U

Δ U
nicht voll ausgenutzt werden.)

t

T 2 T
t

B D BS; D D DS Einseitenband-Amplitudenmodulation.

Die

Bandbreite (Frequenzbereich des Signals)

Abb. 92.4 Signaldarstellungen im Zeitbereich. a zeit- und amplitudenkontinu-
wird nur in einen anderen Frequenzbereich
ierlich, analog, b zeitdiskret, amplitudenkontinuierlich, analog, c zeitkontinuier-
verschoben.

lich, amplitudendiskret, digital, d zeit- und amplitudendiskret, digital

DS > D

Frequenzmodulation,

Pulscodemodulation.

Der für den Kanal zu große Dynamikbereich
des Signals wird verkleinert und in die größe-
reicht, den Signalverlauf nur noch zu diskreten Zeitpunkten
re Bandbreite des Kanals umgesetzt.

zu erfassen (Abb. 92.4b). Das analoge Signal wird abgetastet.

DS < D

Pulscodemodulation. Die zur Verfügung ste-

Ist die Zeitdauer ta der Abtastung viel kleiner als der Ab-
hende größere Dynamik des Kanals wird da-
stand T der Abtastzeitpunkte, kann man die Signale mehrerer
durch ausgenutzt, dass mehrere Abtastwerte

Nachrichten gleichzeitig über einen Kanal übertragen, indem
des Signals in einem Codewort zusammenge-
man die einzelnen Signale in dem Zeitbereich T nacheinander
fasst werden. Damit ist für die Kanalbandbrei-
anordnet ( Zeitmultiplexverfahren, siehe Kap. 100, „Mehrfach-
te ein kleinerer Wert als für die Signalband-
übertragung“).

breite erforderlich: BS > B.

Der Amplitudenwert von analogen Signalen oder Daten kann
auf dem Weg vom Sender zum Empfänger durch Störungen

Beispiel 4
verfälscht werden. In kritischen Fällen wandelt man deshalb
den analogen Amplitudenwert in einen digital codierten Wert

Ein Kanal hat die Bandbreite 4,5 kHz und kann 256 Am-
um, indem man ihn als ganzzahliges Vielfaches einer kleins-
plitudenwerte übertragen. Dann ist seine Dynamik D D
ten Einheit U (Abb. 92.4c, d) darstellt. Das Signal besteht nur
ld.256/ bit D 8 bit und seine Kanalkapazität C D
noch aus den zwei logischen Zuständen 0 und 1. Damit kann

2 B D D 2 4;5 103 .ld 256/ bit=s D 72 103 bit=s. Soll
auch bei gestörter Übertragung der richtige Wert häufig noch
über diesen Kanal ein Signal mit 1024 Amplitudenstufen
erkannt werden. Das Signal nach Abb. 92.4c tritt am Ausgang
übertragen werden, ohne dass die zur Übertragung not-
eines Digital-Analog-Umsetzers, also auf der Empfängerseite,
wendige Zeit geändert wird (Echtzeitübertragung), lässt
auf. Abb. 92.4d zeigt ein analoges Signal, das auf der Sendersei-
sich die Signalbandbreite BS bestimmen: C D 2 B D D
te zur Übertragung aufbereitet worden ist, indem es abgetastet

2 4;5 103 .ld 256/ bit=s D 2 B

S

.ld 1024/. Daraus
und anschließend in einem Analog-Digital-Umsetzer in digital
folgt: B D

D

S
fS

3;6 kHz. (Es wurde, wie in der Praxis
codierte Werte umgesetzt wurde. Dabei können der codierte und
häufig anzutreffen, B D

S
fS, d. h. Signalbandbreite gleich
der tatsächliche Wert maximal um ˙ U=2 voneinander abwei-
höchster Signalfrequenz, gesetzt.)

J
chen:

größte Abweichung bei digitaler Codierung

U

˙

D ˙ 1

1

U

(92.8)

2

2

2 n 1

92.4.8

Signale im Zeitbereich: Analog, digital,
kontinuierlich, diskret
n Anzahl der Bits zur Codierung, U Maximalwert von s. t/ in V,

U D U=.2 n 1/ in V.

In Abb. 92.4 sind die in der Nachrichtentechnik auftretenden

Signalverläufe s. t/ im Zeitbereich dargestellt ( s. t/: Spannungs-,

92.4.9

Signale im Frequenzbereich

Strom- oder Feldverlauf). Es wird vorausgesetzt, dass das zu
übertragende Signal (z. B. Sprachsignal) in analoger Form nach

Abb. 92.4a vorliegt, d. h. zu jedem Zeitpunkt existiert ein

Für die rechnerische Erfassung von Übertragungskanälen hat
eindeutig zugeordneter Amplitudenwert, und alle Amplituden-
es sich bewährt, das Amplitudenspektrum der Signale, d. h.

werte innerhalb eines Wertebereiches sind möglich. Shannon
die Amplituden der im Signal vorkommenden Frequenzantei-
hat gezeigt, dass es unter bestimmten Voraussetzungen aus-
le in Abhängigkeit von der Frequenz darzustellen. Man benutzt

1134

92 Grundlagen der Nachrichtenübertragung

Teil
a

Der Zusammenhang zwischen beiden Darstellungen ist gegeben
s t

( )

| S( f )|
durch:

XIII
a D

D O

I

0
s 0;
an
sn cos ' n q

T
t

1
f
f
b D O s sin ' I

O s D
a 2 C b 2

(92.9c)

0 =
n
n
n
n
n
n

T
b
s( t)

| S( f )|

Wird s. t/ entsprechend dem Verlauf in Abb. 92.5b in (92.9a) mit
s. t/ D U 0 und den Integralgrenzen 0 bis T=2 sowie s. t/ D U 0
und den Integralgrenzen T=2 bis T eingesetzt, ergibt sich:

1
s. t/ D 2 U 0
sin.1!

sin.3!

T/2

T
t
f

0 t/ C 1

0 t/

0

3 f 0

5 f 0 f

1

3

C 1 sin.5!0 t/ C : : :

(92.10)

5

Abb. 92.5 Signaldarstellung periodischer Funktionen im Zeit- und Frequenzbe-
reich. a Sinusförmiges Signal, b rechteckförmiges Signal

Die Scheitelwerte der Amplituden bei den diskreten Frequen-
zen n !0=2 p D n f 0 sind in Abb. 92.5b in das Diagramm
j S. f /j D f . f / eingetragen. (Hinweis: Es können auch die Effek-
dazu die Beziehung zwischen Frequenz und Periodendauer,
tivwerte der Amplituden eingetragen werden. Die Scheitelwerte
p
f D 1= T, die in dieser Form nur für periodische Signale gilt nach (92.10) sind dann durch 2 zu dividieren.)

und die deshalb auf die in der Nachrichtentechnik verwendeten
stochastischen Signale erweitert werden muss.

92.4.9.3

Nichtperiodische Signale

92.4.9.1

Periodische sinusförmige Signale

Die Informationsübertragung geschieht mit stochastischen Si-
gnalen. In der Praxis reicht es aber häufig aus, die Eigenschaften

In Abb. 92.5a ist sowohl der Verlauf in Abhängigkeit von der
eines Übertragungskanals oder eines Vierpols mit nichtperiodi-

Zeit, s. t/, als auch der Verlauf in Abhängigkeit von der Fre-
schen deterministischen Signalen zu erfassen, denn man kann
quenz, j S. f /j, dargestellt. Der Zusammenhang zwischen beiden daraus auf das näherungsweise Verhalten bei stochastischen Si-

Darstellungen ist durch f D

0

1= T gegeben. Hinweis: S. f / kann gnalen schließen. Um die in einem nichtperiodischen Signal
nach (92.14) eine komplexe Funktion sein. Für die Darstellung
enthaltenen Frequenzanteile zu bestimmen, wird zunächst ei-
wählt man dann entweder S. f / oder j S. f /j.

ne für die Anwendung in der Nachrichtentechnik besonders
geeignete Darstellung für periodische Signale abgeleitet und an-
schließend auf nichtperiodische Signale erweitert.

92.4.9.2

Periodische nichtsinusförmige Signale

Abb. 92.5b zeigt als Beispiel einen periodischen rechteckför-

Fouriertransformation
migen Verlauf s. t/. Zur Berechnung der im Signal enthaltenen

Frequenzanteile wird die Fourierreihe verwendet, mit der das
ejx C e jx

Euler’sche Formel:

cos x D

Signal s. t/ auch in folgender Form darstellbar ist:

2

Fourierreihe

Für die in (92.9b) dargestellten Summanden gilt damit:

1

X

1

X
s. t/ D a C

ej. n!0 t C' n/ C e j. n!0 t C' n/

0

Œ an cos. n!0 t/ C bn sin. n!0 t/
s. t/ D s C

O

0
sn
n D1

2
n D1

T

Z

T

Z

1

X

1

1

X

1
a D 1

D 2

0
s. t/ dt I
an
s. t/ cos. n!0 t/ dt I

D s C

O s
ejn!0 t C

O s
e jn!0 t

(92.11)

T

T

0
nej' n
ne j' n

2

2

0

0
n D1
n D1

T

Z

Definitionen:

b D 2
n
s. t/ sin. n!0 t/ dt

(92.9a)

T

O

O

0
sn ej' n
sn e j' n

C D

I

C

D
n

2
n

2

Eine für die Nachrichtentechnik vorteilhafte Darstellung hat die

Form:

Für den zweiten Summanden in (92.11) kann man schreiben:

1

X

1

X

1

1

X

1
s. t/ D s C

O

O

O

0
sn cos. n !0 t C ' n/

(92.9b)

sne j' n e jn!0 t D
snej' n ejn!0 t

(92.12)

2

2
n D1
n D1
n D1

92.4

Nachricht, Information und Signal

1135
a
s t

( )

| (

S f )|
a
b

R
u t

1( )

1
u t

U 0

XIII

1( )

u

C

2( )

t

T

T
t
f

–

+

2

2
t

Teil
b
s( t)

| S( f )|
c
d

| S( f )|

A( f )

t
f
f
f

Abb. 92.6 Signaldarstellung nichtperiodischer Funktionen im Zeit- und Fre-
quenzbereich. a Rechteckimpuls, b stochastisches Signal
e
u t

2( )

U 0

Setzt man (92.12) in (92.11) ein, folgt:

Komplexe Fourierreihe:

t

C1

X

T

Z

Abb. 92.7 Sprungantwort eines Tiefpasses. a Schaltbild, b Einheitssprung als

Anregung, c Spektraldichte des Einheitssprunges, d Übertragungsfunktion des
s. t/ D

C ejn!0 t
mit C D 1
s. t/ e jn!0 tdt

(92.13)

n
n

T

Tiefpasses, e Ausgangsspannung des Tiefpasses

1

0

Formal ist eine negative Frequenz eingeführt worden, wobei zu

Abb. 92.6b zeigt ein stochastisches Signal (z. B. Sprache) mit
jeder negativen Frequenz n f 0 eine entsprechende positive Fre-
zugehöriger Spektraldichte.

quenz C n f 0 gehört. Die Darstellung in (92.13) heißt komplexe

Fourierreihe.

Zwei weitere Größen zur Beschreibung eines Systems sind
die Übertragungsfunktion H. f / („Spektraldichte“ eines Über-

Das in einem nichtperiodischen Signal enthaltene Spektrum er-
tragungssystems) als das Verhältnis von Ausgangsgröße S . f /

2
hält man durch den Grenzübergang T ! 1 und damit n f !

0
f ,
zu Eingangsgröße S . f / sowie deren Betrag A. f /. Die zugeord-

1
f

D

0

1= T ! df . Die Summe geht in ein Integral über, die neten Zeitfunktionen werden mit h. t/ und a. t/ bezeichnet:

entstehende Funktion S. f / heißt (komplexe) Spektraldichte der

Zeitfunktion s. t/, die mathematische Operation ist die Fourier- Übertragungsfunktion:

transformation.

S . f /

H. f / D 2

D j H. f /j e jb. f/I

Fouriertransformation:

S . f /

1
j H. f /j D A. f /

(92.15)

C1

Z

S. f / D
s. t/ e j 2 ftdt I

S . f / Eingangsgröße, S . f / Ausgangsgröße, H. f / auch mit

1

2

1

„Spektraldichte“ eines Übertragungssystems bezeichnet; Bei-

C1

Z
spiel: Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsspannung an einem

Tiefpass, siehe Beispiel 5.

s. t/ D

S. f / ej 2 ftdf

(92.14)

Zugeordnete Zeitfunktionen: h. t/, a. t/ Dämpfungsmaß und b. t/

1

Phasenmaß.

S. f / Spektraldichte eines gegebenen Zeitsignals s. t/.

Beispiel 5

In Abb. 92.6a ist ein Rechteckimpuls mit der dazugehöri-
gen Spektraldichte dargestellt. Es wurde gemäß Hinweis im

Die Eingangsspannung des in Abb. 92.7 gezeigten Tief-

Abschn. 92.4.9.1 der Betrag j S. f /j aufgetragen. Es sind unend-
passes ist ein Einheitssprung.

lich viele Frequenzanteile vorhanden, was durch den unendlich
steilen Anstieg und Abfall hervorgerufen wird. Da ein Über-

Die Übertragungsfunktion ergibt sich zu:

tragungskanal niemals unendlich viele Frequenzen übertragen
kann, ist der dargestellte Rechteckimpuls in dieser Form nicht

S . f /

U . j!/

H. f / D 2

D

2

D

1

I T D RC
übertragbar. Das ist andererseits auch nicht erforderlich, denn

S . f /

U . j!/

1 C j! T

1

1
mit technischen Mitteln kann er nicht erzeugt werden: Zu den

Zeitpunkten T=2 und C T=2 müssten unendlich viele Funk-

A. f / D

1
p
tionswerte zwischen 0 und 1 gleichzeitig existieren, was im

1 C .! T/2

Widerspruch zur Eindeutigkeit physikalischer Gesetze steht.

1136

92 Grundlagen der Nachrichtenübertragung

Teil

Laplacetransformation:

Der nach (92.14) berechnete Betrag der Spektraldichte,

XIII
j

1

Z

S. f /j, ist in Abb. 92.7c eingezeichnet, A. f / in Abb. 92.7d.

Formt man (92.15) um und setzt für S . f / die Spekt-

LŒ f . t/ D F. s/ D
f . t/ e stdt I

1
raldichte des Einheitssprunges ein, ergibt sich: S . f / D

2

C0

S . f / H. f / und daraus mit (92.14) durch Rücktrans-

1
c C j 1

Z
formation der in Abb. 92.7e eingezeichnete Verlauf der

L1Œ F. s/ D f . t/ D 1

F. s/ estds

(92.17)

Spannung am Ausgang des Tiefpasses.

J

2 jc j 1

L1 inverse Laplacetransformation (Rücktransformation); F. s/

Diskrete Fouriertransformation (DFT)

Laplacetransformierte der Zeitfunktion f . t/.

Es wird von einem zeitbegrenzten Signal ausgegangen, das zu
s ist der Laplace-Operator (in der Literatur auch mit p bezeich-
den Zeitpunkten n Ta abgetastet wird. Dabei hat n den Bereich
net), es gilt s D C j!. Die Einheit ist 1=s, die Analogie zum
von 0 bis N 1. Ta ist das Abtastintervall. Die gesamte Messzeit

Frequenzspektrum ist damit gegeben. Der Realteil musste ein-
ist dann N Ta. Damit setzt man in (92.14): t ! n Ta, s. t/ !

geführt werden, damit die Integrale nach (92.17) endliche Werte
s. n Ta/, e j! t ! e j! nTa. Es ergibt sich:

ergeben, er spielt bei den weiteren Betrachtungen keine Rolle.

Diskrete Fouriertransformation:

Im Folgenden soll die Anwendung ohne mathematische Ablei-
tungen gezeigt werden.

N1

X

Sd. f / D
f . nTa/ e j 2 kn= N
mit k D 0;1; : : : ; N 1

Berechnung eines Zeitvorganges mit der
n D0

(92.16)

Laplacetransformation

Das gegebene Netzwerk als Verkörperung einer Leitung, eines

Durch geeignete mathematische Algorithmen kann man auch

Vierpols oder eines Übertragungskanals wird in die s-Ebene
bei einer großen Anzahl von Abtastwerten die Transformation
transformiert: Widerstände R bleiben unverändert, Kapazitäten
ausreichend schnell durchführen.

erhalten die „Impedanz“ 1= sC, Induktivitäten und Gegeninduk-
tivitäten erhalten die „Impedanz“ sL bzw. sM. Hier wird die

Schnelle Fouriertransformation (Fast Fourier Transform,

Analogie zur komplexen Rechnung erkennbar, die ja nur für

FFT)

eingeschwungene sinusförmige Vorgänge gilt. Ist ein Konden-
sator zum Zeitpunkt t D 0 auf die Spannung U

Der Grundgedanke ist, die Folge f . n/ eines gegebenen Signals

0 aufgeladen

(diese Spannung kann sich zum Zeitpunkt t D 0 nicht sprung-
mit N Werten so zu zerlegen, dass mehrere kleinere Teilfolgen
haft ändern), wird das in der s-Ebene durch Reihenschaltung
entstehen, die getrennt transformiert und anschließend zur Ge-
einer Spannungsquelle mit der Spannung U
samtfunktion überlagert werden können. Diese Aufteilung ist

0= s zum Kondensa-
tor berücksichtigt. Die Richtung dieser Spannungsquelle ist die
dann besonders günstig, wenn sich N aus 2 k mit k D 2; 3; 4; : : :

gleiche wie die der Spannung am Kondensator zum Zeitpunkt
ergibt. Die Eingangsfolge wird zunächst in zwei Teilfolgen
t D 0. Hinweis: Auch wenn die Spannung dieser Spannungs-
zerlegt, deren Elemente den Abstand 2 Ta haben. Diese 2 Teil-
quelle für t > 0 als konstanter Wert in Erscheinung tritt, obwohl
folgen werden wiederum in je 2 Teilfolgen zerlegt mit dem
sich der Kondensator in der Regel umlädt, ist das Ergebnis der

Abstand 4 Ta usw., bis die einzelnen Folgen nur noch aus 2

Berechnung richtig, denn die am Kondensator in der Zeitebene

Elementen bestehen. Auf diese wird dann der DFT-Algorithmus
auftretende Spannung entspricht der Summe (vorzeichenrichtig
angewendet.

addiert) aus der eventuell vorhandenen Spannung U 0= s und der

Spannung am Kondensator 1= sC in der s-Ebene! Fließt durch

Laplacetransformation
eine Spule oder Gegeninduktivität zum Zeitpunkt t D 0 ein

Strom I

Hier folgt aus Gründen der Systematik eine kurze Einführung in

0 (dieser Strom kann sich zum Zeitpunkt t D 0 ebenfalls
nicht sprunghaft ändern), wird dies durch eine Spannungsquel-
die Laplacetransformation. Eine ausführlichere Darstellung gibt
le mit der Spannung L I
es in Teil XIV „Signal- und Systemtheorie“, Kap. 112 „Nicht-

0 in Reihe zu sL berücksichtigt. Die

Richtung dieser Spannungsquelle ist entgegengesetzt zur Rich-
periodische zeitkontinuierliche Signale“.

tung des zum Zeitpunkt t D 0 fließenden Stromes I 0 (die

Die Laplacetransformation unterscheidet sich von der Fourier-

Spule wird zur Spannungsquelle). Auch hier gilt: Die in der
transformation u. a. dadurch, dass die zeitlichen Vorgänge für

Zeitebene an der Spule auftretende Spannung entspricht der
t < 0 null sind. Der betrachtete Vorgang setzt im Zeit- und Summe aus der Spannungsquelle mit der Spannung L I 0 und der

Frequenzbereich erst ab t D 0 ein (keine negativen Frequen-
an der Spule mit sL anstehenden Spannung (vorzeichenrichtig
zen) und steht damit in anschaulicherer Beziehung zur Praxis
addiert). Wird das Netzwerk von Spannungs- und/oder Strom-
als bei der Fouriertransformation. Um Verwechslungen mit dem
quellen ab t D 0 gespeist, ist deren Verlauf in die s-Ebene zu

Laplace-Operator s zu vermeiden, wurde die Zeitfunktion mit
transformieren und entsprechend einzusetzen. Häufig vorkom-
f . t/ anstatt s. t/ bezeichnet. Die Transformationsformeln lauten:

mende Verläufe kann man Tabellen entnehmen, siehe Tab. 92.2.

92.4

Nachricht, Information und Signal

1137

Tab. 92.2 Korrespondenzen zur Laplacetransformation (Auswahl)

F. s/
f . t/

Der Schalter in der Zeitebene wird in der s-Ebene

1

1
durch eine Sprungfunktion der Höhe U 1 ersetzt: U 1= s
s

XIII

1

(Tab. 92.2, Sprungfunktion 1= s, multipliziert mit der Kon-
t
s 2
stanten U

1

1 , Regel 2). Die Widerstände und Kondensato-
e at

Teil
s C a
ren gehen gemäß den dargestellten Regeln in die s-Ebene

1

1 .1 e at/
s. s C a/
a
über; der auf die Spannung U 0 aufgeladene Kondensator

1
erhält in Reihe eine Spannungsquelle mit der Spannung

.

t e at
s C a/2

1

U 0= s. Die Richtung ist die gleiche wie die der Spannung

.

. e at e bt/
s C a/. s C b/ , a ¤ b

1
b a
an C für t D 0. Die gesuchte Spannung U

1

C b e at a e bt

C ist die Rei-
s. s C a/. s C b/ , a ¤ b

1
ab
a b. a b/
henschaltung aus U 0= s und der Spannung an 1= sC. Für

1

1 e at a t e at
s. s C a/2
a 2
das Netzwerk können die 3 Gleichungen angesetzt wer-
den:

a
t = 0

U

R

1

1

D I R C

I

1

I 1 R 2
s

U

C I

D

1 0

U

R

I D I 1

I 2

I 1 R 2

I 2

1

2

U t

( = 0) = U

C

0
sC
s

C

Daraus kann I 2 berechnet werden:

b

R

R

1

I

I s

2( )

U C U

1C R 2

1

1

0

R

I D 1

2

2

U

R

SC

R
s C R 1C R 2

1

2

1

R

U

U s

2 R 1 C
s

0

C( )

I s

1( )

s
für UC folgt:

Abb. 92.8 Berechnung eines nichtperiodischen Vorganges mit der Laplace-

Transformation. a Netzwerk in der Zeitebene, b Netzwerk in der s-Ebene

U D

1 U 0

C

I 2 sC
s

Der erste Summand von UC muss so umgeformt werden,

Die zu berechnende Größe wird zunächst in der s-Ebene nach
dass ein Ausdruck

A

Bs. s C a/ entsteht, der dann mit Regel 2
den Regeln einer Netzwerkberechnung mit den dort gültigen
und Tab. 92.2 zurücktransformiert werden kann ( A, B und

Gesetzen (Ohm’sches Gesetz, Kirchhoff’sche Gesetze, Span-
a sind Konstante, die kein „ s“ enthalten):

nungsteiler, Überlagerungssatz) bestimmt. Dann wird sie unter

Anwendung einer Tabelle in die Zeitebene zurücktransformiert.

U C

R 1C R 2

1

U 0 R 2

Die in Tab. 92.2 aufgelisteten Äquivalenzen sind für die Hin-

U D

1

1

U 0

C

R 1 C
s
s C R 1C R 2
s
und Rücktransformation anwendbar.

R 2 R 1 C

Zwei Rechenregeln sind wichtig. Regel 1: Besteht die Zeitfunk-

Der zweite Summand, U 0= s, wird nach Regel 1 zu U 0
tion aus mehreren Summanden, werden diese einzeln transfor-
direkt zurücktransformiert.

miert und in der s-Ebene wieder zu einer Summe vereinigt; das

Die am Kondensator stehende Spannung für t 0 ist da-
gilt entsprechend für eine Summe in der s-Ebene bei Rücktrans-
mit:

formation in die Zeitebene. Regel 2: Eine Konstante, mit der die

Zeitfunktion multipliziert wird, bleibt als multiplikative Kon-

R

D

2

C

t
stante in der s-Ebene erhalten und umgekehrt. Die Spannungen
u

C

U 1

U 0

.1 e / U 0

R C

1

R 2
und Ströme haben in der s-Ebene die Einheit Vs bzw. As, was
wiederum auf eine Spektralverteilung hindeutet.

mit D R 1 R 2 C .

R 1C R 2

Ein einmaliger rechteckförmiger Spannungsverlauf kann

Beispiel 6
dadurch auf das Netzwerk gegeben werden, dass die

Spannung U 1 zum Zeitpunkt t 1 (0 < t 1 < 1) zu

In Abb. 92.8 ist ein Netzwerk gezeigt, in dem der Kon-
null gemacht wird. Weiterhin wird der Wert der Kon-
densator C zum Zeitpunkt t D 0 auf die Spannung U 0 in
densatorspannung zum Zeitpunkt t 1 für die in Reihe zum
der eingezeichneten Richtung aufgeladen ist. Zum Zeit-

Kondensator liegende Spannungsquelle vorzeichenrichtig
punkt t D 0 wird eine Gleichspannung U D U 1 auf das
eingesetzt (also den Wert U 0= s aus dem ersten Teil durch

Netzwerk geschaltet. Berechnet werden soll der Verlauf
uC. t 1/= s ersetzen). Die weitere Berechnung erfolgt ana-
der Spannung am Kondensator C.

log zu dem oben gezeigten Rechengang.

J

1138

92 Grundlagen der Nachrichtenübertragung

Teil
s t

( )

Frequenzabstand

XIII
f 1

(theoretisch)I

2 Tg
f

1

(praktisch)

(92.19)

2;2 Tg

T
t

1 T 2 T 3

Tg begrenzte Zeitdauer des Signals in s.

Abb. 92.9 Signalabtastung

Gleichung (92.19) folgt aus der Verknüpfung von Zeit und Fre-
quenz über die Fouriertransformation. Für den Faktor 2,2 gilt
die gleiche Begründung wie oben.

92.4.10

Abtasttheorem von Shannon

Abtasttheorem im Zeitbereich

92.4.11

Zufällige (stochastische) Signale

Enthält ein analoges kontinuierliches Signal nur Frequenzantei-
le bis zu einer maximalen Frequenz fg, so ist der Signalverlauf

Zufällige (stochastische) Signale haben keine erkennbaren zeit-
eindeutig dadurch gegeben, dass nach Abb. 92.9 das Signal zu
abhängigen Gesetzmäßigkeiten, trotzdem besitzen sie in den
diskreten Zeitpunkten T 1, T 2, T 3 usw. abgetastet wird. Für die
meisten Fällen sogenannte statistische Kenngrößen, die nicht
konstanten zeitlichen Abstände der Abtastimpulse, T

n C1

Tn,
von der Zeit abhängen, sofern man diese Kenngrößen über
und damit für die Abtastfrequenz f ab gilt:

einen genügend großen Zeitraum betrachtet. Für die Nach-

Abtastfrequenz
richtentechnik besitzen sie eine große Bedeutung (siehe Ab-
schn. 92.4.11.3): Zum einen als Nutzsignal zur Nachrichten-
übertragung, zum anderen als Störsignal in Form von Rauschen.

f

D

1

ab

2 fg

(theoret.)I

T

n C1

Tn
f

92.4.11.1

Rauschen
ab

2;2 fg

(prakt.)

(92.18)

Rauschen ist ein statistischer Vorgang, der durch Wärmebe-
fg höchste im Signal vorkommende Frequenz in Hz.

wegung von Ladungsträgern hervorgerufen wird und deshalb

Es genügt, diese abgetasteten Amplitudenwerte zu übertragen.

ein stochastisches Signal darstellt. Nach der Herkunft des Rau-

Der Empfänger kann daraus das Originalsignal durch Zwischen-
schens unterscheidet man äußere und innere Quellen.

schalten eines Tiefpasses zurückgewinnen. Weitere Einzelheiten
dazu folgen bei der Behandlung der Pulsamplitudenmodulation
a) Äußere Quellen

PAM im Abschn. 96.4.1. Die meisten vorkommenden Signale
sind vom Prinzip her frequenzbandbegrenzt (Sprachsignal ent-

Atmosphärisches Rauschen: Es entsteht im Wesentlichen
hält aufgrund des Kehlkopfaufbaues nur Frequenzen bis etwa
durch Blitzentladungen von Gewittern. Das Rauschspektrum

15 kHz). Aus praktischen Erwägungen heraus könnte es aber er-
nimmt oberhalb etwa 10 MHz deutlich ab.

forderlich sein, den im Originalsignal enthaltenen Frequenzbe-

Kosmisches Rauschen: Es handelt sich um die Radiostrah-
reich einzuschränken, weil dann die Abtastfrequenz verringert
lung entfernter Sterne. Es tritt ab etwa 50 MHz störend in
werden kann. Die sich hieraus ergebenden Vorteile werden bei

Erscheinung, wenn das atmosphärische Rauschen abgeklun-
den Zeitmultiplexverfahren im Kap. 100, Mehrfachübertragung,
gen ist.

beschrieben. Allerdings bedeutet eine zusätzliche Frequenz-
bandbegrenzung auch eine Signalverfälschung (z. B. werden
b) Innere Quellen
sehr schnelle Signaländerungen verlangsamt). Da es keine Fil-
ter mit unendlich steiler Flanke bei der maximal zulässigen

Widerstandsrauschen oder thermisches Rauschen: Es ent-

Frequenz fg gibt und bei der Abtastung eines sinusförmigen
steht in Wirkwiderständen. Der Mittelwert der Rauschspan-

Signals mit f D fg möglicherweise immer genau in den Null-
nung N uR berechnet sich zu:

durchgängen abgetastet wird, wählt man die Abtastfrequenz zu

Widerstandsrauschen: Rauschspannung
f

ab

2;2 fg.

p

N u D

R

4 kTBR

(92.20a)

Abtasttheorem im Frequenzbereich
k Boltzmann-Konstante 1;38 1023 W s=K; T absolute (ther-

Ein Signal mit der begrenzten Zeitdauer Tg lässt sich vollständig
modynamische) Temperatur in K; B Bandbreite (ausgewer-
durch das Frequenzspektrum bei den diskreten Frequenzen im
teter oder berücksichtigter Frequenzbereich) in Hz; R Wider-

Abstand f darstellen:

stand in (.

92.4

Nachricht, Information und Signal

1139

Der Rauschstrom ergibt sich zu:

Schrotrauschen als Stromschwankungsquadrat:

Widerstandsrauschen: Rauschstrom

2
i D 2 q
s
eIB

XIII
r

N

4 kTB
i D

R

(92.20b)

R
qe Elementarladung des Elektrons 1;6 1019 A s; B Band-

Teil
breite in Hz; I Anoden- bzw. Halbleiterstrom in A.

Stromverteilungsrauschen

Formelgrößen siehe (92.20a).

: Es entsteht durch statistische

Ein rauschender Widerstand erzeugt an einem gleich großen

Schwankungen der Stromaufteilung auf Basis und Kollektor
nichtrauschenden (d. h. idealisierten) Widerstand bei Leis-
bei Transistoren bzw. auf Gitter und Anode bei Elektronen-
tungsanpassung die Rauschleistung
röhren.

Rauschleistung
c) Weißes Rauschen

N u

N i

N

R

R
p D

D

Im betrachteten Frequenzbereich sind, über einen größeren Zeit-

R
kTB
bei Leistungsanpassung

(92.20c)

2

2
bereich betrachtet, alle Frequenzen mit gleicher Amplitude
vorhanden.

Formelgrößen siehe (92.20a).

d) Kennzeichnung der Rauscheigenschaften von

Verstärkern und Empfängern

Beispiel 7

Mit Störabstand wird das Verhältnis von Signalleistung PS zu

Bei Zimmertemperatur (20 °C D 293 K) beträgt die

Störsignalleistung PN bezeichnet:

Rauschspannung eines Widerstandes R D 10 k( bei ei-

Störabstand
ner Bandbreite von 1 MHz:

r

PS

PS

S D
oder

S D 10 lg
in dB

(92.21)

N

W s

1

V
u D

P

P

R

4 1;38 1023

293 K 106

104

N

N

K
s

A

D 12;7 &V

PS Signalleistung (engl. s ignal); PN Rauschleistung (engl.

n oise).

Die Rauschleistung errechnet sich zu:

In der Rundfunk-Empfangstechnik wird ein Störabstand von

26 dB entsprechend P

S = PN

400 gefordert.

N

W s

1
p D

D

R

1;38 1023

293 K 106

4 1015 W

K
s

Zum Vergleich der Rauscheigenschaften von Verstärkern oder

Empfängern wird die Rauschzahl F verwendet. Sie ist definiert

Sie ist unabhängig vom Wert des Widerstandes. Da
als das Verhältnis von Signal- zu Rauschleistung am Eingang
die Rauschspannung von der Temperatur abhängt, wer-
bezogen auf das entsprechende Verhältnis am Ausgang:

den Verstärker für besondere Anwendungen (Empfänger
für Signale von Weltraumsonden) im Temperaturbereich

Rauschzahl
von einigen Kelvin betrieben (aber oberhalb der Supra-

. P
leitung). Die Rauschspannung des 10-k(-Widerstandes

S= PN / e

F D

(92.22)

würde dann bei 10 K Betriebstemperatur von 12,7 &V auf

. PS= PN/ a
etwa 2,3 &V absinken.

J

PS Signalleistung; PN Rauschleistung; Indizes: e Eingang; a

Ausgang.

1= f - Rauschen oder Funkelrauschen: Rauschen, das bei Fre-

Rauschmaß
quenzen unterhalb 1 kHz auftritt und zu niedrigeren Fre-
quenzen hin zunimmt (Amplitude 1= f ). Es macht sich

F D 10 lg. F/ in dB

(92.23)

besonders bei Halbleitern (Transistoren) unangenehm be-
merkbar.

Die Rauschzahl am Ausgang eines Vierpols (Verstärkers) hängt

„ Popcorn“- Rauschen: Es handelt sich um sporadisch auftre-
auch vom Rauschen der Signalquelle ab, deshalb verwendet
tendes Rauschen mit kurzer Dauer (µs-Bereich) und Am-
man bevorzugt die Rauschtemperatur Q. Der Vierpol hat die
plituden, die um ein Vielfaches über denen des „normalen“

Leistungsverstärkung G und wird als rauschfrei angenommen.

Rauschens liegen. Es führt in Verstärkerschaltungen häufig

Am Eingang liegt ein Widerstand R, der die gleiche Rausch-
zu Übersteuerungen.

leistung PN am Ausgang des Vierpols erzeugt wie der Vierpol

Schrotrauschen: Es wird verursacht durch ungleichmäßige
selber: P

D

N

G k B # V ((92.20c), Leistungsanpassung;

Ladungsträgerinjektion bzw. -emission in Halbleitern und

Formelgrößen siehe (92.20a)). # V ist die Rauschtemperatur des

Elektronenröhren. Das mittlere Stromschwankungsquadrat

Vierpols. Entsprechend rauscht auch die den Vierpol speisende
ist gegeben zu:

Signalquelle mit der Rauschtemperatur #

D

SS: P SS

G k B #SS.

1140

92 Grundlagen der Nachrichtenübertragung

Teil

Effektivwert

G
p

1

G2

XIII

S

D

N
eff
s 2

Abb. 92.10 Rauschen eines zweistufigen Verstärkers

Streuung

T

Die effektive Rauschleistung am Ausgang ergibt sich durch Ad-

Z

1
dition: P

D

C

C

2 D lim
f s. t/ N s g2 dt
eff

G k B.#SS

# V/. Der Ausdruck .#SS

# V/

T!1 2 T
wird effektive Rauschtemperatur #eff genannt. Damit folgt für

T
die Rauschzahl:

Rauschzahl

Standardabweichung
p

C PN

D 2

(92.28)

F D P SS

D 1 C PN D 1 C GkB# V

P SS

P SS

GkB#SS

#

In der Praxis kann der Grenzübergang T ! 1 nicht ver-

D

V

1 C

D

#

1 C FZ

(92.24)

wirklicht werden. Es hat sich aber gezeigt, dass der jeweilige

SS

Mittelwert schon nach kurzer Zeit (Erfahrungswert) erreicht

F
wird und sich bei weiterer Erhöhung von T nicht mehr wesent-

Z ist die zusätzliche Rauschzahl, die das (zusätzliche) Rau-
schen des Vierpols oder Verstärkers angibt; F D
lich ändert.

Z

0 heißt, dass
er rauschfrei ist.

Rauschmaß
a D
b) Korrelationsfunktionen

F

10 lg F
in dB

(92.25)

P

Korrelation heißt Ähnlichkeit bzw. Übereinstimmung, auch Ver-

S

Rauschabstand
a D
r

10 lg
in dB

(92.26)

P
knüpfung.

N

Autokorrelationsfunktion (AKF):

PS Signalleistung (engl. s ignal); PN Rauschleistung (engl.

n oise).

T

Z

1

Sind zwei Verstärkerstufen hintereinandergeschaltet, wie in

˚SS./ D lim
s. t/ s. t / dt

(92.29)

Abb. 92.10 gezeigt, ergibt sich als Gesamtrauschzahl:

T!1 2 T T

Gesamtrauschzahl zweistufiger Verstärker

Anschaulich beschreibt sie die „innere Ähnlichkeit“ eines Si-

1
gnals mit sich selbst, wenn man beide um die Zeit t gegeneinan-

F D F C F 2

1

(92.27)

G
der verschiebt.

1

F 1 Rauschzahl des Verstärkers 1; F 2 Rauschzahl des Verstärkers

Beispiel 8

2; G 1 Leistungsverstärkung des Verstärkers 1.

Die erste Verstärkerstufe sollte deshalb ein möglichst niedriges
a) Die Autokorrelationsfunktion für eine Gleichspannung

Rauschen ( F 1) und eine hohe Verstärkung ( G 1) besitzen.

U

¤

0 berechnet sich zu: ˚ SS. t/ D U 2
f . t/. Die Ähn-

0
lichkeit ist stets gleich groß und maximal.

92.4.11.2

Kenngrößen von stochastischen Signalen
b) Für einen sinusförmigen Verlauf s. t/ D O s.cos ! t C '/
folgt: ˚SS./ D O s 2 cos !. Wenn t D 0 ist, stim-

2
a) Mittelwerte
men beide Signale überein, und die Ähnlichkeit ist
maximal. Für ! t D ˙90° bzw. ˙270° weichen bei-

Es werden Definitionen wie in der Messtechnik verwendet, die
de Signale maximal voneinander ab, die Ähnlichkeit
auf die Anwendungen in der Nachrichtentechnik zugeschnitten
ist null.

sind. Deshalb wird das Integrationsintervall häufig von T bis
c) Das Signal ist Rauschen. Da Rauschen ein statistischer

C T gewählt, sodass sich der Faktor 1=2 vor dem Integral ergibt.

Vorgang ist, besteht keinerlei Ähnlichkeit zwischen be-

Arithmetischer Mittelwert
nachbarten Augenblickswerten, und damit ergibt sich:

˚

T

Z

SS. t ¤ 0/ D 0.

J

N

1
s D lim
s. t/ dt

T!1 2 T T

Kreuzkorrelationsfunktion (KKF):

Quadratischer Mittelwert

T

Z

˚

D

1
lim
s

T

Z
s 1 s 2

1. t/ s 2. t/ dt

(92.30)

T!1 2 T

N

1
s 2 D lim
f s. t/g2 dt

T

T!1 2 T T

Sie gibt die Ähnlichkeit zweier unterschiedlicher Signale an.

92.4

Nachricht, Information und Signal

1141
c) Spektrale Leistungsdichte

C

Sie ist die Leistung P als Funktion der Frequenz, bezogen auf
u
u

1

R

2

XIII
f :

Spektrale Leistungsdichte

Abb. 92.11 RC-Hochpass

Teil

˚

P

S . f / D lim

(92.31)

f !0 f

( Komplexer) Frequenzgang oder ( komplexer) Übertragungsfak-
tor:

Theorem von Wiener-Khintchine: Die spektrale Leistungs-
dichte ist die Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunk-

H. j!/ D j H. j!/j ejb.!/ D C ea.!/ ejb.!/
tion.

D R.!/ C jX.!/

(92.32)

a Dämpfungsmaß; b Phasenmaß; C Konstante, falls Eingangs-

92.4.11.3

Anwendungen der Kenngrößen von
und Ausgangsgröße unterschiedliche Dimension besitzen, R.!/
stochastischen Signalen

Realteil, X.!/ Imaginärteil.

Die im vorigen Kapitel erläuterten Kenngrößen finden Anwen-
a wird als Dämpfungsmaß, b als Phasenmaß bezeichnet;
dung in der Korrelations-Mess- und -Übertragungstechnik. Das

P

Prinzip soll an zwei Beispielen gezeigt werden.

1
a D lg D D lg P 2
a) Die Bilder von Raumsonden sind beim Empfang auf der

Erdoberfläche sehr stark durch Rauschen gestört, wobei die

D Dämpfungsfaktor; P 1 Leistung am Eingang; P 2 Leistung am

Amplituden des Nutzsignales nur ein Bruchteil derjenigen

Ausgang; siehe auch Abschn. 92.5 „Kenngrößen der Übertra-
des Störsignales sind. Man veranlasst deshalb die Raumson-
gungsstrecke“.

de, dasselbe Bild viele tausendmal zu senden. Mit jedem neu

Hängen a bzw. b von der Frequenz ab, spricht man von Dämp-
eintreffenden Bild wird die Autokorrelationsfunktion, beste-
fungsverzerrungen bzw. Phasenverzerrungen.

hend aus der Überlagerung von Nutz- und Rauschsignal, mit
allen vorhergehenden Bildern gebildet. Das Nutzsignal ist

Dämpfungsverzerrungen
a D f .!/
durch das wiederholte Senden ein quasi periodisches Signal,

Phasenverzerrungen
b D f .!/
dessen Autokorrelationsfunktion ein Maximum bei D 0 hat

( D 0 gilt bei periodischen Signalen mit der Periodendau- Bei Vierpolen verwendet man auch den aus der Regelungs-
er T auch für T; 2 T; 3 T; : : :). Die Autokorrelationsfunktion technik stammenden Begriff „ Übertragungsfunktion“ für das
des Rauschens geht nach Beispiel 8 gegen null, sodass nach

Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsspannung bei Leerlauf
einer ausreichenden Anzahl von Bildwiederholungen das
am Ausgang.

Nutzsignal nahezu ungestört übrig bleibt. (Siehe dazu Ab-
schn. 108.3).

U

Übertragungsfunktion

H. j!/ D

2

(92.33)

b) Das Rauschen eines Verstärkers kann in der Praxis dadurch

U 1
verringert werden, dass das Nutzsignal in zwei oder mehr ge-
trennten rauschenden Verstärkern parallel verstärkt und von
bei Vierpolen, Leerlauf am Ausgang.

den Ausgangssignalen die Kreuzkorrelationsfunktion gebil-

U Eingangsspannung, U Ausgangsspannung

1

2
det wird. Das Rauschen der Verstärker ist nicht korreliert,
sodass es sich teilweise heraushebt. Übrig bleibt das korre-

Beispiel 9
lierte Nutzsignal, das eine maximale Übereinstimmung für

D 0 aufweist.

Ein RC-Hochpass nach Abb. 92.11 hat den Übertragungs-
faktor (Übertragungsfunktion) nach (92.32) bzw. (92.33):

s

92.4.12

Verzerrungen

U
j! RC

.! RC/2

H. j!/ D

2 D

D
ej arctan 1

! RC

U

1 C j! RC

1 C .! RC/2

1

.!

!

Der ( komplexe) Frequenzgang oder der ( komplexe) Übertra-

D

RC/2

C

RC
j
gungsfaktor eines Vierpols oder eines Verstärkers ist das Ver-

1 C .! RC/2

1 C .! RC/2
hältnis einer beliebigen Ausgangsgröße zu einer beliebigen

Eingangsgröße. In der Praxis wird es sich meist um gleichartige

Ein
nicht
sinusförmiges Signal
am

Eingang hat

Größen handeln, z. B. Spannungen. Der komplexe Frequenz-
am Ausgang eine Phasenverzerrung, da b.!/

D
gang wird mit H. j!/ bezeichnet und kann in Form von Betrag
arctan.1=! RC/ ¤ const. Ebenso treten Dämpfungsver-
und Phase oder als Summe von Realteil R.!/ und Imaginärteil
zerrungen auf, da a D f .!/.

J

X.!/ dargestellt werden:

1142

92 Grundlagen der Nachrichtenübertragung

Teil
a

R
a

D

XIII
u
u
u

1
u

C

2

1

R

2
b
i
b

D
u 1

U 0
u 2
u D

T

3
t

T

4

4
c
u 1
u t

2( )

U 0

Abb. 92.13 Entstehung von nichtlinearen Verzerrungen an einer idealisierten
t

Diodenkennlinie

Abb. 92.12 Lineare Verzerrungen. a RC-Tiefpass, b Eingangssignal, c linear
verzerrtes Ausgangssignal

92.4.12.3

Klirrfaktor

Der Klirrfaktor dient zur Beurteilung von nichtlinearen Verzer-

92.4.12.1

Lineare Verzerrungen
rungen. Zur Bestimmung wird folgendes Verfahren eingesetzt:

Von linearen Verzerrungen spricht man, wenn Eingangs- und

Der Prüfling (z. B. Verstärker) erhält ein sinusförmiges Ein-

Ausgangssignal eines Vierpols oder Verstärkers nicht den glei-
gangssignal mit der Frequenz f 0 (bei NF-Verstärkern in der
chen zeitlichen Verlauf haben, aber keine zusätzlichen Fre-

Regel 1 kHz). Aus dem Ausgangssignal wird die Grundschwin-
quenzen im Ausgangssignal gegenüber dem Eingangssignal
gung mit der Frequenz f 0 ausgefiltert. Ein eventuell verbleiben-
enthalten sind (Fourierzerlegung beider Signale). Sie entstehen
des Restsignal ist durch nichtlineare Verzerrungen des Verstär-
häufig dadurch, dass der Vierpol oder Verstärker Tiefpassver-
kers entstanden, dessen Effektivwert gleich dem Effektivwert
halten besitzt und damit den Frequenzbereich einschränkt (siehe
aller Oberschwingungen ist. Dieser Wert ist um so größer, je

Beispiel 10). Diese Verzerrungen sind prinzipiell korrigierbar.

mehr das Ausgangssignal von der Sinusform abweicht. Er heißt

Klirrfaktor und ist wie folgt definiert (DIN 40110 und 40148):

Beispiel 10

Klirrfaktor
s
s

Ein periodisches Rechtecksignal durchläuft einen RC-

P1

U 2 C U 2 C U 2 C : : :

U 2

Tiefpass nach Abb. 92.12a. Der Frequenzgang ergibt sich
k D

2

3

4

D
i D2
i

P1

(92.34)

bei unbelastetem Ausgang zu: H. j!/ D U 2 D

1

.

U 2 C U 2 C U 2 C : : :

U 2

1

2

3
i D1
i

U 1

1C j! RC

Die Oberschwingungen werden mit wachsender Frequenz
zunehmend gedämpft, sodass das Signal am Ausgang in

U 1 Effektivwert der Grundschwingung oder ersten Harmoni-
seinem zeitlichen Verlauf verändert ist (Abb. 92.12c).

schen; U 2 Effektivwert der ersten Oberschwingung oder zweiten

Durch Reihenschaltung eines weiteren Vierpols mit dem

Harmonischen usw.

inversen Frequenzgang H

D . 1 /1 D .1C j! RC/
inv

1C j! RC

Er wird meist in % angegeben. Daneben gibt es noch die folgen-
kann das verzerrte Signal wieder in den Originalzustand
de Darstellung:

versetzt werden.

J

Klirrfaktor
q

C

C

C

92.4.12.2

Nichtlineare Verzerrungen

U 2

U 2

U 2

: : :

2

3

4
k 0 D

(92.35)

Sie entstehen an gekrümmten Kennlinien, an denen der Quotient

U 1
aus Spannung und Strom nicht mehr konstant ist, sondern von
der Spannung bzw. dem Strom abhängt (z. B. bei Dioden, span-

Der Zusammenhang zwischen k 0 und k ist gegeben durch:

nungsabhängigen Widerständen). Es entstehen zusätzliche neue

Frequenzen im verzerrten Ausgangssignal, wie sie sich z. B. er-
k D
k 0
p
geben, wenn man als Eingangssignal eine sinusförmige Größe

1 C k 02
wählt und für die verzerrte Ausgangsgröße die Fourierzerlegung
durchführt. Abb. 92.13 zeigt das Entstehen nichtlinearer Verzer-

Je kleiner der Klirrfaktor ist, um so weniger unterscheiden sich
rungen an einer gekrümmten Kennlinie.

k 0 und k.

92.5

Kenngrößen der Übertragungsstrecke

1143

Für besondere Anwendungen werden Teilklirrfaktoren verwen-

92.5

Kenngrößen der
det:

Übertragungsstrecke

Teilklirrfaktoren:

XIII
k

D U 2 I

D U 3 I

Unter „Übertragungsstrecke“ werden hier bevorzugt entweder

2
k 0
k
k 0

: : :

(92.36)

2

3

3

Teil

U 1

U 1
einzelne Vierpole, Verstärker und elektrische Leitungen oder

Das „“-Zeichen gilt, wenn die Teilklirrfaktoren viel kleiner als
aber Kombinationen aus ihnen verstanden (Hinweis 1: Natürlich

1 sind.

lassen sich auch Verstärker und Leitungen unter dem Begriff

„Vierpol“ einordnen. Hinweis 2: In Abb. 92.14 ist ein komple-

1

Klirrdämpfung
a D
xer Vierpol als Kettenschaltung von Leitung 1 ! Verstärker 1
k

20 lg

(92.37)

k

! Leitung 2 ! Verstärker 2 ! Leitung 3 ! Tiefpassfilter !

Leitung 4 dargestellt). Um die Verknüpfung von Eingangs- und

Beispiel 11

Ausgangsgrößen sowohl von Einzelvierpolen als auch von Ge-
samtvierpolen zu erfassen, wurden die folgenden Kenngrößen

Für den in Abb. 92.5 dargestellten rechteckförmigen Si-
definiert (Indizes: 1 Eingang, 2 Ausgang):

gnalverlauf gibt (92.10) die Fourierreihe an. Setzt man die

Effektivwerte in (92.34) ein, folgt für den Klirrfaktor:

v
u

92.5.1

Dämpfungsfaktor
u
p /2Œ. 1 /2 C . 1 /2 C . 1 /2 C : : :

3

5

7
k D t

. 2 U 0

2

. 2 U 0
p /2Œ. 1 /2 C . 1 /2 C . 1 /2 C . 1 /2 C : : :

2

1

3

5

7
v

Leistungsdämpfungsfaktor

D D P 1

P

(92.38a)

u

P
u

2

/2 C . 1/2 C . 1/2 C . 1/2 C : : : 1

D t Œ. 11

3

5

7

Spannungsdämpfungsfaktor

D D U 1

(92.38b)

Œ. 1/2 C . 1/2 C . 1/2 C . 1/2 C : : :

U

U

1

3

5

7

2
p

Stromdämpfungsfaktor

D D I 1

I

(92.38c)

Der Ausdruck 1= 2 im Zähler und im Nenner ist wegen

I 2
des Überganges von den Scheitel- zu den Effektivwerten

Die Dämpfungsfaktoren sind 1, wenn die Größen am Aus-
erforderlich.

p
gang höchstens gleich denen am Eingang sind. Ein Dämpfungs-

Der Faktor 2 U 0= 2 lässt sich im Zähler und im Nen-
faktor D < 1 bedeutet damit eine Verstärkung. Da man bei einer
ner als gemeinsamer Faktor ausklammern und kürzen. Im

Verstärkung aber von der Vorstellung eines Zahlenwertes > 1

Zähler wurde dann in der eckigen Klammer zunächst der
ausgeht, hat man Übertragungsfaktoren definiert:

Wert .1=1/2 addiert und anschließend wieder abgezogen.

Für die eckige Klammer im Zähler und im Nenner gilt:

"

#

92.5.2

Übertragungsfaktor

1 2

2

2

2

2

C 1

C 1

C 1

C : : : D

1

3

5

7

8

Er wird auch mit Verstärkungsfaktor bezeichnet.

Damit erhält man:

Leistungsübertragungsfaktor

T D P 2

P

(92.39a)

v

P 1
u
u 2 1

Spannungsübertragungsfaktor

T D U 2

(92.39b)

k D t 8

D 0;435 oder 43;5 %

J

U

U

2

1

8

Stromübertragungsfaktor

T D I 2

I

(92.39c)

I 1

Verstärker 1

Verstärker 2

Filter

Leitung 1

Leitung 2

Leitung 3

Leitung 4
v 1 = 20 dB
v 2 = 45 dB
a 4 = 6 dB
a
a
a
a

U

1 = 15 dB

2 = 25 dB

3 = 10 dB

5 = 5 dB

1

U 2

25 dB

20 dB

15 dB

5 dB

9 dB

4 dB

0

–15 dB

–20 dB

–20 dB

1,78 V

1,78 V

5,62 V

1,58 V

1 V

0,178 V

0,1 V

2,82 V

Abb. 92.14 Pegeldiagramm

1144

92 Grundlagen der Nachrichtenübertragung

Teil

Da in der Nachrichtentechnik Dämpfungs- und Übertragungs-

Spannungsübertragungsmaß
faktoren (Verstärkungsfaktoren) im Bereich von mehreren Zeh-

XIII

U 2 Z
nerpotenzen vorkommen und in einer Übertragungskette meh-

1
v D

D

2

U
aU

10 lg
in dB
rere dieser Werte miteinander multipliziert werden müssen, hat

Z 2 U 21
man logarithmische Maße definiert, bei denen die Multiplika-

U 2
v D a D 20 lg
in dB
für Z D Z
tion in eine Addition übergeht. Als Basis dient die Zahl 10

U

U

1

2

(92.41b)

U 1

(verwendet bei Vierpolen und Verstärkern) oder die Zahl e D

2;718 : : : (verwendet bei elektrischen Leitungen).

Stromübertragungsmaß

I 2 Z 2
v D

D

2

I
aI

10 lg
in dB

I 2 Z

1

1

92.5.3

Dämpfungsmaß

I 2
v D

D

D

I
aI

20 lg
in dB
für Z 1

Z 2

(92.41c)

I 1

Es wird in Dezibel (dB) angegeben. Leistungsdämpfungsmaß

Z 1 Eingangswiderstand des Vierpols, reell, Z 2 Lastwiderstand
am Ausgang des Vierpols, reell.

P 1
a D

P

10 lg
in dB

(92.40a)

Besteht eine Übertragungsstrecke aus der Hintereinanderschal-

P 2
tung („Kettenschaltung“) von mehreren Einzelvierpolen, folgt
das Gesamtdämpfungsmaß aus der Summe der Teildämpfungs-

Spannungsdämpfungsmaß
maße:

U 2 Z

Gesamt-Dämpfungsmaß(-Verstärkungsmaß):

2
a D

1

U

10 lg
in dB

Z 1 U 22
a

D

C

C

C

D
ges
a 1
a 2
a 3

: : : mit an
vn

(92.42)

U 2

U 1
a D

1 D

D

U

10 lg

20 lg
in dB
für Z 1

Z 2 (92.40b)

U 2

U

Beispiel 12

2

2

Gegeben: a

D 12 dB; a

D 25 dB; a

D 40 dB.

Stromdämpfungsmaß

U 1

U 2

U 3

U D

D

1

1 mV; U 3

? mV.

I 2 Z 1
a

D a

C a

C a

D .12 C 25 40/ dB D
a D

1

U ges

U 1

U 2

U 3

I

10 lg
in dB

I 2 Z

27 dB. Da Z

D

2

2

1 und Z 2 nicht gegeben sind, wird Z 1

Z

D 20 lg. U

I 2

I

2 gesetzt. aU ges

1= U 3/

D 27 dB. aU ges

1
a D

1 D

D

I

10 lg

20 lg
in dB
für Z 1

Z 2

(92.40c)

ist negativ, und damit wird U 1 verstärkt. Für U 3 folgt:

I 2

I

2

2

U

D

D

1 = U 3

1027=20, U 3

U 1=1027=20 D U 1=1027=20 D

1 mV 22;4 D 22;4 mV.

J

Z 1 Eingangswiderstand des Vierpols, reell, Z 2 Lastwiderstand
am Ausgang des Vierpols, reell.

Die Bedingung Z

D

1

Z 2 spielt bei der Leistungsanpassung

(Verstärker) und der Leitungsanpassung (elektrische Leitungen)

92.5.5

Pegel
eine Rolle. Mit der Beziehung lgŒ x 2 D 2 lgŒ x ergeben sich
dann die dargestellten Formeln. Das Dämpfungsmaß ist positiv,

Häufig interessiert das Verhältnis einer Leistung, einer Span-
wenn die Ausgangsgröße kleiner ist als die Eingangsgröße. Die
nung oder eines Stromes zu einem beliebigen Bezugswert. Man

Übertragungsmaße (Verstärkungsmaße) ergeben sich analog zu
spricht dann von einem Pegel. Wichtig ist, dass zu einer Pegelan-

(92.40a), (92.40b) und (92.40c).

gabe der Bezugswert angegeben wird oder dieser Wert bekannt
ist.

92.5.4

Übertragungsmaß, Verstärkungsmaß

92.5.5.1

Absoluter Pegel

Absoluter Leistungspegel

Beide Bezeichnungen werden verwendet, und der Wert wird in

Px

Dezibel (dB) angegeben. Sie unterscheiden sich vom Dämp-

L

D

P abs

10 lg
in dBm

(92.43a)

1 mW
fungsmaß durch das Vorzeichen. Das Verstärkungsmaß ist po-
sitiv, wenn die Ausgangsgröße größer ist als die Eingangsgröße.

Absoluter Spannungspegel

Ein positives Verstärkungsmaß ist damit ein negatives Dämp-

Ux
fungsmaß und umgekehrt.

L

D

D

U abs

20 lg
in dB für Z 1

Z 2

(92.43b)

775 mV

Leistungsübertragungsmaß

Absoluter Strompegel

P 2

Ix
v D

D

D

D

P
aP

10 lg
in dB

(92.41a)

LI abs

20 lg
in dB
für Z 1

Z 2

(92.43c)

P 1

1;29 mA

92.5

Kenngrößen der Übertragungsstrecke

1145

Tab. 92.3 Beispiele für Pegelangaben

In der Antennen-Messtechnik wird beispielsweise U D

0

1 µV

Pegelart

Definition

Bezeichnung
gewählt, weil bei Antennenspannungen in dieser Größenord-

Absoluter Leistungspegel

10 lg

P
dBm
nung Mono-Rundfunkempfang möglich wird. Die Angabe er-

1 mW

XIII

folgt dann in dB (µV).

10 lg

P
dBW

1 W
j

Absoluter Spannungspegel

20 lg

U j
dB

In der Tab. 92.3 sind einige Pegelangaben aufgelistet.

Teil

775 mV
j

20 lg

U j
dBV

1 V

Relativer Pegel

10 lg P
dBr

92.5.5.3

Dämpfungsmaß, Übertragungsmaß

P 0
j

Absoluter Pegel in Antennen-

20 lg

U j
dB(µV)

1 &V

Sie sind folgendermaßen definiert:

schaltungen

Absoluter Pegel, reduziert auf

Es gilt:

dBm0

Dämpfungsmaß (Pegel) a D L

1

L 2 in dB, positiv,

0-dBr-Punkt

P

D P C P

Übertragungsmaß (Pegel) a D L L
dBm
dBm0
dBr

1

2 in dB, negativ.

Es gilt:

Die Bezugswerte (Zusatz „m“ bei der Leistungsangabe in dB)

sind vom Telefon abgeleitet, bei dem an der Hörkapsel eine mitt-

L 1 Pegel am Punkt 1 in dB ( LP oder LU oder LI)

lere elektrische Leistung von 1 mW an 600 ( (Widerstand des

L 2 Pegel am Punkt 2 in dB ( LP oder LU oder LI)

(92.45)

Telefons und Leitungs- oder Wellenwiderstand der Telefonlei-
tung) zur Verständigung ausreicht.

Ein negatives Dämpfungsmaß ist damit ein Übertragungsmaß
und bedeutet, dass die Ausgangsgröße größer ist als die Ein-

92.5.5.2

Relativer Pegel
gangsgröße.

Relativer Leistungspegel

P

92.5.5.4

Pegeldiagramm
x

L D

P

10 lg
in dBr

(92.44a)

P 0

Um bei komplexen Übertragungsstrecken einen schnellen Über-

Relativer Spannungspegel
blick über die an jedem Ort herrschenden Pegel bzw. Ab-
solutwerte zu erhalten, verwendet man das Pegeldiagramm.

Ux

Abb. 92.14 zeigt ein Beispiel.

L D

D

U

20 lg
in dBr
mit Z 1

Z 2

(92.44b)

U 0

Zu jedem Ort ist der vorhandene Pegel (hier Spannungspegel)

Relativer Strompegel
sofort angebbar. Durch die willkürliche aber praktische Fest-

I
legung der Eingangsgröße U 1 auf einen Pegel von 0 dB kann
x

L D

D

I

20 lg
in dBr
mit Z 1

Z 2

(92.44c)

man außerdem erkennen, ob der Pegel irgendwo einen kriti-

I 0
schen Wert unterschreitet, sodass ein Mindest-Störabstand nicht

P 0, U 0, I 0 sind geeignet gewählte Bezugsgrößen.

mehr gewährleistet ist.

Zweitore, Vierpole

XIII

93

Wilfried Plaßmann

Teil

93.1 Zweitor allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148

93.2 Spezielle Zweitore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155

93.3 Wellenparameter passiver Zweitore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1147

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_93

1148

93 Zweitore, Vierpole

Teil

93.1

Zweitor allgemein
a

I 1

I 2

XIII

U 1

U 2

93.1.1

Grundlagen
b

Zweitore (nach DIN 4899; alte Bezeichnung „Vierpole“) sind

I 1

I 2

Funktionseinheiten mit zwei Toren, wobei zu jedem Tor ein

U 1

U 2

Klemmenpaar gehört. An eines der Tore wird das Eingangs-
signal angeschlossen, die zugehörigen Anschlüsse werden mit

Eingangsklemmen bezeichnet. Entsprechend wird an den zwei

Abb. 93.1 Zweitor. a Allgemein, b gemeinsamer Anschluss für Ein- und Aus-

Ausgangsklemmen das Ausgangssignal abgegriffen. Eventu-
gang
ell erforderliche Anschlüsse für eine Stromversorgung werden
nicht mitgezählt. Der interne Aufbau besteht aus einer belie-
bigen Zusammenschaltung von Widerständen, Kondensatoren,
rator (Sprecher) und Verbraucher (Hörer) ihre Rollen tauschen

Spulen, Transformatoren, Dioden, Transistoren usw. Es wird
und damit der Signalfluss in beiden Richtungen erfolgt.

vorausgesetzt, dass die Zweitore zeitinvariant sind, d. h. die Ei-
genschaften hängen nicht von der Zeit ab.

Die im folgenden dargestellten Beziehungen für Zweitore sind
wesentliche Ergebnisse der Zweitortheorie und sind aus zwei

Zweitore werden in folgender Weise charakterisiert:

Gründen von besonderer Bedeutung:

Passive Zweitore:

Die am Ausgang entnehmbare Leistung

1. Umfangreiche Zweitore lassen sich auf wenige sogenann-
ist kleiner oder gleich der am Eingang
te „Elementarzweitore“ zurückführen bzw. als Kombination
zugeführten Leistung.

aus diesen darstellen. Die Parameter dieser Elementarzwei-

Aktive Zweitore:

Die am Ausgang entnehmbare Leistung
tore sind in Tab. 93.4 zusammengestellt.

ist größer als die am Eingang zugeführte

2. Mehrere Zweitore können durch geeignet gewählte Para-

Leistung.

meter der Einzelzweitore auf einfache Weise zu einem

Lineare Zweitore:

Innerhalb des Zweitors gilt, dass in je-

Gesamtzweitor zusammengefügt werden (Tab. 93.1 und
dem Zweig das Verhältnis von Spannung

Abb. 93.2).

zu Strom nicht vom Strom bzw. der

Spannung abhängt. Enthält ein Zweitor
nichtlineare Bauelemente wie Dioden,

Transistoren oder spannungsabhängige

93.1.2

Zweitorgleichungen,

Widerstände, werden deren Kennlinien

Zusammenschaltung von Zweitoren
häufig linearisiert. Dadurch entsteht nä-
herungsweise ein lineares Zweitor.

Nichtlineare Zweitore: Die nichtlinearen Kennlinien von z. B.

Das Zweitor wird in seinen Eigenschaften vollständig durch

Dioden, Transistoren, spannungsabhän-
zwei Gleichungen beschrieben, die die vier Größen U , U , I

1

2

1
gigen Widerständen und Spulen mit Ei-
und I nach Abb. 93.1 miteinander verknüpfen. Je nach Art die-

2
sen werden nicht linearisiert. Damit ist
ser Verknüpfung ergeben sich unterschiedliche Parameter (Fak-
die funktionale Abhängigkeit zwischen
toren bei den Spannungen und Strömen, siehe Tab. 93.1, linke
den Eingangs- und Ausgangsgrößen des

Spalte). Die Bedeutung dieser unterschiedlichen Parameter liegt

Zweitors nicht so einfach darstellbar wie
darin, dass eine bestimmte von den 5 möglichen Arten der Zu-
bei linearen Zweitoren.

sammenschaltung zweier Einzelzweitore nach Abb. 93.2a–e nur
mit den zugeordneten Parametern erfolgen kann. Die mittlere

Die folgenden Ausführungen setzen lineare, zeitinvariante

Spalte von Tab. 93.1 listet die Arten der Zusammenschaltung

Zweitore voraus. Die elektrische Leitung ist ein Zweitor be-
auf, während in der rechten Spalte die erforderlichen Parame-
sonderer Art. Sie wird deshalb im nächsten Kapitel gesondert
ter stehen und welche Operationen für eine Zusammenschaltung
behandelt.

erforderlich sind. Liegen die Parameter in einer anderen als der

Abb. 93.1 zeigt die für die Ein- und Ausgangsgrößen verwen-
geforderten Form vor, müssen sie anhand von Tab. 93.2 umge-
deten Bezeichnungen (DIN 1344, 40148). Das Zweitor nach
wandelt werden.

Abb. 93.1b besitzt die Besonderheit, dass ein Eingangs- und

Hinweise zu Tab. 93.1:

ein Ausgangsanschluss miteinander verbunden sind. Zweitore
dieser Art werden bevorzugt verwendet, da die durchgehende

1. Bei den H-Parametern ist alternativ auch die Schreibweise

Verbindung häufig als Anschlusspunkt für Abschirmungen, für
mit kleinen Buchstaben zulässig, um die Verbindung zu den
das Gehäusepotential und den Netz-Schutzleiter dient. Auf diese
bei Transistoren verwendeten h-Parametern herzustellen. So

Weise lassen sich Störungen in Signalkreisen klein halten. Die
wird beispielsweise die Stromverstärkung nicht mehr mit B

Richtung des Stromes I wird in der Regel positiv genommen,
bzw. b, sondern mit h

2

21 bezeichnet.

wenn er in das Zweitor hineinfließt. Diese Betrachtungsweise ist

2. Bei der Reihen-Parallel- und der Parallel-Reihen-Schaltung
z. B. für Zweitore in Telefon-Signalkreisen sinnvoll, da Gene-

(Abb. 93.2c, d) muss das zweite Zweitor zwischen Ein- und

93.1

Zweitor allgemein

1149
a
b

Y

Z a
a

XIII

Teil

Y b

Z b
c
d

H a

C a

C b

H b
e

A a

A b
f
g

I 2a

I 2a

U

I

1a

U 1a

2

I 2

U

U

1

U

1

I

2

2b

I 2b

U 2

U 1b

U 1b

U 1b = 0 (erzwungen)

Abb. 93.2 Zusammenschaltung von Zweitoren. a Parallel-Parallel-Schaltung, b Reihen-Reihen-Schaltung, c Reihen-Parallel-Schaltung, d Parallel-ReihenSchaltung, e Kettenschaltung, f Reihen-Parallel-Schaltung (unteres Zweitor nicht gedreht), g Reihen-Parallel-Schaltung (unteres Zweitor gedreht)

Ausgang in der dargestellten Weise „gedreht“ werden. Prin-

93.1.3

Bestimmung der Zweitorparameter
zipiell kann die Zusammenschaltung zweier Zweitore nach

Abb. 93.2c oder Abb. 93.2d auf 4 Arten erfolgen. Abb. 93.2f

Die Bestimmung der Zweitorparameter wird am Beispiel von
zeigt am Beispiel der Reihen-Parallel-Schaltung, wie bei ei-

Z
gezeigt. In der Gleichung U

D Z I C Z I wird
ner von diesen vier Möglichkeiten der Zusammenschaltung

11

1

11

1

12

2

I durch Leerlauf am Ausgang zu Null erzwungen. Korrekter-

U

D 0 erzwungen wird.

2

1 b
weise spricht man bei Z
von der Leerlauf-Eingangsimpedanz.

Auch zwei weitere, hier nicht dargestellte Möglichkeiten,

11

Dann ergibt sich Z
aus dem Verhältnis U = I . Die Bestim-
führen dazu, dass eine Spannung zu Null erzwungen wird.

11

1

1
mung von Z
wird über I D 0 erreicht. Diese Impedanz heißt

Nur die „gedrehte“ Version von Zweitor 2 nach Abb. 93.2g

12

1

Leerlauf-Übertragungsimpedanz. Obwohl Z
ohne Berücksich-
erfüllt die Bedingungen U D U

C U für die Reihen-

11

1

1 a

1 b
tigung von Z

( I D 0 gesetzt) und Z
ohne Berücksichtigung
schaltung am Eingang und I

D I C I
für die Paral-

12

2

12

2

2 a

2 b
von Z

( I D 0 gesetzt) bestimmt worden ist, erfüllen sie die
lelschaltung am Ausgang. In analoger Weise lässt sich die

11

1

Gesamtgleichung U D Z

I C Z I . Das liegt an der Gül-

Drehung für die Parallel-Reihen-Schaltung nach Abb. 93.2d

1

11

1

12

2
tigkeit des Überlagerungssatzes. (Hinweis: Eine Gleichung mit
begründen.

2 Unbekannten lässt sich so nicht lösen.)

3. Bei der Kettenschaltung zweier Zweitore müssen die A-

Parameter des links angeordneten Zweitors auch bei der Ma-

Allgemein gilt: I D 0 wird durch Leerlauf am Ausgang, I D 0

2

1
trizenmultiplikation links stehen.

durch Leerlauf am Eingang erzwungen. Analog wird U D 0

2

Da zwei Gleichungen unabhängig von der Art der Parameter
durch Kurzschluss am Ausgang, U D 0 durch Kurzschluss am

1
das Zweitor vollständig und eindeutig beschreiben, können

Eingang erreicht. In Tab. 93.3 sind alle Parameter dargestellt.

die Parameter mit Tab. 93.2 ineinander umgerechnet werden.

Da Zweitore im allgemeinen auch Induktivitäten und Kapa-

1150

93 Zweitore, Vierpole

Teil

Tab. 93.1 Zweitorgleichungen und Zusammenschaltung von zwei Zweitoren (siehe Hinweise im Text)

Name der Parameter, Zweitorgleichungen

Art der Zusammenschaltung zweier Zweitore

Zugehörige Parameteroperationen;

XIII

(siehe Abb. 93.2)

Zweitor 1: Index a, Zweitor 2: Index b

Zweitorgleichungen in Leitwertform: Y-Parameter

Eingänge parallel, Ausgänge parallel

Y

D Y

C Y

11

11 a

11 b

I D Y

U C Y U

(Abb. 93.2a)

Y

D Y

C Y

1

11

1

12

2

12

12 a

12 b

I D Y

U C Y U

Y

D Y

C Y

2

21

1

22

2

21

21 a

21 b

Y

D Y

C Y

22

22 a

22 b

Zweitorgleichungen in Impedanzform: Z-Parameter

Eingänge in Reihe, Ausgänge in Reihe

Z

D Z

C Z

11

11 a

11 b

U D Z

I C Z I

(Abb. 93.2b)

Z

D Z

C Z

1

11

1

12

2

12

12 a

12 b

U D Z

I C Z I

Z

D Z

C Z

2

21

1

22

2

21

21 a

21 b

Z

D Z

C Z

22

22 a

22 b

Zweitorgleichungen in Reihen-Parallel- oder Hybrid-Form:

Eingänge in Reihe, Ausgänge parallel

H

D H

C H

11

11 a

11 b

H-Parameter

(Abb. 93.2c)

H

D H

C H

12

12 a

12 b

U D H

I C H U

Achtung: Zweites Zweitor muss nach

H

D H

C H

1

11

1

12

2

21

21 a

21 b

I D H

I C H U

Abb. 93.2c am Ausgang gedreht werden.

H

D H

C H

2

21

1

22

2

22

22 a

22 b
alternative Schreibweise: h-Parameter

Erläuterung siehe Abb. 93.2f
h

D h

C h

11

11 a

11 b

U D h

I C h U
h

D h

C h

1

11

1

12

2

12

12 a

12 b

I D h

I C h U
h

D h

C h

2

21

1

22

2

21

21 a

21 b
h

D h

C h

22

22 a

22 b

Zweitorgleichungen in Parallel-Reihen-Form: C-Parameter

Eingänge parallel, Ausgänge in Reihe

C

D C

C C

11

11 a

11 b

I D C

U C C I

(Abb. 93.2d)

C

D C

C C

1

11

1

12

2

12

12 a

12 b

U D C

U C C I

Achtung: Zweites Zweitor muss nach

C

D C

C C

2

21

1

22

2

21

21 a

21 b

Abb. 93.2d am Ausgang gedreht werden

C

D C

C C

22

22 a

22 b

"

#

"

# "

#

Zweitorgleichungen in Kettenform: A-Parameter

Kettenschaltung (Abb. 93.2e)

A A

A

A

A

A

11

12

11 a

12 a

11 b

12 b

U D A

U C A . I /

D

1

11

2

12

2

A A

A

A

A

A

I D A

U C A . I /

21

22

21 a

22 a

21 b

22 b

1

21

2

22

2

Matrizenmultiplikation; Index a: linkes

Zweitor, Index b: rechtes Zweitor

Tab. 93.2 Umrechnung von Zweitorparametern

Tab. 93.3 Definitionen und Bezeichnungen von Zweitorparametern

ˇ

Y

Z

H

C

A

Z-Parameter

Z

D U 1 Ľeerlauf-Eingangsimpedanz

11

I 1 I 2D0

Z

Z

H
det C C

A
det A

ˇ

Y Y

22

12

1

12

12

22

Z

D U 1 Ľeerlauf-Übertragungsimpedanz

Y

11

12
det Z det Z

H

H

C

C

A

A

11

11

22

22

12

12

12

I 2 I 1D0

Y Y

Z 21 Z 11

H 21 det H

C 21 1

1 A 11
rückwärts

21

22
det Z det Z

H 11 H 11

C 22 C 22

A 12 A 12

ˇˇ

Y

H

C

A

Z

D U 2

Leerlauf-Übertragungsimpedanz

22

Y 12
det H
det A

Z Z

12

1

12

11

21

I 1 I 2D0

Z
det Y det Y

11

12

H

H

C

C

A

A
vorwärts

22

22

11

11

21

21

Y

21

Y 11

Z Z

H 21 1

C 21 det C

1 A 22
ďet Y det Y

21

22

H

D U 2 ˇ

22

H 22

C 11 C 11

A 21 A 21

Z

Leerlauf-Ausgangsimpedanz

22

I 2 I 1D0

ˇ

1

Y

12
det Z Z 12

C

C

A
det A

H H

22

12

12

Y-Parameter

Y

D I 1 ˇ

Kurzschluss-Eingangsadmittanz

H

Y 11 Y 11

Z 22 Z 22

11

12
det C det C

A 22 A 22

11

U 1 U 2D0

Y

ˇ

21 det Y

Z 21 1

H H

C 21 C 11

1 A 21

ˇ

Y

21

22

Y

D I 1

Kurzschluss-Übertragungsadmit-

11

Y 11

Z 22 Z 22
det C det C

A 22 A 22

12

U 2 U 1D0
det Y Y

tanz rückwärts

12

1

Z 12

H

A

22

H 12
det A

C C

21

ˇ

C

Y 22 Y 22

Z

Z
det H det H

11

12

A

A

ˇ

11

11

11

11

Kurzschluss-Übertragungsadmit-

Y

Y

D I 2

21

1

Z 21 det Z

H 21 H 11

C C

1 A 12

21

U 1 U 2D0

Y

21

22

22

Y 22

Z 11 Z 11
det 1 det H

A 11 A 11
tanz vorwärts

ˇ

Y

22 1

Z 11 det Z
det H

H 11

1

C 22

ˇ

A A

Y

D I 2

Kurzschluss-Ausgangsadmittanz

22

A

Y

U

U

21

Y 21

Z

Z

H

H

C

C

11

12

2

1 D0

21

21

21

21

21

21
ďet Y Y

11

1

Z 22

H 22 1

C 11 det C

A A

D U 1 ˇ

Y

21

22

H-Parameter

H

Kurzschluss-Eingangsimpedanz

21

Y 21

Z 21 Z 21

H 21 H 21

C 21 C 21

11

I

D

1

U 2 0

ˇ

H

D U 1 Ľeerlauf-Spannungsrückwirkung

12

U

D

2

I 1 0

ˇ

H

D I 2 ˇ

Kurzschluss-Stromübersetzung

21

I

U D0
zitäten enthalten, spricht man korrekterweise von Impedanzen

1

2
vorwärts

ˇ
bzw. Admittanzen. Werden die Bezeichnungen Widerstände und

H

D I 2 Ľeerlauf-Ausgangsadmittanz

22

U

D

2

I 1 0

Leitwerte bei den Zweitorparametern verwendet, setzt man vor-

ˇ

C-Parameter

C

D I 1 Ľeerlauf-Eingangsadmittanz
aus, dass der Anwender diese Bezeichnungen gegebenenfalls

11

U

D

1

I 2 0

Ď I 1 ďurch die korrekten Begriffe ersetzt.

C

Kurzschluss-Stromrückwirkung

12

I

D

2

U 1 0

ˇ

C

D U 2 Ľeerlauf-Spannungsübersetzung

21

U

D

1

I 2 0

ˇ

C

D U 2 ˇ

Kurzschluss-Ausgangsimpedanz

22

I

D

2

U 1 0

ˇ

93.1.4

Elementarzweitore

A-Parameter

A

D U 1 Řeziproke Leerlauf-Spannungs-

11

U

D

2

I 2 0
übersetzung vorwärts

ˇ

A

D U 1 Ňegative reziproke Kurzschluss-

12

I

D

2

U 2 0

Häufig lassen sich Zweitore, aufgebaut aus einer Vielzahl

Übertragungsadmittanz vorwärts

ˇ
von Einzelelementen, auf wenige sogenannte Elementarzwei-

A

D I 1 Řeziproke Leerlauf-Übertra-

21

U

D

2

I 2 0
tore zurückführen, deren Zweitorparameter in Tabellen abgele-
gungsimpedanz vorwärts
šen werden können und die zur Bildung des Gesamtzweitors

A

D I 1 Ňegative reziproke Kurzschluss-

22

I

D

2

U 2 0
entsprechend zusammengefügt werden müssen. In Tab. 93.4

Stromübersetzung vorwärts

93.1

Zweitor allgemein

1151

Tab. 93.4 Parameter der Elementarzweitore „T-Zweitor“ und „ -Zweitor“

T-Zweitor

…-Zweitor

Z1

Z

Z

XIII

3

2

Teil

Z2

Z1

Z3

C

Y

D

Z 2 Z 3

Y

D 1 C 1

11

Z

C

C

11

1 Z 2

Z 1 Z 3 Z 2 Z 3

Z 1

Z 2

Y

D

Z 2

Y

D 1

. Y/

12

Z

C

C

12

1 Z 2

Z 1 Z 3 Z 2 Z 3

Z 2

Y

D

Z 2

Y

D 1

21

Z

C

C

21

1 Z 2

Z 1 Z 3 Z 2 Z 3

Z

C

2

Y

D

Z 1 Z 2

Y

D 1 C 1

22

Z

C

C

22

1 Z 2

Z 1 Z 3 Z 2 Z 3

Z 2

Z 3

. Z C /

2

Z 3

Z

D Z C Z

Z

D Z 1

11

1

2

11

Z C

C /

1

Z 2 Z 3

D

Z

D

Z 1 Z 3

.

Z

Z

12

C C

Z/

12

2

Z

/

1

Z 2 Z 3

Z

D Z

Z

D

Z 1 Z 3

21

2

21

Z C

C /

1

Z 2 Z 3

Z

D Z C Z

D Z . C /

3 Z 1

Z 2

22

2

3

Z 22

Z C

C /

1

Z 2 Z 3

C

C

H

D Z 1 Z 2 Z 1 Z 3 Z 2 Z 3

H

D Z 1 Z 2

11

Z C

11

C

2

Z 3

Z 1 Z 2

H

D Z 2

H

D Z 1

.

12

C

12

C

H/

Z 2 Z 3

Z 1 Z 2

H

D Z 2

H

D Z 1

21

Z C

21

C

2

Z 3

Z 1 Z 2

C C

H

D

1

H

D Z 1 Z 2 Z 3

22

Z C

22

. C /

2

Z 3

Z 3 Z 1 Z 2

C C

C

D

1

C

D Z 1 Z 2 Z 3

11

Z C

11

. C /

1

Z 2

Z 1 Z 2 Z 3

C

D Z 2

C

D Z 3

.

C

C

C/

12

Z

12

1

Z 2

Z 2 Z 3

C

D Z 2

C

D Z 1

21

Z C

21

C

1

Z 2

Z 2 Z 3

C

D Z C Z 1 Z 2

C

D Z 2 Z 3

22

3

Z C

22

C

1

Z 2

Z 2 Z 3

A

D 1 C Z 1

D

11

A

1 C Z 2

Z

11

2

Z 3

A

D Z C Z C Z 1 Z 3

A

D Z

. A/

12

1

3

Z

12

2

2

A

D 1

A

D 1 C 1 C Z 2

21

Z

21

Z

Z

Z

2

1

3

1 Z 3

A

D 1 C Z 3

A

D 1 C Z 2

22

Z

22

Z

2

1
sind zunächst die Zweitorparameter der Elementarzweitore „T-
a

I

Zweitor“ und „ -Zweitor“ dargestellt. Die anschließend aufge-

1

I 2
listeten Zweitore „Längswiderstand“, „Querwiderstand“ und die

G U

Vierpol

U

Z

1

2
a

„+-Zweitore 1 und 2“ in Tab. 93.5 sind aus Tab. 93.4 abgelei-
tet, indem die entsprechenden Impedanzen mit Z

D 0 oder
n

Signalflußrichtung

Z ! 1 eingesetzt werden.

n
b

Die Z-Parameter existieren beim Längswiderstand nicht, weil

I 1

I 2
entweder I oder I zu Null erzwungen wird und damit der je-

1

2

Z e

U

Vierpol

U

G

1

2
weils andere Strom ebenfalls Null ist ( I D I ). Dieser steht aber

1

2
in der Definitionsgleichung im Nenner, sodass man einen unbe-

Signalflußrichtung
stimmten Ausdruck erhält. Beim Querwiderstand führen die zu

Null erzwungenen Spannungen bei den Y-Parametern zu unbe-

Abb. 93.3 Signalflussrichtung bei Zweitoren. a Vorwärtsrichtung, b Rück-
stimmten Ausdrücken.

wärtsrichtung
wärtsrichtung bei einer Signalflussrichtung von rechts nach

93.1.5

Betriebskenngrößen
links (Abb. 93.3b). Die Lage des Zweitors bleibt dabei unver-
ändert. Diese Kenngrößen sind in Tab. 93.6 dargestellt.

Beim Einsatz von Zweitoren gibt es sechs Verknüpfungen zwi-

Da im allgemeinen Fall an den Ausgang eines in Vorwärtsrich-
schen den Größen U , U , I und I . Man bezeichnet sie als
tung betriebenen Zweitors eine Lastimpedanz Z nach Abb. 93.3

1

2

1

2
a

Betriebskenngrößen in Vorwärtsrichtung, wenn die Signalfluss-
angeschlossen ist, sind die Betriebskenngrößen in Tab. 93.7 für
richtung im Zweitor von links nach rechts verläuft (Abb. 93.3a).

diesen Fall aufgelistet. Für Zweitore in Rückwärtsrichtung ist

Entsprechend handelt es sich um Betriebskenngrößen in Rück-
der Eingang mit einer Lastimpedanz Z beschaltet.

e

1152

93 Zweitore, Vierpole

Teil

Tab. 93.5 Parameter von vereinfachten Elementarzweitoren aus Tab. 93.4

Längswiderstand

Querwiderstand

+-Zweitor 1

+-Zweitor 2

XIII

Z

Z2

Z 1

Z

Z1

Z2

Y

D 1

Y

D 1 C 1

Y

D 1

11

Z

11

Z

11

1

Z 2

Z 1

Y

D 1

Y

D 1

Y

D 1

. Y/

12

Z

Existieren nicht

12

Z

12

2

Z 1

Y

D 1

Y

D 1

Y

D 1

21

Z

21

Z

21

2

Z 1

Y

D 1

D 1

D 1 C 1

22

Y

Y

Z

22

Z

22

2

Z 1

Z 2

Z

D Z

Z

D Z

Z

D Z C Z

11

11

1

11

1

2

D

D

D

.

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z/

Existieren nicht

12

12

1

12

2

Z

D Z

Z

D Z

Z

D Z

21

21

1

21

2

Z

D Z

Z

D Z C Z

Z

D Z

22

22

1

2

22

2

H

D Z

H

D 0

H

D Z 1 Z 2

H

D Z

11

11

11

Z C

1

Z 2

11

1

D

H

D 1

H

D Z 1

H

D 1

.

H

1

12

C

H/

12

12

Z

12

1

Z 2

H

D 1

H

D 1

H

D Z 1

H

D 1

21

21

21

Z C

21

1

Z 2

H

D 0

H

D 1

D

1

H

D 1

22

22

Z

H 22

Z C

22

Z

1

Z 2

2

C

D 0

C

D 1

C

D 1

C

D

1

11

11

Z

11

Z

11

Z C Z

1

1

2

D

D

D

C

D Z 2

.

C

1

C

1

C

1

C/

12

12

12

12

Z C

1

Z 2

C

D 1

D

D

C

D Z 2

21

C

1

C

1

21

21

21

Z C

1

Z 2

C

D Z

D

D

C

D Z 1 Z 2

22

C

0

C

Z

Z

22

22

1

2

C 22

Z C

1

Z 2

A

D 1

A

D 1

A

D 1

A

D 1 C Z 1

11

11

11

11

Z 2

D

A

D 0

A

D Z

D

.

A

Z

A

Z

A/

12

12

12

2

12

1

A

D 0

A

D 1

A

D 1

A

D 1

21

21

Z

21

Z 1

21

Z 2

A

D 1

D

A

D 1 C Z 2

D

22

A

1

22

22

Z

A

1

1

22

Tab. 93.6 Definitionen der Betriebskenngrößen (nach [II.1])

Die in Tab. 93.7 aufgelisteten Betriebskenngrößen vereinfa-

Betriebskenngröße im Vorwärtsbetrieb

Definition
chen sich dann, wenn die Lastimpedanz entweder Null ist

Eingangsadmittanz

Y

D I 1

(Kurzschluss am Ein- bzw. Ausgang, entspricht einer unend-
in

U 1
lich großen Lastadmittanz) oder unendlich groß ist (Leerlauf

Eingangsimpedanz

Z

D U 1
in

I 1
am Ein- bzw. Ausgang, entspricht einer Lastadmittanz Null). In

Übertragungsadmittanz vorwärts

Y

D I 2
üf

Tab. 93.8 sind die entsprechenden Größen eingetragen.

U 1

Übertragungsimpedanz vorwärts

Z

D U 2
üf

I 1

Beispiel 1

Spannungsübersetzung vorwärts
v

D U 2
uf

U 1

Stromübersetzung vorwärts
v D I 2

In Abb. 93.4 ist ein Netzwerk gezeigt, mit dem RC-
if

I 1

Oszillatoren aufgebaut werden können. Es dient dazu,
bei einer Frequenz f

D f 0 einen Phasenwinkel von

Betriebskenngröße im Rückwärtsbetrieb

Definition

180° zwischen U
und U
zu erzeugen (Gegenphase,

1

2

Ausgangsadmittanz

Y

D I 2
out

U
deshalb ist das Vorzeichen ohne Bedeutung). Die für ei-

2

Ausgangsimpedanz

Z

D U 2
ne Gesamtphasenverschiebung von 360° erforderlichen
out

I 2
weiteren 180° werden mit einem Transistor bzw. einer

Übertragungsadmittanz rückwärts

Y

D I 1
ür

U 2

Operationsverstärkerschaltung erreicht.

Übertragungsimpedanz rückwärts

Z

D U 1
ür

I 2

Berechnet werden soll diese Frequenz in Abhängigkeit

Spannungsübersetzung rückwärts
v

D U 1
ur

U 2
von R und C und das Verhältnis von Ausgangsspannung

Stromübersetzung rückwärts
v D I 1
ir
zu Eingangsspannung bei dieser Frequenz.

I 2

Das Netzwerk wird zerlegt in die Elementar-Zweitore „T-

Zweitor“ und „ -Zweitor“. Da beide in Kettenschaltung
zusammengeschaltet sind, werden nach Tab. 93.1 die A-

Parameter beider Zweitore benötigt. Gesucht ist v . Der
uf

93.1

Zweitor allgemein

1153

Tab. 93.7 Betriebskenngrößen mit Lastadmittanz Y

Betriebskenngrößen in Vorwärtsrichtung

Y-Parameter

Z-Parameter

H-Parameter

C-Parameter

A-Parameter

XIII

C

C

C

Y
det Y C Y 11 Ya

1C Z 22 Ya

H 22 Ya

C 11 Ya det C

A 21 A 22 Ya
in

Y

C

C

C

22

Ya

Z 11 Ya det Z
det H C H 11 Ya

1C C 22 Ya

A 11 A 12 Ya

C

C

C

Z

Y 22 Ya

Z 11 Ya det Z
det H C H 11 Ya

1C C 22 Ya

A 11 A 12 Ya
in

Teil
det Y C Y

C

C

C

11 Y a

1C Z 22 Ya

H 22 Ya

C 11 Ya det C

A 21 A 22 Ya

Y

Y 21 Ya

Z 21 Ya

H 21 Ya

C 21 Ya

Ya
üf

Y

C

C

C

22

Ya

Z 11 Ya det Z
det H C H 11 Ya

1C C 22 Ya

A 11 A 12 Ya

Z

Y 21

Z 21

H 21

C 21

1
üf
det Y C Y

C

C

C

11 Y a

1C Z 22 Ya

H 22 Ya

C 11 Ya det C

A 21 A 22 Ya

v

Y 21

Z 21

H 21

C 21

1
uf

Y

C

C

C

22

Ya

Z 11 Ya det Z
det H C H 11 Ya

1C C 22 Ya

A 11 A 12 Ya

v

Y 21 Ya

Z 21 Ya

H 21 Ya

C 21 Ya

Ya
if
det Y C Y

C

C

C

11 Y a

1C Z 22 Ya

H 22 Ya

C 11 Ya det C

A 21 A 22 Ya

Betriebskenngrößen in Rückwärtsrichtung

Y-Parameter

Z-Parameter

H-Parameter

C-Parameter

A-Parameter

C

C

C

Y
det Y C Y 22 Ye

1C Z 11 Ye

H 22 Ye det H

C 11 Ye

A 21 A 11 Ye
out

Y

C

C

C

11

Ye

Z 22 Ye det Z

1C H 11 Ye
det C C C 22 Ye

A 22 A 12 Ye

C

C

C

Z

Y 11 Ye

Z 22 Ye det Z

1C H 11 Ye
det C C C 22 Ye

A 22 A 12 Ye
out
det Y C Y

C

C

C

22 Y e

1C Z 11 Ye

H 22 Ye det H

C 11 Ye

A 21 A 11 Ye

Y

Y 12 Ye

Z 12 Ye

H 12 Ye

C 12 Ye

Ye det A
ür

Y

C

C

C

11

Ye

Z 22 Ye det Z

1C H 11 Ye
det C C C 22 Ye

A 22 A 12 Ye

Z

Y 12

Z 12

H 12

C 12
det A
ür
det Y C Y

C

C

C

22 Y e

1C Z 11 Ye

H 22 Ye det H

C 11 Ye

A 21 A 11 Ye

v

Y 12

Z 12

H 12

C 12
det A
ur

Y

C

C

C

11

Ye

Z 22 Ye det Z

1C H 11 Ye
det C C C 22 Ye

A 22 A 12 Ye

v

Y 12 Ye

Z 12 Ye

H 12 Ye

C 12 Ye

Ye det A
ir
det Y C Y

C

C

C

22 Y e

1C Z 11 Ye

H 22 Ye det H

C 11 Ye

A 21 A 11 Ye

Hinweise:

det Z D Z

Z Z Z , det Y D Y Y Y Y , det C D C C C C , det H D H H H H , det A D A A A A 11

22

12

21

11

22

12

21

11

22

12

21

11

22

12

21

11

22

12

21

Es wurde die Admittanz Y bzw. Y an Stelle der Impedanz Z bzw. Z eingesetzt, weil sich dadurch eine übersichtlichere Schreibweise ergibt. Die a
e
a
e

Umrechnung geschieht über Y D 1= Z ; Y D 1= Z
a
a
e
e
a

R

R

R

Ausgang ist nicht belastet, sodass sich nach Tab. 93.8
v

D 1= A ergibt. A ist das Ergebnis der Matrizen-
uf

11

11

U 1

C

C

C

U 2
multiplikation der A-Parameter beider Zweitore. Da hier
nur ein Parameter zu berechnen ist, genügt es, von dem
links angeordneten T-Zweitor die obere Zeile, also A 11TVP
b

R

R

R
und A
zu bestimmen, von dem rechts stehenden -

12TVP

Zweitor die erste Spalte, also A
und A

. Diese

11 VP

21 VP

U 1

U

C

C

2

Parameter werden Tab. 93.4 entnommen, in die die Bau-

C
elemente aus Abb. 93.4 eingesetzt werden:

T-Vierpol
π-Vierpol

A

D 1 C Rj! C I

11TVP

Abb. 93.4 Phasenschieber-Netzwerk (zu Beispiel 1). a Netzwerk, b Zerlegung

A

D R C R C R 2 j! C

12TVP
in zwei Elementar-Zweitore

A

D 1 C Rj! C I

11 VP

A

D j! C C j! C C Rj! Cj! C D 2 j! C !2 C 2 R

21 VP

Für einen Phasenwinkel 0° oder 180° muss der Imaginär-

Damit ergibt sich für A :

11
teil von 1= A und damit von A Null sein, d. h. es muss

11

11
p
gelten: 6!2 R 2 C 2 D 0: Für die Frequenz folgt: ! D 6 .

A

D A

A

C A

A

0

0

RC

11

11TVP

11 VP

12TVP

21 VP

Setzt man diesen Wert in die Gleichung für 1= A ein, er-

D .

11

1 C j! RC/.1 C j! RC/
gibt sich:

C .2 R C R 2 j! C/.2 j! C !2 C 2 R/

ˇ

1 Ď

ˇ

1 C 2 j! RC !2 C 2 R 2 C 4 j! CR

D

1

D

1
p

D 1

A ˇ

6

29

11 !

1 5 C 2 R 2!20

1 5 C 2 R 2.

/2

0

RC

2!2 C 2 R 2 2!2 C 2 R 2 j!3 C 3 R 3

D 1 C 6 j! RC 5!2 C 2 R 2 j!3 C 3 R 3

Da der Wert negativ ist, beträgt die Phasenverschiebung
bei !0 zwischen Ein- und Ausgangsspannung 180°, die

D 1 5!2 C 2 R 2 C j! RC.6 !2 R 2 C 2/

Amplitude ist am Ausgang auf 1=29 abgesunken.

J

1154

93 Zweitore, Vierpole

Teil

Tab. 93.8 Betriebskenngrößen für die Sonderfälle „Kurzschluss“ und „Leerlauf“

Betriebskenngrößen in Vorwärtsrichtung bei Leerlauf am Ausgang ( Z ! 1)

a

XIII

Y-Parameter

Z-Parameter

H-Parameter

C-Parameter

A-Parameter

Y
det Y

1

H 22

C

A 21
in

Y

11

22

Z 11
det H

A 11

Z

Y 22

Z
det H

1

A 11
in
det Y

11

H 22

C 11

A 21

Y

0

0

0

0

0
üf

Z

Y 21

Z

H 21

C 21

1
üf
det Y

21

H 22

C 11

A 21

v

Y 21

Z 21

H 21

C

1
uf

Y

21

22

Z 11
det H

A 11
v

0

0

0

0

0
if

Betriebskenngrößen in Rückwärtsrichtung bei Leerlauf am Eingang ( Z ! 1)

e

Y-Parameter

Z-Parameter

H-Parameter

C-Parameter

A-Parameter

Y
det Y

1

H

C 11

A 21
out

Y

22

11

Z 22
det C

A 22

Z

Y 11

Z

1
det C

A 22
out
det Y

22

H 22

C 11

A 21

Y

0

0

0

0

0
ür

Z

Y 12

Z

H 12

C 12
det A
ür
det Y

12

H 22

C 11

A 21

v

Y 12

Z 12

H

C 12
det A
ur

Y

12

11

Z 22
det C

A 22
v

0

0

0

0

0
ir

Betriebskenngrößen in Vorwärtsrichtung bei Kurzschluss am Ausgang ( Z D 0)

a

Y-Parameter

Z-Parameter

H-Parameter

C-Parameter

A-Parameter

Y

Y

Z 22

1
det C

A 22
in

11
det Z

H 11

C 22

A 12

Z

1
det Z

H

C 22

A 12
in

Y

11

11

Z 22
det C

A 22

Y

Y

Z 21

H 21

C 21

1
üf

21
det Z

H 11

C 22

A 12

Z

0

0

0

0

0
üf
v

0

0

0

0

0
uf

v

Y 21
det Z

H

C 21

1
if

Y

21

11

Z 22
det C

A 22

Betriebskenngrößen in Rückwärtsrichtung bei Kurzschluss am Eingang ( Z D 0)

e

Y-Parameter

Z-Parameter

H-Parameter

C-Parameter

A-Parameter

Y

Y

Z 11
det H

1

A 11
out

22
det Z

H 11

C 22

A 12

Z

1
det Z

H 11

C

A 12
out

Y

22

22

Z 11
det H

A 11

Y

Y

Z 12

H 12

C 12
det A
ür

12
det Z

H 11

C 22

A 12

Z

0

0

0

0

0
ür
v

0

0

0

0

0
ur

v

Y 12

Z 12

H 12

C
det A
ir

Y

12

22

Z 11
det H

A 11

93.2

Spezielle Zweitore

1155

Beispiel 2
a

R

R

R

Das Phasenschieber-Netzwerk aus Abb. 93.4 ist am Aus-

U 1

U

C

C

C

2

R a

XIII
gang mit einem Widerstand R belastet, Abb. 93.5.

a

Zur Berechnung der Spannungsverstärkung vorwärts

Teil
wird entweder die Formel v

D

1
verwendet,
b

R

R

R
uf

A C

11

A 12 Ya
oder der Widerstand R wird mit dem parallel liegen-
a

U 1

U

C

C

R

2
a
den Kondensator zusammengefasst zu: Z

D Ra 1
j! C

D

C
ges

Ra C 1
j! C

Ra

. Dieser Wert wird in die Formel aus Beispiel 1 an

1C Raj! C

T-Vierpol
π-Vierpol
entsprechender Stelle eingesetzt:

Abb. 93.5 Phasenschieber-Netzwerk (zu Beispiel 2), am Ausgang belastet.

a Netzwerk, b Einbeziehen von R

A

D 1 C Rj! C I
a in das -Zweitor

11TVP

A

D R C R C R 2 j! C

12TVP

R

Œ

93.2

Spezielle Zweitore

1 mm A

D 1 C

11 VP

Z ges

Z

C R

D ges

I

In der Vermittlungstechnik (Telefon) werden Zweitore benötigt,

Z ges
bei denen der Signalfluss in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung
gleich sein muss. Hat ein Zweitor diese und andere besondere

A

D j! C C 1 C Rj! C

Eigenschaften, lassen sie sich an den Zweitorparametern able-

21 VP

Z

Z
ges
ges
sen.

Z
j! C C 1 C Rj! C

D ges

Z ges

93.2.1

Übertragungssymmetrische (reziproke)

Nach einigen Umformungen folgt schließlich:

Zweitore

1 D U 2

A

U

11

1

Ein Zweitor ist übertragungssymmetrisch (kopplungssymme-

D

Ra

trisch, reziprok), wenn für ihn der Kirchhoff’sche Umkehrungs-

Ra.1 5!2 R 2 C 2/ C R.3 R 2!2 C 2/
satz gilt (Abb. 93.6): Bei Stromeinspeisung mit I am Eingang

0

C j! RC.6 R C
und anschließend am Ausgang muss gelten: U

D U . Bei
a

4 R !2 R 2 C 2 Ra/

1

2

Spannungseinspeisung lautet die Bedingung: I D I .

1

2

Für R ! 1
a
folgt daraus der Wert aus Beispiel 1. Der

Passive Zweitore sind übertragungssymmetrisch.

Phasenwinkel beträgt Null oder 180° für 6 R C
a

4 R

!2 R 2 C 2 R D 0; d. h.

0
a
s
s
a

C

! D

6 Ra

4 R D 1

I

G Y

Vierpol

U

0

6 C 4 R

0
e

Z a

2

R 2 C 2 Ra

RC

Ra

Setzt man diesen Wert ein, ergibt sich nach einiger Rech-
nung:

U 1

Y e

Vierpol

Z a U2G

I 0

ˇ

ˇ

1 ˇˇ

Ď U 2 ˇ
b

Z

A ˇ

U ě

I 2

11 !0

1 !0

U 0

G

Vierpol

Z a

D

1

29 23 R 4 R 2

Ra

R 2 a

I

Z

1
a

Der Wert ist negativ, demnach handelt es sich um den Pha-

Z

Vierpol

G

U
e

0
senwinkel 180°. Auch hier bekommt man das Ergebnis
aus Beispiel 1 mit R ! 1
a

.

J

Abb. 93.6 Übertragungssymmetrische Zweitore. a Stromeinspeisung, b Span-
nungseinspeisung

1156

93 Zweitore, Vierpole

Teil
a

R

I

R

Tab. 93.10 Bedingungen für widerstandssymmetrische Zweitore
e
e

2

I 2

Y-Parameter

Z-Parameter

H-Parameter C-Parameter

A-Parameter

XIII

U

R

Y

D Y

Z

D Z
det H D 1
det C D 1

A

D A

0

1

R a

11

22

11

22

11

22

Tab. 93.11 Bedingungen für längssymmetrische Zweitore
b

I

R

I

R

1

2
a
a

Y-Parameter

Z-Parameter

H-Parameter C-Parameter

A-Parameter

Y

D Y

Z

D Z
det H D 1
det C D 1

A

D A

11

22

11

22

11

22

R

R

Y

D Y

Z

D Z

H

D H

C

D C
det A D 1
e

1

U 0

12

21

12

21

12

21

12

21

Tab. 93.12 Bedingungen für rückwirkungsfreie Zweitore

Abb. 93.7 Zur Ableitung der Übertragungssymmetrie (zu Beispiel 3). a Spei-

Y-Parameter

Z-Parameter

H-Parameter C-Parameter

A-Parameter
sung am Eingang mit U0, b Speisung am Ausgang mit U0

Y

D 0

Z

D 0

H

D 0

C

D 0
det A D 0

12

12

12

12

Beispiel 3

93.2.2

Widerstandssymmetrische Zweitore

Abb. 93.7 zeigt einen Gamma-Zweitor, an dem die Über-

Bei widerstandssymmetrischen Zweitoren sind die Eingangsim-
tragungssymmetrie gezeigt werden soll.

pedanz bei beliebiger Abschlussimpedanz in Vorwärtsrichtung

Der Einfachheit halber werden ohmsche Widerstände und
und die Ausgangsimpedanz (Blick vom Ausgang in das Zweitor
eine Gleichspannungsquelle eingesetzt. Für die Speisung
hinein) bei gleicher Abschlussimpedanz am Eingang gleich. Die
am Eingang (Abb. 93.7a) folgt:

Bedingungen sind in Tab. 93.10 aufgeführt.

Ein Beispiel für einen nahezu rückwirkungsfreien Zweitor ist

I 2 D

R 1

I
ein von einer Sendeantenne ausgesandtes elektromagnetisches

I

C

C
e

R 1

R 2

Ra

Feld. Senderseitig lässt sich nicht feststellen, wie viele Last-

U 0
impedanzen in Form von Empfängerantennen vorhanden sind,

I D
e

R C R 1. R 2C Ra/
sofern sie sich im Fernfeld der Senderantenne befinden (siehe
e

R 1C R 2C Ra

Abschn. 95.1).

U

C R C R

D

0. R 1

2
a/

I

. R C

C

C

C

1

R 2

Ra/ Re

R 1. R 2

Ra/

U R

93.2.3

Längssymmetrische Zweitore

0

1

I D

2

R

C

C

C
e . R 1

R 2

Ra/ C R 1. R 2

Ra/

Bei längssymmetrischen Zweitoren sind alle Betriebseigen-

In analoger Weise folgt bei Speisung am Ausgang
schaften unabhängig von der Betriebsrichtung, d. h. sie sind

(Abb. 93.7b):

sowohl übertragungssymmetrisch als auch widerstandssymme-
trisch. Damit ergeben sich die in Tab. 93.11 aufgeführten Bedin-

I 1

R

D

1

I
gungen für die Parameter.

I

C
a

R 1

Re

I D

U 0

Beispiel 4
a

R C

C R 1 Re
a

R 2

R 1C Re

C

Der in Tab. 93.4 dargestellte T-Zweitor ist dann längs-

D

U 0. R 1

Re/

I
symmetrisch, wenn nach Tab. 93.11 gilt: Z

D Z und

. R C

C

11

22

1

Re/. Ra

R 2/ C R 1 Re

Z

D Z . Das ist der Fall, wenn gilt: Z D Z . Die-

12

21

1

3

R 1

I D

U 0
ses Ergebnis entspricht auch der Anschauung, da man bei

1

R

C

C

C
e. R 1

R 2

Ra/ C R 1. R 2

Ra/
längssymmetrischen Zweitoren nicht unterscheiden kann,
ob man ihn in Vorwärts- oder Rückwärtsrichtung betreibt.

Es gilt: I D

1

I 2. Damit ist das Zweitor übertragungssym-

J
metrisch.

J

93.2.4

Rückwirkungsfreie Zweitore

Allgemein kann man die in Tab. 93.9 aufgeführten Bedingungen
für übertragungssymmetrische Zweitore ableiten.

Wirkt die Ausgangsgröße nicht auf den Eingang zurück, spricht
man von einem rückwirkungsfreien Zweitor. Passive Zweitore
besitzen diese Eigenschaft nicht; in der Praxis kann man sie nur

Tab. 93.9 Bedingungen für übertragungssymmetrische Zweitore
näherungsweise erfüllen. Bei Transistoren bemüht man sich, die

Y-Parameter

Z-Parameter

H-Parameter C-Parameter

A-Parameter

Rückwirkung auf den Eingang so klein wie möglich zu machen.

Y

D Y

Z

D Z

H

D H

C

D C
det A D 1

12

21

12

21

12

21

12

21

Tab. 93.12 stellt die notwendigen Bedingungen dar.

93.3

Wellenparameter passiver Zweitore

1157

93.3

Wellenparameter passiver

In entsprechender Weise erhält man beim Betrieb in Rückwärts-
richtung und Lastimpedanz Z am Eingang die Ausgangsimpe-

Zweitore
e
danz Z

(am Ausgang in das Zweitor hineingesehen):

out

XIII

Ausgangsimpedanz

Die Leitungstheorie ist ein Teil der Zweitortheorie und arbei-

Teil
tet mit Wellenparametern anstelle von Zweitorparametern. Da

Z

Z

Z

D Z 12

21
elektrische Leitungen als passive Zweitore übertragungssymme-
out

22

Z

C Z

11
e
trisch sind, hat man hierfür Wellenparameter festgelegt.

Sonderfall Kurzschluss am Eingang ( Z D 0):

e

Z

Z

12

21

93.3.1

Allgemeine passive Zweitore

Z

D Z
out K

22

Z 11

Sonderfall Leerlauf am Eingang ( Z ! 1):

Wird ein Zweitor in Vorwärtsrichtung betrieben und mit einer
e

Lastimpedanz Z belastet (Abb. 93.8a), ergibt sich am Eingang
a

Z

D Z
die Eingangsimpedanz Z . Sie ist abhängig vom Zweitor und
out L

22
in
der Lastimpedanz Z und lässt sich wie folgt berechnen:

a

Durch entsprechenden Ansatz weiterer Zweitorgleichungen
können die Ein- und Ausgangsimpedanzen in Abhängigkeit von

U D Z

I C Z I

(1. Zweitorgleichung)I

1

11

1

12

2
den Y-, C-, H- und A-Parametern dargestellt werden. Mit den

U

I

Division durch I :

1 D Z C Z 12 2

A-Parametern ergibt sich:

1

I

11

I

1

1

Eingangsimpedanz

U D Z

I C Z I

(2. Zweitorgleichung)I

2

21

1

22

2

U

Z C A
a

12

Division durch I :

2 D Z I 1 C Z

Z

D A 11

2
in

I

21

I

22

A

Z C A

2

2

21
a

22

Sonderfall Kurzschluss am Ausgang ( Z D 0):

a

Es gilt:

A

Z

D 12
in K

U

A 22

2 D Z I

I 1 D . Z Z / 1 I

I
a

I
a

22

Z

2

2

21

Sonderfall Leerlauf am Ausgang ( Z ! 1):

a
eingesetzt in die oberste Gleichung: Eingangsimpedanz

Z

D A 11
in L

Z

Z

A 21

Z

D Z 12

21
in

11

Z C Z
a

22

Ausgangsimpedanz

Sonderfall Kurzschluss am Ausgang ( Z D
a

0):

A

Z C A

Z

D 22
e

12
out

A

Z C A

Z

21
e

11

Z

D Z Z 12

21 D det Z
in K

11

Z

Z

22

22

Sonderfall Kurzschluss am Eingang ( Z D 0):

e

Sonderfall Leerlauf am Ausgang ( Z ! 1):

a

A

Z

D 12
out K

A

Z

D Z

11
in L

11

Sonderfall Leerlauf am Eingang ( Z ! 1):

e
a

I

A

2

Z

D 22
out L

A

Z

Zweitor

U

21
in

2

Z a
b

I 1

93.3.2

Längssymmetrische passive Zweitore

Z

U

Zweitor
e

1

Z out

Elektrische Leitungen sind längssymmetrische Zweitore, und

Abb. 93.8 Eingangs- und Ausgangsimpedanz eines belasteten Zweitors. a Z
deshalb sind die Wellenparameter besonders für diese Zweito-
in
bei Z am Ausgang, b Z
bei Z am Eingang
re von Bedeutung. Für längssymmetrische Zweitore gilt nach
a
out
e

1158

93 Zweitore, Vierpole

Teil

Tab. 93.11: Z

D Z , Z D Z , A D A , det A D 1. Dann Nach Z aufgelöst:

11

22

12

21

11

22
in
ergeben sich Eingangs- und Ausgangsimpedanz zu:

XIII

Eingangsimpedanz

Z 2 D Z 2 Z 2
bzw.

Z 2 D A 12
in

11

12
in

A 21

Z C A

Z

D Z

Z 212

D A 11
a

12

(93.1a)

Die Ausdrücke Z 2 Z 2 bzw. A 12 kann man ersetzen durch das
in

11

Z

C Z

A

Z C A

11

12

A 21

11
a

21
a

11

Produkt aus den Eingangsimpedanzen Z
und Z

:

in L
in K

Ausgangsimpedanz

Z 2 Z 2 D Z

Z

11

12
in L
in K

Z C A

Z

D Z

Z 212

D A 22
e

12

(93.1b)

D Z 2

Z Z 212

D Z 2 Z 2
out

11

11

Z

C Z

A

Z C A

11

„ƒ‚…

Z

11

12

11
e

21
e

22

22

„
ƒ‚

…

Z in L

Z

Sie sind gleich, wenn Ein- und Ausgang mit der gleichen Im-
in K

A

A

A

A
pedanz abgeschlossen werden ( Z D Z ). Für die Sonderfälle

12

11

12

12
e
a

D Z

Z

D

D
in L
in K

Kurzschluss und Leerlauf ergibt sich:

A

A

A

A

21

21

„ƒ‚…

11

„ƒ‚…

21

Eingangsimpedanz bei Kurzschluss am Ausgang ( Z D 0):

Z in L

Z in K
a

Damit folgt für den Wellenwiderstand eines passiven längssym-

Z 2

A

Z

D Z 12 D 12
metrischen Zweitors:

in K

11

Z

A

22

11
p

Wellenwiderstand

Z D

Z

Z

(93.2)

in L
in K

Eingangsimpedanz bei Leerlauf am Ausgang ( Z ! 1/:

a

Da es sich um längssymmetrische Zweitore handelt, ist der Wel-

A

Z

D Z D 11
lenwiderstand, vom Ausgang her gesehen, der gleiche.

in L

11

A 21

Ausgangsimpedanz bei Kurzschluss am Eingang ( Z D 0):

e

93.3.4

Übertragungsmaß bei passiven

Z
längssymmetrischen Zweitoren

Z

D Z Z 12

21 D A 12
out K

22

Z

A

11

22

Die Übertragungseigenschaften eines passiven längssymmetri-

Ausgangsimpedanz bei Leerlauf am Eingang ( Z ! 1/:

e
schen Zweitors, der mit dem Wellenwiderstand abgeschlossen
ist, können durch die folgenden Wellenübertragungsmaße be-

Z

D Z D A 22
out L

22
schrieben werden:

A 21

U

Spannungsdämpfungsmaß
g D

1
u
ln U 2

93.3.3

Wellenwiderstand bei passiven

I

Stromdämpfungsmaß
g D

1
i
ln
längssymmetrischen Zweitoren

I 2
komplexes Wellendämpfungsmaß

In Analogie zu den elektrischen Leitungen bestimmt man dieje-
s
nige Lastimpedanz Z am Ausgang, bei der die Eingangsimpe-
a

U

I

. C

1 1 D
danz Z
gleich Z ist. Dieser Wert wird Wellenwiderstand des
g D 1
gu
gi/ D ln
a C jb
in
a

2

U

I

2

2

Zweitors genannt. Aus (93.1a) folgt damit:

Eingangsimpedanz
a Dämpfungsmaß (wahlweise mit dem Kurzzeichen Np für Ne-
per), b Phasenmaß

Z C A

Z

D Z D Z

Z 212

D A 11
a

12

Für längssymmetrische Zweitore gilt (ohne Ableitung):

in
a

11

Z

C Z

A

Z C A

11
a

21
a

11

U

I
g D g D g D ln

1 D ln 1

Eingesetzt folgt:

u
i

U

I

2

2
p

D ln. A C A A / D a C jb

(93.3)

Z C A

11

12

21

Z

D Z

Z 212

D A 11
in

12
in

11

Z

C Z

A

Z C A

11
in

21
in

11

Die drei Wellenübertragungsmaße sind gleich.

93.3

Wellenparameter passiver Zweitore

1159

R 1

R 1

R

R

R

U

U

2

Z

1

2 C

2

XIII

Teil

Abb. 93.9 Längssymmetrischer T-Zweitor (zu Beispiel 5)

C

R C

2

Beispiel 5

Abb. 93.10 Doppel-T-Filter

Bei dem längssymmetrischen Zweitor nach Abb. 93.9 soll
das Dämpfungsmaß berechnet werden. Er ist mit dem

Wellenwiderstand
der für diese Art der Zusammenschaltung erforderlichen Y-
p

Parameter (Tab. 93.1) wird die Spannungsübersetzung vorwärts

Z D

Z

in L

Z in K
berechnet. Die angegebene Dimensionierung führt zu einem
s
einfachen Ergebnis für j v j, das hier ohne Ableitung angegeben
uf

R R
p

D

.

1

2

R C

C

C
wird:

1

R 2/ . R 1

/ D R 1. R 1

2 R 2/

R C

1

R 2

.

j

1 !2 R 2 C 2/2
v j D
uf
nach (93.2) abgeschlossen. Mit (93.3) folgt:

.1 !2 R 2 C 2/2 C 16!2 R 2 C 2

U

I
p

Es handelt sich um eine Bandsperre, die bei der Frequenz
g D g D

D

1 D

1 D

C

u
gi
ln
ln
ln. A

A

A /

! D 1= RC rechnerisch die Ausgangsspannung Null hat. In

U

I

11

12

21

0

2

2

0
s
der Praxis wird man diesen Wert nicht erreichen können, da die

1

R

R 2

Widerstände und Kondensatoren stets geringe Abweichungen

D

1

1
ln @1 C

C

2 R C

1

A

1
voneinander haben. Bei entsprechender Auswahl der Bauele-

R 2

R 2

R 2
mente kann j v j
aber < 103 gemacht werden.

s

!

uf !0

R

R

C

D

1

1. R 1

2 R 2/
ln 1 C

C

R

93.3.5.2

Kreuzschaltung

2

R 22

Die Schaltung und die Z-Parameter dieses Zweitors sind in

Für R D

D

1

R 2

R erhält man:

Abb. 93.11a angegeben.

p
p

Die Spannungsübersetzung vorwärts ergibt sich bei Leerlauf am

Z D

3 R 2 D

3 R I

r

!

Ausgang nach Tab. 93.8 zu:

R 2 C 2 R 2
g D ln 1 C 1 C

ˇˇ

Z 21

R 2
v

D
uf Z !1
p
a

Z 11

D ln.2 C 3/ D 1;32 .Np/

Der Ausdruck in der Klammer von g gibt das Spannungs-
a

Z 1
verhältnis U

D

1= U 2

3;73 an. Bei passiven Zweitoren ist

Z 3
stets U

1

U 2 und I 1

I 2, sodass sich für g ein Wert 0

U 1

U 2
ergibt.

J

Z 2

Z 4

( Z + Z )( Z + Z )

Z Z

Z Z

1

3

2

4

2

3

1

4

N

N

Z Z

Z Z

( Z + Z )( Z + Z )

2

3

1

4

1

2

3

4

93.3.5

Spezielle Zweitore

N

N

N = Z + Z + Z + Z

1

2

3

4
b

Die im folgenden behandelten Zweitore werden in der Nach-
richtentechnik häufiger angewendet.

Z 1

Z 3

U 1

U

93.3.5.1

Doppel-T-Filter

Z

2

2

Z 4

Abb. 93.10 zeigt die Schaltung. Es handelt sich um zwei T-

Zweitore, die eingangs- und ausgangsseitig parallel geschaltet

Abb. 93.11 Kreuzzweitor. a Schaltung mit Z -Parametern, b umgezeichnet zur
sind. Die Schaltung ist am Ausgang nicht belastet. Mit Hilfe

Wheatstone’schen Brückenschaltung

1160

93 Zweitore, Vierpole

Teil

C 1

(Schaltungs- und Transistorkapazität wie beim Oszilloskop-

Eingang: R

D

D

2

1 M(; C 2

50 pF). Damit bildet das

XIII

R 1

Zweitor einen Tiefpass und verfälscht den Signalverlauf des

Eingangssignals. Durch Einsetzen und geeignete Dimensionie-

U 1

R

C

U 2
rung des Kondensators C

2

2

1 wird die Frequenzabhängigkeit der

Spannungsteilung aufgehoben. Der Ausgang des Zweitors ist
unbelastet, sodass für die Spannungsübersetzung vorwärts gilt:

Abb. 93.12 Frequenzkompensierter Spannungsteiler
v

D 1= A I
uf

11

R 1 1
j! C 1

Sie wird Null für Z Z

D Z Z . Diese Bedingung lässt

Z

R

R

2

3

1

4

1 C

1
j! C

1

A

D 1 C 1 D 1 C

1

D 1 C

1 C j! R 2 C 2
sich bei Impedanzen dann erfüllen, wenn sie sowohl für den

11

Z

R

R

1 C j! R

2

2

1
j! C 2

2

1 C 1

Real- als auch für den Imaginärteil gilt. Wird das Zweitor nach

R 2C 1
j! C 2

Abb. 93.11b umgezeichnet, erkennt man die Wheatstone’sche

Brückenschaltung. Die oben angeführte Bedingung ist die Ab-
v

D 1= A D

1
uf

11
gleichbedingung dieser Brücke.

1 C R 1 1C j! R 2 C 2

R 2

1C j! R 1 C 1

Wählt man R

D

1

C 1

R 2 C 2, so kürzt sich der Ausdruck,

93.3.5.3

Frequenzkompensierter Spannungsteiler
der die Kreisfrequenz ! enthält, heraus. Die Spannungsüber-
setzung ist frequenzunabhängig und hat den Wert v

D R 2 .

uf

R 1C R 2

In Abb. 93.12 ist der Fall gezeigt, dass mit den Widerständen

Mit den zwei Widerständen stellt man das gewünschte Teiler-

R 1 und R 2 ein Spannungsteiler aufgebaut werden soll. Zu dem
verhältnis ein und dimensioniert dann den Kondensator C 1 zu:

Widerstand R

D

2 liegt eine unerwünschte Kapazität C 2 parallel

C 1

R 2 C 2= R 1.

Leitungen

XIII

94

Wilfried Plaßmann und Egon Döring

Teil

94.1 Leitungsbeläge und Leitungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 1162

94.2 Leitung mit sinusförmigen Spannungen und Strömen . . . . . . . . 1163

94.3 Leitung mit sinusförmigen Spannungen und Strömen und beliebiger

Abschlussimpedanz Ze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1166

94.4 Verlustlose Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1169

94.5 Daten von Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177

94.6 Hochfrequenzleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177

94.7 s-Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184

94.8 Kreisdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1161

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_94

1162

94 Leitungen

Teil

94.1

Leitungsbeläge und
a
b
d
a
d

XIII

Leitungsgleichungen
ε 0
h
ε
μ

0

0
εμ r0

Unter Leitung wird hier eine homogene Zweidrahtleitung (Dop-
c
d
pelleitung) verstanden. Eine Leitung ist homogen, wenn die

D i

E
elektrischen Eigenschaften längs der Leitung konstant sind, was
d
ε r
in der Regel dadurch erreicht wird, dass sich die mechanischen

Abmessungen und das Material längs der Leitung nicht ändern.

μ 0

Zwischen den zwei Leitern liegt eine Spannung, und es fließt

D a
ein Strom in den einen Leiter hinein und im zweiten Leiter

H
zurück. Die Anordnung der zwei Leiter zueinander kann unter-
schiedlich sein, siehe Abb. 94.1: a) Zwei Leiter parallel. Sind sie

Abb. 94.1 Anordnungen von Zweidrahtleitungen. a–c Siehe Text, d Feldver-
verdrillt, dann befindet sich Isoliermaterial zwischen den Lei-
läufe im Koaxialkabel
tern mit er > 1. b) Ein Leiter als Hinleiter gegenüber Erde als

Rückleiter. c) Zwei konzentrisch angeordnete Leiter, von denen

I 1

R′

L′

I 2
der innere als Hinleiter und der äußere als Rückleiter dient (Ko-
axialleitung). Abb. 94.1d zeigt die Verläufe des elektrischen und

U

C′

G′

U

1

2
des magnetischen Feldes eines Koaxialkabels. Beide Felder ste-
hen, und das gilt auch für die Leiteranordnungen Abb. 94.1a, b,
senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung der Welle. Man spricht
l
deshalb bei der Ausbreitung von einem TEM-Typ ( t ransversal

Abb. 94.2 Ersatzschaltbild einer elektrischen Leitung
e lektro m agnetisch).

Abb. 94.2 zeigt das Ersatzschaltbild einer elektrischen Leitung.

läge und die Feldverzerrungen berücksichtigt werden. Bei dem

Der im Leiter fließende Strom hat ein Magnetfeld zur Folge, das

Induktivitätsbelag wurde das Feld in den Leitern vernachlässigt
durch die Induktivität L 0 erfasst wird, und er verursacht an dem
und nur das Feld zwischen den Leitern eingesetzt.

ohmschen Widerstand R 0 der Leitung einen Spannungsfall. Hin-
und Rückleiter bilden einen Kondensator mit der Kapazität C 0,

Kapazitäts- und Leitwertbelag sind wie folgt verknüpft: G 0 D
und das zwischen den beiden Leitern vorhandene verlustbehaf-

C 0 .="/. Da sich zwischen den beiden Leitern Isoliermateri-
tete Dielektrikum ergibt den Leitwert G 0.

al befindet, wird für die elektrische Leitfähigkeit der Ausdruck

D

Dabei hat man die längs der Leitung kontinuierlich verteil-
isolier eingesetzt. Damit ergeben sich zwei Kabel-Kenn-
größen:

ten Größen Induktivität, Widerstand, Kapazität und Leitwert in
jeweils einem diskreten Element ( L 0, R 0, C 0, G 0 in Abb. 94.2) zu-

Zeitkonstante für selbstständige Entladung
sammengefasst. Der Einfachheit halber berücksichtigt man die

Elemente der Rückleitung in denen der Hinleitung und nimmt

C 0

"

D R C D

D

(94.1)

die Rückleitung als idealen Leiter an. Bei den hier betrachteten

G 0
isolier
homogenen Leitungen nimmt der Wert dieser diskreten Elemen-

Verlustfaktor
te linear mit der Länge der Leitung zu. Deshalb werden sie auf
eine Längeneinheit, meist 1 km, bezogen und als Leitungsbe-
isolier
läge L 0, R 0, C 0 und G 0 bezeichnet. Die Werte einer Leitung mit
tan ı D P D

U 2 G 0

D
j Q j

U 2 ! C 0

! "

(94.2)

der Länge l 0 erhält man durch Multiplikation der Leitungsbelä-
ge mit l 0:

P Wirkleistung in W, Q Blindleistung in Var.

R D

I

D

I

Setzt man in Abb. 94.2 nicht die diskreten Elemente ein, sondern
l

R 0 l

L

L 0 l

0

0
l 0

0
die längs der Leitung kontinuierlich vorhandenen Leitungsbelä-

C D

I

D
l

C 0 l

G

G 0 l

0

0
l 0

0
ge, führt die Berechnung dieses Vierpols auf die Leitungsglei-

Die Leitungsbeläge werden häufig in den Einheiten H=km, chungen in Form eines Systems von partiellen Differenzialglei-

(=km, F=km und S=km oder, den Werten aus der Praxis an- chungen:

gepasst, in (=km, mH=km, nF=km und mS=km angegeben.

Leitungsgleichungen:

Bei höheren Frequenzen ändern sich die Werte der Leitungsbe-

@2 u

@ u
läge durch den Skineffekt. Tab. 94.1 enthält die Berechnungs-

D R 0 G 0 u C . R 0 C 0 C L 0 G 0/

C L 0 C 0 @2 u

(94.3a)

formeln für die in Abb. 94.1 gezeigten Leiteranordnungen für

@ x 2

@ t

@ t 2
niedrige und für hohe Frequenzen (nach [10]).

@2 i

@ i

D R 0 G 0 i C . R 0 C 0 C L 0 G 0/ C L 0 C 0 @2 i

@

(94.3b)

x 2

@ t

@ t 2

Es handelt sich bei den in Tab. 94.1 angegebenen Formeln
um Näherungslösungen, mit denen die ungefähren Werte der

Die Lösung dieses Gleichungssystems ist für beliebige Verläufe

Leitungsbeläge berechnet werden können. Für eine genauere
von u. t/ und i. t/ bei Leitungen, bei denen alle vier Leitungs-

Bestimmung müssen die Frequenzabhängigkeit der Leitungsbe-
beläge nicht Null sind, sehr umfangreich. In der Praxis sind

94.2

Leitung mit sinusförmigen Spannungen und Strömen

1163

Tab. 94.1 Leitungsbeläge für verschiedene Leiteranordnungen

Anordnung

Niedrige Frequenzen

Hohe Frequenzen

Widerstandsbelag R 0

XIII
p

Zweidraht-Leitung, Abb. 94.1a

R 0 2 l 1 D 2

R 0 2 1 d
f

A
l

A

A

4
p

2 l 1 D

2 1

A
l

A
für d
f 1

4

Teil
p

Eindraht-Leitung, Erde als idealer Rückleiter, Abb. 94.1b

R 0

R 0 1 d
f

A

A

4
p

1

A
für d
f 1

4 p
p

Koaxial-Leitung, Abb. 94.1c

R 0

1

C

1

R 0
f C f
d 2

2 d

2 Da

4

D 2 a D 2 i

2

2

4

Induktivitätsbelag L 0

Zweidraht-Leitung, Abb. 94.1a

L 0 0

ln 2 a

L 0 2;3 0 ln 2 a
d

d

Eindraht-Leitung, Erde als idealer Rückleiter, Abb. 94.1b

L 0 0 ln 4 h

L 0 1;15 0 ln 4 h

2
d

d

Koaxial-Leitung, Abb. 94.1c

L 0 0 ln Di

L 0 0 ln Di

2
d

4
d

Kapazitätsbelag C 0

Zweidraht-Leitung, Abb. 94.1a

C 0 "0" r

C 0 "0" r
ln 2 a
ln 2 a
d
d

Eindraht-Leitung, Erde als idealer Rückleiter, Abb. 94.1b

C 0 2"0

C 0 2"0
ln 4 h
ln 4 h
d
d

Koaxial-Leitung, Abb. 94.1c

C 0 2"0" r

C 0 2"0" r

D

D
ln
i
ln
i
d
d

Leitwertbelag (Ableitungsbelag) G 0

Zweidraht-Leitung, Abb. 94.1a

G 0

G 0
ln 2 a
ln 2 a
d
d

Eindraht-Leitung, Erde als idealer Rückleiter, Abb. 94.1b

G 0 2

G 0 2
ln 4 h
ln 4 h
d
d

Koaxial-Leitung, Abb. 94.1c

G 0 2

G 0 2

D

D
ln i
ln
i
d
d

Bedeutung der Formelzeichen
spezifischer elektrischer Widerstand in ( m
elektrische Leitfähigkeit in 1=(( m); D 1=

A Fläche des Leiters in m2
f Frequenz in Hz

"0 elektrische Feldkonstante 8;86 1012 As

V m

0 magnetische Feldkonstante 4 107 Vs

A m

" r Permittivitätszahl (Dielektrizitätszahl), materialabhängig
r Permeabilitätszahl, materialabhängig

" Permittivität (Dielektrizitätskonstante), " D "

0

" r

Permeabilität, D

0
r
d, a, h, Di, Da siehe Abb. 94.1
häufig die nachfolgend aufgeführten Voraussetzungen entwe-

94.2.1

Allgemeine Lösung
der ganz oder wenigstens näherungsweise erfüllt, sodass man
zu einfachen und überschaubaren Lösungen des Gleichungssys-
tems kommt:

Die allgemeine Lösung lautet:

1. Spannung und Strom haben sinusförmigen Verlauf; die Lei-
u. t; x/ D O u e˛ x

ˇ x/
tungsbeläge können beliebig sein (Abschn. 94.2).

1
cos.! t C '1

„
ƒ‚

…

2. Widerstands- und Leitwertbelag werden zu Null angenom-
uh
men. Dann spricht man von einer verlustlosen Leitung.

C O u

C

2
e˛ x cos.! t C '2

ˇ x/

(94.4a)

Spannungs- und Stromverlauf können beliebig sein (Ab-

„
ƒ‚

…

schn. 94.4).

ur
i. t; x/ D O i

1
e˛ x cos.! t C '1

ˇ x/

„
ƒ‚

…

ih

94.2

Leitung mit sinusförmigen

C O i

C

2
e˛ x cos.! t C '2

ˇ x/

„
ƒ‚

…

(94.4b)

Spannungen und Strömen
ir

'1 beliebiger Anfangswinkel von O u und O i, wird im folgenden

Für sinusförmige Spannungen und Ströme lässt sich eine ein-
zu Null gesetzt; x Längenkoordinate der Leitung: x D 0 Lei-
fache Lösung der Differentialgleichungen (94.3a) und (94.3b)

tungsanfang, x D l Leitungsende; a Dämpfungskoeffizient; ˇ
angeben.

Phasenkoeffizient (siehe (94.6); O u 1, O u 2, O i 1, O i 2 Integrationskon-

1164

94 Leitungen

Teil
stanten, durch Randbedingungen zu bestimmen (siehe (94.9a),

Wellenwiderstand

(94.9b), (94.10a), (94.10b)).

r

XIII

L 0

Bestimmt man die vier Konstanten O u

D

1; O
u 2; O i 1; O i 2 in (94.4a),

ZvL

C 0

(94.7)

(94.4b) so, dass sie z. B. Spannung und Strom am Anfang der

Leitung ( x D 0, siehe (94.9a), (94.9b)) vorgeben, kann man an

Ausbreitungskoeffizient
jedem Ort der Leitung zu jedem Zeitpunkt den Wert von Span-
nung und Strom berechnen. Beide Verläufe bestehen aus zwei
p
p

D !2

Anteilen: Einer hinlaufenden Welle u
vL

L 0 C 0 D j! L 0 C 0 D jˇI

˛ D 0

(94.8)

h bzw. ih mit abnehmender

Amplitude in Richtung Leitungsende und einer zurücklaufen-
den Welle u

Weitere Eigenschaften der verlustlosen Leitung werden im Ab-
r bzw. ir mit abnehmender Amplitude in Richtung

Leitungsanfang (Erklärung für die rücklaufende Welle siehe Ab-
schn. 94.4 behandelt.

schn. 94.3.1 und 94.4.1).

94.2.5

Lösung mit Zeigerdarstellung

94.2.2

Wellenwiderstand

In der Praxis interessiert weniger der zeitliche Verlauf als viel-
mehr die Amplitude längs der Leitung. Man wählt deshalb eine

Bildet man an beliebigen Orten längs der Leitung zu beliebigen

Zeitpunkten den Quotienten aus Spannung und Strom der hin-

Lösungsdarstellung mit Zeigern:

laufenden oder rücklaufenden Welle, ergibt sich ein konstanter

Wert, der mit Wellenwiderstand Z bezeichnet wird und sich mit

U. x/ D U
e x C U
e x

1

2
den Leitungsbelägen berechnen lässt:

I. x/ D 1 . U e x C U e x/

Z

1

2

Wellenwiderstand (allgemeine Leitung)

s

U , U

Integrationskonstanten, durch Randbedingungen be-

1

2

R 0 C j! L 0
stimmbar, Z Wellenwiderstand, siehe (94.6).

Z D

G 0 C j! C 0

(94.5)

Auch hier bestehen Spannungs- und Stromverlauf aus einer
hinlaufenden und einer rücklaufenden Welle. Der in (94.4a),

(94.4b) auftretende Dämpfungskoeffizient ˛ ist der Realteil, der

Phasenkoeffizient ďer Imaginärteil des Ausbreitungskoeffizi-

94.2.3

Ausbreitungskoeffizient
enten g (siehe (94.6)). Gibt man sich am Leitungsanfang ( x D 0,

Index „ a“) die Spannung U und den Strom I vor, so kann man
a
a

Die in (94.4a), (94.4b) auftretenden Größen a und b ergeben
die Integrationskonstanten berechnen:

sich aus der Lösung der Differenzialgleichungen und sind mit

Bedingungen am Leitungsanfang vorgegeben ( x D 0, U , I ):

a
a
den Leitungsbelägen verknüpft:

D

C

I

Ausbreitungskoeffizient

U

U

U
a

1

2
p

I D 1 . U U /

D .

a

1

2

R 0 C j! L 0/ . G 0 C j! C 0/ D ˛ C jˇ

(94.6)

Z

U C Z I

U Z I

) U D
a
a I

U D
a
a

(Schreibweise anstatt gewählt), ˛ Dämpfungskoeffizient, ˇ

1

2

2

2

Phasenkoeffizient.

U C Z I

U Z I

) U. x/ D
a
a e x C
a
a e x (94.9a)

Der in (94.6) auftretende Dämpfungskoeffizient ˛ ist der Real-

2

„
ƒ‚

…

2

„
ƒ‚

…

teil, der Phasenkoeffizient ďer Imaginärteil des Ausbreitungs-

Uh

Ur

koeffizienten .

)

U

U

I. x/ D 1
a C I
e x 1
a I
e x

2

Z
a
a

„
ƒ‚

…

2

Z

„
ƒ‚

…

Ih

Ir

94.2.4

Verlustlose Leitung

(94.9b)

U , I Spannung bzw. Strom am Anfang der Leitung ( x D 0); Z
a
a

Bei einer verlustlosen Leitung gilt: R 0 D G 0 D 0, und Wellenwi-

Wellenwiderstand der Leitung; Index „ h“: hinlaufende (auf das
derstand (94.5) und Ausbreitungskoeffizient (94.6) berechnen

Leitungsende zulaufende) Welle, Index „ r“: rücklaufende (vom
sich zu:

Leitungsende zum -anfang zurücklaufende) Welle.

94.2

Leitung mit sinusförmigen Spannungen und Strömen

1165

In gleicher Weise kann man Spannung und Strom am Ende der
a

I e

Leitung ( x D l, Index „ e“) vorgeben. Das führt zu den folgenden

Gleichungen:

U e

Z

Leitung mit Z
e

XIII

Bedingungen am Leitungsende vorgegeben ( x D l, U , I ):

e
e

Z

Z
e =

Teil

U. x D l/ D U D U e l C U e l
x = 0
e

1

2
b

Z a

I = I = I

I. x D l/ D I D 1 . U e l U e l/
a
h
r
e

Z

1

2

C

U

U

0
a

Leitung mit Z

)

Z I

Z I

U. x/ D Ue
e e. l x/ C Ue
e e. l x/

2

„
ƒ‚

…

2

„
ƒ‚

…

U

Z
h

Ur
a = Z

(94.10a)

x = 0

U

U

)

Abb. 94.3 Anpassung a am Ausgang, b am Eingang einer Leitung

I. x/ D 1
e C I
e. l x/ 1
e I
e. l x/

2

Z
e
e

„
ƒ‚

…

2

Z

„
ƒ‚

…

Ih

Ir

Dann gilt am Ende der Leitung: I D U = Z. Diese Bedingung

(94.10b)

e
e
gilt sowohl für das Leitungsende (aber noch in der Leitung)

als auch für die Lastimpedanz Z . Nach (94.9a), (94.9b) ver-

U , I Spannung bzw. Strom am Ende der Leitung ( x D l); Z
e
e
e
schwindet die rücklaufende Welle. Dieser Fall wird Anpassung

Wellenwiderstand der Leitung, Index „ h“: hinlaufende (auf das
genannt und hat sehr große Bedeutung bei der Signalübertra-

Leitungsende zulaufende) Welle, Index „ r“: rücklaufende (vom
gung auf verlustlosen Leitungen. Auch am Leitungseingang

Leitungsende zum -anfang zurücklaufende) Welle.

spricht man von Anpassung, wenn der Innenwiderstand (Impe-

Die Gleichungen (94.9a), (94.9b) und (94.10a), (94.10b) werden
danz) des Generators gleich dem Wellenwiderstand der Leitung
auch als physikalische Form der Leitungsgleichungen bezeich-
ist (Abb. 94.3b). Die Bedeutung der Anpassung am Ein- und
net.

Ausgang einer Leitung wird bei der Ausbreitung von Wander-
wellen auf einer Leitung (Abschn. 94.4.2) gezeigt.

94.2.6

Unendlich lange Leitung

94.2.8

Phasengeschwindigkeit,

Gruppengeschwindigkeit

Für l ! 1 verschwindet in (94.9a), (94.9b) die rücklaufende

Welle, und es bleibt für die Verläufe von Strom und Spannung
längs der Leitung:

Bei der Ausbreitung einer Welle auf der Leitung (hinlaufende
oder zurücklaufende Welle betrachtet) findet man die gleiche

U C Z I

Phasenlage nach (94.4a), (94.4b) bei konstant gehaltener Zeit

U. x/ D
a
a e x D U e x

(94.11a)

2
a

„
ƒ‚

…

„ ƒ‚ …

nach x

0

Ď 2 wieder. Andererseits ergibt sich an einem

U
festen Ort die gleiche Phasenlage nach der Periodendauer T D

U
h
h

1= f . Ein Vergleich liefert:

U

U

I. x/ D 1
a C I
e x D
a
e x

(94.11b)

2

Z
a

!

„
ƒ‚

…

Z

„
ƒ‚

…

ˇ x D

D

0

2 D ! T

)

v D x 0

T

ˇ

Ih

Ih

Phasengeschwindigkeit
mit I D Ua . U , I Spannung bzw. Strom am Anfang der Lei-
a

Z
a
a
tung ( x D 0), Z Wellenwiderstand.

!

v D

D 2 f

ˇ

ˇ

(94.12)

Mit dieser Geschwindigkeit breitet sich eine Welle auf der Lei-

94.2.7

Anpassung
tung aus.

Die mittlere Leistung dagegen breitet sich auf der Leitung mit

Ein für die Praxis interessanter Fall ist der, dass am Ende ei-
der Gruppengeschwindigkeit
ner endlich langen Leitung eine Impedanz Z mit dem gleichen
e

Wert wie der Wellenwiderstand Z der Leitung angeschlossen ist
v

D d!

gr

(94.13)

dˇ

(Abb. 94.3):

aus. Ist die Phasengeschwindigkeit unabhängig von der Fre-

Anpassung

Z D Z
e
quenz, sind Phasen- und Gruppengeschwindigkeit gleich: ! D

1166

94 Leitungen

Teil
v ˇ (aus (94.12)). Daraus folgt: d! D v D v

Dieses Verhältnis am Ende der Leitung nennt man Reflexions-
dˇ
gr (siehe auch Ab-
schn. 94.4 „Verlustlose Leitung“). Man spricht von Dispersion,
faktor r:

XIII
wenn Phasen- und Gruppengeschwindigkeit nicht übereinstim-

Reflexionsfaktor
men:

ˇˇ

Ze 1

Dispersion
v ¤ v

Z

Z
z 1
gr
r D Ur Ď Ze

D

D

(94.15)

U ˇ

Z C Z

Ze
z C 1
h x D l
e

„ ƒ‚ …

C 1

Z

„ƒ‚…

Beispiel 1

„1“

„2“

Von einer verlustlosen Fernsprechleitung sind gegeben:

mit Ze D z. Z am Ende der Leitung angeschlossene Impedanz;

Z
e

L 0 D 2;2 mH/km; C 0 D 6 nF/km. Die Frequenz beträgt

Z Wellenwiderstand der Leitung.

1 kHz. Daraus berechnen sich folgende Größen:

Die Darstellung „2“ wird der Darstellung „1“ vorgezogen. Für
r
s
das entsprechende Verhältnis der Ströme ergibt sich der gleiche

L 0

2;2 103V s V km

Z D Z

D

D

Ausdruck. Am Leitungs ende gelten die zwei Beziehungen:

vL

C 0

A km 6 A s 109
r

1/ U = I D Z

(94.16a)

D

2;2
e
e

106 ( D 606 (

6
p
p
p

(noch innerhalb der Leitung gemäß Definition von Z nach Ab-

D D

vL
j! L 0 j! C 0 D

!2 L 0 C 0 D j! L 0 C 0
schn. 94.2.2),
p

D

1
s

2;28
j 2 105

2;2 6 1012

D j
s
km
km

2/ U = I D Z

(Ohm’sches Gesetz für Z )

(94.16b)

e
e
e
e

)

˛ D 0I Ď 2;28
km

Erst durch Einführen einer rücklaufenden Welle können bei-

!

de Bedingungen erfüllt werden. Mit (94.15) lässt sich auch die
v D

D 2 f

ˇ

ˇ

Amplitude der in die Impedanz Z „hineinlaufenden“ Welle U
e
h 2
berechnen:

D 2 103 km D
km

2;75 103

J

Ansatz:

s 2;28
s

U

C U D U I
h 1
r 1
h 2

mit U

D U Ze Z folgt:

r 1
h 1

C

94.3

Leitung mit sinusförmigen

Ze Z

Spannungen und Strömen

Z Z

Z

U

D U C U
e

D U

1 C Ze
h 2
h 1
h 1

C
h 1

C
und beliebiger

Z

Z

Z

Z
e
e

2 Ze

Abschlussimpedanz Z

D U

D U üu
e
h 1 Z C Z
h 1
e
in analoger Weise:

94.3.1

Reflexionsfaktor, Übertragungsfaktor

2 Z

I

D I

D I ü
h 2
h 1
h 1
i

Schließt man eine endlich lange Leitung am Ende mit einer be-

Z C Z
e
liebigen Impedanz Z ab, so gilt bei x D l: U D Z I . In
e
e
e
e

(94.10a) eingesetzt, erhält man:

Spannungsübertragungsfaktor

C Z

Z

U. x/ D Ze

I e. l x/ C Ze

I e. l x/
ü D

2 Ze
u

(94.17a)

2
e
e

Z C Z

„
ƒ‚

…

2

„
ƒ‚

…

e

Uh

Ur

Stromübertragungsfaktor

Z am Ende der Leitung angeschlossene Impedanz, Z Wellen-
e
widerstand der Leitung.

ü D

2 Z
i

(94.17b)

Z C Z
e

Das Verhältnis von zurücklaufender Welle zu vorlaufender Wel-
le ist:

U , I
vom Generator auf das Leitungsende zulaufende Welle;
h 1
h 1

U , I
in Richtung Leitungsanfang reflektierte Welle; U , I

U

Z Z
r 1
r 1
h 2
h 2
r D e
e2. l x/

(94.14)

in die Impedanz Z hineinlaufende Welle; Z Impedanz am Ende
e
e

U

Z C Z
h
e
der Leitung; Z Wellenwiderstand der Leitung.

94.3

Leitung mit sinusförmigen Spannungen und Strömen und beliebiger Abschlussimpedanz Ze

1167
a
b

Gebrauch gemacht. Dann können die Leitungsgleichungen in

3 2

1

3

2

1
der mathematischen Form dargestellt werden:

u
u
l
l

XIII

0

0
x
x

U. x/ D U cosh . l x/ C Z I sinh . l x/
e
e

U
u

3

2 1
u

3

2

1
e

Teil

I. x/ D I cosh . l x/ C
sinh . l x/

(94.18)

e
l
l

Z

0

0
x
x

Benutzt man weiterhin
u

2

1
u

3

2 1
l
l

0

0
x
x

Z D Ua I

Z D Ue I
a

I
e

I
a
e

3

2

1

3

2 1

D

u
u

U. x D 0/ D U

U
cosh l C Z I
sinh l
a
e
e
l
l

U

0

0

D

e
x
x

I. x D 0/ D I

I
cosh l C
sinh l
a
e

Z
u
u

3

2 1
folgt:

l
l

0

0
x
x

Eingangsimpedanz am Anfang einer beliebig langen Leitung:

Maximum
u
stehende Welle

Z C Z tanh l
e
l

Z D Z

(94.19)

a

0

Z C Z tanh l

1
u h
x
e

2
u r

3
u + u

Minimum

Z am Leitungsende angeschlossene Impedanz; Z Wellenwider-
h
r
e
stand der Leitung.

Abb. 94.4 Hin- und rücklaufende Welle am Ausgang. a Kurzschluss, b Fehlan-
passung

Da die Funktion tanh x für x > 3 nahezu 1 ist, hat eine hinrei-
chend lange Leitung, d. h. l > 3, eine Eingangsimpedanz, die,
unabhängig von der Impedanz am Leitungsende, näherungswei-

Abb. 94.4 zeigt hin- und rücklaufende Welle der Spannung zu
se gleich dem Wellenwiderstand der Leitung ist.

verschiedenen Zeitpunkten, wenn am Leitungsende Kurzschluss

Eingangsimpedanz am Anfang einer langen Leitung:

(a) oder Fehlanpassung (b) herrscht. Bei Kurzschluss hat die
rücklaufende Welle stets die entgegengesetzt gleich große Am-
plitude wie die hinlaufende Welle, weil nur so die Bedingung

Z Z
für l > 3

(94.20)

a
erfüllbar ist, dass die Spannung am Ausgang wegen des Kurz-
schlusses zu jedem Zeitpunkt Null ist. Auch bei Fehlanpassung

Z Wellenwiderstand der Leitung.

ermöglicht die rücklaufende Welle, dass die genannten zwei Be-
dingungen (94.16a), (94.16b) erfüllt werden können.

Bisher wurde am Ende der Leitung eine diskrete Impedanz Ze
eingesetzt. Dort kann aber auch eine zweite Leitung mit dem

94.3.3

Verzerrungsfreie Leitung

Wellenwiderstand Z
angeschlossen werden (Stoßstelle zwei-
el
er Leitungen). Die Berechnung geschieht mit den angegebenen

Formeln, indem Z durch Z ersetzt wird.

e
el

Bei dieser Leitung sind Dämpfungskoeffizient und Phasenge-
schwindigkeit unabhängig von der Frequenz. Die Bedingung
lautet:

94.3.2

Eingangsimpedanz

Verzerrungsfreie Leitung:

Die Gleichungen (94.10a), (94.10b) werden umgeformt, und es

R 0

G 0

D
wird von der Beziehung

L 0

C 0r
r
p
e. l x/ e. l x/

C 0

L 0
sinh . l x/ D

I

)

˛ D R 0

I Z D

I

Ď ! L 0 C 0

(94.21)

2

L 0

C 0
cosh . l x/ D e. l x/ C e. l x/ I

Damit werden Signale unabhängig von der Frequenz gedämpft

2
und verzögert. Ein beliebiges Signal ändert also nicht seine
e. l x/ e. l x/
tanh . l x/ D sinh . l x/ D

Kurvenform. Es tritt am Leitungsende lediglich mit geringerer
cosh . l x/
e. l x/ C e. l x/

Amplitude und zeitverzögert auf.

1168

94 Leitungen

Teil
a

R′

L′

L′

R′

T-Vierpol:

· l
j ω

· l
j ω

· l

· l

2

2

2

2

XIII

A

D A D cosh l D 1 C . R C j! L/ . G C j! C/ 1

U

1

11

22

1

U

G′· l

2

· l

2
j ωC′

A

D Z sinh D . R C j! L/ C . G C j! C/ . R C j! L/2 1

12
l

4

. G C j! C/ . R C j! L/
b

R′· l
j ωL ·

′ l

D . R C j! L/ 1 C

4

U G′

1

1

G′

1

U 2

· l

· l

· l

· l

D sinh l D

2
j ωC′ · 2
j ωC′ · 2

2

A

G C j! C I

(94.23b)

21

Z
l

Z Wellenwiderstand der Leitung.

Weiterhin gilt für (94.23a), (94.23b): R D R 0 l; L D L 0 l;

Abb. 94.5 Leitung als Vierpol. a T-Vierpol, b -Vierpol

C D C 0 l; G D G 0 l.

Vergleicht man die A-Parameter beider Vierpole mit gleichem

94.3.4

Leitung als Vierpol

Index miteinander, fällt auf, dass A
und A
nicht übereinstim-

12

21
men. Das ist die Folge davon, dass die homogene Leitung durch
diskrete Elemente nachgebildet worden ist. Man sieht, dass das

94.3.4.1

Allgemeine Ersatzschaltung
nur bedingt zulässig ist.

Durch Umformen der entsprechenden Gleichung (94.23a),

Häufig liegen Leitungen gegebener Länge l vor, bei denen ein

(94.23b) und Zerlegung in Real- und Imaginärteil können die

Generator ein Signal in den Eingang einspeist und bei denen

Elemente des - bzw. T-Vierpols aus dem Wellenwiderstand Z
nur das Signal am Ende der Leitung interessiert. Man betrachtet
und l bestimmt werden:

die Leitung deshalb als Vierpol und wendet die Vierpolgesetze

an. Aus (94.18) kann man die A-Parameter ableiten:

-Vierpol:

!

R C j! L D Z sinh. l/;

cosh l Z sinh l

.

l

A/ D
sinh l

(94.22)

G C j! C D 2 tanh

;
cosh l

Z

Z

2

T-Vierpol:

Es gilt: det A D cosh2 l sinh2 l D 1; A

D A . Der

11

22
l

Vierpol „Leitung“ ist damit widerstands- und übertragungssym-

R C j! L D 2 Z tanh

;
metrisch, was sich unmittelbar aus der Anschauung bestätigen

2
lässt (Abschn. 93.2.1 und 93.2.2). Es sind nur zwei Kenngrö-

G C j! C D 1 sinh. l/

(94.24)

ßen zur Beschreibung erforderlich: der Wellenwiderstand Z und

Z
das Produkt aus dem Ausbreitungskoeffizienten und der Lei-

Beide Vierpole erfassen die Leitung, wie oben begründet, nur
tungslänge l. Gleichung (94.19) stimmt mit dem Ausdruck für
näherungsweise.

die Eingangsimpedanz eines am Ausgang belasteten Vierpols
überein, siehe Tab. 93.7. Abb. 94.5 stellt die Leitung als Ele-
mentarvierpol dar.

94.3.4.2

Elektrisch kurze Leitung

Gilt für eine Leitung j l j
1, können in (94.18) bzw. (94.22)

Vergleicht man (94.22) mit den entsprechenden Matrizen des T-

Näherungen eingesetzt werden:

und -Vierpols (Tab. 93.4), lässt sich eine elektrische Leitung
der Länge l als Vierpol darstellen. Es gelten folgende Beziehun-
sinh. l/ l;
gen:

cosh. l/ 1 C 1 . l/2
für j l j
1

(94.25)

-Vierpol:

2

Damit ergeben sich die Elementarvierpole nach Abb. 94.5. Das
sind aber auch die Ersatzschaltungen, die für die Ableitung

A

D A D cosh l D 1 C . R C j! L/ . G C j! C/ 1

11

22

2
der Leitungsgleichungen (94.3a), (94.3b) verwendet wurden

A

D Z sinh l D R C j! L
und bei denen die Leitungslängen infinitesimal klein waren.

12

Demnach darf das Ersatzschaltbild nach Abb. 94.5 nur dann ver-

A

D sinh l D . G C j! C/ C . R C j! L/ . G C j! C/2 1
wendet werden, wenn die Bedingung nach (94.25) erfüllt ist.

21

Z

4

.

Bei einer elektrisch kurzen Leitung ist längs der Leitung zu

R C j! L/ . G C j! C/

D . G C j! C/ 1 C

(94.23a)

einem beliebig angenommenen Zeitpunkt überall die gleiche

4

Spannung und der gleiche Strom vorhanden.

94.4

Verlustlose Leitung

1169

94.4

Verlustlose Leitung
a
u r1
t = 0

R
u
i
h1
u h2

XIII

94.4.1

Eigenschaften

Wellenwider-

U
u
u
a
e

0
stand Z

R e

Teil

Eine Leitung ist verlustlos, wenn gilt: R 0 D G 0 D 0. Damit
verlustlose

Leitung,
folgen die Eigenschaften der Leitung zu:

Länge l
b

Verlustlose Leitung:

u e
r L 0
p

˛ D 0 ) Z D

I Ď ! L 0 C 0I
vL
vL

C 0

!

!

v

D

D p

D

1
p
vL

ˇ

(94.26)

! L 0 C 0

L 0 C 0

1 V

U 0 = 1 V

Sowohl der Wellenwiderstand Z
als auch die Phasengeschwin-
vL

R i = 10 Ω
digkeit v

Z = 75 Ω
vL sind frequenzunabhängig. Der Dämpfungskoeffizient
l = 200 m
ist erwartungsgemäß Null, der Wellenwiderstand Z
ist reell.

vL

R e = 1 MΩ

Die Lösung der Differentialgleichung (94.3a) lautet damit:

0
t

10

20

30 s
μ

Lösung der Wellengleichung:

Abb. 94.6 Reflexion. a Modell, b Beispiel
u. x; t/ D u. x ˙ v t/

(94.27)

Die sich ausbreitenden Wellen heißen Wanderwellen und haben

Am Leitungsende muss gelten:

die Eigenschaft, dass beliebige Signalverläufe bei der Aus-
breitung in der Leitung weder in der Amplitude noch in der

.

.

.

u 1/ C u 1/ D u 1/I

Signalform geändert werden. Das gilt aber nur, wenn die hin-
h 1
r 1
h 2

laufende bzw. rücklaufende Welle für sich betrachtet wird. Bei

.

. Re

Z
u 1/ D u 1/

(mit Gleichung (94.15))

Reflexionen am Leitungsanfang oder -ende gibt es Signalver-
r 1
h 1 R C
e

Z
fälschungen durch Überlagerungen, siehe Abschn. 94.4.2 und

.

.

2 Re
u 1/ D u 1/

Beispiel 2.

(mit Gleichung (94.17a))

h 2
h 1 R C
e

Z

Die rücklaufende Welle lässt sich anschaulich erklären: Der
uh 1 auf das Leitungsende zulaufende Welle, ur 1 in Richtung

Ausgang der Leitung sei offen. Da weder in der Leitung noch

Leitungsanfang reflektierte Welle, uh 2 in den Widerstand Re
im Widerstand am Ausgang Leistung verbraucht wird, fließt die
hineinlaufende Welle, Re Widerstand am Ende der Leitung, Z
vom Generator zum Ausgang transportierte Leistung als rück-

Wellenwiderstand der Leitung (reell, da verlustlose Leitung).

laufende Welle wieder zum Generator zurück.

.

Für T < t < 3 T ist die Spannung an R

1/

D

Verlustarme Leitung: Auch wenn die Bedingung R 0 D G 0 D 0
e gleich uh 2

Z

2 R

.

e

1/
in der Praxis nicht erfüllt ist, kann man doch häufig eine Leitung

U
wird nach 2 T am

R

0. Die rücklaufende Welle u
i C Z

Re C Z
r 1
als „nahezu verlustlos“ ansehen, wenn gilt: ! L 0 R 0; ! C 0
Leitungsanfang ebenfalls teilweise reflektiert, die Amplitude ist:

G 0. Sie wird dann als verlustarme Leitung bezeichnet.

.

. R

i

Z

Re

Z

Ri

Z

Z
u 2/ D u 1/

D

U
h 1
r 1

0

R C

C

C

C
i

Z

Re

Z

Ri

Z

Ri

Z

94.4.2

Wanderwellen bei Reflexion am

Erreicht diese Welle nach 3 T das Leitungsende, gehen davon

Leitungsein- und -ausgang

.

Z

Z
u 2/ ü D

2 Re

Re

Ri

Z

U
h 2
u

0

R C

C

C

C
e

Z

Re

Z

Ri

Z

Ri

Z

Abb. 94.6a zeigt eine Anordnung, bei der zum Zeitpunkt t D 0
in den Widerstand R
der Schalter geschlossen wird. Es gilt: R ¤
e und addieren sich zu der bereits seit T
i

Z ¤ Re. ua ist nach

.

vorhandenen Spannung u 1/. Für 3 T < t < 5 T ist die Spannung
der Spannungsteilerregel:

h 2
an Re:

Z

.

u D

D 1/

Z
a

U 0
u

.1/

.2/

R C
h 1
u

C u

D

2 Re U
i

Z
h 2
h 2

0

R C

C
i

Z

Re

Z

Eine Welle mit dieser Amplitude breitet sich auf der Leitung in

Z

R

Z

R

Z

C
e
i

2 Re U 0

Richtung Leitungsende aus und erreicht es nach der Laufzeit T.

R C

C

C

C
i

Z

Re

Z

Ri

Z

Re

Z

1170

94 Leitungen

Teil

Für 5 T < t < 7 T folgt für die Spannung am Ende der Leitung

Anschaulich bedeutet eine elektrisch lange Leitung, dass zu
einem beliebig angenommenen Zeitpunkt die Spannungs- und

XIII

.

.

.

u 1/ C u 2/ C u 3/ D

Z

2 Re U

Stromverteilung längs der Leitung nicht mehr konstant ist.

h 2
h 2
h 2

0

R C

C
i

Z

Re

Z

C

Z

Re

Z Ri Z 2 Re U

Beispiel 3

0

R C

C

C

C
i

Z

Re

Z

Ri

Z

Re

Z

.

.

.

Z

Zur Darstellung von unbekannten Spannungsverläufen
u 1/ C u 2/ C u 3/ D

2 Re U
h 2
h 2
h 2

0

R C

C
i

Z

Re

Z
auf dem Oszilloskopschirm werden Koaxialkabel als Si-

!

2
gnalleitung verwendet. Ein solches Kabel hat häufig eine

Z

Z

Re

Z

Z

1 C Re

Ri

C

Ri

Länge von 2 m und eine Phasengeschwindigkeit v D

R C

C

C

C
e

Z

Ri

Z

Re

Z

Ri

Z

200:000 km=s. Die Signalfrequenz soll 1 MHz betragen

(zur Vereinfachung zunächst sinusförmiges Signal an-

Auf diese Weise kann man den Spannungsverlauf am Ende der
genommen). Dann ergibt sich mit (94.28): l f = v D

Leitung berechnen.

..2 m/ .106/=s/=.2 108 m=s/ D 102. Diese Leitung
befindet sich im Übergangsbereich zwischen elektrisch

Beispiel 2
kurzer und elektrisch langer Leitung. Ist das Signal nicht
sinusförmig, was häufig der Fall ist, gilt für die Ober-

Ein Spannungssprung von 0 auf 1 V, den ein Generator
schwingungen, dass die Leitung elektrisch lang ist. Es
mit dem Innenwiderstand R D
i

10 ( erzeugt, wird über
kommt zu Signalverfälschungen, sodass bei Frequenzen
eine 200 m lange Messleitung (Koaxialkabel) mit dem
im MHz-Bereich mit Anpassung gearbeitet werden soll-

Wellenwiderstand Z D 75 ( auf den Eingang eines Os-
te.

J
zilloskopes mit dem Eingangswiderstand R

D
e

1 M(
gegeben. Abb. 94.6b zeigt den dargestellten Verlauf. Es
ist danach sogar möglich, dass die Spannung am Ausgang
der Leitung zeitweise über dem stationären Endwert liegt.

J

94.4.4

Leitung als Transformator

Der Wellenwiderstand einer verlustlosen Leitung ist reell

(94.26). Dann geht (94.19) mit den Zusammenhängen

94.4.3

Elektrisch lange Leitung
tanh.˛ ˙ jˇ/ D sinh.2˛/ ˙ j sin.2ˇ/ ;

Die im Abschn. 94.4.2, Wanderwellen, und Abb. 94.6b darge-
cosh.2˛/ C cos.2ˇ/
stellten Mehrfachreflexionen am Ein- und Ausgang der Leitung
sin.2ˇ/ D 2 sin.ˇ/ cos.ˇ/;
bei Fehlanpassung treten nur dann störend in Erscheinung, wenn
die Leitung „elektrisch lang“ ist. Die Bedingung lautet:

cos.2ˇ/ D 2 cos2.ˇ/ 1;
sinh.0/ D 0;
cosh.0/ D 1

Elektrisch lange Leitung:

l
v
über in:

>

0;01 mit D

(94.28)

f

Eingangsimpedanz am Anfang der Leitung:

l Länge der Leitung in m; v Phasengeschwindigkeit in m=s

C j Z tan ˇ l

(94.26); f Signalfrequenz in Hz.

Z D Z Ze

(94.30)

a

Z C j Z tan ˇ l
e

Dabei wurden (94.6), (94.12) und (94.25) verwendet:

Z am Leitungsende angeschlossene Impedanz; Z Wellenwider-
j
e
l j < 0;1
stand der Leitung.

!

j
l
l j D j j ˇ l j D

)

2 f l > 0;1

Wählt man die Leitungslänge l zu =4 () ˇ l D =2) bzw.

=2 () ˇ l D ), folgt daraus für die Eingangsimpedanz am

)

f l > 0;1

Anfang der Leitung:

2

ˇ
oder f l > 0;01.

Z Ď Z 2

=4-Transformator
v
a ˇ l D=2

Ze

Alternativ spricht man von elektrisch kurzer Leitung:

ˇ

Z Ď Z

=2-Transformator

(94.31)

a ˇ l D
e

Elektrisch kurze Leitung:

p
l
v

Ist der Wellenwiderstand Z D

Z

Z
a
e, kann beim =4-

<

0;01 mit D

(94.29)

Transformator jeder Leitungsabschluss in jede andere Impedanz
f

Z transformiert werden. Beim =2-Transformator erhält man
a
l Länge der Leitung in m; v Phasengeschwindigkeit in m=s am Eingang die am Ende der Leitung angeschlossene Impedanz

(94.26); f Signalfrequenz in Hz.

Z , und zwar unabhängig von den Leitungseigenschaften.

e

94.4

Verlustlose Leitung

1171
u

U e

U a

1

2
n
l

XIII
x

0

Teil

Kurzschluß am

U e

U a

Leitungsende

Abb. 94.7 Stehende Wellen (siehe auch Abb. 94.4)

l
n · l

L

L

L

94.4.5

Stehende Wellen

U

C

C

C

C

C

C
e

U a

2

2

2

2

2

2

Betreibt man eine verlustlose Leitung am Ende im Leerlauf
l
oder im Kurzschluss, ist der Reflexionsfaktor nach (94.15) C1
n · l
für den Leerlauf- bzw. 1 für den Kurzschlussfall. Spannung
verlustlose Leitung
bzw. Strom am Ausgang werden zu Null erzwungen, sodass

Strom- und Spannungsmaximum (oder entsprechende andere

Abb. 94.8 Kettenleiter. a allgemeiner Aufbau, b elektrische Leitung als Ket-

Werte) entlang der Leitung ortsfest sind. Beide haben eine
tenleiter, c Ersatzschaltbild der elektrischen Leitung

Phasenverschiebung von 90° zueinander. Abb. 94.7 zeigt den

Spannungsverlauf auf einer Leitung bei Kurzschluss am Lei-
tungsende ( x D l), vom Ende aus betrachtet. Bildet man den

-Vierpol:

Quotienten U min= U max aus dem Minimal- und dem Maximal-
s
wert der Spannung nach Abb. 94.4b unten, erhält man den

!2 LC

L

!2 LC

Anpassungsfaktor, der mit dem Betrag des Reflexionsfaktors in
cosh l D 1

I

Z D

1

(94.33b)

2

C

4
der dargestellten Weise zusammenhängt:

Anpassungsfaktor

Sind die Größen L; R; G und C eines Elementarvierpols der

Länge l gegeben, kann die Kettenschaltung dadurch berechnet
m D 1 j r j ;
und daraus j r j D 1 m

(94.32)

werden, dass man bei n Kettengliedern die Größe l durch

1 C j r j

1 C m
n l ersetzt (94.18). Damit werden L; R; G und C jeweils mit
n multipliziert:

r Reflexionsfaktor nach (94.15).

Kettenleiter mit n gleichen Elementen:

Für Leerlauf bzw. Kurzschluss ist m D 0. Misst man das Span-
nungsmaximum U max und das Spannungsminimum U min mit

U. x D 0/ D U D U cosh. n l/ C Z I sinh. n l/
a
e
e
einem Wechselspannungsmessgerät, bekommt man mit (94.15)

U
auch eine Aussage über das Verhältnis von Abschlusswiderstand

I. x D 0/ D I D I cosh. n l/ C
e sinh. n l/
a
e

Z
zu Leitungswiderstand. Herrscht am Ende der Leitung Anpas-

(94.34)

sung, ist m D 1.

Für die hier betrachteten verlustlosen Kettenleiter wird gesetzt:

R 0 D G 0 D 0.

94.4.6

Kettenleiter

94.4.7

Wellenfilter

Schaltet man mehrere Vierpole in Kettenschaltung nach

Abb. 94.8a zusammen, erhält man einen Kettenleiter. Die Be-
rechnung erfolgt hier nach Abb. 94.8b für einen verlustlosen

Eine Anwendung für die Kettenleiter gibt es bei den Wellen-

Kettenleiter, weil er in der Praxis die größte Bedeutung hat. Ab-
filtern. Es werden bei Bedarf mehrere Elementarvierpole in
hängig davon, ob für die Einzelvierpole die T- oder -Schaltung

Kettenschaltung verbunden. Der dann entstehende Gesamtvier-
nach Abb. 94.5 gewählt wird, erhält man für die Einzelvierpole
pol soll betrachtet werden. Nach (94.33a), (94.33b) gilt für T-
der Länge l mit (94.23a), (94.23b):

und -Vierpol: cosh. l/ D 1 .!2 L C=2/. Trennt man in

Real- und Imaginärteil a C jb, so folgt:

T-Vierpol:

s
cosh. a C jb/ D cosh. a/ cos. b/ C j sinh. a/ sin. b/

!2 LC

L
cosh l D 1

I

Z D

1

(94.33a)

!2 LC

2

C

1 !2 LC

D 1

4

2

1172

94 Leitungen

Teil
a

L

94.4.8

Filterentwurf

XIII

C

C

2

2

Im vorhergehenden Abschnitt war durch Kettenschaltung die
erweiterte Wirkung eines Tiefpasses dargestellt. Will man die
b

Filterwirkung verändern, sind zwei Wege von besonderer Be-
a
deutung:

Durchlaß-
bereich

1. Konvertierung der Filtercharakteristik

Sperrbereich

2. Modifikation der (Tiefpass-)Filtercharakteristik

0
ω

Zur Konvertierung wird zunächst die realistischere Darstellung
c
der Tiefpasscharakteristik (TP) von Abb. 94.9b in Abb. 94.10a
b
π
idealisiert. Die Frequenzachse ist mit der auf die Grenzfrequenz

! G normierten Frequenz ˝ beschriftet. Die erste Konversion
ist die Inversion, Abb. 94.10b. Es entsteht ein Hochpass. Wird

0
ω
der Tiefpass an der Ordinate gespiegelt, Abb. 94.10c, ergibt sich
d
der Bandpass. Die beim Bandpass in Abb. 94.10c auftretenden

|Z|
negativen Frequenzen haben zunächst nur theoretisch Bedeu-
imaginär
tung. Das negative Vorzeichen absolut verschwindet bei der

Transformation, in der der Nullpunkt des System zu einer rea-
reell
len, höheren Frequenz (mindestens > j! j

G ) transformiert wird.

0
ω

2

Das negative Vorzeichen bezieht sich dann zunächst noch auf

L · C
die – normierte – Mittenfrequenz ˝0 des Systems. Dies ist in

Abb. 93.10d dargestellt. Der Bezug ist jetzt die normierte Mit-

Abb. 94.9 Wellenfilter. a Schaltbild, b Dämpfungskoeffizient, c Phasenkoeffi-
tenfrequenz ˝0 und die Eckfrequenzen des Bandpasses ergeben
zient, d Wellenwiderstand Z
sich zu ˝ C

0

˝ G und ˝0 ˝ G. Für ˝ existiert immer noch eine
negative Achse.

Der Imaginärteil ist Null:

In Abb. 94.10e ist ˝ entnormiert und es erscheinen neben der
realen Mittenfrequenz !

D

0 die obere Grenzfrequenz mit !0

C

D

sinh. a/ sin. b/ D 0I

!0 ! G und die untere Grenzfrequenz ! u

!0 ! G ohne dass

Probleme mit dem negativen Vorzeichen auftreten.

!2 LC
cosh. a/ cos. b/ D 1

Die zunächst für die vereinfachende Betrachtung idealisiert

2
angenommenen Verläufe werden nach bestimmten Gesetzmä-

Diese Gleichungen werden erfüllt durch:

ßigkeiten realisiert. Für die Charakteristiken der Tiefpässe sind

Frequenzgänge nach Butterworth (Potenzfilter) Abb. 94.11a,

1. a D 0 und cos. b/ D 1 !2 L C oder

Bessel Abb. 94.11b, Tschebyscheff I Abb. 94.11c bzw. Tsche-

2

2. b D 0; ; 2; : : : und cosh. a/ D j1 !2 L C j.

byscheff II Abb. 94.11d oder Cauer-Parameter (elliptische)

2

Filter Abb. 94.11e üblich.

Die Mathematik liefert:

Butterworth und Besselfilter zeichnen sich durch einen „glatten“
j cos. b/j 1I j cosh. a/j 1:

Verlauf des Amplitudenganges im Durchlassbereich aus. Der

Übergang zum Sperrbereich, die Flankensteilheit ist nur mä-
ßig ausgeprägt. Als Grenzfrequenz gilt der Punkt, bei dem der

Für j1 !2 L C j < 1 gilt deshalb:

2

Amplitudengang den 3 dB Wert überschreitet. Tschebyscheff

I- und Cauer-Charakteristiken weisen Welligkeiten im Durch-

!2 L C
a D 0
und
cos. b/ D 1

I
lassbereich auf. Die Grenzfrequenz des Durchlassbereiches ist

2
erreicht, wenn der Betrag der Welligkeit dauerhaft überschritten
wird. Tschebyscheff II- und Cauer-Filter weisen auch Wellig-
für j1 !2 L C j > 1 gilt:

keiten im Sperrbereich auf. Die Welligkeit im Sperrbereich

2

ˇ
muss eine gewisse Mindestdämpfung sicherstellen. Die Sperr-

ˇ

ˇ

!2 L C ˇ
grenzfrequenz ist dann die Frequenz im Übergangsbereich bei
b D 0; ; 2; : : :

und
cosh. a/ D ˇˇ1

ˇ

2
ďer erstmalig diese Mindestdämpfung erreicht wird.

p

Da die Berechnung der Filterelemente nach der Betriebsgrößen-

Für 0 < ! < 2= LC ist die Dämpfung Null, das Filter ist im
p
theorie zwar zweckmäßig aber sehr aufwändig ist, werden dafür

Durchlassbereich. Für ! > 2= LC nimmt die Dämpfung mit Rechnerprogramme eingesetzt. Bevor Rechner mit entsprechen-
wachsender Frequenz zu. Abb. 94.9 zeigt Dämpfungs- und Pha-
der Rechenleistung allgemein verfügbar waren wurden die not-
senkoeffizient als Funktion der Frequenz.

wendigen Unterlagen in „Filterkatalogen“ z. B. von R. Saal

94.4

Verlustlose Leitung

1173
a
b
α
α

XIII

TP

HP

Teil

Durchlass

Sperre

Sperre

Durchlass

Ω=1

Ω

Ω=1

Ω
c
α

B

P

Sperre

Durchlass

Sperre

–Ω

Ω=–1

0

Ω=+1

+Ω
d
α

B

P

Sperre

Durchlass

Sperre

–Ω

Ω –Ω

Ω

Ω +Ω

+Ω

0

G

0

0

G
e
α

Bandpass
α

Sperre

Durchlass

Sperre

0

0
ω =ω –ω
ω
ω =ω +ω
ω
u

0

G

0
u

0

G

Abb. 94.10 Konversion und Transformation eines Tiefpasses. a Idealisierter Tiefpass (TP) mit unendlicher Dämpfung im Sperrbereich und unendlicher Flanken-
steilheit mit normierten Freuqenzen ˝, b Konversion zum Hochpass (HP) durch Vertauschung von Sperr- und Durchlassbereich ebenfalls mit normierten Freuqenzen

˝, c Konversion des Tiefpasses zum Bandpass (BP) durch Spiegelung des Tiefpasses an der Ordinate und normierten Frequenzen, die jetzt auch negative Werte
aufweisen, d Transformierter Bandpass (BP) im Bereich der normierten Frequenzen, wobei die negative ˝-Achse erhalten bleibt, e Transformierter Bandpass (BP) mit realen Frequenzen !, wobei jetzt lediglich das negative Vorzeichen von !G die Subtraktion von der Nennfrequenz !0 bedeutet und so die untere Grenzfrequenz

!u liefert

1174

94 Leitungen

Teil
a
b
α
α

XIII
αDmax
αDmax
αSmin
αSmin

0

1

Ωs

Ω

0

1

Ωs

Ω
c
d
α
α
αDmax
αSmin
αSmin

0

1

Ωs

Ω

0

1

Ωs

Ω
e
α
αDmax
αSmin

0

1

Ωs

Ω

Abb. 94.11 Tiefpässe. ˛Dmax D maximal zulässige Dämpfung im Durchlassbereich, ˛Smin D minimal zulässige Dämpfung im Sperrbereich, a Potenz oder

Butterworth-Filter, b Bessel-Filter, c Tschebyscheff-I-Filter, d Tschebyscheff-II-Filter, e Cauer-Parameter oder elliptischer Filter
a

(Telefunken) und G. Pfitzenmaier (Siemens) veröffentlicht. Der

Vorteil der Filterkataloge besteht in der sofort erkennbaren

Charakteristik des gesuchten Filters, da die Kataloge den grund-
sätzlichen Frequenzgang und auch den Bauelementeaufwand
α
mit drucken. Als Beispiel hierzu ist in Abb. 94.12a der Fre-
αD
αS
quenzgang eines Cauerfilters 6. Ordnung und in Abb. 94.12b
die Schaltung dazu gezeigt (n. R. Saal „Der Entwurf von Filtern
mit Hilfe des Kataloges normierter Tiefpässe“). Zu beachten ist
noch, dass bei der Transformation vom Tiefpass zum Bandpass

0

1 Ωs

Ω

∞
auch die Blindelemente transformieren. In Abb. 94.13 sind die

Konsequenzen zusammengestellt.

b

Neben der Welligkeit im Durchlassbereich, die ja auch die Lage
der Grenzfrequenz bestimmt, sind noch die Flankensteilheit im

1,0

0,9048

Übergangsbereich und die Gleichmäßigkeit der Gruppenlaufzeit
wichtige Dimensionierungsgrößen.

1

2

3

4

5

6

Abschließend sei noch bemerkt, dass durch die Extremstellen in
den Sperrbereichen von Tschebyscheff II- und Cauer Parameter-

Abb. 94.12 Cauer-Parameter Tiefpass-Filter 6. Ordnung (nach Saal „Der Ent-

Filtern durch geeignete Dimensionierung einzelne Frequenzen
wurf von Filtern mit Hilfe des Kataloges normierter Tiefpässe“). a Normierter
gezielt ausgeblendet werden können.

Frequenzgang, b Schaltung

94.4

Verlustlose Leitung

1175
a

Polarisation
y
x

XIII
d
z

Teil
b
y
z

Abb. 94.14 Dielektrikum für Filter. a Polarisiertes Dielektrikum, b Scher-
schwingungen bei Wechselspannungsanregung
f
f
f
gz
gE
gz

Abb. 94.13 Schema der Transformation der Tiefpasselemente zu Bandpassele-
menten (nach Saal „Der Entwurf von Filtern mit Hilfe des Kataloges normierter

Tiefpässe“)

f

Abb. 94.15 Mit Elektroden belastetes piezoelektrisches Dielektrikum

94.4.9

Dielektrische Filter

Spulenfilter sind in der Herstellung aufwendig und benötigen
angeregt werden. Es stellen sich sogenannte symmetrische und
im Endeinbau einen individuellen Abgleich. Dielektrische Filter
antisymmetrische Schwingmoden ein, Abb. 94.16a.

nutzen mechanische Effekte aus die bei der Herstellung abgegli-

Den einfachsten Fall stellt der „Kondensator“ als Quarzfilter dar,
chen werden und dann dauerhaft konstant sind.

das durch die hohe Güte des äquivalenten Schwingkreises eine

In einem dünnen unendlich ausgebreiteten Dielektrikum mit

Bandbreite unterhalb von 1 kHz aufweist (s. a. Abschn. 97.2.1).

piezoelektrischen Eigenschaften werden bei Längspolarisation
und elektrischer Anregung von den Oberflächen Scherschwin-
gungen in z-Richtung angeregt, Abb. 94.14. Die Ausbreitungs-
konstante ˇ ist dabei:

s

f

2

Ď

1

(94.35)

d
fgz
d ist die Substratdicke (Abb. 94.14a) und fgz die Grenzfrequenz
oberhalb der keine Wellenausbreitung in z-Richtung stattfindet.

Wird das Dielektrikum mit Elektroden versehen, so gilt wegen
der erhöhten Masse für diesen Bereich eine niedrigere Grenz-
frequenz fgE und damit
fgE < f < fgz

(94.36)

Beim Betrieb mit einer Frequenz f zwischen fgE und fgz bleibt
die Energie im Elektrodenbereich „gefangen“ (energy trapping)

was zu ausgeprägten mechanischen Resonanzen führt.

Bei Teilung einer Elektrode, Abb. 94.15 können verschiedene

Abb. 94.16 Dielektrisches Filter. a Piezoelektrisches Dielektrikum mit geteilter

Resonanzen durch Vielfachkopplung in solche Phasenbeziehun-

Elektrode und mögliche Schwingungsanregungen, b Das Schaltbild eines derar-
gen zueinander gelangen, dass einzelne Frequenzen optimal
tigen dreipoligen Filters

1176

94 Leitungen

Teil

XIII

Abb. 94.17 Interdigitalwandler. Prinzip der Fingerstrukturen eines Interdigitalwandler (ID-Wandler) zur Erzeugung von Oberflächenwellen
a

Größere Bandbreiten lassen sich mit Teilung der Elektroden ge-
α
mäß Abb. 94.16 erreichen. Diese Anordnung ermöglicht Band-
dB
breiten von kHz im 10-MHz-Bereich.

10

Nach einem weiter modifizierten Prinzip zur Frequenzselekti-

20
on arbeiten Oberflächenwellenfilter OFW oder englisch SAW

30

(surface acoustic waves). Grundlage sind wieder mechanische

Schwingungen die zur Interferenz von Wellenzügen an der

40

Oberfläche eines geeigneten Substrats, z. B. Lithium-Niobat

50

LiNbO3, führen. Zur Erzeugung der Oberflächenwellen die-

60
nen fingerartig ineinandergreifende Interdigitalwandler (ID-

70

Wandler) Abb. 94.17. Die sogenannte Synchronfrequenz f 0

80
eines solchen Systems ist:

820

840

860

880

900
f
v

MHz
w
b
f D

0

(94.37)

α

2 d
dB
v D
w

Ausbreitungsgeschwindigkeit der Oberflächenwelle. Sie

10
beträgt z. B. für Lithiumniobat (LiNbO3) 3488 m=s. Der Band-
passfrequenzgang einer solchen Struktur folgt im einfachsten

20

Fall – gleichmäßig, symmetrisch – der Spaltfunktion .sin x/= x

30
mit ihren Periodizitäten. Durch Wichtung der Fingerstrukturen
kann der Frequenzgang beeinflusst werden.

40

1) Abstandsvariation ( d) ! Laufzeitwichtung (Frequenz),

50

2) Breitenvariation ! Feldstärkewichtung,

3) Längenvariation ! Intensitätswichtung (der Frequenzen).

60

Wird z. B. die Länge nach .sin x/= x gewichtet ergibt sich eine

70
f
erhöhte Bandbreite gegenüber der einfachen Struktur.

8700

9700

10700

11700

MHz
c

Phasengang und Gruppenlaufzeit sind durch die „Abstandsgrö-
α
ßen“ festgelegt und damit konstruktiv definierbar. Die Konstanz
dB
dieser Größen ist durch die mechanische Konstanz des Systems

10
gegeben.

Grundsätzlich problematisch ist bei allen dielektrischen Filtern

20
ihre „kapazitive Grundcharakteristik“, d. h. außerhalb des ei-
gentlichen Betriebsbereiches existiert immer noch ein gewisses

30

„kapazitives Übersprechen“. Für die Selektion weiter außerhalb
der genutzten Frequenzen ist daher u. U. ein gewöhnliches LC-

40

Filter sinnvoll. Durch entsprechende „Antennenstrukturen“ der

Finger der ID-Wandler sind auch komplizierte Frequenzgänge

50
wie etwa Stufenstrukturen bei Fernseh ZF-Filtern realisierbar.

Zur Unterdrückung von Reflexionen sind OFW-Filter durchweg

60
niederohmig anzusteuern, wohingegen der Abschluss hochoh-
f

1640

1740

1840

1940

MHz
mig auszuführen ist.

Abb. 94.18 Filtercharakteristiken. ˛ D Dämpfung, a Quarzfilter, Bandbreite

In Abb. 94.18 sind die drei mit dielektrischen Filtern mögli-
im kHz-Bereich, Beispiel: EPCOS B3575, b keramisches Filter mit Bandbreite im
chen Kurvenformen, sehr schmal, schmal und breit dargestellt.

zig-kHz-Bereich, Beispiel: Murata CERAFIL SFLA10M7 mit ca. 250 kHz Bandbrei-

In Abb. 94.18a) ist quasi der Quarz-Kondensator mit verbrei-
te, c Oberflächenwellenfilter mit Bandbreite im MHz-Bereich, Beispiel: Murata
terter Resonanz zu sehen. Es ist offensichtlich, dass außerhalb

SAWEN1G84

94.6

Hochfrequenzleitungen

1177
der Resonanz auch noch Signale kapazitiv Übersprechen. Die-

Z εr
ser Effekte ist auch bei den beiden anderen Kurven erkennbar.

Ohm
a

Abb. 94.18b) liegt der Aufbau nach Abb. 94.16 zugrunde.

125

XIII

Abb. 94.18c) zeigt die typische Durchlasscharakteristik eines

1 +

/

D d

Z ε

Handy-Eingangsfilters.

ln

/

D d
r

7

100

Teil

94.5

Daten von Leitungen

6

75

Tab. 94.2 gibt Beispiele für Leitungsbeläge häufig vorkommen-
der Leitungen (Näherungswerte).

5

50

Häufig kann man für die Leitungsbeläge Vernachlässigungen

1 +

/

D d
oder Näherungen angeben, sodass sich für den Dämpfungs-
ln

/

D d
und Phasenkoeffizienten sowie für den Wellenwiderstand ver-

4

25
einfachte Ausdrücke ergeben. Sie sind in Tab. 94.3 zusammen-
gestellt.

3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

D/ d

94.6

Hochfrequenzleitungen
p

Abb. 94.19 Wellenwiderstand Z

"r und Hilfsfunktion Œ1 C D=d=Œln.D=d
als Funktion von D =d

94.6.1

Hochfrequenz-Koaxialkabel

Eindringtiefe ı (s. a. (94.39)), zu:

In der Hochfrequenztechnik werden für die allgemeine Signal-
übertragung weitgehend Koaxialkabel mit geringen Verlusten
p

R

F

" r

1 C D
eingesetzt. Für den in der Praxis wichtigen Wellenwiderstand

˛ D

d

R

(94.38a)

2 60 D

Z gilt für geringe Verluste ˛
ln D

R, mit den mechanischen Daten d D
d

Durchmesser des Innenleiters und D D (Innen-)Durchmesser
des Außenleiters und der Permittivitätszahl "

Wie das Diagramm in Abb. 94.19 zeigt, weist der zweite Term
r :

in (94.38a), nämlich Œ1 C D= d=Œln. D= d/, minimale Werte im

D

Bereich zwischen D= d D 3 : : : 4 auf. Für D= d D 3;6 wird die

Z D 60
p

" ln

(94.38)

Kabeldämpfung minimal. Die höchste Spannungsfestigkeit er-
r
d
reichen Koaxialkabel bei D= d D 2;7. Aus den typischen Werten

Die zugehörige – geringe – Dämpfung wird mit dem Flächen-
von 2 . . . 3 für " r folgen die Standardwerte von 50, 60 und 75 (
widerstand R

D
für Koaxialkabel.

F

=ı, d. h. spezifischer Widerstand durch

Für einfache Kabel weist D Werte von einigen mm auf, und der

Außenmantel besteht aus ein- oder mehrlagigem Geflecht. Der

Tab. 94.2 Beispiele für Leitungsbeläge

Innenleiter kann aus Draht oder Litze aufgebaut sein. Die Isola-

Leitungstyp

R 0 in

L 0 in

G 0 in

C 0 in
tion zwischen Innen- und Außenleiter ist geschäumtes PE oder

(=km
mH=km µS=km
nF=km

PTFE. Kabel dieser Art mit 75 ( Wellenwiderstand sind typisch

Freileitungen (Energieversor-

0,2

1,5

0,5

5
für die in Häusern verlegten Breitbandkabel. Die üblichen 50-
gung, f D 50 Hz)

(-Messkabel weisen wegen der notwendigen hohen Flexibilität

Fernsprechleitung ( f D 1 kHz)

5

2,2

0,8

6
gleichfalls diesen einfachen Aufbau auf. Die dann notwendi-

Fernsprechkabel ( f D 1 kHz)

60

0,6

1,0

50
ge gute Abschirmung wird oft durch doppeltes Außengeflecht

Tab. 94.3 Leitungs-Kenngrößen für besondere Leitungen

Bedingung

˛

ˇ

Z

Beispiel
p
q

R 0 D G 0 D 0

0

! L 0 C 0

L 0

C 0

Verlustlose Leitung
q
q
p
q

G 0
! C 0

R 0

C 0 C G 0

L 0

! L 0 C 0

L 0

2

L 0

2

C 0

C 0

Freileitung allgemein

R 0
! L 0
q
mit G 0 0 folgt R 0

C 0

2

L 0
q
p
q

R 0 D G 0

C 0

L 0 C 0

L 0

L 0

C 0

R 0

L 0

!

C 0

Verzerrungsfreie Leitung
q
q
q

! L 0 R 0

! C 0 R 0

! C 0 R 0

R 0

2

2
j! C 0

Leitung mit geringem Querschnitt bei tiefen Frequenzen

G 0 0

1178

94 Leitungen

Teil

Tab. 94.4 Daten einiger einfacher Koaxialleitungen nach RFS Radio Frequency Systems GmbH

Typ

Wellenwider-

Durchmesser Durchmesser

Außendurch-

Abschirmung

Isolation

C 0 (pF=m) Dämpfung

Dämpfung

XIII
stand Z (()

d (mm)

D (mm)

messer (mm)

einfach oder

(dB=100 m) (dB=100 m)

1. C 2. doppelt

100 MHz

1 GHz

RF 174

50 ˙ 2

7 0,16

1,91 Geflecht 2,7

Geflecht Cu/Sn PE-Schaum 100

26,0

93,0

Cu Litze

Cu/Sn

85 %

RG 58

50 ˙ 2

19 0,18

3,55 Geflecht 5,0

Geflecht Cu/Sn PE-Schaum 101

15,6

61,0

Cu/Sn Litze

Cu/Sn

96 %

RGC58RGFLEX

50 ˙ 2

1,06 Cu

3,60 Geflecht 5,0

1. Al/PET

PE-Schaum 82

10,4

35,4

Cu/Sn

Folie 100 %

2. Geflecht

Cu/Sn 75 %

RGC213RGFLEX 50 ˙ 2

2,55 Cu

8,14 Geflecht 10,34

1. Al/PET

PE-Schaum 82

4,15

14,9

Cu/Sn

Folie 100 %

2. Geflecht

Cu/Sn 78 %

RG213

50 ˙ 2

7 0,75

8,11 Geflecht 10,31

Geflecht Cu/Sn PE-Schaum 101

6,90

27,3

Cu/Sn Litze

Cu/Sn

96 %

RGC8RGFLEX

50 ˙ 2

2,74 Cu

8,13 Geflecht 10,24

1. Al/PET

PE-Schaum 78

4,08

13,2

Cu/Sn

Folie 100 %

2. Geflecht

Cu/Sn 77 %

Cu/Sn D verzinntes Kupfer, Abschirmung % D Überdeckungsgrad durch das jeweilige Material

Tab. 94.5 Daten einiger CELLFLEX-Kabel von RFS Radio Frequency Systems GmbH

Typ

Wellenwider-

Nenngröße

Isolation

C 0 (pF=m)

P mittel bei

P mittel bei

Dämpfung

Dämpfung
stand Z (()

100 MHz (kW) 1 GHz (kW)

(dB=100 m)

(dB=100 m)

100 MHz

1 GHz

LCF 14-50

50 ˙ 1

1/400

PE

80

4,20

13,9

4,20

13,9

SCF 14-50

50 ˙ 1

1/400

PE

82

5,82

19,5

5,82

19,5

LCF 12-50

50 ˙ 1

1/200

PE

76

2,16

7,20

2,16

7,20

SCF 12-50

50 ˙ 1

1/200

PE

82

3,33

11,2

3,33

11,2

LCF 38-50

50 ˙ 1,5

3/800

PE

76

3,43

11,3

3,43

11,3

LCF 114-50

50 ˙ 1

1 1/400

PE

75

3,14

3,14

0,889

3,14

LCF 214-50A

50 ˙ 1

2 1/400

PE

75

2,11

2,11

0,566

2,11

LCF D Low Level Foam Coax, SCF D Superflexible Foam Coax, PE D Polyethylen, C 0 D Kapazitätsbelag, P

D
mittel
zulässige mittlere Leistung (die

Spitzenleistungen liegen wesentlich höher)

realisiert. Die Tab. 94.4 zeigt die Typennamen und die grund-
sätzlichen Daten einiger einfacher Koaxialkabel.

Durch den Skin-Effekt und die damit verbundene geringe Ein-
dringtiefe ı verschiebt sich der Stromfluss im Innenleiter mit Abb. 94.20 Koaxialkabel mit geschäumter Isolation und gewelltem Außen-
zunehmender Frequenz immer mehr in die äußere Randschicht,
mantel, CELLFLEX-Kabel von RFS kabelmetal
sodass der Innenleiter hohl ausgebildet werden kann.

Für die Praxis ergibt sich die durch den Skin-Effekt verminderte

Eindringtiefe ı zu
aus geschäumtem verlustarmem PE ausgeführt. Der Außen-
leiter wird sowohl aus Stabilitätsgründen für die elektrischen
ıCu D 66
q

Daten als auch aus Gründen der mechanischen Flexibilität ge-

&
für KupferI
m
f
wellt ausgeführt. Der Innenleiter kann sowohl noch massiv als

MHz
auch schon hohl sein. Abb. 94.20 zeigt als Beispiel den Aufbau
ıAg D 64
q
von CELLFLEX-Kabeln der Fa. RFS Radio Frequency Systems

&
für Silber

(94.39)

m

GmbH. Die typischen Daten einiger gewellter Kabel mit ge-
f

MHz
schäumter Isolation sind in der Tab. 94.5 zusammengestellt.

Die kommerzielle Technik stellt sowohl erhöhte Anforderungen

Für noch höhere Leistungen bis in den MW-Bereich hinein wer-
an die Toleranzen der Kabeldaten als auch an die Langzeit-
den Außen- und teilweise auch die Innenleiter als Wellrohre aus-
stabilität. Für geringere Leistungen – ca. 10 kW im MHz- und
gebildet. Die Isolation erfolgt nur noch durch verlustarme Wen-

0,5 kW im GHz-Bereich – wird die Isolation noch raumfüllend
del oder Stützen aus Niederdruck-PE oder -PTFE. Abb. 94.21

94.6

Hochfrequenzleitungen

1179

Tab. 94.6 Daten einiger Koaxialkabel. Heliflex von RFS Radio Frequency Systems GmbH

Typ allgemein

Wellenwider-

Durchmesser Durchmesser Isolation

C 0 (pF=m) P mittel 100 MHz P mittel 1 GHz

Dämpfung

Dämpfung

(RFS)

stand Z (()

d (mm)

D (mm)

(kW)

(kW)

(dB=100 m)

(dB=100 m)

XIII

100 MHz

1 GHz

3/800

50 ˙ 1

4,0 Drt

12,4 Wlr

PE

74,0

P3,67

1,13

2,76

9,31

(HCA38-50JT)

Wendel

Teil

7/800

50 ˙ 0,5

9,0 Ro

20,2 Wlr

PE

71,0

12,1

3,62

1,21

4,25

(HCA78-50JT)

Wendel

1-1/800

50 ˙ 0,5

12,0 Ro

33,2 Wlr

PE

73,0

12,1

3,72

0,910

3,09

(HCA118-50J)

Wendel

2-1/400

50 ˙ 0,5

22,6 Wlr

56,6 Wlr

PE

66,6

23,0

6,64

0,553

1,93

(HCA214-50J)

Wendel

3-1/800

50 ˙ 0,5

34,8 Wlr

85,5 Wlr

PE

70,0

54,2

17,0

0,362

1,26

(HCA318-50J)

Wendel

500

50 ˙ 0,5

58,0 Wlr

140,5 Wlr

PE

70,0

189

62,6

0,223

0,699

(HCA500-50JT)

Wendel

800 MHz

800 MHz

800

50 ˙ 0,5

88,5 Wlr

215,0 Wlr

PE

69,0

279

111

0,149

0,397

(HCA800-50J)

Wendel

600 MHz

600 MHz

Drt D Draht, Ro D Rohr, Wlr D Wellrohr, PE D Polyethylen (Wendel s. a. Abb. 94.21), C 0 D Kapazitätsbelag, P

D
mittel
zulässige mittlere Leistung (die

Spitzenleistungen liegen wesentlich höher)

a
a
b
c
b
b
a

D
a

Abb. 94.22 Querschnittsformen von Hohlleitern mit Verlauf des elektrischen

Feldes. a rechteckig, b rund, c elliptisch
b

Abb. 94.21 a FLEXWELL-Kabel nach RFS kabelmetal mit gewelltem Außen-
und Innenleiter sowie PE-Stützwendel, b Feldlinienbild eines Koaxialkabels nach
a (—— D E-Feldlinien, – – – D H-Feldlinien)

Abb. 94.23 Feldverläufe in einem Rechteck-Hohlleiter mit TE- oder H-Welle

(—— D E-Feldlinien, – – – D H-Feldlinien)

zeigt in a) einen solchen Aufbau für ein FLEXWELL-Kabel

In Abb. 94.23 ist ein Beispiel für den Momentanwert der Ver-
von RFS kabelmetal. Die prinzipiellen Verläufe der elektrischen
läufe des elektrischen und des magnetischen Feldes dargestellt.

und magnetischen Feldlinien sind zum besseren Verständnis in

Da bei Hohlleitern entweder das elektrische oder das magneti-

Abb. 94.21b eingetragen. Das Innenleiterwellrohr ist im Inne-
sche Feld Komponenten in Ausbreitungsrichtung hat, gelten die
ren selbstverständlich feldfrei. In der Tab. 94.6 sind die Daten

Bezeichnungen nach Tab. 94.7.

einiger FLEXWELL-Kabel zusammengestellt. Gegen äußere

Einflüsse sind die Kabel in praktisch allen Fällen durch zusätz-

Rechteckhohlleiter: 1. Index: Anzahl längs der Breitseite, 2. In-
liche strapazierfähige Kunststoffummantelungen geschützt.

dex: Anzahl längs der Schmalseite. Der Index ist Null, falls
keine Änderung längs der entsprechenden Seite auftritt.

94.6.2

Hohlleiter

Tab. 94.7 Bezeichnung der Wellen in Hohlleitern

Typ

Komponente in Ausbreitungs-

Bezeichnung (siehe auch
richtung

Abb. 94.24)

Mit weiter zunehmender Frequenz ist es sogar sinnvoll, den In-

E-Welle Elektrisches Feld

TM-Welle: transversal-
nenleiter ganz wegzulassen. Man kommt dann zum eigentlichen
magnetische Welle

Hohlleiter. Abb. 94.22 zeigt die am meisten verwendeten Quer-

H-Welle Magnetisches Feld

TE-Welle: transversal-
schnittsformen.

elektrische Welle

1180

94 Leitungen

Teil
a

Wellenfront mit c
α

XIII
c
α
α
v g
v p

Abb. 94.25 Ebene Welle im Rechteck-Hohlleiter
b

Nach DIN 47301 werden die sich ausbreitenden Wellen durch
zwei Indizes gekennzeichnet, die die Zahl der Maxima der elek-
trischen Feldstärke E

E angeben:

Die Energieausbreitung geschieht mit der Gruppengeschwin-
digkeit. Die Phasengeschwindigkeit ist stets größer oder gleich
der Lichtgeschwindigkeit.

Die Wellenausbreitung wird erst oberhalb einer kritischen Wel-
c
lenlänge kr technisch nutzbar. Den Ausbreitungskoeffizienten
kann man berechnen, er ergibt sich zu:

Ausbreitungskoeffizient:

s

D ˛ C

1
jĎ 2

1

(94.41)

d

2

2
kr
kr kritische Wellenlänge in m; Wellenlänge der sich im Hohl-
leiter ausbreitenden Welle.

Für kr < ist reell, d. h. die Welle wird gedämpft. Für kr >

Abb. 94.24 Beispiele für Schwingungstypen in Hohlleitern. a H10-Welle im
dagegen ist die Dämpfung Null, sodass eine Übertragung

Rechteckhohlleiter, b E11-Welle im Rechteckhohlleiter, c H11-Welle im Rundhohl-
sinnvoll ist. Die Abmessungen des Hohlleiters (Durchmesser
leiter, d E01-Welle im Rundhohlleiter (—— D E-Feldlinien, – – – D H-Feldlinien)

bzw. Länge und Breite nach Abb. 94.22) und kr liegen in der
gleichen Größenordnung. Einer Frequenz 3 GHz entspricht eine

Wellenlänge von 10 cm, sodass die Hohlleiter für Frequenzen

Rundhohlleiter, Elliptische Hohlleiter: 1. Index: Halbe Anzahl
oberhalb dieses Wertes wirtschaftlich vertretbare Abmessungen
längs des Umfanges, 2. Index: Anzahl in radialer Richtung (Ma-
bekommen. Hohlleiterabmessungen und zu übertragende Fre-
ximum in der Achse wird mitgezählt). Für elliptische Hohlleiter
quenz werden so aufeinander abgestimmt, dass sich nur der
werden evtl. noch Zusatzindizierungen verwendet, siehe da-
gewünschte Wellentyp ausbreiten kann: Die Frequenz der Welle
zu die Erläuterungen zu Abb. 94.27 weiter unten. Abb. 94.24
ist größer als die kritische Frequenz des Wellentyps, aber klei-
erläutert die Bezeichnungsweise an einigen Beispielen. Am häu-
ner als die aller anderen möglichen Wellentypen. Tab. 94.8 gibt
figsten werden angewendet:

Beispiele für die kritische Wellenlänge und die daraus folgende

Rechteckhohlleiter: H

D

10- und E 11-Welle
kritische Frequenz f kr, die aus der Beziehung f kr
c=kr ( c ist
die Lichtgeschwindigkeit) folgt. Erst für Frequenzen oberhalb

Rundhohlleiter, Elliptische Hohlleiter: H 11- und E 01-Welle
etwa 5 GHz ergeben sich für Hohlleiter handliche mechanische

Man kann sich die Ausbreitung als fortwährende Reflexion

Abmessungen.

an den Wänden des Hohlleiters vorstellen. Das Material muss
deshalb elektrisch gut leitend sein, damit in den Wandungen
möglichst wenig Verluste entstehen. (Es gibt noch kein Material,

Tab. 94.8 Beispiele für kritische Frequenzen und Wellenlängen bei Hohlleitern
das eine gute elektrische und eine gute magnetische Leitfähig-
kr
f kr für D D 200 mm f kr für D D 10 mm
keit gleichzeitig besitzt.)

Rechteckhohlleiter

Die elektromagnetischen Wellen breiten sich im Hohlleiter mit

H 10

2 a

750 MHz

15 GHz

2 ab
p

Lichtgeschwindigkeit c aus. Abb. 94.25 zeigt eine entspre-

E 11
a 2 C b 2
chende Wellenfront. Folgende Größen lassen sich unmittelbar

E 11 ( a D b)

2 a
p

1,06 GHz

21,2 GHz
entnehmen:

2

E 11 ( a D 2 b)

2 a
p

1,68 GHz

33,5 GHz

5

Gruppengeschwindigkeit
v D
g
c sin ˛

(94.40a)

Rundhohlleiter

H

Phasengeschwindigkeit
v D
c

11

1;71 D

877 MHz

17,6 GHz
p

(94.40b)

sin ˛

E 01

1;31 D

1,15 GHz

22,9 GHz
c Lichtgeschwindigkeit 3 108 m=s.

a, b siehe Abb. 94.22

94.6

Hochfrequenzleitungen

1181

Tab. 94.9 Daten einiger genormter Rechteck- und elliptischer Hohlleiter

Rechteckhohlleiter

Elliptische Hohlleiter

Typ nach

Frequenz-

Dämpfung bei

Band

Typ nach

Frequenz-

Dämpfung bei

Dämpfung bei

XIII

DIN 47302
bereich

DIN 47302
bereich
bzw. IEC 153

GHz
f =GHz
dB=m
bzw. IEC 153

GHz
f =GHz
dB=100 m f =GHz
dB=100 m

Teil

R 48

3,94 . . . 5,99

4,73

0,0345

G

E 60

5,6. . . 6,4

5,6

4,15

6,4

3,8

R 70

5,38 . . . 8,17

6,45

0,0575

J

E 78

7,1. . . 8,5

7,1

6,2

8,5

5,6

R 100

8,20 . . . 12,5

9,84

0,110

X

E 105

10,0. . . 11,7

10,0

9,6

11,7

8,9

R 140

11,9 . . . 18,0

14,2

0,176

P

E 130

10,7. . . 13,3

10,7

12,6

13,3

11,2

R 220

17,6 . . . 26,7

21,1

0,368

K

E 185

17,3. . . 19,7

17,3

20,3

19,7

18,9

R 320

26,3 . . . 40,0

31,6

0,583

R

E 220

21,2. . . 23,6

21,2

28,8

23,6

28,09

Wegen der in der Praxis unterschiedlichen Nutzungslängen sind die Dämpfungen für Rechteckhohlleiter in dB=m angegeben, während sie für elliptische

Hohlleiter in dB=100 m angegeben sind

100

E -Welle

11

50
d B
km

20

E -Welle

01
α

H -Welle

11

10

H -Welle

01

5
a

Abb. 94.27 Elliptischer Wellrohrhohlleiter

2

1
triebsfrequenz, gemessen in GHz. Beispiel: R 100 ! mittlere

1

2

5

10

20 GHz 50

100

Betriebsfrequenz 10 GHz 10 ! 100.

f

Rundhohlleiter haben zwar den Vorteil, dass Wellen vom Typ

Abb. 94.26 Dämpfungskoeffizienten im Cu-Rundhohlleiter mit 50 mm Innen-

H 01 sich mit zunehmender Frequenz immer stärker im Zentrum
durchmesser (nach Frommer, Funktechnik)

konzentrieren und damit eine mit der Frequenz abnehmende

Dämpfung aufweisen (s. a. Abb. 94.26), sie zeigen aber ein in-
stabiles Verhalten bei höheren Frequenzen mit Energieentzug

Abb. 94.26 gibt Beispiele für den Verlauf des Dämpfungskoef-
für den Grundmode.

fizienten in einem Kupfer-Rundhohlleiter. Zu erkennen ist die
sprunghafte Zunahme der Dämpfung unterhalb der kritischen

Nachteilig für Rechteck- und Rundhohlleiter ist in jedem Fall

Frequenzen, was nach (94.41) auch zu erwarten ist.

die geringe Flexibilität. Mobile Systeme sind damit nicht aufzu-

Zu beachten ist noch, dass der (Feld-)Wellenwiderstand der
bauen. Eine Lösung bieten hier die aus Wellrohren entwickelten
elliptischen (Wellrohr-)Hohlleiter (Abb. 94.27). Sie sind, fast

Hohlleiter frequenzabhängig ist. Mit Z 0, dem Wellenwiderstand
wie gewöhnliche Kabel, trommelbar und weisen Fertigungslän-
des freien Raumes (s. a. Kap. 95 „Antennen“, (95.4)), und der
kritischen Frequenz f
gen von ca. 250 m auf. Wie Abb. 94.22 bereits zeigt, lehnen sie
kr des Hohlleiters gilt:

stark an die Rundhohlleiter an, und auch die Indizierung der

Wellenformen ist entsprechend. Allerdings unterscheidet man

Z D

Z 0

F
p

(94.42)

1 . f
noch cosinuselliptische Wellen mit der Zusatzindizierung „c“,
kr= f /2
z. B. Hc 11 (s. a. Abb. 94.28a) und sinuselliptische Wellen mit

Die aus (94.41) folgenden kritischen Frequenzen führen dazu,
dem Zusatz „ s“, z. B. Hs 11 (s. a. Abb. 94.28b).

dass jeder Hohlleiter nur eine gewisse Bandbreite übertragen

Wegen der großen praktischen Bedeutung der elliptischen Hohl-
kann. Zwar sind im Prinzip auch höhere Schwingungstypen in
leiter sind auch diese in ihren Daten genormt und mit E-Num-

Hohlleitern möglich, die jedoch in der Praxis vermieden wer-
den. Ein Rechteckhohlleiter hat zunächst ein Frequenzverhältnis
aus Frequenz der Grundwelle (1=2 Wellenlänge über a) zur Fre-
a
b
quenz mit dem nächsthöheren Mode (2 1=2 Wellenlänge über
a) von 1 zu 2. Praktisch genutzt wird aber nur ein Verhältnis
von 1,2 zu 1,9. Um alle technischen Frequenzen übertragen
zu können, gibt es standardisierte Typen mit einem Seitenver-
hältnis a W b D 2 W 1. In der Tab. 94.9 ist eine Auswahl
von Rechteckhohlleitern aus IEC 153 zusammengestellt. Die

Abb. 94.28 Wellenformen in elliptischen Hohlleitern (nach W. Krank). a Hc11,

R-Nummer entspricht dabei dem Zehnfachen der mittleren Be-
b Hs11 (—— D E-Feldlinien, – – – D H-Feldlinien)

1182

94 Leitungen

Teil
mern nach der gleichen Methode wie die Rechteckhohlleiter

Gegenelektroden getrennt ist. Die wesentlichen Arten sind in
gekennzeichnet. In der Tab. 94.9 sind auch Daten von einigen

Abb. 94.29 dargestellt.

XIII
elliptischen Hohlleitern unter den Kennbuchstaben Exx mit auf-

Mikrostreifenleitung, Microstrip- oder Streifenleitung im enge-
geführt.

ren Sinne ist dabei die Ausführung in Abb. 94.29a. Die in

Abb. 94.30 dargestellte Feldverteilung an einer derartigen Lei-
tung zeigt einen komplizierten Verlauf, was zu aufwändigen

94.6.3

Streifenleitungen

Berechnungen insbesondere des für die Praxis notwendigen

Wellenwiderstandes von Streifenleitungen führt. Da die Feld-

Die Technik der gedruckten Schaltung hat bei hohen Frequen-
komponenten E

E und E

H zwar nicht exakt wie bei TEM-Wellen,
zen zu einem eigenen Leitungstyp, der Streifenleitung, geführt.

aber doch weitgehend senkrecht zur Ausbreitungsrichtung ver-

Darunter ist ein flacher leitender Streifen zu verstehen, der
laufen, spricht man auch von Quasi-TEM-Wellen. Wichtig ist
durch ein Dielektrikum von einer oder mehreren großflächigen
bei der Untersuchung derartiger Systeme neben der relativen

Permittivität " r des Substrates ganz besonders das Verhältnis
w= h, d. h. Streifenbreite zu Substratdicke. Nach Hammerstad er-
a
b
c
gibt sich der Wellenwiderstand Z von Streifenleitungen mit den

Bezeichnungen gemäß Abb. 94.29a zu:

W
ε r ε 0
ε r ε 0

W
ε r ε 0
h
h
h

W

Z

60 ln. 8 h C w /
w

D
w

4 h
p

<

˝

"

für

1

(94.43a)

h

Abb. 94.29 Streifenleitungen. a Microstrip-Leitung, b Triplate-Leitung,
eff
c Schlitzleitung

Z
w

D

120
p

>

˝

"

C

C

1
eff. w

1;393 C 0;667 ln. w

1;44//
für h
h
h

(94.43b)

H

E

"eff ergibt sich aus der relativen Permittivität " r des Substrates
zu:

" D

C

eff

0;5 ." r

1/ C 0;5 ." r

1/ F

(94.43c)

2
w

F D

1
q

C 0;04 1 w
für

< 1

H
ε
h
h

1 C 12 h
r
w

(94.43d)

E
w

F D

1
q
für

> 1

(94.43e)

h

1 C 12 hw

Abb. 94.30 Feldverlauf bei einer Streifenleitung

Z

Ω

200

150

100

90

80

70

60

50
ε

9,6

8

6

4

2,3

1
r =

40

30

20

10

W

0,2

0,3

0,5

0,8

1

1,2

2

3

4

5

6 7 8
h

Abb. 94.31 Wellenwiderstand Z =( als Funktion von w=h , d. h. der Streifenbreite zur Substratdicke einer Streifenleitung mit der Permittivität "r als Parameter

94.6

Hochfrequenzleitungen

1183

Tab. 94.10 Verhältnis Streifenbreite zu Substratdicke (w=h ) von Streifenleitun-
gen nach Hammerstad für ausgewählte Werte von Z und "r D 1 : : : 9;9, w D

Streifenbreite in mm für eine Substratdicke h D 1;5 mm

Z

C

XIII

Z D 50 (

Z D 60 (

Z D 75 (

" r
w= h
w

" r
w= h
w

" r
w= h
w

1,00

4,91

7,36

1,00

3,78

5,67

1,00

2,68

4,03

Teil

C

1,50

3,91

5,87

1,50

2,99

4,49

1,50

2,09

3,14

2,00

3,29

4,94

2,00

2,49

3,74

2,00

1,71

2,57

Z

Z

2,10

3,19

4,79

2,10

2,41

3,62

2,10

1,65

2,48

L

2,20

3,10

4,65

2,20

2,34

3,51

2,20

1,60

2,40

2,25

3,06

4,59

2,25

2,31

3,46

2,25

1,57

2,36

2,30

3,01

4,52

2,30

2,27

3,41

2,30

1,55

2,32

Abb. 94.32 Parallelresonanz an einer Streifenleitung durch eine niederohmige

2,35

2,97

4,46

2,35

2,24

3,36

2,35

1,52

2,28
kapazitive und eine hochohmige induktive Stichleitung

2,40

2,93

4,40

2,40

2,21

3,31

2,40

1,50

2,25

2,50

2,86

4,29

2,50

2,14

3,22

2,50

1,45

2,18
beiten jeweils die Streuungen der "

2,60

2,78

4,18

2,60

2,09

3,13

2,60

1,41

2,11
r-Werte des Trägermaterials
beachtet werden müssen.

2,70

2,72

4,08

2,70

2,03

3,05

2,70

1,36

2,05

2,80

2,65

3,98

2,80

1,98

2,97

2,80

1,32

1,99

Allgemein gilt, dass niederohmige Leitungen breit und hochoh-

2,90

2,59

3,89

2,90

1,93

2,90

2,90

1,29

1,93
mige Leitungen schmal (dünn) ausfallen. Das Ätzen muss sehr

3,00

2,53

3,80

3,00

1,88

2,83

3,00

1,25

1,88
sorgfältig geschehen, damit sowohl die vorgegebenen Streifen-

3,20

2,42

3,63

3,20

1,79

2,69

3,20

1,18

1,78
breiten ( w/ ohne Schwankungen eingehalten werden und auch

3,40

2,32

3,48

3,40

1,71

2,57

3,40

1,12

1,68
die Flanken der Streifen senkrecht sind und kein „Bahndamm-

3,60

2,23

3,34

3,60

1,64

2,46

3,60

1,06

1,60
profil“ aufweisen.

3,80

2,14

3,21

3,80

1,57

2,35

3,80

1,01

1,52

Aus Abschn. 94.4.4, (94.30) folgt für Z D 0 der Kurzschluss-

4,00

2,06

3,10

4,00

1,51

2,26

4,00

0,97

1,46
e
widerstand Z bzw. für Z ! 1 der Leerlaufwiderstand Z . Mit

4,20

1,99

2,99

4,20

1,45

2,17

4,20

0,93

1,39
k
e
l

Z D Z, d. h. reellem Wellenwiderstand, werden:

4,40

1,92

2,89

4,40

1,39

2,09

4,40

0,89

1,33

4,50

1,89

2,84

4,50

1,36

2,05

4,50

0,87

1,30

Z D j Z tan ˇ l;

Z D j Z cot ˇ l (94.30)

k
l

4,60

1,86

2,79

4,60

1,34

2,01

4,60

0,85

1,28

4,70

1,83

2,74

4,70

1,32

1,98

4,70

0,83

1,25

Für Werte von l= 0;25 bedeutet dies induktives Verhal-

4,80

1,80

2,70

4,80

1,29

1,94

4,80

0,81

1,22
ten der kurzgeschlossenen Leitung und kapazitives Verhalten

4,90

1,77

2,65

4,90

1,27

1,90

4,90

0,80

1,20
bei Leerlauf. Diese Tatsache ist für Streifenleitungen beson-

5,00

1,74

2,61

5,00

1,25

1,87

5,00

0,78

1,17
ders interessant, da somit in einfacher Weise Leitungen durch

5,20

1,69

2,54

5,20

1,20

1,81

5,20

0,75

1,13

Stichleitungen für Transformationszwecke induktiv oder kapa-

5,50

1,61

2,42

5,50

1,14

1,72

5,50

0,71

1,06
zitiv belastet werden können. Nachteilig ist u. U. die Länge der

6,00

1,50

2,25

6,00

1,05

1,58

6,00

0,64

0,97

Stichleitung.

6,50

1,40

2,11

6,50

0,98

1,47

6,50

0,59

0,88

Gegenüber der Wellenlänge kurze ( l < 0;1 ) Leitungsab-

7,00

1,32

1,98

7,00

0,91

1,37

7,00

0,54

0,81
schnitte können niederohmig kapazitiv und hochohmig induktiv

7,50

1,24

1,86

7,50

0,85

1,28

7,50

0,50

0,75
genutzt werden. Nieder- bzw. hochohmig ist immer in Bezug

8,00

1,16

1,75

8,00

0,80

1,20

8,00

0,46

0,69
auf den Wellenwiderstand des restlichen Systems – meist 50 (

8,50

1,10

1,65

8,50

0,75

1,12

8,50

0,42

0,64

– zu verstehen.

9,00

1,04

1,56

9,00

0,70

1,06

9,00

0,39

0,59

9,10

1,03

1,54

9,10

0,69

1,04

9,10

0,39

0,58

Für niederohmige Leitungsabschnitte gilt näherungsweise

9,20

1,02

1,52

9,20

0,68

1,03

9,20

0,38

0,57

9,30

1,01

1,51

9,30

0,68

1,02

9,30

0,38

0,57

! C 1 sin ˇ l

(94.44a)

9,40

1,00

1,50

9,40

0,67

1,01

9,40

0,37

0,56

Z

9,50

0,99

1,49

9,50

0,66

0,99

9,50

0,37

0,55
und für hochohmige Leitungsabschnitte gilt näherungsweise

9,60

0,98

1,47

9,60

0,65

0,98

9,60

0,36

0,54

9,70

0,97

1,46

9,70

0,65

0,97

9,70

0,36

0,54

! L Z sin ˇ l

(94.44b)

9,80

0,96

1,45

9,80

0,64

0,96

9,80

0,35

0,53

Ď 2 und l D Leitungslänge. Für den Wellenwiderstand Z

9,90

0,95

1,43

9,90

0,63

0,95

9,90

0,35

0,52
ist hier der gewählte hochohmige bzw. niederohmige Wert des
geplanten Blindelementes einzusetzen. Dabei ist auf den ver-
fügbaren Platz für breite niederohmige Leitungsabschnitte zu

Die Arbeit mit diesen Formeln ist recht aufwendig. Für geringe-
achten. Bei hochohmigen Strecken wird die Leitung u. U. un-
re Genauigkeiten reicht das Diagramm in Abb. 94.31. Genauere
realisierbar schmal.

Werte für die gängigen Wellenwiderstände von Z D 50, 60 und

75 ( liefert die Tab. 94.10. Zu den üblichen Substratdicken von In Abb. 94.32 ist die Realisierung einer Parallelresonanz an ei-

1,5 mm gibt die Tab. 94.10 dann auch sofort die Streifenbreite w.

ner Streifenleitung durch eine niederohmige (breite) kapazitive

Die Werte um " D
r

2;3 sind fein unterteilt, da für genauere Ar-
und hochohmige (schmale) induktive Stichleitung dargestellt.

1184

94 Leitungen

Teil

Für Frequenzen im hunderter THz (Tera [1015] Hertz) Bereich,

(oder zehntel PHz (Peta [1018] Hz) also Lichtwellen dienen

U

U
h1
h2

XIII

Glasfaser-Lichtwellenleiter (LWL) als Leiter. Da dieser Fre-

Z

U

U

1

2

Z
quenzbereich im Allgemeinen digital bearbeitet wird, sind die

Z

Z
weiteren Betrachtungen hierzu in Kap. 103 „Nachrichtenüber-

U r1

U r2
tragung über Lichtwellenleiter“ zu finden.

Z

Z

Abb. 94.33 Grundgrößen der s-Parameter, dargestellt an einem Transistor

94.7
s-Parameter

Die Vierpolparameter (Kap. 93 „Zweitore, Vierpole“) betrach-

Diese zunächst für Leitungen entwickelte Betrachtungswei-
teten Systeme in der Widerstands-, Leitwert- oder Kettenform.

se wird in der Höchstfrequenztechnik praktisch ausschließlich

Die Probleme, die sich auf Leitungen durch Reflexionen erge-
angewandt. Da Transistoren oberhalb von etwa 100 MHz weit-
ben, blieben dabei unberücksichtigt. Wie die Leitungsgleichun-
gehend durch ihre s-Parameter beschrieben werden, seien an
gen (94.9a), (94.9b) aber zeigen, sind allgemein eine hin- und ei-

Hand von Abb. 94.33 die Bedeutungen der verschiedenen s-
ne rücklaufende Welle auf Leitungen wirksam. Dies macht sich

Parameter näher erläutert.

besonders bei hohen Frequenzen bemerkbar, was durch eine
p
s

= Z D 0
veränderte Betrachtungsweise mit Hilfe der Scatter-Parameter,

11

Uh 2
auch Streu-Parameter oder kurz s-Parameter, berücksichtigt
s

D Ur 1

11

Eingangsreflexionsfaktor
werden kann. Diese zunächst für Leitungsbetrachtungen ent-

Uh 1
p
wickelten Systemgrößen haben mit dem Übergang zu höheren
s 12

U = Z D 0

Frequenzen erheblich an Bedeutung gewonnen.

h 1

D Ur 1

Ausgang ist nicht mehr eine Spannung oder ein Strom, son-
s 12

Rückübertragungsfaktor

Uh 2
dern eine normierte Leistungswelle, was gleichbedeutend mit
p
p
der Wurzel aus einer Leistung ist. Allgemein: a D U

=
p

= Z bzw.

s 21

U

Z D 0
h 2

I

Z. Auf (94.9a) und (94.9b) angewandt bedeutet dies, dass
s

D Ur 2

Vorwärtsübertragungsfaktor

U D U bzw. U und R D Z werden. In der Praxis kann dabei

21
h
r

Uh 1
stets der reelle Wellenwiderstand Z statt des komplexen Wellen-
p
s

= Z D 0
widerstandes Z eingesetzt werden.

22

Uh 1
s

D Ur 2

Ausgangsreflexionsfaktor

U. x/

22
p

D Uh
p C Ur
p D

U
a C
h 2
x
bx

(94.45)

Z

Z

Z

Wie aus den Definitionen hervorgeht, können alle s-Parameter,
mit hinlaufender Welle a D A e x und rücklaufender Welle
obwohl zu Leistungswellen gehörig, als Spannungsverhältnisse
b D B e x. A und B stellen dann jeweils die normierten Leis-
gemessen werden. Das Problem besteht allerdings darin, dass
tungswellen dar.

die Wellen flussrichtungsabhängig zu messen sind. Dies ist mit
sog. Richtkopplern möglich. Als Reflexionsfaktoren sind die

Am Anfang der Leitung, Index 1, gilt dann:

s-Parameter dimensionslos und werden i. Allg. als komplexe

U

Größen mit Betrag und Phase dargestellt. Zum Beispiel:

1
p D a C

1
b 1

(94.46a)

Z
s

D

21

3;3 ej61ı
und am Ende der Leitung, Index 2, gilt:

Die grafische Darstellung benutzt Polarkoordinaten. Wirkli-

U
che Reflexionsfaktoren im klassischen Sinne sind aber nur die

2
p D a C

2
b 2

(94.46b)

Größen s

Z

11 und s 22, die grafisch meist im Smith- oder Kreis-

Diagramm (s. d.) dargestellt werden. Mitunter findet man auch

Das heißt, es tritt am Eingang eine rücklaufende Welle b
eine Komponentendarstellung nach Real- und Imaginärteil.

1 auf,
die einerseits aus reflektierten Anteilen von a 1 am Anfang und
andererseits aus Anteilen von a 2 am Ende der Leitung besteht.

Entsprechend existiert eine zusammengesetzte Welle b 2 am En-

94.7.1

Signalflussdiagramm
de des Systems aus direkt am Ende von a 2 reflektierten Anteilen
und von a 1 Anteilen, die vom Anfang der Leitung stammen. Der

Zusammenhang zwischen diesen verschiedenen Komponenten

Die praktische Anwendung der s-Parameter führt zu einer ver-
wird durch. die s-Parameter wie folgt beschrieben:

änderten Betrachtung von Schaltungen in Form von Signalfluss-
diagrammen. Hierzu gehören folgende Regeln:

b D

C

1
s 11 a 1
s 12 a 2

(94.47a)

1. Jede Variable, a 1, a 2, b 1 und b 2 wird durch einen Knoten
b D

C

2
s 21 a 1
s 22 a 2

(94.47b)

dargestellt.

94.7
s-Parameter

1185
a
a
b
a
b
b
a
b

1
q

G

2
q
b
s
b
oder

11

XIII
s
a
r q
r 2
r q
r 2

12

1
b
s

2

21
b 1
a 2

Teil
s 11
s 22
a
b

G

2
a
a 1
s
b

21

2
s

Abb. 94.35 Signalflussdiagramm des belasteten Generators. a getrennte Dar-
b

12

1
a 2
stellung, b zusammengesetzte Darstellung, b : abfließende Welle, a: rückfließen-
s 22
de Welle, bq D normierte Leistungswelle der Quelle, rq D Reflexionsfaktor der

Quelle und r2 D Reflexionsfaktor der Last
a 2

Abb. 94.34 Signalflussdiagramm eines Vierpols. a getrennte Darstellung,
b zusammengefasste Darstellung, a: hineinfließende Wellen, b : rückfließende
einmal Abb. 94.34b ganz rechts mit den gestrichelten Pfeilen

Wellen, s
betrachtet. b
xx : s -Parameter
q ist die normierte Leistungswelle des Generators
und rq sein Reflexionsfaktor. Aus Abb. 94.35b kann sofort ab-
gelesen werden:

2. Jeder s-Parameter, s 11, s 12, s 21 und s 22 wird durch einen
b D b C r a
und

(94.48a)

Zweig dargestellt.

q
q

3. Die Zweige gehen von den Knoten der unabhängigen Va-
a D r

2
b

(94.48b)

riablen aus und enden bei den Knoten der abhängigen

Variablen.

Wechselweises Einsetzen von a bzw. b liefert:

4. In den s-Parameter-Gleichungen sind a 1 und a 2 die unabhän-
bq
gigen Variablen und b
b D
und

(94.48c)

1 und b 2 die abhängigen Variablen.

1 r r

5. „Jeder Knoten ist gleich der Summe der darin endenden
q

2

Zweige.“
bq
a D
r 2

(94.48d)

1 r
q
r 2

In Abb. 94.34 ist das Signalflussdiagramm eines einfachen Vier-
pols gezeigt. In Abb. 94.34a sind die „reflektierten“ Größen mit

Die maximal der Quelle entnehmbare Wirkleistung PW max folgt
ihren Knoten b 1 und b 2 zunächst zur „Gewöhnung“ getrennt

– mit den konjugiert komplexen Größen a und b – aus der
dargestellt. In Abb. 94.34b sind die Signalflüsse dann zusam-
von der Last aufgenommenen Wirkleistung PW aus zugeführten
mengefasst. Aus den Diagrammen ergibt sich sofort:

Leistung a a minus reflektierter Leistung b b zu:

b D

C

D
j2/

1
s 11 a 1
s 12 a 2

(94.47c)

PW
a a b b D j a j2 .1 j r 2

(94.49)

b D

C

2
s 21 a 1
s 22 a 2

(94.47d)

Im optimalen Falle soll die von der Last aufgenommene Leis-
tungswelle a gleich der von der Quelle (Generator) abgegebenen

Diese Gleichungen sind, wie nicht anders zu erwarten war, mit

Leistungswelle b nach (94.45) sein. Daraus folgt für die Leis-

(94.47a) und (94.47b) voll identisch.

tung PW :

An Abb. 94.34a wird jetzt auch leicht ersichtlich, was zunächst
etwas willkürlich erschien, nämlich die Entstehung der abflie-
j2

P

D j b j2 1 j r 2

(94.50)

ßenden Größen b

W
q

1 und b 2. a 1 ist die dem Eingang des Vierpols
j1 r j2
q
r 2
als Steuersignal zufließende Leistungswelle. Davon wird wegen
fehlerhafter Anpassung ein Bruchteil, nämlich s

Das Maximum hieraus folgt für das Minimum des Nenners. Die

11
a 1 reflek-
tiert. Dem Ausgang des Vierpols fließt eine Leistungswelle a

Differenziation der Beträge von (94.50) liefert ein Leistungsma-

2
zu, welche die gleiche (!) Flussrichtung wie b
ximum für j r j D j r j und aus der Phasenbedingung ergibt sich

1 hat und durch
q

2

„Übersprechen“ mit einem Anteil s

r D r. Dies ist die allgemeine Anpassung auf einen konju-

12
a 2 an den Eingang ge-

2
q
langt. Die im Ausgang abfließende Leistungswelle b
giert komplexen Abschlusswiderstand für die Entnahme einer

2 ist das
dem Verbraucher zufließende Nutzsignal. Es besteht aus dem
maximalen Leistung aus einem Generator mit komplexem In-
mit der gleichen Flussrichtung wie b
nenwiderstand. Somit wird P

2 behafteten Eingangssignal

W max:

a

1 verstärkt durch s 21 also s 21 a 1, und einem am Ausgang reflek-
tierten Anteil s

22
a 2 von einer auf den Ausgang aufgetroffenen

P

D j j2

1

W max
bq

(94.51)

j2

Leistungswelle a

1 j rq

2, die in irgendeiner Form vom angeschlosse-
nen Verbraucher kommt.

Die Zusammenfassung der bisherigen Betrachtungen liefert das

Die Zusammenhänge ändern sich, wenn Belastungen wirksam

Signalflussdiagramm des beschalteten Vierpols (Abb. 94.36).

werden. Hierzu zunächst Abb. 94.35 mit dem Signalflussdia-

Die im Ausgang, Index 2, umgesetzte Leistung PW 2 ergibt sich
gramm des belasteten Generators. Warum die abfließenden Wel-
entsprechend (94.49) zu:

len jetzt die Bezeichnung b führen und die rück-(zu-)fließenden

D

D j j2
j2

Wellen jetzt auf a lauten, wird sofort klar, wenn man noch

PW 2
b 2 b
a
a
b

.1 j r / (94.49)

2

2

2

2

2

1186

94 Leitungen

Teil
a
b

1
s

Die maximale Leistungsverstärkung des im Eingang und Aus-
q

21
b 2
gang konjugiert komplex angepassten Vierpols, G max, oder

XIII
r
s
s

MAG D maximum available gain wird dann:

q

11

22
r 2
j s j2
s

21

12
a

D
b

2

MAG D G 1 max G 0 G 2 max

1

.1 j s j2
j2

11

/ .1 j s 22 /

(94.54)

Abb. 94.36 Signalflussdiagramm des beschalteten Vierpols

Dieser MAG-Wert ist für die Beurteilung von HF-Transistoren
bedeutsam, da er die (theoretisch) maximal mögliche Leistungs-
b D
q
normierte Leistungswelle der Quelle, a: hinlaufende Wel-
verstärkung des Bauelementes angibt. Wenngleich dieser Wert
len, b: ablaufende Wellen, s

D
xx
s-Parameter des Vierpols (z. B.

in der Praxis nicht erreicht werden kann, so sind die Randbe-

Transistor), r D

D
q

Reflexionsfaktor der Quelle und r 2

Reflexi-
dingungen der konjugiert komplexen Anpassung in Schaltungen
onsfaktor der Last.

anzustreben und Sorge zu tragen, dass s 12 nicht durch den Schal-
tungsaufbau vergrößert wird.

Weitere Folgerungen hierzu ergeben sich aus dem Arbeiten mit

94.7.2

Leistungsverstärkung
dem Kreisdiagramm.

Mit den Grundgleichungen der s-Parameter und den Signalflüs-

94.8

Kreisdiagramm
sen der äußeren Reflexionsfaktoren ergibt sich die Wirkleistung

PW 2 nach einigen Umformungen zu:

Komplexe Widerstände werden i. Allg. in der komplexen Ebe-
j s j2
j2
ne dargestellt (Abb. 94.28a). Werden darin Kreise für konstante

21

.1 j r 2 /

P

D j j2

W 2
bq
j.1 s

j2

Anpassungsfaktoren (Stehwellenverhältnisse) m (s. a. (94.32))

11
rq/ .1 s 22 r 2/ s 21 s 12 rq r 2
und Kurven für konstante l=-Werte aufgetragen, so gelangt

(94.52)

man zum Buschbeck-Diagramm. Wegen der unendlich großen
komplexen Ebene ist auch das Diagramm unendlich groß. Da

Bezogen auf die maximal dem Generator entnehmbare Wirk-
der Reflexionsfaktor r für passive Systeme nur Beträge zwi-
leistung P

!

W max (94.51) und mit der Randbedingung s 12

0
schen Null und Eins annehmen kann, gehört dazu lediglich eine
folgt daraus die wichtige Leistungsverstärkung G zu:

Kreisebene mit dem Radius 1 (Abb. 94.37b). Die Transformati-
onsgleichung hierzu ist (94.15) mit

P
j j2
j2
j2

W 2
s

.

/ .

/

D

21

1 j r 2

1 j rq

G D

(94.53)

P
j

W max

.1 s 11 rq/ .1 s 22 r 2/j2
z 1
r D

(94.15)

(94.55)

z C 1

Diesen Ausdruck kann man in 3 Komponenten aufspalten:

r D komplexer Reflexionsfaktor und z D auf den Wellenwider-
j2
j2
stand Z normierter komplexer Widerstand. Das so entstandene

G D G

D

1 j rq
j j2

1 j r 2

1

G 0 G 2
s
j

21

1 s
j2
j
j2

Diagramm ist vollständig in Abb. 94.38 dargestellt (vergrößerte

11
rq

1 s 22 r 2

(94.53a)

Kopie zweckmäßig). Der äußere Kreis mit der Gradeinteilung
ist der Kreis für den Reflexionsfaktor 1 und die verschiedenen

Phasenwinkel von 0° . . . 180°. Kleinere Reflexionsfaktoren sind

Diese einzelnen Komponenten haben folgende Bedeutung:

dann Kreise mit kleineren Radien. Der Mittelpunkt entspricht

G D
dem Reflexionsfaktor 0. Obwohl das Kreisdiagramm eigentlich

1

Wirkleistungsverstärkung am Eingangstor, maximal für
r D
q
s :

11
a
b

G

D

1

1 max
z-Ebene
r-Ebene

1 j s j2

Im

11

+1

G D j
j2 D

0
s 21

Wirkleistungsverstärkung des Vierpols (Zwei-

0
tors)

Re

0

–1

+1

–1

G D

2

Wirkleistungsverstärkung am Ausgangstor, maximal für
r D

2
s :

22

Abb. 94.37 Kreisdiagramm. a komplexe Widerstandsebene mit Kreisen für
m D const und Kurven für l = D const (Buschbeck-Diagramm), b komplexe

G

D

1

2 max

Reflexionsfaktorebene mit dem Radius 1 und Kreisen für konstante Wirkanteile

1 j s j2

22
und Kurven für konstante Blindanteile

94.8

Kreisdiagramm

1187

0,12

0,13

0,14

0,11

0,15

0,10

0,38

0,37

0,36

0,16

0,09

0,39

0,35

0,40

+90°

+80°

0,17

XIII

+100°

0,34

0,08

0,41

+70°

+110°

0,33

0,9

1,0

0,18

0,8

+60°

0,42

0,07

0,7

+120°

0,32

0,6

1,5

0,19

Teil

0,43

+50°

0,06

0,5

0,31

+130°

2

0,44

0,20

+40°

0,05

0,4

0,30

0,45 +140°

0,21

3

0,3

+30° 0,29

0,04

0,46 +150°

0,22

0,28
erator 0,03

0,2

+20°
en

0,47

G

5

0,23
m

+160°

0,27
zu

0,02

0,48

0,1

+10°
eng

0,26

0,24
län

0,01

10

0,49
ellen

0,25

0,25

W

∞

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

1,5

2

3

4

5

0°

0

0

10

20
ß

Wirkwiderstand R/Z
u

L
lh

0,24
c

0,26

–10°
bs

–10

0,01

0,49

A

–0,1
m

0,23
u

0,27
z n 0,02e

–20°

0,48
g

–5

0,22
än

–0,2
l

–160°

0,28
n e 0,03l

0,47
l e

–30°

0,21

W

–0,3

0,04

–150°

0,29

–3

0,46

0,20

–40°

0,05

0,30

–0,4

–140°

0,19

0,45

–2

–50°

0,06

–0,5

0,31

–130°

0,18

0,44

0,07

–0,6

–60°

–1,5

0,32

–120°

0,17

0,43

0,08

–0,7

–0,8

–70°

–110°

0,16

0,09

–0,9

–1,0

0,33

0,42

–100°

–80°

–90°

0,15

0,10

0,11

0,14

0,34

0,41

0,12

0,13

0,35

0,40

0,39

0,36

0,38

0,37

Abb. 94.38 Kreis- oder Smith-Diagramm
nur Reflexionsfaktoren darstellt, werden diese konzentrischen
bedeutet dies aber auch, dass ein um 180° gedrehtes Kreis-

Kreise nicht berücksichtigt, da sie jederzeit leicht mit einem
diagramm ein Leitwertdiagramm darstellt (Abb. 94.40b). Die

Zirkel einzutragen sind. Die dazu notwendige Skala befindet
obere Halbebene weist jetzt negative normierte Blindleitwerte
sich i. Allg. am Rande des Diagramms. Ins Diagramm einge-
und die untere Halbebene positive normierte Blindleitwerte aus.

tragen sind normierte Wirk- und Blindwiderstände. Die nach

In beiden Fällen bedeutet dies aber, dass die obere Halbebene
rechts verschobenen Kreise sind Kreise konstanten normierten

(normierte) Induktivitäten ausweist und die untere Halbebene

Realteils (meist auf Wellenwiderstand Z normiert). Die nach

(normierte) Kapazitäten.

oben gerichteten Kurven (Teile von apollonischen Kreisen) ent-
sprechen konstanten normierten positiven Blindwiderständen,

Beispiel 4 (Abb. 94.39)

und die Kurven in der unteren Halbebene gehören zu konstan-
ten normierten negativen Blindwiderständen. Ein Punkt in dem

1. Z D .200 C j 100/ (, Normierungswiderstand Z D

Diagramm entspricht der Serienschaltung normierter Wirk- und

100 (: z D 2C j 1;0; in Abb. 94.30 die Serienschaltung

Blindwiderstände. Eine Spiegelung am Mittelpunkt oder eine
einer Induktivität mit einem Widerstand. Die Inversion

Drehung um 180°, eine sog. Inversion, wandelt die normierte
liefert dazu y D 0;4 j 0;2. (Achtung: Untere Halbebe-

Serienschaltung in eine normierte Parallelschaltung um.

ne liefert negative Vorzeichen! 1= j! L D j=! L.)

Zum Normierungswiderstand 100 ( gehört der Nor-

Obwohl das Kreisdiagramm zunächst nur für Widerstände ent-
mierungsleitwert 1=100 ( D 10 mS. Das heißt, die
worfen wurde, ermöglicht die Inversion, d. h. die Drehung um
normierte äquivalente Parallelschaltung aus Indukti-

180°, den Übergang zu Leitwerten. Diese Drehung entspricht
vität und Widerstand hat .4 j 2/ mS, was für den
einer =4-Transformation auf einer Leitung. In der Praxis

1188

94 Leitungen

Teil

0,12

0,13

0,14

0,11

0,15

0,10

0,38

0,37

0,16

XIII

0,36

0,09

0,39

0,35

0,40

+90°

+80°

+100°

0,34

0,17

0,08

0,41

+70°

+110°

0,33

0,9

1,0

0,18

0,8

+60°

0,42

0,07

0,7

+120°

0,32

0,6

1,5

0,19

0,43

+50°

0,06

0,5

0,31

+130°

2

0,44

0,20

+40°

0,05

0,4

[2]

0,30

0,45 +140°

0,21

3

0,3

+30° 0,29

0,04

0,46 +150°

0,22

0,28
erator

[1]

0,03

0,2

+20°
en

0,47

G

5

0,23

+160°

0,27
m

0,02
zu

0,48

0,1

+10°
eng

0,26

0,24
län

0,01

10

0,49
ellen

0,25

0,25

∞

W

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

1,5

2

3

4

5

0°

0

0

10

20
ßu

Wirkwiderstand R/Z
l

L
h

0,24
c

0,26

–10°
bs

–10

0,01

0,49

A

–0,1
m

0,23
u

0,27
z n 0,02e

–20°

0,48
g

–5

0,22
än

–0,2
l

–160°

0,28
n e 0,03l

0,47
l e

–30°

0,21

W

–0,3

0,04

–150°

0,29

–3

0,46

0,20

–40°

0,05

0,30

–0,4

–140°

0,19

0,45

–2

–50°

0,06

–0,5

0,31

–130°

0,18

0,44

0,07

–0,6

–60°

–1,5

0,32

–120°

0,17

0,43

0,08

–0,7

–70°

–0,8

–110°

0,16

0,09

–0,9

–1,0

0,33

0,42

–100°

–80°

–90°

0,15

0,10

0,11

0,14

0,34

0,41

0,12

0,13

0,35

0,40

0,39

0,36

0,38

0,37

Abb. 94.39 Komplexe Widerstände und Leitwerte im Kreisdiagramm

In Abb. 94.40 ist gezeigt, welche Konsequenzen sich bei Be-

Realteil 250 ( und den Blindanteil j 500 ( bedeutet.

wegungen längs der verschiedenen Kurven für die Bauelemente

(Für die Bestimmung der Induktivität wird noch die
einer Schaltung ergeben. In Abb. 94.40a liegt die Widerstand-

Frequenz benötigt.)

sebene vor. Bewegt man sich von einem Fixpunkt A auf einem

2. Y D .0;01 C j 0;02/ S die Parallelschaltung eines Wi-

Kreis, d. h. bei konstantem Widerstand, nach rechts, so be-
derstandes mit einem Kondensator [2]. Abb. 94.30.

deutet dies eine Zunahme der induktiven Serienkomponente.

Normierungsleitwert 10 mS: y D 1 C j 2. Die In-

Das würde einer Schaltung mit vergrößerter Serieninduktivi-
version liefert jetzt z D 0;2 j 0;4 und daraus Z
tät entsprechen. Bewegt man sich auf dem gleichen Kreis vom

.40 j 20/ (. (Genauere Ergebnisse als mit Abb. 94.31

Fixpunkt A nach links, so entspricht dies der Zunahme einer ka-
lassen sich mit den Original(großen) Kreisdiagram-
pazitiven Serienkomponente. Bewegt man sich vom Punkt A auf
men erzielen.)

J
einer Kurve für konstante Blindkomponente nach innen, so be-
deutet dies die Erhöhung eines reellen Serienwiderstandes, in
der umgekehrten Richtung die Verminderung einer Serienwider-

Nachdem eine Drehung um 180° im Kreisdiagramm =4, also
standskomponente.

der Strecke einer Viertelwellenlänge entspricht, bedeutet eine
vollständige Drehung um 360° eine halbe Wellenlänge, d. h.

Im Leitwertdiagramm (Abb. 94.40b) bedeutet eine Rechtsdre-

=2. Womit gemäß Leitungstransformation wieder die Aus- hung vom Punkt B eine Zunahme der kapazitiven Parallelka-
gangswerte der Belastung einer Leitung erreicht wären (s. a.

pazität und eine Linksdrehung eine Zunahme einer Parallel-

(94.31)).

induktivität. Bewegungen bei konstanten Blindanteilen führen

94.8

Kreisdiagramm

1189

0,12

0,13

0,12

0,13

0,14

0,14

0,11

0,11
a
b

0,15

0,15

0,10

0,10

0,38

0,37

0,36

0,16

0,38

0,37

0,36

0,16

0,09

0,39

0,09

0,39

0,35

0,35

0,40

+90°

+80

0,17

0,40

+90°

+80

+100°

°

0,34

+100°

0,17

0,08

0,41

+70°

0,08

–1,

°

0,34

–0,

9

0

0,41

–0,8

+70°

+110°

0,

1,

0,33

+110°

0,18

0

0,33

0,8

9

–0,7

0,18

0,42

0,07

0,7

+60

0,42

0,07

–1,

+60

5

°

+120°

0,32

+120°

–0,6

°

0,32

0,6

1,

0,19

5

0,19

– G

0,43

– R

5

+50

0,43

+50

P

0,06

0,06

–0,

0,

S

°

0,31

–2

0,31

+130°

2

°

+130°

5

0,44

0,20

0,44

0,20

XIII

4 0,

+40

0,05

0,30

–0,4

+40

0,05

0,30

A

°

°

0,45 +140°

0,21

0,45 +140°

3

0,21

–3

B

0,04

0,3

+30 0,29

+30 0,29

0,04

–0,3
n

0,46
or

+ L

°

0,46
e
or

+ L

+150°

0,22

+150°
g

°

/Z L

S

P

.

0,22
j X

0,28

B
erat

2

0,28

0,03

0,

+
erat

0,03
li

+20
n
en

0,47
d
en

–0,2

+20

0,47

–5
d

G

5

G
wi

°

0,23

+ C

0,23

+160°

0,27

+160°
d

°

0,27
m
m

P

Teil
erstan
e
zu

0,02

0,02
r

0,48

0,1
d
zu
s
rs

+ C

0,48

+ R
rs
t

+10
en

S
en

+ G
a
wi
to

S
to
n

–0,1

+10
d
g

0,24
g

P
d

0,26

0,26

0,24
ak

°
ak –10
lin

–

°
län
sf

10

0,01
län

0,01
sf
j

0,49
n

0,49
n

X
io
s. B
io

1,

1,0

0,

0,4

0,

0,2

0,1

/Z
o
ellen
ex
p

1

2

3

4

0

5
ellen

W

∞

0°

0,25

0,25
ex

20

10

5

4

3

2

5

5

3

L

0

0,25
fl

0

0,

0,

0,

0,

0,5

1,

1,

2

3

4

5

0°

0,25

0

0

W
e

10

20

0

0
fl
ß

L

Wirkwiderstand R/Z
e
ß

∞

Wirkwiderstand R/Z
p
u

R

L
u

R

L
o
l

/Z
l
s
h
es

0,24
h

.

X
c
j
es

0,24

0,26
c
d
d

10

B

0,26
bs
l

–10

–10°
bs
l
li

–10

0,01
e

0,01
e
n

0,49

A
k
d –

0,49

A
k
d
n

–0,1
n
n
wi
m
i
a

°
t

0,23
m
i
u
s
u

0,1
z

W

0,27
z

W
d

0,23
r

0,27
e
e
n

0,02
n
r
d
e

–20

0,02
s

0,48

0,48
e
t

–20°
g

2
wi

–5
g

5
an
än

–0,
d

°

0,22
än
d

0,22
l
n

–160°
li
l

0,28

–160°

+

0,2

0,28
en

0,03
en

0,03
j
l

B
l

X
l

.

l

/

0,47
e

°
g

–30°

0,47
e

Z

3
e

0,21

°

L

–30

0,21

W

W

–0,
n

0,29

0,3

°

0,04

–150

0,04

0,29

–3

–150

3

0,46

0,20

0,46

0,20

–40°

°

–40°

0,05

–0,4

0,30

0,05

0,4

0,30

–140°

–140

0,19

0,19

0,45

0,45

0,06

–2

2

–50°

0,06

°

–50

–0,5

0,

0,31

0,31

–130°

6

5

0,18

–130

°

0,18

0,44

5

0,44

1,

0,

0,07

°

–0,

7

0,07

–60°

°

6

–60°

–1,

5

0,17

0,32

0,

0,17

0,32

–120

–0,

–120

0,43

0,08

0,43

0,08

1,

0,

0,

7

°

–0,8

–70

°

8

–70°

–110

–0,9

0,16

0

9

–1,0

°

0,33

–110

0,16

0,09

–80°

0,09

0,33

°

0,42

–100°

–90°

0,15

0,42

–100

–80°

–90°

0,15

0,10

0,10

0,11

0,14

0,34

0,11

0,14

0,34

0,41

0,12

0,13

0,41

0,12

0,13

0,35

0,35

0,40

0,40

0,39

0,36

0,39

0,36

0,38

0,37

0,38

0,37

Abb. 94.40 Widerstands- und Leitwertdiagramme. a Kreisdiagramm für Widerstände, b Kreisdiagramm für Leitwerte (Erläuterungen im Text)

zur Vergrößerung des parallelen Wirkleitwertes, wenn sie nach

Eine weitere Transformationsaufgabe ist mit dem Kreisdia-
innen gerichtet sind, und zur Verminderung bei einer Bewe-
gramm elegant zu lösen. In Abschn. 94.4.4 folgt aus (94.30)

gungsrichtung nach außen.

die Veränderung von Z über eine Änderung der Leitunglänge
a
l. Die Lösung dieser Aufgabe ist im Kreisdiagramm leicht zu

Derartige Bewegungen oder Transformationen liefern zunächst
bewerkstelligen. Es ist lediglich zu berücksichtigen, dass eine
einmal lediglich veränderte Schaltungen. Im Kreisdiagramm

Drehung im Uhrzeigersinn in Richtung zum Generator wirkt,
kann man aber sofort noch etwas anderes ablesen. Der Endpunkt
eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn in Richtung zur Last
einer Bewegung von A oder B hinweg liegt auf einem Kreis
transformiert.

mit einem anderen Reflexionsfaktor. Es kann aber noch mehr
erreicht werden. Wird in Abb. 94.40a der Pfeil bei Cs soweit
verlängert, dass er die reelle Achse erreicht, so hat man einen

Beispiel 5 (Abb. 94.40a)

komplexen Widerstand gemäß Punkt A ( R C
s
j! Ls) durch Zu-
schalten einer Serienkapazität reell gemacht. Allerdings wurde

In Abb. 94.31a ist ein Punkt L eingetragen, zu dem ein
lediglich die induktive Komponente kompensiert und als Re-
normierter komplexer Widerstand z D 0;35 j 1;0 ge-
alteil die schon vorhandene Wirkkomponente erhalten. Wenn
hört. Wird diesem Widerstand in Richtung zum Generator
man allerdings vom Punkt A Parallelkomponenten hinzufügt,
ein dem (Normierungs-)Wellenwiderstand entsprechen-
könnte man auch andere reelle Werte erreichen. Um das im
des Leitungsstück vorgeschaltet, so ändert sich der am

Kreisdiagramm auszuführen, muss eine Inversion durchgeführt

Leitungsanfang auftretende Widerstand mit der Leitungs-
werden, d. h., man muss ins Leitwertdiagramm übergehen. Führt
länge gemäß (94.30). Im Kreisdiagramm bedeutet dies
das noch nicht zum gewünschten Erfolg, muss u. U. wieder ins
eine Drehung im Uhrzeigersinn auf einem Kreisbogen mit

Widerstandsdiagramm rückinvertiert werden: Ein offensichtlich
konstantem Radius, d. h. konstantem Betrag des Refle-
recht mühsames Verfahren.

xionsfaktors. In Abb. 94.40a ist der Kreisbogen bis zur
reellen Achse geführt und trifft dort auf den (normierten)

Widerstandswert r D 0;17. Die zugehörige Leitungs-
länge (am inneren l=-Kreis abgelesen) beträgt l= D

94.8.1

Doppel-Kreisdiagramm

0;132. Dies bedeutet, dass eine wellenwiderstandsrichti-
ge Leitung mit der Länge l D 0;132 den komplexen

Anfangswiderstand z in einen reellen Widerstand R D

Diese und viele andere Aufgaben lassen sich mit Hilfe eines

0;17 Z ( transformiert hat.

J

Doppel-Kreisdiagrammes lösen. (z. B. von H. Götting sen., Cel-
ler Str. 5, 31275 Röddensen zu beziehen).

In der Praxis werden für Transformationen alle Möglichkeiten

Das zweifarbige Doppel-Kreisdiagramm hat die Inversion direkt
kombiniert, wobei gerade die Streifenleitungen besonders viel-
eingearbeitet. Eine Serien-Parallel-Umwandlung geschieht jetzt
fältige Möglichkeiten bieten.

so, dass lediglich die einen Koordinaten in das eine Diagramm

(z. B. blau) eingetragen werden und danach die Koordinaten der

Das Doppel-Kreisdiagramm zeigt vor allem bei zusammenge-
anderen Farbe abgelesen werden. Die oben angeführten Bei-
setzten und mehrgliedrigen Transformationen seine Vorteile. Es
spiele können mit den Lösungen im Doppeldiagramm direkt
ermöglicht sowohl den Schaltungsentwurf als auch seine Di-
abgelesen werden.

mensionierung.

1190

94 Leitungen

Teil

Beispiel 6 (Abb. 94.41)

a

1

0,5

2

XIII

2

C

0,5

Ein Widerstand von 50 ( soll mit (verlustfreien) Blind-
elementen auf einen Wert von 200 ( transformiert wer-

0,2 5

0,2

5
den. Wie sieht die Schaltung aus und wie ist sie zu
dimensionieren?

5

2

0,5

0,2

∞ 0

0 ∞

0,2

0,5 A 1

D 2

5

Zunächst ist für den Eintrag ins Diagramm zu normieren.

Da keine speziellen Leitungs(wellen)widerstände vorlie-

B

0,2

5

0,2 5
gen, bieten sich 100 ( an. Somit r D

D

1

0;5 und r 2

0,5

2;0. Diese Werte sind bei Punkt A bzw. D im Wider-

2

2

0,5
standsdiagramm zu finden. (Im Leitwertdiagramm sind

1
dort die zugehörigen Leitwerte mit 2,0 und 0,5 abzule-
sen.) Es ist jetzt ein geschlossener Transformationsweg
b
im Diagramm zu entwickeln! Um eventuellen kapazitiven

L BC

Komponenten (durch die Schaltung) bei r 1 vorzubeugen,

C AB

C CD
soll die Schaltung mit einer Parallel-Kapazität beginnen.

0,5

2,0

Dies bedeutet eine Rechtsdrehung auf einem Kreis mit
konstantem Leitwert im Leitwertdiagramm. (Kurvenzug
von A nach B in Abb. 94.41a.) Von Punkt B aus ist

Abb. 94.41 Mehrgliedrige Transformation im Doppel-Kreisdiagramm. a Trans-
jetzt bei konstanter Wirkkomponente im Widerstandsdia-
formationsweg, b Schaltung (Erläuterung im Text)

gramm soweit nach rechts zu drehen (Punkt C/ bis zu
einem Kurvenzug für konstanten Wirkleitwert, der bei
weiterer Rechtsdrehung zum Punkt D führt.

d. h. größere Bogenlängen, und sinken die Widerstände, d. h.

kürzere Bogenlängen, der Blindelemente und umgekehrt.

Die

Schaltung
dieses

Kurvenzuges
sieht
wie
in

Abb. 94.41b aus. Die Strecken AB und CD waren

Rechtsdrehungen im Leitwertdiagramm, also Parallel-

Kapazitäten. Die Strecke BC gehörte zu einer Rechtsdre-

94.8.2
s-Parameter im Kreisdiagramm
hung im Widerstandsdiagramm und bedeutet damit eine

Serien-Induktivität.

Die s 11- und s 22-Parameter lassen sich als Reflexionsfaktoren

Zur Dimensionierung müssen die normierten Werte aus
sehr gut im Kreisdiagramm darstellen und werden in den Pro-
dem Diagramm ermittelt werden. Der Bogen AB verläuft
spekten auch häufig so veröffentlicht.

im Leitwertdiagramm von 0 . . . 2,0, d. h. b D

1

2;0. Der

Bogen BC verläuft im Widerstandsdiagramm von 0;25

Bei den Überlegungen zum MAG-Wert (94.54) war die Not-

(kapazitive Halbebene, daher minus) bis 0,65. Die Länge
wendigkeit des konjugiert komplexen Reflexionsfaktors aufge-
des Bogens ist dann C minus B, also 0;65 .0;25/ D
taucht. Im Kreisdiagramm ist ein solcher Wert leicht darstellbar,

0;9 D x. Der Bogen CD liegt in der induktiven Halbebene
da für einen nach Betrag und Phase gegebenen s-Parameter nur
des Leitwertdiagramms und beginnt demgemäß bei 1;3
das Vorzeichen des Phasenwinkels umzukehren und im Kreis-
und reicht bis 0 bei D. Die Bogenlänge ist D minus C, also
diagramm einzutragen ist. Die Größen G 1 max und G 2 max in

0 .1;3/ D 1;3 D b

(94.54) verlangten aber diese konjugiert komplexen Reflexi-

2. Die Konduktanzen bzw. Reaktan-
zen der Bauelemente betragen B D

onsfaktoren an den Eingangs- bzw. Ausgangsklemmen eines

1
b 1 10 mS D 20 mS,

B D

Transistors. Wie gezeigt bietet das Kreisdiagramm die Mög-

2
b 2 10 mS D 9 mS und X D x 100 ( D 90 (.

Um daraus Kondensatoren und Induktivitäten zu ermit-
lichkeit, Transformationsschaltungen fast jeder beliebigen Art
teln, muss noch die Frequenz bekannt sein.

J
zu entwerfen. Es gibt aber noch eine Möglichkeit zu zeigen

(nach Unterlagen von HewlettPackard), welche Verstärkungen
sich ergeben, wenn die Anpassbedingungen nicht exakt erfüllt
sind. Dies ist in der Praxis besonders für breitbandige Verstärker

Das Beispiel 6 hat die grundsätzliche Arbeit im Doppel-
wichtig, da sowohl die Transistorendaten als auch die Schaltun-

Kreisdiagramm erläutert. Die benutzten Bögen waren zunächst
gen i. Allg. stark frequenzabhängig sind.

willkürlich in ihren Längen gewählt. Durch Variation oder

Vorgabe bestimmter Elemente lässt sich sehr leicht ein passen-

Die Ortskurven für konstante Werte von G 1 und G 2 sind Kreise
der geschlossener Transformationsweg finden. Ein Beginn im
im Kreisdiagramm, deren Mittelpunkte auf einer Geraden vom

Punkt A, mit einem Bogen nach links oben, hätte eine Parallel-

Zentrum des Diagramms zum Punkt s11 bzw. s22, d. h. den

Induktivität als Eingang zur Folge gehabt, ein Beginn des Trans-
konjugiert komplexen s-Parametern, liegen.

formationsweges nach rechts oben eine Serien-Induktivität und

Mit der normierten Verstärkung g 1
der Beginn nach rechts unten eine Serien-Kapazität.

G

G

Ändert sich die Frequenz, so ändern sich die Längen der Bö-

1

1
g D

D

1

(94.56a)

gen proportional. Mit steigender Frequenz steigen die Leitwerte,

G
j2

1 max

1 j s 11

94.8

Kreisdiagramm

1191

0,12

0,13

0,14

0,11

0,15

0,10

0,38

0,37

0,36

0,16

0,09

0,39

0,35

0,40

+90°

+80°

0,17

XIII

+100°

0,34

0,08

0,41

+70°

+110°

0,33

0,9

1,0

0,18

0,8

+60°

0,42

0,07

0,7

+120°

0,32

0,6

1,5

0,19

Teil

0,43

+50°

0,06

0,5

0,31

+130°

2

0,44

0,20

–3dB

0dB

3dB

6dB

8,24dB +40°

0,05

0,4

0,30

0,45 +140°
s*

11

0,21

3

0,3

+30° 0,29

0,04

0,46 +150°

0,22

0,28
erator 0,03

0,2

+20°
en

0,47

G

5

0,23

+160°

0,27
m

0,02
zu

0,48

0,1

+10°
eng

0,26

0,24

*
län

0,01
s22

10

0,49

3,73dB
ellen

0,25

0,25

∞

W

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

1,5

2

3

4

5

0°

0

0

10

20
ß

Wirkwiderstand R/Z
u

L
l

1dB

2dB

3dB
h

0,24
c

0,26

–10°
bs

–10

0,01
s

0,49

A

–1dB

0dB

22

–0,1
m

0,23
u

0,27
z n 0,02e

–20°

0,48
g

–5

0,22
än

–0,2
l

–160°

0,28
n e 0,03l

0,47
l e

–30°

0,21

W

–0,3

0,04

–150°

0,29

–3

0,46

0,20
s11

–40°

0,05

0,30

–0,4

–140°

0,19

0,45

–2

–50°

0,06

–0,5

0,31

–130°

0,18

0,44

0,07

–0,6

–60°

–1,5

0,32

–120°

0,17

0,43

0,08

–0,7

–70°

–0,8

–110°

0,16

0,09

–0,9

–1,0

0,33

0,42

–100°

–80°

–90°

0,15

0,10

0,11

0,14

0,34

0,41

0,12

0,13

0,35

0,40

0,39

0,36

0,38

0,37

Abb. 94.42 Kreise konstanter Verstärkung im Kreisdiagramm, Lösung zu Beispiel 7 (Erläuterungen im Text)

beträgt der Radius RG des Kreises für eine vorgegebene Verstär-

Beispiel 7 (Abb. 94.42)

kung G 1:

Kreisradius für konstante Verstärkung

Für den Transistor CFY 11 von Siemens gelten bei 2 GHz
p
und Z D 50 ( folgende s-Parameter:

1 g
j2

1

.1 j s 11 /

R D

G

(94.56b)

1 .1 g
j2

1/ j s 11
s

D

D

11

0;922 ]41ıI
s 12

0;026 ]69ı 0I

Distanz D
s

D 3;062 ]144ıI s D 0;759]11ı

G des Kreismittelpunktes vom Zentrum des Dia-

21

22
gramms in Beträgen des Reflexionsfaktors (gemäß Diagramm-

Maßstab):

Damit ergibt sich auf der Eingangsseite

Mittelpunktabstand für konstante Verstärkung
s D 0;922 ]41ı und G

D 6;67 D 8;24 dB

11

1 max
g j
j

1
s 11

D D

G

(94.56c)

und für die Ausgangsseite

1 .1 g
j2

1/ j s 11

Die für die Eingangsseite mit s

D

D

11 angeschriebenen Gleichungen
s

0;759 ]11ı
und

G

2;36 D 3;73 dB

22

2 max
gelten sinngemäß mit s 22 für die Ausgangsseite eines Tran-
sistors. Die Verstärkungen G

C

C

D

1 bzw. G 1 max sind in (94.56a) in

MAG D G 1

G 0

G 2

8;24 dBC 9;72 dB C 3;73 dB D
absoluten Zahlen einzusetzen, auch wenn sie allgemein in dB

21;7 dB.

angegeben werden.

1192

94 Leitungen

Teil

Tab. 94.11 Werte für Kreise konstanter Verstärkung im Eingang und Ausgang
eines Transistors, dargestellt im Kreisdiagramm

XIII

Eingang

Ausgang

G (dB)

DG

RG

G (dB)

DG

RG

8,24

0,992

0 (Lage von s )

3,73

0,759

0 (Lage von s )

11

22

6,0

0,873

0,145

3,0

0,705

0,193

3,0

0,682

0,310

2,0

0,629

0,299

0

0,498

0,498

1,0

0,554

0,369

3,0

0,324

0,674

0

0,482

0,482

6,0

0,190

0,808

1,0

0,414

0,559

Die Rechenwerte für RG und DG sind in der Tab. 94.11
zusammengestellt, und Abb. 94.42 zeigt die Auswertung
im (Widerstands-)Kreisdiagramm.

J

Ähnlich wie die Verstärkung lassen sich auch die Rauschzah-
len als Kreise im Kreisdiagramm oder in der komplexen Ebene
darstellen. Diese Angaben werden i. Allg. von den Transistor-
herstellern in den Datenblättern gemacht.

Antennen

XIII

95

Wilfried Plaßmann

Teil

95.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194

95.2 Kenngrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196

95.3 Ausführungsformen von Antennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198

95.4 Wellenausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1200

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1193

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_95

1194

95 Antennen

Teil

95.1

Grundlagen
a)

b)

XIII

Die theoretischen Grundlagen und Ableitungen zu den An-
tennen hätten den Rahmen dieses Kapitels gesprengt, deshalb

G

G
werden die wichtigsten Ergebnisse verwendet und, soweit mög-
lich, anschaulich dargestellt. Für weitergehende Einzelheiten
wird auf die Literatur verwiesen (z. B. [18]). Die im folgenden
l
dargestellten Verhältnisse gelten wegen des Reziprozitätssatzes
für Sende- und Empfängerantennen gleichermaßen.

Abb. 95.1 Übergang Doppelleitung zur Dipolantenne. a Am Ende offene Lei-

Obwohl die Antenne im Allgemeinen einen komplexen Wider-
tung, b Dipolantenne
stand darstellt, hat sich die Bezeichnung Widerstand mit dem

Formelzeichen Z durchgesetzt und soll auch hier verwendet
werden (Ausnahme: Abschn. 95.4.3).

Wellenwiderstand des leeren Raumes:

Antenne als Strahler, Poynting-Vektor, Strahlungsdichte: An-
r
jE E j

tennen sind Strahler, die die über Kabel zugeführte elek-

D

0

Z D

0

377 (

(95.4)

trische Energie in Strahlungsenergie umsetzen. Man spricht
j E

H j

"0
hier von Strahlung, weil der Generator (Sendeantenne) nicht
feststellen kann, in welchem Maße die abgestrahlte Ener-

Dipol: Die Abstrahlung des elektromagnetischen Feldes ge-
gie durch Gebäude oder Empfangsantennen (Verbraucher)

schieht über eine Antenne, die man sich als eine am Ende
absorbiert wird. Es gibt also keine Rückwirkung vom Ver-
leerlaufende Leitung vorstellen kann, die aufgeklappt wird,
braucher auf den Generator. Das durch die Antenne erzeugte

Abb. 95.1. Antennen dieser Art heißen Dipol, weil sie aus

Feld ist ein elektromagnetisches Feld, d. h. elektrisches Feld
zwei strahlenden Elementen bestehen.

und magnetisches Feld treten zusammen auf und stehen

Hertz’scher Elementardipol: Die Länge l der Leitung
senkrecht aufeinander, wenn man sich im Fernfeld (s. u.) der

(Abb. 95.1) ist viel kleiner als die Wellenlänge , und es

Antenne befindet. Der Energietransport geschieht senkrecht
ergibt sich längs der Leitung eine nahezu konstante Strom-
zu der aus den Vektoren E

E (elektrische Feldstärke) und E

H
verteilung.

(magnetische Feldstärke) aufgespannten Ebene und wird mit
dem Poyntingvektor E

S beschrieben:

Abb. 95.2 zeigt das in der Umgebung der Antenne vorhande-
ne elektromagnetische Feld zu den Zeitpunkten T=4, T=2 und

Poynting-Vektor, Strahlungsdichte:

3 T=4 ( T Periodendauer, T D 1= f ).

E S D E E E H bzw. jE S j D jE E j j E H j sin ˛ in V A=m2 (95.1)

Nahfeld–Fernfeld: Der Übergang vom Nah- zum Fernfeld
hängt von der Form der Antenne ab und liegt in der Grö-

˛ Winkel zwischen E E und E H, E E E H Vektorprodukt, E E elektrische
ßenordnung =2. Erst im Fernfeld stehen die Feldvektoren E

E

Feldstärke in V=m, E

H magnetische Feldstärke in A=m.

und E

H senkrecht aufeinander. Elektrische und magnetische

Feldstärke nehmen im Fernfeld gemäß 1= r ( r Entfernung

Der Poynting-Vektor gibt die Strahlungsdichte in der Einheit
zwischen Sendeantenne und dem betrachteten Ort) ab.

Leistung pro Fläche an.

Polarisation: Die Lage des elektrischen Feldes gibt die Pola-

Frequenz, Wellenlänge: Der Energietransport geschieht mit
risation an. Allgemein unterscheidet man:

Lichtgeschwindigkeit c, wobei im Vakuum und näherungs-

– Elliptische bzw. kreisförmige Polarisation: Die Feldvek-
weise auch in Luft gilt: " D

D
r
r

1
toren E

E und E

H drehen sich ständig in Ellipsen- bzw.

Lichtgeschwindigkeit:

Kreisform, letztere nennt man Zirkularpolarisation. Je
nach Drehrichtung spricht man von rechts- bzw. linksdre-
km
hender Polarisation.

c D

1
p

"

3 105

(95.2)

0

0
s

"0 elektrische Feldkonstante, 0 magnetische Feldkonstante.

E

Zwischen der Wellenlänge und der Frequenz f einer elektro-

E

E
magnetischen Welle besteht die Beziehung:

f D c

(95.3)

–

+
c Lichtgeschwindigkeit 300.000 km=s.

H

H

Wellenwiderstand des leeren Raumes: Das Verhältnis der Be-

T

T

3 T
träge von elektrischer und magnetischer Feldstärke ergibt
t = 4

2

4
unabhängig vom Ort einen konstanten reellen Wert und wird
mit Wellenwiderstand des leeren Raumes bezeichnet:

Abb. 95.2 Entstehung des elektromagnetischen Feldes einer Dipolantenne

95.1

Grundlagen

1195

– Lineare Polarisation: Die Feldvektoren haben eine fest-
a
b
c
gelegte Richtung. Liegt der elektrische Feldvektor E

E und

E

I

H parallel zur Erdoberfläche, handelt es sich um eine

0

XIII
horizontale Polarisation, bei E

E und E

H senkrecht zur Erd-
oberfläche um eine vertikale Polarisation (Abb. 95.2).

G

G

G

C e

Teil

Beispiele für horizontale Polarisation: UKW-Rundfunk,

Fernsehen im Band III, IV und V. Beispiele für vertikale
h
l v

Polarisation: Lang-, Mittel- und Kurzwellenrundfunk, Fern-
sehen im Band I. Satelliten-Fernsehen verwendet horizontale

Abb. 95.3 Verkürzung von Vertikalantennen. a zusätzliche Endkapazität, b T-
und vertikale Polarisation.

Antenne, c Schirm-Antenne

Ausbreitungsrichtung des elektromagnetischen Feldes: Die

Ausbreitung des elektromagnetischen Feldes geschieht senk-
recht zur Dipolachse in allen Richtungen, nicht aber in

Wellenlänge und ! Kreisfrequenz der elektromagnetischen

Achsrichtung des Dipols.

Welle in m bzw. 1=s, C

Einseitig geerdete Antenne: In der in Abb. 95.1 dargestellten
e Endkapazität in F, ZA Antennenwider-
stand in (.

Dipolantenne kann anstelle des unteren Teils des Dipols eine
unendlich gut leitende waagerechte Fläche eingesetzt wer-

Die Antennenhöhe kann damit verkürzt werden:

den. Die Erdoberfläche stellt diese Fläche, wenn auch nicht
ideal, so aber doch in ausreichender Näherung, dar. An den

Abstrahlverhältnissen ändert sich nichts, wie man mit der

Verkürzte Antennenhöhe:

Methode der Spiegelung zeigen kann. Für die Praxis hat die-
ses Modell den Vorteil, dass man den einen Anschluss des

D

D

D

arctan.! CeZA/

Generators erden und eine durchgehende stabförmige An-
hv
h lv
lv

4

4

2

(95.6)

tennenkonstruktion verwenden kann. Diese Antennen heißen

Vertikalantennen oder fußpunktgespeiste Antennen.

=
h

4 -Antenne bzw. =2 -Dipol: Bei dieser Antenne ist die

Antennenhöhe für h D =4.

Länge l nach Abb. 95.1 zu =4 gewählt. Sie hat deshalb be-
sondere Bedeutung, weil nach Abschn. 94.4.4 „Leitung als

Die Schwierigkeit bei der Auswertung der Gleichungen (95.5)

Transformator“, (94.31), eine Leitung dieser Länge einen
und (95.6) liegt darin, dass der Antennenwiderstand ZA durch
reellen Eingangswiderstand hat und sich der Innenwider-
die aufgeklappte Leitung nur näherungsweise bestimmt werden
stand des Generators an den Wellenwiderstand des leeren
kann und von den geometrischen Abmessungen des Anten-

Raumes anpassen lässt. Damit wird eine optimale Leistungs-
nenstabes abhängt. Man kann aber erreichen, dass sich eine
übertragung vom Generator auf das elektromagnetische Feld

Antenne für Langwelle mit =4 D 500 m auf eine Länge von
möglich.

250 m verkürzen lässt.

Antennenverlängerung: Vertikalantennen lassen sich bis zu
einer Höhe h von etwa 150 m errichten. Das entspricht
bei h

D =4 einer Wellenlänge von 600 m und da-

Beispiel 1
mit einer Frequenz f D 500 kHz. Die Rundfunkübertra-
gung auf Mittelwelle (Hektometerwellen) liegt im Bereich

Eine Antenne hat eine Länge von 200 m und soll für die

500 . . . 1500 kHz, sodass die erforderlichen Antennenab-

Frequenz f D 150 kHz als =4-Antenne eingesetzt wer-
messungen realisiert werden können. Für eine Übertragung
den. Sie hat den Antennenwiderstand Z D

A

200 (. Es gilt
auf Langwelle (Kilometerwellen) mit einem Frequenzbe-
mit (95.3):

reich von etwa 80 . . . 150 kHz und einer Wellenlänge von

3750 . . . 2000 m müssten Antennen mit einer Höhe h von

D c= f D .3 108 m=s/=.1;5 105=s/ D 2000 m

937,5 . . . 500 m errichtet werden, was technisch nicht mög-

)

=
lich ist. Man hat deshalb am oberen Ende der Antennen

4 D 500 m
zusätzliche Endkapazitäten Ce nach Abb. 95.3a erzeugt,
indem man die Antennen entsprechend geformt hat. Bei

Gleichung (95.5) wird nach Ce umgeformt:

den in Abb. 95.3b, c gezeigten häufig verwendeten Formen
l 2
spricht man von T bzw. Schirm-Antennen. Die waage-
v

C D

1

e
tan
rechten (T-Antenne) bzw. die nach unten geneigten Flächen

! ZA

(Schirm-Antenne) auf der Antennenspitze bilden mit der

D
s A

3 102 m 2
tan

Erdoberfläche eine zusätzliche Kapazität am Leitungsende.

2 1;5 105 2 102 V

2 103 m

Dadurch erscheint die Antenne verlängert um den Wert

Antennenverlängerung:

Aus (95.6) wurde I D

D
v
h hv

.500 200/ m D 300 m
arctan.! CeZA/
eingesetzt.

J
l D
v

(95.5)

2

1196

95 Antennen

Teil

95.2

Kenngrößen

90°

XIII

120°

Die wesentlichen Eigenschaften von Antennen lassen sich den

60°

Kenngrößen entnehmen. Sie werden im Folgenden dargestellt,
und es werden, sofern möglich, einfache Berechnungsformeln

30°

150°
angegeben.

0°

Richtdiagramm: Im Fernfeld der Antenne stehen die Feld-

360°

0,7 0,5

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

180°
vektoren E

E und E

H senkrecht aufeinander. Der Energiefluss,
erfasst durch den Poynting-Vektor (95.1), erfolgt wiederum
senkrecht zu der durch die Feldvektoren aufgespannten Ebe-

330°

210°
ne. Nach Abb. 95.4 ist die Strahlungsdichte S abhängig vom

Winkel # und maximal für # D 90°. Vom Winkel ' da-

240°
gegen hängt S wegen der Rotationssymmetrie nicht ab. Da

300°

E

270°

E und E

H jeweils mit zunehmender Entfernung r gemäß 1= r
abnehmen, folgt: S 1= r 2. Gleichung (95.7a) gibt die Strah-
lungsdichte an.

Abb. 95.5 Richtdiagramm in horizontaler Darstellung

Strahlungsdichte

Z j j2

0

I
l

S D

0

Beispiel 2
r
sin #

(95.7a)

4 r 2

Z

Ein Dipol strahlt eine Leistung von P D 1 kW an R

0 Wellenwiderstand des leeren Raumes in ( (95.4); I

Strom

0
s
s ab.

in der Antenne in A, r Abstand von der Antenne in m, l Länge

Dann ergibt sich in einer Entfernung von r D 10 km par-
der Antenne in m (siehe Abb. 95.1, Wellenlänge in m, # siehe
allel zur Dipolachse nach (IV.7b) eine Strahlungsdichte

Abb. 95.4.

S D 3103 W
r
sin2 90 ı D 1;2 106 W . Mit S D E H

8108 m2
m2

Ersetzt man den Strom I durch die vom Strahlungswiderstand
und H D E= Z 0 folgt für die Feldstärke:

0
p

R
j D
s
s aufgenommene Leistung Ps gemäß j I

P

0
s= Rs nach

(95.11a) und (95.11b), ergibt sich:

p

3 P
s
sin2 #

E D

S Z D

0

Z 0

Strahlungsdichte

8 r 2
s

3 103 V A

V
m V

S D

3 Ps

r
sin2 #
für l

(95.7b)

D

377

D 21;2

J

8 r 2

8 108 m2

A
m
r Abstand von der Antenne in m, # siehe Abb. 95.4, Ps im Strah-
lungswiderstand Rs umgesetzte Leistung in W.

Öffnungswinkel: Er ist in Abb. 95.5 eingetragen und ergibt

Hinweis: Die Abhängigkeit des Strahlungswiderstandes Rs vom
sich dadurch, dass innerhalb des Öffnungswinkels die relati-

Verhältnis l= ((95.11a) und (95.11b)) führt dazu, dass sich
ve Strahlungsdichte nach (95.8) 0,707 ist.

für die Kenngrößen der kurzen linearen Antenne und des =2-

Antennengewinn, Antennengewinnfaktor, Antennengewinn-

Dipols geringfügig voneinander abweichende Werte ergeben
maß: Durch geeignete Antennenkonstruktionen kann man
können.

die Strahlungsdichte in bestimmten Richtungen im Raum

Durch Normierung auf den Maximalwert für # D 90° folgt der
konzentrieren. Ein Maß für die Richtfähigkeit ist, allgemein
in Abb. 95.4 gezeigte Verlauf.

ausgedrückt, der Antennengewinn. Der Antennengewinn-

S
faktor g wird über einen Kugelstrahler als Bezugsantenne
r

Richtdiagramm

D sin2 #

(95.8)

bestimmt, der in alle Richtungen gleichmäßig mit

Sr max

P

S

D
ref

(95.9)

4 r 2

S r

(4 r 2: Kugeloberfläche in m2; P: zugeführte Leistung in W)

S rmax
strahlt. Der Antennengewinnfaktor g ist das Verhältnis der

Strahlungsdichte Sr der eigentlichen Antenne zur Strahlungs-
ϑ
dichte S ref des Kugelstrahlers als Bezugsantenne bei gleicher
ϕ r

Entfernung r und gleicher Leistung P. Durch entsprechende

Auswertung der Gleichungen (95.8) und (95.9) erhält man
den maximal möglichen Antennengewinnfaktor g max:

Antennengewinnfaktor (allgemein):

Abb. 95.4 Richtdiagramm eines Dipols (Dipol als durchgezogener Stab darge-
g D Sr

(95.10a)

stellt)

S ref

95.2

Kenngrößen

1197

R i

R v

R s

Wirkfläche: An einer Empfangsantenne steht die Leistung P
zur Verfügung, die durch die am Ort der Antenne vorhandene

Strahlungsdichte S gebildet wird. P entsteht durch Summati-

G

XIII

I
j X

0
on von S über eine Fläche A: P D S A. Diese Fläche wird

Wirkfläche genannt. Es hat sich gezeigt, dass diese Fläche

Teil
unabhängig von den Antennenabmessungen ist:

Generator

Antenne

Abb. 95.6 Reihen-Ersatzschaltbild einer Antenne

Wirkfläche

A D 3 2

(95.12)

8
maximaler Antennengewinnfaktor kurze lineare Antenne:

Wellenlänge.

Beim Empfang einer Strahlung mit D 10 m ( f D 30 MHz)

g

D
max

1;5
haben eine kurze lineare Antenne und ein =2-Dipol die Wirk-
fläche 2 3 D 11;9 m2. Danach würde man die kurze lineare

8
maximaler Antennengewinnfaktor =2 -Dipol:

Antenne dem =2-Dipol wegen der kleineren Abmessungen
vorziehen. Macht man allerdings die Abmessungen immer klei-
g

D
max

1;64

(95.10b)

ner, nimmt der Strahlungswiderstand ab und damit wird die
nutzbare Leistung verringert. Außerdem kann dann der Verlust-

Hinweis: Die Abhängigkeit des Strahlungswiderstandes R
widerstand R
s
v nicht mehr vernachlässigt werden. Schließlich
vom Verhältnis l= ((95.11a) und (95.11b)) führt dazu, dass
wird die konjugiert komplexe Anpassung nicht mehr möglich,
sich für die Kenngrößen der kurzen linearen Antenne und
weil der Blindwiderstand mehr als 1000mal so groß ist wie
des =2-Dipols geringfügig voneinander abweichende Werte der Strahlungswiderstand. Die kapazitive Antennenkomponente
ergeben.

wäre nur durch supraleitende Spulen (große induktive Kompo-

Daraus leitet sich das Antennengewinnmaß G ab:

nente bei verschwindendem Realteil) kompensierbar.

Übertragungsfaktor, Funkfelddämpfung: Der Übertragungs-

Gewinnmaß

G D 10 lg. g/ in dB

(95.10c)

faktor ist das Verhältnis von Empfangsantennenleistung Pe
zu Sendeantennenleistung Ps und ergibt sich zu:

Eingangswiderstand, Fußpunktwiderstand und Strahlungs-
widerstand: Allgemein gilt für den Antennenwiderstand

Übertragungsfaktor:

Z D U= I. Da sich U und I aber längs der Antenne än-

dern (gemeint ist nicht die zeitliche, sondern die örtliche

P

2

E

D
g g

Abhängigkeit), ist auch Z ortsabhängig. Man hat deshalb

S

E

(95.13)

PS

4 r
den Eingangswiderstand am Fußpunkt der Antenne definiert.

Dieser Fußpunktwiderstand Z FP ergibt sich aus dem Verhält-
r Entfernung Sender–Empfänger in m; gS, gE Antennengewinn-
nis von Spannung zu Strom am Fußpunkt: Z

D

FP

U FP= I FP.

faktor nach (95.10a), (95.10b) und (95.10c); Wellenlänge in

Abb. 95.6 stellt das Ersatzschaltbild einer stromgespeisten
m; Index E: Empfänger; Index S: Sender.

Antenne dar. Es bedeuten: Ri Innenwiderstand der Quelle;

R

Eine für die Praxis nützliche Größe ist die Funkfelddämpfung a
v Verlustwiderstand der Antenne; Rs Strahlungswiderstand
der Antenne; X Blindanteil der Antennenimpedanz.

in dB:

Der Eingangswiderstand (Fußpunktwiderstand) der Antenne

Funkfelddämpfung:

beträgt R C

C
v

Rs
j! X und ist wichtig für die Anpas-
sung Generator–Leitung–Antenne. Die Anpassung muss mit

PS
konjugiert komplexen Impedanzen erfolgen. Die Strahlungs-
a D 10 lg
in dB

(95.14)

P
leistung wird in R

E
s umgesetzt; dieser Widerstand ergibt sich
zu:

Freiraumdämpfung: Dies ist die Dämpfung zwischen Sende-

Strahlungswiderstand kurze lineare Antenne
und Empfangsantenne, wenn beide als Kugelstrahler ausge-
bildet sind, und in (95.13) gilt: g D

D

S
gE

1

R D 2
l 2

Freiraumdämpfungsmaß
s

Z 0

. l /

(95.11a)

3

2

4 r 2

4 r

Strahlungswiderstand =2 -Dipol
a D

D

0

10 lg

20 lg

in dB

(95.15)

R D

D
s

0;194 Z 0

73;2 (

(95.11b)

r Entfernung Sender–Empfänger in m; Wellenlänge in m.

Z

0 Wellenwiderstand des leeren Raumes, Z 0

377 (, l Anten-
nenlänge in m, Wellenlänge in m.

Siehe dazu auch Beispiel 1 im Kap. 101 „Richtfunktechnik“.

1198

95 Antennen

Teil

Beispiel 3
a
b
c

XIII

Bei einer Übertragung mit =2-Dipolen und dem maxi-
mal möglichen Antennengewinnfaktor g D

D

E
gS

1;64
für Sende- und Empfangsantenne nach (95.10a), (95.10b)

a
a
a
und (95.10c) und einer Frequenz 100 MHz beträgt die
a λ

Funkfelddämpfung in einem Abstand von 10 km:

"

#

Abb. 95.8 Rahmenantenne. a rund, b quadratisch, c Feldverteilung

P

2

S

4 r
a D 10 lg

D 10 lg

1

P

E

gS gE

2

!

3

2

D

4 104m

10 lg 4

1

5

J

3m

1;642

Ferrit mit μ r 1

Abb. 95.9 Feldlinienverlauf bei der Ferritantenne

95.3

Ausführungsformen von

Antennen
dem Hertz’schen Dipol bei Sendeantennen. Es gilt: a l. Die

Feldverteilung ist in Abb. 95.8c skizziert.

Es folgt eine Zusammenstellung von Sende- und Empfangsan-

Die Rahmenantenne hat die gleiche Wirkfläche A D 32

R

8 wie
tennen, wie sie u. a. auch in der Rundfunk- und Fernsehtechnik
der Hertz’sche Dipol (95.12). Weiter gilt:

häufig eingesetzt werden.

Leerlaufspannung:

95.3.1

Vertikalantenne
j U j D ! n A j E H j

(95.16)

0 R

0

R

In Abb. 95.7 ist eine Vertikalantenne dargestellt, die als Sen-
n Windungszahl, AR Fläche in m2 ( a 2 bzw. a 2), ! Kreisfre-

4
deantenne für den Lang- und Mittelwellen-Rundfunk eingesetzt
quenz in 1=s, 0 magnetische Feldkonstante in V s=A m, H
wird. Ihre Länge beträgt =4. Sie ist aus dem =2-Dipol entstan- magnetische Feldstärke in A=m.

den, indem die untere Hälfte des Dipols an der Erdoberfläche

Demnach müsste eine Rahmenantenne die gleichen Eigenschaf-
gespiegelt wird. Damit die Leitfähigkeit der Erdoberfläche er-
ten wie der Hertz’sche Dipol haben. Da aber der Verlustwider-
höht wird, bringt man ein strahlen- oder gitterförmiges Netz von
stand Rv (Abb. 95.6) groß ist im Vergleich zum Strahlungswider-

Erdleitern um den Fußpunkt der Antenne herum an. Es ergibt
stand RS, steht nur ein geringer Teil der induzierten Spannung
sich ein
für den Empfänger zur Verfügung.

Strahlungswiderstand

R D

S

36;6 (

Der Vorteil dieser Antennenbauform ist, dass ein Anschluss des

Generators geerdet werden kann.

95.3.3

Ferritantenne

95.3.2

Rahmenantenne

Sie besteht aus einem möglichst langgestreckten Stab aus Fer-
ritmaterial mit
r

1. Die Feldlinien in der Umgebung des

Stabes konzentrieren sich damit im Stab, siehe Abb. 95.9. Da-

Sie wird überwiegend für den Rundfunk-Empfang im Lang- und
mit erhöht sich die magnetische Flussdichte E

B im Stab und in

Mittelwellenbereich eingesetzt (Abb. 95.8a, b) und entspricht
der Spule auf das r-fache gegenüber der Rahmenantenne ohne

Eisen. Damit ist auch die Leerlaufspannung um diesen Faktor
größer:

Leerlaufspannung:

j U j D ! n A j E H j

(95.17)

0 F

0
r

R

G
n Windungszahl, A

D a 2

R Fläche in m2 ( AR

), ! Kreisfrequenz

4
in 1=s, 0 magnetische Feldkonstante in V s=A m, H magneti-

Abb. 95.7 Vertikalantenne als =4-Dipol
sche Feldstärke in A=m.

95.3

Ausführungsformen von Antennen

1199
a
b
z
y
y
l

1

2

XIII

2

0

Teil
λ/4
x
x

Abb. 95.10 =2-Faltdipol

Abb. 95.12 Gruppenstrahler. a Antennenanordnung, b Richtdiagramm

Die maximale Empfangsleistung bei Anpassung ist zwar bei

Rahmen- und Ferritantenne gleich, aber der Strahlungswider-

3 × R
stand RS (Abb. 95.6) erhöht sich ebenfalls um den Faktor r,
sodass er nicht mehr viel kleiner als der Verlustwiderstand Rv
ist und damit auch eine höhere induzierte Spannung am Emp-

S

3 × D
fängereingang zur Verfügung steht. Der Vorteil der Ferritanten-
ne gegenüber der Rahmenantenne besteht darin, dass die geo-

0,45 λ
metrischen Abmessungen bei gleicher Spannung am Empfän-

3
ger kleiner gewählt werden können. Wichtig ist die Ausrichtung
λ

8
der Ferritantenne in Richtung der magnetischen Feldlinien nach

Abb. 95.9. In der Rundfunk-Empfangstechnik (Lang-, Mittelwel-
le) ist die auf dem Ferritstab aufgebrachte Spule gleichzeitig die

0,55 λ

Induktivität eines Parallelschwingkreises zur Senderselektion.

Abb. 95.13 Yagi-Antenne

95.3.4
λ/2-Dipol, λ/2-Faltdipol
eine Anpassung des Strahlungswiderstandes an ein Frequenz-

Im Bereich von Ultrakurzwellen (Meterwellen, UKW-Rund-
band, wie es in der Fernseh-Empfangstechnik im VHF- und
funkempfang mit f 87 MHz entsprechend 3;45 m) UHF-Bereich auftritt.

werden =2-Dipole eingesetzt, weil sie handliche Abmessun-
gen besitzen (=2 1;725 m). Der Strahlungswiderstand RS
ist 70 (. Da der Dipol häufig in einiger Entfernung (Dach,

95.3.6

Gruppenstrahler

Hauswand, Boden) vom Empfänger angebracht ist, sollte der

Wellenwiderstand des Verbindungskabels Antenne–Empfänger
an RS angepasst werden. Mit Koaxialkabeln kann diese Bedin-

Ordnet man nach Abb. 95.12a zwei Antennen im Abstand =4
gung erfüllt werden.

an und erregt Antenne 1 mit einem Signal, das dem an Anten-
ne 2 um 90° voreilt, ergibt sich längs der positiven x-Achse ein

Sonderausführung =2 -Faltdipol: Es handelt sich um zwei
maximaler Feldverlauf, da sich beide Feldvektoren ohne Pha-
dicht beieinander angeordnete =2-Dipole, die an den Enden
senverschiebung addieren. In Richtung der negativen x-Achse
verbunden sind, Abb. 95.10.

heben sich beide Felder auf (Abstand =4 bei der Feldberech-

Beim Faltdipol sind Gesamt-Strahlungsleistung und Strahlungs-
nung vernachlässigt). Abb. 95.12b zeigt das Richtdiagramm.

widerstand viermal so groß wie beim Dipol. In der Praxis

Der Gruppenstrahler strahlt also fast ausnahmslos in den rechten
erreicht man R

S

240 (. Auch die Blindkomponente ist beim

Halbraum.

Faltdipol kleiner und stört damit weniger bzw. kann leichter
kompensiert werden.

95.3.7

Yagi-Antenne

95.3.5

Breitbanddipol

Abb. 95.13 zeigt die prinzipielle Ausführungsform dieses An-

Je dicker bzw. großflächiger ein Dipol in seinen mechanischen
tennentyps. Ein Faltdipol ( S) ist das eigentliche aktive Element,

Abmessungen ist, um so kleiner wird seine geometrische Länge.

dem zur einen Seite bis zu 25 Direktoren ( D) vorgelagert sind.

Danach erreicht man mit einer Antennenform nach Abb. 95.11

Zur anderen Seite folgen meist 3 Reflektoren ( R/. Die in der Pra-
xis bewährten Abmessungen und Abstände sind eingetragen.

Es ergibt sich eine verbesserte Richtcharakteristik in Richtung
der Direktoren sowie ein Antennengewinn
p

Antennengewinn

G D 20 lg
n
in dB

(95.18)

Abb. 95.11 Breitbanddipol
n Anzahl der Antennenelemente.

1200

95 Antennen

Teil
a
l
a

2 r

XIII

G
h

Z
b
λ
l =
d

2
b

H

2 r
λ

2 r = 0,1λ
l = λ

E

Feldverlauf

Abb. 95.15 Rohrschlitzstrahler. a Aufbau, b Richtdiagramme
l = 3 λ
l = 5 λ

Cassegrain-Antenne

Abb. 95.16 Parabolantenne (nach [19])

Kurzschluß
mit Z
am Ausgang
abgeschlossen

Abb. 95.14 Langdrahtantenne. a Anordnung, b Richtcharakteristik für ver-
mit bleibt auch die horizontale Richtcharakteristik erhalten, der
schiedene Verhältnisse l = (nach [19])

vertikale Öffnungswinkel wird dagegen klein, und damit steigt
der Antennengewinn auf etwa 20 dB.

95.3.8

Langdrahtantenne

95.3.10

Parabolantenne

Sie besteht aus einem horizontal gespannten Leiter, der mit der
als ideal leitend angenommenen Erdoberfläche eine Zweidraht-
leitung bildet. Sie ist am Ende reflexionsfrei mit Z abgeschlos-

Abb. 95.16 stellt den Aufbau einer häufig verwendeten Form
sen und wird in einer Höhe h =2 : : : über dem Erdboden dar. Die Funktionsweise ist mit den Gesetzen der Optik erfass-
angebracht, Abb. 95.14a. Die Länge l wird zu =2 gewählt.

bar. Die Quelle muss im Brennpunkt angeordnet sein und wird

Auf der Leitung entstehen Wanderwellen. Die Langdrahtanten-

Primärstrahler genannt. Sie kann, besonders bei Empfangsan-
ne hat eine um so größere Richtwirkung, je größer das Verhältnis
tennen, als Breitbanddipol ausgelegt sein.

l= ist, Abb. 95.14b.

Weitere Einzelheiten sind im Kap. 101 „Richtfunktechnik“
aufgeführt. Die Cassegrain-Antenne wird im Kap. 102 „Nach-
richtenübertragung über Satelliten“ behandelt.

95.3.9

Rohrschlitzstrahler

Eine in der Fernseh-Sendetechnik häufig verwendete Antennen-

95.4

Wellenausbreitung
bauform nach Abb. 95.15 besteht aus einem in Längsrichtung
geschlitzten Rohr. In der Praxis gilt: d 2 r. Die Speisung
geschieht an den Längsseiten in Schlitzmitte. Das elektrische

95.4.1

Boden- und Raumwelle

Feld verläuft horizontal (horizontale Polarisation), die Richtung
des magnetischen Feldes ist im Bild eingetragen. Die Form des

Ein Erdboden mit endlicher Leitfähigkeit entzieht dem Strah-

Richtdiagramms hängt vom Verhältnis 2 r= ab und ist in
lungsfeld Energie. Damit nehmen Feldstärke und Strahlungs-

Abb. 95.15b für 2 r und 2 r D 0;1 eingetragen.

dichte in Bodennähe mit zunehmender Entfernung von der

Für den UKW-Rundfunk und den Fernsehfunk werden häufig

Sendeantenne stärker ab als in erdferneren Bereichen. Die auf
bis zu 8 dieser Rohrschlitzstrahler übereinander angeordnet. Da-
diese Weise beeinflusste Welle heißt Bodenwelle und ist in

95.4

Wellenausbreitung

1201

95.4.3

Wellenausbreitung im Plasma

Plasma ist ein vollständig ionisiertes Gas, das in gleich vie-

XIII
le positive und negative Ladungen aufgespalten ist und damit

3
nach außen neutral erscheint. In der Ionosphäre ist wegen der

2 1 Bodenwelle

Teil
geringen Luftdichte nahezu ein Plasma vorhanden. Trifft eine
elektromagnetische Welle mit der Frequenz f auf ein Plasma,

Erdoberfläche
breitet sie sich dort mit der Gruppengeschwindigkeit vg aus:

Abb. 95.17 Richtdiagramm zur Erläuterung von Boden- und Raumwelle:

Gruppengeschwindigkeit im Plasma:

1 kleine, 2 mittlere, 3 große Entfernung von der Sendeantenne (nach [18])

s

f

2
p
v D
g
c

1

(95.19)

f

Abb. 95.17 für unterschiedliche Entfernungen r von der Sen-
deantenne eingetragen.

c 3 108 m=s (Lichtgeschwindigkeit); fp Plasmafrequenz in

Hz mit

Ein weiteres Kennzeichen der Bodenwelle ist, dass sie auch
s
durch die Erdkrümmung geschwächt wird. Ihre Reichweite
n q 2
nimmt mit wachsender Wellenlänge zu. Die Welle, die weder

Plasmafrequenz
f D 1
p

(95.20)

2
m "

durch die Erdkrümmung noch durch die Absorption des Erdbo-

0
dens beeinflusst wird, heißt Raumwelle.

n Elektronenkonzentration im Plasma in m3; q Elementarla-
dung des Elektrons 1;602 1019 A s; m Ruhemasse des Elek-
trons 9;1083 1031 kg; "0 elektrische Feldkonstante.

95.4.2

Erdatmosphäre

Mit den in Abb. 95.18 eingetragenen Elektronenkonzentrationen
errechnet sich fp zu:

In Abb. 95.18 sind Temperatur, Ozonanteil und Elektronendich-

Schicht
n
f
te der Erdatmosphäre bis zu einer Höhe von 600 km dargestellt.

p

E-Schicht

200 mm3

4 MHz

Die Elektronenkonzentration nimmt ab einer Höhe von etwa

F

100 km durch die Sonneneinstrahlung zu, weil deren UV- und

1-Schicht

400 mm3

5,6 MHz

F

Gammastrahlung die Luftmoleküle zunehmend ionisiert. Die

2-Schicht

900 mm3

8,5 MHz

Minimalwert

10 mm3

0,9 MHz

Schichtung wird mit D, E, F 1 und F 2 bezeichnet. Nachts ver-

Maximalwert

1000 mm3

9 MHz
schwinden die Schichten D, E und F 1 fast vollständig.

Da die Elektronenkonzentration einen kontinuierlichen Verlauf

Elektronendichte
aufweist, ergibt sich für fp ebenfalls ein Bereich, der angenähert

0

500

1000 m–3
von 1 bis 10 MHz reicht.

600

400

Die Plasmafrequenz hat Bedeutung für den Wellenwiderstand

F2
km

Z und für die Reflexionseigenschaften des Plasmas:

p

200

F Elektronendichteverlauf

Wellenwiderstand des Plasmas

1

Ionospäre

E

100

Z D Z 0
p

D

Z 0
r

(95.21)

D
p

80

" r

2
fp

60

1 f
e

40
ärp

Z

Temperaturverlauf

0 Wellenwiderstand des leeren Raumes, fp Plasmafrequenz.

a) Für f < f
rein imaginär ( Z

Höhe über Erdoberfläche

20

Stratos
p ist " r < 0 und Zp

0 ist reell). Die

Ozonanteil
einfallende Welle wird reflektiert, Abb. 95.19a.

10
b) Für f > fp ist " r > 0 und Z reell. Die Welle breitet sich
p

8

Tropopause
im Plasma aus. Eine Reflexion findet nur dann statt, wenn

6
die Welle unter einem Winkel auftrifft, der kleiner ist als ein

4

Grenzwinkel ˛max, Abb. 95.19b. Die Ionisation nimmt von
ropospäre
der Randschicht bis zum Maximum kontinuierlich zu, und

T

2
damit steigt auch die Brechzahl kontinuierlich in Richtung

1

Ionisationsmaximum. Die schräg einfallende Welle wird da-

–60 –40 –20

0

20

40

60 °C
mit stetig in Richtung des Brechzahlgradienten gebrochen

Temperatur
und erreicht schließlich wieder die Erdoberfläche. Wird ˛max

Abb. 95.18 Struktur der Erdatmosphäre mit Verlauf von Temperatur, Ozonan-
überschritten, findet keine Reflexion statt, sodass eine tote
teil und Elektronendichte (nach [19])

Zone entsteht.

1202

95 Antennen

Teil

Tab. 95.1 Wellenausbreitung im Bereich 30 kHz bis 30 GHz

Bezeichnunga

Wellenlänge

Frequenz

Übertragung über

XIII

Bodenwelle

Raumwelle

Reichweite

Längstwellen; Langwellen LW;

10 . . . 1 km

30 . . . 300 kHz

Ja; wenig gedämpft;

Nein

„Kilometerwellen“
einige 1000 km

Mittelwellen MW; „Hektometer-

1 km . . . 100 m 300 kHz . . . 3 MHz

Tagsüber ja;

Tagsüber nein; nachts ja; 1000 km
wellen“
nachts ja; 100 km

Kurzwellen KW; „Dekameter-

100 . . . 10 m

3 . . . 30 MHz

Stark gedämpft

Erdballumspannend durch Mehrfachreflexionen
wellen“

Ultrakurzwellen z. B. UKW-

10 . . . 1 m

30 . . . 300 MHz

Nein

Optische Sicht (geringe Verluste); schwache Kompo-

Rundfunk, VHF (Fernsehen
nenten durch Beugung (Berge); evtl. Überreichweitenb;

Band I und III); „Meterwellen“

100 km; in Ausnahmefällen 150 . . . 250 km

Ultra high frequency UHF

1 m . . . 10 cm

300 MHz . . . 3 GHz Nein

Optische Sicht (geringe Verluste); schwache Kompo-

(z. B. Fernsehen Band IV und V);
nenten durch Beugung (Berge); evtl. Überreichweitenb;

„Dezimeterwellen“

50 km; in Ausnahmefällen 150 . . . 200 km

„Zentimeterwellen“; z. B.

10 . . . 1 cm

3 . . . 30 GHz

Quasioptische Sicht; Streuung und Brechung in Luft

Rundfunk- und Fernsehüber-

(Regen, Wolken). Reichweite:

tragung über Satellit
a) auf Erdoberfläche: 50 km; in Ausnahmefällen bis

150 km;
b) Satellitenübertragung: 36.000 km bei direkter

„Sicht“

Anmerkungen: a) Die in Anführungszeichen gesetzten Bezeichnungen entsprechen DIN 40015. b) Noch schwächere Komponenten entstehen durch Streu-
ung bzw. Reflexion in der Ionosphäre, diese führen aber bei Überreichweiten häufig zu Signalbeeinträchtigungen
a

Luftschichten
b
α

Vor allem tagsüber dämpfen die unteren Schichten der Io-
max
nosphäre durch Absorption, und zwar um so mehr, je nied-
riger die Frequenz der Welle ist (unelastische Stöße). Diese

Dämpfung ist für den Bereich Langwelle so groß, dass die

Raumwelle praktisch verschwindet.

Tote

Sender

Überreichweiten: Sie entstehen durch Inhomogenitäten der

Erdoberfläche

Zone
f < f

Atmosphäre, an denen die Welle diffus gestreut wird (engl.:

p
f > f p
c
d
scatter). Der zur Erde zurückkehrende Teil besitzt nur wenig

Energie, deshalb ist einiger Aufwand für die Signalaufberei-
tung am Empfangsort erforderlich. Die Inhomogenitäten und
damit die Überreichweiten sind zeitlich nicht konstant und
erschweren die technische Nutzung dieses Effektes. Es erge-

Abb. 95.19 Ausbreitung von Wellen. a Reflexion für f < f
ben sich folgende maximale Reichweiten:

p , b Brechung für
f > fp , c Mehrfachreflexion Erdoberfläche – Ionosphäre, d Mehrfachreflexion
innerhalb der Ionosphäre

Frequenzbereich

Streuung an

Reichweite maximal
etwa

30 . . . 100 MHz

Troposphäre

2500 km

95.4.4

Wellenausbreitung im Bereich 30 kHz

100 MHz . . . 1 GHz

Ionosphäre

2000 km
bis 30 GHz

Ein Beispiel für eine Scatterverbindung ist im Kap. 101 „Richt-
funktechnik“ aufgeführt.

Abb. 95.19c, d stellt weitere Möglichkeiten der Wellenausbrei-

Schwunderscheinungen: Wenn zwei Wellen auf verschieden
tung über größere Entfernungen dar. Entweder wird die Welle
langen Wegen zum Empfänger gelangen, können sich beide
mehrfach zwischen der Ionosphäre und der Erdoberfläche re-
so überlagern, dass sie sich je nach Phasenlage teilweise oder
flektiert (Abb. 95.19c) oder es findet eine Mehrfachreflexion
ganz auslöschen. In der Praxis ändern sich die Amplituden
innerhalb der Ionosphäre statt, bevor die Welle endgültig wieder
und Weglängen der einzelnen Wellen fortwährend durch den
zum Erdboden zurückkehrt, Abb. 95.19d. Auf diese Weise kön-
stetigen Wechsel der Bedingungen in der Ionosphäre, und da-
nen Wellen sehr große Entfernungen zurücklegen. Allerdings
mit schwankt auch die Amplitude der resultierenden Welle
nimmt die Strahlungsleistung mit dem zurückgelegten Weg r
am Empfangsort. Diese Schwunderscheinung (engl.: fading)

aus folgenden Gründen ab:

versucht man durch eine signalabhängige Verstärkungsrege-

Elektrische und magnetische Feldstärke nehmen jeweils mit
lung im Empfänger auszugleichen. (Siehe AVR im Kap. 98

1= r ab und damit die Strahlungsdichte mit 1= r 2.

„Empfängerschaltungstechnik“.)

Bei Brechung bzw. Streuung in der Ionosphäre weitet sich

In der Tab. 95.1 sind einige Daten über die Wellenausbreitung
die Welle auf.

der technisch genutzten Frequenzbereiche zusammengestellt.

Modulation

XIII

96

Wilfried Plaßmann

Teil

96.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204

96.2 Sinusträger – mit Analogsignal moduliert . . . . . . . . . . . . . . . 1204

96.3 Sinusträger – mit Digitalsignal moduliert . . . . . . . . . . . . . . . 1217

96.4 Pulsträger uncodiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1221

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1203

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_96

1204

96 Modulation

Teil

96.1

Übersicht

Amplituden-

AM
analog
modulation
moduliert

(Zweiseitenband-AM)

XIII

Einseitenband -AM,SSB

Restseitenband-AM,VSB

Bei der Modulation werden Signalparameter eines Trägers in

Frequenz-

FM

Sinus-

Abhängigkeit von einem modulierenden Signal geändert, mit
modulation
träger
dem Ziel, den Frequenzbereich des Basisbandes (Frequenzbe-

Phasen-

PM
modulation
reich des Nutzsignals, modulierendes Signal) in einen anderen

Frequenzbereich zu transformieren. Damit erreicht man eine

Anpassung an die Kanaleigenschaften, und es wird die Übertra-

Amplituden-

ASK
umtastung
gung mehrerer Signale gleichzeitig über einen Kanal möglich,

Frequenz-

FSK
wobei das gesamte übertragene Signal wieder eindeutig in die
digital
umtastung
modu-
einzelnen Signale zerlegt werden kann. Eine Anwendung für

Phasen-

PSK

Modulations-
liert
die Modulation ist die Übertragung verschiedener Rundfunk-
umtastung
verfahren
und Fernsehprogramme über den Kanal „freier Raum“ mit

Pulsamplituden-

PAM
großer Reichweite, wobei der Empfänger die Auswahl eines be-
modulation
unco-
stimmten Programmes ermöglicht. Für den Träger wird bei der

Pulsdauer-

PDM
diert

Übertragung im freien Raum ein sinusförmiges elektromagne-
modulation

Pulsfrequenz-

PFM
tisches Feld verwendet, da andernfalls die Oberschwingungen
modulation
andere Träger mit gleicher Frequenz stören würden. Bei einer

Pulsphasen-

PPM
leitungsgebundenen Übertragung über Koaxialkabel oder Hohl-
modulation

Puls-
leiter werden auch Pulsträger verwendet. Wichtig ist hier, dass
träger codiert
das elektromagnetische Feld nicht vom Leiter in den umge-

Pulscode-

PCM
benden Raum austritt. Zur Modulation wird eine nichtlineare
modulation

Delta-

Kennlinie eingesetzt, sodass neue Frequenzen entstehen (beab-

Differenz-
modulation
sichtigte Erzeugung von nichtlinearen Verzerrungen).

codierung

Abb. 96.1 Modulationsverfahren

Unterschied Mischung – Modulation: Bei der Mischung wird
nur eine der entstehenden Frequenzen ausgenutzt, bei der

Modulation mehrere. Beispiel für die Mischung: Überlage-
rungsempfänger, siehe Kap. 98 „Empfängerschaltungstech-

96.2

Sinusträger – mit Analogsignal
nik“. Vom Gesamtsignal mit den Frequenzen f

˙

0, fe, f 0
fe
moduliert

( f 0 > fe), gebildet aus der Eingangsfrequenz fe und der Oszil-
latorfrequenz f

D

0, wird nur die Differenzfrequenz f 0
fe
f ZF

(Zwischenfrequenz) weiterverwendet. Beispiel für die Mo-

Der sinusförmige Träger (Index T) hat die Darstellung
dulation: Amplitudenmodulation (AM) mit Trägerfrequenz
s
sin.!

und einem oder zwei Seitenbändern. Es werden sowohl die

T . t/ D O
sT

T t C ' T /

(96.1)

Trägerfrequenz als auch mindestens die Frequenz eines Sei-

Die folgenden Parameter können vom modulierenden Signal ge-
tenbandes ausgenutzt.

ändert werden und geben dem Verfahren den Namen:

O D O

Folgende Bezeichnungen werden verwendet (DIN 5488,
sT
sT . t/ Amplitudenmodulation (AM), mit den Sonderfäl-

40110):

len EM, SSB, RM und USB (siehe Abschn. 96.2.1)

! D

T

! T. t/ Frequenzmodulation (FM, Abschn. 96.2.4).

' D '

s

T

T . t/ Phasenmodulation (PM, Abschn. 96.2.4).

M . t/ Basisbandsignal, Nutzsignal, modulierendes Signal (z. B.

Musik- und Sprachsignal mit dem Frequenzbereich 15 Hz

Frequenz- und Phasenmodulation werden auch unter dem Ober-
bis 15 kHz bei der UKW-Rundfunkübertragung),
begriff Winkelmodulation zusammengefasst. Mathematisch be-
sT . t/ Träger (Frequenz z. B. 91,2 MHz bei der UKW-Rund- steht der Zusammenhang darin, dass man zur Frequenzmodula-
funkübertragung).

tion (FM) mit dem differenzierten Phasensignal (PM) moduliert.

Im Allgemeinen gilt: Die Frequenzen von s
s PM. t/ D O sT sinŒ! T t C ' T. t/

M . t/ sind viel kleiner
als die Frequenzen von s

D O

C

T . t/.

sT sinŒ! T t C ' T

K' u. t/

(96.2)

„
ƒ‚

…

differenzieren

Abb. 96.1 gibt einen Überblick über die verwendeten Modulati-
onsverfahren.

mit ' T. t/ D K' u. t/. Durch Differenzieren und entsprechendes

Einsetzen erhält man:

Durch Demodulation gewinnt man aus dem modulierten Signal

du. t/
das Basisbandsignal zurück. Dies geschieht u. a. durch erneute
s

C

FM. t/ D O
sT sin ! T

K'

t

(96.3)

dt

Modulation, wie am Beispiel des Demodulators für amplituden-

„
ƒ‚

…

modulierte Signale gezeigt wird.

! T . t/

96.2

Sinusträger – mit Analogsignal moduliert

1205

Anschaulich bedeutet dies, dass sich bei einer Änderung der

Dann folgt für (96.6):

Winkel geschwindigkeit auch die Frequenz ändert.

s

D O

C

AM
sT
sin ! Tt C m Œ cos.! T

! M/ t

XIII

2

96.2.1

Amplitudenmodulation (AM)

C cos.!

T

! M/ t

(96.8)

Teil

Für das Basisband wird eine einzelne Frequenz angenommen:

Bei dieser Art der Modulation entstehen nur die drei erforder-
lichen Kreisfrequenzen !

C

T , ! T

! M und ! T

! M. Damit
s

M . t/ D O
sM sin.! Mt C ' M/

(96.4)

ergibt diese Art der Amplitudenmodulation sehr geringe Verzer-
rungen, weil jede zusätzlich vorhandene Frequenz mit anderen

Tritt ein nichtsinusförmiges Signal auf, wird es gemäß der

Frequenzen Summen- und Differenzfrequenzen bilden kann, die

Gültigkeit des Überlagerungssatzes in eine Summe aus sinus-
im Basisband liegen.

förmigen Signalen mit den entsprechenden Frequenzen und

Phasenwinkeln zerlegt. Damit der Empfänger aus dem mo-
dulierten Signal das Basisbandsignal wieder zurückgewinnen

96.2.1.2

Kenngrößen der Amplitudenmodulation
kann, sind der Träger mit fT und das obere Seitenband (OS) mit

Modulationsgrad: Der Modulationsgrad m D O s

D

M =O
sT
f C

T
fM oder das untere Seitenband (US) mit fT
fM oder beide

.O s

C O

M US
s M OS/=O sT nach (96.7) wird in der Praxis zu maxi-
erforderlich. Dabei steht fM stellvertretend für ein Frequenzband
mal etwa 80 % gewählt. Bei m D 100 % verschwindet der

(z. B. 15 Hz bis 15 kHz bei der UKW-Rundfunkübertragung).

Träger, wenn sM. t/ seinen negativen Extremwert einnimmt.

Unteres (US) und oberes (OS) Seitenband tragen gleichviel

96.2.1.1

Modulation durch Multiplikation
zu O sM bei. Modulationsgrade über 100 % sind möglich, ha-
ben aber eine zusätzliche Phasenmodulation zur Folge und

Es werden die zwei Zeitfunktionen nach (96.1) und (96.4) mul-
werden deshalb nur in Ausnahmefällen eingesetzt. Je größer
tipliziert. Diese Art der Modulation kann schaltungstechnisch
der Modulationsgrad ist, desto größer ist die Signalamplitude
durch Multiplizierer in Form integrierter Schaltkreise erfolgen.

im Empfänger nach der Demodulation (größere Lautstärke

Ist allerdings die Amplitude O sM größer als O sT , entsteht zusätz-
beim Rundfunkempfang), deshalb unterschreitet man für die
lich zur Amplitudenmodulation noch eine Phasenmodulation:

lautesten Töne auch nicht die angegebenen 80 % (siehe auch

Ein negativer Träger wird durch ein negatives modulierendes Si-

Abb. 96.2a).

gnal positiv, und er erfährt damit einen Phasensprung von p. Um

Seitenbänder: Aus (96.8) ergibt sich, dass durch die Modu-
dieses Problem zu erfassen, führt man den Modulationsgrad m
lation zwei neue Frequenzen entstanden sind: Neben dem
ein. Zunächst macht man für die Amplitude des Trägers nach
bereits vorhandenen Träger mit der Frequenz fT entstehen

(96.1) den Ansatz:

die Frequenzen f C

T
fM und fT
fM. Da das modulierende

Signal in der Praxis aus einem Frequenzband im Frequenz-
s . t/ D O s C s

C O s sin.!

O s

T

T

M . t/ D O
sT

M

M t/ mit O
sT

M

(96.5)

bereich von f 1 bis f 2 besteht, werden durch die Modulation

Der Phasenwinkel '

zwei Frequenzbänder erzeugt:

M wurde der Einfachheit halber zu Null
gesetzt, da hier die entstehenden Frequenzen von Interesse

Oberes Seitenband ( OS) mit dem Frequenzbereich

C

C
sind und der Phasenwinkel darauf keinen Einfluss hat. Das

. fT
f 1/ . . . . fT
f 2/
gilt auch für den Phasenwinkel '

unteres Seitenband ( US) mit dem Frequenzbereich

T des Trägers. Wird jetzt die

Multiplikation ausgeführt, ergibt sich unter Anwendung eines

. fT f 1/ . . . . fT f 2/

Additionstheorems:

Werden beide Seitenbänder übertragen, spricht man auch von
einer Zweiseitenband-Amplitudenmodulation.

s

D

Bandbreite: Durch die Modulation hat man, bezogen auf

AM
s . t/ sin !

T

T t

D ŒO
das obere Seitenband, eine Frequenzverschiebung des Basis-
s C O

T
sM sin.! Mt/ Œsin.! Tt/
bandsignals um f

D O

T erreicht. Die Übertragung erfordert eine
s

T
sin ! Tt

(96.6)

Bandbreite von

C O s

C

M

Œ cos.! T

! M/ t C cos.! T ! M/ t 12

Bandbreite

B D 2 . f

2
f 1/ 2 fM max

(96.9)

Der Modulationsgrad wird folgendermaßen definiert (siehe Ab-
für Zweiseitenband-Amplitudenmodulation.

schn. 96.2.1.2):

Für die Näherung in (96.9) wurde berücksichtigt, dass die

Modulationsgrad
niedrigste modulierende Frequenz f 1 meist Null ist oder aber
vernachlässigt werden kann (Rundfunkübertragung: f

D

1

O s

O

C O

15 Hz 0 verglichen mit f D 15 kHz). Für f

M
sM US
sM OS

2

2 wurde der
m D

D

(96.7)

O s

O
anschauliche Wert fM max für die maximal auftretende modu-

T
sT
lierende Frequenz eingesetzt.

O sM US Trägeramplitude des unteren Seitenbandes (US) mit der

Darstellung im Zeit- und Frequenzbereich: Abb. 96.2 stellt

Frequenz f

T
fM, O sM OS Trägeramplitude des oberen Seitenban-
einen modulierten Träger in der Zeit- und in der Frequenz-
des (OS) mit der Frequenz f C

T
fM, O sM US Trägeramplitude.

ebene dar.

1206

96 Modulation

Teil
a
s
t

^

AM( )

s M
u t

G

XIII

1

T( )

i
u
t

G

R

M( )

2
s^

U

T

0

0
t

Abb. 96.3 Modulation an einer quadratischen Kennlinie
ode. Die Diodenkennlinie soll durch die Abhängigkeit i D K u 2
beschrieben werden, was durch U 0 > 0;7 V näherungsweise er-
reicht wird. In (96.4) und (96.5) werden die Amplituden s durch
b

Spannungen ersetzt, sodass sich ergibt:

S
f

AM( )

1

S f

C O

T( )

i. t/ D K Œ U
u
m
m

0

M sin.! M t/ C O
uT sin.! Tt/2

2

2

Ausmultipliziert ergeben sich ein Gleichanteil sowie zeitab-
f – f
f
f + f
f
hängige Terme mit den Kreisfrequenzen !

T

M

T

T

M

M , 2! M , 2! T , ! T ,

! C

T

! M, ! T ! M. Die ersten drei Anteile müssen durch Filter
abgetrennt werden, sodass sich dann die gleichen Frequenzen
c
wie in (96.8) ergeben.

Kehrlage

Normallage

96.2.1.4

Modulation an einer nichtlinearen
nichtquadratischen Kennlinie
f
f – f
f

Die zwei oben beschriebenen Verfahren zur Modulation sind

T

2

T
f + f

T

2
f – f
ideal, weil entweder nur die benötigten Frequenzen entste-

T

1
f + f

T

1
hen oder aber die nicht benötigten Frequenzen durch Filter
einfach unterdrückt werden können, da sie einen genügend

Abb. 96.2 Modulierter Träger. a Zeitverlauf, b Spektrum, c Normal- und Kehr-
großen Frequenzabstand zu den erforderlichen Frequenzen ha-
lage
ben. Im Allgemeinen liegt aber eine nichtlineare nichtquadrati-
sche Kennlinie vor, die, am Beispiel der Diode gezeigt, durch
eine Reihenentwicklung dargestellt werden kann:

Im oberen Seitenband ist einer höheren Frequenz fM auch ei-
ne höhere Frequenz in diesem Seitenband zugeordnet, man
i D I C

0

K 1 u C K 2 u 2 C K 3 u 3 C : : :

(96.10)

spricht deshalb von Normallage. Im unteren Seitenband da-
gegen gehört zu einer höheren Frequenz f

C O

M eine niedrigere

Setzt man für u den Ausdruck Œ U 0
uM sin.! Mt/ C O uT sin.! Tt/

Frequenz im Seitenband ( f

T
fM), was durch den Begriff
gemäß Abb. 96.3 ein, erhält man eine Vielzahl von neuen

Kehrlage charakterisiert wird. Um Normal- und Kehrla-

Frequenzen bzw. Frequenzbändern, wobei u. a. die zwei Fre-
ge auch optisch erkennen zu können, verwendet man nach
quenzbänder f

C

C

T . . . fT
fM max und fT . . . fT

2 fM max entstehen

Abb. 96.2c die Darstellung mit Dreiecken. Die steigende

(Näherung wie in (96.9) verwendet). Diese zwei Bänder überla-

Seite des Dreiecks steht für steigende Frequenzen fM im Ba-
gern sich und können nicht mehr voneinander getrennt werden,
sisband und hat nichts mit den Amplituden der Frequenzen
sodass auch die Information, die in fM enthalten ist, nicht mehr
zu tun! Bei f ˙

˙

T
f 1 ist die Höhe des Dreiecks Null, bei fT
f 2
unverzerrt zurückgewonnen werden kann.

maximal.

Allgemein entstehen an einer Kennlinie i D K
p up die Frequen-

Information: Die Information sM. t/ ist in jedem der zwei
zen f D m f C

T
n fM mit m C n D p. Für p D 2 ergeben sich die

Seitenbänder vollständig enthalten, aber nicht im Träger.

Frequenzen 2 f

˙

T , 2 fM , fT
fM. Die unerwünschten Frequenzen

Trotzdem wird der Träger für die Demodulation unbedingt

2 fT und 2 fM lassen sich aber auf einfache Weise durch Filter-
benötigt. Zur Übertragung sind deshalb ein oder zwei Seiten-
schaltungen unterdrücken. Ein kubischer Anteil ( p D 3) in der
bänder und der Träger erforderlich, wie sie sich nach (96.8)

Kennlinie erzeugt die Frequenzen 3 f

˙

˙

T , 3 fM , 2 fT
fM, fT

2 fM
ergeben. Allerdings kann u. U. auf die Übertragung des Trä-
und damit den oben erwähnten kritischen Anteil f ˙

T

2 fM. Man
gers verzichtet werden, siehe Abschn. 96.2.2.

versucht deshalb, eine quadratische Kennlinie anzunähern.

96.2.1.3

Modulation an einer quadratischen

96.2.1.5

Zeigerdiagramm

Kennlinie

Das Zeigerbild der AM nach (96.8) enthält drei Zeiger mit dem

Nach Abb. 96.3 liegt in Reihe zu der Summe der Spannungen
gleichen Drehsinn, aber unterschiedlichen Winkelgeschwindig-
des Basisbandsignals uM. t/ und des Trägersignals uT. t/ eine Di-
keiten. Man nimmt nun den Trägerzeiger als feststehend an

96.2

Sinusträger – mit Analogsignal moduliert

1207
a

D

^
m s

· T
u
t

AM( )

R
uM

XIII

C
m ^

· s

+ ω T − ω T

2

T

Teil

R 1
s^T

AVR: automatische
u AVR
ω

T

T

T
t =
t =

Verstärkungsregelung

C 1

8

4

R · C

1 s
s

1

1 ≈
b
u M
u M
u AM
u AM
t

Durch D unterdrückt

T

T

T

3

T

T
t

8

4

2

4

Abb. 96.6 Demodulation von AM. a Schaltung, b Betrachtung im Zeitbereich

Abb. 96.4 Zeigerbild der AM zu zwei unterschiedlichen Zeitpunkten

An die Y-Ablenkplatten eines Oszilloskops wird das amplitu-
u AM
denmodulierte Signal uAM angeschlossen, an die X-Ablenkplat-
ten das modulierende Signal uM. Der Schirm stellt das skizzierte

Bild dar. Es gibt Auskunft über folgende Größen:

l 1

Modulationsgrad: m D b a
b C a

Modulationsverzerrungen: Der Grad der Verzerrungen lässt
u M
a
b
sich an den Linien l 1 und l 2 abschätzen: Sind sie Geraden,
gibt es keine Verzerrungen, andernfalls sind sie mit zuneh-
menden Verzerrungen stärker gekrümmt.

l 2

96.2.1.7

Demodulation von AM

Die Demodulation von amplitudenmodulierten Signalen ist sehr
einfach. Abb. 96.6 zeigt die Schaltung. Sie wird auch als Hüll-

Abb. 96.5 Modulationstrapez
kurvendemodulation bezeichnet.

Betrachtung im Zeitbereich: Die Diode trennt die negativen
und lässt die Seitenbandzeiger mit den Winkelgeschwindigkei-

Spannungswerte ab. Der Tiefpass aus R und C ist so bemes-
ten + wM und – wM symmetrisch zum Träger drehen, Abb. 96.4.

sen, dass eine Spitzenwertgleichrichtung stattfindet ( Hüllkur-

Die Summe der Seitenbandzeiger zeigt wegen der Symmetrie
vendetektor, Einhüllendendemodulation) und die Spannung am
stets in Richtung des Trägerzeigers und bewegt sich zwischen

Kondensator der Hüllkurve und damit dem Verlauf der mo-
den Grenzen O sT .1 C m/ und O sT.1 m/.

dulierenden Spannung uM folgt. Für die Dimensionierung gilt:

! M max < 1= RC < ! T=10.

Der Vorteil dieser Darstellung liegt darin, dass man die Aus-
wirkungen von Störungen oder anderen Veränderungen einfach

Betrachtung im Frequenzbereich: Die Trägerfrequenz und die
erkennen kann. Erreichen beispielsweise die beiden Seitenbän-

Frequenzen des oberen und unteren Seitenbandes nach (96.8)

der den Empfänger nicht mit gleicher Amplitude und ändern
gelangen als Summe auf die Diode mit der „idealen“ Dioden-
sich die Amplituden fortlaufend um unterschiedliche Werte,
kennlinie (siehe Abschn. 96.2.1.3) i D K u 2:

liegt der Summenzeiger nicht mehr in Richtung des Trägers,
sondern schwankt um die durch den Träger gegebene mittlere
i D K u 2

Lage. Das ergibt eine zusätzliche Phasenmodulation.

2

D K sin !

C

T t C m

Œ cos.! T

! M/ t C cos.! T ! M/ t

2

96.2.1.6

Modulationstrapez

(96.11)

Zur Kontrolle des Modulationsgrades und der Modulationsver-

Nach Quadrierung des Klammerausdruckes ergibt sich zum
zerrungen verwendet man eine Messschaltung nach Abb. 96.5.

einen die gewünschte Frequenz fM, zum anderen Frequenzen,

1208

96 Modulation

Teil
die im Bereich um fT bzw. 2 fT liegen. Der Kondensator un-
und es ergibt sich nach dem Demodulator ein niederfrequen-
terdrückt die letztgenannten Frequenzen, und es bleibt nur das
tes Verhältnis aS; N 0 von Nutz- zu Störsignal zu:

XIII
gewünschte Signal uM übrig. Leitet man uM über einen Tief-
pass mit einer Grenzfrequenz f

D
g

1=.2 R 1 C 1/ fM min

O uT

(Abb. 96.6), kann man die Spannung u
a

D
m

(96.13)

AVR zur automatischen

S; N 0

O uN

Verstärkungsregelung (AVR) heranziehen, da ihr Wert der Am-
plitude des Trägers proportional ist. Auf diese Weise lassen sich

O uT Amplitude des Nutzsignalträgers in V, O uN Amplitude des
einigermaßen konstante Trägeramplituden und damit Lautstär-

Nachbarsignal-(Störsignal-)Trägers in V, m Modulationsgrad
ken am Empfänger erreichen. Das ist besonders wichtig beim
des Nutzsignalträgers.

Autoradioempfang mit den ständig schwankenden Trägerampli-

Der Nachbarsignal-(Störsignal-)Träger kann auch durch Ein-
tuden.

schaltvorgänge (Fourierzerlegung einmaliger Vorgänge), Ge-
witter, atmosphärische Störungen, Harmonische von nicht-

96.2.1.8

Leistung von Träger und Seitenbändern
sinusförmigen Spannungs- und Stromverläufen in Moto-
ren, Frequenzumrichtern und dergleichen entstehen. Deshalb

Der Träger benötigt die Leistung P D O u 2 T
werden Übertragungen im freien Raum häufig gestört. Mit

T

, ein Seitenband

2 Z
wachsendem Abstand Sender–Empfänger nimmt die Häufig-

keit der Störungen und deren Intensität zu, da die Amplitude

1

2

O u 2

P

D 1

O

D

T
m 2 D
m 2
der Trägerschwingung abnimmt. Deshalb ist bei Amplituden-

SB
uT m

PT

:

2 Z

2

2 Z

4

4
modulation ein störungsarmer Empfang nur dann möglich,
wenn man sich im Nahbereich eines Senders befindet oder

Die Gesamtleistung ist:

ein entfernter Sender mit entsprechend hoher Leistung und
hohem Modulationsgrad arbeitet. Da oberes und unteres Sei-

P

D

C
ges AM

PT

2 P SB

tenband zu gleichen Teilen zum Basisbandsignal beitragen

O u 2

O u 2
m 2

O u 2
m 2

(96.7), hat das demodulierte Signal bei Einseitenbandüber-

D

T

C

T

D

T

1 C

(96.12)

tragung (siehe Abschn. 96.2.2.1) nur die halbe Amplitu-

2 Z

„ƒ‚…

2 Z

2

„ ƒ‚ …

2 Z

2
de und damit auch nur den halben Störabstand gegenüber

Träger
beide

Seitenbänder

Zweiseitenbandübertragung. Der Störabstand wird weiterhin
verringert, wenn bei der Einseitenbandübertragung mit un-

Z Lastwiderstand, den die Trägerspannung speist.

terdrücktem Träger der im Empfänger regenerierte Träger
eine Phasenverschiebung zu dem ursprünglichen Senderträ-
ger aufweist.

Beispiel 1
b) Der Nachbarträger ist mit mN amplitudenmoduliert. Dann
tritt neben dem Pfeifton nach (96.13) noch die Modulation
a) Gilt für einen Träger der Modulationsgrad m D 1,
des Nachbar-(Stör-)Trägers als Nebensprechen auf. Für das
entfallen nach (96.12)

1

D

1

D 2 der Ge-

1C m 2

1C 1

3
niederfrequente Verhältnis a

2

2

S; N 1 von Nutz- zu Störsignal er-
samtleistung auf den Träger und je 1=6 auf jedes
gibt sich:

Seitenband.

b) Für m D 0;8 erhält jedes Seitenband 12,1 %, der Träger

O u

2

T
m

75,8 % der Gesamtleistung.

J
a

D

S; N 1

O

(96.14)

uN
mN

O uT Amplitude des Nutzsignalträgers in V, O uN Amplitude
des Nachbarsignal-(Störsignal-)Trägers in V, m Modula-

96.2.1.9

Störungen bei amplitudenmodulierten
tionsgrad des Nutzsignalträgers, m

Signalen

N Modulationsgrad des

Nachbarsignal-(Störsignal-)Trägers.

Hier werden die zwei am häufigsten vorkommenden Störungen
betrachtet, d. h. diejenigen, die durch Nachbarträger und Rau-
schen verursacht werden.

2. Störungen durch Rauschen

Nach
dem

Demodulator
erhält
man
einen

NF-Signal-

1. Störungen durch sinusförmigen Nachbarträger

Rauschabstand

Der Nachbarträger hat eine Trägerfrequenz fN , die innerhalb
m 2 PT
des Spektrums des Nutzträgers f ˙

D

T
fM max, d. h. im Bereich

SSN

10 lg
dB

(96.15)

2 f

F k T
des unteren und oberen Seitenbandes, liegt. (Annahme: Im

M max

Empfänger werden Frequenzanteile außerhalb der Seitenbänder
unterdrückt.)

m Modulationsgrad; PT Trägerleistung nach dem Demodulator
in W; fM max maximale Basisbandfrequenz in Hz; F Rauschzahl
a) Der Nachbarträger ist nicht moduliert. Dann entsteht nach der
des Empfängers; k Boltzmann-Konstante 1;38 1023 W s=K; T

Demodulation ein Pfeifton mit der Differenzfrequenz f

N
fT ,
absolute (thermodynamische) Temperatur in K.

96.2

Sinusträger – mit Analogsignal moduliert

1209

96.2.1.10

Kreuzmodulation

3. Der Träger wird ganz unterdrückt. Vorteil: Die gesamte

Senderleistung gelangt in ein Seitenband, und man erreicht

Bei dieser Art der Modulation handelt es sich um einen un-
entweder eine große Reichweite oder einen störungsärme-

XIII
erwünschten Modulationseffekt. Liegen eine amplitudenmodu-
ren Empfang. Nachteile: a) Der unterdrückte Träger muss
lierte Schwingung (! ˙

T

! M) und ein unmodulierter Träger
im Empfänger wieder zugesetzt werden, da sonst keine De-

(! T 2) an einer Kennlinie mit einem Glied 3. Ordnung (Ab-

Teil
modulation möglich ist. Die Frequenz dieses im Empfänger
schn. 96.2.1.4, (96.10)), entstehen u. a. Kombinationsschwin-
erzeugten Hilfsträgers muss zeitlich konstant sein und darf
gungen mit ! ˙

T 2

! M. Das heißt, dass der ursprünglich unmodu-
von der im Sender unterdrückten Trägerfrequenz nicht ab-
lierte Träger (! T 2) mit ! M kreuzmoduliert worden ist. Natürlich
weichen, andernfalls sind die vom Empfänger demodulierten
tritt dieser Effekt auch auf, wenn der Träger mit der Kreisfre-

Frequenzen alle um den Differenzbetrag zwischen Sender-
quenz ! T 2 amplitudenmoduliert ist.

und Empfängerträger verschoben. b) Das im Empfänger de-
modulierte Signal ist zusätzlich phasenmoduliert, was zu
nichtlinearen Verzerrungen führt. Diese Tatsache lässt sich
am Abb. 96.4 ablesen: Wenn einer der Seitenbandzeiger

96.2.2

Sonderformen der
fehlt, zeigt der Summenzeiger aus Träger und einem Seiten-

Amplitudenmodulation
band nicht mehr in Richtung des Trägers, was der genannten

Phasenmodulation entspricht. Man wählt deshalb die Ampli-
tude des Hilfsträgers (O uT ) groß im Verhältnis zur Amplitude

Grundlage für die dargestellten Sonderformen sind (96.9) und
des Seitenbandes (O uM) und kann dadurch die Verzerrungen

(96.12). Da wesentlich mehr Sender als Frequenzbänder vor-
klein halten. Einen Anhaltswert für den die Verzerrungen
handen sind, hat man versucht, den pro Sender erforderlichen
kennzeichnenden Klirrfaktor gibt die folgende Formel. Da

Bandbreitenbedarf zu reduzieren. Außerdem hat man nach Lö-
die erste Oberschwingung (oder zweite Harmonische) den
sungen gesucht, die im Träger enthaltene Leistung auf die

Klirrfaktor wesentlich bestimmt, wurde nur ihr Einfluss be-

Seitenbänder zu verlagern, da nur die Seitenbänder Information
rücksichtigt:

übertragen. Auf diese Weise kann man mit gleicher Leistung hö-
here Reichweiten erzielen bzw. bei gleicher Entfernung Sender–

O u

D M

1

Empfänger einen störungsfreieren Empfang sicherstellen oder

Klirrfaktor
k k 2

(96.16)

2

4 O uT
mit geringerer Leistung die gleiche Reichweite wie vorher er-
reichen.

O uT Amplitude des Hilfsträgers in V, O uM Amplitude des Sei-
tenbandes in V.

Wichtig ist, dass das Verhältnis O uM=O uT nicht mehr durch

96.2.2.1

Einseitenbandmodulation (ESB, SSB)

den Modulationsgrad des Senders, sondern durch die emp-
fängerseitig zugefügte Trägeramplitude O u

Da ein Seitenband die vollständige Information enthält, wird

T bestimmt wird.

c) Durch die empfängerseitige Addition des Trägers geht ei-
das andere Seitenband unterdrückt. (ESB-Übertragung: E in-
ne eventuell erforderliche Phasenbeziehung zwischen Träger

S eiten- B and-Übertragung; SSB: s ingle- s ide b and). Damit sinkt
und Basisband oder einem zweiten Träger verloren (Bei-
die Bandbreite nach (96.9) auf die Hälfte: B

ESB
fM max. Für
spiel: Stereo-Rundfunkübertragung mit zwei Trägern, deren
die Übertragung des Trägers, der nach (96.11) für die Demodu-

Phasenwinkel zueinander den Stereoeffekt beeinflusst). Bei
lation unbedingt benötigt wird, gibt es drei Möglichkeiten:

der einkanaligen Übertragung von Sprache, Musik und Bil-

1. Der Träger wird mit voller Amplitude übertragen. Dann wird
dern (Mono-Rundfunk, Schwarz-Weiß-Fernsehen) spielt ein
lediglich maximal 1=6 der Gesamtleistung eingespart, die

Phasenwinkel zwischen senderseitigem Träger und dem im
das unterdrückte Seitenband bei m D 100 % benötigt (sie-

Empfänger zugesetzten Träger aber keine Rolle. d) Zur
he Beispiel 1).

Verringerung des Störabstandes siehe Abschn. 96.2.1.9 „Stö-

2. Der Träger wird mit einer Restamplitude, z. B. 10 %, über-
rungen bei amplitudenmodulierten Signalen“.

tragen: AM mit Restträger. Vorteile: a) Die Leistungsein-

Zur Einseitenbandmodulation sind spezielle Schaltungen ent-
sparung für den Träger kann in eine größere Leistung
wickelt worden, weil es nicht ohne Weiteres möglich ist, aus
für das Seitenband umgesetzt werden. b) Durch den Rest-
einem zweiseitenbandmodulierten Signal mit Träger den Trä-
träger bleibt eine eventuell erforderliche Phasenbeziehung
ger und ein Seitenband mit einer Filterschaltung herauszufiltern.

zwischen Senderträger und einem weiteren Signal erhalten

Das ist genau dann schwierig, wenn die Frequenz f

(Beispiel: UKW-Stereo-Rundfunk mit Hilfsträger). Nach-

M min sehr
klein ist. Bei der Rundfunkübertragung ist f

D 15 Hz. Ver-
teile: a) Wird die sowieso schon geringe Trägeramplitude

M min
wendet man f

D 1 MHz, wäre ein Filter erforderlich, dass
am Empfangsort durch Schwunderscheinungen zeitweise zu

T
bis einschließlich 1,000 MHz alle Frequenzen unterdrückt, ab

Null, ist wegen des fehlenden Trägers keine Demodulation

1,000015 MHz die entsprechenden Frequenzen durchlässt. Er-
und damit kein Signalempfang möglich. b) Im Empfän-
reicht f
ger muss die Amplitude des Restträgers gegenüber dem

M min den Wert Null (Fernsehen: Bild schwarz), können
die erforderlichen Filterschaltungen prinzipiell nicht realisiert

Seitenband ausreichend verstärkt werden, damit eine ver-
werden.

zerrungsarme Demodulation möglich ist (Erklärung siehe
folgender Absatz). Das erfordert sehr steilflankige und da-

Abb. 96.7 zeigt einen Ringmodulator, der als Ausgangssignal
mit aufwendige Filterschaltungen.

nur die zwei Seitenbänder enthält und den Träger unterdrückt.

1210

96 Modulation

Teil
a

S
f

AM( )

XIII
u M
u AM

5,5 MHz
f
u T
f T

0.5 MHz

Abb. 96.7 Ringmodulator

0.75 MHz
b

1

Ein Seitenband muss noch, sofern das technisch möglich ist,
durch geeignete Filterschaltungen abgetrennt werden. Eine Wei-

2
terentwicklung ist in Abb. 96.8 dargestellt. Die beiden Ring-
modulatoren liefern die zwei Seitenbänder ohne Träger. Durch
die Phasenschieber sind die beiden oberen Seitenbänder der

Modulatoren um 180° verschoben und heben sich über die

Summenbildung in dem Transformator auf. Die unteren Seiten-

0,75 MHz
bänder dagegen sind in Phase und addieren sich.

Abb. 96.9 Restseitenbandübertragung (Beispiel Fernsehen). a Frequenzspek-
trum des Senders, b Durchlasskurve des Empfängers

96.2.2.2

Restseitenbandmodulation (RM, VSB)

Die

Restseitenbandübertragung

( R estseitenband m odulation,
wird eine Durchlasskurve nach Abb. 96.9b eingesetzt. Der Ver-
v estigial s ide b and) wird bei der Fernsehübertragung angewen-
lauf der Nyquistflanke sollte möglichst gerade sein und muss
det. Dort ist f

M max

5;5 MHz, sodass bei Zweiseitenband- durch geeignete Filterschaltungen realisiert werden. Wichtig ist
übertragung eine Bandbreite von etwa 11 MHz erforderlich
weiterhin, dass die Flächen 1 und 2 gleich groß sind, denn dann
gewesen wäre. Damit hätte man zu wenig Sender unterbringen
erhält man alle Frequenzanteile mit gleicher Amplitude.

können. Bei der Bildübertragung ist außerdem die Übermittlung
eines Gleichwertes erforderlich (z. B. Dunkelsteuern der Bild-

Der Vorteil der Restseitenbandübertragung liegt darin, dass, am
röhre beim Umschalten im Studio). Senderseitig wären damit

Beispiel Fernsehen gezeigt, senderseitig nicht mehr 11 MHz,
bei der Trägerfrequenz f
sondern nur noch etwas weniger als 7 MHz Bandbreite benö-

T „unendlich steile“ Filterkurven erfor-
derlich gewesen, um genau ab der Trägerfrequenz das zweite
tigt werden. Damit können mehr Sender in Betrieb genommen

Seitenband vollständig zu unterdrücken. Da dies technisch nicht
werden, was wegen der Forderung nach flächendeckender Ver-
möglich ist, setzt man die Restseitenbandübertragung nach
sorgung der Bevölkerung mit mehreren Fernsehprogrammen

Abb. 96.9 ein.

erforderlich ist. Die technische Realisierung ist sender- und
empfängerseitig mit vertretbarem Aufwand möglich.

Ein Seitenband wird vollständig, das andere nur teilweise über-
tragen. Das dargestellte Frequenzspektrum lässt sich sendersei-

96.2.2.3

Quadraturmodulation
tig durch geeignete Filterschaltungen realisieren. Wird dieses

Signal demoduliert, erhält man die Anteile mit Frequenzen bis

Diese auch in der Farbfernsehtechnik angewendete Modula-
f

D
tionsart beruht darauf, dass man zwei Träger mit gleicher

M

0;75 MHz mit doppelter Amplitude, da beide Seitenbän-
der gleichgewichtig zum Gesamtsignal beitragen.

Frequenz fT , aber mit einem Phasenwinkel von 90° zueinan-
der erzeugt. Dem einen Träger wird ein Signal mit ! M 1 und

Bis 1,25 MHz sinkt die Amplitude kontinuierlich auf den einfa-
dem anderen ein Signal mit ! M 2 aufmoduliert. Die phasenver-
chen Wert, der auch für noch höhere Frequenzanteile entsteht.

schobenen Träger werden unterdrückt, damit sie im Empfänger

Um diese Signalverzerrungen empfängerseitig auszugleichen,
keine Störungen verursachen. Die Amplituden- und Phasenbe-
ziehung der zwei Signale mit ! M 1 und ! M 2 zueinander muss
nach der Demodulation erhalten bleiben, weil daraus über ei-

PS1

RM1
ne Summenbildung das Farbsignal gebildet wird. Setzt man

0°
u M
den Träger empfängerseitig frequenzstabil mit 0° bzw. 90° zu

90°

(Quarzoszillator mit 90°-Phasenschieber), ist diese Bedingung
erfüllt. Weitere Einzelheiten zur Anwendung der Quadraturmo-
u AM, SSB
dulation in der Farbfernsehtechnik zeigt Abschn. 96.2.2.

PS2

RM2

0°
u T

90°

96.2.3

Technische Ausführung der

Amplitudenmodulation

PS1, 2: Phasenschieber mit 0ůnd 90°

RM1, 2: Ringmodulatoren

Abb. 96.10 stellt Schaltungen mit Transistoren zur Zweiseiten-

Abb. 96.8 Modulator für Einseitenband-AM
band-Amplitudenmodulation dar, und zwar mit Modulation an

96.2

Sinusträger – mit Analogsignal moduliert

1211
a

+ U
schn. 96.2.2.2). Für den Kurzwellenbereich gibt es aber Über-

B
legungen, die besonders dort eingesetzten hohen Senderleis-
tungen bei gleicher Reichweite durch Einseitenbandmodulation

XIII
u
zu reduzieren. Um auch die bisher benutzten Empfänger wei-

AM
terhin verwenden zu können, soll in einem ersten Schritt die

Teil

Trägeramplitude auf die Hälfte gesenkt werden (Einseitenband-
modulation mit Restträger).

Für die Rundfunk- und Fernsehübertragung gelten folgende Da-
u T
ten (siehe auch Kap. 99, „Ton- und Bildübertragung“):

1. Lang-, Mittel- und Kurzwellenrundfunk: Zweiseitenband-

AM mit einer höchsten Basisbandfrequenz f

D

M max

4;5 kHz.

u M

Die Senderleistungen betragen maximal etwa 1 MW. Wegen
der Vielzahl der unterzubringenden Sender wurde die Band-
breite des Basisbandes auf maximal 4,5 kHz beschränkt.

b

+ U B

2. Fernsehfunk: Bildübertragung in Restseitenbandmodulation,

Daten siehe Abb. 96.9. Die Tonübertragung geschieht fre-
quenzmoduliert.

u AM
u T

96.2.4

Winkelmodulation
u M

Unter dem Begriff Winkelmodulation werden Frequenz- (FM)

und Phasenmodulation (PM) zusammengefasst.

+ U B

96.2.4.1

Grundlagen

Abb. 96.10 Schaltungen zur Amplitudenmodulation. a Modulation an der Ba-

Es wird wieder ein sinusförmiger Träger nach (96.1) verwendet:

sis (additiv), b Modulation am Kollektor (multiplikativ)

s

T . t/ D O
sT sin .! Tt C ' T/

„ ƒ‚ …

(96.17)

˚. t/
der Basis ( additives Verfahren) oder am Kollektor ( multiplikati-
ves Verfahren).

Der Winkel ˚. t/ kann auf zwei Arten in Abhängigkeit vom mo-

Bei der Modulation an der Basis wird die nichtlineare nicht-
dulierenden Signal geändert werden.

quadratische Kennlinie i D

B
f . u BE/ des Transistors ausgenutzt, 1. Phasenmodulation (PM):

was nach Abschn. 96.2.1.4 zu Verzerrungen führt. Deshalb
sind Modulationsgrade von maximal 70 % zulässig. Es werden

˚. t/ D !

I

T t C ˛ P
sM. t/

(96.18)

Wirkungsgrade von höchstens 50 % erreicht. Vorteil dieser Mo-

„ ƒ‚ …

'.

dulationsschaltung ist, dass nur eine geringe Leistung für das
t/
modulierende Signal erforderlich ist. Wesentlich verzerrungsär-

2. Frequenzmodulation (FM):

mer ist die Schaltung mit Modulation im Kollektorkreis (Modu-
lation durch Multiplikation nach Abschn. 96.2.1.1). Allerdings

˚. t/ D Œ! C ˛ s
t C ' I

(96.19)

muss die Leistung des modulierenden Signals in der Größenord-

T

F

M . t/

„
ƒ‚

…

T
nung der an die Antenne abgegebenen Leistung liegen. Es sind

˝. t/

Modulationsgrade bis 100 % möglich. Der Wirkungsgrad kann
bis zu 90 % betragen. In Rundfunk- und Fernsehsendern werden

˛ P und ˛ F sind Modulatorkonstanten. Der Zusammenhang zwi-
anstelle der Transistoren Senderöhren mit Ausgangsleistungen
schen beiden Modulationsarten ist gegeben durch
im kW-Bereich eingesetzt.

˚.

˝.

t/
t/ D d˚. t/

(96.20)

In der Rundfunkübertragungstechnik hat man zunächst die
dt
t
einfach zu handhabende Zweiseitenband-AM eingesetzt. Der

Übergang zur Einseitenbandmodulation mit unterdrücktem Trä-

Die

Frequenz
ist
gleich
der

Änderungsgeschwindigkeit
ger wurde noch nicht vollzogen, weil der Anwender dann die
des

Phasenwinkels,
geteilt
durch

2

(Zusammenhang

Trägerfrequenz genau kennen und auch frequenzstabil zur Ver-
zwischen Frequenz- und Phasenmodulation siehe auch Ab-
fügung haben müsste. Bei der Fernseh-Bildübertragung hat
schn. 96.4.2 „Pulsfrequenz- und Pulsphasenmodulation“).

man die Restseitenbandübertragung gewählt, weil die Einsei-

Größter Frequenz- und größter Phasenhub treten nicht gleich-
tenbandübertragung technisch nicht realisierbar ist (siehe Ab-
zeitig auf, da sie über einen Differenzialquotienten miteinander

1212

96 Modulation

Teil
verknüpft sind. Eine cosinusförmige modulierende Spannung
a
bei FM hat einen Phasenhub, der sinusförmig ist, also um 90°
u M

XIII
nacheilt. Setzt man wieder ein sinusförmiges modulierendes

Signal nach (96.4) voraus und setzt den Winkel '

D

M

0, so
t
folgt: s

M . t/ D O
sM sin.! Mt/. Eingesetzt in (96.18) und (96.19)

ergibt sich für die beiden Modulationsarten:

f M klein

PM:

t
s

O

PM. t/ D O
sT sin.! Tt C

˛ P sM

„ƒ‚…

sin ! Mt/

(96.21)

Phasenhub ˚
b
u M

FM:

s

O

FM. t/ D O
sT sinŒ.! Tt C

˛ F sM

„ƒ‚…

sin ! Mt/ C ' T (96.22)

t

Frequenzhub ˝
f M groß

Im Phasenhub ˛ O

P sM ist damit die Information über die Amplitu-
de des modulierenden Signals (Lautstärke bei Tonübertragung)

t
enthalten. Senderseitig wird für die größte zu übertragende Am-

ˇ

Abb. 96.11 Zusammenhang zwischen Phasenhub ' und Frequenz fM . a fM
plitude (größte Lautstärke) ein Wert ˛ O ˇ

P sM
vorgegeben. Das
max
klein, b fM groß

Gleiche gilt für den (Kreis-)Frequenzhub ˛ O

F
sM. Für die größte
zu übertragende Amplitude (lautester zu übertragender Ton) ist

ˇ
beim UKW-Rundfunk ˝Ď 2 f

D 2 75 kHz fest-
max
max

Für den UKW-Rundfunk gilt:

gelegt. Die Information über die Frequenz des modulierenden

Signals ist in der Anzahl der Wechsel zwischen maximaler und
f

D

D

M max

15 kHz; F D 75 kHz; ) D min

75=15 D 5.

minimaler Frequenz pro Sekunde enthalten.

Der Modulationsindex ist abhängig von der Frequenz des mo-

Für den UKW-Rundfunk gilt: Bei einer Trägerfrequenz f

D dulierenden Signals und wird häufig für f

T

M max angegeben. Er

100 MHz und einer Frequenz des modulierenden Signals von
steigt mit sinkender modulierender Frequenz fM und kann sehr
f

D
groß werden. Damit nimmt auch der Dynamikbereich (Lautstär-

M

4 kHz und maximaler Lautstärke ändert sich die Fre-
quenz des Senders 4000mal pro Sekunde zwischen den Werten
kebereich) große Werte an. Das gilt ebenso für den Phasenhub,

100 MHz 75 kHz und 100 MHz C 75 kHz. Bei einem leise-
wie aus Abb. 96.11 zu ersehen ist.

ren Ton gleicher Frequenz und halber Lautstärke ändert sich die

Frequenz des Senders wiederum 4000mal pro Sekunde, aber

Hinweis: Der Modulationsgrad m D F , der bei der Ampli-
fT
jetzt beispielsweise zwischen den Werten 100 MHz 30 kHz
tudenmodulation eine wichtige Kenngröße ist, hat hier keine
und 100 MHzC30 kHz (Hinweis: Kein linearer Zusammenhang

Bedeutung.

zwischen Frequenzhub und fM, siehe dazu Preemphasis und De-
emphasis).

96.2.4.3

Zeigerdarstellung

96.2.4.2

Kenngrößen

Der Zeiger des Trägers dreht sich ohne Modulation mit kon-

Mit (96.18) bis (96.22) ergeben sich folgende Kenngrößen:

stanter Winkelgeschwindigkeit proportional zur Frequenz fT . Er
dient als Bezugszeiger. Wird mit einem sinusförmigen Signal

Phasenhub PM: ˚ D ˛

P
sM
nach Abb. 96.12 moduliert, erhöht sich für positives u

( Kreis-) Frequenzhub PM: ˛ O

M der Pha-

P
sM ! M
senwinkel j, und der Trägerzeiger eilt dem Bezugszeiger vor,

(Folgt durch Differenzieren von (96.21) gemäß (96.20) von

˛ O

maximal bis C F. Das ist gleichbedeutend mit einer Frequenz-

P
sM sin ! M t.)

änderung f , die der Winkeländerung nach (96.20) um 90°

( Kreis-) Frequenzhub FM: ˝ D ˛ O

F
sM
voreilt. Bei negativem u

Phasenhub FM: ˚ D ˛ FO sM

M eilt der Trägerzeiger dem Bezugszei-

! M
ger nach, maximal bis F. Wie bei der Zeigerdarstellung der

(Folgt durch Integrieren von ˛ O

F
sM sin ! M t.)

Amplitudenmodulation stellt man sich den Bezugszeiger ruhend

Auch bei FM ist der Phasenhub wichtig, weil sich der Einfluss
vor, sodass der Trägerzeiger im Rhythmus von uM zwischen
von Störungen und die Bandbreite auf den Phasenhub beziehen.

C F und F hin und her pendelt ( Pendelzeiger).

Daher wurde der Modulationsindex als Kenngröße eingeführt:

Modulationsindex bei FM:

96.2.4.4

Spektrum und Bandbreitenbedarf

˝
f

F

D ˚ D

D

T max D

!

(96.23)

Wird ein Träger mit der Frequenz fT mit einem Signal der Fre-

M
fM
fM
quenz fM frequenzmoduliert, so entstehen außer fT folgende

F Spitzenhub.

Frequenzen:

96.2

Sinusträger – mit Analogsignal moduliert

1213

1,5

1,0

3

0,8

I 0

I
f

XIII
r

I

I
n

0,6

1

I 2

I

+Δ φ

−Δ φ

3

I

0,4

4

I

I 5

I

I 6

I 7

Teil

2

0,2

4

0
u
φ t

2
m ~

( )

–0,2

3

5

–0,40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

4

Abb. 96.13 Besselfunktionen Jn ./ für n D 1 : : : 7

+Δ f

1. Schmalband-Frequenzmodulation: Es gilt: < 1. Dann er-
geben nur J 0 und J 1, also Trägerfrequenz und die Frequenzen
f C

T
fM und fT
fM, nennenswerte Amplituden. Damit ist das

Spektrum aber gleich dem der Amplitudenmodulation, wenn
man die übrigen Frequenzanteile vernachlässigt.

Abb. 96.12 Zeigerdarstellung bei der Winkelmodulation

Bandbreite bei Schmalband-Frequenzmodulation:

B

FM

2 BM

2 fM max

Frequenzspektrum bei FM:

2. Breitband-Frequenzmodulation: Es gilt: > 1. Dann be-
f ˙

I

˙

I

˙

I

T
fM
fT

2 fM
fT

3 fM
grenzt man die Bandbreite bei einem Klirrfaktor k k

3
f ˙

I

˙

I

1 % bei der Rundfunkübertragung auf:

T

4 fM

: : : I
fT
nfM

: : :

Bandbreite bei Breitband-Frequenzmodulation:

Es entstehen unendlich viele Frequenzen im Abstand von ˙ fM
zueinander. Die Amplituden dieser einzelnen Schwingungen

B

FM

2. F C BM/ 2. F C fM max/
lassen sich Abb. 96.13 entnehmen. Mathematisch handelt es
sich um Besselfunktionen 1. Art n-ter Ordnung. Es bedeuten:

(siehe (96.23)). In dieser sog. Carson-Formel wurde be-

J 0./ Amplitude der Trägerschwingung mit der Frequenz fT
rücksichtigt, dass erst die dritte Harmonische der Si-

J

C

1./ Amplitude der Schwingungen mit den Frequenzen fT
fM
gnalschwingung zum Klirrfaktor beiträgt. Beim UKW-
und f

T
fM

Rundfunk ergibt sich B

UKW

2. F C fM max/

J 2./ Amplitude der Schwingungen mit den Frequenzen

2.75 kHz C 15 kHz/ D 180 kHz. Bei der Übertragung von
f C

T

2 fM und fT

2 fM

Trägerfrequenz-Vielkanal-Fernsprechsignalen durch Fre-

J 3./ Amplitude der Schwingungen mit den Frequenzen
quenzmodulation in der Richtfunktechnik werden teilweise
f C

T

3 fM und fT

3 fM

Klirrfaktoren von 0,01 % gefordert. Dann ist die Übertra-
usw.

gungsbandbreite, verglichen mit der Bandbreite bei 1 %

Klirrfaktor, um den Faktor 1,5 höher zu wählen.

Die Amplituden hängen ab vom Modulationsindex . Für D

0, d. h. ohne Modulation, existiert nur die Trägerschwingung,
was auch anschaulich einsichtig ist. Für 2;4 beispielsweise 96.2.4.5 Störungen bei winkelmodulierten Signalen
verschwindet die Trägerschwingung ( J D

0

0, gilt auch für

5;5 usw.), für 3;8 gibt es keine Schwingungen mit den

Die hier behandelten Störungen werden verursacht durch be-

Frequenzen f C

D
nachbarte Träger und Rauschen. Ihr Einfluss auf frequenzmodu-

T
fM und fT
fM ( J 1

0, gilt auch für 7
usw.). Negative Werte von J
lierte Signale wird im Ergebnis angegeben, weitere Einzelheiten
n bedeuten eine Phasenverschiebung
von 180° gegenüber positiven Werten.

sind beispielsweise [20] zu entnehmen.

Da die Amplituden der Besselfunktionen erst für ! 1 ge-
gen Null gehen, ist theoretisch eine unendlich große Bandbreite

1. Störungen durch sinusförmige Nachbarträger
erforderlich. In der Praxis kann und muss man die Bandbreite
begrenzen. Die dadurch entstehenden nichtlinearen Verzerrun-

Nachbarträger sind sinusförmige Stör-Träger mit einer Fre-
gen lassen sich berechnen und dienen als Grundlage für die
quenz, die innerhalb der Bandbreite des Nutzträgers von
folgenden Dimensionierungen. Man unterteilt, abhängig von ,
f ˙

T

BT =2 liegt. Für das niederfrequente Störverhältnis a FM;NF
in zwei Modulationsarten:

nach dem Demodulator bei Frequenzmodulation ergibt sich:

1214

96 Modulation

Teil

Niederfrequentes Störverhältnis
a
b

R 1

R 3

XIII

O u

O
j j

N
uN
fT
fN
a

D

FM;NF

O

(96.24a)

u

O

U

C

U

U

1

1

2

1

U 2

NF
uS
fT

R 2

C 2

O uN Amplitude des Störsignalträgers in V, O u NF Amplitude des

Niederfrequenzsignals in V, O uS Amplitude des Nutzsignalträgers

Abb. 96.14 Schaltungen zur Preemphase (a) und Deemphase (b)

in V, j f
j

T
fN Frequenzabstand zwischen Nutz- und Störsignal-
träger in Hz, fT Frequenzhub in Hz

Das niederfrequente Störverhältnis nimmt zu durch die folgen-

Damit
ermöglicht
die

Breitband-Frequenzmodulation
den drei Ursachen:

(min > 1) eine störungsfreiere Übertragung als die Amplitu-
denmodulation (Faktor 33 ). Breitband-FM ist auch weniger
a) Steigende Amplitude des Störsignalträgers
min
störanfällig als Schmalband-FM (
b) Zunehmender Abstand j f
j
min < 1).

T
fN zwischen Nutz- und Störträ-
ger. Dieser Wert ist maximal an der oberen Frequenzgrenze
des modulierenden Signals:

Beispiel 2

ˇ

O u

O

N
fM max
uN
a

ˇ

D

1

FM;NF

(96.24b)

Die Leistung eines Nutzsignalträgers ( P
max

O

S ) und die eines
u

O

S

F
uS
min

Störsignalträgers ( PN ) seien gleich groß. Das Nutzsignal
wird zum Vergleich amplituden- und frequenzmoduliert

Index S: (Nutz-)Signal; Index N: Noise (Störsignal).

übertragen.

Durch Frequenzmodulation erhält man gegenüber Amplitu-
denmodulation eine Verbesserung des Störabstandes S:

a) Bei Amplitudenmodulation ergibt sich:

O

ˇ

ˇ
u

O

S.HF/
uS.HF/

ˇ

ˇ

S

D

I

D

PS

AM

S

ˇ

ˇ

O

FM

PS

D
u

O

ˇ

ˇ

1

. m D 1/

N.HF/
uN.HF/

PN

P

NF

N HF
nach (96.24b) folgt daraus:

b) Schmalband-Frequenzmodulation mit 0;5 0;9.

ˇ

Für D

D 0;5 folgt:

S

ˇ

ˇ
min

FM

S

D

FM
bzw.

Ď

D ˇ
min

(96.25)

ˇ

ˇ

S

ˇ
fT max

AM

S AM min

P ˇ

ˇ

S ˇˇ PS ˇˇ 3 2 D 1 3 0;52 D 0;75
min

Das Verhältnis ist minimal bei maximaler Frequenz des mo-

PN

P

NF

N HF
dulierenden Signals O sM.

c) Sinkender Frequenzhub, also bei kleineren Amplituden des
c) Breitband-Frequenzmodulation mit 1;2 5.

D
modulierenden Signals O s

Für D min

1;2 folgt:

M . Dieses Ergebnis ist auch anschau-
lich zu erwarten.

ˇ

ˇ

P ˇ

ˇ

S ˇ

P

S ˇ

3 3 D 1 3 1;23 D 5;2

P ˇ

ˇ
min

N

PN

2. Störungen durch Rauschen

NF

HF

Die im folgenden dargestellten Ergebnisse sind [21] entnommen

Das Verhältnis von Nutz- zu Störsignal ist bei der Breit-
und ermöglichen den Vergleich des Leistungsverhältnisses von
band-Frequenzmodulation am größten. Schmalband-Fre-

Nutz- ( P
quenzmodulation ergibt gegenüber Amplitudenmodulati-

S ) zu Störsignal ( PN ) auf der Hochfrequenzseite (Index

HF) und auf der Niederfrequenzseite (Index NF):

on u. U. sogar ein ungünstigeres Verhältnis.

J
a) Schmalband-FM ( < 1):

ˇ

ˇ

P ˇ

ˇ

S ˇ

P

S ˇ

32

P ˇ

ˇ
min

96.2.4.6

Preemphase, Deemphase

N

P

NF

N HF
b) Breitband-FM ( > 1):

Aus (96.26) geht hervor, dass der Störabstand um so größer ist,

ˇ

ˇ
je größer und damit je kleiner die Basisbandfrequenz fM ist.

P ˇ

Ďeshalb erhöht man senderseitig die Amplituden der höheren

S ˇ

P

S ˇ

33

(96.26)

Frequenzen, bevor moduliert wird. Dieser als Preemphase be-

P ˇ

ˇ
min

N

P

NF

N HF
zeichnete Vorgang setzt beispielsweise beim UKW-Rundfunk
c) Zum Vergleich: Amplitudenmodulation mit m D 1:

ab etwa 3,2 kHz ein und wird schaltungstechnisch über einen

ˇ

ˇ

Hochpass realisiert. Er wird im Empfänger durch einen RC-

P ˇ

ˇ

S ˇ

PS Ťiefpass mit gleicher Grenzfrequenz rückgängig gemacht ( De-

P ˇ

ˇ
emphase), um einen linearen Amplitudenfrequenzgang zu erhal-

N

P

NF

N HF
ten. Abb. 96.14 zeigt Schaltungen, mit denen die Preemphase (a)

(siehe (96.13)).

bzw. Deemphase (b) erreicht wird.

96.2

Sinusträger – mit Analogsignal moduliert

1215
a
b

+ UB

+ UB

+ UB

M
f ± f

T

Δ

L 1

XIII
f T ± Δ f

C ± C

2

Δ

C 1

R 1

C 2

Teil

L 1

C
u

1

M

R

D

2

D

C ± Δ C
c
d

RM
u
f

M( )

u , f
u

, u

M

M

OS

US
u
u

OS US
u M

PS

1
u T

G

PM
u

0,707

90°

PM

Hochpaß

Δ Φ
u T,
f T

PS: Phasenschieber

0
f g
f M

RM: Ringmodulator
f M min f M max

Oszillator für f T
f T ± Δ Φ

C
u
f

M( )

u M

R
u M( f)

u M
f M

Abb. 96.15 Erzeugung von Winkelmodulation. a FM mit Kondensatormikrofon, b FM mit Kapazitätsdiode, c PM durch Überlagerung von zwei um 90° verschobenen Trägern, d PM durch FM und Vorverzerrung des Basisbandes

96.2.4.7

Erzeugung von Frequenz- und
kreis durch einen Schwingquarz ersetzen, der eine wesentlich

Phasenmodulation
höhere Frequenzkonstanz aufweist als der LC-Schwingkreis.

Zur Erzeugung von Phasenmodulation zeigt Abb. 96.15c ein

Abb. 96.15a zeigt eine Oszillatorschaltung, in der eines der

Verfahren, das seltener angewendet wird, dafür aber das Prin-
frequenzbestimmenden Elemente ein Kondensatormikrofon M
zip deutlich zeigt. Der um 90° verschobene Träger ( fT ) wird im
ist, dessen Kapazität C ˙

2

C sich linear mit dem Schall- Ringmodulator mit dem modulierenden Signal ( fM) amplituden-
druck ändert. Damit ändert sich auch die Frequenz f

D

T
p
moduliert. Der Träger ist unterdrückt. Dieses Signal wird zum

1=Œ2 L

C

˙

C

nicht verschobenen nicht modulierten Träger hinzuaddiert. Trä-

1. C 1

C 2

C/ für C 1

C 2

C nahezu linear
mit der Amplitude des modulierenden Signals (Sprache, Mu-
gerspannung uT und die Spannungen der Seitenbänder, u OS, u US,
sik). Dabei wurde von der Beziehung 1=.1 ˙ x/ 1 x für
stehen senkrecht aufeinander. Steigt die Amplitude von uM, stei-
j x 1 Gebrauch gemacht. Nach Abb. 96.15b liegt parallel gen proportional die Spannungen u OS, u US. Damit dreht sich der
zum Schwingkreis aus L

Zeiger von u

1 und C 1 eine Kapazitätsvariations-

PM um den Winkel ˚ aus der Lage von uT , was
diode D, deren Kapazität sich in erster Näherung linear zur
der gewünschten Phasenmodulation entspricht:

modulierenden Spannung uM ändert. Der Spannungsteiler aus

O u

C O

OS
u US

R 1, R 2 legt den Arbeitspunkt der Diode D in Sperrrichtung und

Phasenhub

˚ D arctan

O

(96.27)

u
damit eine Kapazität C

T

D fest. Mit dem Kondensator C 2 wird
diese Gleichspannung vom Schwingkreis abgetrennt, und au-

Ausnutzbar ist ein Bereich bis ˚

max

0;5. Das ergibt einen
ßerdem kann man damit auch den Frequenzhub einstellen. In

Klirrfaktor von 2,5 %. Allerdings ist die Amplitude von u PM
der Praxis wird man, sofern fT konstant ist (Rundfunksender,
größer geworden als die von uT , was einer zusätzlichen uner-

Funkfernsteuersen- der), den frequenzbestimmenden Schwing-
wünschten Amplitudenmodulation entspricht. Diese muss durch

1216

96 Modulation

Teil
a

FM-Demodulator
dt
u PM
u M

FM

XIII

AM-De-
u

AM

FM
modul.

u M

Abb. 96.16 Demodulation von PM
b
eine Begrenzerschaltung unwirksam gemacht werden. Ein häu-
u
u

FM

M
fig angewendetes Schaltungsprinzip zur Phasenmodulation zeigt

Abb. 96.15d. Die modulierende Spannung u
ϕ( f)

M passiert zunächst
ein Hochpassfilter aus R und C, für dessen Grenzfrequenz
ϕ 0 = 90°
gilt: f

D
g

1=.2 RC/ fM max. Damit ist die modulierende
c

Spannung u

FM

M . f / frequenzabhängig. Nimmt man eine niedri-
ge Frequenz fM für uM an, ergibt sich für uM. f / eine niedrige
u

PFM
u

FM

M

Amplitude, sodass die Oszillatorfrequenz nur geringfügig im

Rhythmus von uM geändert wird. Hat dagegen uM bei gleicher
d

Frequenz eine große Amplitude, ist auch uM. f / entsprechend

VCO;

PD
groß, sodass die Frequenz des Oszillators in einem größeren
u
u

FM

M

Bereich geändert wird. Hält man die Amplitude von uM kon-
stant und vergrößert die Frequenz fM, nimmt die Amplitude von
uM. f / ebenfalls zu. F darf sich aber wegen der als konstant an-
genommenen Amplitude von uM nicht ändern. Da andererseits

Abb. 96.17 Verschiedene Prinzipien der FM-Demodulation. a FM-AM-
der Phasenhub nach Abb. 96.11 mit wachsender Frequenz f

Umsetzung, b FM-PDM-Umsetzung, c FM-PFM-Umsetzung, d Demodulation mit

M ab-
nimmt, wird diese Abnahme genau durch die über den Hochpass

PLL, Erläuterungen siehe Text
bewirkte Zunahme der Amplitude von uM. f / kompensiert. Man
erkennt hier den engen Zusammenhang zwischen Frequenz- und

Phasenmodulation.

es Integrierte Schaltungen, die die erforderlichen Baugruppen
einschließlich Amplitudenbegrenzerstufe enthalten (z. B. TBA

120).

96.2.4.8

Demodulation von Frequenz- und

Phasenmodulation

Im dritten Verfahren (c) gibt man sich ein Zeitintervall vor und
zählt die darin enthaltenen Nulldurchgänge der frequenzmodu-

Die nachfolgend dargestellten Demodulatorschaltungen die-
lierten Schwingung. Das geschieht auf einfache Weise dadurch,
nen zur Demodulation von frequenzmodulierten Signalen. Sol-
dass man den sinusförmigen Träger in Rechteckimpulse um-
len phasenmodulierte Signale demoduliert werden, ist nach
wandelt und diese dann differenziert. Über eine Kondensator-

Abb. 96.16 dem FM-Demodulator eine Integrierstufe nachzu-

Umladung mit anschließender Mittelwertbildung lässt sich das
schalten (siehe dazu (96.20)).

modulierende Signal zurückgewinnen (Umsetzung Frequenz-

Da in der Amplitude des frequenzmodulierten Trägers keine In-
modulation in P uls f requenz m odulation).

formation enthalten ist, andererseits Störungen häufig als Ände-

Verfahren vier (d) verwendet einen Phasenregelkreis (PLL,
rungen der Amplitude auftreten, schaltet man dem Demodulator
p hase- l ocked l oop). Eine sich durch Frequenzmodulation än-
eine Amplitudenbegrenzerschaltung vor. Die Oberschwingun-
dernde Trägerfrequenz wird durch den Phasendiskriminator
gen des jetzt nicht mehr sinusförmigen Trägers unterdrückt man
erkannt, der eine entsprechende Spannung zur Nachführung des
durch Selektionsstufen in Form von Schwingkreisen. Prinzipiell
spannungsgesteuerten Oszillators ausgibt. Diese Spannung ist
unterscheidet man vier Arten der Demodulation, Abb. 96.17.

proportional zur Abweichung der Trägerfrequenz vom Sollwert

Beim ersten Verfahren (a) verwendet man die frequenzabhängi-
und damit proportional zur modulierenden Spannung.

gen Blindwiderstände von Spulen und Kondensatoren oder die

Abb. 96.18a, b zeigt zwei Demodulatorschaltungen, die zwar
frequenzabhängige Impedanz von Schwingkreisen bzw. deren
nicht mehr eingesetzt werden, die aber das Prinzip des ersten

Phasendrehung. Man überführt die Frequenzmodulation in eine

Verfahrens nach Abb. 96.17a auf einfache Weise darstellen. Für

Amplitudenmodulation. Zwei Beispiele dazu sind in Abb. 96.18
a) muss gelten: ! L
R. Daraus folgt für sinusförmiges u
dargestellt.

FM:

u

L
u FM ! L= R. u FM ändert nicht die Amplitude, aber die

Nach Verfahren zwei (b) gelangt der frequenzmodulierte Trä-

Frequenz: O u O

C

L
u FM .! T

! T/ L= R. Die Spannung an L
ger einmal direkt auf den einen Eingang eines Multiplizie-
ist proportional der modulierenden Spannung. Der Nachteil die-
rers, zum anderen über ein frequenzabhängiges Phasendrehglied
ser Schaltung liegt darin, dass uL für ! L
R sehr klein und
mit '. f / D 90ı ˙ '. f / auf den anderen Eingang. Am
damit schwierig auswertbar ist. Deshalb ist der im Bild einge-

Ausgang des Multiplizierers steht u. a. auch das modulieren-
tragene Verstärker unbedingt erforderlich. In Abb. 96.18b hat
de Signal zur Verfügung (Umsetzung der Frequenzmodulation
der Schwingkreis aus L 1, C 1 und R 1 die dargestellte Durch-
in P uls d auer m odulation PDM). Der Tiefpass unterdrückt die
lasskurve. Die Trägerfrequenz fT liegt auf einer Flanke dieser
auch entstehenden höherfrequenten Anteile. Für diese Demo-

Durchlasskurve in der Mitte eines möglichst linearen Bereiches.

dulationsart, auch mit Koinzidenzdemodulator bezeichnet, gibt

Anschließend wird mit der Diode D demoduliert. Einzelheiten

96.3

Sinusträger – mit Digitalsignal moduliert

1217
a

R
i

96.3

Sinusträger – mit Digitalsignal
u
moduliert

FM

L
u L
u M

XIII

Die im Abschn. 96.2 behandelten Modulationsverfahren und die

Teil

+ U
dort dargestellten Eigenschaften sind unabhängig vom zeitli-

B
u

D

FM
chen Verlauf des modulierenden Signals und deshalb auch hier

R 1
gültig. Dass trotzdem speziell für Digitalsignale eigene Bezeich-
u FM

L

L

1

2

C
nungen eingeführt worden sind, liegt an der großen Bedeutung

1
f T
f
dieser Signalform vor allem für die Datenfernübertragung.

R
u

2

M

C

B

2

FM

Abb. 96.19 zeigt die jeweilige Trägerschwingung für die drei

Modulationsarten:

Amplitudenumtastung (ASK: a mplitude s hift k eying, ent-
spricht der Amplitudenmodulation),

Frequenzumtastung (FSK: f requency s hift k eying, entspricht

L

D 1
der Frequenzmodulation),
b

2

2

Phasenumtastung (PSK: p hase s hift k eying, entspricht der
u 2
u

R

D1

R

Phasenmodulation).

1

5
u

2

C

C

L

1

3

5

1

R
u

4

AVD

C 1
u 2 R C 2

2
u

L

2

D2

2

C 4

2

96.3.1

Amplitudenumtastung (ASK)

D 2
u M

Nach Abb. 96.19a wird der positiveren Amplitude von uM eine
im Prinzip beliebige Trägeramplitude zugeordnet, der negati-
c
veren Amplitude von u
u
u

M eine weitere Trägeramplitude. Zur
u

2

2

2
u
u

2
u

–

–

2

2

2

–

2

Demodulation kann eine Schaltung nach Abb. 96.6 verwendet

2

2

2

2
werden. Man muss aber sicherstellen, dass für beide Amplitu-
u 1
u 1
u 1
denwerte von uM eine ausreichende Mindest-Trägeramplitude
u
u

D1

D2
u
u

D1

D2
u
u

D1

D2
vorhanden ist. Sofern möglich, nimmt man die Amplitudenum-
schaltung in den Nulldurchgängen der Trägerschwingung vor,
f = f T
f > f T
f < f T
weil dann das Einschwingen der Spannung am Ausgang des

Abb. 96.18 Frequenzdemodulation. a mit frequenzabhängigem Blindwider-

Demodulators auf den neuen Wert optimal geschieht, d. h. in
stand, b mit Flankendemodulator, c mit Ratiodetektor
kürzester Zeit und mit minimalem Überschwingen.

Die erforderliche Bandbreite ist theoretisch zwar unendlich
groß, wenn die Signalspannung uM periodisch angenommen und
hierzu können dem Kapitel über die Demodulation von AM ent-
in eine Fourierreihe entwickelt wird, aber in der Praxis kann
nommen werden. Steigt die Frequenz des Trägers, steigt auch
der rechteckförmige Verlauf durch einen sinusförmigen Verlauf
die Spannung am Schwingkreis und damit die Amplitude von
angenähert werden, weil sich daraus die Rechteckform wieder
uM.

eindeutig zurückgewinnen lässt. Das modulierende Signal ist

Abb. 96.18c stellt die heute in der Rundfunkübertragungs-
damit die Grundschwingung der Fourierreihe mit der Frequenz
technik üblicherweise verwendete Schaltung des Ratiodetektors
f D 1= TS. Für die erforderliche Bandbreite bei Zweiseitenband-

(Prinzip nach Abb. 96.17a) dar. Die beiden Schwingkreise aus
modulation folgen für den Minimalwert B min-ASK und den in der

L

Praxis verwendeten Wert B

1, C 1 und L 2, C 2 sind auf die Trägerfrequenz fT abgestimmt.

ASK:

Die Spannungen u 1 und u 2 stehen für f D fT senkrecht aufein-
ander. Weicht f von der Resonanzfrequenz ab, ändert sich der

Bandbreite

B

D

I
min-ASK

2 1

Phasenwinkel von u

TS

2 gegenüber u 1. Es gilt:

Praxis

B

1;5 B

D 3 1

(96.28)

u

D

I

D

I

D

ASK
min-ASK

D 1
u 2=2 C u 1
uD 2
u 2=2 C u 1
uM
uD 1
uD 2

TS

Nach Spitzengleichrichtung steht die modulierende Spannung

Als Beispiel für einen ASK-modulierten Sender sei der
wieder zur Verfügung. Der Ratiodetektor hat die besondere Ei-

Normalfrequenz- und Zeitzeichensender DCF 77 der Physi-
genschaft, dass er kurzzeitige Amplitudenänderungen von u 1
kalisch-Technischen Bundesanstalt in Braunschweig angeführt.

unterdrückt: Der Kondensator C 5 muss auf die neue Amplitude

Seine Trägerfrequenz beträgt 77,5 kHz, und die Informationen
umgeladen werden, was aber wegen seiner Größe (einige &F)

über Zeit, Datum, Sommer-/Winterzeit und einige andere Grö-
nur langsam (0,1 bis 1 s) erfolgen kann. Damit werden Ampli-
ßen werden durch Absenken der Trägeramplitude zu Beginn
tudenstörungen nahezu unwirksam.

jeder Sekunde (Ausnahme: 59. Sekunde) auf 25 % des Nenn-

1218

96 Modulation

Teil
a
u 1
u M
d u
u

XIII
d t

3

1
u
u

FSK

M

0
d u

1

2

3

4

90°
t
d t
u

T

2

S
u
u

FSK

ASK

0

1

2

3

4
t
u 1
b
u M
u 2
t 1
t 2
t
u FSK
f 1 FSK
f 2
t
u
u 3

PSK

PSK
t

Abb. 96.19 Modulation eines Sinusträgers mit Digitalsignal. a Amplitudenum-
u
tastung (ASK), b Frequenzumtastung (FSK) und Phasenumtastung (PSK)

M

T v
wertes für 0,1 s (entspricht logisch 0) oder 0,2 s (entspricht
logisch 1) übertragen.

Abb. 96.20 Demodulation bei Frequenzumtastung (FSK)

96.3.2

Frequenzumtastung (FSK)

quenzwertes geben. Deshalb hat sich u. a. eine Schaltung nach

Abb. 96.20 bewährt. Die modulierte sinusförmige Trägerspan-
nung u

Nach Abb. 96.19b wird ein Oszillator in Abhängigkeit vom

FSK wird einmal im Original und einmal um 90° verscho-
ben in ein Rechtecksignal umgewandelt ( u
modulierenden Signal u

1, u 2) und differen-

M zwischen zwei Frequenzen ( f 1, f 2) um-
ziert. Von den entstehenden Impulsen wird der Betrag gebildet,
geschaltet. Diese Umschaltung sollte ohne Amplitudensprünge
sodass sich u
geschehen, damit bei der Demodulation ein optimales Ein-

3 ergibt. Durch die Addition des um 90° verscho-
benen Signalanteiles erhält man für u
schwingen auf den neuen Amplitudenwert möglich wird. Des-

3 die doppelte Anzahl von

Impulsen, was zu einem schnelleren Einschwingen des demodu-
halb ist die Umschaltung zwischen zwei getrennten Oszillatoren
lierten Signals auf den neuen Wert führt. Über eine monostabile
problematisch. In der Praxis geschieht sie durch Ändern von

Kippstufe werden die Nadelimpulse in solche mit konstan-

L bzw. C des frequenzbestimmenden Oszillatorschwingkreises.

ter Zeitdauer umgesetzt, sodass sich über einen Tiefpass mit

Auch hier lassen sich geringe Amplitudensprünge nicht ver-
nachfolgendem Schmitt-Trigger die modulierende Spannung u
meiden, weil es sich bei L und C um Energiespeicher handelt.

M
zurückgewinnen lässt. Die Verzögerungszeit T

Quarzoszillatoren mit Kapazitätsvariationsdioden als frequenz-
v ist ohne Wir-
kung auf die enthaltene Information.

änderndem Element ergeben relativ geringe und über die An-
steuerelektronik kalkulierbare Amplitudensprünge.

Für die Abschätzung der erforderlichen Bandbreite nimmt man

96.3.3

Phasenumtastung (PSK)

an, dass die zwei Frequenzen f 1 und f 2 durch Frequenzmodulati-
on einer Mittenfrequenz f D

C

M

. f 1 f 2/=2 entstehen. Dann lassen
sich die Formeln des Abschn. 96.2.4 verwenden. Auch hier gilt,

Die Modulation durch Phasenumtastung der Trägerschwingung
dass der rechteckförmige Verlauf von u
ist sehr unempfindlich gegenüber Störungen. Kennzeichen ist

M durch einen sinusför-
migen Verlauf mit gleicher Periodendauer ersetzt werden kann
die Zahl der unterschiedlichen Phasenzustände, zwischen denen

(siehe Abschn. 96.3.1).

umgeschaltet werden kann. Abb. 96.19b zeigt die Verwendung
von zwei Phasenzuständen (2-PSK). Daneben werden häu-

Zur Demodulation können zwei FM-Demodulatoren nach Ab-
fig vier Phasenzustände eingesetzt (4-PSK, QPSK: q uadrature
schn. 96.2.4.8, abgestimmt auf f 1 und f 2, verwendet werden.

p hase s hift k eying). Als Quadraturmodulation, allerdings für ein

Allerdings kann es Probleme mit dem Einschwingverhalten
analoges modulierendes Signal, findet dieses Verfahren in der
des jeweiligen Demodulators beim Eintreffen des neuen Fre-

Farbfernsehtechnik Anwendung (Abschn. 96.2.2.3).

96.3

Sinusträger – mit Digitalsignal moduliert

1219

Abhängig von der Art der Informationskodierung gibt es zur
a

Demodulation von PSK zwei Verfahren: 1. Jedem der übertra-
u M

1

1
genen Zustände entspricht eine festgelegte Phasenlage. Dann

0

XIII
muss entweder der Träger mit der definierten Nullphase mit

T S
t
übertragen werden, oder aber es müssen periodisch wiederkeh-

Teil
rende Muster zur Synchronisation des im Empfänger erzeugten
u

Trägers gesendet werden (siehe Abschn. 96.2.2.3). 2. Die In-

T
formation steckt in der Differenz zweier aufeinanderfolgender

Phasenlagen. Hier bietet sich zur Demodulation an, den Träger
aus dem übertragenen Signal zurückzugewinnen. Auch wenn
t
dies stets nur fehlerhaft möglich ist, spielt das wegen der

Phasen differenzbildung keine Rolle ( Phasendifferenzkodierung,
s. u.).

b

96.3.3.1

Zweiphasenumtastung (2-PSK)

Ringmodulator

Abb. 96.21a stellt die modulierende Spannung uM und die dar-
nach Bild V.7
aus gebildete Trägerspannung uT in der Zeitebene dar.

c

| u

|

Tmin

Modulation, Einfluss von Störsignalen: Die Modulation des

Trägers geschieht in einem Ringmodulator nach Abb. 96.21b
u T
bzw. nach Abb. 96.7, an dessen Ausgang nur die zwei Sei-
tenbänder vorhanden sind. Die Zuordnung der zwei Phasen-
u r
u
u

N
zustände ist so gewählt, dass sie sich maximal voneinander
unterscheiden, also zu 0ůnd 180°. Das hat den Vorteil, dass

„0“ = 180°

^

„1“ = 0°

^
bei einer auftretenden Störspannung uN nach Abb. 96.21c
die „1“ (¶ 0°) theoretisch solange sicher erkannt wird, wie
d
der Summenzeiger ur, gebildet aus uT und uN, rechts von
u
u

2PSK

1

2 f
der Ordinate liegt. In der Praxis darf eine Minimalampli-

VCO
u
f

T
tude uT min nicht unterschritten werden, sodass ur rechts
von der im Bild dargestellten gestrichelten Senkrechten lie-
gen muss. Das Gleiche gilt für die kodierte „0“, sodass
u
jede der beiden Codierungen am unempfindlichsten gegen-

2

=1
u M
über Störungen ist. Die Amplitude von uN kann theoretisch
zwar sehr groß werden, wenn sie in einem Winkelbereich

KS

90° . . . C90° zu uT liegt, praktisch aber sollte sie den

Wert u
e

T
uT min in keiner der möglichen Phasenlagen über-
schreiten. In Abb. 96.21a findet der Phasenwechsel in den
u 2DPSK
u M

Nulldurchgängen der Trägerschwingung statt. Das ist vorteil-
haft, weil es keine Amplitudensprünge gibt und sich die Zeit

Ts/2
für die zur Dekodierung notwendige Trägersynchronisierung
bzw. Trägerrückgewinnung verringert. Damit können dann

Abb. 96.21 Zweiphasenumtastung (2-PSK), Abkürzungen siehe Text. a Signal-
u. U. höhere Datenraten übertragen werden.

verläufe, b Erzeugung, c Einfluss von Störsignalen, d Demodulation, e Demodu-

Zur Abschätzung der erforderlichen Bandbreite wird wie-
lation von Phasendifferenzcodierung (2-DPSK)

derum ein periodisches Rechtecksignal für uM angenommen,
das durch die Grundschwingung des nach Fourier dargestell-
ten Signals angenähert wird. Damit kann das Ergebnis von

Demodulation, Trägerrückgewinnung: Die Demodulation ei-

(96.28) übernommen werden.

nes 2-PSK-Signals geschieht z. B. mit einer Schaltung nach
minimal erforderliche Bandbreite:

Abb. 96.21d. Die Spannung u

D ˙O

2PSK
uT cos.! T t C k /,
k D 0 oder 1, wird im Multiplizierer quadriert und ergibt

B

D

I
min-2PSK

2 1

TS

O u 2
u D T

1

.1 C cos.2 ! T t C 2 k //

(96.31)

Praxis

B

D

2

2PSK

1;5 B min-2PSK

3 1

(96.29)

TS

Nach einem Bandfilter folgt ein spannungsgesteuerter Oszil-

Für den Rauschabstand folgt mit (92.26):

lator (VCO) mit eingebautem Phasenvergleicher und Tief-
passfilter. Die nach Gleichung (96.31) vorhandene doppelte

PS

Rauschabstand
a D

Trägerfrequenz wird in einem Frequenzteiler auf die Träger-
r

10 lg
in dB

(96.30)

PN
frequenz fT heruntergeteilt ( uT ). Durch diese Teilung ergibt

1220

96 Modulation

Teil

Tab. 96.1 Zu Beispiel 3

Zu übertragende Bitfolge

(1) Startbit 1

1

0

0

1

0

1

1

0

XIII
gewählter Phasenwinkel senderseitig

0°

0°

0°

180°

0°

0°

180°

180°

180°

0°

Phasenwinkel am Empfänger, 1. Möglichkeit 0°

0°

0°

180°

0°

0°

180°

180°

180°

0°

Phasenwinkel am Empfänger, 2. Möglichkeit 180°

180°

180°

0°

180°

180°

0°

0°

0°

180°

Decodierung am Empfänger

1

1

0

0

1

0

1

1

0
sich eine Phasenunsicherheit von k .2 /=2 D k . In
a

Sektor „01“
einem Demodulator wird aus den Seitenbändern ( u
u

2PSK) und

T90
dem rückgewonnenen Träger ( u

Sektor „00“

T ) das modulierende Signal
uM erzeugt. Da die absolute Phasenlage des Trägers nicht mit
u T
übertragen wird, erkennt man nicht, wie den zwei empfange-
nen Werten senderseitig die „1“ bzw. „0“ zugeordnet wurde

Sektor „10“

(Phasenunsicherheit k ). Man erhält für uM also entweder
die richtige oder die invertierte Bitfolge. Durch die Übertra-

Sektor „11“
gung geeigneter Codewörter lässt sich die korrekte Bitfolge
b
durch Anlegen eines Korrektursignals KS an ein Exklusiv-

SRG2

Oder-Glied einstellen.

Phasendifferenzcodierung (2-DPSK): Man kann auf die

X 1
u M

Übertragung des Absolutwertes der Trägerphase verzich-
u

X 2

4PSK
ten, wenn man die Phasendifferenzcodierung anwendet: Für
u

D

M

„1“ bleibt die momentan vorhandene Phase bestehen,

Schiebe-
für u

D

M

„0“ ändert sich die Phase. Daraus kann uM ein-
takt
deutig gewonnen werden, siehe Beispiel 3. Die Decodierung

90°
geschieht nach Abb. 96.21e: In einer Verzögerungsschal-
tung wird das Signal u 2DPSK um TS=2 verzögert und mit
dem unverzögerten Signal multipliziert. Bei gleicher Phase
f T
ist das Produkt positiv und wird der „1“ zugeordnet; bei un-
c
terschiedlicher Phase ist es negativ und bedeutet „0“.

u 4PSK

2 f
u
f

T

Beispiel 3

Übertragen werden soll die Bitfolge

X 1

.1/ 1 1 0 0 1 0 1 1 0

90°
u T90

X 2
in Phasendifferenzcodierung (Tab. 96.1). Der erste Wert
kann nicht wiederhergestellt werden, weil er keinen Vor-

Abb. 96.22 Vierphasenumtastung (4-PSK). a Prinzip, b Erzeugung, c Träger-
gänger zur Differenzbildung hat (Startbit).

J
rückgewinnung und Demodulation

96.3.3.2

Vierphasenumtastung (4-PSK)

raus wird nach Abb. 96.22a die Phasenlage zu uT bestimmt

(Tab. 96.2).

Modulation: Man setzt zwei Träger gleicher Frequenz,
aber mit 90° Phasenverschiebung ein, siehe uT, uT 90 in

Die Erzeugung von 4-PSK geschieht nach Abb. 96.22b. Nach-

Abb. 96.22a. Außerdem kann die Phase beider Träger zwi-
dem je 2 seriell eintreffende Bits in einem 2-Bit-Seriell-Parallel-
schen 0ůnd 180ůmgeschaltet werden. Bei der Modulation

Umsetzer (Schieberegister SRG2) parallel als X1 und X2 an-
wird der Träger unterdrückt. Der Winkelbereich 45° bis
stehen, werden die Trägeramplituden entsprechend Tab. 96.2

C45°, bezogen auf uT, entspricht digital „00“ und wird da- eingestellt.

durch erreicht, dass die Amplitude von uT maximal, die von
uT 90 null ist. Der Bereich C45° . . . C135° entspricht digital

Demodulation, Trägerrückgewinnung: Die Trägerrückge-

„01“ und erfordert eine maximale Amplitude von uT 90 und
winnung geschieht nach Abb. 96.22c durch zweimalige Mul-
die Amplitude null für uT. Für die restlichen zwei Kodie-
tiplikation der Spannung u 4PSK mit sich selbst:

rungen muss der mit maximaler Amplitude gesendete Träger

„negativ“ sein, d. h. eine Phasenverschiebung von 180° auf-

2 2
weisen. Für die zu übertragende Bitfolge werden jeweils
u D

O

1
uT cos ! t C k
zwei aufeinanderfolgende Bits zusammengefasst, und da-

2

96.4

Pulsträger uncodiert

1221

Tab. 96.2 Beispiel zur Ansteuerung bei Vierphasenumtastung (4-PSK)

Zu übertragende Bitfolge

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

Phase gegenüber uT

0°

270°

90°

270°

180°

XIII

X1 (siehe Abb. 96.22b), steuert uT :

0

1

0

1

1
a) Amplitude von uT

Maximal

Null

Null

Null

Maximal

Teil
b) Phase von uT

0°

180°

X2 (siehe Abb. 96.22b), steuert uT 90:

0

1

1

1

0
a) Amplitude von uT 90

Null

Maximal

Maximal

Maximal

Null
b) Phase von uT 90

180°

0°

180°
mit k D 0, 1, 2 oder 3

96.3.3.4

QAPSK kombinierte

O

Amplituden-Phasenumtastung
u 4
u D T

1

Œ3 C 4 cos.2 ! T t C k /

8

Diese Modulationsart wird in der Ausführung 16-QAPSK beim

C cos.4 !

terrestrischen Digitalfernsehen eingesetzt. Siehe dazu Kap. 99

T
t C 2 k /

(96.32)

„Ton- und Bildübertragung“, Abschn. 99.2 „Digitale Farbfern-

Die Komponente mit der doppelten Trägerfrequenz wird über
sehtechnik“, Trägermodulation: 16-QAPSK.

einen Bandpass ausgefiltert, die Komponente mit der vierfa-
chen Trägerfrequenz durch einen Frequenzteiler 4 W 1 auf die

Trägerfrequenz geteilt ( uT ). Aus dem rückgewonnenen Trä-
ger ( uT ) wird ein zweiter mit 90° Phasenverschiebung erzeugt

96.4

Pulsträger uncodiert

( uT 90). In zwei Multiplizierschaltungen wird das übertragene

Signal u 4PSK mit uT und uT 90 multipliziert. Es ergeben sich
insgesamt 4 Möglichkeiten für die Vorzeichenkombinationen,

In Analogie zum Sinusträger gibt es hier die in Abb. 96.23 dar-
sodass das modulierende Signal zurückgewonnen werden kann.

gestellten Verfahren:

Wegen der Frequenzteilung bleibt eine Phasenunsicherheit von

Pulsamplitudenmodulation

.2 k /=4 D k .=2/.

(PAM: p ulse a mplitude m odulation),

Da zwei Bits mit nur einem Phasenwinkel codiert werden, ist die

Pulsfrequenzmodulation
erforderliche Bandbreite nur noch halb so groß wie bei 2-PSK:

(PFM: p ulse f requency m odulation),
minimal erforderliche Bandbreite

Pulsphasenmodulation

(PPM: p ulse p hase m odulation),

B

D

D 1 I

Pulsdauermodulation
min-4PSK

2

1

2 TS

TS

(PDM: p ulse d uration m odulation).

Praxis

B

D

PSK

1;5 B min-PSK

1;5 1

(96.33)

Lediglich das zuletzt genannte Verfahren hat kein direktes Ana-

TS
logon zur Sinusträgermodulation.

Für den Rauschabstand lässt sich allgemein sagen, dass er in
der Praxis bei 4-PSK gegenüber 2-PSK um etwa 3 dB abnimmt,
weil bei 4-PSK pro Amplitudenwert zwei Bit übertragen werden
gegenüber einem Bit bei 2-PSK.

96.4.1

Pulsamplitudenmodulation (PAM)

Auch hier kann die Phasenunsicherheit durch Differenzphasen-
modulation beseitigt werden.

Sie wird relativ selten eingesetzt, hat aber eine gewisse Bedeu-
tung beim Zeitmultiplexverfahren (siehe Abschn. 100.1). Die

96.3.3.3
n-Phasen-Umtastung

Zeit Ta in Abb. 96.23 ist durch das Abtasttheorem von Shannon
vorgegeben, die Zeit T kann so klein wie möglich gemacht

Das Prinzip der Phasenumtastung lässt sich auf n Phasen erwei-
werden. Dann kann man in den Zeitraum T T weitere Im-
tern, wobei n in der Praxis Werte von 8, 16, 32 oder 64 annimmt.

a
pulse von anderen Signalen einfügen. Abb. 96.24 zeigt eine

Bei der Auswahl eines geeigneten Verfahrens sind die zwei fol-
von mehreren Möglichkeiten zur Modulation und Demodulati-
genden Ergebnisse von Bedeutung:

on bei PAM. Die Spannung U 0 sorgt dafür, dass auch bei der

1. Die erforderliche Bandbreite nimmt mit steigendem n gemäß
größten negativen Amplitude des modulierenden Signals die

1= n ab.

Diode noch in Durchlassrichtung betrieben wird. Der Schal-

2. Der Rauschabstand verringert sich bei gleicher Sender- und
ter S1 schließt für die Zeitdauer T. Der Demodulator besteht

Rauschleistung mit zunehmendem n um etwa n .3 : : : 5/ dB. aus einer Abtast-Halte-Schaltung, deren Schalter S2 genau dann

3. Der Einfluss von Störspannungen nimmt mit wachsendem n
schließt, wenn das vom geschlossenen Schalter S1 ausgesandte
zu, weil immer kleinere Segmente pro Codierung zur Ver-

Signal eintrifft. Deshalb ist eine geeignete Synchronisation zwi-
fügung stehen. In Abb. 96.21c würde die Spitze des Zeigers
schen beiden Schaltern erforderlich. Diese Art der Modulation
ur bei einer 16-Phasen-Umtastung bereits in das benachbarte
heißt unipolar, weil die Amplituden neben dem Wert Null nur

Segment hineinragen und damit einen Fehler verursachen.

eine Polarität, hier die positive, aufweisen.

1222

96 Modulation

Teil
u M
a

Compa- Differen- Impuls-
rator
zierer erzeugung
u M

XIII

–

∞ u
u

K

D1
d

1
u

+
d t

PPM
t
u

Δ

SZ

T

Synchron-
b
impulse

PAM
u PPM
d
u DZ
u DR
d t

T
t
u
a

M

PFM
c

Synchronimpulse für Demodulation
t
u M
u SZ

PPM
u M
t
u K

PDM
t
u D1

Abb. 96.23 Verfahren zur Pulsträgermodulation (Pulse unipolar)

a
u M
u sch1
u PAM
u

Modulation

U

PPM

0

S1
b
u Sch1,2

Δ T

1
u D2
n

0

T a
t

∞

S2

–
u M

+

Demodulatio
u DR
u
u*

PAM

M
u sch2

Abb. 96.25 Pulsphasenmodulation (PPM). a Modulator, b Demodulator, c Wir-

Abb. 96.24 Unipolare Pulsamplitudenmodulation. a Modulation, b Demodu-
kungsweise
lation

96.4.2

Pulsfrequenz- und
änderung. Die größere Bedeutung für die Praxis hat die Puls-

Pulsphasenmodulation (PFM, PPM)

phasenmodulation.

Abb. 96.25 stellt eine von mehreren Möglichkeiten zur Er-

Wie beim Sinusträger stehen auch hier Pulsfrequenz- und
zeugung von Pulsphasenmodulation sowie eine Schaltung zur

Pulsphasenmodulation in einem engen Zusammenhang. An

Demodulation dar. Zur Demodulation müssen Synchronimpul-

Abb. 96.25 kann man erkennen, dass eine Phasenmodulation
se entweder getrennt übertragen oder aus dem PPM-Signal

(Verschiebung der Impulse) zunächst wie eine Frequenzmo-
z. B. durch PLL-Schaltungen (PLL: phase locked loop) emp-
dulation (wiederum Verschiebung der Impulse) erscheint. Erst
fängerseitig erzeugt werden. Die Spannung u DR hat stets den
verschieben sich die Impulse, verglichen mit der regelmäßigen
gleichen zeitlichen Verlauf. Die Information liegt in der zeit-

Aufeinanderfolge vorher, dann resultiert daraus eine Frequenz-
lichen Verschiebung der Impulse gegenüber ihrem Auftreten

96.4

Pulsträger uncodiert

1223

1

+

∞
u M

–
u PDM

XIII

3

U
u SZ

0

2

U K

Teil
u M
u

Δ

SZ

T

U 0

Abb. 96.26 Überlagerte Störspannung bei PPM. 1 idealer Rechteckimpuls,

2 verformter Rechteckimpuls bei begrenzter Bandbreite, 3 wie 2, mit überla-
gerter Störspannung
t
u PDM
in gleichen Zeitabständen. Demnach ist das Verfahren gegen-
über Störungen, die als Amplitudenänderungen auftreten, un-
t
empfindlich. Da allerdings nur eine begrenzte Bandbreite zur

Abb. 96.27 Erzeugung von Pulsdauermodulation

Signalübertragung zur Verfügung steht, ergibt sich ein verform-
ter Rechteckimpuls nach Abb. 96.26. Überlagert sich diesem
verformten Impuls eine Störspannung, ergeben sich für den
werden, könnte man in Reihe zum Verbraucher einen Transis-

Komparator mit der Vergleichsspannung UK unterschiedliche
tor schalten, der so angesteuert wird, dass die Spannung am

Schaltzeitpunkte mit der Zeitdifferenz T, die als zusätzliche

Verbraucher sinusförmigen Verlauf hat. Der Nachteil dieses

Phasenverschiebung ein fehlerhaftes Signal ergeben. Pulspha-

Konzeptes liegt darin, dass der Transistor mit einer Ver-
senmodulation wird dann vorteilhaft eingesetzt, wenn breitban-
lustleistung in der Größenordnung der Verbraucherleistung
dige Übertragungskanäle zur Verfügung stehen. Der Gewinn an
beaufschlagt wird.

Signal-Rauschabstand beträgt nach [22]:

Deshalb schaltet man nach Abb. 96.28 die Gleichspannungs-

"

#
quelle mit der Spannung U 0 für unterschiedliche Zeitdau-

1

B

2

N
ern auf den Verbraucher. Die Zeit T ist viel kleiner als
a

D

SN

10 lg
dB

(96.34)

8

B
die Periodendauer des anzunähernden sinusförmigen Span-

S
nungsverlaufes, sodass der Verbraucher in der Regel wegen
seines Tiefpassverhaltens (z. B. Motor mit Induktivität) den

BN Bandbreite des durch Rauschen gestörten Übertragungska-
im Bild eingezeichneten realen Mittelwert N u. t/ bildet, der den
nals in Hz, BS Signalbandbreite in Hz.

idealen Verlauf oft ausreichend genau annähert. Angewendet

Bereits für B
wird dieses Verfahren beispielsweise bei unterbrechungsfrei-

N > 2;83 BS ergibt sich ein Gewinn an Signal-

Rauschabstand gegenüber der Pulsamplitudenmodulation, was
en Stromversorgungen für Rechner, die das Versorgungsnetz
auch anschaulich nach Abb. 96.26 zu erwarten ist: Der über-
mit sinusförmigem Verlauf und der Spannung 230 V für die
tragene Impuls nähert sich der Rechteckform, sodass T kaum

Dauer der Unterbrechung mit einem eingebauten Gleichspan-
noch wirksam werden kann.

nungsakkumulator nachbilden. Hier kommt es auf möglichst
geringe Verlustleistung an, um mit kleinen handlichen Ge-
räten einen möglichst lang andauernden Notstrombetrieb zu
erreichen und um die Probleme mit der Abfuhr der Wärme,

96.4.3

Pulsdauermodulation (PDM)

verursacht durch die Verlustleistung, gering zu halten.

b) Dieses Verfahren wird auch angewendet bei der Amplituden-
modulation im Anodenkreis von Senderöhren (multiplikati-

Ein Verfahren zur Pulsdauermodulation ist in Abb. 96.27 darge-
ves Verfahren mit niedrigem Klirrfaktor nach Abb. 96.10),
stellt. Die Demodulation geschieht mit einem Tiefpass, dessen
weil die Leistung des modulierenden Signals in der Grö-

Grenzfrequenz geringfügig über der höchsten modulierenden
ßenordnung der Trägerleistung liegen muss und damit die

Frequenz liegt. Für die Codierung von Signalen in der Nach-
gleichen Probleme mit der Verlustleistung auftreten wie unter
richtentechnik hat diese Modulationsart geringe Bedeutung.

a) beschrieben.

Allerdings wird die Pulsdauermodulation auch außerhalb der Si-
gnalkodierung angewendet, wie die zwei folgenden Beispiele

U
zeigen:

0
u PDM
a) Das An- und Abschalten von Gleichspannungsquellen an
u( t) real
einen Verbraucher mit elektronischen Schaltern (Transis-
toren) kann sehr verlustleistungsarm geschehen. Soll ein

Δ T
u t

( ) ideal

Verbraucher mit einer wenigstens näherungsweise sinusför-
migen Spannung aus einer Gleichspannungsquelle versorgt

Abb. 96.28 Pulsdauermodulation in der Energietechnik

1224

96 Modulation

Teil
a

Abtast-

A-D-
a

Tiefpaß Halteglied Umsetzer Modulator
u M

XIII

/#
u
u

M

PM

G
u *

M
b

Demodu-

D-A-

Abtast-
lator

Umsetzer Halteglied Tiefpaß
b
u M

#/
u PM
u*

M

Abb. 96.29 Prinzip der Signalübertragung mit Pulscodemodulation. a Sender,
b Empfänger
u *

M
u M

Abb. 96.31 Aliasing-Effekt: u
demodulier-
u

M abgetastetes Basisbandsignal, u

M
tes Signal. a f

D

ab

2 fM , b fab

1;1 fM
t
t ab

Die Kurvenform ist nahezu unverändert, die Verzögerungszeit
wird wesentlich durch die Abtast-Halte-Glieder, die Umsetzzei-
u*

M
ten der Umsetzer und die Laufzeit im Kanal bestimmt. Da dieses

Verfahren der Codierung auch im Prinzip bei der Speicherung

Abb. 96.30 Pulscodemodulation: ausgesendetes und empfangenes Signal
von Musik auf Compact Disc (CD) verwendet wird, soll dieses

Verfahren etwas näher betrachtet werden.

96.4.4

Pulscodemodulation (PCM)

96.4.4.2

Aliasing-Effekt

Dies ist die heute überwiegend eingesetzte Art der Puls-

Zunächst stellt man sich das abzutastende Signal so vor, dass
modulation, sodass prinzipiell Pulsamplituden-, Pulsfrequenz-,
es gemäß Fourieranalyse aus Grund- und Oberschwingungen

Pulsphasen- und Pulsdauermodulation möglich sind. Das zu
besteht, die alle sinusförmigen Verlauf haben. Obwohl die Si-
übertragende Signal wird geeignet codiert.

gnale der Nachrichtentechnik grundsätzlich nicht periodisch
sind, kann man auch für sie die Fourierzerlegung durchführen

(Abschn. 92.4.9.3). Die höchste noch berücksichtigte sinus-

96.4.4.1

Prinzip
förmige Oberschwingung hat im Folgenden die Bezeichnung
fM max.

Das Prinzip zeigt Abb. 96.29.

Wird das abzutastende Signal nicht so frequenzbandbegrenzt,

Das zu übertragende Signal mit der Spannung uM wird zu-
dass die Abtastfrequenz f ab mindestens doppelt so groß ist wie
nächst mit einem Tiefpass auf die maximale Frequenz fM max
die höchste Signalfrequenz fM max, entsteht bei der Demodulati-
begrenzt und dann mit schmalen Impulsen der Dauer ts im
on eine Signalverfälschung, wie in Abb. 96.31b dargestellt. Das

Abstand von t ab (1= t ab > 2 fM max, Abtasttheorem von Shan- nach der Abtastung wiederhergestellte Signal mit der Spannung
non) abgetastet. Ein Halteglied „friert“ den Abtastwert bis zur
u ist für den Fall eingezeichnet, dass die Abtastfrequenz f

M
ab

Aktualisierung durch den neuen Wert ein, damit der Analog-
nur geringfügig über der höchsten Signalfrequenz fM max liegt:

Digital-Umsetzer einen konstanten und damit eindeutigen Wert
f

ab

1;1 fM max. Abb. 96.31a zeigt das demodulierte Signal
zur Umsetzung zur Verfügung hat. An seinem Ausgang steht
u für den Grenzfall der doppelten Abtastfrequenz gegenüber

M
ein treppenförmiges wertkontinuierliches Signal, mit dem ein
der höchsten Signalfrequenz: f

D
ab

2 fM max. Auch hier kann

Pulsträger moduliert wird. Zur Rückgewinnung des Signals
es zu Signalverfälschungen kommen, wenn nämlich die Ab-
im Empfänger ist der Bittakt mit der Frequenz f

D
ab

1= t ab
tastzeitpunkte genau im Nulldurchgang des Signals liegen oder
notwendig, der aber nicht getrennt mit übertragen wird, son-
wenn, wie eingezeichnet, das wiederhergestellte Signal nicht
dern durch entsprechende senderseitige Codierung regeneriert
ebenfalls auf fM max in seiner Frequenz begrenzt wird. Nur dann
werden kann (siehe Abschn. 96.4.4.7). Der Ausgangswert des
bleibt von dem eingezeichneten dreieckförmigen Verlauf die

Digital-Analog-Umsetzers wird in einem Abtast-Halte-Glied

Grundschwingung mit sinusförmigem Verlauf übrig, die mit
solange gespeichert, bis er durch einen neuen Wert ersetzt wird.

dem abgetasteten Signal identisch ist. Wichtig ist, dass der theo-

Dieses zeit- und wertdiskrete Signal ist nach dem Tiefpass in
retische Wert nach Shannon, f

D
ab

2 fM max, nicht ausreicht, um
ein zeit- und amplitudenkontinuierliches Signal u umgewan-
die höchste Signalfrequenz (stets sinusförmig wegen der Band-

M
delt worden. Abb. 96.30 stellt das ursprüngliche Signal uM und
begrenzung) fehlerfrei wiederherzustellen. Man wählt deshalb
das empfangene Signal u einander gegenüber.

in der Praxis:

M

96.4

Pulsträger uncodiert

1225
t

R

–
s

Zeit, während der der elektronische Schal-
i

R d

S

+
ter S geschlossen ist,

R S
t

D 1= f
u

G
ab
ab

Abstand der Abtastimpulse.

M

R

C
u

XIII
u

P

H

CH

M

C S

1. Abweichung am Ende der Abtastphase

Teil

Generator

Schalter

Speicher mit

Es wird der ungünstigste Fall angenommen: u D

1
uM min und

Verstärker
u D

2
uM max. Dann lädt sich CH gemäß
u

CH
ts

Δ

D

C
u

. uM max uM min / 1 exp
auf

CH. Ri

Rd/

2
u

2

2
auf
u
auf. Soll am Ende der Abtastung die Kondensatorspannung

1
höchstens um u

0
t
t

2=2 vom Sollwert abweichen (sinnvolle An-
s
t H
t
nahme), muss gelten:

ab

Abb. 96.32 Abtast-Halte-Schaltung. a Ersatzschaltung, b Spannungsverlauf
ts
exp

D 1

1

1 ; mit N 1
am Haltekondensator CH
auf

2

2 N 1

2 N C1

Nach einigen Zwischenrechnungen folgt daraus:

Abtastfrequenz in der Praxis:

. R C

ts
i

Rd/ CH

(96.37)

f

D
ln 2 N C1
ab

.2;2 : : : 4/ fM max

(96.35)

Anti-Aliasing-Filter: Um die genannten Signalverfälschungen

2. Abweichung am Ende der Haltephase
zu vermeiden, wird vor der Abtastung das Basisbandsignal mit

Bei geöffnetem Schalter S entlädt sich CH über Rp und Rs. Der
einem Tiefpassfilter frequenzbandbegrenzt, um die Bedingung
ungünstigste Fall tritt auf, wenn uCH maximal ist und uM mini-
nach (96.35) sicher zu erfüllen.

mal. Dann kann man für den Entladestrom die zwei Widerstände
näherungsweise als parallel geschaltet ansehen, sodass sich die

96.4.4.3

Abtast-Halte-Glied

Kondensatorspannung ergibt:

Abb. 96.32a stellt das Ersatzschaltbild eines Abtast-Halte-
u
tH

Gliedes dar. Es bedeuten:

CH. t/ u CH. t 0/ exp
t ent

Ri

Innenwiderstand der Signalquelle mit der
u
t ab

CH. t 0/ exp
modulierenden Spannung u
t

M ,
ent

Rd

Widerstand des elektronischen Schalters S

im durchgeschalteten Zustand,
mit tH
t ab ( t 0 Beginn des Haltezyklus). Die hierdurch verur-

R
sachte Spannungsänderung liegt wieder in den oben genannten
s

Widerstand des elektronischen Schalters S
im Sperrzustand,

Grenzen:

C

s

Kapazität des elektronischen Schalters S
im Sperrzustand,
exp tH

1

1 1

1

1
mit N 1;

2

2 N 1

2 N C1

R
ent
p
erfasst den Verlustwiderstand des Kon-

densators C

C

R

H und den Eingangswiderstand
ent

H . Rp
d /
des Operationsverstärkers,

C

Daraus folgt:

H

Halte-(Speicher-)Kondensator
mit
der

Spannung uCH,

u

1

1

Spannungswert von uM zu einem ange-

C

H . Rp

Rd/ t ab
mit tH
t ab

(96.38)

nommenen Zeitpunkt, auf den sich der
jln.1 1 /j

2 N C1

Kondensator CH aufgeladen hat,
u 2
neuer Spannungswert von uM, auf den sich

3. Einfluss des Kondensators Cs

CH durch Schließen von S aufladen soll,
u 2=2 D j˙ u 2=2j Betrag der maximal möglichen Abwei- Bei geöffnetem Schalter bildet Cs mit CH einen Spannungstei-
chung zwischen Soll- und Istwert bei der
ler, wenn sich die Spannung uM ändert. Der Einfluss von Cs ist

Analog-Digital-Umsetzung, ergibt sich
um so geringer, je kleiner sein Wert im Vergleich zu CH ist. In
bei einem N-Bit-Umsetzer zu

Analogie zu den Abschätzungen oben kann man ansetzen:

. u

1

2 max
u 2 min/ 1

(96.36)

Cs <

1

CH

(96.39)

2

2 N 1

2 N C1

1226

96 Modulation

Teil

4. Weitere Einflussgrößen
maximaler Amplituden- oder Quantisierungsfehler

Die Zeit t

XIII
s muss so klein sein, dass sich uM während dieser Zeit

1
nicht wesentlich ändert. Auch hier kann ein Anhaltswert analog

F D ˙. u max
u min/ 1

(96.41)

2

2 N 1
zu den oben genannten Größen ohne Ableitung angeführt wer-
den:

Dieser Fehler lässt sich nach [23] durch den Klirrfaktor aus-
drücken:

u

1

M . ts/ < . uM max
uM min/ 1

(96.40)

2

2 N 1

Klirrfaktor
k 1

(96.42)

2 N

Dabei wurde (96.36) verwendet.

96.4.4.5

Quantisierungsgeräusch

Beispiel 4

Abb. 96.33 stellt zu einem sinusförmigen Signalverlauf das

Die Spannung u

D
zugehörige quantisierte Signal dar. Da beide Verläufe nicht

M hat die maximale Frequenz fM max

15 kHz und wird mit einer Frequenz f

D

D
mehr übereinstimmen, am Empfangsort aber das quantisier-
ab

1= t ab

45 kHz ( t

D
te Signal zur Verfügung steht, interpretiert der Empfänger das
ab

22;2 µs) abgetastet. Der nachgeschaltete

Umsetzer hat 12 Bit. C

Signal als Sinussignal mit überlagerter Stör- oder Geräusch-
s liegt bei Feldeffekttransistoren in
der Größenordnung 10 pF. Dann muss C
spannung u NQ, auch als Quantisierungsrauschen oder Quan-

H nach (96.39)

zu mindestens .10 pF/ 212C1 8200 pF gewählt wer-
tisierungsgeräusch bezeichnet. Man kann zeigen, dass sich
den. Die Zeit t
bei Gleichwahrscheinlichkeit aller Quantisierungsintervalle ein
s ist mit (96.40) zu maximal .22;2 &s/

1=213 2;7 ns festgelegt (Sinusschwingung mit der

Signal-Quantisierungs-Geräuschabstand ergibt von:

höchsten Frequenz 15 kHz hat im Nulldurchgang die ma-

Signal-Quantisierungs-Geräuschabstand
ximale Steigung mit dem Zahlenwert C1 bzw. 1). Mit

C D

D

H

10 nF folgt mit (96.37):

a SQ

20 lg 2 N dB

(96.43)

. R C

Die spektrale Verteilung des Quantisierungsgeräusches ist nahe-
i

Rd/max

.2;7 ns/=..10 nF/ ln 213/ 0;03 (:

zu konstant im Bereich von der kleinsten Basisbandfrequenz bis

Für R
p

Rd schließlich ergibt sich mit (96.37):

zur Abtastfrequenz. Die Geräuschleistung, summiert über den
gesamten Bereich, ist ein konstanter Wert. Erhöht man demnach

ˇˇ

ˇˇ

.

die Abtastfrequenz, verringert sich die auf den Basisbandfre-

R

ˇ

ˇ
p

Rd/min

.22;2&s/= .10 nF/ ľn 1 1

213 ˇ
quenzbereich entfallende Geräuschleistung. Diese Maßnahme

18;5 M(

J
wird als Überabtastung oder oversampling bezeichnet. Einer

Verdopplung der Abtastfrequenz entspricht eine Erhöhung des

Signal-Quantisierungs-Geräuschabstandes von 10 lg 2 D 3 dB.

Ebenso verdoppelt sich die Bitrate (Zahl der zu übertragen-

Zu diesem Beispiel sind zwei Hinweise erforderlich:

den Bits pro Zeiteinheit). Erhöht man andererseits die Zahl N

1. In der Praxis sind die Anforderungen an das Abtast-Halte-
der Bits pro Codewort, erhält man eine Erhöhung des Signal-

Glied nicht so hoch wie hier dargestellt, weil der angenom-

Quantisierungs-Geräuschabstandes um 20 lg 2 D 6 dB. Die
mene Wechsel von u

Bitrate erhöht sich nur um den Faktor N C1 , ist also kleiner als

M zwischen Maximal- und Minimalwert

N
innerhalb der Zeit zwischen zwei Abtastungen so gut wie nie

2. Danach ist das Prinzip der Überabtastung wenig sinnvoll,
auftritt.

trotzdem wird es angewendet, weil es bei der Rückgewinnung

2. Zur Vermeidung von Problemen wird man die Abtastfre-
des Basisbandsignales keine steilflankigen Tiefpassfilter erfor-
quenz (hier zu 45 kHz angenommen) in der Praxis nicht
dert (Abb. 96.29b). Die störende Abtastfrequenz ist weiter von
unbedingt zu einem ganzzahligen Vielfachen der höchsten
der Grenzfrequenz des Filters entfernt.

Basisbandfrequenz (hier 15 kHz) wählen.

Die Maximal- und Minimalwerte der in Abb. 96.33 eingetra-
genen Geräuschspannung uNQ nach (96.41) sind unabhängig

96.4.4.4

Quantisierung
von den Maximal- und Minimalwerten der Spannung uM. Mit
sinkendem Scheitelwert von uM nimmt lediglich die Zahl der

Zur Quantisierung wird der gesamte Wertebereich des Basis-

Maxima und Minima von u NQ ab.

bandsignals in eine endliche Anzahl von Quantisierungsinter-
vallen eingeteilt. Jedem Wert (hier am Beispiel einer Spannung),
der innerhalb eines bestimmten Intervalles liegt, wird ein Co-

Beispiel 5
dewort mit N Elementen (Bits je Codewort) zugeordnet. Die

Codierung geschieht im Dualsystem, und damit ist die Zahl der

Für

Sprache
ist
ein

Dynamikbereich

(Verhältnis

O

D

Quantisierungsintervalle zu 2 N 1; N D 1; 2; 3; : : : gegeben.

uM max=O uM min) von 40 dB erforderlich (O uM max=O uM min

Macht man alle Intervalle gleich groß, hat ein Intervall die Brei-

100). Damit das Quantisierungsgeräusch auch bei
te u D j u

j 1
den kleinsten Amplituden nicht stört, muss gelten:

max
u min

. Es wurde vorausgesetzt, dass der

2 N 1

O

D

D

Wertebereich der Spannung alle möglichen Codierungen erfor-
uM min

20 O u NQ. Daraus ergibt sich: O uM

10020 O u NQ
dert. Damit ergibt sich ein

96.4

Pulsträger uncodiert

1227

16
a

PCM-Über-

14
tragungs-

12
strecke

XIII

10

Kom-

Ex-

8

/#

#/
u
pressor

*
pander

*

M
u MK
u MK
u M

6

Teil

4

Sender

Empfänger

2

Quantisierungsstufen
u

*

0

MK
u M
t
u M
u*

MK

Quantisierungsrauschen

Abb. 96.33 Entstehung des Quantisierungsrauschens (nach [19])

b

Strecke

Kom-

Ex-

/#

#/

2000 O u
pressor
pander

NQ. Da der Wertebereich von uM von O
uM bis
u

*

M
u M

CO u

D

D

M reicht, folgt: 2 O
uM

2 100 20 O u NQ

4000 O u NQ.

Die Zahl der Quantisierungsintervalle ist demnach zu

Code1

Code2

Code2

Code1

4000 zu wählen, was mit einer Codierung mit 12 Bit je

Codewort erreicht wird.

J

Sender

Empfänger

111

110

11

11

110

101

100

10

10

100

96.4.4.6

Kompandierung

000

00

00

000

001

01

011

010

01

Die Deutsche Post AG hat einen Signal-Quantisierungs-

011

Geräuschabstand a

D

SQ

20 lg 2 N dB D 65 dB (96.43) fest-
gelegt, was N D 11 erfordert. Damit besteht jedes Codewort

Code1 Code2

Code2 Code1
aus 11 Bit, und es sind entsprechend breitbandige Übertragungs-

Abb. 96.34 Kompandierung. a Prinzip, b digitale Kompandierung
kanäle erforderlich. Durch Kompandierung kann N auf 7 ver-
ringert werden. Dazu werden die kleinen Signalamplituden, die
besonders durch das Quantisierungsgeräusch gestört werden,
ell gefertigte Analog-Digital-Umsetzer, bei denen teilweise das
zunächst verstärkt und dann erst in einen Digitalwert umgesetzt.

Abtast-Halte-Glied (Abb. 96.29 und 96.32) integriert ist. Le-

Die großen Amplitudenwerte werden komprimiert. Abb. 96.34
diglich C
zeigt die Übertragungsstrecke und den prinzipiellen Verlauf der

H ist extern anzuschließen. Entsprechend stehen die
zugehörigen Digital-Analog-Umsetzer zur Demodulation zur

Kompressions- und Expanderkennlinien. Über weitere Einzel-

Verfügung.

heiten zu den Kennlinien informieren die Veröffentlichungen
des CCITT. Dieses Verfahren wird wegen der Probleme mit der

Bevor der Pulsträger mit dem Digitalsignal moduliert wird,
exakten Abstimmung von Kompressor- und Expanderkennlinie
muss es häufig noch aufbereitet werden. Dazu sind folgende
zueinander nicht mehr angewendet, denn je mehr beide vonein-

Zielsetzungen von Bedeutung:

ander abweichen, desto größer ist der Klirrfaktor. Man setzt das

1. Das Signal soll keinen Gleichanteil enthalten (wichtig für

Verfahren der digitalen Kompandierung nach Abb. 96.34b ein.

transformatorische Kopplung zur galvanischen Trennung

Das Basisbandsignal wird in einem Analog-Digital-Umsetzer
von Signalkreisen),
hoher Stufenzahl (z. B. 12 Bit) gleichmäßig codiert, sodass alle

2. die Übertragungsfrequenz soll so klein wie möglich sein,

Quantisierungsstufen gleich groß sind. In einem digitalen Kom-

3. aus der übertragenen Impulsfolge soll sich die beim Sender
pressor werden den 12-Bit-kodierten Werten neue Werte mit
benutzte Taktfrequenz zurückgewinnen lassen.

z. B. nur 9 Bit zugeordnet, indem man Teilbereiche zusammen-
fasst. In Bild 34b ist dieser Vorgang vereinfacht anhand eines

Abb. 96.35 listet entsprechende Verfahren auf.

3-Bit-Umsetzers und eines Kompressors auf 2 Bit gezeigt.

Die Abkürzungen haben folgende Bedeutung:

RZ-Verfahren (return to zero): Binär-Null entspricht Signal-

96.4.4.7

Codierung

Null; Binär-Eins entspricht Signal-Eins für eine halbe Takt-

Die Codierung kann nach einer beliebigen Zuordnung zwischen
dauer, dann Rückkehr zu Signal-Null. Nachteile: Folgen

Signalamplitude und Codewort geschehen. In der Praxis wer-
mehrere Binär-Einsen aufeinander, ist die zu übertragende
den häufig Codierungen nach dem Binärcode, dem BCD-Code

Frequenz maximal gleich der Taktfrequenz. Folgen mehrere

(binär codierte Dezimalzahlen) und dem Gray-Code (benach-

Binär-Nullen aufeinander, kann der Takt nicht zurückgewon-
barte Signalwerte unterscheiden sich im Codewort nur durch
nen werden. Außerdem ist Signal-Null, über längere Zeit

Änderung an einer Stelle) verwendet. Hierfür gibt es industri-
übertragen, relativ störanfällig.

1228

96 Modulation

Teil

Bitzeile
sel, Binär-Null nach Binär-Null Polaritätswechsel zum Takt-
beginn.

XIII

DM-S-Verfahren: Binär-Null durch Wechsel der Signalpola-

1 0 1 1 0 0 0 1 1 1
rität in Taktmitte, Binär-Eins nach Binär-Null kein Polaritäts-
wechsel, Binär-Eins nach Binär-Eins Polaritätswechsel zum

RZ

Return to Zero

Taktbeginn.

Non Return to

NRZ-L

Vorteile: Die Übertragungsfrequenz ist maximal gleich der

Zero-Level
halben Taktfrequenz. Es ist keine Gleichspannung zu über-

NRZ-M

NRZ-Mark
tragen. Der Takt kann einfach zurückgewonnen werden.

NRZ-S

NRZ-Space

Das DM-Verfahren stellt somit eine optimale Lösung dar.

BI -L
φ

Bi-Phase-Level

Es wird häufig zur Ton- und Messwertaufzeichnung auf Ma-
gnetbandspeichern eingesetzt, weil auch die Speicherung von

BI -M
φ

Bi-Phase-Mark

Gleichgrößen möglich ist. Weiterhin findet es Anwendung bei

BI -S
φ

Bi-Phase-Space
der Telefon-Sprachübertragung und der PCM-Telemetrie.

Delay-Modulation-

DM-M

Mark

96.4.4.8

Deltamodulation (DM) und

DM-S

DM-Space

Differenz-Pulscodemodulation (DPCM)

Clock

Takt

Das übertragene Signal weist einen beträchtlichen Teil an Red-
undanz auf, weil sich aufeinanderfolgende Abtastwerte im All-

Abb. 96.35 Verwendete Formate bei der Pulscodemodulation (nach [19])

gemeinen nur geringfügig voneinander unterscheiden. Es liegt
deshalb nahe, nur jeweils deren Differenz, codiert mit wenigen

Bit, zu übertragen. Damit können die Bitrate und die erforderli-
che Bandbreite des Übertragungskanals verringert werden.

NRZ-Verfahren (not return to zero): Es gibt kein Signal-Null,
sondern Signal-Plus-Eins und Signal-Minus-Eins, z. B. C5

Deltamodulation (DM): Es wird jeweils nur ein Bit übertra-
und 5 V.

gen, das das Vorzeichen der Änderung zum vorhergehenden

NRZ-L (L von level): Binär-Eins als Signal-Plus-Eins oder

Wert enthält. Unterscheiden sich allerdings zwei benachbarte

Signal-Minus-Eins, Binär-Null entgegengesetzt.

Werte um mehr als ein Bit, kommt es zu einer Steigungs-

NRZ-M (M von mark): Binär-Eins als Signaländerung,
überlastung (engl. slope overload). Das codierte Signal kann

Binär-Null als keine Signaländerung.

dem Basisbandsignal nur verzögert folgen, da pro Abtastung

NRZ-S (S von space): Binär-Null als Signaländerung, Binär-
immer nur die kleinste Stufenhöhe zur Verfügung steht. Dar-

Eins als keine Änderung.

aus resultiert ein Quantisierungsgeräusch besonderer Art, das

Nachteile: Keine Taktinformation bei Aufeinanderfolge

Granulargeräusch (engl. granular noise). Man kann diesen
mehrerer gleicher Bits. Es müssen Gleichspannungen über-

Effekt dadurch verringern, dass man die Abtastfrequenz er-
tragen werden.

höht.

Vorteil: Die Übertragungsfrequenz ist höchstens halb so groß

Delta-Sigma-Modulation: Das modulierende Signal wird zu-
wie die Taktfrequenz.

nächst einem Integrierglied zugeführt, an dessen Ausgang

Bi-Phase-Verfahren: Die Binärzeichen werden mit zwei un-
die steilen Signalanstiege flacher sind. Damit kann der Delta-
terschiedlichen Perioden (Frequenzen) dargestellt, deshalb

Modulator den Signalverlauf ohne Steigungsüberlastung dar-
wird es auch mit Zweifrequenzverfahren oder double fre-
stellen. Im Empfänger wird das demodulierte Signal über ein
quency method bezeichnet.

Differenzierglied geführt, um die im Sender erfolgte lineare

Bi-Phase-L (Bi˚ -L): Binär-Eins als Wechsel von Signal-

Signalverzerrung rückgängig zu machen.

Plus-Eins nach Signal-Minus-Eins in Taktmitte. Binär-Null

Adaptive Deltamodulationsverfahren: Hier gibt es eine Men-
als Wechsel von Signal-Minus-Eins nach Signal-Plus-Eins in
ge von Verfahren zur Codierung. So kann man beispielsweise

Taktmitte.

bei einer bestimmten Anzahl aufeinanderfolgender positiver

Bi-Phase-M (Bi˚ -M): Binär-Null durch Wechsel der Signal-

Impulse (z. B. drei) die Quantisierungsstufenhöhe verdop-
polarität zum Taktende bzw. Taktanfang, Binär-Eins durch
peln, beim Auftreten einer entsprechenden Anzahl negativer
zusätzlichen Wechsel in Taktmitte.

Impulse wieder halbieren. Damit lässt sich bei gleicher Ab-

Bi-Phase-S (Bi˚ -S): Darstellung invers zu Bi-Phase-M.

tastfrequenz die Steigungsüberlastung verringern.

Nachteil: Die Übertragungsfrequenz ist maximal gleich der

Differenz-Pulscodemodulation (DPCM): Bei diesen vorwie-

Taktfrequenz.

gend zur Fernsehbildübertragung eingesetzten Verfahren

Vorteile: Es ist keine Gleichspannung zu übertragen. Der
werden zwei aufeinanderfolgende Abtastwerte je nach de-

Takt kann einfach zurückgewonnen werden.

ren Differenz auch mit mehr als einem Bit codiert. Treten

DM-Verfahren (D von delay, auch Miller-Code):

allerdings große Differenzen in der Bildhelligkeit auf, wer-

DM-M: Binär-Eins durch Wechsel der Signalpolarität in
den ihnen nur wenige Bit zugeordnet, da das Auge für diese

Taktmitte, Binär-Null nach Binär-Eins kein Polaritätswech-

Änderungen wenig empfindlich ist.

Filter

XIII

97

Wilfried Plaßmann

Teil

97.1 Einfache passive R-C-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1230

97.2 Weitere Ausführungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235

97.3 Allgemeiner Filterentwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1229

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_97

1230

97 Filter

Teil

97.1

Einfache passive R-C-Filter

Bandsperre, wenn alle im Signal enthaltenen Frequenzantei-
le außer denen in einem meist eng begrenzten Frequenzbe-

XIII
reich durchgelassen werden.

Die Ableitungen setzen sinusförmige Signale und den einge-
schwungenen Zustand im Netzwerk voraus.

Der Übergang vom Sperr- in den Durchlassbereich und umge-
kehrt wird in der Praxis durch die Angabe der Grenzfrequenz
bzw. der Resonanzfrequenz als scharf begrenzt angenommen,
obwohl es sich um einen allmählichen Übergang handelt. Kenn-

97.1.1

Allgemeines
größen für die praktische Anwendung sind:

Grenzfrequenz fg: Frequenz, bis zu der (Tiefpass) bzw. ab

Filter sind Vierpole und werden häufig auch innerhalb dieses
der (Hochpass) die im Signal enthaltenen Frequenzantei-

Themenkreises behandelt. Sie erhalten hier aber im Hinblick auf
le durchgelassen werden. Bei den Filtern erster Ordnung
die speziellen Anwendungen in der Nachrichtentechnik ein ei-
gilt: 1. Der Betrag des Verhältnisses Ausgangs- zu Ein-
genes Kapitel.

gangsspannung ist vom Maximalwert auf das 0,707fache des

Filter grenzen ein gegebenes Frequenzspektrum ein. Damit soll

Maximalwertes abgesunken. 2. Der Phasenwinkel zwischen
eines der folgenden Ziele erreicht werden:

Ein- und Ausgangsspannung beträgt 45° (Tiefpass) bzw.

C45° (Hochpass).

Aus einem Frequenzgemisch mit vielen Signalen wird ein

Durchlassbereich: Frequenzbereich bis zu fg (Tiefpass) bzw.

einzelnes Signal ausgefiltert. Beispiel: Senderauswahl beim
ab fg (Hochpass) bzw. innerhalb der Bandbreite B (Band-

Rundfunk- und Fernsehempfang.

pass).

Ein vorhandenes Signal wird so verändert, dass es weniger

Sperrbereich: Frequenzbereich ab fg (Tiefpass) bzw. bis zu fg

Bandbreite im Übertragungskanal benötigt; die damit ver-

(Hochpass) bzw. innerhalb der Bandbreite B (Bandsperre).

bundene Signalverfälschung muss vertretbar sein. Beispiel:

Phasenwinkel ' g: Phasenwinkel bei der Grenzfrequenz fg.

Farbfernsehübertragung; hier können nicht alle darstellbaren

Grad (Ordnung) n eines Filters: Höchster im Nenner vor-

Bildpunkte in aufeinander folgenden Bildern unterschiedli-
kommender Exponent der Kreisfrequenz ! für das Verhältnis
che Farben und unterschiedliche Helligkeiten aufweisen.

von Ausgangs- zu Eingangsspannung, wenn der Zähler eine

Eine oder mehrere Frequenzanteile sollen gezielt aus dem

Konstante ist. Er wird vorwiegend für Hoch- und Tiefpassfil-

Spektrum entfernt werden. Beispiel: Störsignale mit Netz-
ter angegeben. Beispiel: Tiefpassfilter 3. Grades U

D
aus= U ein
frequenz 50 Hz.

A 0=. j!3 B!2 C Dj! C E/; A 0, B, D, E, Konstante, dimen-

Um die Eigenschaften eines Filters zu charakterisieren, werden
sionslos oder Kombinationen aus R; L und C.

in der Regel das Verhältnis Ausgangs- zu Eingangsspannung

Steigung des Amplitudenganges: Sie wird im Sperrbereich
und die Phasenverschiebung dieses Verhältnisses in Abhängig-
angegeben und ist ein Maß für die Fähigkeit, Frequenzanteile
keit von der Frequenz angegeben. Damit die genannten Größen
außerhalb des Durchlassbereiches zu unterdrücken. Sie wird
über mehrere Dekaden dargestellt werden können, verwendet
bestimmt durch den Grad n des Filters und in dB/Dekade an-
man logarithmische Skalenteilungen.

gegeben. Allgemein gilt: Steigung eines Filters n-ten Grades:

n20 db=Dekade für einen Tiefpass bzw. C n20 db=Dekade

Frequenzgang: Darstellung des Amplitudenverhältnisses von
für einen Hochpass.

Ausgangs- zu Eingangsspannung in Abhängigkeit von der

Bandbreite B: Frequenzbereich, der durchgelassen (Band-

Frequenz (siehe (97.16a) und Hinweis dazu).

pass) bzw. gesperrt (Bandsperre) wird. Sie ist bestimmt

Amplitudenfrequenzgang: Häufig
doppelt-logarithmische
durch den Bereich, in dem die Ausgangsgröße beim Band-

Darstellung des Verhältnisses von Ausgangs- zu Eingangs-
pass zwischen Maximalwert und 0;707 Maximalwert liegt
spannung. Für die Ordinatenbeschriftung gilt:

bzw. bei der Bandsperre zwischen Minimalwert und 1;41

20 lg.j U = U j/ in dB

Minimalwert liegt.

aus
ein

Güte Q: Mass für die Eigenschaften von Bandpass bzw.

(siehe (97.16b) und Hinweis dazu).

Bandsperre im Durchlass- bzw. Sperrbereich. Siehe dazu

Phasengang: Darstellung des Phasenwinkels von Ausgangs-
auch Abb. 97.4.

zu Eingangsspannung in Abhängigkeit von der Frequenz.

Dämpfungsmaß: d D 1= Q

Die Frequenzachse ist logarithmisch, die Phasenachse ist li-

Resonanzfrequenz f 0: Frequenz, die ein Bandpassfilter opti-
near geteilt.

mal durchlässt bzw. eine Bandsperre maximal unterdrückt.

Je nachdem, wie die Frequenzanteile des Originalsignals das

Für die zuletzt genannten Kenngrößen besteht folgende Bezie-

Filter passieren, spricht man von:

hung:

Tiefpassfilter, wenn die im Signal enthaltenen Frequenzan-
teile von Gleichspannung bis zur Grenzfrequenz durchgelas-
f D

0

B Q

(97.1)

sen werden;

Hochpassfilter, wenn ab der Grenzfrequenz die im Signal

Hinweis: In einer verallgemeinerten Filtertheorie spricht man
enthaltenen Frequenzanteile durchgelassen werden;
z. B. auch beim Hoch- und Tiefpass erster Ordnung von Güte

Bandpassfilter, wenn nur die im Signal enthaltenen Fre-
und Resonanzfrequenz. Hier werden dagegen die üblicherweise
quenzanteile eines meist eng begrenzten Frequenzbereiches
in der praktischen Nachrichtentechnik verwendeten Bezeich-
durchgelassen werden;
nungen eingesetzt.

97.1

Einfache passive R-C-Filter

1231

97.1.2

Passive R -C -Filter
a

R
b

R

R

U 1

U

C

2

U 1

C

C

U 2

XIII

Die hier behandelten R- C-Filter lassen sich prinzipiell auch als

R- L-Filter aufbauen. Der Einsatz von Induktivitäten erfordert
besondere Aufmerksamkeit, weil sie stets nichtideal sind (Rei-

Teil
henschaltung aus der Induktivität L und dem Wicklungswider-
c

R

R

R
stand RL/ und bei der Verwendung von Eisen ein nichtlineares

Bauteil vorliegt (die Induktivität L ist über D
r
f . i/ stromab-

U 1

C

C

C

U 2
hängig). Außerdem haben Induktivitäten größere Abmessungen
und lassen sich in Integrierten Schaltkreisen weniger gut ferti-
gen. Aktive RC-Filter werden hier nicht behandelt.

d

U

Im folgenden sind die Eigenschaften einiger Filterschaltungen

2

U
ohne Ableitung aufgelistet. Die Berechnung geschieht entwe-

1

1
der mit der komplexen Rechnung oder unter Anwendung der

1
n

Vierpoltheorie. Es werden sinusförmige Spannungs- und Strom-

= 1

2
verläufe im gesamten Filter vorausgesetzt.

n = 2
n = 3

0
f

97.1.2.1

Passive R -C -Tiefpassfilter

Abb. 97.1 R -C -Tiefpassfilter. a erster (n D 1), b zweiter (n D 2), c dritter

Passive R-C-Tiefpassfilter erster, zweiter und dritter Ordnung:

Ordnung (n D 3), d Amplitudenfrequenzgang

Abb. 97.1 zeigt die Realisierung sowie das Verhältnis von

Ausgangs- zu Eingangsspannung mit linearer Skalenteilung.

Tab. 97.1 Übertragungsverhalten von Tiefpässen erster bis dritter Ordnung

Beispiel 1

Tiefpass erster Ordnung ( n D 1), Abb. 97.1a

U 2

'

Ein Tiefpassfilter dritter Ordnung soll in einer Sinus-
f

U
g

' g

Steigung

1
oszillatorschaltung eingesetzt werden. Dazu muss die

1
arctan ! RC

1

45°

1C j! RC

2 RC

Ausgangsspannung gegenüber der Eingangsspannung bei

Näherung für !
1= RC
einer Frequenz um 180° (Vorzeichen ohne Bedeutung)

1

0°

0
phasenverschoben sein. Das ist genau dann der Fall, wenn

Näherung für !
1= RC
der Imaginärteil des Spannungsverhältnisses U = U Null

2

1

1

D arctan ! RC 90°

20dB
ist. Aus der Tabelle folgt damit: j.6!

j! RC

Dekade

0 RC !3 R 3 C 3/ D

0
p
j!

D

0 RC.6 !2 R 2 C 2/ D 0 und daraus !

6= RC. Die

0

0

Tiefpass zweiter Ordnung ( n D 2), Abb. 97.1b
negative Lösung der quadratischen Gleichung scheidet

U 2

'

Steigung
aus, da es keine negativen Frequenzen gibt. In den ver-

U 1
bleibenden Realteil eingesetzt ergibt sich: U = U .!

1
arctan 3! RC a

2

1

0/ D

1C3 j! RC!2 R 2 C 2

1!2 R 2 C 2

1=29. Die Amplitude der Ausgangsspannung ist bei

Näherung für !
1= RC

!0 auf 1=29 der Amplitude der Eingangsspannung abge-

1

0°

0
sunken, der Phasenwinkel beträgt 180°. Damit ist ein

Näherung für !
1= RC

Verstärker mit der Verstärkung 29 erforderlich.

1

a, b

!

180ı C arctan 3

180ıa, c 40 dB

2 R 2 C 2

! RC

Dekade

Allgemein gilt: Der Übergang vom Durchlass- in den

Sperrbereich ist um so schmaler, je höher die Ordnung

Tiefpass dritter Ordnung ( n D 3), Abb. 97.1c

U
n des Filters ist.

J

2

'

Steigung

U 1

1
arctan 6! RC!3 R 3 C 3 a

1C6 j! RC5!2 R 2 C 2 j!3 R 3 C 3

15!2 R 2 C 2

Näherung für !
1= RC

1

0

0

97.1.2.2

Passive R -C -Hochpassfilter

Näherung für !
1= RC

Passive R-C-Hochpassfilter erster, zweiter und dritter Ordnung:

1

180ı arctan ! RC a, b 270ıa, c 60dB
j!3 R 3 C 3

5

Dekade

Abb. 97.2 zeigt die Realisierung und den Amplitudenfrequenz-
gang.

a tan. x/ D tan. x ˙ n 180ı/; n D 1; 2; 3; : : :;
b erste Näherung;

Das Hochpassfilter dritter Ordnung wird ebenfalls für Sinusos-
c zweite, grobe Näherung, häufig zulässig
zillatorschaltungen eingesetzt und hat gegenüber dem Tiefpass-
filter dritter Ordnung den Vorteil, dass Gleichspannung nicht
durchgelassen wird (wichtig in Transistorschaltungen, bei denen
man die Eingangsspannung des Filters am Kollektor abgreift
und vom Ausgang zur Basis zurückführt).

1232

97 Filter

Teil
a

C
b

C

C
a

R
b

R

C

C

XIII

U 1

R

U 2 U 1

R

R

U 2

U 1

R

U

C

2 U 1

R

C

R

U 2
c

C

C

C
c

R

C

U 1

R

R

R

U 2

U 1

C

R

U 2
d
d

U 2

U 2

U 1

U 1

1

1 n = 3
n = 2
n = 1

2

1

Q = 3

0
f

Abb. 97.2 RC-Hochpassfilter. a erster (n D 1), b zweiter (n D 2), c dritter

0

1
f

Ordnung (n D 3), d Amplitudenfrequenzgang
f 0 = 2 pRC

Abb. 97.3 Bandpass aus Hoch- und Tiefpass. a–c 3 Schaltungen mit identi-

Tab. 97.2 Übertragungsverhalten von Hochpässen erster bis dritter Ordnung
schem Verhalten, d Amplitudenfrequenzgang

Hochpass erster Ordnung ( n D 1), Abb. 97.2a

U 2

'

f

U
g

' g

Steigung

1

97.1.2.3

Bandpass aus R -C -Hoch- und Tiefpassfilter
j! RC

90ı arctan ! RC

1

45°

1C j! RC

2 RC

Nach Abb. 97.3 kann man Hoch- und Tiefpassfilter zusam-

Näherung für !
1= RC
menschalten und erhält drei Filterschaltungen mit identischem
j! RC 90°

20dB

Dekade

Verhalten.

Näherung für !
1= RC

U

1

D 90ı arctan ! RC 0

0

2 D
j! RC

(97.2)

U

1 C 3 j! RC !2 R 2 C 2

1

Hochpass zweiter Ordnung ( n D 2), Abb. 97.2b

D

U

Die maximale Ausgangsspannung ergibt sich für !

1= RC.

2

'

Steigung

0

U 1

Man erhält folgende Näherungen:

!2 R 2 C 2

180ı arctan

3! RC
a

1C3 j! RC!2 R 2 C 2

1!2 R 2 C 2

20 dB

Näherung für !
1= RC

!
1= RC

)

U 2 j! RC; Steigung

!

U

Dekade

2 R 2 C 2

180ı C arctan 3! RC a, b 180°a, c 40dB

1

Dekade

U

20 dB

Näherung für !
1= RC

!
1= RC

)

2

1

; Steigung

(97.3)

U
j! RC

Dekade

1
arctan 3 a, b

1

!

0a, c

0

RC

Wegen der geringen Steigung außerhalb des Durchlassbereiches

Hochpass dritter Ordnung ( n D 3), Abb. 97.2c
wird diese Filterschaltung nur selten eingesetzt. Die Steigung

U 2

'

Steigung

U

20 dB/Dekade bedeutet, dass bei einer Frequenzverzehnfa-

1
j!3 R 3 C 3

270ı arctan 5! RC!3 R 3 C 3 a
chung die Ausgangsspannung auf 1=10 sinkt. Die Forderungen

1C5 j! RC6!2 R 2 C 2 j!3 R 3 C 3

16!2 R 2 C 2
in der Nachrichtentechnik zur Senderselektion dagegen lau-

Näherung für !
1= RC
ten, dass bei einer Frequenzänderung von ˙1 % gegenüber der
j!3 R 3 C 3

270ı arctan 5! RC a, b 270°a, c 60dB

Dekade

Resonanzfrequenz f D

0

!0=2 die Amplitude der Ausgangs-

Näherung für !
1= RC
spannung um den Faktor 101 . . . 104 kleiner wird.

1

90ı arctan ! RC a, b 0a, c

0

6

Beispiel 2
a tan. x/ D tan. x ˙ n 180ı/; n D 1; 2; 3; : : :;
b erste Näherung;

D
c

Ein Sender mit der Frequenz f

1;000 MHz soll emp-
zweite, grobe Näherung, häufig zulässig

0
fangen werden, ein Nachbarsender mit der Frequenz f D

N

1;010 MHz stört den Empfang und soll mit einem Fil-
ter unterdrückt werden. Beide Sender haben die gleiche

97.1

Einfache passive R-C-Filter

1233
a

I
b

Amplitude. Am Ausgang des Filters soll die Amplitude

I
des Nachbarsenders auf 101 derjenigen des zu empfan-

R

U
r

R

XIII

I
genen Senders abgesunken sein. Verwendet werden soll

L

I

I

C

R

U
ein Bandpassfilter aus R- C-Hoch- und Tiefpassfilter. Mit

U

U

L

L

C

R P

Teil

(97.2) ergibt sich für das Verhältnis von Nachbarsignal-

L
amplitude zu Empfangssignalamplitude am Ausgang des

U C

Filters mit f

D

C

N

1;010 MHz D 1;000 MHz 1;01 D
f

0

1;01:

ˇ
c
d

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ U

ˇ

ˇ
j!

ˇ
aus j

N R C

U

U

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

U
fN

1C3 j! N R C!2 R 2 C 2
ěin Ď ˇ

N

ˇ

ˇ U

ˇ

ˇ

ˇ
aus j ˇ

ˇ
j!0 R C

ˇ

1

V

1 V

U
f 0

ein

1C3 j!0 R C!2 R 2 C 2

0

ˇˇ

ˇ

Q 1

Q 1

ˇ
j!0 R C1;01

ˇĎ ˇ 1C3 j!0 R C1;01.! R C/21;012

ˇ

0

ˇ

0,5

,5

0

ˇ
j

ˇˇ

Q 2

Q 2

1C3 j1

!0D1= RC

ˇˇ

ˇ
j1;01

ˇ

1;01
p

D ˇˇ 1C3 j1;011;012 Ď

.0;0201/2C.31;01/2

0,6 0,8

1

1,2 1,4 ω

0,6 0,8

1

,2

1

,4

1
ω

ˇ

ˇ
j

ˇ

1
ω 0
ω 0

3 j

3

1;01
p

Abb. 97.4 Schwingkreise als Bandfilter. a Reihenschwingkreis, b Parallel-

9;1813 3 1;01 0;99997

1
schwingkreis, c Spannung am Parallelschwingkreis bei Stromeinprägung bei

3;0301

3

Q2 D 2Q1, d wie c, aber auf den Maximalwert normiert

Waren beide Amplituden am Filtereingang gleich groß,

Tab. 97.3 Formeln zum Parallel- und Reihenschwingkreis
hat sich die Amplitude des Nachbarsenders am Filter-
ausgang auf das 0,99997fache der Amplitude des emp-

Reihenschwingkreis

Parallelschwingkreis
fangenen Senders „verringert“. Die gestellte Forderung

Allgemeine

I D

U 0

U D I

1

R

0 1
r C j.! L 1

! /

C j.! C 1 /

C

Rp

! L
ist mit dieser Filterschaltung nicht zu erfüllen. Theore-

Beziehung

Speisung aus einer Span-

Speisung aus einer Strom-
tisch könnte man eine Vielzahl solcher Filterschaltungen
nungsquelle mit der
quelle mit dem Strom I 0
hintereinanderschalten (Kettenschaltung, siehe Kap. 93).

Spannung U 0

Das ergäbe dann n D lg.101/= lg.0;99997/ 76:752

Resonanz für I.!

0/ D U 0

U D I

R

R
p
r

0

Bandpässe. Dieses Konzept ist technisch nicht ausführbar,

Imaginärteil

D

D

U D U ; U D

U 0

;

I

I ; I

I

R
j!

R

0

C

0
p

0 C;

R

0

C

Rr j!0 C

D

1
selbst wenn man von einer konstanten Resonanzfrequenz
von Z D 0:

I

I

R

L

0
p j!

) ! D 1

D U 0

0 L
p

U
j!

L

R

0 C
j j D j j
ausgeht.

J

0
r

I

I

LC
j U j D j U j

C

L

C

L
q
q

Güte Q

Q D !0 L D

1

D 1

L

D Rp D

C
r

Q

R

R
p
p!0 C D Rp
r

Rr !0 C

Rr

C

!0 L

L

Dämpfungs-
d D 1= Q
d D 1= Q

Die im Beispiel 2 gestellte Forderung kann aber mit ver-
maß d
gleichsweise geringem Aufwand mit LC-Schwingkreisen erfüllt

Bandbreite B B D f 0

B D f 0

Q

Q
werden.

97.1.2.4

R -L -C -Bandpass und -Bandsperre
damit um einen Bandpass, der im weiteren betrachtet werden
soll.

Bandpass und Bandsperre werden als Reihen- bzw. Paral-
lelschwingkreis realisiert. Setzt man mehrere derartige Filter

Die Güte beeinflusst sowohl die Höhe der Spannung im Reso-
ein, spricht man von Bandfiltern (siehe unten). Beim Rei-
nanzfall als auch die Bandbreite B. Die Güte wird bestimmt
henschwingkreis erfasst der ohmsche Widerstand R
durch den ohmschen Widerstand und das Verhältnis C= L: Je
r
nach

Abb. 97.4a den Wicklungswiderstand der Spule und eventuell
größer Rp und je größer C im Verhältnis zu L ist, um so größer
den zum Kondensator parallel liegenden Isolationswiderstand,
ist die Güte Q. In der Empfängertechnik (z. B. bei Rundfunk-
der in einen Reihenwiderstand umgerechnet worden ist. Beim
und Fernsehempfängern) werden Schwingkreise als Bandpass

Parallelschwingkreis rechnet man den zur Spule in Reihe liegen-
eingesetzt, um aus einer Vielzahl von zur Verfügung stehen-
den Wicklungswiderstand in einen Parallelwiderstand um und
den Sendern einen auszuwählen. Je größer die Güte ist, um
fasst ihn mit dem Isolationswiderstand des Kondensators zu R
so wirkungsvoller werden störende benachbarte Sender unter-
p
zusammen (Abb. 97.4b). Formeln siehe Tab. 97.3.

drückt. Allerdings sinkt auch die Bandbreite, die aber einen
bestimmten Wert nicht unterschreiten darf (siehe Modulation).

In der Nachrichtentechnik werden häufig Parallelschwingkreise

Damit beide Eigenschaften gleichzeitig genutzt werden kön-
eingesetzt, die im Kollektorkreis eines Transistors liegen und
nen, wird ein Weg nach Abb. 97.5 gewählt. Man verwendet
deshalb von einer Stromquelle gespeist werden. Es handelt sich
mehrere Schwingkreise, bei denen die Güte möglichst groß

1234

97 Filter

Teil
a
b Summendurchlaßkurve

(idealisiert)

Nach einigen Umformungen und der Bedingung, dass für

XIII

1
dieses Verhältnis der Wert 1=10 gelten muss, folgt:

0,707

ˇˇ ˇ

ˇ U ˇ

ˇ f ˇ

N Ď

1
v

B
u

f

ˇ U ˇ

f
f
u

1;012 !2 L C 1 2
r

0
u

0
t1 C R 2 p

1;01 !

0

L

„
ƒ‚

…

c

+ U B

D99

2

D 1

)

1;012 1

R 2

D 99

10
p

1;01 !

0

L
p

Daraus ergibt sich: Rp. 1;0121 /2 D

99; und schließ-

1;01!0 L

R
lich:

p

!

500. Das ist aber nach Tab. 97.3 die Güte Q

0 L
des Schwingkreises. Ein Wert in dieser Größenordnung
ist in der Praxis kaum erreichbar, kann aber mit zwei hin-
tereinandergeschalteten Schwingkreisen nach Abb. 97.5c
realisiert werden. Allerdings muss überprüft werden, ob

Abb. 97.5 Durchlasskurve mit mehreren Bandfiltern. a zwei Bandfilter zur Er-
die aus Q = 500 folgende Bandbreite nach Tab. 97.3 für
höhung der Bandbreite, b fünf Bandfilter für die Restseitenbandübertragung
eine Signalübertragung ausreicht: B D f 0 D 1;000 MHz D

(Fernsehen), c Schaltungstechnische Realisierung

Q

500

2 kHz. Ist eine größere Bandbreite gefordert, lässt sich ein

Bandfilter nach Abschn. 97.1.2.5 einsetzen.

J
und die Bandbreite demzufolge zu klein ist (siehe auch der
folgende Abschn. 97.1.2.5 „Bandfilter“). Erreicht wird damit

97.1.2.5

Bandfilter
eine gute Unterdrückung von Nachbarsendern. Um die gefor-
derte Bandbreite zu realisieren, verwendet man mehrere Filter,

Setzt man zwei Filter ein, die magnetisch (gekennzeichnet durch
deren Resonanzfrequenzen geringfügig gegeneinander verscho-
die Gegeninduktivität M in Abb. 97.6a) oder kapazitiv gekoppelt
ben sind. Als resultierende Durchlasskurve ergeben sich die in
sind, spricht man von einem Bandfilter. Je nach Kopplungsgrad

Abb. 97.5 dargestellten Formen. Auf diese Weise wird auch
erhält man als resultierende Filterkurve die in Abb. 97.6b darge-
die in der Fernsehempfangstechnik verwendete Filterkurve für
stellten Verläufe. Vom Transformator werden folgende Begriffe
die Restseitenbandübertragung erreicht (Kap. 96 „Modulation“,
übernommen:

Abb. 96.9).

M

Kopplungsfaktor
k D p

(97.4)

L 1 L 2

Beispiel 3

M Gegeninduktivität in H; L 1, L 2 Induktivität der Primär- bzw.

Sekundärwicklung in H.

Es gelten die gleichen Vorgaben wie im Beispiel 2. Als

Weiterhin gilt auch:

Filter soll ein Parallelschwingkreis verwendet werden,
p
der im Kollektorkreis eines Transistors angeordnet ist

Kopplungsfaktor
k D

1

(97.5)

und damit für beide Frequenzen von einer Stromquelle
p
angesteuert wird. Mit ! D

0

1= LC folgt für das Span-

Streufaktor.

nungsverhältnis:

Es ergeben sich die unterschiedlichen Resonanzkurven nach

ˇˇ

ˇ

Abb. 97.6b.

ˇ

ˇ

ˇ

ˇˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Man unterscheidet: a) k < d: unterkritische Kopplung; b) k D d:

ˇ

ˇ

ˇ I

1

ˇ
kritische Kopplung; c) k > d: überkritische Kopplung ( d siehe

ˇ U ˇ

ˇ

1 C j.!

/ ˇ

ˇ f ˇ

0 1;01 C

1

N

D ˇ

Rp

!01;01 L

Ťab. 97.3). Ist das Dämpfungsmaß d D 1= Q (manchmal auch

ˇ

ˇ

U ˇ

ˇ

ˇ
f

ˇ I

1

ˇ

0

ˇ
als Dämpfungsfaktor bezeichnet) beider Schwingkreise unter-

ˇ

ˇ

1 C

C

1

/

ˇ
j .!

R

ˇ
p

0

!

schiedlich, spricht man anstatt der kritischen Kopplung ( k D d)

ˇ

0

L

„
ƒ‚

… ˇˇ
p
auch von transitionaler Kopplung und definiert den Kopplungs-

D0

!0D1= LC

ˇ
faktor k tr wie folgt:

ˇ

ˇ

1

ˇ

ˇ

1 C j.!

/ ˇ
transitionaler Kopplungsfaktor

D ˇ Rp

0 1;01 C

1

!

ˇ

01;01 L

ˇ

ˇ

1
ř

1

ˇ

Rp

1
k D

C
tr

. d 2
d 2/ für kritische Kopplung

(97.6)

2

1

2

97.2

Weitere Ausführungsformen

1235
a

+ U

Bandbreite bei einem einzelnen Schwingkreis:

B

+ U B

L 1 L 2

˝ D
ein

1

)

B D f 0= Q

(97.10)

XIII

Bandbreite bei unterkritischer Kopplung ( k= d < 1): Mit (97.9)

Teil
und einigen Umformungen ergibt sich:

M
v
u
s
u

k 4

˝ D t k 2

un

1 C

2 1 C

0;64
d 2
d 4
k 2
mit

1; k 4
1 ) B
un

0;64 f 0= Q

(97.11)

d 2
d 4
b
u

Die Bandbreite bei unterkritischer Kopplung (Näherungen nach

(97.11) müssen erfüllt sein) ist also nur 64 % derjenigen eines

Einzelkreis
einzelnen Schwingkreises.

B
k > 1
d
k

Bandbreite bei kritischer Kopplung

B

( k= d D 1):

= 1
d

B
q
k
p

< 1
d

˝ D

D
kri

2 2 D 1;41

)

B kri

1;41 f 0= Q (97.12)

B

0

Ω

Die Bandbreite ist um den Faktor 1,41 größer als bei einem Ein-
zelkreis.

Abb. 97.6 Bandfilter. a Realisierung mit Transistorschaltung, b Resonanzkur-
ven bei unterschiedlicher Kopplung

Bandbreite bei überkritischer Kopplung ( k= d > 1):

s
k 2
k

˝ D ˙

C 2 1

(97.13)

In allen anderen Fällen gilt:

üb
d 2
d

Dämpfungsmaß bei Bandfiltern:

Allerdings darf der Sattelpunkt bei ˝ D 0 nicht unter dem
p

Wert 0;707 Maximalwert liegen, weil man sonst nicht mehr
d D
d 1 d 2

(97.7)

von Bandbreite sprechen kann. Das wird erreicht für k= d 2;4,
sodass folgt:

Normierte Verstimmung ˝: Bei der Betrachtung von Schwing-
kreisen wird vorteilhaft die normierte Verstimmung ˝ einge-

˝

üb max

3

)

Büb max

3 f 0= Q

(97.14)

setzt:

Wenn der Sattelpunkt also 3 dB unter dem Maximalwert liegt,
f
f
f 2 f 2

˝ D

0

Q v D Q

D Q

0
ist die Bandbreite etwa dreimal so groß wie bei einem Einzel-
f 0
f
f f 0

kreis (Abb. 97.6b).

. f C f
f

0/. f f 0/

Q

Q 2 f 0
f 2
f 2

0
f f 0

0

97.2

Weitere Ausführungsformen

Q 2 f Q B ) ˝ D 1 mit Q B D f 0 (97.8)

f 0
f 0

Der technische Fortschritt hat durch die Ergebnisse der Digital-
v Verstimmung, f 0 Resonanzfrequenz in Hz.

technik, durch die Fertigung Integrierter Schaltkreise und durch
die Umsetzung theoretischer Ergebnisse in die Praxis zu neuen

Für die Spannung am zweiten Schwingkreis errechnet sich:

Filterprinzipien geführt. Einige davon sollen in ihrer grundsätz-

I R
lichen Wirkungsweise vorgestellt werden. Für die Entwicklung
p

2 k

U D
d
r

I d D 1 (97.9) von Filterschaltungen ist eine weitergehende Einarbeitung er-

2

Q

1 C k 2

2˝2 k 2 1 C ˝4
forderlich.

d 2
d 2

Abb. 97.6b stellt die unterschiedlichen Filterkurven einander
gegenüber. Ein Einzelkreis hat zwar die höhere Spannung

97.2.1

Quarzfilter, keramische Filter
gegenüber einem Bandfilter, aber dessen Bandbreite ist bei
unterkritischer Kopplung kleiner. Die Bandbreite nimmt bei

Quarzfilter und keramische Filter nutzen die Eigenschaften ei-
überkritischer Kopplung gegenüber dem Einzelkreis zu. Die
nes Quarzes als Reihen- oder Parallelschwingkreis. Bei kerami-
normierte Verstimmung berechnet sich jeweils dadurch, dass die
schen Filtern sind neben den Quarzen noch L- C-Schwingkreise

Spannung in (97.9) auf den Wert 0,707 gegenüber dem Maxi-
vorhanden. Quarze haben zwei Resonanzfrequenzen, eine Rei-
p
malwert abgesunken ist.

henresonanzfrequenz f D
r

1=2 LCr (Abb. 97.7a) und eine

1236

97 Filter

Teil
a

C
a
p
u Digitaler u

/# 1

2 #/

XIII

Filter
u a
f ab

R

L

C r
b
τ
τ
τ
τ
b

C
u
k = 56 pF

1
a 0
a 1
a 2
a 3
a n-1

SFZ
n

460A
a u

0 1

·
a u

1 1

·
a u

2 1

·
a u

3 1

·
a u

·

= k · u
n-1

1

1
u
u
e
a

= ·
k u

2

3

4

1 = k · u 1 = k · u 1 = k · u 1
u 2
c + U B

Multiplizierer
τ Verzögerungsglied

Addierer
c
u 2

8,75 V

9.375 V
d

+ U E

10 V

56 k

7,5 V

3,3 k

12 k

5 V

ZF-

CFT 455
τ

2 τ

3 τ

4 τ t

Eing.

100 n

3,9 k

100 n

18 k 1 k

1 k

Abb. 97.8 Prinzip digitaler Filter am Beispiel eines Tiefpasses. a Filter mit Peri-
pherie, b Digitales Tiefpassfilter, nichtrekursiv, c Verlauf der Ausgangsspannung

Abb. 97.7 Quarzfilter, keramische Filter. a Ersatzschaltbild eines Quarzes,
b Quarzfilter (Fa. Stettner), c Keramikfilter, Innenaufbau (Fa. Murata), d Schal-
tungsauszug mit Filter nach c

Filter ist für den Einsatz in Kurzwellenempfängern bei Am-
plitudenmodulation (AM) und mit einer Zwischenfrequenz von
p

460 kHz entwickelt worden.

Parallelresonanzfrequenz f

D

C
p

1=2 L Cr Cp=. Cr

Cp/,

Die Bandbreite von 4,5 kHz eignet sich für einseitenbandmo-
die sehr dicht beieinander liegen. Für den Quarz SQ 4815
dulierte Trägerschwingungen mit einer Nutzsignalbandbreite

(Fa. Valvo) gilt für die in Abb. 97.7a eingetragenen Größen:

von 4,5 kHz oder für zweiseitenbandmodulierte Trägerschwin-

L D 100 mH, C

D

D
r

0;015 pF, Cp

5 pF, R D 100 (,
gungen mit einer dann für Sprachübertragung ausreichenden
f D
r

4 MHz. Das ergibt nach Tab. 97.3 für den Quarz in Rei-
p

Signalbandbreite von 2,25 kHz. Abb. 97.7c, d zeigt die Innen-
henresonanz eine Güte Q D .1= R/ L= C

D
r

26:000 und schaltung des Keramikfilters vom Typ CFT 455 (Fa. Murata)

eine Bandbreite B D 154 Hz. Die hohe Güte von Quarzen
und dessen Einsatz in einer elektronischen Schaltung. Die An-
bewirkt eine relativ geringe Bandbreite, die häufig zur Signal-
ordnung der Anschlüsse ist in beiden Bildern gleich. Diese Filter
übertragung nicht ausreicht. In einem Quarzfilter werden in
sind z. B. mit 15 Resonatoren erhältlich (Typ CFS 455). Die
der Regel mehrere Quarz-Schwingkreise nach der Art eines

Bandbreite kann ausgewählt werden, sie wird durch einen an-

Bandfilters so zusammengeschaltet, dass für eine vorgegebene
gehängten Buchstaben gekennzeichnet, z. B. CFT 455 F, F be-

Frequenz die Impedanz besonders groß ist. Die Resonanzfre-
deutet 8,4 kHz. Die Zahl der Quarzresonatoren legt die Steilheit
quenzen der Einzelquarze werden geringfügig gegeneinander
der Filterkurve außerhalb der Mittenfrequenz fest, während über
verschoben, um nach Abb. 97.5a eine ausreichende Bandbrei-
die Koppelkondensatoren (Abb. 97.7b, c) bzw. die Schwingkrei-
te zu erhalten. So ergeben sich für das Bandfilter F 480 (Fa.

se die Bandbreite eingestellt wird.

Quarzkeramik) folgende Werte: Resonanzfrequenz 142,5 kHz;

Bandbreite 1440 Hz; bei einer Frequenz .142;5 ˙ 2;5/ kHz ist
die Ausgangsspannung auf 1=10:000 derjenigen bei der Reso-
nanzfrequenz abgesunken.

97.2.2

Digitale Filter

Für das in Abb. 97.7b dargestellte Quarzfilter SFZ 460 A (Fa.

Stettner) werden bei einem Koppelkondensator C D
k

56 pF fol-

Die Theorie digitaler Filter würde den Rahmen dieses Bu-
gende Daten angegeben: Mitten-(Resonanz-)Frequenz 460 kHz,
ches sprengen, deshalb soll die prinzipielle Wirkungsweise nach

Bandbreite 4,5 kHz, bei einer Eingangsfrequenz von .460 ˙ Abb. 97.8 am Beispiel eines Tiefpassfilters erläutert werden.

10/ kHz sinkt die Ausgangsspannung auf typisch 0,056 des

Abb. 97.8a stellt das Filter mit zugehöriger Peripherie dar.

Wertes bei der Mittenfrequenz 460 kHz. Über den Wert des

Das zu filternde Signal mit der Spannung ue wird nach dem

Koppelkondensators kann nach Abschn. 97.1.2.5 und Abb. 97.6

Durchgang durch ein Antialiasing-Filter zur Frequenzbandbe-
die Bandbreite in gewissen Grenzen eingestellt werden. Dieses
grenzung mit der Frequenz f ab abgetastet und in eine digital

97.2

Weitere Ausführungsformen

1237
kodierte Spannung u 1 umgesetzt. Diese gelangt auf das digitale
a
i

R
i

Filter, dessen Prinzip im Abb. 97.8b gezeigt ist. Die Aus-

^
gangsspannung u

=

2 des Filters wird wieder in einen Analogwert
u 1
u
u

2

1
u 2

XIII
umgesetzt und bei Bedarf von eventuell vorhandenen, durch

C
die Digital-Analog-Umsetzung hervorgerufenen höherfrequen-

Teil
ten Signalanteilen, befreit und steht als ua zur Verfügung.

b

Zur Erläuterung der Wirkungsweise des digitalen Filters nach

Abb. 97.8b soll die Spannung u 1 für t < 0 den Wert 0 haben
und zum Zeitpunkt t D 0 auf den Wert U 0 springen. Sie gelangt
u 1

C
u 2
auf eine Laufzeitkette mit den Einzelverzögerungszeiten . Die

Ausgangsspannung u 2 wird durch Summation der Ausgangs-
spannungen der Verzögerungsglieder gebildet, nachdem diese
noch mit den Faktoren a
c
n multipliziert worden sind. Für das

R

Beispiel gilt: k D 0;5; a D

D

0
k D 0;5; a 1
k 2 D 0;52 D 0;25;
a D

D

D

2
k 3 D 0;53 D 0;125 usw.; u 1

U 0

10 V. Dann gilt für

C

=

^

C R

C
die Ausgangsspannung u 2:

t D 0 : : : W
u

D

D

D

D

2;0
a 0 u 1
k u 1

0;5 u 1

5 V
t D : : : 2 W
u

C

Abb. 97.9 Filter mit geschalteten Kapazitäten (SC-Filter). a Darstellung eines

2; D a 0 u 1
a 1 u 1

Widerstandes R , b Realisierung in CMOS-Technologie, c Tiefpass erster Ordnung

D k u C

D

1
k 2 u 1

5 V C 2;5 V D 7;5 V
t D 2 : : : 3 W u

C

C

2;2 D a 0 u 1
a 1 u 1
a 2 u 1

D

Die Spannung u
k u C

C

D

2 verläuft gemäß der Sprungantwort eines Hoch-

1
k 2 u 1
k 3 u 1

8;75 V
passfilters.

t D 3 : : : 4 W u

C

C

C

2;3 D a 0 u 1
a 1 u 1
a 2 u 1
a 3 u 1

D

Die Operationen „Multiplizieren“ und „Summieren“ der Di-
k u C

C

C

1
k 2 u 1
k 3 u 1
k 4 u 1
gitalwerte nach Abb. 97.8b geschehen in einem Rechner, bei

D 9;375 V
dem man durch entsprechende Programmierung die Filtercha-

In Abb. 97.8c ist der Verlauf der Spannung u
rakteristik wählen bzw. ändern kann. Außerdem sind die Filter-

2 eingetragen.

Sind theoretisch unendlich viele Verzögerungsglieder vorhan-
eigenschaften nicht von Bauteiletoleranzen bzw. -änderungen
den, geht die Spannung u
abhängig. Für die Nachrichtentechnik sind diese Filter nur

2 gegen den Wert 10 V, wenn man die

P1

Formel

. 1/ k D 1 verwendet. Der in Abb. 97.8c gezeigte begrenzt verwendbar, weil bei hohen Signalfrequenzen die er-
k D1 2

Verlauf der Ausgangsspannung ist der digital codierte Verlauf
forderliche Anzahl von Rechenoperationen zeitlich nicht mehr
der Funktion u D
durchführbar ist.

2

10 V.1 exp. t= T//. Er entspricht damit der

Sprungantwort eines Tiefpassfilters. Über die Verzögerungszeit

Folgende zwei Arten von Filtern werden unterschieden:

wird die Grenzfrequenz des Filters eingestellt. In der Praxis
wird man den idealen Verlauf durch eine endliche Anzahl von

Nichtrekursive Filter: Die Ausgangsspannung u 2 wird nicht

Verzögerungsgliedern annähern.

auf das Filter zurückgeführt.

Durch entsprechende Wahl der Koeffizienten a

Rekursive Filter: Die Ausgangsspannung u 2 gelangt auf eine

0; a 1; a 2; : : : las-
sen sich verschiedene Filtercharakteristiken einstellen. Hier-
zweite Laufzeitkette, deren Ausgangsspannungen auf un-
in liegt auch die große Bedeutung der digitalen Filter. Soll
terschiedliche Punkte innerhalb des Filters zurückgeführt
beispielsweise das soeben dargestellte Tiefpassfilter in ein
werden. Auf diese Weise lassen sich sehr komplexe Filter-

Hochpassfilter umprogrammiert werden, sind die Koeffizienten
funktionen erreichen.

a 0; a 1; a 2; : : : folgendermaßen einzustellen, wenn k D 0;5 un-
verändert übernommen wird: a D C

D

0
k 0 D 1; a 1
k 1 D

0;5; a D

D

2
k 2 D 0;52 D 0;25; a 3
k 3 D 0;53 D

97.2.3

Filter mit geschalteten Kondensatoren,

0;125; usw. Damit ergibt sich für u 2:

SC-Filter
t D 0 : : : W
u

D

D

D

D

2;0
a 0 u 1
k u 1

1 u 1

10 V
t D : : : 2 W
u

C

2; D a 0 u 1
a 1 u 1

D 1 u

D

Das Prinzip dieser Filter (engl. s witched c apacitor filter) ist in

1
k u 1

10 V 5 V D 5 V

Abb. 97.9a dargestellt.

t D 2 : : : 3 W
u

C

C

2;2 D a 0 u 1
a 1 u 1
a 2 u 1

D

Der Schalter schaltet periodisch zwischen den beiden Stellun-

1 u

1
k u 1
k 2 u 1
gen hin- und her mit einer Frequenz f ( f D 1= T), die wesentlich

D 10 V 5 V 2;5 V D 2;5 V
größer ist als die höchste Signalfrequenz der Spannung u 1. Auf
t D 3 : : : 4 W
u

C

C

C

2;3 D a 0 u 1
a 1 u 1
a 2 u 1
a 3 u 1
dem Kondensator entstehen Ladungsänderungen Q D C. u 1

D
u
u

1 u

2/, die einen mittleren Strom N i D Q= T D C. u 1

2/= T

1
k u 1
k 2 u 1
k 3 u 1
vom Eingang zum Ausgang zur Folge haben. Dieser Strom ent-

D 1;25 V
spricht einem Widerstand R der Größe R D . u

1
u 2/=N i D T= C.

1238

97 Filter

Teil

Tab. 97.4 Auswahl industriell gefertigter SC-Filter

Typ

Hersteller

Filtertyp

Ordnung

Taktfrequenz

XIII

MAX 262

Maxim

Universalfilter

2 2ter Ordnung

40 Hz . . . 4 MHz

MF 10

National

Universalfilter

2 2ter Ordnung

10 Hz . . . 1 MHz

CS 7008

Crystal

Universalfilter

8ter Ordnung

Max. 1 MHz

XR 1003

Exar

Bessel-Tiefpass

4ter Ordnung

100 Hz . . . 1 MHz

MF 6

National

Butterworth-Tiefpass

6ter Ordnung

Max. 250 kHz

TSG 8532

Thomson

Tschebyscheff-Hochpass

6ter Ordnung

5 kHz . . . 1,8 MHz

MF 8

National

Tschebyscheff/Butterworth-Bandpass

2 4ter Ordnung

100 Hz . . . 20 kHz

RM 5614

Reticon

Tschebyscheff-Bandpass

6ter Ordnung

60 Hz . . . 1 MHz

LMF 90

National

Cauer-Bandsperre

4ter Ordnung

10 Hz . . . 3 MHz

Bei einem vorgegebenen Kondensator C kann der Wert von R

Auch wenn es für den Anwender u. U. ungewohnt ist, sollte er
also über die Periodendauer T eingestellt werden. Schaltungs-
den Einsatz von Filter-Entwurfsschaltungen und Simulations-
technisch realisiert werden diese Filter in Form von Integrierten
schaltungen in Erwägung ziehen. DIE optimale Filterschaltung

CMOS-Schaltungen, die aus Schaltertransistoren, Verstärkern
gibt es in der Regel nicht, vielmehr muss aus dem Spektrum der
und Kapazitäten bestehen (Abb. 97.9b). Abb. 97.9c zeigt die
möglichen Filterrealisierungen der für den speziellen Anwen-

Realisierung eines Tiefpassfilters erster Ordnung. Der Wider-
dungsfall geeignete Kompromiss ausgesucht werden.

stand R wird durch den geschalteten Kondensator CR dargestellt.

Die Zeitkonstante ergibt sich damit zu: D C R D C T= C

Es gibt folgende Unterteilung:

R.

Daraus folgen zwei Vorteile dieser Filter:

1. Passive Filter: Sie bestehen aus Kondensatoren, Spulen und

1. Die Zeitkonstante hängt vom Kapazitäts verhältnis ab, nicht
ohmschen Widerständen.

von den Einzelwerten.

2. Aktive Filter: Sie setzen Operationsverstärker, Kondensa-

2. Die Zeitkonstante kann über die Periodendauer T des Tak-
toren und ohmsche Widerstände ein. Spulen finden Ver-
tes eingestellt werden. Tab. 97.4 gibt eine kleine Auswahl
wendung, wenn die reale Spule ( R und L in Reihe) ohne
von industriell gefertigten Filtertypen. Aus der Taktfrequenz

Eisenkern eingesetzt wird. Aktive Filter haben den Vorteil,
erhält man für Tiefpassfilter eine Größenordnung für die
dass sie mit weniger Bauteileaufwand die gleichen Ergeb-

Grenzfrequenz, wenn man sie durch 100 teilt.

nisse erreichen wie passive Filter, allerdings müssen die

Bauteilewerte je nach Schaltung evtl. mit (deutlich) weni-
ger als ˙1 % Abweichung vom errechneten Wert eingesetzt
werden. Das liegt zum Teil daran, dass eine bestimmte

97.3

Allgemeiner Filterentwurf

Filtereigenschaft um so optimaler wird, je mehr man sich
durch die Dimensionierung der Bauteile einer Nullstelle im

Nennerpolynom des Frequenzganges oder einem kritischen

Die Anforderungen an die Eigenschaften von Filterschaltungen

Phasenwinkel des Phasenganges nähert. Ein Erreichen der
werden wesentlich von der Anwendung bestimmt, sodass die im
kritischen Werte führt häufig zur Instabilität des Filters und

Abschn. 97.1 beschriebenen passiven R- C-Filter, bei denen die
zum Schwingen.

Widerstandswerte und die Kapazitätswerte jeweils gleich sind,
nicht immer die optimale Lösung darstellen. Die Betrachtungen

Die Betrachtungen erfolgen sowohl in der Zeit- als auch in
werden auch auf nichtsinusförmige periodische und einmalige
der Frequenzebene. Das gegebene Signal, das periodisch oder

Signale ausgedehnt. Deshalb folgt ein erster Überblick über die
einmalig sein kann, ist nach Fourier zusammengesetzt aus sinus-

Grundlagen der Filterentwurfstheorie.

förmigen Signalen, deren Frequenzen, Amplituden und Phasen-
verschiebungen berechnet werden können. Es treten folgende

Probleme auf:

97.3.1

Allgemeine Eigenschaften und

1. Häufig überstreichen die im gegebenen Signal enthalte-

Entwurfskriterien
nen Signalfrequenzen einen Bereich, der nicht zur Ver-
fügung gestellt werden kann oder muss. Beispiele: Bei
der Fernsehbild-Übertragung steht jedem Sender nur ein

Für den Einsatz von Filterschaltungen gibt es vielfältige An-
begrenzter Frequenzbereich zur Verfügung; bei der Rund-
wendungen. Die Auswahl einer geeigneten Filterschaltung und
funkübertragung können evtl. Frequenzanteile oberhalb des
deren Dimensionierung sind aber relativ aufwändig, weil sie

Hörbereiches des menschlichen Ohres unterdrückt werden.

eingehende Kenntnisse der Filtertheorie und praktische Er-

Anwendung: Tiefpassfilter.

fahrung erfordern. Deshalb sollen hier nur einige prinzipielle

2. Im gegebenen Signal sind unerwünschte Frequenzanteile

Überlegungen bei der Auswahl einer Filterschaltung dargestellt
enthalten. Beispiele: a) 50-Hz-Netzstörungen in Niederfre-
werden, und zwar bevorzugt am Beispiel von Tiefpassfiltern.

quenzverstärkern; b) Frequenzanteile oberhalb der halben

Daneben gibt es noch Hochpassfilter, Bandpassfilter und Band-

Abtastfrequenz bei der Digitalisierung von Analogsignalen
sperren (Kurzform: Tiefpass, Hochpass, Bandpass, Bandsperre).

(Aliasing-Effekt). Anwendung: Tiefpassfilter, Bandsperre.

97.3

Allgemeiner Filterentwurf

1239

3. Aus einem gegebenen Signal sollen bestimmte charakte-

Grenzfrequenz soll dieser Wert möglichst klein sein. Zu be-
ristische Frequenzanteile herausgefiltert und weiterverarbei-
achten ist, dass in jedem Fall eine Frequenzabhängigkeit des
tet werden. Beispiel: Schadenfrüherkennung in Kugellagern

Frequenzganges eine Signalverfälschung zwischen Eingangs-

XIII
durch Änderung des Lagergeräusches bei der Beschädigung
und Ausgangssignal zur Folge hat, erklärbar mit der Fourier-
von Kugeln. Anwendung: Bandpassfilter.

synthese von Eingangs- und Ausgangssignal.

Teil

4. In der Unterhaltungselektronik gibt es Niederfrequenzver-
stärker, bei denen die tiefen Töne oder die hohen Töne oder

2. Signallaufzeit
aber bestimmte Tonbereiche innerhalb des Hörbereiches ab-
geschwächt oder bevorzugt werden können. Anwendung:

Das Ausgangssignal ist gegenüber dem Eingangssignal zeitlich

Tiefpass-, Hochpass-, Bandpassfilter und Bandsperren.

verzögert, hervorgerufen durch das Nacheilen der Spannung

5. In der Regelungstechnik sollen häufig Änderungen einer
gegenüber dem Strom beim Kondensator bzw. umgekehrt bei

Größe möglichst unverzögert und signalgetreu erkannt wer-
der Spule. Dies kann zu Problemen führen, wenn z. B. bei
den, während ein stationärer Zustand weniger interessant

Fernsehaufnahmen Bild- und Tonsignal diverse unterschiedli-
ist. Anwendung: Hochpassfilter (D-Regler, siehe Regelungs-
che Filter durchlaufen, deren Laufzeiten unterschiedlich sind.

technik).

Dann sind Bild- und Tonsignal nicht mehr lippensynchron.

In Regelsystemen erhöht die Signallaufzeit die Ausregelzeit

In der Praxis hat sich gezeigt, dass die Begriffe Tiefpass, Hoch-
von Störgrößen. Außerdem können rückgekoppelte Systeme da-
pass, Bandpass und Bandsperre für die Anwendung zu wenig
durch zum Schwingen angeregt werden.

aussagekräftig sind. Vielmehr sind die folgenden Filtereigen-
schaften, die für alle Filtertypen gleichsam gelten, für den

3. Gruppenlaufzeit

Anwender häufig von wesentlich größerer Aussagekraft:

Innerhalb des Durchlassbereiches kann es zu einer weiteren Si-
gnalverfälschung kommen, nämlich dann, wenn die Laufzeit der

1. Übertragungsfunktion, Amplitudenfrequenzgang
frequenzabhängigen Signalanteile vom Eingang zum Ausgang

Angegeben wird das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingang-
von der Frequenz abhängt. Ziel ist es, dass alle Frequenzantei-
samplitude in Abhängigkeit von der Frequenz. In der Regel
le die gleiche Zeit zum Durchlaufen des Filters benötigen, denn
bezieht man sich bei den Amplituden auf Spannungen. Zwei
nur dann setzen sie sich am Ausgang wieder zum Originalsi-

Ausdrücke sind von Bedeutung (In der Literatur werden die
gnal zusammen (Fouriersynthese). Diese „Durchlaufzeit“ wird

Begriffe „Übertragungsfunktion“, „Frequenzgang“ und „Ampli-
als Gruppenlaufzeit v gr bezeichnet und lässt sich berechnen als
tudenfrequenzgang“ evtl. abweichend verwendet.):

Ableitung des Phasenwinkels ' des Frequenzganges nach der

Kreisfrequenz:

Übertragungsfunktion:

d.$. U aus //

U

U
a. s/ I
ein

(97.15)

v

D
gr

(97.17)

U
d!

e. s/

Wünschenswert ist:

Frequenzgang:

v

D const

(97.18)

U

U
gr
aus
oder
a

(97.16a)

U

U

Hinweis: Die Ergebnisse einer Berechnung nach (97.17) sollten
ein
e
grafisch dargestellt und dann interpretiert werden, siehe dazu die

(beides wird verwendet);

Erläuterungen zu Abb. 97.13.

Amplitudenfrequenzgang:

ˇˇ

ˇ

ˇ

ˇ

4. Abfall im Sperrbereich

ˇ U ˇ

ˇ U ˇ

ˇ aus ˇ

ˇ a Ďer Filtergrad bestimmt im Wesentlichen diesen Abfall, siehe

U

ˇ oder ˇ U ˇ

(97.16b)

ein
e

Erläuterungen zu (97.20) unten. Die Dimensionierung der Bau-

(beides wird verwendet).

elemente hat Einfluss auf den Verlauf im Übergangsbereich vom

Durchlass- in den Sperrbereich. Er nähert sich einem „Knick“,

U

; U Eingangsspannung, U ; U Ausgangsspannung !

ein
e
aus
a
wenn man in Kauf nimmt, dass der Amplitudenfrequenzgang
komplexe Ebene; Ue. s/ Eingangsspannung, Ua. s/ Ausgangs- innerhalb des Durchlassbereiches oder des Sperrbereiches eine
spannung ! Laplace-Ebene ( s-Ebene).

Welligkeit aufweist und nahe der Grenzfrequenz Überschwin-

Der Amplitudenfrequenzgang wird häufig im Bode-Diagramm
gen auftritt, siehe dazu Cauer- und Tschebyscheff-Filter weiter
dargestellt, in dem beide Achsen logarithmisch geteilt sind: Die
unten.

Frequenzachse dekadisch, die Achse für das Spannungsverhält-
nis ebenfalls dekadisch, aber mit einer dB-Skalierung, was dann

5. Optimierte Reaktion auf vorgegebene Eingangssignale
eine lineare Skalenteilung ergibt.

Ein Filter kann z. B. daraufhin optimiert werden, dass Span-

Beim Tiefpass wird z. B. häufig angestrebt, dass alle Fre-
nungssprünge am Eingang möglichst schnell den (nahezu) sta-
quenzanteile unterhalb der Grenzfrequenz mit dem gleichen
tionären Endwert am Ausgang erreichen, je nach Anwendung

Faktor multipliziert am Ausgang erscheinen. Oberhalb der
mit oder ohne Überschwingen.

1240

97 Filter

Teil

6. Wellenwiderstand
dass eine gegebene Filterschaltung genau eine Übertragungs-
funktion ( einen Frequenzgang) hat, dass aber eine gegebene

Für Anwendungen, vor allem bei höheren Frequenzen, kann es

XIII

Übertragungsfunktion (Frequenzgang) durch „unendlich vie-
erforderlich sein, dass das Filter einen vorgegebenen Wellen-
le“ Filterschaltungen realisiert werden kann. Daraus folgt, dass
widerstand besitzt, in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung gleich
es für die Lösung von Filterschaltungen allgemein und damit
oder unterschiedlich, siehe Kap. 93 „Zweitore“.

auch von den hier betrachteten Tiefpassfiltern „unendlich vie-

Für den Anwender werden einige der genannten Kriterien von
le“ Möglichkeiten der Realisierung gibt. Anschaulich lässt sich
besonderer Bedeutung sein, während andere in den Hintergrund
das dadurch erklären, dass sich z. B. bei einem passiven R-C-
treten. Im Abschn. 97.3.2 „Tiefpassfilter“ weiter unten wird an-

Tiefpass zweiter Ordnung, gebildet aus 2 Widerständen R 1; R 2
schaulich gezeigt, dass es zur Realisierung eines Tiefpasses bei
und 2 Kondensatoren C 1; C 2, der Frequenzgang
gegebener Grenzfrequenz „unendlich viele“ Möglichkeiten der

U

Realisierung durch unterschiedliche Arten der Bauteiledimen-
aus D

(97.21)

sionierung gibt. Allerdings hängen die oben beschriebenen 6

U ein

Filtereigenschaften von dieser Dimensionierung ab. Theoretiker

1
und Praktiker haben sich dieser Problematik angenommen und

1 C j ! . R

C

C

1

C 1

R 1 C 2

R 2 C 2/ !2 . R 1 C 1 R 2 C 2/

Bauteiledimensionierungen für bestimmte Anwendungen opti-

„
ƒ‚

…

„
ƒ‚

…

a
a
miert: Butterworth, Bessel, Cauer und Tschebyscheff (in der

1

2

Literatur auch Chebyshev), um nur einige zu nennen.

ergibt. Die Grenzkreisfrequenz ! g wird durch den Ausdruck

1

D

1

D !2, also das Produkt aller 4 Bauelemente,
a 2

R 1 C 1 R 2 C 2
g
bestimmt; das Verhalten innerhalb des Durchlassbereiches we-
sentlich durch den Ausdruck a

97.3.2

Tiefpassfilter

1. Damit stehen zur Berechnung
der 2 Größen a 1 und a 2 mehr als 2 Variablen zur Verfügung.

Dies gilt, verallgemeinert, für Filterschaltungen beliebiger Ord-

Der Frequenzgang eines passiven Tiefpassfilters als Ketten-
nung. Beim Entwurf eines Filters wählt man die Bauelemente
schaltung aus T- und -Zweitoren mit den Elementen R, L und zahlenmäßig so, dass die gewünschten Kriterien mehr oder

C kann durch geeignete Umformungen auf die folgende Form
weniger gut erfüllt werden. Häufig gilt, dass mit steigendem
gebracht werden:

Filtergrad auch gewisse Eigenschaften optimaler werden. Aller-
dings muss beachtet werden, dass die Bauteiledimensionierung

U
in immer engeren Grenzen verläuft, weil man sich evtl. in
aus D

(97.19)

U
der Nähe von kritischen Punkten der Übertragungsfunktion
ein
a

(des Frequenzganges) befindet (z. B. Nullstelle des Nennerpo-

0
lynoms, kritischer Phasenwinkel).

1 C a

1
j ! a 2 !2 a 3 j !3 C a 4 !4 C a 5 j !5 : : :

Beim Filterentwurf haben sich ausgewählte Dimensionierungen

Darin ist a 0 die sog. „Gleichspannungsverstärkung“. Sie ist bei
für bestimmte Anwendungen als besonders vorteilhaft erwiesen.

passiven R- L- C-Filtern 1, bei aktiven R- L- C-Filtern liegt sie

Sie sind meist nach der Person benannt, die sie erstmalig einge-
häufig im Bereich von 1=10 bis 100. Der Grad des Filters ist setzt hat. Tab. 97.5 zeigt einige Beispiele.

gleich dem höchsten Exponenten von !: Für steigende Fre-

In den Abb. 97.10 bis 97.14 sind die in Tab. 97.5 aufgeführ-
quenzen oberhalb der Grenzkreisfrequenz ! g bestimmt dieser ten Filtertypen in ihrem Verhalten in Abhängigkeit von der

Ausdruck zunehmend das Verhalten des Filters und damit auch

Frequenz gezeigt. Es handelt sich um passive R- L- C-Tiefpass-
die Unterdrückung von Frequenzen oberhalb von ! g:

Filter fünften Grades mit einer sinusförmigen Eingangsspan-

ˇ

ˇ

ˇˇ
j D

U

ˇ
a

ˇ U ˇˇ
a
nung j U

10 V. Der Wellenwiderstand beträgt eingangsseitig
e
aus ˇ

0

0
bzw.

ˇ aus ˇˇ

(Vorwärtsrichtung) und ausgangsseitig (Rückwärtsrichtung) je-

U

ˇ
a jk ! k

ˇ U ˇˇ
a ! k
ein !>!

k
k
g
ein

!>! g
weils 50 (.

(97.20)

Abb. 97.10 zeigt das Schaltbild mit der Dimensionierung der
k Grad des Filters, a

Bauteile.

0 Gleichspannungsverstärkung.

j

Bei Verzehnfachung der Frequenz sinkt der Betrag des Aus-

Abb. 97.11 stellt die Ausgangsspannungen j U
der 4 Filter dar.

a
druckes auf 1=.10 k/; und die Steigung der Geraden im

Die in der Tab. 97.5 aufgeführten Eigenschaften sind anschau-

Bode-Diagramm beträgt, unabhängig von der Frequenz, k
lich nachvollziehbar. Die Gruppenlaufzeiten v gr der Filter nach

20 dB=Dekade. Je höher der Grad des Filters ist, desto Abb. 97.10 zeigen Abb. 97.12 und 97.13.

wirkungsvoller werden die Frequenzen oberhalb ! g unter-

Im Abb. 97.13 wurde die Skalierung gegenüber der im
drückt. Die Konstanten a 1; a 2; a 3; : : : in (97.19) sind dimen- Abb. 97.12 geändert. Bei der Darstellung der Gruppenlaufzeit sionsbehaftete Kombinationen der verwendeten Bauelemente
des Cauer-Filters in Abb. 97.13 zeigt sich eine gewisse Proble-

R 1; R 2; : : : ; L 1; L 2; : : : ; C 1; C 2; : : :. Sie sind positiv bei passiven matik bei der Auswertung (97.17). Das Ergebnis ist die (Lauf-) R- L- C-Filtern. Bei aktiven R- L- C-Filtern können sie auch ne-Zeit, die sich aus dem Phasenwinkel zwischen Eingangs- und
gativ sein, was bei entsprechender Dimensionierung Nullstellen

Ausgangsspannung bei bekannter Periodendauer und sinusför-
in der positiven komplexen Ebene zur Folge hat und damit eine
migem Signal bestimmen lässt. Aber es wird nicht die Periodi-

Schwingneigung des Filters gegeben ist. Es lässt sich zeigen,
zität des Phasenwinkels von 2 berücksichtigt. Gemäß Formel

97.3

Allgemeiner Filterentwurf

1241

Tab. 97.5 Eigenschaften häufig eingesetzter Filtertypen (Auswahl)

Name des Filters

Eigenschaften Tiefpassfilter

Diese Eigenschaften sind sinngemäß auf Hochpass, Bandpass und Bandsperre übertragbar

XIII

Bessel-Filter

Konstante Gruppenlaufzeit. Die Signalform wird nicht geändert, sofern man nur die Frequenzanteile im Durch-
lassbereich berücksichtigt. Übergang in den Sperrbereich gleitend (nicht scharf abgeknickt). Nur geringes

Überschwingen bei der Sprungantwort

Teil

Butterworth-Filter

Amplitudenfrequenzgang nahezu konstant im Durchlassbereich. Relativ scharfes Abknicken des Amplitudenfre-
quenzganges bei der Grenzfrequenz (relativ abrupter Übergang vom waagerechten Verlauf in die Gerade mit der

Steigung n .20 dB=Dek/), nimmt zu mit wachsendem Filtergrad. Starkes Überschwingen bei der Sprungant-
wort, nimmt zu mit wachsendem Filtergrad

Cauer-Filter oder elliptisches Filter

Optimiert auf sehr scharfes Abknicken des Amplitudenfrequenzganges bei der Grenzfrequenz (sehr abrupter

Übergang vom waagerechten Verlauf in die Gerade mit der Steigung n .20 dB=Dek/). Der Amplitudenfre-
quenzgang besitzt sowohl im Durchlass- als auch im Sperrbereich eine ausgeprägte Welligkeit (oszillierendes

Verhalten). Durch ausgeprägte Phasenverzerrungen und damit verbunden große Gruppenlaufzeitänderungen tre-
ten starke Signalverzerrungen auf

Tschebyscheff-Filter Typ 1

Optimiert auf relativ scharfes Abknicken des Amplitudenfrequenzganges bei der Grenzfrequenz. Abknicken

Typ 2 (auch inverses Filter genannt) umso abrupter, je größer der Filtergrad. Dadurch bedingt tritt Welligkeit (oszillierendes Verhalten) entweder im

Durchlassbereich (Typ 1) oder im Sperrbereich (Typ 2) auf. Geht die Welligkeit durch entsprechende Dimen-
sionierung gegen Null, geht dieses Filter in das Butterworth-Filter über. Starkes Überschwingen bei der Sprung-
antwort, nimmt zu mit zunehmendem Filtergrad. Keine konstante Gruppenlaufzeit und damit Signalverzerrungen

50 Ω

1,29 μH

1,29 μH

5
u

V
e
u a

197 pF

U

636 pF

197 pF

U

50
a
e

Ω

U a

4

Butterworth

3

Tschebyscheff

2

50 Ω

606 nH

606 nH

Bessel
u

Cauer
e

1

1,11 nF
u

1,44 nF

1,11 nF

50

U

Ω
a
e

U a

0

Butterworth

Tschebyscheff

7 8 105

2

3

4

5 6 7 8 106

2

3

4

5 6 7 8 107

2

3

4

5 6 7 8 108

Frequenz in Hz

Abb. 97.11 Ausgangsspannungen der 4 Filter nach Abb. 97.10

50 Ω

404 nH

884 nH
u e
u

4

55,5 pF

256 pF

719 pF

50 Ω
a
t

U

3
gr
e

U a

2

10-7
s 6

Bessel

5

4

3

2

86 pF

233 pF

10-8

6

5

4

Bessel

3

Butterworth

50 Ω

2

544 nH

448 nH

10-9
u e
u

6

5

Tschebyscheff

1 nF

1,2 nF

918 pF

U
a

4
e

50 Ω

U

3
a

2

10-10

9

Cauer

105

2

3

4

5 6 7 8 106

2

3

4

5 6 7 8 107

2

3

4

5 6 7 8 108

Frequenz in Hz

Abb. 97.10 Schaltbild Bessel-, Butterworth-, Cauer- und Tschebyscheff-Filter,
weitere Einzelheiten siehe Text

Abb. 97.12 Gruppenlaufzeit von Bessel-, Butterworth- und Tschebyscheff-

Filter nach Abb. 97.10

1242

97 Filter

Teil

Es ist gegebenenfalls sinnvoll, sich zusätzlich zur Gruppenlauf-

0.4
zeit den Verlauf des Phasenwinkels, '. U = U /, anzeigen zu
μs
aus
ein

XIII
lassen.

t

Auch hier sind die in Tab. 97.5 aufgeführten Eigenschaften an-
gr
schaulich nachvollziehen.

0.0

Wenn Filter entworfen werden sollen, sind die eingangs an-
gesprochenen Programme sehr hilfreich und führen schnell
zum Ziel. Hier folgen dazu einige nähere Angaben. Über eine

Internet-Recherche kann man weitere Programme finden, von

-0.4
denen es häufig Probe- oder Testversionen gibt, die man testen
und dann entscheiden kann, welches Programm den persönli-
chen Ansprüchen und Vorstellungen entspricht. Ohne Anspruch
auf Vollständigkeit und Rechteverwertung seien hier 4 Beispiele

-0.8
genannt (alle Programme in englischer Sprache):

103

104

105

106

107

108

1. Simulationsprogramme für elektronische Schaltungen auf

Frequenz in Hz
der Grundlage von Spice/PSpice:

1.1 „OrCAD-Capture“ über Fa. Cadence. Internetadres-

Abb. 97.13 Gruppenlaufzeit des Cauer-Filters nach Abb. 97.10; Hinweise siehe
se: www.flowcad.de. Eine Studentenversion mit einge-

Text
schränktem Funktionsumfang ist kostenlos erhältlich,
die uneingeschränkte Vollversion ist kostenpflichtig.

1.2 „LTspice“ über Fa. Linear Technology. Internetadresse:

u
www.linear.com. Die uneingeschränkte Vollversion ist
a
kostenlos.

5

V

Hinweis: Beide Programme ähneln sich in der Bedienung

Tschebyscheff
und im Funktionsumfang, weil sie den gleichen Programm-

4
kern verwenden.

2. Filter-Entwurfsprogramme:

3

Beide Programme sind so angelegt, dass u. a. vorgewählt

Cauer

Butterworth
werden können:

2

Filterart (Tiefpass, Hochpass, Bandpass, Bandsperre), Fil-
tergrad, Filtertyp (nach Tab. 97.5 sowie noch weitere Fil-
tertypen), Grenzfrequenz, Welligkeit und Wellenwiderstand.

1

Gemäß diesen Vorgaben wird das Filter dimensioniert, es er-

Bessel
scheint das Schaltbild mit den Bauteilewerten.

0

In Diagrammen lassen sich u. a. darstellen: Amplitudenfre-
quenzgang, Phasengang, Gruppenlaufzeit und Sprungant-

0

200

400

600

800

1000 ns

Zeit
wort. Jedes Programm hat darüber hinaus noch spezielle

Funktionen eingebaut.

Abb. 97.14 Sprungantwort der 4 Filter nach Abb. 97.10

2.1 „Filter Free“ über Fa. Nuhertz Technologies. Internet-
adresse: www.nuhertz.com. Die eingeschränkte Testver-
sion für Filter bis dritten Grades ist kostenlos, die unein-
werden nur die Änderungen erfasst, was zu positiven (Zunahme
geschränkte Vollversion ist kostenpflichtig.

des Phasenwinkels) und negativen (Abnahme des Phasenwin-

2.2 „AADE Filter Design“. Internetadresse: www.aade.com.

kels) Laufzeitwerten führt. Man kann die Laufzeit je nach

Das Programm ist kostenlos.

Sichtweise durchaus positiv oder negativ interpretieren, aber
beide Vorzeichen zusammen in einem Bild sind physikalisch
schwierig zu interpretieren, denn dann eilt die Ausgangsspan-

97.3.3

Filtertransformationen
nung in einigen Bereichen der Eingangsspannung voraus. Die
weiter unten genannten Simulationsprogramme stellen deshalb
z. B. folgendes dar:

Sollen Hochpässe, Bandpässe oder Bandsperren entworfen wer-
den, können die Ergebnisse der Tiefpässe auf diese Filter durch
eine Frequenztransformation übertragen werden.

d.$. U aus //

U
v

D
ein
gr

Im allgemeinen bestehen passive Filterschaltungen je nach Fil-
d!

bei „PSpice“
oder

ˇˇ
ťergrad aus mehreren Elementen L und C und nur zwei ohm-

ˇ

ˇ
d.$. U aus // ˇ

U
schen Widerständen. Einer der ohmschen Widerstände ist ein
v

D ěin

ˇ
gr

ˇ
bei „AADE Filter Design“

ˇ
d!

ˇŘeihenwiderstand am Eingang des Filters, der andere ist ein Par-
allelwiderstand zu den beiden Ausgangsanschlüssen. Sie bilden

97.3

Allgemeiner Filterentwurf

1243
den eingangs- und ausgangsseitigen Wellenwiderstand (Wellen-
widerstand in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung, siehe Kap. 93

Ein Kondensator mit dem Wert 500 nF ginge dann in ei-

„Zweitore“) des Filters und sind meist gleich groß, z. B. 50 (,
ne Spule mit dem Wert .1= A/ .500 nF/ D .1=.1=10//

XIII
siehe dazu Abb. 97.10. Wegen des erhöhten Aufwandes bei der

.500 nF/ D 10 .500 nF) D 5 &F ! 5 &H und eine Spu-

Filtertransformation sind hier nur einige Grundgedanken ange-
le mit dem Wert 500 mH in den Wert A .500 mH/ D

Teil
geben. Es sei auf die Anwendung von Filterentwurfsschaltungen

.1=10/ .500 mH/ D 50 mH ! 50 mF über.

J
hingewiesen.

97.3.3.1

Hochpassfilter

97.3.3.2

Bandpassfilter

Der Ausdruck j! wird durch 1=. j!/ ersetzt. Das heißt in der Ein Bandpassfilter entsteht, anschaulich und vereinfacht darge-

Praxis:

stellt, dadurch, dass die Übertragungsfunktion (der Frequenz-

1. Einen Kondensator durch eine Spule ersetzen.

gang) eines Tiefpassfilters mit linearer Achsenskalierung an der

2. Eine Spule durch einen Kondensator ersetzen.

senkrechten Achse bei der Frequenz Null gespiegelt wird und

3. Ein Widerstand bleibt als Widerstand erhalten. Sein Wert
der sich ergebende Verlauf um den Wert der Mittenfrequenz des
kann geändert werden.

Bandpassfilters nach rechts verschoben wird.

Die zwei Widerstände bleiben aber meist unverändert, weil

Damit sind folgende Transformationen vorzunehmen:

sie den Wellenwiderstand vorgeben (siehe letzter Abschnitt
oben).

Ein Kondensator geht in einen Parallelschwingkreis über.

4. Die Werte und Dimensionen bei den Bauelementen müssen
angepasst werden.

Eine Spule geht in einen Reihenschwingkreis über.

In der Praxis heißt das:

Enthält das Tiefpassfilter bereits Schwingkreise, sind die Ein-
zelelemente getrennt zu transformieren:

Bei den Ersetzungen C ! L und L ! C bleibt der Zahlenwert
erhalten, nur die Einheit wird angepasst:

Ein Parallelschwingkreis geht in einen Parallelschwingkreis

(für C) und dazu parallel einen Reihenschwingkreis (für L) über.

C ! L W

330 n

„ƒ‚… F

„ƒ‚… ! 330 n

„ƒ‚… H

„ƒ‚…I

Ein Reihenschwingkreis geht in einen Reihenschwingkreis
u
a
u
a

(für L) in Reihe zu einem Parallelschwingkreis (für C) über.

L ! C W

4;7 &

!

„ƒ‚… H

„ƒ‚…

4;7 &

„ƒ‚… F

„ƒ‚…

(97.22)

Die Transformation gestaltet sich etwas aufwändig, so dass der
u
a
u
a

Einsatz von Filterentwurfsprogrammen zu erwägen ist. Außer-
dem lassen sich dann die tatsächlichen Eigenschaften des Filters
u: unverändert, a: angepasst.

sehr schnell erfassen und gegebenenfalls korrigieren.

Damit ist die Transformation für den Fall der unveränderten

Wellenwiderstände und gleichbleibender Grenzfrequenz abge-
schlossen. Sollen zusätzlich die zwei oben erwähnten ohmschen

97.3.3.3

Bandsperre

Widerstände um den gleichen Faktor geändert werden, ist so

Anschaulich erhält man diesen Filtertyp, indem die Übertra-
vorzugehen:

gungsfunktion (der Frequenzgang) eines Hochpassfilters mit

Um den neuen Widerstandswert zu erhalten, werden die alten
linearer Achsenskalierung an der senkrechten Achse bei der Fre-

Widerstandswerte mit dem Faktor A (positive beliebige Zahl)

quenz Null gespiegelt wird und der sich ergebende Verlauf um
multipliziert. Anschließend müssen alle Kapazitätswerte mit
den Wert der Mittenfrequenz der Bandsperre nach rechts ver-
dem Faktor 1= A und alle Induktivitätswerte mit A multipliziert schoben wird.

werden.

Ein Kondensator geht in einen Reihenschwingkreis über.

Eine Spule geht in einen Parallelschwingkreis über.

Beispiel

Enthält das Tiefpassfilter bereits Schwingkreise, sind die Ein-

Ein Tiefpass soll durch einen Hochpass ersetzt werden,
zelelemente getrennt zu transformieren:

und der Wellenwiderstand des Tiefpasses von 600 ( in

Vorwärts- und Rückwärtsrichtung zu 60 ( im Hochpass

Ein Parallelschwingkreis geht in einen Parallelschwingkreis

(für L) und dazu parallel einen Reihenschwingkreis (für C) über.

geändert werden.

ˇ

Ďaraus ergibt sich: .60 (/Ď A ..600 (/ˇ / ) A D

Ein Reihenschwingkreis geht in einen Reihenschwingkreis
neu
alt

1=10. Die Spulen werden durch Kondensatoren ersetzt

(für C) in Reihe zu einem Parallelschwingkreis (für L) über.

und die Kondensatoren durch Spulen. Die Widerstände

Auch hier gestaltet sich die Transformation etwas aufwändig, so
bleiben als Widerstände erhalten, ihr Wert ändert sich von
dass der Einsatz von Filterentwurfsprogrammen zu empfehlen

600 ( in den Wert A.600 (/ D .1=10/.600 (/ D 60 (.

ist. Außerdem lassen sich die tatsächlichen Eigenschaften des

Filters sehr schnell erfassen und gegebenenfalls korrigieren.

1244

97 Filter

Teil

97.3.4

Besondere Filterschaltungen

97.3.4.2

Sallen-Key-Filter

XIII

Es handelt sich um aktive Filterschaltungen, bei denen Ope-

97.3.4.1

Allpassfilter
rationsverstärker, Widerstände und Kondensatoren eingesetzt
werden. Verglichen mit den passiven Filterschaltungen ist bei

Dieses Filter ist ein Sondertyp mit folgenden Eigenschaften:

den Sallen-Key-Filtern ein geringerer Bauteileaufwand erfor-

1. Der Amplitudenfrequenzgang ist unabhängig von der Fre-
derlich, weil die Verstärker auch mit positiver Rückkopplung
quenz.

betrieben werden. Sie sind i. Allg. gegenüber Bauteiletoleranzen

2. Der Phasenwinkel ist – bewusst – eine Funktion der Fre-
relativ unempfindlich. Allerdings können keine Bandsperren
quenz. Damit kann ein Allpass die Gruppenlaufzeit eines
realisiert werden, und hohe Gütefaktoren sind auch nicht er-
vorhandenen Filters wenigstens teilweise den Erfordernissen
reichbar. Wegen der relativ konstanten Gruppenlaufzeit und dem
anpassen, z. B. nahezu frequenzunabhängig machen.

relativ abrupten Übergang vom Durchlass- in den Sperrbereich

3. Dieses Filter kann zur Impedanztransformation eingesetzt
werden sie häufig als Antialiasingfilter vor einem Analog-
werden. Durch entsprechende Dimensionierung lässt sich

Digital-Umsetzer eingebaut.

neben einer evtl. erforderlichen Gruppenlaufzeitkorrektur
z. B. auch noch der Wellenwiderstand in Vorwärts- und

Rückwärtsrichtung der gegebenen Schaltung anpassen.

Auch hier führt der Einsatz von Filterentwurfsprogrammen
einschließlich der Simulation der Ergebnisse schnell zu dem ge-
wünschten Ergebnis.

Empfängerschaltungstechnik

XIII

98

Wilfried Plaßmann

Teil

98.1 Geradeausempfänger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246

98.2 Überlagerungsempfänger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246

98.3 Automatische Verstärkungsregelung (AVR) . . . . . . . . . . . . . . 1246

98.4 Weitere Schaltungskonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1245

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_98

1246

98 Empfängerschaltungstechnik

Teil

98.1

Geradeausempfänger
setzt werden, dass eine Bandbreite von einigen MHz mit
konstantem Betrag der Übertragungsfunktion und mit steil

XIII
abfallenden Flanken an den Rändern erreicht wird. Das ist

Beim Empfang eines Sendersignals und damit einer bestimmten
technisch nicht zu verwirklichen.

Information müssen alle anderen Sendersignale wirkungsvoll
unterdrückt werden, wobei die Möglichkeit bestehen muss,
aus der Vielzahl der angebotenen Informationen (Sender) ei-

98.2

Überlagerungsempfänger
ne bestimmte auszuwählen. Damit muss aus dem angebotenen

Frequenzspektrum ein bestimmtes Frequenzband ausgewählt
und der Rest wirkungsvoll unterdrückt werden. Zur Selekti-

Man hat deshalb das Konzept des Überlagerungsempfängers
on werden mehrere Hochfrequenzstufen (HF-Stufen) eingesetzt,
nach Abb. 98.1b entwickelt. Empfangen werden soll ein Sen-
von denen jede einen Verstärker und einen Schwingkreis ver-
der mit der Frequenz fe. Das von der Antenne kommende
wendet (siehe dazu auch Abschn. 97.1.2.4 und Beispiel 3).

Signal wird in einer Hochfrequenz-(HF-)Vorstufe verstärkt, de-

Damit entsteht das in Abb. 98.1a gezeigte Prinzip eines Ge-
ren Schwingkreis auf die Resonanzfrequenz fe eingestellt wird.

radeausempfängers. Die Resonanzfrequenz aller Schwingkreise

Zusammen mit dieser Einstellung wird die Frequenz fo eines
ist gleich der gewünschten Senderfrequenz fe. Um verschiedene

Oszillators so verändert, dass die in der Mischstufe gebildete

Sender empfangen zu können, müssen die Resonanzfrequenzen

Differenzfrequenz f
o
fe für alle möglichen Frequenzen fe kon-
einstellbar und stets genau gleich sein. Diese Schaltungstechnik
stant ist: f

D
o
fe
const D f ZF. Diese konstante Frequenz
hat folgende Nachteile:

heißt Zwischenfrequenz (ZF). Ihr Wert ist ca. 460 kHz beim

Empfang auf Lang-, Mittel- und Kurzwelle, 10,7 MHz beim

1. Bei der heutigen Senderdichte sind 5 bis 10 Schwingkreise

UKW-Rundfunkempfang und u. a. etwa 30 MHz beim Fernseh-
für einen einigermaßen störungsfreien Empfang erforder-
empfang. Die Zwischenfrequenz wird in einem ZF-Verstärker,
lich. Das exakte Einstellen dieser Schwingkreise auf genau
der aus mehreren Transistor-Verstärkerstufen und aus mehr als
die gleiche Resonanzfrequenz, wenn sich diese außerdem

10 Schwingkreisen bestehen kann, verstärkt. Da es sich um eine
noch in einem weiten Bereich ändert (z. B. UKW-Rundfunk:

konstante Frequenz handelt, werden die Schwingkreise bei der

87 bis 108 MHz), ist nicht mehr möglich.

Fertigung auf die erforderliche Zwischenfrequenz abgeglichen.

2. Die resultierende Bandbreite ändert sich mit der Senderfre-

Auch spezielle Filterkurven lassen sich einstellen. Beim Überla-
quenz ( B D f

D

e= Qp
fe=. Rp 2 p fe C/ D f .1= C/, Tab. 97.3). gerungsempfänger müssen also nur zwei Schwingkreise aufein-

Sie kann deshalb nicht optimal über den gesamten Frequenz-
ander abgestimmt werden, was technisch möglich und praktisch
bereich eingestellt werden.

nur näherungsweise erforderlich ist. Es lässt sich nämlich zei-

3. Beim Fernsehempfang müssten die Schwingkreise in ihrer
gen, dass die Eigenschaften des Empfängers nicht wesentlich

Resonanzfrequenz außerdem noch so gegeneinander ver-
schlechter werden, wenn diese Abstimmung nur angenähert er-
reicht wird. Beim Empfang von frequenzmodulierten Sendern
wird die Verstärkung der ZF-Stufe so groß gewählt, dass ei-
a
ne Amplitudenbegrenzung eintritt und damit eine zusätzliche

Antenne

Störunterdrückung erreicht wird (siehe auch Abschn. 96.2.4.5

NF-Vor-

1. HF-

2. HF-

3. HF- Demodu-
und

„Winkelmodulation“).

Stufe

Stufe

Stufe
lator

Endstufe

Das Prinzip des Überlagerungsempfängers ist noch erweitert
f e
f e
f e
f e
worden zum Mehrfach-Überlagerungsempfänger. Dabei wird
die erste Zwischenfrequenz f ZF1 mit einem zweiten Oszillator
auf eine zweite niedrigere Zwischenfrequenz f ZF2 umgesetzt.

Die niedrigere Zwischenfrequenz erlaubt schmalbandige Filter

Senderauswahl

Lautsprecher
hoher Güte, was mit einem direkten Übergang f f

D f
b
e
o 2

ZF2
nicht möglich ist ( B D f

Antenne

0= Q, siehe Kap. 97 „Filter“, Ab-
schn. 97.1.2.4 „ R- L- C-Bandpass und -Bandsperre“).

HF-Vor- Misch-

ZF-

Demodu- NF-Vor-
stufe
stufe

Stufe
lator
und

Endstufe
f e f
f
f
e

ZF

ZF

98.3

Automatische
f
f
e

ZF
f 0

Verstärkungsregelung (AVR)

AVR
f ZF

Lautsprecher

Wie in Abb. 96.6 im Abschn. 96.2.1.7 „Demodulation von AM“
eingetragen, wird am Demodulatorausgang eine Spannung u AVR

Oszillator
gewonnen, deren Wert dem Mittelwert der Amplitude des Zwi-
schenfrequenzsignals und damit des Sendersignals proportional

Senderauswahl
ist. Diese Spannung wird auf die ZF- und HF-Vorstufe zurück-

Abb. 98.1 Schaltungsprinzipien von Empfängern. a Geradeausempfänger,
geführt, um die Verstärkung dieser Stufen einzustellen: Steigen-
b Überlagerungsempfänger
des u AVR bewirkt sinkende Verstärkung beider Stufen. Damit

98.4

Weitere Schaltungskonzepte

1247
ist die Amplitude am Eingang des Demodulators und daraus

Oszillatorfrequenz und zieht vom erhaltenen Wert die Zwi-
folgend auch die am Lautsprecher trotz schwankender Amplitu-
schenfrequenz ab. Die Eingangsfrequenz direkt zu messen ist
de des Sendersignals nahezu konstant. Diese Schaltungstechnik
wegen der kleinen schwankenden Amplituden nicht möglich,

XIII
wird als a utomatische V erstärkungs r egelung (AVR) bezeichnet.

und außerdem erhielte man prinzipiell keine Frequenzanzei-

Auch der Demodulator für frequenzmodulierte Signale stellt ei-
ge, wenn kein Sendersignal vorhanden wäre.

Teil
ne derartige Spannung zur Verfügung, siehe dazu Abb. 96.18c,

Überwiegend beim UKW- und Fernsehempfang sorgt
u AVD, Abschn. 96.2.4.8.

eine automatische Senderabstimmung (AFC, a utomatic
f requency c ontrol) dafür, dass eine ungenaue Abstimmung
auf die Senderfrequenz korrigiert wird.

Die Rundfunksender übertragen häufig neben dem eigentli-

98.4

Weitere Schaltungskonzepte
chen Programm noch Zusatzinformationen, wie z. B. Sender-
name, Art des gerade übertragenen Programms (Nachrich-
ten, E-Musik, U-Musik), Uhrzeit und Signale zur Steuerung

Moderne Empfänger weisen noch einige der folgenden Schal-
des Empfängers für Verkehrsdurchsagen. Besonders die Au-
tungskonzepte auf, deren Realisierung z. B. so aussieht:

toradioempfänger nutzen den Sendernamen und die Kennung
für Verkehrsdurchsagen: Der Empfänger sucht selbsttätig aus

Die Abstimmung der Schwingkreise von Vor- und Oszil-
dem Angebot an Sendern gleichen Namens den am besten zu
latorstufe geschieht über Kapazitätsvariationsdioden, deren
empfangenden aus, und der ausgeschaltete Empfänger wird

Kapazität über eine Gleichspannung eingestellt wird. Diese
speziell für die Verkehrsdurchsagen eingeschaltet oder der
gewinnt man über einen Spannungsteiler von einer tempera-
eingeschaltete Empfänger auf eine Mindestlautstärke einge-
turkompensierten Z-Diode als Konstantspannungsquelle.

stellt.

Für die Speicherung von Sendern zum einfachen Abruf über

Bei der Fernsehübertragung werden von etlichen Fernseh-

Tastendruck wird ein zugeordnetes Digitalwort gespeichert,
anstalten zusätzlich zu Bild und Ton noch weitere Infor-
das nach Senderauswahl als Eingangsgröße eines Digital-
mationen als Videotext übertragen. Es handelt sich dabei

Analog-Umsetzers dient, dessen Ausgangsspannung über die
um Zusatzinformationen zu den Sendungen, Nachrichten,

Kapazitätsdioden den gewünschten Sender einstellt. Zur An-

Berichte usw. Man nutzt dazu vorhandene Lücken bei der
zeige der Frequenz des empfangenen Senders misst man die

Bildübertragung (Kap. 99).

Ton- und Bildübertragung

XIII

99

Wilfried Plaßmann

Teil

99.1 Rundfunk-Stereoübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1250

99.2 Digitale Farbfernsehtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1251

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1249

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_99

1250

99 Ton- und Bildübertragung

Teil

99.1

Rundfunk-Stereoübertragung
a
u M

Hilfsträger,

XIII

Basissignal
unterdrückt

Aus dem Laufzeitunterschied und der Lautstärke, mit dem

Pilotton
ein Schallsignal das linke und das rechte Ohr erreicht, lässt
sich die Richtung der Schallquelle erkennen. Bei der Mono-

0 0,02

15 19 23

38

53 kHz f

Übertragung wird das gesamte Schallsignal über einen Kanal

M = X + Y

S = X Y

–
übertragen, sodass der Mensch als Empfänger zwar die Rich-
tung des Gesamtsignals, d. h. den Ort des Lautsprechers, er-
b

M
kennt, aber nicht erfährt, wo bei der Aufnahme z. B. der Sänger

Laufzeitglied
und wo die Musikinstrumente gestanden haben. Da dies der täg-

Ringmo-
u
dulator

M
lichen Praxis des Hörens widerspricht, hat man den räumlichen

S

53kHz

Eindruck durch Einführung der Stereo-Übertragung wiederher-
gestellt. Bei der Rundfunkübertragung gilt der Grundsatz der

23 ... 53
kHz

Kompatibilität, d. h. der Höreindruck eines Rundfunkempfän-

Pilotton

38kHz

G
gers ohne Stereoempfangseinrichtung darf durch die Aussen-

19kHz
dung des Stereosignals nicht beeinträchtigt werden. Deshalb

19kHz
war es auch nicht vertretbar, den naheliegenden Weg zu ge-
c

15kHz
hen, nämlich für Rundfunkaufnahmen zwei Mikrofone räumlich

M = X + Y

Mono
voneinander getrennt links und rechts im Raum anzuordnen und

FM-De-

X
für die Monowiedergabe beide Signale zu addieren. Es hat sich
modulator

AM-De-

De-

23...53kHz
modulator
coder
gezeigt, dass dies zu einer „Verflachung“ des Höreindruckes

Y
führt.

19kHz

38kHz

Für die Aufnahme und Wiedergabe von Musikcassetten und

Compact-Disks (CDs) ordnet man die Mikrofone häufig nicht

19kHz

S = X Y

–
links und rechts im Raum an, sondern direkt neben- oder über-

38kHz
einander, Abb. 99.1a, wobei deren Richtcharakteristik nach

Mono
links bzw. rechts weist. Diese Aufnahmetechnik wird mit Links-

Rechts- oder X-Y-Stereofonie bezeichnet.

X

Bei Rundfunkaufnahmen dagegen setzt man zwei Mikrofone
nach Abb. 99.1b ein. Das eine steht in der Mitte und nimmt die

Schallsignale aus allen Richtungen gleich gut auf (kreisförmige

Y

Richtcharakteristik, siehe Abschn. 105.2 „Schallempfänger“),
das andere steht ebenfalls in der Mitte und bevorzugt diejeni-

Mono
gen Signale, die genau von rechts und genau von links kommen

Stereo

(Richtcharakteristik in Form einer Acht). Bei dieser mit M-S-

(Mitte-Seiten-)Stereofonie bezeichneten Aufnahmetechnik wird

Abb. 99.2 Stereo-Rundfunkübertragung. a Spektrum des Stereosignals (sen-
derseitig), b Erzeugung des Stereo-Modulationssignals (senderseitig), c Stereo-
das Mittensignal für die Monowiedergabe verwendet. Es hat

Empfänger (ab Demodulator dargestellt)

sich gezeigt, dass die X- Y- und die M- S-Signale ineinander
überführt werden können:

X C Y ¶ M

M C S ¶ X
bzw.

(99.1a)

Die Stereo-Rundfunkübertragung wird im UKW-Bereich einge-
setzt, weil hier durch die verwendete Frequenzmodulation eine

X Y ¶ S

M S ¶ Y
hohe Übertragungsqualität erreicht wird. Abb. 99.2a zeigt das

Damit genügt eine der beiden Aufnahmetechniken für alle An-

Spektrum eines Stereosignals vor der Frequenzmodulation des
wendungsfälle.

Trägers. Für Monoempfang steht das Basissignal M D X C Y zur

Verfügung. Ein Hilfsträger mit der Frequenz 38 kHz wird mit
dem Signal S D X Y zweiseitenband-amplitudenmoduliert.

Da der Träger bei der anschließenden Frequenzmodulation und
a
b

Demodulation wegen seiner großen Amplitude unerwünsch-
te Frequenzanteile erzeugen könnte, wird er unterdrückt, was
mit geeigneten Modulatorschaltungen möglich ist (siehe Ab-
schn. 96.2.2.1 „Einseitenbandmodulation“, und Abb. 96.7).

Auch eines der beiden Seitenbänder hätte theoretisch noch

Mikrofon 1
unterdrückt werden können, ist aber praktisch wegen der er-

Mikrofon 2
forderlichen steilflankigen Filter nicht möglich: Bei Anstieg der

Abb. 99.1 Mikrofonanordnungen mit Richtcharakteristik für Stereo-Aufnah-

Frequenz von 37,980 auf 38,020 kHz wäre ein Abfall der Aus-
men. a X -Y -Stereofonie (Links-Rechts), b M -S -Stereofonie (Mitte-Seiten)

gangsspannung auf weniger als 1=1000 notwendig gewesen. Da

99.2

Digitale Farbfernsehtechnik

1251
für die Demodulation im Empfänger der Träger frequenzgenau
ist sehr komplex, und deshalb kann hier nur ein erster grober
wieder zugesetzt werden muss und außerdem seine Phasenlage
und vereinfachender Überblick gegeben werden, für Einzelhei-
zu den Seitenbändern zur Erhaltung des Stereo-Effektes wichtig
ten wird auf die spezielle Fachliteratur verwiesen. Trotzdem

XIII
ist, wird ein Pilotton übertragen. Verglichen mit dem (unter-
kann es interessant sein zu sehen, wie die Lösung der Proble-
drückten) Hilfsträger hat er die halbe Frequenz (19 kHz), die
me aussieht.

Teil
gleiche Phasenlage und 1=10 der Amplitude. Abb. 99.2b stellt
das Prinzip der Signalaufbereitung bis zur Modulationsstufe dar.

DVB-Projekt

Durch das Laufzeitglied gelangen das durch Modulation und

Seit Beginn der 1990er Jahre besteht das DVB-Projekt ( D igital

Filterung verzögerte Signal S D X Y und das Signal M D X C

V ideo B roadcasting), in dem einheitliche und verbindliche

Y ohne Phasenverschiebung zueinander auf den Tiefpass und

Verarbeitungs- und Übertragungssysteme für das Digitale Farb-
anschließend zur Modulationsstufe. Ohne dieses Laufzeitglied
fernsehen erarbeitet worden sind. Dabei wurde dreigleisig ver-
wäre der Stereoeffekt verfälscht, weil eine Phasenverschiebung
fahren, abhängig davon, ob das Fernseh- und das begleitende
zwischen S und M vom Ohr als Laufzeitunterschied zwischen

Tonsignal über Kabel (Entwicklung DVB-C), Satellit (Entwick-
den Schallsignalen aufträte und als falsche Rauminformation in-
lung DVB-S) oder terrestrisch (Entwicklung DVB-T; Funküber-
terpretiert würde.

tragung von Sender- zu Empfänger-Antenne) übertragen werden

Der Empfänger nach Abb. 99.2c führt in der Schalterstellung
soll. Am komplexesten ist das Verfahren für die terrestrische

„Mono“ das Signal M D X C Y den beiden Verstärkern

Übertragung, weil hier der Einfluss von Störungen am größten
parallel zu. Für den Stereoempfang wird die Pilottonfrequenz
ist und Lösungen eingesetzt worden sind, die die Auswirkungen

19 kHz in einer Frequenzverdopplerschaltung in die Frequenz
dieser Störeinflüsse minimieren. Im Folgenden soll das DVB-

38 kHz umgewandelt. Dazu wird häufig der sinusförmige Pilot-

T-Verfahren wenigstens in einigen prinzipiellen Eigenschaften
ton brückengleichgerichtet. Es entsteht gemäß Fourierzerlegung
dargestellt werden.

u. a. die Frequenz 38 kHz, phasenrichtig zu 19 kHz. Die höher-

Ein Fernsehbild wird zerlegt in waagerechte schmale Strei-
frequenten Anteile sowie der Anteil mit 19 kHz werden durch
fen, sog. Zeilen. Die Zeilen wiederum bestehen aus einzelnen
das Bandpassfilter unterdrückt. Der Anteil mit 19 kHz tritt nicht

Punkten. Insgesamt besteht das Fernsehbild aus etwa 415.000
mehr auf. Nach der Demodulation bildet der Dekoder die Si-
einzelnen Punkten. Für jeden Punkt müssen Helligkeit und
gnale für den rechten und linken Kanal durch Anwendung von

Farbe übertragen werden. Außerdem sind weitere zusätzliche

(99.1a):

Signale erforderlich. Die Fernsehkameras tasten das zu über-

. X C Y/ C . X Y/ D 2 X linker Kanal
tragende Bild punktweise so ab, dass die Informationen über

.

(99.1b)

Helligkeit und Farbe von jedem der etwa 415.000 Bildpunkte

X C Y/ . X Y/ D 2 Y
rechter Kanal
zur Verfügung stehen (415.000 Abtastwerte). Der Sender be-
reitet die Signale noch entsprechend auf, bevor sie gesendet
werden.

99.2

Digitale Farbfernsehtechnik

Bei den Abtastwerten pro Zeile muss unterschieden werden zwi-
schen den Abtastwerten, die direkt den Bildpunkten auf dem

Zielsetzung, Vorgaben

Empfängerschirm zugeordnet sind, und den Daten, die zwischen

Zielsetzung bei der Entwicklung des sogenannten Digitalfern-
dem Ende der auf dem Bildschirm dargestellten Zeile n und dem
sehens war die Übertragung von Bild und Ton in qualitativ

Beginn der folgenden auf dem Bildschirm dargestellten Zeile
hochwertiger Form (gute Bild- und Ton-Qualität bei minimalen

( n C 2) liegen (siehe Zeilensprungverfahren weiter unten). Das

Störungen) bei geringer Senderleistung und Empfang der Sen-

Bereitstellen eines Bereiches für Daten zwischen 2 Zeileninhal-
der mit Stabantenne. Mit dieser Antennenform können Mehr-
ten wird mit Horizontalaustastung bezeichnet, und es entsteht
fachreflexionen aber nicht mehr ausgeblendet werden. Es galt
eine horizontale Austastlücke. Darin enthalten sind u. a. die Ton-
außerdem die Nebenbedingung, dass nur eine begrenzte und da-
und die Synchronisations-Informationen. Ebenso gibt es eine
mit eine zunächst nicht ausreichende Bandbreite zur Verfügung
vertikale Austastlücke, die entsteht, wenn nach Erreichen des
stand. Es musste somit versucht werden, durch Redundanz-

Endes der letzten Zeile des momentanen Bildes bis zu Beginn
und Irrelevanzreduktion sowie durch den Einsatz geeigneter
der ersten Zeile des folgenden neuen Bildes ebenfalls ein Zeit-
nachrichtentechnischer Verfahren eine vertretbare Bandbreiten-
bereich für weitere Informationen zur Verfügung gestellt wird.

verringerung zu erreichen. Grundsätzlich galt, dass das Ziel nur

In dieser vertikalen Austastlücke werden neben allgemein nutz-
mit der Übertragung der Signale in digital codierter Form er-
baren Informationen auch Informationen über den Bildaufbau
reicht werden konnte. Wie noch gezeigt wird, erfordern Sender
übertragen.

und auch Empfänger Bausteine, die kleinen Rechnern vergleich-

Der Studiostandard ITU-R BT.601 enthält die Festlegungen für
bar sind.

das Digitalfernsehen im Studio. Hier einige Auszüge, Erläute-

Die folgenden Teilgebiete der Nachrichtentechnik boten die
rungen folgen weiter unten:

erforderlichen Lösungsansätze: Modulationstechnik, Codierver-

720 Abtastwerte je aktive Zeile für das Y-Signal.

fahren, Fehler-Erkennung und -Korrektur, Redundanzreduktion,

864 Abtastwerte pro Zeile insgesamt (720 aktiv plus 144 für

Irrelevanzreduktion und Kanalcodierung. Weiterhin waren Un-

Zusatzinformationen).

tersuchungsergebnisse über das Verhalten von Auge und Ohr

576 aktive Zeilen (d. h. für das Bild) bei insgesamt 625 Zei-
bei der Signalverarbeitung von großem Nutzen. Das Ergebnis
len pro Vollbild.

1252

99 Ton- und Bildübertragung

Teil

Tab. 99.1 Wichtung der Farben rot, grün und blau

Die Farbsättigung ist bereits im Y-Signal enthalten. Es werden

Farbe

Wellenlänge in nm

Helligkeitseindruck, relativ zueinander
deshalb übertragen:

XIII

Rot (R)

615

0,30

. R Y/0 D . R Y/ 0;88

Grün (G)

532

0,59

. B Y/0 D . B Y/ 0;49

(99.3)

Blau (B)

470

0,11

P D 1;00

Die Bezeichnungen . R Y/0 bzw. CR werden beide verwendet,
ebenso . B Y/0 bzw. CB. Die Faktoren 0,88 und 0,49 enthalten
die Farbwichtung.

Codierung des Bildsignals mit 10 Bit.

Abtastraster 4 W 2 W 2.

Redundanz- und Irrelevanzreduktion

Bitrate des seriellen Studiosignals: 270 MBit=s.

Bitrate für das eigentliche Videosignal: 207 MBit=s.

Bei der Redundanzreduktion erleidet das Signal keinen In-
formationsverlust, es wird lediglich überflüssige, d. h. bereits

Die Praxis zeigt, dass diese Bitrate nicht für die Übertragung des
vorhandene, Information entfernt. Bei der Irrelevanzreduktion

Farbfernsehens zur Verfügung steht!

dagegen wird diejenige Information entfernt, auf die der Emp-

Damit ergibt sich die Forderung, dass die Bitrate wesentlich ver-
fänger erfahrungsgemäß ohne allzu großen Nachteil verzichten
ringert werden muss, mit der Nebenbedingung, die Fernsehbild-
kann oder aber die der Empfänger im Allgemeinen nicht aus-
und Ton-Übertragungsqualität gegenüber der Studioqualität nur
wertet bzw. auswerten kann. Als Empfänger dienen in diesem
minimal zu verringern.

Fall Auge und Ohr des Menschen.

Zeilensprungverfahren: Für die Zahl der Zeilen hat sich

MPEG-2 Standard; ETSI 300 744
durch Tests ein Wert von mindestens 500 als sinnvoll er-

Eine von der I nternational E lectrotechnical C om mission (IEC),
wiesen, gewählt wurden 625 Zeilen. Davon dienen 576
der I nternational S tandards O rganisation (ISO) und dem Joint

Zeilen (sog. aktive Zeilen) zur Darstellung des Bildes,

Technical Committee (JTC) eingesetzte Arbeitsgruppe erar-
der Rest wird zur Übertragung von Zusatzinformatio-
beitete weltweit verbindliche Richtlinien zur Codierung von
nen verwendet (Synchronisationsimpulse, Trägerrückgewin-

Audio- und Video-Signalen, zunächst für nicht bewegte Bil-
nung, Fehler-Erkennung und -Korrektur, Zeiteinblendung,
der, dann erweitert auf bewegte Bilder: M oving P ictures E xpert

Informationen über Codierung, Videotext usw.; Einzelhei-

G roup (MPEG). ISO und IEC haben 1994 den MPEG-2 Stan-
ten folgen weiter unten). Die Zahl der Bildpunkte pro Zeile
dard, ISO/IEC 13818, geschaffen.

ergibt sich damit durch das gewählte Bildformat, dass von
bisher 4 W 3 (Verhältnis Breite W Höhe) zunehmend auf 16 W 9

Einzelheiten zur DVB-T-Übertragung sind in der ETSI 300 744
geändert wird. Für ein flimmerfreies Bild müssen mindestens

(European Telecommunications Standards Institute) enthalten.

16 Einzelbilder pro Sekunde (16=s) dargestellt werden. Die

Kinotechnik verwendet 24 Bilder pro Sekunde, beim Fern-

Kenngrößen des Bildsignals
sehbild reicht dieser Wert nicht aus. Die Übertragung von

Zunächst wird ein Farbbild analog aufgezeichnet, indem sen-

50 Bildern pro Sekunde ist für das Auge ausreichend, schei-
derseitig 3 Bildaufnahmegeräte mit vorgeschalteten Farbfiltern,
tert aber an der zu hohen erforderlichen Bandbreite. Werte
durchlässig für die Farben Rot, Grün und Blau, verwendet wer-
unterhalb 50=s (z. B. wären 40=s durchaus für das Auge
den. Durch entsprechende Mischung dieser 3 Farben lassen sich
vertretbar) sind wegen möglicher Interferenzen mit der Netz-
nahezu alle in der Natur vorkommenden Farben darstellen.

frequenz 50 Hz nicht sinnvoll. Eine Lösung ergibt sich durch
das Zeilensprungverfahren, das eine Bandbreite gemäß 25

Folgende Signale müssen für die Übertragung des Farbbildes

Bildern pro Sekunde erfordert, physiologisch aber vom Auge
erzeugt werden:

als flimmerfrei mit etwa 40 Bildern pro Sekunde empfunden

Helligkeitssignal oder Leuchtdichtesignal oder Luminanzsi-
wird. In einem ersten Durchlauf werden auf dem Bildschirm
gnal oder Y-Signal:

die ungeraden Zeilen 1, 3, 5, . . . dargestellt, im anschlie-
ßenden zweiten Durchlauf die geraden Zeilen 2, 4, 6, . . .

Dieses Signal entspricht den „Grauwerten“. Entsprechend der

Das ergibt 25 ganze Bilder oder 50 Halbbilder pro Sekun-
spektralen Empfindlichkeit des Auges werden die 3 Farbsignale
de. Das Verfahren wird ein weiteres Mal eingesetzt, indem
nach Tab. 99.1 gewichtet:

ein Vollbild elektronisch gespeichert wird und das ursprüng-

Hierfür wird die folgende vereinfachte Schreibweise gewählt:

liche Bild nach der halben Zeit kurz unterbrochen und durch
das gespeicherte Bild (auch mit gleichem Bildinhalt) ersetzt

Y D 0;30 R C 0;59 G C 0;11 B

(99.2)

wird. Diese Technik hat man schon bei der Kinotechnik an-
gewendet durch eine „Unterbrecherblende“. Damit stellt man

Farbartsignal oder Chrominanzsignal:

– fiktiv – 100 Bilder pro Sekunde dar, bei einem Bandbrei-

Es setzt sich zusammen aus:

tenbedarf entsprechend 25=s. Das Auge empfindet dadurch
eine Bildfolgefrequenz, die zwischen 50=s und 100=s liegt
a) Farbton: Das ist die Farbe, z. B. orange.

und ein flimmerfreies Bild ergibt.

b) Farbsättigung: Sie gibt an, ob die Farbe kräftig oder blass
ist. 100-%-Amplitude heißt „kein weiß enthalten“, 50-%-

Das analoge Bildsignal durchläuft Analog-Digital-Umsetzer.

Amplitude bedeutet: 50 % Farbe, 50 % weiß.

Das Auge kann etwa 250 Helligkeitsstufen (Graustufen) unter-

99.2

Digitale Farbfernsehtechnik

1253
scheiden, so dass eine 8-bit-Codierung ausreicht. Allerdings er-

Übertragungskanal muss für diesen zwar seltenen aber mög-
kennt das Auge bei monochromen Bildern ein nicht zu vernach-
lichen Fall die Kanalbandbreite bereithalten. Da derart große
lässigendes Quantisierungsgeräusch (Quantisierungsrauschen),

Differenzen aber nur selten vorkommen und das Auge diesen

XIII
so dass im Studio mit 10-bit-Umsetzern gearbeitet wird.

Änderungen zeitlich nur verzögert folgen kann, werden solche

Differenzen in ihrem Wert begrenzt. Eine Änderung um 8 Bit

Abtastraster 4 W 2 W 2 und 4 W 2 W 0: Das mensch-

Teil
wird senderseitig z. B. auf 4 Bit begrenzt, und dieser Wert wird
liche Auge ist für das Farbsehen weniger empfindlich als
übertragen. Anschließend wird in einem oder mehreren Schrit-
für das Hell-Dunkel-Sehen (Stäbchen für das Hell-Dunkel-
ten senderseitig auf den neuen Wert abgeglichen. Das Auge

Sehen, Zäpfchen für das Farbsehen). Deshalb wird in den
merkt häufig nichts von dieser Vorgehensweise, und da dieser

Zeilen zwingend jeder einzelne Bildpunkt für das Luminanz-

Fall auch noch selten vorkommt, ergeben sich kaum negative
signal ( Y-Signal) abgetastet, während für das CR- und das

Eindrücke für das Auge.

CB-Signal nur jeder zweite Bildpunkt abgetastet wird. Die-
se Abtastung wird bezeichnet mit dem Begriff Abtastraster

Diskrete Kosinus-Transformation

4 W 2 W 2. Die Abtastfrequenz für das Y-Signal ist damit dop-
pelt so groß (4) wie die für die beiden Chrominanzsignale C

Es handelt sich bei diesem Ansatz um eine Irrelevanzreduktion,

R
und C
bei der ausgenutzt wird, dass das menschliche Auge feiner wer-

B (2 W 2). Das ergibt eine erste Datenreduzierung für die

Fernsehbildübertragung.

dende Bildstrukturen immer unvollkommener auflöst, so dass
diese mit weniger Bit quantisiert werden können.

Diese Datenreduzierung lässt sich weiter fortführen, indem auch
in vertikaler Richtung nur jeder zweite Bildpunkt für das Chro-

Die Methode, das Fernsehbild über Bandpässe in mehrere Fre-
minanzsignal abgetastet wird. Das Problem dabei ist, dass dann
quenzbereiche aufzuteilen und die höherfrequenten Anteile mit
die Chrominanzsignale wegen des Zeilensprungverfahrens nur
weniger Bit zu quantisieren, ist wegen der schwierig zu reali-
aus den Werten des ersten (oder zweiten) Halbbildes gebildet
sierenden steilflankigen Filter mit ihren Laufzeitverzerrungen
würden, was das Auge als Flimmern empfände. Deshalb bil-
kaum anwendbar. Das Problem wird auf die Ebene der Digital-
det man aus 2 nebeneinanderliegenden Zeilenwerten des ersten
technik in Form der schnellen diskreten Fouriertransformation

Halbbildes und den zwei genau darunterliegenden Zeilenwer-
verlagert. Sender und Empfänger haben einen Block gespei-
ten des zweiten Halbbildes einen Mittelwert, der dann für die 4
chert, der aus 8 8 Basismustern besteht. Das Basismuster

Bildpunkte gemeinsam gilt (Abtastraster 4 W 2 W 0).

in der linken oberen Ecke ist ohne Änderung, nach rechts in
waagerechter Richtung nimmt die Horizontalauflösung zu bis

Differenz-Pulscodemodulation
zu maximal 4 Wechseln ganz rechts, in senkrechter Richtung

Die Erfahrung zeigt, dass sich die Bildinformation benachbar-
nimmt die Vertikalauflösung zu, wieder bis zu maximal 4 Wech-
ter Bildpunkte im Mittel nur wenig voneinander unterscheidet.

seln ganz unten. Das Basismuster in der rechten unteren Ecke

Bildet man die Differenz, ergibt sich, dass der Wert 0 am häu-
hat damit je 4 Wechsel in horizontaler wie auch in vertikaler
figsten vorkommt und dass die Häufigkeit mit wachsendem

Richtung (Schachbrettmuster). Das auf dem Fernsehschirm dar-

Differenzwert stark abnimmt. Deshalb werden kleine Diffe-
gestellte Bild, bestehend aus 720 576 Pixeln, wird unterteilt
renzwerte mit wenigen Bit codiert, große Werte mit größerer
in 6480 Blöcke zu je 8 8 Pixeln. (720 576 D 6480 8 8).

Bit-Zahl. Dieses Verfahren ist vom Morse-Alphabet bekannt.

Die gespeicherten Blöcke werden mit den Blöcken des aktuellen

Es handelt sich hierbei um eine Redundanzreduktion, weil z. B.

Fernsehbildes verglichen. Über die hier eingesetzte Diskre-
in 2 Codewörtern mit 8 Bit, bei denen nur das niederwertigs-
te Kosinus-Transformation, die nur die Kosinusanteile erfasst,
te Bit unterschiedlich ist, die übrigen 7 Bit gleich und damit
werden die Frequenzanteile und deren Amplituden des Blocks
redundant sind. Es wird also nur die Differenz einschließlich
erfasst. Es zeigt sich, dass durch geschicktes Umsortieren der

Vorzeichen zum vorhergehenden Wert übertragen. Allerdings

Positionen der Pixel der Bereich der Blocks in Richtung rechts-
liegt eine Gefahr darin, dass bei einem falschen Wert, wie auch
unten häufig den Wert Null annehmen. Damit muss man nicht
immer er entstanden ist, alle folgenden durch Addition des vor-
die einzelnen Nullwerte angeben, sondern nur die Zahl, wie oft
zeichenrichtigen Differenzwertes falsch sind. Es muss deshalb
die Null noch auftritt. Außerdem werden die Werte, die nicht
in geeigneten zeitlichen Abständen, deren Wert durch Erfah-

Null sind, noch so umcodiert, dass häufig auftretende Werte mit
rung und Statistik zu ermitteln ist, ein kompletter ungekürzter
weniger Bit codiert werden als weniger häufig auftretende, so

Wert übertragen werden, von dem aus dann wieder neue Dif-
wie beim Morse-Alphabet.

ferenzadditionen gestartet werden können. Der Sender führt

Fehler-Erkennung und -Korrektur
die gleiche Differenzaddition durch wie der Empfänger, um

Rundungs- bzw. Quantisierungs-Fehler des Empfängers nicht

Mit den bisher geschilderten Maßnahmen lässt sich in der Praxis
zu groß werden zu lassen: Differenz-Pulscodemodulation mit
eine Datenreduktion um den Faktor 20 bis 50 ohne gravieren-
prädiktiver Codierung. Die Differenzbildung kann erfolgen für
de Qualitätseinbuße erreichen. Das heißt aber auch, dass kaum
benachbarte Bildpunkte in einer Zeile oder für nebeneinander
noch Redundanz zur Verfügung steht, um eventuell auftretende
liegende Bildpunkte in zwei aufeinander folgenden Zeilen ei-

Fehler zu erkennen und zu korrigieren. Damit wird das Übertra-
nes Halb- oder Vollbildes. Insgesamt ergibt sich durch diese Art
gungssystem anfällig gegenüber Störungen. Bereits ein falsches
der Codierung im Mittel eine geringere Datenrate. Allerdings

Bit kann dann gravierende negative Folgen haben, wenn es z. B.

bringt diese Maßnahme nicht automatisch eine Reduktion der
die Synchronisation, die Trägerrückgewinnung, die Differenz-

Bandbreite mit sich, sofern man als größte Differenz den Unter-

Pulscodemodulation oder die Verarbeitungsbits für das Signal
schied zwischen dem Wert 0 und dem Maximalwert zulässt. Der
betrifft. Deshalb wurde dem Datenstrom wieder Redundanz

1254

99 Ton- und Bildübertragung

Teil
zugefügt, um eine Fehler-Erkennung und -Korrektur zu ermög-
φ=90O
lichen. Dabei gilt, dass kein Zugriff bzw. Rückgriff auf den

10..

00..

XIII

Sender möglich ist, also eine Fehlererkennung stets eine Feh-

1011

1001

0010

0011
lerkorrektur beinhalten muss. Damit wird der bisher erreichte

Faktor der Datenreduktion wieder verringert.

Reed-Solomon-Verfahren: Die Fehlerkorrektur beinhaltet zu-

1010

1000

0000

0001
nächst die Fehlererkennung und daran anschließend die Feh-
lerkorrektur. Beides ist nur dadurch erreichbar, dass zusätzlich

Redundanz in Form von zusätzlichen Bits bzw. Bytes eingefügt
wird. Ein geeignetes Verfahren ist das nach den Entwicklern
φ=0
benannte Reed-Solomon-Verfahren (siehe dazu Speziallitera-
tur). Es ist besonders geeignet beim Auftreten von Burstfehlern,

1101

1100

0100

0110
das sind Fehler, bei denen fehlerhafte Bits in einer Kette hin-
tereinander liegen. Als zweckmäßig hat sich erwiesen, dem

Transportpaket mit 188 Byte ein weiteres Paket (Block) mit 16

1111

1110

0111

0101

Bytes anzuhängen, so dass ein Transportpaket jetzt aus 204 By-
tes besteht. Damit können maximal 8 fehlerhafte Bytes erkannt

11..

01..

und korrigiert werden. Der Code wird auch mit RS (204, 188,

8) bezeichnet (die Zahlen 204, 188 und 8: siehe Unterstreichun-

Abb. 99.3 Prinzip einer 16-QAPSK-Modulation
gen im Text). Treten in einem Transportpaket Burstfehler auf,
und dieser Fall ist bei der Fernsehbildübertragung am Häufigs-
ten, ist die folgende Vorgehensweise vorteilhaft: Die 204 Bytes
bei der Modulation aber absichtlich unterdrückt, sodass jetzt
eines Transportpaketes in der Reihenfolge 0 . . . 203 werden in

Probleme mit der im Fernsehempfänger durchgeführten Trä-

17 Teilpakete zu je 12 Bytes umsortiert und dann gesendet:

gerrückgewinnung und der Demodulation auftreten. Deshalb

9
wird der Datenstrom, aber ohne das Synchronisations-Byte, in

0-17-34-51-68-85-102-119-136-153-170-187

„
ƒ‚

…>

>

>

=
eine Pseudo-Zufallsfolge umsortiert. Das geschieht mit Hilfe

Transportpaket mit

12 Bytes
eines rückgekoppelten Schieberegisters. Nach jeweils 8 Trans-

17 12 D 204 Bytes,

– 1-18-35-. . . -188

„
ƒ‚

… -. . . - 16-33-. . . -203

„
ƒ‚

…>

>

>
portpaketen wird das Schieberegister in den Ausgangszustand

; umsortiert
zurückgesetzt. Der Empfänger wandelt diese Zufallsfolge wie-

12 Bytes

12 Bytes
der in die Originalreihenfolge zurück. Der Rücksetzpunkt wird
durch ein invertiertes Synchronisations-Byte gekennzeichnet.

Der Empfänger stellt die Originalreihenfolge 0, 1, 2, . . . , 202,

203 wieder her. Wenn jetzt ein Burstfehler auftritt, in dem

Trägermodulation: 16-QAPSK, unterdrückter Träger,
z. B. die Bytes 17, 34, 51, 68 als aufeinander folgende Bytes

COFDM
fehlerhaft sind, z. B. durch eine Störung während der Funk-

Zur Übertragung der Fernsehsignale einschließlich Tonsignal
übertragung, liegen die fehlerhaften Bytes im Empfänger nach
wird das 16-QAPSK-Verfahren eingesetzt. Es werden 2 Trä-

Umsortierung in die Originalreihenfolge nicht mehr direkt ne-
ger mit gleicher Frequenz und einer Phasenverschiebung von
beneinander. Man kann zeigen, dass die Fehlerkorrektur des

90° zueinander verwendet (Sinus- und Kosinus-Schwingung).

Reed-Solomon-Verfahrens durch diese Maßnahme effektiver

Codiert wird mit einem 4-Bit-Code entsprechend 16 unter-
wird. Ganz allgemein hat das Reed-Solomon-Verfahren den
scheidbaren Zuständen. Es ist eine kombinierte Amplituden-

Vorteil, dass der Decodieralgorithmus relativ einfach ist. Das

Phasenumtastung. Abb. 99.3 zeigt die prinzipielle Zuordnung

Verhältnis (Zahl der Bits für das eigentliche Nutzsignal)=(Zahl zwischen den zwei Träger-Amplituden und -Phasen für die
der Bits für das eigentliche Nutzsignal C Fehlerkorrektur-Bits)

16 Zustände. Die ideale Zuordnung zwischen Codewort und
wird mit Coderate bezeichnet.

Phasen-Amplitudenkombination ist im ersten Quadranten durch

Faltungscode mit Viterbi-Algorithmus: Treten mehr als 8 fehler-
die Pfeilspitzen dargestellt. Das jeweilige 4-Bit-Wort wird in der
hafte Bytes auf, ist das Reed-Solomon-Verfahren überfordert.

Praxis aber auch dann eindeutig erkannt, wenn sich die Zeiger-

Dann greift ein zweiter Fehlerkorrektur-Mechanismus ein, der
spitze in dem der Codierung zugeordneten Quadrat befindet,

Faltungscode mit Viterbi-Algorithmus. Dieser Algorithmus ist
siehe Codewort 1011 links oben. Sofern möglich unterschei-
prinzipiell im Kap. 108 „Optimierte Nachrichten- und Daten-
den sich benachbarte Codewörter in nur einem Bit (Gray-Code).

übertragung“ näher beschrieben.

Tritt eine Störung auf, wird laut Statistik sehr häufig nicht
das zugeordnete Codewort, sondern ein Nachbarwort erkannt.

Energieverwischung

Da sich aber beide nur in einem Bit unterscheiden, wird für

Die vom Sender übertragenen Informationen sind in Blö-
die Fehler-Erkennung und -Korrektur nur eine Minimalzahl an
cken, sog. Transportpaketen, zu je 188 Byte (204 Byte, sie-

Bits benötigt. Bei der Modulation wird der Träger unterdrückt,
he Fehler-Erkennung und -Korrektur) organisiert. Dabei kann
und damit steht mehr Leistung für die Seitenbänder zur Verfü-
es vorkommen, dass längere Bit-Folgen mit nur Nullen oder
gung. Außerdem werden Probleme bei der Demodulation durch
nur Einsen auftreten. Für diesen Fall erfolgt, wenn auch nur
schwankende Trägeramplituden und Laufzeiten vermieden. Im
kurzzeitig, die Aussendung des Trägers. Der Träger wurde

Fernsehempfänger muss der Träger wieder phasenrichtig er-

99.2

Digitale Farbfernsehtechnik

1255
zeugt werden. Dazu werden Synchronisationssignale für den

Tab. 99.2 Daten zum DVB-T (Nach Unterlagen des Norddeutschen Rundfunks,
im Empfänger vorhandenen Oszillator übertragen. Als weite-

NDR)

re Besonderheit wird das Signal nicht einem einzelnen Trä-

Kanalbandbreite (steht den Sendern zur 7 MHz (VHF) bzw.

XIII
ger, sondern 8192 Unterträgern mit einem Abstand von 1,116

Verfügung)

8 MHz (UHF)

kHz aufmoduliert, sog. 8k-Modus. Dieses Verfahren wird mit

Erforderlich für Bild und Stereoton

(2,5 . . . 4) MBit=s (Bild) und
ca. 0,2 MBit=s (Stereoton)

Teil

COFDM, C oded O rthogonal F requency D ivision M ultiplexing
bezeichnet. Es werden aber nur 6817 Unterträger benutzt, von

Schutzintervall

1=4 (der Symboldauer)

denen wiederum nur 6048 für die eigentlichen Nutzdaten ver-

Coderate

2=3
wendet werden. Jeder der Träger wird mit 4 Bit moduliert. Man

Modus

8k
erreicht dadurch eine höhere Störsicherheit bei schwankenden

Symboldauer

898 µs

Signalamplituden, wie sie bei terrestrischer Übertragung häufi-

Datenrate (8-MHz-Kanal; Coderate

13,27 Mbit=s
ger auftreten.

2=3; Schutzintervall 1=4, 8k-Modus)

Ergibt bei 4 Fernsehprogrammen

3,31 Mbit=s im Mittel für jedes

Gleichwellennetz, SFN

Programm

Belegte Bandbreite

7,61 MHz

Ausgangspunkt ist der Betrieb von räumlich benachbarten Sen-

Maximaler Senderabstand

67 km
dern auf der gleichen Frequenz mit synchroner Signalabstrah-

Gesamt-Symboldauer (Summe aus

1,120 ms
lung (Gleichwellennetz, s ingle f requency n etwork, SFN). Dann

Schutzintervalldauer und Symboldauer)

können sich an der Empfängerantenne die Signalamplituden

Trägeranzahl (theoretisch), COFDM)

8192
beider Sender durchaus addieren. Diese Addition ist aber prak-

Trägeranzahl (praktisch), COFDM)

6817
tisch nur dann vorhanden, wenn die Senderamplituden am

Trägerabstand, COFDM

1,116 kHz

Empfangsort etwa gleich groß sind. Kritisch wird es dann,

Schutzintervalllänge

224 µs
wenn die Laufzeit Sender-Empfänger für beide Signale so unter-

Senderleistung (Fernsehsender Hem-

5 kW
schiedlich ist, dass sich aufeinander folgende Signalamplituden
mingen bei Hannover des NDR)

überlagern und damit den Empfang des korrekten Signals ver-
fälschen. Dieser Effekt tritt auch auf, wenn von einem Sender
das direkte Signal und ein reflektiertes Signal empfangen wer-

Bilder zu übertragen, weil das Auge und damit die Zuschauer
den und das reflektierte und damit zeitlich verzögerte Signal
das als weniger störend empfinden.

am Empfänger mit dem bereits neuen Signal zusammentrifft.

Um diesem Problem zu begegnen, wurde ein Schutzintervall

Daten zum DVB-T

(guard interval) eingeführt. Zwischen der Aussendung zweier

In Tab. 99.2 sind allgemeine Daten von aktuell eingesetzten
benachbarter Signalamplituden wird ein Zeitintervall ohne Si-

DVB-T-Systemen aufgeführt.

gnalaussendung eingeschoben, während dessen die verzögerten

Signale eintreffen können. Sie verursachen damit aber keine

Tonübertragung

Signalverfälschung. Die Länge des Schutzintervalls legt gleich-
zeitig fest, wie weit die Sender maximal voneinander entfernt

Auch bei der Tonübertragung wurde eine Datenreduktion durch-
sein dürfen. Dieses Schutzintervall wird häufig zu 1/4 gewählt,
geführt. Aufgrund von umfangreichen Untersuchungen zum
d. h., seine Dauer betragt 1/4 der Dauer der Symbole, wobei die

Hörverhalten des menschlichen Ohres haben sich Möglichkei-

Symboldauer diejenige Zeit ist, während der die 6817 Träger
ten zur Irrelevanzreduktion ergeben. Dazu folgen einige Anmer-
ihre Informationen unverändert anliegen haben und aussenden.

kungen:

Tritt ein lautes Tonsignal auf, nimmt das Ohr frequenzmäßig

Statistischer Multiplex
benachbarte leisere Tonsignale nicht mehr wahr. Also müs-

Der Vorteil der geschilderten Bandbreitenreduzierungen, bei de-
sen sie auch nicht übertragen werden. Dazu wird der gesamte
nen die Statistik eine Rolle spielt (mittlerer Bandbreitenbedarf),

Frequenzbereich des Tonsignals über Bandpässe in Teilfre-
wird auch dadurch unterstützt, dass sich 4 Programme einen
quenzblöcke von z. B. 2 kHz zerlegt. Ein lauter Ton bei 3 kHz

Träger teilen. Die für alle 4 Sender gemeinsam zur Verfügung
erlaubt es damit, den Frequenzbereich von 4 bis 6 kHz auszu-
stehende Bandbreite ist so bemessen, dass sie für den weitaus
blenden, sofern die darin enthaltenen Amplituden wesentlich
größten Teil der Übertragung ausreicht (Erfahrungswert, Statis-
kleiner sind.

tik). Hat ein Sender momentan besonders ausgeprägte Bildin-

Die Empfindlichkeit des menschlichen Ohres ist frequenzab-
halts änderungen, bekommt er temporär einen größeren Anteil
hängig und im Frequenzbereich von etwa 200 Hz bis 6 kHz am
an Bandbreite zugeteilt, die die anderen Programmen in der
größten. Damit können tiefere und höhere Frequenzanteile mit

Regel gerade nicht benötigen. Im Mittel funktioniert diese Auf-
weniger Bit codiert werden.

teilung problemlos. In ganz wenigen Ausnahmefällen kann es
vorkommen, dass 3 oder 4 Programme zum gleichen Zeitpunkt

Für die Tonübertragung stehen 4 Kanäle zur Verfügung: Linker
über einen etwas längeren Zeitraum viele Bildinhaltswechsel

Kanal, rechter Kanal, Zusatz-Tonkanal (Kommentar, Fremd-
haben. Das führt dann zur sogenannten Klötzchenbildung (Ar-
sprache) und getrennter Musikkanal. Es besteht die Möglich-
tefakte), im Extremfall zum kurzzeitigen Einfrieren von einem
keit, weitere Tonsignale im sog. Auxiliary-Data-Bereich (AUX;
oder mehreren Bildern. Die Programme (Fernsehanstalten) ver-
in den Austastlücken der Fernsehbildübertragung verfügbar) zu
suchen aber häufig, statt der Klötzchenbildung lieber unscharfe
senden. Für die Übertragung von „Raumklang“ mit 5 Kanälen

1256

99 Ton- und Bildübertragung

Teil
entsprechend 5 zugeordneten Lautsprechern (vor dem Zuhö-
rer: Stereo-Links, Stereo-Rechts, Tiefton-Mitte und hinter dem

XIII

Zuhörer: Surround-Links, Surround-Rechts) ergibt sich eine Da-
tenreduktion dadurch, dass in den hohen Frequenzen kaum

Richtungsinformation steckt und dass sowohl in den Kanälen

Stereo-Links-Rechts als auch in Surround-Links-Rechts Redun-
danz enthalten ist.

Die Codierung des Tonsignals muss wegen des Dynamikum-
fanges des Ohres mit mindestens 12 bit erfolgen, es werden
üblicherweise 16 bit verwendet.

Mehrfachübertragung –

XIII

100

Multiplexverfahren

Teil

Wilfried Plaßmann

100.1 Zeitmultiplexverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258

100.2 Frequenzmultiplexverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1259

100.3 Raummultiplexverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1260

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1257

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_100

1258

100 Mehrfachübertragung – Multiplexverfahren

Teil

Ziel der Mehrfachübertragung ist es, einen vorhandenen Über-
a
tragungskanal optimal zu nutzen. Optimal im strengen Sinn

Aufeinanderfolge der

XIII
heißt, dass die Bandbreite des Kanals voll ausgenutzt wird und
übertragenenen diskreten

Signalamplituden
dass es keine Zeiträume gibt, in denen keine Information über-

1 2 3 4 5 6 7 8 9
tragen wird. In der Praxis versucht man, diesem Ziel so nahe wie
u S1
möglich zu kommen, weil der Übertragungskanal einen erhebli-
chen Anteil an den Gesamtkosten der Nachrichtenübertragungs-
strecke hat. Der Kanal kann drahtlos oder drahtgebunden sein,

0
t
und der Begriff „gleichzeitig“ muss beim Zeitmultiplexverfah-
ren durch „quasi gleichzeitig“ ersetzt werden. Für das Verfahren
u S2
der Mehrfachübertragung müssen die drei folgenden Vorausset-
zungen erfüllt sein:

0
t

1. Das empfangene Gesamtsignal muss sich wieder eindeutig
in die Einzelsignale (Basissignale) zerlegen lassen.

u S3

2. Die Bandbreite des Übertragungskanals muss größer sein als
die Bandbreite eines Basissignals.

0
τ

3. Die zu übertragenden Signale müssen jedes für sich fre-
t

Δ T
quenzbandbegrenzt sein, damit das Shannon’sche Abtast-
theorem nach Abschn. 92.4.10 erfüllt wird.

b Sender

Übertragungs-

Empfänger

S 1 kanal

S 2
u

*

S1ab
u S1ab
u

*

100.1

Zeitmultiplexverfahren

S2ab
u S2ab
u

*

S3ab
u S3ab
u

*

Syn
u Syn

Das Frequenzspektrum der in Abb. 100.1 dargestellten Signal-
c
verläufe uS 1, uS 2 und uS 3 wurde zunächst über ein Tiefpassfilter

Signalflußrichtung
auf die höchste sinusförmige Signalfrequenz fg begrenzt und
dann mit einer Frequenz f

D

7
ab

1= T abgetastet, die von fg und

5

8 6

3 1
der Anzahl n der Signale (hier 3) abhängt:

4 2

9

Abtastfrequenz
f

τ
ab
n 2;2 fg

(100.1)

Δ T
n Zahl der zu übertragenden Basissignale, fg höchste in den Si-

Abb. 100.1 Zeitmultiplexverfahren, analoge Übertragung. a Drei Signalverläu-
gnalen enthaltene Frequenz.

fe, b Prinzip der Übertragung, c Signalverlauf auf dem Übertragungskanal

Dabei wurde das Abtasttheorem nach Abschn. 92.4.10, (92.18),
verwendet. In (100.1) ist berücksichtigt worden, dass, wie in
der Praxis üblich, alle Signale mit der gleichen Frequenz ab-

100.1.1

Analoge Signalübertragung
getastet werden. Diese wiederum wird durch das Signal mit
der höchsten zu berücksichtigenden Signalfrequenz vorgegeben.

Die für den Übertragungskanal erforderliche minimale Band-

Die zu den diskreten Zeitpunkten abgetasteten Signalamplitu-
breite bei analoger Signalübertragung berechnet sich zu:

den (1, 2, 3, . . . ) werden über den Schalter S1 nacheinander über
den Übertragungskanal übertragen und im Empfänger mit dem

Minimale erforderliche Bandbreite des Kanals:

Schalter S2 dem entsprechenden Kanal wieder zugeordnet. Man
spricht deshalb von „quasi gleichzeitiger“ Übertragung. Um die

B

D

C
an; min
n fg
f syn

(100.2)

Zuordnung der Schalterstellungen eindeutig zu machen, ist ein
n Zahl der zu übertragenden Basissignale, f

Synchronisationssignal u
g höchste in den
syn erforderlich, das man entweder über

Basissignalen enthaltene Frequenz (Sinusform) in Hz, f
eine zusätzliche Schalterstellung überträgt oder das über Zusatz-
syn Fre-
quenz des Synchronisationssignals in Hz.

informationen zusammen mit den Signalamplituden gewonnen
wird. Je nach Anforderung an die Störsicherheit der Übertra-

Die Frequenz f syn des Synchronisationssignals ergibt sich aus
gung muss entweder jede einzelne Schalterstellung eindeutig
dem verwendeten Übertragungsverfahren. Ein vollständiger Zy-
codiert dem Empfänger übermittelt werden, oder aber es genügt
klus (Schalterumlauf) ist periodisch mit der Zeit t um:

eine Kennung zur Weiterschaltung auf die nächste Schalterstel-

Zykluszeit eines Schalterumlaufes:

lung bei gelegentlicher eindeutiger Synchronisation der Schal-
terstellungen. Die Übertragung kann in analoger (Abb. 100.1)

t

D

C
um
n C n t sch
t syn

(100.3)

oder digital codierter Form erfolgen. Bei der digitalen Codie-
rung bewährt sich ein Verfahren nach Abschn. 96.4.4.7 und
n Zahl der zu übertragenden Basissignale, Dauer des abgetas-

Abb. 96.35, das die Gewinnung des im Sender verwendeten Tak-
teten Signals in s, t sch Zeit zum Weiterschalten auf den nächsten
tes ermöglicht.

Kanal in s, t syn Zeit für die Schaltersynchronisation in s.

100.2

Frequenzmultiplexverfahren

1259

In der Zeit t sch ist neben der reinen Umschaltzeit meist noch ein

100.2

Frequenzmultiplexverfahren

Sicherheitsabstand enthalten, damit ein ungestörter Übergang
auf das nächste Signal sichergestellt ist. Um die Zeit t sch klein

XIII
zu halten, werden Feldeffekt-Transistor-Schalter mit Schaltzei-

Das Frequenzmultiplexverfahren wurde und wird von der Deut-
ten im ns-Bereich eingesetzt.

schen Telekom u. a. in großem Umfang im Fernsprechnetz ein-

Teil

Die Zahl der zu übertragenden Signale kann bei gegebener
gesetzt und soll hier anhand der TF-Technik ( Trägerfrequenz-

Kanalbandbreite auch durch die endliche Dauer t der Abtastim-

Technik) erläutert werden. Dieses Verfahren wurde für die ana-
pulse (Abb. 100.1a, c) begrenzt werden, denn es muss gelten:

loge Telefontechnik verwendet. Zwar ist der Fernsprechverkehr
in der Zwischenzeit fast vollständig durch die Digitaltechnik

< T D 1= f
mit ihren erweiterten Möglichkeiten ersetzt worden, aber an
ab

(100.4)

diesem System lässt sich das Verfahren anschaulich und nach-
vollziehbar darstellen. Die Zielsetzung war, so viel Gespräche
wie möglich über einen Kanal gleichzeitig zu übertragen und

100.1.2

Digital codierte Signalübertragung
dabei eine ausreichende Sprachverständlichkeit zu gewährleis-
ten. Die Übertragung der Sprache im Original wurde nicht
angestrebt. Der Frequenzbereich für die analoge Gesprächsüber-

Die in Abb. 100.1a dargestellten Amplitudenwerte werden in
mittlung (Basisband) wurde deshalb von 300 Hz bis 3,4 kHz
einem Analog-Digital-Umsetzer in digital codierte Signale um-
festgelegt, weil Untersuchungen ergeben hatten, dass Frequen-
gesetzt und dann über den Kanal übertragen. Die erforderliche
zen unterhalb 300 Hz die Sprachverständlichkeit erschweren,
minimale Bandbreite lässt sich bestimmen:

Frequenzen oberhalb 3,4 kHz sie nicht weiter erhöhen. Man

Minimale erforderliche Bandbreite des Kanals:

kann den Frequenzbereich oberhalb 3,4 kHz deshalb abschnei-
den und Kanalbandbreite einsparen. Lediglich die Frequenz

B

D

C
di; min
n k fg
f syn

(100.5)

3,85 kHz muss noch übertragen werden, weil sie die Rufnum-
mer enthält. Der Frequenzbereich unterhalb 300 Hz ließ sich für
n Zahl der zu übertragenden Basissignale, k Zahl der Bits pro
z. B. für den Telefaxverkehr einsetzen.

Amplitudenwert (Abtastwert), fg höchste in den Basissignalen
enthaltene Frequenz (Sinusform) in Hz, f syn Zahl der Synchro-

Die zunächst naheliegende Vorgehensweise, die 3,85 kHz brei-
nisationsbits in 1=s.

ten Kanäle den Trägerfrequenzen im Abstand von 4 kHz in

Einseitenbandtechnik aufzumodulieren, und zwar mit 12 kHz

Die Übertragung digital codierter Amplitudenwerte erfordert
beginnend bis in den 100-kHz-Bereich, scheitert an den
nach Gleichung (100.5) eine höhere Bandbreite als die analo-
nicht realisierbaren Bandpassfiltern, die z. B. die Frequenz
ge Übertragung nach Gleichung (100.2), dafür ist sie aber auch

119,85 kHz (Rufnummer-Frequenz des Sprechkanals 116 kHz
weniger störanfällig. Deshalb findet auch der Digitale Satelli-
bis 119,4 kHz) noch vollständig unterdrücken müssen, 120,00
tenrundfunk (DSR) im unteren GHz-Bereich statt, weil dort die
kHz bis 123,85 kHz durchlassen und 124,00 kHz wieder voll-
erforderliche große Bandbreite zur Verfügung steht. Auch bei
ständig unterdrücken müssen. Das Problem lässt sich aber durch
ausreichender Kanalbandbreite muss die Bedingung
die im Folgenden dargestellte Technik lösen.

T > k T bit

(100.6)

In Abb. 100.2a sind drei Telefonkanäle dargestellt, wobei auch
die Verbindung zum hausinternen Telefon einen Kanal dar-

( k Zahl der Bits pro Amplitudenwert; T bit Zeitdauer für ein Bit
stellt. Zur Übermittlung des Kennzeichens (Rufnummer) wird
in s) eingehalten werden.

die Frequenz 3,85 kHz verwendet. Im folgenden wird das mit

Die Deutsche Telekom verwendet für den Fernsprechverkehr

BW 52 und BW 7 bezeichnete Verfahren erläutert. Kanal
u. a. auch das Zeitmultiplexverfahren. Aus der Vielzahl der ver-

1 wird einer Trägerschwingung mit 12 kHz, Kanal 2 einer
wendeten Systeme seien zwei aufgeführt: 1. System PCM 30:

mit 16 kHz und Kanal 3 einer mit 20 kHz in Einseitenband-

Es werden 30 Gespräche gleichzeitig übertragen. Ein Pulsrah-

Amplitudenmodulation (ESB-AM) ohne Träger in Normallage
men (entspricht einem Schalterumlauf) erzeugt 30 Codewörter
aufmoduliert, sodass das in Abb. 100.2b eingezeichnete Fre-
zu je 8 Bit, die verschlüsselt die Amplitudeninformationen
quenzspektrum dieser Vorgruppe von 12,3 bis 23,85 kHz ent-
der 30 Kanäle enthalten. Es werden noch zwei weitere 8-Bit-
steht. In einer zweiten Modulationsstufe werden vier Vorgrup-

Codewörter hinzugefügt, die u. a. Informationen über die Kenn-
pen der Frequenzlage von je 12 bis 24 kHz einer Trägerfrequenz
zeichen der Kanäle und eine Kennung des Rahmens enthalten.

120 bzw. 108 bzw. 96 bzw. 84 kHz in ESB-AM und Kehrla-

Jeder Kanal wird 8000mal pro Sekunde abgetastet, sodass sich
ge aufmoduliert und bilden die sogenannte Grundprimärgruppe
ein Informationsfluss von 8000832 bit=s D 2048 kbit=s ergibt. (Abb. 100.2c). Damit können bereits 12 Gespräche gleichzeitig

2. System PCM 30720: Es werden 30.720 Gespräche gleichzei-
über einen Übertragungskanal mit dem Frequenzbereich 60,15
tig über eine Glasfaser von ca. 125 mm Dicke über Hunderte
bis 107,7 kHz übertragen werden. Bei der Deutschen Telekom
von Kilometern übertragen.

werden bzw. wurden noch weitere Gruppen gebildet (Sekundär-,

1260

100 Mehrfachübertragung – Multiplexverfahren

Teil

Tab. 100.1 Bei der Deutschen Telekom eingesetzte Frequenzmultiplexverfahren (Auswahl)

System

Übertragungs-Frequenzband

Zahl der Gespräche (gleichzeitig)

Kabeltyp, Kabeldurchmesser innen/außen,

XIII

Abstand der Zwischenverstärker

V300

60 bis 1296 kHz

300

Koaxialleitung, 1,2/4,4 mm, 4 km

V960

60 bis 4028 kHz

960

Koaxialleitung, 1,2/4,4 mm, 4 km

V2700

312 bis 12.388 kHz

2700

Koaxialleitung, 2,6/9,5 mm, 4,65 km

V10800

4,332 bis 59,684 MHz

10800

Koaxialleitung, 2,6/9,5 mm, 1,55 km
a

Die erforderliche Kanalbandbreite BK ergibt sich aus den hier

Kanal
als gleich angenommenen Bandbreiten BS der Basissignale:

1

B D

C

K
n BS
n f

2

BS Signalbandbreite eines Basissignals in Hz; n Zahl der Basis-
signale; f Frequenzabstand zwischen zwei Basissignalen nach

3
der Modulation zur Kanaltrennung in Hz.

0,3

3,4 3,85 kHz

100.3

Raummultiplexverfahren
b

Beim Raummultiplexverfahren (SDM, S pace D ivision M ulti-
plex) werden unterschiedliche Signale über unterschiedliche

Übertragungswege übertragen, und zwar gleichzeitig. Dieses

12 12,3

16

20 20,3 23 23,85 kHz

Verfahren wird vielfach eingesetzt, auch wenn es zunächst nicht
einsichtig erscheint. Es wird unterschieden zwischen drahtge-
c
bundenem und drahtlosem (kabellosem) Raummultiplexverfah-
ren.

Drahtgebundenes Raummultiplexverfahren: Eingesetzt wird

60,15

71.7 72,15

84,15

96,15

108 120 kHz
dieses Verfahren in großem Rahmen in den Koppelnetzen der

84

96

108

83,7

95,7

Telefon-Vermittlungstechnik, siehe dazu auch Abb. 106.3 im

Kap. 106 „Vermittlungstechnik“. Es können m ankommende

Abb. 100.2 Frequenzmultiplexverfahren am Beispiel des Fernsprechnetzes der

Signale auf n abgehende Signale gleichzeitig weitergeleitet

Deutschen Telekom, unterdrückte Träger gestrichelt dargestellt. a Drei Fern-
werden, wobei Überschneidungen unzulässig sind. Im ganz
sprechkanäle, b Bildung der Vorgruppe, c Grundprimärgruppe
kleinen Rahmen wird es verwendet in Rundfunk- und Fern-
sehstudios, wo die Signale von Mikrofonen, Fernsehkameras
und Bild- und Tonträgern auf laufende Programme und an-

Tertiär-, Quartärgruppen), sodass für die Übertragung u. a. fol-
dere Bild- und Tonträger übertragen werden müssen.

gende Systeme zur Verfügung stehen (Tab. 100.1).

Drahtloses Raummultiplexverfahren: Bei diesem Verfahren
wird eine Funkverbindung in mehreren räumlich weit von-

Dabei ist es möglich, den beim Verfahren V10800 nicht be-
einander entfernten Regionen auf gleicher Frequenz betrie-
nutzten Frequenzbereich bis 4,332 MHz durch ein System V960
ben. Beim UKW-Rundfunk und beim terrestrischen Fernse-
zu belegen. Der dann noch verbleibende freie Bereich von 0
hen werden gleiche oder auch unterschiedliche Programme
bis 60 kHz wird von 6 bis 54 kHz durch eine der Trägerfre-
auf der gleichen Frequenz übertragen. Das ist auch auf
quenz 114 kHz aufmodulierte Grundprimärgruppe belegt. Die
nationalem Gebiet möglich, weil die Reichweite der verwen-

Bildung von Gruppen und damit die Mehrfachmodulationen
deten Frequenzen (ab etwa 85 MHz) nur bedingt über die

(Träger 12, 16, 20 kHz, dann 120, 108, 96, 84 kHz) ist erfor-
optische Sicht hinausgeht und damit gegenseitige Beeinflus-
derlich, damit einerseits die Fernsprechkanäle dicht beieinander
sungen (Störungen) minimal gehalten werden können. Das
liegen (Abstand 150 Hz bei der Vorgruppe, 450 Hz bei der

Raummultiplexverfahren wird weiterhin angewendet im Mo-

Grundprimärgruppe) und so möglichst wenig Kanalbandbrei-
bilfunk. Die Leistung der Handys ist vergleichsweise niedrig
te ungenutzt bleibt, andererseits die einzelnen Kanäle wieder
und die Leistung der Sender wird bewusst niedrig gehalten.

eindeutig voneinander getrennt werden können. Außerdem ist

Damit können die Senderabstände gering gehalten und die
die Einseitenbandfilterung in der Grundprimärgruppe erst mög-
gleichen Frequenzen vielfach vergeben werden. Auch Richt-
lich, weil die Seitenbänder 24 kHz auseinanderliegen (deshalb
funkstrecken verwenden das Multiplexverfahren. Allerdings
auch die niedrigste Trägerfrequenz 12 kHz in der Vorgruppe und
ist die gegenseitige Beeinflussung durch die ausgeprägte
nicht 8 oder 4 kHz). Verallgemeinert gilt für das Frequenzmulti-

Richtwirkung vom Prinzip her schon gering.

plexverfahren, dass es dann einsetzbar ist, wenn der vorhandene

Übertragungskanal (z. B. Koaxialkabel) eine viel größere Band-

Diese Technik wird bewusst eingesetzt, weil andernfalls nicht
breite besitzt als ein Basissignal.

genügend Frequenzbereiche zur Verfügung stehen.

Richtfunktechnik

XIII

101

Wilfried Plaßmann

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1261

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_101

1262

101 Richtfunktechnik

Teil

Die Nachrichtenübertragung über Richtfunkstrecken wird ne-

Raumdiversity: Die Übertragung geschieht räumlich auf
ben der Übertragung über Kabel eingesetzt. Gegenüber der
zwei unterschiedlichen Wegen, wobei auch die Empfänger

XIII

Rundfunk- und Fernsehübertragung weist sie folgende Unter-
örtlich voneinander getrennt sind.

schiede auf:

Einige weitere für die Übertragung wichtige Formeln und Be-

1. Sender und Empfänger sind ortsfest. Da es nur einen Emp-
griffe sind hier aufgelistet.

fänger gibt, kann die Übertragung mit einem gerichteten

Freiraumdämpfung: Dies ist die Dämpfung zwischen Sende-
elektromagnetischen Feld erfolgen.

und Empfangsantenne, wenn beide als Kugelstrahler ausge-

2. Der verwendete Frequenzbereich liegt zurzeit zwischen
bildet sind:

300 MHz und 30 GHz. Damit werden Parabolantennen als

Freiraumdämpfungsmaß

Richtantennen eingesetzt, weil sie gute Richteigenschaften
und handhabbare Abmessungen (Durchmesser < 4,5 m) auf-

4 l
weisen.

a D

0

20 lg in dB

(101.1)

3. Die Übertragung geschieht quasioptisch, sodass Entfernun-
gen bis maximal etwa 100 km überbrückbar sind. Bei größe-
l Entfernung in m, Wellenlänge in m.

ren Entfernungen werden Zwischenstationen eingesetzt.

Schwund: Störungen der Ausbreitungsbedingungen. Inter-
ferenzschwund: Überlagerung von direkt empfangener und

Durch diese Art der Übertragung ergeben sich folgende Vorteile:

reflektierter Welle und damit teilweise oder totale Aus-

1. Die verwendete Frequenz kann mehrfach benutzt werden,
löschung. Absorptions- und Streuverluste: Streuung und
sofern die Richtfunkstrecken räumlich voneinander getrennt

Dämpfung durch Wassertropfen und Wasserdampf, beson-
sind.

ders für Frequenzen ab 10 GHz.

2. Die Richtfunkstrecke kann parallel zur Kabelübertragung

Antennen: Es werden hauptsächlich Parabolantennen mit
eingesetzt werden und vermindert damit die Ausfallrate der

Durchmessern < 4,5 m eingesetzt. Unter Halbwertsbreite

Übertragungsstrecke.

versteht man den Winkel gegenüber der Hauptstrahlrichtung,

3. Sie wird dort eingesetzt, wo eine Verlegung von Kabeln
bei der der Antennengewinn auf die Hälfte (3 dB) abgesun-
aus geografischen oder politischen Gründen nicht mög-
ken ist.

lich ist. So wurde der Telefonverkehr mit Berlin während

Bei Parabolantennen liegt der Winkel zwischen 0,5ůnd 4°.

der Existenz der DDR über Richtfunkstrecken abgewickelt

Die Halbwertsbreite sinkt mit steigendem Antennendurch-

(Torfhaus–Berlin).

messer, sodass große Antennen eine größere Richtwirkung

4. Richtfunkstrecken erfordern relativ wenig Aufwand und sind
besitzen als kleine. (Siehe auch Abschn. 95.3.10 „Parabolan-
deshalb auch für mobile Anlagen geeignet. Häufig kann ein
tennen“).

vorhandener hoher Turm für die Antennenmontage mitver-

Antennengewinnmaß: Angegeben wird das logarithmische
wendet werden, sodass dadurch die Reichweite erhöht wird.

Maß (siehe auch Kap. 95 „Antennen“, (95.10a)–(95.10c)):

Antennengewinnmaß

Der verwendete Frequenzbereich von 300 MHz bis 30 GHz ist
aus folgenden Gründen besonders gut geeignet:

4 r 22 q

G D 10 lg

dB

(101.2)

2

1. Durch die quasioptische Ausbreitung und die Bündelung tre-
ten wenig Überlagerungen mit anderen Signalen auf.

r Radius der Antenne in m, q Flächenausnutzungsfaktor, q

2. Das kosmische Rauschen ist genau in diesem Bereich beson-

0;6, Wellenlänge in m.

ders gering („Mikrowellenfenster“).

Dieses Antennengewinnmaß gilt sowohl für die Sende- als

3. Die Dämpfung der Atmosphäre ist gering, und an den
auch für die Empfangsantenne.

Schichten der Ionosphäre finden kaum Reflexionen statt.

Gesamt-Systemdämpfung: Das Gesamtdämpfungsmaß a ges

4. Die Beugung und Reflexion an Regentropfen ist noch gering
zwischen Sender und Empfänger lässt sich wie folgt berech-

( f D 10 GHz ¶ D 3 cm).

nen:

5. Die Antennenabmessungen sind handlich.

Gesamt-Systemdämpfungsmaß:

Ein wesentlicher Nachteil ist die Zusatzdämpfung bei starken
a

D

C

C
ges
a 0
aL

. GS

GE/

(101.3)

Niederschlägen, die ab etwa 10 GHz einsetzt.

Zur Erhöhung der Verfügbarkeit einer Übertragungsstrecke, die
a 0 Freiraumdämpfungsmaß in dB nach (101.1), aL Zulei-
durch Schwunderscheinungen (Überlagerung von zwei Feldern
tungsdämpfungsmaß in dB, GS, GE Antennengewinnmaß der
mit 180° Phasenverschiebung) verringert wird, verwendet man:

Sende- bzw. Empfangsantenne nach (101.2).

Weitere Einzelheiten sind im Beispiel 1 aufgeführt.

Frequenzdiversity: Es wird das gleiche Signal über zwei par-

Scatterverbindung: Bei dieser auch als Überreichweitenan-
allele Übertragungskanäle mit unterschiedlichen Frequenzen
lage bezeichneten Richtfunkstrecke besteht zwischen den
übertragen.

zwei Richtfunkstellen keine optische Sicht. Der Einsatz von

101 Richtfunktechnik

1263

–0,5°

Beispiel 1

1000 m

800 m

800 m

Ein Sender hat am Ausgang eine Leistung von 1 W bei

XIII
einer Frequenz f D 12 GHz ( D 2;5 cm) und speist über

Torfhaus (Harz) Magdeburg

Berlin
eine Zuleitung der Länge l D

L

10 m und dem Dämpfungs-

Teil
maß a D 12 dB=100 m eine Parabolantenne mit einem

L

85 km

115

Durchmesser von 2 m. In einer Entfernung l D 15 km
km
steht die Empfangsantenne mit dem gleichen Durchmes-

Abb. 101.1 Scatterverbindung im Telefonverkehr Bundesrepublik–Westberlin
ser. Mit q D 0;6 und (101.3) folgt:

D

4 l C 12dB

4 r 22 q

Relaisstationen ist aus geografischen oder politischen Grün-
a ges

20 lg

10 m 2 10 lg

100 m

2
den nicht möglich. Dann richtet man beide Antennen nach

4 15 103 m

Abb. 101.1 auf einen gemeinsamen Punkt in der Troposphä-

D 20 lg
dB C 1;2 dB

2;5 102 m
re und nutzt die dort auftretenden Brechwertinhomogenitäten
aus, die einen geringen Teil der Energie zur jeweils ande-

4 1 m2 2 0;6

20 lg
ren Antenne reflektieren. Da dieser Anteil sehr klein ist, sind

2;52 104 m2
relativ hohe Sendeleistungen erforderlich. Dieses Verfahren

D 137;5 dB C 1;2 dB 91;6 dB D 47;1 dB
wurde im Telefonverkehr zwischen der Bundesrepublik und

Westberlin während der Existenz der DDR eingesetzt. Die

Die Leistung PE an der Empfängerantenne ergibt sich zu:

Entfernung beträgt etwa 200 km. Auf dem Torfhaus (Harz)

wurde in 800 m Höhe über NN unter einem Winkel von

1 W

)

D 1 W D

0,5° in Richtung Berlin gesendet. Etwa über Magdeburg

47;1 dB D 10 lg

PE

19;5 &W:

PE

104;71
traten Beugungen in 800 . . . 1000 m Höhe auf, sodass ein

J
kleiner Teil des Hauptstrahles auf die Empfangsantenne in

Berlin umgelenkt wurde. Das Gleiche fand in umgekehrter

Richtung statt. Die Sendeleistung, die bei optischer Sicht
mit etwa 5 W ausgereicht hätte, musste auf 1 kW erhöht

Heute werden von der Telekom überwiegend D igital-R icht-
werden. Sende- und Empfangsantennen hatten bei einer Fre-
funks ysteme ( DRS) eingesetzt. Ein solches System ist z. B. DRS
quenz im Bereich von 2,1 . . . 2,3 GHz einen Durchmesser

34/15000. Es ist ein PCM-System mit Puls-Code-Modulation
von 10 m bzw. im Frequenzbereich von 1,7 . . . 2,1 GHz einen
und einer Übertragungsrate von 34 Mbit/s und überträgt im 15-

Durchmesser von 18 m. Es wurde mit Raum-Diversity (s. o.)

GHz-Bereich. Damit lassen sich etwa 500 Fernsprechkanäle
gearbeitet.

gleichzeitig übertragen.

Nachrichtenübertragung

XIII

102
über Satellit

Teil

Wilfried Plaßmann

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1265

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_102

1266

102 Nachrichtenübertragung über Satellit

Teil

Satelliten werden in ca. 36.000 km Höhe in eine geostatio-
näre Umlaufbahn um die Erde gebracht, sodass sie die gleiche
r Radius der Antenne in m, q Flächenausnutzungsfaktor,

XIII

Umlaufzeit wie die Erde haben. Allerdings ist nur eine der un-
q 0;6, Wellenlänge in m.

endlich vielen möglichen Umlaufbahnen optimal, nämlich die,
bei der sich der Satellit wie die Erde dreht, von West nach Ost,

4 12;52 m2 2 0;6
über dem Äquator positioniert ( erd- oder geosynchrone Umlauf-

G D

D

E

10 lg

66;1 dB

32 cm2
bahn). Der Satellit ändert seine Position gegenüber der Erd-

4 1 m2 2 0;6
oberfläche nicht. Die Erde erscheint dem Satelliten unter einem

G D

D

S

10 lg

44;2 dB

Winkel von 17,15 Grad, und er erfasst etwa 42 % der Erdober-

32 cm2
fläche. Allerdings ist seine Nutzung bei flachen Einfallswinkeln

G C

D

E

GS

110;3 dB
kaum möglich. Es werden heute ausschließlich aktive Satelli-
ten eingesetzt, die über eine eigene Empfangs- und Sendeanlage

Resultierend erhält man ein Gesamtdämpfungsmaß von
verfügen. Die in der Anfangszeit verwendeten passiven Satelli-

203 dB 110;3 dB D 92;7 dB. Wird von einer Anten-
ten hatten nur Reflektoren. Eine Nachrichtenübertragung über
ne die Leistung 1 kW abgegeben, empfängt die andere

Satellit besteht aus einer oder mehreren Erdefunkstellen und

Antenne bei Vernachlässigung weiterer Dämpfungen die
dem Satelliten. Die Erdefunkstelle unterscheidet sich von einer

Leistung Pe

Richtfunkstelle (siehe Kap. 101) durch die folgenden Punkte:

1 kW

92;7 dB D 10 lg

)

P D
e

540 nW:

J
eine nachführbare Antenne mit hohem Gewinn, da der Satel-

Pe
lit nicht exakt ortsfest ist und die Entfernung ca. 36.000 km
beträgt;
eine hohe Sendeleistung wegen der großen Entfernung;

Beispiel 1 zeigt, dass in der Erdefunkstelle Antennen mit mög-
aufwendige Empfängerschaltung wegen der geringen emp-
lichst großen Durchmessern verwendet werden müssen, und
fangenen Leistung.

dass trotz hoher Senderleistung des Satelliten an die Empfän-
ger auf der Erde hohe Anforderungen gestellt werden.

Bei der Übertragung gibt es zwei Möglichkeiten:

Intelsat betreibt derzeit mehr als 15 Satelliten, die mit über

Punkt-zu-Punkt-Verbindung: Der Satellit wird als Relaissta-

800 über die Erdoberfläche verteilten Antennen erreicht werden
tion benutzt. Beispiel: Verbindung Europa–Amerika.

können. Etwa 2=3 des interkontinentalen Fernsprechverkehrs

Vielfachzugang: Mehrere Bodenstationen benutzen die
und alle interkontinentalen Live-Sendungen des Fernsehens be-
gleiche Trägerfrequenz, aber das Basisband von z. B.

nutzen die Satellitenverbindung. Auch regionale und nationale

0 . . . 500 MHz wird bereichsweise auf die Stationen aufge-

Nachrichtenübertragungen werden zunehmend über Satelliten
teilt. Es wird das Frequenzmultiplexverfahren angewendet
abgewickelt. Für Fernseh- und Rundfunkprogramme gibt es
und einseitenbandmoduliert mit unterdrücktem Träger.

preiswerte Satellitenempfangsanlagen, die eine Alternative zum

Programmempfang über Kabel darstellen und eine Fülle an un-

Für die Übertragung über Satellit ist der Frequenzbereich
terschiedlichen Programmen bieten. Da die Satellitensender für

300 MHz bis 30 GHz besonders geeignet, siehe Kap. 101

Rundfunk- und Fernsehprogramme mit einer mehr als 10fachen

„Richtfunktechnik“. Dadurch ist eine Signalübertragung trotz

Strahlungsleistung gegenüber den übrigen Nachrichtensatelliten
hoher Freiraumdämpfung durch die große Entfernung mit ver-
senden, ist auf der Erde auch mit geringem Aufwand ein stö-
tretbarem Empfängeraufwand möglich.

rungsfreier Empfang möglich.

Die Deutsche Bundespost hat 1989 einen nationalen Fernmel-
desatelliten DFS-Kopernikus mit folgenden Zielen in Betrieb

Beispiel 1
genommen:

Das Freiraumdämpfungsmaß ergibt nach (101.1) bei einer

Fernsprech- und Datenübertragung zwischen der Bundesre-

Frequenz f D 10 GHz (¶ D 3 cm) und einer Entfer-
publik und Westberlin: 2 Kanäle mit je 90 MHz Bandbreite
nung l D 36:000 km:

auf 14/12 GHz und ein Kanal mit ebenfalls 90 MHz Band-
breite auf 30/20 GHz.

4 l

4 3;6 109 cm

Fernsehübertragung zwischen der Bundesrepublik und West-
a D

D

0

20 lg

20 lg

203 dB:

berlin mit einem Kanal mit 90 MHz Bandbreite auf

3 cm

14/12 GHz.

Benutzt die Erdefunkstelle eine Antenne mit dem Radius

Flächendeckende Übertragung von Fernsehprogrammen zur
r

D

Einspeisung in örtliche Kabelnetze auf 5 Kanälen mit

E

12;5 m (u. a. in Raisting bei München verwendet)

und der Satellit eine mit r D

44 MHz Bandbreite auf 14/12 GHz.

S

1 m, ergeben sich die An-
tennengewinnmaße nach (101.2) mit q D 0;6 zu:

Schnelle Datenübertragung und Videokonferenzübertragung
auf 2 Kanälen mit je 44 MHz Bandbreite auf 14/12 GHz.

4 r 22 q

Antennengewinnmaß

G D 10 lg

Durch die Auflösung der DDR hat sich das Konzept in der

dB

2

Zwischenzeit geändert. Der Satellit wird vorwiegend zur Über-
tragung von Fernsehprogrammen eingesetzt.

102 Nachrichtenübertragung über Satellit

1267

FM-

Sende-

Hauptreflektor

Modulator

Weiche Endstufe

3
f 2
f

XIII

3 ff 23

Basis-

+

3
f
f

1

Antenne
band

3

2

Teil

G

G
f + f

1

2
f 2

2
f 1
ff
ff

34

13

AM-

1

Hilfsreflektor

+

+

Sende-

3 Demo-

Empfangs- f 1
dulator
weiche

3
f
f

3

1

Halterung
f
f

Horn-

4

3
strahler

ZF2

ZF1

Weiche Verstärker

(rauscharm)

1

HF-Durchschaltung

2

Abb. 102.2 Cassegrain-Antenne

ZF-Durchschaltung

3

Basisband-Durchschaltung

Abb. 102.1 Prinzipschaltbild eines Transponders
gewinnmaß ebenso, sodass das Gesamtdämpfungsmaß
konstant bleibt (siehe Beispiel 1: nur ändert sich).

– Zwischenfrequenzdurchschaltung: Das empfangene Si-

Aus den Einsatzgebieten für den Satellitenfunk seien eini-
gnal wird in eine deutlich niedrigere Frequenz, die erste
ge wenige genannt: Der europäische Wettersatellit Meteosat

Zwischenfrequenz (ZF1) umgesetzt und verstärkt. Das ist
gehört zu einem erdumspannenden Netz aus Wettersatelliten,
vorteilhaft, weil die niedrigere ZF1 einfacher zu handha-
deren Informationen allen Ländern zur Verfügung stehen. Die
ben ist.

konventionelle Nachrichtenübertragung zwischen Schiffen und

– Basisband-Durchschaltung: Das Ausgangssignal der 1.

Landstationen über Kurzwelle wird durch Satellitenübertragung

ZF-Stufe wird erneut umgesetzt (ZF2), verstärkt und
ersetzt. Einige weitere Anwendungen folgen unten.

demoduliert, sodass man das Basisbandsignal zur Verfü-

Geostationäre Satelliten haben einige Vorteile:

gung hat. Dieses Verfahren ist dann erforderlich, wenn
z. B. die Modulationsart geändert werden soll: Empfang

Ein erdumspannendes Kommunikationssystem kann mit nur
eines einseitenbandmodulierten Signals mit unterdrück-
drei Satelliten bei einer gegenseitigen Verschiebung von
tem Träger und Aussendung eines frequenzmodulierten

120° erreicht werden.

Signals. Neuere Satelliten haben mehr als 10 Transpon-

Nachrichtenverbindungen können mit erdfesten und mobilen
der eingebaut, die die Sendestufe gemeinsam ansteuern.

Stationen aufgebaut werden.

Antennen: Verwendet werden vorwiegend Cassegrain-

Es können auch größere Regionen flächendeckend erreicht

Antennen (Doppelreflektorantennen), bei denen das Signal
werden.

nach Abb. 102.2 über einen kleinen Hornstrahler in der Mit-
te des Hauptreflektors in Richtung auf einen hyperbolischen

Allerdings gibt es auch einige Nachteile:

Hilfsreflektor eingespeist wird, der das Signal zum Haupt-

Das Erreichen der Polgebiete ist wegen des geringen Nei-
reflektor zurückwirft, von wo aus es endgültig die Antenne
gungswinkels nicht möglich.

verlässt. Durch diesen Aufbau werden Antennenwirkungs-

Die Signallaufzeit zwischen zwei Erdefunkstellen liegt zwi-
grade von über 65 % erreicht.

schen 240 und 275 ms. Wendet man das Raumdiversity-

Polarisation: Durch horizontale bzw. vertikale Polarisation

Verfahren (Kap. 101 „Richtfunktechnik“) an, kann es zu
lassen sich auf der gleichen Trägerfrequenz zwei getrennte

Synchronisationsproblemen kommen.

Signale übertragen. Ebenso kann man bei der zirkularen Po-

Während des Durchlaufes durch den Erdschatten muss die
larisation zwischen links- und rechtsdrehend unterscheiden.

Stromversorgung der Satelliten von Batterien übernommen

Energieversorgung: Die Energieversorgung geschieht über-
werden.

wiegend mit Solarzellen, wobei Akkumulatoren die Spei-
sung während des Durchlaufes durch den Erdschatten über-

Transponder: Der interne elektronische Aufbau von Satelli-
nehmen. Über die Sonnenstrahlung steht eine Leistung von
ten ist u. a. so ausgelegt, dass er zwischen drei unterschiedli-

25 . . . 50 W je m2 Solarzellenfläche zur Verfügung. Die für
chen Betriebsarten umschalten kann, Abb. 102.1.

den Betrieb des Satelliten erforderliche Leistung kann je

– Hochfrequenzdurchschaltung: Die von der Erdefunkstelle
nach Typ bei maximal 2 . . . 5 kW liegen, sodass Flächen von
empfangene Frequenz (z. B. 6 GHz) wird in einem Fre-
bis zu 80 m2 benötigt werden. Das lässt sich durch ausklapp-
quenzumsetzer in eine niedrigere Frequenz (z. B. 4 GHz)

bare Paddel erreichen, die so ausgerichtet werden, dass sie
umgesetzt und zur Erde zurückgesendet. Im Satelliten
stets optimal zur Sonne stehen.

lassen sich niedrigere Sendefrequenzen mit höherem

DSR – D igitales S atellitenr adio: Übertragung von Hörfunk-

Wirkungsgrad verarbeiten. Bei niedrigeren Frequenzen
programmen in CD-Qualität durch Übertragung der Informa-
nimmt das Freiraumdämpfungsmaß ab, das Antennen-
tion in digital kodierter Form.

1268

102 Nachrichtenübertragung über Satellit

Teil

Daten: Frequenzbereich: 11,7 . . . 12,5 GHz; 40 Kanäle mit

In (102.4) und (102.5) sind lediglich die Faktoren G und
je 27 MHz Bandbreite; Kanalabstand etwa 19,2 MHz; durch

F beeinflussbar. Danach kann ein niedriges Signal-Rausch-

XIII
zirkulare kanalweise wechselnde Polarisation keine Störung

Verhältnis letztlich nur über einen entsprechend großen Anten-
benachbarter Kanäle; Frequenzmodulation.

nenradius r und eine niedrige Rauschzahl des Empfängers (mit

Footprint eines Satelliten: Darstellung der vom Satelliten

LNB, low noise block, bezeichnet) erreicht werden (101.2):

auf die einzelnen Punkte der Erdoberfläche abgestrahlten

Leistung einschließlich des Antennengewinns. Es werden

2 r 2

Linien gleicher Leistung eingetragen. Damit kann die Leis-

G D q

(102.6)

tungsabnahme vom Zentrum zu den Außenzonen abgelesen
werden. Die Beschriftung dieser Linien kann z. B. in EIRP,
r Radius der Antenne in m; q Flächenausnutzungsfaktor, q
equivalent isotropically radiated power, in logarithmischem

0;6; Wellenlänge in m.

Maßstab mit der „Einheit“ dBW erfolgen. Für den Satelliten

Astra-1D gilt im Zentrum ein Wert von 51 dBW. Daraus lässt

GPS: G lobal P ositioning S ystem. Dabei handelt es sich
sich die Verfügbarkeit eines Programmes bzw. die erforderli-
um ein satellitengestütztes System zur Positionsbestimmung.

che Größe der Empfangsantenne bestimmen. Alternativ dazu

Weitere Einzelheiten dazu sind im Kap. 104 „Funkmesstech-
kann das Diagramm auch mit der auf der Erdoberfläche herr-
nik“ aufgeführt.

schenden Leistungsflussdichte beschriftet werden ( PFD), da

Fernsehbild- und Rundfunk-Empfang über Satelliten der

EIRP und PFD in einem festen Verhältnis zueinander stehen.

ASTRA-Serie. Für die Übertragung von Rundfunk- und Fern-

Dieser ebenfalls logarithmische Wert wird in dB(W=m2) an-
sehprogrammen werden u. a. Satelliten („Fernsehsatelliten“)

gegeben.

der ASTRA-Serie eingesetzt, die von SES ASTRA S. A.

in Betzdorf, Luxemburg, betrieben werden. Über diese Sa-

Für eine gute Fernsehbildqualität ist ein Signal-Rausch-
telliten werden die Programme der deutschen Öffentlich-

Verhältnis S= N 38 dB erforderlich. Bezieht man den Gewinn

Rechtlichen Rundfunk- und Fernsehanstalten vorwiegend
durch Frequenzmodulation, G FM, mit ein, folgt für das Träger-
übertragen. Begonnen wurde mit den Satelliten 1A (1988 bis

Rausch-Verhältnis C= N:

2004) und 1B (1991 bis 2006), die inzwischen abgeschal-
tet worden sind. Als Nachfolger sind u. a. die Satelliten 1H

C D S G FM

(102.1)

und 1M auf der geostationären Position 19,2° Ost aktiv. Die-

N

N
se Position ist zur Versorgung von Westeuropa besonders gut

Setzt man als Näherungswert
geeignet. Übertragen wird im Frequenzbereich von 10,7 bis

12,75 GHz, der in 7 Bänder (A bis G) aufgeteilt ist: A bis D

G

FM

26 dB

(102.2)

! Low-Band, E bis G ! High-Band. Zusätzlich wurde das

Ka-Band im Frequenzbereich 18,3 bis 18,8 GHz) eingerich-
ein, ergibt sich für eine gute Fernsehbildqualität:

tet, auf dem die Satelliten der neueren Generation (z. B. 1H

C
und 1L) nicht nur, aber auch, senden. Jedem Satelliten sind

12 dB:

(102.3)

aus diesem Spektrum 3 bis 5 Bänder zugeteilt. Die Satelliten

N
haben ein Gewicht im Bereich von etwa 3500 bis 6500 kg,

Es gilt:

eine Ausgangsleistung bis 200 W, Leistungsverbrauch der

Satelliten intern in der Größenordnung 6 bis 10 kW, erwartete

C

G

2

D

Lebensdauer ca. 15 Jahre. Die Satelliten haben Antriebs-

P

0

N

T

4 k B
aggregate, die sie einerseits genau auf der geostationären

Position halten, andererseits das Einschwenken in eine neue
bzw.

Position ermöglichen. Aktuelle Daten zu den einzelnen Sa-

C

2
telliten kann man erfahren über die Internetseite www.ses-

D 10 lgf Ge P
g

0
in dB

(102.4)

N

T

4 k B
astra.com der oben genannten Betreiberfirma.

Intelsat: Im Jahr 1965 wurde Intelsat gegründet mit der

P 0 Leistungsflussdichte in W=m2; Wellenlänge in m; k

Zielsetzung, durch den Einsatz von Satelliten die Datenkom-

Boltzmann-Konstante: 1;38 1023 W s=K; B Bandbreite in Hz
munikation im Sinne von Daten-, Bild- und Ton-Übertragung

(hier meist 27 MHz).

weltweit ohne merkliche Verzögerung zu ermöglichen. Der
erste medienwirksame Einsatz erfolgte mit der direkt über-

Mit der Güte Ge/ T der Empfangsanlage in „Gewinn pro Kelvin“:

tragenen Mondlandung der drei amerikanischen Astronauten

G
im Jahr 1969. Heute werden Datenkanäle vermietet, um
e

G a

D
in 1=K (102.5)

T
a T C

C
z. B. Videokonferenzen weltweit in Echtzeit durchzufüh-

A

.1 a/ Tu

. F 1/ Tu
ren oder Korrespondentenberichte zeitnah und aktuell zu

G Antennengewinn; a Wirkungsgrad, a 0;95 : : : 0;97; TA
den entsprechenden Fernsehsendungen zu übermitteln. Auch

Rauschtemperatur der Antenne in K, T

A

50 K; Tu Um-

Fernsehprogramme werden übertragen, wenn auch nicht un-
gebungstemperatur in K, T

u

293 K; F Rauschzahl des
bedingt die Sendungen der Öffentlich-Rechtlichen Fernseh-

Empfängers (LNB); G siehe (102.6).

anstalten.

Nachrichtenübertragung

XIII

103
über Lichtwellenleiter (LWL)

Teil

Wilfried Plaßmann

103.1 Physikalische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1270

103.2 Grundmodelle von Lichtwellenleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . 1271

103.3 Technische Ausführung von Lichtwellenleitern . . . . . . . . . . . . 1273

103.4 Lichtsender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274

103.5 Lichtempfänger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274

103.6 Verbinden von Lichtleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275

103.7 Optische Schalter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1269

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_103

1270

103 Nachrichtenübertragung über Lichtwellenleiter (LWL)

Teil

Die optische Nachrichtenübertragung gewinnt an Bedeutung,

Dämpfung
weil sie nicht durch elektromagnetische Störfelder beeinflusst

10,0

XIII
wird. Sender- und Empfängerkreis sind außerdem galvanisch

5,0

Gradientenfaser
voneinander getrennt, und es stehen Impulsraten zur Verfügung,

2,0
die bei Kupferkabeln nur mit wesentlich höheren Kosten er-

1,0
reicht werden können. Zur Übertragung steht theoretisch der

0,5

Bereich des sichtbaren Lichtes mit dem sich anschließenden na-

Monomodefaser
hen Infrarotbereich zur Verfügung. Praktisch aber wird dieser

0,1

Rayleigh-Streuung

Bereich auf drei Fenster eingeschränkt, siehe Punkt „Dämp-

700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600
fung“.

Wellenlänge [nm]

Abb. 103.2 Dämpfung als Funktion der Wellenlänge für Quarzglas [25]

103.1

Physikalische Grundlagen

Reflexion und Brechung: Der Lichtwellenleiter besteht nach

Näherung für die numerische Apertur mit n D

0

1 (Luft) und

Abb. 103.1 aus dem Kern mit der Brechzahl n

1 und dem
n 1
n 2:

Mantel mit einer etwas geringeren optischen Dichte und der
n 2 n 2

. n C n
n

Brechzahl n

1

2

1

2/ . n 1

2/

2. Das Licht tritt aus dem Medium mit der Brech-

D
zahl n

2 n 2

2 n 2

0 (z. B. Luft) unter dem Winkel ˛ in den Kern ein. Der

1

1

Winkel ľässt sich bestimmen nach dem

. n n
n n

2 n 1

1

2/ 1

2 D

Brechungsgesetz von Snellius:

(103.3)

2 n 2
n

1

1
r
sin Ď n 0 sin ˛

(103.1)

p
n 2
n

A n

2 n

2 n 1

1

N

1

1
n 1

Dieser Strahl trifft auf die Grenzfläche Kern–Mantel und wird
wiederum reflektiert. Dabei gibt es drei Möglichkeiten:

Relative Brechzahldifferenz: D n 1 n 2 , siehe (103.3). Bei
n 1

Quarzglas-Lichtwellenleitern gilt: n

1

1;5, 0;01.

1. Der Strahl dringt in den Mantel ein und ist für die Übertra-

Moden: Diejenigen Lichtwellen, die im Lichtleiter ausbrei-
gung verloren (Strahl 1, Brechung).

tungsfähig sind. Ihre Zahl hängt ab vom Kerndurchmesser,

2. Der Strahl wird so reflektiert, dass er genau parallel zur
von der Lichtwellenlänge und der numerischen Apertur.

Grenzfläche Kern–Mantel verläuft (Strahl 2).

(Siehe auch Beispiel 3).

3. Er wird total reflektiert (Strahl 3, Totalreflexion).

Modendispersion, Impulsverbreiterung: Zeitliche Verbreite-

Akzeptanzwinkel,
numerische

Apertur:

Der

Grenzfall
rung des Ausgangssignals gegenüber dem Eingangssignal

(Strahl 2), dass das Licht nicht in den Mantel eindringt
durch die unterschiedlichen Laufzeiten der Lichtwellen bei
und damit für die Nachrichtenübertragung zur Verfügung
den möglichen Eintrittswinkeln ˛ in den Lichtleiter (0
steht, ist erreicht, wenn d D 90° ist:

˛ ˛ A, (103.2)). Bei impulsförmigem Lichtsignal am Licht-
n
n
n

.

2

2

2
leitereingang spricht man auch von Impulsverbreiterung.

sin / D

gr
sin ı D
sin.90ı/ D
n

Bandbreite: Die bei Lichtwellenleitern theoretisch zur Ver-

1
n 1
n 1
fügung stehende Bandbreite lässt sich aus Tab. 103.1 bestim-

Der maximal zulässige Winkel ˛ A (Abb. 103.1), unter dem
men, indem die jeweilige Kanalbreite errechnet wird:

das Licht in den Lichtleiter eindringen darf, errechnet sich
damit zu:

q

.3;66 3;53/ 1014 Hz D 0;13 1014 Hz D 13 THz
n 1
n 1
n 1
sin ˛ D

D

.2;46 2;26/ 1014 Hz D 0;2 1014 Hz D 20 THz

A
sin ˇgr
cos D

1 sin2
n 0
n 0
n 0
s

.1;97 1;91/ 1014 Hz D 0;06 1014 Hz D 6 THz
n 2

D n 1 1 2 D AN

(103.2)

Auch wenn die Impulsverbreiterung (siehe unten) diese theo-
n 0
n 21
retischen Werte verringert, steht dennoch ein vergleichsweise
n 0, n 1, n 2 Brechzahlen (siehe Abb. 103.1), ˛ A ist der Akzep-
großer Übertragungsbereich zur Verfügung.

tanzwinkel, sin ˛ D

A

AN die numerische Apertur.

Dämpfung: Im Wesentlichen tragen drei Mechanismen zur

Dämpfung von Lichtwellen im Lichtwellenleiter bei:

– Rayleighstrahlung: Streustrahlung durch mikroskopisch

Lichteintritt in den Lichtleiter
kleine Dichte- und damit Brechzahlschwankungen.

– Resonanzabsorption durch Verunreinigungen.

n

– Grunddämpfung durch Verluste bei der Lichtübertragung.

0
γ

1

(z.B. Luft)

δ 2
n 2

Mantel

Trägt man die Summe dieser Dämpfungen als Funktion der
β

3

Frequenz auf, ergibt sich für Quarzglas der in Abb. 103.2 ge-
α
α A
β
zeigte Verlauf [25]. Für die technische Ausnutzung ergeben
gr
n 1

Kern
sich daraus die in Tab. 103.1 aufgelisteten drei Fenster zur
n 2

Signalübertragung, weil dort die Dämpfung relativ niedrig

Abb. 103.1 Reflexion und Brechung von Licht bei einem Lichtwellenleiter
ist. Für die Rayleigh-Streuung gilt: Dämpfung 1= l 4.

103.2

Grundmodelle von Lichtwellenleitern

1271

Tab. 103.1 Frequenzbereiche für Lichtwellenleiter

Farbe

Wellenlänge

Frequenz

Bemerkungen

Violett bis

0,38 µm bis

7;89 1014 Hz D 789 THz bis

Für Lichtwellenleiter möglicher Bereich

XIII

Infrarot

(0,78 . . . 1,6) µm

.3;85 : : : 1;87/ 1014 Hz D .385 : : : 187/ THz

Infrarot

(0,82 . . . 0,85) µm

.3;66 : : : 3;53/ 1014 Hz

Für Lichtwellenleiter ausgenutzte Bereiche

Teil

Infrarot

(1,22 . . . 1,33) µm

.2;46 : : : 2;26/ 1014 Hz

Infrarot

(1,52 . . . 1,57) µm

.1;97 : : : 1;91/ 1014 Hz

103.2

Grundmodelle von
das Ende des Lichtleiters als die anderen. Deshalb wird die in

Abb. 103.3 skizzierte Lichtleistung P

Lichtwellenleitern

L ein am Eingang entspre-
chend als PL aus am Ausgang empfangen. Form und Dauer haben
sich geändert. Deshalb werden vorzugsweise digital kodierte

Für die Abmessungen des Lichtleiters und die Abhängigkeit der

Signale übertragen, bei denen begrenzte Kurvenformänderun-

Brechzahlen n
gen zulässig sind. Allerdings wird die zur Verfügung stehende

1, n 2 innerhalb des Lichtleiters vom Radius haben
sich drei Modelle als brauchbar erwiesen, Abb. 103.3.

Bandbreite der Lichtleiter durch die Signalverlängerung herab-
gesetzt. Die Zahl MS der ausbreitungsfähigen Moden kann mit
der folgenden Formel abgeschätzt werden:

103.2.1

Mehrmoden-Stufenindex mit

Ausbreitungsfähige Moden:

Totalreflexion

r

2

0

M

S

2

. n 2 n 2/

(103.4)

1

2

Nach Abb. 103.3a geht der Mantel mit der Brechzahl n 2 abrupt
r
in den Kern mit der Brechzahl n

0 größter Kernradius in m; Lichtwellenlänge im Vakuum in

1 über. Der Lichteintritt ist nach
m; n 1 Brechzahl des Kerns; n 2 Brechzahl des Mantels.

(103.2) so ausgelegt, dass Totalreflexion stattfindet. Diejenigen

Lichtstrahlen, die weniger oft reflektiert werden, erreichen eher

Der größtmögliche Laufzeitunterschied tS eines Lichtleiters
der Länge l ergibt sich aus der Differenz zwischen Grundmo-
de und dem Mode höchster Ordnung:

a

P

P

L ein

L aus

Impulsverbreiterung:

r
n

I

1
tS
n 1

(103.5)

n
c
n
n

1 Brechzahl des Kerns; c Lichtgeschwindigkeit im Vakuum in

2

Totalreflexion

50...200 µm
m=s; l Lichtleiterlänge in m; siehe (103.3).

P

P

L ein

L aus

100...600 µm
t
t

103.2.2

Mehrmoden-Gradientenindex
b
r

Abb. 103.3b stellt das Prinzip dar. Die Brechzahl n im Kern
n m
hängt vom Radius r ab:

n
h
i
r x 1=2
n. r/ D n

1 2

;
n

M

2
stetige Brechung

R

50 µm

P Lein

P Laus
häufig auch

150 µm

"

#

2
t
t
r
n. r/ D nM 1

(103.6)

c
r 0
r
n 1
nM Brechzahl in Kernmitte; R Konstante in m; x Konstante; r 0
größter Kernradius in m; siehe (103.3).

n

Die Zahl M
n

G der ausbreitungsfähigen Moden ist halb so groß

2

Wellenführung

4...10 µm
wie beim Mehrmoden-Stufenindex:

P

P

L ein

L aus

Ausbreitungsfähige Moden:

12,5 µm
t
t

M D MS

G

(103.7)

2

Abb. 103.3 Lichtwellenleitertypen. a Mehrmoden-Stufenindex, b Mehrmo-
den-Gradientenindex, c Einmoden-Stufenindex

MS siehe (103.4).

1272

103 Nachrichtenübertragung über Lichtwellenleiter (LWL)

Teil

Tab. 103.2 Daten von Lichtwellenleitern

Leiterart

Kerndurchmesser

Manteldurchmesser Dämpfung bei

Dispersion in

Bitrate bei 1 km

Impulsverbreiterung

XIII
in µm
außen in µm

850 nm in dB=km
ns=km

Länge in Mbit=s
bei 1 km Länge in ns

Mehrmoden-

50 . . . 200

100 . . . 600

5 . . . 30

40 . . . 50

60

10 . . . 100

Stufenindex

Mehrmoden-

50

150

3 . . . 10

1 . . . 2

600

0,1 . . . 1

Gradientenindex

Einmoden-

4 . . . 10

12,5

2 . . . 5

0,1 . . . 0,2

1000

< 0,005

Stufenindex

Man erhält für alle Moden geringere Laufzeitunterschiede, so-

Beispiel 1
dass die Modendispersion geringer ist als bei Lichtleitern mit

Mehrmoden-Stufenindex:

Gegeben sind die Brechzahlen n D

D

1

1;51, n 2

1;50.

Impulsverbreiterung:

Dann folgt: D 1;511;50 D 0;067. Die Impulsver-

1;50
breiterung für einen Lichtwellenleiter von 1 km Länge

2

errechnet sich zu:

t D I

G
n 1

(103.8)

c

2
a) Stufenprofilfaser:

n 1 Brechzahl Kern; c Lichtgeschwindigkeit im Vakuum in m=s;
l Lichtleiterlänge in m; siehe (103.3).

t D I

S
n 1 D

1 km

1;51 0;0067
c

Damit ist dieser Lichtleiter besonders geeignet für einen ho-

3 105 km=s
hen Informationsfluss oder große Entfernungen. Nachteilig ist

D 34 ns bei l D 1 km:

das aufwendige Herstellungsverfahren, da die Brechzahl des

Quarzglaskernes durch das Aufbringen einer Vielzahl von Glas-
b) Gradientenfaser:

schichten übereinander variiert wird.

I
t D

S
n 1 D

1 km

1;51 0;00672
c

3 105 km=s

2

103.2.3

Einmoden-Stufenindex

D 0;11 ns bei l D 1 km
c) Monomodefaser mit der Dispersion 3 ps=(nm km) und

Es kann sich nur ein Modus längs der Faserachse ausbreiten,
einer Laserlichtquelle mit der Linienbreite D
sodass die Dispersion und damit die Impulsverbreiterung theo-

5 nm:

retisch entfällt (Abb. 103.3c). Für den Kernradius r muss dann
folgende Forderung erfüllt sein:

t D

E

.3 ps=.nm km// 5 nm 1 km

D 15 ps bei l D 1 km

Kernradius
r

2;405
q

(103.9)

2
n 2 n 2

1

2

Für die ausnutzbare Bandbreite infolge der Impulsver-
breiterung ergeben sich die in Tab. 103.3 aufgeführten

Lichtwellenlänge im Vakuum in m; n 1 Brechzahl des Kerns;

Näherungswerte.

J
n 2 Brechzahl des Mantels.

Die Impulsverbreiterung tE ist theoretisch null, in der Praxis
kann man mit folgendem Wert rechnen:

Um die theoretisch verfügbare Bandbreite in der Praxis optimal
zu nutzen, werden nur geringe Leiterlängen von einigen km ver-

Impulsverbreiterung (praktisch):

wendet und Zwischenverstärker eingefügt. Bei den Einmoden-

Lichtleitern ist die Impulsverbreiterung durch die Linienbreite
t D

E

M l

(103.10)

der Lichtquelle gegeben. Es werden deshalb Laserlichtquellen

M
mit einem entsprechend niedrigen Wert eingesetzt.

l Dispersion in s=(m m), hängt von ab; Linienbreite der

Lichtquelle in m; l Lichtleiterlänge in m.

Beispiel 2

Mit diesen Lichtleitern lassen sich sehr große Entfernungen bei
sehr großer Signalbandbreite überbrücken. Nachteilig sind der

Ein Monomode-Lichtleiter soll die Lichtwellenlänge D
kleine Kerndurchmesser (siehe Beispiel 2) sowie die damit ver-

0;85 mm übertragen. Für die Brechzahlen gilt: n D

1

1;51,
bundenen Probleme beim Aneinanderfügen von zwei Kabeln.

n D

2

1;50. Nach (103.9) folgt daraus:

Die Stoßstelle muss auf Bruchteile von Mikrometern genau jus-
tiert werden.

r 0;85 &m

2;405
p

D 1;88 &m

2

Tab. 103.2 listet einige typische Eigenschaften von Lichtleitern

1;512 1;502
der drei beschriebenen Leiterarten auf.

103.3

Technische Ausführung von Lichtwellenleitern

1273

Tab. 103.3 Bandbreite nach Beispiel 1 bei 1 km Lichtleiterlänge

Wellenlänge (technisch

Frequenz (technisch ausge-

Theoretisch verfügbare

Impulsverbreiterung, Bei-

Bandbreite mit Impulsver-
ausgenutzter Bereich)

nutzter Bereich)

Bandbreite bei 1 km Länge
spiel 1 bei 1 km Länge
breiterung bei 1 km Länge

XIII

(0,82 . . . 0,85) mm

.3;66 : : : 3;53/ 1014 Hz

13 THz

34 ns

14,5 MHz

(1,22 . . . 1,33) mm

.2;46 : : : 2;26/ 1014 Hz

20 THz

0,11 ns

4,4 GHz

Teil

(1,52 . . . 1,57) mm

.1;97 : : : 1;91/ 1014 Hz

6 THz

15 ps

33 GHz

Tab. 103.4 Daten von Lichtwellenleiterkabeln

LWL-Typ

Mehrmoden-Gradientenkabel

Einmoden-Stufenindex-Kabel

Kabeltyp

G50/125

G62,5/125

Kerndurchmesser in µm

50 ˙ 3

62,5 ˙ 3

9 . . . 10 ˙ 1

Manteldurchmesser in µm

125 ˙ 3

125 ˙ 3

125 ˙ 3

Faserdurchmesser in µm

250 ˙ 3

250 ˙ 3

250 ˙ 25

Dämpfung bei 850 nm in dB=km

2,5 . . . 3,5

3,2

0,33 . . . 0,45 bei 1300 nm

Dispersion in ps=(nm km)

3,5 . . . 5 bei 1300 nm

Zugfestigkeit

Maximal 2 . . . 3 kN

Biegeradius in mm

Innenraumkabel

150

Außenraumkabel

400

Biegeradius in mm

400

Gradientenleitern bringt man etwas 40 bis 50 einzelne Schichten

Der Radius kommt in die Größenordnung der Lichtwel-
aufeinander, um die Brechzahl in Abhängigkeit vom Kernradi-
lenlänge, und bei diesen Lichtleiterabmessungen werden
us zu ändern. Für einen ausreichenden mechanischen Schutz
an die Herstellung hohe Anforderungen gestellt.

J
der Lichtleiterkabel entsprechend dem von Kupferkabeln wird
es in eine Aderhülle aus Kunststoff lose eingelegt, und zwar
entweder eine einzelne Ader pro Aderhülle („Hohlader“) oder
mehrere Lichtleiterkabel in eine Aderhülle („Bündelader“). Zu-

Beispiel 3
sätzlich wird eine Stützader aus glasfaserverstärktem Kunststoff
mitgeführt, die die geforderte mechanische Zugfestigkeit sicher-

Für einen Lichtleiter mit Mehrmoden-Stufenindex sind
stellt. Es werden weiterhin Kupferadern integriert, die sowohl
gegeben: Brechzahlen n D

D

1

1;51, n 2

1;50, zu übertra-
zur Fehlerortung als auch zur Stromversorgung von Zwischen-
gende Wellenlänge l D 0;85 mm, Radius des Lichtleiters
verstärkern eingesetzt werden. Die verbleibenden Hohlräume
r D

0

25 mm. Dann errechnet sich die Zahl der ausbrei-
füllt man mit weichem Kunststoff aus, um einen Schutz gegen
tungsfähigen Moden nach (103.4) zu:

das Eindringen von Wasser zu erreichen.

2 252 &m2

Lichtleiterkabel mit Mehrmoden-Gradientenindex für Außen-

M

S

2

.1;512 1;502/ 512
verlegung haben genormte Maße: Kerndurchmesser 50 mm,

0;852 &m2

Manteldurchmesser 125 mm.

Für den Mehrmoden-Gradientenindex-Lichtleiter folgt

Als Beispiel für eine Übertragung über Lichtwellenleiter wird
daraus mit (103.7):

das Video-System „OPAL-3“ der Fa. Raynet angeführt, das
zur Programmversorgung vornehmlich ländlicher Gebiete aus-

MS
gelegt ist. Es ermöglicht die Übertragung von 36 amplitu-

M

D

G

256:

J

2
denmodulierten Fernsehkanälen und 30 frequenzmodulierten

UKW-Rundfunkkanälen. Der Frequenzbereich erstreckt sich
von 47 bis 446 MHz, wobei die Kanalrasterung im Fernseh-
übertragungsbereich eingehalten wird. Der Teilnehmer kann bis

103.3

Technische Ausführung von
zu 25 km von der Einspeisestelle entfernt sein. Die optische

Sendeleistung beträgt etwa 7 dBm ( 5,6 mW), die Wellenlän-

Lichtwellenleitern
ge 1310 nm, die empfangene Leistung liegt bei 0,5 mW, die
optische Sendequelle ist eine Laserdiode, der Empfänger eine

PIN-Fotodiode.

Lichtwellenleiter werden aus Quarzglas (SiO2) hergestellt. Der

Tab. 103.4 listet einige Eigenschaften von LWL-Kabeln auf.

Kern wird mit Germaniumdioxid, Fluor oder Bortrioxid do-

DIN VDE 0888 und IEC 793 enthalten weitere Daten.

tiert. Auf den Mantel wird eine Kunststoffschicht aufgebracht,
die neben einem mechanischen Schutz auch sicherstellt, dass

In der Typenbezeichnung von LWL-Kabeln sind Angaben über
in den Mantel eindringende Lichtstrahlen in diese Schutz-
deren Aufbau und Einsatzbereich enthalten. Tab. 103.5 gibt eine
schicht übergehen und absorbeiert werden. Bei Mehrmoden-

Übersicht.

1274

103 Nachrichtenübertragung über Lichtwellenleiter (LWL)

Teil

Tab. 103.5 Kennzeichnung von Lichtwellenleiterkabeln

Buchstabenkennung

Bedeutung

Buchstabenkennung

Bedeutung

XIII

A-

Kabel für außen

2Y

PE-Hülle

I-

Kabel für innen

Y

PVC-Hülle

V

Vollader

(L)2Y

Schichtenmantel

W

Hohlader, gefüllt

B

Bewehrung

H

Hohlader, ungefüllt

E

Einmodenfaser

D

Bündelader, gefüllt

G

Gradientenfaser

B

Bündelader, ungefüllt

. . . /. . .

Kern-/Manteldurchmesser in mm (Mehrmoden-Gradkabel);

Feld-/Manteldurchmesser in mm (Einmoden-Stufenkabel)

S

Metallelement in der Kabelseele

. . . B. . .

für Bereich um 850 nma

F

Füllung der Verseilhohlräume (Kabelseele) . . . F. . .

für Bereich um 1300 nma

(ZN)

Zugentlastungselemente, nichtmetallisch

. . . H. . .

für Bereich um 1550 nma
a siehe Tab. 103.1

Das bei der Telekom eingesetzte Kabel A-DSF(L)(ZN)2Y, 104

150 Mbit=s möglich sind, sofern die Impulsverbreiterung diese

E9/125 ist ein Einmoden-Stufenindexkabel mit 9/125 µm Feld-

Werte zulässt. Laserdioden haben wesentlich kürzere Zeiten von

/Manteldurchmesser und 10 Bündeln mit je 4 Fasern. Es ist für
etwa 0,5 ns, und damit sind Werte von 1 bis 2 Gbit=s erreichbar.

Außenverlegung vorgesehen und enthält einen Schichtenmantel

Mit speziellen Strukturen und geeignetem Aufbau lassen sich

(Al, PE) und nichtmetallische Zugentlastungselemente. Der Ty-
noch höhere Werte, bis zu 50 GBit=s, erreichen.

penbezeichnung können noch weitere Einzelheiten, z. B. über
die Füllung, entnommen werden.

103.5

Lichtempfänger

103.4

Lichtsender

PIN-Photodioden: Als Lichtempfänger werden PIN-Pho-
todioden und Lawinen-(Avalanche-)Fotodioden eingesetzt.

Für Lichtsender werden LEDs (l ight e mitting d iode, Leucht-

Die PIN-Fotodiode hat ihren Namen von der Schichten-
diode)

im

Infrarotbereich
sowie

LASER-Dioden

(l ight
folge: Zwischen P- und N-Schicht ist eine schwach oder
a mplification by s timulated e mission of r adiation) verwendet.

undotierte I ntrinsic-Schicht eingefügt. Hier werden die Pho-

Wichtige Kenngrößen sind zum Vergleich in Tab. 103.6 als ty-
tonen absorbiert, sodass die Diodenparameter kaum von der
pische Größen industriell gefertigter Dioden zusammengestellt.

angelegten äußeren Spannung abhängen. Durch diesen Auf-

Es ergibt sich eine Impulsverbreiterung durch die Linienbreite
bau verringert sich die Kapazität zwischen den Anschlüssen

(Breite des ausgesendeten Lichtspektrums) des Lichtsenders.

der Diode, was eine erhöhte Grenzfrequenz zur Folge hat.

Für den Einsatz als Lichtempfänger sind die Anstiegs- und

Die Modulation der Lichtsender geschieht durch Intensitäts-

Abfallzeiten beider Diodentypen wichtige Kenngrößen. Für
modulation. LEDs können sowohl mit analogen als auch mit

PIN-Dioden werden Werte von 1 bis 2 ns erreicht, Lawinen-
digitalen Signalen moduliert werden. Bei Analogmodulation
dioden erreichen etwa 200 ps. Damit liegen diese Werte in
sind die Verfahren
der gleichen Größenordnung wie die der Lichtsender, so-

Amplituden-Intensitätsmodulation
dass insgesamt für eine Übertragungsstrecke mit LED und

Frequenz-Intensitätsmodulation

Fotodiode Informationsflüsse von bis zu 150 Mbit=s erreicht

Phasen-Intensitätsmodulation
werden können, für eine Strecke mit Laserdiode und Lawi-
nendiode bis 1 Gbit=s. Das setzt allerdings voraus, dass die
möglich. Bei digitaler Modulation können die im Abschn. 96.4

Gesamt-Lichtleiterlänge bei größeren Übertragungsstrecken

„Pulsträger unkodiert“ beschriebenen Verfahren eingesetzt wer-
durch Zwischenverstärker geeignet unterteilt wird, damit
den. LASER-Dioden sind für die Analogmodulation weniger
die Impulsverbreiterung den Informationsfluss nicht wesent-
gut geeignet, da keine Proportionalität zwischen dem Modula-
lich verringert. Bei sorgfältigem kapazitätsarmem Aufbau
tionsstrom und der Lichtleistung besteht. Sie werden deshalb
können Datenübertragungen bis zu 10 GBit=s erreicht wer-
vorwiegend mit digital kodierten Signalen moduliert. Für bei-
den, durch besondere Schaltungstechniken und spezielle
de Lichtsender sind die Anstiegs- ( tr) und die Abfallzeit ( tf )

Dioden auch bis zu 50,GBit=s. PIN-Dioden haben weiter-
wichtige Kenngrößen. Sie liegen bei Leuchtdioden in der Grö-
hin folgende Vorteile: 1. Linearität zwischen eingestrahlter
ßenordnung 3 . . . 15 ns, sodass Informationsflüsse von 30 bis

Lichtintensität und elektrischem Ausgangssignal über etwa

7 Zehnerpotenzen. 2. Geringes Eigenrauschen. 3. Betriebs-
spannung im Bereich von 5 V.

Tab. 103.6 Typische Daten von Lichtsendern

Lawinen-Photodioden: Hier wird der von den Photoverviel-

Licht-

Wellenlänge

Linienbreite Dauerleistung Impulsverbreite-
fachern bekannte Vervielfachungseffekt eingesetzt. Damit
sender
in nm
in nm
in mW
rung in ns=km
können auch sehr lichtschwache Signale ausgewertet wer-

LED

830

45

0,06

5
den. Allerdings haben diese Dioden ein erhöhtes Eigenrau-

LASER

880

3 . . . 5

10

0,015
schen und nur einen eingeschränkten Dynamikbereich.

103.7

Optische Schalter

1275

103.6

Verbinden von Lichtleitern

Version LSA nach DIN 47256 und Version LSB nach

DIN 47217.

– MIC: Für Computernetze. Stecker auch unter FDDI-

XIII

Stecker bekannt. Teilstandard genormt nach ISO 9314-

Lichtleiterkabel werden in Längen bis zu 10 km gefertigt. Um

3. Sender- und Empfängerstrecke nebeneinander verpo-

Kabel zu verbinden oder Kabel an Lichtverstärker anzuschlie-

Teil
lungssicher eingebaut.

ßen, benutzt man Spleiß- und Steckverbindungen.

– BFOC(ST): Von AT&T entwickelt. Bajonettverriegelung,

Spleißverbindung: Durch Ritzen und Brechen der Aderen-
dadurch einfache Handhabung.

den mit entsprechenden Werkzeugen sind die Stirnflächen

– SC: Rastet beim Einschieben ein und wird durch Ziehen
plan und verlaufen rechtwinklig zur Achse. Nachdem ein
ausgerastet.

Kleber aufgebracht worden ist, werden die Enden mit Mikro-

Die Dämpfung an der Stoßstelle (Einfügedämpfung) liegt zwi-
manipulatoren voreinander justiert und dann verklebt. Eine
schen 0,2 dB und 0,5 dB.

andere Möglichkeit besteht darin, die Stirnflächen auf Stoß
zu bringen und diese Stoßstelle einem Lichtbogen mit einer

Temperatur von 2000 °C auszusetzen. Innerhalb von weni-
gen Sekunden verschmelzen die beiden Glasfasern. Diese

103.7

Optische Schalter

Methode eignet sich besonders für Verbindungen „vor Ort“,
da entsprechende Schweißgeräte mit den Justiereinrichtun-

Der verbreitete Einsatz der optischen Signalübertragung er-
gen in handlicher Form von der Industrie angeboten werden
fordert auch das Verteilen von optischen Kanälen auf andere
und zu dauerhaften Verbindungen mit nur geringer Dämp-
beliebig wählbare Kanäle. Hier seien 2 Verfahren angeführt:

fung (< 0,5 dB) führen. Eine besonders große Dämpfung

(0,4 . . . 0,6 dB) ergibt sich, wenn beide LWL einen Achsen-

Elektro-Optischer Schalter: Ausgenutzt wird der Pockels-
versatz aufweisen oder die Durchmesser beider LWL-Fasern

Effekt. Das optische Signal wird in zwei (oder mehr) Licht-
voneinander abweichen. Weniger kritisch ist die Dämpfung,
strahlen aufgeteilt (Y-Verteiler), und jeder Strahl durchläuft
wenn eine Stirnfläche nicht ganz plan ist.

einen Flüssig-Kristall, an den entweder in Längs- oder in

Steckverbindung: Die Faser-Stirnflächen werden poliert, in

Querrichtung zum durchlaufenden Strahl eine Spannung

Präzisions-Führungshülsen eingebettet und mit einer Gewin-
angelegt wird. Damit ändert sich die Polarisationsebene,
dehülle umgeben. Durch Zusammenschrauben oder Zusam-
und nur bei Übereinstimmung von Strahlpolarisation und
menstecken werden die Stirnflächen aufeinandergedrückt.

Kristall-Polarisationsebene wird der Strahl durchgelassen.

Die mechanische Führung muss äußerst präzise (auf einige

Die Einfügedämpfung ist relativ hoch und liegt im Bereich
µm oder weniger) arbeiten, und deshalb bringt man in kriti-

6 bis 10 dB. Die Schaltzeiten liegen im Bereich von ns.

schen Anwendungsfällen an den Steckern zusätzlich Feinjus-

Mikrospiegel-Schalter: Der Lichtstrahl fällt auf einen Spie-
tiereinrichtungen an. Es besteht eine Vielzahl von praktisch
gel, der diesen Strahl auf einen anderen frei wählbaren
eingesetzten Verbindungssystemen, die untereinander nicht

Lichtleiter umlenkt. Zur Auslenkung des Spiegels können
kompatibel sind. Hier einige ausgewählte Modelle:

Piezokristalle eingesetzt werden. Die Einfügedämpfung liegt

– Die Telekom hat ein System angeregt, dass genormt
im Bereich 1 bis 5 dB, die Schaltzeit wegen der Mechanik im
wurde und im Wesentlichen von ihr eingesetzt wird:

Bereich ms bis s.

Funkmesstechnik

XIII

104

Wilfried Plaßmann

Teil

104.1 Radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278

104.2 Funkortungssystem OMEGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1280

104.3 GPS – Global Positioning System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1280

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1277

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_104

1278

104 Funkmesstechnik

Teil

104.1

Radar

P S

XIII

104.1.1

Grundlagen, Kenngrößen
t 2
t
t 1

Ein Hauptgebiet der Funkmesstechnik ist durch den Begriff

RADAR ( ra dio d etection a nd r anging gekennzeichnet. Bei

Abb. 104.1 Tastgrad der Senderimpulse
diesem Verfahren werden impulsförmige elektromagnetische

Wellen von einer Antenne ausgesendet und an Körpern oder

Stoffverteilungen (Wolken) reflektiert. Die Sendeantenne wird

Reichweite eines Radargerätes: Der maximale Abstand r max
auf Empfang umgeschaltet, und anhand des Echos sind Rück-
eines Körpers lässt sich berechnen, das Ergebnis wird hier
schlüsse auf die Lage und die Beschaffenheit der Körper oder
angegeben.

der Stoffverteilungen möglich. Angewendet wird die Radartech-
s
nik bei der Kontrolle und der Sicherung des Land-, Wasser- und

PSAeA 2

Reichweite
r

D 4
max

(104.3)

Flugverkehrs, in der Meteorologie zur Wetterprognose, in der

42 kTBFSr

Astrologie und im militärischen Bereich.

PS Senderleistung in W; Ae Radarquerschnitt in m2; A Wirk-

Die Antenne sendet einen scharf gebündelten Strahl aus, dessen
fläche der Empfangsantenne in m2; Radar-Wellenlänge in

Dauer kürzer ist als die Laufzeit zum nächstgelegenen Körper
m; k Boltzmann-Konstante; T absolute (thermodynamische)

und zurück. Man kann daher aus der Laufzeit auf die Entfernung

Temperatur in K; B Bandbreite des Radarsignals in Hz; F
und aus der Antennenstellung auf die Richtung des Körpers

Rauschzahl des Empfängers; Sr Störabstand.

schließen. Überschreitet der Körper eine bestimmte Mindest-

Primärradar: Der Körper reflektiert passiv den Radarstrahl.

größe, können eventuell sogar Aussagen über die Körperform

Das empfangene Echosignal hat eine geringe Amplitude und
und dessen Beschaffenheit gemacht werden. Wenn ein räumli-
wird durch Rauschen und Störungen verfälscht. Störungen
cher Bereich erfasst werden soll, dreht sich die Antenne und
sind z. B. auch feststehende Gebäude und Berge. Es sind
bildet die Umgebung während einer Umdrehung sektorweise ab.

trotzdem sehr genaue Ortungen möglich.

Im folgenden Umlauf wird das vorhergehende Bild aktualisiert.

Sekundärradar: Ein z. B. im Flugzeug eingebauter Trans-
ponder antwortet auf ein Codewort des Senders mit einem

Radarquerschnitt (auch Rückstreu- oder Echoquerschnitt):

eigenen Sender und der Übertragung von Informationen

Die am Körper ankommende Strahlungsdichte der vom Sen-

(z. B. Identität, Flughöhe). Dieses Verfahren garantiert eine
der ausgestrahlten Welle ist Se (siehe auch Abschn. 95.2
sehr sichere Signalerkennung, ist aber von der Ortungsge-

„Kenngrößen“):

nauigkeit dem Primärradar unterlegen.

g PS

W

Beide Verfahren werden oft parallel eingesetzt.

S D
e
in

(104.1)

4 r 2
m2

Tastgrad beim Impulsradar: In der Regel wird die gleiche
g Antennengewinn; P

Antenne für das Senden und das Empfangen des Radarsi-

S Senderleistung in W; r Abstand

Sender–Körper in m.

gnales verwendet. Es werden deshalb kurze Impulse hoher

Leistung zur Erzielung einer großen Reichweite ausgesen-

Davon wird ein Teil reflektiert, und es kommt an der Radar-
det (Antenne im Sendebetrieb) und anschließend deren Echo

Empfangsantenne die Strahlungsdichte SS an:

empfangen (Antenne im Empfangsbetrieb). Abb. 104.1 zeigt
die an der Antenne anstehende Sendeleistung Ps. Für die Im-

A
e

Se

W

S D
pulsdauer t

S
in

(104.2)

1 muss gelten, dass sie kürzer ist als die Laufzeit

4 r 2
m2
der Welle zum nächstgelegenen Körper und zurück, für t 2
folgt, dass erst das Echo vom entferntesten Körper die Anten-

Se nach (104.1); r Abstand Sender–Körper in m, Ae Radarquer-
ne erreicht haben muss, bevor ein neuer Impuls ausgesendet
schnitt in m2.

werden kann.

Die Größe Ae ist definiert und heißt Radarquerschnitt. Nimmt

CW-Radar (C ontinuous W ave-Radar, Dauerstrich-Radar):

man als reflektierenden Körper eine ebene elektrisch gut leiten-

Radarverfahren, bei dem die Sendeimpulsdauer mehr als
de Platte der Fläche A pl an, deren Abmessungen viel größer sind

10 % der Pausendauer beträgt, d. h. t 1 > 0;1 t 2 in Abb. 104.1.

als die Wellenlänge des Radarsignales und auf die der Radar-

Meist ist die Pausendauer sogar Null. Dann lässt sich z. B. die
strahl senkrecht auftritt, ergibt sich A D
e

4 A 2 =2. Der

Geschwindigkeit eines Einzelkörpers wie bei der Verkehrs-
pl

Radarquerschnitt ist das Verhältnis von reflektierender Fläche
kontrolle nach dem Doppler-Prinzip messen.

zu der aus der Wellenlänge des Radarstrahles gebildeten Fläche.

Entfernungsauflösung: Die Impulsdauer t 1 nach Abb. 104.1

Die an der Empfängerantenne herrschende Strahlungsdichte ist
bestimmt die Entfernungsauflösung. Abb. 104.2 stellt dar,
um so größer, je größer die Fläche des reflektierenden Körpers
dass sich der Antennenstrahl trotz Bündelung geringfügig
und je kleiner die Wellenlänge des Radarsignales ist. In der Pra-
aufweitet. Zuerst trifft das Echo von Strahl 1 am Empfänger
xis kann man auch bei beliebig geformten Körpern häufig mit
ein, da dieser Strahl senkrecht auf die Fläche A 1 auftrifft. Der
seiner ebenen Fläche rechnen und erhält brauchbare Näherungs-

Strahl 2 entsteht durch die nichtideale Bündelung der Anten-
werte.

ne. Er hat eine größere Strecke zurückzulegen, da er nicht

104.1

Radar

1279

A 2
a

U E

U S

XIII

2

Δ r

1
t
t
y

+ Δ t
t

Teil
y
y

U

A

E

1

U S
t

Abb. 104.2 Entfernungsauflösung

U E

U S
senkrecht auf A 2 auftrifft. Er erreicht den Empfänger mit der
t

Zeitverzögerung 2 r= c. Damit beide Echos noch voneinan-

U E
der unterschieden werden können, muss gelten: 2 r= c > t 1.

U S

Weicht Strahl 2 maximal von Strahl 1 ab, ergibt sich der

Grenzfall:

t
t
t

+ Δ

1
c
x
t
t
x
x

Entfernungsauflösung
r D

(104.4)

2
b
c Lichtgeschwindigkeit 3 108 m=s; t 1 in s, siehe Abb. 104.1.

U < U

E

S ⇒ 0

Demnach muss die Impulszeit so kurz wie möglich gewählt

U > U

E

S ⇒ 1
werden, um eine hohe Entfernungsauflösung zu bekommen.

Schieberegister

0,1

Kurze Impulse haben aber eine größere Bandbreite B (siehe

1
k

(104.3)), sodass die Reichweite verkürzt wird.

0 U S U
i < m ⇒ 0

Minimale Tastpause: Handelt es sich um großflächige Körper

E
i > m ⇒ 1
der Ausdehnung r

Addierer

K , darf der nächste Radarimpuls erst nach

0 = kein

^

Ziel
der Zeit

1 = Ziel

^

Abb. 104.3 Echosignale vier aufeinanderfolgender Sendersignale. a Signalver-
t

D 2 rk

2 min

(104.5)

läufe, b Wanderfensterdetektor
c

( c Lichtgeschwindigkeit 3 108 m=s) folgen.

Drehgeschwindigkeit: Soll ein größerer Bereich erfasst wer-
spannung wieder näherungsweise im Bereich t

C
x bis tx
tx
den, muss die Antenne gedreht werden. Da die von der
größer als die Spannung Us, während in allen anderen Fällen

Antenne empfangenen Signale durch Rauschen und Stö-
gilt, dass die Spannung Us nur einmal überschritten wur-
rungen verfälscht sind, müssen für ein brauchbares Signal
de. Damit ist das Signal im Bereich t

C
x bis tx
tx einem
mindestens 10 bis 20 Echos empfangen und überlagert wer-

Körper zuzuordnen. Bei den anderen die Schwellspannung
den, siehe dazu auch „Zielextraktor“ weiter unten.

überschreitenden Werten handelt es sich um Störungen. Die

Dann gilt:

beschriebene Auswertung erfolgt in einem binären Wan-

Maximale Drehgeschwindigkeit
derfensterdetektor nach Abb. 104.3b. Das Echosignal wird

˚
laufend digitalisiert (insgesamt k Werte) und digital mit der

˝

D
max

(104.6)

Schwellspannung U
n t
s verglichen. Entsprechend wird 0 oder 1

2
zugeordnet. Diese Werte werden in ein Schieberegister mit

˚ Winkel, um den der Radarstrahl aufgeweitet wird; n Zahl
k Stellen eingeschoben und am Ende in k Addierern (für
der Echos; t 2 Impulspause nach Abb. 104.1 in s.

jede der k Stellen ein Addierer) gespeichert. Beim zweiten

Zielextraktor: Die endliche Strahlbreite der Radarantenne

Echo geschieht das gleiche, wobei am Ende die im Schiebe-
ergibt beim Überstreichen eines reflektierenden Objektes
register enthaltenen Digitalwerte zu denen des ersten Echos
mehrere Echos, die in der Regel gestört sind. Abb. 104.3a
hinzuaddiert werden. Nach Eintreffen des vierten Echos und
stellt vier solcher gestörten Signale dar. Beim ersten Echo

Addition enthalten die Zellen, die den Digitalwerten im Be-

( U

C

C

E ) wird im Bereich tx bis tx
tx ein erhöhtes Emp-
reich tx bis tx
tx zugeordnet sind, die Zahl 4, da für jedes
fangssignal festgestellt und die Schwelle mit der Spannung

Echo die Schwellspannung überschritten wurde. Alle ande-

Us (Erfahrungswert) überschritten. Das gilt auch für den Be-
ren Zellen enthalten nur eine 1 (Schwellspannung einmal
reich t

C
y bis ty
ty. Beim Eintreffen des zweiten Echos
überschritten) oder nur eine 0 (Schwellspannung nie über-
wird die Spannung Us wiederum näherungsweise im Be-
schritten). Mit der Festlegung Summe 3 ¶ Ziel, Summe
reich t

C
x bis tx
tx überschritten, während im Bereich ty

< 3 ¶ kein Ziel (Abb. 104.3b: i m ) 1 ¶ Ziel, i < m )

bis t C
y
ty die Schwellspannung nicht erreicht wird. Auch

0 ¶ kein Ziel) wird die Entscheidung über das Vorhanden-
beim dritten und vierten Echo ist die empfangene Signal-
sein eines Zieles getroffen.

1280

104 Funkmesstechnik

Teil

104.1.2

Daten von Radaranlagen

Hyperbeln

S

XIII

3

Die für die Flugüberwachung eingesetzten Radaranlagen haben
beispielsweise die folgenden technischen Daten:

Δ ϕ 2 = konst.

P

Umlaufzeiten zwischen 3 und 15 s

Hochfrequenz-Spitzenleistung bis 10 MW

Impulsdauer 10 µs

S 1

S 2

Pausendauer 10 ms

Δ ϕ 1 = konst.

Antenne horizontal scharf gebündelt, vertikal weniger scharf
gebündelt

Frequenzen zwischen 400 MHz bis 75 GHz in dafür vorgese-

Abb. 104.4 Standortbestimmung mit dem Ortungssystem OMEGA
henen Bereichen

Für eine Rundsichtanlage (Allzweckgerät, z. B. Radaranlage auf
kleineren Schiffen) werden die folgenden typischen Werte ange-

104.3

GPS – Global Positioning
geben:

Frequenzband: 9,320 . . . 9,480 GHz

System

Impulslänge: Nahbereich 0,1 µs, Fernbereich 0,2 µs

Impulsfolgefrequenz: 1000 Hz

GPS ist ein satellitengestütztes Navigationssystem. Es wurde

Impulsspitzenleistung: 10 kW

1995 für militärische Zwecke errichtet und wird vom ame-

Horizontaler Antennen-Öffnungswinkel: 1,75°
rikanische Verteidigungsministerium betrieben. Es dient zur

Vertikaler Antennen-Öffnungswinkel: 20°

Zeitübertragung und zur Ortung. Insgesamt umkreisen etwa 30

Nahauflösung: 30 m

Satelliten den Erdball in einer Höhe von 20.183 km. Sie sind

Abstandsauflösung: 20 m
also nicht geostationär (stationär: ortsfest, bezogen auf die Erd-

Entfernungsbereiche: 0,5–1–3–8–15–30 Seemeilen
oberfläche, wie etwa die Fernsehsatelliten der ASTRA-Serie).

Antennendrehzahl: 24 pro Minute

Die Umlaufbahnen sind genau vorgegeben, und zwar so, dass

Leistungsbedarf: 200 W
an jedem Punkt der Erdoberfläche die Signale von mindestens

3 Satelliten stets gleichzeitig empfangen werden können. Damit
ist es möglich, die absolute Lage eines Punktes, d. h. geogra-

104.2

Funkortungssystem OMEGA
fische Länge, geografische Breite und Höhe über Normal-Null

(NN), zu bestimmen. Das Prinzip beruht darauf, dass die genaue

Position des Satelliten übermittelt wird und aus der Laufzeit

Unter einer Vielzahl von Funkortungssystemen hat das System
der Signale Satellit-Empfänger die Position des Empfängers be-

OMEGA Bedeutung, weil es erdumspannend ist und voraus-
stimmt werden kann. Der Fehler der Ortung hängt u. a. auch
sichtlich noch einige Zeit bestehen bleiben wird. Es gibt 8
ab von der Synchronisation der Zeit des Empfängers auf der

Bodenstationen in Japan, Australien, Norwegen, Trinidad, USA,

Erdoberfläche mit der Zeit des GPS-Systems. Deshalb ist es

Argentinien und auf Madagaskar und Hawaii. Jeder Sender sen-
wünschenswert, dass ein vierter Satellit für diese Synchronisa-
det 3 Frequenzen im VLF-Bereich aus: f D

1

10;2 kHz (Haupt-
tion empfangen werden kann. In der Regel sind sogar 5 oder
träger), f

D

D

2

13;60 kHz (1. Hilfsträger) und f 3

11;33 kHz 6 Satellitensignale gleichzeitig zu empfangen, was bei entspre-

(2. Hilfsträger). Wegen der großen Reichweite dieser Wellen
chender Auswertung durch z. B. Mittelwertbildung zu einer
ist jeder Punkt der Erde von mehreren Sendern erreichbar. Die

Verringerung des Messfehlers führt. Das von den Satelliten aus-
einzelnen Sender senden die drei Frequenzen synchron mit ei-
gesendete Signal ist sehr schwach und wird vom Rauschen
ner für jeden Sender typischen Zeitdauer aus. Sie können damit
überdeckt. Es sind deshalb statistische Verfahren zur Signaler-
identifiziert werden. In den zur Positionsbestimmung eingesetz-
kennung erforderlich (siehe Kap. 108 „Optimierte Nachrichten-
ten Empfängern werden die zwei Differenzfrequenzen f

D

0
und Datenübertragung“, Abschn. 108.3 „Anwendung der Kor-
f

D

D

D

2
f 1

3;40 kHz und f 4
f 3
f 1

1;13 kHz gebildet, und relation bei gestörten Signalen“).

damit wird eine grobe Ortsbestimmung vorgenommen. Da gilt:

3 f D

D

0
f 1 und 4 f 0
f 2, kann aus den Signalen zweier Sen-

Bis zum Jahr 2000 wurde das von den Satelliten ausgesende-
der ( S 1, S 2/ die Phasendifferenz '1 gemessen und daraus eine te Signal künstlich nach einem geheim gehaltenen Schlüssel

Linie für ' D

1
const gezeichnet werden (Abb. 104.4). Diese

„verrauscht“, was zu einem erhöhten Fehler bei der Ortsbestim-

Linie ist eine Hyperbel, deswegen gehört dieses Verfahren zu
mung führte. Nur das Militär konnte durch die entsprechende
den Hyperbelortungsverfahren:

Entschlüsselung dieses Verrauschen rückgängig machen. Auf
der Erdoberfläche hat man dieses „Verrauschen“ dadurch kor-

' D 2

1

3 4 f 0 . PS 1

PS 2/

(104.7)

rigiert, dass man ortsfeste Punkte genau vermessen und die
c

Entfernungen dieser Punkte zueinander gespeichert hat. Ab-

Das gleiche Verfahren wird mit einem weiteren Sender, S 3,
weichungen der aktuell gemessenen Werte zu den tatsächli-
durchgeführt. Es ergibt sich eine zweite Hyperbel für ' D

2
chen korrekten Entfernungen dieser Punkte untereinander waren
const. Der Schnittpunkt beider Hyperbeln ergibt den Standort P.

dann auf die „Verrauschung“ zurückzuführen. Das Prinzip der

104.3

GPS – Global Positioning System

1281

Ausnutzung ortsfester Bezugspunkte hat zum D ifferential- GPS

Der Fehler der Ortsbestimmung auf der Erdoberfläche hängt ab

( DGPS) geführt. Damit wird eine genauere Ortsbestimmung er-
u. a. von der momentanen Entfernung der Satelliten zueinander,
reicht, weil z. B. atmosphärische Störungen weniger Bedeutung
der Synchronisation der Zeiten von Sender und Empfänger, vom

XIII
haben. Wünschenswert ist eine möglichst große Anzahl solcher

Standort des Empfängers (Hindernisse, Reflexionen) und von

Referenzpunkte. In der Praxis allerdings hat man den Weg der

Störungen. Die Praxis hat gezeigt, dass der Ort in der Regel mit

Teil
virtuellen Referenzpunkte gewählt, deren Daten z. B. von Rund-
vertretbarem Aufwand (Navigationssysteme im Kraftfahrzeug
funksendern der ARD mit dem RDS-Signal übertragen werden.

und im Handy) bis auf eine absolute Abweichung von maximal

2 bis 10 m bestimmt werden kann.

Seit dem Jahr 2000 wird das GPS in den Navigationssystemen
der Kraftfahrzeuge mit Erfolg eingesetzt. Auch in Handys wird

Da über die weitere Nutzung der Satelliten für zivile Zwecke
es zunehmend eingebaut, zumal es in die vorhandenen elektroni-
von den USA jährlich neu entschieden wird, planen die euro-
schen Bausteine problemlos zusätzlich integriert werden kann.

päischen Staaten ein eigenes System mit dem Namen Galileo.

Elektroakustische Wandler

XIII

105

Wilfried Plaßmann

Teil

105.1 Definitionen, Kenngrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284

105.2 Schallempfänger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285

105.3 Schallsender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1283

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_105

1284

105 Elektroakustische Wandler

Teil

Um Sprache und Musik über größere Entfernungen zu übertra-

Schallgeschwindigkeit: Geschwindigkeit, mit der sich die
gen, wird der Hörschall mit einem Mikrofon in ein proportiona-

Schallwelle fortpflanzt. Sie berechnet sich aus den Materi-

XIII
les elektrisches Signal umgewandelt und auf drahtlosem Wege
aleigenschaften zu:

(Beispiel Rundfunkübertragung) oder drahtgebunden (Beispiel
s

Telefon, Kabelrundfunk, oft in Kombination mit dem drahtlo-

E
c D
sen Weg) zum Empfänger übermittelt. Am Empfangsort setzt
in m=s

(105.4)

z. B. ein Lautsprecher das elektrische Signal wieder in ein akus-
tisches Signal um.

E Elastizitätsmodul in N=m2, Dichte in kg/m3.

Sie beträgt in Luft bei 20 °C und Normalluftdruck 340 m=s,
in Wasser ca. 1500 m=s und in Stahl 5050 m=s.

105.1

Definitionen, Kenngrößen

Dämpfungsmaß: Logarithmisches Verhältnis der Amplituden
einer Feldgröße an zwei hintereinanderliegenden Punkten.

Schallintensität: Produkt aus Schallschnelle und Schalldruck

Im folgenden sind einige Kenngrößen der Akustik zusammen-
oder Quotient aus Schalleistung und Fläche:

gestellt, weitere können z. B. DIN 1320 entnommen werden.

Pa m

W

Schall: Mechanische Energie in Form von Schwingungen

J D v D p 2
in

; N oder

(105.5)

W
s
m s
m2
und Wellen eines elastischen Mediums.

0

Hörschall, Infraschall, Ultraschall:

Formelzeichen siehe (105.1)–(105.4).

Hörschall: Schall im Frequenzbereich des menschlichen Hö-

Es handelt sich dabei um eine Leistung pro Fläche, wie die
rens, ca. 16 Hz bis 16 kHz.

letzte Einheitenangabe zeigt.

Infraschall: Schall unterhalb ca. 16 Hz.

Schalleistung: Produkt aus Schallintensität J und Fläche A:

Ultraschall: Schall oberhalb ca. 16 kHz.

N m

Geräusch: Schallsignal, das meistens ein nicht zweckbe-

P

D
ak

J A
in W oder

(105.6)

s
stimmtes Schallereignis charakterisiert (Beispiel Maschinen-
geräusch).

Hörschwelle: Die Hörschwelle ist der Schalldruck, den das

D

Schallkennimpedanz (kurz Kennimpedanz): Widerstand, den

Ohr gerade noch wahrnehmen kann, er beträgt p 0

2
das Medium der Schallwelle entgegensetzt (siehe auch Er-

104 &bar D 2 105 Pa.

läuterung zu (105.3)):

Schallpegel: Logarithmisches Verhältnis des tatsächlichen

Schallkennimpedanz:

Schalldruckes p 1 zu einem Bezugs-Schalldruck pb. Die Be-
zugsgröße pb ist anzugeben.

kg

W D

Schalldruckpegel: Logarithmisches Verhältnis des tatsäch-

0
c in

(105.1)

m2 s
lichen Schalldruckes p 1 zum Schalldruck der Hörschwelle

D
c Schallgeschwindigkeit im m=s, Dichte in kg/m3.

p 0

2 104 mbar (siehe auch „Lautstärkepegel“, (105.13)):

In Luft bei Normaldruck und 20 °C ist die Kennimpedanz
p 1

L D 20 lg
in dB

(105.7)

413 N s=m3.

p
p 0

Wellenwiderstand: Ist das Medium verlustfrei, wird die

Schallkennimpedanz reell und als Wellenwiderstand be-

Elektroakustischer Übertragungsfaktor für Schallsender
zeichnet.

(Lautsprecher), im folgenden kurz Übertragungsfaktor ge-

Schalldruck: Durch die Schallschwingung hervorgerufe-
nannt:

ner Wechseldruck p in N=m2 (siehe auch Erläuterung zu

Pa

B D p

S
in

(105.8)

(105.3)). Der Praxis angepasst gibt man ihn häufig in µbar

U

V
an:

p Schalldruck in Pa, U elektrische Spannung in V.

Elektroakustischer Übertragungsfaktor für Schallempfänger

1 &bar D 101 N=m2 D 101 Pa

(105.2)

(Mikrofone), im folgenden kurz Übertragungsfaktor ge-

Schallschnelle: Geschwindigkeit, mit der sich die Atome
nannt:

bzw. Moleküle durch den Schalldruck um ihre Ruhelage be-

D U

V
wegen:

BE
in

(105.9)

p

Pa
m
v D ! s D p
in

(105.3)

p Schalldruck in Pa, U elektrische Spannung in V.

W 0
s

Absoluter elektroakustischer Übertragungsfaktor:

! Kreisfrequenz in s1, s Schwingweg der Schallquelle in m,

B

D

S 0

1 Pa=V für Schallsender (Lautsprecher)

(105.10a)

p Schalldruck in N=m2 bzw. kg=(s2 m), W 0 Schallkennimpe-

B

D 1 V=Pa für Schallempfänger (Mikrofone) (105.10b)

danz in kg=(s m2).

E 0

Diese Gleichung legt die Analogie zum elektrischen Feld na-

Elektroakustisches

Übertragungsmaß
für

Schallsender
he: Mit den Entsprechungen v $ I, p $ U, W $

0

Z folgt

(Lautsprecher):

daraus das Ohm’sche Gesetz, angewendet auf den Wech-

B
selstromkreis. Die äquivalente Definition lautet dann: „Die

S

G D

S

20 lg
in dB

(105.11)

Stromschnelle ist die Geschwindigkeit, mit der die Elektro-

BS 0
nen durch die Spannung ihre Lage ändern.“

Formelzeichen siehe (105.8), (105.10a).

105.2

Schallempfänger

1285

L P
sone

140

100
dB

20

XIII

120

120

10

Schmerzgrenze

5

Lautheit

100

100

2

1

Teil

80

80

0,1

60

60

Lästigkeitsgrenze

0,01

40

40

0 20 40 60 80 100 phon

20

Lautstärke

20

Hörschwelle

Abb. 105.2 Zusammenhang von Lautstärke und Lautheit, nach [28]

0

0

0,01 0,02 0,05 0,1 0,2

0,5 1

2

5

10 20
kHz
f

Schallwerte aus der Praxis: Für den vom Menschen verur-
sachten Schall werden die folgenden drei Werte angegeben:

Abb. 105.1 Schalldruckpegel als Funktion der Frequenz (Kurven gleicher Laut-
stärkeempfindung), nach [28]

– Direkt am Mund herrscht ein Schalldruck von etwa

0,5 . . . 1,5 Pa.

– Die Schalleistung der menschlichen Stimme liegt in der

Elektroakustisches Übertragungsmaß für Schallempfänger

Größenordnung 105 W.

(Mikrofone):

– Die in der Praxis auftretende maximale Schallleistung
liegt bei einigen mW.

BE

G D

E

20 lg
in dB

(105.12)

BE 0

Formelzeichen siehe (105.9), (105.10b).

105.2

Schallempfänger

Lautstärkepegel: Er ist gleich dem Schalldruckpegel (in
dB, siehe oben) des als gleichlaut beurteilten Normschalles

105.2.1

Kenngrößen für Mikrofone

(1 kHz):

P 1

Für die als Schallempfänger eingesetzten Mikrofone sind u. a.

L D 20 lg
in phon

(105.13)

P
die folgenden Kenngrößen eingeführt worden:

0

Übertragungsbereich: Das ist der vom Mikrofon gewandel-
p

D

1 Schalldruck des Normalschalles, p 0

2 104 mbar
te Frequenzbereich, der im Idealfall den gesamten Hörschall

Schalldruck des Normalschalles an der Hörschwelle.

umfasst.

Da Schalldruckpegel und Lautstärkepegel nicht zwingend

Richtcharakteristik: Richtungsabhängigkeit des Übertra-
den gleichen Wert ergeben, wird die Einheit „phon“ ver-
gungsfaktors B
wendet. Abb. 105.1 zeigt den Zusammenhang zwischen

E (105.9). In der Hauptrichtung (0-Achse)

wird B

D 1 gesetzt, und für abweichende Richtungen
dem Schalldruckpegel L

E
p und der Frequenz f . Aufgetragen
wird der zugehörige Übertragungsfaktor auf den Wert in der
sind Kurven gleicher Lautstärkeempfindung. Danach werden

Hauptrichtung bezogen. Die Richtcharakteristik ist von der

Frequenzen im Bereich 2 . . . 5 kHz vom Ohr am besten auf-

Frequenz abhängig und wird häufig für eine bestimmte Fre-
genommen.

quenz angegeben. Abb. 105.3 zeigt die bei Mikrofonen am

Lautheit: Zusammenhang zwischen der tatsächlichen Zu-
häufigsten auftretenden Richtcharakteristiken.

nahme des Lautstärkepegels und der menschlichen Emp-
findung über das Maß dieser Zunahme. Die Abhängigkeit

Die Mikrofone mit Kreis- und Achtercharakteristik sind nach
ist experimentell ermittelt worden und ist nichtlinear, siehe

Abschn. 99.1, Rundfunk-Stereoübertragung, für Stereoaufnah-

Abb. 105.2. Gibt man die gleiche Zunahme des Lautstärke-
men bestimmt. Allgemein eignet sich das Mikrofon mit Kreis-
pegels bei kleinen und bei großen Lautstärkepegeln vor, wird
charakteristik für Rundumaufnahmen. Wird ein solches Mikro-
die Zunahme bei kleinen Pegeln als größer empfunden als
fon mit Verstärkeranlage und Lautsprecher(n) betrieben (Raum-
bei großen Pegeln. Zur Unterscheidung zum Lautstärkepegel
oder Freiplatzbeschallung), kommt es leicht zum Rückkopp-
wurde die Einheit „sone“ gewählt.

lungspfeifen, wenn das verstärkte Schallsignal das Mikrofon mit

Schmerzschwelle: Sie liegt bei etwa (106 : : : 107/ p

D

0
großer Amplitude erreicht und erneut verstärkt wird. Deshalb

.20 : : : 200/ N=m2.

konstruiert man Mikrofone, die durch die Form des Gehäu-

Klirrfaktor: Dieser in Abschn. 92.4.12.3 behandelte Begriff
ses, durch Schallabschirmung zu bestimmten Seiten, durch
bekommt hier eine praktische Bedeutung. Durch Messungen

Luftöffnungen auf der Membranrückseite und durch Wölbung
mit einer Vielzahl von Versuchspersonen hat man festge-
der Membran die verschiedenen Cardioide-Charakteristiken er-
stellt, dass das menschliche Ohr Klirrfaktoren > 1 % wahr-
halten. Durch diese Maßnahmen soll eine Richtcharakteristik
nimmt. Für eine Übertragung muss demnach gelten, dass
erreicht werden, die im Wesentlichen nur den Schalldruck von
dieser Wert insgesamt nicht überschritten werden darf, wenn
vorn verarbeitet, den von der Rückseite aber nicht. Soll ei-
die Wiedergabe unverzerrt klingen soll.

ne extreme Richtwirkung erreicht werden, kann das Mikrofon

1286

105 Elektroakustische Wandler

Teil
a

0°
b

0°
c

0°

Tab. 105.1 Wandlerprinzipien für Mikrofone und deren Anwendungen

Wandlerprinzip

Name des Mikrofons

Anwendung

XIII

Piezo-Prinzip
a) piezoresistiv

Kohlemikrofon

Im Telefon älterer

Bauart

180°

180°

180°
b) piezoelektrisch

Kristallmikrofon

Billiges Gebrauchs-
d
mikrofon

0°
e

0°

Elektromagneti-

Magnetisches Mikrofon
u. a. in Hörgeräten
sches Prinzip

Elektrodynamisches Dynamisches Mikrofon
u. a. als Studiomikrofon

Prinzip

Elektrostatisches Prinzip

180°

180°
a) Normalausfüh-

Kondensatormikrofon
u. a. als Studiomikrofon
rung

Abb. 105.3 Richtcharakteristiken von Mikrofonen mit folgenden Formen:

a Kreis, b Niere oder Cardioide, c Supercardioide, d Hypercardioide, e Acht
b) Sonderausfüh-

Elektret-Kondensator-

Als Gebrauchsmikrofon
rung mit Elektret
mikrofon
a
b
a

Gummiring

Membrankontakt
elektrisch leitende

Membran

Kunststoffolie

Kohlengrieß

Berührungs-
schutz

Gegenkontakt
c
d

Sternelektrode

Gegenelektrode

Seidenscheibe

Membrankontakt
b
u
u
e

R

U B

U B

Abb. 105.5 Kohlemikrofon. a Aufbau, nach [28], b praktische Schaltung mit

Lastwiderstand bzw. Übertrager

Abb. 105.4 Richtcharakteristiken nach Abb. 105.3, räumlich dargestellt (Un-

105.2.2

Mikrofonsysteme
terlagen Fa. Sennheiser)

Die am häufigsten eingesetzten Mikrofonarten lassen sich nach
dem Wandlerprinzip einteilen (Tab. 105.1).

im Brennpunkt eines Parabolspiegels angeordnet werden. Die

Richtcharakteristik wird als ebenes Diagramm dargestellt, weil
die Mikrofone in dieser Hinsicht rotationssymmetrisch bezüg-

105.2.2.1

Kohlemikrofon
lich der Längsachse und damit der Hauptachse sind. Abb. 105.4

Abb. 105.5a stellt den Aufbau dar. Durch den Schalldruck be-
stellt die Richtdiagramme aus Abb. 105.3 räumlich dar.

wegt sich die Membran in horizontaler Richtung und drückt die

Elektrische Impedanz, minimale Abschlussimpedanz: Das

Kohlekörner mehr oder weniger stark zusammen. Dadurch än-

Mikrofon ist als Spannungsquelle mit Innenwiderstand
dert sich der Widerstand. Die Widerstandsänderung, die in etwa

( Elektrische Impedanz) zu sehen, an die ein ausreichend
dem Schalldruck proportional ist, kann nach Abb. 105.5b in eine
großer Lastwiderstand ( minimale Abschlussimpedanz) ange-
proportionale Spannungsänderung u umgewandelt werden. Da-
schlossen werden muss, damit der Spannungsfall am Innen-
bei hat die Lösung mit Übertrager den Vorteil der galvanischen
widerstand des Mikrofons nicht zu groß wird und außerdem

Trennung zwischen Mikrofon- und Signalkreis. Das Kohle-
die Eigenschaften des Mikrofons nicht durch einen zu klei-
mikrofon benötigt eine Spannungsversorgung. Der Klirrfaktor
nen Lastwiderstand nachteilig beeinflusst werden (Klirrfak-
kann bis zu 25 % betragen, deshalb wurde es für Sprachüber-
tor, Amplitudengang).

tragung im Telefon eingesetzt, wo es auf die Verständlichkeit

105.2

Schallempfänger

1287

Berührungsschutz
a

Gehäuse

Berührungsschutz

XIII

Halterung

S

Kristall-

Membran

Dauermagnet
biegeschwinger

N

Teil

Gehäuse

Schwingspule

S

(Tauchspule)

Membran
u

Abb. 105.6 Kristallmikrofon
b

Bändchen

Magnet

Berührungsschutz

Polschuhe

Spule

N S

Dauermagnet

S

N
u

Abb. 105.8 Elektrodynamisches Mikrofon, nach [28]. a Tauchspulmikrofon,
b Bändchenmikrofon

Abb. 105.7 Elektromagnetisches Mikrofon
steigt die Ausgangsspannung mit steigender Schallfrequenz.

und nicht die originalgetreue Übertragung ankommt. Es ist das

Diese lineare Verzerrung muss durch einen entsprechend aus-
einzige Mikrofon, das, bedingt durch die erforderliche Span-
gelegten Verstärker beseitigt werden.

nungsversorgung, eine Leistungsverstärkung bewirkt. Nimmt
man an, dass die Schallleistung der Sprache bei 105 W liegt

105.2.2.4

(Elektro-)Dynamisches Mikrofon als
und dass davon 1/10 vom Mikrofon verarbeitet wird, erhält

Tauchspul- oder Bändchenmikrofon
man am Mikrofonausgang eine elektrische Leistung von etwa

1 mW. Die Leistungsverstärkung ist dann 1 mW=1 µW D 1000. An der Membran ist eine Spule befestigt, die in das Feld

Der Übertragungsfaktor (105.9) beträgt B

E

100 mV=&bar D eines feststehenden Dauermagneten eintaucht, Tauchspulmikro-

1000 mV=Pa D 1 V=Pa.

fon, Abb. 105.8a. Die Ausgangsspannung steigt mit steigender

Schallfrequenz, der Übertragungsfaktor ist in der Größenord-
nung 1 mV=Pa. Deshalb ist ein Vorverstärker erforderlich, der

105.2.2.2

Kristallmikrofon
die niedrige Ausgangsspannung verstärkt und den Amplitu-

Es wird der piezoelektrische Effekt ausgenutzt, nach dem be-
denfrequenzgang korrigiert. Der Klirrfaktor ist gering ( 1 %),
stimmte Materialien (Quarz, Seignettesalz, Piezokeramik) bei
deshalb wird es auch als Studiomikrofon eingesetzt. Eine Son-

Druck eine proportionale Spannung abgeben, Abb. 105.6. Eine
derausführung ist das Bändchenmikrofon, Abb. 105.8b, bei dem

Membran aus Metall oder Kunststoff ist mechanisch mit dem
die Membran als geripptes Bändchen ausgeführt ist, das sich

Kristall verbunden. Membranbewegungen erzeugen Druck- und
direkt im Feld des Dauermagneten bewegt. Auch hier steigt

Zugspannungen im Kristall und können als Spannung u an
die Ausgangsspannung mit steigender Schallfrequenz, wobei
den Elektroden abgegriffen werden. Da der Effekt durch La-
bei hohen Schallfrequenzen die Ausgangsspannung durch die
dungsverschiebungen hervorgerufen wird, ist die elektrische
geringe Masse des Bändchens der Schalländerung praktisch

Impedanz sehr groß (M(-Bereich), sodass zunächst ein Ver-
trägheitslos folgt. Der Übertragungsfaktor ist, da es sich um ei-
stärker als Impedanzwandler nachgeschaltet werden muss. Der
ne Spule mit nur einer Windung handelt, in der Größenordnung

Klirrfaktor liegt bei einigen %, der Übertragungsfaktor bei etwa

10 . . . 100 µV=Pa. Der Klirrfaktor liegt unter 1 %.

5 mV=Pa.

105.2.2.5

Kondensatormikrofon

105.2.2.3

(Elektro-)Magnetisches Mikrofon

Wie in Abb. 105.9a dargestellt, bildet die Membran die eine

Nach Abb. 105.7 besteht dieses Mikrofon aus einem festste-

Platte eines Plattenkondensators, die andere Platte ist eine im
henden Dauermagneten, auf dessen Polschuhen eine ebenfalls

Abstand von etwa 10 µm angebrachte feste Elektrode. Ändert
feststehende Spule sitzt. Als Joch befindet sich vor den Pol-
sich der Schalldruck, ändert sich der Abstand der Elektroden
schuhen die durch den Schalldruck bewegte Membran, die den
und damit die Kapazität ( C ˙ C). Der Kondensator erhält
magnetischen Widerstand des Kreises und damit den magneti-
nach Abb. 105.9b über eine Spannungsquelle mit der Spannung
schen Fluss ändert. Damit wird in der Spule eine Spannung u

UB und zwei hochohmige Widerstände R (10 . . . 100 M() eine
induziert. Das Mikrofon ist robust und billig, der Klirrfaktor

Ladung Q, die dann konstant ist, wenn die Periodendauer der
liegt bei einigen %. Durch das physikalische Prinzip bedingt
niedrigsten Schallfrequenz viel kleiner ist als die Zeitkonstante

1288

105 Elektroakustische Wandler

Teil

Tab. 105.2 Qualitative Eigenschaften von Mikrofonsystemen

Empfindlichkeit gegen- Übertragungs-

Klirrfaktor

Verarbeitung

Verarbeitung

Preis, Schaltungs-

XIII
über Erschütterungen
faktor
tiefer Frequenzen
hoher Frequenzen
aufwand

Kohlemikrofon

C

C

Kristallmikrofon

C

C

C

Magnetisches Mikrofon C

C

C

Dynamisches Mikrofon C

C

C

C

C

C

Bändchenmikrofon

C

C

C

Kondensatormikrofon

C

C

CC

C

C

Elektretmikrofon

C

C

C

C

Eigenschaften: schlecht, weniger gut, mittelmäßig, C gut, CC sehr gut
a
feste Elektrode
tung erforderlich ( Tonaderspeisung nach DIN 45595). Mit dem

Vorverstärker

Übertrager werden Speisespannung und Nutzspannung vonein-
elektrisch leitende
ander getrennt. Der Klirrfaktor ist wesentlich kleiner als 1 %,

Membran
u
sodass dieses Mikrofon als Studiomikrofon eingesetzt wird.

Allerdings empfiehlt es sich, in das Mikrofon einen Vorverstär-

Berührungsschutz

U B
ker mit einem Eingangswiderstand > 1 G( zu integrieren, um

Gehäuse

Leitungskapazitäten nicht wirksam werden zu lassen und Stör-
einstrahlungen in den hochohmigen Signalkreis zu verringern.

b

Ohne Verstärker erreicht man Übertragungsfaktoren von etwa

1 mV=Pa. Eine weitere Möglichkeit zur Mikrofonspeisung, die

Hochfrequenzschaltung, zeigt Abb. 105.9c. Das Mikrofon erhält
u
keine Gleichspannung, sondern liegt als Kondensator in einem

Oszillatorkreis, dessen Frequenz sich schallproportional ändert

R

R

(Frequenzmodulation). In einem Demodulator wird das Signal
demoduliert und zusammen mit dem Hochfrequenzsignal über
die Leitung übertragen. Die Spule trennt Hochfrequenz- und

U
c

B

Nutzsignal. Der Vorteil dieser Schaltung ist, dass nur eine ein-
adrige abgeschirmte Leitung erforderlich ist.

u

105.2.2.6

Elektret-Kondensatormikrofon

HF-Os-
zillator

Eine zunehmend eingesetzte Variante
ist das Elektret-

Kondensatormikrofon. Ein Elektret hat auf zwei gegenüber-
liegenden Stirnflächen ortsfeste elektrische Ladungen, sodass
ein elektrisches Feld auch ohne äußeres Anlegen einer Span-
nung dauerhaft vorhanden ist, Abb. 105.9d. Man beschichtet die

Membran eines Kondensatormikrofons mit einem Elektret,
d

Halterung

Elektret
und damit bewirkt die als konstant angenommene elektri-
sche Feldstärke E

E bei einer Lageänderung a der Membran
a + Δ a
eine Spannungsänderung u an den Kon-densatorplatten:

u D E a. Diese Mikrofone werden u. a. in Kassettenrecor-
u
dern und Anrufbeantwortern eingesetzt, weil sie unempfindlich

E

Halterung
gegen Körperschall und magnetische Streufelder sind.

leitende Membran

Abb. 105.9 Kondensatormikrofon. a Aufbau, nach [28], b Tonaderspeisung

(DIN 45595), c Hochfrequenzschaltung, d Elektretmikrofon

105.2.3

Daten und Eigenschaften
verschiedener Mikrofonsysteme

2 RC. Dann gilt: u D U ˙ C= C. C liegt in der Größenord- Tab. 105.2 stellt die Eigenschaften von Mikrofonsystemen qua-nung 500 . . . 1000 pF, sodass für R bei f D 16 Hz und C D 1 nF
litativ einander gegenüber.

gilt: R 10 M(. Die zwei Leitungen zum Mikrofon führen
sowohl die Signalspannung als auch die Spannung zur Ladungs-

Tab. 105.3 listet typische Werte der verschiedenen Mikrofonsys-
erzeugung, und damit ist nur eine zweiadrige abgeschirmte Lei-
teme auf.

105.3

Schallsender

1289

Tab. 105.3 Typische Werte für verschiedene Mikrofonsysteme

Übertragungsfaktor in mV=Pa Elektrische Impedanz in ( Klirrfaktor in %

Frequenzbereich in Hz Dynamik in dBa

Kohlemikrofon

1000

50 . . . 500

25

600 . . . 4000

XIII

Kristallmikrofon

5

1 . . . 5 M(

2

30 . . . 10.000

60

Magnetisches Mikrofon 10

2000

10

300 . . . 6000

Teil

Dynamisches Mikrofon 1

200

1

40 . . . 14.000

60

Bändchenmikrofon

0,1

0,1

0,5

40 . . . 18.000

50

Kondensatormikrofon

1

100 M(

0,1

20 . . . 20.000

80
a Die Dynamik ist das logarithmische Verhältnis von der größten noch einwandfrei verarbeitbaren Schallamplitude zur kleinstmöglichen verarbeitbaren

Schallamplitude (siehe auch DIN 40146)

105.3

Schallsender

Membran

Zentriermembran

Membrankorb

Unter den Begriff Schallsender fallen Lautsprecher und Hörer.

Polschuhe (1, 2, 3)

Es wurden bzw. werden die folgenden Systeme verwendet.

3

N

1
i

2

S

Spule

105.3.1

Lautsprecher- und Hörer-Systeme

Dauermagnet

Abb. 105.11 Aufbau eines dynamischen Lautsprechers

105.3.1.1

Elektrodynamisches System

Im Luftspalt eines Elektromagneten bewegt sich eine Spule, de-
ren Strom einen angenähert proportionalen Schalldruck erzeugt.

Der Summand O

B 2 sin2 ! t führt zu nichtlinearen Verzerrungen,

Dieses System wurde angewendet, als noch keine leistungsfähi-
sodass für die Konstruktion des Systems gelten muss: B O

0

B.

gen Dauermagnete zur Verfügung standen.

105.3.1.2

(Elektro-)Magnetisches System

105.3.1.3

Dynamisches System

Eine Membran bewegt sich im Luftspalt eines Dauermagneten,

Da keine Verwechslung mehr mit dem elektrodynamischen

Abb. 105.10. Auf dem Dauermagneten bzw. seinen Polschuhen

System (Abschn. 105.3.1.1) gegeben ist, spricht man vom dyna-
sind zusätzlich zwei in Reihe geschaltete Spulen angebracht,
mischen System anstelle vom permanentdynamischen System.

durch die der zum Schalldruck proportionale Wechselfluss er-

Nach Abb. 105.11 bewegt sich eine vom Signalstrom i durch-
zeugt wird und der sich dem Gleichfluss des Dauermagneten
flossene Spule im Feld eines Dauermagneten. Mit der Spule
überlagert. Dieses System wird u. a. im Telefon (auch als Mi-
mechanisch verbunden ist eine trichterförmige Membran, die
krofon möglich) und in Kopfhörern eingesetzt. Die auf die
die umgebende Luft zu Schallschwingungen anregt. Die auf die

Membran ausgeübte Kraft F ist proportional dem Quadrat der

Spule ausgeübte Kraft berechnet sich nach der Lorentz-Kraft:

Flussdichte B. Ist B 0 die vom Dauermagneten erzeugte Fluss-
dichte und nimmt man die Flussdichte des Nutzsignales sinus-

F B

0
i

(105.15)

förmig an, B D O

S

B sin ! t, folgt für die Kraft:

B

F B 2 D . B C O

0 vom Dauermagneten erzeugte Flussdichte im Luftspalt in

0

B sin ! t/2

V s=m2, i Signalstrom in A.

D B 2 C 2 B O B sin ! t C O B 2 sin2 ! t

(105.14)

0

0

Man erhält damit theoretisch einen linearen Zusammenhang
zwischen der Membranauslenkung und dem Signalstrom.

Schutzkappe

Membran

105.3.1.4

Elektrostatisches System

Spulen

Polschuhe

Es handelt sich hierbei um die Umkehrung des beim Konden-

N

S

Dauermagnet
satormikrofon eingesetzten Prinzips. Nach Abb. 105.12 ist in
geringem Abstand zu einer festen Elektrode FE die Membran
i

M als bewegliche Elektrode angebracht. Beide sind elektrisch
voneinander isoliert und bilden damit die Platten eines Konden-

Abb. 105.10 (Elektro-)Magnetisches System
sators. Beim Anlegen einer Spannung an die Elektroden wird

1290

105 Elektroakustische Wandler

Teil

FE

Mittel-Hochton-

XIII

Membran

Lautsprecher
vom

(beweglich)

u

Verstärker

500 Hz ... 15 kHz

U 0

Halterung

Tiefton-

Lautsprecher

Abb. 105.12 Prinzip eines elektrostatischen Lautsprechers

30 ... 500 Hz

Abb. 105.14 Trennung von Tiefton- und Hochtonlautsprechern durch Filter
die Membran M von FE angezogen, wölbt sich durch und über-

(Frequenzweichen)

trägt diese Bewegung an die umgebende Luft. Da die Kraft F
proportional zum Quadrat der Spannung ist, muss auch hier
durch eine entsprechend große Gleichspannung U 0 eine Lineari-

105.3.2

Kenngrößen, Daten
sierung erreicht werden. Es gilt die Ableitung zu (105.14), wenn
man die Flussdichte durch die Spannung ersetzt:

Es folgen noch einige Begriffe im Zusammenhang mit Lautspre-

F u 2 D . U C O
chern und Hörern.

0
u sin ! t/2

D U 2 C 2 U O u sin ! t C O u 2 sin2 ! t

(105.16)

Akustischer Kurzschluss: Befindet sich eine Lautsprecher-

0

0
membran frei im Raum, d. h. sowohl Vorder- als auch Rück-

Für eine nahezu lineare Abhängigkeit muss gelten: U O
seite strahlen eine Schallwelle ab, können sich beide Schall-

0
u.

wellen im Raum so überlagern, dass sie sich ungünstigenfalls

Durch die geringe Masse der bewegten Teile ergibt sich be-
genau auslöschen. Man spricht dann von akustischem Kurz-
sonders bei hohen Frequenzen ein geringer Klirrfaktor. Diese
schluss. Das ist besonders kritisch, wenn die Wellenlänge

Lautsprecher können allerdings nur wenig Leistung abgeben,
der Schallschwingung groß ist gegen den Membrandurch-
und die Schallabstrahlung ist stark gerichtet.

messer. Fügt man dagegen den Lautsprecher in eine passende

Öffnung einer starren, sehr großen Wand ein, wird dieser

Kurzschluss vermieden. Eine alternative Lösung mit weniger

105.3.1.5

Piezoelektrisches System
großen Abmessungen sind Lautsprechergehäuse, die allseitig

Es handelt sich um die Umkehrung des beim Kristallmikrofon
geschlossen sind und nur vorn eine Öffnung in Lautsprecher-
verwendeten Prinzips. Abb. 105.13 zeigt das Kristallelement,
größe haben.

das einseitig fest eingespannt ist und mit dem anderen Ende

Richtcharakteristik: Kommt die abgestrahlte Schallwellen-
spannungsproportional schwingt und die Lautsprechermembran
länge in die Größenordnung des Membrandurchmessers,
bewegt. Es sind zwei Kristallplättchen so aufeinandergeklebt,
setzt eine Richtwirkung ein, die mit weiter sinkender Wel-
dass sich die entsprechende Biegung analog zu einem Bime-
lenlänge zunimmt. Es gilt:

tallsystem ergibt. Die mechanische Auslenkung ist nur bedingt

Schallfrequenz

10 Hz 100 Hz 1000 Hz 10 kHz 16 kHz
proportional zur angelegten Spannung, sodass diese Lautspre-

Schallwellenlänge 34 m

3;4 m

34 cm

3;4 cm 2;125 cm
cher einen nicht zu vernachlässigenden Klirrfaktor haben. Sie
werden zur Wiedergabe von mittleren und hohen Frequenzen

(bei 20 °C in Luft und 1000 hPa).

eingesetzt.

Demnach ist es nur unvollkommen möglich, mit einem Laut-
sprecher den gesamten Hörschall zu übertragen. Als Ober-
grenze zwischen höchster und niedrigster von einem Laut-

Lautsprecher-
sprecher übertragbarer Frequenz gilt der Wert 100. Man setzt
membran
deshalb zwei oder drei Lautsprecher ein und optimiert jeden
für einen Teilfrequenzbereich. Bei zwei Lautsprechern wählt

Kristall-
element
man z. B. einen Tieftonlautsprecher für den Frequenzbereich

30 bis 500 Hz und einen Mittel-Hochton-Lautsprecher für
u
den Frequenzbereich 500 Hz bis 15 kHz (Abb. 105.14). Bei
drei Lautsprechern kann die Unterteilung so aussehen: 30
feste

Einspannung
bis 500 Hz, 500 Hz bis 4 kHz, 4 bis 20 kHz. Die einzelnen

Lautsprecher werden über Frequenzweichen mit dem zuge-

Abb. 105.13 Kristall-Lautsprecher
ordneten Frequenzbereich angesteuert.

105.3

Schallsender

1291

Tab. 105.4 Typische Kenndaten verschiedener Schallsendersysteme

Nennscheinwider-

Frequenzbereich

Leistung bis

Übertragungs-

Verzerrungen

Anwendungen
stand bzw. Kapazität
max.

faktor

XIII

Magnet. Lautsprecher

200 . . . 2000 (

300 Hz . . . 5 kHz

3 W

5 Pa=V

Groß

Billige Systeme

Magnet. Kopfhörer

200 . . . 2000 (

100 Hz . . . 6 kHz

50 mW

5 Pa=V

Groß

Telefon, Kleinhörer

Teil

Dynam. Breitband-Lautspr. 3 . . . 25 (

30 Hz . . . 18 kHz

200 W

0,5 Pa=V

Klein

Universell

Dynam. Tiefton-Lautspr.

2 . . . 8 (

30 . . . 500 Hz

500 W

0,7 Pa=V

Klein

HiFi-Anlagen

Dynam. Hochton-Lautspr.

3 . . . 25 (

500 Hz . . . 20 kHz 80 W

0,2 Pa=V

Klein

HiFi-Anlagen

Dynam. Kopfhörer

4 . . . 200 (

16 Hz . . . 20 kHz

100 mW

0,1 Pa=V

Sehr klein

Höchste Ansprüche

Piezoel. Lautsprecher

1 . . . 5 nF

1 . . . 20 kHz

2 W

0,5 Pa=V

Mittel

Allgemeine Anwendung

Elektrostatischer Lautspr.

100 . . . 500 pF

1 . . . 20 kHz

5 W

0,1 Pa=V

Klein

In kleineren HiFi-Anlagen

Hörer, Kopfhörer: Hörer sind Schallsender, die den Schall

Motional Feedback-System: Vor allem bei Tieftonlautspre-
direkt am Ohr abstrahlen. Deshalb heißen sie auch Kopf-
chern gibt es durch die relativ große Masse der Membran
hörer. Prinzipiell sind für Hörer alle genannten Systeme
mit Schwingspule Signalverzerrungen. Man bringt deshalb
brauchbar, allerdings hat sich für die Wiedergabe hochwer-
auf der Membran einen Weg- oder Beschleunigungsaufneh-
tiger Musikaufnahmen der dynamische Hörer durchgesetzt,
mer an, der den tatsächlichen Weg bzw. die momentane
der seinen Namen vom verwendeten dynamischen System

Beschleunigung ermittelt und mit dem Sollwert der ansteu-
hat. Die bei 1 kHz gemessene Impedanz liegt bei 4, 8 oder
ernden elektrischen Größe vergleicht. Weichen beide von-

16 ( zum direkten Anschluss an die Lautsprecherausgänge
einander ab, wird der Spulenstrom entsprechend eingestellt.

eines Verstärkers oder bei 200 (. Es gibt sie als offene Hö-

Man erreicht auf diese Weise kleinere Klirrfaktoren.

rer, bei denen die Membran nach vorn und hinten abstrahlt,
und als geschlossene Hörer, bei denen der Hörer nur nach
vorn abstrahlt.

Tab. 105.4 listet einige Eigenschaften der verschiedenen Sys-
teme auf.

Vermittlungstechnik

XIII

106

Wilfried Plaßmann

Teil

106.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294

106.2 Vermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294

106.3 Verkehrstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295

106.4 Endgerät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1293

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_106

1294

106 Vermittlungstechnik

Teil

Nachrichtenblöcke

Signalflußrichtung

Teil-

Koppelnetz
nehmer

XIII
n

2

1

A

Bündel

...

B

Nr.

1

Rumpf

Kopf

2

Information

Zielrufnummer,

3

Länge,

N

Blocknummer,

Steuerinformationen

Steuerung

Abb. 106.1 Paketvermittlung

Signalisierung

106.1

Grundbegriffe

Abb. 106.2 Prinzip einer Vermittlungsstelle mit maximal möglicher Zahl von

Verbindungen

In einem vorhandenen Nachrichtennetz sorgt die Vermittlungs-
technik dafür, dass Informationen zu jeder Zeit von einem be-
liebigen Zugangspunkt zu einem beliebigen anderen Zugangs-

Koppelnetz
punkt übertragen werden können. Der gesamte Vorgang wird
mit Vermittlung bezeichnet. Das größte weltweit vorhandene

Nachrichtennetz ist das kombinierte Internet-Telefonnetz. Die

Zugangspunkte sind die Anschlusspunkte ( ortsfeste Anschluss-
dosen) für die Endgeräte, wie z. B. Rechner, Telefonappara-
te, Faxgeräte oder Modems, oder aber ein ortsveränderliches

Endgerät wie ein Laptop, ein schnurloses Telefon oder ein

Konzen-

Expan-

Koppeln

Funktelefon („Handy“). Die Informationen werden vorwiegend
trieren
dieren
als elektrische Signale übertragen, allerdings gewinnt die op-

Abb. 106.3 Koppelnetz mit Konzentration und Expansion
tische Signalübertragung an Bedeutung, siehe Kap. 103. Die

Verbindung zweier oder mehrerer Zugangspunkte kann ent-
weder nur für eine bestimmte Zeit (Telefongespräch, Senden
eines Faxes) oder dauernd erfolgen („Standleitung“ als Telefon-
ren Teilnehmer verbunden werden. Das setzt voraus, dass die
und/oder Datenleitung zur Verbindung von z. B. Zweigwer-

Teilnehmer-Anschlussleitung (TA) jedes Teilnehmers bis zur
ken einer Firma oder als Internetverbindung über DSL, siehe

Ortsvermittlungsstelle (OVST) (kurz auch Vermittlungsstelle)

Abschn. 107.2.2.2). Bisher wurden überwiegend geschaltete
geführt wird. Diese Lösung mag bei maximal einigen tausend

Kanäle eingesetzt, d. h., beide Endgeräte wurden über einen für

Teilnehmern (Telefonanschlüssen) durchführbar sein, für die ge-
diese Verbindung reservierten Kanal verbunden: Leitungs- oder
samte Bundesrepublik ist dieser Lösungsweg nicht praktikabel.

Durchschalte-Vermittlung. Im Gegensatz dazu spricht man von

Die Vermittlungstechnik für das Festnetz ist historisch gewach-
virtuellen Kanälen, wenn ein Kanal für mehrere Verbindungen
sen und gibt deshalb gewisse Rahmenbedingungen vor.

„gleichzeitig“ eingesetzt wird: Bei Telefongesprächen kann der

Dazu gehört, dass 1. die Rufnummer in der Regel noch die

Kanal in den Sprechpausen anderweitig genutzt werden. Das

Struktur der Vorgängerlösung aufweist und 2. die Teilnehmer-
setzt voraus, dass die Übertragung in zeitlich begrenzten Pake-

Anschlussleitungen noch als 2-Draht-Kupferleitungen vorliegen
ten geschieht: Paketvermittlung. Nach Abb. 106.1 besteht die
und häufig bis zur Vermittlungsstelle geführt worden sind.

gesamte Nachricht aus einzelnen Nachrichtenblöcken, die sich

Weiterhin hat die Erfahrung gezeigt, dass von den möglichen
aus dem Kopf mit den zugehörigen Zuordnungs- und Steuerin-

Verbindungen im Mittel lediglich etwa 10 bis 15 % gleichzei-
formationen und dem Rumpf mit der eigentlichen Information
tig belegt sind. Deshalb hat man das im Abb. 106.3 gezeigte
zusammensetzen.

Verfahren der Konzentration-Expansion angewendet. Das war

Die Paketvermittlung wird im digitalen Datex-P-Netz der Deut-
nicht nur auf höheren Ebenen der Fall, auch im Bereich der
schen Telekom angewendet, siehe auch Abschn. 107.2.2.2.

OVST wurde bei der Erschließung von Neubaugebieten die

Ankopplung an das bestehende Netz zwecks Erweiterung vor-
genommen. Zum besseren Verständnis der Begriffe sei hier kurz

106.2

Vermittlung
die Vorgängerlösung erläutert, und zwar an der Rufnummer

05723 71xx bzw. 71xx (xx steht für 2 Ziffern). Bei der Ruf-
nummer 71xx handelt es sich um einen Teilnehmer aus Bad

Um das oben genannte Ziel einer Vermittlung zu erreichen,

Nenndorf (westlich von Hannover). Die unterste Ebene der Ver-
zeigt Abb. 106.2 eine naheliegende Lösung für deren Auf-
mittlung war die Ortsvermittlungsstelle (OVST), die räumlich
bau. Jeder der N Teilnehmer kann jederzeit mit jedem ande-
die durch die Ortsgrenzen vorgegebenen Teilnehmer erfasste.

106.3

Verkehrstheorie

1295

Angrenzende kleinere Orte wurden größeren Orten zugeord-
rer Einheiten werden eingesetzt, die dann mit einer VE:O
net. Um einen Teilnehmer aus dem eigenen Ortsnetz anzurufen,
verbunden werden. Die VE:Os können direkt mit anderen
wurde und wird die Rufnummer gewählt (71xx), die aller-

Vermittlungseinheiten Verbindung aufnehmen.

XIII
dings nie mit einer Null beginnen darf, denn daran erkennt die

Vermittlungseinheit Fernnetz (VE:F): National gehören sie

OVST, dass es sich um ein Ortsgespräch handelt und ihr Bereich
zur oberen Ebene. Sie sind sehr intensiv untereinander ver-

Teil
nicht verlassen wird. Befindet sich der anzurufende Teilneh-
netzt und Durchgangsvermittlungsstellen. Mehrere geogra-
mer nicht im Ortsbereich des Anrufenden, muss die Vorwahl
fisch angrenzende bzw. benachbarte VE:O sind mit ihrer
des Anzurufenden der Rufnummer vorausgeschickt werden, im

VE:F verbunden. Sie haben i. Allg. keine direkten Teilneh-

Beispiel 05723. Jeder Ortsbereich hat seine eigene eindeutige
meranschlüsse.

Vorwahl. An der 0, der Verkehrsausscheidungsziffer Inland, er-

Vermittlungseinheit mit Netzübergangsfunktion (VE:N): Hier
kennt die OVST, dass es sich um ein Ferngespräch handelt,
werden Verbindungen aus dem eigenen Netz in das Netz
also ein Gespräch, dass den Bereich der eigenen OVST verlässt
einer anderen Telefongesellschaft weitergeleitet. Sie sind
und in das sog. Nationale Fernnetz übergeht. An den Ziffern
häufig in die VE:F integriert.

5723 zeigt sich die Hierarchie des Telefonnummernaufbaus: Die

Vermittlungseinheit Ausland (VE:A): Sie übernehmen den

OVST stellt zunächst eine Verbindung mit der höchsten Ebene,

Telefonverkehr mit dem Ausland. Es sind reine Durchgangs-
einer von 8 Zentralvermittlungsstellen (ZVST), hier Hanno-
vermittlungsstellen.

ver anhand der Ziffer 5, her. Dann folgt die nächstniedrigere

Durchgangsvermittlungsstelle: Sie wickeln nur den Verkehr

Ebene, die Hauptvermittlungsstelle (HVST), anhand der 57 in
zwischen Vermittlungsstellen ab und sind sehr stark mit an-

Minden/Westf., weitergehend über die Knotenvermittlungsstelle
deren Vermittlungsstellen vernetzt.

(KVST) 572 in Stadthagen zur Ortsvermittlungsstelle (OVST)

Für die Orts- und Fernvermittlung werden die Systeme EWSD

5723 in Bad Nenndorf. Dieser Weg war auch von dem An-

(Siemens, Bosch, Telekom) und S 12 (Alcatel) eingesetzt. Ein
rufenden in umgekehrter Reihenfolge zu beschreiten. Dieser

Unterschied besteht darin, dass Hin- und Rückweg bei einer Te-
sog. Kennzahlweg war streng strukturiert aber nicht immer der
lefonverbindung bei EWSD gemeinsam geschaltet werden, bei
optimale Weg (längerer Verbindungsaufbau, Belegen längerer

S 12 getrennt. Technisch gesehen sind die Vermittlungsanlagen

Leitungen/Umweg und damit erhöhte Leitungsblockierungen).

riesige Schränke, die gefüllt sind mit elektronischen Baugrup-

Es wurden deshalb im Laufe der Zeit schon viele Quer- oder
pen. Mechanische Schalteinrichtungen sind nicht mehr enthal-

Direktverbindungen eingerichtet (OVST A direkt zu OVST B,
ten. Die gesamte Vermittlung wird über Rechner gesteuert. Das

OVST A direkt zu HVST D), um den Fernsprechverkehr zu
hat den Vorteil, dass Verschleißelemente entfallen, die Vermitt-
optimieren. Der Kennzahlweg wurde zur Ausnahme. Soll ein
lungsstellen vollautomatisch und teilweise ohne anwesendes

Anruf ins Ausland erfolgen, muss der OVST dies mitgeteilt

Personal betrieben werden und die Kontrolle und Fehlersuche
werden. Vor der eigentlichen Rufnummer wird deshalb 00yy
über Fernzugriff möglich ist. Von den Telefongesellschaften an-
gewählt, wobei die 00 die Verkehrsausscheidungsziffer Ausland
gebotene Dienste können bei Bedarf über Knopfdruck zu- oder
ist, gefolgt von der Länderkennzahl yy (49 ist für Anrufer aus
abgeschaltet werden.

dem Ausland die Länderkennzahl für Deutschland). Der Verbin-
dungsaufbau erfolgt dann über die Auslandsvermittlungsstelle

(AVST) in Frankfurt.

106.3

Verkehrstheorie

Allerdings ist heute eine eindeutige Zuordnung zwischen Ruf-
nummer und Vermittlungsstelle nicht mehr in jedem Fall mög-

Betrachtet man die im Mittel auftretende Belegung von Ver-
lich. Zum einen kann die Rufnummer bei Umzug mitgenommen
mittlungseinrichtungen an Werktagen über einen Zeitraum von
werden, zum anderen werden Rufnummern blockweise an Tele-

24 Stunden, ergeben sich Schwankungen, die u. a. von den Ge-
fonanbieter vergeben.

schäftszeiten, den Mittagspausen, dem Beginn des ermäßigten

Mit der Einführung von ISDN (siehe Abschn. 107.2.2) und der

Tarifs und dem Eintritt der Nachtruhe abhängen. An Sonn- und
damit verbundenen Digitalisierung der Sprachsignale fand ein

Feiertagen erhält man eine andere Verteilung, außerdem ist sie
mehr oder weniger gleitender Übergang von der alten zur neuen
unterschiedlich für den Orts- und den Fernverkehr. Um ein Be-

Vermittlungstechnik statt. Die strenge hierarchische Struktur ist
urteilungskriterium für den Ausbau einer Anlage zu bekommen,
nicht mehr vorhanden. Es gibt letztlich nur noch 2 Ebenen, die
ermittelt man eine repräsentative Stunde, die Hauptverkehrs-
sehr stark vernetzt sind. Es wird unterschieden zwischen:

stunde. Die in ihr festgelegte Belegung liegt zwischen dem

Mittelwert über 24 Stunden und dem Maximalwert und ergibt

Vermittlungseinheit Ortsnetz (VE:O),
sich u. a. aus einer Wirtschaftlichkeitsberechnung.

Vermittlungseinheit Fernnetz (VE:F),

Vermittlungseinheit mit Netzübergangsfunktion (VE:N),

Verkehrsmenge:

Vermittlungseinheit Ausland (VE:A),

Y D c Tm
in Erlangstunden .Erl h/

(106.1)

Durchgangsvermittlungsstelle.

c Zahl der Belegungen, T

Vermittlungseinheit Ortsnetz (VE:O): Sie sind Bestandteil
m mittlere Belegungsdauer in s.

der unteren Ebene, sind gegenüber der früheren OVST we-

Verkehrswert:

sentlich größer und können mehr als 100.000 Anschlüsse
y D Y= T D c T
verwalten. Mehrere VE:O lassen sich zusammenschalten,
v
m= T
in Erlang .Erl/

(106.2)

auch Teilvermittlungsstellen als Zusammenfassung kleine-

T Beobachtungsdauer in s.

1296

106 Vermittlungstechnik

Teil

1 Erl bedeutet, dass die Einrichtung dauernd durch Belegung ge-
a

F
nutzt wird. Dies ist damit der Höchstwert, der erreicht werden

FeAp

XIII
kann. Für den Teilnehmeranschluss an das öffentliche Netz gilt

GG
ein Mittelwert von etwa 0,1 Erl.

nsi
a

Ü

Angebot: Verkehrswert, der einer Anlage zugeführt wird, un-

R

C1 100
nsr

Ω

W1 W2
abhängig davon, ob er bearbeitet werden kann oder nicht.

–

R 2

C2

1 µF

R 1

GU

+

0,1 µF

W
nsa M 1 k

60 V AB

Ω

Angebot

A D C
a

Tm

(106.3)

b

Vermitt- Verbindungs-

Endgerät für Impulswahl

Ca Zahl der Belegungen bzw. Belegungsversuche, Tm mittle-
lungs-
leitung
mit mechanischen Kontakten
re Belegungsdauer in s.

stelle

(Wählscheibe)

Leistung: Maximaler Verkehrswert einer Anlage.

Erläuterungen siehe Text
b

Leistung
y D C

GU

Wählen

Schleifen-
y

Tm

(106.4)

erkennung

C

Tonruf
y Zahl der maximal möglichen Belegungen, Tm mittlere Be-
legungsdauer in s.

Sprech-

Verlustsystem: Das Angebot übersteigt die Leistung. Dann

Gebühren-
schaltung
auswertung
gilt:

Frei-
sprechen

EEPROM

Restverkehr

R D A y D . C
a

Cy/ Tm

(106.5)

Erdtaste

Display
und für den Verlust erhält man:

Mikroprozessor

Verlust

V D R= y (bezogen auf die Leistung) (106.6)

Tastatur

Wartezeitsystem: Eine momentan nicht herstellbare Bele-

Abb. 106.4 Fernsprechapparate. a Innenschaltung des FeAp 48/61 für Impuls-
gung wird solange in einer Warteschleife gespeichert, bis
wahl (ältere Ausführung), b Prinzip eines Komforttelefons für Mehrfrequenzwahl
sie durch eine freiwerdende Einrichtung durchgeführt wer-
den kann. Daraus folgt die

Wicklung w2, sodass sich die Flüsse auf der Sekundärseite
mittlere Wartedauer

T D
w

Tw ges= Cw

(106.7)

des Übertragers teilweise aufheben. Damit hört der Sprechen-
de seine eigene Sprache nur noch mit geringer Amplitude im

Tw ges Wartezeit aller wartenden Belegungen zusammen, Cw

Hörer, was als angenehm empfunden wird. Eine vollständige

Anzahl der verzögerten Belegungen.

Kompensation ist übrigens nicht erwünscht, weil dann beim

Sprechenden der Eindruck eines defekten Telefons entsteht. Die

Kombination aus R2 und C2 hat auch die Aufgabe des Lei-

106.4

Endgerät
tungsabschlusses. Wird der Hörer abgehoben, fließt über nsi/nsr,

GU, w1, w2, R2 und das in der Vermittlungsstelle vorhandene

Relais R ein Gleichstrom, sodass das Relais anzieht und den

Ein häufig eingesetztes Endgerät ist der Fernsprechapparat,

Verbindungswunsch erkennt und weiterleitet. Wird die Wähl-
abgekürzt FeAp (Telefonapparat). Abb. 106.4a zeigt den Innen-
scheibe aufgezogen, Abb. 106.5, schließt der Kontakt nsa, und
aufbau einer älteren Ausführung mit mechanischen Kontakten.

der Kontakt nsr öffnet. Durch Überbrücken von R2 durch nsa

Dieses Modell ist heute durch vollelektronische Geräte ersetzt
kann in der Vermittlungsstelle ein noch höherer Strom fließen,
worden, Abb. 106.4b, kann aber manchmal noch verwendet
der für die Steuerung eines Wählers benutzt wird (Änderung
werden (siehe unten). Es werden 2 Leitungen, die a- und die
des Schleifenstromes). Lässt man die Wählscheibe nach Wahl
b-Ader, benötigt. Bei aufgelegtem Hörer sind die Kontakte des
der Ziffer N ablaufen, öffnet nsi ( N C 2)-mal. Die letzten 2 zu-

Gabelumschalters GU geöffnet. Ein eingehender Ruf (Klingel-
sätzlichen Öffnungen werden aber durch nsr wieder unterdrückt,
zeichen) wird als 25- oder 50-Hz-Wechselspannung eingespeist
sodass die Zahl der Unterbrechungen tatsächlich der gewähl-
und gelangt über C1 an den Wecker W. Ist die Wählscheibe in
ten Ziffer entspricht. Abb. 106.5 stellt den Ablauf bei Wahl der

Ruhestellung, sind die Kontakte nsi und nsr geschlossen, nsa ist

Ziffer 4 dar. Der Wähler in der Vermittlungsstelleerkennt eine
geöffnet. Beim Abheben des Hörers schließen die Kontakte des
neue gewählte Ziffer daran, dass zwischen zwei Unterbrechun-

GU, und die Sprechwechselspannung des Anrufers gelangt über
gen eine Zeit von mindestens 400 ms vergeht. Mit den zwei
den Übertrager Ü an den Fernhörer F (Hörkapsel). Die zwei
zusätzlichen unterdrückten Impulsen lässt sich diese Zeit auch
antiparallelen Dioden (GG) begrenzen Störgeräusche mit sehr
bei sehr schnellem Wählen zweier aufeinanderfolgender Zif-
hohen Amplituden auf ein erträgliches Maß. Spricht der An-
fern mit der Wählscheibe erreichen. Bei Telefonapparaten mit
gerufene in das Mikrofon M, wird die Sprechwechselspannung

Zifferntasten wird die Ziffernfolge bei zu schneller Tastenbetäti-
zum Anrufer übertragen. In der Wicklung w1 des Übertragers
gung intern zwischengespeichert und dann zur Wähleinrichtung

Ü fließt der Sprech-Wechselstrom entgegengesetzt zu dem in
entsprechend den Vorgaben übertragen.

106.4

Endgerät

1297

697 Hz

1 2 3

Für die Übermittlung der Ziffern einer Rufnummer gibt es zwei

770 Hz

4 5 6

Verfahren:

852 Hz

7 8 9

XIII

941 Hz

* 0 #

Impulswahlverfahren: Dieses Verfahren wurde oben be-
schrieben. Die einzelnen Ziffern werden durch eine ent-

1209 Hz

1633 Hz
sprechende Anzahl von Änderungen des Schleifenstromes

Teil

1336 Hz 1477 Hz
übermittelt. Dieses Wahlverfahren wird nicht mehr verwen-
det. Nur in privaten Telefonanlagen ist es noch manchmal

Abb. 106.5 Zuordnung der Frequenzen zu den Tasten beim Mehrfrequenz-
wahlverfahren
einstellbar, wird dann aber intern in das Mehrfrequenzwahl-
verfahren umgesetzt.

Mehrfrequenzwahlverfahren: Die Ziffern werden durch

Die in Abb. 106.4b im Prinzip dargestellte Innenschaltung neu-
gleichzeitiges Senden von zwei unterschiedlichen Frequen-
er Telefonapparate setzt einen Mikroprozessor zur Steuerung
zen übertragen. Abb. 106.5 zeigt die Zuordnung. Die 4
ein, um den wesentlich erweiterten Funktionsumfang zu bear-

Tasten in der Spalte ganz rechts sind für den Verbindungs-
beiten. Dazu gehören die Ansteuerung eines LCD-Displays und
aufbau nicht erforderlich und werden, falls vorhanden, für
die Bereitstellung der Wählfrequenzen. Weiterhin müssen Funk-

Sonderfunktionen eingesetzt (z. B. Wahlwiederholung der
tionseinheiten wie die Freisprecheinrichtung, die Gebührener-
zuletzt gewählten Telefonnummer).

fassung, besondere Tastenbelegungen und der Wählvorgang be-

Netzkennzahl: Diese Zahlenkombination wird der eigentli-
dient werden. In einem EEPROM werden das Steuerprogramm
chen vollständigen Rufnummer vorangestellt und legt fest,
und z. B. vom Anwender häufig benutzte Telefonnummern oder
mit welcher Telefongesellschaft die folgende Verbindung

Nummern für die Wahlwiederholung abgespeichert.

durchgeführt und abgerechnet werden soll.

Kommunikations- und

XIII

107 Teil

Datennetze

Wilfried Plaßmann

107.1 Strukturen lokaler Kommunikations- und Datennetze . . . . . . . . 1300

107.2 Öffentliche Kommunikations- und Datensysteme . . . . . . . . . . 1300

107.3 Öffentliche Funknetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305

107.4 Private Funknetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1299

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_107

1300

107 Kommunikations- und Datennetze

Teil

Die zur Zeit vorhandenen Kommunikations- und Datennetze
ist problematischer, da er über mehrere Zwischenstationen zur
werden ständig weiterentwickelt und dem Stand der Technik an-

Zielstation (Zielrechner) weitergeleitet wird. Das Senden und

XIII
gepasst. Von den momentan zur Verfügung stehenden Netzen

Empfangen von Daten wird durch das Token-(Ring-)Verfahren
sollen einige mit ihren wesentlichen Eigenschaften dargestellt
geregelt: Erst wenn eine Station ein bestimmtes Bitmuster, das
werden. Weitere Einzelheiten siehe auch Kap. 55 „Datenkom-

Token erhält, sendet sie die Daten einschließlich Empfänger-
munikation“.

adresse. Diejenigen Stationen, die nicht an sie adressierte Daten

Bei Kommunikations- und Datennetzen unterscheidet man drei
erhalten, leitet sie an die Folgestation weiter. Wenn die Zielsta-

Betriebsarten:

tion den Empfang der Daten quittiert hat, gibt die Sendestation
den Token an die Nachbarstation weiter.

Simplex-Betrieb: Die Übertragung von Informationen oder

Daten ist nur in einer Richtung möglich. Sender und Emp-

Die Organisation auf der Busleitung geschieht nach der Ether-
fänger können ihre Funktion nicht tauschen.

net-Spezifikation. Eine Station sendet nur dann, wenn auf

Halbduplex-Betrieb: Informationen können nicht gleichzei-
dem Bus keine Aktionen stattfinden. Senden mehrere Statio-
tig in beiden Richtungen übertragen werden. Beide Seiten
nen gleichzeitig, weil sie zum gleichen Zeitpunkt starten, wird
einigen sich, wer momentan der Sender und wer der Emp-
der Sendevorgang von den beteiligten Stationen abgebrochen
fänger ist. Bekannt ist das Verfahren unter dem Begriff
und nach zufallsbestimmten und damit unterschiedlichen Ver-

Gegensprechverkehr.

zögerungszeiten erneut gestartet. Die auf dem Bus übertragenen

Vollduplex-Betrieb: Der Informationsaustausch geschieht in

Daten sind mit einer Zieladresse versehen und werden auch
beiden Richtungen gleichzeitig, entweder auf getrennten
nur von der adressierten Station aufgenommen und quittiert.

Kanälen (Leitungen), für jede Richtung ein Kanal, oder über

Dieses Organisationsform wird mit CSMA/CD-Verfahren be-
nur einen Kanal (Leitung), wobei beide Informationsflüsse
zeichnet (c arrier-s ense m ultiple a ccess/ c ollision d etection).

ineinander geschachtelt werden, was bei einer Digitalüber-

Tab. 107.1 fasst wesentliche Eigenschaften der drei Netzstruk-
tragung einfach realisierbar ist und bei entsprechend hoher
turen zusammen.

Bitrate einer „quasi gleichzeitigen“ Übertragung in beiden

Richtungen entspricht.

107.2

Öffentliche Kommunikations-

107.1

Strukturen lokaler
und Datensysteme

Kommunikations- und

Aus der Vielzahl der Systeme zur Informations- und Daten-

Datennetze
übertragung sind hier einige Systeme herausgegriffen worden,
die im allgemeinen Sprachgebrauch mit den Begriffen Telefon,

Diese Netze, mit LAN ( l ocal a rea n etwork) bezeichnet, über-

Handy, Internet, VoIP, Telefax und PC (Rechner) in Verbindung
schreiten streng genommen nicht die Grundstücksgrenzen. Sie
gebracht werden.

werden sowohl gewerblich in Firmen als auch im privaten
häuslichen Bereich eingesetzt. Abb. 107.1 zeigt verschiedene

Möglichkeiten der Vernetzung der einzelnen Stationen.

107.2.1

Einführung

Bei der Sternform sorgt eine Zentraleinheit für einen geordneten
und damit sicheren Datenaustausch. Allerdings ist das gesamte

Die Vorteile der Digitaltechnik, hier speziell bezogen auf den

System bei Ausfall der Zentraleinheit nicht mehr funktionsfä-

Telefonverkehr, sind: höhere Sprachqualität, geringere Feh-
hig. Das Ringsystem erfordert einen relativ geringen Verdrah-
lerquote, schnellerer Verbindungsaufbau, die Möglichkeit der
tungsaufwand. Bei Ausfall einer Station kann das gesamte Sys-

Verschlüsselung und effektivere Ausnutzung der vorhandenen
tem nur eingeschränkt weiter benutzt werden. Der Datentransfer

Leitungen. Über den Telefonverkehr hinaus waren, begünstigt
durch den technischen Fortschritt, neue Dienste möglich und
auch von den Anwendern gewünscht. Das deshalb neu zu ent-
a
b
wickelnde System hatte folgende Zielvorgaben:

Bestehende Dienste sind in einem einheitlichen System zu-
sammenzufassen.

Neu hinzukommende Dienste müssen sich einfach integrie-
ren lassen.

Zentraleinheit

Mehrere Dienste müssen parallel genutzt werden können.

Die genannten Vorteile der Digitaltechnik müssen für alle
c

Dienste nutzbar gemacht werden können.

Die vorhandenen Telefonleitungen sollen für alle Dienste ge-
meinsam weiter verwendet werden können.

Vorgegeben war, dass die vorhandenen Telefonleitungen

Abb. 107.1 LAN-Netzstrukturen. a Stern, b Ring, c Bus
mit dem Telefonverkehr nicht ausgelastet waren (Datenrate

107.2

Öffentliche Kommunikations- und Datensysteme

1301

Tab. 107.1 Eigenschaften von Netzstrukturen

Sternstruktur

Kennzeichen

Zentralrechner (Server) und Einzelrechner

XIII

Vorteile

Relativ hohe Übertragungsrate – keine Systemstörung, wenn Einzelrechner oder Leitung ausfällt – mit wenig Aufwand um
weitere Einzelrechner erweiterbar

Teil

Nachteile

Bei Ausfall des Zentralrechners fällt gesamte Anlage aus – der Zentralrechner muss bei großen Netzen sehr leistungsfähig
sein

Max. Übertragungsrate

2 . . . 100 Mbit=s, auch abhängig vom verwendeten Verbindungskabeltyp

Max. Zahl der Teilnehmer
100, hängt von der Leistungsfähigkeit des Zentralrechners ab

Verbindungskabel

Koaxialkabel; UTP; STP; Lichtwellenleitera

Steuerung

Zentralrechner

Ringstruktur

Kennzeichen

Einzelrechner in geschlossener Ringform miteinander verbunden

Vorteile

Kein Zentralrechner erforderlich – Zugriff auf andere Einzelrechner relativ einfach

Nachteile

Störung des Betriebes bei Ausfall eines Einzelrechners oder Kabels (lässt sich mit einigem Aufwand minimieren)

Max. Übertragungsrate
ca. 16 Mbit=s (theoretisch), 1 Mbit=s praktisch (kritisch: Übergang Ring auf Rechner)

Max. Zahl der Teilnehmer ca. 100

Verbindungskabel

Koaxialkabel; UTP; STPa

Steuerung

Token-Ring-Struktur

Busstruktur ohne File-Server

Kennzeichen

Anschluss der Einzelrechner an einen Systembus, kein Zentralrechner

Vorteile

Zusätzliche Einzelrechner leicht einfügbar

Nachteile

Zunehmende Zahl von Einzelrechnern verringert die Übertragungsrate – Bei Kabeldefekt fällt gesamte Anlage aus

Max. Übertragungsrate

10 Mbit/s (10 Base T); 100 Mbit/s (100 Base TX), 1000 Mbit/s (1000 BaseT)

Max. Zahl der Teilnehmer ca. 100

Verbindungskabel

UTP; STPa; Koaxialkabelb

Steuerung

Einzelrechner untereinander. Ethernet-Spezifikation

Busstruktur mit File-Server

Kennzeichen

Anschluss der Einzelrechner an einen Systembus, mit File-Server (Zentralrechner)

Vorteile

Zusätzliche Einzelrechner leicht einfügbar – File-Server stellt häufig benötigte Daten zur Verfügung, d. h. Anlage einfach
erweiterbar mit neuen Daten

Nachteile

Zunehmende Zahl von Einzelrechnern verringert die Übertragungsrate – Bei Kabel- und Server-Defekt fällt gesamte Anla-
ge aus

Max. Übertragungsrate

10 Mbit/s (10 Base T); 100 Mbit/s (100 Base TX), 1000 Mbit/s (1000 BaseT)

Max. Zahl der Teilnehmer ca. 100

Verbindungskabel

UTP; STPa; Koaxialkabelb

Steuerung

File-Server und Einzelrechner. Ethernet-Spezifikation
a UTP: Verdrillte Doppelader, nicht abgeschirmt, bis 100 Mbit=s (Kategorie 5; evtl. Kategorie 6, 7); STP: Verdrillte Doppelader, abgeschirmt, bis 100 Mbit=s

(Kategorie 5).

b 50-W-Kabel UG-274 (Thinnet-Cable), doppelt abgeschirmt, und RG 58 (Cheapernet Cable), einfach abgeschirmt

144 kBit=s bei ISDN). Die erreichbaren Datenraten hängen we-

ISDN durch das europaweit gültige Euro-ISDN (DSS1, D igital
sentlich von der Kabellänge zwischen Vermittlungsstelle und

S ubscriber S ignaling System 1) abgelöst worden. Wenn im Fol-

Kundenstandort ab und liegen in der Größenordnung 1 MBit=s
genden von ISDN gesprochen wird, ist Euro-ISDN gemeint.

bei etwa 8 bis 10 km bis zu 16 MBit=s (übliche Angabe

16.000 kBit=s) bei etwa 1 km.

Das ISDN ist ein digitales Netz. Es ermöglicht die Übertragung
von Informationen und Daten von unterschiedlichen Anwen-
dungen, z. B. Telefon (Festnetz), Internet, Telefax, VoIP (Voi-
ce over IP, Internettelefonie), Datex-Netz und Bild-Telefonie.

107.2.2

ISDN

Für die Verbindung vom Endteilnehmer zur Vermittlungsstel-
le (häufig Telekom) dient die vorhandene 2-Draht-Leitung. Da
unterschiedliche Dienste über die gleiche Leitung übertragen

Mit der Einführung des ISDN ( I ntegrated S ervices D igital
werden, müssen die beim Kunden angeschlossenen Geräte er-

N etwork) wurde dieses neue System geschaffen. Inzwischen
kennen können, ob ein eingehender Ruf für sie bestimmt ist,
ist das zunächst in der Bundesrepublik verwendete nationale
sie ihn also annehmen oder aber ablehnen sollen. Man hat dazu

1302

107 Kommunikations- und Datennetze

Teil

Tab. 107.2 ISDN-Anschlussarten, weitere Erläuterungen siehe Text

Basisanschluss

Primärmultiplex-Anschluss (PM As)

XIII

Mehrgeräte-Anschluss

Anlagen-Anschluss

Sonderform des Anlagen-Anschlusses

8 Endgeräte anschließbar

Zahl der Endgeräte gleich Zahl der Durchwahlnummern

Für mittlere bis große TK- oder DV-Anlagen

Telefonanlage (TK) anschließbar

Erfordert Telefonanlage (TK)

3 (max. 10) Rufnummern

Eine Rufnummer mit angehängter Durchwahlnummer

( M ultiple S ubscriber N umber, MSN)

2 B-Kanäle (Nutzkanäle)

2 B-Kanäle (Nutzkanäle)

30 B-Kanäle

1 D-Kanal (Steuerkanal)

1 D-Kanal (Steuerkanal)

1 D-Kanal
die Dienstekennung eingeführt, eine Zahl, die den Dienst kenn-

Begriff hier eigentlich keine Bedeutung, er wird aber häufig zu
zeichnet, u. a. Sprache, Fax Gruppe 2 oder 3, Fax Gruppe 4,

Vergleichszwecken herangezogen.

E-Mail oder Daten.

Insgesamt bietet ISDN folgende Dienste:

Teilnehmeranschlussleitung

Telefonie

Die T eilnehmer a nschluss l eitung (TAL) ist die Verbindungslei-

Telefax (Gruppe 4)

tung, die die Vermittlungsstelle mit dem Endkunden verbindet.

Datenübertragung (64 kBit=s pro B-Kanal)

Sie ist als 2adrige Kupferleitung ausgeführt und wird auch mit

Teletex

„Letzte Meile“ bezeichnet. Beim Endkunden wird sie mit dem

Bildübertragung

NTBA (s. u.) abgeschlossen. Sie hat die Schnittstellenbezeich-
nung Uk 0 ( k für Kupfer, 0 für Basisanschluss). Die Länge kann

Die folgende Gliederung orientiert sich an den Begriffen und
maximal etwa 8 km betragen, ohne dass Zwischenverstärker er-

Anwendungen in der Praxis.

forderlich sind. Für die auf der Leitung übertragenen Signale
wird der 4B3T-Code (auch mit MMS43 bezeichnet) verwen-

107.2.2.1

Telefon, Telefax, Internet ( < 64 kBit /s)

det. Das codierte Signal ist ternär, hat also 3 Zustände: C2 V,

2 V und 0. Es werden jeweils 4 Bits des Digitalsignals in 3

In diesem Kapitel werden diejenigen Dienste genannt, die im

Schritte des ternären Signals umgesetzt. Damit stehen 24 D

Frequenzbereich bis 144 kHz (theoretisch) bzw. 120 kHz (prak-

16 Digitalwerten 33 D 27 Ternärwerte gegenüber. Durch ge-
tisch) übertragen werden.

schickte Zuordnung lässt sich eine Datenreduktion auf maximal

Die von der Vermittlungsstelle kommende 2adrige Leitung

120 kBit=s und eine Gleichstromfreiheit der übertragenen Si-
wird beim Kunden mit dem NT (Netzabschluss, N etwork
gnalfolge erreichen. Letzteres ist erforderlich, weil im NTBA

T erminator) abgeschlossen (mit vorhandenem Internetanschluss

Transformatoren eingesetzt werden. Siehe dazu NTBA.

über DSL siehe weiter unten). Je nach Anforderung des Kun-
den gibt es mehrere Ausführungsformen des Telefonanschlusses

NTBA
nach Tab. 107.2.

Der NTBA wandelt die Uk 0-Schnittstelle um in einen 4adrigen

Ein ISDN-Gerät muss für den Mehrgeräte- oder Anlagen-

S 0-Bus. Damit benötigt der NTBA für seine aktiven elektroni-

Anschluss geeignet sein. Zwar wird für beide das gleiche
schen Komponenten eine eigene externe Stromversorgung, in

Protokoll verwendet, aber es sind evtl. unterschiedliche Funk-
der Regel aus dem 230-V-Netz. Er kann und muss allerdings
tionen zu erfüllen. Es gibt Geräte, die die Art des Anschlusses
auf diese externe Versorgung verzichten können für den Fall,
automatisch erkennen. Wird ein Basisanschluss verwendet, wird
dass das 230-V-Netz ausfällt und trotzdem noch der Telefon-
der zugeordnete Netzabschluss mit NTBA bezeichnet. Bei ei-
verkehr für z. B. einen Notruf funktionsfähig gehalten werden
nem Anlagenanschluss muss der Kunde eine Telefonanlage
muss. Er ist demnach so ausgelegt, dass er ein Telefon, das kei-

(TK T ele k ommunikationsanlage) installieren, weil der Provider
ne eigene externe Versorgung hat (Netzteil, Steckernetzteil) oder
beim Erkennen der Rufnummer die von den Anrufenden an-
eine Telefonanlage (nur Steuerung des Einganges, nicht der ge-
gehängte Durchwahlnummer zum Endkunden durchreicht. Die
samten Anlage) versorgen kann. Die Leistung dazu bekommt

Telefonanlage muss diese Nummern dann den vorgesehenen
er über die Spannung auf der Uk 0-Schnittstelle (etwa 40 V, ma-

Apparaten zuordnen. Da bei einem Basisanschluss zwei B-
ximal etwa 0,4 W) und einen eingebauten Spannungswandler.

Kanäle zur Verfügung stehen, können gleichzeitig zwei vonein-

Mit angeschlossenem 230-V-Netz am NTBA kann er 4 Telefone
ander unabhängige Aktionen durchgeführt werden, z. B. zwei

(Endgeräte), die über kein eigenes externes Netzteil (Stecker-

Telefonate, ein Telefonat und ein Faxversand oder ein Te-
netzteil) verfügen, mit Strom versorgen. Bei mehr als 4 Geräten
lefonat und eine Internetverbindung. Im Folgenden wird ein
am S 0-Bus müssen diese ein eigenes Netzteil haben. Für eine

Basisanschluss-Mehrgeräteanschluss mit NTBA angenommen.

evtl. angeschlossene Telefonanlage ist wichtig, dass sie bei Aus-
fall des 230-V-Netzes ein Telefon aus der Anlage herauslöst und
dieses einzeln und direkt an den S

POTS

0-Bus anschaltet. An diesen

S 0-Bus können maximal 12 parallel geschaltete Steckdosen an-

Mit POTS ( P lain O ld T elephone S ervice) wird der Telefon-
geschlossen werden. Daran sind maximal 8 gleichzeitig aktive

Dienst bezeichnet, der Sprache analog überträgt. Damit hat der

Endgeräte zu betreiben. Die Kabellänge kann zwischen 100 und

107.2

Öffentliche Kommunikations- und Datensysteme

1303

1000 m liegen, je nach Anschlussart und Qualität der Leitungs-
diese Zeit zu verringern, wählt man folgende Codierung: Haben
verlegung. Zu den verschiedenen Auslegungen des Busses gibt
z. B. 1728 aufeinanderfolgende Bildpunkte den Helligkeitswert
es Unterlagen der Netzbetreiber. Der NTBA nimmt auch die

„weiß“, was bei Schriftübertragung zwischen den einzelnen Zei-

XIII

Trennung der Signale für Hin- und Rückleitung (Sprechsignal
len auftritt, werden nur diese Zahl und der Wert „weiß“, beide
und Hörsignal) vor. Dazu ist ein Transformator mit Leitungs-
entsprechend kodiert, übertragen. Damit kann eine Seite im

Teil
nachbildung erforderlich, siehe Abb. 106.4.

Mittel in einer Minute gesendet werden. Die hier genannten

Zahlenwerte sind Beispiele, weil bei den Faxgeräten mehrere

Digitalisierung
unterschiedliche Abtastparameter möglich sind.

Jedes Endgerät muss die Signale in digital codierter Form nach
den Vorgaben des S 0-Busses zur Verfügung stellen. Damit benö-

Teletex, Telex
tigt jeder Telefonapparat (Fernsprechapparat) einen Analog-Di-
gital-Umsetzer. Es wird deshalb zwischen analogen und ISDN-

Mit diesem Dienst verbindet sich der Begriff Fernschreiber. Der

Telefonen unterschieden. Analoge Telefone sind nur dann noch

Teletex-Dienst ist eine Weiterentwicklung des Telex-Dienstes.

verwendbar, wenn ein zwischengeschalteter Terminaladapter

Im internationalen Verkehr ist der Telexdienst (noch) weit ver-
die notwendige Anpassung vornimmt. Das gilt auch für Mo-
breitet, sodass auch in der Bundesrepublik die Teletex-Geräte
dems und Faxgeräte, die man aber häufig von analog auf digital
telex-fähig sein sollten. Die wesentlichen Unterschiede beider
umschalten kann. Telefonanlagen haben den Terminaladapter in

Dienste sind:

der Regel eingebaut. Für den beim Telefonieren übertragenen

Frequenzbereich ist die Sprachverständlichkeit entscheidend

Telex-Format

Teletex-Format

(300 Hz bis 3,4 kHz, bewährte Werte aus der Analog-Übertra-

5 Bit pro Zeichen

8 Bit pro Zeichen
gungstechnik) und nicht die originalgetreue Übertragung der

Übertragung mit 50 bit=s

Übertragung mit 2400 bit=s

Sprache (etwa 50 Hz bis 10 kHz). Zur Anwendung kommt der

Internationales Telegraphen-
ca. 310 Zeichen

Code G.711, der die höchste Frequenz mit 3,5 kHz vorgibt.

alphabet Nr. 2, ca. 64 Zeichen

Dieser Wert ist in der Vermittlungsstelle fest eingestellt, des-
halb ist die Anwendung der HD-Telefonie mit der höchsten

Frequenz 7 kHz im Festnetz nicht ohne weiteres möglich. Die

Im internationalen Verkehr geschieht die Übertragung im Telex-

Abtastfrequenz beträgt 8 kHz. Codiert wird zunächst mit 12 Bit,

Format. Dieses kann national in das Teletex-Signal umgewan-
anschließend wird umcodiert, indem für die großen Lautstär-
delt werden. Als Endgeräte sind neben dem Fernschreiber auch
ken (große Signalamplituden) weniger Bit verwendet werden

Schreibmaschinen und Rechner mit Drucker- und Bildschirm-
als für leise Töne. Das Ohr empfindet das eher als Vorteil denn
ausgabe möglich. Im nationalen Verkehr hat dieser Dienst nur
als Nachteil. Die Umcodierung geschieht über eine quasiloga-
noch eine untergeordnete Bedeutung.

rithmische Kennlinie (a-Law). Daraus folgt ein Digitalsignal
mit 8-Bit-Codierung. Für jeden der zwei B-Kanäle ergeben sich
daraus 64 kBit=s, für den D-Kanal werden 16 kBit=s benötigt. Leistungsmerkmale

Insgesamt ergibt das eine Bitrate von 144 kBit=s am S 0-Bus.

Der Einsatz der Digitaltechnik ermöglicht die Bereitstellung
nützlicher Funktionen, mit Leistungsmerkmalen bezeichnet. Sie

Telefax (Fax)

sind teilweise providerabhängig und wechseln zeitweise. Des-
halb sind hier nur einige angeführt, bei Bedarf ist der aktuelle

Es können Faxgeräte der Gruppen 3 (digitale Daten im analogen

Stand zu erfragen.

Festnetz, max. 14,4 kBit=s) und 4 (digitale Daten im ISDN-

Netz, max. 64 kBit=s) angeschlossen werden. Häufig werden

Halten einer Verbindung: Während eines Telefongespräches

Faxgeräte in Multifunktionsgeräte eingebaut, in denen die Funk-
ein zweites Gespräch annehmen und den ersten Anrufer in
tionen Faxen, Drucken, Scannen und Fotokopieren vereint sind.

eine Warteschleife legen, ohne die Verbindung zu unterbre-

Die Verbindung zum ISDN-Telefonnetz geschieht entweder
chen.

über einen Terminaladapter oder häufig über ein Kombigerät,

Umstecken am Bus: Ein Telefon kann aus einer Telefonbuch-
das die Funktionen Modem und Router für die Einwahl ins Inter-
se ausgesteckt werden (Raum 1) und innerhalb von 3 min an
net über DSL gestattet, sowie eine Kleintelefonanlage mit dem
einem anderen Ort in eine andere Telefonbuchse (Raum 2)

Übergang analog $ S 0-Bus enthält.

wieder eingesteckt werden, ohne dass das Gespräch unter-

Ein Fax wird erstellt, indem eine Vorlagenseite punktweise über
brochen wird.

Fotodiodenzeilen abgetastet wird und die jeweiligen Hellig-

Übermittlung der Rufnummer.

keitswerte übertragen werden. Das hat den Vorteil, dass auch

Anrufweiterschaltung: Der Anrufer kann vom Angerufenen
beliebige Grafiken übertragen werden können. Sender und Emp-
mit jedem Telefonanschluss weltweit weiterverbunden wer-
fänger sind nicht mehr an einen gemeinsamen Zeichensatz
den, auch mit Mobiltelefonen des D- und E-Netzes.

gebunden. Bei „feiner“ Auflösung ergeben sich 7,7 Zeilen pro

Anklopfen: Während eines Gespräches wird durch Töne an-
mm („mittlere“ Auflösung 3,85 Zeilen pro mm, Grad der Auflö-
gezeigt, dass ein weiterer Anruf ansteht.

sung am Fax-Gerät einstellbar) und pro Zeile 1728 Punkte. Das

Dreierkonferenz: Drei Personen mit unterschiedlichen Ruf-
ergibt ca. 3,9 Millionen Bildpunkte und erfordert bei einer Über-
nummern (Aufenthaltsorten) können gemeinsam miteinan-
tragungsrate von 10.000 Bit=s etwa 400 s Übertragungszeit. Um
der sprechen und sich hören.

1304

107 Kommunikations- und Datennetze

Teil

Internetzugang
bei maximal 8 bis 10 km, 6 MBit=s bei maximal 4 bis 6 km und

16 MBit=s bei maximal 1 bis 2 km. Es hat sich eingebürgert,

XIII

Die Verbindung vom Rechner zum Internet erfolgt über ein
von 1000, 2000, 6000 bzw. 16.000 kBit=s zu sprechen (auch

ISDN-Modem oder eine ISDN-Schnittstellenkarte im Rechner

„1000er Anschluss„, “2000er Anschluss„, “6000er Anschluss„

(CAPI-Schnittstelle). Beide nehmen die entsprechende Umco-
bzw. “16.000er Anschluss„). Höhere Werte, 25 bis 50 MBit=s,
dierung mit dem Protokoll des S 0-Busses vor. Die Daten werden
sind im Aufbau.

über einen der B-Kanäle mit maximal 64 kBit=s übertragen.

Dabei besteht die Möglichkeit, ein Telefonat und die Inter-

Die Trennung der Frequenzbereiche von Telefon und ADSL
netverbindung gleichzeitig auszuführen. Die Datenrate ist auf
wird erreicht durch eine passive Filterkombination, den sog.

maximal 64 kBit=s begrenzt. Durch geeignete Software können Splitter (oder auch BBAE), mit einem Tiefpass von 0 bis
beide B-Kanäle zusammengefasst werden, sodass sich eine Da-

120 kHz und einem Hochpass ab 138 kHz, so festgelegt in „An-
tenrate von 128 kBit=s ergibt.

nex B“. („Annex A“ nur im Ausland, Grenzfrequenz für beide

Filter 25 kHz, für analoge Telefonübertragung). Das auf der

Teilnehmeranschlussleitung beim Endkunden ankommende Si-

107.2.2.2

Internet über DSL ( > 64 kBit /s), VoIP, IPTV
gnal wird zunächst auf den Eingang des Splitters gegeben. Er

Der auf den vorhandenen 2adrigen Leitungen noch verfügba-
hat 2 Ausgänge. An den einen wird der NTBA angeschlossen, an
re Frequenzbereich (siehe Einführung) wird für DSL ( D igital
den anderen z. B. ein Router, der wiederum die Verbindung zum

S ubscriber L ine) genutzt. Unter DSL werden unterschiedliche

Internet herstellt. Der zur Verfügung gestellte Frequenzbereich

Trägersysteme verstanden, die gemäß der Umsetzung geeigne-
ab etwa 138 kHz kann vielfach genutzt werden, hier werden 3
ter Protokollvorgaben moduliert werden. Für die Organisation
häufige Anwendungen vorgestellt.

der Übertragung wird das Protokoll IP ( I nternet P rotocol) in der

Version 4 verwendet, dass durch die Version 6 abgelöst wird,

Begriffe
weil in absehbarer Zeit nicht mehr genügend Geräteadressen zur

Verfügung stehen (siehe auch Teil VII „Datentechnik“, Kap. 55

Modem: Ein Modem wandelt analoge Signale (Sprache vom

„Datenkommunikation“). Unter Berücksichtigung der Anwen-

Telefon) in digitale Signale, die dann zusammen mit Steu-
derpraxis ist das asymmetrische Verfahren ADSL eingerichtet
ersignalen moduliert und übertragen werden. Der Empfänger
worden, bei dem für den Download (Herunterladen) wesentlich
demoduliert die empfangenen Signale und wandelt sie in ana-
mehr Frequenzbereich zur Verfügung gestellt wird als für den
loge zurück, daher der Name MOdulation-DEModulation. Für

Upload (Heraufladen). Dazu ein Beispiel für die Verwendung
den Internetverkehr werden höhere Übertragungsraten zur Ver-
des Frequenzbereiches 0 bis 1,1 MHz:

fügung gestellt, bis zu 56.000 Bit=s.

Router: Er dient dazu, die Verbindung zwischen 2 unterschiedli-

Bis 120 kHz verwendet für ISDN-Telefonie,
chen Netzwerken mit unterschiedlichen Protokollen und Archi-

138 bis 276 kHz verwendet für Upload,
tekturen herzustellen. In der Praxis wird er häufig eingesetzt, um

276 kHz bis 1,1 MHz verwendet für Download.

ein lokales Netzwerk, ein LAN (Local Area Network) mit dem

Als obere Frequenzgrenze werden von den Providern unter-

Internet (WAN, Wide Area Network) zu verbinden.

schiedliche Werte abgeboten, abhängig von der Leitungslänge

LAN (L ocal A rea N etwork): Ein Netzwerk, dass in einem in der
zwischen dem Endkunden und der Vermittlungsstelle und dem

Regel auf die Grundstücksgrenzen beschränkten Gebiet elek-

Übertragungsverfahren. Begonnen wurde mit dem Verfahren
tronische Geräte miteinander zur gemeinsamen Nutzung (z. B.

ADSL (8 MBit=s Download, 640 kBit=s Upload), das zunächst Drucker, Massenspeicher, Scanner, . . . ), zum Informationsaus-
von ADSL2 abgelöst wurde (12 MBit=s Download, 1,2 MBit=s
tausch (Rechner, . . . ) oder zur Wartung und Programmierung

Upload) und dann durch ADSL2+ ersetzt worden ist (25 MBit=s

(Messgeräte, Anlagenprogrammierung, . . . ) verbindet. Jeder

Download, 3,5 MBit=s Upload). Moduliert wird mit dem DMT-
kann mit jedem verbunden werden und kommunizieren, wobei

Verfahren ( D iscrete M ulti t on). Bei ADSL z. B. wird der Fre-

Zugriffsrechte vergeben werden können. Neben Firmen nutzen
quenzbereich bis 1,1 MHz mit 256 Trägern mit dem Abstand
auch zunehmend Privathaushalte diese Netzwerke, sofern mehr

4,3125 KHz belegt. Die Träger 32 bis 64 (ca. 138 bis 276 kHz)

als ein Rechner genutzt wird. Rechner und Geräte haben in der
werden dem Uplink zugeordnet, die Träger 65 bis 256 dem

Regel bereits eine LAN-Schnittstelle eingebaut. Preislich ist der

Downlink (ca. 276 bis 1104 kHz). Mit zunehmender Frequenz

Aufbau dieser Netzwerke erschwinglich.

werden die Übertragungseigenschaften der Leitung schlechter.

Es ist vorgesehen, dass man den einzelnen Trägern wahlweise

WLAN: Siehe Abschn. 107.3 „Öffentliche Funknetze“.

zwischen 2 und 15 Bits aufmodulieren kann. Damit erhält man

WAN (W ide A rea N etwork): Weitbereichsnetzwerk. Ein Bei-
eine angepasste Übertragung dadurch, dass den Trägern mit stei-
spiel für ein WAN ist das Internet.

gender Frequenz eine abnehmende Bit-Zahl aufmoduliert wird.

Ziel ist VDSL1 mit etwa 50 MBit=s für den Download und etwa

Switch: Er ist der „Sternpunkt“, mit dem die einzelnen Rechner

2,5 MBit=s für den Upload, VDSL2 soll dann etwa 100 MBit=s
und Geräte zum LAN zusammengeschaltet werden. Er verbin-
bereitstellen. Hier wird überlegt, ob unterschiedliche Datenraten
det gemäß Anforderung die in Frage kommenden Rechner und
für Up- und Downlink noch sinnvoll sind. Ein Problem dabei ist

Geräte miteinander. Es sind mehrere Verbindungen gleichzei-
die geringe Reichweite von unter einem Kilometer. Es haben
tig möglich. Die früher eingesetzten Hubs ermöglichten nur
sich einige Übertragungsraten mit den dazu maximal erreich-
eine Verbindung gleichzeitig. Alle Geräte, die zum LAN zu-
baren Entfernungen als Standardwerte herausgebildet: 1 MBit=s
sammengeschaltet werden sollen, werden am Switch in eine

107.3

Öffentliche Funknetze

1305
der vorhandenen Anschlussbuchsen eingesteckt, ein beliebiger

Die Telefonapparate müssen VoIP-geeignet sein, denn sie haben

Anschluss wird bei Bedarf mit dem Router verbunden. Damit
bei der Sprachübertragung und der Signalisierung die entspre-
können alle Rechner gleichzeitig und jeder völlig selbstständig
chenden Protokolle umzusetzen. Auf dem Markt werden aber

XIII
mit dem Internet verbunden werden. Die Zuordnung der Pakete

Geräte angeboten, die die Signale von gewöhnlichen Analog-
für die einzelnen LAN-Teilnehmer übernimmt der Router durch
telefonen entsprechend umsetzen. Für VoIP werden keine geo-

Teil
entsprechende Adressierung.

grafisch festen Anschlüsse mit zugeordneten Telefonnummern
vergeben, sondern die Identifizierung erfolgt (noch vorwiegend)

über die IP-Adresse, die beim Provider hinterlegt ist. Anhand

Internetzugang
der Telefonnummer wird entschieden, ob es sich um ein Ge-

Für den Internetzugang muss zunächst eine persönliche ein-
spräch beim gleichen Provider handelt (meist gebührenfrei) oder
deutige Zugangskennung (Ziffern, Zeichen, Sonderzeichen) mit
zu einem anderen Provider oder ins Festnetz oder ins Funknetz

Passwort für den sicheren Zugang vom Provider bereitgestellt
führt. (die letzten 3 Möglichkeiten sind u. U. gebührenpflichtig).

werden. Im Rechner wird ein Internetzugangsprogramm gestar-

Eine Voraussetzung für einen sinnvollen Einsatz ist eine dau-
tet, dass die Signale aufbereitet und dem Router zur Codie-
ernde Verbindung ins Internet. Der Vorteil ist, dass jeder, der
rung übergibt. Diesen Router hat der Kunde zwischen Rechner
eine solche Verbindung hat, weltweit jederzeit über Telefon er-
und Splitter bereitzustellen, entweder als Schnittstellenkarte im
reicht werden kann, allerdings nicht in jedem Fall gebührenfrei.

Rechner (weniger gebräuchlich) oder als getrenntes Gerät. Je-

Probleme treten auf durch die paketorientierte Übermittlung,
der Rechner, jeder Router, der sich im Internet anmeldet, hat
bei der sowohl prinzipbedingte konstante Laufzeiten (Analog-
eine eindeutige einmalige Adresse, die IP-Adresse, unter der

Digital-Analog-Umsetzung, Protokollumsetzungen, Wegsuche)

er zweifelsfrei zu identifizieren ist. So können ihm auch die
als auch schwankende Laufzeiten, sog. Jitter, durch sich ändern-
angeforderten Informationen, versehen mit seiner Adresse, zu-
de Übertragungswege auftreten. Laufzeiten oberhalb von etwa
gesandt werden. Das Internet hat sich zu einem weltweiten

300 ms werden als unangenehm empfunden. Für eine VoIP-

Verbund entwickelt, über den u. a. wesentliche Teile des In-

Verbindung werden etwa 100 kBit=s benötigt.

formationsaustausches und des geschäftlichen Briefverkehrs in

Form von E-Mails (elektronischer Post, bei Bedarf mit ein-

Internetfernsehen IPTV
gescannten Vorlagen als Anhang), die Informationsbeschaffung

Beim Digitalfernsehen ist die Übertragung von etwa 4 MBit=s

(Produktbeschreibungen, Datenblätter, Nachschlagewerke, . . . )

für ein einwandfreies Bild einschließlich dazugehörendem Ton
und ein Teil des Zahlungsverkehrs (Online-Banking) stattfinden.

ausreichend (siehe Kap. 99 „Ton- und Bildübertragung“, Ab-
schn. 99.2 „Digitale Farbfernsehtechnik“). Bei einer Internet-

Triple Play
verbindung ab 6 MBit=s kann deshalb ein Fernsehprogramm
über das Internet übertragen werden (Television over IP), wobei

Die oben angeführten Datenraten von bis zu 16 bzw. 25 MBit=s
in der Regel noch ausreichend Bandbreite für den Internetver-
benötigt der normale Haushalt nicht für den Internetverkehr,
kehr zur Verfügung steht. Der Fernsehzuschauer wählt über In-
weil die Internetseiten-Betreiber die dazu erforderlichen Server-
ternet aus einer theoretisch riesigen, praktisch je nach Anbieter
kapazitäten nicht bereitstellen (können). Die Idee ist vielmehr,
auf 100 . . . 300 begrenzten Anzahl von Fernsehprogrammen ei-
den Kunden über das Internet hinaus weitere Anwendungen
nes aus, dass dann über Internet einem Receiver übergeben wird,
anzubieten, und zwar über eine Leitung in gebündelter Form
der das demodulierte Bild- und Tonsignal über einen SCART-
die folgenden drei Dienste: Telefon in Form von VoIP, Internet

Anschluss in den Fernseher einspeist. Zusätzlich können, je
und Fernsehen. Es bleibt festzuhalten, dass die Verbindung vom
nach Anbieter, weitere Leistungen kostenlos oder gebühren-

Kunden zur Vermittlungsstelle selbst dann, wenn nur das Inter-
pflichtig zur Verfügung gestellt werden (z. B. Spezialsendungen,
net genutzt wird, bereits eine „Standleitung“ ist und sich damit

Wiederholungen, Filme). Auch hier ist eine ununterbrochen be-
gut für Internettelefonie (schnelle Einwahl, stete Bereitschaft
stehende Leitung zur Vermittlungsstelle unbedingt erforderlich.

sowohl für den Anrufer als auch für den Angerufenen) und Fern-

Bei Leitungen mit 16 MBit=s oder höher ist die Übertragung
sehprogrammübertragung (stete Bereitschaft, Übertragung ohne
mehrerer Programme gleichzeitig möglich, sofern der Provider

Unterbrechungen) eignet. Voraussetzung ist, dass der Kunde ei-
diese Möglichkeit vorsieht.

ne sog. Flatrate mit dem Provider vereinbart hat, er also eine
monatliche Pauschale zahlt, die den permanenten Verbleib im

Internet beinhaltet und unabhängig von der übertragenen Infor-

107.3

Öffentliche Funknetze
mationsmenge ist.

Bei den Funknetzen wird die Kommunikation bzw. der Da-

VoIP
tenaustausch beim Endkunden über Funkwellen, also drahtlos,

VoIP (Voice over IP, Internettelefonie) ermöglicht die Sprach-
ausgeführt.

übertragung (Telefonieren) über das Internet. Es wird das pa-
ketorientierte IP-Protokoll verwendet. Ein weiteres Protokoll ist

H.323. Es ist übergreifend für die Videokommunikation über

107.3.1

Mobilfunk mit GSM-Technik

TCP/IP geschaffen. Für die Sprachübertragung sind Einzelhei-
ten in H.245 und H.450 geregelt. Als Signalisierungsprotokoll

Der aktuell angebotene Mobilfunk läuft im allgemeinen Sprach-
wird SIP verwendet.

gebrauch auch unter dem Begriff Handy. Er gehört technisch

1306

107 Kommunikations- und Datennetze

Teil

Tab. 107.3 Frequenzbereiche des D- und E-Netzes

Tab. 107.4 Kennwerte UMTS

System

Frequenz

Verwendung im

Name

Modulationsverfahren

Frequenzbereich

XIII

GSM-900 Global System for

890 . . . 915 MHz

D-Netz

FDD

Frequency Division Multiplex

1,920 . . . 1,980 GHz

Mobile Communications

(Uplink)

(Frequenzmultiplexverfahren)

(Uplink)

935 . . . 960 MHz

2,110 . . . 2,170 GHz

(Downlink)

(Downlink)

DCS-1800 Digital

1710 . . . 1785 MHz

E-Netz

TDD

Time Division Multiplex (Zeitmul-

1,900 . . . 1,920 GHz

Communication System

(Uplink)

tiplexverfahren

2,010 . . . 2,025 GHz

1805 . . . 1880 MHz

(Downlink)

Verwendung des IP-Protokolles; paketvermittelte Übertragung

Handover: Dies wird angewendet, wenn ein Empfänger (Han-
zur Generation 2G und verwendet für die Übertragung die
dy) den Bereich einer Basisstation verlässt und in den Bereich

GSM-Technik (Global System for Mobile Communications)

einer benachbarten Basisstation wechselt (Wanderung, Auto-
mit den Eigenschaften: digital, leitungsvermittelt, 9,6 kBit=s, fahrt). Das Gerät des Empfängers erkennt die abnehmende

Übertragung in TDMA (Time Division Multiple Access). In

Empfangsfeldstärke und sucht laufend nach Basisstationen mit
der Bundesrepublik werden das D- und das E-Netz verwen-
größeren Feldstärken. Bei erfolgreicher Suche schaltet der Emp-
det. Die Frequenzbereiche zeigt Tab. 107.3. Mit Uplink ist die
fänger auf die Basisstation mit der größeren oder, sofern vorhan-

Informationsflussrichtung von A nach B gekennzeichnet, mit
den, der größten Feldstärke um. Bei der Sprachübertragung ist

Downlink die Gegenrichtung. Da die einzelnen Provider den
dieses Verfahren problemlos anwendbar, weil kurzzeitige Aus-

Mobilfunk sowohl im D- als auch im E-Netz betreiben, wurden
setzer oder Fehler, die bei dem Übergang nicht zu vermeiden
die Dualband-Handys entwickelt, die für beide Netze geeignet
sind, meist in Kauf genommen werden können. Problematisch
sind.

wird es bei der Datenübertragung, wenn diese u. U. mehr oder

Das Handy des Teilnehmers A nimmt Kontakt mit einem nahe-
weniger kurzfristig unterbrochen wird. Es gibt Provider, die
gelegenen Funkturm auf, der die Verbindung zum Teilnehmer
den Übergang unter bestimmten Bedingungen unterbrechungs-

B herstellt und damit den Informationsaustausch einleitet. Teil-
frei vornehmen können.

nehmer B kann ein Handy-Teilnehmer sein oder er kann einen

SIM-Karte: Diese Karte muss in den Sockel des Handys einge-

VoIP- oder Festnetz-Anschluss besitzen. Es bleibt festzuhalten,
steckt werden. Sie enthält einen Chip, auf dem eine weltweit
dass das Mobilfunknetz mit seiner vergleichsweise niedrigen
einmalige Kennung, eine PIN (Personal Identity Number) und

Datenrate (9,6 kBit=s. s. o.) nur beschränkt für den Datenaus- vom Handy-Besitzer eingespeicherte Daten (z. B. Notizbuch,
tausch geeignet ist.

Telefonbuch) eingetragen sind.

Hier folgen häufig verwendete Begriffserklärungen.

SMS (S hort M essage S ervice): Eine SMS ist eine Kurznach-
richt, die vorwiegend von Handy zu Handy übertragen wird.

Basisstation: Die Basisstation besteht aus einer Sender-

Sie kann aus maximal 160 Zeichen (Buchstaben, Zahlen, Son-

Empfänger-Kombination, die die Verbindung zum Handy draht-
derzeichen) oder maximal 140 Byte bestehen. Aber auch dazu
los herstellt. Die Basisstation erhält und versendet ihr Signal in
geeignete Festnetz-Telefone können am SMS-Austausch teil-
der Regel über Kabel, es sind aber auch Richtfunkstrecken mög-
nehmen.

lich.

Funkzelle: Die Funkzelle gibt geografisch das Gebiet an, in
dem der Empfänger (Handy) die Signale der Basisstation aus-

107.3.2

Mobilfunk mit UMTS-Technik
reichend gut empfangen kann. Ihre Größe hängt ab von der Sen-
deleistung und den vorgegebenen Hindernissen (Berge, Bäume,

Die Übertragungsrate der GSM-Technik mit 9,6 kBit=s reicht
hohe Gebäude). Die Größe liegt zwischen einigen m2 und ma-
für eine schnelle Datenübertragung in der Regel nicht aus.

ximal etwa 4 km2. Eine Funkzelle kann bis maximal etwa 900

Deshalb wurde mit UMTS eine neue Generation des Funknet-

Gespräche gleichzeitig durchführen. Soll ein Empfang über den
zes geschaffen, das eine Übertragungsrate von theoretisch etwa

Bereich einer Funkzelle hinaus ohne Unterbrechung möglich

2 MBit=s vorsieht. In der Praxis wird aber mit einem wesent-
sein, müssen sich die Funkzellen an den Grenzen überlappen.

lich kleineren Wert gerechnet, der bei etwa (200 . . . 400) kBit=s

Netzabdeckung: Sie gibt an, wie viel Prozent der Bevölkerung
liegt. Da dieses Netz im Aufbau ist, lassen sich gesicherte Werte
den entsprechenden Funkdienst nutzen können.

dafür noch nicht angeben. Einige Kennwerte sind in Tab. 107.4
aufgelistet. Für den Vollduplexverkehr werden getrennte Kanäle

Roaming: Beim Roaming ist es möglich, das eigene Land (z. B.

für beide Richtungen verwendet, hier mit Uplink und Downlink

Bundesrepublik) zu verlassen und trotzdem problemlos mit ei-
gekennzeichnet.

nem Teilnehmer im eigenen Land weiter zu kommunizieren

Mit UMTS sollen zunächst folgende Kommunikationsdienste

(telefonieren). Das setzt voraus, dass das fremde Land die
zur Verfügung gestellt werden, weitere können folgen:

gleichen Systeme einsetzt wie das eigene Land und dass ein Ab-
kommen zwischen beiden Ländern über die Handhabung (z. B.

Internet

Gebührenabrechnung) besteht.

Bild- und Videotelefonie

107.4

Private Funknetze

1307

E-Mail-Verkehr

Geringer Stromverbrauch

Datenübertragung

Telefone unterschiedlicher Hersteller verwendbar

Rundfunk- und Fernsehempfang

Minimale Verzögerung

XIII

Navigation

Verschlüsselung der übertragenen Informationen

UMTS bietet die Möglichkeit, mehrere unterschiedliche Diens-

Ein Kriterium bei den Schnurlostelefonen ist die strahlungsre-

Teil
te gleichzeitig zu nutzen, also z. B. zu telefonieren und parallel
duzierte bzw. strahlungsarme Auslegung. Die Sendeleistung ist
dazu Daten zu versenden.

im Laufe der Jahre stetig reduziert worden. Es gibt Anlagen, bei
denen sich die Sendeleistung automatisch nach der Entfernung

Zunächst werden GSM und UMTS parallel betrieben, um den
zur Basisstation einstellt. Außerdem wird die Sendeleistung auf

Übergang kontinuierlich zu gestalten (eingeschränkte Kompa-
ein Minimum reduziert, wenn das Telefon nicht benutzt wird.

tibilität) und durch den Aufbau bedingte Überlastungen der

UMTS-Zellen durch GSM abfangen zu können. Langfristig aber
soll GSM abgelöst werden.

107.4.2

Bluetooth

107.4

Private Funknetze

Mit Bluetooth wird eine Funkverbindung über kurze Entfernun-
gen bezeichnet. Die Reichweite hängt ab von der Sendeleistung

Diese Funknetze werden so eingesetzt, dass sie die Grund-
und wird in 3 Klassen eingeteilt:

stücksgrenzen in der Regel nicht überschreiten.

Klasse Maximale Senderleistung

Reichweite bei optischer Sicht etwa

1

100 mW

100 m

2

2,5 mW

20 m

107.4.1

Schnurlostelefone

3

1,0 mW

10 m

Die Schnurlostelefone stellen eine Verbindung über Funk zu

Diese Funkverbindung wird häufig im häuslichen Bereich ein-
einer Basisstation her. Die Basisstation kann mehrere Tele-
gesetzt, wobei Hindernisse (Mauern, Einrichtungsgegenstände)

fone miteinander verbinden, sie erfüllt dann die Funktion
die Reichweite verringern. Damit können Kabelverlegungen
einer Telefonanlage. Die Basisstation kann aber auch zusätz-
vereinfacht werden oder ganz entfallen. Hier einige Beispiele
lich mit einem Festnetzanschluss (analog oder ISDN) oder
für den Einsatz:

dem VoIP-Anschluss, meist über Kabel, verbunden werden.

Die Reichweite beträgt im Freien bis zu 300 m, in Gebäu-

Übertragung von gespeicherten Bildern der Digitalkamera
den ist sie wesentlich geringer und liegt bei 10 bis 30 m.

auf die Festplatte eines Rechners

Es können mehrere Basisstationen betrieben werden, die sich

Verbindung von kabelloser Maus und Tastatur mit dem Rech-
in überlappenden Funkzellen organisieren lassen, entsprechend
ner
dem Zellenaufbau bei Handys. Es ist Handover und da-

Verbindung eines CD- oder DVD-Laufwerkes mit dem Rech-
mit die Abdeckung größerer Areale möglich. Die technische
ner

Grundlage ist der DECT-Standard (Digital Enhanced Cordless

Übertragung der Tonsignale vom Mischpult/Equalizer/Re-

Telecommunications). Der Hochfrequenz-Übertragungsbereich
ceiver zur Leistungs-Endstufe
liegt bei 1880 bis 1900 MHz. Er wird in 12 Bereiche einge-

Übertragung von auf dem Handy gespeicherten Daten auf
teilt, je ein Bereich an der oberen und unteren Frequenzgrenze
den Rechner
wird als Schutzband ausgespart. Damit bleiben 10 Bereiche

Gesendet wird auf einer Frequenz zwischen 2,40 und 2,48 GHz.

mit je einem Träger. Als Modulationsverfahren für diese Trä-

Das ist das ISM-Band (Industrial, Scientific, Medical)), das
ger wird GFSK (Gaussian Frequency Shift Keying) eingesetzt.

von vielen Anwendern benutzt wird, u. a. auch von Mikro-

Jeder Träger hat 24 Zeitfenster pro Block (Rahmen), je 12 für
wellengeräten und vom WLAN (siehe 4.3 unten). Um eine
beide Richtungen. Das Nutzsignal wird mit ADPCM (Adaptive
ausreichende Störsicherheit zu bekommen, springt die Frequenz

Differential Pulse Code Modulation) versehen und aufmodu-

1600mal pro Sekunde. Es können Daten mit einer Rate von
liert. Damit ergibt sich eine Rate von 24 kBit=s pro Kanal.

etwa 720 kBit=s (Download) und etwa 55 kBit=s (Upload) über-

Für die Datenübertragung lassen sich 23 Kanäle softwaremäßig
tragen werden bzw. etwa 430 kBit=s für beide Richtungen bei
bündeln (ein Kanal muss für die entgegengesetzte Richtung be-
symmetrischem Betrieb. Durch die Festlegung von Profilen las-
reitstehen), und es stehen 552 kBit=s zur Verfügung. Die in die sen sich die Verbindungen unabhängig von den Herstellern der

Schnurlostelefone eingebauten technischen Möglichkeiten sind

Geräte betreiben. So gibt z. B. das Profil BIP vor, dass es sich
denen von Festnetztelefonen und Handys gleichwertig. Hier sei-
um eine Bildübertragung handelt. Besondere Bedeutung kommt
en einige genannt:

dem Profil HDP zu, das die Übertragung medizinischer Daten

Gebührenfreie interne Gespräche
festlegt. Bluetooth ist für die Medizintechnik einsetzbar. Die

Gleichzeitiger Betrieb mehrerer Mobiltelefone
übertragenen Daten können mit einem 128-Bit-Wort verschlüs-

Gute Tonqualität
selt werden. Der Stromverbrauch ist sehr gering, was für den

Eigenschaften wie leistungsfähige Festnetztelefone

Einsatz in Kameras und Handys von Bedeutung ist.

1308

107 Kommunikations- und Datennetze

Teil

107.4.3

WLAN
gemeinsam genutzten Bereich betrieben werden, und zwar auf
den Kanälen 1, 7 und 13.

XIII

Das WLAN (Wireless Local Area Network) ist ein drahtloses

Die zulässige effektive Strahlungsleistung (EIRP) beträgt

LAN (siehe Abschn. 107.2.2.2). Ihm liegen die Standards IEEE

100 mW bei 2,4 GHz bzw. 200 bis 1000 mW (frequenz- und ver-

802.11a, IEEE 802.11b, IEEE 802.11g und IEEE 802.11n zu-
fahrensabhängig) bei 5,4 GHz. Damit lassen sich Reichweiten
grunde, die für verschiedene Frequenzbänder vorgesehen sind.

von 10 bis 100 m erreichen.

In der Praxis lassen sich die folgenden Werte erreichen:

Die Übertragung im 5-GHz-Band ist weniger gestört als im 2,4-

GHz-Band. Viele Geräte unterstützen alle 4 Standards und su-

Standard

Frequenzband

Brutto-Übertra-

Netto-Übertragungsrate
chen den jeweils optimalen Übertragungsstandard aus. Der Stan-

IEEE
gungsrate max.

(für Nutzdaten) max.

dard IEEE 802-11n kann nur eingesetzt werden, wenn das Gerät

802-11a

5,15–5,725 GHz 54 MBit=s

25 MBit=s
das Verschlüsselungsverfahren WPA2 (verwendet AES, Advan-

802-11b

2,4–2,4835 GHz 11 MBit=s

5 MBit=s
ced Encryption Standard) unterstützt und dieses auch vom An-

802-11g

2,4–2,4835 GHz 54 MBit=s

25 MBit=s
wender eingestellt ist. Das Verschlüsselungsverfahren WEP ist

802-11n

2,4–2,4835 GHz 300 MBit=s

100 MBit=s
veraltet und unsicher, WPA ist weniger sicher als WPA2.

5,15–5,725 GHz

Das an das Netzwerk anzuschließende Gerät erhält einen

Sender-Empfänger, häufig in Form eines USB-Sticks, der in

Im 2,4-GHz-Band stehen 13 Kanäle im Frequenzbereich von
einen USB-Port eingesteckt wird. Er nimmt über eine Funkver-

2,412 GHz bis 2,472 GHz zur Verfügung. Da eine WLAN-
bindung Kontakt auf mit einem speziellen Sender-Empfänger,

Verbindung einen Frequenzbereich von 20 MHz benötigt, kön-
dem sog. Access-Point, der wiederum direkt mit dem Netzwerk
nen überlappungsfrei nur 3 WLAN-Verbindungen in einem
verbunden ist.

Optimierte Nachrichten- und

XIII

108

Datenübertragung

Teil

Wilfried Plaßmann

108.1 Codierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1310

108.2 Optimalfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316

108.3 Anwendung der Korrelation bei gestörten Signalen . . . . . . . . . 1317

108.4 Verschlüsselung von Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318

108.5 Fensterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1321

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1322

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1309

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_108

1310

108 Optimierte Nachrichten- und Datenübertragung

Teil

Bei der Nachrichten- und Datenübertragung gibt es drei wesent-

Mittlere Codewortlänge
liche Vorgaben:

XIII
k

X

1. Die Wirtschaftlichkeit des Übertragungskanals;
l D

m
li p. xi/ in bit

(108.1)

2. die begrenzte Bandbreite der zur Verfügung stehenden Über-
i D1
tragungskanäle und
l

3. sehr stark gestörte Übertragungskanäle, bei denen ein Aus-
i Codewortlänge (Anzahl der Binärstellen) des Zeichens bzw.

der Zeichenfolge x
weichen auf weniger gestörte Kanäle nicht möglich ist
i in bit, p. xi/ Wahrscheinlichkeit für das Auf-
treten des Zeichens x

(Bildübertragung aus dem Weltraum). Diesen Vorgaben sind
i.

die vom Anwender häufig gestellten Forderungen nach einer

Die naheliegende Lösung, nämlich alle Zeichen mit der glei-
möglichst preiswerten, schnellen und fehlerfreien Übertra-
chen Anzahl von Stellen zu codieren ( l

D

D

1
l 2

: : : D lk),
gung anzupassen. Im folgenden werden einige Wege zur
führt zu einer mittleren Codewortlänge l

D
mg
li, d. h. die mittle-

Realisierung aufgezeigt. Es wird vorausgesetzt, dass die In-
re Codewortlänge ist genau so groß wie die Codewortlänge der
formationen in digital codierter Form vorliegen, was auch in
einzelnen Zeichen. Eine Reduzierung der mittleren Codewort-
der Technik angestrebt wird.

länge ( lm < l mg) lässt sich dadurch erreichen, dass

1. die Zeichen mit den größeren Wahrscheinlichkeiten kürzere

Codewortlängen erhalten als die mit den geringeren (Bei-

108.1

Codierung
spiel 1), und

2. nicht einzelne Zeichen, sondern Zeichen gruppen codiert
werden (Beispiel 2).

Bei der Codierung der Nachrichten bzw. Daten unterscheidet

Für die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer Zeichen gruppe
man zwei Bereiche: Die Quellen- und die Kanalcodierung.

aus zwei Zeichen ( x 1, x 2) gilt die bedingte Wahrscheinlichkeit
beider Zeichen, p. x 1; x 2/, d. h. die Wahrscheinlichkeit für das

Quellencodierung: Die Information der Quelle enthält neben der

Auftreten des zweiten Zeichens ( x 2) unter der Voraussetzung,

„eigentlichen“ Information noch zwei weitere Anteile:

dass das erste Zeichen ( x 1) aufgetreten ist. Sie wird berechnet,

1. Redundanz (siehe auch Abschn. 92.4.4);
indem die Wahrscheinlichkeiten der beiden Zeichen miteinan-

2. Irrelevante Information. Sie entsteht als Nebenprodukt und
der multipliziert werden:

hat keinerlei Verknüpfung mit der eigentlichen Information.

Bedingte Wahrscheinlichkeit für zwei Zeichen

Aufgabe der Quellencodierung ist zunächst die Beseitigung der
p. x 1; x 2/ D p. x 1/ p. x 2/

(108.2)

irrelevanten Information. Anschließend wird die vorhandene

Redundanz so weit wie möglich reduziert, weil sie in der Re-

Für die Codierung gelten zwei wichtige Sätze:

gel zur Fehlererkennung und -korrektur nicht optimal geeignet

1. Eindeutigkeit: Den einzelnen Zeichen oder Zeichengruppen
ist.

dürfen nur solche Codierungen zugeordnet werden, die End-

Kanalcodierung: Ist der Übertragungskanal gestört, wird das
punkte im Codebaum sind. Andernfalls kann die empfangene
von der Quelle gelieferte „quellencodierte“ Signal so umcodiert

Bitfolge nicht eindeutig decodiert werden (Beispiel 1).

und mit neuer Redundanz versehen, dass eine optimale Fehler-

2. Existenz: Ein decodierbarer Code existiert genau dann, wenn
erkennung und -korrektur möglich wird.

die Ungleichung von Kraft erfüllt ist:

3. Ungleichung von Kraft
k

X 2 li 1 für Binärcode

(108.3)

108.1.1

Quellencodierung
i D1
li Zahlenwert der Codewortlänge (Anzahl der Binärstellen)

108.1.1.1

Grundlagen
des Zeichens bzw. der Zeichenfolge xi.

Es wird vorausgesetzt, dass die irrelevante Information bereits

Beide Sätze sind inhaltlich ähnlich, wobei die Ungleichung von
entfernt worden ist. Außerdem wird von dem praxisnahen Fall

Kraft noch nichts über die Eindeutigkeit der Decodierung aus-
ausgegangen, dass die zu codierenden k Zeichen (Einzelzeichen
sagt (Beispiel 1).

oder Zeichenfolgen) nicht alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit

Shannon hat eine Beziehung für die mittlere Codewortlänge an-
auftreten und dass nicht genau 2 n ( n D 1; 2; 3; : : :) unterschied- gegeben:

liche Zeichen zu codieren sind, d. h. k ¤ 2 n. Die Aufgabe
der Codierung besteht darin, die mittlere Codewortlänge lm so

Satz von Shannon

H l
m

H C 1 bit

(108.4)

klein wie möglich zu machen, weil dadurch die Übertragungs-
zeit bzw. die benötigte Kanalbandbreite gering gehalten werden

H Entropie nach (92.2) in bit, lm mittlere Codewortlänge nach
kann (Abschn. 92.4.7):

(108.1) in bit.

108.1

Codierung

1311

Tab. 108.1 Auswahl von Möglichkeiten zur Codierung von drei Zeichen (li : Zahlenwert)

Zeichen

Codierung 1

Codierung 2

Codierung 3

Codierung 4
xi
p. xi/

Codewort
li

Codewort
li

Codewort
li

Codewort
li

XIII
x

0,5

00

2

0

1

0

1

0

1
y

0,3

01

2

01

2

10

2

10

2

Teil
z

0,2

10

2

10

2

11

2

110

3

Mittlere Länge
l D

D

D

D
m

2 bit
lm

1;5 bit
lm

1;5 bit
lm

1;7 bit

P

P

P

P

Ungleichung von Kraft
k

2 li D 3 < 1
k

2 li D 1
k

2 li D 1
k

2 li D 7 < 1
i D1

4
i D1
i D1
i D1

8

Bemerkungen

„Standardcodierung“

Nicht eindeutig decodierbar

Optimalcode nach Huffman/Fano Kommacode

Tab. 108.2 Zu Beispiel 2

Zeichengruppe
xx
xy
xz
yy
yx
yz
zz
zx
zy

Wahrscheinlichkeita

0,25

0,15

0,1

0,09

0,15

0,06

0,04

0,1

0,06

Optimalcode nach Fano

00

01

101

1101

100

1110

11111

1100

11110

P

Ungleichung von Kraft
k

2 li D 16C8C6C2 D 1
i D1

32

Satz von Shannon

H D 2;97 bit ) 2;97 bit l
m

3;97 bit

Mittlere Codewortlänge
l D
m

3;05 bit
a mit (108.2)

Tab. 108.3 Codierverfahren nach Fano (zu Beispiel 2)

Zeichengruppe
xx
xy
yx
xz
zx
yy
yz
zy
zz

Wahrscheinlichkeit, sortiert

0,25

0,15

0,15

0,1

0,1

0,09

0,06

0,06

0,04

P

P

1. Teilstrich
p D 0;4
p D 0;6

1. Bit

0

0

1

1

1

1

1

1

1

P

P

2. u. 3. Teilstrich
p D 0;25
p D 0;35

2. Bit

0

1

0

0

1

1

1

1

1

P

P

4. u. 5. Teilstrich
p D 0;19
p D 0;16

3. Bit

0

1

0

0

1

1

1

P

6. u. 7. Teilstrich
p D 0;1

4. Bit

0

1

0

1

1

8. Teilstrich

5. Bit

0

1

Codierung

00

01

100

101

1100

1101

1110

11110

11111

Beispiel 1
nen Codewortes angibt und sofort mit der Decodierung

Es sollen die Zeichen x, y und z codiert werden, die
begonnen werden kann. Dieser Code wird auch als Kom-
mit den Wahrscheinlichkeiten p. x/ D 0;5; p. y/ D 0;3
macode bezeichnet: Die Null steht für ein Trennzeichen,
und p. z/ D 0;2 auftreten. Tab. 108.1 gibt verschiedene
so wie das Komma bei Aufzählungen.

J

Möglichkeiten der Codierung wieder, wenn die Zeichen
einzeln, also noch keine Zeichengruppen, codiert werden.

Codierung 1 als naheliegende Lösung ergibt eine ver-

Beispiel 2
gleichsweise große mittlere Codewortlänge und ist des-
halb weniger geeignet. Völlig ungeeignet ist Codierung

Zur weiteren Verringerung der mittleren Codewortlänge

2, weil z. B. bei der Übertragung der Bitfolge 010 die-
werden Zeichen gruppen aus zwei (oder mehr) aufeinan-
se entweder als yx (01-0) oder als xz (0-10) interpretiert
derfolgenden Zeichen gebildet und codiert. Tab. 108.2 lis-
werden kann. Im Codebaum ist die codierte 0 kein „End-
tet die vorkommenden Kombinationen und deren Wahr-
punkt“, denn es folgt noch die Codierung 01. Codierung 3
scheinlichkeiten nach (108.2) auf. Weiterhin ist der Opti-
ist eine optimierte Lösung und wird als Optimalcode be-
malcode nach Fano gebildet und eingetragen (Tab. 108.3).

zeichnet. Er ist eindeutig decodierbar und hat die kleinste

Zu Kontrollzwecken sind (108.1), (108.3) und (108.4)

Codewortlänge. Die Codierung 4 ist ebenfalls eindeutig,
ausgewertet und die Zahlenwerte eingefügt. Der Code ist
hat aber eine größere Codewortlänge als der Optimalcode.

nahezu optimal, weil lm nur geringfügig größer ist als H.

Sie besitzt den Vorteil, dass die 0 das Ende jedes einzel-

J

1312

108 Optimierte Nachrichten- und Datenübertragung

Teil

Tab. 108.4 Weitere Codiermöglichkeit nach Fano (zu Beispiel 2)

Zeichengruppe
xx
xy
xz
yy
yx
yz
zz
zx
zy

XIII

Optimalcode nach Fano

00

010

100

1100

011

1101

1111

101

1110

P

Daraus folgt: l D
k
m

3;00 bit;

2 li D 1
i D1

108.1.1.2

Optimalcodes

108.1.2.1

Grundlagen

Optimalcodes zeichnen sich dadurch aus, dass die mittlere Co-

Für die Kanalcodierung sind die folgenden Begriffe von Bedeu-
dewortlänge lm nur geringfügig über der Entropie H liegt. Dazu
tung:

werden häufig auftretende Zeichen oder Zeichengruppen mit
weniger Bit, selten auftretende entsprechend mit mehr Bit co-

Hamming-Distanz h: Sie gibt an, in wieviel Stellen sich die
diert. Die dazu notwendigen Codierungsverfahren sind von
einzelnen (gleichlangen) Codewörter minimal unterscheiden.

Huffman und Fano entwickelt worden. Der im folgenden dar-

Gewicht eines Codewortes: Anzahl der Einsen im Codewort.

gestellte Fano-Algorithmus (siehe dazu auch Tab. 108.3) wird

Gleichgewichtige Codes: Jedes Codewort enthält die gleiche
nach folgenden Regeln gebildet:

Anzahl von Einsen.

Fehlererkennende Codes: Es wird erkannt, dass ein über-

1. Die Zeichen oder Zeichengruppen werden nach abnehmen-
tragenes Bitmuster falsch ist, es kann aber nicht ermittelt
der Wahrscheinlichkeit sortiert.

werden, welches Bit falsch ist. Es muss deshalb eine erneute

2. Die Liste wird durch einen ersten Teilstrich so in zwei Teile

Übertragung gestartet werden.

zerlegt, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten je Teil et-

Fehlerkorrigierende Codes: Das falsch übertragene Bitmus-
wa 0,5 ist. Die Elemente des einen Listenteils erhalten eine
ter wird als falsch erkannt und korrigiert. Eine erneute

0 als erstes Bit, die anderen eine 1.

Übertragung ist nicht erforderlich.

3. Die Elemente des Listenteils mit der 0 werden wiederum
durch einen zweiten Teilstrich in zwei Teile geteilt, sodass

Die Anzahl der erkennbaren bzw. korrigierbaren Fehler ergibt
beide etwa die gleiche Wahrscheinlichkeitssumme erhalten.

sich aus der Hamming-Distanz h:

Der eine Teil erhält als zweite Codierung eine 0, der andere
eine 1. Mit dem Teil, der als erstes Bit eine 1 erhalten hat,

Zahl der erkennbaren Fehler (ohne Korrektur):

wird genauso verfahren.

4. Das Prinzip wird solange fortgesetzt, bis nach einer Teilung
nur noch Einzelelemente übrig sind.

h 1

(108.5a)

Tab. 108.3 zeigt das Verfahren mit den Zeichengruppen und

Zahl der selbständig korrigierbaren Fehler:

Wahrscheinlichkeiten aus Beispiel 2 und Tab. 108.2.

Man kann durchaus zu unterschiedlichen Lösungen kommen,
h 1
für h D 1; 3; 5; : : :

wenn man z. B. den ersten Teilstrich so setzt, dass links davon

2
die Zeichengruppen xx, xy und yx stehen.

h 1 für h D 2;4;6;:::

(108.5b)

Je nach Lage der anderen Teilstriche kann das zu einer in

2

Tab. 108.4 dargestellten weiteren Möglichkeit der Codierung
führen.

Bei einem Code mit h D 3 kann man entweder zwei Fehler
erkennen, ohne sie zu korrigieren, oder einen Fehler erken-
nen und korrigieren (Beispiel 3).

108.1.1.3

Datenreduktion

Blockcodes: Alle Codewörter sind gleich lang.

Faltungscodes: Die Kontrollbits werden nicht zu jedem ein-

Die zur Datenreduktion verwendeten Verfahren sind unter Ab-
zelnen Codewort hinzugefügt, sondern während der Übertra-
schn. 96.4.4.7 und 96.4.4.8 aufgeführt. Angewendet werden sie
gung der Daten gebildet und in geeigneter Form eingebaut
auch beim „digitalen Fernsehen“, wobei dort der Sonderfall be-

(siehe Abschn. 108.1.2.3). Die Eigenschaften dieser Codes
steht, dass kurzzeitige geringe Signalverfälschungen in Kauf
werden in der Regel durch Simulation erfasst, weil die ma-
genommen werden, weil das Auge als Empfänger sie nicht oder
thematische Darstellung umfangreich ist.

als nur wenig störend wahrnimmt.

Systematische Codes: Die ersten Stellen sind stets die In-
formationsstellen, die restlichen enthalten die Prüfbits (siehe

Codierung im Beispiel 3). Diese Codes sind vom Aufbau her

108.1.2

Kanalcodierung
übersichtlich.

Zyklische Codes: Die Codewörter werden nach Rechen-
vorschriften mit sogenannten Generatorpolynomen gebildet.

Bei der Kanalcodierung wird dem quellencodierten und damit

Sie sind nicht übersichtlich, haben aber den Vorteil, dass
nahezu redundanzfreien Signal neue Redundanz hinzugefügt
besonders bei langen Codewörtern die Codierung und Deco-
mit dem Ziel, Übertragungsfehler so weit wie möglich zu er-
dierung durch die Verwendung mathematischer Algorithmen
kennen und zu korrigieren.

mit relativ niedrigem Aufwand möglich ist.

108.1

Codierung

1313

Tab. 108.5 Codierung zu Beispiel 3. Die Prüfbits ergänzen auf eine gerade

Beispiel 3

Anzahl von Einsen

Übertragen werden sollen 4 Daten, die mit 00, 01, 10
x 1
x 2
x 3
x 4
x 5

XIII
und 11 codiert werden ( x

0

0

0

0

0

1, x 2). Es soll ein Fehler er-
kannt und selbständig korrigiert werden. Nach (108.5a)

0

1

0

1

1

Teil
und (108.5b) ist eine Hamming-Distanz h D 3 erforder-

1

0

1

0

1
lich. Es wird nach Tab. 108.5 mit 5 Bit codiert.

1

1

1

1

0

Zu übertragende Daten

Prüfbit für x 1 Prüfbit für x 2 Prüfbit für x 1
a) Es wird angenommen, dass ein Fehler auftritt, d. h. die
und x 2
fehlerhafte Codierung 01001 übertragen wird. Darin

Bedingungen 1 . . . 5 für die Fehlererkennung und -korrektur:

ist die unterstrichene Null für x 4 falsch. Die Bedin-

1: x 1 falsch ) x 3 und x 5 nicht erfüllt
gungen für die Fehlererkennung und -korrektur nach

2: x 2 falsch ) x 4 und x 5 nicht erfüllt

Tab. 108.5 liefern:

3: x 3 falsch ) x 1 nicht erfüllt

Erste Bedingung erfüllt ) x 1, x 3, x 5 ohne Fehler.

4: x 4 falsch ) x 2 nicht erfüllt

Zweite Bedingung nicht erfüllt ) x

5: x

2, x 4, x 5 enthalten

5 falsch ) x 1 und x 2 nicht erfüllt

Fehler.

Dritte Bedingung erfüllt ) x 1, x 3 ohne Fehler.

Tab. 108.6 Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten des Zeichens yj , wenn xi

Vierte Bedingung nicht erfüllt ) x
gesendet wurde. Erläuterungen siehe Text

2, x 4 enthalten Feh-
ler.

a)

Fünfte Bedingung erfüllt ) x 1, x 2, x 5 ohne Fehler.

p. y j
j
xi/
y 1
y 2
y 3

Die 2. und 5. Bedingung ergeben die eindeutige Aus-
x 1

0,7a

0,2

0,1
sage, dass x 4 falsch ist, sodass die Codierung richtig
x 2

0,1

0,8

0,1
lautet: 01011. Wichtig ist die Voraussetzung, dass nur
x 3

0,2

0,2

0,6
ein Fehler auftritt, der mit h D 3 erkannt und korrigiert
werden kann!

b)

b) Das übertragene Codewort 00110 enthält zwei Feh-
p. y j x
ler ( x
j
i/
y 1
y 2
y 3

3, x 4). Die Auswertung der Bedingungen nach
x

Tab. 108.5 ergibt:

1

0,7

0,2

0,1
x

Erste Bedingung nicht erfüllt ) x

2

0,2

0,2

0,6

1, x 3, x 5 enthalten
x

Fehler.

3

0,4

0,2

0,4

Zweite Bedingung nicht erfüllt ) x 2, x 4, x 5 enthalten

Fehler.

Dritte Bedingung nicht erfüllt ) x 1, x 3 enthalten Feh-

Der mit a gekennzeichnete Wert 0,7 in Tab. 108.6a ist die Wahr-
ler.

scheinlichkeit dafür, dass der Empfänger das Zeichen y 1 deco-

Vierte Bedingung nicht erfüllt ) x 2, x 4 enthalten Feh-
diert, wenn x 1 gesendet wurde. Die übrigen Tabellenwerte sind
ler.

entsprechend zu interpretieren. Die Summe der Wahrschein-

Fünfte Bedingung erfüllt ) x 1, x 2 und x 5 ohne Fehler.

lichkeiten einer Zeile ergibt 1, weil angenommen wird, dass

Mit der 5. Bedingung, dass x 1, x 2, x 5 richtig sind, er-
der Empfänger mit Sicherheit eines seiner drei Zeichen dem
gibt sich, dass x 3, x 4 falsch sein müssen, was in diesem
empfangenen Zeichen zuordnet. Die aufgelisteten Wahrschein-

Spezialfall eine Fehlerkorrektur ermöglichen könnte.

lichkeiten als wesentliche Eigenschaft des gestörten Kanals

Sind dagegen x 2, x 5 falsch, erhält man aus den 5 Bedin-
müssen bekannt sein. Dann lautet die Likelihood-Bedingung:

gungen, dass zwei von den Bits x 1, x 2, x 5 falsch sind.

Damit sind 2 Fehler erkannt, aber wegen fehlender

Likelihood-Bedingung

Eindeutigkeit ist eine Korrektur nicht möglich. Glei-
chung (108.5a) gilt also für den allgemeinen Fall.

J
p. y j
j
j
xi-opt/ p. yj xi¤ i-opt/

(108.6)

108.1.2.2

Maximum-Likelihood-Verfahren

Der Empfänger empfängt das Zeichen yi und ordnet ihm das

Zeichen x D
i
xi-opt mit der größten vorhandenen Wahrschein-

Die Quelle sendet Zeichen xi ( i D 1 : : : k) aus ihrem Zei-
lichkeit zu. In Tab. 108.6a ist die Zuordnung eindeutig, denn
chenvorrat aus, die die Senke (Empfänger) einem Zeichen yj
bei empfangenem y 2 wird das Zeichen x 2 zugeordnet, weil es

( j D 1 : : : k) ihres Zeichenvorrates zuordnet. Es wird hier an- mit der größten Wahrscheinlichkeit auftritt. Ebenso wird y 1 zu
genommen, dass Quelle und Senke den gleichen Zeichenvorrat
x 1 und y 3 zu x 3 gehörig erkannt. Die Wahrscheinlichkeiten in
besitzen. Diese Zeichen werden bei der Übertragung über einen

Tab. 108.6b lassen diese eindeutige Zuordnung nicht mehr für
gestörten Kanal teilweise so verändert, dass man der Senke ein
alle Werte zu. Wird z. B. y 2 empfangen, kann es x 1; x 2 oder x 3

Entscheidungskriterium zur Verfügung stellen muss. Dazu wird
zugeordnet werden, da alle drei mit gleicher Wahrscheinlichkeit
die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen eines Zeichens yj am
auftreten. Die Auswahl geschieht zufällig, was darauf hindeutet,

Empfänger verwendet, wenn das Zeichen xi gesendet wurde.

dass der Kanal nach Tab. 108.6b weniger gut zur Datenübertra-

Tab. 108.6 zeigt zwei Beispiele.

gung geeignet ist.

1314

108 Optimierte Nachrichten- und Datenübertragung

Teil

1. Bit
dewort in Abhängigkeit vom Zustand des Schieberegisters und
dem eingeschobenen Datenbit.

XIII

Zur Erklärung der prinzipiellen Wirkungsweise des Decodierers

Daten
wird angenommen, dass der Inhalt des Schieberegisters 000 ist.

S

Kodewort

1 Bit

In der Praxis wird das durch die Übertragung geeigneter Bit-

2 Bit
pro Takt
muster erreicht. Es werde die Codewortfolge 00 11 10 00 01

01 11 00 00 (Codeworte 1 . . . 9) empfangen. Da der Decodie-

2. Bit
rer das Funktionsprinzip des Faltungscodierers kennt, ermittelt
er für jeden empfangenen Codewort wechsel das zugehörige Da-

3-Bit-
tenbit. Tab. 108.8 zeigt den Vorgang.

Schieberegister

Der Übergang vom ersten auf das zweite Codewort in der Co-

Abb. 108.1 Faltungscodierer
dewortfolge (zweite Spalte Tab. 108.8) von 00 auf 11 wurde,
sofern die Übertragung fehlerfrei erfolgte, durch Einschieben

Tab. 108.7 Codewort des Faltungscodierers nach Abb. 108.1
des Datenbits „1“ in das Schieberegister hervorgerufen, wie sich
aus der vierten Zeile der Tab. 108.7 ablesen lässt (000 ! 100).

Inhalt Schieberegister (von links)

Änderung des Codewortes

Der nächste Codewortübergang von 11 auf 10 ergibt sich, wenn

Alt

Eingeschobenes

Neu

Alt 1. Bit/2. Bit

Neu 1. Bit/2. Bit
sich das im Schieberegister enthaltene Wort 100 (Tab. 108.7,

Datenbit

(Abb. 108.1)

(Abb. 108.1)

Zeile 11) durch Einschieben einer „0“ in 010 ändert. Das

000

0

000

00

00

Verfahren wird weiter fortgesetzt, wobei die übertragene Code-

000

1

100

00

11
wortfolge und die daraus ermittelten Datenbits zunächst bis zur

001

0

000

11

00

Auswertung des letzten Codewortes zwischengespeichert wer-

001

1

100

11

11
den. Da kein Widerspruch zwischen der Aufeinanderfolge der

010

0

001

10

11

Schieberegisterinhalte und den Codewörtern besteht, sind die in

010

1

101

10

00
der letzten Zeile von Tab. 108.8 aufgeführten Datenbits in dieser

011

0

010

01

11

Reihenfolge auch tatsächlich ausgesendet und fehlerfrei emp-

011

1

101

01

00
fangen worden und können vom Decoder freigegeben werden.

100

0

010

11

10

100

1

110

11

01

Die fehlerfreie Codewortfolge von oben, 00 11 10 00 01 01 11

101

0

010

00

10

00 00, wird jetzt bei der Übertragung verfälscht und als 00 11

101

1

110

00

01

10 10 01 01 11 00 00 empfangen. Die unterstrichene „1“ kenn-

110

0

011

01

01
zeichnet die fehlerhafte Stelle.

110

1

111

01

10

Nach Eintreffen des dritten Codewortes (10) schließt der Emp-

111

0

011

10

01
fänger auf den Schieberegisterinhalt 010 (3. Spalte, Tab. 108.9,

111

1

111

10

10
fett gedruckt). Trifft das folgende falsche Codewort 10 ein, ist
das ein Übergang 10 auf 10, was dem „Wechsel“ des Schie-
beregisterinhaltes von 111 (Spalte 4, Tab. 108.9, fett gedruckt)

108.1.2.3

Faltungscodierer mit
auf 111 gemäß der letzten Zeile in Tab. 108.7 entspricht. Spalte

Likelihood-Viterbi-Decodierer

3 bestimmt den Schieberegisterinhalt zu 010, Spalte 4 zu 111.

Dieser Widerspruch deutet auf einen Übertragungsfehler hin.

Abb. 108.1 zeigt ein einfaches Beispiel für einen Faltungs-

Um das Verfahren einfach darstellen zu können, wird der Schie-
codierer. Mit jedem Schiebetakt wird ein Datenbit in das 3-
beregisterinhalt 010 nach Eintreffen des dritten Codewortes (10)

Bit-Schieberegister geschoben. Der obere Modulo-2-Addierer
als richtig angenommen. Damit kann der nächste Schieberegis-
erzeugt das erste Bit, der untere das zweite Bit des Codewor-
terinhalt entweder nur 001 sein, wenn eine 0 eingeschoben wird,
tes, wobei der Schalter S als Parallel-Seriell-Umsetzer dient.

oder 101, wenn das Datenbit 1 ist. Im ersten Fall ergibt sich für

Das Codewort wird übertragen und ist eine Kombination aus

010 ! 001 das neue Codewort 11 (7. Zeile Tab. 108.7), im zwei-

Daten- und Korrekturbit. Tab. 108.7 zeigt das übertragene Co-
ten Fall 010 ! 101 das neue Codewort 00. Nach Empfang des

Tab. 108.8 Decodiervorgang ohne Übertragungsfehler

Empfangenes Codewort alt

00

11

10

00

01

01

11

00

00

Codeworte 1 . . . 9

Empfangenes Codewort neu

11

10

00

01

01

11

00

00

Codeworte 2 . . . 9

Schieberegister-Inhalt alt

000

100

010

101

110

011

001

000

000

Schieberegister-Inhalt neu

100

010

101

110

011

001

000

000

Eingeschobenes Datenbit unterstrichen

Datenbit

1

0

1

1

0

0

0

0

Zunächst zwischengespeichert

Ausgegebene Datenbitfolge: 10110000

108.1

Codierung

1315

Tab. 108.9 Decodiervorgang mit einem Übertragungsfehler, erster Durchlauf

Empfangenes Codewort alt

00

11

10

10

01

01

11

00

00

Fehlerhafte Stelle unterstrichen

Empfangenes Codewort neu

11

10

10

01

01

11

00

00

XIII

Schieberegister-Inhalt alt

000

100

111

111

110

011

001

000

000

Hervorgehobene Stellen: Widerspruch

Schieberegister-Inhalt neu

100

010

111

011

011

001

000

000

Teil

Datenbit

(1)

(0)

?

?

?

?

?

?

Noch nicht angebbar

Tab. 108.10 Decodiervorgang mit einem Übertragungsfehler, zweiter Durchlauf

Empfangenes Codewort alt

00

11

10

11

01

01

11

00

00

Eingesetztes Codewort unterstrichen

Empfangenes Codewort neu

11

10

11

01

01

11

00

00

Schieberegister-Inhalt alt

000

100

010

100

110

011

001

000

000

Widerspruch fett gekennzeichnet

Schieberegister-Inhalt neu

100

010

001

110

011

001

000

000

Datenbit

(1)

(0)

(0)

?

?

?

?

?

Noch nicht angebbar
letzten Codewortes wird in einem zweiten Durchlauf das Code-
a
wort, das zum Widerspruch führte, nämlich das vierte (10, hier
das fehlerhafte), durch das eben bestimmte Codewort 11 ersetzt

A 00

A

00
und der Zyklus nach Tab. 108.9 bis zum Schluss durchlaufen.

A

11

B

Tab. 108.10 stellt den Vorgang bis zum erneuten Widerspruch

10

C

00

11

B
dar.

A

01

D

11

A

C

0

10

00

11

In einem dritten Durchlauf wird das andere Codewort, 00, ein-

00

B

B

01

C
gesetzt. Es folgt der in Tab. 108.8 aufgelistete Sachverhalt. Da

01

D 10

D
es keinen Widerspruch gibt, wird die in der letzten Zeile darge-

A

A 00

A
stellte Datenbitfolge ausgegeben.

11

C

11

B

11

10

C

10

00

Der Vorgang der Decodierung lässt sich anschaulich im Trellis-

1

B 01

D

Informations-

Diagramm darstellen. In Abb. 108.2a ist der Codebaum für

C 11

A
bit

B

01
den Faltungscodierer nach Abb. 108.1 abgebildet. Der Aus-

01

00

B

D

01
gangszustand des Schieberegisterinhaltes ist 000. Je nachdem,

C

10

D
welches Informationsbit eingeschoben wird, verzweigt sich der

10

D

Codebaum nach oben (Informationsbit 0) oder unten (Informati-

Wiederholungs-
intervall
onsbit 1). Im Codebaum sind die Codeworte aufeinanderfolgend

I

II
eingetragen. Es zeigt sich, dass der Codebaum innerhalb des

Wiederholungsintervalls (Linien I, II) alle möglichen Zustän-
b
de bzw. Übergänge enthält (Verzweigungspunkte A, B, C, D).

00

00

00

00

Man kann deshalb den unteren Teil mit dem oberen zusam-

A

11

11

11
menfassen und alle weiteren, rechts der Linie II auftretenden

11

11

11

Codierungen weglassen. Es ergibt sich das Trellis-Diagramm

B

10

00

00
nach Abb. 108.2b.

10

10

C

0

Abb. 108.2c zeigt vereinfacht den Entscheidungsvorgang, wenn

1

01 01

01 01
die (fehlerhafte) Codewortfolge 00 11 11 11 00 empfangen

D

10

10
wurde. Nur für den Fall, dass im Entscheidungspunkt E1 das
wahrscheinlichere Codewort 10 eingesetzt wird, gelangt man
c

E1

E2

E3
zur Ebene A (durchgezogene Linie). Die anderen Möglichkeiten

(gestrichelte Linien) haben eine größere Hamming-Distanz zur

A
wahrscheinlichsten Codewortfolge und scheiden aus. Es wird
deshalb die Codewortfolge 0011 10 11 00 decodiert. Wird ei-

B
ne längere Codewortfolge gesendet, benötigt man letztlich nur
den im Abb. 108.2c dargestellten Teil des Diagramms zur Deco-

C
dierung, weil sich die Entscheidungsvorgänge durch die Code-
wort wechsel in gleicher Art wiederholen (Viterbi-Algorithmus).

D

00

11

11

11

00 empfangene

In der Praxis werden Schieberegister mit bis zu acht Stellen ein-

Kodewortfolge
gesetzt. Damit können mehrere Fehler erkannt und korrigiert

00

11

10

11

00 dekodierte

Kodewortfolge
werden. Dieses Verfahren wird u. a. auch bei der Datenübertra-
gung über Satelliten eingesetzt.

Abb. 108.2 Decodierung eines Faltungscodes. a Codebaum für die Codeworte,
b Trellis-Diagramm, c Prinzip der Decodierung mit Likelihood-Viterbi-Decoder

1316

108 Optimierte Nachrichten- und Datenübertragung

Teil

108.2

Optimalfilter

2. ı2 : Gleichzeitig wird der Bereich der Störfrequenzen auch

N
auf den Bereich 0 . . . fg begrenzt. Je kleiner fg gewählt wird,

XIII
desto geringer sind die Verfälschungen von u

Ein Optimalfilter hat die Aufgabe, ein Nutzsignal, dem ein Stör-

S. t/ durch das

Störsignal.

signal überlagert ist, möglichst wenig zu verändern und das

Störsignal so weit wie möglich zu unterdrücken. Das Prinzip

Es gibt damit eine optimale Grenzfrequenz f D
g
fg opt, bei der die
wird an dem folgenden Modell dargestellt, Abb. 108.3a.

Signalverfälschungen noch vertretbar und die Störungen ausrei-
chend klein sind. Um das zu zeigen, werden die zwei Fehler

Hinweis: Um Verwechslungen zu vermeiden, wird die Laplace-
berechnet:

Transformierte mit p und nicht mit s bezeichnet.

1
f

Gegeben sind ein ungestörtes Signal u

Z
g

Z

S. t/ mit der spektralen

Leistungsdichte F
ı2 D 2

˚

D 2

˚

S . f / (Abschn. 92.4.11.2) und ein Störsignal

S

S. f / df I
ı2 N

N . f / df

(108.7)

uN. t/ mit der spektralen Leistungsdichte FN. f /, die sich addi-
fg

0
tiv überlagern. Dieses Signal wird auf den Eingang eines Filters
mit der Übertragungsfunktion H. f / (Abschn. 92.4.9.3) gegeben. Das Nutzsignal uS. t/ habe die spektrale Leistungsdichte Am Ausgang erscheint das Signal ua. t/, Abb. 108.3a. Für

Nutz- und Störsignal werden spektrale Leistungsdichten, wie

˚ S. f / D

1

(108.8)

in Abb. 108.3b eingezeichnet, angenommen, wobei F

1 C 42 f 2

N . f /
f 2

0

„weißem“ Rauschen entspricht (Abschn. 92.4.11.1 „Rau-
schen“). Die eigentliche Aufgabe besteht darin, eine optimale
und für das Störsignal soll gelten

Filter-Übertragungsfunktion H. f / D H . f / zu finden, die das
opt

Signal uS. t/ wenig verändert und die Störung ausreichend un-

˚ N. f / D 0;2 D const

(108.9)

terdrückt. Hier wird zunächst angenommen, H. f / D H . f / sei
opt
berechnet worden und habe einen „idealen“ Tiefpass ergeben,
abgeleitet vom „weißen“ Rauschen.

dessen Grenzfrequenz fg aber für unser Modell noch einstellbar

Setzt man diese Ausdrücke in (108.7) ein, ergeben sich die Feh-
ist. „Ideal“ heißt hier, dass bis fg alle Frequenzanteile mit unver-
ler in Abhängigkeit von f
änderter Amplitude durchgelassen werden und oberhalb f
g wie in Abb. 108.3c dargestellt. Da
g alle
beide Fehler unkorreliert sind, werden sie für den Gesamtfeh-

Frequenzanteile vollständig unterdrückt werden. Die Grenzfre-
quenz f
ler ı2 addiert. Ziel der Optimierung ist, den Gesamtfehler zu
g ist in Abb. 108.3b an beliebiger Stelle eingetragen. Es
ges
ergeben sich zwei Fehler:

minimieren:

1. ı2: Durch die Begrenzung der Signalfrequenzen auf den Be-
ı2 D ı2 C ı2 D Minimum

(108.10)

S
ges

S

N
reich 0 . . . fg wird das ungestörte Signal uS. t/ verfälscht, und
zwar um so mehr, je kleiner fg gewählt wird.

Setzt man (108.8) und (108.9) in (108.7) ein und bildet die Sum-
me nach (108.10), so folgt:

1
f
a

Z
g

Z

Filter

1
u ( t) + u ( t)

u t

2
df C 2

0;2 df

S

N
a( )

H( f)

1 C 42 f 2
f
f 2
g

0

0
b

φ f
f 0
f 0
fg
φ

S( )

D

C

D

( f)

arctan

2

0;2 fg

Minimum

2

f
φ

0

N( f)

Daraus ergibt sich das Minimum zu f
g

0;47 f 0.

f
f

Die bisher als bekannt vorausgesetzte optimale Übertragungs-
g
c
funktion H. f / D H . f / lässt sich berechnen nach der Bezie-

2
opt
ε 2
δ 2
δ n
hung
ges
δ 2

˚
s

S. f /

H

. f / D
opt

˚
f

S . f / C ˚ N . f /

(108.11)

gopt
f
d

R

Werden die Ausdrücke aus (108.8) und (108.9) in (108.11) ein-
x0,59
gesetzt, erhält man:

C

1

1C42 f 2
f 2

5 f 2

H

. f / D

0

D

0

(108.12)

opt

1

C 1

6 f 2 C 42 f 2

Abb. 108.3 Optimalfilter. a Prinzip, b Spektrale Leistungsdichte von Nutz- und

5

0

1C42 f 2

Störsignal, c Gesamtfehler, d Realisierung des Beispiels
f 2

0

108.3

Anwendung der Korrelation bei gestörten Signalen

1317

Diese Übertragungsfunktion lässt sich so nicht realisieren, weil

108.3

Anwendung der Korrelation
sie Polstellen in der rechten p-Halbebene hat. Man kann sie aber
dadurch annähern, dass die Polstellen in der rechten Halbebene
bei gestörten Signalen

XIII
vernachlässigt werden. Zunächst zerlegt man FS. f / C FN. f / in
der p-Ebene sowohl im Zähler als auch im Nenner in ein Produkt

Den hier betrachteten Nutzsignalen ist ein Störsignal in Form

Teil
aus konjugiert komplexen Null- bzw. Polstellen:

von Rauschen additiv überlagert. Nach Abschn. 92.4.11.2 und

Beispiel 8 in Kap. 92 gilt für die Autokorrelationsfunktion von

1

6 f 2 C 4 f 2

C 1 D

0

Rauschen

1 C 42 f 2

5

5. f 2 C 4 f 2/

0
f 2

0
p
p

T

Z

. p C

1

)

6 f 0/ . p

6 f 0/

˚
p , j 2 f

SS. N/. / D lim
uN. t/ uN. t / dt D 0 (108.13)

5 . p C f

T!1 2 T

0/ . p f 0/

T

Der Ausdruck wird wie folgt zerlegt und bezeichnet:

uN. t/ Rauschspannung in V.

p
p
p
p

. p C 6 f

Für das Nutzsignal erhält man:

0/ . p

6 f 0/

.

.

D p C 6 f 0/ p 6 f 0/

5 . p C f 0/ . p f 0/

5 . p C f 0/

„ ƒ‚ …

. p f 0/

„ ƒ‚ …

T

Z

˚

1

C

˚

˚SS. S/./ D lim
uS. t/ uS. t / dt ¶ . uS. t//2

T!1 2 T

Man bildet

T
für ! 0

(108.14)

˚ S. p/
f 2
p f

D

0

0
p

˚. p/
f 2 p 2
u

0
p

6 f 0

S. t/ Nutzsignalspannung in V.

f 2

D

0

p f 0
p

Der zu übertragende Datenblock wird inhaltlich nicht verändert

. p C f
und mehrfach übertragen. Der Empfänger addiert die Ampli-

0/ . p f 0/
p

6 f 0

tuden der empfangenen Datenblöcke, und zwar so, dass die
f 2

D

0
p

Bedingung t ! 0 nach (108.14) erfüllt ist. In der Praxis heißt

. p C f 0/ . p 6 f 0/
das, dass jeweils nur solche Amplitudenwerte addiert werden,
f 0
p
f 0
p
die stets zu den gleichen Zeitpunkten des Nutzsignals gehö-

D

6C1

6C1
p
ren. Dazu muss man wiederum den Beginn des im gestörten

. p C f 0/

„ ƒ‚ …

. p 6 f 0/

„
ƒ‚

…

übertragenen Signal enthaltenen Nutzsignales kennen. Das aber
realisierbar
ist in den meisten Anwendungen wenigstens näherungsweise
nicht realisierbar

ˇ
gegeben. Damit geht u

˚

ˇ
f 0
p

N . t/ mit wachsender Zahl von Addi-

)

S . p/ Ď

6C1
tionen gegen Null, während das Nutzsignal uS. t/ unverändert

˚

ˇ

. p/

. p C f
real

0/
bleibt, weil immer die gleichen Amplitudenwerte addiert wer-
den. Abb. 108.4 zeigt ein Beispiel dazu. n gibt die Anzahl
der Überlagerungen an. In dem verwendeten Rechnerprogramm

Der vorletzte Ausdruck wurde durch Partialbruchzerlegung in
wird n stets um 1 erhöht, wobei zu jedem neuen n ein neues zu-
den letzten umgewandelt. Davon nimmt man den ersten Sum-
manden, weil er realisierbar ist, den zweiten lässt man als nicht
fälliges Rauschen erzeugt wird. Für n D 1 sind zunächst nur
das Nutzsignal und das Rauschen der ersten zwei Diagramme
realisierbar weg. Damit folgt:

überlagert. Von den 600 ausgegebenen Diagrammen sind einige

ˇ

˚

ˇ
ausgesucht, die den Rückgang der Amplitude der resultierenden

S . p/

H

. p/ D

1

řeal

˚

Řauschspannung und damit die zunehmende Erkennbarkeit des

C. p/

˚. p/ real

Nutzsignals zeigen (im Programm: Addition von n Amplituden-

D 5. p C f 0/
p

1

f 0
p
werten und anschließende Division durch n). Dem Programm
p C

6 f

. p C f
ist in diesem Fall der jeweilige Beginn eines neuen gestörten Si-

0

0/

6 C 1
gnalverlaufes bekannt, sodass die Auswertung mit minimalem

D

5 f 0
p

1
p

Aufwand möglich ist. Sind nach Abb. 108.4 die Scheitelwer-
p C

6 f 0

6 C 1
te der Rauschspannungen etwa 10mal so groß wie die des

H

. f / D

5 f 0
p
p
p

Nutzsignals, muss das gestörte Signal zwischen 10- und 25mal
real

. 6 C 1/ j 2 f C . 6 C 1/ 6 f 0
übertragen werden, damit ein digital codierter 1-0-Wechsel si-
cher erkannt werden kann. Es zeigt sich weiterhin, dass bei der

D

0;59

Übertragung analoger Signale eine sehr große Anzahl von Wie-

1 C j 2 f

2;45 f 0
derholungen notwendig ist, um einigermaßen fehlerfreie Werte
zu erhalten ( n D 600 oder mehr).

Das ist ein Tiefpassfilter erster Ordnung, das nach Abb. 108.3d
mit R C D 1=.2;45 f 0/ und einem Abschwächer mit dem Faktor Angewendet wird dieses Verfahren z. B. bei der Übertragung

0,59 realisiert werden kann.

von Bildern der Oberfläche weit entfernter Planeten.

1318

108 Optimierte Nachrichten- und Datenübertragung

Teil

108.4

Verschlüsselung von Daten

XIII

Die Verschlüsselung von Daten ist zu einer Notwendigkeit ge-
worden. Als Beispiel soll hier der Geldverkehr in Form von

Online-Banking oder das Abheben von Geld am Geldautomaten
mit der erforderlichen Identifikation des Abhebenden genannt
werden. Im Folgenden wird neben allgemeinen Anmerkun-
gen die Datenverschlüsselung an dem aktuellen RSA-Verfahren

(benannt nach den Erfindern R ivest, S hamir und A dleman) prak-
tisch gezeigt. Grundlage für diese Art der Verschlüsselung ist
die Primzahlrechnung. Weitergehende Informationen bekommt
man in der Literatur unter den Begriffen Euler-Funktion, Klei-
ner Satz von Fermat und Satz von Euler-Fermat.

Für die Entwicklung von Verschlüsselungsverfahren gilt: Ei-
ne hundertprozentig sichere Verschlüsselungsmethode gibt es
nicht. Man kann allerdings die Verfahren so auswählen, dass der
apparative Aufwand und vor allem der Zeitaufwand für „Co-
deknacker“ in keinem lohnenden Verhältnis mehr zum Nutzen
stehen.

Forderungen:

1. Die Verschlüsselung soll möglichst so sicher sein, dass nur
befugte Personen oder Einrichtungen an die Information der
verschlüsselten Datei gelangen können. Beispiele: Übertra-
gung wichtiger Dokumente im Internet; Übertragung der

Daten (PIN, Kontonummern, Geldbetrag) zur Bank beim

Bezahlvorgang mit Scheckkarte im Geschäft.

2. Eine berechtigte Person soll nachweisen können, dass genau
sie und nur sie die Berechtigung zu bestimmten Handlungen
besitzt. Beispiel: Geld abheben am Geldautomaten. Hier-
bei muss eine sichere Verbindung zu einem Zentralrechner
hergestellt werden, der die notwendigen Schritte zur Identi-
fizierung durchführt.

Die Verschlüsselung (Codierung) geschieht häufig über ein

Schlüsselwort (kurz Schlüssel) oder Passwort, mit dessen Hilfe
die Information so verändert wird, dass sie keinen Sinn er-
gibt. Nur das korrekte Passwort ergibt bei der Umkehrung des

Verschlüsselungsvorganges, auch Entschlüsselung oder Deco-
dierung genannt, die Originalinformation.

Am Vorgang des Verschlüsselns sind zwei Gruppen beteiligt:

Die erste Gruppe sind die Entwickler, die ein geeignetes Ver-
fahren bereitstellen. Hierzu sind allgemeine mathematische und
insbesondere Statistik-Kenntnisse erforderlich. Der verschlüs-
selte Text darf z. B. keine Rückschlüsse auf die Buchstaben-
oder Silbenhäufigkeit zulassen. Auch an bestimmten Stellen
vermutete öfter wiederkehrende Formulierungen (Datum, An-

Abb. 108.4 Signalformen von korrelierten gestörten Signalen, n: Zahl der
rede, Adressen, Schlüsselwörter) dürfen als solche nicht das

Überlagerungen

Entschlüsseln erleichtern. Die enorme Leistungssteigerung von

Rechnern, auch die der Heim-PCs, hat es ermöglicht, dass Ver-
schlüsselungsverfahren, wenn sie nicht ausreichend konsequent
eingesetzt werden, mehr oder weniger unterlaufen werden kön-
nen. Genannt sei der „Brute-Force-Angriff“ (wörtlich „Rohe-

Gewalt-Angriff“), bei dem an einer verschlüsselten Datei sehr
viele unterschiedliche Passwörter der Reihe nach ausprobiert
werden. Entweder man erhält schließlich eine sinnvolle Infor-
mation oder der Angriff ist fehlgeschlagen. Die verwendete

108.4

Verschlüsselung von Daten

1319

Sammlung von Passwörtern wird gebildet aus den Eintragun-
sie aufschreiben oder auf dem Rechner speichern. Beides sind,
gen in Lexika, in Wörterbüchern und in einer „Hitliste“ der
wenn sie nicht sehr sorgfältig gehandhabt werden, zusätzliche
weltweit häufig verwendeten Passwörter, die nicht im Lexi-

Gefahrenquellen.

XIII
kon oder im Rechtschreibwörterbuch stehen. Mit Heim-PCs

Bezogen auf den Schlüsselaustausch kann man zwei Verfahren
und dem geschickten Einsatz von Grafikkartenprozessoren, die
unterscheiden:

Teil
sehr leistungsfähig sind, können einige Hunderttausend Wör-
ter innerhalb von wenigen Sekunden ausprobiert werden. Der

1. Symmetrische Verfahren: Der Sender der Nachricht und

„Brute-Force-Angriff“ ist einfach zu automatisieren und erfor-
der Empfänger verwenden das gleiche Schlüsselwort, das
dert keine speziellen Kenntnisse der Verschlüsselungstheorie.

sie vor Anwendung der verschlüsselten Übertragung schon

Zwei wichtige Folgerungen aus dem „Brute-Force-Angriff“
ausgetauscht haben müssen, natürlich geheim. Nehmen n
sind (siehe auch Anmerkung oben): 1. Es kann keine abso-

Teilnehmer an dem verschlüsselten Datenaustausch teil, und
lut sichere Verschlüsselung geben. 2. Es nimmt immer mehr
will ein Sender an . n 1/ Empfänger eine Nachricht senden,

Zeit in Anspruch, das richtige Passwort durch Ausprobieren
müssen . n 1/mal die Schlüsselwörter ausgetauscht bzw.

zu bekommen, je mehr unterschiedliche Zeichen verwendet
versendet worden sein, wieder geheim. Es besteht die Ge-
werden (nur Ziffern oder Ziffern C Großbuchstaben oder Zif-
fahr, dass eine unerwünschte Person das Passwort mithört
fern C Großbuchstaben C Kleinbuchstaben C Sonderzeichen)

oder abfängt. Wollen alle n Teilnehmer mit jedem anderen
und je länger das Passwort ist (6 oder 10 oder 15 Zeichen).

Teilnehmer verschlüsselte Nachrichten austauschen und je-

Bei einem 10-stelligen Passwort, bei dem jede Stelle aus ei-
der sein eigenes Passwort benutzen, müssen zuvor . n . n
nem Element des Zeichenvorrates von insgesamt 128 Zeichen

1//=2 Passwörter geheim ausgetauscht werden.

besteht (Großbuchstaben C Kleinbuchstaben C Ziffern C Son-

2. Asymmetrische Verfahren: Sender und Empfänger müssen
derzeichen) und dieses dann binär mit 7 Bit codiert wird,
kein gemeinsam benutztes geheimes Schlüsselwort austau-
ergeben sich insgesamt 270 D 1:180:591:620:717:411:303:424
schen, sondern nur mehrere nicht geheime Wörter. Beide
unterschiedliche Werte. Werden 256 unterschiedliche Zeichen
können daraus ihr eigenes Schlüsselwort erzeugen, aber
eingesetzt, die mit 8 Bit codiert werden, und wird ein Pass-
nicht das Schlüsselwort des anderen, und ein Mithörer kann
wort mit 16 Bit verwendet, ergeben sich insgesamt 2128 D
daraus weder das Schlüsselwort des Senders noch des Emp-

340:282:366:920:938:463:463:374:607:431:768:211:456 unter-
fängers generieren.

schiedliche Werte. Ein Unsicherheitsfaktor bei der Angabe der

In einem weltweit ausgeschriebenen Wettbewerb hat sich das

Zeit bis zur erfolgreichen Entschlüsselung ist die Tatsache, dass

RSA-Verfahren als zurzeit zuverlässigstes Verfahren heraus-
man im günstigsten Fall (das ist der ungünstigste Fall für die
gestellt. Sein Wirkungsprinzip ist bewusst offengelegt, damit

Verschlüsselung) das gesuchte Passwort beim ersten Versuch

Schwachstellen aufgedeckt werden können. Ganz allgemein for-
erhält (Wahrscheinlichkeit ist .1=.270// bzw. .1=.2128// in den
muliert nutzt das Verfahren die Tatsache aus, dass es für die

Beispielen oben) oder im ungünstigsten Fall (das ist der opti-

Folge der Primzahlen kein Bildungsgesetz gibt und damit die
male Fall für die Verschlüsselung) beim 270ten bzw. 2128sten

Zerlegung einer sehr großen Zahl (mehr als 20 . . . 50 Stellen) in

Versuch (Wahrscheinlichkeit ist dann 1).

Primzahlfaktoren ohne jegliche Zusatzinformation sehr zeitin-

Mit Großrechnern im Verbund und 1015 Tests auf Richtigkeit
tensiv ist.

pro Sekunde werden dafür zurzeit maximal 13,7 Tage bzw.

1016 Jahre benötigt (Beispiele oben). Irgendwann im Zeitbereich

RSA-Verfahren, Schlüsselaustausch
zwischen „praktisch Null“ und 13,7 Tagen bzw. 1016 Jahren
und einem enormen apparativen Aufwand bekommt man das

Der Schlüsselaustausch beim RSA-Verfahren wird hier an ver-
richtige Ergebnis. Es stellt sich dann die Frage, ob sich das „Co-
gleichsweise kleinen Primzahlen gezeigt. Vorteil: Das Prinzip
deknacken“ noch lohnt.

ist nachvollziehbar. Nachteil: Eine ausreichende Sicherheit er-
gibt sich erst mit einer sehr viel größeren Stellenzahl der

Die zweite Gruppe sind die Anwender, die für eine verschlüs-

Primzahlen.

selte Übertragung ein Passwort selber erzeugen. Hier liegt eine
große Gefahr für die Sicherheit der Verschlüsselung. Der „Er-

Anna ( A) und Bernd ( B) wollen eine geheim zu haltende Nach-
folg“ eines Angriffes kann nur dadurch erschwert werden,
richt austauschen. Als erstes tauschen sie den Schlüssel aus.

dass für das Passwort 1. völlig sinnlose Zeichen kombinationen

Dazu wählt einer von beiden eine beliebige Primzahl p und eine
gewählt werden (Begriffe aus Lexika und Passwort-Hitlisten

Zufallszahl z und teilt dem anderen diese beiden Zahlen mit. Sie
werden als erstes – und leider häufig auch erfolgreich – zum
werden nicht verschlüsselt übertragen.

Codeknacken eingesetzt) und 2. so viel Zeichen wie möglich

Anna wählt eine Zufallszahl a mit der Bedingung a < p und
verwendet werden. Es empfiehlt sich auch, das oder die Code-
hält diese Zahl geheim.

wörter im Abstand von wenigen Wochen zu ändern. Es ist sicher
nicht wünschenswert, dass der Code geknackt worden ist und

Bernd wählt eine Zufallszahl b mit der Bedingung b < p und
die eigenen Informationen weiter verwendet werden, ohne dass
hält diese geheim.

man selber davon weiß. Die Erfahrung, verknüpft mit dem mo-

Anna berechnet A za (modulo p); Bernd B zb (modulo p).

mentanen Stand der Technik, zeigt, dass niemals weniger als

Anna sendet das Ergebnis A an Bernd, Bernd das Ergebnis B an

8 bis 10 Zeichen für das Passwort verwendet werden sollten

Anna, unverschlüsselt.

und dass Klein- und Großbuchstaben, Ziffern und Sonderzei-
chen zum Einsatz kommen. Das Problem für den Anwender

Anna berechnet S

ab

Ba (modulo p); Bernd berechnet S ab
ist, dass er sich solche Passwörter kaum merken kann. Er wird

Ab (modulo p).

1320

108 Optimierte Nachrichten- und Datenübertragung

Teil

Tab. 108.11 Codier- und Decodiervorgang

Originaltext

1

0

0

0

Leerzeichen E

U

R

XIII
i (fortlaufend numme-

1

2

3

4

5

6

7

8
riert)

Zuordnung: Textele-

1 $ 31

0 $ 30

0 $ 30

0 $ 30

E $ 40

U $ 54

R $ 52
ment $ Zahl Mi

Leerz. $ 20

Originaltext verschlüsseln

C

i

. Mi/ e (modulo

C 1

26

C 2

35

C 3

35

C 4

35

C 5

15

C 6

50

C 7

54

C 8

13
n) ) C
i

. Mi/27

(modulo 55)

Nachricht senden

C 1 C 2 : : : C 8

26 35 35 35 15 50 54 13

Gesendete Nachricht entschlüsseln

M

i

. Ci/ d (modulo n) M 1

31 $ 1 M 2

30 $ 0 M 3

30 $ 0 M 4

30 $ 0 M 5

20 $ M 6

40 $ E M 7

54 $ U M 8

52 $ R

) M
i

. Ci/3 (modulo

Leerzeichen

55) ! ergibt Zahl $
ergibt Textelement

Originaltext, formatiert

1000 EUR

Beide erhalten den gleichen Wert, also das gleiche Schlüssel-

! . n; d/ ist der geheime Schlüssel, wobei nur d geheim zu
wort S ab.

halten ist. Er kann z. B. nach dem oben erläuterten Verfahren
ausgetauscht werden.

Mit Zahlenwerten: Beide einigen sich auf die Primzahl p D 157

2. Verschlüsseln:

und die Zufallszahl z D 13. Das tauschen sie unverschlüsselt

Die zu verschlüsselnde Nachricht liegt entweder als eine ein-
untereinander aus. Anna wählt die Zufallszahl a D 111 und hält
zelne Zahl M oder als Zahlenfolge mit den Einzelelementen
sie geheim, Bernd wählt die Zufallszahl b D 14 und hält sie

M
geheim. Beide Zahlen sind voraussetzungsgemäß kleiner als p.

i vor. Bei der Textübertragung könnte das z. B. der ASCII-

Code der einzelnen Zeichen sein. Dann werden die einzelnen

Anna bildet A za (modulo p) 13111 (modulo 157) 156.

Zahlen (eindeutig verknüpft mit den Zeichen), in der Rei-
henfolge wie in der Nachricht, der Operation C . M

Bernd bildet B zb (modulo 157) 1314 (modulo 157) 12.

i
i/ e

(modulo n) unterzogen. Diese Einzelelemente Ci werden, in

Anna sendet 156 an Bernd, Bernd sendet 12 an Anna, unver-
der Reihenfolge unverändert, aneinandergereiht und übertra-
schlüsselt.

gen.

3. Entschlüsseln:

Anna berechnet S

ab

12111 (modulo 157) 1.

Die übertragenen Einzelelemente werden, in der Reihen-

Bernd berechnet S

ab

15614 (modulo 157) 1.

folge unverändert, der Operation M
i

. Ci/ d (modulo n)

unterzogen, und das ergibt, aneinandergereiht, den unver-

Beide Werte sind gleich. Aus den unverschlüsselt übertragenen
schlüsselten Text.

Zahlen z D 13, p D 157, A D 156 und B D 12 lässt sich der

Schlüssel nicht bestimmen, und weder Anna noch Bernd können
die Zufallszahl b bzw. a des anderen errechnen.

RSA-Verfahren, einfaches Beispiel zum Datenaustausch

Übertragen eines verschlüsselten Textes nach dem RSA-

RSA-Verfahren, Prinzip Datenaustausch

Verfahren.

Zur Übertragung größerer Datenmengen geht man folgenderma-

Zunächst p D 5, q D 11 gewählt, ergibt n D p q D 55.

ßen vor:

J. n/ D .51/.111/ D 40. Gewählt e D 27. Dazu wird d D 3
so gewählt, dass die notwendige Bedingung e d D 27 3 D 81,

1. Bestimmen der Verschlüsselungsparameter:

81 (modulo 40) D 1 erfüllt ist. Die Wahl von e und dem dazu

Wählen zweier (beliebiger) Primzahlen p und q mit der Be-
geeigneten d kann durchaus mit einigem Aufwand verbunden
dingung, dass die Zahl der unterschiedlichen zu übertragen-
sein. Es können wegen n D 55 insgesamt 54 unterschiedliche
den Zeichen (bei Textübertragung z. B. Zahl der Großbuch-

Zeichen übertragen werden, also z. B. 26 Großbuchstaben, 10
staben C Zahl der Kleinbuchstaben C Zahl der Ziffern C

Ziffern und 18 Sonderzeichen.

Zahl der Sonderzeichen) kleiner als p q ist.

Berechnen des Produktes n D p q ( n ist der RSA-Modul).

Verschlüsselt übertragen werden soll der Text „1000 EUR“ –

Wählen einer Zahl e aus dem Zahlenbereich 2 e . n 1/ ohne die Anführungsstriche. Die Text-Elemente (Text-Zeichen)

mit der Bedingung „ e ist teilerfremd zu J. n/ D . p 1/ . q sind wie folgt den Zahlenwerten zugeordnet (nicht ganz konse-

1/“ ( J. n/ ist die Euler-Funktion).

quent der ASCII-Code): 1 $ 31, 0 $ 30, Leerzeichen $ 20,

Wählen einer Zahl d aus dem Zahlenbereich 1 d . n 1/ E $ 40, U $ 54, R $ 52. Diese Zuordnung muss Sender und
mit der Bedingung „ e d D 1 (modulo J. n/)“.

Empfänger bekannt sein und kann gegebenenfalls vorher öffent-

Die Zahlen p, q und J. n/ werden jetzt nicht mehr benötigt.

lich ausgetauscht werden. Es können damit Zahlen bis maximal

! . n; e/ ist der öffentliche Schlüssel, der unverschlüsselt 54 verschlüsselt werden. Tab. 108.11 zeigt die Berechnungen
ausgetauscht wird.

zur Ver- und Entschlüsselung.

108.5

Fensterung

1321

Ungünstig bei dieser Art der Codierung ist, neben den viel zu
u a
kleinen Primzahlen und damit einhergehender unsicherer Ver-

Zeitfenster T

10

Fe
schlüsselung, dass dreimal das Zahlenpaar 30 hintereinander

V

XIII
übertragen wird. Das deutet auf gleiche Zeichen im Original-
text hin. Günstiger wäre z. B., mehrere Zeichen zu einer Gruppe

5

Teil
zusammenzufassen und diese dann insgesamt zu verschlüsseln.

Wenn zwei benachbarte Zeichen zu einer Gruppe zusammenge-
fasst werden, sieht das z. B. so aus: 3130, 3030, 2040, 5452. Der

0

Empfänger muss nach dem Empfang die Gruppe wieder in die

T 0

Originalzeichen auftrennen. In dem hier dargestellten Beispiel
ist diese Gruppenbildung allerdings nicht möglich. Dazu müss-

-5
ten p und q und anschließend e und d neu gewählt werden mit
der Bedingung p q D n > 5452 (größter Gruppenwert).

-10
t

0

1

2

3

4 ms

108.5

Fensterung

Abb. 108.5 Signalausschnitt zur Bildung der FFT
u a

T Fe

Häufig ergibt sich die Forderung, die in einem Signal enthalte-

10
nen Frequenzanteile zu bestimmen. Ein gängiger Lösungsweg

V
dazu ist die Digitalisierung des Signals und die Anwendung der

5

Fourieranalyse bei periodischen Signalen bzw. der Fouriertrans-
formation in Form der schnellen Fouriertransformation (FFT,
siehe Teil XIV „Signal- und Systemtheorie“, Abschn. 117.2

0

„Schnelle Fouriertransformation“) bei einmaligen Signalen. In
der Praxis lassen sich dazu speziell entwickelte und optimier-
te mathematische Programme einsetzen. Der Anwender oder

-5
das Programm wählt aus dem gegebenen Zeitsignal entweder
einen Ausschnitt oder das gesamte Signal aus. Dabei wird der

-10

Startzeitpunkt t D 0 und die Dauer T Fe festgelegt (Abb. 108.5
t
bis 108.8). Das gesamte Signal oder der Ausschnitt wird di-

0

5

10 ms
gitalisiert und zur weiteren Verarbeitung abgespeichert. Das
verarbeitende Programm muss davon ausgehen, dass es sich

Abb. 108.6 Periodisch fortgesetztes Signal aus Abb. 108.5
um ein periodisches Signal mit der Periodendauer T Fe handelt

(Voraussetzung für die Anwendung der FFT). Der gespeicher-
quenzanteile ermittelt, die im Originalsignal nicht vorhanden
te Signalverlauf wird also mit der Periodendauer T Fe periodisch
sind und deren Ursache in dem Signalsprung liegt.

fortgesetzt. Dabei tritt das Problem auf, dass dem Signalwert
zum Zeitpunkt t D T Fe der Signalwert zum Zeitpunkt t D 0

Will man diesen Fehler verringern, gibt es zwei Möglichkeiten:

folgt. Damit ergibt sich in der Regel ein Sprung im Signalver-
lauf, der aber in Wirklichkeit nicht vorhanden ist und der im

1. Die Zeitdauer T Fe des abgespeicherten Signals wird so ge-

Frequenzspektrum zusätzliche, im Originalsignal nicht vorhan-
wählt, dass sie ein ganzzahliges Vielfaches der Periodendau-
dene, Frequenzanteile bewirkt. Die Ergebnisse der Fourierzerle-
er T

D

0 des gegebenen periodischen Signals ist: T Fe
n T 0 mit
gung bzw. Fouriertransformation sind verfälscht. Dabei bewirkt
n D 1; 2; : : : Dazu muss T 0 überhaupt erst einmal vorhanden
ein Signalsprung Harmonische mit den Frequenzen f D
sein (periodisches Signal) und dann auch noch sicher erkannt
n
n= T Fe
mit n D 1; 2; 3; : : : und besonders großen Amplituden. An ei-
werden. Diese Maßnahme ist besonders dann kaum durch-
nem einfachen Beispiel mit einem periodischen sinusförmigen
führbar, wenn es sich um einen automatisch ablaufenden

Signalverlauf mit der Frequenz f D 1 kHz soll das gezeigt wer-

Vorgang handelt, bei dem in der Regel T Fe fest vorgegeben
den. Aus diesem Signal wird ein Signalausschnitt (Zeitfenster)

ist.

mit der Dauer T

D

2. Das abgespeicherte Signal wird zu jedem Zeitpunkt mit

Fe

4;3 ms entnommen, Abb. 108.5. Das Pro-
gramm zur Berechnung der FFT setzt dieses Signal periodisch
einem Faktor, auch Gewichtungsfunktion genannt, multipli-
fort, Abb. 108.6, und bildet daraus die Fouriertransformierte.

ziert und erst dann ausgewertet. Dieser Faktor ist zu Beginn

. t D 0/ null, geht am Ende . t D T Fe/ des gespeicherten Si-

Das Frequenzspektrum zeigt Abb. 108.8. Bei t D 4;3 ms und
gnals wiederum gegen Null und ist im überwiegenden Teil

Vielfachen davon gibt es einen Sprung im Signalverlauf, der
des Signalverlaufes 1 oder nahe 1. Damit hat die periodische
einen Gleichanteil (der Signalanteil von 4,0 bis 4,3 ms wird

Fortsetzung des gespeicherten Signals keinen zusätzlichen
nicht mehr durch einen gleich großen negativen Signalanteil

Sprung, da es zu Beginn und am Ende der „Periode“ den –
kompensiert) und ein Spektrum mit abnehmender Amplitude
erzwungenen – Wert 0 hat. Die Gewichtsfunktion wird auch
bei steigender Frequenz zur Folge hat. Es werden demnach Fre-
mit Fenster oder Fensterfunktion bezeichnet.

1322

108 Optimierte Nachrichten- und Datenübertragung

Teil
u
u

Zeitfenster T
aFFT

Fe
a

Trapezfenster

XIII

10

V

8

8

V

6

4

6

2

0

4

-2

-4

-6

2

Trapezfenster

-8

Rechteckfenster

-10

T (1-a)

Fe
t

0
f

0 a T

0

2

4

6 kHz

Fe

2

4

6

8 ms

Abb. 108.7 Signal aus Abb. 108.5 nach Passieren eines Trapezfensters

Abb. 108.8 FFT der Signale nach Abb. 108.5 (Rechteckfenster) und Abb. 108.7

(Trapezfenster)

Im Abb. 108.7 ist das abgespeicherte Signal mit der Ge-
wichtsfunktion eines Trapezes multipliziert ( Trapezfenster). Der

„Momentaufnahmen mit mehr oder weniger großen Abwei-

Sprung bei t D T
chungen“. Anhand von Abb. 108.5 ist zu erkennen, dass sich

Fe ist nicht mehr vorhanden, und der Gleichan-
teil hat sich verringert. Das zeigt auch der Verlauf in Abb. 108.8,
die Ergebnisse der FFT auch ändern, wenn das Zeitfenster

Trapezfenster. Wenn das gespeicherte Signal wie in Abb. 108.5
bei gleicher Dauer nur verschoben wird oder wenn die Dauer
ohne Einwirken einer Gewichtsfunktion verarbeitet wird, ist das
des Zeitfensters geändert wird. Die erhaltenen Ergebnisse sind
gleichbedeutend mit der Multiplikation mit einer Gewichtsfunk-
deshalb durch geeignete Maßnahmen der Realität anzupassen.

tion, die konstant gleich 1 ist. Man spricht dann formal von

Auch hier können die im Kap. 97 „Filter“ genannten Entwurfs-
einem Rechteckfenster, Abb. 108.8.

und Simulationsprogramme nützlich sein.

Für die Gewichtsfunktionen gibt es unterschiedliche Möglich-
keiten. Der Anwender muss entscheiden, welche Funktion für
seine Anwendung geeignet ist. Einige bewährte Beispiele sind
im Folgenden dargestellt. Neben der bereits oben genannten

Forderung nach kleinen Werten in der Nähe der Fenstergrenzen

Literatur
sollte die Gewichtsfunktion auch keine Knickstellen enthalten,
weil diese ein ausgeprägtes Spektrum bis hin zu höheren Fre-

Literatur allgemein
quenzen besitzen. Insofern ist die hier verwendete Trapezfunkti-
on nur bedingt einsetzbar. Ein Trapezfenster mit „abgerundeten“

1. Herter, E., Lörcher, W.: Nachrichtentechnik. Verlag Hanser

Knickstellen findet als Tukey-Fenster Verwendung.

München, Wien. 4,9. Auflage 2003.

Es folgen einige Beispiele für häufiger verwendete Gewichts-

2. Küpfmüller, K.: Die Systemtheorie der elektrischen Nach-
funktionen (Fensterfunktionen) f
richtenübertragung. Verlag Hirzel Stuttgart. Dritte Auflage

Fe:

1968.

1. Rechteckfenster: f Fe. t/ D 1 für 0 < t < T Fe, 0 sonst

3. Bossert, M., Fliege, N., Kammeyer, K. D.: Nachrichten-

2. Trapezfenster: f

Fe1. t/ D

1
t für 0 t a T
a T

Fe.

Fe
übertragung. Verlag Vieweg-Teubner Wiesbaden. 4. Auflage
f

Fe2. t/ D 1 für a T Fe
t T Fe .1 a/.

2008.

f Fe3. t/ D .1 t / 1 für T

T

Fe.1 a/ t T Fe.

4. Von Grüningen, D.: Digitale Signalverarbeitung. Fachbuch-

Fe
a
mit 0 < a < 1=2
verlag Leipzig. 4. Auflage 2008.

3. Tukey-Fenster: Trapezfenster mit abgerundeten Knickstellen

5. Werner,

M.:

Nachrichten-Übertragungstechnik.

Verlag

4. Hamming-Fenster: f Fe. t/ D 0;54 0;46 cos..2 t/= T Fe/

Vieweg-Teubner. 1. Auflage 2006.

für 0 t T Fe.

6. Nocker, R.: Digitale Kommunikationssysteme 2. Verlag

5. Hanning-Fenster: f Fe. t/ D 1 cos2.. t/= T Fe/ für 0 t

Vieweg-Teubner. 1. Auflage 2005.

T Fe.

7. Butz, T.: Fouriertransformation für Fußgänger. Verlag

6. Blackman-Fenster: f Fe. t/ D 0;42 0;5 cos..2 t/= T Fe/ C

Vieweg-Teubner. 6. Auflage 2009.

0;08 cos..4 t/= T Fe/ für 0 t T Fe.

7. Von Hann-Fenster: f Fe. t/ D 0;5 .1 cos..2 t/= T Fe// für

0 t T Fe.

Literatur zu Kapitel 93

In der Nachrichtentechnik treten eigentlich nur stochastische Si-
gnalverläufe auf, da nur sie Information enthalten. Die auf die

8. Weißgerber, W.: Elektrotechnik für Ingenieure 3. Verlag
oben geschilderte Art bestimmten Frequenzanteile sind dann

Vieweg-Teubner Wiesbaden. 7. Auflage 2009.

Literatur

1323

Literatur zu Kapitel 94

Literatur zu Kapitel 96

9. Doebke, W.: Die Berechnung von Leitungsproblemen mit

20. Mäusl, R.: Analoge Modulationsverfahren. Verlag Hüthig

XIII
neuen Systemgrößen. AEU, Band 11, 1957, Heft 12.

Heidelberg. 1988.

10. Geschwinde, H.: Kreis- und Leitungs-Diagramme. Verlag

21. Steinbuch, K., Rupprecht, W.: Nachrichtentechnik, Band 2:

Teil

Franzis München. 1975.

Nachrichtenübertragung. Verlag Springer Berlin, Heidel-

11. Janssen, W.: Hohlleiter und Streifenleiter. Verlag Hüthig
berg, New York. 3. Auflage 1982.

Heidelberg. 1977.

22. Hölzer, E., Holzwarth, H.: Pulstechnik, Band 1: Grundla-

12. Krank, W.: Über die Theorie und Technik des elliptischen
gen. Verlag Springer Berlin, Heidelberg, New York. 1982.

Wellrohrleiters. Dissertationa D 82 RWTH Aachen.

23. Mäusl, R.: Digitale Modulationsverfahren. Verlag Hüthig

13. Meinke-Gundlach: Taschenbuch der Hochfrequenztechnik.

Heidelberg. 3. Auflage 1991.

Hrsg. L. Lange und K. H. Löcherer. Verlag Springer Berlin,

Heidelberg, New York, Tokyo. 1986.

14. Michel, K.-J.: Zweitoranalyse mit Leistungswellen. Verlag

Literatur zu den Kapiteln 99, 103, 105 und 108

B. G. Teubner Stuttgart. 1981.

15. Scheffler, E.: Flexwell-Kabel – Koaxiale Hochfrequenzka-

24. Mäusl, R.: Fernsehtechnik. Hüthig-Verlag Heidelberg. 4.

bel mit gewelltem Außenleiter. Telefunken-Zeitung. Jahr-

Auflage 2006.

gang 33, Heft 136.

25. Opielka, D.: Optische Nachrichtentechnik. Verlag Vieweg

16. Stadler, E.: Hochfrequenztechnik. Verlag Vogel Würzburg.

Braunschweig/Wiesbaden. 1995.

1973.

26. Brückner, V.: Optische Nachrichtentechnik. Verlag Vieweg-

17. Voges, E.: Hochfrequenztechnik. Band 1, Bauelemente und

Teubner Wiesbaden. 1. Auflage 2003.

Schaltungen. Verlag Hüthig Heidelberg. 1986.

27. Schiffner, G.: Optische Nachrichtentechnik. Verlag Vieweg-

Teubner Wiesbaden. 1. Auflage 2005.

28. Schumny, H.: Signalübertragung. Verlag Vieweg Braun-

Literatur zu Kapitel 95
schweig/Wiesbaden. 2. Auflage 1987.

29. Werner, M.: Information und Codierung. Verlag Vieweg-

18. Unger, H.-G.: Hochfrequenztechnik in Funk und Radar.

Teubner Wiesbaden. 2. Auflage 2008.

Verlag Teubner Stuttgart. 1972.

19. Schumny, H.: Signalübertragung. Verlag Vieweg Braun-
schweig/Wiesbaden. 2. Auflage 1987.

Signal- und

XIV

Systemtheorie

XIV

Teil

109

Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327

110

Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1331

111

Periodische nichtsinusförmige zeitkontinuierliche Signale . . . . . . 1333

112

Nichtperiodische zeitkontinuierliche Signale . . . . . . . . . . . . . 1339

113

Spezielle Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355

114

Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359

115

Faltungsintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363

116

Abtasttheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367

117

Nichtkontinuierliche (zeitdiskrete) Signale . . . . . . . . . . . . . . . 1369

118

Zufällige Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375

1325

1326

Häufig verwendete Formelzeichen
h. x/

Wahrscheinlichkeitsdichte(funktion),

Häufigkeit,

Gaußverteilung
mit

N x im Koordinatenursprung,

Nähere Erläuterungen dazu finden sich an der angegebenen Stel-

(118.40)

le im Text

L

Laplacetransformierte, Abschn. 112.2.1
a

Verhältnis von Nutz- zu Störsignal allgemein, (118.51)

L1
inverse Laplacetransformierte, Abschn. 112.2.1

C
komplexer Fourierkoeffizient, (111.5), (111.7)

S. f /

Spektralfunktion, Spektraldichte, (110.9)

k
j C j

(komplexes) Amplitudenspektrum, (111.8)

S. f /
alternative Schreibweise für S. f / in der Literatur, hier
k

E
nicht verwendet
s 1

Energie des Signals s 1, (118.23)

F

Fouriertransformierte, Abschn. 112.1.1

S 1. f /

Frequenzabhängige Eingangsgröße des Systems bei

F1
inverse Fouriertransformierte, Abschn. 112.1.1
der Fouriertransformation, Abb. 109.1

Teil

F. s/

Laplacetransformierte allgemein, Abschn. 112.2.1

S 1. j!/ alternative Schreibweise für S 1. f / in der Literatur, hier

F
nicht verwendet

1. s/

Frequenzabhängige Eingangsgröße des Systems bei

XIV
der Laplacetransformation, Abb. 109.1

S 2. f /

Frequenzabhängige Ausgangsgröße des Systems bei

F
der Fouriertransformation, Abb. 109.1

2. s/

Frequenzabhängige Ausgangsgröße des Systems bei
der Laplacetransformation, Abb. 109.1

S 1. z/

Frequenzabhängige Eingangsgröße des Systems bei
f
der z-Transformation, Abb. 109.1

1. t/

Zeitabhängige Eingangsgröße des Systems; nur bei
der Laplacetransformation wegen Verwechslungsge-

S 2. z/

Frequenzabhängige Ausgangsgröße des Systems bei
fahr mit s
der z-Transformation, Abb. 109.1

1. t/ verwendet, Abb. 109.1

F. j!/

Alternative Schreibweise für S. f / in der Literatur, hier Sss

Leistungsspektralfunktion, (110.10)

nicht verwendet
s

Variable
bei
der

Laplacetransformation,

Ab-

H. f /

Übertragungsfunktion in Abhängigkeit von der Fre-
schn. 112.2.1
quenz bei der Fouriertransformation, Abb. 109.1
s 1. t/

Zeitabhängige Eingangsgröße des Systems; bei der La-

H. x/

Summenhäufigkeitsfunktion, Summenfunktion, Ab-
placetransformation wegen Verwechslungsgefahr mit
schn. 118.1
f 1. t/ bezeichnet, Abb. 109.1

H. x/

Summenhäufigkeitsfunktion, Summenfunktion, Gauß-
s 2. t/

Zeitabhängige Ausgangsgröße des Systems; bei der
verteilung mit N x im Koordinatenursprung, (118.41)

Laplacetransformation wegen Verwechslungsgefahr

H. f /
mit f
nT

Übertragungsfunktion
bei
abgetasteten

Signalen,
ab

2. t/ bezeichnet, Abb. 109.1

(117.6)

w. x/

Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Ereignisses

H. s/

Übertragungsfunktion in Abhängigkeit von der Fre-
x, (118.1a)

quenz bei der Laplacetransformation, Abb. 109.1

N x

Mittelwert, (118.4), (118.5)

H. z/

Übertragungsfunktion in Abhängigkeit von der Fre-

˚SS

Autokorrelationsfunktion, AKF, (118.11)

quenz bei der z-Transformation, Abb. 109.1

˚ s 1 s 2

Kreuzkorrelationsfunktion der zwei Signale s 1. t/ und

H.!/

Alternative Schreibweise für H. f / in der Literatur, hier
s 2. t/, KKF, (118.21)

nicht verwendet

˚NN

Kreuzkorrelierte von Rauschen, (118.48a)

H. j!/

Alternative Schreibweise für H. f / in der Literatur, hier ı; ı. t/

Stoßfunktion, ı-Funktion, Dirac-Impuls, Abschn.

nicht verwendet

113.1
h. t/

Übertragungsfunktion des Systems in Abhängigkeit

; . t/ Sprungfunktion, Abschn. 113.2
von der Zeit, Abb. 109.1

2

Varianz, (118.7)

h. x/

Wahrscheinlichkeitsdichte(funktion), Häufigkeit, Ab-
schn. 118.1

Einführung

109

Wilfried Plaßmann

XIV

Teil

109.1 Darstellung in der Zeit- und in der Frequenzebene . . . . . . . . . . 1328

109.2 Hinweise zur Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1327

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_109

1328

109 Einführung

109.1

Darstellung in der Zeit- und in

Eingangs-

Ausgangs-
größe
größe
der Frequenzebene

System

Abb. 109.1 stellt den Aufgabenbereich der Signal- und Sys-
temtheorie dar. Ein Eingangssignal, das entweder als Funktion

Zeitebene
s ( t

1 )

h t

( )

s t

2( )

der Zeit ( s 1. t// oder als Funktion der Frequenz ( S . f /, F

1

1. s/,

S

Fourier

S ( f)

H f

( ) S f

( )

1. z// gegeben ist, erfährt durch ein System, dessen Eigen-

1

2

Frequenz-
schaften durch h. t/ bzw. H. f /, H. s/ oder H. z/ gekennzeichnet

Laplace F s

1( )

H s

( ) F s

2( )

ransformation
ebene

T
z

S ( z)

H z

( ) S z

( )

werden, eine Beeinflussung und erscheint als geändertes Aus-

1

2

T

Rücktransformation
eil
gangssignal s 2. t/ bzw. S . f /, F

2

2 . s/ oder S 2. z/. Die Signal- und

Systemtheorie erfasst in einem ersten Schritt die Zusammen-

Abb. 109.1 System mit zugeordneten Größen

XIV
hänge zwischen den eingezeichneten Größen. Stellt das System
z. B. die Übertragungsstrecke für Daten dar, dann sind sehr hohe

Anforderungen zu erfüllen: Schnelle und (fast) fehlerfreie Über-

Nach Abb. 109.1 können die Signale am Ein- und Ausgang
tragung möglichst vieler unterschiedlicher Daten gleichzeitig,
sowie die Systemeigenschaften sowohl als Funktion der Zeit
die sich eindeutig wieder trennen lassen müssen, wobei nur eine

(z. B. Spannungsimpuls der Höhe 2 V und der Dauer 2 ms) als
begrenzte Bandbreite zur Verfügung steht. Deshalb folgt häufig
auch der Frequenz (z. B. Tiefpass mit der Grenzfrequenz fg)

in einem zweiten Schritt die Optimierung aller an der Übertra-
dargestellt werden. Während s 1. t/, h. t/ und s 2. t/ „anschauli-
gung beteiligten Größen, d. h., sowohl die Eingangsgrößen als
che“ Größen sind, werden die Systemeigenschaften häufig in
auch die Systemgrößen müssen geeignet gewählt bzw. aneinan-
der Frequenzebene dargestellt. Das hat im wesentlichen zwei
der angepasst werden. Für die Darstellung im Frequenzbereich

Gründe:

werden drei Verfahren angewendet: Die Fouriertransformation

1. Zwischen den Ein- und Ausgangsgrößen besteht die einfache
mit den Größen S . f /, H. f /, S . f /, die Laplacetransformation

1

2

Beziehung:

mit F 1. s/, H. s/, F 2. s/ und die z-Transformation mit S 1. z/, H. z/,

S 2. z/. Obwohl die Größen in der Frequenzebene komplexe Grö-

S . f / D H. f / S . f /

(109.1a)

ßen sein können, müssen sie nicht als solche gekennzeichnet

2

1
werden, siehe (110.6) und (110.7).

bei der Fouriertransformation,

Es gelten folgende Bezeichnungen:

s

F 2. s/ D H. s/ F 1. s/

(109.1b)

1. t/; . f 1. t// Zeitabhängige Eingangsgröße des Systems; bei
der Laplacetransformation wegen Verwechslungs-
gefahr mit f
bei der Laplacetransformation,

1. t/ bezeichnet,
h. t/

Übertragungsfunktion des Systems in Abhängig-
keit von der Zeit,

S 2. z/ D H. z/ S 1. z/

(109.1c)

s 2. t/; . f 2. t// Zeitabhängige Ausgangsgröße des Systems; bei
der Laplacetransformation wegen Verwechslungs-
bei der z-Transformation.

gefahr mit f

Die Größen s

2. t/ bezeichnet,

1. t/, h. t/ und s 2. t/ dagegen sind über die ma-

S
thematisch aufwendigere Operation der Faltung verknüpft

1. f /; S . f / Frequenzabhängige Eingangsgröße des Systems,

1

Fouriertransformation,

(siehe Kap. 115):

H. f /; H. f / Übertragungsfunktion in Abhängigkeit von der Fre-

C1
quenz, Fouriertransformation,

Z

S 2. f /, S . f / Frequenzabhängige Ausgangsgröße des Systems,
s
h./ s

2

2. t/ D h. t/ s 1. t/ D

1. t / d:

(109.2)

Fouriertransformation,

1

F 1. s/

Frequenzabhängige Eingangsgröße des Systems,

Laplacetransformation,

Symbol für „Faltung“.

H. s/

Übertragungsfunktion in Abhängigkeit von der Fre-

2. Nahezu jedes System enthält, absichtlich eingesetzt oder
quenz, Laplacetransformation,
vom Aufbau gegeben, die Elemente L und C in einer ihm

F 2. s/

Frequenzabhängige Ausgangsgröße des Systems,
eigenen spezifischen Kombination. Die Beziehung zwischen

Laplacetransformation,
der Spannung u und dem Strom i beim Kondensator bzw.

S 1. z/

Frequenzabhängige Eingangsgröße des Systems, z-
bei der Spule wird über je einen Differentialquotienten in der

Transformation,

Zeitebene erfasst: u D

D

L

L diL= dt, iC

C duC= dt. Damit

H. z/

Übertragungsfunktion in Abhängigkeit von der Fre-
führt die Verknüpfung von s 1. t/ mit s 2. t/ auf eine Differenti-
quenz, z-Transformation,
algleichung. Für die Berechnung ist es aber i. Allg. günstiger,

S 2. z/

Frequenzabhängige Ausgangsgröße des Systems,
wenn eine der Gleichungen (109.1a), (109.1b), (109.1c)

z-Transformation.

verwendet werden kann, weil dann, unter Anwendung geeig-

109.2

Hinweise zur Anwendung

1329
neter Transformationen, keine Differentialgleichung gelöst

Zum besseren Verständnis seien noch die folgenden Bemerkun-
werden muss und die Signal- und die Systemeigenschaften
gen angeführt:

in getrennten, voneinander unabhängigen Ausdrücken zu-

1. Bei dem System kann es sich z. B. handeln um
sammengefasst sind: S . f / und H( f / bzw. F

1

1. s/ und H. s/
ein Energieübertragungssystem (Generator–Transforma-
oder S 1. z/ und H. z/. Für sinusförmige Größen im ein-
tor–Leitung–Transformator–Verbraucher),
geschwungenen Zustand kann die Berechnung analog zu
ein Nachrichtenübertragungssystem (Fernsehkamera–

(109.1a), (109.1b) ohne Lösen einer Differentialgleichung in

Sender–Kabel–Empfänger–Bildschirm),

Form der komplexen Rechnung erfolgen. Das führt zu den
ein Datenübertragungssystem PC-Netzwerkkarte–Rou-

Impedanzen Z

D 1= j! C bzw. Z D j! L, die nicht mehr

C

L
ter–DSL-Leitung–Kontoführungseinrichtung des Geldin-
unmittelbar in ihrer Zeit-, sondern in ihrer Frequenzabhän-
stitutes),
gigkeit gegeben sind. Damit liegen auch die Ergebnisse der
ein Regelsystem (Konstanthaltung einer vorgegebenen

Berechnung in Abhängigkeit von der Frequenz vor.

Flughöhe),

Über die Fourier- und die Laplace-Transformation bei zeit-
einen Gleichstromsteller mit angeschlossenem Motor,

XIV
kontinuierlichen Signalen bzw. die z-Transformation bei
eine Verstärkerschaltung,
zeitdiskreten Signalen lässt sich eine der komplexen Rech-
eine Filterschaltung (Tiefpass, Bandpass zur Signalselek-
nung analoge Methode auch bei Einschwingvorgängen und

Teil
tion),
nichtsinusförmigen periodischen oder einmaligen Signalver-
einen Modulator bzw. Demodulator (Rundfunksender,
läufen anwenden. Es ergibt sich dann ebenfalls eine Darstel-

Rundfunkempfänger).

lung in Abhängigkeit von der Frequenz.

2. Ein System kann eine große Anzahl von Einzelkomponenten

Für die Darstellung der Signal- und Systemtheorie gilt hier
enthalten und damit sehr komplex sein, wie in den ersten 3
die folgende Zielsetzung: Die gegebenen oder geforderten Grö-

Beispielen unter Punkt 1, es kann aber auch aus nur wenigen
ßen, die in ihrer Zeitabhängigkeit vorliegen, werden in die

Elementen bestehen und damit überschaubar sein, so wie in

Frequenzebene transformiert. Für das System müssen die Eigen-
den letzten 2 Beispielen unter Punkt 1. Bei komplexen Sys-
schaften ebenfalls in der Frequenzebene vorliegen. Dann kann
temen kann man gegebenenfalls auf Vereinfachungen und
mit (109.1a), (109.1b), (109.1c) die gesuchte Größe berechnet

Näherungslösungen zurückgreifen, die übersichtlich sind
und anschließend in die Zeitebene zurücktransformiert werden.

und die die wesentlichen Eigenschaften trotzdem noch er-

In der Praxis werden vorwiegend die zeitabhängigen Größen
fassen. Die optimale Lösung findet man, falls erforderlich,
ausgewertet: Bei der Datenübertragung ist entscheidend, in wel-
durch Testreihen mit Parameteränderungen.

cher Form die Digitalsignale empfangen werden, denn daraus

3. Bei den im folgenden dargestellten formelmäßigen Zusam-
ergibt sich, ob sie noch fehlerfrei erkannt werden können oder
menhängen und bei den Transformationsvorschriften stößt
nicht. Auch beim Einsatz von Filtern ist meist nur von Be-
man durchaus in mathematische Grenzbereiche vor. Ziel
deutung, wie sich der zeitliche Signalverlauf ändert. Da sehr
dieses Kapitels ist aber nicht die umfassende theoretische
umfangreiche Transformationstabellen zur Verfügung stehen,

Behandlung der Signal- und Systemtheorie, sondern der Ge-
lohnt häufig der „Umweg“ über die Frequenzebene, weil ins-
danke, das Verständnis für die Zusammenhänge zu fördern
gesamt die Berechnungen mit weniger Aufwand möglich sind
und dem Anwender ein Hilfsmittel zur Lösung der ihm ge-
als die direkte Erfassung in der Zeitebene.

stellten Aufgaben an die Hand zu geben.

4. Die Signal- und Systemtheorie befasst sich auch mit sto-

Da die Leistungsfähigkeit der Rechner stetig zugenommen hat,
chastischen, d. h. mit nicht vorhersagbaren Signalen. Sie
wurden in den letzten Jahren Programme entwickelt, die die
tut dies, weil zum einen Störsignale (Rauschen) in die-

Systemberechnungen direkt in der Zeitebene durchführen, also
ser Form auftreten, zum anderen eine Nachrichten- bzw.

h. t/, s 1. t/ und s 2. t/ verwenden.

Datenübertragung nur in Form von nicht deterministischen

Signalen möglich ist, denn nur sie enthalten Information

(siehe Teil XIII „Nachrichtentechnik“, Abschn. 92.4).

5. Zur Beurteilung der Eigenschaften des Systems werden spe-

109.2

Hinweise zur Anwendung
zielle Eingangssignale verwendet. Man kann dann über das
gemessene s 2. t/ die Größe h. t/ bzw. H. f / bestimmen. An-
schließend lässt sich eine Aussage über den Verlauf von

Im folgenden werden Verfahren zur Erfassung von Systemen
s 2. t/ bei beliebigen Funktionen s 1. t/ angeben. Zu diesen
und Signalen dargestellt. Letztlich bleibt es dem Anwender
besonderen Funktionen gehören die Sprungfunktion, der
überlassen, welchen Weg er zur Lösung des gegebenen Pro-

(angenäherte) Dirac-Impuls und (weißes) Rauschen.

blems bevorzugt. Soll eine Transformation verwendet werden,

6. Der Themenkreis Zweitore (Vierpole) kann sowohl im
ist diejenige auszuwählen, die prinzipiell geeignet ist und die

Teil XIII „Nachrichtentechnik“ als auch in diesem Kapitel
die geringeren Schwierigkeiten aufweist: Die Fouriertransfor-
behandelt werden. Hier wurde der erste Weg gewählt, weil
mation hat eventuell Konvergenzprobleme, die die Laplace-
die Ein- und Ausgangsgrößen sinusförmig sind und nur der
transformation vermeidet. Für abgetastete Signale bietet sich die
eingeschwungene Zustand betrachtet wird.

z-Transformation an. Mit geeigneten Rechner- bzw. Mathema-

7. In der Literatur werden unterschiedliche Formelzeichen bzw.

tikprogrammen kann auch die direkte Lösung in der Zeitebene

Bezeichnungen verwendet, siehe (110.4), (110.5), (110.6),
mit dem Faltungsintegral (109.2) sinnvoll sein.

(110.6a), (110.7), (110.8), (110.9).

Grundbegriffe

110

Wilfried Plaßmann

XIV

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1331

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_110

1332

110 Grundbegriffe

Für die Begriffe Systemanalyse und -synthese gilt:

heißt dann Übertragungsfunktion und wird häufig bei Zwei-
toren (Vierpolen) angewendet:

1. Systemanalyse: Das Eingangssignal ist gegeben, das Aus-

Übertragungsfunktion, Fouriertransformation:

gangssignal gesucht.

2. Systemsynthese: Das Eingangssignal ist gegeben, das Aus-

H.!/ D S .!/= S .!/ D j H.!/j ej'.!/

(110.6)

gangssignal muss bestimmte Bedingungen erfüllen. Gesucht

2

1
ist ein geeignetes System.

Alternativ werden in der Literatur auch die Schreibweisen

Für die weiteren Ausführungen wird angenommen, dass das

System drei Bedingungen erfüllt:

H. j!/ D S . j!/= S . j!/ bzw. H. j!/ D S

2

1

2. j!/= S 1. j!/

(110.6a)

T

1. Stabilität: Es muss gelten:

eil
lim f s
f
oder

2. t/g D 0
für lim s 1. t/g D 0:

(110.1)

XIV
t!1
t!1

2. Linearität:

H. f / D S . f /= S . f / bzw. H. f / D S

2

1

2. f /= S 1. f /

(110.6b)

s 1 a. t/ ˛ s 2 a. t/;
s 1 b. t/ ˛ s 2 b. t/I
dann folgt
verwendet. Wird die Laplacetransformation eingesetzt, gilt
s 1 a. t/ C s 1 b. t/ ˛ s 2 a. t/ C s 2 b. t/

(110.2)

die folgende Schreibweise:

ąllgemein für Zuordnung.

Übertragungsfunktion, Laplacetransformation:

3. Zeitinvarianz:

F 2. s/

H. s/ D
s 1. t/ ˛ s 2. t/I
dann gilt auch

F 1. s/

(110.7)

s 1. t C / ˛ s 2. t C /

(110.3)

F 2. s/ Ausgangsgröße, F 1. s/ Eingangsgröße, beide in der
beliebige Zeitverschiebung,ąllgemein für Zuordnung.

symbolischen s-Ebene. Um Verwechslungen zu vermeiden,
wird die Schreibweise F. s/ anstatt S. s/ verwendet.

Die folgenden Begriffe und Beziehungen werden in der Signal-

Übertragungsfunktion, z-Transformation:

und Systemtheorie häufig verwendet (siehe auch DIN 1311).

Übertragungsfaktor allgemein:

H. z/ D S 2. z/

(110.8)

S 1. z/

S 2

T D

D j T j ej arc T

(110.4)

S 1

S 2. z/ Ausgangsgröße, S 1. z/ Eingangsgröße.

Spektralfunktion, Spektraldichte:

Die Größen S 1 und S 2 sind beliebig, d. h., sie können auch
unterschiedliche Dimensionen haben. Soll gekennzeichnet

C1

Z
werden, dass es sich um komplexe Größen handelt, kann die

S. f / D
s. t/ e j! tdt

(110.9)

folgende Schreibweise gewählt werden:

Übertragungsfaktor, wahlweise für komplexe Größen:

1

In der Literatur wird auch F. j!/ verwendet.

T D S 2 D j T j ej arc T

(110.5)

S

Leistungsspektralfunktion:

1

Durch den folgenden Ausdruck wird die Frequenzabhängig-

1
lim
j S. f /j2 D Sss. f /

(110.10)

keit des Übertragungsfaktors besonders gekennzeichnet. Er
t!1 t

Periodische nichtsinus-

111
förmige zeitkontinuierliche

Signale

Wilfried Plaßmann

XIV

Teil

111.1 Reelle und komplexe Fourierreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334

111.2 Beispiele und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1333

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_111

1334

111 Periodische nichtsinusförmige zeitkontinuierliche Signale

111.1

Reelle und komplexe

2. Symmetrie: s. t/ D s. t/ ungerade Funktion,

Fourierreihe

) a D

D

0

0;
ak

0
für alle k;

T=2

Z

Jeder periodische Signalverlauf s. t/ kann nach Fourier dar-

) b D 4
k
s. t/ sin k! tdt
gestellt werden als eine unendliche Summe aus sinus- und

T

0
cosinusförmigen Signalen, deren Frequenzen ein ganzzahliges

Vielfaches der Frequenz des gegebenen Signals sind:

3. Symmetrie: s. t C T=2/ D s. t/,

1

X

T
s. t/ D a C

. a cos k! t C b sin k! t/

(111.1)

)

a

D 0; b D 0 für alle k;
eil

0
k
k

2 k

2 k
k D1

T=2

Z

XIV
a 0 ist der Gleichanteil (arithmetischer Mittelwert), ! die Kreis-

) a

D 4

2 k C1
s. t/ fcos.2 k C 1/! t g dt;
frequenz des gegebenen Signalverlaufes. Für k gilt: k

D

T

0

1; 2; 3; : : : ak und bk sind die Scheitelwerte der Signale mit der

T=2

Z

Kreisfrequenz k !. Folgende Bezeichnungen werden allgemein
verwendet:

) b

D 4

2 k C1
s. t/ fsin.2 k C 1/! t g dt

T

Signal mit der Kreisfrequenz 1 !:

0

Grundschwingung oder erste Harmonische;

1. und 3. Symmetrie gleichzeitig:

Signal mit der Kreisfrequenz 2 !:

Erste Oberschwingung oder zweite Harmonische;

)

b D

D
k

0;
a 2 k

0
für alle k;

Signal mit der Kreisfrequenz 3 !:

T=4

Zweite Oberschwingung oder dritte Harmonische;

Z

) a

D 8
s. t/ fcos.2 k C 1/! t g dt
usw.

2 k C1

T

0

Die Größen a 0, ak und bk werden nach folgender Vorschrift be-
rechnet:

2. und 3. Symmetrie gleichzeitig:

T

Z

)

a D 0;
a D 0;
b

D 0 für alle k;
a D 1

0
k

2 k

0
s. t/ dt

(111.2a)

T

T=4

Z

0

)

D 8

T

Z
b 2 k C1
s. t/ fsin.2 k C 1/! t g dt

T
a D 2

0
k
s. t/ cos k! tdt

(111.2b)

T

0

Liegen Symmetriebedingungen vor, vereinfacht sich die Be-

T

Z
rechnung.

b D 2
k
s. t/ sin k! tdt

(111.2c)

T

Sprungstellen: Besitzt eine Funktion eine Sprungstelle, kon-

0
vergiert die Fourierreihe gegen den arithmetischen Mittel-

Daneben gibt es noch eine zweite Art der Darstellung für die
wert aus links- und rechtsseitigem Grenzwert an dieser Stel-

Fourierreihe:

le. Das in Abb. 111.2 dargestellte Signal hat zwei Sprung-

1

X
stellen, für t D 0 und t D aT. Die Fourierreihe konvergiert
für beide Sprungstellen gegen den Wert (0 C U
s. t/ D

O s

0 /=2 D U 0=2.

k
sin. k! t C ' k/

(111.3)

Gibbs’sches Phänomen: Wird eine Funktion s. t/ nach
k D0

(111.1) zusammengesetzt, und enthält die Funktion s. t/

Die Darstellungsarten nach (111.1) und (111.3) lassen sich in-

Sprungstellen, dann zeigt sich an den Sprungstellen ein
einander überführen:

geringes Überschwingen, das auch für k ! 1 nicht ver-
q
schwindet ( 9 %). In Abb. 111.4 ist das zu erkennen.

O
ak
s D

C I

D
k
a 2
b 2

'

arctan

(111.4)

k
k
k
b

Ursache dafür ist u. a., dass die Funktion an den Sprungstel-
k
len nicht definiert ist.

Symmetriebedingungen: Erfüllt der gegebene Signalverlauf
s. t/ bestimmte Bedingungen, treten nicht alle in (111.1) auf-

Funktionsverläufe in der Physik bzw. Elektrotechnik sind im
geführten Frequenzen auf:

gesamten Zeitbereich eindeutig definiert, sodass keine Sprung-

1. Symmetrie: s. t/ D s. t/, gerade Funktion,
stellen auftreten und das Gibbs’sche Phänomen nicht wirksam
wird.

) b D
k

0
für alle k;

Mit den Beziehungen

T=2

Z

T=2

Z

) a D 2

D 4

0
s. t/ dt;
ak
s. t/ cos k! tdt

T

T
cos ˛ D ej˛ C e j˛ ;
sin ˛ D ej˛ e j˛

0

0

2

2 j

111.2

Beispiele und Anwendungen

1335
a
b
u( t)

s kn

| C k|

2

U
π

1

0

1

2

1

1

2

2

1
π
π

1

0
t

2

1
a · T

T

3π

3π

3π

1

5π

5π

5π

0 1

3

5 k

–5 –3 –1 0 1

3

5 k

Abb. 111.2 Rechteckförmiger Spannungsverlauf mit veränderlichem Tast-
grad a

Abb. 111.1 Amplitudenspektrum (siehe Beispiel 1 und Abb. 111.2 für
gilt für den Zusammenhang zwischen reellen und komplexen
a D 1=2) in reeller (a) und komplexer Form (b)

Koeffizienten:

XIV
a D

D
k

2 Re. C /I
b

2 Im. C /

(111.9)

k
k
k
lässt sich (111.1) wie folgt schreiben:

Teil

Die Amplitudenwerte nach (111.11) (Beispiel 1) sind durch

1

X

a

U 0 geteilt. Auf der Abszisse (Abb. 111.1) kann wahlweise
k
ak
bk
bk
s. t/ D a C

0
ejk! t C
e jk! t C
ejk! t
e jk! t
die Frequenz, die Kreisfrequenz oder, wie hier, k aufgetragen

2

2

2 j

2 j
k D1
werden.

1

X

( komplexes) Phasenspektrum:

D
ak
ak
a C

C bk
bk

0
ejk! t C
e jk! t

2

2 j

2

2 j
k D1

„ ƒ‚ …

„ ƒ‚ …

$ D
bk
k
arctan

;

Ck

C k
ak

(111.5)

siehe (111.7).

Es lässt sich zeigen, dass C durch C ersetzt werden kann,
k
k

Andererseits gilt nach (111.4):

wenn in der Summe k von 1 bis C1 läuft. Dann ergibt sich
die Fourierreihe in der komplexen Form:

a

' D
k
k
arctan

:

bk

C1

X
s. t/ D

C ejk! t

Damit lassen sich beide ineinander umrechnen:

k
k D1

$ D
bk
bk
arctan

D arctan
mit
k
ak
ak

b
a

T

Z

D

k
k
arccot

D arctan

2
a
b

2

C D 1
s. t/ e jk! tdt

(111.6)

k
k
k

T

0
oder

Formal wurden hier negative Frequenzen eingeführt, die physi-

$ D '

(111.10)

kalisch aber nicht existieren (siehe dazu Abb. 111.1).

k
k

2

In (111.5) kann man schreiben:

Zu der Darstellung der Spektren (111.8) und (111.10) gehört
deshalb die Angabe, ob sie aus der reellen oder der komple-
ak
bk

C D
j

D j C j ej$ k

(111.7)

xen Form abgeleitet worden sind.

k

2

2
k

Daraus leiten sich, verknüpft mit (111.3) und (111.4), zwei für
die Anwendung praktische Begriffe ab:

111.2

Beispiele und Anwendungen

( komplexes) Amplitudenspektrum:

q

Beispiel 1
j C j D 1 a 2 C b 2 D 1 O s
k
k

(111.8)

2
k
k

2

Soll der Effektivwert einer Gleichspannung verringert

In Abb. 111.1 ist das Amplitudenspektrum in der reellen
werden, wird sie in eine Rechteckspannung mit einstell-

Form (links) und in der komplexen Form (rechts) für das Bei-
barem Tastgrad umgeformt, Abb. 111.2 (Anwendung:

spiel 1 (Abb. 111.2) mit a D 1=2 dargestellt. Man gelangt

Stromrichter, Gleichstromsteller, Helligkeitseinstellung
von der komplexen Darstellung zur reellen, wenn die Am-
von gepulsten LEDs). Die Gleichspannung wird peri-
plituden der negativen Frequenzen zu den Amplituden der
odisch ein- und ausgeschaltet. Damit hat dieses Verfahren
entsprechenden positiven Frequenzen addiert werden. Damit

1336

111 Periodische nichtsinusförmige zeitkontinuierliche Signale

Tab. 111.1 Strom-Maximalwerte der Harmonischen im 50-Hz-Stromversorgungsnetz bei Stromverläufen nach Abb. 111.3 (Auszug)

Nummer der Harmonischen

3

5

7

9

11

13

15

. . .

25

. . .

Max. Stromwert in A

2,30

1,14

0,77

0,40

0,30

0,21

0,15

0,090
i Netz
nur geringe Verluste, weil elektronische Schalter weit-
gehend ideale Bauelemente sind. Allerdings entstehen
gemäß Fourierzerlegung des Signals Wechselspannungen
t
mit Frequenzen nach (111.1), die u. U. als Störsignalquel-

0

T

20 ms
eil
le unangenehm in Erscheinung treten.

Der Effektivwert (Abb. 111.2) ergibt sich zu:

XIV
v

Abb. 111.3 Prinzipieller Stromverlauf bei Geräten mit Brückengleichrichter
u
v
u
u

T

Z
aT

Z
und Ladekondensator
u
u
u
p

U D t 1
f u. t/g2 dt D t 1

U 2 dt D U 0 a I

T

T

0

0

0

Beispiel 2

Tastgrad: aT= T D a; 0 a 1.

Um die im vorigen Beispiel angesprochenen Störun-

Für den Gleichanteil a 0 und die Scheitelwerte ak und bk
gen ausreichend klein zu halten, ist in IEC 555-2 bzw.

folgt mit (111.2a)–(111.2c):

VDE 0838 Teil 2 festgelegt worden, dass die Am-
aT

Z
plituden der Oberschwingungen des Stromes i netz im

50-Hz-Stromversorgungsnetz bestimmte Maximalwerte
a D 1

0

U 0 dt D U 0 a

T
nicht überschreiten dürfen. Abb. 111.3 stellt den typi-

0
schen Stromverlauf eines Gerätes mit Zweiweggleich-
aT

Z
řichter und Ladekondensator dar.

T
t ˇ aT
a D 2

ˇ
k

U 0 cos k! tdt D 2 U 0
sin k 2

T

T k 2

T Ťab. 111.1 enthält auszugsweise die maximal zulässi-

0

0
gen Stromamplituden der Oberschwingungen, bezogen

U

D 0
auf eine 16-A-Grundschwingungsamplitude. Infolge der
sin k 2 a
k

Symmetriebedingung i. t C T=2/ D i. t/ (3. Symmetrie,
aT

Z
šiehe oben) treten nur ungeradzahlige Harmonische auf.

T

ˇ aT
b D 2

ˇ

J
k

U 0 sin k! tdt D 2 U 0
cos k 2 t

T

T
k 2

T ˇ0

0

D U 0 .1 cos k 2 a/

Beispiel 3
k

Die Amplituden der Harmonischen sind abhängig vom

Die Grenzfrequenz von Oszilloskopen bezieht sich auf

Tastgrad. Mit (111.3) und (111.4) ergibt sich:

einen sinusförmigen Signalverlauf am Eingang. Werden
q
nichtsinusförmige periodische Signale gemessen, was der

O s D

C

Regelfall ist, dann verarbeitet das Gerät nur Harmoni-
k
a 2
b 2
k
k
s
sche bis zur Grenzfrequenz. Dadurch ist der auf dem

Schirm dargestellte Signalverlauf nicht mehr mit dem

D U 0
sin2. k 2 a/ C 1 2 cos. k 2 a/
k

C cos2. k 2 a/
zu messenden identisch. Nur dadurch, dass die Signal-
frequenz wesentlich geringer als die Grenzfrequenz des

U
p

D 0 2.1 cos k 2 a/

Oszilloskopes ist (Erfahrungswert 1=10 . . . 1=20), kann
k
der Fehler klein gehalten werden. Ein unbekanntes Signal

Der Ausdruck unter der Wurzel ist maximal für cos k 2
mit der Frequenz 10 MHz erfordert damit ein Oszilloskop
a D 1, d. h. für a D 1=2 und k D 1; 3; 5; : : ::

mit der Grenzfrequenz 100 . . . 200 MHz, soll der Verlauf
mit geringem Fehler erfasst werden.

O s

D 2 U 0
k max
k
für a D 1=2 und k D 1; 3; 5; : : :

Abb. 111.4 stellt entsprechende Schirmbilder dar. Der

(111.11)

verwendete ideale Tiefpass lässt keine Frequenzanteile
oberhalb fg durch, während der reale Tiefpass ab fg die

Damit sind die Amplituden der Harmonischen für a D
folgenden Frequenzanteile bis zur angegebenen Frequenz

1=2 maximal.

mit 20 dB=Dekade absenkt. Das Überschwingen an den

Für k D 2; 4; 6; : : : ist die Amplitude Null, d. h. es ent-

Sprungstellen ist in der Praxis geringer, weil die darzu-
stehen für den Sonderfall a D 1=2 keine geradzahligen
stellenden Signalverläufe keine „echten“ Sprungstellen

Harmonischen.

J
aufweisen (siehe Gibbs’sches Phänomen oben).

J

111.2

Beispiele und Anwendungen

1337
a
b

XIV
c
d

Teil

Abb. 111.4 Idealer Rechteckverlauf mit Frequenz f nach Passieren eines idealen (a, b) bzw. realen (c, d) Tiefpasses mit der Grenzfrequenz fg . a fg D 11f , b fg D 21f , c fg D 11f , bis 21f Abfall mit 20 dB=Dekade, d fg D 21f , bis 41fg Abfall mit 20 dB=Dekade

Beispiel 4

Beispiel 5

Bei der analogen Stereo-Rundfunkübertragung (siehe

Für den Spannungsverlauf nach Abb. 111.2 wird die kom-

Teil XIII „Nachrichtentechnik“, Abschn. 99.1) wird ein
plexe Fourierreihe aufgestellt. Nach der Ableitung der

Hilfsträger mit 19 kHz übertragen, der im Rundfunk-
reellen Fourierkoeffizienten folgt der Vergleich mit dem
empfänger in einen phasenrichtigen Träger mit 38 kHz

Ergebnis aus Beispiel 1.

umgesetzt werden muss. Das geschieht durch Brücken-
gleichrichtung des sinusförmigen 19-kHz-Trägers. Im

Für a D 1=2 folgt mit (111.6):

neu entstehenden Signal ist die Frequenz 19 kHz nicht
mehr enthalten, dafür die benötigte phasenrichtige Fre-

T=2

Z
quenz 38 kHz als neue Grundschwingung. Die Fourier-

C D 1

U e jk! tdt
k

0
reihe berechnet sich zu:

T

0

X cos k! t

ˇ T=2
u. t/ D 2 O u 4 O u

ˇ

ˇ
k 2 1

D U 0 e jk! t ˇ
k

T
jk! 0
für k D 2; 4; 6; : : : und ! D 2 19 kHz.

D U 0 T .

T
e jk 2

T 2 1/

Die Fourierreihe ist hier noch auf die ursprüngliche Fre-

Tjk 2
quenz 19 kHz bezogen. Mit dieser Schaltungstechnik ist

U

D

0

. e jk 1/
die Gewinnung des phasenrichtigen Signals mit der Fre-
jk 2
quenz 38 kHz ohne großen Aufwand möglich, und die
nicht benötigten Oberschwingungen ( k D 4; 6; : : :), die

Mit e jk D .1/ k erhält man die komplexe Fourierreihe:

u. U. Störungen verursachen könnten, nehmen in ihrer

Amplitude durch den Faktor . k 2 1/ im Nenner relativ

U 0

C D
stark ab und lassen sich deshalb auf einfache Weise un-
k
jk
für k D 1; 3; 5; : : :

terdrücken. Die Frequenz 76 kHz tritt nicht auf (Symme-

C1

X U
triebedingung), erst 114 kHz ist vorhanden, aber wegen

)

0
s. t/ D
ejk! t

. k 2 1/ im Nenner mit kleiner Amplitude.

J
jk
k D1

1338

111 Periodische nichtsinusförmige zeitkontinuierliche Signale

Mit (111.9) lassen sich ak und bk der reellen Fourierreihe
bestimmen.

a D
k

0;
da C imaginär.

k

U 0

C D U 0 D j

)

b D 2 Im. C / D 2 U 0
k
k
jk
k
k
k
für k D 1; 3; 5; : : :

Teil

Das Ergebnis ist in Übereinstimmung mit (111.11).

Probleme kann es, wie hier, bei der Bestimmung von C

XIV

0
geben. Es ist sinnvoll, in der Berechnungsformel für Ck

(111.6) im Exponenten der e-Funktion k D 0 zu setzen.

Dann geht das Integral in die eindeutig lösbare Form nach

(111.2a) über, und damit stimmt der Gleichanteil aus der
reellen Fourierreihe mit dem aus der komplexen überein.

J

Beispiel 6

Um ein Maß für die Signalverzerrungen eines Verstär-
kers zu erhalten, ist der Begriff des Klirrfaktors einge-
führt worden. Im Teil XIII „Nachrichtentechnik“, Ab-
schn. 92.4.12.3, sind dazu weitere Einzelheiten darge-
stellt. Grundlage für das Messverfahren ist das Auftreten
von Oberschwingungen, wenn ein sinusförmiges Signal
verzerrt wird. Die Amplituden der Oberschwingungen
nehmen mit zunehmender Abweichung von der Sinus-
form, d. h. mit zunehmender Verzerrung, zu und sind
damit ein Maß für den Grad der Verzerrung.

J

Nichtperiodische zeit-

112
kontinuierliche Signale

Wilfried Plaßmann

XIV

Teil

112.1 Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1340

112.2 Laplacetransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1339

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_112

1340

112 Nichtperiodische zeitkontinuierliche Signale

Nichtperiodische Signale haben eine große Bedeutung für die

Fouriertransformation, Rücktransformation:

Nachrichten- und Datenübertragung, weil Information nur in
nichtdeterministischen Signalen enthalten ist (Teil XIII „Nach-

C1

Z
richtentechnik“, Abschn. 92.4.1). Aber auch für die Energie-

S. f / D
s. t/ e j! tdt;

(112.2a)

und Regelungstechnik sind sie von Interesse, weil sie entweder

1

Ein- und Ausschaltvorgänge erfassen oder den Übergang von
einem momentan stationären Zustand in einen neuen darstel-
symbolische Schreibweise: S. f / s
c s. t/.

len (Kurzschluss im Energieversorgungsnetz, Auftreten einer

Störgröße im Regelsystem). Die Fourier- und die Laplacetrans-

C1

Z
formation können bei nichtperiodischen zeitkontinuierlichen

T
s. t/ D

S. f / ej 2 ftdf
eil

Signalen eingesetzt werden.

1

XIV
bzw.

112.1

Fouriertransformation

C1

Z

112.1.1

Transformationsregeln
s. t/ D 1

F. j!/ ej! td!

(112.2b)

2 1

Für den Übergang von den periodischen zu den nichtperiodi-
symbolische Schreibweise: s. t/ c
s S. f/.

schen (aperiodischen, einmaligen) Signalen wird in (111.6)

In der Literatur wird auch S. f / und F. j!/ verwendet, siehe

C1

X

Hinweis oben.

s. t/ D

C ejk! t;

Auch folgende Schreibweise ist üblich:

k
k D1

S. f / D Ff s. t/gI
s. t/ D F1f S. f /g:

mit

T

Z

C T=2

Z

F Fouriertransformierte, F1 inverse Fouriertransformierte.

Spektrum, Spektraldichte: Die Fouriertransformierte S. f / ist

C D 1
s. t/ e jk! tdt D 1
s. t/ e jk! tdt;
k

T

T
eine Funktion der Frequenz und stellt damit das Spektrum

0

T=2

( Spektraldichte) der Funktion s. t/ dar.

Die Fouriertransformierte lässt sich auch folgendermaßen
der Grenzübergang T ! 1 durchgeführt. Mit T D 2=! geht

!

darstellen:

entsprechend gegen Null, d. h., das diskrete Spektrum k! geht
in ein kontinuierliches Spektrum ! über. Verkürzt dargestellt
e j! t D cos ! t j sin ! t

)

folgt damit:

C1

Z

C1

Z

C1

X

C T=2

Z

C

1

S. f / D
s. t/ cos ! tdt
j .1/
s. t/ sin ! tdt
s. t/ D

s. t/ e jk! tdt ejk! t

T

1

„
ƒ‚

…

1

„
ƒ‚

…

k D1

T=2

R. f /

X. f /

C1

Z C1

Z

S. f / D R. f / C jX. f / D j S. f /j ej'. f/

(112.3)

D
s. t/ e j! tdt ej! tdf

(112.1)

1 1

„
ƒ‚

…

R Realteil, X Imaginärteil von S. f /

Amplitudenspektrum:

S. f /

Die mit S. f / bezeichnete Größe ist die Fouriertransformierte der
j S. f /j nach (112.3)

(112.4)

Zeitfunktion s. t/. Sie existiert nur dann, wenn für das Integral
gilt:

Phasenspektrum:

C1

Z

'. f / nach (112.3)

(112.5)

j s. t/j dt < 1:

1

Es gilt:

Hinweis: In der Literatur wird anstelle von S. f / auch S. f / oder
p

F. j!/ verwendet. Wird bei der Rücktransformation F. j!/ ein-
j S. f /j D f R. f /g2 C f X. f /g2I
gesetzt, ist der Faktor 1=2 vor das Integral zu schreiben gemäß

X. f /
d! D 2 df , siehe (112.2b).

'. f / D arctan

(112.6)

R. f /

Damit erhält man die folgenden zwei Formeln für die Transfor-
mation bzw. Rücktransformation:

R. f / Realteil, X. f / Imaginärteil von S. f /.

112.1

Fouriertransformation

1341

Tab. 112.1 Korrespondenzen zur Fouriertransformation
s. t/

S. f /
ı. t/: Stoßfunktion, ı-Funktion, Dirac-Impuls

1

1
ı. f / Dirac-Impuls

. t/: Sprungfunktion

1 ı. f / + 1

2
j 2 f
sin !0 t

1 .ı. f f

2 j

0/ ı. f C f 0//
cos !

0 t

1

.ı. f f

2

0/ C ı. f C f 0//

. t/ sin !

C 1

0 t
f 02

.ı.

.

f f

2 f

0/ ı. f C f 0//

0 /2 .2 f /2

4 j

. t/ cos !

C 1

0 t
jf 2

.ı.

.

f f

2 f

0/ C ı. f C f 0//

0 /2 .2 f /2

4

. t/ e t= T sin !0 t

T

2 f 0 T

.

, Re. T/ > 0a
j 2 f T+1/2C.2 f 0 T/2

. t/ e t= T cos !0 t

T
j 2 f T C1

, Re. T/ > 0a

XIV

. j 2 f T C1/2C.2 f 0 T/2

(1 für j t j < T
s. t/ D

Rechteckimpuls

2 sin.2 f T/

0
für j t j > T

2 f

Teil

(1 j t j für j t j < T

˚

2
s. t/ D

T

Dreieckimpuls

4 sin. f T/

0
für j t j > T

T

2 f

(cos2. t/ für j t j < T
s. t/ D

2 T
cos2 x-Impuls
sin 2 f T

1

0
für j t j > T

2 f

1.2 f T/2

( e t= T für t > 0
s. t/ D

Exponentialimpuls

T

, Re. T/ > 0a

0
für t < 0

1C j 2 f T
a Re Realteil

112.1.2

Eigenschaften

7. Integration im Zeitbereich:

t

Z

Es folgen einige wichtige Eigenschaften der Fouriertransforma-
s./ d c
s S. f /

(112.13)

tion.

j 2 f

1

1. Multiplikation mit einer Konstanten k:

8. Differenziation im Zeitbereich:

k s. t/ c
s k S. f/

(112.7)

ds. t/ c s. j 2 f/ S. f/

(112.14)

dt

2. Addition zweier Funktionen:

In (112.13) und (112.14) wird die Transformierte S. f / s
c s. t/
s 1. t/ C s 2. t/ c
s S . f/ C S . f/

(112.8)

1

2
verwendet und die Operation Differenzieren durch Multiplikati-
on mit . j 2 f / und die Operation Integrieren durch Multiplika-

3. Zeitverschiebung:

tion mit 1=. j 2 f / erfasst.

s. t/ c
s S. f/ ) s. t t 0/ c s S. f/ e j! t 0 (112.9) Parseval’sche Gleichung:

4. Frequenzverschiebung:

C1

Z

C1

Z
j s. t/j2 dt D
j S. f /j2 df

(112.15)

S. f / s
c s. t/ ) S. f f 0/ s c s. t/ ej!0 t (112.10)

1

1

5. Faltung im Zeitbereich:

Mit s. t/ D u. t/ bzw. s. t/ D i. t/ steht unter dem Integral, bis auf

C1

Z
einen Proportionalitätsfaktor, der Momentanwert der Leistung.

S . f / S . f / s
c s
s

Der Proportionalitätsfaktor ist in diesem Fall der Widerstand R:

1

2

1. t/ s 2. t/ D

1. / s 2. t / d
p D f i. t/g2 R D f u. t/g2= R. Über den gesamten Zeitbereich inte-

1

(112.11)

griert ergibt sich die im Signalverlauf enthaltene Energie (Faktor

R bzw. 1= R eingesetzt, s. o.). Den gleichen Wert erhält man,

Zeichen für die Operation „Faltung“.

wenn man die Leistungsbilanz über die im Signal enthaltenen

6. Faltung im Frequenzbereich:

Frequenzanteile bildet.

C1

Z
s 1. t/ s 2. t/ c
s S . f/ S . f/ D

S . v/ S . f v/ dv

1

2

1

2

112.1.3

Korrespondenztabelle

1

(112.12)

Tab. 112.1 listet einige Korrespondenzen zur Fouriertransforma-

Zeichen für die Operation „Faltung“.

tion auf.

1342

112 Nichtperiodische zeitkontinuierliche Signale

Tab. 112.2 Beispiele zur Fouriertransformation: Impulsantwort von idealem Tiefpass, Hochpass und Bandpass

Impulsantwort

S. f /

2 U
sin2 fg. t t 0/ D

f
g
e j 2 f t 0; j f j < f

0
fg

2 U
f
si.2 f
t t /a

S. f / D U 0
g

2 f

0
g
g

0
g . t t 0 /

S. f / D 0; j f j > fg
idealer Tiefpass, Grenzfrequenz fg
ı. t t
sin2 fg. t t 0/ D

e j 2 f t 0; j f j > f

0/ 2 U 0
fg
ı. t t
f
si.2 f

. t t
g

2 f

0/ 2 U 0
g
g

0//a S. f / D U 0
g . t t 0 /

S. f / D 0; j f j < fg
idealer Hochpass, Grenzfrequenz fg

2 U 0

C
e j 2 f t 0; f

.

sinf . f
f
f
t t
g 2
g 1 / . t t 0/gŒcosf . fg 2
g 1/ . t t 0/g

S. f / D U 0
g 1 < f < fg 2, fg 2 < f < fg 1

0 /

S. f / D 0 im übrigen Bereich

T
idealer Bandpass, Grenzfrequenzen fg 1, fg 2
eil
a In der Literatur häufig benutzte Definition: si. x/ D sin. x/= x

XIV

H( f)

durchgänge der Spektralfunktion weiter auseinander, und damit
nehmen die Amplituden zu. 2. Der optimale Wert ergibt sich zu
f T D 1=2, d. h. bei gegebener Impulsbreite sind die Am-
plituden des Spektrums am kleinsten. Das wird erreicht mit dem

Gauß’schen Glockenimpuls:

1
k
s. t/ D p
e k 2 t 2

(112.17)

2

In Abb. 112.1 ist f eingezeichnet. Die zugehörige Impulsbreite

T kann Abb. 112.7 entnommen werden. Siehe dazu auch die
beiden folgenden Beispiele 1 und 2.

Δ f 2
f

Δ f 1

Abb. 112.1 Amplitudenspektrum eines Reckteckimpulses (1) und eines sin2 !

112.1.4

Beispiele

T -Impulses (2)

Beispiel 1

In Tab. 112.2 sind die Impulsantworten von einem idealen Tief-
pass, einem idealen Hochpass und einem idealen Bandpass

Berechnet werden soll das Amplitudenspektrum j S. f /j
dargestellt. Für S. f / wird ein linearer Phasenverlauf voraus-
und das Phasenspektrum '. f / für einen Rechteckimpuls
gesetzt. Die Sprungantworten von Tief-, Hoch- und Bandpass
mit der Amplitude U und der Dauer T. Mit (112.2a) folgt:

beginnen bereits bei t ! 1, obwohl erst bei t D 0 ein

Signal am Eingang anliegt. Das System heißt deshalb nichtkau-

T

Z

U
sal. Es ist technisch nicht realisierbar, weil es im Widerspruch

S. f / D

U e j! tdt D

.1 e j! T/
zur physikalischen Wirklichkeit steht. Trotzdem ermöglicht die
j!

0

Auswertung dieses Verhaltens Rückschlüsse auf die realen Ei-
genschaften des Systems auch bei anderen Eingangssignalen.

D U 1 cos.! T/ C j sin.! T/
j!

Unschärferelation: Multipliziert man die Impulsbreite T ei-
nes einmaligen Impulses mit dem Frequenzabstand f zwei-

D U j Œ1 C cos.! T/ C sinŒ! T

!

er benachbarter Nulldurchgänge der Spektralfunktion bei
p
f D 0 (Abb. 112.1), so gilt die Unschärferelation:

) j S. f /j D U 2 .1 cos.! T//

(112.18)

j!j

cos.! T/ 1
f T 1

(112.16)

)

'. f / D arctan

2
sin.! T/

(112.19)

J

Daraus lässt sich folgendes ableiten: 1. Wird bei unveränderter

Impulsform nur die Impulsbreite T verkleinert, rücken die Null-

112.2

Laplacetransformation

1343

Beispiel 2

Sie ist damit für die Berechnung der in der Praxis auftretenden

Vorgänge besonders geeignet.

Gesucht ist das Amplitudenspektrum des Impulses U

Verwendete Bezeichnungen:

sin2.! T/. Mit sin2.! T/ D 0;5 .1 cos.2 ! T//

Variable: s (in der Literatur wird auch p benutzt).

folgt:

Funktion in der Zeitebene: allgemein f . t/; speziell u. t/, i. t/.

C T=2

Z

Transformierte
in der s- oder Bildebene: allgemein

Lf f . t/g D F. s/; speziell Lf u. t/g D U. s/; Lf i. t/g D I. s/.

S. f / D U 1
f1 cos.2! T/g e j! tdt

2

Symbolische Schreibweise: f . t/ c
s F. s/.

T=2

Rücktransformation aus der s- in die t-Ebene: L1f F. s/g D

C T=2

Z

C T=2

Z
f . t/.

D U
ej 2! t C e j 2! t
e j! tdt U
e j! tdt

L Laplacetransformierte, L1 inverse Laplacetransformierte.

2

2

2

T=2

T=2

Hier wird bewusst f . t/ anstatt s. t/ verwendet, um Verwechslun-

XIV

C
gen mit der Variablen s zu vermeiden.

T=2

Z

U
ej! T=2 e j! T=2

U
ej! t

D

dt

Für die Variable s gilt: s D a C j!; a > 0. Der Realteil wurde

Teil

!

2 j

„
ƒ‚

…

2

2
eingeführt, um einen endlichen Wert für die Transformationsin-

T=2
tegrale zu erhalten (112.22), (112.23a). Damit können für f . t/
sin. ! T /

2
die in der Praxis vorkommenden Funktionen eingesetzt werden.

C T=2

Z

Auch der Dirac-Impuls ı. t/ und die Sprungfunktion . t/ besit-

U
e j!3 t dt
zen eine Laplacetransformierte und lassen sich, obwohl es sich

2

2
um physikalisch nicht realisierbare Vorgänge handelt, erfolg-

T=2

reich als Näherungslösungen bei der Systemanalyse oder bei

U

! T

U
ej! T=2 e j! T=2

D

Schaltvorgängen einsetzen. Die Einheit von s ist 1=s.

! sin

2

2!

2 j

„
ƒ‚

…

sin. ! T /

2

112.2.2

Transformation

U ej 3! T=2 e j 3! T=2

(112.20)

6!

2 j

„
ƒ‚

…

Die Transformation bzw. Rücktransformation erfolgt durch das
sin. 3! T /

2

Lösen der folgenden Integrale:

U

! T

D

1

1

3! T

J

Transformation in die Bildebene:

!

sin
sin

2

2

6

2

1

Z

F. s/ D
f . t/ e s tdt

(112.22)

In Abb. 112.1 sind j S. f /j aus Beispiel 1 und 2 gleichzeitig

0C
dargestellt. Die Amplituden des Spektrums eines sin2 ! T-

Impulses sind deutlich geringer als die eines Rechteckimpulses

Integrationsgrenze 0C siehe „Linksseitiger und rechtsseitiger
der Dauer T. Besteht bei der gleichzeitigen Übertragung meh-

Grenzwert“ (weiter unten).

rerer digital kodierter Signale die Gefahr der gegenseitigen

Rücktransformation in die Zeitebene:

Beeinflussung, ist der sin2 ! T-Impuls vorteilhafter. Im Bei-

˛C
spiel 7, Abschn. 112.2.6 „Beispiele“ zur Laplacetransformation,
j 1

Z
wird gezeigt, wie ein Rechteck- und ein sin2 ! T-Impuls durch
f . t/ D 1

F. s/ es tds

(112.23a)

2 j
einen Tiefpass im zeitlichen Verlauf geändert werden und in

˛ j 1
wieweit eine fehlerfreie Signalerkennung noch möglich ist.

Die Integrationsgrenze 0C kennzeichnet den rechtsseitigen

Grenzwert der Funktion f . t/ für t D 0. Das Integral (112.23a)

112.2

Laplacetransformation
wird zweckmäßigerweise über eine Partialbruchzerlegung und
die Anwendung des Residuensatzes gelöst. Dazu zerlegt man
die Funktion F. s/ in eine Summe, wobei der Nenner der einzel-

112.2.1

Einführung
nen Summanden die Form sk, . s ˙ ai/ m oder . s 2 ˙ b 2/ p, i, k, m,
r
p, r D 0; 1; 2; : : :, hat und 0; ai; br die Nullstellen des Nenner-

Bei der Anwendung der Laplacetransformation treten die bei der
polynoms sind. Der zum jeweiligen Nennerausdruck gehörende

Fouriertransformation angesprochenen Probleme mit der Kau-

Zählerwert kann mit dem Residuensatz bestimmt werden:

salität nicht auf, was im wesentlichen daran liegt, dass gilt:

Řesf F. s/g D

1
f dn1 Œ. s s

ˇ

0/ n F. s/g
s. t/ 0 für t 0
s D s

(112.21)

s D s 0

. n 1/Š dsn1

0

(112.23b)

0 linksseitiger Grenzwert von s. t/, siehe Erläuterung weiter
unten.

für n-fache Polstelle.

1344

112 Nichtperiodische zeitkontinuierliche Signale

Tab. 112.3 Korrespondenzen zur Laplacetransformation

Linksseitiger ( t D 0) und rechtsseitiger ( t D 0C) Grenz-

Nr. F. s/
f . t 0
wert: Die untere Grenze des Integrals in (112.22) ist mit 0

C/ (Hinweis: f . t 0/ 0

C

1

1
ı. t/: Stoßfunktion, ı-Funktion, Dirac-
bezeichnet und soll darauf hinweisen, dass für die Funktion

Impuls
f . t/ der rechtsseitige Grenzwert für t D 0 einzusetzen ist.

2
e a s, a > 0
ı. t a/

Für die in Abb. 111.2 dargestellte Rechteckfunktion gilt: u. t D

3

1

1, d. h. Sprungfunktion . t/

0
s

/ D 0, u. t D 0C/ D U 0. Da laut Voraussetzung f . t < 0/ 0

4

1
t
ist, ergibt sich der linksseitige Grenzwert zu
s 2

5

1 , n D 0; 1; 2; : : :

tn
sn C1
nŠ
f . t D 0/ 0

(112.24)

T

6

1
e at
s C a
eil

Tab. 112.3 enthält häufig benötigte Transformationen und kann

7

1

.

t e at
s C a/2
sowohl für die Transformation in die s-Ebene als auch für die

XIV

8

1
tn e at

. s C a/ n C1
nŠ

Rücktransformation in die Zeitebene benutzt werden. Für die

9

1

.

. e at e bt/
s C a/. s C b/ , a ¤ b

1
b a

Funktion f . t/ gilt: f . t/ D f . t 0C/, f . t 0/ 0. In

10

1

C
e b t

C
e c t
der Literatur wird manchmal eine alternative Schreibweise ge-

. s C a/. s C b/. s C c/ , a ¤ b ¤ c
e a t

. b a/. c a/

. a b/. c b/

. a c/. b c/
wählt, indem f . t/ mit einer Sprungfunktion s. t/ zum Zeitpunkt

11

1

1 .1 e at/
s. s C a/
a
t D 0 multipliziert wird. Es sei darauf hingewiesen, dass eini-

12

1

1 . e a t C a t 1/
s 2. s C a/
a 2
ge Transformationen aufgenommen wurden, deren Darstellung

13

1

1 e at a t e at
in der Zeitebene nur für einen begrenzten Zeitbereich möglich
s. s C a/2
a 2

14

1
t 2 C t e a t C 2 e a t
ist (Transformationen Nr. 4, 5, 12, 14, 17, 25, 27 mit der Ei-
s 2. s C a/2
a 2
a 3
a 2
a 3
genschaft: f . t/ ! 1 für t ! 1). Als Beispiel dient ein

15

1

C b e at a e bt
s . s C a/. s C b/ , a ¤ b

1
ab
a b. a b/
elektronischer Integrierer mit Operationsverstärker, der nur bis

16

1
sin a t
s 2C a 2
a
zum Erreichen der Betriebsspannung die Übertragungsfunktion

17

1
sinh a t

1= s hat.

s 2 a 2
a

18

1

1cos a t

Durch die Anwendung der Laplacetransformation wird eine
s. s 2C a 2/
a 2

19

1

1

Œ

Differentialgleichung auf eine algebraische Gleichung zurück-

.

e a t C a sin b t cos b t
s C a/. s 2C b 2/
a 2 C b 2
b
geführt.

20

1

Œ sin a t sin b t

. s 2C a 2/. s 2C b 2/ , a ¤ b

1
b 2 a 2
a
b

21

1
e a t sin b t

. s C a/2C b 2
b

22

1

C . a b/ t1

.

, a ¤ b
e a t
e b t
s C a/. s C b/2

. a b/2

. a b/2

112.2.3

Sätze zur Laplacetransformation

23

U e a s , U Konstante

U. t a/
s

24
s
cos a t
s 2C a 2

Für die Anwendung der Laplacetransformation werden notwen-

25
s
cosh a t
s 2 a 2
dige und nützliche Regeln aufgeführt. Wenn nicht besonders

26
s

. s 2C a 2/. s 2C b 2/ , a ¤ b
cos a tcos b t
b 2 a 2
darauf hingewiesen wird, gelten die Gleichheits- und Verknüp-

27
s
t
fungszeichen in beiden Richtungen.

.

sin at
s 2 C a 2 /2

2 a

28
s C d
d. d a/ e a t

1. Multiplikation mit einer Konstanten K:

s. s C a/
a

29
s C d

. s C a/. s C b/ , a ¤ b

. d a/ e a t. d b/ e b t
b a

K f . t/ c
s K F. s/

(112.25)

30
s C d

C . a d/ e a t C . b d/ e b t
s. s C a/. s C b/ , a ¤ b
d
a b
a. b a/
b. a b/
q

31
s C d

. d a/ e a t C

. b 2C d 2/

Die Begründung liegt darin, dass in den Transformations-

.

sin. b t C ˚/,
s C a/. s 2C b 2/
a 2 C b 2

. a 2 b 2C b 4/

˚ D arctan a arctan d
gleichungen (112.22) und (112.23a) die Konstante K vor das
b
b

32
s
b e b t

Integralzeichen gesetzt werden kann.

. s C a/. s C b/ , a ¤ b
a e a t
a b
a b

2. Addition zweier Zeitfunktionen:

33
s

.

.

1 a t/ e a t
s C a/2
f 1. t/ C f 2. t/ c
s F 1. s/ C F 2. s/

Dabei hat F. s/ an der Stelle s D s
mit

0 eine n-fache Polstelle. Für
n D 1 vereinfacht sich (112.23b) zu:

F 1. s/ D L. f 1. t//;

F 2. s/ D L. f 2. t//

(112.26)

Řesf F. s/g D . s s

ˇ

0/ F. s/

(112.23c)

In einer Summe können die einzelnen Summanden getrennt
s D s
s D s

0

0
transformiert und zur Gesamtsumme vorzeichenrichtig ad-
für einfache Polstelle.

diert werden. Das gilt für die Bild- und die Zeitebene und
folgt aus der Regel:

Die Rücktransformation geschieht dann auf einfache Weise

Z

Z

Z
mit den Korrespondenzen Nr. 5, 8, 16, 17, 24, 25 und 27 in
f f 1. t/ C f 2. t/g dt D
f 1. t/ dt C
f 2. t/ dt

Tab. 112.3.

112.2

Laplacetransformation

1345

3. Transformierte einer in der Zeitebene abgeleiteten Funktion:

8. Integrieren in der Bildebene:

Lf f . t/g D F. s/

F. s/ s
c f . t/
df . t/

Z

)

Lf
g D s Lf f . t/g f .0C/

1
dt

)

F. s/ ds D L
f . t/

(112.32)

D
t
s F. s/ f .0C/

(112.27)

Integrieren in der s-Ebene ist gleichbedeutend mit der Divi-

Es wird die Laplacetransformierte der nicht abgeleiteten
sion von f . t/ durch t.

Funktion in der Zeitebene gebildet und mit s multipliziert,
d. h. die Multiplikation mit s kennzeichnet die Differentiati-

9. Dämpfung in der Zeitebene:

on. Die Konstante f .0C/ wurde hier eingeführt, weil es in der

Elektrotechnik Funktionsverläufe gibt, die stetig verlaufen

Lf f . t/g D F. s/
müssen. Da die Laplacetransformation aber die Funktionen

)

Lf f . t/ e a t g D F. s C a/

(112.33)

XIV
f . t/ für t 0 zu Null festlegt, muss ein von Null ab-
weichender Wert, der sich nur stetig ändern kann, auf diese

10. Zeitliche Verschiebung um T 0:

Teil

Weise berücksichtigt werden (Bezugsgröße in (112.27) ist
die nicht abgeleitete Funktion F. s//. Diese Konstante hat ei-

Lf f . t/g D F. s/
ne anschauliche Bedeutung, wie noch gezeigt wird (112.37),

(112.39).

)

Lf f . t T 0/g D e T 0 s F. s/

(112.34)

4. Transformierte der n-ten Ableitung in der Zeitebene:

Dieser Satz findet Anwendung bei periodischen Funktionen
d n f . t/
f . t/

L

D sn F. s/ sn1 f .0

, siehe Beispiel 8.

C/
dtn

11. Endwert:

ˇ

ˇ
df . t/ ˇ
df n1 ˇ
sn2

ˇ : : :

ˇ

(112.28)

dt ˇ
dtn1 ľim f . t/ D lim s F. s/

(112.35)

0C

0C
t!1
s!0

5. Transformierte des Integrals in der Zeitebene

Voraussetzung ist, dass s F. s/ keine Polstellen im Bereich

Re. s/ 0 besitzt, d. h. F. s/ darf bei s D 0 nur eine ein-

Lf f . t/g c
s F. s/
fache Polstelle haben. Gilt diese Voraussetzung nicht, ergibt
t

Z

sich bei den aufgeführten Faktoren im Nenner von F. s/ für

)

L
f . t/ dt D 1 Lf f . t/g f .0C/

(112.29)

f . t/ ! 1 folgendes Verhalten:

s
s
a) 1= sk, k D 2; 3; : : : ) f . t/ ! 1 für t ! 1 (Transforma-

0
tion Nr. 5, Tab. 112.3)).

Die nicht integrierte Zeitfunktion wird transformiert und
b) . s 2 C a 2/ k, k D 1 ) f . t/ endlich, oszillierend, sin- bzw.

durch s dividiert. Auch hier muss eine Größe f .0C/ aus
cos-förmiger Verlauf (Transformationen Nr. 16 und 24);

Kontinuitätsgründen (siehe Erläuterungen zu (112.27) oben)

k 2 ) f . t/ ! 1 für t ! 1.

eingeführt werden. Für f .0C/= s folgt noch eine anschauliche
c) . s 2 a 2/ k, k D 1; 2; : : : ) f . t/ ! 1 für t ! 1 (Trans-

Interpretation (112.37), (112.39).

formationen Nr. 17 und 25).

6. Faltung:

12. Anfangswert:

t

Z

lim f . t/ D lim s F. s/

(112.36)

F
t!0
s!1

1. s/ F 2. s/ D Lf f 1. t/ f 2. t/g D L
f 1./ f 2. t / d

0

(112.30)

Faltung.

112.2.4

Anwendung der Laplace-

Diese Regel kann nützlich sein, wenn die Rücktransformati-
transformation bei bekanntem H (s)

on von F. s/ schwierig oder aufwendig ist, die Zerlegung in
ein Produkt F 1. s/ F 2. s/ aber möglich ist und deren Rück-
transformierten f

Es wird davon ausgegangen, dass die Ausgangsspannung ei-

1. t/ und f 2. t/ bekannt sind.

7. Differenzieren in der Bildebene:

nes Systems mit der Übertragungsfunktion H. s/ bei einer
vorgegebenen Eingangsspannung berechnet werden soll. Die

F. s/ s
c f . t/

Übertragungsfunktion H. s/ ist bereits bekannt. Dann wird die
dF. s/

Eingangsspannung u 1. t/ in die s-Ebene transformiert, und zwar

)

D Lf t f . t/g

(112.31)

entweder durch Lösen des Transformationsintegrals (112.22)

ds
oder Auswählen des entsprechenden Ausdruckes aus Tab. 112.3.

Differenzieren in der s-Ebene entspricht der Multiplikation

Über U 2. s/ D U 1. s/ H. s/ und Rücktransformation in die Zeit-
von f . t/ mit dem Faktor t.

ebene erhält man u 2. t/. Beispiel 5 zeigt diesen Weg.

1346

112 Nichtperiodische zeitkontinuierliche Signale

112.2.5

Bestimmung von H (s)

a

I s

C( )

1

1

I s

1

Das System enthält die Elemente R, L, M und C sowie

C( ) · sC
sC

U s

C( )

Spannungs- und Stromquellen. Die Übertragungsfunktion H. s/
u t

C( = 0)

lässt sich auf zwei Arten bestimmen:

s

2

112.2.5.1

Bestimmung von H (s) mit
b

I s

C( )

Differenzialgleichung

1

U s

C( )

T

Für das System wird die Differenzialgleichung des Verhältnisses

1

C

U ( )

s
eil

.

C · u t
u

C( = 0)

1
sC

2= u 1/ D f . t/ in der Zeitebene aufgestellt und mit (112.27) und
sC

(112.28) in die s-Ebene transformiert.

2

XIV
c

112.2.5.2

Bestimmung von H (s) durch direkte

I s

L( )

Transformation der Einzelelemente

1

I s
sL

L( ) ·
sL

Die im System enthaltenen Komponenten ( R

U s
i, Li, Mi, Ci, ui und

L( )

ii, i D 1; 2; : : :) werden direkt in die s-Ebene übertragen und das

L · i t

L( = 0)

Verhältnis . U

2

2= U 1/ D H. s/ berechnet. Grundlage dazu sind die

Sätze entsprechend (112.25) und (112.26). Daraus folgt, dass
ein Widerstand R unverändert in die s-Ebene transformiert wird.

d

I s

L( )

Das zeitliche Verhalten eventuell vorhandener Spannungs- und

1

Stromquellen wird über die Transformationsgleichung (112.22)

U s

L( )

i t

L( = 0)

sL

U ( )

s
oder mit Tab. 112.3 in die s-Ebene übertragen.

L
s
sL

Es muss noch gezeigt werden, wie eine Spule und ein Kondensa-

2
tor in die Bildebene übertragen werden und wie der Strom durch
eine Spule zum Zeitpunkt t D 0 und die Spannung eines zum

Abb. 112.2 Ersatzschaltbild von Kondensator (a, b) und Spule (c, d) in der
s-Ebene mit Spannungsquelle (a, c) oder Stromquelle (b, d)

Zeitpunkt t D 0 aufgeladenen Kondensators erfasst werden. Für
gekoppelte Spulen kann im folgenden L durch M ersetzt werden.

Die Beziehung iC. t/ D C duC. t/ wird transformiert:

manden I
und uC. t D0/ ergibt sich zunächst rein formal
dt

C . s/ 1
s C
s

aus (112.37), erleichtert aber die Berechnung, weil beide Grö-
duC. t/
duC. t/
ßen eine anschauliche Interpretation zulassen. Wie wichtig es

Lf i

D

C . t/g D L C

C L
dt
dt
ist, dass der physikalisch reale Kondensator in der Zeitebene die

)

I
g
besagten Anschlüsse 1 und 2 hat und die zwei Einzelgrößen nur

C . s/ D C s Lf uC

C f .0C/:

„formale“ (aber praktische) Größen in der s-Ebene sind, sieht

Dabei wurden die Bezeichnungen nach Abschn. 112.2.1 und
man an folgendem Beispiel: Die Spannung uC. t D 0/= s ei-

(112.25) und (112.27) verwendet. (Hinweis: Kettenregel !

nes aufgeladenen Kondensators in der s-Ebene bleibt für den
dC= dt D 0). Die Größe f .0C/ gibt die zum Zeitpunkt t D 0 auf Zeitbereich 0C t < 1 unverändert. Wird ein aufgeladener
dem Kondensator vorhandene Spannung an, die sich nur stetig

Kondensator über einen Widerstand entladen, geht die Span-
ändern kann. Damit erhält man die folgende Gleichung:

nung am Kondensator für t ! 1 aber gegen Null. Rechnet
man UC. s/ nach Gleichung (112.38) zwischen den Anschlüssen

IC. s/ D s C UC. s/ C uC. t D 0/

(112.37)

1 und 2 aus,

Beide Seiten werden durch s C geteilt und die Gleichung nach

U

1

1

C uC. t D 0/

C . s/ D uC . t D 0/

;

UC. s/ aufgelöst:

s
s C

R C 1= s C
s
u
und transformiert in die Zeitebene zurück, erhält man die kor-

C . t D 0/

U

C

C . s/ D IC . s/

1

(112.38)

s C
s
rekte Lösung uC. t/ D uC. t D 0/ e t= RC. Anschaulich kann
das in der s-Ebene so erklärt werden, dass sich der Kondensator

Diese Gleichung ergibt das in Abb. 112.2a dargestellte Ersatz-
über den externen (Entlade)-Widerstand auf uC. t D 0/ auflädt,
schaltbild eines auf die Spannung uC. t D 0/ aufgeladenen sodass die von außen über die Anschlüsse 1 und 2 gemesse-

Kondensators in der s-Ebene. Die Richtung der Spannung
ne Summenspannung am physikalisch realen Kondensator für
uC. t D 0/= s in der s-Ebene ist gleich der Richtung der Kon- t ! 1 tatsächlich gegen Null geht. Auch der Strom durch den
densatorspannung uC. t D 0/ in der Zeitebene. Wichtig ist,

Widerstand geht rechnerisch für t ! 1 gegen Null, was in der
dass für den physikalisch realen Kondensator in der Zeitebe-
s-Ebene anschaulich daraus folgt, dass die Differenz der zwei
ne die eingezeichneten Anschlüsse 1 und 2 gültig sind und

Spannungen, die an den Anschlüssen 1 und 2 gemessen wird
damit die „Gesamtspannung“ UC. s/ s
c uC. t/ nach (112.38) und die den Strom durch den Widerstand verursacht, ebenfalls
maßgebend ist. Die Unterteilung von UC. s/ in die zwei Sum- für t ! 1 gegen Null geht.

112.2

Laplacetransformation

1347

Wird (112.37) in folgender Weise umgeformt,

2. Die Einheit der „Spannung“ in der s-Ebene ist V s, die des

„Stromes“ A s.

UC. s/ D I

3. Hat ein zurückzutransformierender Ausdruck in der s-Ebene
f

C . s/ C C uC. t D 0/;

1= s C g
die Eigenschaft „Zählergrad D Nennergrad“, kann sich in
der Zeitebene ein Dirac-Impuls ergeben. Es sollte geklärt
ergibt sich die in Abb. 112.2b gezeigte zweite Möglichkeit für
werden, inwieweit diese Lösung realistisch ist. Es kann auch
das Ersatzschaltbild eines zum Zeitpunkt t D 0 aufgeladenen
sein, dass sich der Ausdruck durch algebraische Umfor-

Kondensators in der s-Ebene. Für den physikalisch realen Kon-
mung in die Form Zählergrad < Nennergrad umwandeln
densator in der Zeitebene sind wiederum die Anschlüsse 1 und 2
lässt (Hinweis darauf: Minuszeichen bei einem Summanden
maßgebend, d. h. die zwei Teilströme sind lediglich Hilfsgrößen
im Zähler).

in der s-Ebene, die aber anschaulich interpretiert werden können

4. Bei der Berechnung einer Schaltung sollte bedacht werden,

(siehe Ausführungen im vorigen Absatz).

dass für die Rücktransformation eine Nennerdarstellung der

In gleicher Weise erhält man das Ersatzschaltbild einer Spule in

Art

XIV
der s-Ebene mit einem zum Zeitpunkt t D 0 fließenden Strom.

1

Die Differenzialgleichung für die Spule
s s

Teil

: : : . s C a/ . s C b/ : : : . s 2 C c 2/
diL. t/
uL. t/ D L
dt
erforderlich ist. Deshalb empfiehlt es sich in der Regel,

Klammern nicht auszumultiplizieren.

wird transformiert

diL. t/

Lf u

D

L. t/g D L L diL. t/

L L
dt
dt

112.2.6

Beispiele

)

U
g

L. s/ D L s Lf iL

L f .0C/

UL. s/ D L s IL. s/ L f .0C/

Um die Anwendung der Laplacetransformation zu zeigen, fol-

Der Ausdruck f .0C/ stellt den zum Zeitpunkt t D 0 durch
gen einige Beispiele. Dabei wird durchgehend der im Ab-
die Spule fließenden Strom dar. Auch diese Größe muss bei
schn. 112.2.5.2 aufgezeigte Lösungsweg verwendet. Bei der
der Transformation der Differenzialgleichung in die s-Ebene be-

Berechnung werden elementare Umformungen nicht in Einzel-
rücksichtigt werden, weil der Strom durch eine Spule nur stetig
schritten durchgeführt. Für die mathematische Darstellung der
verlaufen kann. Damit ergibt sich:

gesuchten Größe im Zeitbereich wurde in der Regel berücksich-
tigt, dass trotz punktweise nicht definierter Eingangssignale die

UL. s/ D L s IL. s/ L iL. t D 0/

(112.39)

Ausgangsgröße für diese Zeitpunkte eindeutig existiert (Kon-
densatorspannung bzw. Spulenstrom können sich nur stetig

Die Auswertung dieser Gleichung führt zum Ersatzschaltbild
ändern, Abb. 112.3).

einer zum Zeitpunkt t D 0 stromdurchflossenen Spule in der s-

Ebene nach Abb. 112.2c. Die Polarität der Spannung L iL. t D 0/
in der s-Ebene und die Stromflussrichtung von i

Beispiel 3

L. t D 0/ im

Zeitbereich sind entgegengesetzt, weil die Spule einen (ma-
thematisch) stetigen Stromfluss erzeugen muss und damit zum

Anschalten eines Reihenschwingkreises an eine Gleich-

Generator wird. Die erforderliche Energie ist im Magnetfeld
spannung, Abb. 112.3.

enthalten. Wird (112.39) umgeformt, erhält man die zweite

Für die Spannung us. t/ gilt: us. t < 0/ D 0; us. t >

Möglichkeit eines Ersatzschaltbildes einer zum Zeitpunkt t D 0

0/ D U 0, d. h. in der s-Ebene wird sie als Spannung U 0= s
stromdurchflossenen Spule, Abb. 112.2d.

(Transformation Nr. 3, Tab. 112.3) eingesetzt. Es wird
vorgegeben, dass zum Zeitpunkt t D 0 die Spannung am

I

C iL. t D 0/

Kondensator und der Strom durch die Spule Null sind,

L . s/ D UL. s/

(112.40)

s L
s
d. h. die in Abb. 112.2a bzw. 112.2c eingetragenen Span-

Auch für die Spule gelten die Ausführungen zu den Anschlüssen
nungsquellen haben ebenfalls den Wert Null und sind

1 und 2 des physikalisch realen Kondensators sinngemäß.

deshalb nicht eingezeichnet. Die Spannung UC. s/ berech-
net sich nach der Spannungsteilerregel zu:

Hinweise zur Anwendung

U

1

0

U

D

sC

Für die Anwendung der Laplacetransformation nach diesem

C . s/

„ƒ‚…

s

„ƒ‚…

1 C sL C R
sC

Verfahren sollen noch einige Hinweise gegeben werden.

U

„
ƒ‚

…

2 . s/

U 1. s/

H. s/

1. Die Berechnung der Übertragungsfunktion geschieht mit

U 0
den gleichen Regeln, mit denen Netzwerkberechnungen

D

1

LC
s f s 2 C R s C 1 g
durchgeführt werden (Ohm’sches Gesetz, Kirchhoff’sche

L

LC

Regeln 1 und 2, Spannungsteiler, Überlagerungssatz, . . . ).

1348

112 Nichtperiodische zeitkontinuierliche Signale
a
t = 0
i

R

L

1. Fall: c ¤ d, d. h. b ¤ 0:

U
u t
u

0
s( )

C

C

Mit der Transformation Nr. 15 (Tab. 112.3) ergibt sich die
gesuchte Größe uC. t/:

u t

C( = 0) = 0

i( t = 0) = 0

1
u

C d e ct c e dt
b

C . t/ D U 0

I s

( )

LC
cd
cd. c d/

R
sL

T

Wird der Ausdruck cd im Nenner ausgeklammert und

U

1

U s

C( )

eil

0
sC
s
durch a und b ersetzt, folgt:

XIV

U 0
d e ct c e dt
u

1

1 C
c

C . t/ D LC a 2 b 2

2 b
u

C

U

1

R 2

1

D

0

<

4 L 2

LC

LC
a 2 b 2

„ ƒ‚ …

LC

. a C b/ e. a b/ t . a b/ e. a C b/ t

1 C

2 b

R 2

1

=

4 L 2

LC

R 2

1

. a C b/ e. a b/ t . a b/ e. a C b/ t

>

D U 1 C

4 L 2

LC

0

2 b

a ebt C b ebt a e bt C b e bt

D U 1 C e at
t

0

2 b

Abb. 112.3 Schaltung zu Beispiel 3. a Zeitebene, b s-Ebene, c Kondensator-
a
u D U

1 e at
ebt e bt C ebt C e bt
spannung

C

0
b

2

2

(112.41)

q

Dabei kann man der Schaltung die Bezeichnungen nach
mit a D R , b D

R 2 1

2 L

4 L 2

LC

(109.1a), (109.1b) und (109.1c) zuordnen. Um die zuge-
hörige Zeitfunktion zu bekommen, muss der Nenner die

Die Werte von R, L und C legen fest, ob der Ausdruck

Form s. s C c/. s C d/ erhalten. Dazu werden die Nullstel-
unter der Wurzel positiv oder negativ ist und damit b reell
len s
oder imaginär.

01, s 02 des in der geschweiften Klammer enthaltenen

Ausdruckes bestimmt:

a) R 2 > 1 ) b reell: Es ergibt sich die Lösung nach

4 L 2

LC
s 2 C R s C 1 D 0

(112.41). Man kann sie auch mit Hyperbelfunktionen

L

LC
s
ausdrücken:

R

R 2

)

s

D

˙

1

01;02
a

2 L

„ƒ‚…

4 L 2

LC

D
ebt e bt C ebt C e bt

„
ƒ‚

…

uC

U 0 1 e at b

2

2
a

„ ƒ‚ … „ ƒ‚ …

b
sinh b t
cosh b t

)

s

D

D

01
a C b I
s 02
a b

D
a

U

1 e at
sinh bt C cosh bt

Es gilt:

0
b
s 2 C R s C 1 D . s s 01/. s s 02/:

L

LC
b) R 2 < 1 ) b imaginär. In (112.41) eingesetzt, folgt:

LC

Damit folgt:

4 L 2

U

1
a
ejbt e jbt
ejbt C e jbt

C . s/ D U 0

D

C

LC
s. s f a C b g/. s f a b g/
uC

U 0 1 e at b

2 j

„ ƒ‚ …

2

„ ƒ‚ …

U

D

0

1
sin b t
cos b t

LC
s. s C a b

„ƒ‚…/. s C a C b

„ƒ‚…/
a

D

c

U

1 e at
sin bt + cos bt
d

0
b

U

D

0

1

I
c ¤ d

LC
s. s C c/. s C d/
a; b siehe (112.41).

112.2

Laplacetransformation

1349
a
t = 0
i( t)

R

2. Fall: R 2 D 1 ) b D 0

4 L 2

LC

Dann erhält man eine doppelte Nullstelle des Nenners bei
u t

( )

u t

= · sin( ω )

G
u t

1( )

L
s

D

D

01
s 02

R=2 L. Daraus folgt für UC. s/:

U 0

R
b

I( s)

U

1

R

C . s/ D
mit a D

LC
s. s C a/2

2 L

U s

1( )

s · L

Mit der Korrespondenz Nr. 13 aus Tab. 112.3 und a D

R=2 L ergibt sich:

Abb. 112.4 Zu Beispiel 4. a Zeitebene, b s-Ebene
u

1 e a t a t e a t

C . t/ D U 0

XIV

LC
a 2

R

D

R

U 4 L f
t

t g

0

1 e 2 L
t e R

2 L

J

Der Strom ergibt sich als Summe aus einem periodischen

Teil

R 2 C

2 L

Anteil und einem mit der Zeit abnehmenden Anteil. Der

Momentanwert von i. t/ ist für t 0 dann so klein wie
möglich, wenn der zeitlich abnehmende Anteil (erster

Beispiel 4

Summand in der eckigen Klammer) Null ist:

Die Reihenschaltung aus Spule und Widerstand wird zu

R D
einem beliebigen Zeitpunkt an eine sinusförmige Span-

! cos '0

0
sin '0

L
nung u. t/ geschaltet, Abb. 112.4. Es soll gelten: iL. t D

0/ D 0. Der Verlauf des Stromes i. t/ ist zu berechnen
oder, umgeformt:

und daraus abzuleiten, ob es einen günstigen Einschalt-

!

!

zeitpunkt gibt, damit der Momentanwert des Stromes i. t/

L

L
tan ' D

)

D

0

'0
arctan
ab dem Einschaltzeitpunkt so klein wie möglich bleibt.

R

R

Die Spannung u

Bei dieser Dimensionierung gibt es keinen Einschwing-

1. t/ wird zum (willkürlich gewählten)

Zeitpunkt t D 0 eingeschaltet und hat sinusförmigen Ver-
vorgang!

lauf mit einem beliebigen Anfangsphasenwinkel:

Ist R D 0, muss der Schalter bei ' D ˙

0

90°, d. h. bei dem
u
g
positiven oder negativen Scheitelwert der Generatorspan-

1. t/ D O
u .sinf! t C '0 /
nung, geschlossen werden. Ist andererseits L D 0, ergibt

D O u f.sin '0/.cos ! t/ C .cos '0/.sin ! t/g
sich der Phasenwinkel zu Null. Für diesen Grenzfall ist
es allerdings ohne Bedeutung, wie groß '

Dabei wurde ein Additionstheorem verwendet. Mit den

0 gewählt wird,
weil der erste Summand in der eckigen Klammer stets

Korrespondenzen Nr. 16 und Nr. 24 aus Tab. 112.3 ergibt

Null ist. Man kann übrigens zeigen, dass der Ausdruck
sich U 1. s/:

oben für L D 0 in die Form i. t/ D O usin ! t übergeht. Das

R

.sin '

erfordert aber einige Umformungen und die Anwendung

0/ s C ! .cos '0/

U 1. s/ D O u

:

s 2 C !2
von Additionstheoremen.

J

Für I. s/ folgt:

Beispiel 5

U
s C !.cos '0/

1. s/
sin '

I. s/ D

D O u sin '0

0

:

R C sL

L

. s C R/. s 2 C !2/

Ein rechteckförmiger Impuls der Dauer T wird auf

L
einen passiven RC-Tiefpass zweiter Ordnung gegeben,

Dieser Ausdruck lässt sich unmittelbar mit der Korre-

Abb. 112.5a. Gesucht ist die Spannung am Ausgang als
spondenz Nr. 31 in die Zeitebene zurücktransformieren:

Funktion der Zeit.

" f! cos'0 R g e Rt

Zunächst werden die Elemente direkt in die s-Ebene

L
sin '

L
i. t/ D O u sin '0

0
transformiert, Abb. 112.5b, und dann die Übertragungs-

L

R 2 C !2

L 2
v
funktion U 2. s/= U 1. s/ D H. s/ entweder über eine Netz-
u

#
u
g
werkberechnung oder mit Hilfe der Zweitortheorie ( V

2
uf. s/

C t !2 C f! cos '0
sin '0
sin.! t C ˚/
für T-Zweitor mit 1= sC als Lastimpedanz, siehe Teil XIII

R 2 !2 C !4

„Nachrichtentechnik“, Kap. 93 „Zweitore“) ermittelt. Sie

L 2
lautet:

R

˚ D
cos '0
arctan
arctan

H. s/ D

1

L !

sin '0

R 2 C 2 s 2 C 3 RCs C 1

1350

112 Nichtperiodische zeitkontinuierliche Signale
a

R

R
u t

( )

u t

1( )

U

1

0
u t

1( )

u ( t)

C

C

2

2

0
t
b

R

R

U s

1( )

U 0

U s

1

1

U ( s)

T

1( )

2
sC
sC
eil

T
t
t

XIV

–U 0

Abb. 112.6 Vergleich der Ausgangsspannung von Tiefpässen zweiter Ordnung
bei einer Sprungfunktion am Eingang: 1 Tiefpass mit Operationsverstärker auf-

Abb. 112.5 Passiver RC-Tiefpass 2. Ordnung, mit Rechteckimpuls angesteuert.

gebaut, 2 passiver Tiefpass nach Abb. 112.5
a Darstellung in der Zeitebene, b Darstellung in der Bildebene

Zurücktransformiert erhält man:

Für 0C t < T liegt die zum Zeitpunkt t D 0C einge-
schaltete Spannung U

0 als U 0= s am Eingang. Dann ergibt
sich:

u

2. t/ U 0

1 C 0;38 e2;62 tRC 2;62 e0;38 tRC

U 0

2;24

U

1

1

2. s/ D U 1. s/ H. s/ D

s

R 2 C 2
s 2 C 3 s C

1

RC

R 2 C 2

U

0

1 C 0;38 e2;62 t T

RC

2;62 e0;38 t T

RC

;

Die Nullstellen des Nenners erhält man durch Lösen der

2;24
quadratischen Gleichung: s 2 C 3 s C

1

D 0.

RC

R 2 C 2
t T.

Es ergibt sich:

r

3

5

Auch hier wurde der Verschiebungssatz angewendet. Das
s

D 1

˙

01;02

Ergebnis stellt den tatsächlichen Verlauf der Spannung am

RC 2

4

Ausgang des Tiefpasses dar, ohne dass Idealisierungen

)

s

2;62

0;38
oder Näherungen (numerische Näherung ausgenommen,

01

; s 02

RC

RC
siehe oben) verwendet wurden. Es treten auch keine Kau-

(numerische Näherung, soll die Übersichtlichkeit erhö-
salitätsprobleme auf.

J
hen). Die Rücktransformation mit Korrespondenz Nr. 15

(Tab. 112.3) liefert:

u

1

2. t/

U 0

1 C 0;38 e2;62 tRC 2;62 e0;38 tRC

R 2 C 2

1

2;24

Beispiel 6

R 2 C 2

Der mit passiven Elementen realisierte Tiefpass aus Bei-
u

2. t/ U 0

1 C 0;38 e2;62 tRC 2;62 e0;38 tRC

2;24
spiel 5 wird durch einen Tiefpass zweiter Ordnung mit
der Übertragungsfunktion

1
ersetzt. Eine entspre-
für 0 t T.

.1C sRC/2
chende Schaltung kann z. B. mit Operationsverstärkern

Für t > T bleibt die zum Zeitpunkt t D 0C ein-
aufgebaut werden. Die Eingangsspannung hat wiederum
geschaltete Spannung U 0 weiter eingeschaltet, und die
rechteckförmigen Verlauf. Für U 2. s/ folgt damit:

Eingangsspannung Null wird für t > T durch Addition
der Spannung U 0 zum bestehenden Wert C U 0 erzwun-

U

1

0
gen. In der Berechnung ergibt das die Größe

U 0 e Ts

U

1

2. s/ D U 1. s/ H. s/ D
s
s

R 2 C 2 . s C 1 /2

(Verschiebungssatz). Das hat den Vorteil, dass zu dem Er-

RC
gebnis aus der Berechnung u 2. t/ für 0C t T ein

Zurücktransformiert mit der Korrespondenz Nr. 13 ergibt
zweiter Term addiert wird, bei dem lediglich t durch t T
sich für 0 t T:

ersetzt wird. Dieses Ergebnis ist dann gültig für t T.

U

U

1 e t= RC t e t= RC

2. s/ D U 1. s/ H. s/

0
u

RC

2. t/ D R 2 C 2

1

D U 0 .

1

1 e Ts/

1

;

R 2 C 2
s

R 2 C 2 s 2 C 3 s C 1
t

RC

R 2 C 2

D U f

0

1 e t= RC
e t= RC g;
t < T
t T.

RC

112.2

Laplacetransformation

1351
a
b
u
u
u t

2( )

u t

2( )

u t

1( )

u t

1( )

T
t
t

T

XIV
c
d
u
u

Teil
u t

2( )

u t

1( )

u t
u t

2( )

1( )

T
t
t

T

Abb. 112.7 Eingangsspannung u1.t/ und Ausgangsspannung u2.t/ an einem RC-Tiefpass erster Ordnung (Schaltung siehe Abb. 112.8b) mit der Grenzfrequenz fg . a Rechteckimpuls der Dauer T : T D 1=fg , b sin2 t=T -Impuls der Dauer T : T D 1=fg , c Rechteckimpuls der Dauer T : T D 1=.2fg /, d sin2 t=T -Impuls der Dauer T : T D 1=.2fg /

Bei dem hier verwendeten Tiefpass steigt die Ausgangs-

Zweiter Zeitbereich: Für t T ergibt sich mit dem
spannung schneller an als beim Tiefpass nach Abb. 112.5,

Ersatzschaltbild nach Abb. 112.2a und uC. t D T/ D
siehe Abb. 112.6.

U.1 e T= RC/:

Der Verlauf für t > T kann entsprechend Beispiel 5 be-
u
rechnet werden.

J

C . t D T /

U

C . s/ D

I. s/ 1
s
sC
u
u

D C. t D T/ 1

C . t D T /

Beispiel 7
s
sC
s . R C 1= sC/

Ein Rechteckimpuls der Dauer T und ein sin2. t= T/-

D uC. t D T/ uC. t D T/

Impuls mit der Amplitude U werden auf einen passiven
s
s .1 C RsC/

RC-Tiefpass erster Ordnung gegeben. Die Übertragungs-
u 2. t T/ D uC. t D T/ uC. t D T/f1 e. t T/= RC g
funktion lautet: H. s/ D 1

1

. Die Eingangsspan-

RC
s C1= RC
nung für den Zeitbereich 0C t < T ergibt sich zu:

D uC. t D T/ e. t T/= RC

U 1. s/ D U .

s
a) Rechteckimpuls: Erster Zeitbereich: 0 t T:

Das gleiche Ergebnis erhält man bei der Anwendung
des Verschiebungssatzes.

U
b) sin2. t= T/-Impuls: 1. Zeitbereich: 0 t T

U

1

1

2. s/ D s RC s C 1= RC

U
u

)

1. t/ D U sin2 ! t
u

2. t T / D

RC .1 e t= RC/

RC

U

D

D

U .1 e t= RC/

.1 cos 2! t/

2

1352

112 Nichtperiodische zeitkontinuierliche Signale

a

U
s
u( t)

Impulsnummer

)

1

U

1. s/ D 2
s
s 2 C 4!2

1

2

3
n

U 0

U

1
s

U

1

1

2. s/ D 2
s
s 2 C 4!2

RC
s C 1= RC

U

D

1 1

1
a · T

T
t

2

RC
s
s C 1= RC

( n – 1) · T

1

U
s

1

1

U s

1( )

T

2
s 2 C 4!2 RC s C 1= RC

U 0
eil

Zurücktransformiert ergibt sich:

XIV

0

–U
u

0

2. t T / D U

1 e t= RC
e t= RC

2

1 C 4!2 R 2 C 2
r

b

R
c

R

C

1
sin.2! t C arctan 1=! RC/

1 C 4!2 R 2 C 2

1
u t

( )

C
u t

U s
c( )

1( )

U ( )

s
sC

C

Für t T kann der zeitliche Verlauf mit Hilfe des

Verschiebungssatzes oder des Ersatzschaltbildes nach

Abb. 112.8 Zu Beispiel 8: Speisung eines RC-Tiefpasses (b) mit einer bei t D 0

Abb. 112.2a berechnet werden. Abb. 112.7 stellt den
eingeschalteten Rechteckspannung u.t/ (a, oberer Teil), Darstellung in der s-

Verlauf der Eingangsspannung und die zugehörige

Ebene (a, unterer Teil und c)

Ausgangsspannung für die zwei folgenden Dimen-
sionierungen dar: 1. Die „Frequenz“ f D 1= T des

Impulses ist gleich der Grenzfrequenz f D
g

1=.2 RC)

des Tiefpasses, d. h. f D fg; 2. f D 2 fg.

Daraus ergibt sich UC. s/:

Der sin2. tp= T/-Impuls lässt sich, verglichen mit dem

Rechteckimpuls, bei der Dimensionierung f

D fg

U
ebenfalls einsetzen, weil die Zustände 1 und 0 im Emp-

C . s/ D U 1. s/ H. s/
fänger ausreichend sicher erkannt werden können. Gilt

U

D 1

1

0
f D 2 fg, kann er u. U. auch noch verwendet werden,

RC
s C 1= RC
s

um die im Beispiel 2, Abschn. 112.1.4, aufgeführten

1 e aTs C e Ts e. T C aT/ s C e2 Ts : : :

Vorteile auszunutzen.

J

„ ƒ‚ …

„
ƒ‚

…

1. Impuls

2. Impuls

C : : : C e. n1/ Ts ef. n1/ T C aT g s

„
ƒ‚

…

Beispiel 8
n-ter Impuls

Auch periodische Funktionsverläufe lassen sich mit Hilfe

Zurücktransformiert in die Zeitebene erhält man mit dem
des Verschiebungssatzes einfach berechnen. Abb. 112.8a

Verschiebungssatz zunächst rein formal:

stellt einen rechteckförmigen Verlauf u. t/ dar, der zum

Zeitpunkt t D 0 auf einen RC-Tiefpass erster Ordnung
u
gegeben wird (Abb. 112.8b). Gesucht ist die Spannung

C . t/ D U 0.1 e t

RC / U 0.1 e aT C t

RC

/

„
ƒ‚

…

uC. t/ zu einem beliebigen Zeitpunkt t 0. Die Über-

1. Impuls
tragung in die s-Ebene geschieht nach Abb. 112.8a und

C U

Abb. 112.8c: Für t D 0 wird die Spannung U

0.1 e T C t

RC

/ U 0.1 e T aT C t

RC

/ ˙ : : :

0 einge-
schaltet, für t D aT folgt U 0, für t D T wiederum

C U 0.1 e. n1/ T C t

RC

/ U 0.1 e . n1/ T aT C t

RC

/

U

„
ƒ‚

…

0 usw., wobei die einmal eingeschalteten Spannungen
n-ter Impuls
dauernd eingeschaltet bleiben. Der Tiefpass hat die Über-
tragungsfunktion
mit der Bedingung, dass der Ausdruck im Exponenten
stets < 0 sein muss.

H. s/ D 1

1

:

RC
s C 1= RC

Soll der Spannungsverlauf des n-ten Impulses im Be-

Für die Funktion U 1. s/ folgt mit dem Verschiebungssatz
reich . n 1/ T t . n 1/ T C aT (Bereich 1
in

(112.34):

Abb. 112.8a) berechnet werden, lässt man zweckmäßiger-

weise im Punkt . n 1/ T die neue Zeit t mit dem Wert 0

U 1. s/ D U 0 1 e aTs C e Ts e. T C aT/ s C e2 Ts : : :

beginnen. Dadurch erhält man nach einigen Umformun-
s

112.2

Laplacetransformation

1353
gen:

u

C

C .0 t aT / D U 0

U 0
n

o

aT
e tRC 1 C e RC 1 e T

RC C e 2 T

RC C : : : C e . n1/ T

RC

Für den Bereich . n 1/ T C aT t nT kann ein
ähnlicher Ausdruck abgeleitet werden. Hinweis: Wird in
obiger Formel zu Kontrollzwecken a D 0 gesetzt, heißt
das, dass die Spannung erst ab . n1/ T eingeschaltet wird.

Damit ergibt sich:

XIV
uC. t/ D uC. t/ D U 0.1 et= RC/:

Für a D 1 heben sich alle Ausdrücke auf bis auf uC. t/ D

Teil

U 0.1 e . n1/ T C t

RC

/, d. h. es wurde für t D 0 die Spannung

U 0 einmalig eingeschaltet. Weitere Spannungen werden
nicht zugeschaltet, weil sich je eine positive und eine
negative Spannung in den Zeitpunkten T, 2 T, 3 T, . . . auf-
heben.

J

Spezielle Signale

113

Wilfried Plaßmann

XIV

Teil

113.1 Stoßfunktion, ı-Funktion, Dirac-Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . 1356

113.2 Sprungfunktion ( t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356

113.3 Verknüpfung von - und ı-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357

113.4 Harmonische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1355

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_113

1356

113 Spezielle Signale

In der Signal- und Systemtheorie werden spezielle Signalfor-
u t

( )

men eingesetzt, die die Systemeigenschaften für den praktischen

Gebrauch besonders vorteilhaft beschreiben bzw. die theoreti-
sche Erfassung und Berechnung erleichtern oder erst ermögli-
chen. Dazu gehören die im folgenden dargestellten Funktionen.

1

113.1

Stoßfunktion, δ-Funktion,

Dirac-Impuls

2

Teil
t

XIV

Eine – ideale – harmonische Schwingung hat ein unendlich
schmales Spektrum und eine unendliche Dauer. Ein kom-

Abb. 113.1 Ausgangsspannung von Tiefpässen (TP) bei Anregung mit einer ı-
plementärer Vorgang weist eine unendlich kurze Dauer und

Funktion: 1 TP erster Ordnung .1=.s C a//, 2 TP zweiter Ordnung .1=.s C a/2/
ein unendlich ausgedehntes Spektrum auf. Man kann sich
die Entstehung eines solchen Signals so vorstellen, dass z. B.

bei einem Gauß’schen Glockenimpuls der Grenzwert s. t/ D

Ěingangssignal S
k

1. f / bzw. F 1. s/. Abb. 113.1 zeigt die Aus-
p

ˇ
e k 2 t 2 k!1 gebildet wird. Die gesuchte Funktion ı. t/ wird
gangsspannung u 2. t/ von Tiefpasssystemen erster Ordnung,
mit Stoßfunktion, ı-Funktion oder Dirac-Impuls bezeichnet und

U

D

D

2= U 1

1=. s C a/, und zweiter Ordnung, U 2= U 1
soll die zwei folgenden Bedingungen erfüllen:

1=. s C a/2, bei Anregung mit einer ı-Funktion.

1: ı. t/ ! 1 für t D 0 und ı. t/ D 0 für t ¤ 0. (113.1a)

C1

Z

113.2

Sprungfunktion σ(t )

2:

ı. t/ dt D 1

(113.1b)

1

Für die Sprungfunktion . t/ gilt: . t/ D 0 für t < 0 und . t/ D

Aus der zweiten Bedingung folgt, dass die Fläche endlich ist.

1 für t > 0. Die ı-Funktion lässt sich als Differentialquotient

Mathematisch handelt es sich bei ı. t/ nicht mehr um eine der Sprungfunktion . t/ schreiben:

Funktion, sondern um eine Distribution, weil die oben an-
gesprochenen Grenzwerte nicht existieren. Trotzdem ist die
ı-Funktion in der Physik bzw. in der Technik eingeführt wor-
ı. t/ D d. t/

(113.3)

dt
den, weil sie die theoretische Behandlung der Systemanalyse
und -synthese erleichtert: Sie tritt in der Regel nicht in singulä-

Duhamel hat gezeigt, dass der zeitliche Verlauf s. t/ aus unend-
rer Form auf, sondern in Verbindung mit anderen Funktionen,
lich kleinen Sprüngen . t / ds./ aufgebaut werden kann:

sodass die Grenzwertprobleme dann u. U. nicht zum Tragen
kommen. Außerdem genügt es in der Praxis, den idealen Ver-

Duhamel’sches Integral
lauf in physikalisch realisierbarer Form anzunähern, ohne dass
t

Z
sich die Ergebnisse merklich ändern. Im einzelnen liegt die Be-
ds./
deutung von ı. t/ in folgendem:

s. t/ D s.0/. t/ C

. t / d

(113.4)

dt

1. In der Beziehung

0

C1

Z

Auch wenn die Sprungfunktion für t D 0 nicht definiert ist, wird
sie erfolgreich in der Technik angewendet:

s. t/ D
s./ ı. t / d

(113.2)

1

1. Ein- und Ausschaltvorgänge können theoretisch erfasst und
kalkuliert werden, auch wenn in der Praxis der Sprung . t/
kann ı. t / als Auswahlfunktion verstanden werden, die
nur näherungsweise realisiert werden kann bzw. nur angenä-
aus den Werten von s. t/ genau diejenigen Werte auswählt,
hert auftritt.

für die das Argument Null ist. Dadurch wird die Signalab-

2. Die Übertragung digital kodierter Signale kann mit Sprung-
tastung auch formelmäßig beschreibbar.

funktionen simuliert und berechnet werden (siehe Verschie-

2. Für die ideale ı-Funktion haben die Fouriertransformier-
bungssatz (112.34) und Beispiel 7). Für den Anwender
te (Tab. 112.1) und die Laplacetransformierte den Wert 1
lassen sich diese Ergebnisse auf das technisch ausgeführte

(Tab. 112.3). Wird ı. t/ in Form der physikalisch möglichen

System übertragen.

Realisierbarkeit als Eingangssignal für ein System benutzt,

3. In der Schaltungs-, Steuerungs- und Regelungstechnik kön-
so folgt mit (109.1a) und (109.1b): S 2. f / D S 1. f / H. f /
nen Sprungfunktionen zur Untersuchung der Systemreaktion

1 H. f / bzw. F 2. s/ D F 1. s/ H. s/ 1 H. s/. Man
und zur Stabilitätskontrolle eingesetzt werden, weil die Än-
erhält also am Ausgang unmittelbar die Übertragungsfunk-
derung der Signalamplitude pro Zeiteinheit theoretisch un-
tion H. f / bzw. H. s/ und nicht deren Kombination mit dem
endlich groß und in der Praxis sehr groß ist. Damit wird

113.4

Harmonische Schwingungen

1357
die für die meisten Systeme kritischste aller auftretenden Si-
gnalformen erfasst. Die Systemantwort in der Zeitebene wird
s 2. t/ Systemausgangsgröße bei einem Sprung am Ein-
auch mit Übergangsfunktion bezeichnet.

gang (Sprungantwort).

Bei der Berechnung wurde berücksichtigt, dass die Funk-
tionen für t < 0 Null sind und dass das Integral des

113.3

Verknüpfung von σ- und

Dirac-Impulses den Wert 1 ergibt.

J
δ-Funktion

Es kann gezeigt werden, dass für die Anwendung in der Elektro-
technik die folgende Beziehung zwischen beiden Signalen gilt:

113.4

Harmonische Schwingungen
t

XIV

Z
ı.

Die harmonischen Schwingungen
t/ D d f. t/g
bzw.

. t/ D
ı./ d

(113.5)

dt

Teil

1
s. t/ D O s ejn!0 t D O s .cos n!

0
t C j sin n!0 t/;
ı. t/ Dirac-Impuls, . t/ Sprungfunktion.

n D 1; 2; 3; : : :, haben mit m D 1; 2; 3; : : : und n D 1; 2; 3; : : :

Mit dem Duhamel’schen Integral nach (113.4) und dessen Inter-
die Eigenschaft:

pretation lässt sich folgende Aussage ableiten:

T

Z

Bekannt ist die Impulsantwort s 2. t/ D s 2. t/ı am Ausgang des

.cos m !

0
t/ .cos n !0 t/ dt D 0 für m ¤ n I

Systems, verursacht durch einen Dirac-Impuls ı. t/ am Eingang.

Dann berechnet sich die Sprungantwort s

0

2. t/ D s 2. t/ am Aus-
gang durch Integration von s

T

Z

2. t/ı . Andererseits folgt aus der
bekannten Sprungantwort s

2. t/ durch Differenzieren von s 2. t/

.sin m !0 t/ .sin n !0 t/ dt D 0 für m ¤ n I
die entsprechende Impulsantwort s 2. t/ı:

0

T

Z
t

Z

.sin m ! t/ .cos n ! t/ dt D 0 für alle m, n.

s

0

0

2. t/ D
s 2./ı d bzw. s 2. t/ı D ds 2. t/

(113.6)

dt

1

0

(113.7)

Beispiel 1

Es handelt sich damit um ein orthogonales Funktionensystem.

In der Elektrotechnik gibt es noch weitere orthogonale Sys-

Ein passiver RC-Hochpass erster Ordnung hat folgende
teme, z. B. Walsh-Funktionen, bei denen beliebige periodische

Spannungs-Übertragungsfunktion in der Zeitebene:

Signalverläufe durch Rechteckfunktionen geeigneter Dauer und

Amplitude dargestellt werden. Dass die harmonischen Schwin-
h. t/ D ı. t/ 1 e t= T
gungen eine besondere Bedeutung haben, liegt an ihrem Auftre-

T
ten in der Physik:

Sie kann z. B. dadurch ermittelt werden, dass der Dirac-

Projektion von Drehbewegungen auf eine Gerade und da-

Impuls ı. t/ als Eingangssignal verwendet wird. Damit gilt
mit zusammenhängend die Form der Spannung im Wechsel-
auch:

bzw. Drehstrom-Versorgungsnetz;

Spannungs- und Stromverlauf eines verlustfreien elektri-
s

schen Schwingkreises aus L und C;

2. t/ı D ı. t/ 1
e t= T

T

Erfassung von Systemeigenschaften in der Frequenzebene
für sinusförmige Spannungen und Ströme im eingeschwun-
s 2. t/ı Systemausgangsgröße bei einem Dirac-Impuls am
genen Zustand (z. B. Netzwerke oder Zweitore aus den Ele-

Eingang (Impulsantwort).

menten R, L, C). Ausgehend von diesen Eigenschaften sind

Durch Integration ergibt sich:

gewisse Rückschlüsse auf das Verhalten bei nichtsinusför-
migen Signalen und bei Einschwingvorgängen möglich. Die
t

Z
t

Z
theoretische Behandlung wird erleichtert durch die Anwen-
s
f

dung der komplexen Rechnung. Die sinusförmigen Größen

2. /ı d D
ı./ 1 e= T g d

T
gewinnen noch dadurch an Bedeutung, dass periodische

0

0

t
nichtsinusförmige Funktionsverläufe durch die Fourierreihe

D 1 C 1 T e= T

D e t= T D s
und damit durch Sinusfunktionen dargestellt werden können.

2. t/

T

0

Siehe dazu auch Teil XIII „Nachrichtentechnik“, Kap. 93,

„Zweitore, Vierpole“.

Leistung

114

Wilfried Plaßmann

XIV

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1359

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_114

1360

114 Leistung

Die Erfassung der am Ausgang eines Systems zur Verfügung

2. Spannung und Strom periodisch, nicht sinusförmig
stehenden Wirkleistung P ist nicht nur für die Energietech-
nik von Interesse. Je nach Art der Signalform von Strom und

Es gibt zwei Möglichkeiten zur Leistungsberechnung.

Spannung können verschiedene Berechnungsverfahren einge-
setzt werden.

2.1: Die gegebenen Signalverläufe von Spannung und Strom
werden in eine Fourierreihe entwickelt (111.1):

1. Spannung und Strom periodisch, sinusförmig

1

Für die Wirkleistung gilt:

X
u. t/ D U C
fO

0
uka cos k! t C O ukb sin k! t g

P D U I cos '

(114.1)

k D1

Teil

U, I Effektivwerte von Spannung U und Strom I in V bzw. A,

1

'

X

Phasenwinkel zwischen U und I.

i. t/ D I C
fO i cos k! t C O i sin k! t g

XIV

0
ka
kb

Liegen die Systemeigenschaften in Form von Zweitorgrößen
k D1
vor, können letztere auch zur Bestimmung des Verhältnisses von

Ausgangs- zu Eingangsleistung herangezogen werden. Nähere

Werden nach der Produktbildung aus beiden Reihen die Werte

Einzelheiten zu den Zweitorgrößen sind im Teil XIII „Nach-
von O uka, O ukb, O ika, O ikb bestimmt, ergeben alle diejenigen Inte-
richtentechnik“, Kap. 93 „Zweitore, Vierpole“ aufgeführt. Das
grale den Wert Null, die der Orthogonalitätsbeziehung nach

Leistungsverhältnis vP ist folgendermaßen definiert:

(113.7) unterliegen. Damit folgt für jede Harmonische die Leis-

P
tungsberechnung gemäß (114.1). Für die Gesamtwirkleistung
out
v D

P

(114.2)

P
müssen die Einzelleistungen aller Harmonischen einschließlich
in
des Gleichanteiles addiert werden.

P out Leistung am Ausgang, P in Leistung am Eingang des Sys-
tems (Zweitors) in W.

P D U I C U I cos ' C U I cos ' C : : :

Weiterhin gilt:

0

0

1

1

1

2

2

2

P D

D

I

D

D

1

X
in

U 2 G

I 2 R

P

U 2 G

I 2 R

1
in

1
in
out

2
a

2
a

(114.3)

D U I C

U I cos '

U

0

0
k
k
k

(114.6)

1 Eingangsspannung und U 2 Ausgangsspannung des Systems
k D1

(Zweitors) in V, I 1 Eingangsstrom und I 2 Ausgangsstrom des

Systems (Zweitors) in A, G in Realteil der Eingangsadmittanz

Y

D G C jB

Sind U und I über einen ohmschen Widerstand R verknüpft und
in
in
in des Systems in 1=(, Ga Realteil der Lastadmit-
tanz Y D G C jB
haben damit den gleichen Kurvenformverlauf, kann die Bezie-
a
a
a in 1=(, R in Realteil der Eingangsimpedanz

D I R

Z

D R C jX
hung Uk
k
benutzt werden.

in
in
in des Systems in (, Ra Realteil der Lastimpedanz

Z D R C jX
a
a
a in (.

2.2: Zur Berechnung wird die folgende Formel verwendet:

Daraus folgt das Leistungsverhältnis:

T

Z
v D j
j2 Ga D j j2 Ra

P
v
v

(114.4)

uf

G
if
in

R in

P D 1
u. t/ i. t/ dt

(114.7)

v , v siehe Teil XIII „Nachrichtentechnik“, Kap. 93 „Zweito-

T
uf
if

0
re, Vierpole“, Tab. 93.6 und 93.7; weitere Formelzeichen siehe

(114.3).

Praktischer Hinweis zum Einsatz von (114.6) und (114.7): Die

Sind Z und Z reell, ergibt sich:

in
a

Erfahrung zeigt, dass die Anwendung von (114.6) nur dann
v D j
j j j
zu empfehlen ist, wenn die Fourierreihenentwicklung für den

P
v
v
uf
if
gegebenen Kurvenformverlauf bereits vorliegt und damit die Ef-

Stehen die A-Parameter des Systems (Zweitors) zur Verfügung,
fektivwerte Uk, Ik bekannt sind und die Fourierreihe nur aus
gilt:

wenigen Summanden besteht. Ein derartiger Verlauf ergibt sich
v D

Ga
beispielsweise, wenn ein rechteckförmiger Signalverlauf mit

P

Ref. A C A Y / . A C A Y/g

(114.5)

21

22
a

11

12
a
der Frequenz f ein ideales Tiefpassfilter mit der Grenzfrequenz

Formelzeichen siehe (114.3), konjugiert komplexe Größe,

3 f passiert und die Leistung am Ausgang des Filters bestimmt

Ref: : :g Realteil des Klammerausdruckes.

werden soll.

114 Leistung

1361
u( t)

R 1

U 0

U 1

C

R

U
a

2

0

T

Abb. 114.2 System (Zweitor) zu Beispiel 2

Abb. 114.1 Spannungsverlauf zu Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 1

Für das in Abb. 114.2 dargestellte System (Zweitor)

Eine sägezahnförmige Spannung u. t/ D U
soll das Leistungsverhältnis v

0
t= T speist

P berechnet werden. Mit

XIV
einen Ohm’schen Widerstand R, Abb. 114.1. Gesucht ist

Tab. 93.5 (Teil XIII „Nachrichtentechnik“, Kap. 93
die in R umgesetzte Wirkleistung.

„Zweitore, Vierpole“) ergeben sich die A-Parameter wie
folgt:

Teil

Nach dem praktischen Hinweis zu (114.6) und (114.7)

empfiehlt es sich, (114.7) zu verwenden. Für den Verlauf

A

D 1 C j! R

D

I

1 C I

A

R 1
der Spannung erhält man: u. t/ D U

11

12

0
t= T. Für i. t/ gilt:

D

D
i. t/ D u. t/= R. Damit ergibt sich

A
j! C I

A

1

21

22

T

Z

T

Z

Daraus folgt mit (114.5):

P D 1
f u. t/ u. t/g dt D 1 1 Œ u. t/2 dt

T

R

T

R
v D

Ga

0

0

P

Ref. A C A Y / . A C A Y/g

21

22
a

11

12
a

T

Z

ˇ T
t

U 2
t 3 ˇ

U 2

D 1 U 2
f g2 dt D

0

Ď 0

D

1= Ra

R T

0

T

R T 3

3 ˇ

3 R

Ref. j! C C 1 / .1 j! R

/g

0

R

1 C C R 1
a

Ra

0

D

1= Ra

Für den arithmetischen Mittelwert (Gleichanteil) folgt:

Ref j! C C 1 C R

C R 1 j! C C R 1 g

1 !2 C 2 R 1 j! C

N

Ra

Ra

Ra

R 2
u D U
a

0=2. Es kann also nicht unmittelbar von N
u auf P
geschlossen werden.

J

D

1= Ra

1 C R

R

1!2 C 2 C R 1
a

R 2 a

D

Ra

R C

C
a

R 1

R 2 R
a

1!2 C 2

Wird zur Kontrolle C D 0 gesetzt, ergibt sich die auch
anschaulich einsichtige Lösung v D

Ra

P

.

J

Ra C R 1

Faltungsintegral

115

Wilfried Plaßmann

XIV

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1363

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_115

1364

115 Faltungsintegral

Es gelten folgende Bezeichnungen:

Die untere Integrationsgrenze wird in den Gleichungen (115.1),

(115.4b) und (115.4c) für kausale Systeme, die für t < 0 Null
s 1. t/; . f 1. t// Zeitabhängige Eingangsgröße des Systems, bei sind, zu Null gesetzt.

der Laplacetransformation wegen Verwechslungs-
gefahr mit f 1. t/ bezeichnet,

Die Faltung kann auch im Frequenzbereich angewendet werden.

h. t/

Übertragungsfunktion des Systems in Abhängig-

Es gilt:

keit von der Zeit,
s 2. t/; . f 2. t// Zeitabhängige Ausgangsgröße des Systems, bei
sa. t/ sb. t/ c
s Sa. f/ Sb. f/:

(115.5)

der Laplacetransformation wegen Verwechslungs-
gefahr mit f 2. t/ bezeichnet,

Das Faltungsintegral wird u. a. in folgenden Fällen eingesetzt:

T

S . f /

Frequenzabhängige Eingangsgröße des Systems,
eil

1

H. f /

Übertragungsfunktion in Abhängigkeit von der

1. Die zeitabhängige Systemeingangsfunktion s 1. t/ und die

Frequenz,
zeitabhängige Übertragungsfunktion h. t/ sind gegeben.

XIV

S . f /

Frequenzabhängige Ausgangsgröße des Systems.

Dann kann die zeitabhängige Ausgangsgröße s 2. t/ mit

2

(115.1) berechnet werden.

Nach (109.1a), (109.1b) und (109.1c) gilt:

2. Gesucht ist die zeitabhängige Funktion f . t/. Die zugehöri-
ge Laplacetransformierte F. s/ kann in ein Produkt F. s/ D

S . f / D H. f / S . f /:

2

1

F 1. s/ F 2. s/ zerlegt werden, wobei die Rücktransformier-
ten der beiden Faktoren bekannt sind. Mit F. s/ s
c f . t/,

Für die zugeordneten zeitabhängigen Größen folgt die Bezie-

F
hung

1 . s/ s
c f 1. t/, F 2. s/ s c f 2. t/ ergibt sich:

t

Z
t

Z
f . t/ D L1f F
f
s

1. s/ F 2. s/g D

1. / f 2. t / d

(115.6)

2. t/ D
s 1. t / h./ d

(115.1)

1

0
oder, in Kurzschreibweise,

Beispiel 1
s 2. t/ D s 1. t/ h. t/

(115.2)

Ein passiver RC-Hochpass erster Ordnung hat die Über-
tragungsfunktion ı. t/ 1 e t= T .

T

Der allgemeine Zusammenhang zwischen Zeit- und Frequenz-

An den Eingang wird zum Zeitpunkt t D 0 eine Sprung-
ebene ist demnach durch die folgende Beziehung gegeben:

funktion mit dem Wert 1 für t > 0 angelegt. Für die

Ausgangsgröße folgt dann mit (115.6):

sa. t/ sb. t/ c
s Sa. f/ Sb. f/

(115.3)

t

Z

Gleichung (115.1) wird als Faltungsintegral bezeichnet, das
s
ı. t / 1 e. t/= T 1 d

Symbol „“ bedeutet „gefaltet mit“. Das Faltungsintegral hat

2. t/ D

T
folgende Eigenschaft:

0
t

Z

sa. t/ sb. t/ D sb. t/ sa. t/

(115.4a)

D
ı./ 1 e= T 1 d

T

0

Angewendet auf (115.1) kann man auch schreiben:

t

Z
t

Z

1
t

Z
t

Z

D
fı./g d
e= T d

T
s 1. t / h./ d D
s 1./ h. t / d

(115.4b)

0

0

1

1

D 1 C 1 T e t= T 1 D e t= T

T
bzw.

Dabei wurde (115.4b) verwendet und berücksichtigt, dass
t

Z
t

Z
die zeitabhängigen Funktionen für t < 0 Null sind.

J
s 1. t / h./ d D
h./ s 1. t / d

(115.4c)

1

1

115 Faltungsintegral

1365

Beispiel 2

Gegeben ist die Laplacetransformierte

F. s/ D

1

D

1

1

. s C a/ . s C b/
s C a

„ƒ‚… s C b

„ƒ‚…

F 1. s/

F 2. s/
mit F. s/ s
c f . t/.

Die Rücktransformierten der beiden Faktoren sind be-
kannt:

XIV

F 1. s/ s
c e at; F 2. s/ s c e bt

Teil

Mit (115.6) ergibt sich:

t

Z
t

Z
f . t/ D
f 1./ f 2. t / d D
e a e b. t/ d

0

0
t

Z

ˇ
e. a b/ ˇ t

D e bt
e. a b/ d D e bt

ˇ
a C b ˇ0

0
e. a b/ t
e at e bt

D

1
e bt

D
a C b
b a

Das Ergebnis ist in Übereinstimmung mit der Transfor-
mation Nr. 9 in Tab. 112.3.

J

Abtasttheorem

116

Wilfried Plaßmann

XIV

Teil

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1367

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_116

1368

116 Abtasttheorem

Die Übertragungskanäle der Nachrichten- und der Datentechnik
sinusförmig mit fg ist und in den Nulldurchgängen abgetastet
sind in ihrer Frequenzbandbreite beschränkt. Häufig besitzen sie
wird. In der Praxis genügt erfahrungsgemäß f

ab

.2;2 : : : 3/ fg.

Tiefpassverhalten erster oder höherer Ordnung. Bei der theo-

Wählt man dennoch f ab > 3 fg, hat das keinen Einfluss auf
retischen Behandlung wird in der Regel ein idealer Tiefpass
die originalgetreue Wiederherstellung des abgetasteten Signals,
angenommen, d. h. bis zur Grenzfrequenz fg bleiben die Ampli-
vielmehr spielen u. a. folgende Gesichtspunkte eine Rolle:

tudenverhältnisse aller Frequenzanteile untereinander konstant.

1. Verringerung des Quantisierungsgeräusches (Teil XIII

Oberhalb der Grenzfrequenz werden keine Signalanteile mehr

„Nachrichtentechnik“, Abschn. 96.4.4.5).

übertragen. Shannon hat gezeigt, dass es genügt, von einem

2. Die für die Abtastung und damit für die originalgetreue Wie-
frequenzbandbeschränkten Signal diskrete Probenwerte zu neh-
derherstellung des Signals erforderlichen idealen Tiefpass-
men, weil aus diesen Probenwerten das Originalsignal wieder-

T
filter (Antialiasingfilter) im oben geschilderten Sinne gibt
eil
hergestellt werden kann. Die Ableitung wird hier in verkürzter
es nicht. Frequenzanteile oberhalb f

Form dargestellt. Man macht für das bandbegrenzte Signal den
g führen zum Aliasing-

Effekt (Teil XIII „Nachrichtentechnik“, Abschn. 96.4.4 und

XIV

Ansatz

Abb. 96.31b). Je höher aber die Abtastfrequenz f ab im Ver-

C1

X
gleich zur Grenzfrequenz fg ist, desto geringer sind auch die
s. t/ D
a
n
xn. t/

Amplituden der durch die nichtidealen Filtereigenschaften
n D1
verursachten störenden Frequenzanteile oberhalb fg.

und verwendet das orthogonale Funktionensystem

Aus (116.1) folgt weiterhin, dass der Abtastzeitpunkt keine Rol-

C B

Z
le spielt, was anschaulich einsichtig ist und die Anwendung der
x

/

Signalabtastung ganz wesentlich erleichtert. Schließlich ergibt
n. t/ D

1
ej!. t n 2 B df

2 B
sich aus dem Wertebereich von n in der Summe, dass das fre-

B
quenzbandbeschränkte Signal zeitlich nicht beschränkt ist.

sin 2 B . t n /

D

2 B

2 B . t n /

Das Abtasttheorem lässt sich auch auf zeitlich begrenzte Signal-

2 B
verläufe anwenden. Entwickelt man das auf das Zeitintervall

Darin ist B die Bandbreite, die bei einem Tiefpasssystem der

T . . . C T beschränkte Signal in eine Fourierreihe, erhält man

Grenzfrequenz fg entspricht. Eine Integration liefert:

nach einigen Zwischenschritten:

C1

Z

C1

Z

C B

Z

a

C1

X

n
n
sin 2 T f n
s. t/ x

/

2 T
n. t/ dt D
s. t/ dt 1
ej!. t n 2 B df D

S. f / D

S

(116.3)

2 B

2 B

2 T

2 T f n

1

1

B
n D1

2 T

Die gesuchte Funktion lautet damit

Das Spektrum eines zeitlich beschränkten Signals ist frequenz-

C1

X

C1

mäßig nicht beschränkt und durch diskrete Abtastwerte der
n

X
n
s. t/ D
s
x

Spektraldichte im Abstand 1=2 T vollständig bestimmt.

n. t/ D
s

2 B

2 B
n D1
n D1

Die Rückgewinnung des Originalsignals geschieht nach (116.1)

sin 2 B t n

D

2 B

dadurch, dass die Abtastwerte auf ein Tiefpassfilter mit der

(116.1)

2 B t n

Grenzfrequenz f

2 B
g gegeben werden.

Die frequenzbandbegrenzte Funktion s. t/ ist also durch eine dis- Besondere Bedeutung hat das Abtasttheorem in der Form nach
krete Folge von Abtastwerten eindeutig darstellbar. Man kann

(116.1) für diejenigen Verfahren, bei denen mehrere analoge Si-
nämlich zeigen, dass sich durch die diskreten Abtastwerte nur
gnale quasi gleichzeitig über einen Kanal übertragen werden
ein möglicher Kurvenverlauf legen lässt. Nach (116.1) muss
oder ein analoger Signalwert in einen digital kodierten Wert um-
der zeitliche Abstand t
gesetzt und übertragen oder gespeichert wird. Beispiele dafür
ab der Abtastwerte – theoretisch – halb
so groß sein wie die Periodendauer T
sind:

g der höchsten im Signal
vorkommenden sinusförmigen Frequenz fg, oder, auf die Fre-

Pulsmodulationsverfahren, siehe Teil XIII „Nachrichtentech-
quenzen bezogen,
nik“, Abschn. 96.4.

f

D

Speicherung von Sprache und Musik auf Compact-Disks
ab

2 fg

(theoretisch)

(CDs). Die Abtastfrequenz beträgt 44,1 kHz.

f

ab

.2;2 : : : 4/ fg

(praktisch)

(116.2)

Fernsprechen: f D

D

g

3;4 kHz, f ab

8 kHz, ) f ab= fg

2;35.

In der Praxis wird f ab > 2 fg gewählt, um u. a. den mehr oder we-

Anwendung des Zeitmultiplexverfahrens (Teil XIII „Nach-
niger theoretischen Fall abzudecken, dass das abgetastete Signal
richtentechnik“, Abschn. 100.1).

Nichtkontinuierliche

117

(zeitdiskrete) Signale

Wilfried Plaßmann

XIV

Teil

117.1 Diskrete Fouriertransformation (DFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1370

117.2 Schnelle Fouriertransformation (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1371

117.3 z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1372

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1369

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_117

1370

117 Nichtkontinuierliche (zeitdiskrete) Signale

Abtast-
lichen Signalen nach Abschn. 113.3, (113.5) und (113.6), in

/#

System

#/

Halte-
folgender Weise zusammen:

Glied
s t
digital
s t

1( )

2( )

s 2. nT ab/ı D s 2. nT ab/ s 2.f n 1g T ab/

(117.3)

analog
n

X
s
s

System

2. nT ab/ D

2. T ab/ı

(117.4)

D1

Abb. 117.1 Prinzip der zeitdiskreten Signalverarbeitung

Die Indizes (Sprungfunktion) bzw. ı (Dirac-Impuls) weisen
auf die Ursache des Ausgangssignals hin.

Teil

Zeitdiskrete Signale werden häufig aus zeitkontinuierlichen

Ist die Systemantwort auf einen Dirac-Impuls am Eingang be-

Signalen durch Abtastung erzeugt. Dass beide Signale gleich-
kannt, kann das Ausgangssignal für beliebige Eingangssignale

XIV
wertig sind, zeigt das Abtasttheorem (Kap. 116) von Shannon,
mit der Faltungssumme (entsprechend dem Faltungsintegral
sofern die Bedingung nach (116.2), f

ab

.2;2 : : : 4/ fg/ ein- nach Gleichung (115.1) bzw. (115.4a)–(115.4c) bei zeitkonti-
gehalten wird. Abb. 117.1 zeigt den prinzipiellen Aufbau einer
nuierlichen Signalen) berechnet werden:

zeitdiskreten Signalverarbeitung. Der abgetastete Wert kann

C1
analog (unterer Signalweg) oder digital codiert (oberer Signal-

X
s
s
weg) weiterverarbeitet werden. Der Tiefpass am Eingang ist

2. nT ab/ D

1.f n g T ab/ h. T ab/

(117.5)

D1
ein Antialiasingfilter und sorgt für die Erfüllung von (116.2),
der Tiefpass am Ausgang wandelt das zeitdiskrete Signal in ein

Die Übertragungsfunktion H. f / nT erhält man aus folgender
zeitkontinuierliches Signal um. Der Einsatz dieser nichtkonti-
ab

Beziehung:

nuierlichen Signale hat zwei Vorteile: 1. Es können Zeitmul-
ťiplexverfahren angewendet werden. 2. Liegen die Signale in
s

Ď 2. nT ab/ ďigital codierter Form vor, können sie gespeichert werden (z. B.

H. f / nT

(117.6)

ab
s

ˇ

1. nT ab/ s
auf CDs) oder mit geringem Fehler übertragen werden (z. B.

1. nT ab /D ejn! T ab

Datenfernübertragung). Deshalb hat die digitale Codierung der

Ist die Impulsantwort s 2. nT ab/ı am Systemausgang bekannt,
abgetasteten Werte die größte praktische Bedeutung. Für diesen
gilt:

Fall können die Signale am Ausgang des Systems (Abb. 117.1)

C1
auch mit der Laplacetransformation und Sprungfunktionen am

X

H. f /

D
s

Systemeingang erhalten werden.

nT ab

2. nT ab/ı e jn! T ab

(117.7)

n D1

Der Index ı weist auf den Dirac-Impuls als Eingangssignal hin.

117.1

Diskrete

Analog zur Fourierreihe aus Abschn. 111.1, (111.2a)–(111.2c),

Fouriertransformation (DFT)

können die Koeffizienten der diskreten Fouriertransformation
auch in der reellen Form dargestellt werden, wenn das Inte-
gral durch eine Summe ersetzt wird (wegen des Vergleiches mit

Es wird vorausgesetzt, dass die Bedingung nach (116.2), f

ab

.

(111.2a)–(111.2c) wurde k beibehalten):

2;2 : : : 4/ fg, erfüllt ist. Die Funktion s. t/ wird im Zeitbereich

0 t < T betrachtet, wobei sie für t > T nicht zwangs-

N1

X
weise Null sein muss. Durch N-maliges Abtasten innerhalb des
a D 1

0
sm

(117.8a)

N

Zeitintervalls T erhält man die diskreten Funktionswerte s.0/,
m D0
s. T

D

ab/, s.2 T ab/, s.3 T ab/, . . . , s.f N 1g T ab/ mit T ab

T= N,

N1

X
denen entsprechende Werte des Spektrums zugeordnet werden.

a D 2

k
sm cos k 2 m

(117.8b)

Die Transformationsformeln lauten:

N

N
m D0

N1

N1

X

2 m

X

S

D
s. n T
b D 2

k
sm sin k 2 m

(117.8c)

ab/ e. j 2 m n/= N

(117.1)

NT

N

N
ab
m D0
n D0
mit m D 0; 1; : : : ; N 1.

Man kann hier die Bedeutung der auftretenden Größen beson-
ders anschaulich darstellen: N ist die Zahl der Abtastwerte im

N1

X

2 m

Intervall 0 . . . T, der zeitliche Abstand T ab der Abtastwerte ist
s. nT

ab/ D 1

S
e. j 2 m n/= N

(117.2)

mit dem Intervall T über N verknüpft: T

D T= N (wie bei

N

NT
ab
ab
m D0

(117.1) und (117.2)). Die Zahl der maximal zu berücksichtigen-
den Fourierkoeffizienten gibt k
mit n D 0; 1; : : : ; N 1.

max an. Für die höchste im Signal
enthaltene Frequenz f max, die über die Grenzfrequenz fg des

Auch bei der zeitdiskreten Signalverarbeitung haben die

Tiefpasses (Antialiasingfilter) festgelegt wird, d. h. f

D
max
fg,

Sprungfunktion . nT

D
ab/ und der Dirac-Impuls ı. nT ab/ beson-
gilt: f max
k max= T. Dabei muss zwischen T ab und f max die
dere Bedeutung. Impuls- und Sprungantwort am Ausgang des

Bedingung für die Abtastung nach (116.2) erfüllt sein: f

ab

Systems hängen analog zu den Beziehungen bei kontinuier-

.2;2 : : : 4/ f

g oder T ab

1=.f2;2 : : : 4g f max/.

117.2

Schnelle Fouriertransformation (FFT)

1371

Die Auswertung der Transformationsgleichungen erfordert we-
gen des erhöhten Rechenaufwandes den Einsatz von Rechnern.

P1

Dabei wurde die Beziehung

D a D 1 (117.9), ver-

Je nachdem, ob die reelle oder komplexe Darstellung der Fou-

0

1 a
wendet.

rierreihe verwendet wird und ob das gegebene Signal Symme-
triebedingungen erfüllt oder nicht, ergibt sich eine unterschied-

Bestimmt man das Quadrat des Betrages der Übertra-
liche Anzahl von Multiplikationen. Als Orientierungswert kann
gungsfunktion (117.14), erhält man mit j H. f /
j2 D
nT ab
dienen, dass bei N Abtastwerten etwa N 2 Multiplikationen er-

H. f /

nT

H. f /

:

ab
nT ab
forderlich sind. Dabei sind es weniger die Multiplikationen

an sich, die zeitaufwendig sind, sondern vielmehr die Berech-

B

H. f /

D A C e j! T ab
nungsroutinen zur Bestimmung der sin- und cos-Werte.

nT ab

1 0;5 e j! T ab

Für die Anwendung der diskreten Fouriertransformation werden

D A A 0;5 e j! T ab C B e j! T ab
die folgenden Formeln häufiger benötigt:

1 0;5 e j! T ab

XIV

1

X

)

j H. f /
j2
nT ab
a D

1
für j a j < 1

(117.9)

1 a

D0

D A C . B 0;5 A/ e j! Ta b

Teil

1 0;5 e j! T ab
k

X

„
ƒ‚

…

ak C1 1
a D
für a ¤ 1

(117.10)

H. f / nT ab
a 1

D0

A C . B

0;5 A/ e C j! T ab

1

X
ak

1 0;5 e C j! T ab
a D
für j a j < 1

(117.11)

„
ƒ‚

…

1 a

H. f /
fkonjug. kompl. zu H. f /
g

D
nT
nT
k
ab
ab

Beispiel 1

D A 2 C A . B0;5 A/ f e j! T ab C e C j! T ab gC. B0;5 A/2

1 Cf e j! T ab ej! T abg 0;5 C 0;25

Die Impulsantwort eines Systems ist gegeben zu:

D 1;25 A 2 C B 2 AB C . AB 0;5 A 2/ 2 cos.! T ab/

1;25 cos.! T
s

ab/

2. nT ab/ı D

A

„ƒ‚…

ı.0/

„ƒ‚…

1

2

Mit den Konstanten A und B lassen sich die Eigenschaften

C .f n 1g T

des Systems einstellen. So sind der Zähler und der Nenner
ab/

„
ƒ‚

…

B

„ƒ‚… 0;5. n1/
gleich, wenn gewählt wird: A D 0;5, B D 0;75.

3

4

(117.12)

(Ansatz: 1;25 A 2 C B 2 AB D 1;25; . AB 0;5 A 2/ 2 D

1):

Erläuterungen siehe Text, Funktionen sind Null für t < 0.

j
j

D

Erläuterungen zu den Ziffern: 1, 4: Die Konstanten A und

H. f / nT

1 ¤ f . f /
ab A D0;5I B D0;75

B werden allgemein eingeführt, um die Zahlenwerte spä-
ter geeignet zu wählen. 2: Die Konstante A erscheint zum

Dann hat das System Allpassverhalten und kann z. B. zur

Zeitpunkt t D 0 als Dirac-Impuls. 3: Die genannte Ab-

Phaseneinstellung benutzt werden.

J
hängigkeit tritt mit einer Verzögerung von T ab auf.

Die Sprungantwort ergibt sich mit (117.4):

n

X
n1

X
s

117.2

Schnelle

2. nT ab/ D A C B

0;51 D A C B

0;5

D1

D0

Fouriertransformation (FFT)

(117.13)

Die Übertragungsfunktion H. f / nT
berechnet sich mit
ab

Die gesamte Rechenzeit bei der DFT kann nur dadurch wesent-

(117.7):

lich verringert werden, dass u. a. die Anzahl der Berechnungen

1

X
für die sin- und cos-Werte reduziert wird. Die schnelle Fourier-

H. f /

D
transformation ( F ast F ourier T ransform, FFT) nutzt zu diesem
nT

A C B

0;5 n1 e j! nT ab
ab

Zweck bestimmte Symmetrieeigenschaften der Sinus- und Co-
n D1

1

X
sinusfunktion aus, was besonders effektiv ist, wenn die Anzahl

D A C B e j! T ab

0;5 j! T ab

N der Abtastwerte auf einer Potenz der Zahlen 2, 4, 8 usw. ba-
siert: N D 2 M (Basis-2-FFT), N D 4 M (Basis-4-FFT) usw.

D0

In [4] ist ausführlich dargestellt, wie z. B. eine Basis-2-FFT

D A C B e j! T ab

1

(117.14)

für N D 1024 entwickelt und für die Berechnung mit einem

1 0;5 j! T ab

Rechner aufbereitet wird. Beispiel 2 zeigt die Symmetrieeigen-
schaften für N D 24 D 16.

1372

117 Nichtkontinuierliche (zeitdiskrete) Signale

Beispiel 2
d. h.

s. nT

Um zu zeigen, wie die Symmetrieeigenschaften bei der
ab/ 0
für n < 0

(117.16)

FFT ausgenutzt werden, wird N D 24 D 16 gewählt.

Die Unterscheidung zwischen ein- und zweiseitiger z-Transfor-

Dann sind die sin- und cos-Werte von n 22;5°, n D
mation wurde aus praktischen Erwägungen heraus eingeführt.

0 : : : 15, erforderlich. Es genügt aber, zwei sin- und einen
cos-Wert zu berechnen (jeweils unterstrichen) und je nach

Die Rücktransformation geschieht nach folgender Beziehung:

Quadrant das Vorzeichen entsprechend zu setzen, wenn

I
die dargestellten Symmetriebedingungen beachtet wer-
s. nT

ab/ D

1

S. z/ zn1 dz

(117.17)

T
den:

2 j
eil
sin 22;5ı D sin 157;5ı D sin 202;5ı D sin 337;5ı
symbolische Darstellung: s. nT ab/ ˛ S. z/.

XIV

D cos 67;5ı D cos 112;5ı D cos 247;5ı

Für die Anwendung sind folgende Eigenschaften von Bedeu-

D
tung:

cos 292;5ı
cos 22;5ı D cos 157;5ı D cos 202;5ı D cos 337;5ı

1. Multiplikation mit einer Konstanten K:

D sin 67;5ı D sin 112;5ı D sin 247;5ı

K s. nT ab/ ˛ K S. z/

(117.18)

D sin 292;5ı

2. Addition zweier Zeitfunktionen:

sin 45ı D sin 135ı D sin 225ı D sin 315ı

D cos 45ı D cos 135ı D cos 225ı
s 1. nT ab/ C s 2. nT ab/ ˛ S 1. z/ C S 2. z/

(117.19)

D cos 315ı

3. Verschiebung:

Die Werte für 0°, 90°, 180ůnd 270° brauchen als „Trivi-
alwerte“ nicht berechnet zu werden.

J
s. nT ab/ ˛ S. z/

!

s.f n g T ab/ ˛ z S. z/

(117.20)

4. Faltung:

Die Erstellung eines entsprechenden Rechnerprogrammes ist
zwar aufwendig, aber sinnvoll, weil der Anwender bei jedem

C1

X

Programmdurchlauf von der Zeitersparnis profitiert.

s 1. nT ab/ s 2. nT ab/ D
s 1. T ab/ s 2.f n g T ab/
n D1

. n D0/

117.3
z-Transformation

˛ S 1. z/ S 2. z/

(117.21)

Tab. 117.1 enthält einige Korrespondenzen zur z-Transforma-

Die z-Transformation dient ebenfalls zur Beschreibung von Ab-
tion. Zum Vergleich sind teilweise die zugeordneten Laplace-
tastsystemen. Sie gibt eine geschlossene Darstellung der Folge
transformierten mit aufgeführt.

der Abtastwerte ohne Rückgriff auf die Einhüllende. Die Re-

Korrespondenz Nr. 11 in Tab. 117.1 zeigt, analog zur Laplace-
gelungstechnik wendet sie häufig bei Abtastregelsystemen an,
transformation, eine allgemeine Lösung zur Rücktransformati-
weil die dort auftretenden absichtlich eingefügten oder prinzipi-
on. Sind die Null- und Polstellen bestimmt, kann eine Partial-
ell vorhandenen Zeitverzögerungen nT ab einfach erfasst werden
bruchzerlegung durchgeführt werden. Anschließend lassen sich
können. Hier sollen nur die Grundlagen dargestellt werden, wei-
die erhaltenen Summanden einzeln nach Tab. 117.1, Korrespon-
tere Einzelheiten sind z. B. in [5] enthalten.

denzen 12 bis 14, zurücktransformieren. Der in der Transfor-

Die Transformationsgleichungen sind wie folgt definiert:

mation Nr. 13 auftretende Binomialkoeffizient wird wie folgt
berechnet:

Zweiseitige z-Transformation:

"

#

C1

X
n 1

. n

D

1/Š

S. z/ D
s. nT ab/ z n

(117.15)

1
f. 1/Šg fŒ. n 1/ . 1/Šg

(117.22)

n D1
oder, in symbolischer Darstellung:

Da die Koeffizienten a 0 . . . am, b 0 . . . bn der Korrespondenz

Nr. 11 in Tab. 117.1 reell sind, ergeben sich reelle oder kon-

S. z/ ˛ s. nT ab/
jugiert komplexe Pol- und Nullstellen.

Für ein System mit der Übertragungsfunktion H. z/, der Ein-

Einseitige z-Transformation:

gangsgröße S 1. z/ und der Ausgangsgröße S 2. z/ gilt analog zur

C1

X

Fourier- und Laplacetransformation:

S. z/ D
s. nT ab/ z n
n D0

S 2. z/ D H. z/ S 1. z/

(117.23)

117.3
z-Transformation

1373

Tab. 117.1 Korrespondenzen der z-Transformation

M

Nr. f . t/

F. s/

F. z/

× b 0

1

. t/

1
z
s n T

1(

·

)

ab
s n T

2(

·

)

ab

S
s
z1

M

V

2
t

1

T
z

S
s 2

. z1/2

× b 1

T ab

3
t 2

2

T 2 z z C1
s 3

. z1/3

4
eat

1
z

M
s a
z eaT

× a

5
t eat

1

1

.

T eaT
z
s a/2

. z eaT /2

6
sin.!

0
t/

!0
z
sin.!0 T/
s 2 C!2
z 22 zcos.!

0

0 T /C1

Abb. 117.2 Schaltung für eine Differenzengleichung erster Ordnung; M: Mul-

7
cos.!

0
t/
s
z
zcos.!0 T/
s 2 C!2
z 22 zcos.!

tiplizierer, V: Verzögerungsglied, S: Summierer

0

0 T /C1

8
eat sin.!

0
t/

!0
z
eaT sin.! o T/

. s a/2C!2
z 22 z eaT cos.!

0

0 T/C e 2 aT

XIV

9
eat cos.!

0
t/
s a
z
z eaT cos.!0 T/

. s a/2C!2
z 22 z eaT cos.!

0

0 T/C e 2 aT

Umgeformt ergibt sich:

10
ı. t nT/
e nTs
z n

Teil

C b

1
e j! T ab

H. f /

D b 0

(117.26)

Nr. F. s/

F. z/
nT ab

1 a

1
e j! T ab

11
b 0C b 1 e Ts C b 2 e2 Ts C:::C bn e nTs
b 0C b 1 z1C b 2 z2C:::C bn z n
a 0C a 1 e Ts C a 2 e2 Ts C:::C am e mTs
a 0C a 1 z1C a 2 z2C:::C am z m

Daraus erhält man die Transformierte H. z/ mit e j! T ab D z1

Nr. f . t/

F. z/
zu:

12

. n 1/ an1a

1 , j z j > j a j
z a

C b

1
z1

13

. n / n1

H. z/ D b 0

(117.27)

1
ana, b

1

. z a/ , j z j > j a j

1 a

1
z1

14
ı. n /c

1
z

Der gemeinsame Faktor en kürzt sich in (117.26) heraus, was
a Sprungfunktion, b siehe (117.22), c ı Dirac-Impuls
anschaulich auch einsichtig ist, denn H. f / nT bzw. H. z/ dürfen
ab
sich nicht in Abhängigkeit von der Zahl der Abtastwerte ändern.

Ob ein Abtastsystem stabil ist, lässt sich anhand der Übertra-

Durch geeignete Wahl von a 1, b 0 und b 1 kann das Verhalten der
gungsfunktion H. z/ feststellen. Mit

Übertragungsfunktion eingestellt werden.

P. z/

Für eine Differenzengleichung zweiten Grades lässt sich in ana-

H. z/ D
loger Weise ableiten:

Q. z/

(117.24)

( P. z/ Zählerpolynom, Q. z/ Nennerpolynom) gilt: Ein System a

2
s 2. nT ab/ C a 1 s 2.f n 1g T ab/ C a 0 s 2.f n 2g T ab/
ist stabil, wenn die Nullstellen des Nennerpolynoms innerhalb

D b

2
s 1. nT ab/ C b 1 s 1.f n 1g T ab/ C b 0 s 1.f n 2g T ab/
des Einheitskreises der z-Ebene liegen und der Zählergrad den

Nennergrad nicht übersteigt.

Daraus ergibt sich H. z/:

Mit der z-Transformation lassen sich auch Differenzenglei-
chungen erfassen. Abb. 117.2 zeigt eine Schaltung, die eine
z 2 C b

C

1
z C b 0
b 1 z1 C b 0 z2

H. z/ D b 2

D b 2

Differenzengleichung erster Ordnung ergibt. Es gilt für die Aus-
a

C

2
z 2 C a 1 z C a 0
a 2
a 1 z1 C a 0 z2
gangsgröße s 2. nT ab/:

(117.28)

s

2. nT ab/ D b 0
s 1. nT ab/ C b 1 s 1.f n 1g T ab/

Häufig ist b D

D

2

1 oder a 2

1, was durch entsprechendes Multi-

C a
plizieren der gesamten Formel mit 1= b

1
s 2.f n 1g T ab/

2 bzw. a 2 erreicht werden
kann.

bzw. umgeformt
s

Beispiel 3

2. nT ab/ a 1
s 2.f n 1g T ab/

D b

0
s 1. nT ab/ C b 1 s 1.f n 1g T ab/

(117.25)

Ausgangspunkt sind (117.25) und Abb. 117.2. Das Sys-
tem ist stabil, wenn nach (117.24) gilt: j a j < 1. Anschau-

Für die Übertragungsfunktion folgt mit (117.7), (117.23) und

1
lich nimmt s
j > 1 mit jeder Abtastung zu

(117.25):

2. nT ab/ für j a 1
und wächst mit n ! 1 über alle Grenzen. Wird als Ein-
gangsgröße ein Sprung mit der Amplitude U verwendet,

H. f /

nT
ejn! T ab H. f /
a
ej f n1g! T ab
ab
nT ab

1
und sind alle Größen für n < 0 Null, ergibt sich für die

D b

0
ejn! T ab C b 1 ej f n1g! T ab

1374

117 Nichtkontinuierliche (zeitdiskrete) Signale

V
s n T

S
s n T

Ausgangsgröße s

1(

·

)

ab

2(

·

)

ab

2. nT ab/ nach der n-ten Abtastung (Zähl-

T ab
beginn mit n D 0; einige Rechnung erforderlich):

V

M
n

X
n

X

×

T

(–0,5)

ab
s

C

2. nT ab/ D U b 0
c C U . b 0
b 1/
c1

D0

D0

(117.29)

2· T ab

V

Gilt 0 < a 1 < 1, nähert sich s 2. nT ab/ asymptotisch dem

Teil

Wert U 2 b 0C b 1 . Für 1 < a

Abb. 117.3 Realisierung zu Beispiel 4; M: Multiplizierer, V: Verzögerungsglied,

1 a

1 < 0 dagegen ergibt sich

1

S: Summierer
für n ! 1 der Endwert U 2 b 0C b 1 , dem sich s 2. nT ab/

XIV

1C a 1
oszillierend nähert.

Die in Abb. 117.2 dargestellte Schaltung kann damit
wegen der Sprungantwort nach (117.29) als Tiefpass in-
p
terpretiert werden. Für die Auswertung wurden die Sum-

Mit Œ0;5 ˙ j 0;5 n1 D Œ 0;52 C 0;52 e˙ j' n1 und f D
menformeln
arctan.1/ ergibt sich:

p

1

X

1

X
s 2. nT ab/ D fŒ. n 1/ T abg f. 0;5/ n1g
xn D

1
bzw.

xn .1/ n D

1

1 x

1 C x
f.0;5 C j 0;5/ e j. n1/'

n D0
n D0

C .0;5 j 0;5/ ej. n1/'g
verwendet.

J
p

D fŒ. n 1/ T abg f. 0;5/ n1g
f.0;5 ej. n1/' C 0;5 e j. n1/'/

Beispiel 4

C . j 0;5 ej. n1/' C j 0;5 e j. n1/'/

Gegeben ist die Übertragungsfunktion H. z/ eines Sys-
p
tems:

D fŒ. n 1/ T abg f. 0;5/ n1g
fcosŒ. n 1/ ' C sinŒ. n 1/ 'g

H. z/ D
z
z 2 z C 0;5
p
z

D

Am Faktor f. 0;5/ n1g wird auch anschaulich sichtbar,

. z 0;5 j 0;5/ . z 0;5 C j 0;5/ (117.30)

dass das System stabil ist. Das Ausgangssignal ist die

Summe aus einer Sinus- und einer Cosinusschwingung

Gesucht sind die Impulsantwort und eine Schaltung, mit
mit abnehmender Amplitude. Mit den Ausführungen zu
der sich H. z/ realisieren lässt, sofern das System stabil

(117.28) kann die Differenzengleichung, hier zweiten
ist.

Grades, aus H. z/ nach (117.30) aufgestellt werden. Be-

Das System ist stabil, weil die Abstände x der zwei
sonders geeignet ist die Darstellung
konjugiert komplexen Nullstellen des Nenners vom Ko-
ordinatenursprung in der z-Ebene kleiner als 1 sind:

b C

2
b 1 z1 C b 0 z2
p
p

H. z/ D

;
a C a z1 C a z2
x D C

0;52 C 0;52 D C 0;5 < 1

2

1

0

Außerdem ist der Zählergrad nicht größer als der Nenner-
wenn man beachtet, dass ein Faktor z eine ( T ab)-
grad. Für die Rücktransformation soll die Korrespondenz
fache Verzögerung gegenüber . n T ab/ bedeutet (siehe

Nr. 12 aus Tab. 117.1 benutzt werden. Eine Partialbruch-

(117.20)). Dann folgt:

zerlegung liefert:

z
z2
z1

H. z/ D

D

H. z/ D
z
z 2 z C 0;5 z2

1 z1 C 0;5 z2

. z 0;5 C j 0;5/ . z 0;5 j 0;5/

D

0;5 C j 0;5

C

0;5 j 0;5
und daraus

. z 0;5 C j 0;5/

. z 0;5 j 0;5/
s 2. nT ab/ s 2.f n 1g T ab/ C 0;5 s 2.f n 2g T ab/

Mit der genannten Korrespondenz folgt:

D s 1.f n 1g T ab/
s 2. nT ab/ D fŒ. n 1/ T abg
fŒ

Abb. 117.3 zeigt eine Schaltung, die das berechnete

0;5 C j 0;5 Œ0;5 j 0;5 n1

Verhalten aufweist. Bei Bedarf lässt sich die Zahl der Ver-

C Œ0;5 j 0;5 Œ0;5 C j 0;5 n1g
zögerungsglieder noch minimieren.

J

Zufällige Signale

118

Wilfried Plaßmann

XIV

Teil

118.1 Grundbegriffe und Kenngrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376

118.2 Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1379

118.3 Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1381

118.4 Signalerkennung bei gestörter Übertragung . . . . . . . . . . . . . 1382

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1375

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6_118

1376

118 Zufällige Signale
stochastische
für diskretes h. x/ bzw.

Signale
x

Z
w. x x/ D H. x/ D
f . y/ dy

(118.1b)

stationär
nicht stationär

0
y D1
ergodisch
nicht ergodisch
für stetiges h. x/.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße x D x 0

Abb. 118.1 Einteilung stochastischer Signale
größer ist als der betrachtete Wert x, errechnet sich zu:

N

X

T
w. x

N/ D 1
h. x/
eil

Die hier betrachteten Signale werden auch als stochastische Si-

0 > N/ D 1 w. x 0
gnale bezeichnet. Sie sind zufällig, d. h. ihr Augenblickswert
x D0

XIV
ist nicht vorhersagbar. Abb. 118.1 zeigt eine Unterteilung nach
bzw.

den Signaleigenschaften. Über die nichtstationären Signale lässt
x

Z
sich keinerlei Aussage machen, und sie werden hier deshalb
w. x 0 > x/ D 1
f . y/ dy

(118.2)

auch nicht weiter betrachtet. Für die stationären Signale gilt,
y D1
dass ihr Momentanwert zwar auch nicht vorhergesagt werden
kann, dass sie aber trotzdem gewisse auswertbare Eigenschaf-

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert zwischen einem unte-
ten besitzen, die allerdings statistischer Art sind und deshalb nur
ren Wert x min und einem oberen Wert x max liegt, ist:

mit den Gesetzen der Wahrscheinlichkeitstheorie erfasst werden
x max

Z
x max

Z
x min

Z
können. Zwar sind – theoretisch – für die Anwendung der Wahr-
w. x

min

X x max/ D
h. x/ dx D
h. x/ dx
h. x/ dx
scheinlichkeitstheorie unendlich viele Probenwerte zu nehmen,

1

1
in der Praxis hat sich aber gezeigt, dass man auch mit einer
x min
endlichen Anzahl dem gesuchten Wert schon ausreichend nahe

(118.3)

kommen kann.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte h. x/ einer stetigen Verteilung
kann allerdings nicht mehr als die Wahrscheinlichkeit auf-
gefasst werden, dass genau der Wert x auftritt. Dieser Wert
ergibt mit (118.3) Null.

118.1

Grundbegriffe und

Linearer Mittelwert oder Erwartungswert N x einer Verteilung:

Kenngrößen

C1

N

X

Z

N x D 1
x h. x/ bzw.

N x D
x h. x/ dx

(118.4)

N x D0

1

Die nachfolgend dargestellten Grundbegriffe und Kenngrößen
werden in den Beispielen 1 bis 7 anschaulich erläutert. Wei-

Linearer Mittelwert oder Erwartungswert N x einer Stichpro-
terhin haben einige der Begriffe eine zentrale Bedeutung in
be: Die gemessenen Werte (z. B. Messwerte, Daten auf einer
der Messtechnik und treten deshalb im Teil X „Messtechnik“,

Datenleitung bei Mehrfachübertragung zur Fehlerreduktion)

Kap. 80, ebenfalls auf. Es wird unterschieden zwischen einer
bilden eine Stichprobe. Wird daraus der Mittelwert gebildet,

Verteilung und einer Stichprobe. Die funktionale Abhängigkeit
kann dieser häufig als Schätz- oder Näherungswert eingesetzt
einer Verteilung ist in ihrem Verlauf durch häufiges Erfassen
werden. In der Messtechnik wird in der Regel aus mehreren
bzw. Messen relativ gesichert und damit auch ihre Kenngrößen,

Einzelmessungen durch Mittelwertbildung auf den „wahren“
während es sich bei einer Stichprobe um einige wenige Werte

Wert geschlossen.

handelt, von denen auf gewisse statistische Eigenschaften ge-

N

X
schlossen werden soll.

N x D 1
xn

(118.5)

N n D1

Wahrscheinlichkeitsdichte(funktion), Häufigkeit, h. x/: Sie
gibt die relative Häufigkeit an, mit der der Wert x vorhan-

(siehe dazu auch Teil. X „Messtechnik“, Abschn. 80.3 und
den ist. Für einen bestimmten Wert x D x

Beispiel 3 in Kap. 109).

0 ist ihr Wert gleich
der Wahrscheinlichkeit w. x D x

Geometrischer Mittelwert N x

0/, mit der dieser Wert auf-
g: Er ist für diskrete Werte xi, 1
tritt. Sie kann aus diskreten Werten bestehen oder aus einer
i N, definiert:

p
stetigen Funktion.

N x D N

g
x 1 x 2 : : : xN

(118.6)

Summenfunktion, Summenhäufigkeitsfunktion, H. x/: Sie ist
die Summenfunktion der Wahrscheinlichkeitsdichte h. x/. Sie

Median oder Zentralwert x 50: Die x-diskreten- Werte sind
gibt die Wahrscheinlichkeit w. x
der Größe nach geordnet. Bei einer ungeraden Anzahl ist

0
x/ an, dass die Zufalls-
größe x D x
der in der Mitte liegende Wert der Median, bei einer gera-

0 kleiner oder höchstens gleich dem betrachteten

Wert x ist:

den Anzahl wird aus den beiden mittleren der arithmetische

Mittelwert gebildet. Auch dieser Wert wird in der Messtech-

N

X
nik als Annäherung an den „wahren“ Wert genommen, wenn
w. x

0

N/ D H. N/ D
h. x/

(118.1a)

Ausreißer bei den einzelnen Messwerten eine entsprechend
x D0
geringe Wertigkeit haben sollen.

118.1

Grundbegriffe und Kenngrößen

1377

Varianz 2 einer Verteilung: Mit dem linearen Mittelwert aus

Sind s. t/ und s. t C / orthogonal zueinander, folgt:

(118.4) folgt:

˚ ss./ D 0

(118.11a)

N

X

2 D

. x N x/2 h. x/

Für D 0 erhält man:

x D0

C T

Z
bzw.

˚

1
ss. D 0/ D s 2 D lim

Œ s. t/2 dt

(118.12)

C1

Z

T!1 2 T T

2 D

. x N x/2 h. x/ dx

(118.7)

Das ist das Quadrat des Effektivwertes und gibt die im Si-

1
gnal enthaltene mittlere Gesamtleistung an ( P s 2). Es wird

Varianz s 2 einer Stichprobe: Sie ist ein Maß für die Streuung
vorausgesetzt, dass der Wert des Integrals endlich ist.

der Einzelwerte.

XIV

Das Maximum hat die AKF für D 0:

N

X
s 2 D

1

. x N

˚ ss. D 0/ ˚ ss. ¤ 0/

(118.13)

n
x/2

(118.8)

Teil

N 1 n D1

Mit ! 1 folgt für ein beliebiges Signal:

(siehe dazu auch Teil. X „Messtechnik“, Abschn. 80.3 und

Quadrat des zeitlichen Mittelwertes

Beispiel 4 in Kap. 109).

Der Faktor N 1 im Nenner ergibt sich aus wahrscheinlich-
lim ˚ ss./ D s 2

(118.14a)

keitstheoretischen Überlegungen und lässt sich praktisch so

!1
interpretieren, dass es nicht sinnvoll ist, aus einem Messwert

Die Autokorrelationsfunktion eines stochastischen Signals
die Varianz, d. h. die Streuung, zu bilden: s 2. N D 1/ ! 1.

mit verschwindendem Mittelwert geht mit zunehmender Ver-

Standardabweichung s:

schiebung gegen Null:

p
s D C s 2

(118.9)

lim ˚

!1 ss. / D 0

(118.14b)

Sie dient in der Messtechnik dazu, Messreihen zu beurtei-
len mit der Tendenz, dass um so eher vom Mittelwert der

Mit der Beziehung

Stichprobe nach (118.5) auf den „wahren“ Wert geschlossen

Parseval’sche Gleichung:

werden kann, je geringer die Standardabweichung ist.

C1

Z

C1

Z

Stationärer Prozess: Die Wahrscheinlichkeitsdichte und da-
mit die Bestimmung der Mittelwerte nach (118.4) bis (118.9)

j s. t/j2 dt D
j S. f /j2 df ;

(118.15)

hängt nicht davon ab, zu welchem Zeitpunkt dies geschieht:

1

1

ˇ

ˇ
h. x/Ď h. x/ˇ

(siehe auch Erläuterungen zu (112.15)), eingesetzt in
t D t 1
t D t 2

(118.12), erhält man:

Daraus folgt z. B.

ˇ

Č T

Z

N xĎ N xˇ

(118.10)

1
t D t 1
t D t 2
s 2 D lim

Œ S. f /2 df

(118.16)

T!1 2 T

Ergodischer Prozess: Gegeben sind mehrere gleichzeitig ab-

T
laufende gleichartige Prozesse (Schar). Sind die Mittelwerte
eines Prozesses, gebildet über die Zeit, gleich den Mittel-

Spektrale Leistungsdichte, Theorem von Wiener-Khintchine:

werten, gebildet über die Schar zum gleichen Zeitpunkt, ist

Der Ausdruck
der Prozess stationär und ergodisch. Bei Würfeln folgt die

1
gleiche Aussage z. B. über den Mittelwert (Erwartungswert),
lim
j S. f /j2 D Sss. f /

(118.17)

T!1 2 T
unabhängig davon, ob mit einem Würfel N-mal gewürfelt
wird oder mit N Würfeln einmal. Dazu ist ein Hinweis er-
aus (118.16) wird als spektrale Leistungsdichte bezeichnet.

forderlich: Es kann sein, dass man im Experiment nur eine

Damit gilt auch:

endliche Anzahl von Proben durchführen kann und damit
zwangsweise nicht genau zum gleichen Mittelwert (Erwar-

C1

Z
tungswert) kommt.

s 2 D

Sss. f / df

(118.18)

Autokorrelationsfunktion ˚ ss ( AKF): Sie gibt die Ähnlichkeit

1
des Signales mit sich selber in Abhängigkeit von der gegen-
seitigen Verschiebung an:

Man kann zeigen, dass die Fouriertransformierte der spektra-
len Leistungsdichte gleich ist der Autokorrelationsfunktion und

T

Z
umgekehrt (Theorem von Wiener-Khintchine):

˚

1
ss. / D lim
s. t/ s. t C / dt

(118.11)

T!1 2 T T

Ff Sss. f /g D ˚ ss./

1378

118 Zufällige Signale
bzw.

hat die Kreuzkorrelationsfunktion ihren größten Wert:

p

F1f˚

˚

E

E
ss. /g D Sss. f /

(118.19)

s 1 s 2.0/ D
s 1
s 2

(118.25)

Dies gilt für jedes :

Damit reicht das Vorhandensein der Autokorrelationsfunktion
aus, um das spektrale Verhalten eines Vorganges vollständig

C1

Z

C1

Z
zu beschreiben. Allerdings enthält die spektrale Leistungsdichte
f s
f

1. t/g2 dt D
s 1. t C /g2 dt

(118.26)

keine Phaseninformation mehr, denn sie ist durch die Betrags-

1

1
bildung verlorengegangen. Damit steht sie auch der Autokorre-
lationsfunktion nicht zur Verfügung.

Danach liefert die Kreuzkorrelierte den Maximalwert, wenn für

Teil
ein bestimmtes gilt:

Das Leistungsdichtespektrum von Signalen, auch stochasti-
schen, ist durch Bandpassfilter bestimmbar:

s

XIV

1. t/ s 2. t C /

(118.27)

Nach N. Wiener gilt auch:

S

ss. f D f 0/ D

1
s 2

(118.20)

f

0

C1

Z

˚

S

. f / ej 2 f df

(118.28)

Aus (118.16) folgt, dass es einen Vorgang, der bis zu unend-
ss. / D

1. f / S

1
lich hohen Frequenzen eine konstante Leistungsdichte hat, nicht

1
geben kann, weil das Integral dann divergiert. Deshalb ist der

Verglichen mit

Begriff „Weißes Rauschen“ so zu verstehen, dass das Spektrum

C1
stets frequenzbegrenzt ist. Stationäre stochastische Signale ha-

Z
ben keine Fouriertransformierte. Korrelationsfunktionen gehen
s 2. t/ D

S 1. f / H. f / ej 2 f df

(118.29)

aber für größere Verschiebungen gegen Null, sodass sie transfor-

1
mierbar sind. Damit wird die Beziehung nach (118.18) möglich.

folgt daraus:

Allgemein gilt, dass Transformationen umkehrbar sind, Mitte-
s
lungsoperationen dagegen nicht.

2 ( t D 0) ist maximal, wenn gilt:

.

Kreuzkorrelationsfunktion ˚

H. f / D k S f /

(118.30)

1
s 1 s 2 ( KKF): Erfasst wird die

Ähnlichkeit zweier unterschiedlicher Signale in Abhängig-

Darin ist k eine dimensionsbehaftete Konstante vom Betrag 1.

keit von der Verschiebung t:

Beispiel 1

T

Z

˚

1
s 1 s 2. / D lim
s 1. t/ s 2. t C / dt

(118.21)

Es wird mit einem oder mehreren Würfeln mit den

T!1 2 T T

Augenzahlen 1 bis 6 gewürfelt. Die Wahrscheinlich-
keitsdichtefunktion für das Auftreten der Augenzahlen
s 1, s 2 beliebige zeitkontinuierliche Funktionen.

1; 2; : : : ; 6 besteht aus diskreten Werten: w.1/ D w.2/ D

Zwei Signale sind voneinander unabhängig ( nicht korreliert),
w.3/ D w.4/ D w.5/ D w.6/ D 1=6. Wird die Au-
wenn gilt
genzahl 4 betrachtet ( x D 4), ist die Wahrscheinlichkeit
für das Auftreten der Augenzahlen x 4 nach (118.2):

˚ s 1 s 2./ D 0 für alle

(118.22)

w. x

0

4/ D w.1/ C w.2/ C w.3/ C w.4/ D 2=3. Für das

Auftreten der Augenzahlen 5 und 6 gilt: w.5/ C w.6/ D

Beispiel 2 zeigt, dass der Kreuzkorrelationsfunktion eine physi-

1=3, oder, mit (118.3): w. x

0 > 4/ D 1 w. x 0

4/ D
kalische Bedeutung gegeben werden kann.

1 2=3 D 1=3. Zählt man die Augenzahlen der einzelnen

Die zwei Signale s

Würfe zusammen und teilt durch die Anzahl der Würfe,

1. t/ und s 2. t/ haben die Energie
nähert man sich mit zunehmender Zahl der Würfe dem Er-

C1

Z
wartungswert 1C2C3C4C5C6 D 3;5. Der Median berechnet

6

E

D
f
sich bei gerader Anzahl der Werte zu .3C4/=2 D 3;5. Für
s 1
s 1. t/g2 dt
die Varianz s 2 erhält man mit (118.8): s 2 D 3;5. Weiterhin

1
ist der Erwartungswert unabhängig davon, wie die einzel-
bzw.

nen Würfe zeitlich liegen, der Prozess ist damit stationär.

Er ist auch nicht davon abhängig, ob mit einem Würfel

C1

Z

N Würfe nacheinander ausgeführt werden oder ob mit N

E

D
f
s 2
s 2. t/g2 dt

(118.23)

Würfeln gleichzeitig gewürfelt wird: Der Prozess ist sta-

1
tionär und ergodisch. Hier zeigt sich anschaulich, dass die
endliche Anzahl von Proben (Würfen) zu einem geringfü-

Erfüllen die zwei Funktionen die Bedingung
gig voneinander abweichenden Erwartungswert für beide

Experimente führt.

J
s 1. t/ s 2. t/;

(118.24)

118.2

Verteilungen

1379

Beispiel 2

Die Funktion h. x/ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass bei N

Proben (Versuchen) das Ereignis E mit der Wahrscheinlichkeit
w. E/ D p genau x-mal eintritt und daraus folgend das Ereignis

Von den zwei Signalen s 1. t/ D O usin !0 t; s 2. t/ D O isin !0 t

E mit der Wahrscheinlichkeit w. E/ D 1 p D q genau . N x/-
soll die Kreuzkorrelationsfunktion ˚ s 1 s 2 nach (118.21)

mal.

gebildet werden:

C

Summenfunktion:

T

Z

˚

1

O

!

ui. / D lim
u sin !0 t O i sin !0. t C / dt

N

X

T!1 2 T

N

T
w. x

0
x/ D H. x/ D
pm q. N m/

(118.33)

m
m D0

Unter Verwendung eines Additionstheorems und einiger

Rechnung folgt mit ' D !

0

:

Mittelwert:

!

XIV

O u O i

O u

O i

˚

p p

N

X
ui.' / D
cos ' D
cos '

N

2

2

2

N x D
x
px q. N x/ D N p

(118.34)

x
x D0

Teil

Das ist die Wirkleistung in Abhängigkeit von der Ver-
schiebung t bzw. '.

Standardabweichung:

Wird nur s 1 verwendet und die Autokorrelationsfunktion
p
nach (118.11) gebildet, erhält man:

s D

N p q

(118.35)

C T

Z

Mit entsprechenden Programmen oder Tabellen können die

˚

1

O
uu. / D lim
u 2 sin !0 t sin !0. t C / dt

Werte für h. x/ und H. x/ bei gegebenem p und x auf einfache

T!1 2 T

Weise bestimmt werden.

T
und daraus ˚

uu.' / D O u 2
cos '.

2

Beispiel 3

Die Ähnlichkeit ist maximal, wenn die Zeitverschie-
bung Null ist. ˚

Bei der Fertigung von Geräten sind 5 % fehlerhaft. Zur
uu stellt, bis auf den Maßstabsfaktor 1= R

(Ohm’scher Widerstand), die Wirkleistung dar. Anschau-

Qualitätskontrolle werden Stichproben durchgeführt, in-
lich einsichtig ist, dass sie am größten ist, wenn die
dem ein beliebiges Gerät entnommen, geprüft und wieder

Ähnlichkeit des Signals mit sich selbst am größten ist.

zurückgestellt wird. Anschließend wird das nächste Ge-

Der für ˚
rät entnommen usw. Das geschieht insgesamt 50mal.

uu berechnete Ausdruck ist Null für ' D ˙90°,
und damit sind nach (118.11a) die Sinus- und die Cosi-

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, unter den 50 unter-
nusfunktion orthogonale Funktionen.

J
suchten Teilen genau fünf fehlerhafte zu finden. Mit N D

50, p D 0;05, q D 0;95, x D

0

5 ergibt sich:

!

50
w. x D

0

5/ D h.5/ D

0;055 0;9545 D 0;0658

118.2

Verteilungen

5

Die Wahrscheinlichkeit beträgt 6,58 %.

J

Um die in der Praxis gegebenen Abhängigkeiten formelmäßig
wiedergeben zu können, sind unterschiedliche Wahrscheinlich-
keitsfunktionen entwickelt worden. Hier sollen drei betrachtet
werden.

118.2.2

Poissonverteilung

118.2.1

Binomialverteilung

Betrachtet werden Ereignisse, die zu zufälligen Zeitpunkten
stattfinden. x ist die Anzahl der Ereignisse in einem vorgege-

Das Kennzeichen dieser Verteilung ist, dass nur zwei Ereignisse
benen Zeitintervall, die nicht von der Lage des Zeitintervalls
auftreten können, die sich aber gegenseitig ausschließen . E; E/.

abhängt. Für unterschiedliche aber gleichlange Zeitintervalle er-

Die zugeordneten Wahrscheinlichkeiten w werden mit p und q
geben sich auch unterschiedliche Werte für x. Mit steigender
bezeichnet:

Zeitintervalllänge steigt auch die Anzahl der Ereignisse. Die
w. E/ D p I
w. E/ D 1 p D q

(118.31)

Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Zeitintervall genau x 0

Ereignisse stattfinden, ist durch folgende Formel gegeben:

Das Experiment wird N-mal wiederholt. Es gilt:

!

ax

N
w. x D

0
x/ D h. x/ D
e a
mit a D N x

(118.36)

w. x D

0
x/ D h. x/ D
px q. N x/

(118.32)

xŠ
x

1380

118 Zufällige Signale

Sie erfüllt also die Nebenbedingung, dass der Mittelwert, gebil-
untereinander nicht beeinflussen (siehe dazu „Zentraler Grenz-
det nach (118.4), den Wert a ergibt. Für die Summenfunktion
wertsatz der Statistik“ unten). Dichte- und Summenfunktion

H. x/ gilt:

sind wie folgt definiert:

x

X am

. xN x

H. x/ D
e a

(118.37)

h. x/ D

1
p
e 12 /2

(118.38)

mŠ

2
m D0
x

Z

p

. yN x

/2

Beispiel 4
w. x 0
x/ D H. x/ D

1
e 12
dy

(118.39)

2 y D1

T

Messungen in einer verkehrsberuhigten Zone haben fol-
eil
gendes ergeben: 1. Im Mittel fährt alle 10 Minuten ein

Diese Art der Darstellung wird mit .N x; /-Normalverteilung
bezeichnet. Darin ist N x der Erwartungswert und die Stan-

XIV

Auto. 2. Es gilt die Poissonverteilung. Mit a = 1 können
folgende Aussagen gemacht werden:

dardabweichung. Die Funktion h. x/ hat einen glockenförmigen

Verlauf („Gauß’sche Glockenkurve“) und ist symmetrisch zum

1. Wahrscheinlichkeit, dass in 10 Minuten kein Auto

Mittelwert N x. Die Wendepunkte liegen bei x

D N

1;2
x ˙ . Durch
fährt:

eine Koordinatentransformation kann der Mittelwert in den Ko-
ordinatenursprung gelegt werden:

w. x D

0

0/ D h.0/ D 10 e1 D 0;368

0Š
x N x
h. x/ D

1
p
e 1 y 2

2
mit y D

2

(118.40)

2. Wahrscheinlichkeit, dass in 10 Minuten genau zwei
y

Z

Autos fahren:

H. y/ D

1
p
e v 2=2 dv

(118.41)

2
w. x D

1

0

2/ D h.2/ D 12 e1 D 0;184

2Š

Sie wird .0; 1/-Normalverteilung genannt, ihre Wendepunkte

3. Wahrscheinlichkeit, dass in 10 Minuten höchstens
liegen bei ˙ y. Folgende Angaben werden häufig benutzt:

zwei Autos fahren:

Im Bereich 1 y C1 liegen 68,3 % der Werte (-Grenze),
w. x

im Bereich 2 y C2 liegen 95,5 % der Werte (2-Grenze),

0

2/ D H.2/ D 10 e1 C 11 e1 C 12 e1

0Š

1Š

2Š

D
im Bereich 3 y C3 liegen 99,7 % der Werte (3-Grenze).

0;925

(118.42)

4. Wahrscheinlichkeit, dass in 10 Minuten weniger als

Außerhalb der 3-Grenze liegen demnach nur noch 0,3 % der
zwei Autos fahren:

Zufallsgrößen.

w. x

Zentraler Grenzwertsatz der Statistik: Die Summe aus N

0 < 2/ D w. x 0

1/ D H.1/ D 0;74
voneinander unabhängigen stochastischen Vorgängen mit

5. Wahrscheinlichkeit, dass in 10 Minuten mindestens
untereinander gleicher, aber beliebiger Wahrscheinlichkeits-
drei Autos fahren:

dichte strebt für N ! 1 gegen die Gaußverteilung.

w. x

0

3/ D 1 w. x 0

2/ D 1 H.2/

Beispiel 5

D 1 0;925 D 0;075

Die Lebensdauer von Leuchtmitteln (mit Glühfaden) bei

6. Wahrscheinlichkeit, dass in 10 Minuten mehr als drei

Nennspannung beträgt etwa 1200 Stunden und ist nor-

Autos fahren:

malverteilt. Die Standardabweichung liegt bei etwa 100

Stunden. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Leuchtmittel
w. x

0 > 3/ D 1 w. x 0

3/ D 1 H.3/
mindestens 1400 Stunden brennt, berechnet sich zu:

D 1 0;98 D 0;02

J
w. x

0 > 1400/ D 1 w. x 0

1400/ D 1 H.1400/

D 1 0;977 D 0;023 D 2;3 %:

Die Wahrscheinlichkeit für eine mindestens 1000stündige

118.2.3

Normalverteilung, Gaußverteilung

Brenndauer beträgt:

w. x

0 > 1000/ D 1 w. x 0

1000/

Die Normal- oder Gaußverteilung wird sehr häufig eingesetzt.

D

Sie beschreibt statistische Vorgänge immer dann, wenn viele

1 0;023 D 0;977 D 97;7 %:

unterschiedliche Einflussgrößen wirksam sind und diese sich

118.3

Rauschen

1381
a

Die Wahrscheinlichkeit für eine Brenndauer im Bereich

2

(1000 . . . 1400) h liegt bei
u R

R

R
i 2R
w.1000 x 0 < 1400/ D H.1400/ H.1000/

D 0;954 D 95;4 %:

J
b

R 1

R g

R 2

118.3

Rauschen
u 2R1
u 2Rg

Rauschen ist ein zufälliges Signal, das durch die ungeordnete
u 2

XIV

R2

Wärmebewegung von Ladungsträgern hervorgerufen wird. Im

Teil XIII „Nachrichtentechnik“, Abschn. 92.4.11.1 „Rauschen“,

Teil
sind die wichtigsten Rauschquellen und deren Rauschspannun-
gen bzw. -ströme dargestellt. Hier sollen weitere Einzelheiten
i 2
behandelt werden.

Rg

R

R

2

2

Zusammenschalten mehrerer rauschender Elemente:

1

2
i
i

R1

R2

Ein Widerstand liefert die folgenden Größen:

Rauschspannung am Widerstand
p

N u D

R g

R

4 kTBR

(118.43)

Rauschstrom im Widerstand

Abb. 118.2 Widerstände als Rauschquelle. a Ersatzschaltbild, b Zusammen-
p

N
schaltung von rauschenden Widerständen
i D

R

4 kTB= R

(118.44)

k Boltzmann-Konstante 1;38 1023 W s=K, T absolute (ther-
modynamische) Temperatur in K, B Bandbreite (ausgewer-

Es ist möglich, für die Rauschquellen eine Spannungs- bzw.

teter oder berücksichtigter Frequenzbereich) in Hz, R Wider-

Stromrichtung anzugeben, obwohl das nach (118.43) und
stand in (.

(118.44) nicht sinnvoll ist.

Das Ersatzschaltbild eines rauschenden Widerstandes ist in

Enthält ein Signalkreis z. B. neben einem rauschenden Wider-

Abb. 118.2 dargestellt. Zu dem als rauschfrei angenommenen
stand eine weitere Rauschquelle, die z. B. das Schrotrauschen

Widerstand R wird eine Rauschspannungsquelle mit einer Span-
erfasst (Teil XIII „Nachrichtentechnik“, Abschn. 92.4.11.1):

nung nach (118.43) in Reihe geschaltet bzw. eine Stromquelle
mit einem Rauschstrom nach (118.44) parallelgeschaltet. Da
i 2 D 2 q I B

(118.46)

s
e
es sich um statistische Größen handelt, wird der Mittelwert
eingesetzt. Bei der Reihenschaltung zweier rauschender Wi-

( qe Elementarladung des Elektrons 1;6 1019 A s, I Anoden-
derstände werden die rauschfreien Anteile sowie die Quadrate
bzw. Halbleiterstrom in A, B Bandbreite in Hz) folgt für das
der Rauschspannungen addiert. Das ist möglich und erforder-

2

Quadrat des Gesamtrauschstromes i :

g
lich, weil die einzelnen Rauschspannungen nicht korreliert sind

(Abb. 118.2b):

i 2 D i 2 C i 2 D 4 kTB= R C 2 q
g

R
s
eIB

(118.47)

R D

C

I
g

R 1

R 2

Formelzeichen siehe (118.44) und (118.46).

u 2 D 4 kT

C 4 kT

Rg

1 BR 1

2 BR 2

D

Für die Korrelationsfunktionen gilt:

4 kB. T

C

1 R 1

T 2 R 2/

(118.45a)

Dabei können die Widerstände unterschiedliche Temperatur

˚ NN./ D 0
für ¤ 0

(theoretisch)

(118.48a)

haben, die Bandbreite ist in der Regel als ausgewerteter Fre-

˚

D
s 1 N

0
für alle

(theoretisch)

(118.48b)

quenzbereich für beide Widerstände gleich.

Sind die Widerstände parallelgeschaltet, wird das Stromquelle-

Indizes: N für Rauschen (Noise), s 1 beliebiges Signal außer
nersatzschaltbild eingesetzt, und man erhält nach Abb. 118.2b:

Rauschen.

Diese theoretischen Werte werden in der Praxis nur angenähert

R D

R 1 R 2 I
g

R C
erreicht.

1

R 2
i 2 D 4 kT

C 4 kT

Kennzeichnung von stochastischen Signalen:

Rg

1 B= R 1

2 B= R 2

Da die Signale in ihrem Verlauf nicht vorhersagbar sind, kön-

D 4 kB. T

C

1= R 1

T 2= R 2/

(118.45b)

nen nur statistische Größen zur Kennzeichnung verwendet

1382

118 Zufällige Signale
werden. Ist die Entstehung des stochastischen Signals be-

Der Wert der Autokorrelationsfunktion des Störsignals, das sein
kannt, lassen sich Leistungsdichte und relative Häufigkeiten

Entstehen dem Zufall verdankt, nimmt für wachsendes stetig
im voraus berechnen. Sie beschreiben dann das Signal.

ab. Dagegen ist ˚ ss./ periodisch mit konstantem Scheitelwert,
sodass das Verhältnis von Nutz- zu Störsignal mit wachsendem

Beispiel 6
immer größer wird. In der Praxis können nur endliche Zeiten
verwendet werden, und damit sind die „Kurzzeitkorrelierten“

Für den Eingangswiderstand eines Oszilloskopes gelten

˚ nn./, ˚ sn./ und ˚ ns./ noch nicht Null und erschweren die
folgende Werte: R D 1 M(, Temperatur T D 300 K

Signalerkennung.

(¶ 27 °C), berücksichtigte Bandbreite B D 10 MHz.

T

Dann berechnet sich die Rauschspannung nach (118.43)

eil
zu:

118.4.2

Signalerkennung allgemein
p

XIV

N u D

R

4 kTBR
r

Die Grundlage bildet (118.27). Das Signal s 1. t/ wird gespei-
chert und anschließend die Kreuzkorrelierte mit den nach-

D

V A s

1

V

4 1;38 1023

3 102 K 107 106
folgenden Signalen gebildet. Sind für ein bestimmtes das

K
s

A

D
gespeicherte und das ankommende Signal einander proportio-

407 &V
nal, ergibt sich ein maximaler Wert im Korrelator. Er ist gleich
dem Maximalwert der Autokorrelationsfunktion ˚

Eine Rauschspannung dieser Größenordnung müsste am
ss.

Bildschirm sichtbar sein, wenn weitere Rauschquellen
vernachlässigt werden und wenn nicht zwei Effekte den

Wert verringerten: 1. Am Oszilloskopeingang liegt ein

118.4.3

Signalangepasste Filter (matched

Kondensator von etwa 50 pF parallel zum Widerstand,
filter)

sodass die höherfrequenten Rauschanteile in ihrer Ampli-
tude abnehmen. 2. Der Innenwiderstand der den Oszillo-

Nach (118.30) muss für ein optimales Filter gelten: H. f / D
skopeingang speisenden Quelle ist häufig niedriger als der
k S. f /. Das setzt voraus, dass das zu empfangende Signal

Eingangswiderstand des Oszilloskopes.

J

1
in seinem Verlauf bekannt ist, was aber häufig der Fall ist. Im

Teil XIII „Nachrichtentechnik“, Abschn. 108.2, sind weitere

Einzelheiten aufgeführt.

Es kann noch eine Aussage über den Einfluss eines signalan-

118.4

Signalerkennung bei gestörter gepassten Filters auf das Verhältnis von Nutz- zu Störsignal

Übertragung
gemacht werden. Die Spektraldichte von weißem Rauschen sei

N 0, dann folgt daraus mit (118.12) und (118.15):

1

An dieser Stelle können nur die Grundüberlegungen vorgestellt
lim
j SN. f /j2 D N 0

(118.49)

werden, weitere Einzelheiten sind z. B. in [6] enthalten. Einige

T!1 2 T

2
zusätzliche Informationen können im Teil XIII „Nachrichten-

SN. f / im Intervall T : : : C T enthaltener Rauschanteil.

technik“, Kap. 108, nachgesehen werden.

Die im Signal s 1. t/ enthaltene Energie ist nach einem entspre-
chenden Ansatz

118.4.1

Erkennen versteckter Periodizitäten

C1

Z
j S 1. f /j2 df D ES 1

(118.50)

Ein Signal s

1
g. t/ besteht aus der Summe von Nutzsignal s. t/
und Störsignal n. t/: sg. t/ D s. t/ C n. t/. Wird von sg. t/

Das quadratische Verhältnis von Nutz- zu Störsignal beträgt:

die Autokorrelationsfunktion gebildet, entstehen die folgenden

Kombinationen:

. ˇ
a 2/Ď 2 ES 1

(118.51)

SN Korr

N

˚

0
s

./ D ˚
g sg
ss. / C ˚ nn. / C ˚ sn. / C ˚ ns. /:

Bei einem Bandfilter berechnet sich das entsprechende quadra-

Darin sind ˚ ss./ und ˚ nn./ Autokorrelationsfunktionen, tische Verhältnis (hier ohne Ableitung) zu:

˚ sn./ und ˚ ns./ Kreuzkorrelationsfunktionen. Sind Nutz- und

Štörsignal unkorreliert, was in der Regel der Fall ist, ergeben die

.

E S1
a 2/Ď

(118.52)

SN
zwei Kreuzkorrelationsfunktionen Null. Gilt für das Nutzsignal

BaFi

N 0 BT
z. B. s. t/ D O u sin.! t C '/, berechnet sich ˚ ss mit (118.11) zu:

B Bandbreite des Filters in Hz, T Signaldauer in s.

O

˚
u 2

Darin ist für das – ideale – Filter angenommen worden:

ss. / D
cos !

2
j H. f /j D 1 im Bereich B : : : C B, 0 sonst.

Literatur

1383

Bildet man den Quotienten

. ˇ
a 2/ˇ

2 ES 1

Literatur

SN Korr D N 0 D

. ˇ

2 BT

(118.53)

E
a 2/ˇ

S 1

SN BaFi

N 0 BT

Literatur allgemein
so folgt daraus: Das quadratische Verhältnis von Nutz- zu Stör-
signal ist bei einem signalangepassten Filter gegenüber einem –

1. Holbrook, J. G.: Laplace-Transformationen. Verlag Vieweg
idealen – Bandfilter um so größer, je größer die Bandbreite und

+ Sohn Braunschweig. 1970.

die Signaldauer sind.

2. Küpfmüller, K.: Die Systemtheorie der elektrischen Nach-
richtenübertragung. Verlag S. Hirzel Stuttgart. 3. Auflage

1968.

Beispiel 7

3. Weißgerber, W.: Elektrotechnik für Ingenieure 3. Verlag

Vieweg-Teubner Wiesbaden. 7. Auflage 2009.

XIV

Die praktische Anwendung von Rauschsignalen und der

Korrelation soll an einigen Beispielen gezeigt werden [6].

Teil

1. In der Automobiltechnik werden zum Testen der Fede-

Literatur zu Kap. 117
rungseinrichtungen stochastische Signale eingesetzt,
weil sie alle Möglichkeiten der in der Praxis vorkom-

4. Lechner, W. und Lohl, N.: Analyse digitaler Signale. Verlag
menden Belastungsfälle erfassen.

Vieweg Braunschweig/Wiesbaden. 1990.

2. Zum Messen der Schalldämmung zwischen neben-

5. Doetsch, G.: Anleitung zum praktischen Gebrauch der
einanderliegenden Räumen werden in einem Raum

Laplace- und der Z-Transformation. Verlag Oldenbourg

Rauschsignale über Lautsprecher ausgesendet und im

München Wien. 4. Auflage 1981.

Nachbarraum über Mikrofon empfangen. Dieses Ver-
fahren hat gegenüber der Aussendung von Sinussi-
gnalen veränderbarer Frequenz den Vorteil, dass im

Literatur zu Kap. 118

Senderraum keine stehenden Wellen auftreten und das

Ergebnis verfälschen.

6. Ehrenstrasser, G.: Stochastische Signale und ihre Anwen-

3. Zum Testen der Störsicherheit von elektronischen Ge-
dung. Verlag Hüthig Heidelberg. 1974.

räten (z. B. Router) werden Rauschsignale verwendet,
weil bei genügend langer Testzeit so gut wie alle Mög-
lichkeiten der in der Praxis auftretenden Störsignale
vorhanden waren.

4. Im Teil X „Messtechnik“, Abschn. 85.4.2.3, ist ein

Verfahren zur Abstandsmessung unter Verwendung
der Korrelation beschrieben.

J

Sachverzeichnis
default

Abtasttheorem, im Zeitbereich, 1138

Antennengewinn, 1196

(Elektro-)Dynamisches Mikrofon, 1287

Abtastzeit TA, 824, 835

Antennengewinnfaktor, 1196

(Elektro-)Magnetisches Mikrofon, 1287

Abweichungsfortpflanzung, 875, 879

Antennengewinnmaß, 1196, 1262

(Elektro-)Magnetisches System, 1289

Abweichungsgrenzen, 877, 959

Antennenverlängerung, 1195

(Feld-)Wellenwiderstand, 1181
active-stall-Regelung, 1024

Antialiasingfilter, 1368

(Kreis-)Frequenzhub FM, 1212

Adaptive Deltamodulationsverfahren, 1228

Antidiffusionsspannung, 396

(Kreis-)Frequenzhub PM, 1212

Addierer, 611–614

Antiferromagnetismus, 348

=2-Dipol, 1195, 1199

Addierers, 491

A-Parameter, 1150

=2-Faltdipol, 1199

Adressbus, 667

Applikationsberichte, 1086, 1115

=4-Transformation, 1187

Adressdecoder, 690, 693

Approximation, 958

1= f -Rauschen, 1139

Adressdecodierer, 690

Äquipotentiallinien, 326

1-aus- n-Decoder, 615

Adressen, 666

Arbeit, 203, 320

3/2-Wegeventil, 798

Adressenzwischenspeicher, 666

Arbeit im Wechselstromkreis, 361, 379

3-Excess-Code, 607

Adressierung, 723

Arbeitsgerade, 450

3-state, 640

Adressierungsarten, 723

Arbeitspunkt, 450, 849

4B/5B-Code, 759

Adress-Latch, 699

Arbeitspunkt-Stabilisierung, 455

4B3T-Code, 1302

ADSL, 1304

Arithmetischer Mittelwert, 875, 878, 882

5/2-Wegeventil, 798

Aiken-Code, 607
arithmetischer Mittelwert, 408, 958, 1140

5/3-Wegeventil, 798

Akkumulator, 666

Aron, 913

7-Segment-Anzeigen, 534

Aktionsblock, 809

Array, 634

80C515, 717
aktiven Hochpass-Filter, 496

ASCII-Code, 608

8051, 710
akustischer Kurzschluss, 1290

ASI, 947, 949

8085, 697, 718, 722, 726

Akzeptanzwinkel, 1270

AS-i-Bus, 814

8155, 700, 701

ALGOL, 743

ASIC, 647

8255, 693

Aliasing, 953, 955

Assembler, 719, 726, 727, 742

Überlagerungsempfänger, 1245

Aliasing-Effekt, 1224

Assoziativgesetz, 593

Allpass, 858

Astabile Kippstufen, 631

A

Allpassfilter, 1244

Asynchronzähler, 627

AB-Betrieb, 478

Alternativ-Verzweigung, 809

Ätzen, 574

Abbildungsgleichung, 242

ALU, 663, 666, 709
aufgelöster Triebstrang, 1024

Abbildungsmaßstab, 242

Amplitudenmodulation, 1205

Auflösung, 739

A-Betrieb, 478

Amplitudenrand, 864

Aufruf von Funktionen in AWL, 803, 805

Abfallzeit, 500

Amplitudenreserve, 864

Aufruf von Funktionsbausteinen in AWL, 803,

Abgasbehandlung, 1017

Amplitudenspektrum, 1133, 1340

804

Abgleichverfahren, 906

Amplitudenspektrum, komplexes, 1335

Aufruf von Funktionsbausteinen in FBS, 803,
abhängige Variablen, 1185

Amplitudenumtastung (ASK), 1217

804

Abhängigkeitsnotation, 572

Amplitudenverstärkung, 492

Aufstellen von Transformatoren, 973

Ablauf-Funktionsplan, 808

Analog-Digital-Wandler, 505

Auftrieb, 211

Ablaufkette, 808

Analoge Signale, 1130

Auftriebskraft, 211

Ablaufsteuerung, 808
analoge Signale, 538

Auge, 244

Ablauftabelle, 570

Analogverstärker, 450

Ausbreitungsgeschwindigkeit, 228

Abschirmung, 944

Analyse, 599, 600

Ausbreitungskoeffizient, 1164, 1180
absolute Dielektrizitätskonstante, 294

Ankerrückwirkungen, 992

Ausgabeeinheit, 710
absolute Messabweichung, 877

Anlagenschutz, 1073

Ausgabeport, 692
absoluter elektroakustischer Übertragungsfaktor,

Anlassverfahren, 979

Ausgangsreflexionsfaktor, 1184

1284

Anlaufmoment, 993

Ausgleichsgerade, 959
absoluter Leistungspegel, 1144

Anomalie des Wassers, 215

Ausgleichsleitungen, 928
absoluter Spannungspegel, 1144

Anpassung, 1165

Ausgleichsstrom, 316, 971
absoluter Strompegel, 1144

Anpassungsfaktor, 1171

Ausgleichszeit, 828

Absorptionsgesetz, 594

Anregelzeit, 867

Auslösecharakteristik, 1074

Abstandsmessung, 960

Anreicherungstyp, 434

Ausregelzeit, 838, 867

Abtastfrequenz, 1138

Anschlusskennzeichnung, 566

Ausschaltzeit, 500

Abtast-Halte-Glied, 953, 955, 1225

Anschlussplan, 570

Ausschlagverfahren, 906

Abtasttheorem, 1138

Anstiegsgeschwindigkeit, 507

Außenpolmaschine, 985

Abtasttheorem, im Frequenzbereich, 1138

Anstiegszeit, 500

Austrittsarbeit, 252

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2016

1385

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Handbuch Elektrotechnik, DOI 10.1007/978-3-658-07049-6

1386

Sachverzeichnis

Auswahl von Motoren, 963, 1001

Besselfunktionen, 1213

C

Autokorrelation, 960

Bestimmungszeichen für Aktionen, 810

C, 743

Autokorrelationsfunktion, 1140, 1377

Betragskennlinie, 855

CAD (Computer Aided Design), 582

Automatische Verstärkungsregelung, 1246

Betragsoptimum, 871

Candela, 250

Automatische Verstärkungsregelung, 1245

Betriebsartenteil, 811

CAS, 686

Automatisierung, 774

Betriebsgrößen, 453

Cassegrain-Antenne, 1200

Automatisierung von Messabläufen, 960

Betriebsmittel, 549, 564

Cauer-Filter, 1241

Automatisierung von Messabläufen, 957

Betriebsmittelkennzeichnung, 566

CD-ROM, 735

Autonegotiation, 761

Beugung, 231, 246

CD-ROM-Laufwerk, 730

Avogadro-Konstante, 216

Beugung am Gitter, 247

CELLFLEX-Kabel, 1178

Beugung am Spalt, 246

Central-Process-Unit, 662

B

Bezeichnung von Elektroblechen, 287

Chi-Quadrat-Test, 883, 958

B2B, 748

Bezeichnung von Kabeln, 1067

CISC-Prozessoren, 662

Bahngeschwindigkeit, 198

BFOC(ST)-Verbindung, 1275

Client, 749

Bandbreite, 377, 1205, 1230
bibliotheksfähige Programme, 782

Client/Server-Netz, 749

Bändchenmikrofon, 1287

BIBO-Stabilität, 860

CMOS, 634, 642, 643

Bandfilter, 1234

BICMOS, 645

CMOS-Bausteine, 644

Bandpass, 496

BiCMOS, 634

CMOS-Familie, 644

Bandpass aus R- C-Hochfilter, 1232

Bildebene, 1343

CMOS-Inverter, 642

Bandpass aus Tiefpassfilter, 1232

BIMOS-Schaltstufe, 1101

CMOS-Schalter, 644

Bandpassfilter, 1230

Binär-Code, 606

CMOS-Technik, 521

Bandpassschaltung, 377
binäre System, 590

Code, 589, 606

Bandsperre, 496, 1230

Binomialverteilung, 1379

Code, alphanumerischer, 606
barometrische Höhenformel, 211

Biomassekraftwerk, 1033

Code, bewerteter, 606

BASIC, 743

Biot-Savart’sches Gesetz, 339

Code, einschrittiger, 606

Basisband, 1204

Bi-Phase-Verfahren, 1228

Code, gewichteter, 606

Basisband-Durchschaltung, 1267

BISI, 1031

Code, mehrschrittiger, 606

Basisbandsignal, 1204
bistabile Kippstufe, 617

Code, numerischer, 606

Basisbandübertragung, 751

Bit, 590

Code, tetradischer, 606

Basiseinheiten, 190, 876
bleibende Regeldifferenz, 833

Code, unbewerteter, 606

Basisschaltung, 454

Blindleistung, 380, 911

Code, ungewichteter, 606

Basisspannungsteiler, 455

Blindleistungsmessung, 914

Codetabellen, 606

Basisvorspannung, 455

Blindleistungsstellung, 1043

Codewandler, 614

Batch-Betrieb, 748

Bloch-Wände, 346

Codierer, 614

Baud, 758

Blockcodes, 1312

Codierung, 606

Bauform, 1001

Blockheizkraftwerk (BHKW), 1019

COFDM, 1254

Bauformen, 555

Blockierbereich, 416

Compact Disc, 735

Baugrößen, 1001

Blockierzustand, 1102

Compiler, 744

Baumnetz, 753

Blockkondensator, 328

Complementary MOS, 642

Bausteine, 654

Bluetooth, 1307

Computer, 730

BBAE, 1304

Bode-Diagramm, 492, 855

Coulomb’sches Gesetz, 324

B-Betrieb, 478

Bodenwelle, 1200

C-Parameter, 1150

BCD-Code, 606, 607

Bohr’sches Magneton, 345

CPU, 664, 665, 667, 671, 672, 674, 709, 723

BCD-Zähler, 629

Boltzmann-Konstante, 216, 250

CSMA/CD, 761

Bedienfeld, 812

Bottom-Up-Methode, 745, 746

CSMA/CD-Verfahren, 1300

Bedingte Wahrscheinlichkeit, 1310

Brechung, 230, 1270

Curie-Gesetz, 346

Befehl, 742

Brechungsgesetz, 240

Curie-Weiß’sches Gesetz, 348

Befehle, 720

Brechungsindex, 240

CW-Radar, 1278

Befehlsaufbau, 719

Breitbanddipol, 1199

Befehlsdarstellung, 719

Breitband-Frequenzmodulation, 1213

D

Befehlssatz, 662, 718

Breitbandübertragung, 751

Dahlander, 983

Befehlsvorrat, 661, 726

Brennstoffzelle, 1019

Dampfkraftwerk, 1015

Befehlszähler, 663, 664

Brennstoffzellen-Stack, 1020

Dämpfung, 496, 852

Befehlszeit, 724

Brennstoffzellen-Typen, 1020

Dämpfungsfaktor, 1143

Befehlszeiten, 723

Brennweite, 242

Dämpfungskoeffizient, 1164

Befehlszyklus, 723, 725

Brewster’scher Winkel, 248

Dämpfungskoeffizienten, 1181

Begrenzungspegel, 408

Brückenspannung, 318

Dämpfungsmaß, 1141, 1144, 1145, 1230

Beharrungszustand, 826, 828

Brummspannung, 409

Dämpfungsmaß bei Bandfiltern, 1235
belasteter Generator, 1185

Bürstenfeuer, 992

Dämpfungsverzerrungen, 1141

Beleuchtungsanlagen, 1075, 1077

Buschbeck-Diagramm, 1186

Darlington, 1095

Beleuchtungsstärke, 526, 1078

Business-to-Business-System, 748

Daten, 666, 782, 1130

Beleuchtungswirkungsgrad, 1080

Busnetz, 752

Datenbus, 662

Benutzungsstundenzahlen, 1052

Bustiming, 667

Datenreduktion, 1312

Berechnung von Beleuchtungsanlagen, 1080

BUS-Treiber, 690

Datenreduzierung, 1253

Bernoulli-Gleichung, 212

Butterworth-Filter, 1241

Datenspeicher, 714

Beschleunigung, 194

Byte, 590

Datentransport-Befehlen, 720

Beschleunigungsaufnehmer, 941

Datentyp, 782

Bessel-Filter, 1241

Dauergrenzstrom, 1102

Sachverzeichnis

1387

Dauerkurzschlussstrom, 969

Doppelschlussmotor, 997

EEPROM, 682, 683

De Morgan’sche Gesetz, 594
doppelt gespeister Asynchrongenerator, 1027

Effektivwert, 363, 875, 882, 1140

Decoder, 614, 667, 691

Doppel-T-Filter, 1159

Eichbehörde, 876

Decodierer, 692

Dopplereffekt, 227, 231

Eichen, 876

Decodierung, 606, 687

Dot Pitch, 739

Eigenleitfähigkeit, 274

Decodierung, unvollständige, 687

Dotierung, 395

Eigenleitung, 394

Decodierung, vollständige, 687

Drahtbruchsicherheit, 793, 794

Eigensicherheit, 1110

Deemphase, 1214

Drahtpotentiometer, 923

Eindiodenmodell, 1031

Dehnung, 210

DRAM, 685

Eindringtiefe, 1177, 1178

Dehnungsmessstreifen, 930

Dreheisen-Messwerk, 885, 887

Einer-Komplement, 613

Deklaration einer Funktion, 781

Drehfeld, 976

Einerkomplement, 603

Deklaration eines Funktionsbausteins, 781

Drehfrequenz, 934

Eingabeeinheit, 710

Delay-Flipflop, 619

Drehimpuls, 207

Eingabeport, 691

Delon-Schaltung, 412

Drehmomente, 932

Eingangsimpedanz, 1167

Deltamodulation (DM), 1228

Drehspul-Messwerk, 885, 886

Eingangsreflexionsfaktor, 1184

Delta-Sigma-Modulation, 1228

Drehstromasynchronmaschine, 976

Eingangsruheströme, 489

Demodulation von AM, 1207

Drehstrombrücken, 1000

Eingangsspannungsteiler, 902

Demodulation von Frequenzmodulation, 1216

Drehstrommaschinen, 963, 976

Eingangswechselspannung, 450

Demodulation von Phasenmodulation, 1216

Drehstromnetz, 1034

Eingangswiderstand, 1197

Demultiplexer, 615, 617

Drehstromsynchronmaschinen, 985

Einheiten, 875, 876

Denial-of-Service-Angriff, 748

Drehstrom-Transformatoren, 970

Einleiterstromwandler, 975

Dense Wavelength Division Multiplexing, 751

Drehzahl, 198, 934

Einmoden-Stufenindex, 1272

D-Flipflop, 619

Drehzahlsteuerung, 981, 993

Einphasen-Asynchronmotoren, 963, 988
d-Funktion, 1355, 1356

Dreieckschaltung, 385, 1035
einphasiger Wechselrichter, 1028

D-Glied, 848, 851

Drei-Finger-Regel, 341

Einquadrantenantrieb, 999

DHCP, 769
dreiphasiger Wechselrichter, 1028

Einrichtungstreiber, 690

DIAC, 1106

Driftgeschwindigkeit, 306

Einschaltzeit, 500

Diagramme, 564

Drosselspule, 1071

Einseitenbandmodulation (ESB, SSB), 1209

Diamagnetismus, 345

Drosselspulen, 974

Einstellregel, 871

Dielektrika, 327

Druck, 210

Eintakt-Betrieb, 478
dielektrische Polarisation, 293, 294

Drucker, 740

Einzelelement-Variable, 782
dielektrische Verlustzahl, 296

Druckluftspeicher, 1050

Einzelkompensation, 1076

Differentiators, 494

Druckwasserreaktor, 1021

EIRP, equivalent isotropically radiated power,

Differenzierglied, 848

DSL, 1303

1268

Differenz-Pulscodemodulation, 1253

DSQ-Kodierung, 760

Eisenkerne, 964

Differenz-Pulscodemodulation (DPCM), 1228

DSR – Digitales Satellitenradio, 1267

Eisenverlustleistung, 966

Differenzverstärker, 486

Dual-Code, 606
elastischer Stoß, 205

Differenzverstärkung, 486

Dual-Gray-Codierer, 601

Elastizitätsmodul, 210

Diffusion, 396

Dualsystem, 602

Elektret-Kondensatormikrofon, 1288

Diffusionsverfahren, 402

Dualzahl, 603

Elektrisch kurze Leitung, 1168

Digitalbausteine, 639

Dualzahlen, 603
elektrisch kurze Leitung, 1170
digitale Abtastregelung, 831, 835

Duhamel’sches Integral, 1356
elektrisch lange Leitung, 1170

Digitale Filter, 960, 1236

Durchbruch 2. Art, 1094
elektrische Feldkonstante, 294, 324

Digitale Signale, 1130

Durchflussmessung, 935
elektrische Feldstärke, 324
digitale Signale, 538

Durchflutung, 338

Elektrischer Wirkungsgrad, 1016
digitaler Schrittregler mit PI-Verhalten, 831, 837

Durchlassbereich, 1230

Elektrizitätswirtschaft, 1010

Digitalisierung, 953, 954

Durchlassrichtung, 1088
elektroakustischer Übertragungsfaktor, 1284

Digitalisierungsfehler, 954

Durchlassstrom, 1088
elektroakustisches Übertragungsmaß, 1284

Digitalmultimeter, 897, 898

Durchlassverzögerungszeit, 1088

Elektrochemie, 257, 264

Digitalschaltungen, 634

Durchtrittsfrequenz, 863

Elektrochemische Spannungsreihe, 264

Digitaltechnik, 590

DVBT, 1251

Elektrodynamisches Messwerk, 885, 887

Digitalvoltmeter, 897, 898, 902

DWDM, 751
elektromagnetischen Schwingungen, 526

Dimmer, 1107

Dynamik, 1132

Elektronegativitätsskala, 264

Dioptrie, 242

Dynamische Spannungsregelung, 1041

Elektronenvolt, 251, 326

Dipol, 325, 1194
dynamischen Viskosität, 212
elektronischer Schalter, 1110

Dirac-Impuls, 1355, 1356
dynamischer Durchlasswiderstand, 400

Elektrostatisches System, 1289
direkt gekoppelter Asynchrongenerator, 1026
dynamischer Haltestrom, 1103
elektrotechnische Normung, 562
direkt gekoppelter Synchrongenerator, 1028

Dynamisches System, 1289

Elementarladung, 306

Disjunktive Normalform, 594, 794

Elementarvierpole, 1150

Diskette, 730

E

Elementarwelle, 230

Diskettenlaufwerk, 732

E/A-Bausteinen, 699
elliptischer Wellenrohrhohlleiter, 1181

Dispersion, 240, 241, 1166

E

Emitter Coupled Logic, 641

01 -Welle im Rundhohlleiter, 1180

Distributivgesetz, 593

E

Emitterschaltung, 453

11 -Welle im Rechteckhohlleiter, 1180

DMA, 669

E-Banking, 748

Empfindlichkeit, 876, 925

DM-Verfahren, 1228

Echtzeitübertragung, 1133

EMV-Richtlinie, 818

DNS, 768

ECL, 634, 641

Endgerät, 1296

Domain Name Service, 768

Editor, 744

Endgerät, 1293

Doppel-Kreisdiagramm, 1189

EEPLD, 648

Endstufe, 470

1388

Sachverzeichnis

Endtransistoren, 482

Feldlinien, 325

Frequenzen, 897, 899

Energie, 204

Feldplatten, 919

Frequenzgang, 492

Energie eines Kondensators, 331

Feldverläufe in einem Rechteck-Hohlleiter, 1179

Frequenzgangfunktion, 854

Energie in einer Spule, 358

Fensterung, 1309, 1321

Frequenzhaltung, 1042

Energieerhaltungssatz, 204

Fernglas, 245

Frequenzkennlinie, 855

Energieerzeugung, 1009, 1013

Fernsprechapparat, 1296

Frequenzkennlinien, 1037

Energiehandel, 1012

Ferrimagnetismus, 348

Frequenzkompensation, 489

Energiespeicherung, 1050

Ferritantenne, 1198

Frequenzmessung, 937

Energieübertragung, 1034

Ferromagnetismus, 346

Frequenzmodulation (FM), 1211

Energieverbrauch, 1013

Festplatte, 730, 733

Frequenzmultiplexverfahren, 1257, 1259

Energieversorgung, 1010

Festplatten, 734

Frequenzregelung, 1036

Energieverteilung, 1009, 1034

Festpunktzahl, 603

Frequenzteiler, 625

Energieverwischung, 1254

Festwertregelung, 844

Frequenzthyristor, 1103

Energiewirtschaftsgesetz (EnWG), 1010

Festwertspeicher, 680

Frequenzumtastung (FSK), 1218

Energieübertragung, 1009

Feuerungsarten, 1017

Frequenzverhältnis, 1181

Entfernungsauflösung, 1278

FIFO-Prinzip, 750

Führungsgröße, 822, 844

Enthalpie, 1015

Flächenwiderstand, 1177

Führungsgröße w, 822

Entladen eines Kondensators, 332

Flag, 721

Funkelrauschen, 1139

Entladungslampen, 1079

Flagregister, 663, 721

Funkfelddämpfung, 1197

Entropie, 1131

Flags, 727

Funktion, 780

E-Nummer, 1182

Flankenauswertung, 797

Funktionsbaustein, 780

Epitaxie-Verfahren, 403

Flankensteilheit, 506

Fusionsreaktor ITER, 1022

EPROM, 681

Flash-EPROM, 683

Fußpunktwiderstand, 1197

Erdanziehungskraft, 209
flexible Erzeugung, 1049

Erdatmosphäre, 1201
flexibler Verbrauch, 1050

G

Erdschlussgefahr, 795

FLEXWELL-Kabel, 1179

GAL, 648, 654

E-Reihen, 554

Flipflop, 617–619
galvanische Trennung, 1110
ergodischer Prozess, 1377

Floppy-Disk, 730
galvanischen Kopplung, 471

Ersatzradius, 1055

Floppy-Disk-Controller, 733

GAN, Global Area Network, 750

Ersatzschaltbild, 571, 967

Flügelradzähler, 935

Gangunterschied, 229

Ersatzschaltbild der Asynchronmaschine, 976
fluktuierende Energiebereitstellung, 1046

Gas- und Dampf-Kraftwerk, 1019

Ersatzschaltbild von Freileitungen, 1056

Flussdichte, 340

Gasableiter, 1121

Ersatzschaltplan, 570

Flüssigkeitskühlung, 1115

Gasdruckkabel, 1066

Ersatzspannungsquelle, 311, 315

Flüssigkristalle, 533

Gaskonzentrationen, 929

Ersatzstromquelle, 311, 316

Folgeregelung, 844

Gasturbine, 1018

Erwartungswert, 878

Foliendicke, Füllstandsmessung, 933

Gatespannungsteiler, 465

Erzeugung von Frequenzmodulation, 1215

Foliendicke, Messung, 933

GATT, 1108

Erzeugung von Phasenmodulation, 1215

Footprint, 1268

Gatter, 590

Erzwungene Schwingungen, 221, 223

Formatierung, 730

Gatterlaufzeit, 636

E-Shopping, 748

Formfaktor, 887, 905

Gauß-Filter, 496

Ethernet, 757

FORTRAN, 743

Gaußverteilung, 1380

Fotodiode, 925, 926

Gedämpfte Schwingungen, 223

F

Fotoelement, 531

Gedruckte Schaltungen, 574

Fadenpendel, 222

Foto-Thyristor, 1108
gedruckte Schaltungen, 582

Fall

Fotovervielfacher, 926

Gedämpfte Schwingungen, 221
aperiodischer, 852

Fotowiderstand, 926

Gegeninduktion, 357
periodischer, 852

Fourierreihe, 1134

Gegeninduktivität, 357

Fallgeschwindigkeit, 195

Fourierreihe, komplexe, 1135

Gegenkopplung, 456

Faltungscodes, 1312

Fouriertransformation, 959, 1134, 1332, 1339,

Gegenstrombremsen, 994

Faltungscodierer, 1314

1340

Gegenstrombremsung, 981, 996

Fan Out, 635

Fouriertransformation, diskrete, 1369, 1370

Gegentakt-Betrieb, 478

Fano, 1312

Fouriertransformation, diskrete (DFT), 1136

Genauigkeit

Farbbildröhre, 739

Fouriertransformation, schnelle, 1369, 1371
stationäre, 866

Farbmonitor, 738

Fouriertransformation, schnelle (Fast Fourier

Genauigkeitsklassen, 881

FAST, 638

Transform, FFT), 1136

Geometrische Optik, 237, 238

Fast-Ethernet, 756

Fourierzerlegung, 959
geometrischer Mittelwert, 1376

Faxgerät, 1303

FPGA, 648
geostationäre Umlaufbahn, 1266

FDM, 751
f-P-Regelung, 1036
geothermisches Kraftwerk, 1033

Federpendel, 222

Freilaufdiode, 502, 1096

Geradeausempfänger, 1246

Fehler, 877

Freileitung, 1053

Geradeausempfänger, 1245

Fehlererkennende Codes, 1312

Freiraumdämpfung, 1197, 1262

Geräusch, 1284

Fehlerfortpflanzung, 875, 879

Freiraumdämpfungsmaß, 1197

Geräusch-abstand, 954

Fehlerkorrigierende Codes, 1312

Fremdkühlung, 1115

Geräuschmessung, 960

Fehlerstrom-(FI)-Schutzschalter, 1073

Frequency Division Multiplexing, 751

Germanium, 275

Feld (Array), 782

Frequenz, 198, 222

Geräusch-abstand, 953

Feld in einer Ringspule, 338

Frequenz, kritische, 1180

Gesamtrauschzahl, 1140

Feld um einen Leiter, 338

Frequenzabstand, 1138

Geschwindigkeitssensor, 941

Feldbussystem, 814

Frequenzdiversity, 1262

Gesetz von Boyle-Mariotte, 215

Sachverzeichnis

1389

Gesetz von Gay-Lussac, 215

Halbleiter-Relais, 1111

IEC-Bus, 947, 948

Gewicht eines Codewortes, 1312

Halbleiterspeicher, 661, 676

IGBT-Transistoren, 1087, 1100

Gewichtskraft, 199

Halbwellenbetrieb, 419

I-Glied, 848, 851, 868

Gezeitenkraftwerk, 1023

Hall-Effekt, 343

Impedanzen, 909

Gibbs’sches Phänomen, 1334

Halleffekt, 267, 270

Impedanzwandler, 454

Gittermonochromatoren, 247

Hall-Koeffizient, 343

Impuls, 201

Gleichgewichtige Codes, 1312

Hall-Sonde, 919

Impulsantwort, 850

Gleichstrombremsung, 980

Hallsonde, 919

Impulsbetrieb, 501

Gleichstromgeneratoren, 997

Hall-Sonden, 343

Impulserhaltungssatz, 202

Gleichstrommaschinen, 963, 991

Hallspannung, 343

Impulsverbreiterung, 1270

Gleichstrommaschinen, Aufbau, 991

Haltestrom, 1102

Impulswahlverfahren, 1297

Gleichstrom-Messerrücken, 906

Hamming-Code, 610

Impulszeitplan, 590

Gleichstromsteller, 1095

Hamming-Distanz, 1312

Induktionsflussdichte, 344

Gleichtaktunterdrückung, 487

Handlungen im Notfall, 819

Induktionsgesetz, 355

Gleichtaktverstärkung, 486

Hangabtriebskraft FH, 200

Induktive Aufnehmer, 925

Gleichtaktwiderstand, 488

Hardware, 582, 662
induktiver Blindwiderstand, 366

Gleichung

Harmonische Schwingungen, 1355, 1357

Induktivität, 356
charakteristische, 860

Harmonische Wellen, 227, 228

Induktivität von Leiterseilen, 1058

Gleichwellennetz, 1255

Hartmagnetika, 285, 290

Induktivitätsmessbrücke, 918

Gleitpunktzahl, 603

Häufigkeit, 1376

Industrial Ethernet-TCP/IP, 816

Gleitpunktzahlen, 603

Häufigkeitsverteilung, 882

Industrielle Kommunikation, 814

-Glied, 848

Heizwerte, 1018
induzierte Spannung, 354

Glitches, 636

Helmholtz’sches Überlagerungsverfahren, 318
inelastischer Stoß, 205

Global Area Network, 750

Hertzscher Elementardipol, 1194

Influenz, 327

Glühlampen, 1078

Hexadezimalsystem, 603

Information, 1130

GPS, 1268

Hexadezimalzahlen, 603

Informationseinheiten, 590

Grad n eines Filters, 1230

High-Speed-CMOS, 644

Informationsfluss, 1132

Gradientenindexfaser, 757
hinlaufende Welle, 1184

Informationsgehalt, 1130

GRAFCET, 808

Histogramm, 882

Infraschall, 1284

Grafikkarten, 740

Hochfrequenzdurchschaltung, 1267

Inklination, 337

Graphische Darstellung, 957, 958

Hochfrequenz-Koaxialkabel, 1177

Inkrementale Wegaufnehmer, 939

Gravitationskonstante, 209

Hochfrequenzleitungen, 1161, 1177
in-line-Röhre, 738

Gravitationskraft, 209

Hochfrequenzschaltung, 1288

Innenpolmaschine, 985

Gray-Code, 607, 939
hochohmige Leitungsabschnitte, 1183

Innenwiderstand, 316, 902

Grenzdaten, 634

Hochpassfilter, 1230
innere Reibung, 212

Grenzfall

Hochpassschaltung mit RC-Glied, 376

Installationsplan, 570
aperiodischer, 852

Hochpassschaltung RL-Glied, 376

Instanziierung, 780

Grenzfrequenz, 431, 1230

Hochspannungs-Gleichstromübertragung, 1034

Instrumentenbeschriftungen, 885, 888

Grenzfrequenz (RC), 376, 377

Hochspannungskaskadenschaltung, 413

Integrationsdichte, 520

Grenzfrequenz (RL), 376, 377

Hochtemperatur-Leiterseil, 1048, 1055

Integrator, 493

Grenzfrequenz, obere, 378

Hohlleiter, 1179

Integrierglied, 848, 868

Grenzfrequenz, untere, 378

Hohlleiter, elliptische, 1180
integrierte Schaltungen, 633, 634

Grenzkosten-Einsatzreihenfolge, 1013

Hohlleiter, Querschnittsformen, 1179
integrierte Standardbausteine, 592

Grenzwert, 399

Hook’sche Gesetz, 210
integrierten Schaltungen, 520

Größengleichungen, 876

Hörer, 1291

Intelsat, 1268

Größenwert, 876

Hörer-Systeme, 1289

INTERBUS-S, 814

Großsignal-Stromverstärkung, 1092

Horizontalfrequenz, 737

Interface, 662, 690

Grundfunktionen, 590

Horizontalsteuerung, 422

Interface-Schaltungen, 535

Grundgrößen der Lichttechnik, 1078

Hörschall, 1284

Interfaceschaltungen, 633, 646

Grundverknüpfungen, 590, 591

Hörschwelle, 1284

Interferenz, 229, 246

Gruppengeschwindigkeit, 1165, 1180

H-Parameter, 1150

Internet, 749

Gruppengeschwindigkeit im Plasma, 1201
h-Parameter, 430

Internet Protokoll, 762

Gruppenkompensation, 1076

HUB, 752

Interpreter, 744

Gruppenstrahler, 1199

Hubarbeit, 203

Interrupt, 668–671, 713, 722, 723

GSM, 1305

Huffman, 1312

Interrupteingänge, 722

GTO-Thyristor, 1106

Hurwitz-Kriterium, 861

Interrupt-Programm, 669

Güte Q, 1230

Huygensches Prinzip, 227, 230

Interruptroutine, 669

Gütefaktor, Messung von L, C, 917

Huygensschen Prinzip, 246

Intrinsicleitfähigkeit, 274

Gütefaktor, Messung von L, C, 901

Häufigkeitsverteilung, 875

Inversion, 1189

Hybrid-Technik, 522

IPv4, 762

H

Hydrostatischer Druck, 211

IPv6, 765

H

Hyper Text Transfer Protocol, 754

I-Regelfunktion, 831, 834

10 -Welle im Rechteckhohlleiter, 1180

H

Hysterese, 346

I-Regler, 868

11 -Welle im Rundhohlleiter, 1180

Halbaddierer, 612

Hystereseschleife, 920

Irrelevanz, 1251, 1253, 1255

Halbbrücken, 908
isentrope Zustandsänderung, 218

Halbleiter, 267, 269

I

Isentropenexponent, 218

Halbleiterkühlung, 1112

I-Regler, 834
isobare Zustandsänderungen, 218

Halbleiterkühlung, 1109

I/O-mapped-Adressierung, 690

Isolator, 267, 268, 1054

1390

Sachverzeichnis

Isolierscheiben, 1113

Kommutativgesetz, 593

Kurzschlussversuch, 968

Isolierstoffe, 1063

Kompandierung, 1227

Kurzschlusswiderstand, 1183

Isolierstoffklassen, 1003

Komparator, 507, 614

KUSA-Schaltung, 980
isotherme Zustandsänderungen, 217

Komparatoren, 614

KV-Tabelle, 598

I-Strecke, 829

Kompensationsanlagen, 1075, 1076

IT-Netz, 1072

Kompensationswicklungen, 992

L

Kompensator, 903

Ladekondensator, 409

J

Komplementärtransistoren, 479

Laden eines Kondensators, 331

Jahreshöchstlast, 1014
komplexe Fourierreihe, 1333, 1334

Lag-Glied, 869

Jahreswirkungsgrad, 970
komplexe Zahl, 364

Lambda-Sonde, 930

JEDEC, 650
komplexer Frequenzgang, 1141

Lambertsches Gesetz, 249

JEDEC-Datei, 651, 652
komplexer Reflexionsfaktor, 1186

Lambert-Strahler, 249

JK-Flipflop, 619
komplexer Übertragungsfaktor, 1141

Lampen, 1078

Justieren, 876
komplexes Wellendämpfungsmaß, 1158

LAN, 1304

Kompressibilität, 210

LAN (local area network), 1300

K

Kondensatoren, 296, 323, 327

LAN, Local Area Network, 750

Kabel, 1063

Kondensatormikrofon, 1287

Land, 736

Kabeldämpfung, 1177

Kondensatormotor, 988

Langdrahtantenne, 1200

Kabelkonzentrator, 753
konjugiert komplexe Anpassung, 1186

Laplacetransformation, 1136, 1332, 1339, 1343

Kalibrieren, 876
konjugiert komplexer Abschlußwiderstand, 1185

Laser-Dioden, 533

Kaltleiter, 1123
konstante Anpassungsfaktoren, 1186

Laserdrucker, 740

Kanalkapazität, 1132

Konstantstromquellen, 469, 481

Lasteinheit, 635

Kanalkodierung, 1312

Kontinuitätsgleichung, 212

Late Collision, 761

Kanalvermittlung, 750
konventionell richtigen Wert, 877

Lautheit, 1285

Kapazität, 327
konzentrierter Triebstrang, 1024

Lautsprecher-Systeme, 1289

Kapazität einer Leitung, 328

Konzepte zur Netzkopplung, 1026

Lautstärkepegel, 1285

Kapazität von Leiterseilen, 1058

Kopfhörer, 1291

Lawineneffekt, 406

Kapazitäten, 899

Koppelkondensatoren, 458

Lawinen-Fotodioden, 1274

Kapazitätsmessbrücke, 918

Kopplungsfaktor, 1234

Layout, 574

Kapazitive Aufnehmer, 924

Korpuskel, 238

Layouts, 582
kapazitive Kopplung, 471

Korpuskulartheorie, 238

LCD-Bildschirm, 740
kapazitiver Blindwiderstand, 365

Korrektion, 877

LC-Filter, 412

Kapazitäten, 897

Korrekturglied, 868

Lead-Glied, 868

Kenndaten, 399, 634

Korrelation, 1309, 1317

Least Significant Bit, 590

Kenngrößen, 959

Kosinus-Transformation, 1253

Lebensdauererwartung, 296

Kenngrößen, 957

Kraft, 199

Leerlauf, 965

Kennimpedanz, 1284

Kraftmessdose, 932
leerlaufende Freileitung, 1060

Kennlinienfelder, 428

Kraftmessung, 930

Leerlaufleistung, 966

Kennlinienglied, 848

Kraftstoß, 202

Leerlaufverstärkung, 487

Kennwiderstand, 902

Kraftwerksarten, 1015

Leerlaufversuch, 967

Kepler’sche Gesetze, 209

Kraftwerksleistung, 1014

Leerlaufwiderstand, 1183
keramische Filter, 1235

Kreisdiagramm, 1161, 1186, 1187, 1189

Leistung, 203, 320

Kernfusion, 1022

Kreise konstanter Verstärkung im

Gleichgewicht, 1036

Kernkraftwerk, 1021

Kreisdiagramm, 1191

Leistungsanpassung, 320, 479

Kernspaltung, 1021

Kreisfrequenz, 198, 222, 362

Leistungsaufnahme, 676

Kettenleiter, 1171

Kreisgüte, 378, 379

Leistungsbeiwert, 1024

Keyboard, 736

Kreisprozesse, 218

Leistungsdämpfungsfaktor, 1143

K-Faktor, 932

Kreisradius für konstante Verstärkung, 1191

Leistungsdämpfungsmaß, 1144
kinetischen Gastheorie, 216

Kreisstrom, 345

Leistungsfaktor, 381

Kippmoment, 978

Kreuzkorrelation, 960

Leistungsfaktormessung, 915

Kippschaltung, 503

Kreuzkorrelationsfunktion, 1140, 1378

Leistungsfluss, 977

Kippvorgang, 503

Kreuzmodulation, 1209

Leistungshyperbel, 406

Klassierung, 883, 957, 959

Kreuzparitätsprüfung, 610

Leistungsmessung, 901, 911

Kleinsignal-Transistoren, 428

Kreuzschaltung, 1159

Leistungsschalter, 551

Kleinsignalverhalten, 430

Kreuzsicherungsprüfung, 609

Leistungsspektralfunktion, 1332

KL-Glied, 848

Kreuzvierpol, 1159

Leistungsübertragungsfaktor, 1143

Klirrdämpfung, 1143

Kristallmikrofon, 1287

Leistungsübertragungsmaß, 1144

Klirrfaktor, 1142, 1226
kritische Stromsteilheit, 1104

Leistungsverstärkung, 1186

Knoten, 1184

Kugelkondensator, 328

Leiterformen, 1063

Knotenregel, 312

Kugelwelle, 228

Leiterplatten, 522

Koaxialkabel, 756, 1177

Kühlart, 1002

Leiterseil, 1054

Koaxialkabel, Feldlinienbild, 1179

Kühlkörper, 401, 1113

Leiterwerkstoffe, 1063

Kodierung, 1227, 1309, 1310

Kühlung, 964

Leitfähigkeit, 307

Koerzitivfeldstärke, 346, 920
künstlicher Sternpunkt, 912

Leitung als Transformator, 1170

Kohärenzlänge, 246

Kunststoffkabel, 1065

Leitung als Vierpol, 1168

Kohlemikrofon, 1286

Kurvenformfaktor, 887, 905

Leitung im Wechselstromkreis, 361, 379

Kollektorreststrom, 1092

Kurzschlussläufer, 978

Leitungsbeläge, 1162

Kollektorschaltung, 454

Kurzschlussstrom, 316

Leitungsbeläge, 1161

Sachverzeichnis

1391

Leitungsgleichungen, 1161, 1162

Maschinenrichtlinie 89/392/EG, 818

Miller-Effekt, 1116

Leitungsmechanismus, 267, 268

Maschinensprache, 661, 718

Mindestlast, 1014

Leitwert, 307

Maschinenzyklen, 724

Minterme, 594

Leitwertdiagramm, 1188, 1189

Maschinenzyklus, 667

Mischspannung, 450

Leitwerte, 1189

Masken-ROM, 680

Mischung, 1204

Lenz’sche Regel, 354

Massekabel, 1065

Mitkopplung, 456

Leuchten, 1079

Massenspeicher, 730

Mittelwerte, 1140

Leuchtstofflampen, 1079

Massenstrom, 212

Mitte-Seiten-Stereofonie, 1250

Licht, 526

Mast, 1053

Mittlere Kodewortlänge, 1310

Lichtempfänger, 1274

Master, 621, 709
mittlerer Informationsgehalt, 1131

Lichtempfindlichkeit, 526

Master-Slave-Flipflop, 621

MLT3-Kodierung, 759

Lichtempfänger, 1269

Master-Slave-JK-Flipflop, 621

Mnemonik, 719

Lichtgeschwindigkeit, 238, 1180

Matrixdrucker, 740

Modem, 1304

Lichtleiter, 241

Maus, 736

Moden, 1270

Lichtquant, 238
maximaler Amplitudenfehler, 1226

Modendispersion, 1270

Lichtquellen, 1078
maximaler Quantisierungsfehler, 1226

Modulation an einer nichtlinearen, 1206

Lichtsender, 1269, 1274

Maximum-Likelihood-Verfahren, 1313

Modulation an einer quadratischen Kennlinie,

Lichtstärke, 532

Maxterme, 594

1206

Lichtwellenleiter, 756

Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung, 216

Modulation durch Multiplikation, 1205

Lifo-Prinzip, 664

MC 8051, 709

Modulation, additive, 1211

Likelihood-Bedingung, 1313

Median, 883, 958, 1376

Modulation, multiplikative, 1211

Likelihood-Viterbi-Decodierer, 1314

Mehrfrequenzwahlverfahren, 1297

Modulationsgrad, 1205
linearer Ausdehnungskoeffizient, 215

Mehrmoden-Gradientenindex, 1271

Modulationsindex h bei FM, 1212

Linearisierung um den Arbeitspunkt, 850

Mehrmoden-Stufenindex, 1271

Modulationstrapez, 1207

Linearität, 1332

Memory-mapped-Adressierung, 690

Modulator für Einseitenband-AM, 1210

Linearmotor, 985

Merit Order, 1012

Modulform, 1095

Linien-Netz, 754

Messabweichung, 875, 877, 902
modulierendes Signal, 1204

Links-Rechts-Stereofonie, 1250

Messaufnehmer, 921–923

Modulo-16-Zähler, 627

Linsen, 241

Messbereich, 876
molare Wärmekapazität, 217

Lissajous-Figuren, 225

Messbereichserweiterung, 901, 902, 904

Monitor, 736, 738, 739

Listener, 948

Messeinrichtung, 844
monochrome Licht, 533

Local Area Network, 750

Messen, 876

Monoflop, 629, 631

Logik, 590

Messergebnis, 876

Mono-Mode-Fasern, 757

Logikschaltungen, 633, 634

Messfehler, 875, 877

MOS, 634

Logische Grundschaltungen, 589, 590

Messgerät, 876, 886

Most Significant Bit, 590
logische Grundverknüpfung, 794

Messgeräte, analog anzeigende, 881

Motional Feedback-System, 1291

Logische Verknüpfungen, 591

Messgeräte, digital anzeigende, 881

Motormoment, 995

Longitudinalwelle, 228

Messgeräte, Fehlerangaben, 881

Motorregel, 342

Lorentz-Kraft, 886

Messgeräte, Fehlerangaben, 875

Motorschutz, 1003

Lorentzkraft, 341, 919

Messglied, 844, 922

MPEG, 1252

Löschen von Thyristoren, 1105

Messglieder, 922

Multielement-Variable, 782

Löschvorgang, 416, 1102

Messkette, 922

Multiplexer, 615

Low-Power-Schottky, 641

Messkettenkoeffizient, 922

Multiplizierglied, 848

LS, 638

Messprinzip, 876

Multiscan-Monitor, 739

LSA-Verbindung, 1275

Messsignalanalyse, 957, 959

Lumen, 250

Messsysteme, Erdung, 945

N

Lupe, 244

Messumformer, 876

Nachricht, 1130

Messumsetzer, 876

Nachrichtenquader, 1132

M

Messung der Arbeit, 901, 916

Nachrichtenübertragungssystem, 1128

Machscher Kegel, 232

Messung des Klirrfaktors, 960

Nachstellzeit, 834, 868

MAG, maximum available gain, 1186

Messverfahren, 876

Nachstellzeit Tn, 834

Magnetbandgeräte, 735

Messverfahren, analoge, 876

Nahfeld–Fernfeld, 1194

Magnetfeld der Erde, 337

Messverfahren, digitale, 876

NAND-Technik, 596
magnetische Feldkonstante, 341

Messverstärker, 945

NAT, 764

Magnetische Feldstärke, 919

Messverstärker, 943

Nebenschlussgenerator, 997
magnetische Feldstärke, 918

Messwandler, 876

Nebenschlussmotor, 993

Magnetische Flussdichte, 919

Messwerke, 886

Nebensprechen, 1208
magnetische Flussdichte, 918

Messwert, 876

Network Address Translation, 764
magnetische Spannung, 349

Metropolitan Area Network, 750

Netzanbindung, 1024
magnetische Suszeptibilität, 344

M-Glied, 848

Netzausbau, 1047
magnetischer Fluss, 918

MIC-Verbindung, 1275

Netzformen, 1035, 1071

Magnetischer Widerstand, 349

Mikrocomputer, 662

Netzimpedanz, 1048
magnetisches Moment, 342

Mikrocontroller, 661, 708, 709, 714, 715

Netzresonanz, 1049

Magnetostriktion, 348

Mikrofone, 1285

Netzstatik, 1037

MAN, Metropolitan Area Network, 750

Mikroprozessor, 663, 707

Neutralleiterstrom, 388

Manchester-Kodierung, 759

Mikroprozessoren, 662, 664

Newtonsche Axiome, 199

Maschenregel, 312

Mikroskop, 245

NF-Bootstrap-Verstärker, 494

Maschinencode, 718

Mikrowellenfenster, 1262

Nibble, 590

1392

Sachverzeichnis
nichtrekursive Filter, 1237

Parallelresonanz an einer Streifenleitung, 1183

Piezoelektrischer Effekt, 926

NICHT-Verknüpfung, 590

Parallelschalten von Transformatoren, 971

Piezoelektrisches System, 1290
niederohmige Leitungsabschnitte, 1183

Parallelschaltung, 313

PIN-Fotodioden, 1274

Niederspannungsrichtlinie 73/23/EWG, 818

Parallelschaltung von

PI-Regelfunktion, 831, 834

Non Return to Zero/Invert, 759

Wechselstromwiderständen, 371

PI-Regler, 868

Normalform, disjunktive, 594

Parallel-Serienumsetzer, 624

PI-Schrittregler, 838

Normalform, konjunktive, 594

Paramagnetismus, 345

Pit, 736

Normalkraft, 200

Parität, 609
pitch-Regelung, 1024

Normalspannung, 210

Paritäts-Bit, 608

Planarverfahren, 403

Normalverteilung, 882, 958, 1380

Paritätsbit, 609

Planck’sche Strahlungsformel, 250
normierte Parallelschaltung, 1187

Parseval’sche Gleichung, 1341, 1377

Plancksches Wirkungsquant, 250
normierte Serienschaltung, 1187

PASCAL, 743

Plasmafrequenz, 1201
normierte Verstärkung, 1190

Passive R-C-Filter, 1231

Plattenkondensator, 329
normierte Verstimmung, 1235

Passive R- C-Hochpassfilter, 1231

PLD, 634, 647, 648

NOR-Technik, 596

Patch-Kabel, 756
pLSI, 654
n-Phasen-Umtastung, 1221

PC, 730

Poisson’sche Gleichungen, 218

NRZI, 759

PD-Regler, 868

Poissonverteilung, 1379

NRZ-Verfahren, 1228
realer, 868

Poissonzahl, 210

NTBA, 1302

Peer-to-Peer, 948

Pol, 854

Nullkippspannung, 416, 1102

Peer-to-Peer-Netz, 749

Polarisation, 247, 926, 927, 1194, 1267

Nullstelle, 854

Pegel, 590, 635, 1144

Polarisation, elliptische, 1194
numerische Apertur, 1270

Pegel, absoluter, 1144

Polarisation, kreisförmige, 1194

Nutzsignal, 1204

Pegel, relativer, 1145

Polarisationsfilter, 247

NVRAM, 685

Pegeldiagramm, 1145

Polarisationswinkel, 248

Nyquistflanke, 1210

Pegelwerte, 635

Polling, 669

Nyquist-Kriterium, 862

Pendelzeiger, 1212

Polpaare, 976

Periodendauer, 362

Polradspannung, 986

O

Peripheriebausteine, 661, 689

Polradwinkel, 986

Oberes Seitenband (OS), 1205

Permeabilität, 918, 920

Popcorn-Rauschen, 1139

ODER-Verknüpfung, 591

Permittivitätszahl, 294, 1177

Portbaustein, 692, 702

Öffnungswinkel, 1196

Personenschutz, 1073

Portbausteine, 690

Offset-Spannung, 489

P-Glied, 848, 850, 868

Potential, 325

Ohm’sche Aufnehmer, 923

Phasenanschnittsteuerung, 419, 1107

Potentialanschlüsse, 899, 907
ohmscher Wechselstromwiderstand, 365

Phasendifferenzkodierung (2-DPSK), 1220

POTS, 1302

Ohm’sches Gesetz, 305, 307

Phasengeschwindigkeit, 229, 1165, 1180

Poynting-Vektor, 1194

Öldruckkabel, 1066

Phasenhub, 1215

Präzisionsmessgerät, 877

OLMC, 654

Phasenhub FM, 1212

Preemphase, 1214

OPC-Technologie, 816

Phasenhub PM, 1212

P-Regelfunktion, 831, 832
open-collector-Ausgang, 490

Phasenkennlinie, 855

P-Regler, 868

Operationscode, 667, 726

Phasenkoeffizient, 1164

Preisbildung, 1012

Operationszyklen, 726

Phasenmaß, 1141

Primärradar, 1278

Operatoren, 364

Phasenmodulation (PM), 1211

Prinzip der Pulsweitenmodulation, 1029

Operatoren der Anweisungsliste (AWL), 784

Phasenrand, 863

Prisma, 241

Optimalcodes, 1312

Phasenregelkreis, 1216

PROFIBUS-DP, 814

Optimalfilter, 1309, 1316

Phasenreserve, 863

PROFINET, 814

Optimum

Phasenschieberbetrieb, 987

PROFINET-Kommunikationskanal, 815
symmetrisches, 872

Phasenschieberoszillator, 514

Program-Counter, 663

Optische Aufnehmer, 925

Phasenspektrum, 1340

Programm

Optische Schalter, 1269, 1275

Phasenspektrum, komplexes, 1335
gegliedertes, 787, 788

Optokoppler, 535

Phasenumtastung (PSK), 1218
lineares, 787, 788

Ortskurve, 855

Phasenverschiebung, 363
parametrierbares, 787, 788

Ortskurven für konstante Werte, 1190

Phasenverzerrungen, 1141

Programm (P), 780

OSI-Referenzmodell, 747, 754

Photoapparat, 245

Programmiersprache, 742, 784

Osmosekraftwerk, 1023

Photoeffekt, 251

Programmiersprachen, 741, 742

Ovalradzähler, 936
photoelektrischer Effekt, 1030

Programmorganisationseinheit, 780

Oversampling, 955

Photometrie, 237, 248

Programmspeicher, 714

Oversamplingrate OSR, 955

Photonen, 251

Programm-Test, 746

Photovoltaikanlage, 1032

Programmzähler, 723

P
photovoltaisches Kraftwerk, 1030

PROM, 648, 680

P-Regler, 832
pH-Wert, 929

Proportionalbeiwert, 868

Paketfilter-Firewall, 765

Physikalisch-Technische Bundesanstalt, 876

Proportionalglied, 848, 868

Paketvermittlung, 1294

PI-Regler, 834

Prozess, 844

PAL, 648–651

PID-Regler, 834

Prozessor, 665

PAM-5-Kodierung, 760

PID-Abtastregler, 831, 836

Pseudotetraden, 606

Parabolantenne, 1200

PID-Regelfunktion, 831, 834

PSN-dotiert, 1089

Parabolspiegel, 239

PID-Regler, 867

PSRAM, 686

Parallele Schnittstelle, 948
realer, 868

P-Strecke, 826

Parallelresonanz, 374, 379
piezoelektrische Konstante, 926

PT1-Strecke, 828

Sachverzeichnis

1393

PT2-Strecke, 828

Reflexionsfaktor, 1166

Robustheit, 844

PT 1-Glied, 848, 851

Reflexionsfaktoren, 1187

Rohrschlitzstrahler, 1200

PT 2-Glied, 848, 851

Reflexionsfaktoren, äußere, 1186

ROM, 662, 680

PTC-Widerstände, 1123

Reflexionsgesetz, 240

ROM-losen Versionen, 709

Pull-up-Widerstände, 690

Regelabweichung, 844

ROM-Versionen, 709

Pulsamplitudenmodulation (PAM), 1221
regelbarer Ortsnetztransformator, 1041

Rotationsenergie, 208

Pulscodemodulation (PCM), 1224

Regeldifferenz, 844

Router, 754, 765, 1304

Pulsdauermodulation (PDM), 1223

Regeldifferenz e, 822

RSA-Verfahren, 1318

Pulsfrequenzmodulation (PFM), 1222

Regelfehler, 844

RS-Flipflop, 618
pulsierende Gleichspannung, 408

Regelglied, 844

Rückführgröße r, 822

Pulsphasenmodulation (PFM)-, 1222

Regelgröße, 822, 844

Rückführung, 844

Pulsweitenmodulation, 1028

Regelgröße x, 822

Rückkopplung, 456, 844

Pumpspeicherwerk, 1023, 1050

Regelkreis, 822, 844

Rückkopplungsnetzwerk, 514

Punkt-zu-Punkt-Kanal, 750

Regelstrecke, 822, 827, 844
rücklaufender Welle, 1184

Punkt-zu-Punkt-Verbindung, 1266

Regelstrecke mit Ausgleich, 826

Rückübertragungsfaktor, 1184

Pyroelektrischer Effekt, 927

Regelstrecke mit Totzeit, 826

Rückwärtsrichtung, 1088

Regelstrecke ohne Ausgleich, 826

Rückwärtszähler, 627

Q

Regelung, 774, 822

Rundhohlleiter, 1180, 1181

QAPSK, 1221

Regelungsschema, 1039

Rundsendekanal, 751
quadratischen Mittelwert, 408

Register, 622

RZ-Verfahren, 1227
quadratischer Mittelwert, 1140

Regler, 844

Quadraturmodulation, 1210
digitaler, 824

S

Quantile, 883, 958

Reglerausgangssignal yR, 822

Sägezahngenerator, 417

Quantisierung, 1226

Regression, 883, 959

Sägezahngeneratoren, 516

Quantisierungsgeräusch, 1226

Reibungsarbeit, 203

Sallen-Key-Filter, 1244

Quantisierungsrauschen, 954, 1226

Reichweite eines Radargerätes, 1278

Sammellinsen, 242

Quantisierungsrauschspannung, 954

Reihenfolgeverriegelung, 796

Sättigung, 428

Quarzfilter, 1235

Reihenresonanz, 370, 378

Satz von Shannon, 1310

Quasi-Komplementär-Endstufe, 481

Reihenschaltung von

Sauerstoffkonzentration, 929

Quellenkodierung, 1310

Wechselstromwiderständen, 367

Scatterverbindung, 1202, 1262

Quellspannung, 316

Reihenschaltung von Widerständen, 313

SC-Filter, 1237

Querkontraktionszahl, 932

Reihenschlussgenerator, 998

Schadenfrüherkennung, 960

Reihenschlussmotor, 995

Schall, 1284

R
rekursive Filter, 1237

Schalldruck, 1284

Radarquerschnitt, 1278

Relative Brechzahldifferenz, 1270

Schalldruckpegel, 1284

Rahmenantenne, 1198
relative Dielektrizitätszahl, 294

Schalleistung, 1284

RAM, 662
relative Kurzschlussspannung, 969

Schallempfänger, 1285

RAS, 686
relative Messabweichung, 877, 878

Schallempfänger, 1283

Ratiodetektor, 1217
relative Permeabilität, 344

Schallgeschwindigkeit, 234, 1284

Raumdiversity, 1262
relativer Leistungspegel, 1145

Schallintensität, 1284

Raumfaktor, 1080
relativer Spannungspegel, 1145

Schallkennimpedanz, 1284

Raummultiplexverfahren, 1260
relativer Strompegel, 1145

Schallmauer, 232

Raumwelle, 1200
relatives Leerlaufstromverhältnis, 968

Schallpegel, 1284

Raumwinkel, 249

Remanenz, 346

Schallschnelle, 1284

Rauschabstand, 1140

Remanenzflussdichte, 920

Schallsender, 1283, 1289

Rauschen, 432, 1138, 1375, 1381

RESET, 712

Schaltalgebra, 589, 593

Rauschen, atmosphärisches, 1138

Resonanz, 223

Schaltanlagen, 1068

Rauschen, kosmisches, 1138

Resonanzfrequenz, 378, 379, 857, 1230

Schalter, 1068, 1109, 1110

Rauschen, thermisches, 1138

Resonanzkurve, 224

Schalterarten, 1069

Rauschleistung, 1139

Resonanzüberhöhung, 857

Schaltgruppen, 971

Rauschmaß, 1139

Resonator, 514

Schalthysterese, 506, 838

Rauschzahl, 1139

Restseitenbandmodulation (RM, VSB), 1210

Schaltnetze, 611

Rayleigh-Streuung, 1270

Restseitenbandübertragung, 1210

Schaltungsminimierung, 595

RC-Filter, 412

Restwelligkeit, 411

Schaltungsunterlagen, 563

Rechenverstärker, 486

R-Glied, 854

Schaltwerke, 617

Rechenwerk, 663

Richtcharakteristik, 1285

Schaltzeichen, 550, 564

Rechteckgenerator, 509

Richtdiagramm, 1196

Scheibenläufermotor, 990

Rechteckgeneratoren, 516

Ringmodulator, 1209

Scheinleistung, 380, 911

Rechteckhohlleiter, 1179

Ring-Netz, 754

Scheinleistungsmessung, 915

Rechteckhohlleitern, 1181

Ringnetz, 753

Scheitelwert, 362

Redundanz, 608, 1131, 1251

Ringschieberegister, 624

Schenkelpol, 985

Redundanz, relative, 1131

Ringverstärkung, 514

Schering-Messbrücke, 918

Reed-Solomon-Verfahren, 1254

RISC-Prozessoren, 662

Schicht 1, 758
reelle Fourierreihe, 1333, 1334

RJ45-Stecker, 756

Schicht 2, 760
reelles Bild, 239

R- L- C-Bandpass, 1233

Schicht 3, 762

Referenzspannung, 490

R- L- C-Bandsperre, 1233

Schicht 4, 766

Reflexion, 230, 1169, 1270

RLL-Code, 760

Schichten 5–7, 768

Reflexion des Lichtes, 238

R-Nummer, 1181

Schichtpotentiometer, 923

1394

Sachverzeichnis

Schieberegister, 622

Signale, stochastische, Kenngrößen, 1140

Speicherzeit, 500, 1093

Schieberegisteranwendung, 624

Signale, zufällige, 1138

Speicherzelle, 685

Schiefer Wurf, 197

Signalerkennung, bei gestörter Übertragung,

Spektraldichte, 1332, 1340

Schleifdraht-Messbrücke, 907

1382

Spektrale Leistungsdichte, 1141

Schleife, 809

Signalerkennung, bei gestörter Übertragung,
spektrale Leistungsdichte, 1377

Schleifenbildung, 599

1375

Spektralfarben, 526

Schleifringläufer, 983

Signalflussdiagramm, 1185

Spektralfunktion, 1332

Schlitzleitung, 1182

Signalflußdiagramm des beschalteten Vierpols,

Spektrum, 1340

Schlupf s, 977

1185

Sperrbereich, 1230

Schmalband-Frequenzmodulation, 1213

Signalflußdiagramme, 1184

Sperrrichtung, 1088

Schmerzschwelle, 1285

Signalflüsse, 1185

Sperrschicht, 396

Schmitt-Trigger, 505

Signalflüssen, 1186

Sperrschichtkapazität, 400

Schnittstellenbausteine, 689

Signalflussplan, 848

Sperrschichttemperatur, 1112

Schreib-Lesespeicher, 680, 683

Signalleistung, 450

Sperrstrom, 1088

Schritte, 808

Signal-Quantisierungs-Geräuschabstand, 1226

Sperrverzögerungszeit, 400, 1088

Schrittmotor, 989

Signal-Rausch-Verhältnis, 954
spezielle Gaskonstante, 216

Schrotrauschen, 1139

Signalverstärker, 1086
spezifische Wärmekapazität, 217

Schubspannung, 210

Silicium, 275
spezifischer Widerstand, 307, 1177

Schutzart, 549, 1001

Simplex-Betrieb, 1300

Spiegelgalvanometer, 887

Schützen, 551

Simultan-Verzweigung, 809

Spitzensperrspannung, 1088

Schutzintervall, 1255

Sinus-Dreieck-Ansteuerung, 1029

Spleißverbindung, 1275

Schwarzer Strahler, 250

Skin-Effekt, 1178

Splines, 883, 959

Schwebung, 225

Slave, 621, 709

Splitter, 1305

Schwellenwertschalter, 505

SMD-Technik, 523

Sprung, 809

Schwellspannung, 506

SOAR-Diagramm, 1094

Sprungantwort, 850

Schweredruck, 211
solarthermische Kraftwerksprinzipien, 1032

Sprungfunktion . t/, 1355, 1356

Schwerkraft, 199
solarthermisches Kraftwerk, 1032

Sprungstellen, 1334

Schwerpunkt, 206

Solarzelle, 531, 1030

SPS-Programmiernorm DIN EN 61131-3, 780

Schwingkreise, 361, 378

Soll-Istwert-Vergleich, 844

SPS-Regelstruktur, 837

Schwingungstypen, 1181
sone, 1285

SRAM, 683

Schwingungszeit, 222

Sonnenwind, 337

Stabankermotoren, 990

Schwund, 1262

Spaltpolmotor, 989

Stabilität, 860, 1332

Schwunderscheinungen, 1202

Spannarbeit, 203
asymptotische, 860

SC-Verbindung, 1275

Spannenwert, 959

Stabilitätskriterium

SDM, 1260

Spannung, 210, 306, 325
grundlegendes, 860

Seildurchhang, 1056

Spannungsdämpfungsfaktor, 1143

Stabilität, 859

Seitenbänder, 1205

Spannungsdämpfungsmaß, 1144, 1158

Stack, 669, 721

Sekundärradar, 1278

Spannungsebenen, 1035

Stackpointer, 663, 721
selbstgeführter Wechselrichter, 1028

Spannungserhöhung, 1077
stall-Regelung, 1024

Selbstinduktion, 356

Spannungsfestigkeit, 1177

Standardabweichung, 878, 958, 1140, 1377
selektive Filter, 496

Spannungsinstabilität, 1062

Standardregelkreis, 860

Sensor, 922

Spannungsmesser, 902

Stapelspeicher, 721

Sequentielle Logik, 617

Spannungsmessgeräte, analog, 902

Start-Funktion, 819

Serielle Schnittstelle, 714, 948

Spannungsmessgeräte, digitale, 902

State-Diagramm, 658

Serienbetrieb, 500

Spannungspfad, 888, 912
stationärer Prozess, 1377

Serien-Parallel-Umsetzer, 624

Spannungsregelung, 1038
statischer Durchlasswiderstand, 400

Server, 749

Spannungsstabilisierung, 413
statischer Sperrwiderstand, 400

Servomotor, 990

Spannungsstoß, 340

Statistischer Multiplex, 1255

SFN, 1255

Spannungsteiler, frequenzkompensierter, 1160

Steckverbindung, 1275

S-Glied, 848

Spannungstrichter, 1041

Steckvorrichtungen, 552

Shannon, 1368

Spannungsübertragungsfaktor, 1143, 1166

Stefan-Boltzmann-Gesetz, 219

SI-Basiseinheiten, 876

Spannungsübertragungsmaß, 1144

Stefan-Boltzmannsche Gesetz, 250

Sicherheitsbegriff, 817, 818

Spannungswandler, 915, 975

Stehende Wellen, 229

Sicherheitskategorie, 819

Spannungszwischenkreisumrichter, 981
stehende Wellen, 1171

Siedewasserreaktor, 1021
s-Parameter, 1161, 1184

Stehwellenverhältnisse, 1186

Signal, 1130
s-Parameter im Kreisdiagramm, 1190

Steigung des Amplitudenganges, 1230
analoges, 790

Spartransformatoren, 973

Steiner’scher Satz, 209
binäres, 790

Speicher, 676–680

Steinmetzschaltung, 989
digitales, 789, 790

Speichererweiterung, 687

Stellgröße, 822, 844

Signalangepasste Filter (matched filter), 1382

Speicherfunktion, 793, 795

Stellgröße y, 822

Signale, 1133

Speicherkapazität, 662, 671, 676, 678

Steradiant, 249

Signale, analoge, 1133

Speichermatrix, 677, 684

Stereoübertragung, 1250

Signale, digitale, 1133

Speichern mit vorrangigem Rücksetzen, 796

Stereoübertragung, 1249

Signale, diskrete, 1133

Speichern mit vorrangigem Setzen, 796

Stern-Bus-Netz, 753

Signale, kontinuierliche, 1133

Speicherorganisation, 676

Stern-Dreieck Umwandlung, 314

Signale, nichtstationären, 1376

Speicherprogrammierbare Steuerung SPS, 776

Stern-Dreieck-Anlauf, 979

Signale, stationären, 1376

Speichertypen, 680

Sternnetz, 752

Signale, stochastische, 1138, 1376

Speicherwerk, 663

Sternschaltung, 384, 1035

Sachverzeichnis

1395

Stern-Stern-Netz, 753

Symbole, 885, 888

Totalreflexion, 240
steuerbare Last, 1050

Symmetriebedingungen, 1334

Totzeit, 828

Steuereinrichtung, 845
symmetrische Brückenschaltung, 999

Totzeitglied, 848

Steuergröße, 822
synchrone Zählern, 628

Träger, 1204

Steuerstrecke, 845

Synthese, 600–602

Trägerrückgewinnung, 1219

Steuerung, 774, 822, 844

System, 844, 1328

Trägerspeichereffekt, TSE, 1089

Steuerwerke, 663

Systemanalyse, 1332

Trägheitsmoment, 207

Steuerwortregister, 692

Systematische Abweichungen, 877

Transformationen, 1189

Stichleitungen, 1183
systematische Abweichungen, 877

Transformationsgleichung, 1186

Stichprobe, Erwartungswert, 1376

Systematische Codes, 1312

Transformator, 964

Stichprobe, linearer Mittelwert, 1376

Systematische Messabweichung, 903

Transformatorschutz, 972

Stopp-Funktion, 819

Systemdienstleistungen, 1042
transienter äußerer Wärmewiderstand, 1115

Störabstand, 635, 1139

System-Kontrollsignale, 667
transienter innerer Wärmewiderstand, 1114

Störeinflüsse, 944

Systemsynthese, 1332

Transistor-Grundschaltungen, 451

Störgröße, 822, 844

Transistorschalter, 500

Störsicherheit, 635

T

Transitfrequenz, 432

Störungsbeseitigung, 1007

Taktfrequenz, 509
transitionaler Kopplungsfaktor, 1234

Stoßfunktion, 1356

Talker, 948

Transitionen, 808

Stoßstrombegrenzer, 1071

Tastatur, 736

Transponder, 1267

Stoßfunktion, 1355

Tastgrad, 1089

Transversalwelle, 228

Strahlcharakteristik, 249

Tastgrad beim Impulsradar, 1278

Treiberstufen, 470

Strahldichte, 249

Tauchspulmikrofron, 1287

Trellis-Code-Modulation, 760

Strahlstärke, 249

TCM, 760

Trellis-Diagramm, 1315

Strahlungsdichte, 1194

TCP/IP, 766

TRIAC, 1107

Strahlungsleistung, 249

TDM, 752

Trigger-Flipflop, 622

Strahlungswiderstand, 1197

Teilklirrfaktoren, 1143

Trinitron-Farbbildröhre, 738

Streamer, 735

Temperaturbereich, 636

Triplate-Leitung, 1182

Strecke, 844

Temperaturen, 897, 899

Triple Play, 1305

Streifenleitungen, 1182

Temperaturgradient, 1033

Tristate, 640

Streuung, 1140

Temperaturkoeffizient, 308

Tristate-Treiber, 684

Strombörse, 1011

Temperaturkoeffizienten, 406

Tschebyscheff-Filter, 1241

Stromdämpfungsfaktor, 1143

Temperatur-Monitoring, 1047

TSE, 1088

Stromdämpfungsmaß, 1144, 1158

TEM-Typ, 1162

TTL, 633, 634, 637

Stromdichte, 307

Terminaladapter, 1303

TT-Netz, 1072

Stromflusswinkel, 419

Tetrade, 590

Turboläufer, 985

Stromlaufplan, 569

TE-Welle, Transversal-elektrische Wellen, 1179

Turn-Around-Time, 745

Strommesser, 904

T-Flipflop, 622

Twisted-Pair-Kabel, 756

Strommessgeräte, analoge, 903

Theorem von Wiener-Khintchine, 1141, 1377

Typenraddrucker, 740

Strommessgeräte, digitale, 903

Thermischer Auslöser, 1003

TZ-Glied, 848, 851

Strompfad, 888, 912

Thermistor-Motorvollschutz, 1004

Strompreis, 1012

Thermoelemente, 927

U

Stromprodukte, 1011

Thermoempfindlichkeit, 927, 928

Überkopfzünden, 1102

Stromstärke, 307

Thermoumformermesswerke, 905

Überlagerungsempfänger, 1246

Stromübertragungsfaktor, 1143, 1166

Thin Client, 749

Überlagerungsprinzip, 849

Stromübertragungsmaß, 1144

Thinwire Ethernet, 756

Überlastung von Transformatoren, 972

Strömungskraftwerk, 1023

Thomson-Messbrücke, 907

Übernahmeverzerrungen, 479

Stromverdrängungsläufer, 979

Thyristoren, 1087, 1101

Überreichweiten, 1202

Stromverstärkung, 427

Tiefpassfilter, 1230

Überschwingweite, 838

Stromverstärkungen, 899

Tiefpassschaltung mit RC-, 377

Übersetzungsverhältnis, 966

Stromverstärkungen, 897

Tiefpassschaltung RL-Glied, 377

Übersichtsschaltplan, 569

Stromwandler, 915, 975

Time Division Multiplexing, 752

Überspannungsschutz, 1073, 1120

Strom-Zeit-Kennlinie, 1074

TIMER, 696, 713

Übersteuerung, 1092

Stromzwischenkreisumrichter, 981

Timer, 510, 713

Übersteuerungsfaktor, 500

Struktur, 783

Time-Sharing-Betrieb, 749

Überstromschutz, 421, 1073, 1122

Struktur einer Ablaufsteuerung, 811

Timing, 664

Übertragungsbeiwert K PS, 826

Strukturbild, 848

Tintenstrahlrucker, 740

Übertragungseigenschaften, 452

Stufenindexfaser, 757

TM-Welle, Transversal-magnetische-Wellen,

Übertragungsfaktor, 1143, 1166, 1197

Störeinflüsse, 943

1179

Übertragungsfaktor, allgemein, 1332

Subtrahierer, 491, 613

TN-Netz, 1071

Übertragungsfunktion, 854, 1135, 1141, 1328,

Summenfunktion, 1376

Toggle-Flipflop, 622

1332

Summenhäufigkeitsfunktion, 1376

Token Ring, 753, 762

Übertragungsglied, 848

Summenzeitkonstante, 869

Token-(Ring-)Verfahren, 1300
akausales, 849

Summierglied, 848

Token-Verfahren, 948
dynamisches, 849

Superpositionsprinzip, 849

Toleranzen, 554
kausales, 849

Suppressordioden, 1121

Tonaderspeisung, 1288
lineares, 849

Supraleiter, 267, 270, 273, 276

Tonfrequenz-Rundsteuerung, 1071
nichtlineares, 849

Switch, 752, 1304

Top-Down-Methode, 745, 746
statisches, 849

Symbol, 571

Torsionsmoment, 933
zeitinvariantes, 849

1396

Sachverzeichnis
zeitvariantes, 849

Verteilung, linearer Mittelwert, 1376

Wärmeleitpaste, 1113

Übertragungsmaß, 1144, 1145

Verteilungen, 1375, 1379

Wärmeleitung, 219

Übertragungsmaß Vierpole, passive

Verteilungsgesetz, 593

Wärmestrahlung, 219
längssymmetrische, 1158

Vertikalantenne, 1198

Wärmeströmung, 219

UDP, 767

Vertragsbeziehung, 1012

Wärmeströmungsfeld, 1112

Ultraschall, 233, 235, 1284

Vertrauensbereich, 875, 882, 959

Wärmewiderstand, 401, 1112

Ultraschall-Durchflussmessung, 936

Vertrauensgrenzen, 882, 958

Wartung von Maschinen, 1006

Umfangsgeschwindigkeit, 198

Vertrauensniveau, 882

Wasser-Dampf-Kreisprozess, 1016

Umkehrverstärker, 490

Verzerrungen, 1141

Wasserkraftwerk, 1022
umrichtergekoppelter Asynchrongenerator, 1026

Verzerrungen, lineare, 1142

Wasserstoff-Speicher, 1051
umrichtergekoppelter Synchrongenerator, 1027

Verzerrungen, nichtlineare, 1142

Wechselfeldpermeabilität, 283

UMTS, 1306
verzerrungsfreie Leitung, 1167

Wechselrichter, 1028
unabhängige Variablen, 1185

Verzögerungsglied erster Ordnung, 848

Wechselspannungen, Messung, 901, 904

UND-Verknüpfung, 591

Verzögerungsglied zweiter Ordnung, 848

Wechselspannungsmessgeräte, 905

Unendlich lange Leitung, 1165

Verzögerungssystem, 870

Wechselstrombrücken, 999

Ungleichung von Kraft, 1310

Verzögerungszeit, 500, 1093

Wechselströme, Messung, 906

Universalmotor, 1001

Verzugszeit, 828

Wechselstromgegenkopplung, 459

Universalplatinen, 574

Vielfachzugang, 1266

Wechselstrom-Messbrücken, Impedanzmessung,
universelle Gaskonstante, 216

Vierphasenumtastung (4-PSK), 1220

909

Unschärferelation, 1342

Vierpole, aktive, 1148

Wechselstromnetz, 1034
unsymmetrischen Einphasen-Brückenschaltung,

Vierpole, Betriebskenngrößen, 1151

Wechselströme, Messung, 901

999

Vierpole, längssymmetrische, 1156

Wegaufnehmer, 941
unsymmetrisches Dreileiternetz, 387

Vierpole, längssymmetrische passive,

Wegmessung, 938

Unterbrechungssteuerung, 722

Wellenwiderstand, 1158

Weißes Rauschen, 1139
unteres Seitenband (US), 1205

Vierpole, lineare, 1148

Weiß’sche Bezirke, 346

Unterfrequenz-Lastabwurf, 1039

Vierpole, nichtlineare, 1148

Wellen, cosinuselliptische, 1181

Unterprogramme, 721

Vierpole, passive, 1148

Wellen, sinuselliptische, 1181
untersynchrone Kaskade, 984

Vierpole, passive, Wellenparameter, 1147, 1157

Wellenausbreitung, 1193, 1200, 1202

USART, 703

Vierpole, rückwirkungsfreie, 1156

Wellenausbreitung im Plasma, 1201

User Data Protocol, 767

Vierpole, übertragungssymmetrische

Wellenfilter, 1171

(reziproke), 1155

Wellenkraftwerk, 1023

V

Vierpole, widerstandssymmetrische, 1156

Wellenlänge, kritische, 1180

V.24, 758

Vierpole, Zusammenschaltung, 1148

Wellenoptik, 237, 246

Valenzelektronen, 306

Vierpol-Ersatzschaltbild, 452

Wellentheorie, 238

Variable, 782

Vierpolgleichungen, 452, 1148

Wellentheorie des Lichtes, 238
direkte, 783

Vierquadrantenbetrieb, 1000

Wellentyp, 1180
globale, 784

Viertelbrücke, 908

Wellenwiderstand, 1164, 1177

Varianz einer Stichprobe, 1377

Villard-Schaltung, 412

Wellenwiderstand als Funktion von w= h, 1182

Varianz einer Verteilung, 1377
virtuelles Bild, 239

Wellenwiderstand des leeren Raumes, 1194

Varistor, 1096

Viskosität, 212

Wellenwiderstand des Plasmas, 1201

VDR-Widerstand, 1121

Voice-over-IP, 748

Wellenzahl, 228

Verarmungstyp, 433

VoIP, 748, 1305

Wellrohre, 1178

Verbinden von Lichtleitern, 1269, 1275

Volladdierer, 612

Wendepole, 992

Verbindungshalbleiter, 276

Vollbrücken, 908

Wertetabelle, 590

Verbund-Leiterseil, 1054

Vollgesteuerte Einphasen-Brückenschaltung,

Wheatstone-Messbrücke, 906

Verdrahtungsplan, 569

999

Wheatstone-Messbrücke, Abgleichverfahren,

Verdrängungsprinzip, 936
vollständige Messschaltung, 912

906

Vergleichsfunktion, 800

Vollverbindung, 753

Wickelstromwandler, 975

Vergleichsglied, 844

Volumenausdehnungskoeffizient, 215

Wicklungen, 964

Vergleichsstelle, 927

Volumenstrom, 212

Wide Area Network, 750

Verify Check, 682

Vorhaltezeit, 868

Widerstand, 307

Verknüpfungssteuerung, 794

Vorhaltzeit Tv, 835

Widerstandsänderung, 924

Verlustarme Leitung, 1169

Vorsteuerung, 845

Widerstandsbremsen, 994

Verlustfaktor, 1064, 1162

Vorstufen, 470

Widerstandsbremsung, 996

Verlustfaktor, Messung von L, C, 901, 917

Vorwärtsrichtung, 1102

Widerstandsmessung, 906

Verlustleistung, 399, 637, 1089

Vorwärts-Sperrzustand, 1102

Widerstandsrauschen, 1138

Verlustleistungshyperbel, 1093

Vorwärtsübertragungsfaktor, 1184

Widerstandsthermometer, 922

Verlustlose Leitung, 1164

Vorwärtszähler, 627

Wien-Brücke, 515
verlustlose Leitung, 1161, 1169

VZ 1-Glied, 848

Wien-Robinson-Brücke, 516

Verlustziffer, 296

VZ 2-Glied, 848

Wien’sches Verschiebungsgesetz, 250

Vermaschung, 597

Windenergieanlage, 1023

Verriegeln über die Rücksetzeingänge, 796

W

Winkelbeschleunigung, 198

Verriegeln über die Setzeingänge, 796
wahrer Wert, 877

Winkelgeschwindigkeit, 198

Versorgungssicherheit, 1052

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, 1376

Winkelmessung, 938

Verstärkerwirkung, 450

WAN, 1304

Winkelmodulation, 1211

Verstärkungsmaß, 1144

WAN, Wide Area Network, 750

Wired AND, 638

Verstärkungsprinzip, 849

Wanderwellen, 1169

Wired OR, 638

Verteilung, Erwartungswert, 1376

Wärmekapazität, 217

Wirkfläche, 1197

Sachverzeichnis

1397

Wirkleistung, 380, 911, 1185

Zeichnungsnormen, 548
z-Transformation, 1332, 1369, 1372

Wirkleistungsmessung, 912

Zeiger, 224, 364

Zufällige Abweichungen, 877

Wirkungsgrad, 204, 321, 969

Zeigerdiagramm, 363, 1206

Zugriffszeit, 676

Wirkwiderstand von Leiterseilen, 1057

Zeilensprungverfahren, 738

Zünddiagramm, 1103

WLAN, 1308
zeitdiskreten Signalverarbeitung, 1370

Zündimpulse, 423

Woltmann-Zähler, 935

Zeitgeber, 713

Zündspannung, 418

Zeitgeberbausteine, 696

Zündstrom, 418

X

Zeitglieder nach IEC 61131-3, 799

Zündverzögerungszeit, 1103

X- Y-Stereofonie, 1250

Zeitinvarianz, 1332

Zündvorgang, 416, 1103

Zeitkonstante, 223, 332, 358, 871

Zündzeit, 419

Y

Zeitmessung, 937

Zuverlässigkeit, 553

Yagi-Antenne, 1199

Zeitmultiplexverfahren, 615, 752, 1257, 1258

Zweierkomplement, 603, 604, 613

Yellow Cable, 756

Zeitrelais, 551

Zweig, 1185

Y-Parameter, 1150

Zener-Effekt, 405

Zweiphasenumtastung (2-PSK), 1219
y-Parameter, 438

Zentraleinheit, 662

Zweipunkt-Regelfunktion, 838

Zentraler Grenzwertsatz der Statistik, 1380

Zweiquadrantenantrieb, 999

Z

Zentralkompensation, 1076

Zweiquadrantenbetrieb, 1000

Zahlensystem, 602

Zentralspeicher, 687, 689

Zweirichtungstreiber, 690

Zahlensysteme, 589, 602

Zentralwert, 958, 1376

Zweiseitenband-Amplitudenmodulation, 1205

Zahlenwertgleichungen, 876

Zentripetal-Beschleunigung, 201

Zwischenfrequenzdurchschaltung, 1267

Zähler, 625

Zentripetalkraft, 201

Zyklische Codes, 1312

Zähler in Automatisierungssystemen, 799

Zerstreuungslinsen, 242

Zylinderkondensator, 328

Zählerkonstante, 916

Zielextraktor, 1279

Zylinderspule, 336

Zählpfeilsystem, 312

Z-Parameter, 1150

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Vorwort

Inhaltsverzeichnis

Teil I Mathematik

1 Arithmetik

- 1.1 Mengen
- 1.2 Aussageformen und logische Zeichen
- 1.3 Einteilung der Zahlen
- 1.4 Grundrechenarten
- 1.5 Grundlegende Rechenregeln
- 1.6 Potenz- und Wurzelrechnung
- 1.7 Dezimalzahlen und Dualzahlen
- 1.8 Logarithmen
- 1.9 Ungleichungen
- 1.10 Komplexe Zahlen

2 Gleichungen

- 2.1 Gleichungsarten
- 2.2 Äquivalente Umformungen
- 2.3 Lineare Gleichungen
- 2.4 Proportionen
- 2.5 Quadratische Gleichungen
- 2.6 Algebraische Gleichungen höheren Grades

- 2.7 Auf algebraische Gleichungen zurückführbare Gleichungen

- 2.8 Transzendente Gleichungen

- 2.9 Lineare Gleichungssysteme

3 Planimetrie

- 3.1 Geraden und Strecken
- 3.2 Winkel
- 3.3 Projektion
- 3.4 Geometrische Örter
- 3.5 Dreiecke
- 3.6 Vierecke
- 3.7 Reguläre n-Ecke
- 3.8 Polygone
- 3.9 Kreise
- 3.10 Symmetrie
- 3.11 Ähnlichkeit

4 Stereometrie

- 4.1 Prismen
- 4.2 Zylinder
- 4.3 Pyramiden
- 4.4 Kegel
- 4.5 Cavalieri'sches Prinzip
- 4.6 Kugeln

5 Funktionen

- 5.1 Definition und Darstellungen von Funktionen

- 5.2 Verhalten von Funktionen
- 5.3 Einteilung der elementaren Funktionen
- 5.4 Ganze rationale Funktionen
- 5.5 Gebrochene rationale Funktionen
- 5.6 Irrationale Funktionen
- 5.7 Transzendente Funktionen

6 Trigonometrie

- 6.1 Definition der trigonometrischen Funktionen

- 6.2 Trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel

- 6.3 Beziehungen für den gleichen Winkel

- 6.4 Graphen der trigonometrischen Funktionen

- 6.5 Reduktionsformeln
- 6.6 Additionstheoreme
- 6.7 Sinussatz und Kosinussatz
- 6.8 Arkusfunktionen

7 Analytische Geometrie

- 7.1 Koordinatensysteme
- 7.2 Geraden
- 7.3 Kreise
- 7.4 Kugeln
- 7.5 Kegelschnitte
- 7.6 Vektoren

8 Differential- und Integralrechnung

- 8.1 Folgen
- 8.2 Reihen
- 8.3 Grenzwerte von Funktionen
- 8.4 Ableitung einer Funktion
- 8.5 Integralrechnung
- 8.6 Funktionenreihen

9 Anhang

- 9.1 Symbole und Bezeichnungsweisen

- 9.2 Das griechische Alphabet

Teil II Physik

- 10 Einführung

- 10.1 Physikalische Größen

- 10.2 SI-System

- 11 Mechanik

- 11.1 Kinematik des Massenpunktes
- 11.2 Dynamik
- 11.3 Elastische Verformung fester Körper

- 11.4 Mechanik der ruhenden Flüssigkeiten und Gase

- 11.5 Hydrodynamik

- 12 Thermodynamik

- 12.1 Grundbegriffe
- 12.2 Temperatur
- 12.3 Thermische Ausdehnung
- 12.4 Ideale Gase
- 12.5 Wärmeübertragung

- 13 Schwingungen

- 13.1 Freie ungedämpfte harmonische Schwingungen

- 13.2 Gedämpfte Schwingungen
- 13.3 Erzwungene Schwingungen
- 13.4 Überlagerung harmonischer Schwingungen

- 14 Wellen

- 14.1 Harmonische Wellen
- 14.2 Huygens'sches Prinzip
- 14.3 Dopplereffekt

- 15 Akustik

- 15.1 Schallausbreitung
- 15.2 Reflexion, Transmission, Absorption
- 15.3 Ultraschall

- 16 Optik

- 16.1 Eigenschaften des Lichtes
- 16.2 Geometrische Optik
- 16.3 Wellenoptik
- 16.4 Photometrie
- 16.5 Licht als Korpuskel
- Literatur

- 17 Anhang

- 17.1 Physikalische Größen und Einheiten

- 17.2 Zahlenwerte physikalischer Größen

Teil III Werkstoffkunde

- 18 Stoffe

- 18.1 Eigenschaften der Stoffe
- 18.2 Atombau und Periodensystem
- 18.3 Aufbau der festen Körper
- 18.4 Chemische Grundzusammenhänge
- 18.5 Elektrochemie

- 19 Elektrische Leitfähigkeit

- 19.1 Leitungsmechanismus
- 19.2 Isolator
- 19.3 Halbleiter
- 19.4 Normalleiter
- 19.5 Supraleiter
- 19.6 Halleffekt

- 20 Elektrische Leiter

- 20.1 Normalleiter
- 20.2 Halbleiter
- 20.3 Supraleiter

- 21 Magnetische Leitfähigkeit

- 21.1 Modellvorstellung
- 21.2 Verhalten von Materie im Magnetfeld
- 21.3 Magnetisierung
- 21.4 Magnetisierungskurve
- 21.5 Permeabilität

- 22 Magnetika

- 22.1 Metalloxide (Ferrite)
- 22.2 Weichmagnetika
- 22.3 Hartmagnetika (Dauermagnete)

- 23 Dielektrische Eigenschaften

- 23.1 Modellvorstellungen zur dielektrischen Polarisation

- 23.2 Dielektrische Materialeinteilung

- 23.3 Elektrische Materialeinteilung

- 24 Dielektrika

- 24.1 Natürliche anorganische Dielektrika
- 24.2 Natürliche organische Dielektrika
- 24.3 Künstliche anorganische Dielektrika
- 24.4 Künstliche organische Dielektrika
- 24.5 Silikone
- Literatur

Teil IV Grundlagen der Elektrotechnik

- 25 Grundbegriffe

- 25.1 Aufbau der Atome
- 25.2 Ladungsträger
- 25.3 Spannung
- 25.4 Strom
- 25.5 Das Ohm'sche Gesetz
- 25.6 Spezifischer Widerstand, Leitfähigkeit

- 25.7 Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes von Metallen

- 26 Der Gleichstromkreis

- 26.1 Zählpfeilsysteme
- 26.2 Kirchhoff'sche Gesetze
- 26.3 Schaltung von Widerständen
- 26.4 Reale Spannungsquelle
- 26.5 Ersatzstromquelle
- 26.6 Netzwerkberechnung
- 26.7 Energie, Leistung, Wirkungsgrad

- 27 Das Elektrische Feld

- 27.1 Grundgrößen
- 27.2 Materie im elektrischen Feld
- 27.3 Kondensatoren

- 28 Das Magnetische Feld

- 28.1 Feldlinien
- 28.2 Magnetische Grundgrößen
- 28.3 Kräfte im Magnetfeld
- 28.4 Energie des Magnetfeldes
- 28.5 Materie im Magnetfeld
- 28.6 Magnetische Kreise

- 29 Induktion

- 29.1 Induktion bei Änderung der Fläche

- 29.2 Induktion bei Änderung des Magnetfeldes

- 29.3 Die Induktivität einer Spule

- 30 Wechselstrom

- 30.1 Grundbegriffe des Wechselstroms

- 30.2 Grundschaltelemente im Wechselstromkreis

- 30.3 Schaltungen von Wechselstromwiderständen

- 30.4 Passive Filter

- 30.5 Schwingkreise

- 30.6 Leistung und Arbeit im Wechselstromkreis

- 31 Drehstrom

- 31.1 Erzeugung von mehrphasigem Wechselstrom

- 31.2 Phasenverkettung
- 31.3 Leistung des Dreiphasenstroms
- 31.4 Das unsymmetrische Dreiphasensystem
- Literatur

Teil V Elektronik

32 Leitungsmechanismen bei Halbleitern, pn-Übergang

- 32.1 Einführung in die Halbleiterphysik

- 32.2 Der pn-Übergang

33 Dioden

- 33.1 Kennlinien

- 33.2 Kenndaten und Grenzwerte

- 33.3 Kennzeichnung von Halbleiter-Bauelementen

- 33.4 Diodenarten

- 33.5 Anwendungsschaltungen

34 Mehrschichtdioden und -trioden

- 34.1 Vierschichtdioden
- 34.2 Thyristoren
- 34.3 Diac
- 34.4 Triac
- 34.5 Schutz der Dioden und Trioden
- 34.6 Zündmethoden

35 Transistoren

- 35.1 Bipolare Transistoren

- 35.2 Feldeffekttransistoren (FET)

36 Besondere Halbleiter-Bauelemente

- 36.1 Unijunction-Transistor (Doppelbasisdiode)

- 36.2 Darlington-Transistor
- 36.3 VMOS-Transistoren
- 36.4 SIPMOS-Transistoren
- 36.5 IGBT

37 Analoge Verstärker

- 37.1 Bipolarer Transistor als Verstärker
- 37.2 Feldeffekt-Transistor als Verstärker
- 37.3 Mehrstufige Verstärker

38 Endstufen

- 38.1 Betriebsarten

- 38.2 Schaltungen

39 Operationsverstärker

- 39.1 Einführung
- 39.2 Differenzverstärker
- 39.3 Grundlagen des OP
- 39.4 Operationsverstärker als Verstärker

40 Elektronische Schalter, Kippstufen

- 40.1 Transistor als Schalter
- 40.2 Kippschaltungen mit Transistoren
- 40.3 Operationsverstärker als Schalter

- 40.4 Kippschaltungen mit Operationsverstärker

- 40.5 Zeitgeber 555

- 40.6 Trigger TCA 345 A

41 Oszillatoren

- 41.1 Allgemeines
- 41.2 Sinusgeneratoren (RC-Oszillatoren)
- 41.3 Funktionsgeneratoren

42 Schaltungstechniken

- 42.1 Integrierte Schaltungen

- 42.2 SMD-Technik

43 Optoelektronik

- 43.1 Grundsätzliche Überlegungen
- 43.2 Optoelektronische Bauelemente
- 43.3 Anzeigeeinheiten
- 43.4 Signalübertragung mit Optokoppler
- 43.5 Faseroptische Übertragungsmittel

44 Analog-Digital-Wandler

- 44.1 Grundlagen
- 44.2 Spannungs-Frequenz-Wandler
- 44.3 Sägezahnverfahren
- 44.4 Dual-Slope-Verfahren
- 44.5 Flash-Wandler
- 44.6 Wandler nach dem Wägeverfahren
- 44.7 Integrierte Wandler

45 Digital-Analog-Wandler

- 45.1 Grundlagen
- 45.2 D/A-Wandler-Varianten
- 45.3 Integrierte Wandler

Teil VI Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

- 46 Grundlagen der zeichnerischen Darstellung

- 46.1 Zeichengeräte
- 46.2 Normen für Technische Zeichnungen
- 46.3 Normteile und Konstruktionselemente
- 46.4 Nutzen der Normung

- 47 Schaltungsunterlagen

- 47.1 Schaltzeichen nach DIN

- 47.2 Elektrische Betriebsmittel

- 47.3 Schaltungsunterlagen der Energietechnik

- 47.4 Schaltungsunterlagen der Elektronik

- 47.5 Projektierung

- 48 Schaltungssynthese und -analyse

- 48.1 Beispiele aus der Elektrotechnik

- 48.2 Beispiele aus der Elektronik

- 49 CAD-Technik

- 49.1 Allgemeines
- 49.2 Hardware und Software
- 49.3 Erstellen von Schaltplänen
- 49.4 Erstellen von Layouts
- 49.5 Anwendungen in der Elektronik
- 49.6 Auswahl von CAD-Systemen

Teil VII Datentechnik

- 50 Digitaltechnik

- 50.1 Grundbegiffe der Digitaltechnik
- 50.2 Logische Grundschaltungen
- 50.3 Schaltalgebra

- 50.4 Zahlensysteme in der Digital- und Datenverarbeitung

- 50.5 Codes

- 50.6 Digitale Grundschaltungen

- 51 Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

- 51.1 Allgemeines

- 51.2 Umgang mit integrierten Schaltungen

- 51.3 Daten und Begriffe der Logikschaltungen

- 51.4 TTL-Familie
- 51.5 Emittergekoppelte Logik
- 51.6 Integrierte MOS-Schaltungen
- 51.7 Interfaceschaltungen

- 51.8 Anwendungsspezifische integrierte Schaltungen

- 51.9 Gehäuse

- 52 Mikrocomputertechnik

- 52.1 Komponenten eines Mikrocomputers
- 52.2 Mikroprozessoren
- 52.3 Halbleiterspeicher
- 52.4 Peripheriebausteine
- 52.5 Mikrocontroller
- 52.6 Maschinensprache
- 52.7 Befehlsvorrat

- 52.8 Hinweise zur Programmierung und Progammbeispiele

- 53 Computertechnik

- 53.1 Komponenten eines Computers
- 53.2 Massenspeicher
- 53.3 Eingabegeräte
- 53.4 Ausgabegeräte

- 54 Programmiertechnik

- 54.1 Programmiersprachen

- 54.2 Grundlagen der Programmierung

- 55 Datenkommunikation

- 55.1 Einführung
- 55.2 Computernetzwerke
- 55.3 Einteilung von Netzwerken
- 55.4 Netzwerk-Topologien
- 55.5 Das OSI-Referenzmodell
- 55.6 Industrial Ethernet
- Literatur

Teil VIII Automatisierungstechnik

56 Einführung

57 Automatisierungsgeräte

58 Grundzüge der SPS-Norm IEC 61131-3

- 58.1 Programmorganisationskonzept
- 58.2 Deklaration von FB- und FC-Bausteinen
- 58.3 Variablen
- 58.4 Programmiersprachen

59 Programmstrukturen

- 59.1 Lineares Programm
- 59.2 Gegliedertes Programm
- 59.3 Parametrierbares Programm

60 Eingabe- und Ausgabesignale

- 60.1 Binäre Signale
- 60.2 Digitale Signale
- 60.3 Analoge Signale

61 Eingabe-/Ausgabebaugruppen

62 Verknüpfungssteuerungen

- 62.1 Logische Grundverknüpfungen in verschiedenen Darstellungen

- 62.2 Zusammengesetzte logische Grundverknüpfungen

- 62.3 Schließer- und Öffnerkontakte, Drahtbruchsicherheit, Erdschlussgefahr

- 62.4 Speicherfunktionen

- 62.5 Flankenauswertung

- 62.6 Darstellung und Eigenschaften elektropneumatischer Stellglieder

- 62.7 Regeln für das Umsetzen von Schützschaltungen in SPS-Programme

- 62.8 Zeitfunktionen
- 62.9 Zählerfunktionen
- 62.10 Vergleichsfunktionen
- 62.11 MOVE-Funktion
- 62.12 EN/ENO-Mechanismus

63 Aufruf und Wertübergaben zwischen Bausteinen nach IEC 61131-3

- 63.1 Aufrufhierarchie der Bausteine P, FB und FC

- 63.2 Aufruf von Funktionsbausteinen in FBS
- 63.3 Aufruf von Funktionsbausteinen in AWL
- 63.4 Aufruf von Funktionen in AWL

64 Ablaufsteuerung

- 64.1 Ablauf-Funktionsplan

- 64.2 Grafische Darstellung von Ablaufsteuerungsfunktionen

- 64.3 Betriebsartenteil und Bedienfeld

65 Kommunikation in Automatisierungssystemen

- 65.1 Bussysteme

- 65.2 PROFINET – Offener Industrial Ethernet Standard

- 65.3 OPC-Technologie

66 Steuerungssicherheit

- 66.1 Europäische Richtlinien und Sicherheitsnormen

- 66.2 Sicherheitsbegriff

67 Regelungstechnische Grundbegriffe der Automatisierungstechnik

- 67.1 Unterschied zwischen Steuern und Regeln, regelungstechnische Größen

- 67.2 Regler-Technologien

68 Regelstrecken

- 68.1 Beispiele für Regelstrecken

- 68.2 Beschreibungsmittel zur Darstellung von Regelstreckeneigenschaften

69 Regler

- 69.1 P-Regler, P-Regelfunktion
- 69.2 I-Regler, I-Regelfunktion
- 69.3 PI-Regler, PI-Regelfunktion
- 69.4 PID-Regler, PID-Regelfunktion

- 69.5 Vergleich der verschiedenen Reglertypen

- 69.6 PID-Reglerbaustein für digitale Abtastregelung

- 69.7 SPS als kontinuierlicher PID-Abtastregler

- 69.8 Digitaler Schrittregler mit PI-Verhalten

- 69.9 Zweipunktregler, Zweipunkt-Regelfunktion

- 69.10 Regelgüte

- Literatur

Teil IX Regelungstechnik

- 70 Einführung

- 71 Strukturbild und Übertragungsglieder

- 71.1 Strukturbild

- 71.2 Übertragungsglieder

- 71.3 Klassifikation von Übertragungsgliedern

- 71.4 Beschreibung von Übertragungsgliedern um einen Arbeitspunkt

- 71.5 Impulsantwort und Sprungantwort einfacher Übertragungsglieder

- 72 Übertragungsverhalten linearer, zeitinvarianterÜbertragungsglieder

- 72.1 Übertragungsfunktion

- 72.2 Frequenzgangfunktion

- 72.3 Frequenzkennlinien elementarer Übertragungsfunktionen

- 73 Stabilität

- 73.1 Definition der Stabilität

- 73.2 Stabilitätskriterien

- 74 Entwurf von Regelkreisen

- 74.1 Forderungen an die Regelung

- 74.2 Reglertypen

- 74.3 Faustregeln für die Wahl der Reglerstruktur und der Reglerparameter

- 74.4 Reglerentwurf mit dem Frequenzkennlinienverfahren

- 74.5 Einstellregeln bei speziellen Regelstrecken

- Literatur

Teil X Messtechnik

75 Grundlagen und Grundbegriffe der Messtechnik

- 75.1 Begriffe
- 75.2 Einheiten
- 75.3 Messabweichung, Messfehler

- 75.4 Abweichungsfortpflanzung, Fehlerfortpflanzung

- 75.5 Fehlerangaben von Messgeräten

- 75.6 Arithmetischer Mittelwert und Effektivwert von Wechselgrößen

- 75.7 Häufigkeitsverteilung, Vertrauensbereich

- 75.8 Bearbeitung und Auswertung von Messwerten

76 Analog anzeigende Messgeräte

- 76.1 Grundlagen
- 76.2 Drehspul-Messwerk
- 76.3 Dreheisen-Messwerk
- 76.4 Elektrodynamisches Messwerk
- 76.5 Symbole und Instrumentenbeschriftungen

77 Oszilloskop

- 77.1 Übersicht
- 77.2 Aufbau eines Oszilloskopes
- 77.3 Zusatzeinrichtungen

78 Schreibende Messgeräte

- 78.1 Betriebsarten

- 78.2 Schreibstiftauslenkung

79 Digital anzeigende Messgeräte

- 79.1 Digitalvoltmeter

- 79.2 Digitalmultimeter

- 79.3 Messung von Kapazitäten, Frequenzen und Stromverstärkungen

- 79.4 Messung von Temperaturen

80 Messverfahren zur Messung elektrischer Größen

- 80.1 Messung von Gleichspannungen
- 80.2 Messung von Gleichströmen
- 80.3 Messbereichserweiterung
- 80.4 Messung von Wechselspannungen
- 80.5 Messung von Wechselströmen
- 80.6 Widerstands- und Impedanzmessung
- 80.7 Leistungsmessung
- 80.8 Messung der Arbeit

- 80.9 Messung von L, C, Gütefaktor und Verlustfaktor

- 80.10 Messung magnetischer Größen

81 Messverfahren zur Messung nichtelektrischer Größen

- 81.1 Messaufnehmer

- 81.2 Messverfahren

82 Messdatenaufbereitung

- 82.1 Verringerung der Störeinflüsse von außen

- 82.2 Messverstärker

83 Bussysteme für die Messtechnik

- 83.1 Grundbegriffe
- 83.2 IEC-Bus
- 83.3 DIN-Messbus
- 83.4 Aktuator-Sensor-Interface (ASI)
- 83.5 CAN-BUS
- 83.6 USB-Übertragung
- 83.7 LAN (Local Area Network)

84 Probleme bei der Digitalisierung analoger Messwerte

- 84.1 Fehler bei der Digitalisierung

- 84.2 Signal-Quantisierungs-Geräuschabstand

- 84.3 Verbesserung des Signal-Rausch-Verhältnisses

- 84.4 Abtast-Halte-Glied
- 84.5 Aliasing
- 84.6 Erfassung von Momentanwerten

85 PC-gestützte Messverfahren und Messsignalanalyse

- 85.1 Statistische Verfahren zur Messsignalauswertung

- 85.2 Graphische Darstellung
- 85.3 Ermittlung von Kenngrößen, Klassierung
- 85.4 Messsignalanalyse
- 85.5 Automatisierung von Messabläufen
- Literatur

Teil XI Energietechnik

- 86 Elektrische Maschinen

- 86.1 Transformatoren
- 86.2 Drehstrommaschinen
- 86.3 Einphasen-Asynchronmotoren
- 86.4 Drehstrommotor im Einphasenbetrieb
- 86.5 Sonderbauformen
- 86.6 Gleichstrommaschinen
- 86.7 Auswahl von Motoren
- Literatur

- 87 Elektrische Energieversorgung

- 87.1 Energiewirtschaftliche Rahmenbedingungen

- 87.2 Elektrische Energieerzeugung

- 87.3 Elektrische Energieübertragung und Energieverteilung

- 87.4 Elektrische Betriebsmittel

- Literatur

- 88 Elektrische Energieanwendung

- 88.1 Kompensationsanlagen
- 88.2 Beleuchtungsanlagen
- Literatur

Teil XII Leistungselektronik

- 89 Halbleiter in der Leistungselektronik

- 90 Leistungshalbleiter

- 90.1 Halbleiterdioden
- 90.2 Bipolartransistoren
- 90.3 Feldeffekttransistoren
- 90.4 IGBT-Transistoren
- 90.5 Thyristoren

- 91 Einsatz von Leistungshalbleitern als Schalter

- 91.1 Schalter allgemein
- 91.2 Halbleiter-Relais
- 91.3 Halbleiterkühlung
- 91.4 Ansteuerschaltungen
- 91.5 Schutzschaltungen

Teil XIII Nachrichtentechnik

92 Grundlagen der Nachrichtenübertragung

- 92.1 Prinzip der elektrischen Nachrichtenübertragung

- 92.2 Aufgaben der Nachrichtentechnik
- 92.3 Grundbegriffe
- 92.4 Nachricht, Information und Signal
- 92.5 Kenngrößen der Übertragungsstrecke

93 Zweitore, Vierpole

- 93.1 Zweitor allgemein
- 93.2 Spezielle Zweitore
- 93.3 Wellenparameter passiver Zweitore

94 Leitungen

- 94.1 Leitungsbeläge und Leitungsgleichungen

- 94.2 Leitung mit sinusförmigen Spannungen und Strömen

- 94.3 Leitung mit sinusförmigen Spannungen und Strömen und beliebiger Abschlussimpedanz Z_e

- 94.4 Verlustlose Leitung
- 94.5 Daten von Leitungen
- 94.6 Hochfrequenzleitungen
- 94.7 s-Parameter
- 94.8 Kreisdiagramm

95 Antennen

- 95.1 Grundlagen
- 95.2 Kenngrößen
- 95.3 Ausführungsformen von Antennen
- 95.4 Wellenausbreitung

96 Modulation

- 96.1 Übersicht

- 96.2 Sinusträger – mit Analogsignal moduliert

- 96.3 Sinusträger – mit Digitalsignal moduliert

- 96.4 Pulsträger uncodiert

97 Filter

- 97.1 Einfache passive R-C-Filter
- 97.2 Weitere Ausführungsformen
- 97.3 Allgemeiner Filterentwurf

98 Empfängerschaltungstechnik

- 98.1 Geradeausempfänger

- 98.2 Überlagerungsempfänger

- 98.3 Automatische Verstärkungsregelung (AVR)

- 98.4 Weitere Schaltungskonzepte

99 Ton- und Bildübertragung

- 99.1 Rundfunk-Stereoübertragung

- 99.2 Digitale Farbfernsehtechnik

100 Mehrfachübertragung – Multiplexverfahren

- 100.1 Zeitmultiplexverfahren
- 100.2 Frequenzmultiplexverfahren
- 100.3 Raummultiplexverfahren

101 Richtfunktechnik

102 Nachrichtenübertragung über Satellit

103 Nachrichtenübertragung über Lichtwellenleiter (LWL)

- 103.1 Physikalische Grundlagen

- 103.2 Grundmodelle von Lichtwellenleitern

- 103.3 Technische Ausführung von Lichtwellenleitern

- 103.4 Lichtsender
- 103.5 Lichtempfänger
- 103.6 Verbinden von Lichtleitern
- 103.7 Optische Schalter

104 Funkmesstechnik

- 104.1 Radar
- 104.2 Funkortungssystem OMEGA
- 104.3 GPS – Global Positioning System

105 Elektroakustische Wandler

- 105.1 Definitionen, Kenngrößen
- 105.2 Schallempfänger
- 105.3 Schallsender

106 Vermittlungstechnik

- 106.1 Grundbegriffe
- 106.2 Vermittlung
- 106.3 Verkehrstheorie
- 106.4 Endgerät

107 Kommunikations- und Datennetze

- 107.1 Strukturen lokaler Kommunikations- und Datennetze

- 107.2 Öffentliche Kommunikations- und Datensysteme

- 107.3 Öffentliche Funknetze

- 107.4 Private Funknetze

108 Optimierte Nachrichten- und Datenübertragung

- 108.1 Codierung

- 108.2 Optimalfilter

- 108.3 Anwendung der Korrelation bei gestörten Signalen

- 108.4 Verschlüsselung von Daten
- 108.5 Fensterung
- Literatur

Teil XIV Signal- und Systemtheorie

- 109 Einführung

- 109.1 Darstellung in der Zeit- und in der Frequenzebene

- 109.2 Hinweise zur Anwendung

- 110 Grundbegriffe

- 111 Periodische nichtsinusförmige zeitkontinuierliche Signale

- 111.1 Reelle und komplexe Fourierreihe

- 111.2 Beispiele und Anwendungen

- 112 Nichtperiodische zeitkontinuierliche Signale

- 112.1 Fouriertransformation

- 112.2 Laplacetransformation

- 113 Spezielle Signale

- 113.1 Stoßfunktion, -Funktion, Dirac-Impuls
- 113.2 Sprungfunktion (t)
- 113.3 Verknüpfung von - und -Funktion
- 113.4 Harmonische Schwingungen

- 114 Leistung
- 115 Faltungsintegral
- 116 Abtasttheorem

- 117 Nichtkontinuierliche (zeitdiskrete) Signale

- 117.1 Diskrete Fouriertransformation (DFT)
- 117.2 Schnelle Fouriertransformation (FFT)
- 117.3 z-Transformation

- 118 Zufällige Signale

- 118.1 Grundbegriffe und Kenngrößen
- 118.2 Verteilungen
- 118.3 Rauschen

- 118.4 Signalerkennung bei gestörter Übertragung

- Literatur

Sachverzeichnis

Table of Contents

Vorwort

Inhaltsverzeichnis

Teil I Mathematik

1 Arithmetik

- 1.1 Mengen
- 1.2 Aussageformen und logische Zeichen
- 1.3 Einteilung der Zahlen
- 1.4 Grundrechenarten
- 1.5 Grundlegende Rechenregeln
- 1.6 Potenz- und Wurzelrechnung
- 1.7 Dezimalzahlen und Dualzahlen
- 1.8 Logarithmen
- 1.9 Ungleichungen
- 1.10 Komplexe Zahlen

1.1 Mengen
1.2 Aussageformen und logische Zeichen
1.3 Einteilung der Zahlen
1.4 Grundrechenarten
1.5 Grundlegende Rechenregeln
1.6 Potenz- und Wurzelrechnung
1.7 Dezimalzahlen und Dualzahlen
1.8 Logarithmen
1.9 Ungleichungen
1.10 Komplexe Zahlen

2 Gleichungen

- 2.1 Gleichungsarten
- 2.2 Äquivalente Umformungen
- 2.3 Lineare Gleichungen
- 2.4 Proportionen
- 2.5 Quadratische Gleichungen
- 2.6 Algebraische Gleichungen höheren Grades

- 2.7 Auf algebraische Gleichungen zurückführbare Gleichungen

- 2.8 Transzendente Gleichungen

- 2.9 Lineare Gleichungssysteme

2.1 Gleichungsarten
2.2 Äquivalente Umformungen
2.3 Lineare Gleichungen
2.4 Proportionen
2.5 Quadratische Gleichungen
2.6 Algebraische Gleichungen höheren Grades

2.7 Auf algebraische Gleichungen zurückführbare Gleichungen

2.8 Transzendente Gleichungen

2.9 Lineare Gleichungssysteme

3 Planimetrie

- 3.1 Geraden und Strecken
- 3.2 Winkel
- 3.3 Projektion
- 3.4 Geometrische Örter
- 3.5 Dreiecke
- 3.6 Vierecke
- 3.7 Reguläre n-Ecke
- 3.8 Polygone
- 3.9 Kreise
- 3.10 Symmetrie
- 3.11 Ähnlichkeit

3.1 Geraden und Strecken
3.2 Winkel
3.3 Projektion
3.4 Geometrische Örter
3.5 Dreiecke
3.6 Vierecke
3.7 Reguläre n-Ecke
3.8 Polygone
3.9 Kreise
3.10 Symmetrie
3.11 Ähnlichkeit

4 Stereometrie

- 4.1 Prismen
- 4.2 Zylinder
- 4.3 Pyramiden
- 4.4 Kegel
- 4.5 Cavalieri'sches Prinzip
- 4.6 Kugeln

4.1 Prismen
4.2 Zylinder
4.3 Pyramiden
4.4 Kegel
4.5 Cavalieri'sches Prinzip
4.6 Kugeln

5 Funktionen

- 5.1 Definition und Darstellungen von Funktionen

- 5.2 Verhalten von Funktionen
- 5.3 Einteilung der elementaren Funktionen
- 5.4 Ganze rationale Funktionen
- 5.5 Gebrochene rationale Funktionen
- 5.6 Irrationale Funktionen
- 5.7 Transzendente Funktionen

5.1 Definition und Darstellungen von Funktionen

5.2 Verhalten von Funktionen
5.3 Einteilung der elementaren Funktionen
5.4 Ganze rationale Funktionen
5.5 Gebrochene rationale Funktionen
5.6 Irrationale Funktionen
5.7 Transzendente Funktionen

6 Trigonometrie

- 6.1 Definition der trigonometrischen Funktionen

- 6.2 Trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel

- 6.3 Beziehungen für den gleichen Winkel

- 6.4 Graphen der trigonometrischen Funktionen

- 6.5 Reduktionsformeln
- 6.6 Additionstheoreme
- 6.7 Sinussatz und Kosinussatz
- 6.8 Arkusfunktionen

6.1 Definition der trigonometrischen Funktionen

6.2 Trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel

6.3 Beziehungen für den gleichen Winkel
6.4 Graphen der trigonometrischen Funktionen
6.5 Reduktionsformeln
6.6 Additionstheoreme
6.7 Sinussatz und Kosinussatz
6.8 Arkusfunktionen

7 Analytische Geometrie

- 7.1 Koordinatensysteme
- 7.2 Geraden
- 7.3 Kreise
- 7.4 Kugeln
- 7.5 Kegelschnitte
- 7.6 Vektoren

7.1 Koordinatensysteme
7.2 Geraden
7.3 Kreise
7.4 Kugeln
7.5 Kegelschnitte
7.6 Vektoren

8 Differential- und Integralrechnung

- 8.1 Folgen
- 8.2 Reihen
- 8.3 Grenzwerte von Funktionen
- 8.4 Ableitung einer Funktion
- 8.5 Integralrechnung
- 8.6 Funktionenreihen

8.1 Folgen
8.2 Reihen
8.3 Grenzwerte von Funktionen
8.4 Ableitung einer Funktion
8.5 Integralrechnung
8.6 Funktionenreihen

9 Anhang

- 9.1 Symbole und Bezeichnungsweisen

- 9.2 Das griechische Alphabet

9.1 Symbole und Bezeichnungsweisen

9.2 Das griechische Alphabet

1 Arithmetik

- 1.1 Mengen
- 1.2 Aussageformen und logische Zeichen
- 1.3 Einteilung der Zahlen
- 1.4 Grundrechenarten
- 1.5 Grundlegende Rechenregeln
- 1.6 Potenz- und Wurzelrechnung
- 1.7 Dezimalzahlen und Dualzahlen
- 1.8 Logarithmen
- 1.9 Ungleichungen
- 1.10 Komplexe Zahlen

1.1 Mengen
1.2 Aussageformen und logische Zeichen
1.3 Einteilung der Zahlen
1.4 Grundrechenarten
1.5 Grundlegende Rechenregeln
1.6 Potenz- und Wurzelrechnung
1.7 Dezimalzahlen und Dualzahlen
1.8 Logarithmen
1.9 Ungleichungen
1.10 Komplexe Zahlen

2 Gleichungen

- 2.1 Gleichungsarten
- 2.2 Äquivalente Umformungen
- 2.3 Lineare Gleichungen
- 2.4 Proportionen
- 2.5 Quadratische Gleichungen
- 2.6 Algebraische Gleichungen höheren Grades

- 2.7 Auf algebraische Gleichungen zurückführbare Gleichungen

- 2.8 Transzendente Gleichungen

- 2.9 Lineare Gleichungssysteme

2.1 Gleichungsarten
2.2 Äquivalente Umformungen
2.3 Lineare Gleichungen
2.4 Proportionen
2.5 Quadratische Gleichungen
2.6 Algebraische Gleichungen höheren Grades

2.7 Auf algebraische Gleichungen zurückführbare Gleichungen

2.8 Transzendente Gleichungen

2.9 Lineare Gleichungssysteme

3 Planimetrie

- 3.1 Geraden und Strecken
- 3.2 Winkel
- 3.3 Projektion
- 3.4 Geometrische Örter
- 3.5 Dreiecke
- 3.6 Vierecke
- 3.7 Reguläre n-Ecke
- 3.8 Polygone
- 3.9 Kreise
- 3.10 Symmetrie
- 3.11 Ähnlichkeit

3.1 Geraden und Strecken
3.2 Winkel
3.3 Projektion
3.4 Geometrische Örter
3.5 Dreiecke
3.6 Vierecke
3.7 Reguläre n-Ecke
3.8 Polygone
3.9 Kreise
3.10 Symmetrie
3.11 Ähnlichkeit

4 Stereometrie

- 4.1 Prismen
- 4.2 Zylinder
- 4.3 Pyramiden
- 4.4 Kegel
- 4.5 Cavalieri'sches Prinzip
- 4.6 Kugeln

4.1 Prismen
4.2 Zylinder
4.3 Pyramiden
4.4 Kegel
4.5 Cavalieri'sches Prinzip
4.6 Kugeln

5 Funktionen

- 5.1 Definition und Darstellungen von Funktionen

- 5.2 Verhalten von Funktionen
- 5.3 Einteilung der elementaren Funktionen
- 5.4 Ganze rationale Funktionen
- 5.5 Gebrochene rationale Funktionen
- 5.6 Irrationale Funktionen
- 5.7 Transzendente Funktionen

5.1 Definition und Darstellungen von Funktionen

5.2 Verhalten von Funktionen
5.3 Einteilung der elementaren Funktionen
5.4 Ganze rationale Funktionen
5.5 Gebrochene rationale Funktionen
5.6 Irrationale Funktionen
5.7 Transzendente Funktionen

6 Trigonometrie

- 6.1 Definition der trigonometrischen Funktionen

- 6.2 Trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel

- 6.3 Beziehungen für den gleichen Winkel

- 6.4 Graphen der trigonometrischen Funktionen

- 6.5 Reduktionsformeln
- 6.6 Additionstheoreme
- 6.7 Sinussatz und Kosinussatz
- 6.8 Arkusfunktionen

6.1 Definition der trigonometrischen Funktionen

6.2 Trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel

6.3 Beziehungen für den gleichen Winkel
6.4 Graphen der trigonometrischen Funktionen
6.5 Reduktionsformeln
6.6 Additionstheoreme
6.7 Sinussatz und Kosinussatz
6.8 Arkusfunktionen

7 Analytische Geometrie

- 7.1 Koordinatensysteme
- 7.2 Geraden
- 7.3 Kreise
- 7.4 Kugeln
- 7.5 Kegelschnitte
- 7.6 Vektoren

7.1 Koordinatensysteme
7.2 Geraden
7.3 Kreise
7.4 Kugeln
7.5 Kegelschnitte
7.6 Vektoren

8 Differential- und Integralrechnung

- 8.1 Folgen
- 8.2 Reihen
- 8.3 Grenzwerte von Funktionen
- 8.4 Ableitung einer Funktion
- 8.5 Integralrechnung
- 8.6 Funktionenreihen

8.1 Folgen
8.2 Reihen
8.3 Grenzwerte von Funktionen
8.4 Ableitung einer Funktion
8.5 Integralrechnung
8.6 Funktionenreihen

9 Anhang

- 9.1 Symbole und Bezeichnungsweisen

- 9.2 Das griechische Alphabet

9.1 Symbole und Bezeichnungsweisen

9.2 Das griechische Alphabet

Teil II Physik

- 10 Einführung

- 10.1 Physikalische Größen

- 10.2 SI-System

- 10.1 Physikalische Größen

- 10.2 SI-System

- 11 Mechanik

- 11.1 Kinematik des Massenpunktes
- 11.2 Dynamik
- 11.3 Elastische Verformung fester Körper

- 11.4 Mechanik der ruhenden Flüssigkeiten und Gase

- 11.5 Hydrodynamik

- 11.1 Kinematik des Massenpunktes
- 11.2 Dynamik
- 11.3 Elastische Verformung fester Körper

- 11.4 Mechanik der ruhenden Flüssigkeiten und Gase

- 11.5 Hydrodynamik

- 12 Thermodynamik

- 12.1 Grundbegriffe
- 12.2 Temperatur
- 12.3 Thermische Ausdehnung
- 12.4 Ideale Gase
- 12.5 Wärmeübertragung

- 12.1 Grundbegriffe
- 12.2 Temperatur
- 12.3 Thermische Ausdehnung
- 12.4 Ideale Gase
- 12.5 Wärmeübertragung

- 13 Schwingungen

- 13.1 Freie ungedämpfte harmonische Schwingungen

- 13.2 Gedämpfte Schwingungen
- 13.3 Erzwungene Schwingungen
- 13.4 Überlagerung harmonischer Schwingungen

- 13.1 Freie ungedämpfte harmonische Schwingungen

- 13.2 Gedämpfte Schwingungen
- 13.3 Erzwungene Schwingungen
- 13.4 Überlagerung harmonischer Schwingungen

- 14 Wellen

- 14.1 Harmonische Wellen
- 14.2 Huygens'sches Prinzip
- 14.3 Dopplereffekt

- 14.1 Harmonische Wellen
- 14.2 Huygens'sches Prinzip
- 14.3 Dopplereffekt

- 15 Akustik

- 15.1 Schallausbreitung
- 15.2 Reflexion, Transmission, Absorption
- 15.3 Ultraschall

- 15.1 Schallausbreitung
- 15.2 Reflexion, Transmission, Absorption
- 15.3 Ultraschall

- 16 Optik

- 16.1 Eigenschaften des Lichtes
- 16.2 Geometrische Optik
- 16.3 Wellenoptik
- 16.4 Photometrie
- 16.5 Licht als Korpuskel
- Literatur

- 16.1 Eigenschaften des Lichtes
- 16.2 Geometrische Optik
- 16.3 Wellenoptik
- 16.4 Photometrie
- 16.5 Licht als Korpuskel
- Literatur

- 17 Anhang

- 17.1 Physikalische Größen und Einheiten

- 17.2 Zahlenwerte physikalischer Größen

- 17.1 Physikalische Größen und Einheiten

- 17.2 Zahlenwerte physikalischer Größen

10 Einführung

- 10.1 Physikalische Größen

- 10.2 SI-System

10.1 Physikalische Größen

10.2 SI-System

11 Mechanik

- 11.1 Kinematik des Massenpunktes
- 11.2 Dynamik
- 11.3 Elastische Verformung fester Körper

- 11.4 Mechanik der ruhenden Flüssigkeiten und Gase

- 11.5 Hydrodynamik

11.1 Kinematik des Massenpunktes
11.2 Dynamik
11.3 Elastische Verformung fester Körper

11.4 Mechanik der ruhenden Flüssigkeiten und Gase

11.5 Hydrodynamik

12 Thermodynamik

- 12.1 Grundbegriffe
- 12.2 Temperatur
- 12.3 Thermische Ausdehnung
- 12.4 Ideale Gase
- 12.5 Wärmeübertragung

12.1 Grundbegriffe
12.2 Temperatur
12.3 Thermische Ausdehnung
12.4 Ideale Gase
12.5 Wärmeübertragung

13 Schwingungen

- 13.1 Freie ungedämpfte harmonische Schwingungen

- 13.2 Gedämpfte Schwingungen
- 13.3 Erzwungene Schwingungen
- 13.4 Überlagerung harmonischer Schwingungen

13.1 Freie ungedämpfte harmonische Schwingungen

13.2 Gedämpfte Schwingungen
13.3 Erzwungene Schwingungen
13.4 Überlagerung harmonischer Schwingungen

14 Wellen

- 14.1 Harmonische Wellen
- 14.2 Huygens'sches Prinzip
- 14.3 Dopplereffekt

14.1 Harmonische Wellen
14.2 Huygens'sches Prinzip
14.3 Dopplereffekt

15 Akustik

- 15.1 Schallausbreitung
- 15.2 Reflexion, Transmission, Absorption
- 15.3 Ultraschall

15.1 Schallausbreitung
15.2 Reflexion, Transmission, Absorption
15.3 Ultraschall

16 Optik

- 16.1 Eigenschaften des Lichtes
- 16.2 Geometrische Optik
- 16.3 Wellenoptik
- 16.4 Photometrie
- 16.5 Licht als Korpuskel
- Literatur

16.1 Eigenschaften des Lichtes
16.2 Geometrische Optik
16.3 Wellenoptik
16.4 Photometrie
16.5 Licht als Korpuskel
Literatur

17 Anhang

- 17.1 Physikalische Größen und Einheiten

- 17.2 Zahlenwerte physikalischer Größen

17.1 Physikalische Größen und Einheiten

17.2 Zahlenwerte physikalischer Größen

Teil III Werkstoffkunde

- 18 Stoffe

- 18.1 Eigenschaften der Stoffe
- 18.2 Atombau und Periodensystem
- 18.3 Aufbau der festen Körper
- 18.4 Chemische Grundzusammenhänge
- 18.5 Elektrochemie

- 18.1 Eigenschaften der Stoffe
- 18.2 Atombau und Periodensystem
- 18.3 Aufbau der festen Körper
- 18.4 Chemische Grundzusammenhänge
- 18.5 Elektrochemie

- 19 Elektrische Leitfähigkeit

- 19.1 Leitungsmechanismus
- 19.2 Isolator
- 19.3 Halbleiter
- 19.4 Normalleiter
- 19.5 Supraleiter
- 19.6 Halleffekt

- 19.1 Leitungsmechanismus
- 19.2 Isolator
- 19.3 Halbleiter
- 19.4 Normalleiter
- 19.5 Supraleiter
- 19.6 Halleffekt

- 20 Elektrische Leiter

- 20.1 Normalleiter
- 20.2 Halbleiter
- 20.3 Supraleiter

- 20.1 Normalleiter
- 20.2 Halbleiter
- 20.3 Supraleiter

- 21 Magnetische Leitfähigkeit

- 21.1 Modellvorstellung
- 21.2 Verhalten von Materie im Magnetfeld
- 21.3 Magnetisierung
- 21.4 Magnetisierungskurve
- 21.5 Permeabilität

- 21.1 Modellvorstellung
- 21.2 Verhalten von Materie im Magnetfeld
- 21.3 Magnetisierung
- 21.4 Magnetisierungskurve
- 21.5 Permeabilität

- 22 Magnetika

- 22.1 Metalloxide (Ferrite)
- 22.2 Weichmagnetika
- 22.3 Hartmagnetika (Dauermagnete)

- 22.1 Metalloxide (Ferrite)
- 22.2 Weichmagnetika
- 22.3 Hartmagnetika (Dauermagnete)

- 23 Dielektrische Eigenschaften

- 23.1 Modellvorstellungen zur dielektrischen Polarisation

- 23.2 Dielektrische Materialeinteilung

- 23.3 Elektrische Materialeinteilung

- 23.1 Modellvorstellungen zur dielektrischen Polarisation

- 23.2 Dielektrische Materialeinteilung

- 23.3 Elektrische Materialeinteilung

- 24 Dielektrika

- 24.1 Natürliche anorganische Dielektrika
- 24.2 Natürliche organische Dielektrika
- 24.3 Künstliche anorganische Dielektrika
- 24.4 Künstliche organische Dielektrika
- 24.5 Silikone
- Literatur

- 24.1 Natürliche anorganische Dielektrika
- 24.2 Natürliche organische Dielektrika
- 24.3 Künstliche anorganische Dielektrika
- 24.4 Künstliche organische Dielektrika
- 24.5 Silikone
- Literatur

18 Stoffe

- 18.1 Eigenschaften der Stoffe
- 18.2 Atombau und Periodensystem
- 18.3 Aufbau der festen Körper
- 18.4 Chemische Grundzusammenhänge
- 18.5 Elektrochemie

18.1 Eigenschaften der Stoffe
18.2 Atombau und Periodensystem
18.3 Aufbau der festen Körper
18.4 Chemische Grundzusammenhänge
18.5 Elektrochemie

19 Elektrische Leitfähigkeit

- 19.1 Leitungsmechanismus
- 19.2 Isolator
- 19.3 Halbleiter
- 19.4 Normalleiter
- 19.5 Supraleiter
- 19.6 Halleffekt

19.1 Leitungsmechanismus
19.2 Isolator
19.3 Halbleiter
19.4 Normalleiter
19.5 Supraleiter
19.6 Halleffekt

20 Elektrische Leiter

- 20.1 Normalleiter
- 20.2 Halbleiter
- 20.3 Supraleiter

20.1 Normalleiter
20.2 Halbleiter
20.3 Supraleiter

21 Magnetische Leitfähigkeit

- 21.1 Modellvorstellung
- 21.2 Verhalten von Materie im Magnetfeld
- 21.3 Magnetisierung
- 21.4 Magnetisierungskurve
- 21.5 Permeabilität

21.1 Modellvorstellung
21.2 Verhalten von Materie im Magnetfeld
21.3 Magnetisierung
21.4 Magnetisierungskurve
21.5 Permeabilität

22 Magnetika

- 22.1 Metalloxide (Ferrite)
- 22.2 Weichmagnetika
- 22.3 Hartmagnetika (Dauermagnete)

22.1 Metalloxide (Ferrite)
22.2 Weichmagnetika
22.3 Hartmagnetika (Dauermagnete)

23 Dielektrische Eigenschaften

- 23.1 Modellvorstellungen zur dielektrischen Polarisation

- 23.2 Dielektrische Materialeinteilung

- 23.3 Elektrische Materialeinteilung

23.1 Modellvorstellungen zur dielektrischen Polarisation

23.2 Dielektrische Materialeinteilung

23.3 Elektrische Materialeinteilung

24 Dielektrika

- 24.1 Natürliche anorganische Dielektrika
- 24.2 Natürliche organische Dielektrika
- 24.3 Künstliche anorganische Dielektrika
- 24.4 Künstliche organische Dielektrika
- 24.5 Silikone
- Literatur

24.1 Natürliche anorganische Dielektrika
24.2 Natürliche organische Dielektrika
24.3 Künstliche anorganische Dielektrika
24.4 Künstliche organische Dielektrika
24.5 Silikone
Literatur

Teil IV Grundlagen der Elektrotechnik

25 Grundbegriffe

- 25.1 Aufbau der Atome
- 25.2 Ladungsträger
- 25.3 Spannung
- 25.4 Strom
- 25.5 Das Ohm'sche Gesetz
- 25.6 Spezifischer Widerstand, Leitfähigkeit

- 25.7 Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes von Metallen

25.1 Aufbau der Atome
25.2 Ladungsträger
25.3 Spannung
25.4 Strom
25.5 Das Ohm'sche Gesetz
25.6 Spezifischer Widerstand, Leitfähigkeit

25.7 Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes von Metallen

26 Der Gleichstromkreis

- 26.1 Zählpfeilsysteme
- 26.2 Kirchhoff'sche Gesetze
- 26.3 Schaltung von Widerständen
- 26.4 Reale Spannungsquelle
- 26.5 Ersatzstromquelle
- 26.6 Netzwerkberechnung
- 26.7 Energie, Leistung, Wirkungsgrad

26.1 Zählpfeilsysteme
26.2 Kirchhoff'sche Gesetze
26.3 Schaltung von Widerständen
26.4 Reale Spannungsquelle
26.5 Ersatzstromquelle
26.6 Netzwerkberechnung
26.7 Energie, Leistung, Wirkungsgrad

27 Das Elektrische Feld

- 27.1 Grundgrößen
- 27.2 Materie im elektrischen Feld
- 27.3 Kondensatoren

27.1 Grundgrößen
27.2 Materie im elektrischen Feld
27.3 Kondensatoren

28 Das Magnetische Feld

- 28.1 Feldlinien
- 28.2 Magnetische Grundgrößen
- 28.3 Kräfte im Magnetfeld
- 28.4 Energie des Magnetfeldes
- 28.5 Materie im Magnetfeld
- 28.6 Magnetische Kreise

28.1 Feldlinien
28.2 Magnetische Grundgrößen
28.3 Kräfte im Magnetfeld
28.4 Energie des Magnetfeldes
28.5 Materie im Magnetfeld
28.6 Magnetische Kreise

29 Induktion

- 29.1 Induktion bei Änderung der Fläche

- 29.2 Induktion bei Änderung des Magnetfeldes

- 29.3 Die Induktivität einer Spule

29.1 Induktion bei Änderung der Fläche
29.2 Induktion bei Änderung des Magnetfeldes
29.3 Die Induktivität einer Spule

30 Wechselstrom

- 30.1 Grundbegriffe des Wechselstroms

- 30.2 Grundschaltelemente im Wechselstromkreis

- 30.3 Schaltungen von Wechselstromwiderständen

- 30.4 Passive Filter

- 30.5 Schwingkreise

- 30.6 Leistung und Arbeit im Wechselstromkreis

30.1 Grundbegriffe des Wechselstroms
30.2 Grundschaltelemente im Wechselstromkreis
30.3 Schaltungen von Wechselstromwiderständen
30.4 Passive Filter
30.5 Schwingkreise
30.6 Leistung und Arbeit im Wechselstromkreis

31 Drehstrom

- 31.1 Erzeugung von mehrphasigem Wechselstrom

- 31.2 Phasenverkettung
- 31.3 Leistung des Dreiphasenstroms
- 31.4 Das unsymmetrische Dreiphasensystem
- Literatur

31.1 Erzeugung von mehrphasigem Wechselstrom
31.2 Phasenverkettung
31.3 Leistung des Dreiphasenstroms
31.4 Das unsymmetrische Dreiphasensystem
Literatur

25 Grundbegriffe

- 25.1 Aufbau der Atome
- 25.2 Ladungsträger
- 25.3 Spannung
- 25.4 Strom
- 25.5 Das Ohm'sche Gesetz
- 25.6 Spezifischer Widerstand, Leitfähigkeit

- 25.7 Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes von Metallen

25.1 Aufbau der Atome
25.2 Ladungsträger
25.3 Spannung
25.4 Strom
25.5 Das Ohm'sche Gesetz
25.6 Spezifischer Widerstand, Leitfähigkeit

25.7 Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes von Metallen

26 Der Gleichstromkreis

- 26.1 Zählpfeilsysteme
- 26.2 Kirchhoff'sche Gesetze
- 26.3 Schaltung von Widerständen
- 26.4 Reale Spannungsquelle
- 26.5 Ersatzstromquelle
- 26.6 Netzwerkberechnung
- 26.7 Energie, Leistung, Wirkungsgrad

26.1 Zählpfeilsysteme
26.2 Kirchhoff'sche Gesetze
26.3 Schaltung von Widerständen
26.4 Reale Spannungsquelle
26.5 Ersatzstromquelle
26.6 Netzwerkberechnung
26.7 Energie, Leistung, Wirkungsgrad

27 Das Elektrische Feld

- 27.1 Grundgrößen
- 27.2 Materie im elektrischen Feld
- 27.3 Kondensatoren

27.1 Grundgrößen
27.2 Materie im elektrischen Feld
27.3 Kondensatoren

28 Das Magnetische Feld

- 28.1 Feldlinien
- 28.2 Magnetische Grundgrößen
- 28.3 Kräfte im Magnetfeld
- 28.4 Energie des Magnetfeldes
- 28.5 Materie im Magnetfeld
- 28.6 Magnetische Kreise

28.1 Feldlinien
28.2 Magnetische Grundgrößen
28.3 Kräfte im Magnetfeld
28.4 Energie des Magnetfeldes
28.5 Materie im Magnetfeld
28.6 Magnetische Kreise

29 Induktion

- 29.1 Induktion bei Änderung der Fläche

- 29.2 Induktion bei Änderung des Magnetfeldes

- 29.3 Die Induktivität einer Spule

29.1 Induktion bei Änderung der Fläche
29.2 Induktion bei Änderung des Magnetfeldes
29.3 Die Induktivität einer Spule

30 Wechselstrom

- 30.1 Grundbegriffe des Wechselstroms

- 30.2 Grundschaltelemente im Wechselstromkreis

- 30.3 Schaltungen von Wechselstromwiderständen

- 30.4 Passive Filter

- 30.5 Schwingkreise

- 30.6 Leistung und Arbeit im Wechselstromkreis

30.1 Grundbegriffe des Wechselstroms
30.2 Grundschaltelemente im Wechselstromkreis
30.3 Schaltungen von Wechselstromwiderständen
30.4 Passive Filter
30.5 Schwingkreise
30.6 Leistung und Arbeit im Wechselstromkreis

31 Drehstrom

- 31.1 Erzeugung von mehrphasigem Wechselstrom

- 31.2 Phasenverkettung
- 31.3 Leistung des Dreiphasenstroms
- 31.4 Das unsymmetrische Dreiphasensystem
- Literatur

31.1 Erzeugung von mehrphasigem Wechselstrom
31.2 Phasenverkettung
31.3 Leistung des Dreiphasenstroms
31.4 Das unsymmetrische Dreiphasensystem
Literatur

Teil V Elektronik

32 Leitungsmechanismen bei Halbleitern, pn-Übergang

- 32.1 Einführung in die Halbleiterphysik

- 32.2 Der pn-Übergang

32.1 Einführung in die Halbleiterphysik

32.2 Der pn-Übergang

33 Dioden

- 33.1 Kennlinien

- 33.2 Kenndaten und Grenzwerte

- 33.3 Kennzeichnung von Halbleiter-Bauelementen

- 33.4 Diodenarten

- 33.5 Anwendungsschaltungen

33.1 Kennlinien

33.2 Kenndaten und Grenzwerte

33.3 Kennzeichnung von Halbleiter-Bauelementen

33.4 Diodenarten

33.5 Anwendungsschaltungen

34 Mehrschichtdioden und -trioden

- 34.1 Vierschichtdioden
- 34.2 Thyristoren
- 34.3 Diac
- 34.4 Triac
- 34.5 Schutz der Dioden und Trioden
- 34.6 Zündmethoden

34.1 Vierschichtdioden
34.2 Thyristoren
34.3 Diac
34.4 Triac
34.5 Schutz der Dioden und Trioden
34.6 Zündmethoden

35 Transistoren

- 35.1 Bipolare Transistoren

- 35.2 Feldeffekttransistoren (FET)

35.1 Bipolare Transistoren

35.2 Feldeffekttransistoren (FET)

36 Besondere Halbleiter-Bauelemente

- 36.1 Unijunction-Transistor (Doppelbasisdiode)

- 36.2 Darlington-Transistor
- 36.3 VMOS-Transistoren
- 36.4 SIPMOS-Transistoren
- 36.5 IGBT

36.1 Unijunction-Transistor (Doppelbasisdiode)

36.2 Darlington-Transistor
36.3 VMOS-Transistoren
36.4 SIPMOS-Transistoren
36.5 IGBT

37 Analoge Verstärker

- 37.1 Bipolarer Transistor als Verstärker
- 37.2 Feldeffekt-Transistor als Verstärker
- 37.3 Mehrstufige Verstärker

37.1 Bipolarer Transistor als Verstärker
37.2 Feldeffekt-Transistor als Verstärker
37.3 Mehrstufige Verstärker

38 Endstufen

- 38.1 Betriebsarten

- 38.2 Schaltungen

38.1 Betriebsarten

38.2 Schaltungen

39 Operationsverstärker

- 39.1 Einführung
- 39.2 Differenzverstärker
- 39.3 Grundlagen des OP
- 39.4 Operationsverstärker als Verstärker

39.1 Einführung
39.2 Differenzverstärker
39.3 Grundlagen des OP
39.4 Operationsverstärker als Verstärker

40 Elektronische Schalter, Kippstufen

- 40.1 Transistor als Schalter
- 40.2 Kippschaltungen mit Transistoren
- 40.3 Operationsverstärker als Schalter

- 40.4 Kippschaltungen mit Operationsverstärker

- 40.5 Zeitgeber 555

- 40.6 Trigger TCA 345 A

40.1 Transistor als Schalter
40.2 Kippschaltungen mit Transistoren
40.3 Operationsverstärker als Schalter
40.4 Kippschaltungen mit Operationsverstärker
40.5 Zeitgeber 555
40.6 Trigger TCA 345 A

41 Oszillatoren

- 41.1 Allgemeines
- 41.2 Sinusgeneratoren (RC-Oszillatoren)
- 41.3 Funktionsgeneratoren

41.1 Allgemeines
41.2 Sinusgeneratoren (RC-Oszillatoren)
41.3 Funktionsgeneratoren

42 Schaltungstechniken

- 42.1 Integrierte Schaltungen

- 42.2 SMD-Technik

42.1 Integrierte Schaltungen

42.2 SMD-Technik

43 Optoelektronik

- 43.1 Grundsätzliche Überlegungen
- 43.2 Optoelektronische Bauelemente
- 43.3 Anzeigeeinheiten
- 43.4 Signalübertragung mit Optokoppler
- 43.5 Faseroptische Übertragungsmittel

43.1 Grundsätzliche Überlegungen
43.2 Optoelektronische Bauelemente
43.3 Anzeigeeinheiten
43.4 Signalübertragung mit Optokoppler
43.5 Faseroptische Übertragungsmittel

44 Analog-Digital-Wandler

- 44.1 Grundlagen
- 44.2 Spannungs-Frequenz-Wandler
- 44.3 Sägezahnverfahren
- 44.4 Dual-Slope-Verfahren
- 44.5 Flash-Wandler
- 44.6 Wandler nach dem Wägeverfahren
- 44.7 Integrierte Wandler

44.1 Grundlagen
44.2 Spannungs-Frequenz-Wandler
44.3 Sägezahnverfahren
44.4 Dual-Slope-Verfahren
44.5 Flash-Wandler
44.6 Wandler nach dem Wägeverfahren
44.7 Integrierte Wandler

45 Digital-Analog-Wandler

- 45.1 Grundlagen
- 45.2 D/A-Wandler-Varianten
- 45.3 Integrierte Wandler

45.1 Grundlagen
45.2 D/A-Wandler-Varianten
45.3 Integrierte Wandler

32 Leitungsmechanismen bei Halbleitern, pn-Übergang

- 32.1 Einführung in die Halbleiterphysik

- 32.2 Der pn-Übergang

32.1 Einführung in die Halbleiterphysik

32.2 Der pn-Übergang

33 Dioden

- 33.1 Kennlinien

- 33.2 Kenndaten und Grenzwerte

- 33.3 Kennzeichnung von Halbleiter-Bauelementen

- 33.4 Diodenarten

- 33.5 Anwendungsschaltungen

33.1 Kennlinien

33.2 Kenndaten und Grenzwerte

33.3 Kennzeichnung von Halbleiter-Bauelementen

33.4 Diodenarten

33.5 Anwendungsschaltungen

34 Mehrschichtdioden und -trioden

- 34.1 Vierschichtdioden
- 34.2 Thyristoren
- 34.3 Diac
- 34.4 Triac
- 34.5 Schutz der Dioden und Trioden
- 34.6 Zündmethoden

34.1 Vierschichtdioden
34.2 Thyristoren
34.3 Diac
34.4 Triac
34.5 Schutz der Dioden und Trioden
34.6 Zündmethoden

35 Transistoren

- 35.1 Bipolare Transistoren

- 35.2 Feldeffekttransistoren (FET)

35.1 Bipolare Transistoren

35.2 Feldeffekttransistoren (FET)

36 Besondere Halbleiter-Bauelemente

- 36.1 Unijunction-Transistor (Doppelbasisdiode)

- 36.2 Darlington-Transistor
- 36.3 VMOS-Transistoren
- 36.4 SIPMOS-Transistoren
- 36.5 IGBT

36.1 Unijunction-Transistor (Doppelbasisdiode)

36.2 Darlington-Transistor
36.3 VMOS-Transistoren
36.4 SIPMOS-Transistoren
36.5 IGBT

37 Analoge Verstärker

- 37.1 Bipolarer Transistor als Verstärker
- 37.2 Feldeffekt-Transistor als Verstärker
- 37.3 Mehrstufige Verstärker

37.1 Bipolarer Transistor als Verstärker
37.2 Feldeffekt-Transistor als Verstärker
37.3 Mehrstufige Verstärker

38 Endstufen

- 38.1 Betriebsarten

- 38.2 Schaltungen

38.1 Betriebsarten

38.2 Schaltungen

39 Operationsverstärker

- 39.1 Einführung
- 39.2 Differenzverstärker
- 39.3 Grundlagen des OP
- 39.4 Operationsverstärker als Verstärker

39.1 Einführung
39.2 Differenzverstärker
39.3 Grundlagen des OP
39.4 Operationsverstärker als Verstärker

40 Elektronische Schalter, Kippstufen

- 40.1 Transistor als Schalter
- 40.2 Kippschaltungen mit Transistoren
- 40.3 Operationsverstärker als Schalter

- 40.4 Kippschaltungen mit Operationsverstärker

- 40.5 Zeitgeber 555

- 40.6 Trigger TCA 345 A

40.1 Transistor als Schalter
40.2 Kippschaltungen mit Transistoren
40.3 Operationsverstärker als Schalter
40.4 Kippschaltungen mit Operationsverstärker
40.5 Zeitgeber 555
40.6 Trigger TCA 345 A

41 Oszillatoren

- 41.1 Allgemeines
- 41.2 Sinusgeneratoren (RC-Oszillatoren)
- 41.3 Funktionsgeneratoren

41.1 Allgemeines
41.2 Sinusgeneratoren (RC-Oszillatoren)
41.3 Funktionsgeneratoren

42 Schaltungstechniken

- 42.1 Integrierte Schaltungen

- 42.2 SMD-Technik

42.1 Integrierte Schaltungen

42.2 SMD-Technik

43 Optoelektronik

- 43.1 Grundsätzliche Überlegungen
- 43.2 Optoelektronische Bauelemente
- 43.3 Anzeigeeinheiten
- 43.4 Signalübertragung mit Optokoppler
- 43.5 Faseroptische Übertragungsmittel

43.1 Grundsätzliche Überlegungen
43.2 Optoelektronische Bauelemente
43.3 Anzeigeeinheiten
43.4 Signalübertragung mit Optokoppler
43.5 Faseroptische Übertragungsmittel

44 Analog-Digital-Wandler

- 44.1 Grundlagen
- 44.2 Spannungs-Frequenz-Wandler
- 44.3 Sägezahnverfahren
- 44.4 Dual-Slope-Verfahren
- 44.5 Flash-Wandler
- 44.6 Wandler nach dem Wägeverfahren
- 44.7 Integrierte Wandler

44.1 Grundlagen
44.2 Spannungs-Frequenz-Wandler
44.3 Sägezahnverfahren
44.4 Dual-Slope-Verfahren
44.5 Flash-Wandler
44.6 Wandler nach dem Wägeverfahren
44.7 Integrierte Wandler

45 Digital-Analog-Wandler

- 45.1 Grundlagen
- 45.2 D/A-Wandler-Varianten
- 45.3 Integrierte Wandler

45.1 Grundlagen
45.2 D/A-Wandler-Varianten
45.3 Integrierte Wandler

Teil VI Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

- 46 Grundlagen der zeichnerischen Darstellung

- 46.1 Zeichengeräte
- 46.2 Normen für Technische Zeichnungen
- 46.3 Normteile und Konstruktionselemente
- 46.4 Nutzen der Normung

- 46.1 Zeichengeräte
- 46.2 Normen für Technische Zeichnungen
- 46.3 Normteile und Konstruktionselemente
- 46.4 Nutzen der Normung

- 47 Schaltungsunterlagen

- 47.1 Schaltzeichen nach DIN

- 47.2 Elektrische Betriebsmittel

- 47.3 Schaltungsunterlagen der Energietechnik

- 47.4 Schaltungsunterlagen der Elektronik

- 47.5 Projektierung

- 47.1 Schaltzeichen nach DIN

- 47.2 Elektrische Betriebsmittel

- 47.3 Schaltungsunterlagen der Energietechnik

- 47.4 Schaltungsunterlagen der Elektronik

- 47.5 Projektierung

- 48 Schaltungssynthese und -analyse

- 48.1 Beispiele aus der Elektrotechnik

- 48.2 Beispiele aus der Elektronik

- 48.1 Beispiele aus der Elektrotechnik

- 48.2 Beispiele aus der Elektronik

- 49 CAD-Technik

- 49.1 Allgemeines
- 49.2 Hardware und Software
- 49.3 Erstellen von Schaltplänen
- 49.4 Erstellen von Layouts
- 49.5 Anwendungen in der Elektronik
- 49.6 Auswahl von CAD-Systemen

- 49.1 Allgemeines
- 49.2 Hardware und Software
- 49.3 Erstellen von Schaltplänen
- 49.4 Erstellen von Layouts
- 49.5 Anwendungen in der Elektronik
- 49.6 Auswahl von CAD-Systemen

46 Grundlagen der zeichnerischen Darstellung

- 46.1 Zeichengeräte
- 46.2 Normen für Technische Zeichnungen
- 46.3 Normteile und Konstruktionselemente
- 46.4 Nutzen der Normung

46.1 Zeichengeräte
46.2 Normen für Technische Zeichnungen
46.3 Normteile und Konstruktionselemente
46.4 Nutzen der Normung

47 Schaltungsunterlagen

- 47.1 Schaltzeichen nach DIN

- 47.2 Elektrische Betriebsmittel

- 47.3 Schaltungsunterlagen der Energietechnik

- 47.4 Schaltungsunterlagen der Elektronik

- 47.5 Projektierung

47.1 Schaltzeichen nach DIN
47.2 Elektrische Betriebsmittel
47.3 Schaltungsunterlagen der Energietechnik
47.4 Schaltungsunterlagen der Elektronik
47.5 Projektierung

48 Schaltungssynthese und -analyse

- 48.1 Beispiele aus der Elektrotechnik

- 48.2 Beispiele aus der Elektronik

48.1 Beispiele aus der Elektrotechnik

48.2 Beispiele aus der Elektronik

49 CAD-Technik

- 49.1 Allgemeines
- 49.2 Hardware und Software
- 49.3 Erstellen von Schaltplänen
- 49.4 Erstellen von Layouts
- 49.5 Anwendungen in der Elektronik
- 49.6 Auswahl von CAD-Systemen

49.1 Allgemeines
49.2 Hardware und Software
49.3 Erstellen von Schaltplänen
49.4 Erstellen von Layouts
49.5 Anwendungen in der Elektronik
49.6 Auswahl von CAD-Systemen

Teil VII Datentechnik

50 Digitaltechnik

- 50.1 Grundbegiffe der Digitaltechnik
- 50.2 Logische Grundschaltungen
- 50.3 Schaltalgebra

- 50.4 Zahlensysteme in der Digital- und Datenverarbeitung

- 50.5 Codes

- 50.6 Digitale Grundschaltungen

50.1 Grundbegiffe der Digitaltechnik
50.2 Logische Grundschaltungen
50.3 Schaltalgebra

50.4 Zahlensysteme in der Digital- und Datenverarbeitung

50.5 Codes

50.6 Digitale Grundschaltungen

51 Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

- 51.1 Allgemeines

- 51.2 Umgang mit integrierten Schaltungen

- 51.3 Daten und Begriffe der Logikschaltungen

- 51.4 TTL-Familie
- 51.5 Emittergekoppelte Logik
- 51.6 Integrierte MOS-Schaltungen
- 51.7 Interfaceschaltungen

- 51.8 Anwendungsspezifische integrierte Schaltungen

- 51.9 Gehäuse

51.1 Allgemeines
51.2 Umgang mit integrierten Schaltungen
51.3 Daten und Begriffe der Logikschaltungen
51.4 TTL-Familie
51.5 Emittergekoppelte Logik
51.6 Integrierte MOS-Schaltungen
51.7 Interfaceschaltungen

51.8 Anwendungsspezifische integrierte Schaltungen

51.9 Gehäuse

52 Mikrocomputertechnik

- 52.1 Komponenten eines Mikrocomputers
- 52.2 Mikroprozessoren
- 52.3 Halbleiterspeicher
- 52.4 Peripheriebausteine
- 52.5 Mikrocontroller
- 52.6 Maschinensprache
- 52.7 Befehlsvorrat

- 52.8 Hinweise zur Programmierung und Progammbeispiele

52.1 Komponenten eines Mikrocomputers
52.2 Mikroprozessoren
52.3 Halbleiterspeicher
52.4 Peripheriebausteine
52.5 Mikrocontroller
52.6 Maschinensprache
52.7 Befehlsvorrat

52.8 Hinweise zur Programmierung und Progammbeispiele

53 Computertechnik

- 53.1 Komponenten eines Computers
- 53.2 Massenspeicher
- 53.3 Eingabegeräte
- 53.4 Ausgabegeräte

53.1 Komponenten eines Computers
53.2 Massenspeicher
53.3 Eingabegeräte
53.4 Ausgabegeräte

54 Programmiertechnik

- 54.1 Programmiersprachen

- 54.2 Grundlagen der Programmierung

54.1 Programmiersprachen

54.2 Grundlagen der Programmierung

55 Datenkommunikation

- 55.1 Einführung
- 55.2 Computernetzwerke
- 55.3 Einteilung von Netzwerken
- 55.4 Netzwerk-Topologien
- 55.5 Das OSI-Referenzmodell
- 55.6 Industrial Ethernet
- Literatur

55.1 Einführung
55.2 Computernetzwerke
55.3 Einteilung von Netzwerken
55.4 Netzwerk-Topologien
55.5 Das OSI-Referenzmodell
55.6 Industrial Ethernet
Literatur

50 Digitaltechnik

- 50.1 Grundbegiffe der Digitaltechnik
- 50.2 Logische Grundschaltungen
- 50.3 Schaltalgebra

- 50.4 Zahlensysteme in der Digital- und Datenverarbeitung

- 50.5 Codes

- 50.6 Digitale Grundschaltungen

50.1 Grundbegiffe der Digitaltechnik
50.2 Logische Grundschaltungen
50.3 Schaltalgebra

50.4 Zahlensysteme in der Digital- und Datenverarbeitung

50.5 Codes

50.6 Digitale Grundschaltungen

51 Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

- 51.1 Allgemeines

- 51.2 Umgang mit integrierten Schaltungen

- 51.3 Daten und Begriffe der Logikschaltungen

- 51.4 TTL-Familie
- 51.5 Emittergekoppelte Logik
- 51.6 Integrierte MOS-Schaltungen
- 51.7 Interfaceschaltungen

- 51.8 Anwendungsspezifische integrierte Schaltungen

- 51.9 Gehäuse

51.1 Allgemeines
51.2 Umgang mit integrierten Schaltungen
51.3 Daten und Begriffe der Logikschaltungen
51.4 TTL-Familie
51.5 Emittergekoppelte Logik
51.6 Integrierte MOS-Schaltungen
51.7 Interfaceschaltungen

51.8 Anwendungsspezifische integrierte Schaltungen

51.9 Gehäuse

52 Mikrocomputertechnik

- 52.1 Komponenten eines Mikrocomputers
- 52.2 Mikroprozessoren
- 52.3 Halbleiterspeicher
- 52.4 Peripheriebausteine
- 52.5 Mikrocontroller
- 52.6 Maschinensprache
- 52.7 Befehlsvorrat

- 52.8 Hinweise zur Programmierung und Progammbeispiele

52.1 Komponenten eines Mikrocomputers
52.2 Mikroprozessoren
52.3 Halbleiterspeicher
52.4 Peripheriebausteine
52.5 Mikrocontroller
52.6 Maschinensprache
52.7 Befehlsvorrat

52.8 Hinweise zur Programmierung und Progammbeispiele

53 Computertechnik

- 53.1 Komponenten eines Computers
- 53.2 Massenspeicher
- 53.3 Eingabegeräte
- 53.4 Ausgabegeräte

53.1 Komponenten eines Computers
53.2 Massenspeicher
53.3 Eingabegeräte
53.4 Ausgabegeräte

54 Programmiertechnik

- 54.1 Programmiersprachen

- 54.2 Grundlagen der Programmierung

54.1 Programmiersprachen

54.2 Grundlagen der Programmierung

55 Datenkommunikation

- 55.1 Einführung
- 55.2 Computernetzwerke
- 55.3 Einteilung von Netzwerken
- 55.4 Netzwerk-Topologien
- 55.5 Das OSI-Referenzmodell
- 55.6 Industrial Ethernet
- Literatur

55.1 Einführung
55.2 Computernetzwerke
55.3 Einteilung von Netzwerken
55.4 Netzwerk-Topologien
55.5 Das OSI-Referenzmodell
55.6 Industrial Ethernet
Literatur

Teil VIII Automatisierungstechnik

56 Einführung

57 Automatisierungsgeräte

58 Grundzüge der SPS-Norm IEC 61131-3

- 58.1 Programmorganisationskonzept
- 58.2 Deklaration von FB- und FC-Bausteinen
- 58.3 Variablen
- 58.4 Programmiersprachen

58.1 Programmorganisationskonzept
58.2 Deklaration von FB- und FC-Bausteinen
58.3 Variablen
58.4 Programmiersprachen

59 Programmstrukturen

- 59.1 Lineares Programm
- 59.2 Gegliedertes Programm
- 59.3 Parametrierbares Programm

59.1 Lineares Programm
59.2 Gegliedertes Programm
59.3 Parametrierbares Programm

60 Eingabe- und Ausgabesignale

- 60.1 Binäre Signale
- 60.2 Digitale Signale
- 60.3 Analoge Signale

60.1 Binäre Signale
60.2 Digitale Signale
60.3 Analoge Signale
61 Eingabe-/Ausgabebaugruppen

62 Verknüpfungssteuerungen

- 62.1 Logische Grundverknüpfungen in verschiedenen Darstellungen

- 62.2 Zusammengesetzte logische Grundverknüpfungen

- 62.3 Schließer- und Öffnerkontakte, Drahtbruchsicherheit, Erdschlussgefahr

- 62.4 Speicherfunktionen

- 62.5 Flankenauswertung

- 62.6 Darstellung und Eigenschaften elektropneumatischer Stellglieder

- 62.7 Regeln für das Umsetzen von Schützschaltungen in SPS-Programme

- 62.8 Zeitfunktionen
- 62.9 Zählerfunktionen
- 62.10 Vergleichsfunktionen
- 62.11 MOVE-Funktion
- 62.12 EN/ENO-Mechanismus

62.1 Logische Grundverknüpfungen in verschiedenen Darstellungen

62.2 Zusammengesetzte logische Grundverknüpfungen

62.3 Schließer- und Öffnerkontakte, Drahtbruchsicherheit, Erdschlussgefahr

62.4 Speicherfunktionen

62.5 Flankenauswertung

62.6 Darstellung und Eigenschaften elektropneumatischer Stellglieder

62.7 Regeln für das Umsetzen von Schützschaltungen in SPS-Programme

62.8 Zeitfunktionen
62.9 Zählerfunktionen
62.10 Vergleichsfunktionen
62.11 MOVE-Funktion
62.12 EN/ENO-Mechanismus

63 Aufruf und Wertübergaben zwischen Bausteinen nach IEC 61131-3

- 63.1 Aufrufhierarchie der Bausteine P, FB und FC

- 63.2 Aufruf von Funktionsbausteinen in FBS
- 63.3 Aufruf von Funktionsbausteinen in AWL
- 63.4 Aufruf von Funktionen in AWL

63.1 Aufrufhierarchie der Bausteine P, FB und FC

63.2 Aufruf von Funktionsbausteinen in FBS
63.3 Aufruf von Funktionsbausteinen in AWL
63.4 Aufruf von Funktionen in AWL

64 Ablaufsteuerung

- 64.1 Ablauf-Funktionsplan

- 64.2 Grafische Darstellung von Ablaufsteuerungsfunktionen

- 64.3 Betriebsartenteil und Bedienfeld

64.1 Ablauf-Funktionsplan

64.2 Grafische Darstellung von Ablaufsteuerungsfunktionen

64.3 Betriebsartenteil und Bedienfeld

65 Kommunikation in Automatisierungssystemen

- 65.1 Bussysteme

- 65.2 PROFINET – Offener Industrial Ethernet Standard

- 65.3 OPC-Technologie

65.1 Bussysteme

65.2 PROFINET – Offener Industrial Ethernet Standard

65.3 OPC-Technologie

66 Steuerungssicherheit

- 66.1 Europäische Richtlinien und Sicherheitsnormen

- 66.2 Sicherheitsbegriff

66.1 Europäische Richtlinien und Sicherheitsnormen

66.2 Sicherheitsbegriff

67 Regelungstechnische Grundbegriffe der Automatisierungstechnik

- 67.1 Unterschied zwischen Steuern und Regeln, regelungstechnische Größen

- 67.2 Regler-Technologien

67.1 Unterschied zwischen Steuern und Regeln, regelungstechnische Größen

67.2 Regler-Technologien

68 Regelstrecken

- 68.1 Beispiele für Regelstrecken

- 68.2 Beschreibungsmittel zur Darstellung von Regelstreckeneigenschaften

68.1 Beispiele für Regelstrecken

68.2 Beschreibungsmittel zur Darstellung von Regelstreckeneigenschaften

69 Regler

- 69.1 P-Regler, P-Regelfunktion
- 69.2 I-Regler, I-Regelfunktion
- 69.3 PI-Regler, PI-Regelfunktion
- 69.4 PID-Regler, PID-Regelfunktion

- 69.5 Vergleich der verschiedenen Reglertypen

- 69.6 PID-Reglerbaustein für digitale Abtastregelung

- 69.7 SPS als kontinuierlicher PID-Abtastregler

- 69.8 Digitaler Schrittregler mit PI-Verhalten

- 69.9 Zweipunktregler, Zweipunkt-Regelfunktion

- 69.10 Regelgüte

- Literatur

69.1 P-Regler, P-Regelfunktion
69.2 I-Regler, I-Regelfunktion
69.3 PI-Regler, PI-Regelfunktion
69.4 PID-Regler, PID-Regelfunktion
69.5 Vergleich der verschiedenen Reglertypen

69.6 PID-Reglerbaustein für digitale Abtastregelung

69.7 SPS als kontinuierlicher PID-Abtastregler

69.8 Digitaler Schrittregler mit PI-Verhalten
69.9 Zweipunktregler, Zweipunkt-Regelfunktion
69.10 Regelgüte
Literatur
56 Einführung
57 Automatisierungsgeräte

58 Grundzüge der SPS-Norm IEC 61131-3

- 58.1 Programmorganisationskonzept
- 58.2 Deklaration von FB- und FC-Bausteinen
- 58.3 Variablen
- 58.4 Programmiersprachen

58.1 Programmorganisationskonzept
58.2 Deklaration von FB- und FC-Bausteinen
58.3 Variablen
58.4 Programmiersprachen

59 Programmstrukturen

- 59.1 Lineares Programm
- 59.2 Gegliedertes Programm
- 59.3 Parametrierbares Programm

59.1 Lineares Programm
59.2 Gegliedertes Programm
59.3 Parametrierbares Programm

60 Eingabe- und Ausgabesignale

- 60.1 Binäre Signale
- 60.2 Digitale Signale
- 60.3 Analoge Signale

60.1 Binäre Signale
60.2 Digitale Signale
60.3 Analoge Signale
61 Eingabe-/Ausgabebaugruppen

62 Verknüpfungssteuerungen

- 62.1 Logische Grundverknüpfungen in verschiedenen Darstellungen

- 62.2 Zusammengesetzte logische Grundverknüpfungen

- 62.3 Schließer- und Öffnerkontakte, Drahtbruchsicherheit, Erdschlussgefahr

- 62.4 Speicherfunktionen

- 62.5 Flankenauswertung

- 62.6 Darstellung und Eigenschaften elektropneumatischer Stellglieder

- 62.7 Regeln für das Umsetzen von Schützschaltungen in SPS-Programme

- 62.8 Zeitfunktionen
- 62.9 Zählerfunktionen
- 62.10 Vergleichsfunktionen
- 62.11 MOVE-Funktion
- 62.12 EN/ENO-Mechanismus

62.1 Logische Grundverknüpfungen in verschiedenen Darstellungen

62.2 Zusammengesetzte logische Grundverknüpfungen

62.3 Schließer- und Öffnerkontakte, Drahtbruchsicherheit, Erdschlussgefahr

62.4 Speicherfunktionen

62.5 Flankenauswertung

62.6 Darstellung und Eigenschaften elektropneumatischer Stellglieder

62.7 Regeln für das Umsetzen von Schützschaltungen in SPS-Programme

62.8 Zeitfunktionen
62.9 Zählerfunktionen
62.10 Vergleichsfunktionen
62.11 MOVE-Funktion
62.12 EN/ENO-Mechanismus

63 Aufruf und Wertübergaben zwischen Bausteinen nach IEC 61131-3

- 63.1 Aufrufhierarchie der Bausteine P, FB und FC

- 63.2 Aufruf von Funktionsbausteinen in FBS
- 63.3 Aufruf von Funktionsbausteinen in AWL
- 63.4 Aufruf von Funktionen in AWL

63.1 Aufrufhierarchie der Bausteine P, FB und FC

63.2 Aufruf von Funktionsbausteinen in FBS
63.3 Aufruf von Funktionsbausteinen in AWL
63.4 Aufruf von Funktionen in AWL

64 Ablaufsteuerung

- 64.1 Ablauf-Funktionsplan

- 64.2 Grafische Darstellung von Ablaufsteuerungsfunktionen

- 64.3 Betriebsartenteil und Bedienfeld

64.1 Ablauf-Funktionsplan

64.2 Grafische Darstellung von Ablaufsteuerungsfunktionen

64.3 Betriebsartenteil und Bedienfeld

65 Kommunikation in Automatisierungssystemen

- 65.1 Bussysteme

- 65.2 PROFINET – Offener Industrial Ethernet Standard

- 65.3 OPC-Technologie

65.1 Bussysteme

65.2 PROFINET – Offener Industrial Ethernet Standard

65.3 OPC-Technologie

66 Steuerungssicherheit

- 66.1 Europäische Richtlinien und Sicherheitsnormen

- 66.2 Sicherheitsbegriff

66.1 Europäische Richtlinien und Sicherheitsnormen

66.2 Sicherheitsbegriff

67 Regelungstechnische Grundbegriffe der Automatisierungstechnik

- 67.1 Unterschied zwischen Steuern und Regeln, regelungstechnische Größen

- 67.2 Regler-Technologien

67.1 Unterschied zwischen Steuern und Regeln, regelungstechnische Größen

67.2 Regler-Technologien

68 Regelstrecken

- 68.1 Beispiele für Regelstrecken

- 68.2 Beschreibungsmittel zur Darstellung von Regelstreckeneigenschaften

68.1 Beispiele für Regelstrecken

68.2 Beschreibungsmittel zur Darstellung von Regelstreckeneigenschaften

69 Regler

- 69.1 P-Regler, P-Regelfunktion
- 69.2 I-Regler, I-Regelfunktion
- 69.3 PI-Regler, PI-Regelfunktion
- 69.4 PID-Regler, PID-Regelfunktion

- 69.5 Vergleich der verschiedenen Reglertypen

- 69.6 PID-Reglerbaustein für digitale Abtastregelung

- 69.7 SPS als kontinuierlicher PID-Abtastregler

- 69.8 Digitaler Schrittregler mit PI-Verhalten

- 69.9 Zweipunktregler, Zweipunkt-Regelfunktion

- 69.10 Regelgüte

- Literatur

69.1 P-Regler, P-Regelfunktion
69.2 I-Regler, I-Regelfunktion
69.3 PI-Regler, PI-Regelfunktion
69.4 PID-Regler, PID-Regelfunktion
69.5 Vergleich der verschiedenen Reglertypen

69.6 PID-Reglerbaustein für digitale Abtastregelung

69.7 SPS als kontinuierlicher PID-Abtastregler

69.8 Digitaler Schrittregler mit PI-Verhalten
69.9 Zweipunktregler, Zweipunkt-Regelfunktion
69.10 Regelgüte
Literatur

Teil IX Regelungstechnik

- 70 Einführung

- 71 Strukturbild und Übertragungsglieder

- 71.1 Strukturbild

- 71.2 Übertragungsglieder

- 71.3 Klassifikation von Übertragungsgliedern

- 71.4 Beschreibung von Übertragungsgliedern um einen Arbeitspunkt

- 71.5 Impulsantwort und Sprungantwort einfacher Übertragungsglieder

- 71.1 Strukturbild

- 71.2 Übertragungsglieder

- 71.3 Klassifikation von Übertragungsgliedern

- 71.4 Beschreibung von Übertragungsgliedern um einen Arbeitspunkt

- 71.5 Impulsantwort und Sprungantwort einfacher Übertragungsglieder

- 72 Übertragungsverhalten linearer, zeitinvarianterÜbertragungsglieder

- 72.1 Übertragungsfunktion

- 72.2 Frequenzgangfunktion

- 72.3 Frequenzkennlinien elementarer Übertragungsfunktionen

- 72.1 Übertragungsfunktion

- 72.2 Frequenzgangfunktion

- 72.3 Frequenzkennlinien elementarer Übertragungsfunktionen

- 73 Stabilität

- 73.1 Definition der Stabilität

- 73.2 Stabilitätskriterien

- 73.1 Definition der Stabilität

- 73.2 Stabilitätskriterien

- 74 Entwurf von Regelkreisen

- 74.1 Forderungen an die Regelung

- 74.2 Reglertypen

- 74.3 Faustregeln für die Wahl der Reglerstruktur und der Reglerparameter

- 74.4 Reglerentwurf mit dem Frequenzkennlinienverfahren

- 74.5 Einstellregeln bei speziellen Regelstrecken

- Literatur

- 74.1 Forderungen an die Regelung

- 74.2 Reglertypen

- 74.3 Faustregeln für die Wahl der Reglerstruktur und der Reglerparameter

- 74.4 Reglerentwurf mit dem Frequenzkennlinienverfahren

- 74.5 Einstellregeln bei speziellen Regelstrecken

- Literatur

70 Einführung

71 Strukturbild und Übertragungsglieder

- 71.1 Strukturbild

- 71.2 Übertragungsglieder

- 71.3 Klassifikation von Übertragungsgliedern

- 71.4 Beschreibung von Übertragungsgliedern um einen Arbeitspunkt

- 71.5 Impulsantwort und Sprungantwort einfacher Übertragungsglieder

71.1 Strukturbild
71.2 Übertragungsglieder
71.3 Klassifikation von Übertragungsgliedern

71.4 Beschreibung von Übertragungsgliedern um einen Arbeitspunkt

71.5 Impulsantwort und Sprungantwort einfacher Übertragungsglieder

72 Übertragungsverhalten linearer, zeitinvarianterÜbertragungsglieder

- 72.1 Übertragungsfunktion

- 72.2 Frequenzgangfunktion

- 72.3 Frequenzkennlinien elementarer Übertragungsfunktionen

72.1 Übertragungsfunktion

72.2 Frequenzgangfunktion

72.3 Frequenzkennlinien elementarer Übertragungsfunktionen

73 Stabilität

- 73.1 Definition der Stabilität

- 73.2 Stabilitätskriterien

73.1 Definition der Stabilität

73.2 Stabilitätskriterien

74 Entwurf von Regelkreisen

- 74.1 Forderungen an die Regelung

- 74.2 Reglertypen

- 74.3 Faustregeln für die Wahl der Reglerstruktur und der Reglerparameter

- 74.4 Reglerentwurf mit dem Frequenzkennlinienverfahren

- 74.5 Einstellregeln bei speziellen Regelstrecken

- Literatur

74.1 Forderungen an die Regelung

74.2 Reglertypen

74.3 Faustregeln für die Wahl der Reglerstruktur und der Reglerparameter

74.4 Reglerentwurf mit dem Frequenzkennlinienverfahren

74.5 Einstellregeln bei speziellen Regelstrecken

Literatur

Teil X Messtechnik

75 Grundlagen und Grundbegriffe der Messtechnik

- 75.1 Begriffe
- 75.2 Einheiten
- 75.3 Messabweichung, Messfehler

- 75.4 Abweichungsfortpflanzung, Fehlerfortpflanzung

- 75.5 Fehlerangaben von Messgeräten

- 75.6 Arithmetischer Mittelwert und Effektivwert von Wechselgrößen

- 75.7 Häufigkeitsverteilung, Vertrauensbereich

- 75.8 Bearbeitung und Auswertung von Messwerten

75.1 Begriffe
75.2 Einheiten
75.3 Messabweichung, Messfehler

75.4 Abweichungsfortpflanzung, Fehlerfortpflanzung

75.5 Fehlerangaben von Messgeräten

75.6 Arithmetischer Mittelwert und Effektivwert von Wechselgrößen

75.7 Häufigkeitsverteilung, Vertrauensbereich

75.8 Bearbeitung und Auswertung von Messwerten

76 Analog anzeigende Messgeräte

- 76.1 Grundlagen
- 76.2 Drehspul-Messwerk
- 76.3 Dreheisen-Messwerk
- 76.4 Elektrodynamisches Messwerk
- 76.5 Symbole und Instrumentenbeschriftungen

76.1 Grundlagen
76.2 Drehspul-Messwerk
76.3 Dreheisen-Messwerk
76.4 Elektrodynamisches Messwerk
76.5 Symbole und Instrumentenbeschriftungen

77 Oszilloskop

- 77.1 Übersicht
- 77.2 Aufbau eines Oszilloskopes
- 77.3 Zusatzeinrichtungen

77.1 Übersicht
77.2 Aufbau eines Oszilloskopes
77.3 Zusatzeinrichtungen

78 Schreibende Messgeräte

- 78.1 Betriebsarten

- 78.2 Schreibstiftauslenkung

78.1 Betriebsarten

78.2 Schreibstiftauslenkung

79 Digital anzeigende Messgeräte

- 79.1 Digitalvoltmeter

- 79.2 Digitalmultimeter

- 79.3 Messung von Kapazitäten, Frequenzen und Stromverstärkungen

- 79.4 Messung von Temperaturen

79.1 Digitalvoltmeter

79.2 Digitalmultimeter

79.3 Messung von Kapazitäten, Frequenzen und Stromverstärkungen

79.4 Messung von Temperaturen

80 Messverfahren zur Messung elektrischer Größen

- 80.1 Messung von Gleichspannungen
- 80.2 Messung von Gleichströmen
- 80.3 Messbereichserweiterung
- 80.4 Messung von Wechselspannungen
- 80.5 Messung von Wechselströmen
- 80.6 Widerstands- und Impedanzmessung
- 80.7 Leistungsmessung
- 80.8 Messung der Arbeit

- 80.9 Messung von L, C, Gütefaktor und Verlustfaktor

- 80.10 Messung magnetischer Größen

80.1 Messung von Gleichspannungen
80.2 Messung von Gleichströmen
80.3 Messbereichserweiterung
80.4 Messung von Wechselspannungen
80.5 Messung von Wechselströmen
80.6 Widerstands- und Impedanzmessung
80.7 Leistungsmessung
80.8 Messung der Arbeit

80.9 Messung von L, C, Gütefaktor und Verlustfaktor

80.10 Messung magnetischer Größen

81 Messverfahren zur Messung nichtelektrischer Größen

- 81.1 Messaufnehmer

- 81.2 Messverfahren

81.1 Messaufnehmer

81.2 Messverfahren

82 Messdatenaufbereitung

- 82.1 Verringerung der Störeinflüsse von außen

- 82.2 Messverstärker

82.1 Verringerung der Störeinflüsse von außen

82.2 Messverstärker

83 Bussysteme für die Messtechnik

- 83.1 Grundbegriffe
- 83.2 IEC-Bus
- 83.3 DIN-Messbus
- 83.4 Aktuator-Sensor-Interface (ASI)
- 83.5 CAN-BUS
- 83.6 USB-Übertragung
- 83.7 LAN (Local Area Network)

83.1 Grundbegriffe
83.2 IEC-Bus
83.3 DIN-Messbus
83.4 Aktuator-Sensor-Interface (ASI)
83.5 CAN-BUS
83.6 USB-Übertragung
83.7 LAN (Local Area Network)

84 Probleme bei der Digitalisierung analoger Messwerte

- 84.1 Fehler bei der Digitalisierung

- 84.2 Signal-Quantisierungs-Geräuschabstand

- 84.3 Verbesserung des Signal-Rausch-Verhältnisses

- 84.4 Abtast-Halte-Glied
- 84.5 Aliasing
- 84.6 Erfassung von Momentanwerten

84.1 Fehler bei der Digitalisierung

84.2 Signal-Quantisierungs-Geräuschabstand

84.3 Verbesserung des Signal-Rausch-Verhältnisses

84.4 Abtast-Halte-Glied
84.5 Aliasing
84.6 Erfassung von Momentanwerten

85 PC-gestützte Messverfahren und Messsignalanalyse

- 85.1 Statistische Verfahren zur Messsignalauswertung

- 85.2 Graphische Darstellung
- 85.3 Ermittlung von Kenngrößen, Klassierung
- 85.4 Messsignalanalyse
- 85.5 Automatisierung von Messabläufen
- Literatur

85.1 Statistische Verfahren zur Messsignalauswertung

85.2 Graphische Darstellung
85.3 Ermittlung von Kenngrößen, Klassierung
85.4 Messsignalanalyse
85.5 Automatisierung von Messabläufen
Literatur

75 Grundlagen und Grundbegriffe der Messtechnik

- 75.1 Begriffe
- 75.2 Einheiten
- 75.3 Messabweichung, Messfehler

- 75.4 Abweichungsfortpflanzung, Fehlerfortpflanzung

- 75.5 Fehlerangaben von Messgeräten

- 75.6 Arithmetischer Mittelwert und Effektivwert von Wechselgrößen

- 75.7 Häufigkeitsverteilung, Vertrauensbereich

- 75.8 Bearbeitung und Auswertung von Messwerten

75.1 Begriffe
75.2 Einheiten
75.3 Messabweichung, Messfehler

75.4 Abweichungsfortpflanzung, Fehlerfortpflanzung

75.5 Fehlerangaben von Messgeräten

75.6 Arithmetischer Mittelwert und Effektivwert von Wechselgrößen

75.7 Häufigkeitsverteilung, Vertrauensbereich

75.8 Bearbeitung und Auswertung von Messwerten

76 Analog anzeigende Messgeräte

- 76.1 Grundlagen
- 76.2 Drehspul-Messwerk
- 76.3 Dreheisen-Messwerk
- 76.4 Elektrodynamisches Messwerk
- 76.5 Symbole und Instrumentenbeschriftungen

76.1 Grundlagen
76.2 Drehspul-Messwerk
76.3 Dreheisen-Messwerk
76.4 Elektrodynamisches Messwerk
76.5 Symbole und Instrumentenbeschriftungen

77 Oszilloskop

- 77.1 Übersicht
- 77.2 Aufbau eines Oszilloskopes
- 77.3 Zusatzeinrichtungen

77.1 Übersicht
77.2 Aufbau eines Oszilloskopes
77.3 Zusatzeinrichtungen

78 Schreibende Messgeräte

- 78.1 Betriebsarten

- 78.2 Schreibstiftauslenkung

78.1 Betriebsarten

78.2 Schreibstiftauslenkung

79 Digital anzeigende Messgeräte

- 79.1 Digitalvoltmeter

- 79.2 Digitalmultimeter

- 79.3 Messung von Kapazitäten, Frequenzen und Stromverstärkungen

- 79.4 Messung von Temperaturen

79.1 Digitalvoltmeter

79.2 Digitalmultimeter

79.3 Messung von Kapazitäten, Frequenzen und Stromverstärkungen

79.4 Messung von Temperaturen

80 Messverfahren zur Messung elektrischer Größen

- 80.1 Messung von Gleichspannungen
- 80.2 Messung von Gleichströmen
- 80.3 Messbereichserweiterung
- 80.4 Messung von Wechselspannungen
- 80.5 Messung von Wechselströmen
- 80.6 Widerstands- und Impedanzmessung
- 80.7 Leistungsmessung
- 80.8 Messung der Arbeit

- 80.9 Messung von L, C, Gütefaktor und Verlustfaktor

- 80.10 Messung magnetischer Größen

80.1 Messung von Gleichspannungen
80.2 Messung von Gleichströmen
80.3 Messbereichserweiterung
80.4 Messung von Wechselspannungen
80.5 Messung von Wechselströmen
80.6 Widerstands- und Impedanzmessung
80.7 Leistungsmessung
80.8 Messung der Arbeit

80.9 Messung von L, C, Gütefaktor und Verlustfaktor

80.10 Messung magnetischer Größen

81 Messverfahren zur Messung nichtelektrischer Größen

- 81.1 Messaufnehmer

- 81.2 Messverfahren

81.1 Messaufnehmer

81.2 Messverfahren

82 Messdatenaufbereitung

- 82.1 Verringerung der Störeinflüsse von außen

- 82.2 Messverstärker

82.1 Verringerung der Störeinflüsse von außen

82.2 Messverstärker

83 Bussysteme für die Messtechnik

- 83.1 Grundbegriffe
- 83.2 IEC-Bus
- 83.3 DIN-Messbus
- 83.4 Aktuator-Sensor-Interface (ASI)
- 83.5 CAN-BUS
- 83.6 USB-Übertragung
- 83.7 LAN (Local Area Network)

83.1 Grundbegriffe
83.2 IEC-Bus
83.3 DIN-Messbus
83.4 Aktuator-Sensor-Interface (ASI)
83.5 CAN-BUS
83.6 USB-Übertragung
83.7 LAN (Local Area Network)

84 Probleme bei der Digitalisierung analoger Messwerte

- 84.1 Fehler bei der Digitalisierung

- 84.2 Signal-Quantisierungs-Geräuschabstand

- 84.3 Verbesserung des Signal-Rausch-Verhältnisses

- 84.4 Abtast-Halte-Glied
- 84.5 Aliasing
- 84.6 Erfassung von Momentanwerten

84.1 Fehler bei der Digitalisierung

84.2 Signal-Quantisierungs-Geräuschabstand

84.3 Verbesserung des Signal-Rausch-Verhältnisses

84.4 Abtast-Halte-Glied
84.5 Aliasing
84.6 Erfassung von Momentanwerten

85 PC-gestützte Messverfahren und Messsignalanalyse

- 85.1 Statistische Verfahren zur Messsignalauswertung

- 85.2 Graphische Darstellung
- 85.3 Ermittlung von Kenngrößen, Klassierung
- 85.4 Messsignalanalyse
- 85.5 Automatisierung von Messabläufen
- Literatur

85.1 Statistische Verfahren zur Messsignalauswertung

85.2 Graphische Darstellung
85.3 Ermittlung von Kenngrößen, Klassierung
85.4 Messsignalanalyse
85.5 Automatisierung von Messabläufen
Literatur

Teil XI Energietechnik

- 86 Elektrische Maschinen

- 86.1 Transformatoren
- 86.2 Drehstrommaschinen
- 86.3 Einphasen-Asynchronmotoren
- 86.4 Drehstrommotor im Einphasenbetrieb
- 86.5 Sonderbauformen
- 86.6 Gleichstrommaschinen
- 86.7 Auswahl von Motoren
- Literatur

- 86.1 Transformatoren
- 86.2 Drehstrommaschinen
- 86.3 Einphasen-Asynchronmotoren
- 86.4 Drehstrommotor im Einphasenbetrieb
- 86.5 Sonderbauformen
- 86.6 Gleichstrommaschinen
- 86.7 Auswahl von Motoren
- Literatur

- 87 Elektrische Energieversorgung

- 87.1 Energiewirtschaftliche Rahmenbedingungen

- 87.2 Elektrische Energieerzeugung

- 87.3 Elektrische Energieübertragung und Energieverteilung

- 87.4 Elektrische Betriebsmittel

- Literatur

- 87.1 Energiewirtschaftliche Rahmenbedingungen

- 87.2 Elektrische Energieerzeugung

- 87.3 Elektrische Energieübertragung und Energieverteilung

- 87.4 Elektrische Betriebsmittel

- Literatur

- 88 Elektrische Energieanwendung

- 88.1 Kompensationsanlagen
- 88.2 Beleuchtungsanlagen
- Literatur

- 88.1 Kompensationsanlagen
- 88.2 Beleuchtungsanlagen
- Literatur

86 Elektrische Maschinen

- 86.1 Transformatoren
- 86.2 Drehstrommaschinen
- 86.3 Einphasen-Asynchronmotoren
- 86.4 Drehstrommotor im Einphasenbetrieb
- 86.5 Sonderbauformen
- 86.6 Gleichstrommaschinen
- 86.7 Auswahl von Motoren
- Literatur

86.1 Transformatoren
86.2 Drehstrommaschinen
86.3 Einphasen-Asynchronmotoren
86.4 Drehstrommotor im Einphasenbetrieb
86.5 Sonderbauformen
86.6 Gleichstrommaschinen
86.7 Auswahl von Motoren
Literatur

87 Elektrische Energieversorgung

- 87.1 Energiewirtschaftliche Rahmenbedingungen

- 87.2 Elektrische Energieerzeugung

- 87.3 Elektrische Energieübertragung und Energieverteilung

- 87.4 Elektrische Betriebsmittel

- Literatur

87.1 Energiewirtschaftliche Rahmenbedingungen

87.2 Elektrische Energieerzeugung

87.3 Elektrische Energieübertragung und Energieverteilung

87.4 Elektrische Betriebsmittel

Literatur

88 Elektrische Energieanwendung

- 88.1 Kompensationsanlagen
- 88.2 Beleuchtungsanlagen
- Literatur

88.1 Kompensationsanlagen
88.2 Beleuchtungsanlagen
Literatur

Teil XII Leistungselektronik

- 89 Halbleiter in der Leistungselektronik

- 90 Leistungshalbleiter

- 90.1 Halbleiterdioden
- 90.2 Bipolartransistoren
- 90.3 Feldeffekttransistoren
- 90.4 IGBT-Transistoren
- 90.5 Thyristoren

- 90.1 Halbleiterdioden
- 90.2 Bipolartransistoren
- 90.3 Feldeffekttransistoren
- 90.4 IGBT-Transistoren
- 90.5 Thyristoren

- 91 Einsatz von Leistungshalbleitern als Schalter

- 91.1 Schalter allgemein
- 91.2 Halbleiter-Relais
- 91.3 Halbleiterkühlung
- 91.4 Ansteuerschaltungen
- 91.5 Schutzschaltungen

- 91.1 Schalter allgemein
- 91.2 Halbleiter-Relais
- 91.3 Halbleiterkühlung
- 91.4 Ansteuerschaltungen
- 91.5 Schutzschaltungen

89 Halbleiter in der Leistungselektronik

90 Leistungshalbleiter

- 90.1 Halbleiterdioden
- 90.2 Bipolartransistoren
- 90.3 Feldeffekttransistoren
- 90.4 IGBT-Transistoren
- 90.5 Thyristoren

90.1 Halbleiterdioden
90.2 Bipolartransistoren
90.3 Feldeffekttransistoren
90.4 IGBT-Transistoren
90.5 Thyristoren

91 Einsatz von Leistungshalbleitern als Schalter

- 91.1 Schalter allgemein
- 91.2 Halbleiter-Relais
- 91.3 Halbleiterkühlung
- 91.4 Ansteuerschaltungen
- 91.5 Schutzschaltungen

91.1 Schalter allgemein
91.2 Halbleiter-Relais
91.3 Halbleiterkühlung
91.4 Ansteuerschaltungen
91.5 Schutzschaltungen

Teil XIII Nachrichtentechnik

92 Grundlagen der Nachrichtenübertragung

- 92.1 Prinzip der elektrischen Nachrichtenübertragung

- 92.2 Aufgaben der Nachrichtentechnik
- 92.3 Grundbegriffe
- 92.4 Nachricht, Information und Signal
- 92.5 Kenngrößen der Übertragungsstrecke

92.1 Prinzip der elektrischen Nachrichtenübertragung

92.2 Aufgaben der Nachrichtentechnik
92.3 Grundbegriffe
92.4 Nachricht, Information und Signal
92.5 Kenngrößen der Übertragungsstrecke

93 Zweitore, Vierpole

- 93.1 Zweitor allgemein
- 93.2 Spezielle Zweitore
- 93.3 Wellenparameter passiver Zweitore

93.1 Zweitor allgemein
93.2 Spezielle Zweitore
93.3 Wellenparameter passiver Zweitore

94 Leitungen

- 94.1 Leitungsbeläge und Leitungsgleichungen

- 94.2 Leitung mit sinusförmigen Spannungen und Strömen

- 94.3 Leitung mit sinusförmigen Spannungen und Strömen und beliebiger Abschlussimpedanz Z_e

- 94.4 Verlustlose Leitung
- 94.5 Daten von Leitungen
- 94.6 Hochfrequenzleitungen
- 94.7 s-Parameter
- 94.8 Kreisdiagramm

94.1 Leitungsbeläge und Leitungsgleichungen

94.2 Leitung mit sinusförmigen Spannungen und Strömen

94.3 Leitung mit sinusförmigen Spannungen und Strömen und beliebiger Abschlussimpedanz Z_e

94.4 Verlustlose Leitung
94.5 Daten von Leitungen
94.6 Hochfrequenzleitungen
94.7 s-Parameter
94.8 Kreisdiagramm

95 Antennen

- 95.1 Grundlagen
- 95.2 Kenngrößen
- 95.3 Ausführungsformen von Antennen
- 95.4 Wellenausbreitung

95.1 Grundlagen
95.2 Kenngrößen
95.3 Ausführungsformen von Antennen
95.4 Wellenausbreitung

96 Modulation

- 96.1 Übersicht

- 96.2 Sinusträger – mit Analogsignal moduliert

- 96.3 Sinusträger – mit Digitalsignal moduliert

- 96.4 Pulsträger uncodiert

96.1 Übersicht

96.2 Sinusträger – mit Analogsignal moduliert

96.3 Sinusträger – mit Digitalsignal moduliert

96.4 Pulsträger uncodiert

97 Filter

- 97.1 Einfache passive R-C-Filter
- 97.2 Weitere Ausführungsformen
- 97.3 Allgemeiner Filterentwurf

97.1 Einfache passive R-C-Filter
97.2 Weitere Ausführungsformen
97.3 Allgemeiner Filterentwurf

98 Empfängerschaltungstechnik

- 98.1 Geradeausempfänger

- 98.2 Überlagerungsempfänger

- 98.3 Automatische Verstärkungsregelung (AVR)

- 98.4 Weitere Schaltungskonzepte

98.1 Geradeausempfänger
98.2 Überlagerungsempfänger
98.3 Automatische Verstärkungsregelung (AVR)
98.4 Weitere Schaltungskonzepte

99 Ton- und Bildübertragung

- 99.1 Rundfunk-Stereoübertragung

- 99.2 Digitale Farbfernsehtechnik

99.1 Rundfunk-Stereoübertragung

99.2 Digitale Farbfernsehtechnik

100 Mehrfachübertragung – Multiplexverfahren

- 100.1 Zeitmultiplexverfahren
- 100.2 Frequenzmultiplexverfahren
- 100.3 Raummultiplexverfahren

100.1 Zeitmultiplexverfahren
100.2 Frequenzmultiplexverfahren
100.3 Raummultiplexverfahren
101 Richtfunktechnik
102 Nachrichtenübertragung über Satellit

103 Nachrichtenübertragung über Lichtwellenleiter (LWL)

- 103.1 Physikalische Grundlagen

- 103.2 Grundmodelle von Lichtwellenleitern

- 103.3 Technische Ausführung von Lichtwellenleitern

- 103.4 Lichtsender
- 103.5 Lichtempfänger
- 103.6 Verbinden von Lichtleitern
- 103.7 Optische Schalter

103.1 Physikalische Grundlagen

103.2 Grundmodelle von Lichtwellenleitern

103.3 Technische Ausführung von Lichtwellenleitern

103.4 Lichtsender
103.5 Lichtempfänger
103.6 Verbinden von Lichtleitern
103.7 Optische Schalter

104 Funkmesstechnik

- 104.1 Radar
- 104.2 Funkortungssystem OMEGA
- 104.3 GPS – Global Positioning System

104.1 Radar
104.2 Funkortungssystem OMEGA
104.3 GPS – Global Positioning System

105 Elektroakustische Wandler

- 105.1 Definitionen, Kenngrößen
- 105.2 Schallempfänger
- 105.3 Schallsender

105.1 Definitionen, Kenngrößen
105.2 Schallempfänger
105.3 Schallsender

106 Vermittlungstechnik

- 106.1 Grundbegriffe
- 106.2 Vermittlung
- 106.3 Verkehrstheorie
- 106.4 Endgerät

106.1 Grundbegriffe
106.2 Vermittlung
106.3 Verkehrstheorie
106.4 Endgerät

107 Kommunikations- und Datennetze

- 107.1 Strukturen lokaler Kommunikations- und Datennetze

- 107.2 Öffentliche Kommunikations- und Datensysteme

- 107.3 Öffentliche Funknetze

- 107.4 Private Funknetze

107.1 Strukturen lokaler Kommunikations- und Datennetze

107.2 Öffentliche Kommunikations- und Datensysteme

107.3 Öffentliche Funknetze

107.4 Private Funknetze

108 Optimierte Nachrichten- und Datenübertragung

- 108.1 Codierung

- 108.2 Optimalfilter

- 108.3 Anwendung der Korrelation bei gestörten Signalen

- 108.4 Verschlüsselung von Daten
- 108.5 Fensterung
- Literatur

108.1 Codierung

108.2 Optimalfilter

108.3 Anwendung der Korrelation bei gestörten Signalen

108.4 Verschlüsselung von Daten
108.5 Fensterung
Literatur

92 Grundlagen der Nachrichtenübertragung

- 92.1 Prinzip der elektrischen Nachrichtenübertragung

- 92.2 Aufgaben der Nachrichtentechnik
- 92.3 Grundbegriffe
- 92.4 Nachricht, Information und Signal
- 92.5 Kenngrößen der Übertragungsstrecke

92.1 Prinzip der elektrischen Nachrichtenübertragung

92.2 Aufgaben der Nachrichtentechnik
92.3 Grundbegriffe
92.4 Nachricht, Information und Signal
92.5 Kenngrößen der Übertragungsstrecke

93 Zweitore, Vierpole

- 93.1 Zweitor allgemein
- 93.2 Spezielle Zweitore
- 93.3 Wellenparameter passiver Zweitore

93.1 Zweitor allgemein
93.2 Spezielle Zweitore
93.3 Wellenparameter passiver Zweitore

94 Leitungen

- 94.1 Leitungsbeläge und Leitungsgleichungen

- 94.2 Leitung mit sinusförmigen Spannungen und Strömen

- 94.3 Leitung mit sinusförmigen Spannungen und Strömen und beliebiger Abschlussimpedanz Z_e

- 94.4 Verlustlose Leitung
- 94.5 Daten von Leitungen
- 94.6 Hochfrequenzleitungen
- 94.7 s-Parameter
- 94.8 Kreisdiagramm

94.1 Leitungsbeläge und Leitungsgleichungen

94.2 Leitung mit sinusförmigen Spannungen und Strömen

94.3 Leitung mit sinusförmigen Spannungen und Strömen und beliebiger Abschlussimpedanz Z_e

94.4 Verlustlose Leitung
94.5 Daten von Leitungen
94.6 Hochfrequenzleitungen
94.7 s-Parameter
94.8 Kreisdiagramm

95 Antennen

- 95.1 Grundlagen
- 95.2 Kenngrößen
- 95.3 Ausführungsformen von Antennen
- 95.4 Wellenausbreitung

95.1 Grundlagen
95.2 Kenngrößen
95.3 Ausführungsformen von Antennen
95.4 Wellenausbreitung

96 Modulation

- 96.1 Übersicht

- 96.2 Sinusträger – mit Analogsignal moduliert

- 96.3 Sinusträger – mit Digitalsignal moduliert

- 96.4 Pulsträger uncodiert

96.1 Übersicht

96.2 Sinusträger – mit Analogsignal moduliert

96.3 Sinusträger – mit Digitalsignal moduliert

96.4 Pulsträger uncodiert

97 Filter

- 97.1 Einfache passive R-C-Filter
- 97.2 Weitere Ausführungsformen
- 97.3 Allgemeiner Filterentwurf

97.1 Einfache passive R-C-Filter
97.2 Weitere Ausführungsformen
97.3 Allgemeiner Filterentwurf

98 Empfängerschaltungstechnik

- 98.1 Geradeausempfänger

- 98.2 Überlagerungsempfänger

- 98.3 Automatische Verstärkungsregelung (AVR)

- 98.4 Weitere Schaltungskonzepte

98.1 Geradeausempfänger
98.2 Überlagerungsempfänger
98.3 Automatische Verstärkungsregelung (AVR)
98.4 Weitere Schaltungskonzepte

99 Ton- und Bildübertragung

- 99.1 Rundfunk-Stereoübertragung

- 99.2 Digitale Farbfernsehtechnik

99.1 Rundfunk-Stereoübertragung

99.2 Digitale Farbfernsehtechnik

100 Mehrfachübertragung – Multiplexverfahren

- 100.1 Zeitmultiplexverfahren
- 100.2 Frequenzmultiplexverfahren
- 100.3 Raummultiplexverfahren

100.1 Zeitmultiplexverfahren
100.2 Frequenzmultiplexverfahren
100.3 Raummultiplexverfahren
101 Richtfunktechnik
102 Nachrichtenübertragung über Satellit

103 Nachrichtenübertragung über Lichtwellenleiter (LWL)

- 103.1 Physikalische Grundlagen

- 103.2 Grundmodelle von Lichtwellenleitern

- 103.3 Technische Ausführung von Lichtwellenleitern

- 103.4 Lichtsender
- 103.5 Lichtempfänger
- 103.6 Verbinden von Lichtleitern
- 103.7 Optische Schalter

103.1 Physikalische Grundlagen

103.2 Grundmodelle von Lichtwellenleitern

103.3 Technische Ausführung von Lichtwellenleitern

103.4 Lichtsender
103.5 Lichtempfänger
103.6 Verbinden von Lichtleitern
103.7 Optische Schalter

104 Funkmesstechnik

- 104.1 Radar
- 104.2 Funkortungssystem OMEGA
- 104.3 GPS – Global Positioning System

104.1 Radar
104.2 Funkortungssystem OMEGA
104.3 GPS – Global Positioning System

105 Elektroakustische Wandler

- 105.1 Definitionen, Kenngrößen
- 105.2 Schallempfänger
- 105.3 Schallsender

105.1 Definitionen, Kenngrößen
105.2 Schallempfänger
105.3 Schallsender

106 Vermittlungstechnik

- 106.1 Grundbegriffe
- 106.2 Vermittlung
- 106.3 Verkehrstheorie
- 106.4 Endgerät

106.1 Grundbegriffe
106.2 Vermittlung
106.3 Verkehrstheorie
106.4 Endgerät

107 Kommunikations- und Datennetze

- 107.1 Strukturen lokaler Kommunikations- und Datennetze

- 107.2 Öffentliche Kommunikations- und Datensysteme

- 107.3 Öffentliche Funknetze

- 107.4 Private Funknetze

107.1 Strukturen lokaler Kommunikations- und Datennetze

107.2 Öffentliche Kommunikations- und Datensysteme

107.3 Öffentliche Funknetze

107.4 Private Funknetze

108 Optimierte Nachrichten- und Datenübertragung

- 108.1 Codierung

- 108.2 Optimalfilter

- 108.3 Anwendung der Korrelation bei gestörten Signalen

- 108.4 Verschlüsselung von Daten
- 108.5 Fensterung
- Literatur

108.1 Codierung

108.2 Optimalfilter

108.3 Anwendung der Korrelation bei gestörten Signalen

108.4 Verschlüsselung von Daten
108.5 Fensterung
Literatur

Teil XIV Signal- und Systemtheorie

- 109 Einführung

- 109.1 Darstellung in der Zeit- und in der Frequenzebene

- 109.2 Hinweise zur Anwendung

- 109.1 Darstellung in der Zeit- und in der Frequenzebene

- 109.2 Hinweise zur Anwendung

- 110 Grundbegriffe

- 111 Periodische nichtsinusförmige zeitkontinuierliche Signale

- 111.1 Reelle und komplexe Fourierreihe

- 111.2 Beispiele und Anwendungen

- 111.1 Reelle und komplexe Fourierreihe

- 111.2 Beispiele und Anwendungen

- 112 Nichtperiodische zeitkontinuierliche Signale

- 112.1 Fouriertransformation

- 112.2 Laplacetransformation

- 112.1 Fouriertransformation

- 112.2 Laplacetransformation

- 113 Spezielle Signale

- 113.1 Stoßfunktion, -Funktion, Dirac-Impuls
- 113.2 Sprungfunktion (t)
- 113.3 Verknüpfung von - und -Funktion
- 113.4 Harmonische Schwingungen

- 113.1 Stoßfunktion, -Funktion, Dirac-Impuls
- 113.2 Sprungfunktion (t)
- 113.3 Verknüpfung von - und -Funktion
- 113.4 Harmonische Schwingungen
- 114 Leistung
- 115 Faltungsintegral
- 116 Abtasttheorem

- 117 Nichtkontinuierliche (zeitdiskrete) Signale

- 117.1 Diskrete Fouriertransformation (DFT)
- 117.2 Schnelle Fouriertransformation (FFT)
- 117.3 z-Transformation

- 117.1 Diskrete Fouriertransformation (DFT)
- 117.2 Schnelle Fouriertransformation (FFT)
- 117.3 z-Transformation

- 118 Zufällige Signale

- 118.1 Grundbegriffe und Kenngrößen
- 118.2 Verteilungen
- 118.3 Rauschen

- 118.4 Signalerkennung bei gestörter Übertragung

- Literatur

- 118.1 Grundbegriffe und Kenngrößen
- 118.2 Verteilungen
- 118.3 Rauschen

- 118.4 Signalerkennung bei gestörter Übertragung

- Literatur

109 Einführung

- 109.1 Darstellung in der Zeit- und in der Frequenzebene

- 109.2 Hinweise zur Anwendung

109.1 Darstellung in der Zeit- und in der Frequenzebene

109.2 Hinweise zur Anwendung

110 Grundbegriffe

111 Periodische nichtsinusförmige zeitkontinuierliche Signale

- 111.1 Reelle und komplexe Fourierreihe

- 111.2 Beispiele und Anwendungen

111.1 Reelle und komplexe Fourierreihe

111.2 Beispiele und Anwendungen

112 Nichtperiodische zeitkontinuierliche Signale

- 112.1 Fouriertransformation

- 112.2 Laplacetransformation

112.1 Fouriertransformation

112.2 Laplacetransformation

113 Spezielle Signale

- 113.1 Stoßfunktion, -Funktion, Dirac-Impuls
- 113.2 Sprungfunktion (t)
- 113.3 Verknüpfung von - und -Funktion
- 113.4 Harmonische Schwingungen

113.1 Stoßfunktion, -Funktion, Dirac-Impuls
113.2 Sprungfunktion (t)
113.3 Verknüpfung von - und -Funktion
113.4 Harmonische Schwingungen
114 Leistung
115 Faltungsintegral
116 Abtasttheorem

117 Nichtkontinuierliche (zeitdiskrete) Signale

- 117.1 Diskrete Fouriertransformation (DFT)
- 117.2 Schnelle Fouriertransformation (FFT)
- 117.3 z-Transformation

117.1 Diskrete Fouriertransformation (DFT)
117.2 Schnelle Fouriertransformation (FFT)
117.3 z-Transformation

118 Zufällige Signale

- 118.1 Grundbegriffe und Kenngrößen
- 118.2 Verteilungen
- 118.3 Rauschen

- 118.4 Signalerkennung bei gestörter Übertragung

- Literatur

118.1 Grundbegriffe und Kenngrößen
118.2 Verteilungen
118.3 Rauschen

118.4 Signalerkennung bei gestörter Übertragung

Literatur

Sachverzeichnis