Aufgabensammlung zur Elektrotechnik und Elektronik: Übungsaufgaben mit ausführlichen Musterlösungen
Date: 2017-02-13T23:00:00+00:00
Keywords: Fachbücher; Ingenieurwissenschaften; Bauwesen; Elektrotechnik; Elektrik & Elektrizität; Elektronik; Schaltungen & Schaltkreise; Physikalische Grundlagen; Mechanik; Naturwissenschaften & Technik; Ingenieurwissenschaft & Technik; Maschinenbau Allgemein; Umwelt & Ökologie; Energiefragen
Description: Dieses Buch ist ideal für eine Prüfungsvorbereitung, es richtet sich an alle, die Aufgaben der Elektrotechnik zu lösen haben. 560 Übungsaufgaben aus wichtigen Gebieten der Elektrotechnik geben die Möglichkeit, das eigene Wissen durch die Bearbeitung von Problemstellungen zu festigen und zu erweitern. Der nach Teilgebieten und Schwierigkeitsgrad gegliederte Stoff ermöglicht ein effektives Selbststudium. Dabei werden im Zuge der Musterlösungen Lösungswege nicht nur ausführlich erläutert, sondern auch die allgemeine Vorgehensweise geübt. Detaillierte Lösungsschritte ermöglichen eine Selbstkontrol
Publisher: Springer Vieweg

Leonhard Stiny

Aufgabensammlung
zur Elektrotechnik
und Elektronik

Übungsaufgaben mit ausführlichen

Musterlösungen

3. Auflage

Aufgabensammlung zur Elektrotechnik
und Elektronik

Lizenz zum Wissen.

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Bernd Heißing | Metin Ersoy | Stefan Gies (Hrsg.)

Fahrwerkhandbuch

Grundlagen, Fahrdynamik, Komponenten,

Systeme, Mechatronik, Perspektiven
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3. Auflage

ATZ

AUTOMOBILTECHNISCHE ZEITSCHRIFT

Hans-Hermann Braess | Ulrich Seiffert (Hrsg.)

Vieweg Handbuch

März 2012 | 114. Jahrgang

03

PRAXIS

Kraftfahrzeugtechnik

FORMOPTIMIERUNG in der

Fahrzeugentwicklung

6. Auflage

LEICHTE und geräuschoptimierte

ATZ

Festsattelbremse

GERÄUSCHWAHRNEHMUNG von

Elektroautos

/// BEGEGNUNGEN

Walter Reithmaier

TÜV Süd Automotive

/// INTERVIEW

Claudio Santoni

McLaren

PERSPEKTIVE LEICHTBAU

WERKSTOFFE OPTIMIEREN

ISSN 0001-2785 10810

Michael Trzesniowski

Rennwagentechnik

Grundlagen, Konstruktion, Komponenten, Systeme

2. Auflage

PRAXIS

P
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MOTORTECHNISCHE ZEITSCHRIFT

April 2012 | 73. Jahrgang

04

GRENZPOTENZIALE der

CO -Emissionen von Ottomotoren

2

REIBUNG in hochbelasteten

Gleitlagern

RUSS- UND ASCHE

RUSS

VERTEILUNG

RUSS- UND ASCHE

UND ASCHE

VERTEILUNG
in Dieselpartikelfiltern
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/// GASTKOMMENTAR

Uwe Meinig

SHW Automotive

/// INTERVIEW

Peter Langen

BMW
elektronik

Februar 2012 | 7. Jahrgang

01

ENTWURFSASPEKTE für
hochintegrierte Steuergeräte

HYBRIDANTRIEBE

ELEKTROMECHANISCHE LENKUNG
für ein Premiumfahrzeug

MIT WENIGER EMISSIONEN

ISSN 0024-8525 10814

NEUARTIGE BEFÜLLUNG von

Lithium-Ionen-Zellen

/// GASTKOMMENTAR

Herbert Hanselmann
dSpace

/// INTERVIEW

Richard van Basshuysen | Fred Schäfer (Hrsg.)

Elmar Frickenstein

BMW
www.ATZonline.de

Handbuch

Verbrennungsmotor

Verbrennu

Verbrenn

Verbren

Grundlagen, Komponenten, Sy
tten
st
n, Sy eme, Perspektiven

6. Auflage

MTZ

EFFIZIENZ ELEKTRISCHER SYSTEME

SYSTT

AUTOMOBILTECHNISCHE ZEITSCHRIFT

STANDARDS UND MASSNAHMEN

MEN

ISSN 1862-1791 70934

März 2012 | 114. Jahrgang

03

FORMOPTIMIERUNG in der

Fahrzeugentwicklung

LEICHTE und geräuschoptimierte

Festsattelbremse

GERÄUSCHWAHRNEHMUNG von

11 | 2012

Elektroautos
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/// BEGEGNUNGEN

Walter Reithmaier

TÜV Süd Automotive

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Claudio Santoni

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Wirtschaftlichkeit

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von Fassadenelementen
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Schmierfrei fördern
im Lackierprozess

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a lage
anl
n

ISSN 0001-2785 10810
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Springer für Professionals

Leonhard Stiny

Aufgabensammlung
zur Elektrotechnik
und Elektronik

Übungsaufgaben mit ausführlichen

Musterlösungen

3., überarbeitete und erweiterte Auflage

Mit 560 Aufgaben und 517 Abbildungen

Leonhard Stiny

Haag a. d. Amper, Deutschland

ISBN 978-3-658-14380-0

ISBN 978-3-658-14381-7 (eBook)

DOI 10.1007/978-3-658-14381-7

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillier-
te bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

Springer Vieweg

Die erste Auflage erschien unter dem Titel „Aufgaben mit Lösungen zum Grundwissen Elektrotechnik“ im

Franzis Verlag, 2005.

Die zweite Auflage erschien unter dem Titel „Aufgaben mit Lösungen zur Elektrotechnik“ im Franzis Verlag

2008.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2005, 2008, 2017

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Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Strasse 46, 65189 Wiesbaden, Germany

Vorwort zur 3. Auflage

Nach der 1. und 2. Auflage beim Franzis-Verlag ist nun die 3. Auflage beim Springer-

Verlag erschienen. In meiner bisher zehnjährigen Tätigkeit als Lehrbeauftragter für das

Fach „Grundlagen der Elektrotechnik und Elektronik“ an der Ostbayerischen Technischen

Hochschule Regensburg wurde sehr deutlich, dass Studierende dringend genügend Bei-
spiele benötigen, um den in den Lehrveranstaltungen dargebotenen Stoff im Detail zu
verstehen, ihn wiederholen und vor allem einüben zu können. Um eine anspruchsvolle

Prüfung zu bestehen, müssen nicht nur Ansätze und Vorgehensweisen zur Berechnung
und Lösung von Aufgaben bekannt sein, auch das „handwerkliche“ Können, das Rechnen
selbst, muss beherrscht werden, um nicht in Zeitnot zu geraten. Alle diese Fertigkeiten
können mit den vorliegenden Aufgaben geübt werden.

Viele Aufgaben fanden in meinen Vorlesungen als „Vorlesungsübungen“ Verwendung,
die gemeinsam bearbeitet oder vorgerechnet wurden. Dadurch ergab sich einerseits eine
sehr genaue Betrachtung und Verifizierung der Ergebnisse, welche durch vorgeschlage-
ne alternative Lösungswege ergänzt werden konnten. Andererseits wurde klar, welche

Stoffgebiete und Darstellungsweisen Probleme bereiten und besonders ausführlich und
eingängig erklärt werden müssen. Als Beispiel sei hier die komplexe Wechselstromrech-
nung genannt.

Die Gliederung des Buches blieb zum größten Teil unverändert und ist entsprechend
neu hinzugekommener Themengebiete erweitert. Die Anzahl der Übungsaufgaben wurde
erheblich erhöht, es wurden auch mathematisch schwierigere Aufgaben aufgenommen.

Teilweise sind die Fragestellungen und Lösungen in Form einer allgemeinen Erläute-
rung eines Themengebietes gestaltet und zugehörigen Berechnungen vorangestellt. Da-
durch werden einführende Abschnitte wie in einem Lehrbuch erreicht.

Für Hinweise auf mögliche Änderungen und Ergänzungen bin ich dankbar.

Haag a. d. Amper, im April 2016

Leonhard Stiny

V

Vorwort

Dieses Buch richtet sich an alle, die Aufgaben der Elektrotechnik zu lösen haben, ihr Wis-
sen auf diesem Gebiet durch Übungen festigen wollen oder sich auf eine Prüfung vorberei-
ten müssen. Auszubildende elektrotechnischer Berufe, Schüler weiterführender Schulen
und Fachschulen, angehende Industriemeister oder Techniker, Studierende der Elektro-
technik oder einer verwandten Fachrichtung an Berufsakademien, Fachhochschulen oder

Universitäten finden entsprechenden und ausgiebigen Übungsstoff. Berufserfahrene oder
an der Lösung konkreter Aufgaben interessierte Hobbyelektroniker können ihr Wissen
auffrischen oder ergänzen. Hier stehen genügend Beispiele mit Lösungen als Vorberei-
tungshilfe und zum Selbststudium zur Verfügung. Durch die Bearbeitung der Übungen
werden Kenntnisse der Elektrotechnik gefestigt und erweitert.

Das Werk enthält 280 Übungsaufgaben samt ausführlich erläuterten Lösungswegen mit
detaillierten algebraischen und numerischen Berechnungen zu Grundgebieten der Elek-
trotechnik. Lösungsergebnisse werden nicht nur angegeben, sondern gründlich erarbeitet.

Somit wird im Zuge der Musterlösungen die allgemeine Vorgehensweise zur Problem-
bewältigung geübt. Auch aufeinander folgende Lösungsschritte mit Zahlenwerten sind
aufgenommen, damit Übende feststellen können, an welcher Stelle sie sich verrechnet
haben.

Die inhaltliche Strukturierung meines erfolgreichen Lehrbuches „Grundwissen Elek-
trotechnik“ (Franzis Verlag) wurde für den vorliegenden Übungsband so weit als möglich
übernommen. Somit besteht die Möglichkeit, den Stoff der einzelnen Lehrbuchkapitel
zu vertiefen und die eigenen Fertigkeiten in der Anwendung des Erlernten zu trainieren.

Das vorliegende Werk kann aber völlig unabhängig zum selbstständigen Lernen benutzt
werden. Nach im Lehrbuch bewährter Weise wird im Verlaufe der einzelnen Kapitel von
einfachen zu schwierigeren Aufgaben vorgegangen.

Die einzelnen Abschnitte werden mit Zusammenfassungen des anschließenden Wis-
sensgebietes und dort möglicherweise verwendeter Formeln eingeleitet. Diese kurzen Ab-
risse erheben keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder Notwendigkeit zur Bearbeitung
der daran anschließenden Aufgaben. Sie bereiten jedoch auf das Folgende vor und die-
nen, ebenso wie einige allgemeine Ausführungen zu elektrotechnischen Grundlagen und

Vorgehensweisen innerhalb der Lösungen, zu einem Verständnis des Teilgebietes.

VII

VIII

Vorwort

Die Bereiche der Übungen reichen von den Grundlagen der Elektrotechnik, einfachen
sowie umfangreichen Schaltungen der Gleich-, Wechsel- und Drehstromtechnik, Analyse
von Einschwingvorgängen und Netzwerken über elektronische Bauteile bis zur elektroni-
schen Schaltungstechnik.

Zur Lösung der Aufgaben sind mathematische Kenntnisse der Algebra, Winkelfunk-
tionen und komplexen Rechnung i. a. ausreichend. „Höhere“ Mathematik (im Sinne von

Integrieren, Differenzieren) wird kaum verwendet.

Viel Erfolg bei der Bearbeitung der Aufgaben!

Haag a. d. Amper, im Juli 2005

Leonhard Stiny

Inhaltsverzeichnis

1

Elektrischer Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1

Grundwissen – kurz und bündig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Stoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Atombau, elektrischer Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.3

Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Der Aufbau der Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

Elektrische Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Elektrischer Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5

Nichtleiter, Leiter und Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.6

Widerstand und Leitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.7

Elektrische Spannung, Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.8

Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2

Der unverzweigte Gleichstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1

Grundwissen – kurz und bündig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.1

Größen im Gleichstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.2

Wichtige Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2

Die Größe für den elektrischen Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.3

Die Größe für die elektrische Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.4

Das Ohm’sche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.5

Erzeuger- und Verbraucher- Zählpfeilsystem . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.6

Elektrische Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.7

Elektrische Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.8

Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.1

Grundwissen – kurz und bündig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.1.1

Der ohmsche Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.1.2

Kondensator, elektrostatisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.1.3

Grundlagen des Magnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.1.4

Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.1.5

Wichtige Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

IX

X

Inhaltsverzeichnis

3.2

Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.2.1

Der ohmsche Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.2.2

Spezifischer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.2.3

Strombegrenzung durch einen Vorwiderstand . . . . . . . . . .

45

3.2.4

Aufteilung einer Spannung, Spannungsteilerregel . . . . . . .

47

3.2.5

Aufteilung des Stromes, Stromteilerregel . . . . . . . . . . . . .

52

3.2.6

Temperaturabhängigkeit des Widerstandes . . . . . . . . . . . .

56

3.2.7

Zulässige Verlustleistung, Lastminderungskurve,

Wärmewiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.2.8

Technische Ausführung von Festwiderständen . . . . . . . . .

69

3.3

Kondensator, elektrisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

3.3.1

Der Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

3.3.2

Kondensator, elektrostatisches Feld, Energie . . . . . . . . . .

73

3.3.3

Technische Ausführungen von Kondensatoren . . . . . . . . .

77

3.3.4

Plattenkondensator, geschichtete Dielektrika . . . . . . . . . .

81

3.3.5

Radialsymmetrisches elektrisches Feld . . . . . . . . . . . . . .

93

3.3.6

Inhomogenes elektrisches Feld, Strömungsfeld . . . . . . . . . 105

3.4

Spule, magnetisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.4.1

Die Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.4.2

Magnetischer Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.4.3

Leiteranordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.4.4

Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4

Gleichspannungsquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.1

Grundwissen – kurz und bündig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.2

Die belastete Gleichspannungsquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.3

Ersatzspannungsquelle, Ersatzstromquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.4

Kurzschlussstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.5

Spannungs-, Strom-, Leistungsanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

5

Berechnungen im unverzweigten Gleichstromkreis . . . . . . . . . . . . . . 181

5.1

Grundwissen – kurz und bündig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

5.2

Reihenschaltung von ohmschen Widerständen . . . . . . . . . . . . . . . 182

5.3

Reihenschaltung von Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

5.4

Reihenschaltung von Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

5.5

Reihenschaltung von Spannungs- und Stromquellen . . . . . . . . . . . 186

6

Messung von Spannung und Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6.1

Grundwissen – kurz und bündig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6.2

Voltmeter und Amperemeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.3

Erweiterung des Messbereiches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.4

Indirekte Messung von Widerstand und Leistung . . . . . . . . . . . . . 196

6.5

Wheatstone-Brücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Inhaltsverzeichnis

XI

7

Schaltvorgänge im unverzweigten Gleichstromkreis . . . . . . . . . . . . . . 201

7.1

Grundwissen – kurz und bündig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

7.2

Schaltvorgang beim Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

7.3

Schaltvorgang bei der Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

8

Der verzweigte Gleichstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

8.1

Grundwissen – kurz und bündig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

8.2

Parallelschaltung von ohmschen Widerständen . . . . . . . . . . . . . . 220

8.3

Parallelschaltung von Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

8.4

Parallelschaltung von Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

8.5

Parallelschaltung von Spannungs- und Stromquellen . . . . . . . . . . . 225

8.6

Erweiterung des Messbereiches eines Amperemeters . . . . . . . . . . . 229

8.7

Der belastete Spannungsteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

8.8

Gemischte Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

8.9

Stern-Dreieck- und Dreieck-Stern-Umwandlung . . . . . . . . . . . . . 240

8.10

Umwandlung von Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

8.11

Analyse von Netzwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

8.12

Die Knotenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

8.13

Der Überlagerungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

9

Wechselspannung und Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

9.1

Grundwissen – kurz und bündig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

9.2

Periodische Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

9.3

Effektivwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

9.4

Gleichrichtwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

10

Komplexe Darstellung von Sinusgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

10.1

Grundwissen – kurz und bündig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

10.2

Rechnen mit komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

10.3

Spannung, Strom, Widerstand als komplexe Größen . . . . . . . . . . . 287

11

Einfache Wechselstromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

11.1

Grundwissen – kurz und bündig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

11.2

Spule im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

11.3

Kondensator im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

11.4

Reihenschaltung von ohmschem Widerstand und Spule . . . . . . . . . 298

11.5

Reihenschaltung von ohmschem Widerstand und Kondensator . . . . . 306

11.6

Parallelschaltung von Widerstand und Spule . . . . . . . . . . . . . . . . 310

11.7

Parallelschaltung von Widerstand und Kondensator . . . . . . . . . . . . 311

11.8

Gemischte Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

11.9

Die Übertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

11.10 Verstärkungsfaktor, Verstärkungsmaß, Dämpfungsmaß . . . . . . . . . 341

XII

Inhaltsverzeichnis

12

Leistung im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

12.1

Grundwissen – kurz und bündig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

12.2

Leistungsberechnungen, Blindleistungskompensation . . . . . . . . . . 344

13

Transformatoren (Übertrager) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

13.1

Grundwissen – kurz und bündig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

13.2

Transformator, Berechnungen und Messungen . . . . . . . . . . . . . . . 360

14

Schwingkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

14.1

Grundwissen – kurz und bündig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

14.2

Reihenschwingkreis mit Verlusten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

14.3

Parallelschwingkreis mit Verlusten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

15

Mehrphasensysteme, Drehstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

15.1

Grundwissen – kurz und bündig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

15.2

Sternschaltung des Verbrauchers mit Mittelleiter . . . . . . . . . . . . . 394

15.3

Sternschaltung des Verbrauchers ohne Mittelleiter . . . . . . . . . . . . 397

15.4

Dreieckschaltung des Verbrauchers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

15.5

Leistung bei Drehstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

16

Halbleiterdioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

16.1

Grundwissen – kurz und bündig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

16.2

Diodenkennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

16.3

Lumineszenzdiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

16.4

Z-Diode (Zener-Diode) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

16.5

Arbeitspunkt und Widerstandsgerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

16.6

Gleichrichtung von Wechselspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

16.7

Begrenzung einer Wechselspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

17

Bipolare Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

17.1

Grundwissen – kurz und bündig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

17.2

Eingangskennlinie, Arbeitspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

17.3

Die physikalische Ersatzschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

17.4

Darlington-Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

17.5

Differenzverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

17.6

Kodes, Logische Funktionen, Schaltalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . 461

17.7

Schaltungstechnische Realisierung der logischen Grundfunktionen . . 464

18

Feldeffekt-Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

18.1

Grundwissen – kurz und bündig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

18.2

Aufgaben zu Feldeffekt-Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

Inhaltsverzeichnis

XIII

19

Operationsverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

19.1

Grundwissen – kurz und bündig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

19.2

Grundlagen der Operationsverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

19.3

Nichtinvertierender Verstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

19.4

Invertierender Verstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

19.5

Impedanzwandler (Spannungsfolger) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

19.6

Differenzierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

19.7

Addierer, Subtrahierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

19.8

Integrierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

19.9

Aktive Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523

Elektrischer Strom

1

Zusammenfassung

Als Einführung werden die Grundlagen des elektrischen Stromes hinterfragt. Arten und

Zusammensetzungen von Stoffen ergeben mittels eines einfachen Atommodells an-
schauliche Vorstellungen von den physikalischen Vorgängen beim Fließen von Strom.

Der Aufbau der Materie führt von Begriffen wie Elektronen, Ladung, Ladungsträger,

Kräfte zwischen Ladungen über die Definition des Stromes zum elektrischen Wider-
stand und zu Grundgesetzen im einfachen Stromkreis. Die Bedeutung von Spannung,

Spannungsabfall, Potenzial und Masse wird erläutert. Es folgt die Einteilung in Leiter,

Nichtleiter und Halbleiter und deren Eigenschaften. Der Unterschied zwischen ruhen-
der und bewegter elektrischer Ladung ergibt die Einteilung in die Gebiete Elektrostatik
und Elektrodynamik. Der Begriff des elektrischen Feldes und die verschiedenen Arten
von Feldern führen zu einer ersten allgemeinen Betrachtungsweise der Feldwirkun-
gen. Die verschiedenen Arten von Strömen (Leitungsstrom, Verschiebungsstrom, Dif-
fusionsstrom, Feldstrom, Driftstrom, Raumladungsstrom) ergeben eine differenzierte

Betrachtung des Strombegriffes.

1.1

Grundwissen – kurz und bündig

1.1.1

Stoffe

Stoffe treten in den drei Aggregatzuständen fest, flüssig oder gasförmig auf.

Stoffgemische setzen sich aus verschiedenen Reinstoffen zusammen.

Verbindungen sind Reinstoffe, die durch chemische Verfahren in Elemente zersetzt
werden können.

Ein Molekül ist das kleinste Masseteilchen einer Verbindung, das noch die chemischen

Eigenschaften der Verbindung besitzt.

Ein Molekül ist ein fester Verbund mehrerer Atome von Elementen.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017

1

L. Stiny, Aufgabensammlung zur Elektrotechnik und Elektronik,

DOI 10.1007/978-3-658-14381-7_1

2

1

Elektrischer Strom

Elemente sind Reinstoffe, die nicht mehr in andere Stoffe zerlegbar sind.

Ein Atom ist das kleinste Masseteilchen eines Elements.

Ein Atom ist auf chemischem Weg nicht mehr weiter zerlegbar.

1.1.2

Atombau, elektrischer Strom

Ein Atom besteht aus dem elektrisch positiv geladenen Atomkern und der Atomhülle.

Der Atomkern besteht aus den elektrisch positiv geladenen Protonen und den elektrisch
neutralen Neutronen (ohne elektrische Ladung). Im Atomkern ist fast die gesamte Mas-
se des Atoms vereinigt.

Ein Proton besitzt die positive elektrische Elementarladung „Ce“.

Die Atomhülle besteht aus Elektronen, welche den Atomkern umkreisen.

Ein Elektron besitzt die negative elektrische Elementarladung „e“. Elektrizitätsmen-
gen treten nur als ganzzahlige Vielfache der Elementarladung auf.

Jede Atomart hat eine bestimmte Anzahl von Elektronen in der Hülle.

Die Anzahl der Elektronen in der Hülle entspricht der Anzahl der Protonen im Atom-
kern.

Elektronen mit gleichem Abstand vom Atomkern fasst man zu einer Schale zusammen.

Die Elektronen der äußersten Schale nennt man Valenzelektronen.

Die äußerste Schale ist nicht immer vollständig mit Elektronen besetzt. Sie kann Elek-
tronen abgeben oder aufnehmen.

Elektrische Ladung ist Überschuss oder Mangel ruhender, elektrischer Ladungsträger.

Elektrische Ladung kann nicht erzeugt oder vernichtet sondern nur transportiert wer-
den.

Es gibt zwei verschiedene Arten der Elektrizität: positive und negative Ladungen.

Positive Ladung ist Elektronenmangel, negative Ladung ist Elektronenüberschuss.

Elektronen sind Träger negativer Ladung.

Gleichnamige Ladungen (mit gleichem Vorzeichen) stoßen sich ab, ungleichnamige

Ladungen ziehen sich an (Coulomb’sches Gesetz).

Strom ist Ladungstransport, d. h. strömende Ladung (bewegte elektrische Ladung).

Damit Strom fließen kann, muss der Stromkreis geschlossen werden. Die Elektronen
fließen vom negativen Pol der Spannungsquelle zu deren positiven Pol.

Die technische Stromrichtung ist entgegengesetzt zur Flussrichtung der Elektronen
definiert. Ein Strompfeil zeigt die positive Richtung des Stromes außerhalb der Span-
nungsquelle vom Pluspol zum Minuspol an.

Eine Spannungsquelle wirkt im geschlossenen Stromkreis wie eine Pumpe für Elektro-
nen.

Es gibt Leiter, Halbleiter und Nichtleiter (Isolierstoffe oder Isolatoren).

Ein Potenzial ist die Spannung eines Punktes gegenüber einem Bezugspunkt.

Eine Spannung ist eine Potenzialdifferenz.

1.2

Der Aufbau der Materie

3

Widerstand ist das Unvermögen eines Leiters, elektrischen Strom fließen zu lassen.

Leitfähigkeit ist das Vermögen eines Leiters, elektrischen Strom fließen zu lassen.

Je größer der Widerstand ist, umso kleiner ist die Leitfähigkeit und umgekehrt.

Ein stromdurchflossener Leiter erwärmt sich (Joule’sche Wärme).

Der Widerstand eines Leiters ist abhängig von dem Material und von der Temperatur
des Leiters.

1.1.3

Halbleiter

Der Widerstand von Metallen nimmt mit steigender Temperatur zu.

Der Widerstand eines Halbleiters nimmt mit steigender Temperatur ab.

Es gibt Elementhalbleiter und Verbindungshalbleiter.

Reines Silizium ist wegen der festen Elektronenpaarbindung ein sehr schlechter Leiter.

Das Entstehen eines Elektron-Loch-Paares wird als Generation bezeichnet.

Ein Elektronenfehlplatz wird als Defektelektron oder Loch bezeichnet.

Ein Loch ist Träger der positiven Elementarladung „Ce“.

Füllt ein freies Elektron den Platz eines Loches aus, so spricht man von Rekombination.

Die Leitfähigkeit von Halbleitern nimmt erheblich zu, wenn in den Halbleiterkristall
durch Dotierung bestimmte Fremdatome eingebaut werden ( Störstellenleitung).

Bei dotierten Halbleitern unterscheidet man zwischen p- und n-Halbleitern. p-Halblei-
ter entstehen durch Dotieren mit Akzeptoren, n-Halbleiter durch Dotieren mit Donato-
ren.

Die wichtigsten Halbleiter sind Silizium und Germanium.

1.2

Der Aufbau der Materie

Aufgabe 1.1

Wie heißen Stoffe die nur aus einer einzigen Atomart bestehen: Moleküle, Elemente, Io-
nen, Elektronen oder Neutronen?

Lösung

Elemente

Aufgabe 1.2

Wie nennt man chemisch nicht mehr trennbare Teilchen der Materie: Verbindungen, Mo-
leküle, Elemente, Protonen oder Atome?

Lösung

Atome

4

1

Elektrischer Strom

Aufgabe 1.3

Wie heißen die Teilchen die sich nur durch chemische Vorgänge, d. h. Zersetzung des Stof-
fes trennen lassen: Atome, Elemente, Moleküle, Chemische Grundstoffe oder Protonen?

Lösung

Moleküle

Aufgabe 1.4

Welche Aussage über den Aufbau von Atomen ist richtig?

Der Atomkern besteht aus positiven Protonen und negativen Elektronen.

Die Neutronen sind negativ geladene Teilchen die den Atomkern auf Kreisbahnen

(Schalen) umlaufen.

Die äußerste Elektronenschale wird Valenzschale genannt und die Elektronen auf ihr

Valenzelektronen.

Ein Atom kann maximal 5 Elektronenschalen besitzen, die von innen nach außen mit
den Buchstaben K, L, M, N, O bezeichnet werden.

Bei Atomen ist die Anzahl der Elektronen immer gleich der Anzahl der Protonen.

Lösung

Die äußerste Elektronenschale wird Valenzschale genannt und die Elektronen auf ihr Va-
lenzelektronen.

Aufgabe 1.5

Welche Aussage über den Aufbau von Atomen ist falsch?

Ein Atom besteht aus Protonen und Neutronen im Kern und wird von Elektronen auf

Schalen umgeben.

Die Elektronen auf der äußersten Schale heißen Valenzelektronen.

Elektronen sind negativ geladene Teilchen und Neutronen sind positiv geladene Teil-
chen.

Der Atomkern wird von maximal 7 Elektronenschalen umgeben, die von innen nach
außen mit den Buchstaben K, L, M, N, O, P, Q bezeichnet werden.

Der Atomkern besteht aus Protonen und Neutronen.

Lösung

Elektronen sind negativ geladene Teilchen und Neutronen sind positiv geladene Teilchen.

Aufgabe 1.6

Welche Aussage über den Aufbau von Atomen ist richtig?

Der Atomkern besteht aus positiven Protonen und negativen Elektronen.

Der Atomkern besteht aus positiven Elektronen und negativen Neutronen.

1.2

Der Aufbau der Materie

5

Der Atomkern besteht aus negativen Neutronen und positiven Protonen.

Neutronen sind elektrisch neutrale Teilchen.

Der Atomkern besteht aus negativen Protonen und positiven Neutronen.

Lösung

Neutronen sind elektrisch neutrale Teilchen.

Aufgabe 1.7

Was entsteht, wenn ein Atom ein Elektron aufnimmt?

Ein negatives Ion

Ein Molekül

Ein Dipol

Ein positives Ion

Ein Halbleiter.

Lösung

Ein negatives Ion

Aufgabe 1.8

Unter welchen Umständen gilt ein Atom als chemisch stabil?

Bei gleicher Anzahl von Elektronen in der Hülle wie Protonen im Kern.

Wenn die Valenzschale des Atoms mit 4 Valenzelektronen bestückt ist.

Bei gleicher Anzahl von Neutronen und Protonen im Atomkern.

Wenn die Valenzschale mit 8 Elektronen voll besetzt ist (einzige Ausnahme Helium
mit 2 Valenzelektronen).

Bei gleicher Anzahl von Neutronen im Kern wie Elektronen in der Hülle.

Lösung

Wenn die Valenzschale mit 8 Elektronen voll besetzt ist (einzige Ausnahme Helium mit 2

Valenzelektronen).

Aufgabe 1.9

Was entsteht, wenn ein Atom ein Elektron abgibt?

Ein Molekül

Ein Halbleiter

Ein negatives Ion

Eine chemische Verbindung

Ein positives Ion.

Lösung

Ein positives Ion

6

1

Elektrischer Strom

1.3

Elektrische Ladung

Aufgabe 1.10
a) Was versteht man unter elektrischer Ladung?

b) Nennen Sie ein Beispiel, wie elektrische Ladung getrennt werden kann.

c) Wie wird ruhende elektrische Ladung genannt?

d) Mit welcher Polaritätsbezeichnung wird ein Elektronenüberschuss bzw. ein Elektro-
nenmangel gekennzeichnet?

Lösung
a) Die elektrische Ladung Q eines Körpers (die Elektrizitätsmenge) ist ein Maß für Über-
schuss oder Mangel an ruhenden, elektrischen Ladungsträgern (z. B. Elektronen).

b) Reibt man einen Glasstab mit Seide, so wird der Glasstab positiv, die Seide negativ ge-
laden. Auf dem Glasstab ist ein Mangel, auf der Seide ein Überschuss von Elektronen.

Glasstab und Seide sind elektrisch geladen.

c) Ruhende elektrische Ladung nennt man statische Elektrizität. Die Elektrostatik ist die

Lehre der ruhenden (mit der Zeit gleichbleibenden, also statischen) Ladungen. Zur

Elektrostatik gehören das elektrische Feld, das elektrostatische Potenzial, die Effekte
der elektrischen Polarisation bei Stoffen ohne frei bewegliche Ladungsträger und die

Vorgänge der Influenz (der Ladungstrennung) in Materie mit freien Ladungsträgern

(Leitern).

d) Elektronenüberschuss wird als Minuspol (negative Ladung), Elektronenmangel als

Pluspol (positive Ladung) bezeichnet. Diese Bezeichnungsweise ist willkürlich und
lediglich historisch bedingt.

Aufgabe 1.11
a) Welche Wirkung hat ein elektrisch geladener Körper in seiner Umgebung auf andere
elektrisch geladene Körper?

b) Wie wird die Eigenschaft des Raumes in der Umgebung eines elektrisch geladenen

Körpers genannt? Wie kann diese Eigenschaft veranschaulicht und in ihrer Auswir-
kung beschrieben werden? Verwenden Sie zur Erläuterung den Begriff „Vektorfeld“.

c) Welche Kräfte wirken zwischen elektrisch ungleich bzw. gleich geladenen Körpern?

Lösung
a) Ein elektrisch geladener Körper zieht andere elektrisch geladene Körper entweder an
oder stößt sie ab. Der Zustand eines Körpers kann durch seine Wirkung auf andere

Körper und somit durch seine Ladung Q beschrieben werden.

b) Der Raum um einen elektrisch geladenen Körper wird in einen besonderen Zustand
versetzt der dadurch gekennzeichnet ist, dass auf andere elektrisch geladene Körper

Kräfte ausgeübt werden. Ein Raum mit besonderen Eigenschaften wird in der Physik
als Feld bezeichnet. Elektrisch geladene Körper sind also von einem elektrischen Feld
umgeben. Die Eigenschaft eines elektrischen Feldes, dass in ihm Kräfte auf gelade-

1.3

Elektrische Ladung

7
ne Körper ausgeübt werden, kann durch Feldlinien (dies sind Kraftlinien) dargestellt
werden. Die Dichte von Feldlinien trifft eine Aussage über die lokale Stärke der Kraft

(Betrag der Feldstärke) und der durch kleine Pfeile gekennzeichnete Linienverlauf
über die lokale Richtung der Kraftausübung (Richtung der Feldstärke in einem be-
stimmten Punkt im Raum). Das elektrische Feld ist ein so genanntes Vektorfeld, das
durch einen Vektor mit Betrag und Richtung in jedem Raumpunkt festgelegt ist. Sind

Betrag und Richtung eines Feldes in einem betrachteten Gebiet konstant, so nennt man
das Feld homogen, ansonsten inhomogen. Homogene Felder haben gerade Feldlinien,
bei inhomogenen Feldern sind die Feldlinien gekrümmt.

c) Ladungen mit unterschiedlichem Vorzeichen ziehen sich an, Ladungen mit gleichem

Vorzeichen stoßen einander ab.

Aufgabe 1.12
a) Was ist die Einheit der elektrischen Ladung im SI-System?

b) Welcher Anzahl n von Elektronen entspricht die Ladungsmenge 1 A s?

c) Ein elektrisches Gerät wird oft als „Verbraucher“ bezeichnet. Kann elektrische Ladung
verbraucht werden?

Lösung
a) Die Einheit der elektrischen Ladung ist A s (Amperesekunde), abgekürzt mit „C“
entsprechend dem speziellen Einheitennamen „Coulomb“. Kurz: ŒQ D A s D C

(Coulomb).

b) Die Ladungsmenge 1 A s entspricht einem Strom mit der Stärke 1 Ampere, der 1 Se-
kunde lang fließt. Dabei bewegen sich n Elektronen mit der Elementarladung e D

1;602 1019 A s.

n D I t D

1 A 1 s

D 6;2422 1018
e
j 1;602 1019 A sj
c) Ladungen können weder erzeugt noch vernichtet werden. Befindet sich in einem abge-
schlossenen (von einer für Materie undurchlässigen Hüllfläche A begrenzten) Raumge-
biet mit dem Volumen V eine elektrische Ladung, so bleibt die gesamte Ladung Q in-
nerhalb dieses Raumgebietes konstant. Es gibt keinen physikalischen Vorgang, der die

Gesamtladung Q innerhalb von V ändern kann. Dieses experimentell bewiesene Na-
turgesetz wird Ladungserhaltungssatz genannt. Der Satz beruht auf der Unveränder-
barkeit der Elementarladung (zeitlich konstant und unabhängig vom Bezugssystem)

und darauf, dass sich die Wirkungen von zwei gleich großen Ladungen mit entge-
gengesetztem Vorzeichen aufheben. Erzeugung oder Vernichtung geladener Teilchen
erfolgt immer in gleichen Mengen und mit entgegengesetztem Vorzeichen. Im nicht-
stationären Fall (bei zeitlich veränderlichen Strömen) kann sich eine Ladungsmenge in
einem abgeschlossenen Volumen nur durch Zufluss oder Abfluss von Ladungsträgern
durch die Hüllfläche A ändern.

8

1

Elektrischer Strom

Aus der Bezeichnung „Verbraucher“ darf also nicht geschlossen werden, dass beim

Betrieb des Gerätes Ladung verbraucht (im Sinne von vernichtet) wird. Energie kann
ebenso wie Ladung weder erzeugt noch vernichtet werden ( Energieerhaltungssatz),
sie kann nur von einer Form in eine andere Form umgewandelt werden. Ein Ver-
braucher ist ein Energiewandler, es wird z. B. elektrische Energie in Wärmeenergie
umgewandelt. Statt „Verbraucher“ wir in der Elektrotechnik häufig der Begriff „Last“
verwendet.

1.4

Elektrischer Strom

Aufgabe 1.13

Was ist (im Unterschied zur ruhenden elektrischen Ladung) der elektrische Strom?

Lösung

Elektrischer Strom ist fließende elektrische Ladung, er entsteht durch die Bewegung elek-
trischer Ladungsträger. Elektrischer Strom ist die gerichtete Bewegung von Ladungsträ-
gern. In Metallen sind die Ladungsträger Elektronen. In Flüssigkeiten oder Gasen können
auch positive oder negative Ionen als Ladungsträger zum Stromfluss beitragen. Ursache
für die Bewegung von Ladungen in eine Vorzugsrichtung sind in erster Linie elektrische

Felder. Die Bewegung der Ladungsträger wird als Driftbewegung bezeichnet. Die mittlere

Geschwindigkeit der Ladungsträger in eine Richtung heißt Driftgeschwindigkeit.

Aufgabe 1.14

In welche Arten und mit welchen Eigenschaften kann elektrischer Strom eingeteilt wer-
den?

Lösung

Bewegung geladener Körper durch eine äußere Kraft

Geladene Körper (z. B. Staubteilchen, Flüssigkeitströpfchen) können nicht durch Ein-
wirken eines elektrischen Feldes sondern durch eine äußere Kraft als Träger von La-
dung bewegt und somit Ladung transportiert werden. Diese Art von Strom wird im
eigentlichen Sinne als Konvektionsstrom bezeichnet. Er ist technisch nicht von Interes-
se.

Leitungsstrom

Fließen bei Vorhandensein eines elektrischen Feldes die Ladungsträger durch einen

Leiter, so spricht man von einem Leitungsstrom oder Leiterstrom. Da Ladungen immer
an Materie gebunden sind, mit der Strömung von Ladungsträgern also immer eine Be-
wegung von Masse (ein Stofftransport) verbunden ist, wird dieser Strom oft ebenfalls
als Konvektionsstrom bezeichnet. Man nennt ihn auch Teilchenstrom.

Verschiebungsstrom

Durch zeitliche Ladungsänderungen von zwei Elektroden, zwischen denen sich ein

Nichtleiter befindet, entsteht ein Verschiebungsstrom. Es ist ein elektrischer Strom

1.5

Nichtleiter, Leiter und Halbleiter

9
ohne Bewegung von Masse, er braucht somit auch keinen materiellen Leiter. Dieser

Strom entspricht einem sich zeitlich ändernden elektrischen Feld, er wird durch die
zeitliche Änderung einer elektrischen Feldstärke verursacht. – In einem Dielektrikum
zwischen den Elektroden ist der Verschiebungsstrom durch eine Verschiebung von La-
dungen in der Elektronenhülle der Atome ( Verschiebungspolarisation) oder durch eine

Ausrichtung bereits vorhandener Dipole ( Orientierungspolarisation) noch anschau-
lich vorstellbar. Diese Verlagerung elektrischer Ladungen kann als Fortsetzung des

Leitungsstromes in den Verbindungsleitungen der Elektroden betrachtet werden. Im

Vakuum, in dem der Verschiebungsstrom ebenfalls existiert, ist dieser nicht mit einer

Verlagerung elektrischer Ladungen verknüpft und kann nicht mehr anschaulich gedeu-
tet werden.

Diffusionsstrom

Existiert ein örtlicher Konzentrationsunterschied von Ladungsträgern, so kann eine La-
dungsbewegung auch ohne elektrisches Feld auftreten. Eine Teilchenbewegung, die
durch Konzentrationsunterschiede hervorgerufen wird, nennt man Diffusionsstrom. Ein
solcher Strom tritt z. B. in der Sperrschicht von bipolaren Halbleiterbauelementen (Di-
oden, Transistoren) auf, da auf beiden Seiten der Grenzschicht sehr starke Konzentra-
tionsunterschiede freier Ladungsträger bestehen. An der Grenzschicht trifft ein Gebiet
mit sehr vielen freien negativen Ladungsträgern auf ein Gebiet mit sehr vielen freien
positiven Ladungsträgern. Ein Teil der freien Ladungen eines jeden Bereiches wan-
dert dann in den jeweiligen anderen Bereich. Eine höhere Temperatur beschleunigt die

Diffusion.

Feldstrom, Driftstrom

Den unter dem Einfluss eines elektrischen Feldes fließenden Strom in einem Halbleiter
nennt man Feldstrom oder Driftstrom.

Raumladungsstrom

In einem Glaskolben mit Vakuum befinden sich zwei entgegengesetzt geladene Elek-
troden, zwischen denen sich eine Ansammlung von Elektronen befindet. Durch das
elektrische Feld zwischen den Elektroden werden die Elektronen von der Anode an-
gezogen. Dieser Strom stellt einen Raumladungsstrom dar. Eine Anwendung ist die

Kathodenstrahlröhre (Braun’sche Röhre).

1.5

Nichtleiter, Leiter und Halbleiter

Aufgabe 1.15

In welche drei Gruppen können Stoffe entsprechend ihrer elektrischen Leitfähigkeit ein-
geteilt werden? Wie sind diese Stoffe aufgebaut, welche Eigenschaften haben sie?

Lösung

Stoffe können bezüglich ihrer Fähigkeit elektrischen Strom zu leiten in Nichtleiter, Leiter
und Halbleiter eingeteilt werden.

10

1

Elektrischer Strom

Nichtleiter werden auch Isolatoren oder Dielektrika genannt. Bei ihnen sind fast alle

Elektronen der Elektronenhülle fest an Atomkerne gebunden. Freie Elektronen zur Bil-
dung fließender Ladung für einen Stromfluss sind nur sehr wenige vorhanden. Öl, Papier
und viele Kunststoffe sind Isolatoren. Das Vakuum ist ein idealer Nichtleiter.

Leiter sind vor allem Metalle. Bei Metallen ist die Bindungsenergie der Elektronen
der äußeren Elektronenschalen relativ gering, so dass sich diese von ihren Atomen lösen
können. Metalle besitzen sehr viele freie Elektronen (ca. 1023 je cm3). Elektronen werden
als frei bezeichnet, wenn sie nicht an ein Atom gebunden sind, sich zwischen den Atomen
hindurchbewegen und somit zu einem Leitungsstrom beitragen können. Beim Elektronen-
gasmodell besteht das Metall aus einem Gitter positiv geladener Atomrümpfe, zwischen
dem sich ein Gas aus frei beweglichen Valenzelektronen befindet. Der Widerstand von

Metallen wird mit steigender Temperatur größer.

Halbleiter sind Stoffe mit speziellen Eigenschaften des Leitvermögens, ihre Leitfä-
higkeit liegt zwischen der von Leitern und Nichtleitern. Sie verhalten sich bei niedrigen

Temperaturen ähnlich wie Isolatoren. Bei Erwärmung erhöht die zugeführte Energie die

Schwingungen der Gitteratome. Lösen sich dabei Elektronen aus ihren Plätzen, so können
sie als freie Elektronen zu einem Ladungstransport beitragen, es kann ein Strom fließen.

Der Widerstand von Halbleitern wird mit steigender Temperatur kleiner. Bei der reinen Ei-
genleitung des Halbleiters befindet sich immer die gleiche Anzahl positiver und negativer

Ladungen im Werkstoff. Eine Erhöhung der Leitfähigkeit wird durch das gezielte Einbrin-
gen von Fremdatomen ( Dotieren) in das Kristallgitter eines Halbleiters erreicht ( Fremd-
leitung). Elementhalbleiter sind Germanium und Silizium. Ein Verbindungshalbleiter ist
z. B. Galliumarsenid (GaAs).

Aufgabe 1.16

Nennen Sie je zwei Beispiele für einen Isolator, einen elektrischen Leiter und einen Halb-
leiter.

Lösung

Isolator:

Glas, Porzellan

Leiter:

Gold, Kupfer

Halbleiter: Germanium, Silizium

1.6

Widerstand und Leitfähigkeit

Aufgabe 1.17

Was versteht man unter dem elektrischen Widerstand, was ist seine Ursache?

Lösung

Durch den elektrischen Widerstand wird die Eigenschaft eines Leiters beschrieben, elek-
trischen Strom mehr oder weniger gut hindurchzulassen, ihn entweder zu leiten oder einen

1.7

Elektrische Spannung, Potenzial

11

Widerstand entgegenzusetzen. Der elektrische Widerstand eines Materialstückes ist ein

Maß dafür, wie stark sich das Material einem Stromdurchgang widersetzt. Der Widerstand
wird wesentlich von den Materialeigenschaften bestimmt, ist also eine materialspezifische

Größe. Er hängt von der Anzahl freier Elektronen und von ihrer Beweglichkeit ab.

Die Ursache des elektrischen Widerstandes ist die Reibungskraft auf die Elektronen bei
ihrer Bewegung im Metall. Diese Reibungskraft kann durch die Vorstellung erklärt wer-
den, dass die sich bewegenden Elektronen durch die Atomrümpfe abgelenkt und gebremst
werden. So ist auch verständlich, warum sich der Widerstand von Metallen mit steigen-
der Temperatur erhöht: Die Wahrscheinlichkeit eines Zusammenstoßes eines fließenden

Elektrons mit einem stärker um seine Ruhelage schwingenden Atomrumpf nimmt zu.

Aufgabe 1.18
a) Was versteht man unter Joule’scher Wärme?

b) Wie sind Widerstand und Leitfähigkeit miteinander verknüpft?

Lösung
a) Joule’sche Wärme tritt bei allen stromdurchflossenen Leitern auf. Sie entsteht durch

Zusammenstöße fließender Elektronen mit den Atomrümpfen. Die Elektronen geben
dabei die ihnen von der Spannungsquelle zugeführte Energie an die Atomrümpfe ab,
wodurch sich deren Wärmeschwingungen verstärken und sich das Leitermaterial er-
wärmt.

b) Der Widerstand ist der Kehrwert der Leitfähigkeit und umgekehrt.

1.7

Elektrische Spannung, Potenzial

Aufgabe 1.19
a) Erläutern Sie die Begriffe „Skalarfeld“, „Potenzial“ und „Potenzialfeld“. Was ist eine

„Äquipotenzialfläche“ bzw. eine „Äquipotenziallinie“?

b) Welche zwei grundlegenden Arten von Feldern gibt es in der Elektrotechnik?

c) Wie kann sinnbildlich die elektrische Spannung bezeichnet bzw. beschrieben werden?

Lösung
a) Bei einem Vektorfeld (ein gerichtetes Feld) wird jedem Raumpunkt ein Vektor (ein

Feldvektor) zugeordnet (siehe Aufgabe 1.11). Ist die den Raumzustand beschreiben-
de physikalische Größe ein Skalar, so wird jedem Raumpunkt ein Skalar (eine Zahl)

zugeordnet. Wir sprechen dann von einem Skalarfeld (ein nicht gerichtetes Feld). Ein

Beispiel für ein Skalarfeld ist die Temperaturverteilung in einem Raum. Dabei wird
jedem Raumpunkt durch eine Zahl eine bestimmte Temperatur zugeordnet. Die Zahl,
die in einem Skalarfeld einem Raumpunkt zugeordnet ist, nennt man Potenzial. Ein

Potenzialfeld liegt vor, wenn jedem Raumpunkt eines Vektorfeldes ein Potenzial zuge-

12

1

Elektrischer Strom
ordnet werden kann. Ein Vektorfeld ist dann durch das Potenzial in jedem Punkt des

Feldes eindeutig bestimmt.

Alle Punkte in einem räumlichen Skalarfeld, denen die gleiche Zahl zugeordnet ist

(die das gleiche Potenzial haben), bilden eine Äquipotenzialfläche. Ein Skalarfeld
wird durch eine Schar von Äquipotenzialflächen beschrieben bzw. grafisch darge-
stellt. Äquipotenziallinien ergeben sich als Schnittkurven von festgelegten Ebenen mit

Äquipotenzialflächen. Ein Beispiel für Äquipotenziallinien sind ebene Kreise um eine

Punktladung, welche Schnittlinien mit den Kugeloberflächen darstellen, die wiederum

Äquipotenzialflächen einer sich im Mittelpunkt der Kugeln befindlichen Punktladung
sind.

b) Felder in der Elektrotechnik sind elektrische und magnetische Felder.

c) Die elektrische Spannung kann sinnbildlich als der „Drang“ oder „Druck“ bezeichnet
werden, mit dem sich ein Ladungsträgerunterschied (z. B. eine Ansammlung von Elek-
tronen gegenüber einem Elektronenmangel) ausgleichen will. Die elektrische Span-
nung ist ein Maß für das Ausgleichsbestreben unterschiedlicher elektrischer Ladungen.

Aufgabe 1.20
a) Geben Sie eine in der Physik übliche Definition des elektrischen Potenzials und der
elektrischen Spannung mit Hilfe des homogenen elektrischen Feldes an.

b) Was versteht man in einer elektronischen Schaltung unter „Masse“?

Lösung
a) In einem (statischen) elektrischen Feld werden auf Ladungen Kräfte ausgeübt. Die

Kraft auf eine Ladung ist direkt proportional zum Betrag der Ladung Q und direkt
proportional zur Stärke des Feldes (Feldstärke) E. Für ein homogenes elektrisches Feld
gilt: F D Q E.

Wird eine Ladung Q im homogenen elektrischen Feld vom Punkt P1 zum Punkt P2
um die Verbindungsstrecke s zwischen den Punkten verschoben, so muss Kraft aufge-
wendet und somit mechanische Arbeit W12 verrichtet werden. Entsprechend „Arbeit D

Kraft mal Weg“ gilt: W D

12

F s D Q E s. Nach der Verschiebung hat die Ladung
die an ihr verrichtete Arbeit in Form von potenzieller Energie gespeichert. War das

Potenzial ' der Ladung vor der Verschiebung in einem Punkt P0 gleich null (die La-
dung hatte keine Arbeitsfähigkeit), so ist die potenzielle Energie der Ladung nach der

Verschiebung zu P

D

1: W1

'1 Q. Das elektrische Potenzial der Ladung (ihre Fähig-
keit Arbeit zu verrichten) ist im Punkt P

D W1

1 in Bezug auf P0: '1

. Wird die Ladung

Q
unter Aufwendung von Energie um eine weitere Wegstrecke zu einem Punkt P2 ver-
schoben, so ist ihre potenzielle Energie gegenüber P

D

0: W2

'2 Q. Das Potenzial der

Ladung ist jetzt im Punkt P

D W2

2 gegenüber dem Punkt P0: '2

.

Q

Die Differenz der beiden potenziellen Energien ist: W D W

D

2

W1

.'2

'1/ Q.

Wird die Energiedifferenz W auf die zu verschiebende Ladung bezogen, so wird die

Differenz der Potenziale unabhängig von der Ladung.

1.7

Elektrische Spannung, Potenzial

13

Das Verhältnis U D W=Q wird als elektrische Spannung U bezeichnet: U

D

21

'

2

'1.

In der Umgebung einer elektrischen Ladung kann jedem Raumpunkt ein elektrisches

Potenzial zugeordnet werden.

Die elektrische Spannung zwischen zwei Punkten im elektrischen Feld ist gleich der

Differenz der elektrischen Potenziale dieser Punkte.

Das elektrische Potenzial ist ein Maß für die potenzielle Energie (für die Arbeitsfähig-
keit, die Leistungsfähigkeit) einer Ladung im elektrischen Feld. Als Potenzialdifferenz
ist die elektrische Spannung ein Maß für die Arbeit, die eine Ladung im Feld verrichten
kann.

Eine elektrische Spannung besteht immer zwischen zwei Punkten.

Sowohl die Spannung als auch das Potenzial haben die Einheit Volt.

b) Zu einem Potenzial gehört immer ein Bezugspunkt (ein Nullniveau) mit dem Potenzial

' D 0 V. In der Elektronik wird das Bezugspotenzial als Massepotenzial bezeichnet,
ihm wird meist das elektrische Potenzial der Erdoberfläche zugeordnet. In elektroni-
schen Schaltungen ist die Masse der Bezugspunkt (das Bezugspotenzial), auf das sich
alle Spannungen anderer Punkte in der Schaltung beziehen. Die Masse wird in einem

Schaltplan mit dem Schaltzeichen »?« versehen.

Aufgabe 1.21
a) Was versteht man unter einem Spannungsabfall?

b) Was ist eine passive Spannung?

Lösung
a) Wird ein Leiter von einem Strom durchflossen, so besteht zwischen den Enden des

Leiters eine Potenzialdifferenz. Man sagt, an dem Leiter fällt eine Spannung ab. Die-
ser Spannungsabfall entspricht dem Potenzialgefälle vom Anfang bis zum Ende des

Leiters (des Verbrauchers). Der Seite des Leiters mit positiver Ladung (bzw. Elektro-
nenmangel), also dem Pluspol einer angeschlossenen Spannungsquelle, wird ein hohes

Potenzial (hohes Arbeitsvermögen) zugeordnet. Die Seite mit negativer Ladung, also
dem Minuspol der Spannungsquelle, kann als Referenzpunkt mit dem Potenzial null
festgelegt werden. Beim Durchlaufen des Leiters verlieren Ladungsträger immer mehr
an Energie, die in Wärmeenergie umgesetzt wird.

Die Fähigkeit Arbeit zu verrichten (das Potenzial) nimmt entlang des Leiters immer
mehr ab.

Durch diese Potenzialabnahme entsteht ein Spannungsunterschied zwischen zwei be-
liebigen Punkten entlang der Leiterstrecke. Üblicherweise wird die Spannung zwi-
schen Anfang und Ende des Leiters als Spannungsabfall am Verbraucher bezeichnet.

b) Der Spannungsabfall ist eine passive Spannung. Eine passive Spannung ist nicht in
der Lage einen Strom hervorzurufen, sie entsteht erst durch die Wirkung eines Stro-
mes. Einen Stromfluss bewirkt die Spannung einer (technischen) Spannungsquelle,

14

1

Elektrischer Strom

Abb. 1.1 Transistorverstärker
für Wechselspannungen
welche als aktive Spannung bezeichnet wird. Diese Spannung entsteht durch die inne-
re Wirkungsweise der Quelle und ist auch ohne Strom vorhanden, sie kann aber einen

Stromfluss herbeiführen.

Aufgabe 1.22

In den Schaltplänen elektronischer Geräte werden an bestimmten Punkten der Schaltung
auf Masse (Gehäuse, Chassis) bezogene Gleichspannungen als Potenzial angegeben. Der

Masse ist das Potenzial null zugeordnet. Die Spannungen können so schnell gemessen
und die Funktionsweise des Gerätes überprüft werden. Berechnen Sie für den Transistor-
verstärker in Abb. 1.1 aus den angegebenen Potenzialen die Spannungen U1 bis U7.

Lösung

U D

D

D

D

1

9 V 4 V D 5 V; U2

4 V 1 V D 3 V; U3

1 V; U4

4 V 1;7 V D 2;3 V

U D

D

D

5

1;7 V 1 V D 0;7 V; U6

9 V 1;7 V D 7;3 V; U7

1;7 V

1.8

Halbleiter

Aufgabe 1.23

Die Skizze in Abb. 1.2 zeigt symbolisch die unbeweglichen Atomrümpfe der Fremdato-
me als Vierecke und die beweglichen Ladungsträger als kleine Kreise in einem dotierten

Halbleiterkristall.

a) Wie nennt man die Fremdatome (positiv geladenen Atomrümpfe)?

b) Wie nennt man die negativen beweglichen Ladungsträger?

c) Ist hier ein p-Halbleiter oder ein n-Halbleiter dargestellt?

Lösung
a) Die positiv geladenen Atomrümpfe haben Elektronen abgegeben, man nennt sie Do-
natoren.

b) Die negativen Ladungsträger sind Elektronen.

c) Es handelt sich um einen n-Halbleiter.

1.8

Halbleiter

15

Abb. 1.2 Atomrümpfe und bewegliche Ladungsträger

Aufgabe 1.24

Wie bezeichnet man den Vorgang, wenn in einem Halbleiter ein Elektron den Platz eines

Defektelektrons einnimmt?

Lösung

Der Vorgang wird als Rekombination bezeichnet.

Aufgabe 1.25

Wie verhält sich der Widerstand eines Halbleiters und eines metallischen Leiters mit stei-
gender Temperatur? Erläutern Sie jeweils dieses Verhalten.

Lösung

Der Widerstand eines Halbleiters nimmt mit steigender Temperatur stark ab, da sich durch

Aufbrechen von Atombindungen die Anzahl freier Elektronen mit steigender Temperatur
erhöht. Bei einem Metall nimmt der Widerstand mit steigender Temperatur zu, da die
freien Elektronen öfter mit den stärker um ihre Ruhelage schwingenden Atomrümpfen
zusammenstoßen und gebremst werden.

Aufgabe 1.26

Wie wird der Vorgang bezeichnet, wenn in einen Halbleiterkristall gezielt Fremdatome
eingebaut werden? Wie wird durch diesen Vorgang die Leitfähigkeit des Halbleiters be-
einflusst? Welche Halbleiter werden je nach Art der Fremdatome unterschieden?

Lösung

Der Vorgang wird Dotierung genannt. Die Leitfähigkeit des Halbleiters nimmt durch die

Dotierung erheblich zu. Je nach eingebauten Fremdatomen herrscht im dotierten Halblei-
ter ein Löcher- oder ein Elektronenüberschuss vor und es liegt ein p- oder ein n-Halbleiter
vor.

Der unverzweigte Gleichstromkreis

2

Zusammenfassung

Es folgen Definitionen für Größen im unverweigten Gleichstromkreis mit ihren Ein-
heiten und Formelzeichen: Ampere, Volt, Ohm, Ladungsmenge, Arbeit. Das ohmsche

Gesetz mit seinen verschiedenen Umstellungen der Formel ergibt einfache Berech-
nungen von Größen im Grundstromkreis. Es wird anhand von Rechnungen gezeigt
wie wichtig es ist, die Festlegungen von Erzeuger- und Verbraucherzählpfeilsystem zu
beachten. Die Bestimmung elektrischer Arbeit und Leistung wird an Gebrauchsgegen-
ständen wie Lampen oder elektrischen Geräten und an elektronischen Bauelementen
wie Widerständen durchgeführt. Berechnungen des Wirkungsgrades im Gleich- und

Wechselstromkreis und einfachen elektronischen Schaltungen zeigen, wie groß die

Wirksamkeit bei der Umwandlung von Energie von einer Form in eine andere Form
sein kann.

2.1

Grundwissen – kurz und bündig

2.1.1

Größen im Gleichstromkreis

Das Einheitenzeichen für Ampere (Stromstärke) ist „A“, das Formelzeichen ist „ I“.

Das Einheitenzeichen für Volt (Spannung) ist „V“, das Formelzeichen ist „ U“.

Das Einheitenzeichen für Ohm (Widerstand) ist „“, das Formelzeichen ist „ R“.

Das Einheitenzeichen für die Ladungsmenge ist „C“ (Coulomb), das Formelzeichen ist

„ Q“.

Das Einheitenzeichen für die Arbeit ist „J“ (Joule), das Formelzeichen ist „ W“.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017

17

L. Stiny, Aufgabensammlung zur Elektrotechnik und Elektronik,

DOI 10.1007/978-3-658-14381-7_2

18

2

Der unverzweigte Gleichstromkreis

2.1.2

Wichtige Formeln

I D Q ; U D W ; R D U ; G D 1 ; W D U I t; P D U I ; D Pab ; R D l ;
t

Q

I

R

Pzu

A

S D I ; E D U D F

A
l

Q

2.2

Die Größe für den elektrischen Strom

Aufgabe 2.1
a) Wie viel Elektronen (Anzahl n) passieren in fünf Sekunden den kreisförmigen Quer-
schnitt eines Kupferdrahtes, der von einem Gleichstrom I D 2 A durchflossen wird?

b) Welche Strömungsgeschwindigkeit v haben die Elektronen in diesem Draht, wenn der

Drahtdurchmesser 0,6 mm beträgt und in Kupfer 8;6 1022 freie Elektronen je cm3
angenommen werden?

Gegeben: Elementarladung e D 1;602 1019 C.

Lösung
a)

Q D I tI
n D Q D I t I
n D

2 A 5 s

D 6;24 1019
e
e
j 1;602 1019 A sj
b) 1 cm3 ¶ 8;6 1022 freie Elektronen
x cm3 ¶ 6;24 1019 freie Elektronen ) x D 6;241019 D 7;3 104

8;61022

Die 7;3 104 cm3 entsprechen dem Volumen V des Kupferdrahtes, welches sich aus

Querschnittsfläche (Kreisfläche) mal Länge berechnet.

V D r2 l ) l D

V

D 7;3 104 cm3 I l D 7;3 101 mm3 D 2;6 mm
r2

0;32 mm2

0;32 mm2

Die Geschwindigkeit v ist: v D l D 2;6 mm D 0;5 mm
t

5 s
s

Aufgabe 2.2

In dem Wolfram-Glühfaden einer Glühlampe mit 40 W, 230 V fließt ein Gleichstrom von

I D 174 mA.

a) Welche Ladungsmenge Q fließt in 30 Minuten durch den Glühfaden?

b) Mit welcher Geschwindigkeit v bewegen sich die Elektronen in dem Glühfaden?

Die Elektronendichte in dem Wolframdraht mit dem Durchmesser d D 24;5 m be-
trägt

Elektronen
n D

W

6;28 1022

:

cm3

2.2

Die Größe für den elektrischen Strom

19

Lösung
a) Bei Gleichstrom gilt Q D I t; Q D 0;174 A 30 60 s D 313;2 C
b) Es wird ein Volumenelement des Wolframdrahtes V D Al mit der Querschnittsfläche

A und der Länge l betrachtet. In diesem Volumenelement befindet sich die Ladungs-
menge

Q D n

W
e A l mit e D 1;602 1019 A s (Betrag der Elementarladung).

Mit I D Q erhält man:

t
e A l

I D nW

D n

W
e A v mit v D l (Geschwindigkeit = Weg : Zeit).

t
t

Nach v aufgelöst:

v D

I
n

W
e A

D

0;174 A

6;28 1022 100 100 100 1 1;602 1019 A s 24;52 .106/2 m2
m3

4
m
m
cm
v D

0;174

D 3;67 102 I v D 3;67

4742;9 1022 106 1019 1012 s
s
s

Aufgabe 2.3

Wie viel Elektronen (Anzahl n) sind an einem Stromimpuls mit der Dauer t D 5 ns und
der Stromstärke I D 10 A durch einen metallischen Draht beteiligt?

Lösung

Die Ladungsträger im Metall sind Elektronen.

Ein Elektron hat die Elementarladung e D 1;6 1019 C.

Die Gesamtladung Q wird durch n Elektronen transportiert: Q D n e (Gl. 1)

Der Strom ist konstant, es gilt: Q D I t (Gl. 2)

Gleichsetzen und nach n auflösen gibt:

n D I t I
n D 105 A 5 109 s D 3;125 105 D 312:500
e
j 1;6 1019 A sj

Damit die Anzahl positiv ist, musste der Betrag von e eingesetzt werden.

Aufgabe 2.4

Das Diagramm in Abb. 2.1 zeigt das Entladen einer Batterie (Batterieladung in Abhängig-
keit der Zeit). Gesucht ist der Stromverlauf I.t/.

20

2

Der unverzweigte Gleichstromkreis

Abb. 2.1 Entladekurve einer

Batterie

Abb. 2.2 Zeitverlauf der La-
dungsverschiebung

Lösung

I.t/ D Q
t

0 t < 2 h: Die Ladung bleibt konstant, I.t/ D 0

2 h t 6 h: I.t/ D 0;5 A h0;2 Ah D 0;075 A

6 h2 h
t > 6 h:

Die Ladung bleibt konstant, I.t/ D 0

Aufgabe 2.5

Ein Ladungsspeicher wird nach folgender Funktion aufgeladen: Q.t/ D 1 A s 1 e t2s

Gesucht: Stromverlauf I.t/, I.t D 0 s/, I.t ! 1/

Lösung

I.t/ D dQ.t/ I

I.t/ D 0;5 A e t2s I I.0/ D 0;5 AI

I.1/ D 0
dt

Aufgabe 2.6

Durch den Querschnitt eines Leiters wird elektrische Ladung mit dem Zeitverlauf nach

Abb. 2.2 verschoben. Berechnen Sie die Stromstärken I1, I2, I3 in den Zeitabschnitten 0
bis 1 s, 1 s bis 4 s und 4 s bis 5 s. Zeichnen Sie den zeitlichen Verlauf der Stromstärke.

2.2

Die Größe für den elektrischen Strom

21

Abb. 2.3 Zeitlicher Verlauf
der Stromstärke

Lösung

0 bis 1 s: I D 103 A s D

1

1 mA

1 s

1 s bis 4 s: I D

2

0 A

4 s bis 5 s: I D

D

3

2 103 A s

2 mA

1 s

Den zeitlichen Verlauf der Stromstärke zeigt Abb. 2.3.

Aufgabe 2.7

Gegeben ist ein Draht mit rechteckigem Querschnitt der Länge l D 10 m, der Höhe h D

1 mm und der Breite b D 5 mm.

Durch den Draht fließt ein zeitlich konstanter Strom mit der Stromdichte S D 200 mA .

mm2
a) Wie groß ist der Strom I durch den Draht?

b) Wie groß ist die Ladungsmenge Q, die in einer Sekunde durch den Drahtquerschnitt
dringt?

c) Wie viel Elektronen (Anzahl n) fließen in einer Sekunde durch den Drahtquerschnitt?

Lösung
a) Die Querschnittsfläche ist A D h b D 5 mm2.

S D dI.A/ ; der Strom I ist keine Funktion von A, somit gilt: S D I bzw. I D S A
dA

A

I D 200 mA=mm2 5 mm2 D 1000 mA D 1 A
b) Q D I t D 1 A 1 s D 1 A s D 1 C
c) Q D n e; n D Q ; n D

1 C

D 6;25 1018
e

1;61019 C

22

2

Der unverzweigte Gleichstromkreis

2.3

Die Größe für die elektrische Spannung

Aufgabe 2.8

Wie lautet die Einheit der elektrischen Spannung, wenn sie nicht durch das Einheitenzei-
chen „V“ sondern ausschließlich durch SI-Basiseinheiten ausgedrückt werden soll?

Lösung
kgm2

ŒU D ŒW D
s2

D kg m2

ŒQ

A s

A s3

Aufgabe 2.9

Wie groß ist die Ladungsmenge Q die durch ein Leiterstück fließt, wenn an dessen Enden
ein Spannungsabfall von 5 V gemessen wird und durch den Ladungsfluss eine Wärme-
energie von 0,8 Ws freigesetzt wird?

Lösung

Q D W D 0;8 Ws D 0;16 A s

U

5 V

Aufgabe 2.10

Die Potenziale von drei Punkten sind:

P W

D

W

D

W

D

1 '1

400 V;

P2 '2

300 V;

P3 '3

50 V:

Wie groß ist der Potenzialunterschied bzw. die Spannung U12 zwischen den Punkten P1
und P2? Wie groß ist die Spannung U13 zwischen den Punkten P1 und P3?

Lösung

U D

D

12

'1

'2

400 V 300 V D 100 V

U D

D

13

'1

'3

400 V .50 V/ D 450 V

Aufgabe 2.11

Eine Ladung von Q D 1 mC wird vom Ort 1 zum Ort 2 transportiert. Der Arbeitsaufwand
beim Trennen der elektrischen Ladung ist W D

12

1 J.

a) Welche Spannung U12 wird zwischen den Punkten 1 und 2 gemessen?

b) Welche Leistung P war für den Trennvorgang erforderlich, wenn dieser 10 s gedauert
hat?

c) Die potenzielle Energie W1 am Ort 1 beträgt 3,5 J. Wie groß ist die potenzielle Energie

W2 am Ort 2?

2.4

Das Ohm’sche Gesetz

23

Lösung

W
a) Die elektrische Spannung ist U D W D W1

2 D W12

12

.

Q

Q

Q

1 J

1 Ws

U D

D

D

12

1 kV

1 mC

1 103 A s

Das Minuszeichen bedeutet, dass das Potenzial am Ort 2 positiv gegenüber dem Po-
tenzial am Ort 1 ist. Der Zählpfeil der Spannung zeigt also vom Ort 2 zum Ort 1.

b) Bei Gleichstrom ist P D U I . Mit I D Q erhält man:

t

P D U Q D 1 kV 1 103 A s D 100 kW
t

105 s

1 Ws

Alternativ: P D W D

D 100 kW
t

105 s

Das Minuszeichen bedeutet, dass die Leistung dem System zugeführt wird.

c) W D

)

D

D

12

W1

W2

W2

W1

W12; W2

3;5 J .1 J/ D 4;5 J

2.4

Das Ohm’sche Gesetz

Aufgabe 2.12

Welchen Wert hat ein ohmscher Widerstand, wenn am Widerstand eine Spannung von

U D 0;5 V liegt und durch ihn ein Strom von I D 2 A fließt?

Lösung

Durch Anwendung des ohmschen Gesetzes erhält man R D U D 0;5 V D 0;25 .

I

2 A

Aufgabe 2.13

Welche Spannung liegt an einem Widerstand der Größe R D 50 k˝, wenn er von dem

Strom I D 20 mA durchflossen wird?

Lösung

Das ohmsche Gesetz ergibt U D R I D 50:000 0;02 A D 1000 V.

Aufgabe 2.14

Bei Gleichströmen ab 40 mA besteht für den Menschen Lebensgefahr. Welcher Span-
nung gegen Erde entspricht dieser Strom, wenn der Widerstand des menschlichen Körpers

2500 beträgt?

Lösung

Nach dem ohmschen Gesetz ist U D R I D 2500 0;04 A; U D 100 V

24

2

Der unverzweigte Gleichstromkreis

Abb. 2.4 Schaltung mit Wi-
derständen und Glühlampe

Aufgabe 2.15

Wie groß darf der Strom durch einen Widerstand R D 270 höchstens sein, damit die an
ihm liegende Spannung den Wert U D 20 V nicht überschreitet?

Lösung

Mit dem ohmschen Gesetz erhält man I D U D 20 V D 0;074 A; I D 74 mA

R

270

Aufgabe 2.16

Eine Spannungsversorgung U D 230 V ist mit einer Sicherung von 6 Ampere abgesichert.

Welchen Widerstand müssen Geräte mindestens aufweisen, die an diese Spannungsversor-
gung angeschlossen werden?

Lösung

R D U D 230 V D 38;3

I

6 A

Die Geräte müssen mindestens einen Widerstand von 38,3 haben.

Aufgabe 2.17

Gegeben ist in Abb. 2.4 eine Schaltung zur Versorgung einer Glühlampe.

Bekannt sind die Werte R D

D

1

470 , R2

68 , Lampenwiderstand D 30 .

Welchen Wert muss R3 haben, damit der Lampenstrom 2 A beträgt?

Lösung

I D U D 230 V D 2 A ) R

D
k

C
ges

30 C R

.R

R

R

1

2

3/ muss 115 sein.

ges

Rges

R k

C

D

D

1

.R2

R3/ muss also 85 sein. ) 470 .68 C R3/

85 ) R

35;8

470 C 68 C R

3

3

Alternative Lösung

Der Widerstand der Glühlampe wird mit R4, die daran abfallende Spannung mit UR4 be-
zeichnet.

U

D

W

D

R4

30 2 A D 60 V ) Spannung an R1 UR1

230 V 60 V D 170 V

2.5

Erzeuger- und Verbraucher- Zählpfeilsystem

25

Strom durch R

D 170 V D

1: IR1

0;362 A

470

Strom durch die Reihenschaltung von R

D

2, R3: IR23

2 A 0;362 A D 1;638 A

Spannung an R

D

2: UR2

1;638 A 68 D 111;4 V

Spannung an R

D

3: UR3

170 V 111;4 V D 58;6 V

R D UR3 D 58;6 V D

3

35;8

IR23

1;638 A

2.5

Erzeuger- und Verbraucher- Zählpfeilsystem

Aufgabe 2.18

Bei den Widerständen und Spannungsquellen in Abb. 2.5 sind Zählpfeile für Strom und

Spannung angegeben. Jedem Bauelement kann eine Wirkleistung zugeordnet werden. Wie
lautet jeweils die Formel zur Berechnung dieser Wirkleistung? Was bedeutet es, wenn die

Wirkleistung positiv bzw. negativ ist?

Lösung

Bei dem Widerstand links sind die Zählpfeile für Strom und Spannung gleich gerichtet.

Die Wirkleistung berechnet sich nach: P D U I . Beim Widerstand rechts daneben sind
die Zählpfeile für Strom und Spannung entgegengesetzt gerichtet. Die Wirkleistung ist:

P D U I .

Bei der ersten Spannungsquelle sind die Zählpfeile für Strom und Spannung gleich
gerichtet. Die Wirkleistung ist: P D U
q

I . Bei der Spannungsquelle ganz rechts sind
die Zählpfeile für Strom und Spannung entgegengesetzt gerichtet. Die Wirkleistung ist:

P D U
q

I .

Haben die Zählpfeile für Spannung und Strom an einem Bauelement die gleiche Rich-
tung, so ist die Wirkleistung positiv (P > 0), andernfalls ist sie negativ (P < 0).

Ist P > 0, so bedeutet dies bei einem ohmschen Widerstand (der ein Verbraucher ist)

einen „Leistungsverbrauch“, im Widerstand wird elektrische Energie in Wärme umge-
wandelt. Deshalb wird der ohmsche Widerstand als Wirkwiderstand bezeichnet (Wirkung

= Wärmeentwicklung).

Ist bei einer Spannungsquelle P > 0, so nimmt sie Leistung auf. Dies kann geschehen,
wenn in eine Spannungsquelle z. B. durch eine andere, parallel geschaltete Spannungs-
quelle ein Strom (bzw. Energie) eingespeist wird. Auch dann wird elektrische Energie in

Wärme umgewandelt, die in diesem Fall verloren ist (Entstehung von Verlustwärme in

Abb. 2.5 Widerstände und

Spannungsquellen mit Zähl-
pfeilen

26

2

Der unverzweigte Gleichstromkreis

Abb. 2.6 Zwei verbundene

Zweipole
der Spannungsquelle, in die eingespeist wird). Der Fall P > 0 kann aber auch dann auf-
treten, wenn ein Akkumulator aufgeladen wird, sich die Spannungsquelle also in einem

Ladezustand befindet.

Der Fall P < 0 würde bei einem ohmschen Widerstand bedeuten, dass Wirkleistung
von diesem Verbraucher bereitgestellt (abgegeben) wird. Da dies ein ohmscher Wider-
stand nicht kann, müssen beim ohmschen Widerstand die Zählpfeile für Strom und Span-
nung die gleiche Richtung besitzen, wie dies beim Verbraucherzählpfeilsystem vereinbart
ist.

Ist bei einer Spannungsquelle P < 0, so gibt sie Leistung ab, sie stellt Wirkleistung
bereit. Die Bereitstellung von Wirkleistung kann nur durch Spannungs- und Stromquellen
erfolgen. In diesen Quellen wurde durch Aufwendung von Energie eine Energie gespei-
chert, die wieder abgegeben werden kann.

Für Verbraucher gilt das Verbraucherzählpfeilsystem, für Quellen das Erzeugerzähl-
pfeilsystem. Abgegebene Wirkleistung ist negativ, „verbrauchte“ (in Wärme umgewan-
delte) Wirkleistung ist positiv. Beide Leistungen sind gleich groß (Energieerhaltungssatz).

Aufgabe 2.19

Zwei Zweipole A und B sind wie in Abb. 2.6 gezeigt miteinander verbunden. Die Strom-
richtung und die Polarität der Spannung sind gegeben. Geben Sie für die folgenden Wer-
tepaare von Spannung und Strom jeweils an, ob A bzw. B ein Erzeuger oder Verbraucher
ist und ob die Leistung von A nach B oder umgekehrt fließt.

a) I D 15 A, U D 20 V
b) I D 5 A, U D 100 V
c) I D 4 A, U D 50 V
d) I D 16 A, U D 25 V

Lösung

Beim Verbraucherzählpfeilsystem haben die Zählpfeile für Spannung und Strom die glei-
che Richtung, beim Erzeugerzählpfeilsystem sind sie entgegengesetzt gerichtet. Die Leis-
tung ist P D U I .

a) A ist Erzeuger, B ist Verbraucher. 300 W fließen von A nach B.

b) A ist Verbraucher, B ist Erzeuger. 500 W fließen von B nach A.

c) A ist Verbraucher, B ist Erzeuger. 200 W fließen von B nach A.

d) A ist Erzeuger, B ist Verbraucher. 400 W fließen von A nach B.

2.5

Erzeuger- und Verbraucher- Zählpfeilsystem

27

Abb. 2.7 Ein Starthilfevor-
gang

Abb. 2.8 Stromfluss beim

Starthilfevorgang

Aufgabe 2.20

In Abb. 2.7 ist eine einfache Modellierung eines Starthilfevorgangs bei einem Auto ge-
zeigt. UA sei die Klemmenspannung der spendenden Batterie, UB die der leeren Batterie.

R ist der ohmsche Widerstand des Starthilfekabels.

Es sind U D

D

A

11 V, UB

8 V, R D 10 m.

a) Berechnen Sie den Strom I und geben Sie dessen Richtung an.

b) Welche Spannungsquelle nimmt Leistung auf, welche gibt Leistung ab?

c) Welche Leistungen werden in den Spannungsquellen sowie im Widerstand R umge-
setzt?

Lösung
a) I D UAUB D 300 A

R

Der Strom fließt im Widerstand von links nach rechts, siehe Abb. 2.8.

b) Beim Verbraucher haben die Zählpfeile für Spannung und Strom die gleiche Richtung,
beim Erzeuger sind sie entgegengesetzt gerichtet. UB nimmt Leistung auf, UA gibt

Leistung ab.

c) P D

D

A

UA I D 11 V 300 A D 3300 W; PB

UB I D 8 V 300 A D 2400 W

P D

R

UR I D 3 V 300 A D 900 W

Eine Leistungsbilanz muss null ergeben, die abgegebene Leistung muss gleich der
aufgenommenen Leistung sein: 3300 W C 2400 W C 900 W D 0.

Aufgabe 2.21

Gegeben ist der Stromkreis in Abb. 2.9 mit den Werten: U D

D

1

3 V, U2

2 V, R D 10 .

a) Berechnen Sie den Strom I und geben Sie dessen Richtung an.

b) Welche Spannungsquelle nimmt Leistung auf, welche gibt Leistung ab?

c) Welche Leistungen werden in den Spannungsquellen sowie im Widerstand R umge-
setzt?

28

2

Der unverzweigte Gleichstromkreis

Abb. 2.9 Stromkreis mit zwei

Spannungsquellen

Abb. 2.10 Stromkreis mit

Berechnungsgrößen

Lösung
a) Den Stromkreis mit den Berechnungsgrößen zeigt Abb. 2.10.

Eine Maschengleichung ergibt: U C

C

D

D

1

U2

UR

0. Somit ist: UR

U1

U2.

Ohm’sches Gesetz: I D UR D U1U2 D 0;1 A

R

R

Beim Verbraucher R sind die Strom- und Spannungszählpfeile gleichgerichtet, der

Strom fließt von oben nach unten durch R.

b) U1 gibt Leistung ab (Zählpfeile entgegengesetzt gerichtet), U2 nimmt Leistung auf

(Zählpfeile gleich gerichtet).

c) P D

D

1

U1 I D 3 V 0;1 A D 0;3 W; P2

U2 I D 2 V 0;1 A D 0;2 W

P D

R

UR I D 1 V 0;1 A D 0;1 W

Leistungsbilanz: 0;3 W C 0;2 W C 0;1 W D 0

2.6

Elektrische Arbeit

Aufgabe 2.22

Eine Beleuchtung mit einer Glühlampe 230 V, 40 W ist sieben Stunden eingeschaltet. Wie
groß ist der Verbrauch an elektrischer Arbeit?

Lösung

W D U I t; P D U I ; mit P D 40 W folgt: W D P t D 40 W 7 h D 280 Wh

Aufgabe 2.23

Ein Computer benötigt im Betrieb im Mittel 140 W, der zugehörige Monitor 50 W. Im

Stand-by-Betrieb nehmen die Netzteile der beiden Geräte noch je 10 W auf. Computer
und Monitor sind täglich 5 h eingeschaltet.

2.6

Elektrische Arbeit

29
a) Wie groß ist der jährliche Energiebedarf? Wie groß sind die Energiekosten, wenn der

Preis für 1 kWh 0,2 Euro beträgt?

b) Wie viel Geld können Sie sparen, wenn Sie den Computer und den Monitor über eine

Steckerleiste mit Schalter bei Nichtbenutzung komplett vom Stromnetz trennen?

Lösung
a) ..140 W C 50 W/ 5 h C .10 W C 10 W/ 19 h/ 365 D 485;45 kWh ¶ 97;09 Euro
b) .10 W C 10 W/ 19 h 365 D 138;7 kWh ¶ 27;74 Euro

Aufgabe 2.24

Eine Doppelleitung aus Kupfer der Länge l D 100 m (Distanz zwischen Anfang und

Ende der Doppelleitung) mit dem Querschnitt 1 mm2 wird von einem Strom I D 6 A
durchflossen.

mm2

D

Cu

0;0178
m

Welche Wärmemenge (Wärmeenergie W) wird pro Stunde an die Umgebung abgegeben?

Lösung
mm2

P D I 2 RI

R D

l

I

2 100 mI

Cu

P D .6 A/2 0;0178

AKreis
m

1 mm2

P D 128;16 W

Durch den Stromfluss entsteht eine Verlustleistung von 128,16 Watt. Die Energie oder
elektrische Arbeit, die in Form von Wärme an die Umgebung pro Stunde abgegeben wird,
beträgt 128,16 Wh (Wattstunden).

W D P t D 128;16 Wh

Die Energie in Joule:

1 J D 1 WsI

1 kWh D 1000 Wh D 3:600:000 Ws D 3;6 106 JI

0;12816 kWh D 461;4 kJ

Aufgabe 2.25

Eine Ladung von einer Million Elektronen wird in einem homogenen elektrischen Feld
der Feldstärke 6;0 kV um 3 mm entgegen der Feldrichtung verschoben. Wie groß ist die
cm
verrichtete Verschiebungsarbeit W12?

Lösung

U D W I

E D U ) W D E l Q

Q
l

30

2

Der unverzweigte Gleichstromkreis

Im elektrischen Feld verlaufen die Feldlinien von der positiven zur negativen Seite. Wer-
den die Elektronen entgegen der Feldrichtung verschoben, so bewegen sie sich zur po-
sitiven Seite hin, von der sie angezogen werden. Bei der Verschiebung wird Leistung
gewonnen bzw. abgegeben, die Arbeit hat negatives Vorzeichen.

V

W D

12

6;0 103

0;3 cm 106 .1;6 1019 As/ D 2;88 1010 Ws
cm

2.7

Elektrische Leistung

Aufgabe 2.26

Eine Glühlampe hat folgende Nenndaten: U D 12 V, P D 55 W.

a) Wie groß ist die Stromaufnahme I der Glühlampe?

b) Wie hoch ist der Widerstand R des Glühfadens für diesen Betriebspunkt?

Lösung
a) Aus P D U I folgt I D P D 55 W D 4;58 A

U

12 V
b) Ohm’sches Gesetz: R D U D 12 V D 2;62

I

4;58 A

Aufgabe 2.27

An einem elektrischen Widerstand (z. B. einem elektrischen Heizofen) wird die Spannung
von U D

D

1

230 V auf U2

245 V erhöht. Um wie viel Prozent steigt die Leistung an? Der

Widerstand wird als konstant angenommen.

Lösung

Der Widerstand R eines elektrischen Verbrauchers nimmt bei der Spannung U1 die Leis-
tung P1 und bei der Spannung U2 die Leistung P2 auf.

P D .U1/2 I

D .U2/2

1

P

R

2

R

Die relative Leistungsänderung beträgt dann

P

.U2/2 .U1/2
p D P2

1 D R

R

D .U2/2 1I p D 0;13468 D 13;5 %

P

.U

1

1/2

.U1/2

R

Aufgabe 2.28

Um wie viel Prozent muss die an einem ohmschen Widerstand anliegende Gleichspannung

U1 auf U2 verringert werden, damit die vom Widerstand aufgenommene Leistung von P1
um P D 25 % auf P2 sinkt?

2.7

Elektrische Leistung

31

Abb. 2.11 Spannungsquel-
le mit Innenwiderstand und

Lastwiderstand

Lösung

Bei der Gleichspannung U

D U21

1 ist die vom Widerstand aufgenommene Leistung P1

.

R

Bei der Gleichspannung U2 soll die vom Widerstand aufgenommene Leistung das .1

P /-fache der vorhergehenden Leistung sein.

p
p

Š

P D U 22 D U 21

D

D

2

.1 P / ) U

U

1 P I

U2

0;75 D 0;866

R

R

2

1

U1

U2 muss auf 86,6 % von U1 reduziert werden. U1 muss also um 13;4 % verringert werden.

Aufgabe 2.29

Die Spannungsquelle mit der Leerlaufspannung Uq und dem Innenwiderstand Ri wird
mit dem Lastwiderstand RL belastet (Abb. 2.11). Wie groß ist die vom Lastwiderstand
aufgenommene Leistung PL in Abhängigkeit von RL?

Lösung

Allgemein: P D R I 2; hier ist:

U

2
q

I D

Uq

I P D

L

RL

R C

C
i

RL

Ri

RL

Aufgabe 2.30

Gegeben ist die Schaltung nach Abb. 2.12.

a) Wie groß ist der Widerstand zwischen den Klemmen A und B?

b) An die Klemmen A und B wird eine Spannung von 10 V angelegt. Wird ein Widerstand
überlastet?

Gegeben sind folgende Werte: R D

D

D

1

12 mit 1;5 W, R2

6 mit 3,0 W, R3

12
mit 1,5 W, R D

4

12 mit 3,0 W

Abb. 2.12 Schaltung mit Wi-
derständen

32

2

Der unverzweigte Gleichstromkreis

Lösung
a) Der Widerstand zwischen den Klemmen A und B ist:

R

R

D
k
k
k

D R1

2

D 72

AB

.R1 R2/ C .R3 R4/I

R1 R2

D 4 I

R C

1

R2

18

R

R k

D R3

4

D 144

D

3

R4

D 6 I

RAB

10

R C

3

R4

24
b) Nach der Spannungsteilerregel fällt an der Parallelschaltung von R1 und R2 folgende

Spannung ab: U

D

D

12

10 V 4

4 V. Damit liegt an der Parallelschaltung von R

10

3
und R

D

4 die Spannung U34

10 V 4 V D 6 V. Es werden die Verlustleistungen in
den Widerständen berechnet.

P

D U 2 D 16

V1

W D 1;3 W < 1;5 W ) nicht überlastet

R

12

P

D 16

V2

W D 2;6 W < 3;0 W ) nicht überlastet

6

P

D 36

V3

W D 3;0 W > 1;5 W ) überlastet

12

P

D 36

V4

W D 3;0 W 3;0 W ) nicht überlastet, aber an der Belastungsgrenze

12

Aufgabe 2.31

Eine Glühlampe mit den Daten 230 V, 40 W hat einen einfach gewendelten Wolframglüh-
draht mit der Länge l D 657 mm und mit einem Durchmesser d D 0;0226 mm.

a) Berechnen Sie den Betriebswiderstand Rª wenn die Glühlampe leuchtet und den Kalt-
widerstand R20 im ausgeschalteten Zustand.

b) Wie groß ist der Strom Iª im Betriebsfall und wie groß ist der Einschaltstrom I20?

Der spezifische Widerstand von Wolfram bei 20 ıC ist D

20

0;055 mm2 .

m

Lösung
a) Betriebswiderstand: R D U2 D 2302 V2 D

#

1;32 k

P

40W

Kaltwiderstand:

mm2

R D
l D
l 4 D

0;657 m 4

D

20

20

0;055

90;1

A

20
d 2
m

0;02262 mm2
b) Strom im Betriebsfall: I D P D 40 W D

#

0;17 A

U

230 V

Einschaltstrom: I D U D 230 V D

20

2;55 A

R20

90;1

2.8

Wirkungsgrad

33

2.8

Wirkungsgrad

Aufgabe 2.32

Ein Netzteil hat folgende Spannungsausgänge:

C5 V=25 AI C12 V=9 AI 5 V=0;5 AI 12 V= 0;5A

Welche Leistung Pzu nimmt das Netzteil auf, wenn der Wirkungsgrad D 70 % beträgt?

Lösung

D abgegebene Leistung D Pab D

Nutzleistung

D

Pab
zugeführte Leistung

P

C
zu

Nutzleistung C Verlustleistung

Pab

PV

P D
ab

5 V 25 A C 12 V 9 A C 5 V 0;5 A C 12 V 0;5 A D 241;5 W

P D Pab D 241;5 W D
zu

345 W

0;7

Aufgabe 2.33

Ein Gleichstrommotor wird bei einer Drehzahl n D 1200 1=min mit dem Drehmoment

M D 30 N m belastet. Am Motor liegt die Spannung U D 150 V an, der aufgenommene

Strom beträgt 30 A. Wie groß ist der Wirkungsgrad des Motors?

Lösung

Die vom Motor aufgenommene elektrische Leistung ist P

D
zu

U I D 150 V 30 A D

4500 W.

Die Drehzahl ist n D 1200 1=min D 1200 1=s D 20 1=s.

60

Die Winkelgeschwindigkeit ergibt sich zu ! D 2 n D 2 20 1 D 125;7 1 .

s
s

Mit W D N m (Leistung D Arbeit pro Zeiteinheit, Watt D Newtonmeter pro Sekunde)

s
folgt die vom Motor an der Welle abgegebene mechanische Leistung:

1

P D

D
ab

M ! D 30 N m 125;7

3771 W:

s

Der Wirkungsgrad des Motors ist D Pab D 3771 W 100 % D 84 %.

Pzu

4500 W

Die Betrachtung des Wirkungsgrades wird jetzt auf den Wechselstromkreis er-
weitert.

Aufgabe 2.34

Eine Glühlampe mit den Nenndaten 24 V und 2,4 W wird über einen Vorwiderstand an
einer Wechselspannung U D 60 V (Effektivwert), f D 50 Hz mit seiner Nennleistung
betrieben.

34

2

Der unverzweigte Gleichstromkreis
a) Berechnen Sie den Wirkungsgrad .

b) Anstelle des Vorwiderstandes wird jetzt ein Kondensator mit der Glühlampe in Reihe
geschaltet. Wie groß muss der Kapazitätswert C für den Betrieb der Glühlampe mit

Nennleistung sein? Wie groß ist jetzt der Wirkungsgrad ?

c) Welche Blindleistung Q nimmt die gesamte Schaltung auf? Wie groß ist der Leistungs-
faktor cos.'/?

Lösung
a) Bei Nennbetrieb ist der Strom durch die Glühlampe I D P D 2;4 W D 0;1 A, ihr

U

24 V

Widerstand ist somit R D U D 24 V D 240 . Damit bei 60 V ebenfalls 0,1 A fließen,

I

0;1 A
muss der Vorwiderstand den Wert 360 haben. In ihm entsteht die Verlustleistung

3,6 W. Der Wirkungsgrad ist D

2;4 W

D 0;4 (40 %).

2;4 WC3;6 W
b) Der Blindwiderstand X

D 1 D

C des Kondensators muss 360 sein: XC

360 .

!C

C D

1

D 8;8 106 F D 8;8 F

2 50 s1 360

Es entsteht keine Verlustleistung: D 100 %.

c) Die Scheinleistung ist S D U I .

Der Leistungsfaktor ist
cos.'/ D P D

2;4 W

D 2;4 W D 0;4:

S

60 V 0;1 A

6 VA

Die Blindleistung ist:

P

Q D S sin.'/ D S sin arccos

D 5;5 var:

S

Aufgabe 2.35

Ein Einphasen-Wechselstrommotor und ein Heizgerät sind an das Stromversorgungsnetz

U D 230 V, f D 50 Hz angeschlossen. Das Heizgerät nimmt eine Leistung P D 1;8 kW
auf. Der Motor hat eine Nennleistung (mechanische Wellenleistung) P D

N

1;2 kW. Sein

Nennstrom ist I D

N

8;0 A, der Leistungsfaktor ist cos .'N/ D 0;8.

a) Wie groß ist der Wirkungsgrad des Motors?

b) Skizzieren Sie das Zeigerbild der Leistungen.

c) Berechnen Sie den Leistungsfaktor cos.'ges/, der sich insgesamt ergibt.

Lösung
a)

D Pab D

PN

D

1;2 kW

D 0;815

P

zu

U IN cos.'N/

230 V 8;0 A 0;8
b) Das Zeigerbild der Leistungen zeigt Abb. 2.13.

2.8

Wirkungsgrad

35

Abb. 2.13 Skizze des Zeiger-
bildes der Leistungen
c) Der sich insgesamt ergebende Leistungsfaktor ist cos.'ges/ D Pges mit

Sges

P

D

C

I

D

ges

PHeizgerät

PMotor PMotor

U IN cos.'N/

P

D

D

Motor

230 V 8;0 A 0;8 D 1472 WI

Pges

1800 W C 1472 W D 3272 W
p

Die Scheinleistung ist S

D
ges

.Pges/2 C .QMotor/2.

Die Blindleistung des Motors ist Q

D

Motor

U IN sin.'N/.

Q

D

Motor

230 V 8;0 A sinŒarccos.0;8/ D 1104 var
p

S

D
ges

.3272 W/2 C .1104 var/2 D 3453 VA
cos.'

D 3272 W D
ges/ D Pges

0;948 .94;8 %/

Sges

3453 VA

Aufgabe 2.36

Ein Verstärker mit dem Eingangswiderstand R D
e

100 k wird mit einer Eingangsspan-
nung U D

D
e

100 mV angesteuert. Am Ausgang wird am Lastwiderstand RL

8 eine

Spannung U D

D
a

10 V gemessen. Die Betriebsspannung ist UB

15 V, die mittlere Strom-
aufnahme beträgt I D

B

1;0 A. Berechnen Sie die entstehende Verlustleistung und den

Wirkungsgrad des Verstärkers.

Lösung

Die Wirkleistung am Verstärkereingang ist P D U2e D .0;1 V/2 D
e

0;1 W.

Re

100:000

Die Wirkleistung am Ausgang ist P D U2a D .10 V/2 D
a

12;5 W.

RL

8

Der Verstärker nimmt die Leistung P D

D

B

UB IB

15 W auf.

Die Verlustleistung ist P D

C

D

V

Pe

PB

Pa

0;1 W C 15 W 12;5 W D 2;5 W.

D Pab D 12;5 W 100 % D 83 %

Pzu

15 W

Aufgabe 2.37

Mit einem integrierten Spannungsregler (so genannter linearer Längsregler) kann aus einer
höheren Gleichspannung eine niedrigere (geregelte, stabilisierte) Gleichspannung gewon-
nen werden, die weitgehend unabhängig von Schwankungen sowohl der Eingangsspan-
nung als auch des lastseitig aufgenommenen Stromes ist. In diesem Beispiel (Abb. 2.14)

36

2

Der unverzweigte Gleichstromkreis

Abb. 2.14 Spannungsregler
mit angeschlossener Last
ist der von der Last aufgenommene Strom I D 100 mA. Dieser Strom fließt auch in den

Eingang des Spannungsreglers.

Berechnen Sie die von der Last aufgenommene Leistung PL, die von der Spannungs-
quelle abgegebene Leistung PU und die im Spannungsregler auftretende Verlustleistung

PV. Wie groß ist der Wirkungsgrad des linearen Spannungsreglers?

Lösung

P D

L

5 V 0;1 A D 0;5 W

P D

U

12 V 0;1 A D 1;2 W

P D

V

1;2 W 0;5 W D 0;7 W

D PL D 0;5 W 100 % D 41;7 %

PU

1;2 W

Aufgabe 2.38

Um aus einer höheren Gleichspannung eine niedrigere Gleichspannung zu gewinnen,
kann statt eines linearen Spannungsreglers ein Schaltregler verwendet werden. Ein solcher
getakteter Stromsteller wird als Tiefsetz-Gleichstromsteller oder Abwärtswandler (buck
converter, step down converter) bezeichnet. Die prinzipielle Arbeitsweise zeigt Abb. 2.15.

U D

D

D

D
e

Eingangsspannung, Ua

Ausgangsspannung, Ie

Eingangsstrom, Ia

Aus-
gangsstrom (Laststrom), U D

St

Steuerspannung, T D Transistor (MOSFET), L D Spei-
cherdrossel, D D Freilaufdiode, R D Last

Der Transistor T wirkt als Halbleiterschalter, der durch die Steuerspannung USt peri-
odisch in einem bestimmten Tastverhältnis eingeschaltet (geschlossen) bzw. ausgeschaltet

(geöffnet) wird. Ist T eingeschaltet, so nimmt die Speicherdrossel L Energie auf, der Last-
strom Ia steigt an. Wird T ausgeschaltet, so gibt die Drossel die in ihr gespeicherte Energie
ab. Für die jetzt in L induzierte Spannung ist die Freilaufdiode in Durchlassrichtung ge-
polt. Der abnehmende Strom Ia fließt in gleicher Richtung weiter durch die Last wie vor

Abb. 2.15 Abwärtswandler

2.8

Wirkungsgrad

37
dem Ausschalten von T. Die Drossel erhält den Stromfluss aufrecht. Die Freilaufdiode
verhindert Induktionsspannungsspitzen und sorgt gleichzeitig für einen gleichförmigen

Stromfluss.

Man kann zeigen, dass die Ausgangsspannung (ihr zeitlicher Mittelwert) nur vom Tast-
verhältnis und der Eingangsspannung abhängig ist, sie ist unabhängig von der Last.

U D tein
a

Ue

T

Als Beispiel wird jetzt die vereinfachende Annahme getroffen, dass die Verlustleistung im
eingeschalteten Transistor durch dessen Widerstandswert der Drain-Source-Schaltstrecke

R

D

D

DS.on/

3 und der Spannungsabfall US

0;7 V an der Freilaufdiode die einzigen

Verluste sind. (In der Praxis kommen die wesentlich schwieriger zu berechnenden dyna-
mischen Verluste beim Schalten des Transistors hinzu.)

Die Spannungen sind U D

D

D

D
e

12 V und Ua

5 V, die Ströme sind Ie

Ia

100 mA.

Zu berechnen sind die Verlustleistung PV und der Wirkungsgrad des Schaltreglers.

Lösung

U D tein

) tein D Ua D 5 V D 5
a

Ue

T

T

Ue

12 V

12

Die Verlustleistung im MOSFET ist während der Einschaltzeit:

P

D

D
ein

I 2e RDS.on/

.0;1 A/2 3 D 0;03 W:

Die Verlustleistung in der Freilaufdiode ist während der Ausschaltzeit:

P

D

D
aus

US Ia

0;7 V 0;1 A D 0;07 W:

Die gesamte Verlustleistung ist:

P D
tein C
taus D

C

D

V

Pein

Paus

30 mW 5

70 mW 7

53;3 mW:

T

T

12

12

Der Wirkungsgrad ist:

D

Pab

D

5 V 0;1 A

100 % D 90;4 %

P C
ab

PV

5 V 0;1 A C 0;0533 W

Der Vorteil eines Schaltreglers ist seine geringe Verlustleistung und ein entsprechend
hoher Wirkungsgrad. Die Ausgangsspannung eines Schaltreglers hat jedoch gegenüber
einem linearen Spannungsregler eine größere Restwelligkeit. Ein Vergleich von Aufgabe

2.37 und Aufgabe 2.38 ergibt:

Schaltregler

Vorteil: hoher Wirkungsgrad, Nachteil: hohe Restwelligkeit.

Linearer Spannungsregler Vorteil: kleine Restwelligkeit, Nachteil: kleiner Wirkungsgrad.

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

3

Zusammenfassung

Der ohmsche Widerstand wird mit seinen Erscheinungsformen, der Festlegung von

Strom-Spannungskennlinie und seiner Bauteilgleichung eingeführt. Mit dem spezifi-
schen Widerstand von Leitermaterialien werden die Widerstände von Leitungen be-
stimmt. Zur Strombegrenzung dient der Vorwiderstand. Die Aufteilung einer Spannung
durch die Reihenschaltung von Widerständen mit der Spannungsteilerregel zur Be-
rechnung von Teilspannungen wird an zahlreichen Beispielen geübt. Ebenso wird die

Aufteilung des Stromes und die Stromteilerregel geschult. Die Bedeutung der Tem-
peraturabhängigkeit des Widerstandes zeigen entsprechende Anwendungen. Der zu-
lässigen Verlustleistung, der Lastminderungskurve und dem Wärmewiderstand ist ein
ausführlicher Abschnitt gewidmet. Die Beschreibung der technischen Ausführung von

Festwiderständen vermittelt einen Bezug zur Praxis.

Es folgen der Kondensator, das elektrostatische Feld und die darin gespeicherte

Energie. Bei technischen Ausführungen von Kondensatoren werden Kapazitätswer-
te berechnet, wobei geschichtete Dielektrika in unterschiedlichen Ausführungsformen
berücksichtigt werden. Das radialsymmetrische wie auch das inhomogene elektrische

Feld ergeben anspruchsvolle physikalische Berechnungen.

Mit der Spule wird das magnetische Feld eingeführt. Es werden die Induktivitä-
ten unterschiedlich aufgebauter Spulen bestimmt. Bei magnetischen Kreisen wird der

Einfluss eines Luftspalts auf magnetische Größen deutlich. Die Berechnung der Induk-
tivität von Leiteranordnungen vervollständigt dieses Kapitel.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017

39

L. Stiny, Aufgabensammlung zur Elektrotechnik und Elektronik,

DOI 10.1007/978-3-658-14381-7_3

40

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

3.1

Grundwissen – kurz und bündig

3.1.1

Der ohmsche Widerstand

Jeder elektrische Leiter hat einen bestimmten Widerstandswert.

Der Widerstandswert ist abhängig von der Temperatur.

Ein Widerstand begrenzt die Stromstärke in einem Stromkreis nach dem ohmschen

Gesetz.

Fließt durch einen Widerstand Strom, so fällt am Widerstand eine Spannung ab.

Den Widerstand als Bauteil kann man in feste und veränderbare Widerstände (Poten-
ziometer, Trimmer) einteilen.

Festwiderstände werden nur in Normwerten hergestellt. Die Kennzeichnung des Wi-
derstandes mit seinem Wert in Ohm erfolgt häufig durch einen Farbcode. Bei Festwi-
derständen unterscheidet man bedrahtete und SMD-Bauteile.

Ein Widerstand (Bauteil) darf höchstens mit seiner Nennbelastbarkeit betrieben wer-
den. Die Belastbarkeit verringert sich mit steigender Temperatur (Derating).

3.1.2

Kondensator, elektrostatisches Feld

Ein Kondensator besteht aus zwei sich gegenüberstehenden, leitenden Flächen (Elek-
troden). Ein bekanntes Beispiel (für Lehrzwecke) ist der Plattenkondensator.

Ein Kondensator speichert elektrische Ladung. Er wird durch Gleichspannung geladen.

Die Kapazität eines Kondensators wird in Farad (F) angegeben.

Ein Dielektrikum (Isolierstoff zwischen den Elektroden) erhöht die Kapazität eines

Kondensators.

Ein Kondensator sperrt Gleichspannung (nach dem Aufladen).

Ein Kondensator lässt Wechselspannung umso besser durch, je höher die Frequenz ist.

Kondensatoren werden u. a. zum Stützen und Glätten von Gleichspannungen, zur Tren-
nung von Gleich- und Wechselspannung und zur Entstörung benutzt.

Den Kondensator als Bauteil kann man in feste und veränderbare Kondensatoren ein-
teilen.

Es gibt ungepolte und gepolte Kondensatoren. Elektrolytkondensatoren (Elkos) sind
gepolte Kondensatoren, bei Anschluss an eine Gleichspannung ist auf richtige Polung
zu achten.

Ein elektrisches Feld wird durch elektrische Feldlinien dargestellt.

Im elektrischen Feld (z. B. zwischen zwei Kondensatorplatten) werden auf Ladungen

Kräfte ausgeübt).

3.1

Grundwissen – kurz und bündig

41

3.1.3

Grundlagen des Magnetismus

Ferromagnetische Stoffe zeigen deutliche magnetische Eigenschaften.

Es gibt zwei Arten magnetischer Pole, den Nordpol und den Südpol.

Gleichnamige magnetische Pole stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an (Kraft-
wirkung des Magnetismus).

Je kleiner der Abstand der magnetischen Pole ist, umso größer sind die magnetischen

Kräfte.

Einzelne magnetische Pole gibt es nicht.

Die Kreisströme der Elektronen bilden Elementarmagnete. In den Weiss’schen Bezir-
ken sind die Elementarmagnete in gleiche Richtung ausgerichtet.

Beim Magnetisieren werden die Weiss’schen Bezirke in die gleiche Richtung ausge-
richtet.

Das Magnetisieren eines ferromagnetischen Stoffes durch einen anderen Magneten
nennt man magnetische Influenz.

Ein Magnetfeld ist ein Raum, in dem magnetische Kräfte wirksam sind. Die Kräfte
werden durch gerichtete Feldlinien veranschaulicht.

Außerhalb eines Magneten verlaufen die Feldlinien vom Nord- zum Südpol, innerhalb
eines Magneten vom Süd- zum Nordpol.

Magnetische Feldlinien sind stets in sich geschlossen.

3.1.4

Spule

Eine Spule besteht aus Drahtwindungen.

Ein Magnetfeld wird durch magnetische Feldlinien dargestellt.

Ein stromdurchflossener Leiter ist stets von einem Magnetfeld umgeben. Die Stärke
des Magnetfeldes ist proportional zur Stromstärke und der Windungszahl der Spule.

Ändert sich das Magnetfeld durch eine Spule, so wird in der Spule eine Spannung
induziert. Die Spannung wird umso größer, je schneller und je stärker die Feldänderung
ist.

Die Änderung eines Magnetfeldes kann durch Bewegung oder Stromänderung verur-
sacht werden.

Wird eine Spule von einem sich ändernden Strom durchflossen, so wird in der Spule
eine Spannung induziert (Selbstinduktion). Die Spannung wirkt der Stromänderung,
durch die sie entsteht, entgegen.

Die Induktivität einer Spule wird in Henry (H) angegeben.

Ein ferromagnetischer Kern erhöht die Induktivität einer Spule.

42

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Eine Spule sperrt Wechselspannung umso stärker, je höher die Frequenz ist.

Eine Spule lässt Gleichspannung durch.

Spulen werden u. a. beim Transformator, zur Trennung von Frequenzen und in

Schwingkreisen benutzt.

Im stationären Gleichstromkreis (die Ströme ändern sich nicht mehr) wirkt nur der
ohmsche Widerstand der Spulenwicklung.

3.1.5

Wichtige Formeln

R D l I

R D ˛ R #I

A

20

20

TA

P D Q I

D T TA D T I

D TJ

I
th

Pth

Rth
t

R

;JC
th

Rth

PV

T D

C

I

D T I

J

Rth;JA PVmax

TA

Rth;JC

Ptot

T

T

P

TCmax

C

D TCmax

C I

V.TC/ D Ptot

T

Cmax

TC;N

Rth;JC

.R

C

th

Rth

TA

R

D TJmax

;JC

;CH/ PV

I
th;HA

PV

S D
EI

E D F I

U D W12 D E

E ElI

D D " "

I
r

E D Q
q

12
q

0

A

C D Q I

C D " " A I
r

U

0
d

A s

Q2

" D " I

D

I

D 1

D 1

0 "r

"0

8; 85 1012

WC

C U 2 D 1

QU I

V m

2

2 C

2

Q2

Q2

U Q

U 2 C

Q

F D 1

D 1

D 1

D 1 Q E D 1

I F D Q1

2 I

2 "

0 A

2 C d

2
d

2

2
d

4"0 r2

E D

Q1

I D Q I

4"

0 r 2

V

—

—

P2

Z

Q D

E

D d E

A D "

E

D

E

0

E d E

AI

U12

E d Es D '.P1/ '.P2/I

A

A

P1

V s

D

I

0

4 107 A m

L D

A N 2 I

I

0 r

D V D I N D H lI

H D
l
l

E

B D

E

I

0 r H I

˚ D B A D

Rm

R D D
l I

D 1 D

1

I

I
m
m
m

L D N ˚

˚

A

0 r

I

3.2

Widerstand

43

I

—

“

E

H d Es D

E

S d E

AI

˚ D

E

B d E

AI

A

A

B

Z

V

D

E

D 1

I

AB

H d EsI

WL

L I 2I

H.r/ D

I

2

2 r

A

U D

D

I

D
i

L dI.t/

L I
uind
l v BI
dt
t
u

D

I

D

I
ind

N B A
uind

N ˚

F D N I l B sin.˛/
t
t

3.2

Widerstand

3.2.1

Der ohmsche Widerstand

Aufgabe 3.1

Was versteht man unter einer Bauteilgleichung? Wie lautet die Bauteilgleichung des ohm-
schen Widerstandes?

Lösung

Die Bauteilgleichung gibt den Zusammenhang zwischen Strom und Spannung bei einem

Zweipol an. Die Bauteilgleichung des ohmschen Widerstandes ist das ohmsche Gesetz:

I D U D 1 U D G U mit R D Widerstand, G D 1 D Leitwert.

R

R

R

Aufgabe 3.2
a) Was versteht man unter einer Strom-Spannungskennlinie?

b) Wie sieht die Strom-Spannungskennlinie des ohmschen Widerstandes aus?

c) Welche Formen (bezüglich des Verlaufs) können Strom-Spannungskennlinien haben?

Lösung
a) Eine Strom-Spannungskennlinie ist die grafische Darstellung der Bauteilgleichung,
also des funktionalen Zusammenhangs zwischen Strom und Spannung an einem Bau-
element (Zweipol).

b) Die Strom-Spannungskennlinie des ohmschen Widerstandes ist eine Gerade durch den

Ursprung in einem kartesischem Koordinatensystem, mit der Spannung auf der Ab-
szisse und dem Strom auf der Ordinate aufgetragen. Diese Funktion I D f .U / ist
die Geradengleichung der Bauteilgleichung des ohmschen Widerstandes I D U D

R

1 U D G U (Abb. 3.1).

R
c) Strom-Spannungskennlinien können lineares oder nichtlineares Verhalten haben. Li-
neare Kennlinien haben einen geraden Verlauf, nichtlineare Kennlinien haben einen

(irgendwie) gekrümmten Verlauf. Bei gekrümmten Kennlinien gilt das ohmsche Ge-
setz nicht.

44

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Abb. 3.1 Strom-Spannungs-
kennlinien von ohmschen

Widerständen

3.2.2

Spezifischer Widerstand

Aufgabe 3.3

Auf ein Porzellanrohr ist Konstantandraht mit der Länge l D 300 m und mit einem Durch-
messer von d D 0;4 mm gewickelt. Der spezifische Widerstand von Konstantan beträgt

D 0;5 mm2 . Wie groß ist der Widerstand R der Wicklung?

m

Lösung
mm2

R D l D 0;5

300 m 4

D 1193;7 1;2 k

A
m

.0;4 mm/2

Aufgabe 3.4

Wie groß ist der Widerstand RCu eines Kupferdrahtes mit der Länge l D 10 m und dem

Durchmesser d D 1 mm? Wie groß wird der Widerstand RAl, wenn der Kupferdraht durch

Aluminiumdraht gleicher Länge und Stärke ersetzt wird?

Welcher Querschnitt AAl müsste bei Aluminium gewählt werden, um bei gleicher Län-
ge den Widerstand des Kupfers nicht zu überschreiten?

Als spezifische Leitfähigkeit wird der Kehrwert des spezifischen Widerstandes
bezeichnet:
D 1 .

Die spezifische Leitfähigkeit des Kupfers beträgt

D

Cu

58
m

.

mm2

Die spezifische Leitfähigkeit des Aluminiums beträgt
D

Al

36
m

.

mm2

Lösung

R

D
l

D
l

D

10 m

D 10 m D

Cu

0;22

A
r2

58
m

0;52 mm2

45;55 m
mm2

R D

10 m

D 10 m D

Al

0;35

36
m

28;27 m
mm2 0;52 mm2

A D
l

D

Al

1;26 mm2

R

Cu

Al

Aufgabe 3.5

An einem Vorschaltwiderstand soll bei einem vorgegebenen Strom I D 6;0 A ein Span-
nungsabfall U D 1;5 V auftreten. Der Widerstand wird aus Konstantandraht hergestellt,

3.2

Widerstand

45
dessen Querschnitt über seine ganze Länge gleich bleibt. Die zulässige Stromdichte im

Draht beträgt S D I D 3 A . Berechnen Sie die erforderliche Drahtlänge l.

A
mm2

Für Konstantan ist der spezifische Widerstand D 0;5 mm2 .

m

Lösung

R D U D 1;5 V D 0;25 I

A D I D 6 A D 2 mm2I

I

6 A

S

3 A
mm2
l D R A D 0;25 2 mm2 D 1;0 m

0;5 mm2
m

Aufgabe 3.6

Ein Generator und ein Verbraucher sind mit Kupferleitungen verbunden. Hin- und Rück-
leiter haben zusammen die Länge l D 600 m.

Der Verbraucher hat eine Stromaufnahme von I D 200 A. Der Spannungsabfall an

Hin- und Rückleitung soll U D
ab

40 V nicht überschreiten. Welchen Durchmesser d muss
die Leitung aufweisen?

Der spezifische Widerstand von Kupfer ist D 0;0176 mm2 .

m

Lösung

Der Widerstand eines linienhaften, runden Leiters mit dem Durchmesser d ist R D lA
mit A D d 2. Nach dem ohmschen Gesetz ist U

D I R. Der Ausdruck für R wird

4
ab
eingesetzt. Es folgt:

U D

D
ab

I l

I 4 l :

A
d 2
q

Auflösen nach d ergibt d D

I 4l .

Uab
r200 0;0176 4 600
d D
mmI
d D 8;2 mm

40

Die Kupferleitung ist für die Praxis viel zu dick.

3.2.3

Strombegrenzung durch einen Vorwiderstand

Aufgabe 3.7

Welcher Widerstand RV muss einer Glühlampe mit den Daten 12 V, 10 W vorgeschaltet

(mit ihr in Reihe geschaltet) werden, damit sie an 24 V angeschlossen werden kann, ohne
durchzubrennen?

46

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Lösung

Im Stromkreis dürfen maximal I D P D 10 W D 0;83 A fließen. Am Vorwiderstand

U

12 V
müssen U D

V

12 V abfallen, damit an der Glühlampe 24 V 12 V D 12 V anliegen. Der

Vorwiderstand ist somit R D UV D 12 V D

V

14;5 .

I

0;83 A

Aufgabe 3.8

An einem Lötkolben mit den Daten U D 230 V, P D 100 W soll in den Lötpausen
eine kleinere Spannung U D

P

150 V anliegen. Welchen Wert muss ein Vorwiderstand RV
haben, um dies zu erreichen?

Lösung

Der Widerstand des Lötkolbens ist R D U2 D 529 .

P

In den Lötpausen muss am Vorwiderstand die Spannung U

D

RV

230 V150 V D 80 V
anliegen.

Nach der Spannungsteilerregel ist:

U

D

RV

U

RV

:

R C

V

R

Auflösen nach R

D

D URVR

V: URV

RV

U RV

URV R; RV

U URV

R D 80 V 529 D

V

282

230 V 80 V

Aufgabe 3.9

Ein in Abb. 3.2 dargestellter Verbraucher benötigt eine Betriebsspannung von U D

2

5;0 V,
bei der er einen Strom von I D

D

2

100 mA aufnimmt. Er wird an einer Spannung UB

12 V über einen Vorwiderstand R D

1

75 betrieben. Für einen Feinabgleich ist dem

Vorwiderstand ein Trimmwiderstand Rx parallel geschaltet.

a) Wie groß ist der Lastwiderstand R2 des Verbrauchers? Welcher Spannungsabfall U1
tritt an der Parallelschaltung von R1 und Rx auf?

b) Wie groß ist der Strom I1 durch R1, wie groß ist der Strom Ix durch Rx?

Abb. 3.2 Betrieb eines Ver-
brauchers über abgleichbaren

Vorwiderstand

3.2

Widerstand

47

Abb. 3.3 Ein einfacher Span-
nungsteiler
c) Auf welchen Wert muss Rx eingestellt werden?

d) Wie groß sind die vom Verbraucher aufgenommene Nutzleistung P2, die in Rx ent-
stehende Verlustleistung Px und die von UB gelieferte Leistung Pges? Wie groß ist der

Wirkungsgrad der Schaltung?

Lösung
a) Ohm’sches Gesetz: R D U2 D 5 V D

2

50

I2

0;1 A

Maschensatz: U D

D

D

1

Ux

UB

U2

12 V 5 V D 7 V
b) Ohm’sches Gesetz: I D U1 D 7 V D

1

93;3 mA

R1

75

Knotengleichung: I C

D

D

D
x

I1

I2

0; Ix

I2

I1

100 mA 93;3 mA D 6;7 mA
c) R D Ux D 7 V D
x

1045

Ix

6;7 mA
d) P D

D

D

D

2

U2 I2

5 V 0;1 A D 0;5 W; Px

Ux Ix

7 V 6;7 mA D 46;9 mW

P

D

D
ges

UB I2

12 V 0;1 A D 1;2 W

D Pab D 0;5 W D 0;417 (41,7 %)

Pzu

1;2 W

3.2.4

Aufteilung einer Spannung, Spannungsteilerregel

Aufgabe 3.10
a) Geben Sie die Spannungsteilerregel in Worten an.

b) Gegeben ist der einfache Spannungsteiler in Abb. 3.3. Berechnen Sie die Spannungen

U

D

D

1 und U2 mit der Spannungsteilerregel. Gegeben sind die Werte: Uq

12 V, R1

22 k, R D

2

10 k.

Lösung
a) Die Spannung an einem Widerstand in einer Reihenschaltung von Widerständen ist:

Gesamtspannung an der Reihenschaltung mal (Widerstand, an dem ich die Spannung
wissen will) geteilt durch (die Summe aller Widerstände).

b)

U D

R1

D

D

1

Uq

12 V

22 k

8;25 V

R C

1

R2

22 k C 10 k

U D

R2

D

D

2

Uq

12 V

10 k

3;75 V

R C

1

R2

22 k C 10 k

Probe: U D

C
q

U1

U2; 12 V D 8;25 V C 3;75 V

48

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Abb. 3.4 Ein Widerstands-
netzwerk

Aufgabe 3.11

Gegeben ist das Widerstandsnetzwerk in Abb. 3.4. Bestimmen Sie mit Hilfe der Span-
nungsteilerregel die Spannung U

D

D

4. Gegeben sind die Werte: Uq

6 V, R1

2 ,

R D

D

D

2

6 , R3

R4

12 .

Lösung
k R

U D

R3

4

4

Uq R k C k

1

R2

R3 R4

Die Parallelschaltung von zwei gleich großen Widerständen gibt den halben Widerstands-
wert.

R k

D

3

R4

12 k 12 D 6

R

R k

D R1

2

D 12 D

1

R2

1;5

R C

1

R2

8

U D

D

4

6 V

6

4;8 V

1;5 C 6

Aufgabe 3.12

Mit der Spannungsteilerregel sind die Spannungen U2 und U4 in Abb. 3.5 zu bestimmen.

Gegeben sind die Werte: U D

D

D

D

D
q

6 V, R1

2 , R2

3 , R3

R4

12 .

Lösung

R1 liegt parallel zur idealen Spannungsquelle Uq und beeinflusst somit die Strom- und

Spannungsverteilung im übrigen Netzwerk nicht.

U D

R2

D

D

2

Uq

6 V

3

2 V

R C
k

2

R3 R4

3 C 6
k R

U D

R3

4

D

D

4

Uq

6 V

6

4 V

R C
k

2

R3 R4

3 C 6

Probe: U D

C
q

U2

U4; 6 V D 2 V C 4 V

Abb. 3.5 Berechnung mit der

Spannungsteilerregel

3.2

Widerstand

49

Abb. 3.6 Beispiel zur Span-
nungsteilerregel

Abb. 3.7 Schaltung zur Ein-
stellung einer Spannung

Aufgabe 3.13

In Abb. 3.6 sind die Spannungen U3 und U5 mit der Spannungsteilerregel zu berechnen.

Gegeben sind die Werte:

U D

D

D

D

D

D
q

20 V, R1

20 , R2

8 , R3

6 , R4

24 , R5

30 .

Lösung

Die Widerstände R1 und R2 liegen parallel zu R4 und R5. Der Ersatzwiderstand Rg ist:

R D

1

D

D

R3

D

D
g

4 I

U

U

20 V

6

12 V

1 C 1 C 1 C 1

3
q

R C R

6 C 4

R

3
g

1

R2

R4

R5

U D

Rg

D

D

5

Uq

20 V

4

8 V

R C

3

Rg

6 C 4

Probe: U D

C
q

U3

U5; 20 V D 12 V C 8 V

Aufgabe 3.14

In der in Abb. 3.7 angegebenen Schaltung mit U D 24 V und R

D

V

180 soll die

Spannung UV im Bereich von 1 V bis 20 V stufenlos geregelt werden.

a) Zwischen welchen Grenzen RRmax und RRmin muss RR veränderbar sein?

b) Für welche maximale Leistung Pmax muss RR ausgelegt werden?

Lösung
a)

UV D

RV

) R D

U UV

R

RV

U

R C

R

RV

UV

R

D

U UVmin D

D

Rmax

RV

180 24 V 1 V

4;14 k

UVmin

1 V

R

D

U UVmax D

D

Rmin

RV

180 24 V 20 V

36

UVmax

20 V

RR muss im Bereich von 36 bis 4140 stufenlos veränderbar sein.

50

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Abb. 3.8 Zur Strom- und

Spannungsteilerregel
b) Die von RR aufgenommene Leistung ist bei Leistungsanpassung maximal, d. h. bei

R D

R

RV.

Dann ist U D

D

D .12V/2 D

R

UV

12 V und somit Pmax

0;8 W.

180

Aufgabe 3.15

Bestimmen Sie in Abb. 3.8 die Verhältnisse I2=I1 und U1=UAB mittels Strom- bzw. Span-
nungsteilerregel.

Gegeben sind die Werte: R D

D

D

1

9 ; R2

6 ; R3

2

Lösung

R

I

2R3

2 D R2CR3 D

R3

D

2

D 0;25

I

C

1

R2

R2

R3

6 C 2

U1 D

R1

D

9

D 0;86

UAB

R C R2R3

1

9 C 6 2

R2CR3

6 C2

Aufgabe 3.16
a) Geben Sie für die in Abb. 3.9 angegebene Schaltung einen allgemeinen Ausdruck für
den an der Spannung U liegenden Gesamtwiderstand Rges an. Der Ausdruck braucht
algebraisch nicht vereinfacht werden.

b) Berechnen Sie mit der Stromteilerregel allgemein (als Formel) das Verhältnis I4=I1.

Nun sind folgende Werte gegeben:

R D

D

D

D

D

1

10 ; R2

5 ; R3

10 ; R4

2 ; R5

2 ; U D 10 V
c) Wie groß ist der Zahlenwert von Rges? Bestimmen Sie den Wert von U2 und U5. Be-
rechnen Sie I1 nach dem ohmschen Gesetz. Berechnen Sie I4 mit dem Verhältnis I4=I1
und verifizieren Sie das Ergebnis mit dem Wert von U5.

Abb. 3.9 Zu berechnendes

Netzwerk

3.2

Widerstand

51

Lösung
a)

R4R5 C R R

R

3

2

R

D

4CR5

C
ges

R

R

1

4R5

C R C R

R

3

2

4CR5
b)

I4 D I4 I3 I I4 D R5 I I3 D

R2

I

I

C

1

I3 I1

I3

R4

R5

I1

R C

C R4R5

2

R3

R4CR5

I4 D

R2R5

I

C

C

1

.R2

R3/ .R4

R5/ C R4 R5
c)

R

D 11 5 C

D 215
ges

10 I

Rges

D 13;44

11 C 5

16

R4R5 C R R

R

3

2

Spannungsteiler: U D

I

D

4CR5

I

2

U

R2345

R

R C

2345

R

1

R2345

4R5

C R C R

R

3

2

4CR5

R

D 55 D

2345

3;44

16

55

U D

16

I

D 110

2

10 V

U2

V D 2;56 V

10 C 55

43

16

R4R5

U D

R4CR5

I

D 110

D 10

5

U2

U

V 1

V D 0;23 V

R

5

4R5

C R

43

11

43

R

3

4CR5

I D U D

10 V

D

D

R2R5

1

0;74 AI

I

I

R

4

1

C

C

ges

13;44

.R2

R3/ .R4

R5/ C R4 R5

I D

10 D

D U5 D 0;23 V D

4

I1

0;12 AI

I

0;12 A

64

4

R4

2

Aufgabe 3.17

Berechnen Sie den Strom I3 durch R3 in der Schaltung nach Abb. 3.10 mit Hilfe
a) der Spannungsteilerregel
b) der Stromteilerregel.

Gegeben: U D

D

D

D

D
q

12 V; Ri

1 ; R1

9 ; R2

8 ; R3

2 .

Abb. 3.10 Schaltung zu

Spannungs- und Stromtei-
lerregel

52

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Abb. 3.11 Stromteiler

Lösung
a)

R2R3

28

U D

R2CR3

D

10

D

3

Uq

12 V

1;66 V

R2R3 C R C R

1;6 C 10

R
i

1

2CR3

I D U3 D 1;66 V D

3

0;83 A

R3

2
b)

I D

R2

D

Uq

R2

D 12 V 8 D

3

I1

0;83 A

R C

C

2

R3

R C

C R2R3
i

R1

R

R

11;6 10

R

2

3

2CR3

3.2.5

Aufteilung des Stromes, Stromteilerregel

Aufgabe 3.18

Die Parallelschaltung von zwei Widerständen wird als Stromteiler bezeichnet (Abb. 3.11).

Bestimmen Sie mit der Stromteilerregel die Teilströme I1 und I2. Der Gesamtstrom ist

I D 0;7 A, die Widerstandswerte sind R D

D

1

820 , R2

470 .

Lösung

I D

D

D

1

I

R2

0;7 A

470

255 mA

R C

1

R2

820 C 470

I D

D

D

2

I

R1

0;7 A

820

445 mA

R C

1

R2

820 C 470

Probe nach Knotenregel: I D I C

1

I2; 0;7 A D 0;255 A C 0;445 A

Aufgabe 3.19

Berechnen Sie in Abb. 3.12 den Strom IR2 durch R2 allgemein und als Zahlenwert mit der

Stromteilerregel.

Gegeben: U D

D

D

D
q

40 V, R1

2 , R2

47 , R3

220 .

Abb. 3.12 Beispiel zur Strom-
teilerregel

3.2

Widerstand

53

Abb. 3.13 Zu berechnende

Schaltung

Lösung

I D

Uq

R C
k

1

R2 R3

I

D

D

Uq

R3

D

Uq

R3

R2

I

R3

R C

C
k

C

C

2

R3

R1

R2 R3 R2

R3

R C R2R3

1

R

R

R

2

3

2CR3

D

Uq R3

R

C

1 .R2

R3/ C R2 R3

I

D

R2

0;81 A

Aufgabe 3.20

Gegeben ist die in Abb. 3.13 dargestellte Schaltung. Berechnen Sie den Gesamtstrom I1
und dann mit der Stromteilerregel die Teilströme I2 und I3.

Gegeben: U D

D

D

D
q

4;0 V, R1

2 , R2

3 , R3

6 .

Lösung

I D

Uq

D

4 V

D

D

R3

D

1

1;0 AI

I

I

0;67 A

R C
k

2

1

C

1

R2 R3

2 C 3 6

R

R

3 C6

2

3

I D

R2

D

3

I1

0;33 A

R C

2

R3

Probe nach Knotenregel: I D

C

1

I2

I3; 1;0 A D 0;67 A C 0;33 A

Aufgabe 3.21

Bestimmen Sie für die in Abb. 3.14 gegebene Schaltung mit Hilfe des ohmschen Gesetzes,
der Knotenregel und der Stromteilerregel die Ströme I2 und I4.

Gegeben: U D

D

D

D

D

D
q

6 V, R1

50 , R2

80 , R3

20 , R4

30 , R5

60

Abb. 3.14 Ströme sind zu
berechnen

54

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Abb. 3.15 Schaltung mit Wi-
derständen

Lösung

Zunächst wird der Ersatzwiderstand Rg des Netzwerkes aus R2 bis R5 bestimmt.

R

R D
k

C
k
k

D R4

5

D 30 60 D
g

R2 .R3

R4 R5/I

R4 R5

20

R C

4

R5

90

R C
k

D

D 80 40 D

3

R4 R5

40 I

Rg

26;666

80 C 40

Der Gesamtstrom durch die Reihenschaltung aus R1 und Rg ist:

I D

Uq

D 6 V D 78;26 mA

R C

1

Rg

76;7

C R k R

I D

4

5

D

D

2

I

R3

78;26 mA 40

26;09 mA

R C

C
k

2

R3

R4 R5

120

Der Strom durch die Parallelschaltung von R4 und R5 ist:

I D

D

45

I I2

78;26 mA 26;09 mA D 52;17 mA:

I D

R5

D

D

4

I45

52;17 mA 60

34;78 mA

R C

4

R5

90

Aufgabe 3.22

Gegeben ist die in Abb. 3.15 dargestellte Schaltung.

a) Berechnen Sie die Spannungsverhältnisse Ua , U2 , U1 und Ua mit Hilfe der Spannungs-

U2 U1 Uq

Uq
teilerregel.

b) Berechnen Sie die Stromverhältnisse I2 und I1 mit Hilfe der Stromteilerregel und

I1

Ig
bestimmen Sie daraus das Spannungsverhältnis Ua . Kontrollieren Sie das Ergebnis mit

Uq
der Lösung aus a).

3.2

Widerstand

55

Abb. 3.16 Stufenlos einstell-
barer Strom

Lösung
a)

U D

R

I

Ua D

R

D 1I
a

U2

.R C 2R/ k 3R D 1;5 RI

R C 2R

U2

R C 2R

3

U D

1;5R

2

U1 0;5R C 1;5R

U2 D

1;5R

D 3 I

.1;5R C 0;5R/ k 4R D 2R 4R D 4 RI

U1

0;5R C 1;5R

4

2R C 4R

3

U

4

1

R

D

3

D 4

Uq

R C 4 R

7

3

Ua D Ua U2 U1 D 1 3 4 D 1

Uq

U2 U1 Uq

3 4 7

7
b)

I D

3R

I

I2 D 1I

D

4R

I

I1 D 2

2

I1

I

Ig

3R C 3R

I

1

1

2

4R C 2R

Ig

3

U D

D 4 C

D

a

I2 RI

Rges

R D 7 RI

Uq

Ig Rges

3R

3

Ua D R I2 D R I2 I1 D 1 1 2 D 1

U

7
q

Rges Ig

Rges I1 Ig

2 3

7

3

Die Lösung in a) war ebenfalls Ua D 1 .

Uq

7

Aufgabe 3.23

In der Schaltung nach Abb. 3.16 mit R D

V

820 und einem Gesamtstrom I D 0;5 A
soll der Strom IV von 10 mA bis 100 mA stufenlos einstellbar sein.

a) In welchem Widerstandsbereich RPmax, RPmin muss Rp veränderbar sein?

b) Für welche maximale Leistung Pmax muss Rp ausgelegt werden?

56

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Lösung
a)

IV D

RP

) R D

IV I

P

RV

I

R C

P

RV

I IV

R

D

IVmax

D

D

Pmax

RV

820

100 mA

205

I IVmax

500 mA 100 mA

R

D

IVmin

D

D

Pmin

RV

820

10 mA

16;73

I IVmin

500 mA 10 mA

RP muss im Bereich von 16,73 bis 205 stufenlos veränderbar sein.

b) Die von RP aufgenommene Leistung wäre für den Fall der Leistungsanpassung mit

R D

P

RV maximal.

Da RPmax kleiner als RV ist, ergibt sich die maximale Leistung Pmax, für die RP aus-
gelegt werden muss, aus RPmax und dem zugehörigen, durch RP fließenden Strom

IP.RPmax/.

P

D

D
max

ŒIP.RPmax/2 RPmax

.0;4 A/2 205 D 32;8 W

3.2.6

Temperaturabhängigkeit des Widerstandes

Aufgabe 3.24

Ein Elektromotor hat eine Wicklung aus Kupferdraht. Bei 20 ıC ist der Widerstand der

Wicklung R

D
kalt

324 m. Im Betrieb erwärmt sich der Motor, dadurch steigt der Wick-
lungswiderstand auf R

D
warm

382 m. Welche Temperatur # der Wicklung stellt sich
ein?

Für 20 ıC beträgt der Temperaturkoeffizient von Kupfer ˛ D

20

3;9 103 K1.

Lösung

Die Widerstandsänderung eines metallischen Leiters durch eine von 20 ıC abweichende

Umgebungstemperatur wird nach folgender Formel berechnet: R D ˛

20 R20 # .

Hier ist R D R

D
warm

Rkalt

58 m. Somit ist:

# D

R

D

58 m

D 45;9 K:

˛

20 R20

3;9 103 K1 324 m

Um diese Temperatur hat sich die Wicklung über 20 ıC erwärmt.

Die Temperatur der Wicklung ist somit # D 20 ıC C 45;9 ıC D 65;9 ıC.

Aufgabe 3.25

Ein Präzisionswiderstand darf bei einer Änderung seiner Umgebungstemperatur seinen

Wert um höchstens ˙0;01 % gegenüber seinem Wert bei 20 ıC ändern. In welchem Tem-
peraturbereich kann der Widerstand verwendet werden? Der Temperaturkoeffizient bei

20 ıC beträgt ˛ D

20

4 105 K1.

3.2

Widerstand

57

Lösung

Die Widerstandsänderung in Ohm eines metallischen Leiters durch eine von 20 ıC ab-
weichende Umgebungstemperatur ergibt sich nach R D ˛

20

R20 #. Die relative

(prozentuale) Widerstandsabweichung ist R D ˛ #. Es ist ˙0;01 % D ˙104. Es

R

20

20
folgt:

˙

˙

104

104 D ˛

D ˙

20 # I

# D

2;5 K

4 105 K1

Als Abweichung von 20 ıC ergibt sich damit ein Temperaturbereich zwischen 17,5 ıC und

22,5 ıC: 17;5 ıC # 22;5 ıC. Der Temperaturbereich ist sehr klein.

Aufgabe 3.26

Die Wicklung eines mit Gleichstrom betriebenen Elektromagneten besteht aus Kupfer-
draht mit der Länge l D 200 m und dem Querschnitt A D 1;5 mm2. Der spezifische

Widerstand von Kupfer bei 20 ıC ist

D

20

0;0175 mm2 . Der Temperaturkoeffizient für
m

20 ıC von Kupfer ist ˛ D

20

3;9 103 1
ı .

C
a) Wie groß ist der Widerstand R20 der Wicklung im kalten Zustand (bei der Temperatur

# D 20 ıC)?

b) Wie groß ist der Widerstand R120 der Wicklung bei einer Betriebstemperatur von

120 ıC. Nehmen Sie an, der Widerstand hängt linear von der Temperatur ab.

Lösung
a)

mm2

R D
l D

200 m D

20

20

0;0175

2;3

A
m

1;5 mm2
b) Der Temperaturkoeffizient ist positiv, der Widerstand nimmt also mit steigender Tem-
peratur zu. Die Widerstandszunahme beträgt

R D ˛

20 R20 # D 3;9 103 1
ı

2;3 100 ıC D 0;91

C

Somit ist R

D

C

120

R20

R D 2;3 C 0;91 D 3;24

Aufgabe 3.27

Die Kupferwicklung eines Transformators hat bei 15 ıC einen Widerstand von R

D

15

18 . Im Dauerbetrieb steigt der Widerstand auf 23,5 . Welche Temperatur hat die Wick-
lung angenommen?

Der Temperaturkoeffizient (Temperaturbeiwert) für 20 ıC von Kupfer ist ˛

D

20

0;0039 K1.

58

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Lösung

Der Widerstand eines metallischen Leiters bei der Temperatur # ist R D

#

R20.1 C ˛20

#/ mit R D

20

Widerstandswert bei 20 ıC und # D Temperaturdifferenz zu 20 ıC.

Somit ist R D

15

R20 Œ1 C ˛20 .15 ıC 20 ıC/; daraus ergibt sich R20 zu

R D

R15

D

18

D

20

18;36 :

1 C ˛20.5 K/

1 C 0;0039 K1 .5 K/

Im Dauerbetrieb ist die Temperaturdifferenz # zu 20 ıC:

R

# D 1

# 1 I

˛20

R20

Rª ist der Widerstandswert der Wicklung von 23,5 im Dauerbetrieb.

23;5

# D

1

1 D 71;8 K

0;0039 K1

18;36

Die Wicklung hat somit die Temperatur # D # C 20 ıC D 91;8 ıC

Aufgabe 3.28

Eine Spule ist aus Aluminiumdraht gewickelt und hat bei 20 ıC einen Widerstand R20 von

50 . Sie erwärmt sich auf 70 ıC. Wie groß ist dann der Wicklungswiderstand R70 der

Spule?

Der Temperaturkoeffizient für 20 ıC von Aluminium ist ˛ D

20

0;00377 K1.

Lösung

R D

D

#

R20.1 C ˛20 #/; R70

50 .1 C 0;00377 K1 50 K/ D 59;43

Aufgabe 3.29

Ein Kupferdraht mit kreisförmigem Querschnitt hat einen Durchmesser d D 0;2 mm und
eine Länge l D 20 m. Wie groß ist der Widerstand R20 des Drahtes bei einer Temperatur

# D 20 ıC? Welchen Widerstand R180 nimmt der Draht bei einer Erwärmung auf # D

180 ıC an? Wie groß ist die prozentuale Widerstandserhöhung?

Von Kupfer sind jeweils bei 20 ıC der spezifische Widerstand

D

Cu20

0;0176 mm2
m
und der Temperaturkoeffizient ˛

D

Cu20

3;9 103 K1 gegeben.

Lösung
mm2

# D 20 ıC W R D
l D

20 m

D

20

Cu20

0;0176

11;2

A
m

.0;1 mm/2

# D 180 ıC W R D ˛

Cu20

R20 # D 3;9 103 K1 11;2 160 K D 7

R

D

180

11;2 C 7 D 18;2

Dies entspricht einer Widerstandserhöhung um 62,5 %.

3.2

Widerstand

59

Aufgabe 3.30

Zwei Adern mit d D 0;9 mm Durchmesser eines im Erdreich liegenden Fernsprechkabels
haben gegeneinander einen Kurzschluss. Zur Bestimmung des Fehlerortes misst man am

Kabelanfang zwischen den Anschlüssen der Adern einen Widerstand von R D 13;1 .

a) An welcher Stelle muss aufgegraben werden, wenn im Erdreich eine Temperatur von

20 ıC angenommen wird?

b) Um welche Strecke l liegt der Fehlerort vom vermeintlichen Ort entfernt, wenn die
mittlere Temperatur im Erdreich in Wirklichkeit 12 ıC beträgt?

Gegeben: D

D

20

0;0178 mm2 , ˛

3;9 103 K1 (Temperaturkoeffizient für 20 ıC)

m

20

Lösung
a) Der Gesamtwiderstand der beiden kurzgeschlossenen Adern ist:

R D 2 l

20

A

Die Entfernung vom Kabelanfang zum Fehlerort ist:

l D A R D 0;452 mm2 13;1 D 234;1 m

2 20

2 0;0178 mm2
m

In einer Entfernung von 234,1 m vom Kabelanfang muss aufgegraben werden.

b) Durch die tatsächlich niedrigere Temperatur erhöht sich der Widerstand R D 13;1
um R. R D ˛

20 R20 # ; R D 0;0039 K1 13;1 8 K D 0;4087
l D A R D 0;452 mm2 .13;1 C 0;4087 / D 241;40 mI l D 7;30 m

2 20

2 0;0178 mm2
m

Es folgt eine alternative Betrachtung.

In Wirklichkeit ist R D 13;1 nicht der Widerstand bei 20 ıC, sondern bei 12 ıC.

R D

D

12

13;1 I

R12

R20 Œ1 C ˛20 .12 ıC 20 ıC/ I

R D

R12

20

1 C ˛

20 .12 ıC 20 ıC/

Der Widerstand bei 20 ıC ist:

R D

13;1

D

20

13;522

1 C 3;9 103 K1 .8 K/

Dieser Widerstandswert kann jetzt in die Formel mit 20 eingesetzt werden.

l D A R D 0;452 mm2 13;522 D 241;64 mI
l D 7;54 m

2 20

2 0;0178 mm2
m

60

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Woher kommt die Differenz der Ergebnisse für l von 24 cm? In der Formel R D

˛

20 R20 # wurde für R20 der Wert des Widerstandes bei 12 ıC mit 13,1 eingesetzt

(also R12 für R20). Das berechnete R ist deshalb ungenau bzw. falsch. Die alternative

Betrachtungsweise ist der richtige Ansatz.

Aufgabe 3.31

Ein Elektromotor wird an einer idealen Gleichspannungsquelle UG mit 24,0 Volt betrie-
ben, die 20,0 Meter vom Motor entfernt ist. Für die Leitungen wird Kupferdraht mit
kreisrundem Querschnitt und einem Durchmesser von 2,0 mm verwendet. Die Wicklung
des Motors besteht aus Kupferdraht, ihr Widerstand beträgt R

D

W

1;000 bei einer

Wicklungstemperatur von 20 ıC.

Der spezifische Widerstand von Kupfer ist 1;76106 cm. Der Temperaturkoeffizient
für 20 ıC von Kupfer ist ˛ D

20

0;0039 K1. Rechnen Sie mit drei Nachkommastellen.

a) Wie groß ist die nutzbare Motorleistung P20bei einer Wicklungstemperatur von 20 ıC?

b) Durch den Dauerbetrieb steigt die Wicklungstemperatur des Motors von 20 ıC auf

120 ıC an. Wie groß ist jetzt die nutzbare Motorleistung P120?

Lösung
a) Die gesamte Länge der Leitung ist: l D 2 20 m D 40 m.

mm2

1;76 106 cm D 0;0176
m

Der Widerstand RL der Leitung ist:

mm2

R D

D

40 m

D

L

l

0;0176

0;224

AKreis
m

.1 mm/2

Die Widerstände aus Zuleitung und Motorwicklung addieren sich: R D

C

G

RL

RW.

Der Gesamtwiderstand im Stromkreis ist somit R D

G

1;224 . Im Stromkreis fließt
der Strom: I D UG D 24 V D 19;608 A

RG

1;224

An den Zuleitungen fällt die Spannung U D

D

L

I RL

19;608 A 0;224 D 4;392 V
ab.

Am Motor stehen nur U D

D

M

UG

UL

24 V 4;392 V D 19;608 V zur Verfügung.

Die nutzbare Motorleistung ist: P D

20

UM I D 19;608 V 19;608 A;

P D

20

384;474 W

Alternative Rechnung: P D

D

20

I 2 RW

.19;608 A/2 1;000 D 384;474 W
b) Der Widerstand der Motorwicklung erhöht sich um R D ˛

20

RW20 # D

0;0039 K1 1;000 100 K D 0;39 auf 1,390 .

Der Gesamtwiderstand im Stromkreis ist jetzt R D

G

1;390 C 0;224 D 1;614 .

Somit ist der Strom im Stromkreis I D UG D 24 V D 14;870 A.

RG

1;614

3.2

Widerstand

61

An den Zuleitungen fällt die Spannung U D

D

L

I RL

14;870 A 0;224 D 3;331 V
ab.

Am Motor stehen nur U D

D

M

UG

UL

24 V 3;331 V D 20;669 V zur Verfügung.

Die nutzbare Motorleistung ist: P

D

120

UM I D 20;669 V 14;870 A;

P

D

120

307;348 W

3.2.7

Zulässige Verlustleistung, Lastminderungskurve,

Wärmewiderstand

Aufgabe 3.32
a) Wie lautet das ohmsche Gesetz der Wärmelehre?

b) Was kann aus der Lastminderungskurve eines Bauelementes abgelesen werden?

Lösung
a) Zur Erläuterung des ohmschen Gesetzes der Wärmelehre wird ein thermisches Ersatz-
schaltbild Abb. 3.17 verwendet.

Sind zwei Körper wärmeleitend miteinander verbunden, so ergibt sich eine Wärme-
strömung vom Körper mit der höheren Temperatur T zum Körper mit der niedrigeren

Temperatur TA (Index A D Ambient D Umgebung). Das Verhältnis der in der Zeit t
strömenden Wärmemenge Q ist der Wärmestrom Pth.

P D Q I
th

ŒPth D W .Watt/
t

Das ohmsche Gesetz der Wärmelehre besagt, dass der Wärmestrom Pth proportional
zum Temperaturunterschied (Übertemperatur) T D T TA und umgekehrt propor-

Abb. 3.17 Thermisches Ersatzschaltbild zur Wärmeleitung

62

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis
tional zum Wärmeübergangswiderstand Rth ist:

P D T TA D T
th

:

Rth

Rth

Daraus folgt: R D T TA
th

Pth

Bei elektronischen Bauelementen entsteht durch eine zugeführte elektrische Leistung

P und daraus resultierender Verlustleistung PV häufig eine Temperaturerhöhung des

Bauteils oder der Sperrschicht des Halbleiters.

Mit

R D

D
th

Rth;JC

Wärmewiderstand Junction-Case (Sperrschicht zu Gehäuse, auch in-
nerer Wärmewiderstand genannt)

T D T

D

J

Temperatur der Sperrschicht

P D

D
th

PV

Verlustleistung im Bauelement
folgt:

T

R

D TJ

A
th;JC

:

PV

Häufig ist eine Zerlegung des Wärmewiderstandes in einzelne Komponenten möglich,
die sich dann (wie bei der Reihenschaltung ohmscher Widerstände) summieren.

b) Für ein elektronisches Bauelement gibt die Lastminderungskurve oder Deratingkur-
ve das Verhältnis von erlaubter Betriebsleistung P zur Nennleistung PN (also P =PN)

in Abhängigkeit der Umgebungstemperatur TA oder der Gehäusetemperatur TC an.

Bis zu einer bestimmten Temperatur (T D

D

A

75 ıC Umgebungstemperatur oder TC

25 ıC Gehäusetemperatur) ist dieses Verhältnis gleich 1,0 und fällt dann mit steigender

Temperatur linear ab. Das heißt, das Bauelement ist dann mit steigender Umgebung-
stemperatur immer weniger belastbar.

Werden die Leistungen auf der Ordinate nicht im Verhältnis aufgetragen, so gibt der

Wert P D

D

N

PVmax

Ptot auf der Ordinate die maximal zulässige Verlustleistung an.

In Datenblättern ist diese als Nennbelastbarkeit, Nennleistung oder maximal erlaubte

Verlustleistung angegeben. Bis zu der Temperatur TA;N (meist 75 ıC Umgebungstem-
peratur) bzw. bis zu der Temperatur TC;N (meist 25 ıC Gehäusetemperatur) darf die
im Bauelement entstehende Verlustleistung PV gleich PVmax sein. Oberhalb TA;N bzw.

TC;N nimmt die zulässige Verlustleistung mit steigender Temperatur linear ab und er-
reicht bei der maximalen Betriebstemperatur des Bauelementes (entweder TAmax oder

TCmax) den Wert null.

Der Wärmewiderstand ist in Abb. 3.18: R

D T
th;JC

.

Ptot

Für die erlaubte Verlustleistung in Abhängigkeit der Gehäusetemperatur gilt:

T

T

P

TCmax

C

D TCmax

C

V.TC/ D Ptot

:

T

Cmax

TC;N

Rth;JC

3.2

Widerstand

63

Abb. 3.18 Lastminderungs-
kurve ( P-Derating-Diagramm)

Abb. 3.19 Lastminderungs-
kurve aus einem Datenblatt

Aufgabe 3.33

Dem Datenblatt eines Bauelementes wird die Lastminderungskurve in Abb. 3.19 entnom-
men. Um wie viel muss die Betriebslast bei einer Umgebungstemperatur # D

A

100 ıC
reduziert werden?

Lösung

Aus dem Diagramm Abb. 3.20 wird entnommen, dass die Last (Verlustleistung im Bau-
element) um 50 % reduziert werden muss.

Aufgabe 3.34

Ein Bipolartransistor hat laut Datenblatt bei einer Umgebungstemperatur von T D

A

25 ıC
eine maximale Verlustleistung P

D

D
tot

PVmax

2 W. Die maximal erlaubte Sperrschicht-
temperatur ist mit T

D

Jmax

150 ıC angegeben.

a) Wie groß ist der Wärmeübergangswiderstand Rth;JA von der Sperrschicht zur Umge-
bungsluft? In den Indizes bedeuten: J D Junction D Sperrschicht, A D Ambient D

Umgebung.

64

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Abb. 3.20 Maximal erlaubte

Last bei 100 ıC
b) Wie groß darf die Verlustleistung PVmax im Transistor bei einer Umgebungstemperatur
von 50 ıC maximal sein?

c) Wie groß ist die Sperrschichttemperatur T

D

J, wenn bei der Umgebungstemperatur TA

25 ıC die Verlustleistung im Transistor P D

V

1 W beträgt?

Lösung
a) Ohm’sches Gesetz der Wärmelehre: P D T
th

.

Rth

P D
th

Wärmestrom in Watt, T D Temperaturunterschied zwischen zwei Orten bzw.

Körpern, R

D
th

Wärmeübergangswiderstand (meist kurz als Wärmewiderstand be-
zeichnet) zwischen zwei Orten bzw. Körpern

T
ı

A

C

Es folgt: R

D TJmax

)

D 150 ıC 25 ıC D
th;JA

Rth

62;5

P

;JA

Vmax

2 W

W
b)

T

P

D TJmax

A I

D 150 ıC 50 ıC D

Vmax

PVmax
ı

1;6 W

R

C
th;JA

62;5 W
c)

ıC

T D

C

I

D

J

Rth;JA PVmax

TA

TJ

62;5

1 W C 25 ıC D 87;5 ıC

W

Aufgabe 3.35

Durch eine Silizium-Halbleiterdiode fließt ein Gleichstrom I D 1;2 A. Der Spannungs-
abfall an der Diode beträgt 0,8 V. Die Umgebungstemperatur ist T D

A

65 ıC. Der Wär-
meübergangswiderstand zwischen Sperrschicht und Umgebung beträgt R

D
th;JA

90 K=W.

Die maximal erlaubte Sperrschichttemperatur ist mit T

D

Jmax

170 ıC angegeben.

Wie hoch ist die Sperrschichttemperatur TJ? Ist die Diode überlastet?

Lösung

T D

C

D

J

Rth;JA PV

TA

90 ıC=W 0;8 V 1;2 A C 65 ıC D 151;4 ıC

Es ist TJ < TJmax, die Diode ist nicht überlastet.

3.2

Widerstand

65

Abb. 3.21 Thermisches Er-
satzschaltbild

Aufgabe 3.36

Für einen Transistor sind die folgenden höchstzulässigen Werte gegeben:

Maximale Kristalltemperatur T

D

D

Jmax

100 ıC, maximale Verlustleistung PVmax

1;0 W.

Der Transistor wird auf ein Kühlblech montiert, der Wärmewiderstand des Transistors
von der Sperrschicht zum Kühlblech beträgt R

D
th;JC

20 K=W.

a) Geben Sie das thermische Ersatzschaltbild an.

b) Wie groß darf die maximale Oberflächentemperatur TC des Kühlblechs sein?

Lösung
a) Das thermische Ersatzschaltbild zeigt Abb. 3.21.

b) P

D TJmaxTC

D

D

D

Vmax

; T

T

P

R

100 ıC 1;0 W 20 K

80 ıC

R

C

Jmax

Vmax
th;JC; TC
th;JC

W

Aufgabe 3.37

Ein Transistor ist auf einen Kühlkörper montiert. Direkt am Gehäuse des Transistors wird
eine Temperatur von T D

C

60 ıC gemessen. Der Wärmewiderstand des Kühlkörpers zur

Umgebungsluft ist R

D
th;HA

10 K=W. Der Wärmewiderstand der Sperrschicht (Kristall)

zum Gehäuse des Transistors beträgt R

D
th;JC

5 K=W. Die Umgebungstemperatur ist

T D

A

20 ıC.

a) Geben Sie das thermische Ersatzschaltbild an.

b) Wie groß ist die Verlustleistung PV des Transistors?

c) Wie hoch ist die Temperatur TJ der Sperrschicht (des Kristalls)?

Lösung
a) Das thermische Ersatzschaltbild zeigt Abb. 3.22.

b)

TA

P D TC

I

D 60 K 20 K D

V

PV

4 W

Rth;HA

10 K

W
c)

T D

C

C

J

.Rth;JC

Rth;HA/ PV

TA

T D

J

.5 K=W C 10 K=W/ 4 W C 20 ıC D 80 ıC

Abb. 3.22 Thermisches Er-
satzschaltbild

66

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Aufgabe 3.38

Aus dem Datenblatt eines Transistors werden folgende Daten entnommen:

max. junction temperature T

D

Jmax

150 ıC
thermal resistance from junction to ambient R

D
th;JA
max. 50 K=W
thermal resistance junction-case R

D
th;JC
max. 3 K=W.

Zwischen Transistor und Kühlkörper liegt eine elektrisch isolierende Wärmeleitfolie mit
dem Wärmewiderstand R

D

D
th;F

0;5 K=W. Die Verlustleistung im Transistor beträgt PV

10 W, die Umgebungstemperatur ist T D

A

50 ıC.

a) Welchen Wärmewiderstand Rth;HA darf der Kühlkörper höchstens haben?

b) Wie groß dürfte die Verlustleistung PVmax ohne Kühlkörper maximal sein?

Lösung
a) Die Strecke für den Wärmestrom von der Sperrschicht des Halbleiterbauelementes
bis zur Umgebungsluft setzt sich aus mehreren Wärmewiderständen zusammen. Die

Summe aller Wärmewiderstände ergibt den gesamten Wärmewiderstand.

R

D

C

C
th;JA

Rth;JC

Rth;CH

Rth;HA

Hierin bedeuten: J D Junction D Sperrschicht, A D Ambient D Umgebung, C D

Case D Gehäuse, H D Heatsink D Kühlkörper

Der gesamte Wärmewiderstand von der Sperrschicht bis zur Umgebungsluft ist:

R

D
th;JA

Wärmewiderstand Junction-Ambient (Sperrschicht zu Umgebung).

Die einzelnen Komponenten des Wärmeübergangswiderstandes sind:

R

D
th;JC

Wärmewiderstand Junction-Case (Sperrschicht zu Gehäuse),

R

D
th;CH

Wärmewiderstand Case-Heatsink (Gehäuse zu Kühlkörper),

R

D
th;HA

Wärmewiderstand Heatsink-Ambient (Kühlkörper zu Umgebung).

Die Gleichung zur Berechnung der Sperrschichttemperatur ist:

T D

C

J

Rth;JA PV

TA:

Darin wird die Sperrschichttemperatur gleich der gegebenen maximalen Sperrschicht-
temperatur gesetzt. Man erhält: T

D

C

Jmax

Rth;JA PV

TA.

In diese Gleichung wird R

D

C

C
th;JA

Rth;JC

Rth;CH

Rth;HA eingesetzt.

T

D

C

C

C

Jmax

.Rth;JC

Rth;CH

Rth;HA/ PV

TA

Auflösen nach Rth;HA ergibt:

.R

C

th

Rth

TA

R

D TJmax

;JC

;CH/ PV
th;HA

PV

3.2

Widerstand

67

Der Wärmewiderstand zwischen Gehäuse und Kühlkörper entsteht durch die Wärme-
leitfolie, es ist R

D
th;CH

Rth;F.

R

D 150 ıC .3 ıC=W C 0;5 ıC=W/ 10 W 50 ıC D
th;HA

6;5 K=W

10 W

Der Kühlkörper darf höchstens einen Wärmewiderstand von 6,5 K/W haben.

b) Ohne Kühlkörper ist der Wärmewiderstand zwischen Sperrschicht und Umgebung

R

D
th;JA

50 K=W. Die im Transistor entstehende Verlustleistung darf dann maximal
sein:

TA

P

D TJmax

D 150 ıC 50 ıC D

Vmax

2 W

Rth;JA

50 ıC=W

Aufgabe 3.39

Ein Transistor wird in dem Arbeitspunkt U

D

D

CE

20 V, IC

100 mA betrieben. Der

Wärmewiderstand des Transistors ist R

D
th;JC

1 K=W, er wird auf einen Kühlkörper mit
dem Wärmewiderstand R

D
th;HA

20 K=W montiert. Die Umgebungstemperatur beträgt

T D

A

20 ıC. Wie hoch ist die Sperrschichttemperatur TJ im Transistor?

Lösung

T D

C

C

D

J

.Rth;JC

Rth;HA/ PV

TA

.1 K=W C 20 K=W/ 20 V 0;1 A C 20 ıC D 62 ıC

Aufgabe 3.40

Zwei Transistoren sind auf einem gemeinsamen Kühlkörper befestigt. Beide Transistoren
haben den inneren Wärmewiderstand R

D
th;JC

1 K=W und sind durch eine Wärmeleitfo-
lie mit dem Wärmewiderstand R

D
th;F

0;5 K=W vom Kühlkörper galvanisch getrennt. In
jedem Transistor entsteht maximal eine Verlustleistung von P D

V

20 W. Die Umgebung-
stemperatur nimmt maximal 40 ıC an, die Sperrschichttemperatur jedes Transistors darf

T

D

Jmax

110 ıC nicht überschreiten. Welchen Wärmewiderstand Rth;HA darf der Kühlkör-
per höchstens haben?

Lösung

Zunächst wird die in Aufgabe 3.38 hergeleitete Formel für einen Transistor verwendet.

.R

C R

T

R

D TJmax
th;JC
th;CH/ PV

A
th;HA

PV

R

D 110 ıC .1 K=W C 0;5 K=W/ 20 W 40 ıC D
th;HA

2 K=W

20 W

Da der zweite Transistor die an die Umgebung abzuführende Verlustleistung verdoppelt,
muss der Kühlkörper den halben Wärmewiderstand wie für einen Transistor haben. Somit
muss gelten: R

th;HA

1 K=W.

68

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Aufgabe 3.41

Zwei Transistoren sind auf einem gemeinsamen Kühlkörper befestigt. Beide Transistoren
haben den inneren Wärmewiderstand R

D
th;JC

1 K=W und sind durch eine Wärmeleit-
folie mit dem Wärmewiderstand R

D
th;F

0;5 K=W vom Kühlkörper galvanisch getrennt.

Im Transistor T

D

1 entsteht maximal eine Verlustleistung von PV1

10 W, im Transistor

T

D

2 ist die maximale Verlustleistung PV2

20 W. Die Umgebungstemperatur nimmt ma-
ximal 40 ıC an, die Sperrschichttemperatur jedes Transistors darf T

D

Jmax

110 ıC nicht
überschreiten. Welchen Wärmewiderstand Rth;HA darf der Kühlkörper höchstens haben?

Lösung

Der Kühlkörper muss die Summe der Verlustleistungen P

C

V1

PV2 an die Umgebung
abführen. Für jeden der beiden Transistoren ergibt sich mit R

D
th;CH

Rth;F folgende Sperr-
schichttemperatur:

T

D

C

C

C

J1;2

.Rth;JC

Rth;F/ PV1;2

Rth;HA .PV1

PV2/ C TA

Hätten die Transistoren einen unterschiedlichen inneren Wärmewiderstand, so wäre für

Rth;JC der jeweilige Wert einzusetzen.

Wäre z. B. der Wärmewiderstand des Kühlkörpers R

D
th;HA

1;6 K=W, so wäre die

Sperrschichttemperatur von T1

T D

J1

.1 K=W C 0;5 K=W/ 10 W C 1;6 K=W 30 W C 40 K D 103 ıC
und die Sperrschichttemperatur von T2 wäre

T D

J2

.1K=W C 0;5 K=W/ 20 W C 1;6 K=W 30 W C 40 K D 118 ıC:

Auflösen der Formel für die Sperrschichttemperatur nach Rth;HA und Einsetzen von

T

D

J1;2

TJmax ergibt:

.R

C R

T

R

D TJmax
th;JC
th;F/ PV1;2

A
th;HA

:

P

C

V1

PV2

Da der Kühlkörper für den Transistor mit der größeren Verlustleistung bemessen sein
muss, ist in diese Formel die größere Verlustleistung P

D

V2

20 W einzusetzen.

R

D 110 K 1;5 K=W 20 W 40 K D
th;HA

1;33 K=W

30 W

Aufgabe 3.42

Für einen ohmschen Widerstand ist eine maximale Verlustleistung von P

D

Vmax

0;22 W
bis zu einer Umgebungstemperatur von maximal T

D

A;N

70 ıC spezifiziert. Der Wider-
stand darf maximal eine Temperatur von T

D
max

125 ıC annehmen. Welchen thermischen

Widerstand Rth;A hat das Bauelement zur Umgebung? Wie groß darf die im Widerstand
entstehende Verlustleistung maximal sein, wenn er bei einer Umgebungstemperatur von

T D

A

100 ıC betrieben wird? Zeichnen Sie die zugehörige Lastminderungskurve.

3.2

Widerstand

69

Abb. 3.23 Lastminderungs-
kurve des Widerstandes

Lösung

T

K

R

D Tmax

A;N D 125 ıC 70 ıC D
th;A

250

PVmax

0;22 W

W

TA

P

D

Tmax

D

D

V.TA

100 ıC/ D PVmax

0;22 W 125 ıC 100 ıC

0;1 W

T

max

TA;N

125 ıC 70 ıC

Die zugehörige Lastminderungskurve zeigt Abb. 3.23.

3.2.8

Technische Ausführung von Festwiderständen

Aufgabe 3.43

Welche zwei grundsätzlichen Bauformen technischer ohmscher Widerstände gibt es? Wel-
che Eigenschaften haben sie?

Lösung

Ohm’sche Widerstände gibt es in der Ausführung als bedrahtete Bauelemente mit Draht-
anschlüssen und als oberflächenmontierbare Bauelemente. Diese werden als SMD-

Bauelemente (Surface Mounted Device) bezeichnet. Bedrahtete Widerstände für die

Durchsteckmontage (THT D Through Hole Technology) auf Leiterplatten sind wesentlich
größer als SMD-Widerstände, besitzen aber wegen ihres größeren Körpers eine höhere

Belastbarkeit in Watt. Ein Einsatzgebiet ist die Leistungselektronik. Eine automatische

Bestückbarkeit ist in der Elektronikfertigung kaum möglich. SMD-Widerstände sind sehr
klein und wenig belastbar. Sie sind mit hoher Geschwindigkeit mit Fertigungsautomaten
auf Leiterplatten bestückbar und ermöglichen eine Miniaturisierung. Ein Einsatzgebiet ist
die Mikroelektronik.

70

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Aufgabe 3.44

Geben Sie Beispiele für Aufbauarten bezüglich des Materials von Festwiderständen an.

Lösung

Die Aufbauart von Festwiderständen kann nach dem Widerstandsmaterial unterschieden
werden. Es gibt z. B. Kohleschicht- und Metallschichtwiderstände. Bei Drahtwiderständen
wird Widerstandsdraht verwendet.

Aufgabe 3.45

Welches sind die wichtigsten Kennwerte eines Festwiderstandes?

Lösung

Die wichtigsten Kennwerte eines Festwiderstandes sind sein Widerstandswert in Ohm und
seine Belastbarkeit in Watt. Widerstandstoleranz und Temperaturkoeffizient sind ebenfalls
wichtige Kenngrößen.

Aufgabe 3.46

Ein bedrahteter Widerstand ist mit den Farbringen orange-orange-schwarz-rot-braun-gelb
gekennzeichnet. Was bedeutet das?

Lösung

Der Widerstandswert ist 33 k, ˙1 %, TK D ˙25 ppm/K (TK D Temperaturkoeffizient)

Aufgabe 3.47

Auf einem SMD-Widerstand ist 474 aufgedruckt. Was bedeutet das?

Lösung

Nach dem Dreizeichencode zur Kennzeichnung von SMD-Widerständen der Reihen E24

(˙5 %) und E48 (˙2 %) von 100 bis 10 M ist der Widerstandswert ABC mit A D
erste Ziffer des Widerstandswertes, B D zweite Ziffer des Widerstandswertes, C D Anzahl
anschließender Nullen. Der Widerstandswert ist also 470 k.

Aufgabe 3.48

Auf einem SMD-Widerstand ist 42R2 aufgedruckt. Was bedeutet das?

Lösung

Nach dem Dreizeichencode zur Kennzeichnung von SMD-Widerständen der Reihe E96

(˙1 %) ist der Widerstandswert 42,2 .

3.3

Kondensator, elektrisches Feld

71

3.3

Kondensator, elektrisches Feld

3.3.1

Der Kondensator

Aufgabe 3.49

Welche Fähigkeit ist das Hauptmerkmal eines Kondensators? Was ist für eine technische

Anwendung die wichtigste Eigenschaft eines Kondensators?

Lösung

Ein Kondensator speichert elektrische Ladung bzw. elektrische Energie. Für eine tech-
nische Anwendung ist die wichtigste Eigenschaft eines Kondensators, dass er Gleich-
spannung sperrt und Wechselspannung mit größer werdender Frequenz immer besser
durchlässt (umgekehrtes Verhalten zu einer Spule).

Aufgabe 3.50

Was ist ein Dielektrikum bei einem Kondensator? Was bewirkt es?

Lösung

Ein Dielektrikum ist ein Isolierstoff zwischen zwei ungleichnamigen, getrennten Ladun-
gen eines Kondensators. Durch ein Dielektrikum wird die Kapazität eines Kondensators
erhöht.

Aufgabe 3.51

Für welche Zwecke wird ein Kondensator verwendet? Nennen Sie drei Beispiele.

Lösung

Ein Stützkondensator ist in einer elektronischen Schaltung parallel zu einem Verbraucher
geschaltet und hält die Versorgungsspannung bei sprungartigen Änderungen des Verbrau-
cherstromes aufrecht.

Ein Entkopplungskondensator trennt Gleichspannung von einer überlagerten Wechsel-
spannung.

Entstörkondensatoren werden zur Funkentstörung eingesetzt.

Aufgabe 3.52

Was ist der Vorteil eines Elektrolytkondensators? Auf was ist beim Einsatz eines Elektro-
lytkondensators zu achten?

Lösung

Ein Elektrolytkondensator besitzt eine große Kapazität bei kleiner Baugröße. Ein Elko ist
ein gepolter Kondensator, beim Anschließen ist auf richtige Polung zu achten.

72

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Aufgabe 3.53

Welches sind die wichtigsten Kennwerte eines (nicht veränderbaren) Kondensators?

Lösung

Die wichtigsten Kennwerte eines Kondensators sind seine Kapazität und seine maximale

Betriebsspannung.

Aufgabe 3.54

Welche technischen Ausführungen von Kondensatoren gibt es?

Lösung

Bauarten bzw. Bauformen von Kondensatoren mit festem Kapazitätswert sind: Folienkon-
densatoren, Papierkondensatoren, Metallpapier-Kondensatoren, Elektrolytkondensatoren,

Keramikkondensatoren, Glaskondensatoren, Schichtkondensatoren.

Aufgabe 3.55

Auf welche Spannung U muss ein Kondensator mit der Kapazität C D 33 mF aufgeladen
werden, damit er die Ladung Q D 1 C aufnimmt?

Lösung

U D Q D

1 As

D 30;3 V

C

33 103 s

Aufgabe 3.56

Ein Kondensator hat den Kapazitätswert C D 1 nF und ist mit der Ladung Q D 107 As
geladen. Auf welchen Wert ändert sich die Spannung U des Kondensators, wenn die Ka-
pazität um 20 % abnimmt?

Lösung

C D

I

D

1

0;8 C D 0;8 109 FI

U D Q

U D

107 As

125 V

C1

0;8 109 s

Aufgabe 3.57

Ein Plattenkondensator mit dem Plattenabstand d D 5 mm und der Kapazität C D 500 pF
wurde auf die Spannung U D 5 kV aufgeladen und dann von der Spannungsquelle ge-
trennt.

a) Berechnen Sie die Ladung Q auf den Platten.

b) Mit welcher Kraft F ziehen sich die Kondensatorplatten an?

c) Der Plattenabstand wird auf d D 10 mm geändert. Wie groß ist jetzt die Spannung

U2d an den Platten? Welche Arbeit W muss beim Verschieben der Platten verrichtet
werden?

3.3

Kondensator, elektrisches Feld

73

Lösung
a)

s

Q D C U D 500 1012

5000 V D 2;5 106 A s

b)

Q2

Q2

U Q

U 2 C

F D 1

D 1

D 1

D 1 Q E D 1

2 "

0 A

2 C d

2
d

2

2
d

U Q

5000 V 2;5 106 A s

F D 1

D 1

D 1;25 N

2
d

2

5 103 m
c) Der Plattenabstand wird auf 2d vergrößert. Die Kapazität ist dann: C D " A .

2d

Die Spannung ist:

U D Q D Q D 2 Q

2d

:

C

" A

" A

2d
d

Bei unveränderter Plattengröße A und konstanter Ladung Q verdoppelt sich die Span-
nung auf U D

2d

10 kV .

Die im Kondensator gespeicherte Energie ist W D 1 QU . Bei doppelter Spannung

2
ist also die doppelte Energie im Kondensator gespeichert. Die notwendige Arbeit ent-
spricht somit

W D 1 QU D 1 2;5 106 A s 5000 V D 6;25 103 J:

2

2

Eine Rechnung mit Kraft mal Weg ist natürlich ebenfalls möglich.

W D F s D 1;25 N 5 103 m D 6;25 103 J

Aufgabe 3.58

Die planparallelen Platten eines Kondensators mit der Kapazität C D 5 nF sind kreisrund,
haben einen Radius von r D 6 mm und einen Abstand von d D 0;8 mm. Berechnen Sie
die relative Permittivität "r des Dielektrikums.

Lösung

5 109 s 0;8 103 m

C D "

A )

D C d I

D

I

D

0 "r

"r

"r

"r

3996
d

"

0 A

8;85 1012 A s .6 103 m/2

Vm

3.3.2

Kondensator, elektrostatisches Feld, Energie

Aufgabe 3.59

Leiten Sie die Formel für die im Kondensator gespeicherte Energie W D 1 C U 2 her.

2

74

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Lösung

Aus W D U Q und Q D I t folgt W D U I t. Das Differenzial ist d W D U I dt.

Für I wird I D dQ eingesetzt. Man erhält d W D U dQ Z
dt D U dQ. Aus Q D C U
dt

Z
dt
folgt dQ D C d U . Somit ist d W D C U d U . Beiderseitiges Integrieren der Gleichung:

W

Z

U

Z

.U 0/2 U
d W D C

U 0d U 0I

ŒW W D

I

0

C

W D 1 C U 2

2

0

2

0

0

Die Energie wird im elektrischen Feld gespeichert.

Aufgabe 3.60

Bei einem Plattenkondensator mit Luft als Dielektrikum ist die Fläche einer Platte A D

20 cm2, der Plattenabstand beträgt d D 0;5 mm.

a) Wie groß ist die Kapazität C des Kondensators?

b) Wie groß ist der Betrag der Ladung Q auf jeder der Platten, wenn an den Konden-
sator eine Gleichspannung U D 220 V angelegt wird? Wie groß ist die elektrische

Feldstärke E zwischen den Platten?

c) Wie groß ist die elektrische Energie W, die im elektrischen Feld zwischen den Kon-
densatorplatten gespeichert ist?

d) Welche Werte Cd, Qd und Wd ergeben sich, wenn statt Luft ein Dielektrikum mit

" D
r

5 verwendet wird?

Lösung
a)

A s

C D " A D

20 104 m2 D

0

8;85 1012

35;4 1012 F D 35;4 pF
d

Vm

0;5 103 m
b)

s

Q D C U D 35;4 1012

220 V D 7;8 nC

V
kV
kV

V

E D U D

220 V

D 4;4 105

D 440

D 4;4

D 440
l

0;5 103 m
m
m
cm
mm
c)

s

W D 1 C U 2 D 1 35;4 1012

.220 V/2 D 8;6 107 J D 0;86 J

2

2

d)

C D

D

D

d

C "r

35;4 pF 5 D 177 pFI

Qd

Cd U D 177 pF 220 V D 38;9 nC
s

W D 1

d

Cd U 2 D 1 177 1012

.220 V/2 D 4;3 J

2

2

3.3

Kondensator, elektrisches Feld

75

Aufgabe 3.61

Ein Plattenkondensator mit der Plattenfläche A D 0;1 m2 und dem Plattenabstand d D

2 mm hat ein Dielektrikum mit der Dielektrizitätszahl " D
r

7. Der Kondensator ist auf die

Spannung U D 1000 V aufgeladen.

a) Wie groß ist die elektrische Feldstärke E zwischen den Platten?

b) Wie groß ist die elektrische Flussdichte D zwischen den Platten?

c) Wie groß ist der Betrag der auf jeder Platte vorhandenen Ladung Q?

d) Wie groß ist die Kapazität C des Kondensators?

Lösung
a)

V

E D U D 1000 V D 5 105
l

2 103 m
m
b)

A s

V

A s

D D "

D

0 "r E D 8;85 1012

7 5 105

3;1 105

Vm
m
m2
c)

U D E d I

Q D C U D C E d D "

0 "r E A D D A

A s

Q D 3;1 105

0;1 m2 D 3;1 106 A s D 3;1 106 C
m2
d)

C D Q D 3;1 106 A s D 3;1 109 F D 3;1 nF

U

1000 V

A s
oder: C D "

A D

D

0 "r

8;85 1012

7 0;1 m2

3;1 nF
d

V m

2 103 m

Aufgabe 3.62

Ein Kondensator mit Luft als Dielektrikum wird mit U D 80 V Gleichspannung gela-
den und dann von der Spannungsquelle abgeklemmt. Der Raum zwischen den Elektroden
wird anschließend mit einem Öl mit der Dielektrizitätszahl " D
r

2;1 gefüllt. Auf welchen

Wert Q1 ändert sich dadurch die ursprüngliche Ladung Q? Welchen Wert U1 nimmt die
ursprüngliche Spannung U an?

Lösung

Die Ladung ändert sich nicht, da wegen der nicht angeschlossenen Spannungsquelle keine

Ladung transportiert wird: Q D

1

Q.

Wegen C D "

A

0

"r
wird die Kapazität um den Faktor 2,1 größer. Wegen U D Q
d

C
wird die Spannung um das 1 -fache kleiner. U D 1 80 V D 38;1 V

2;1

1

2;1

76

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Aufgabe 3.63

Ein Plattenkondensator mit Luft als Dielektrikum und einem Plattenabstand d D

1

0;5 mm
wird mit U D

1

100 V Gleichspannung aufgeladen und dann von der Spannungsquelle
abgeklemmt. Anschließend wird der Plattenabstand auf d D

2

0;8 mm vergrößert. Welche

Spannung U2 liegt jetzt am Kondensator?

Lösung

Da die Spannungsquelle vom Kondensator abgeklemmt wurde, bleibt die auf den Platten
vorhandene (im Kondensator gespeicherte) Ladung bei Vergrößerung des Plattenabstan-
des konstant. Somit bleibt auch die elektrische Feldstärke E zwischen den Platten kon-
stant. Somit gelten die Gleichungen U D

D

1

E d1 und U2

E d2. Daraus folgt:

U D U1

D 100 V

2
d

0;8 mm D 160;0 V
d

2

1

0;5 mm

Aufgabe 3.64

Ein Kondensator mit der Kapazität C D 1;0 F wird auf U D 3;0 V aufgeladen. Eine an
den Kondensator angeschlossene Leuchtdiode (LED) leuchtet mit einer mittleren Leistung
von 20 mW, wenn die ihr zugeführte Spannung zwischen 1,5 V und 3,0 V liegt. Wie groß
ist die maximale Leuchtdauer t der LED?

Lösung

Zu Beginn des Leuchtens ist die im Kondensator gespeicherte Energie:

W D 1

1

C U 2 D 1 1;0 F .3;0 V/2 D 4;5 J:

2

2

Am Ende der Leuchtdauer beträgt die gespeicherte Energie nur noch:

W D 1

1

C U 2 D 1 1;0 F .1;5 V/2 D 1;125 J:

2

2

In der LED wurde während des Leuchtens eine Energie von

W D W

D

1

W2

4;5 J 1;125 J D 3;375 J umgesetzt.

Allgemein gilt: t D W . Somit ist die Zeit, in der die LED leuchtet:

P
t D

3;375 J

D 168;75 s

20 103 W

Aufgabe 3.65

Ein Kondensator ist mit 6,0 V geladen. Die gespeicherte Energie soll zur Zündung einer

Blitzlichtlampe genutzt werden. Während der Dauer des Lichtblitzes von 100 s wird die
elektrische Leistung P D 200 W abgegeben. Welche Kapazität muss der Kondensator
haben?

3.3

Kondensator, elektrisches Feld

77

Abb. 3.24 Kondensator mit
parallel geschalteten Platten

Lösung

Die im Kondensator gespeicherte Energie ist W D 1 C U 2. Damit die Blitzlichtlampe

2
zündet, muss ihr eine Energie von W D P t zugeführt werden, die der im Kondensator
gespeicherten Energie entspricht. Es folgt:

1 CU2 D P tI C D 2 P t D 2 200W 100 106 s D 1;111 103 F D 1111 F

2

U 2

.6 V/2

3.3.3

Technische Ausführungen von Kondensatoren

Erläuterungen

Bei einem Vielschichtkondensator werden mehrere Platten parallel geschaltet oder Me-
tallfolien mit dazwischen liegendem Dielektrikum aufgewickelt, um bei kleiner Baugröße
eine große Kapazität zu erreichen. Mit Ausnahme der äußeren Platten sind bei allen Elek-
troden beide Seiten wirksam. Die in Abb. 3.24 dargestellten fünf Platten bilden 5 1 D 4

Kondensatoren. n Platten bilden also .n 1/ Kondensatoren, die Kapazität beträgt das

.n 1/-fache gegenüber einem Kondensator mit zwei Platten bei gleicher Plattenfläche
und gleichem Plattenabstand.

C D .n 1/ "

A

0 "r
d

Wir betrachten in Abb. 3.25 einen Teil eines Vielschichtkondensators mit Luft als Di-
elektrikum im Gegensatz zu einem einfachen Plattenkondensator. Die Kapazität dieses

Kondensators mit drei Platten ist:

C D 2 "

a b

0 "r
d

Den schematischen Aufbau eines Vielschichtkondensators mit abwechselnder Metall-
schicht und dielektrischer Schicht zeigt Abb. 3.26. Ein solcher Kondensator kann z. B. als
keramischer Vielschichtkondensator in Chipform (Abb. 3.27) oder als gewickelter Folien-
kondensator (Abb. 3.28) realisiert werden.

78

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Abb. 3.25 Ausschnitt aus
einem Vielschichtkondensator

(Doppelschichtkondensator)

Abb. 3.26 Schematischer Aufbau eines Kondensators in Schichttechnologie

Abb. 3.27 Aufbau eines Keramik-Vielschicht-Chip-Kondensators

3.3

Kondensator, elektrisches Feld

79

Abb. 3.28 Aufbau eines Foli-
enkondensators als Wickel aus

Metall- und Isolierstofffolien

Aufgabe 3.66

Ein Kondensator besteht aus n D 14 Metallschichten mit der wirksamen Oberfläche A D

6 cm2 und einem Dielektrikum zwischen den Metallschichten mit der Dicke d D 0;2 mm
und der Permittivitätszahl " D
r

7. Wie groß ist seine Kapazität C?

Lösung

A s

C D .n 1/ "

A D

D

0 "r

13 8;85 1012

7 6 104 m2

2;42 nF
d

V m

0;2 103 m

Aufgabe 3.67

Ein Wickelkondensator wird aus zwei einseitig beschichteten Kunststofffolien hergestellt.

Die Kunststofffolie ist 0,1 mm dick, ihre Permittivitätszahl ist " D
r

3;0. Die Durchschlags-
festigkeit der Folie beträgt 500 kV=cm. Jede Folie hat eine Fläche von 3;0 m2.

a) Wie hoch ist die maximal zulässige Spannung Umax, die an den Kondensator angelegt
werden darf?

b) Wie groß ist die Kapazität C des Kondensators?

c) Der Kondensator wird mit 100 V aufgeladen. Wie groß sind die im Kondensator ge-
speicherte Ladung Q und Energie W, wie groß ist die elektrische Feldstärke E in
kV=cm?

Lösung
a) U

D

max

500 kV 0;01 cm D 5 kV
cm
b) Durch das Aufwickeln der Folien wird die Fläche doppelt so groß, beide Seiten der

Metallschicht tragen Ladung.

A s

C D "

A D

D

0 "r

8;85 1012

3;0 2 3;0 m2

1;593 106 F D 1;6 F
d

V m

0;1 103 m

80

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis
c)

s

Q D C U D 1;6 106

100 V D 1;6 104 A s

s

W D 1 C U 2 D 1 1;6 106

.100 V/2 D 8 mJ

2

2

V

V
kV

E D U D

100 V

D 1 106

D 104

D 10
d

0;1 103 m
m
cm
cm

Aufgabe 3.68

Für die Herstellung eines Wickelkondensators stehen einseitig mit Metall beschichtete

Polyethylenfolien mit einer Dicke von d D 20 m und einer Breite von b D 20 mm zur

Verfügung. Der Kondensator soll eine Kapazität von C D 100 nF haben. Die Permittivi-
tätszahl von Polyethylen ist " D
r

2;3.

a) Welche Länge l müssen die Folien haben?

b) Welchen Durchmesser D hat der gewickelte Kondensator? Die äußere Ummantelung
durch eine Kunststoffmasse wird hier nicht betrachtet. Die Dicke der Metallschicht
wird gegenüber der Dicke der Polyethylenfolie vernachlässigt.

Lösung
a) Da durch das Aufwickeln der Folien beide Seiten der Metallschicht Ladung tragen,
wird die Fläche und damit die Kapazität im Vergleich zu zwei sich planparallel gegen-
überstehenden Elektroden (Platten) verdoppelt.

"

r
b l

20 106 m 100 109 A s

C D 2 "0

) l D
d C

D

V
d

2 "

0 "r b

2 8;85 1012 A s 2;3 20 103 m

V m

D 2;456 m
b) Das Volumen eines geraden Kreiszylinders mit dem Durchmesser D und der Breite b
ist V D D2 b. Dieses Volumen entspricht dem Volumen V D 2 l b d der beiden

4

Folien.

r
r

8 l d

8 2;456 m 20 106 m

D2 b D 2 l b d ) D D

D

4

D 1;12 102 m D 1;12 cm

Aufgabe 3.69

Ein Kondensator besteht aus einem Wickel von je zwei Metall- und Kunststofffolien.

Die Metallfolien sind d

D

Me

20 m dick, die Kunststofffolien haben eine Dicke von
d

D

Ku

50 m. Der Wickel ist 4 mm breit und hat einen Radius von r D 2 mm. Die

Permittivitätszahl der Kunststofffolien ist " D
r

4. Wie groß ist die Kapazität C des Kon-
densators?

3.3

Kondensator, elektrisches Feld

81

Lösung

Das Volumen eines geraden Kreiszylinders mit dem Radius r und der Breite b ist V D
r2 b. Dieses Volumen entspricht dem Volumen V D l b d des Wickels mit d D

2 .d

C

Me
dKu/.

r2 D l 2 .d

C

D

.2 103 mm/2

Me
dKu/ ) l D
r2

2 .d

C

Me
dKu/

2 .20 106 m C 50 106 m/

D 8;98 cm

"

r
b l

8;85 1012 A s 4 4 103 m 8;98 102 m

C D 2 "0

D 2

V m

D 509 pF
d

50 106 m

Für die restlichen Aufgaben dieses Abschnitts ist es vorteilhaft, sich mit den

Abschn. 5.3 „Reihenschaltung von Kondensatoren“ und 8.3 „Parallelschaltung von Kondensatoren“ vertraut zu machen. Außerdem sind in einigen der folgenden Aufgaben Kenntnisse in Vektoranalysis erforderlich.

3.3.4

Plattenkondensator, geschichtete Dielektrika

Aufgabe 3.70

Gegeben sind zwei Plattenkondensatoren mit jeweils zwei verschiedenen Stoffen als Di-
elektrikum. Die Dielektrika sind unterschiedlich angeordnet, das Dielektrikum ist einmal
quer zu den Feldlinien (Abb. 3.29) und einmal längs den Feldlinien (Abb. 3.30) geschichtet. Wie groß ist jeweils die Gesamtkapazität Cges des Kondensators? Überlegen Sie,
welche Teilkapazitäten entstehen und welche Gesamtkapazität sich aus diesen jeweils er-
gibt. Wie verhalten sich in beiden Fällen Flussdichte D und Feldstärke E an der Grenze
zwischen den verschiedenen Stoffen?

Lösung

Querschichtung

Der Kondensator mit Querschichtung des Dielektrikums nach Abb. 3.29 kann als Rei-
henschaltung von zwei Kondensatoren C1 und C2 aufgefasst werden. C1 mit "r1 hat den

Plattenabstand d1, C2 mit "r2 hat den Plattenabstand d2. Die Plattenfläche A ist für beide

Abb. 3.29 Kondensator mit
quer zu den Feldlinien ge-
schichtetem Dielektrikum

(Querschichtung)

82

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Abb. 3.30 Kondensator
mit längs den Feldlinien ge-
schichtetem Dielektrikum

(Längsschichtung)

Kondensatoren gleich groß.

C D

A I

D

A

1

"0 "r1

C

"

"r
d

2

0

2

1
d2

C

"

A

A

0 "r1

"0 "r2

"

r1

"r2 A2

C

D C1

2 D
d1
d2

D

"20
ges

C C

C

1

C2

"

A C

A

0 "r1

"

"

"

A ."

d

"

d
d

0
r2

0
r1

2
r2

1/

1
d2

D "0 "r1 "r2 A

"

C

r1
d2

"r2 d1

Die Flussdichte D ändert sich nicht an der Grenze von "r1 zu "r2 (Abb. 3.31a).

Die Feldstärke E ändert sich sprunghaft an der Grenze von "r1 zu "r2 (Abb. 3.31b).

Längsschichtung

Der Kondensator mit Längsschichtung des Dielektrikums nach Abb. 3.30 kann als Par-
allelschaltung von zwei Kondensatoren C1 und C2 mit den Plattenflächen A1 und A2
aufgefasst werden. Der Plattenabstand d ist für beide Kondensatoren gleich groß.

C D

A1 I

D

A2 I

D

C

D

A1 C

A2

1

"0 "r1

C

"

"r2

Cges

C

C

"

"r1

"

"r2
d

2

0
d

1

2

0
d

0
d

Falls gilt A D

D

1

A2

A, so folgt:

C D

A I

D

A I

D

C

D

A C

A

1

"0 "r1

C

"

"r2

Cges

C

C

"

"r1

"

"r2
d

2

0
d

1

2

0
d

0
d

D "

C

0 ."r1

"r2/ A
d

Abb. 3.31 Flussdichte D und Feldstärke E bei Querschichtung

3.3

Kondensator, elektrisches Feld

83

Abb. 3.32 Flussdichte D und

Feldstärke E bei Längsschich-
tung

Die Flussdichte D ändert sich sprunghaft an der Grenze von "r1 zu "r2 (Abb. 3.32a).

Die Feldstärke E ändert sich nicht an der Grenze von "r1 zu "r2 (Abb. 3.32b).

Aufgabe 3.71

In einem Plattenkondensator mit horizontal geschichtetem Dielektrikum nach Abb. 3.29
befinden sich zwei Isolierstoffplatten. Die linke Platte ist d D

1

1;0 mm dick, ihre Permit-
tivitätszahl ist " D

D
r1

2;5. Die rechte Platte ist d2

1;5 mm dick, ihre Permittivitätszahl ist

" D
r2

4;5. Die Fläche einer Platte beträgt A D 900 cm2. Im Kondensator ist die Ladung

Q D 1;5 106 A s gespeichert.

a) Wie groß sind die elektrischen Flussdichten D1 und D2 in den Isolierstoffplatten?

b) Wie groß sind die zugehörigen elektrischen Feldstärken E1 und E2?

c) Mit welchen Teilspannungen U1 und U2 werden die Isolierstoffplatten beansprucht?

d) Welche Spannung U liegt am Kondensator?

e) Wie groß ist die Kapazität C des Kondensators?

Lösung
a) An einer Grenzfläche zwischen zwei verschiedenen Materialien, die quer zu den Feld-
linien liegt, wobei sich die Materialien in einem elektrischen Feld befinden, begin-
nen und enden Feldlinien. Die elektrische Feldstärke E kann sich an der Grenzfläche
sprunghaft ändern. Die elektrische Flussdichte D bleibt über die Grenzfläche hinweg
konstant.

A s

D D

D Q D 1;5 106 A s D

1

D2

16;7 106

A

900 104 m2
m2
b)

16;7 106 A s

V

E D

D1

D
m2

D

1

7;6 105

"

0 "r1

8;85 1012 A s 2;5
m

V m

16;7 106 A s

V

E D

D1

D
m2

D

2

4;2 105

"

0 "r2

8;85 1012 A s 4;5
m

V m
c)

V

U D

D

1

E1 d1

7;6 105

1;0 103 m D 760 V
m

V

U D

D

2

E2 d2

4;2 105

1;5 103 m D 630 V
m

84

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Abb. 3.33 Plattenkondensator
mit Glasplatte
d)

U D U C

D

1

U2

760 V C 630 V D 1390 V
e)

C D Q D 1;5 106 A s D 1;08 nF

U

1390 V

Aufgabe 3.72

Zwischen die Platten eines Plattenkondensators mit dem Plattenabstand d D 8 mm und
einer Plattenfläche A D 10 cm2 wird eine Glasplatte von d D

1

2;5 mm Dicke so einge-
bracht, dass sie an der linken Elektrode fest anliegt (Abb. 3.33). An den Platten liegt eine

Spannung von U D 2;5 kV. Die Dielektrizitätszahl von Glas ist " D
r

7;5.

Berechnen Sie
a) die Gesamtkapazität Cges der Anordnung,
b) die Teilspannungsabfälle UGlas und ULuft an den Kapazitäten,
c) die elektrischen Teilfeldstärken EGlas und ELuft.

Lösung
a) Die Anordnung bildet zwei in Reihe geschaltete Kondensatoren.

8;85 1012 A s 7;5 10 104 m2

C

D "0"rA I

D

V m

I

D

Glas

CGlas

CGlas

26;58 pF
d1

2;5 103 m

8;85 1012 A s 10 104 m2

C

D "0A I

D

V m

I

D

Luft

CLuft

CLuft

1;61 pF
d d1

5;5 103 m

C

C

D CGlas

Luft I

D 26;58 1;61

D
ges

Cges
pFI

Cges

1;52 pF

C

C

Glas

CLuft

26;58 C 1;61
b)

Cges

U

D

D

D

D

Glas

U

2500 V 1;52 pF

143 VI

ULuft

2500 V 143 V D 2357 V

CGlas

26;58 pF

3.3

Kondensator, elektrisches Feld

85
c)

V

V

E

D UGlas D

143 V

D

D

Glas

5;72 104

57;2
d1

2;5 103 m
m
mm

V

V

E

D ULuft D

2357 V

D

D

Luft

4;285 105

428;5
d d1

5;5 103 m
m
mm

Aufgabe 3.73

In einem Plattenkondensator mit der Plattenfläche A D 0;15 m2 und dem Plattenabstand
d D

D

1

0;5 mm befindet sich eine Isolierstoffplatte mit der Permittivitätszahl "r

4;5. Das

Dielektrikum füllt den gesamten Raum zwischen linker und rechter Kondensatorplatte
aus. Der Kondensator wird mit U D

1

100 V Gleichspannung aufgeladen und dann von der

Spannungsquelle abgeklemmt. Anschließend wird der Plattenabstand auf d D

2

0;8 mm
vergrößert. Es entsteht ein mit Luft gefüllter Abstand zwischen Isolierstoffplatte und rech-
ter Kondensatorplatte.

a) Welche Spannung U2 liegt jetzt am Kondensator?

b) Welche Energie W ist jetzt im Kondensator gespeichert?

Lösung
a) Vor dem Vergrößern des Plattenabstandes ist die Kapazität des Kondensators

A s

C D

A D

D

1

"0 "r

8;85 1012

4;5

0;15 m2

11;95 109 F:

d1

V m

0;5 103 m

Nach dem Vergrößern des Plattenabstandes liegt eine Reihenschaltung von zwei Kon-
densatoren vor. Die erste Kapazität ist C1. Die zweite Kapazität ist

A s

C D

A

D

D

2

"0 "r

8;85 1012

1

0;15 m2

4;425 109 F:

d

2
d1

V m

0;3 103 m

Die Gesamtkapazität des Kondensators ist jetzt

C

C

D C1

2 D 11;95 4;425
ges

109 F D 3;23 109 F:

C C

1

C2

11;95 C 4;425

Da die Spannungsquelle vom Kondensator abgeklemmt wurde, bleibt die auf den

Platten vorhandene (im Kondensator gespeicherte) Ladung bei Vergrößerung des Plat-
tenabstandes konstant. Aus Q D C

D

1 U1

Cges U2 folgt:

U D

C1 D

D

2

U1

100 V 11;95 109 F

370 V

Cges

3;23 109 F
b)

W D 1 C

D 1
ges

U 2

3;23 109 F .370 V/2 D 2;2 104 J

2

2

2

86

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Aufgabe 3.74

Ein Plattenkondensator mit Luft als Dielektrikum, einer Plattengröße A D 1;0 m2 und
einem Plattenabstand d D 8 mm wird mit U D 1000 V Gleichspannung aufgeladen.

a) Wie groß sind Kapazität C, Ladung Q und gespeicherte Energie W des Kondensators?

b) Der geladene Kondensator wird von der Spannungsquelle abgeklemmt. Anschließend
wird eine Isolierstoffplatte der Größe A D 1;0 m2, der Dicke d D

1

5 mm und mit
der Permittivitätszahl " D
r

2;3 so zwischen den Platten des Kondensators angebracht,
dass sie an einer Metallplatte des Kondensators mit der ganzen Fläche anliegt. Wie
groß sind jetzt Spannung U1, Kapazität C1, Ladung Q1 und gespeicherte Energie W1
des Kondensators?

Lösung
a)

A s

C D " A D

1;0 m2 D

0

8;85 1012

1;11 nF
d

V m 8 103 m

Q D C U D 1;11 109 F 1000 V D 1;11 106 C D 1;11 C

W D 1 C U 2 D 1 1;11 109 F .1000 V/2 D 0;55 103 J D 0;55 mJ

2

2
b) Es liegt eine Reihenschaltung von zwei Kondensatoren vor. Die erste Kapazität ist Ca.

Die zweite Kapazität ist Cb.

A s

C D

A D

D
a

"0 "r

8;85 1012

2;3 1;0 m2

4;1 109 F
d1

V m

5 103 m

A s

C D

A

D

1;0 m2 D
b

"0

8;85 1012

2;95 109 F
d d1

V m 3 103 m

Die Kapazität ist jetzt:

C

C D Ca
b

D 4;1 2;95

1

109 F D 1;72 109 F D 1;72 nF:

C C
a

Cb

4;1 C 2;95

Die auf den Kondensatorplatten gespeicherte Ladung bleibt unverändert: Q D

1

Q D

1;11 C

Q D C U D C

)

D C

1 U1

U1

U D 1;11 nF 1000 V D 645;4 V

C1

1;72 nF

W D 1

D 1

1

C

U 2

1;72 109 F .645;4 V/2 D 3;58 104 J D 0;36 mJ

2

1

1

2

3.3

Kondensator, elektrisches Feld

87

Abb. 3.34 Plattenkondensa-
tor mit Längsschichtung des

Dielektrikums

Aufgabe 3.75

Gegeben ist ein Plattenkondensator mit einem Plattenabstand von d D 10 mm und mit

Längsschichtung des Dielektrikums entsprechend Abb. 3.34. Die Permittivitätszahlen der

Isolierstoffe sind "

D

D
r1 und "r2. Die Teilflächen der Kondensatorplatten sind A1

A2

100 cm2. Der Kondensator liegt an der Spannungsquelle U D 100 V.

a) Zunächst gelte " D

D
r1

"r2

1. Wie groß sind die Kondensatorladung Q, die Flussdichte

D, die elektrische Feldstärke E und die Kapazität C des Kondensators?

b) Nun gelte " D

D
r1

1, "r2

3. Wie groß ist jetzt die Kapazität C1 des Kondensators? Wie
groß sind die Werte von Q1 und Q2, D1 und D2, E1 und E2?

Lösung
a) Die Kapazität des Kondensators mit der Fläche A D

1

100 cm2 ist

A s

C

D

A1 D

D

A1

"0 "r1

8;85 1012

1 100 104 m2

8;85 pF:

d

V m

0;01 m

Der Kondensator mit der Fläche A D

2

100 cm2 hat den gleichen Wert und ist parallel
geschaltet. C D 8;85 pF C 8;85 pF D 17;7 pF

Q D C U D 17;7 1012 F 100 V D 1;77 nCI

D D Q D

1;77 nC

A

200 104 m2

D
nC

88;5 m2

V

V

E D U D 100 V D 10:000

D 100
d

0;01 m
m
cm
b) Die Kapazität des Kondensators mit der Fläche A D

2

100 cm2 ist jetzt

A s

C

D

A1 D

D

A2

"0 "r2

8;85 1012

3 100 104 m2

26;55 pF:

d

V m

0;01 m

88

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Abb. 3.35 Plattenkondensator
mit kreisrundem Aufbau und

Längsschichtung des Dielektri-
kums

Die Gesamtkapazität des Kondensators ist C D

C

D

1

CA1

CA2

8;85 pF C 26;55 pF D

35;4 pF.

Q D

1

CA1 U D 8;85 1012 F 100 V D 0;885 nC

Q D

2

CA2 U D 26;55 1012 F 100 V D 2;655 nC
nC
nC

D D Q1 D

0;885 nC

D

I

D Q2 D

2;655 nC

D

1

88;5

D

265;5

A

2

1

100 104 m2
m2

A2

100 104 m2
m2

V

V

E D

D

D 100 V D

D

1

E2

E D U

10:000

100
d

0;01 m
m
cm

Aufgabe 3.76

Ein Plattenkondensator ist nach Abb. 3.35 aus einer kreisrunden Glasplatte in der Mitte
und einem um die Glasplatte liegenden Kreisring aus Porzellan aufgebaut. Die Permit-
tivitätszahl von Glas ist " D

D
r

9, die von Porzellan ist "r

5. Der Plattenabstand ist
d D 1;0 mm.

a) Wie groß ist die Kapazität C des Kondensators?

b) Wie groß sind elektrische Feldstärke E und Flussdichte D im Kondensator, wenn an
ihn 500 V Gleichspannung angelegt werden?

Lösung
a)

A

D

Glas
r2 D .10 103 m/2 D 3;14 104 m2

A s

C

D

AGlas D

D

Glas

"0 "r

8;85 1012

9 3;14 104 m2

25 pF
d

V m

103 m

Die Fläche des Kreisrings aus Porzellan ist:

A

D

D

Porz

.D2 d 2/ D

.40 103 m/2 .20 103 m/2

9;425 104 m2

4

4

A s

C

D

APorz D

D

Porz

"0 "r

8;85 1012

5 9;425 104 m2

41;7 pF
d

V m

103 m

C D C

C

D

Glas

CPorz

25 pF C 41;7 pF D 66;7 pF

3.3

Kondensator, elektrisches Feld

89

Abb. 3.36 Plattenkondensator
mit drei quer geschichteten

Dielektrika
b)

V
kV

E

D

D U D 500 V D

D

Glas

EPorz

5 105

5
d

103 m
m
cm

U

A s

D

D CGlas

D 25 1012 F 500 V D

Glas

3;98 105

AGlas

3;14 104 m2
m2

U

A s

D

D CPorz

D 41;7 1012 F 500 V D

Porz

2;21 105

APorz

9;425 104 m2
m2

Aufgabe 3.77

Gegeben ist ein Plattenkondensator mit drei quer geschichteten Dielektrika nach Abb. 3.36.

Die Plattenfläche ist jeweils A D 100 cm2. Die Dicke des Dielektrikums mit " D
r1

3 ist
d D

D

D

1

3 mm, die Dicke des Dielektrikums mit "r2

1 ist d2

2 mm und die Dicke des

Dielektrikums mit " D

D
r3

6 ist d3

1 mm. Am Kondensator liegt eine Gleichspannung

U D 5 kV.

a) Wie groß ist die Kapazität Cges des Kondensators?

b) Wie groß sind die Flussdichten D1, D2 und D3 in den drei Schichten?

c) Wie groß sind die Feldstärken E1, E2, E3 und die Spannungen U1, U2, U3 in den drei

Schichten?

Lösung
a)

A s

C D

A D

D

1

"0 "r1

8;85 1012

3 100 104 m2

88;5 pF
d1

V m

3 103 m

A s

C D

A D

D

2

"0 "r2

8;85 1012

1 100 104 m2

44;25 pF
d1

V m

2 103 m

A s

C D

A D

D

3

"0 "r3

8;85 1012

6 100 104 m2

531 pF
d1

V m

1 103 m

C

D

1
ges
pF D 27;9 pF

1

C 1 C 1

88;5

44;25

531
b)

U

A s

D D

D

D Cges

D 27;9 1012 F 5000 V D

1

D2

D3

1;4 105

A

100 104 m2
m2

90

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Abb. 3.37 Füllstandsmessung
mit Plattenkondensator (nicht
maßstabsgetreu)

c)

1;4 105 A s

V
kV

E D

D1

D
m2

D

D

1

5;27 105

5;27

"

0 "r1

8;85 1012 A s 3
m
cm

V m

1;4 105 A s

V
kV

E D

D1

D
m2

D

D

2

15;8 105

15;8

"

0 "r2

8;85 1012 A s 1
m
cm

V m

1;4 105 A s

V
kV

E D

D1

D
m2

D

D

3

2;64 105

2;64

"

0 "r3

8;85 1012 A s 6
m
cm

V m
kV

U D

D

1

E1 d1

5;27

0;3 cm D 1;58 kV
cm
kV

U D

D

2

E2 d2

15;8

0;2 cm D 3;16 kV
cm
kV

U D

D

3

E3 d3

2;64

0;1 cm D 264 V
cm

Aufgabe 3.78

Ein Plattenkondensator wird zur Füllstandsmessung einer dielektrischen Flüssigkeit mit
der Permittivitätszahl " D
r

5 verwendet (Abb. 3.37). Die Platten des Kondensators befin-
den sich im Abstand a D 2 cm über dem Boden des Behälters, sie sind l D h a D 1;0 m
lang bzw. hoch, b D 5 cm breit und haben einen Abstand von d D 4 mm.

a) Wie groß ist die Kapazität C0 des Kondensators bei leerem Behälter?

b) Wie groß ist der Füllstand h, wenn die Kapazität 2 C0 beträgt? Berechnen Sie den

Ausdruck für h allgemein und als Zahlenwert.

c) Geben Sie h allgemein in Abhängigkeit des Kapazitätswertes C0 des Kondensators und
der Größen a, b, d und l an.

d) Nun sei a D 0 . Geben Sie h allgemein in Abhängigkeit des Kapazitätswertes C0 des

Kondensators und der Größen b, d und l an. Welche Charakteristik ergibt sich für h in

Abhängigkeit von C0?

3.3

Kondensator, elektrisches Feld

91

Lösung
a)

A s

C D
l b D

1;0 m 5 102 m D

0

"0

8;85 1012

110;6 pF
d

V m

4 103 m
b) Es liegt eine Längsschichtung des Dielektrikums vor. Die Kapazitäten CLuft und CFlüss
sind zu addieren.

.l h0/ b

" h0 b

2 C D

C

D "0

C "0
r

0

CLuft

CFlüss
mit h0 D h a
d
d

2 C

0 d D "0 b l "0 b h0 C "0 "r b h0

2C
d " b l

0d l
h D 2 C0

0

C a D "0b

C a

"

0 "r b "0 b

"r

1

2110;61012 F4103 m 1;0 m

8;851012 A s 5102 m
h D

V m

C 2;0 102 m

5 1
h D 27 cm
c)

C0d l
h D "0b

C a

"

r

1
d)

h D C d l b "0 D

0

C
const
b "

0

0 ."r

1/

Der Füllstand h ist linear von C0 abhängig.

Aufgabe 3.79

Die Metallplatten eines Kondensators werden zum Schutz gegen einen Kurzschluss mit

Polystyrol mit der Permittivitätszahl " D
r2

2;8 überzogen (Abb. 3.38). Das Dielektrikum
zwischen den Kondensatorplatten ist Luft (" D
r1

1). Die Plattenfläche ist A D 15 cm2, der

Plattenabstand beträgt d D

1

1;5 mm.

Abb. 3.38 Kondensatorplatten
mit Schutzschicht

92

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis
a) Wie groß darf die Dicke d der Schutzschicht sein, damit die Kapazität des Kondensa-
tors nicht größer als 10 pF ist?

b) Welche Spannung darf maximal an den Kondensator angelegt werden, damit die Feld-
stärke im verbleibenden Luftraum nicht größer wird als E D 10 kV=cm?

Lösung
a) Das Dielektrikum des Kondensators ist quer geschichtet. Die Kapazität C des Konden-
sators entspricht der Reihenschaltung von zwei Kondensatoren mit den Permittivitäts-
zahlen "r1 und "r2.

C

C D

A

I

D

A I

2

1

"0 "r1

C

"

"r2

C D C1
d

2

0

C

1

2d

2d

C1

C2

Z

"

Z

A

A

0 "r1

"0 "r2

" " A

C D
d12d

2d

D

"0
r1
r2

Z

"

Z

A

C

Z

A

"

0 "r1

"

r1

C "r2
d

Z

"0
r2

2d .d

2d /

12d

2d

1
d12d

2d

" " A

" " A

C D

"0
r1
r2

I

2d " C

D "0
r1
r2
r1

.d

2d / "r2

2d " C

1
r1

.d1

2d / "r2

C

" " A

2d ."

r1
r2

I
r1

"r2/ D "0
d

"r2

C

1

" " " A
d D

1

0
r1
r2
d "r2

2."

1
r1

"r2/

C

!

8;85 1012 A s 1 2;8 15 104 m2
d D

1

V m

1;5 103 m 2;8 I

2.1 2;8/

10 1012 F
d D 1;34 104 m D 134 m
b)

V

U D E .d

1

2d /I

U D 10 103

.0;15 cm 2 1;34 102 cm/I

U D 1232 V
cm

Aufgabe 3.80

Ein Plattenkondensator C

D

1, der mit einem Dielektrikum mit der Permittivitätszahl "r

3
gefüllt ist, ist auf die Spannung U D

1

80 V aufgeladen. Ein ungeladener Plattenkon-
densator C2 mit denselben geometrischen Abmessungen wie C1, jedoch mit Luft als

Dielektrikum, wird zu C1 parallel geschaltet.

a) Wie groß ist jetzt die Spannung U 0?

1
b) Um welchen Faktor k hat sich die im Kondensator C1 gespeicherte Energie geändert?

3.3

Kondensator, elektrisches Feld

93

Lösung
a) Nach dem Parallelschalten findet ein Ladungsausgleich statt. Die Gesamtladung in
dem System bleibt bei diesem Umladevorgang erhalten.

Q D C U D const ) C

D

C

1 U1

.C1

C2/ U 01

U 0

" " A

1 D

C1

D

0
r
d

D

"r

D 3 I U 0 D 60 V

U

C

C

1

1

C1

C2

"

A C

A

0 "r

"

"

1

4
d

0
d
r
b)

W D 1 C U 2I
k D W 01 D .U 01/2 D .60 V/2 D 9

2

W1

U 2

.80 V/2

16

1

3.3.5

Radialsymmetrisches elektrisches Feld

Aufgabe 3.81

Leiten Sie anhand der Ladungsanordnung in Abb. 3.39 das Coulomb’sche Gesetz her.

Lösung

Eine punktförmige Ladung Q1 befindet sich im Zentrum einer zunächst ungeladenen,
sehr dünnen, metallischen Kugelschale mit kleinem Radius. Das elektrische Feld von Q1
ist radialsymmetrisch. In der Kugelschale wird Ladung durch Influenz getrennt. Auf der

Innenseite wird Q1, auf der Außenseite wird CQ1 influenziert. Die durch Influenz her-
vorgerufene Ladung ist genau so groß wie die Ladung Q1.

Abb. 3.39 Metallische Kugel-
schale um eine punktförmige

Ladung

94

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Auf beiden Seiten der Kugelschale sind die Ladungsträger gleichmäßig verteilt. Die

Oberfläche einer Kugel mit dem Radius r ist A D 4 r2. Auf dieser Kugeloberfläche ent-
steht durch Influenz eine Flächenladungsdichte
D Q=A. Diese Flächenladungsdichte
entspricht im elektrostatischen Gleichgewicht der elektrischen Flussdichte D (früher als

Verschiebungsdichte bezeichnet).

Somit gilt: D D
D Q D Q1 .

A

4r2

Mit E D D="0 folgt für die Feldstärke im Abstand r von der Punktladung Q1:

E D

Q1

4"

0 r 2

Das elektrostatische Feld einer homogen geladenen Kugelschale ist also nicht unterscheid-
bar vom elektrischen Feld einer Punktladung Q1. Befindet sich in dem von Q1 her-
vorgerufenen Feld der Feldstärke E eine ebenfalls punktförmige Ladung Q2, so wirkt
entsprechend F D E Q auf sie eine Kraft mit dem Betrag

Q

F D Q1

2 :

4"

0 r 2

Dies ist das Coulomb’sche Gesetz in skalarer Schreibweise. Mit dieser Gleichung kann
die Kraft zwischen zwei Punktladungen im Abstand r berechnet werden. Bei ungleichna-
migen Ladungen (Q1 > 0 und Q2 < 0 oder umgekehrt) besteht Anziehung zwischen den
beiden Ladungen, dann ist F < 0. Bei Abstoßung von Ladungen mit gleichem Vorzeichen
ist F > 0.

Die vektorielle Schreibweise des Coulomb’schen Gesetzes ist:

E

Q

F D Q1

2 Ee

4"

r :

0 r 2

Der Vektor E
e D Er D Er
r
jE
ist der Einheitsvektor in Richtung r mit der Länge 1.

rj
r

Er D Er E

1
r2 ist der Ortsvektor von Q2 nach Q1. E

F ist die Kraft, die von Q2 auf Q1
ausgeübt wird.

Aufgabe 3.82

Leiten Sie das Coulomb’sche Gesetz mit dem Satz von Gauß her.

Lösung

Der Satz von Gauß lautet:

—

—

Q D

E

D d E

A D "

E

0

E d E

A

A

A

In Worten: Der Wert des Integrals der elektrischen Flussdichte über eine geschlossene

Fläche A entspricht der Summe der von der Fläche umschlossenen Ladungen Q. Oder: Der

3.3

Kondensator, elektrisches Feld

95
von der Ladung Q ausgehende Fluss ist stets gleich der innerhalb der Hülle vorhandenen

Ladung.

Eine punktförmige Ladung Q1 im Ursprung eines Koordinatensystems wird von einer
kugelförmigen Hülle um den Ursprung eingeschlossen. Es folgt:

“

Q1 D

E

E d E

A

"0

A

Da das elektrische Feld an allen Punkten der Kugeloberfläche gleich groß ist, kann es
vor das Oberflächenintegral gezogen werden. Sowohl der Flächenvektor d E

A als auch das
elektrische Feld zeigen an jedem Punkt der Gauß’schen Fläche (Kugeloberfläche) senk-
recht nach außen, beide sind radialsymmetrisch. Das Skalarprodukt ist somit einfach zu
berechnen, da der Winkel zwischen den Vektoren E

E und d E

A null und der Cosinus dieses

Winkels eins ist:

E

E d E

A D E dA. Es folgt:

“

Q1 D j EEj
d E

A D j E

Ej 4 r2:

"0

A

Umstellen ergibt die Feldstärke im Abstand r von der Punktladung Q1: E D Q1 .

4"0r2

Die Kraft auf eine Punktladung Q2 in diesem elektrischen Feld ergibt sich wie in Auf-
gabe 3.81 zu:

Q

F D Q1

2 :

4"

0 r 2

Das elektrostatische Feld einer geladenen Kugel ist in deren Außenraum mit dem Feld
einer Punktladung im Kugelmittelpunkt identisch. Das Coulomb’sche Gesetz darf nur an-
gewandt werden, wenn die beiden Ladungen Q1 und Q2 als Punktladungen aufgefasst
werden können.

Aufgabe 3.83

Es soll die Ladung Q

D

1 auf einer metallischen Hohlkugel mit dem Radius r1

60 mm
ermittelt werden. Bei einer Probekugel mit dem Radius r D

2

15 mm und der Ladung

CQ D

2

108 C wird im Abstand von d D 30 mm zwischen den Kugeloberflächen (auf
der Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte) eine Anziehungskraft von F D 2;5 mN ge-
messen. Bestimmen Sie das Vorzeichen und den Wert der Ladung Q1.

Lösung

Die Ladungen Q1 und Q2 der beiden Kugeln werden als Punktladungen in deren Mittel-
punkt aufgefasst. Der Abstand der beiden Mittelpunkte ist
r D r C

D

1
d C r2

60 mm C 30 mm C 15 mm D 105 mm:

96

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Abb. 3.40 Metallplatten mit
influenzierter Ladung

Q

Aus F D Q1

2 folgt durch auflösen nach Q

D 4 " F r2 .

4"

1: Q1

0

0 r 2

Q2

A s

Q D

I

D

1

4 8;85 1012

2;5 103 N .0;105 m/2

Q

3;1 107 C

V m

108 A s

1

Die Ladung Q1 ist negativ, da sich beide Kugeln anziehen und Q2 positiv ist.

Aufgabe 3.84

Zwei aneinander gefügte Metallplatten der Größe 2,0 cm mal 2,5 cm befinden sich von

Luft umgeben in einem homogenen elektrischen Feld der Feldstärke E D 5;0 105 V , sie
m
sind senkrecht zu den Feldlinien hintereinander angeordnet. Die beiden Platten werden
im elektrischen Feld voneinander getrennt (Abb. 3.40). Wie groß ist die auf einer Platte
influenzierte elektrische Ladung Q? Welchen Betrag Q1 hat diese Ladung, wenn sich die
gesamte Anordnung bei gleicher Feldstärke in einem Bad aus Rizinusöl mit der Permitti-
vitätszahl " D
r

4;7 befindet?

Lösung

Der Raum zwischen den Platten ist feldfrei. Die influenzierte Ladung wird mit Hilfe des

Satzes von Gauß berechnet.

–

Q D "

E

0

E d E

A;

E

E und d E

A sind gleich gerichtet (parallel), somit folgt: Q D

A

"

0 E A.

A s

V

Q D 8;85 1012

5 105

2;0 2;5 104 m2 D 2;2 109 C

V m
m

In dem Medium Rizinusöl ist " D "

0 "r. Die Ladung Q1 ist um den Faktor "r größer.

Q D

1

10;3 109 C

Aufgabe 3.85

Eine metallische Hohlkugel mit dem Radius r0 ist mit der positiven Ladung Q aufgeladen.

a) Zu berechnen sind Flussdichte D und elektrische Feldstärke E im Abstand r vom Ku-
gelmittelpunkt. Stellen Sie E.r/ in normierter Form grafisch dar.

3.3

Kondensator, elektrisches Feld

97

Abb. 3.41 Elektrostatisches

Feld in der Umgebung einer
geladenen Hohlkugel
b) Wie groß ist die Spannung U01 zwischen der Oberfläche der Hohlkugel mit dem Ra-
dius r0 und einem Punkt auf der Oberfläche einer konzentrischen Hohlkugel mit dem

Radius r1 > r0?

c) Wie groß ist die Kapazität C der metallischen Hohlkugel mit dem Radius r0?

Lösung
a) Die Ladungsträger streben wegen ihrer gegenseitigen Abstoßung einen möglichst
großen Abstand voneinander an, sie verteilen sich deshalb gleichmäßig auf der äuße-
ren Oberfläche der Hohlkugel. Durch diese gleichmäßige Verteilung ist das elektrische

Feld in allen Richtungen gleich, die Feldverteilung ist radial. Die elektrischen Feldli-
nien verlaufen von den Ladungen aus radial nach außen und sind gleichmäßig verteilt.

Äquipotenzialflächen sind die Kugeloberfläche und die Oberflächen konzentrischer

Kugeln (Abb. 3.41). Die Gegenladung Q kann man sich auf einer konzentrisch
angeordneten Hohlkugel mit sehr großem Radius vorstellen.

Die Größe der Oberfläche einer beliebigen Äquipotenzialfläche mit dem Radius r ist:

A D 4 r2:

Die dort vorhandene elektrische Flussdichte ist:

D D D Q D Q :

A

A

4 r2

D Q ist der elektrische Fluss (Verschiebungs-, Erregungsfluss).

Die elektrische Feldstärke im Abstand r vom Kugelmittelpunkt ist:

E D D D

Q

D

Q
für r r

"

4"r2

4"

0:

0"rr 2

98

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Abb. 3.42 Verlauf der elek-
trischen Feldstärke bei einer
geladenen metallischen Hohl-
kugel

Im Inneren der Hohlkugel (r < r0) verschwindet das elektrische Feld, da dort keine

Ladungen eingeschlossen sind: E D 0 für r < r0. Der normierte Verlauf der elektri-
schen Feldstärke ist in Abb. 3.42 dargestellt.

Ist der Radius r0 der Metallkugel verschwindend klein, so handelt es sich um eine

Punktladung. Das elektrische Feld einer geladenen Hohlkugel verhält sich im Außen-
raum der Kugel somit wie das elektrische Feld einer Punktladung mit der Ladung

Q D

1

Q bei r D 0.

Befindet sich im Abstand r von der Punktladung Q1 eine weitere Punktladung Q2, so
gilt:

F

Q

E D F und damit

D

Q1

) F D Q1

2

Q2

Q2

4"0"rr2

4"0"rr2

Dies ist das Coulomb’sche Gesetz (siehe auch Aufgabe 3.81, Aufgabe 3.82).

b) Für die Spannung zwischen zwei Punkten im elektrostatischen Feld gilt:

P2

Z

U D

E

12

E d Es D '.P1/ '.P2/:

P1

' ist das einem Raumpunkt zugeordnete elektrische Potenzial in Volt.

Mit dem Ergebnis E D Q aus Teilaufgabe a) folgt:

4"r2
r1

Z
r1

Z
r1

Z

Q

1

1

U D

E

1

01

E d Es D
dr D Q
dr D Q

4"r2

4"

r2

4"

r0
r1
r0
r0
r0
c) Ein Kugelkondensator besteht aus zwei konzentrischen Kugelschalen. Für seine Ka-
pazität folgt:

r

C D Q D 4" D 4" r0

1 :

U

1 1
r r
r

1

0

0
r1
r D

0

Radius der inneren Hohlkugel mit CQ,
r D

1

Radius der äußeren Hohlkugel mit Q

3.3

Kondensator, elektrisches Feld

99

Mit r ! 1

1
folgt für die Kapazität einer Kugel mit dem Radius r0 gegen die sehr weit
entfernte Umgebung (Q befindet sich im Unendlichen): C D 4" r0.

Aufgabe 3.86

Das Innere einer nicht leitenden Kugel mit dem Radius r0 ist mit der Gesamtladung CQ
homogen geladen, die Ladung ist also in der Kugel gleichmäßig verteilt. Berechnen Sie die
elektrische Feldstärke E innerhalb und außerhalb der Kugel. Stellen Sie E.r/ in normierter

Form grafisch dar.

Lösung

Im Außenraum der Kugel kann E wie in Aufgabe 3.85 berechnet werden. Es ist:

E D

Q

1 für r > r

4"

0:

0"r
r2

Das Außenfeld der homogen geladenen Kugel ist wie bei der geladenen Hohlkugel gleich
dem einer Punktladung im Mittelpunkt der Kugel.

Im Inneren der Kugel ist die Raumladungsdichte:

D Q D

Q

:

V

4 r3

3

0

Von einer zur homogen geladenen Kugel konzentrischen Kugelschale mit r < r0 ist die
umschlossene Ladung:

Q0 D V .r/ D 4 r3:

3

Somit ist:

Q.r/ D

Q

4 r3 D Q r3 :

4 r3 3
r3

3

0

0

–

–

Nach dem Satz von Gauß Q D "

E

E d E

A ist Q.r/ D "

E

E d E

A D " E 4 r2.

A

A

Abb. 3.43 Verlauf der

Feldstärke einer homogen ge-
ladenen Kugel

100

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Abb. 3.44 Elektrisches Feld
in der Umgebung eines langen
geraden Leiters

Es folgt:

Qr3
r3

E.r/ D Q.r/ D

0

D

Q
r:

4" r2

4" r2

4" r30

Der normierte Verlauf der elektrischen Feldstärke ist in Abb. 3.43 dargestellt.

Aufgabe 3.87

Ein langer gerader Draht aus Metall mit dem Radius r0 und der Länge l trägt die Ladung

CQ. Zu berechnen sind die Flussdichte D.r/ und die elektrische Feldstärke E.r/ im

Abstand r von der Mittellinie des drahtförmigen Leiters.

Lösung

Die Gegenladung – Q kann man sich sehr weit entfernt auf einem zur Mittellinie des Lei-
ters koaxialen Rohr mit sehr großem Durchmesser vorstellen. Die elektrischen Feldlinien
verlaufen von der Drahtoberfläche aus radial nach außen und sind gleichmäßig verteilt.

Äquipotenzialflächen sind die Oberflächen koaxialer Zylinder (Abb. 3.44).

Die Oberfläche einer Äquipotenzialfläche mit dem Radius r ist A D 2 r l.

Im Abstand r ist die Flussdichte des vom Leiter ausgehenden Flusses:

D.r/ D D

D Q 1 :

A

2 r l

2 l r

D Q ist der elektrische Fluss (Verschiebungs-, Erregungsfluss).

Somit ist die elektrische Feldstärke im Abstand r von der Mittellinie des Leiters:

E.r/ D D D

Q

1:

"

2 " l r

Aufgabe 3.88

Ein Zylinderkondensator ist aus zwei konzentrischen, leitenden Zylindermänteln der Län-
ge l aufgebaut (Abb. 3.45). Im Zwischenraum der Elektroden befindet sich ein Dielektri-
kum mit der Permittivitätszahl "r. Der innere Zylinder besteht meist aus einem massiven

3.3

Kondensator, elektrisches Feld

101

Abb. 3.45 Zylinderkondensa-
tor im Quer- und Längsschnitt

Leiter (Volldraht) mit dem Radius r0 und trägt die Ladung CQ. Der äußere Zylinder be-
sitzt den Radius r1 (Radius vom gemeinsamen Mittelpunkt bis zur Innenwand des äußeren

Zylinders) und trägt die Ladung Q. Auf diese Weise ist ein Koaxialkabel aufgebaut, bei
dem der Außenleiter aus einem Drahtgeflecht (zur Abschirmung des Innenleiters) gebil-
det wird. Solche Kabel werden in der Hochfrequenztechnik verwendet. Berechnen Sie die

Kapazität C des Zylinderkondensators. Wo entstehen Randeffekte und wann sind diese
vernachlässigbar?

Lösung

Randeffekte entstehen am linken und rechten Rand (den Deckeln) der Zylinder. Sie kön-
nen vernachlässigt werden, wenn die Länge sehr groß gegenüber der Differenz der Radien
ist, also wenn gilt: l r

1
r0.

In Aufgabe 3.87 wurde für die elektrische Feldstärke im Abstand r von der Mittellinie
eines Leiters hergeleitet:

E.r/ D

Q

1 :

2 "

0 "r l
r

Die Spannung zwischen Innen- und Außenleiter ist somit:

r1

Z
r1

Z
r1

Z

Q

U D

E

E d Es D

E.r/dr D

1 dr:

2 "

0 "r l
r
r0
r0
r0

Der Ausdruck

Q
ist konstant.

2"0"rl
r1

Z 1

U D

Q

dr D

Q

Œln.r

2 "

1/ ln.r0/

0 "r l
r

2 "0 "r l
r0

D

Q

r
ln

1

2 "

0 "r l
r0

"

r
l

C D U I

C D 2 "0

Q
ln r1
r0

In Datenbüchern wird häufig die Kapazität pro Meter oder Kilometer Kabellänge als Ka-
pazitätsbelag C 0 D C = l angegeben.

102

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Aufgabe 3.89

Eine metallische Hohlkugel mit dem Durchmesser d D 10 cm ist auf 100 kV aufgeladen.

Der Bezugspunkt mit ' D 0 V liegt im Unendlichen.

a) Wie groß ist die Ladung Q auf der Kugel?

b) Wie groß ist die Spannung U12 zwischen zwei Punkten mit den Abständen 20 cm und

22 cm vom Kugelmittelpunkt?

c) Welchen Wert hat das elektrische Feld E auf der Kugeloberfläche?

Lösung
a) In Aufgabe 3.85 wurde für die elektrische Feldstärke einer metallischen Hohlkugel im

Abstand r vom Kugelmittelpunkt berechnet:

E.r/ D

Q
für r r

4"

0:

0"rr 2

1

Z

1

Z

1

1

'.r

1

D

Q

1

0/ D

E.r/dr D

Q
dr D

Q

4"0"r
r2

4"0"r
r r

4"0"r r0
r

0

0
r0

Laut Angabe: r D

0

0;05 m und '.r0/ D 100 kV. Somit folgt mit "r

1 für Luft:

A s

Q D '.r

I

0/ 4 "0 r0

Q D 105 V4 8;851012

0;05 mI Q D 5;56 107 C

V m
b)

'.r/ D

Q

1 D 5;56 107 C 1

4"0"r r

4"0"r
r

Potenzial bei 20 cm: ' D

1

'.r D 0;2 m/ D 2;5 104 V D 25 kV

Potenzial bei 22 cm: ' D

2

'.r D 0;22 m/ D 2;27 104 V D 22;7 kV

Spannung zwischen den beiden Punkten: U D

D

12

'1

'2

2300 V
c)

V

E.r D 0;05 m/ D 5;56 107 C

1

D 2 106

4"0"r

.0;05 m/2
m

Aufgabe 3.90

Auf der Verbindungsgeraden von zwei positiven Ladungen Q D

D

1

8;5 nC und Q2

5;5 nC befindet sich im Abstand s D 10;0 cm von der Ladung Q1 ein Punkt P, in dem
die elektrische Feldstärke null ist. Berechnen Sie den Abstand d der beiden Punktladun-
gen, deren Umgebung Luft ist.

Lösung

Im Punkt P ist die Summe der von den Ladungen Q1 und Q2 erzeugten Feldstärken gleich
null. Es gilt: E

E C E D

D E

1

E2

0 bzw. E

E1

E2. Für die Beträge der Feldstärken gilt somit:

E D

1

E2.

3.3

Kondensator, elektrisches Feld

103

Für die Feldstärke einer von Luft umgebenen Punktladung gilt: E D

Q

. Es folgt:

4"0r2

s

!

Q1

D

Q2

I

Q

Q .d s/2 D Q s2I
d

D s 1 ˙

2

4"

1

2

1;2

0s2

4"0.d s/2

Q1

s

!

5;5 nC
d

D

I

D

D

1;2

10;0 102 m 1 ˙
d

18 cmI
d

2 cm

8;5 nC

1

2

Die Lösung d2 ist physikalisch sinnlos, da d > s gelten muss.

Aufgabe 3.91

Zwei aufgeladene metallische Hohlkugeln mit den Radien r1 und r2 (r1 > r2, Kugel 1
ist größer als Kugel 2) sind durch einen Draht leitend miteinander verbunden. Welcher

Strom fließt durch den Draht? Bestimmen Sie jeweils in Abhängigkeit der Kugelradien das

Verhältnis Q1=Q2 der Kugelladungen, das Verhältnis E1=E2 der elektrischen Feldstärken
und das Verhältnis
1=
2 der Flächenladungsdichten. Interpretieren Sie die Ergebnisse.

Lösung

Die gesamte Ladung der Kugeln verteilt sich durch die leitende Verbindung auf beide

Kugeln. Beide Kugeln befinden sich auf gleichem Potenzial, durch den Draht fließt kein

Strom.

Das Potenzial einer Kugel in der Umgebung Luft ist ' .r/ D Q 1 .

4"0
r

Bei gleichem Potenzial gilt:

Q1 1 D Q2 1 :

4"0 r1

4"0 r2

Das Verhältnis Q

D r1

1=Q2 der Kugelladungen ist somit Q1

.

Q2
r2

Die Kugelladungen verhalten sich wie die Kugelgrößen. Da die Kugeloberfläche A D

4 r2 ist, sind die Ladungen nicht proportional zur Kugeloberfläche, sonst müsste Q r2
sein. Die Flächenladungsdichten auf den Kugeln sind also unterschiedlich.

Die elektrische Feldstärke an der Kugeloberfläche ist E D

Q1

D Q2

1
bzw. E

.

4"

2

0 r 2

1

4"0r22

Daraus folgt: E1 D Q1r22 . Mit dem Ergebnis für Q

D r2 .

E

1=Q2 ist E1

2

Q2r2

E
r

1

2

1

Die Flächenladungsdichten der Kugeln sind

D Q1 D Q1

D Q2 D Q2

1
und

:

A

2

1

4 r2

A

1

2

4 r22

1 D Q1 r22 I

1 D r2

2

Q

2 r 2

r

1

2

1

104

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Abb. 3.46 Hochspannungs-
mast mit Erder

Die Feldstärken verhalten sich umgekehrt wie die Radien der Kugeln. An der kleineren

Kugel tritt die höhere Feldstärke auf. Gleiches gilt für die Flächenladungsdichten auf den

Kugeln. Dieser Sachverhalt gilt für beliebig geformte Leiter. Je kleiner der Krümmungs-
radius ist, desto größer sind die elektrische Feldstärke und die Ladungsdichte. An Spitzen
treten besonders hohe Feldstärken auf.

Aufgabe 3.92

Die Erdung eines Freileitungsmastes einer Hochspannungsleitung kann als Halbkugel in
der Erde unter dem Mast mit dem Radius r D

0

1 m betrachtet werden, deren Mittelpunkt
sich an der Grenze zwischen Erde und Erdoberfläche befindet (Abb. 3.46). Bei Kurz-
schluss fließt ein Strom I D 100 A in das Erdreich ab.

a) Welche Stromdichte S tritt an der Fläche zwischen Erder und Erdreich bei Kurzschluss
auf?

b) Wie groß ist dann die Stromdichte S

D

1 im Abstand r1

3 m vom Kugelmittelpunkt?

Lösung
a) Die Oberfläche einer Halbkugel mit dem Radius r0 ist A D 2 r2.

0

)

A

S D I D 100 A D

100 A

D 15;9

A

2 r2

2 .1 m/2
m2

0

Es handelt sich um ein Strömungs feld und nicht um ein elektro statisches Feld.

b) Das Feld der Stromdichte ist radialsymmetrisch. Durch alle mit dem Erder konzentri-
schen Halbkugelflächen fließt der Strom I D 100 A.

)

A

S D I D 100 A D

100 A

D

1

1;77

A1

2 r2

2 .3 m/2
m2

1

Aufgabe 3.93

Welche Stromdichte S wird von einer elektrischen Feldstärke E D 80 mV=min Kupfer
erzeugt? Wie lang ist der Leiter, wenn an ihm eine Spannung von U D 1;6 V abfällt? Die
spezifische Leitfähigkeit von Kupfer beträgt

D

Cu

58
m

.

mm2

3.3

Kondensator, elektrisches Feld

105

Lösung

Beim elektrischen Strömungs feld gilt: S D
E mit
D spezifische Leitfähigkeit.

I Anmerkung Beim elektrostatischen Feld gilt hingegen (betragsmäßig): D D " E.

m

V

A

S D 58

80 103

D 4;64
mm2
m
m

U D E lI
l D U D

1;6 V

D 20;0 m

E

80 103 Vm

3.3.6

Inhomogenes elektrisches Feld, Strömungsfeld

Erläuterungen

Existiert in einem leitfähigen Material eine elektrische Feldstärke E

E, so liegt ein elektri-
sches Strömungsfeld vor. Die mikroskopische Schreibweise des ohmschen Gesetzes (auch
als ohmsches Gesetz in seiner allgemeinen Form bezeichnet) verknüpft als Materialglei-
chung die Stromdichte E

S mit der elektrischen Feldstärke E

E.

E

S D
E

E

(3.1)

E

S D Stromdichte,

D spezifische elektrische Leitfähigkeit oder spezifischer Leitwert (eine Materialkon-
stante),

E

E D elektrische Feldstärke.

In einem isotropen Material (einem Material ohne richtungsabhängige Eigenschaf-
ten) hat der Stromdichtevektor E

S die gleiche Richtung wie der Feldstärkevektor E

E. Die

Leitfähigkeit bestimmt dann die Stromdichte S, sie beschreibt vollständig die Materia-
leigenschaften hinsichtlich des Ladungsträgertransports, der durch die Kraftwirkung des
elektrischen Feldes entsteht. Bei Isotropie kann man sich in Rechnungen auf die Beträge
der Vektoren E

S und E

E beschränken.

Liegt isotropes Leitermaterial mit homogener Verteilung des elektrischen Feldes vor,
so ist der Widerstand R eines Leiterstücks:

R D l

(3.2)

A

D spezifischer Widerstand des Materials,
l D Länge des Leiterstücks,

A D Querschnittsfläche des Leiterstücks.

Die Größe R fasst den spezifischen elektrischen Widerstand und die Geometrie des Leiters
zusammen. Mit Gl. 3.2 kann der Widerstand von Leitern in Abhängigkeit der Materialart

106

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis
und der Geometrie oder für ein Material eine Geometriekomponente aus dem gewünsch-
ten Widerstandswert berechnet werden.

Für das homogene elektrische Feld erhalten wir die bekannte Gleichung:

U D R I

(3.3)

Dies ist das allgemein bekannte Ohm’sche Gesetz in seiner gewohnten Form, in makrosko-
pischer Formulierung. Es beschreibt den Zusammenhang zwischen Spannung und Strom
am Bauelement „Widerstand“. Für das Bauelement Widerstand sind ja die messbaren Grö-
ßen Spannung ( Spannungsabfall) und Strom interessant und nicht die Betrachtungen von

Ladungsträgern.

Im allgemeinen Fall muss man zur Widerstandsberechnung in inhomogenen Feldern
in die Definition des Widerstandes die Beziehungen für das inhomogene Strömungsfeld
einsetzen. Für Spannung und Strom gilt allgemein:

2

Z

U D

E

E d Es

(3.4)

1

“

I D

E

S d E

A

(3.5)

A

Somit ist der ohmsche Widerstand allgemein:

R 2 EE dEs

R D U D 1

’

(3.6)

I

E

S d E

A

A

Gl. 3.6 gilt, falls dass das Wegelement ds senkrecht auf dem Flächenelement dA steht.

Damit dieses Integral ausgewertet werden kann, muss der Feldverlauf qualitativ vorliegen,
d. h., die Richtung der Feldstärke und der Stromdichte müssen bekannt sein.

Häufig kann die Widerstandsberechnung einer geometrisch komplizierten Anordnung
einfacher als mit Gl. 3.6 erfolgen. Dabei wird der Gesamtwiderstand in eine Vielzahl klei-
ner homogener Teilwiderstände zerlegt, auf die dann Gl. 3.2 angewendet werden kann.

Die Teilwiderstände müssen also so klein sein, dass die Strömung in ihrem Inneren als
homogen angenommen werden kann. Diese Teilwiderstände werden anschließend durch

Reihenschaltung oder Parallelschaltung zu einem Gesamtwiderstand kombiniert. Der Ge-
samtwiderstand ergibt sich dann als Integral (Linienintegral) über die Teilwiderstände. –

Bei diesem Vorgehen wird häufig der Begriff „Stromfaden“ benutzt. Anschaulich versteht
man darunter einen dünnen Draht, dessen Querschnitt gegen null geht, der also als ein-
dimensionales Objekt einen linienförmigen Leiter darstellt, längs dem ein Linienstrom
fließt. Den Strom in einem Leiter kann man sich aus einer großen Anzahl dünner Strom-
fäden zusammengesetzt vorstellen. Die Stromdichte S D I =A in einem Leiter wird durch
die Dichte von Stromfäden (Stromlinien) dargestellt. Die Ursache für den Stromfluss ist

3.3

Kondensator, elektrisches Feld

107

Abb. 3.47 Leiter in Form
eines Bügels

Abb. 3.48 Stromlinien im

Leiter
die elektrische Feldstärke, parallel zu jedem Stromfaden verläuft auch eine Feldlinie. Bei
konstantem Querschnitt eines Leiters sind die Stromfäden gleichmäßig über die Strom
führende Fläche verteilt.

Aufgabe 3.94

Ein elektrischer Leiter hat die Form eines der Länge nach halbierten Hohlzylinders (Halb-
zylindermantel), wie ein kreisrunder Bügel mit rechteckigem Querschnitt (Abb. 3.47).

Gegeben sind folgende Daten: Innenradius ri, Außenradius ra, Länge b und Leitfähigkeit
des Materials. Die Kontaktierungsflächen A und B sind ideal leitfähig, über sie wird ein

Strom eingeleitet. Das Widerstandsmaterial ist isotrop, somit strömt der Strom I gleich-
mäßig in die Kontaktflächen ein und ist im Leiter gleichmäßig verteilt.

a) Skizzieren Sie die Feldlinien des sich ergebenden elektrischen Strömungsfeldes, wenn
an die Kontaktflächen eine Spannung U angelegt und damit ein Strom I eingespeist
wird.

b) Wie groß ist der Widerstand R des Drahtbügels zwischen den Leiterenden A und B?

Lösung
a) Die Feldlinien des Strömungsfeldes sind in Abb. 3.48 dargestellt.

b) Die Stromlinien sind Halbkreise und führen von der Kontaktfläche A zur Fläche B.

Die einzelnen Stromfäden sind unterschiedlich lang. Die Länge eines Stromfadens ist
ein halber Kreisumfang: l D r. Der Strömungsquerschnitt des Leiters ist dagegen
konstant, er entspricht der Fläche A (D B). Ein differenzielles Stück dieser Fläche ist
dA D b dr. Diese Teilflächen gehören zu differenziellen, sich berührenden konzentri-
schen Halbrohren der Länge b zwischen ri und ra mit der Wandstärke dr. Der Leitwert

108

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Abb. 3.49 Leiter in Form
eines Rohres
eines solchen „dünnwandigen“ Halbzylinders ist unter Zuhilfenahme von Gl. 3.2 und
mit D 1= und G D 1=R:

dG D dA D b dr
l
r

Die einzelnen Widerstände dieser differenziell dünnwandigen Halbrohre sind zwi-
schen ri und ra parallel geschaltet, ihre Leitwerte addieren sich also. Das Aufsum-
mieren erfolgt durch Integration über dG von ri bis ra.

ra

Z
ra

Z
ra

Z

b

1
r

G D
dG D

1 dr D b
dr D b
a
ln

r

r

ri
ri
ri
ri

Der Widerstand ist der Kehrwert des Leitwertes:

R D

b ln rari

Aufgabe 3.95

Ein elektrischer Leiter aus isotropem Material hat die Form eines Rohres (Abb. 3.49),
dessen Innen- und Außenbeschichtung unendlich gut leitet. Über die Kontaktierungen von

Innen- und Außenbeschichtung wird ein Strom eingeleitet. Gegeben sind folgende Daten:

Innenradius ri, Außenradius ra, Länge l und spezifischer Widerstand des Materials. Zu
bestimmen ist der Widerstand R des Leiters.

Lösung

Im Gegensatz zu Aufgabe 3.94 sind hier alle einzelnen Stromfäden gleich lang .r
a
ri/ und der Strömungsquerschnitt des Leiters wächst mit größer werdendem Radius an.

Der Strom verteilt sich radial von innen nach außen, die Stromdichte wird von innen
nach außen kleiner. Die Stromfäden verlaufen von der inneren Kontaktierung sternförmig
zur äußeren Kontaktierung. Die Länge l des Leiters entspricht der Dicke des Rohres, sie
erstreckt sich von ri bis ra. Die differenzielle Länge ist als Teilstück des Radius d l D dr.

3.4

Spule, magnetisches Feld

109

Der Querschnitt des Leiters ändert sich, er entspricht der Mantelfläche A eines differenziell
dünnwandigen Rohres mit dem Radius r und der Länge l:

A D 2 r l

Der differenzielle Widerstand eines solchen dünnwandigen Rohres ist
dR D d l D
dr

A

2 r l

Die einzelnen dünnwandigen Rohre unterschiedlichen Durchmessers werden sozusagen
zum Gesamtrohr ineinander gesteckt. Dies entspricht einer Reihenschaltung der Einzel-
widerstände, die durch Integration aufsummiert werden:

ra

Z
ra

Z

1
r

R D
dR D

1

dr D

a
ln

2 l
r

2 l
ri
ri
ri

3.4

Spule, magnetisches Feld

3.4.1

Die Spule

Aufgabe 3.96

Was ist für eine technische Anwendung die wichtigste Eigenschaft einer Spule?

Lösung

Für eine technische Anwendung ist die wichtigste Eigenschaft einer Spule, dass sie

Gleichspannung durchlässt und Wechselspannung mit größer werdender Frequenz im-
mer stärker sperrt (umgekehrtes Verhalten zu einem Kondensator). Die Arbeitsweise des

Transformators beruht auf der induktiven Kopplung von Spulen.

Aufgabe 3.97

Was bewirkt in einer Spule ein sich änderndes Magnetfeld, in dem sich die Spule befindet?

Lösung

In der Spule wird eine Spannung induziert. Je schneller und je stärker die Änderung des

Magnetfeldes ist, umso größer ist die induzierte Spannung.

Aufgabe 3.98

Was sind die Einheiten für die Kapazität eines Kondensators und die Induktivität einer

Spule?

110

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Lösung

Die Einheit der Kapazität ist „Farad“ und der Induktivität „Henry“.

ŒC D F D s ;

ŒL D H D s

Aufgabe 3.99

Welche parasitäre Eigenschaft einer Spule muss in der Praxis häufig berücksichtigt wer-
den?

Lösung

Beim Einsatz einer Spule muss häufig deren Wicklungswiderstand berücksichtigt werden.

Der ohmsche Widerstand des Spulendrahtes bildet einen Wirkwiderstand, durch den elek-
trische Energie in Wärme (verbrauchte Wirkleistung, Verlustleistung) umgeformt wird.

Aufgabe 3.100

Ändert sich der Strom durch eine Spule sprunghaft, wenn sich die an der Spule anliegende

Spannung sprungartig ändert?

Lösung

Der Strom durch eine Spule ändert sich nicht sprungartig, da die induzierte Spannung der
erregenden Spannung entgegengerichtet ist.

Aufgabe 3.101

Beschreiben Sie den Vorgang der Selbstinduktion, wenn sich der Strom durch eine Spule
ändert.

Lösung

Ändert sich der Strom durch eine Spule, so ändert sich auch der magnetische Fluss durch
die Spule. Folglich wird in der Spule eine Spannung induziert. Dieser Vorgang heißt

Selbstinduktion. Die Induktionsspannung ist immer so gerichtet, dass sie der Stromän-
derung entgegenwirkt. Wird z. B. der Strom durch eine Spule abgeschaltet (die Flussän-
derung îst sehr groß), so wird eine hohe Spannung induziert, welche so gerichtet ist,
dass der durch die Spannung erzeugte Strom das Magnetfeld aufrecht erhalten will.

Aufgabe 3.102

Eine Zylinderspule mit N D 300 Windungen und der Länge l D 60 cm wird von einem

Strom I D 30 A durchflossen. Wie groß ist die magnetische Feldstärke H innerhalb der

Spule?

Lösung

A

H D I N D 30 A 300 D 15:000
l

0;6 m
m

3.4

Spule, magnetisches Feld

111

Aufgabe 3.103

Eine zylinderförmige Luftspule hat N D 20 Windungen, einen Wicklungsradius von r D

3 mm und eine Wicklungslänge von l D 10 mm. Wie groß ist die Induktivität L der Spule?

Auf welchen Wert L1 ändert sich L, wenn in die Spule ein Kern aus ferromagnetischem

Material mit der Permeabilitätszahl D
r

500 eingebracht wird?

Lösung

Die Induktivität einer langen Zylinderspule ist L D

AN2

0 r

. Eine Zylinderspule ist
l

„lang“, wenn die Länge mindestens das 5 bis 10-fache des Durchmessers ist.

Für Luft ist D
r

1.

V s

L D 4 107

.3 103 m/2 202 D 1;42 106 H D 1;42 H

A m

10 103 m

Kern mit D

D
r

500: L1

1;42 H 500 D 710 H

Aufgabe 3.104

Auf einen Spulenkörper aus Kunststoff mit kreisrundem Querschnitt wird eine Wicklung
aus rundem, isolierten Kupferdraht mit dem Drahtdurchmesser d

D

Cu

0;5 mm aufge-
bracht. Der Durchmesser der Wicklung beträgt d D 10 mm, ihre Länge ist l D 10 cm.

Die Anzahl der Windungen ist N D 480. Bei der Temperatur # D 20 ıC ist der spezifi-
sche Widerstand von Kupfer

D

Cu;20

1;78 106 cm.

a) Wie groß ist die Induktivität L der Spule?

b) Wie groß ist der ohmsche Widerstand RL der Spule bei der Temperatur # D 20 ıC?

c) Geben Sie das elektrische Ersatzschaltbild der Spule an.

Lösung
a)

d 2 N 2

L D A N 2 D

2

0

l

0
l

V s

L D 4 107

.5 103 m/2 4802 D 2;27 104 H D 227 H

A m

0;1 m
b) Die Drahtlänge ist l D

D

2 d N D 2 5 103 m 480 D 15;1 m.

2

R D
lD D

15;1 m

D

L

Cu;20

1;78 106 104 mm2

1;37

A
m

.0;25 mm/2
c) Das Ersatzschaltbild entspricht dem einer realen Spule, bestehend aus idealer Indukti-
vität und Wicklungswiderstand (Abb. 3.50).

112

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Abb. 3.50 Ersatzschaltbild der Spule mit Wicklungswiderstand

Aufgabe 3.105

Eine einlagige, zylinderförmige Luftspule hat N D 1000 Windungen, einen Wicklungs-
durchmesser von d D 3 cm und eine Wicklungslänge von l D 20 cm. Durch die Spule
fließt der Strom I D 1;5 A. Berechnen Sie:

a) die magnetische Durchflutung ,
b) die magnetische Feldstärke H innerhalb der Spule,
c) die magnetische Flussdichte B,
d) den magnetischen Fluss ˚,
e) die Induktivität L der Spule.

Lösung
a) D I N D 1;5 A 1000 D 1500 A
b) H D IN D 1;5 A1000 D 7500 A
l

0;2 m
m
c) B D

D

D

0 H D 4 107 V s

7500 A

9;4 103 V s

9;4 mT

A m
m
m2
d) ˚ D B A D 9;4 103 Vs .0;015 m/2 D 6;7 V s
m2
e) L D

AN2 D

D

0 r

4 107 Vs 1 .0;015 m/210002

4;4 mH
l

A m

0;2 m

Aufgabe 3.106

Eine einlagige, zylinderförmige Luftspule hat N D 200 Windungen, einen Wicklungs-
durchmesser von d D 6 cm und eine Wicklungslänge von l D 40 cm. Durch die Spule
fließt der Strom I D 4;0 A. Im Spuleninneren ist das magnetische Feld homogen, dort
wird eine Flussdichte (magnetische Induktion) B D 2;2 mT gemessen.

a) Wie groß ist die magnetische Spannung Vi über dem Spuleninnenraum?

b) Wie groß ist die magnetische Spannung Va über dem Spulenaußenraum?

c) Wie groß ist der magnetische Fluss ˚ innerhalb der Spule?

Lösung

Erläuterungen

Das Durchflutungsgesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen dem elektrischen

Strom als Ursache des magnetischen Feldes und der magnetischen Feldstärke. In allge-
meiner Form lautet es:

I

—

E

H d Es D

E

S d E

A . E

H D Feldstärke, E

S D Stromdichte/

A

3.4

Spule, magnetisches Feld

113

In Worten: Das Umlaufintegral über die magnetische Feldstärke ist gleich dem einge-
schlossenen Strom. –

Die Größe D

E

S d E

A (ein Hüllenintegral, vektorielles Oberflächenintegral) wird

A
als Durchflutung bezeichnet.

H

Der Ausdruck V D

E

H d Es ist die magnetische Umlaufspannung.

Die Durchflutung baut das magnetische Feld H auf und ist die Ursache für den
magnetischen Fluss ˚. wird daher auch magnetische Quellenspannung genannt. Dies
erfolgt analog zur elektrischen Quellenspannung, die Ursache für den elektrischen Strom-
fluss ist.

“

˚ D

E

B d E

A. E

B D Flussdichte/I

E

B D

E

0 r H

A

ŒB D Vs D T (Tesla)I

Œ˚ D T m2 D V s D Wb (Weber)

m2

H

Das Umlaufintegral V D

E

H d Es (ein Linien-, Kurven-, Wegintegral längs eines ge-
schlossenen Weges) kann in eine Summe einzelner Teilstrecken zerlegt werden. Die ma-
gnetische Spannung der Teilstrecke zwischen den Punkten A und B wird als magnetischer

R

Spannungsabfall bezeichnet: V

D B E

AB

H d Es.

A

Bei einer langen Spule kann die Durchflutung gleich der Summe aller Ströme gesetzt
werden, die beim Umlaufintegral längs dem geschlossenen Weg s umschlungen werden.

Das Umlaufintegral über die magnetische Feldstärke längs einer geschlossenen Kurve ist
dann gleich der Summe der Ströme in der geschlossenen Kurve.

I

X

E

H d Es D

I

Bei der Spule mit N Windungen umschließt das Feld N vom Strom gleichsinnig durch-
flossene Leiter. Somit ist ˙I D I N . Die magnetische Umlaufspannung ist gleich der
zu diesem Umlauf gehörenden Durchflutung. Für die lange Zylinderspule folgt für ihren

Innenraum mit homogenem Magnetfeld:

D V D I N D H l:

D Durchflutung, V D magnetische Umlaufspannung, I D Stromstärke, N D Win-
dungszahl, H D magnetische Feldstärke, l D Länge der Spule

Man beachte: Œ D ŒV D A D Amperewindungen

Die gesamte Durchflutung ergibt sich durch Addition über einen geschlossenen Weg
der magnetischen Teilspannungen von Spuleninnenraum und Spulenaußenraum:

I

Z

Z

E

H d Es D D I N D

E

H

E

C
i
d Es C

Ha d Es D Vi

Va
li
la

114

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

E

H D
i

Feldstärke im Inneren der Spule,

E

H D
a

Feldstärke im Außenraum der Spule
li

D Integrationsweg im Inneren der Spule,
la D Integrationsweg außerhalb der Spule.

Zur Aufgabe
a) Für die Feldstärke im Spuleninnenraum gilt: H D B
i

.

0

Die magnetische Spannung Vi über dem Spuleninnenraum ist somit:

2;2 103 V s

V D

m2
i

Hi l D B l D

0;4 m D 700 A (700 Amperewindungen)

0

4 107 V s

A m
b) Die magnetische Feldstärke außerhalb der Spule ist nicht bekannt. Sie ist ortsabhängig,
also nicht homogen, sie nimmt mit zunehmendem Abstand von der Spule ab. Es gilt
aber D I N D V C

D
i

Va und somit Va

I N Vi.

Die magnetische Spannung Va über dem Spulenaußenraum wird aus der Differenz der
magnetischen Quellenspannung (D Durchflutung) und dem magnetischen Span-
nungsabfall über dem Spuleninnenraum berechnet.

V D
a

4;0 A 200 700 A D 100 A (100 Amperewindungen)

c)

V s

˚ D B A D 2;2 103

.0;03 m/2 D 6;2 106 V s
m2

Aufgabe 3.107

Leiten Sie die Formel für die in einer Spule gespeicherte Energie W D 1

L

LI 2 her.

2

Lösung
t

Z

W D

L

UL.t/ I.t/dtI

Bauteilgleichung der Spule: UL.t/ D L dI.t/
dt

0
t

Z

I

Z

W D

Z

D 1

L

L

I.t/ dI.t/

Z

Z
dt D L

I 0.t/ dI 0I

W

LI 2 für I D const:

Z

L
dt

2

0

0

Die Energie wird im magnetischen Feld gespeichert.

Aufgabe 3.108

Geben Sie Beispiele für den Verwendungszweck von Spulen im Gleichstromkreis und im

Wechselstromkreis an.

3.4

Spule, magnetisches Feld

115

Lösung

Gleichstromkreis:

Elektromagnet, Relais.

Wechselstromkreis: Transformator, Trennung von Signalen mit unterschiedlicher Fre-
quenz, Schwingkreis.

Aufgabe 3.109

Eine lange, zylinderförmige Luftspule mit N D 1510 Windungen eines isolierten Metall-
drahtes, einer Länge von l D 15 cm und einem Windungsdurchmesser d D 1;0 cm ist an
eine Gleichspannungsquelle angeschlossen. In der Spule soll eine Flussdichte (magneti-
sche Induktion) von B D 0;2 T erreicht werden.

a) Wie groß ist die Induktivität L der Spule?

b) Wie groß muss der Strom I durch die Spule sein?

c) Wie groß muss der Drahtdurchmesser d sein, damit eine Stromdichte von S D

4;0 A=mm2 nicht überschritten wird?

d) Wie groß ist die in der Spule gespeicherte Energie WL?

Lösung
a)

L D A

.5 103 m/2

0

N 2 D 4 107 s

15102 D 1;5 mH
l
m

0;15 m
b)

0;2 V s 0;15 m

H D I N I

B D H I

I D B l I

I D
m2

D 15;8 A
l

0

0 N

4 107 s 1510
m
c)

r
s

I

15;8 A

S D I D

I

I
d D 2

I d D 2

D 2;24 mm

A
d 2

S

4;0 A

2
mm2
d)

W D 1

L

LI 2 D 0;5 1;5 103 H .15;8 A/2 D 0;19 J

2

Aufgabe 3.110

Der in Abb. 3.51 gezeigte ringförmige Körper aus ferromagnetischem Material mit der

Permeabilitätszahl D
r

500 besitzt einen kreisrunden Querschnitt mit dem Radius r D

6 mm. Der mittlere Radius des Ringes beträgt R D 32 mm. Der Ring ist über den ge-
samten Umfang gleichmäßig mit einem Kupferlackdraht umwickelt. Somit liegt eine in
sich geschlossene, ringförmige Spule vor, welche vom Material des Ringes ganz ausge-
füllt ist. Die Anzahl der Drahtwindungen beträgt N D 1000. In der Spule fließt der Strom

I D 1;0 A.

116

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Abb. 3.51 Ringspule
a) Wie groß ist die magnetische Feldstärke H entlang der Mittellinie des Rings (gestri-
chelte Kreislinie in Abb. 3.51 rechts)?

b) Wie groß ist die magnetische Flussdichte B in der Mittellinie des Rings?

c) Wie groß ist der von der Spule erzeugte magnetische Fluss ˚?

d) Wie groß ist die Induktivität L der Spule?

e) Wie groß ist die in der Spule gespeicherte Energie WL?

f) Nach dem Einschalten der an der Spule angeschlossenen Spannungsquelle steigt der

Strom durch die Ringspule in zehn Millisekunden linear von I D 0 A auf I D 2;0 A
an. Wie groß ist die durch Selbstinduktion in der Spule entstehende Spannung Ui?

Lösung
a)

A

H D I N I
l D 2 R D 201 mmI

H D 1;0 A 1000 D 4975
l

0;201 m
m
b)

V s

A

V s

B D

D

0 r H I

B D 4 107

500 4975

3;1 T
oder

A m
m
m2
c)

˚ D B AI

A D r2 D .0;006 m/2 D 1;13 104 m2

˚ D 3;1 T 1;13 104 m2 D 3;5 104 Wb (oder V s)

d)

L D N ˚ D 1000 3;5 104 Wb D 0;35 H

I

1;0 A

3.4

Spule, magnetisches Feld

117
e)

W D 1

L

L I 2 D 1 0;35 H .1;0 A/2 D 0;175 J (oder W s)

2

2
f)

U D

D

D

D
i

L dI .t/

L I

0;35 H 2;0 A

70 V
dt
t

102 s

Aufgabe 3.111

Durch eine Ringspule (siehe Abb. 3.51) mit N D 850 Windungen fließt der Strom I D

0;9 A. Der mittlere Durchmesser beträgt d D

D

1

2R1

135 mm.

a) Wie groß sind Durchflutung und magnetische Feldstärke H im homogenen Feld
innerhalb der Spule?

b) Wie groß ist die magnetische Feldstärke H, wenn der Durchmesser bei gleicher Durch-
flutung d D

D

2

2R2

270 mm beträgt?

c) Wie groß sind magnetische Feldstärke H und Flussdichte B, wenn der Durchmesser
d D

D

D

3

2R3

12 mm beträgt und das Kernmaterial die Permeabilitätszahl r

300
besitzt?

Lösung
a)

D I N D 0;9 A 850 D 765 A

A

H D I N D D 765 A D

765 A

D 1803;8
l
l

2R1

2 135103 m
m

2
b)

A

H D

D

765 A

D 901;9

2R2

2 270103 m
m

2
c)

kA

H D

D

765 A

D 20;3

2R3

2 12103 m
m

2

V s

A

V s

B D

D

0 r H D 4 107

300 20;3 103

7;7

(Tesla)

A m
m
m2

3.4.2

Magnetischer Kreis

Aufgabe 3.112

Betrachtet werden „Magnetische Kreise“.

a) Definieren Sie den Begriff „Magnetischer Kreis“.

b) Wie können magnetische Kreise nach ihrem Aufbau eingeteilt werden?

118

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis
c) Geben Sie die Voraussetzungen, an die vorliegen müssen, damit ein magnetischer

Kreis in Analogie zu einem Gleichstromkreis berechnet werden kann.

d) Leiten Sie die formalen Analogien zwischen einem elektrischen Gleichstromkreis und
einem magnetischen Kreis her. Stellen Sie jeweils die Definitionen und Größen zur

Berechnung und die Ersatzschaltbilder gegenüber.

e) Erläutern Sie allgemein die Vorgehensweise bei der Berechnung magnetischer Kreise.

f) Erweitern Sie die Berechnung auf nichtlineare magnetische Kreise.

Lösung
a) Magnetfeldlinien sind in sich geschlossen, sie bilden ein Wirbelfeld ohne Anfang und

Ende. Analog zum geschlossenen Stromkreis beim Leitungsstrom wird der Verlauf
magnetischer Feldlinien als magnetischer Kreis bezeichnet. Ein magnetischer Kreis ist
eine Anordnung, die den magnetischen Fluss entlang seiner ferromagnetischen Teile
auf vorgeschriebene, in sich geschlossene Wege lenkt. Ein magnetischer Kreis dient
zur kontrollierten Führung magnetischer Feldlinien (in elektrischen Maschinen).

b) Magnetische Kreise können unverzweigt oder verzweigt sein. Beim unverzweigten
magnetischen Kreis gibt es nur einen in sich geschlossenen Weg, entlang dem die

Magnetfeldlinien verlaufen. Der magnetische Fluss teilt sich dann nicht auf. Ein Bei-
spiel hierfür ist eine Ringspule nach Abb. 3.51. Beim verzweigten magnetischen Kreis
gib es mehrere Pfade für den Verlauf der magnetischen Feldlinien. Der magnetische

Fluss teilt sich in Flussanteile auf, ähnlich der Aufteilung des Leitungsstromes (nach
dem Knotensatz) in einem verzweigten Stromkreis. Ein Beispiel ist ein verzweigter

Eisenkreis mit einer oder mehreren stromdurchflossenen Wicklungen, wie der Trans-
formatorkern mit drei Schenkeln beim Drehstromtransformator.

c) Ein magnetischer Kreis kann aus verschiedenen Materialabschnitten bestehen, meis-
tens Luft (in Form von einem oder mehreren Luftspalten) und Eisen. Die Abschnitte
können verschiedene Längen und Querschnittsflächen aufweisen. Der magnetische

Fluss wird durch ein hochpermeables Material (häufig Dynamoblech) weitgehend ge-
bündelt, so dass die magnetische Flussdichte B innerhalb des Kreises möglichst groß
wird und der von Streufeldern verursachte, außerhalb des Kreises verlaufende Fluss,
vernachlässigt werden kann. Da die Länge des magnetischen Kreises meist groß ge-
genüber dem Eisenquerschnitt ist, liegt dann im Eisen annähernd ein homogenes Ma-
gnetfeld vor. – Luftspalte sind für die Funktion von elektrischen Maschinen mit ro-
tierenden Eisenteilen (z. B. Elektromotoren) notwendig. Die Weite des Luftspalts ist
meist deutlich kleiner als seine Querabmessungen, d. h., die Luftspaltlänge ist sehr
viel kleiner als die Luftspaltbreite, die Feldverzerrungen am Rande des Luftspalts sind
vernachlässigbar. Das Feld im Luftspalt kann dann ebenfalls als homogen und als ge-
nauso groß wie im Eisen betrachtet werden, der magnetische Fluss ist im Luftspalt
derselbe wie im Eisen. Der magnetische Kreis muss außerdem als linear betrachtet
werden können. Dies bedeutet, die Permeabilität D

0 r kann abschnittsweise als
konstant angenommen werden. Die genannten Voraussetzungen für die Homogenität
des Magnetfeldes und die Linearität des Kreises müssen erfüllt sein, damit ein magne-

3.4

Spule, magnetisches Feld

119
tischer Kreis in Analogie zu einem Gleichstromkreis berechnet werden kann. Alle von
der Berechnung von Gleichstromkreisen bekannten Verfahren wie Strom- und Span-
nungsteilerregel, Ersatzwiderstände von Reihen- und Parallelschaltung, Knoten- und

Maschensatz können verwendet werden.

d) Ursache des magnetischen Feldes einer von Gleichstrom durchflossenen Spule ist die

Summenwirkung des Stroms in allen Windungen, sie ergibt die magnetische Durch-
flutung .

D I N D H l

D Durchflutung in A (Ampere windungen), N D Windungszahl, I D Stromstärke
in A (Ampere), H D magnetische Feldstärke in A=m, l D mittlere Feldlinienlänge in
m (Meter).

Der magnetische Fluss eines homogenen Magnetfeldes ist:

˚ D B A D

0 r H A:

˚ D magnetischer Fluss in Wb (Weber oder V s), B D Flussdichte in T (Tesla oder

V s=m2), A D konstante, vom Magnetfeld in Richtung der Flächennormalen durch-
setzte Querschnittsfläche in m2,

V s

D

D

D

0

4 107
magnetische Feldkonstante, r

Permeabilitätszahl.

A m

Mit H D

˚
folgt für die Durchflutung

0rA

D

1
l ˚ D R
m

˚:

0 r

A

„ ƒ‚ …

Rm

Formal besteht eine Ähnlichkeit zum ohmschen Gesetz für den Widerstand eines Drah-
tes:

U D R I mit R D l :

A

U D Spannung in V (Volt), R D ohmscher Widerstand in (Ohm), D spezifischer
ohmscher Widerstand in m (Ohm mal Meter), l D Drahtlänge in m (Meter), A D

(abschnittsweise) konstante Querschnittsfläche des Drahtes in m2.

Aus der Analogiebetrachtung erhält man das ohmsche Gesetz des magnetischen Krei-
ses (Hopkinson’sches Gesetz1):

D R
m

˚:

Die Größe R

D A D 1 D 1
m mit der Einheit A
wird als magnetischer Widerstand

V s

Wb
s

H
bezeichnet.

1 John Hopkinson, britischer Physiker und Elektroingenieur (1849–1898).

120

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Abb. 3.52 Ersatzschaltbild
des unverzweigten elektrischen

(a) und magnetischen (b) Krei-
ses

In Analogie zum spezifischen ohmschen Widerstand wird

D 1 D

1
m
als

0r
spezifischer magnetischer Widerstand bezeichnet. Die Einheit von

D
m ist: Œm D m

H
m .

s

Ein Vergleich der beiden Gleichungen U D R I und D R
m

˚ ergibt, dass der
elektrischen Spannung U im Leitungsstromkreis die magnetische Durchflutung im
magnetischen Kreis entspricht, die wiederum gleich ist der magnetischen Spannung

(Umlaufspannung) V. Der gesamte ohmsche Widerstand R im unverzweigten elek-
trischen Stromkreis entspricht dem gesamten magnetischen Widerstand Rm, den der
magnetische Fluss ˚ auf seinem geschlossenen Umlaufweg des magnetischen Kreises
vorfindet. Die elektrische Stromstärke I entspricht somit dem magnetischen Fluss ˚.

Durch diese Gegenüberstellungen kann der magnetische Kreis in eine Ersatzschal-
tung aus Spannungsquelle und einem oder mehreren Widerständen überführt werden,
die mit den Methoden (der Netzwerktheorie) zur Berechnung von Gleichstromkreisen
analysiert werden kann.

Für einen unverzweigten elektrischen und einen unverzweigten magnetischen Kreis
ohne unterschiedliche Materialabschnitte zeigt Abb. 3.52 die Ersatzschaltbilder. Es
ergibt sich die Gegenüberstellung von elektrischen und magnetischen Größen mit ei-
nigen einfachen Zusammenhängen in Tab. 3.1.

Sind die Kreise zwar unverzweigt, bestehen aber aus Abschnitten unterschiedlicher

Widerstandswerte, so liegt eine Reihenschaltung von Widerständen vor.

Im elektrischen Kreis sind dann mehrere ohmsche Widerstände in Reihe geschaltet,
ihre elektrischen Spannungsabfälle addieren sich zur (an der Widerstandskette anlie-
genden) Gesamtspannung. Wir haben eine elektrische Reihenschaltung.

Im magnetischen Kreis durchlaufen in diesem Fall die Feldlinien Strecken mit unter-
schiedlichem Material, z. B. einen kreisförmig in sich (fast) geschlossenen Eisenkern,
der von einem schmalen Luftspalt unterbrochen ist. Die magnetischen Teilspannungen
addieren sich zur gesamten Umlaufspannung V D . Wir haben eine magnetische

Reihenschaltung.

Die Ersatzschaltbilder für beide Fälle zeigt Abb. 3.53.

Liegt ein verzweigter magnetischer Kreis (z. B. bei einem mehrschenkligen Eisen-
körper) vor, so können mehrere Schenkel Spulen tragen, die von unterschiedlichen

Strömen durchflossen werden. Auch hier können in Analogie zu elektrischen Strom-
kreisen Knotengleichungen für die magnetischen Flüsse (z. B. ˚ C

C

D

1

˚2

˚3

0)

und Maschengleichungen für die Durchflutungen und magnetischen Spannungsabfäl-
le (z. B. D

D

1

Rm1 ˚1 Rm3 ˚3 und 2

Rm2 ˚2 Rm3 ˚3) aufgestellt werden.

3.4

Spule, magnetisches Feld

121
n)

1

H

2

D

Vs
m=
s
s
indunge

D

1

Vs

Vs

Am

D

D
rew
er)

D

D
eb
y)

A
s
s
it
pe

Wb
m
m

m

(W
esla)

D
enr

(A
b

T

D

(H

D

Einhe

A

W

T(

A

Vs
m

H

H

H
m

–

–
l

H
esetz
eziehun-

D

G
l

B
s

A

,
r
en

N
m 1 0

I
sche

m
r

D

D

R
on’

A

D
m

0

˚

1

R

0
elzeich

=

˚=

1

D

D

D

D

D

rm

D

D

D

D

V

˚
o
n

,
opkins
m
m

F
ge

V

V

˚

H

B

R
m

G

P

P
e
r-
nd
ma-

(Pe
rsach
als
rt
nd
rt
s

U
s
rsta
er
er
nnung
itwe
als
ide
sch
rsta
sch
itwe
setz

Krei
pa
fi
fi

S

Flus

W
ge
ide

Le

Le
satz
er
e
er
er
ezi

W
er
ezi
er
ch
ch
te
ch
sp
h
sp
h

,
er

,
t)

flutung)

etisch
tis
tis
ich
tis
al
ch
tisc
al
tisc
eigungs
n
nnung
ch
ilitä
gne
gne
ssd
gne
tis
gne
rchflutungs
s
ag
ene
ur
irkung
lu
ateri
ateri
agne
eab
u
erzw

M

B

Ma

(D

Ma

W

F

Ma

M
gne

Ma

M
m
m

D

V

Krei
s)

em
ere)

)

m
it
lt)

p
m

1
o
m

2

A
iemen
m

D
etisch

(V

=

(Oh
m

(S
n

Einhe

V

A(

A

S

S
m

–

–
mag
z
dn

,
u
en
eset
n

G
em
ch

I
es
l

A

0
zei

R

A

0

R
sch

I=

1

R

D

1

D
trisch

U=

rmel

D
m’

D

D

D

U

I
ek

D
o
eziehunge

D
el

F

B

U

U

I

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S

R

G

P

P
en

-

-
ir-
sch
ek
ek
s
als

W
d
el
el
zwi
rei
als
an
er
ert
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ien
mk
m
erst
sch
nd
sch
g
nnung
id
fi
fi
rt
o
tro
pa
tro
rsta
eitw
al

S

S

S

W
ezi

L
ezi
er
e
er
er
ide
er
itwe
atz

An
hte
sp
sp
ch

,

,
e
ic

W

Le
ns
satz

.1
is
d
al
er
al
er
n

3
trisch
nnung
tr
trisch
trisch
h
trisch

.

k
h
sche
b
lek
ene
lek
lek
ateri
lek
ateri
note

Ta

E

B

Ele

Ursach

E
kung

Strom

E

M
trisc

E

M
trisc

Ma

K

122

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Abb. 3.53 Ersatzschaltbild
des unverzweigten elektri-
schen (a) und magnetischen

(b) Kreises im Falle der Rei-
henschaltung elektrischer und
magnetischer Widerstände

Auf die Richtungen der Durchflutungen entsprechend dem Wicklungssinn der Spulen
und der Stromrichtungen ist dabei zu achten.

e) Allgemeine Vorgehensweise bei der Berechnung magnetischer Kreise

In einem magnetischen Ersatzschaltbild werden einzelne Widerstände für diejenigen

Bereiche eingeführt, in denen sich entweder die Permeabilität oder die Geome-
trie des Materials nicht ändert. Der zu berechnende magnetische Kreis wird somit in

Abschnitte (Schenkel) mit konstantem Querschnitt und konstanter Permeabilität unter-
teilt. In einem Abschnitt können dann die Feldgrößen B und H als konstant betrachtet
werden. Für jeden Abschnitt wird ein magnetischer Widerstand R D
l
m
definiert.

0rA

Die Länge l ist dabei die mittlere Schenkellänge, dies ist der Weg durch die Mitte des

Schenkelquerschnitts. Für die magnetische Ersatzschaltung werden die Knotenglei-

P

P

P
chungen

˚ D

D

n

0 und Maschengleichungen D

Vn

Rm;n ˚n aufgestellt
und die unbekannten Flüsse ˚n berechnet. Aus den magnetischen Flüssen ˚n werden
die Feldgrößen B und H in den einzelnen Abschnitten berechnet.

Die Methodik zusammengefasst:

1. Aus Stromstärke I und Windungszahl N wird die Durchflutung berechnet: D

I N .

P

2. Der magnetische Gesamtwiderstand R

D
m;ges

Rm;n eines geschlossenen ma-
gnetischen Kreises wird als Summe der magnetischen Widerstände des Kreises
bestimmt. Die einzelnen Widerstände ergeben sich aus den Abschnitten mit kon-
stantem Querschnitt und konstanter Permeabilität zu R

D
ln
m;n

.

0r;nAn

3. Der magnetische Fluss ˚ innerhalb einer magnetischen Masche wird aus Durchflu-
tung und magnetischem Gesamtwiderstand der Masche berechnet: ˚ D .

Rm;ges

4. In einem Abschnitt wird die Flussdichte B D ˚ und die Feldstärke H D

B

A

0r
berechnet.

f) Bei den bisherigen Berechnungen magnetischer Kreise war vorausgesetzt, dass die

Permeabilität des Eisens D

0 r bekannt und abschnittsweise konstant ist. In der

Praxis sind Eisenkreise nichtlinear. (und somit auch B D H ) wird (nach einem

Maximum) mit zunehmendem H nichtlinear kleiner. Die Folge ist, dass mit wachsen-
dem H die Flussdichte B immer weniger ansteigt, man spricht von einer Sättigung
des Eisens. Ist D
r

Eisen nicht bekannt und auch nicht annähernd konstant, so ist
die Eigenschaft des Eisens meist über eine Magnetisierungskennlinie B D f .H / ge-
geben. Die Bestimmung von B und H für einen bestimmten Arbeitspunkt mit einer
festgelegten Durchflutung D I N kann dann grafisch erfolgen.

3.4

Spule, magnetisches Feld

123

Man kann folgenden linearen Zusammenhang zwischen B und HEisen herleiten:

H
lEisen C

D

Eisen

B lLuft

1

0

Die Geradengleichung lautet:

B.H
lEisen

C

Eisen/ D 0

HEisen

l

0

Luft
lLuft

In dieser Gleichung sind die beiden Unbekannten H

D

Eisen und B D BEisen

BLuft
enthalten.

Für B D 0 folgt der Abschnitt auf der H-Achse: H D 1

0

.

lEisen

Für H D 0 folgt der Abschnitt auf der B-Achse: B D 0

0

.

lLuft

Die beiden Achsenabschnitte legen im B.H /-Diagramm (Magnetisierungskennlinie
des Eisens ohne Luftspalt) die so genannte Scherungsgerade oder Luftspaltgerade fest,
die in das Diagramm eingetragen wird. Der Schnittpunkt der Geraden mit der Magne-
tisierungskurve ergibt den Arbeitspunkt AP, der sich für einen bestimmten Strom I und
der daraus folgenden Durchflutung D I N einstellt.

Im Arbeitspunkt kann auf der Abszisse der Wert HEisen;AP und auf der Ordinate der

Wert BEisen;AP abgelesen werden.

Für die Werte im Luftspalt gilt im Arbeitspunkt: B

D

D

Luft;AP

BEisen;AP und HLuft;AP

BLuft;AP=0.

Aus der Magnetisierungskennlinie des Eisens ohne Luftspalt kann mit der Scherungs-
geraden die „gescherte“ Magnetisierungskennlinie des Eisens mit Luftspalt konstru-
iert werden (Abb. 3.54). Dazu muss die Luftspaltgerade gespiegelt und als durch die

Punkte (0I 0) und (H I

0 B0) verlaufende Widerstandsgerade eingezeichnet werden. An-
schließend müssen die Feldstärken dieser Geraden und der Magnetisierungskennlinie
in horizontaler Richtung punktweise addiert werden, um die Punkte der neuen, ge-
scherten Magnetisierungskennlinie zu erhalten.

I Anmerkung Legt man an eine Induktivität mit Eisenkern eine Wechselspannung

(z. B. die Netzspannung an einen Transformator), so wird durch die sinusförmige einge-
prägte Spannung ein sinusförmiger magnetischer Fluss erzwungen. Durch die nichtlineare

Magnetisierungskennlinie ist die Abhängigkeit des Stromes von der Spannung ebenfalls
nichtlinear, der Magnetisierungsstrom weicht von der Sinusform ab, er ist verzerrt. Die

Funktion i.t/ enthält ungerade harmonische Frequenzen, welche die Verluste im Eisen
erhöhen. Eine Sättigung des Eisens sollte deshalb vermieden werden.

Aufgabe 3.113

Ein Eisenkern aus Elektroblech hat einen Luftspalt der Länge l D

L

3 mm. Die mittlere

Feldlinienlänge im Blech beträgt l D

B

70 cm. Bei einem Strom von I D 4;0 A durch eine

124

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Abb. 3.54 Grafisches Verfahren zur Bestimmung von H und B im Eisen bei einem magnetischen

Kreis mit Luftspalt und nichtlinearer Magnetisierungskennlinie, Verfahren der Scherung

Spule auf dem Eisenkern soll im Eisen eine Flussdichte B D 1;4 T entstehen. Aus einer

Materialtabelle (Magnetisierungskennlinie, Magnetisierungskurve B D f .H /) wird die
zur Flussdichte gehörende magnetische Feldstärke im Eisen H D

B

14;0 A entnommen.

m

Welche Windungszahl N muss die Spule haben?

Lösung

Die magnetische Spannung über dem Weg durch das Blech ist

A

V D

D

B

HB lB

14;0

0;7 m D 9;8 A:

m

Wir nehmen näherungsweise an, dass der ganze magnetische Fluss im Querschnitt des

Luftspalts konzentriert bleibt. Dann ist die Feldstärke in Luft:

1;4 Vs

A

H D B D
m2

D

L

1;1 106

:

0

4 107 Vs
m

Am

3.4

Spule, magnetisches Feld

125

Abb. 3.55 Ringkern aus Eisen ohne (a) und mit (b) Luftspalt mit Drahtwicklung (nicht maßstäb-
lich)

Die magnetische Spannung über dem Weg in Luft ist

A

V D

D

L

HL lL

1;1 106

3 103 m D 3;3 103 A:

m

Wegen der geringen magnetischen Leitfähigkeit des Luftspalts steht fast die gesamte ma-
gnetische Umlaufspannung am Luftspalt an.

Die gesamte magnetische Umlaufspannung ist V

D

C

D
ges

VB

VL

9;8 A C 3300 A D

3309;8 A.

Sie entspricht der Durchflutung D V

D
ges

I N . Für die Windungszahl folgt:

N D D 3309;8 A D 827

I

4;0 A

Aufgabe 3.114

Der in Abb. 3.55a gezeigte ringförmige Körper ohne Luftspalt besteht aus ferromagneti-
schem Material (Eisen) mit der Permeabilitätszahl D
r

500 und besitzt einen kreisrunden

Querschnitt mit der Fläche A D 1;2 cm2. Der mittlere Radius des Ringes ist r D 35 mm.

Die Anzahl der Drahtwindungen beträgt N D 100. In der Spule fließt der Strom I D

100 mA.

a) Berechnen Sie die Durchflutung , den magnetischen Fluss ˚E1, die magnetische

Flussdichte BE1 und den magnetischen Widerstand Rm;E1 des magnetischen Kreises.

b) Der Ringkörper besitzt nun entsprechend Abb. 3.55b einen Luftspalt mit der Länge
l D

L

0;5 mm. Wie groß sind jetzt Durchflutung , magnetischer Fluss ˚E2, magneti-
sche Flussdichte BE2 und magnetischer Gesamtwiderstand Rm;ges?

126

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Lösung
a) D I N D 0;1 A 100 D 10 A (Amperewindungen)

R

D

D
lE1

D

2 r

D

2 35 103 m
m;E1

Rm;ges

0 r A

0 r A

4 107 V s 500 1;2 104 m2

A m

D

A

2;92 106 V s

˚

D

D

10 A

D

E1

3;43 106 V s

Rm;E1

2;917 106 A

V s

V s

B

D ˚E1 D 3;43 106 V s D

E1

2;86 102

A

1;2 104 m2
m2
b) D I N D 0;1 A 100 D 10 A (Amperewindungen)

Die Durchflutung bleibt natürlich unverändert. I und N sind ja unverändert.

Magnetischer Widerstand Eisen:

R

D
lE2

D 2r lL D 2 35 103 m 0;5 103 m
m;E2

0 r A

0 r A

4 107 V s 500 1;2 104 m2

A m

D

A

2;91 106 V s

Magnetischer Widerstand Luft:

A

R

D
lL

D

0;5 103 m

D
m;L

3;32 106

0 A

4 107 V s 1;2 104 m2

V s

A m

Magnetischer Gesamtwiderstand:

A

A

A

R

D

C

D

C

D
m;ges

Rm;E2

Rm;L

2;91 106

3;32 106

6;23 106

V s

V s

V s

Der Luftspalt vergrößert den magnetischen Gesamtwiderstand.

˚

D

D

10 A

D

E2

1;61 106 V s

Rm;ges

6;23 106 A

V s

Der magnetische Fluss ist mit Luftspalt kleiner.

Vs

B

D ˚E2 D 1;61 106 V s D

E2

1;34 102

A

1;2 104 m2
m2

Die magnetische Flussdichte ist mit Luftspalt kleiner.

3.4

Spule, magnetisches Feld

127

Abb. 3.56 Magnetisierungs-
kurve von Weicheisen

Aufgabe 3.115

Eine Toroidspule mit einem Ringkern aus Eisen hat einen mittleren Umfang l

D

Fe

10 cm
und eine Querschnittsfläche von A D 1 cm2. Die Permeabilitätszahl des Kerns ist

D
r;Fe

5000, die Spule besteht aus N D 1000 Windungen. Wie groß ist die Induktivität L der

Spule?

Lösung

L D

1

N 2I R

D
lFe

D

10 102 m
m

R

;Fe

m;Fe

0 r;Fe A

4 107 Vs 5000 1 104 m2

A m

D

A

1;6 105 V s

L D

1

10002 D 6;25 H

1;6 105 A

V s

Aufgabe 3.116

Ein Ringkern aus Weicheisen hat einen mittleren Durchmesser d

D

Fe

32;0 cm und eine

Querschnittsfläche von 25 cm2. Die Spule auf dem Kern hat N D 800 Windungen. Die

Magnetisierungskurve von Weicheisen zeigt Abb. 3.56.

a) Welche magnetische Feldstärke H ist erforderlich, um dem Ringkern eine Magnetisie-
rung von 1,5 T zu geben?

b) Welche Durchflutung ist dafür nötig? Wie groß muss die Stromstärke durch die

Spule sein?

c) Wie groß ist der magnetische Fluss ˚ im Ringkern?

d) Wie groß ist bei dieser Flussdichte die Permeabilitätszahl r;Fe des Weicheisens?

128

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Abb. 3.57 Magnetisierungs-
kurve des ferromagnetischen

Materials

Lösung
a) Aus der Magnetisierungskurve Abb. 3.56 kann man für B D 1;5 T entnehmen:

H D 2000 A=m.

b) D I N D H l; D 2000 A 0;32 m D 2010 A; I D D 2010 A D 2;5 A
m

N

800
c) ˚ D B A D 1;5 V s 25 104 m2 D 3;75 103 V s
m2
d)

1;5 Vs

B D

D

B

D
m2

D

0 r H I
r;Fe

597

0 H

4 107 V s 2000 A

A m
m

Die Flussdichte ist bei 1,5 Tesla um den Faktor 597 größer als bei der Spule ohne Kern.

Aufgabe 3.117

Ein Ringkern aus ferromagnetischem Material nach Abb. 3.55b trägt eine Erregerwick-
lung mit N D 480 Windungen, durch sie fließt ein Strom von I D 1;0 A. Der mittlere

Radius des Ringes ist r D 38;2 mm. Die Länge des Luftspalts beträgt l D

L

0;5 mm. Die

Magnetisierungskurve des Ringkernmaterials zeigt Abb. 3.57. Wie groß sind Flussdichte

BFe und Feldstärke HFe im Eisen?

Lösung

Damit die Flussdichte im Eisen bestimmt werden kann, muss der magnetische Fluss ˚

(und somit der magnetische Widerstand des Eisens) bzw. die Feldstärke HFe im Eisen
bekannt sein. Hier ist jedoch nur die Gesamtdurchflutung gegeben, aber nicht deren

Verteilung auf den Eisenkern und den Luftspalt entsprechend dem Durchflutungsgesetz

D H

C

Fe lFe

HL lL. Da mit HFe und HL zwei Unbekannte vorliegen, müssen HFe und

BFe mit Hilfe der Luftspaltgeraden grafisch ermittelt werden.

Hinweis: Dieses Lösungsverfahren kann nur angewendet werden, wenn die Streuung
vernachlässigt werden kann. Außerdem müssen die Feldstärken im Eisen und im Luftspalt
als gleich groß angenommen werden können (Feldverzerrungen am Rande des Luftspalts
sind vernachlässigbar), sodass gilt: B D

D

Fe

BL

B.

3.4

Spule, magnetisches Feld

129

Abb. 3.58 Magnetisierungs-
kurve und Luftspaltgerade

Unter diesen Voraussetzungen kann der Durchflutungssatz umgeformt werden.

D I N D C

D

C

I

Fe

L

HFe lFe

HL lL
mit H D BL

D

D

L
und BL

BFe

B folgt:

0

D H

C B

)

lFe

C 0

Fe
lFe
lL

B D

HFe

I

0

0
lL
lL

Dies ist ein linearer Zusammenhang zwischen B und HFe.

4 107 V s 1;0 A 480

V s

H D

D 0

D

A m

D

Fe

0W B0

I

B

1;2
l

0

L

5 104 m
m2

A

B D 0W H D I

D

500 A

D

0

H

2004
l

0

F e

2 38;2 103 m 5 104 m
m

Die Punkte (0I B

I

0) und (H0 0) sind die Achsenabschnitte der Scherungsgeraden. Diese
kann jetzt in das B.H /-Diagramm mit der Magnetisierungskennlinie eingezeichnet wer-
den (Abb. 3.58). Auf der Abszisse wird abgelesen: H

Fe

320 A=m. Auf der Ordinate
kann man ablesen: B D

Fe

1;0 T.

Aufgabe 3.118

Der Magnetische Kreis nach Abb. 3.59 hat folgende Daten: Gleichbleibende Querschnitts-
fläche des Eisenkerns A D 25 mm2, Länge des Luftspalts l D

L

0;5 mm, Windungszahl
der Erregerwicklung N D 40, Strom I D 10 A. Die Permeabilität des Eisens wird als
unendlich groß angenommen,

! 1
r;Fe

.

a) Wie groß ist die magnetische Feldstärke HL im Luftspalt? Zeichnen Sie die Richtung
der Feldstärke in beide Luftspalten ein. Verwenden Sie die Rechte-Hand-Regel für

Spulen.

130

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Abb. 3.59 Ein magnetischer

Kreis
b) Wie groß ist die magnetische Flussdichte BL im Luftspalt?

c) Wie groß ist der magnetische Fluss ˚?

d) Berechnen Sie die Induktivität L der Spule.

Lösung
a) Durchflutungsgesetz:

I

X

E

H d Es D

I D D I N D C

D

C

Fe

L

HFe lFe

HL lL

Mit der Annahme

! 1
r;Fe
leitet das Eisen magnetisch ideal, sein magnetischer

Widerstand ist null. Das Feld ist deshalb nur im Luftspalt vorhanden. Die Richtung
zeigt Abb. 3.60. Umgreift die rechte Hand die Spule so, dass die gekrümmten Finger
in die technische Stromrichtung des Stromes in den Windungen zeigen, so zeigt der

Daumen in die Feldrichtung.

A

A

I N D H

)

D I N D

10 A 40

D

D

L

2 lL

HL

400

4;0 105

2 lL

2 0;5 103 m
mm
m
b) B D B D

D

D

L

0 HL

4 107 V s 4;0 105 A

0;5 V s (Tesla)

A m
m
m2
c) ˚ D B A D 0;5 V s 25 106 m2 D 1;25 105 V s (Weber)

m2
d) L D N ˚ D 401;25105 V s D 50 H

I

10 A

Aufgabe 3.119

Ein Ringkern aus ferromagnetischem Material (Eisen) mit der Permeabilitätszahl D
r

4000 besitzt einen kreisrunden Querschnitt mit der Fläche A D 4 cm2. Im Ringkern be-
findet sich ein Luftspalt mit der Länge l D

L

0;5 mm. Die mittlere Feldlinienlänge im

Abb. 3.60 Richtung der Feld-
stärke in den Luftspalten

3.4

Spule, magnetisches Feld

131

Eisen ist l D

E

20;0 cm. Durch die Erregerwicklung mit N D 50 Windungen fließt ein

Gleichstrom I D 2;0 A.

a) Berechnen Sie den magnetischen Widerstand Rm;Fe in Eisen und Rm;L in Luft.

b) Berechnen Sie den magnetischen Fluss ˚.

c) Wie groß sind die Flussdichte BFe und die Feldstärke HFe im Eisen? Wie groß sind die

Flussdichte BL und die Feldstärke HL im Luftspalt?

d) Wie groß ist die Induktivität L der Spule?

Lösung
a)

A

R

D
lE

D

0;2 m

D
m;Fe

99:471

0 r A

4 107 V s 4000 4 104 m2

V s

A m

A

R

D
lL

D

0;5 103 m

D
m;L

994:718

0 A

4 107 V s 4 104 m2

V s

A m
b) Durchflutungsgesetz: D ˚ Rm.

I N D ˚ .R

C

I
m;Fe

Rm;L/ ) ˚ D

I N

R

C
m;Fe

Rm;L

˚ D

2;0 A 50

D 9;1 105 V s

99:471 A C 994:718 A

V s

V s
c) Die Flussdichte ist im Eisen genauso groß wie im Lufspalt.

B D

D

D 9;1 105 V s D

Fe

BL

B D ˚

0;228 T

A

4 104 m2

0;228 V s

A

H D

B

D
m2

D

Fe

45;4

0 r

4 107 V s 4000
m

A m

0;228 Vs

A

H D B D
m2

D

L

1;82 105

0

4 107 Vs
m

A m
d)

L D N ˚ D 50 9;1 105 V s D 2;28 mH

I

2;0 A

Aufgabe 3.120

Der in Abb. 3.61 gezeigte Eisenkern mit der relativen Permeabilität D
r

500 hat einen
mittleren Umfang (mittlere Feldlinienlänge im Eisen) von l D

E

50 cm, einen Querschnitt
von A D 1 cm2 und besitzt eine Spule mit N D 100 Windungen. Der Luftspalt ist d D

1 mm. Der Strom durch die Spule ist I D 4;0 A.

132

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Abb. 3.61 Eisenkern mit Spu-
le und Messwindung
a) Welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit die Anordnung analog zu einem
elektrischen Stromkreis behandelt werden kann?

b) Berechnen Sie den magnetischen Fluss ˚.

c) I steigt in einer Millisekunde von 0 A auf 4,0 A linear an und bleibt dann konstant.

Welche Spannung UMess tritt an den Klemmen der Messwindung auf?

Lösung
a) Die Voraussetzungen sind:

1. Kein Streufluss, also ˚

D

Eisen

˚Luft.

2. Homogene Flussdichte, somit ˚ D B A.

b)

˚ D

Vm

R

C
m;Fe

Rm;L

V D

D
m
magnetische Umlaufspannung, Vm

I N

R

D

D
lE

D
m;Fe
magnetischer Widerstand Eisen: Rm;Fe

(

4 107 V s )

0

0rA

A m

R

D

D d
m;L
magnetischer Widerstand Luft: Rm;L

0A

A

R

D

0;5 m

D
m;Fe

7;96 106

4 107 V s 500 1 104 m2

V s

A m

A

R

D

103 m

D
m;L

7;96 106

4 107 V s 1 104 m2

V s

A m

Hier gilt speziell R

D

D
m;Fe

Rm;L, da lE
d ist.

r

˚ D

I N

I

˚ D 100 4 A D

400 A

D 2;51 105 V s

R

C
m;Fe

Rm;L

2 Rm;Fe

2 7;96 106 A

V s
c) Für 0 < t 1 ms ist

8

<

A

4000 A
für 0 < t 1 ms

I.t/ D 4 A t D 4000
tI dI.t/ D
s

1 ms
s
dt

:0
für t > 1 ms

3.4

Spule, magnetisches Feld

133

Abb. 3.62 Magnetischer

Kreis mit Leiterschleife im

Luftspalt

Induktionsgesetz:

dI.t/

100 4000 A

U

D d˚ D

N

I

D
s D

Mess

UMess

25;1 mV
dt

R

C
m;Fe

Rm;L dt

2 Rm;Fe

Aufgabe 3.121

Gegeben ist der in Abb. 3.62 dargestellte magnetische Kreis. Die Stromquelle liefert einen
linear ansteigenden Strom I.t/ D kt. Der Eisenkern hat einen quadratischen Querschnitt,
sein mittlerer Umfang ist bekannt. Im Luftspalt des Eisenkerns befindet sich eine geschlos-
sene Leiterschleife mit dem Widerstand R. Das Feld im Luftspalt sei homogen und ohne

Randeffekte.

a) Berechnen Sie die Luftspaltinduktion B.t/ in allgemeiner Form (als Formel).

b) Berechnen Sie den in der Leiterschleife induzierten Strom IL.t/ als Formel.

Lösung
a) Gegeben sind: Zeitabhängiger Stromverlauf I.t/ D k t, Luftspaltlänge d, Feld-
linienlänge im Eisen l

D

Fe, Eisenkernfläche AFe
a2, relative Permeabilität r des

Eisenkerns.

Gesucht ist die Luftspaltinduktion B.t/.

Durchflutungsgesetz: H

C

D

Fe
lFe

HL lL

I N ; B D 0rH

B.t/
lFe
l C B.t/

C

D

Fe
d D I.t/ N I

B.t/
d
k t N I

B.t/ D 0kN
t

l

0r

0

0
r

Fe C d
r

R
b) Induktionsgesetz: U.t/ D d˚ (N D 1); ˚ D

E

B d E

A D B A; I.t/ D U.t/
dt

R

Flächennormale und magnetische Flussdichte zeigen in die gleiche Richtung.

U.t/ D d.B A/ D A dB.t/
dt
dt

Die Leiterschleife umschließt nur die Hälfte der Eisenfläche: A D a22

!

U.t/ D a2 d

0kN t D a20kN

I I

2
dt
l

L.t / D
a20kN

Fe C d
lFe C
lFe C

2
d

2R
d
r
r
r

134

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Abb. 3.63 Eisenkern mit

Wicklung

Aufgabe 3.122

Der in Abb. 3.63 gezeigte Eisenkern mit der relativen Permeabilität D
r

3000 hat einen
mittleren Umfang von l D 35 cm, einen Querschnitt von A D 3 cm2 und besitzt eine
p

Wicklung mit N D 1000 Windungen. An der Wicklung liegt die Spannung u.t/ D

2

U sin.!t/ mit f D 400 Hz.

a) Wie groß darf der Effektivwert U maximal sein, wenn die Amplitude der magnetischen

Flussdichte O

B im Kern höchstens 0,6 T betragen soll?

b) Welcher Strom I (Effektivwert) fließt bei dieser Spannung durch die Wicklung?

Lösung

Wird die Wicklung von einem Gleichstrom durchflossen, so gelten folgende Zusammen-
hänge:

H l D I N (Durchflutungsgesetz),

B D 0rH

Vs

D

D
r
konstant, d. h. lineare Magnetisierungskennlinie, 0

4 107

;

Am

˚ D B A:

Ist der Strom durch die Wicklung sinusförmig mit i.t/ D O

I sin.!t/, so sind die magne-
tischen Größen auch sinusförmig. Für die Amplituden von H.t/, B.t/ und ˚.t/ können
dann obige Beziehungen direkt übernommen werden.

Wird die Wicklung von einer sinusförmigen Spannung gespeist und der Zusammen-
hang zwischen dieser und den magnetischen Größen ist gesucht, so gilt nach dem In-
duktionsgesetz u.t/ D N d˚ . Die magnetischen Größen sind wieder sinusförmig, aber
dt
zwischen U und ˚ besteht eine Phasenverschiebung von 90ı. Falls nur der Zusammen-
hang zwischen den Amplituden interessiert, kann man ansetzen:

d˚.t/

˚.t/ D O

˚ sin.!t/;
u.t/ D N

D N O

˚ ! cos.!t/ mit O

U D N O

˚ !

dt

3.4

Spule, magnetisches Feld

135
a)

O

U D N O

˚ ! ) O

U D N O

B A !I

U

D N O

B A !

p

I

D
max

Umax

319;9 V

2
b)

O

B

O

B l

H l D O

I N D
lI I D p

0 r

2

0 r N

0;6 V s 0;35 m

I D
m2
p

I I D 39;4 mA

2 4 107 V s 3000 1000

A m

3.4.3

Leiteranordnungen

Aufgabe 3.123

Ein langer gerader Leiter in Luft wird von einem Strom I D 100 A durchflossen. Wie
groß sind die magnetische Feldstärke H und die Flussdichte B im Abstand r D 5 mm von
der Mittelachse des Leiters?

Lösung

H.r/ D

I

(ohne Herleitung, z. B. aus einer Formelsammlung)

2 r

I D Strom durch den Leiter, r D Abstand von Mittelachse des langen, gestreckten Leiters

A

H D

100 A

D 3;2 103

2 5 103 m
m

V s

A

V s

B D

D

0 H D 4 107

3;2 103

4;0 103

(Tesla)

A m
m
m2

Aufgabe 3.124

Der Achsabstand von zwei parallelen Leitern in Luft beträgt a D 25 cm. Es handelt sich
um einen Hin- und einen Rückleiter, die Leiter sind also gegensinnig von Strom durch-
flossen. In jedem Leiter fließen 100 A. Berechnen Sie die magnetischen Feldstärken H10
im Abstand von 10 cm und H20 im Abstand von 20 cm vom linken Leiter (Abb. 3.64).

Wie groß ist die Feldstärke HM in der Mitte zwischen den beiden Leitern? Wirkt die Kraft
zwischen beiden Leitern anziehend oder abstoßend? Leiten Sie eine Formel für den Betrag
der Kraft her, welche die Leiter gegenseitig pro Länge l ausüben.

136

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Abb. 3.64 Zwei stromdurch-
flossene Leiter

Lösung

Verwenden wir die Rechte-Hand-Regel für den stromdurchflossenen Leiter (Daumen in
die technische Stromrichtung, die gekrümmten Finger zeigen in die Feldrichtung), so
erhalten wir das Feldlinienbild für die beiden parallelen Leiter (Abb. 3.65). Auf der Ver-
bindungslinie der beiden Leiter zeigen die Feldlinien in die gleiche Richtung, die Dichte
der Feldlinien wird größer, die Feldstärke nimmt durch Addition der Anteile zu.

H D H C

D I1 C

I2

I j j D j jI

1

H2

I

I

2 r

2.a r/

1

2

A

H D

100 A

C

100 A

D

10

265;3

2 10 102 m

2 .25 10/ 102 m
m

A

H D

100 A

C

100 A

D

20

397;9

2 20 102 m

2 .25 20/ 102 m
m

A

H D

100 A

C

100 A

D

10

254;7

2 12;5 102 m

2 .25 12;5/ 102 m
m

Bei gegensinniger Stromrichtung wirkt die Kraft zwischen zwei Leitern abstoßend.

Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld: F D B l I D

0 H l I .

H D

I

I
a D Achsabstand der beiden Leiter

2 a

F D

0 l I2

2 a

Aufgabe 3.125

Ein Leiter mit dem Radius r D

D

1

2;0 cm wird von dem Strom I1

5;0 A durchflossen.

In einem Achsabstand von d D 30 cm liegt parallel ein Leiter mit einem Radius von
r D

D

2

0;5 cm. In ihm fließt der Strom I2

7;0 A in die gleiche Richtung. Wie groß ist
die magnetische Feldstärke H in der Mitte zwischen den beiden Oberflächen der Leiter?

Wirkt die Kraft zwischen beiden Leitern anziehend oder abstoßend?

Abb. 3.65 Feldlinien der
stromdurchflossenen Leiter
mit entgegengesetzter Strom-
richtung

3.4

Spule, magnetisches Feld

137

Abb. 3.66 Anordnung der

Leiter (nicht maßstäblich)

Abb. 3.67 Leiterschleife in
der Nähe eines Drahtes

Lösung

Bei gleichsinniger Stromrichtung wirkt die Kraft zwischen zwei Leitern anziehend.

Zur Verdeutlichung der Maße und der Lage der Leiter fertigen wir eine Skizze an

(Abb. 3.66).

H D H

D I1

I2

1

H2

2 r

2.a r/

A

H D

5 A

7 A

D 2;77

2 15;75 102 m

2 14;25 102 m
m

Aufgabe 3.126

Ein gerader, unendlich langer Leiter wird von einem Gleichstrom I durchflossen. In der
gleichen Ebene wie der Leiter liegt im Abstand a eine quadratische, ebenfalls von ei-
nem Gleichstrom gleicher Größe I durchflossene Leiterschleife mit der Seitenlänge a

(Abb. 3.67). Wie groß ist die Kraft zwischen dem geraden Leiter und der Leiterschlei-
fe? In welche Richtung wirkt die Kraft?

Lösung

Zu der Kraft zwischen dem langen Leiter und der Leiterschleife tragen nur die zum Lini-
enleiter parallelen Abschnitte der Leiterschleife bei. Die Kraft zwischen dem Linienleiter
und dem parallelen Teil der Leiterschleife im Abstand a ist:

F D

I

1

B l I D 0 H l I D 0
a I D 0 I 2

2 a

2

138

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Da beide Leiter gleichsinnig vom Strom durchflossen werden, wirkt die Kraft zwischen

Linienleiter und Leiterstück anziehend.

Die Kraft zwischen dem Linienleiter und dem parallelen Teil der Leiterschleife im

Abstand 2 a ist:

F D

I

2

B l I D 0 H l I D 0
a I D 0 I 2

2 2 a

4

Beide Leiter werden gegensinnig vom Strom durchflossen, die Kraft zwischen dem Lini-
enleiter und dem Leiterstück der Länge a im Abstand 2 a wirkt abstoßend.

Da jF j
j

2 < jF1 gilt, resultiert zwischen Linienleiter und Leiterschleife eine anziehende

Kraft der Größe:

F D F

D 0

1

F2

I 2 0 I 2 D 0 I 2

2

4

4

3.4.4

Induktion

Aufgabe 3.127

Bei der in Abb. 3.68 gezeigten Leiteranordnung wird ein Draht mit konstanter Geschwin-
digkeit v nach links bewegt. Der Draht kontaktiert schleifend zwei Kupferschienen mit
dem Abstand l, an die ein ohmscher Widerstand R angeschlossen ist. Kupferschienen und

Schleifdraht liegen in einer Ebene, senkrecht zu dieser Ebene wirkt in gezeigter Richtung
ein homogenes Magnetfeld mit der Flussdichte B.

Folgende Zahlenwerte sind gegeben: B D 0;8 T, v D 10 m=s, l D 20 cm, R D 2;0 .

a) Warum fließt ein Strom I durch den Widerstand R?

b) Wie groß ist die Induktionsspannung Ui allgemein und als Zahlenwert?

c) Welchen Wert hat der Strom I, der durch den Widerstand R fließt?

d) Welche Kraft F ist zum Verschieben des Schleifdrahtes notwendig (allgemein und als

Zahlenwert)? Die Reibung wird vernachlässigt.

e) Wie groß ist die mechanische Leistung PM, die durch die Kraft zugeführt wird?

f) Welche elektrische Leistung PE wird im Widerstand umgesetzt?

g) Was folgt für die Induktionsspannung Ui und den Strom I, wenn der Schleifdraht in
umgekehrter Richtung von links nach rechts bewegt wird?

Abb. 3.68 Zur Induktion
durch Bewegung

3.4

Spule, magnetisches Feld

139

Abb. 3.69 Leiteranordnung
mit induzierter Spannung und

Stromrichtung

Lösung
a) Eine Änderung eines Magnetfeldes kann durch

1. eine Änderung eines Stromes durch eine Leiterschleife (Spule) oder

2. eine Bewegung einer Leiterschleife in einem Magnetfeld
erfolgen.

Durch die Bewegung des Schleifdrahtes ändert sich die Fläche der vom Magnetfeld
durchsetzten Leiterschleife. Ähnlich ist es, wenn eine Leiterschleife mit fester Fläche
aus einem Magnetfeld herausgezogen wird. Durch die Änderung der vom Magnet-
feld durchsetzten Fläche ändert sich der magnetische Fluss durch die Fläche. Die

Flussänderung erzeugt nach dem Induktionsgesetz in der Leiterschleife eine induzierte

Spannung Ui. Diese führt zu einem Strom I durch den Widerstand R, der die Leiter-
schleife zu einem Stromkreis ergänzt.

Betrachten wir die Vorgänge noch genauer. Die freien Elektronen im Schleifdraht
werden mit diesem quer zum Magnetfeld transportiert. Auf die Elektronen wirkt die

Lorentzkraft. Es gilt die UVW-Regel: Daumen, Zeige- und Mittelfinger der rechten

Hand rechtwinklig zueinander abspreizen. Der Daumen zeigt in Richtung der Ursa-
che, der Zeigefinger in Richtung der Vermittlung, der Mittelfinger zeigt dann in die

Richtung der Wirkung (der Richtung der Ladungsbewegung durch das Magnetfeld).

Ursache ist das Magnetfeld, Vermittlung ist die Bewegung, Wirkung ist die Bewe-
gung der Ladungsträger (Elektronen). Durch die Anwendung der UVW-Regel erkennt
man, dass die Elektronen im Schleifdraht in Abb. 3.69 von vorn nach hinten bewegt
werden. Zwischen den an den Kupferschienen aufliegenden Enden des Schleifdrahtes
wird eine Spannung Ui induziert, die den Strom im Stromkreis verursacht. Die tech-
nische Stromrichtung ist entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung der Elektronen. Der

Pluspol der induzierten Spannung liegt also in Abb. 3.69 vorn am Schleifdraht, der

Strom fließt von oben auf die Leiteranordnung gesehen im Gegenuhrzeigersinn.

b) Der magnetische Fluss ˚ ist ˚.t/ D B A.t/. Der vom Schleifdraht in der Zeit t
zurückgelegte Weg ist s D v t. Die Fläche in Abhängigkeit der Zeit ist somit A.t/ D

A.t0/ C l v t. A.t0/ D Fläche zum Zeitpunkt t D 0.

Die Flächen änderung ist:

dA.t/ D l v:

dt

140

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

Die induzierte Spannung ist (ohne Vorzeichen betrachtet):

U D d˚.t/ D

D
i

B dA.t/

B l v:

dt
dt

V s
m

U D

D
i

0;8

0;2 m 10

1;6 V
m2
s
c)

I D Ui D 1;6 V D 0;8 A

R

2;0
d) Entsprechend der Energieerhaltung: Mechanische Leistung D Elektrische Leistung.

Blv 2 R

F v D I 2 R ) F D I 2 R D

R

D B2 l2 v
v
v

R

0;8 V s 2 .0;2 m/2 10 m

V2 s

F D
m2
s

D 0;128

2;0
m

V2 s D V2 s D V A s D kg m D NI F D 0;128N
m
m V
m
s2

A

Alternativer Ansatz

Die Kraft entspricht der Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld:

F D B l I .

V s

V A s

F D 0;8

0;2 m 0;8 A D 0;128

D 0;128 N
m2
m
e) P D

D

M

F v D 0;128 N 10 m

1;28 W
s
f) P D

E

I 2 R D .0;8 A/2 2 D 1;28 W

Da die Reibung vernachlässigt wird, wird die mechanisch zugeführte Leistung im Wi-
derstand R vollständig in Wärme umgewandelt.

g) Die Polarität der induzierten Spannung ist umgekehrt, der Strom hat somit umgekehrte

Flussrichtung.

Aufgabe 3.128

Die Wicklung eines Gleichstrommotors hat einen ohmschen Widerstand R D 1;5 . Ist
der Motor bei einer Spannung U D

D

40 V mit voller Drehzahl in Betrieb, so fließt durch
seine Wicklung der Strom I D

D

2;0 A.

a) Wie groß ist die durch die Rotation im Magnetfeld in der Wicklung induzierte Span-
nung Ui bei voller Drehzahl?

b) Wie groß ist der Strom I0 durch die Wicklung, wenn sich diese noch nicht dreht?

3.4

Spule, magnetisches Feld

141

Abb. 3.70 Prinzip des

Wechselstromgenerators zur

Erzeugung einer sinusförmi-
gen Spannung. Eine Spule

(vereinfacht dargestellt als

Leiterschleife) rotiert in einem
stationären Magnetfeld

Lösung
a) Der Spannungsabfall am ohmschen Widerstand der Wicklung ist:

U D

D

R

R ID

1;5 2;0 A D 3 V:

Die Induktionsspannung ist somit U D

D
i

UD

UR

40 V 3 V D 37 V.

b) Steht der Rotor des Motors noch still, so entsteht noch keine Induktionsspannung. Die
gesamte an der Wicklung anliegende Spannung fällt dann am ohmschen Widerstand
ab.

I D UD D 40 V D

0

26;7 A

R

1;5

Der Einschaltstrom wird normalerweise durch einen Anlasswiderstand begrenzt.

Aufgabe 3.129

Das Prinzip eines Wechselstromgenerators beruht darauf, dass eine rechteckige Spule mit
der Fläche A und der Windungszahl N mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ! in einem
homogenen Magnetfeld der Flussdichte B rotiert (Abb. 3.70).

a) Leiten Sie einen Ausdruck für die an den Schleifringen abgenommene Spannung ui.t/
in Abhängigkeit von N, B, A und ! her.

b) Gegeben sind: A D 2 cm2, N D 1000, B D 2;0 T. Mit welcher Drehzahl n (Umdre-
p
hungen pro Minute) muss die Spule rotieren, damit eine Spannung O

U D 110 V

2
erzeugt wird?

Lösung
a) Wegen der Rotation der Spule ändert sich der magnetische Fluss durch die Spule in

Abhängigkeit des Drehwinkels ˛: ˚ D N B A cos.˛/.

˚ D magnetischer Fluss, Œ˚ D V s D Wb (Weber)

N D Anzahl der Windungen der Spule

B D magnetische Flussdichte, ŒB D V s=m2 D T (Tesla)

142

3

Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

A D Fläche der Spule, ŒA D m2

˛ D Winkel zwischen der Flächennormalen der Spule und den Feldlinien

Wird der waagrechten Lage der Spule zwischen zwei Polen eines Permanentmagneten
der Zeitpunkt t D 0 zugeordnet, so bildet die Spule zu einem beliebigen Zeitpunkt t
mit der Waagrechten den Winkel ˛ D !t. Das Induktionsgesetz lautet:

ui.t/ D d˚.t/ :

dt

In der rotierenden Spule wird folgende Spannung induziert:

u

D d ŒN B A cos.!t/ D
i.t / D d˚.t /

N B A ! sin.!t/:

dt
dt

Die Konstante N B A ! wird zum Scheitelwert O

U der Sinusspannung zusam-
mengefasst. Die durch Induktion erzeugte sinusförmige Wechselspannung ist u.t/ D

O

U sin.!t/.

b)

p

O

O

U

2 V

1

U D N B A ! ) ! D

D

110

D 388;9

N B A

1000 2;0 V s 2 104 m2
s
m2

1

1

1
n D ! D 388;9

D 61;9 D 3714

2

2
s
s
min

Aufgabe 3.130

Eine einlagige, zylinderförmige Luftspule hat N D 500 Windungen, einen Wicklungs-
durchmesser von d D 12 cm und eine Wicklungslänge von l D 70 cm. Der durch die

Spule fließende Strom steigt in der Zeit t D 4 s von I D

D

1

1;0 A auf I2

12;0 A linear
an.

a) Wie groß ist die Induktivität L der Spule?

b) Wie groß ist die in der Spule erzeugte Selbstinduktionsspannung Ui?

Lösung
a)

V s

L D A N 2 D

.0;06 m/2 5002 D

0

4 107

5 103 H D 5 mH
l

A m

0;7 m
b)

V s

U D

D

D

12;0 A 1;0 A D
i

L dI.t/

L I

5 103

13;75 mV
dt
t

A

4 s

3.4

Spule, magnetisches Feld

143

Aufgabe 3.131

Durch eine Spule mit der Induktivität L D 5;8 H fließt ein Strom I D 92;3 mA. Beim

Ausschalten des Stromes nimmt der Stromfluss linear ab. Dabei soll die Selbstinduk-
tionsspannung höchstens U

D
i;max

500 V betragen. Wie groß muss die Dauer t des

Ausschaltvorgangs mindestens sein?

Lösung

Der magnetische Fluss durch die Spule ist ˚ D L I D 5;8 H 0;0923 A D 0;535 V s.

U D ˚ )

D 0;535 Vs D
i
t D ˚

1;07 ms
t

Ui

500 V

Gleichspannungsquellen

4

Zusammenfassung

Es werden Grundbegriffe bei Spannungsquellen wie Quellenspannung, Leerlaufspan-
nung, Klemmenspannung und Kurzschlussstrom verwendet. Der Unterschied zwischen
idealer und realer Spannungsquelle führt zu dem Begriff des Innenwiderstandes. Die

Kennlinie der belasteten realen Gleichspannungsquelle wird vorgestellt. Als Möglich-
keit zur Berechnung elektrischer Netzwerke werden Ersatzspannungsquelle und Er-
satzstromquelle eingeführt und damit zahlreiche Schaltungen berechnet. Der Begriff
des Kurzschlussstromes ebenso wie Spannungs-, Strom- und Leistungsanpassung er-
läutern diese Betriebsfälle.

4.1

Grundwissen – kurz und bündig

Gleichspannungsquellen werden als Hilfsenergie zur Stromversorgung elektronischer

Schaltungen benötigt.

Netzunabhängige Gleichspannungsquellen kann man in Primärelemente (Batterien)

und Sekundärelemente (Akkumulatoren) einteilen.

Batterien sind für den einmaligen Gebrauch bis zur Entladung bestimmt und können
nicht aufgeladen werden.

Ein Akkumulator kann nach seiner Entladung wieder aufgeladen werden. Zu beachten
ist die Betriebsanweisung für das Laden.

Die Kapazität einer Batterie oder eines Akkumulators wird in Amperestunden (Ah)

angegeben.

Netzgeräte (Netzteile) sind vom Stromversorgungsnetz abhängige Gleichspannungs-
quellen.

Für eine störungsfreie Versorgung einer elektronischen Schaltung mit Gleichspannung
sind bestimmte Regeln zu beachten.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017

145

L. Stiny, Aufgabensammlung zur Elektrotechnik und Elektronik,

DOI 10.1007/978-3-658-14381-7_4

146

4

Gleichspannungsquellen

Eine reale Spannungsquelle kann durch eine Ersatzspannungsquelle (mit Innenwider-
stand) dargestellt werden.

Die Klemmenspannung einer Spannungsquelle bricht umso stärker zusammen, je grö-
ßer ihr Innenwiderstand und je größer der Laststrom ist.

Man unterscheidet zwischen Spannungs-, Strom- und Leistungsanpassung.

Eine Konstantstromquelle liefert einen vom Lastwiderstand unabhängigen Strom.

Wichtige Formeln: U D

D U20

D U0

L

U0

Ri IL; PLmax

; I

.

4R

K
i

Ri

4.2

Die belastete Gleichspannungsquelle

Aufgabe 4.1

Was versteht man unter einer Leerlaufspannung?

Lösung

Leerlauf bedeutet, dass an die Anschlussklemmen einer Quelle kein Widerstand (kein Ver-
braucher) angeschlossen ist. Der Lastwiderstand ist unendlich groß: R D 1

L

. Zwischen
den Klemmen der Quelle fließt kein Strom. Die Klemmenspannung entspricht in diesem

Fall der Leerlaufspannung.

Aufgabe 4.2

Eine Autobatterie hat ohne Belastung eine Klemmenspannung von U D

0

12 V. Unter

Belastung von I D

D

1

10 A sinkt die Klemmenspannung auf U1

11 V. Wie groß ist der

Innenwiderstand Ri der Batterie?

Lösung

Allgemein ist:

UL

R D U D U0
i

I

IL
mit U D

D

D

D

0

Leerlaufspannung, UL

Lastspannung, IL

Laststrom, I0

0 (Strom ohne

Last)

U

R D U0

1 D 12 V 11 V D
i

0;1

I

1

I0

10 A 0 A

Aufgabe 4.3

Die Spannungsquelle in Abb. 4.1 hat eine Leerlaufspannung U D

L

12 V.

a) Wie groß ist die Quellenspannung U0?

b) An diese Spannungsquelle wird ein Widerstand R D 5 angeschlossen, dabei fließt
ein Strom I D 2 A. Wie groß ist Ri?

4.2

Die belastete Gleichspannungsquelle

147

Abb. 4.1 Eine reale Span-
nungsquelle

Lösung
a) Die Quellenspannung ist die Leerlaufspannung (D Klemmenspannung): U D

D

0

UL

12 V
b) U D R I ; 12 V D .R C

D 12 V

D
i

5 / 2 A; Ri

5 ; R

1

2 A
i

Zu beachten ist, dass Indizes unterschiedliche Bedeutungen haben können. Hier ist UL die

Leerlaufspannung, in Aufgabe 4.2 war es die Lastspannung.

Alternative Lösung

Maschenregel:

U

C

D

Ri

U0

UR

0;

Bauteilgleichungen: U D

D

Ri

Ri I ; UR

R I

Einsetzen:

R

C

D U0

i

I U0

R I D 0; Ri

R D 12 V

5 D 1

I

2 A

Aufgabe 4.4

Eine reale Spannungsquelle (Abb. 4.2) hat die Leerlaufspannung U D

0

12 V und den In-
nenwiderstand R D

D
i

2 . Skizzieren Sie die Kennlinie UL
f .I / der Spannungsquelle.

An welcher Stelle der Kennlinie kann man U0 ablesen, wie erhält man aus der Kennlinie

Ri?

Lösung

Ist an die Klemmen der Spannungsquelle eine Last angeschlossen, so fließt der Strom I
in diesen Verbraucher. Ein Maschenumlauf ergibt die Gleichung U D

L

U0

Ri I . Dies
ist die Gleichung einer Geraden mit negativer Steigung, wie man durch Umstellen leicht
erkennt: U D

L

Ri I C U0 (ähnlich y D a x C b). Setzt man den Strom zu I D 0,
so erhält man den Schnittpunkt der Geraden mit der Ordinate als U D

L

U0 ( Leerlaufspan-
nung). Setzt man die Klemmenspannung zu U D

L

0 (bedeutet Kurzschluss), so erhält man
den Schnittpunkt der Geraden mit der Abszisse als I D U0

K

( Kurzschlussstrom). Durch

Ri

Abb. 4.2 Reale Spannungs-
quelle

148

4

Gleichspannungsquellen

Abb. 4.3 Kennlinie der Span-
nungsquelle
die beiden Punkte ist die Gerade festgelegt (Abb. 4.3). Der Innenwiderstand Ri wird der

ˇ

Šteigung der Geraden entnommen: R D ˇ U ˇ
i

.

I

Aufgabe 4.5

Die Quellenspannung Uq einer Batterie beträgt 4,5 V. An die Batterieklemmen wird ein
ohmscher Widerstand RL angeschlossen, die Klemmenspannung sinkt durch die Last auf

U D

L

4;3 V. Im Widerstand wird eine Verlustleistung von P D 2 W umgesetzt. Welchen

Innenwiderstand Ri hat die Batterie?

Lösung

Durch den Lastwiderstand fließt der Strom

I D P D 2 W D 0;465 A:

U

4;3 V

Am Innenwiderstand liegt die Differenz aus Quellenspannung und Spannung am Lastwi-
derstand an. Mit dem bereits berechneten Strom ist

UL

R D Uq

D 4;5 V 4;3 V D
i

0;43 :

I

0;465 A

Aufgabe 4.6

Eine Gleichspannungsquelle mit der Quellenspannung Uq und dem Innenwiderstand Ri
ist wie in Abb. 4.4 gezeigt mit Widerständen beschaltet.

a) Wie groß ist der Ersatzwiderstand Rers der äußeren Beschaltung?

b) Wie groß ist die Klemmenspannung UK?

c) Welche Verlustleistung Pi entsteht am Innenwiderstand Ri?

Gegeben: U D

D

D

D

D

D
q

16 V, Ri

40 , R1

160 , R2

50 , R3

30 , R4

160

Lösung
a) Der Widerstand R4 ist hier ungewöhnlich verwinkelt gezeichnet. Dies soll nur den

Blick für das Lesen einer Schaltung schärfen. R4 liegt parallel zu R1. Die Parallel-
schaltung von R1 und R4 liegt parallel zur Reihenschaltung von R2 und R3.

4.2

Die belastete Gleichspannungsquelle

149

Abb. 4.4 Spannungsquelle
mit Widerständen

R
k

D

C

1 und R4 sind mit 160 gleich groß ) R1 R4

80 ; Reihenschaltung: R2

R D

3

80

Die Parallelschaltung der beiden 80 -Widerstände ergibt den Ersatzwiderstand

R

D
ers

40 .

Diese Vorgehensweise ist schneller und einfacher, als würde man R k

C

4 .R2

R3/ und
das Ergebnis parallel zu R1 berechnen.

b) Ri und Rers bilden einen Spannungsteiler. Beide Widerstände sind gleich groß. Somit
fällt am Lastwiderstand (Ersatzwiderstand) die halbe Quellenspannung (Leerlaufspan-
nung) als Klemmenspannung ab.

U D Uq D

K

8 V

2
c) Da auch an R

D
i eine Spannung von Ui

8 V abfällt, ist die an Ri entstehende Verlust-
leistung:

P D U 2i D 64 V2 D
i

1;6 W

Ri

40

Aufgabe 4.7

Eine Autobatterie liefert ohne Belastung eine Spannung von U D

B

12 V (Leerlaufspan-
nung) und besitzt einen Innenwiderstand von R D
i

15 m. Beim Starten eines Pkw muss
diese Autobatterie insgesamt im Sommer eine Leistung von P D

S

800 W und im Winter
von P D

W

1200 W aufbringen.

a) Zeichnen Sie ein Ersatzschaltbild. Der Anlasser soll als rein ohmscher Widerstand RA
betrachtet werden.

b) Welcher Strom IS fließt beim Startvorgang im Sommer, welcher Strom IW beim Start-
vorgang im Winter?

c) Durch den Innenwiderstand des Akkus entsteht beim Startvorgang eine Verlustleis-
tung, durch die sich der Akku selbst erwärmt. Wie groß ist die Verlustleistung PVS im

Sommer bzw. PVW im Winter?

d) Welche Leistung PAS wird im Sommer und welche Leistung PAW wird im Winter an
den Anlasser abgegeben?

Lösung
a) Das Ersatzschaltbild zeigt Abb. 4.5.

b) I D P ; I D PS D 800 W D 66;7 A; I D PW D 1200 W D 100;0 A

U

S

U

W

B

12 V

UB

12 V

150

4

Gleichspannungsquellen

Abb. 4.5 Ersatzschaltbild mit

Autoakku und Anlasser als

Widerstand

Abb. 4.6 Generator mit

Innenwiderstand und Last-
widerstand
c) P D RI 2; P

D

D

VS

0;015 .66;7 A/2 D 66;7 W; PVW

0;015 .100 A/2 D 150 W
d) P

D

D

AS

PS

PVS

800 W 66;7 W D 733;3 W;

P

D

D

AW

PW

PVW

1200 W 150 W D 1050 W

Aufgabe 4.8

Ein Generator hat eine Leerlaufspannung U D

D
q

24 V und einen Kurzschlussstrom IK

3 A. Die zulässige innere Verlustleistung beträgt P D

V

2 W.

a) Wie groß ist der Innenwiderstand Ri des Generators?

b) Wie groß darf der Strom I durch eine angeschlossene Last maximal werden um den

Generator nicht zu überlasten? Welche Spannung URi fällt dann am Innenwiderstand
ab?

c) Wie groß muss der Lastwiderstand RL mindestens sein, damit der zulässige Strom
nicht überschritten wird? Wie groß ist dann die in der Last umgesetzte Leistung PL?

Lösung

Das Ersatzschaltbild des Generators zeigt Abb. 4.6.

a) R D Uq D 24 V D
i

8

IK

3 A
q
q
b) P D

)

D

PV D

2 W D

V

I 2max Ri

Imax

0;5 A

Ri

8

U D

D

Ri

Imax Ri

0;5 A 8 D 4 V
c) I

D Uq

)

D Uq

D 24 V
max

R

R

8 D 40

R

L
i; RL
iCRL

Imax

0;5 A

P D

D

L

I 2max RL

.0;25 A/2 40 D 10 W

Aufgabe 4.9

Ein Generator mit der Quellspannung Uq und dem Innenwiderstand Ri stellt für einen

Verbraucher mit dem Widerstand R

D
a eine Nennleistung von PN

40 kW zur Verfügung.

4.2

Die belastete Gleichspannungsquelle

151

Dies entspricht einem Wirkungsgrad von D 95 %. Die Leerlaufspannung der Quelle
beträgt U D

L

250 V.

a) Welche Klemmenspannung Ua stellt sich ein?

b) Wie groß ist der bei Belastung fließende Strom I ?

c) Wie groß sind Ri und Ra?

d) Welche Leistung P würde bei Leistungsanpassung in Ra umgesetzt und wie groß ist
dann der Wirkungsgrad ?

Lösung
a) U D

a

Uq D UL D 250 V 0;95 D 237;5 V
b) I D PN D 40 kW D 168;4 A

Ua

237;5 V
c) R D Ua D 237;5 V D
a

1;41

I

168;4 A

R D UqUa D 250 V237;5 V D 12;5 V D
i

0;0742 D 74;2 m

I

168;4 A

168;4 A
d) Leistungsanpassung liegt vor bei R D
a

Ri.

I D Uq D 250 V

D 1685 A

2Ri

274;2 m

P D R

D

Z

I 2 Ra

D
a

I 2 D 210;7 kW; D Pa

0;5

P

Z

I 2 .RaCRi/

Aufgabe 4.10

Die Messung der Klemmenspannung einer Spannungsquelle mit Hilfe eines Vielfachmes-
sers (der Innenwiderstand des Messgerätes im benutzten Messbereich ist R D

V

20 k)

ergab einen Wert von U D

1

10 V. Durch Parallelschalten eines Widerstandes von R D

5 k zu den Klemmen der Spannungsquelle sank die Spannung auf U D

2

8 V.

a) Wie groß sind Quellenspannung Uq, Innenwiderstand Ri und Kurzschlussstrom IK der

Spannungsquelle, wenn diese eine lineare U -I -Kennlinie hat?

b) Geben Sie allgemein die Gleichung der U -I -Kennlinie an. Zeichnen Sie den Verlauf
der Klemmenspannung UL als Funktion des Laststromes IL.

Lösung
a) Der Innenwiderstand einer Spannungsquelle kann durch die Messung der Spannungen
und Ströme von zwei beliebigen Lastfällen ermittelt werden. Da die U -I -Kennlinie
linear ist, ergibt sich der Innenwiderstand als Verhältnis einer Spannungsdifferenz zur
zugehörigen Stromdifferenz.

Erster Lastfall: Die Spannungsquelle wird nur durch den Innenwiderstand des Mess-
gerätes belastet.

I D U1 D 10 V D

1

0;5 mA

RV

20 k

152

4

Gleichspannungsquellen

Abb. 4.7 Verlauf der Klem-
menspannung als Funktion des

Laststromes

Zweiter Lastfall: Die Spannungsquelle wird durch den Innenwiderstand des Messge-
rätes und dem hierzu parallel liegenden Widerstand R belastet.

I D

U2

D U2 D 8 V .20 k C 5 k/ D

2

2 mA

R k

RVR

V R

20 k 5 k

RVCR

R D U D

2 V

D
i

1;333 kI

I

1;5 mA

U D

C

D
q

Ri I1

U1

1;333 k 0;5 mA C 10 V D 10;67 V

I D Uq D 10;67 V D

K

8 mA

Ri

1333
b) Die allgemeine Gleichung der U -I -Kennlinie ist U D

C

L

Ri IL

Uq.

Den Verlauf der U -I -Kennlinie zeigt Abb. 4.7.

Aufgabe 4.11

Die U -I -Kennlinie einer Spannungsquelle kann näherungsweise durch den Ausdruck

U D U

D
q
k I 2
mit

Uq

10 V und k D 1 V=A2
dargestellt werden.

a) Wie groß sind Leerlaufspannung U0 und Kurzschlussstrom IK der Quelle?

b) Welcher Arbeitspunkt mit I D IAP und U D UAP stellt sich ein, wenn an diese Quelle
ein Lastwiderstand R D

L

10 geschaltet wird (analytische und grafische Lösung)?

c) Welche Leistung PL wird im Lastwiderstand umgesetzt und welche Leistung Pi geht
in der Quelle verloren?

d) Wie groß ist der Wirkungsgrad für diesen Lastfall?

4.2

Die belastete Gleichspannungsquelle

153

Abb. 4.8 Spannungsquelle
mit stromabhängigem Innen-
widerstand

Lösung

Die Schaltung der Spannungsquelle ist in Abb. 4.8 dargestellt.

U D U

D 1I

D

0
für

RL

I D IK für RL

0

U D U

D

AP
und

I D IAP für RL

10
a) Die Leerlaufspannung ist U D U D

D

0

Uq

10 V.

Bei Kurzschluss ist die Spannung
rUq

U D 0 V ) 0 D U

I

D

D
q
k I 2K

IK

3;16 A
k
b) Analytische Lösung

Maschengleichung:

V

U

D

D
q

RL IAP
k I 2AP

0I

10 V 10 IAP

1

I 2

0

A2

AP

I 2 C

AP

10 IAP

10 D 0

Lösung der quadratischen Gleichung:

p

10 ˙ 102 C 4 10

I

D

I

D

AP1;2

IAP

0;916 A

2

Der zweite Wert ist negativ und entfällt.

U

D

D

AP

RL IAP

9;16 V

Grafische Lösung

Mit U D U
q
k I 2 kann folgende Wertetabelle aufgestellt werden:

I /A

0

0,5

1

2

3

U /V

10

9,75

9

6

1

Die Punkte der Wertetabelle werden in eine U D f .I /-Darstellung (Spannung in Ab-
hängigkeit des Stromes) eingetragen und durch Geradenstücke verbunden (Abb. 4.9).

154

4

Gleichspannungsquellen

Abb. 4.9 Grafische Er-
mittlung der Werte des

Arbeitspunktes

Man erhält die (stückweise linear angenäherte) nichtlineare U -I -Kennlinie der Span-
nungsquelle. Zusätzlich wird die Gerade U D R

L

I eingetragen. Der Schnittpunkt
beider Kurven ergibt den Arbeitspunkt. Die Werte von UAP und IAP können jetzt auf
den Koordinatenachsen abgelesen werden.

c) Leistung im Lastwiderstand: P D

D

L

UAP IAP

9;16 V 0;916 A D 8;39 W

Der Spannungsabfall am Innenwiderstand R

D

i ist Ui

1 V .0;916 A/2 D 0;839 V.

A2

Verlustleistung innerhalb der Quelle: P D

D
i

Ui IAP

0;839 V 0;916 A D 0;77 W.

d) D Pab ; mit P D P

D P C P

P
ab

L und Pzu

L
i folgt D

8;39 W
zu

8;39 WC0;77 W

D 0;92 oder D 92 %.

4.3

Ersatzspannungsquelle, Ersatzstromquelle

Aufgabe 4.12

Wandeln Sie die Schaltung in Abb. 4.10 in eine bezüglich der Klemmen A und B äquiva-
lente Spannungsquelle um.

Lösung

Zur Bestimmung von Ri wird die Stromquelle geöffnet (deaktiviert, herausgenommen).

Der linke Anschluss von R1 in Abb. 4.10 ist dann offen (R1 ist unwirksam). In die Klem-

Abb. 4.10 Umwandlung einer

Stromquelle in eine äquivalen-
te Spannungsquelle

4.3

Ersatzspannungsquelle, Ersatzstromquelle

155
men A und B hinein sieht man nur noch die Parallelschaltung von R2 und R3 als wirksame

Widerstände. Somit ist:

R

R

R D R2

3 I

D

D

R2

3
i

U

I

Ri

I

R C

0

0

0

C

2

R3

R2

R3

Die zur Stromquelle in Abb. 4.10 äquivalente Spannungsquelle zeigt Abb. 4.11.

Aufgabe 4.13

Von einem linearen Netzwerk sind bezogen auf die Klemmen A und B der Innenwider-
stand Ri und die Leerlaufspannung UAB0 gesucht. Hierzu werden mit der angegebenen

Messschaltung (Abb. 4.12) zwei Messungen mit unterschiedlichen Lastwiderständen RL
durchgeführt. Die Messwerte sind für

R D

D

L

2 W I D 40 A; U D 80 V und für RL

23 W I D 5 A; U D 115 V:

Lösung

Jedes lineare Netzwerk mit beliebig vielen Quellen und Widerständen lässt sich durch
eine Ersatzspannungsquelle darstellen. Die zwei Messungen liefern zwei Punkte der

Strom-Spannungs-Kennlinie der Ersatzspannungsquelle. Im vorliegenden Fall sind dies
die Punkte (40 A, 80 V) und (5 A, 115 V). Durch diese beiden Punkte ist die Kennlinie,
die wegen der Linearität des Netzwerkes eine Gerade ist, festgelegt. Die charakteristi-
schen Größen der Ersatzspannungsquelle sind Leerlaufspannung, Kurzschlussstrom und

Innenwiderstand. Sie können aus der Kennlinie abgeleitet werden. Durch zwei dieser drei

Größen ist die Ersatzspannungsquelle eindeutig beschrieben. Die Ersatzspannungsquelle
zeigt Abb. 4.13.

Der Innenwiderstand Ri entspricht der Steigung der Kennlinie.

ˇˇ ˇ ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

U ˇ

ˇU U ˇ ˇ115 V 80 VŘ D ˇ

ˇ

ˇ 2

1 ˇ

ˇ

ˇ
i

ˇ I Ď ˇ I Ď ˇ

Ď 1

2

I1

5 A 40 A

Abb. 4.11 Äquivalente Span-
nungsquelle

Abb. 4.12 Messungen an li-
nearem Netzwerk

156

4

Gleichspannungsquellen

Abb. 4.13 Ersatzspannungs-
quelle des linearen Netzwerkes

Die Leerlaufspannung wird aus der Geradengleichung U D

L

Ri I C UAB0 bzw.

U

D

C

AB0

UL

Ri I
ermittelt.

U

D

D

AB0

115 V C 1 5 A D 120 V oder UAB0

80 V C 1 40 A D 120 V

Der Kurzschlussstrom ist I D UAB0 D

K

120 A.

Ri

Aufgabe 4.14
a) Wandeln Sie das Netzwerk in Abb. 4.14 bezüglich der Klemmen A und B in eine

Ersatzstromquelle um.

b) Wie groß ist der Strom I

D

5 für R5

0 ?

Gegeben: U D

D

D

D

D

D
q1

24 V, Uq2

20 V, R1

1 , R2

2 , R3

30 , R4

40

Lösung
a) Jedes aktive lineare Netzwerk lässt sich bezüglich zweier beliebiger Klemmen durch
eine Ersatzspannungs- oder Ersatzstromquelle nachbilden. Bezüglich der Klemmen
verhalten sich beide Ersatzschaltungen genauso wie das ursprüngliche Netzwerk. Ob
man eine Ersatzspannungs- oder Ersatzstromquelle verwendet, hängt von der jeweils
vorliegenden Aufgabenstellung ab. Die Daten der Ersatzquellen können aus zwei
der drei Größen Leerlaufspannung, Kurzschlussstrom und Innenwiderstand abgeleitet
werden.

Der Innenwiderstand ist häufig am einfachsten zu bestimmen. Von den Klemmen A
und B aus schauen wir in das Netzwerk hinein und denken uns Spannungsquellen

Abb. 4.14 Umwandlung in
eine Ersatzstromquelle

4.3

Ersatzspannungsquelle, Ersatzstromquelle

157
kurzgeschlossen und Stromquellen unterbrochen (herausgenommen). Der Widerstand,
den man dann sieht, ist der Innenwiderstand.

Für das gegebene Netzwerk folgt:

R D
k

C
k I
i

R1 R3

R2 R4

R D R1R3 C R2R4

D
i

0;968 C 1;905 D 2;873

R C

C

1

R3

R2

R4

Jetzt muss entweder die Leerlaufspannung oder der Leerlaufstrom bestimmt werden.

Hier ist es günstiger, die Leerlaufspannung UAB0 zwischen den Klemmen A und B zu
bestimmen (R5 denkt man sich als nicht vorhanden). Die Spannung UAB0 ergibt sich
aus den Spannungsabfällen an R3 und R4, die sich ihrerseits mit der Spannungsteiler-
regel berechnen lassen.

U

D

C

D

R3

C

R4

AB0

UR3

UR4

Uq1

Uq

R C

2

C

1

R3

R2

R4

U

D

C

D

AB0

24 V 30

20 V 40

4;18 V

31

42

Die Ersatzspannungsquelle wird jetzt in die gesuchte Ersatzstromquelle umgewandelt.

Der Innenwiderstand bleibt gleich, die Stromquelle hat den Wert

I

D UAB0 D

AB0

1;46 A:

Ri

Abb. 4.15 zeigt die Ersatzstromquelle.

b) R D

5

0 bedeutet, zwischen den Klemmen A und B ist ein Kurzschluss. Es fließt der

Kurzschlussstrom I D

D

5

IAB0

1;46 A.

Aufgabe 4.15

Gegeben ist das Netzwerk in Abb. 4.16.

Bezogen auf die Klemmen A, B sind gesucht: Leerlaufspannung UL, Kurzschluss-
strom IK, Innenwiderstand Ri.

Abb. 4.15 Ersatzstromquelle
zum Netzwerk in Abb. 4.14

158

4

Gleichspannungsquellen

Abb. 4.16 Netzwerk zur

Bestimmung der Daten der

Ersatzspannungsquelle

Lösung

Zur Bestimmung von Ri werden alle Spannungsquellen kurzgeschlossen und alle Strom-
quellen weggelassen. Zwischen den Klemmen „sieht“ man dann Ri (Abb. 4.17).

R

R D

D
k

C

I

D R1

2 C
i

RAB

R1 R2

R3

Ri

R

R C

3

1

R2

Jetzt wird die Leerlaufspannung UL bestimmt. Da durch R3 kein Strom fließt, fällt an
ihm auch keine Spannung ab. Das Potenzial am linken Anschluss von R3 ist gleich dem

Potenzial am rechten Anschluss. R3 kann also durch einen Kurzschluss ersetzt werden

(Abb. 4.18).

Man sollte hier nicht sagen: R3 kann weggelassen werden. Nimmt man R3 aus dem

Netzwerk heraus (dies versteht man meist unter „weglassen“), so ist der Anschlusspunkt A
plötzlich ohne Verbindung zum restlichen Netzwerk.

Nach der Spannungsteilerregel ist:

U D

R2

L

U0

:

R C

1

R2

Abb. 4.17 Zur Bestimmung
des Innenwiderstandes

Abb. 4.18 R3 ist ohne Funktion

4.3

Ersatzspannungsquelle, Ersatzstromquelle

159

Abb. 4.19 Ersatzspannungs-
quelle für das Netzwerk in

Abb. 4.16

Der Kurzschlussstrom IK ist:

U R2

0

I D UL D

R1CR2

D

R2

K

U

:

R

R

0

C

C
i

1R2

C R

R

R

R

.R

R

R

3

1

2

3

1

2/

1CR2

Das Netzwerk in Abb. 4.16 kann bezüglich der Klemmen A, B durch die Ersatzspan-
nungsquelle nach Abb. 4.19 mit den berechneten Werten von Ri und UL ersetzt werden.

Aufgabe 4.16

Wie groß muss in Abb. 4.20 der Lastwiderstand RL gewählt werden, damit die Spannung

U D 1

L

U

3

0 beträgt?

Gegeben: U D

D

D

D

D

0

24 V, R0

20 , R1

10 , R2

10 , R3

60

Lösung

Die Lösung erfolgt mit dem Verfahren der Ersatzspannungsquelle. Der Innenwiderstand
des Netzwerkes bezüglich den Anschlüssen von RL wird bestimmt, indem man an den
beiden Klemmen von RL in das Netzwerk hinein sieht, wobei die Spannungsquelle U0 als
kurzgeschlossen betrachtet wird.

R D

C

C

I
i

R2

.R0

R1/ kR3

C R

R D

C .R0

1/ R3 D
i

R2

10 C 30 60 D 30

R C

C

0

R1

R3

90

Die Leerlaufspannung wird nach der Spannungsteilerregel berechnet.

R

U

D

3

D

D

L0

U0

24 V 60

16 V

R C

C

0

R1

R3

90

Das Bild der Ersatzspannungsquelle zeigt Abb. 4.21.

Abb. 4.20 Der Lastwider-
stand ist für ein bestimmtes UL
zu bestimmen

160

4

Gleichspannungsquellen

Abb. 4.21 Ersatzspannungs-
quelle für das Netzwerk nach

Abb. 4.20

UL soll durch das Anschließen des Widerstandes RL ein Drittel von U0 betragen. Die

Spannungsteilerregel liefert U D

RL

D 1

L

UL0

U

R

0. Diese Gleichung wird nach RL
iCRL

3
aufgelöst.

3R

D

C

I

D

U0Ri

LUL0

U0 .Ri

RL/ I

RL .3 UL0

U0/ D U0Ri

RL

3 U

L0

U0

R D

24 V 30 I

D

L

RL

30

3 16 V 24 V

Aufgabe 4.17

Ersetzen Sie die gegebenen Zusammenschaltungen a) und b) aktiver und passiver Elemen-
te in Abb. 4.22 durch eine Ersatzspannungsquelle c) zwischen den Klemmen A und B und
bestimmen Sie jeweils Uqers und Rers.

Gegeben: R D

D

D

D

D

D

1

R2

12 ; R3

R4

6 ; Uq1

24 V; Uq3

16 V

Lösung

Bei der Berechnung von Uqers wird jeweils die Spannungsteilerregel angewandt.

a)

R

R

D R1

3 D 12 6 D
ers

4 I

R C

1

R3

18

U

D

R3

D

D
qers

Uq1

24 V 6

8 V

R C

1

R3

18
b)

R

D

1

D

1

D
ers

4

1 C 1 C

1

1

C 1 C 1

R1

R2

R3CR4

12

12

12
k.R C R
kR

U

D

R2

3

4/

C

R1

2
qers

Uq1

Uq

R C
k

C

3

C

C
k

1

R2 .R3

R4/

R3

R4

R1 R2

R2.R3CR4/

R1R2

U

D

R2CR3CR4

C

R1CR2

I

D
qers

Uq1

Uq3

Uqers

2;67 V

R C R2.R3CR4/

C

C R1R2

1

R

R

R

3

4

2CR3CR4

R1CR2

Aufgabe 4.18

Berechnen Sie den Strom I4 in Abb. 4.23 unter Verwendung
a) einer Ersatzspannungsquelle
b) einer Ersatzstromquelle.

Gegeben: U D

D

D

D

D

D
q1

15 V; Uq2

40 V; R1

R3

25 ; R2

R4

15

4.3

Ersatzspannungsquelle, Ersatzstromquelle

161

Abb. 4.22 Umwandlung von Schaltungen in Ersatzspannungsquellen

Abb. 4.23 Zu berechnen ist I4

Abb. 4.24 Lösung mit Ersatz-
spannungsquelle

Lösung
a) Die Lösung zeigt Abb. 4.24.

C R

R

D .R1

2/ R3 D 40 25
ers

D 15;38

R C

C

1

R2

R3

65

R

R C R

U

D

3

1

2

I

D
qers

Uq1

Uq

Uqers

18;8 V

R C

C

2

C

C

1

R2

R3

R1

R2

R3

I D

Uqers

D 18;8 V D

4

0;62 A

R

C
ers

R4

30;38
b) Die Lösung ist in Abb. 4.25 dargestellt.

C R

R

D .R1

2/ R3 D 40 25
ers

D 15;38

R C

C

1

R2

R3

65

I

D

Uq1

Uq2 D 15 V 40 V D
qers

1;225 A

R C

1

R2

R3

40

25

I D

Rers

D

D

4

Iqers

1;225 A 15;38

0;62 A

R

C
ers

R4

30;38

Aufgabe 4.19

Berechnen Sie in Abb. 4.26 den Strom I6 unter Verwendung von Ersatzspannungsquellen.

Gegeben: U

D

D

D

D

D

D
q1

10 V; Uq2

20 V; Uq3

3 V; Uq4

6 V; R1

R2

2 ;

R D

D

D

D

3

3 ; R4

4 ; R5

6 ; R6

12

162

4

Gleichspannungsquellen

Abb. 4.25 Lösung mit Ersatz-
stromquelle

Lösung

Es werden zwei Ersatzspannungsquellen eingeführt (Abb. 4.27).

R

R

D R1

2

D
ers1

1

R C

1

R2

R

R

U

D

2

C

1

D
qers1

Uq1

Uq

15 V

R C

2

C

1

R2

R1

R2

R R

R

D

R3

4

5

D

3 4 6
ers2

D 4 D 1;33

R

C

C

3 R4

R3 R5

R4 R5

3 4 C 3 6 C 4 6

3

R kR

R kR

U

D

4

5

C

3

5

D
qers2

Uq3

Uq

3;33 V

R C
k

4

C
k

3

R4 R5

R4

R3 R5

Uqers2

I D

Uqers1

D

6

0;814 A

R

C

C
ers1

Rers2

R6

Aufgabe 4.20

Bestimmen Sie in Abb. 4.28 den Strom I4 unter Verwendung von Ersatzspannungsquellen.

Gegeben: U

D

D

D

D

D

D

D
q1

6 V; Uq2

32 V; R1

R3

6 ; R4

10 ; R2

R5

16 ;

R D

D

D

6

R7

R8

1

Lösung

Es wird eine Schaltung mit zwei Ersatzspannungsquellen eingeführt, die zu einer Ersatz-
spannungsquelle vereinfacht wird (Abb. 4.29).

R

R

R

D R1

3 C

D

D

3

D
ers1

R

4 I

Uqers1

Uq1

3 V

R C

6

C

1

R3

R1

R3

R

R

R

D R2

5 C

C

D

D

5

D
ers2

R

R

10 I

Uqers2

Uq2

16 V

R C

7

8

C

2

R5

R2

R5

Abb. 4.26 Zu berechnen ist I6

4.3

Ersatzspannungsquelle, Ersatzstromquelle

163

Abb. 4.27 Schaltung mit zwei

Ersatzspannungsquellen

Rers

R

D Rers1

2

D
ers

2;86

R

C
ers1

Rers2

Uqers1

3

U

D

C Uqers2

D

C 16
qers

Rers

A 2;86 D 6;72 V

Rers1

Rers2

4

10

I D

Uqers

D

6;72

4

A D 0;52 A

R

C
ers

R4

2;86 C 10

Aufgabe 4.21

Berechnen Sie I6 in Abb. 4.30 unter Verwendung von Ersatzspannungsquellen.

Lösung

Die Schaltung mit zwei Ersatzspannungsquellen zeigt Abb. 4.31.

R

Uq

R

D R1

2 I

D

1 C Uq2
ers1

Uqers

Rers1

R C

1

1

R2

R1

R2

R

C Uqers2

R

D R3

4 I

D Uq3

I

D

Uqers1
ers2

Uqers2

Rers2

I

R C

6

C

C

C

3

R4

R3

Rers1

Rers2

R5

R6

Aufgabe 4.22

Berechnen Sie I3 in Abb. 4.32 mit Hilfe von Ersatzspannungsquellen.

Gegeben: U

D

D

D

D

D

D
q1

10 V; Uq2

14 V; R1

700 ; R2

300 ; R3

51 ; R4

100 ; R D

D

5

200 ; R6

68

Abb. 4.28 Zu berechnen ist I4

Abb. 4.29 Schaltung mit

Ersatzspannungsquellen

164

4

Gleichspannungsquellen

Abb. 4.30 Zu berechnen ist I6

Abb. 4.31 Schaltung mit zwei

Ersatzspannungsquellen

Lösung

Die Schaltung in Abb. 4.32 wird entsprechend Abb. 4.33 umgewandelt.

R

200 68

R

D R5

6 C

D

C
ers1

R

100 D 150;75

R C

4

5

R6

268

R

U

D Uq2

5 D 14 200
qers1

V D 10;45 V

R C

5

R6

268

R

R

D R1
ers1

D 700 150;75
ers

D 124

R C

1

Rers1

850;75

U

D

Rers1

R1
qers

Uq1

Uqers1

R C

C

1

Rers1

R1

Rers1

D 10 V 0;177 10;45 V 0; 823 D 6;83 V

6;83 V

I D

Uqers

D

D

3

14;38 mA

R

C

C
ers

R2

R3

.124 C 300 C 51/

Abb. 4.32 Zu berechnen ist I3

Abb. 4.33 Schaltungen mit

Ersatzspannungsquelle

4.3

Ersatzspannungsquelle, Ersatzstromquelle

165

Abb. 4.34 Schaltung mit
nichtlinearem Widerstand

Abb. 4.35 Schaltung nach

Einführung einer Ersatzspan-
nungsquelle

Aufgabe 4.23

Berechnen Sie in der Schaltung nach Abb. 4.34 die Zweigströme I1, I2, I3.

Gegeben: U D K I 2; K D

D

D

D

3

5 V=A2; Uq

10 V; R1

3 ; R2

7

Lösung

Eine Umwandlung in eine Ersatzspannungsquelle ergibt (Abb. 4.35):

R

R

R

D R2

1

D

D

2

D
ers

2;1 I

Uqers

Uq

7 V

R C

C

2

R1

R1

R2

Maschengleichung:

I

C

D

I

C Rers

Uqers D

3 Rers

K I 23

Uqers

I 23

I

0

K

3

K

Lösen der quadratischen Gleichung von I3:

q
p

R

2
ers ˙

Rers

C 4Uqers

2;1 ˙ 0;1764 C 5;6

I

D

K

K

K

I

D

5

3 1;2

I

A

2

3 1;2

2

Der negative Wert entfällt. I D

3

0;992 A

5 V 0;9922 A2

I D U D K I 23 D

A2

D

D

C

D

2

0;703 AI

I

I

I

1;695 A

R

1

2

3

2

R2

7

Aufgabe 4.24

In der Schaltung nach Abb. 4.36 ist I3 zu bestimmen.

Gegeben: R D

D

D

D

D

D

1

1 , R2

2 , R3

3 , R4

4 , R5

5 , U1

1 V,

U D

D

D

2

2 V, U3

3 V, U4

4 V

166

4

Gleichspannungsquellen

Abb. 4.36 Zu berechnen ist I3

Abb. 4.37 Erste Ersatzspan-
nungsquelle

Abb. 4.38 Zweite Ersatzspan-
nungsquelle

Lösung

Die erste Ersatzspannungsquelle zeigt Abb. 4.37.

R

R

D R1

2

D 2

D

R2

D 2
ers1

I

Uers1

U

V

R C

1

C

1

R2

3

R1

R2

3

Die zweite Ersatzspannungsquelle zeigt Abb. 4.38.

2

1

R

D

C

C

D

D

D 4
ers2

R3

R4

Rers1

7 I

Uers2

Uers1

U

V D 1 V

3

2

3

3

3 V 1 1 V

I D

C I

D

3

D

3

I1

I2

I1

0;217 AI

7 2

3

I D 3 V C 4 V D

D

2

1;4 AI

I

1;617 A

5

3

Aufgabe 4.25

In der Schaltung nach Abb. 4.39 ist I4 zu bestimmen.

Gegeben: R D

D

D

D

D

D

D

1

1 , R2

2 , R3

3 , R4

4 , U2

2 V, U3

1 V, I1

1 A

Lösung

Die Stromquelle wird in eine Spannungsquelle umgewandelt (Abb. 4.40).

U1 und U3 heben sich auf, somit bleibt die Schaltung in Abb. 4.41 übrig.

R

D

C

D

D

U2

D

2 V

D
ers

R1

R2

3 I

I4

0;364 A

R C
k

4

Rers R3

4 C 1;5

4.3

Ersatzspannungsquelle, Ersatzstromquelle

167

Abb. 4.39 Zu berechnen ist I4

Abb. 4.40 Stromquelle
umgewandelt in eine Span-
nungsquelle

Abb. 4.41 Verbleibende

Schaltung

Aufgabe 4.26
a) Das Netzwerk links von den Klemmen A und B in Abb. 4.42 soll als Ersatzspannungs-
quelle dargestellt werden.

b) Welche Leistung wird im Lastwiderstand RL umgesetzt?

c) Wie müsste RL gewählt werden, damit die in ihm umgesetzte Leistung maximal wird?

Wie groß ist die Leistung in diesem Fall?

Gegeben: U

D

D

D

D

D

D
q1

10 V, Iq2

2 A, R1

2 , R2

0;5 , R3

3 , R4

6 ,

R D

L

4

Abb. 4.42 Umzuwandelndes

Netzwerk

168

4

Gleichspannungsquellen

Abb. 4.43 Zur Ermittlung der

Leerlaufspannung

Abb. 4.44 Zusammenfassung
der Stromquellen

Lösung
a) Der Innenwiderstand Ri der Ersatzspannungsquelle mit den Klemmen A und B wird
bestimmt, indem zunächst alle Spannungsquellen im Netzwerk kurzgeschlossen und
alle Stromquellen aufgetrennt werden. Anschließend schaut man von den Klemmen

A und B in das Netzwerk hinein und ermittelt den Widerstand, den man von dort aus
sieht.

C .R C R

R D
k
k

C

D
k R1R2

1

2/ R3 I
i

R4 .R1 R2

R3/I

Ri

R4

R C

1

R2

R D

D
i

6 k3;4 I

Ri

2;17

Nun soll die Leerlaufspannung UAB0 bestimmt werden. Hierzu wird die Spannungs-
quelle Uq1 in eine Stromquelle umgewandelt, RL entfällt (Leerlauf). Man erhält das

Netzwerk in Abb. 4.43.

I D Uq1 D
q1

5 A

R1

Die beiden parallel liegenden Stromquellen werden zusammengefasst (Abb. 4.44).

R

I

D

C

D

D R1

2

D
q12

Iq1

Iq2

7 AI

R12

0;4

R C

1

R2

Das Ergebnis wird wieder in eine Spannungsquelle umgewandelt (Abb. 4.45).

U

D

D
q12

Iq12 R12

2;8 V

U

D

R4

D

AB0 ist nach der Spannungsteilerregel UAB0

Uq12

. U

1;79 V

R

AB0

12CR3CR4

Es folgt die Darstellung des ursprünglichen Netzwerkes mit der Ersatzspannungsquel-
le (Abb. 4.46).

4.3

Ersatzspannungsquelle, Ersatzstromquelle

169

Abb. 4.45 Umwandlung in
eine Spannungsquelle

Abb. 4.46 Netzwerk nach

Abb. 4.42 mit Ersatzspan-
nungsquelle

Abb. 4.47 Umzuwandelndes

Netzwerk
b) Am Lastwiderstand fällt folgende Spannung ab:

U

D

RL

D

D

AB

UAB0

1;79 V 4

1;16 V

R C
i

RL

6;17

An R

D U2AB D

L entsteht die Leistung: PL

0;34 W

RL
c) RL müsste gleich dem Innenwiderstand Ri gewählt werden, damit Leistungsanpassung
vorliegt. Die Klemmenspannung UAB ist in diesem Fall die Hälfte von UAB0. Die an RL
verbrauchte Leistung ist dann P

D . 1;79V

2

/2 D

Lmax

0;37 W.

2;17

Aufgabe 4.27
a) Wandeln Sie die Schaltung mit dem Lastwiderstand RL in Abb. 4.47 in eine Schaltung
mit einer Ersatzspannungsquelle um. Wie groß ist der Strom IL?

Gegeben: R D

D

D

D

1

R2

100 , RL

10 , Iq

120 mA
b) Der Widerstand RL wird durch einen nichtlinearen Widerstand Ra ausgetauscht. Der

Zusammenhang zwischen Spannung Ua und Strom Ia an diesem Bauelement wird
durch eine quadratische Funktion beschrieben:

U D
a
k I 2
mit
k D
a

312;5 =A:

Berechnen Sie U

D

D

D
a und Ia für den Fall R1

R2

100 und Iq

120 mA.

170

4

Gleichspannungsquellen

Abb. 4.48 Umgewandelte

Schaltung mit Ersatzspan-
nungsquelle

Lösung
a) Den Innenwiderstand Ri der Schaltung mit Ersatzspannungsquelle erhält man, wenn
man die Stromquelle herauslöst und von den Klemmen am Ausgang (an die RL ange-
schlossen ist) in das Netzwerk „hineinschaut“ (ohne RL!). Wir erhalten:

R D
k

D
i

R1 R2

50 :

Die Spannung der Ersatzspannungsquelle ist die Spannung am Ausgang, an die der

Lastwiderstand RL angeschlossen ist.

U D

D

k

D
q

UL

Iq R1 R2

120 mA 50 D 6 V

Die Schaltung mit Ersatzspannungsquelle zeigt Abb. 4.48.

Der Strom IL ist:

I D

Uq

D

6 V

D

L

100 mA:

R C
i

RL

50 C 10
b) Es werden IL durch Ia und UL durch Ua ersetzt. Die Maschenregel ergibt nach

Abb. 4.48:

U D

C
q

Ia Ri

Ua:

Der Spannungsabfall Ua am nichtlinearen Widerstand Ra wird durch das gegebene

Verhalten zwischen Strom Ia und Spannung Ua ersetzt.

U D

C
q

Ia Ri
k I 2a

Durch Umstellen wird die quadratische Gleichung für den Strom ersichtlich.

I 2 C Ri

Uq D
a

Ia

0
k
k
r

R

2
s
i ˙

Ri

4 Uq

k
k
k

R

2
i

I

D

I

D Ri ˙

C Uq
a1;2

Ia

2

1;2

2 k

2 k
k
s

50 A

50 A

2

I

D

˙

C 6 VAA I

D
a1;2

Ia

0;08 A

2 312;5

2 312;5

312;5 V

1

4.4

Kurzschlussstrom

171

I D
a2

0;24 A stimmt nicht mit dem Erzeugerzählpfeilsystem überein und entfällt.

Mit dem Stromwert Ia1 folgt aus dem nichtlinearen Zusammenhang zwischen Span-
nung und Strom:

U D

D

a
k I 2a

312;5

.0;08 A/2 D 2;0 V

A

4.4

Kurzschlussstrom

Aufgabe 4.28

Was versteht man unter einem Kurzschlussstrom?

Lösung

Kurzschluss bedeutet, die Anschlussklemmen einer Quelle sind unendlich gut leitend
miteinander verbunden. Der Lastwiderstand ist null: R

D

L

0 . Somit ist nach dem
ohmschen Gesetz U D

D

D

K

RL IK

0 IK

0 V die Spannung zwischen den beiden

Klemmen null. Dies gilt unabhängig vom Strom IK (Kurzschlussstrom), der durch die

Klemmen fließt. Eine ideale Spannungsquelle besitzt den Innenwiderstand R D
i

0, der

Kurzschlussstrom würde somit unendlich groß werden. Eine reale Spannungsquelle hat
einen Innenwiderstand R

D
i > 0, der Kurzschlussstrom ist dann IK

U0=Ri.

I D

D

D

K

Kurzschlussstrom, U0

Quellenspannung, Ri

Innenwiderstand der Span-
nungsquelle

Aufgabe 4.29

Welchen Strom I

D

K würde ein Bleiakkumulator mit der Leerlaufspannung UL

4 V und
dem Innenwiderstand R D
i

0;05 bei vollständigem (idealen) Kurzschluss liefern?

Lösung

I D UL D 4 V D

K

80 A

Ri

0;05

Aufgabe 4.30

Berechnen Sie in der Schaltung nach Abb. 4.49 den Innenwiderstand Ri, die Leerlauf-
spannung UAB0 und den Kurzschlussstrom IABK bezüglich der Klemmen A und B. Wie
groß ist der Strom IL?

Gegeben: R D

D

D

D

D

D

1

50 , R2

40 , R3

60 , RL

70 , U1

10;0 V, U2

5;0 V

Lösung

Zur Bestimmung von Ri werden die Spannungsquellen kurzgeschlossen. Der Widerstand,
den man dann zwischen den Klemmen A und B „sieht“, ist Ri.

R D
i

50 C 40 C 60 D 150

172

4

Gleichspannungsquellen

Abb. 4.49 Zu berechnende

Schaltung

Die Leerlaufspannung bei nicht angeschlossenem RL ist:

U

D

D

AB0

U1

U2

10;0 V 5;0 V D 5;0 V

Kurzschlussstrom:

I

D UAB0 D 5;0 V D

ABK

33;3 mA

Ri

150

Strom durch RL:

I D

UAB0

D

5;0 V

D

L

22;7 mA

R C
i

RL

150 C 70

Aufgabe 4.31

Gegeben ist die Schaltung in Abb. 4.50 mit den Werten: U D

D

D

D
q

12 V, R1

R2

R3

3 , R D

D

4

R5

8 .

a) Berechnen Sie die Spannung UAB zwischen den Klemmen A und B.

b) Die beiden Klemmen A und B werden jetzt kurzgeschlossen. Wie groß ist der Kurz-
schlussstrom IABK?

c) Bestimmen Sie die Quellenspannung U0 und den Innenwiderstand Ri einer Ersatz-
spannungsquelle, die sich bezüglich der Klemmen A, B genauso verhält, wie die ge-
gebene Schaltung.

Lösung
a) Spannungsteiler:

kR

U

D

R4

5

D

D

AB

Uq

12 V 4

4;8 V

R C
k

C

2

R4 R5

R3

10

Abb. 4.50 Zur Berechnung
des Kurzschlussstromes

4.4

Kurzschlussstrom

173

R1 geht nicht in das Ergebnis ein, weil er parallel zur idealen Spannungsquelle Uq
liegt.

b) R4 und R5 werden durch den Kurzschluss ersetzt. Durch den Kurzschluss fließt der

Strom, der auch durch R2 und R3 fließt.

I

D

Uq

D 12 V D

ABK

2 A

R C

2

R3

6
c) Zur Bestimmung von Ri wird Uq (und somit R1) kurzgeschlossen.

Der Widerstand zwischen den Klemmen A, B ist Ri.

R D

C
k
i

.R2

R3/ k .R4 R5/ D 6 k4 D 2;4

U

D

D

0 entspricht der Leerlaufspannung UAB. U0

UAB

4;8 V

Aufgabe 4.32

An die Klemmen A und B der Schaltung in Abb. 4.51 ist ein nichtlinearer Lastwiderstand

RL mit einer I -U -Kennlinie nach Abb. 4.52 angeschlossen.

a) Wie groß ist der Kurzschlussstrom IABK zwischen den Klemmen A und B?

b) Bestimmen Sie grafisch mit Hilfe einer Ersatzspannungsquelle die Werte IL und UL
der Schaltung im Arbeitspunkt AP.

Gegeben: U D

D

D

D

D
q

150 V, R1

R2

R3

18 k, R4

4 k.

Abb. 4.51 Schaltung mit
nichtlinearem Lastwiderstand

Abb. 4.52 Kennlinie des
nichtlinearen Lastwiderstandes

174

4

Gleichspannungsquellen

Lösung
a) Der Kurzschlussstrom IABK fließt durch R4. Die Spannung an R4 ist:

kR kR

94

U

D

R2

3

4

D

9C4

D

R4

Uq

150 V

20 V:

R C
k k

1

R2 R3 R4

18 C 94

9C4

I

D UR4 D 20 V D

ABK

5 mA

R4

4 k
b) Der Innenwiderstand der Ersatzspannungsquelle ist:

R D

C
k k

D
i

R4

R1 R2 R3

10 k:

Die Leerlaufspannung der Ersatzspannungsquelle ist:

kR

U D

R2

3

D

D

0

Uq

150 V 9

50 V:

R C
k

1

R2 R3

27

Der Kurzschlussstrom der Ersatzspannungsquelle ist:

I D U0 D 50 V D

K

5 mA:

Ri

10 k

Dieses Ergebnis muss natürlich mit dem Ergebnis der Teilaufgabe a) übereinstimmen.

Die Kennlinie der Ersatzspannungsquelle ist durch die beiden Punkte .0I 5 mA/ und

.50 VI 0/ festgelegt und wird in das Diagramm des nichtlinearen Lastwiderstandes als

Gerade eingezeichnet. Der Schnittpunkt beider Kennlinien ist der Arbeitspunkt AP der

Schaltung. In diesem Punkt kann auf der Abszisse U D

L

30 V und auf der Ordinate

I D

L

2 mA abgelesen werden (Abb. 4.53).

Abb. 4.53 Kennlinie der

Ersatzspannungsquelle und
grafische Bestimmung des

Arbeitspunktes

4.5

Spannungs-, Strom-, Leistungsanpassung

175

4.5

Spannungs-, Strom-, Leistungsanpassung

Aufgabe 4.33

Was versteht man unter einer Spannungsanpassung? Welcher Zusammenhang besteht
zwischen dem Innenwiderstand Ri der Spannungsquelle und dem Widerstand RL des Ver-
brauchers bei Spannungsanpassung?

Lösung

Bei einer Spannungsanpassung soll ein Maximum der Spannung, die von einer Span-
nungsquelle abgegeben werden kann, zu einem Verbraucher übertragen werden. Damit

Spannungsanpassung vorliegt, muss der Lastwiderstand RL sehr viel größer als der In-
nenwiderstand R

i der Spannungsquelle sein: RL

Ri. Anders gesagt: Der Innenwider-
stand der Spannungsquelle muss sehr viel kleiner als der Widerstand des angeschlossenen

Verbrauchers sein. Wegen des kleinen Innenwiderstandes bleibt der Spannungsabfall am

Innenwiderstand der Quelle auch bei großen Lastströmen klein, die Spannung am Ver-
braucher bleibt auch bei Lastschwankungen fast konstant. Bei Spannungsanpassung ar-
beitet eine Schaltung im Leerlaufbereich der Spannungsquelle. Die Spannungsanpassung
hat einen hohen Wirkungsgrad, da die Verlustleistung am Innenwiderstand null oder sehr
klein ist. – Am Stromversorgungsnetz angeschlossene Geräte werden z. B. mit Spannungs-
anpassung betrieben. Auch die Spannungsversorgung elektronischer Schaltungen soll im

Bereich der Spannungsanpassung arbeiten, da sonst bei Lastschwankungen die Versor-
gungsspannung unerlaubt klein werden kann.

Aufgabe 4.34

Was versteht man unter einer Stromanpassung? Welcher Zusammenhang besteht zwischen
dem Innenwiderstand Ri der Spannungsquelle und dem Widerstand RL des Verbrauchers
bei Stromanpassung?

Lösung

Eine Spannungsquelle liefert den maximalen Strom, wenn der Lastwiderstand RL sehr
viel kleiner als der Innenwiderstand R

i der Spannungsquelle ist: RL

Ri. Bei einer

Stromanpassung ist der Lastwiderstand nur ein kleiner Teil des gesamten Widerstandes
im Stromkreis. Der Strom durch die Last bleibt fast konstant, wenn sich der Lastwider-
stand ändert. Man erhält einen eingeprägten Strom durch die Last, der unabhängig vom

Lastwiderstand ist (wie bei einer Konstantstromquelle). Die Stromanpassung hat einen
schlechten Wirkungsgrad. – Das Laden von Akkumulatoren erfolgt z. B. mit Stromanpas-
sung (Konstantstrom). Stromanpassung wird auch in der Messtechnik verwendet, wenn
die Messsignale von Widerstandsänderungen in der Übertragungsstrecke unabhängig sein
sollen. Ein weiteres Anwendungsbeispiel ist die Stromsteuerung von Transistoren.

176

4

Gleichspannungsquellen

Abb. 4.54 Reale Stromquelle
mit Lastwiderstand

Aufgabe 4.35
a) Was versteht man unter einer Leistungsanpassung?

b) Wie groß ist der Wirkungsgrad bei der Leistungsanpassung?

c) Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Innenwiderstand Ri der Spannungs-
quelle und dem Widerstand RL des Verbrauchers bei Leistungsanpassung?

Lösung
a) Bei Leistungsanpassung gibt die Spannungsquelle die maximal lieferbare Leistung
an den Verbraucher ab. Lautsprecher werden z. B. unter Leistungsanpassung an Ver-
stärkerausgänge angeschlossen. Eine Antenne wird unter Leistungsanpassung an den

Eingang eines Empfängers angeschlossen.

b) D 0;5 bzw. D 50 %
c) Bei Leistungsanpassung ist R D
i

RL.

Aufgabe 4.36

An eine reale Stromquelle mit I D

D

0

2 A und dem Innenwiderstand Ri

50 ist ein

Lastwiderstand RL angeschlossen (Abb. 4.54).

Welchen Wert muss RL haben, damit er die größtmögliche Leistung verbraucht? Wie
groß ist dann diese Leistung?

Lösung

Die maximale Leistung wird von einer Quelle abgegeben, wenn die Werte von Lastwider-
stand und Innenwiderstand der Quelle gleich sind. R

D

L muss also den Wert RL

50
haben. Der Strom IRL durch RL ist nach der Stromteilerregel gleich 1 A. Die maximale

Leistung in R

D

D

L ist Pmax

I 2RL RL

.1 A/2 50 D 50 W.

Aufgabe 4.37

Ein komplexer Lastwiderstand Z ist an eine Wechselspannungsquelle mit dem Effek-

L
tivwert U0 der Quellenspannung und dem komplexen Innenwiderstand Z angeschlossen.

i

Beweisen Sie, dass Z konjugiert komplex zu
sein muss, damit
maximale Leistung

L

Zi

ZL
aufnimmt (Leistungsanpassung). Wie groß ist diese maximale Leistung Pmax?

Fertigen Sie eine Schaltplanskizze zu der Aufgabenstellung an.

Lösung

Die Schaltplanskizze zeigt Abb. 4.55.

4.5

Spannungs-, Strom-, Leistungsanpassung

177

Abb. 4.55 Wechselspan-
nungsquelle mit komplexem

Innenwiderstand und komple-
xem Lastwiderstand

Abb. 4.56 Wechselspan-
nungsquelle mit ohmsch-
kapazitivem Verbraucher

Der Strom I ist I D

U0

. Fließt durch einen Zweipol ein Strom mit dem Effektiv-

ZiCZL
wert I , so ist allgemein die Leistung (Wirkleistung) P D I 2 R. Damit folgt:

RL

P D

U 20

D

U 20
j

RL

Z C
j2
j

C

C

C
i

ZL

Ri

RL
j .Xi

XL/ j2

R

L

RL

P D

U 20
q

D

U 20

2

.R C R

C X

.R C

C
i

L/2 C .Xi

L/2
i

RL/2 C .Xi

XL/2

Ein Bruch ist umso größer, je kleiner sein Nenner ist. Blindwiderstände X können positiv
oder negativ sein. P wird also zunächst maximal, wenn gilt X D

L

Xi, da der Nenner
dann nur noch aus dem Term .R C
i

RL/2 besteht. Variiert man jetzt RL, so ergibt sich
ein Maximum für R D

L

Ri. Der Lastwiderstand ist unter diesen Bedingungen konju-
giert komplex zum Innenwiderstand. Die vom Lastwiderstand aufgenommene Leistung
ist dann

P

D U 20
max

:

4 Ri

Aufgabe 4.38

Eine reale Wechselspannungsquelle mit den Ausgangsklemmen K1 und K2 speist einen
ohmsch-kapazitiven Verbraucher (Abb. 4.56).

Gegeben: U D

D

0

230 V, f D 50 Hz, R1

400 , L D 1 H

Wie müssen R2 und C gewählt werden, damit Leistungsanpassung besteht?

Lösung

Leistungsanpassung besteht immer dann, wenn die Impedanz Z (bzw. Admittanz

)

V

Y V
des Verbrauchers identisch ist mit der konjugiert komplexen Innenimpedanz Z (bzw. In-
iQ
nenadmittanz Y ) der Quelle. Genau dann nimmt ein Verbraucher die maximale (Wirk-)

iQ

Leistung auf. Es muss also gelten Z D
bzw.

D

.

V

ZiQ

Y V

Y iQ

178

4

Gleichspannungsquellen

I Anmerkung Komplexe Werte sind hier unterstrichen, konjugiert komplexe Werte
durch „“ gekennzeichnet.

Die Elemente des Verbrauchers sind im vorliegenden Fall parallel geschaltet. Wir be-
stimmen deshalb die Innenadmittanz Y der Quelle.

iQ

Y

D 1 C 1 D
iQ

.2;5 3;18j / mS:

R1
j!L

Der konjugiert komplexe Wert hiervon ist

Y D
iQ

.2;5 C 3;18j / mS:

Die Admittanz des Verbrauchers ist Y

D 1 C

V
j! C . Gleichsetzen der Real- und Ima-

R2
ginärteile ergibt:

1 D 2;5mS ) R D 400

R

2

2

!C D 3;18 mSI

C D 3;18 mS I

C D 10;1 F

!

Bei Leistungsanpassung sind die Wirkanteile der Quelleninnenimpedanz und der Verbrau-
cherimpedanz gleich groß.

Aufgabe 4.39

An einer Batterie werden zwei Messungen durchgeführt, die erste bei Leerlauf ergibt die

Leerlaufspannung U D

D

0

3;6 V, die zweite bei Kurzschluss den Kurzschlussstrom IK

8;5 A.

a) Wie groß ist der Innenwiderstand Ri der Batterie?

b) Wie hoch ist die aus der Batterie maximal entnehmbare Leistung Pmax?

c) Die Batterie speist über einen Vorwiderstand R D

V

82 eine LED in Durchlassrich-
tung. Die I -U -Kennlinie der LED ist gegeben (Abb. 4.57). Wie groß sind ULED und

ILED an der LED?

Abb. 4.57 I -U -Kennlinie
einer LED

4.5

Spannungs-, Strom-, Leistungsanpassung

179

Abb. 4.58 Kennlinie mit Ar-
beitsgerade

Lösung
a) R D U D U0UK

D

D U0 D 3;6 V D
i

; U

0 V; R

0;424

I

I

K
i

K

IK

8;5 A
b) Die Abgabe der Leistung einer realen Spannungsquelle mit der Leerlaufspannung U0
und dem Innenwiderstand Ri an eine Last ist maximal, wenn der Lastwiderstand Ra
gleich dem Innenwiderstand ist, wenn also gilt R D
a

Ri (Leistungsanpassung). Es
folgt die Herleitung dieses Sachverhaltes.

Leistung an der Last: P D U I ; I D U0 .

RiCRa

Spannung an der Last: U D I R D

Ra
a

U0

(entsprechend Spannungsteiler).

RiCRa

Somit ist P D U 2

Ra
mit

0

U

.R

0 und Ri als Konstante, Ra ist die Variable.

iCRa/2

P ist also eine Funktion von Ra: P D f .Ra/.

Den Maximalwert von P erhält man durch Differenzieren des Ausdrucks für P und
null setzen des Ergebnisses. Die Quotientenregel muss beachtet werden.

dP

C

C

D .Ri

Ra/2 2 Ra .Ri

Ra/ D 0
dRa

.R C
i

Ra/4

Der Zähler ist null für R D
a

Ri.

Der Wirkungsgrad beträgt also bei Leistungsanpassung nur D 0;5.

Mit R D

)

D U20

D .3;6 V/2 D
a

Ri

Pmax

; P

7;64 W

4R
max
i

40;424
c) Ist der Strom durch die LED gleich null (I

D

LED

0), so erhält man für die Spannung
an der LED: U

D

D

LED

3;6 V (die Leerlaufspannung). Für ILED

25 mA (aus der

Kennlinie entnommen) ergibt sich für die Spannung an der LED:

U

D

C

D

LED

U0

.Ri

RV/ ILED

1;54 V:

Beide Punkte .0 mAI 3;6 V/ und .25 mAI 1;54 V/ werden in die Kennlinie eingetra-
gen (Abb. 4.58). Die Verbindung der Punkte ergibt die Arbeitsgerade. Ausgehend vom

Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Arbeitsgeraden mit der Kennlinie) wird auf den Koor-
dinatenachsen abgelesen: U

LED

2 V; ILED

19 mA.

Berechnungen im unverzweigten

Gleichstromkreis

5

Zusammenfassung

Es werden die Methoden und Gesetze zur Berechnung der Reihenschaltung von Wi-
derständen, Kondensatoren, Induktivitäten sowie Spannungs- und Stromquellen aufge-
zeigt. Besondere Bedingungen, die vorliegen müssen, werden angegeben. Die komple-
xe Rechnung wird hier zum ersten Mal angewandt.

5.1

Grundwissen – kurz und bündig

Bei einer Reihenschaltung von Zweipolen ist die Stromstärke an jeder Stelle des Strom-
kreises gleich groß. Die Reihenfolge von Bauelementen ist vertauschbar.

Bei einer Reihenschaltung von Zweipolen addieren sich die Teilspannungen an den

Zweipolen zur Gesamtspannung, die an der Reihenschaltung liegt.

Der Ersatzwiderstand einer Reihenschaltung von ohmschen Widerständen ist:

R

D

C

C

C
ges

R1

R2

R3

: : : C Rn:

Rges ist stets größer als der größte Wert der einzelnen Widerstände. Am Widerstand mit
dem größten Wert ist der größte Spannungsabfall, er wird am stärksten belastet.

Die Ersatzkapazität einer Reihenschaltung von Kondensatoren ist:

C

D

1
ges

:

1 C 1 C : : : C 1

C1

C2

Cn

Cges ist stets kleiner als der kleinste Kapazitätswert der Reihenschaltung. An kleinen

Kapazitäten liegen hohe Spannungen an und umgekehrt.

Für die Reihenschaltung von zwei Kondensatoren gilt: C D C1C2
ges

.

C1CC2

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017

181

L. Stiny, Aufgabensammlung zur Elektrotechnik und Elektronik,

DOI 10.1007/978-3-658-14381-7_5

182

5

Berechnungen im unverzweigten Gleichstromkreis

Die Gesamtinduktivität einer Reihenschaltung magnetisch nicht gekoppelter Spulen
ist:

L

D

C

C
ges

L1

L2

: : : C Ln:

Die Gesamtspannung von gleichsinnig (Pluspol und Minuspol wechseln sich ab) in

Reihe geschalteten Gleichspannungen ist:

U

D

C

C
ges

U1

U2

: : : C Un:

Ein Bauteil kann durch eine Reihenschaltung von Bauteilen ersetzt werden. Zu beach-
ten sind Toleranzen und Belastbarkeit der einzelnen Bauteile.

Mit einem Vorwiderstand kann ein Verbraucher an eine höhere Spannung als seine

Nennspannung angeschlossen werden. Im Vorwiderstand entsteht Verlustleistung.

5.2

Reihenschaltung von ohmschen Widerständen

Aufgabe 5.1

Es wird der Ersatzwiderstand R

D
ges von drei in Reihe geschalteten Widerständen R1

4;7 k, R D

D

D

2

10 k und R3

47 k berechnet. Das Ergebnis ist Rges

33 k. Kann
dieses Ergebnis stimmen? Begründen Sie Ihre Antwort.

Lösung

Das Ergebnis R

D

D
ges

33 k ist kleiner als der größte der drei Widerstände R3

47 k
und ist somit falsch. Bei einer Reihenschaltung von ohmschen Widerständen ist der Ersat-
zwiderstand stets größer als der größte der Einzelwiderstände.

Aufgabe 5.2

Zwei ohmsche Widerstände R D

D

1

10 k und R2

4;7 k sind in Reihe geschaltet. Wie
groß ist der Gesamtwiderstand Rges?

Lösung

R

D

C

D
ges

R1

R2

14;7 k

Aufgabe 5.3

Berechnen Sie allgemein (als Formel) in Abb. 5.1 die Spannung UR1 in Abhängigkeit von

Uq und den Widerständen.

Lösung

Es wird die Spannungsteilerregel verwendet.

C R

U

D

R1

D

R1

D

R1.R2

3/

R1

Uq

Uq

Uq

R C
k

C

1

R2 R3

R C R2R3

1

R

R

R

1.R2

3/ C R2R3

2CR3

5.3

Reihenschaltung von Kondensatoren

183

Abb. 5.1 Eine Reihen-
schaltung von ohmschen

Widerständen

5.3

Reihenschaltung von Kondensatoren

Aufgabe 5.4

Es wird die Ersatzkapazität C

D
ges von drei in Reihe geschalteten Kondensatoren C1

10 F, C D

D

D

2

33 F und C3

47 F berechnet. Das Ergebnis ist Cges

14 F. Kann
dieses Ergebnis stimmen? Begründen Sie Ihre Antwort.

Lösung

Das Ergebnis C

D

D
ges

14 F ist größer als der kleinste Kapazitätswert C1

10 F und ist
somit falsch. Bei einer Reihenschaltung von Kondensatoren ist die Ersatzkapazität stets
kleiner als der kleinste Wert der Einzelkapazitäten.

Aufgabe 5.5

Zwei Kondensatoren C D

D

1

C2

100 F sind in Reihe geschaltet. Wie groß ist die Er-
satzkapazität Cges?

Lösung

Werden zwei gleich große Kondensatoren in Reihe geschaltet, so erhält man den halben

Kapazitätswert. Dies sollte man auswendig wissen!

C

D
ges

50 F

Aufgabe 5.6

Wie groß ist die Gesamtkapazität der in Abb. 5.2 dargestellten Schaltung?

Lösung

C1 und C2 sind gleich groß. Durch die Reihenschaltung ergibt sich für die Ersatzka-
pazität der halbe Kapazitätswert von 20 F. Diese Ersatzkapazität in Reihe mit C3 gibt

C

D
ges

10 F.

Abb. 5.2 Reihenschaltung
von drei Kondensatoren

184

5

Berechnungen im unverzweigten Gleichstromkreis

Abb. 5.3 Kapazitiver Span-
nungsteiler

Aufgabe 5.7

Zwei Kondensatoren C D

D

1

4;7 F und C2

10 F sind in Reihe geschaltet. Wie groß ist
die Ersatzkapazität Cges?

Lösung

C

C

D C1

2

D 4;7 10
ges

F D 3;2 F

C C

1

C2

4;7 C 10

Die Formel zur Berechnung der Kapazität von zwei in Reihe geschalteten Kondensatoren
ist formal der Formel für die Parallelschaltung von zwei ohmschen Widerständen ähnlich.

Aufgabe 5.8

In dieser Aufgabe wird der unverzweigte Gleichstromkreis auf den Wechselstromkreis er-
weitert.

Ein kapazitiver Spannungsteiler (Abb. 5.3) mit den Kapazitäten C D

D

1

100 nF und C2

900 nF liegt an der sinusförmigen Eingangsspannung U D

1

100 V, f D 50 Hz. Anders
p
ausgedrückt: Die Zeitfunktion der Eingangsspannung ist u

1.t / D

2 U1 sin.!t/ mit

U D

1

100 V, ! D 2 50 s1.

a) Wie groß ist die Ausgangsspannung U2 des unbelasteten Spannungsteilers?

b) Um wie viel Prozent sinkt die Ausgangsspannung U2, wenn parallel zu C2 der ohmsche

Lastwiderstand R D 10 k geschaltet wird?

Lösung

U1 und U2 sind Effektivwerte, U und
sind komplexe Effektivwerte.

1

U 2
a) Mit der Spannungsteilerformel erhält man mit komplexen Größen:

1

U D

j!C2

D

j!C1

D

C1

2

U 1

U

U

1

C 1

1
j!C C j!C

1

C C C
j!C

1

2

1

2

1
j!C2

Die Rechnung mit den Beträgen (U D j
j

D j
j

1

U
und

) ergibt:

1

U2

U 2

U D

C1

D

D

2

U1

100 V

100 nF

10 V

C C

1

C2

100 nF C 900 nF

5.4

Reihenschaltung von Spulen

185
b) Die Impedanz der Parallelschaltung aus C2 und R ist:

R 1

Z D
j!C2

D

R

2

R C 1

1 C j!RC
j!C

2

2

Mit Z D

1
ist die komplexe Ausgangsspannung des belasteten Spannungsteilers:

1
j!C1

U

D

Z2

2L

U 1 Z C

1

Z2

Die Übertragungsfunktion ist:

R

R

H .j!/ D U 2L D

1Cj!RC2

D

1Cj!RC2

D
j!RC1

U

1

C

R

1Cj!RC2Cj!RC1

C

1
j!RC

1 C j!RC
j!C

1

2

1

1Cj!RC2
j!C1.1Cj!RC2/

H .j!/ D
j!RC1

1 C j!R.C C

1

C2/

Der Betrag der Übertragungsfunktion ist:

jH .j!/j D

!RC1
q

1 C Œ!R.C C

1

C2/2
jH .j!/j D

2 50 104 107
p

D 0;1
p

D 9;529 102

1 C .2 50 104 106/2

1 C 2

Der Betrag der Ausgangsspannung des belasteten Spannungsteilers ist:

jU j D j j j

2L

U 1

H .j!/j D 100 V 0;0953 D 9;53 V

10 V ¶ 100 %I

10 V 9;53 V ¶ x %I
x D 0;47 100 % D 4;7 %

10

Die Ausgangsspannung sinkt um 4,7 %.

5.4

Reihenschaltung von Spulen

Aufgabe 5.9

Zwei magnetisch nicht gekoppelte Spulen (die Magnetfelder beeinflussen sich gegenseitig
nicht) mit den Induktivitäten L D

D

1

2 H und L2

5 H werden in Reihe geschaltet. Wie
groß ist die Gesamtinduktivität Lges?

Lösung

L

D

C

D
ges

L1

L2

7 H

186

5

Berechnungen im unverzweigten Gleichstromkreis

Abb. 5.4 Eisenkern mit zwei

Erregerwicklungen

Aufgabe 5.10

Gegeben ist ein ringförmiger Eisenkern mit zwei gleichen Erregerwicklungen (die Win-
dungszahlen sind gleich, N D

1

N2) (Abb. 5.4). Der magnetische Fluss ist über den

Querschnitt A homogen verteilt. Die Streuung wird vernachlässigt. Die Permeabilität des

Eisens ist konstant.

Die beiden Wicklungen werden auf zwei verschiedene Arten in Reihe geschaltet:

a) Gleichsinniger Wicklungssinn, A2 wird mit B1 verbunden,
b) gegensinniger Wicklungssinn, A2 wird mit B2 verbunden.

Wie groß ist jeweils die Gesamtinduktivität Lges der beiden Reihenschaltungen der Spulen
zwischen den Anschlussklemmen A1 und B2 im Fall a und A1 und B1 im Fall b?

Lösung

Die Induktivität einer Spule ist L D

AN2

0
r

. Im Fall a werden die magnetisch
l
gekoppelten Spulen gleichsinnig in Reihe geschaltet, die magnetischen Flüsse addieren
sich. Die Gesamtinduktivität ist:

C N

A

L

D

A .N1

2/2 D

ges

0 r

r 4 N 2 :

l

0

1 l

Im Fall b ist die Reihenschaltung der Spulen gegensinnig. Die beiden gleich großen
magnetischen Flüsse sind einander entgegengerichtet und heben sich auf. Die Gesamt-
induktivität ist somit null.

N

L

D

A .N1

2/2 D
ges

0 r

0
l

5.5

Reihenschaltung von Spannungs- und Stromquellen

Aufgabe 5.11

Drei Gleichspannungsquellen sind entsprechend Abb. 5.5 in Reihe geschaltet. Wie groß
ist die Spannung UAB zwischen den Klemmen A und B?

5.5

Reihenschaltung von Spannungs- und Stromquellen

187

Abb. 5.5 In Reihe geschaltete

Gleichspannungsquellen

Abb. 5.6 In Reihe geschaltete

Gleichspannungsquellen mit

Innenwiderständen

Abb. 5.7 Ersatzspannungs-
quelle mit Innenwiderstand

Lösung

U

D

C

C

D

AB

U1

U2

U3

11 V

Aufgabe 5.12

Drei Gleichspannungsquellen mit Innenwiderständen sind entsprechend Abb. 5.6 in Reihe
geschaltet. Wie groß ist die Spannung UAB zwischen den Klemmen A und B? Welchen

Wert hat der Innenwiderstand Riges der resultierenden Ersatzspannungsquelle zwischen
den Klemmen A und B? Geben Sie das Schaltbild der Ersatzspannungsquelle an.

Gegeben: U D

D

D

D

D

D

1

7 V, U2

5 V, U3

4 V, Ri1

3 , Ri2

0;5 , Ri3

1;5

Lösung

U

D

D

AB

U1

U2

U3

7 V 5 V 4 V D 2 V

Die Klemme A ist negativ gegenüber Klemme B. Wird der Zählpfeil der Spannung um-
gedreht, so ist U

D

BA

2 V.

Die Innenwiderstände sind in Reihe geschaltet und addieren sich.

R

D
iges

3 C 0;5 C 1;5 D 5

Die Ersatzspannungsquelle mit Innenwiderstand zeigt Abb. 5.7.

Aufgabe 5.13

Zwei Gleichstromquellen mit Innenwiderständen sind entsprechend Abb. 5.8 in Reihe
geschaltet. Geben Sie die Ersatzschaltung mit einer einzigen Stromquelle an.

188

5

Berechnungen im unverzweigten Gleichstromkreis

Abb. 5.8 In Reihe geschal-
tete Gleichstromquellen mit

Innenwiderständen

Abb. 5.9 Schaltung mit nur
einer Stromquelle

Lösung

Zunächst werden beide Stromquellen in Spannungsquellen umgewandelt (siehe auch Ab-
schn. 8.10, Umwandlung von Quellen).

U D

I

D

q1

Iq1 Ri1

Uq2

Iq2 Ri2

Jetzt wird die Reihenschaltung der Spannungsquellen berechnet.

U D

C

I

D

C
q

Uq1

Uq2

Ri

Ri1

Ri2

Die Ersatzschaltung mit einer Spannungsquelle wird schließlich in eine Stromquelle um-
gewandelt.

C U

C

q2

Ri1

Iq2 Ri2

I D Uq D Uq1

I

D Iq1

I

D

C
q

Iq

Ri

Ri

Ri2

R

C

C

1
i

Ri1

Ri2

Ri1

Ri2

Die Ersatzschaltung mit einer einzigen Stromquelle zeigt Abb. 5.9.

Aufgabe 5.14

Was ist in der Praxis bei der Reihenschaltung von Spannungs- und Stromquellen zu be-
achten?

Lösung

Spannungsquellen können problemlos in Reihe geschaltet werden, z. B. zur Versorgung ei-
ner elektronischen Schaltung mit einer bipolaren Betriebsspannung (z. B. ˙12 V) oder bei
der Reihenschaltung mehrerer Batterien, um eine bestimmte Höhe der Betriebsspannung
zu erreichen. – Stromquellen dagegen sollten nicht in Reihe geschaltet werden. Wegen des
sehr hohen, aber oft unbekannten bzw. unterschiedlichen Innenwiderstandes ist die Span-
nungsaufteilung auf die Quellen nicht bekannt bzw. unterschiedlich. Eine der in Reihe
geschalteten Stromquellen kann daher spannungsmäßig überlastet werden.

Messung von Spannung und Strom

6

Zusammenfassung

Verschiedene Arten von Spannungs- und Strommessern werden vorgestellt und ihre

Eignung zur Messung bestimmter Größen diskutiert. Die Anwendung der Messgeräte
beim Messvorgang, Genauigkeitsgrenzen und Messfehler sind auf die Praxis der Mess-
technik ausgerichtet. Die Erweiterung des Messbereiches von Spannungsmessern mit
der Berechnung dazu nötiger Widerstände ergibt eine Ausweitung der Einsetzbarkeit
von Messwerken. Die indirekte Messung von Widerstand und Leistung mit den Mög-
lichkeiten der Spannungsfehler- und der Stromfehlerschaltung sowie das Beispiel der

Wheatstone-Brücke ergänzen dieses Kapitel.

6.1

Grundwissen – kurz und bündig

Der anzeigende, bei analogen Instrumenten oft drehbar gelagerte Teil eines Messin-
struments wird Mess werk genannt.

Ein Mess instrument besteht aus einem Gehäuse mit einer digitalen Anzeige oder einer

Skala mit Zeiger und evtl. eingebautem Widerstand.

Als Messgerät wird das gesamte Betriebsmittel aus Messinstrument und zusätzlicher

Beschaltung, z. B. Widerstände, Sicherung, Schalter, bezeichnet.

Ein Dreh spul messwerk nutzt die Kraftwirkung aus, die ein stromdurchflossener Leiter
in einem Magnetfeld erfährt.

Für Wechselspannung bzw. Wechselstrom eignen sich Drehspulmesswerke ohne

Gleichrichter nicht.

Dreh eisen messwerke sind für die Messung von Gleich- und Wechselspannung geeig-
net.

Analoginstrumente haben eine Strichskala und einen Zeiger. Digitale Messgeräte be-
sitzen eine Ziffernanzeige zum Ablesen des Messwertes.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017

189

L. Stiny, Aufgabensammlung zur Elektrotechnik und Elektronik,

DOI 10.1007/978-3-658-14381-7_6

190

6

Messung von Spannung und Strom

Ein Spannungsmesser (Voltmeter) wird mit zwei Leitungen an den beiden Punkten
angeschlossen, zwischen denen die zu messende Spannung liegt. Der Stromkreis wird
für die Messung nicht aufgetrennt.

Der Innenwiderstand eines Voltmeters soll möglichst groß sein (ideal unendlich groß).

Ein Strommesser (Amperemeter) wird mit zwei Leitungen in den Stromkreis einge-
schleift, in dem die Stromstärke gemessen werden soll. Der Stromkreis muss für die

Messung aufgetrennt werden.

Der Innenwiderstand eines Amperemeters soll möglichst klein sein (ideal null).

Den Innenwiderstand in k pro Volt (k/V) nennt man Kennwiderstand eines Mess-
werks.

Die Stromfehlerschaltung eignet sich für kleine Widerstandswerte. Die Spannungsfeh-
lerschaltung eignet sich für große Widerstandswerte.

Bei der indirekten Messung eines Widerstandes wird die Stromfehlerschaltung ver-
p
wendet, wenn das Geometrische Mittel R

D

M

RiU RiI der Innenwiderstände RiU
des Spannungsmessers und RiI des Strommessers kleiner als der Wert des zu messen-
den Widerstandes ist. Ist der geometrische Mittelwert größer als der Widerstandswert,
so wird die Spannungsfehlerschaltung verwendet.

Wichtige Formeln:

R D

D

D

D

V

Vorwiderstand; UM

Messbereich; Umess
erweiterter Messbereich; Ri

Innenwiderstand Spannungsmesser

Der Vorwiderstand R

D

D

V bei Spannungsmessung für Umess
x UM ist RV

.x 1/ Ri
oder

UM

R D Umess

V

Ri:

UM

6.2

Voltmeter und Amperemeter

Aufgabe 6.1

Warum eignet sich ein Drehspulmesswerk nicht zur Messung von sinusförmigem Wech-
selstrom?

Lösung

Wird die Drehspule von Wechselstrom durchflossen, so ändert sich ständig die Stromrich-
tung. Dadurch ändert sich ständig die Kraftwirkung des Magnetfeldes, die Drehmomen-
trichtung wird immer wieder umgekehrt. Der Zeiger pendelt dauernd hin und her bzw.

stellt sich (bei höherer Frequenz) durch die Trägheit seiner Masse in einer Mittellage ein.

Bei einer Mischspannung zeigt ein Drehspulmesswerk den arithmetischen Mittelwert

Uav (D Gleichanteil) an:

T

Z

U D 1
av

U.t/dt:

T 0

6.2

Voltmeter und Amperemeter

191

Aufgabe 6.2

Soll der Innenwiderstand eines Amperemeters möglichst groß oder möglichst klein sein?

Begründen Sie Ihre Antwort.

Lösung

Bei einer Strommessung wird das Amperemeter in den Stromkreis eingeschleift. Der

Spannungsabfall am Innenwiderstand des Amperemeters soll den Stromkreis möglichst
wenig beeinflussen, also möglichst klein sein. Der Spannungsabfall am Innenwider-
stand ist umso kleiner, je kleiner der Innenwiderstand ist. Der Innenwiderstand eines

Amperemeters soll somit möglichst klein sein.

Aufgabe 6.3

Ein Voltmeter mit dem Skalenendwert (Vollausschlag) 30,0 Volt zeigt einen Spannungs-
wert von 16,6 V an. Auf der Skala ist als Genauigkeitsklasse aufgedruckt: 1;5. Die Ge-
nauigkeitsklasse gibt die Fehlergrenzen in Prozent des Messbereichendwertes an.

a) Berechnen Sie die Fehlergrenzen.

b) Zwischen welchen Grenzen kann die gemessene Spannung von 16,6 V liegen?

Lösung
a) Fehlergrenzen: U D ˙0;015 30 V D ˙0;45 V
b) U

D
max

U C U D 16;6 V C 0;45 V D 17;05 V

U

D
min

U U D 16;6 V 0;45 V D 16;15 V

Aufgabe 6.4

Mit einem Messinstrument der Klasse 1,5 (˙1;5 % Fehler bezogen auf den Messbereich-
endwert) und einem Messbereichendwert von 100 V wird eine Spannung von 20 V und
eine Spannung von 80 V gemessen. Wie groß sind jeweils der relative Fehler in Prozent
und der absolute Fehler in Volt?

Lösung

Relativer Fehler bei 20 V: ˙1;5 % 100 V D ˙7;5 %

20 V

Absoluter Fehler bei 20 V:

U

D

D
max

20 V 1;075 D 21;5 VI

Umin

20 V .1 0;075/ D 18;5 V

Relativer Fehler bei 80 V: ˙1;5 % 100 V D ˙1;875 %

80 V

Absoluter Fehler bei 80 V:

U

D

D
max

80 V 1;01875 D 81;5 VI

Umin

80 V .1 0;01875/ D 78;5 V

192

6

Messung von Spannung und Strom

Alternative Lösung

Fehlergrenzen:

U D ˙0;015 100 V D ˙1;5 V

( 21;5V

Absoluter Fehler bei 20 V: U

D
max;min

20 V ˙ 1;5 V D

18;5 V

( 81;5V

Absoluter Fehler bei 80 V: U

D
max;min

80 V ˙ 1;5 V D

78;5 V

Aufgabe 6.5

Ein Spannungsmesser mit einem Vollausschlag von 10 V hat einen Innenwiderstand von

R D
i

500 k. Wie groß ist der Kennwiderstand RK?

Lösung
k

R D Ri D 500 k D

K

50

U

10 V

V

Aufgabe 6.6

Ein Spannungsmesser mit dem Kennwiderstand R D

K

10 k befindet sich im Messbe-

V
reich bis 100 V. Wie groß ist der Innenwiderstand Ri in diesem Messbereich?

Lösung
k

R D

i

10

100 V D 1 M

V

Aufgabe 6.7

Ein Spannungsmesser mit dem Kennwiderstand R D

K

10 k zeigt im 10 V-Messbereich

V
eine Spannung von 6,0 V an. Wie groß ist der Strom I durch den Spannungsmesser?

Lösung
k

R D

D 6;0 V D
i

10

10 V D 100 kI

I D U

60 A

V

Ri

100 k

6.3

Erweiterung des Messbereiches

Aufgabe 6.8

Ein Spannungsmesser mit einem Messbereich bis 10 V hat den Innenwiderstand R D
i

100 k. Der Messbereich soll mit einem Widerstand auf 100 V vergrößert werden. Wie
muss der Widerstand geschaltet werden? Welchen Wert muss der Widerstand haben?

6.3

Erweiterung des Messbereiches

193

Lösung

Der Widerstand muss als Vorwiderstand in Reihe mit dem Spannungsmesser geschaltet
werden. Der Messbereich soll auf das 10-fache erweitert werden. Aus U

D
mess
x UM
folgt:

U

D
mess

10 UM:

Aus R D

D

V

.x 1/ Ri mit x D 10 folgt: RV

9 100 k D 900 k

Aufgabe 6.9

Ein Messinstrument mit Drehspulmesswerk hat einen Innenwiderstand von 500 und
einen Messbereich (Vollausschlag) von 100 mV. Der Messbereich ist auf einen Endwert
von 6,0 Volt zu erweitern. Berechnen Sie den erforderlichen Vorwiderstand.

Lösung

UM

R D Umess

V

Ri

UM
mit R D

D

D

D

V

Vorwiderstand, UM

Messbereich, Umess
erweiterter Messbereich, Ri

Innenwiderstand

R D 6 V 100 mV

D

V

500 I

RV

29;5 k

100 mV

Aufgabe 6.10

Ein Voltmeter hat den Innenwiderstand R D
i

10 k˝ und einen Vollausschlag von I D

1 mA. Welcher Vorwiderstand RV muss vorgesehen werden, um den Messbereich auf 50

Volt zu erweitern?

Lösung

I

R D U Ri

D 50 V 10 k 1 mA D

V

40 k

I

1 mA

Aufgabe 6.11

Ein Spannungsmesser mit Drehspulmesswerk hat Vollausschlag bei einer Spannung von

U D

D

M

1 V, sein Innenwiderstand beträgt Ri

1000 . Wie groß ist der Innenwiderstand

R

D
i10, nachdem der Messbereich durch einen Vorwiderstand auf Umess

10 V erweitert
wurde?

Lösung

Der benötigte Vorwiderstand zur Messbereichserweiterung ist:

U

R D Umess

M

V

Ri

UM

194

6

Messung von Spannung und Strom

Abb. 6.1 Ein Spannungs-
messer mit mehreren

Messbereichen

Abb. 6.2 Drehspulmessgerät
wird zur Spannungsmessung
erweitert
mit R D

D

D

D

V

Vorwiderstand, UM

Messbereich, Umess
erweiterter Messbereich, Ri

Innenwiderstand

R D 10 V 1 V

V

1000 D 9 kI

1 V

Vorwiderstand R

D

V und Innenwiderstand Ri des Voltmeters addieren sich. ) Ri10

10 k

Aufgabe 6.12

Ein Mehrbereich-Spannungsmesser hat ein Messwerk mit 100 mV. Der Innenwiderstand

Ri beträgt 1000 /V. Berechnen Sie die Widerstände Ri, R1, R2 und R3 in Abb. 6.1.

Lösung

Der Strom durch das Messwerk ist I D 1 V D
i

1 mA.

1000

R D

D

D
i

Ui 1000

0;1 V 1000

100 I

V

V

U

R D U1
i D 6 V 0;1 V D

1

5;9 k

Ii

1 mA

U

U

R D U2

1 D 30 V 6 V D

D U3

2 D 60 V 30 V D

2

24 kI

R

30 k

I

3
i

1 mA

Ii

1 mA

Aufgabe 6.13

Ein Drehspulmessgerät mit Vollausschlag bei I D 100 A und dem Innenwiderstand

R D
i

2 k soll zur Spannungsmessung erweitert werden (Abb. 6.2).

a) Für welche Spannung UM zeigt das Messgerät in Schalterstellung 1 Vollausschlag an?

b) Für die Schalterstellungen 2, 3 und 4 sollen (jeweils für Vollausschlag) die Messberei-
che U D 1 V, U D 10 V und U D 100 V eingestellt werden können. Berechnen Sie
für diese Messbereiche die Widerstände R2, R3 und R4.

6.3

Erweiterung des Messbereiches

195

Abb. 6.3 Gleichspannungsmessgerät mit verschiedenen Messbereichen

Lösung
a) U D

M

Ri I D 2000 100 A D 0;2 V
b) Allgemein: R D UmessUM

V

R

U
i

M

R D 1 V 0;2 V

D 10 V 0;2 V

2

2 k D 8 kI

R0

2 k D 98 k

0;2 V

3

0;2 V

R D

D

3

R03 R3

90 k

R0 D 100 V 0;2 V

D

D

4

2 k D 998 kI

R

R0

R

R

900 k

0;2 V

4

4

3

2

Aufgabe 6.14

In einem Gleichspannungsmessgerät wird die Schaltung in Abb. 6.3 mit Vorwiderständen
zur Realisierung verschiedener Messbereiche verwendet. Der jeweilige Messbereich wird
durch Überbrücken der zugehörigen Klemmen gewählt. Durch das Messwerk fließt bei

Vollausschlag U D

D

M

100 mV ein Strom IM

50 A.

Berechnen Sie den Innenwiderstand RM des Messwerks und die Vorwiderstände R1
bis R6.

Lösung

R D UM D

M

2 k

IM

Der Innenwiderstand RM und der jeweilige Vorwiderstand RV (der in den Messbereichen

> 2;5 V aus der Reihenschaltung mehrerer Widerstände besteht) bilden einen Spannungs-
teiler.

UM

U D

RM

)

D Umess

M

Umess

RV

RM

R C

V

RM

UM

196

6

Messung von Spannung und Strom

Abb. 6.4 Vorwiderstände bei

Spannungsmesser

Messbereich 2,5 V: R

D

D 2;5V0;1 V

V1

R1

2000 D 48 k

0;1 V

Messbereich 10 V: R

D 10 V0;1 V

D

D

V2

2000 D 198 k; R

R

R

150 k

0;1 V

2

V2

V1

Messbereich 50 V: R

D 50 V0;1 V

D

D

V3

2000 D 998 k; R

R

R

800 k

0;1 V

3

V3

V2

Bei gleichem Vorgehen ergeben sich für die weiteren Messbereiche die Werte der Vorwi-
derstände zu R D

D

D

4

1 M; R5

3 M; R6

15 M

Aufgabe 6.15

Ein Spannungsmesser hat mit einem Vorwiderstand R

D

V1 einen Endausschlag UE1

300 V
und einen gesamten Innenwiderstand R

D
i;ges

1000 =V (Abb. 6.4). Der Widerstand der

Drehspule allein beträgt 100 . Wie groß muss ein neuer Vorwiderstand RV2 sein, wenn
das Messgerät für U

D

E2

150 mV Endausschlag verwendet werden soll?

Lösung

RV1 ist der Vorwiderstand für den Messbereich 300 V.

R

C

D

V1

Ri

1000

300 V D 300 k

V

Bei Vollausschlag fließt durch den Spannungsmesser ein Strom I D 300 V D 1 mA.

300 k

An der Drehspule entsteht dabei ein Spannungsabfall von U D
i

100 mV.

R

D

V2 ist der Vorwiderstand für den Messbereich UE2

150 mV. An ihm muss durch
den bei Vollausschlag fließenden Strom von 1 mA ein Spannungsabfall von 50 mV entste-
hen.

Deshalb ist: R

D 50 mV D

V2

50 .

1 mA

6.4

Indirekte Messung von Widerstand und Leistung

Aufgabe 6.16

Ein Widerstand R trägt die Aufschrift 39 ˙ 10 %. Der Widerstandswert soll durch ei-
ne Strom- Spannungsmessung wie in Abb. 6.5 möglichst genau bestimmt werden. Der

Strommesser hat einen Innenwiderstand von R D
iI

2 .

a) Um welche Schaltung einer indirekten Widerstandsmessung handelt es sich?

b) Berechnen Sie den Widerstandswert aus den in der Schaltung eingetragenen Messwer-
ten.

c) Korrigieren Sie den durch die Schaltung bedingten Messfehler.

6.4

Indirekte Messung von Widerstand und Leistung

197

Abb. 6.5 Gleichzeitige

Strom- und Spannungsmes-
sung

Lösung
a) Es handelt sich um eine Spannungsfehlerschaltung, da die Spannung nicht direkt an
den zwei Anschlüssen des zu bestimmenden Widerstandes gemessen wird.

b) R D U D 2 V D 41;7

I

48 mA
c) Strommesser und Widerstand R sind in Reihe geschaltet, ihre Widerstände addieren
sich. Zur Fehlerkorrektur muss der Innenwiderstand des Strommessers vom Gesamt-
widerstand subtrahiert werden.

R D U R D 2 V
iI

2 D 41;7 2 D 39;7

I

48 mA

Aufgabe 6.17

Ein Widerstand R soll mit der in Abb. 6.6 gezeigten Schaltung möglichst genau bestimmt
werden. Der Spannungsmesser hat einen Innenwiderstand von R D
iU

5 k.

a) Um welche Schaltung einer indirekten Widerstandsmessung handelt es sich?

b) Berechnen Sie den Widerstandswert aus den in der Schaltung eingetragenen Messwer-
ten.

c) Korrigieren Sie den durch die Schaltung bedingten Messfehler.

Lösung
a) Es handelt sich um eine Stromfehlerschaltung, da nicht ausschließlich der Strom durch
den zu bestimmenden Widerstand gemessen wird, sondern gleichzeitig auch der Strom
durch das Voltmeter.

b) R D U D 4;7 V D 293;8

I

16 mA
c) Voltmeter und Widerstand R sind parallel geschaltet, ihre Leitwerte addieren sich. Zur

Fehlerkorrektur muss der Leitwert des Voltmeters vom Gesamtleitwert subtrahiert wer-
den.

R D

1

D

1

D

1

D 312;1

I 1

16 mA 1

3;404 103 2 104

U

RiU

4;7 V

5 k

Abb. 6.6 Schaltung zur Wi-
derstandsmessung

198

6

Messung von Spannung und Strom

Aufgabe 6.18

Es soll ein Widerstand gemessen werden, der einen Wert von ca. 5 k hat. Zur Verfügung
stehen ein Spannungsmesser mit einem Innenwiderstand R

D
iU

10 M und ein Strom-
messer mit einem Innenwiderstand von R D
iI

100 .

a) Welche Schaltung zur indirekten Widerstandsmessung sollte verwendet werden?

b) Die Messgeräte haben die Genauigkeitsklasse 1,5. Darf der Widerstandswert ohne

Korrekturrechnung nach dem ohmschen Gesetz berechnet werden?

Lösung
a) Das Geometrische Mittel der beiden Innenwiderstände ist:

p
p

R

D

D
iM

RiU RiI

107 100 D 3;16 104 D 31;6 k:

Da der zu messende Widerstand kleiner ist wird die Stromfehlerschaltung verwendet.

b) Der Innenwiderstand RiU des Spannungsmessers ist 2000-mal größer als der zu mes-
sende Widerstand. Somit liegt der Fehler des Stromes bei ca.

1

D 5 104 bzw.

2000

0,05 %. Dieser Fehler ist wesentlich kleiner als der Fehler der Messgeräte (1,5 %).

Eine Korrekturrechnung ist nicht notwendig.

Aufgabe 6.19

Eine Glühlampe ist mit 12 V, 6 W beschriftet. Die tatsächliche Leistungsaufnahme im

Nennbetrieb soll gemessen werden. Zur Verfügung stehen folgende Geräte:

Ein Netzgerät, das im Bereich 0 : : : 15 V einstellbar ist, aber keinen eingebauten Span-
nungsmesser hat.

Ein Spannungsmesser mit dem Kennwiderstand R D

K

20 k der Genauigkeitsklasse

V

1,5. Das Gerät hat folgende Messbereiche: 3 V, 10 V, 30 V, 100 V.

Ein Strommesser der Genauigkeitsklasse 1,5 mit einer Empfindlichkeit von 100 mV.

Der Spannungsabfall am Messgerät ist also beim Messbereichsendwert 100 mV. Das

Gerät hat folgende Messbereiche: 10 mA, 30 mA, 100 mA, 300 mA, 1 A, 3 A.

a) Auf welchen Messbereich wird der Spannungsmesser eingestellt?

b) Auf welchen Messbereich wird der Strommesser eingestellt?

c) Wie groß ist der Innenwiderstand RiU des Spannungsmessers?

d) Wie groß ist der Innenwiderstand RiI des Strommessers?

e) Welche Schaltung wird zur Messung verwendet?

f) Kann mit den abgelesenen Werten von U und I nach der Formel P D U I die von der

Glühlampe tatsächlich aufgenommene Leistung genügend genau berechnet werden?

6.5

Wheatstone-Brücke

199

Lösung
a) Der kleinste Bereich des Spannungsmessers, der den einzustellenden Wert von 12 V
noch darstellen kann, ist der 30 V-Bereich.

b) Der zu messende Strom ist I D P =U D 6 W=12 V D 0;5 A. Der Strommesser wird
auf den Messbereich 1 A eingestellt.

c) R D

iU

20 k 30 V D 600 k

V
d) R D 100 mV D
iI

0;1 D 100 m

1 A
e) Der ungefähre Widerstand der Glühlampe ist R D U=I D 12 V=0;5 A D 24 . Dieser

Widerstandswert ist klein. Zur Sicherheit wird noch das Geometrische Mittel aus den

Innenwiderständen der Messgeräte bestimmt.

p
p

R D

D

M

RiU RiI

600 k 100 m D 245

Der Lampenwiderstand mit 24 ist deutlich kleiner als RM, es wird also die Strom-
fehlerschaltung verwendet.

f) Der Innenwiderstand des Spannungsmessers ist 25.000-mal größer als der Lampenwi-
derstand. Der Fehler des Stromes ist 24 D 4 105 bzw. 0,004 %. Der Fehler ist

600 k
vernachlässigbar klein, eine Korrekturrechnung ist nicht erforderlich.

6.5

Wheatstone-Brücke

Aufgabe 6.20

Ein Drahtwiderstand Rx wird mit einer Wheatstone-Brücke gemessen, siehe Abb. 6.7.

Der veränderbare Widerstand R1 wird dazu so lange verändert, bis der Strommesser im

Nullzweig keinen Strom mehr anzeigt. Die Brücke ist dann abgeglichen. Der Wert von R1
wird zu 12,3 abgelesen.

Für die Brückenwiderstände gilt R D

D

2

R3

10 . Berechnen Sie den Wert von Rx.

Lösung

Rx

Für den abgeglichenen Zustand der Brücke gilt

D R1 .

R2

R3

R

R D R1

2 D 12;3 10 D
x

12;3

R3

10

Abb. 6.7 Wheatstone-Brücke

Schaltvorgänge im unverzweigten

Gleichstromkreis

7

Zusammenfassung

Es wird der Schaltvorgang beim ohmschen Widerstand, beim Kondensator und bei der

Spule behandelt. Für unterschiedliche Schaltungen werden Lade- und Entladevorgän-
ge beim Anschalten einer Gleichspannung an Kondensatoren und Spulen berechnet.

Dabei wird der zeitliche Verlauf von Spannungen und Strömen analysiert und grafisch
dargestellt. Die Verwendung einer Freilaufdiode zeigt eine Möglichkeit zur Verhinde-
rung hoher Induktionsspannungen beim Abschalten von Induktivitäten.

7.1

Grundwissen – kurz und bündig

Ohm’scher Widerstand: Es besteht keine Zeitverzögerung zwischen Spannung und

Strom.

Die Zeitverzögerungen von Spannung und Strom bei Kondensator und Spule entspre-
chen einer Exponentialfunktion.

Kondensator mit Vorwiderstand einschalten: Die Spannung steigt verzögert auf den

Wert der Ladespannung an. Der Strom springt auf einen Maximalwert und fällt verzö-
gert auf null ab.

Kondensator ausschalten: Der Kondensator bleibt geladen.

Kondensator über einen Widerstand entladen: Die Spannung fällt verzögert auf null ab.

Der Strom springt auf einen negativen Maximalwert und fällt verzögert auf null ab.

Die Zeitkonstante eines Kondensators ist D R C .

Spule einschalten: Der Strom steigt verzögert auf einen Maximalwert an. Die Spannung
springt auf einen Maximalwert und fällt verzögert auf null ab.

Spule mit Abschalt-Induktionsstromkreis ausschalten: Der Strom fällt verzögert auf
null ab. Die Spannung springt auf einen negativen Maximalwert und fällt verzögert auf
null ab.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017

201

L. Stiny, Aufgabensammlung zur Elektrotechnik und Elektronik,

DOI 10.1007/978-3-658-14381-7_7

202

7

Schaltvorgänge im unverzweigten Gleichstromkreis

Spule ohne Abschalt-Induktionsstromkreis ausschalten: An der Spule entstehen hohe

Spannungsspitzen. Durch eine Freilaufdiode können diese verkleinert werden.

Die Zeitkonstante einer Spule ist D L .

R

Wichtige Formeln:

W D 1

D 1

I

C

C U 2I

WL

LI 2I

UC.t/ D U 1 e tRC

UC.t/ D U e tRC I

2

2

I

C.t / D U
e t

RC I

R

I

C.t / D U
e t

RC I

UL.t/ D U et RL I

UL.t/ D U et RL I

R

I

I

L.t / D U

1 et RL

R

I

L.t / D U
et RL

R

7.2

Schaltvorgang beim Kondensator

Aufgabe 7.1

Wie berechnet sich die Zeitkonstante für den Lade- bzw. Entladevorgang eines Konden-
sators?

Lösung

D R C

Aufgabe 7.2

In der Schaltung nach Abb. 7.1 wird der Schalter S, der seit langer Zeit geöffnet ist, zum

Zeitpunkt t D 0 geschlossen. Uq ist eine Gleichspannungsquelle mit dem Wert 5 Volt.

a) Wie groß sind U1 und U2 kurz nach dem Schließen des Schalters (zum Zeitpunkt t D

0C)?

b) Wie groß sind U1 und U2 nach sehr langer Zeit (t ! 1)?

c) Skizzieren Sie den Verlauf von U1 und U2.

Abb. 7.1 Gleichspannungs-
quelle einschalten

7.2

Schaltvorgang beim Kondensator

203

Abb. 7.2 Zeitlicher Verlauf von U1 und U2

Lösung
a) Vor dem Schließen des Schalters ist C über den parallel geschalteten Widerstand voll-
kommen entladen, U1 ist damit null. An einem Kondensator tritt kein Spannungs-
sprung auf. Kurz nach dem Schließen des Schalters ist deshalb U1 immer noch null

Volt. U1.t D 0C/ D 0 V

Entsprechend einem Maschenumlauf ist U D

2

Uq

U1, somit ist U2 kurz nach dem

Schließen des Schalters U2.t D 0C/ D 5 V.

b) Nach sehr langer Zeit ist C auf den Spannungsabfall am parallel geschalteten Wider-
stand R aufgeladen. Dieser Spannungsabfall berechnet sich nach der Spannungsteiler-
regel zu

Uq D 2;5V: U

2

1.t ! 1/ D 2;5 V:

Da beide Widerstände gleich groß sind (beide sind mit „ R“ bezeichnet), ist nach der

Spannungsteilerregel U D

2

U1. U2.t ! 1/ D 2;5 V
c) Den zeitlichen Verlauf von U1 und U2 zeigt Abb. 7.2.

Aufgabe 7.3

Der Schalter S in Abb. 7.3 ist seit langer Zeit geöffnet und der Kondensator C vollständig
aufgeladen.

a) Welchen zeitlichen Verlauf (Skizze) haben die Potentiale '1 und '2, wenn der Schalter

S zum Zeitpunkt t D t0 geschlossen wird?

b) Wie hoch ist der Entladestrom des Kondensators unmittelbar nach dem Schließen des

Schalters (zum Zeitpunkt t D t C

0

)?

c) Nach welcher Zeit ist der Kondensator praktisch entladen?

d) Nach welcher Zeit ist der Entladestrom auf 60 mA abgesunken?

e) Welchen zeitlichen Verlauf (Skizze) haben die Potentiale '1 und '2, wenn der Schal-
ter S nach vollständigem Entladen des Kondensators zum Zeitpunkt t D t1 wieder
geöffnet wird?

Gegeben: Gleichspannung U D

D

D
q

10 V, R1

100 , R2

900 , C D 0;1 F

204

7

Schaltvorgänge im unverzweigten Gleichstromkreis

Abb. 7.3 Kondensator entla-
den

Abb. 7.4 Zeitlicher Verlauf
von '1 und '2 (S schließen)

Lösung
a) Für t < t

D

D

D

0 ist '1

Uq

10 V und '2

0 V.

Zum Zeitpunkt t0 wird '1 schlagartig auf null Volt gelegt. Die Kondensatorspannung
ist direkt nach dem Schließen des Schalters U

D

D

D

C

Uq

'1

'2. ) '2

'1

U )

D
q

'2

10 V. Im weiteren Zeitverlauf wird C über R1 entladen, '2 nähert sich
exponentiell (e-Funktion) null Volt (Abb. 7.4).

b) Zum Zeitpunkt t D t C

0
unmittelbar nach dem Schließen des Schalters ist der Entla-
destrom des Kondensators am größten. I

D 10 V D

Cmax

0;1 A

100
c) In der Praxis kann der Kondensator als entladen betrachtet werden (zu mehr als 99 %),
nachdem fünf Zeitkonstanten vergangen sind.

D R

1 C D 100 107 F D 105 s D 10 sI

5 D 50 s
d)

t
t

I

10 s I

60 D 10 s I

C.t / D ICmax
e t I

60 mA D 100 mA e
e

100

100 D t
e 10 s I

60

100
ln

D
t
ln.e/I t D 5;1 s

60

10 s
e) In dem Zeitpunkt t D t1, in dem der Schalter geöffnet wird, fließt der maximale Lade-
strom I

D 10 V D

CLmax

10 mA. '

1 k

1 und '2 sind im ersten Augenblick (zum Zeitpunkt
t D t1) gleich groß und springen auf C1 V, da R1 und R2 einen Spannungsteiler bil-
den. Der Kondensator wird über den Gesamtwiderstand R C

1

R2 aufgeladen, '1 nimmt

7.2

Schaltvorgang beim Kondensator

205

Abb. 7.5 Zeitlicher Verlauf von '1 und '2 (S öffnen)

Abb. 7.6 Netzwerk zu einem

Schaltvorgang
zu, '2 nimmt ab (Abb. 7.5).

D .R C

1

R2/ C D 1 k 107 F D 104 s D 0;1 ms

'

R2

R1

1.t / D C10 V Uq
e t I

'

e t

R C

2.t / D Uq

C

1

R2

R1

R2

Aufgabe 7.4

Der Schalter S in Abb. 7.6 ist seit langer Zeit geöffnet und wird zum Zeitpunkt t D t0
geschlossen.

a) Wie groß ist der Strom IS, der über den Schalter unmittelbar nach dem Schließen des

Schalters (zum Zeitpunkt t D t C

0

) fließt?

b) Wie groß ist IS lange Zeit nach dem Schließen von S?

Gegeben: Gleichspannung U D

D

D

D

D
q

10 V, R1

2 , R2

150 , R3

220 , R4

4;7 k˝, R D

D

D

D

5

180 , C1

C2

1 F, C3

100 nF

Lösung
a) Da der Schalter seit langer Zeit geöffnet ist, sind alle Ausgleichsvorgänge abgeschlos-
sen, durch die Kondensatoren fließen keine Ströme mehr. C2 ist auf die Spannung

206

7

Schaltvorgänge im unverzweigten Gleichstromkreis

Abb. 7.7 Netzwerk mit ge-
schalteter Spannung
aufgeladen, die sich aus dem Spannungsteiler .R C

C

1

R2/ und .R4

R3/ ergibt.

C R

U

D

R3

4

D

D

C2

Uq

10 V 4920

9;7 V

R C

C

C

1

R2

R3

R4

5072

C2 wird über den Schalter S und R3 entladen. Der anfängliche Entladestrom unmittel-
bar nach dem Schließen des Schalters ist I

C

D 9;7 V D

S.t D t0

/ D UC2

44;1 mA

R3

220
b) Ist S seit langer Zeit geschlossen, so sind alle Ausgleichsvorgänge abgeschlossen,
durch die Kondensatoren fließen keine Ströme mehr. Über den geschlossenen Schalter
liegt die Reihenschaltung von R1, R2, R3 an Uq.

I

D 10 V D

S.t ! 1/ D

Uq

26;9 mA

R C

C

1

R2

R3

372

Aufgabe 7.5

Der Schalter S in Abb. 7.7 ist seit langer Zeit geöffnet und wird zum Zeitpunkt t D t0
geschlossen.

a) Wie groß ist U

C
a unmittelbar nach (t D t0

) und lange Zeit nach dem Schließen des

Schalters?

b) Wie groß ist die Zeitkonstante?

c) Wie sieht der Zeitverlauf von Ua aus (Skizze)?

Gegeben: Gleichspannung U D

D

D

D
q

10 V, R1

300 , R2

200 , R3

100 , C D

50 F

Lösung
a) Vor dem Schließen des Schalters ist U D

C

0 V. An einem Kondensator tritt kein Span-
nungssprung auf. Deshalb ist UC auch kurz nach dem Schließen des Schalters null

Volt.

U

C

C.t D t0

/ D UC.t t0/ D 0

Es ist U D

D

R3
a

UC

U3 und nach der Spannungsteilerregel U3

Uq

.

R1CR3

U

C

C

C
a.t D t0

/ D UC.t D t0 / U3.t D t0 /I

U

C

R3

D
a.t D t0

/ D Uq

2;5 V

R C

1

R3

7.2

Schaltvorgang beim Kondensator

207

Abb. 7.8 Zeitverlauf von Ua

Abb. 7.9 Netzwerk mit ge-
schalteter Gleichspannung

Für t ! 1 wird der Strom durch C zu null und damit auch U D

2

0.

Aus U D

D
a

U1

U2 folgt Ua

U1 und nach der Spannungsteilerregel:

U D

R1

D

D
a

Uq

10 V 300

7;5 V

R C

1

R3

400
b) C wird über R

2 von Uq aufgeladen: D R2 C D 200 50 F D 10 ms
c) Die Skizze des Zeitverlaufs von Ua zeigt Abb. 7.8.

Aufgabe 7.6

Der Schalter S in Abb. 7.9 ist seit langer Zeit geöffnet und wird zum Zeitpunkt t D t0
geschlossen.

a) Wie hoch sind Anfangs- und Endwert von Ua?

b) Wie sieht der Zeitverlauf von Ua aus (Skizze)?

Gegeben: Gleichspannung U D

D

D
e

10 V, R1

10 k, R2

2;5 k, C D 0;1 F

Lösung
a) Vor dem Schließen des Schalters ist die Spannung am Kondensator U D

C

0 V. An
einem Kondensator tritt kein Spannungssprung auf. Deshalb ist UC auch kurz nach
dem Schließen des Schalters null Volt.

U

C

C.t D t0

/ D UC.t t0/ D 0

U D

I

C

C

C
a

Ue

UC

Ua.t D t0 / D Ue.t D t0 / UC.t D t0 / D 10 V

Da durch R1 kein Strom fließt und an R1 keine Spannung abfällt, springt die Aus-
gangsspannung auf den Anfangswert 10 V, wenn S geschlossen wird.

208

7

Schaltvorgänge im unverzweigten Gleichstromkreis

Abb. 7.10 Zeitverlauf von Ua

Abb. 7.11 Uq ändert sich
sprunghaft

Für t ! 1 ist Ua der Spannungsabfall an R2, der sich durch den Spannungsteiler
einstellt.

U

R2

D
a.t ! 1/ D Ue

2 V

R C

1

R2
b) Der Zeitverlauf ist eine e-Funktion mit der Zeitkonstanten D R C (Abb. 7.10). Der
wirksame Widerstand ist R D R

2; D R2 C D 2;5 103 0;1 106 F D 0;25 ms

Aufgabe 7.7

Zum Zeitpunkt t D

0

0 sind in der Schaltung Abb. 7.11 alle Ausgleichsvorgänge abge-
schlossen. Für die Zeit davor (t < t

D

0) gilt: Uq

0 V, Schalter S ist geöffnet.

a) Zum Zeitpunkt t D

0

0 ms wird S geschlossen. Wie wirkt sich dies auf die Spannungen

U1 und U2 aus? Geben Sie ein Ersatzschaltbild für die Schaltung mit den Werten der

Ersatzelemente an, wenn S geschlossen ist.

b) Zum Zeitpunkt t D

D

1

2 ms springt Uq auf Uq

10 V. Der Schalter S bleibt weiterhin
geschlossen. Skizzieren Sie den Verlauf der Spannungen U1.t/ und U2.t/ im Bereich
t D 0 ms bis t D t D

2

12 ms. Berechnen Sie alle dafür notwendigen Zeitkonstanten.

c) Zum Zeitpunkt t D

D

2

12 ms springt Uq zurück auf Uq

0 V und S wird geöffnet.

Tragen Sie in die Skizze den weiteren Verlauf der Spannungen U1.t/ und U2.t/ ab
t D t D

2

12 ms ein. Berechnen Sie alle dafür notwendigen Zeitkonstanten.

Gegeben: R D

D

D

D

1

R2

2 k, C1

1 F, C2

500 nF

7.2

Schaltvorgang beim Kondensator

209

Abb. 7.12 Ersatzschaltbild
zum Zeitpunkt t D

0

0, S ge-
schlossen

Lösung
a) Für t < t

D

D

D

0 ist U1

0 V und U2

0 V, da Uq

0 V ist. Wird S geschlossen, so
bleiben die beiden Spannungen gleich: U D

D

1

U2

0 V.

Mit R D

D
k

D

1

R2

2 k˝ folgt: R D R1 R2

1 k.

Die beiden Kondensatoren sind parallel geschaltet: C D C C

D

1

C2

1;5 F.

Das Ersatzschaltbild zeigt Abb. 7.12.

b) D R C D 103 1;5 106 s D 1;5 ms

Die Kondensatoren werden aufgeladen, an ihnen liegt die gleiche Spannung U D

1

U2.

Den Zeitverlauf von U

D

1 .t / und U2 .t / im Bereich t D 0 ms bis t D t2

12 ms zeigt

Abb. 7.13.

c) Die Kondensatoren werden jetzt entladen, und zwar C1 über R1 und C2 über R2.

D

D

1

R1 C1

2 103 106 s D 2 ms

D

D

2

R2 C2

2 103 0;5 106 s D 1 ms

Den Zeitverlauf von U

D

1.t / und U2.t / ab t D t2

12 ms zeigt Abb. 7.13.

Aufgabe 7.8

Für die Schaltung nach Abb. 7.14 sind folgende Werte gegeben:

U D

D

D

D

D
q

9 V, Ri

R1

1 k, C1

1 F, C2

500 nF.

Zum Zeitpunkt t D

D

D

0

0 sind C1 und C2 entladen (U1

U2

0 V). Alle Schalter sind
geöffnet.

Abb. 7.13 Zeitverlauf von

U1.t/ und U2.t/

210

7

Schaltvorgänge im unverzweigten Gleichstromkreis

Abb. 7.14 Netzwerk mit meh-
reren Schaltern
a) Zum Zeitpunkt t D

1

2 ms wird der Schalter S1 geschlossen. Skizzieren Sie den Verlauf
der Spannung U

D

1.t / im Bereich t D 0 ms bis t D t2

10 ms. Berechnen Sie alle dafür
notwendigen Zeitkonstanten.

b) Zum Zeitpunkt t D

2

10 ms wird der Schalter S1 wieder geöffnet und Schalter S2 ge-
schlossen. Wie groß ist die Gesamtkapazität Cges der beiden Kondensatoren C1 und

C2? Welche Auswirkung hat dieser Vorgang auf die Spannung U1.t/?

c) Zum Zeitpunkt t D

3

12 ms wird zusätzlich der Schalter S3 geschlossen. Skizzieren Sie
den weiteren Verlauf der Spannung U

D

D

1.t / für t D t2

10 ms bis t D t4

20 ms.

Berechnen Sie alle dafür notwendigen Zeitkonstanten.

Lösung
a) C

D

D

1 wird geladen. 1

Ri C1

103 106 s D 1 ms
b) C

D

C

D

1 und C2 sind jetzt parallel geschaltet. Cges

C1

C2

1 F C 0;5 F D 1;5 F

Die Gesamtladung bleibt erhalten und verteilt sich jetzt auf C1 und C2.

Q D C U D const:, d. h. es muss sein:

U

C

D

D C1

1.t /alt D 106 9

1 U1.t /alt

Cges U1.t/neu oder U1.t/neu

V D 6 V

Cges

1;5 106

U1.t/ sinkt schlagartig auf 6 V ab, da die Kapazität bei gleich bleibender Ladung grö-
ßer wird.

c) Die beiden parallel geschalteten Kondensatoren werden jetzt über R1 entladen.

D

D

2

R1 Cges

103 1;5 106 s D 1;5 ms

Den gesamten Zeitverlauf von U1.t/ zeigt Abb. 7.15.

Abb. 7.15 Zeitverlauf von U1.t/

7.3

Schaltvorgang bei der Spule

211

7.3

Schaltvorgang bei der Spule

Aufgabe 7.9

Der Schalter S in Abb. 7.16 ist seit langer Zeit geöffnet und wird zum Zeitpunkt t D 0
geschlossen. Welchen zeitlichen Verlauf hat der Spulenstrom IL (Skizze)?

Gegeben: Gleichspannung U D

D

D
q

12 V, Ri

2 , RL

10 , L D 0;1 H

Lösung

Vor dem Schließen des Schalters sind alle Ausgleichsvorgänge abgeschlossen, es kann
eine Gleichstrombetrachtung durchgeführt werden. Die Induktivität L (ideale Spule) hat
den ohmschen Widerstand null Ohm.

t < 0W I D

Uq

D 12 V D

L

1 A

R C
i

RL

12

Unmittelbar nach dem Schließen des Schalters, zum Zeitpunkt t D 0C: Der Strom durch
eine Spule macht keinen Sprung. Im ersten Augenblick nach dem Schließen des Schalters
ist I D

L

1 A.

t > 0: IL klingt nach einer e-Funktion mit der Zeitkonstanten ab.

D L D 0;1 H D 10 ms

RL

10

I
t

L.t / D 1 A e 0;01 s

Den zeitlichen Verlauf des Spulenstroms zeigt Abb. 7.17.

Aufgabe 7.10

Die Widerstände R1 und R2 in Abb. 7.18 sind so zu dimensionieren, dass der Spulenstrom

IL.t/ genau 5 ms nach dem Schließen des Schalters S zum Zeitpunkt t D 0 den Wert

Abb. 7.16 Schaltvorgang bei
einer Spule

Abb. 7.17 Zeitlicher Verlauf
von IL

212

7

Schaltvorgänge im unverzweigten Gleichstromkreis

Abb. 7.18 R1 und R2 sind zu
bestimmen

Abb. 7.19 Ersatzschaltbild un-
mittelbar nach dem Schließen
des Schalters

IL.t D 5 ms/ D 250 mA und lange Zeit nach dem Schließen des Schalters S den Wert

IL.t ! 1/ D 500 mA annimmt.

Gegeben: Gleichspannung U D
q

110 V, L D 0;25 H

Lösung
t < 0:

Vor dem Schließen des Schalters S ist IL.t/ D 0.

t D 0C: Im ersten Augenblick nach dem Schließen des Schalters bleibt IL.t/ D 0, da der

Strom durch eine Spule stetig ist (keinen Sprung macht). Das Ersatzschaltbild
zeigt Abb. 7.19.

t ! 1: IL.t/ nimmt einen konstanten Wert IL.1/ D 500 mA an. Die ideale Spule mit
dem Wicklungswiderstand null Ohm entspricht einem Kurzschluss über R2, die

Spannung an der Spule und an R2 ist null. Da die Spannung an R2 null ist,
ist auch der Strom durch R2 null, R2 kann entfallen. Das Ersatzschaltbild zeigt

Abb. 7.20.

I

I

D

Uq

D 110 V D

L.1/ D Uq

R

220

R

1

1

IL.1/

0;5 A

Der Spulenstrom IL.t/ steigt nach einer e-Funktion von null auf IL.1/ an (Abb. 7.21).

IL.t/ D IL.1/ 1 e t

Abb. 7.20 Ersatzschaltbild für
t ! 1

7.3

Schaltvorgang bei der Spule

213

Abb. 7.21 Ansteigen des Spu-
lenstromes

Für t D t D

1

5 ms ist IL.t1/ D 250 mA; außerdem ist IL.1/ D 500 mA.

I

L.t /

1

1

Mit

D 1 e t folgt D 1 et1 I 1 D et1 I t1 D ln

I t1 D ln.2/I

IL.1/

2

2

2

D t1

D 5 ms D 7;21 ms
ln.2/

0;6931

Die nach dem Schließen des Schalters S in der Spule induzierte Spannung wird mit der

Zeitkonstanten D L abgebaut. R ist hierin der Widerstand der Parallelschaltung von

R

R1 und R2. Die ideale Spannungsquelle Uq hat einen Innenwiderstand von null Ohm,
deshalb ist für den Ausgleichsvorgang der Widerstand R1 als parallel zu R2 liegend zu
betrachten.

R

D

L

I R k R D L D

0;25 Vs

D 34;67 I

R1

2

D 34;67 I

R k

1

2

C

1

R2

7;21 103 A s

R1

R2

R

D

C

I

D 34;67 R1 D

1 R2

34;67 R1

34;67 R2

R2

41;16

R

1

34;67

Aufgabe 7.11

In Abb. 7.22 ist Uq eine Gleichspannungsquelle. Der Schalter S ist lange Zeit offen und
wird zum Zeitpunkt t D 0 geschlossen.

Wie groß sind die Werte von IL.t D 0C/ und IC.t D 0C/ unmittelbar nach dem

Schließen des Schalters (Anfangswerte)?

Abb. 7.22 Bestimmung von

Anfangswerten

214

7

Schaltvorgänge im unverzweigten Gleichstromkreis

Abb. 7.23 S wird geöffnet

Lösung
t < 0:

Vor dem Schließen des Schalters S ist IL.t/ D 0 und IC.t/ D 0.

t D 0C: Der Spulenstrom IL.t/ springt nicht. Beginnend mit dem Wert null steigt er nach
einer e-Funktion mit der Zeitkonstante D L an. I

R

L.t D 0C/ D 0

1

Die Kondensatorspannung springt nicht. Beginnend mit dem Wert null steigt sie nach
einer e-Funktion mit der Zeitkonstante D R

2

C an (der Kondensator wird geladen).

Der Kondensatorstrom IC.t/ macht jedoch beim Schließen des Schalters einen Sprung, er
wird bei t D 0C nur durch R2 begrenzt. IC.t D 0C/ D Uq

R2

Aufgabe 7.12

Im Stromkreis in Abb. 7.23 wird der Schalter S zum Zeitpunkt t D 0 geöffnet.

a) Wie groß ist die Stromstärke I im Stromkreis vor und lange Zeit nach dem Öffnen des

Schalters?

b) Nach welcher Zeit hat der Strom I seinen neuen Wert praktisch angenommen?

c) Welche Spannung fällt im Augenblick des Öffnens von Schalter S an R1 ab?

d) Wie lautet der analytische Ausdruck für den zeitlichen Verlauf der Selbstinduktionss-
pannung UL.t/?

e) Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der Spannung US.t/ über dem Schalter.

Gegeben: U D

D

D
q

10 V Gleichspannung, RL

20 , R1

100 , L D 0;5 H

Lösung
a) Vor dem Öffnen des Schalters (t < 0): Die ideale Induktivität L hat den Wicklungs-
widerstand null Ohm. Der geschlossene Schalter S ist eine Überbrückung von R1 mit
null Ohm. Der einzige Widerstand im Stromkreis ist RL.

I.t < 0/ D Uq D 10 V D 0;5 A

RL

20

7.3

Schaltvorgang bei der Spule

215

Lange Zeit nach dem Öffnen des Schalters (t ! 1): RL und R1 begrenzen den Strom.

I.t ! 1/ D

Uq

D 10 V D 0;083 A

R C

L

R1

120
b) Praktisch ist nach t D 5 der Einschwingvorgang beendet.

D L D

L

D 0;5 H D 4;16 ms

R

R C

L

R1

120
t D 5 D 5 4;16 ms D 20;8 ms
c) Da der Strom durch die Spule keinen Sprung macht, fließt unmittelbar nach dem Öff-
nen des Schalters der gleiche Strom durch R1, wie er vor dem Öffnen im Stromkreis
war. Der Spannungsabfall an R1 entspricht der Spannung US.t/ über dem Schalter.

U

S.t D 0/ D US.t D 0C/ D R1 I.t < 0/ D 100 0;5 A D 50 V
d) Der Zeitverlauf der Spulenspannung beim Ausschalten einer Spule ist allgemein be-
schrieben durch den Ausdruck UL.t/ D U e t . Im hier gegebenen Fall springt die

Spulenspannung unmittelbar nach dem Öffnen des Schalters auf 50 V und fällt dann

t
nach einer e-Funktion ab. UL.t/ D 50 V e 4;16ms
e) Lange Zeit nach dem Öffnen des Schalters fällt über R1 folgende Spannung ab:

U

D

S.t ! 1/ D I.t ! 1/ R1

0;083 A 100 D 8;3 V:

RL und R1 wirken als Spannungsteiler:

U

R1

D

D
q

10 V 100

8;3 V:

R C

L

R1

120

Den zeitlichen Verlauf von US zeigt Abb. 7.24.

Abb. 7.24 Zeitlicher Verlauf
von US

216

7

Schaltvorgänge im unverzweigten Gleichstromkreis

Abb. 7.25 Relaisspule an

Gleichspannung

Aufgabe 7.13

Eine Relaisspule mit der Induktivität L D 1;5 H und dem Wicklungswiderstand R D

L

120 ist parallel zu einem ohmschen Widerstand Ra geschaltet. Die Schaltung liegt an
einer Gleichspannung U D
q

6 V.

a) Zeichnen Sie das Schaltbild der Anordnung.

b) Welchen Widerstandswert muss Ra mindestens erhalten, wenn beim Abschalten der

Gleichspannung an den Klemmen der Relaisspule eine maximale Induktionsspannung
von 160 V auftreten darf?

c) Wie groß ist dann die Zeitkonstante für das Abschalten?

d) Was wären die Auswirkungen, wenn zur Vermeidung einer hohen Induktionsspannung
eine Freilaufdiode statt Ra verwendet würde? Wie sieht dann das Schaltbild aus?

Lösung
a) Das Schaltbild ist in Abb. 7.25 dargestellt.

b) Vor dem Abschalten von Uq ist:

I D Uq D 6 V D

L

50 mA

RL

120

Wenn Uq abgeschaltet wird, macht IL keinen Sprung. IL fließt jetzt über Ra.

Das Ersatzschaltbild zeigt Abb. 7.26.

R D 160 V D
a

3;2 k

50 mA
c) Abschaltzeitkonstante:

D L D

L

D

1;5 H

D 452 s

R

R C

L

Ra

120 C 3200

Abb. 7.26 Ersatzschaltbild,
wenn die Spannungsquelle
entfällt

7.3

Schaltvorgang bei der Spule

217

Abb. 7.27 Schaltbild bei Ver-
wendung einer Freilaufdiode

Die Abschaltzeitkonstante wird umso größer, je kleiner Ra wird. IL klingt also nach
dem Abschalten der Spannungsquelle umso langsamer ab, je kleiner Ra wird.

d) Bei Verwendung einer Freilaufdiode (Abb. 7.27) wird die Induktionsspannung an den

Klemmen der Relaisspule auf ca. 0,5 V bis 0,7 V begrenzt. Da der Durchlasswiderstand
der Diode relativ klein ist, wird die Abschaltzeitkonstante gegenüber der Verwendung
von Ra erheblich größer, IL wird wesentlich langsamer kleiner. Daher dauert es erheb-
lich länger, bis das Relais „abfällt“, d. h., bis nach dem Ausschalten der Strom so weit
abgesunken und damit das Magnetfeld so stark reduziert ist, dass der Schaltkontakt
des Relais in den Ruhezustand wechselt.

Der verzweigte Gleichstromkreis

8

Zusammenfassung

Vorgestellt werden die Methoden zur Berechnung der Parallelschaltung von ohmschen

Widerständen, Kondensatoren, Spulen und von Spannungs- und Stromquellen. Die

Erweiterung des Messbereiches eines Strommessers ist wegen der erforderlichen Pa-
rallelschaltung eines Widerstandes ebenfalls hier enthalten. Der belastete Spannungs-
teiler mit seinen veränderten Spannungen gegenüber dem unbelasteten Zustand wird
berechnet. Gemischte Schaltungen aus Reihen- und Parallelschaltungen mehrerer Bau-
elemente erweitern die Berechnungsmöglichkeiten verzweigter Netzwerke. Die Stern-

Dreieck- und Dreieck-Stern-Umwandlung ergibt spezielle Methoden zur Umformung
und Berechnung von Netzwerken. Mit der Transformation von Spannungs- in Strom-
quellen und umgekehrt werden Analysemöglichkeiten erweitert. Zahlreiche Beispiele
zur Analyse von Netzwerken bieten die Möglichkeit für eigene Übungen. Die Knoten-
analyse und der Überlagerungssatz vervollständigen die Analysemöglichkeiten.

8.1

Grundwissen – kurz und bündig

Erstes Kirchhoff’sches Gesetz (Knotenregel): Die Summe aller Ströme in einem Kno-
ten ist null.

Zweites Kirchhoff’sches Gesetz (Maschenregel): Die Summe aller Spannungen in ei-
ner Masche ist null.

Der Ersatzwiderstand einer Parallelschaltung von ohmschen Widerständen ist:

R

D

1
ges

:

1 C 1 C : : : C 1

R1

R2

Rn

Für die Parallelschaltung von zwei Widerständen gilt: R D R1R2
ges

.

R1CR2

Für die Parallelschaltung von Kondensatoren gilt: C D

C

C
ges

C1

C2

: : : C Cn.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017

219

L. Stiny, Aufgabensammlung zur Elektrotechnik und Elektronik,

DOI 10.1007/978-3-658-14381-7_8

220

8

Der verzweigte Gleichstromkreis

Für die Parallelschaltung von zwei magnetisch nicht gekoppelten Spulen gilt: L

D
ges

L1L2 .

L1CL2

Werden Gleichspannungsquellen parallel geschaltet, so erhöht sich der entnehmbare

Strom. Bestimmte Probleme sind dabei zu beachten.

Durch die Parallelschaltung von Bauelementen können Ersatzwerte gewonnen werden.

Der Messbereich eines Amperemeters kann durch einen Shunt erweitert werden.

R D

D

D

D

P

Parallelwiderstand; IM

Messbereich; Imess
erweiterter Messbereich; Ri

Innenwiderstand Strommesser

Der Parallelwiderstand (Shunt) R

D

P bei Strommessung für Imess
x IM ist

IM

R D Ri

D Ri

P
oder RP

:

x 1

I

mess

IM

Vom unbelasteten Spannungsteiler ist der belastete Spannungsteiler zu unterscheiden.

Gemischte Schaltungen können durch Zusammenfassung von Bauelementen berechnet
werden.

Eine Sternschaltung kann in eine Dreieckschaltung umgewandelt werden und umge-
kehrt.

Eine Spannungsquelle kann in eine Stromquelle umgewandelt werden und umgekehrt.

Bei einem Netzwerk gibt es einen Baum, Maschen, Zweige und Knoten. Ein Netzwerk
kann durch einen Graphen dargestellt werden.

Ein Netzwerk kann mit der Maschenanalyse, der Knotenanalyse, durch den Überlage-
rungssatz oder mit dem Satz von der Ersatzspannungsquelle berechnet werden.

8.2

Parallelschaltung von ohmschen Widerständen

Aufgabe 8.1

Zwei Widerstände R D

D

1

R2

100 sind parallel geschaltet. Wie groß ist der Ersatzwi-
derstand Rges?

Lösung

Werden zwei gleich große Widerstände parallel geschaltet, so erhält man den halben Wi-
derstandswert. Dies sollte man auswendig wissen!

R k

D

D

1

R2

Rges

50

Aufgabe 8.2

Zwei ohmsche Widerstände R D

D

1

60 und R2

30 sind parallel geschaltet. Wie groß
ist der Ersatzwiderstand Rges?

Lösung

R

R

D R1

2

D 60 30
ges

D 20

R C

1

R2

60 C 30

8.3

Parallelschaltung von Kondensatoren

221

Die Formel zur Berechnung des Ersatzwiderstandes von zwei parallel geschalteten ohm-
schen Widerständen ist formal der Formel für die Reihenschaltung von zwei Kondensato-
ren ähnlich.

Aufgabe 8.3

Drei Widerstände R D

D

D

1

60 , R2

30 und R3

20 sind parallel geschaltet.

Berechnen Sie den Ersatzwiderstand Rges.

Lösung

1 D 1 C 1 C 1 I

1 D 1 C 1 C 1 D 6 I R D
ges

10

Rges

R1

R2

R3

Rges

60

30

20

60

Aufgabe 8.4

Es wird der Ersatzwiderstand R

D
ges von drei parallel geschalteten Widerständen R1

4;7 k, R D

D

D

2

10 k und R3

47 k berechnet. Das Ergebnis ist Rges

6;8 k. Kann
dieses Ergebnis stimmen? Begründen Sie Ihre Antwort.

Lösung

Das Ergebnis R

D

D
ges

6;8 k ist größer als der kleinste der drei Widerstände R1

4;7 k
und ist somit falsch. Bei einer Parallelschaltung von ohmschen Widerständen ist der Er-
satzwiderstand stets kleiner als der kleinste der Einzelwiderstände.

8.3

Parallelschaltung von Kondensatoren

Aufgabe 8.5

Wie groß ist die Kapazität des Kondensators C2 der in Abb. 8.1 dargestellten Schaltung?

Lösung

C D

2

40 F

Lösungsweg: Die Parallelschaltung von zwei gleich großen Kapazitäten ergibt den dop-
pelten Kapazitätswert. Die Reihenschaltung von zwei gleich großen Kapazitäten ergibt
den halben Kapazitätswert.

Die Parallelschaltung von C1 und C2 muss 80 F ergeben, damit deren Reihenschal-
tung mit C3 die 40 F von Cges ergibt. C2 muss somit eine Kapazität von 40 F haben.

Abb. 8.1 Parallelschaltung
von Kondensatoren

222

8

Der verzweigte Gleichstromkreis

Abb. 8.2 Zusammenschaltung
von Kondensatoren

Abb. 8.3 Netzwerk mit Kon-
densatoren

Aufgabe 8.6

Wie groß ist die Kapazität des Kondensators C2 der in Abb. 8.2 dargestellten Schaltung?

Lösung

C D

2

20 F

Lösungsweg: Die Parallelschaltung von zwei gleich großen Kapazitäten ergibt den dop-
pelten Kapazitätswert. Die Reihenschaltung von zwei gleich großen Kapazitäten ergibt
den halben Kapazitätswert.

Die Parallelschaltung von C1 und C2 muss 40 F ergeben, damit deren Reihenschal-
tung mit der Parallelschaltung von C3 und C4 (40 F) den Wert 20 F von Cges ergibt. C2
muss somit eine Kapazität von 20 F haben.

Aufgabe 8.7
a) Gesucht ist die Gesamtkapazität Cges zwischen den Klemmen A und B des Netzwerkes
mit Kondensatoren in Abb. 8.3.

b) Bestimmen Sie das Verhältnis U2=U mit Hilfe der kapazitiven Spannungsteilerregel.

c) Vergleichen Sie allgemein die kapazitive Spannungsteilerregel mit der Spannungstei-
lerregel für ohmsche Widerstände.

Gegeben: C D

D

D

D

1

500 pF; C2

30 nF; C3

50 nF; C4

10 nF

Lösung
a) Der Kapazitätswert C k

C

3

C4 ist C3

C4.

Der Kapazitätswert der Reihenschaltung von C
k

2 und C3

C4 ist

C

C

2 .C3

C4/ :

C C

C

2

C3

C4

Zwischen den Klemmen A und B ist die Kapazität

.C C C

C

D

C C2

3

4/
ges

C1

:

C C

C

2

C3

C4

C

D
ges

0;5 nF C 30 60 nF D 20;5 nF

90

8.3

Parallelschaltung von Kondensatoren

223

Abb. 8.4 Ein weiteres Netz-
werk mit Kondensatoren
b) Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren ist die Teilspannung Ux am Teilkonden-
sator Cx entsprechend der kapazitiven Spannungsteilerregel:

U D
x

U Cges

Cx

C

U

2.C3CC4/

C

2 D C

C

2CC3CC4

D

C3

4

D 60 nFI

U2 D 2

U

C

C

C

2

C2

C3

C4

90 nF

U

3

Man beachte, dass C1 nicht in die Spannungsteilerregel eingeht, da diese Kapazität
parallel zur Spannungsquelle U liegt.

c) Bei der Reihenschaltung von ohmschen Widerständen ist die Teilspannung Ux am Teil-
widerstand Rx:

U D
x

U Rx

Rges

Beim ohmschen Spannungsteiler ist die Teilspannung Ux am Teilwiderstand Rx umso
größer, je größer der Teilwiderstand Rx ist. Beim kapazitiven Spannungsteiler ist die

Teilspannung Ux am Teilkondensator Cx umso größer, je kleiner die Teilkapazität Cx
ist.

Aufgabe 8.8
a) Wie groß ist die Gesamtkapazität CAB der Schaltung in Abb. 8.4 zwischen den Punkten

A und B?

b) Welches Spannungsverhältnis U2=U1 ergibt sich aus den Einzelkapazitäten?

Lösung
a) C

D

C

2 und C3 liegen parallel, die Ersatzkapazität ist die Summe: C23

C2

C3. C23 ist
mit C1 in Reihe geschaltet. Somit folgt:

.C C C

C

D C1

2

3/

AB

:

C C

C

1

C2

C3
b) Es liegt ein kapazitiver Spannungsteiler vor. Es gilt: U D
x

U Cges mit

Cx

U

D
x

Spannung am Kondensator Cx,

U

D Gesamtspannung,

224

8

Der verzweigte Gleichstromkreis

Abb. 8.5 Schwingkreis mit

Kondensatoren

C

D
ges

Gesamtkapazität der Reihenschaltung,

C

D
x

Teilkapazität.

.C C C

U D

CAB

D

C1

2

3/

D

C1

2

U1

U

U

C C

1

C

C

C

1

C

C

2

C3

.C1

C2

C3/ .C2

C3/

C1

C2

C3

U2 D

C1

U

C

C

1

C1

C2

C3

Aufgabe 8.9

Ein Schwingkreis enthält Kondensatoren wie in Abb. 8.5 dargestellt. Wie groß ist die

Gesamtkapazität Cmax maximal und Cmin minimal? Auf welchen Kapazitätswert muss Cd
eingestellt werden, wenn die Gesamtkapazität C

D
ges

250 pF betragen soll?

Gegeben: C D

D

1

500 pF, C2

100 pF, Cd ist einstellbar zwischen 15 und 515 pF.

Lösung

C

D

C

1
ges

C2

1 C 1

C1

Cd

Cges ist maximal, wenn Cd maximal ist. Cges ist minimal, wenn Cd minimal ist.

C

D

D
max

100 pF C

1

353;7 pF

1

C 1

500 pF

515 pF

C

D

D
min

100 pF C

1

114;6 pF

1

C 1

500 pF

15 pF

Cges auflösen nach Cd ergibt

C D

1

D

1

D
d

214;3 pF:

1

1

1

1

CgesC2

C1

250 pF100 pF

500 pF

8.4

Parallelschaltung von Spulen

225

8.4

Parallelschaltung von Spulen

Aufgabe 8.10

Zu einer Spule mit der Induktivität L D

D

1

500 mH wird eine Spule mit L2

0;3 H parallel
geschaltet (magnetisch nicht gekoppelt). Wie groß ist die Ersatzinduktivität L?

Lösung

L

L D L1

2 D 0;5 0;3 H D 187;5 mH

L C

1

L2

0;8

Die Formel zur Berechnung der Induktivität von zwei parallel geschalteten Spulen ist der

Formel zur Berechnung des Widerstandes von zwei parallel geschalteten ohmschen Wi-
derständen und der Formel zur Berechnung der Kapazität von zwei in Reihe geschalteten

Kondensatoren formal ähnlich.

Aufgabe 8.11

Drei gleiche, magnetisch nicht gekoppelte Spulen mit der Induktivität L D L0 werden
parallel geschaltet. Wie groß ist die Gesamtinduktivität Lges der Schaltung?

Lösung

Die Gesamtinduktivität von n parallel geschalteten Spulen ist

L

D

1
ges

:

1 C 1 C : : : C 1

L1

L2

Ln

Mit L D

D

D

D L0

1

L2

L3

L0 folgt Lges

.

3

8.5

Parallelschaltung von Spannungs- und Stromquellen

Aufgabe 8.12

Die Lichtmaschine eines Autos hat eine Quellenspannung U

D
qL

15;6 V und einen In-
nenwiderstand R

D
iL

0;2 . Parallel zur Lichtmaschine ist die Autobatterie mit der

Quellenspannung U

D

D
qB

12;6 V und dem Innenwiderstand RiB

0;01 geschaltet.

Die an diese Stromversorgung angeschlossenen Verbraucher entsprechen einem Lastwi-
derstand von R D

L

1;2 .

226

8

Der verzweigte Gleichstromkreis

Abb. 8.6 Schaltbild mit

Lichtmaschine und Autoakku
a) Zeichnen Sie das Schaltbild.

b) Wandeln Sie die beiden Spannungsquellen in äquivalente Stromquellen um und fassen

Sie diese zu einer einzigen Ersatzstromquelle zusammen. Wie groß ist der Strom IL
durch RL?

Lösung
a) Das Schaltbild ist in Abb. 8.6 dargestellt.

b) Die Spannungsquellen werden in äquivalente Stromquellen umgewandelt und diese zu
einer einzigen Stromquelle zusammengefasst (Abb. 8.7).

I

D UqL D

D UqB D

D

C

D
qL

78 AI

IqB

1260 AI

Iq

IqL

IqB

1338 A

RiL

RiB

R D
k

D 0;01 0;2
i

RiL

RiB

D 9;5 m

0;21

Stromteilerregel:

I D

Ri

D

I

D

L

Iq

1338 A

9;5 103

IL

10;5 A

R C
i

RL

9;5 103 C 1;2

Abb. 8.7 Spannungsquellen umgewandelt in äquivalente Stromquellen, Zusammenfassung zu einer

Stromquelle

8.5

Parallelschaltung von Spannungs- und Stromquellen

227

Man könnte auch die Stromquelle wieder in eine Spannungsquelle umwandeln.

U D

D
q

Iq Ri

1338 A 9;5 103 D 12;7 VI

I D

Uq

D

12;7 V

D

L

10;5 A

R C
i

RL

9;5 103 C 1;2

Aufgabe 8.13

Was ist in der Praxis bei der Parallelschaltung von Spannungs- und Stromquellen zu be-
achten?

Lösung

Stromquellen können unbedenklich parallel geschaltet werden, um die Stromergiebigkeit
zu erhöhen. – Eine Parallelschaltung von Spannungsquellen zu verwenden, um den ver-
fügbaren maximalen Strom zu erhöhen, kann dagegen problematisch sein. Alle parallel
geschalteten Spannungsquellen müssen
die gleiche Spannung liefern,
gleiche Innenwiderstände aufweisen,
mit gleicher Polung zusammengeschaltet werden,
erd- bzw. potenzialfrei oder am gleichen Pol geerdet sein.

Wechselspannungen müssen gleichphasig zusammengeschaltet werden.

Werden diese Punkte nicht beachtet, sind Ausgleichsströme zwischen den Quellen die

Folge. Durch eine unkontrollierte Stomaufteilung zwischen den Spannungsquellen kann
es zu einer starken Überlastung einer Quelle kommen. Eine falsche Polung kommt z. B. ei-
nem Kurzschluss gleich. Selbst bei gleichen Spannungen wird die Stromaufteilung auf die
einzelnen Spannungsquellen durch ihre Innenwiderstände festgelegt. Von ihnen ist meist
nur bekannt, dass sie klein sind, ihr genauer Wert ist oft unbekannt. Eine unterschiedliche

Stromaufteilung kann zur Überlastung einer Quelle führen.

Weisen alle Spannungsquellen die gleiche Spannung und den gleichen Innenwider-
stand auf, so ist der Maximalstrom gleich der Summe der Maximalströme der einzelnen

Spannungsquellen. Der gesamte Innenwiderstand der parallel geschalteten Spannungs-
quellen entspricht der Parallelschaltung ihrer einzelnen Innenwiderstände.

Aufgabe 8.14

Geben Sie die Parameter der Ersatzspannungsquelle und der Ersatzstromquelle der Schal-
tung in Abb. 8.8 an, bestimmen Sie also jeweils Quellenspannung und Quellenstrom sowie
den Innenwiderstand der Ersatzschaltung.

Gegeben: U

D

D

D

D

D
q1

1;5 V, Uq2

1;4 V, Uq3

1;5 V, Ri1

1;0 , Ri2

0;9 ,

R D
i3

1;4

228

8

Der verzweigte Gleichstromkreis

Abb. 8.8 Parallel geschaltete

Spannungsquellen

Lösung

Die Spannungsquellen werden zuerst in äquivalente Stromquellen umgewandelt (siehe
auch Abschn. 8.10, Umwandlung von Quellen). Das Ergebnis zeigt Abb. 8.9. Die Werte der einzelnen Stromquellen sind:

I D Uq1 D 1;5 V D

D Uq2 D 1;4 V D
q1

1;5 AI

Iq2

1;56 AI

Ri1

1;0

Ri2

0;9

I D Uq3 D 1;5 V D
q3

1;07 A:

Ri3

1;4

Die Stromquellen werden zu einer Stromquelle zusammengefasst (Abb. 8.10a).

I D

C

C

D
q

Iq1

Iq2

Iq3

1;5 A C 1;56 A C 1;07 A D 4;13 A

R D

1

D

1

D
i

0;354

1 C 1 C 1

1

C 1 C 1

Ri1

Ri2

Ri3

1;0

0;9

1;4

Die Quellenspannung (Abb. 8.10b) ist: U D

D
q

Iq Ri

4;13 A 0;354 D 1;46 V.

Abb. 8.9 Netzwerk mit

Stromquellen statt mit Span-
nungsquellen

Abb. 8.10 Ersatzspan-
nungsquelle (a) und

Ersatzstromquelle (b) der

Schaltung in Abb. 8.8

8.6

Erweiterung des Messbereiches eines Amperemeters

229

8.6

Erweiterung des Messbereiches eines Amperemeters

Aufgabe 8.15

Ein Strommesser mit Drehspulmesswerk hat einen Messbereich von I

D

M

1;0 A und
einen inneren Widerstand von R D
i

0;15 . Der Messbereich soll durch einen Parallelwi-
derstand (Shunt) auf I

D
mess

6 A erweitert werden. Berechnen Sie den Shunt RP.

Lösung

I

R D

Ri

M

D 0;15 1 A D

P

30 m

I

mess

IM

6 A 1 A

Aufgabe 8.16

Ein Strommesser mit einem Innenwiderstand von R D
i

1 misst bei Vollausschlag den

Strom I D

D

M

100 mA. Der Messbereich soll bis Imess

5 A erweitert werden.

a) Welchen Widerstandswert muss der Shunt RP (Nebenwiderstand) erhalten?

b) Welcher Gesamtwiderstand Rges ergibt sich?

Lösung
a)

I

R D

Ri

M

D 1 0;1 A D

P

20;4 m

I

mess

IM

5 A 0;1 A
b) Ri und RP liegen parallel:

R

R

D RP
i

D
ges

20;0 m

R C

P

Ri

Aufgabe 8.17

Ein Drehspulmessgerät mit Vollausschlag bei I D 100 A und dem Innenwiderstand

R D
i

2 k soll entsprechend Abb. 8.11 zur Strommessung erweitert werden.

I Anmerkung Die angegebene Schaltung wird in der Praxis verwendet, da sich die

Kontaktwiderstände des Schalters nicht auf die Messgenauigkeit auswirken, sie beeinflus-
sen nicht das Verhältnis des Stromteilers.

Für die Schalterstellungen 1, 2 und 3 sollen (jeweils für Vollausschlag) die Messberei-
che I D 30 mA, I D 10 mA und I D 3 mA eingestellt werden können. Berechnen Sie
für diese Messbereiche die Widerstände R1, R2 und R3.

230

8

Der verzweigte Gleichstromkreis

Abb. 8.11 Erweiterung ei-
nes Drehspulmesswerks zur

Strommessung mit mehreren

Messbereichen

Lösung

Allgemein gilt für einen Shunt:

I

R D

Ri

M

P

:

I

mess

IM

R D

D

D

D

P

Parallelwiderstand; IM

Messbereich; Imess
erweiterter Messbereich; Ri

Innenwiderstand Strommesser

30 mA-Bereich: R D

0;2 V

D

1

6;7

0;03 A0;0001 A

10 mA-Bereich: R C

D

0;2 V

D

D

1

R2

20;2 ; R

13;5

0;01 A0;0001 A

2

3 mA-Bereich: R C

C

D

0;2 V

D

D

1

R2

R3

69 ; R

48;8

0;003 A0;0001 A

3

Man beachte, dass bei diesem Ansatz in Schalterstellung 1 die Widerstände R2 und R3 in

Reihe zu R1 vernachlässigt sind. In Schalterstellung 2 ist der Widerstand R3 in Reihe zu

R C

1

R2 vernachlässigt.

Soll ein Strommesser mit dem Innenwiderstand Ri auf einen x-fachen Messbereich
erweitert werden, so ist ein Parallelwiderstand mit dem Wert R D

P

Ri=.x1/ erforderlich.

Für I D 30 mA ist x 1 D 299.

Für I D 10 mA ist x 1 D 99.

Für I D 3 mA ist x 1 D 29.

Man erhält jetzt folgende drei Gleichungen.

30 mA-Bereich: R D 1

C

C

1

.R

R

R

299
i

2

3/

10 mA-Bereich: R C

D 1

C

1

R2

.R

R

99
i

3/

3 mA-Bereich: R C

C

D 1

1

R2

R3

R

29
i

Wird dieses Gleichungssystem mit den drei Unbekannten R1, R2, R3 gelöst, so erhalten
wir für die drei Widerstände:

R D

D

D

1

6;9 I

R2

13;6 I

R3

48;4

Wegen des großen Wertes von Ri sind die Abweichungen der exakt berechneten Wider-
standswerte von den zuerst berechneten Werten sehr klein.

8.6

Erweiterung des Messbereiches eines Amperemeters

231

Abb. 8.12 Ersatzschaltung
eines Strommessers mit Shunt

Aufgabe 8.18

Ein Strommesser mit einem Vollausschlag I

D

M

30 mA und einem Innenwiderstand

R D

D
i

9 soll auf einen Messbereich von Imess

6 A erweitert werden. Gesucht ist
der Parallelwiderstand (Shunt) RP, der jeweils maximale Leistungsverbrauch Pi im In-
strument und PP im Parallelwiderstand RP.

Lösung

Die Ersatzschaltung der Anordnung zeigt Abb. 8.12.

Der Wert des Shunts errechnet sich nach dem ohmschen Gesetz aus dem Spannungs-
abfall des Instruments und dem durch den Shunt fließenden Strom.

I

R D

Ri

M

I

D 9 0;03 A D

P

RP

45;2 m

I

mess

IM

6 A 0;03 A

Der Leistungsverbrauch Pi im Instrument errechnet sich aus dem Strom durch das Mess-
werk und dessen Innenwiderstand:

P D

D
i

I 2M Ri

.30 mA/2 9 D 8;1 mW

Der Leistungsverbrauch in RP errechnet sich aus dessen Widerstandswert und den durch
ihn fließenden Strom:

P D

D

P

I 2P RP

.6 A 30 mA/2 45;2 m D 1;61 W

Aufgabe 8.19

In einem Gleichstrommessgerät wird die Schaltung in Abb. 8.13 mit Parallelwiderständen
zur Realisierung verschiedener Strommessbereiche verwendet. Der jeweilige Messbereich
wird durch Überbrücken der zugehörigen Klemmen gewählt. Am Innenwiderstand RM des

Messwerks entsteht bei Vollausschlag I D

D

M

50 A ein Spannungsabfall UM

100 mV.

Berechnen Sie den Innenwiderstand RM des Messwerks und die Parallelwiderstände

R1 bis R7.

Lösung

R D UM D

M

2 k

IM

Messbereich 100 A:

R C

C

C

C

C

C

D

D

UM

D

100 mV

)

D

1

R2 R3 R4 R5 R6 R7

RP

RP

2 k

I

1

IM

100 A 50 A

232

8

Der verzweigte Gleichstromkreis

Abb. 8.13 Gleichstrommessgerät mit verschiedenen Messbereichen

Abb. 8.14 Teilschaltung für

Messbereich 250 A

Abb. 8.15 Teilschaltung für

Messbereich 2,5 mA

Messbereich 250 A:

Zu der Reihenschaltung aus R

M und R1 liegt RP

R1 parallel. Die Teilschaltung zeigt

Abb. 8.14.

I

M

R

R

Stromteilerregel:

D

RP

1

D RP

1 I

I

C

C

C

1

RM

R1

RP

R1

RM

RP

R D

IM

C

1

RP

.RM

RP/

I1

R D

1

2 k 50 A .2 k C 2 k/ D 1200

250 A

Messbereich 2,5 mA:

Die Teilschaltung zeigt Abb. 8.15.

I

M D

RP

R1

R2

D RP

R1

R2 I

I

C

C

C

C

1

RM

R1

R2

RP

R1

R2

RM

RP

R D

IM

C

2

RP

R1

.RM

RP/

I1

R D

2

2k 1200 50 A

4 k D 720

2500 A

8.7

Der belastete Spannungsteiler

233

Bei gleichem Vorgehen berechnen sich die weiteren Widerstände zu:

R D

D

D

D

D

3

72 I

R4

7;2 I

R5

0;6 I

R6

0;12 I

R7

0;08

8.7

Der belastete Spannungsteiler

Aufgabe 8.20

Der Spannungsteiler wurde bereits in Abschn. 3.2.4 behandelt. Es folgen ergänzende Auf-
gaben zum belasteten Spannungsteiler. Gegeben ist der Spannungsteiler in Abb. 8.16.

Gegeben: U D

D

D

D

1

28 V, R1

2 k, R2

9 k, R3

3 k
a) Berechnen Sie U2 und U3.

b) Parallel zu R2 wird ein Widerstand R D 11;25 k geschaltet. Wie groß sind jetzt U2
und U3? Wie wird der Spannungsteiler jetzt bezeichnet?

Lösung
a) Anwendung der Spannungsteilerregel:

R C R

12 k

U D

2

3

D

D

2

U1

28 V

24 V

R C

C

1

R2

R3

14 k

R

3 k

U D

3

D

D

3

U1

28 V

6 V

R C

C

1

R2

R3

14 k
b)

11;25 k

R0 D R2

D

2

5 k

R C

2

11;25 k

R0 C R

8 k

U D

2

3

D

D

2

U1

28 V

22;4 V

R C

C

1

R02

R3

10 k

R

3 k

U D

3

D

D

3

U1

28 V

8;4 V

R C

C

1

R02

R3

10 k

Die Schaltung wird jetzt als belasteter Spannungsteiler bezeichnet.

Abb. 8.16 Ein Span-
nungsteiler aus ohmschen

Widerständen

234

8

Der verzweigte Gleichstromkreis

Abb. 8.17 Potenziometer in

Spannungsteilerschaltung mit

Last

Aufgabe 8.21

Ein Potenziometer in Spannungsteilerschaltung (Abb. 8.17) wird mit dem Widerstand

R D

L

470 belastet. Wie groß ist die Spannung UL? Welchen Strom I zeigt das Am-
peremeter an?

Gegeben: U D 24 V, R D

G

3;3 k D Gesamtwiderstand des Potenziometers,

R D
x

3000 D Widerstand zwischen Abgriff (Schleifer) und Masse

Lösung

Nach der Spannungsteilerregel ergibt sich UL zu:

k

R

R
xRL

U D

L

D

RxCRL

L

U

Rx

U

:

R k

C

RxRL
x

RL

.RG

Rx/

C .R R

R

G
x/
xCRL

U D

D

L

24 V

406;34

13;8 V

406;34 C 300

I D

U

D

24 V

D 34 mA

R k

C

x

RL

.RG

Rx/

706;34

Aufgabe 8.22

Das Potenziometer in Abb. 8.18 mit dem Gesamtwiderstand R D 200 wird unbelastet
und belastet betrachtet. Der Widerstand vom Anschluss A des Potenziometers bis zum

Schleifer beträgt 3 R.

4

Berechnen Sie jeweils U, I, IR, IRa, wenn der Schalter S offen und geschlossen ist.

Lösung

S offen (unbelasteter Spannungsteiler):

U D 230 V 150 D 172;5 VI

I D I D 230 V D

D

R

1;15 AI

IRa

0

200

200

Abb. 8.18 Potenziometer
unbelastet und belastet

8.8

Gemischte Schaltungen

235

I Anmerkung Die Belastung des Potis ist sehr hoch.

P D U I D 230 V 1;15 A D 264;5 W

S geschlossen (belasteter Spannungsteiler):

U D 230 V

150 k 150

D 230 V 75 D 138 V

50 C 150 k 150

125

I D 138 V D

D 138 V D

C

D

R

0;92 AI

IRa

0;92 AI

I D IR

IRa

1;84 A

150

150

8.8

Gemischte Schaltungen

Aufgabe 8.23

Berechnen Sie den Ersatzwiderstand der in Abb. 8.19 bis Abb. 8.22 angegebenen Wider-standskombinationen zwischen den Anschlussklemmen A und B.

a) R D

D

D

1

40 , R2

40 , R3

6

Abb. 8.19 Zu bestimmen ist
der Ersatzwiderstand zwischen
den Klemmen A und B
b) alle R D 18

Abb. 8.20 Zu bestimmen ist
der Ersatzwiderstand zwischen
den Klemmen A und B
c) alle R D 2

Abb. 8.21 Zu bestimmen ist
der Ersatzwiderstand zwischen
den Klemmen A und B

236

8

Der verzweigte Gleichstromkreis
d) alle R D 1

Abb. 8.22 Zu bestimmen ist
der Ersatzwiderstand zwischen
den Klemmen A und B

Lösung
a) Es handelt sich um eine gemischte Parallel- und Reihenschaltung.

R

D

C R2R3 D

D

AB

R1

40 C 40 6

45;2

R C

2

R3

40 C 6
b) Auch dies ist eine gemischte Parallel- und Reihenschaltung.

R

D

C

1

D

C R D

AB

R C

1

R C R

18 C 6 C 9 D 33

1 C 1 C 1

1 C 1

3

2

R

R

R

R

R
c) Das Netzwerk wird in zwei Ersatznetzwerke zerlegt (Abb. 8.23).

R

D 2R R C
ers1

R D 5R

2R C R

3

2R

5R 2R

R

D Rers1

C

3

C
ers2

R D

R D 21R

R

C

5R
ers1

2R

C 6R

11

3

3

Jetzt wird noch der Widerstand zwischen den Klemmen A und B parallel zu Rers2
berücksichtigt.

R

21R R

R

D Rers2

D

11

D

AB

0;656 R D 1;3

R

C

21R
ers2

R

C 11R

11

11
d) Es wird eine Dreieck-Stern-Transformation durchgeführt (Abb. 8.24).

R D

R R

D

D

D R 2R D

1

0;25 I

R

R

0;5

R C R C 2R

2

3

4R

C 2R/ .R C R/

Somit ist: R

D

C .R2

3

D

D

AB

R1

0;25 C 2;5 1;5

1;19

R C

C

2

2R C R3

R

4

Abb. 8.23 Schaltung a ist Rers1 und Schaltung b ist Rers2

8.8

Gemischte Schaltungen

237

Abb. 8.24 Umwandlung durch Dreieck-Stern-Transformation

Abb. 8.25 Zu bestimmen ist
der Widerstand RAB

Abb. 8.26 Gesucht ist der

Ersatzwiderstand zwischen den

Klemmen A und B

Aufgabe 8.24

Wie groß ist der Widerstand RAB zwischen den Klemmen A und B des in Abb. 8.25
gezeigten Widerstandsnetzwerkes?

Lösung

Von rechts nach links gehend werden die Widerstände der Teilschaltungen bestimmt.

12R k 4R D 12R4R D 3R; R C 3R D 4R; 4Rk4R D 2R (die Hälfte, da beide

12RC4R
parallel liegenden Widerstände gleich groß sind); R

D

AB

R C 2R D 3R

Aufgabe 8.25

Berechnen Sie den Widerstand RAB zwischen den Klemmen A und B der Schaltungen in

Abb. 8.26 und 8.27.

a) Alle Widerstände haben den Wert R D 4 .

b) Die Widerstandswerte sind in Abb. 8.27 gegeben.

Abb. 8.27 Gesucht ist der

Ersatzwiderstand zwischen den

Klemmen A und B

238

8

Der verzweigte Gleichstromkreis

Abb. 8.28 Zusammenfassung
von Reihen- und Parallelschal-
tungen der Widerstände

Abb. 8.29 Gesucht ist der

Ersatzwiderstand zwischen den

Klemmen A und B

Lösung
a) Die Reihen- und Parallelschaltungen der Widerstände werden von rechts her nachein-
ander zusammengefasst (Abb. 8.28).

R

D

D 3

1ers

R k 3R D R 3R

RI

R C 3R

4

R 11 R

R

D

4

D 11

2ers

R k .R C R C R1ers/ D

R

15 R

15

4

R

D

C

D

AB

R C R2ers

R D 41 RI

RAB

10;93

15
b)

R

D

AB

6 k .6 C .4 k .6 C 4 ///I

4 k .6 C 4 / D 40 D 20

14

7

6 62

6 C 20 D 62 I

R

D

7

AB

D 372 D 3;58

7

7

6 C 62

104

7

Aufgabe 8.26

Berechnen Sie den Widerstand zwischen den Klemmen A und B des in Abb. 8.29 gezeig-
ten Widerstandsnetzwerkes. Gegeben: R D

D

1

5 , R2

50 .

Lösung

R

D

1

C

AB

R

1

C 1

1

1

C

R

1

R

2

C 1

1

R1CR2

R2

Nachfolgend wird erläutert, wie dieser Ausdruck gewonnen wird. Das Netzwerk wird von
rechts beginnend berechnet. Der Bruch wird dabei von unten nach oben betrachtet. Man
summiert die Widerstände R1 und R2 (Reihenschaltung), erhält dann durch das Bilden
des Kehrwertes einen Leitwert, zu dem man den Leitwert von R2 addiert (wegen der

8.8

Gemischte Schaltungen

239

Abb. 8.30 Ein Widerstands-
netzwerk

Parallelschaltung). Der Kehrwert ergibt einen Widerstand, zu dem R1 addiert wird. Die
erneute Kehrwertbildung ergibt wieder einen Leitwert, zu dem der Leitwert von R2 addiert
wird. Zum Kehrwert (Widerstand) wird R1 addiert.

Die aufeinander folgenden Serien- und Parallelschaltungen werden also durch Addition
der Widerstandswerte bzw. der Leitwerte berechnet. Vereinfachen ergibt:

R

D

1

C

D

1

C

AB

R

R

1

C 1

1

R

1

1C2R2

C 1

R2.R1CR2/ C

R2

R2CR2C3R

R2

R

R1

1

2

1R2

1C2R2

C R2

C 3R

R

D R32

1R2

1R2

2 C

D

AB

R

24;2

R2 C

C

1

1

3R22

4R1R2

Aufgabe 8.27
a) Wie groß ist der Widerstand RAB zwischen den Klemmen A und B in Abb. 8.30?

b) Bestimmen Sie alle Zweigströme.

c) Welche Spannungen liegen an den Widerständen?

Lösung
a) X

D

D

AB

R C 3R k 3R k 3R C 2R k 2R; XAB

R C R C R D 3R;
b) Von der Klemme A fließt der Strom über R entsprechend dem Widerstand RAB mit der

Stärke I D Uq .

3R

An dem Knoten nach R teilt sich der Strom auf die drei parallel liegenden Widerstände
auf. Da diese gleich groß sind (jeweils 3 R), ist die Aufteilung des Stromes auf jeden
parallel liegenden Zweig gleich groß und beträgt I =3.

Am rechts folgenden Knoten fließen die drei Teilströme wieder zusammen. Der Strom
teilt sich dann wieder auf die Parallelschaltung von jeweils 2 R mit dem gleich großen

Wert I =2 auf.

c) Wenn man von einem vereinfachten Ersatzschaltbild ausgeht, so sind drei gleich große

Widerstände R in Reihe geschaltet. Zwischen den Knoten beträgt die Spannung also
jeweils Uq=3.

An der Reihenschaltung R C R teilt sich diese Teilspannung wieder zur Hälfte auf, so
dass an jedem der beiden in Reihe geschalteten Widerstände R jeweils Uq=6 anliegt.

240

8

Der verzweigte Gleichstromkreis

8.9

Stern-Dreieck- und Dreieck-Stern-Umwandlung

Aufgabe 8.28

Wie groß ist in Abb. 8.31 die zwischen den Punkten A und B abgegriffene Spannung UAB?

Gegeben: R D

D

D

D

D

D

D

1

R2

R3

3 ; R4

R5

R6

6 ; U12

10 V.

Lösung

Mit einer Stern-Dreieck-Transformation folgt Abb. 8.32.

Allgemein gelten für die in Abb. 8.33 gezeigte Stern-Dreieck-Umwandlung folgende

Formeln:

R D

C

C R1R3 I

D

C

C R1R2 I

D

C

C R2R3

13

R1

R3

R

R

R

R

R

R

R

12

1

2

23

2

3

2

R3

R1

Mit R D

D

D

D

D

D

1

R2

R3

3 folgt: R13

R12

R23

3 C 3 C 3 D 9 .

Mit R D

D

D

D

D

D

4

R5

R6

6 ist R46

R45

R56

6 C 6 C 6 D 18 .

R k

D
k

D

12

R45

R23 R56

6

Spannungsteiler: U

D

6

D

AB

U12

5 V

6 C 6

Aufgabe 8.29
a) Für die Schaltung in Abb. 8.34 ist der Ersatzwiderstand Rers zwischen den Klemmen

A und B zu bestimmen. Wie groß ist die Spannung U6?

Gegeben: R D

D

D

D

D

D

1

50 , R2

50 , R3

100 , R4

100 , R5

20 , R6

40 , U D 15 V.

Abb. 8.31 Zur Stern-Dreieck-

Umwandlung

Abb. 8.32 Netzwerk von

Abb. 8.31 nach einer Stern-

Dreieck-Umwandlung

8.9

Stern-Dreieck- und Dreieck-Stern-Umwandlung

241

Abb. 8.33 Allgemeine Stern-

Dreieck-Umwandlung

Abb. 8.34 Zu bestimmen ist
der Widerstand zwischen den

Klemmen A und B
b) Nun gilt R D

D

D

D

D

D

1

R2

R3

R4

R5

R6

50 , U D 10 V. Wie groß ist in
diesem Fall der Widerstand zwischen den Klemmen A und B? Wie groß ist jetzt die

Spannung U6? Wie kann in diesem Fall die Rechnung stark vereinfacht werden?

Lösung
a) Die Dreieckschaltung aus R2, R3, R4 wird in eine Sternschaltung umgewandelt

(Abb. 8.35).

R

R
r D

R2

3

D

D

R2

4

D

2

20 I
r

20 I

R C

C

3

C

C

2

R3

R4

R2

R3

R4

R
r D

R3

4

D

4

40

R C

C

2

R3

R4

R

D

C

C

C

C
ers

R1
r2

.r3

R6/ k .r4

R5/ D 50 C 20 C 30 D 100

Nach der Spannungsteilerregel ergibt sich die Spannung am Knotenpunkt C gegenüber

Klemme B zu:

U

D

D

CB

15 V

30

4;5 V

50 C 20 C 30

Abb. 8.35 Netzwerk von

Abb. 8.34 nach einer Dreieck-

Stern-Umwandlung

242

8

Der verzweigte Gleichstromkreis

Abb. 8.36 Die Schaltung mit
den neuen Bauelementewerten
als abgeglichene Brücke

Erneute Anwendung der Spannungsteilerregel:

U D

D

6

4;5 V

40

3;0 V

20 C 40
b) Die Schaltung ist jetzt eine abgeglichene Brücke, da gilt R3 D R2 . Im Nullzweig fließt

R5

R6
kein Strom, d. h. R4 kann entfallen (Abb. 8.36).

R

D

C

C

C
ers

R1

.R3

R5/ k .R2

R6/ D 100

Nach der Spannungsteilerregel ist die Spannung über der Reihenschaltung aus R2, R3
gleich 5 V. Somit ist U D

6

2;5 V.

8.10

Umwandlung von Quellen

Aufgabe 8.30

Die Daten einer Stromquelle sind I D

D
q

6 A, Ri

2 . Zeichnen Sie das Schaltbild
der Stromquelle. Benennen Sie die Ausgangsklemmen mit A und B. Wandeln Sie die

Stromquelle in eine Spannungsquelle um. Geben Sie die Daten und das Schaltbild der

Spannungsquelle an.

Lösung

Die Schaltbilder von Strom- und Spannungsquelle zeigt Abb. 8.37.

Daten der Spannungsquelle: R D

D

D
i

2 , Uq

Iq Ri

12 V

Abb. 8.37 Schaltbild der

Stromquelle (a) und der Span-
nungsquelle (b)

8.10

Umwandlung von Quellen

243

Abb. 8.38 Ausschnitt aus
einem Netzwerk mit realer

Stromquelle

Abb. 8.39 Umgewandeltes

Netzwerk

Aufgabe 8.31

Der Ausschnitt aus einem Netzwerk in Abb. 8.38 enthält eine reale Stromquelle, die
aus den Elementen Iq und R5 besteht. Wandeln Sie die reale Stromquelle in eine reale

Spannungsquelle um und tragen Sie diese mit Angabe ihrer Polarität in den Netzwerks-
ausschnitt ein.

Lösung

Das umgewandelte Netzwerk mit Spannungsquelle zeigt Abb. 8.39.

Der Innenwiderstand der Spannungsquelle ist R D

D
i

R5. Der Wert von Uq ist Uq

R

5 Iq.

Aufgabe 8.32

Bestimmen Sie die Werte von U1 und R3 bzw. von I2 und R6 der rechten Schaltungen in

Abb. 8.40 so, dass jeweils die rechte Schaltung bezüglich der Klemmen A und B gleiches

Verhalten hat wie die linke Schaltung.

Lösung

Den Innenwiderstand einer Schaltung „sieht“ man, wenn man in die Klemmen einer

Schaltung hineinsieht und in der Schaltung alle Stromquellen geöffnet (entfernt) und alle

Spannungsquellen kurzgeschlossen sind.

244

8

Der verzweigte Gleichstromkreis

Abb. 8.40 Äquivalente Quel-
len

Wird die Stromquelle I1 geöffnet (herausgenommen), so ist der linke Anschluss von

R1 nicht verbunden („hängt in der Luft“). Zwischen den Klemmen A und B ist R2 ange-
schlossen. Damit muss R D

3

R2 sein (der Innenwiderstand der idealen Spannungsquelle

U1 ist null, entsprechend einem Kurzschluss). Die Leerlaufspannung zwischen den Klem-
men A und B ist U D

1

I1 R2.

Wird U2 (und somit R4) kurzgeschlossen, so ist der verbleibende Widerstand zwischen
den Klemmen A und B der Widerstand R

D

5. Somit muss R6

R5 sein. Die Leerlaufspan-
nung zwischen den Klemmen A und B ist U2. Diese Spannung muss auch an R6 abfallen.

I D U2

D U2

2

, dies entspricht I

:

R

2

5

R6

Aufgabe 8.33

Bestimmen Sie die Spannung U5 an R5 in Abb. 8.41 mit Hilfe der Umwandlung von

Quellen.

U D

D

D

D

D

D

D

1

120 V, U2

60 V, I1

36 A, R1

20 , R2

5 , R3

6 , R4

1;6 ,

R D

5

8

Lösung

Die beiden Spannungsquellen werden in Stromquellen umgewandelt (Abb. 8.42).

Die Stromquellen werden zusammengefasst (Abb. 8.43).

R D
k

D
x

.R1 R2/ k R3

2;4

I D
x

6 A 12 A C 36 A D 30 A

Abb. 8.41 Bestimmung einer

Spannung mittels Quellenum-
wandlung

8.10

Umwandlung von Quellen

245

Abb. 8.42 Umwandlung der

Spannungsquellen in Strom-
quellen

Abb. 8.43 Zusammenfassung
der Stromquellen

Abb. 8.44 Stromquelle wie-
der in eine Spannungsquelle
umwandeln

Die Stromquelle wird wieder in eine Spannungsquelle umgewandelt (Abb. 8.44).

U D

D

D
y

Rx Ix

72 VI

Ry

Rx

U D

R5

D

D

5

Uy

72 V

8

48;0 V

R C

C
y

R4

R5

4 C 8

Aufgabe 8.34

Lineare Spannungs- und Stromquellen können ineinander umgewandelt werden. Die um-
gewandelten Quellen zeigen an den Klemmen des angeschlossenen Verbrauchers den-
selben linearen Zusammenhang zwischen Spannung und Strom wie die ursprünglichen

Quellen. Sind die Leistungen, welche die idealen Ersatzquellen abgeben, gleich groß?

Lösung

Nein, die abgegebenen Leistungen sind nicht gleich groß. Die ideale Stromquelle gibt

Leistung an ihren Innenwiderstand ab, sie wird warm. Die ideale Spannungsquelle gibt
ohne angeschlossenen Verbraucher keine Leistung ab. Dies bedeutet, dass zur Berechnung
der von einer Quelle abgegebenen Leistung nicht mit der Ersatzquelle gerechnet werden
darf, sondern immer nur mit Strom und Spannung der ursprünglichen Schaltung.

246

8

Der verzweigte Gleichstromkreis

8.11

Analyse von Netzwerken

Aufgabe 8.35

Unter Anwendung der Kirchhoff’schen Gesetze sind im Netzwerk in Abb. 8.45 alle

Zweigströme zu berechnen. Die Werte der Spannungsquellen und Widerstände sind als
gegeben zu betrachten.

Lösung

Bevor mit der Berechnung des Netzwerks begonnen wird, werden die Zählpfeile für die

Spannungen und Ströme eingetragen (Abb. 8.46). Für die Spannungsquellen U1 und U2
sind die Zählpfeile bereits vorgegeben. Sie zeigen wie allgemein vereinbart von „C“ nach

„“. Die Richtung der beiden gegebenen Spannungszählpfeile ist also durch die Pola-
rität der Spannungsquellen festgelegt. Damit das Erzeuger-Zählpfeilsystem eingehalten
wird, muss der Strom I1 entgegen der Pfeilrichtung von U1 und damit von links nach
rechts durch R1 eingezeichnet werden. Um das Verbraucher-Zählpfeilsystem einzuhalten,
ist damit auch die Richtung des Spannungszählpfeils für UR1 an R1 von links nach rechts
festgelegt. Am Verbraucher R1 müssen ja Strom- und Spannungszählpfeil gleich gerichtet
sein. Der Zählpfeil von I2 muss entsprechend dem Erzeuger-Zählpfeilsystem von unten
nach oben (entgegengesetzt zu U2) gerichtet sein. Die Zählpfeile für UR2 und I3 können
beliebig gewählt werden, müssen aber (am Verbraucher R2) gleiche Richtung haben.

Das Netzwerk hat z D 3 Zweige und k D 2 Knoten. Somit können m D z k C 1 D 2
linear unabhängige Maschengleichungen und k 1 D 1 Knotengleichungen aufgestellt
werden. Die Anzahl der linear unabhängigen Maschengleichungen lässt sich oft aus der

Topologie des Netzwerkes ablesen. Linear unabhängig sind immer die inneren Maschen

(die „Löcher“ im Netzwerk), so dass stets so viele linear unabhängige Maschengleichun-
gen existieren, wie es innere Maschen gibt.

Wir zeichnen jetzt noch in das Netzwerk die gewählten Maschen mit ihren frei wähl-
baren Umlaufrichtungen ein und den frei gewählten Knoten K (Abb. 8.47).

Wir betrachten zunächst die beiden Maschen M1 und M2. Wie wir sehen, wurde mit M2
eine äußere Masche (um das Netzwerk herum) gewählt. Dies beinhaltet die Gefahr, dass

Abb. 8.45 Zu berechnendes

Netzwerk

Abb. 8.46 Eingetragene

Zählpfeile der Ströme und

Spannungen

8.11

Analyse von Netzwerken

247

Abb. 8.47 Netzwerk mit ge-
wählten Maschen und deren

Umlaufrichtungen

Abb. 8.48 Masche M1 anders
gezeichnet
die zwei Maschengleichungen linear abhängig sind und wir evtl. keine sinnvolle Lösung
bei der Berechnung des aufzustellenden Gleichungssystems erhalten.

Es werden jetzt die Maschengleichungen für M1 und M2 sowie die Knotengleichung
für den Knoten K aufgestellt.

M

C

C

D

1: U1

UR1

U2

0

M

C

C

D

2: U1

UR1

UR2

0

K: I C

D

1

I2

I3

0

Nach dem ohmschen Gesetz sind die Spannungsabfälle an den Widerständen U

D

R1

R1 I1
und U

D

R2

R2 I3. Mit diesen Bauteilgleichungen (diese geben den Zusammenhang
zwischen Spannung und Strom bei einem Zweipol an) lauten die Gleichungen:

M

C

C

D

1: U1

R1 I1

U2

0

M

C

C

D

2: U1

R1 I1

R2 I3

0

K: I C

D

1

I2

I3

0

Dies sind drei Gleichungen für die drei unbekannten Zweigströme I1, I2, I3. Das Glei-
chungssystem wird nun gelöst. Aus M

D U1U2

1 erhält man sofort I1

.

R1

I Anmerkung Dieses Ergebnis ist eigentlich (mit einiger Übung) sofort aus dem Netz-
werk ersichtlich. Betrachten wir die Masche M1 für sich alleine mit etwas anders gezeich-
neten Spannungsquellen (Abb. 8.48).

Aus der Reihenschaltung von U1 und U2 ergibt sich sofort die Spannung über R1 als

Summe der beiden Spannungen (hier eine Differenz, da U2 entgegen U1 gerichtet ist). Der

Strom I1 durch R1 berechnet sich dann einfach nach dem ohmschen Gesetz.

Man könnte die Spannung über R1 auch aus einer Betrachtung von Potenzialen ge-
winnen. Der untere Knoten (an dem M2 beginnt und endet) kann als Bezugspunkt der

Potenziale in der Schaltung (als so genannte Masse oder Massepunkt) betrachtet werden.

248

8

Der verzweigte Gleichstromkreis

In der Schaltung wurde dieser Knoten nicht extra durch ein Massesymbol gekennzeichnet.

Am linken Anschluss von R1 liegt das Potenzial U1, am rechten Anschluss das Potenzial

U2. Über R1 (zwischen dem linken und rechten Anschluss) liegt die Potenzialdifferenz

U

D

R1

U1

U2.

Das Ergebnis für I1 wird in die Gleichung M2 eingesetzt:

U

U

U C

1

2 C

D

D U2

1

R1

R

0I

I

R

2I3

3

1

R2

I Anmerkung Auch dieses Ergebnis ist mit etwas Übung sofort ersichtlich. Die Span-
nung U2 entspricht der Spannung UR2. Die ideale Spannungsquelle U2 bewirkt zwischen
ihren beiden Anschlussknoten (somit zwischen den beiden Anschlüssen von R2) eine ein-
geprägte Spannung. Nicht betrachtete Netzwerkteile links von U2 in Abb. 8.47, die parallel
zu einer idealen Spannungsquelle (U2) liegen, haben keinen Einfluss auf das restliche

Netzwerk. Somit ist I3 nur von U2 abhängig (und natürlich dem Widerstandswert von

R2).

Allgemein gilt: Bauelemente parallel zu idealen Spannungsquellen und in Reihe zu
idealen Stromquellen können ohne Konsequenzen für das übrige Netzwerk weggelassen
werden.

I1 und I3 werden in die noch nicht benutzte Knotengleichung eingesetzt, um I2 zu
bestimmen.

U

C R

R

I D

D U2 U1

2 D .R1

2/U2

2U1

2

I3

I1

R2

R1

R1R2

Obwohl eine äußere Masche gewählt wurde, erhalten wir ein vernünftiges Ergebnis und
nicht etwas Sinnloses wie R D

1

R1.

Alternative Vorgehensweise

Statt der Masche M2 hätte man auch die Masche M0 wählen können. Die beiden Maschen-

2
gleichungen M1 und M0 sind dann mit Sicherheit linear unabhängig. Die Gleichung wäre

2
dann:

M0 :

C

D

2

U2

UR2

0

Mit U D

D U2

2

UR2 aus M2’ folgt sofort I3

. I

R

1 und I2 werden wie oben bestimmt.

2

Aufgabe 8.36

Wie viel linear unabhängige Knotengleichungen k und Maschengleichungen m lassen sich
von den in Abb. 8.49 gezeigten Netzwerken aufstellen und wie ergibt sich ihre Zahl? Wie
groß ist jeweils die Anzahl der Zweigströme?

8.11

Analyse von Netzwerken

249

Abb. 8.49 Bestimmung der

Anzahl von Knoten- und Ma-
schengleichungen

Lösung

Die Anzahl der linear unabhängigen Knotengleichungen k ist:

Anzahl der Knoten 1
oder auch

Anzahl der linear unabhängigen Knotengleichungen D Anzahl der Baumzweige

(Baum D Verbindung aller Knoten, ohne dass eine Masche entsteht)

Die Anzahl der linear unabhängigen Maschengleichungen ist:

Anzahl der Zweigströme Anzahl der linear unabhängigen Knotengleichungen
oder

Anzahl der linear unabhängigen Maschengleichungen

D Anzahl der unabhängigen Zweige (nicht Baumzweige)

oder bei planaren Netzen einfach

Die Anzahl der linear unabhängigen Maschengleichungen m ist: Anzahl der sichtba-
ren „Löcher“ im Graphen des Netzwerkes.

Linkes Netzwerk

Knotenanzahl D 7; k D 6; m D 5; Anzahl der Zweigströme D k C m D 11

Rechtes Netzwerk

Knotenanzahl D 4; k D 3; m D 6; Anzahl der Zweigströme D k C m D 9

Aufgabe 8.37

Wie viele Gleichungen sind notwendig und hinreichend, um in dem Netzwerk in Abb. 8.50
alle Zweigströme berechnen zu können? Stellen Sie diese Gleichungen auf.

250

8

Der verzweigte Gleichstromkreis

Abb. 8.50 Zur Aufstellung
von Knoten- und Maschenglei-
chungen

Abb. 8.51 Netzwerk mit ein-
getragenen Maschenumläufen

Lösung

Das Netzwerk enthält z D 6 Zweige mit sechs unbekannten Zweigströmen. Es werden
somit sechs linear unabhängige Gleichungen benötigt.

Die Schaltung enthält k D 4 Knoten, es können also k 1 D 3 unabhängige Kno-
tengleichungen aufgestellt werden. Die übrigen m D z k C 1 D 3 erforderlichen

Gleichungen werden aus drei unabhängigen Maschen (den „Löchern“ im Netzwerk) ge-
bildet. Diese Maschen sind in Abb. 8.51 eingetragen.

Maschengleichungen:

Knotengleichungen:

M W

D

W

D

1 I2R2

I3R3

U1

0

K1 I5

I1

I2

0

M W

D

W

D

2 I1R1

U2

I2R2

0

K2

I3

I4

I5

0

M W

C

D

W

C

C

D

3 U2

I4R4

I3R3

0 K3 I1

I6

I4

0

Aufgabe 8.38

In dem in Abb. 8.52 gezeigten Netzwerk sind alle Zweigströme I1 bis I6 zu bestimmen.

Geben Sie die hierfür notwendigen Knoten- und Maschengleichungen an. Zeigen Sie, dass
von vier möglichen Knotengleichungen nur drei linear unabhängig sind.

8.11

Analyse von Netzwerken

251

Abb. 8.52 Die sechs

Zweigströme sind zu bestim-
men

Lösung

Knotengleichungen:

K W

D

1

I1

I2

I6

0

K W

C

D

2 I1

I3

I4

0

K W

C

D

3 I2

I3

I5

0

K W

C

D

4 I4

I5

I6

0

Die Gleichungen K1, K2, K3 sind notwendig zur Bestimmung der Zweigströme. Grund:

1. Gleichung C 2. Gleichung C 3. Gleichung D .1/ mal 4. Gleichung.

Die 4. Gleichung kann als Linearkombination der ersten drei Gleichungen dargestellt wer-
den, sie ist also linear ab hängig.

Drei Maschengleichungen:

M W

D

1 Uq1

I1R1

I3R3

I2R2

M W

D

C

C

2 Uq2

I4R4

I5R5

I3R3

M W

D

3

Uq3

I2R2

I5R5

I6R6

Aufgabe 8.39

In der angegebenen Teilschaltung in Abb. 8.53 sind alle fehlenden Ströme und Spannun-
gen zu berechnen.

Gegeben: U D

D

D

D

D

D

D
q1

12 V; Uq2

24 V; R1

R2

R3

6 ; I1

4 A; I2

4;8 A

Lösung

Maschengleichung: U C

C

C

D
q2

R3I3

R1I1

Uq1

R2I2

0

252

8

Der verzweigte Gleichstromkreis

Abb. 8.53 Fehlende Ströme
und Spannungen sind zu be-
rechnen

Abb. 8.54 Rechnung mit den

Kirchhoff’schen Sätzen

Nach I3 auflösen und Einsetzen der Zahlenwerte ergibt:

I D 12 V 24 V 6 4 A 6 4;8 A D 64;8 V D

3

10;8 A

6

6

U D

D

D

D

1

R1 I1

6 4 A D 24 VI

U2

R2 I2

6 4;8 A D 28;8 VI

U D

D

3

R3 I3

6 .10;8 A/ D 64;8 V

Knotengleichungen:

I D

D

D

D

D

D

A

I1

I3

14;8 AI

IB

I1

I2

0;8 AI

IC

I2

I3

15;6 A

Aufgabe 8.40

Berechnen Sie mit Hilfe der Kirchhoff’schen Sätze in dem Netzwerk in Abb. 8.54 alle

Zweigströme und die Spannung UAB.

Gegeben: U D

D

D

D

D

D
q1

Uq2

60 V; R1

R2

3 ; R3

R4

10

Lösung

Knotengleichung:

I D

C

3

I1

I2

Maschengleichung für M

C

C

D

1: I1R1

Uq1

I1R4

Uq2

I2R2

0

Umformung ergibt:

U

D

C
q1

Uq2

I1.R1

R4/ I2R2 (Gl. 1)

Maschengleichung für M

D

C

2: Uq2

I2R2

I3R3

8.11

Analyse von Netzwerken

253

Abb. 8.55 Zur Berechnung
mit den Kirchhoff’schen Sät-
zen

Knotengleichung in Maschengleichung M2 einsetzen:

M W

D

C

C

2 Uq2

I1R3

I2.R2

R3/ (Gl. 2)

Mit den Zahlenwerten bekommt man das folgende Gleichungssystem:

Gl. 1: 0 V D 13 I

1

3 I2

Gl. 2: 60 V D 10 I C

1

13 I2

Aus Gl. 1 folgt: I D 13

C 1313

2

I

I

3

1; Einsetzen in Gl. 2: 60 V D 10 I1

3

1

Auflösen nach I

D

D 130;904 A D

1 ergibt: I1

0;904 A; I2

3;917 A;

3

I D

3

0;904 A C 3;917 A D 4;821 A

U

D

D

AB

I1R1

Uq1

0;904 A 3 60 V D 57;288 V

Aufgabe 8.41

Gegeben ist die Schaltung in Abb. 8.55 mit den Werten:

R D

D

D

D

D

D

D

1

10 , R2

20 , R3

30 , R4

40 , R5

50 , U1

18 V, U2

12 V,

U D

3

6 V
a) Berechnen Sie mit den Kirchhoff’schen Sätzen den Strom I1 in allgemeiner Form

(als analytischen Ausdruck). Übernehmen Sie für die Berechnung die in Abb. 8.55
eingezeichneten Ströme.

b) Berechnen Sie die numerischen Werte der Ströme I1, I2, I3.

c) Bestimmen Sie die Potenziale 'A, 'B, 'C, 'D der Punkte A, B, C und D gegenüber
dem Bezugspunkt 0.

Lösung
a) I) Maschenregel: U C

C

C

D

1

I1.R1

R2/ C I3R3

U3

0

U I

C R

I D U1

3

1.R1

2/

3

(Gl. 1)

R3

254

8

Der verzweigte Gleichstromkreis

II) Maschenregel: U

C

D

2

I2.R4

R5/ U3

I3R3

0

I

C R

I D U2

2.R4

5/ U3

3

(Gl. 2)

R3

III) Knotenregel: I C

D

D

1

I2

I3

0 ) I2

I3

I1 (Gl. 3)

Aus I):

U I

I D U1

3

3R3 I

1

R C

1

R2
darin für I3 Gl. 2 einsetzen:

U C I

C R

I D U1

2

2.R4

5/

1

(Gl. 4)

R C

1

R2

In Gl. 3 für I3 Gl. 1 einsetzen:

U I

C R

I D U1

3

1.R1

2/ I1R3

2

R3

Diesen Ausdruck in Gl. 4 einsetzen:

U

C U1U3I1.R1CR2/I1R3

C

1

U2

.R4

R5/

I D

R3

1

R C

1

R2

Auflösen nach I1:

I

C

D

C

C

C

C

1.R1

R2/R3

.U1

U2/R3

ŒU1

U3

I1.R1

R2

R3/.R4

R5/

I

C

D

C

C

1.R1

R2/R3

.U1

U2/R3

.U1

U3/.R4

R5/

I

C

C

C

1.R1

R2

R3/.R4

R5/

U

C .U U

C R

I D

.U1

2/R3

1

3/.R4

5/

1

.R C

C

C

C

C

1

R2/R3

.R1

R2

R3/.R4

R5/
b) I D

D

D

1

0;20 A; I2

0; I3

0;20 A
c) ' D

D

D

D

A

14 V; 'B

12 V; 'C

0; 'D

0

Aufgabe 8.42

In der Schaltung in Abb. 8.56 ist U

D

2 so zu bestimmen, dass I3

100 mA beträgt.

Gegeben: R D

D

D

D

D

D

1

3 , R2

4 , R3

5 , R4

6 , U1

2 V, U3

3 V,

I D

3

100 mA

Lösung

Es werden die Maschenumläufe und die Ströme I1 und I2 in das Netzwerk eingezeichnet

(Abb. 8.57).

8.11

Analyse von Netzwerken

255

Abb. 8.56 Zu bestimmen ist

U2

Abb. 8.57 Netzwerk mit Ma-
schenumläufen und Strömen

Abb. 8.58 Zu Bestimmen
sind Ströme und die Leistun-
gen in den Spannungsquellen

Maschengleichung M

C

C

D

1: I1.R1

R2/ C I3R3

U2

U1

0 (Gl. 1)

Maschengleichung M

C

D

D

2: U3

I2R4

I3R3

0 ) I2

416;6 mA (Gl. 2)

Knotengleichung: I

D

D

C

D

1

I2

I3

0 ) I1

I2

I3

316;6 mA (Gl. 3)

Gl. 2 und Gl. 3 in Gl. 1 einsetzen: 316;6 mA 7 C 100 mA 5 2 V D U2

U D

2

2;22 V 0;5 V C 2 V D 3;72 V

Aufgabe 8.43

Berechnen Sie die Ströme I1, I2, IL in Abb. 8.58. Welche Leistung wird in Uq1 und Uq2
umgesetzt? Handelt es sich um aufgenommene oder abgegebene Leistung?

Gegeben: U D

D

D

D

D
q1

48 V, Uq2

36 V, R1

4 , R2

3 , RL

60

Lösung

Maschengleichung M

C

D

1: I1 R1

I2 R2

Uq2

Uq1

0

Maschengleichung M

C

D

2: I1 R1

IL RL

Uq1

0

Knotengleichung K:

I D

C

L

I1

I2

256

8

Der verzweigte Gleichstromkreis

Abb. 8.59 Zur Maschenana-
lyse

K in M

C

C

D

2 eingesetzt: I1R1

I1RL

I2RL

Uq1

0

I

I

C

D

D Uq1

2RL

1.R1

RL/ C I2RL

Uq1

0 ) I1
in M

R C

1 einsetzen gibt:

1

RL

.U
q1

I2RL/R1 I C U

D
q

Uq

0I

R C

2R2

2

1

1

RL

1

U

D

C

C
q1

I2RL

.I2R2

Uq2

Uq1/.R1

RL/ R1

R

.U

1

D

C
q1

I2RL/

I

Uq

Uq

R C

2R2

2

1

1

RL

RLR

R

I

1

D

1

C

2

I

Uq

Uq

Uq

R C

2R2

1

C

2

1

1

RL

R1

RL

R

R

U

1

C U U

LR

R
q1
q2
q1

I

1

C

D

1

C

I

D

R1CRL

2

R

Uq

Uq

Uq

I

R C

2

1

C

2

1

2

RLR

1

RL

R1

RL

1

C R

R

2

1CRL

48 V 4 12 V

48 V C 4 A 60

I D

64

D 4

D

3

D

2

AI

I1

2 AI

60 4 C 3

3

4 C 60

64

I D

C

D 2

L

I1

I2

A

3

In U

D

D
q1 wird die Leistung P1

Uq1 I1

96 W umgesetzt.

In U

D

D
q2 wird die Leistung P2

Uq2 I2

48 W umgesetzt.

Da bei beiden Spannungsquellen Strom- und Spannungszählpfeile in entgegengesetz-
te Richtung weisen, wird abgegebene Leistung positiv und verbrauchte Leistung negativ
gezählt. Uq1 gibt also Leistung ab, Uq2 nimmt Leistung auf.

Aufgabe 8.44

Bestimmen Sie im Netzwerk nach Abb. 8.59 alle Ströme mit Hilfe einer Maschenanalyse.

Gegeben: U D

D

D

D

D

D

D
q1

Uq2

60 V; R1

R2

3 ; R3

R4

5 ; R5

10

Lösung

Masche M

D

C

C

1: Uq1

I1.R1

R3

R4/ I5R5

Masche M

C

D

2: Uq2

I2R2

I5R5

0

8.12

Die Knotenanalyse

257

Knoten oben: I C

C

D

D

1

I2

I5

0; I1

I2

I5, eingesetzt in M1 gibt:

M W

D

C

C

I

1 Uq1

.I2

I5/.R1

R3

R4/ I5R5

60 V D 13 I2

23 I5 (Gl. 1)

M W

C

D

D

2 60 V 3 I2

10 I5

0I I5

6 A C 3 I

10 2 in Gl. 1:

60 V D 13 I C

I

D

2

138 V 6;9 I2

I2

3;92 A

I

D

D

2 eingesetzt in I5

6 A C 3 I

4;82 A

10 2: I5

I

D

2 und I5 eingesetzt in die Knotengleichung: I1

3;92 A .4;82 A/ D 0;9 A

8.12

Die Knotenanalyse

Aufgabe 8.45

Berechnen Sie alle Zweigströme in Abb. 8.60 mit Hilfe der Knotenanalyse.

Gegeben: U D

D

D

D

D

D

D
q1

Uq2

42 V; Uq3

12 V; R1

15 ; R2

30 ; R3

R4

10

Lösung

Das Netzwerk wird zunächst vereinfacht, Spannungsquellen und Widerstände werden zu-
sammengefasst (Abb. 8.61).

Knotengleichung K

C

D

1: I1

I2

I3

0

Abb. 8.60 Zur Knotenanalyse

Abb. 8.61 Vereinfachtes

Netzwerk

258

8

Der verzweigte Gleichstromkreis

Abb. 8.62 Berechnung mit
der Knotenanalyse

Die einzelnen Ströme sind:

I D

D 1 D

1

1

.Uq1

U10/ G12 mit G12

R

C

12

R1

R2

I D

D 1

2

.Uq2

Uq3

U10/ G4 mit G4

R4

I D

D 1

3

U10 G3 mit G3

R3

Einsetzen der Ströme in die Knotengleichung:

.U

C

D
q1

U10/ G12

.Uq2

Uq3

U10/ G4

U10 G3

0

U

C

D
q1 G12

U10 G12

Uq2 G4

Uq3 G4

U10 G4

U10 G3

0

Auflösen nach U10:

G C U

q

G

Uq

G

U D Uq1

12

2

4

3

4 I

D 0;933 C 4;2 1;2

10

U

V D 17;72 V

G C

C

10

12

G4

G3

0;222

Zahlenwerte in die Gleichungen für die Ströme einsetzen:

I D

1

.42 V 17;72 V/ 0;022 S D 0;53 A

I D

2

.42 V 12 V 17;72 V/ 0;1 S D 1;23 A

I D

3

17;72 V 0;1 S D 1;77 A

Aufgabe 8.46

Bestimmen Sie im Netzwerk in Abb. 8.62 alle Zweigströme mit Hilfe der Knotenanalyse.

Gegeben: U D

D

D

D

D

D

D
q1

Uq2

60 V; R1

R2

3 ; R3

R4

5 ; R5

10

Lösung

In Reihe liegende Widerstände werden zusammengefasst (Abb. 8.63).

Knotengleichung K

C

D

1: I1

I2

I5

0

8.12

Die Knotenanalyse

259

Abb. 8.63 Nach Zusammen-
fassung von Widerständen

Die einzelnen Ströme sind:

I D

D 1 D

1

1

.Uq1

U10/ G134 mit G134

R

C

C

134

R1

R2

R3

I D

D 1

2

.Uq2

U10/ G2 mit G2

R2

I D

D 1

5

U10 G5 mit G5

R5

Einsetzen der Ströme in die Knotengleichung:

.U

C

D
q1

U10/ G134

.Uq2

U10/ G2

U10 G5

0

Auflösen nach U10:

G

C U
q

G

U D Uq1

134

2

2 I

D

10

U

48;3 V

G

C

C

10

134

G2

G5

Zahlenwerte in die Gleichungen für die Ströme einsetzen:

I D

1

.60 48;3/ V 0;077 S D 0;9 A

I D

2

.60 48;3/ V 0;33 S D 3;9 A

I D

3

48;3 V 0;1 S D 4;8 A

Aufgabe 8.47

Berechnen Sie in Abb. 8.64 die Ströme I1, I4 und I7 mit Hilfe der Knotenanalyse.

Gegeben: U

D

D

D

D

D

D

D
q1

6 V; Uq2

32 V; R1

R3

6 ; R4

10 ; R2

R5

16 ;

R D

D

D

6

R7

R8

1

260

8

Der verzweigte Gleichstromkreis

Abb. 8.64 Mit der Knotenanalyse zu berechnendes Netzwerk

Lösung

U C U

q

U

Knoten K W

10

1 D U10 C U10

20

1

R1

R3

R6

U

U

Knoten K W U10

20 D U20 C U20

30

2

R

C

6

R4

R7

R8

U

q

U

Knoten K W U30

2 U30 U30

20 D

3

0

R

C

2

R5

R7

R8

1

1

K W Uq1 D

C 1 C 1

U20 I

)

4

U20

1

U

1 A D U

R

10

10

1

R1

R3

R6

R6

3

1

U D

10

0;75 V C 0;75 U20 (Gl. 1)

1

K W

C 1 C

1

D Uq2 C

U20

I

D

3 U30

U

3;2 V C 0;8 U

R

C

C

30

20 (Gl. 2)

2

R5

R7

R8

R2

R7

R8

Wir lösen die Knotengleichung für K2 nach U20 auf.

U

C

C

10

U20 D U20 .R7 R8 R4/ U30 R4

R

C

6

R4 .R7

R8/

C R C R

U

D

.R7

8

4/ R6

R6

10

U20

U20

U

R

C

30

C

4 .R7

R8/

R7

R8

U C

R6

10

U30

U D

R7CR8

20

1 C .R7CR8CR4/R6

R4.R7CR8/

Mit eingesetzten Zahlenwerten der Widerstände erhalten wir:

U D 5

C 5

20

U

U

8 10

16 30

Die Ergebnisse von Gl. 1 und Gl. 2 werden jetzt eingesetzt:

U D 5

D

20

.0;75 V C 0;75 U

.3;2 V C 0;8 U

5;23 V

8

20/ C 5

16

20/I

U20

Aus Gl.1: U D

D

10

4;67 V; aus Gl. 2: U30

7;38 V

U

U

I D

10 C Uq1 D

D U20 D

D U30

20 D

1

0;22 AI

I

0;52 AI

I

1;08 A

R

4

7

C

1

R4

R7

R8

8.13

Der Überlagerungssatz

261

8.13

Der Überlagerungssatz

Aufgabe 8.48

Berechnen Sie in Abb. 8.65 unter Anwendung des Superpositionsprinzips die Spannung

U

D

D

D

D

D

D

4 und den Strom I4. Gegeben: Uq1

12 V; Uq2

18 V; R1

R2

2 ; R3

R4

4

Lösung

Es werden alle Quellen bis auf eine Quelle deaktiviert (Spannungsquellen kurzgeschlos-
sen, Stromquellen herausgenommen). Der Anteil jeweils einer Quelle wird berechnet. Das

Ergebnis ist die Summe aller Anteile (Abb. 8.66).

Nach der Spannungsteilerregel ist
k R

U 0 D

R3

4

I

D

D

4

Uq1

U 0

12 V 2

4 V

R C

C
k

4

1

R2

R3 R4

6
k .R C R

Ebenfalls nach der Spannungsteilerregel: U 00 D

R4

1

2/

4

Uq2 R C k

C

3

R4 .R1

R2/

U 00 D

D

4

18 V 2

6 V

6

Superposition: U D

C

D

4

U 0

;

4

U 00

4

U4

2 V

I D U4 I

D

4

I

0;5 A

R

4

4

Abb. 8.65 Berechnung mit
dem Überlagerungssatz

Abb. 8.66 Überlagerung der Quellenanteile

262

8

Der verzweigte Gleichstromkreis

Abb. 8.67 Strom I2 nach
dem Superpositionsprinzip
berechnen

Aufgabe 8.49

Bestimmen Sie in Abb. 8.67 den Strom I2 nach dem Superpositionsprinzip.

Gegeben: U D

D

D

D

D

D

D
q1

Uq2

60 V; R1

R2

3 ; R3

R4

5 ; R5

10

Lösung

Die Überlagerung der Anteile zeigt Abb. 8.68.

Zur Berechnung von I 0 und
wird jeweils die Spannungsteilerregel angewendet.

2

I 002

U

R2kR5
q1

I 0 D U 0R2 D

R1CR3CR4CR2kR5

2

R2

R2

I 0 D

Uq1

R5

I

2

R C

C

C
k

C

1

R4

R3

R5 R2 R2

R5

I 0 D

60 V

10

D

2

3;01 A

13 C 310 3 C 10

3C10

U

R2
q2

I 00 D U 00

R2 D

R2C.R1CR3CR4/kR5 I

D

Uq2

2

I 00

R

2

C

C

C

2

R2

R2

.R1

R3

R4/ k R5

I 00 D

60 V

D 6;93 A

3 C 1310

23

I D

C

D

2

I 02

I 002

3;01 A C 6;93 A D 3;92 A

Abb. 8.68 Addition der Quellenanteile

8.13

Der Überlagerungssatz

263

Abb. 8.69 Schaltung nach
dem Superpositionsprinzip
berechnen

Aufgabe 8.50

Berechnen Sie unter Anwendung des Superpositionsprinzips die Spannung U4 und den

Strom I

D

D

D

D

D

D

4 in Abb. 8.69. Gegeben: Uq1

12 V; Uq2

18 V; R1

R2

2 ; R3

R4

4

Lösung

Die Überlagerung der Anteile zeigt Abb. 8.70.

R k R

R

U 0 D

4

3

D

4R3

4

Uq1

Uq

R C

C
k

1

C

C

1

R2

R4 R3

.R1

R2/.R4

R3/ C R4R3

16

U 0 D

D

4

12 V

4 V

4 8 C 16

I 0 D U 04 D 4 V D

4

1 A

R4

4

.R C R

.R C R

U 00 D

1

2/ k R4

D

1

2/R4

4

Uq2

Uq

.R C

C

2

C

C

C

C

1

R2/ k R4

R3

.R1

R2/R4

R3.R1

R2

R4/

16

6 V

U 00 D

D

D U 004 D

D

4

18 V

6 VI

I 00

1;5 AI

4 4 C 4 8

4

R4

4

I D

C

D

4

I 04

I 004

0;5 A

U D

C

D

4

U 04

U 00

4

4 V 6 V D 2 V

Aufgabe 8.51

Berechnen Sie den Kurzschlussstrom IK der Schaltung in Abb. 8.71 mit Hilfe des Super-
positionsprinzips. Gegeben: U

D

D

D

D

D

D
q1

12 V; Uq2

20 V; R1

R2

8 ; R3

R4

20

Abb. 8.70 Anteile der Überlagerung

264

8

Der verzweigte Gleichstromkreis

Abb. 8.71 Gesucht ist der

Kurzschlussstrom

Lösung

Die Überlagerung der Stromanteile zeigt Abb. 8.72.

I D

C

D Uq1 Uq2 D 12 V 20 V D

K

I 0K

I 00K

1;5 A 2;5 A D 1 A

R1

R2

8

8

Der Kurzschlussstrom ist von R3 und R4 natürlich unabhängig, beide Widerstände sind ja
kurzgeschlossen. Hier gilt die Darstellung in Abb. 8.73.

Aufgabe 8.52

Berechnen Sie UA in der Schaltung Abb. 8.74.

Lösung

Die Schaltung wird umgezeichnet und die Widerstände zusammengefasst, die Quellen
werden separiert (Abb. 8.75).

Für Punkt B in Abb. 8.75 wird die Spannung und der Innenwiderstand der Ersatzspan-
nungsquelle mit dem Überlagerungssatz bestimmt.

Satz von der Ersatzspannungsquelle: Jedes lineare Netzwerk lässt sich bezüglich zwei-
er beliebiger Klemmen durch eine Ersatzspannungsquelle (oder Ersatzstromquelle) nach-
bilden. Leerlaufspannung und Innenwiderstand sind charakteristische Größen der Ersatz-
spannungsquelle.

Zur Bestimmung von Innenwiderstand Ri: Stromquellen weglassen, Spannungsquellen
kurzschließen. Der Widerstand den man in die Klemmen „hineinsieht“ ist der Innenwider-
stand.

Überlagerungssatz: In einem linearen Netzwerk summieren sich die Teilwirkungen der
einzelnen Spannungs- oder Stromquellen.

R D
i

8 k 2 D 1;6

Abb. 8.72 Stromanteile

8.13

Der Überlagerungssatz

265

Abb. 8.73 Kurzgeschlossener

Widerstand

5 V kurzschließen, Spannung an 2 (D Punkt B gegen Masse) berechnen.

U D

D

1

10 V

2

2 V

8 C 2

10 V kurzschließen, Spannung an 8 (D Punkt B gegen Masse) berechnen.

U D

D

2

5 V

8

4 V

2 C 8

Spannung an Punkt B gegen Masse: U D

C

D

B

U1

U2

2 V

Man erhält folgende Ersatzschaltung (Abb. 8.76):

Spannungsteiler: U D

D

A

2 V

3

0;91 V

1;6 C 2 C 3

Abb. 8.74 Berechnung mit
dem Überlagerungssatz

Abb. 8.75 Umgezeichne-
te Schaltung mit separierten

Quellen

Abb. 8.76 Ersatzschaltung
mit der Ersatzspannungsquelle

266

8

Der verzweigte Gleichstromkreis

Abb. 8.77 Schaltung mit Strö-
men und Maschenumläufen

Alternative Lösung

Es werden die Kirchhoff’schen Sätze verwendet. In die Schaltung nach Abb. 8.75 werden
die Ströme und Maschenumläufe eingezeichnet (Abb. 8.77).

I D I C

1

I2

M W

D

1

10 V C 8 I1

2 I2

5 V D 0I

15 V C 8 I1 2 I2

0 (Gl. 1)

M W

C

C

C

D

2 5 V C 2 I2

5 I D 0I

5 V C 2 I2

5 I1

5 I2

0

5 V C 5 I C

D

1

7 I2

0 (Gl. 2)

Aus Gl. 1: I D 15 V C

C

D

2

4I

7 15 V

28 I

0

2

1; in Gl. 2: 5 V C 5 I1

2

1

33 I

1

47;5 V D 0

I D 47;5 V D

1

1;44 A; einsetzen in Gl. 2: 5 VC5 1;44 A D 7 I

33

2; 12;2 V D 7 I2

I D

D

2

1;743 AI I D 1;44 A 1;743 A D 0;303 AI UA

3 .0;303 A/ D 0;91 V

Aufgabe 8.53

Gegeben ist die Schaltung in Abb. 8.78.

Die Stromquelle ist als ideal zu betrachten mit I D

0

2 A. Die Spannungsquelle ist eine
reale Quelle mit einer Quellspannung U D

D

0

10 V und einem Innenwiderstand Ri

5 .

Die Widerstandswerte sind: R D

D

D

1

R2

5 , R3

2

Berechnen Sie den Strom I mit Hilfe des Überlagerungsverfahrens.

Abb. 8.78 Gegebene Schal-
tung

8.13

Der Überlagerungssatz

267

Abb. 8.79 U5 ist mit dem

Überlagerungsverfahren zu
berechnen

Abb. 8.80 Erste Teilschaltung

Lösung

Es ist nur U0 wirksam:

Der Widerstand im Stromkreis ist R

D

C

C

D
ers

Ri

.R2

R1/ k R3

6;66

I 0 D 10 V D 1;50 A

6;66

Es ist nur I0 wirksam:

Parallel zu R3 liegt Ri, der Wert dieser Parallelschaltung ist 1,43 .

Wird I

D

D

0 mit R1 in eine Spannungsquelle mit U0

10 V und Ri

5 umgewandelt,
so fällt an der Parallelschaltung von R3 mit Ri die Spannung 1,25 V ab:

10 V

1;43

D 1;25 V

5 C 5 C 1;43

Durch R

D
i fließt also der Strom I 00 D 1;25 V

0;25 A.

5

Der Gesamtstrom I ist I D I 0 C I 00 D 1;75 A.

Aufgabe 8.54

Berechnen Sie mittels des Überlagerungsverfahrens die Spannung U5 in der Schaltung

Abb. 8.79. Die Werte der Bauteile sind: U D

D 40

D 2

D

D

1

40 V, U2

V, R

; R

R

11

1

5

2

3

1 ; R D

4

0;5

Lösung

Zuerst wird U2 durch einen Kurzschluss ersetzt. Die Teilspannung U51 wird mit der Span-
nungsteilerregel ermittelt (Abb. 8.80).

R

R

R k .R C R

4.R2CR3/

U D

3

I

D

4

2

3/

D

R2CR3CR4

51

U4

U

U

U

R C

4

1

C
k

C

1

2

R3

R1

R4 .R2

R3/

R C R4.R2CR3/

1

R2CR3CR4

R

C R

U D

4.R2

3/

4

U1 R

C

C

C

1.R2

R3

R4/ C R4.R2

R3/

268

8

Der verzweigte Gleichstromkreis

Abb. 8.81 Zweite Teilschal-
tung

Dieser Ausdruck wird in die Gleichung für U51 eingesetzt.

R

C R

U D

4.R2

3/

R3

51

U1 R

C

C

C

C

1.R2

R3

R4/ C R4.R2

R3/ R2

R3

1 .1 C 1/

1

U D

2

1

D

1

51

40 V

40

V D 10 V

2 1 C 1 C 1 C 1 .1 C 1/ 1 C 1

2 5 C 1 2

5

2

2

5

2

Jetzt wird U1 durch einen Kurzschluss ersetzt und die Teilspannung U52 berechnet

(Abb. 8.81).

R C R k R

R C R1R4

2

U D

2

1

4

D

R1CR4

52

U2

U

R C

C
k

2

3

R2

R1 R4

R C

C R1R4

3

R2

R1CR4

C

D

R

R

U

2.R1

4/ C R1R4

2 .R C

C

2

R3/.R1

R4/ C R1R4

1 2 C 1 C 2 1

9 C 2

U D 40

5

2

5

2

10

10

11

52

V D 40

V D 40

V D 2 V

11 .1 C 1/ 2 C 1 C 2 1

11 2 9 C 2

11 20

5

2

5

2

10

10

Nach dem Superpositionsprinzip ist U5 die Summe aus U51 und U52.

U D

C

D

5

U51

U52

10 V C 2 V D 12 V

Wechselspannung und Wechselstrom

9

Zusammenfassung

Wechselgrößen und Mischgrößen werden mit ihren kennzeichnenden Parametern defi-
niert. Es werden Berechnungen von Effektivwert und Gleichrichtwert bei unterschied-
lichen Kurvenformen der Zeitfunktionen durchgeführt. Dabei sind alternative Lösungs-
wege berücksichtigt.

9.1

Grundwissen – kurz und bündig

Wichtige Formeln:

v
u
u

T

Z
u

OI
f D 1 I

! D 2 f I

I D t 1

ŒI.t/2dtI

I D p I

T

T

2

0

O

T

Z

U

U D p I
jU.t/j D 1
jU.t/jdtI ju.t/j D 2 OU

2

T

0

9.2

Periodische Signale

Aufgabe 9.1

Wie ist in der Elektrotechnik der Begriff „Wechselgröße“ definiert?

Lösung

Eine Wechselgröße ist eine physikalische Größe (z. B. ein Strom oder eine Spannung), die
periodisch ist, also einen sich mit der Periodendauer T wiederholenden Augenblickswert
besitzt. Für eine Spannung als Wechselgröße gilt somit: u.t/ D u.t C k T / mit k D

0; 1; 2; : : :

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017

269

L. Stiny, Aufgabensammlung zur Elektrotechnik und Elektronik,

DOI 10.1007/978-3-658-14381-7_9

270

9

Wechselspannung und Wechselstrom

Abb. 9.1 Eine periodische

Wechselgröße, die Flächen A
und B sind gleich groß, somit
ist der arithmetische Mittelwert
null

Zusätzlich muss der arithmetische Mittelwert null sein:

T

Z
u.t/ D 1
u.t/dt D 0:

T 0

Der arithmetische Mittelwert einer periodischen Spannung oder eines periodischen Stro-
mes wird als Gleichanteil bezeichnet.

Ein Wechselstrom bzw. eine Wechselspannung hat also ein periodisches Verhalten und
einen verschwindenden Gleichanteil.

Der Momentanwert einer periodischen Größe ändert sich nach Betrag und Vorzeichen
und wiederholt sich nach der Periodendauer (nach dem Zeitintervall) T . Die Funktions-
kurve einer Wechselgröße schließt innerhalb einer Periode mit der Zeitachse eine Fläche
oberhalb und eine Fläche unterhalb der Zeitachse ein. Sind beide Flächen gleich groß, so
ist der Gleichanteil des Signals null, und es handelt sich nicht nur um eine periodische

Größe, sondern um eine periodische Wechsel größe (Abb. 9.1).

Aufgabe 9.2

Wie werden sinus- und kosinusförmige Wechselgrößen noch genannt?

Lösung

Sie werden als harmonische Wechselgrößen bezeichnet.

Aufgabe 9.3

Welche Größen kennzeichnen eine sinusförmige Spannung u.t/ D O

U sin.!t C 'u/?

Lösung

O

U D Amplitude (auch Scheitelwert, Maximalwert, Spitzenwert, maximale Elongation);

Œ O

U D V

! D 2 f D Kreisfrequenz I

Œ! D 1 . nicht Hertz!/
s
f D 1 D Frequenz D Anzahl der vollen Schwingungen pro Sekunde; Œf D 1 D Hz

T
s

(Hertz)

T D Periodendauer D Zeit in der eine vollständige Schwingung abläuft; ŒT D s

9.2

Periodische Signale

271

' D
u

Nullphasenwinkel D Maß für die zeitliche Verschiebung (bezeichnet als Pha-
senverschiebung) der Sinuskurve einer Wechselspannung, die nicht durch den Koordina-
tenursprung verläuft; Œ'u D rad (Radiant) oder Grad

Alternative Angabe: U

D

D

SS

2 O

U D Spitze-Spitze-Wert; USS

Wert zwischen größtem
positiven und größtem negativen Ausschlag eines Signals

Statt der Frequenz wird häufig die Wellenlänge angegeben:

D c D 3 108 m=s I

Œ D m
f
f
c D c D

0

2;9979 108 m=s D Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

Aufgabe 9.4

Welches Signal wird als Mischgröße bezeichnet? Welche Eigenschaften hat eine Misch-
größe?

Lösung

Ein periodisches Signal, bei dem der arithmetische Mittelwert nicht null ist, wird als

Mischgröße bezeichnet (Mischspannung, Mischstrom). Eine Mischspannung kann als

Überlagerung (Summe) einer Gleichspannung und einer Wechselspannung aufgefasst
werden. Der im Signal enthaltene Gleichanteil wird als Offset (D Versatz) bezeichnet. Bei
einer Mischspannung gilt die Periodizität u.t/ D u.t C k T / mit k D 0; 1; 2; : : : und
zusätzlich ist der arithmetische Mittelwert (der Gleichanteil) nicht null:

T

Z
u.t/ D 1
u.t/dt ¤ 0

T 0

Der arithmetische Mittelwert einer periodischen Größe ist der mittlere Wert aller Funkti-
onswerte, die innerhalb der Periode T auftreten. Umgangssprachlich wird der arithmeti-
sche Mittelwert als „Durchschnitt“ bezeichnet, er wird auch linearer Mittelwert genannt.

Häufig wird der Gleichanteil als Uav (average value) bezeichnet.

Der Gleichanteil mit der Höhe U0 und der Dauer T (dunkelgraue Fläche zwischen 0 und

T in Abb. 9.2) bewegt die gleiche Ladungsmenge wie die Mischspannung aus Gleichanteil

Abb. 9.2 Mischspannung aus
einer Gleichspannungskompo-
nente der Höhe u D U0 und
einer Sinusspannung

272

9

Wechselspannung und Wechselstrom

Abb. 9.3 Periodische, nichtsinusförmige Signale: a Rechtecksignal symmetrisch zu null, b Recht-
ecksignal, c Dreiecksignal, d Sägezahnsignal, e Trapezsignal symmetrisch zu null
und aufgesetzter (aufmodulierter) Wechselspannung (hellgraue Fläche zwischen T und

2 T).

Aufgabe 9.5

Skizzieren Sie fünf Beispiele von Signalen, die keinen sinusförmigen, aber periodischen

Verlauf haben.

Lösung

Den Verlauf der Signale zeigt Abb. 9.3. Es gibt eine Reihe von Werten, mit denen der

Signalverlauf eindeutig beschrieben wird. Die Signalform ist durch ihren zeit- oder win-
kelabhängigen Verlauf gekennzeichnet. Einfache Formen werden durch ihre Namen be-
schrieben.

9.3

Effektivwert

Aufgabe 9.6

Berechnen Sie für den in Abb. 9.4 skizzierten zeitlichen Verlauf der Spannung U.t/ den

Effektivwert U.

Lösung

Der Effektivwert einer Wechselspannung mit der Periodendauer T errechnet sich allge-
q R
mein nach der Formel U D

1

T ŒU.t/2dt. Der Effektivwert einer Wechselgröße wird

T

0

Abb. 9.4 Eine Rechteckspan-
nung

9.3

Effektivwert

273

Abb. 9.5 Eine Dreieckspan-
nung
als Großbuchstabe geschrieben, ohne den Index „eff“. Der Buchstabe U kennzeichnet also
entweder eine Gleichspannung oder den Effektivwert einer Wechselspannung.

Bei der gezeigten Rechteckspannung muss nicht unbedingt mit dem Integral gerechnet
werden. Das Integral von ŒU.t/2 über t in den Grenzen t D 0 und t D T entspricht
der Fläche, die zwischen der Funktion ŒU.t/2 und der Abszissenachse in diesen Grenzen
liegt. Diese Fläche entspricht einem Rechteck der Höhe .US/2 und der Breite T, und ist

.US/2 T .

r 1

Also ist U D

.US/2 T D US:

T

Durch die einer Betragsbildung gleichkommenden Quadrierung ist der Effektivwert ei-
ner zur Abszisse symmetrischen Rechteckspannung gleich deren Scheitelwert, und zwar
unabhängig vom Tastverhältnis der Rechteckspannung.

Aufgabe 9.7

Berechnen Sie für den in Abb. 9.5 skizzierten zeitlichen Verlauf der Spannung U.t/ den

Effektivwert U in allgemeiner Form.

Lösung

Bei der Bestimmung des Effektivwertes einer Spannung U .t/ lassen sich drei Fälle un-
terscheiden.

1. Fall

Die Wechselgröße wird in ihrer ganzen Periode durch einen geschlossenen mathemati-
schen Ausdruck beschrieben. Ein Beispiel hierfür ist die sinusförmige Wechselspannung:

u.t/ D O

U sin.!t/. Der Ausdruck für U.t/ wird in die Formel
v
u
u

T

Z
u

U D t 1

ŒU.t/2dt

T 0
eingesetzt und die Formel ausgewertet.

274

9

Wechselspannung und Wechselstrom

2. Fall

Die Zeitfunktion U.t/ muss über ihre Periode abschnittsweise definiert werden. Entspre-
chend der abschnittweisen Definition von U.t/ muss dann auch bei Anwendung obiger

Formel abschnittsweise integriert werden.

3. Fall

Es können Symmetrieverhältnisse der Zeitfunktion U.t/ bei der Integration ausgenutzt
werden, dadurch lässt sich die Rechnung oft einfacher gestalten. Es wird z. B. statt über
die ganze Periode nur von 0 bis T =4 integriert. Statt mit dem Faktor 1=T über die ganze

Periode zu mitteln, wird dann auch nur mit 1=T =4 über diese Viertelperiode gemittelt.

Die Zeitfunktion U.t/ wird über ihre Periode abschnittsweise definiert. Für die Drei-
eckspannung in Abb. 9.5 ergibt sich:

8

ˆ

Ô

Û

< T t D 4 OU t
für

0 t T

T

4

4

U.t/ D ˆ OU t C 2 OU D 4 OU t C 2 OU für T t 3T

ˆ T

ˆ

T

4

4

: 4

4 O

U t 4 O

U
für

3 T t T

T

4

Entsprechend der abschnittweisen Definition von U.t/ wird jetzt abschnittsweise inte-
griert.

v
u 2

3
u

T

!

3T

!

!

u

4

Z

2

4

Z

2

T

Z

2

1 6

4 O

U

4 O

U

7

U D u
t 4
t dt C

4 O

U t C 2 OU dt C
t 4 OU
dt5

T

T

T

T

0

T

3T

4

4

Die einzelnen Integrale werden getrennt berechnet.

T

!

!

T

!

!

4

Z

2

2

4

Z

2

2

4 O

U

3

T

4 O

U

4 O

U

4 O

U

T
t
dt D

t2dt D

1 Œt3 4 D

1

T

T

T

3

0

T

3

4

0

0

O

D U 2 T

12

3T 2

!

3

4

Z

2

4 4 OU
t2 2 8 OU 2 t C 4 OU 25 dt D

T

T

T4 !2

3T

3T

3T

D 4 O

U

1 Œt3 4 2 8 OU 2 1 Œt2 4 C 4 OU 2 Œt 4 D

T

3

T

T

T

4

T

2

4

4

9.3

Effektivwert

275

!

"

#

"

#

2

3

3

2

2

D

4 O

U

1

3

T

3

T

T

2 8 O

U 2 1

T

T

3

4

4

T

2

4

4

C

3

4 O

U

T T

D

4

4

O

D 42 O

U 2

U 2 T 13

T 3 26 8 O

U 2 1T 2 C 4 OU2 1T D

4 OU 2T C 2 OU 2T D

T 2 3

43

T

2

2

6

O

O

D U 2 T 2 13

U 2 T

2 O

U 2T D 13 O

U 2 T 12 O

U 2 T D

6

6

6

2

3

T

Z

!2

4 4 OU
t2 2 4 4 OU 2 t C 16 OU 25 dt D

T

T

3T

4

!

"

#

"

#

2

3

2

D 4 O

U

1

3

3

T 3

T

32 O

U 2 1 T 2 T

C 16 OU 2 T 3T D

T

3

4

T

2

4

4

D 42 O

U 2 1 37 T 3 32 OU2 1 7 T 2 C 4 OU2 T D 37 OU2 T 3 OU2 T

T 2

3

64

T

2

42

4 3

O

D U 2 T

12

Es folgt:

v
u

!

u

O

U 2 T

O

U 2 T

O

U 2 T

O

U

U D t 1

C

C

I

U D p

T

12

6

12

3

Die Lösung kann auch unter Ausnutzung der Symmetrieverhältnisse erfolgen. Die Rech-
nung wird dadurch wesentlich kürzer.

Im Abschnitt 0 bis T =4 ist U.t/ eine Gerade U.t/ D a t mit der Steigung a D OU D

T4

O

U 4 .

T

Von 0 bis T =4 ist also U.t/ D 4 OU t.

T
v
u
u

T
u

!

4

Z

2
u

4 O

U

U D t 1
t
dtI

T

T

4

0

276

9

Wechselspannung und Wechselstrom

Abb. 9.6 Eine Rechteckspan-
nung mit Gleichspannungsan-
teil
es braucht jetzt nur ein Integral berechnet zu werden:

T

!

!

T

!

!

4

Z

2

2

4

Z

2

2

4 O

U

3

T

4 O

U

4 O

U

4 O

U

T
t
dt D

t2dt D

1 t3 4 D

1

T

T

T

3

0

T

3

4

0

0

O

D U 2 T

12
s

4

O

U 2 T

O

U

U D

I U D p

T

12

3

Aufgabe 9.8

Berechnen Sie für den in Abb. 9.6 skizzierten zeitlichen Verlauf der Spannung U .t/ den

Effektivwert U.

Lösung

Es erfolgt eine abschnittsweise Integration:

v
u

2

3
u

T
s
u

2

Z

T

Z

1 6

7

1
p

U D u
t 4 42dt C

22dt5 V D

16 T C 4 T T

V D

10 V

T

T

2

2

0

T2

Aufgabe 9.9

Gegeben sind zwei periodische, nicht sinusförmige Stromverläufe. Sie sind abschnittswei-
se definiert als

8

8

< O

<

I
für 0 < t <

OI t für 0 < t <

I

1.t / D :

und I2.t/ D

0
für t < T

:0
für t < T

T ist die Periodendauer, und O

I sind Konstanten.

Skizzieren Sie die beiden Stromverläufe. Berechnen Sie jeweils den Effektivwert I1
bzw. I2 in Abhängigkeit von O

I , und T.

9.4

Gleichrichtwert

277

Abb. 9.7 Skizze der zwei
periodischen, nicht sinusförmi-
gen Stromverläufe

Lösung

Abb. 9.7 zeigt die beiden Stromverläufe.

v
u
u

T

Z
u

I D t 1

ŒI.t/2dtI

T 0

Einen Beitrag zum Integral liefert nur der Abschnitt t D 0 bis t D .

v
u
u

Z
r
u

I D

1
t 1

. O

I /2 dt D O

I

T

T

0
v
u
s
u

Z

!2
r
u

OI

1 . O

I /2 3

I D

D O

2
t 1
t
dt D

I

T

T 2 3

3T

0

9.4

Gleichrichtwert

Aufgabe 9.10

Berechnen Sie für den in Abb. 9.8 skizzierten zeitlichen Verlauf der Spannung U.t/ den

Gleichrichtwert UG.

Abb. 9.8 Zum Gleichricht-
wert einer Rechteckspannung

278

9

Wechselspannung und Wechselstrom

Abb. 9.9 Zum Gleichricht-
wert einer Dreieckspannung

Lösung

Der Gleichrichtwert einer Wechselspannung mit der Periodendauer T errechnet sich all-

R
gemein nach der Formel U D j

T j

G

U.t/j D 1

U.t/jdt.

T

0

Bei der in Abb. 9.8 gezeigten Rechteckspannung muss nicht unbedingt mit dem Inte-
gral gerechnet werden. Das Integral von jU.t/j über t in den Grenzen t D 0 und t D T
entspricht der Fläche, die zwischen der Funktion jU.t/j und der Abszissenachse in die-
sen Grenzen liegt. Die Funktion jU.t/j erhält man, indem man den negativen Teil der

Rechteckschwingung nach oben klappt. Man hat jetzt ein Rechteck mit der Fläche U

S T .

) U D UST D

G

U

T

S

Durch die Betragsbildung ist der Gleichrichtwert einer zur Abszisse symmetrischen

Rechteckspannung gleich deren Scheitelwert, und zwar unabhängig vom Tastverhältnis
der Rechteckspannung.

Aufgabe 9.11

Berechnen Sie für den in Abb. 9.9 gezeigten zeitlichen Verlauf der Spannung U.t/ den

Gleichrichtwert UG.

Lösung

Wegen der Symmetrie des Spannungsverlaufs wird die Dreieckspannung U.t/ nur im In-
tervall 0 bis T =4 betrachtet. In diesem Abschnitt ist U.t/ eine Gerade U.t/ D a t mit der

Steigung a D US D US4 und es gilt

T

T

4

T4

Z

U D j

j

G
u.t/j D 1

U.t/jdt:

T

4

0

T4

Z

T4

j
t2

T

T

U.t/jdt D US

D US T 2 D US

I U D 1 US

D 1 U

T

S

2

T

G

T

0

2 42

2 4

2 4

2

0

4

4

4

9.4

Gleichrichtwert

279

Abb. 9.10 Der Betrag einer
sinusförmigen Wechselspan-
nung und ihr Gleichrichtwert

Aufgabe 9.12

Gegeben ist die Wechselspannung u.t/ D O

U sin.!t/. Skizzieren Sie in einem Diagramm
diese Spannung, den Kurvenverlauf von ju.t/j und den dazu gehörigen Gleichrichtwert
ju.t/j mit seinem Kurvenverlauf. Berechnen Sie den Gleichrichtwert ju.t/j.

Lösung

Den Verlauf der drei Kurven zeigt Abb. 9.10.

I Anmerkung Die gezeigte Betragsbildung der Sinusspannung ju .t/ j entspricht einer
so genannten Zweiweggleichrichtung.

T

Z

Z

O
j

U
u.t/j D 1
j O

U sin.!t/jdt D 1 2 O

U
sin.'/d' D

Œ cos.'/

T

2

0

0

0

O

D U Œ1 1 D 2 OU

Alternative Integration:

T

Z

T =2

Z
ju.t/j D 1
j O

U sin.!t/jdt D 2 1 O

U
sin.!t/dt

T

T

0

0

D 2 1 OU 1 Œ cos.!t/T=2 D

T

!

0

D 2 O

U 1 Œ1 1 D 2 OU 2 D 2 OU

T

!

1=f

2f

280

9

Wechselspannung und Wechselstrom

Abb. 9.11 Sinusspannung
nach Einweggleichrichtung

Abb. 9.12 Gesucht ist der

Gleichrichtwert dieser Drei-
eckspannung

Aufgabe 9.13

Gegeben ist der Kurvenverlauf einer Sinusspannung nach einer so genannten Einweg-
gleichrichtung (Abb. 9.11). Gesucht ist der zugehörige Gleichrichtwert ju.t/j.

Lösung

T =2

Z

O
j

U
u.t/j D 1

O

U sin.!t/dt D 1 O

U 1 Œ cos.!t/T=2 D

1 Œ1 1

T

T

!

0

1=f

2f

0

D 1 O

U

Dieses Ergebnis ist halb so groß wie das Ergebnis von Aufgabe 9.12. Dies war zu erwarten,
da hier gegenüber Aufgabe 9.12 jede zweite Halbwelle verschwindet und keinen Anteil
zum Wert des Integrals liefert.

Aufgabe 9.14

Zu bestimmen ist der Gleichrichtwert der Dreieckspannung nach Abb. 9.12 mit O

U D 10 V.

Lösung

Im Bereich t D 0 bis t D T =4 ist die Funktion definiert als U .t/ D OU t. Es wird die

T =4

Symmetrie der Zeitfunktion ausgenutzt.

T =4

Z

O

O

O

O
j

U

U 16

U 8

U

U.t/j D 1
tdt D

1 Œt2T=4 D

T 2 D

D 5 V

T =4

T =4

T 2

2

0

T 2

16

2

0

Komplexe Darstellung von Sinusgrößen

10

Zusammenfassung

Komplexe Zahlen werden eingeführt und das Rechnen mit ihnen geübt. Die grafische

Darstellung komplexer Zahlen als Zeiger und in den möglichen Darstellungsformen der

Komponentenform, Exponentialform und trigonometrischen Form zeigen unterschied-
liche Möglichkeiten zur Berechnung von Betrag und Phase und zur Umwandlung der

Formen ineinander. Spannung, Strom und Widerstand werden als komplexe Größen
dargestellt. Es werden im komplexen Bereich Scheitelwertzeiger und Effektivwertzei-
ger, rotierende und ruhende Zeiger betrachtet. Die Transformation einer im Zeitbereich
gegebenen Spannung oder eines Stromes in den komplexen Bereich und umgekehrt
wird geschult.

10.1

Grundwissen – kurz und bündig

Durch die komplexe Rechnung lassen sich Zeigerdiagramme mathematisch beschrei-
ben.

p

Die imaginäre Einheit ist j D 1.

Eine komplexe Zahl Z D R C jX hat einen Realteil R und einen Imaginärteil X.

Gleichwertige Darstellungsformen einer komplexen Zahl sind

– Komponentenform Z D R C jX,

– trigonometrische Form Z D Z Œcos.'/ C j sin.'/,

– Exponentialform Z D Z ej '.

p

Die Länge des komplexen Zeigers (der Betrag) ist Z D jZj D R2 C X2.

Der Winkel des Zeigers mit der reellen Achse ist ' D arctan X (Z im 1. Quadranten).

R

Durch die Rechnung mit komplexen Zahlen ist die grafische Darstellung von Zeigern
nicht notwendig. Aufwendige Berechnungen im Zeitbereich werden durch einfachere

Berechnungen ersetzt.

Mit komplexen Wechselstromgrößen kann man genauso rechnen wie bei Gleichstrom.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017

281

L. Stiny, Aufgabensammlung zur Elektrotechnik und Elektronik,

DOI 10.1007/978-3-658-14381-7_10

282

10

Komplexe Darstellung von Sinusgrößen

Eine sinusförmige Wechselspannung wird im Zeitbereich durch u.t/ D OU sin.!t C'u/
beschrieben, in komplexer Darstellung durch u.t/ D O

U ej.!tC'u/.

Ein komplexer Widerstand Z D R C jX wird Impedanz genannt. R ist der Wirkwi-
derstand (Resistanz), X ist der Blindwiderstand (Reaktanz).

In einem Wirkwiderstand wird Wärme erzeugt, in einem Blindwiderstand nicht.

Der komplexe Leitwert heißt Admittanz Y D G C jB. G ist der Wirkleitwert (Kon-
duktanz), B ist der Blindleitwert (Suszeptanz).

Der Betrag des komplexen Widerstandes wird als Scheinwiderstand bezeichnet.

Der Betrag des komplexen Leitwertes wird als Scheinleitwert bezeichnet.

10.2

Rechnen mit komplexen Zahlen

Aufgabe 10.1

Eine komplexe Zahl Z ist in Abb. 10.1 durch ihre grafische Darstellung in der Ebene der
komplexen Zahlen gegeben.

a) Wie groß sind Betrag r und Winkel ' von Z? Geben Sie die Exponentialform von Z
an.

b) Wie groß sind Realteil R und Imaginärteil X von Z?

Lösung
a) Der Betrag ist die Länge des Zeigers. Am Schnittpunkt des Betragskreises mit der

Ordinate (auf der imaginären Achse) liest man ab: r D jZj D 3. Die Gradeinteilung ist
in der Grafik in Schritten von 15ı vorgenommen. Ausgehend von der positiven reellen

Achse erhält man im Gegenuhrzeigersinn fortschreitend ' D 90ı C 15ı C 15ı D 120ı.

Damit ist Z D r ej' D 3 ej120ı.

b) R D r cos.120ı/ D 3 .0;5/ D 1;5; X D r sin.120ı/ D 3 0;866 D 2;598

Abb. 10.1 Komplexe Zahl
grafisch dargestellt

10.2

Rechnen mit komplexen Zahlen

283

Abb. 10.2 Komplexe Zahl in

Zeigerdarstellung

Aufgabe 10.2

Gegeben ist die komplexe Zahl Z D 2 C 3j .

a) Stellen Sie die Zahl als Zeiger durch einen vom Ursprung ausgehenden Pfeil in der

Ebene der komplexen Zahlen dar.

b) Geben Sie Betrag Z und Winkel ' von Z an.

Lösung
a) Die Zeigerdarstellung zeigt Abb. 10.2.

p
p
b) Z D jZj D

R2 C X2 D

.2/2 C 32 D 3;606 (R D Realteil, X D Imaginärteil)

Abhängig davon, in welchem Quadranten eine komplexe Zahl Z D a C j b liegt,
wird deren Winkel ' berechnet.

jbj
jbj

1. Quadrant: ' D arctan

I
j

2. Quadrant: ' D arctan
aj
jaj

jbj
jbj

3. Quadrant: ' D C arctan

I
j

4. Quadrant: ' D arctan
aj
jaj

Die gegebene komplexe Zahl Z D 2 C 3j liegt im 2. Quadranten.

3

' D 180ı arctan

D 180ı 56;3ı D 123;7ı

2

Aufgabe 10.3

Schreiben Sie die folgenden komplexen Ausdrücke in der Komponentenform (algebrai-
schen Form) a C jb.a; b 2 R/.

5 j 8

1 j
a) .5 C j 3/.2 j / .3 C j /
b) .1 j 2/2
c)

d)

3 j 4

1 C j

1

1

1
e)

1
f) .3 j 2/2
g)

.1 C j /2
h)

3 j 4

5 j 3

5 C j 3

2

2

5 j 8

284

10

Komplexe Darstellung von Sinusgrößen

Lösung
a)

.5 C j 3/.2 j / .3 C j / D 10 j 5 C j 6 C 3 3 j D 10
b)

.1 j 2/2 D .1 j 2/.1 j 2/ D 1 j 2 j 2 4 D 3 j 4
c)

5 j 8 D .5 j8/.3 C j4/ D 15 C j20 j24 C 32 D 47 4
j

3 j 4

.3 j 4/.3 C j 4/

9 C j12 j12 C 16

25

25
d)

1 j D .1 j/.1 j/ D 1 j j 1 D j

1 C j

.1 C j /.1 j /

2
e)

1

1

D .5 C j 3/ .5 j 3/ D
j 6

D

3
j

5 j 3

5 C j 3

.5 j 3/.5 C j 3/

25 C 9

17
f)

.3 j 2/2 D .3 j 2/.3 j 2/ D 9 j 6 j 6 4 D 5 j12
g)

1 .1 C j/2 D 1.1 C j/.1 C j/ D 1.1 C j C j 1/ D j

2

2

2
h)

1 3 j4 D 1 .3 j4/.5 C j8/ D 1 15 C j24 j20 C 32 D

2

5 j 8

2

.5 j 8/.5 C j 8/

2

25 C 64

D 1 47 C j 4 D 89 94 j 8 D 5 j 8 D 5

4
j

2

89

178

178

178

89

Aufgabe 10.4

Berechnen Sie von den in Aufgabe 10.3 bestimmten komplexen Zahlen jeweils den Betrag
und die Phase in Grad (den Winkel, abgekürzt mit dem Zeichen „†“).

Lösung
a)

j10j D 10; †.10/ D 0; rein reell
b)

p
j 3 j 4j D 32 C 42 D 5I

†

4

.3 j 4/ D 180ı C arctan

D 180ı C 53;13ı D 233;13ı

3

10.2

Rechnen mit komplexen Zahlen

285
c)

ˇ
p

ˇ

ˇ

ˇ47

4 ˇ

472 C 42

ˇ
j

Ď 1;89I

25

25 Ď

25

!

4

† 47

4

4
j

D arctan 25

D arctan

D 4;86ı

25

25

47

47

25
d)

j j j D 1I †.j / D 90ıI rein imaginär
e)

ˇˇ ˇ

ˇ 3 ˇ

3

ˇj

ˇ

I † j

D 90ıI rein imaginär

17 Ď 3

17

17
f)

p

j

12

5 j12j D

52 C 122 D 13I

†.5 j12/ D arctan

D 67;38ı

5
g)

jj j D 1I †.j / D 90ıI rein imaginär
h)

š

ˇ

ˇ

2

2

ˇ

4 ˇ

5

4

ˇ 5 j

Č

D 0;053

178

89 Ď

178

89

!

4

† 5

4
j

D 180ı C arctan 89

D 180ı C 58ı D 238ı

178

89

5

178

Aufgabe 10.5

Wie lauten Realteil und Imaginärteil der komplexen Zahl Z D 5 ej 75ı?

Lösung

Die komplexe Zahl ist in Exponentialform gegeben. Die Komponentendarstellung lautet

Z D 5 Œcos.75ı/ C j sin.75ı/ : RefZg D 1;294I

ImfZg D 4;83

Aufgabe 10.6

Welche Ergebnisse liefern folgende Rechenoperationen:

a) .1 C j 3/ C .2 j 4/ .5 C 6 j / D Z1
b) 232j D Z

4C5j

2

c)

.2 ej 22ı / .6 ej 32ı/ W .4 ej 5ı/ D Z3

286

10

Komplexe Darstellung von Sinusgrößen

Lösung
a) Die Addition der Realteile ergibt 1 C 2 C 5 D 8.

Die Addition der Imaginärteile ergibt 3 4 6 D 7. Ergebnis: Z D

1

8 j 7
b) Zähler und Nenner werden mit dem konjugiert komplexen Wert des Nenners erweitert.

Z D 23 2j D .23 2j / .4 5j / D 23 4 23 5j 2j 4 2 5

2

4 C 5j

.4 C 5j / .4 5j /

16 C 25

Zusammenfassen der Real- und Imaginärteile und Beseitigen des Bruches ergibt:

Z D

2

2 3j
c) Die Exponentialform komplexer Zahlen eignet sich besonders gut zur Multiplikation
und Division, da die Exponenten addiert bzw. subtrahiert werden.

2 ej 22ı 6 ej 32ı D 12 ej10ıI

12 ej10ı D 12 ej10ı ej5ı D 3 ej.10ı5ı/

4 ej 5ı

4

Z D

3

3 ej 5ı

Aufgabe 10.7

Gegeben ist der komplexe Ausdruck

6

5 ej 45ı. Gesucht ist die Exponentialform

15Cj 8

Z D r ej'.

Lösung

6

5 ej 45ı D

6
p

5 ej 45ı D

30

15 C j 8

.15/2 C 82ej Œ180ıarctan. 815 /

17 ej151;93ı ej 45ı

D 1;76 ej.45ı151;93ı/

Z D 1;76 ej106;93ı

Aufgabe 10.8

Gegeben ist der komplexe Ausdruck 10 D 2;36 ej 45ı. Gesucht sind a und b.

aCjb

Lösung
a C jb D

10

D 4;24 ej45ı D 4;24 Œcos.45ı/ j sin.45ı/ D 3 j 3I

2;36 ej 45ı
a D 3I
b D 3

Aufgabe 10.9

Gegeben ist der komplexe Ausdruck r ej'.3 C j 8/ D j 32. Gesucht sind r und '.

10.3

Spannung, Strom, Widerstand als komplexe Größen

287

Lösung
r ej' D
j 32

D

32ej 90ı
p

D

32 ej 90ı

.3 C j 8/

32 C 82ej.180ıarctan.83//

8;54 ej110;56ı

D 3;75 ej.90ı110;56ı/
r ej' D 3;75 ej 20;56ı I
r D 3;75I

' D 20;56ı

Aufgabe 10.10

Gegeben ist der komplexe Ausdruck a C jb D 6 ej120ı.4 C j 3 C 2 ej15ı/. Gesucht
sind a und b.

Lösung
a C jb D 6 ej120ı .4 C j 3 C 2 ej15ı /

D 6 ej120ı .4 C j 3 C 2 Œcos.15ı/ C j sin.15ı//
p
a C jb D 6 ej120ı .2;07 C j 3;52/ D 6 ej120ı 2;072 C 3;522 ej .180ıarctan. 3;52

2;07 //
a C jb D 6 ej120ı 4;08 ej120;5ı D 24;48 ej 240;5ı

D 24;48 Œcos.240;5ı/ C j sin.240;5ı/
a C jb D 12 j 21;3; Koeffizientenvergleich: a D 12I
b D 21;3

10.3

Spannung, Strom, Widerstand als komplexe Größen

Aufgabe 10.11

Für fünf verschiedene Verbraucher sind jeweils die komplexe Eingangsspannung U und
der komplexe Eingangsstrom I angegeben.

Verbr. 1

Verbr. 2

Verbr. 3

Verbr. 4

Verbr. 5

U .40 j10/ V

.40 j10/ V

.30 C j 20/ V

.40 C j10/ V

.40 j10/ V

I .10 j 6/ A

.7;5 C j 30/ A

.15 j 22;5/ A

.8 C j 2/ A

.10 C j10/ A
a) Berechnen Sie jeweils die Komponentenform Z D R C jX mit Realteil R und Ima-
ginärteil X sowie die Exponentialform Z D Z ej' mit Betrag Z und Phase ' des
komplexen Verbraucherwiderstandes Z.

b) Zeichnen Sie die Widerstände in der komplexen Ebene als Zeiger.

c) Welches Verhalten haben die einzelnen Verbraucher (rein ohmisch, rein kapazitiv, rein
induktiv, ohmisch-kapazitiv, ohmisch-induktiv)?

288

10

Komplexe Darstellung von Sinusgrößen

Lösung
a) Allgemein gilt: Z D U D R C jX D Z ej'

I

Verbraucher 1

1. Möglichkeit: Quotient bilden und Zähler und Nenner mit dem konjugiert komplexen

Wert des Nenners erweitern.

Z D 40 j10 D .40 j10/.10 C j 6/ D 400 j100 C j 240 j 260

10 j 6

.10 j 6/.10 C j 6/

100 j 236

Z D 460 C j140 I

Z D .3;38 C j 1;03/ I

136
p

Z D

3;382 C 1;032 D 3;5

1;03

' D arctan

D 16;9ıI Z D 3;5 ej16;9ı

3;38

2. Möglichkeit: Jeweils U und I in Exponentialform darstellen, dann Division ent-
sprechend

Z1 D Z1 ej.'1'2/

Z2

Z2
und Rückwandlung in die Komponentenform nach Z D Z .cos.'/ C j sin.'//.

p

U D

402 C 102 V ej arctan. 10

40 / D 41;2 V ej14ı I
p

I D

102 C 62 A ej arctan. 6

10 / D 11;7 A ej 31ı

Z D U D 41;2 V ej14ıCj 31ı D 3;5 ej17ıI

I

11;7 A

Z D 3;5 cos.17ı/ C j 3;5 sin.17ı/

Z D .3;35 C j 1;02/

Unterschiede zur 1. Möglichkeit sind durch Rundungsfehler bedingt.

Verbraucher 2

Z D 40 j10 D .40 j10/.7;5 j 30/ D 300 j 75 j1200 C j 2300

7;5 C j 30

.7;5 C j 30/.7;5 j 30/

56;25 j 2900
j1275

Z D

I

Z D j 1;33 I

Z D 1;33 I

' D 90ıI

956;25

Z D 1;33 ej 90ı

10.3

Spannung, Strom, Widerstand als komplexe Größen

289

Abb. 10.3 Zeiger der komple-
xen Widerstände

Verbraucher 3

Z D 30 C j 20 D .30 C j 20/.15 C j 22;5/

15 j 22;5

.15 j 22;5/.15 C j 22;5/

D 450 C j 675 C j 300 C j 2450

225 j 2506;25

Z D j 975 I

Z D j 1;33 I

Z D 1;33 I

' D 90ıI

Z D 1;33 ej 90ı

731;25

Verbraucher 4

Z D 40 C j10 D .40 C j10/.8 j 2/ D 320 C j 80 j 80 j 220

8 C j 2

.8 C j 2/.8 j 2/

64 j 24

D 340

68

Z D 5 I

Z D 5 I

' D 0ıI

Z D 5 ej 0ı

Verbraucher 5

Z D 40 j10 D .40 j10/.10 j10/ D 400 j100 j 400 C j 2100

10 C j10

.10 C j10/.10 j10/

100 j 2100
p

Z D 300 j 500 I

Z D .1;5 j 2;5/ I

Z D

1;52 C 2;52 D 2;92

200

2;5

' D arctan

D 59ıI Z D 2;92 ej59ı

1;5
b) Die Widerstände sind in Abb. 10.3 als Zeiger in der komplexen Ebene dargestellt.

290

10

Komplexe Darstellung von Sinusgrößen
c) Z ist ohmsch-induktiv: Realteil

1

> 0, Imaginärteil > 0, d. h. positiv. Man denke an
den komplexen Widerstand R C j!L der Reihenschaltung eines Widerstandes mit
einer Spule.

Z ist rein kapazitiv: Realteil D

2

0, Imaginärteil < 0, d. h. negativ. Man denke an den
komplexen Widerstand eines Kondensators j X D 1

C

.

j!C

Z ist rein induktiv: Realteil D

3

0, Imaginärteil > 0. Man denke an den komplexen

Widerstand einer Spule j!L.

Z ist rein ohmisch: Realteil

4

> 0, Imaginärteil D 0.

Z ist ohmsch-kapazitiv; Grund: Realteil

5

> 0, Imaginärteil < 0.

Aufgabe 10.12
p

Geben Sie zu der Zeitfunktion der Spannung u.t/ D 5 V

2 sin.!t C 20ı/ und zu
p
der Zeitfunktion des Stromes i.t/ D 2 A

2 sin.!t 60ı/ jeweils den komplexen

Effektivwertzeiger an.

Lösung

U D 5 V ej 20ıI

I D 2 A ej 60ı

Aufgabe 10.13

Gegeben ist die Spannung u.t/ D 20 V sin.!t/. Geben Sie den komplexen Effektivwert-
zeiger U nach Betrag und Phase an.

Lösung

U D 20 V
p ej0 oder U D 20 V
p ; ' D
u

0:

2

2

Aufgabe 10.14

Gegeben ist die Spannung u.t/ D O

U sin.!t/. Geben Sie den zugehörigen rotierenden

Scheitelwertzeiger, den ruhenden Scheitelwertzeiger und den komplexen Effektivwertzei-
ger an.

Lösung

Rotierender Scheitelwertzeiger:

u.t/ D O

U ej.!tC0/ D O

U ej!t ej 0

„ƒ‚… D OU ej!t

1
ej!t wird als Drehfaktor bezeichnet.

Ruhender Scheitelwertzeiger (komplexe Amplitude): O

U D O

U

Komplexer Effektivwertzeiger: U D OU
p2

Aufgabe 10.15

Geben Sie die Spannung u.t/ D O

U sin.!t C 'u/ im Komplexen an.

10.3

Spannung, Strom, Widerstand als komplexe Größen

291

Lösung
u.t/ D O

U cos.!t C 'u/ C j O

U sin.!t C 'u/

Mit cos.x/ C j sin.x/ D ejx nach Euler folgt:

p
u.t/ D O

U ej.!tC'u/ D O

U ej'u ej!t D O

U ej!t mit O

U D O

U ej'u D

2 U ej'u

Aufgabe 10.16

Kann man an einer komplexen Amplitude erkennen, ob die zugeordnete Schwingung eine

Sinus- oder eine Cosinus-Funktion ist?

Lösung

Ist nur die komplexe Amplitude O

U D O

U ej'u gegeben, so wird sie vor der Transformation
in den Zeitbereich mit ej!t multipliziert:

u.t/ D O

U ej'u ej!t D O

U cos.!t C 'u/ C j O

U sin.!t C 'u/
u.t/ ist mit u.t/ D O

U cos.!t C 'u/ entweder der Realteil von u.t/ oder mit u.t/ D

O

U sin.!t C 'u/ der Imaginärteil von u.t/.

Also:

u.t/ D Refu.t/g

„ ƒ‚ … oder u.t/ D Imfu.t/g

„ ƒ‚ …

cos
sin

An der komplexen Amplitude kann man also nicht mehr erkennen, ob die zugeordnete

Schwingung eine Sinus- oder Cosinus-Funktion ist.

Aufgabe 10.17

Gegeben ist die komplexe Zeitfunktion u.t/ D O

U ej .!tC 2 /. Geben Sie die zugehörige
reelle Zeitfunktion u.t/ an.

Lösung

u.t/ D O

U cos !t C C j O

U sin !t C

2

2

u.t/ D Refu.t/g D O

U cos !t C
oder u.t/ D Imfu.t/g D O

U sin !t C

2

2

Aufgabe 10.18

Wandeln Sie die Komponentenform U D .1 C j 2/ V der komplexen Effektivspannung in
die Exponentialform um.

292

10

Komplexe Darstellung von Sinusgrößen

Lösung
p
p

2
p

U D

12 C 22 D

5 VI

' D arctan

D arctan.2/ D 63;4ıI U D 5 V ej63;4ı

1

Probe: Wandlung der Exponentialform zurück in die Komponentenform.

p

U D

5 Œcos.63;4ı/ C j sin.63;4ı/ V D .1 C j 2/ V

Aufgabe 10.19

Leiten Sie im komplexen Bereich formal den komplexen Widerstand in der Komponen-
tenform als Quotient von Spannung und Strom her.

Lösung

Z D U I

U D U ej'uI

I D I ej'iI

Z D U ej'u D U ej.'u'i/ D U ej'I

I

I ej'i

I

I

Z D jZj D U I

I

Z D Z ej' D Z cos.'/ C j Z sin.'/ D R C j X

Einfache Wechselstromkreise

11

Zusammenfassung

Es werden Eigenschaften und Wirkungsweise der Bauelemente Spule und Konden-
sator an Wechselspannung betrachtet. Die Funktion der Reihenschaltung von ohm-
schem Widerstand und Spule und der Reihenschaltung von ohmschem Widerstand
und Kondensator werden sowohl im Zeitbereich als auch im komplexen Bereich be-
rechnet. Zur Unterstützung der Anschaulichkeit kommen im Zeitbereich Liniendia-
gramme und im komplexen Bereich Zeigerdiagramme zum Einsatz. Die bei den Rei-
henschaltungen durchgeführten Berechnungen werden für die Parallelschaltung von

Widerstand und Spule und für die Parallelschaltung von Widerstand und Kondensator
fortgesetzt. Gemischte Schaltungen, die aus Reihenschaltungen und Parallelschaltun-
gen von Widerständen, Kondensatoren und Spulen zusammengesetzt sind, führen zu
etwas anspruchsvolleren Berechnungen und schwieriger zu konstruierenden Zeiger-
diagrammen. Die Einführung der Übertragungsfunktion im komplexen Bereich ergibt
neue Möglichkeiten bei der Analyse von Netzwerken. Mit der Verwendung der Begrif-
fe Verstärkungsfaktor, Verstärkungsmaß, Dämpfungsmaß werden Berechnungen unter

Verwendung logarithmischer Größen geübt.

11.1

Grundwissen – kurz und bündig

Ein ohmscher Widerstand ist ein Wirkwiderstand, in ihm entsteht Wärme.

Beim ohmschen Widerstand sind Strom und Spannung in Phase.

Eine Spule lässt Wechselstrom umso schlechter durch, je höher die Frequenz des Wech-
selstromes und je größer die Induktivität der Spule ist.

Bei einer idealen Spule eilt der Strom der Spannung um =2 D 90ı nach.

Der Blindwiderstand einer idealen Spule ist X D

L

!L.

Ein Kondensator lässt Wechselstrom umso besser durch, je höher die Frequenz des

Wechselstromes und je größer die Kapazität des Kondensators ist.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017

293

L. Stiny, Aufgabensammlung zur Elektrotechnik und Elektronik,

DOI 10.1007/978-3-658-14381-7_11

294

11

Einfache Wechselstromkreise

Bei einem idealen Kondensator eilt der Strom der Spannung um =2 D 90ı voraus.

Der Blindwiderstand eines idealen Kondensators ist X D 1

C

.

!C

Der komplexe Widerstand einer Spule ist Z D

L
j!L.

Der komplexe Widerstand eines Kondensators ist Z D 1 .

C
j!C

Ein komplexer Widerstand (eine Impedanz) ist allgemein die Zusammenschaltung ei-
nes Wirkwiderstandes und eines Blindwiderstandes.

Ein Scheinwiderstand (Einheit Ohm) ist der Absolutwert (der Betrag) eines komplexen

Widerstandes.

' D 'ui ist der Winkel, um den die Spannung dem Strom vorauseilt (= Phasenverschie-
bungswinkel oder Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom).

' D
iu

'ui ist der Phasenverschiebungswinkel zwischen Strom und Spannung.

Mit den Nullphasenwinkeln '

D

u der Spannung und 'i des Stromes gilt: 'ui

'u

'i.

Der Winkel eines komplexen Widerstandes, der an eine Spannungsquelle angeschlos-
sen ist, stimmt nach Wert und Vorzeichen mit ' D 'ui überein.

Definition einer Übertragungsfunktion: H .j!/ D Ua D Wirkung.

U e

Ursache
jH.j!/j wird als Amplitudengang bezeichnet.

Die Phasenverschiebung (der Phasengang) zwischen Ausgangs- und Eingangssignal ist

'.!/ D †H .j!/.

Der relative Spannungspegel in dB ist definiert als V

D

Ua

U;dB

20 dB log

.

Ue

Ein Bodediagramm ist die grafische Darstellung des Amplituden- und Phasengangs.

Als Grenzfrequenz wird die 3 dB-Frequenz bezeichnet.

Zur Normierung einer Übertragungsfunktion setzt man R D C D L D 1.

Ein Tiefpass und ein Hochpass sind Filter.

11.2

Spule im Wechselstromkreis

Aufgabe 11.1

Eine Spule hat bei 50 Hz einen Blindwiderstand von 24 . Wie groß ist die Induktivität L
der Spule?

Lösung

L D XL D XL D

24

D 0;0764 s D 0;0764 H D 76;4 mH

!

2f

6; 28 50 s1

Aufgabe 11.2

Zwei induktiv nicht gekoppelte Spulen mit den Induktivitäten L D

D

1

0;8 H und L2

0;35 H sind in Reihe geschaltet.

a) Wie groß ist die Gesamtinduktivität Lges?

b) Wie groß ist der induktive Blindwiderstand XL bei 50 Hz?

11.2

Spule im Wechselstromkreis

295

Lösung
a) L

D

C

D
ges

L1

L2

0;8 H C 0;35 H D 1;15 H
b) X D

L

!L D 2 50 s1 1;15 s D 361

Aufgabe 11.3

Wie groß ist der induktive Blindwiderstand XL einer idealen Spule mit der Induktivität

L D 10 mH bei der Frequenz f D 1 MHz?

Lösung

X D

D

L

2 f L D 2 106 s1 102 HI

XL

62;8 k

Aufgabe 11.4

Eine ideale Induktivität hat den Wert L D 150 mH. Wie groß ist ihr Blindwiderstand XL
und ihr Blindleitwert BL bei einer Frequenz von f D 15 kHz?

Lösung

X D

D

D 1 D

L

2 f L D 2 15103 s1 0;15 HI XL

14;14 kI BL

70;7 S

XL

Aufgabe 11.5

Wie groß ist die Induktivität einer idealen Spule, an der bei einer Frequenz von f D

100 Hz und einem durch die Spule fließenden sinusförmigen Strom mit dem Scheitelwert

O

I D 15 A eine Spannung von U D 180 V gemessen wird?

Lösung
p2 U

L D

XL

I

X D U D

Up D

I

L

2 f

I

O

I = 2

O

I
p
p

2 U

2 180 V

L D

D

I

L D 27 mH

2 f O

I

2 100 s1 15 A

Aufgabe 11.6

Leiten Sie den Zusammenhang zwischen Spannung und Strom bei der Spule im Zeitbe-
reich und im komplexen Bereich her.

Lösung

Zeitbereich
p

Wir gehen aus von dem Strom i.t/ D

2 I sin.!t C 'i/. Die Bauteilgleichung für
die Spule ist u.t/ D L di.t/ . Einsetzen des Stromes und Differenzieren ergibt:

dt

0

1
p
p

B

C
u.t/ D ! L

2 I cos.!t C '

B

C C
i/ D ! L

2 I sin @!t C 'i

2 A

„ ƒ‚ …

'u

296

11

Einfache Wechselstromkreise

Die Zeitfunktion der Spannung an der Spule hat den Nullphasenwinkel ' D

C
u

'i

, die

2

Spannung eilt also dem Strom durch die Spule um =2 voraus. Die Spannung ist im Li-
niendiagramm gegenüber dem Strom um =2 nach links verschoben. Dies entspricht dem
physikalischen Verhalten der Spule beim Anschalten einer Gleichspannung: Die Span-
nung macht einen Sprung, der Strom tritt durch die Wirkung der Selbstinduktion verzögert
auf.

Komplexer Bereich
i

D O

L.t / D O

I ej .!tC'i/ D O

I ej'i ej!t I
d iL.t/

I ej'i j! ej!t
dt

Bauteilgleichung (Induktionsgesetz):

uL.t/ D L d iL.t/
dt
uL.t/ D j!L O

I ej.!tC'i/

Z D uL.t/ D j!L

OI ej.!tC'i/

L
i L.t/

OI ej.!tC'i/

Komplexer Widerstand der Spule: Z D

L
j!L

11.3

Kondensator im Wechselstromkreis

Aufgabe 11.7

Ein Kondensator wird an das Versorgungsnetz mit 230 V, 50 Hz angeschlossen. Der durch
den Kondensator fließende Strom wird zu 15 mA gemessen. Wie groß ist die Kapazität
des Kondensators?

Lösung

X D U D 230 V D

C

15;3 kI

I

0;015 A

C D

1

D

1

F D 0;2 F D 200 nF

! XC

2 50 15;3 103

Aufgabe 11.8

Drei Kondensatoren mit den Kapazitäten C D

D

D

1

47 nF, C2

22 nF und C3

15 nF sind
parallel geschaltet und werden an eine sinusförmige Wechselspannungsquelle mit 1,4 Volt,

400 Hz angeschlossen. Berechnen Sie
a) die Ersatzkapazität C,
b) den kapazitiven Blindwiderstand XC,
c) den kapazitiven Blindstrom IC.

11.3

Kondensator im Wechselstromkreis

297

Abb. 11.1 Kapazitiver Span-
nungsteiler

Lösung
a)

C D C C

C

D

1

C2

C3

84 nF
b)

X D 1 D

1

C

D 4736

!C

2 400 84 109
c)

I D U D 1;4 V D

C

296 A

XC

4736

Aufgabe 11.9

Ein kapazitiver Spannungsteiler (Abb. 11.1) mit C D

D

1

220 nF und C2

1 F ist an die

Wechselspannung U D

1

4;2 V, f D 2450 Hz angeschlossen. Berechnen Sie die Spannung

U2.

Lösung

1

U D

XC2

D

!C2

D

C1

I

D

2

U1

U

U

U

0;757 V

X

C

1

1

1

C

2

C1

XC2

C 1

C

C

!C

1

2

1

!C2

Aufgabe 11.10

Wie groß ist der kapazitive Blindwiderstand XC eines Kondensators mit dem Kapazitäts-
wert C D 10 F bei der Frequenz f D 100 Hz? An den Kondensator wird die Spannung
u.t/ D 20 V sin.!t/ mit der Frequenz f D 400 Hz angelegt. Wie hoch ist der Effektiv-
wert I des Stromes?

Lösung

X D

1

D

1

I

D

C

XC

159;2

2 f C

2 100 s1 105 F

I D ! C U D 2 f C U D 2 400 s1 105 F 20 V
p I

I D 355 mA

2

Aufgabe 11.11

Leiten Sie den Zusammenhang zwischen Spannung und Strom beim Kondensator im Zeit-
bereich und im komplexen Bereich her.

298

11

Einfache Wechselstromkreise

Lösung

Zeitbereich
p

Wir gehen aus von der Spannung u.t/ D

2 U sin.!t C 'u/. Die Bauteilgleichung
für den Kondensator ist i.t/ D C du.t/ . Einsetzen der Spannung und Differenzieren ergibt
dt

(siehe auch Aufgabe 11.6):

0

1
p

B

C
i.t/ D ! C

2 U sin B

@!t C ' C C
u

2 A

„ ƒ‚ …

'i

Die Zeitfunktion des Stromes durch den Kondensator hat den Nullphasenwinkel ' D
i

' C
u

, der Strom eilt also der Spannung am Kondensator um =2 voraus. Der Strom ist im

2

Liniendiagramm gegenüber der Spannung um =2 nach links verschoben. Dies entspricht
dem physikalischen Verhalten des Kondensators beim Anschalten einer Gleichspannung:

Der Strom macht einen Sprung, die Spannung tritt durch den Ladevorgang verzögert auf.

Komplexer Bereich
uC.t/ D O

U ej.!tC'u/ D O

U ej'u ej!t
d uC.t/ D OU ej'u j! ej!t
dt

Bauteilgleichung: iC.t/ D C d uC.t/
dt
iC.t/ D j!C O

U ej.!tC'u/

(((((

O

U ej.!tC'u/

Z D uC.t/ D

C
iC.t/
j!C (((((

O

U ej.!tC'u/

Komplexer Widerstand des Kondensators: Z D 1

C
j!C

11.4

Reihenschaltung von ohmschem Widerstand und Spule

Aufgabe 11.12

Die Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes R D 50 und einer Spule L D

200 mH liegt an der Netzwechselspannung U D 230 V, f D 50 Hz. Geben Sie die Zeit-
funktion i.t/ des Stromes ohne Anwendung der komplexen Rechnung an.

Lösung
p

Der Scheinwiderstand der Reihenschaltung ist Z D

R2 C .!L/2 D 80;3 .

p

Der Scheitelwert des Stromes ist somit O

I D 2U D 4;1 A.

Z

11.4

Reihenschaltung von ohmschem Widerstand und Spule

299

Abb. 11.2 Reihenschaltung
von Widerstand und Spule

Der Phasenverschiebungswinkel zwischen Spannung und Strom ist:

!L

2 50 s1 0;2 H

' D arctan

D arctan

D 51;5ı:

R

50

Wir denken uns die Spannung im Liniendiagramm mit dem Nullphasenwinkel ' D
u

0
durch den Nullpunkt des Koordinatensystems verlaufend. Es ist ' D 'ui > 0, der Strom
eilt der Spannung nach, ist also im Liniendiagramm nach rechts verschoben und hat somit
einen negativen Nullphasenwinkel von ' D
i

' D 51;5ı.

Die Netzwechselspannung ist sinusförmig, somit ist auch der Strom in diesem linearen

Netzwerk sinusförmig mit gleicher Frequenz wie die Spannung. Der Strom ist allgemein:

i.t/ D O

I sin.!t C 'i/:

Die Zeitfunktion des Stromes ist i.t/ D 4;1 A sin.!t 51;5ı/.

In diesem Beispiel gibt es zwei Punkte, die zu beachten sind und in Prüfungen häufige

Fehlerquellen darstellen:

1. Vor der Sinusfunktion muss ein Scheitelwert stehen, dieser muss aus dem gegebenen

Effektivwert der Spannung berechnet werden.

2. Der Phasenverschiebungswinkel zwischen Spannung und Strom ist positiv, der Null-
phasenwinkel des Stromes ist negativ.

Aufgabe 11.13

Die Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes R D 80 und einer Induktivität L D

240 mH liegt an einer sinusförmigen Spannungsquelle u.t/ D 42 V sin.!t/, f D 50 Hz

(Abb. 11.2).

a) Wie groß ist der induktive Blindwiderstand XL?

b) Wie groß ist der Scheinwiderstand Z (der Betrag der Impedanz) der RL-Reihenschal-
tung?

c) Welchen Wert hat der Strom I?

d) Bestimmen Sie den Winkel ' der Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom
in Grad.

300

11

Einfache Wechselstromkreise

Abb. 11.3 Zeigerdiagramm
von U, I
e) Skizzieren Sie als Zeigerdiagramm das Widerstandsdreieck aus Wirk- Blind- und

Scheinwiderstand.

f) Wie groß sind die Teilspannungen UR und UL?

g) Bestimmen Sie den Strom I mit komplexer Rechnung.

h) Bestimmen Sie den Winkel ' mit komplexer Rechnung.

i) Geben Sie einen Ausdruck für die Zeitfunktion i.t/ an.

Lösung
a) X D

L

!L D 2 50 s1 0;24 s D 75;4
b) Wegen der Winkelverschiebung zwischen Spannung und Strom bei einem Blindwider-
stand dürfen die Werte von ohmschem Widerstand und Blindwiderstand nicht einfach
arithmetisch addiert werden. Der Scheinwiderstand der RL-Reihenschaltung ergibt
sich aus der geometrischen Addition der Widerstandszeiger (ähnlich der Addition von

Vektoren). Der Scheinwiderstand ist als Betrag der geometrischen Addition von Wirk-
und Blindwiderstand zu ermitteln. Die Phasenverschiebung zwischen Spannung und

Strom ist bei der idealen Spule 90ı. Den Scheinwiderstand erhalten wir somit entspre-
chend den Verhältnissen im rechtwinkligen Dreieck (Pythagoras).

q
p

Z D

R2 C X2 D

L

802 C 75;42 D 109;9
c)

O

O

U

U D 42 VI

U D p I

2

42 V
p

I D U D

2

D 29;7 V D 270 mA (ein Effektivwert)

Z

109;9

109;9
d)

0

1

Blindanteil

‚…„ƒ

B

X

C

L

75;4

' D ' D †

B

C

D
ui

.U; I / D arctan @

43;3ı

R

A D arctan

„ƒ‚…

80

Wirkanteil

Die Schaltung zeigt insgesamt induktives Verhalten, der Strom eilt der Spannung um

' nach. Diese Verschiebung des Stromes gegenüber der Spannung ist qualitativ so-
fort aus der Schaltung ersichtlich, es ist ja nur eine Induktivität vorhanden und keine

Kapazität. Für die komplexen Effektivwerte von Spannung und Strom erhält man das

Zeigerdiagramm in Abb. 11.3.

11.4

Reihenschaltung von ohmschem Widerstand und Spule

301

Abb. 11.4 Widerstandsdreieck
e) Das Widerstandsdreieck aus Wirk- Blind- und Scheinwiderstand zeigt Abb. 11.4.

f)

U D

D

R

R I D 21;6 VI

UL

!L I D XL I D 20;4 V

UR und UL sind Effektivwerte. Die Scheitelwerte sind:

p
p

O

U D

D

R

UR

2 D 30;5 VI

O

UL

UL

2 D 28;9 V

Wie man sieht, ist O

U C O D

R

UL

59;4 V ¤ 42 V, da die Spannungen geometrisch addiert
q
p
werden müssen: O

U D

O

U 2 C O D

R

U 2L

.30;5 V/2 C .28;9 V/2 D 42 V.

Wegen der Phasenbeziehung der Teilspannungen darf man auch auf keinen Fall die

Maschenregel anwenden, es gilt also nicht: O

U D

L

42 V O

UR.

g) Eine komplexe Rechnung ergibt für den Strom I:

U D 42 V
p ej0 D 29;7 V (ein komplexer Effektivwertzeiger); U D jU j D 29;7 V

2

Z D R C j!L D .80 C j 2 50 0;24/ D .80 C j 75;4/
p

Z D jZj D

802 C 75;42 D 109;9

I D U D 29;7 V D 270 mA

Z

109;9
h) In der Angabe ist kein Nullphasenwinkel der Spannung angegeben, er ist also null:

' D †
u

U D 0

Der Winkel der Impedanz Z D R C j!L ist: †Z D arctan !L D arctan 75;4 D

R

80

43;3ı

Die Beziehung †I D † U
kann man als Erweiterung des komplexen ohmschen

Z

Gesetzes auf Winkel betrachten. Wir erhalten jetzt für den Nullphasenwinkel des Stro-
mes:

U

' D †

D †
i

I D †

U †Z D 0 43;3ı D 43;3ı

Z

Der Phasenverschiebungswinkel zwischen Spannung und Strom kann aus deren Null-
phasenwinkeln berechnet werden:

' D ' D †

D
ui

.U ; I / D 'u

'i

0 .43;3ı/ D 43;3ı

302

11

Einfache Wechselstromkreise

Diesen Wert hatten wir bereits als Winkel der Impedanz Z D R C j!L berechnet.

Der Winkel von Z gibt also den Winkel ' zwischen Spannung und Strom nach Wert
und Vorzeichen richtig an.

Bekanntlich gibt es zwei Möglichkeiten, um ' zu berechnen:

1. Aus den Nullphasenwinkeln ' D '

u

'i

2. als Winkel des komplexen Widerstandes ' D †Z.

i) Allgemein ist der Strom in Abhängigkeit der Zeit:

i.t/ D O

I sin.!t C 'i /

Die Frequenz bleibt in einem linearen Netzwerk unverändert und kann aus der Anga-
be übernommen werden. Der Nullphasenwinkel des Stromes wurde soeben zu ' D
i

43;3ı berechnet. Der Strom wurde zu I D 270 mA berechnet. Wir dürfen jetzt nicht
vergessen, dass dies ein Effektivwert ist. Vor der Sinusfunktion steht ein Scheitelwert,
p
den wir durch Multiplikation des Effektivwertes mit

2 erhalten.

p
i.t/ D

2 270 mA sin.!t 43;3ı/

Aus dem Vorzeichen des Nullphasenwinkels sehen wir auch im Zeitbereich, dass der

Strom der Spannung nacheilt, dessen Liniendiagramm also gegenüber der Spannung
nach rechts verschoben ist.

Aufgabe 11.14

Eine Spule mit dem Wicklungswiderstand R D 20 und der Induktivität L D 100 mH
liegt an der Netzwechselspannung U D 230 V, f D 50 Hz.

a) Wie groß sind Blindwiderstand XL und Scheinwiderstand ZL der Spule?

b) Wie groß ist der Strom I durch die Spule? Wie groß ist die Phasenverschiebung ' D 'ui
zwischen Spannung und Strom in Grad?

c) Wie groß sind der Wirkspannungsabfall UR und der Blindspannungsabfall UL an der

Spule?

d) Wie groß sind die in der Spule entstehende Wirkleistung P, Blindleistung Q und

Scheinleistung S?

Lösung
a)

X D

L

! L D 2 50 s1 0;1 s D 31;4
q
p

Z D

D

L

R2 C X2L

.20 /2 C .31;4 /2 D 37;2
b)

I D 230 V D 6;2 A

37;2

Z D

D

L

R C jXL

20 C j 31;4

11.4

Reihenschaltung von ohmschem Widerstand und Spule

303

Der Winkel des komplexen Widerstandes stimmt nach Betrag und Vorzeichen mit der

Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom überein.

31;4

' D ' D

D
ui
arctan

57;5ı

20

Der Strom eilt der Spannung um 57,5ı nach.

c)

U D

D

R

6;2 A 20 D 124 VI

UL

6;2 A 31;4 D 194;7 V
p

Probe: U D

.124 V/2 C .194;7 V/2 D 230;8 V, bis auf Rundungsfehler i. O.

d)

P D U I cos.'/ D 230 V 6;2 A cos.57;5ı/ D 766;2 W

Q D U I sin.'/ D 230 V 6;2 A sin.57;5ı/ D 1202;7 var

S D U I D 230 V 6;2 A D 1426 VA
p

Probe: S D

P 2 C Q2 D 1426;03 VA, bis auf Rundungsfehler i. O.

Aufgabe 11.15

Eine Spule mit dem Wicklungswiderstand R D

D

1

60 und der Induktivität L1

100 mH
ist mit einer zweiten Spule mit dem Wicklungswiderstand R D

2

120 und der Indukti-
vität L D

2

400 mH in Reihe geschaltet (magnetisch nicht gekoppelt). Berechnen Sie für
die Frequenz f D 50 Hz
a) den Scheinwiderstand (Betrag der Impedanz) der Reihenschaltung,
b) den Leistungsfaktor cos.'/.

Lösung
a) Das Ersatzschaltbild besteht aus dem ohmschen Widerstand R C

1

R2 und der Indukti-
p
vität L C

C

C

1

L2. Der Betrag der Impedanz ist Z D

.R1

R2/2 C Œ!.L1

L2/2.

p

Z D

1802 C .2 50 0;5/2 D 238;9
b) Der Leistungsfaktor ergibt sich aus dem Verhältnis von Wirkleistung zu Scheinleistung
bzw. aus dem Verhältnis von Wirkwiderstand zu Scheinwiderstand.

C R
cos.'/ D R1

2 D 180 D 0;75

Z

238;9

304

11

Einfache Wechselstromkreise

Abb. 11.5 Reale Spule an

Wechselspannung

Abb. 11.6 Zeigerdiagramm
der Spannungen und des Stro-
mes

Aufgabe 11.16

Das Ersatzschaltbild einer realen Spule ist durch die Reihenschaltung eines Wirkwider-
standes R und einer idealen Induktivität L gegeben (Abb. 11.5). Eine Spule mit R D 20
und L D 200 mH liegt an einer sinusförmigen Wechselspannung mit der Frequenz f D

50 Hz und dem Effektivwert U D 230 V.

a) Tragen Sie qualitativ die Spannungen U, UR und UL und den Strom I in ein Zeigerdia-
gramm ein.

b) Wie groß ist der Strom I? Um welchen Winkel in Grad ist die Spannung U gegenüber
dem Strom I phasenverschoben?

c) Wie groß sind die Teilspannungen UR und UL?

Lösung
a) UR ist mit dem Strom I in Phase. UL eilt dem Strom I um 90ı voraus. Bei der In-
duktivität hindert die selbstinduzierte Spannung nach der Regel von Lenz den Strom
am Ansteigen, der Spulenstrom eilt also der Spulenspannung hinterher. Die Gesamt-
spannung U ergibt sich als geometrische Summe der Teilspannungen UR und UL. Der

Winkel ' ist der Phasenwinkel, um den die Spannung U dem Strom I vorauseilt. Das

Zeigerdiagramm zeigt Abb. 11.6.

b) Der komplexe Widerstand der Reihenschaltung von R und L ist Z D R C j!L.

p
p

Der Betrag ist Z D

R2 C .!L/2 D

202 C .2 50 0;2/2 D 65;9 .

!L

I D U D 230 V D 3;49 AI

' D ' D arctan

D 72;3 ı

Z

65;9
ui

R
c)

U D

D

R

RI D 20 3;49 A D 69;8 VI UL

!LI D 2 500;23;49 V D 219;3 V

11.4

Reihenschaltung von ohmschem Widerstand und Spule

305

Abb. 11.7 Liniendiagramm
von Spannung und Strom

Alternativer Lösungsweg ohne Berechnung des Stromes:

Nach der Spannungsteilerformel ist

U D
und

D

R

U

R

U

U
j!L

:

R C j!L

L

R C j!L
jU j D

D

D

D

R

UR

U

R
p

230 V

20
p

69;8 V

R2 C .!L/2

202 C .2 50 0;2/2
jU j D

D

D

D

L

UL

U

!L
p

230 V

2 50 0;2
p

219;2 V

R2 C .!L/2

202 C .2 50 0;2/2

Aufgabe 11.17

Gegeben ist das Diagramm in Abb. 11.7.

a) Berechnen Sie aus dem Diagramm den Scheinwiderstand Z.

b) Welche Reihenersatzschaltung, bestehend aus den Bauelementen R und L oder C, er-
gibt das gezeigte Diagramm?

Lösung
a) Die Periodendauer T der Spannung U ist 1 ms. ) f D 1 D 1 kHz

T

Z D 10 V D 2 k bei f D 1 kHz

5 mA
b) Die Stromkurve ist gegenüber der Spannungskurve nach rechts verschoben. Zeichnet
man eine Parallele zur Abszisse, die beide Kurven schneidet, so trifft man beim Ent-
langschreiten auf dieser Geraden von links nach rechts zuerst auf die Spannungskurve,
erst später auf die Stromkurve. Der Strom eilt somit der Spannung nach, es handelt
sich deshalb um die Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes R und einer In-
duktivität L.

Aufgabe 11.18

Bei einer Drosselspule mit einer angelegten Gleichspannung von U D 24;0 V wird ein

Gleichstrom von I D 160;0 mA gemessen. Bei einer angelegten Netzwechselspannung
von U D 230 V, f D 50 Hz ergibt sich ein Wechselstrom von I D 1;0 A.

306

11

Einfache Wechselstromkreise
a) Wie groß sind Wirkwiderstand R, Blindwiderstand XL und Scheinwiderstand ZL der

Spule?

b) Welche Induktivität L hat die Spule?

c) Beschreiben Sie das Ersatzschaltbild der Spule.

d) Ermitteln Sie den Phasenwinkel ' zwischen Spannung und Strom.

e) Berechnen Sie die Spannungsabfälle UR und UL am Wirk- und am Blindwiderstand.

f) Warum ist U C

¤

R

UL

U ?

Lösung
a) Im Gleichstromkreis ist der Wirkwiderstand R D U D 24;0 V D 150;0 .

I

0;16 A

Im Wechselstromkreis ist der Scheinwiderstand Z D 230 V D

L

230;0 .

1;0 A
q
p

Der Blindwiderstand ist: X D

L

Z2L

R2 D

230;02 150;02 D 174;4
b) Induktivität:

L D

XL

D

174;4

D 0;56 H

2 f

2 50 s1
c) Das Ersatzschaltbild ist eine Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes R (Wi-
derstand der Drahtwicklung) und einer idealen Induktivität L.

d) Phasenwinkel:

X

174;4

' D ' D

L

D

D
ui
arctan
arctan

49;3ı

R

150;0

Der Strom eilt der Spannung um 49,3ı nach.

e) Spannungsabfälle: U D

R

R I D 150;0 1;0 A D 150;0 V

U D

L

XL I D 174;4 1;0 A D 174;4 V
f) Zwischen UR und UL besteht eine Phasenverschiebung, die beiden Spannungen müs-
p
sen geometrisch addiert werden: U D

150;02 C 174;42 V D 230 V

11.5

Reihenschaltung von ohmschem Widerstand und Kondensator

Aufgabe 11.19

Die Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes R D 4 k und eines Kondensators

C D 0;22 F liegt an der Netzwechselspannung U D 230 V, f D 50 Hz (Abb. 11.8).

a) Berechnen Sie den Scheinwiderstand Z der Reihenschaltung von R und C.

b) Bestimmen Sie den Strom I.

c) Wie groß ist der Phasenwinkel ' in Grad zwischen U und I?

d) Skizzieren Sie das Spannungszeigerdiagramm (Spannungsdreieck) mit I, U, UR und

UC.

11.5

Reihenschaltung von ohmschem Widerstand und Kondensator

307

Abb. 11.8 RC-

Reihenschaltung
e) Bestimmen Sie den Winkel ' mit komplexer Rechnung.

f) Geben Sie einen Ausdruck für die Zeitfunktion i.t/ an.

g) Skizzieren Sie das Widerstandszeigerdiagramm (Widerstandsdreieck).

Lösung
a) Der komplexe Widerstand (die Impedanz) der Reihenschaltung ist Z D R C 1 .

j!C

Der Scheinwiderstand ist der Betrag der Impedanz.

s

1

2

Z D jZj D

R2 C !C

Z D 15:011
b) I D U D 230 V D 15;3 mA (ein Effektivwert)

Z

15:011
c) Aus einer Formelsammlung wird entnommen:

Blindanteil

' D arctan Wirkanteil

!

1

1

' D arctan

!C

D arctan

D 74;5ı

R

2 50 0;22 106 4 103
d) Der Strom I durch den Widerstand und die Spannung UR am Widerstand sind reel-
le Werte und werden als Zeiger in die horizontale Bezugsrichtung (gedachte reelle

Achse) gelegt. Die Spannung UC eilt den Strom I um 90ı nach. Damit UC zu UR
geometrisch addiert werden kann, wird der Anfang des UC-Zeigers an das Ende (Pfeil-
spitze) des UR-Zeigers gesetzt. Der Zeiger der Gesamtspannung U ergibt sich aus
der Addition der Zeiger von UR und UC. Das Zeigerdiagramm der Spannungen zeigt

Abb. 11.9.

e) Wir bestimmen ' als Winkel des komplexen Widerstandes: ' D †Z.

!

1

Imaginärteil

1

Z D R j

I ' D arctan

D arctan

!C

!C

Realteil

R

Mit arctan.x/ D arctan.x/ folgt:

1

' D ' D †

D
ui

.U ; I / D †Z D arctan

74;5ı

!RC

308

11

Einfache Wechselstromkreise

Abb. 11.9 Spannungs-
zeigerdiagramm zu RC-

Reihenschaltung

Abb. 11.10 Widerstands-
zeigerdiagramm zu RC-

Reihenschaltung

Es ist ' < 0, I eilt also U voraus, es liegt insgesamt kapazitives Verhalten vor.

Wie man sieht, erhält man ohne komplexe Rechnung (in Teilaufgabe c) nicht das
richtige Vorzeichen des Phasenwinkels. Die Verschiebung des Stromes gegenüber der

Spannung wäre allerdings qualitativ sofort aus der Schaltung ersichtlich, es ist ja nur
eine Kapazität vorhanden und keine Induktivität. Somit muss der Strom der Spannung
vorauseilen.

f) In der Angabe ist kein Nullphasenwinkel der Spannung angegeben, er ist also null:

' D †
u

U D 0

Der Nullphasenwinkel des Stromes ist:

U

' D †

D †
i

I D †

U †Z D 0ı .74;5ı/ D 74;5ı

Z
p
i.t/ D

2 15;3 mA sin.!t C 74;5ı/

Aus dem Vorzeichen des Nullphasenwinkels sehen wir auch im Zeitbereich, dass der

Strom der Spannung vorauseilt, dessen Liniendiagramm also gegenüber der Spannung
nach links verschoben ist.

g) Dividiert man alle Größen des Spannungszeigerdiagramms durch I, dann bleibt das

Widerstandszeigerdiagramm mit dem Widerstandsdreieck übrig (Abb. 11.10). Span-
nungsdreieck und Widerstandsdreieck sind sich ähnliche (kongruente) Dreiecke, ihre

Winkel stimmen überein.

Aufgabe 11.20

Mit Hilfe einer RC-Reihenschaltung soll eine Phasenverschiebung von ˛ D 60ı zwischen
der angelegten Spannung U und der Spannung UC erzielt werden (Abb. 11.11).

11.5

Reihenschaltung von ohmschem Widerstand und Kondensator

309

Abb. 11.11 Phasenverschie-
bung der Spannungen

Welchen Wert muss der Widerstand R haben? Zeichnen Sie ein Zeigerdiagramm der

Spannungen und ein Widerstandsdreieck.

Gegeben: C D 160 nF, U D 0;4 V, f D 10 kHz

Lösung

X D 1 D

1

C

D 99;5

!C

2 104 160 109

Das Zeigerdiagramm der Spannungen und das Widerstandsdreieck sind in Abb. 11.12
dargestellt.

p
tan.˛/ D tan.60ı/ D UR D R I

R D X

C
tan.60ı/ D 99;5

3 D 172

UC

XC

Aufgabe 11.21

Eine RC-Reihenschaltung hat bei 20 kHz einen Scheinwiderstand von Z D 820 . Die

Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom beträgt ' D 35ı. Berechnen Sie
a) den Wirkwiderstand R,
b) den kapazitiven Blindwiderstand XC,
c) die Kapazität C des Kondensators.

Lösung
a)

' D 35ı ) cos.'/ D 0;8192I sin.'/ D 0;5736

R D Z cos.'/ D 820 0;8192 D 672

Abb. 11.12 Spannungs- und Widerstandszeigerdiagramm

310

11

Einfache Wechselstromkreise
b)

X D

C

Z sin.'/ D 820 0;5736 D 470
c)

C D

1

D

1

F D 16;9 nF

!XC

2 20 103 470

Aufgabe 11.22

Die Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes R D 100 und eines Kondensators
mit dem kapazitiven Blindwiderstand X D

C

200 wird an eine Sinusspannung U D

200 V angeschlossen.

a) Wie groß sind Scheinwiderstand Z und Stromstärke I?

b) Berechnen Sie die Spannungsabfälle UR und UC am Wirk- und am Blindwiderstand.

c) Ermitteln Sie den Phasenwinkel ' zwischen Spannung und Strom.

Lösung
a)

q

Z D

R2 C X2 D

D 200 V D

C

223;6 I

I D U

895 mA

Z

223;6
b)

U D

R

R I D 100 0;895 A D 89;5 V

U D

C

XC I D 200 0;895 A D 179;0 V
c)

XC

' D arctan

D arctan.2/ D 63;4ı

R

Der Strom eilt der Spannung um 63,4ı voraus.

11.6

Parallelschaltung von Widerstand und Spule

Aufgabe 11.23

Durch eine Parallelschaltung von Wirkwiderstand R und Induktivität L fließt ein Gesamt-
strom von I D 2;4 A (Abb. 11.13). Der Leistungsfaktor ist cos.'/ D 0;75. Berechnen

Sie
a) den Wirkstrom IW, der durch R fließt,
b) den induktiven Blindstrom IL, der durch L fließt.

c) Geben Sie den komplexen Widerstand Z der RL-Parallelschaltung allgemein in Ab-
hängigkeit von !, R und L in der algebraischen Form Z D a C jb an. Bestimmen Sie
also die Ausdrücke für a und b.

11.7

Parallelschaltung von Widerstand und Kondensator

311

Abb. 11.13 Parallelschaltung
von R und L

Lösung
a)

I D

W

I cos.'/ D 2;4 A 0;75 D 1;8 A
b)

cos.'/ D 0;75 ) ' D arccos.0;75/ D 41;4ıI sin.'/ D 0;66

I D

L

I sin.'/ D 2;4 A 0;66 D 1;58 A
c)

Z D R j!L D R j!L .R j!L/ D !2L2R C j!LR2

R C j!L

.R C j!L/.R j!L/

R2 C !2L2

D

!2L2R

C j

!LR2

R2 C !2L2

R2 C !2L2
a D

!2L2R I b D !LR2

R2 C !2L2

R2 C !2L2

Aufgabe 11.24

An der Parallelschaltung von R D 200 und L D 0;5 H liegt die Sinusspannung U D

24 V, f D 50 Hz. Berechnen Sie den Wirkstrom IR durch R, den Blindstrom IL durch L
und den Gesamtstrom IG, der durch die Parallelschaltung fließt.

Lösung

I D U D 24 V D

D U D

24 V

R

0;12 AI

IL

A D 0;153 A

R

200

!L

2 50 0;5
q

I D

C

D

G

I 2R

I 2L

0;194 A

11.7

Parallelschaltung von Widerstand und Kondensator

Aufgabe 11.25
a) Berechnen Sie die Klemmenimpedanz der Schaltung in Abb. 11.14 in der Exponen-
tialform Z D Z ej'Z allgemein und bei f D 50 Hz mit Zahlenwerten (Winkel in

Grad). Gegeben: R D 100 , C D 47 F.

312

11

Einfache Wechselstromkreise

Abb. 11.14 Klemmenimpe-
danz
b) Geben Sie den komplexen Widerstand Z der RC-Parallelschaltung allgemein in Ab-
hängigkeit von !, R und C in der algebraischen Form Z D a C jb an. Bestimmen Sie
also die Ausdrücke für a und b.

Lösung
a)

Z D

1

D

R

I jZj D

R
p

1 C j!C

1 C j!RC

R

1 C .!RC /2

!RC

' D †

I

Z

Zähler †NennerI

†Zähler D 0I †Nenner D arctan

1

' D

Z
arctan.!RC /

Z D

R
p
ejarctan.!RC/

1 C .!RC /2
jZ
j D

D

D

.50 Hz/

56 I

'Z.50 Hz/

55;9ıI

Z.50Hz/

56 ej 55;9ı
b)

R 1

Z D
j!C

D

R

D R .1 j!RC /

R C 1

1 C j!RC

1 C !2R2C 2
j!C

D

R
j

!R2C

1 C !2R2C 2

1 C !2R2C 2
a D

R

I
b D

!R2C

.b ist negativ!/

1 C !2R2C 2

1 C !2R2C 2

Aufgabe 11.26

Ein ohmscher Widerstand R D 2 k und ein Kondensator C D 0;1 F sind parallel an
eine sinusförmige Wechselspannung Uq mit der Frequenz f D 1;4 kHz und dem Effek-
tivwert U D 100 V angeschlossen (Abb. 11.15).

Abb. 11.15 RC-

Parallelschaltung an

Wechselspannung

11.7

Parallelschaltung von Widerstand und Kondensator

313

Abb. 11.16 Skizze Zeigerdia-
gramm
a) Skizzieren Sie das Zeigerdiagramm für die Spannung Uq und die Ströme I, IR und IC.

b) Wie groß sind die Teilströme IR und IC?

c) Welchen Strom I liefert die Spannungsquelle? Um welchen Winkel ist der Strom I
gegenüber der Spannung Uq phasenverschoben?

Lösung
a) Der Strom I durch den Widerstand und die Spannung Uq am Widerstand sind reelle

Werte und werden als Zeiger in die horizontale Bezugsrichtung (gedachte reelle Ach-
se) gelegt. Der Strom IC durch den Kondensator eilt der Spannung Uq am Kondensator
um 90ı voraus. Damit der Zeiger von IC mit dem Zeiger von IR addiert werden kann,
wird er mit seinem Anfang an das Ende des Zeigers von IR gesetzt. Der Zeiger des

Gesamtstromes I ergibt sich aus der geometrischen Addition der Zeiger von IR und IC

(Abb. 11.16).

b)

I D U D 100 V D

R

50 mA

R

2 k

I D

C

U ! C D 100 V 2 1400 Hz 0;1 106 F D 88 mA
c)

q
p

I D

I 2 C

D

R

I 2C

502 C 882mA D 101;2 mA

Vom Stromzeiger ausgehend zum Spannungszeiger hin betrachtet ist ' D 'ui der Win-
kel, um den die Spannung gegenüber dem Strom verschoben ist. Vom Spannungszeiger
ausgehend zum Stromzeiger hin betrachtet ist 'iu der Winkel, um den der Strom ge-
genüber der Spannung verschoben ist. Hier ist nach der Verschiebung des Stromes
gegenüber der Spannung gefragt, also nach 'iu.

88 mA

' D

D
iu
arctan

60;4ı

50 mA

Ein positives Vorzeichen bei Winkeln bedeutet eine Winkeldrehung gegen den Uhrzei-
gersinn, ein negatives Vorzeichen eine Winkeldrehung im Uhrzeigersinn.

Es ist 'iu > 0, der Stromzeiger ist also gegenüber dem Spannungszeiger gegen den

Uhrzeigersinn (im mathematisch positiven Sinn eines Winkels) verdreht. Der Strom I
eilt der Spannung Uq um 60,4ı voraus.

314

11

Einfache Wechselstromkreise

Betrachten wir ' D '

D
ui, so gilt: ' D 'ui

'iu. Somit ist ' < 0, der Stromzeiger ist
gegenüber dem Spannungszeiger im Uhrzeigersinn (im mathematisch negativen Sinn
eines Winkels) verdreht. I eilt also U voraus, es liegt insgesamt kapazitives Verhalten
vor.

In Aufgabe 11.25 wurde ' D 'ui allgemein aus der Impedanz der RC-Parallelschaltung
zu ' D arctan.!RC / berechnet. Setzen wir die Zahlenwerte unserer jetzigen Auf-
gabe 11.26 ein, so erhalten wir ' D ' D
ui

60;4ı D 'iu.

Aufgabe 11.27

Ein Kondensator C D 0;22 F ist mit einem ohmschen Widerstand parallel geschaltet.

Durch den Kondensator fließt ein Strom von I D

C

30 mA, durch den Widerstand ein

Strom von I D

R

40 mA.

Berechnen Sie den Gesamtstrom Iges durch die Parallelschaltung.

Lösung
q
p

I

D

C

D
ges

I 2R

I 2C

1600 C 900 mA D 50 mA

Aufgabe 11.28

Ein veränderbarer Widerstand R D 10 k liegt parallel zu einem Kondensator C D

0;1 F. Die Schaltung liegt an einer sinusförmigen Wechselspannung U D 10 V, f D

300 Hz. Der Widerstand soll so eingestellt werden, dass die Phasenverschiebung zwischen

Gesamtstrom und Spannung 60ı beträgt.

Bei welchem Gesamtstrom durch die Parallelschaltung wird die geforderte Phasenver-
schiebung erreicht? Skizzieren Sie ein Zeigerdiagramm der Ströme.

Lösung

X D 1 D

1

C

D 5;3 k

!C

2 300 107

Der Strom durch den Kondensator ist I D U D 10 V D

C

1;89 mA.

XC

5;3 k
sin.'/ D IC I

I D

IC

D 1;89 mA D 2;18 mA

I
sin.'/

0;866

Das Zeigerdiagramm der Ströme zeigt Abb. 11.17.

Abb. 11.17 Zeigerdiagramm
der Ströme

11.7

Parallelschaltung von Widerstand und Kondensator

315

Aufgabe 11.29

Ein Kondensator C D 68 nF ist mit einem ohmschen Widerstand R D 1 k parallel
geschaltet. Die Schaltung liegt an einer sinusförmigen Wechselspannung U D 3;4 V,
f D 2300 Hz.

Berechnen Sie
a) den Wirkstrom IR,
b) den kapazitiven Blindstrom IC,
c) den Gesamtstrom I,
d) den Scheinwiderstand Z,
e) den Phasenwinkel 'iu zwischen Strom und Spannung in Grad.

Lösung
a)

I D U D 3;4 V D

R

3;4 mA

R

1000
b)

X D 1 D

1

D

C

1017 I

!C

2 2;3 103 68 109

I D U D 3;4 V D

C

3;34 mA

XC

1017
c)

q

I D

I 2 C

D

R

I 2C

4;77 mA
d)

Z D U D 3;4 V D 713

I

4;77 mA
e)

cos.'

D 3;4 mA D

D
iu/ D IR

0;7127I

'iu

44;5ı

I

4;77 mA

Aufgabe 11.30

Ein ohmscher Widerstand R D 2;7 k ist mit einem Kondensator C parallel geschaltet.

Bei Anschluss an eine sinusförmige Wechselspannung U D 24 V, f D 50 Hz nimmt die

Schaltung einen Gesamtstrom von I D 12 mA auf. Berechnen Sie
a) den Strom IR durch R,
b) den Strom IC durch C.

Lösung
a)

I D U D 24 V D

R

8;89 mA

R

2;7 k
b)

q
p

I D

D

C

I 2 I 2R

144 79 mA D 8;06 mA

316

11

Einfache Wechselstromkreise

Abb. 11.18 RC-

Parallelschaltung

Aufgabe 11.31

Die Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes R und eines Kondensators C ist an
die Netzwechselspannung mit U D 230 V, f D 50 Hz angeschlossen, siehe Abb. 11.18.

Der Strom durch R beträgt I D

D

R

40 mA, der Strom durch C ist IC

30 mA.

a) Bestimmen Sie den Gesamtstrom I mittels Zusammenhängen bei der geometrischen

Addition von Zeigern.

b) Bestimmen Sie den Gesamtstrom I mit komplexer Rechnung.

c) Wie groß ist der Winkel ' zwischen U und I?

d) Geben Sie einen Ausdruck für die Zeitfunktion i.t/ mit Hilfe der bisherigen Ergebnis-
se an.

e) Berechnen Sie die Zeitfunktion i.t/ im Zeitbereich.

f) Berechnen Sie die Wirkleistung P, die Scheinleistung S und die Blindleistung Q.

Lösung
a) Die Ströme IR und IC dürfen nicht einfach arithmetisch addiert werden, da sonst der

Winkel zwischen den Strömen nicht berücksichtigt wird. Der Strom IR durch R ist mit
der Spannung U an R in Phase. Der Strom IC durch C eilt der Spannung U an C um

90ı voraus. Der Gesamtstrom I als Betrag der geometrischen Addition (der Zeiger)

von Wirkstrom IR und Blindstrom IC ergibt sich entsprechend den Verhältnissen im
rechtwinkligen Dreieck (Pythagoras).

q
p

I D

I 2 C

D

R

I 2C

1600 C 900 mA D 50 mA
b) Zunächst werden die gegebenen Ströme in den komplexen Bereich transformiert.

Der Nullphasenwinkel '

D
i des Stromes IR ist 'i

0.

Der komplexe Strom durch R ist: I D
ej'i D

R

IR

40 mA ej 0 D 40 mA.

Der Nullphasenwinkel 'i des Stromes IC ist =2.

Der komplexe Strom durch C ist: I D
ej'i D

C

IC

30 mA ej 2 .

Obwohl nicht benötigt, wird noch die gegebene Spannung in den komplexen Bereich
transformiert.

Der Nullphasenwinkel '

D
u der Spannung ist nicht angegeben und ist somit 'u

0.

Die komplexe Effektivwertspannung ist: U D U ej'u D 230 V ej 0 D 230 V.

11.7

Parallelschaltung von Widerstand und Kondensator

317

Die Summe der komplexen Teilströme ergibt nach der Knotenregel den komplexen

Gesamtstrom.

I D I C

D

R

I C

40 mA C 30 mA ej 2

2

3

6

7

D

40 mA C 30 mA 6

4cos

Cj sin

7

2

5

„ ƒ‚ …

2

„ ƒ‚ …

0

1
p

I D 40 mA C j 30 mAI

I D jI j D

.40 mA/2 C .30 mA/2 D 50 mA

Hier wird oft die Frage gestellt, warum man so kompliziert im komplexen Bereich
rechnet, wenn man mit Formeln aus Tabellenwerken ohne komplexe Rechnung das

Ergebnis viel schneller hat. Die Antwort ist: Tabellenwerke beschränken sich auf we-
nige, meist sehr einfache Schaltungen. Sind bei umfangreicheren Schaltungen die

Formeln in den Tabellenwerken nicht mehr enthalten, so muss man eigene Berech-
nungen durchführen, die statt im Zeitbereich einfacher und schneller im komplexen

Bereich erfolgen. Ist z. B. bei einer einfachen Schaltung das Vorzeichen einer Phasen-
verschiebung nicht von Interesse, sondern nur deren Absolutwert, so ist gegen eine

Verwendung von Formelsammlungen nichts einzuwenden.

c)

0

1

Blindanteil

‚…„ƒ

B

I

C

30 mA

' D ' D †

B

C

C

D
ui

.U; I / D arctan @

36;9ı

I

A D arctan

R

„ƒ‚…

40 mA

Wirkanteil

Die Schaltung zeigt insgesamt kapazitives Verhalten, der Strom I eilt der Spannung U
um ' voraus. Diese Verschiebung des Stromes gegenüber der Spannung ist qualitativ
sofort aus der Schaltung ersichtlich, es ist ja nur eine Kapazität vorhanden und keine

Induktivität.

Entsprechend allgemeiner Vereinbarung müsste ' aber negativ sein, wenn der Strom
der Spannung vorauseilt. Wir bestimmen den Winkel ' deshalb noch einmal, jetzt aber
mit komplexer Rechnung.

Wie bereits erwähnt ist der Nullphasenwinkel der Spannung ' D
u

0. Der Nullphasen-
winkel des Gesamtstromes I D 40 mA C j 30 mA ist:

30 mA

' D

D
i
arctan

36;9ı

40 mA

Aus den Nullphasenwinkeln ergibt sich:

' D ' D

D
ui

'u

'i

0 36;9ı D 36;9ı

Es ist ' < 0, I eilt U voraus, insgesamt liegt kapazitives Verhalten vor.

318

11

Einfache Wechselstromkreise

Wie es auch in Aufgabe 11.19 der Fall war, erhält man ohne komplexe Rechnung nicht
das richtige Vorzeichen des Phasenwinkels.

Alternativ: Der Phasenverschiebungswinkel ' könnte auch als Winkel des komplexen

Widerstandes Z der RC-Parallelschaltung berechnet werden.

R 1

Z D
j!C

D

R

R C 1

1 C j!RC
j!C

Konjugiert komplexes Erweitern und separieren von Real- und Imaginärteil ergibt:

Z D R .1 j!RC / D

R
j

!R2C

1 C !2R2C 2

1 C !2R2C 2

1 C !2R2C 2

Der Winkel ' dieses komplexen Ausdrucks ist: ' D arctan.!RC /.

Auf anderem Wege hatten wir dieses Ergebnis auch in Aufgabe 11.25 erhalten. Die

Frequenz ist gegeben, wir müssen jetzt noch die Werte der Bauelemente berechnen.

R D 230 V D 5750 I

X D 230 V D 7666;7

0;04 A

C

0;03 A

C D

1

D

1

F D 0;415 F

! XC

2 50 7666;7

!RC D 2 50 0;415 106 D 0;749I

' D arctan.0;749/ D 36;8ı
d) Allgemein ist der Strom im Zeitbereich: i.t/ D O

I sin.!t C 'i/.

Der Effektivwert des Gesamtstromes wurde berechnet zu I D 50 mA. Sein Null-
p
phasenwinkel ergab sich zu ' D
i

36;9ı. Mit diesen Werten ist (Faktor

2 nicht
vergessen):

p
i.t/ D 50 mA

2 sin.!t C 36;9ı/
e) Berechnung der Zeitfunktion i.t/ im Zeitbereich:

p
i

D

R.t / D

2 40 mA sin.!t/ D a2 sin.!t C '2/ mit '2

0
p

i

D

C.t / D

2 30 mA sin !t C
a
sin.!t C '

2

1

1/
y D

1
a1 sin.!t C '1/
y D

2
a2 sin.!t C '2/
y D y C

D

1
y2
a sin.!t C '/
mit a2 D a2 C

C

cos

1
a22

2 a1 a2

.'2

'1/I

a sin .'

sin.'

' D arctan

1

1/ C a2

2/
a

1 cos.'1/ C a2 cos.'2/

11.8

Gemischte Schaltungen

319
p
p
p
p

a2 D . 2 30 mA/2 C . 2 40 mA/2 C 2

2 30 mA

2 40 mA cos 0 2

„
ƒ‚

…

0
a2 D 2 .30 mA/2 C 2 .40 mA/2 D 2 .302 C 402/ mA D 5000 mA
p
a D

2 50 mA
p
p

!

2 30 mA sin C

2 40 mA sin.0/

30

' D arctan

2
p
p

D arctan

2 30 mA cos C

2 40 mA cos.0/

40

2

' D 36;9ı
p
i.t/ D a sin.!t C '/ D

2 50 mA sin.!t C 36;9ı/

Wie man sieht, ist die Rechnung im Zeitbereich wesentlich länger und schwieriger als
die Rechnung im komplexen Bereich.

f)

P D U I cos.'/ D 9;2 W oder P D I 2

D

R

R D .0;04 A/2 230 V

9;2 W

0;04 A

S D U I D 230 V 0;05 A D 11;5 VA

Q D S sin.'/ D 11;5 VA sin.36;9ı/ D 6;9 var

11.8

Gemischte Schaltungen

Aufgabe 11.32

Gegeben ist die Schaltung in Abb. 11.19.

Gegeben: U D

D

D

0

Sinusspannung mit der Frequenz f D 120 Hz, C D 1 F, R1

R2

1 k, I

D

R2

8 mA

Berechnen Sie den Strom IC durch den Kondensator C und die Spannung U0.

Lösung

Am Kondensator C liegt die gleiche Spannung wie am Widerstand R2:

U D

D

D

C

UR2

IR2 R2

0;008 A 1 k˝ D 8 V

Abb. 11.19 RC-Schaltung

320

11

Einfache Wechselstromkreise

Abb. 11.20 Zeigerdiagramm

Abb. 11.21 Spannungsquelle
mit komplexem Innenwider-
stand

Somit ist IC:

1
s

I D UC D

D

C

U

!C D 8 V 2 120

106

6;0 mA

1

C
s

˝

!C

Da die Ströme IR2 und IC um 90ı phasenverschoben sind, müssen sie geometrisch (vek-
toriell) addiert werden, um den Gesamtstrom IR1 zu erhalten, der durch R1 fließt.

Durch R1 fließt der Strom
q
p

I

D

C

D

R1

I 2R2

I 2C

.8 mA/2 C .6 mA/2 D 10 mA:

An R

D

D

1 fällt somit die Spannung UR1

R1 IR1

1000 0; 01 A D 10 V ab.

Wegen ihrer gegenseitigen Phasenverschiebung können die Werte von UR1 und UR2
nicht einfach numerisch addiert werden, um U0 zu erhalten. UR1 ist in Phase mit dem

Strom IR1, der sich aus der vektoriellen Addition von IR2 und IC ergab. UR1 muss al-
so vektoriell zu UR2 addiert werden. Die Seitenverhältnisse für die vektorielle Addition
entnimmt man am besten einem Zeigerdiagramm (Abb. 11.20).

p

U D

0

.8 V C 8 V/2 C .6 V/2 D 17;09 V

Aufgabe 11.33

In Abb. 11.21 hat die Spannungsquelle U D
q

10 V sin.2 f t/ mit f D 1 kHz die

Quellenimpedanz Z D

C
besteht aus der Parallelschaltung von
q

Rq
j!Lq. Die Last ZL

CL und RL.

Gegeben: R D

D

D

D
q

20 , Lq

1;59 mH, CL

0;796 mF, RL

2
a) Berechnen Sie den Wert der Lastimpedanz Z .

L
b) Wie groß ist der Wert der Wirkleistung PWL in RL?

c) Bei welcher Frequenz fR ist der Laststrom IL rein reell?

11.8

Gemischte Schaltungen

321

Lösung
a)

Z D

1

D

RL

D RL.1 j!CLRL/

L

1 C j!C

1 C j!C

1 C .!C

R

L

LRL

LRL/2

L

2

20;0057

Z D

D

L
j

I

Z

.0;0198 j 0;198/

101;057

101;057

L
b) Entsprechend P D I 2R folgt

!

j O

2

I j

P

D

L
p

g

WL

RefZL :

2

Der Laststrom ist:

OI D

Uq

D

10

A D

10

A

L

Z C
q

ZL

20 C j 9;990 C 0;0198 j 0;198

20;0198 C j 9;792

OI D 200;2 j 97;9 A D

L

.0;4 j 0;2/ A D 0;45 A ej 26;6ı

496;7

P

D 0;452

WL

0;0198 W D 2 mW

2
c) Damit der Laststrom IL rein reell ist, muss die Gesamtimpedanz, welche die Span-
nungsquelle Uq sieht, ebenfalls rein reell sein. Da der Imaginärteil der Gesamtimpe-
danz verschwinden muss, besteht die Forderung

!

C
g D

D RL.1 j!CLRL/

RLq

ImfZL

0 mit ZL

1 C .!CLRL/2
aus Teilaufgabe a).

Mit der Forderung !

C
g D

RLq

ImfZL

0 folgt

!

!RCLR2L

D

RLq

0:

1 C .!RCLRL/2

Hauptnenner bilden und Zähler gleich null setzen:

!

I

C

RLqŒ1 C .!RCLRL/2 D !RCLR2

L

Lq

Lq .!RCLRL/2 D CLR2L

Nach fR auflösen:

s

C

LR2

Lq
f D 1

L

I

D

R
fR

100 Hz

2

C 2LR2LLq

322

11

Einfache Wechselstromkreise

Abb. 11.22 LC-Schaltung

Abb. 11.23 Ein Wechselstrom-
netzwerk

Aufgabe 11.34

Gegeben ist die in Abb. 11.22 dargestellte Schaltung.

Für welches mögliche Wertepaar von L, C

D

2 gilt bei f D 1 kHz: Ua

1?

Ue

Lösung

Anwendung der Spannungsteilerregel (die Widerstände von L und C sind symbolisch ein-
gesetzt):

Ua D

L k C1

D 1:

U

C
e

L C C2

.L k C1/

Damit der Bruch Eins ergibt, müssen Zähler und Nenner gleich sein. Der „Widerstand“

L C C2 der Reihenschaltung aus Spule und Kondensator muss also null sein. Eigentlich
sieht man dies auch sofort aus der Schaltung, da in diesem Fall die Ausgangsspannung Ua
gleich der Eingangsspannung Ue ist. Ausgang und Eingang sind dann direkt verbunden.

j!L C

1

D 0I !L D 1
j!C2

!C2

Aufgabe 11.35

Es ist das Wechselstromnetzwerk in Abb. 11.23 zu betrachten.

Gegeben: ia.t/ D 0, ua.t/ D 10 V sin.104 s1 t/
a) Wie groß sind Amplitude O

Ua, Effektivwert Ua, Frequenz fa, Kreisfrequenz !a und

Nullphasenwinkel 'ua der Ausgangsspannung ua.t/?

b) Die Frequenz fe der Eingangsspannung geht gegen unendlich bzw. gegen null. Wie
groß ist in beiden Grenzfällen die Amplitude O

Ua der Ausgangsspannung?

c) Welche Filtercharakteristik realisiert das Netzwerk? In welche Art welcher Ordnung
von Teilfiltern kann das Netzwerk zerlegt werden?

11.8

Gemischte Schaltungen

323

Abb. 11.24 RLC-Netzwerk

Lösung
a) Aus der Angabe von ua.t/ können folgende Werte direkt abgelesen werden:

O

O

Ua

U D

D p D

D

D !a D
a

10 VI

Ua

7;07 VI

!a

104 s1I
fa

1592 HzI

2

2

' D
ua

0ı

(da in u

a.t / D O

Ua sin.!a t C 'ua/ kein Nullphasenwinkel angegeben ist)

b) f ! 1

D
e

: Der Kondensator wirkt wie ein Kurzschluss, O

Ua

0 V.

f !

D

D
e

0: Die Spule wirkt wie ein Kurzschluss, UL

0 V und damit O

Ua

0 V.

c) Das Netzwerk bildet einen Bandpass, es werden nur Eingangsspannungen mittlerer

Frequenz durchgelassen, sehr tiefe und sehr hohe Frequenzen werden gesperrt. Die

Schaltung ist eine Reihenschaltung aus einem Hochpass 1. Ordnung (bestehend aus

R1 und L) und einem Tiefpass 1. Ordnung (bestehend aus R2 und C).

Aufgabe 11.36

Bestimmen Sie in Abb. 11.24 mit Hilfe der komplexen Rechnung die Ströme i1.t/, i2.t/,
i3.t/.

Gegeben: u.t/ D 325 V sin.!t/, f D 50 Hz, R D 100 , L D 1 H, C D 30 F

Lösung

Eine sinusförmige Wechselspannung u.t/ D O

U sin.!t C'u/ ist in komplexer Darstellung
u.t/ D O

U ej.!tC'u/. Sind Momentanwerte nicht von Interesse, so vereinfacht sich diese

Darstellung zu O

U D O

U ej'u (komplexe Amplitude). Statt diesem Scheitelwertzeiger kann
auch ein Effektivwertzeiger verwendet werden: U D U ej'u.

Die zeitliche Darstellung der Spannung u.t/ D 325 V sin.!t/ ist in komplexer Dar-
stellung als Scheitelwertzeiger O

U D 325 V ej 0 D 325 V.

324

11

Einfache Wechselstromkreise

Abb. 11.25 RLC-Netzwerk

Der komplexe Widerstand (Impedanz) der Schaltung ist:

1

Z D

1

C j!RL D j

C j!R2L C !2RL2
j!C

R C j!L

!C

R2 C !2L2

D

!2RL2

C

!R2L
j

1

R2 C !2L2

R2 C !2L2

!C
p

Z D 90;8 j 77;2 I

Z D

90;82 C 77;22 ej arctan. 77;2

90;8 / D 119;2 ej 40;4ı

Z wurde in Exponentialdarstellung berechnet, um damit einfach dividieren zu können.

O

U

Es folgt: O

I D

D

325 V

D

1

2;73 A ej 40;4ı

Z

119;2 ej 40;4ı

Nach der Stromteilerregel ist:

O

R

100

100

I D O

D O

D O

D O

3

I 1

I

I

I

0;3 ej 72;3ı

R C j!L

1 100 C j 314

1 329;5 ej72;3ı

1

OI D

3

2;73 A ej 40;4ı 0;3 ej 72;3ı D 0;82 A ej 31;9ı

O
j!L

314 ej 90ı

314 ej 90ı

I D O

D O

D O

D O

2

I 1

I

I

I

0;95 ej17;7ı

R C j!L

1 100 C j 314

1 329;5 ej72;3ı

1

OI D

2

2;73 A ej 40;4ı 0;95 ej17;7ı D 2;59 A ej 58;1ı

Die Ströme in komplexer Darstellung werden jetzt in den Zeitbereich zurücktransformiert.

i1.t/ D 2;73 A sin.!t C 40;4ı/
i2.t/ D 2;59 A sin.!t C 58;1ı/
i3.t/ D 0;82 A sin.!t 31;9ı/

Aufgabe 11.37

Berechnen Sie in Abb. 11.25 mit Hilfe der komplexen Rechnung uL.t/ und i.t/.

Gegeben: u.t/ D 24 V sin.!t C 30ı/, ! D 3000 s1, R D 30 , L D 15 mH,

C D 10 F

11.8

Gemischte Schaltungen

325

Abb. 11.26 RLC-Schaltung an
sinusförmiger Spannungsquel-
le

Lösung

Der komplexe Widerstand der Parallelschaltung von R und C ist:

Z

D

1

D

1

D

1
q

RC

1 C j!C

33; 3 mS C j 30 mS

2

R

0;03 C 0;0302 ej arctan. 30

33;3 /

D 22;3 ej42ı

Z

D

RC

22;3 Œcos.42ı/ j sin.42ı/ D 16;6 j 14;9

Der komplexe Widerstand der Spule ist Z D

L
j!L D j 45 D 45 ej 90ı.

u.t/ ist in komplexer Darstellung: O

U D 24 V ej 30ı.

Die Spannung an der Spule wird nach der Spannungsteilerregel berechnet.

Zur Addition komplexer Zahlen eignet sich die Komponentenform am besten.

O

U D O

D O

D O

L

U

ZL

U
j 45

U
j 45

Z C

L

ZRC
j 45 C 16;6 j14;9

16;6 C j 30;1

Zur Division komplexer Zahlen eignet sich die Exponentialform am besten.

O

U D O

D O

L

U

45 ej 90ı
p

U 45 ej 90ı

16;62 C 30;12 ej arctan. 30;1

16;6 /

34;4 ej 61;1ı

D 24 V ej30ı 1;31 ej28;9ı

O

U D

L

31;44 V ej 58;9ı

Rücktransformation von O

U in die zeitliche Darstellung ergibt:

L
uL.t/ D 31;44 V sin.!t C 58;9ı/

O

O

U

I D

L

D 31;44 V ej58;9ı D 0;7 A ej31;1ıI i.t/ D 0;7 A sin.!t 31;1ı/
j!L

45 ej 90ı

Aufgabe 11.38

In Abb. 11.26 liegt eine RLC-Schaltung an einer sinusförmigen Spannungsquelle.

Gegeben: R D 3 k, L D 0;5 H, C D 62;5 nF, u.t/ D 35;35534 V sin.4000 s1 t/

326

11

Einfache Wechselstromkreise
a) Wie groß ist der Effektivwert U der Spannung u.t/?

b) Wie groß ist die Impedanz Z
der Parallelschaltung von Induktivität L und Kapazität

LC

C?

c) Wie groß ist der komplexe Gesamtstrom I ?

d) Wie lautet der zeitliche Verlauf i.t/ des Gesamtstromes?

e) Zeigt die RLC-Schaltung überwiegend kapazitives oder induktives Verhalten?

Lösung
a)

O

U D 35; 35534 V; bei Sinusform der Spannung gilt U D OU
p ; U D 25 V

2
b)

j!L 1

4000 0;5

Z

D
j!C

D
j!L

D

LC
j

D j 4 k
j!L C 1

1 !2LC

40002 0;5 62;5 109 C 1
j!C
c) Der gesamte Widerstand der an der Spannungsquelle liegenden Schaltung ist:

Z

D

D
ges

R C ZLC

3 k C j 4 k. Damit folgt:

I D

25 V

D 25 .3 4j / mA D .3 4j / mA

.3 C 4j / k

32 C 42
p
d) Gesucht ist der zeitliche Verlauf i.t/ D O

I sin.!t C 'i/. Es ist O

I D jI j

2.

p
jI j D 32 C 42 mA D 5 mAI

O

I D 7;071 mA

j

I liegt in der komplexen Ebene im 4. Quadranten, es gilt ' D

Imj
i
arctan j

.

Rej

4

' D

D
i
arctan

53;13ıI

3
i.t/ D 7;071 mA sin.4000 s1 t 53;13ı/
e) 'i < 0: Der Strom eilt der Spannung nach (er ist im Liniendiagramm aus dem Null-
punkt nach rechts verschoben), die Schaltung zeigt überwiegend induktives Verhalten.

Alternativ: ' D †

D

4 k

D
ui

Z
arctan
ges

53;13ı; ' D '

3 k
ui > 0: Der Strom (der

Stromzeiger) eilt der Spannung (dem Spannungszeiger) nach, die Schaltung zeigt über-
wiegend induktives Verhalten.

Aufgabe 11.39

Gegeben ist die Schaltung in Abb. 11.27.

Gegeben: u.t/ D O

U sin.!t/ mit O

U D 2 V, f D 1 kHz, C D 2 F, L D 10 mH,

R D 600

11.8

Gemischte Schaltungen

327

Abb. 11.27 Eine RLC-

Schaltung
a) Bestimmen Sie mit komplexer Rechnung die Amplitude O

I des Stromes i.t/.

b) Wie groß ist die Phasenverschiebung ' in Grad zwischen u.t/ und i.t/? Verwenden

Sie die komplexe Rechnung.

c) Wie lautet die Zeitfunktion i.t/? Zeigt die Schaltung an u.t/ überwiegend kapazitives
oder induktives Verhalten? Begründen Sie Ihre Antwort.

Lösung
a) Die Impedanz der Schaltung ist:

!2RLC C R C j!L

Z D

1

C j!L R D
j!C
j!L C R

!2LC C j!RC

Zur Bestimmung des Betrages von Z wäre ein Weg, Zähler und Nenner von Z mit dem
konjugiert komplexen Nenner zu multiplizieren und Real- und Imaginärteil zu trennen.

p

Dann ist: Z D jZj D
fReg2 C fImg2

Meist ist der viel schnellere Lösungsweg, die Beträge in Zähler und Nenner der Impe-
danz einzeln zu bilden nach der Formel:

j
j
j

Z

Zj D j Z1 j D

1

Z
j
j

2

Z2

Dabei können in Zähler und Nenner auch mehrere Faktoren stehen. Es folgt:

p
j

.R !2RLC /2 C !2L2

Zj D
p

I

Z D 141 D 18;6 I

!4L2C 2 C !2R2C 2

7;58

O

O

U

I D

D 2 V D
j

107;5 mA

Zj

18;6
b) Auch die Winkel können von Zähler und Nenner einzeln gebildet werden.

Z

Es gilt: †

1

D †Z †Z und †.Z Z

C †Z

Z

1

2

1

2/ D †Z1

2

2

Je nach Quadrant, in dem eine komplexe Zahl Z D a C j b liegt, ist deren Winkel ':

jbj
jbj

1. Quadrant: ' D arctan

I
j

2. Quadrant: ' D arctan
aj
jaj

jbj
jbj

3. Quadrant: ' D C arctan

I
j

4. Quadrant: ' D arctan
aj
jaj

328

11

Einfache Wechselstromkreise

Abb. 11.28 RLC-Schaltung an
sinusförmiger Spannungsquel-
le

Zahlenwerte der Angabe einsetzen ergibt:

Z D 126;26 C j 62;83

0;79 C j 7;54

Die komplexe Zahl des Zählers liegt im 1. Quadranten, die des Nenners im 2. Qua-
dranten.

' wird jetzt als Winkel der Impedanz berechnet.

†

62;83

7;54

Z D arctan

180ı arctan

126;26

0;79

†Z D 26;46ı .180ı 84;02ı/

†Z D ' D ' D †
ui

.U ; I / D 69;52ı

Alternativ: ' wird jetzt zusätzlich aus den Nullphasenwinkeln von Strom und Span-
nung berechnet.

In der Angabe ist bei der Spannung kein Nullphasenwinkel angegeben, somit ist:

' D †
u

U D 0

Der Nullphasenwinkel des Stromes ist:

†

U

I D †

D †U †Z D 0ı C 69;52ı D 69;52ı D 'i

Z

' D ' D

D
ui

'u

'i

0ı 69;52ı D 69;52ı
c)

i.t/ D O

I sin.!t C 'i/I
i.t/ D 107;5 mA sin.!t C 69;52ı/

Der Nullphasenwinkel von i.t/ ist positiv, i.t/ eilt u.t/ um 69,52ı voraus. Die Schal-
tung an u.t/ zeigt insgesamt kapazitives Verhalten (oder kurz: ' < 0 ) überwiegend
kapazitives Verhalten).

Aufgabe 11.40

Eine RLC-Schaltung (Abb. 11.28) wird von einer sinusförmigen Spannungsquelle ge-
speist.

Gegeben: R D 1000 , L D 0;1 H, C D 10 nF, u.t/ D O

U sin.1000 s1 t/, O

U D 25 V

11.8

Gemischte Schaltungen

329
a) Geben Sie den komplexen Effektivwertzeiger von u.t/ nach Betrag und Phase an.

b) Berechnen Sie die Impedanz Z
der Parallelschaltung von L und C.

LC
c) Wie groß ist der Gesamtstrom I?

d) Wie groß ist der Nullphasenwinkel 'i des Gesamtstromes I in Grad?

e) Wie lautet die Zeitfunktion i.t/? Zeigt die Schaltung an u.t/ überwiegend kapazitives
oder induktives Verhalten? Begründen Sie Ihre Antwort.

f) Berechnen Sie die in der Schaltung umgesetzte Scheinleistung S, Wirkleistung P und

Blindleistung Q.

Lösung
a)

O

U D 25 V; bei sinusförmiger Spannung gilt:

O

U

U D p I

U D 17;68 VI

' D
u

0 oder U D 17;68 V ej 0

2
b)

j!L 1

1000 s1 0;1 H

Z

D
j!C

D
j!L

I

D

LC

Z
j
j!L C 1

!2LC C 1

LC

.1000 s1/2 0;1 H 108 F C 1
j!C

Z

D

LC
j 100;1

Wie es bei der Parallelschaltung von zwei Blindwiderständen sein muss, erhält man
einen reinen Blindwiderstand (ohne Realteil).

X

D j
j D

LC

ZLC

100;1

Es darf also nicht gerechnet werden:

!L 1

X

D

!C

D

!L

D

LC

99;9

!L C 1

!2LC C 1

!C

Dies würde X k

C

XL entsprechen. Damit werden allerdings nur die Widerstandswerte,
aber nicht deren Phasenlage berücksichtigt. Somit erhält man ein falsches Ergebnis

(das hier zufällig nur wenig vom richtigen Ergebnis abweicht).

c) Der gesamte Widerstand der an der Spannungsquelle liegenden Schaltung ist:

Z

D

D

D

17;68 V
ges

R C ZLC

1000 C j 100;1 I

I D U

Zges

.1000 C j 100;1/

I D

U

D

17;68
p
j

A D 17;6 mA

Z j
ges

10002 C 100;12

330

11

Einfache Wechselstromkreise

Abb. 11.29 Eine gemischte

Schaltung
d)

!

U

' D †

D †

D

I
i

I D †

U †Z

0 †Z

Z
ges
ges
ges

100;1

' D

D
i
arctan

5;7ı

1000
e)

p
i.t/ D 17;6 mA

2 sin.1000 s1 t 5;7ı/

Kein Nullphasenwinkel der Spannung angegeben: ' D
u

0ı.

'i < 0: Im Liniendiagramm ist die Stromkurve gegenüber der Spannungskurve aus
dem Nullpunkt nach rechts verschoben. I eilt U nach.

Alternativ: ' D ' D

D
ui

'u 'i

0ı .5;7ı/ D 5;7ı; ' > 0: Überwiegend induktives

Verhalten der Schaltung, I eilt U nach.

f)

S D U I D 17;68 V 0;0176 mA D 0;311 VA

P D S cos.'/ D 0;311 cos.5;7ı/ W D 0;309 W

Q D S sin.'/ D 0;311 sin.5;7ı/ VAR D 0;031 VAR
p
p

Probe: S D

P 2 C Q2; S D

0;3092 C 0;0312 D 0;311 VA

Aufgabe 11.41

Gegeben ist die Schaltung nach Abb. 11.29. Gegeben sind außerdem u D u.t/ D O

U
sin.!t/, R1, R2, L und !.

Gesucht ist der zeitliche Verlauf des Gesamtstromes i.t/ D O

I sin.!t C 'i/.

Die Aufgabe ist zuerst unter Verwendung von Zeigerdiagrammen im Zeitbereich (ohne
komplexe Rechnung) und dann im Frequenzbereich (mit komplexer Rechnung) zu lösen.

Lösung

Nach den Kirchhoff’schen Regeln gilt in der Schaltung Abb. 11.29:

I D I C

I

D

C

1

I2

U D UR2

UR1

UL

11.8

Gemischte Schaltungen

331

Abb. 11.30 Zeigerbild zur

Schaltung nach Abb. 11.29

Zur Konstruktion eines qualitativen Zeigerbildes (Abb. 11.30) wird I1 als Bezugszeiger
verwendet. UR1 ist mit I1 in Phase, beide Zeiger werden in die horizontale Achse gelegt.

UL eilt I1 (dem Strom durch die Spule) um 90ı voraus und wird zunächst in die positi-
ve y-Achse gezeichnet. UR1 und UL addieren sich geometrisch zur Gesamtspannung U,
die auch über dem parallelen Zweig R2 liegt. Der Strom I2 ist in Phase mit UR2. Der

Gesamtstrom I ist die geometrische Summe der Teilströme I1 und I2.

Aus dem Zeigerbild Abb. 11.30 kann man ablesen:

q
q

U D

U 2 C

D

C

D

U
q

I tan

I

R1

U 2L

I1

R21

.!L/2I

I1

.ˇ/ D UL

R2 C

UR1

1

.!L/2

!L

Ď arctan

I

I D U

R

2

1

R2

Es wird das erweiterte Zeigerbild der Ströme gezeichnet (Abb. 11.31).

Dem erweiterten Zeigerbild der Ströme (Abb. 11.31) kann man entnehmen:

q

I 2 D ŒI C

C

C

1

I2 cos.ˇ/2 C ŒI2 sin.ˇ/2I

I D

I 2
cos

1

I 22

2 I1 I2

.ˇ/

I sin.ˇ/

' D ˇ arctan

2

I C

1

I2 cos.ˇ/

Für i.t/ folgt:

v
p
u

O
u

!L

I D

2 t

U 2

C U 2 C 2

U
q

U cos arctan

R2 C

R

R

1

.!L/2

R22

R2 C

2

1

1

.!L/2

Abb. 11.31 Erweitertes Zeiger-
bild der Ströme

332

11

Einfache Wechselstromkreise

Mit cos .arctan.x// D

1
p
und einem Zwischenschritt folgt:

1Cx2
s
p

O

1

I D U

2

C 1 C 2 R1

1

R2 C

R

C

1

.!L/2

R22

2

R21

.!L/2

Überprüfung für die zwei Grenzfälle von !:

p2

! ! 1W O

I D O

I D U

I

2

R2
der Widerstand der Spule wird unendlich groß, es bleibt nur der Strompfad durch R2 übrig.

s
s
p

1
p

R2 C R2 C 2 R R

! ! 0W O

I D U

2

C 1 C

2

D U 2

1

2

1

2

R2

R R

1

R22

1

2

R21 R22
s
p
p

O

.R C R

C R

I D U

2

1

2/2 D U 2 R1

2 I

R2

R R

1

R22

1

2
der Widerstand der Spule wird null, es bleibt der Leitwert der parallel geschalteten Wider-
stände R1 und R2 übrig.

Für den Phasenverschiebungswinkel ' des Gesamtstromes folgt:

sin.arctan.x// D
x
p

I cos.arctan.x// D

1
p

1 C x2

1 C x2

0

1

I
x
p

2

1Cx2

I x

' D ˇ arctan @

A D ˇ arctan

2
p
mit x D !L

I C

1
p

1

I2

I

1

1 C x2 C I2

R1

1Cx2

0

1

B

U x

C

' D ˇ arctan B

R

@

2
p

C

A

U
p

R2C

1

.!L/2 C U

R2C

R1

R2

1

.!L/2

!L

!L

' D arctan
arctan

R

C

1

R1

R2

Überprüfung für erlaubte Grenzfälle der Widerstände:

!L

R ! 1W

I

2

' D arctan

R1
dies entspricht der Formel bei der Reihenschaltung von Wirkwiderstand und Spule (R2
fällt weg).

!L

R !

I

1

0W ' D
arctan

2

R2

mit ' D arctan 1 D arctan.x/ für x > 0 folgt:

x

2

11.9

Die Übertragungsfunktion

333

' D arctan R2 ; dies entspricht der Formel bei der Parallelschaltung von Wirkwider-

!L
stand und Spule.

Da der Nullphasenwinkel der Gesamtspannung null ist, ist der Phasenverschiebungs-
winkel ' gleich mit dem Nullphasenwinkel des Gesamtstromes: ' D
i

'.

Mit O

I und 'i ist der gesuchte Gesamtstrom gefunden.

Nun wird die Aufgabe im Frequenzbereich berechnet und der jeweilige Aufwand ver-
glichen.

Wir wissen: Der Winkel †Z des komplexen Gesamtwiderstandes Z ist gleich dem

Phasenverschiebungswinkel ' zwischen Spannung und Strom. Der komplexe Gesamtwi-
derstand zwischen den beiden Anschlussklemmen des Netzwerkes ist:

.R C j!L/

C j!R

Z D R k

C

1

D R1R2

2L

2

.R1
j!L/ D R2

R C

C

C

C

1

R2
j!L

R1

R2
j!L

Mit † Z1

D †Z †Z folgt sofort:

Z

1

2

2

†

!L

!L

Z D ' D ' D †

ui

.U ; I / D arctan
arctan

R

C

1

R1

R2

Dieses Ergebnis stimmt mit dem im Zeitbereich berechneten Ergebnis überein. Der Auf-
wand hierfür war allerdings erheblich kleiner als unter Verwendung des Zeigerdiagramms.

Um den Strom bestimmen zu können, wird der Betrag des komplexen Widerstandes
berechnet.

jZ j

Mit jZj D j Z1 j D

1

Z
j
j folgt:

2

Z2
q
s

R2

C !2R2
p

C
j

1 R2

2

2 L2

.R

R

Zj D Z D p

I

OI D U 2

1

2/2 C !2L2

.R C

C

1

R2/2 C !2L2

R21R22

!2R22L2

Durch eine kleine Zwischenrechnung bestätigt man leicht, dass dieses Ergebnis für O

I mit
dem unter Verwendung des Zeigerdiagramms übereinstimmt. Wir sehen, dass eine Be-
rechnung im Frequenzbereich sehr große Vorteile bringt.

11.9

Die Übertragungsfunktion

Aufgabe 11.42

Für das in Abb. 11.32 dargestellte Übertragungsglied ist die Übertragungsfunktion H .s/
mit s D j! zu bestimmen.

334

11

Einfache Wechselstromkreise

Abb. 11.32 Ein Übertragungs-
glied

Lösung

Spannungsteilerregel:

R C 1

1CsRC

U
sC

D
sC

D
a.s/ D U e.s/

U

U

1 C R C 1
e.s/ 2CsRC
e.s/ 1 C sRC

2 C sRC
sC
sC
sC

H .s/ D U a.s/ D 1 C sRC D 1 C j!RC

U e.s/

2 C sRC

2 C j!RC

Die Übertragungsfunktion wird statt mit „H .s/“ sehr häufig mit „G.s/“ bezeichnet.

Obwohl die Übertragungsfunktion eine komplexe Größe ist, wird sie oft nicht unterstri-
chen und somit nicht extra als komplexe Größe gekennzeichnet. Auch bei den Ein- und

Ausgangsgrößen und bei der Benennung von Strömen und Spannungen innerhalb eines

Netzwerkes wird im Zusammenhang mit einer Übertragungsfunktion das Unterstreichen
für die Kennzeichnung komplexer Größen oft weggelassen. Diese Vorgehensweise ist aber
nicht ratsam, da man eventuell keinen Unterschied zwischen einer komplexen Größe und
deren Betrag sieht.

Aufgabe 11.43

Die in Abb. 11.33 skizzierte Schaltung besteht aus zwei gleichen Widerständen R und
zwei gleichen Kondensatoren C. Ue ist eine Wechselspannung variabler Frequenz. Am

Ausgang wird die Schaltung nicht belastet (Leerlauf an Ua).

a) Welche Filtereigenschaften besitzt diese Schaltung? Welche Ordnung hat das Filter
und warum? Um wie viel dB ändert sich das Ausgangssignal, wenn sich das Ein-
gangssignal um eine Frequenzdekade ändert?

b) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H .j!/ D U a.j!/ .

U e.j!/
c) Wie lautet die normierte Übertragungsfunktion H N.j!/?

Lösung
a) Bei der Schaltung handelt es sich um ein RC-Tiefpassfilter. Die Ordnung des Filters ist
zwei (Tiefpass zweiter Ordnung), da zwei energiespeichernde Bauelemente (in diesem

Abb. 11.33 Ein Filter

11.9

Die Übertragungsfunktion

335

Abb. 11.34 Das Filter mit

Spannungen und Strömen

Fall Kondensatoren) verwendet werden. Das Ausgangssignal nimmt um 2 20 dB D

40 dB pro Frequenzdekade ab.

b) Zur Bestimmung der Übertragungsfunktion werden die Ströme und Spannungen in die

Schaltung eingetragen (Abb. 11.34).

I D

I

D

C

D

2
j!C U a

U C

R I 2

U a

U a .1 C j!RC /

I D

D

1
j!C U C
j!C U a .1 C j!RC / D U a .!2RC 2 C j!C /

I D

D

e

U a .!2RC 2 C j!C / C j!C U a

U a .!2RC 2 C 2j!C /

U D

C

D

e

R I e

U C

R U a .!2RC 2 C 2j!C / C U a .1 C j!RC /

U D

e

U a .1 !2R2C 2 C 3j!RC /

H .j!/ D U a.j!/ D

1

U e.j!/

1 !2R2C 2 C 3j!RC
c) Zur Normierung einer Übertragungsfunktion wird R D 1 , C D 1 F, L D 1 H in die

Übertragungsfunktion eingesetzt.

H N.j!/ D

1

1 !2 C 3j!

Aufgabe 11.44

Gegeben ist die Schaltung in Abb. 11.35.

a) Wie lautet die Übertragungsfunktion H .s/ D U a ?

U e
b) Geben Sie für s D j! Betrag und Winkel der Übertragungsfunktion an.

c) Welche Filtercharakteristik hat H .s/? Betrachten Sie hierzu H .s/ für sehr kleine und
sehr große Frequenzen.

Abb. 11.35 Ein LR-Filter

336

11

Einfache Wechselstromkreise

Abb. 11.36 RC-Tiefpass

Lösung
a) Nach der Spannungsteilerregel ergibt sich U

D

R
a zu U a

U e RCsL

) H.s/ D U a D

1

U

e

1 C L s

R
b)

jH .j!/j D

1
q

1 C !2L2

R2

Ist H .j!/ D Z1 , so ist der Winkel †H .j!/ D †Z †Z . Somit folgt:

Z

1

2

2

†

!L

H .j!/ D arctan

R
c) Für ! ! 0 wird jH .j!/j D 1. Anschauliche Erläuterung für den eingeschwungenen

Zustand: Für Gleichspannung mit f D 0 stellt die Induktivität einen Kurzschluss dar.

Für ! ! 1 wird jH .j!/j D 0. Für sehr große Frequenzen wird der Widerstand einer

Induktivität unendlich groß.

H .s/ hat die Filtercharakteristik eines passiven Tiefpasses 1. Ordnung.

Aufgabe 11.45

Bei welcher Frequenz beträgt der Amplitudengang jH .j!/j D j U a j des in Abb. 11.36

U e
angegebenen RC-Tiefpasses 10 dB?

Gegeben: R D 100 , C D 2 F

Lösung

Beim RC-Tiefpass 1. Ordnung ist
jH .j!/j D

1
p

:

1 C .!RC /2

Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsspannung mit der Größe Dezibel ist definiert
als:

jH.j!/j D
j U a.!/ j D
dB

20 dB log

20 dB log.jH .j!/j/

U e.!/

11.9

Die Übertragungsfunktion

337

Abb. 11.37 Kapazitiv belaste-
ter Spannungsteiler

10

Es ist somit 10 dB D 20 log.jH .j!/j/ oder jH .j!/j D 10 20 D 10 12 D 1
p

.

10

1
p

D

1
p

I 10 D 1 C !2R2C 2I ! D 3 I ! D 15:000 s1I

10

1 C .!RC /2

RC
f D ! D 2387 Hz

2

Aufgabe 11.46

Ein ohmscher Spannungsteiler mit den Widerständen R D

D

1

900 und R2

100 ist
mit der Kapazität C D 10 F belastet (Abb. 11.37). Die Sinus-Eingangsspannung ist

U D

1

100 V, f D 50 Hz.

Wie groß ist die Ausgangsspannung U2? Um welchen Winkel ' ist U2 gegenüber U1
phasenverschoben?

Lösung

Der (komplexe) Widerstand der Parallelschaltung von R2 und C ist

R 1

2

Z D
j!C

D

R2

:

R C 1

2

1 C j!R
j!C

2C

Nach der Spannungsteilerregel ist

R2

U D

Z

D

1Cj!R2C

D

R2

D

2

U 1

U

U

U H .j!/

R C

1

1

C

C

1

1

Z

R C

R2

1

R

R
j!R

1Cj!R

1

2

1R2C

2C

Es folgt: U D
j

2

U1 H .j!/j
p

Allgemein ist der Betrag einer Übertragungsfunktion jH .j!/j D

Re2 C Im2 mit

Re D Realteil und Im D Imaginärteil. Außerdem gilt allgemein:

j
j
j

Z

H .j!/j D j Z1 j D

1

Z
j
j

2

Z2

338

11

Einfache Wechselstromkreise

Abb. 11.38 Ein RC-Filter

Es folgt:

jH.j!/j D

R2
p.R C

1

R2/2 C .!R1R2C /2
jH.j!/j D

100
p

D 0;0962

10002 C .2 50 100 900 105/2

U D

2

100 V 0;0962 D 9;62 V

Der Phasenwinkel '.!/ des Ausgangssignals gegen das Eingangssignal ist definiert als
der Winkel von H .j!/. Allgemein gilt:

ImfH .j!/g

'.!/ D arctan
mit Im D Imaginärteil, Re D Realteil.

RefH .j!/g

Für den Winkel (†) eines Bruches zweier komplexer Zahlen gilt: † Z1

D †Z †Z

Z

1

2

2

Es folgt: Z D

D

1

R2, somit ist †Z1

0.

!R

2 50 900 100 105

'.!/ D arctan

1R2C

D arctan

D 15;79ı

R C

1

R2

900 C 100

U2 ist gegenüber U1 um 15;79ı phasenverschoben, eilt also U1 um 15,79ı nach.

Bei Netzwerken mit sinusförmiger Erregung werden zur Bestimmung von Betrag und

Phasenverschiebung des Ausgangssignals Betrag und Winkel der Übertragungsfunktion
bestimmt. Vorteile gegenüber der Wechselstromrechnung: Diese Methode funktioniert
immer, Betrag und Phase können auch für verschiedene Frequenzen berechnet werden

(Bestimmung von Amplituden- und Phasengang).

Aufgabe 11.47

Gegeben ist die Schaltung in Abb. 11.38.

Gegeben sind die Werte: u.t/ D 15 V sin.!t/; f D 1 kHz; R D 1 k; C D 1 nF
a) Welche Filtercharakteristik hat die Schaltung in Abb. 11.38? Verwenden Sie eine

Grenzwertbetrachtung für sehr kleine und sehr große Frequenzen.

b) Geben Sie die Übertragungsfunktion H .j!/ D U R an. Berechnen Sie U

U

R.

c) Geben Sie den Phasenwinkel ' allgemein in Abhängigkeit der Kreisfrequenz ! an,
um den die Ausgangsspannung UR gegenüber der Eingangsspannung U verschoben
ist. Wie groß ist '?

d) Geben Sie einen Ausdruck uR.t/ für den zeitlichen Verlauf von UR an.

11.9

Die Übertragungsfunktion

339

Abb. 11.39 Amplitudengang

Hochpass

Lösung
a) Im eingeschwungenen Zustand sperrt der Kondensator C für Gleichspannung mit f D

0, es ist U D

R

0 V. Für ! ! 1 stellt der Kondensator C einen Kurzschluss dar, es
ist U D

R

U . Der Widerstand von C wird umso kleiner, je größer die Frequenz der

Eingangsspannung wird. Es handelt sich um die Filtercharakteristik eines passiven

Hochpasses 1. Ordnung.

b) Die Eingangsspannung ist im Komplexen als rotierender Scheitelwertzeiger u.t/ D

15 V ej!t . Momentanwerte sind hier nicht von Interesse, es genügt, mit einem ruhen-
den Zeiger zu arbeiten. Der ruhende Scheitelwertzeiger (die komplexe Amplitude) ist

O

U D 15 V. Da der Effektivwert UR der Ausgangsspannung gefragt ist, verwenden wir
als komplexe Eingangsspannung den komplexen Effektivwert U D OU
p D 15 V
p .

2

2

I Anmerkung Der komplexe Effektivwertzeiger ist natürlich ein ruhender Zeiger. Als
p
rotierender Zeiger wäre er physikalisch sinnlos, da er um den Faktor 1= 2 zu kurz und
somit die Amplitude der Sinusspannung zu klein wäre.

Die Schaltung in Abb. 11.38 kann als frequenzabhängiger Spannungsteiler betrachtet
werden.

U D

)

D

R

R

U

R

H .j!/ D U R

R C 1

U

R C 1
j!C
j!C

U D j
j D j

R

U R

U j

R
q

R2 C 1

!2C 2

U D 15 V
p

103

I

D

15 103

R
r

UR
p
q

V

2

.103 /2 C

1

2

106 C

1

42.103 s1/2.109 s

421012

/2

U D

R

67 mV

Für

U D j
j D j

R

U R

U j

R
q

R2 C 1

!2C 2
erhalten wir den Graphen der Funktion in Abb. 11.39.

340

11

Einfache Wechselstromkreise

Abb. 11.40 Phasengang Hoch-
pass
c) Phasenwinkel '.!/ zwischen U und U : Wir betrachten

R

U D

R

U

R

:

R C 1
j!C

Nach Angabe ist ]U D 0. Es gilt: † Z

D †

C†

1 Z2

Z1

„ƒ‚…

Z2

D0

†U D †Zä †Ne D †

R

R † R C

1
j!C

Mit †R D 0, R C 1 D R j 1 und arctan.x/ D arctan.x/ folgt:

j!C

!C

†

1

U D

1

D arctan

I

R

'.!/ D 0 arctan

' D 89;6ı

!RC

!RC

Dieses '.!/, die Phasenverschiebung zwischen einer Aus- und Eingangsspannung,
darf nicht verwechselt werden mit ' D 'ui, der Phasenverschiebung zwischen einer

Spannung und einem Strom. Wie zu sehen ist gilt: '.!/ D †H .j!/.

Mit '.0/ D arctan.1/ D und '.1/ D arctan.0/ D 0 erhalten wir für '.!/ den

2

Graphen der Funktion in Abb. 11.40.

Ein Hinweis

Wir hätten U D
umformen können zu

D

.

R

U

R

U

U j!RC

RC 1

R

1Cj!RC
j! C

!RC

'

D

D

I

Zä
arctan
arctan.1/ D

0

2

!RC

'

D

D

Ne
arctan
arctan.!RC /

1

'.!/ D '

D

Zä

'Ne
arctan.!RC /

2

Zunächst kann man meinen, man hat ein anderes Ergebnis erhalten.

Mit arctan 1 D arctan.x/ aus einer Formelsammlung sieht man, dass die Ergeb-
x

2
nisse identisch sind.

p
d) uR.t/ D

2 0;067 V sin.!t C 89;6ı/

11.10

Verstärkungsfaktor, Verstärkungsmaß, Dämpfungsmaß

341

11.10

Verstärkungsfaktor, Verstärkungsmaß, Dämpfungsmaß

Aufgabe 11.48

Die Eingangsleistung eines Vierpols wird von 1 mW auf eine Ausgangsleistung von 1,0 W
verstärkt. Wie groß ist die Leistungsverstärkung in Dezibel und als Linearfaktor?

Lösung

Die Leistungsverstärkung in dB errechnet sich nach V

D

Pa

P;dB

10 dB lg

.

Pe

1000 mW

V

D

D

P;dB

10 dB lg

30 dB

1 mW

30 dB

Als Linearfaktor ist die Leistungsverstärkung V D

P

10 10dB D 103 D 1000 bzw. einfach

V D 1000 mW D

P

1000.

1 mW

Aufgabe 11.49

Die Eingangsspannung von 1 mV eines Verstärkers wird auf 2,0 V am Ausgang verstärkt.

Wie groß ist die Spannungsverstärkung in dB?

Lösung

2000 mV

V

D

D

U;dB

20 dB lg

66 dB

1 mV

Aufgabe 11.50

Die Eingangsspannung einer Schaltung ist 12 V. Berechnen Sie die Dämpfung a1 für eine

Ausgangsspannung U D

D
a

8 V und die Dämpfung a2 für Ua

20 V.

Lösung

8 V
a D

D

1

20 dB lg

3;52 dB; das Signal wird um 3,52 dB abgeschwächt.

12 V

20 V
a D

D C

2

20 dB lg

4;44 dB; das Signal wird um 4,44 dB verstärkt.

12 V

Aufgabe 11.51

Die Ausgangsspannung eines Vierpols beträgt 3 % der Eingangsspannung. Wie groß ist
die Dämpfung a in dB?

Lösung

3
a D 20 dB lg

D 30;46 dB

100

Leistung im Wechselstromkreis

12

Zusammenfassung

Es werden die verschiedenen Leistungsarten mit ihren Formel- und Einheitenzeichen
eingeführt. Es folgen Berechnungen von Wirkleistung, Blindleistung und Schein-
leistung sowie von Leistungsfaktoren und Wirkungsgraden von verschiedenen Ver-
brauchern in Wechselstromkreisen. Zur Blindleistungskompensation bei ohmsch-in-
duktiven Verbrauchern werden benötigte Kapazitätswerte berechnet, um vorgegebene

Leistungsfaktoren zu erreichen.

12.1

Grundwissen – kurz und bündig

Ein ohmscher Widerstand ist ein Wirkwiderstand (Wärmewirkung, Wirkleistung).

Die Wirkleistung am ohmschen Widerstand ist P D U I .

Als Wirkleistung ist der zeitliche Mittelwert der Augenblicksleistung definiert.

Ein idealer Kondensator und eine ideale Spule nehmen keine Wirkleistung, sondern
nur eine Blindleistung auf.

Formelzeichen Wirkleistung: P, Einheit: W (Watt).

Formelzeichen Blindleistung: Q, Einheit: VAR oder var.

Formelzeichen Scheinleistung: S, Einheit: V A.

Wirkleistung P und Blindleistung Q einer Impedanz:

P D U I cos.'/I

Q D U I sin.'/

Definition der Scheinleistung: S D U I ( U, I D Effektivwerte), S D OU OI

2

Beziehungen zwischen Wirk- Blind- und Scheinleistung:

P D S cos.'/I

Q D S sin.'/I

S2 D P 2 C Q2

Definition des Leistungsfaktors: cos.'/ D PS

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017

343

L. Stiny, Aufgabensammlung zur Elektrotechnik und Elektronik,

DOI 10.1007/978-3-658-14381-7_12

344

12

Leistung im Wechselstromkreis

Mit einem Phasenschieberkondensator kann an einem ohmsch-induktiven Verbraucher
eine Blindleistungskompensation erfolgen.

C D

P
tan.'/ tan.'g/

U 2 !

P D Wirkleistung, U D Effektivspannung, ' D Phasenwinkel ohne C, ' D
g

Phasen-
winkel mit C.

12.2

Leistungsberechnungen, Blindleistungskompensation

Aufgabe 12.1

Die Nennleistung eines Elektromotors für Einphasen-Wechselstrom beträgt 370 Watt. Bei

Nennlast nimmt der Motor am Stromnetz (230 V, 50 Hz) einen Strom von 4,2 A auf und
hat einen Leistungsfaktor von cos.'/ D 0;8. Berechnen Sie
a) die Scheinleistung S,
b) die aufgenommene Wirkleistung P,
c) die Blindleistung Q,
d) den Blindstrom Ib,
e) den Wirkungsgrad .

Lösung
a) S D U I D 230 V 4;2 A D 966 V A
b) P D S cos.'/ D 966 V A 0;8 D 772;8 W
c) cos.'/ D 0;8 ) ' D arccos.0;8/ D 36;9ı; sin.'/ D 0;6

Q D S sin.'/ D 966 V A 0;6 D 579;6 var
d) I D
b

I sin.'/ D 4;2 A 0;6 D 2;52 A
e) D 370 W D 0;48

772;8 W

Aufgabe 12.2

Ein Verbraucher ist an die Netzwechselspannung mit U D 230 V angeschlossen. Es fließt
ein Strom von I D 5 A, U eilt I um ' D 40ı vor. Wie groß sind
a) Scheinleistung S,
b) Wirkleistung P,
c) Blindleistung Q,
d) Leistungsfaktor cos.'/?

Lösung
a) S D U I D 230 V 5 A D 1150 V A
b) P D S cos.'/ D 1150 V A cos.40ı/ D 881 W

12.2

Leistungsberechnungen, Blindleistungskompensation

345

Abb. 12.1 Schaltung an der

Netzwechselspannung
c) Q D S sin.'/ D 1150 V A sin.40ı/ D 739;2 var
d) cos.'/ D cos.40ı/ D 0;766

Aufgabe 12.3

Leiten Sie für Sinusform von Strom und Spannung und ' D

D
u

'i

0 die Formel S D

P D OU OI D U I her (S D Scheinleistung, P D Wirkleistung).

2

Lösung

Mit ' D

D
u

'i

0 sind u.t/ D O

U sin.!t/ und i.t/ D O

I sin.!t/.

Die Augenblicksleistung ist p.t/ D u.t/i.t/ D O

U sin.!t/ O

I sin.!t/ D O

U O

I sin2.!t/.

Die Wirkleistung P ist die mittlere Leistung (der zeitliche oder arithmetische Mittelwert
der Augenblicksleistung). Die mittlere Leistung erhält man, indem über eine Periodendau-
er der Augenblicksleistung integriert und durch die Periodendauer T dividiert wird.

R

Mit sin2.x/ D 1 Œ1 cos.2x/,
cos.ax/dx D 1 sin.ax/, x D !t folgt:

2
a

T

Z

O

T

Z

U O

I

P D 1

O

U O

I sin2.x/dx D

1

Œ1 cos.2x/ dx

T

T

2

0

0

2

3T

O

U O

I

6

7

O

U O

I

P D

1 6
sin.2x/7 D

D U I

T

2 4x 12

5

„ ƒ‚ …

2

0

0

Beim ohmschen Widerstand sind Wirkleistung P und Scheinleistung S gleich groß.

Aufgabe 12.4

Die Parallelschaltung eines Widerstandes R D 40 und eines Kondensators liegt an der
p

Netzwechselspannung u.t/ D

2 230 V sin.!t/ mit f D 50 Hz (Abb. 12.1). Der

Leistungsfaktor der Schaltung ist cos.'/ D 0;6.

a) Welches Bauelement nimmt ausschließlich Wirkleistung P auf und wie groß ist diese?

b) Wie groß ist die Scheinleistung S?

c) Wie groß ist die Blindleistung Q?

d) Wie groß ist der Blindstrom Ib, durch welches Bauelement fließt dieser?

e) Wie sieht qualitativ das Leistungszeigerdiagramm aus?

346

12

Leistung im Wechselstromkreis

Abb. 12.2 Leistungszeiger-
diagramm, geometrischer

Zusammenhang der Leistungs-
arten

Lösung
a) Der ohmsche Widerstand nimmt ausschließlich Wirkleistung auf.

P D U 2 D .230 V/2 D 1322;5 W

R

40
b)

P D S cos.'/I

S D

P

D 1322;5 W D 2204;17 V A
cos.'/

0;6
c)

Q D S sin.'/I

' D arccos.0;6/ D 53;13ıI

Q D 2204;17 V A0;8 D 1763;34 var
d)

Q D U I sin.'/ D U I I

D Q D 1763;34 var D
b

Ib

7;67 A

U

230 V

Der Blindstrom fließt durch den Kondensator C.

e) Das Leistungszeigerdiagramm zeigt Abb. 12.2.

Aufgabe 12.5

Einem Wechselstromnetz mit dem Effektivwert U D 230 V Sinusspannung wird eine

Wirkleistung P D 9;2 kW entnommen.

a) Die Blindleistung sei null. Berechnen Sie den Effektivwert I und die Amplitude O

I des

Stromes.

b) Die Blindleistung sei Q D 6;9 kVAR. Berechnen Sie die Scheinleistung S und die

Werte von I , O

I , cos.'/ und ' (die Phasenverschiebung zwischen Spannung und

Strom).

Lösung
a) Zwischen Scheinleistung S, Wirkleistung P und Blindleistung Q besteht die Beziehung

S2 D P 2 C Q2. Außerdem ist die Scheinleistung das Produkt aus Effektivspannung
und Effektivstrom: S D U I . Mit Q D 0 folgt: S D P bzw. I D P .

U
p

I D 9200 W D 40 AI
wegen der Sinusform ist O

I D I

2 D 56;6 A

230 V

12.2

Leistungsberechnungen, Blindleistungskompensation

347
b)

p
p

S D

P 2 C Q2 D

9;22 C 6;92 kV A D 11;5 kV AI

I D S D 11;5 103 V A D 50 A

U

230 V
p

OI D I 2 D 70;7 AI cos.'/ D P D 9;2 D 0;8I

S

11;5

' D arccos.0;8/ D 0;64 D 36;9ı

Aufgabe 12.6

Eine Blindleistung von 1 kvar soll kompensiert werden. Die Netzspannung ist 230 V,

50 Hz. Berechnen Sie die Kapazität des Kondensators.

Lösung

C D QC

D

1000 var

D 60 F

! U 2

2 50 s1 .230 V/2

Aufgabe 12.7

Die Wirkleistungsaufnahme einer Leuchtstofflampe 230 V, 65 W beträgt mit Drosselspule

81 Watt. In der Zuleitung fließt ein Strom von 0,7 A. Durch Parallelkompensation soll der

Leistungsfaktor auf 0,95 gebracht werden. Welche Kapazität ist hierzu erforderlich?

Lösung

Phasenwinkel '1 ohne Kondensator:

cos.'

D

81 W

D

D

1/ D

P

0;5I

'

60ı

U I

230 V 0; 7 A

1

Phasenwinkel '2 mit Kondensator:

cos.'

D

2/ D 0;95I

'2

18;2ı

Q D

C

P .tan.'1/ tan.'2// D 81 W .1;73 0;33/ D 113;4 var

C D QC

D

113;4

F D 6;8 F

! U 2

2 50 2302

Aufgabe 12.8

Eine Leuchtstofflampe mit U D 230 V, 25 W nimmt bei einem Leistungsfaktor cos.'/ D

0;48 einen Betriebsstrom von I D 0;3 A auf. Der Lampe wird ein Kondensator C D

3;8 F parallel geschaltet. Berechnen Sie
a) die Leistungsaufnahme P der Lampe,
b) die Blindleistung QC des Kondensators,
c) den Leistungsfaktor cos.'2/ nach der Kompensation,
d) den Strom I2 nach der Kompensation.

348

12

Leistung im Wechselstromkreis

Lösung
a)

P D U I cos.'/ D 230 V 0;3 A 0;48 D 33;1 W
b)

Q D

C

!C U 2 D 2 50 3;8 106 2302 var D 63;2 var
c)

' D

1
arccos.0;48/ D 61;32ı
tan.'

D 33;1 W 1;828 63;2 var D

2/ D P tan.'1/ QC

0;081

P

33; 1 W

' D

2
arctan.0;081/ D 4;63ıI
cos.'2/ D 0;997
d)

I D

P

D

33;1

2

A D 0;144 A

U cos.'2/

230 0;997

Aufgabe 12.9

Zwei induktive Verbraucher werden an der Netzspannung der öffentlichen Spannungsver-
sorgung betrieben. Die Daten der Netzspannung sind U D 230 V, f D 50 Hz.

Von Verbraucher 1 ist bekannt: P D

1

1;8 kW, cos.'1/ D 0;6.

Von Verbraucher 2 ist bekannt: P D

D

2

1;2 kW, Q2

1;6 kvar.

a) Welche Blindleistung entnimmt Verbraucher 1 aus dem Netz?

b) Wie groß sind Wirk- und Blindleistung, die beide Verbraucher zusammen aus dem

Netz beziehen?

Lösung
a) Die Beziehung zwischen Wirk- und Scheinleistung ist P D S cos.'/. Die Beziehung
zwischen Schein-, Wirk- und Blindleistung ist S2 D P 2 C Q2. Damit folgt für die

Blindleistung in Verbraucher 1:

q
s
s

P 2

1

Q D

D

1

D

1

S21 P 21

P 2

P

1 D 2400 var

Œcos.'

1

1

1/2

Œcos.'1/2
b) Beide Verbraucher verbrauchen induktive Blindleistung. Die Gesamtleistung erhält
man durch Addition sowohl der Wirkleistungen als auch der Blindleistungen.

P D P C

D

C

D

1

P2

3 kWI

Q D Q1

Q2

4 kvar

Aufgabe 12.10

Ein Elektromotor wird an einer gemessenen Spannung U D 225 V betrieben. Die Fre-
quenz beträgt 50 Hz. Der Strom durch den Motor eilt der Spannung nach und wird zu

I D 10 A gemessen, die gemessene Leistungsaufnahme beträgt P D 1800 Watt.

Wie groß ist der Leistungsfaktor cos.'/?

12.2

Leistungsberechnungen, Blindleistungskompensation

349

Abb. 12.3 Schaltung mit

Glühlampen

Lösung

Der Leistungsfaktor ist definiert als cos.'/ D P , P D Wirkleistung, S D Scheinleistung.

S

Die Scheinleistung ist S D U I , U und I sind Effektivwerte von Spannung und Strom.

Der cos.'/ ist hier also:

cos.'/ D P

D

1800 W

D 0;8

U I

225 10 V A

Aufgabe 12.11

Gegeben ist die Schaltung Abb. 12.3.

p
u.t/ D

2 230 V sin.2 50 s1 t/ ist die Netzwechselspannung.

C

D

D

1, C2 sind so dimensioniert, dass jede Glühlampe an U1

U2

115 V liegt. Bei
dieser Spannung werden von den Lampen die Leistungen P D

D

1

60 W und P2

100 W
aufgenommen.

a) Wie groß ist der Strom I?

b) Welche Scheinleistung wird der Spannungsquelle entnommen?

c) Wie lauten die Formeln zur Ermittlung der Scheinleistung S1 und der Wirkleistung P1
des Parallelzweiges?

d) Berechnen Sie die Blindleistung Q1 des Parallelzweiges.

e) Berechnen Sie die Größe von C1.

Lösung
a) I D P2 D 100 W D 0;87 A

U2

115 V
b) S D U

D

D

1 I C U2 I ; U1

U2

115 V; S D 2 115 V 0;87 A D 200;1 V A
c) Scheinleistung: S D

D

D

D

1

U1 I ; P2

U2 I ; da U1

U2 folgt: P2

S1.

q
q
q

Mit S D

C

D

C

D

1

P 2
folgt:

; Wirkleistung:

1

Q21

P2

P 21

Q21

P1

P 22 Q21
q
d) Q D

D

1

P 22 P 21

80 var
e)

Q D U 21 I

D Q1 I

D

80 VAR

D

1

C

C

19;3 F

1

1

1

U 2 !

.115 V/2 2 50 Hz

!C1

1

350

12

Leistung im Wechselstromkreis

Aufgabe 12.12

Eine induktive Last mit dem Leistungsfaktor cos.'/ D 0;7 verbraucht 2 kW am 230 Volt

Stromnetz. Die Ersatzschaltung der Last ist eine Reihenschaltung eines ohmschen Wider-
standes mit dem Wert R und einer idealen Induktivität mit dem Blindwiderstand X.

a) Bestimmen Sie R und X und geben Sie den komplexen Widerstand Z der Last an.

L
b) Das Stromnetz habe den komplexen Innenwiderstand Z

D

N

.0;4 C j 0;25/ . Wie
groß ist der Strom I, wenn die Last eingeschaltet wird?

c) Der Leistungsfaktor soll durch Parallelschalten eines Kondensators C zur Last auf
cos.'g/ D 1 erhöht werden (Blindleistungskompensation). Welchen Wert muss C ha-
ben?

Lösung
a) Die Scheinleistung ist S D P

D 2000 W D 2857 V A.

cos.'/

0;7

Der Effektivwert des Stromes ist I D S D 2857 V A D 12;42 A.

U

230 V

Der Wirkwiderstand R ist somit R D P D 2000 W D 12;97 .

I 2

.12;42 A/2
p
p

Die Blindleistung ist Q D S sin.'/ D S

1 Œcos.'/2 D 2857

1 0;72 D

2040;3 var.

Der Blindwiderstand X ist X D Q D 2040;3 var D 13;23 .

I 2

.12;42 A/2

Z D

D

L

R C jXI

ZL

.12;97 C j13;23/
b) Die Widerstände von Stromnetz und Last addieren sich.

Z D Z C

D

L

ZN

.12;97 C j13;23/ C .0;4 C j 0;25/ D .13;37 C j13;48/
p
jZj D 13;372 C 13;482 D 18;99 I I D 230 V D 12;11 A

18;99

c) Die Formel für C lautet: C D P
tan.'/ tan.'

U 2!

g/

P D Wirkleistung, U D Effektivspannung, ' D Phasenwinkel ohne C, ' D
g

Phasen-
winkel mit C.

Aus cos.'/ D 0;7 folgt ' D arccos.0;7/ D 45;57ı. Aus cos.'

D
g/ D 1 folgt 'g

0ı.

tan.45;57ı/ tan.0ı/ D 1;02I

C D

2000

1;02 FI C D 122;7 F

2302 2 50

Aufgabe 12.13

Der ohmsch-induktive Verbraucher in Abb. 12.4 nimmt eine Wirkleistung von P D

1000 W auf. Der Leistungsfaktor bei geöffnetem Schalter S ist cos.'/ D 0;8.

p
u.t/ D

2 230 V sin.2 50 s1 t/ ist die Netzwechselspannung.

Der von der Spannungsquelle gelieferte Gesamtstrom wird bei geöffnetem Schalter S als

I und bei geschlossenem Schalter S als I 0 bezeichnet.

12.2

Leistungsberechnungen, Blindleistungskompensation

351

Abb. 12.4 Blindleistungskom-
pensation
a) Wie groß ist der Strom I bei geöffnetem Schalter S?

b) Berechnen Sie den Wert des ohmschen Widerstandes R.

c) Der cos.'/ soll durch das Zuschalten von C auf cos.'0/ D 0;98 verbessert werden

(Blindstrom- bzw. Blindleistungskompensation). Wie groß ist der Strom I 0 bei ge-
schlossenem Schalter S? Um welchen Betrag Q verringert sich die aufgenommene

Blindleistung durch das Schließen des Schalters S?

d) Wie groß muss C für diese Verbesserung des Leistungsfaktors gewählt werden?

e) Geben Sie die Größe der Induktivität L an.

f) Zeichnen Sie qualitativ das Zeigerdiagramm der Größen U, I, I 0, IR, IC.

Lösung
a)

I D

P

D 1000 W D 5;44 A

U cos.'/

230 V 0;8
b)

R D P D 1000 W D 33;8

I 2

.5;44 A/2
c)

I 0 D

P

D

1000 W

D 4;44 A

U cos.'0/

230 V 0;98

P D U I cos.'/I

Q D U I sin.'/ D

P
sin.'/ D P tan.'/
cos.'/

Q D P Œtan.'/ tan.'0/

' D arccos.0;8/ D 36;87ıI

'0 D arccos.0;98/ D 11;48ı

Q D 1000 W .0;75 0;20/ D 550 var
d)

Q D U 2 I

I

D

C

C D QC

C D

550 var

33;1 F

1

U 2 !

.230 V/2 2 50 Hz

!C
e) Ohne C: Q D

D

L

P tan.'/ D 1000 Wtan.36; 87ı/ D 750 var; QL

I 2 !L; L D QL

I 2!

L D

750 var

D 80;7 mH

.5;44 A/2 2 50 Hz
f) Das zugehörige Zeigerdiagramm zeigt Abb. 12.5.

352

12

Leistung im Wechselstromkreis

Abb. 12.5 Zeigerdiagramm
zur Blindleistungskompensati-
on

I Anmerkung zur Vorgehensweise bei Teilaufgabe c)

Aus dem Zeigerdiagramm geht hervor: Durch Zuschalten von C nimmt der Betrag des
von der Spannungsquelle gelieferten Stromes von I auf I 0 ab, es ergibt sich eine kleine-
re Zeigerlänge. Der Strom in der Zuleitung wird also kleiner, dies ist ja der Zweck der

Blindleistungskompensation. Der Strom IR durch den Verbraucher bleibt aber gleich, da-
mit bleibt auch die Wirk leistung P im Verbraucher gleich.

Mit Q D P Œtan.'/ tan.'0/ kann also gerechnet werden (gleichbleibende Wirk-
leistung bei unterschiedlichen Phasenwinkeln). Falsch ist der Ansatz:

Q D Q

D

1

Q2

U I sin.'/ U I sin.'0/ D U I sin.'/ sin.'0/

Hier werden unterschiedliche Phasenwinkel einem einzigen Strom zugeordnet.

Aufgabe 12.14

Ein Elektromotor nimmt bei U D 230 V eine Wirkleistung P D 1500 W auf, der Leis-
tungsfaktor ist dabei cos.'/ D 0;78. Wie groß sind Motorstrom I, Blindleistung Q,

Scheinleistung S und Scheinwiderstand Z des Motors?

Lösung

S D

P

I S D 1500 W D 1923 V AI I D S D 1923 V A D 8;36 A
cos.'/

0;78

U

230 V

Q D S sinŒarccos.0;78/ D 1203 var oder Q D P tanŒarccos.'/ D 1203 var

Z D U D 27;5

I

Aufgabe 12.15

Ein Elektromotor hat eine aufgenommene Leistung von P D 100 W und einen Leistungs-
faktor von cos.'/ D 0;8.

a) Wie groß sind Scheinleistung S und Blindleistung Q?

b) Welchen Kapazitätswert muss ein Kondensator haben, der für eine vollständige Blind-
leistungskompensation bei einer Speisespannung von 400 V, 50 Hz zum Motor parallel
geschaltet wird?

12.2

Leistungsberechnungen, Blindleistungskompensation

353

Lösung
a)

S D

P

D 100 W D 125 V AI Q D S sin.arccos.0;8// D 75 var
cos.'/

0;8
b)

A s

C D P tan.'/ D 100 W tan.arccos.0;8// D 1;49 106

D 1;5 F

! U 2

2 50 s1 .400 V/2

V

Aufgabe 12.16

Ein Einphasen-Wechselstrommotor hat eine Nennleistung (abgegebene mechanische

Leistung) von P D

N

2;2 kW. Sein Wirkungsgrad beträgt D 0;88, sein Leistungsfaktor
ist cos.' D 0;81/. Der Betrieb erfolgt am Wechselstromnetz mit U D 230 V, f D 50 Hz.

a) Welchen Strom I nimmt der Motor auf?

b) Durch einen parallel zum Motor geschalteten Kondensator zur Blindleistungskom-
pensation soll der Leistungsfaktor auf cos.'0/ D 0;92 verbessert werden. Welchen

Kapazitätswert muss der Kondensator haben? Welchen Strom I 0 nimmt dann der Mo-
tor auf?

Lösung
a) Die vom Motor aufgenommene elektrische Leistung ist:

P D PN D 2;2 kW D 2;5 kW. Der Strom folgt aus P D U I cos.'/W

0;88

I D

P

D 2;5 103 W D 13;4 A

U cos.'/

230 V 0;81
b)

C D P Œtan.'/ tan.'0/

! U 2

A s

C D 2;5 103 W Œtan.arccos.0;81// tan.arccos.0;92// D 44;8 106

2 50 s1 .230 V/2

V

D 44;8 F

I 0 D

P

D 2;5 103 W D 11;8 A

U cos.'0/

230 V 0;92

Aufgabe 12.17

Ein ohmsch-induktiver Verbraucher wird durch die in Abb. 12.6 angegebene Ersatzschal-
tung beschrieben. Der Verbraucher entnimmt dem Wechselstromnetz mit U D 230 V,
f D 50 Hz die Wirkleistung P D 2;0 kW. Der Leistungsfaktor ist cos.'/ D 0;5.

a) Wie groß sind Scheinleistung S und Blindleistung Q?

b) Wie groß ist der Strom I?

354

12

Leistung im Wechselstromkreis

Abb. 12.6 Ersatzschaltung
eines ohmsch-induktiven Ver-
brauchers

Abb. 12.7 Widerstandsdreieck
mit Wirk- und Blindwiderstand
c) Berechnen Sie die Werte von R und L.

d) Durch einen parallel zum Motor geschalteten Kondensator zur Blindleistungskom-
pensation soll der Leistungsfaktor auf cos.'0/ D 0;92 verbessert werden. Welchen

Kapazitätswert muss der Kondensator haben? Welchen Strom I 0 nimmt dann der Mo-
tor auf?

Lösung
a)

S D

P

D 2;0 kW D 4000 V A
cos.'/

0;5

Q D P tan.arccos.'// D 2000 W tan.arccos.0;5// D 3464 var
oder

Q D S sin.arccos.'// D 4000 V A sin.arccos.0;5// D 3464 var
b)

I D

P

D 2000 W D 17;4 A

U cos.'/

230 V 0;5
c) Wie im Widerstandsdreieck Abb. 12.7 ersichtlich, addieren sich Wirkwiderstand R
und induktiver Blindwiderstand X D

L

!L geometrisch zum Scheinwiderstand Z. Der

Scheinwiderstand ist:

Z D U D 230 V D 13;2 :

I

17;4 A

Der Phasenverschiebungswinkel ' ist: ' D arccos.0;5/ D 60ı.

Die Komponenten R und X D

L

!L können mit Hilfe der Winkelbeziehungen be-
stimmt werden.

R D Z cos.60ı/ D 13;2 0;5 D 6;6
p3

!L D Z sin.60ı/ D 13;2

D 11;4

2

L D

11;4

D 36;3 mH

2 50 s1

12.2

Leistungsberechnungen, Blindleistungskompensation

355

Abb. 12.8 Ein ohmsch-
induktiver Verbraucher

Abb. 12.9 Leitwertdreieck
d)

C D P Œtan.'/ tan.'0/

! U 2

A s

C D 2000 W Œtan.arccos.0;5// tan.arccos.0;92// D 157 106

D 157 F

2 50 s1 .230 V/2

V

I 0 D

P

D

2000 W

D 9;5 A

U cos.'0/

230 V 0;92

Aufgabe 12.18

Ein ohmsch-induktiver Verbraucher wird durch die in Abb. 12.8 angegebene Ersatzschal-
tung beschrieben. Der Verbraucher entnimmt dem Wechselstromnetz mit U D 230 V,
f D 50 Hz die Wirkleistung P D 600 W. Der Leistungsfaktor ist cos.'/ D 0;8.

a) Wie groß sind Scheinleistung S und Blindleistung Q?

b) Berechnen Sie die Werte von R und L.

Lösung
a)

S D

P

D 600 W D 750 V A
cos.'/

0;8

Q D S sin.'/ D S sin.arccos.'// D 750 V A 3 D 450 var

5
b) Im Leitwertdreieck Abb. 12.9 addieren sich Wirkleitwert G und induktiver Blindleit-
wert B D 1

L
geometrisch zum Scheinleitwert Y. Der Scheinleitwert ist:

!L

Y D I I

I D

P

I

Y D

P

D 1;42 102 1

U

U cos.'/

U 2 cos.'/

356

12

Leistung im Wechselstromkreis

Aus den Winkelbeziehungen folgt:

G D Y cos.'/I

R D 1 D

1

D

1

D 88 I

G

Y cos.'/

1;42 102 1 0;8

1 D Y sin.'/

!L

L D

1

D

1

D 0;37 H

! Y sin.'/

2 50 s1 1;42 102 1 sin .arccos.0;8//

Transformatoren (Übertrager)

13

Zusammenfassung

Begonnen wird mit einfachen Berechnungen beim idealen Transformator bzw. Über-
trager ohne Verluste. Durch die Einführung der Gegeninduktivität und des Kopplungs-
faktors wird das Ersatzschaltbild des Transformators vollständiger. Aus Messungen
bei Leerlauf und Kurzschluss ergeben sich die Bedeutung spezieller Betriebsarten. Die

Betrachtung verschiedener Verlustarten und die Änderung von Parametern in Abhän-
gigkeit der Temperatur ergeben ergänzende Berechnungen.

13.1

Grundwissen – kurz und bündig

Ein Transformator beruht auf dem Prinzip magnetisch gekoppelter Spulen. Er besteht
aus Primär- und Sekundärwicklung, welche fest (Eisenkern) oder lose gekoppelt sind.

Je nach Einsatz spricht man vom Transformator (Energieübertragung) oder Übertrager

(Nachrichtentechnik).

Die Polarität der Ausgangsspannung ist vom Windungssinn der Primär- und Sekundär-
wicklung abhängig.

Für den idealen Übertrager gelten folgende Formeln:

s

U1 D N1 D

L
ü I

U1 D

1 D ü I

I1 D N2 D U2 D 1I

U2

N2

U2

L2

I2

N1

U1
ü

s

N

2

R

R D

D

1

I

1

1
ü 2 R2

R
ü D

N

2

2

R2

Beim Übertrager mit Streuung besteht zwischen der Gegeninduktivität und dem Kopp-
p
lungsfaktor die Beziehung: M D k

L

1 L2

Definition des Streufaktors:
D 1 k2 D 1 M2

L1L2

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017

357

L. Stiny, Aufgabensammlung zur Elektrotechnik und Elektronik,

DOI 10.1007/978-3-658-14381-7_13

358

13

Transformatoren (Übertrager)

Ein realer Übertrager bildet einen Bandpass, tiefe und hohe Frequenzen werden ge-
dämpft, während mittlere Frequenzen fast ungedämpft übertragen werden.

Transformatorenhauptgleichung: U D

D

1

4;44 N1 f O

B AFe, U2

4;44 N2 f O

B AFe

Transformation der sekundärseitigen Abschlussimpedanz auf die Primärseite: Z D

1
ü 2 Z2

Transformatorverluste teilt man ein in Kupferverluste (Wicklungsverluste) und Eisen-
verluste (Kernverluste).

Die Eisenverluste werden Wirbelstromverluste, Hystereseverluste und in Streuverluste
unterteilt.

Im Ersatzschaltbild des Transformators werden Kupferverluste durch ohmsche Wider-
stände in Reihe zu Primär- und Sekundärspule berücksichtigt.

Eisenverluste (Wirbelstrom-, Hysterese- und Streuverluste) werden im Ersatzschaltbild
des Transformators durch einen Widerstand RFe repräsentiert.

Das M-Ersatzschaltbild wird häufig für den verlustlosen Übertrager mit kleiner Streu-
ung eingesetzt.

Das L
-Ersatzschaltbild wird bei hohen Spannungen und großen Streuungen verwen-
det.

Im Ersatzschaltbild des Transformators werden sekundärseitige Größen häufig auf die

Primärseite umgerechnet.

Das vollständige Ersatzschaltbild des realen Transformators wird häufig benutzt. Die

Elemente dieses Ersatzschaltbildes können durch Messungen (Leerlaufversuch und

Kurzschlussversuch) bestimmt werden.

Leerlaufversuch: Messung von Eingangsstrom (Leerlaufstrom) I10 und der primärsei-
tig aufgenommenen Wirkleistung (Leerlaufwirkleistung) P10. Die gemessene Leerl-
aufwirkleistung P10 entspricht ungefähr den Eisenverlusten. Bestimmung von Eisen-
verlustwiderstand RFe und Blindwiderstand Xh der Hauptinduktivität.

Durch die Eisenverluste bedingter Strom: I D P10

Fe

.

U1N

Ersatzwiderstand RFe zur Berücksichtigung der Eisenverluste:

R D U1N D U 21N

Fe

:

IFe

P10

Blindwiderstand Xh der Hauptinduktivität:

X D

D U1N D U 21N

D U 21N D

U 21N

D

U 21N
h

! Lh

;

Xh
q
q

:

I

Q10

Q10

S2

10

P 210

.U1N I10/2 P 210

Primärinduktivität: L D U1N

1

.

!I

Leerlaufleistungsfaktor:

cos.'

D

P10

D IFe

10/ D P10

:

S

10

U1N I10

I10

13.1

Grundwissen – kurz und bündig

359

Mögliche Darstellungen der Größen mit dem Leerlaufleistungsfaktor:

R D

U1N

D

U1N

D

Fe

;

Xh

;

IFe

I
cos.'

I

10

10/;

10 cos.'10/

I10 sin.'10/

I D

D

D

I10 sin.'10/;

P10

PFe

U1N I10 cos.'10/

Kurzschlussversuch: Primärseitige Messung der Kurzschlussspannung U1K, des Kurz-
schlussstromes I

D

1N

I1K und der aufgenommenen Kurzschlusswirkleistung P1K. Be-
stimmung der Wicklungswiderstände der Drähte und der Blindwiderstände der Streuin-
duktivitäten.

Kurzschlussleistungsfaktor:

I 2
cos.'

D RK

1N D

RK

D UR D RK

1K/ D

P1K

:

U

1K I1N

U1K I1N

U1K=I1N

U1K

Z1K

Relative Kurzschlussspannung: u D U1K

K

100 %.

U1N

Kurzschlusswiderstand: R D

K

Z1K cos.'1K/.

q

Kurzschlussblindwiderstand: X D

¢

Z1K sin.'1K/ D

Z2

.

1K

R2K

Übliche Transformatorauslegungen: R D

D

D

D

1

R0
ü 2
ü 2

2

R2, X1¢

X02¢

X2¢.

Widerstand der Primärwicklung: R D RK

1

.

2

Widerstand der Sekundärwicklung: R D RK

2

.

2 ü 2

Streublindwiderstand im Primärkreis: X D X¢

1¢

.

2

Streublindwiderstand im Sekundärkreis: X D X¢

2¢

.

2 ü 2

Dauerkurzschlussstrom:

I

D U1N

D I1N

KN

;

IKN

:

Z1K
uK

Gemessene Kurzschlusswirkleistung ist näherungsweise gleich den Stromwärmever-
lusten in den Wicklungen im Nennbetrieb: P

D

D

C

1K

I 21K RK

I 21N .R1

R02/ D

U

1K I1N cos.'1K/.

Widerstand R

D

C

D P1K

K: RK

R1

R0

.

2

I 21K

Streublindwiderstand:

q

.U

1K I1K/2 P 2

1K

X D

C

¢

! .L1¢
ü 2 L2¢/ D

:

I 21K

Näherungsweise Berechnung der Spannungsänderung eines Transformators unter Be-
lastung: U 0 D U

D

1N

U 0
cos
sin

2

UR

.'2/ C UX

.'2/.

Spannungsabfall: U D U0 .

ü

Wirkungsgrad eines Transformators ist für jeden Arbeitspunkt:

D

Pab

D

Pab

P C

C

2

2
ab

PFe;U

PCu;I

P C

U

C

I
ab

PFe

P

U

Cu

1N

I1N

360

13

Transformatoren (Übertrager)

13.2

Transformator, Berechnungen und Messungen

Aufgabe 13.1

Einem Einphasen-Schweißtransformator kann ein Strom von höchstens 130 A entnommen
werden. Die Eingangswicklung hat 390, die Ausgangswicklung 75 Windungen.

Wie groß ist der Strom in der Zuleitung?

Lösung

I D N2

D 75

1

I

130 A D 25 A

N

2

1

390

Aufgabe 13.2

Ein idealer Transformator hat das Übersetzungsverhältnis ü D 20. An der Sekundärseite
ist ein ohmscher Widerstand R D

2

6 angeschlossen. Wie groß ist der Widerstand R1 an
den Eingangsklemmen des Transformators?

Lösung

R D

I

D

1
ü 2 R2

R1

2400

Aufgabe 13.3

An der Sekundärseite eines idealen Transformators ist ein ohmscher Widerstand R D

2

5 angeschlossen. Die Ausgangsspannung beträgt U D

2

10 V, der Ausgangsstrom ist

I D

2

2;0 A. Das Übersetzungsverhältnis ist ü D 10. Wie groß sind Spannung U1, Strom

I1 und Widerstand R1 an der Primärseite?

Lösung

U D

D

1
ü U2

10 10 V D 100 V

I D 1

D 1

1

I

2;0 A D 0;2 A
ü

2

10

R D U1 D 100 V D

D

D

1

500 oder R
ü 2 R

100 5 D 500

I

1

2

1

0;2 A

Aufgabe 13.4

Ein Lautsprecher mit der ohmschen Impedanz R D 4 soll an einem Verstärker mit dem

Ausgangswiderstand R D
a

2500 betrieben werden. Welches Windungsverhältnis muss
der Ausgangsübertrager des Verstärkers haben?

Lösung
r
r

N1 D Ra D 2500 D 25

N2

R

4

13.2

Transformator, Berechnungen und Messungen

361

Aufgabe 13.5

Einem idealen Transformator 230=24 V wird auf der Sekundärseite ein Strom von I D

2

5;0 A entnommen.

a) Wie groß ist der Primärstrom I1?

b) Wie groß ist die Belastung des Transformators?

c) Wie ist der Drahtquerschnitt der Primärwicklung im Verhältnis zur Sekundärwicklung
zu wählen?

Lösung
a)

I D

U2 I

D

I

D

1

I2

I

5;0 A 24 V

I

0;52 A

U

1

1

1

230 V
b) Für die Belastung eines Transformators ist die Scheinleistung S des Verbrauchers
maßgebend, weil die Größen der Ströme, die den Transformator erwärmen, von S ab-
hängen. Die Belastung wird in VA angegeben. Die übertragene Scheinleistung ist:

S D U

D

2 I2

24 V 5;0 AI

S D 120 VA
c) Der Strom auf der Primärseite ist niedrigerer als auf der Sekundärseite. Der Drahtquer-
schnitt der Primärwicklung kann deshalb im Verhältnis zur Sekundärwicklung kleiner
gewählt werden.

Aufgabe 13.6

Eine sinusförmige Spannungsquelle mit den Daten U D 10;0 V, f D 50 Hz, R D
i

100
speist die Primärseite eines idealen Übertragers mit N D

1

270 Windungen. Die Sekun-
därseite des Übertragers mit N D

2

90 Windungen ist mit einem ohmschen Widerstand

R D
a

100 abgeschlossen.

a) Wie groß ist die Ausgangsspannung U2 des Übertragers?

b) Wie groß ist der Strom Ia durch Ra auf der Sekundärseite?

c) Wie groß ist der Strom I1 auf der Primärseite?

d) Wie groß müsste Ra sein, damit Leistungsanpassung vorliegt?

e) Um wie viel Prozent ist die in R D
a

100 verbrauchte Leistung geringer als sie bei

Leistungsanpassung maximal sein könnte?

Lösung
a) Mit
ü D N1 D 270 D 3 und U D Ue D U
ü Ra

N

2

1

C

2

90
ü

Ri
ü 2 Ra
berechnet sich U2 zu:

U D

ü Ra

D

I

D

2

U1

10 V

3 100

U

3;0 V

R C

2
i
ü 2 Ra

100 C 32 100

362

13

Transformatoren (Übertrager)

b)

I D U2 D 3;0 V I

D
a

Ia

30;0 mA

Ra

100
c)

I D Ia D 30;0 mA D

1

10;0 mA
ü

3
oder I D

U1

D

10 V

D

1

10;0 mA

R C
i
ü 2 Ra

100 C 32 100
d) Für Leistungsanpassung muss der Lastwiderstand gleich dem Innenwiderstand der

Quelle sein. Als Lastwiderstand erscheint der Abschlusswiderstand Ra mit ü 2 trans-
formiert auf der Primärseite. Es muss gelten:

ü 2 R D

D Ri D 100
a

Ri. Somit: Ra

:

ü 2

32

Für R D
a

11;1 liegt Leistungsanpassung vor.

e) Die in R D
a

100 verbrauchte Leistung ist:

P D

D
a

U2 Ia

3;0 V 30;0 mA D 90 mW

Für R D
a

11;1 errechnen sich die Werte:

U D

D

2

1;66 V und Ia

150 mA:

P

D
a;max

1;66 V 0;15 A D 250 mW

P

a;max

Pa D 250 mW 90 mW D 0;64

Pa;max

250 mW

Für R D
a

100 ist die in Ra verbrauchte Leistung um 64 % niedriger als bei Leis-
tungsanpassung mit R D
a

11;1 .

Aufgabe 13.7

Zwei magnetisch gekoppelte Spulen ohne ferromagnetischem Material werden als Luft-
transformator bezeichnet. Berechnen Sie in der Schaltung in Abb. 13.1 die Ströme i1.t/
und i2.t/, Schein-, Wirk-, und Blindleistung sowie den Leistungsfaktor cos.'/ am Ein-
gang und den Wirkungsgrad .

p

Gegeben: u

D

D

D

1.t / D 10 V

2 sin.!t/, f D 50 Hz, R1

1 , R2

2 , Ra

10 ,

L D

D

1

40 mH, L2

90 mH, Kopplungsfaktor k D 1

Lösung

Es wird mit komplexen Größen gerechnet. Die Maschengleichungen ergeben:

M W

C

C

D

1

U 1

I 1 .R1
j!L1/ j!M I 2

0

M W

C

C

C

2
j!M I 1

I 2 .j!L2

R2

Ra/ D 0

13.2

Transformator, Berechnungen und Messungen

363

Abb. 13.1 Schaltung mit

Transformator

Abb. 13.2 Zur Polarität der

Gegeninduktionsspannungen

Zur Erläuterung: R1 und R2 sind die ohmschen Wicklungswiderstände der Spulen. M ist
die zwischen den Spulen bestehende Gegeninduktivität. I ruft durch M an der Sekundär-

1
wicklung die Spannung j!M I hervor, ebenso entsteht rückwirkend durch den Strom

1

I an der Primärwicklung die Spannung

. Die Polarität der Gegeninduktionss-

2
j!M I 2
pannungen zeigt die Skizze in Abb. 13.2.

Die Beziehung zwischen Gegeninduktivität M und Kopplungsfaktor k ist M D k
pL 1 L2.

Durch Einsetzen der Zahlenwerte erhält man M D 60 mH.

Die Maschengleichungen werden jetzt umgeformt und es werden Zahlenwerte einge-
setzt.

I .R C j!L

.1 C j12;57/

M W

D U 1

1

1

1/ D 10 V I 1

1 I 2
j!M
j18;85

M W

C

2 0 D j18;85 I 1

.12 C j 28;27/ I 2

)

.1 C j12;57/

0 D j18;85 I C

1

.12 C j 28;27/ 10 V I 1
j18;85

0 D j18;85 I C

C

1

.12 C j 28;27/ .0;53j 0;053j I 1

0;67I 1/ A

0 D j18;85 I C

C

1

6;36j V 0;64j I 1

8;04 I 1 14;98 V

C 1;50 I C

1

18;94j I 1

0 D 0;55j I C

1

6;36j V 14;98 V C 9;54 I 1

.9;54 0;55j / I D

1

.14;98 6;36j / V

I D 16;27 V ej 23ı I

D

1

I

1;70 A ej19;7ı D .1;6 0;57j / A

9;56 ej 3;3ı

1

Rücktransformation in den Zeitbereich ergibt:

p
i1.t/ D

2 1;70 A sin.!t 19;7ı/

364

13

Transformatoren (Übertrager)

Aus M1 mit I eingesetzt folgt:

1

I D

2

0;53j A .1;6 0;57j / A .0;053j 0;67/

I D

2

0;53j A 0;085j A C 1;07 A 0;03 A 0;38j A

I D

2

.1;04 C 0;066j / A D 1;04 A ej 3;63ı

Rücktransformation in den Zeitbereich ergibt:

p
i2.t/ D

2 1;04 A sin.!t C 3;63ı/

Am Eingang ist
die Scheinleistung: S D U I D 10 V 1;70 A D 17;0 VA,
die Wirkleistung:

P D S cos.19;7ı/ D 16;0 W,
die Blindleistung:

Q D S sin.19;7ı/ D 5;7 var,
der Leistungsfaktor: cos.'/ D cos.19;7ı/ D 0;94.

Der Wirkungsgrad ist

R

D Pab D I 22
a D .1;04 A/2 10 D 0;68

Pzu

P

16;0 W

Aufgabe 13.8

Ein Widerstand von R D 100 soll eine Leistung von P D 10 kW aufnehmen. Der Wi-
derstand wird über einen idealen Transformator an das Wechselstromnetz (230 V, 50 Hz)

angeschlossen. Wie groß ist bei einer primären Windungszahl N D

1

1000 die Windungs-
zahl N2 der Sekundärseite zu wählen?

Lösung

Der ideale Transformator ist verlustfrei. Zuerst wird die für die gegebene Leistungsauf-
nahme benötigte Sekundärspannung U 2 bestimmt.

p
p

Aus P D U 22 folgt U D

P R D

1000 W 100 D 1000 V

R

2

Die Windungszahl N2 ergibt sich aus dem Übersetzungsverhältnis.

N

1 D U1 I

U

N D N1

2 D 1000 1000 V D 4347;8

N

2

2

U2

U1

230 V

Da nur ganzzahlige Windungszahlen möglich sind, wird gerundet. N D

2

4348

13.2

Transformator, Berechnungen und Messungen

365

Aufgabe 13.9

Auf dem Typenschild eines Transformators stehen folgende Daten:

Bemessungsspannung: 6000 V/230 V

Bemessungsstrom:

3,44 A/87 A

Bemessungsleistung:

20 kVA

Frequenz:

50 Hz

Bei einem Leerlaufversuch wird der Leerlaufstrom I

D

10

0;15 A und die aufgenommene

Leerlaufwirkleistung P D

10

180 W gemessen.

Zu verifizieren ist, dass bei vernachlässigbaren Verlusten für die Scheinleistung gilt:

S D

D

N

U1N=I1N

U2N=I2N.

Zu berechnen sind: Phasenverschiebungswinkel '10, Eisenverlustwiderstand RFe,

Hauptreaktanz Xh und Hauptinduktivität Lh.

Lösung

Die primärseitige Scheinleistung ist:

S

D

D

1N

U1N I1N

6000 V 3;44 A D 20:640 VA

Die sekundärseitige Scheinleistung ist:

S

D

D

2N

U2N I2N

230 V 87 A D 20:010 VA

Beide Werte liegen nahe an der angegebenen Bemessungsleistung von S D

N

20 kVA.

cos.'

D

180 W

D

D

10/ D

P10

0;2I

'

78;46ı

U

10

1N I10

6000 V 0;15 A

R D

U1N

D

6000 V

D

Fe

200 k

I

10 cos.'10/

0;15 A 0;2

X D

U1N

D

6000 V

D
h

40;8 k

I

10 sin.'10/

0;15 A 0;9798

L D

Xh

D

40;8 k

D
h

129;9 H

2 f

2 50 s1

Aufgabe 13.10

An einem Transformator werden im Leerlauf folgende Daten gemessen:

U

D

D

D

D

1N

380 V; I10

45 mA; P10

2;3 W; U20

225 V

Zu berechnen sind: Übersetzungsverhältnis ü, Leerlaufleistungsfaktor cos.'10/, die Teil-
ströme IFe und I , die Ersatzwiderstände RFe und Xh.

366

13

Transformatoren (Übertrager)

Lösung

Der Leerlaufversuch des Transformators zur Ermittlung der Eisenverluste erfolgt bei Be-
trieb mit Nennspannung.

ü D U1N D 380 V D 1;69

U20

225 V
cos.'

D

2;3 W

D

10/ D

P10

0;135

U

1N I10

380 V 0;045 A

I D

Fe

I10 cos.'10/ D 45 mA 0;135 D 6;08 mA

I D

I10 sin.'10/ D 45 mA sin.arccos.0;135// D 44;59 mA

R D U1N D 380 V D

Fe

62;5 k

IFe

6;08 mA

X D U1N D

380 V

D
h

8522

I

44;59 mA

Aufgabe 13.11

Von einem Einphasentransformator sind folgende Daten bekannt:

Leerlaufstromverhältnis i D

0

2 %, Leerlaufleistungsfaktor cos.'10/ D 0;1.

Die Nenndaten des Transformators sind: U D

D

D

N

60=10 kV, SN

1 MVA, fN

50 Hz.

Wie groß sind der Eisenverlustwiderstand RFe und die Hauptinduktivität Lh?

Lösung

I

D SN D 1 MVA D

1N

16;6667 A

UN

60 kV
i D I10 D

D

D

D

0

0;02I I
i

I
i

I

0;02 16;6667 A D 1=3 A

I

10=2 %

0

1N

0

1B

1B

I D

10

I10=2 % 50 D 1=3 A 50 D 16;6667 A D IN

R D

U1N

D

60 kV

D

Fe

36 k

I

10 cos.'10/

16;6667 A 0;1

L D

Xh

D

U1N
h

2 f

2 f I

10 sin.'10/

D

60 kV

L D
h

11;5 H

2 50 s1 16;6667 A 0;995

Aufgabe 13.12

An dem verlustlosen Transformator in Abb. 13.3 wurde eine Leerlaufspannungsmessung
und eine Kurzschlussstrommessung durchgeführt. Gemessen wurden:

ˇˇ

ˇˇ

V

D U 2 Ď

D I 2 Ď 1

U

1 und V

L

U ˇ

IK

ˇ

1 I D

I

D

4

2

0

1 U 2 0

13.2

Transformator, Berechnungen und Messungen

367

Abb. 13.3 Verlustloser Trans-
formator

Bestimmen Sie für den Transformator die Konstante k und das Verhältnis L1=L2 der In-
duktivitäten.

Lösung

Die Transformatorgleichungen sind:

U D

C

1
j!L1I 1
j!M I 2

U D

C

2
j!M I 1
j!L2I 2

Aus der Leerlaufspannungsmessung (I D

2

0) folgt:

U D

1
j!L1I 1

U D

2
j!M I 1

Mit M 2 D k2L1L2 ergibt sich:

p
s

U 2 D j!MI1 D M D k2L1L2 D

L
k

2 (Gl. 1)

U 1
j!L1I 1

L1

L1

L1

Aus der Kurzschlussstrommessung folgt:

p

0 D j!M I C

I

D

I

D

1
j!L2I 2

M I 1

L2I 2
k2L1L2 I 1

L2I 2
p
s
k2L1L2 D I2 D L
k

1 (Gl. 2)

L2

I 1

L2

Durch Koeffizientenvergleich der vorgegebenen Messwerte und mit den Gl. 1 und 2 ergibt
sich:

s
s

L

L
k

1 D 1 (Kurzschlussmessung) und k

2 D 1 (Leerlaufmessung)

L2

4

L1
q
s
k L1

L

1

2
q

D

4 I

L1 D 1I

4L
k

1 D 1I ) k D 1
k

L2

1

L2

4

L1

2

L1

368

13

Transformatoren (Übertrager)

Abb. 13.4 Ersatzschaltung
eines Transformators

Aufgabe 13.13

Ein Transformator im Starkstromnetz sei durch die Ersatzschaltung ohne Verluste in

Abb. 13.4 hinreichend gut angenähert.

Z ist ein komplexer Widerstand. Die Spannung auf der Primärseite ist:

2
p
u

D

1.t / D 10

2 kV cos.!0 t/ mit !0

2 50 Hz:

Das Verhältnis der Windungszahlen von Primär- und Sekundärwicklung ist N1 D 40. Bei

N2
f D

D
j1

0

50 Hz ist !0 L1¢

5 . Bei sekundärem Leerlauf (jZ

) ist der Primärstrom
p

2
jI j D

1

2 A.

Bestimmen Sie die Werte der Hauptinduktivität Lh und des Streufaktors
.

Lösung

Bei sekundärem Leerlauf ist I D
durchflossen. Der komplexe

2

0 und Lh wird nur von I 1

Widerstand von L1¢ ist j!L1¢ und der von Lh ist j!Lh.

Nach der Maschenregel ist:

I

C

D

D

C

1 j! L1¢

I 1 j! Lh U 1

0I

U 1
j! L
j! Lh

I

1¢

1
j!

D

D

0 L1¢
j 5 I
j!0 Lh
j 100 Hz Lh

U 1 D j 5 C j 100 Lh D j .5 C 100 Lh/

I 1
p

Der Betrag ist: j U 1 j D

.5 C 100 L

I
h/2 2 D .5 C 100 Lh/

1
p
p

Mit jU j D
j D

1

104

2 V und jI 1

2 A folgt:

p

104

2 V
p

D .5 C 100 Lh/ oder 104 D 5 C 100 Lh

2 A

L D 104 5 D 102

1

I

D
h

Lh

31;8 H

100

20

Aus !

D

0 L1¢

5 folgt

L

D

5

D

1

1¢

H

100 Hz

20

Gleichung 1: L D 2L1¢

D Lh

1

; Gleichung 2: L

1

1
2

13.2

Transformator, Berechnungen und Messungen

369

Gleichsetzen und über Kreuz multiplizieren: 2 L

D

1¢

1

L

2
h

Nach ¢ aufgelöst:

1

D 2 L1¢ I

D

10

I

D 1

L C

1

1¢

Lh

C 102 1

103

20

20

Aufgabe 13.14

Auf dem Typenschild eines Transformators stehen folgende Daten:

Bemessungsspannung:

6000 V/230 V

Bemessungsstrom:

3,44 A/87 A

Bemessungsleistung:

20 kVA

Relative Kurzschlussspannung: u D

K

5 %

Frequenz:

50 Hz

Im Kurzschlussversuch wird die Kurzschlusswirkleistung P

D

1K

540 W gemessen.

Wie groß sind:

a) der Dauerkurzschlussstrom IKN,
b) der Phasenverschiebungswinkel '1K,
c) der Kurzschlusswiderstand RK,
d) die Kurzschlussreaktanz X¢,
e) die Kurzschlussimpedanz Z1K?

Lösung
a)

I

D I1N D 3;44 A D

KN

68;8 A
uK

0;05
b)

cos.'

D

1K/ D

P1K
mit U
uK U

U

1K

1N

1K I1N

P

540 W

'

D

1K

D

D

1K
arccos
arccos

58;5ı
u

K

U1N I1N

0;05 6000 V 3;44 A
c)

R D P1K D P1K D 540 W D

K

45;6

I 2

.3;44 A/2

1K

I 21N
d)

q
p

.U

1K I1K/2 P 2

1K

.0;05 6000 3;44/2 5402

X D

D

¢

D 74;3

I 2

3;442

1K
e)

Z

D U1K D U1K D 0;05 6000 V D

1K

87;2

I1N

I1K

3;44 A

370

13

Transformatoren (Übertrager)

Aufgabe 13.15

An einem Transformator mit der primärseitigen Bemessungsspannung U

D

1B

230 V=50 Hz
werden im Kurzschlussversuch bei dem primärseitigen Bemessungsstrom I

D

1B

0;84 A
und dem sekundärseitigen Bemessungsstrom I

D

D

2B

I2K

6;0 A die Kurzschlussspan-
nung U

D

D

1K

26;5 V und die Kurzschlusswirkleistung P1K

22 W gemessen.

Ermittelt werden sollen:

a) die relative Kurzschlussspannung uK,
b) der Kurzschlussleistungsfaktor cos.'1K/,
c) die Kurzschlussimpedanz Z1K,
d) die Kupferersatzwiderstände R D

1

R0 ,

2
e) die Kurzschlussreaktanz X¢,
f) das Übersetzungsverhältnis ü.

Lösung
a)

u D U1K D 26;5 V D

D

K

0;12I
uK

12 %

U1N

230 V
b)

cos.'

D

22 W

D

1K/ D

P1K

0;988

U

1K I1N

26;5 V 0;84 A
c)

Z

D U1K D U1K D 26;5 V D

1K

31;55

I1N

I1K

0;84 A
d)

R D

D RK D 1

1

R0
cos

2

Z

.'

2

2

1K

1K/ D 0;5 31;55 0;988 D 15;6
e)

X D

¢

Z1K sin.'1K/ D 31;55 sinŒarccos.0;988/ D 4;87
f)

ü D N2 D U2 D I2B D 6;0 A D 7;14

N1

U1

I1B

0;84 A

13.2

Transformator, Berechnungen und Messungen

371

Aufgabe 13.16

Die Kupferverluste eines Transformators wurden bei einer Temperatur von 20 ıC zu

P

D

1K;20

125 W gemessen. Welcher Wert P1K;75 ergibt sich, wenn der Messwert auf einen
betriebswarmen Zustand mit 75 ıC umgerechnet wird?

Lösung

Der Temperaturkoeffizient von Kupfer ist ˛ D

20

3;93 103 K1.

P

D

1K;75

P1K;20 Œ1 C ˛20 .75 20/ K

P

D

D

1K;75

125 W 1 C 3;93 103 1 55 K

152 W

K

Schwingkreise

14

Zusammenfassung

Zuerst werden Berechnungen beim Reihenschwingkreis mit Verlusten durchgeführt.

Der Zustand der Resonanz mit den zugehörigen Größen der Parameter wird besonders
beachtet. Die Konstruktion von Zeigerdiagrammen erhöht den Überblick und das Ver-
ständnis der Betriebsbedingungen. Die komplexe Rechnung dient hier und auch bei den
anschließenden Berechnungen beim Parallelschwingkreis mit Verlusten als Hilfsmittel
zur einfachen Schaltungsanalyse. Die Bestimmung der Resonanzfrequenz allgemeiner,
aus Widerständen, Kondensatoren und Spulen zusammengesetzter Schaltungen, rundet
das Thema ab.

14.1

Grundwissen – kurz und bündig

Bei einem Schwingkreis wird periodisch eine Energieform in eine andere Energieform
umgewandelt.

Ein elektrischer Schwingkreis besteht aus mindestens einer Induktivität und einer Ka-
pazität.

Bei Resonanz gilt bei jedem Schwingkreis:

– induktiver und kapazitiver Widerstand sind gleich groß,

– Strom und Spannung sind in Phase,

– der Resonanzwiderstand ist ein ohmscher Widerstand (Wirkwiderstand).

Thomson-Gleichung zur Berechnung der Eigenkreisfrequenz (oft als Resonanzkreis-
frequenz !

D

1
p
r bezeichnet): !0

LC

Allgemeine Ermittlung der Resonanzfrequenz einer Schaltung: Komplexen Widerstand

(oder Leitwert) berechnen, Imaginärteil null setzen und nach der Frequenz auflösen.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017

373

L. Stiny, Aufgabensammlung zur Elektrotechnik und Elektronik,

DOI 10.1007/978-3-658-14381-7_14

374

14

Schwingkreise

Reihenschwingkreis bei Resonanz (Spannungsresonanz):

– der Widerstand des Kreises ist am kleinsten und der Strom ist am größten,

– Resonanzwiderstand D Reihen-Verlustwiderstand,

– die Teilspannungen an L und C sind Q-mal größer als die angelegte Spannung.

Parallelschwingkreis bei Resonanz (Stromresonanz):

– der Widerstand ist von außen her betrachtet am größten und der zugeführte Strom
am kleinsten,

– Resonanzwiderstand D Parallel-Verlustwiderstand,

– im Kreis ist der Strom Q-mal größer als in der Zuleitung.

Die Resonanzwirkung wird umso besser, je größer die Güte Q des Kreises ist (je kleiner
die Verluste sind).

Die Bandbreite wird umso kleiner, je größer die Güte Q des Kreises ist.

Außerhalb des Resonanzzustandes ist der Widerstand jedes Schwingkreises entweder
induktiv oder kapazitiv.

Schwingkreise können als Filter verwendet werden.

Ein Bandfilter besteht aus gekoppelten Schwingkreisen derselben Resonanzfrequenz.

Beim Bandfilter hängt die Form der Resonanzkurve vom Kopplungsgrad und vom Ver-
lustwiderstand der Kreise ab.

Beim Reihenschwingkreis ist der Gütefaktor
r

L

L

Q D !0

D

1

D 1

:

R

!

0 R C

R

C

Beim Parallelschwingkreis ist der Gütefaktor
rC

Q D

R

D ! R C D R

:

!

0

0 L

L

14.2

Reihenschwingkreis mit Verlusten

Aufgabe 14.1

Ein Reihenschwingkreis besteht aus einer Spule L mit dem Wicklungswiderstand R und
einem verlustlosen Kondensator C (Abb. 14.1). Er wird bei Resonanz mit der Resonanz-
frequenz f D

0

100 kHz betrieben.

Gegeben: Strom I D

D

D

0

20 mA, Spulenspannung US

40 V, Gesamtspannung U0

4 V.

Berechnen Sie R, L und C.

Abb. 14.1 Reihenschwing-
kreis mit Verlusten bei

Resonanz

14.2

Reihenschwingkreis mit Verlusten

375

Abb. 14.2 Von Wechselstrom
durchflossener Reihenschwing-
kreis

Lösung

Im Resonanzfall ergeben die Blindwiderstände von L und C zusammen null Ohm, es bleibt
nur der ohmsche Widerstand (der Resonanzwiderstand) übrig. Die Spannung U0 liegt da-
mit an R.

U D

I

D 4 V D

R

U0

R D U0

200

I0

20 mA

Der komplexe Widerstand (die Impedanz) der Reihenschaltung aus R und L ist R C j!L.

p

Dessen Betrag ist

R2 C !2L2 und nach dem ohmschen Gesetz gleich US . Auflösen nach

I0

L:

r 2
p

US

U

2

R2

I0

R2 C !2L2 D US I

R2 C !2L2 D

S

I L D

I

L D 3;17 mH

I0

I0

!0

Thomson-Gleichung: C D

1

I C D 800 pF

!2

0

L

Aufgabe 14.2

Durch einen Reihenschwingkreis Abb. 14.2 mit L, R und C fließt ein Wechselstrom i.t/ D

O

I sin.!t/.

Gegeben: R D 100 , L D 0;2 mH, C D 10 nF, O

I D 0;1 A, ! D 106 s1.

a) Geben Sie die Amplituden O

UC, O

UL, O

UR und die Phasenwinkel 'uiC, 'uiL, 'uiR der Teil-
spannungen uC.t/, uL.t/ und uR.t/ an.

b) Berechnen Sie die von der Schaltung aufgenommene Wirkleistung P, Blindleistung Q
und Scheinleistung S.

c) Welche Ausdrücke ergeben sich für die in L bzw. C gespeicherten Energien wL.t/ und
wC.t/?

d) Wie groß sind die Maximalwerte O

WL und O

WC der in L bzw. C gespeicherten Energie?

e) Skizzieren Sie die Verläufe von wL.t/ und wC.t/.

f) Wie groß sind die Werte der Blindleistungen QL und QC der Spule bzw. des Konden-
sators?

g) Welche Energie WR wird in einer Periode im ohmschen Widerstand verbraucht?

h) Welcher Wert müsste für L gewählt werden, damit gilt wL.t/ C wC.t/ D const:, wenn
die anderen Daten unverändert bleiben?

Lösung
a)

O

U D O

D

0;1 A

D

C

I 1

10 V

!C

106 1 108 s
s

376

14

Schwingkreise

Abb. 14.3 Zeigerdiagramm
der Spannungen

Beim Kondensator eilt die Spannung dem Strom nach: '

D
uiC

90ı.

O

U D O

L

I !L D 0;1 A 106 1 0;2 103 s D 20 V
s

Bei der Spule eilt die Spannung dem Strom voraus: '

D
uiL

90ı.

O

U D O

R

I R D 0;1 A 100 D 10 V

Beim ohmschen Widerstand sind Spannung und Strom in Phase: '

D
uiR

0.

b) Der Strom i.t/ D O

I sin.!t/ wird von der Spannung u.t/ D O

U sin.!t/ hervorgerufen.

Die Scheinleistung S ist S D U I D 1 O

U O

I , da U D OU
p und I D OI
p .

2

2

2

O

U muss noch bestimmt werden. Zur Verdeutlichung wird das Zeigerdiagramm der

Spannungen gezeichnet. Dazu wird zunächst geprüft, ob die angegebene Betriebskreis-
frequenz ! D 106 s1 größer oder kleiner als die Eigenkreisfrequenz !0 des freien
ungedämpften (im Falle R D 0) Schwingers ist.

Thomson-Gleichung: ! D

1
p

D

0

7 105 s1

LC

Es ist also ! > !0, es liegt ohmsch-induktives Verhalten des Schwingkreises vor.

Da die Resonanzkreisfrequenz !r durch die Dämpfung (hier R D 100 ) sogar noch
unterhalb der Eigenkreisfrequenz !0 liegt, gilt die Aussage über das ohmsch-induktive

Verhalten auf alle Fälle.

Anmerkung: Die Resonanzkreisfrequenz !r kann nach der Formel
r

! D

1
p
r

1 R2C

LC

4L
berechnet werden.

Jetzt kann das Zeigerdiagramm der Spannungen gezeichnet werden (Abb. 14.3).

Da hier O

U D O D 1 O

R

UC

U

2

L ist, berechnet sich O

U als Hypotenuse des gleichschenkligen,
q
p
rechtwinkligen Dreiecks ABC. O

U D

O

U 2 C O D O

R

U 2R

UR

2 D 14;1 V

14.2

Reihenschwingkreis mit Verlusten

377

Abb. 14.4 Verlauf der in Spule und Kondensator gespeicherten Energie

Es folgt:

S D 1 O

U O

I D 1 14;1 V 0;1 A D 0;7 VA

2

2

Die Wirkleistung P ist P D S cos.'/. Der Winkel ' kann in unserem Fall aus dem

Zeigerdiagramm zu ' D 45ı entnommen werden:

P D 0;7 VA cos.45ı/ D 0;5 W

Die Blindleistung ist Q D S sin.'/. Q D 0;5 var
c) Die im Magnetfeld der Spule gespeicherte Energie ist wL.t/ D 1 L Œi.t/2.

2
wL.t/ D 1 L O

I 2 Œsin.!t/2

2

Die im Kondensator gespeicherte Energie ist wC.t/ D 1 C Œu

2

C.t /2.

Die Spannung am Kondensator ist gegenüber der Eingangsspannung u.t/ D O

U
sin.!t/ um 90ı phasenverschoben. Somit ist u

C.t / D O

UC cos.!t/.

2
wC .t/ D 1 C . O

U

2

C /2 Œcos.! t /
d)

O

W D 1

D 1

L

L O

I 2 D 106 JI

O

WC

C . O

UC/2 D 0;5 106 J

2

2
e) Die Verläufe von wL.t/ und wC.t/ zeigt Abb. 14.4.

f)

O

U

OI

Q D

L
p p D 20 0;1

L

UL I D
var D 1 var

2

2

2

O

U

O

C

I

Q D

p p D 10 0;1

C

UC I D
var D 0;5 var

2

2

2

378

14

Schwingkreise

Abb. 14.5 Strom durch Rei-
henschwingkreis
g)

O

U

OI

P D

R
p p D 10 V 0;1 A D

R

U I D

0;5 W

2

2

2

W D

D

R

PR T D 0;5 W

2

3;14 106 Ws

106 s1
h) Es soll sein: wL.t/ C wC.t/ D const:

w

L.t / C wC.t / D O

WL sin2.!t/ C O

WC cos2.!t/ ŠD const:

Es gilt: sin2.!t/ C cos2.!t/ D 1.

Falls O

W D O D O

L

WC

W , dann ist O

W Œsin2.!t/ C cos2.!t/ D const:

O

) 1

I 2

L O

I 2 D 1 C . O

UC/2; mit . O

UC/2 D
folgt:

2

2

!2C 2

L D

1

D

1

H D 104 H D 0;1 mH

!2C

1012 108

Aufgabe 14.3

Berechnen Sie in Abb. 14.5 mit Hilfe der komplexen Rechnung den Strom i.t/.

Gegeben: u.t/ D 24 Vsin.!t C15ı/, f D 50 Hz, R D 100 , C D 10 F, L D 1;2 H

Lösung
u.t/ ist in komplexer Darstellung O

U D 24 V ej 15ı (komplexe Amplitude).

Der komplexe Widerstand der Reihenschaltung ist:

Z D R C

1

C j!L D .100 j 318;3 C j 377/
j!C
p

Z D .100 C j 58;7/ D

1002 C 58;72 ej arctan. 58;7

100 / D 116 ej 30;4ı

O

O

U

I D

D 24 V ej15ı D 0;2 A ej15;4ı

Z

116 ej 30;4ı

Der Strom in komplexer Darstellung wird in den Zeitbereich zurücktransformiert.

i.t/ D 0;2 A sin.!t 15;4ı/

14.2

Reihenschwingkreis mit Verlusten

379

Abb. 14.6 Reihenschwing-
kreis mit zwei Widerständen

Aufgabe 14.4

Ein Schwingkreis ist wie in Abb. 14.6 gezeigt aufgebaut.

Gegeben: L D 80 mH, R D

D

L

1;15 k, C D 125 nF, RC

50

Zu bestimmen sind die Resonanzkreisfrequenz !r und der Widerstandswert Zr des

Schwingkreises bei Resonanz.

Lösung

Allgemein kann die Resonanzfrequenz einer Schaltung ermittelt werden, indem zunächst
die Impedanz oder die Admittanz der Schaltung bestimmt wird. Der Imaginärteil wird
dann gleich null gesetzt und nach ! bzw. f aufgelöst.

Durch dieses Vorgehen verschwinden die Blindwiderstände, Strom und Spannung sind
in Phase. Die Bedingung für Resonanz ist somit erfüllt.

Da es sich hier um einen Reihenschwingkreis handelt, wird dessen Impedanz bestimmt.

j!L

R

C j!L C R

C j!L/j!C

Z D RL

C 1 C R D

L!2LC C RL

C.RL

C

R C

C

L
j!L
j!C
j!C .RL
j!L/

!2LC.R C

L

RC/ C j!L C j!CRLRC

Z D RL
j!C .R C

L
j!L/

Jetzt wird mit j.R

L
j!L/ erweitert.

C R

C j!2LCR2 jR2 j.!L/2

Z D !3L2C.RL

C/ C !CR2

LRC

L

L

!C ŒR2 C

L

.!L/2

Z ist jetzt in Real- und Imaginärteil zerlegt. Der Imaginärteil ist dann null, wenn sein

Zähler null ist.

.!2LC 1/R2

L

.!L/2 D 0

Diese Gleichung wird nach ! aufgelöst. Man erhält die Resonanzkreisfrequenz !r.

! D

RL

I

D
r
q

!r

13:920 s1

R2LLC L2

Bei Resonanz existiert nur der Realteil von Z.

C R

Z D !3rL2C.RL

C/ C !rCR2

LRC D L C CRLRC D
r

606;5

!

C
rC ŒR2

CR

L

.!rL/2

L

380

14

Schwingkreise

Aufgabe 14.5

Ein Kondensator C D 2 F ist mit einer Spule L D 2;5 H in Reihe geschaltet. Die

Spule hat einen Wicklungswiderstand von R D 120 . Die Reihenschaltung ist an eine
sinusförmige Spannungsquelle U D 24 V, 50 Hz angeschlossen. Berechnen Sie
a) den Scheinwiderstand Z,
b) den Strom I,
c) den Leistungsfaktor cos.'/,
d) die Resonanzfrequenz f0,
e) den Gütefaktor Q des Reihenschwingkreises.

Lösung
a) Die Impedanz der Reihenschaltung ist

Z D R C j!L C

1

D R C j !L 1

:

j!C

!C

Der Scheinwiderstand ist der Betrag der Impedanz.

s

2
jZj D R2 C !L 1

I

!C
s

2
jZj D 1202 C 2 50 2;5

1

2 50 2 106

Z D jZj D 815
b)

I D U D 24 V D 29;5 mA

Z

815
c)

cos.'/ D R D 120 D 0;147

Z

815
d)

f D

1
p

D

1

D

0
p

HzI
f0

71;2 Hz

2 LC

2 2;5 2 106
e)

r
r

L

2;5

Q D 1

D 1

I Q D 9;3

R

C

120

2 106

Aufgabe 14.6

Ein Wechselstromrelais mit dem Wicklungswiderstand R D 20 k hat einen Ansprech-
strom von I D 4 mA. Dazu muss es an eine Spannung von U D

A

140 V, 50 Hz ange-
schlossen werden. Damit der Ansprechstrom bereits bei U D

2

100 V erreicht wird, muss
ein Kondensator in Reihe geschaltet werden. Berechnen Sie die nötige Kapazität des Kon-
densators.

14.2

Reihenschwingkreis mit Verlusten

381

Abb. 14.7 Zeigerdiagramm
verlustbehafteter Reihen-
schwingkreis

Lösung

Es wird das Zeigerdiagramm für den verlustbehafteten Reihenschwingkreis zu Hilfe ge-
nommen (Abb. 14.7).

q
p

Z D UA D 140 V D

D

A

35 kI

XL

.ZA/2 R2 D

1225 400 k D 28;7 k

IA

4 mA
p
p

Z D U2 D 100 V D 25 kI

X D

Z2 R2 D

625 400 k D 15 k

IA

4 mA

X D

C

XL

X D 28;7 k 15 k D 13;7 k

C D

1

D

1

FI

C D 232 nF

! XC

2 50 13;7 103

Aufgabe 14.7

Eine Spule mit dem Wicklungswiderstand R D 10 und der Induktivität L D 200 mH
hat die Spulengüte Q D 33;7. Welche (verlustfrei angenommene) Kapazität hat der Rei-
henschwingkreis bei Resonanz?

Lösung

Der ohmsche Widerstand in Reihe mit der idealen Spule und dem idealen Kondensator
bestimmt hier die Güte der Spule und zugleich die Güte des Reihenschwingkreises. An-
dere reelle Verlustwiderstände des Schwingkreises, z. B. ohmsche Leitungswiderstände,
dielektrische Verluste, Verluste durch den Skineffekt, könnten im Wert des Widerstandes

R einbezogen werden, der dann nicht mehr die Spulengüte, sondern die Güte des Schwing-
kreises festlegt.

q

Die Güte des Reihenschwingkreises ist Q D 1

L . Daraus folgt: C D L .

R

C

Q2R2

C D

0;2 s

D 1;8 F

33;72 .10 /2

Aufgabe 14.8

Bestimmen Sie von der Schaltung Abb. 14.8 den Ersatzwiderstand Z in der Form Z D aC
j b. Geben Sie also den Realteil a und den Imaginärteil b in Abhängigkeit von C1, C2 und

382

14

Schwingkreise

Abb. 14.8 Gesucht ist die Re-
sonanzfrequenz der Schaltung

L an. Berechnen Sie die Resonanzkreisfrequenz !r allgemein und die Resonanzfrequenz
f

D

D
r für C1

1 nF, C2

10 nF und L D 20 H.

Lösung

Die Schaltung enthält nur Blindwiderstände, der Realteil von Z muss deshalb null sein:

a D RefZg D 0.

1
j!L

Z D Z

C
k

D

1

C j!C2

D

1

C
j!L

C1

ZC2 ZL
j!C

1

1

C j!L
j!C

1 !2C
j!C

1

2L

2

!2C

C C

C C

Z D

1L C 1 !2C2L D 1 !2L.C1

2/

D j 1 !2L.C1

2/
j .!C

1

!3C1C2L/
j .!C1

!3C1C2L/

!C1

!3C1C2L

C C
b D ImfZg D 1 !2L.C1

2/

!C

1

!3C1C2L

Für !r muss gelten:

b D 0I

1 !2

C

D

1
p
r L.C1

C2/ D 0I

!r

L.C C

1

C2/
f D

1

D

1

I

D
r
p
q
fr

339;32 kHz

2 L.C C

1

C2/

2 2 105 s .109 C 108/ s

Aufgabe 14.9

Zu bestimmen ist allgemein die Resonanzkreisfrequenz !r der Schaltung Abb. 14.9.

Lösung

Z D R C Z C
k

L

ZL ZC
j!L 1

Z D R C j!L C
j!C

D R C j!L C
j!L

D R C j !L.2 !2LC /
j!L C 1

1 !2LC

1 !2LC
j!C

Abb. 14.9 Zur Bestimmung
der Resonanzkreisfrequenz

14.3

Parallelschwingkreis mit Verlusten

383

ImfZg D 0 für ! D !r:

1. Lösung: ! D
r

0, dies ist keine Resonanz.

q

2. Lösung: 2 !2

D

2
r LC D 0; !r

LC

14.3

Parallelschwingkreis mit Verlusten

Aufgabe 14.10

Ein Rundfunkempfänger ist mittels eines variablen Kondensators in einem Parallel-
schwingkreis mit Verlusten auf eine Frequenz von 100 MHz eingestellt. Die Induktivität
des Schwingkreises hat eine Größe von L D 0;1 H, die Güte der Schaltung ist Q D 100.

Bestimmen Sie die Werte für die Kapazität C und für den Verlustwiderstand R.

Lösung

Auch beim Parallelschwingkreis mit Verlusten gilt die Thomson-Gleichung zur Berech-
nung der Resonanzfrequenz.

!2 D 1 )

D

1

F D

0

C D 1

25;33 pF

LC

!2

.2 108/2 107

0 L

Q D R D !

Q L D 2 108 102 107 D 6283

!

0RC ) R D !0

0L

Aufgabe 14.11

In Abb. 14.10 liegt eine RLC-Schaltung (verlustbehafteter Parallelschwingkreis) an einer
sinusförmigen Spannungsquelle.

Gegeben: R D 3 k, L D 3 H, C D 250 nF, u.t/ D 16;97056275 V sin.1000 s1 t/
a) Wie groß ist der Effektivwert U der Spannung u.t/?

b) Wie groß ist die Impedanz Z und der induktive Blindwiderstand

L

XL der Induktivität

L bei der Kreisfrequenz ! D 1000 s1?

c) Wie groß ist die Impedanz Z und der kapazitive Blindwiderstand

C

XC der Kapazität

C bei der Kreisfrequenz ! D 1000 s1?

d) Wie groß sind die Ströme I ,

,

, j
j, j j, j j?

R I L I C

I R I L I C

Abb. 14.10 RLC-Schaltung an
sinusförmiger Spannungsquel-
le

384

14

Schwingkreise
e) Wie groß sind Betrag jI j und Winkel 'i (der Nullphasenwinkel) des komplexen Ge-
samtstromes I ? Geben Sie I in der Exponentialform an.

f) Geben Sie den zeitlichen Verlauf i.t/ des Gesamtstromes an.

g) Bestimmen Sie die Impedanz Z.!/. Wie groß ist Z.!/ bei der Kreisfrequenz ! D

1000 s1?

h) Berechnen Sie den Phasenverschiebungswinkel ' zwischen Spannung und Strom in

Grad bei der Kreisfrequenz ! D 1000 s1. Zeigt die Schaltung bei dieser Frequenz
überwiegend kapazitives oder induktives Verhalten? Bei welcher Kreisfrequenz zeigt
die Schaltung rein ohmsches Verhalten?

Lösung
a)

O

U D 16;97056275 V; bei Sinusform der Spannung gilt U D OU
p ; U D 12 V

2
b)

Z D

D

L
j!L D j 1000 s1 3 H D j 3000 I

XL

3000
c)

Z D

1

D

1

D

D

C
j 4000 I

X

4000
j!C
j 1000 s1 250 109 F

C
d)

I D 12 V D

D 12 V D

R

4 mAI

I
j 4 mAI

3 k

L
j 3 k

I D

12 V

D

C

j 3 mA
j 4 k
jI j D 12 V D
j D 12 V D
j D 12 V D

R

4 mAI
jI

4 mAI
jI

3 mA

3 k

L

3 k

C

4 k
e) Der komplexe Gesamtstrom ist die Summe der drei komplexen Teilströme (Kirch-
hoff’sches Gesetz):

I D I C

C

D

R

I L

I C

4 mA j 4 mA C j 3 mA D .4 j / mA
p
p
jI j D Re2 C Im2 D 42 C 12 mA D 4;123 mA

Der Zeiger von I liegt im 4. Quadranten.

jImj

1

' D

D

D
i
arctan
j
arctan

14;04ı

Rej

4

Exponentialform: I D 4;123 mA ej14;04ı
p
f) Allgemein ist i.t/ D O

I sin.!t C 'i/; O

I D jI j

2 D 4;123 1;414 mA D 5;83 mA

i.t/ D 5;83 mA sin 1000 s1 t 14;04ı

14.3

Parallelschwingkreis mit Verlusten

385
g) Die frequenzabhängige Impedanz Z.!/ der RLC-Parallelschaltung ist:

Z.!/ D

1

1 C j !C 1

R

!L

Der Betrag bei ! D 1000 s1 ist:

Z.!/ D

1
q

I Z.! D 1000 s1/ D 2910;4

1 C

2

!C 1

R2

!L

Probe: I D jI j 12 V

D 4;123 mA, i. O., Ergebnis wie in Teilaufgabe e)

2910;4
h) Aus Z.!/ in Teilaufgabe g) erhalten wir unter Berücksichtigung von

† Z1 D †Z †Z W ' D arctan R !C 1

Z

1

2

2

!L

' D ' D †
ui

.U ; I / D †Z D 14;04ı

Es ist ' > 0, I eilt also U nach, es liegt insgesamt induktives Verhalten vor.

Probe für den Nullphasenwinkel 'i:

In der Angabe ist kein Nullphasenwinkel der Spannung angegeben, er ist also null:

' D †
u

U D 0

Der Nullphasenwinkel des Stromes ist:

U

' D †

D †
i

I D †

U †Z D 0ı 14;04ı D 14;04ı

Z

Dieses Ergebnis stimmt mit dem Ergebnis in Teilaufgabe e) überein.

Rein ohmsches Verhalten zeigt die Schaltung bei der Resonanzkreisfrequenz:

! D

1
p

D

0

1154;7 s1

LC

Mit diesem Wert der Resonanzkreisfrequenz ist das überwiegend induktive Verhalten
bei der Kreisfrequenz ! D 1000 s1 plausibel: Ein Parallelschwingkreis verhält sich
unterhalb der Resonanzfrequenz ohmsch-induktiv und oberhalb der Resonanzfrequenz
ohmsch-kapazitiv.

Aufgabe 14.12

Ein ohmscher Widerstand, ein Kondensator und eine reale Spule sind in Abb. 14.11 par-
allel geschaltet und liegen an einer sinusförmigen Spannungsquelle U mit der Kreisfre-
quenz !.

Gegeben: R D 10 , R D

L

2;5 , C D 100 F, L D 5 mH, ! D 1000 s1

386

14

Schwingkreise

Abb. 14.11 Parallelschwing-
kreis mit zwei Widerständen
a) Berechnen Sie die Admittanz Y der realen Spule.

L
b) Konstruieren Sie den Zeiger der Gesamtadmittanz Y , verwenden Sie dabei das Ergeb-
nis aus Punkt a).

c) Berechnen Sie die Gesamtadmittanz Y und die Gesamtimpedanz Z.

Lösung
a) Die reale Spule hat die Impedanz (den komplexen Widerstand) Z D

C

L

RL
j!L. Die

Admittanz (der komplexe Leitwert) ist der Kehrwert Y D 1 der Impedanz.

L

ZL

R j!L
j!L

Y D

1

D

1

L

D RL

L

R C

C

L
j!L

RL
j!L RL
j!L

R2 C

L

.!L/2

D

1

.0;080 0;160j /

D .80 160j / mS

Zähler und Nenner der Admittanz werden mit dem konjugiert komplexen Wert des

Nenners multipliziert. Die Admittanz Y erhält man so als komplexe Größe in Kom-

L
ponentenform.

Oft ist das Erweitern mit dem konjugiert komplexen Nenner aufwendig. Es ist ver-
meidbar durch die Nutzung der Exponentialform (auch als Polarform bezeichnet). Man
erinnere sich an folgende Zusammenhänge bei komplexen Zahlen.

p

b
z D a C jbI
jzj D a2 C b2I ' D arctan

I z D jzj ej'I
a
z
j j

1 D z1 ej.'1'2/
z
j j

2
z2

Hier ist:

Y D

1

D

1
q
ej arctan. !L

R / D

1
ej63;4ı

L

R C

L
j!L

R2 C

5;59

L

.!L/2

Mit dem Euler’schen Satz cos.'/ C j sin.'/ D ej' wird die Exponentialform in die

Komponentenform gewandelt.

1

Y D 1

D

L

Œcos.63;4ı/ C j sin.63;4ı/

.0;080 j 0;160/ S

5;59

14.3

Parallelschwingkreis mit Verlusten

387

Abb. 14.12 Konstruktion des Zeigers der Gesamtadmittanz
b) Die Admittanz des Widerstandes R ist G D G D 1 D 0;1 S D 100 mS. Dieser

R

Wirkleitwert ist ein reeller Wert. Die Impedanz des Kondensators ist Z

D

1 .

C
j!C

Die Admittanz des Kondensators ist der Kehrwert der Impedanz: Y

D

C
j!C D j

100 mS.

Nachdem alle komplexen Leitwerte berechnet sind, kann das Zeigerdiagramm des
komplexen Leitwertes der gesamten Parallelschaltung gezeichnet werden (Abb. 14.12).

Zunächst werden alle drei Zeiger Y ,
in die komplexe Leitwertebene (Be-

L G und Y C
maßung in Milli-Siemens) eingetragen (Diagramm 1). Anschließend werden die drei

Zeiger geometrisch addiert (Diagramm 2).

Der resultierende Zeiger hat den Wert Y D .180 60j / mS.

c) Der Gesamtleitwert ist:

Y D Y C

D

L

G C Y C

.80 160j / mS C 100 mS C 100j mS D .180 60j / mS

Dieses Ergebnis stimmt mit dem Zeigerdiagramm überein.

Die Gesamtimpedanz Z ist der Kehrwert der Gesamtadmittanz Y .

Z D

1

D

1

.180 C 60j / mS D .180 C 60j / mS

.180 60j / mS

.180 60j / mS .180 C 60j / mS

.1802 C 602/ mS2

Z D .5 C 1;67j /

388

14

Schwingkreise

Abb. 14.13 Ein RLC-

Schwingkreis

Aufgabe 14.13

Ein Schwingkreis besteht aus den in Abb. 14.13 gezeigten Bauelementen.

Gegeben: C D 1 F, R D

D

1

2 , L D 10 mH, R2

1;5 k

Wie groß ist die Resonanzkreisfrequenz !0 und wie groß ist der Leitwert Y0 des

Schwingkreises bei Resonanz?

Lösung

Die Resonanzfrequenz einer Schaltung wird ermittelt, indem die Impedanz oder die Ad-
mittanz der Schaltung bestimmt wird. Der Imaginärteil wird gleich null gesetzt und nach

! bzw. f aufgelöst.

Da es sich um einen Parallelschwingkreis mit parallel geschalteten Bauteilen handelt,
wird die Admittanz bestimmt.

Y D 1 C

1

C

1

D 1 C 1 C
j!C

R2
j!L

R C 1

1

R
j!L

1 C j!R
j!C

2

1C

Es wird jeweils mit dem konjugiert komplexen Wert des Nenners erweitert.

1

Y D 1 j

C j!C C !2R1C 2

R2

!L

1 C !2R21C 2

Jetzt werden Real- und Imaginärteil getrennt.

!C

Y D 1 C

!2R1C 2

C j

1

R2

1 C !2R2

!L

1C 2

1 C !2R21C 2

Der Imaginärteil wird auf Hauptnenner gebracht und der Zähler gleich null gesetzt, dann
ist der Imaginärteil gleich null.

s

1

ImfY g D !2

D

I

D

0 LC !2

0 R2

1 C 2 1 D 0I

!0

!

10:002 s1

LC R2

0

1 C 2

Der Leitwert des Schwingkreises bei Resonanz ist der Realteil der Admittanz.

Y D 1 C

!2R1C 2 I

D

0

Y

0;86 mS

R

0

2

1 C !2R21C 2

14.3

Parallelschwingkreis mit Verlusten

389

Abb. 14.14 Die Resonanz-
kreisfrequenz der Schaltung ist
allgemein zu berechnen

Aufgabe 14.14

Berechnen Sie allgemein die Resonanzkreisfrequenz !0 des Zweipols in Abb. 14.14.

Lösung

Bei der Resonanzfrequenz !0 ist ImfZg D 0 bzw. ImfY g D 0.

Teilschaltung: Y D

1

C

1
j!C

RLCj!L

R1 und R2 tragen nichts zum Imaginärteil von Y und damit von

1

Y bei, sie haben
keinen Einfluss auf die Resonanzfrequenz. Die Resonanzbedingung ist deshalb:

1

R

L
j!L

Im

C j!C D 0 ) Im

C j!C D 0I

R C

L
j!L

R2 C

L

!2L2

!0L

C !

R2 C

0C D 0

L

!20L2

!

C

D

C

0L C !0CR2

L

CL2!30

0I

!0 .CL2!20

CR2L

L/ D 0

! D

0

0 ist keine Resonanz im eigentlichen Sinne. Der Klammerausdruck wird null ge-
setzt.

r L

!2 D L CR2L I

D 1

0

!

R2

CL2

0

L

C

L

Alternative Lösung

Teilschaltung:

Z D

C

1

.RL
j!L/ k C

.R C

L
j!L/ 1

C j!L

Z D
j!C D

RL

1

R C

L
j!L C 1

1 !2LC C j!R
j!C

LC

C

D .RL
j!L/ .1 !2LC C j!RLC /

.1 !2LC /2 C .!RLC /2

!2LRLC C !2LRLC

!L !3L2C !R2

Z D RL

C

LC

1
j

.1 !2LC /2 C .!RLC /2

.1 !2LC /2 C .!RLC /2

!.L R2

Z D

RL

C

LC !2L2C /

1
j

.1 !2LC /2 C .!RLC /2

.1 !2LC /2 C .!RLC /2

390

14

Schwingkreise

Abb. 14.15 Zu bestimmen
sind die Admittanz und die

Resonanzkreisfrequenz

Die Addition R C

C

1

Z verändert den Imaginärteil von
nicht. Die Addition 1

1

Z1

R2

1 verändert den Imaginärteil von 1 nicht. Die Widerstände R

Z

1 und R2 haben keinen

1

Z1

Einfluss auf die Resonanzfrequenz.

! D

0

0 ist keine Lösung (keine Resonanz).

s
r

L R2

L

L !2

D

LC D 1

0 L2C R2

LC D 0I

!0

R2

L2C

L

C

L

Aufgabe 14.15

Berechnen Sie allgemein die Admittanz Y der Schaltung in Abb. 14.15 in der Form Y D

RefY g C j ImfY g. Bestimmen Sie dann die allgemein die Resonanzkreisfrequenz !r der

Schaltung.

Lösung

Y D

1

C 1 C j!C D 1 C j!C C

2
j! L C R

R

R

2R C j!L

2

D 1 C j!C C

2.2R j!L/

R

.2R C j!L/.2R j!L/

!2L

Y D 1 C j!C C 2.2R j!L/ D 1 C j!C C

4R
j

R

4R2 C !2L2

R

4R2 C !2L2

4R2 C !2L2

!4R2C C !3L2C !2L

Y D 1 C

4R

C j

R

4R2 C !2L2

4R2 C !2L2

Bei Resonanz ist der Imaginärteil null.

!r4R2C C !3rL2C !r2L D 0I

!r4R2C C !3rL2C !r2L D !r.4R2C 2L C !3rL2C / D 0

! D
r

0 ist keine Lösung (keine Resonanz). Die negative Lösung der quadratischen Glei-
chung ist physikalisch sinnlos, negative Frequenzen gibt es nicht.

r2L 4R2C

!2

D
r L2C D 2L 4R2C I

!r

L2C

Mehrphasensysteme, Drehstrom

15

Zusammenfassung

Begonnen wird mit der Sternschaltung eines dreiphasigen Drehstromverbrauchers mit

Mittelleiter am Dreiphasennetz. Mit der komplexen Rechnung werden die Außenleiter-
ströme und der Mittelleiterstrom bestimmt. Fortgesetzt werden die Berechnungen bei
der Sternschaltung des Verbrauchers ohne Mittelleiter für unsymmetrische und sym-
metrische Drehstromverbraucher. Für die Dreieckschaltung des Verbrauchers werden

Außenleiterströme, Strangströme und Strangspannungen sowie Strangimpedanzen be-
rechnet. Es folgen Berechnungen zur Leistung bei Drehstrom in Sternschaltung und
in Dreieckschaltung. Für die Blindleistungskompensation werden notwendige Kapazi-
tätswerte bestimmt.

15.1

Grundwissen – kurz und bündig

Eine einfache Versorgung eines Verbrauchers mit elektrischer Energie erfolgt mit dem

Einphasen-Wechselstromnetz ( Einphasennetz). Dieses Netz hat bezüglich der Energie-
übertragung erhebliche Nachteile gegenüber einem Mehrphasennetz.

In einem offenen Mehrphasensystem werden die Stränge des Generators ohne Bezug
zueinander wie einzelne Wechselspannungsquellen mit verschiedenen Phasenlagen be-
trachtet (nichtverkettetes Mehrphasensystem). In einem verketteten Mehrphasensystem
sind die Phasenwicklungen des Generators miteinander verbunden (z. B. in Sternschal-
tung oder in Ringschaltung). Die Verbraucher können ebenfalls entweder in Sternschal-
tung oder in Ringschaltung geschaltet sein.

Das wichtigste Mehrphasensystem ist das Drehstromnetz.

In einem Drehstromgenerator sind drei Spulen im Winkel von 120ı versetzt angebracht.

Dadurch sind die drei erzeugten Spannungen um je 120ı gegeneinander phasenverscho-
ben.

Ein Drehstromgenerator kann in Stern oder in Dreieck geschaltet werden.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017

391

L. Stiny, Aufgabensammlung zur Elektrotechnik und Elektronik,

DOI 10.1007/978-3-658-14381-7_15

392

15

Mehrphasensysteme, Drehstrom

Man unterscheidet zwischen den Außenleitern (Phasen) und den Strängen. Die Verbin-
dungsleiter der Außenpunkte des Generators und der Außenpunkte des Verbrauchers
nennt man Außenleiter (L1, L2, L3). Als Strang wird die in einer Strombahn liegende
einzelne Energiequelle bzw. der einzelne Verbraucher bezeichnet.

Es gibt Drei- und Vierleitersysteme.

Im Drehstromnetz sind die Strangspannungen: U D

D

D

1

U , U 2

U ej 120ı , U 3

U ej 240ı.

Drehstromgenerator in Sternschaltung:

p

Außenleiterspannungen D

3 Strangspannungen.

Drehstromgenerator in Dreieckschaltung: Außenleiterspannungen D Strangspannun-
gen.

Ein Drehstromverbraucher kann in Stern (mit oder ohne Mittelleiter) oder in Dreieck
geschaltet werden.

Verbraucher in Sternschaltung: Leiterströme D Strangströme, Außenleiterspannung D
p3 Strangspannung.

Verbraucher in Sternschaltung mit Mittelleiter

Spannungen an den Verbraucherwiderständen:

U D

D

D

1

U;

U 2

U ej 120ı;

U 3

U ej 240ı D U eCj 120ı

Außenleiterströme: I D U 1 ;

D U2 ;

D U3

1

I

I

Z

2

3

1

Z2

Z3

Mittelleiterstrom: I D

C

C

N

I 1

I 2

I 3

Symmetrische Belastung: I D

C

C

D

N

I 1

I 2

I 3

0, der Mittelleiter kann entfallen.

Verbraucher in Sternschaltung ohne Mittelleiter

Außenleiterströme:

I D

I

D

I

D

1

.U 1 U N/ Y 1

I 2

.U 2 U N/ Y 2

I3

.U 3 U N/ Y 3

Spannung des Drehstromverbraucher-Sternpunktes:

Y C U Y C U Y

U D U 1

1

2

2

3

3

N

Y C

C

1

Y 2

Y 3
mit U D

D

D

1

U;

U 2

U ej 120ı;

U 3

U ej 240ı D U eCj 120ı

Strom in jedem Außenleiter bei symmetrischer Belastung:

U Strang

I D

D U Leiter
p

Z

3 Z

Verbraucher in Dreieckschaltung

Außenleiterspannung D Strangspannung

Strangströme:

I

D U 12 I

D U 23 I

D U 31

12

I

I

Z

23

31

1

Z2

Z3

15.1

Grundwissen – kurz und bündig

393

Außenleiterströme:

I D

I

D

I

D

I

C

C

D

1

I 12 I 31

I 2

I 23 I 12

I 3

I 31 I 23

I 1

I 2

I 3

0
p

Symmetrische Belastung: I

D

Leiter

3 IStrang

Strangströme und Leiterströme sind bei symmetrischer Belastung gleich groß:

I

D

D

D

D

D

D

12

I 23

I 31

I Strang;

I 1

I 2

I 3

I Leiter

Unabhängig von der Art der Schaltung (Stern oder Dreieck) ist die gesamte Drehstrom-

Wirk-, Schein- und Blindleistung bei symmetrischer Belastung:

p

P D

3 U I cos.'/ D S cos.'/
p
p

S D

3 U I D

P 2 C Q2
p

Q D

3 U I sin.'/ D S sin.'/

U D Effektivwert der Außenleiterspannung, I D Effektivwert des Außenleiterstro-
mes,

' D ' D

D
ui

'u

'i

Phasenwinkel zwischen Strang spannung und Strang strom (!)

In Dreieckschaltung ist die Leistungsaufnahme dreimal größer als in Sternschaltung.

P D

D

D

3 PY;

S

3 SY;

Q

3 QY

Im symmetrischen Drehstromsystem ist die Momentanleistung des Gesamtsystems
konstant.

Drehstrom-Niederspannungsnetz des europäischen Verbundnetzes

Betrieb einphasiger Verbraucher mit den Strangspannungen (Effektivwerte):

U D

D

D

D

D

1

U2

U3

U D UY

UStr

230 V:

Betrieb dreiphasiger Verbraucher mit den Leiterspannungen (Effektivwerte):

p

U D

D

D

D

D

12

U23

U31

3 U D U

UL

400 V:

Wert einer Kompensationskapazität bei symmetrischer Sternschaltung des Verbrau-
chers bei Sternschaltung der drei Kondensatoren:

Œtan.'/ tan.'0/

P Œtan.'/ tan.'0/

C D PStrang

D 3

Y

! U 2

2

Strang

! UL
p3

D P Œtan.'/ tan.'0/

! U 2L

394

15

Mehrphasensysteme, Drehstrom

P

D

Strang

Strangwirkleistung

U

D

Strang

Strangspannung

P D Gesamtwirkleistung

U D

L

Außenleiterspannung

' D Phasenverschiebungswinkel zwischen Strangspannung und Strangstrom ohne

Kompensation

'0 D Phasenverschiebungswinkel zwischen Strangspannung und Strangstrom mit

Kompensation

Blindleistungskompensation bei Dreieckschaltung der Kondensatoren: Für ihre Kapa-
zität ist nur ein Drittel des Wertes bei Sternschaltung der Kondensatoren erforderlich.

C D 1

CY

3

Ein Wattmeter hat einen Strommesspfad und einen Spannungsmesspfad.

Die Aron-Schaltung dient zur Messung der Wirkleistung eines Drehstromverbrauchers
mit zwei Leistungsmessern.

15.2

Sternschaltung des Verbrauchers mit Mittelleiter

Aufgabe 15.1

Ein dreiphasiger Drehstromverbraucher ist an einem 230/400 Volt Dreiphasennetz in

Sternschaltung mit Mittelleiter angeschlossen (Abb. 15.1). Es fließen folgende Ströme:

I

D

D

D

L1

320 A ej 20ı;

I L2

150 A ej 10ı;

I L3

400 A ej 30ı:

Die Winkel der Ströme sind auf die jeweilige Sternspannung bezogen.

Wie groß ist der Strom I im Mittelleiter?

N

Lösung

Die Winkel der Ströme werden auf die Sternspannung U
bezogen.

L1N

I

D

L1N

320 A ej 20ı D 320 A Œcos.20ı/ j sin.20ı/ D 300;7 A j109;5 A

I

D

L2N

150 A ej .10ı120ı/ D 150 A Œcos.110ı/ j sin.110ı/ D 51;3 A j141 A

I

D

L3N

400 A ej.30ı240ı/ D 400 A Œcos.270ı/ j sin.270ı/ D 0 A C j 400 A

Real- und Imaginärteile der Ströme werden addiert.

I D

N

249;4 A C j149;5 A

15.2

Sternschaltung des Verbrauchers mit Mittelleiter

395

Abb. 15.1 Sternschaltung mit

Mittelleiter

Aufgabe 15.2

An ein 400 V/230 V-Drehstromnetz (Vierleitersystem, Last in Sternschaltung mit Mittel-
leiter) ist ein unsymmetrischer Verbraucher nach Abb. 15.2 angeschlossen. Zu bestimmen
sind die komplexen Außenleiterströme I ,

,
und der komplexe Mittelleiterstrom

1 I 2 I 3

I N
in Exponentialform. Für die Bauelemente gelten folgende Werte: R D

D

1

330 , R2

220 , R D

3

150 , L D 0;8 H, C D 9;0 F.

Lösung

An den komplexen Widerständen der Stränge liegen die Spannungen:

U D

1

230 V

U D

2

230 V ej 120ı

U D

3

230 V ej 240ı D 230 V eCj 120ı

Die Strangwiderstände sind:

Z D

D

1

R1

330

Z D

C

2

R2
j!L D .220 C j 2 50 0;8/ D 334;0 ej arctan. 80

220 /

D 334;0 ej48;8ı

Z D

C 1

D

3

R3

150 C

1

D .150 j 353;7/
j!C
j 2 50 9;0 106

Z D

3

384;2 ej arctan. 353;7

150 / D 384;2 ej 67ı

Abb. 15.2 Beispiel für ei-
ne unsymmetrische Last in

Sternschaltung mit angeschlos-
senem Mittelleiter

396

15

Mehrphasensysteme, Drehstrom

Die Außenleiterströme sind:

I D U 1 D 230 V D

1

0;7 AI

Z1

330

I D U 2 D 230 V ej 120ı D

2

0;69 A ej 168;8ı D 0;69 A ej 191;2ı

Z2

334;0 ej 48;8ı

I D U 3 D 230 V ej 120ı D

D

C

C

3

0;6 A ej 187ıI

I

I

I

I

Z

N

1

2

3

3

384;2 ej 67ı

I D

N

.0;57 j 0;2/ A D 0;6 A ej 160;1ı D 0;6 A ej 199;9ı

Aufgabe 15.3

Bei einem Vierleiter-Drehstromnetz mit der Außenleiterspannung U D 400 V sind zwei
einphasige Verbraucher angeschlossen. Der induktive Verbraucher an L1 N nimmt bei
dem Leistungsfaktor cos.'

D

1/ D 0;82 die Wirkleistung P1

2;0 kW auf. Der kapazitive

Verbraucher an L2N nimmt bei cos.'

D

2/ D 0;76 die Wirkleistung P2

1;8 kW auf. Wie
groß sind die Außenleiterströme I1 und I2? Welchen Wert hat der Neutralleiterstrom IN?

Lösung

Am Verbraucher 1 liegt die Sternspannung U D

1

230 V. Am Verbraucher 2 liegt die Stern-
spannung U D

2

230 V ej 120ı. Der von Verbraucher 1 aufgenommene und in Leiter 1
fließende Strom ist somit:

I D

P1

D

2;0 kW

D

1

10;6 A

U

1 cos.'1/

230 V 0;82

Der durch Verbraucher 2 und in Leiter 2 fließende Strom ist:

I D

P2

D

1;8 kW

D

2

10;3 A

U

2 cos.'2/

230 V 0;76

I eilt der Spannung
nach (der Verbraucher ist induktiv), und zwar um arccos

1

U 1

.0;82/ D

34;9ı.

Der Winkel von U ist null. Der Winkel von
ist somit

D

1

I 1

'i1

34;9ı.

I
eilt der Spannung
voraus (der Verbraucher ist kapazitiv), und zwar um

2

U 2
arccos.0;76/ D 40;5ı.

Der Winkel von U ist
ist somit

D

2

120ı. Der Winkel von I 2

'i2

120ı C 40;5ı D

79;5ı.

In komplexer Schreibweise sind die beiden Ströme:

I D

1

10;6 A .cos.34;9ı/ C j sin.34;9ı// D .8;69 j 6;07/ A

I D

1

10;3 A .cos.79;5ı/ C j sin.79;5ı// D .1;88 j 10;13/ A
p

I D

C

D

D

D

N

I 1

I 2

.10;57 j 16;20/ AI

IN

10;572 C 16;22 AI

IN

19;3 A

15.3

Sternschaltung des Verbrauchers ohne Mittelleiter

397

15.3

Sternschaltung des Verbrauchers ohne Mittelleiter

Aufgabe 15.4

Bei einem Dreileitersystem (Drehstromnetz ohne Mittelleiter) mit der Außenleiterspan-
nung U D 400 V sind drei Verbraucherwiderstände R D

D

1

270 , R2

220 und

R D

3

470 in Sternschaltung angeschlossen (Abb. 15.3). Zu bestimmen sind die Außen-
leiterströme I1, I2, I3.

Lösung

Die Leitwerte der Verbraucherwiderstände sind:

Y D 1 D

D 1 D

D 1 D

1

3;70 mSI

Y

4;55 mSI

Y

2;13 mS

R

2

3

1

R2

R3

Die Strangspannungen sind mit U D 230 V:

U D

1

U ej 0ı D U

U D

2

U ej120ı

U D

3

U ej 240ı D U eCj120ı

Die Spannung UN ist:

Y C U Y C U Y

U D U 1

1

2

2

3

3

N

Y C

C

1

Y 2

Y 3

3;70 mS C ej120ı 4;55 mS C ej 240ı 2;13 mS

U D 230 V

N

10;38 mS

U D

N

.7;98 j 46;44/ V

Die Außenleiterströme sind:

I D

1

.U 1 U N/ Y 1

I D

2

.U 2 U N/ Y 2

I D

3

.U 3 U N/ Y 3

I D

D

1

Œ230 V .7;98 j 46;44/ V 3;70 mSI

I1

0;84 A

Abb. 15.3 Unsymmetrischer

Drehstromverbraucher in

Sternschaltung ohne Mittel-
leiter

398

15

Mehrphasensysteme, Drehstrom

Abb. 15.4 Symmetrischer

Drehstromverbraucher in

Sternschaltung ohne Mittel-
leiter

I D

2

Œ230 V .cos.120ı/ C j sin.120ı// .7;98 j 46;44/ V 4;55 mSI

I D

2

0;89 A

I D

3

Œ230 V .cos.240ı/ C j sin.240ı// .7;98 j 46;44/ V 2;13 mSI

I D

3

0;59 A

Aufgabe 15.5

Bei einem Dreileitersystem (Drehstromnetz ohne Mittelleiter) mit der Außenleiterspan-
nung U D 400 V sind drei Verbraucherwiderstände mit R D 60 , L D 0;25 H in

Sternschaltung nach Abb. 15.4 angeschlossen. Zu bestimmen sind die Außenleiterströme

I1, I2, I3.

Lösung

Die Impedanz eines Stranges ist:

Z D R C j!L D .60 C j 2 50 0;25/ D .60 C j 78;54/
p

Der Betrag ist Z D

602 C 78;542 D 98;84 .

Bei symmetrischer Belastung ist der Strom in jedem Außenleiter:

U Strang

I D

D U Leiter
p

I

I D I D I D 400 V
p

D 2;34 A

Z

1

2

3

3 Z

3 Z

15.4

Dreieckschaltung des Verbrauchers

Aufgabe 15.6

An einem Drehstromnetz mit der Außenleiterspannung U D 400 V sind symmetrische

Verbraucher mit R D 4 und X D

L

3 angeschlossen (Abb. 15.5).

a) Wie groß sind die Beträge der Ströme in jedem Strang?

b) Wie groß sind die Beträge der Ströme in den Zuleitungen?

c) Welche Wirkleistung wird dem in Dreieck geschalteten Verbraucher zugeführt?

d) Wie groß ist der Leistungsfaktor cos.'/?

15.4

Dreieckschaltung des Verbrauchers

399

Abb. 15.5 Symmetrische Ver-
braucher

Lösung
a) An jedem Strang liegt die verkettete Spannung (Außenleiterspannung) U D 400 V.

Die Ströme in den Strängen sind gleich groß, da die Belastung symmetrisch ist. Ein

Strang hat den komplexen Widerstand Z D R C jXL.

I

D

400 V

D

Strang
q

80 A

R2 C X2L
b) Bei einem Drehstromverbraucher in Dreieckschaltung gilt für die Außenleiterströme
p
bei symmetrischer Belastung: I

D

D

Leiter

3 IStrang; LLeiter

1;732 80 A D 138;6 A
c) Wirkleistung verbrauchen nur die ohmschen Widerstände.

P D 3 R I 2

D

Strang

76;8 kW
d) Der Leistungsfaktor ergibt sich aus dem Verhältnis von Wirkleistung zu Scheinleistung
bzw. aus dem Verhältnis von Wirkwiderstand zu Scheinwiderstand.

cos.'/ D

R
q

D 0;8

R2 C X2L

Aufgabe 15.7

Ein in Dreieck geschalteter symmetrischer Verbraucher hat in jedem Strang eine Reihen-
schaltung eines Widerstandes R D 500 und eines Kondensators C D 10 F. Das Netz
liefert eine sinusförmige Wechselspannung 400 V, 50 Hz.

Berechnen Sie
a) den Blindwiderstand XC des Kondensators,
b) den Scheinwiderstand Z der RC-Reihenschaltung,
c) die Strangspannung UStr,
d) die drei Strangströme IStr1, IStr2, IStr3,
e) die drei Außenleiterströme IL1, IL2, IL3.

400

15

Mehrphasensysteme, Drehstrom

Abb. 15.6 Drehstromverbrau-
cher in Dreieckschaltung

Lösung
a) Der Blindwiderstand des Kondensators ist: X D 1 D

C

318;3

!C
p
b) Der Scheinwiderstand der RC-Reihenschaltung ist: Z D

318;32 C 5002 D

592;7
c) Die Strangspannung ist gegeben: U

D

Str

400 V
d) Da die Belastung symmetrisch ist, haben die drei Strangströme den gleichen Betrag:

I

D

D

D

D 400 V D

Str1

IStr2

IStr3

IStr

675 mA

592;7
p
e) Die drei Außenleiterströme sind ebenfalls gleich groß: I D

D

L

3 IStr

1;17 A

Aufgabe 15.8

Die nach Abb. 15.6 in Dreieck geschalteten Impedanzen sind ohmsch-induktive Verbrau-
cher. Es gilt:

Z D

D

D

1

Z2

Z3

R C j!L mit R D 160 , L D 0;4 H. Das Drehstromnetz hat die

Außenleiterspannung U D 400 V.

a) Wie groß sind die Außenleiterströme I1, I2, I3?

b) Wie groß ist der Leistungsfaktor cos.'/ der Schaltung?

Lösung
a) Die gegebene Dreieckschaltung ist ein symmetrischer Drehstromverbraucher. Sowohl
die Strangströme als auch die Leiterströme sind gleich groß.

I

D

D

D

I

D

D

D

12

I 23

I 31

I Str

I 1

I 2

I 3

I L

Es genügt, nur einen der drei Stränge zu betrachten. Jeder Strang hat die Impedanz:

Z D R C j!L D .160 C j 2 50 0;4/ D .160 C j 125;66/
p

Der Betrag jeder Strangimpedanz ist: Z D

1602 C 125;662 D 203;5 .

Die Außenleiterspannung ist gleich der Strangspannung. In jedem Strang fließt der

Strom:

I

D 400 V D

Str

1;966 A

203;5

15.5

Leistung bei Drehstrom

401

Bei symmetrischer Last gilt für die Ströme bei der Dreieckschaltung:

p

I D

L

3 IStr

Somit sind die Außenleiterströme: I D

D

D

1

I2

I3

3;41 A
b) Wir wählen die Außenleiterspannung U
mit dem Betrag

D

12

U12

400 V als Bezugs-
größe und setzen sie reell an. Der komplexe Strangstrom ist:

I

D U 12 D

400 V

D

Str

.1;546 j 1;214/ A D 1;97 A ej 38;1ı

Z

.160 C j 125;66/

Der Leistungsfaktor der Schaltung ist: cos.'/ D cos.38;1ı/ D 0;78

Der Leistungsfaktor kann auch aus dem Verhältnis von Wirkleistung zu Scheinleistung
bzw. aus dem Verhältnis von Wirkwiderstand zu Scheinwiderstand berechnet werden.

cos.'/ D

R
q

D

160
p

D 0;78

R2 C X2

.160 /2 C .125;66 /2

L

15.5

Leistung bei Drehstrom

Aufgabe 15.9

Ein Drehstrommotor besitzt den Leistungsfaktor cos.'/ D 0;85. Wird er an das 400 V/

230 V-Netz in Sternschaltung angeschlossen, so fließt in jedem Leiter ein Strom von I D

9;5 A.

Wie groß sind Scheinleistung S, Wirkleistung P und Blindleistung Q?

Lösung
p
p

S D

3 U I I

S D

3 400 V 9;5 AI

S D 6582 VA
p

P D

3 U I cos.'/ D S cos.'/I

P D 5595 W
p

Q D

3 U I sin.'/ D S sin.arccos.0;85//I

Q D 3467 var

Aufgabe 15.10

Ein Elektroherd enthält drei ohmsche Widerstände mit je 50 . Welche Leistung nimmt
der Herd aus dem 400 V/230 V-Netz in Sternschaltung und in Dreieckschaltung auf?

Lösung

Sternschaltung

In Sternschaltung ist die Strangspannung

U

D UL
p D 400 V
p

D

Str

230 V:

3

3

402

15

Mehrphasensysteme, Drehstrom

Abb. 15.7 Blindleis-
tungskompensation eines

Drehstrommotors

Der Strangstrom ist gleich dem Leiterstrom

I

D

D UStr D 230 V D

Str

IL

4;6 A:

R

50

Die Leistung in einem Strang ist:

P

D

D

Str

UStr IStr

230 V 4;6 A D 1058 W:

Die Gesamtleistung ist:

P D

I

D

Y

3 PStr

PY

3174 W

Dreieckschaltung

In Dreieckschaltung ist die Strangspannung gleich der Leiterspannung: U

D

D

Str

UL

400 V.

Der Strangstrom beträgt I

D UL D 400 V D

Str

8 A.

R

50

Die Leistung in einem Strang ist: P

D

Str

400 V 8 A D 3200 W.

Die Gesamtleistung ist: P D

D

D

3 PStr

3 3200 W; P

9600 W

Aufgabe 15.11

Im 400 V/230 V-Netz soll die Blindleistungsaufnahme eines Drehstrommotors von

Q

D
ind

820 var mit in Stern bzw. in Dreieck geschalteten Kondensatoren (Abb. 15.7)

vollständig kompensiert werden. Welchen Wert müssen die Kondensatoren jeweils haben?

Lösung

Für eine vollständige Blindstrom- bzw. Blindleistungskompensation muss gelten: Q

D
ind

Qkap. Die kapazitive Blindleistung der in Stern bzw. in Dreieck geschalteten Kondensa-
toren muss gleich der gesamten induktiven Blindleistung sein. Der Drehstrommotor stellt
einen symmetrischen Verbraucher dar, die gesamte Leistung verteilt sich gleichmäßig auf
die drei Stränge: Q

D Qind

Str

.

3

Die kapazitive Blindleistung ist:

Q D U 2C D

C

! C U 2

X

C :

C

15.5

Leistung bei Drehstrom

403

Daraus folgt: C D QC mit U D Spannung am Kondensator. Es ist U D U

D 230 V

!U 2

C

C

Str

C
bei Sternschaltung und U D

D

C

U D UL

400 V bei Dreieckschaltung der Kondensatoren.

Q D

D Qind

C

QStr

3

C D 820 var D

820 var

D

Y

16;45 106 F D 16;45 F

3 ! U 2

3 2 50 s1 .230 V/2

C

C D CY D

5;48 F

3

Aufgabe 15.12

Von einem Drehstrommotor in Dreieckschaltung sind folgende Angaben für den Nennbe-
trieb bekannt:

U

D

D

D

N

400 V=50 Hz, cos.'N/ D 0;82, Wirkungsgrad N

0;87, Drehzahl nN

1455 min1, P D

N

7;5 kW
a) Welche Wirkleistung P, Scheinleistung S und Blindleistung Q nimmt der Motor
im Nennbetrieb vom Drehstromnetz auf?

b) Welchen Scheinwiderstand Z besitzen die Stränge des Motors? Wie groß ist der Strom

IStr in den Strängen? Wie groß ist der Strom IL in den Zuleitungen?

c) Die Blindleistungsaufnahme des Motors soll mit in Dreieck geschalteten Kondensato-
ren auf cos.'0/ D 0;95 kompensiert werden. Welche Kapazität C muss jeder der drei

Kondensatoren aufweisen?

d) Was sagen die Angaben auf dem Typenschild eines Elektromotors aus? Bestimmen

Sie das Nennmoment des gegebenen Drehstrommotors.

Lösung
a) Der Wirkungsgrad besagt, dass die vom Drehstromnetz gelieferte elektrische Wirk-
leistung Pel aufgrund der Leistungsverluste im Motor höher ist als die maximal mög-
liche mechanische Wirkleistung Pmech. Die Leistungsangabe eines Motors betrifft im-
mer die mechanische Wellenleistung.

P D Pmech I

D PN D 7;5 kW D
el

P

8620;7 W

N

0;87

S D

P

D 8620;7 W D

10:513;0 VA
cos.'N/

0;82

Q D

S sin.'N/ D 10:513 VA sin.arccos.0;82// D 6017;3 var
b) Die Gesamtscheinleistung ist: S D

3 UStr IStr. In Dreieckschaltung ist die Strang-
spannung gleich der Leiterspannung: U

D

D

Str

UL

400 V. Mit dem Strangwiderstand

404

15

Mehrphasensysteme, Drehstrom

(Scheinwiderstand Z) folgt:

I

D UStr I

I

I

D

Str

S D 3 .UStr/2

Z D 3 .UStr/2

Z D 3 .400 V/2

45;66

Z

Z

S

10:513 VA
p

I

D UStr D 400 V D

D

D

Str

8;76 AI

IL

3 IStr

15;17 A

Z

45;66
c)

C D 1

D 1 P Œtan.'N/ tan.'0/

CY

3

3

! U 2L

C D 8620;7 W Œtan.arccos.0;82// tan.arccos.0;95// I

D

C

21;1 F

3 2 50 s1 .400 V/2

d) Der Nennbetrieb bezeichnet die Betriebsart elektrischer Maschinen, für die sie im

Dauerbetrieb ausgelegt sind. Auf dem Typenschild eines Motors werden Nenndaten
für einen Betriebspunkt, den so genannten Bezugspunkt oder Nennpunkt angegeben.

Zu diesen Daten gehören z. B. die Nennspannung UN, der Nennstrom IN, der Leis-
tungsfaktor cos.'/ D P =S, die Nenndrehzahl der Welle nN oder die mechanische

Leistung an der Welle PN (die Leistungsangabe eines Motors betrifft immer die me-
chanische Wellenleistung). Ist das prinzipielle Drehzahl-Drehmomentverhalten eines

Motors bekannt, so kann mittels der Typenschildangaben näherungsweise auf alle an-
deren Betriebspunkte geschlossen werden.

Ein Elektromotor nimmt die elektrische Leistung

P D
el

U I D Pzu
auf und gibt die mechanische Leistung

P

D
mech

M ! D Pab
an seiner Welle ab.

Bei der Wandlung von elektrischer in mechanische Energie geht die Verlustleistung

PV als Wärmeleistung verloren. Das Verhältnis von abgegebener Leistung Pab zu zu-
geführter Leistung Pzu wird als Wirkungsgrad bezeichnet:

D abgegebene Wirkleistung D Pab
zugeführte Wirkleistung

Pzu

Für die Energie gilt mit W D

D

zu

Pzu t und Wab

Pab t auch:

D abgegebene Energie D Wab
zugeführte Energie

Wzu

Von Pzu müssen die unvermeidlichen Verluste PV abgezogen werden, um Pab zu er-
halten.

P D

ab

Pzu

PV

15.5

Leistung bei Drehstrom

405

Somit ist Pab stets kleiner ist als Pzu und der Wirkungsgrad stets kleiner als eins:

D M ! < 1

U I

Statt der Winkelgeschwindigkeit ! in s1 wird bei elektrischen Maschinen die Dreh-
zahl n in Umdrehungen pro Minute (Œn D min1) angegeben. Die mechanische

Leistung beträgt dann:

n

P

D
mech

M ! D M 2f D M 2 60 smin

Das Nennmoment (Nenndrehmoment) ist:

M D

Pmech

2
n

60 s
min

Für den gegebenen Drehstrommotor ergibt sich:

M D

7500 W

; mit W D N m folgt: M D 49;2 N m

2 1455 min1
s

60 s
min

Halbleiterdioden

16

Zusammenfassung

Die charakteristischen Parameter der Diodenkennlinie werden betrachtet und ihre

Bedeutung erläutert. Berechnet werden Schaltungen mit Lumineszenz- und Zenerdi-
ode. Mit Arbeitspunkt und Widerstandsgerade wird eine grafische Bestimmung von

Spannungen und Strömen in Diodenschaltungen durchgeführt. Die Gleichrichtung
von Wechselspannungen und die Begrenzung einer Wechselspannung stellen Anwen-
dungsmöglichkeiten von Dioden dar.

16.1

Grundwissen – kurz und bündig

Der pn-Übergang eines Halbleiters bildet die Grundlage einer Halbleiterdiode.

Eine Diode besitzt „Ventilwirkung“. In Durchlassrichtung lässt sie Strom durch, in

Sperrrichtung nicht.

Die Kennlinie einer Diode ist nicht linear.

Es gibt Germaniumdioden (Durchlassspannung ca. 0,35 V) und Siliziumdioden (Durch-
lassspannung ca. 0,7 V).

Durchbruchserscheinungen bei Dioden sind der Zenerdurchbruch und der Lawinen-
durchbruch (Avalanche-Effekt).

Eine Diode darf nie ohne strombegrenzenden Vorwiderstand betrieben werden.

Eine Diode wird durch statische und dynamische Kennwerte beschrieben.

Der Sperrstrom einer Diode ist sehr klein. Er steigt exponentiell mit der Temperatur an.

Im Durchlassbereich wird die I- U-Kennlinie mit steigender Temperatur steiler.

Die Anschlüsse einer Diode heißen Anode und Kathode.

Bei Kleindioden wird die Kathode durch einen Ring auf dem Gehäuse gekennzeichnet.

Eine Schottkydiode besitzt eine kleine Durchlassspannung (ca. 0,35 V) und schaltet
sehr schnell.

Eine LED wird zur optischen Anzeige verwendet.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017

407

L. Stiny, Aufgabensammlung zur Elektrotechnik und Elektronik,

DOI 10.1007/978-3-658-14381-7_16

408

16

Halbleiterdioden

Mit Zenerdioden können Spannungen stabilisiert werden.

Mit dem Arbeitspunkt und der Widerstandsgeraden können die Strom-Spannungs-Ver-
hältnisse einer Schaltung mit einem nichtlinearen Bauteil grafisch bestimmt werden.

Anwendungen von Dioden sind z. B.: Gleichrichtung von Wechselspannung, Freilauf-
diode, Schutz empfindlicher Eingänge, elektronischer Schalter, logische Verknüpfung
digitaler Signale, Amplitudenbegrenzung von Signalen.

Wichtige Formeln:

U

I D I

U

D k T I

R

.e T 1/ mit UT
k D Boltzmann-Konstante
e

TB

P D TA

D T I

D
th

Rth

Wärmeübergangswiderstand

Rth

Rth

U

U

T D

C

I

D UB

D I

D UEmin

Z I

J

RthJA PV

TA

RV

RV

I

C

D

IZ

ILmax

U

Emax

UZ

P

Zmax

UZ

ILmin

RV

U D

Z

UZ T TK

16.2

Diodenkennlinie

Aufgabe 16.1

Wie groß ist ungefähr die Durchlassspannung bei einer Siliziumdiode bzw. bei einer Ger-
maniumdiode?

Lösung

Siliziumdiode ca. 0,5 bis 0,8 Volt, Germaniumdiode ca. 0,2 bis 0,4 Volt.

Aufgabe 16.2
a) Bestimmen Sie aus der Diodenkennlinie Abb. 16.1 grafisch die Schleusenspannung US
und den durch eine Gerade angenäherten differenziellen Widerstand rF.

b) Handelt es sich um eine Silizium- oder um eine Germaniumdiode?

c) Geben Sie mit den Größen US und rF die stückweise lineare Kennlinie und zusätzlich
mit einer idealen Diode die Ersatzschaltung der gegebenen Diode an.

d) Wie kann der Durchlasswiderstand der Diode in Zusammenhang mit dem ermittelten
differenziellen Widerstand rF gesehen werden?

e) Charakterisieren Sie allgemein (quantitativ) den differentiellen Widerstand im Durch-
lass-, Sperr- und Durchbruchbereich einer Diode.

f) Der Wärmewiderstand der Diode beträgt R

D
thJA

380 K=W. Wie hoch ist die Sperr-
schichttemperatur T

D

J bei einer Umgebungstemperatur TA

50 ıC und einer Verlust-
leistung der Diode von P D

V

100 mW?

16.2

Diodenkennlinie

409

Abb. 16.1 Kennlinie einer

Diode

Abb. 16.2 Zur Bestimmung
der Schleusenspannung

Lösung
a) Die Schleusenspannung (auch Durchlass-, Fluss-, Schwell-, Knick- oder Kniespan-
nung genannt) wird häufig als derjenige Spannungswert an der Diode in Flussrichtung
definiert, bei dem ca. ein Zehntel des maximal zulässigen Dioden-Durchlassstromes
fließt. Die Ersatzkennlinie ist eine Widerstandsgerade, die durch die Schnittpunkte der

Diodenkennlinie mit den Werten I

D

Fmax und 1 I

I

10 Fmax festgelegt ist. Hier ist 1

10 Fmax

10 mA. Bei diesem Strom ist die Schleusenspannung ca. U D

S

0;87 V (Abb. 16.2).

Die Schleusenspannung kann auch aus dem Schnittpunkt der Ersatzgeraden mit der

Abszisse abgelesen werden (Abb. 16.2). Es ergibt sich U D

S

0;85 V.

410

16

Halbleiterdioden

Abb. 16.3 Stückweise lineare

Kennlinie der Diode

Abb. 16.4 Ersatzschaltung
der Diode mit differentiellem

Widerstand und Schleusen-
spannung

Der differenzielle (dynamische) Widerstand rF entspricht in erster Näherung der Stei-
gung der Ersatzgeraden. r D UF D 1 V0;85 V D

F

1;5

IF

0;1 A
b) Da US > 0;6 V ist, handelt es sich um eine Siliziumdiode.

c) Die stückweise lineare Kennlinie der Diode zeigt Abb. 16.3. Die Ersatzschaltung der
gegebenen Diode zeigt Abb. 16.4.

d) Der Durchlasswiderstand entspricht dem hier im ganzen Durchlassbereich durch eine

Gerade angenäherten differentiellen Widerstand.

e) Der differenzielle Widerstand ist durch die Krümmung der Diodenkennlinie von der

Lage des Arbeitspunktes abhängig. Im Durchlassbereich ist der differentielle Wider-
stand klein, eine kleine Spannungsänderung hat eine große Stromänderung zur Folge.

Im Sperrbereich ist der differentielle Widerstand sehr groß, bei Änderung der Sperr-
spannung ändert sich der Sperrstrom fast nicht. Im Durchbruchbereich ist der diffe-
rentielle Widerstand sehr klein, eine kleine Spannungsänderung hat eine sehr große

Stromänderung zur Folge.

f) T D

C

D

J

Rth;JA PV

TA

380 K 0;1 W C 50 ıC D 88 ıC

W

Aufgabe 16.3

Gegeben sind die Kennlinien von zwei Dioden D1 und D2. Wie wird die Kennlinie der

Reihenschaltung von D1 und D2 konstruiert?

16.3

Lumineszenzdiode

411

Abb. 16.5 Reihenschaltung von zwei Dioden, Konstruktion der resultierenden Kennlinie

Lösung

Bei der Reihenschaltung addieren sich die Spannungen. Daraus folgt eine punktweise

Addition der beiden Kennlinien in U-Richtung (Abb. 16.5).

16.3

Lumineszenzdiode

Aufgabe 16.4
a) Wozu dient der in Abb. 16.6 mit einer LED in Reihe geschaltete ohmsche Vorwider-
stand RV?

b) Die Durchlassspannung einer LED beträgt U D

D

D

1;6 V, der Durchlassstrom ist ID

20 mA. Die LED wird an einer Gleichspannung U D

B

5 V betrieben. Wie groß muss
der Vorwiderstand RV sein?

Lösung
a) Der Vorwiderstand RV dient zur Strombegrenzung. Da die Strom-Spannungskennlinie
einer Diode stark nichtlinear ist, würde der Strom schon bei Spannungen knapp über
der Durchbruchspannung unzulässig hoch werden.

b)

UD

R D UB

D

V

170

ID

Abb. 16.6 LED mit Vorwider-
stand

412

16

Halbleiterdioden

Abb. 16.7 Leuchtdiode mit

Vorwiderstand und Kennlinie
der LED

Aufgabe 16.5

Eine Leuchtdiode soll mit möglichst großer Helligkeit betrieben werden. Im betrachteten

Bereich ist die Lichtstärke zwischen 5 mA und 30 mA proportional zum Diodenstrom
in Flussrichtung IF. Der obere Grenzwert für den Diodenstrom in Flussrichtung beträgt

I

D

Fmax

30 mA. Kennlinie und Schaltung zeigt Abb. 16.7.

a) Welchen Wert muss der Vorwiderstand RV haben, wenn die größtmögliche Helligkeit
bei einer Spannung U D
e

9 V erreicht werden soll?

b) Wie groß ist R

D

V zu wählen, falls Ue

10 V ist und auch dann die maximal erlaubte

Stromstärke nicht überschritten werden soll? Welcher Strom fließt für diesen Wert von

R

D

V bei Ue

9 V durch die Diode?

c) Welche Verlustleistung PV wird im Vorwiderstand maximal umgesetzt? Welche Be-
lastbarkeit muss der verwendete Widerstand mindestens haben: 1 W, 1 W, 1 W, 1 W

8

4

2
oder 2 W?

Lösung
a) Für den Arbeitspunkt der LED bei I D

F

30 mA wird aus dem Diagramm der Dioden-
kennlinie abgelesen: U

F

3;6 V.

R D 9 V 3;6 V D

V

180

30 mA
b)

R D 10 V 3;6 V D

V

213 I

30 mA

16.4

Z-Diode (Zener-Diode)

413
für R D

D

V

213 und Ue

9 V ist

I D 9 V 3;6 V D

F

25 mA

213
c) An RV fällt maximal die Spannung 10 V 3;6 V D 6;4 V ab.

P D U I D 6;4 V 30 mA D 192 mW

Der verwendete Widerstand muss mindestens eine Belastbarkeit von 1 W (D 250 mW)

4
haben.

16.4

Z-Diode (Zener-Diode)

Aufgabe 16.6

Welchen Verwendungszweck haben Zenerdioden? Welches Bauelement muss beim Ein-
satz einer Zenerdiode immer zusätzlich verwendet werden?

Lösung

Zenerdioden werden hauptsächlich zur Spannungsstabilisierung oder zur Spannungsbe-
grenzung eingesetzt. Beim Einsatz einer Zenerdiode muss immer ein Vorwiderstand zur

Strombegrenzung verwendet werden.

Aufgabe 16.7

Der Eingang einer Schaltung S soll mit einer Zenerdiode ZD vor zu hohen Spannungen ge-
schützt werden (Abb. 16.8). Welche Schaltung ist richtig, a, b, c oder d? Welche Aufgabe
hat der Widerstand RV?

Lösung

Schaltung b ist richtig. Da die Zenerdiode im Durchbruchbereich der Kennlinie betrieben
wird, muss der Vorwiderstand RV für eine Strombegrenzung sorgen.

Abb. 16.8 Schutz einer Schal-
tung vor zu hohen Spannungen

414

16

Halbleiterdioden

Abb. 16.9 Schaltung mit Z-

Diode

Abb. 16.10 Schaltung nach

Abb. 16.9 mit Spannungen und

Strömen

Aufgabe 16.8

Die Schaltung in Abb. 16.9 mit einer Z-Diode dient zur Herstellung einer weitgehend
konstanten (stabilisierten) Ausgangsspannung U

D
a am Lastwiderstand RL

120 .

Der Vorwiderstand R

D

V ist so zu berechnen, dass sich bei einer Eingangsspannung Ue

8;2 V eine Ausgangsspannung U D
a

5;0 V einstellt.

Aus dem Datenblatt der Z-Diode wird aus der Kennlinie der Z-Diode I D f .U / für
eine Zenerspannung von 5 V ein Zenerstrom von 0;6 A entnommen.

Lösung

In die Schaltung werden die Spannungen und Ströme eingezeichnet (Abb. 16.10).

U

D

D

D Ua D

RV

Ue

Ua

3;2 VI

Ia

0;0416 AI

Ra

R D

URV

D

3;2 V

D

V

4;99

I C

Z

Ia

0;6 A C 0;0416 A

R D

V

5

Aufgabe 16.9

Die Schaltung in Abb. 16.11 dient zur Stabilisierung der am Lastwiderstand RL liegenden

Spannung U

D

Z. Im Diagramm Abb. 16.12 ist die Durchbruchkennlinie IZ
f .UZ/ der
verwendeten Zenerdiode aufgetragen. Der Vorwiderstand beträgt R D

V

50 .

a) Welche Spannung U

D

Z liegt bei einer Eingangsspannung von Ue

10 V am Lastwider-
stand RL?

b) Wie ändert sich U

D

D

Z, wenn die Eingangsspannung zwischen Ue min

8 V und Ue max

12 V schwankt?

16.4

Z-Diode (Zener-Diode)

415

Abb. 16.11 Schaltung zur

Stabilisierung der Spannung
am Lastwiderstand

Lösung
a) Maschengleichung: U C

C

D

D

e

UV

UZ

0 mit UV

RV IZ

) I D 1

C Ue

Z

UZ

RV

RV

Dies ist die Gleichung der Widerstandsgeraden.

Schnittpunkt der Widerstandsgeraden mit der Ordinate:

Für U D

D Ue D 10 V D

Z

0 ist IZ

200 mA:

RV

50

Schnittpunkt der Widerstandsgeraden mit der Abszisse: Für I D

D

D

Z

0 ist UZ

Ue

10 V.

Durch die beiden Punkte ist die Widerstandsgerade festgelegt, sie wird in die Grafik
der Kennlinie der Zenerdiode eingezeichnet (Abb. 16.13).

Abb. 16.12 Durchbruchkennlinie der in Abb. 16.11 verwendeten Zenerdiode

416

16

Halbleiterdioden

Abb. 16.13 Kennlinie mit Widerstandsgeraden

Der Schnittpunkt der Widerstandsgeraden mit der Diodenkennlinie ist der Arbeits-
punkt AP der Schaltung. Das Lot im Arbeitspunkt auf die Abszisse gibt

U j

Z UeD10 V

3;9 V.

b) Für die beiden Eingangsspannungen werden die Widerstandsgeraden ebenfalls einge-
zeichnet (Abb. 16.13). Es wird auf der Abszisse abgelesen:

U j

j

Z UeD8 V

3;8 V und UZ UeD12 V

4;0 V:

Bei einer Änderung der Eingangsspannung um 4 V schwankt die Spannung am Last-
widerstand um 200 mV.

16.5

Arbeitspunkt und Widerstandsgerade

Aufgabe 16.10

Eine Siliziumdiode, deren Durchlasskennlinie gegeben ist, ist über einen Vorwiderstand

R D

D

V

1;5 an eine Gleichspannungsquelle U0

1;5 V angeschlossen (Abb. 16.14).

Welcher Strom I fließt im Stromkreis und wie groß sind die Spannungen UV und UD?

Ermitteln Sie die Lösung grafisch mit Hilfe der Diodenkennlinie.

Lösung

Maschengleichung: U C

C

D

D

D

0

UV

UD

0; mit UV

RV I folgt I RV

U0

UD bzw.

I D 1 U C U0

D

:

RV

RV

16.5

Arbeitspunkt und Widerstandsgerade

417

Abb. 16.14 Siliziumdiode mit Vorwiderstand und Diodenkennlinie

Abb. 16.15 Diodenkennlinie
mit Widerstandsgerade

Dies ist die Gleichung der Widerstandsgeraden.

Der Schnittpunkt der Widerstandsgeraden mit der Ordinate ist:

Für U D

D 1;5 V D

D

0 ist I D U0

1 A:

RV

1;5

Schnittpunkt der Widerstandsgeraden mit der Abszisse: Für I D 0 ist U D

D

D

U0

1;5 V.

Durch die beiden Punkte ist die Widerstandsgerade festgelegt, sie wird in die Grafik
der Diodenkennlinie eingezeichnet (Abb. 16.15).

Der Schnittpunkt der Widerstandsgeraden mit der Diodenkennlinie ist der Arbeitspunkt

AP der Schaltung. Im Arbeitspunkt ist sowohl die Maschengleichung als auch die Bezie-
hung zwischen Spannung und Strom am nichtlinearen Bauelement erfüllt.

Der im Stromkreis fließende Strom I kann an der Ordinate direkt abgelesen werden:

I D 0;3 A. An der Abszisse wird abgelesen: U

D

1;05 V.

U

D

D

V errechnet sich zu UV

U0

UD

1;5 V 1;05 V D 0;45 V

418

16

Halbleiterdioden

Abb. 16.16 Schaltung einer Siliziumdiode mit Vorwiderstand und Diodenkennlinie

Aufgabe 16.11

Eine Siliziumdiode, deren Durchlasskennlinie gegeben ist, ist über einen Vorwiderstand

R D

D

V

10 an eine Gleichspannungsquelle U0

6 V angeschlossen (Abb. 16.16).

Welcher Strom I fließt im Stromkreis und wie groß sind die Spannungen UV und UD?

Ermitteln Sie die Lösung grafisch mit Hilfe der Diodenkennlinie.

Lösung

Maschengleichung: U C

C

D

D

D

0

UV

UD

0; mit UV

RV I folgt I RV

U0

UD bzw.

I D 1 U C U0

D

:

RV

RV

Dies ist die Gleichung der Widerstandsgeraden (WG).

Der Schnittpunkt der WG mit der Ordinate ist: U D

D 6 V D

D

0 ) I D U0

0;6 A.

RV

10

Der Schnittpunkt der WG mit der Abszisse ist: I D 0 ) U D

D

D

U0

6 V. Dieser

Schnittpunkt liegt außerhalb des Zeichnungsbereiches der Kennlinie. In die Gleichung
der WG wird deshalb U D

D

D

1;6 V eingesetzt, dies ergibt ID

0;44 A.

Die beiden Punkte .0 VI 0;6 A/ und .1;6 VI 0;44 A/ legen die WG fest. Der Schnitt-
punkt der WG mit der Diodenkennlinie ergibt den Arbeitspunkt AP der Diode. In

Abb. 16.17 wird auf den Koordinatenachsen abgelesen: I D I

D

0;5 A, UD

1;1 V.

Die Spannung am Vorwiderstand wird berechnet. U

D

V

RV I D 10 0;5 A;

U D

V

5 V

Wegen der Zeichnungsungenauigkeit ist U C

¤

V

UD

U0.

Aufgabe 16.12
a) Bestimmen Sie für die Schaltung in Abb. 16.18 die äquivalente Spannungsquelle (Er-
satzspannungsquelle) zwischen den Punkten A, B.

b) Ermitteln Sie grafisch den Arbeitspunkt UD, ID der Diode, deren Kennlinie in

Abb. 16.19 gegeben ist.

16.5

Arbeitspunkt und Widerstandsgerade

419

Abb. 16.17 Diodenkennlinie mit flacher Widerstandsgerade

Abb. 16.18 Schaltung mit

Diode

Lösung
a) Zur Ermittlung des Innenwiderstandes Ri der Ersatzspannungsquelle wird die Span-
nungsquelle U kurzgeschlossen. R D
k

D
i

R1 R2

2 k

Die Spannung zwischen A, B ist:

4 k

U

D

D

A;B

4 V

2 V

4 k C 4 k

Als Ersatzschaltung ergibt sich Abb. 16.20.

b) Maschengleichung: 2 V C I

D

D

2 k˝ C UD

0

Auflösen nach ID ergibt die Gleichung der Arbeitsgeraden:

I D UD C

D

1 mA

2 k

Es werden zwei Punkte ermittelt: Für U D

D

D

D

D

0 ist ID

1 mA, für ID

0 ist UD

2 V.

Die beiden Punkte (U

D

D

D

D

D

0; ID

1 mA) und (UD

2 V; ID

0) legen die

Arbeitsgerade fest. Die Arbeitsgerade wird eingezeichnet, der Schnittpunkt mit der Di-
odenkennlinie ergibt den Arbeitspunkt AP (Abb. 16.21). Ausgehend vom Arbeitspunkt
wird auf den Koordinatenachsen U

D

D

D und ID abgelesen: UD

0;8 V; ID

0;6 mA.

420

16

Halbleiterdioden

Abb. 16.19 Kennlinie der Diode in Abb. 16.18

Abb. 16.20 Ersatzschaltung der Schaltung in Abb. 16.18

Abb. 16.21 Kennlinie mit Arbeitspunkt

16.5

Arbeitspunkt und Widerstandsgerade

421

Abb. 16.22 Schaltung mit einer Diode

Aufgabe 16.13

Gegeben ist die Schaltung in Abb. 16.22 mit einer Diode.

a) Der Schalter S ist geöffnet. Bestimmen Sie den Innenwiderstand Ri , die Leerlaufspan-
nung U0 und den Kurzschlussstrom IK zwischen den Klemmen A, B.

b) Der Schalter S ist jetzt geschlossen. Ermitteln Sie mit Hilfe der in Abb. 16.23 gezeigten

Diodenkennlinie grafisch den Arbeitspunkt der Diode (UD; ID). Berechnen Sie den

Gleichstromwiderstand RD der Diode in diesem Arbeitspunkt.

Lösung
a) Zur Bestimmung des Innenwiderstandes Ri wird die Spannungsquelle Uq kurzge-
schlossen. Der Widerstand, den man in die Klemmen A, B hinein sieht, ist Ri.

R D

C

I

D
i

Œ.R1

R4/ k R2 C R3

Ri

4

Abb. 16.23 Kennlinie der Diode in Abb. 16.22

422

16

Halbleiterdioden

Abb. 16.24 Kennlinie mit Arbeitspunkt

.R C

1

R4/ und R2 bilden einen Spannungsteiler. Die Spannung an R2 liegt auch als

Leerlaufspannung U0 zwischen den Klemmen A und B an.

U D

R2

I

D

I

D

0

Uq

U

3;5 V

8

U

2;8 V

R C

C

0

0

1

R4

R2

1 C 1 C 8

Der Kurzschlussstrom IK ist:

I D U0 I

D 2;8 V D

K

IK

700 mA

Ri

4

Ri, U0 und IK sind die charakteristischen Größen der Ersatzspannungsquelle.

b) Jetzt erfolgt das Einzeichnen der Arbeitsgeraden mit den zwei Punkten (Abb. 16.24):

I D

D

D

D

K

700 mA für UD

0 V und UD

2;8 V für ID

0 mA:

Der Schnittpunkt der Arbeitsgeraden mit der Diodenkennlinie ergibt den Arbeitspunkt

AP, von ihm ausgehend wird auf den Koordinatenachsen abgelesen:

U

D UD I

D

0;9 VI

ID

470 mAI

RD

RD

1;9

ID

Aufgabe 16.14

Der Arbeitspunkt der Schaltung in Abb. 16.25 ist auf grafischem Wege zu bestimmen.

Gegeben sind die Kennlinie der Diode (Abb. 16.26) und die Werte R D

D

1

500 , R2

2 k˝, R D

D

3

1 k˝, UB

2 V.

16.5

Arbeitspunkt und Widerstandsgerade

423

Abb. 16.25 Arbeitspunkt gra-
fisch bestimmen

Lösung

1. Schritt: Die Kennlinie I D

3
f .Ua/ für die Reihenschaltung von D und R3 wird ent-
wickelt (Abb. 16.27). Für gleiche Werte von I werden UD und UR3 addiert.

I D

3
f .UD/ ist gegeben. Wenn 2 mA durch die Diode und damit auch durch

R3 fließen, fällt an R3 eine Spannung von 2 V ab. Somit geht nach dem ohm-
schen Gesetz die Gerade I D

3
f .UR3/ durch den Ursprung und den Punkt

.2 VI 2 mA/.

2. Schritt: Die Kennlinie I D

1
f1.Ua/ für die Parallelschaltung von D und R3 mit R2
wird konstruiert (Abb. 16.28). Für gleiche Werte von Ua werden die Ströme

I D

D

D

3
f .Ua/ (aus Schritt 1) und I2
f .Ua/ addiert. I2
f .Ua/ geht durch
den Ursprung und den Punkt .2 VI 1 mA/.

3. Schritt: Der Arbeitspunkt wird bestimmt (Abb. 16.28). Die Arbeitsgerade ist:

U

I D UB
a D 1

C UB

1

Ua

R1

R1

R1

Zwei Punkte der Arbeitsgeraden: I D

D

D

D

D

1

0 Ua

UB

2 V; Ua

1 V: I1

2 mA

Abb. 16.26 Kennlinie der Diode in Abb. 16.25

424

16

Halbleiterdioden

Abb. 16.27 Kennlinie für die

Reihenschaltung von D und R3

Abb. 16.28 Bestimmung des

Arbeitspunktes

Die Arbeitsgerade wird eingetragen, auf den Achsen wird der Arbeitspunkt
abgelesen:

AP D .1;4 VI 1;25 mA/

16.6

Gleichrichtung von Wechselspannungen

Aufgabe 16.15

Ein Netzteil besteht aus einem Transformator, vier Siliziumdioden und einem Elektrolyt-
kondensator. Es wird eingangsseitig mit 230 V Wechselspannung betrieben und liefert am

Ausgang eine Gleichspannung.

16.7

Begrenzung einer Wechselspannung

425

Abb. 16.29 Ein Netzteil

Abb. 16.30 Netzteil mit den
vier Dioden
a) Ergänzen Sie das Schaltbild Abb. 16.29, wie müssen die Dioden eingebaut werden?

b) Wie wird der Kondensator genannt?

c) Worin unterscheiden sich die Eigenschaften dieser Schaltung zur Einweggleichrich-
tung?

Lösung
a) Die Schaltung der Dioden (Graetz-Brückenschaltung, Einphasenbrückenschaltung,

Zweipulsbrückenschaltung) zeigt Abb. 16.30.

b) Der Kondensator wird als Ladekondensator bezeichnet.

c) Sowohl die positiven als auch die negativen Halbwellen der sinusförmigen Eingangs-
spannung tragen zur Gleichspannung am Ausgang bei. Gegenüber der Einweggleich-
richtung wird die Brummspannung halbiert und die Brummfrequenz verdoppelt.

Außerdem müssen die Dioden nur für die halbe Sperrspannung wie bei der Einweg-
gleichrichterschaltung mit Ladekondensator ausgelegt sein (nur für mindestens O

U ,
dem Scheitelwert der Eingangswechselspannung).

16.7

Begrenzung einer Wechselspannung

Aufgabe 16.16

Die folgende Begrenzerschaltung mit vier Z-Dioden (Siliziumdioden gleichen Typs) liegt
an der Reihenschaltung der Spannungsquellen U0 und u1.t/.

Gegeben: U D

D

0

10;0 V, u1.t/ D 30;0 V sin.!t/, f D 50 Hz, RV

1 k, Zener-
spannung U D

D

Z

5;0 V, Schleusenspannungen der Zenerdioden: US

0;6 V

Skizzieren Sie ue.t/ und die angenäherte Zeitfunktion ua.t/ im vorgegebenen Dia-
gramm Abb. 16.32.

426

16

Halbleiterdioden

Abb. 16.31 Begrenzerschal-
tung

Abb. 16.32 Diagramm für Skizze der Spannungen

Abb. 16.33 Eingangs- und Ausgangsspannung der Begrenzerschaltung

16.7

Begrenzung einer Wechselspannung

427

Lösung

Um ue.t/ zu erhalten, werden U0 und u1.t/ addiert (Abb. 16.33). Zu jedem Augen-
blickswert der sinusförmigen Spannung u

D

1.t / werden also U0

10;0 V addiert. Dadurch
verschiebt sich die Sinuskurve auf der Ordinate um 10,0 V nach oben.

In Durchlassrichtung ist die Kennlinie einer Zenerdiode identisch mit der Kennlinie
einer normalen Siliziumdiode. Die Schleusenspannung ist hier mit 0,6 V vorgegeben.

Für die positive Halbwelle der Eingangsspannung ergibt sich:

DZ1 und DZ2 sind im Durchlassbetrieb, an ihnen fällt eine Spannung von ca. 0;6 V C

0;6 V D 1;2 V ab. DZ3 und DZ4 arbeiten im Zenerbereich, an ihnen fallen ca. 5 V C

5 V D 10 V ab. Der gesamte Spannungsabfall ua.t/ ist während der positiven Halbwelle
ca. 11,2 V.

Für die negative Halbwelle der Eingangsspannung gilt:

DZ3 und DZ4 sind im Durchlassbetrieb, der Spannungsabfall ist ca. 0;6 V 0;6 V D

1;2 V. DZ1 und DZ2 sind im Zenerbereich mit 5 V 5 V D 10 V Spannungsabfall.

Gesamter Spannungsabfall ua.t/ während der negativen Halbwelle: ca. 11;2 V.

Für ju

C
e.t /j > 2 UZ

2 US wird die Begrenzerschaltung wirksam. Das Ergebnis zeigt

Abb. 16.33.

Bipolare Transistoren

17

Zusammenfassung

Die Bedeutung der Eingangskennlinie und eines darauf befindlichen Arbeitspunktes
wird vorgestellt. Grundschaltungen des Transistors werden mit Möglichkeiten zur Ein-
stellung des Arbeitspunktes und zu dessen Stabilisierung durch Strom- und Spannungs-
gegenkopplung gezeigt. Der Betrieb des Bipolartransistors als Schalter wird mit Hilfe
des Ausgangskennlinienfeldes festgelegt. Transistorersatzschaltungen werden in der

Analyse von Verstärkerschaltungen verwendet. Die Darlington-Schaltung und der Dif-
ferenzverstärker werden als spezielle Anwendungen betrachtet. Aus dem Gebiet der

Digitaltechnik schließen sich Kodes, logische Funktionen und die Schaltalgebra unter

Verwendung von Bipolartransistoren an. Es folgen einige schaltungstechnische Reali-
sierungen logischer Grundfunktionen.

17.1

Grundwissen – kurz und bündig

Ein Transistor ist ein aktives Halbleiterbauelement.

Es gibt bipolare (BJT) und unipolare (FET) Transistoren.

Bei den bipolaren Transistoren gibt es Germanium- und Silizium-, npn- und pnp-

Typen.

Die Anschlüsse des bipolaren Transistors heißen Emitter, Basis und Kollektor.

Im Arbeitspunkt ist beim Germanium-Transistor UBE ca. 0,3 V, beim Silizium-

Transistor ca. 0,7 V.

Wirkt der Transistor als Verstärker, so steuert der kleine Basisstrom den großen Kol-
lektorstrom.

Gleichstromverstärkungsfaktor des Transistors: B D IC .

IB

Ein npn-Transistor leitet, wenn die Basis positiv ist.

Ein pnp-Transistor leitet, wenn die Basis negativ ist.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017

429

L. Stiny, Aufgabensammlung zur Elektrotechnik und Elektronik,

DOI 10.1007/978-3-658-14381-7_17

430

17

Bipolare Transistoren

Es gibt drei Grundschaltungen des Transistors: Basis-, Emitter- und Kollektorschal-
tung.

Ein Transistor kann als linearer Verstärker oder als Schalter betrieben werden.

Eingangs-, Ausgangs- und Steuerkennlinie beschreiben den Transistor.

Die Sättigungsspannung UCEsat beträgt bei Kleinleistungstransistoren ca. 0,2 V bis

0,5 V, bei Leistungstransistoren ca. 1 bis 2 V.

Der Arbeitspunkt auf der Lastgeraden im Ausgangskennlinienfeld wird durch einen

Basis-Ruhegleichstrom festgelegt.

Wechselstrom-Kleinsignalverstärkung in Emitterschaltung:

ˇˇ

Ď iC ˇ

I ˇ B 1
i ˇ

B UCEDconst

Stromverstärkung in Basisschaltung: ˛ D IC < 1

IE

Stromverstärkung in Kollektorschaltung: D 1 D Č 1

1˛

Umrechnung zwischen ˛ und ˇ: Ď ˛ und ˛ D ˇ

1˛

Č1

Die Stromverstärkung ist abhängig vom Arbeitspunkt und von der Temperatur.

Die Stromverstärkung sinkt mit wachsender Frequenz.

Beziehung zwischen der ˇ-Grenzfrequenz und der Transitfrequenz: f D

T

ˇ f“

Bei der Wahl des Arbeitspunktes sind bestimmte Grenzen des erlaubten Arbeitsberei-
ches zu beachten.

Eingangsimpedanz der Emitterschaltung:

B
r

D

D UT D UT

D ěE
rBE

IB

IC

S

Ausgangsimpedanz der Emitterschaltung: r D
k

aE

RC
rCE

RC

Steilheit eines Transistors:

S D IC D ˇ

UBE
rBE

Wechselspannungsverstärkung der Emitterschaltung:

R

V

D Ua D

D

D URc D IC

C
uE

ˇ RC

S RC

Ue
rBE

UT

UT

Abschätzung der Wechselspannungsverstärkung der Emitterschaltung:

V

D

D

uE

40 URc

40 IC RC

Leistungsverstärkung der Emitterschaltung: V D Pa D
pE

ˇ V

P
uE
e

Frequenzgang der Wechselspannungsverstärkung in Emitterschaltung:

V

D ˇ.f / URc
uE

B

UT

17.1

Grundwissen – kurz und bündig

431

Eingangsimpedanz der Basisschaltung:

r

D rBE D UT D 1
eB

ˇ

IC

S

Ausgangsimpedanz der Basisschaltung: r D
k

aB

RC
rCE

RC

Wechselspannungsverstärkung der Basisschaltung: V D
uB

VuE

Leistungsverstärkung der Basisschaltung: V D Pa D
pB

˛ V

P
uB
e

Eingangsimpedanz der Kollektorschaltung:

U
r

D UT C

D

T C

I

eC

ˇ RE

ˇ

RE
reC

ˇ RE

IB

IC

Der Eingangswiderstand der Kollektorschaltung ist sehr groß.

Ausgangsimpedanz der Kollektorschaltung: r UT
aC

IC

Der Ausgangswiderstand der Kollektorschaltung ist sehr niedrig.

Wechselspannungsverstärkung der Kollektorschaltung: V D Ua
uC

1 ( 1)

Ue

Leistungsverstärkung der Kollektorschaltung:

V

D Pa D

pC

VuC

ˇ VuC

Pe

Bei der Rückkopplung unterscheidet man Mitkopplung und Gegenkopplung.

Die Gegenkopplung verbessert die Eigenschaften eines Verstärkers, obwohl die Ver-
stärkung abnimmt.

Das Produkt aus Verstärkung und Bandbreite ist konstant.

Ein Transistor kann durch eine formale oder eine physikalische Ersatzschaltung be-
schrieben werden.

Die formale Ersatzschaltung benutzt Vierpolgleichungen mit meist h-Parametern.

Ersatzschaltbilder des Transistors enthalten gesteuerte Quellen.

Spezielle Schaltungen sind die Darlington-, Bootstrap-, Kaskodeschaltung.

Der Differenzverstärker verstärkt die Differenz zweier Eingangsspannungen.

Harmonische Oszillatoren erzeugen Sinusschwingungen.

In der Digitaltechnik wird der Transistor als Schalter verwendet.

Ein Transistor als Schalter hat bestimmte Schaltzeiten.

Ein Transistor kann zum Schalten eines Verbrauchers benutzt werden.

Ein Multivibrator erzeugt periodische, rechteckförmige Spannungen.

Ein Monoflop erzeugt einen Rechteckimpuls bestimmter Dauer.

Ein Flipflop ist in der Digitaltechnik ein Speicherelement.

Der Schmitt-Trigger wandelt ein analoges in ein digitales Signal um (mit Hysterese).

Binäre Signale haben nur zwei Spannungswerte, High und Low.

Ein Bit entspricht einer Binärstelle (kleinste Informationseinheit).

Elektronische Digitalrechner arbeiten mit Dualzahlen, die mit elektronischen Schaltern
leicht realisierbar sind.

432

17

Bipolare Transistoren

Grundlegende Verknüpfungen logischer Variablen sind UND, ODER, NICHT.

Liegt am Eingang eines Inverters High, so ist der Ausgang Low und umgekehrt.

Ist nur einer der Eingänge eines AND-Gatters auf Low, so ist der Ausgang Low.

Ist nur einer der Eingänge eines OR-Gatters auf High, so ist der Ausgang High.

Gatter können in DL-, DTL-, RTL-, TTL-, ECL-, CMOS-Technik diskret oder inte-
griert als IC realisiert werden.

Für logische Funktionen gibt es digitale Schaltzeichen.

Aufgabe 17.1

Für die Messungen am bipolaren Transistor steht nur ein Ohmmeter zur Verfügung.

Welche Messungen muss man durchführen, um die folgenden Fragen beantworten zu
können.

a) Wie können Sie prüfen, ob ein npn-Transistor defekt ist oder nicht?

b) Wie kann man bei einem unbekannten npn-Transistor feststellen, welcher Anschluss

Emitter E, Basis B oder Kollektor C ist?

c) Wie kann man bei einem völlig unbekannten Transistor feststellen, ob es sich um einen
npn- oder pnp-Transistor handelt?

Lösung
a) Um festzustellen, ob ein Transistor defekt ist oder nicht, versucht man die Emitter-

Basis-Diode und die Kollektor-Basis-Diode zu messen. Zuerst verbindet man die Basis
und den Emitter mit den beiden Anschlüssen des Ohmmeters und prüft, ob die Diode
leitet. Dann vertauscht man die beiden Anschlüsse des Ohmmeters und prüft wieder,
ob die Diode leitet. Leitete die Diode bei der ersten Messung, so muss sie bei der
zweiten Messung sperren. Hat die Diode bei der ersten Messung gesperrt, so muss sie
bei der zweiten Messung leiten. Tritt einer dieser beiden Fälle ein, so ist die Emitter-

Basis-Diode in Ordnung.

Falls bei beiden Messungen die Diode geleitet oder gesperrt hat, ist der Transistor
defekt. Nun muss nach dem gleichen Verfahren die Kollektor-Basis-Diode überprüft
werden. Auch sie muss genau bei einer Messung leiten und bei der anderen sperren.

Wurden beide Dioden überprüft und sind sie nicht defekt, dann funktioniert der Tran-
sistor mit hoher Wahrscheinlichkeit.

Als zusätzliche Messung kann man noch versuchen, die Stromverstärkung zu messen.

Dazu verbindet man das Ohmmeter mit dem Kollektor und dem Emitter des Tran-
sistors, wobei sich am Kollektor der positive Anschluss des Ohmmeters befindet. Die

Basis ist nicht angeschlossen. Der Transistor muss jetzt sperren. Verbindet man nun die

Basis über einen 100 k-Widerstand mit dem Kollektor, muss der Transistor leiten.

b) Bei einem unbekannten npn-Transistor lassen sich die Anschlüsse leicht bestimmen.

Zuerst versucht man die beiden Anschlüsse zu finden, die bei beliebiger Polung des

Ohmmeters sperren. Der dritte, nicht beschaltete Anschluss des Transistors ist die Ba-
sis. Nun muss noch bestimmt werden, welcher Anschluss der Kollektor und welcher

17.1

Grundwissen – kurz und bündig

433
der Emitter ist. Dies lässt sich über die Stromverstärkung ermitteln. Dazu schließt
man beide Anschlüsse des Ohmmeters an die beiden noch unbekannten Anschlüsse
des Transistors an. Der Transistor darf jetzt nicht leiten. Verbindet man die Basis mit
einem 100 k-Widerstand mit dem Anschluss des Transistors, mit dem der positive

Anschluss des Ohmmeters verbunden ist, beginnt der Transistor zu leiten. Dem vom

Ohmmeter angezeigten Wert des Widerstandes notiert man sich. Nun werden die bei-
den unbekannten Anschlüsse des Transistors vertauscht. Der 100 k-Widerstand wird
wieder zwischen Basis und positiven Anschluss des Ohmmeters geschaltet. Jetzt leitet
der Transistor wieder. Die Messung mit dem niedrigeren gemessenen Widerstand des

Transistors zeigt, welcher Anschluss der Kollektor sein muss. Bei dieser Messung war
der 100 k-Widerstand nämlich zwischen Basis und Kollektor geschaltet.

c) Bei einem völlig unbekannten Transistor ermittelt man zuerst die Basis nach dem
oben gezeigten Verfahren. Als nächstes prüft man, ob ein Strom von der Basis zu
irgendeinem anderen Anschluss des Transistors fließt. Wenn an der Basis der positive

Anschluss des Ohmmeters liegt, dann handelt es sich um einen npn-Transistor. Liegt
an der Basis der negative Anschluss, dann handelt es sich um einen pnp-Transistor.

Aufgabe 17.2

Bei welcher Grundschaltung eines bipolaren Transistors im Betrieb als Verstärker erfolgt
eine Phasenverschiebung von 180 Grad zwischen Eingangs- und Ausgangsspannung?

Ist dies die Basis-, Kollektor-, Drain-, Source- oder Emitterschaltung?

Lösung

Emitterschaltung

Aufgabe 17.3

Abb. 17.1 zeigt den Ausgangskreis eines Transistorverstärkers. Im eingestellten Arbeits-
punkt beträgt die Spannung zwischen Kollektor und Emitter U

D

CE

10 V. Der Basisstrom

IB wird als vernachlässigbar klein betrachtet.

Die Betriebsspannung ist U D

D

B

30 V, der Arbeitswiderstand ist RA

100 .

a) Wie groß ist in diesem Arbeitspunkt der Kollektorstrom IC?

b) Welche Leistung PRA wird in diesem Arbeitspunkt im Arbeitswiderstand RA umge-
setzt?

c) Welche Verlustleistung PT wird in diesem Arbeitspunkt im Transistor umgesetzt?

d) Welche Leistung PUB muss die Betriebsspannungsquelle UB liefern?

Lösung
a) Ein Maschenumlauf im Uhrzeigersinn ergibt (es wird willkürlich bei UCE begonnen):

UCE

U

C

D

D UB

D 30 V 10 V D

CE

IC Ra

UB

0I

) IC

0;2 A

Ra

100

434

17

Bipolare Transistoren

Abb. 17.1 Ausgangskreis ei-
nes Transistorverstärkers
b) P

D

D

RA

RA I 2C

100 .0;2 A/2 D 4 W
c) P D

D

T

UCE IC

10 V 0;2 A D 2 W
d) P

D

C

D

D

UB

PRA

PT

UB IC

6 W

17.2

Eingangskennlinie, Arbeitspunkt

Aufgabe 17.4

Für die Berechnung eines Verstärkers mit einem Bipolartransistor ist der dynamische

Eingangswiderstand rBE des Transistors eine wichtige Größe. In Abb. 17.2 ist die Ein-
gangskennlinie eines Transistors mit einem festgelegten Arbeitspunkt AP gegeben.

Wie groß ist rBE des Transistors? Geben Sie einen für Kleinleistungstransistoren typi-
schen Wertebereich für rBE an. Ist die Eingangskennlinie temperaturabhängig? Falls ja,

Abb. 17.2 Eingangskennlinie eines Transistors mit einem festgelegten Arbeitspunkt AP

17.2

Eingangskennlinie, Arbeitspunkt

435

Abb. 17.3 Eingangskennlinie mit Tangente im Arbeitspunkt
welche Näherungswerte gelten für die Änderung von UBE bzw. IB bei einer Temperatur-
änderung?

Lösung

Der Eingangswiderstand rBE kann der Eingangskennlinie als Kehrwert der Steigung der

Kennlinie im Arbeitspunkt AP entnommen werden (Abb. 17.3).

r

D U D 0;075 V D

BE

937 :

I

80 A

Bei den für Kleinleistungstransistoren üblichen Werten des Basisstroms IB von 1 A bis

100 A liegt rBE ungefähr im Bereich von 30 k bis 300 .

Die Eingangskennlinie ist stark von der Temperatur abhängig. Bei konstantem Basis-
strom sinkt die Basis-Emitter-Spannung mit steigender Temperatur um ca. 2 mV/ıC. Wird
dagegen UBE konstant gehalten, verdoppelt sich der Basisstrom mit etwa 12 ıC Tempera-
turerhöhung.

Aufgabe 17.5

Gegeben ist in Abb. 17.4 die Eingangskennlinie I D

B
f .UBE/ eines Transistors und in

Abb. 17.5 das Ausgangskennlinienfeld I D

C
f .UCE/ des Transistors mit IB als Parameter.

Der in Abb. 17.6 gezeigte Transistorverstärker mit der Betriebsspannung U D

B

15 V soll
eine möglichst große Amplitude der Ausgangsspannung ermöglichen. Als Basisgleich-
strom zur Festlegung des Arbeitspunktes AP wird I D

B

50 A gewählt.

436

17

Bipolare Transistoren

Abb. 17.4 Eingangskennlinie eines Transistors

Abb. 17.5 Ausgangskennlinienfeld des Transistors

Abb. 17.6 Transistorverstär-
ker

17.2

Eingangskennlinie, Arbeitspunkt

437

Abb. 17.7 Ausgangskennlinie zum gewählten Basisstrom
a) Um welche Grundschaltung eines Transistorverstärkers handelt es sich?

b) Bestimmen Sie R1, R2 und RC. Erläutern Sie die detailliert die Vorgehensweise.

c) Wird der eingestellte Arbeitspunkt exakt erreicht und ist er stabil? Falls nein, warum
nicht? Durch welche Maßnahme könnte man den Arbeitspunkt einstellen? Wie ver-
halten sich Basis- und Kollektorstrom sowie Kollektor-Emitter-Spannung, wenn der

Transistor erwärmt wird? Begründen Sie Ihre Antworten ausführlich.

d) Schlagen Sie zwei Schaltungen mit Stromgegenkopplung und eine Schaltung mit

Spannungsgegenkopplung zur Stabilisierung des Arbeitspunktes vor. Berechnen Sie
die Werte aller Widerstände in den Schaltungen.

Lösung
a) Es handelt sich um eine Emitterschaltung.

b) Um bei einem Transistorverstärker eine möglichst große Amplitude der Ausgangs-
spannung zu ermöglichen, wird die Kollektor-Emitter-Spannung etwa halb so groß
wie die Betriebsspannung UB gewählt. Zu dem gewählten Basisstrom von 50 A (in

Abb. 17.7 eingekreist) gibt es eine entsprechende Kennlinie im Ausgangskennlinien-
feld. Bei U

D

D

CE

UB=2 D 7;5 V liest man einen Kollektorstrom von ca. IC

8;7 mA
ab.

Aus dem Ausgangskennlinienfeld folgt auch als Kollektor-Basis-Stromverhältnis der

Gleichstromverstärkungsfaktor: B D IC D 8;7 mA D 174.

IB

50 A

Die Basis-Emitter-Spannung U

D

BE kann der Eingangskennlinie (Abb. 17.4) IB
f .UBE/ entnommen werden (Lot vom Arbeitspunkt auf die Abszisse), sie beträgt

U

D

BE

0;72 V. Ungenauer könnte sie (bei einem Siliziumtransistor) auch zu 0,6 V oder

0,7 V angenommen werden. Die Spannung UBE wird mittels eines Spannungsteilers

438

17

Bipolare Transistoren

Abb. 17.8 Schaltung mit Strö-
men und Spannungen
eingestellt. Damit der dem Spannungsteiler entnommene Basisstrom die eingestellte

Spannung nicht beeinflusst, wird der Teilerstrom IT etwa zehnmal so groß wie der

Basisstrom gewählt. ) I D

T

500 A.

Aus der Schaltung (Abb. 17.8) lassen sich die Widerstände unmittelbar berechnen.

UCE

R D UB

D 15 V 7;5 V D

C

862

IC

8;7 mA

U

R D UB

BE D 15 V 0;72 V D

1

25:963

I C

B

IT

50 A C 500 A

R D UBE D 0;72 V D

2

1440

IT

500 A
c) Der gewünschte Arbeitspunkt wird nicht exakt erreicht. Ursache ist die Streuung al-
ler Transistorparameter. Die Gleichstromverstärkung B kann z. B. um 50 % und mehr
von dem aus den Diagrammen bestimmten Wert abweichen, da diese typische Werte
wiedergeben.

Der Arbeitspunkt könnte eingestellt werden, indem man z. B. R1 durch ein Potenzio-
meter ersetzt. Dies ist aber in der Praxis keine brauchbare Lösung. Der Arbeitspunkt
ist auch nicht stabil. Dies stellt man leicht fest, indem man den Transistor etwas
erwärmt. Da die Basis-Emitter-Spannung durch den Spannungsteiler stabil gehalten
wird, nimmt der Basisstrom bei Erwärmung zu (etwa eine Verdoppelung für je 10 ıC

Temperaturerhöhung). Wegen I D

C

B IB steigt damit auch der Kollektorstrom. Der

Spannungsabfall an RC wird größer, also nimmt die Kollektor-Emitter-Spannung UCE
ab. Eine brauchbare Schaltung erhält man nur mittels geeigneter Stabilisierungsmaß-
nahmen.

d) Eine gängige Schaltungsvariante der Stromgegenkopplung besteht darin, dass in die

Emitterzuleitung ein Widerstand eingefügt wird (Abb. 17.9).

Auch hier steigt der Basisstrom bei Erwärmung, da die Basis-Emitter-Spannung durch
den Spannungsteiler fest ist. Der dann folgende Stromanstieg von IC hat auch eine

Erhöhung der Spannung am Emitterwiderstand zur Folge, durch den IC nach Masse
fließt. Da die Basisspannung gegen Masse fest ist, muss also UBE kleiner werden. Das
verringert aber den Flussstrom IB durch die Basis-Emitter-Diode. Folglich muss auch

IC wieder abnehmen, bis das ursprüngliche Gleichgewicht wieder hergestellt ist.

17.2

Eingangskennlinie, Arbeitspunkt

439

Abb. 17.9 Stromgegenkopp-
lung durch Widerstand in der

Emitterzuleitung

Abb. 17.10 Nutzung des

Spannungsabfalls an R1

Die Dimensionierung geht von der Annahme aus, dass an RE etwa 1 V bis 3 V abfallen
dürfen, ohne die Amplitude der Ausgangsspannung merklich zu beschneiden. Hier
wurde UCE um 1 Volt verkleinert. Es folgt die Berechnung der Widerstände.

U U

R D UB

E

CE D 15 V 2 V 6;5 V D

C

747

IC

8;7 mA

R D

UE

D

2 V

D

E

229

I C

C

IB

8;7 mA C 50 A

U U

R D UB

E

BE D 15 V 2 V 0;72 V D

1

22:327

I C

B

IT

50 A C 500 A

C U

R D UBE

E D 0;72 V C 2 V D

2

5440

IT

500 A

Statt der Arbeitspunkteinstellung mittels Basisspannungsteiler kann auch der Span-
nungsabfall an R1 ausgenützt werden (Abb. 17.10).

Nun errechnet sich R1 zu

U

E

UBE

R D UB

D 15 V 2 V 0;72 V D

1

245;6 k˝

IB

50 A

Die Werte für RC und RE ändern sich nicht.

Beide Schaltungen zeigen sehr gute Stabilität bei schwankenden Temperaturen und

(z. B. im Reparaturfall) bei einem Wechsel des Transistors.

Einer Zunahme des Basisstroms kann man auch dadurch begegnen, dass die dabei
fallende Kollektor-Emitter-Spannung auf die Basis rückgekoppelt wird und die Basis-

Emitter-Spannung absenkt (Abb. 17.11).

440

17

Bipolare Transistoren

Abb. 17.11 Schaltung mit

Spannungsgegenkopplung zur

Stabilisierung des Arbeits-
punktes

Aus der Schaltung kann man berechnen:

U

R D UCE

BE D 7;5 V 0;72 V D

1

135;6 k˝

IB

50 A

U

R D UB

CE D 15 V 7;5 V D

C

857

I C

C

IB

8;7 mA C 50 A

Auch diese Schaltung arbeitet weitgehend unabhängig von Exemplarstreuungen des

Transistors oder thermischen Einwirkungen.

Aufgabe 17.6

In der Schaltung nach Abb. 17.12 wird der npn-Bipolartransistor T als Schalter betrieben.

Das Ausgangskennlinienfeld von T ist in Abb. 17.13 angegeben.

a) Zunächst ist die Eingangsspannung U D
e

0 V. Wie ist dadurch der Schaltzustand von

T? Bestimmen Sie den Widerstandswert von R

D
a so, dass Ua

10 V beträgt.

b) Berechnen Sie IC in Abhängigkeit von UCE, UB, Ra und RL. Zeichnen Sie diese Funk-
tion mit berechneten bzw. gegebenen Zahlenwerten als Arbeitsgerade AG1 in das

Ausgangskennlinienfeld ein.

c) Die Eingangsspannung wird nun auf U D
e

2;5 V eingestellt. Dadurch fließt ein Kol-
lektorstrom I D

C

240 mA. Kennzeichnen Sie den Arbeitspunkt AP im Ausgangskenn-
linienfeld. Wie groß ist der zugehörige Basisstrom IB?

Abb. 17.12 Transistor als

Schalter

17.2

Eingangskennlinie, Arbeitspunkt

441

Abb. 17.13 Ausgangskennlinienfeld des Transistors
d) Bestimmen Sie den Widerstandswert des benötigten Basisvorwiderstandes RB. Neh-
men Sie hierzu für die Basis-Emitter-Spannung den typischen Wert eines Si-Bipolar-
transistors von U

D

BE

0;7 V an.

e) Welche Leistung PT wird im eingestellten Arbeitspunkt näherungsweise (der Basiss-
trom wird vernachlässigt) im Transistor umgesetzt?

f) Nun sei R D 1
a

. Zeichnen Sie die neue Arbeitsgerade AG2 in das Ausgangskennli-
nienfeld ein.

g) Wo muss der Arbeitspunkt liegen, damit die im Transistor umgesetzte Leistung PV;max
maximal wird? Wie groß ist PV;max?

Lösung
a) Für U D
e

0 V sperrt T, die Strecke Kollektor-Emitter kann als offen betrachtet werden.

Ra und RL liegen als Spannungsteiler an UB:

R

a

RL

U D

)

D Ua

I

D
a

UB

Ra

Ra

42;9

R C

a

RL

UB

Ua
b) Knotenregel am Kollektorknoten:

U

I D

D UB

CE I

D UCE )

C

IRL

Ia mit IRL

Ia

RL

Ra

U

1

I D UB

CE UCE D UB UCE UCE I

D

C 1

C UB

C

IC

UCE

RL

Ra

RL

RL

Ra

RL

Ra

RL

442

17

Bipolare Transistoren

Abb. 17.14 Ausgangskennlinienfeld mit Arbeitsgeraden und Arbeitspunkt

Dies ist eine Geradengleichung, sie beschreibt die Arbeitsgerade.

Zahlenwerte einsetzen ergibt: I D

C

C

0;04 S UCE

0;4 A.

Es werden zwei Punkte der Arbeitsgeraden berechnet:

I

D

D

C.UCE

0/ D 0;4 A; IC.UCE

10 V/ D 0 A; die beiden Punkte werden in
das Ausgangskennlinienfeld eingetragen und die Arbeitsgerade (AG1) eingezeichnet

(Abb. 17.14).

c) Im Ausgangskennlinienfeld wird für I D

C

240 mA beim Schnittpunkt der Arbeitsge-
raden mit einer Ausgangskennlinie der AP eintragen und der zur Ausgangskennlinie
gehörige Parameterwert von I

D

B ablesen: IB

400 A.

d)

U

R D UE

BE I

D 2;5 V 0;7 V D

B

RB

4;5 k

IB

4 104 A
e) Der Basisstrom wird vernachlässigt. Damit ist P D

T

UCE IC.

Die zum Arbeitspunkt zugehörige Kollektor-Emitter-Spannung wird aus dem Aus-
gangskennlinienfeld zu U

D

D

CE

4 V abgelesen. PT

4 V 0;24 A D 0;96 W
f) Für R D 1

D 1

C UB
a
wird die Gleichung der Arbeitsgeraden: IC

U

.

R

CE

L

RL

Es werden wieder zwei Punkte der Arbeitsgeraden berechnet.

U

D

D

D

D

CE

0 gibt IC

0;4 A und IC

0 gibt UCE

UB.

Der Wert U

D

CE

UB liegt außerhalb des Zeichnungsbereiches. Deshalb wird für

U

D

D

CE

10 V eingesetzt, man erhält IC

0;233 A. Die beiden Punkte verbinden im

Ausgangskennlinienfeld die neue Arbeitsgerade AG2 (Abb. 17.14)

17.2

Eingangskennlinie, Arbeitspunkt

443

Abb. 17.15 Reale Spannungs-
quelle
g) Wir vergleichen jetzt die Schaltung mit einer realen Spannungsquelle (Abb. 17.15).

Die Leistung P

D

D
max in Ra ist maximal, wenn gilt: Ra

Ri, sie beträgt dann Pmax

U 2

0 . Dies ist der Fall der Leistungsanpassung.

4Ra

Durch die Ersetzungen R

D

D
a

RL (RL

Kollektorwiderstand), Widerstand der

Kollektor-Emitter-Strecke R

D

D

CE

Ri und U0

UB werden die Verhältnisse auf die

Transistorschaltung übertragen.

Für R D

D

D UB
i

RL ist URL

UCE

. Der Arbeitspunkt muss also in der Mitte der

2

Lastgeraden bei U

D UB

CE
liegen. Man erreicht dadurch eine maximale Aussteuerbar-

2
keit ohne Gefahr der Übersteuerung (Wahl der Kollektor-Emitter-Spannung wie bei

Aufgabe 17.5b). Somit ergibt sich: U

D

CE

12 V.

Damit ist

U C 2 U

I D UB C UB D

B

B D UB I

D 24 V D

C

IC

0;2 A

2 RL

RL

2 RL

2 RL

2 60

Die im Transistor umgesetzte Leistung P

D U2B

V;max ist PV;max

.

4RL

P

D .24 V/2 D

V;max

2;4 W

4 60

Durch die Leistungsanpassung wird nicht nur die Leistung im Transistor, sondern auch
die an RL abgegebene Leistung maximal.

Aufgabe 17.7

Es soll der Arbeitspunkt des Transistorverstärkers in Abb. 17.16 eingestellt werden.

Gegeben: U D

D

D

D

D

B

15 V, IC

5 mA, UCE

5 V, URE

3 V, IR2

10 IB

Der Transistor wird durch die beiden Gleichungen U

D

D

BE

0;6 V und IC

200 IB
beschrieben.

a) Beschreiben Sie die Schaltung und die Aufgaben der einzelnen Bauteile.

b) Berechnen Sie die vier Widerstände der Schaltung so, dass die gegebenen Werte der

Spannungen und Ströme zutreffen.

444

17

Bipolare Transistoren

Abb. 17.16 Transistorverstär-
ker

Lösung
a) Kurze Beschreibung der Schaltung:

Die beiden Kondensatoren am Eingang und am Ausgang des Verstärkers haben die

Aufgabe, Wechselstrom und Gleichstrom voneinander zu trennen. Ein Gleichspan-
nungsanteil der zu verstärkenden Eingangs-Wechselspannung würde den Arbeitspunkt
des Transistors verschieben. Die Kondensatoren sperren Gleichstrom und lassen

Wechselstrom nahezu ungehindert durch. Der Kondensator am Ausgang ist zugleich
der Kondensator am Eingang einer nachfolgenden Verstärkerstufe.

Im Transistor selbst gibt es neben den zeitlich veränderlichen Spannungen und Strö-
men auch Gleichströme und Gleichspannungen. Die „Einstellung des Arbeitspunktes“
betrifft nur diese Gleichgrößen. Man geht also bei der Betrachtung des Arbeitspunktes
davon aus, dass alle Wechselstromquellen der Gesamtschaltung abgeschaltet sind.

Der Widerstand RC stellt den „Arbeitswiderstand“ dar, an dem die Wechselstrom-

Ausgangsspannung abfällt.

Der Widerstand RE dient zur Temperaturstabilisierung des Arbeitspunktes. Mit stei-
gender Temperatur steigt der Emitterstrom des Transistors an. Dadurch wird URE grö-
ßer. Da die Spannung an R2 wegen des Spannungsteilers bestehend aus R1 und R2
mit steigender Temperatur nahezu konstant bleibt, wird UBE kleiner. Dies wirkt dem

Anstieg des Emitterstroms wieder entgegen.

Die beiden Widerstände R1 und R2 dienen zum Einstellen des Basisstroms.

Die vorgegebenen Werte von I D

D

C

5 mA und UCE

5 V können als empfohlene

Werte des Herstellers betrachtet werden. Der Wert I

D

R2

10 IB sorgt dafür, dass der
dem Spannungsteiler entnommene Basisstrom die eingestellte Spannung an R2 nicht
beeinflusst.

b)

U U

R D UB

RE

CE D 7 V D

D 3 V D

C

1;4 k; mit IE

IC folgt RE

600

IC

5 mA

5 mA

An R

C

2 liegt die Spannung UBE

URE. Somit ist:

R D 0;6 V C 3;0 V D 3;6 V D

2

14;4 k

5 mA 10

250 A

200

17.2

Eingangskennlinie, Arbeitspunkt

445

Abb. 17.17 Transistorverstär-
ker mit Ausgangssignal

Durch R1 fließt die Summe aus IB und IR2.

U

RE

UBE

R D UB

D 11;4 V D

1

41;5 k

I C

B

IR2

275 A

Aufgabe 17.8

Das Eingangssignal Ue des abgebildeten Transistorverstärkers in Abb. 17.17 ist sinus-
förmig. Das dazugehörige Ausgangssignal Ua mit begrenzten positiven Halbwellen ist
ebenfalls abgebildet.

Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche sind falsch?

Um ein sinusförmiges Ausgangssignal Ua zu erhalten, könnte man:

1) den Widerstand R1 vergrößern,

2) den Widerstand RE verkleinern,

3) den Widerstand RC verkleinern,

4) den Kondensator C vergrößern,

5) die Betriebsspannung UB erhöhen.

Lösung

Die positiven Spitzen von Ua werden abgeschnitten (begrenzt). Der Kollektor hat im Ar-
beitspunkt ein zu positives Potenzial. Die Basis ist also im Arbeitspunkt zu wenig positiv,
der npn-Transistor wird durch die zu nahe an Massepotenzial liegende Basis zu we-
nig durchgesteuert. Der Widerstand R1 zieht die Basis zu stark gegen Masse, er muss
vergrößert werden. Wird die Betriebsspannung UB erhöht, so vergrößert sich der Aussteu-
erbereich.

Somit sind die Punkte 1 und 5 richtig, die anderen sind falsch.

Aufgabe 17.9

Gegeben ist die Emitterschaltung in Abb. 17.18. Die Versorgungsspannung beträgt U D

B

10 V. Für den npn-Transistor T gelten die Kennlinien in Abb. 17.19 und Abb. 17.20.

a) Bestimmen Sie den Kollektorwiderstand RC und den Basisvorwiderstand RB so, dass
der Arbeitspunkt AP mit den Werten U

D

D

CE

6 V und IC

5 mA realisiert wird.

446

17

Bipolare Transistoren

Abb. 17.18 Emitterschaltung

Abb. 17.19 Ausgangskennlinienfeld

Abb. 17.20 Eingangskennlinie

17.2

Eingangskennlinie, Arbeitspunkt

447

Abb. 17.21 Maschengleichung
im Ausgangskreis
b) Berechnen Sie für den Arbeitspunkt AP die in den Widerständen und im Transistor
entstehende Verlustleistung. Wie groß ist die Belastung PUB der Betriebsspannungs-
quelle UB?

Lösung
a) Die Masche M ist der Ausgangskreis (Abb. 17.21). Die Maschengleichung ergibt:

U

U

D

D UB

CE D 10 V 6 VI

D

B

UCE

IC RC

0 ) RC

RC

800

IC

5 mA

Der Arbeitspunkt AP mit U

D

D

CE

6 V und IC

5 mA wird in das Ausgangskennli-
nienfeld eingetragen (Abb. 17.22). Für I

D

B wird im Arbeitspunkt AP abgelesen: IB

30 A.

Mit I D

B

30 A folgt aus der Eingangskennlinie: UBE

708 mV (Abb. 17.23).

Abb. 17.22 Ausgangskennlinienfeld mit Arbeitspunkt

448

17

Bipolare Transistoren

Abb. 17.23 Eingangskennlinie mit Arbeitspunkt

Abb. 17.24 Maschenglei-
chung im Eingangskreis

Der Basisvorwiderstand RB wird mit der Maschengleichung des Eingangskreises be-
stimmt (Abb. 17.24).

U

U C

C

D

D UB

BE D 10 V 0;708 VI

D

B

RB IB

UBE

0I

RB

RB

310 k

IB

30 A
b) Belastung des Widerstandes R

D

D

B: PB

I 2B RB

.30 A/2 310 k D 0;279 mW

Belastung des Widerstandes R

D

D

C: PC

I 2C RC

.5 mA/2 800 D 20 mW

Belastung des Transistors: P

D

D

VT

IC UCE

5 mA 6 V D 30 mW

Belastung von U

D

D

B: PUB

Iges UB

.5 mA C 30 A/ 10 V D 50;3 mW

(P

D

UB
gerundet die Summe der einzelnen Verlustleistungen)

Aufgabe 17.10

Die Ersatzschaltung eines Mikrofons ist eine Reihenschaltung einer Kapazität Ci und einer
reinen Wechselspannungsquelle ue. Das Mikrofon ist an den Eingang einer Verstärker-
schaltung mit dem bipolaren Siliziumtransistor T angeschlossen (Abb. 17.25).

17.2

Eingangskennlinie, Arbeitspunkt

449

Abb. 17.25 Mikrofon mit

Verstärkerschaltung

Gegeben: Versorgungsspannung U D

D

B

40 V, Kollektorstrom im Arbeitspunkt IC

152 A, Basisstrom im Arbeitspunkt I D

D

D

D

B

1 A, RC

100 k, RE

10 k, Ci

1 nF,
differenzieller Basis-Emitter-Widerstand r

D

BE

1 k, Gleich- und Wechselstromverstär-
kung von T sind gleich groß (B D ˇ).

a) Um welche Grundschaltung eines Transistorverstärkers handelt es sich?

b) Erläutern Sie die Aufgaben und Auswirkungen des Emitterwiderstandes RE.

c) Wie groß ist die Wechselstromverstärkung ˇ?

d) Wie groß sind die auf Masse bezogenen Gleichspannungen UC, UB, UE an Kollektor,

Basis und Emitter des Transistors?

e) Wie groß ist die Spannungsverstärkung V D ua

U

?

ue
f) Tragen Sie den Amplitudengang der Spannungsverstärkung und die Grenzfrequenz in
das Diagramm in Abb. 17.26 ein.

Lösung
a) Es handelt sich um eine Emitterschaltung mit Stromgegenkopplung.

b) Der Emitterwiderstand RE dient zum Stabilisieren des Arbeitspunktes des Transistors,
er bewirkt eine Gleichstrom-Gegenkopplung. Steigt infolge einer Temperaturerhöhung
der Kollektorstrom und damit der Emitterstrom, so steigt ebenfalls der Gleichspan-
nungsabfall an RE. Entsprechend der Maschengleichung des Eingangskreises wird die

Basis-Emitter-Spannung UBE kleiner, wenn der Spannungsabfall an RE größer wird.

Der Kollektorstrom sinkt somit wieder, der temperaturbedingten Stromsteigerung (und
damit Arbeitspunktverschiebung) wird entgegengewirkt.

Zusätzlich zur Gleichstrom-Gegenkopplung bewirkt RE eine Signal-Gegenkopplung.

Der Ausgangswechselstrom erzeugt an RE einen Wechselspannungsabfall, der wegen
der Phasenumkehr der Emitterschaltung im Eingangskreis gegenphasig zur Eingangs-
wechselspannung in Reihe liegt. Die Spannungsverstärkung nimmt dadurch ab, wäh-
rend der Eingangswiderstand der Schaltung (wie sich zeigen lässt) erhöht wird.

450

17

Bipolare Transistoren

Abb. 17.26 Diagramm für den Amplitudengang der Spannungsverstärkung
c)

Ď IC D 152

IB
d) Der Spannungsabfall an R

D

D

C ist URC

RC IC

15;2 V. Die Spannung am Kollektor
gegen Masse ist damit U D

D

C

UB

URC

40 V 15;2 V D 24;8 V.

Der Spannungsabfall an RE und somit die Spannung UE am Emitter gegen Masse ist

U

D

D

RE

RE IC

1;52 V:

Die Basis-Emitter-Diode leitet im Normalbetrieb (Verstärkerbetrieb) des Transistors.

Die Spannung Basis-Emitter UBE beträgt daher ca. 0,6 V. Die Spannung UB gegen

Masse ist

U D

D

B

0;6 V C URE

0;6 V C 1;52 V D 2;12 V:

e) Die Wechselspannungsverstärkung der Emitterschaltung bei Wechselstrom-Gegen-
kopplung (gegeben durch den Emitterwiderstand RE) ist

V D ua RC

U

10:

ue

RE
f) Der Kondensator Ci und die Eingangsimpedanz Zi der Emitterschaltung bilden einen

RC-Hochpass 1. Ordnung (Abb. 17.27).

Nach der Spannungsteilerformel ist die Übertragungsfunktion dieses Hochpasses

H .j!/ D

Zi

:

Z C 1
i
j!Ci

17.2

Eingangskennlinie, Arbeitspunkt

451

Abb. 17.27 RC-Hochpass 1. Ordnung

Der Amplitudengang ist
jH.j!/j D

Zi
q

:

Z2 C 1
i

!2C 2i

Bei der Grenzfrequenz fg ist
jH.j!/j D 1
p : ) 1
p D

Zi
q

2

2

Z2 C 1
i

!2gC 2i

Auflösen nach f

D

1
g ergibt fg

. Dieses Ergebnis hätte man natürlich auch aus

2ZiCi
einer Formelsammlung entnehmen können. Aus der Literatur oder einer Formelsamm-
lung wird die Eingangsimpedanz Zi der Emitterschaltung bei der hier vorliegenden

Strom-Gegenkopplung am Eingang entnommen: Z D

C

D
i
rBE

ˇ RE. Da ˇ RE

1520 k r

D

BE folgt: Zi

1520 k.

Damit ergibt sich die Grenzfrequenz f D

1

D
g

105 Hz, bei der die Ampli-

21;52 M1 nF
tude der Ausgangsspannung um 3 dB abgefallen ist.

Wie unter Punkt e) berechnet, ist der Betrag der Wechselspannungsverstärkung für

Frequenzen wesentlich oberhalb von f
j D j ua j D
g gleich jVU

10. Mit log.10/ D 1
ue
folgt, dass der Amplitudengang für hohe Frequenzen gegen 20 dB geht. Zu kleinen

Frequenzen hin nimmt der Amplitudengang mit 20 dB pro Dekade ab (Abb. 17.28).

Aufgabe 17.11

An den Eingang eines Transistorverstärkers ist über einen Koppelkondensator CK eine

Wechselspannungsquelle ue angeschlossen (Abb. 17.29). Bei einer Frequenz von f D

1 kHz beträgt das Verstärkungsmaß des Transistorverstärkers 40 dB.

Gegeben: Versorgungsspannung U

D

D

B

40 V, CK

10 F, differenzieller Basis-

Emitter-Widerstand r

D

BE

2 k, Gleich- und Wechselstromverstärkung von T sind gleich

O
groß B D Ď 100, Verstärkungsmaß A D 20 dB log Ua D

O

40 dB.

Ue
a) Welche Aufgabe hat der Koppelkondensator CK?

b) Welche Aufgabe hat der Widerstand RB?

c) Berechnen Sie allgemein die Wechselspannungsverstärkung V D ua

U
mit Hilfe der in
ue

Abb. 17.29 rechts gegebenen vereinfachten Transistorersatzschaltung.

Benutzen Sie die Näherung .i C

B

ˇ iB/ ˇ iB.

452

17

Bipolare Transistoren

Abb. 17.28 Amplitudengang der Spannungsverstärkung und Grenzfrequenz
d) Wie groß muss RC gewählt werden, damit die Verstärkung von 40 dB erreicht wird?

e) Wie groß muss der Widerstand RB ungefähr sein, damit im Arbeitspunkt für die Kol-
lektorspannung U

D UB

CEA angenähert gilt UCEA

? Wert von R

2

C entsprechend Teilauf-
gabe d.

f) Die Koppelkapazität CK führt zu einem Hochpass-Verhalten des Verstärkers. Berech-
nen Sie die Grenzfrequenz fg. Wert von RC entsprechend Teilaufgabe d, Wert von RB
entsprechend Teilaufgabe e.

g) Wie groß darf die Amplitude einer sinusförmigen Eingangswechselspannung ue
höchstens sein, damit die Ausgangsspannung ua sinusförmig bleibt?

Abb. 17.29 Transistorverstärker mit Koppelkondensator und Transistorersatzschaltung

17.2

Eingangskennlinie, Arbeitspunkt

453

Abb. 17.30 Wechselstromersatzschaltung des Verstärkers

Lösung
a) Der Koppelkondensator CK trennt die zu verstärkende Wechselspannung ue am Ein-
gang des Verstärkers gleichspannungsmäßig von der Basis des Transistors. Damit wird
eine Beeinflussung des Arbeitspunktes durch einen Gleichspannungsanteil der Ein-
gangsspannung vermieden, der Basisruhestrom des Transistors bleibt unverändert auf
seinem festgelegten Wert.

b) RB legt den Basisruhestrom fest.

Im Verstärkerbetrieb stellt die Basis-Emitter-Strecke des Transistors eine leitende Di-
ode dar. Die Basis-Emitter-Gleichspannung UBE ist somit ca. 0,7 V. An RB liegt also
die Gleichspannung U

D

D

RB

UB

UBE

39;3 V. Durch RB fließt der Gleichstrom

I D URB

B

, der als Basisruhestrom in die Basis des Transistors fließt.

RB
c) Mit der Transistorersatzschaltung erhält man die Wechselstromersatzschaltung des

Verstärkers (Abb. 17.30).

Die Ausgangsspannung u

D
a ist ua

.ˇ iB/ RC. Dabei ist ˇ iB der (verstärkte)

Kollektor(signal)strom, der durch R

D ue

C fließt. Der Basis(signal)strom ist iB

.

rBE

Jetzt wird iB in ua eingesetzt:

u D

)

D ua D ˇ RC
a

ˇ ue RC

VU
rBE
ue
rBE
d) Das Verstärkungsmaß von 40 dB entspricht einem Verstärkungsfaktor von 100.

Erläuterung:

!

!

O

U

O

U

O

U

20
a
a
dB log

D
a

D

D

O

40 dBI
log

2I

102 D 100

U

O

O
e

Ue

Ue

Aus
jV j D jua j D j ˇ RC j

U
ue
rBE

454

17

Bipolare Transistoren

Abb. 17.31 Hochpass-Verhalten des Verstärkers
erhält man

R D j
j rBE D

D

C

VU

100 2 k

2 k:

ˇ

100
e) Im Arbeitspunkt gilt:

UB

I D UCE Š

D 2 I

D 20 V D

C

IC

10 mA

RC

RC

2 k

I D IC D 10 mA D

B

100 A

B

100

Nach Teilaufgabe b) ist

R D URB D 39;3 V D

B

393 k:

IB

100 A
f) Abb. 17.31 ist ein Hochpass 1. Ordnung mit der Grenzfrequenz
f D

1
g

:

2 .R k

B
rBE/ CK

Mit R k

B
rBE
rBE folgt
f D

1

D

1

I

g
fg

8 Hz

2 r

BE

CK

2 2 k 10 F
g) An RC liegt nach Teilaufgabe e) die Gleichspannung 20 V. Die Kollektor-Emitter-Sät-
tigungsspannung UCEsat wird zu 0,2 Volt angenommen. Die Spannung am Kollektor
kann also nur Werte zwischen 40 V 20 V D 20 V und U

D

CEsat

0;2 V annehmen.

Bei der vorliegenden Verstärkung von 100 darf die Amplitude der Eingangsspannung
den Wert 20 V0;2 V D 0;198 V nicht überschreiten, damit die positiven und negati-

100
ven Spitzen der Ausgangsspannung nicht begrenzt werden. Die Sinusform geht sonst
verloren.

Anmerkung: Aus dieser Aufgabe sollte man lernen, dass bei Berechnungen mit Tran-
sistoren häufig selbstständig zwei Annahmen getroffen werden müssen, da diese Grö-
ßen in der Aufgabenstellung nicht explizit angegeben werden.

17.2

Eingangskennlinie, Arbeitspunkt

455

Abb. 17.32 Transistorverstär-
ker mit Zenerdiode

1. Die Basis-Emitter-Spannung beträgt ca. 0,6 bis 0,7 Volt (Silizium-Bipolartransis-
tor).

2. Die Sättigungsspannung zwischen Kollektor und Emitter beträgt bei einem Klein-
leistungstransistor ca. 0,2 bis 0,3 Volt.

Aufgabe 17.12

Ein direkt gekoppelter Transistorverstärker wird mit positiver und negativer Betriebss-
pannung versorgt (Abb. 17.32). Vom Transistor T sind die Parameter r

D

BE

2 k und

B D Ď 200 bekannt. Von der Zenerdiode sind die Zenerspannung U D

Z

11;4 V und
der differenzielle Widerstand r D

D

Z

100 bekannt. Es ist RC

9;2 k. Die Größe des

Emitterwiderstandes RE ist unbekannt.

a) Welche Aufgabe erfüllt die Zenerdiode DZ?

b) Berechnen Sie den Basisruhestrom I

D

B, wenn ein Kollektorruhestrom von IC

1 mA
fließt.

c) Wie groß muss R

D

E gewählt werden, damit sich ein Kollektorruhestrom von IC

1 mA
einstellt?

d) Wie groß ist die Spannungsverstärkung in dB?

e) Wie groß ist die Impedanz Ze (Eingangsimpedanz), welche die Spannungsquelle ue
belastet?

f) Wie groß ist die Ausgangsimpedanz Za?

Lösung
a) Die Zenerdiode setzt den Spannungsabfall über RE herab und damit Emitter- und

Kollektorstrom. Dadurch kann RC > RE gewählt werden, dies erlaubt eine Span-
nungsverstärkung
jV j D RC

U

1:

RE
b)

I D IC D 1 mA D

B

5 A

B

200

456

17

Bipolare Transistoren

Abb. 17.33 Zur Maschenglei-
chung
c) Die Basis liegt auf Nullpotenzial, der Basisstrom fließt durch die Wechselspannungs-
quelle (Signalquelle am Eingang) (Abb. 17.33).

In Abb. 17.33 ergibt die Maschengleichung M: U C

C

D

B

UBE

U C UZ

0.

Mit U

D

BE

0;6 V folgt:

U D U

D

B

UBE

UZ

15 V 0;6 V 11;4 V D 3;0 V

Der Strom I D

C

E

IB.1 C B/ durch RE
rZ ergibt RE:

R D

U

D

E
rZ

2;985 k

IB.1 C B/

Gewählt wird der Wert R D

E

3;0 k aus der E24-Normreihe.

d) Die Spannungsverstärkung in dB ist

j

R

V j D

C

D

U

20 dB log

9;73 dB:

RE
e) Die Eingangsimpedanz ist Z D

C

C
e
rBE

B .RE
rZ/.

Z D
e

2 k C 200 .3;0 k C 100 / D 622 k
f) Die Ausgangsimpedanz ist Z

D
a

RC

9;2 k.

Aufgabe 17.13

Für welche Aufgaben wird ein bipolarer Transistor in Basisschaltung hauptsächlich ein-
gesetzt? Was sind die Eigenschaften der Basisschaltung und was sind die Gründe dafür?

17.3

Die physikalische Ersatzschaltung

457

Lösung

Die Basisschaltung wird hauptsächlich als HF-Verstärker zur Verstärkung hochfrequenter

Signale eingesetzt. Da die Basis auf Masse liegt, ist eine sehr gute Trennung zwischen

Eingang und Ausgang der Verstärkerstufe gewährleistet. Parallel zum Eingang liegt eine
sehr viel kleinere innere Kapazität des Transistors als z. B. bei der Emitterschaltung. Diese

Kapazität bildet mit dem Innenwiderstand der Signalquelle einen Tiefpass mit einer viel
höheren Grenzfrequenz als bei der Emitterschaltung.

17.3

Die physikalische Ersatzschaltung

Aufgabe 17.14

Gegeben ist das Netzwerk in Abb. 17.34 mit den Werten:

U D

D

D

D

D

0

10 V, D 15, R11

10 , R12

5 , R21

10 , R22

5 .

Um welche Art von gesteuerter Quelle handelt es sich bei dem Teilnetzwerk zwischen
den Klemmen 1, 2 und A, B? Wie groß ist UAB und welchen Wert hat der Strom durch
den Widerstand R22?

Lösung

Das Teilnetzwerk ist eine spannungsgesteuerte Spannungsquelle, da die Ausgangsspan-
nung UAB, über den Steuerkoeffizienten verknüpft, von der Eingangsspannung U12
abhängt.

U12 kann sofort nach der Spannungsteilerregel berechnet werden.

R

U D

12

D

12

U0

3;3 V

R C

11

R12

Die Spannung U12 wird durch die gesteuerte Quelle um den Faktor D 15 verstärkt.

U D

12

15 3; 3 V D 50 V

Wiederum nach der Spannungsteilerregel ist die Spannung UAB:

U

D

D

AB

50 V

R22

16;6 V

R C

21

R22

Abb. 17.34 Netzwerk mit
gesteuerter Quelle

458

17

Bipolare Transistoren

Abb. 17.35 Transistorverstärker

Abb. 17.36 -Funktionser-
satzschaltung eines Transistors

Nach dem ohmschen Gesetz ist der Strom durch R22:

I D 16;6 V D 3;3 A:

5 V

Aufgabe 17.15

Mit einer Knotenanalyse ist unter Verwendung einer einfachen -Funktionsersatzschaltung
des Transistors (der Basisbahnwiderstand rb kann vernachlässigt werden) die Verstärkung
der Schaltung in Abb. 17.35 zu bestimmen. Die Verstärkerstufe ist am Eingang maximal
aussteuerbar.

Lösung

Zuerst wird das Wechselstrom-Ersatzschaltbild der Schaltung gezeichnet. Dabei wird die
in Abb. 17.36 gezeigte -Funktionsersatzschaltung eines Transistors in Emitterschaltung

(für den NF-Bereich) benutzt.

Zu beachten ist (Abb. 17.37):

1. Bei einer Knotenanalyse sollen im Schaltbild nur Stromquellen vorkommen. Die Span-
nungsquelle Uq wird deshalb in eine Stromquelle umgewandelt.

2. Der Arbeitswiderstand RC liegt wechselstrommäßig parallel zum Ausgang, da die

Gleichspannungsquelle UB für Wechselstrom einen Kurzschluss darstellt.

Die Schaltung ist am Eingang maximal aussteuerbar, somit gilt: U

D

CE

UB=2. Damit
wird der Kollektorstrom I D UB=2 D

C

4 mA. Somit ist

RC
r UT 25;4 mV
e

6;4 :

IE

4 mA

17.3

Die physikalische Ersatzschaltung

459

Abb. 17.37 Schaltung für die Knotenanalyse

Knotenanalyse:

Als Bezugsknoten wird der Massepunkt gewählt. Für die Knoten K1 und K2 werden
die Knotenpunktsgleichungen aufgestellt.

1

Knoten K W

C 1

C

Uq D

1 Ue

.Ue

Ua/ 1

0 (Gl. 1)

ˇ re

Ri

R1

Ri

Knoten K W

1 C

C

D

2 Ua

.Ua

Ue/ 1

ˇ ib

0 (Gl. 2)

RC

R1

Isolieren der Knotenspannungen in Gl. 1 ergibt:

1

U

C 1 C 1

1

Uq D
e

Ua

0

ˇ re

Ri

R1

R1

Ri

Mit eingesetzten Zahlenwerten folgt: 0;002 U

D
e

105 Ua

103 Uq

0

U D

C
e

5 103 Ua

0;5 Uq

Mit i D Ue
b
folgt aus Gl. 2:

ˇre

U 1 C

C

1 D
a

.Ua

Ue/ 1

Ue

0

RC

R1
re

Auflösen nach Ua ergibt:

re/ RC

U D

.R1
a

Ue r

C
e

.R1

RC/

Zahlenwerte eingesetzt: U D
a

53;6 Uq

Einsetzen von U

D

C

D
e: Ua

231 .5 103 Ua

0;5 Uq/ ) Ua

53;6 Uq

V D Ua I

V 54

Uq

460

17

Bipolare Transistoren

Abb. 17.38 Transistorschal-
tung

17.4

Darlington-Schaltung

Aufgabe 17.16

Gegeben ist die Transistorschaltung in Abb. 17.38. Die Stromverstärkung von Transistor

T

D

D

D

D

1 ist Ť1

100, die von T2 ist Ť2

200. Außerdem: RC

200 , R1

8;6 M,

U D

B

10 V.

a) Wie wird die Transistorschaltung allgemein genannt?

b) Wie groß ist die Stromverstärkung ˇges der Schaltung?

c) Bestimmen Sie den Strom IC.

d) Berechnen Sie UC0E0.

Lösung
a) Es handelt sich um eine Darlington-Schaltung.

b) Ď

D
ges

Ť1 Ť2

100 200 D 20:000
c)

U

I D

I

D UB

B0E0 I

C

D

C

ˇges IB

IB

UB0E0 D UBE

UBE

2 0;7 V D 1;4 V

R1

UB0E0

I D UB

D 10 V 1;4 V D

D

B

1;0 AI

IC

20:000 1 A D 20 mA

R1

8;6 M
d) U

D

C0E0 D UB

IC RC

10 V 20 mA 200 D 10 V 4 V D 6 V

17.5

Differenzverstärker

Aufgabe 17.17

Gegeben ist die Transistorschaltung in Abb. 17.39.

Gegebene Werte: U

D C

D

D C

D

B1

5 V, UB2

5 V, U1

0;5 V Gleichspannung, RV

R

D

D

D

D

C1

RC2

1 k˝, ˇ1

ˇ2

100

17.6

Kodes, Logische Funktionen, Schaltalgebra

461

Abb. 17.39 Eine spezielle

Transistorschaltung
a) Um welche spezielle Transistorschaltung handelt es sich?

b) Leiten oder sperren die Transistoren T1, T2?

c) Bestimmen Sie die Spannungen UE, UC1 und UC2.

Lösung
a) Die Schaltung ist ein Differenzverstärker.

b) Entsprechend dem Schaltzeichen handelt es sich um pnp-Transistoren. Ein pnp-

Transistor leitet, wenn seine Basis negativ ist. Dementsprechend sperrt T2, da dessen

Basis auf einem Potenzial von C0;5 V liegt. Nimmt man an, dass T1 leitet, so ist UEB1
ca. 0,7 V. UEB2 ist dann ca. 0,2 V (T2 sperrt). Ergebnis: T1 leitet, T2 sperrt.

c) U D

D

E

UEB1

0;7 V

Durch RV fließt der Strom

U

I

D URV D UB1

EB1 D 5 V 0;7 V D

RV

4;3 mA:

RV

RV

1 k

Dieser Strom fließt auch durch R

D

D

C1, an dem somit URC1

IRV RC1

4;3 mA

1 k D 4;3 V abfallen.

Für U

D

C

D

C1 ergibt sich: UC1

URC1

UB2

4;3 V 5 V D 0;7 V

Da T

D

2 sperrt, fließt durch RC2 kein Strom und es ist URC2

0 V (kein Spannungsabfall
an R

D

D

C2). Somit ist UC2

UB2

5 V.

17.6

Kodes, Logische Funktionen, Schaltalgebra

Aufgabe 17.18

Die Schaltung in Abb. 17.40 mit den Schaltern a, b und c soll mit Gattern realisiert werden.

a) Zeichnen Sie die Schaltung mit digitalen Bausteinen.

b) Geben Sie die Funktionsgleichung an.

c) Stellen Sie die Wahrheitstabelle auf.

462

17

Bipolare Transistoren

Abb. 17.40 Logische Schal-
tung mit Schaltern

Abb. 17.41 Schaltung nach

Abb. 17.40 mit digitalen Bau-
steinen

Lösung
a) Die Schaltung mit digitalen Bausteinen zeigt Abb. 17.41.

b) y D a UND ( b ODER c); y D a ^ .b _ c/
c) Wahrheitstabelle:

a
b
c
b _ c
y D a ^ .b _ c/

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

Aufgabe 17.19

Geben Sie für den folgenden logischen Ausdruck das Schaltbild mit Schaltern an.

z D s ^ ..t ^ .u _ .v ^ w/// _ .x ^ y//

Lösung

Das Schaltbild mit Schaltern zeigt Abb. 17.42.

Aufgabe 17.20

Geben Sie die Dezimalzahl 180 als Hexadezimalzahl und als Dualzahl an.

Lösung

Ohne Rest ist 16 in 180 11-mal enthalten (11 16 D 176). Der Rest ist 4 D 4 160.

Die dezimale 11 ist als Hex-Zahl „B“. Somit ist 180 D

10

B416.

Jede Stelle der Hex-Zahl wird als Dualzahl geschrieben: 180 D

D

10

B416

101101002.

17.6

Kodes, Logische Funktionen, Schaltalgebra

463

Abb. 17.42 Logischer Aus-
druck realisiert mit Schaltern

Aufgabe 17.21

Wandeln Sie die Dualzahl 1001010 in eine Dezimalzahl um.

Lösung

Die Umwandlung erfolgt durch Aufsummieren der Zweierpotenzen.

1 26 C 0 25 C 0 24 C 1 23 C 0 22 C 1 21 C 0 20 D 64 C 0 C 0 C 8 C 0 C 2 C 0 D 74

Aufgabe 17.22

Wandeln Sie die Dezimalzahl 43 in eine Dualzahl um.

Lösung

43 W 2 D 21 Rest 1 20

21 W 2 D 10 Rest 1 21

10 W 2 D 5 Rest 0 22

5 W 2 D 2 Rest 1 23

2 W 2 D 1 Rest 0 24

1 W 2 D 0 Rest 1 25

1 25 C 0 24 C 1 23 C 0 22 C 1 21 C 1 20 D 32 C 0 C 8 C 0 C 2 C 1 D 43

43 D

10

1010112

Aufgabe 17.23

Addieren Sie im Dualsystem die Dezimalzahlen 11 und 18.

Lösung

11 ¶ 1011

18 ¶ 10010

29 ¶ 11101

464

17

Bipolare Transistoren

Abb. 17.43 Logische Schal-
tung

17.7

Schaltungstechnische Realisierung der logischen

Grundfunktionen

Aufgabe 17.24

Gegeben ist die logische Schaltung in Abb. 17.43.

a) Bei welchen Schalterstellungen der Schalter A und B leuchtet die LED, bei welchen
nicht? Erstellen Sie eine Wahrheitstabelle.

b) Welche logische Funktion realisiert diese Schaltung? Wie lautet der zugehörige logi-
sche Ausdruck? Wie wird die hier verwendete Technik zur Realisierung der logischen

Funktion genannt?

Lösung
a) Es handelt sich um npn-Transistoren, die in Reihe geschaltet sind. Ein npn-Transistor
als Schalter befindet sich im Durchlasszustand und leitet, wenn die Basis positiv ge-
genüber dem Emitter ist (UBE > ca. 0;7 V). Im leitenden Zustand kann man sich den

Kollektor des Transistors mit dem Emitter niederohmig verbunden vorstellen (stark
vereinfacht als geschlossenen Schalter). In obiger Schaltung leiten die Transistoren T1
und T2, wenn Schalter A und Schalter B in Stellung „1“ stehen. Ist Schalter A in Stel-
lung „0“, so sperrt T1. Ist Schalter B in Stellung „0“, so sperrt T2. Ist also nur einer der

Schalter, A oder B, in Stellung „0“, so liegt der Schaltungspunkt Y auf hohem Potenzi-
al, die LED leuchtet. Befinden sich die Schalter A und B in Stellung „1“, so kann man
sich den Schaltungspunkt Y mit Masse verbunden vorstellen, durch die LED fließt kein

Strom, sie leuchtet nicht.

Wahrheitstabelle:

A

B

Y

Zustand LED

0

0

1
leuchtet

0

1

1
leuchtet

1

0

1
leuchtet

1

1

0
leuchtet nicht

17.7

Schaltungstechnische Realisierung der logischen Grundfunktionen

465

Abb. 17.44 Logische Schal-
tung mit Wahrheitstabelle
b) Die Schaltung erfüllt die logische Funktion eines NAND-Gatters. Sind alle Eingänge

High („1“), so ist der Ausgang Low („0“). Ist auch nur einer der Eingänge Low, so ist
der Ausgang High. Die logische Gleichung dieser Schaltfunktion lautet: Y D A ^ B.

Die verwendete Technik wird Widerstands-Transistor-Logik oder RTL-Technik ge-
nannt.

Aufgabe 17.25

Vergleichen Sie qualitativ die Eigenschaften integrierter Logikschaltkreise in TTL-

Technik und CMOS-Technik bezüglich Verlustleistung und Schaltzeiten.

Lösung

Die Verlustleistung ist bei TTL-Technik höher bzw. hoch, bei CMOS-Technik sehr gering.

Die Schaltzeiten sind bei TTL-Technik klein, bei CMOS-Technik größer.

Aufgabe 17.26

Die Schaltung in Abb. 17.44 wird als Logikschaltung verwendet.

a) Tragen Sie die logischen Zustände als „0“ (entspricht „Low“ bzw. „Aus“ bzw. „keine

Spannung da“) und als „1“ (entspricht „High“ bzw. „Ein“ bzw. „Spannung da“) in die

Wahrheitstabelle in Abb. 17.44 ein.

b) Wie heißt diese logische Schaltung?

c) Geben Sie das Schaltzeichen der logischen Verknüpfung und das Ersatzschaltbild mit

Schaltern an.

Lösung
a) Die ausgefüllte Wahrheitstabelle zeigt Abb. 17.45.

b) Es handelt sich um eine Schaltung zur UND-Verknüpfung der beiden Eingangssignale,
es ist ein Dioden-UND-Gatter.

c) Das Schaltzeichen der logischen Verknüpfung und das Ersatzschaltbild mit Schaltern
zeigt Abb. 17.46.

466

17

Bipolare Transistoren

Abb. 17.45 Ausgefüllte Wahr-
heitstabelle

Abb. 17.46 Schaltzeichen

( links) und Schalter-Ersatz-
schaltbild ( rechts)

Abb. 17.47 Logische Schal-
tung

Abb. 17.48 Ausgefüllte Wahr-
heitstabelle

Aufgabe 17.27
a) Welcher Typ von Transistoren ist in der logischen Schaltung in Abb. 17.47 eingesetzt?

Geben Sie die genaue Bezeichnung an. Welcher Logikfamilie gehört der Schaltungs-
ausschnitt an? Wie muss die Betriebsspannung UB gepolt sein?

b) Welche logische Grundfunktion wird durch die Schaltung realisiert?

c) Geben Sie in einer Wahrheitstabelle den logischen Zustand des Ausgangs A als Funk-
tion des Eingangs E an.

Lösung
a) Die Transistoren sind selbstsperrende MOSFET vom Anreicherungstyp (enhance-
ment type metal-oxide-semiconductor). Solche Schaltungen werden in der CMOS-

Logikfamilie verwendet (Complementary MOS). UB muss positiv sein.

b) Die Schaltung ist ein Inverter.

c) Die Wahrheitstabelle mit dem logischen Zustand des Ausgangs A als Funktion des

Eingangs E zeigt Abb. 17.48.

Feldeffekt-Transistoren

18

Zusammenfassung

Verschiedene Typen von Feldeffekt-Transistoren werden mit ihren Eigenschaften
betrachtet und Möglichkeiten zur Einstellung des Arbeitspunktes aufgezeigt. Un-
terschiedliche Schaltungsarten in Anwendungen als Schalter und Verstärker zeigen
mögliche Ansätze zur Analyse und Berechnung der Anwendungen.

18.1

Grundwissen – kurz und bündig

Ein Feldeffekt-Transistor (FET) wird leistungslos durch eine Spannung gesteuert.

Die Anschlüsse eines FET heißen Source (S), Gate (G) und Drain (D).

Der Eingangswiderstand eines FET ist sehr hoch.

Es gibt Sperrschicht- und Isolierschicht-FETs.

In der integrierten Halbleitertechnik spielen MOSFETs eine wichtige Rolle.

Beim Power-MOSFET ist die Inversdiode zu beachten.

Grundlegende Betriebsarten als Schalter sind Highside- und Lowside-Schalter.

Eine Ladungspumpe dient zur Verdopplung einer Gleichspannung.

FETs können durch statische Entladungen zerstört werden. Bestimmte Regeln zur

Handhabung sind zu beachten.

18.2

Aufgaben zu Feldeffekt-Transistoren

Aufgabe 18.1

Gegeben ist die Schaltung in Abb. 18.1 mit einem Feldeffekt-Transistor.

Die Speisespannung UB beträgt 12 Volt. Damit der FET mit einem Ruhestrom von

I D

D

D

D

3 mA bei UDS

5 V arbeitet, benötigt er eine Gatespannung von UGS

2; 5 V.

Der Querstrom über den Gate-Spannungsteiler soll I D
q

100 nA betragen.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017

467

L. Stiny, Aufgabensammlung zur Elektrotechnik und Elektronik,

DOI 10.1007/978-3-658-14381-7_18

468

18

Feldeffekt-Transistoren

Abb. 18.1 Schaltung mit

Feldeffekt-Transistor

Abb. 18.2 Eingangskennlinie
des FET
a) Um welchen Typ von Transistor handelt es sich (entsprechend dem Schaltzeichen)?

b) Skizzieren Sie die Eingangskennlinie des FET.

c) In welcher Grundschaltung ist der FET eingesetzt?

d) Wie hoch ist näherungsweise die Spannungsverstärkung der Schaltung?

e) Findet durch den Transistor eine Phasenumkehr statt?

f) Zu welchem Zweck wird die Schaltung hauptsächlich eingesetzt?

g) Berechnen Sie den Widerstand RS.

h) Berechnen Sie den Gate-Spannungsteiler R1, R2.

i) Wie groß ist der Wechselstromeingangswiderstand re der Schaltung?

Lösung
a) Es handelt sich um einen selbstleitenden n-Kanal MOSFET (Verarmungstyp, Isolier-
schicht-Typ). Als selbstleitend wird der FET bezeichnet, weil er bei U

D

GS

0 V leitet,
es fließt ein Drainstrom.

b) Abb. 18.2 zeigt schematisch die Eingangskennlinie des FET.

c) Der FET ist in einer Drainschaltung eingesetzt.

d) Die Spannungsverstärkung der Drainschaltung ist nahezu eins.

e) Bei einer Drainschaltung findet keine Phasendrehung statt.

f) Der Anwendungsbereich einer Drainschaltung ist häufig der Einsatz als Impedan-
zwandler (sehr große Eingangsimpedanz, kleine Ausgangsimpedanz).

g) Der Gatestrom ist null. Aus U D

C

D

D

B

UDS

URS folgt URS

UB

UDS

12 V 5 V D

7 V

R D URS D 7 V D

S

2;33 k

ID

3 mA

18.2

Aufgaben zu Feldeffekt-Transistoren

469

Abb. 18.3 Erzeugung der

Gate-Source-Spannung beim

Sperrschicht-FET
h)

U

D

D

C

D

R2

URS

UGS

0 ) UR2

URS

UGS

7 V 2;5 V D 4;5 V

R D UR2 D 4;5 V D

2

45 M

Iq

100 nA

U D

C

I

D

B

UR1

UR2

UR1

12 V 4;5 V D 7;5 VI

R D UR1 D 7;5 V D

1

75 M

Iq

100 nA
i) Der Eingangswiderstand wird durch R1 und R2 bestimmt, wobei R1 wechselstrommä-
ßig parallel zu R2 liegt.

R
r D
k

D R1

2

D
e

R1 R2

28 M

R C

1

R2

Aufgabe 18.2

Erläutern Sie die Möglichkeiten zur Arbeitspunkteinstellung einer Sourceschaltung
a) eines Sperrschicht-FET,
b) eines selbstsperrenden Isolierschicht-FET,
c) eines selbstleitenden Isolierschicht-FET, Arbeitspunkt im negativen Teil der Kennli-
nie,
d) eines selbstleitenden Isolierschicht-FET, Arbeitspunkt im positiven Teil der Kennlinie.

Der FET ist jeweils ein n-Kanal Typ.

Lösung
a) Bei einem Sperrschicht-FET kann die Gate-Source-Spannung durch einen Source-Wi-
derstand R3 erzeugt werden (Abb. 18.3). Durch den Spannungsabfall an R3 wird die

Source-Elektrode positiver als der gemeinsame Bezugspunkt für Ein- und Ausgang.

Da das Gate über den Widerstand R1 an diesem Bezugspunkt liegt und kein Strom
durch R1 fließt, ist das Gate negativer als die Source-Elektrode.

470

18

Feldeffekt-Transistoren

Abb. 18.4 Erzeugung der

Gate-Source-Spannung beim

MOSFET
b) Beim selbstsperrenden Isolierschicht-FET (MOSFET) erfolgt die Erzeugung der Ga-
te-Source-Spannung z. B. mit Hilfe eines Spannungsteilers (Abb. 18.4). Da kein Gate-
strom fließt, ist die Vorspannung des Gate allein vom Strom durch den Spannungsteiler
abhängig. Zur Gegenkopplung kann auch ein Source-Widerstand eingefügt werden.

c) Selbstleitende Isolierschicht-FET können ohne Gate-Source-Vorspannung betrieben
werden, da bei U

D

GS

0 V bereits ein Drainstrom fließt.

Soll der Arbeitspunkt (AP) im negativen Teil der Kennlinie liegen, so kann die Gate-

Source-Vorspannung durch den Sourcewiderstand R3 erzeugt werden (Abb. 18.5).

d) Soll der Arbeitspunkt (AP) im positiven Teil der Kennlinie liegen, so kann die Gate-

Source-Vorspannung durch einen Spannungsteiler erzeugt werden (Abb. 18.6).

Aufgabe 18.3

Gegeben ist eine Schaltung mit einem MOSFET (Abb. 18.7) und sein Ausgangskennlini-
enfeld (Abb. 18.8).

Abb. 18.5 Erzeugung der

Gate-Source-Spannung beim
selbstleitenden Isolierschicht-

FET, Arbeitspunkt im
negativen Teil der Kennlinie

Abb. 18.6 Erzeugung der

Gate-Source-Spannung beim
selbstleitenden Isolierschicht-

FET, Arbeitspunkt im
positiven Teil der Kennlinie

18.2

Aufgaben zu Feldeffekt-Transistoren

471

Abb. 18.7 Schaltung mit ei-
nem MOSFET
a) Berechnen Sie UGS und IR.

b) Bestimmen Sie grafisch die Werte ID und UDS des Arbeitspunktes.

c) Zu R1 soll ein Widerstand RP parallel geschaltet werden (ergibt Rers), damit ID nur

10 mA beträgt. Berechnen Sie RP als Formel und seinen Widerstandswert.

Lösung
a) Da das Gate hochohmig ist, kann R1 und R2 als unbelasteter Spannungsteiler betrach-
tet werden.

U

D

R1

I

D

D

8 V

D

GS

UB

UGS

2 VI

IR

28;6 A

R C

2

R1

210 k C 70 k
b) Maschengleichung im Ausgangskreis:

U C

C

D

D 1

C UB

B

ID RD

UDS

0I

ID

UDS

RD

RD

Abb. 18.8 Ausgangskennlinienfeld des Transistors in Abb. 18.7

472

18

Feldeffekt-Transistoren

Abb. 18.9 Ausgangskennlinienfeld mit Arbeitsgerade und Arbeitspunkt AP

Die Gleichung der Lastgeraden ist: I D 1

C

D

U

100 mA

80

DS

Für I D

D

D

D

D

0 ist UDS

8 V; für UDS

0 ist ID

100 mA.

Diese beiden Punkte legen die Arbeitsgerade fest (Abb. 18.9). Der Schnittpunkt der

Arbeitsgeraden mit der Transistor-Kennlinie für U

D

GS

2 V ergibt den Arbeitspunkt

AP. Auf den Koordinatenachsen werden die zum Arbeitspunkt gehörenden Werte ab-
gelesen: U

D

D

DS

4 V; ID

50 mA.

c) R1 wird ersetzt durch

RP

R

D R1
ers

:

R C

1

RP

Nach Teilaufgabe b) gilt:

R

U

D

Rers

)

D UGS

2

GS

UB

Rers

R C

2

Rers

UB

UGS

Gleichsetzen:

R

1 RP

D UGS R2 I

R C

1

RP

UB

UGS
auflösen nach RP:

.R C

D

1

RP/ UGS R2

R1 RP .UB

UGS/I

R

C

D

P

UGS R2

UGS R1 R2

RP R1 .UB

UGS/

R

D

I

P

UGS R2

RP R1 .UB

UGS/ UGS R1 R2

R

P

.UGS R2

R1 .UB

UGS// D UGS R1 R2

U R R

R D

GS

1

2

D

P

; Zahlenwerte eingesetzt: RP

52;5 k

U

GS

R2

R1 .UB

UGS/

18.2

Aufgaben zu Feldeffekt-Transistoren

473

Abb. 18.10 MOSFET als

Schalter

Falls nur der Widerstandswert von RP berechnet werden soll, wird aus dem Kennlini-
enfeld entnommen: Für I D

D

D

10 mA ist UGS

1 V.

R

R

D
k

D RP

1
ers

R1 RP

R C

P

R1

Aus a): 1 V D 8 V

Rers

) R D
ers

30 k

210 k

„ ƒ‚ …CRers

R2

70 k

30 k D RP

) R D

P

52;5 k

R C

P

70 k

Aufgabe 18.4

Mit der Schaltung nach Abb. 18.10 wird ein Logiksignal Ue als invertiertes Signal Ua
ausgegeben. Das Ausgangskennlinienfeld des MOSFET zeigt Abb. 18.11.

a) Zeichnen Sie die Arbeitsgerade in das Ausgangskennlinienfeld ein.

b) Wie groß ist U

D
a für Ue

5 V? Welche Leistung PV wird in diesem Fall im Transistor
umgesetzt?

c) Wie groß muss U

e mindestens sein, damit Ua

0;8 V (logisch 0) ist?

d) Wie groß darf U

! 1
e im Fall des unbelasteten Ausgangs (RL

) höchstens sein, damit

U
a

2;4 V (logisch 1) wird?

e) Welchen Wert muss R

D

L für Ue

0 haben, damit Ua

2;4 V (logisch 1) wird?

Lösung
a) Die Eingangsspannung U

D
e entspricht der Gate-Source-Spannung: Ue

UGS. Die

Ausgangsspannung U

D
a entspricht der Drain-Source-Spannung: Ua

UDS. Die Schal-
tung in Abb. 18.10 zeigt einen selbstsperrenden MOSFET. Für U

D

GS

0 V sperrt
der Transistor vollständig, ein Punkt der Arbeitsgeraden ist .I

D

D

D

0I Ua

5 V/.

Leitet der Transistor vollständig, so ist U D

D
a

UDS

0 V, der Drain-Source-Strom
ist dann I D 5 V D

D

2;5 mA. Der zweite Punkt, der die Arbeitsgerade festlegt, ist

2 k

.I D

D

D

2;5 mAI Ua

0 V/. Das Ausgangskennlinienfeld mit eingezeichneter Arbeits-
gerade zeigt Abb. 18.12.

b) Für U D

D

e

UGS

5 V ist Ua

0;2 V. Der Arbeitspunkt ist für diesen Fall in Abb. 18.12
mit „AP1“ gekennzeichnet. Ua wird auf der Abszisse abgelesen. AP1 hat die Werte

474

18

Feldeffekt-Transistoren

Abb. 18.11 Ausgangskennlinienfeld des MOSFET

Abb. 18.12 Ausgangskennlinienfeld mit eingezeichneter Arbeitsgerade

18.2

Aufgaben zu Feldeffekt-Transistoren

475

Abb. 18.13 FET-Verstärker

.I D

D

D

2;4 mAI UDS

0;2 V/. Die in diesem Arbeitspunkt im Transistor entstehende

Verlustleistung ist P D

D

V

ID UDS

2;4 mA 0;2 V D 0;48 mW.

c) Bei U D

D
a

UDS

0;8 V schneidet die Arbeitsgerade die Ausgangskennlinie mit dem

Parameterwert U

D

GS

3;5 V im Arbeitspunkt AP2 (Abb. 18.12). Für größere Werte
von U

GS wird für Punkte auf der Arbeitsgeraden Ua

0;8 V. Es muss also Ue

3;5 V
sein.

d) Bei U D

D
a

UDS

2;4 V schneidet die Arbeitsgerade die Ausgangskennlinie mit dem

Parameterwert U

D

GS

2 V im Arbeitspunkt AP3 (Abb. 18.12). Für kleinere Werte von

U

GS wird für Punkte auf der Arbeitsgeraden Ua

2;4 V. Es muss also Ue

2 V sein.

e) Für U D
e

0 V sperrt der Transistor vollständig, der Widerstand mit 2 k wird als

RD bezeichnet. RD und RL bilden einen Spannungsteiler. Die Spannung an RL soll

2;4 V sein.

5 V

RL

2;4 VI R

2;4 VI

L

RD

RL

1;85 k

R C

L

RD

2;6 V

Aufgabe 18.5

Ein Wechselspannungssignal wird mit einem FET verstärkt und über einen Lautsprecher
mit dem ohmschen Widerstand R D

L

15 wiedergegeben (Abb. 18.13). Gegeben sind
die Werte R D

D

D

D

D

1

100 , R3

1 M, R4

15 , C1

1 F, C2

470 F. Abb. 18.14
zeigt das Ausgangskennlinienfeld des FET.

a) Um welchen Typ eines FET handelt es sich?

Der Arbeitspunkt AP soll zunächst bei U

D

D

DS

15 V, ID

1;0 A liegen.

b) Zeichnen Sie die Arbeitsgerade mit dem Arbeitspunkt AP in das Ausgangskennlinien-
feld ein.

c) Berechnen Sie den erforderlichen Wert des Widerstandes R2.

d) Wie groß ist die Spannungsverstärkung V D UL=Ue? Nehmen Sie dazu eine Schät-
zung der Übertragungssteilheit S des FET im Arbeitspunkt aus der Kennlinie vor.

e) Wie groß darf die Amplitude O

Ue;max von Ue maximal sein, ohne dass UL begrenzt

(verzerrt) wird?

476

18

Feldeffekt-Transistoren

Abb. 18.14 Ausgangskennlinienfeld des FET
f) Wie groß ist dann der maximale Strom IL;max durch den Lautsprecher?

Für R2 wird nun der Wert 110 k gewählt.

g) Wie sind die Werte UGS, UDS und ID des sich jetzt ergebenden Arbeitspunktes AP1?

Eignet sich dieser Arbeitspunkt zur Verstärkung der Eingangsspannung? Kurze Be-
gründung!

Lösung
a) Es handelt sich um einen selbstsperrenden n-Kanal MOSFET (enhancement type, An-
reicherungstyp).

b)

I D

D

D

D UB D 30 V D

D

0W UDS

30 VI

UDS

0W ID

2 A

R4

15 V

Die beiden Punkte legen die Arbeitsgerade fest. Das Ausgangskennlinienfeld des FET
mit der Arbeitsgeraden und dem Arbeitspunkt AP zeigt Abb. 18.15.

18.2

Aufgaben zu Feldeffekt-Transistoren

477

Abb. 18.15 Ausgangskennlinienfeld des FET mit Arbeitsgerade und Arbeitspunkt
c) Es ist U

D

GS

2 V. Der Spannungsteiler aus R3, R2 ist unbelastet (kein Gatestrom).

U

D

R2

)

D

UGS

I

D

2 V

GS

UB

R

R

R

106 D 71;4 k

R C

2

3

2

2

R3

UB

UGS

30 V 2 V
d) Die Schaltung Abb. 18.13 ist eine Sourceschaltung. Die Sourceschaltung entspricht
der Emitterschaltung beim bipolaren Transistor. Ein Unterschied zwischen Emitter-
und Sourceschaltung ist, dass der statische Eingangswiderstand beim MOSFET sehr
hoch ist und deshalb praktisch kein Eingangsstrom fließt. Bei beiden Schaltungen tritt
eine Phasenverschiebung von 180ı zwischen Eingangs- und Ausgangsspannung auf.

Dies ergibt ein Minuszeichen in der Formel für die Spannungsverstärkung VU.

Die Spannungsverstärkung VU ist definiert als das Verhältnis der Änderung der

Ausgangsspannung U

D Ua
a zur Änderung der Eingangsspannung Ue: VU

. Nach

Ue

Abb. 18.16 gilt: U D

D
a

RD ID und Ue

UGS.

Die Steilheit S eines FETs ist definiert als

S D ID j

U

UDSDconst:

GS

478

18

Feldeffekt-Transistoren

Abb. 18.16 Zur Arbeitsweise
der Sourceschaltung mit einem
n-Kanal MOSFET

Die Steilheit im Arbeitspunkt kann grafisch im Ausgangskennlinienfeld bestimmt wer-
den. Dies zeigt Abb. 18.17.

1

S D ID j

D 1;8 A 0 A D 0;6 S D 0;6

U

UDS D15 V

GS

3 V 0 V

R

D

ID

V D Ua D

D

U

S R

U

D
e

UGS

Abb. 18.17 Bestimmung der Übertragungssteilheit S des FET im Arbeitspunkt

18.2

Aufgaben zu Feldeffekt-Transistoren

479

Zum Arbeitswiderstand RD in Abb. 18.16 (R4 in Abb. 18.13) liegt wechselstrommäßig der Widerstand RL des Lautsprechers parallel. Außerdem liegt zu diesen beiden Widerständen auch der differenzielle Ausgangswiderstand rDS wechselstrommäßig parallel.

r

D UDS j

DS

I

UGSDconst

D

Da die Steigung der Ausgangskennlinie im Arbeitspunkt sehr klein ist, wird ID sehr
klein bzw. rDS sehr groß. rDS kann somit vernachlässigt werden.

Für die Spannungsverstärkung folgt:

1

V D UL D S R k R D

L

0;6

7;5 I

V D 4;5

U

4
e

e) Aus Abb. 18.17 wird abgelesen: O

U

D
e;max

2 V. Die Eingangsspannung entspricht UGS
im Arbeitspunkt, sie darf maximal 2 V um den Arbeitspunkt herum schwanken.

f) Aus dem Ausgangskennlinienfeld kann im Arbeitspunkt abgelesen werden: O

I D

D

1 A

(Abb. 18.17). Da R4 wechselstrommäßig parallel zu RL liegt, ist der entstehende

Stromteiler zu beachten.

OID

I

D

D

L;max

0;5 A

2
g)

U

D

R2

D

GS

UB

30 V

110 k

3 V

R C

2

R3

110 k C 1 M

Der Arbeitspunkt AP verschiebt sich in den Arbeitspunkt AP1 mit den in Abb. 18.17
abgelesenen Werten: U

DS

4 V, ID

1;8 A.

Für eine Verstärkung der Eingangsspannung Ue eignet sich AP1 schlecht, da ID nur
um maximal 0,2 A erhöht werden kann.

Operationsverstärker

19

Zusammenfassung

Die Grundlagen der Operationsverstärker und die Eigenschaften des idealen Operati-
onsverstärkers werden betrachtet. Mit dem idealen Operationsverstärker werden erste

Berechnungen von Schaltungen mit Operationsverstärkern durchgeführt. Dabei fin-
den die Konzepte der virtuellen Masse und des virtuellen Kurzschlusses Verwendung.

Es folgt eine Erläuterung der Funktionsweise der Gegentakt-Endstufe. Beispiele von

Anwendungen als nichtinvertierender Verstärker, invertierender Verstärker, Impedanz-
wandler, Differenzierer, Addierer, Subtrahierer und Integrierer geben die Möglichkeit,
unterschiedliche Schaltungsvarianten mit ihren speziellen Eigenschaften zu betrach-
ten. Dabei werden auch Schaltungen mit mehreren Operationsverstärkern analysiert.

In aktiven Filtern werden Operationsverstärkerschaltungen mit Hilfe der komplexen

Rechnung und unter Anwendung der Übertragungsfunktion berechnet.

19.1

Grundwissen – kurz und bündig

Operationsverstärker (OPV, OP) sind analoge, aktive Bauelemente (ICs).

Die äußere Beschaltung legt Übertragungseigenschaften und Verwendungszweck des

OPV fest.

Ein OPV ist ein Differenzverstärker mit sehr hoher Verstärkung.

Ein OPV besitzt zwei Eingänge: Einen invertierenden E– oder N-Eingang und einen
nichtinvertierenden E+ oder P-Eingang.

Die Eingänge des OPV sind hochohmig, der Ausgang ist niederohmig.

Grundschaltungen sind der invertierende und der nichtinvertierende Verstärker.

Sofern nicht anders angegeben, wird ein idealer OPV symmetrisch versorgt (mit positiver
und negativer Betriebsspannung gleicher Höhe) und arbeitet im linearen Bereich.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017

481

L. Stiny, Aufgabensammlung zur Elektrotechnik und Elektronik,

DOI 10.1007/978-3-658-14381-7_19

482

19

Operationsverstärker

19.2

Grundlagen der Operationsverstärker

Aufgabe 19.1

Geben Sie die Eigenschaften eines idealen Operationsverstärkers an und erläutern Sie das
daraus folgende Verhalten.

Lösung

Ein idealer Operationsverstärker zeigt ideales Verhalten und hat:

eine unendlich hohe Leerlaufverstärkung V0,
einen unendlich hohen Eingangswiderstand Re am invertierenden und nichtinvertieren-
den Eingang,
einen unendlich kleinen Ausgangswiderstand Ra.

Daraus ergibt sich folgendes Verhalten:

Die Eingangsströme sind null.

Der Ausgang wirkt wie eine ideale Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand R D
i

0.

Ua ist belastungsunabhängig und wird nur durch das äußere Netzwerk bestimmt.

Nur bei Gegenkopplung: Die Eingangs-Differenzspannung Ud ist null, dies bedeutet
einen virtuellen Kurzschluss zwischen den Eingängen, es besteht kein Unterschied zwi-
schen den Eingängen EC (P-Eingang) und E (N-Eingang).

Aufgrund der genannten Eigenschaften können beim OPV drei Fälle unterschieden wer-
den (Abb. 19.1).

1. Der OPV ist nicht gegengekoppelt: U D

a

V0 Ud mit der Leerlauf verstärkung V0

(U ¤
d

0).

2. Der OPV ist gegengekoppelt: U D
d

0, d. h. virtueller Kurzschluss zwischen den Ein-
gängen. Die Ausgangsspannung U D
a

V Ue mit V D Betriebs verstärkung wird durch
die äußere Beschaltung festgelegt.

3. Der OPV ist gegengekoppelt und EC liegt direkt auf Masse: Es ist U D
d

0 und der

Eingang E ist virtuelle Masse.

Abb. 19.1 Zu den Ei-
genschaften des idealen

Operationsverstärkers

19.2

Grundlagen der Operationsverstärker

483

Abb. 19.2 Schaltung mit idea-
lem Operationsverstärker

Aufgabe 19.2

Die Schaltung in Abb. 19.2 mit einem idealen Operationsverstärker (OPV) wird aus einer

Stromquelle gespeist.

Gegeben: I D

D

D

0

100 A, R1

10 k, R2

2 k
a) Geben Sie vier wichtige Eigenschaften des idealen OPV an.

b) Wie groß ist I1?

c) Wie groß ist I2?

d) Wie groß ist Ia?

Lösung
a) Kennzeichen eines idealen OPV sind:

1. unendlich große Eingangswiderstände,

2. unendlich kleiner Ausgangswiderstand,

3. unendlich große, frequenzunabhängige Differenzverstärkung (Leerlaufverstär-
kung),

4. unendlich kleine Eingangsoffsetspannung.

b) Da die Eingangswiderstände unendlich groß sind, fließt kein Strom in die Eingänge

EC und E. Man kann sich die Eingänge als geöffnet bzw. nicht verbunden vorstellen.

In einer realen Schaltung darf ein solches „Herauslösen“ eines OPV natürlich nicht
erfolgen, sonst funktioniert die Schaltung nicht mehr.

Die Eingänge in Abb. 19.3 sind mit „“ als stromlos gekennzeichnet. Der Quellen-
strom I

D

D

0 fließt somit durch R1 und es ist I1

I0

100 A. An R1 fällt also die

Spannung U D

1

100 A 10 k D 1 V ab.

c) Wegen der Gegenkopplung über R1 ist die Spannung zwischen dem P- und dem

N-Eingang null, beide Eingänge sind virtuell kurzgeschlossen. Folglich liegt der N-

Eingang virtuell an Masse, sein Potenzial ist wie das des P-Eingangs „0“. Deshalb
liegt der Spannungsabfall U1 auch an R2, wobei die Spannungsrichtung zu beachten
ist.

Damit ergibt sich für I

D U1 D 1 V D

2: I2

0;5 mA

R2

2 k
d) Nach der Knotenregel (1. Kirchhoff’sches Gesetz) ist I C

D

D

a

I1

I2

0; Ia

I2

I1

I D
a

0;5 mA 0;1 mA D 0;6 mA

484

19

Operationsverstärker

Abb. 19.3 Virtueller Kurz-
schluss der Eingänge

Aufgabe 19.3

Gegeben ist die Schaltung in Abb. 19.4 mit idealem OPV. Es wird zunächst nicht zwischen
den Eingängen EC und E unterschieden.

a) Berechnen Sie allgemein I1, I2, I3 und Ua.

b) Wie groß sind die Werte von I1, I2, I3, Ia und Ua? Wie groß ist der Wert der Span-
nungsverstärkung V

D

D

D

D

U in dB? Es sind: R1

1 k, R2

10 k, R3

2 k, R4

5 k, U D
e

1 V.

Lösung
a) Es ist ein idealer OPV: Die Eingänge sind stromlos, gekennzeichnet durch „“

(Abb. 19.5). Da sowohl über R2 als auch über R3 jeweils eine Verbindung vom

Ausgang zu einem Eingang besteht, liegt auf alle Fälle eine Gegenkopplung vor. Eine

Unterscheidung der Eingänge war deshalb nicht notwendig. Wegen der Gegenkopp-
lung besteht ein virtueller Kurzschluss zwischen den Eingängen. Dies bedeutet, dass
über R4 (der parallel zu den Eingängen liegt) keine Spannung abfällt und R4 somit
stromlos ist, ebenfalls gekennzeichnet durch „“. R4 braucht man folglich nicht zu
berücksichtigen. Dieser Widerstand hat keinerlei Funktion und könnte weggelassen
werden. Wegen dem virtuellen Kurzschluss zwischen den Eingängen (die Spannung
über R

D Ue

4 ist null) folgt: I1

.

R1

Da R

D

D Ue

4 und der obere OPV-Eingang stromlos sind, folgt: I2

I1

.

R1

Abb. 19.4 Schaltung mit idea-
lem OPV

19.2

Grundlagen der Operationsverstärker

485

Abb. 19.5 Zur Analyse der

Schaltung

Wegen dem virtuellen Kurzschluss ist U D
a

UR2.

U

D

D

Ue I

D

R2 I

D Ua I

D

R2

R2

R2 I2

R2

Ua

Ue

I

I

Ue

R

3

3

1

R1

R3

R1 R3
b)

I D

D Ue D 1 V D

D

D

1

I2

1 mAI

UR

I

R

1 mA 10 k D 10 VI

R

2

2

2

1

1 k

U D

D
a

UR2

10 V

10 V

I D Ua D

D

D

D

3

5 mAI

Ia

I

I

6 mA

R

3

2

3

2 k

Da Ia negativ ist, müsste der Zählpfeil von Ia in umgekehrte Richtung zeigen als in

Abb. 19.4 und Abb. 19.5 angenommen. Dies bedeutet, der Strom fließt in den Ausgang A des OPV hinein. Möglich wird dies durch eine Gegentakt-Endstufe des OPV mit
symmetrischer Versorgung (Abb. 19.6).

Erläuterung der Funktionsweise der Gegentakt-Endstufe

Ue positiv: T1 (npn) leitet, T2 (pnp) sperrt. Ua ist positiv, Strom fließt aus A heraus.

Ue negativ: T1 (npn) sperrt, T2 (pnp) leitet. Ua ist negativ, Strom fließt in A hinein.

Abb. 19.6 Gegentakt-Endstufe eines OPV

486

19

Operationsverstärker

Abb. 19.7 Schaltung mit idea-
lem OPV

Die Spannungsverstärkung ist

ˇˇ ˇ

U ˇ

V D Ua D R2 D

ˇ a ˇ I

U

10I
a D 20 dB log
a D 20 dB

U

ˇ ě

R1

Ue

VU ist unabhängig von R3, da der OPV-Ausgang eine ideale Spannungsquelle darstellt
und damit belastungsunabhängig ist. VU ist unabhängig von R4, da die parallel liegenden

OPV-Eingänge virtuell kurzgeschlossen sind, R4 hat keine Funktion.

Aufgabe 19.4

Gegeben ist die OPV-Schaltung in Abb. 19.7. Der OPV ist als ideal zu betrachten.

Gegeben: I D

D

D

D

D

D
q

1 mA, R1

1 k, R2

2 k, R3

3 k, R4

4 k, R5

5 k

Gesucht sind alle Knotenspannungen und der Ausgangsstrom Ia des OPV.

Lösung

Der Bezugsknoten ist Masse. Da es sich um einen idealen OPV handelt, gilt folgendes:

Es fließen keine Eingangsströme, die OPV-Eingänge sind stromlos, Kennzeichen „“
in Abb. 19.8.

Wegen der Gegenkopplung besteht keine Spannung zwischen den Eingängen EC und

E, R1 ist stromlos ().

Der Quellstrom I

D

D
q fließt somit vollständig durch R3. UR3

UK1

1 mA 3 k D 3 V

Über R

D

D

1 fällt keine Spannung ab, d. h. UR3 liegt auch an R4. UR4

UK2

3 V

Der Strom I

D

D 3 V D

R2 durch R2 ist gleich dem Strom IR4 durch R4. IR2

IR4

4 k

0;75 mA

Abb. 19.8 Zur Berechnung
der Schaltung in Abb. 19.7

19.2

Grundlagen der Operationsverstärker

487

Abb. 19.9 Eine OPV-

Schaltung

Damit ist der Spannungsabfall an R

D

2: UR2

0;75 mA 2 k D 1;5 V

Die Spannung über R5 und damit an Knoten K3 ist:

U

D

D

C

D

R5

UK3

UR2

UR4

1;5 V C 3 V D 4;5 V

Der Strom durch R5 ist:

I

D 4;5 V D

R5

0;9 mA

5 k

Der OPV-Ausgangsstrom beträgt: I D

C

D
a

IR2

IR5

1;65 mA

Aufgabe 19.5

Gegeben ist die OPV-Schaltung in Abb. 19.9. Der OPV ist als ideal zu betrachten.

Gegeben: I D

D

D

0

100 A, R1

10 k, R2

2 k
a) Wie groß sind die Ströme I1, I2, Ia?

b) Welche Leistung P gibt die Stromquelle I0 ab?

c) Wie groß ist die Leistung Pa, die am OPV-Ausgang umgesetzt wird?

Lösung
a) Da die Eingangsströme des OPV null sind (Kennzeichen „“ in Abb. 19.10), fließt I0
durch R

D

D

1. I1

I0

100 A

Über R

D

1 liegt die Spannung UR1

104 104 A D 1 V

Wegen der Gegenkopplung über R1 ist die Differenzspannung zwischen P- und N-

Eingang null (virtueller Kurzschluss der beiden Eingänge). Der P-Eingang liegt zu-
sätzlich direkt auf Masse, deshalb ist der N-Eingang virtuelle Masse. UR1 liegt somit
auch an R2.

U

I D

R1 D

2

0;5 mA

R2

Mit der Knotenregel erhält man: I D

D
a

I2

I1

0;6 mA.

b) Wegen dem virtuellen Kurzschluss zwischen den beiden OPV-Eingängen liegt über
der Stromquelle die Spannung U D

D
d

0 V ) P D Ud I0

0 W
c) Mit U D

D

D
a

UR1 folgt: Pa

Ua Ia

.1 V/ .0;6 mA/ D 0;6 mW.

488

19

Operationsverstärker

Abb. 19.10 Zur Berechnung
der Schaltung in Abb. 19.9

Aufgabe 19.6

Die Leerlaufverstärkung eines OPV ist V D

0

90 dB. Die Offsetspannung ist kompensiert.

Eine Änderung der Gleichtaktspannung an beiden Eingängen von U

D

Gl

3 V bewirkt
eine Änderung der Ausgangsspannung um U D
a

0;95 V. Wie groß ist die Gleichtaktun-
terdrückung (CMRR) des OPV in dB?

Lösung

Die Gleichtaktverstärkung ist

V D Ua D 0;95 V D

G

0;3166:

UGl

3 V

V

CMRR D 20 dB log

0

VG

!

90

10 20

CMRR D 20 dB log

D 20 dB log 99:882;4 D 99;99 dB

0;3166

Aufgabe 19.7

Auf welche Ausgangsspannung U

D
a wird ein Gleichtaktsignal von UGl

0;15 V verstärkt,
wenn der OPV eine Leerlaufverstärkung von V D

0

105 dB und eine Gleichtaktunter-
drückung CMRR D 90 dB besitzt?

Lösung

V

CMRR D 20 dB log

0

I

V D

V0

.V

V

G

CMMR

0; VG nicht in dB/

G

10 20

105

20

V D 10

D

D

G

5;623 (Gleichtaktverstärkung); U

5;623 0;15 V D 0;844 V

90
a

10 20

19.3

Nichtinvertierender Verstärker

489

19.3

Nichtinvertierender Verstärker

Aufgabe 19.8

Gegeben ist eine Schaltung mit einem idealen OPV (Abb. 19.11).

Es sind O

U D

D

D
e

200 mV, R1

20 k˝, R2

10 k.

Gesucht ist das Verhältnis von R4 zu R3, damit sich am Ausgang eine Spannung von

O

U D
a

1 V einstellt. Geben Sie ein Beispiel für die Werte von R3, R4 an.

Lösung

Der nichtinvertierende Verstärker ist in etwas ungewohnter Darstellung gezeichnet, die

Widerstände R3 und R4 führen meist vom Ausgang des OPV senkrecht nach unten, wo-
bei auch die OPV-Eingänge vertauscht sind, P-Eingang oben, N-Eingang unten. Das Lesen
eines Schaltplans soll hier geübt werden. Man erinnere sich, dass die Symbole von Bau-
elementen beliebig gedreht und gespiegelt werden können.

Der Verstärkereingang ist der P-Eingang des OPV, er wird mit der Spannung an R2
gespeist. Mit der Spannungsteilerregel ergibt sich:

U

D

R2

R2

Ue R C

1

R2

Die Verstärkung ist:

R C R

R C R

V D Ua D Ua 1

2 D 1 C R4 ) R4 D Ua 1

2 1I R4 D 14

UR2

Ue

R2

R3

R3

Ue

R2

R3

Wird z. B. R D

D

3

1 k gewählt, so ist R4

14 k.

Aufgabe 19.9

Wie müssen in der Schaltung in Abb. 19.12 mit einem idealen Operationsverstärker die

Bauteile R2 und C dimensioniert werden, damit die Schaltung für Gleichspannung die

Verstärkung V

D

D

Gleich

12 und bei der Frequenz f D 1 kHz die Verstärkung VWechsel

20
aufweist?

Gegeben: R D

1

1 k

Abb. 19.11 Ein nichtinvertie-
render Verstärker

490

19

Operationsverstärker

Abb. 19.12 Verstärkerschal-
tung

Lösung

Für Gleichspannung sperrt der Kondensator C. Die Verstärkung des nichtinvertierenden

Verstärkers mit idealem OPV ist dann V

D

D

D

Gleich

1 C R2

12. Somit ist R

11 k.

R

2

1

Die komplexe Verstärkung ist

R 1

1

V

D
mit
k
j!C

D

R1

Wechsel

1 C R2

Z D R

C D

:

Z

1

R C 1

1

1 C j!R
j!C

1C

C R .1 C j!R

V

D R1

2

1C / I

Wechsel

R1
q

.R C R
j

1

2/2 C .!R1R2C /2

V
j D

D

Wechsel

20 bei ! D 2 1 kHz

R1

Umstellen und beide Seiten der Gleichung quadrieren ergibt:

.R C

I

C

1

R2/2 C .!R1R2C /2 D 202 R21

!2R21R22C 2 D 202 R21 .R1

R2/2

Auflösen nach C:

q

202 R2

C

1

.R1

R2/2

C D

I

C D 231 nF

!R1R2

19.4

Invertierender Verstärker

Aufgabe 19.10

Es soll ein invertierender Verstärker (Abb. 19.13) mit folgenden Daten entworfen wer-
den: Verstärkung V D 25 dB, Eingangswiderstand der Verstärkerschaltung R D
e

10 k,

Ausgangsspannung U D

D
a

5 V. Der verwendete OPV hat eine Leerlaufverstärkung V0

95 dB.

a) Wie groß sind R1 und R2 zu wählen?

b) Wie groß ist die Eingangsspannung Ue zu wählen?

c) Wie groß wird der Strom I1?

d) Welche Differenzeingangsspannung Ud liegt am OPV?

19.4

Invertierender Verstärker

491

Abb. 19.13 Ein invertierender

Verstärker

Lösung
a) Zunächst wird der OPV als ideal betrachtet, obwohl die Leerlaufverstärkung nicht
unendlich groß ist. Es liegt Gegenkopplung über R2 vor und gleichzeitig liegt der

P-Eingang direkt auf Masse. Der N-Eingang ist somit virtuelle Masse. Der Eingangs-
widerstand der Schaltung ist durch R

D

D

1 gegeben: R1

Re

10 k.

25

25 dB entsprechen einem Verstärkungsfaktor von V D 10 20 D 17;78.

ˇˇ

ˇˇ
jV j D ˇˇR2 Ď V R D 177;8 k

R ˇ I

R2

1

1

Ein erhältlicher Widerstandswert der E48-Reihe (Toleranz ˙2 %) wäre 178 k.

b)

U D Ua D

5 V

D
e

0;28 V

V

17;78
c)

0;28 V

I D Ue D

D

1

28 A

R1

10 k
d)

U D Ua D 5 V D
d

89 V:

V

95

0

10 20

Der OPV wird jetzt nicht mehr als ideal betrachtet. Trotz Gegenkopplung ist U ¤
d

0,

V0 ist ja nicht unendlich wie bei einem idealen OPV.

Aufgabe 19.11

Gegeben ist die in Abb. 19.14 dargestellte Schaltung, der OPV ist als ideal zu betrachten.

Es sind: O

U D

D

D
e

200 mV, R1

20 k, R2

10 k

Geben Sie Werte von R3 und R4 so an, dass sich am Ausgang betragsmäßig eine Span-
nung von O

U D
a

1 V einstellt.

Abb. 19.14 Operationsverstär-
kerschaltung

492

19

Operationsverstärker

Abb. 19.15 Schaltung mit
zwei Operationsverstärkern

Abb. 19.16 Schaltung mit

Spannungen und Strömen

Lösung

Unter Berücksichtigung der virtuellen Masse am N-Eingang liegt R3 parallel zu R2.

k R

R C R k R

U

D

R2

3

I j

D Ua 1

2

3 D R4 I

R2

Ue

V j D Ua

R C
k
k

1

R2 R3

UR2

Ue

R2 R3

R3

U R C R2R3
a

1

R2CR3 D R4

U

R
e

2R3

R

R

3

2CR3

U

C

C
a R1R2

R1R3

R2R3 D R4 I

1

R D Ua

ŒR

C R

C R

U

4

1R2

3.R1

2/
e

R2R3

R3

Ue R2

Wird z. B. R D

D

3

1 k gewählt, so ist R4

115 k.

Aufgabe 19.12

Gegeben ist die Schaltung in Abb. 19.15 mit zwei idealen Operationsverstärkern.

Gesucht ist Ua als Funktion der Widerstände R

?

U

1 bis R5. Hat R3 einen Einfluss auf Ua
e

Ue

Lösung

Über R2 und R5 liegt jeweils Gegenkopplung vor, die P-Eingänge liegen zusätzlich direkt
auf Masse. Somit liegen die N-Eingänge virtuell auf Masse. Die Ströme und Spannungen
zeigt Abb. 19.16.

Die Schaltung stellt zwei in Reihe geschaltete invertierende Verstärker dar.

R

R

R

U D

D

2 I

D

D

5 I

D

2R5 I

Ua D R2R5

3

I3R2

Ue

Ua

I

U

Ua

Ue

R

4R5

3

1

R4

R1R4

Ue

R1R4

R3 hat auf Ua keinen Einfluss, da der Ausgangswiderstand des idealen OPV null ist. Der
ideale OPV verhält sich an seinem Ausgang wie eine ideale Spannungsquelle. Ein Wi-
derstand parallel zu einer idealen Spannungsquelle hat ja auch keinen Einfluss auf deren

Klemmenspannung.

19.4

Invertierender Verstärker

493

Aufgabe 19.13

Für jede der Schaltungen in den Teilaufgaben 1 bis 6 mit idealem OPV soll die Betriebs-
spannungsverstärkung V (mit Vorzeichen) allgemein und als Zahlenwert berechnet wer-
den. Geben Sie jeweils eine Herleitung bzw. Begründung an.

Teilaufgabe 1

Abb. 19.17 Schaltung 1

Lösung Teilaufgabe 1

Es handelt sich bei Schaltung 1 (Abb. 19.17) um einen invertierenden Verstärker.

V D

R3

D 1

R C

1

R2

Teilaufgabe 2

Abb. 19.18 Schaltung 2

Lösung Teilaufgabe 2

Der Eingangswiderstand des OPV ist unendlich, durch R2 fließt kein Strom. Der Knoten
zwischen R1 und R2 ist virtuelle Masse. Schaltung 2 (Abb. 19.18) ist ein invertierender

Verstärker. V D R3 D 2

R1

Teilaufgabe 3

Abb. 19.19 Schaltung 3

494

19

Operationsverstärker

Lösung Teilaufgabe 3

Wegen der Gegenkopplung über R3 und da zusätzlich der P-Eingang direkt auf Masse
liegt, ist der N-Eingang virtuelle Masse (Abb. 19.19). Durch R2 fließt kein Strom. Schal-
tung 3 ist ein invertierender Verstärker. V D R3 D 2

R1

Teilaufgabe 4

Abb. 19.20 Schaltung 4

Lösung Teilaufgabe 4

Der Eingangswiderstand des OPV ist unendlich, durch R1 und R2 fließt kein Strom

(Abb. 19.20). Ue ist mit Ua über die Reihenschaltung von R1 und R2 verbunden. An Ua
ist keine Last angeschlossen, an R

D

1 und R2 fällt keine Spannung ab, somit ist Ua

Ue.

Schaltung 4 hat keine Funktion: V D 1

Teilaufgabe 5

Abb. 19.21 Schaltung 5

Lösung Teilaufgabe 5

Wegen der Gegenkopplung über R2 ist die Differenzeingangsspannung zwischen dem P-
und N-Eingang null (Abb. 19.21). Durch R1 fließt kein Strom. Bei Schaltung 5 handelt es
sich um einen nichtinvertierenden Verstärker.

V D 1 C R2

D 3

R3

19.4

Invertierender Verstärker

495

Teilaufgabe 6

Abb. 19.22 Schaltung 6

Lösung Teilaufgabe 6

Der ideale OPV verhält sich an seinem Ausgang wie eine ideale Spannungsquelle

(Abb. 19.22). Die Belastung des Ausgangs durch R3 beeinflusst die Verstärkung nicht,
da der Ausgangswiderstand des idealen OPV null ist. Es handelt sich bei Schaltung 6 um

einen nichtinvertierenden Verstärker. V D 1 C R2 D 3

R1

Aufgabe 19.14

Für die folgenden vier Schaltungen mit jeweils idealem OPV soll die Ausgangsspannung

Ua allgemein und als Zahlenwert berechnet werden. Geben Sie eine Herleitung bzw. Be-
gründung an.

Teilaufgabe 1

Abb. 19.23 Schaltung 1

Lösung Teilaufgabe 1

UP ist die Eingangsspannung für den nichtinvertierenden Verstärker (Abb. 19.23). Span-
nungsteiler:

U D

R2

I

D

D

R2

I

P

Ue

Ua

UP

1 C R4

1 C R4

Ue

R C

C

1

R2

R3

R1

R2

R3

U D 1

I

D
a

3 Ue

Ua

Ue

3

Aus dem Ergebnis sehen wir, dass die Dimensionierung nicht gerade sinnvoll ist.

496

19

Operationsverstärker

Teilaufgabe 2

Abb. 19.24 Schaltung 2

Lösung Teilaufgabe 2

Knotengleichung für den oberen Knoten (Abb. 19.24):

U

e

UN C Ua UN D 0 (Gl. 1)

R1

R2

Wegen der Gegenkopplung über R2 ist die Differenzeingangsspannung Ud zwischen dem

P- und N-Eingang null, UN liegt daher auch über R3 (am unteren Knoten).

U D

R3

N

Ua (Gl. 2)

R C

3

R4

Gl. 1 umformen und Gl. 2 in Gl. 1 einsetzen:

U

C
e

UN D Ua UN

R1

R2

R

D

C

I

D

C

I

2Ue

R2UN

R1Ua

R1UN

R2Ue

.R1

R2/UN

R1Ua

C R

R

D R3.R1

2/

2Ue

Ua

R

R C

1Ua

3

R4

C R

U D R2.R3

4/

I

D 10 30

I

D
a

Ue

Ua

Ue

Ua

Ue

R

2R3

R1R4

100 400

Dieses Invertieren der Eingangsspannung könnte man auch unter Einsparung von zwei

Widerständen mit einem Inverter erreichen.

Teilaufgabe 3

Abb. 19.25 Schaltung 3

19.4

Invertierender Verstärker

497

Lösung Teilaufgabe 3

In Abb. 19.25 ist die Spannung am unteren Knoten (Spannungsteiler):

U D

R4

P

Ue (Gl. 1)

R C

3

R4

Wegen der Gegenkopplung über R2 ist die Differenzeingangsspannung zwischen dem P-
und N-Eingang null, UP liegt daher auch am oberen Knoten (am N-Eingang).

Knotengleichung für den oberen Knoten:

U

e

UP C Ua UP D 0 (Gl. 2)

R1

R2

R

D

C

I

D

C

2Ue

R2UP

R1Ua

R1UP

R2Ue

.R1

R2/ UP

R1Ua; Gl. 1 einsetzen )

C R

R

R

D .R1

2/R4

I

D R1R4

2R3

I

2Ue

Ue

R

Ua

Ue

R C

1Ua

C

3

R4

R1.R3

R4/

U D 20 20 10 10

I

D 1
a

Ue

Ua

Ue

20.10 C 20/

2

Teilaufgabe 4

Abb. 19.26 Schaltung 4

Lösung Teilaufgabe 4

Es liegt Gegenkopplung über R2 und R3 vor, zugleich liegt der P-Eingang direkt auf Masse

(Abb. 19.26). Der N-Eingang ist somit virtuelle Masse.

Erste Knotengleichung (Knoten am N-Eingang):

Ue C U1 D 0 (Gl. 1)

R1

R2

Wegen virtueller Masse liegt an R4 die gleiche Spannung wie an R2.

Zweite Knotengleichung:

U1 U1 C Ua

U1 D 0 (Gl. 2)

R2

R4

R3

498

19

Operationsverstärker

Abb. 19.27 Eine OPV-

Schaltung

Abb. 19.28 Schaltung mit
eingeführten Strömen

Einsetzen von U D R2

1

U

R
e aus Gl. 1 in Gl. 2:

1

1

U C R2
a

Ue

U C R2

C

R1

D
e

Ue

0

R1

R1R4

R3

1

C R

1

U C R2

C R1Ua

2Ue D

C R2 C R2

D 1
e

Ue

0I

Ue

Ua

R1

R1R4

R1R3

R1

R1R4

R1R3

R3

C R

C R

U D R3R4

2R3

2R4

I

D 20 10 C 10 20 C 10 10

I
a

Ue

Ua

Ue

R1R4

10 10

U D
a

5 Ue

Aufgabe 19.15
a) Was versteht man unter der Offsetspannung bei einem realen OPV?

b) Geben Sie die Abhängigkeit U D
a
f .Ue/ der Ausgangsspannung Ua von der Ein-
gangsspannung Ue der Beschaltung des idealen OPV in Abb. 19.27 an.

Lösung
a) Die Offsetspannung ist die Spannung am OPV-Ausgang, wenn beide Eingänge auf

Masse liegen.

b) Es werden die Ströme I1, I2 und IC eingeführt (Abb. 19.28).

Die Knotengleichung am N-Eingang ergibt: I C

C

D

1

IC

I2

0

Der N-Eingang ist virtuelle Masse, daraus folgt: U D

D

e

I1 R1; Ua

I2 R2

Der Strom durch C ist: I D

)

D

C

C dUe

U

.I

I
dt
a

1

C/ R2
d Ue
d Ue

U D Ue

I

a

R

C

R

Ua.Ue/ D R2 Ue

R

R

2

2

2C

1
dt

R1
dt

19.4

Invertierender Verstärker

499

Abb. 19.29 Verstärkerschal-
tung

Der Ausgang hat einen Proportional- und einen Differenzialanteil der Eingangsspan-
nung, dies ist ein Beispiel für einen PD-Regler.

Aufgabe 19.16

Der Operationsverstärker in der Verstärkerschaltung Abb. 19.29 ist als ideal anzusehen.

Die bipolare Stromversorgung erfolgt über zwei Betriebsspannungsquellen ˙UB. Die Si-
gnalquelle Ue am Eingang hat sinusförmigen Spannungsverlauf.

Gegeben: R D

D

1

10 k, R3

100 k, C D 470 nF
a) Wie groß muss R2 gewählt werden, damit die Gleichspannungsverstärkung 20,0 dB
beträgt?

b) Berechnen Sie die Spannungsverstärkung der Schaltung für hohe Frequenzen nach

Betrag und Phase.

c) Geben Sie die Eingangsimpedanz Ze an, welche an der Signalquelle Ue wirkt.

d) Berechnen Sie die Wirkleistung P

D
e in Watt, welche die Signalquelle bei Ue

1 V

Gleichspannung aufbringen muss.

e) Berechnen Sie die Wirkleistung Pa in Watt, die der Schaltungsausgang (Ua) bei hohen

Frequenzen an einem Lastwiderstand R D

L

1 k aufbringen muss, wenn die Ampli-
tude der Eingangsspannung O

U D
e

1 V beträgt.

f) Wie verändert sich prinzipiell das Verhalten der Schaltung, wenn Ue über einen Kop-
pelkondensator C D

K

10 F an den Schaltungseingang angeschlossen wird?

Lösung
a) Das Verstärkungsmaß für Gleichspannung V

D

DC

20 dB entspricht dem Verstärkungs-
faktor:

VDC

20 dB

V D

U

10 20dB D 10 20dB D 10

Die grundsätzliche Beschaltung des Operationsverstärkers entspricht der Schaltung
eines invertierenden Verstärkers. Für Gleichspannung sperrt C, die Reihenschaltung
von C und R3 kann als nicht vorhanden betrachtet werden. Die Spannungsverstärkung
des invertierenden Verstärkers beträgt dann jV j D R2 D

D

U

10. ) R

100 k

R

2

1
b) Für sehr hohe Frequenzen bildet C praktisch einen Kurzschluss, R3 liegt dadurch par-
allel zu R2.

500

19

Operationsverstärker

Die Spannungsverstärkung ist dann
k
j

R

V j D R2

3 D 50 k D

U

5:

R1

10 k

In dB ergibt sich: jV j D

U

20 dB log.5/ D 14 dB.

Dieser Wert der Verstärkung ist kleiner als die Gleichspannungsverstärkung mit

20,0 dB und somit plausibel, da die Gegenkopplung wegen des kleineren Gegenkopp-
lungswiderstandes stärker wirkt.

Entsprechend der invertierenden Wirkung beträgt die Phasenverschiebung von Ua zu

Ue:

' D 180ı:

c) Der invertierende Eingang liegt virtuell auf Masse. Damit kann man sich R1 parallel
geschaltet zur Eingangsspannung Ue vorstellen. Die Eingangsimpedanz Ze der Schal-
tung ist:

Z D

D
e

R1

10 k:

d) Bei einer Eingangs-Gleichspannung von U D
e

1 V ist die Eingangs-Wirkleistung:

P D U 2e D 1 V2 D
e

0;1 mW

R1

10 k
e) Für O

U D

D j j O D
e

1 V ist die Ausgangsspannung O

Ua

VU Ue

5 1 V D 5 V

Der Effektivwert der Ausgangsspannung ist U D OUa
p
a

.

2

Die Ausgangs-Wirkleistung ist

O

Ua
p

P D .Ua/2 D

2 D .5 V/2 D
a

12;5 mW:

RL

RL

2 1 k
f) Durch einen Koppelkondensator am Eingang zeigt die Schaltung Hochpassverhalten.

Aufgabe 19.17

Ein invertierender Verstärker mit einem OPV hat eine Spannungsverstärkung V D 38 dB.

Welcher relativer Fehler (in %) ergibt sich durch eine temperaturbedingte Offsetspan-
nungsdrift von 5 mV, wenn die Ausgangsspannung U D
a

4 V beträgt?

Lösung

V D 38 dB entspricht einem Verstärkungsfaktor von 79,4. Durch die Offsetspannungsdrift
ergibt sich am Ausgang eine Spannungsänderung von U

D

Off

80 5 mV D 400 mV.

Bezogen auf die Signalausgangsspannung von U D
a

4 V ist der relative Fehler:

UOff D 0;4 V D 0;1 ¶ 10%:

Ua

4 V

19.4

Invertierender Verstärker

501

Abb. 19.30 Schaltung mit zwei OPVs

Aufgabe 19.18

Gegeben ist die Schaltung Abb. 19.30 mit idealen OPVs und die idealisierte Diodenkenn-
linie der LEDs.

a) Berechnen Sie U1.

b) Berechnen Sie U2.

c) Welche LED leuchtet?

d) Welche Leistung wird in der leuchtenden LED umgesetzt?

Lösung
a) Die Grundschaltung von OPV1 ist ein invertierender Verstärker. Der N-Eingang von

OPV1 ist virtuelle Masse. R1 liegt als Eingangswiderstand des Inverters in Reihe mit

RU an virtueller Masse. RU kann als Innenwiderstand der realen Spannungsquelle be-
stehend aus Uq und RU betrachtet werden. Zu beachten ist, dass das Potenzial am Punkt

Ue1 gegenüber Masse negativ ist. Der Spannungsabfall Ue1 an R1 ist (Spannungstei-
ler):

R

3 k

U D

1

D

D
e1

Uq

8 V

6 V

R C

U

R1

1 k C 3 k

U1 D R2 D 2 k D 2I U D 4V

U

1
e1

R1

3 k

3

Alternativ kann RU mit dem verstärkungsbestimmenden Widerstand R1 zusammenge-
fasst werden. Als Eingangsgröße bleibt dann nur die ideale Spannungsquelle Uq übrig.

U1 D R2

D

2 k

D 1I

U D 8 V 1

D 4 V

U

C

1
q

RU

R1

1 k C 3 k

2

2

502

19

Operationsverstärker

Abb. 19.31 Schaltung mit zwei OPVs mit eingetragenen Hilfsgrößen

Es folgt noch eine alternative Berechnungsweise. Der Strom IR1 fließt durch R1 von
rechts nach links (zum Punkt Ue1).

I

D

Uq

D

R1

2 mA

R C

U

R1

Der Strom IR2 fließt durch R2 von rechts nach links (zum Verbindungsknoten von R2
mit R1 am N-Eingang). Aus der virtuellen Masse am N-Eingang folgt:

I

D U1

D

R2
bzw. U

IR

R

R

1

2

2

2

Knotengleichung: I

D

)

D

D

R1

IR2

U1

IR1 R2

2 mA 2 k D 4 V
b) Die Grundschaltung von OPV2 ist ein nichtinvertierender Verstärker.

I

D

D
q fließt durch R6 (von unten nach oben): Ue2

Iq R6

1 V

Das Potenzial am Punkt Ue2 gegenüber Masse ist negativ.

Der Strom durch R6, R5 und RI ist durch die Stromquelle Iq festgelegt. Die Werte von

R5 und RI werden nicht benötigt.

Nichtinvertierender Verstärker:

U2 D 1 C R4 D 8I U D 8 U D
e

8 V

U

2

2
e2

R3

Abb. 19.31 zeigt die Schaltung mit den eingetragenen Spannungen Ue1, Ue2, U1, U2
und den Strömen IR1, IR2.

c) LED1 leuchtet, da ihre Kathode negativer ist als ihre Anode, die Spannung liegt in

Durchlassrichtung an der Reihenschaltung von 100 und LED1 an.

19.4

Invertierender Verstärker

503

Abb. 19.32 Ersatzschaltbild
für den Betrieb von LED1
d) Es wird das Ersatzschaltbild für den Betrieb von LED1 gezeichnet (Abb. 19.32).

Der Diodenstrom I

C

D ist (Maschengleichung): .4 V/ C 100 ID

2 VC.8 V/ D 0.

I D

D

D

100 mAI

PLED

2 V 0;1 A D 0;2 W

In der Praxis ist ein Strom von I D

D

100 mA für eine LED zu hoch, ein üblicher Wert
ist z. B. 20 mA.

Aufgabe 19.19

Gegeben ist die Schaltung in Abb. 19.33 mit idealen OPVs, die Ausgangs-Sättigungsspan-
nung der OPVs liegt ˙1;5 V unter der Betriebsspannung. Die linearisierte Kennlinie der

LEDs unter Vernachlässigung des differenziellen Widerstandes rD ist ebenfalls gegeben.

a) Berechnen Sie die Spannung U1 und die Ausgangsspannung Ua.

b) Welche LED am Ausgang leuchtet? Welche Leistung wird in ihr umgesetzt?

c) Wie verändert sich Ua, wenn Uq verdoppelt wird?

Lösung
a) Der erste (linke) OPV ist ein invertierender Verstärker. Sein Eingangswiderstand ist
gegeben durch R1. Der N-Eingang ist virtuelle Masse. Ri und R1 bilden einen Span-

Abb. 19.33 Schaltung mit OPVs

504

19

Operationsverstärker

Abb. 19.34 Ersatzschaltbild
für den Betrieb von LED2
nungsteiler.

R

U D

1

I

D
e

Uq

Ue

1 V

R C
i

R1

Die Verstärkung V des Inverters ist:

V D U1 D R2 D 2I

U D U
e

.2/ D 2 V

U

1
e

R1

Alternativ kann Ri mit dem verstärkungsbestimmenden Widerstand R1 zusammenge-
fasst werden. Als Eingangsgröße bleibt dann nur die ideale Spannungsquelle Uq übrig.

U1 D R2 D 2I U D 2 U D
q

2 V

U

C

1
q

Ri

R1

3

3

Da durch R5 kein Strom fließt (wegen des unendlich hohen Eingangswiderstandes
des OPV), fällt an ihm keine Spannung ab. R5 hat keine Funktion und könnte durch
einen Kurzschluss ersetzt werden. U1 liegt somit auch am P-Eingang des zweiten OPV.

Dieser ist ein nichtinvertierender Verstärker:

Ua D 1 C R4I U D
a

U

2 D 4 V

U

1

1

R3
b) Entsprechend der Polarität von Ua ist nur LED2 in Flussrichtung geschaltet, sie leuch-
tet.

Es folgt das Ersatzschaltbild für den Betrieb von LED2 (Abb. 19.34).

Maschengleichung: U

D
a

ID 125 UD

0

Der Strom durch LED2 ist

I D 4 V 1;5 V D

D

20 mA:

125

Dies ist ein üblicher Wert für einen Strom durch eine LED. P

D

LED

1;5 V 20 mA D

30 mW
c) Ua würde sich eigentlich auf 8 V verdoppeln. Da jedoch die Ausgangs-Sättigungs-
spannung ˙1;5 V unter der Betriebsspannung von ˙7 V liegt, nimmt Ua einen mini-
malen Wert von U

D
a;min

5;5 V an.

19.4

Invertierender Verstärker

505

Abb. 19.35 Schaltung mit drei OPVs

Aufgabe 19.20

Gegeben ist die Schaltung Abb. 19.35 mit idealen OPVs. Gesucht ist die Ausgangsspan-
nung Ua.

Lösung

Die obere Teilschaltung (der OPV bildet einen invertierenden Verstärker) wird von links
nach rechts behandelt, es wird zuerst U1 bestimmt. Der N-Eingang ist virtuelle Masse.

U D

D

D R2 D 4 k D

D
e1

Iq R1

1;5 mA 2 k D 3 VI

U1

2I

U

6 V

U

1
e1

R1

2 k

Jetzt wird die untere Teilschaltung betrachtet (ein nichtinvertierender Verstärker).

R

U D

6

D

D

D

D
e2

Uq

5 V

1 k

1 VI

U2

1 C R2

10I

R C

C

U

R5

R6

1 k C 1 k C 3 k

Ue2

R1

U D

2

10 V

Als Ersatzschaltung ergibt sich Abb. 19.36.

Vereinfacht als Ersatzspannungsquelle erhält man Abb. 19.37.

U 0 D

D

3

4 V

4 k

2 V

4 k C 4 k

Der OPV ganz rechts in Abb. 19.35 bildet einen invertierenden Verstärker mit der Ein-
gangsspannung U3.

506

19

Operationsverstärker

Abb. 19.36 Ersatzschaltung

Abb. 19.37 Ersatzspannungs-
quelle

R9 liegt als Eingangswiderstand des Inverters in Reihe mit Rers an virtueller Masse.

Der Spannungsabfall U3 an R9 ist:

R

2 k

U D

9

D

D

3

UE2

2 V

1 V

R

C
ers

R9

2 k C 2 k

Alternativ nach Abb. 19.36 rechts:

k R

U D

R8

9

D

D

3

UE1

4 V

4 k k 2 k

1 V

R C
k

7

R8 R9

4 k k 2 k C 4 k

Ua D R10 D 8I U D
a

8 V

U3

R9

19.5

Impedanzwandler (Spannungsfolger)

Aufgabe 19.21

Ein idealer Operationsverstärker ist wie in Abb. 19.38 angegeben verschaltet. Wie groß ist
das Verhältnis Ua=Ue? Begründung? Welche Eigenschaften hat die Schaltung? Für welche

Zwecke wird sie eingesetzt?

Abb. 19.38 Beschalteter OPV

19.6

Differenzierer

507

Abb. 19.39 Nichtinvertieren-
der Verstärker

Lösung

Bei der Schaltung handelt es sich um einen Spannungsfolger (Impedanzwandler). Der Im-
pedanzwandler kann als Sonderfall des nichtinvertierenden Verstärkers betrachtet werden

(Abb. 19.39).

Die Verstärkung des nichtinvertierenden Verstärkers ist:

V D Ua D 1 C R1

Ue

R2

Mit R D

D 1

D

1

0, R2
und 0

1

0 folgt:

V D Ua D 1:

Ue

Der Eingangswiderstand der Schaltung ist sehr groß (ideal R ! 1
e

), der Ausgangswi-
derstand ist sehr klein (ideal R !

a

0). Der Impedanzwandler wird zur Verringerung des

Ausgangswiderstandes einer Verstärkerstufe bzw. zur Entkopplung von Verstärkerstufen
eingesetzt.

19.6

Differenzierer

Aufgabe 19.22

Gegeben ist die Schaltung in Abb. 19.40 mit einem idealen Operationsverstärker.

Geben Sie den Strom Ie und die Spannungen UC, UR und Ua in Abhängigkeit von U0
an.

Abb. 19.40 Schaltung mit

OPV

508

19

Operationsverstärker

Abb. 19.41 Schaltung mit

Berechnungsgrößen

Abb. 19.42 OPV-Schaltung

Lösung

Der OPV ist ideal, das bedeutet:

a) In den invertierenden Eingang fließt kein Strom, die Verbindung wird in Abb. 19.41
mit „“ als stromlos gekennzeichnet.

b) Wegen der Gegenkopplung über R ist die Differenzeingangsspannung zwischen P-

Eingang und N-Eingang null. Zusätzlich liegt der P-Eingang direkt auf Masse, somit
ist der N-Eingang virtuelle Masse.

Der N-Eingang liegt virtuell auf Masse. Hieraus folgt unmittelbar: U D

C

U0

I D UC I

D
e

I
j!C U

1
e

0
j!C

Der Strom I

D
e fließt auch durch den Widerstand R. Damit ist UR
j!RC U0.

Der linke Anschluss von R liegt virtuell auf Masse. Damit ist Ua entgegengesetzt zu

U

D

D

R gerichtet. Ua

UR
j!RC U0

Aufgabe 19.23

Gegeben ist eine OPV-Schaltung (Abb. 19.42) mit idealem OPV und der zeitliche Verlauf
der Eingangsspannung (Abb. 19.43).

a) Leiten Sie den Zusammenhang Ua.t/ D f ŒUe.t/ her.

b) Stellen Sie den zeitlichen Verlauf von Ua.t/ für den abgebildeten Verlauf von Ue.t/
dar.

Lösung
a) Es werden die Ströme Ie und IR eingeführt (Abb. 19.44).

In den N-Eingang fließt kein Strom, deshalb ist I D
e

IR.

19.6

Differenzierer

509

Abb. 19.43 Zeitlicher Verlauf
der Eingangsspannung

Abb. 19.44 Schaltung mit

Strömen

Der N-Eingang ist virtuelle Masse, daher gilt:

I D

I

D Ua
e

C d Ue.t/

IR
dt

R

) Ua.t/ D RC dUe.t/ :

dt

Die Schaltung ist ein Differenzierer.

b) 0 bis 3 ms:

2 V

s

15 103 107

D 1 V

3 103 s

3 bis 5 ms: Die Ableitung von Ue.t/ ist null.

5 bis 7 ms:

3 V

s

15 103 107

D 2;25 V

2 103 s

7 bis 8 ms: Die Ableitung von Ue.t/ ist null.

Den zeitlichen Verlauf von Ua.t/ zeigt Abb. 19.45.

Abb. 19.45 Zeitlicher Verlauf
der Ausgangsspannung

510

19

Operationsverstärker

19.7

Addierer, Subtrahierer

Aufgabe 19.24

Leiten Sie für die in Abb. 19.46 gezeigte OPV-Schaltung den Zusammenhang U D
a
f .U1; U2; R1; R2; R3; R4/ her. Um welche Art von Schaltung handelt es sich? Der OPV
ist als ideal zu betrachten.

Lösung

Es werden die Ströme I1, I2 und die Spannungen UP, Ud und UR4 eingeführt (Abb. 19.47).

Der N-Eingang ist nicht virtuelle Masse, da der P-Eingang nicht direkt auf Masse liegt.

Es liegt aber über R3 eine Gegenkopplung vor, d. h. die Differenzeingangsspannung ist

U D

D
d

0 (virtueller Kurzschluss zwischen den beiden Eingängen). Daraus folgt: UP

UR4
tritt auch oben am N-Eingang auf. Diese Spannung ist:

U D

R4

P

U2 R C

2

R4

UP

Spannung an R W

)

D U1

1 U1

UP

I1

R1

UP

Spannung an R W

)

D Ua

3 Ua

UP

I2

R3

U

P

Ua

Knotenregel: I D

) U1

D UP

I

R3

1

I2

.U

UP/ D UP

Ua

R

1

1

R3

R1

U D R3

C R3

C
a

U

UP

UP

R

1

1

R1

R

U

D R3

C R3

4

C

R4

P einsetzen ) Ua

U

U

U

R

1

C

2

C

2

1

R1 R2

R4

R2

R4

C

D

R

R

R

U

4 R1

3

3

2

U

R

C

1

1

R2

R4

R1

Abb. 19.46 OPV-Schaltung

Abb. 19.47 Schaltung mit
eingeführten Spannungen und

Strömen

19.7

Addierer, Subtrahierer

511

Abb. 19.48 Schaltung mit
idealem Operationsverstärker

Die Schaltung ist ein Subtrahierer.

U1 und U2 sind bei der Differenzbildung noch unterschiedlich gewichtet.

Mit R D

D

1

R2 und R3

R4 folgt:

R

C R

R

U D

3 R2

4

3 I

D R3

a

U2

U

Ua

.U

U

R

C

1

2

1/

1

R2

R4

R1

R1

Schließlich ist für R D

D

D

D

D

1

R2

R3

R4

R: Ua

U2

U1

Aufgabe 19.25

Gegeben ist die Schaltung in Abb. 19.48 mit idealem Operationsverstärker.

Gegeben: U D

D

D

D

D

D

1

1 V, U2

4 V, U3

3 V, U4

5 V, R1

10 k, R2

5 k,

R D

D

D

D

3

10 k, R4

2 k, R5

10 k, R6

2 k

Berechnen Sie den Strom I6 und die Spannungen UR5 und Ua.

Lösung

U U

R

UR

U

D

D

C

I

D

3

5 C U4

5

R5

I5 R5

.I3

I4/ R5

UR5

R

R

5

3

R4

U

C

R

U

UR

U

D U3R4

5R4

4R3

5R3

I

R5

R

R

5

3R4

R3R4 U C

C

D

C

R

UR

UR

U

U

R

5

5R4

5R3

3R4

4R3

5

R

C U

U

3R4 C

C

D

C

I

D U3R4

4R3

R5

R

R

U

U

UR

R

4

3

3R4

4R3

5

R

5

3R4 C R C R

R

4

3

5

Zahlenwerte eingesetzt ergibt U

D

R5

4 V.

U

U

3 V

I D

C

D U1

R5 C U2

R5 D

D

6

I1

I2

0;3 mA

R1

R2

10 k

U D

C

D

C

D
a

UR6

UR5

I6R6

UR5

0;3 mA 2 k C 4 V D 4;6 V

512

19

Operationsverstärker

Abb. 19.49 Zu berechnende

OPV-Schaltung

Abb. 19.50 Schaltung mit
eingetragenen Berechnungs-
größen

Aufgabe 19.26

Berechnen Sie die Ausgangsspannung Ua als Funktion von U1 und U2 der Schaltung in

Abb. 19.49. Der Operationsverstärker ist als ideal anzusehen.

Lösung

Die Schaltung mit eingetragenen Berechnungsgrößen zeigt Abb. 19.50.

Es liegt Gegenkopplung über 2R

D

1 vor, somit ist die Differenzeingangsspannung Ud

0. Es liegt ein virtueller Kurzschluss zwischen N- und P-Eingang vor, somit ist U D

N

UP.

Außerdem sind die Ströme in die OPV-Eingänge null.

Zur Berechnung von UP werden der Überlagerungssatz und die Spannungsteilerregel
angewendet.

Wirkung von U1: U2 kurzschließen.

R2

U 0 D

2

D U1

P

U1 R C R2

2

3

2

Wirkung von U2: U1 kurzschließen.

R2

U 00 D

2

D U2

P

U2 R C R2

2

3

2

Überlagerung: U D U1 C U2

P

3

3

19.8

Integrierer

513

Berechnung von UN nach der Spannungsteilerregel:

U D

R1

D Ua

N

Ua

:

R C

1

2R1

3

Mit U D

D U1CU2

D

C

N

UP folgt Ua

. ) U

U

U

3

3
a

1

2

19.8

Integrierer

Aufgabe 19.27

Gegeben ist die Schaltung Abb. 19.51 mit einem idealen OPV, es gilt R C D 10 ms.

a) Zur Zeit t D 0 ist C vollständig entladen.

Zeichnen Sie den Verlauf von U

D

D
a für 0 < t 100 ms, falls Ue

50 mV und Ue

150 mV ist.

b) Wie groß ist Ua für beide Eingangsspannungen zur Zeit t D 100 ms?

c) Bei t D 100 ms wird U

D
e auf Ue

100 mV umgeschaltet. Zeichnen Sie jeweils den
weiteren Verlauf von Ua.

Lösung
a) Die Schaltung ist ein Integrierer, für den gilt:

Z

Ua.t/ D 1

Ue.t/dt C Ua.t D 0/

RC

Da C am invertierenden Eingang an virtueller Masse liegt, ist Ua.t/ D UC.t/. Somit
folgt:

Ua.t D 0/ D UC.t D 0/ D 0

1 D 1

D

1

0;1

RC

10 ms
ms

Z

1
mV

U D

e

50 mVW Ua.t/ D 0;1

50 mVdt D 5
t
ms
ms

Abb. 19.51 OPV-Schaltung
mit R und C

514

19

Operationsverstärker

Dies ist eine Gerade durch den Ursprung mit negativer Steigung.

mV

U D

e

150 mVW Ua.t/ D 15
t
ms

Dies ist ebenfalls eine Gerade durch den Ursprung mit negativer Steigung.

Damit die beiden Geraden bis 100 ms gezeichnet werden können, muss zuerst Teilauf-
gabe b) gelöst werden, um die Werte von Ua für 100 ms zu erhalten.

b)

mV

U D

e

50 mVW Ua.t D 100 ms/ D 5

100 ms D 0;5 V
ms
mV

U D

e

150 mVW Ua.t D 100 ms/ D 15

100 ms D 1;5 V
ms

Die beiden Geraden können jetzt von t D 0 bis t D 100 ms gezeichnet werden.

c)

Z

1
mV

U D

e

100 mVW Ua.t/ D 0;1

.100 mV/dt D 10
t
ms
ms

Dies ist eine Gerade mit positiver Steigung, deren Ursprung bei t D 100 ms, U D
a

0;5 V liegt. Durch Einsetzen von t-Werten in diese Geradengleichung und unter Be-
rücksichtigung ihres Ursprungs kann jeweils der weitere Verlauf von Ua gezeichnet
werden.

U D
e

50 mV:

mV

U

a.150 ms/ D 500 mV C 10

50 ms D 0 V
ms
mV

U

a.200 ms/ D 500 mV C 10

100 ms D 0;5 V
ms

U D
e

150 mV:

mV

U

a.200 ms/ D 1;5 V C 10

100 ms D 0;5 V
ms
mV

U

a.250 ms/ D 1;5 V C 10

150 ms D 0 V
ms

Den Verlauf der Ausgangsspannung Ua zeigt Abb. 19.52.

Aufgabe 19.28

Gegeben ist die Schaltung in Abb. 19.53 mit einem idealen OPV.

Die Kurvenform von Ue zeigt Abb. 19.54.

a) Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit Ua zum Zeitpunkt t D 0 genau 0 Volt ist?

b) Skizzieren Sie den Verlauf von Ua.t/, skalieren Sie Ordinate noch nicht.

c) Dimensionieren Sie R und C so, dass Ua.t D 20 ms/ genau 10 V erreicht.

19.8

Integrierer

515

Abb. 19.52 Verlauf der Ausgangsspannung

Abb. 19.53 OPV-Schaltung
als Integrierer

Lösung
a) C muss für t D 0 vollständig entladen sein.

b) Den Verlauf von Ua.t/ zeigt Abb. 19.55, die Ordinate wurde entsprechend Teilaufgabe
c) bereits skaliert.

c)

Z

Ua.t/ D 1

Ue.t/dt C Ua.t D 0/

RC

Es soll sein: U

D
a.t D 20 ms/ D 10 V; jetzt Ua

10 V in die Skizze Abb. 19.55
eintragen.

Wegen der Symmetrie von Ue gilt:

U

D
a.t D 10 ms/ D 5 V; jetzt Ua

5 V in die Skizze Abb. 19.55 eintragen.

Es erfolgt eine willkürliche Wahl des Startzeitpunktes, z. B. 5 ms mit dem Anfangswert

Ua.t D 5 ms/ D 0 V. Der Endwert ist 5 V.

Abb. 19.54 Kurvenform der

Eingangsspannung

516

19

Operationsverstärker

Abb. 19.55 Verlauf der Aus-
gangsspannung mit bereits
skalierter Ordinate

Im Intervall 5 ms bis 10 ms gilt: Ue.5 ms < t 10 ms/ D 5 V

5 V D 1 5 V 5 ms ) RC D 5 ms

RC
z. B. mit den Werten C D 1 F, R D 5 k

Aufgabe 19.29

Eine Schaltung erhält die Eingangsspannung Ue aus einem Generator und erzeugt die

Ausgangsspannung Ua (Abb. 19.56).

a) Zeichnen Sie das Schaltbild für die gesuchte Schaltung unter Verwendung idealer

OPVs.

b) Dimensionieren Sie alle Bauelemente.

Lösung
a) Es wird ein Integrierer mit nachfolgendem invertierenden Verstärker benötigt. Die

Schaltung zeigt Abb. 19.57.

b)

Z

Ua.t/ D 1

Ue.t/dt C Ua.t D 0/

RC

Ua.t D 10 ms/ D 10 V (Anfangswert); Ua.t D 20 ms/ D 10 V (Endwert)

Abb. 19.56 Ein- und Ausgangsspannung einer Schaltung

19.9

Aktive Filter

517

Abb. 19.57 Gesuchte Schal-
tung

Im Intervall 10 ms bis 20 ms ist Ue.10 ms < t 20 ms/ D 2 V.

10 V D 1 2 V 10 ms C 10 V ) RC D 1 ms

RC

Realisiert kann dies werden z. B. mit C D 1 F, R D 1 k.

Für den Inverter eignet sich z. B. R D

D

1

R2

10 k.

19.9

Aktive Filter

Aufgabe 19.30

Die Schaltung in Abb. 19.58 mit einem idealen Operationsverstärker ist ein aktives Filter.

Bestimmen Sie Ua in Abhängigkeit der Kreisfrequenz ! für R

D R

D RC .

U

1C1

2C2
e

Lösung

In den N-Eingang des OPV fließt kein Strom, somit ist I D

1

I2. Außerdem liegt der

N-Eingang virtuell auf Masse. Deshalb lassen sich die Ströme durch die Spannungen und

Abb. 19.58 Aktives Filter

518

19

Operationsverstärker

Abb. 19.59 Gegebene Schal-
tung
die Zweigwiderstände ausdrücken.

U

I D

Ue

I

D
a

I

1

I

R C 1

2

1

1
j!C1

1 C

R
j!C2

2

U

U

Gleichsetzen ergibt
e

D
a

R C 1

1

1
j!C1

1 C

R
j!C2

2

U a D

1

D
j!R2C1

U e

1

C 1

.1 C j!R1C1/.1 C j!R2C2/

1 C

R1
j!C

R
j!C2

1

2

Mit R

D

D

1C1

R2C2

RC folgt:

U a D j!R2C1 D
j!R2C1

U e

.1 C j!RC /2

1 .!RC /2 C j 2!RC

Ua D jUa j D

!R2C1
p

Ue

U e

.1 .!RC /2/2 C .2!RC /2

D

!R2C1
p1 2.!RC/2 C .!RC/4 C 4.!RC/2

Ua D

!R2C1
p

D

!R2C1
p

I

Ua D !R2C1

Ue

1 C 2.!RC /2 C .!RC /4

.1 C .!RC /2/2

Ue

1 C .!RC /2

Aufgabe 19.31

Gegeben ist die Schaltung in Abb. 19.59 mit einem idealen Operationsverstärker.

a) Bestimmen Sie den komplexen Frequenzgang (die Übertragungsfunktion H .j!/ D

U a ).

U e
b) Welche Filterfunktion ergibt sich?

c) Bestimmen Sie die Pol- und Nullstellen der Übertragungsfunktion.

d) Welche Bedeutung haben allgemein Pole und Nullstellen einer Übertragungsfunktion?

19.9

Aktive Filter

519

Lösung
a) Der OPV wird in der Grundschaltung eines invertierenden Verstärkers betrieben, die
verstärkungsbestimmenden Widerstände sind hier allerdings die komplexen Wider-
stände R C
k

1

L und R2 C (symbolisch geschrieben).

R2 1
j! C
k

R

C

2

R2C 1

H .j!/ D U a D R2

D
j! C

D 1Cj!R2C

U

C

C

C
e

R1
j!L

R1
j!L

R1
j!L

D

R2

.R C

1
j!L/.1 C j!R2C /
b) Es handelt sich um einen Tiefpass zweiter Ordnung. Hat die Eingangsspannung Ue
die Frequenz f D 0 (Gleichspannung), so erhält man aus der Übertragungsfunktion
die Verstärkung V D Ua D R2 . Wird die Frequenz unendlich groß, so wird der

Ue

R1

Nenner unendlich groß, der Bruch (und damit die Ausgangsspannung Ua) also zu null.

Die zweite Ordnung ergibt sich durch die zwei Energiespeicher L und C. Die zweite

Ordnung kann man auch aus der zweiten Potenz von s erkennen, wenn man j! D s
setzt und den Nenner ausmultipliziert. Im Nenner erscheint dann ein Term mit s2.

c) Der Zähler der Übertragungsfunktion ist unabhängig von der Frequenz f und kann
somit für keinen Wert von f zu null werden. Die Übertragungsfunktion hat keine

Nullstellen. Die Pole ergeben sich aus den Lösungen (den Nullstellen) des Nenner-
polynoms. Im vorliegenden Fall können die Pole aus den Linearfaktoren des Nenners
leicht bestimmt werden, indem diese einzeln zu null gesetzt werden.

R

R C

I

1 I j

I

1
j!11L D 0I
j!11 D R1

!

!

L

11 D j L

11j D !11 D R1

L
f11 D R1

2L

1 C j!

I

21R2C D 0I
j!21 D 1
f

R

21 D

1

2C

2R2C
d) Wird ein Netzwerk mit einer Eingangsspannung gespeist, deren Frequenz gleich der

Frequenz einer Nullstelle ist, so wird die Ausgangsspannung zu null. Ist die Frequenz
der Eingangsspannung gleich der Frequenz eines Poles, so wird die Ausgangsspan-
nung (theoretisch) unendlich groß.

Aufgabe 19.32

Gegeben ist die aktive Filterschaltung mit idealen Operationsverstärkern in Abb. 19.60.

a) Welche Funktion hat der Operationsverstärker OPV1?

b) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion H
von Teilfilter 1 und

1.j !/

D Ua1

U e

H
von Teilfilter 2.

2.j !/ D U a

U a1

520

19

Operationsverstärker

Abb. 19.60 Schaltung eines aktiven Filters
c) Bestimmen Sie die gesamte Übertragungsfunktion H .j!/ D Ua der Filterschaltung.

U e

Stellen Sie H .j!/ in der Form H .j!/ D H

1

0
dar. Geben Sie H

1Cj!a

0, a1 und

1C!2 a2
a2 an.

d) Die Schaltung soll eine Gleichspannungsverstärkung von 0 dB besitzen. Jede der Fil-
terstufen soll eine Grenzfrequenz f D
g

1000 Hz haben. Der Wert der Kondensatoren
ist C D 10 nF. Bestimmen Sie die Werte für R und R1.

e) Welche Art von Filter (Filterfunktion) stellt die Schaltung dar?

Lösung
a) OPV1 ist ein Impedanzwandler zur Entkopplung von Teilfilter 1 und Teilfilter 2. Der

Eingangswiderstand R1 von Teilfilter 2 (dessen Grundschaltung ist ein invertierender

Verstärker) würde sonst die Spannung an C am Eingang von OPV1 belasten, er wä-
re parallel zu diesem C geschaltet (der invertierende Eingang von OPV2 ist virtuelle

Masse).

b)

1

U

D

j!C

D

1

I

D

1
a1

U e

U

H

R C 1
e

1 C j!RC

1.j !/ D U a1

U

1 C j!RC
j!C
e

R

R 1
j! C
j! C

1Cj!RC

RC 1

H

D R k C D
j! C

D j!C D

R=R1

2.j !/ D U a

U a1

R1

R1

R1

1 C j!RC
c) Die Übertragungsfunktion von in Reihe geschalteten (kaskadierten) linearen Systemen
ergibt sich aus der Multiplikation der Übertragungsfunktionen der einzelnen Systeme.

Um die Gesamtverstärkung von kaskadierten Systemen zu erhalten, gilt:

1. Sind die einzelnen Verstärkungen als lineare Verstärkungsfaktoren gegeben, so
werden diese miteinander multipliziert.

2. Sind die einzelnen Verstärkungen als logarithmisches Übertragungsmaß in dB ge-
geben, so werden diese summiert.

19.9

Aktive Filter

521

H .j!/ D H

U a D U a

1.j !/ H 2.j !/ D U a1

U e

U a1

U e

R=R

H .j!/ D

1

1

D R

1

1 C j!RC 1 C j!RC

R1 1 C j!2RC !2R2C 2

H D R I

D

D

0
a

2RC I
a

R2C 2

R

1

2

1
d) Bei der Grenzfrequenz fg ist die Ausgangsspannung bzw. der Betrag der Übertra-
p
gungsfunktion auf das 1= 2-fache abgefallen.

jH

)

D 1

1.j !/j D

1
p

!g

1 C .!RC /2

RC
j

R

H

)

D 1 und

D

2.j !/j D

R=R1
p

!g

1. Somit muss gelten: R D R1

1 C .!RC /2

RC

R1

2f D 1 I

R D

1

D

1

I

R D 15;9 k

RC

2f C

2 1000 s1 10 109 s
e) Die Schaltung ist ein Tiefpass zweiter Ordnung, der aus zwei Tiefpässen erster Ord-
nung mit jeweils gleicher Grenzfrequenz aufgebaut ist.

Sachverzeichnis

A

Ausgangskennlinienfeld, 430, 435–437,

Abschalt-Induktionsstromkreis, 201, 202

440–442, 446, 447, 470–479

Abschaltzeitkonstante, 216, 217

Ausgangs-Sättigungsspannung, 503, 504

Abwärtswandler, 36

Ausgleichsströme, 227

Addition, vektorielle, 320

Ausgleichsvorgänge, 205, 206, 208, 211

Admittanz, 177, 178, 282, 379, 386–388, 390

Außenleiterspannung, 392–394, 396–401

Akkumulator, 26, 145

Außenleiterströme, 392, 393, 395–401
aktive Filterschaltung, 519

Autobatterie, 146, 149, 225

Akzeptoren, 3

Amperemeter, 190, 191, 234

B

Amperewindungen, 114, 119, 121, 126

Bandfilter, 374

Amplitudengang, 294, 336, 339, 449–452

Bandpass, 323, 358

Analyse von Netzwerken, 246

Basisbahnwiderstand, 458

Anfangswert, 207, 213, 515, 516

Basis-Emitter-Diode, 438, 450

Basis-Emitter-Spannung, 435, 437–439, 441,

Anode, 9, 407, 502

449, 455

Anreicherungstyp, 466, 476

Basis-Emitter-Strecke, 453

Äquipotenzialfläche, 11, 12, 97, 100

Basis-Emitter-Widerstand, 449, 451

Äquipotenziallinie, 11

Basisgleichstrom, 435

Arbeit, elektrische, 28

Basisruhestrom, 453, 455

Arbeitsgerade, 179, 419, 422–424, 440–442,

Basisschaltung, 430, 431, 456, 457

472–477

Basisspannungsteiler, 439

Arbeitspunkt, 67, 122, 123, 154, 174, 179, 412,

Basisstrom, 429, 433, 435, 437, 438, 440–442,

416–423, 433–435, 437, 438, 440–445,

444, 449, 456

447, 448, 470, 472, 473, 475–479

Basisvorwiderstand, 441, 445, 448

Arbeitswiderstand, 433, 444, 458, 479

Batterie, 19, 20, 27, 145, 146, 148, 178

Aron-Schaltung, 394

Bauteilgleichung, 43, 114, 295, 296, 298

Atom, 2, 4, 5, 10

Bauteilgleichung der Spule, 114

Atomart, 2, 3

Begrenzerschaltung, 425–427

Atombau, 2

Belastbarkeit, 40, 69, 70, 182, 412, 413

Atomhülle, 2

Belastung, 146, 149, 151, 235, 359, 361, 392,

Atomkern, 2, 4, 5

393, 398–400, 447, 448, 495

Atomrümpfe, 10, 11, 14, 15

Betragsbildung, 273, 278, 279

Augenblickswert, 269, 427

Betriebslast, 63

Ausdruck, logischer, 462

Betriebspunkt, 30, 404

Ausgangsimpedanz, 430, 431, 455, 456, 468

Betriebsspannungsquelle, 433, 447

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017

523

L. Stiny, Aufgabensammlung zur Elektrotechnik und Elektronik,

DOI 10.1007/978-3-658-14381-7

524

Sachverzeichnis

Betriebstemperatur, 57, 62

Donatoren, 3, 14

Betriebswiderstand, 32

Doppelleitung, 29

Bezugspotenzial, 13

Dotierung, 3, 15

Bezugspunkt, 2, 13, 102, 247, 253, 404, 469

Drahtquerschnitt, 21, 361

Bit, 431

Drain, 37, 433, 467, 473

Bleiakkumulator, 171

Drehspulmesswerk, 189, 190, 193, 229

Blindleistung, 34, 35, 302, 316, 329, 343–353,

Drehstrom-Niederspannungsnetz, 393

355, 362, 364, 375, 377, 393, 401–403

Drehstromsystem, 393

Blindleistungskompensation, 344, 350–354,

Drehstromtransformator, 118

394, 402

Drehstromverbraucher, 392, 394, 397–400

Blindwiderstand, 34, 282, 293–296, 300, 302,

Drehzahl, 33, 140, 141, 403–405

306, 309, 310, 329, 350, 354, 358, 399,

Dreieckschaltung, 220, 241, 392–394, 398–403

400

Dreieckspannung, 273, 274, 278, 280

Blindwiderstand, induktiver, 294, 295, 299, 383

Dreieck-Stern-Transformation, 236, 237

Blindwiderstand, kapazitiver, 297, 383

Dreileitersystem, 397, 398

Brücke, abgeglichene, 242

Driftgeschwindigkeit, 8

Brummfrequenz, 425

Driftstrom, 9

Brummspannung, 425

Dualsystem, 463

Dualzahl, 462, 463

C

Durchbruchbereich, 408, 410, 413

Chassis, 14

Durchbruchkennlinie, 414, 415

CMRR, 488

Durchbruchspannung, 411

Durchflutung, 112–114, 117, 119–123,

D

125–127

Dämpfungsmaß, 341

Durchflutungsgesetz, 112, 121, 128, 130, 131,

Darlington-Schaltung, 460

133, 134

Datenblatt, 63, 66, 414

Durchlassbereich, 407, 410

Dauerbetrieb, 57, 58, 60, 404

Durchlasskennlinie, 416, 418

Dauerkurzschlussstrom, 359, 369

Durchlasswiderstand, 217, 408, 410

Defektelektron, 3

Durchschnitt, 271

Derating, 40, 63

Durchsteckmontage, 69

Deratingkurve, 62

Dezibel, 336, 341

E

Dielektrika, geschichtete, 81

Effektivwert, 33, 134, 176, 177, 272, 273, 276,

Dielektrikum, 9, 40, 71, 74–77, 79, 81–83, 85,

297, 299, 300, 302, 304, 307, 312, 318,

86, 91, 92, 100

322, 326, 339, 346, 350, 383, 393, 500

Dielektrizitätszahl, 75, 84

Eigenleitung, 10

Differenzeingangsspannung, 490, 494, 496,

Eingangsimpedanz, 430, 431, 450, 451, 455,

497, 508, 510, 512

456, 468, 499, 500

Differenzierer, 507, 509

Eingangskennlinie, 434–436, 446–448, 468

Differenzverstärker, 431, 460, 461, 481

Eingangswiderstand, 35, 431, 434, 435, 449,

Diffusion, 9

467, 469, 477, 482, 490, 491, 493, 494,

Diffusionsstrom, 9

501, 503, 506, 507, 520

Diode, 64, 217, 407–414, 418–423, 432, 453

Einphasenbrückenschaltung, 425

Dioden, Reihenschaltung von, 410

Einschaltstrom, 32, 141

Diodenkennlinie, 408–410, 412, 416–419, 421,

Einweggleichrichtung, 280, 425

422, 501

Eisenkern, 120, 123, 128, 131–134, 186, 357

Diodenstrom, 412, 503

Eisenkreis, 118

Dipol, 5

Eisenverluste, 358, 366

Sachverzeichnis

525
elektrisches Feld, radialsymmetrisches, 93

F

Elektrizität, statische, 6

Farad, 40, 110

Elektrizitätsmenge, 6

Farbcode, 40

Elektrolytkondensator, 71, 424

Fehlerkorrektur, 197

Elektromagnet, 115

Fehlerort, 59

Elektromotor, 56, 60, 348, 352, 404

Feld, homogenes, 7, 112

Elektronen, 2–12, 14, 15, 18, 19, 21, 29, 30, 41,

Feldänderung, 41

139

Feldeffekt-Transistor, 467, 468

Elektronenschale, 4

Feldlinien, 7, 30, 40, 41, 81–83, 96, 97, 100,

Elektronikfertigung, 69

107, 118, 120, 136, 142

Elektrostatik, 6

Feldstrom, 9

Elementarladung, 2, 3, 7, 18, 19

Feldvektor, 11

Elementarmagnete, 41

Feldverzerrungen, 118, 128

Elemente, 1–4, 160, 178, 358

Festwiderstand, 40, 70

Elementhalbleiter, 3, 10

Filter, 294, 334, 335, 338, 374, 517, 520

Emitterschaltung, 430, 433, 437, 445, 446,

Filter, aktive, 517

449–451, 457, 458, 477

Filtercharakteristik, 322, 335, 336, 338, 339

Energie, 8, 10–13, 22, 25, 26, 29, 36, 71, 73,

Filterfunktion, 518, 520

74, 76, 77, 79, 85, 110, 114, 375, 377,

Flächenladungsdichte, 94

391, 404

Flipflop, 431

Energie, potenzielle, 12, 13, 22

Fluss, magnetischer, 112, 113, 118, 120, 125,

Energiebedarf, 29

131, 132, 134

Energieerhaltungssatz, 8, 26

Flussdichte, 75, 81–83, 87, 88, 96, 97, 100,

Energiekosten, 29

112, 113, 115–119, 121, 122, 124–128,

Entkopplungskondensator, 71

130–133, 135, 138, 141

Entladestrom, 203, 204, 206

Flussdichte, elektrische, 83, 94

Entladevorgang, 202

Flussrichtung, 2, 140, 409, 412, 504

Entstörkondensatoren, 71

Folienkondensatoren, 72

Entstörung, 40

Freilaufdiode, 36, 37, 202, 216, 217, 408

Erdung, 104

Fremdatome, 3, 14, 15

Ersatzkapazität, 181, 183, 184, 223, 296

Füllstandsmessung, 90

Ersatzschaltbild, 61, 65, 111, 120, 122, 149,

150, 209, 212, 216, 239, 304, 306, 458,

G

465, 466, 503, 504

Gate, 467–471, 473

Ersatzschaltbild, thermisches, 61, 65

Gatter, 432, 465

Ersatzschaltung, physikalische, 457

Gegeninduktivität, 357, 363

Ersatzspannungsquelle, 146, 154–162,

Gegenkopplung, 431, 450, 451, 470, 482–484,

164–170, 172–174, 187, 227, 228, 264,

486, 487, 491, 492, 494, 496, 497, 500,

265, 418, 419, 422, 505, 506

508, 510, 512

Ersatzstromquelle, 154, 156, 157, 160, 162,

Gegentakt-Endstufe, 485

226–228, 264

Gehäusetemperatur, 62

Ersatzwiderstand, 49, 54, 148, 149, 181, 182,
gemischte Parallel- und Reihenschaltung, 236

219–221, 235–238, 240, 358, 381

Genauigkeitsklasse, 191, 198

Erzeuger, 25–27, 246

Geradengleichung, 43, 123, 156, 442, 514

Erzeugerzählpfeilsystem, 26, 171

Germanium, 3, 10, 429

Exemplarstreuungen, 440

Germaniumdiode, 408

Exponentialform, 281, 282, 285–288, 291, 292,
gespeicherte Energie, 36, 73, 76, 77, 86, 92,

311, 325, 384, 386, 395

114–116, 377

Exponentialfunktion, 201

Glaskondensatoren, 72

526

Sachverzeichnis

Gleichanteil, 190, 270, 271

229–231, 243–245, 264, 266, 320, 350,

Gleichrichtung, 408, 424

362, 421

Gleichrichtwert, 277–280

Integral, 106, 273, 276–278

Gleichspannungsmessgerät, 195

Integration, 108, 109, 274, 276, 279

Gleichstrom-Gegenkopplung, 449

Integrierer, 513, 515, 516

Gleichstromkreis, 17, 42, 114, 115, 118, 119,

Ion, 3, 5, 8

184, 201, 219, 306

Isolatoren, 2, 10

Gleichtaktsignal, 488

Isolierschicht-FET, 467, 469, 470

Gleichtaktunterdrückung, 488

Isolierschicht-Typ, 468

Glühlampe, 18, 24, 28, 30, 32–34, 45, 46, 198,

Isotropie, 105

199, 349

Graetz-Brückenschaltung, 425

K

Grenzschicht, 9

Kaltwiderstand, 32

Grundstoffe, 4

Kapazität, 71–77, 79, 80, 83, 85–90, 92, 97,

Grundwissen, VII, 1, 17, 40, 145, 181, 189,

101, 221, 222, 296, 309, 326, 347, 380,

201, 219, 269, 281, 293, 343, 357, 373,

383, 403

391, 407, 429, 467, 481

Kapazitätsbelag, 101

Güte, 374, 381, 383

Kathode, 407, 502

Güte des Schwingkreises, 381

Kennlinie, 147, 151, 154, 155, 174, 178, 179,

Gütefaktor, 374, 380

408–416, 418, 422–424, 427, 435, 437,

469, 475

H

Keramikkondensatoren, 72

Halbleiter, 2, 3, 5, 9, 10, 14, 15

Kernverluste, 358

Halbleiter, dotierte, 3

Klemmenspannung, 27, 146–149, 151, 152,

Halbleiterdiode, 64, 407

169, 492

Hauptinduktivität, 358, 365, 366, 368

Knotenanalyse, 220, 257–260, 458, 459

Henry, 41

Knotengleichung, 47, 247, 248, 252, 253, 255,

Hexadezimalzahl, 462

257–260, 496–498, 502

Hochpass, 294, 323, 339, 340, 450–452, 454

Knotenregel, 52, 53, 219, 254, 317, 441, 483,

Hochpass-Verhalten, 452, 454

487, 510

Hohlkugel, 95–99, 102

Kollektor-Basis-Diode, 432

Hystereseverluste, 358

Kollektor-Basis-Stromverhältnis, 437

Kollektor-Emitter-Spannung, 437–439, 442,

I

443

Imaginärteil, 281–283, 285, 287, 290, 291, 318,

Kollektor-Emitter-Strecke, 443

321, 327, 337, 338, 373, 379, 381,

Kollektorschaltung, 430, 431

388–390

Kollektorwiderstand, 443, 445

Impedanz, 177, 185, 299, 301, 302, 326–329,
komplexe Rechnung, 281, 301, 308, 317, 318,

379, 383, 384, 386, 387

327, 330

Impedanzwandler, 468, 506, 507, 520
komplexer Widerstand, 282, 290, 292, 294,

Induktionsgesetz, 133, 134, 139, 142, 296

302, 303, 307, 310, 312, 318, 333, 350,

Induktionsspannung, 110, 138, 141, 216, 217

386, 399

Induktionsspannungsspitzen, 37

Komponentendarstellung, 285

Induktivität, 111, 115, 116, 127, 130, 131, 142,

Komponentenform, 281, 283, 287, 288, 291,

143, 186, 214, 294, 295, 302–306, 310,

292, 325, 386

326, 351, 381, 383

Kondensator, 34, 71–77, 79–83, 85–89, 92,

Influenz, 6, 41, 93, 94

207, 297, 298, 313–315, 319, 347,

Innenwiderstand, 31, 146–157, 159, 168–172,

352–354, 425, 445, 450, 490

174–179, 187, 190–199, 225, 227,

Kondensatoren, Bauformen, 72

Sachverzeichnis

527

Kondensatorspannung, 204, 214

Lastwiderstand, nichtlinearer, 173

Konstantandraht, 44

Lawinendurchbruch, 407

Konstantstromquelle, 146, 175

LED, 76, 178, 179, 407, 411, 412, 464, 501,

Konvektionsstrom, 8

503, 504

Koppelkondensator, 451–453, 499, 500

Leerlaufspannung, 31, 146, 147, 149–153,

Kopplungsfaktor, 357, 362, 363

155–159, 168, 171–174, 178, 179, 244,

Kraftlinien, 7

264, 421, 422

Kreis, magnetischer, 117, 118, 120, 122, 133

Leerlaufverstärkung, 482, 483, 488, 490, 491

Kugelkondensator, 98

Leerlaufversuch, 358, 365, 366

Kugelladungen, 103

Leerlaufwirkleistung, 358, 365

Kugeloberfläche, 94, 95, 97, 102, 103

Leistungsänderung, relative, 30

Kühlkörper, 65–68

Leistungsangabe, 403, 404

Kühlkörper, gemeinsamer, 67, 68

Leistungsanpassung, 50, 56, 146, 151, 169,

Kupferdraht, 44, 56–58, 60, 111

175–179, 361, 362, 443

Kupferverluste, 358, 371

Leistungsfaktor, 34, 35, 303, 310, 344, 345,

Kurzschluss, 59, 91, 104, 157, 158, 171, 173,

347–350, 352–355, 362, 364, 380, 396,

178, 336, 484, 499, 504, 510

398–401, 404

Kurzschluss, virtueller, 485

Leiter, 2, 3, 8–10, 13, 40, 41, 100, 101, 104,

Kurzschlussblindwiderstand, 359

106–108, 113, 135–138, 140, 189, 396,

Kurzschlussleistungsfaktor, 359, 370

401

Kurzschlussreaktanz, 369, 370

Leiteranordnungen, 135

Kurzschlussstrom, 147, 150–152, 155–157,

Leiterschleife, 133, 137–139, 141

159, 171–174, 178, 263, 264, 421, 422

Leitfähigkeit, 3

Kurzschlussversuch, 358, 359, 369, 370

Leitfähigkeit, spezifische, 44, 104, 105

Kurzschlusswiderstand, 359, 369

Leitungsstrom, 8, 10, 118

Leuchtdiode, 76, 412

L

Linienintegral, 106

Ladekondensator, 425

Linienstrom, 106

Ladestrom, 204

Logiksignal, 473

Ladung, elektrische, 2, 6–8, 20, 40, 71, 96

Luftspalt, 118, 120, 123–126, 128–131, 133

Ladung, influenzierte, 96

Luftspaltgerade, 123, 129

Ladung, punktförmige, 93–95

Luftspaltinduktion, 133

Ladungserhaltungssatz, 7

Lufttransformator, 362

Ladungsmenge, 7, 17–19, 21, 22, 271

Lumineszenzdiode, 411

Ladungsspeicher, 20

Ladungstrennung, 6

M

Lampenstrom, 24
magnetische Quellenspannung, 113

Lampenwiderstand, 24, 199
magnetische Spannung, 112–114, 121, 124, 125

Längsschichtung, 82, 83, 87, 88, 91
magnetischer Kreis, 118, 120, 122, 130

Last, 8, 36, 37, 63, 64, 146–148, 150, 175, 179,

Magnetisierungskennlinie, 122–124, 129, 134

234, 320, 350, 395, 401, 494

Magnetisierungskurve, 123, 124, 127–129

Lastfall, 151, 152

Magnetismus, 41

Lastminderungskurve, 61–63, 68, 69

Maschenanalyse, 220, 256

Lastspannung, 146, 147

Maschengleichung, 28, 153, 165, 251–253,

Laststrom, 36, 146, 320, 321

255, 415–419, 447–449, 456, 471, 503,

Lastwiderstand, 31, 35, 46, 146, 148–150, 152,

504

154, 159, 167, 169–171, 173, 175–177,

Maschenregel, 147, 170, 219, 253, 254, 301,

179, 184, 225, 362, 414–416, 499

368

Lastwiderstand, komplexer, 176

Maschenumlauf, 147, 203, 433

528

Sachverzeichnis

Masse, virtuelle, 482, 487, 491, 493, 494, 497,

O

498, 501, 503, 505, 508–510, 520

Oberflächenintegral, 95, 113

Massepotenzial, 13, 445

Oberflächentemperatur, 65

Masseteilchen, 1, 2

Offset, 271

Material, isotropes, 105

Offsetspannung, 488, 498

Materialgleichung, 105

Offsetspannungsdrift, 500

Materie, 3, 6–8
ohmisch-induktiv, 287

M-Ersatzschaltbild, 358
ohmisch-kapazitiv, 287

Messbereich, 151, 190, 192–196, 198, 199,

Operationsverstärker, 481–483, 489, 499, 506,

220, 229–232

507, 511, 512, 517–519

Messbereichserweiterung, 193

P

Messfehler, 196, 197

Papierkondensatoren, 72

Messwerk, 189, 194, 195, 231

Parallelschaltung, 32, 46, 48, 52, 54, 81, 82,

Metallpapier-Kondensatoren, 72

220–222, 225, 227, 310–312, 314, 316,

Mikroelektronik, 69

325, 326, 329, 333, 337, 345, 385, 387

Mikrofon, 448, 449

Parallelschwingkreis, 374, 383, 385, 386, 388

Miniaturisierung, 69

Periodendauer, 269, 270, 272, 276, 278, 305,

Mischgröße, 271

345

Mittelwert, arithmetischer, 270, 271, 345

Permeabilität, 118, 121, 122, 129, 131, 133,

Molekül, 1, 5

134, 186

Monoflop, 431

Permeabilitätszahl, 111, 115, 117, 119, 125,

MOSFET, 36, 37, 466–468, 470, 471, 473, 474,

127, 130

476–478
p-Halbleiter, 3, 14

Motorleistung, 60, 61

Phasengang, 294, 338, 340

Motorwicklung, 60

Phasenlage, 329

Multivibrator, 431

Phasenumkehr, 449, 468

Phasenverschiebung, 134, 271, 294, 299, 300,

N

302, 303, 306, 308, 309, 314, 317, 320,

Nennbelastbarkeit, 40, 62

327, 338, 340, 346, 433, 477, 500

Nennbetrieb, 34, 198, 359, 403, 404

Phasenwinkel, 304, 306, 310, 315, 338, 340,

Nennlast, 344

344, 347, 350, 352, 375, 393

Plattenkondensator, 84

Nennstrom, 34, 404

Polarisation, elektrische, 6

Netzwechselspannung, 298, 299, 302, 305, 306,

Pole, 41, 518, 519

316, 344, 345, 349, 350

Potenzial, 2, 11–14, 23, 98, 102, 103, 158, 248,

Neutralleiterstrom, 396

445, 461, 464, 483, 501, 502

Neutronen, 2–5

Potenzial, elektrostatisches, 6
n-Halbleiter, 3, 14, 15

Potenzialdifferenz, 2, 13, 248

Nichtleiter, 2, 8–10

Potenzialfeld, 11

Normalbetrieb, 450

Potenzialgefälle, 13

Normierung einer Übertragungsfunktion, 294,

Potenziometer, 40, 234, 438

335

Primärelemente, 145

Nullniveau, 13

Primärinduktivität, 358

Nullphasenwinkel, 271, 296, 298, 299, 301,

Protonen, 2–5

302, 308, 316–318, 322, 323, 328–330,

Punktladung, 12, 94, 95, 98, 99, 103

333, 384, 385

Punktladungen, 94, 95, 102

Nullstellen, 518, 519

Nullzweig, 199, 242

Q

Nutzleistung, 47

Quelle, gesteuerte, 431, 457

Sachverzeichnis

529

Quellenspannung, 113, 114, 146–149, 151,

Schaltungen, gemischte, 220, 235, 319

171, 172, 176, 225, 227, 228

Scheinleistung, 34, 35, 302, 303, 316, 329,

Quellenumwandlung, 244

343–346, 348–350, 352, 353, 355, 361,

Querschichtung, 81, 82

364, 365, 375, 376, 399, 401, 403

Querschnittsfläche, 18, 19, 21, 105, 119, 127,

Scheinwiderstand, 282, 294, 298–303,

129

305–307, 309, 310, 315, 352, 354, 380,

399–401, 403, 404

R

Scheitelwert, 142, 270, 273, 278, 295, 298, 299,
radialsymmetrisch, 93, 95, 104

302, 425

Randeffekte, 101, 133

Scherungsgerade, 123

Raumladungsdichte, 99

Schichtkondensatoren, 72

Raumladungsstrom, 9

Schleusenspannung, 408–410, 427

RC-Reihenschaltung, 307–309, 399, 400

Schmitt-Trigger, 431

RC-Tiefpass, 334, 336

Schottkydiode, 407

Realteil, 281–283, 285, 287, 290, 291, 329,

Schwingkreis, 115, 224, 373, 379, 388

337, 338, 379, 381, 382, 388

Sekundärelemente, 145

Rechnung, komplexe, 300, 307, 316, 317, 327,

Selbstinduktion, 41, 110, 116, 296

330

Selbstinduktionsspannung, 142, 143, 214

Rechteckspannung, 272, 273, 276–278

Shunt, 220, 229–231

Rechte-Hand-Regel, 129, 136

SI-Basiseinheiten, 22

Reihenschaltung, 25, 47, 54, 81, 85, 86, 92,

Sicherung, 24, 189

109, 120, 122, 148, 149, 182, 183, 185,

Signal-Gegenkopplung, 449

186, 188, 221–223, 239, 242, 298–300,

Silizium, 3, 10, 64, 408, 429, 455

303–307, 310, 380, 411, 423–425, 448,

Siliziumdiode, 408, 410, 416–418, 427

499

Skalarfeld, 11, 12

Reihenschwingkreis, 374, 375, 378, 379, 381

Skalarprodukt, 95

Reinstoffe, 1, 2

Skineffekt, 381

Rekombination, 3, 15

SMD-Bauelemente, 69

Relais, 115, 217

Source, 37, 433, 467, 469, 470, 473

Relaisspule, 216, 217

Sourceschaltung, 469, 477, 478

Resonanz, 373, 374, 379, 381, 383, 388–390

Spannung, aktive, 14

Resonanzfrequenz, 373, 374, 379, 380, 382,

Spannung, Aufteilung, 47

383, 385, 388–390

Spannung, induzierte, 36, 109, 110, 139, 140,

Resonanzkreisfrequenz, 373, 376, 379, 382,

213

385, 388–390

Spannung, passive, 13

Resonanzkurve, 374

Spannungsabfall, 13, 64, 170, 359

Resonanzwiderstand, 373–375

Spannungsabfall, magnetischer, 113

Restwelligkeit, 37

Spannungsanpassung, 175

Ringkern, 125, 127, 128, 130

Spannungsfolger, 506, 507

Ringspule, 116–118

Spannungsgegenkopplung, 437, 440

RLC-Schaltung, 325–328, 383

Spannungsmesser, 190, 192–194, 196–198

Rückkopplung, 431

Spannungsmessung, 190, 194, 196, 197

Spannungsquelle, 2, 13, 25–27, 31, 146–149,

S

154, 171, 242–245

Sättigung, 122, 123

Spannungsquelle, äquivalente, 154

Sättigungsspannung, 430, 454, 455

Spannungsquelle, spannungsgesteuerte, 457

Satz von der Ersatzspannungsquelle, 220, 264

Spannungsregler, 35–37

Satz von Gauß, 94, 99

Spannungsresonanz, 374

Schaltregler, 36, 37

Spannungssprung, 203, 206, 207

530

Sachverzeichnis

Spannungsteiler, 46, 149, 172, 179, 184, 195,

Strombegrenzung, 45, 411, 413

204, 206, 208, 215, 220, 223, 233, 240,

Stromdichte, 21, 45, 104–106, 108, 112, 115,

265, 297, 336, 339, 422, 438, 441, 444,

121

467, 468, 470, 471, 475, 477, 495, 497,

Stromfaden, 106

501, 504

Stromfehlerschaltung, 190, 197–199

Spannungsteilerformel, 184, 305, 450

Stromgegenkopplung, 437–439, 449

Spannungsteilerregel, 32, 46–51, 54, 119,

Stromimpuls, 19

157–160, 168, 182, 203, 206, 207, 222,

Stromkreis, 2, 27, 28, 40, 46, 60, 118, 120, 121,

223, 233, 234, 242, 261, 262, 267, 322,

132, 139, 175, 190, 191, 214, 215, 267,

325, 334, 336, 337, 457, 489, 512, 513

416–418

Spannungsverstärkung, 341, 449, 450, 452,

Stromlinien, 106, 107

455, 456, 468, 475, 477, 479, 484, 486,

Strommessung, 191, 220, 229, 230

499, 500

Stromresonanz, 374

Spannungszählpfeile, 28, 246, 256

Strom-Spannungskennlinie, 43, 44, 411

Spannungszeigerdiagramm, 306, 308

Stromteilerregel, 50–54, 176, 226, 232, 324

Speicherdrossel, 36

Strömungsfeld, 104, 105

Sperrbereich, 410

Strömungsfeld, inhomogenes, 106

Sperrschicht-FET, 469

Strömungsgeschwindigkeit, 18

Sperrschichttemperatur, 63, 64, 66–68, 408

Strömungsquerschnitt, 107, 108

Sperrspannung, 410, 425

Stromverlauf, 19, 20, 133

Sperrstrom, 407, 410

Stromverstärkung, 430, 432, 433, 460

Spule, 58, 109–117, 119, 130–132, 141, 142,

Stützkondensator, 71

186, 211–213, 225, 294–296, 298,

Superpositionsprinzip, 262, 263, 268

302–304, 306, 310, 325, 376, 377, 380,

381, 385, 386

Spule, ringförmige, 115

T

Spulengüte, 381

Tastverhältnis, 36, 37, 273, 278

Spulenspannung, 215, 304, 374

Teilchenstrom, 8

Spulenstrom, 211, 212, 214, 304

Temperaturbeiwert, 57

Stabilisierung, 414, 415, 437, 440

Temperaturdifferenz, 58

Stabilisierungsmaßnahmen, 438

Temperaturerhöhung, 62, 435, 438, 449

Stabilität, 439

Temperaturkoeffizient, 56–60, 70, 371

Stern-Dreieck-Transformation, 240

Thomson-Gleichung, 373, 375, 376, 383

Sternschaltung, 220, 241, 391–395, 397, 398,

Tiefpass, 294, 323, 334, 457, 519, 521

401, 403

Tiefsetz-Gleichstromsteller, 36

Sternspannung, 394, 396

Toroidspule, 127

Stoffe, 1–3, 9, 10

Transformator, 42, 115, 123, 357, 360, 361,

Stoffe, ferromagnetische, 41

363–368, 370, 424

Stoffgemische, 1

Transformatorenhauptgleichung, 358

Stofftransport, 8

Transformatorkern, 118

Störstellenleitung, 3

Transformatorverluste, 358

Strangspannung, 392–394, 399–403

Transistor, 36, 37, 64–68, 429–433, 437, 438,

Strangstrom, 393, 394, 401, 402

440, 441, 443–445, 447, 455, 456, 460,

Strangwirkleistung, 394

461, 464, 465, 468, 472, 473, 475, 477

Streublindwiderstand, 359

Transistorersatzschaltung, 451–453

Streufluss, 132

Transistorverstärker, 14, 435–437, 444, 445,

Streuverluste, 358

452, 455, 458

Strom, Aufteilung, 52, 239

Trimmer, 40

Stromänderung, 41, 110, 410

Typenschild, 365, 369, 403, 404

Sachverzeichnis

531

U

W

Überlagerungssatz, 220, 261, 264, 265, 512

Wahrheitstabelle, 461, 462, 464–466

Überlagerungsverfahren, 266, 267

Wärmeenergie, 8, 13, 22, 29

Übersetzungsverhältnis, 360, 364, 365, 370

Wärmelehre, 61, 64

Übertrager, 357, 358

Wärmeleitfolie, 66–68

Übertragungsfunktion, 185, 294, 333–335, 337,

Wärmemenge, 29, 61

338, 450, 518–521

Wärmeschwingungen, 11

Übertragungsglied, 333, 334

Wärmestrom, 61, 64, 66

Übertragungssteilheit, 475, 478

Wärmeströmung, 61

Umgebungstemperatur, 56, 57, 62–68, 408

Wärmeübergangswiderstand, 62–64, 408

Umlaufintegral, 113

Wärmewiderstand, 61, 62, 64–68, 408

Umlaufspannung, magnetische, 113, 125, 132

Wattstunden, 29

Umwandlung von Quellen, 188, 228, 242, 244

Wechselgröße, 269, 270, 272, 273

UVW-Regel, 139

Wechselspannung, 33, 40, 42, 71, 109, 123,

142, 189, 269–273, 278, 279, 282, 297,

304, 312, 314, 315, 323, 334, 399, 408,

V

424, 425, 444, 453

Valenzelektronen, 2, 4, 5, 10

Wechselspannungsverstärkung, 430, 431, 450,

Valenzschale, 4, 5

451

Vektorfeld, 6, 7, 11

Wechselstrom, 189, 190, 269, 270, 293, 305,

Verarmungstyp, 468

344, 375, 430, 444, 450, 458

Verbindungen, chemische, 1, 3

Wechselstromeingangswiderstand, 468

Verbindungshalbleiter, 3, 10

Wechselstromersatzschaltung, 453

Verbraucher, 7, 8, 13, 25–28, 46, 47, 176, 287,

Wechselstromgenerator, 141

344, 348, 350, 352, 353, 355, 395, 396,

Wellenleistung, mechanische, 34, 403, 404

398–400

Wheatstone-Brücke, 199

Verbraucher, symmetrischer, 399

Wickelkondensator, 80

Verbraucherzählpfeilsystem, 26

Wicklungstemperatur, 60

Verhalten, kapazitives, 308, 314, 317, 328

Wicklungsverluste, 358

Verlustleistung, 29, 34–37, 47, 61–68, 110,

Wicklungswiderstand, 56, 58, 110–112, 212,

148–150, 154, 175, 182, 404, 408, 412,

214, 216, 302, 303, 374, 380, 381

433, 447, 465, 475

Widerstand, Definition, 3

Verschiebungsarbeit, 29

Widerstand, differentieller, 408, 410

Verschiebungsdichte, 94

Widerstand, magnetischer, 119–122, 130, 132

Verschiebungsstrom, 8

Widerstand, ohmscher, 23, 26, 119, 138, 148,

Verstärker, invertierender, 490, 491, 493, 494,

149, 293, 312, 315, 343, 360, 373, 385

499–501, 503, 505, 516, 519, 520

Widerstand, spezifischer, 44

Verstärker, nichtinvertierender, 481, 489

Widerstand, Temperaturabhängigkeit, 56

Verstärkerschaltung, 448, 449, 490, 499

Widerstandsänderung, 56, 57

Verstärkungsfaktor, 341, 453, 491, 499, 500

Widerstandsdreieck, 300, 301, 307–309, 354

Verstärkungsmaß, 341, 451, 453, 499

Widerstandsgerade, 123, 408, 409, 415–419

Vielschichtkondensator, 77, 78

Widerstandsmaterial, 70, 107

Vierleiter-Drehstromnetz, 396

Widerstandsmessung, indirekte, 196–198

Vierleitersystem, 395

Widerstandstoleranz, 70

Vollausschlag, 191–196, 229, 231

Widerstandszeigerdiagramm, 307–309

Voltmeter, 190, 191, 193, 197

Windungsverhältnis, 360

Vorschaltwiderstand, 44

Windungszahl, 41, 113, 119, 122, 124, 125,

Vorwiderstand, 33, 34, 45, 46, 178, 182, 190,

129, 141, 364

193–196, 201, 407, 411–414, 416–418

Wirbelstromverluste, 358

532

Sachverzeichnis

Wirkleistung, 25, 26, 35, 110, 177, 302, 303,

Z-Diode, 413, 414, 425

316, 320, 329, 343–346, 349, 350, 352,

Zeichnungsungenauigkeit, 418

353, 355, 358, 364, 375, 377, 394, 396,

Zeigerdiagramm, 300, 304, 307, 309, 313, 314,

398, 399, 401, 403, 499, 500

320, 351, 352, 376, 377, 381, 387

Wirkungsgrad, 33–37, 47, 151, 152, 175, 176,

Zeitkonstante, 201, 202, 206, 214, 216

179, 344, 353, 359, 362, 364, 403–405

Zenerdiode, 413–415, 427, 455

Wirkwiderstand, 25, 110, 282, 293, 303, 306,

Zenerdurchbruch, 407

309, 310, 332, 333, 343, 350, 354, 373,

Zweigströme, 165, 239, 246–252, 257, 258

399, 401

Zweipulsbrückenschaltung, 425

Z

Zylinderkondensator, 100, 101

Zählpfeile, 25–27

Zylinderspule, 110, 111, 113

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Vorwort zur 3. Auflage
Vorwort
Inhaltsverzeichnis

1 Elektrischer Strom

- 1.1 Grundwissen – kurz und bündig
- 1.2 Der Aufbau der Materie
- 1.3 Elektrische Ladung
- 1.4 Elektrischer Strom
- 1.5 Nichtleiter, Leiter und Halbleiter
- 1.6 Widerstand und Leitfähigkeit
- 1.7 Elektrische Spannung, Potenzial
- 1.8 Halbleiter

2 Der unverzweigte Gleichstromkreis

- 2.1 Grundwissen – kurz und bündig
- 2.2 Die Größe für den elektrischen Strom
- 2.3 Die Größe für die elektrische Spannung
- 2.4 Das Ohm'sche Gesetz

- 2.5 Erzeuger- und Verbraucher- Zählpfeilsystem

- 2.6 Elektrische Arbeit
- 2.7 Elektrische Leistung
- 2.8 Wirkungsgrad

3 Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

- 3.1 Grundwissen – kurz und bündig
- 3.2 Widerstand
- 3.3 Kondensator, elektrisches Feld
- 3.4 Spule, magnetisches Feld

4 Gleichspannungsquellen

- 4.1 Grundwissen – kurz und bündig

- 4.2 Die belastete Gleichspannungsquelle

- 4.3 Ersatzspannungsquelle, Ersatzstromquelle

- 4.4 Kurzschlussstrom

- 4.5 Spannungs-, Strom-, Leistungsanpassung

5 Berechnungen im unverzweigten Gleichstromkreis

- 5.1 Grundwissen – kurz und bündig

- 5.2 Reihenschaltung von ohmschen Widerständen

- 5.3 Reihenschaltung von Kondensatoren

- 5.4 Reihenschaltung von Spulen

- 5.5 Reihenschaltung von Spannungs- und Stromquellen

6 Messung von Spannung und Strom

- 6.1 Grundwissen – kurz und bündig
- 6.2 Voltmeter und Amperemeter
- 6.3 Erweiterung des Messbereiches

- 6.4 Indirekte Messung von Widerstand und Leistung

- 6.5 Wheatstone-Brücke

7 Schaltvorgänge im unverzweigten Gleichstromkreis

- 7.1 Grundwissen – kurz und bündig
- 7.2 Schaltvorgang beim Kondensator
- 7.3 Schaltvorgang bei der Spule

8 Der verzweigte Gleichstromkreis

- 8.1 Grundwissen – kurz und bündig

- 8.2 Parallelschaltung von ohmschen Widerständen

- 8.3 Parallelschaltung von Kondensatoren

- 8.4 Parallelschaltung von Spulen

- 8.5 Parallelschaltung von Spannungs- und Stromquellen

- 8.6 Erweiterung des Messbereiches eines Amperemeters

- 8.7 Der belastete Spannungsteiler

- 8.8 Gemischte Schaltungen

- 8.9 Stern-Dreieck- und Dreieck-Stern-Umwandlung

- 8.10 Umwandlung von Quellen
- 8.11 Analyse von Netzwerken
- 8.12 Die Knotenanalyse
- 8.13 Der Überlagerungssatz

9 Wechselspannung und Wechselstrom

- 9.1 Grundwissen – kurz und bündig
- 9.2 Periodische Signale
- 9.3 Effektivwert
- 9.4 Gleichrichtwert

10 Komplexe Darstellung von Sinusgrößen

- 10.1 Grundwissen – kurz und bündig

- 10.2 Rechnen mit komplexen Zahlen

- 10.3 Spannung, Strom, Widerstand als komplexe Größen

11 Einfache Wechselstromkreise

- 11.1 Grundwissen – kurz und bündig
- 11.2 Spule im Wechselstromkreis
- 11.3 Kondensator im Wechselstromkreis

- 11.4 Reihenschaltung von ohmschem Widerstand und Spule

- 11.5 Reihenschaltung von ohmschem Widerstand und Kondensator

- 11.6 Parallelschaltung von Widerstand und Spule

- 11.7 Parallelschaltung von Widerstand und Kondensator

- 11.8 Gemischte Schaltungen

- 11.9 Die Übertragungsfunktion

- 11.10 Verstärkungsfaktor, Verstärkungsmaß, Dämpfungsmaß

12 Leistung im Wechselstromkreis

- 12.1 Grundwissen – kurz und bündig

- 12.2 Leistungsberechnungen, Blindleistungskompensation

13 Transformatoren (Übertrager)

- 13.1 Grundwissen – kurz und bündig

- 13.2 Transformator, Berechnungen und Messungen

14 Schwingkreise

- 14.1 Grundwissen – kurz und bündig
- 14.2 Reihenschwingkreis mit Verlusten
- 14.3 Parallelschwingkreis mit Verlusten

15 Mehrphasensysteme, Drehstrom

- 15.1 Grundwissen – kurz und bündig

- 15.2 Sternschaltung des Verbrauchers mit Mittelleiter

- 15.3 Sternschaltung des Verbrauchers ohne Mittelleiter

- 15.4 Dreieckschaltung des Verbrauchers

- 15.5 Leistung bei Drehstrom

16 Halbleiterdioden

- 16.1 Grundwissen – kurz und bündig
- 16.2 Diodenkennlinie
- 16.3 Lumineszenzdiode
- 16.4 Z-Diode (Zener-Diode)
- 16.5 Arbeitspunkt und Widerstandsgerade
- 16.6 Gleichrichtung von Wechselspannungen
- 16.7 Begrenzung einer Wechselspannung

17 Bipolare Transistoren

- 17.1 Grundwissen – kurz und bündig
- 17.2 Eingangskennlinie, Arbeitspunkt
- 17.3 Die physikalische Ersatzschaltung
- 17.4 Darlington-Schaltung
- 17.5 Differenzverstärker

- 17.6 Kodes, Logische Funktionen, Schaltalgebra

- 17.7 Schaltungstechnische Realisierung der logischen Grundfunktionen

18 Feldeffekt-Transistoren

- 18.1 Grundwissen – kurz und bündig

- 18.2 Aufgaben zu Feldeffekt-Transistoren

19 Operationsverstärker

- 19.1 Grundwissen – kurz und bündig
- 19.2 Grundlagen der Operationsverstärker
- 19.3 Nichtinvertierender Verstärker
- 19.4 Invertierender Verstärker
- 19.5 Impedanzwandler (Spannungsfolger)
- 19.6 Differenzierer
- 19.7 Addierer, Subtrahierer
- 19.8 Integrierer
- 19.9 Aktive Filter

Sachverzeichnis

Table of Contents

Vorwort zur 3. Auflage
Vorwort
Inhaltsverzeichnis

1 Elektrischer Strom

- 1.1 Grundwissen – kurz und bündig
- 1.2 Der Aufbau der Materie
- 1.3 Elektrische Ladung
- 1.4 Elektrischer Strom
- 1.5 Nichtleiter, Leiter und Halbleiter
- 1.6 Widerstand und Leitfähigkeit
- 1.7 Elektrische Spannung, Potenzial
- 1.8 Halbleiter

1.1 Grundwissen – kurz und bündig
1.2 Der Aufbau der Materie
1.3 Elektrische Ladung
1.4 Elektrischer Strom
1.5 Nichtleiter, Leiter und Halbleiter
1.6 Widerstand und Leitfähigkeit
1.7 Elektrische Spannung, Potenzial
1.8 Halbleiter

2 Der unverzweigte Gleichstromkreis

- 2.1 Grundwissen – kurz und bündig
- 2.2 Die Größe für den elektrischen Strom
- 2.3 Die Größe für die elektrische Spannung
- 2.4 Das Ohm'sche Gesetz

- 2.5 Erzeuger- und Verbraucher- Zählpfeilsystem

- 2.6 Elektrische Arbeit
- 2.7 Elektrische Leistung
- 2.8 Wirkungsgrad

2.1 Grundwissen – kurz und bündig
2.2 Die Größe für den elektrischen Strom
2.3 Die Größe für die elektrische Spannung
2.4 Das Ohm'sche Gesetz

2.5 Erzeuger- und Verbraucher- Zählpfeilsystem

2.6 Elektrische Arbeit
2.7 Elektrische Leistung
2.8 Wirkungsgrad

3 Lineare Bauelemente im Gleichstromkreis

- 3.1 Grundwissen – kurz und bündig
- 3.2 Widerstand
- 3.3 Kondensator, elektrisches Feld
- 3.4 Spule, magnetisches Feld

3.1 Grundwissen – kurz und bündig
3.2 Widerstand
3.3 Kondensator, elektrisches Feld
3.4 Spule, magnetisches Feld

4 Gleichspannungsquellen

- 4.1 Grundwissen – kurz und bündig

- 4.2 Die belastete Gleichspannungsquelle

- 4.3 Ersatzspannungsquelle, Ersatzstromquelle

- 4.4 Kurzschlussstrom

- 4.5 Spannungs-, Strom-, Leistungsanpassung

4.1 Grundwissen – kurz und bündig
4.2 Die belastete Gleichspannungsquelle
4.3 Ersatzspannungsquelle, Ersatzstromquelle
4.4 Kurzschlussstrom
4.5 Spannungs-, Strom-, Leistungsanpassung

5 Berechnungen im unverzweigten Gleichstromkreis

- 5.1 Grundwissen – kurz und bündig

- 5.2 Reihenschaltung von ohmschen Widerständen

- 5.3 Reihenschaltung von Kondensatoren

- 5.4 Reihenschaltung von Spulen

- 5.5 Reihenschaltung von Spannungs- und Stromquellen

5.1 Grundwissen – kurz und bündig
5.2 Reihenschaltung von ohmschen Widerständen
5.3 Reihenschaltung von Kondensatoren
5.4 Reihenschaltung von Spulen

5.5 Reihenschaltung von Spannungs- und Stromquellen

6 Messung von Spannung und Strom

- 6.1 Grundwissen – kurz und bündig
- 6.2 Voltmeter und Amperemeter
- 6.3 Erweiterung des Messbereiches

- 6.4 Indirekte Messung von Widerstand und Leistung

- 6.5 Wheatstone-Brücke

6.1 Grundwissen – kurz und bündig
6.2 Voltmeter und Amperemeter
6.3 Erweiterung des Messbereiches

6.4 Indirekte Messung von Widerstand und Leistung

6.5 Wheatstone-Brücke

7 Schaltvorgänge im unverzweigten Gleichstromkreis

- 7.1 Grundwissen – kurz und bündig
- 7.2 Schaltvorgang beim Kondensator
- 7.3 Schaltvorgang bei der Spule

7.1 Grundwissen – kurz und bündig
7.2 Schaltvorgang beim Kondensator
7.3 Schaltvorgang bei der Spule

8 Der verzweigte Gleichstromkreis

- 8.1 Grundwissen – kurz und bündig

- 8.2 Parallelschaltung von ohmschen Widerständen

- 8.3 Parallelschaltung von Kondensatoren

- 8.4 Parallelschaltung von Spulen

- 8.5 Parallelschaltung von Spannungs- und Stromquellen

- 8.6 Erweiterung des Messbereiches eines Amperemeters

- 8.7 Der belastete Spannungsteiler

- 8.8 Gemischte Schaltungen

- 8.9 Stern-Dreieck- und Dreieck-Stern-Umwandlung

- 8.10 Umwandlung von Quellen
- 8.11 Analyse von Netzwerken
- 8.12 Die Knotenanalyse
- 8.13 Der Überlagerungssatz

8.1 Grundwissen – kurz und bündig

8.2 Parallelschaltung von ohmschen Widerständen

8.3 Parallelschaltung von Kondensatoren

8.4 Parallelschaltung von Spulen

8.5 Parallelschaltung von Spannungs- und Stromquellen

8.6 Erweiterung des Messbereiches eines Amperemeters

8.7 Der belastete Spannungsteiler

8.8 Gemischte Schaltungen

8.9 Stern-Dreieck- und Dreieck-Stern-Umwandlung

8.10 Umwandlung von Quellen
8.11 Analyse von Netzwerken
8.12 Die Knotenanalyse
8.13 Der Überlagerungssatz

9 Wechselspannung und Wechselstrom

- 9.1 Grundwissen – kurz und bündig
- 9.2 Periodische Signale
- 9.3 Effektivwert
- 9.4 Gleichrichtwert

9.1 Grundwissen – kurz und bündig
9.2 Periodische Signale
9.3 Effektivwert
9.4 Gleichrichtwert

10 Komplexe Darstellung von Sinusgrößen

- 10.1 Grundwissen – kurz und bündig

- 10.2 Rechnen mit komplexen Zahlen

- 10.3 Spannung, Strom, Widerstand als komplexe Größen

10.1 Grundwissen – kurz und bündig

10.2 Rechnen mit komplexen Zahlen

10.3 Spannung, Strom, Widerstand als komplexe Größen

11 Einfache Wechselstromkreise

- 11.1 Grundwissen – kurz und bündig
- 11.2 Spule im Wechselstromkreis
- 11.3 Kondensator im Wechselstromkreis

- 11.4 Reihenschaltung von ohmschem Widerstand und Spule

- 11.5 Reihenschaltung von ohmschem Widerstand und Kondensator

- 11.6 Parallelschaltung von Widerstand und Spule

- 11.7 Parallelschaltung von Widerstand und Kondensator

- 11.8 Gemischte Schaltungen

- 11.9 Die Übertragungsfunktion

- 11.10 Verstärkungsfaktor, Verstärkungsmaß, Dämpfungsmaß

11.1 Grundwissen – kurz und bündig
11.2 Spule im Wechselstromkreis
11.3 Kondensator im Wechselstromkreis

11.4 Reihenschaltung von ohmschem Widerstand und Spule

11.5 Reihenschaltung von ohmschem Widerstand und Kondensator

11.6 Parallelschaltung von Widerstand und Spule

11.7 Parallelschaltung von Widerstand und Kondensator

11.8 Gemischte Schaltungen

11.9 Die Übertragungsfunktion

11.10 Verstärkungsfaktor, Verstärkungsmaß, Dämpfungsmaß

12 Leistung im Wechselstromkreis

- 12.1 Grundwissen – kurz und bündig

- 12.2 Leistungsberechnungen, Blindleistungskompensation

12.1 Grundwissen – kurz und bündig

12.2 Leistungsberechnungen, Blindleistungskompensation

13 Transformatoren (Übertrager)

- 13.1 Grundwissen – kurz und bündig

- 13.2 Transformator, Berechnungen und Messungen

13.1 Grundwissen – kurz und bündig

13.2 Transformator, Berechnungen und Messungen

14 Schwingkreise

- 14.1 Grundwissen – kurz und bündig
- 14.2 Reihenschwingkreis mit Verlusten
- 14.3 Parallelschwingkreis mit Verlusten

14.1 Grundwissen – kurz und bündig
14.2 Reihenschwingkreis mit Verlusten
14.3 Parallelschwingkreis mit Verlusten

15 Mehrphasensysteme, Drehstrom

- 15.1 Grundwissen – kurz und bündig

- 15.2 Sternschaltung des Verbrauchers mit Mittelleiter

- 15.3 Sternschaltung des Verbrauchers ohne Mittelleiter

- 15.4 Dreieckschaltung des Verbrauchers

- 15.5 Leistung bei Drehstrom

15.1 Grundwissen – kurz und bündig

15.2 Sternschaltung des Verbrauchers mit Mittelleiter

15.3 Sternschaltung des Verbrauchers ohne Mittelleiter

15.4 Dreieckschaltung des Verbrauchers

15.5 Leistung bei Drehstrom

16 Halbleiterdioden

- 16.1 Grundwissen – kurz und bündig
- 16.2 Diodenkennlinie
- 16.3 Lumineszenzdiode
- 16.4 Z-Diode (Zener-Diode)
- 16.5 Arbeitspunkt und Widerstandsgerade
- 16.6 Gleichrichtung von Wechselspannungen
- 16.7 Begrenzung einer Wechselspannung

16.1 Grundwissen – kurz und bündig
16.2 Diodenkennlinie
16.3 Lumineszenzdiode
16.4 Z-Diode (Zener-Diode)
16.5 Arbeitspunkt und Widerstandsgerade
16.6 Gleichrichtung von Wechselspannungen
16.7 Begrenzung einer Wechselspannung

17 Bipolare Transistoren

- 17.1 Grundwissen – kurz und bündig
- 17.2 Eingangskennlinie, Arbeitspunkt
- 17.3 Die physikalische Ersatzschaltung
- 17.4 Darlington-Schaltung
- 17.5 Differenzverstärker

- 17.6 Kodes, Logische Funktionen, Schaltalgebra

- 17.7 Schaltungstechnische Realisierung der logischen Grundfunktionen

17.1 Grundwissen – kurz und bündig
17.2 Eingangskennlinie, Arbeitspunkt
17.3 Die physikalische Ersatzschaltung
17.4 Darlington-Schaltung
17.5 Differenzverstärker

17.6 Kodes, Logische Funktionen, Schaltalgebra

17.7 Schaltungstechnische Realisierung der logischen Grundfunktionen

18 Feldeffekt-Transistoren

- 18.1 Grundwissen – kurz und bündig

- 18.2 Aufgaben zu Feldeffekt-Transistoren

18.1 Grundwissen – kurz und bündig

18.2 Aufgaben zu Feldeffekt-Transistoren

19 Operationsverstärker

- 19.1 Grundwissen – kurz und bündig
- 19.2 Grundlagen der Operationsverstärker
- 19.3 Nichtinvertierender Verstärker
- 19.4 Invertierender Verstärker
- 19.5 Impedanzwandler (Spannungsfolger)
- 19.6 Differenzierer
- 19.7 Addierer, Subtrahierer
- 19.8 Integrierer
- 19.9 Aktive Filter

19.1 Grundwissen – kurz und bündig
19.2 Grundlagen der Operationsverstärker
19.3 Nichtinvertierender Verstärker
19.4 Invertierender Verstärker
19.5 Impedanzwandler (Spannungsfolger)
19.6 Differenzierer
19.7 Addierer, Subtrahierer
19.8 Integrierer
19.9 Aktive Filter
Sachverzeichnis