Formeln und Tabellen Elektrotechnik: Arbeitshilfen für das technische Studium
Author: Wilfried Plaßmann; Detlef Schulz
Date: 2014-05-04T22:00:00+00:00
Keywords: Technology & Engineering; Electrical; Machinery; Power Resources; General
Description: Kompakt und systematisch - das sind die Kennzeichen der Formelsammlung, die zum Beginn des Elektrotechnikstudiums bei keinem Studenten fehlen darf. Häufig gebrauchte Formeln und Tabellen wurden aufgrund ihrer Lehrerfahrung von den Autoren des Elektrotechnik Handbuches ausgewählt. Die Begriffe werden in knapper aber prägnanter Form erläutert und der formelmäßige Zusammenhang dargestellt. Wenn erforderlich, fördern Beispiele das Verständnis. Für Begriffe, die nicht über mathematische Formeln erfasst werden können, werden ihre Eigenschaften und ihre Besonderheiten in Tabellen dargestellt bzw. ein
Publisher: Springer-Verlag

Formeln und Tabellen Elektrotechnik

Wilfried Plaßmann, Detlef Schulz (Hrsg.)

Vieweg Formeln und Tabellen Elektrotechnik

Beiträge und Mitarbeiter

Mathematik

Prof. Dr. Arnfried Kemnitz

Physik

Dr. Horst Steffen

Werkstoffkunde

Prof. Dipl.-Ing. Egon Döring

Elektrotechnik

Reinhard von Liebenstein

Dr. Horst Steffen

Elektronik

Peter Döring

Technische Kommunikation/

Peter Döring

Technisches Zeichnen

Heribert Gierens �

Datentechnik

Dr. Dieter Conrads

Heribert Gierens �

Automatisierungstechnik

Günter Wellenreuther

Dieter Zastrow

Messtechnik

Prof. Dr. Wilfried Plaßmann

Energietechnik

Reinhard von Liebenstein

Nachrichtentechnik

Prof. Dipl.-Ing. Egon Döring

Prof. Dr. Wilfried Plaßmann

Signal- und Systemtheorie

Prof. Dr. Wilfried Plaßmann
www.springer-vieweg.de

Wilfried Plaßmann • Detlef Schulz (Hrsg.)

Formeln und Tabellen

Elektrotechnik

Arbeitshilfen für das technische Studium

2., korrigierte Aufl age

Mit über 1700 Stichworten

Herausgeber

Wilfried Plaßmann

Detlef Schulz

Bad Nenndorf, Deutschland

Hamburg, Deutschland

Die erste Aufl age erschien unter dem Titel „Böge/Plaßmann (Hrsg.), Formeln und Tabellen Elektrotechnik“.

ISBN

978-3-8348-0525-6

ISBN

978-3-8348-2023-5

(eBook)

DOI 10.1007/978-3-8348-2023-5

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografi e; detaillierte bibliografi sche Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufb ar.

Springer Vieweg

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V

Vorwort zur 2., korrigierten Auflage

Diese Formelsammlung erscheint in der 2., korrigierten Auflage und wendet sich an

Ingenieure und Techniker in Ausbildung und Beruf. Die Unterteilung in 12 Kapitel er-leichtert die Zuordnung zur speziellen Aufgabe, innerhalb der Kapitel können Informationen zu den interessierenden Themen schnell gefunden werden:



In der linken Spalte sind die Begriffe auswählbar,


in der mittleren Spalte folgen Erläuterungen zu den Begriffen,


in der rechten Spalte zeigen Formeln den physikalischen Zusammenhang und die

Einordnung in das elektrotechnische Gesamtsystem.

Tabellen und Diagramme geben einen Überblick über technische Daten und erleich-
tern die Entscheidung über die Einsatzmöglichkeiten. Ein umfangreiches Sachwort-
verzeichnis ermöglicht das zielgerechte Auffinden der gesuchten Begriffe.

Herausgeber, Autoren und Verlag danken für die Hinweise auf Fehler und sind auch
weiterhin für Vorschläge zur Verbesserung des Werkes dankbar. Bitte verwenden Sie
dazu die E-Mail-Adressen
wilfried.plassmann@hs-hannover.de und
detlef.schulz@hsu-hh.de.

Hannover uQd Hamburg, Januar 2014

Wilfried Plaßmann

Detlef Schulz

Herausgeber

Inhaltsverzeichnis VII

Inhaltsverzeichnis

Vorwort ................................................................................................................................. V

1 Mathematik ..................................................................................................................

1

1 Arithmetik ........................................................................................................................ 1

1.1 Mengen

................................................................................................................. 1

1.2 Zahlenmengen ......................................................................................................

1

1.3 Grundrechenarten ................................................................................................. 1

1.4 Binomische

Formeln .............................................................................................. 1

1.5 Bruchrechnung .....................................................................................................

1

1.6 Potenzrechnung

................................................................................................... 2

1.7 Wurzelrechnung ...................................................................................................

2

1.8 Logarithmen ..........................................................................................................

3

1.9 Mittelwerte ............................................................................................................

4

1.10 Absolutbetrag .......................................................................................................

4

1.11 Intervalle ............................................................................................................... 4

1.12 Komplexe

Zahlen................................................................................................... 5

2 Gleichungen .................................................................................................................... 7

2.1 Gleichungsarten ...................................................................................................

7

2.2 Äquivalente

Umformungen ................................................................................... 7

2.3 Lineare

Gleichungen ............................................................................................. 7

2.4 Quadratische

Gleichungen ................................................................................... 7

2.5 Kubische

Gleichungen .......................................................................................... 7

2.6 Polynome

.............................................................................................................. 8

2.7

Auf algebraische Gleichungen zurückführbare Gleichungen ................................ 8

2.8 Transzendente

Gleichungen ................................................................................. 8

2.9 Lineare

Gleichungssysteme .................................................................................

8

3 Planimetrie ...................................................................................................................... 9

3.1 Geraden
und

Strecken ..........................................................................................

9

3.2 Winkel

................................................................................................................... 9

3.3 Projektionen

.......................................................................................................... 10

3.4 Dreiecke ............................................................................................................... 11

3.5 Vierecke ................................................................................................................ 12

3.6 Reguläre
n-Ecke ................................................................................................... 14

3.7 Kreise

................................................................................................................... 15

3.8 Symmetrie

............................................................................................................ 17

3.9 Ähnlichkeit ............................................................................................................ 18

4 Stereometrie ................................................................................................................... 19

4.1 Prismen ................................................................................................................ 19

4.2 Zylinder

................................................................................................................. 19

4.3 Pyramiden

............................................................................................................ 20

4.4 Kegel

.................................................................................................................... 21

4.5 Cavalierisches

Prinzip .......................................................................................... 22

4.6 Polyeder

............................................................................................................... 22

4.7 Kugeln .................................................................................................................. 23

VIII

Inhaltsverzeichnis

5 Funktionen ...................................................................................................................... 24

5.1 Definition
und

Darstellungen ................................................................................. 24

5.2 Verhalten
von

Funktionen ..................................................................................... 24

5.3 Einteilung
der
elementaren Funktionen ................................................................ 25

5.4 Ganze
rationale Funktionen .................................................................................. 26

5.5 Gebrochene
rationale Funktionen.......................................................................... 28

5.6 Irrationale

Funktionen ........................................................................................... 29

5.7 Transzendente

Funktionen ................................................................................... 29

6 Trigonometrie .................................................................................................................. 31

6.1

Definition der trigonometrischen Funktionen ......................................................... 31

6.2 Trigonometrische

Funktionen für beliebige Winkel ............................................... 32

6.3

Beziehungen für den gleichen Winkel ................................................................... 33

6.4

Graphen der trigonometrischen Funktionen ..........................................................

33

6.5 Reduktionsformeln ................................................................................................ 33

6.6 Sinussatz
und

Kosinussatz ................................................................................... 34

6.7 Arkusfunktionen .................................................................................................... 34

7 Analytische

Geometrie .................................................................................................... 36

7.1 Koordinatensysteme ............................................................................................. 36

7.2 Geraden

................................................................................................................ 37

7.3 Kreise

.................................................................................................................... 38

7.4 Kugeln ................................................................................................................... 38

7.5 Kegelschnitte ........................................................................................................ 38

8 Differenzial-
und

Integralrechnung .................................................................................. 41

8.1 Folgen

................................................................................................................... 41

8.2 Reihen .................................................................................................................. 42

8.3 Grenzwerte
von

Funktionen .................................................................................. 43

8.4 Ableitung
einer

Funktion ....................................................................................... 45

8.5 Integralrechnung ................................................................................................... 47

2 Physik ........................................................................................................................... 51

1 Einführung ...................................................................................................................... 51

1.1 Physikalische

Größen ........................................................................................... 51

1.2 SI-System

............................................................................................................. 51

2 Mechanik ........................................................................................................................ 51

2.1 Kinematik .............................................................................................................. 51

2.1.1 Gleichförmige Bewegung .......................................................................... 51

2.1.2 Gleichmäßig
beschleunigte Bewegung ..................................................... 51

2.1.3 Freier Fall ..................................................................................................

52

2.1.4 Senkrechter Wurf .......................................................................................

52

2.1.5 Schiefer

Wurf ............................................................................................. 52

2.1.6 Kreisbewegung, Rotation .......................................................................... 53

2.2 Dynamik

................................................................................................................ 53

2.2.1 Newtonsche Axiome ..................................................................................

53

2.2.2 Kraft ........................................................................................................... 53

2.2.3 Impuls,

Drehimpuls .................................................................................... 54

2.2.4 Arbeit,

Energie ........................................................................................... 54

2.2.5 Leistung,

Wirkungsgrad ............................................................................. 55

2.2.6 Trägheitsmoment ....................................................................................... 56

2.2.7 Drehmoment .............................................................................................. 56

Inhaltsverzeichnis IX

3 Flüssigkeiten
und

Gase .................................................................................................. 57

3.1 Druck

.................................................................................................................... 57

3.2 Auftrieb

................................................................................................................. 57

3.3 Hydrodynamik

....................................................................................................... 57

4 Thermodynamik .............................................................................................................. 58

4.1 Temperaturskalen,

Ausdehnung von Stoffen ........................................................ 58

4.2 Ideale

Gase .......................................................................................................... 58

4.3 Wärmeleitung,

Wärmestrahlung ........................................................................... 59

5 Harmonische

Schwingungen .......................................................................................... 59

5.1 Ungedämpfte

Schwingungen ................................................................................ 59

5.2 Gedämpfte

Schwingungen ................................................................................... 60

5.3 Erzwungene

Schwingungen, Resonanz ...............................................................

60

6 Wellen ............................................................................................................................. 61

6.1 Ausbreitung .......................................................................................................... 61

6.2 Reflexion,

Brechung ............................................................................................. 61

6.3 Beugung

............................................................................................................... 61

7 Optik ............................................................................................................................... 62

7.1 Geometrische

Optik,

Abbildung durch Linsen ....................................................... 62

7.2 Photometrie .......................................................................................................... 63

8 Naturkonstante ............................................................................................................... 64

3 Werkstoffkunde .......................................................................................................... 65

1 Stoffe .............................................................................................................................. 65

1.1 Eigenschaften
der Stoffe ......................................................................................

65

1.2 Atombau
und

Periodensystem .............................................................................. 65

1.3

Aufbau der festen Körper ...................................................................................... 66

1.4 Chemische

Grundzusammenhänge ..................................................................... 67

1.5 Elektrochemie ....................................................................................................... 67

2 Elektrische

Leitfähigkeit .................................................................................................. 68

2.1 Leitungsmechanismus .......................................................................................... 68

2.2 Isolator .................................................................................................................. 69

2.3 Halbleiter .............................................................................................................. 69

2.4 Normalleiter .......................................................................................................... 69

2.5 Supraleiter ............................................................................................................ 70

2.6 Halleffekt ............................................................................................................... 70

3 Elektrische Leiter ............................................................................................................ 71

3.1 Normalleiter .......................................................................................................... 71

3.2 Halbleiter .............................................................................................................. 71

3.3 Supraleiter ............................................................................................................ 72

4 Magnetische

Leitfähigkeit ............................................................................................... 73

4.1 Modellvorstellung .................................................................................................. 73

4.2

Verhalten von Materie im Magnetfeld ................................................................... 73

4.3 Magnetisierung ..................................................................................................... 75

4.4 Magnetisierungskurve ........................................................................................... 75

4.5 Permeabilität ......................................................................................................... 76

5 Magnetika ....................................................................................................................... 76

5.1 Weichmagnetika ................................................................................................... 76

5.2 Hartmagnetika

(Dauermagnete) ........................................................................... 77

X

Inhaltsverzeichnis

6 Dielektrische

Eigenschaften ............................................................................................ 77

6.1

Modellvorstellungen zur dielektrischen Polarisation ............................................. 77

6.2 Materialeinteilung .................................................................................................. 78

6.2.1 Dielektrische

Materialien ............................................................................

78

6.2.2 Elektrische

Materialien .............................................................................. 78

7 Dielektrika ....................................................................................................................... 79

7.1 Natürliche
anorganische Dielektrika ..................................................................... 79

7.2 Natürliche
organische Dielektrika ......................................................................... 80

7.3 Künstliche
anorganische Dielektrika ..................................................................... 80

7.4 Künstliche
organische Dielektrika ......................................................................... 80

7.5 Silikone ................................................................................................................. 81

8 Literaturhinweise ............................................................................................................. 81

4 Elektrotechnik ............................................................................................................ 83

1 Grundbegriffe .................................................................................................................. 83

2 Der

Gleichstromkreis ...................................................................................................... 83

2.1 Kirchhoffsche

Gesetze .......................................................................................... 83

2.2 Schaltung
von

Widerständen ................................................................................ 84

2.3 Energie,

Leistung,

Wirkungsgrad .......................................................................... 85

3 Das

Elektrische Feld ....................................................................................................... 85

3.1 Grundgrößen ........................................................................................................ 85

3.2 Kondensatoren ..................................................................................................... 86

3.2.1 Kapazität ....................................................................................................

86

3.2.2 Schaltungen
mit

Kondensatoren ................................................................ 87

4 Das

Magnetische Feld .................................................................................................... 87

4.1 Grundgrößen ........................................................................................................ 87

4.2

Kräfte im Magnetfeld ............................................................................................ 88

4.2.1 Kräfte
auf Ladungen .................................................................................. 88

4.3

Materie im Magnetfeld .........................................................................................

89

4.3.1 Definitionen ................................................................................................

89

4.3.2 Stoffmagnetismus ...................................................................................... 90

4.4 Magnetische Kreise .............................................................................................. 90

5 Induktion ......................................................................................................................... 91

5.1 Induktionsgesetz

................................................................................................... 91

5.2 Induktivität
von Spulen ..........................................................................................

91

5.3

Ein- und Ausschaltvorgänge ................................................................................. 92

5 Elektronik ..................................................................................................................... 93

1 Dioden ............................................................................................................................ 93

1.1 Begriffe ................................................................................................................. 93

1.2 Gleichrichter .......................................................................................................... 94

1.3 Glättung,

Siebung ................................................................................................. 95

1.4 Spannungsstabilisierung ....................................................................................... 96

2 Transistor

(Bipolar) ......................................................................................................... 97

2.1

Grenz- und Kennwerte .......................................................................................... 99

2.2 Ersatzschaltbild
mit
h-Parameter .......................................................................... 100

3 Feldeffekttransistoren

(unipolare Transistoren) ............................................................... 102

3.1. Sperrschicht-FET

(selbstleitend) ........................................................................... 102

3.2. Insulated-Gate-FET (MOS-FET) ........................................................................... 103

3.3. Ersatzschaltbild
mit
y-Parameter .......................................................................... 104

Inhaltsverzeichnis XI

4 Bipolar-Transistor
als Verstärker .................................................................................... 105

4.1

Grundschaltungen des bipolaren Transistors ....................................................... 106

4.2 Arbeitspunkteinstellung, -stabilisierung ................................................................. 108

4.3 Dimensionierung
von

Schaltungen ....................................................................... 109

5 FET-Transistor
als

Verstärker ......................................................................................... 112

5.1 Arbeitspunkteinstellung und -stabilisierung ........................................................... 113

5.2 Dimensionierung
von

Schaltungen ....................................................................... 113

6 Mehrstufige

Verstärker ................................................................................................... 116

7 Endstufen ........................................................................................................................ 117

8 Operationsverstärker ...................................................................................................... 118

9 Elektronische

Schalter, Kippstufen ................................................................................. 121

9.1 Transistor
als

Schalter .......................................................................................... 121

9.2

Kippschaltungen mit Transistoren ........................................................................ 122

9.3

Kippschaltungen mit Operationsverstärker ........................................................... 124

10 Optoelektronik ................................................................................................................. 126

11 Leistungselektronik ......................................................................................................... 128

6 Technische

Kommunikation/Technisches

Zeichnen ....................................... 133

1 Grundlagen der zeichnerischen Darstellung ................................................................... 133

1.1

Normen für technische Zeichnungen .................................................................... 133

1.2

Darstellung und Bemaßung von Körpern .............................................................. 134

1.3 ISO-Toleranzsystem ............................................................................................. 136

1.4 Projektion .............................................................................................................. 137

1.5 Schnitte ................................................................................................................. 138

1.6 Gewinde
und

Schrauben ...................................................................................... 138

1.7

Normteile und Konstruktionselemente .................................................................. 139

1.8

Wichtige Normteile des Maschinenbaues ............................................................. 144

2 Schaltungsunterlagen ..................................................................................................... 147

2.1 VDE-Bestimmungen

(Auszug) .............................................................................. 147

2.2 Diagramme ........................................................................................................... 148

2.3

Schaltzeichen nach DIN EN 61082 und DIN EN 60617 ........................................ 149

2.4 Elektrische

Betriebsmittel ..................................................................................... 151

2.5 Schaltungsunterlagen
der

Energietechnik ............................................................ 154

7 Datentechnik ............................................................................................................... 157

1 Grundlagen ..................................................................................................................... 157

1.1 Begriffe ................................................................................................................. 157

1.2 Grundverknüpfungen ............................................................................................ 158

1.3

Gesetze und Regeln der Schaltalgebra ................................................................ 159

1.4

Normalform einer binären Funktion ...................................................................... 159

1.5

Ersatz der Grundfunktion durch NAND- und NOR-Technik .................................. 160

1.6 Schaltungsvereinfachung ..................................................................................... 161

2 Zahlen in Rechenanlagen ............................................................................................... 162

2.1 Zahlensysteme ..................................................................................................... 162

2.2

Rechnen mit Dualzahlen ....................................................................................... 163

2.3

Darstellung im Einer- und Zweierkomplement ...................................................... 163

3 Codes ............................................................................................................................. 164

XII

Inhaltsverzeichnis

4 Digitale

Grundschaltungen .............................................................................................. 166

4.1 Schaltnetze ........................................................................................................... 166

4.2 Schaltwerke .......................................................................................................... 167

4.2.1 Allgemein ................................................................................................... 167

4.2.2 Flip-Flops ................................................................................................... 168

4.2.3 Schieberegister,

Zähler, Frequenzteiler ..................................................... 169

5 Integrierte

Schaltkreise
der Digitaltechnik ....................................................................... 171

5.1 Begriffe ................................................................................................................. 171

5.2 Standardbausteine ................................................................................................ 175

5.2.1 Technische Daten ...................................................................................... 175

5.2.2 TTL- und CMOS-Familie (IC-Auswahl) ...................................................... 177

5.3 Programmierbare

Logikbausteine ......................................................................... 178

6 Mikrocomputertechnik ..................................................................................................... 180

6.1 Begriffe ................................................................................................................. 180

6.2

Mikroprozessoren ................................................................................................ 182

6.2.1

Blockbild 8085 CPU .................................................................................. 182

6.2.2 Kurzbeschreibung ...................................................................................... 183

6.2.3 Steuersignale
und

Interrupts ...................................................................... 184

7 Halbleiterspeicher ........................................................................................................... 184

7.1 Begriffe ................................................................................................................. 184

7.2 Schreib-Lese-Speicher ......................................................................................... 187

7.3 Festwertspeicher

..................................................................................................

188

7.4 Speichersysteme .................................................................................................. 189

8 Mikrocontroller ................................................................................................................ 190

8.1 Mikrocontroller ...................................................................................................... 190

8.2

Mikrocontroller der 8051-Familie (Auswahl) .......................................................... 190

8.2.1 Anschlüsse
und

Anschlussbelegung ......................................................... 190

8.2.2 Speicherorganisation ................................................................................. 192

8.2.3 Special

Function Register .......................................................................... 193

8.2.4 Portregister ................................................................................................ 194

8.2.5 Flags .......................................................................................................... 195

8.2.6 Interrupt ..................................................................................................... 195

8.2.7 Zeitgeber/Zähler

(Timer/Counter) .............................................................. 196

8.2.8 Serielle

Schnittstelle .................................................................................. 197

8 Steuerungstechnik .................................................................................................... 199

1 Grundlagen der Steuerungstechnik ................................................................................ 199

1.1 Steuerung
und Regelung ...................................................................................... 199

1.2 Merkmale
von

Steuerungen .................................................................................. 199

2 Speicherprogrammierbare Steuerungen SPS ................................................................. 201

2.1 Die

Hardware
einer SPS ....................................................................................... 201

2.2 Programmierung einer SPS .................................................................................. 201

2.2.1 Programmiersprachen ............................................................................... 202

2.2.2 Programmieren
grundlegender Funktionen nach EN 61131-3
und STEP 7 (Auswahl) .............................................................................. 202

2.3 Programmbeispiel:

Wendeschützschaltung .......................................................... 206

3 Ablaufsteuerungen mit SPS ............................................................................................ 208

3.1 Grundlagen

........................................................................................................... 208

3.2 Ablaufkette ............................................................................................................ 209

3.3 Befehlsausgabe,

Aktionen, Aktionsblock .............................................................. 210

Inhaltsverzeichnis XIII

3.4 Programmbeispiel: ................................................................................................ 211

3.4.1 Realisierung mit SR-Speicherfunktionen ................................................... 213

3.4.2 Realisierung mit der Ablaufsprache AS nach EN 61131-3 ........................ 215

3.4.3 Realisierung mit der Ablaufsprache AS nach S7-GRAPH ......................... 216

9 Messtechnik ................................................................................................................ 217

1 Grundlagen

..................................................................................................................... 217

1.1 Begriffe ................................................................................................................. 217

1.2 Einheiten ............................................................................................................... 218

1.3 Messabweichung,

Messfehler .............................................................................. 218

1.4 Mittelwerte,

Häufigkeitsverteilungen, Vertrauensbereich ...................................... 220

2 Messverfahren zur Messung elektrischer Größen (Auswahl) ......................................... 221

2.1 Spannungs-
und

Strommessung .......................................................................... 221

2.2 Widerstands-
und

Impedanzmessung .................................................................. 222

2.3 Wirkleistungsmessung .......................................................................................... 223

2.4 Messung
von

L, C, Gütefaktor und Verlustfaktor .................................................. 224

3 Messung von nichtelektrischen Größen (Auswahl) ......................................................... 225

3.1 Widerstandsaufnehmer ......................................................................................... 225

3.2 Kapazitive

Aufnehmer ........................................................................................... 226

3.3 Induktive

Aufnehmer ............................................................................................. 226

3.4 Drehzahlmessung,

Drehfrequenzmessung ........................................................... 227

3.5

Weg- und Winkelmessung .................................................................................... 227

4 Messdatenaufbereitung .................................................................................................. 227

5 Bussysteme für die Messtechnik .................................................................................... 229

5.1 IEC-Bus ................................................................................................................ 229

5.2 Aktor-Sensor-Interface, ASI .................................................................................. 231

5.3 DIN-Messbus,

DIN

66 348, Teil 2 ......................................................................... 232

10 Energietechnik ......................................................................................................... 233

1 Elektrische

Maschinen .................................................................................................... 233

1.1 Transformatoren ................................................................................................... 233

1.1.1 Begriffe ...................................................................................................... 233

1.1.2 Kühlarten ................................................................................................... 233

1.1.3 Leerlauf ..................................................................................................... 233

1.1.4 Belastung .................................................................................................. 233

1.1.5 Leerlaufversuch ......................................................................................... 234

1.1.6 Kurzschlussversuch ................................................................................... 234

1.1.7 Wirkungsgrad ............................................................................................ 235

1.1.8 Drehstromtransformatoren ........................................................................ 235

1.1.9 Parallelschalten
von

Transformatoren ....................................................... 236

1.1.10 Spartransformatoren .................................................................................. 236

1.1.11 Drosselspulen ............................................................................................ 236

1.2 Drehstrommaschinen ............................................................................................ 237

1.2.1 Asynchronmaschinen ................................................................................ 237

1.2.2 Synchronmaschinen .................................................................................. 240

1.3 Gleichstrommaschinen ......................................................................................... 241

1.4 Auswahl
von

Motoren ........................................................................................... 242

2 Elektrische

Energietechnik .............................................................................................. 248

2.1 Energieträger ........................................................................................................ 248

XIV

Inhaltsverzeichnis

2.2 Elektrische

Energieerzeugung .............................................................................. 248

2.2.1 Drehstromnetz ........................................................................................... 249

2.2.2 Netzstrukturen ........................................................................................... 249

2.3 Betriebsmittel
der

Energietechnik ......................................................................... 250

2.3.1 Kabel ......................................................................................................... 250

2.3.2 Leitungen ................................................................................................... 252

2.3.3 Spannungsfall auf Kabeln und Leitungen .................................................... 254

2.4 Kurzschlussstromberechnung ............................................................................... 255

2.5 Kompensationsanlagen ........................................................................................ 256

11 Nachrichtentechnik ................................................................................................. 257

1 Begriffe, Grundlagen ....................................................................................................... 257

2 Signale ............................................................................................................................ 259

2.1

Signale im Zeit- und Frequenzbereich .................................................................. 259

2.2 Zufällige

(stochastische) Signale, Rauschen ........................................................ 260

2.3 Verzerrungen ........................................................................................................ 262

3 Kenngrößen einer Übertragungsstrecke / eines Systems ............................................... 263

4 Zweitore,

Vierpole ........................................................................................................... 264

4.1 Grundbegriffe ........................................................................................................ 264

4.2

Zweitorgleichungen und Zusammenschaltung von zwei Zweitoren ...................... 265

4.3

Betriebskenngrößen mit Lastadmittanz Y a = 1/ Z a bzw.

Eingangsadmittanz Y e = 1/ Z e ............................................................................... 269

4.4 Spezielle

Zweitore ................................................................................................ 271

4.4.1 Allgemein ................................................................................................... 271

4.4.2 Wellenparameter
längssymmetrischer passiver Zweitore ......................... 271

4.4.3 Häufig
verwendete Zweitore ...................................................................... 271

5 Leitungen,

Kabel ............................................................................................................. 272

5.1 Anordnungen,

Leitungsbeläge .............................................................................. 272

5.2 Leitungsgleichungen, Lösungen ........................................................................... 274

5.3 Leitungskenngrößen ............................................................................................. 274

5.4

Leitungen mit beliebiger Lastimpedanz am Leitungsende .................................... 275

5.5 Sonderfälle ............................................................................................................ 275

5.6 Daten
von

Leitungen ............................................................................................. 276

5.7 Hochfrequenzleitungen ......................................................................................... 277

5.7.1 Hochfrequenz-Koaxialkabel ....................................................................... 277

5.7.2 Hohlleiter ................................................................................................... 278

5.7.3 Streifenleitungen ........................................................................................ 279

5.8
s-Parameter .......................................................................................................... 280

5.8.1 Signalflussdiagramm ................................................................................. 280

5.8.2 Leistungsverstärkung ................................................................................ 281

5.9 Kreisdiagramm ...................................................................................................... 282

5.9.1 Grundlagen ................................................................................................ 282

5.9.2 s-Parameter im Kreisdiagramm ................................................................. 283

6 Modulation ...................................................................................................................... 284

6.1 Grundlagen

........................................................................................................... 284

6.2

Sinusträger, mit Analogsignal moduliert ............................................................... 284

6.3 Sinusträger,
mit

Digitalsignal moduliert ................................................................. 288

6.4 Pulsträgermodulation,

Träger uncodiert ................................................................ 288

Inhaltsverzeichnis XV

7 Filter

................................................................................................................................ 290

7.1 Begriffe ................................................................................................................. 290

7.2 Passive

R-C-Tiefpassfilter .................................................................................... 291

7.3 Passive

R-C-Hochpassfilter .................................................................................. 292

7.4

Schwingkreis als Bandpass und Bandsperre ........................................................ 294

7.5 Bandfilter

..............................................................................................................

294

8 Empfängerschaltungstechnik .......................................................................................... 295

9 Ton- und Bildübertragung ............................................................................................... 296

9.1 Rundfunk-Stereoübertragung ............................................................................... 296

9.2 Fernseh-Bildübertragung ...................................................................................... 297

9.2.1 Farbfernseh-Bildübertragung (analog) ....................................................... 297

9.2.2 Farbfernsehbildübertragung (digital) ......................................................... 299

10 Mehrfachübertragung – Multiplexverfahren .................................................................... 300

11 Richtfunktechnik .............................................................................................................. 301

12 Nachrichtenübertragung über Satellit ............................................................................. 302

13 Lichtwellenleiter (LWL) ................................................................................................... 303

14 Funkmesstechnik – Radar .............................................................................................. 305

15 Elektroakustik – Grundbegriffe ........................................................................................ 306

16 Vermittlungstechnik – Verkehrstheorie ........................................................................... 307

17 Kommunikations- und Datennetze .................................................................................. 308

17.1 Lokale Kommunikations- und Datennetze, LAN ................................................... 308

17.2 Öffentliche

Kommunikations-
und

Datennetze (Auswahl) ..................................... 309

18 Optimierte Nachrichten- und Datenübertragung ............................................................. 310

18.1 Quellenkodierung ................................................................................................. 310

18.2 Kanalkodierung ..................................................................................................... 311

12 Signal- und Systemtheorie ................................................................................... 313

1 Einführung ...................................................................................................................... 313

2 Grundbegriffe .................................................................................................................. 313

3 Periodische
nichtsinusförmige
zeitkontinuierliche Signale .............................................. 314

4 Nichtperiodische
zeitkontinuierliche Signale ................................................................... 315

4.1 Fouriertransformation ........................................................................................... 315

4.2 Laplacetransformation .......................................................................................... 317

5 Spezielle

Signale ............................................................................................................ 320

6 Leistung .......................................................................................................................... 321

7 Faltungsintegral .............................................................................................................. 321

8 Abtasttheorem ................................................................................................................ 321

9 Nichtkontinuierliche

(zeitdiskrete) Signale ...................................................................... 322

9.1 Diskrete

Fouriertransformation (DFT) ................................................................... 322

9.2 z-Transformation .................................................................................................. 323

10 Zufällige (stochastische, nichtdeterministische) Signale ................................................. 324

11 Signalerkennung bei gestörter Übertragung ................................................................... 329

Sachwortverzeichnis ...................................................................................................... 331

Mathematik

1

Arithmetik

1 Arithmetik

1.1 Mengen

Menge

Definition durch Aufzählung der Elemente

M = {1, –1}

oder durch Angabe einer die Elemente

M = { x | x 2 – 1 = 0}

charakterisierenden Eigenschaft

Vereinigung A � B zweier

Besteht aus denjenigen Elementen, die in A

A � B =

Mengen A und B
oder in B enthalten sind

{ x | x � A oder x � B}

Durchschnitt

Besteht aus denjenigen Elementen, die

A � B =

A � B zweier
sowohl in A als auch in B enthalten sind

{ x | x � A und x � B }

Mengen A

und B

1.2 Zahlenmengen

`

Menge der natürlichen Zahlen

{1, 2, 3, …}

]

Menge der ganzen Zahlen

{…,–3, –2, –1, 0, 1,

2, 3,…}

_

Menge der rationalen Zahlen
m

½

®

,
m n � ,

] n z 0¾

¯ n

¿

\

Menge der reellen Zahlen

^

Menge der komplexen Zahlen

{ z = a + b i | a, b �

\, i = 1 }

]*

Menge der ganzen Zahlen ohne die Null

{…, –3, –2, –1, 1,

2, 3, …}

_*

Menge der rationalen Zahlen ohne die Null
m

* ½

®

,
m n � ] ¾

¯ n

¿

\*

Menge der reellen Zahlen ohne die Null

{ x | x � \, x z 0}

_+

Menge der positiven rationalen Zahlen
m

½

®

,
m n � `¾

¯ n

¿

\+

Menge der positiven reellen Zahlen

{ x | x � \, x > 0}

1.3 Grundrechenarten

Addition

Summand plus Summand gleich Summe

4 + 5 = 9

Subtraktion

Minuend minus Subtrahend gleich Differenz

7 – 2 = 5

Multiplikation

Faktor mal Faktor gleich Produkt

3 · 8 = 24

Division

Dividend geteilt durch Divisor gleich Quotient

87 : 3 = 29

1.4 Binomische Formeln

Erste

( a + b)2 = a 2 + 2 ab + b 2

Zweite

( a – b)2 = a 2 – 2 ab + b 2

Dritte

( a + b) ( a – b) = a 2 – b 2

1.5 Bruchrechnung

Definition

Ein Bruch ist ein Quotient, der Zähler ist der
m

Dividend, und der Nenner ist der Divisor.

m : n
n

1

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Formeln und Tabellen Elektrotechnik,

DOI 10.1007/978-3-8348-2023-5_1, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014

Mathematik

1

Arithmetik

m
n

Kehrwert eines Bruchs

Zähler und Nenner von
vertauschen

n
m

Erweitern eines Bruchs

Zähler und Nenner mit derselben Zahl
a
a � c
ac

multiplizieren

b
b � c
bc

( c z 0)

Kürzen eines Bruchs

Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl

a
a : b
dividieren

( c z 0)

b
b : c

Addieren und

Die Zähler addieren oder subtrahieren und den
a
b
a b

Subtrahieren

Nenner beibehalten; gleichnamig bedeutet:

c
c
c
gleichnamiger Brüche
gleicher Nenner

a
b
a b

c
c
c

Addieren und

Brüche durch Erweitern gleichnamig machen
a
c
a � d

Subtrahieren

(auf den Hauptnenner bringen)

b
d
b � d
ungleichnamiger Brüche
c � b
ad bc

d � b
bd

a
c
a �

d

b
d
b � d

c � b
ad

bc

d � b
bd

Multiplizieren

Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner
a c
a � c
ac
von Brüchen
multiplizieren

�

b d
b � d
bd

Dividieren

Mit dem Kehrwert multiplizieren
a c
a d
ad
von Brüchen

:

�

b d
b c
bc

1.6 Potenzrechnung

Definition Potenz

Zahl der Form a x (gesprochen: a hoch x)

ax

a heißt Basis (Grundzahl), x Exponent

(Hochzahl) der Potenz

Addieren und

Potenzen kann man nur addieren oder
pan r qan =

Subtrahieren
subtrahieren, wenn sie in Basis und Exponent

( p r q) an

übereinstimmen.

Multiplizieren und

Addieren bzw. Subtrahieren der Exponenten
an · am = an+ m

Dividieren bei gleicher
n
a

Basis
n

m
a

m
a

Multiplizieren und

Multiplizieren bzw. Dividieren der Basen
an · bn = ( a · b) n

Dividieren bei gleichem
n
a

§ a · n

Exponenten

¨ ¸
n
b

© b ¹

Potenzieren einer Potenz

Multiplizieren der Exponenten

( an) m = an · m

1.7 Wurzelrechnung

Definition n-te Wurzel

Zahl der Form n

1/ n
a
a

(gesprochen:

n a
n-te Wurzel aus a); a heißt Radikand,
n Wurzelexponent der Wurzel

2

Mathematik

1

Arithmetik

[

Quadratwurzel (Wurzel)

Wurzelexponent n = 2

2 a a

Addieren und

Wurzeln kann man nur addieren oder subtrahieren,
n
p a r
n
q a

Subtrahieren
wenn sie in Radikand und Wurzelexponent

n

übereinstimmen.

( p r q) a

Multiplizieren bei

Wurzeln mit gleichem Radikanden und den
n a � m a
gleichem Radikanden

Wurzelexponenten n, m werden multipliziert, indem

n� m m+ n

man aus dem in die ( m + n)-te Potenz erhobenen
a

Radikanden die nm-te Wurzel zieht.

Dividieren bei gleichem

Wurzeln mit gleichem Radikanden und den
n a
n� m m n

Radikanden

Wurzelexponenten n und m werden dividiert, indem

a
m a

man aus dem in die ( m – n)-te Potenz erhobenen

Radikanden die nm-te Wurzel zieht.

Multiplizieren und

Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden
n a � n b n ab

Dividieren bei gleichem
multipliziert bzw. dividiert, indem man die
n

Wurzelexponenten

Radikanden multipliziert bzw. dividiert.

a a
n

n b
b

Radizieren einer Wurzel

Man zieht die Wurzel aus einer Wurzel, indem man
n m
m�
n
a
a

die Wurzelexponenten multipliziert.

Potenzieren einer Wurzel

Eine Wurzel wird potenziert, indem man den
a m n m
n
a

Radikanden potenziert.

Rationalmachen

Man erweitert den Bruch so, dass die Wurzel im
a
a b
des Nenners

Nenner wegfällt.

b
b

1.8 Logarithmen

Definition Logarithmus

Zahl der Form log a b (gesprochen: Logarithmus b zur log a b, Basis a); b heißt Numerus, a Basis des Logarithmus a, b � \+, a z 1

Dekadische Logarithmen

Basis a = 10
log10 b = lg b

(Zehnerlogarithmen)

Natürliche Logarithmen

Basis e = 2, 718 281 82 … (Eulersche Zahl)

log e b = In b

(Nepersche Logarithmen)

Binäre oder duale

Basis a = 2
log2 b = ld b

Logarithmen

(Zweierlogarithmen)

Logarithmus

Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren
log a ( u · v) =
eines Produkts
log a u + log a v

Logarithmus eines

Differenz der Logarithmen von Zähler (Dividend)

u

Bruches (Quotienten)

und Nenner (Divisor)

log a =
v

log

a u – log a v

Logarithmus einer Potenz

Mit dem Exponenten multiplizierter Logarithmus der log a ( ur ) =

Basis
r · log a u

3

Mathematik

1

Arithmetik

Logarithmus einer Wurzel

Durch den Wurzelexponenten dividierter
n

Logarithmus des Radikanden
log a u 1 log a u
n

Logarithmen mit

Basen a und c
c u
verschiedenen Basen
log a u log

log a

c

1.9 Mittelwerte

Arithmetisches

Zwei Zahlen a, b � \: die Hälfte ihrer Summe;
a b

Mittel
n reelle Zahlen a
x

1, a 2, … , an: der n-te Teil

2

ihrer Summe

a a ... a

x 1

2
n
n

Geometrisches

Zwei Zahlen a, b � \+: die Quadratwurzel

Mittel
aus ihrem Produkt;
x a �
g
b

n positive reelle Zahlen a 1, a 2, … , an:

x n a � a �

� a

g

1

2 ...

n
die n-te Wurzel aus ihrem Produkt

Harmonisches

Zwei Zahlen a, b � \*: Zwei geteilt durch

2

Mittel
die Summe ihrer Kehrwerte;
x
h

1 1

n von Null verschiedene reelle Zahlen a

1,
a b

a

2, … , an:

n

n geteilt durch die Summe ihrer Kehrwerte
x
h

1

1

1

...

1
a

2
a
n
a

Quadratisches

Zwei Zahlen a, b � \: die Quadratwurzel

2
a 2
b

Mittel
der halben Summe ihrer Quadrate;
x
q

n reelle Zahlen a

2

1, a 2, … , an:

die Quadratwurzel des n-ten Teils der Sum-

2
a 2
a ... 2

1

2
n
a

x
me ihrer Quadrate
q
n

1.10 Absolutbetrag

Definition Absolutbetrag

Der Absolutbetrag | a| einer Zahl a stellt auf
a
für a t 0

(Betrag)

| a |

der Zahlengeraden den Abstand der Zahl a

®¯ a
für a 0

vom Nullpunkt dar.

Eigenschaften

| – a | = | a |

| a | t 0; | a | = 0 � a = 0

| a · b | = | a | · | b |

a

| a |

1

1

für b z 0;

für b z 0
b

| b |
b

| b |

| n
a | | a | n für n �

1

1

`;

für n � `, a z 0

n
a

| a | n

| a + b | d | a | + | b | (so genannte Dreiecksungleichung) 1.11 Intervalle

Beschränkte

[ a, b] = { x | x � \ und a d x d b} (abgeschlossenes Intervall)

Intervalle

( a, b) = { x | x � \ und a < x < b} (offenes Intervall)

[ a, b) = { x | x � \ und a d x < b} (halboffenes Intervall)

( a, b] = { x | x � \ und a < x d b} (halboffenes Intervall)

4

Mathematik

1

Arithmetik

Nicht beschränkte

Halboffenes Intervall, nach rechts unbeschränkt:

Intervalle

[ a, f) = { x | x � \ und x t a}

Offenes Intervall, nach rechts unbeschränkt:

( a, f) = { x | x � \ und x > a}

Halboffenes Intervall, nach links unbeschränkt:

(–f, a] = { x | x � \ und x d a}

Offenes Intervall, nach links unbeschränkt:

(–f, a) = { x | x � \ und x < a}

Offenes Intervall, nach links und nach rechts unbeschränkt:

(–f,f) = { x | x � \}

1.12 Komplexe Zahlen

Algebraische

Zahlen der Form z = a + bi, a, b � \, i 2 = –1; z = a + b i,

Form
a heißt Realteil, b Imaginärteil von z, i mit i 2 = –1
a, b � \,

imaginäre Einheit
i 2 = –1

imaginäre Achse

Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen

Zahlenebene

Konjugiert

Komplexe Zahlen mit gleichem Realteil und
z = a + b i und

komplexe
entgegengesetzt gleichem Imaginärteil
z = a – b i

Zahlen

Trigonometrische

Zahlen der Form z = r (cos M + i sin M);
z =

Form
r heißt Modul oder Absolutbetrag (also r = | z |),
r (cos M + i sin M),

M Argument von z
r � \, r t 0,

0 d M < 2 S

Algebraische und trigonometrische Form

einer komplexen Zahl z

5

Mathematik

1

Arithmetik

Zusammenhang

2

2
b
algebraische und
r a b , tan M a
trigonometrische Form
a r cos M, b r sin M

Addieren komplexer

Addition der Realteile und Addition
z 1 + z 2 = ( a 1 + b 1 i ) +

Zahlen
der Imaginärteile

( a 2 + b 2 i ) = ( a

1 + a 2)

+ ( b 1 + b 2) i

Subtrahieren

Subtraktion der Realteile und Subtraktion
z 1 – z 2 = ( a 1 + b 1 i ) –

komplexer Zahlen
der Imaginärteile

( a 2 + b 2 i ) = ( a

1 – a 2)

+ ( b

1 – b 2) i

Multiplizieren

Multiplikation wie algebraische Summen
z 1 · z 2 = ( a 1 + b 1 i ) ( a

2
komplexer Zahlen

+ b 2 i ) = ( a a
b

1 2 – b 1 2)

+ ( a 1 b

2 + a 2 b 1 ) i

Dividieren

Erweitern mit der konjugiert komplexen Zahl

1
z

1
a 1
b i
komplexer Zahlen
des Nenners (Divisors)

z
a b i

2

2

2

1
a 2
a 1
b 2
b

2

2

2
a 2
b

1
b 2
a 1
a 2
b

i

2

2
a b

2

2
z

( 2
z

0)

Potenzieren

Moivresche Formel (für komplexe Zahlen
zn – [ r (cos (M +
komplexer Zahlen
in trigonometrischer Form)

i sin (M)] n = rn (cos n M

+ i sin n M)

( n � `)

Radizieren
w n = z = r (cos M + i sin M), n � `, besitzt n w
k
komplexer Zahlen
verschiedene Lösungen w 1, w 2, … , wn
n

§

M 2 ( k 1) S

(die n-ten Wurzeln aus z).

r ¨cos

©
n

M 2 ( k 1) S ·
i sin

¸,
n

¹
k 1, 2, ..., n

6

Mathematik

1

Gleichungen

2 Gleichungen

2.1 Gleichungsarten

Identische Gleichung

Gleichung zwischen zwei algebraischen
a ( b + c) = ab + ac

(Identität)

Ausdrücken, die bei Einsetzen beliebiger
an am = an+ m

Zahlenwerte anstelle der darin aufgeführten

Buchstabensymbole erhalten bleibt

Bestimmungsgleichung

Gleichung, in der Variable (Unbekannte)

x + 2 = 3

auftreten, die durch eine Rechnung bestimmt

Lösung: x = 1;

werden sollen

2 x + 1 = x 2 – 2

Lösungen: x = 3

und x = –1

Funktionsgleichung

Gleichung zur Definition einer Funktion
y = 2 x + 1;

y = 2 x 2 – x

– 3 x + 4

2.2 Äquivalente

Umformungen

Addition

Addition einer Zahl a auf beiden Seiten einer
x – a = b �

Gleichung
x = b + a

Subtraktion

Subtraktion einer Zahl a von beiden Seiten
x + a = b �

einer Gleichung
x = b – a

Multiplikation

Multiplikation beider Seiten einer Gleichung
x

mit der gleichen Zahl a z 0
b � x = b · a
a

Division

Division beider Seiten einer Gleichung durch
b

die gleiche Zahl a z 0
a x = b � x =

a

2.3 Lineare

Gleichungen

a x + b = 0,

Allgemeine Form
b

Lösung: x = –

a z 0

a

Normalform

Lösung: x = – c
x + c = 0

2.4 Quadratische

Gleichungen

1
a x 2 + b x + c = 0,

Allgemeine Form

Lösungen:

2

1
x

( b b 4 ac ) ,
a z 0

2 a

1
x

( b b 4 ac )

2 =

2

2 a

2
p
p
x 2 + p x + q = 0

Normalform

Lösungen: 1
x ,2 r D, D
q

2

4

D heißt Diskriminante der Normalform.

Satz von Viëta

Für eine quadratische Gleichung x 2 + p x + q = 0
p = – ( x

1 + x2),

in Normalform
q = x 1 x 2

2.5 Kubische

Gleichungen

Normalform

Lösungen lassen sich mit Hilfe der so genannten x 3 + r x 2 + s x + t = 0

Cardanischen Formeln berechnen.

7

Mathematik

1

Gleichungen

Spezialform

Lösungen:

x 3 + r x 2 + s x = 0

für t = 0

2

2

r
r
r
r

1
x 0, x 2
s, x 3
s

2

4

2

4

2.6 Polynome

Polynom

Ausdruck der Form
n

P

P

¦ k
a x
n ( x) = a xn + a
xn–1 + … + a x 2 + a x + a

n

n–1

2

1 0
n ( x) =
k

mit a
k 0

0, a 1, a 2, … , an–1, an � \, an z 0, n � `

2.7 Auf algebraische

Gleichungen

zurückführbare

Gleichungen

Bruchgleichungen

Bestimmungsgleichungen mit Bruchtermen,

P( x)

bei denen die Variable (auch) im Nenner

Q( x)

auftritt

Wurzelgleichungen

Bestimmungsgleichungen, bei denen die

11 x 3 6

Variable (auch) unter einer Wurzel

Lösung: x 22;

vorkommt

x 2 2 x 7 4

Lösung: x 9

2.8 Transzendente

Gleichungen

Exponentialgleichungen

Bestimmungsgleichungen, bei denen die

3 x = 4 x–2 · 2 x

Variable (auch) im Exponenten einer Potenz

Lösung:

steht
x = 2,826 780 …;

e 2 x+ 3 = ex–4

Lösung: x = –7

Logarithmische

Bestimmungsgleichungen, bei denen die
log7 (x2 + 19) = 3

Gleichungen

Variable (auch) im Argument eines

Lösungsmenge:

Logarithmus vorkommt

L = {18, –18};

lg (6 x + 10) –

lg ( x – 3) = 1

Lösung: x = 10

Trigonometrische

Bestimmungsgleichungen, in denen die
sin2 x – 1 = – 0,5

Gleichungen

Variable (auch) im Argument einer

Lösungsmenge:

trigonometrischen Funktion auftritt

L = { x | x = 45° +

k · 180°, k � ]}

2.9 Lineare Gleichungs-

systeme

Definition

System aus m Bestimmungsgleichungen mit n Variablen ( m, n � `, m t 2) a x + b y = c

Zwei lineare Gleichungen
b c b c
a c a c

Lösung:

2 1

1 2

1 2

2 1
x

, y

1

1

1
mit zwei Variablen
a x + b y = c

1
a 2
b 2
a 1
b

1
a 2
b 2
a 1
b

2

2

2

(Nenner z 0)

8

Mathematik

1

Planimetrie

3 Planimetrie

3.1 Geraden und

Strecken

Gerade

Beidseitig unbegrenzte gerade Linie; kürzeste
g = P 1 P

P

2 = P 2 1

Verbindung zweier Punkte P 1 und P 2

Parallelen

Parallele Geraden, Geraden ohne Schnittpunkt

AB || CD oder

g || h

Strahl oder Halbgerade

Teil einer Geraden, der von einem Punkt einer
s

Geraden aus in einer Richtung läuft

Strecke

Abschnitt einer Geraden zwischen zwei Punkten

AB

( A und B heißen die Endpunkte der Strecke, alle

anderen Punkte der Strecke bilden das Innere)

Länge oder Betrag

Länge der Strecke AB

| A |

B

3.2 Winkel

Winkel

Zwei Strahlen g und h, die von demselben Punkt S Ӛ ( g, h) ausgehen, können durch eine Drehung um S

ineinander überführt werden, durch die der Winkel

zwischen ihnen bestimmt wird. Die Strahlen heißen

die Schenkel des Winkels, der Punkt S heißt

Scheitelpunkt.

Winkel D = Ӛ ( g, h) = Ӛ ASB

Gradmaß

Ein Vollwinkel wird in 360 gleiche Teile eingeteilt

1 Vollwinkel =

(Sexagesimaleinteilung)

360°

Minuten, Sekunden

1 Grad = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden

1° = 60c, 1c = 60s

Nullwinkel

Winkel D mit D = 0°

D = 0°

Rechter Winkel

Winkel D mit D = 90°

D = 90°

Gestreckter Winkel

Winkel D mit D = 180°

D = 180°

Vollwinkel

Winkel D mit D = 360°

D = 360°

Spitzer Winkel

Winkel, der größer als 0 und kleiner als ein rechter 0° < D < 90°

Winkel ist

Stumpfer Winkel

Winkel, der größer als ein rechter Winkel ist

D > 90°

Überstumpfer Winkel

Winkel, der größer als ein gestreckter Winkel ist

D > 180°

9

Mathematik

1

Planimetrie

Komplementwinkel

Winkel, die sich zu 90° ergänzen

D und E = 90° – D

Supplementwinkel

Winkel, die sich zu 180° ergänzen

D und E = 180° – D

Scheitelwinkel

Gegenüberliegende Winkel an zwei sich schneidenden Geraden

Nebenwinkel

Benachbarte Winkel an zwei sich schneidenden Geraden

Stufenwinkel

Gleichliegende Winkel an von einer Geraden geschnittenen Parallelen

Wechselwinkel

Entgegengesetzt liegende Winkel an von einer Geraden geschnittenen

Parallelen

Halbgleichliegende

Winkelpaare an von einer Geraden geschnittenen Parallelen, die

Winkel
weder Stufenwinkel noch Wechselwinkel sind

3.3 Projektionen

Parallelprojektion

Abbildung eines ebenen Gegenstandes durch parallele Strahlen auf

eine Gerade

Senkrechte Parallelprojektion einer Strecke AB

Zentralprojektion

Abbildung eines ebenen Gegenstandes durch Strahlen, die alle durch
einen festen Punkt Z (Zentrum oder Projektionszentrum) gehen, auf
eine Gerade

Zentralprojektion von Z einer Strecke AB

10

Mathematik

1

Planimetrie

3.4 Dreiecke

Dreieck

Besteht aus drei nicht auf einer Geraden liegen-

' ( ABC)

den Punkten A, B, C und den Strecken AB , AC , BC

Bezeichnungen im Dreieck

Winkelsumme

Beträgt in jedem Dreieck 180°

D + E + J = 180°

Dreiecksungleichungen

Die Summe zweier Seitenlängen im
a + b > c

Dreieck ist stets größer als die dritte.

a + c > b

b + c > a

Außenwinkel

Supplementwinkel Dc, E c, Jc

Dc + E c + Jc = 360°

der Dreieckswinkel D, E, J

Umfang

Summe der Seitenlängen
u = a + b + c

Flächeninhalt

Hälfte der Grundseite multipliziert

A = ½ · Grundseite ·

mit der Höhe

Höhe

Spitzwinklige Dreiecke

Alle drei Innenwinkel kleiner als 90°

D, E, J < 90°

Rechtwinklige Dreiecke

Ein Winkel gleich 90°

D = 90° oder

E = 90° oder

J = 90°

Stumpfwinklige Dreiecke

Ein Winkel größer als 90°

D > 90° oder

E > 90° oder

J > 90°

Gleichschenklige

Zwei gleich lange Seiten
a = b oder

Dreiecke
a = c oder

b = c

Gleichseitige Dreiecke

Drei gleich lange Seiten
a = b = c

Umkreis

Kreis durch die drei Eckpunkte des Dreiecks

Inkreis

Kreis, der die drei Dreiecksseiten von innen berührt

Mittelsenkrechte

Senkrechte durch den Mittelpunkt der Dreiecksseiten

11

Mathematik

1

Planimetrie

Höhe

Der Teil des Lotes von einem Eckpunkt auf die
ha, hb, hc

gegenüberliegende Seite, der von dem Eckpunkt

und dieser Seite (beziehungsweise ihrer Verlänge-

rung) begrenzt wird

Winkelhalbierende

Gerade durch den Scheitelpunkt eines Winkels,
w D, w E, w J

so dass die beiden Winkel zwischen Gerade und je

einem Schenkel gleich sind

Seitenhalbierende

Verbindungsstrecke einer Ecke mit dem Mittelpunkt sa, sb, sc

(Median)

der gegenüberliegenden Seite

Kathetensatz

In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über a 2 = pc, b 2 = qc einer Kathete gleich dem Rechteck aus Hypotenuse

und zugehörigem Hypotenusenabschnitt.

Satz des Pythagoras

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe
a 2 + b 2 = c 2

der Quadrate über den Katheten gleich dem Quadrat

der Hypotenuse.

Höhensatz

In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über h 2 = pq

der Höhe auf der Hypotenuse gleich dem Rechteck

aus den beiden durch die Höhe gebildeten

Hypotenusenabschnitten.

Kongruenz

Geometrische Figuren heißen kongruent, wenn sie deckungsgleich

sind.

Kongruenzsatz WSW

Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und den beiden

anliegenden Winkeln übereinstimmen.

Kongruenzsatz SWW

Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und einem

anliegenden sowie dem gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen.

Kongruenzsatz SSW

Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem der

längeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen.

Kongruenzsatz SWS

Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem von ihnen

eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.

Kongruenzsatz SSS

Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den drei Seiten übereinstimmen.

3.5 Vierecke

Viereck

Besteht aus vier Punkten A, B, C, D, von denen

Ƒ ( ABCD)

keine drei auf einer Geraden liegen, und den

Strecken AB , BC , CD , DA

Bezeichnungen im Viereck

12

Mathematik

1

Planimetrie

Diagonalen

Verbindungsstrecken gegenüberliegender Punkte
e, f

Winkelsumme

Beträgt in jedem Viereck 360°

D + E + J + G

= 360°

Ungleichung

Das Produkt der Diagonalenlängen ist kleiner oder
ef d ac + bd

gleich der Summe der Produkte der Längen je zwei

gegenüberliegender Seiten.

Umfang

Summe der Seitenlängen
u = a + b + c + d

1

1

Flächeninhalt

A =

( ad sin D + bc sin E) = ( ab sin E + cd sin G)

2

2

Trapez

Zwei Seiten zueinander parallel
a || c oder b || d

Parallelogramm

Beide jeweils einander gegenüberliegende Seiten
a || c und b || d

parallel

Rhombus

Parallelogramm mit gleich langen Seiten
a || c, b || d und

a = b = c = d

Rechteck

Parallelogramm mit vier rechten Winkeln

D = E = J = G =

90°

Quadrat

Rechteck mit gleich langen Seiten

D = E = J = G =

90ůnd

a = b = c = d

Drachen

Viereck mit zwei Paaren gleich langer benachbarter a = b, c = d oder Seiten
a = d, b = c

Sehnenviereck

Alle vier Eckpunkte liegen auf einem Kreis.

D + J = E + G =

180°

Sehnenviereck

Satz von Ptolemäus

In einem Sehnenviereck ist das Produkt der
ef = ac + bd

Diagonalenlängen gleich der Summe der Produkte

der Längen je zwei gegenüberliegender Seiten.

Satz von Brahmagupta

In einem Sehnenviereck verhalten sich die Längen
e
ab cd
der Diagonalen wie die Summen der Produkte der

f
ad bc

Längen jener Seitenpaare, die sich in den End-
punkten der Diagonalen treffen.

13

Mathematik

1

Planimetrie

Tangentenviereck

Alle vier Seiten berühren denselben Kreis.

a + c = b + d

Tangentenviereck

3.6 Reguläre n-Ecke

n-Eck

Besteht aus n Punkten, den Eckpunkten des n-Ecks, und n Seiten, den Strecken zwischen den Eckpunkten

Reguläres (regelmäßiges)

Alle Seiten sind gleich lang und alle Innenwinkel sind gleich groß. Alle
n-Eck

Eckpunkte liegen auf einem Kreis, dem Umkreis des n-Ecks, und alle

Seiten sind Tangenten eines einbeschriebenen Kreises, dem Inkreis

des n-Ecks. Die Seiten sind Sehnen des Umkreises.

Durch die Verbindungsstrecken der Eckpunkte mit dem Mittelpunkt

des Umkreises wird das reguläre n-Eck in n kongruente Dreiecke

zerlegt.

Bezeichnungen im regulären n-Eck

Ein reguläres Dreieck ist ein gleichseitiges Dreieck, ein reguläres

Viereck ist ein Quadrat.

Innenwinkel

Summe der Innenwinkel ist ( n – 2) · 180°,
n

2
alle Innenwinkel J

180
n sind gleich groß.

J

�
q
n
n

14

Mathematik

1

Planimetrie

Basiswinkel

Halber Innenwinkel

1

E J
n

2 n

n 2

� 90q

n

Zentriwinkel

Winkel am Mittelpunkt

D
q

360
n

n

Umfang

Summe der Seitenlängen
u
n
n n
a

Flächeninhalt

Summe der Flächeninhalte der n kongruenten

1

Dreiecke (U
n

A
n n
a U n
n ist Inkreisradius)

2

Übersicht über

n

In-

Zen- Seitenlänge

Umfang

Flächeninhalt
die regulären n-Ecke
nen-
tri-
a
u

A
für kleine n
n
n
n
win-
win-

( r = Umkreisradius)

kel
kel

J

D

n
n

3

3 60° 120° r 3

2 r · 2,5980 …

2

3 r

4

4 90° 90° r 2

2 r · 2,8284 …

2

2 r

r

5

5 108°

72°

10 2 5 2 r · 2,9389 …

2

10 2 5 r

2

8

3

6 120°

60° r

2 r · 3

2

3 r

2

8 135°

45° r 2 2

2 r · 3,0614 …

2

2 2 r

r

5

10 144°

36°

( 5 1)

2 r · 3,0901 …

2

10 2 5 r

2

4

12 150°

30° r 2 3

2 r · 3,1058 …

2

3 r

3.7 Kreise

Kreis

Geometrischer Ort aller Punkte der Ebene, die von
k ( M, r)

einem festen Punkt M einen konstanten Abstand r

haben; M heißt Mittelpunkt, r Radius des Kreises.

Bezeichnungen am Kreis

15

Mathematik

1

Planimetrie

Peripherie- oder

Winkel, deren Scheitelpunkt ein Punkt der Kreisperipherie ist und

Umfangswinkel
deren Schenkel Sekanten des Kreises sind

Zentri- oder

Winkel, deren Scheitelpunkt der Kreismittelpunkt ist

Mittelpunktswinkel

Kreisumfang

Radius r, Durchmesser d = 2 r
u 2 S r S d

Kreisfläche

Radius r, Durchmesser d = 2 r

S

2

2

A S r
d

4

Kreiszahl S

Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser

S =

eines beliebigen Kreises

3,141 592 653 5 …

Kreissektor

Der Teil der Fläche eines Kreises, der von den

D

S

(Kreisausschnitt)

Schenkeln eines Zentriwinkels und dem
l D
r,

180q

zugehörigen Kreisbogen begrenzt wird;

D

2

Kreisradius r, Zentriwinkel D, Länge l D des

D

A

S r

360q

Kreisbogens, Fläche A D des Kreissektors

1

r l D

2

Kreissektor und Kreissegment

Kreissegment

Der Teil der Fläche eines Kreises, der von

D
l

S r,

(Kreisabschnitt)

einer Sehne AB und einem der zugehörigen

D

180q

Kreisbögen p

AB oder p

BA begrenzt wird;

D

A

Kreisradius r, Zentriwinkel D, Länge s der

1

zugehörigen Sehne, Höhe h des Kreissegments,

[ r l D s ( r h)]

2

Länge l D, des Kreisbogens, Fläche A D des

Kreissegments

Kreise und Geraden

Ein Kreis und eine Gerade können drei grundsätzlich verschiedene

Lagen zueinander haben: Die Gerade ist eine Passante, eine

Tangente oder eine Sekante für den Kreis.

Sekante s, Tangente t, Passante p und Kreis k

16

Mathematik

1

Planimetrie

Winkelsätze am Kreis

Alle Peripheriewinkel über der gleichen Sehne sind gleich groß.

Jeder Peripheriewinkel über dem Durchmesser ist ein rechter Winkel

(Satz von Thales).

Jeder Peripheriewinkel ist halb so groß wie der Zentriwinkel über dem

gleichen Kreisbogen (über der gleichen Sehne).

Jeder Peripheriewinkel ist genauso groß wie der Sehnentangentenwinkel

(Winkel zwischen Sehne und Tangente an den Kreis durch einen

der Endpunkte der Sehne).

Sehnensatz

Schneiden sich in einem Kreis zwei Sehnen, so ist das Produkt der

Längen der Abschnitte der einen Sehne gleich dem Produkt der

Längen der Abschnitte der anderen Sehne.

Sekantensatz

Schneiden sich zwei Sekanten eines Kreises außerhalb des

Kreises, so ist das Produkt der Längen der Abschnitte vom

Sekantenschnittpunkt bis zu den Schnittpunkten von Kreis und

Sekante für beide Sekanten gleich.

Sekantentangentensatz

Geht eine Sekante eines Kreises durch einen festen Punkt

außerhalb des Kreises, und legt man durch diesen Punkt die

Tangente an den Kreis, dann ist das Produkt der Längen der

Abschnitte von diesem Punkt bis zu den Schnittpunkten von Kreis

und Sekante gleich dem Quadrat der Länge des Abschnitts der

Tangente von diesem Punkt bis zu dem Berührpunkt von Kreis und

Tangente.

Bogenmaß

Neben dem Gradmaß gibt es das Bogenmaß zur
b
arcD

Winkelmessung. Beim Bogenmaß wird die Größe
r

eines Zentriwinkels D in einem beliebigen Kreis

2 S rad 360q

durch das Verhältnis des zugehörigen

360q

Kreisbogens b zum Radius r des Kreises

1rad

|

2 S

angegeben. Der Quotient b/ r heißt Bogenmaß

57,2958q

des Winkels D. Die Einheit des Bogenmaßes ist

der Radiant (rad). Man schreibt arc D (Arcus D)

für das Bogenmaß des Winkels D.

Gradmaß (D) und Bogenmaß ( x = arc D) eines Winkels

3.8 Symmetrie

Punktsymmetrie

Eine ebene Figur F heißt punkt- oder zentralsymmetrisch, wenn

(Zentralsymmetrie)

sich in ihrer Ebene ein Punkt P angeben lässt, so dass F durch eine Spiegelung an P in sich übergeführt wird. Der Punkt P heißt

Symmetriezentrum.

Achsensymmetrie

Eine ebene Figur F heißt achsen- oder axialsymmetrisch, wenn sich

(Axialsymmetrie)

in ihrer Ebene eine Gerade g angeben lässt, so dass F durch eine

Spiegelung an g in sich übergeführt wird. Die Gerade g heißt

Symmetrieachse.

17

Mathematik

1

Planimetrie

3.9 Ähnlichkeit

Zentrische Streckung

Abbildung, bei der für jedes Element Bild Q und

|

|

ZQ

Urbild P auf einem Strahl durch einen festen
k

| ZP|

Punkt Z, dem Zentrum, liegen und für jedes

Element das Verhältnis der Länge der Strecke

( k konstant)

vom Bild zum Zentrum zu der Länge der Strecke

vom Urbild zum Zentrum konstant ist.

Erster Strahlensatz

Werden zwei Strahlen mit gleichem Anfangspunkt
a 1 : a 2 = b 1 : b 2

(Zentrum) von Parallelen geschnitten, so verhal-

ten sich die Längen der Abschnitte eines Strahls

wie die Längen entsprechender Abschnitte des

anderen Strahls.

Erster Strahlensatz: a 1 : a 2 = b 1 : b 2

Zweiter Strahlensatz

Werden zwei Strahlen mit gleichem Anfangspunkt
c 1 : c 3 = a 1 : a 3

von Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Län-

gen der zwischen den Strahlen liegenden Abschnitte

wie die Längen der zugehörigen vom Anfangspunkt

aus gemessenen Abschnitte auf den Strahlen.

Zweiter Strahlensatz: c

1 : c 3 = a 1 : a 3

Ähnliche Figuren

Geometrische Figuren heißen ähnlich, wenn sie nach geeigneter

Parallelverschiebung, Drehung, Spiegelung durch zentrische

Streckung zur Deckung gebracht werden können.

Beispiele: Zwei Quadrate mit beliebigen Seitenlängen, zwei Kreise mit
beliebigen Radien und beliebigen Mittelpunkten, zwei gleichseitige

Dreiecke mit beliebigen Seitenlängen

18

Mathematik

1

Stereometrie

4 Stereometrie

4.1 Prismen

Allgemeines Prisma

Gleitet eine Gerade, ohne ihre Richtung zu ändern, im Raum an den

Begrenzungslinien eines ebenen n-Ecks ( n = 3, 4, …) entlang, so

beschreibt sie eine prismatische Fläche. Schneiden zwei parallele

Ebenen die prismatische Fläche, dann schließen sie zusammen mit

dem zwischen ihnen liegenden Abschnitt der prismatischen Fläche

einen Teil des Raums vollständig ein. Ein solcher Körper heißt Prisma

oder genauer n-seitiges Prisma. Die Schnitte der Ebenen mit der

prismatischen Fläche sind kongruente n-Ecke. Diese n-Ecke heißen

Grundfläche und Deckfläche des Prismas. Die Seitenflächen des

Prismas heißen Mantelflächen. Die Kanten der Seitenflächen heißen

Mantellinien. Die Mantelflächen sind Parallelogramme.

Gleitet die Gerade senkrecht zur Ebene der Grundfläche, dann heißt

das Prisma gerade.

Prisma

Volumen Prisma: V = A

G · h

( AG = Grundfläche)

Oberfläche Prisma: AO = AM + 2 AG ( AM = Summe der Mantelflächen) Parallelepiped

Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche

(Parallelflach, Spat)

Quader

Gerades Prisma mit einem Rechteck als Grundfläche

Quadratische Säule

Quader mit einem Quadrat als Grundfläche

Würfel

Quader mit lauter gleich langen Kanten

4.2 Zylinder

Allgemeiner Zylinder

Wird eine Gerade (Erzeugende) im Raum längs einer ebenen

geschlossenen Kurve (Leitkurve) parallel verschoben (also ohne ihre

Richtung zu verändern), so entsteht eine Zylinderfläche. Ein Zylinder ist
ein Körper, der von einer Zylinderfläche und zwei parallelen ebenen

Flächenstücken begrenzt wird. Die ebenen Begrenzungsflächenstücke
müssen nicht senkrecht auf der erzeugenden Gerade stehen.

Ein Zylinder ist ein Körper mit gleichbleibendem Querschnitt.

19

Mathematik

1

Stereometrie

Der Teil der Zylinderfläche zwischen den parallelen Begrenzungs-

flächenstücken heißt Mantelfläche des Zylinders, die parallelen

Flächenstücke sind Grund- und Deckfläche des Zylinders.

Grundfläche und Deckfläche sind zueinander kongruent. Die zwischen

den Flächenstücken liegenden Strecken der Erzeugenden heißen

Mantellinien, sie sind alle parallel und gleich lang. Der senkrechte

Abstand zwischen Grund- und Deckfläche ist die Höhe des Zylinders.

Prismen sind spezielle Zylinder, nämlich solche mit n-Ecken als

Grundfläche.

Ein Zylinder heißt gerade, wenn die Mantellinien senkrecht auf Grund-

und Deckfläche stehen. Ein nicht gerader Zylinder heißt schiefer

Zylinder. Ein Zylinder mit einer Kreisfläche als Grundfläche heißt

Kreiszylinder.

Zylinder

Volumen Zylinder:

V = AG · h

( AG = Grundfläche)

Oberfläche Zylinder: A0 = AM + 2 AG ( AM = Mantelfläche) Gerader Kreiszylinder

Zylinder mit senkrecht auf Grund- und Deckfläche stehenden

Mantellinien und mit einer Kreisfläche als Grundfläche

Hohlzylinder

Gerader Kreiszylinder (Kreis mit Radius R), aus dem ein kleinerer

gerader Kreiszylinder (konzentrischer Kreis mit Radius r, r < R) ausgeschnitten ist

4.3 Pyramiden

Allgemeine Pyramide

Gleitet ein von einem festen Punkt S des Raums ausgehender Strahl

an den Begrenzungslinien eines ebenen n-Ecks ( n = 3,4, …) entlang,

in dessen Ebene der Anfangspunkt S des Strahls nicht liegt, so

beschreibt der gleitende Strahl eine Pyramidenfläche. Eine Pyramide
ist der Körper, der von dem n-Eck und dem zwischen ihm und dem

Punkt S liegenden Abschnitt der Pyramidenfläche begrenzt wird. Das
n-Eck heißt Grundfläche, der Punkt S Spitze, der zum Körper
gehörende Teil der Pyramidenfläche ist die Mantelfläche der

Pyramide. Die Kanten der Grundfläche heißen Grundkanten, die

Kanten der Mantelfläche Seitenkanten, und die ebenen Flächen der

Mantelfläche sind die Seitenflächen. Der Abstand der Spitze S von der

Ebene der Grundfläche ist die Höhe der Pyramide. Alle Seitenflächen
einer Pyramide sind Dreiecke.

Ist das n-Eck ein reguläres n-Eck, dann heißt die Pyramide reguläre ( n-seitige) Pyramide.

20

Mathematik

1

Stereometrie

Pyramide

Volumen Pyramide:

V = 1 A

3

G · h

( AG = Grundfläche)

Oberfläche Pyramide: A

O = AM + AG

( AM = Mantelfläche)

Gerade quadratische

Pyramide mit Quadrat als Grundfläche und Spitze senkrecht über dem

Pyramide

Mittelpunkt des Quadrats

4.4 Kegel

Allgemeiner Kegel

Wird eine Gerade (Erzeugende) im Raum längs einer ebenen

geschlossenen Kurve (Leitkurve) so bewegt, dass sie durch einen

festen Punkt, die Spitze S, geht, so entsteht eine Kegelfläche. Ein

Kegel ist ein Körper, der von einer Kegelfläche und einem nicht durch
deren Spitze gehenden ebenen Flächenstück begrenzt wird.

Der Teil der Kegelfläche zwischen dem ebenen Flächenstück und der

Spitze heißt Mantelfläche, das ebene Flächenstück Grundfläche des

Kegels. Die zwischen Grundfläche und Spitze liegenden Strecken der

Erzeugenden heißen Mantellinien. Der senkrechte Abstand der Spitze
zur Ebene der Grundfläche ist die Höhe des Kegels.

Pyramiden sind spezielle Kegel, nämlich Kegel mit n-Ecken als

Grundfläche.

Hat die Grundfläche einen Mittelpunkt (wie Kreis oder Ellipse) und
liegt die Spitze senkrecht über diesem Mittelpunkt, so heißt der Kegel
gerade, andernfalls schief. Ein Kegel mit einer Kreisfläche als

Grundfläche heißt Kreiskegel.

Kegel

Volumen Pyramide:

V = 1 A

3

G · h

( AG = Grundfläche)

Oberfläche Pyramide: AO = AM + AG

( AM = Mantelfläche)

21

Mathematik

1

Stereometrie

Gerader Kreiskegel

Kegel mit einer Kreisfläche als Grundfläche und der Spitze S

senkrecht über dem Kreismittelpunkt

4.5 Cavalierisches

Prinzip

Cavalierisches

Körper mit inhaltsgleichem Querschnitt in gleichen Höhen haben

Prinzip
gleiches Volumen.

Beispiele: Prismen und Zylinder sowie Pyramiden und Kegel mit

gleicher Grundfläche und gleicher Höhe

4.6 Polyeder

Polyeder

Ein Körper, der von lauter Ebenen begrenzt wird.

Die Begrenzungsebenen sind die Flächen des Polyeders. Schnittlinien

von Flächen heißen Kanten. Die Kanten schneiden sich in den Ecken

des Polyeders.

Polyeder sind die dreidimensionale Verallgemeinerung von

Polygonen: Ein Polygon wird von lauter Geraden begrenzt.

Konvexes Polyeder

Polyeder mit der Eigenschaft, dass mit zwei beliebigen Punkten die

gesamte Verbindungsstrecke der Punkte zum Polyeder gehört.

Beispiele: Prismen und Pyramiden mit konvexer Grundfläche

Eulerscher Polyedersatz

Gilt für konvexe Polyeder, wobei e die Anzahl
e + f = k + 2

der Ecken, k die Anzahl der Kanten und f die Anzahl

der Flächen sind

Platonische Körper

Konvexe Polyeder, bei denen in jeder Ecke gleich viele Flächen

(konvexe reguläre
zusammenstoßen und alle Flächen kongruente reguläre

Polyeder)

(regelmäßige) n-Ecke sind.

Es gibt genau fünf verschiedene platonische Körper: Tetraeder,

Würfel (Hexaeder), Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder.

Tetraeder Würfel

(Hexaeder)

Oktaeder Dodekaeder

22

Mathematik

1

Stereometrie

Ikosaeder

4.7 Kugeln

Kugel

Geometrischer Ort aller Punkte des Raumes, die von einem festen

Punkt M einen konstanten Abstand r haben; M heißt Mittelpunkt, r Radius der Kugel

Bezeichnungen an der Kugel

Kugelvolumen

Radius r, Durchmesser d

4

3

S 3

V S r d

3

6

Kugeloberfläche

Radius r, Durchmesser d

AO = 4 S r 2 = S d 2

Kugelsegment

Der durch eine Ebene abgeschnittene Teil

U h 2 r h,

(Kugelabschnitt)

einer Kugel; Kugelradius r, Radius U

1

2

2

V S (3
h U h )

des von der Ebene ausgeschnittenen

6

Kreises, Höhe h des Kugelsegments,

1 S 2
h (3 r h),

3

Volumen V des Kugelsegments, Oberfläche

A 2S rh U

S 2

O

A

2

O des Kugelsegments

S(2 rh U )

Kugelkappe

Mantelfläche eines Kugelsegments

Flächeninhalt Kugel-

kappe: A = 2S rh

Kugelsektor

Einem Kugelsegment ist ein Kegel zugeordnet,

V 2 S 2
r

,
h

(Kugelausschnitt)

dessen Grundfläche der Schnittkreis des

3

A S r (2 h U)

Kugelsegments und dessen Spitze der

O

Kugelmittelpunkt ist. Der Gesamtkörper aus

Kugelsegment und zugeordnetem Kegel heißt

Kugelsektor (Kugelausschnitt). Volumen V des

Kugelsektors, Oberfläche AO des Kugelsektors

23

Mathematik

1

Funktionen

5 Funktionen

5.1 Definition und

Darstellungen

Funktion

Zuordnung, die jeder Zahl x einer gegebenen
y = f ( x) oder

Zahlenmenge D eine Zahl y einer Zahlenmenge W
x o f ( x)

zuordnet.

Die Zuordnung ist eindeutig, das heißt, jeder Zahl x

wird genau eine Zahl y zugeordnet.

Eine Funktion besteht aus drei Teilen: der Zuordnungs-

vorschrift f, dem Definitionsbereich D und dem

Wertebereich W.

Die Menge der Bilder ist die Bildmenge f ( D) mit

f ( D) � W � \, ihre Elemente sind die Funktionswerte.

Zwei Funktionen sind genau dann gleich, wenn

sowohl die Zuordnungsvorschriften als auch die

Definitionsbereiche als auch die Wertebereiche

übereinstimmen.

Funktionsgleichung

Die Zuordnungsvorschrift für eine Funktion ist im
y = f ( x),

(explizite Darstellung)

Regelfall eine Gleichung, die Funktionsgleichung.

f : D o W

Dabei heißt x unabhängige Variable oder Argument

der Funktion und y abhängige Variable.

Funktionsgleichung

Gleichung muss eindeutig nach y auflösbar sein

F ( x, y) = 0

(implizite Darstellung)

Funktionsgleichung

Die Werte von x und y werden als Funktion einer
x = M ( t),

(Parameterdarstellung)

Hilfsvariablen t (Parameter) angegeben.

y = \ ( t)

Graph (Schaubild, Kurve)

Zeichnung der Funktion; die geordneten Zahlenpaare ( x, y) = ( x, f ( x)) einer Funktion

(Reihenfolge!) mit x � D werden in ein Koordinatenkreuz eingetragen.

In einem kartesischen Koordinatensystem ist die waagerechte Achse

die x-Achse oder Abszissenachse, die senkrechte Achse ist die

y-Achse oder Ordinatenachse. Die Zahl x ist die Abszisse und y die Ordinate eines Punktes ( x | y) mit den Koordinaten x und y.

Wertetabelle

Eintragung geordneter Zahlenpaare ( x, y) = ( x, f ( x)) in eine Tabelle für ausgewählte Argumente x (Elemente des Definitionsbereichs D)

5.2 Verhalten von

Funktionen

Monotone Funktion

Eine Funktion mit der Gleichung y = f ( x) heißt in einem bestimmten Bereich B � D

monoton wachsend, wenn aus x 1 < x 2 stets f ( x 1) d f ( x 2) folgt, streng monoton wachsend, wenn aus x 1 < x 2 stets f ( x 1) < f ( x 2) folgt, monoton fallend, wenn aus x 1 < x 2 stets f ( x 1) t f ( x 2) folgt, streng monoton fallend, wenn aus x 1 < x 2 stets f ( x 1) > f ( x 2) folgt ( x 1, x 2 beliebige Punkte aus B).

Symmetrische Funktion

Funktion, deren Graph symmetrisch zur y-Achse (für die Funktions-
gleichung y = f ( x) gilt f ( x) = f ( – x) für alle x � D, so genannte gerade Funktion) oder symmetrisch zum Koordinatenursprung (für die

Funktionsgleichung gilt f ( – x) = – f ( x) für alle x � D, so genannte ungerade Funktion) ist.

24

Mathematik

1

Funktionen

Beschränkte Funktion

Funktion, die sowohl nach oben (die Funktionswerte
a d f ( x) d b

übertreffen eine bestimmte Zahl b � \ nicht) als auch
für alle x � D

nach unten (die Funktionswerte unterschreiten eine

bestimmte Zahl a � \ nicht) beschränkt ist

Injektive Funktion

Zu verschiedenen Argumenten gehören stets
x 1 z x 2 �

verschiedene Bilder.

f ( x

( x

1) z f 2)

Surjektive Funktion

Funktion, deren Bildmenge gleich dem Werte-
f ( D) = W

bereich ist

Bijektive Funktion

Funktion, die sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Die Bildmenge ist gleich dem Wertebereich, jedes Bild

besitzt genau ein Urbild.

Periodische Funktion

Funktion, deren Funktionsgleichung die Bedingung
f ( x + T) = f ( x)

f ( x + T) = f ( x) erfüllt, wobei T eine Konstante ( T konstant)

(feste reelle Zahl) ist. Das kleinste positive T mit

dieser Eigenschaft ist die Periode, der absolut größte

Funktionswert die Amplitude der Funktion.

Umkehrfunktion

Funktion, die durch Vertauschen von x und y aus
y = f –1 ( x),

(inverse Funktion)

einer bijektiven Funktion y = f ( x) entsteht. Der Graph
f –1 : W o D

der Umkehrfunktion entsteht durch Spiegelung des

Graphen der bijektiven Funktion an der

Winkelhalbierenden y = x.

Reelle Funktion

Funktion einer reellen unabhängigen Variablen, deren

Definitions- und Wertebereich nur reelle Zahlen enthalten

Komplexe Funktion

Funktion, deren unabhängige Variable eine komplexe
w = f ( z)

Zahl z ist

5.3 Einteilung

der elementaren

Funktionen

Elementare Funktion

Funktion, deren Funktionsgleichung durch einen geschlossenen

analytischen Ausdruck dargestellt werden kann. Elementare

Funktionen sind durch Formeln definiert, die nur endlich viele

mathematische Operationen mit der unabhängigen Variablen x und

den Koeffizienten enthalten. Man teilt die elementaren Funktionen in

algebraische Funktionen und transzendente Funktionen ein.

Algebraische Funktion

Funktion, deren Funktionsgleichung durch eine
p 0( x) + p 1( x) y +

algebraische Gleichung dargestellt werden kann.

p 2( x) y 2 + … +

( p 0, p 1, … , pn sind Polynome in x beliebigen Grades.) pn( x) yn = 0

Transzendente Funktion

Elementare Funktion, die nicht algebraisch ist

Rationale Funktion

Algebraische Funktion, für die die Funktionsgleichung y = f ( x) als eine explizite Formel angegeben werden kann, in der auf die unabhängige

Variable x nur endlich viele rationale Rechenoperationen (Addition,

Subtraktion, Multiplikation und Division) angewandt werden. Bei einer
rationalen Funktion ist f ( x) ein Polynom (dann ist y = f ( x) eine ganze rationale Funktion) oder ein Quotient aus Polynomen (dann heißt
y = f ( x) eine gebrochene rationale Funktion).

25

Mathematik

1

Funktionen

Irrationale Funktion

Algebraische Funktion, die nicht rational ist

Ganze rationale

Funktion mit nebenstehender Gleichung
n

Funktion
y a x

( a
n

0, a 1, a 2, … , an–1, a n � \, an z 0, n � `, n t 0).

n1

Ist n der Grad des Polynoms, so nennt man die
n
a x

...

1

Funktion ganze rationale Funktion n-ten Grades.

2

a x a x a

2

1

0

n

¦ k
k
a x

k 0

Konstante Funktion

Ganze rationale Funktion vom Grad 0
y = a 0

Lineare Funktion

Ganze rationale Funktion vom Grad 1
y = a 1 x + a

0

Quadratische Funktion

Ganze rationale Funktion vom Grad 2
y = a2x 2 + a x + a

1

0

Kubische Funktion

Ganze rationale Funktion vom Grad 3
y = a 3 x 3 + a x 2 +

2

a 1 x + a

0

Gebrochene rationale

Funktion mit nebenstehender Gleichung
n

Funktion

( a
i

0, a 1, … , an, b 0, b 1, … , bm � \, an, bm z 0,

¦ ia x

n � ], n t 0, m � ]).

i
y

0

Für n < m heißt die Funktion echt gebrochene
m

k
rationale Funktion, für n > m heißt sie unecht

¦ kb x

gebrochene rationale Funktion.

k 0

Gebrochene lineare

Gebrochene rationale Funktion mit n = 1

1
a x 0
a

Funktion
und m = 1
y

b x b

1

0

5.4 Ganze rationale

Funktionen

Konstante Funktion

Der Graph einer konstanten Funktion ist eine
y = f ( x) = n

Parallele zur x-Achse, und zwar im Abstand n.

( n � \)

Lineare Funktion

Der Graph einer linearen Funktion ist eine
y = f ( x) = mx + n

Gerade mit der Steigung m und dem

( m, n � \, m z 0)

Achsenabschnitt n auf der y-Achse.

Proportionalfunktion

Lineare Funktion mit n = 0
y = mx

( m � \, m z 0)

Quadratische Funktion

Der Graph einer quadratischen Funktion ist
y = f ( x) =

eine Parabel.

a

2 x 2 + a 1 x + a 0

Für spezielle Koeffizienten a 2, a 1, a 0 in der

( a

Funktionsgleichung erhält man spezielle

2, a 1, a 0 � \,

Parabeln.

a 2 z 0)

Normalparabel

Der Punkt S (0|0) ist der Scheitelpunkt der
y = x 2

Normalparabel, sie ist symmetrisch zur y-Achse
und nach oben geöffnet.

26

Mathematik

1

Funktionen

Normalparabel

Verschobene

Eine verschobene Normalparabel hat dieselbe Form
y = x 2 +

Normalparabel
wie die Normalparabel, der Scheitelpunkt liegt jedoch
a 1 x + a

0

2

§ a
a ·

im Punkt

1

1

S ¨

0
a

¸

© 2

4 ¹

Gespiegelte

Spiegelung der Normalparabel an der x-Achse
y = – x 2

Normalparabel

Gespiegelte

Eine gespiegelte verschobene Normalparabel
y = – x 2 +
verschobene
hat dieselbe Form wie die Normalparabel,
a 1 x + a

0

Normalparabel

2

§ a
a ·

der Scheitelpunkt liegt im Punkt

1

1

S ¨

,

0
a

¸

© 2

4 ¹

sie ist nach unten geöffnet.

Allgemeine Parabel

Für a 2 > 0 ist die Parabel nach oben, für a 2 < 0
y = a 2 x 2 +

nach unten geöffnet. Für | a | > 1 ist die Parabel
a x + a

2

1

0

im Vergleich zur Normalparabel gestreckt und für

| a 2 | < 1 gestaucht. Der Scheitelpunkt ist

2

§
a

·

a

S ( x | y

1

1

S ¨
a

¸ .

S S) =

¨

0

¸

2

©

2
a

4 2
a ¹

Der Wert D = 2
a a

1
a – 4 2 0 heißt Diskriminante der qua-
dratischen Funktion y = a x 2 + a x + a

2

1

0. Gilt D > 0, so
hat die zugehörige Parabel zwei Schnittpunkte mit der

x-Achse. Für D = 0 gibt es einen Schnittpunkt (der

Schnittpunkt ist dann ein Berührpunkt), für D < 0 gibt es

keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.

Scheitelform der

2
a
a
y – yS =
quadratischen Funktion
x

1

1

S =

, y a

S

0

a 2 ( x – xS)2

2 2
a

4 2
a

Kubische Funktion

Der Graph einer kubischen Funktion ist eine kubische y = f ( x) =

Parabel. Das Verhalten der Funktion hängt wesentlich a 3 x 3 + a x 2 +

2
von dem Koeffizienten a 3 und der Diskriminante
a x + a

1

0

D = 3 a a

( a

3 1 –

2

2
a ab. Wenn D t 0 ist, dann ist die

3, a 2, a 1, a 0

Funktion für a 3 > 0 monoton wachsend und für a 3 < 0 � \, a 3 z 0) monoton fallend. Für D < 0 besitzt die Funktion ein

Maximum und ein Minimum.

27

Mathematik

1

Funktionen

Kubische

a 3 = 1, a 2 = 0, a 1 = 0, a 0 = 0
y = x 3

Normalparabel

Gespiegelte kubische
a 3 = – 1, a 2 = 0, a 1 = 0, a 0 = 0
y = – x 3

Normalparabel

Ganze rationale

Der Graph einer ganzen rationalen Funktion n-ten
y = an xn +

Funktion n-ten Grades

Grades ist eine zusammenhängende Kurve, die von a xn–1 + … +

links aus dem Unendlichen kommt und nach rechts
n–1

a x 2 + a x + a
im Unendlichen verschwindet. Dabei hängt der

2

1

0

Kurvenverlauf vom Grad n der Funktion und vom

=

Vorzeichen von a
n

n ab.

¦ k
k
a x

k 0

( a 0, a 1, a 2,…,

an–1, an � \,

an z 0, n � `)

Potenzfunktion

Die Graphen der Potenzfunktionen heißen für n t 2
y = a xn

Parabeln n-ter Ordnung.

( n � `, a � \,

Die Kurve der Funktion y = a xn ist im Vergleich zur
a z 0)

Kurve der Funktion y = xn für | a | < 1 gestaucht, für

| a | > 1 gestreckt und für a < 0 an der x-Achse

gespiegelt.

5.5 Gebrochene

rationale

Funktionen

Gebrochene rationale

Eine gebrochene rationale Funktion y = f ( x) kann
n

Funktion
immer als Quotient zweier ganzer rationaler

¦ i
i
a x

Funktionen dargestellt werden (sowohl Zähler
i
y

0

als auch Nenner sind Polynome in x).

m
k

¦

k
b x

k 0

P ( x)

n

P ( x)

m

P ( x)

P ( x)

Nullstelle

Eine Zahl x
n

0 ist eine Nullstelle von y = f ( x) =

,

P ( x)

Q ( x)

m

wenn P ( x

( x

0) = 0, Q 0) z 0 ist.

P ( x)

Pol

Eine Stelle x = xp heißt ein Pol der Funktion y =

,

Q ( x)

wenn Q ( x

( x

p) = 0, P p) z 0 ist.

Ist x = xp eine k-fache Nullstelle des Nenners Q ( x) und gilt P ( x p) z 0,

P ( x)

dann heißt xp ein Pol k-ter Ordnung von y =

.

Q ( x)

Normalform einer

Zwei Polynome P ( x) und Q ( x) heißen teilerfremd,

P x

gebrochenen rationalen
wenn alle ihre Nullstellen verschieden sind.

y

( ) ,

Q ( x)

Funktion

Jede gebrochene rationale Funktion lässt sich als

P ( x) und Q ( x)

Quotient zweier teilerfremder Polynome darstellen.

teilerfremd

28

Mathematik

1

Funktionen

Partialbruchzerlegung

P x

Zerlegung einer gebrochenen rationalen Funktion y = f x

( )

( )

n

P ( x)

m

in eine Summe von Brüchen

5.6 Irrationale

Funktionen

Irrationale Funktion

Algebraische Funktion, die nicht rational ist

Wurzelfunktion

Eine Wurzelfunktion ist streng monoton wachsend
n
y x

und für ungerade n eine ungerade Funktion.

( n � `, n t 2)

Kurvenverlauf von

n � `, n t 2:

x o +f � y o +f

Wurzelfunktionen
n ungerade ( n = 3, 5, 7, …):

x o – f � y o – f

5.7 Transzendente

Funktionen

Transzendente Funktion

Elementare Funktion, die nicht algebraisch ist

Exponentialfunktion

Für a > 1 ist die Funktion y = ax streng monoton
y = ax,

wachsend mit y o 0 für x o – f und y o f für
a � \+

x o f.

Für 0 < a < 1 ist die Funktion y = ax streng

monoton fallend mit y o f für x o – f und y o 0
für x o f.

Der Graph der Funktion nähert sich um so schneller
der x-Achse, je größer | ln a | ist, für a > 1 also je

größer a ist und für a < 1 je kleiner a ist.

Graphen von Exponentialfunktionen

29

Mathematik

1

Funktionen

Logarithmusfunktion

Für a > 1 ist die Funktion y = log a x streng monoton y = log a x,
wachsend mit y o f für x o f und y o – f für
a � \+, a z 1
x o 0, x > 0. Für x > 1 gilt log a x > 0, für x = 1 gilt log a 1 = 0, und für x mit 0 < x < 1 gilt log a x < 0.

Für 0 < a < 1 ist die Funktion y = log a x streng monoton fallend mit y o – f für x o f und
y o f für x o 0, x > 0. Für x > 1 gilt log a x < 0, für x = 1 gilt log a 1 = 0, und für x mit 0 < x < 1
gilt log a x > 0.

Der Graph der Funktion nähert sich für alle a um so
schneller der y-Achse, je größer | ln a | ist, für a > 1

also je größer a ist und für a < 1 je kleiner a ist.

Graphen von Logarithmusfunktionen

30

Mathematik

1

Trigonometrie

6 Trigonometrie

6.1 Definition der

trigonometrischen

Funktionen

Hypotenuse,

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse die dem rechten

Katheten

Winkel gegenüberliegende Dreiecksseite, die beiden anderen Seiten

(also die Schenkel des rechten Winkels) sind die Katheten.

Die Ankathete eines Winkels D in einem rechtwinkligen Dreieck ist die

Kathete, die auf einem Schenkel von D liegt. Die andere Kathete heißt

Gegenkathete von D.

a Gegenkathete von D, b Ankathete von D, c Hypotenuse

Gegenkathete
a

Sinus
sin D =
sin

D =

Hypotenuse
c

Ankathete
b

Kosinus
cos D =
cos

D =
c

Hypotenuse

Gegenkathete
a

Tangens
tan D =
tan

D =

Ankathete
b

Ankathete
b

Kotangens
cot D =
cot

D =

Gegenkathete
a

Einige spezielle Werte

Gradmaß M

0° 30°

45° 60° 90°
der trigonometrischen

Funktionen (auch

S

S

S

S

Winkelfunktionen oder

Bogemaß b

0

6

4

3

2

Kreisfunktionen oder
goniometrische

1

3

sin 0

2

1

Funktionen genannt)

2

2

2

1

3

2
cos 1

0

2

2

2

3

tan 0

1

3

–

2

3

cot –

3

1

0

2

Merkregel

Gradmaß M

0° 30°

45° 60° 90°

1

1

1

1

sin M

1 0

1

2

3

4

2

2

2

2

2

31

Mathematik

1

Trigonometrie

6.2 Trigonometrische

Funktionen für

beliebige Winkel

Definition der

Ist der Mittelpunkt des Einheitskreises der Koordinatenursprung O,
trigonometrischen
dann legt ein beliebiger Punkt P = P ( x | y) einen Winkel D fest, nämlich Funktionen am
den Winkel zwischen der x-Achse und der Geraden durch O und P.

Einheitskreis

Dabei wird D in mathematisch positiver Richtung, also gegen den

(Kreis mit dem

Uhrzeigersinn, gemessen.

Radius r = 1)

für beliebige

Winkel

Definition der trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel

Mit den vorzeichenbehafteten Koordinaten x und y des Punktes P

werden dann die trigonometrischen Funktionen definiert durch

Sinus: sin

D = y

Kosinus: cos

D = x

y

Tangens: tan

D =

x

x

Kotangens: cot

D =

y

Vorzeichen der

Quadrat
sin cos tan cot

trigonometrischen

Funktionen

I

+ + + +

in den einzelnen

Quadranten

II

+ – – –

III

– – + +

IV

– + – –

32

Mathematik

1

Trigonometrie

6.3 Beziehungen für

den gleichen Winkel

Umrechnungsformeln

sinD

1
cosD

1

für beliebige Winkel D
tanD

cotD

cosD
cotD
sinD
tanD

2

2

sin D cos D 1

tanD � cotD 1

1

1

2
tan D

1

1

2
cot D

2
cos D

2
sin D

Umrechnungsformeln

sin D cos

D tan

D cot

D

für Winkel im ersten

Quadranten, also für

tanD

1

Winkel D mit 0° < D < 90°
sin D =
sin D

2

1 cos D

2

2

1 tan D

1 cot D

1
cotD

cos D =

2

1 sin D
cos D

2

2

D

1 tan D

1 cot

sinD

2

1 cos D

1

tan D =
tan D

2

1 sin D

D
cotD

cos

2

1 sin D
cosD

1

cot D =

cot D
sinD

2

1 cos D
tanD

6.4 Graphen der

trigonometrischen

Funktionen

Sinuskurve,

Kosinuskurve

Sinuskurve und Kosinuskurve

Tangenskurve,

Kotangenskurve

Tangenskurve und Kotangenskurve

6.5 Reduktionsformeln

Reduktionsformeln für
sin (360° · k + D) = sin D
beliebige ganze Zahlen k
cos (360° · k + D) = cos D
tan (180° · k + D) = tan D
cot (180° · k + D) = cot D

33

Mathematik

1

Trigonometrie

Reduktionsformeln für

sin (– D) = – sin D

negative Winkel
cos (– D) = cos D

tan (– D) = – tan D

cot (– D) = – cot D

Reduktionsformeln auf

einen Winkel zwischen

Funktion E = 90° ± D E = 180° ± D E = 270° ± D E = 360° – D

0ůnd 90°

sin E

+ cos D
ӏ sin D

– cos D

– sin D

cos E
ӏ sin D

– cos D

± sin D

+ cos D

tan E
ӏcot D

± tan D
ӏ cot D

– tan D

cot E
ӏ tan D

± cot D
ӏ tan D

– cot D

6.6 Sinussatz und

Kosinussatz

Sinussatz

In einem beliebigen Dreieck verhalten
sinD
sin E

sich die Längen der Seiten wie die

a
b

Sinuswerte der gegenüberliegenden

J

sin

Winkel.

c

Kosinussatz

In einem beliebigen Dreieck ist das Qua-
a 2 = b 2 + c2 – 2 bc cos D,

drat einer Seitenlänge gleich der Summe
b 2 = a 2 + c2 – 2 ac cos E,

der Quadrate der beiden anderen Seiten-
c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab cos J

längen minus dem doppelten Produkt der

Längen dieser beiden anderen Seiten und

dem Kosinus des von ihnen eingeschlos-

senen Winkels.

6.7 Arkusfunktionen

Arkusfunktionen

Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen

(zyklometrische

Funktionen, inverse

trigonometrische

Funktionen)

Definition

Der Definitionsbereich der entsprechenden trigonometrischen

Funktion wird in Monotonieintervalle zerlegt, so dass für jedes

Monotonieintervall eine Umkehrfunktion erhalten wird. Die

Arkusfunktion wird entsprechend dem zugehörigen Monotonie-

intervall mit dem Index k gekennzeichnet.

Arkussinus
y = arc

Schreibweisen
k sin x

Arkuskosinus
y = arc k cos x

Arkustangens
y = arc k tan x

Arkuskotangens
y = arc k cot x

34

Mathematik

1

Trigonometrie

Definitions- und

Arkusfunktion

Definitions-

Wertebereich Gleichbe-

Wertebereiche
bereich
deutende
der Arkusfunktionen
trigono-

metrische

Funktion

S

S

y = arc k sin x

– 1 d x d 1
k S
d y d k S
x = sin y

2

2

y = arc k cos x

– 1 d x d 1
k S d y d ( k 1) S
x = cos y

S

S

y = arc k tan x

– f x f
k S
y k S
x = tan y

2

2

y = arc
k S y k

S
x = cot y

k cot x

– f x f

(

1)

Hauptwerte
der Arkusfunktionen

( k = 0)

Hauptwerte der Arkusfunktionen

Die Hauptwerte schreibt man ohne den Index k = 0.

35

Mathematik

1

Analytische Geometrie

7 Analytische

Geometrie

7.1 Koordinatensysteme

Kartesisches

Die Koordinatenachsen stehen senkrecht aufeinander, die Achsen ha-

Koordinatensystem
ben den gleichen Maßstab und bilden ein Rechtssystem. Ein beliebiger
der Ebene

Punkt P der Ebene kann dann durch seine kartesischen Koordinaten

beschrieben werden: P ( x | y) mit x als Abszisse und y als Ordinate.

Kartesisches Koordinatensystem der Ebene

Polarkoordinatensystem

Besteht aus einem festen Punkt, dem Pol O, und einer von ihm
der Ebene
ausgehenden fest gewählten Achse, der Polarachse, auf der eine

Orientierung und ein Maßstab festgelegt sind. Ein beliebiger Punkt P

der Ebene lässt sich dann durch seine Polarkoordinaten beschreiben:

P ( r | M), wobei r der Abstand des Punktes P vom Pol O ist und M

der Winkel, den der Strahl vom Pol O durch den Punkt P mit der

Polarachse bildet.

Polarkoordinatensystem der Ebene

Zusammenhang
x = r cos M ,
r =

2

2
x y
zwischen kartesischen
x
y
und Polarkoordinaten
y = r sin M ,
cos M =

, sinM

2

2

2

2
der Ebene
x y
x y

36

Mathematik

1

Analytische Geometrie

Kartesisches

Die Koordinatenachsen sind drei paarweise aufeinander senkrecht

Koordinatensystem
stehende Geraden, die sich in einem Punkt, dem Koordinaten-
des Raums
ursprung, schneiden und ein Rechtssystem bilden. Auf allen drei

Achsen sind die Maßstäbe gleich. Ein beliebiger Punkt P des Raums

kann dann durch seine kartesischen Koordinaten beschrieben

werden: P ( x | y | z), wobei x, y und z die senkrechten Projektionen des Punktes auf die drei Koordinatenachsen sind.

Kartesische Koordinaten eines Raumpunktes P 0

7.2 Geraden

Allgemeine
a z 0 oder b z 0
ax + by + c = 0

Geradengleichung

Hauptform oder Normalform Division der allgemeinen Geradengleichung
y = mx + n
der Geradengleichung
durch b z 0; m heißt Steigung und n y-Achsen-

abschnitt der Gerade.

Punktsteigungsform

Gerade mit Steigung m durch den Punkt
y = m ( x – x 1) + y 1
der Geradengleichung

P 1 = P ( x 1 | y

1)

Zweipunkteform

Gerade durch die Punkte P 1 = P ( x | y
y y

1 1 ) und

2

1

der Geradengleichung

P
y

( x

1
x )

2 = P ( x 2 | y

2) mit x 1 z x 2
x 2 1
x

y
oder

1

y y 1
y 2 y 1

x 1
x
x 2 1
x

Achsenabschnittsform

Gerade mit Achsenabschnitt x 0 auf der x-Achse
x
y

1
der Geradengleichung
und Achsenabschnitt y 0 auf der y-Achse mit
x 0
y 0

x 0 z 0 und y 0 z 0 (die Gerade geht also durch

die Punkte P 1 ( x | 0) und P (0 | y

0

2

0))

Hessesche Normalform

Es ist d t 0 der Abstand des Koordinaten-
x cos M + y sin M
der Geradengleichung
ursprungs O von der Geraden g, also

– d = 0
die Länge des Lotes von O auf die Gerade g

(Fußpunkt F), und M mit 0 d M < 2 S der Winkel

zwischen der positiven x-Achse und dem Lot OF .

37

Mathematik

1

Analytische Geometrie

7.3 Kreise

Kreisgleichung

Kreismittelpunkt im Ursprung, Radius r
x 2 + y 2 = r 2

Mittelpunktsform oder

Mittelpunkt M = M ( xm | y
m), Radius r

( x – xm)2 +

Hauptform der

( y – ym)2 = r 2

Kreisgleichung

Allgemeine Form

Es gilt a 2 + b 2 – c = r 2 > 0.

x 2 + y 2 + 2 ax +
der Kreisgleichung

2 by + c = 0

Parameterdarstellung

Kreis mit Mittelpunkt M ( x m | y
x = x
m), Radius r. Die
m + r cos t,
der Kreisgleichung
beiden Koordinaten x und y werden jeweils als
y = ym + r sin t,

Funktion einer Hilfsvariablen t angegeben.

0 d t < 2 S

Tangente

Gerade, die eine Kurve, also den Graph einer Funktion y = f ( x), in einem Punkt P ( a | f ( a)) berührt, aber nicht schneidet Normale

Gerade durch den Punkt P ( a | f ( a)) einer Funktion y = f ( x), die senkrecht auf der Tangente an die Kurve der Funktion in diesem

Punkt P steht

Normale am Kreis

Normale des Kreises mit der Gleichung
y 1 ym

( x – x
y

( x

1
x )

m)2 + ( y – ym)2 = r 2 durch den Punkt
x x

1
m

P 1 ( x 1 | y

1)

y
oder

1

y y 1
y 1 ym

x 1
x

1
x xm

Tangente am Kreis

Tangente des Kreises mit der Gleichung
x x

1
m

( x – x

2
y

( x 1
x )

m)2 + ( y – ym)2 = r im Punkt P 1 ( x 1 | y 1) y y

1
m

y 1 oder

( 1
x x ) (
m
x 1
x )

( y y )( y y )

1
m

1

0

7.4 Kugeln

Kugelgleichung

Mittelpunkt im Ursprung eines (dreidimensiona-
x 2 + y 2 + z 2 = r 2

len) kartesischen Koordinatensystems, Radius r

Mittelpunktsform

Mittelpunkt M = M( xm| y z
m| m), Radius r

( x – xm)2 +
oder Hauptform

( y – ym)2 +
der Kugelgleichung

( z – zm)2 = r 2

7.5 Kegelschnitte

Definition Kegelschnitt

Schnittfigur einer Ebene und des Mantels eines geraden

Doppelkreiskegels

38

Mathematik

1

Analytische Geometrie

Ein gerader Kreiskegel entsteht durch Rotation einer Geraden (die

Erzeugende oder Mantellinie) in einem festen Punkt (der Spitze) um

eine vertikale Achse, wobei sich die rotierende Gerade entlang eines

Kreises bewegt (also mit einem Kreis als Leitkurve), der in einer

Ebene senkrecht zur Rotationsachse liegt. Ein gerader

Doppelkreiskegel besteht aus zwei gleichen geraden Kreiskegeln,

deren Rotationsachsen parallel sind und deren Spitzen sich berühren.

Kegelschnitt Ellipse

Kegelschnitt Parabel

Kegelschnitt Hyperbel

Allgemeine Gleichung

Diese Gleichung enthält als Sonderfälle auch

Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 +
eines Kegelschnitts

Gleichungen von Punkten, Geraden,

Dx + Ey + F = 0

Geradenpaaren und imaginären Kurven.

Ellipse

Geometrischer Ort aller Punkte einer Ebene, für die die Summe

der Abstände von zwei festen Punkten F 1 und F 2 konstant ist.

Die Punkte F 1 und F 2 heißen Brennpunkte der Ellipse.

Bezeichnet man den Abstand eines beliebigen Punktes P 1

der Ellipse zu F 1 mit r 1 und den Abstand von P 1 zu F 2 mit r 2, also

| 1

P 1

F | = r 1, | 1

P 2

F | = r 2, dann gilt r 1 + r 2 = 2 a mit einer Konstanten a.

Normalform
a = halbe Länge der Hauptachse, b = halbe

2

2
x
y
der Ellipsengleichung

Länge der Nebenachse, Ellipsenachsen fallen

1

2

2
a
b

mit den Koordinatenachsen zusammen

Mittelpunktsform

Ellipsenmittelpunkt M ( x | y

2

m m), Ellipsenachsen

( x x )

m
der Ellipsengleichung
parallel zu den Koordinatenachsen

2
a

( y

2
y )

m

1

2
b

39

Mathematik

1

Analytische Geometrie

Hyperbel

Geometrischer Ort aller Punkte einer Ebene, für die der Betrag der

Differenz der Abstände von zwei festen Punkten F 1 und F 2 konstant ist. Die Punkte F 1 und F 2 heißen Brennpunkte der Hyperbel.

Bezeichnet man den Abstand eines beliebigen Punktes P 1 der

Hyperbel zu F 1 mit r 1 und den Abstand von P 2 zu F 2 mit r 2, also

| 1

P 1

F | = r 1, | 1

P 2

F | = r 2, dann gilt | r

| = 2 a mit einer Konstanten a.

1 – r 2

Die Hyperbel ist nicht zusammenhängend, sie besteht aus zwei

getrennten symmetrischen Ästen.

Normalform
a = halbe Länge der Hauptachse, e = Abstand der

2

2
x
y

1
der Hyperbelgleichung

Brennpunkte vom Mittelpunkt, b aus a 2 + b 2 = e 2

2

2
a
b

Mittelpunktsform

Mittelpunkt M ( xm | ym), Hauptachse parallel zur

( x

2
x )

der Hyperbelgleichung

m
x-Achse

2

a

( y

2
y )

m

1

2
b

Parabel

Geometrischer Ort aller Punkte einer Ebene, die von einem festen

Punkt F (Brennpunkt) und einer festen Geraden l (Leitlinie) den

gleichen Abstand besitzen.

Der Punkt, der in der Mitte zwischen dem Brennpunkt F und der

Leitlinie l liegt, ist der Scheitelpunkt S. Die Gerade durch die

Punkte F und S heißt Parabelachse.

Normalform

Scheitelpunkt im Koordinatenursprung, x-Achse ist
y 2 = 2 px,
der Parabelgleichung

Parabelachse, Parabel nach rechts geöffnet
p > 0

Scheitelpunktsform

Scheitelpunkt S ( x | y

( y – y

s s), Parabelachse parallel zur
s)2 =
der Parabelgleichung
x-Achse, Parabel nach rechts geöffnet

2 p ( x – xs),
p > 0

40

Mathematik

1

Differenzial- und Integralrechnung

8 Differenzial-
und

Integralrechnung

8.1 Folgen

Folge

Besteht aus Zahlen einer Menge, die in einer ( an) = ( a 1, a 2, a 3, …) bestimmten Reihenfolge angeordnet sind.

Die Zahlen der Folge heißen Glieder der Folge.

Endliche Folge

Hat eine Folge endlich viele Glieder, so heißt die Folge endlich,

Unendliche Folge
andernfalls unendlich.

Konstante Folge

Alle Folgenglieder gleich

( an) = ( a, a, a, …)

Monotone Folge

Eine Folge ( an) heißt

monoton wachsend, wenn a 1 d a 2 d a 3 d … d an d … gilt, streng monoton wachsend, wenn a 1 < a 2 < a 3 < … < an < … gilt, monoton fallend, wenn a 1 t a 2 t a 3 t … t an t … gilt, streng monoton fallend, wenn a 1 > a 2 > a 3 > … > an > … gilt.

Alternierende Folge

Folge ( an), deren Glieder abwechselnd unterschiedliche Vorzeichen

haben.

Beschränkte Folge

Eine Folge ( an) heißt nach oben beschränkt, wenn es eine konstante

Zahl Ko gibt, so dass für alle Glieder an d Ko gilt, nach unten beschränkt, wenn es eine konstante Zahl Ku gibt, so dass für alle

Glieder an t Ku gilt, und beschränkt, wenn die Folge sowohl nach

oben als auch nach unten beschränkt ist, wenn es also zwei Zahlen

Ku, Ko gibt mit Ku d an d Ko für alle n � `.

Arithmetische Folge

Die Differenz je zweier aufeinanderfolgender

( an) = ( a, a + d,

Glieder ist konstant.

a + 2 d, a + 3 d, …,

+ ( n – 1) d, …)

Geometrische Folge

Der Quotient je zweier aufeinanderfolgender

( an) = ( a, aq,

Glieder ist konstant.

aq 2, aq 3, … ,

aqn–1, …)

Grenzwert einer Folge

Die Folge ( an) besitzt den Grenzwert (Limes)

lim a a oder
n

Konvergente Folge
n of
lim a = a (gesprochen: Limes a

n gleich a), wenn

Divergente Folge
of n
n

( a ) o
n
a

sich nach Vorgabe einer beliebig kleinen positiven

Zahl H ein n 0 � ` so finden lässt, dass für alle

n t n
a – a | < H.

0 gilt |
n

Besitzt ( a

n) den Grenzwert a, so sagt man, dass

( an) gegen a konvergiert. Eine Folge, die einen

Grenzwert besitzt, heißt konvergent. Eine Folge,

die keinen Grenzwert besitzt, heißt divergent.

Nullfolge

Folge mit Grenzwert 0

Rechenregeln für
lim ( a b ) lim a lim
n
n
n
n
b
konvergente Folgen
n of
n of
n of
lim ( a b ) lim a lim b
of n
n
of n
of n
n
n
n
lim ( a � b ) lim a � lim b

of n
n
of n
of n
n
n
n
lim a
n
a
n of n
lim

, falls b z 0 und lim b z 0
of b
lim
n
b
of n
n
n
n
of n
n

41

Mathematik

1

Differenzial- und Integralrechnung

Grenzwerte

lim n q 1 ( q ! 0)

konvergenter Folgen
n of

lim n n 1

n of

c

r
r
c n

1
c
n

... c n
r
c
für r
s
r
r 1

1

0

°

lim
d
s
s

® r
n of d n

1
d
n

... d n
s
s 1

1
d 0

°

¯0
für r s

log n

lim
a

0 ( a ! 0. a z 1)

n

n of

lim n
q 0 ( q 1)

n of

n

lim nq 0 ( q 1)

n of

n

a
lim

0

n of n!

§

1 · n

lim ¨1 ¸ e 2,718 281 828 4...

n of ©
n ¹

8.2 Reihen

Reihe

Summe der Glieder einer Folge
a 1 + a 2 + … +

an + …

Unendliche Reihe

Summe der Glieder einer unendlichen Folge. Das
a 1 + a 2 + … +

Zeichen f bedeutet, dass die Reihe nicht abbricht.

f

Sie besteht aus unendlich vielen Summanden.

an + … ¦ k
a

k 1

n

Partialsummen
s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, … , sn = a 1 + a 2 + a 3 + … + an = ¦ a ,...

k

(Teilsummen)

k 1

Konvergente unendliche

Die Folge ( sn) der Partialsummen konvergiert, besitzt
s lim s
n

Reihe
also einen Grenzwert s. Dieser Grenzwert s heißt die
n of

Summe der Reihe.

f

¦ ka

k 1

Divergente unendliche

Eine unendliche Reihe, bei der die Folge der Partialsummen keinen

Reihe

Grenzwert besitzt.

f
f

Rechenregeln für

Konvergieren die Reihen ¦ k
a und ¦ k
b , so konvergieren auch die
konvergente Reihen
k 1
k 1
f
f

Reihen

( a b ) und
c � a , c �

¦ k k

¦

\
k

, und es gilt
k 1
k 1
f
f
f

( a b )

a

¦ k k ¦ k ¦ kb
k 1
k 1
k 1

f
f
c � a

¦ k c¦ ka
k 1
k 1

42

Mathematik

1

Differenzial- und Integralrechnung

Arithmetische Reihe

Summe der Glieder einer arithmetischen Folge

( an) = ( a, a + d, a + 2 d, a + 3 d, … , a + ( n – 1) d, …).

Unendliche arithmetische Reihen sind divergent.

n
n

Für die Partialsummen gilt sn =

( a ( k 1) d)

( a

¦

1
a ).

n

2
k 1

Geometrische Reihe

Summe der Glieder einer geometrischen Folge

( an) = ( a, aq, aq 2, aq 3, … , aqn–1 , …).

n

1 n
q

Für die Partialsummen gilt s
k
n =

aq
a

( q z

¦

1

1).

1 q

k 1

Für | q | < 1 konvergiert die unendliche geometrische Reihe und hat

f
n
k
q 1
a

den Grenzwert s lim s
aq
lim a

n

¦

1

.

n of
n of
q 1

1 q

k 1

Für q > 1 und q d – 1 divergiert die unendliche geometrische Reihe.

Harmonische Reihe

Summe der Glieder einer Folge ( a

§ ·
n) = 1

¨ ¸ .

© n ¹

Unendliche harmonische Reihen sind divergent.

Alternierende Reihe

Summe der Glieder einer alternierenden Folge.

f

Eine alternierende Reihe ¦ k
a , bei der (| a |) eine monoton fallende
n

k 1

Nullfolge bildet, ist konvergent (Leibnizsches Konvergenzkriterium).

8.3 Grenzwerte von

Funktionen

Grenzwert an einer

Die Funktion y = f ( x) besitzt an der Stelle x = a den lim f ( x) = A
endlichen Stelle

Grenzwert lim f ( x) = A (gesprochen: Limes f ( x) x o a

x o a

oder

gleich A für x gegen a), wenn sich nach Vorgabe
f ( x) o A

einer beliebig kleinen positiven Zahl H eine zweite
für x o a

positive Zahl G = G (H) so finden lässt, dass für alle

x mit | x – a | < G (H) gilt | f( x) – A | < H eventuell mit Ausnahme der Stelle a.

Einseitige Grenzwerte

Die Funktion y = f ( x) besitzt an der Stelle x = a den lim f ( x)

linksseitigen Grenzwert A, wenn sich die Funktion
x o a
x a
f ( x) bei unbegrenzter Annäherung von x von links

lim f ( x) A
an a unbegrenzt an A nähert.

x o a0

Die Funktion y = f ( x) besitzt an der Stelle x = a den lim f ( x)

rechtsseitigen Grenzwert A, wenn sich die Funktion
x o a
x ! a
f ( x) bei unbegrenzter Annäherung von x von rechts

an a unbegrenzt an A nähert.

lim f ( x) A
x o a0

Die Funktion y = f ( x) besitzt an der Stelle x = a lim f ( x)

den Grenzwert A, wenn an dieser Stelle sowohl
x o a
x
der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert
a
existieren und gleich sind (= A).

lim f ( x) A
x o a
x ! a

� lim f ( x) A
x o a

43

Mathematik

1

Differenzial- und Integralrechnung

Grenzwert im

Die Funktion y = f ( x) besitzt für x o f den Grenzwert lim f ( x)

A

Unendlichen

A, wenn es zu jedem beliebigen H ! 0 ein hinreichend x of

großes Z = Z (H) gibt, so dass | f ( x) – A | H für alle

x ! Z (H) gilt.

Die Funktion y = f ( x) besitzt für x o – f den Grenzwert lim f ( x) A A, wenn es zu jedem beliebigen H! 0 ein hinreichend x of

großes Z = Z (H) gibt, so dass | f ( x) – A | Hfür alle

x – Z (H) gilt.

Rechenregeln

Gilt lim f ( x) = F und lim g ( x) = G für zwei Funktionen f ( x) und g ( x), für Grenzwerte
x o a
x o a

so existieren auch die folgenden Grenzwerte:

lim [ f ( x) g( x)] lim f ( x) lim g( x) F G

x o a
x o a
x o a

lim [ f ( x) g( x)] lim f ( x) lim g( x) F G

x o a
x o a
x o a
lim [ c � f ( x)]

c � lim f ( x)

c � F ( c �

\)

x o a
x o a

lim [ f ( x) � g( x)]

lim f ( x) � lim g( x) F � G

x o a
x o a
x o a

lim f ( x)

f ( x)

F

x o
lim

a

( g( x) z 0, G z 0)

x o a g( x)

lim g( x)

G
x o a

Stetigkeit

Eine Funktion y = f ( x) heißt an der Stelle x = a stetig, wenn f ( x) einer Funktion
an der Stelle a definiert ist und der Grenzwert lim f ( x) existiert x o a

und gleich f ( a) ist.

Das ist genau dann der Fall, wenn es zu jedem vorgegebenen H > 0

ein G = G(H) > 0 gibt, so dass | f ( x) – f( a)| H für alle x mit | x – a | G gilt.

Eine an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetige Funktion y = f ( x) heißt stetig.

Der Graph einer stetigen Funktion ist eine zusammenhängende

Kurve.

Unstetigkeitsstellen

Eine Unstetigkeitsstelle ist eine Stelle x = a einer Funktion y = f ( x), an der die Funktion nicht stetig ist.

Eine Funktion, die mindestens eine Unstetigkeitsstelle besitzt, heißt

unstetig.

Die Kurve einer Funktion ist an einer Unstetigkeitsstelle unterbrochen.

Die häufigsten Unstetigkeitsstellen sind Sprungstellen und Pole.

Sprungstelle

An einer Sprungstel e x = a sind der rechtsseitige Grenzwert lim f ( x) x o a

0

und der linksseitige Grenzwert lim f ( x) voneinander verschieden.

x o a0

Die Funktion f ( x) springt beim Durchlaufen des Punktes x = a von einem auf einen anderen endlichen Wert.

Pol

Ein Pol oder eine Unendlichkeitsstelle x = a einer Funktion

(Unendlichkeitsstelle)

g( x)

y = f ( x) =
ist eine Stelle, für die der Nenner von f ( x) den Wert 0

(
h x)

hat und der Zähler von 0 verschieden ist, also h ( a) = 0 und g ( a) z 0.

Die Funktion strebt bei Annäherung an einen Pol nach (plus oder
minus) Unendlich. Die Kurve der Funktion läuft an einer solchen Stelle
ins Unendliche.

44

Mathematik

1

Differenzial- und Integralrechnung

8.4 Ableitung

einer

Funktion

Ableitung

Existiert für eine Funktion y = f ( x) mit dem
f (c x )

0

Differenzierbare Funktion

Definitionsbereich D der nebenstehende
f ( x) f ( x )

Grenzwert, dann nennt man f c( x

0
lim

0) die Ableitung
o
x x

der Funktion f ( x) an der Stelle x = x
x

0
x

0

0 (gesprochen:

f Strich von x

( x � D)

0). Die Funktion f ( x) heißt dann

0

differenzierbar in x

0.

Eine Funktion y = f ( x) heißt (generell) differen-
y c = f c( x)

zierbar, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitions-

bereichs differenzierbar ist. Dann heißt die durch

g ( x) = f c( x) definierte Funktion y c = f c( x) die Ableitung oder die Ableitungsfunktion von f ( x).

Stetig differenzierbare

Funktion y = f ( x), die differenzierbar ist und deren Ableitung f c( x) Funktion
eine stetige Funktion ist

Differenziationsregeln

Konstante Funktion:

y = f ( x) = c ( c � \, konstant) � y c = 0

Faktorregel:

y = c · f ( x) ( c � \, konstant) � y c = c · f c( x) Summenregel:

y = f ( x) + g ( x) � y c = f c( x) + g c( x) y = f ( x) – g ( x) � y c = f c( x) – g c(x) Produktregel:

y = f ( x) · g ( x) � y c = f c( x) · g ( x) + f ( x) · g c( x) Quotientenregel:

f ( x)

f c( x) � g ( x) f ( x) � g c x ( g ( x) z 0) � y c

( )

y =

2
g ( x)

g ( x)

Kettenregel:

Ist y = F ( x) eine zusammengesetzte Funktion, also F ( x) = f ( h ( x)), und setzt man z = h ( x), dann ist y = F ( x) differenzierbar, wenn die Funktionen y = f ( z) und z = h ( x) differenzierbar sind, und es gilt df dh
y c = F c( x) =

�

= f c( z) · h c( x) = f c( h ( x)) · h c( x) dz dx

Höhere Ableitungen

Ist die Funktion y = f ( x) differenzierbar oder zumindest in einem ganzen Intervall ihres Definitionsbereichs differenzierbar, so kann dort al-

so an jeder Stelle die Ableitung f c( x) gebildet werden. Dann ist y = f c( x) wieder eine Funktion von x. Ist diese Funktion wieder differenzierbar,

so nennt man diese Ableitung der (ersten) Ableitung die zweite Ablei-

tung der Ausgangsfunktion y = f ( x), geschrieben f s( x). Entsprechend kann es auch eine dritte, vierte, … Ableitung von f ( x) geben.

Ableitungen einiger
y = c ( c konstant) � y c = 0

rationaler Funktionen
y = x

� y c = 1

y = xn

� y c = n xn–1

y = cn xn + c
xn–1 + … + c x 2 + c x + c

n–1

2

1

0

� y c = n c xn–1 + ( n – 1) c
xn–2 + … + 2 c x + c

n
n–1

2

1

1

1
y =

� y c =

x

2
x

1
n
y =

� y c =

n
x

n
x 1
m
x

( m n) m
x
y =

� y c =

n
x

n1
x

45

Mathematik

1

Differenzial- und Integralrechnung

Ableitungen einiger

1
irrationaler Funktionen
y = x

� y c =

2 x

1
y = n x

� y c =

n
n1
n x

m
n
m

x
m
x
y =

� y c =

n x
n
mn
n1
x

Ableitungen
y = sin x

� y c = cos x

der trigonometrischen
y = cos x � y c = – sin x

Funktionen

1

§

S

·

y = tan x � y c =

¨ x z (2 k 1) , k � ]

2
ços x

©

2

¹

1
y = cot x � y c =

( x z k ,

S k � ])

2
sin x

Ableitungen von
y = ex

� y c = ex = y

Exponentialfunktionen
y = ax

� y c = ex ln a

( a � \, a > 0 konstant)

1

Ableitungen von
y = ln x

� y c =

( x > 0)

Logarithmusfunktionen
x

1

1

1
y = log
c = log

�

a x � y
a e
x
ln a x

( a � \, a > 0, a z 1 konstant, x > 0)

Tangente

Gerade, die den Graph einer Funktion y = f ( x) in einem

Punkt berührt, aber nicht schneidet.

Die Funktion f ( x) hat in dem Punkt P ( a | f ( a)) genau dann eine Tangente, wenn die Funktion in a differenzierbar ist.

Gleichung der Tangente an die Kurve im Punkt
y = f c( a) ( x –

P ( a | f ( a))

a) + f ( a)

Extremwerte

Eine Funktion y = f ( x) besitzt an der Stelle x = a ein f ( x) < f ( a)

von Funktionen
relatives Maximum, wenn es eine Umgebung von a gibt,
für x z a

in der alle Funktionswerte kleiner als an der Stelle x = a

sind. Dieser Funktionswert f ( a) heißt relatives Maximum.

Entsprechend besitzt eine Funktion y = f ( x) an der Stelle
f ( x) > f ( a)

x = a ein relatives Minimum, wenn es eine Umgebung von für x z a a gibt, in der alle Funktionswerte größer als an der Stelle
x = a sind. Der Funktionswert f ( a) heißt dann relatives Minimum. Das absolute oder globale Maximum einer

Funktion y = f ( x), die in einem abgeschlossenen Intervall

[ c, d] differenzierbar ist, ist entweder ein relatives

Maximum, oder es wird am Rand, also für x = c oder x =
d, angenommen. Entsprechend ist das absolute oder
globale Minimum ein relatives Minimum, oder es wird an
einem der Intervallränder x = c oder x = d angenommen.

Ein Extremwert (Extremum, relatives Extremum) einer

Funktion ist ein Funktionswert f (a), der ein relatives

Minimum oder ein relatives Maximum ist.

46

Mathematik

1

Differenzial- und Integralrechnung

8.5 Integralrechnung

Stammfunktion einer

Eine differenzierbare Funktion F ( x) mit demselben

F c( x) = f ( x)

Funktion y = f ( x)

Intervall I als Definitionsbereich wie y = f ( x), falls für alle x � I gilt F c( x) = f ( x).

Die Funktion f ( x) heißt dann integrierbar.

Mit F ( x) ist auch F ( x) + c für eine beliebige Konstante c eine Stammfunktion.

Unbestimmtes

Gesamtheit aller Stammfunktionen
f ( x) dx

³

Integral von y = f ( x)

{ F ( x) + C | C � \}

(gesprochen: Integral über f ( x) dx).

F( x) C

Das Zeichen ³ heißt Integralzeichen und f ( x)

Integrand. Die Variable x nennt man

Integrationsvariable und C Integrationskonstante.

Integrationsregeln

Faktorregel:

cf ( x) dx c f ( x) dx

( c � )

³

³

\

Potenzregel:

1
n
n
x dx
x

³

1

C

n 1

Summenregel:

( f ( x) g( x)) dx f ( x) dx g( x) dx ³

³

³

Integrand ein Bruch, in dem der Zähler die Ableitung des Nenners ist:

f (c x) dx ln f x C

( )

³

f ( x)

Partielle Integration:

Lässt sich die Funktion f( x) als Produkt zweier Funktionen g

( x)

( x) = u
und h ( x) = v c( x) darstellen, also f ( x) = g ( x) · h ( x) = u ( x) · v c( x), dann gilt u( x) v c( x) dx u( x) v( x) u c ³

³ ( x) v( x) dx

Substitutionsmethode:

Durch Substitution x = M ( t) der unabhängigen Variablen einer Funktion y = f ( x), also Einführung einer neuen Variablen t, ergibt sich für das unbestimmte Integral

f ( x) dx f M

( ( t )) Mc( t) dt

³

³

Unbestimmte Integrale
a dx ax C

³
einiger rationaler

Funktionen

1 2
x dx
x C

³

2
n1
n
x
x dx

C

³
n 1
n
n 1

(

³ na x na 1 x ...

1
a x 0
a ) dx

n
a
n 1

n
a 1

n

1
a

2

x

x ...

x 0
a x C
n 1
n

2

1 dx ln x C

³ x

1

1

1
dx

C

( n z 1)

³ n
n 1
x
n 1 x
m
m1
x

1
x

C ( n z m 1)

³ nx
m n 1
n
x

47

Mathematik

1

Differenzial- und Integralrechnung

Unbestimmte Integrale

2 3/2
einiger irrationaler
xdx
x

C

³

3

Funktionen
n

n
n
n1
xdx
x

C

³

n 1

m
m m1
x
mn
x
dx

C

³

n
n
x
n m mn
x

Unbestimmte Integrale
sin x dx cos x

³

C
der trigonometrischen

Funktionen
cos x dx sin x

³

C

tan x dx ln|cos x|

³

C

cot x dx ln|sin |
x C

³

Unbestimmte Integrale von
x
x
e dx e C

³

Exponentialfunktionen

1
x
x
a dx

� a C

( a � , a ! 0 konstant)

³

\

ln a

Unbestimmte Integrale von
ln x dx x � (ln x 1) C

( x ! 0)

³

Logarithmusfunktionen

1
log x dx

� x � (ln x 1) C

( a � ,

\ a ! 0 konstant, x ! 0)

³ a

ln a

Bestimmtes Integral

Ist y = f ( x) eine beschränkte Funktion mit einem
b

abgeschlossenen Intervall D = [ a, b] als
f ( x) dx

³

Definitionsbereich, dann ist das bestimmte Integral a

b
n

f ( x) dx

³
von f ( x) definiert durch nebenstehenden
lim
f [

(

'

¦ ) x

of
k
k
n

a
k 1

Grenzwert, falls dieser existiert und unabhängig von

der Wahl der Zahlen xk und [ k ist (gesprochen:

Integral von a bis b über f ( x) d (x)). Die Funktion f ( x) heißt dann im Intervall [a, b] integrierbar.

Das Zeichen ³ heißt Integralzeichen, a die untere

Integrationsgrenze, b die obere Integrationsgrenze,

f ( x) der Integrand und x die Integrationsvariable.

b

Gilt f ( x) t 0 für alle x � [ a, b], dann ist f ( x) dx ³

a

gleich dem Inhalt der von der Kurve (Graph der

Funktion y = f ( x)) und der x-Achse zwischen x = a und x = b berandeten Fläche.

Hauptsatz der Differenzial-

Liefert den Zusammenhang zwischen bestimmtem
b
und Integralrechnung
und unbestimmtem Integral einer Funktion y = f ( x).

f ( x) dx

³

Ist die Funktion y = f ( x) mit D = [ a, b] im Intervall a

[ a, b] integrierbar und besitzt f ( x) eine Stamm-

F( b) F( a)

funktion F ( x), so gilt nebenstehende Gleichheit.

48

Mathematik

1

Differenzial- und Integralrechnung

Eigenschaften

Vertauschung der Integrationsgrenzen:

des bestimmten Integrals
b
b

f ( x) dx

³

³ f( x) dx

a
a

Zusammenfassen der Integrationsintervalle:

b
c
c

f ( x) dx f ( x) dx

³

³

³ f( x) dx

a
b
a

Gleiche untere und obere Integrationsgrenze:

a

f ( x) dx 0

³

a

Linearität:

b
b

Existieren die bestimmten Integrale ³ f( x) dx und ³ g( x) dx , a
a

so gilt für beliebige c

1, c 2 � \

b
b
b

( c � f ( x) c � g( x)) dx c f ( x) dx

³ 1

2

1³
c 2³ g( x) dx

a
a
a

Bogenlänge (Länge

Lässt sich der Bogen durch eine stetig
b
eines Kurvenstücks)

differenzierbare Funktion y = f ( x),
s
f c x
dx

³

2

1 [ ( )]

f : [ a, b] o W beschreiben, dann kann
a
die Bogenlänge s wie nebenstehend be-
rechnet werden.

49

Physik

2

Mechanik

1 Einführung

1.1 Physikalische

Größen

Größe

Größe = Maßzahl · Einheit

Maßzahl, Einheit

Beispiel: Größen 100 V o Maßzahl 100; Einheit 1 V

Skalare

Größen, die allein durch ihre Maßzahl und Einheit bestimmt sind

Beispiele: Temperatur, Masse, Energie, Leistung, Widerstand

Vektoren

Größen, die außerdem noch eine Richtungsangabe benötigen.

Beispiele: Kraft, Geschwindigkeit, elektrische und magnetische

Feldstärke

1.2 SI-System

SI-Basisgrößen

SI-Basiseinheiten

Name

Zeichen

Name

Zeichen

Zeit
t

Sekunde s

Länge
l

Meter m

Masse
m

Kilogramm kg

Stromstärke
l

Ampere A

Temperatur

T

Kelvin K

Lichtstärke
l

L

Candela cd

Stoffmenge
n

Mol mol

SI-Vorsätze

Potenz

Name

Zeichen

Potenz

Name

Zeichen

1018 Exa E 10–1 Dezi d

1015 Peta P 10–2 Zenti c

1012 Tera T 10–3 Milli m

109 Giga G 10–6 Mikro m

106 Mega M 10–9 Nano n

103 Kilo k 10–12 Piko p

102 Hekto h 10–15 Femto f

101 Deka da 10–18 Atto a

2 Mechanik

2.1 Kinematik

2.1.1 Gleichförmige

Bewegung

Geschwindigkeit

Bei einer gleichförmigen Bewegung ist die Ge-
s

v

schwindigkeit konstant und der Quotient aus zu-
t

rückgelegtem Weg und der dafür benötigten Zeit

s zurückgelegter Weg in m

s 0 Strecke zur Zeit t = 0 in m

v Geschwindigkeit in m/s

t
benötigte Zeit in s

2.1.2 Gleichmäßig

beschleunigte

Bewegung

Geschwindigkeit
v Geschwindigkeit in m/s
ds
v
s
dt

51

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Formeln und Tabellen Elektrotechnik,

DOI 10.1007/978-3-8348-2023-5_2, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014

Physik

2

Mechanik

Beschleunigung
a Beschleunigung in m/s2
dv

a
v s

dt

Zurückgelegter Weg
s Ort in m

1 2

s
s s v t at

0 Strecke zur Zeit t = 0 in m

0

0

2

v 0 Anfangsgeschwindigkeit in m/s

a Beschleunigung in m/s2

t
benötigte Zeit in s

Erreichte
v Geschwindigkeit in m/s
v v 0 at

Geschwindigkeit
v 0 Anfangsgeschwindigkeit in m/s

a Beschleunigung in m/s2

t
benötigte Zeit in s

2.1.3 Freier Fall

Fallzeit
g Erdbeschleunigung = 9,81 m/s2

2 h
t

h Fallhöhe in m

F
g

Geschwindigkeit beim
v e Endgeschwindigkeit in m/s
v e 2 hg

Auftreffen

2.1.4 Senkrechter Wurf

Flughöhe
h s maximale Flughöhe in m

2
v 0

t
h h

F Flugzeit in s zum Auftreffen auf
s

0

2 g

dem Boden in s

Flugzeit
v e Endgeschwindigkeit in m/s

2
v v 2 h g

h

0

0

0

0 Anfangshöhe in m

F
t

v
g

0 Anfangsgeschwindigkeit in m/s

Geschwindigkeit beim
g Erdbeschleunigung = 9,81 m/s2

2
v v 2 h g

Auftreffen
e

0

0

2.1.5 Schiefer Wurf

Flughöhe
t F Flugzeit in s

2

2
v �

D

0
sin

v
h
h

0 Anfangsgeschwindigkeit in m/s
max

0

2 g

Flugzeit
h 0 Anfangshöhe in m

F
t

D Startwinkel, gemessen gegen
v � sinD

die

Horizontale

0

g

v � sinD 2

0

2 g 0
h

g Erdbeschleunigung = 9,81 m/s2
g

Flugweite
x w Flugweite in m
x

�

�

D
w
v 0 F
t
cos

52

Physik

2

Mechanik

2.1.6 Kreisbewegung,

Rotation

Frequenz; Periodendauer
v u Umfangsgeschwindigkeit in m/s

1

f

T

Bahngeschwindigkeit;

Z Winkelgeschwindigkeit oder Kreis-
v Z
u
r

Umfangsgeschwindigkeit
frequenz in 1/s

M Winkel im Bogenmaß, in rad

Winkelgeschwindigkeit;
r

Radius des Kreises in m

M

Z

'

Z 2 S f

Kreisfrequenz
n Drehzahl in 1/min
t

'

f

Frequenz in Hz

T Zeit für eine Umdrehung in s, Perioden-

dauer

D Winkelbeschleunigung in 1/s2

2.2 Dynamik

2.2.1 Newtonsche Axiome

1. Axiom:

Jeder Körper beharrt im Zustand der Ruhe

Trägheitsgesetz
oder der gleichförmig geradlinigen Bewe-

gung, solange er nicht durch äußere Kräfte

gezwungen wird, diesen Zustand zu ändern.

G

2. Axiom:

Die zeitliche Änderung der Bewegungsgröße

G

G
p

'

Aktionsgesetz

F

(Impuls) ist gleich der resultierenden Kraft F .

t

'

G

G
p mv

G

G

3. Axiom:

Wirkt ein Körper 1 auf einen Körper 2 mit der

12

F

21

F

Wechselwirkungsgesetz

Kraft F 12, so wirkt der Körper 2 auf den Kör-
actio = reactio
per 1 mit einer gleich großen, entgegenge-

setzten Kraft F 21.

2.2.2 Kraft

G

Einheit

Die Kraft F ist ein Vektor mit der Einheit
kg m

1N 1

|F| [F] = 1 N (Newton).

2
s

Kraft

F Kraft in N

F m a

m Masse in kg

a Beschleunigung in m/s2

Rückstellkraft

F F Rückstellkraft einer Feder in N

F

F c x
einer Feder
c Federkonstante in N/m

x Auslenkung der Feder in m

Kräfte auf Schiefen

F H Hangabtriebskraft in N

D

N

F
mg cos

Ebenen

F N Normalkraft in N
m Masse in kg
g Erdbeschleunigung

D Neigungswinkel der Schiefen Ebene

53

Physik

2

Mechanik

Reibungskraft

F R Reibungskraft in N

F P F

R

N

F N Normalkraft in N

P Reibungszahl

Zentrifugalkraft

F Z Zentrifugalkraft in N

2

Z

Z

F
m
r
m Masse in kg

Z Winkelgeschwindigkeit in 1/s

r

Radius des Kreises in m

Gravitationskraft

F G Gravitationskraft N

J 1
m 2
m

J Gravitationskonstante

G

F

2
r

m

12

1 Masse 1 in kg

m

2

Nm

2 Masse 2 in kg

11

J = 6,67259

10

�

r

2

12 Abstand zwischen den Massen in m
kg

Gravitationsgesetz

2.2.3 Impuls, Drehimpuls

Impuls
p Impuls in kg m/s
p m v

G
m Masse in kg

G
p

'

v Geschwindigkeit in m/s

F

' t

' p Impulsänderung in kg m/s

' t Zeitdifferenz in s

Impulserhaltungssatz

Wirken auf ein System keine

1
p 2
p 3
p ... n
p oder

äußeren Kräfte, so ist der Gesamt-
const

impuls konstant.

¦

i
p const
i

Drehimpuls

L Drehimpuls in kg m2/s

L J Z

J Trägheitsmoment in kg m2

L

'

Z Winkelgeschwindigkeit in 1/s

M

'

t

'

L Drehimpulsänderung in kg m2/s

' t Zeitdifferenz in s

Drehimpulserhaltungs-

Wirken auf ein System keine äußeren

1

L 2

L 3

L ... n

L oder
satz

Drehmomente, so ist der Gesamtdreh-
const

impuls konstant.

¦

i

L const
i

2.2.4 Arbeit, Energie

Einheit

Besitzt ein Körper Energie, so kann er

2
kg m

Arbeit verrichten. Arbeit und Energie

1 J 1Nm 1

2
s

haben die gleiche Einheit. Es gibt ver-

> W @
schiedene Energieformen.

1Nm 1 J (Joule)

Arbeit, Energie

Arbeit = Kraft mal Weg

W F s

W

Energie in J

F

Kraft in N

s

Strecke in m

Lageenergie oder

W pot potenzielle Energie in J
po

W t m g h
potenzielle Energie
m

Masse in kg
g Erdbeschleunigung
h

Höhenunterschied in m

54

Physik

2

Mechanik

Bewegungsenergie
trans

W

Energie in J
trans

1

2
oder kinetische Energie,
kin
ki

W n
m v

2

Translation
m

Masse in kg

v

Geschwindigkeit in m/s

Bewegungsenergie oder
rot

1
ki

W n Energie in J
rot

2

kinetische Energie,
ki

W n

J Z

J

Trägheitsmoment in kg m2

2

Rotation

Z

Winkelgeschwindigkeit in 1/s

Elastische Energie

W elas elastische Energie in J

1

2
einer Feder
c

Federkonstante in N/m
elas

W
c x

2

x

Auslenkung der Feder in m

Reibungsenergie

W

P

R

Reibungsenergie in J

R

W

N

F s

F N

Normalkraft in N

P

R

W
m g s

P Reibungszahl

s

Strecke in m

Energieerhaltungssatz

In einem abgeschlossenen System ist

1

W 2

W 3

W ... n

W

die Summe aller Energien zu jedem

const

Zeitpunkt konstant.

2.2.5 Leistung, Wirkungs-

grad

Einheit

>

2

P@ J

1 1 W (Watt)

J Nm

1 W

1

1

s

3
s
s

Leistung

P

Leistung in W

W

W

Arbeit oder Energie in J

P

t

t

Zeit in s

Leistung bei

P

Leistung in W

P F v
gradliniger Bewegung

F

Kraft in N

v

Geschwindigkeit in m/s

Leistung bei Rotation

P

Leistung in W

P F S d Z

F

Kraft in N

d

Durchmesser des Kreises in m

P M Z

Z

Winkelgeschwindigkeit in 1/s

P

Leistung in W

M

Drehmoment in Nm

Wirkungsgrad

K Gesamtwirkungsgrad

P

P

K ab
ab
abgegebene Leistung in W

P

P
zu
zu
zugeführte Leistung in W

P

P
zu
ab

System

P

v

Zusammengesetzter

K1,2,3 Einzelwirkungsgrade. Der Ge-

K K �K �K

1

2

3 ...

Wirkungsgrad
samtwirkungsgrad ist gleich dem

Produkt der Einzelwirkungsgrade.

55

Physik

2

Mechanik

2.2.6 Trägheitsmoment

Definition

Das Trägheitsmoment hängt von der

2

J
r dm

³

> J@

2

1kg m

Massenverteilung des Körpers und von

Vol

der Lage der Massenpunkte zur Dreh-

achse ab. Die Auswertung des Integrals

liefert für die speziellen Körper, wenn die

Drehachse durch dem Massenmittelpunkt

verläuft, folgende Werte:

Punktmasse
m Masse in kg

2

J mr

r

Abstand von der Drehachse in m

Stab, Achse durch
m Masse in kg

1

2

J
ml

Stabmitte
l

Länge des Stabes in m

12

Vollzylinder, Drehachse
m Masse in kg

1

2

gleich Längsachse
r

Radius in m

J
mr

2

Hohlzylinder, Drehachse
m Masse in kg

J 1

2
m ( r 2
r )

gleich Längsachse
r

a Außenradius in m
a
i

2

r i Innenradius in m

Dünner Ring, Drehachse
m Masse in kg

2

J mr
senkrecht zum Ring
r

Radius in m

Kugel, Drehachse durch
m Masse in kg

2

2
den Mittelpunkt
r

Radius in m

J
mr

5

Satz von Steiner

Wird dann angewendet, wenn die Dreh-

2

J Js m a

achse nicht durch den Massenmittel-

punkt verläuft, sondern im Abstand a

dazu.

J Trägheitsmoment

J s Trägheitsmoment bezüglich einer

Achse durch den Schwerpunkt

m Gesamtmasse des rotierenden

Körpers in kg

a Abstand Drehachse zum Massen-

mittelpunkt

2.2.7 Drehmoment

Das Drehmoment ist ein Vektor, der

senkrecht auf der Ebene steht, die durch

den Kraftvektor und den Vektor, der von

der Drehachse zum Angriffspunkt der

Kraft verläuft, festgelegt ist.

G

G

G

G

Drehmoment

M Drehmoment in Nm

M r u F

G r Vektor von der Drehachse zum

Angriffspunkt der Kraft in m

M r F sinD

G

F angreifende Kraft in N

G

G

D Winkel
zwischen
r und F

56

Physik

2

Flüssigkeiten und Gase

3 Flüssigkeiten

und Gase

3.1 Druck

Druck

Druck = Kraft durch Fläche

F

p

Druck in Pa
p

A

F

Kraft in N

N

A

Fläche in m2

[ p] 1 Pa 1

2
m

Hydrostatischer Druck
p

Druck in Pa
p U g h
in Flüssigkeiten

U Massendichte
in
kg/m3

g Erdbeschleunigung

h

Höhe der Flüssigkeit in m

Schweredruck in
p

Druck in Pa

U0 gh

Luft, barometrische
p
p

0

Druck am Boden in Pa

0
p 0
p e

Höhenformel

U0

Dichte der Luft am Boden

g Erdbeschleunigung

Höhe über der Erdoberfläche in m nach

DIN 5450: p 0 = 101325 Pa; U0 = 1,293 kg/m3

3.2 Auftrieb

Auftriebskraft;

F A

Auftriebskraft in N

U

A

F
g M M

V

Gesamtkraft

F G

Gewichtskraft in N

F

F F

F
ges

G

A
ges
gesamte Kraft auf einen Körper in N

g Erdbeschleunigung

U

U
ge

F s
g ( K K

V

M M

V )

UK

Dichte des Körpers in kg/m3

UM

Dichte des Mediums in kg/m3

V K

Volumen des Körpers in m3

durch den Körper verdrängtes Volumen in m3

Ist der Körper vollständig im Medium einge-

taucht, ist V K = V M.

3.3 Hydrodynamik

Kontinuitätsgleichung

U

Dichte der Flüssigkeit in kg/m3

U v

U

1 1

A
v 2 2

A const

v 1, v 2 Geschwindigkeiten an verschie-
m

denen Stellen in m/s

V
vA const

U

A 1, A 2 Querschnittsflächen an verschie-

denen Stellen in m2

V

Volumenstrom in m3/s

m

Massenstrom in kg/s

Bernoulli-Gleichung
p ges
gesamter Druck in Pa
ges
p
p dy
p n G
p
p

Betriebsdruck in Pa
p

1
dyn
dynamischer Druck oder Staudruck

2

U

U
ge
p s p
v
g h

'

in Pa

2
p

G Schweredruck in Pa

U

Dichte der Flüssigkeit in kg/m3
v

Geschwindigkeit in m/s

A
h 2

'

v
h
h

2

2

2- h 1, Höhenunterschied
h 1
in
m

A 1
v
g Erdbeschleunigung

1

h=0

57

Physik

2

Thermodynamik

Innere Reibung

F R

Reibungskraft in N
v

A

Fläche in m2

K '

R

F

A

x

'

K

Viskosität in Pa s

' v/' x Geschwindigkeitsgefälle

4 Thermodynamik

4.1 Temperaturskalen,

Ausdehnung von

Stoffen

Kelvin – Celsius

T

Temperatur in K

T -

( 273,15) K

- Temperatur
in
qC

Celsius – Fahrenheit

- Temperatur
in
qC

5

-

(

32 q

) C

F Temperatur
in
qF

-

- F

9

Lineare Ausdehnung
l 0 Ausgangslänge in m

' l D '

' l Längenänderung in m

T
l

0
l

' T Temperaturdifferenz in K

D l linearer Ausdehnungskoeffizient in 1/K

Volumenausdehnung

V 0 Ausgangslänge in m

' V D ' T

' V Längenänderung in m

V

0

V

' T Temperaturdifferenz in K

D | D

DV Volumen Ausdehnungskoeffizient in 1/K

V

3 l

D l linearer Ausdehnungskoeffizient in 1/K

4.2 Ideale Gase

Allgemeine Gleichung
p

Druck in Pa
pV nRT
idealer Gase

V

Volumen in m3

n

Anzahl der Mole

R universelle

Gaskonstante

T

Temperatur in K

Spezielle Gasgleichung
p

Druck in Pa
pV m s

R T

V

Volumen in m3

m Masse des Gases in kg

R s spezielle

Gaskonstante

T

Temperatur in K

Universelle Gaskonstante

R universelle

Gaskonstante

0
p 0

V

p

R

0

= 101325 Pa, Druck bei 0 qC

0

T

V

0 = 22,41383 dm3/mol, Volumen bei 0 qC

T

J

0 = 273,15 K, Temperatur bei 0 qC in K

R 8,31441

mol K

Spezielle Gaskonstante
p 0 = 101325 Pa, Druck bei 0 qC

0
p

U
s

R

U

0

Dichte des Gases bei 0 qC in kg/m3

T

T

0 0

0 = 273,15 K, Temperatur bei 0 qC in K

1

Volumen Ausdehnungs-

D

D

V Volumen Ausdehnungskoeffizient in 1/K
v
koeffizient

273,15 K

58

Physik

2

Harmonische Schwingungen

Mittlere kinetische

W kin
kinetische Energie in J

3

Energie der Gasmoleküle
k

Boltzmann-Konstante
ki

W n kT

2

T

Temperatur in K

23 J
k 1,38066 10

�

K

Wärmeenergie

' W Q Änderung der Wärmeenergie in J

' Q

W m c ' T

C

Wärmekapazität in J/K

m

Masse in kg

'

'

c
spezifische Wärmekapazität in J/(kg K)

Q

W

C T

' T

Temperaturänderung in K

4.3 Wärmeleitung,

Wärmestrahlung

Wärmeleitung

' W Q Änderung der Wärmeenergie in J

' Q

W

' T

O A

' t

Zeitdifferenz in s

' t

' x

Wärmestrahlung

O

Wärmeleitfähigkeit

W

A

Fläche in m2

[O] 1

K �m

' T

Temperaturdifferenz in K

' x

Materialstärke in m

S

Leistung in W

4

4

S A H V ( 2

T 1

T )

A

Fläche in m2

W

H Emissionskoeffizient

(H < 1)

8

V 5,67 �10

2 4

V Stefan-Boltzmann-Konstante

m K

T 1,2 Temperaturen
in

K

5 Harmonische

Schwingungen

5.1 Ungedämpfte

Schwingungen

Frequenz;
f

Frequenz in Hz (Hertz)

1

2

Z

S

S

Kreisfrequenz

T Periodendauer oder Schwingungszeit in s
f

2 f

T

T

Z Kreisfrequenz

Harmonische
y Momentanwert oder Augenblickswert
y( t ) ˆ y sin (Z M

0 t

)

Schwingung

ˆ y Amplitude oder Spitzenwert

Z0 Kreisfrequenz in 1/s

t

Zeit in s

M Phasenverschiebung in rad

Fadenpendel mit kleiner

T Periodendauer oder Schwingungszeit in s

Amplitude; Federpendel;
l

Länge des Fadenpendels in m

T 2 S l
g
elektrischer Schwingkreis
g Erdbeschleunigung
m Masse in kg
m

T 2 S

c Federkonstante in N/m
c

L Induktivität einer Spule in H

T 2 S LC

C Kapazität eines Kondensators in F

59

Physik

2

Harmonische Schwingungen

5.2 Gedämpfte

Schwingungen

Harmonische
y Momentanwert oder Augenblickswert

( ) ˆ

G
t
y t
y e
sin(Z t M )

Schwingung

ˆ y Amplitude oder Spitzenwert

G Abklingkoeffizient in 1/s

Z Kreisfrequenz in 1/s

t

Zeit in s

Gütefaktor

Q Gütefaktor

Z0

Z

Q

0 Kreisfrequenz, ungedämpft, in 1/s

2 G

G Abklingkoeffizient in 1/s

Zeitkonstante

W Zeitkonstante in s

1

G Abklingkoeffizient in 1/s

W

G

Kreisfrequenz

Z Kreisfrequenz, gedämpft, 1/s

2

2

Z Z G

Z

0

0 Kreisfrequenz, ungedämpft, in 1/s

G Abklingkoeffizient in 1/s

5.3 Erzwungene

Schwingungen,

Resonanz

Momentanwert
y Momentanwert oder Augenblickswert
y( t ) ˆ y sin(: t M )

der erzwungenen

ˆ y Amplitude oder Spitzenwert

Schwingung

: Kreisfrequenz des Erregers in 1/s

M Phasenwinkel zwischen System und Kraft

t

Zeit in s

Amplitude als Funktion

F(t) angreifende Kraft in N

ˆ

F( t ) F �cos(: � t)

der Erregerfrequenz :

: Kreisfrequenz des Erregers in 1/s

m Masse des schwingenden Systems in kg

ˆ

F / m

Z

0 Eigenkreisfrequenz des ungedämpften

ˆ y

2

2 2

2

Systems in 1/s

(Z :

G

0

)

(2 :)

G Abklingkoeffizient in 1/s

Phasenverschiebung

M Phasenwinkel zwischen schwingendem

2G Z0
tanM

zwischen System und

System und angreifender Kraft

2

2

(Z0 : )

Erreger

Z0 Eigenkreisfrequenz des ungedämpften

Systems in 1/s

G Abklingkoeffizient in 1/s

: Kreisfrequenz des Erregers in 1/s

60

Physik

2

Wellen

6 Wellen

6.1 Ausbreitung

Phasengeschwindigkeit
c Phasengeschwindigkeit in m/s
c O f

O Wellenlänge in m

f

Frequenz in Hz

Wellenzahl
k Wellenzahl in 1/m

2 S

O Wellenlänge in m
k

O

Ausbreitung einer ebenen
y Momentanwert oder Augenblickswert

ª

§

·º

ˆ
t
x
y
y sin 2 S

Welle in x-Richtung

ˆ y Amplitude oder Spitzenwert

«

¨

¬

T

O ¸»

©

¹¼

t

Zeit in s

y ˆ y sin Z t kx

T Periodendauer oder Schwingungszeit in s

x Strecke in m

O Wellenlänge in m

Z Kreisfrequenz in 1/s

k Wellenzahl in 1/m

Stehende Wellen,
y res resultierende Auslenkung
y

2 ˆ

Z
res
y sin( t)cos( k x)

Überlagerung zweier ent-

ˆ y gleiche Amplitude der einzelnen Wellen
gegengesetzt laufender

Z Kreisfrequenz in 1/s

Wellen gleicher Frequenz
t

Zeit in s
und gleicher Amplitude
k Wellenzahl in 1/m

6.2 Reflexion, Brechung

Reflexionsgesetz

D Einfallswinkel

D E

E Ausfallswinkel

Brechungsgesetz
n Brechungsindex
c
n

c Phasengeschwindigkeit im Medium in m/s
c 0

c 0 Phasengeschwindigkeit im Vakuum

(# Luft) in m/s
sinD
c
n

D

1

1

2

1 Winkel im Medium 1

D
sinD
c
n

2 Winkel im Medium 2

2

2

1

c 1 Phasengeschwindigkeit im Medium 1

in m/s

c 2 Phasengeschwindigkeit im Medium 2

in m/s

n 1 Brechungsindex Medium 1

n 2 Brechungsindex Medium 2

6.3 Beugung

Einfachspalt
m

Ordnungszahl
m O
sinD

,

Auslöschung tritt für
b

Breite des Spaltes
min
b
die Winkel. D

O

Wellenlänge
min
m 1, 2, 3...

Intensitätsverteilung

I 0
einfallende Intensität

§ S

2
b

·
sin
sinD

Ö

¸

©

¹

I

I

I

DSpalt Intensität als Funktion des Winkels D Spalt

0

2

§ S b

·
sinD

Ö

¸

©

¹

61

Physik

2

Optik

Gitter maximale Verstär-
m

Ordnungszahl
n O
kung tritt auf für die Win-
g

Gitterkonstante, Abstand
sinDmax

,
g
kel. Dmin Intensitäts-
der einzelnen Spalte
verteilung
m 1, 2, 3 ...

b

Breite eines Spaltes im Gitter

O Wellenlänge

p

Anzahl der Strahlen, die zur Inter-

I D Gitter

ferenz gelangen

§ pg S

·

2

I
sin
sinD

D

¨

¸

Spalt Intensität als Funktion des Winkels

© O

¹
eines Spaltes

I D Spalt �

§ g S

·

I

2

D

D

Gittert Intensität als Funktion des Winkels
sin
sin

¨

¸

© O
des Gitters

¹

Beugung am Gitter

Frequenz, die der Beob-

Quelle Beobachter

achter wahrnimmt. Quelle

Schall -
o
o
f
und Beobachter bewegen

B Frequenz, die
c v B

Wellen
der Beobachter

B
f Q
f
sich entsprechend der
c v Q
wahrnimmt in Hz
angegebenen Pfeilrich-

tungen
f
o
m

Q Frequenz
der Quel-
c v

le in Hz

B

B
f Q
f

c Phasen-
c v Q

geschwindigkeit

m
o
der Welle in m/s
c v B

v B Geschwindigkeit

B
f Q
f c v

Q
des Beobachters

in m/s

m
m
v Q Geschwindigkeit
c v B
f f

der Quelle in m/s

B

Q c v Q

Elektro-

Annäherung
c Lichtgeschwin-
c v
f f

magne-
von Quelle und
digkeit

B

Q c v

tische

Beobachter
v Relativgeschwin-

Wellen
digkeit zwischen

Quelle und Beob-

achter

Entfernung

f
c v
von Quelle und

B Frequenz, die der

B
f Q
f

Beobachter wahr-
c v

Beobachter

nimmt in Hz

f Q Frequenz der Quel-

le in Hz

7 Optik

7.1 Geometrische

Optik, Abbildung

durch Linsen

Brennweite einer
f

Brennweite in m

1

§ 1 1 ·

Linse in Luft
n Brechungsindex des Glases
n

1 ¨ ¸
f
r
r

©

¹
r

1

2

1 Krümmungsradius auf einer Seite in m
r

2 Krümmungsradius auf der anderen Seite in m

62

Physik

2

Optik

Bauformen

bi-konvex
plan-konvex
bi-konkav
plan-konkav

r ! 0
f
r 0
r f

1
r

1

1

1

!

2
r 0
r

0
r !

2
r 0

2

2

0

f ! 0
f ! 0
f 0
f 0

Linsenformel für
b Bildweite, Abstand Bild zur Linsenmitte,

1 1

1
dünne Linsen
in m

f
b g

g Gegenstandsweite, Abstand Gegenstand

zur Linsenmitte, in m

F Brennpunkt

Alle Größen links von der Linse sind negativ

zu nehmen.

Abbildungsmaßstab

E Abbildungsmaßstab

B
b

B Bildgröße

E

G
g

G Gegenstandsgröße

Brechkraft

Dioptrie

D Dioptrie in 1/m

1

f

Brennweite in m

D

f

7.2 Photometrie

Gesetz nach

M e
insgesamt von einem schwarzen

4

( ) V �

Stefan-Boltzmann
e

M T

T

Strahler ausgesendete

Strahlungsleistung in W/m2

8

W

V 5.670 10

�

T
absolute Temperatur in K

2 4
m K

V

Stefan-Boltzmann-Konstante

Wiensches Verschie-

Omax Wellenlänge des Maximums

Omax T

� const
bungsgesetz, gibt die Lage
der emittierten Strahlung in Pm

2898 μm K
des Maximums der emittier-

T
absolute Temperatur in K
ten Strahlung eines Schwar-

zen Körpers an

Plancksche Strahlungs-

L e,O
spektrale Strahlungsdichte als

L

O

, ( , T )

e O

formel, gibt die spektrale

Funktion der Wellenlänge von
c

1

1

Strahldichte als Funktion

O

Wellenlänge der Strahlung in Pm

15 c /O T :

der Wellenlänge und der

T
absolute Temperatur in K

2

O e

1 0

Temperatur T an

:0

Raumwinkel
c 1, c 2 Zusammenfassung von Naturkonstanten

c

2

16

2

1 =

2 hc 1,

�

191 10

Wm

2
hc

c

2

2 =

1,439 �10 mK
k
h Plancksches

Wirkungsquantum

h = 6,626 · 10–34 Js
k Boltzmann-Konstante
k =

23

1,381 10

�

J K

63

Physik

2

Naturkonstante

8 Naturkonstante

Avogadro-Konstante

N 6,0221367

·

1023 mol–1

A

Boltzmann-Konstante
k

1,380658 · 10–23 J/K

Elektrische

H0 8,8541878

·

10–12 As/(Vm)

Feldkonstante

Elementarladung
e 0

1,60218 · 10–19 As

Gravitationskonstante

J

6,67259 · 10–11 N m2/kg2

Lichtgeschwindigkeit
c

2,99792458 · 108 m/s
im Vakuum

Magnetische Feld-

P0 4

S · 10–7 (Vs)/(Am)

konstante

Plancksches
h

6,62607 · 10–34 Js

Wirkungsquantum

Ruhemasse
m 0e 9,1093897

·

10–31 kg
des Elektrons

Ruhemasse des Protons
m 0P 1,6726231

·

10–27 kg

Stefan-Boltzmann-

V

5,67051 · 10–8 W/(m2 K4)

Konstante

Universelle

R

8,31441 J/(mol K)

Gaskonstante

64

Werkstoffkunde

3

Stoffe

1 Stoffe

1.1 Eigenschaften

der Stoffe

Werkstoffe

Der Begriff der Stoffe wird auf die in der Praxis nutzbaren Werkstoffe

begrenzt. In der Elektrotechnik werden Werkstoffe vorwiegend durch

elektrische und magnetische Felder beansprucht.

Von den zurzeit bekannten 104 Elementen sind die meisten Metalle.

Nichtmetalle

Nur 15 Elemente zählen zu den Nichtmetallen und etwa 8 Elemente

Halbmetalle
fallen unter die heute besonders interessanten Halbmetalle oder

Übergangselemente.

1.2 Atombau und

Periodensystem

Atome bestehen aus dem Atomkern mit Protonen und (Ausnahme

Wasserstoff) Neutronen sowie der Atomhülle mit Elektronen. Wenn-

Orbitalmodell
gleich das Orbitalmodell die Aufenthaltsräume der Elektronen als

Spin
räumliche Oszillatoren, mit 2 Elektronen entgegengesetzten Spins je

Orbital nach Pauli, genau beschreibt, genügt für die meisten Betrach-

Bohrsches Atommodell
tungen das Bohrsche Atommodell, mit der Näherungsvorstellung von

Kugelschalen für die Elektronenhüllen. In der klassischen Beschrei-

bung werden den 7 möglichen Elektronenschalen die Buchstaben K

Hauptquantenzahl
bis Q zugeordnet, die den Hauptquantenzahlen 1 bis 7 mit ihren

Hauptenergieniveaus entsprechen. Die weitere Unterteilung in Unter-

Nebenquantenzahl
energieniveaus erfolgt durch die Nebenquantenzahlen mit den Buch-

staben s, p, d, und f. Ordnet man die Elemente nach der Zahl der

PSE

Protonen im Kern, so gelangt man zum Periodensystem der Elemente

(PSE). Das Periodensystem wird in Perioden I…VII entsprechend den

7 Schalen K…Q waagerecht und 8 Hauptgruppen sowie den Neben-

gruppen senkrecht aufgeteilt.

Periodensystem der Elemente (PSE)

mit Perioden Nr. I…VII, Schalenbe-

zeichnungen K…Q, Schalen Nr. n =

1…7, Hauptgruppen Nr. 1a…8a und

Nebengruppen Nr. 1b…8b sowie den

Lanthaniden und Actiniden

Übergangselemente

Die Metalle, als Mehrzahl der Elemente, sind links und unten im PSE,
die Nichtmetalle rechts oben zu finden. Die Halbmetalle, auch Über-
gangselemente genannt, bilden die Grenze.

65

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Formeln und Tabellen Elektrotechnik,

DOI 10.1007/978-3-8348-2023-5_3, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014

Werkstoffkunde

3

Stoffe

Kurzform des Periodensystems der Elemente (nur Hauptgruppen)

1.3 Aufbau der festen

Körper

Feste Stoffe basieren auf Bindungskräften in den Atomhüllen. Die

Bindungsarten sind:

Ionen-Bindung

1) Ionen- oder heteropolare Bindung durch Ladungsaustausch.

Atom-Bindung

2) Atom-, homöopolare oder kovalente Bindung mit gemeinsamen

Elektronen(paaren) benachbarter Atome.

Metallische Bindung

3) Metallische Bindung mit Abgabe von Leitungselektronen (Elektro-

nengas).

Van-der-Waals-Bindung

4) Van- der- Waals- oder zwischenmolekulare Bindung über Dipolbil-

dung benachbarter Teilchen.

Führen die Bindungskräfte zu räumlich regelmäßigen Strukturen, ent-

stehen Kristalle, im anderen Fall heißt der Körper amorph.

Polykristall

Die Zusammenlagerung vieler (kleiner) Kristalle liefert Polykristalle,

Einkristall
sehr große, gleichmäßig gewachsene Kristalle heißen Einkristalle.

Elementarzelle

Die kleinste Einheit der Kristallstruktur ist die Elementarzelle ( EZ), Kristallgitter:

deren Vielfaches im Raum führt zum Raum- oder Kristallgitter. Die

metallografisch wichtigsten Elementarzellen sind
kp

1) Kubisch primitive EZ ( kp)

krz

2) Kubisch- raumzentrierte EZ ( krz)

kfz

3) Kubisch- flächenzentrierte EZ ( kfz)

hdp

4) Hexagonal dichteste Packung ( hdp)

1)

dia

5) Diamantgitter ( dia)

Elementarzellen mit Gitter-

konstanten a, b, c

2)

3)

(Erläuterungen siehe oben)

4)

5)

Diamantgitter: Entstehung des Diamantgitters

aus zwei ineinander gestellten kfz-Gittern. Der

Versatz der kfz-Gitter beträgt eine ¼ Raum-

Diagonale.

Gitterfehler

Unregelmäßiger Aufbau der Kristallgitter führt zu Gitterfehlern, bei
denen man nulldimensionale (Leerstellen, Frenkel-Defekt), eindimen-
sionale (Versetzungen) und zweidimensionale (Korngrenzen) Fehler unterscheidet.

66

Werkstoffkunde

3

Stoffe

1.4 Chemische Grund-

zusammenhänge

Atome vermögen über die Valenzelektronen miteinander zu reagieren.

Anorganische Stoffe

A norganische Stoffe liegen vor, wenn die Ionenbindungen überwie-

gen. Ist das Kohlenstoffatom mit überwiegend kovalenter Bindung im

Organische Stoffe

Mittelpunkt, handelt es sich um organische Stoffe. Das gleichfalls

vierwertige Silicium bildet die Silicone.

Analyse; Synthese

Bei der Untersuchung, Analyse, und dem Aufbau, Synthese, von Stof-

Reaktionsgleichung
fen bedient sich die Chemie der Formelsprache und der Reaktions-

gleichungen unter Benutzung der Elementsymbole, z. B.:

C2H5OH + 3O2
ĺ 2CO2 + 3

H2O

1 Mol

+

3 Mol
ĺ

2 Mol

+

3 Mol

Ethanol

Sauerstoff

Kohlendioxid

Wasser

Oxydation

Oxydation ist allgemein die Elektronenabgabe und Reduktion die

Reduktion

Elektronenaufnahnme eines Moleküles oder Ions. Die zwangsweise

Redox-Reaktion

Verkopplung beider Vorgänge ist die Redox- Reaktion.

Hydroxide

Metalloxide können mit Wasser Hydroxide bilden, einwertige OH-

Basen, Säuren

Gruppe, Basen oder Laugen. Nichtmetalloxide bilden mit Wasser Säu-

ren, mit Säurewasserstoff und nicht selbständig beständigem Säure-

J. N. Brönsted, dänischer
rest oder Radikal. Nach Brönstedt Säuren Protonenspender und Ba-Chemiker (1879–1947)

sen Protonenfänger. Die Protonenübergangsreaktion nennt man Pro-

Protolyse
tolyse. Der in geringem Umfang im Wasser stattfindenden Auto-

protolyse liegt nach Brönstedt folgende Reaktion zugrunde:

H2O + H2O ĺ

H3O+ + OH–

Wasser
ĺ Hydroniumion + Hydroxidion

Ionenprodukt

Das Produkt der Ionenkonzentrationen muss als Ionenprodukt des

Wassers mit 10–14 mol2/ l 2 bei Zugabe von Säuren oder Basen kons-

tant bleiben, es verschieben sich lediglich die Konzentrationsverhält-

nisse. „Drehpunkt“ dieses Geschehens ist der Zahlenwert 10–7 der

H3O-Konzentration. Der negative dekadische Logarithmus dieser Kon-
pH-Wert
zentration ist der pH- Wert, mit dem „sauer“: pH < 7, neutral: pH = 7

und „basisch“: pH > 7 exakt beurteilt werden können.

ĸ Zunahme der Säurewirkung – | | – Zunahme der Basenwirkung ĺ

0 1 2 3 4 5 6 Ň 7 Ň 8 9 10 11 12 13 14

pH-Skala

1.5 Elektrochemie

Dissoziation

Kationen und Anionen sind im Wasser dissoziiert und wirken dadurch

als Leiter 2. Ordnung, bei denen mit dem Stromdurchgang ein Mate-Elektrolyse
rietransport erfolgt. Nach Ladungsausgleich, Elektrolyse, ist der Stoff

elementar verfügbar. Das Bestreben eines Metalles, in Lösung zu ge-

Lösungsdruck
hen, nennt man Lösungsdruck. Er kann als Spannung in Volt gemes-

sen werden und führt zur elektrochemischen Spannungsreihe.

Ion

Cs+

Li+

Ba+ + Mg+ + Al+ + + Zn+ + Fe+ +

H+

Cu+ + Ag+ Hg+ + Au+ +

Volt -3,02 -3,02 -2,90 -2,34 -1,67 -0,76 -0,44

0,0 + 0,34 + 0,80 + 0,85 + 1,68

Normalpotenziale bezogen auf die Normal-Wasserstoffelektrode.

Elektrochemische Spannungsreihe nach Pauling.

67

Werkstoffkunde

3

Elektrische Leitfähigkeit

2 Elektrische

Leitfähigkeit

2.1 Leitungs-

mechanismus

Leiter 1. Ordnung

Metallische Leiter sind Leiter 1.

J e ( � P

� P
n
n
n
p
n
p )

Ordnung. Mit dem Stromfluss ist

J

P
kein Materietransport verbunden.

e
n

Leitfähigkeit

3

Für die Leitfähigkeit (J) sind Teil-

S / cm As cm
cm/ Vs

chenladung ( e), Beweglichkeit (P)

und Teilchenanzahl ( n) maßge-

Beweglichkeit
bend. Die Beweglichkeit μ der La-

dungsträger ist die pro Einheit der

elektrischen Feldstärke bewirkte

Driftgeschwindigkeit

Driftgeschwindigkeit.

Im normalen elektrischen Leiter

J

n

P

n
n

Material

S / c m

3
c m

2
cm / V s
transportieren nur negative Elek-

tronen den Strom, damit entfällt

Cu

58 · 104 8,45 · 1022

43

der Term mit den p-Indizes. Die

Al

34,5 · 104 6,0 · 1022

36

Tabelle zeigt die Daten für einige

Ag

61,4 · 104 5,87 · 1022

65
typische Materialien. Im Kristallgit-

Ge
ter eines Festkörpers spreizen die

2,3 · 10–2 2,4 · 1013

3 600

Energieniveaus der Elektronen zu

Si

4,35 ·10–6 1,5 ·1010

1 400

Energiebänder

Energiebändern auf. Neben Lei-

InSb

3,5 · 10–2 2,8 · 1016 78 000

Leitungsband; Valenzband
tungs- und Valenzband existieren

Verbotene Zone
verbotene Zonen. Die statistische Elektrische Leitfähigkeit J,

Energieverteilung der Elektronen Elektronenkonzentration n n und

im Valenzband führte zu der Be-

Elektronenbeweglichkeit Pn bei

zeichnung Elektronengas.

Raumtemperatur

Fermifunktion

Die Verteilungsstatistik F ( W) wird durch

die Fermifunktion beschrieben.

1

F( W )

§ W F

W ·

1 e ¨ kT ¸

©

¹

Energiebänder durch

W = Energie für die Wahrscheinlichkeit

Aufspaltung der

F ( W), W

F = Ferminiveau, kT = Boltz-

Energieniveaus.

mann-Konstante (1,238 · 10–28 Ws/K)

ՋՋ durch Elektronen
mal absoluter Temperatur in K

besetzte Niveaus

Fermifunktion F( W)

für die Temperaturen

0 K (——),

100 K (–˹–˹) und

300 K (– – –)

68

Werkstoffkunde

3

Elektrische Leitfähigkeit

2.2 Isolator

Die Breite der verbotenen Zo-

ne ist wesentlich für die Lei-

tungseigenschaften eines Stof-

fes. Ein Bandabstand von

' W B � 2 eV ist typisch für

Isolator

Isolatoren.

Die punktierte Linie für 600 K

zeigt aber auch die zunehmen-

de Möglichkeit von Elektronen-

übergängen und damit die Ge-

fahr eines thermischen Durch-

Bandschema Isolator (Prinzip-

schlags auf! Die ausgezogene beispiel) W F = Ferminiveau,

Linie entspricht 300 K, d. h. – ԑ 300 K und … ԑ 600 K

üblicher Raumtemperatur.

2.3 Halbleiter

Bei einem Bandabstand 'WB

< 1 eV kann eine genügende

Anzahl von Ladungsträgern in

das Leitungsband übertreten.

Halbleiter

Dies ist der Fall beim Halblei-

ter. Im reinen Zustand liegt

das Ferminiveau genau mittig

in der verbotenen Zone. Leit-

fähigkeit ist über Elektronen

(n), im Leitungsband, und über

Defektelektronen; Löcher

Defektelektronen oder Löcher

(p) im Valenzband möglich. Bandschema Halbleiter (Prinzip-

Die Leitfähigkeit kann durch beispiel) W F = Ferminiveau,

Temperaturerhöhung oder Ver-

– ԑ 300 K und … ԑ 600 K

schiebung des Ferminiveaus

Dotierung

( Dotierung) beeinflusst wer-

den. Beim absoluten Nullpunkt

verschwindet die Leitfähigkeit

der Halbleiter.

2.4 Normalleiter

Beim metallischen Leiter sind

Bänder unvollständig besetzt,

oder Leitungs- und Valenz-

band überlappen, die verbote-

Negative verbotene Zone
ne Zone ist negativ, das Fer-
miniveau liegt innerhalb des

Leitungsbandes.

Mit sinkender Temperatur und
steigender Beweglichkeit der

Teilchen nimmt die Leitfähig-

keit bis zum absoluten Null-

Überlappende Bänder. Beispiel
punkt um etwa 4 Zehnerpoten-

Kupfer. Das voll besetzte 3d-Band
zen zu.

liegt innerhalb des halb besetzten

4s-Bandes

69

Werkstoffkunde

3

Elektrische Leitfähigkeit

2.5 Supraleiter

Bei sehr tiefen Temperaturen steigt die Leitfähigkeit bei manchen

Supraleitung

Stoffen schlagartig um mehr als 20 Zehnerpotenzen. Es tritt Supra-

Sprungtemperatur
leitung ein, und die Temperatur heißt Sprungtemperatur T c.

Reine Metalle T c < 10 K (Heliumkühlung)

Legierungen T c | 20 K (Wasserstoffkühlung, Siedepunkt H: 20 K bzw.

– 253 °C)

Mischoxide T c | 75 K (Stickstoffkühlung, Siedepunkt N: 77 K bzw.

– 196 °C)

Ma-

Ga Al Sn

Pb

Nb

NbTi Nb

Ga

Nb-Al-Ge Se-Ba-Cu-O
terial

3Sn Nb3

T /K 1,1 1,1 3,7 7,3 9,2

10 18 20.3

21

>

35…90

C

Sprungtemperaturen einiger Basismaterialien für Supraleiter

Sehr starke magnetische Felder ( H c), auch vom Strom im Supraleiter

(SL), heben die Supraleitung auf.

SL 1. Art

Weiche SL oder SL 1. Art: H c < 0,1 MA/m.

SL 2. Art

Harte SL oder SL 2. Art H c > 10 MA/m.

SL 3. Art

Hochfeld SL oder SL 3. Art sind für den praktischen Betrieb stabili-

sierte SL.

Kritische Stromdichte

Allgemein kritische Stromdichte S c wichtiger als H c. Paarweise spin-kompensierte Elektronen bewirken als Cooper- Paare Ringströme an

der Leiteroberfläche, die zu einem magnetfeldfreien Raum im SL

führen, d. h. Pr = 0!

2.6 Halleffekt

Die Driftgeschwindigkeit bewegter La-

B

dungsträger führt zu deren Ablenkung

H

U H

R

I
d

in einem Magnetfeld. Quer zum Strom-

Hallspannung
fluss tritt die Hallspannung U

U B d

I

H

R

H auf. Die

Hallkonstante

Hallkonstante R

3

V T mm A

H = A · P/J ist von der
cm As

Beweglichkeit P und der Leitfähigkeit J

abhängig. ( A = 1 für normale Leiter

und 3S/8 für Halbleiter.)

Die Ablenkung der Strombahnen durch

Hallwinkel
das Magnetfeld führt zum Hallwinkel

4H. Er ist nur von der Beweglichkeit

der Ladungsträger (Pn oder Pp) und der

magnetischen Flussdichte abhängig.

Hallgenerator

Bei eingeprägtem Strom I liefert der Hallgenerator über U H ein Maß

für die magnetische Flussdichte B und über das Vorzeichen von U H

Aufschluss über die Polarität des Magnetfeldes. Magnetische Wech-

selfelder liefern eine Wechselspannung. Der Hallwinkel verlängert die

Stromflussbahnen, woraus ein erhöhter Widerstand resultiert, der in

Feldplatte
der Feldplatte genutzt wird.

70

Werkstoffkunde

3

Elektrische Leiter

Normierte Hallspannung in Ab-

hängigkeit vom Magnetfeld. Im

Leerlauf ( R f ) und optimal linea-

rem Abschluss R lin.

Relativer Widerstand in Ab-

hängigkeit vom Magnetfeld für

InSb-NiSb-Feldplatten.

D: J = 200 S/cm

L: J = 550 S/cm

N: J = 880 S/cm

3 Elektrische

Leiter

3.1 Normalleiter

Leitkupfer

Für Leitkupfer ist der Mindestwert der elektrischen Leitfähigkeit J

(gemäß DIN EN 13604) 57�106 S/m bzw. der spezifische Widerstand

U 0,0175�10–6 :�m. Je nach Reinheit kann die elektrische Leitfähigkeit

von 60 bis 55�106 S/m schwanken. Deshalb nur elektrolytisch raffinier-

E-Kupfer
tes E- Kupfer (Werkstoffnummer 2.0060) oder sauerstofffreies SE-

Kaltleiter

Kupfer (Werkstoffnummer 2.0070). Metallische Leiter sind Kaltleiter.

d. h. der Widerstand steigt mit der Temperatur, PTC (engl.: positiv

temperature coefficient). Metallfilmwiderstände weisen einen geringen

Temperaturkoeffizienten (D # 0,02 … 0,005 %/°C) und hohe Lang-

zeitstabilität auf.

3.2 Halbleiter

Die rein thermisch erzeugte n n- bzw. n p-

2
i
n � p
n i
n

Intrinsicdichte

Teilchendichte heißt Intrinsicdichte oder

Intrinsiczahl n

J en (P P )

i. Aus der Intrisiczahl folgt
i
i
n
p

Eigenleitfähigkeit
die Intrinsic- oder Eigenleitfähigkeit J i.

J
e
n

P

Die Grunddaten für Germanium (Ge)

3

2

und Silicium (Si) sind in der Tabelle

S / cm As cm
cm / Vs

zusammengestellt. Wegen der Abhän-

gigkeit der Leitfähigkeit vom Reinheits-

grad kann über die Messung der Leitfä-

higkeit eines Halbleiters der Reinheits-

grad bestimmt werden.

Dotieren

Dotieren ist die Änderung der Leitfähigkeit eines hochreinen Halblei-
ters durch Einbringen von Fremdatomen mit einem anderen Fermi-
niveau als dem des Halbleiters.

71

Werkstoffkunde

3

Elektrische Leiter

Intrinsiczahlen und Ladungsträgerbeweglichkeiten von Germanium

(Ge) und Silizium (Si)

n

P

P

Material
i

n

p

3
cm

2
c m / V s

2
cm / V s

Ge

2,4 · 1013

3900 1900

Si

1,5 · 1010

1350 850

n-Dotierung

Liegt das eingebrachte Ferminiveau nahe dem Leitungsband, ergibt
n-Leitung
sich n- Dotierung, auch Überschuss- oder n- Leitung genannt. Liegt p-Dotierung
das Ferminiveau der Fremdatome nahe dem Valenzband, so genann-

Akzeptor
te p- Dotierung, w erden durch diesen Akzeptor Elektronen aus dem p-Leitung

Valenzband abgezogen und es entsteht p- Leitung oder Defekt( elek-Defekt(elektronen)-leitung
tronen) leitung.

Dotierung (schematisch) a) Bandschema eines Überschussleiters,

n-Leitung b) Bandschema eines Defektelektronenleiters, p-Leitung

Halbleiter finden sich vorzugsweise in der 4. Hauptgruppe (IVa) des

Periodensystems (Bilder Kap. 1.2). Bringt man Elemente der III. und

V. Hauptgruppe des Periodensystems geeignet zusammen, so ist bei

III-V-Verbindungen
derartigen III- V- Verbindungen oder Verbindungshalbleitern wieder Verbindungshalbleiter
eine ähnliche Konfiguration der Valenzelektronen wie bei Element-

halbleitern möglich.

3.3 Supraleiter

Supraleitendes Material wird zur Stabilisierung in

D q
q

Cu

SL
einen normal leitenden Träger (Substrat) auf Cu-

Basis (z. B. Cu-Ni-Matrix) eingebracht. Die da-
q Cu = Kupfer-

durch bedingte Aufteilung des Leiters in Normal-
querschnitt

Querschnittsverhältnis
und Supraleiter wird durch das Querschnittsver-
q SL = Supralei-

hältnis D beschrieben.

terquerschnitt

Legierungen erreichen mit Sprungtemperaturen
um 20 K den Bereich der Wasserstoffkühlung

(Sdp. H: 20 K bzw.-253 °C). Die in den letzten

Jahren entwickelten Mischoxide auf der Basis

Seltene-Erden-Barium-Kupfer (SE-Ba-Cu-O) ge-
langen bereits in den Bereich der Stickstoffküh-
lung (Sdp. N: 77 K bzw. – 196 °C (siehe auch

Tabelle Kap. 2.5).

72

Werkstoffkunde

3

Magnetische Leitfähigkeit

4 Magnetische

Leitfähigkeit

4.1 Modellvorstellung

Bohrsches Magneton

Die magnetische Grundgröße ist das Bohr-

� B = 9,27 · 10–24 Am 2

sche Magneton PB. Mit Nord- und Südpol ist

(1 Am 2 = 1 J/ T)

Magnetischer Dipol
es ein magnetischer Dipol, auch magneti-

Magnetisches Moment
sches Moment genannt. Für Drehbewegun-

gen im Magnetfeld ist das magnetische

( Dipol) Moment m B entscheidend. Von den

Bahnmoment

Elektronenbahnen ist es als Bahnmoment

Spinmoment
und von den Elektronenspins als Spinmo-

ment wirksam.

Alle für den praktischen Gebrauch bedeut-

samen magnetischen Erscheinungen der

Materie gehen auf die Überlagerung von

Bahn- und Spinmomenten zurück.

4.2 Verhalten von

Materie im Magnet-

feld

Die Messzahl für die magnetische Leitfähig-

Permeabilität
keit eines Werkstoffes ist entweder die Per-

Suszeptibilität
meabilität � oder die (magnetische) Suszep-

tibilität N

m. Unter Verzicht auf die Vektor-

kennzeichnung der Flussdichte B und der

magnetischen Feldstärke H gilt im freien

Raum o

B = Po� H

B

H

P

Für den materieerfüllten Raum ist eine mul-

0

T A / m Vs / Am
tiplikative oder additive Beschreibung mög-

lich:

Pr � P0 � H = B = Po � H + J J = B – P0 � H

� 0 = 1,26 � 10–6

Vs/Am (bzw. H/m)

Pr = 1 + Nm

Magnetische Polarisation

J ist die mit B dimensionsgleiche magneti-

sche Polarisation.

Die Polarisation J gibt den auf die Materie

entfallenden Flussdichteanteil an. Der dafür

Magnetisierung
notwendige Feldstärkeanteil ist die Magneti-

sierung M.

M = J/P0

73

Werkstoffkunde

3

Magnetische Leitfähigkeit

Diamagnetismus

Die einfachste Form des Magnetismus, die in allen Stoffen vorkommt,

ist ein über die Elektronenbahnen induziertes magnetisches Moment,

das dem erzeugenden Feld entgegengerichtet ist. Tritt nur dieser

Effekt auf, ist der Stoff diamagnetisch, Nm ist negativ mit etwa –10–6,

Pr praktisch gleich 1.

Paramagnetismus

Die magnetischen Momente im atomaren Bereich sind unvollständig

kompensiert. Nm = 10–5…10–3, Pr # 1. Paramagnetismus ist tempera-

turabhängig.

Ferromagnetismus

Die magnetischen Momente sind über größere Bereiche, Weiss’sche

Weiss’sche Bezirke

Bezirke oder Domänen gleichorientiert, um sich erst dann zu kom-

Austauschkräfte
pensieren. Dieser durch Austauschkräfte bewirkte Ausnahmezustand

Curie-Temperatur
in der Ordnung der Spinmomente wird bei der Curie- Temperatur T c

aufgehoben. Der Stoff ist dann paramagnetisch. Ferromagnetika er-

reichen praktisch zahlenwertgleiche Nm- bzw. Pr-Werte.

Antiferromagnetismus

Eine paarweise antiparallele Ordnung der magnetischen Momente im

Gitter durch die Austauschkräfte führt zu Antiferromagnetismus und
lässt den Stoff nach außen paramagnetisch erscheinen. Die thermi-

Néel-Temperatur
sche Zerstörung dieses Zustandes erfolgt bei der Néel- Temperatur.

Ordnungszustände magnetischer Momente (schematische Über-

sicht). n magnetisches Moment mit relativer Größe und Richtung

Ferrimagnetismus

Bei antiparalleler Ausrichtung ungleichgroßer magnetischer Momente

verbleibt ein resultierendes magnetisches Moment mit ähnlicher Wir-
kung wie bei ferromagnetischen Materialien. Dieser unvollständig
kompensierte Antiferromagnetismus heißt Ferrimagnetismus. Nm und

Pr sind nicht ganz so groß wie bei Ferromagnetika.

74

Werkstoffkunde

3

Magnetische Leitfähigkeit

4.3 Magnetisierung

Wandverschiebungen

Die Ausrichtung der Weiss’schen

Bezirke erfolgt durch Wandver-

schiebungen und Drehprozesse.

Bei kleinen Feldstärken treten

(Bloch)Wandverschiebungen auf. Stufen der Magnetisierung

Irreversible Drehungen;

Irreversible und reversible Dre-
a) ungestörter Zustand

Reversible Drehungen
hungen (Barkhausensprünge) b) Wandverschiebung

sind Reaktionen auf zunehmende
c) irreversible Drehung

Feldstärken.

d) reversible Drehung;

H magnetisierendes Feld

zunehmender Stärke

4.4 Magnetisierungs-

kurve

Der nur experimentell zu ermitteln-

de nichtlineare Zusammenhang

zwischen H und B wird durch die

Magnetisierungskurve;

Magnetisierungs- oder Hysterese-

Hysteresekurve;
kurve beschrieben. Die Neu- oder

Kommutierungskurve

Kommutierungskurve wird zu-

nächst durch Wandverschiebun-

gen, im Hauptteil durch irreversible

und bis zur Sättigung durch rever-

sible Drehungen bestimmt. Bei

verschwindender Feldstärke sinkt Grundsätzlicher Verlauf und

Remanenzflussdichte
die Flussdichte gegen die Rema-

Entstehung einer Hysterese-

nenzflussdichte B
schleife
r ab. B = 0 kann

nur über die entgegengesetzt ge-

Koerzitivfeldstärke
richtete Koerzitivfeldstärke – H c

erreicht werden.

Entmagnetisierung

Der Koordinatenursprung ist nur mittels Entmagnetisierung über

eine abklingende Wechselmagnetisierung zu erreichen.

Verlustfläche

Das Integral der Funktion B von H stellt eine Verlustfläche dar, die mit jedem Durchlauf wirksam wird und damit der Frequenz proporti-Hysterese-Verlustleistung
onal ist. Die auf die Masse bezogene Hysterese- Verlustleistung ist

p h, wobei A die der Hystereseschleifenfläche entsprechenden Ver-

luste angibt.

A � f
p

A
f

U
p

h

h

U

3

1

3

W kg

Ws m
s
kg m

Die elektrische Leitfähigkeit J der magnetischen Werkstoffe führt zu

Wirbelstromverluste

Wirbelstromverlusten p w. Für dünne Bleche und sinusförmige

Flussdichte gilt:

J

J

U
p

ˆ

1,64

B � f � d 2
w
p

B f
d
w

U

3

1

W kg S m kg m T s
m

Die Verluste werden im Allgemeinen zusammengefasst zu p = p h + p w, wobei die Flussdichte ˆ

B = 1,0 bzw. 1,50 T genormt ist.

75

Werkstoffkunde

3

Magnetika

4.5 Permeabilität

Permeabilität

Die Permeabilität P gibt den zahlenmä-

B

P

P P

'

�

ßigen Zusammenhang zwischen Fluss-

0
r

H

'

dichte B und Feldstärke H an. ' ist die

V � s

zur jeweiligen Definition gehörige Diffe-

7

P

0 4 � S � 10

A � m

renz. Pr ist eine weiter zu definierende

H

unbenannte Zahl.

6

1,256 � 10

m

Anfangspermeabilität

PA oder Pi (engl.) = Steigung der Neu-

1

ˆ

B

P P

�

kurve im Ursprung bei verschwindender

A
i

P

ˆ

0

H ˆ H o0

Aussteuerung. ƨ = 4 mA/cm (daher auch

P4). 4 mA/cm = 5mOe daher P5 in älteren

Unterlagen.

Wechselfeldpermeabilität

P~ = Steigung bei großer Aussteuerung,

1

ˆ

B

P

P

�

~ entspricht der üblichen Permeabilitäts-

~

P

ˆ

zahl P

0

H ˆ H groß
r. Ist zusätzlich zur Wechselfeldaus-

steuerung noch ein magnetisches Gleich-

feld H = vorhanden, ergibt sich die Über-

lagerungspermeabiltät (siehe auch P

rev).

Reversible Permeabilität

Prev = Steigung innerhalb der Hystere-

1

' B

seschleife, d. h. bei Gleichstromvormag-

Prev

�

P

' H ' o
z

netisierung. ' B und ' H liegen innerhalb

0

H 0. 0

H

0

der Hystereseschleife. Beim eigenen

Magnetfeld eines Dauermagneten liegt

Permanente Permeabilität
der Sonderfall der permanenten Perme-

abilität Pperm vor. Die permanente Per-

meabiltät sollte gegen 1 gehen.

5 Magnetika

Magnetika

Bei den Magnetika werden vom Werkstoff her Metalle und deren Le-

gierungen sowie Metalloxide (Ferrite) und nach den Anwendungsei-

genschaften Weich- und Hartmagnetika (Dauermagnete) unterschie-

Ferrite
den. Ferrite der Elektrotechnik sind chemische Verbindungen des

Eisen(III)-oxids Fe2O3 mit zweiwertigen Metalloxiden (MsO) vom all-

gemeinen Typus MsO�Fe2O3.

5.1 Weichmagnetika

Weichmagnetische Werkstoffe sind durch eine Koerzitivfeldstärke H c

Eisen

< 1 kA/m gekennzeichnet. Eisen ist mit verschiedenen Legierungszu-

sätzen wie Si, Ni, Mo u. a. der wichtigste magnetische Werkstoff. Die

Elektrobleche

Anforderungen an Elektrobleche werden gemäß DIN 46400 in einer

Viererkombination aus Buchstaben und Zahlen beschrieben.

Bezeichnung von Elektroblechen

V kalt oder warmgewalzt, nicht kornorientiert

1 Kennbuchstabe VH kaltgewalzt, nicht schlussgeglüht

VM kornorientiert

2 Verluste

Hundertfaches der Verlustkennziffer p 1,0

3 Blechdicke

Hundertfaches der Blechdicke in mm
bei Kennbuchstabe V zusätzlich:

4 Kennbuchstabe A kaltgewalzt oder

B warmgewalzt und geglüht

76

Werkstoffkunde

3

Dielektrische Eigenschaften

Übertrager

Werkstoffe für Übertrager behandelt DIN 41301 und 42302 sowie IEC

404-8-6. Der Kurzname besteht aus einem Buchstaben und einer

Ziffer, wobei, mit alphabetisch fortschreitenden Buchstaben die Legie-

rungsanteile wachsen. A…C steigender Si-Anteil, D…F Nickel und

Metallgläser
andere. Amorphe Metalle oder Metallgläser sind mechanisch harte magnetisch extrem hoch permeable Werkstoffe.

5.2 Hartmagnetika

(Dauermagnete)

Hartmagnetisch ist ein Werkstoff mit H

c > 1 kA/m (10 A/cm). Im Dau-
ermagneten gespeicherte Energie kommt über die Fläche der Hyste-

reseschleife zum Ausdruck. B r und H c sollten daher möglichst groß Energieprodukt
sein. Das Energieprodukt ( B� H)max ist ein für Dauermagnetwerkstoffe Entmanetisierungskurve
charakteristischer Wert. Die für Dauermagnete wichtige Entmagne-

tisierungskurve (Hysteresekurve im 2. bzw. 4. Quadranten) wird oft als

Polarisationskurve J Hc

Polarisationskurve J = f (H) und nicht als B = f (H) dargestellt. Die B

r-

Werte sind in beiden Fällen gleich, die Koerzitivfeldstärke J H c ist je-

doch größer als B H c. Ein guter Dauermagnetwerkstoff sollte eine Ent-

magnetisierungskurve haben, die möglichst „hoch“ liegt und ein

Pperm ~ 1 aufweist.

Dauermagnetwerkstoffe sind vorzugsweise ( Fe) AlNiCo- Legierungen

mit komplizierten Herstellungsverfahren. Energieprodukte liegen bei

50 kJ/m3 . Wesentlich höhere Werte bei 200 kJ/m3 erreichen die zu-

Selten-Erd-Magnete
nehmend an Bedeutung gewinnenden Selten- Erd- Magnete vom Ty-

pus SECo. SE ist dabei vorzugsweise Sm (Samarium). Pperm = 1

(recht genau!).

Ferrite

Hartmagnetische Ferrite haben eine geringere Remanenzflussdichte,

kleineres Energieprodukt, niedrigere Curie-Temperatur, aber eine merk-

lich höhere Koerzitivfeldstärke als Legierungsmagnete. Pperm § 1 (!).

Als keramische Werkstoffe sind sie leicht, korrosionsbeständig und

mechanisch hart.

Ba-Ferrite

Als Werkstoffe kommen praktisch nur Ba- Ferrite mit geringen Zusät-

zen von Sr, Pb bzw. Co vor. Das Energieprodukt liegt bei 20 kJ/m3.

6 Dielektrische

Eigenschaften

6.1 Modellvorstellungen
zur dielektrischen

Polarisation

In einem elektrischen Feld E (Verzicht auf die Vektordarstellung) zwi-

schen zwei Leiterplatten (Kondensator) sammeln sich auf jeder Platte

(freie) Ladungsträger an. Wird der Raum zwischen den Platten mit

Dielektrikum
einem Dielektrikum gefüllt, so verursacht das elektrische Feld darin im

Polarisation
atomaren bzw. molekularen Bereich eine Polarisation. Als Folge da-
von treten auf den Platten gebundene oder influenzierte Ladungen
auf. Die Ladung Q auf den Kondensatorflächen A mit Dielektrikum
ergibt sich zu:

Q H H

0 r AE

Q

H0

A E

As F/m
m2

V/m

77

Werkstoffkunde

3

Dielektrische Eigenschaften

Dielektrizitätskonstante

H0 = elektrische Feldkonstante oder absolu-

H0 = 8,85 · 10–12 F/ m

te Dielektrizitätskonstante.

Permittivitätszahl

Hr = Permittivitätszahl oder relative Dielektri-

zitätszahl.

Ne ist die elektrische Suszeptibilität, sie be-

Ne = Hr – 1

schreibt die durch das Dielektrikum zusätz-

lich mögliche Feld(linien)dichte.

Elektronenpolarisation

Elektronenpolarisation ist die Verschiebung der Ladungsschwerpunk-

te von Atomkern und Elektronenhülle. Wegen der geringen Trägheit

der Elektronen folgt die Elektronenpolarisation Wechselfeldern bis zu

den Frequenzen der UV-Strahlung.

Ionenpolarisation

Ionenpolarisation verschiebt die Ionen unter dem Einfluss des elektri-

schen Feldes und bewirkt eine Deformation des Gitters. Der Stoff ist

polar. Der Effekt ist bis zu Frequenzen der IR-Strahlung möglich.

Ionen- und Elektronenpolarisation sind von ähnlicher Größenordnung,

Deformationspolarisation
kaum temperaturabhängig und können als Deformationspolarisation

zusammengefasst werden.

Ordnungspolarisation

Ordnungspolarisation setzt Dipolmomente im molekularen Aufbau

voraus. Die Dipole ordnen sich in Feldrichtung, daher Ordnungs- oder

Polar

Orientierungspolarisation. Der Stoff ist (di) polar. Der Effekt, mit Grenzfrequenzen bis etwa 109 Hz, ist stark temperaturabhängig.

Grenzflächenpolarisation

Grenzflächenpolarisation tritt bei Dielektrika mit Einschlüssen guter

Leitfähigkeit auf. Es tritt eine höhere Polarisation auf, als es dem

homogenen Material entspräche. Der Grenzfall tritt auf, wenn das

Dielektrikum eine gewisse Leitfähigkeit aufweist.

6.2 Materialeinteilung

6.2.1 Dielektrische

Die Elektronenpolarisation ist in allen Stoffen von Null verschieden,

Materialien
d. h. Permittivität Hr > 1 bzw. positive elektrische Suszeptibilität für alle

Dielektrika.

Ferroelektrika

Ferroelektrika sind Materialien mit sehr großer Permittivität (Hr | 104)

und einer Hystereschleife der Verschiebungsdichte D = f (E). Eine

Koerzitivfeldstärke

Koerzitivfeldstärke Ec ist Grund für die Bezeichnung Elektret in Anleh-Elektret
nung an Magnet.

Piezoelektrika

Piezoelektrika reagieren mit einer Polarisation(sänderung) auf eine

mechanische Deformation und umgekehrt. Bei einer Reihe von Mate-

rialien kann eine, bei erhöhter Temperatur erfolgte Ausrichtung der

Dipolmomente, durch Abkühlung „ eingefroren“ und eine starke rema-

nente Polarisation erzeugt werden.

Pyroelektrika

Pyroelektrika sind polare piezoelektrische Materialien mit einer spon-

tanen Polarisation. Weil diese zwar mit der Temperatur veränderlich,

aber selbst bis zum Schmelzpunkt des Materials nicht aufhebbar ist,

Pyroelektrisch
heißt dieser Effekt pyroelektrisch.

6.2.2 Elektrische Materialien

Isolatoren

Die wesentlichste Kenngröße eines Isolators ist der Isolationswider-

Isolationswiderstand
stand mit spezifischen Widerständen von U = 1010…1020 :m. Es ist

Durchgangswiderstand
dabei noch zwischen Durchgangs- und Oberflächenwiderstand zu

unterscheiden. Durchgangwiderstand ist eine vom Stoff abhängige

und für ihn charakteristische Größe. Wegen einer stets vorhandenen

Anzahl freier Ladungsträger wird eine an den Stoff angelegte Span-

Querstrom
nung U einen stets von Null abweichenden Querstrom I verursachen.

Polarisationsstrom

Unmittelbar nach dem Anlegen einer Gleichspannung tritt ein Polari-

sationsstrom auf, der eine merkliche Abklingzeit ( Relaxationszeit)

aufweist. Der Durchgangswiderstand nimmt mit der Temperatur ab.

78

Werkstoffkunde

3

Dielektrika

Oberflächenwiderstand

Oberflächenwiderstand ist weniger eine Material- als eine Oberflä-

cheneigenschaft. Verunreinigungen auf der Oberfläche eines Isolators

Kriechströme
ermöglichen Kriechströme die, über Kriechspuren, das Material an-

greifen. Der Widerstand dagegen ist die Kriechspurfestigkeit.

Durchschlagfestigkeit

Durchschlagfestigkeit ist die beim Spannungsdurchschlag eines Iso-

lierstoffes wirksame elekrische Feldstärke E 0 in kV/cm oder kV/mm.

Sie sinkt im Allgemeinen mit wachsender Materialdicke. Für die Zu-

verlässigkeit elektrischer Geräte sind die Isolationseigenschaften der

Werkstoffe auch bei langzeitiger Temperaturbelastung wichtig.

Kondensatoren

Mit C = Q/ U folgt für Kondensatoren der

A

C H H

Kapazität

Fläche A die Kapazität C.

0 r d

Als Werkstoffgröße ist die Permittivitätszahl

Hr des Dielektrikums und der damit verbun-

C

H

0

A
d
dene Verlustfaktor tan G für die Beschrei-

F

F/m m2
m
bung der Verluste maßgebend. In der Er-

satzschaltung liegt der Kapazität C der

Leitwert G parallel. Aus der Definition des

Dielektrischer Verlustfaktor
dielektrischen Verlustfaktors als Verhältnis

G

1
tanG

von Wirk- zu Blindleistung folgt tan G

Z C

Z RC

R = 1/ G und mit dem Produkt R� C als Isola-

Isolationszeitkonstante
tionszeitkonstante oder Isolationsgüte in

: � P F oder s ist eine weitere Verlustdefini-

tion für Gleichstrom und niedrige Frequen-

zen möglich.

Eine besonders in der Kabeltechnik wichti-

Hcc = Hc �

G
r
tan

Verlustzahl
ge (dielektrische) Verlustzahl oder Verlust-

kennziffer ist Hs.

7 Dielektrika

7.1 Natürliche anorgani-

sche Dielektrika

Glimmer

Glimmer ist ein leicht spaltbares, schneid- und stanzbares Naturpro-

dukt mit hervorragenden elektrischen Eigenschaften. E 0 bis zu

1000 kV/cm, Hr # 6…8, tan G # 2 · 10–4.

Quarz

Quarz ist reines Siliziumdioxid, hochtemperaturfest, geringe Wärme-

dehnung und gute UV-Durchlässigkeit. Wegen seines Piezoeffektes

Resonator
dient Quarz als elektromechanischer Wandler und Resonator zur Frequenzstabilisierung in der Nachrichtentechnik. E 0 = 300…400

kV/cm, Hr = 3…4, tan G = 10–2…10–6.

Gase

Luft mit einer Durchschlagsfestigkeit von 20…30 kV/cm ist der am

häufigsten angewandte Isolator. Technisch noch wichtig: N: E 0 #

20 kV/cm, CO2: E 0 # 24 kV/cm und SF6: E 0 # 100 kV/cm. Mit erhöh-

Ionisierungsfeldstärke
tem Druck steigt die Ionisierungsfeldstärke für den Durchbruch und

damit die Durchschlagsfeldstärke. Erschwert ionisierbar sind auch

elektronegative Gase. Die bevorzugt als Halogenverbindungen wie

CCl4, CCl2F2, CF4, SF6 u. a. genutzt werden.

79

Werkstoffkunde

3

Dielektrika

7.2 Natürliche organi-

sche Dielektrika

Papier

Durch Tränkung entstehen Öl-, Öllack-, Schellack- und Kunstharz-

papiere mit E 0 etwa 10…50 kV/cm, Hr # 2…8, tan G # 0,5…10–2.

Textilstoffe

Verarbeitung nur getränkt. Lackseide (Ölseide) ist wegen der geringen

Dicke und guten elektrischen und mechanischen Eigenschaften wich-

tig. Bauwolle und Seide werden als Fäden und Bänder getränkt und

ungetränkt als Umhüllungen von Drähten benutzt.

Öle

Isolieröle (DIN 5107) sind hochsiedende Produkte des Erdöls. Durch-

schlagsfestigkeit auch in dünnen Schichten noch günstig, nachteilig

sind Wärmedehnung, Temperaturabhängigkeit der Viskosität, Ent-

flammbarkeit und Alterung durch den Luftsauerstoff. E 0 etwa 5…

30 kV/cm, Hr # 2…3, tan G # 10–3.

7.3 Künstliche anorga-

nische Dielektrika

Metalloxide

Metalloxide von Aluminium (Al2O3) E 0 etwa 10 kV/mm, Hr # 9,8,

tan G # 10–4) und Titan (TiO2) E 0 etwa 10 kV/mm, Hr # 85, tan G #

4 · 10–3) werden hochrein wegen ihrer geringen Verluste besonders

bei hohen Frequenzen als Trägermaterial eingesetzt.

Porzellane

Porzellane sind durch ihre Zusammensetzung in weiten Grenzen be-

einflussbar. Sie gehören zu den dichten keramischen Massen, sind

weitgehend gegen Basen und Säuren beständig und hochwider-

standsfähig gegen elektrische Funken. Für das wichtige Hartporzellan

von Isolatoren gelten E 0 = 30…35 kV/cm, Hr # 4…8, tan G # 0,02…0,1.

7.4 Künstliche organi-

sche Dielektrika

Zellulose-Kunststoffe

Für die Isolation sind die blauen Triazetat- und Azetobutyratfolien

wichtig E 0 etwa 20…50 kV/mm, Hr # 4, tan G # 0,01…0,02.

Chlophene

Chlophene sind thermisch und chemisch beständige chlorierte

Diphenile, die jedoch bei Bränden durch die Bildung von polychlorier-

ten Biphenylen (PCB) umweltgefährlich sind, E 0 etwa 200 kV/cm,

Hr # 4,5…6, tan G # 10–3. Als ungefährliche synthetische Isolierflüssig-

keit kann dafür Pentaerythrit-Tetraester eingesetzt werden, E 0 etwa

200 kV/cm, Hr # 3,3, tan G # 10–3.

Phenoplaste

Phenoplaste (PF) finden Anwendung bei Lacken, Schichtstoffen und

Pressmassen, E 0 etwa 5…20 kV/mm, Hr # 4…9, tan G # 0,05…0,3 und

T max #160 °C.

Polyesterharze

Polyesterharze (PETP) sind flüssige bis elastische oder auch splitter-

harte Kunstharze.

Epoxidharze

Epoxidharze (PE) haben gegenüber Polyesterharzen eine höhere

mechanische Festigkeit und ein sehr hohes Haftvermögen.

Polystyrol

Polystyrol, glasklar, spröde, hat noch bei Hochfrequenz niedrige Ver-

lustfaktoren.

Polyethylen

Polyethylen (PE) ähnelt Parafinen und hat, besonders vernetzt (VPE),

gute mechanische und thermische Eigenschaften, E 0 etwa

100 kV/mm, Hr # 2,3, tan G # 10–4.

Polyvinylchlorid

Polyvinylchlorid (PVC) ist ein guter Isolierkunststoff mit vielseitiger

Anwendung.

80

Werkstoffkunde

3

Dielektrika

7.5 Silikone

Siliconöle

Siliconöle ändern die Viskosität zwischen –60 °C und 300 °C kaum.

Teueres Imprägniermittel und flüssiges Dielektrikum, E 0 etwa

10 kV/mm, Hr # 3, tan G # 10–3 T max # 300 °C.

Siliconharze

Siliconharze sind lichtbogenfest und unbrennbar E 0 etwa 20…30

kV/mm, Hr # 3, tan G # 10–3.

Siliconelastomere

Siliconelastomere oder Siliconkautschuke sind gummielastische Mas-

sen mit Temperaturbeständigkeit zwischen –80…250 °C. Sie finden

Anwendung als Isolierungen und dauerelastische hochwarmfeste

Verbindungen zwischen praktisch beliebigen Werkstoffen. E 0 etwa

10…30 kV/mm, Hr # 3…9, tan G # 0,01…0,1, T max # 180 °C.

8 Literatur-

[1] Boll, Richard: Weichmagnetische Werkstoffe. PUBLICIS MCD,
hinweise

1990

[2] Cassing, Wilhelm; Hübner, Klaus- Dieter; Stank, Wolfram: Praxis-lexikon Magnettechnik. Expert Verlag GmbH, Renningen 2004

[3] Fischer, Hans: Werkstoffe der Elektrotechnik. Hanser Fachbuch-
verlag, München 2003

[4] Gundlach, F. - W. ; Meinke, Hans H.; Lange, K.; Löcherer, K.-H.

(Hrsg.): Taschenbuch der Hochfrequenztechnik, 3 Bd., Springer

Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1992

[5] Michalowski, Lothar: Magnettechnik, Grundlagen und Anwendun-
gen. Fachbuchverlag, Leipzig 1995

[6] Siemens AG, Ferrite und Zubehör. EPCOS Bestell-Nr. EPC

61002, 2002

[7] Spickermann, Diethart: Werkstoffe der Elektrotechnik und Elek-
tronik. Vogel Verlag, Würzburg 2002

[8] Münch, Waldemar von: Werkstoffe der Elektrotechnik. Teubner Verlag, Stuttgart 2003

81

Elektrotechnik

4

Der Gleichstromkreis

1 Grundbegriffe

Elektron, der kleinste
e 0 Elementarladung, kleinste Ladungsmen-

19

0
e 1,60218 � 10

As

Ladungsträger
ge in As

Spannung

U elektrische Spannung in V

W

Q elektrische Ladung in As

U

Q

W elektrische Arbeit in Ws oder J

Stromstärke, definiert als

I

Stromstärke in A
dQ

Änderung der Ladungs-
dQ Ladungsmenge in As

I

Q
dt
menge in der Zeit
dt Zeitdifferenz

Stromdichte

S Stromdichte in A/mm2

I

Stromstärke in A

S I

A

A Querschnittsfläche in mm2

Ohmsches Gesetz

R Widerstand in : (Ohm)

U

U Spannung in V

R

I

I

Stromstärke in A

Leitwert

G Leitwert in S (Siemens)

1

R Widerstand in : (Ohm)

G

R

Widerstand eines Drahtes

R Widerstand in : (Ohm)

U l
l

1

R

N

U spezifischer Widerstand in : · mm2/m

A

N A

U

l

Länge in m

A Querschnitt in mm2

N Leitfähigkeit in S/m

Temperaturabhängigkeit

- aktuelle Temperatur in °C

R R [1 D(- - )]

-

0

-

0
des elektrischen Wider-

-0 Bezugstemperatur, meistens 20°C
standes von Metallen

R- Widerstand bei der Temperatur - in :

R-0 Widerstand bei der Bezugstemperatur

in

:

D Temperaturkoeffizient, in 1/K

2 Der

Gleich-

stromkreis

2.1 Kirchhoffsche

Gesetze

Knotenregel oder

1. Kirchhoffsches Gesetz

In den Knoten fließende Ströme werden

1

I I 2 I 3 0

positiv, herausfließende Ströme negativ
n

gerechnet.

¦ I k 0

k 1

Maschenregel oder

Spannungspfeile, die im Umlaufsinn ge-

U U U U

2. Kirchhoffsches Gesetz

4

3

1

0
richtet sind, werden positiv, die gegen den

n

Umlaufsinn gerichteten negativ gerechnet.

U 0

¦

k
k 1

83

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Formeln und Tabellen Elektrotechnik,

DOI 10.1007/978-3-8348-2023-5_4, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014

Elektrotechnik

4

Der Gleichstromkreis

2.2 Schaltung von

Widerständen

Reihen-Schaltung,

R K Einzelwiderstände in :

n

Serien-Schaltung

R

R

R

¦
ges Ersatzwiderstand der Schaltung in :

ges
k

k 1

Parallel-Schaltung

R k Einzelwiderstände in :

n

1

1

R

¦
ges Ersatzwiderstand der Schaltung in :

R

R

G
ges

k
k 1
k

Einzel-Leitwerte in S

G
n
ges Ersatz-Leitwert der Schaltung in S

G

G

¦

ges
k

k 1

Stern-Dreieck-

R i

Stern-Widerstände

1

R � R 2

Umwandlung

R

12

R

1

R R 2
ij

Dreieckswiderstände

R

3

R 2 � 3

R

R 23 R 2 3

R

1

R

3

R � 1

R

31

R 3

R 1

R

R

2

Dreieck-Stern-

R i

Stern-Widerstände

12

R

� 3

R 1

R

Umwandlung

R

1
ij

Dreieckswiderstände Dreiecksschaltung

12

R

R 23 31

R

R

� R

23

12

2

R R R R

12

23

31

R 31 � R 23

R

3

12

R

R 23 R 31

Erweiterung des Messbe-

R M Widerstand des Messgerätes

1

U
n
reichs. Bei Spannungs-
n

Messbereichsverhältnis

M

U
messgeräten wird ein

U

M
maximale Spannung am Spannungs-

R R n

Vorwiderstand, bei
messgerät

V

M(

1)

Strommessgeräten ein

I

M
maximale Spannung am Strommess-

1

R
n I

M

R

Nebenwiderstand ge-
gerät

I

N

M
n 1
schaltet.

U 1 zu messende maximale Spannung

I 1
zu messender maximaler Strom

R N Nebenwiderstand für das Strommess-

gerät

R V Vorwiderstand für das

Spannungsmessgerät

Spannungsquelle

R i

Innenwiderstand der Spannungsquelle

K

U U q I i

R

R

a

Widerstand eines Verbrauchers

U IR

U q Quellspannung

K
a

U k Klemmspannung

U q
d U

I

I

R

K

Kurzschlussstrom

K
i
i

R
d I

Kombination von zwei

U q

Quellspannung der Kombination

U q 1

U U 2

Spannungsquellen,

U

1, U 2 Quellspannungen der einzelnen

R R R

Reihenschaltung

Quellen
i

1

2

R 1 , R 2 Innenwiderstände der einzelnen

U U

U

1

2
q

Quellen

I k

1

R 2

R
i

R

84

Elektrotechnik

4

Das Elektrische Feld

Parallelschaltung von

I K Kurzschlussstrom

1

U 2

R U 2 1

R
zwei Spannungsquellen

R

U q
i Innenwiderstand der Kombination

R R

1

2

1

U R 2 U 2 1

R

I

K

1

R � R 2

U

R R

q

1 2
i

R

I K

1

R 2

R

2.3 Energie, Leistung,

Wirkungsgrad

Fließt durch einen Wider-

U Spannung am Widerstand in V

W U � I � t
stand ein Strom, so wird

I

Strom durch den Widerstand in A

W
am Widerstand Energie
t

Zeit, in der der Strom fließt in s

P

U � I
t

und Leistung umgesetzt.

W elektrische Energie, die am Widerstand

2

umgewandelt wird, in Ws

U

P

P elektrische Leistung, die am Widerstand

R

verbraucht wird, in W

2

P R � I

Leistungsanpassung

Ein Verbraucher nimmt maximale Leistung

R R

a
i
auf, wenn der Innenwiderstand der Span-

nungsquelle und der Verbraucherwiderstand

gleich sind.

Wirkungsgrad

W N Nutzenergie in Ws

W

P

N

N

K

d

W

100%
zu z ugeführte Energie in Ws

W

P

Zu

Zu

P

N

Nutzleistung in W

P P P

P

V

Zu

N

zu zugeführte Leistung in W

P V Verlustleistung in W

K

Wirkungsgrad, oft in Prozent angegeben

3 Das

Elektrische

Feld

3.1 Grundgrößen

Elektrische Feldkonstan-

H0 elektrische Feldkonstante in As/Vm

As
te, dieser Wert gilt im

12

H

0 8.854 � 10

Vm

Vakuum

Coulombsches Gesetz,
q 1 Ladung 1 in As

1

1
q q 2

F

�

Kräfte zwischen zwei La-
q

12

2 Ladung 2 in As

2

4 SH0

12
r
dungen
r 12 Abstand zwischen den Ladungen

F 12 Betrag der Kraft zwischen den Ladungen

in N

G

Elektrische Feldstärke
q Probeladung in As

G

G

F

E

F Kraft auf die Probeladung qN

G
q

E elektrische Feldstärke in V/m

G

Potenzial im Punkt B, de-

E elektrische Feldstärke in V/m

B
finiert als Linienintegral
s Weg der Integration

M B E � ds

³ G G
von einem Punkt mit

B Endpunkt der Integration
f

Feldstärke E = 0, also

M Potenzial in V
im f

85

Elektrotechnik

4

Das Elektrische Feld

Potenzial einer Punkt-

Q Punktladung in As

1

Q
ladung, Elektrisches Feld
r

Abstand von der Punktladung in m

M

�

4 H

S
r
einer Punktladung

0

1

Q

E

�

2

4 H

S 0 r

Spannung, Potenzial-

M Potenzial in V

U

M M

G

AB

B

A

Differenz zwischen

E elektrische Feldstärke in V/m

B
zwei Punkten

U Spannung in V

U AB E � ds

³ G G

A

Elektrischer Fluss,

H0 elektrische Feldkonstante in As/Vm

2

< 4SH r E
elektrische Flussdichte

0
r

Abstand von der Ladung in m

E Betrag der Feldstärke in V/m

G G
ȥ

Dd
l A ¦n Q

\ elektrischer Fluss in As
i

i 1

D elektrische Flussdichte in As/m2

D H0 E

Elektrische Flussdichte

H0 elektrische Feldkonstante in As/Vm

D H H

0 r E
in einem Dielektrikum

Hr Permittivitätszahl (Materialkonstante)

des Dielektrikums

E Betrag der Feldstärke in V/m

D elektrische Flussdichte in As/m2

3.2 Kondensatoren

3.2.1 Kapazität

Kapazität eines Konden-

Q im Kondensator gespeicherte Ladung in As

Q
sators

U Spannung am Kondensator in V

C

U

C Kapazität in F (Farad)

Energie im Kondensator

Q im Kondensator gespeicherte Ladung in As

1

1

2

U Spannung am Kondensator in V

W QU CU

2

2

C Kapazität in F (Farad)

W Energie in Ws

Spezielle Kondensatoren

H0 elektrische Feldkonstante in As/Vm

Hr Permittivitätszahl des Materials im Kondensator

C Kapazität in F (Farad)

Platten-

A Fläche einer Platte in m2

A
kondensator
d Abstand der Platten in m

H H

Pl

C

0 r

d

Block-
n Anzahl der Platten

A
kondensator

A Fläche einer Platte in m2

H H

Bl

C ock n

1 0 r
d Abstand der Platten in m
d

Kugel-
r 1 Innenradius

1
r 2
r
kondensator

SH H
r

K

C

4 0 r

2 Außenradius

2
r 1
r

Zylinder-

L Länge in m

L
kondensator, r

C 2SH H

1 Innenradius

Z

0 r

§ r ·

Beispiel
r

2

2 Außenradius
ln¨ ¸

Koaxialkabel

© 1
r ¹

86

Elektrotechnik

4

Das Magnetische Feld

3.2.2 Schaltungen mit

Kondensatoren

Reihenschaltung

C ges Gesamtkapazität der Schaltung
n

1

1

C

¦
i
einzelne Kapazitäten

ge

C s

C
i 1

i

Parallelschaltung

C ges Gesamtkapazität der Schaltung
n

C

C

C

¦
i
einzelne Kapazitäten
ges
i

i 1

Laden eines Kondensa-

R Vorwiderstand
in

:

t
tors über einen Vorwider-

§

·

C

Kapazität in F

¨

RC
u

U
e

¸
stand

C

1
t

Ladezeit in s

¨

¸

©

¹

U
angelegte Spannung in V

u
t

§

·

C

Spannung am Kondensator in V

¨

¸

U 1 e W

i

Ladestrom in A

¨

¸

W

©

¹

Zeitkonstante in s

t
t

U

U

RC

�

� W

i
e
e

R

R

W RC

Entladen eines Konden-

R Parallelwiderstand in :

t
t
sators

C Kapazität in F

RC

C
u U e

U e W

t Entladezeit in s
t
t

U Ausgangsspannung am Kondensator in V

U

U

RC
i

� e

� e W

uC momentane Spannung am Kondensator

R

R

in

V

i Entladestrom in A, entgegengesetztes Vor-

zeichen zum Ladestrom

W Zeitkonstante in s

4 Das

Magnetische

Feld

4.1 Grundgrößen

Magnetische Feldkon-

P0 magnetische Feldkonstante in Vs/Am

Vs
stante, dieser Wert gilt

7

P

0 4S � 10

Am
im Vakuum

Durchflutung.

I

Stromstärke in A
n

Ist gleich der Summe der

4 Durchflutung in A

4 ¦ I
von einer Feldlinie einge-
i
i 1

schlossenen Ströme

Durchflutungsgesetz
s

Weg im Feld in m
n

G G
l

I

Stromstärke in A

Hds ¦ I i

H
magnetische Feldstärke in A/m
i 1

Feld um einen strom-

I

Stromstärke in A

I

H

führenden Leiter
r

Abstand vom Leiter in m

2S r

H
magnetische Feldstärke in A/m

Feld im Inneren

I

Stromstärke in A

IN

H

einer Ringspule

N

Anzahl der Windungen

2S r
r
mittlerer Radius in m

H
magnetische Feldstärke in A/m

87

Elektrotechnik

4

Das Magnetische Feld

Feld im Inneren einer

I

Stromstärke in A

N
langen Zylinderspule

N

Anzahl der Windungen

H

I
l

l

Länge der Spule

Feld im Inneren einer

I

Stromstärke in A

NI
kurzen Zylinderspule

N

Anzahl der Windungen

Mitte

H

2

2

l

Länge der Spule
l d

d

Durchmesser der Spulenwicklung

NI

H

H

Rand

Mitte Feld in der Mitte der Spule in A/m

2

2

2 l d

H Rand Feld am Rand der Spule in A/m

Feld eines Kreisstromes

I Stromstärke in A
in einem Punkt P

P liegt im Zentrum

H I

R Radius des Kreis-

2 R

stromes in m

2

l Abstand vom Zent-

IR

P liegt auf der auf der

H

3
rum des Kreisstro-

Mitelachse

2 2

2

R l

mes in m

Biot-Savartsches Gesetz,

I

Stromstärke in A

I � ds
dient zur Berechnung ei-
ds

Leiterelement der Länge ds in m
dH
sinD

2

4S r
nes Magnetfeldes in ei-
r

Abstand des Punktes P vom
nem Punkt P bei beliebig

Leiterelement ds
geformtem Leiter

D Winkel
zwischen
ds und Richtung zu P

dH
ds

Magnetischer Fluss, Ge-
udt

³ Spannungsstoß in Vs

I udt

³
samtheit der Feldlinien,
die von einer Leiterschlei-

)

magnetischer Fluss in Vs oder Wb (Weber)

fe eingeschlossen sind

Magnetische Flussdichte

) magnetischer Fluss in Vs

I

A

B

n vom Fluss durchsetzte Fläche in m2

A n

B
magnetische Flussdichte in Vs/m2 oder in T

(Tesla)

Flussdichte und

P0 magnetische Feldkonstante in Vs/Am

B P � P � H

Feldstärke in Materie

0
r

P

r relative

Permeabilität

H
magnetische Feldstärke in A/m

B
magnetische Flussdichte in Vs/m2 oder

in T (Tesla)

4.2 Kräfte im

Magnetfeld

4.2.1 Kräfte auf Ladungen

G

G

G

Lorentzkraft, Kraft auf
q

Ladung in As

� u
eine bewegte Ladung

L

F
q v B
v

Geschwindigkeit in m/s
im Magnetfeld

B
magnetische Flussdichte in T

�

M

L

F
qvB sin

M

Winkel zwischen dem Vektor der

Geschwindigkeit und dem Vektor
der Flussdichte

F L Lorentzkraft in N

88

Elektrotechnik

4

Das Magnetische Feld

Kreisbahn eines Elek-
m

Masse des Elektrons in kg
mv
trons im Magnetfeld
v

Geschwindigkeit in m/s
r

e B

e

0

0

Ladung des Elektrons (Elementarladung)

in As

B
magnetische Flussdichte in T

r

Radius der Kreisbahn in m

Hall Effekt, Folge

R H Hall-Koeffizient in m3/As, Material-

B
der Lorentzkraft
konstante

H

U H

R � I
b

I

Strom durch die Hallsonde in A

B
magnetische Flussdichte in T

b

Breite der Hallsonde (in Richtung von B)

in m

4.2.2 Kräfte auf Leiter

G

G

G

Kraft auf einen strom-
l

Länge des Leiters im Magnetfeld

F l � I u B
führenden Leiter

I

Stromstärke in A

F l I B sinM

B
magnetische Flussdichte in T

M

Winkel zwischen der Richtung des Stro-

mes und dem Vektor der Flussdichte

F

Kraft auf den Leiter in N

Kräfte zwischen zwei

I 1 , I 2 Stromstärken in den Leitern in A

P0 1 II 2 l
parallelen Leitern

d

Abstand zwischen den Leitern in m

12

F

2 S d

P0 magnetische Feldkonstante in Vs/Am in

Vs/Am

F 12 Kraft zwischen den Leitern 1 und 2 in N

Fließen die beiden Ströme entgegenge-

setzt, so stoßen sich die Leiter ab.

4.3 Materie im

Magnetfeld

4.3.1 Definitionen

Relative Permeabilität

B M Flussdichte in der Materie in T

M

B

M

B

P

B
r

0

Flussdichte im Vakuum in T

P

0

B

0 H 0

P0 magnetische Feldkonstante in Vs/Am

P P

P

B

H
r
relative Permeabilität, dimensionslos

M
r 0 0

H 0 Magnetfeld im Vakuum in A/m

Magnetische

Pr relative Permeabilität, dimensionslos

F P

M
r 1

Suszeptibilität

FM Suszeptibilität,
dimensionslos

Magnetische Polarisation

J
magnetische Polarisation in T

J M

B 0

B

J Pr

1 0

B

J P0 M

Magnetisierung

Pr relative Permeabilität, dimensionslos

M FM H 0

FM Suszeptibilität,
dimensionslos

M Pr

1 H

H

0

0

Magnetfeld im Vakuum in A/m

M

Magnetisierung in A/m

89

Elektrotechnik

4

Das Magnetische Feld

4.3.2 Stoffmagnetismus

Pr relative Permeabilität, dimensionslos

F

M Suszeptibilität,
dimensionslos

Diamagnetismus

Magnetische Eigenschaft, die bei allen Stoffen P

r

1
vorhanden ist, aber bei den meisten Stoffen

F
durch andere magnetische Eigenschaften

M

0

überdeckt wird

4

9

10

F 10

M

Paramagnetismus

Die Temperaturabhängigkeit der Suszeptibili-

Pr ! 1

tät ist durch das Curie-Gesetz gegeben.

F !

M

0

6

2

10

FM 10

Curie-Gesetz

C Curie-

C

Konstante in K

FM

T

T Temperatur in K

Ferromagnetismus

Wegen des großen Wertes von Pr in der Elek-

Pr !! 1

trotechnik oft verwendete Stoffe. Die Magneti-

F !!

sierungskurve ist eine Hysterese P

M

0
r ist nicht

konstant, sondern vom Magnetfeld H und der

Pr ! 500

Vorgeschichte des Materials abhängig.

B Flussdichte in T

1 B

H Magnetfeld in A/m Pr

P H

Relative Permeabilität

0

P

r relative Permea-

bilität

1 dB

Differentielle

P

P

d differentielle Per-
d

P dH

Permeabilität
meabilität

0

Ummagnetisierungs-
w Verlustenergie-
w l HdB

verluste, entstehen bei
dichte in Ws/m3

jedem Durchlaufen der H Magnetfeld in A/m w ˆ H

A ysterese

Hysterese, bei Wech-

B Flussdichte in T

selfeldern also in jeder A Fläche der Hyste-

Periode
resekurve

Temperaturabhängig-

C Curie-Konstante

C

keit, bis zur Curie-
in K

FM

T T

Temperatur ist de Stoff T Temperatur in K

C

ferromagnetisch, ober-

T C Curie-Temperatur

halb wird er paramag-

netisch

4.4 Magnetische Kreise

Magnetische Spannung

I

Stromstärke in A

G

G
l

N

Anzahl der stromführenden Leiter

V

H � dl NI

H

Magnetfeld in A/m

V 4
l

Weg im Magnetfeld in m

4

Durchflutung in A

V

Magnetische Spannung in A

90

Elektrotechnik

4

Induktion

Magnetischer Widerstand
l

Weg im Magnetfeld in m

A

Querschnittfläche des Materials in m2
m

R
l

P P A

R

0 r
m magnetischer Widerstand in A/Vs

Unverzweigte Kreise

N

Anzahl der Leiter

V 4 N

¦

I

I

Stromstärke in A

4
magnetischer Fluss in Vs

V
magnetische Spannung in A

Eisenkern mit Luftspalt

N

Anzahl der Leiter

B

E

I

Stromstärke in A

E

H E
l NI

L
l

P

B

0

E

Flussdichte im Eisenkern in T

l L

Breite des Luftspaltes in m

l

E
mittlere Länge des Eisenkerns in m

H

E Magnetfeld im Eisenkern in A/m

Verzweigte Kreise, es gel-

) magnetischer Fluss in Wb
n
ten analog zum elektri-

4

Durchflutung in A

I

¦ i 0
schen Kreis Knoten und

H

Magnetfeld in A/m
i 1

Maschenregeln
l

Strecke im Magnetfeld in m
n

4

H

¦ i i l

i 1

5 Induktion

5.1 Induktionsgesetz

Allgemeine Gleichung

N

Anzahl der Windungen
d I

B

Flussdichte in T
in
u d N

dt

A n Normalkomponente der vom Magnetfeld

§
dB
durchsetzten Fläche

·
n

A

¨

¸

u
dt
ind induzierte Spannung in V
u

N ¨

¸

ind

¨
n
dA

¸

¨ B

¸

©
dt

¹

Bei Rotation einer

B

Flussdichte in T
u

B� A�Z �

Z t

Leiterschleife im konstan-
ind
sin

A

Fläche der Leiterschleife in m2
ten Magnetfeld, Genera-

Z

Z 2S � f

Kreisfrequenz in 1/s
torprinzip
f

Frequenz in Hz

u ind induzierte Spannung in V

Bei Änderung des Mag-

N

Anzahl der Windungen
dB
u

N

A

netfeldes und konstanter

B

Flussdichte in T
ind
dt

Fläche, Transformator-

A
vom Magnetfeld durchsetzte Fläche
prinzip

5.2 Induktivität

von Spulen

Luftspule

Pd differentielle Permeabilität

A

Induktivität einer Spule

2

L P0 N

N Anzahl der Wicklungen
l

A Querschnittsfläche
der

Spule mit

Spule in m2

2 A

L P P N

Eisenkern
l

Länge der Spule in m

0 d
l

L Induktivität in H (Henry)

91

Elektrotechnik

4

Induktion

Reihenschaltung von
n

Anzahl der einzelnen Spulen
n

Spulen

L

¦
i

Induktivität der einzelnen Spule in H
ges

L

L i

L ges Gesamtinduktivität in H
i 1

1
n 1

Parallelschaltung

¦

ge

L s

L

i
i 1

Energie in einer Spule

L

Induktivität der Spule in H

1

2

I

Stromstärke in A

W

L I

2

W

Energie in Ws

5.3 Ein- und Ausschalt-

vorgänge

Einschaltvorgang

U
angelegte Spannung in V

R

U §

� t ·

R

Ohmscher Widerstand des Kreises in :

i

¨1

L
e

¸

R ¨

¸

t

Zeit in s

©

¹

L

Induktivität der Spule in H
t

§

·

W

Zeitkonstante in s

U

i

¨1 e W ¸

i

Stromstärke in A

R ¨

¸

©

¹

L

W

R

R

Kurzschließen der Spule

U � t

L
i
e

R

92

Elektronik

5

Dioden

1 Dioden

1.1 Begriffe

Charakteristische

I F

Kennlinie einer Diode

a

Durchlassspannung U
b

F

Durchlassstrom IF

Durchlaßbereich

Durchlassbereich

F = forward direction,

U R(BR)

Vorwärtsrichtung

U

U(TO)

R

U F

Schleusenspannung U(T0)

Sperrspannung UR

Sperrstrom I
a) Silizium

R

b) Germanium

Sperrbereich

I R

R = reverse direction,

Rückwärtsrichtung

Durchbruchspannung

UR(BR)

Grenzwerte

Stossspitzensperrspannung (reverse surge

U RSM in V

maximal voltage)

PeriodischeSpitzensperrspannung ( reverse repetiv

U RRM in V

maximal)

Dauergrenzstrom ( forward average value)

I

FAV in

A

Durchlassstrom-Effektivwert ( forward root mean square) I

FRMS in

A

Stossstrom-Grenzwert ( forward surge maximal current) I

FSM in

A

Maximale (totale) Verlustleistung

P

tot in

W

Maximale Sperrschichttemperatur

-Jmax in

°C

Kennwerte

- -

Zulässige Verlustleistung

J

U

V

P
in W

th

R JG R thGK R thK

Wärmewiderstand R

- -
thJU

J

U
th

R JU
thJ

R G t

R hGK
in K/W
th

R K

V

P

Wärmewiderstand Sperrschicht-Umgebung

R thJU in

K/W

Wärmewiderstand Sperrschicht-Gehäuse

R thJG in

K/W

Wärmewiderstand Gehäuse-Kühlkörper

R thGK in

K/W

Wärmewiderstand des Kühlkörpers

R thK in

K/W

Totale Verlustleistung

2
tot

P
t V

P U(T0) � F

I AV F
r � ( F � F

I AV ) in W

F FR

I MS

Formfaktor

Wechselstrom-

I ) $ 9
widerstand rF

U

'

(dynamischer Durchlass-

F

F
r
in :

widerstand)

' F I

93

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Formeln und Tabellen Elektrotechnik,

DOI 10.1007/978-3-8348-2023-5_5, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014

Elektronik

5

Dioden

Diodenschalter

I F

U
mA

B

U B

Durchlaßbereich

Durchlassbereich

t

R

I

AP

F

U

U

R

U BR

B

U B

U

U

R

AP

I

F

R

U F

U R

U B

R

Sperrbereich

I R

m A

B

U F

I � R F

U

(Schalter geschlossen )

�

B

U

R

I

R

R

U (Schalter
offen

)

Versorgungsspannung U B in

V

Spannung U R am Widerstand R in

V

Schaltleistung

2

2

S

P F

I � L

R d F

I AVM � L

R in

W

Lastwiderstand R

L in

:

1.2 Gleichrichter

Es gilt U

D << U S1

Schwellspannung U

D in

V

Spitzenspannung U

S1 in

V

Effektivwert

U RMS in

V

Laststrom

I L in

A

Einweggleichrichter

M1

periodische Spitzensperrspannung U

2 � U

RRM

RMS

periodischer Spitzendurchlassstrom FRM

I

2 � D

I

Durchlassstrom I

I

FAVM

L

Mittelpunktschaltung

M2

94

Elektronik

5

Dioden

periodische Spitzensperrspannung

RRM

U

2 � RMS

U

periodischer Spitzendurchlassstrom

FRM

I

2 � D

I

Durchlassstrom

FAV

I

M 0,5 � I L

Brückengleichrichter

I D

I L

B2

U D

V1

V2

U

U

R

U

N

1

L

L

T1 V3 V4

U D

periodische Spitzensperrspannung

U

2 � U

RRM

RMS

periodischer Spitzendurchlassstrom

FRM

I

2 � D

I

Durchlassstrom

FAV

I

M 0,5 � L

I

1.3 Glättung, Siebung

Ausgangsspanung

U

U

U

U

AVL

AV

BrSS

AVL

Gleichspannungsanteil

U AV in

V

überlagerte Wechselspannung U BrSS in

V

Netzfrequenz
f N in

Hz

Frequenz der Brummspannung f Br in

Hz

Einweggleichrichter

M1

maximale Sperrspannung

U

2 � 2 � U

RRM

RMS

U
periodischer Spitzenstrom

AVL

I
d

FRM

R i � R L

U

Einschaltspitzenstrom

S1

FRME

I
d

R i

I

Brummspannung (Spitze-Spitze)

3

L

Br

U SS 14 � 10 s �

C

L

Ladekondensator C

L in

F

Brückengleichrichter

I D

I L

B2

V1

V2

I C

I

U

U

D

N

1

C

R

U

L

L

L

T1 V3 V4

95

Elektronik

5

Dioden

maximale Sperrspannung

RRM

U

2 � RMS

U

U
periodischer Spitzenstrom

AVL

FR

I M d

R i � R L

U

Einschaltspitzenstrom

S1

FRME

I
d

R

i

I

Brummspannung (Spitze-Spitze)

3

L

U

5 � 10 s �

BrSS

L

C

Ladekondensator C

L in

F

R

V1

V2

S

U N

U 1

R

U

L

L

C

C

L

S

T1

V3

V4

Glättungsfaktor,

Br

U 1

Siebfaktor g
g

U

Br 2

Glättung der Brumm-

spannung UBr

RC-Siebglied

LC-Siebglied

Siebung mit Z-Diode

R

2

2

2
g Z

4

2

2

Z

Br �

S

R � S

C 1 g

Br � S

L � S

C 1

V
g 1

r
g | Z � R � C

2
g | Z � L � C

Z

Br

S

S

Br

S

S

Z

Z

Br 2 � S � Br
f

Br 2 � S � Br
f

f

2 � f
f
f

Br

N

Br

N

differenzieller Sperrwiderstand r

Z in

:

Siebwiderstand

R

S in

:

Siebkondensator

C

S in

F

Siebspule

L

S in

H

1.4 Spannungs-

stabilisierung

Z-Diode

96

Elektronik

5

Transistor (Bipolar)

U A U Z

|

�

|

�

E

U

2...4 U A und E

U min 1,2...2 U A (Spannungsschwankung)

für R A f: gilt I A 0 A o I V I Z

I

| 0,1� I
und I

| 0,9 � I

(Lastschwankung)

Zmin

Zmax

Amax

Zmax

für 0 d R A d f: o I A ! 0 A o I V I Z I A U

U

Vorwiderstand R

Emax

Z

R

|

V

V min

I

I

Zmax

A min

Em

U
in U Z

R

|

Vmax

I Zmin I Amax

Spannungsänderung ' U

'

� '

Z

U Z

Z
r

I Z

U

'

E

U

R

U

Stabilisierungsfaktor S

E

V

A

S

(1

) �

'

U

A

Z
r

E

U

U A

Z-Dioden-Spannung

U Z

Ausgangsspannung

U A

Eingangsspannung

U E

Laststrom

I A

Z-Dioden-Strom

I Z

Versorgungsstrom

I

V

Lastwiderstand

R

A

Vorwiderstand

R

V

2 Transistor

(Bipolar)

– I

I C

C

I

– I B

– U

B

U

CE

CE

– U

U

BE

BE

– I

I

E

E

Spannungs- und Strompfeile am pnp- und npn-Transistor

Kollektor-Emitter-Spannung

U CE in

V

Kollektor-Basis-Spannung

U CB in

V

Basis-Emitter-Spannung

U BE in

V

Basisstrom

I B
in V

Kollektorstrom

I C in

V

97

Elektronik

5

Transistor (Bipolar)

Eingangskennlinie

I B f ( B

U E)

U

DC-Eingangswiderstand

BEA

BE

R

(Gleichstromwiderstand)

I

BA

U

'

AC-Eingangswiderstand

BE
r

(differenzieller Widerstand)

BE

' B

I

Basisstrom

I

B in

A

Basis-Emitter-Spannung U BE in

V

Stromsteuerkennlinie

I C f ( B

I )

I

Gleichstromverstärkung

C

B

I

B

I

Kleinsignalverstärkung

C

E

'

' I B

Ausgangskennlinien

I C f ( U CE )

I B = Parameter

98

Elektronik

5

Transistor (Bipolar)

Spannungsrückwirkung

U

BE

V

0,8

I B

'

0,6

3 m A

U

BE

U

D

U

'

0,4

2 A
m

CE

I = const.

B

0,2

1 m A

0

2

4

6

8

10

U CE

V

Vier-Quadranten-

I C

Kennlinienfeld

II

I

I B

B=f( U

)

CE

I

U

B

CE

D = f ( I )

r

= f ( U

)

u

B

BE

CE

III

U BE

IV

2.1 Grenz- und

Kennwerte

Grenzwerte
zu hohe Kollektor-Emitter-Spannung U CE > U CEmax

zu großer Kollektorstrom

I C >

I Cmax

zu große Verlustleistung

P V > P tot

zu hohe Umgebungstemperatur

-U > -Umax

zu große Basis-Emitter-Spannung

U BE > U BEmax

zu großer Basisstrom

I B >

I Bmax

Gesamtverlustleistung

P U

� I U

� I d P

V

CE

C

BE

B
tot

V

P | U CE � I C d t

P ot (vereinfacht)

zulässige Sperrschichttemperatur -J

bei Germanium-Transistoren

-J | 90 °C

bei Silizium-Transistoren

-

J | 150 °C bis 200 °C

Durchbruchspannungen

Restströme

U CE0 < U CER < U CES <

U CEV

99

Elektronik

5

Transistor (Bipolar)

Kenndaten

Sättigungsspannung

U CEsat in

V

Restströme

I CE0 in

A

Frequenzabhängigkeit
der Verstärkung

Grenzfrequenz f g Verstärkung

E um 3 dB gesunken

Transitfrequenz f T Verstärkung

E auf E = 1 gesunken

2.2 Ersatzschaltbild

mit h-Parameter

Transistor als Vierpol

�

�

1
u 1
h 1 � 1 i 1
h 2 � u 2
u
h
i
h
u

BE

11

B

12

CE

i 2 2
h 1 � 1 i 2
h 2 � u 2
i C 2
h 1 � B
i 2
h 2 � C
u E

allgemein
auf Transistoren angewendet

(Die in den Datenblätter angegebenen h-Parameter gelten immer nur

für einen bestimmten Arbeitspunkt, eine bestimmte Temperatur und

eine bestimmte Frequenz.)

Bedeutung

U

'

u

der h-Parameter

BE

BE

11
h BE
r

Kurzschluss-Eingangswiderstand in :

' B

I
i B

für U CE = const und u CE = 0

' BE

U

BE
u

Leerlauf-Spannungsrückwirkung

12
h

U

D

' U CE

C
u E

(dimensionslos)

für I

B = const und i B = 0

C

I
i C

E

'

Kurzschluss-Stromverstärkung

21
h

' B

I
i B

(dimensionslos)

für U

CE = const und u CE = 0

1

I

'

C
i C

22
h

Leerlauf-Ausgangsleitwert in 1/: = S

CE
r

U

' CE

CE
u
für I B = const und i B = 0

100

Elektronik

5

Transistor (Bipolar)

Umrechnung für andere

Arbeitspunkte

Umgerechnete h-Parameter

neu
h
al
h t � H ei

h
h � H

neu
alt
eu

�

�

neu
h
al
h t H ei H eu

Wechselstrom-
i
i

B

C

Ersatzschaltbild
h i

21 B

h 11

1

u
h
u
e

22
a

h u

12 a

Emitterschaltung

11
h e 11
h

12
h e 12
h

21
h e 21
h

22
h e 22
h

Basisschaltung

11
h e
h
h

'

h
h

'

h
h

12e
e
h

21e
e
h

22e
h

11b

¦ 12b

21b

22b
e
h

¦

e
h

¦

e
h

¦
e
h

' h h

� h
h

� h

e

11e

22e

12e

21e

e
h 1 1
h 2e 2
h 1e '

¦
e
h

Kollektorschaltung

11
h c 1
h 1e

12
h c 12
h e 1

21
h c 21
h e 1

22
h c 22
h e

101

Elektronik

5

Feldeffekttransistoren (unipolare Transistoren)

3 Feldeffekt-

transistoren

(unipolare

Transistoren)

3.1. Sperrschicht-FET

(selbstleitend)

PN-FET, JFET

Gate G

(Tor)

Drain D

(Senke)

Source S

(Quelle)

Gate-Source-Spannung

U GS
in V (Steuerspannung)

maximale Sättigungsspannung U DSS in

V

Drain-Source-Spannung

U DS in

V

Drainstrom

I D
in A (Arbeitsstrom)

maximaler Sättigungsstrom

I DS in

A

N-Kanal-JFET

Steuer- und Ausgangskennlinie

Abschnürspannung U P

( I D = 0V)

102

Elektronik

5

Feldeffekttransistoren (unipolare Transistoren)

P-Kanal-JFET

Steuer- und Ausgangskennlinie

Abschnürspannung U

P

( I D = 0V)

Verwendung
im ohmschen Bereich als span-

nungsgesteuerter Widerstand:

DS

U
d DSP

U

D

U SS U GS

Kenn- und Grenzwerte

Elektrische Überlastung tritt auf, wenn

Drain-Source-Spannung U DS > U DSmax
in V

Drain-Gate-Spannung

U DG > U DGmax in

V

Drain-Strom

I D > I Dmax = I DSS in A

Gate-Strom

I G > I Gmax in

A

Verlustleistung

P

V > P tot in

W

Sperrschichttemperatur -

J > -Jmax in

°C

V

P D

U S � D

I d t

P ot

3.2. Insulated-Gate-FET

(MOS-FET)

Selbstleitender IG-FET

Selbstsperrender IG-FET

N-Kanal-Typ

Steuer- und Ausgangskennlinie

Steuer- und Ausgangskennlinie

103

Elektronik

5

Feldeffekttransistoren (unipolare Transistoren)

P-Kanal-Typ

Steuer- und Ausgangskennlinie

Steuer- und Ausgangskennlinie

Elektrische Überlastung tritt auf, wenn

Kenn- und Grenzwerte

Drain-Source-Spannung U

DS > U DSmax
in V

Drain-Gate-Spannung

U

DG > U DGmax in

V

Drain-Strom

I

D > I Dmax = I DSS in

A

Gate-Strom

I G > I Gmax in

A

Verlustleistung

P V > P tot in

W

Sperrschichttemperatur -J > -Jmax in

°C

V

P D

U S � D

I d t

P ot

3.3. Ersatzschaltbild

mit y-Parameter

Vierpolgleichungen

�

�

i 1 y 11 u e y 12 u a

i 2 y 21 � u e y 22 � u a

Vorwärtssteilheit

AC-Ersatzschaltbild

Steilheit der Kennlinie um den Arbeitspunkt

I

'

Ausgangsleitwert

D
y 21
bei

U

'

DS = const.

U GS

Steilheit der Ausgangskennlinie um den Arbeitspunkt

' D

I

1
y

für U

22

'

GS = const.

DS

U

DS
r

Betriebsgrößen
differenzieller Ausgangswiderstand r DS in

:

des Vierpoles

u
y

Spannungsverstärkung
a

21

V

u

u e
y

Y L

22
i
y � Y

Stromverstärkung

L

2

21

V

i

i 1
y

� ( y

Y L) y � y

11

22

12

21
y

� y

Eingangsleitwert

12

21
y y

y y � V
u
i

11

11

12
y

Y L

22
i
y � y

Ausgangsleitwert

2

12

21
y
y

0

22
u 1
y

Y g

11

104

Elektronik

5

Bipolar-Transistor als Verstärker

4 Bipolar-Tran-

sistor als

Verstärker

Verstärkerwirkung

Bipolarer Transistor im Vier-Quadranten-Kennfeld

Wechselspannung (Signal, AC) wird einer Gleichspannung (DC)

überlagert:

Kollektorwiderstand R C (o Arbeitsgerade)

U

Verlauf von CE

U

B

U nach

B

C

I

C

R

B

U

CE

U A

(Arbeitspunkt AP)

2

Damit ergeben sich: I CA, I BA, U BEA als Gleichstromwerte.

Amplituden des Signals laufen um diese Werte an der Arbeitsgeraden
entlang.

Versorgungsspannung

U B, V CC in

V

Kollektorwiderstand

R C
in :

Kollektor-Emitter-Spannung

U CE in

V

Kollektor-Emitter-Spannung im AP U CEA in

V

Kollektorstrom

I C in

A

Kollektorstrom im AP

I CA in

A

Basisstrom

I B in

A

Basisstrom im AP

I BA
in A

Basis-Emitter-Spannung

U BE in

V

Basis-Emitter-Spannung im AP

U BEA in

V

Eingangsspannung

U e in

V

Ausgangsspannung

U a in

V

105

Elektronik

5

Bipolar-Transistor als Verstärker

4.1 Grundschaltungen

des bipolaren Tran-

sistors

Betriebsgrößen laut Vier-
pol-Ersatzschaltbild

mit Spannungsrückwirkung
ohne Spannungsrückwirkung

i
h

Stromverstärkung

C

21

E
i

V

i

1 h � R

B

22

L

u
h � R

Spannungsverstärkung
a

21

L

V

u
u e

' h � L

R 1
h 1

mit ' h h � h
h � h

11

22

12

21

2
h

� R

Leistungsverstärkung

21

L

V

V � V

P
u
i

(1 22
h � L

R ) � ( 1
h 1 ' h � L

R )

' h � R h

Eingangswiderstand

L

11
e
r

1 22
h � L

R

u
h R
a

Ausgangswiderstand

11
g
a
r

i

' h h � R

C

22
g

Wechselstromeingangswiderstand
r e in

:

Wechselstromausgangswiderstand r a in

:

Spannungsverstärkung

V u (ohne

Einheit)

Stromverstärkung

V i (ohne

Einheit)

Leistungsverstärkung

V p

(ohne Einheit)

Phasendrehung des Signals

M in

Grad

Grenzfrequenz der Schaltung
f g in

Hz

Emitterschaltung

Emitter-Grundschaltung AC-Ersatzschaltbild

Wechselstromeingangswiderstand
eE
r

BE
r

11
h e
r

� R

Wechselstromausgangswiderstand

CE

C
aE
r

C
r E // C

R

CE
r

C

R

E

E � R � r

Spannungsverstärkung

C

CE
uE

V

� C
r E // C

R

BE
r

BE
r

� ( C

R C
r E)

106

Elektronik

5

Bipolar-Transistor als Verstärker

r

Stromverstärkung

CE

E
iE

V

�

R r

C

CE

2

r

R

Leistungsverstärkung

2

CE

C

V

E

�

�

PE

2

( C

R C
r E) � B
r E

maximale Leistungsverstärkung V Pmax bei Leistungsanpassung,

also R

C = r CE

Phasendrehung des Signals

M = 180°

Kollektorschaltung

Kollektor-Grundschaltung AC-Ersatzschaltbild

Wechselstromeingangswiderstand
r
r

E � R

eC
eE

E

r

R

Wechselstromausgangswiderstand

BE
g
r

R

aC

E //

E

Spannungsverstärkung

V

|

uC

1

r

Stromverstärkung

CE

V (E 1) �

iC

( E

R C
r E)

Leistungsverstärkung

V

| V

PC
iE

Phasendrehung des Signals

M = 0°

Basisschaltung

Basis-Grundschaltung AC-Ersatzschaltbild

r

Wechselstromeingangswiderstand
eE
eB
r

E

R

Wechselstromausgangswiderstand
g

� E
aB
r

C

R // C
r E (1

�

)

BE
r

Spannungsverstärkung

B

V u

V E 1

Stromverstärkung
iB

V | 1

Leistungsverstärkung

PB

V

| uB

V

Obere Grenzfrequenz

| E

Į
f

� g f

Phasendrehung des Signals

M = 0º

107

Elektronik

5

Bipolar-Transistor als Verstärker

4.2 Arbeitspunkteinstel-
lung, -stabilisierung

Arbeitspunkt AP

B

U C

U EA

I

C

R
und

CA

I

I

BA

B

CA

Arbeitspunkt AP (festgelegt durch U CEA und I CA)

Gleichspannungsverstärkung

B

Kollektor-Emitter-Spannung im AP U CEA

Kollektorstrom im AP

I CA

Basisstrom im AP

I BA

Erforderlicher Kollektorwiderstand

R C

Betriebsspannung

U B

Einstellung

Basisvorwiderstand Basisspannungsteiler

B

U B

U EA

R

q

I (2...10) � B

I A (Richtwert)

1

BA

I

B

U BEA

U

U

1

R

BEA

2

R

I q B

I A
q

I

Basisvorwiderstand R 1

Teilerwiderstände R 1, R 2

Basis-Emitter-Spannung

Querstrom I q

im AP U BEA

Basis-Emitter-Spannung im AP

U BEA

Stabilisierung durch

Gegenkopplung

V1

u 2v
u 1v
i k
u 1

R C
u 2
u k

R E

Strom-Spannungs-Kopplung

Regelkreis

RE

U

| (0,1...0,2) � B

U (Richtwert)

B

U ( BEA

U

RE

U )

U

U

1

R

BEA

RE

R

I

2
q B

I A

I q

Emitterwiderstand

R E

Spannung am Emitterwiderstand U RE

108

Elektronik

5

Bipolar-Transistor als Verstärker

Spnnungs-Strom-Kopplung Regelkreis

C

R !! gute Stabilisierung

1

R

B

U C

U EA

U

U

C

R

CEA

BEA

1

R

CA

I

B

I A

BA

I

U U

B

CEA

C

R

CA

I

B

I A q

I

U

U

U

CEA

BEA

1

R

BEA

2

R

BA

I
q I
q

I

mit Basisspannungsteiler

4.3 Dimensionierung

von Schaltungen

Emitterschaltung
mit CE

AC-Ersatzschaltbild mit C E

ein

R

1

R // 2

R // 1
h 1 B

R // BE
r

1
au

R s R //

C

R //

C

CE
r

22
h

AC-Ersatzschaltung (vollständig)

Ausgangswiderstand R aus

Eingangswiderstand R ein
mit L

R C

R // R A

g

R 1

R // 2

R // S

R

1

R // 2

R
u g S
u �

S

R 1

R // R 2

109

Elektronik

5

Bipolar-Transistor als Verstärker

E

gilt u

V

� ( C
r E // L

R )

r

BE

r

CE

V E �

i

L

R C
r E

R � r

2

B
eE

P

V u

V �

AC-Ersatzschaltung

R

� ( R r )

aus

B
eE

1

K1

C

K

C 2

2 � S � u f � ( aus

R
ein

R )

E
g

R

B
r E

� E

R

E

C

2 � S � f
R � ( R r )

u

E
g

BE

Spannungsverstärkung

V

u

Stromverstärkung

V

i

Leistungsverstärkung

V P

Innenwiderstand Signalquelle

R S

Innenwiderstand Ersatzquelle

R g

Signalspannung
u S

Signalspannung Ersatzquelle
u g

Lastwiderstand

R L

Ersatzwiderstand

R B

Koppelkondensatoren

C

K1, C K2

Emitterkondensator

C

E

ohne C
h

� R

E

21e

L

V c =

u

> 11
h e ( 21
h e 1) � E

R @

c
u

V u

V

L

R
c
r

u

V |
wenn

BE

E

R !!

E

AC-Ersatzschaltung ohne C

E

R

E

c

ein

R

B

R // > 11
h e ( 21
h e 1) � E

R @

ª

�

º

21
h e

E

R
c
au

R s | C
r E � 1

«

»

( 11
h e E

R

¬

S

R ¼

c
ei

R n ! e

R in

R
c ! R

aus
aus

Spannungsverstärkung V

uc

Eingangswiderstand

R

einc

Ausgangswiderstand

R ausc

Kollektorschaltung
i B

i B

R g
h 11
u e
i C
u g
u a

R

R

E

L

110

Elektronik

5

Bipolar-Transistor als Verstärker

R // R

g

R 1

R // 2

R // S

R o

1

2
u g S
u �

R R // R

S

1

2

ª

R � R

º
für r

!! R // R gilt

E

L

R

| r

«

E �

CE

E

L
ein

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�

Ë ¸

©

¹ R // R // r

E

L

BE

E

V E 1 |

| E

i

E

R // L

R

1

CE
r

V | V | E

P
i

ein

R

!! aus

R

(Impedanzwandler)

Signalquelle
u S

Innenwiderstand

R S

AC-Eingangswiderstand

R

ein

AC-Ausgangswiderstand

R

aus

Spannungsverstärkung

V

u

Stromverstärkung

V i

Leistungsverstärkung

V P

Basisschaltung
i
i

B

C
h i

21 B

R S

1
u e

R E
h

R
u

R

11
h

C
a

L

22

u S

1
u

E

R B
r E
ei

R n

E

1
i

B
r E ( 1)
E

R

E

BE
r

( 1)
S

R
au

R s |

// C

R | C

R

CE
r

S

R

E � R
für CE
r

!! C

R gilt

C
u

V |

BE
r

E

i

V

|1

E 1

E � R

C

P

V | u

V |

BE
r

E
go
f

� go
f Emitter

Signalquelle
u S

Innenwiderstand

R S

AC-Eingangswiderstand

R ein

AC-Ausgangswiderstand R aus

111

Elektronik

5

FET-Transistor als Verstärker

obere Grenzfrequenz
f go

Spannungsverstärkung

V u

Stromverstärkung

V

i

Leistungsverstärkung

V

P

5 FET-Transistor
als Verstärker

Verstärkerwirkung

Prinzipschaltung eines

Verstärkungsvorgang beim J-FET

Verstärkers mit J-FET

Wechselspannung (Signal, AC) wird einer Gleichspannung (DC)

überlagert:

Drainwiderstand R D (o Arbeitsgerade)

U

Verlauf von DS

U

B

U nach

B

D

I

D

R

B

U

DSA

U

(Arbeitspunkt AP)

2

Damit ergeben sich: I DA, U GS als Gleichstromwerte.

Amplituden des Signals laufen um diese Werte an der Arbeitsgeraden
entlang.

Versorgungsspannung

U B, V CC in

V

Drainwiderstand

R D
in :

Darin-Source-Spannung

U DS in

V

Darin-Source-Spannung im AP U DSA in

V

Drainstrom

I D in

A

Drainstrom im AP

I DA in

A

Gate-Source-Spannung

U GS in

V

Gate-Source-Spannung im AP U GSA in

V

Eingangsspannung

U e in

V

Ausgangsspannung

U a in

V

112

Elektronik

5

FET-Transistor als Verstärker

5.1 Arbeitspunkt-

einstellung und

-stabilisierung

Automatische Gate-

RS

U

U

GS DA

I

� S

R

Source-Spannung

(J-FET und

Normally-On-FET)

Vorspannung

Für G

I | 0 A gilt:

(Normally-Off-FET)

2

R

� B

U G

U S

1

R 2

R

I

D

S

R

GS

U A GSA

U

S

R

DA

I D

I A

1

R

B

U

1

2

R

S

I DA � S

R G

U SA

Sourcewiderstand

R S

Vorwiderstand

R V

Teilerwiderstände

R 1, R 2

maximale, minimale Eingangsspannung

U GSA+, U GSA–

maximaler, minimaler Ruhestrom

I DA+, I DA–

5.2 Dimensionierung

von Schaltungen

Sourceschaltung

mit Spannungsteiler

Ersatzschaltbild für HF

R � R

Z � R
mit

1

2

A

B

R
und

D

Z

L
gilt

1

R 2

R

Z

A

D

R

S g

Spannungsverstärkung
gs
u

V

(für HF)

S g ds g gs L

G

S

Spannungsverstärkung u

V

| S

� L

R (für NF)

g ds L

G

113

Elektronik

5

FET-Transistor als Verstärker

S � G

Stromverstärkung

L
i

V

(für

HF)

g � ( g

G )

gs
ds

L

S

Stromverstärkung

V |

(für

NF)

i
g gs

Z

�

Z

Eingangsleitwert
y i g gs g gd j
i

C ss
u

V ( g gd j
i

C ss)

(für

HF)

Eingangsleitwert
y i | g gs (für

NF)

j C

Z

� ( S j C

Z

)

Ausgangsleitwert
rss
rss
y

Z

(für HF)

a
g ds j
o

C ss

g

Z
gs
j
i

C ss g

Y

Ausgangsleitwert
y a | g ds (für

NF)

g

G g � (1 V )

obere Grenzfrequenz
gs
g
gd
u
o
f

2S � ª

�

º

¬ gs

C
gd

C

(1
u

V )¼

1

Koppelkondensatoren

E

C

2 � S � u f � ( B

R S

Z )

1

C A

2 � S � u f � ( D

R Z A)

Wesentlicher Merkmal im NF-Betrieb:

R � r

R � r

AC-Eingangswiderstand

V
gs
ein

R

|
bzw.

B
gs
ein

R

|

R V g
r s

B

R g
r s

R � r

AC-Ausgangswiderstand

D
ds
au

R s |

R r

D
ds

Rückwirkungsleitwert
g gd

Kanalwiderstand
r ds = 1/ g ds

Steilheit

S

Koppelkondensatoren

C E und C A

Drainschaltung

Ersatzschaltbild für HF

R � R

Z � R
mit

1

2

A

B

R
und

D

Z

L
gilt

1

R 2

R

Z

A

D

R

Spannungsverstärkung

S g

Z
gs
j ( iss

C
r

C ss)

u

V

(HF)

S g

Z
ds
g gs j ( i

C ss o

C ss 2 r

C ss) L

Y

S g

Spannungsverstärkung
gs
u

V

(für

NF)

S g ds g gs L

G

S � G

Stromverstärkung

L
i

V

(für

HF)

g gs �( g ds L

G )

114

Elektronik

5

FET-Transistor als Verstärker

S

Stromverstärkung
i

V |

(für

NF)

g gs

Eingangsleitwert
y g g j C

Z

V �( g j C

Z

) (für

HF)

i
gs
gd
iss
u
gd
iss

g ( S g )

g � G

Eingangsleitwert
gs
gs
gs

L
y i g gs g gd

|

(für NF)

S g gs g ds L

G

S L

G

g ( G S

Ausgangsleitwert
gs
g
y S g

(für

NF)

a
ds
g gs g

G

Wesentlicher Merkmal im NF-Betrieb:

AC-Eingangswiderstand

R V � (1 S � S

R ) � g
r s

R

|
bzw. R

| R

ein

R
ein

V

V (1 S �

S

R ) � g
r s

R � (1 S � R ) � r

B

S
gs
ein

R

|
bzw. ein

R

| B

R

B

R (1 S � S

R ) � g
r s

AC-Ausgangswiderstand

1

�

S

R

S

1

R

|

bzw.

R

|

aus

1
aus

S

S

R

S

o Sourcefolger

Rückwirkungsleitwert
g gd

Kanalwiderstand
r

ds = 1/ g ds

Steilheit

S

Generatorleitwert

G

g

Koppelkondensatoren

C

E und C A

Gateschaltung

Ersatzschaltbild für HF

R � R

Z � R
mit

1

2

A

B

R
und

D

Z

L
gilt

1

R 2

R

Z

A

D

R

S g
j C

Z

Spannungsverstärkung
gs
ds
u

V

g

Z
ds
g gd j ( gd

C
ds

C ) L

Y

(für HF)

S g

Spannungsverstärkung
ds
u

V

(für

NF)

g ds g gd L

G

115

Elektronik

5

Mehrstufige Verstärker

Stromverstärkung
i

V | 1

g ( G S g )

Eingangsleitwert
ds

L
gd
y S g

(für

NF)

i
gs
g ds g gd L

G

g ( g

G )

Ausgangsleitwert
ds
ds
g
y g

(für

NF)

a
gd

S g ds g gs g

G

sehr großer Eingangs- und kleiner Ausgangsleitwert bei HF

o sehr hohe Grenzfrequenz

6 Mehrstufige

Verstärker

Kapazitive Kopplung

1

K

C

2 � S � gu
f � ( au

R s e

R in)

n 1
f
f

c

�

gu
gu ( 2)

B c B

Koppelkondensator

C

K

Ausgangswiderstand erste Stufe

R

aus

Eingangswiderstand zweite Stufe

R ein

Untere Grenzfrequenz
f gu

Untere Grenzfrequenz des mehrstufigen Verstärkers f guc

Bandbreite

B

Bandbreite des mehrstufigen Verstärkers

B c

Direkte Kopplung

BE2

U

R 4

|

(Potenzialanpassung)

CE1

U

3

R R 4

R 4 // BE2
r
u

V ges | u

V 1 �

3

R R 4 // B
r E2

Verbesserte Schaltung

Anpassung durch Konstant-
stromquelle

Basis-Emitter-Spannung

U BE

Kollektor-Emitter-Spannung

U CE

Teilerwiderstände

R 3, R 4

Basis-Emitter-Widerstand
r BE

116

Elektronik

5

Endstufen

Direktkopplung

(mit Gegenkopplung)

Strom-Strom-Gegenkopplung Spannungs-Spannungs-

Gegenkopplung

7 Endstufen

Lage der Arbeitspunkte

Serien-Gegentakt-Verstärker

Lage der Arbeitspunkte bei

(Prinzipschaltung B-Betrieb)

B- bzw. AB-Betrieb

Gegentakt-Verstärker

Spannungsteiler mit Dioden

(Prinzipschaltung AB-Betrieb)

Vorteile:

Nachteile:

– kleiner Ruhestrom

– Komplementär-Transistoren

– kleine Verlustleistung
notwendig

– großer Wirkungsgrad

(K | 70 %)

– Großer Aussteuerbereich

( | r U B)

117

Elektronik

5

Operationsverstärker

8 Operations-

verstärker

Grundlagen

Ersatzschaltbild Übertragungskennlinie

D

U E

U

E

U

U A o

V � D

U
o

V

20 � lg o

V
dB

S
u 1 S
u 2

Gl

U

GL

V

20 � lg GL

V

2
dB

o

V

G

Gl

V

f V � f

T
u
g

U

'

slew-rate

A

2 � S � m
f � U Amax

't

max

Leerlaufspannungsverstärkung

V

o

Eingangsspannung

U E

Ausgangsspannung

U A

maximale Ausgangsspannung

U Amax

Transitfrequenz
f T

maximal übertragbare Frequenz
f m

Grenzfrequenz
f g

Gleichtaktspannung

U Gl

Differenzspannung

U

D

Gleichtaktunterdrückung

G (auch C

MRR)

Gleichtaktverstärkung

V GL

Verstärkerbetrieb
o

V

2

R

(frequenzunabhängige
u

V

1

R

R

Gegenkopplung)

1

1 o

V � R

2

R 2

T
f

U 2

V

u

1

R
g
f

1

U

2

R
c
e
r 1

R

1 o

V

Invertierender OP

118

Elektronik

5

Operationsverstärker

a
r
u

V

c
a
r
a
r �

V

V

o
o

1

R � 2

R

R

3

1

R 2

R

R

U

2

2
u

V 1

R

U

1

1

u

V
r c r �

a
a
o

V

V

o
c
e
r e
r �

u

V

Nichtinvertierender OP

u

V 1

a
r
c
c
a
r

o
a
r a
r

o

V

r c r � V o r c !! r

e
e
o
e
e

Impedanzwandler

Spannungsverstärkung

V u

Gegenkopplungswiderstand

R 2

Widerstand

R 1

Kompensationswiderstand

R 3

Eingangsspannung

U 1

Ausgangsspannung

U 2

Eingangswiderstand
r e

Ausgangswiderstand
r a

Eingangswiderstand der Schaltung
r ec

Ausgangswiderstand der Schaltung r ac

Transitfrequenz
f T

Grenzfrequenz
f g

Addierer

R

R

U

A

� 1

U

� U 2

1

R

R 2

R

R

U

A

� 1

U

� U 2

1

R

R 2

R

...

� n

U
n

R

119

Elektronik

5

Operationsverstärker

Subtrahierer

R 2

U A

� E

U 2 E

U 1

R

1

Gleichrichter

Für

(Zweipulsschaltung)

R 1 = R 2 = R 3 = 2 R 4 = R 6 = R

o US 3 US 1

Für R

6 z R

o

R

6

U

� U

S 3

S 1

R

Gegenkopplungswiderstand R 6

Eingangsspitzenspannung

U S1

Ausgangsspitzenspannung U S3

Integrierer

Gleichspannung

t
u u

�

U

a
e

A0

1

R � C

Wechselspannung

1
u

�
u

( t) � dt U

³

a
e

A0

1

R � C

Prinzipschaltung

Eingangsspannung u

e

Ausgangsspannung u

a

Integrationszeit
t

Anfangsspannung

U

A0

Differenzierer
du

e
u a 1

R � C �

dt

Prinzipschaltung

120

Elektronik

5

Elektronische Schalter, Kippstufen

9 Elektronische

Schalter,

Kippstufen

9.1 Transistor als

Schalter

Grundlagen

Transistorschalter Ausgangskennlinienfeld

U

U U

U

RC

B

CEsat

B

C

R L

R

|

I

I

I

CA

CA

CA

E

U B

U E

E

U B

U E

R V

BA

I
c

BA

I

I

CA
c �

BA

I

I
ü I

B

BA

BA

�

�
c

V

P

C

U Esat C

I A

BE

U

BA

I

| CEs

U
at � C

I A (im leitenden Zustand)

t

i
m

P V

P � v U CEsat � C

I A �

T

Lastwiderstand

R L

Sättigungsspannung U CEsat

Kollektorwiderstand

R C

Vorwiderstand,

Versorgungsspannung

U B

Basisvorwiderstand

R V

Kollektorstrom im Arbeitspunkt I CA

Eingangsspannung

U E

Basisstrom im Arbeitspunkt

I BA

Basisemitterspannung U BE

Übersteuerungsfaktor
ü

Stromverstärkung

B

Basisstrom im AP

I BAc

Tastverhältnis

Q

(übersteuert)

Impulsdauer
t i

Verlustleistung

P V

Pausendauer
t p

mittlere Verlustleistung

P m

Periodendauer

T

mit induktiv-ohmscher

Last

Transistorschalter

Verlauf Wechsel des AP

121

Elektronik

5

Elektronische Schalter, Kippstufen

Ohmscher Lastanteil R L

Induktiver Lastanteil L

Kapazitiver Lastanteil C L

Schalter mit Freilaufdiode

mit kapazitiver Last

Verlauf Wechsel des AP

9.2 Kippschaltungen

mit Transistoren

Bistabile Kippstufe

B

U C

U Esat

B

U

C1

R

C

R 2

|

I

I

C

C

B

U B

U E

R R

R

1

2

C1
ü � B

I

1

1

R 2

R

� B � C

R

ü

Bistabile KS (auch Flip-Flop)

Kollektorwiderstand

R C1, R C2 Kollektorstrom im Arbeitspunkt I C

Vorwiderstand

R 1, R 2

Basisstrom im Arbeitspunkt

I B

Versorgungsspannung U B

Übersteuerungsfaktor
ü

Sättigungsspannung U CEsat

Eingänge

E1

Basisemitterspannung U BE

Stromverstärkung

B

Monostabile KS
t ln2 � R � C

i

2

2

re
t c 5 � C

R 2 � C 2

1

T i t r t ec
f

Monostabile KS (Prinzip)

Schaltzeit t i

Ladekondensator C 2

Frequenz f

Erholzeit t rec

Periodendauer

T

122

Elektronik

5

Elektronische Schalter, Kippstufen

Astabile KS

B

U C

U Esat

C1

R

I

C1

B

U C

U Esat

R

C2

C2

I

U U

B � ( U U )

B

BE

B

BE

2

R

ü � I
ü � I

B1

C1

B

R |

� R

Astabile KS (Prinzip)

1

C2
ü

t ln2 � R � C

i

1

1

v
i
t v � T

f

1

t p T
i
t
i
t
f

t ln2 � R � C

p

2

2

Impulsdauer t

Ladekondensatoren C

i

1, C 2

Pausendauer t

Vorwiderstand

R

p

1, R 2

Schmitt-Trigger

Schwellenwertschalter Übertragungskennlinie

Ruhelage 1: V1 gesperrt,

Ruhelage 2: V1 leitend,

V2 leitend

V2 gesperrt

E

U 1 C2

I

� E

R BE1

U

E2

U

C

I 1 � E

R B

U E1

B

U U CEsat

B

U U CEsat

C2

I

C1

I

C2

R

E

R

C1

R

E

R

H

U E

U 1 E

U 2

U A B

U (Leerlauf)

U A1 C2

I

� E

R C

U Esat

L

R

U A B

U �

L

R C

R 2

(bei Lastbetrieb)

Einschaltschwelle U E1

Kollektorwiderstand

R C1, R C2

Ausschaltschwelle U E2

Spannungsteilerwiderstand R 1, R 2

Kollektorstrom

I C1, I C2

Hysteresespannung

U H

Emitterwiderstand R E

Lastwiderstand

R L

123

Elektronik

5

Elektronische Schalter, Kippstufen

9.3 Kippschaltungen

mit Operations-

verstärker

Schalter

Invertierender Komparator

Übertragungskennlinie

Nichtinvertierender Komparator

Übertragungskennlinie

Trigger

Komparator mit Hysterese

Übertragungskennlinie

2

R

E1

U

E

U 2 U A �
mit U A | B

U

2

R 3

R

2

R

H

U 2 � U A �

R 2 3

R

Mitkopplungswiderstand

R 2

Eingangsspannung

U E

Spannungsteilerwiderstand R 3

Ausgangsspannung

U A

Vorwiderstand

R 1

Versorgungsspannung U B

Hysteresespannung

U H

Schaltschwellen

U E1, UE2

124

Elektronik

5

Elektronische Schalter, Kippstufen

Komparator mit Hysterese und

Übertragungskennlinie

einstellbarer Schaltschwelle

2

R

U

U

U �

U

E1

E2

A

Re f

R 2 1

R

Mitkopplungswiderstand

R 2

Vorwiderstand

R 3

Spannungsteilerwiderstand R 1

Referenzspannung U Ref

Astabile KS

§

·

2

R
t R � C � ln¨1 2 �

¸

(Rechteckspannungs-
i

3

©

1

R ¹
generator)

§

·

2

R

T 2 � 3

R � C � ln¨1 2 �

¸

©

1

R ¹

Astabile Kippstufe mit OP

Impulsdauer
t i

Periodendauer

T

Ladewiderstand R

Ausgangsspannung

U

3

A

Ladekondensator C

Mitkopplungsspannung U 2

Monostabile KS

(Timer)

Monostabile Kippstufe mit OP

Liniendiagramm

§

·

Richtung der Diode ist für Polarität

2

R
i
t | 3

R � 1

C � ln¨1

¸
der Ein- und Ausgangsspannung

©

1

R ¹
maßgebend.

für U A !! 0,7 V

125

Elektronik

5

Optoelektronik

Bistabile KS

Bistabile Kippstufe mit OP

10 Optoelektronik

Fotowiderstand

(LDR-light dependent
resistor)

Typ. Aufbau und Bauform

Kennlinie eines LDR

Dunkelwiderstand R

o ! 10 M:

(Widerstandswert nach 1 Min.

völliger Abdunkelung)

Hellwiderstand R

H < 50 k:

(Widerstandswert bei 100 Lx bzw.

1000 Lx)

Einstellträgheit eines LDR

Fotodiode, Fotoelement

Vier-Quadranten-Kennlinie

Betrieb im III. Quadrant: Fotodiode
einer Fotodiode
in Sperrrichtung

126

Elektronik

5

Optoelektronik

Sonnenlicht und Empfindlichkeit Betrieb im IV. Quadrant:

von Solarelementen

Fotoelement (Kennlinie)

Fototransistoren

Ersatzschaltbild und

Kennlinienfeld

Schaltzeichen

Leuchtdioden (LED)

LED mit Vorwiderstand

Richtcharakteristiken

Spektralkennlinien einiger LEDs (werkstoffabhängig)

127

Elektronik

5

Leistungselektronik

11 Leistungs-

elektronik

Grundlagen

Blockschaltbild eines

Wechselrichter mit IGBT als Schalt-

Wechselrichters
elemente

Wechselrichter formen eine Gleichspannung in eine beliebige Wech-
selspannung, auch Drehstrom, um.

Blockschaltbild Wechsel-

Wechselstromumrichter
stromumrichter
mit Zwischenkreis

Wechselstromumrichter formen eine Wechselspannung in eine ande-
re beliebige Wechselspannung (andere Frequenz, aber auch anderer

Spannungswert möglich) um.

Blockschaltbild eines

Gleichstromumrichter

Gleichstromumrichters
mit Zwischenkreis

Gleichstromumrichter formen eine Gleichspannung in eine beliebige

Gleichspannung um.

Dioden werden für den unge-
steuerten Betrieb verwendet,

Thyristoren für den gesteuerten

Betrieb.

Blockschaltbild eines Gleichrichters

128

Elektronik

5

Leistungselektronik

Gleichrichter formen eine beliebige Einphasen- oder Dreiphasenwech-

selspannung (Drehstrom) in eine Gleichspannung um.

Schaltungsart

Bezeichnung

Einwegschaltung Mittelpunktschaltung M

Zweiwegschaltung Brückenschaltung B

Verdopplerschaltung D

Vervielfacherschaltung V

Wechselwegschaltung W

Polygonschaltung P

Ergänzende Kennzeichen

Steuerbarkeit

Stromrichter

Kurzzeichen

Bedeutung

U
ungesteuert

C
vollgesteuert (controlled)

H
halbgesteuert

HA

(HK) halbgesteuert mit anodenseitiger

(kathodenseitiger)

Zusammenfassung der Ventile

HZ

Zweigpaar gesteuert

Haupt- und Hilfszweige

Kurzzeichen

Bedeutung

A

(K)

anodenseitige (kathodenseitige) Zusammen-

fassung der

Q

Hauptzweige

R

Löschzweig

Rücklaufzweig

F

FC

Freilaufzweig

n

Freilaufzweig gesteuert

Vervielfachungsfaktor

Beispiel: B2HAF

� B o Kennbuchstabe

2
o Kennzahl (Pulszahl)

HA
o Steuerbarkeit

F
o Hilfszweige

Benennung und Kennzeichnung von Stromrichtern

Schaltungsarten

Einweggleichrichter M1

Dreipulsmittelpunktschaltung M3

Brückengleichrichter B2

Halbgesteuerter Stromrichter

129

Elektronik

5

Leistungselektronik

Halbgesteuerter Stromrichter

Sechspulsbrückenschaltung B6

a

)

)

terbetrieb
rich

Gleich
terbetrieb
selrich
ech

W
grd

)

L

L

R

)

)

180

L

( R

(

L

L

( R
ü

( R

( R

Last
st
e

150
tiv
halbgesteuert

B6H

Induk

120
iderstandslaW

Last

90

)

e

)

Last

Aktiv

60

Str

Leiter
e

U

U

) 0,82/
tiv

= 2,449

30

=

=

) 0,58

) 0,820

L d

Induk

2

2

3

(

) 1,06

) 1,05

U

U

⋅

( L d

( L d
ü

( L d

( L d

0
α

0

2
d
do

1,0

0,5

U

U

–0,5

–1,0

Sechspuls-Brückenschaltung
vollgesteuert

B6C

Bild XV-21

2,34 (

1,35 (

0,042

0,333

) 0,577 L

) 0,816

) 0,816/

) 1,05

) 1,05

( R

L

L

L

L

( R

( R

( R

( R
a
terbetrieb
rich

Gleich
terbetrieb
selrich
ech

W
grd

B2HZ

Bild XV-24

0,785

1,11

1,11

1,23

1,23

180
st

Laste

150
tiv
iderstandsla

Induk

120

W

Last

90
e

= 1,414 2

Last

Aktiv

60
e
halbgesteuert

B2HK

Bild XV-23

0,9

0,483

0,5
tiv

30

Induk

0
α

0
d
do

1,0

0,5

)

)

U

U

–0,5

–1,0

)

)

)

( L d

( L d

L d

( L d

L d

( ü

Zweipuls-Brückenschaltung
vollgesteuert

B2C

Bild XV-13

1,111 (

) 1,0/
a
terbetrieb
rich

Gleich
terbetrieb
selrich
ech

W
grd

) 0,707

) 1,000

LR

) 1,111

L

L

180

(

L

( R

( R
ü

( R
st

Laste

150
tiv

1,345 Dy

Induk

120
iderstandslaW

Last

90
e

)

Str

Aktiv

Last

60

U
e

) 0,588

) 0,588

) 0,478/
tiv

=

= 2,449
d
d

L d

) 1,209

30

2

3

( L

( L

(

Induk
ü

( L d

( U

⋅

0
α

0

2
d
do

1,0

0,5

U

U

–0,5

–1,0

Dreipuls-Mittelpunktschaltung

M3

Bild XV-17

1,17

1,189

0,183

0,333

0,5777

0,5777

1,209

1,460 Dz, Yz
a grd

180

150

120

°

90
a = 0

60

0,472/ ü

30

= 1,414 2

0
α

0
d
do

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

Einpuls-Mittelpunktschaltung

M1

Bild XV-9

3,090

U

U

2,619

2

0,45

0,707

1,21

1,0

1,571

⋅ I d

⋅ I d

2

2
d

/ U

/ I d

°
d 0
d 0
d 0

/ U

/ U

/ U

/ I d

1,571

1,211/
max

/ U

/ U a
d 0
d eff

Br

R

/ I d

/ I d

/ U

≠ 0
d

U

U

U

I TAV

I TRMS

I 2

I 1

S 1

S Tr
a

U
ng
strom
wU
er Leiterstrom

Stromrichterschaltu

Kennzeichen

Prinzipschaltung nach

Gleichspannung/ungesteuerte Stromrichterschaltung mit
arithm. Mittelwert

Effektivwert

Welligkeit

Ventilsperrspannung/Ventilstrom

Spitzenwert

Transformator
ventilseitiger Leiter
netzseitig
primärseitige Scheinleistung

Typenleistung
gesteuerte Gleichspannung mit

Steuerkennlinie

130

Elektronik

5

Leistungselektronik

Schaltnetzteile

Sekundär-Schaltnetzteil Primär-Schaltnetzteil

Q

U

� U

A

E

1 Q

Sperrwandler

1
t

E

U

U

�

A

T
ü

Durchflusswandler

Ausgangsspannung

U A

Eingangsspannung

U E

Tastverhältnis
n

Periodendauer

T

Transformatorübersetzung ü

Einschaltdauer
t 1

Sperrphase
t 2

Elektronische Steller

Grundprinzip Phasen-

Liniendiagramme der Ausgangs-
anschnittsteuerung
spannung

Prinzipschaltung eines

Liniendiagramm zum Gleich-

Gleichstromstellers
stromsteller

131

Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

6

Grundlagen der zeichnerischen Darstellung

1 Grundlagen

der
zeichnerischen

Darstellung

1.1 Normen für

technische

Zeichnungen

Normenauswahl

DIN EN ISO 128

Linien

DIN EN ISO 3098

Normschrift

DIN EN ISO 5455

Blattgröße, Maßstäbe

DIN EN ISO 5457

Faltungen von Technischen Zeichnungen

DIN 6771

Schriftfelder und Stücklisten

DIN 6774

Ausführungsrichtlinien

DIN-ISO 5455

Maßstäbe

DIN 6789

Zeichnungssystematik

DIN ISO 286

Allgemeine Toleranzen

DIN ISO 1302

Oberflächenangaben

DIN ISO 5456

Dreidimensionale Projektion

DIN ISO 128

Ansichten, Schnittdarstellung

DIN 406

Arten und Regeln der Maßeintragung

DIN ISO 6410

Darstellung von Gewinde

DIN 461
grafische Darstellungen

DIN EN 61082

Schaltungsunterlagen, grafische Symbole

für Schaltpläne

DIN EN 61082 T.1

Schaltungsunterlagen, Begriffe, Einteilung

DIN EN 61082 T.2

Regeln für Stromlaufpläne, Funktions- und

Schaltpläne

DIN EN 61082 T.3

Verbindungspläne und -listen, Geräte-

verdrahtungspläne

DIN 40719 T.2

Kennzeichnung von Betriebsmitteln

DIN IEC 60971

Stromrichterbenennungen und

-kennzeichen

DIN VDE 0281/0293

Leitungen

DIN EN 60617

Schaltzeichen für Schaltungsunterlagen

Elektrische Maschinen

DIN EN 60617-6

Messgeräte, Zähler, Anzeigen,

Messgrößenumformer

DIN EN 60617-11

Anschlussbezeichnungen und Drehsinn

DIN VDE 0530

Schaltpläne, Installationspläne

DIN 40717

Veränderbarkeit, Einstellbarkeit,

DIN 40712

Widerstände

Schaltglieder, Antriebe, Auslöser

DIN 40713

Transformatoren, Drosselspulen, Wandler

DIN 40714

Ausführung von Anschlussplänen

DIN 40719 T.9

Ausführung von Anordnungsplänen

DIN 40719 T.10

Zeitablaufdiagramme,

DIN 40719 T.11

Schaltfolgediagramme

DIN 66001

Informationsverarbeitung

IEC 617 - 12

Computertechnik

DIN 46199

Anschlussbezeichnungen

133

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Formeln und Tabellen Elektrotechnik,

DOI 10.1007/978-3-8348-2023-5_6, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014

Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

6

Grundlagen der zeichnerischen Darstellung

Linien nach

DIN EN ISO 128

Normschrift nach

DIN 6776 ISO 3098

Maßstäbe nach

DIN ISO 5455

1.2 Darstellung und

Bemaßung von

Körpern

Bemaßungsarten
nach DIN 406

funktionsbezogen fertigungsbezogen
prüfbezogen

134

Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

6

Grundlagen der zeichnerischen Darstellung

Blechbemaßung,

Maßlinienbegrenzung

Blech mit Durchbrüchen

Blech mit Radien

Bemaßung eines

Stufenbolzens

135

Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

6

Grundlagen der zeichnerischen Darstellung

1.3 ISO-Toleranzsystem

Paarungen

Spiel oder Übermaß

Grenzpaarungen

Maßeintragungen

Maßeintragung nach DIN

Freimaßtoleranzen nach DIN

Toleranzfelder

Bohrungen Wellen

Passsystem

Einheitswelle

Einheitsbohrung

136

Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

6

Grundlagen der zeichnerischen Darstellung

1.4 Projektion

Isometrische Darstellung

Beispiel

Dimetrische Darstellung

Beispiel

Normalprojektion

Normalprojektion

Vollständiges bemaßtes Beispiel mit verdeckten Kanten

137

Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

6

Grundlagen der zeichnerischen Darstellung

1.5 Schnitte

Schraffuren

Schmale, voll geschwärzte

Schnittflächen

Vollschnitt Halbschnitt

Teilschnitt (Ausbruch)

Schnitt in mehreren Ebenen

1.6 Gewinde und

Schrauben

Gewinde Schrauben

Grundformen der gebräuchlichsten Gewinde: a) metrisches

Regelgewinde, b) metrisches Feingewinde, c) Whitworth-

Rohrgewinde, d) Trapezgewinde, e) Sägengewinde,
f) Rundgewinde

138

Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

6

Grundlagen der zeichnerischen Darstellung

Vereinfachte Außengewindedarstellung

Schraubendarstellung,

nach DIN ISO 6410
hier nach DIN 931

Innengewinde in Ansicht-

darstellung

Gewindedarstellung in Kernlöchern

Serviceplan

Ersatzteilbeschaffung

Explosionszeichnung als Serviceplan zur Ersatzteilbeschaffung

1.7 Normteile und

Konstruktions-

elemente

Schutzmaßnahmen nach

DIN 57100 / IEC 364-4-41 /

VDE 0100 Teil 410

Schutzarten nach IEC 529

139

Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

6

Grundlagen der zeichnerischen Darstellung

Schaltzeichen

Schaltglieder mit verschiedenen Antrieben:

a) Schließer als Rastschalter mit Handantrieb,
b) Öffner als Tastschalter, Betätigung durch Drücken,
c) einpoliger Schlossschalter mit elektrothermischer und

-magnetischer Auslösung

Schaltgeräte (VDE 0660):

a) dreipoliger Leistungstrenner,
b) Trennschalter, Lastschalter, Leistungsschalter

Schaltglieder, Antriebe und Schaltgeräte nach DIN 40900 / IEC 617

140

Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

6

Grundlagen der zeichnerischen Darstellung

Kontakte, Kontakt-
benennungen

DIN EN 50005

DIN EN 50011/50012

DIN 40713

DIN 40717

Anschlusskennzeichnung von Schützen und Hilfsschützen

Kennzeichnung von zeitverzögerten

Kennzeichnung von thermi-

Steuerkontakten
schen Überstromauslösern

Einfache

Dreipoliger Steckver-

Steckverbinder mit

Steckverbindungen
binder mit Schutzkontakt Pilotkontakt

Beispiele von Steckdosen für die genormten Netzspannungen
nach DIN IEC 38

141

Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

6

Grundlagen der zeichnerischen Darstellung

Kennzeichnung von

– Widerständen

– Kondensatoren

Farbcode nach

DIN 41429

DIN 41426

DIN 323

Kennzeichnung von Widerständen durch Farbcode (Auszug)

E-Reihen und DIN-Reihen (Auszüge)

Es sind folgende E-Reihen nach Toleranzen genormt:

E6 = ± 20 %; E 12 = ± 10 %; E24 = ± 5 %; E48 = ± 2 %; E96 = ± 1 %;

E192 = ± 0,5 %

Bauformen

Bauformen von Widerständen

Auswahl an Kondensator-Bau-

(teilweise genormt)

formen (teilweise genormt)

142

Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

6

Grundlagen der zeichnerischen Darstellung

Bauformen von Dioden, Transistoren und ICs (teilweise genormt)

143

Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

6

Grundlagen der zeichnerischen Darstellung

1.8 Wichtige Normteile
des Maschinen-

baues

Schraubenarten:

a) Sechskantschraube, b) Innensechskantschraube,
c) Halbrundschraube, d) Senkschraube, e) Zylinderschraube,
f) Linsensenkholzschraube mit Kreuzschlitz, g) Gewindestift mit

Kegelkuppe, h) Stiftschraube

Muttern:

a) Sechskantmutter, b) Vierkantmutter, c) Hutmutter, d) Nutmutter,
e) Kronenmuttern, f) Schlitzmutter, g) Zweilochmutter

Maßbild des Metrischen

Ausführliche und vereinfachte

ISO-Gewindes DIN 13

Darstellung einer Sechskant-
schraube

Schraubensicherungen:

a) Federring,
b) Flächenscheibe,
c) Zahnscheibe,
d) Federscheibe,
e) Schnoor-Sicherung,
f) selbstsichernde

Sechskantmutter,
g) Sicherungsmutter,
h) Spring-Stopp

Sechskantmutter,
i) TENSILOCK

Sicherungsschraube,
k) Kronenmutter mit Splint,
l) Sicherungsbleche,
m) Drahtsicherung,
n) Kunststoffsicherungsring

144

Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

6

Grundlagen der zeichnerischen Darstellung

Metrisches ISO-Gewinde nach DIN 13 Teil 1 (12.86), Regelgewinde-

Nennmaße

145

Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

6

Grundlagen der zeichnerischen Darstellung

Normwerte einiger ausgewählter Schrauben

Normwerte einiger ausgewählter Muttern

146

Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

6

Schaltungsunterlagen

2 Schaltungs-

unterlagen

2.1 VDE-Bestimmungen

(Auszug)

VDE 0100

Bestimmungen für das Errichten von

Starkstromanlagen bis 1 kV

VDE 0101

Bestimmungen für das Errichten von

Starkstromanlagen über 1 kV

VDE 0102

Leitsätze für die Berechnung der Kurzschlussströme

VDE 0105

VDE-Bestimmungen für den Betrieb von

Starkstromanlagen

VDE 0107

Bestimmungen für elektrische Anlagen in medizinisch

genutzten Räumen

VDE 0108

Bestimmungen für das Errichten und den Betrieb von

Starkstromanlagen in Versammlungsstätten, Waren-

und Geschäftshäusern, Hochhäusern

VDE 0128

Beherbergungsstätten und Krankenhäusern

VDE 0130

Vorschriften für Leuchtröhrenanlagen mit Spannungen

von 1kV und darüber

VDE 0132

Merkblatt für den Betrieb elektrischer Anlagen in

landwirtschaftlichen Betrieben

VDE 0134

Merkblatt für die Bekämpfung von Bränden in

elektrischen Anlagen

VDE 0141

Anleitungen zur Ersten Hilfe bei Unfällen (VDE-

Druckschrift)

VDE 0160

Bestimmungen und Richtlinien für Erdungen in

Wechselstromanlagen für Bemessungsspannungen

über 1kV

VDE 0165

Bestimmungen für die Ausrüstung von

Starkstromanlagen mit elektronischen Betriebsmitteln

VDE 0168

Bestimmungen für die Errichtung elektr. Anlagen in

explosionsgefährdeten Betriebsstätten

VDE 0190

Bestimmungen für das Errichten und den Betrieb

elektrischer Anlagen in Tagebauen, Steinbrüchen und

ähnlichen Betrieben

VDE 0193

Bestimmungen für das Einbeziehen von Rohrleitungen
in Schutzmaßnahmen von Starkstromanlagen mit

Bemessungsspannungen bis 1kV

Richtlinien für den Anschluss und die Anbringung von

Elektroden-Durchlauferhitzern

VDE 0210

Bestimmungen für den Bau von Starkstrom-

Freileitungen über 1 kV

VDE 0211

Bestimmungen für den Bau von Starkstrom-

Freileitungen mit Bemessungsspannungen bis 1 kV

VDE 0228

VDE-Bestimmungen für Maßnahmen bei Beeinflussung
von Fernmeldeanlagen durch Starkstromanlagen

VDE 0410

Regeln für elektrische Messgeräte

VDE 0411

VDE-Bestimmungen für elektronische Messgeräte und

Regler

VDE 0413

Bestimmungen für Geräte zum Prüfen der

Schutzmaßnahmen in elektrischen Anlagen

VDE 0414

Bestimmungen für Messwandler

VDE 0426

Bestimmungen für einpolige Spannungssucher bis

250 V Wechselspannung gegen Erde

147

Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

6

Schaltungsunterlagen

VDE 0510

Bestimmungen für Akkumulatoren und Akkumulatoren-

Anlagen

VDE 0530

Bestimmungen für umlaufende elektrische Maschinen

VDE 0532

Bestimmungen für Transformatoren und Drosselspulen

VDE 0541

Bestimmungen für Stromquellen zum

VDE 0550

Lichtbogenschweißen mit Wechselstrom

Bestimmungen für Kleintransformatoren

VDE 0612

VDE-Bestimmungen für Baustromverteiler für

Bemessungsspannungen bis 400 V Wechselspannung

und für Ströme bis 630 A

VDE 0620

Vorschriften für Steckvorrichtungen bis 750 V / 100 A

VDE 0660

Bestimmungen für Niederspannungsschaltgeräte

VDE 0675

Leitsätze für den Schutz elektrischer Anlagen gegen

Überspannungen

VDE 0680

Bestimmungen für Schutzbekleidung,

Schutzvorrichtungen und Werkzeuge zum Arbeiten an

unter Spannung stehenden Betriebsmitteln

VDE 0701

Bestimmungen für die Instandsetzung, Änderung und

Prüfung gebrauchter elektrischer Verbrauchsmittel

(Geräte)

VDE 0710

Vorschriften für Leuchten mit Betriebsspannungen

unter 1 kV

VDE 0712

Bestimmungen für Entladungslampenzubehör mit

Bemessungsspannungen bis 1 kV

VDE 0800

Bestimmungen für Errichtung und Betrieb von Fern-

meldeanlagen einschließlich

Informationsverarbeitungsanlagen

VDE 0855

Bestimmungen für Antennenanlagen

VDE 0860

Bestimmungen für netzbetriebene Rundfunk- und

verwandte elektronische Geräte

VDE 0871

Bestimmungen für die Funk-Entstörung von Hoch-

frequenzgeräten und -anlagen

VDE 0874

VDE-Leitsätze für Maßnahmen zur Funk-Entstörung

Bestimmungen für die Funk-Entstörung von Geräten,

VDE 0875

Maschinen und Anlagen für Netzfrequenzen von 0 bis

10 kHz

VDE 0877

Leitsätze für das Messen von Funkstörungen

2.2 Diagramme

Darstellung nach

Linienbreiten:

– DIN 461
nach DIN EN ISO 128 etwa im Verhältnis Netz zu Achsen zu Kurve

– DIN EN 61082
wie 1:2:4

– DIN EN 60848

Diagrammdarstellung nach DIN

Diagramm im kartesischen

Koordinatensystem

148

Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

6

Schaltungsunterlagen

Diagramm mit linearer Einteilung Diagramm mit doppelt-logarithmi-

scher Einteilung

Diagramm im Polarkoordinaten-

system

Flächendiagramm

2.3 Schaltzeichen nach

DIN EN 61082 und

DIN EN 60617

Schaltzeichen

Blocksymbol

Blocksymbol als Funktionseinheit

Schaltzeichen aus Symbol- und Grundelementen

149

Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

6

Schaltungsunterlagen

Variable Lage von Schaltzeichen

Darstellungsgrößen von
im Schaltplan

Schaltzeichen

150

Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

6

Schaltungsunterlagen

(Fortsetzung)

Schaltzeichen nach DIN EN 60617 (Auswahl)

2.4 Elektrische

Betriebsmittel

Kennzeichnung von

Betriebsmitteln

Lage der Betriebsmittel-

Vereinfachte Betriebsmittel-

kennzeichnung im Plan
kennzeichnung

IEC 750 (1983)

DIN 40719 T2 (1978)

Kennzeichnungsblöcke

151

Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

6

Schaltungsunterlagen

Kennbuchstaben für die Art der Betriebsmittel

Kennbuchstaben für die allgemeine Funktion

152

Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

6

Schaltungsunterlagen

DIN EN 61346-2

Hinweis: Die meisten Schaltpläne, auch in diesem Buch, verwenden

2000
die Kennzeichnung nach DIN 40719-2 von 1978. Diese bewährte

Norm wird künftig ersetzt durch DIN EN 61346-2. Ihre Anwendung hat

sich bisher noch kaum durchgesetzt.

Kenn- Zweck des Objekts

Beispiele
buch-
stabe

A

Zwei oder mehr Zwecke. Nur Sensorbildschirm, Touch-
für Objekte verwenden, wenn Bildschirm
kein Hauptzweck erkennbar
ist.

B Umwandlung
einer

Sensor, Mikrophon, Mess-

Eingangsvariablen in ein zur
wandler, Messwiderstand,

Weiterverarbeitung

Videokamera, Näherungs-
bestimmtes Signal
schalter, thermisches

Überlastrelais, Motorschutz-
relais, Bewegungsmelder

C

Speichern von Energie,

Kondensator, Festplatte,

Information, Material

Pufferbatterie, RAM, ROM,

Puffer, Magnetband-Auf-
zeichnungsgerät, Chipkarte,

Diskette, Diskettenlaufwerk,

CD-ROM-Laufwerk

E

Bereitstellung von Strahlung

Glühlampe, Leuchtstofflampe,
oder Wärmeenergie

Heizkörper, Glühofen,

Warmwasserspeicher, Laser,

Leuchte, Kühlschrank

F

Direkter (selbsttätiger) Schutz Schmelzsicherung,
eines EnergiefIusses oder

Leitungsschutzschalter, RCD,

Signalflusses vor
thermischer Überlastauslöser,
unerwünschten Zuständen,

Überspannungsableiter, fara-
einschließlich der Ausrüstung dayscher Käfig, Abschirmung,
für Schutzzwecke

Schutzvorrichtung

G Erzeugen
eines

Generator, Batterie, Pumpe,

Energieflusses oder

Ventilator, Lüfter,

Materialflusses oder von

Stromversorgungseinheit,

Signalen, die als

Solarzelle, Brennstoffzelle,

Informationsträger verwendet Ventilator, Hebezeuge,
werden

Fördereinrichtung

K Verarbeitung

(Empfang, Hilfsschütz, Transistor,

Verarbeitung und

Zeitrelais, Verzögerungsglied,

Bereitstellung) von Signalen

Binärelement, Regler, Filter,
oder Informationen (aber

Operationsverstärker,
nicht Objekte für

Mikroprozessor, Mikrocontrol-

Schutzzwecke,
ler, Zähler, Multiplexer, Com-

Kennbuchstabe F)

puter

M Bereitstellung
von

Elektromotor, Linearmotor,
mechanischer Energie für

Verbrennungsmotor, Turbine,

Antriebszwecke

Hubmagnet, Stellantrieb

P

Darstellung von Informationen Messinstrumente, Messge-
räte, Klingel, Lautsprecher,

Signallampe, LED, LCD,

Drucker, Manometer, Uhr,
elektromechanische Anzeige,

Bildschirmgerät

153

Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

6

Schaltungsunterlagen

Q

Kontrolliertes Schalten eines

Leistungsschalter, Leistungs-

Energieflusses, Signalflusses schütz, Motoranlasser, Thyris-

oder Materialflusses
tor, Leistungstransistor, IGBT,

Motorstarter, Bremse,

Stel ventil, Kupplung,

Trennschalter

R Begrenzung
oder

Widerstand, Drosselspule,

Stabilisierung von

Diode, Z-Diode, Rückschlag-

Energiefluss, Signalfluss oder ventil, Schaltung zur Span-

Materialfluss
nungsstabilisierung oder zur

Stromstabilisierung, Konstant-

halter

S

Umwandeln einer manuellen

Steuerschalter, Tastatur,

Betätigung in ein Signal zur

Maus, Taster, Wahlschalter,

Weiterverarbeitung

Quittierschalter, Lichtgriffel

T

Umwandlung von Energie

Leistungstransformator,

oder eines Signals unter

Gleichrichter, Modulator,

Beibehaltung der Energieart

Demodulator, AC-Umsetzer,

oder der Information.

DC-Umsetzer, Frequenzum-

Verändern der Form eines
former, Verstärker, Antenne,

Materials.

Telefonapparat

U

Halten von Objekten in

Isolator, Kabelwanne, Mast,

definierter Lage

Spannvorrichtung,

Fundament, Montagegestell

V

Verarbeitung von Materialien

Rauchgasfilter, Staubsauger,

oder Produkten

Waschmaschine, Zentrifuge,

Drehmaschine

W

Leiten von Energie oder

Leiter, Leitung, Kabel,

Signalen

Lichtwellenleiter, Busleitung,

Systembus, Sammelschiene

X

Verbinden von Objekten

Steckdose, Klemme,

Kupplung, Steckverbinder,

Klemmleiste

2.5 Schaltungsunter-

lagen der Energie-

technik

DIN EN ISO 128

Für A4- und A3-Formate ist die Linienbreite 0,5 günstig.

Kennzeichnung der Anschluss-

Anschlussnummerierung mehr-
stellen von Betriebsmitteln
poliger Betriebsmittel (allgemein)

Anschlusskennzeichnung von

Anschlusskennzeichnung von

Drehstrommotore

Drehstromtransformatoren

154

Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

6

Schaltungsunterlagen

Leitungsverbindungen

Übersichtsschaltplan (engl.: block
mit/ohne Klemmpunkt
diagram) einer Wendeschützschaltung

Stromlaufpläne (engl.: circuit diagram) in aufgelöster Darstellung für

Haupt- und Hilfsstromkreis

Verdrahtungsplan (engl.: wiring diagrams) einer Wendeschützschaltung

155

Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

6

Schaltungsunterlagen

Kennzeichnung von Verbindungs-

Anschlussplan der
leitungen mit a) Leitungsnummern

Klemmenleiste X1
oder b) Zielbezeichnungen

Elektro-Installationsplan einer Wohnung

Der Elektro-Installationsplan zeigt für eine Wohnung mehrere Instal-
lationsbereiche nach VDE 0100. DIN 18015 Teil 1 legt sowohl Instal-
lationszonen als auch die Leitungsführung und die räumliche Lage der
meisten Betriebsmittel fest.

Übersichtsplan zum Installationsplan

Im Übersichtsplan werden die Stromkreise festgelegt und die Nennwerte
der Betriebsmittel eingetragen. Nach DIN 57100/VDE 0100 ergibt sich
auch die Verwendung entsprechender Leitungen und Schutzmaßnahmen,
z. B. FI-Schutzschalter oder selektiver Hauptleitungsschutzschalter.

156

Datentechnik

7

Grundlagen

1 Grundlagen

1.1 Begriffe

Digitaltechnik

Die Digitaltechnik verarbeitet physikalische Größen in stufiger Form.

Vorzugsweise werden zweistufige Systeme eingesetzt.

Binäres System

Ein- und Ausgangssignale digitaler Schaltungen können nur zwei

mögliche stabile Zustände annehmen. Die binären Zustände sind zwei

Spannungsbereichen (Pegeln) zugeordnet.

Mit H (HIGH) wird der Pegel bezeichnet, der näher an plus unendlich

liegt und mit L (LOW) der Pegel, der näher an minus unendlich liegt.

Die genauen Pegelwerte sind durch die angewandte Technologie

festgelegt.

Zweiwertige Logik

Eine Variable kann nur die logischen Werte „0“ und „1“ annehmen.

Zuordnung der

Positive Logik

Negative Logik

Pegel zu logischen

Werten

Pegel

Logischer

Pegel

Logischer

Wert

Wert

H 1 H 0

L 0 L 1

Informationseinheiten

1 Bit ist die kleinste

1 Byte

1 kByte

1 MByte

Informationseinheit.

= 8 Bit

= 210 Bit = 220 Bit

Ein Bit kann „1“ oder

= 1024 Bit = 1048576 Bit

„0“ sein.

1 Tetrade

1 Wort

(1 Nibble)

Gruppe aus 4 Bit

Gruppe aus 8 Bit

(1 Byte)

Symbole für Grund-

UND

� *

ODER

� +

NICHT

/
verknüpfungen

Bei-

Q =

Q =

Q =

Q =

Q = /A

spiel A � B A * B

A � B

A + B

Funktionskennzeichen

Zeichen

&

=1

¦

COMP

CTR

DIV

Bedeu-

UND

Exclusiv Sum- Kompa- Zähler Teiler
tung

ODER mierer
rator

Zeichen

SRG MUX DX P-Q

Bedeu- Schiebe- Multi- Demul- Subtra-

tung
register plexer tiplexer hierer

157

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Formeln und Tabellen Elektrotechnik,

DOI 10.1007/978-3-8348-2023-5_7, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014

Datentechnik

7

Grundlagen

1.2 Grundverknüpfungen

Verknüp-

Schaltzeichen nach Wertetabelle Impulszeitplan

Funktions-
fung

DIN 40 900

gleichung

UND

B

A

Q

Q = A � B

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

ODER

B

A

Q

Q = A v B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

NICHT

A

Q

Q = /A

0 1

1 0

NAND

B

A

Q

Q = /(A � B)

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

NOR

B

A

Q

Q = /(A v B)

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

XOR (Anti-

B

A

Q

Q = A v B
valenz)

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

B

A

Q

Q = /(A v B)

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

158

Datentechnik

7

Grundlagen

1.3 Gesetze und Regeln
der Schaltalgebra

Regeln und Gesetze

Alle Funktionen können durch die drei Grundverknüpfungen NICHT,
der Schaltalgebra

UND und ODER dargestellt werden. Mit den Regeln und Gesetzen

der Schaltalgebra lassen sich Gleichungen umformen und gegeben-

enfalls vereinfachen.

Die UND-Zeichen können, um Gleichungen übersichtlich zu halten,

entfallen. Beispiel: A � B � C � A � D = A B C � A D

Vorrangregel

Rangfolge der Operationen , wenn keine Klammern gesetzt sind:

1. Negation (NICHT), 2. Konjunktion (UND), 3. Disjunktion (ODER)

Regeln für

Regeln für mehrere Variablen

eine Variab-

le

A � 0 = 0

Kommutativ-

A � B � C = C � A � B

A � 1 = A

Gesetz

A � B � C = C � A � B

A � 0 = A

Assoziativ-

A � B � C = (A � B) � C = A � (B � C)

A � 1 = 1

Gesetz

A � B � C = (A � B) � C = A � (B � C)

A � A = A

A � A = A

Distributiv-

A � B � A � C = A � (B � C)

�

A /A = 0

Gesetz

(A � B) � (A � C) = A � (B � C)

A � /A = 1

/(A � B) = /A � /B

//A = A

De Morgan-
sches Gesetz /(A � B) = /A � /B

(Inversions-

gesetz)

Abgeleitete

A � A � B = A

Regeln

A � (/A � B) = A � B

A � (A � B) = A

(A � B) � (A � /B) = A

A � (/A � B) = A � B

1.4 Normalform einer

binären Funktion

Disjunktive und konjunk-

In der Schaltalgebra sind die zwei Normalformen disjunktive und kon-
tive Normalform
junktive Normalform gebräuchlich. Als Minterme werden die konjunk-

tiven Verknüpfungen bezeichnet und als Maxterme die disjunktiven

Verknüpfungen auf „0“ formuliert.

Bei der disjunktiven Normalform werden die UND-Verknüpfungen

(Minterme) über ODER verknüpft.

Bei der konjunktiven Normalform werden die ODER-Verknüpfungen

(Maxterme) über UND verknüpft.

159

Datentechnik

7

Grundlagen

Disjunktive Normalform (DNF)

Konjunktive Normalform (KNF)

Beispiel:

Beispiel:

Wertetabelle Minterme

Wertetabelle Maxterme

C B

A Q

C B A Q

0 0 0 0

0 0 0 0 C � B � A

0 0 1 0

0 0 1 0 C � B � /A

0 1 0 0

0 1 0 0 C � /B � A

0 1 1 1 /C � B � A

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 0 0 /C � B � A

1 0 1 1 C � /B � A

1 0 1 1

1 1 0 1 C � B � /A

1 1 0 1

1 1 1 1 C � B � A

1 1 1 1

Gleichung:

Gleichung:

Q = (/C � B � A) � (C � /B � A)

Q = (C � B � A) � (C � B � /A)

� (C � B � /A) � (C � B � A)

� (C � /B v A) � (/C v B v A)

1.5 Ersatz der Grund-

funktion durch

NAND- und NOR-

Technik

Ersatz durch NAND oder

Alle Grundfunktionen lassen sich durch NAND oder NOR ersetzen.

NOR-Technik

Grundfunktion

Ersatz durch NAND

Ersatz durch NOR

160

Datentechnik

7

Grundlagen

1.6 Schaltungs-

vereinfachung

KV-Tabellen

KV-Tabellen sind ein von Karnaugh und Veitch entwickeltes grafi-

sches Verfahren, um logische Schaltungen zu vereinfachen. Die Ein-
gangsvariablen werden so angeordnet, dass jeweils von Zeile zu Zeile
und Spalte zu Spalte nur jeweils eine Variable geändert wird. Die

Werte der Wertetabelle werden in das entsprechende Feld übertra-
gen. Zur Minimierung werden Felder zu Schleifen oder Blöcken zu-
sammengefasst. Es dürfen immer nur 2, 4, 8..., also 2n Variable, die
waagerecht oder senkrecht nebeneinander benachbart liegen, zu

Blöcken zusammengefasst werden. Die Randfelder gelten ebenfalls
als benachbart. Die in den Schleifen liegenden Variablen sind UND-
verknüpft und die einzelnen Blöcken untereinander ODER-verknüpft.

KV-Diagramm für 2 Variable

Wertetabelle

KV-Diagramm

Zeile

B

A

0

0

0

1

0

1

2

1

0

3

1

1

KV-Diagramm für 3 Variable

Wertetabelle

KV-Diagramm

Zeile

C B A

0 0

0

0

1 0

0

1

2 0

1

0

3 0

1

1

4 1

0

0

5 1

0

1

6 1

1

0

7 1

1

1

KV-Diagramm für 4 Variable

Wertetabelle

KV-Diagramm

Zeile D

C

B

A

0 0 0 0 0

1 0 0 0 1

2 0 0 1 0

3 0 0 1 1

4 0 1 0 0

5 0 1 0 1

6 0 1 1 0

7 0 1 1 1

8 1 0 0 0

9 1 0 0 1

10 1 0 1 0

11 1 0 1 1

12 1 1 0 0

13 1 1 0 1

14 1 1 1 0

15 1 1 1 1

161

Datentechnik

7

Zahlen in Rechenanlagen

KV-Diagramm für 5 Variable

KV-Diagramm

2 Zahlen
in

Rechenanlagen

2.1 Zahlensysteme

Zahlen

Zahlen

Umwandlung von Zahlen-

Dualzahlen

systemen

Dezimalzahlen

Dualzahl Hexadezimalzahl Dezimalzahl

Hexadezimalzahlen

Beispiel: Dezimal o Binär

Umwandlung von

0000

0

0

Beispiel:

Zahlensystemen

29 / 2 = 14 Rest 1

0001

1

1

Wertigkeit: 20

0010

2

2

14 / 2 = 7 Rest 0

0011

3

3

7 / 2 = 3 Rest 1

3 / 2 = 1 Rest 1

0100

4

4

1 / 2 = 0 Rest 1

0101

5

5

29 = 11101

0110

6

6

Nachkommastellen:

Beispiel: Binär o Dezimal

0111

7

7

Beispiel:

1000

8

8

0,625 * 2 = 1,25

1001

9

9

Wertigkeit: 2–1

0,25 * 2 = 0,5

1010

A

10

0,5 * 2 = 1

1011

B

11

0,625 = 0,101

1100

C

12

Beispiel: Binär o Dezimal

Beispiel:

1101

D

13

11101 = 1 * 24 + 1 * 23 +

1110

E

14

1 * 22 + 0 * 21

1111

F

15

+ 1 * 20 = 29

0,101 = 1* 2–1 + 0 * 2–2 +

1* 2–3

162

Datentechnik

7

Zahlen in Rechenanlagen

2.2 Rechnen mit

Dualzahlen

Addition

Beispiel

Addition von Dualzahlen

A = 67 = 1000011

0 + 0 = 0

+B = 33 = 0100001

1 + 0 = 1

1 Übertrag

0 + 1= 1

S = 100 = 1100100

1 + 1 = 0 und Übertrag 1

Subtraktion

Beispiel

Subtraktion von Dualzahlen

A = 67 = 1000011

0 – 0 = 0

– B = 33 = 0100001

1 – 0 = 1

1 Übertrag

0 – 1 = 1

D = 34 = 01000010

1 – 1 = 0

Multiplikation

Beispiel

Multiplikation

A = 13; B = 3

0 * 0 = 0

1101 * 0011

1 * 0 = 0

0000

0 * 1 = 0

0000

1 * 1 = 1

1101

1101

A * B = 39 = 100111

Division

Beispiel

Division

A = 44; B = 4; A : B = 11

0 : 0 = 0

101100 : 100 = 1011

1 : 0 = 0

– 100

0 : 1 = 0

110

1 *:1 = 1

– 100

100

– 100

0000

2.3 Darstellung im

Einer- und Zweier-

komplement

Einerkomplement

Bei den Dualzahlen erhält man das Einerkomplement der Zahl durch

Zweierkomplement

Invertierung aller Stellen. Das Zweierkomplement wird durch Addition
des Einerkomplements mit „1“ gebildet. Negative Zahlen werden oft im

Zweierkomplement dargestellt.

Beispiel:

Dualzahl

Einerkomplement

Zweierkomplement

210 = 00102

1101

1101

+ 1

11102 = – 2

163

Datentechnik

7

Codes

3 Codes

Dual-Code

Codes sind eindeutige Zuordnungen eines Zeichenvorrates zu den

BCD-Code

Zeichen des anderen Zeichenvorrates

3-Excess-Code

Aiken-Code

Dezi- Dual- Dezi- BCD-

Dezimal- 3-Excess-

Dezi-

Aiken-

Gray-Code
mal-

Code mal- Code
zahl

Code
mal-

Code

7-Segment-Code
zahl

zahl

zahl

0

0000

0

0000

0

0000

1

0001

1

0001

Pseudo-Tetraden

1

0001

2

0010

2

0010

2 0010

3

0011

3

0011

0

0011

3

0011

4

0100

4

0100

1

0100

4

0100

5

0101

5

0101

2

0101

6

0110

6

0110

3

0110

Pseudo-

7

0111

7

0111

4

0111

Tetraden

8

1000

8

1000

5

1000

9

1001

9

1001

6

1001

10 1010

7

1010

11 1011

8

1011

5 1011

12 1100 Pseudo-

9

1100

6 1100

13 1101 Tetraden

7 1101

14 1110

Pseudo-Tetraden

8 1110

15 1111

9 1111

Dezi- Gray-

Dezi-

7-Segment-Code
mal-

Code
mal-

(gemeinsame Katode)

zahl

zahl

g
f
e
d
c
b
a

0

0000

0

0

1

1

1

1

1

1

1

0001

1

0

0

0

0

1

1

0

2

001

2

0 0 1 1 0 1 1

3

001

3 1 0 0 1 1 1 1

4

010

4 1 1 0 0 1 1 0

5

0111

5

1

1

0

1

1

0

1

6

0101

6

1

1

1

1

1

0

1

7

010

7 0 0 0 0 1 1 1

8

110

8 1 1 1 1 1 1 1

9

1101

9

1

1

0

1

1

1

1

10 111

11

12

13

14

15

Zuordnung der Segmente bei
einer 7-Segment-Anzeige

164

Datentechnik

7

Codes

ASCII-Code

ASCII-Code (American Standard Code of Information Interchange)

Dual 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111

0000 NUL DLE

0

@

P

`
p

0001 SOH DC1 !

1

A

Q
a
q

0010

STX

DC2

„ 2 B R b r

0011 ETX DC3 #

3 C S c s

0100 EOT DC4 $

4

D

T
d
t

0101 ENQ NAK %

5

E

U
e
u

0110 ACK SYN &

6

F

V
f
v

0111 BEL ETB

7

G

W
g
w

1000 BS CAN (

8

H X
h
x

1001

HT

EM ) 9 I Y i y

1010 LF SUB *

:

J

Z
j
z

1011 VT ESC +

;

K

[
k

{

1100 FF FS ,

L

\
l

|

1101 CR GS -

M

]

m

}

1110 SO RS .

N

n

~

1111

SI Us / ? O _ o

DEL

Bedeutung der Abkürzungen

NUL (nil, Null Füll- LF (line feed,

NAK (negativ acknowledge,
zeichen)

Zeilenvorschub)

Rückmeldung)

SOH (start of hea- VT (vertical tabula- SYN (synchonus idle,
ding, Kopfanfang) tion, Vertikaltabu-

Synchronisation)

lator)

STX (start of text, FF (form feed,

ETB (end of transmission,

Textanfang)

Formularvoschub) Datenübertragungsende)

ETX (end of text,

CR (carriage re-

CAN (cancel, Abbruch)

Textende)

turn, Wagenrück-
lauf)

EOT (end of trans- SO (shift out,

EM (end of medium,
mission, Aufzeich- Umschaltung von Aufzeichnungsende)

nungsende)

Codetabellen

ENQ (enquire,

SI (shift in, Rück-

SUB (substitution,

Anfrage)

schaltung zum

Austausch)

Standardcode)

ACK (acknow-

DLE (data linl

ESC (escape, Umschaltung)

ledge, Rückmel-
escape, Daten-
dung)

umschaltung)

BEL (bell, Klingel) DC1 (device

FS (file seperator,
control 1, Geräte-

Gruppentrenner
steuerung 1)

BS (backspace,

DC2 (device con-

GS (group seperator,

Rückschritt)

trol 2, Geräte-

Gruppentrenner)

steuerung 2)

HT horizontal tabu- DC3 (device

RS (record seperator,
lation, Horizontal-
control 3, Geräte-

Gruppentrenner
tabulator)

steuerung 3)

Us (nit seperator,

Gruppentrenner)

165

Datentechnik

7

Digitale Grundschaltungen

4 Digitale

Grund-

schaltungen

4.1 Schaltnetze

Die Ausgangsvariable ist eindeutig durch die Eingangsvariablen be-

stimmt. Die Schaltung besitzt keinen Variablenspeicher.

Halbaddierer

Schaltung aus Grund-

Wertetabelle

Schaltzeichen

verknüpfungen

B

A S C0

0 0 0 0

0 1 1 0

1 0 1 0

1 1 0 1

Volladdierer

Schaltung aus 2

Wertetabelle

Schaltzeichen

Halbaddierern

CI B A S C0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

Decoder

Schaltung aus Grund-

Wertetabelle

Schaltzeichen

(1 aus 4-Decoder)

verknüpfungen

B A Q0 Q1 Q2 Q3

0

0 1

0

0

0

0

1 0

1

0

0

1

0 0

0

1

0

1

1 0

0

0

1

Komparator

Schaltzeichen

Wertetabelle Schaltung

B A

Q

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

166

Datentechnik

7

Digitale Grundschaltungen

Multiplexer

Multiplexer schalten die Eingangsinformation unterschiedlicher Quel-

len auf einen Ausgang.

Schaltung

Schaltzeichen

Gleichung

D = /A0 /A1 D0 � A0 /A1 D1 � /A0 A1 D2 � A0 A1 D3

Demultiplexer

Demultiplexer schalten eine Eingangsinformation auf unterschiedliche

Ausgänge.

Schaltung

Schaltzeichen

Gleichungen D0 = /A0 /A1; D1 = A0 /A1; D2 = /A0 A1; D3 = A0 A1

4.2 Schaltwerke

4.2.1 Allgemein

Definition taktflanken-

Schaltwerke sind Schaltnetze mit einem Speicherverhalten. Die Aus-
gesteuert taktzustands-
gangsvariable hängt von den Eingangsvariablen und vom vorherigen
gesteuert Master-Slave

Schaltzustand eines Flipflops ab.

Steuerung

Steuerungsprinzip

Eingangsdarstellung

Das Eingangssignal
taktzustandsgesteuert
wird während des
anstehenden Pegels
des Taktsignals ver-
arbeitet.

Das Eingangssignal
taktflankengesteuert
wird nur während der L o H
ansteigenden Flanke
des Taktsignals ver-

arbeitet.

167

Datentechnik

7

Digitale Grundschaltungen

Steuerung

Steuerungsprinzip

Eingangsdarstellung

Das Eingangssignal
taktflankenge-

wird nur während der
steuert

abfallenden Flanke des H o L

Taktsignals verarbeitet.

Das Eingangssignal

Master-Slave

wird nur während der

L o H; H o L

ansteigenden Flanke

des Taktsignals zum

Master gespeichert und

bei abfallender Flanke

dem Slave übergeben

4.2.2 Flip-Flops

Grund-Flipflop

Flip-Flops

Schaltung

Wertetabelle

A B Q /Q

0 0 1 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 1 0 1

RS-Flipflop

Schaltung

Wertetabelle

Schaltzeichen

S R Q /Q

0 0 1 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 1 0 1

T-Flipflop

Impulsdiagramm

Wertetabelle

Schaltzeichen

Takt

Q /Q

0 0 1

1 1 0

2 0 1

Schaltungen mit gleicher Funktion

Funktionsgleiche

Flipflops

D-Flipflop

Schaltung

Wertetabelle

Schaltzeichen

C

D Q /Q

0 0 Q /Q

0 1 Q /Q

1 0 0 1

1 1 1 1

168

Datentechnik

7

Digitale Grundschaltungen

JK-Flipflop

Schaltung

Wertetabelle

Schaltzeichen

J K Q /Q

0 0 Q /Q

0 1 0 1

1 0 0 1

1 1
tog-

geln

MS-JK-Flipflop

Schaltung

Wertetabelle

Schaltzeichen

vor dem
nach

Master Slave

Takt
dem

Takt

1J 1K Q /Q

0 0

Speiche-

rung

1 0 1 0

0 1 0 1

1 1 toggeln

Zeitverhalten des MS-JK-Flipflops

1 Master wird gesperrt

2 Master öffnet

3 Master sperrt

4 Slave öffnet

Impulsdiagramm

4.2.3 Schieberegister,

Zähler,

Frequenzteiler

Schieberegister

Ein Schieberegister gibt die gespeicherte Information jeweils mit dem

Takt von Flipflop zu Flipflop weiter.

169

Datentechnik

7

Digitale Grundschaltungen

Schaltung

Schaltzeichen

Impulsdiagramm

Zähler

Bei einem Zähler werden die am Takteingang eingehenden Impulse

jeweils addiert (Vorwärtszähler) oder subtrahiert (Rückwärtszähler)

und gespeichert Asynchronzähler verarbeiten die Flipflop-Informatio-

nen nacheinander. Synchronzähler besitzen einen gemeinsamen

Takteingang für alle Flipflops.

Asynchroner Dualzähler

Asynchroner Dualzähler

Schaltung

Schaltzeichen

Impulsdiagramm

170

Datentechnik

7

Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

Frequenzteiler

Frequenzteiler teilen die Eingangsfrequenz in einem festen Verhältnis.

Da jedes Flipflop eine Frequenzteilung 2:1 erzeugt, lässt sich jeder

Asynchronzähler als Teiler benutzen. Im Gegensatz zum Zähler wird

nur ein Ausgang genutzt.

Asynchroner BCD-Zähler

Asynchroner BCD-Zähler

Schaltung

Schaltzeichen

Impulsdiagramm BCD-Zähler

Synchroner BCD-Zähler

5 Integrierte

Schaltkreise der

Digitaltechnik

5.1 Begriffe

IC

Integrierte Schaltkreise (Integrated Circuit) bestehen mikroelektroni-

schen Schaltungen mit einer Anzahl von Transistorfunktionen, die auf
einem Halbleiterkristall (Chip) integriert sind. Über Anschlüsse (Pins)

erfolgt die Verbindung zur Schaltung. Digitalschaltungen werden in bi-
polarer und unipolarer Technik hergestellt.

171

Datentechnik

7

Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

Anschlussbelegung

Digitale ICs werden immer von oben

betrachtet. Die Zählrichtung der Pinś

erfolgt von oben links (Kennung am

Gehäuse) nach oben rechts. Die

innere Struktur der Bausteine selbst

und die Betriebsspannungsanschlüs-

se kann den Datenblättern entnom-
men werden.

IC-Anschlussbelegung

Grenzdaten

Grenzdaten sind absolute Grenzwerte. Bei Überschreitung dieser

Werte kann die integrierte Schaltung zerstört werden.

Kenndaten

Kenndaten sind Mittelwerte, die durch die Angabe des garantierten

Streubereiches (worst case) ergänzt wurden.

Pegel

In der Digitaltechnik werden Spannungsbereiche bestimmten Pegeln

(H oder L) zugeordnet. Die Werte sind von der Technologie abhängig.

Störsicherheit und

Statische

Dynamische

Gleichspannungs-

Störabstand

Störsicherheit

Störsicherheit
störabstand

Unter statischer Störsi- Hierunter versteht man Der Gleichspannungs-

cherheit versteht man die Sicherheit gegen störabstand (S) ist der

die Sicherheit gegen

Störspannungen mit

Betrag der Span-

eingekoppelte Störspan- kürzeren Zeiten als
nungsdifferenz zwi-

nungen, deren Einwir-
die Gatterlaufzeit.

schen maximalen

kung zeitlich größer als

Pegeln des angesteu-

die Gatterlaufzeit ist.

erten Gatters und des

steuernden Gatters.

SLow UIL UOL

SHigh UOH UIH

Störabstände

Gatter

Ein Gatter ist ein Baustein in einem IC mit einer digitalen Grundfunk-

tion (Beispiel: UND-Gatter, Oder-Gatter, NAND-Gatter, NOR-Gatter,

Inverter). Ein Leistungsgatter wird Buffer genannt.

Gatterlaufzeit

Unter Gatterlaufzeit versteht man die mittlere Verzögerungszeit, die
nach Änderung des Eingangssignals, die Ausgangssignaländerung
hervorruft. Gatterlaufzeiten können zur Impulsbildung geschickt aus-
genutzt werden. Unerwünscht können sie aber auch das logische

Verhalten verfälschen.

172

Datentechnik

7

Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

Zeitabschnitte bei

Begriffe

Berechnung

Rechteckspannungen

der Gatter-

laufzeit

tpd

tpLH tpHL

2

Impulszeit

Gatterlaufzeit

td (delay time) Verzöge-
tpLH Verzögerungszeit bei

rungszeit
steigender Flanke

tf (fall time) Abfallzeit
tpHL Verzögerungszeit bei

ts (storage time) Speicher- fallender Flanke

zeit
tpd (propagation delay

tr (rise time) Anstiegszeit
time) Gatterlaufzeit

Lastfaktoren

Die Belastung, die auf den Ausgang eines Gatters durch den Eingang

des nachfolgenden Gatters wirkt wird in einer TTL-Familie als Lastfak-

tor angegeben. Es gibt normierte Lastfaktoren für den Eingang (Fan

In) und für den Ausgang (Fan Out). Das Fan Out gibt an, wie viele

Gatter einer Logikfamilie, einen Ausgang sicher ansteuern kann, ohne

die Vorgaben durch die Pegelwerte zu verletzen. Für H und L werden

getrennte Lastfaktoren angegeben.

Innerhalb einer TTL-Familie ist das Fan In stets 1.

Spannungen und Ströme bei L- und H-Pegel Berechnung des Fan Out

IOH

FanOutH

IIH

IOL

FanOutL

IIL

Stromrichtung

Spannung und Stromrich-

tung zwischen Gattern

Tri-State

Bei Tristate-Ausgängen ist außer H- und L-Pegel ein hochohmiger

(dritter) Zustand steuerbar. Dies ist bei Bausteinen notwendig, die an
einer gemeinsamen Bus-Leitung liegen, um Konflikte zu vermeiden.

Neben L und H kann hier der Ausgang hochohmig geschaltet werden

(V3 und V4 sind gesperrt.

Parallelgeschaltete

Tristategatter

Ausgänge

173

Datentechnik

7

Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

Totempole-Endstufe

Hierunter versteht man die typische Anordnung der Transistoren V3

und V4. Totempole-Endstufen dürfen nicht parallel geschaltet werden.

Die Eingänge der bipolaren Technik ist mit Multiemittertransistoren

ausgeführt.

Ersatzschaltbild
und

Multiemittertransistor

Standard-NAND-Gatter mit

Totempoleendstufe

Open Collector

Ausgänge mit Open-Kollektor bzw. Open-Drain besitzen im Ausgang

keinen Kollektor bzw. Drainwiderstand. Der Pull-up-Widerstand muss

extern ergänzt werden, um definierte Spannungspegel am Ausgang

der Schaltung zu erzeugen.

n1 = Anzahl der

zu versorgenden

Gatter

RC min

n = Anzahl der

UCC max UOL

Eingangsleitungen

IOL max n
IIL

RC max

Standartgatter mit

UCC min UIH

Open-Kollektor (O.C.)

IOH max 1
n
IIH

O.C. mit parallel-

geschalteten

Ausgängen

CMOS-Schaltungen

CMOS-Inverter

HCT Inverter

Übertragungs-

kennlinie

Hazardimpuls

Ein Hazardimpuls (auch glitch oder spike genannt) ist ein sehr kurzer
unerwünscher Impuls auf einer Signalleitung, der durch Laufzeitunter-
schiede in digitalen Schaltungen entsteht und Fehlfunktionen verursa-
chen kann.

174

Datentechnik

7

Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

Schaltung zur Erzeugung

kurzer Impulse

Hazardimpuls und gewünschte

Erzeugung

Standardbausteine

Standardbausteine sind vom Hersteller entwickelt und konfektioniert.

Beispiel: Bausteine der unterschiedlichen Logikfamilien

ASIC

Unter anwenderspezifische Bausteine (ASIC , Application Spezific IC)

versteht man Bausteine mit einem hohen Integrationsgrad für anwen-

derspezifische Lösungen

5.2 Standardbausteine

5.2.1 Technische Daten

Technologie

Technologie Bedeutung Kenn-

Bezeichnung in Abkürzung in Daten-

Bezeichnungen in Daten-

zeichnung Datenblättern
blättern und Bedeutung
blättern

TTL

Transistor- 74XX

Supply Voltage VCC Betriebsspannung

Abkürzungen in Daten-

Transistor-
blättern und Bedeutung

Logik

LS

Low-Power- 74LSXX

High-Level Input VIH Eingansgsspan-

Schottky-

Voltage
nung bei H-Pegel

TTL

S

Schottky-

74SXX

Low-Level Input VIL Eingansgsspan-

TTL

Voltage
nung bei L-Pegel

ALS

Advanced- 74ALS

High-Level

VOH Ausgangsspan-

Low-Power-

Output Voltage nung bei H-Pegel

Schottky-

TTL

AS

Advanced– 74ASXX

Low-Level Out- VOL Ausgangsspan-

Schottky-
put Voltage
nung bei L-Pegel

TTL

F

Fast-

74FXX

High-Level Input IIH Eingangsstrom bei

Schottky-

Current

H-Pegel

TTL

AC/ACT

Advanced- 74ACXX

Low-Level Input IIL Eingangsstrom bei

CMOS

Current

L-Pegel

HC

High-

74HCXX High-Level

IOH Ausgangsstrom

Speed-

Output Current bei H-Pegle

CMOS

HCT

HC TTL

74HCTXX Low-Level Out- IOL Ausgangsstrom bei
kompatible
put Current

L-Pegel

ECL

Emitter

p

Verlustleistung/Gatter

Coupled

Logic

LVC

Low Volta-

Progation delay tpd Verzögerungszeit
ge CMOS
time

175

Datentechnik

7

Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

Technische Daten

Technologie

(Auswahl)

Bipolare Logikfamilien

CMOS-Logikfamilien

TTL

Transistor-

Transistor-

Logik

LS

Schottky-Technologie HC/HCT

Low-Power- mit gegenüber TTL-

High-Speed-

Schottky-

Standard geringerer

CMOS/TTL-

TTL

Leistungsaufnahme
kompatibel

S

Sehr schnelle Logik-

AC/ACT

Gegenüber HC gerin-

Schottky-
familie mit hoher Leis- Advanced-CMOS gere Verzögerungszeit

TTL
tungsaufnahme
und höhere Treiber-
fähigkeit

ALS

Kompromiss zwischen LVC Low Voltage Basiert auf 3,3 V Be-

Advanced-

Geschwindigkeit und CMOS
triebsspannung

Low-Power- Leistungsaufnahme

Schottky-

TTL

AS

Sehr schnelle Logik-

BiCMOS

Sehr schnelle Familie

Advanced-
familie mit höherer
mit sehr geringer

Schottky-

Leistungsaufnahme

Verlustleistung

TTL

Verbindung von Ein-
gangs-CMOS-Schal-
tungen mit bipolaren

Ausgangsstufen

ECL Emitter Sehr schnelle Logik-

Coupled
familie mit sehr hoher

Logic

Leistungsaufnahme

Stan- S LS

AS

ALS

F HC

HCT

BCT

LV

4xxxx
dard

Vcc min (V)

4,75

4,75

4,75

4,5

4,5

4,5

2

4,5

4,5

2

Vcc typ (V)

5,00

5,00

5,00

5,00

5,00

5,00

6

5,00

5,5

3,6

VCC max (V)

5,25 5,25 5,25 5,5

5,5

5,5

5,5

VOH min(V)

2,4

4,9

4,9

VOL max(V)

0,4

0,1

0,1

VIH min (V)

2,0

3,5

2,0

VIH max (V)

0,8

1,0

0,8

IIH max (μA)

40

20

20

IIL min (mA)

–1,6

–0,36

–0,2

IOH (mA)

0,4

0,4

IOL (mA)

16

4,0

P (mW) sta-

10

19 2 6 1 5
tisch

10
pro Gatter
tpd (ns)

10

4

10

2

5

3

23

23/4? 9

6

CMOS: PV und Verzögerungszeit sind stark von der

Frequenz abhängig.

176

Datentechnik

7

Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

5.2.2 TTL- und CMOS-

Familie (IC-Auswahl)

Standardbausteine

Auswahl Standardbausteine

8-Bit-D-Flipflop

4-Tristate-

8-Bit-Schiebe-

8-Bit-Schiebe-
mit Tristate-

Treiber
register mit se-
register mit

Ausgang
riellem Eingang parallelem Ein-
und parallelem
gang und se-

Ausgang
riellem Aus-
gang

1-aus-8-Decoder 8-Bit-Multi-

4-Bit-Dualzähler Voreinstellbarer

/ 3-zu-8-Demul-
plexer

4-Bit-Auf- und
tiplexer

Abwärtssyn-
chronzähler

177

Datentechnik

7

Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

5.3 Programmierbare

Logikbausteine

Programmierbare

Logikbausteine

Übersicht

PLD (Programmable Logic Device) Programmierbare Logikbausteine

können zur Programmierung belie-
biger Logikfunktionen verwendet

werden.

PROM (Progammable Read Only

Eingangsdekoder mit fest verdrah-

Memory)

ter UND-Matrix und frei program-
mierbarer ODER-Matrix

PAL (Programmable Array Logic)

Eingangsdekoder mit frei progam-
mierbarer UND-Matrix und fest
verdrahteter ODER-Matrix

GAL (Generic Array Logic)

Gleiche Eingangsstruktur wie bei

PAL-Bausteinen. Im Gegensatz zu

PALs sind die Ausgangszellen frei
programmierbar.

PLE (Programmable Logic Element) Gleiche Eingangsstruktur wie bei

PROM-Bausteinen

FPLA Field Programmable Logik

Eingangsdekoder mit frei pro-

Array)

grammierbarer UND-Matrix und frei
programmierbarer ODER-Matrix

FPGA (Field Programmable Gate

Ein FPGA ist ein hochkomplexer

Arry)

logischer Baustein bei dem Logik-
module selbst definiert und unter-
einander verbunden werden
können.

Programmierbare Logikbausteine
sind Standardbausteine, deren

Funktion erst durch Software herge-
stellt wird. Ihre innere Struktur be-
steht je nach Type aus einer pro-
grammierbaren UND- und ODER-

Matrixschaltung für Ein- und Aus-
gänge unter Einbeziehung weiterer

Logikbausteine wie Flipflops, Regis- PLD-Struktur
ter und Treiberstufen. Gegenüber
diskreten Logikbausteinen wird Platz
auf Leiterplatten gespart und not-
wendige Designänderungen in der

Entwicklungsphase können durch

Umprogrammieren durchgeführt
werden. Komplexere Bausteine
besitzen eine Matrixstruktur mit kon-
figurierbaren Logikblöcken. Einige

Typen lassen sich in der Schaltung
programmieren (in system pro-
grammable, isp).

PROM

PLA

PAL

UND-

ODER-

UND-

ODER-

UND-

ODER-

Matrix

Matrix

Matrix

Matrix

Matrix

Matrix

Feste Ver- Program- Program- Program- Program- Feste Ver-
bindung
mierbar
mierbar
mierbar
mierbar
bindung

178

Datentechnik

7

Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

Darstellung des logischen

PAL-Struktur

Feldes (arrays)

PAL/GAL

Bezeichnung bei PAL-Bausteinen

Beispiel: PAL 16L8

1. Ziffer: Anzahl möglicher Eingänge

Buchstabe: L
low aktiv (UND-

NOR)

R
mit

Register-
ausgang

(UND-ODER-

Inverter-Register)

H high aktiv (UND-

ODER)

C
compementär

(UND-

ODER)

X

Exlusiv

Oder

(UND-

ODER-EXOR-

Register)

2. Ziffer: Ausgänge

Bezeichnung von GAL-Bausteinen

1. Ziffer: Anzahl möglicher Eingänge

Buchstabe: V variable Ausgänge

2. Ziffer: Anzahl der Ausgänge

Weitere Angaben sind: Verzöge-
rungszeit, Stromaufnahme Gehäu-
setype und Temperaturbereich.

Beispiel:

Ausgangskonfiguration ohne Speicher

Ausgangskonfiguration mit Speicher

GAL16V8

179

Datentechnik

7

Mikrocomputertechnik

6 Mikrocomputer-

technik

6.1 Begriffe

Mikrocomputersystem

Ein Mikrocomputersystem besteht aus einer Zentraleinheit (dem Mikro-

prozessor), aus Speichern und Ein- und Ausgabeeinheit. Untereinan-

der sind diese Hardwarekomponenten über ein Bussystem verbunden.

Mikrocomputersystem

Zentraleinheit

Mikroprozessor

Der Mikroprozessor ist die Zentraleinheit (CPU = Central-Process-

Unit). Die CPU ist ein integrierter Baustein mit Rechen- Steuer- und

Speichereinheit. Die Verbindung der Einheiten erfolgt über ein inter-

nes Bussystem.

Bussystem

Unter einem Bussystem versteht man Signalverbindungsleitungen

zwischen den Hardwarekomponenten eines Mikroprozessor- bzw.

Mikrocontrollersystems. Nach Funktion der Leitungen unterscheidet

Daten-, Adress- und Steuerbus.

Speichereinheit

Die Speichereinheit beinhaltet alle Programme und Daten.

Ein/Ausgabe

Hierunter versteht man alle peripheren Geräte, die an einem Mikro-

prozessor angeschlossen sind.

Adresse

Die Adresse kennzeichnet einen Speicherplatz eines Speichersys-

tems. Die Angebe der Adresse erfolgt in Hexadezimaler Form. Sie

kann die Wortbreite von 8, 16 oder 32 Bit besitzen.

Daten

Unter Daten versteht man Zeichen in binär codierter Form, die der

Mikroprozessor verarbeitet.

Datenbus

Der Datenbus ist ein bidirektionaler Bus zur Informationsübertragung.

Adressbus

Der Adressbus ist unidirektionaler Bus der die CPU auf Speicher und

Ein/Ausgabebaugruppen zugreifen lässt. Werden Adressen und Da-

ten auf gleichen Leitungen übertragen. Um Anschlüsse am Prozessor

einzusparen, muss außerhalb des Prozessors wieder eine Aufteilung

erfolgen. Die CPU steuert diese Aufteilung mit ALE.

Steuerbus

Der bidirektionaler Steuerbus ist eine Zusammenfassung unterschied-

licher Steuerleitungen, wie Lesen und Schreiben bei Speichern und

Unterbrechungsteuerungen, die das Zusammenwirken des Mikropro-

zessorsystem ermöglichen.

Steuerwerk

Das Steuerwerk ist für die Befehlsaufnahme und -dekodierung sowie

für die Zeit- und Ablaufsteuerung des Systems verantwortlich.

Speicherwerk

Das Speicherwerk beinhaltet alle Arbeits- und Spezialregister der CPU.

180

Datentechnik

7

Mikrocomputertechnik

ALU

Die ALU (Arithmetic Logic Unit)

führt logische und arithmetische

Operationen wie Addieren, Sub-

trahieren und Multiplizieren sowie

logische Operationen wie NICHT,

UND, ODER und Exclusiv-ODER

durch. Sie existiert als eigenstän-

diger Schaltkreis bei digitalen Bau-

steinen. Die größere Bedeutung

ALU (Prinzip)

besitzt die ALU als integrierter

Bestandteil von Mikroprozessoren.

Akkumulator

Der Akkumulator ist ein universelles Arbeitsregister und Ein- und Aus-

gaberegister für die ALU.

Register

Ein Register besteht aus mehreren 1-Bit-Speichern (Flipflops), die

über einen Takt gemeinsam gesteuert werden.

Rechenwerk

Das Rechenwerk be-

steht im einfachsten Fall

aus dem Akkumulator,

der ALU und dem Flag-

register.

Rechenwerk

Flagregister

Das Flagregister ist ein Kennzeichnregister. Es gibt Aufschluss über
die Ergebnisse von logischen und arithmetischen Operationen.

Flag

Bedeutung

Beispiel

Sign-Flag (S), Gibt an, ob das Ergebnis

E = 1100 0000 S = 1

Vorzeichenflag (E) einer arithmetischen

E = 0000 1111 S = 0

Operation positiv oder ne-
gativ ist.

Zero-Flag (Z), Gibt an, ob das Ergebnis

(A) =

1010 11112

Null-Flag
einer arithmetischen oder

(B) =

1010 11112
logischen Operation Null ist. A-B =

0000 00002

Parity-Flag (P), Gibt an, ob das Ergebnis

E = 1101 0001 P = 1

Paritätsflag
einer arithmetischen oder

E = 1100 0001 P = 0
logischen Operation eine
gerade Anzahl von 1-sen
erhält.

Carry-Flag

Gibt an, ob das Ergebnis

(A) =

1010 11112

(Cy), Über-
einer arithmetischen Opera- (B) =

0110 00002
tragsflag
tion einen Übertrag ergibt.

A+B =

1 0000 11112

Auxiliary-Flag Gibt an, wenn ein Übertrag (A) =

0010 11112

(AC), Hilfs-
vom niederwertigen Nibble (B) =

0110 10002
übertragflag

(Halbbyte) ins höherwertige A+B =

0111 11112

Nibble erfolgt.

Overflow-Flag Gibt an, ob bei arithmeti-

(OV)

schen Operationen ein Vor-
zeichenwechsel (positiv,
negativ) erfolgte.

181

Datentechnik

7

Mikrocomputertechnik

PSW

Das PSW (Program Status Word) beschreibt den Zustand des Flag-

registers und des Akkumulators.

Befehlszähler

Der Befehlszähler (Program Counter, PC) zeigt an die Speicherstelle

des nächsten auszuführenden Befehls. Bei jedem Befehlabruf zählt

der PC automatisch weiter.

Befehlsvorrat

Der Befehlsvorrat beinhaltet alle zur Verfügung stehenden Befehle

eines Mikroprozessors.

Befehlszyklus

Der Befehlszyklus ist die für

einen Befehl benötigte Zeit.

Er besteht aus einzelnen

Maschinenzyklen, die ihrer-

seits Taktzyklen beinhalten.

Die Befehlszeit ist zum

einen von der Taktdauer

und zum anderen von der

Befehlszyklus

Anzahl der Takte pro Befehl

abhängig. Hieraus lässt

sich die Zeit, die ein Pro-

gramm benötigt berechnen.

Interrupt

Mittels Impuls oder Pegel kann an einem oder mehreren Anschlüssen

des Prozessors eine Unterbrechungsanforderung ausgelöst werden.

Bei Annahme des Interrups wird das laufende Programm unterbro-

chen und an festgelegter Einsprungadresse fortgesetzt. Nach Abar-

beitung der Interruptroutine wird das zuvor unterbrochene Programm

fortgesetzt.

6.2 Mikroprozessoren

6.2.1 Blockbild 8085 CPU

8085 Prozessor

182

Datentechnik

7

Mikrocomputertechnik

6.2.2 Kurzbeschreibung

Der 8085-Prozessor ist mit 8-Bit-Arbeitsregister B, C, D, E, H und L

und den 16-Bit-Sonderegister Stapelspeicher, Befehlszähler und Ad-
ressenzwischenspeicher ausgestattet. Die Arbeitsregister können als

Registerpaare B/C, D/E und H/L zusammengefasst werden, so dass
sich auch 16 Bit verarbeiten lassen. Das Rechenwerk mit Akkumula-
tor, Zwischenregister, Flagregister und ALU verarbeitet 8-Bit-Worte. In
der ALU lassen sich arithmetische und logische Operationen durch-
führen. Die Funktion innerhalb des Prozessors wird durch die Zeit-
und Ablaufsteuerung bestimmt. Der Baustein besitzt hierzu einen
internen Generator, der nur durch einen zusätzlichen Quarz beschal-
tet werden muss. Der Ausgang CLKO gibt die halbe Quarzfrequenz
aus. Der Adressbus ist 16 Bit breit. Das niederwertige Adressbyte wird
über den Daten/Adressbus im Zeitmultiplexbetrieb übertragen. Mit

Hilfe der Steuerleitung ALE können die Adressen zwischengespei-
chert werden. Mit 16 Adressleitungen wird der Adressraum 216 =

65536 = 64 kByte groß.

Bedeutung der Anschlüsse

Anschlussbelegung

AD0 – AD7 Adreß-Datenbus

A8 – A15 Adreßbus

/RD Ausgangssignal
zum

Lesen
einer Speicherstelle oder
eines Portbausteins

/WR Ausgangssignal
zum

Schrei-
ben einer Speicherstelle
oder eines Portbausteins

ALE

Steuersignal zur Adressen-
zwischenspeicherung des

L-Adressbytes

X1, X2

Quarzanschluss

IO/ /M

E/A-Bausteine und Spei-
cherunterscheidung

S0, S1

Kontrollsignale und Status-
signale

TRAP Interrupteingang
mit
verein-
barter Verzweigungsadresse

RST7.5

RST 6.5

Pin-Belegung 8085

RST 5.5

INTR

/ INTA

Interruptbestätigung
von INTR

SID Serieller

Eingang

SOD Serieller

Ausgang

HOLD

Eingang zur Abkopplung
der CPU (Aufruf externer

Geräte)

HLDA

Bestätigung von HOLD
durch die CPU

RESET IN

Rücksetzen (ADR 0000)

RESET OUT Rücksetzen Bestätigung

READY

Wartezustand der CPU

183

Datentechnik

7

Halbleiterspeicher

Flagregister

Bitanordnung im Flagregister

D7

D6

D5

D4

D3

D2

D1

D0

S

Z

AC

P

Cy

Sign-

Zero-

Parity-

Carry-

Flag

Flag

Flag

Flag

6.2.3 Steuersignale und

Interrupts

Interrupts

Hardware-Interrupts

Name

Prioritä-

Einsprung- Eigenschaft

Triggerung

tenfolge
adresse

TRAP

1

24H
nicht maskierbar L oH UND H

RST 7.5 2

3CH
maskierbar

H bis Abfrage

(Speicherung)

RST 6.5 3

34H
maskierbar

H bis Abfrage

RST5.5 4

2CH
maskierbar

H bis Abfrage

Software Interrupt

INTR

RST 7 RST 6 RST 5 RST 2 RST 3 RST 2 RST 1 RST 0

Adresse 38H

30H

28H

20H

18H

10H

08H

00H

Zu-

Frei-

Interrupt-Masken

rück-
gabe

setzen

Akkumu- D7

D6

D5

D4

D3

D2

D1

D0

lator-

inhalt

Interrupt-

7.5

6.5

5.5

IE

7.5

6.5

5.5

maske

lesen

Statussignale

Statussignale

Maschinenzyklus

S0

S1

Funktion

0 0 Bus-Ruhezustand

0

1

CPU liest (Speicher, E/A)

1

0

CPU schreibt (Speicher, E/A)

1

1

CPU liest Operationscode

7 Halbleiter-

speicher

7.1 Begriffe

Halbleiterspeicher

Halbleiterspeicher dienen zur Speicherung und Sicherung von Daten
und Programmen. Sie sind Informationsspeicher, die Daten in binärer

Form aufnehmen, bewahren und bei Bedarf zur Verfügung stellen.

Man unterscheidet Speicher nach Zugriffsart und Eigenschaft.

184

Datentechnik

7

Halbleiterspeicher

Flüchtige (volatile) Speicher Nichtflüchtige (nonvolatile) Speicher

SRAM (Static Random

ROM (Read Only Memory)

Access Memory)

PROM (Programmable ROM)

Ein DRAM (Dynamic

EPROM (Erasable PROM)

Random Access Memory)

EEPROM (Electrically Erasable PROM)

Flash – EPROM

NVRAM (Nonvolatile RAM)

FeRAM (Ferroelectric RAM)

Speichermatrix

Die Speichermatrix (memory array) besteht aus einer Anordnung von

X(Word)- und Y(Spalten)-Leitungen, in dessen Kreuzungspunkte eine

Speicherzelle platziert ist. Durch Aktivierung dieser beiden Leitungen

wird der Speicherplatz angesprochen und ausgewählt.

Kurzbeschreibung

Speicherstruktur (Prinzip)

Die Ansteuerung der X- und Y-

Leitungen erfolgt mit Hilfe der

Adressleitungen über den Spal-

ten – und Zeilendekoder. Die

Steuerlogik veranlasst mit den

anliegenden Steuersignalen /RD

(Read) und WR (Write) das Ein-

schreiben oder Auslesen der

Daten. Mit der Steuerleitung CS

(Chip Select) wird der Speicher-

baustein ausgewählt. Ebenfalls

bei Speichern anzutreffende

Steuerleitungen sind OE (Output

Enable) und CE (Chip Enable).

Speicherstruktur (Prinzip)

Adresse

Die Adresse kennzeichnet die Speicherstelle eines Speichers.

Flipflop

Das Flipflop ist der kleinste statische Speicher mit der Möglichkeit,

1 Bit („0“ oder „1“) zu speichern.

Register

Unter Register versteht man schnelle Halbleiterspeicher mit geringer

Speicherkapazität (z. B. 8 Bit, 16 Bit oder 32 Bit). Sie bestehen aus

einer Anordnung parallel geschalteter Flipflops.

Speicherorganisation

Bitorganisierter Speicher

Wortorganisierter Speicher

185

Datentechnik

7

Halbleiterspeicher

Kenndaten und

Kenndaten

Anschlussbelegungen

Anschlussbelegung

Kapazität

Fassungsvermögen An-

Bedeutung

(Capacity)

eines Speichers
schluss

Organisation Bitorganisierter

A0 ... An Adressleitungen; über

Speicher, wortorga-
diese Leitungen wird der
nisierter Speicher

Speicherplatz ausgewählt.

Wortbreite

Datengruppe aus 8, D0 ... Dn Datenleitungen; über diese

16 oder 32 Bit

Leitungen gelangen Daten
vom oder zum Speicher.

Zugriffzeit

Zeit, die von der

CE, CE1, Chip Enable, Chip Select;

(Access

Ansprache des

CE2, CS über diese Leitung(en)

Time)

Speichers bis zur
kann einer von mehreren

Verfügbarkeit der

Speicherbausteinen, die

Daten vergeht. Sie
über ein gemeinsames
ist stark von der
eines BUS-System ver-

Technologie des
bunden sind, angewählt

Speichers abhängig.

werden.

WE, WR Write Enable, Write; diese

Leitung wird von der CPU
aktiviert, wenn Daten in
den Speicher geschrieben
werden sollen.

RD

Read; diese Leitung wird
von der CPU aktiviert,
wenn Daten vom Speicher
gelesen werden sollen.

R//W

Über diese Steuerleitung
erfolgt eine Schreib-Lese-

(Read/Write)-Umschaltung.

ALE

Adress Latch Enable; über
diesen Anschluss kann die

CPU bei ein gemultiplex-
ten Daten/Adress-Bus die

Adresse zwischenspei-
chern.

O0 … On Output; Datenausgänge

OE

Output Enable; mit dieser

Leitung werden Ausgänge
eines Speichers freige-
geben.

RAS

Bei dynamischem RAM

(Row Adress Select), Zei-
lenauswahlleitung

CAS

Bei dynamischem RAM

(Column Adress Selecct),

Spaltenauswahlleitung

Vpp

Programming Voltage; an
diesem Anschluss wird die

Programmierspannung
angelegt.

VCC

Betriebsspannungs-
anschluss

GND

Ground, Masseanschluss

186

Datentechnik

7

Halbleiterspeicher

Zeitbedingungen

Damit der Speicher seine Funktion durchführt, muss der Prozessor

über den Steuerbus zeitliche Bedingungen einhalten.

Schreibzykluszeit: tWC (Write
tWC = tAS + tW P+ tH

Cycle);

Zeit, die nach dem Anlegen der

Adresse

vorhanden sein muss, um gültige

Daten zu schreiben: tAS (Ad-

dress Setup Time);

Dauer des Schreibimpulses auf der

Steuerleitung /WE: tWP(Write

Pulse Width);

Zeit, in der die gültigen Daten an-

liegen: tDW

Data Valid);

Zeit , in der nach dem Speichern

Adressen und

Daten noch anliegen müssen: tH

(Hold Time);

Lesezykluszeit: tRC (Read Cycle).

Lesezyklus Schreibzyklus

7.2 Schreib-Lese-

Speicher

RAM

RAM (Random Access Memory): Speicher mit wahlfreiem Zugriff

SRAM

Ein SRAM (Static Random Access Memory ) ist ein flüchtiger Spei-

cher, der seine Information bei Abschalten der Betriebsspannung

verliert. Der Speicher enthält Flipflops als Speicherelemente und be-

sitzt kleine Zugriffszeiten (Schreib- und Lesezeiten). Sein Nachteil

gegenüber dynamischen RAMś ist die größere Fläche der Speicher-

zelle auf dem Chip.

Prinzip einer Speicherstelle mit

Prinzip der Steuerleitungen

Anwahl über X- und Y-Leitungen

Prinzip: Speicheranwahl

Prinzip: Speicherauswahl

187

Datentechnik

7

Halbleiterspeicher

DRAM

Ein DRAM (Dynamic Random Access Memory) ist ein flüchtiger Spei-

cher, der seine Information beim Abschalten der Betriebsspannung

verliert. Die Information ist als Ladung auf einem Kondensator (Gate-

kapazität) gespeichert. Gegenüber statischen RAMs ist der Platzbe-

darf der Speicherzelle geringer. Die gespeicherte Information muss

bei DRAMs zyklisch aufgefrischt (refresh) werden, weil diese nur für

kurze Zeit erhalten bleibt.

Zeilenadressauswahl RAS

(Row Address Strobe)

Spaltenadressauswahl CAS

(Column Address Select)

DRAM (Prinzip)

7.3 Festwertspeicher

ROM

ROM (Read Only Memory), Nur-Lese-Speicher, die nicht beschrieben,

sondern nur gelesen werden. Sie behalten ihre Information ohne an-

liegende Betriebsspannung bei (nicht flüchtige Speicher).

Masken-ROM

PROM

Für Standardanwendungen kann Ein PROM (Programmable Read
der Hersteller ROM-Bausteine Only Memoy) kann der Anwender
mit Hilfe einer Maske fertigen. mittels Programmiergerät selbst pro-

Der Inhalt des Speichers ist grammieren. Beim Programmiervor-
nicht mehr veränderbar und gang werden durch einen Stromstoß
kann beliebig oft ausgelesen leitende Verbindungen abgeschmol-
werden.

zen. Einmal programmierte PROM
behalten ihre Daten und sind nicht
mehr löschbar.

Unprogrammierter PROM-Baustein

(Prinzip)

188

Datentechnik

7

Halbleiterspeicher

EPROM

Ein EPROM (Erasable PROM) besitzt eine hohe Speicherdichte. Er ist

vom Anwender programmier- und löschbar. Der Löschvorgang des

gesamten Bausteins erfolgt über UV-Licht mit definierter Wellenlänge

und Strahlungsdichte. Die Dauer der Bestrahlung ist vom Bausteintyp

abhängig. Zur Programmierung wird ein Programmiergerät benötigt.

Der Löschvorgang erfolgt über ein UV-Licht durchlässiges eingebau-

tes Quarzfenster auf der Gehäuseoberseite.

EEPROM

Ein EEPROM (Electrically Erasable PROM) kann wortweise vom An-

wender elektrisch gelöscht und neu programmiert werden. Die Spei-

cherdichte ist niedriger als bei EPROM Speichern. Ihr Speicherprinzip

beruht auf dem „Floating Gate“ eines MOS-Transistors. EEPROMs

verlieren ihre Daten bei Betriebsspannungsausfall nicht.

Flash-EPROM

Flash-EPROM verbinden die Eigenschaften eines RAM, EPROM und

EEPROM. Im Gegensatz zu EPROMS, die nur durch UV-Licht ge-

löscht werden können, sind Flash-EPROMs elektrisch und in der

Schaltung löschbar. Der Baustein kann sektorweise oder insgesamt

programmiert und gelöscht werden.

NVRAM

NVRAM (Nonvolatile RAM) bestehen aus einer Kombination aus

SRAM und EEPROM

7.4 Speichersysteme

Werden in einem Bussystem mehrere Speicher angeschlossen, wird

eine Unterscheidung (Adressierung) notwendig. Zur Selektion wählt

man häufig Adressleitungen, die an keinem der Speicher angeschlos-

sen sind. Die Speicherkapazität lässt sich mit Hilfe der Anzahl der

Adressleitungen berechnen.

Beispiel:

ln K

ADRL

ln 2

Speichersystem

Deaktivierung des Codierung

Adressen-

Speicherplan

Zentralspeichers
grundbereich (Memory Map)

mit A15 – A13
mit A12, A11 A10 – A0

Speicher Adresse

ADRL = Adress-

RAM 3

1FFF
leitungen;

1800

K = Speicher-
kapazität

RAM 2

17FF

1000

RAM 1

0FFF

0800

ROM

07FF

0000

189

Datentechnik

7

Mikrocontroller

8 Mikrocontroller

8.1 Mikrocontroller

Mikrocontroller (MC) sind Bauelemente, bei denen auf einen Chip alle

erforderlichen Bausteine wie CPU, Speicher und Eingabe/Ausgabeein-

heiten, eines Mikroprozessorsystems integriert sind. Je nach Type besit-

zen Mikrocontroller interne oder externe Programm- und Datenspeicher.

Eine sehr weit verbreitete Familie ist die auf den 8051 basierenden Mikro-

controller. Die einzelnen Bausteine unterscheiden sich durch die Größe

ihrer Speicherbereiche und zusätzliche Funktionsgruppen wie beispiels-

weise Analog/Digitalwandler und in der Art ihrer Programmierung.

8.2 Mikrocontroller

Type

ROM

RAM E/A

ADC Clock(MHz) Timer
der 8051-Familie
kByte

Byte

8-Bit-Port

(Auswahl)

8031

–

128

4

–

12

2

8051

4

128

4

–

12, 16

2

8052

8

256

4

–

12, 16, 20

3

80512

4

128

6

8

12

2

80C517

12

256

7

12

12,16

4

AT89S8252 2 (EEPROM) 8

256

4

–

3

(Flash Memory)

8.2.1 Anschlüsse und

Anschlussbelegung

Anschlüsse 8051

Anschlüsse

Anschlüsse

Name Funktion

Name Funktion

P0.0 –P0.7

Port 0

Port 3 Alternativ-

Funktion

P1.0 – P1.7

Port 1

P3.0

RXD

P2.0 – P2.7

Port 2

P3.1

TXD

P3.0 – P3.7

Port 3

P3.2

/INT0

Port 0 Alternativ-

P3.3

/INT1

Funktion

P0.0 – AD0 – AD7 Adress-

P3.4 T0

P0.7

Datenbus L

Port 1 Alternativ-

P3.5

T1

Funktion

AT89S52

P1.0 T2

P3.6 /WR

P1.1 T2

EX

P3.7 RD

P1.5 MOSI

XAL1,

Quarzanschluss

XAL2

P1.6

MISO

/PSEN

Program Store Enable,
externe Programm-
speicherfreigabe

P1.7 MISO

/EA External

Access,

/VPP
externer Programm-
speicherzugriff

Port 2 Alternativ-

A-

Adress

Latch

Enable,

Funktion

LE/,/PR

Signal zur Adressen-

OG
zwischenspeicherung

P2.0 – A8 – A15

Adressbus H

P2.7

190

Datentechnik

7

Mikrocontroller

Anschlussbelegung 8051

Anschlussbelegung 8051

Funktionsbild 8051

Funktionsbild 8051

191

Datentechnik

7

Mikrocontroller

8.2.2 Speicherorganisation

Speicher im 8051

Mikrocontroller der 8051-Familie besitzen einen eigenen Daten- und
allgemein

Programmspeicher. Mit Hilfe des gemultiplexten Adress-/Datenbus

können ein maximal 64 kByte externer Programm- und 64 kByte ex-

terner Datenspeicher adressiert werden. Mit dem Anschluss EA (Ex-

ternal Access) = „L“ kann der interne Programmspeicher gesperrt

werden.

Der interne Programmspeicher hat eine Größe von 4 oder 8 kByte

und besteht aus einem ROM, den der Hersteller programmiert hat.

Einige Mitglieder dieser Familie beinhalten einen im System pro-

grammierbaren Flash-Speicher, den der Anwender mit dem PC pro-

grammieren kann.

Der interne Datenspeicher ist 256 Byte groß. Die oberen 128 Byte des

internen RAM können nur indirekt angesprochen werden. Über die

direkte Adressierung erhält man in diesem Bereich einen Zugriff auf

die Special-Funktion-Register (SFR)

Datenspeicher

Datenspeicher

7FH

Register 7

7FH

RAM

RAM

30H

Register 6

30H

2FH

2FH
bit-adressierbares

Register 5
bit-adressierbares

RAM

RAM

RAM

20H

20H

Register 4

1FH

Registerbank 3
direkt und indirekt

1FH

Registerbank 3

Register 3
adressierbar

Registerbank 2

Registerbank 2

Register 2

Registerbank 1

Registerbank 1

Register 1

Registerbank 0

Registerbank 0

Register 0

00H

00H

Aufteilung des unteren RAM

Lage der Register

192

Datentechnik

7

Mikrocontroller

8.2.3 Special Function

Register

Speichertabelle

Bezeichnung/

ADR 7

Zugriff über direkte Adressierung

ADR 0

Bedeutung

ACC Akkumulator FFH

F8H

B

F7H

B

F0H

B-Register

P0 Port 0

EFH

E8H

P1 Port 1

E7H

ACC

E0H

P2 Port 2

DFH

D8H

P3 Port 3

D7H

PSW

D0H

DPH Data Pointer CFH

TH2* TL2* RCAP2H T2MOD* T2CON* C8H

H

DPL Data Pointer L C7H

C0H

IE Interrupt Enable BFH

IP

B8H

R.

IP Interrupt Priority B7H

P3

B0H

R.

PSW Progam

AFH

SPSR*

IE

A8H

Status Word

PCON Power

A7H

P2

A0H

Control R.

SBUF Serial Port 9FH

SBUF

SCON 98H

Buffer R.

SCON Serial Port 97H

P1

90H

Control

SP Stackpointer

8FH

TH1 TH0 TL1 TL0

TMOD

TCON

88H

TL0 imer 0 (Low) 87H

PCON

DPH DPL

SP

P0

80H

TL1 Timer 1 (Low) * bei AT89S8252 mit KByte Flash Memory

TH0 Timer 1 (High)

TH1 Timer 1 (High)

TCON Timer

Control R.

TMOD Timer Mode

R.

RCAP2H Timer

2Capture/Reload-

R. (High)

Bitadressierbare

Registerinhalte nach einem RESET

Register (*)

*A (ACC)

0000 0000

*B

0000 0000

*PSW

0000 0000

SP

0000 0111

DPTR

0000 0000

*P0

1111 1111

*P1

1111 1111

*P2

1111 1111

*P3

1111 1111

*IP

XXX0 0000

*IE

0XX0 0000

TMOD

0000 0000

193

Datentechnik

7

Mikrocontroller

8.2.4 Portregister

Portstruktur

Port 0

Port 1,3

Ports

Sym- Byte-

Bit-Adresse
bol

Adresse

P0.7 P0.6 P0.5 P0.4 P0.3 P0.2 P0.1 P0.0

P0 80H

87H 86H 85H 84H 83H 82H 81H 80H

AD7 AD6 AD5 AD4 AD3 AD2 AD1 AD0

P1 90H

P1.7 P1.6 P1.5 P1.4 P1.3 P1.2 P1.1 P1.0

97H 96H 95H 94H 93H 92H 91H 90H

Alternative SCK

MISO

MOSI

T2EX

T2

Funktion

P2 A0H

P2.7 P2.6 P2.5 P2.4 P2.3 P2.2 P2.1 P2.0

A7H A6H A5H A4H A3H A2H A1H A0H

A15 A14 A13 A12 A11 A10 A9 A8

P3 B7H

P3.7 P3.6 P3.5 P3.4 P3.3 P3.2 P3.1 P3.0

B7H

B7H B6H B5H B4H B3H B2H B1H B0H

Alternative /RD /WR T1

T0

/INT1 /INT0 TXD RXD

Funktion

194

Datentechnik

7

Mikrocontroller

8.2.5 Flags

Program Status Word

PSW (Program Status Word) und Flags

(PSW)

Adresse

D7H D6H D5H D4H D3H D2H D1H D0H

Flags und

CY AC

RS1 RS0

OV

P

Registerbank-

auswahl

Flags

Flag

Symbol

Bedeutung

Ein Flag ist ein

CY

Übertragsbit (Carray)

Kennzeichenbit,

AC

Hilfs-Übertragsbit (Auxiliary Carry)

das bei mathe-

OV

Überlaufbit (Overflow)

matischen und

logischen Funk-

P

Paritätsbit (Parity) (gerade Anzahl

tionen gesetzt

1-sen, parity even) P = „0“

wird.

(ungerade Anzahl 1-sen) P = “1”

nach einem

PSW = 00H

RESET

Registerbankauswahl

Registerbank-

RS1

RS0 Adresse

Registerbank

auswahl

RS (Register-

0

0

00H – 07H

0

bank Select).

0

1

08H – 0FH

1

Der 8051 ver-

1

0

10H – 17H

2

fügt über 4 Re-

gisterbänke mit

1

1

18H – 17F

3

je 8 Speicher-

zellen, wobei

jeweils nur eine

Registerbank

aktiv sein kann.

Durch die Veränderung der 2 Bits RS1 und RS0 im PSW lassen sich

die jeweiligen Registerbänke auswählen.

8.2.6 Interrupt

Interrupt

Ein Interrupt ist eine zeitlich unabhängige Unterbrechungsanforderung
an den Controller. Das gerade laufende Programm wird unterbrochen
und verzweigt sich zu einer festgelegten Interruptadresse, die von der

Interruptquelle abhängt. Nach Durchlaufen der Interruptroutine wird
das Programm an der zuvor unterbrochenen Stelle fortgesetzt.

Interrupt-Quellen und Adressen

Einsprung- Auslösung

Anforderungs- Register
adresse

Flag

03H

H o L

IE0

SCON

13H

H o L

IE1

SCON

0BH

Überlauf Timer 0 TF0

SCON

1BH

Überlauf Timer 1 TF1

SCON

23H

Abschluss der

RI/TI

TCON

Ein-Ausgabe

Interrupt- höchste Priorität:

priorität

IE0 o TF0 o IE1 o TF1 o RI oder TI

195

Datentechnik

7

Mikrocontroller

Interrupt

Enable

Register

Timer

EA

ET2 ES

ET1 EX1 ET0 EX0

Interrupt

AFH

023H 1BH 13H 0BH 03H

EA

Interrupt wird generell zugelassen/ gesperrt;

(„1“, „0“)

Bedeutung

ET2, Freigabe Interrupt Timer 2, Freigabe Interrupt

ET1, Timer 1, Freigabe Interrupt Timer 0

ET0

EX1, Freigabe externer Interrpt 1, Freigabe externer

EX0 Interrpt 0

ES

Freigabe serieller Port Interrupt

Timer/Counter

Control Regis- Symbol/Adresse

ter TCON

Byte-Adresse TF1 TR1 TF0 TR0 IE1

IT1

IE0

IT0

88H

8FH 8EH 8DH 8CH 8BH 8AH 89H 88H

Bedeutung

TF1, Timer 1 Überlauf Flag, Timer 0 Überlauf Flag,

TF0

TR1, schaltet Timer 1 mit „1“ ein und stoppt mit „0“,

TR0 schaltet Timer 0 mit „1“ ein und stoppt mit „0“,

IE1,

Interrput 1 Flag wird gesetzt, Interrput 0 Flag

IE0
wird gesetzt

IT1,

Flanken/Pegelauswahl Interrupt 1, Flanken/

IT0

Pegelauswahl Interrupt 0

8.2.7 Zeitgeber/Zähler

(Timer/Counter)

Timer

Der 8051 verfügt über 2 interne Zähler T0 und T1, die als Zähler

Counter

(Counter) oder Zeitgeber (Timer) programmiert werden können. Man

Interrupt
spricht von einem Zeitgeber, wenn der interne Takt benutzt wird.

Control-Flag

Timer 0 TF0

BH

Counter/Timer im Mode 0,1

Counter/Timer im Mode 2

TF1

1BH

196

Datentechnik

7

Mikrocontroller

SRF TMOD

Timer 1

Timer 0

Gate

C/T

M1

M0

Gate

C/T

M1

M0

Freigabe

0

0

13-Bit-Zähler/Zeitgeber

0

1

16-Bit-Zähler/Zeitgeber

1

0

8-Bit-Zähler/Zeitgeber mit Reolad

1

1

8-Bit Zähler/Timer, Timer 1 stoppt,

Wert bleibt erhalten

0

Zeitgeberfunktion, Zählertakt: fOsc/12

1

Zählerfunktion (externer Zähltakt)

0

1

SFR TCON

Symbol/Adresse

Byteadresse

TF1

TR1

TF0

TR0

IE1

IT1

IE0

IT0

88 H

8FH

8EH

8DH

8CH

8BH

8AH

89H

88H

Interrupt star- anhalten

Timer-Anforderungs-Flag setzen
rücksetzen

Kontrol ten

Flag

TR0

1

0

TF0
bei jedem Über- Bei Interrupt-

lauf
auslösung

TR1

1

0

TF1
bei jedem Über- Bei Interrupt-

lauf
auslösung

8.2.8 Serielle Schnittstelle

Serielle Schnittstelle

Die Kommunikation über die serielle Schnittstelle (UART, Universal

UART

Asynchronous Reciever/Transmitter) erfolgt über die Steuerung im

SFR SCON

SFR SCON.

SFR SCON

SM0

SM1

SM2

REN

TB8

RB8

TI

RI

Adresse 9FH 9EH 9DH 9CH 9BH 9AH 99H 98H

Bedeutung

SM0,

Modus, Betriebsart

SM1

SM2

In der Betriebsart 2 und 3 wird RI nicht aktiviert, wenn das 9. Datenbit 0
ist (SM2 = “1“). In der Betriebsart 1 wird RI nicht aktiviert, wenn das

Stoppbit nicht gültig war.

REN

Empfangsbereitschaft der seriellen Schnittstelle und stoppt den Emp-
fang.

TB8

In der Betriebsart 2 und 3 das 9. Bit, das übertragen wird. Wird durch

Software gesetzt oder gelöscht.

RB8

In der Betriebsart 2 und 3 wird das 9. Bit RB8 überschrieben.

TI

Sende-Interrupt-Flag wird durch Stoppbit oder am Ende des 8. gesende-
ten Bits durch Hardware gesetzt.

RI

Empfangsinterrupt-Flag wird am Ende des 8. empfangenen Datenbits
oder durch ein Stoppbit gesetzt.

Betriebsarten SM0 SM1

Betriebs- Beschreibung Baudrate
art

0

0

0

Schieberegister

FOsc/12

0

1

1

8-Bit-UART
variabel

1

0

2

9-Bit-UART

FOsc/32 oder fOsc/64

1

1

3

9-Bit-UART
variabel

197

Steuerungstechnik

8

Grundlagen der Steuerungstechnik

1 Grundlagen

der Steuerungs-
technik

1.1 Steuerung und

Regelung

Steuern

Kennzeichen einer Steuerung:

x

In einem technischen Sys-

tem wird die Ausgangsgröße

durch die Eingangsgrößen

beeinflusst.

x

Typisch ist der offene Wir-

kungsablauf o Steuerkette

Regeln

Kennzeichen einer Regelung:

x Ständige Rückwirkung der

zu regelnden Ausgangs-

größe auf den Eingang des

Systems

x Typisch ist der geschlos-

sene Wirkungsablauf o

Regelkreis

Regeleinrichtungen können

analog oder digital ausgeführt

sein. Für analoge Regler eig-

net sich bei P-, I- oder D-Ver-
halten der Operationsver-

stärker.

Digitale Regler werden überwie-

gend programmierbar ausgeführt.

1.2 Merkmale von

Steuerungen

Blockschaltbild der

Steuerung einer

Werkzeugmaschine

Auswahl einer

Die Auswahl der Steuerungsmethode hängt z. B. von folgenden Fak-

Steuerungsmethode
toren ab:

x Anforderung der gewünschten Anwendung (u. a. Funktion, Zuver-
lässigkeit, Platz)

x Kosten für Planung und Entwicklung
x Kosten der Steuerungskomponenten
x Folgekosten
x Kommunikationserfordernisse
x Diagnosemöglichkeiten

199

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Formeln und Tabellen Elektrotechnik,

DOI 10.1007/978-3-8348-2023-5_8, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014

Steuerungstechnik

8

Grundlagen der Steuerungstechnik

Elektrische

Motorsteuerung

L1

F4

Befehlsgeber

S0

S1

Q1

Stellglied

Q1

H1

Anzeige

Steuerstromkreis

= Steuereinrichtung

Steuerungsarten

Signalverarbeitung

Steuerungsarten

Steuerung

Steuerungsablauf

Verknüpfungssteuerungen

Ablaufsteuerung

Zuständen der Eingangssignale

Steuerung mit zwangsläufig

werden durch Booleschen Ver-
schrittweisem Ablauf, bei der

knüpfungen definierte Zustände
der Übergang von einem Schritt
der Ausgangssignale zugeordnet.

auf den oder die folgenden von

Übergangsbedingungen erfolgt.

Eingabe

Zeitgeführt

Prozessabhängig

logische Verknüpfungen

Die Übergangsbe-

Die Übergangsbe-
dingungen sind nur
dingungen sind vor-

Speicherfunktionen
zeitabhängig.

wiegend von Signalen

Zeitfunktionen
des gesteuerten

Zählfunktionen

Prozesses abhängig.

Ausgabe

Steuerungsarten

Programmverwirklichung

200

Steuerungstechnik

8

Programmierung einer SPS

2 Speicherpro-

grammierbare

Steuerungen SPS

2.1 Die Hardware
einer SPS

Funktionsblöcke
einer SPS

Beschaltung einer SPS

SPS-Norm

Die Norm EN 61131-3 legt

Beispiel: Bezeichnung der

die Syntax und Semantik

Ein-/Ausgangsvariablen

von Programmiersprachen

für Speicherprogrammierbare

EN 61131-3

STEP 7

Steuerungen fest.

Eingänge %IX25

E

1.0

Ausgänge %QB 4

AB 4

2.2 Programmierung

einer SPS

Programmabarbeitung

Zyklische Bearbeitung

Bausteinstruktur bei STEP 7
und strukturierte

Programmierung

201

Steuerungstechnik

8

Programmierung einer SPS

Struktur einer Anweisung

(Beispiel)

Operatoren der Anwei-
sungsliste (Auswahl)

Direkte Einzelelement-

Variablen

2.2.1 Programmier-

sprachen

Übersicht

Anweisungsliste AWL

EN 61131-3

STEP 7

LD %IX0.0

U E 0.0

AND %IX0.1

U E 0.1

ORN %IX0.2

ON E 0.2

ST %QX4.0

= A 4.0

Strukturierter Text

%QX4.0:= %IX0.0 AND %IX0.1

A4.0 = E0.0 AND E0.1 OR NOT

ST

OR NOT %IX0.2;

E0.2

Funktionsbaustein-
sprache FBS

Kontaktplan KOP

2.2.2 Programmieren grund-

legender Funktionen

nach EN 61131-3 und

STEP 7 (Auswahl)

Anmerkungen

Die im weiteren Verlauf verwendete Darstellungen in den Programmier-
sprachen AWL, FUP und KOP basieren auf der Norm EN 6-1131-3.

Auf die Darstellung der Funktionen in der Programmiersprache ST
wird dabei verzichtet.

202

Steuerungstechnik

8

Programmierung einer SPS

UND,

LD

%IX0.1

NEGATION

ANDN

%IX0.2

ST

%QX4.1

ODER,

LD

%IX0.1

NEGATION

ORN

%IX0.2

2 Zuweisungen

ST

%QX4.0

ST

%QX4.1

Exclusiv ODER

LD

%IX0.2

XOR

%IX0.1

ST

%QX4.0

Hinweis: Darstellung als

KOP-Symbol nicht möglich

Zusammengesetzte

LD

%IX0.1
logische Verknüpfung

AND

%IX0.2

Disjunktive Form

OR(

TRUE

ANDN

%IX0.1

ANDN

%IX0.2

)

OR

%IX0.3

ST

%QX4.0

Zusammengesetzte

LD

%IX0.1
logische Verknüpfung

OR

%IX0.2

Konjunktive Form

AND (

TRUE

ANDN

%IX0.1

ORN

%IX0.2

)

AND

%IX0.3

ST

%QX4.0

SR-Speicherfunktion

CAL I_SR (

SET1 :=

%IX0.1,

RESET :=

%IX0.2)

LD I_SR.Q1

ST %QX4.0

RS-Speicherfunktion

CAL I_RS (

SET :=

%IX0.1,

RESET1 :=

%IX0.2)

LD I_RS.Q1

ST %QX4.0

Positive Flanke

CAL FO1 (

FO1 = Flankenoperand

CLK :=

IO = Impulsoperand

%IX0.1)

LD FO1.Q

ST IO

Negative Flanke

CAL FO2 (

FO2 = Flankenoperand

CLK :=

IO = Impulsoperand

%IX0.1)

LD FO2.Q

ST IO

203

Steuerungstechnik

8

Programmierung einer SPS

Zeit als Impuls

CAL Zeit1 (

IN :=

Zeit1: TP

%IX0.1,

PT :=

T#3000ms)

LD ZEIT1.Q

ST %QX4.0

Zeit als Einschalt-

CAL Zeit2 (
verzögerung

IN :=

%IX0.1,

Zeit2: TON

PT :=

T#3000ms)

LD Zeit2.Q

ST %QX4.0

Zeit als Ausschalt-

CAL Zeit3 (
verzögerung

IN :=

%IX0.1,

Zeit3: TOF

PT :=

T#3000ms)

LD Zeit3.Q

ST %QX4.00

Vor-Rückwärts-Zähler

CAL Zae1 (

CU :=

%IX0.1,

CD :=

%IX0.2,

RESET :=

%IX0.7,

LOAD :=

%IX0.3,

PV := 3 )

LD Zae1.QU

ST %QX4.0

LD Zae1.QD

ST %QX4.1

LD Zae1.CV

ST %MW10

STEP 7

Anmerkungen

Die im weiteren Verlauf verwendete Darstellungen in den Program-

miersprachen AWL, FUP und KOP basieren auf dem Programmier-

standard STEP 7. Auf die Darstellung der Funktionen in der Pro-

grammiersprache ST wird dabei verzichtet.

UND,

U

E 0.1

NEGATION

UN

E 0.2

=

A 4.0

ODER,

O

E 0.1

NEGATION

ON

E 0.2

2 Zuweisungen

=

A 4.0

=

A 4.1

204

Steuerungstechnik

8

Programmierung einer SPS

Exclusiv ODER

X

E

0.1

X

E

0.2

=

A

4.0

Hinweis: Darstellung als

KOP-Symbol nicht möglich

Zusammengesetzte

U

E

0.1
logische Verknüpfung

U

E

0.2

Disjunktive Form

O

UN E

0.1

UN E

0.2

O

E

0.3

=

A

4.0

Zusammengesetzte

U (

logische Verknüpfung

O

E

0.1

Konjunktive Form

O

E

0.2

)

U (

ON E

0.1

ON E

0.2

)

U

E

0.3

=

A

4.0

SR-Speicherfunktion

U

E

0.1

S

A

4.0

U

E

0.2

R

A

4.0

RS-Speicherfunktion

U

E

0.1

R

A

4.0

U

E

0.2

S

A

4.0

Positive Flanke

U

E

0.0

M10.0 = Flankenoperand

FP M

10.0

M10.1 = Impulsoperand

=

M

10.1

Negative Flanke

U

E

0.0

M10.0 = Flankenoperand

FN M

10.0

M10.1 = Impulsoperand

=

M

10.1

Zeit als Impuls

U

E

0.0

L

S5T #3S

SI

T

1

U

E

0.7

R

T

1

L

T

1

T

MW 10

LC T

1

T

MW 20

U

T

1

=

A

4.0

205

Steuerungstechnik

8

Programmierung einer SPS

Zeit als Einschalt-

U

E

0.0
verzögerung

L

S5T

#3S

SE

T

1

U

E

0.7

R

T

1

L

T

1

T

MW

10

LC

T

1

T

MW

20

U

T

1

=

A

4.0

Zeit als Ausschalt-

U

E

0.0
verzögerung

L

S5T

#3S

SA

T

1

U

E

0.7

R

T

1

L

T

1

T

MW

10

LC

T

1

T

MW

20

U

T

1

=

A

4.0

Vor-Rückwärts-Zähler

U

E

0.1

ZV

Z

1

U

E

0.2

ZR

Z

1

U

E

0.3

L

C#3

S

Z

1

U

E

0.7

R

Z

1

L

Z

1

T

MW

10

LC

Z

1

T

MW

20

U

Z

1

=

A

4.0

2.3 Programmbeispiel:

Wendeschütz-

schaltung

Schaltungsbeschreibung

Die Wendeschützsteuerung für einen Drehstrommotor ist so auszule-

gen, dass der Motor erst dann in eine andere Drehrichtung geschaltet

werden kann, wenn er vorher abgeschaltet worden ist (Umschalten
über Halt). Die Leistungsschütze sollen gegenseitig verriegelt werden

(Software). Aus Sicherheitsgründen sind zusätzliche Verriegelungs-
kontakte einzusetzen (Hardware). Die jeweilige Drehrichtung soll
durch Leuchtmelder angezeigt werden. Auf Drahtbruchsicherheit ist
zu achten.

Gegeben ist der Hauptstromkreis und der Steuerstromkreis der Schal-
tung.

206

Steuerungstechnik

8

Programmierung einer SPS

Arbeitsaufgaben

Der Anschlussplan (Belegungsplan) ist zu zeichnen.

Die Zuordnungsliste ist zu erstellen.

Aus dem Steuerstromkreis ist das Steuerungsprogramm zu erstellen

und in den beiden

Programmiersprachen AWL und FBS nach STEP 7 darzustellen.

Das Steuerungsprogramm ist unter Verwendung von SR-Speicher-

funktionen neu zu entwerfen

und in den beiden Programmiersprachen AWL und FBS nach STEP 7

darzustellen.

Anschlussplan der SPS

Drahtbruchsicherheit:

unter Berücksichtigung

Die Ausschaltkontakte F5 und
der Drahtbruchsicherheit

S1 werden als „echte Öffner“ an

die SPS angeschlossen. Sollte

ein Anschlussdraht dieser Kon-

takte ausfallen (brechen), so hat

das ein Abschalten der Anlage

zur Folge.

Zuordnungsliste

Eingangsvariable Symbol Datentyp Logische Zuordnung Adresse

AUS-Taster

S1

BOOL

Betätigt

S1 = 0 E 0.1

EIN-Taster Links-

S2

BOOL

Betätigt

S2 = 1 E 0.2
lauf

EIN-Taster

S3

BOOL

Betätigt

S3 = 1 E 0.3

Rechtslauf

Kontakt Motor-

F5

BOOL

Automatik

F5 = 1 E 0.4
schutz

Ausgangsvariable

Schütz Rechts-

Q1

BOOL

Angezogen K1 = 1 A 0.0
lauf

Schütz Linkslauf

Q2

BOOL

Angezogen K2 = 1 A 0.1

Leuchtmelder

H1

BOOL

Leuchtet

H1 = 1 A 0.0

Rechtslauf

Leuchtmelder

H2

BOOL

Leuchtet

H2 = 1 A 0.1

Linkslauf

207

Steuerungstechnik

8

Ablaufsteuerungen mit SPS

Steuerungsprogramm

AWL

FBS
mit Selbsthaltung

nach Stromlaufplan

U

E

0.4

U

E

0.1

U (

UN

E

0.2

U

E

0.3

O

A

0.0

)

UN

A

0.1

=

A

0.0

U

E

0.4

U

E

0.1

U (

U

E

0.2

UN

E

0.3

O

A

0.1

)

UN

A

0.0

=

A

0.1

Steuerungsprogramm
mit SR-Speicher

UN

E

0.2

U

E

0.3

S

A

0.0

O

E

0.4

O

E

0.1

O

A

0.1

R

A

0.0

U

E

0.2

UN

E

0.3

S

A

0.1

O

E

0.4

O

E

0.1

O

A

0.0

R

A

0.1

3 Ablaufsteuerun-

gen mit SPS

3.1 Grundlagen

Ablaufsteuerung

Steuerungen, die einen schrittweisen Ablauf nach den Vorgaben von

Ablauffunktionsplänen ausführen, werden Ablaufsteuerungen ge-
nannt.

208

Steuerungstechnik

8

Ablaufsteuerungen mit SPS

Arten von Ablauf-

Ablaufsteuerung
steuerungen

Zeitgeführt

Prozessabhängig

Die Übergangsbe-

Die Übergangsbe-
dingungen sind nur
dingungen sind vor-

zeitabhängig.

wiegend von Signalen

des gesteuerten

Prozesses abhängig.

Ohne Betriebsartenwahl

Mit Betriebsartenwahl

Der Steuerungsablauf

Der Steuerungsablauf

erfolgt nur in der Be-
kann in verschiedenen

triebsart „Automatik“.

Betriebsarten erfolgen.

Betriebsarten bei

Ablaufsteuerungen

Struktur einer

Ablaufsteuerung mit

Betriebsartenwahl

3.2 Ablaufkette

Darstellung einer linearen

Darstellung von Schritten

Funktionsablaufplan

Ablaufkette nach

EN 61131-3

209

Steuerungstechnik

8

Ablaufsteuerungen mit SPS

Verzweigte Ablaufketten

Sprung und Schleifen-
darstellung von Ablauf-
ketten

3.3 Befehlsausgabe,

Aktionen,

Aktionsblock

Feld „a“: Bestimmungszeichen

Vollständige Darstellung

Feld „b“: Aktionsname
des Aktionsblocks nach

Feld „c“: Anzeigevariable

EN61131-3

Feld „d“: Beschreibung der Aktion in

AWL, ST, KOP oder FBS.

Bestimmungszeichen

Zeichen Erläuterung

Funktion (nach EN 61131-3)

für Aktionen
kein

Nicht gespeichert

(kein Zeichen)

N Nicht
gespeichert

R

Vorrangiges Rück-
setzen

S Setzen

(gespeichert)

210

Steuerungstechnik

8

Ablaufsteuerungen mit SPS

Zeichen Erläuterung

Funktion (nach EN 61131-3)

L Zeitbegrenzt

D Zeitverzögert

P Impuls

(Flanke)

SD Gespeichert
und

zeitverzögert

DS

Verzögert und ge-

speichert

SL Gespeichert
und

zeitbegrenzt

Darstellung des Aktions-

Speichernde Aktion
blocks nach DIN EN

Aktion wird bei Aktivierung des Schrit-

60848 (Grafcet)

tes gespeichert.

Zeitbegrenzte Aktion

Die Zuweisungsbedingung ist nur für

die Dauer von 3 s erfüllt.

Zeitverzögerte Aktion

Die Zuweisungsbedingung wird erst

nach 3 s erfüllt.

Bedingte Aktion

Die Zuweisungsbedingung S3 beein-

flusst die kontinuierlich wirkende Aktion.

3.4 Programmbeispiel:

Beschreibung des Prozessablaufs

Technologieschema

Nach Betätigung der Taste S1 wird

Prozessablauf
das Zulaufventil Y1 solange geöffnet,

Technologieschema
bis der Niveauschalter LS2 anspricht.

Danach wird der Rührwerkmotor M
eingeschaltet und das Ventil Y2 ge-
öffnet. Spricht der Niveauschalter

LS3 an, wird das Ventil Y2 geschlos-
sen und die Heizung eingeschaltet.

Meldet der Temperaturfühler TS das

Erreichen der vorgegebenen Tempe-
ratur, werden die Heizung und das

Rührwerk abgeschaltet sowie das

Auslassventil Y3 geöffnet. Wenn der

Niveauschalter LS1 meldet, dass der

Behälter leer ist, wird das Ventil Y3
geschlossen. Durch erneute Betäti-
gung der Taste S1 kann der Vorgang
wiederholt werden. Mit einer RESET-

Taste kann die Ablaufsteuerung in die

Grundstellung gebracht werden.

211

Steuerungstechnik

8

Ablaufsteuerungen mit SPS

Arbeitsaufgaben

Die Zuordnungsliste ist zu erstellen.

Der Funktionsablaufplan ist für den Prozessablauf zu entwerfen.

Das Steuerungsprogramm des Funktionsablaufplans mit SR-Spei-

chern ist zu zeichnen.

Das Steuerungsprogramm ist mit der Ablaufsprache AS nach EN

61131-3 darzustellen.

Das Steuerungsprogramm ist mit der Ablaufsprache S7-Graph zu

programmieren.

Zuordnungsliste

Eingangs-

Symbol Datentyp Logische Zuordnung

Adresse STEP 7

variable

Start-Taste

S1

BOOL
betätigt

S1 = 1

%IX 0.0 E 0.0

Niveausch.

LS1

BOOL
spricht an LS1 = 1

%IX 0.1 E 0.1

Beh. leer

Niveausch.

LS2

BOOL
spricht an LS2 = 1

%IX 0.2 E 0.2

Beh. halb

Niveausch.

LS3

BOOL
spricht an LS3 = 1

%IX 0.3 E 0.3

Beh. voll

Temperatur-

TS

BOOL
spricht an TS = 1

%IX 0.4 E 0.4

fühler

RESET-Taster RESET BOOL
betätigt

RESET = 1 %IX 0.5 E 0.5

Ausgangs-

variable

Ventil Stoff 1

Y1

BOOL

Ventil offen Y1 = 1 %QX 0.0 A 0.0

Ventil Stoff 2

Y2

BOOL

Ventil offen Y2 = 1 %QX 0.1 A 0.1

Auslassventil

Y3

BOOL

Ventil offen Y3 = 1 %QX 0.2 A 0.2

Heizung

H

BOOL

Heizung an H = 1

%QX 0.3 A 0.3

Rührwerkmotor M

BOOL

Motor läuft

M = 1

%QX 0.4 A 0.4

Funktionsablaufplan

212

Steuerungstechnik

8

Ablaufsteuerungen mit SPS

3.4.1 Realisierung mit SR-

Das Steuerungsprogramm für den Funktionsablaufplan wird im Funk-

Speicherfunktionen
tionsbaustein FB 10 realisiert.

Deklaration

VAR_INPUT

VAR_OUTPUT

VAR

Funktionsbaustein FB10

S1: BOOL;

Y1: BOOL;

SRO1:SR:= (Q1:=TRUE);

LS1: BOOL;

Y2: BOOL;

SRO2: SR;

LS2: BOOL;

Y3: BOOL;

SRO3: SR;

LS3: BOOL;

H: BOOL;

SRO4: SR;

TS: BOOL;

M: BOOL;

SRO5: SR;

RESET: BOOL; END_VAR

I_M: SR;

END_VAR

END_VAR

Steuerungsprogramm in

FBS

AWL
der FBS- und AWL-Sprache

LD RESET

OR ( SRO5.Q1

AND LS1)

ST SRO1.SET1

CALSRO1 (RESET :=

SRO2.Q1)

LD SRO1.Q1

AND S1

AND LS1

ANDN LS2

ANDN LS3

ST SRO2.SET1

LD SRO3.Q1

OR RESET

ST SRO2.RESET

CAL SRO2

LD SRO2.Q1

AND LS2

ST SRO3.SET1

LD SRO4.Q1

OR RESET

ST SRO3.RESET

CAL SRO3

LD SRO3.Q1

AND LS3

ST SRO4.SET1

LD SRO5.Q1

OR RESET

ST SRO4.RESET

CAL SRO4

213

Steuerungstechnik

8

Ablaufsteuerungen mit SPS

Steuerungsprogramm in

FBS

AWL
der FBS- und AWL-Sprache

LD SRO4.Q1

AND TS

ST SRO5.SET1

LD SRO1.Q1

OR RESET

ST SRO5.RESET

CAL SRO5

LD SRO2.Q1

ST Y1

LD SRO3.Q1

ST Y2

LD SRO5.Q1

ST Y3

LD SRO4.Q1

ST H

LD SRO5.Q1

OR RESET

ST I_M.RESET

CAL I_M(SET1 :=

SRO3.Q1)

LD I_M.Q1

STM

Aufruf des Funktions-

CAL DB10 (
bausteins FB10

S1 :=

%IX0.0,

LS1 :=

%IX0.1,

LS2 :=

%IX0.2,

LS3 :=

%IX0.3,

TS :=

%IX0.4,

RESET := %IX0.5)

LD DB10.Y2

ST %QX0.1

LD DB10.Y3

ST %QX0.2

LD DB10.H

ST %QX0.3

LD DB10.M

ST %QX0.4

LD DB10.Y1

ST %QX0.0

214

Steuerungstechnik

8

Ablaufsteuerungen mit SPS

3.4.2 Realisierung mit der

Ablaufsprache AS

nach EN 61131-3

Steuerungsprogramm in

Das Steuerungsprogramm in der Ablaufsprache AS wird wieder im
der AS-Sprache

Funktionsbaustein FB 10 realisiert.

TRANS:

Aufruf des Funktions-

CAL DB10 (

bausteins FB10

S1 :=

%IX0.0,

LD DB10.Y3

LS1 :=

%IX0.1,

ST %QX0.2

LS2 :=

%IX0.2,

LD DB10.H

LS3 :=

%IX0.3,

ST %QX0.3

TS :=

%IX0.4)

LD DB10.M

ST %QX0.4

LD DB10.Y2

LD DB10.Y1

ST %QX0.1

ST %QX0.0

215

Steuerungstechnik

8

Ablaufsteuerungen mit SPS

3.4.3 Realisierung mit der

Ablaufsprache AS

nach S7-GRAPH

Steuerungsprogramm

Das Steuerungsprogramm wird wieder im Funktionsbaustein FB 10

realisiert.

Aufruf des Bausteins

im OB1

CALL FB 10 , DB10

Taster_S1 :=E0.0

LS1 :=E0.1

LS2 :=E0.2

LS3 :=E0.3

TS :=E0.4

Y1 :=A0.0

Y2 :=A0.1

Y3 :=A0.2

H :=A0.3

M :=A0.4

216

Messtechnik

9

Grundlagen

1 Grundlagen

1.1 Begriffe

Größenwert, Zahlenwert,

Größenwert = Zahlenwert · Einheit

Einheit

Beispiel: Größenwert 5 V o Zahlenwert 5; Einheit V

Messen

Experimenteller Vorgang, durch den ein spezieller Wert einer physika-

lischen Größe als Vielfaches einer Einheit oder eines Bezugswertes

ermittelt wird

Messwert

Gemessener spezieller Wert einer Messgröße

Messergebnis

Ein aus mehreren Messwerten einer physikalischen Größe oder aus

Messwerten für verschiedene Größen nach einer festgelegten Bezie-

hung ermittelter Wert oder Werteverlauf

Messprinzip

Charakteristische physikalische Erscheinung, die bei der Messung

benutzt wird. Beispiel: Temperaturmessung o Änderung des elektri-

schen Widerstandes eines metallischen Leiters durch Temperaturän-

derung

Messverfahren

Spezielle Art der Anwendung eines Messprinzips.

Beispiel: Abgleich einer Instrumentenanzeige auf Null. Wird z. B. bei

Brückenschaltungen als Nullabgleichverfahren bezeichnet.

Messgerät

Liefert oder verkörpert Messwerte

Messbereich

Bereich von Werten des Eingangssignals eines Messgerätes, der

entsprechend der Kennlinie dieses Messgerätes eindeutig und inner-

halb vorgegebener Fehlergrenzen durch Werte des Ausgangssignals

abgebildet wird

Empfindlichkeit

Verhältnis der Änderung einer Ausgangsgröße zu der sie verursa-

chenden Eingangsgröße

Kalibrieren

Ermitteln des gültigen Zusammenhanges zwischen dem Messwert

oder dem Wert des Ausgangssignals und dem konventionell richtigen

Wert der Messgröße

Justieren

Einstellen oder Abgleichen eines Messgerätes mit dem Ziel, die An-

zeige des Messgerätes möglichst nahe an den richtigen Wert der

Messgröße anzugleichen

Eichen

Von einer Eichbehörde nach den gesetzlichen Vorschriften und An-

forderungen vorzunehmende Prüfung und Stempelung von Messgerä-

ten. Beispiele: Elektrizitätszähler, Waagen, Zapfsäulen

Messumformer

Messgerät, das ein analoges Eingangssignal in ein eindeutig damit

zusammenhängendes analoges Ausgangssignal umformt. Beispiel:

Temperaturmessung o Eine Temperaturänderung wird in eine Wider-

standsänderung umgeformt.

Messwandler

Am Ein- und Ausgang tritt die gleiche physikalische Größe auf; es wird
keine Hilfsenergie benötigt. Beispiele: Spannungswandler, Stromwandler

217

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Formeln und Tabellen Elektrotechnik,

DOI 10.1007/978-3-8348-2023-5_9, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014

Messtechnik

9

Grundlagen

Messumsetzer

Die Signalstruktur von Ein- und Ausgang ist entweder unterschiedlich

(analog-digital bzw. digital-analog) oder nur digital.

Analoge Messverfahren

Der Messgröße wird ein Signal zugeordnet, das mindestens im Ideal-

fall eine eindeutig umkehrbare Abbildung der Messgröße ist (häufig

Skalenanzeige).

Digitale Messverfahren

Der Messgröße wird ein Signal zugeordnet, das eine mit fest gegebe-

nen Schritten quantisierte Abbildung der Messgröße ist (häufig Ziffern-

anzeige).

1.2 Einheiten

SI-Basiseinheiten

Basisgröße

Basiseinheit

Name

Einheitenzeichen

Länge

Meter
m

Masse

Kilogramm
kg

Zeit

Sekunde
s

Elektrische Stromstärke

Ampere

A

Thermodynamische Temperatur

Kelvin

K

Lichtstärke

Candela
cd

Stoffmenge

Mol
mol

Abgeleitete SI-Einheiten

Abgeleitete Größe

Name

Zeichen

Zusammenhang zu

(Auswahl)

anderen SI-Einheiten

Kraft

Newton

N

1 N = 1 kg · m/s2

Energie

Joule

J

1 J = 1 Nm

Leistung

Watt

W

1 W = 1 J/s

Elektrische Spannung

Volt

V

1 V = 1 W/A

Elektrischer Widerstand

Ohm

:

1 : = 1 V/A

Elektrische Kapazität

Farad

F

1 F = 1 As /V

Elektrische Induktivität

Henry

H

1 H = 1 Vs /A

Magnetischer Fluss

Weber

Wb

1 Wb = 1 Vs

1.3 Messabweichung,

Messfehler

Messabweichung F

Messabweichung: Unterschied zwischen

F
x a
r
x
dem erhaltenen ( x

Messfehler F
a) und dem wahren Wert

( x

F
x
x
r), oder, wenn der wahre Wert nicht be-
a
r
f

Relative Messabweichung f
kannt ist, einem als richtig geltenden Wert,
r
x
r
x

dem konventionell richtigen Wert. Der frü-

Relativer Messfehler f
her durchgehend gebrauchte Begriff Fehler
x a r
x
f

� 100 in %

sollte der Beschreibung von Messgeräten
r
x

Wahrer Wert
vorbehalten bleiben, die festgestellte sys-

tematische Abweichungen aufweisen (DIN

Konventionell richtiger

1319). Im Folgenden wird vorwiegend der

Wert

Begriff Abweichung benutzt.

Systematische

A a: Bekannt nach Betrag und Vorzeichen,

K A

Abweichungen A
a
a
deshalb korrigierbar. Messergebnis ist un-

richtig. Beispiel: Einschalten eines Strom-
x x K

Korrektion K
r
a
messgerätes in einen Messkreis o der

Innenwiderstand beeinflusst den Kreis und

Berichtigter Messwert xr
macht das Messergebnis unrichtig.

218

Messtechnik

9

Grundlagen

Zufällige Abweichungen ' xz ' x z: Statistischer Natur; z. B. Rauschen, Messwert mit Abwei-

Störungen. Sie sind nicht bekannt und damit
chungsgrenzen:

Abweichungsgrenzen G
nicht korrigierbar. Sie machen ein Messer-
r
x r G

gebnis unsicher. Häufig angebbar sind Ab-

Beispiel: 3 V r 0,2 V

weichungsgrenzen G, innerhalb derer der

Messwert „mit großer Wahrscheinlichkeit“

liegt. Der Erfahrung entsprechend werden

die Abweichungsgrenzen symmetrisch zum

konventionell richtigen Wert angegeben.

(Maximale) relative

Der Begriff maximal entfällt häufig. Zur Fest-

G
r
f

Messabweichung f
legung von G werden Erfahrungen, häufige
x

Messungen und die Statistik herangezogen.

r

Arithmetischer Mittelwert

Der arithmetische Mittelwert (n f) kommt
n

1
x
erfahrungsgemäß dem konventionell richti-
x

� ¦ i x
n

gen Wert häufig schon sehr nahe. Der Er-
i 1

Erwartungswert P
wartungswert (n o f) repräsentiert mit gro-
n x

ßer Wahrscheinlichkeit den konventionell
in

P lim ¦
nof
n

richtigen Wert. Näherung: x ˆ P für gro-
i 1

ßes n.

n

Zahl der Messwerte

x i Messwerte, i = 1...n, n < f

x in Messwerte, n o f

Standardabweichung s

Je größer die Standardabweichung ist, des-

1

2

to mehr „streuen“ die Messwerte, und desto
s

¦n x

i
x
n 1

Varianz s2 bzw. V2
weniger wird man vom arithmetischen Mit-
i 1

telwert auf den konventionell richtigen Wert

schließen können.

Formelzeichen siehe arithmetischer Mittel-

wert.

Abweichungs-

Die Gesamtmessabweichung F g berechnet
w f ( x, y, ,...)

z

F

� x

'

fortpflanzung
sich aus der Summe der Einzelmessabwei-
g
w x

chungen. Mathematisch: Totales Differenti-
w f ( ,
x y, ,...)

z

� y

'

Fehlerfortpflanzung
al. In der Praxis werden für ' x, ' y, ' z,... die
w y

Abweichungsgrenzen ± Gx, ± Gy, ± Gz.,...

eingesetzt. Das Vorzeichen der einzelnen
w f ( ,
x y, ,...)

z

� z

'

Abweichungsgrenzen ist so zu wählen, dass
w z
sich die größtmögliche Gesamtabweichungs-

...

grenze ergibt. Die tatsächlich auftretende

Gesamtabweichungsgrenze liegt damit in-
nerhalb der berechneten.

Beispiel: Teilspannungen U 1 = 12 V ± 0,2 V;

U2= 16 V ± 0,1 V. Gesucht: Gesamtspan-
nung U g und Gesamtabweichungsgrenze.

x l U y l

; .

U

� F

f ( U , U ) U

1

2

1

2

1

U 2

' x ' U r0,2 V; '

y ' U r

1

2

0,1 V

w
w

1

U

U 2

1

U U 2

' F

� ' 1

U

� U

' 2 1� ' 1

U 1� ' U 2
w
w

1

U

U 2

U g = (12 + 16) V + ' F = 28 V r (0,2 + 0,1) V = 28 V r 0,3 V

219

Messtechnik

9

Grundlagen

Fehler von analog anzei-

Klasse: Betrag der Fehlergrenze in Prozent.

r

�
genden Messgeräten

F

(ME G )/100

Absoluter Fehler F i. a. bezogen auf den

%

Messbereichsendwert (ME). Diese Fehler-

Klasse
grenze gilt für jeden Messwert. Der relative

F

f

Messfehler f ist um so größer, je mehr Mess-
x

wert und Skalenendwert voneinander ab-

weichen.

In DIN 43780 festgelegte Klassen: 0,05; 0,1;

0,2; 0,5; 1; 2,5; 5. G% Zahlenwert der Klas-

se; x Messwert.

Fehler von digital anzei-

Die Fehlerangabe ist zurzeit noch nicht ge-

Beispiel:

genden Messgeräten
normt.

F

F
max = r (f1 % v.A. +
max: maximaler absoluter Fehler

f
f

1, f 2: Zahlenwert der Fehler

2 % v.E. + 1 LSB)

v.A.: von der Anzeige (Messwert)

v.E.: vom Endwert (Messbereichsendwert)

LSB: least significant bit (1 LSB: i. a. Quan-

tisierungsfehler)

1.4 Mittelwerte, Häufig-

keitsverteilungen,

Vertrauensbereich

Arithmetischer Mittelwert

Gleichanteil von x. Wird von Drehspul-

T
x
messwerken und manchmal auch von ein-

1
x

³^ x t`d t

fachen Digitalvolt- oder Digitalvielfach-Mess-

T 0

geräten intern erfasst und zur Anzeige in

den Effektivwert umgerechnet.

x stellvertretend für Spannung u oder

Strom i

T Periodendauer des periodischen Signal-

verlaufes x( t)

Effektivwert X
x stellvertretend für Spannung u oder

T

Strom i,

1

X

³^ x t `2

d t

T Periodendauer des periodischen Signal-

T

verlaufes x(t).

0

Normalverteilung,

Voraussetzungen: 1. Zahl n der Messwerte

(
p x)

Gaußverteilung
sehr groß (ideal: n o f); 2. Vorhandensein
x x2

von zufälligen Messabweichungen (Feh-

1

2

2

�
lern). Auftragen der einzelnen Messwerte in
e

V

2

2S � V
einem Häufigkeitsdiagramm o Kurve stellt
eine Häufigkeitsverteilung p( x) dar und nä-
hert sich mit wachsendem n der Normalver-
teilung (Gaußverteilung, „Gaußsche Glocken-
kurve“). Je besser die Annäherung an die

Normalverteilung ist, desto wahrscheinlicher
entspricht der arithmetische Mittelwert dem
konventionell richtigen Wert.

V2 Varianz
x arithmetischer Mittelwert

220

Messtechnik

9

Messverfahren zur Messung elektrischer Größen (Auswahl)

Vertrauensgrenzen

Vertrauensgrenzen: Grenzen eines Inter-

Obere Vertrauens-

valls, in dem der wahre Wert mit einer vor-
grenze

Vertrauensbereich
gegebenen Wahrscheinlichkeit (1 – D) liegt.

Das Intervall ist der Vertrauensbereich.

t
x

� s

Vertrauensniveau

(1 – D) ist das Vertrauensniveau und wird
n

vom Anwender gewählt.

Untere Vertrauens-

x
arithmetischer Mittelwert
grenze

n

Zahl der Messwerte

s

Standardabweichung
t
x

� s

t / n nach DIN 1319, Teil 3; Auszug siehe
n

folgende Tabelle

Anzahl n

(1 – D) = 68,26 %

(1 – D) = 95 %

(1 – D) = 99,5 %

der Einzel-

messungen

t
t / n
t
t / n
t
t / n

2 1,84

1,30

12,71

8,98

127,32

90,03

5 1,15 0,51 2,78

1,24 5,60 2,50

10 1.06 0,34 2,26

0,71 3,69 1,17

30 1,02 0,19 2,05

0,37 3,04 0,56

100 1,00 0,10 1,98

0,20 2,87 0,29

2 Messverfahren
zur Messung

elektrischer

Größen

(Auswahl)

2.1 Spannungs- und

Strommessung

Anzeige verschiedener

1. Drehspulmessinstrument: Zeigt den arithmetischen Mittelwert

Messgeräte bei Wechsel-
von Strom und Spannung an. Durch Gleichrichtung und Skalenka-
größen
librierung wird nur der Effektivwert für eine sinusförmige Messgrö-

ße richtig angezeigt.

2. Dreheisenmessinstrument: Zeigt zwar prinzipiell den Effektiv-

wert an, aber nur für im Signalverlauf enthaltene Frequenzanteile
bis etwa 500 Hz bis 1000 Hz.

3. Messinstrument mit Thermoumformer: Zeigt den Effektivwert
an für im Signalverlauf enthaltene Frequenzanteile bis etwa 65

MHz, Sonderausführungen bis 1000 MHz.

4 Digitalmultimeter: Es gibt drei Ausführungen:

4.1 Untere Preisklasse: Gemessen wird häufig der Scheitelwert, durch

2 geteilt und angezeigt o nur für sinusförmige Größen geeig-
net.

4.2 Mittlere Preisklasse; „Echt-Effektivwertmessung“: Ein im zu mes-
senden Signal enthaltener Gleichanteil wird nicht erfasst.

4.3 Obere Preisklasse: Die Effektivwertmessung ist von der Form des
zu messenden Signals unabhängig. Zu beachten ist nur die obere

Frequenzgrenze.

221

Messtechnik

9

Messverfahren zur Messung elektrischer Größen (Auswahl)

Gleichspannung

Digitalvoltmeter,

Digital-Multimeter.

Wechselspannung

Je nach Form der

Messgröße geeignetes

Messgerät verwenden.

Innenwiderstand

t 10 M:zufällige rela-

tive Messabweichung

3
d | r5 � 10

|

Eingangskreis eines Digitalvoltmeters

Messabweichung durch

Systematische Mess-
den Innenwiderstand
abweichung
des Spannungsmessers

1
f

i

R

1

1

R || 2

R

Gleichstrom

Strommessung durch Spannungsmes-

Digitalmultimeter. Je

sung an einem bekannten Widerstand. nach Form der Mess-

Wechselstrom

Der kleinste Spannungsmessbereich bei größe geeignetes Mess-

Digitalmultimetern liegt bei 40 mV...200 gerät verwenden.

mV. Ein Strom von 10 mA erfordert einen

Innenwiderstand

Widerstand im Bereich 4 : bis 20 :.

d 20 : ; zufällige rela-

tive Messabweichung

2
d | r5 � 10

|

Messabweichung durch

Systematische Mess-
den Innenwiderstand
abweichung
des Strommessers

1
f

1

R

1

i

R

2.2 Widerstands- und

Impedanzmessung

Wheatstonesche

Abgleichverfahren: u d0 = 0 bzw. U d0 = 0

Z 3

Messbrücke im

Z Z �
oder

1

2

Z

Abgleichverfahren

4

Z 3

�

Z 1

Z 2
und

Z 4

M M M M ;
a) allgemein
b) Ohmsche Wider-

1

4

2

3

stände

R

bzw.

3

1

R 2

R �

4

R

Wheatstonesche

Ausschlagverfahren: u d0 = f(' R) bzw. U d0 = f(' R); ' R = 0 � Brücke Messbrücke im
abgeglichen.

Ausschlagverfahren

222

Messtechnik

9

Messverfahren zur Messung elektrischer Größen (Auswahl)

Viertel-, Halb- und Vollbrücke mit ' R bzw. ± ' R

2.3 Wirkleistungs-

messung

Zweileitersystem

P U � I � cos M

M Winkel der Last P:

von der Last aufge-
nommene und vom

Leistungsmessgerät
angezeigte Wirkleis-
tung

a) stromrichtig
b) spannungsrichtig

223

Messtechnik

9

Messverfahren zur Messung elektrischer Größen (Auswahl)

Dreileitersystem
ge

P s 3 � 1

P

(Vierleitersystem),
symmetrische Last

P ges: in den drei Last-

impedanzen umgesetz-

te Gesamt-Wirkleis-

tung;

P 1: vom Leistungs-

messgerät angezeigte

Wirkleistung-

Der Null- oder Neutral-

leiter kann bei symme-

trischer Last entfallen.

Dreileitersystem, belie-
ges

P

1

P 2

P , vor-
bige Last: ARON-Schal-
zeichenrichtig addiert!

tung, Zwei-Leistungs-

P
messer-Verfahren

1, P 2: von den Leis-
tungsmessgeräten an-

gezeigte Wirkleistun-

gen, M : Winkel der

Last.

Da P

1 oder P 2 negativ
sein kann, müssen die

Leistungsmessgeräte

a) Anordnung der Leistungsmesser
wie folgt angeschlos-

sen werden: Gekenn-

zeichneten Strom- und

Spannungspfadan-

schluss mit dem Netz

verbinden, siehe

„Sternkennzeichnung“

im Bild.

b) Zeigerdiagramm für symmetrische Last

Vierleitersystem
ge

P s 1

P 2

P 3

P

P

Beliebige Last
ges: in den Last-
impedanzen umge-

setzte Gesamt-

Wirkleistung;

P

1, P 2, P 3: von den

Leistungsmessgerä-

ten angezeigte Wirk-

leistungen.

2.4 Messung von L, C,

Gütefaktor und

Verlustfaktor

Gütefaktor Q

Spule: Q 1/ tan /

G Z � L L

R ; R L in Reihe mit L

Verlustfaktor tan G

Kondensator: Q 1/ tan G Z � C � R ; R

Verlustwinkel G

C

C parallel zu C

224

Messtechnik

9

Messung von nichtelektrischen Größen (Auswahl)

Messung von Z L, ZC

Häufig verwendet:

U sp 10 V; f = 1 kHz

R x, C x, L x: zu mes-

sende Größen.

Schering-Messbrücke:

Frequenz f = 50 Hz,

a) Kapazitäts-
b) Induktivitäts-

Speisespannung der

messbrücke messbrücke
nach

Brücke im kV-Bereich.

Maxwell-Wien

Bestimmung von tan G

ermöglicht Rück-

schlüsse auf Isolati-

onsfehler in Hoch-

spannungskabeln.

c) Schering-

Messbrücke

3 Messung
von

nichtelektri-

schen Größen

(Auswahl)

3.1 Widerstands-

aufnehmer

Einflussgröße

Widerstandsänderung

Temperatur T

R( T) Widerstand bei der Temperatur T

R o Widerstand bei der Temperatur T o, häufig 0 ºC.

Abhängigkeit des Widerstandes von der Temperatur:

1. R( T) = R o (1 + A ( T – T o) + B ( T – T o)2), gilt allgemein für metalli-

sche Leiter, z. B. Cu, Pt, Ni. Näherung: R( T) | R o(1+A ( T – T o)),

für A wird hier auch D verwendet.

A

(bzw.

D), B: Materialkonstanten; A im Bereich +(3...6) · 10–3 K–1,

B im Bereich (– 1...+ 10) · 10–6 K–2; Silizium-Temperatursensoren

A | 7,7 · 10–3 K–1, B | 19 · 10–6 K–2; R o im Bereich (1...10) k:.

2. R( T) = R o exp (B (1/ T – 1/ T o )), gilt für spezielle Materialien, hier

NTC-Widerstand, B Materialkonstante in der Größenordnung

3000 K bis 4000 K.

3. R( T) = R N exp (D( T – T N)), gilt für spezielle Materialien, hier PTC-

Widerstand, näherungsweise in einem begrenzten, technisch aus-

genutzten Temperaturbereich T max t T t T N gültig; Typenspektrum

für T N im Bereich von ca. – 20 ºC bis 350 ºC und für R N im Bereich

von ca. 1 : bis 100 k:; D Materialkonstante im Bereich (0,1...0,7)

K–1 oder meist angegeben in der Form (10...70) %/K.

Strahlung, hier

R( E) = R o ( E / E o )–J; R( E) Widerstand bei der Beleuchtungsstärke E; Beleuchtungsstärke E

R o Widerstand bei der Beleuchtungsstärke E o; J Materialkonstante im Bereich 0,5...1,2.

225

Messtechnik

9

Messung von nichtelektrischen Größen (Auswahl)

Kraft, hier mechanische

' R/ R = K · ' l / l; Anwendung: Dehnungsmessstreifen (DMS).

relative Dehnung ' l / l

K Materialkonstante, mit „K-Faktor“ bezeichnet; bei DMS gilt: K | 2. ' R/ R
eines elektrischen Leiters
relative Widerstandsänderung des DMS; ' l / l relative Längenänderung

von DMS und Werkstück. Der DMS ist auf das Werkstück aufgeklebt.

Magnetfeld, hier magne-

R B = R o (1 k B 2); R B Widerstand bei der Flussdichte B; tische Flussdichte B

R o Widerstand bei der Flussdichte 0; k Materialkonstante, angegeben

wird meist R B/ R o, liegt bei B = 1 T im Bereich 5 bis 15; R o im Bereich

ca. 10 : bis 1 k:.

3.2 Kapazitive

Aufnehmer

Plattenkondensator

H0 elektrische Feldkonstante

A

H � H �

H

C

0
r

0 =8,85 · 10–12 As/Vm
d

Hr Dielektrizitätszahl,
materialabhängig

A Fläche einer Platte in m2

d Plattenabstand in m

Änderung des Platten-

Anwendung: Abstandsmessungen, Mes-

C

'

d

'

1

�
abstandes
sung der Oberflächenrauheit. ' C Ände-

C
d
d

'

0

0

rung der Kapazität (in F) infolge einer Plat-

1
d 0

tenabstandsänderung von d 0 auf d 0 ' d

(in m), C 0 Kapazität beim Plattenabstand

d 0 in m. Praxis: ' d t10–7 m.

Änderung der

Anwendung: Füllstandsmesser. Rechteck-

C

'

x � Hr

1

Dielektrizitätszahl
förmiger Behälter, zwei gegenüberliegende

C
h

Seiten als Kondensatorplatten ausgebildet.

0

' C Änderung der Kapazität durch Einfüllen

eines Mediums mit Hr ! 1 in F

C 0 Kapazität ohne Medium mit Hr !1 in F

x Füllhöhe des Mediums mit H

r ! 1 in m

h Gesamthöhe des Behälters in m

Änderung der

Anwendung: Messung der Schichtdicke

C

'

Dielektrizitätszahl
von Kunststofffolien.

0

C

Die Folie befindet sich zwischen den Kon-

x � Hr

1

densatorplatten.

H � � H
r d
x r

1

' C Änderung der Kapazität durch Ein-

bringen einer Folie mit Hr ! 1 in F

C 0 Kapazität ohne Folie in F

x Dicke der Folie in m

d Abstand der Kondensatorplatten in m

3.3 Induktive Aufnehmer

Spule

P0 magnetische Feldkonstante

2

N

A

P

L

P P

�

|

�

�

0 = 4S · 10–7 Vs/Am

0
r
l

Pr Permeabilitätszahl, materialabhängig
für l >> r

N Windungszahl der Spule

A Querschnittsfläche der Spule in m2
l

Länge der Spule in m
r

Radius einer Windung

226

Messtechnik

9

Messdatenaufbereitung

Änderung der Induktivität

Ein Eisenkern mit Pr !! 1 wird teilweise in

L

' | K � ' l
durch Einschieben eines
die Spule eingeschoben. Die Änderung der

K: Konstante in H/m

Eisenkernes

Induktivität ' L (in H) ergibt sich bei ent-

sprechendem Spulenaufbau in erster Nähe-

rung proportional zur Änderung der Ein-

schiebtiefe ' l (in m) des Eisenkernes.

3.4 Drehzahlmessung,

Drehfrequenz-

messung

Drehzahl

Drehzahl in 1/min; Drehfrequenz in 1/s.

N n � p � t

N Zahl der gezählten Impulse in einem

Drehfrequenz
p !! 1 ermöglicht
vorgegebenen Zeitintervall

eine wesentliche
n Drehzahl (Drehfrequenz) in 1/min (1/s)

Verkürzung der
p Zahl der Impulse pro Umdrehung

Messzeit.

t

Messzeit in s

3.5 Weg- und

Winkelmessung

Wegmessung:

Widerstandsgeber

R

x
x l �

R

Winkelmessung:

0

R

270

D

D

�

R

Verwendet werden auf

Keramikkörper gewi-

ckelte Drahtpotentio-

meter. Die über den

Schleifer abgegriffe-

nen Werte sind stufig,

die Potentiometer we-

Prinzip und Kennlinie
nig störanfällig.

4 Messdaten-

aufbereitung

Maßnahmen zur Störsignal-

verringerung:

Einwirken von Störsigna-

1. Amplitude des Messsignals
len in einen Messkreis
so groß wie möglich.

2. Messkreisleitungen ab-
schirmen.

Weitere Maßnahmen:

a) Induktive Einwirkung:

Abstand d so groß wie mög-
lich; Fläche A so klein wie
möglich, z. B. durch Verdrillen
von Hin- und Rückleitung.

Nachteil: Kapazität steigt,
dadurch evtl. Signalverfäl-
schung.

b) Kapazitive Einwirkung: Ab-
stand d so groß wie möglich,

R i und R e so klein wie mög-
lich, ( C L so groß wie möglich
a) induktiv; b) kapazitiv
o evtl. Signalverfälschung).

227

Messtechnik

9

Messdatenaufbereitung

Abschirmung von

Anschluss der Kabel-

Signalleitungen
abschirmung einseitig

am Verstärkereingang

(Messgeräteeingang).

Störsignale werden in

die Abschirmung ein-

gekoppelt (induktiv,

kapazitiv) und damit

unwirksam. Allerdings

kann C LS die Signal-

form beeinflussen.

Wird die Abschirmung

auf gleichem Potential
wie das Signal gehal-

ten, ist C

a) Grundschaltung; b) Abschirmung mit

LS unwirk-
nachgeführtem Potential

sam. Wichtig: Innen-
widerstand R

i der

Spannungsfolger-
quelle:

R i o 0.

Erdung von

Messsystemen

Die Erdung einzel-
ner Systemkompo-
nenten muss an ei-
nem Punkt zentral
erfolgen.

Die in Digitalbaugrup-
pen auftretenden hö-
heren Ströme verur-
sachen auf Erdungs-
leitungen entspre-
chend höhere Stör-
spannungen ' u p,
deshalb sind ihre Er-
dungskreise von de-
nen der Analogkreise
zu trennen.

a) Wirkung einer Erdschleife;
b) sternförmige Erdung, Analog- und

Digitalteil getrennt

228

Messtechnik

9

Bussysteme für die Messtechnik

Messverstärker

Ziel: Differenzverstär-

ker mit hoher Gleich-

taktunterdrückung

Die Widerstandswerte

von R 0 bzw. R 2 dürfen

sich nur um wenige

10–3 voneinander un-

terscheiden.

Nachteile einer Diffe-

renzverstärker- Schal-

tung mit nur einem

Operationsverstärker:

Eingangswiderstand

beider Eingänge un-

terschiedlich; Verstär-
kung beider Eingänge

unterschiedlich; Schal-

tung vom Aufbau und

der Anordnung un-

symmetrisch.

5 Bussysteme
für
die Messtechnik

5.1 IEC-Bus

Daten

Erläuterungen,

Ergänzungen

Normen IEEE-488

24-poliger

Stecker

IEC 625

25-poliger Stecker
max. Gerätezahl 15

1 Controller;

14 Messgeräte
max. Leitungs-

20 m

länge insgesamt
max. Leitungs-

2 m

Verbindung der Geräte
länge zwischen 2
über Stecker-Buchse-

Geräten

Kombination

Übertragungsrate 20...1000 kByte/s
evtl. schnelle Treiber er-
forderlich

Leitungen

8 Datenleitungen
für parallele Übertragung

(D0...D7):

Datenübergabe/Hand-

3 Steuerleitungen:

shake

5 Steuerleitungen:

Steuerung Daten-
austausch

Steuersignale

TTL-Pegel: 0 V...1,4 V negative Logik; Open-

2,5 V...5 V Collector-Verbindung aller

Teilnehmer

Daten

TTL-Pegel: 0 V...1,4 V positive Logik

2,5 V...5 V

229

Messtechnik

9

Bussysteme für die Messtechnik

Befehle am IEC-Bus

Befehl

Bedeutung

Funktion

REN
remote enable

Gerätebedienung nur über

IEC-BUS

ATN

Attention

Gerätenachrichten oder Schnitt-

stellennachrichten

SRQ service
request

Dienstanforderung

EOI
end of identify
letztes Byte der Übertragung

IFC
interface clear

Rücksetzen der Geräte in Aus-

gangszustand

DAV data
valid

Daten sind gültig

(Handshake-Befehl)

NRFD not ready for data
nicht zur Datenaufnahme bereit

(Handshake-Befehl)

NDAC no data accepted

Daten nicht übernommen

(Handshake-Befehl)

Befehle innerhalb der

Universalbefehle Bedeutung

Funktion

Schnittstelleninformation

LLO
local lockout

Sperren der Bedienelemente

DCL
device clear

Rücksetzen

PPU parallel
poll

Ende Statusabfrage
unconfigure

SPE
serial poll enable

Statusabfrage

SPD
serial poll disable

Sperren Statusabfrage

Adressierte Be- Bedeutung

Funktion
fehle

GTL
go to local
manueller Gerätebetrieb

GET group
execute

Trigger für Messstart
trigger

SDC
select device clear Rücksetzen Listener

PPC parallel
poll

Listenerkonfiguration
configure

Weitere Befehle Bedeutung

Funktion

UNL
unlisten

Adressen aller Listener-

Geräte gelöscht

UNT
untalk

Adressen aller Talker-Geräte
gelöscht

LAD x
listener adress

Empfängeradresse x

TAD x
talker adress

Senderadresse x

230

Messtechnik

9

Bussysteme für die Messtechnik

5.2 Aktor-Sensor-

Interface, ASI

Slave-Chip, kann in

Prinzipieller
den Sensor/Aktor (Ak-

Systemaufbau
tuator) eingebaut wer-

den, dann nur ein Sen-

sor/Aktor anschließbar,
oder als getrennter

Modulbaustein, dann
sind bis zu vier Senso-
ren/Aktoren anschließ-
bar. Nur Digitalsignale
übertragbar.

Beispiel Sensor:

Grenzwertschalter für

Maximaltemperatur;

Beispiel Aktor: Ein-Aus-

Schalter für Heizung.

Aufbau einer ASI-Nachricht

Eigenschaft

Daten

Erläuterungen

Organisation

1 Master; max. 31
je Slave max. 4 binäre

Slaves

Sensoren/Aktoren;

5-bit-Adresse erforderlich

Übertragungsart
seriell
mit Start- und Stoppbit

Datenwortlänge

Masteraufruf: 14 bit; siehe auch Bild oben

Slaveantwort: 7 bit

Prüfverfahren Startbitfehler

1. Impuls stets negativ

Alternierungsfehler
strenger Wechsel pos/neg.

Pausenfehler

Pause: max. 1 Impulslänge

Informationsfehler
folgt aus Kodeeigenschaft

Paritätsfehler
gerade Parität (posit. Imp.)

Endebitfehler
letzter Impuls stets positiv

Aufruflängenfehler

Zeiten definierter Pause

Verbindungs-

Energieversorgung Entkopplung über Parallel-
leitung

(24 V DC) und Da-
schaltung R mit L je Leiter
tenübertragung über (39 :, 50 PH)

gemeinsame Zwei-
drahtleitung, nicht
abgeschirmt

Übertragungsrate 167 kbit/s; davon

Systemreaktionszeit max.

53,3 kbit/s für Daten 5 ms (bei 31 Slaves); ver-
ringert sich mit abnehmen-
der Slaveanzahl

231

Messtechnik

9

Bussysteme für die Messtechnik

Eigenschaft

Daten

Erläuterungen

maximale Lei-

100 m

Repeater für größere

tungslänge

Leitungslängen

Steckverbindung M 12, vierpolig, nach

IEC 947-5-2 Anhang D

Netz-Topologie

Linie, Baum und deren

Kombinationen

Energieversorgung 24 V DC; max. ca.

bei höherem Gesamt-

der Slaves

100 mA je Slave; max. strom größere Leitungs-

ca. 2 A insgesamt
querschnitte erforderlich

Modulationsart Sensor:

Non-Return-
siehe Nachrichten-

to-Zero-Kode (NRZ);
technik, Kapitel 5.4;

daraus Manchester-II- Impulse in (sin2x)-Form

Kode, übertragen in

alternierender Puls-

Modulation (APM)

5.3 DIN-Messbus,

Kenngröße

Daten

Erläuterungen

DIN 66 348, Teil 2

Organisation

1 Master, Slaves

Regelfall: Rechner als

Master, Messgeräte als

Slaves
maximale Teil-

32
nehmerzahl

Übertragungsart seriell,
asynchron

Datenwortlänge

7 bit Paritätsbit

Prüfverfahren

Paritätsbit Blockprü- evtl. Polynomprüfung
fung (DIN 66 022, 66 möglich (DIN 66219)

219)

Betriebsart Blockübertragung
mit

Start-Stopp-Betrieb,
max. 128 Byte je Block

Übertragungsrate typisch 9,6 kbit/s; bis
zu 1 Mbit/s möglich
maximale Bus-

500 m
mit Repeatern einige km;

Leitungslänge

Busleitung an den Enden
mit Widerständen abge-
schlossen (100...510 :;

DIN 666348, Teil 2)

maximale Leitungs- ca. 5 m

länge Gerät-Bus

Verbindungsleitung 5-adrig Abschirmung: Signalleitungen paarwei-

(Busleitung und

2 für Senden
se verdrillt; Betriebserde:

Verbindung Gerät- 2 für Empfangen

Verbindung der potential-

Bus)

1 für Betriebserde
freien Bezugspunkte

1 für Schirmung
untereinander

Spannungspegel

Einzelheiten u. a. in

Galvanische Trennung

EIA RS-485
zwischen Bus und Gerä-
ten vorgeschrieben

Steckverbindung

Sub-D-Stecker, 15-po- Pin-Nr. Belegung:

lig, abgeschirmt, am

1 Abschirmung;

Gerät

2 Sender-Daten; 9 Sen-
der-Daten; 4 Empfänger-

Daten; 11 Empfänger-

Daten; 8 Betriebserde

232

Energietechnik

10

Elektrische Maschinen

1 Elektrische

Maschinen

1.1 Transformatoren

1.1.1 Begriffe

Transformator

In der Energietechnik zum Erzeugen von bedarfsgerechten Spannungen

In der Nachrichtentechnik (Übertrager) zum Anpassen der Signal-

spannung

In der Messtechnik (Wandler) zum Anpassen der Messsignale an

das Messgerät

1.1.2 Kühlarten

Kühlmittel

Mineralöle oder entsprechende synthetische

O

Flüssigkeiten mit einem Brennpunkt d 300 °C

andere synthetische Flüssigkeiten

L

Gas, Brennpunkt > 300 °C

G

Luft

A

Wasser

W

Kühlmittelbewegung

Natürlich

N

erzwungen; gerichtet

D

erzwungen; nicht gerichtet

F

1.1.3 Leerlauf

Leerlauf-Primärspannung

U 10 j � 4 , 44 � f � 1

N � h
ĭ

U10

Leerlauf-Sekundär-

U
j �

� f � N � )

spannung U

20

4,44

1
h

20

U

N

Übersetzungsverhältnis ü

10

1
ü

U 20

N 2

Primärspannung U

1

U 1 1

R jX 1 � I 1 U

V

1 h

Einphasentransformator

Sekundärspannung U

im Leerlauf

2

U 2 U 20

1.1.4 Belastung

Primärspannung U1

1

U 1

R jX 1 s � 1 I 1

U h

Sekundärspannung U2

U 2 2

R jX 2 s � I 2 U 20 s

Stromübersetzungs-

1

I

N 2

1
verhältnis

1

I / I2

I

N
ü

2

1

Vollständiges Ersatzschaltbild

Umrechnungsgrößen auf
des Einphasentransformators

die Sekundärseite:

8

Spannung c2

U c ü �

2

U 2 U c ü �

2

U 2

1

Strom Ic

I c

� I

2

2
ü 2

233

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Formeln und Tabellen Elektrotechnik,

DOI 10.1007/978-3-8348-2023-5_10, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014

Energietechnik

10 Elektrische Maschinen

Widerstand

R c

2

2

R c
ü �

2

2

R

Induktivität X c
c

2

X
ü � X

2V

2V

2V

1.1.5 Leerlaufversuch

Eisenverluststrom

Fe

I

I

I � cosM

Fe

0

0

I

I �

M

Magnetisierungsstrom I
magn

0 sin o
magn

U

Eisenverlustwiderstand

R

10

Fe

Fe

R

I Fe

Blindwiderstand der

U

Xh

10

Hauptinduktivität X

I
h
magn

§

·

Schaltung im Leerlaufversuch

Nenn-Leerlaufstrom I

1

U n

0 n

0

I n 0

I � ¨

¸
mit Messanordnung

© 10

U ¹

Relatives Leerlaufstrom-

§ I

·
verhältnis i

0 N
i ¨

¸ � 100%

0

0

I

©

¹

1 N

Eisenverlustleistung

P

P

Fe

P

Fe

10 N

U � I � cos U

10

0

0

1.1.6 Kurzschlussversuch

Kurzschlussimpedanz Z

U
k
k

Z

k

Ik

Kurzschlusswiderstand k

R

R Z � cos U
k
k
k

Kurzschlussblind-
widerstand X

X Z � sin U
k
k
k
k

Widerstand Primärkreis
k

R

1

R

1

R

2

Schaltung im Kurzschlussversuch
mit Messanordnung

Widerstand Sekundär-
k

R

R
kreis

2

2

R

2

2 � ü

Streublindwiderstand

Xk

Primärkreis X

X

S1

S 1

2

Streublindwiderstand

Xk

Sekundärkreis X

X

S2

S 2

2

2 � ü

Nenn-Kurzschluss-

§ I ·
kN
spannung U

UkN Uk � ¨

¸
kN

I

©

¹

k

Nenn-Kurzschluss-

2

§ I ·
kN
verluste

P

P � ¨

¸
kN

P

kN
k

I

© k ¹

Relative Kurzschluss-

§ U ·
kN
u ¨

¸ � 100 %
spannung u
k

k

U

© N ¹

Dauerkurzschlussstrom

N

I

I

� 100 %

I

D

D
u

k

234

Energietechnik

10

Elektrische Maschinen

1.1.7 Wirkungsgrad

Allgemeine Formel des

Diese Berechnungsformel gilt
ab

P

Wirkungsgrades K
für die im Nennpunkt berech-

K

P P P
neten Werte.

ab

Fe

Cu

Arbeitspunkt unabhängig

In dieser Formel werden die
ab

P

K

Wirkungsgrad

Eisenverluste P Fe und die Kup-

§

2

2

U ·

§ I ·

P P �

Fe ¨

¸ P �

ferverluste P Cu auf die tat-
ab

Cu ¨

¸

U

I
sächlich vorhandenen Be-

© N ¹

© N ¹

triebswerte umgerechnet.

P

�

Fe

ab

P

N

P

P Cu

Optimaler Wirkungsgrad

Der optimale Wirkungsgrad
ab

W

Jahreswirkungsgrad K
wird erreicht, wenn die Eisen-

K a

a
ab

W

W W

Fe

Cu

Elektrische Jahresarbeit
verluste gleich den Kupferver-
lusten sind.

W

P � t

Jahres-Leerlaufarbeit
ab
ab

B

Jahres-Wirkverlustarbeit

W

P � t

Fe

Fe

E

W

P � t

Cu

Cu

B

1.1.8 Drehstrom-

transformatoren

Dreiecksschaltung

1

Nennstrangleistung

Bei Drehstromtransformatoren werden

NS

S tr

NStr

S

� S

3

N
drei Einphasentransformatoren auf einen
gemeinsamen Eisenkern gewickelt. Bei

Nennstrangspannung UNStr UNStr UN
symmetrischer Last kann das Betriebs-
verhalten des Drehstromtransformators

Nennstrangstrom

1

INStr

NStr

I

� N

I
wie das eines Einphasentransformators

3
betrachtet werden. Hieraus ergibt sich,

Sternschaltung:

dass sämtliche Rechnungen vorzugs-

1
weise im Strang erfolgen sollten!

Nennstrangleistung

S

� S

NS

S tr

NStr

3

N

1

Nennstrangspannung UNStr UNStr

� U

3

N

Nennstrangstrom I

I

I

NStr

NStr

N

Schaltgruppen

OS

US

Dreieck D
d

Stern Y
y

Zickzack –
z

Sternpunkt geerdet

N
n

1U 1V 1W

2U 2V 2W N

U
u

Transformatoren der

Yyn0

Schaltgruppen Yyn, Dyn,

W

V w
v

Yzn und Dzn können un-

1U 1V 1W

U
w
symmetrische Lasten
v
problemlos übertragen.

Dy5

W

V

2U 2V 2W
u

1U 1V 1W

U
w

Auswahl von Schalt-

Yzn5
v
gruppen

2U 2V 2W N

W

V
u

235

Energietechnik

10 Elektrische Maschinen

1.1.9 Parallelschalten von

Transformatoren

Ausgleichsstrom Ia

Bedingungen für die Parallelschaltung

' u

von Transformatoren: Übersetzungs-
a

I

Relative Ersatzkurz-
verhältnis muss gleich sein und

§§ u · §

··
k 1
uk 2

¨¨

¸ ¨

¸¸
schlussspannung u

¨ I

I

¸
kers

Schaltgruppen müssen passen, sonst

©© 1 N ¹ © 2 N ¹¹

Ausgleichsströme im Leerlauf. Kurz-

schlussspannungen gleich bei maxi-

maler Abweichung 10 % ( u

k 1 ӽ uk 2),

sonst unterschiedliche Lastaufteilung.

Nennleistungsverhältnis nicht kleiner

N

S ges

als 1:3.

ukers §° S · § S · § S ·½°

Die Zusammenschaltung zweier

N 1

N 2

N 3

®¨

¸ ¨

¸ ¨

¸¾

Transformatoren mit unterschiedli-

° u

©

¯ k 1
u

¹ © k 2
u

¹ © k 3 ¹°¿

chen Schaltgruppen kann nach VDE

0532 Teil 10 erfolgen.

S

ges tatsächlich abgenommene

Scheinleistung der Parallelschal-

tung.

S 1 maximal übertragbare Leistung
ukers � ges

S

am Transformator mit der kleinsten

1

S N

S 1 �

uk 1 � N

S ges

relativen Kurzschlussspannung.

1.1.10 Spartransformatoren

Durchgangsleistung SND

S

U � I

ND

1 N

1 N

Eigenleistung SNE

S

( 1

U

U 2 )

NE

N

N � 1

I N

Ersatzschaltbild eines Spar-

transformators

1.1.11 Drosselspulen

Der Abstand von Stahl sowie Eisen-

Eigenleistung S
armierung sollte mindestens 500 mm

E

S 3 � ' U

� I

E

NStr

N
betragen.

Bauleistung SD

S 3 � U � I

D

N

N

Prozentualer Spannungs-

' UNStr

' u

� 3 � 100 %

N
fall ' u

U

N

N

Feldstärke durch

I � N � D

H 0,1 N
m

�

die Drosselspule H

2
a

Aufstellung einer Strombegrenzungs-
spule

236

Energietechnik

10

Elektrische Maschinen

1.2 Drehstrom-

maschinen

1.2.1 Asynchronmaschinen

Aufbau einer Asynchron-
maschine

Grundaufbau einer vierpoligen

Drehfeldmaschine

Abhängigkeit

Polpaarzahl Polzahl Anzahl der

Winkel

Zeit für eine

Pole – Drehzahl

Spulen
zwischen den

Umdrehung des

Spulen in °

Drehfeldes

1 2 3 120

1

T

2 4 6

60

2

T

3 6 9

40

3

T

p 2p 3p 360q
p T

3 p

Drehzahl n
f � 60
n

p

n n
f f
f

'

Schlupf s

0

L

L
s

0
n
f
f

Ständerspannungs-

�

1

1

° R � jX

½

Fe

°

U

I

R jX

1
s 1

H

I �

0 ®

¾
gleichung U

°¯ R jX

Fe

H

1

°¿

Läuferspannungs-

§ R c2

·

° R � jX

½

Fe

H °

U c 0 I
c �
jX c

I �

2

2 ¨

2 ¸

®

¾
gleichung Uc
s

© s

¹

0

°¯ R jX

Fe

H

2

°¿
c

Läuferwirkwiderstand 2

R
c2

R

1 s
s
c

� c

2

R

2

R
s
s

Aufgenommene Wirk-
leistung P

P

P 3 � U

� I

� cos U
zu
zu
el

Str 1

Str 1

1

Luftspaltleistung PG

P P
el

P P

Cu1

Fe 3 � U

� c

H I

G

� cos U

2

2

Kupferverlustleistung

P

3 � I c2 � R c
im Läufer P

Cu2

St

2 r

2

Cu2

s � d

P

Vollständiges Ersatzschaltbild der

Asynchronmaschine als Käfigläufer

237

Energietechnik

10 Elektrische Maschinen

Mechanisch abgebbare

P

P

P P

Leistung P
ab
mech

G

Cu2
ab

P s � P

G

G 1 s � P G

P

Wirkungsgrad K

K ab

P zu

P

mech

P P P

G

Fe

Cu1

P P

G

#

Cu2

P G

P

Motormoment M

M
mech

2 � �

p n

P G

M 2 � p � 0 n

Stromverhältnis beim

U

Stern-Dreieck-Anlauf

Y

I

3 � Z

1

Y

I

I'

3 � U

3

I'

Z

Momentenverhältnis beim

2

§ U ·

Stern-Dreieck-Anlauf

¨

¸

Y

M

© 3 ¹

1

Y

M

2

M'

U

3

M'

Stern-Dreieck-Anlauf-Stromlaufplan

Bremsgleichstrom IBG

I
d k � I � 1,5

BG

N

Bremsgleichspannung U

�

�

Gl

G

U

C I
l

BG R

Str warm

Gl

U

1,3 � C � IBG � R

Str

kalt

Schaltung zum Gleichstrombremsen

von Asynchronmotoren

Schaltungsart a b c d

k-Faktor

1,225 1,41 2,21 2,45

C-Faktor

2

1,5

0,667

0,5

Drehstrommotor im

Einphasenbetrieb

Schaltung eines Asynchronmotors
im Einphasenbetrieb

238

Energietechnik

10

Elektrische Maschinen

Kapazitätsgröße

C
in Abhängigkeit von

B ( PF/kW)

U N (V)

der Nennspannung

220 127

70 230

25

380

Steuerung durch Zwischen-
kreisumrichter

Stromzwischenkreisumrichter

Spannungszwischenkreisumrichter

Schleifringläufer-

asynchronmotoren

§

·

Läufervorwiderstand R

1
v

R 2

R � ¨

1
v

¸
s

© K

¹

Verluste im Vorwider-

2

P

3 � I � R
stand P

2
v

R
v

R
v

Widerstandsanlassen von

Schleifringläufermotoren

239

Energietechnik

10 Elektrische Maschinen

Gleichspannung Läufer-

§ 2 � 3 ·

kreis U

¨

¸ �

U

U

L

¨

S ¸

©

¹

Gleichgerichtete Läufer-

�
spannung U

U s
s U

s

Wechselrichterspannung

U

U

s

=

D

=

U

U

� cosD
a

T

Netzspannung U

ª

§

·º

T

*

U T
n n

� « ¨

�

D ¸»

Ansteuerwinkelabhängige

0

0

1
cos

«

U

¬

©

¹»¼

Untersynchrone Kaskade bei

Schleifringläufermotoren

1.2.2 Synchronmaschinen

Polradstellung

Stellung des Polrades der Synchron-

maschine

240

Energietechnik

10

Elektrische Maschinen

Drehzahl n

f � 60

n

p

Polradspannung U

� � �
p

UP

B l v N

Ständerspannungs-

U 1 I 1 � 1

R jXS 1

gleichung U1

ª¬ I

1 I e � jX º

H ¼

Polradspannungs-

U

Vollständiges Ersatzschaltbild

P I e � jXH
gleichung U
der Drehstromsynchronmaschine
p, U1

U I �

1

1 R j

1

> XS X

1

H @ U

P

Aufgenommene Wirk-

P 1

U � 1 I
leistung P

(ideale Maschine)

Mechanisch abgebbare
n

P P

Leistung Pn

Wirkungsgrad K

K 1

Motormoment M
n

P

M

� sinG

Vereinfachtes Ersatzschaltbild

S �

2
n
der Synchronmaschine

1.3 Gleichstrom-

maschinen

Induzierte Spannung U

i

Ui 1
k � ) � n

k 1 Maschinenkonstante

Motorgleichung (1)

U Ui I � a

R (1)

a

R Widerstand im

Ankerkreis

Generatorgleichung (2)

U Ui I � a

R (2)

Motorleistung (3)

2

U � I I � Ui I � a

R (3)

Schaltungen von

Gleichstrommaschinen

P P

el
mech
v

P (3)

Generatorleistung (4)

2

U � I I � Ui I � a

R (4)

P P

el
mech
v

P (4)

Drehmoment M (5)

P

M
mech (5)

2 � S � n

�

Drehzahl n

U

I
a

R
n

) � 1
k

Leerlaufdrehzahl n

UN

0

0
n

� )

1
k

N

k � ) � U

Anlaufmoment M

2

N

N

A

MA

a

R

241

Energietechnik

10 Elektrische Maschinen

1
k
k 2

2 � S

k

2 Maschinenkonstante

Induktionsspannung U

� �
i

Ui
k 3 I n

*

k

3 1
k � c

k

3 Maschinenkonstante

Mechanische Leistung P

2
mech

P
k � n � I
mech

3

Motormoment (6)

2

M k

Schaltungen von Gleichstrom-

4 � I (6)

reihenschlussmaschinen

k 3
k

4

2 � S

k

4 Maschinenkonstante

1.4 Auswahl von

Motoren

Bauformen und

Baugrößen

Die gebräuchlichsten Bauformen für Drehstrommotoren

DIN IEC 34

Teil 7

DIN 42950

IM B3

IM 1001

B 3

IM V 5

IM 1011

V 5

IM V 6

IM 1031

V 6

IM B 6

IM 1051

B 6

IM B7

IM 1061

B 7

IM B 8

IM 1071

B 8

IM B 35

IM 2001

B 3/B 5

IM B 34

IM 2101

B 3/B 14

IM B 5

IM 3001

B 5

IM V 1

IM 3011

V 1

IM V 3

IM 3031

V 3

IM B 14

IM 3601

B 14

IM V 18

IM 3611

V 18

242

Energietechnik

10

Elektrische Maschinen

DIN IEC 34

Teil 7

DIN 42950

IM V 19

IM 3631

V 19

IM B 10

IM 4001

B 10

IM V 10

IM 4011

V 10

IM V 14

IM 4031

V 14

IM V 16

IM 4131

V 16

IM B 9

IM 9101

B 9

IM V 8

IM 9111

V 8

IM V 9

IM 9131

V 9

Gegenüberstellung der Kurzzeichen für die Bauformen nach DIN IEC

34 Teil 7 und der alten DIN 42950

Schutzart

1. Kennziffer

2. Kennziffer

3. Buchstabe

4. Buchstabe

IP XXBB

Erklärung Erklärung

Erklärung

Erklärung

X = Kennziffer muss
vorhanden sein

0 Kein Schutz

0 Kein Schutz

B = Buchstabe kann

1 Schutz gegen 1 Schutz
ge-

A Geschützt

M Betriebsmittel
entfallen
zufälliges groß-
gen senk-
gegen Zugang
geprüft auf die
flächiges Be-
recht fallen-
mit dem
schädliche Wir-
rühren; Schutz
des Wasser

Handrücken
kung durch Eintritt
gegen Eindrin-

(50 mm)

von Wasser, wenn
gen von Fremd-
die beweglichen
körpern größer

Teile des Be-
als 50 mm
triebsmittels in

Betrieb sind

2 Schutz gegen 2 Schutz
ge-

B Geschützt

W Geeignet zur

Berühren durch
gen Tropf-
gegen Zugang

Verwendung unter

Finger; Schutz
wasser bei
durch Finger
festgelegten
gegen Eindrin-

Schrägstel-

(12 mm

Wetterbedingun-
gen von Fremd-
lung des

Durchmesser,
gen und ausges-
körpern

Gerätes bis

80 mm Länge)

tattet mit zusätzli-

>12,5 mm
zu 15º
chen schützenden

Maßnahmen oder

Verfahren

3 Schutz gegen 3 Schutz
ge-

C Geschützt

H Hochspannungs-

Berühren mit
gen Sprüh-
gegen Zugang
betriebsmittel

Werkzeugen
wasser aus
mit Werkzeug
oder gegen
einem Win-

(2,5 mm

Eindringen von
kel bis zu 60º

Durchmesser,

Fremdkörpern

100 mm
von einer Dicke

Länge)

> 2,5 mm

4 Schutz gegen 4 Schutz
ge-

D Geschützt

S Betriebsmittel

Berühren mit
gen Spritz-
gegen Zugang
geprüft auf schäd-

Werkzeugen
wasser aus
mit Draht
liche Wirkung
oder gegen
beliebigen

(1,0 mm
durch Eindringen

Eindringen von

Richtungen

Durchmesser,
von Wasser, wenn

Fremdkörpern

100 mm Län-
die beweglichen
von einer Dicke
ge)

Teile im Stillstand

>1 mm
sind

243

Energietechnik

10 Elektrische Maschinen

1. Kennziffer

2. Kennziffer

3. Buchstabe

4. Buchstabe

Erklärung Erklärung

Erklärung

Erklärung

0 Kein Schutz

0 Kein Schutz

5 Vollständiger

5 Schutz ge-

Schutz gegen
gen Strahl-

Berühren;
wasser aus

Schutz gegen
allen Rich-
schädliche
tungen

Staubablage-

rungen

6 Vollständiger

6 Schutz ge-

Schutz gegen
gen vorüber-

Berühren;
gehende

Schutz gegen

Überflutung,

Eindringen von
z.B. schwere

Staub

See

7

7 Schutz ge-

gen schädli-
ches Ein-

dringen von

Wasser beim

Eintauchen

8

8 Schutz ge-

gen jegliches

Eindringen

von Wasser

Schutzarten

Kühlarten

1. Bedeutung 2.

Bedeutung

IC XX

Kenn

Kenn-

ziffer
ziffer

0

Maschine mit freiem Luftein-

0 Selbstkühlung
und austritt

1

Maschine mit Rohranschluss,

1 Eigenkühlung

(Ventilator)

ein Einlasskanal

2

Maschine mit Rohranschluss,

2

Eigenkühlung durch eine nicht auf
ein Auslasskanal
der Welle angebrachten Belüf-
tungseinrichtung

3

Maschine mit Rohranschluss,

3

Fremdkühlung durch eine an die

Ein- und Auslasskanal

Maschine angebaute Belüftungs-
einrichtung. Antrieb von der Ma-
schine abhängig

4 Oberflächengekühlte

Ma-

4
schine

(Umgebungsluft)

5

Maschine mit eingebautem

5

Fremdkühlung durch eine einge-

Wärmetauscher (Kühlmittel
baute Belüftungseinrichtung. An-

Umgebungsluft)

trieb nicht von der Maschine ab-
hängig

6

Maschine mit aufgebautem

6

Fremdkühlung durch eine an die

Wärmetauscher (Kühlmittel

Maschine angebaute Belüftungs-

Umgebungsluft)

einrichtung. Antrieb nicht von der

Maschine abhängig

244

Energietechnik

10

Elektrische Maschinen

1. Bedeutung 2.

Bedeutung

Kenn-

Kenn-

ziffer
ziffer

7

Maschine mit eingebautem

7

Fremdkühlung durch eine nicht auf

Wärmetauscher (Kühlmittel
die Maschine aufgebaute Belüf-

ist nicht Umgebungsluft)

tungseinrichtung. Antrieb nicht von

der Maschine abhängig oder
durch Druckluft aus dem Versor-

gungsnetz

8

Maschine mit aufgebautem

8 Verdrängungskühlung

Wärmetauscher (Kühlmittel

(Fahrtwind)

ist nicht Umgebungsluft)

9 Maschine mit getrennt auf-

gestelltem Wärmetauscher

Kühlungsarten von Motoren

Reduktionsfaktoren für

Aufstel-
die Nennleistung abhän-
lungshöhe
gig von der Höhe der

Kühlmitteltemperatur (KT) in ºC
über NN

Aufstellung und der
in m

Kühlmitteltemperatur

30

30 – 40

45

50

55

60

1000 1,07 1,00 0,96 0,92 0,87 0,82

1500 1,04 0,97 0,93 0,89 0,84 0,79

2000 1,00 0,94 0,90 0,86 0,82 0,77

2500 0,96 0,90 0,86 0,83 0,78 0,74

3000 0,92 0,86 0,82 0,79 0,75 0,70

3500 0,88 0,82 0,79 0,75 0,71 0,67

4000 0,82 0,77 0,74 0,71 0,67 0,63

Grenztemperaturen

Klasse

Y A E B F H C
von Isolierungen

Grenztemperatur

90 105 120 130 155 180 ! 180
in ºC

Betriebsarten

S1-

Betrieb mit konstantem Belastungszustand, dessen Dauer

Dauerbetrieb
ausreicht, den thermischen Beharrungszustand zu errei-

chen. Vorgabe ist die Leistung. Beispiel: S1; 50 kW

S2-

Betrieb mit konstantem Belastungszustand, der aber nicht

Kurzzeitbetrieb
so lange dauert, dass der thermische Beharrungszustand
erreicht wird. Mit einer nachfolgenden Pause, die so lange
besteht, bis die Maschinentemperatur nicht mehr als 2 K von
der Temperatur des Kühlmittels abweicht. Vorgabe ist die

Leistung und die Betriebsdauer. Beispiel: S2; 20 min; 30 kW

S3-

Betrieb, der sich aus einer Folge gleichartiger Spiele zu-

Aussetzbetrieb
sammensetzt, von denen jedes eine Zeit mit konstanter Be-
ohne Einfluss
lastung und eine Pause umfasst. Der Anlaufstrom beein-
des Anlaufvor-
flusst die Erwärmung nicht merklich. Vorgabe ist die Leis-
ganges
tung, die Einschaltzeit tB und die Spieldauer tS oder die
relative Einschaltdauer tr. tr tB S
t . Beispiel: S3; 10 %;

50 min; 20 kW

S4-

Betrieb, der sich aus einer Folge gleichartiger Spiele zusam-

Aussetzbetrieb
mensetzt, von denen jedes eine merkliche Anlaufzeit tA,
mit Einfluss
eine Zeit mit konstanter Belastung und eine Pause tSt um-
des Anlaufvor-
fasst. Vorgabe ist die relative Einschaltdauer, die Zahl der An-
ganges
äufe pro Stunde und die Leistung.

tr tA tB tA tB tSt .

Beispiel: S4; 35 %; 400 Anläufe; 25 kW.

245

Energietechnik

10 Elektrische Maschinen

S5-

Betrieb, der sich aus einer Folge gleichartiger Spiele zu-

Aussetzbetrieb sammensetzt, von denen jedes eine merkliche Anlaufzeit,

mit Einfluss
eine Zeit mit konstanter Belastung, eine Zeit schneller elekt-

des Anlaufvor-
rischer Bremsung t Br und eine Pause umfasst. Vorgabe wie
ganges und
bei der Betriebsart S4, jedoch mit der Angabe der Bremsart.

der elektrischen tr tA tB tBr tA tB tBr S
t t . Beispiel: S5;

Bremsung

25 %; 250 Spiele/h Gegenstrombremsung; 40 kW

S6-

Betrieb, der sich aus einer Folge gleichartiger Spiele zu-

Durchlaufbetrieb sammensetzt, von denen jedes eine Zeit mit konstanter Be-

mit Aussetz-
lastung und eine Leerlaufzeit umfasst. Es tritt keine Pause

belastung
auf. Vorgabe wie Betriebsart S3. tr tB tS . Beispiel: S6;

20 %; 45 kW.

S7-

Betrieb, der sich aus einer Folge gleichartiger Spiele zu-

Ununterbro-
sammensetzt, von denen jedes eine merkliche Anlaufzeit,
chener Betrieb
eine Zeit mit konstanter Belastung und eine Zeit mit schnel-

mit Anlauf und
ler elektrischer Bremsung umfasst. Es tritt keine Pause auf.

elektrischer

Vorgabe wie Betriebsart S5, jedoch keine relative Einschalt-

Bremsung
zeit t r = 1. Beispiel: S7; 10 kW; 300 Reversierungen/h.

S8-

Betrieb, der sich aus einer Folge gleichartiger Spiele zu-

Ununterbro-
sammensetzt. Jedes Spiel umfasst eine Zeit mit konstanter

chener Betrieb

Belastung und bestimmter Drehzahl. Anschließend eine oder

mit periodischer mehrere Zeiten mit anderer Belastung, denen unterschiedli-

Drehzahlän-
che Drehzahlen entsprechen. Vorgaben wie bei Betriebsart
derung

S5, jedoch für jede Drehzahl.

S9-

Betrieb, bei dem sich Belastung und Drehzahl innerhalb des

Ununterbroche- zulässigen Betriebsbereiches nichtperiodisch ändern. Es
ner Betrieb mit
treten häufig Belastungsspitzen auf, die weit über der Nenn-

nichtperiodi-
leistung liegen können. Vorgabe ist eine passend gewählte

scher Last- und Dauerbelastung, deren Grundlage die Wurzel aus dem qua-

Drehzahlände-
dratischen Mittelwert der Leistung oder des Stromes sein

rung

2

2

2

P � t P � t P � t

sollte.

1

1

2

2

3

3

P

t t t

1

2

3

Überlastungsschutz

Schutzeinrichtung Überlastschutz Kurzschluss-

Schalt-
von Motoren
schutz
häufigkeit

Lei-

Motor

Motor Motor Leitung

tung (Ständer) (Läufer)

Sicherung, Leis-

tungsschalter

(Überlast; Kurz-
schluss)

Sicherung; Schütz;

Überlastschutz

Sicherung; Leis-

tungsschalter

(Überlast); Ther-
mistor

Sicherung; Schütz;

Thermistor

Sicherung; Schütz;

Überlastschutz;

Thermistor

Überlastschutzeinrichtungen im Vergleich (++ sehr gut; + gut; – gering)

246

Energietechnik

10

Elektrische Maschinen

Störungen an Gleich-

Gleichstrommaschine
strommaschinen, ihre

Störungsart Ursache

Abhilfe
mögliche Ursache und

Sicherung defekt

Sicherung ersetzen

Behebung

Bürsten liegen nicht

Bürstensitz überprüfen, Bürstenhalter

auf
reinigen, Bürsten auswechseln

Motor läuft

Lager festgefressen

Lager auswechseln

nicht an

Anker- oder Feldwi-

Durchgang überprüfen, Wicklung erset-

cklung unterbrochen
zen

Körperschluss
der

Auf Körperschluss prüfen (Kurbelinduk-

Wicklung
tor) Wicklung erneuern

Motor läuft

Erregerwicklung un-

Erregerwicklung auf Durchgang

schwer an
terbrochen
prüfen

Bürstenbrücke

Bürstenbrückenstellung prüfen

verstellt

(Markierung beachten)

Unruhiger
defekte Kugellager

Kugellager ersetzen

Lauf

verspannte Lager-

Befestigungsschrauben gleichmäßig

schilder
nachziehen

Motor überlastet

Belastung verringern

Bürstenfeuer Kollektor unrund oder Kollektor abdrehen, Glimmerisolation
zu stark
verschmutzt
auskratzen, Kollektor reinigen

Wendepole falsch

Schaltung überprüfen
geschaltet

Motor läuft

Erregerwicklung hat

Wicklung erneuern

zu schnell

Windungsschluss

Klemmenspannung zu Gleichspannung verringern
hoch

Störungen an Asyn-

Asynchronmotor
chronmaschinen, ihre

Motor läuft nicht Schutz hat angesprochen

Schutzgerät überprüfen,
mögliche Ursache und
an
einschalten

Behebung

Lager festgefressen

Lager auswechseln

Wicklungsstrang im Läufer

Wicklungsstränge auf Durch-
unterbrochen
gang prüfen

Motor läuft

Ständerwicklungen haben

Wicklungen überprüfen, aus-
schwer an

Phasen- oder Körperschluss wechseln

Klemmenspannung zu niedrig Spannungsfall auf Zuleitung
überprüfen

Motor wird

Windungsschluss Strangwiderstände
messen,
im Leerlauf
defekten Strang austauschen
zu warm
falsche Ständerschaltung bei Ständer von Dreieck- auf
zu hoher Betriebsspannung

Sternschaltung umschalten

Belastung zu hoch

Verringerung der Belastung

Motor wird

Eine Sicherung hat ange-

Klemmenspannung prüfen
im Dauerbetrieb sprochen (Zweiphasenlauf)

zu warm

Belüftung fehlt

Motor abstellen, bis Belüftung
wieder vorhanden

Wicklungsstrang des Stän-

Wicklung durchmessen, aus-
ders hat Wicklungsschluss
tauschen

Motor brummt

Zweiphasenlauf

Klemmenspannung messen

Am Klemmbrett sind zwei

Klemmenspannung messen

Phasen und der Mittelleiter
angeschlossen

Maschine überlastet

Verringerung der Belastung

Drehzahl sinkt

Läuferstäbe ausgelötet oder Läuferwicklung prüfen
bei Belastung
abgerissen

(Brandstellen)

stark ab

Läuferblechpaket auf der

Sitz des Läuferblechpaketes

Welle verschoben
prüfen

247

Energietechnik

10 Elektrische Energietechnik

2 Elektrische

Energietechnik

2.1 Energieträger

Entwicklung der Primär-
energieträger, die zur

Verstromung eingesetzt
werden

Energieinhalte von

Energieträger

Energieinhalt in SKE
verschiedenen Energie-

Braunkohle 0,31
trägern

Holz 0,5

Steinkohle 1

Erdgas (m3) 1,08

Rohöl 1,45

Heizöl, leicht

1,45

Benzin 1,48

Kernbrennstoff (Urandioxid,

84022

angereichert auf 3,2 %)

Energiereserven und

Stein-

Öl-

Braun-

Erdgas

Erdöl Uran

Ressourcen
kohle schiefer
kohle

Ressourcen

8000 2000 1000 500 400 60

Reserven 800 200 110

200 300 30

2.2 Elektrische Energie-
erzeugung

Spannungsarten und

Anwendung

Erzeugung
ihre Anwendung

Drehstrom Energieübertragung,

Energieerzeu-

Synchrongenerator
gung, Energieverteilung, Verbraucher
mit großen Leistungen, Motoren

Einphasen- Haushaltsgeräte, Werkzeuge, Werk-

Entnahme aus

Wechsel-
zeugmaschinen, Verbraucher mit klei-
dem Drehstrom-
strom
nen Leistungen, Beleuchtung, Fre-
netz, Synchron-
quenz 16 2/3Hz, Fahrmotoren für
generator, Umrich-

Bahnen
ter, rotierende Um-
former

Gleich-

Elektrolyse, Galvanotechnik, Antriebe,

Batterien, Brenn-
strom

Bahnmotore, Erregung von Magneten,
stoffzellen, Gleich-

Erregung von Synchronmaschinen, Elek- richter, Gleich-
trofilter, Farbspritzen, Steuerungen, Com- stromgenerator
puter, Energieübertragung (Hochspan-
nungs-Gleichstrom-Übertragung)

248

Energietechnik

10

Elektrische Energietechnik

Gleichstromnetz

Gleichstromnetz mit Zeigerbild von Strom und Spannung

Wechselstromnetz

Wechselstromnetz mit Zeigerbild von Strom und Spannung (Leitung

nur mit R)

2.2.1 Drehstromnetz

Sternschaltung:

Symmetriebedingung (1)

U 12

U

U 23 U 31 (1)

Leiterspannung U

U 3 � St

U r

Leiterstrom I

I Str

I

Sternschaltung mit Zeigerbild

der Sternspannungen

Dreieck-Schaltung:

Symmetriebedingung (2)

I 1 I I 2 3

I (2)

Leiterspannung U

U UStr

Leiterstrom I

I 3 � Str

I

Dreiecksschaltung mit Zeigerbild

der Spannungen

2.2.2 Netzstrukturen

Strahlennetz

Vorteile:

übersichtlich
kostengünstig
einfacher Schutz

Nachteile:

geringer Lastausgleich
geringe Versorgungs-

sicherheit

begrenzt Erweiterbar

Strahlennetz
selektives Abschalten
nicht möglich

249

Energietechnik

10 Elektrische Energietechnik

Ringnetz

Vorteile:

Leitungsreserven

höhere Versorgungs-

sicherheit

verbesserter Lastausgleich

selektives Abschalten

möglich

Nachteile:

Versorgung nur über

eine Station

erhöhter Anspruch

Ringnetz
an Schutz

kostenintensivere

Maschennetz

Vorteile:

sehr hohe Versorgungs-

sicherheit

beliebig erweiterbar

guter Lastausgleich

geringe Spannungs-

schwankungen

Nachteile:

hohe Investitionskosten

Maschennetz
sehr hohe Anforderungen

an Schutz

schwierige Netzauslegung

hohe Anforderungen an

Schaltgeräte

2.3 Betriebsmittel der

Energietechnik

2.3.1 Kabel

Werkstoffe

Leitermaterial:

Kupfer

Aluminium

Stahl (Freileitungen)

Isoliermaterial:

Polyvinylchlorid (PVC)

Polyäthylen (PE)

vernetztem Polyäthylen

(VPE)

halogenfreie Isolierun-

gen (HX)

Leiterformen

Schirmquerschnitt (PE)

Nennquerschnitt des

1,5 – 16

25

35 – 240

Außenleiters in mm2

Nennquerschnitt des
gleich dem

16 0,5·Außenleiter

Schirms in mm2

Außenleiter

Abmessungen des Schirms bei Niederspannungskabeln

250

Energietechnik

10

Elektrische Energietechnik

Nennquerschnitt des

25 – 120

150 – 300

400 – 500

Außenleiters in mm2

Nennquerschnitt des

16 25 35

Schirms in mm2

Abmessung des Schirms bei Hochspannungskabeln

Normierte Kurzzeichen

Kurzzeichen Bedeutung
für Kabel

N

Normleitung oder -kabel

A Aluminiumleiter

Y

Leiter- oder Mantelisolierung aus PVC

2Y

Leiter- oder Mantelisolierung aus Polyäthylen (PE)

2X

Leiter- oder Mantelisolierung aus vernetztem Poly-

äthylen (VPE)

HX

Leiter- oder Mantelisolierung aus vernetztem halogen-

freiem Polymer

F flache

Leitungsform

M

Leitungsmantel für mittlere mechanische Beanspru-

chung

C konzentrischer

Leiter

CW
wendelförmig aufgebrachter konzentrischer Leiter

–J

Zusatz mit grüngelbem Leiter (Schutzleiter)

–O

Zusatz ohne grüngelben Leiter

RE eindrähtiger

Rundleiter

RM mehrdrähtiger

Rundleiter

SE eindrähtiger

Sektorleiter

SM mehrdrähtiger

Sektorleiter

RF feindrähtiger

Rundleiter

Kurzschlussschutz

Werkstoff der Isolierung

Anfangs-

60 ºC

70 ºC

90 ºC

85 ºC

Maximale Kurzschluss-

2

2
temperatur
k � A
dauer
t

2

End-

200 ºC 160 ºC 250 ºC 220 ºC

I
temperatur

Leiter-

G PVC

VPE IIK
material

Cu 141

115

143

134

Al 87

76

94

89

Werkstoff der Isolierung

Anfangs-
e

30 ºC

30 ºC

30 ºC
temperatur

End-

200 ºC 160 ºC 250 ºC 220 ºC
temperatur

Leiter-

G PVC

VPE IIK
material

Cu –

143

176

166

Al –

95

116

110

Faktor k für verschiedene Isolierwerkstoffe
nach VDE 0100 T 540

251

Energietechnik

10 Elektrische Energietechnik

Kenndaten von Kabeln

Ersatzschaltbild eines Kabelstücks

Kenndaten von Kabeln

Querschnitt

Typ

Wirkwider-

Induktiver Kapazität

in mm2
stand in

Widerstand in nF/km

:/km
in :/km

0,4 kV 4 × 35

NYY

0,52

0,09

–

10 kV 3 × 35

Gürtelkabel

0,52

0,12

300

20 kV 3 × 70

Hochstädter

0,27

0,13

280

2.3.2 Leitungen

Mindestquerschnitt

Verlegungsart

Mindestquerschnitt in mm2
in Abhängigkeit von

Cu

Al
der Verlegeart
feste, geschützte Verlegung

1,5

2,5

Leitungen in Schaltanlagen und

0,5 –

Verteilern bei Stromstärken bis 2,5 A

über 2,5 A bis 16 A

0,75

–

über 16 A

1,0

–

bewegliche Leitungen für den

0,1 –

Anschluss von Geräten bis 1 A

Stromaufnahme, maximale Länge

der Leitung 2 m

bewegliche Leitungen für den

0,5 –

Anschluss von Geräten bis 2,5 A

Stromaufnahme, maximale Länge

der Leitung 2 m

bewegliche Leitungen für den

0,75 –

Anschluss von Geräten bis 10 A

Stromaufnahme

bewegliche Leitungen für den

1,0 –

Anschluss von Geräten über 10 A

bis 16 A Stromaufnahme, Mehrfach-

steckdosen usw.

Kurzübersicht des

Kenn-

H – harmonisierte A – anerkannter

vereinheitlichten Kenn-
zeichnung Bestimmung
nationaler Typ
zeichnungssystem

Nenn-

03 – 300 / 300 V 05 – 300 / 500 V

07 – 450 / 750 V

spannung

Isolierhülle V – PVC

R – Natur und/oder S – Silikon-

Mantel
synthetischer
kautschuk

Kautschuk

Leiterart

-U – eindrähtiger -R – mehrdrähtiger -F – feindrähti-

Leiter

Leiter
ger Leiter

252

Energietechnik

10

Elektrische Energietechnik

Strombelastbarkeit

Anzahl

von Kupferleitungen
der be-

2

3

2

3

2
und -kabeln für feste
lasteten

Verlegung

Adern

Verle-

A B1

B2

geart

Quer-

IZ

IN

IZ

IN

IZ

IN

IZ

IN

IZ

IN
schnitt
in mm2

1,5

15,5 13 13 13 17,5 16 15,5 13 15,5 13

2,5

19,5 16 18 16 24 20 21 20 21 20

4

26 25 24 20 32 32 28 25 28 25

6

34 32 31 25 41 40 36 35 37 35

10

46 40 42 40 57 50 50 50 50 50

16

61 63 56 56 76 80 68 63 68 63

25 80

80

73

63

101

100

89

80

90

80

35

99 80 89 80 125 125 111 100 110 100

50

119 100 108 100 151 125 134 125 – –

70

151 125 136 125 192 160 171 160 – –

95

182 160 164 160 232 200 207 200 – –

120

210 200 188 160 269 250 239 250 – –

Anzahl

der be-

3

2

3

2

3
lasteten

Adern

Verlege-

B2 C

E
art

Quer-

IZ IN

IZ

IN

IZ

IN

IZ

IN

IZ

IN
schnitt
in mm2

1,5 14

13

19,5

16

17,5

16

20

20

18,5

16

2,5

19

16

26 25

24 20

27

25 25 25

4

26

25

35 35

32 32

37

35 34 32

6

33

32

46 40

41 40

48

40 43 40

10

46

40

63 63

57 50

66

63 60 63

16

61

50

85 80

76 63

89

80 80 80

25

77

63 112 100

96 80 118 100 101 100

35

95

80 138 125 119 100 145 125 126 125

50

– – – – – – – –

153

125

70

– – – – – – – –

196

160

95

– – – – – – – –

288

250

120 – – – – – – – – – –

253

Energietechnik

10 Elektrische Energietechnik

Umrechnungsfaktoren

Umgebungstemperatur in ºC

Faktor f 2

für verschiedene
über 20 bis 25

1,06

Belastungsarten
über 25 bis 30

1,00

N

I

IZ

f � f

über 30 bis 35

0,94

1

2

über 35 bis 40

0,87

über 40 bis 45

0,79

über 45 bis 50

0,71

über 50 bis 55

0,61

über 55 bis 60

0,5

Anzahl der belasteten Leitungen

Faktor f 1

1 1,0

2 0,79

3 0,69

4 0,63

6 0,56

8 0,52

2.3.3 Spannungsfall auf

Kabeln und Leitungen

Gleichstrom

2 � l � I

U

U

' U

V

F � A

I

U

D

Zeigerbild der Spannungen bei

Gleichstromleitungen/Kabel

Wechselstrom

2 � l � I � cos U

' U

F � A

§ R � cos U

|

·

' U 2 � I � ¨

¸

X � sin U

©

|

¹

Zeigerbild der Spannungen bei

Wechselstromleitungen/Kabel

Drehstrom

3 � l � I � cos U

' U

F � A

§ R � cos U ·

' U 3 � I

|

� ¨

¸

X � sin U

©

|

¹

Zeigerbild der Spannungen
bei Drehstromleitungen/Kabel

254

Energietechnik

10

Elektrische Energietechnik

2.4 Kurzschlussstrom-

berechnung

c � UN

I

Dreipoliger Kurzschluss I

K

K

3 � K

Z

Stoßkurzschluss I

N �

� cc

P

I

2

P

K

I

Gleichstromkomponente

2

S � � �

i

2 � I c � e
f t R X

DC
k

iDC

3

Systemkomponente N

1,02 0,98 e R X

N

�

Zeitlicher Verlauf eines generatorfernen

Kurzschlusses

Netz

2
c � QN

U

Z

Q
c QK

S

Netzersatzschaltung

Transformator

2
u � U

K

TN

T

Z

100% � S

TN

2

R
u � T

U N

T

R

100% � S

TN

Transformatorersatzschaltung

Leitung

L

R L
r c � l

XL x c L � l

Leitungsersatzschaltung

Synchronmaschine

2
x cc d � UN

X cc

d

100% � GN

S

G

R k � X c d

Synchronmaschinenersatzschaltung

Faktor k

Generatornennspannung (kV )

Generatornennleistung (MVA)

k

> 1

> 100

0,05

> 1

< 100

0,07

< 1

–

0,15

255

Energietechnik

10 Elektrische Energietechnik

Asynchronmaschine

2

I

U

MN

MN

M

Z

�

I

S

A

MN

R

| 0,42

M

� ZM

Aynchronmaschinenersatzschaltung

2.5 Kompensations-

anlagen

Einzelkompensation

Einzelkompensation

Gruppenkompensation

Gruppenkompensation

Zentralkompensation

Zentralkompensation

Kondensatorleistung

Vorhandener
gewünschter cos U

0,9 � 3 � �
zur Kompensation eines
cos U

C

Q

U I 0

Motors auf cos M = 0,9

I

0,80

0,85

0,90

0,92

0,94

0 Leerlaufstrom des
bei Nennlast

Motors

0,50 0,98

1,11

1,25

1,31

1,37

0,60 0,58

0,71

0,85

0,91

0,97

Ermittlung der Kompen-

0,70 0,27

0,40

0,54

0,60

0,66 C

Q P � Faktor
sationsleistung mittels

0,80 –

0,13

0,27

0,33

0,39

Faktor

0,82 –

0,08

0,21

0,27

0,33

Faktor zur Ermittlung

0,84 –

0,03

0,16

0,22

0,28
der erforderlichen

0,86 –

–

0,11

0,17

0,23

Kompensationsleis-

0,88 –

–

0,06

0,11

0,17
tung je kW Wirkleis-

0,90 –

–

–

0,06

0,12
tung eines Motors;

0,92 –

–

–

–

0,06

Erfahrungswerte

Transformatoren-

Bemessungs-

Transformator mit Oberspannung

kompensation
leistung des Trans-

Kondensatorleistung in kvar
formators in kVA

C

Q P � Faktor

Kondensatorleistung QC

5 – 10 kV 15 – 20 kV 25 – 30 kV

Spannungsüberhöhung

25

2 2,5 3
an der Unterspannungs-

Q

50 3,5

5

6

C

' u u �

seite im Leerlauf ' u
k

75

5 6 7

NT

S

100 6

8

10

160 10

12,5

15

250 15

18

22

315 18

20

24

400 20

22,5

28

630 28

32,5

40

256

Nachrichtentechnik

11

Begriffe, Grundlagen

1 Begriffe,

Grundlagen

Nachricht

Besteht aus der Information und dem Sig-
z. B. der Termin

nal. Wird unverändert weitergegeben.

„9:00 Uhr“.

Information

Sinngehalt der Nachricht (was übertragen

werden soll)

Signal

Die physikalische Realisierung der Nach-
z. B. akustisches Sig-

richt (wie es übertragen wird)

nal (durch Rufen)

Daten

Im Gegensatz zur Nachricht weiterverar-
z. B. Datenverkehr

beitet und verändert
zwischen Flugzeug

und Bodenstation

Informationsgehalt Ii

1

I(" 6 Richtige")

eines Zeichens oder
i

I ld
in bit
p

Ereignisses i
i

§ 49·

6
ld ld

¨

¸ | (14 � 10 )

ld Logarithmus zur Basis 2

© 6 ¹

p i Wahrscheinlichkeit für das Auftreten

| 23,7 bit

des Zeichens oder Ereignisses i

Der Informationsgehalt ist um so größer,

I("Nicht 6 Richtige")

je unwahrscheinlicher das Zeichen (Ereig-

nis) ist. Beispiel: Lottospiel „6 aus 49“.

7

1 10

| �
bit

Das Ereignis „6 Richtige“ ist äußerst sel-

ten und hat damit einen hohen Informati-

onsgehalt. Das „fast sichere“ Ereignis

„Nicht 6 Richtige“ wird erwartet und hat

damit geringen Informationsgehalt.

Entropie, mittlerer

1

Deutsche Sprache,

Informationsgehalt

H ¦ i p � ld in bit; p
p
i Wahrscheinlich-

26 Buchstaben:

i
i

H | 1,3 bit (nach

keit für das Auftreten des Zeichens oder

Küpfmüller)

Ereignisses i.

Entscheidungsgehalt H

Maximalwert der Entropie, ergibt sich, wenn

Deutsche Sprache,

0

alle Zeichen mit gleicher Wahrscheinlich-
wenn alle 26 Buch-

keit p 0 auftreten: p 1 = p 2 = ... p n = p 0: staben gleich wahr-

n

1

1

1
scheinlich wären:

H 0 m

H ax

0
p i � ld n

� � ld

¦

p
n
p

H 0 | 4,7 bit

0i

0
i 1

1

ld
in bit

0
p

Redundanz R,

R = H 0 – H in bit; eigentlich überflüssig, da

Deutsche Sprache:

„Weitschweifigkeit“
sie keine Information enthält; dient aber

R | 3,4 bit

z. B. zur Fehlererkennung und -korrektur.

Relative Redundanz r

H

Deutsche Sprache,

0 H

R
r

;

H

26 Buchstaben:

0

H 0
r | 72 %
nur 28 % der deutschen Sprache enthält

Information. Die Redundanz trägt aber z. B.

dazu bei, dass aus Wortfetzen (Fabrikhalle)

der Gesamttext mehr oder weniger fehler-
frei gebildet werden kann.

257

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Formeln und Tabellen Elektrotechnik,

DOI 10.1007/978-3-8348-2023-5_11, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014

Nachrichtentechnik

11 Begriffe, Grundlagen

Informationsfluss F

H
p i s. Entropie,

F
in bit/s; T

T
m mittlere Zeit zur Über-

T i Übertragungszeit für

m

Zeichen bzw. Element i

mittlung eines Nachrichtenelementes.

Besteht ein Nachrichtenelement aus meh-

reren Zeichen, gilt: m

T
i
p �

¦ i T .

i

Kanalkapazität C

Maximaler Informationsfluss, der über ei-

Analoge Signale wer-

nen gegebenen Kanal fehlerfrei übertragen
den entsprechend

Dynamik D
werden kann:

digitalisiert

§ H ·

C ma

F x ¨

¸

2 � B � D in bit/s

T

©

¹

m max

D = ld N in bit

mit N Anzahl der diskreten Amplitudenstufen

B Bandbreite des Signals in Hz

Nachrichtenquader

Zu übertragendes Signal (Nachricht, Daten

C = C S: Echtzeitüber-

{block}) wird dargestellt als Quader mit dem
tragung, C > C S nicht

„Volumen“: 2 · B S1 · D S1 · T S. Jeder Über-
sinnvoll
tragungskanal hat seinen spezifischen B = B

Kanalquerschnitt (Kanalkapazität) C = 2 · B

S, D = D S:

Einseitenbandampli-

· D mit dem „Volumen“ 2 · B · D · T. Das zu
tudenmodulation
übertragende Signal muss so „umgeformt“
werden, dass gilt:

D S > D: Frequenz-,

2 � B � D 2 �

Pulskodemodulation

S2

B

�

S2

D

. Dazu kann auch

C

D

S

C

S < D: Pulskode-

T
modulation

S z T gewählt werden.

a) gegebenes Signal mit D S1, B S1, T S
b) Kanal mit gegebenem B, D
c) an den Kanal (b) angepasstes Signal (a)

258

Nachrichtentechnik

11

Signale

2 Signale

2.1 Signale im Zeit- und

Frequenzbereich

Signaldarstellung
im Zeitbereich

Signaldarstellungen im Zeitbereich

a) zeit- und amplitudenkontinuierlich, analog

b) zeitdiskret, amplitudenkontinuierlich, analog

c) zeitkontinuierlich, amplitudendiskret, digital

d) zeit- und amplitudendiskret, digital

Signaldarstellung im Zeit-

und im Frequenzbereich

Signaldarstellung periodischer Funktionen im Zeit- und
im Frequenzbereich
a) sinusförmiges Signal
b) rechteckförmiges Signal

Signaldarstellung nichtperiodischer Funktionen im Zeit- und

Frequenzbereich
a) Rechteckimpuls
b) stochastisches Signal

259

Nachrichtentechnik

11 Signale

2.2 Zufällige (stochas-

tische) Signale,

Rauschen

Zufällige (stochastische)

Kennzeichen: Nicht vorhersagbar.

„echt“ im Sinne von

Signale

Erscheinungsformen:

nicht vorhersagbar.

1. „Echte“ Nachrichten und Daten

Rauschen in der Regel

2. Rauschen
als Störsignal.

Äußere Rauschquellen

Atmosphärisches Rauschen: z. B. Blitzent-

Bis ca. 10 MHz

ladungen

Kosmisches Rauschen: Radiostrahlung Ab ca. 50 MHz

entfernter Sterne

Innere Rauschquellen

1.

Widerstands- oder thermisches Rau-
u
kTBR

schen. Entsteht durch Wärmebewegung.

R

4

R
u (Mittelwert der) Rauschspannung

R
i 4 kTB / R

R
i (Mittelwert des) Rauschstromes

R
u

R
i
p

�
kTB

p

R

R (Mittelwert der) Rauschleistung eines

2

2

rauschenden Widerstandes an einem

nicht rauschenden Widerstand bei

Leistungsanpassung

23

k 1,38 � 10

W � s/K (Boltzmann-

Konstante)

T absolute (thermodynamische) Tempe-

ratur in K

B Bandbreite (ausgewerteter oder be-

rücksichtigter Frequenzbereich) in Hz

R Widerstand in :

2. 1/ f-Rauschen. Tritt unterhalb 1 kHz auf.

R
u a 1/ f

Macht sich unangenehm bei Halbleitern

(Transistoren) bemerkbar.

f Frequenz in Hz

3. „Popcorn“-Rauschen. Sporadisch auf-

tretend, Dauer im Ps-Bereich, Amplituden

wesentlich größer als die des übrigen

Rauschens.

4. Schrotrauschen: Durch ungleichmäßige

2

i 2 � q � I � B

Ladungsträgerinjektion bzw. -emission in

S
e

Halbleitern bzw. Röhren.

-19

q e 1,6 � 10

As (Elementarladung des

Elektrons)

I

Anoden- bzw. Halbleiterstrom in A;

B Bandbreite (ausgewerteter oder be-

rücksichtigter Frequenzbereich) in Hz

5. Stromverteilungsrauschen. Durch statis-

tische Schwankungen der Stromaufteilung

auf Basis und Kollektor beim Transistor

bzw. Gitter und Anode bei der Röhre.

Weißes Rauschen

Im betrachteten bzw. ausgewerteten Fre-

Betrachteter Frequenz-

quenzbereich sind, über einen (sehr) gro-
bereich muss endlich
ßen Zeitbereich betrachtet, alle Frequenzen
sein.

mit gleicher Amplitude vorhanden.

260

Nachrichtentechnik

11

Signale

Störabstand S

P S (mittlere) Signalleistung (engl.: Signal)

S

P

in W

S
bzw.

P

N

P N (mittlere) Rauschleistung (engl.: Noise)

in W

S

P

S 10 � lg
in dB

N

P

Rauschzahl F

Verhältnis des Störabstandes am Eingang

S

S

P / N

P

(Index e) eines Systems zu dem am Aus-
e
e

F

gang (Index a). Kennzeichnet den Rausch-
a

S

S

P / N

P a

anteil des Systems. F = 1 � System ist

F 1 F

rauschfrei.

Z

F Z zusätzliche Rauschzahl des Systems

Rauschmaß F

Logarithmus F

R

F 10 � lg F

R

R = 0 dB � System ist
in dB

rauschfrei.

Rauschmaß a

Werte in dB; z. T. alternative Bezeichnun-

F,
a F 10 � lg F

Rauschabstand a
gen.

r

P

Formelzeichen siehe Störabstand bzw.

S
r
a 10 � lg

Rauschzahl.

N

P

Gesamtrauschzahl F

2

F 1
zweistufiger Verstärker

F F

;

1

G

1

Rauschen zweistufiger Verstärker

F | 1

F für

F 1 bzw. F 2: Rauschzahl des Verstärkers

1 bzw. 2

2

F

1

F !!

G 1: Leistungsverstärkung des Verstärkers 1

1

G

Kenngrößen stochasti-

Arithmetischer Mittelwert

Grenzübergang
scher Signale

T

T o f in der Praxis

1
s lim (

�
s t )

d t

³

nicht erreichbar; über

T of 2 T

T

Erfahrungswerte für

Quadratischer Mittelwert
endliches T kann der

T

Wert aber angenähert

s

�

> s t @2

2

1
lim ( )

d t

³

werden.

T of 2 T

T

Effektivwert

2
ef
s f s

T

Streuung V

�

> s t s@2

2

1
lim ( )

d t

³

T of 2 T

T

Standardabweichung

2

V V

Korrelationsfunktionen

Autokorrelationsfunktion (AKF):

AKF: Ähnlichkeit eines

T

Signals mit sich selber,

1

) W

�

�

W
ss( )

lim
s( t ) s( t

) d t

³

wenn sie um W gegen-

T of 2 T

T

einander verschoben

werden.

Kreuzkorrelationsfunktion (KKF):

KKF: Ähnlichkeit zwei-

T
er unterschiedlicher

1

)

W

�

�

W
s1s2( )

lim

³

1
s ( t )

2
s ( t

) d t

Signale, wenn sie um W

T of 2 T

T

gegeneinander ver-
schoben werden.

261

Nachrichtentechnik

11 Signale

Spektrale Leistungsdichte

Abhängigkeit der Leistung P eines Signals

P

'

von der Frequenz f. Angabe in W/Hz.

)S( f ) lim

f

' o0
f

'

Theorem von Wiener-

Die spektrale Leistungsdichte ist die Fourier-

1

F ^)

)

W

S( f `

)

SS( )

Khintchine
transformierte der Autokorrelationsfunktion.

F Fouriertransformierte

F^)

W

SS( `

) )S( f )

2.3 Verzerrungen

(Komplexer) Frequenz-
jb(Z )

a(Z )

jb(Z )

H( j Z ) H( j Z) � e

C � e

� e

Kennzeichnet die
gang oder (komplexer)

Eigenschaften des

Übertragungsfaktor

R(Z) jX(Z)

Systems:

a Dämpfungsmaß

U

Z
aus( j )

Dämpfungsmaß
b Phasenmaß

U

( j Z ) � H( j Z)

C Konstante
ein

Phasenmaß

R(Z) Realteil

X(Z) Imaginärteil

Dämpfungsverzerrungen

Das Dämpfungsmaß ist eine Funktion der
a f (Z)

Frequenz.

Beispiel: Passiver RC-Tiefpaß 1. Ordnung.

Phasenverzerrungen

Das Phasenmaß ist eine Funktion der Fre-
b f (Z)

quenz.

Beispiel: Passiver RC-Tiefpaß 1. Ordnung.

Lineare Verzerrungen

Ein- und Ausgangssignal eines Systems

Beispiel: Linearer

haben nicht den gleichen zeitlichen Verlauf;

Tiefpaß

im Ausgangssignal treten gegenüber dem

Eingangssignal aber keine zusätzlichen

Frequenzen auf. Das Eingangssignal ist in

der Regel über ein System mit inversem

Übertragungsfaktor aus dem Ausgangssig-

nal wiederherstellbar.

Nichtlineare Verzerrungen

Ein- und Ausgangssignal eines Systems

Beispiel: Elemente mit

haben nicht den gleichen zeitlichen Verlauf;
nichtlinearen Kennli-

im Ausgangssignal treten gegenüber dem
nien (z. B. Dioden)

Eingangssignal aber zusätzliche Frequen-

zen auf. Das Eingangssignal ist nicht oder

nur mit sehr großem Aufwand wiederher-

stellbar.

Klirrfaktor
f

Es gibt 2 Definitionen.

2

U

¦

Zusammenhang:

i

2

2

2

U 2 U 3 U 4 ...

i 2
k c
k

k

2

2

2

2
f

1

U U 2 U 3 U 4 ...

2

2

¦

1 k c
i

U
i 1

k | k' für k, k c 1
oder

Anwendung: Maß für
die Verzerrungen von
f

Niederfrequenzver-

2

¦ i U

2

2

2
stärkern; Eingangs-

U 2 U 3 U 4 ...

i 2
k c

größe ist ein (nahezu)

1

U

1

U
ideales Sinussignal.

U i Effektivwert der i-ten Harmonischen

262

Nachrichtentechnik

11

Kenngrößen einer Übertragungsstrecke / eines Systems

3 Kenngrößen einer

Übertragungs-

strecke / eines

Systems

Allgemein

Zur Bildung der logarithmischen Maße sind

stets positive Werte einzusetzen, in der

Regel die Effektivwerte von U, I.

P

P

Dämpfungsfaktor D

Leistungsdämpfungsfaktor

1

1, U 1, I 1 Eingangs-,

P

D

P

2

P

2, U 2, I 2 Ausgangs-
größen des Systems.

U

D > 1 bedeutet

Spannungsdämpfungsfaktor

1

U

D

U

Dämpfung,

2

D < 1 bedeutet

I

Stromdämpfungsfaktor

1

D

Verstärkung.

I

I 2

P

Kehrwert des Dämp-

Übertragungsfaktor,

Leistungsübertragungsfaktor

2

P

T

P
fungsfaktors.

Verstärkungsfaktor T

1

T < 1 bedeutet Dämp-

U

fung,

Spannungsübertragungsfaktor

2

U

T

1

U

T > 1 bedeutet Ver-

stärkung.

I

Stromübertragungsfaktor

2

I

T

1

I

Dämpfungsmaß a

Leistungsdämpfungsmaß

Formelgrößen siehe

P

Dämpfungsfaktor.

1

P
a 10 � lg
in dB

Z 1 Widerstand am

2

P

Eingang, reell;

Spannungsdämpfungsmaß

Z 2 Widerstand am

2

U

Z

Ausgang, reell.

1

2

U
a 10 � lg

�
in dB

2

1

Z

U 2

1

U

U
a 20 � lg
in dB für Z Z

U

1

2

2

Stromdämpfungsmaß

2

1

I � 1

Z

a I 10 � lg
in dB

2

I � Z

2

2

1

I
a 20 � lg

Z Z

I
in dB für

I

1

2

2

Übertragungsmaß,

Leistungsübertragungsmaß
v ! 0 dB bedeutet

Verstärkungsmaß v

Verstärkung,

2

P

v P P
a 10 � lg
in dB
v 0 dB bedeutet

1

P

Dämpfung.

Spannungsübertragungsmaß

2

U 2

1

Z
v U U
a 10 � lg

�
in dB

2

Z 2

1

U

U 2
v U 20 � lg
in dB für 1

Z Z 2

1

U

263

Nachrichtentechnik

11 Zweitore, Vierpole

Stromdämpfungsmaß

2

I � Z

2

2
v I I
a 10 � lg
in dB

2

I � Z

1

1

I 2

�

v I

20 lg
in dB für 1

Z

Z 2

1

I

Pegel

Verhältnis einer Größe (Spannung, Strom,

Allgemein verwendet,

Leistung) zu einer Bezugsgröße. Die Be-
z. B. Schallpegel,

zugsgröße muss eindeutig erkennbar sein

Wasserstandspegel.

bzw. angegeben werden.

Absoluter Pegel L,

Absoluter Leistungspegel

Abgeleitet vom
bezogen auf Telefon-

S

P

Telefon:

Kenndaten

P ab

L
s 10 � lg
in dBm

1 mW

1 mW an 600 : für

Absoluter Spannungspegel

Sprachverständlich-

U
keit;

S

U

L abs 20 � lg �
in dB

Zusatz „m“ kenn-

775 mV
zeichnet die Bezugs-

Absoluter Strompegel
größe 1 mW.

S

I

1 mW an 600

I abs

L

20 � lg
in dB

1,29 mA

: � U = 775 mV;

I = 1,29 mA.

Es gilt Leistungs-

anpassung.

Absoluter Pegel L,

Absoluter Leistungspegel

Es gilt Leistungs-
bezogen auf 1 W

S

P
anpassung.

�
bzw. 1 V

P (

L abs) 10 lg
in dBW

1 W

Der Zusatz „abs“

Absoluter Spannungspegel
entfällt häufig.

U

S

U (

L abs) 20 � lg �
in dBV

1 V

Absoluter Pegel L,

Absoluter Spannungspegel

Es gilt Leistungsan-
bezogen auf 1 PV

U S
passung. Der Zusatz

(Antennentechnik)

U (

L abs) 20 � lg �
in dB (�V)

1 μV

„abs“ entfällt häufig.

Relativer Pegel L

Relativer Leistungspegel

Es gilt Leistungs-

P
anpassung.

P

L 10 � lg
in dBr

P

Die Bezugsgrößen

0

P 0, U 0 müssen ange-

Relativer Spannungspegel
geben werden.

U

U

L 20 � lg
in dBr

U 0

4 Zweitore, Vierpole

4.1 Grundbegriffe

Passive und aktive

Passives Zweitor: Die am Ausgang entnehmbahre Leistung ist kleiner

Zweitore
oder höchstens gleich der am Eingang eingespeisten Leistung. Akti-
ves Zweitor: Die am Ausgang entnehmbahre Leistung ist größer als
die am Eingang eingespeiste Leistung.

264

Nachrichtentechnik

11

Zweitore, Vierpole

Lineare und nichtlineare

Lineares Zweitor: In den einzelnen Zweigen des Zweitores gilt, dass

Zweitore
das Verhältnis von Spannung zu Strom nicht vom Strom bzw. der

Spannung abhängt. Nichtlineares Zweitor: In mindestens einem Zweig

ist das Verhältnis von Spannung zu Strom von der Spannung bzw. dem

Strom abhängig. Beispiel: Das Zweitor enthält Dioden.

Zweitor, Ein- und

Ausgangsgrößen

a) Zweitor allgemein

b) gemeinsamer Anschluss für Ein- und Ausgang

4.2 Zweitorgleichungen
und Zusammen-
schaltung von
zwei Zweitoren

Zusammenschaltung von Zweitoren a) Parallel-Parallel-Schaltung,

b) Reihen-Reihen-Schaltung, c) Reihen-Parallel-Schaltung,

d) Parallel-Reihen-Schaltung, e) Kettenschaltung

Name der Parameter,

Art der Zusam-

Zugehörige Parame-

Zweitorgleichungen
menschaltung
teroperationen;

zweier Zweitore

Zweitor 1: Index a,

Zweitor 2: Index b

Zweitorgleichungen in

Parallel-Parallel-

Y 11 Y 11a Y 11b

Leitwertform:

Schaltung:

Y

Y

Y

Y-Parameter

Eingänge parallel,

12

12a

12b

Y

Y

Y

I

Ausgänge parallel

21

21a

21b

1 Y 11 U 1 Y 12 U 2

Y

Y

Y

I

22

22a

22b

2 Y 21 U 1 Y 22 U 2

Zweitorgleichungen in

Reihen-Reihen-

Z 11 Z 11a Z 11b

Impedanzform:

Schaltung:

Z

Z

Z

Z-Parameter

Eingänge in Reihe, 12

12a

12b

Z

Z

Z

U

Ausgänge in Reihe

21

21a

21b

1 Z 11 I 1 Z 12 I 2

Z

Z

Z

U

22

22a

22b

2 Z 21 I 1 Z 22 I 2

265

Nachrichtentechnik

11 Zweitore, Vierpole

Name der Parameter,

Art der Zusam-

Zugehörige Para-

Zweitorgleichungen
menschaltung
meteroperationen;

zweier

Zweitor 1: Index a,

Zweitore

Zweitor 2: Index b

Zweitorgleichungen in

Reihen-Parallel-

H 11 H 11a H 11b

Reihen-Parallel- oder Hyb-

Schaltung:

H

H

H
rid-Form:

Eingänge in Reihe,

12

12a

12b

H-Parameter

Ausgänge parallel. H 21 H 21a H 21b

U H
I H * U

H

H

H

1

11

1

12

2

22

22a

22b

Achtung: Zweites

I 2 H 21 I 1 H 22 * U 2

Zweitor muss am

11
h

1
h 1a

1
h 1b

Ausgang „gedreht“

1
h 2 12a
h

12
h b

Alternative Schreibweise: h- werden, siehe Bild. h 21 h 21a h 21b Parameter
h
h
h

U

22

22a

22b

1

11
h
I 1 12
h

* U 2

I 2 h 21 I 1 h 22 * U 2

siehe z. B. Trasistor-

Kenndaten

Zweitorgleichungen in

Eingänge parallel,

C 11 C 11a C 11b

Parallel-Reihen-Form:

Ausgänge in Reihe.

C-Parameter

C 12 C 12a C 12b

Achtung: Zweites

C

C

C

I 1 C 11 U 1 C 12 I 2

21

21a

21b

Zweitor muss am

U

C

C

C

2 C 21 U 1 C 22 I 2

Ausgang „gedreht“

22

22a

22b

werden, siehe Bild.

Zweitorgleichungen in Ket-

Kettenschaltung

ª A A º

11

12
tenform:

«

»

A A

A-Parameter

¬ 21

22 ¼

U

ª A

A

º

1

11

A
U 2 1

A 2 I

2

11a

12a

«

»

A

A

I

¬ 21a

22a ¼

1 A 21 U 2 A 22 I

2

ª 11

A b 12

A b º

«

»

A

¬ 21b A 22b ¼

Matrizen-

multiplikation;

Index a:

linker Vierpol

Index b:

rechter Vierpol

Definitionsgleichungen und Bezeichnungen der Zweitorparameter

Y-Parameter

I 1

Y 11

Kurzschluss-Eingangsadmittanz

U 1

U

0

2

I 1

Y 12

Kurzschluss-Übertragungsadmittanz rückwärts

U 2 U 0

1

I 2

Y 21

Kurzschluss-Übertragungsadmittanz vorwärts

U 1 U 0

2

I 2

Y 22

Kurzschluss-Ausgangsadmittanz

U 2 U 0

1

266

Nachrichtentechnik

11

Zweitore, Vierpole

U

Z-Parameter

1

Z 11

Leerlauf-Eingangsimpedanz

I 1 I 0

2

U 1

Z

Leerlauf-Übertragungsimpedanz rückwärts

12

I 2 I 0

1

U

2

Z 21

Leerlauf-Übertragungsimpedanz vorwärts

I

1 I 0

2

U 2

Z 22

Leerlauf-Ausgangsimpedanz

I 2 I 0

1

U

H-Parameter

1

H 11

Kurzschluss-Eingangsimpedanz

I 1 U 0

2

U 1

H 12

Leerlauf-Spannungsrückwirkung

U 2 I 0

1

I 2

H

Kurzschluss-Stromübersetzung vorwärts

21

I 1 U 0

2

I 2

H 22

Leerlauf-Ausgangsadmittanz

U

2 I 0

1

I

C-Parameter

1

C

11

Leerlauf-Eingangsadmittanz

U 1 I 0

2

I 1

C

12

Kurzschluss-Stromrückwirkung

I 2 U 0

1

U 2

C

Leerlauf-Spannungsübersetzung

21

U 1 I 0

2

U 2

C 22

Kurzschluss-Ausgangsimpedanz

I

2 U 0

1

A-Parameter

U

A

1
reziproke Leerlauf-Spannungsübersetzung

11

U 2 I 0

2
vorwärts

U

A

1
negative reziproke Kurzschluss-Übertragungs-

12

I

2 U 0
admittanz vorwärts

2

I

A

1
reziproke Leerlauf-Übertragungsimpedanz

21

U 2 I 0

2
vorwärts

I

A

1
negative reziproke Kurzschluss-

22

I

2 U 0

2

Stromübersetzung vorwärts

267

Nachrichtentechnik

11 Zweitore, Vierpole

Parameter der Elementarvierpole „T-Zweitor“ und „p-Zweitor“

T-Zweitor

S-Zweitor

Y-Parameter

Z 2 Z 3

1

1

Y

11

Y 11

Z 1 Z 2 Z 1 Z 3 Z 2 Z 3

Z 1 Z 2

Z

1

2

Y

12

Y

12

Z Z Z Z Z Z

Z 2

1 2

1 3

2 3

1

Z2

Y

Y 21

21

Z

Z

1 Z 2 Z 1 Z 3 Z 2 Z 3

2

Z Z

1

1

Y

1

2

Y

22

22 Z Z Z Z Z Z

Z 2

Z 3

1 2

1 3

2 3

Z-Parameter

Z 11 Z 1 Z 2

Z ( Z Z )

1

2

3

Z

Z

Z

11

Z Z Z )

12

2

1

2

3

Z

Z Z

21=Z2

1 3

Z 12

Z

Z Z Z )

22 Z2 Z 3

1

2

3

Z 1 Z 3

Z 21 Z Z Z )

1

2

3

Z 3( Z 1 Z 2)

Z 22

Z 1 Z 2 Z 3)

H-Parameter

Z 1 Z 2 Z 1 Z 3 Z 2 Z 3

Z Z

H

1 2

11

H 11

Z 2 Z 3

Z 1 Z 2

Z 2

Z

H

1

H

12

Z

12

2 Z 3

Z 1 Z 2

Z

Z

2

H

1

21

H

12

Z 2 Z 3

Z 1 Z 2

1

Z Z Z

H

1

2

3

H

22

Z

22

2 Z 3

Z 3( Z 1 Z 2)

C-Parameter

1

Z Z Z

C

1

2

3

C

11

Z

11

1 Z 3

Z 1( Z 2 Z 3)

Z 2

Z

C

3

12

C

Z

12

1 Z 2

Z Z

2

3

Z 2

Z

C

2

21

C

Z

21

1 Z 2

Z 2 Z 3

Z 1 Z 2

Z Z

C

2 3

22

C

Z

22

1 Z 2

Z 2 Z 3

268

Nachrichtentechnik

11

Zweitore, Vierpole

A-Parameter

Z 1

Z 2

11

A

1

A

1

Z

11

Z

2

3

Z 1 Z 3

12

A

Z 1 Z 3

A

Z

12

2

Z 2

1

1

1

Z

A

A

2

21

21

Z

Z

Z

Z Z

2

1

3

1 3

Z

Z 2

3

A

A

1

22 1

22

Z

Z

2

1

4.3 Betriebskenngrößen
mit Lastadmittanz

Y

a = 1/ Za bzw.

Eingangsadmittanz

Ye = 1/ Ze

Zweitor mit Lastadmittanz Y a; Signalflussrichtung:

a) Vorwärtsrichtung, b) Rückwärtsrichtung

Betriebskenngröße Definition Betriebskenngröße Definition
im Vorwärtsbetrieb
im Rückwärtsbetrieb

Eingangsadmittanz

I 1

Y

I
in

Ausgangsadmittanz

2

U

Y out

1

U 2

Eingangsimpedanz

U

Ausgangsimpedanz

1

U

Z

2
in

Z

I
out

1

I 2

Übertragungsad-

I

Übertragungsadmit-

2

I 1
mittanz vorwärts

Y üf

Y

U
tanz rückwärts
ür

1

U 2

Übertragungsim-

U

Übertragungsimpe-

2

U 1
pedanz vorwärts

Züf

Z

I
danz rückwärts
ür

1

I 2

Spannungsüber-

U

Spannungsüberset-

2

U 1
setzung vorwärts
v uf

v

U
zung rückwärts
ur

1

U 2

Stromübersetzung

I

Stromübersetzung

2

I 1
vorwärts
v if

v

I
rückwärts
ir

1

I 2

269

Nachrichtentechnik

11 Zweitore, Vierpole

Betriebskenngrößen im Vorwärtsbetrieb mit Lastadmittanz Y a = 1/ Z a Y-Parameter

Z-Parameter

H-Parameter

C-Parameter

A-Parameter

Y in
det Y Y 11 � Y a

1 Z

� Y

H

Y

C

Y � det C

A

A � Y

22
a

22
a

11
a

21

22
a

Y 22 Y a

11

Z Y a � det Z
det H H 11 � Y a

1 C 22 � Y a

11

A 12

A � Y a

Z in

Y 22 Y a

Z

Y � det Z
det H H � Y

1 C

� Y

A A � Y

11
a

11
a

22
a

11

12
a

det Y Y 11 � Y a

1 Z22 � Y a

H 22 Y a

C 11 Y a � det C

A 21 A 22 � Y a

Y

�
üf

Y 21 � Y a

Z � Y

H

� Y

C

Y

Y

21
a

21
a

21
a

a

Y 22 Y a

Z 11 Y a � det Z
det H H 11 � Y a

1 C 22 � Y a

A11 12

A � Y a

Züf

Y

21

Z

H

C

1

21

21

21

det Y Y 11 � Y a

1+Z22 � Y a

H 22 Y a

11

C Y

� a � det C

A 21 A 22 � Y a
v uf

Y

21

Z

H

C

1

21

21

21

Y 22 Y a

11

Z Y a � det Z
det H H 11 � Y a

1 C 22 � Y a

11

A 12

A � Y a
v if

Y 21 � Y a

Z � Y

H

� Y

C

� Y

Y

21
a

21
a

21
a

a

det Y Y 11 � Y a

1+Z22 � Y a

H 22 � Y
a

C 11 Y

� a � det C

A 21 A 22 � Y a

Betriebskenngrößen im Rückwärtsbetrieb mit Eingangsadmittanz Y e = 1/ Z e Y-Parameter

Z-Parameter

H-Parameter

C-Parameter

A-Parameter

Y out det Y Y 22 � Y e

1 Z � Y

H

Y � det H

C

Y

A

A � Y

11
e

22
e

11
e

21

11
e

Y 11 Y e

Z22 Y e � det Z

1 H 11 � Y e
det C C 22 � Y e

A 22 12

A � Y e

Z out

Y 11 Y e

Z

Y � det Z

1 H � Y
det C C

� Y

A

A � Y

22
e

11
e

22
e

22

12
e

det Y

Y 22 � Y e

1 11

Z � Y e

H 22 Y e � det H

C 11 Y e

A 21 11

A � Y e

Y ür

Y 12 � Y e

Z � Y

H

� Y

C

� Y

Y

� det A

12
e

12
e

12
e

e

Y 11 Y e

Z 22 Y e � det Z

1 H 11 � Y e
det C C 22 � Y e

A22 1

A 2 � Y e

Zür

Y

12

Z

H

C

det A

12

12

12

det Y Y 22 � Y e

11

1+Z � Y e

H 22 Y e � det H

C 11 Y e

A 21 1

A 1 � Y e
v ur

Y

12

Z

H

C

det A

12

12

12

Y 11 Y e

Z22 Y e � det Z

1 H 11 � Y e
det C C 22 � Y e

A 22 12

A � Y e
v ir

Y 12 � Y e

Z � Y

H

� Y

C

� Y

Y

� det A

12
e

12
e

12
e
e

det Y Y22 � Y e 1 11

Z � Y e

H 22 � Y
e � det H C 11 Y e

A 21 1

A 1 � Y e

Folgende Abkürzungen wurden verwendet:

det Z Z 11 � Z 22 Z 12 � Z 21 ; det Y= Y 11 � Y 22 Y 12 � Y 21 ; det C= C 11 � C 22 C 12 � C 21 ; det H= H 11 � H 22 H 12 � H 21 ; det =

A

11

A � A 22 12

A � A 21 .

270

Nachrichtentechnik

11

Zweitore, Vierpole

4.4 Spezielle Zweitore

4.4.1 Allgemein

Übertragungssymmetri-

Y

Y

Z

Z

H

H

C

C

det 1

A Es gilt
sche Zweitore

12

21

12

21

12

21

12

21
der

Kirch-
hoffsche

Umkehr-

satz

Widerstandssymmetri-
sche Zweitore

Y 11 Y 22 Z 11 Z 22 det 1

H
det 1

C

11

A

A 22

Längssymmetrische

Zweitore

Y

Vor- und

11 Y 22

Z 11 Z 22 det 1

H
det 1

C

11

A

A 22 Rück-

H

H

C

C

det 1

A
wärts-

12

21

12

21

Y

Y

Z

Z
betrieb

12

21

12

21

gleich-

Rückwirkungsfreie
wertig

Zweitore

Y

Z

H

C

det 0

A

Einsatz

12

0

12

0

12

0

12

0
von
aktiven

Zwei-

toren

4.4.2 Wellenparameter

längssymmetri-

scher passiver

Zweitore

Wellenwiderstand

Z

12

A / A 21

In Analogie zur elektrischen

Leitung

Übertragungsmaß
g ln (

Zweitor mit Wellenwiderstand

11

A

12

A � A 21) in Np

abgeschlossen. Gilt für Spannung
a j b ; mit

und Strom.

a Dämpfungsmaß

b Phasenmaß

4.4.3 Häufig verwendete

Zweitore

Bandsperre

Doppel-T-Filter

U 2
v uf U 1

2 2 2 2

(1 Z R C )

2 2 2 2

2 2 2

(1 Z R C ) 16Z R C
v ist (theoretisch) Null für

uf

Z 1/ RC . In der Praxis: Relative

Abweichung der Bauelementewer-
te voneinander < 10–3.

271

Nachrichtentechnik

11 Leitungen, Kabel

Kreuzschaltung

( Z Z ) � ( Z Z )

1

3

2

4

Z 11

N

Z 2 � Z 3 Z 1 � Z 4

Z

12

N

Z 2 � Z 3 Z 1 � Z 4

Z 21

N

( Z Z ) � ( Z Z )

1

2

3

4

Z 22

N

N Z 1 Z 2 Z 3 Z 4

a) Schaltung mit Z-Parametern

b) umgezeichnet zur Wheatstoneschen Brückenschaltung

U

1

Frequenzkompensierter

2
v uf

;

U

R

1 j Z R C

Spannungsteiler

1

1

2 2

1

� Z

2

R

1
j

1

R 1

C

1

2

R

v

uf 1

R 1

C 2

R

2

C

1

R

R R

1

2

1

R

2

z f (Z)

5 Leitungen,

Kabel

5.1 Anordnungen,

Leitungsbeläge

Ersatzschaltbild einer

elektrischen Leitung

Anordnungen von Zweidraht-Leitungen

a) Zweidraht-Leitung

b) Eindraht-Leitung, Erde als idealer Rückleiter

c) Koaxial-Leitung

d) Feldverläufe in der Koaxial-Leitung, (-Kabel)

Leitungs-Kenngrößen

R (Verlust)-Widerstand, i. a. Ohmscher Leiterwiderstand

L Induktivität (Leitung als Leiterschleife)

C Kapazität (Leiter als „Kondensatorplatten“)

G Leitwert (Isolationswiderstand)

Leitungsbeläge

Die auf eine Länge l (m oder km) bezo-

R c R / l;

L c L / l;
genen Leitungskenngrößen R, L, C und G

C c C / l;

G c G / l.

einer Leitung. Die Werte für eine Leitung
mit der Länge l

R R c � l ; ;

L L c � l

0 ergeben sich durch Mul-

0
l

0

0
l

0
tiplikation mit l

0. Nachfolgende Tabellen-

C C c � l ; G G c � l
angaben nach Küpfmüller.

0
l

0

0
l

0

272

Nachrichtentechnik

11

Leitungen, Kabel

Widerstandsbelag R‘

Anordnung

Niedrige Frequenzen
hohe Frequenzen

Zweidraht-Leitung

U � l 1

U

1
d

R c | 2 �

� 2 �

R c | 2 �

�

� S � f � J � P

A
l

A

J � A 4

l

1

1

| 2 �

� 2 �
d

J �

� S � � J � P

A l

J � A
für
f

>>1

4

Eindraht-Leitung, Erde als idealer

U
c |

1
d
c |

�

� S � � J � P

Rückleiter

R

R
f

A

J � A 4

1

|
d

J �

� S � � J � P

A
für
f

>>1

4

Koaxial-Leitung, (-Kabel)

1

1

R' |

S � f � J � P

S � f � J � P

2

2

2

R c |

d � S
a

D i

D

J �

J �S �
d
a

D

2 � S � J �

2 � S � J �

4

4

2

2

Induktivitätsbelag L‘

Zweidraht-Leitung

P

P

0

2 � a

� a

L c |

� ln

0

2

L c | 2,3 �

� ln

S
d

S
d

Eindraht-Leitung, Erde als idealer

P

P

0

4 � h
c

� h
c

Rückleiter

L |

� ln

0

4

L | 1,15 �

� ln

2 � S
d

S
d

Koaxial-Leitung, (-Kabel)

P

P

0
i

D

D

L c |

� ln

0
i

L c |

� ln

2 � S
d

4 � S
d

Kapazitätsbelag C‘

Zweidraht-Leitung

S � H � H

S � H � H

0
r

C c |

C c |

2 �

0
r
a

2 �

a
ln
ln
d
d

Eindraht-Leitung, Erde als idealer

2 � S � H

� S � H

0
c

2
c

Rückleiter

C |

C |

4 �

0
h

4 �

h
ln
ln
d
d

Koaxial-Leitung, (-Kabel)

2 � S � H � H

� S � H � H

0
r

2

C c |

0
r

C c |

i

D

D
ln
i
ln
d
d

Leitwertbelag G‘

Zweidraht-Leitung

S � J

G c

S � J

|

G c |

2 �

a

2 �

a
ln
ln
d
d

Eindraht-Leitung, Erde als idealer

2 � S � J

G c

2 � S � J

G c

Rückleiter

|

|

4 �

h

4 �

h
ln
ln
d
d

Koaxial-Leitung, (-Kabel)

� S � J

� S � J

G

2
c |

2

G c |

i

D

D
ln
i
ln
d
d

Bedeutung der Formelzeichen

U spezifischer elektrischer Widerstand in :

� m

J
elektrische Leitfähigkeit in

:

1/( � m); J

= 1 U

/

2

A Fläche des Leiters in m
f

Frequenz in Hz

A �

V �

H
s
s
elektrische Feldkonstante | 8,86 �

–12

10

P magnetische Feldkonstant

|
e 4 � S �

–7

10

0

V �

0
m

A � m

H Permittivitätszahl (Dielektrizitätszahl)

P Permeabilitätszahl, materialabhängig
r
r

H Permittivität (Dielektrizitätskonstante), H

= H � H

P Permeabilit

P
ät, = P � P

0
r

0
r
d, a, h

, D

, D
siehe Bild
i
a

273

Nachrichtentechnik

11 Leitungen, Kabel

5.2 Leitungsgleichun-

gen, Lösungen

Leitungsgleichungen

2
w u
w u

Partielle Differenti-

R c � G c � u R c � C c L c � G c 2
w
algleichung, Ab-
x
w t

hängigkeit vom

2

w u

Weg und der Zeit

L c � C c

2
w t

2
w i
w i

R c � G c � i R c � C c L c � G c 2
w x
w t

2
w i

L c � C c

2
w t

Allgemeine Lösung für
u( x, t ) u � e D
x � cos(Zt – E x)

u , ,
u
i ,
i : Inte-
sinusförmige Spannun-

1

1

2

1

2

gen und Ströme

D x
u �

�

Z E
grationskonstanten

2 e
cos( t
x)

D, ,

E J , Z : siehe

( , )

� e D
x � cos(Zt-E x) � eD x
i x t
i
i

1

2

5.3 unten

� cos(Zt E x)

U 1, U 2, I 1, I 2 :

Zeigerdarstellung (i. a. Amplitude längs der

Integrationskon-

Leitung interessant):

stanten

U( x)

J x

J x

U � e

U � e

1

2

1

I( x)

J x

J x

U � e

U � e

1

2

Z

Lösung für sinusförmige

U

Überlagerung aus
a Z � I a

J

�
x

U a Z I a

U( x)

� e

� eJ x
hin- (1. Summand,

Spannungen und Ströme,

2

2
vom Leitungsan-
wenn Ua, Ia am

U a

U a

I

I
fang zum Ende)

Leitungsanfang ( x = 0)

a
a

Z

J x

Z

J x
und zurücklaufen-
vorgegeben sind

I( x)

� e

� e

2

2
der Welle

(2. Summand, vom

Leitungsende zum

Anfang)

�

�

Überlagerung aus

Lösung für sinusförmige

U e Z I e

J ( l x)

U e Z I e

U( x)

� e

hin- (1. Summand,

Spannungen und Ströme,

2

2
vom Leitungsan-
wenn U

J

( l x)

� e

e , I e am Leitung-
fang zum Ende)

sende ( x = l) vorgegeben

U
und zurücklaufen-
e

U e
sind

I e

I e

Z
der Welle

J ( l x)

Z

J ( l x)

I( x)

� e

� e

(2. Summand, vom

2

2

Leitungsende zum

Anfang)

5.3 Leitungskenngrößen

Wellenwiderstand Z

R‘, L‘, C‘, G‘: Leitungsbeläge nach 5.1.

R c j Z L c

Koaxialkabel: Z | (50...75) :; Telefon-

Z

G c j Z C c

Zweidrahtleitung: Z | 600 :; 20-kV-Erdkabel:

Z | 35 :; alle nahezu reell.

Ausbreitungskoeffizient J

J ( R c j Z L c) � ( G c j Z C c) D j E

D Dämpfungs-
koeffizient

D Realteil, E Imaginärteil des

E Phasen-

Ausbreitungskoeffizienten
koeffizient

274

Nachrichtentechnik

11

Leitungen, Kabel

Phasengeschwindigkeit v

E Phasenkoeffizient,

Z

2 � S � f

f Signalfrequenz
v

E

E

Gruppengeschwindigkeit

E Phasenkoeffizient
dZ
v
v

gr
f Signalfrequenz
gr
dE

5.4 Leitungen mit belie-

biger Lastimpedanz

am Leitungsende

Reflexionsfaktor r

Z

Lastimpedanz am Ende der Leitung

U

e
r
r

Z

Wellenwiderstand der Leitung

U h x l

U

h
auf das Leitungsende zulaufende Welle

Z e Z

U
in Richtung Leitungsanfang reflektierte

Z e Z

r

Alternative Darstel-

Welle
lung:

r 0 : Die Lastimpedanz am Ende der Leitung

Z

ist gleich dem Wellenwiderstand der
e 1

Leitung, Z

Z
z 1
e Z . In der Lastimpedanz
r

wird die maximal mögliche Leistung

Z e
z 1

1

umgesetzt.

Z

r 1 : Leerlauf am Ende der Leitung, Z e o f

r 1

: Kurzschluss am Ende der Leitung,

Z e 0

Spannungs-, Strom-

Am Leitungsende
u
ü Spannungsübertragungsfaktor

Übertragungsfaktor
gilt:

i
ü Stromübertragungsfaktor

U h1 U r1 U h2

U h1, I h1 vom Generator auf das Leitungsende I h1 I r1 I h2

zulaufende Welle

U

2 Z

U
h2
e
h2, I h2 an der Impedanz Z e wirksame
u
ü

U

Z Z

Welle
h1
e

U

I in Richtung Leitungsanfang reflektierte

r1, r1

I h2

2 Z

Welle
i
ü

h1

I

Z e Z

Eingangsimpedanz Z

Z Z � tanh

J

|
a
e
l

Z

Z für

Z
a
a Z �

Z Z e � tanh

J l

J � l ! 3

Z a am Leitungsanfang vorhandene Impedanz

einer Leitung, die mit der Lastimpedanz

Z e abgeschlossen ist

5.5 Sonderfälle

„Unendlich lange“

U

Die rücklaufende
a

Leitung

( )

a e
x

U x

U

J

|

�

; ( )

a e
x

I x

I

J

|

�

; I

a

Welle entfällt.

Z

U

Die rücklaufende

Anpassung: Z e Z

( )

a e
x

U x

U

J

�

; ( )

a e
x

I x

I

J

�

;
a

I a

Z

Welle entfällt, un-
abhängig von der

Leitungslänge.

275

Nachrichtentechnik

11 Leitungen, Kabel

Verzerrungsfreie Leitung

Dämpfungskoeffizient D und Phasengeschwin-

Bedingung:

digkeit v sind unabhängig von der Frequenz.

R c

G c

C c

L c

L c

C c

D R c �

; Z

; E Z � L C
c c
c
c

L

C

Verlustlose Leitung

L c

Bedingung: Exakt

Z

; E =Z L C
c c;
c
c

vL
vL

C c

R

0; 0

G

;

Z

Z

1

Näherung:

v vL

c |
c |

E

R

0; 0

G

Z L C
c c

L C
c c

Elektrisch kurze Leitung

Reflexionen bei Fehlanpassung am Leitung-

Bedingung:

sende ( Z e z Z) und am Leitungsanfang tre-
l
l

ten nicht störend in Erscheinung.

0,1

O
v / f

Leitung als Transformator

O

S

2

Z

O

Voraussetzung:

l
d. h. E � l

� Z

;

4

2
a

Z

Verlustlose Leitung
e

4

Transformator

O

O
l
d. h. E � l S � Z a Z e ;

2

2

Transformator

5.6 Daten von

Leitungstyp

R‘ in :/km L c in mH/km G‘ in PS/km C‘ in nF/km Leitungen

Freileitungen 0,2 1,5 0,5 5

(Energie-

versorgung,

f = 50 Hz)

Fernsprech-

5 2,2

0,8

6
leitung

(f = 1 kHz)

Fernsprech-

60 0,6 1,0 50
kabel

(f = 1 kHz)

Bedingung D

E

Z

Beispiel

R c G c 0 0

Z L C
c c

L c

Verlustlose

Leitung

C c

G c C

Z c

Freileitung

R c C c

G c L c Z L C
c c

L c

R c Z L c
allgemein

2

L c

2 C c

C c
mit 0

G c |
folgt

R c C c

2

L c

R c

G c

Verzerrungsfreie

c

Z
c c
c

C

L C

L

R c

L c

C c

Leitung

L c

C c

Z L c R c

Leitung mit ge-

Z C R
c c

Z C R
c c

R c

G c | 0
ringem Quer-

2

2
j Z C c schnitt bei tiefen

Frequenzen

276

Nachrichtentechnik

11

Leitungen, Kabel

5.7 Hochfrequenz-

leitungen

5.7.1 Hochfrequenz-

Koaxialkabel

Wellenwiderstand Z

Wellenwiderstand Z bei geringen Verlusten D r mit d Durchmesser

Innenleiter, D Durchmesser Außenleiter und Permittivitätszahl H r:

D

1

R

H

�

60

D

F
r
d

D r

�

;

Z

� ln

.

2 � S � 60 � D

D
ln

H
d
r

d

Flächenwiderstand RF

Geringe Dämpfungen werden durch den Flächenwiderstand F

R U G

/ ,

Eindringtiefe G
d. h. spezifischer Widerstand U durch Eindringtiefe G, beschrieben. Für

Skineffekt

Kupfer (Cu) gilt die vom Skineffekt bewirkte Eindringtiefe GCu ; für

Silber (Ag) gilt GAg :

G

G

Cu

66

;

Ag

64

.

μm
f
μm
f

MHz

MHz

Abhängigkeit des mit H normierten Wellenwiderstandes und der

r

Hilfsfunktion (1 D / d) /(ln D

( / d )) vom Durchmesserverhältnis D/d

siehe Bild.

Wie das Diagramm zeigt, wird

Kabeldämpfung D r
die Kabeldämpfung für D/d = 3,6

minimal, für D/d = 2,7 wird die

höchste Spannungsfestigkeit

erreicht.

Wellenwiderstand und Hilfsfunktion

1 D / d

als Funktion von D/d
ln D / d

Aus diesen Zahlenwerten sind Gründe für die Standardwerte 50, 60,
und 75 : ersichtlich, siehe Tabelle.

Typ Wellen-

Nenngröße Isola- C'

P mittel

Dämpfung Dämpfung
widerstand
tion
pF/m 1 GHz dB/100 m dB/100 m

Z/:

in kW 100 MHz 1 GHz

HCF

50 r 2

¼“

PE-

82

0,26

5,8

19,5

HCF

50 r 1,5

½“

Sch

82

0,78

2,59

11,2

CF

75 r 3

¼“
a

54

0,33

4,2

14,2

LCF

50 r 1

½“
u

76

1,18

2,16

7,2

LCF

50 r 1

1¼“
m

78

3,6

0,85

3,1

Daten einiger ausgewählter CELLFLEX-Kabel von RFS kabelmetal. Typ-Code:

CF=CELLFLEX-Kabel, LCF=Low Loss CELLFLEX-Kabel, HCF=hochflexibles

CELLFLEX-Kabel, PE=Polyäthylen, C c = Kapazitätsbelag, P mittel = zulässige mittlere Leistung (die maximalen Spitzenleistungen liegen wesentlich höher).

277

Nachrichtentechnik

11 Leitungen, Kabel

5.7.2 Hohlleiter

Für Frequenzen oberhalb etwa 3 GHz

werden bevorzugt Hohlleiter eingesetzt,

Querschnittsformen
deren wesentliche Querschnittsformen und

Verlauf des elektrischen Feldes das Bild

zeigt.

a) rechteckig, b) rund, c) elliptisch

Hohlleiterbezeichnungen

Hohlleiter werden nach ihren Komponen-

ten in Ausbreitungsrichtung bezeichnet:

Nach DIN 47301 werden die Wellen zu-

Hohlleiterindizes
sätzlich durch zwei Indizes gekennzeich-

net, die der Zahl der Maxima der elektri-

G

schen Feldstärke E entsprechen:

Rechteckhohlleiter:

1. Index Anzahl Maxima längs der Breitseite

2. Index Anzahl Maxima längs der Schmal-

seite

Rund- und elliptischer Hohlleiter:

1. Index halbe Anzahl Maxima längs des

Umfangs

2. Index Anzahl Maxima in radialer Rich-

tung (Maximum in der Achse zählt mit).

Komponente in Bezeichnung

Bezeichnung

Ausbreitungs-
deutsch
englisch bzw.

richtung
amerikanisch

Elektrisches

E-Welle TM-Welle

Feld

Transversal-

magnetische

Welle

Magnetisches H-Welle TE-Welle

Feld

Transversal-

elektrische

Welle

Stellt man sich die mit Lichtgeschwindig-

keit c im Hohlleiter ausbreitende und von

den gut leitenden Wänden reflektierte
v c � sinD
g

Welle vor, so ergeben sich in Ausbrei-
c

Gruppengeschwindigkeit
tungsrichtung die Gruppengeschwindigkeit
vp

Phasengeschwindigkeit
sinD
vg und Phasengeschwindigkeit vp. Wie der

Ausbreitungskoeffizient J zeigt, wird die

J D j E

Hohlleiterwelle O erst oberhalb einer kriti-

1

1
schen Wellenlänge O

S

kr technisch nutzbar.

2

2

2

Der (Feld-)Wellenwiderstand Z

O

O
kr

F ist fre-

quenzabhängig, mit Z 0 dem Wellenwider-

Z
stand des freien Raumes, der Grenzfre-

0

F

Z

quenz f

2
kr und der Hohlleiterfrequenz f.

§ f ·

1
kr

¨ f ¸

©

¹

278

Nachrichtentechnik

11

Leitungen, Kabel

5.7.3 Streifenleitungen

Gedruckte Schaltungen haben bei hohen Frequenzen zum Leitungs-

Streifenleitung
typ der Streifenleitung geführt. Darunter ist ein flacher leitender Strei-

fen zu verstehen, der durch ein Dielektrikum von einer großflächigen

Gegenelektrode getrennt ist.

Streifenleitungen

a) Microstrip-Leitung, b) Triplate-Leitung, c) Schlitzleitung

W = Streifenbreite, h = Dicke des Dielektrikums

Mikrostreifenleitung

Mikrostreifenleitung im engeren Sinne ist dabei die Ausführung a) im

G

G

Bild. Die Feldkomponenten E und H verlaufen, ähnlich wie bei

TEM-Wellen, weitgehend senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, so dass

Quasi-TEM-Welle
man von Quasi-TEM-Wellen spricht. Wichtig bei der Untersuchung

derartiger Systeme ist neben der relativen Permittivität H r und der

daraus folgenden effektiven Permittivität Heff des Substrates das Ver-

hältnis w/h, d. h. Streifenbreite zu Substratdicke. Allgemein gilt, dass

niederohmige Leitungen breit und hochohmige Leitungen schmal

(dünn) ausfallen.

Wellenwiderstand von

Nach Hammerstad gilt für Streifenleitungen:

Streifenleitungen

§ 8 h
w ·

60 � ln

Z

¨

¸
w

© w

4 h ¹

für

1; H

� H 1) 0,5 � H
eff

0,5 ( r

( r 1) � F

ȍ

H
h
eff

Z

120 � S

w
für

! 1;

ȍ

§ w

§ w

H

··
h

¨

1,393 0,667 � ln

1,44

eff

¨

¸¸

© h

© h

¹¹

§
w ·2

1
w

1
w

F

0,04 � ¨1 ¸ für

1; F
für

! 1

h

©
h ¹
h
h
h

1 12

1 12

w
w

Mit dem reellen Wellenwiderstand Z gelten für kurzgeschlossene Lei-

tungen ( Z

k) bzw. leerlaufende Leitungen ( Z l) : Z k = j � Z � tan E l und

Z l = – j � Z � cot E l. Für Werte von l/O d 0,25 bedeutet dieses induktives

Verhalten von kurzgeschlossenen Leitungen und kapazitives Verhal-

ten bei Leerlauf.

Für niederohmige Leitungsabschnitte gilt näherungsweise:

Z C | 1/ Z � sin E l ,

und für hochohmige Leitungsabschnitte näherungsweise:

Z L | Z � sin E l ,

mit 2

E SO und

l = Leitungslänge.

Streifenleitungsfilter

Diese Näherungen sind für den Entwurf von Streifenleitungsfiltern
wichtig.

279

Nachrichtentechnik

11 Leitungen, Kabel

5.8 s-Parameter

Wie die Leitungsgleichungen zeigen, sind

allgemein auf Leitungen hin- und rücklau-

fende Wellen wirksam. Dies macht sich be-

sonders bei hohen Frequenzen bemerk-

bar, was durch eine veränderte Betrach-

Scatter-Parameter
tunsweise mit Hilfe der Scatter-Parameter,

auch Streuparameter oder kurz s-Parame-

ter berücksichtigt werden kann.

Es werden nicht mehr Ströme und Span-

Normierte
nungen, sondern normierte Leistungswel-

Leistungswellen
len A U / R bzw. I � R zur Bewer-

tung benutzt. Eine hinlaufende Welle wird

dann
x
a

A e J

�
und mit der normierte

Leistungswelle B wird die rücklaufende

Welle zu
x
b

B e J

�

. Am Eingang eines

Vierpols tritt eine Welle b

�

�

1 auf, die aus

1
b

1
s 1 1
a

1
s 2 2
a

reflektierten Anteilen von a 1 und a 2 be-

2
b 2
s 1 � 1
a 2
s 2 � 2
a

steht, und entsprechend am Ausgang b 2.

Den Zusammenhang zwischen diesen

Größen liefern die s-Parameter. Die s-Pa- s

rameter können mittels Richtkoppler fluss-

11 = Eingangsreflexi-

onsfaktor

richtungsabhängig als Spannungsverhält- s

nisse gemessen werden. Als Reflexions-

12 = Rückübertra-

gungsfaktor

faktoren sind die s-Parameter dimensions- s

los und werden im allgemeinen als kom-

21 = Vorwärtsüber-

tragungsfaktor

plexe Größen dargestellt. Gelegentlich s

findet man auch eine Darstellung nach 22 = Ausgangsreflexi-

Real- und Imaginärteil. Echte Reflexions-
onsfaktor

faktoren sind aber nur die Parameter s 11

und s 22, die im Allgemeinen im Smith- oder

Kreisdiagramm dargestellt werden

5.8.1 Signalfluss-

Die Anwendung der s-Parameter führt zu
diagramm
einer veränderten Betrachtung von Schal-

tungen in Form von Signalflussdiagram-

men.

Die Größen a sind dem Knoten zufließen-
de und b entsprechende abfließende Leis-
tungswellen. Die s-Parameter bilden die

Verkopplung.

Das Signalflussdiagramm des belasteten

Generators weist jetzt die Generatorleis-
tung abfließende normierte Leistungswelle
bq aus, die dann mit b dem Verbraucher
als zufließend, d. h. als a zur Verfügung
steht.

Signalflussdiagramm
eines Vierpols.

a = zufließende Wellen

b = abfließende Wellen
sxx = s-Parameter

280

Nachrichtentechnik

11

Leitungen, Kabel

Signalflussdiagramm des beschalteten Vierpols.

bq = normierte Leistungswelle der Quelle,

rq = Reflexionsfaktor der Quelle, r 2 = Re-

flexionsfaker Last, a: hinlaufende Wellen,

b: ablaufende Wellen, s xx: s-Parameter.

Im optimalen Falle soll die von der Last

aufgenommene Leistungswelle a ( a 2 im

Bild oben) gleich der vom Generator (Quel-

le) abgegebenen Leistungswelle b sein.

Daraus folgt für die in der Praxis aus-

schließlich wichtige Wirkleistung Pw.

Die maximal mögliche entnehmbare Wirk-

leistung Pw max bei einem Generator mit

komplexem Innenwiderstand erfordert eine Signalflussdiagramm

Anpassung mit konjugiert komplexem Ab- des belasteten Gene-

schlusswiderstand.

rators.

Überträgt man diese Überlegungen auf ba = normierte Leistungs-

den beschalteten Vierpol (Bild oben), so
welle der Quelle

interessiert die an r 2, d. h. an der Last, ra = Reflexionsfaktor

abgegebene Wirkleistung Pw 2
der Quelle

r

2

2 = Reflexionsfaktor

2

1 2
r

1

P b

;

2

P
b

;
der Last

w
q

2
w max
q

2

1

2
r � q
r

1 r

q

2

�

�

�

2

*

*

2

2

2

2

2

2

1
w

P
b
b
a
a
b

2
r

5.8.2 Leistungs-

verstärkung

Für die praktische Anwendung ist es zweck-

G G � G � G

mäßig, die obigen Betrachtungen auf Transis-

1

0

2

toren und ihre s-Parameter umzusetzen.

1

2
q
r

2

Dabei ist es sinnvoll, die Betrachtung zu rela-

21
s

2

Leistungsverstärkung G
tivieren, d. h. die Leistungsverstärkung G =

1 s �

11
q
r

Pw 2/ Pw max zu bilden, um die Daten des akti-

2

1 r
ven Systems, also des Transistors, bewerten

2

2
zu können. Unter Vernachlässigung des ge-

1 s

� r

22

2
gen Null gehenden Rückübertragungsreflexi-

1

onsfaktors s 12 und geeigneter Umformung

1m

G ax

ergibt sich G. Die einzelnen Komponenten

2

1 11
s

Wirkleistungsverstärkung
haben folgende Bedeutung: G 1 = Wirkleis-
am Eingangstor G1
tungsverstärkung am Eingangstor, maximal

2

G s

Wirkleistungsverstärkung

0

21
für r

*
q = s 11 . Die Wirkleistungsverstärkung des

G0

Vierpols im engeren Sinne ist G 0. Am Aus-

1

G

Wirkleistungsverstärkung
gangstor wird die Wirkleistungsverstärkung

2max

2

1 s
am Ausgangstor G

22

2

G 2 auch maximal für konjugiert komplexe

Anpassung r

*

2 = s 22 , somit G 2max.

Die maximale Leistungsverstärkung des im

Eingang und Ausgang konjugiert komplex

Maximum Available Gain
angepassten Vierpols ist dann G

MAG
max = MAG

= Maximum Available Gain

2
s

MAG G

� G � G

1 s �21

1max

0

2max

2

2

11

1 22
s

281

Nachrichtentechnik

11 Leitungen, Kabel

5.9 Kreisdiagramm

5.9.1 Grundlagen

Komplexe Widerstände werden i. a. in der

komplexen Ebene dargestellt (Bild rechts

oben). Werden darin Kreise für konstante

Anpassungsfaktoren m = U min/ U max und

Kurven für konstante l/O-Werte aufgetra-

Buscheck-Diagramm
gen, entsteht das Buschbeck-Diagramm,

das, wegen der unendlich großen komple-

xen Ebene, gleichfalls unendlich groß ist.

Da der komplexe Reflexionsfaktor r für Buschbeck-Diagramm

passive Systeme nur Beträge zwischen mit Kreisen für m und

Null und Eins annehmen kann, gehört Kurven für l/O

dazu lediglich eine Kreisebene mit dem

Kreisdiagramm

Radius 1. Es entsteht das Kreis- oder

Smith-Diagramm

Smithdiagramm (Bild rechts unten). Be-

rücksichtigt man auch negative Reflexions-

faktoren, die dann außerhalb des Radius 1

liegen, bleibt die unendliche Ausdehnung

der komplexen Ebene erhalten. Die Um-

rechnung zum Kreisdiagramm erfolgt über

Transformations-
die Transformationsgleichung für r mit z
z 1
r

gleichung
auf den Wellenwiderstand Z normierten
z 1

komplexen Widerstand. Der komplexe

Reflexionsfaktor bildet in diesem Dia-

gramm konzentrische Kreise um den Null-

punkt mit einer, außen aufgetragenen,

zirkularen Gradskala. Eingetragen im Dia-

gramm sind aber Kreise für konstante

Wirkanteile und Kurven für konstante

Blindanteile. Kreise für Reflexionsfaktoren

können jederzeit leicht mit einem Zirkel

nachgetragen werden.

Für die Praxis ist neben dem Kreisdia-

gramm für Widerstände die Inversion dazu,

das Kreisdiagramm für Leitwerte, wichtig.

Es kann jederzeit durch 180º-Drehung des

Widerstandsdiagrammes gewonnen wer-

den.

Im Bild unten ist eingetragen, wie sich in

Serienschaltungen Wirk- und Blindwider-

stände entlang der verschiedenen Kurven

verändern, entsprechend sind im Teil b die

Bedeutungen der Kurven bei Parallelschal-

tungen für Wirk- und Blindleitwerte aufge-

führt.

Für Schaltungsentwürfe im Kreisdiagramm

muss oft zwischen Widerstands- und Leit-

wertdiagramm gewechselt werden. Die Komplexe Reflexions-

praktisch bequeme Lösung dazu ist das faktorebene mit Radi-

Doppeldiagramm

Doppel(kreis)diagramm, das in zwei ver-
us 1, Kreisdiagramm
schiedenen Farben beide Diagramme
übereinander gedruckt aufweist.

282

Nachrichtentechnik

11

Leitungen, Kabel

Kreisdiagramme a) für Widerstände, b) für Leitwerte

5.9.2 s-Parameter im

Kreisdiagramm

Verstärkung bei Fehl-

Für MAG-Werte waren bei den Größen
anpassung

G 1max und G 2max konjugiert komplexe

Reflexionsfaktoren gefordert. Diese sind
im Kreisdiagramm leicht durch Vorzei-
chenumkehr des Phasenwinkels darstell-
bar. Nach Unterlagen von Hewlett-

Packard gibt es eine einfache Möglichkeit
zu zeigen, welche Verstärkungen sich
ergeben, wenn die Anpassbedingungen
bei einem Transistor nicht genau erfüllt
sind. Die Ortskurven für konstante Werte
von G 1 und G 2 lassen sich als Kreise im

Kreisdiagramm darstellen, deren Mittel-
punkte auf einer Geraden vom Zentrum
des Kreisdiagramms zum Punkt s *

11 bzw.

s *

22 , d. h. den konjugiert komplexen s-Pa-
rametern, liegt.

Mit der normierten Verstärkung g 1 be-

1

G

1

G
trägt, für eine vorgegebene konstante 1
g

2

G

Verstärkung G

1max

1

11
s

1, der Radius des Kreises

RG.

Der Abstand des Kreismittelpunktes vom

1 1
g �

2

1 s

Zentrum des Kreisdiagramms in Beträgen

11

R
des Reflexionsfaktors gemäß Diagramm-

G

1 1 1
g

2

� s
maßstab beträgt D

11

G.

Die für die Eingangsseite mit s

11 ange-
schriebenen Gleichungen gelten sinnge-

1
g � 1
s 1

D

mäß mit s

G

2

22- und G 22-Werten für die Aus-

1 1 1
g � 1
s 1
gangsseite eines Transistors. Die Ver-
stärkungen G bzw. G max sind in absoluten

Zahlen einzusetzen, auch wenn sie all-
gemein in dB angegeben werden.

283

Nachrichtentechnik

11 Modulation

6 Modulation

6.1 Grundlagen

Modulation

Ziel: Transformation des Basisbandes Anwendung: Rundfunk- und

(Frequenzbereich des Nutzsignals, Fernsehübertragung, ana-

modulierendes Signal; z. B. Sprache, log und digital; Datenüber-

Musik) in einen anderen Frequenz- tragung; Telefonverkehr.

bereich (siehe Träger), um ihn optimal

(über große Entfernungen, mehrere

eindeutig wieder trennbare Signale

gleichzeitig) übertragen zu können.

Übertragungsmedien: Elektrische Lei-

ter, Lichtleiter, elektromagnetische Wel-

len (im Raum, Hohlleiter). Dabei wird

häufig die Signalform geändert, um

z. B. eine störungsarme Übertragung

zu erreichen (Datenübertragung, Digi-

talisierung von Analogsignalen).

Verwendete Begriffe,
s M( t) Basisbandsignal, Nutzsignal, s ( t) ˆ �

Z M

M

M
s
sin( M t

M )

Formelzeichen
modulierendes Signal. Hat i. a. einen s ( t) ˆ �

Z M

T

T
s
sin T t

T

vorgegebenen Frequenzbereich, z. B.

15 Hz bis 15 kHz für Sprache und

Musik bei der Rundfunkübertragung Hier: s M( t) sinusförmig, eine

auf UKW.

Frequenz � übersichtliche

s

Darstellung möglich.

T( t) Träger, sinusförmig, mit einer

Frequenz im kHz-...GHz-Bereich. Es

gibt unterschiedliche Verfahren, ihm

das Basisbandsignal geeignet aufzu-

modulieren.

6.2 Sinusträger,

mit Analogsignal

moduliert

Übersicht

ˆT
s f ( M
s ( t )) : Amplitudenmodulation,

§

·

�

¨

¸

AM
s ( t )

ˆ

Z

M

T

NT
s
sin ¨NT t NT

¸

Z

AM

© FM

PM ¹

T
f ( M
s ( t )) : Frequenzmodulation,

Sammelbegriff für FM und

FM

PM: Winkelmodulation

MT f( M
s ( t )) : Phasenmodulation, PM

Zur Signalrückgewinnung erforderlich: m Modulationsgrad

Zweiseitenband-Ampli-

Träger und US oder Träger und OS

ˆ s

ˆ s

ˆ s
tudenmodulation AM

(siehe ESB, SSB).

M

M US

M OS
m

ˆ s

ˆ

T

T
s

Ansatz: s ( t ) ˆ s s � sin (Z t) ; M

Modulationsgrad m

T

T

M

M

M m > 0, sonst Phasen-

= 0 gesetzt.

sprung.

Unteres (US) und oberes

1. Modulation durch Multiplikation:

ˆM U
s

S Trägeramplitude des

(OS) Seitenband

Trägeramplitude
unteren Seitenbandes (US)

s

�

Z

AM( t )

T
s ( t) sin ( T t)

mit der Frequenz T
f M
f ;

Bandbreite B
s

ˆ

ˆ s

Trägeramplitude des

AM

T
s �

M OS
oberen Seitenbandes (OS)

ª-cos

°

Z Z � º½

T

M t
m

°

�
mit der Frequenz f f .

®sin Z

T

M

T t

� «

»¾

2

°

«cos

¯

¬

Z Z

T

M � t »¼°

¿

284

Nachrichtentechnik

11

Modulation

Häufig verwendete Modulation, da nur Erforderliche Bandbreite

die 3 Frequenzen

B

2 � f

;

T
f , T
f M
f und T
f M
f

AM

B

: AM

M max

entstehen.

M m
f
ax : Maximale Fre-

2. Modulation an einer quadratischen quenz des Basisbandes.

Kennlinie:

Es entstehen die Frequenzen

f , 2 f , 2 f , f , f f , f f .

M

M

T

T

T

M

T

M

Die ersten 3 Frequenzanteile müssen

unterdrückt werden.

3. Modulation an einer nichtlinearen

nichtquadratischen Kennlinie: Es entste-

hen, je nach Kennlinie, weitere uner-

wünschte Frequenzen, die unterdrückt

werden müssen.

Modulierter Träger bei AM

Modulierter Träger

a) Zeitverlauf, b) Spektrum

c) Normal- und Kehrlage

Einseitenband-

Ausgesendet werden nur Träger und US

Erforderliche Bandbreite

Amplitudenmodulation
oder Träger und OS. Geringstmögliche B ESB : B ESB = f M max ESB, SSB

Bandbreite; Unterdrückung des OS bzw. f M max, f M min: Maximale

US problematisch, besonders, wenn bzw. minimale Frequenz

M m
f
in 0 , erfordert unendlich steile des Basisbandes.

Filterflanken. Die Trägerleistung eines

Seitenbandes kann für das andere Sei-
tenband verwendet werden.

285

Nachrichtentechnik

11 Modulation

Restseitenband-
f M min = 0

Amplitudenmodulation

Anwendung: Fernseh-

RM, VSB

Bildübertragung.

Bandbreite B RM allgemein:

2 � f

! B

! f

M max

RM

M max

Die Flächen 1 und 2 sind
gleich.

Restseitenbandübertragung

(Fernsehen)

a) Frequenzspektrum des

Senders, b) Durchlasskurve

des Empfängers

Leistung von Träger und

P

P P

P

Z: Lastwiderstand, den die

Seitenbändern bei AM
ges AM

T

US

OS

Trägerspannung speist

2

2

2

2

2

ˆ u

ˆ u
m

ˆ

§

·

T

T
u T
m

�

� ¨1

¸
m 0,8 � P

N

2 Z

2 Z

2

2 Z ¨

2 ¸

�

�

�

T

©

¹

�

Träger

0,75 P

beide
ges AM

Seiten
bänder

OS

P

US

P

0,12 � ge

P s AM

Betrachtung im Frequenz-

Demodulation von AM
bereich:

ˆ s � sin Z t

T

T

ˆ m

� �

Z Z

T
s

( cos T

M

� t)

2

ˆ m

� �

Z Z

T
s

(cos T

M

)

� t

2

(siehe oben) ergibt an einer

nichtlinearen Kennlinie u. a.

das Basisbandsignal f M. Alle

anderen Frequenzanteile,

z. B. f T, 2 f T, ... werden durch

den RC-Tiefpass (Grenz-

frequenz f g) unterdrückt:

f
f 1/(2S RC)

M max
g

f
a) Schaltung, b) Betrachtung im

T

Zeitbereich

Winkelmodulation:

Allgemein:

Spektrum der FM:

s ( t ) ˆ s � sin

Z t M

T
f

T
f r M
f

T
f r M

, ,

2 f ,

T

T

T T

FM und PM

f r 3 f ,
f r 4 f ,

...

T

M

T

M

) t

Spektrum

FM: ) t >Z D � s ( t

Amplituden: Bessel-

T

F

M )@ � t MT

;

funktionen,

: t
f o J (K),

PM: ) t Z D

T

0

T t

P � M
s ( )

t

r
o

K

T
f

M
f

1

J ( ),

M t
f r 2 f o J (K), ...

Zusammenhang:

T

M

2

K: Modulationsindex bei FM

)

')

: t d t
t

|

d t

' t

286

Nachrichtentechnik

11

Modulation

Kenngrößen bei FM, PM:

D � ˆ s

F

' Spitzenhub

Phasenhub: FM

F

M
o ')

;

Z

Allgemein: K f ( f )

Phasenhub ')

M

M

PM o ') D � ˆ

Beispiel UKW-Rundfunk:

P

M
s

(Kreis)-Frequenzhub ':

(Kreis)-Frequenzhub:

M m
f
ax 15 kHz,

FM o ': D � ô D � ˆ � Z

' F 75 kHz

F

M
s ; PM

P

M
s

M

Modulationsindex K

Modulationsindex bei FM:

� K Kmin 5

':

'

K

K

F

K ')

( f

15 Hz)

max

M

ZM

M
f

5000

Bandbreite bei FM

Bandbreite theoretisch unendlich groß,

Breitband-FM angewen-

muss in der Praxis begrenzt werden.

det beim UKW-Rundfunk:

Schmalband-FM:

FM

B

2 M

B 2 M
f max

B

FM,UKW

2(75 15)kHz

Breitband-FM:

FM

B

2( F

' M m
f
ax )

(Carson-Formel), ergibt Klirrfaktor

180 kHz

k d 1% .

ˆ u

ˆ u
f f

D
ist maximal für

Niederfrequentes

N

N

T

N

FM,NF

FM
a ,NF

|

�

ˆ u

ˆ u
f

'

Störverhältnis bei FM

NF

S

T

M m
f
ax :

ˆ u Amplitude des Störsignalträgers

N

ˆ u

1

Preemphase
in V

N

DFM,NF

|

�

max

ˆ

K

ˆ u

Amplitude des Niederfrequenz-

S
u
min

NF

Deemphase
signals in V

ˆ u Amplitude des Nutzsignalträgers

Anhebung der Amplituden

S

in V
des Basisbandsignals mit

f f Frequenzabstand zwischen
steigender Frequenz

T

N

Nutz- und Störsignalträger

(Preemphase) vor der

Modulation und entspre-

in Hz
chende Absenkung im

f

'

Frequenzhub in Hz

T

Empfänger nach der De-

modulation (Deemphase).

Beispiel: Erzeugung und

Demodulation bei FM

FM mit Kapazitätsdiode

Demodulation mit

Ratiodetektor

287

Nachrichtentechnik

11 Modulation

6.3 Sinusträger,

mit Digitalsignal

moduliert

Amplitudenumtastung ASK

Beispiel für ASK:

(amplitude shift keying)

Zeit- und Normal-

frequenzsender DCF 77

Frequenzumtastung FSK
der PTB, Braunschweig:

(frequency shift keying)

f T = 77,5 kHz;

Umtastung der Trägeram-

Phasenumtastung PSK
plitude zwischen 100 % und

(phase shift keying)

25 %, die Information steckt

im Beginn der Trägerab-

senkung (Beginn der Se-

kunde) und in der Dauer:

0,1 s o logisch 0,

0,2 s o logisch 1.

Phasenumtastung:

Neben der 2-Phasen-

umtastung (0º � 180º )

findet auch die n-Phasen-

Umtastung ( n = 8, 16, 32,

64) Anwendung. Damit

lassen sich Kodierungen

mit 3 bis 6 bit erreichen,

allerdings nimmt der Ein-

a) Amplitudenumtastung
fluss von Störsignalen mit

b) Frequenzumtastung und
wachsendem n zu.

Phasenumtastung

6.4 Pulsträger-

modulation,

Träger uncodiert

Pulsamplituden-

T a: vorgegeben durch

Modulation (PAM)

das Abtasttheorem von

Shannon.

Pulsfrequenz-Modulation

' T: sollte so klein wie mög-

(PFM)

lich gewählt werden, da

dann in die Lücken weitere

Pulsphasen-Modulation

Signale eingefügt werden

(PPM)

können � Multiplexver-

fahren.

Pulsdauer-Modulation

(PDM)

PPM: relativ unempfindlich
gegenüber Amplitudenstö-
rungen.

PDM: nur geringe Bedeu-
tung.

Pulsträgermodulation uncodiert

(Pulse unipolar)

288

Nachrichtentechnik

11

Modulation

Pulscodemodulation PCM

Bevorzugt eingesetzt bei

Pulsmodulation.

Pulscodemodulation

a) Sender, b) Empfänger

Zielsetzungen für das ko-

dierte Signal:

1. Kein Gleichanteil (galva-

nische Trennung über

Transformatoren)

2. Übertragene Frequenz(en)

so niedrig wie möglich

3. Rückgewinnung der Sen-

dertaktfrequenz aus der

übertragenen Impulsfolge

DM-Verfahren (auch Miller-

Code, D von Delay): Optima-

les Verfahren, erfüllt obige

3 Forderungen

DM-M: Binär-Eins durch

Wechsel der Signalpolarität

in Taktmitte, Binär-Null nach

Binär-Eins kein Polaritäts-

Verwendete Formate bei der Puls-
wechsel, Binär-Null nach

codemodulation (nach [6.1])

Binär-Null Polaritätswechsel

zum Taktbeginn.

Übertragenes Signal weist Redun-

danz auf, da sich benachbarte Ab-

tastwerte i. a. nur geringfügig unter-

scheiden.

Deltamodulation DM

DM: Ein Bit übertragen, das das Vor-

zeichen der Änderung zum vorherge-

henden Wert enthält. Ist die Änderung

größer als 1 Bit, gibt es eine Stei-

gungsüberlastung (slope overload).

Delta-Sigma-Modulation

Delta-Sigma-Modulation: Das analo-

ge Basissignal wird zunächst inte-

griert. Damit werden die Differenzen

benachbarter Abtastwerte verringert

und damit die Gefahr der Steigungs-

überlastung. Im Empfänger muss

durch ein Differenzierglied der Origi-

nalverlauf wiederhergestellt werden.

Differenz-Pulscode-

DCPM: Je nach Differenz zweier be-

DPCM: Anwendung vor-
modulation DPCM
nachbarter Abtastwerte wird auch mit
wiegend in der Fernseh-
mehr als einem Bit kodiert.

bildübertragung.

289

Nachrichtentechnik

11 Filter

7 Filter

7.1 Begriffe

Frequenzgang
x Frequenzgang: Darstellung des Amplitudenverhältnisses von Aus-

gangs- zu Eingangsspannung in Abhängigkeit von der Frequenz.

Amplitudengang
x Amplitudengang: Doppelt-logarithmische Darstellung des Verhält-

nisses von Ausgangs- zu Eingangsspannung. Für die Ordinaten-

beschriftung gilt: 20 � lg U aus / U ein in dB.

Phasengang
x Phasengang: Darstellung des Phasenwinkels von Ausgangs- zu

Eingangsspannung in Abhängigkeit von der Frequenz. Die Fre-

quenzachse ist logarithmisch, die Phasenachse ist linear geteilt.

Je nachdem, wie die Frequenzanteile des Originalsignals das

Filter passieren, spricht man von:

Tiefpassfilter
x Tiefpassfilter, wenn die im Signal enthaltenen Frequenzanteile von

Gleichspannung bis zur Grenzfrequenz durchgelassen werden;

Hochpassfilter
x Hochpassfilter, wenn ab der Grenzfrequenz die im Signal enthal-

tenen Frequenzanteile durchgelassen werden;

Bandpassfilter
x Bandpassfilter, wenn nur die im Signal enthaltenen Frequenzan-

teile eines meist eng begrenzten Frequenzbereiches durchgelas-

sen werden;

Bandsperre
x Bandsperre, wenn alle im Signal enthaltenen Frequenzanteile

außer denen in einem meist eng begrenzten Frequenzbereich

durchgelassen werden.

Der Übergang vom Sperr- in den Durchlassbereich und umgekehrt

wird in der Praxis durch die Angabe der Grenzfrequenz bzw. der Re-

sonanzfrequenz als scharf begrenzt angenommen, obwohl es sich um

einen allmählichen Übergang handelt. Kenngrößen für die praktische

Anwendung sind:

Grenzfrequenz
x Grenzfrequenz fg: Frequenz, bis zu der (Tiefpass) bzw. ab der

(Hochpass) die im Signal enthaltenen Frequenzanteile durchge-

lassen werden. Bei den Filtern erster Ordnung gilt: 1. Der Betrag

des Verhältnisses Ausgangs- zu Eingangsspannung ist vom Ma-

ximalwert auf das 0,707fache des Maximalwertes abgesunken.

2. Der Phasenwinkel zwischen Ein- und Ausgangsspannung be-

trägt – 45º (Tiefpass) bzw. +45º (Hochpass).

Durchlassbereich
x Durchlassbereich: Frequenzbereich bis zu f g (Tiefpass) bzw. ab f g

(Hochpass) bzw. innerhalb der Bandbreite B (Bandpass).

Sperrbereich
x Sperrbereich: Frequenzbereich ab f g (Tiefpass) bzw. bis zu f g

(Hochpass) bzw. innerhalb der Bandbreite B (Bandsperre).

Phasenwinkel M
x Phasenwinkel M
g
g: Phasenwinkel bei der Grenzfrequenz f g.

Grad (Ordnung) n
x Grad (Ordnung) n eines Filters: Höchster im Nenner vorkommen-
eines Filters
der Exponent der Kreisfrequenz Z für das Verhältnis von Aus-

gangs- zu Eingangsspannung, wenn der Zähler eine Konstante

ist. Er wird vorwiegend für Hoch- und Tiefpassfilter angegeben.

Beispiel: Tiefpassfilter 3. Grades

U

Z Z Z
aus / U ein

3

2

0

A /( j

B

Dj E) ;

0

A , ,

B

,

D E , Konstante, dimensionslos oder Kombinationen aus

R, L und C.

Steigung des Amplituden-
x Steigung des Amplitudenganges: Sie wird im Sperrbereich ange-
ganges
geben und ist ein Maß für die Fähigkeit, Frequenzanteile außer-
halb des Durchlassbereiches zu unterdrücken. Sie wird bestimmt
durch den Grad n des Filters und in dB/Dekade angegeben.

290

Nachrichtentechnik

11

Filter

Allgemein gilt: Steigung eines Filters n-ten Grades: n �
dB

20

/ De-

kade für einen Tiefpass bzw. n � 20 dB / Dekade für einen Hoch-

pass.

Bandbreite B
x Bandbreite B: Frequenzbereich, der durchgelassen (Bandpass)

bzw. gesperrt (Bandsperre) wird. Sie ist bestimmt durch den Be-

reich, in dem die Ausgangsgröße beim Bandpass zwischen Ma-

ximalwert und 0,707 Maximalwert liegt bzw. bei der Bandsperre

zwischen Minimalwert und 1,41 Minimalwert liegt.

Güte Q
x Güte Q: Maß für die Eigenschaften von Bandpass bzw. Bandsper-

re im Durchlass- bzw. Sperrbereich.

Dämpfungsmaß d
x Dämpfungsmaß d: d=1/Q

Resonanzfrequenz f0
x Resonanzfrequenz 0 f : Frequenz, die ein Bandpassfilter optimal

durchlässt bzw. eine Bandsperre maximal unterdrückt.

Für die zuletzt genannten Kenngrößen besteht folgende Beziehung:

0
f B � Q

7.2 Passive R-C-

Tiefpassfilter

Passive R-C-Tiefpassfilter
erster, zweiter und dritter

Ordnung

Frequenzgang

R-C-Tiefpassfilter a) erster, b) zweiter, c) dritter Ordnung,
d) Frequenzgang

Tiefpass erster Ordnung (n=1)

U

M
f

M

Steigung

2
g
g

U

1

1
ar
ctan Z RC

1

– 45º

1 j Z RC

2S RC

Näherung für Z 1/ RC

| 1

| 0

| 0

Näherung für Z !! 1/ RC

1
arctan Z RC

|

20 dB

|

j Z RC

| 90

º

Dekade

291

Nachrichtentechnik

11 Filter

Tiefpass zweiter Ordnung (n=2)

U

M

Steigung

2

U

1

1

3ZRC

arctan

2 2 2

1 3 j Z RC Z R C

1)

2 2 2

1-Z R C

Näherung für Z 1/ RC

| 1

| 0º

| 0

Z !!

Näherung für

1/ RC

1

3

|

40 dB

0

1),2)

| 180

arctan

|

2 2 2

Z R C

ZRC

Dekade

0 1),3)

| 180

Tiefpass dritter Ordnung (n=3)

U

M

Steigung

2

U

1

1/(1 6 j Z RC

3 3 3

6ZRC-Z R C

1)

ar
ctan

2 2 2

5

Z R C

2 2 2

1-5Z R C

3 3 3

j Z R C )

Näherung für Z 1/ RC

| 1

| 0º

| 0

Näherung für Z !! 1/ RC

1

ZRC

60
dB

|

1),2)

| 180

º ar
ctan

|

3 3 3

j Z R C

5

Dekade

1),3)

| 270

º

1) tan (x) periodisch in 180º; 2) erste Näherung, 3) zweite, grobe Näherung, meist zulässig 7.3 Passive R-C-Hochpassfilter

Passive R-C-Hochpassfilter
erster, zweiter und dritter

Ordnung

Frequenzgang

R-C-Hochpassfilter a) erster, b) zweiter, c) dritter Ordnung,
d) Frequenzgang

292

Nachrichtentechnik

11

Filter

Hochpass erster Ordnung (n=1)

U

M
f

2
g

Mg

Steigung

U 1
j Z RC

90º

45º

1

1 j Z RC
ar
ctan Z RC

2S RC

Näherung für Z 1/ RC

| j Z RC 90

|

º

20 dB

|

Dekade

Näherung für Z !! 1/ RC

| 1

90º

| 0

ar
ctan Z RC

| 0

Hochpass zweiter Ordnung (n=2)

U

M

Steigung

2

U 1

2 2 2

Z

R C

3ZRC

1)

180º ar
ctan

2 2 2

1 3 j Z RC Z R C

2 2 2

1-Z R C

Näherung für Z 1/ RC

2 2 2

| Z

R C

1),2)

| 180º ar
ctan 3Z RC

40 dB

|

1),3)

| 180º

Dekade

Näherung für Z !! 1/ RC

| 1

3

|

1),2)

0

| arctan

ZRC

1),3)

| 0

Hochpass dritter Ordnung (n = 3)

U 2

M

Steigung

U 1

3 3 3

( j Z R C ) /(1

3 3 3

5ZRC-Z R C

270º ar
ctan

2 2 2

2 2 2

5
j Z RC 6Z R C

1-6Z R C

1)

3 3 3
j Z R C )

Näherung für Z 1/ RC

3 3 3

| j Z R C

1),2)

| 270º ar
ctan 5Z RC

60 dB

|

1),3)

| 270º

Dekade

Näherung für Z !! 1/ RC

| 1

ZRC

|

1),2)

0

| 90º -arctan

6

1),3)

| 0

1) tan (x) periodisch in 180º; 2) erste Näherung, 3) zweite, grobe Näherung, meist zulässig 293

Nachrichtentechnik

11 Filter

7.4 Schwingkreis

als Bandpass

und Bandsperre

Allgemeine

Reihenschwingkreis als Band-

Parallelschwingkreis als Band-

Beziehung
sperre, bezogen auf I
pass, bezogen auf U

U

1

0

I

U I

§

1 ·

0 1

§

1 ·

Z

Z
r

R
j

L

¨
j

C

¨

¸

©

C

Z ¸

R

©

Z L

¹
p

¹

Speisung aus einer Spannungs-

Speisung aus einer Stromquelle

quelle mit der Spannung U 0
mit dem Strom I 0

Resonanz für Imaginärteil

U

U I � R

I Z

0
p

0

0

von Z = 0:

r

R

I I ; ;

I I � R � j Z C

�

R

0

C

0
p

0

U 0

1

U U ; ;

U

1

Z

R

0

C

R j Z C

I I � R

0

r

0

L

0
p

LC
j Z L

U

0

0

U

� Z

L
j 0 L

I

I

R

C

L

r

U C U L

Z

Güte Q

0 L

1
p

R
r

Q

Q

R Z C

Z
p
p 0
r

R
r

R 0 C

Z0 L

1

L

C

p

R
r

R

C

L

Dämpfungsmaß d
d = 1/ Q
d = 1/ Q

Bandbreite B

0
f

B

0
f

B

Q

Q

7.5 Bandfilter

Bandfilter

Zwei magnetisch oder kapazitiv

M

gekoppelte Filter, i. a. zwei Schwing-
k

L � L

Kopplungsfaktor k
kreise

1

2

M Gegeninduktivität in H
k 1 V

Dämpfungsmaß d

L 1, L 2 Induktivität der Primär-
d 1/ Q

bzw. Sekundärwicklung in H

V Streufaktor

Kopplungsarten

Unterkritische Kopplung k un
k k un d

Überkritische Kopplung küb
k küb ! d

Kritische Kopplung k kr
k kr
k
d

( 1
d d 2 d)

1

Kritische Kopplung (

2

2
k

( d d )

1
d z d 2) : als
tr

1

2
transitionale Kopplung bezeichnet

2

Dämpfungsmaß d ( 1
d z d 2) ;
d

1
d � d 2

1
d , d 2 Dämpfungsmaß des Primär-
bzw. Sekundärschwingkreises

294

Nachrichtentechnik

11

Empfängerschaltungstechnik

Resonanzkurven bei unter-

schiedlicher Kopplung

Normierte Verstimmung :

§ f
f ·

2 f

'

B

0

: Q � v Q ¨ ¸

: | Q �

Q �

f
f

© o
f
f ¹

0

0

v Verstimmung

Bandbreite

Unterkritische Kopplung B un
un

B

| 0,64 � 0 f / Q

Überkritische Kopplung Büb

| �

Kritische Kopplung B
üb

B

3 0 f / Q
kr

kr

B | 1,4 � 0 f / Q

8 Empfänger-

schaltungstechnik

Überlagerungsempfänger

ZF
f

0 f e f
f 0 Frequenz des einge-
bauten Oszillators, wird
mit der Frequenz des zu
empfangenden Senders
f e so geändert, dass stets
gilt: f ZF = konst.

Beispiel: f ZF = 10,7 MHz
beim UKW-Rundfunk.

AVR: Automatische Ver-
stärkungsregelung: Ver-
stärkung im HF- und ZF-

Bereich wird über die

Amplitude von f e so ein-
gestellt, dass das demo-
dulierte Signal nahezu
konstante Amplitude hat.

295

Nachrichtentechnik

11 Ton- und Bildübertragung

9 Ton-
und

Bildübertragung

9.1 Rundfunk-Stereo-

übertragung

Stereo-Mikrofon-

Einsatz von Richt-
anordnungen
mikrofonen

Zusammenhang:

M = X Y; S = X – Y bzw.

X = M S; Y = M – S

Mikrofonanordnungen mit Richtcharakteristik

a) X-Y-Stereofonie (Links-Rechts)

b) M-S-Stereofonie (Mitte-Seiten)

Sender:

Stereo-Rundfunk-

Aufnahme und Übertra-
übertragung
gung in M-S-Technik.

Damit steht das M-Signal

für Mono-Empfänger

direkt zur Verfügung.

S-Signal: Auf Hilfsträger

38 kHz in Zweiseitenband-

AM aufmoduliert (Einsei-
tenband-AM ergäbe tech-
nische Probleme); Hilfs-
träger mit Ringmodulator
unterdrückt (sonst Störun-
gen). Hilfsträger zur De-
modulation phasenrichtig
erforderlich, deshalb Pilot-
ton („Hilfsträger“ 19 kHz
mit geringer Amplitude)

übertragen.

Laufzeitglied: gleicht Lauf-
zeiten im Ringmodulator
und Bandpassfilter aus.

Empfänger:

M = X Y o Monosignal;

Empfängerdecoder bildet

Summe und Differenz:

M + S = (X Y) (X –Y)

a) Spektrum des Stereosignals

= 2X o linker Kanal,

(senderseitig)

M – S = (X Y) – (X –Y) =
b) Erzeugung des Modulationssignals

2Y o rechter Kanal.

(senderseitig)

Phasenrichtiger Hilfsträ-
c) Stereo-Empfänger (ab Demodulator)

ger über Frequenzver-
dopplerschaltung aus

Pilotton 19 kHz erzeugt.

296

Nachrichtentechnik

11

Ton- und Bildübertragung

9.2 Fernseh-

Bildübertragung

9.2.1 Farbfernseh-

Bildübertragung

(analog)

FBAS

FBAS: Farb-Bild-Austast-

Helligkeits- oder

Synchron-Signal

Leuchtdichte- oder

Luminanz- oder Y-Signal

Zu übertragende Signale:

(„Grauwerte“)

Helligkeit und Farbart

(z. B. gelb)

Farbart- oder Chrominanz-

Die Kamera nimmt die
signal: enthält den Farbton

Farben Rot (R), Grün (G)

(z. B. Gelb), die Farbsätti-
und Blau (B) auf. Über-
gung ist bereits im Y-Sig-
tragen werden die Sig-
nal enthalten
nale (R-Y) � 0,88 und

(B-Y) � 0,49 mit der Wich-

Farbhilfsträger:

tung:

4,4296875 MHz; quadratur-

R = 0,30
moduliert

G = 0,59

Amplitude o Farbsättigung

B = 0,11

Phase o Farbart

Auf die zunächst erwar-

Synchronisation über
tete höhere Bandbreite

Burst-Signal
konnte (unter gewissen

(ca. 6...8 Schwingungen)

Einbußen) verzichtet
des Senders
werden, da nur in selte-

nen Fällen die theoretisch

vorhandene Bandbreite
bei Schwarz-Weiß-

Übertragung auch tat-
sächlich ausgenutzt wird.

Diese Lücken werden mit

Farbinformationen gefüllt:

Frequenzverkämmung.

Ein Farbhilfsträger mit der

Frequenz 4,4296875 MHz
wird mit der Farbinforma-
tion moduliert.

f Z Zeilenfrequenz,

Frequenzverkämmung

15625 Hz

(nicht maßstäblich)

a) Spektrum des Y-Signals
b) Spektrum von Y-Signal und Farbhilfs-
träger (nach unten geklappt)

297

Nachrichtentechnik

11 Ton- und Bildübertragung

PAL-Verfahren

PAL: phase alternation

line

Mehrkanalton

Farbhilfsträger: Summen-

signal aus Hilfsträger 1

und Hilfsträger 2 (um 90º

voreilend)

Burst-Signal: Synchroni-
siert den Farbhilfsträger im

Farbfernseh-Empfänger

(über Quarz erzeugt) pha-
senrichtig. Erforderlich, da
in seiner Phase die Farb-
art enthalten ist.

PAL-Verfahren: Der Bild-
inhalt der Zeile n wird nor-
mal (d. h. mit dem Winkel

M zwischen Hilfsträger 1
und dem Farbhilfsträger)

übertragen und auf eine

Verzögerungsleitung mit

W = 64 �s (1/(15625 Hz))

gegeben. Für den Inhalt
der Zeile n 2 wird der

Winkel des Farbhilfsträ-
gers negiert (– M). Der

Empfänger macht die

Negierung rückgängig

und addiert die Informati-

Farbfernsehübertragung
on der Zeile n 2 zu der
a) Farbhilfsträger, Quadraturmodulation

(verzögerten und jetzt
b) Burst-Signal
zeitlich richtigen) Informa-
c) PAL-Verfahren
tion der Zeile n. Dieses
d) Störungsunterdrückung beim PAL-

Signal wird angezeigt. Die

Verfahren

Störungen auf den Zeilen
n und n 2 unterscheiden
sich in den meisten Fällen
kaum voneinander, durch
die senderseitige Dre-
hung und empfängerseiti-
ge Rückdrehung heben
sich die Amplituden der

Störsignale weitgehend
oder nahezu völlig auf.

Mehrkanalton: Unter-
schiedliche Nutzung der
zwei Stereokanäle:

1. Beide Kanäle Mono

2. Stereoübertragung,

3. Zweiton: ein Kanal

Sprache 1
der andere Kanal

Sprache 2

298

Nachrichtentechnik

11

Ton- und Bildübertragung

9.2.2 Farbfernsehbildüber-

tragung (digital)

DVB-T

DVB-T: Terrestrische Übertragung; DVB-C: Kabelübertragung; DVB-

S: Satellitenübertragung. Unterschiede in der Quellen- und Kanalko-

DVB-C
dierung, optimal an die jeweiligen Übertragungswege angepasst.

Beispiel: DVB-T: Die Digitalisierung des Fernsehbildes erfordert eine

DVB-S

Datenrate von ca. 170 Mbit/s, der Ton ca. 1,4 Mbit/s. Daraus ergibt

sich die Forderung nach einer Datenreduzierung mit vertretbaren

MPEG-2

Einbußen bei der Bild- und Tonqualität. Verwendet wird die MPEG-2-

(Quellen-) Codierung. Das ergibt eine Mindest-Datenrate von (2,5…4)

Gleichwellennetz

Mbit/s für das Bild einschließlich Ton. Angestrebt wird ein Gleichwel-

Fehlerschutz,
lennetz, d. h. mehrere benachbarte Sender senden auf gleicher Fre-

REED-SOLOMON
quenz mit synchroner Datenrate, daraus folgt i. a. eine Erhöhung der

Signalamplitude beim Empfänger (Addition der Gleichkanalsignale).

Coderate

Fehler durch mögliche Signalauslöschungen und andere auftretende

Nutzsignalverfälschungen (Echosignale) werden durch einen Fehler-

Schutzintervall,
schutz verringert: Angewendet wird der REED-SOLOMON-Code RS
guard interval

(204,188), der an ein Codewort von 188 Byte ein Korrekturwort mit

16 Byte anhängt. Damit können maximal 8 fehlerhafte Bytes erkannt

4-stufige Phasenumtas-
und korrigiert werden. Das Verfahren führt allerdings zur Verringerung
tung, Quarternary Phase
der Nutzdatenrate. Coderate: Verhältnis Nutzdatenrate/(Nutzdatenrate

Shift Keying, Q-PSK,

Fehlerschutzbitrate). Schutzintervall: Um möglichst viele Gleichka-

4-PSK
nalsignale und Reflexionen zur Erhöhung der Empfangsfeldstärke zu

nutzen, die nicht gleichzeitig eintreffen, wird der Beginn des Nutzsig-

16-stufige (64-stufige)

nals nicht als solches verwendet. Dieses Schutzintervall wird auf eine

Quadratur-Amplituden-

Dauer von 1/4, 1/8, 1/16 oder 1/32 der Symboldauer eingestellt. Mo-

Phasenumtastung,
duliert wird mit 4-stufiger Phasenumtastung und 16- bzw. 64-stufiger

16-QAPSK (64-QAPSK)

Quadratur-Amplituden-Phasenumtastung. Die gesamte zu übertra-

Coded Orthogonal
gende Bitfolge wird in Gruppen aufgeteilt und einer Vielzahl von paral-

Frequency Division
lelen Trägern (theoretisch 2048 bzw. 8192) aufmoduliert. Die Träger

Multiplex, COFDM
haben einen Abstand von ca. 4,4 kHz bzw. 1,1 kHz. Bei der 4-PSK

kann damit ein 2-bit-Symbol je Träger übertragen werden, bei der

Statistischer Multiplex

16-QAPSK ein 4-bit-Symbol pro Träger und bei der 64-QAPSK ein

6-bit-Symbol pro Träger. Die Kanalbandbreite beträgt insgesamt

8 MHz. Durch geeignete Wahl der Trägerfrequenzen und des Träger-
abstandes fallen die Maxima und die Nullstellen benachbarter Fre-
quenzspektren zusammen und stören sich nicht gegenseitig, was für
den Aufbau eines Gleichwellennetzes spricht. Bei DVB-T gibt es

2 Modi. Beim 2k-Modus stehen real 1512 Träger für Nutzdaten zur

Verfügung (2048 theoretisch, 1705 praktisch für Nutzdaten und Zu-
satzdienste), beim 8k-Modus real 6048 Träger (8192 theoretisch,

6817 für Nutzdaten und Zusatzdienste). Beim 2k-Modus müssen we-
gen der geringeren Anzahl von Trägern Symbole mit mehr Bit pro

Zeiteinheit und damit kürzerer Bit-Dauer aufmoduliert werden. Das

Schutzintervall muss kürzer sein, deshalb müssen die Sender bei

Gleichwellennetzen im 2k-Modus einen geringeren Abstand haben als
im 8k-Modus. Beispiel: 8,4 km zu 33,6 km bei einer Schutzintervalldi-
mensionierung von 1/8. Beim statistischen Multiplex bilden z. B.

4 Programme eine Einheit, auf die die übertragene Datenrate dyna-
misch zugewiesen wird. Erfordert ein Programm wegen eines Bild-
wechsels kurzzeitig eine höhere Datenrate, wird sie von Bildern mit
momentan geringerer erforderlicher Datenrate abgezweigt. Das ver-
bessert die Bildqualität bei schnellen Wechseln, kann aber zu „Bildru-
ckeln“ führen, wenn die Gesamtdatenrate kurzzeitig nicht für die

4 Programme ausreicht.

299

Nachrichtentechnik

11 Mehrfachübertragung – Multiplexverfahren

Datenrate in Mbit/s

Schutzintervalldimensionierung

Modulation Coderate

1/4

1/32

4-PSK 2/3

6,6

8

4-PSK 7/8

8,7

10,5

16-QAPSK 2/3

13,2

16,1

16-QAPSK 7/8

17,4

21,1

64-QAPSK 2/3

20

24,1

64-QAPSK 7/8

26,1

31,6

Datenrate in Abhängigkeit von der Modulationsart, der Coderate und

der Schutzintervalldimensionierung

10 Mehrfachüber-

tragung – Multi-

plexverfahren

Zeitmultiplexverfahren:

Voraussetzung: Alle Signale

müssen frequenzbandbe-

Analog und digital
grenzt (Grenzfrequenz f g)

kodierte Signale
sein. Abtasttheorem von

Shannon ergibt die Abtast-

Abtastfrequenz
frequenz:

f
t 2,2 � n � f
ab
g in Hz

Bandbreite
n Zahl der Kanäle

f g Grenzfrequenz aller

Zykluszeit eines Schalter-

Kanäle (hier als gleich
umlaufes
angenommen)

Analog kodierte Signale:

Erforderliche Bandbreite
des Kanals:

B t 2,2 � n � f f
g
syn in Hz
sy
f n Frequenz des Syn-
chronisationssignals in Hz,
dient zur Synchronisation
der Schalterstellungen bei

Sender und Empfänger.

T

' 1/ ab
f

W Dauer der Signal-
abtastung in s

W so klein wie möglich, es
muss gelten: W T

'

Zykluszeit eines Schalter-

Analoge Übertragung
umlaufes:

a) Drei Signalverläufe
t
n � W n � t
t
um
sch
syn in s
b) Prinzip der Übertragung
t

Zeit zum Weiterschal-
c) Signalverlauf auf dem Über-
sch ten auf den nächsten
tragungskanal

Kanal
t syn Zeitdauer für die Schal-
tersynchronisation in s

300

Nachrichtentechnik

11

Richtfunktechnik

Digital kodierte Signale:

B t n � k � f f
g
syn in Hz

k Zahl der Bits pro Abtastwert

Es muss gelten:

' T ! k � bi

T t .

bi

T t Zeitdauer für ein Bit in s

Frequenzmultiplex-

Basissignale: 300 Hz bis
verfahren am Beispiel

3,4 kHz, Sicherheitsab-

Fernsprechnetz
stand bis 3,85 kHz zur Ka-

naltrennung.

Kanal 1 wird Träger mit

12 kHz, Kanal 2 Träger mit

16 kHz und Kanal 3 Träger

mit 20 kHz in Einseitenband-

Amplituden-Modulation mit

unterdrücktem Träger in

Normallage aufmoduliert:

Vorgruppe mit Frequenz-

bereich 12,3 bis 23,85 kHz.

Vier Vorgruppen werden

Trägern mit 84, 96, 108

bzw. 120 kHz in Einseiten-

band-Amplituden-Modula-

tion in Kehrlage aufmodu-

Beispiel: Fernsprechnetz
liert: Grundprimärgruppe.

a) Drei Fernsprechkanäle

Sie überträgt 12 Gespräche

b) Bildung der Vorgruppe
im Frequenzbereich 60,15

c) Grundprimärgruppe
bis 107,7 kHz gleichzeitig.

Erforderliche Kanalband-

breite:

B t n � B n � ' f

S
n Zahl der Basissignale

B

S Bandbreite eines Ba-
sissignals in Hz

' f Sicherheitsabstand zur

Kanaltrennung in Hz

11 Richtfunktechnik

Kennzeichen

Sender und Empfänger ortsfest. Frequenzbereich 300 MHz bis 30 GHz.

Quasioptische Übertragung, bis etwa 100 km. Zwischenstationen

(Relaisstationen) bei größeren Entfernungen. Mehrfachnutzung der

verwendeten Frequenz möglich. Verringert die Ausfallrate einer Verbin-

dung bei Parallelbetrieb zur Kabelverbindung. Relativ geringer Auf-

wand erforderlich. Verwendung von Parabolantennen als Richtan-

tennen.

Frequenzdiversity,

Dienen zur Erhöhung der Übertragungssicherheit.

Raumdiversity

Frequenzdiversity: Es wird das gleiche Signal über zwei parallele

Übertragungskanäle mit unterschiedlichen Frequenzen übertragen.

Raumdiversity: Die Übertragung geschieht räumlich auf zwei unter-
schiedlichen Wegen, wobei auch die Empfänger örtlich voneinander
getrennt sind.

301

Nachrichtentechnik

11 Nachrichtenübertragung über Satellit

Scatterverbindung

Keine optische Sicht zwischen Sender und Empfänger. Zwischensta-

tionen (Relaisstationen) nicht möglich (Telefonverkehr Bundesrepu-

blik-Westberlin zu Zeiten der DDR). Sende- und Empfangsantenne

werden auf einen gemeinsamen Punkt in der Troposphäre (1 bis

2 km hoch) ausgerichtet. Inhomogenitäten des Brechwertes reflektie-

ren einen sehr geringen Anteil in Richtung Empfangsantenne. Es

sind sehr große Sendeleistungen erforderlich.

Freiraumdämpfung

Freiraumdämpfung: Dämpfung zwischen Sende- und Empfangsan-

tenne, wenn beide als Kugelstrahler ausgebildet sind.

4S �

Freiraumdämpfungsmaß 0
a 20 �
l
lg
in dB

O

l Entfernung in m, O Wellenlänge in m

2 2

S

Antennengewinnmaß

4 r
q

Antennengewinnmaß G 10 � lg
dB

2

O

r Radius der Antenne in m; q Flächenausnutzungsfaktor, q | 0,6;

O Wellenlänge in m

Gesamt-Systemdämpfung

Gesamt-Systemdämpfungsmaß: ge
a s 0
a L
a ( S

G E

G )

a

0 Freiraumdämpfungsmaß in dB, siehe oben; a L Zuleitungsdämp-
fungsmaß in dB; G

S, G E Antennengewinnmaß der Sende- bzw.

Empfangsantenne, siehe oben

Antennen

Parabolantennen mit Durchmesser < 4,5 m. Halbwertsbreite: Winkel

gegenüber der Hauptstrahlrichtung, bei der der Antennengewinn auf

die Hälfte (–3 dB) abgesunken ist. Bei Parabolantennen liegt der

Winkel zwischen 0,5º und 4º. Die Halbwertsbreite sinkt mit steigen-

dem Antennendurchmesser, so dass große Antennen eine größere

Richtwirkung besitzen als kleine.

Schwund

Störungen der Ausbreitungsbedingungen. Interferenzschwund: Über-

lagerung von direkt empfangener und reflektierter Welle und damit

teilweise oder totale Auslöschung. Absorptions- und Streuverluste:

Streuung und Dämpfung durch Wassertropfen und Wasserdampf,

besonders für Frequenzen ab 10 GHz.

12 Nachrichten-

ZF-Durchschaltung: Um-
übertragung

setzung in eine deutlich
über Satellit

niedrigere Frequenz

(Zwischenfrequenz, ZF),

damit einfachere und

Transponder
energiesparendere Ver-

stärkung möglich.

Basisband-Durchschaltung:

Signal wird demoduliert,
dadurch Änderung der

Modulationsart möglich.

Antennen: Parabol- oder

Cassegrain-Antennen.

Polarisation: Horizontal und
vertikal, dadurch zwei Sig-
nale auf der gleichen Fre-

quenz übertragbar.

Energieversorgung: Solar-
zellen mit Pufferakkus.

302

Nachrichtentechnik

11

Lichtwellenleiter (LWL)

G Antennengewinn

2

§ � S �

2
r ·
q Flächenausnutzungsfaktor, q | 0,6

G q � ¨

¸

r Radius der Antenne in m

©

O

¹

O Wellenlänge in m

Antennengewinn

Darstellung der vom Satelliten auf die einzelnen Punkte der Erdober-

fläche abgestrahlten Leistung einschließlich des Antennengewinns.

Footprint

Es werden Linien gleicher Leistung eingetragen. Damit kann die Leis-

tungsabnahme vom Zentrum zu den Außenzonen abgelesen werden.

Die Beschriftung dieser Linien kann z. B. in EIRP, equivalent isotropi-

cally radiated power, in logarithmischem Maßstab mit der „Einheit“

dBW erfolgen.

GPS

GPS: Global Positioning System. Geografisches Positionsbestim-

mungssystem. Etwa 25 Satelliten umkreisen die Erde in ca. 20.000

km Höhe, die Umlaufzeit beträgt etwa 12 Stunden. Damit stehen im-

mer mindestens 4 Satelliten zum Empfang zur Verfügung. Sie senden

ihre Position und die genaue Zeit aus, so dass ein Empfänger auf der

Erde daraus seine genaue momentane Position bestimmen kann.

Dieses System ist zunächst für militärische Zwecke und Spezialan-

wendungen entwickelt worden, und die Positionsbestimmung ist mit

einem Fehler < 1 m möglich. Für den Privatanwender liegt der Fehler

bei etwa (30...100) m.

DGPS

DGPS: Differential Global Positioning System. Um den Fehler des

GPS zu verringern, wird an einem ganz genau vermessenen Ort ein

GPS-Empfänger aufgestellt. Er vergleicht seinen genau bekannten

Standort mit den Satellitendaten und gibt einen Korrekturwert an an-

dere Empfänger weiter, so dass der Fehler der Positionsbestimmung

auf wenige Meter sinkt. Einige Rundfunksender der ARD haben auf

UKW die Übermittlung dieser DGPS-Daten eingeführt, ebenso

Deutschlandradio auf Langwelle. DGPS wird z. B. angewendet zur

Positionsbestimmung und zur Verkehrsleitung von Autofahrern (Navi-

gationssysteme).

13 Lichtwellenleiter

(LWL)

Akzeptanzwinkel DA

1. D ! DA � Strahl 1,

keine Übertragung mögich

Numerische Apertur

AN = sin · DA

2. D D �

A

Grenzfall mit

Relative Brechzahl-

2

1
n

2
n
sin 1

D

A
differenz '

A

N

2

0
n

1
n

Reflexion und Brechung
n

i Brechzahlen, siehe Bild

3. D DA � Strahl 3,

Licht wird am Mantel re-
flektiert.

1
n 2
n

' |

1
n

303

Nachrichtentechnik

11 Lichtwellenleiter (LWL)

Moden

Moden: Diejenigen Lichtwellen, die im Lichtleiter ausbreitungsfähig

sind. Ihre Zahl hängt ab vom Kerndurchmesser, von der Lichtwellen-

länge und der numerischen Apertur.

Modendispersion,

Modendispersion, Impulsverbreiterung: Zeitliche Verbreiterung des

Impulsverbreiterung

Ausgangssignals gegenüber dem Eingangssignal durch die unter-

schiedlichen Laufzeiten der Lichtwellen bei den möglichen Eintritts-

winkeln D in den Lichtleiter (0 d D d DA). Bei impulsförmigem Licht-

signal am Lichtleitereingang spricht man auch von Impulsverbreite-

rung.

Mehrmoden-Stufenindex
a) Mehrmoden-Stufenindex:

Ausbreitungsfähige

Moden:

Mehrmoden-

2

§ S

Gradientenindex

� 0 r ·

M 2 �

� 2

2

S

1
n

¨

¸

2
n

© O ¹

Einmoden-Stufenindex

Impulsverbreiterung:

l

' t S | � 1
n � '

c

b) Mehrmoden-Gradienten-
index:

Die Brechzahl n im Kern

hängt vom Radius r ab:

1/ 2
x

ª
r

º

§ ·
n( r ) M
n

1

« 2'

»

¨

«

R ¸

© ¹ »

¬

¼

Ausbreitungsfähige Moden:

M G M /

S 2

Impulsverbreiterung:

2
l

'

t

' G | � 1
n �

c

2

c) Einmoden-Stufenindex:

Ausbreitungsfähige

Moden:

Lichtwellenleitertypen

E

M 1
a) Mehrmoden-Stufenindex

Impulsverbreiterung:

b) Mehrmoden-Gradientenindex

'

|

� ' � l
c) Einmoden-Stufenindex

E
t

M O

O

Formelzeichen:

O Lichtwellenlänge
im
m
c Lichtgeschwindigkeit
in m/s
l Lichtleiterlänge in m
r 0 größter Kernradius in m

'O Linienbreite der

Lichtquelle in m

M O Dispersion in s/(m2),
hängt von O ab

304

Nachrichtentechnik

11

Funkmesstechnik – Radar

Daten von Lichtwellenleiterkabeln

Leiterart

Kern-

Mantel-

Dämp-

Disper-

Bitrate

Impulsver-

durch-
durch-
fung bei sion in
bei 1 km breiterung

messer
messer

850 nm ns/km

Länge
bei 1 km

in �m
außen,
in dB/km
in Mbit/s Länge in ns

in �m

Mehrmoden-

50...200 100...600

5...30 40...50

|

Stufenindex

60

10...100

Mehrmoden-

Gradienten-

50 150

3...10

1...2

| 600

0,1...1

index

Einmoden-

4...10 12,5 2...5

0,1...0,2 | 1000

< 0,005

Stufenindex

14 Funkmess-

technik – Radar

Radarquerschnitt Se

Auch Rückstreu- oder Echoquerschnitt.

g � S

P

W

Strahlungsdichte in W/m2 am reflektie-
e

S
in

2

4 � S � r

2
m

renden Körper (Gegenstand), verursacht

durch die vom Sender ausgesendete

Leistung P S.

g Antennengewinn

P S Senderleistung in W

r Abstand Sender – Körper in m

Radarquerschnitt A

O Wellenlänge des Radarsignals in m.

2
e

4S � pl

A

A |

Vor.: Reflektierender Körper mit ebener
e

2

O

Fläche A pl und Abmessungen >> O, Ra-

darstrahl trifft senkrecht auf.

Reflektierte Strahlungs-

Anteil von S e, der vom Körper reflektiert
e

A � e

S

W
dichte an der Sende-
wird und an der Sendeantenne ankommt.

S

S
in

2

4 � S � r

2
m
antenne

P

Reichweite

S Senderleistung in W

2

P A A

A

S e
r

4

e Radarquerschnitt in m2
max

2

A Wirkfläche der Empfangsantenne in m2

4SO kTBF r

S

O Wellenlänge des Radarsignals in m

k Boltzmann-Konstante

T absolute (thermodynamische) Tempe-

ratur in K

B Bandbreite des Radarsignals in Hz

F Rauschzahl des Empfängers

S

r Störabstand

Primärradar

Der Körper reflektiert passiv den Radar-

Geringe Amplitude

strahl.

Sekundärradar

Ein im Körper eingebauter Transponder

Sichere Signalerken-
antwortet auf ein Codewort des Senders
nung, geringere Or-
mit einem eigenen Sender.

tungsgenauigkeit

305

Nachrichtentechnik

11 Elektroakustik – Grundbegriffe

15 Elektroakustik –

Grundbegriffe

Schall

Mechanische Energie in Form von

Schwingungen und Wellen eines elasti-

schen Mediums

Hörschall, Infraschall,

Hörschall: Schall im Frequenzbereich

Ultraschall
des menschlichen Hörens, ca. 16 Hz

bis 16 kHz

Infraschall: Schall unterhalb ca. 16 Hz

Ultraschall: Schall oberhalb ca. 16 kHz

Beispiel: Maschinen-

Geräusch

Schallsignal, das meistens ein nicht geräusch

zweckbestimmtes Schallereignis cha-

rakterisiert

Schall-Kennimpedanz W0;

Widerstand, den das Medium der
kg

�

Wellenwiderstand

Schallwelle entgegensetzt

0

W
c U in

2
m � s

c Schallgeschwindigkeit in m/s

U Dichte in kg/m3

W 0 = 413 (N s)/m3 in Luft bei Normal-

druck und 20 0C.

Die Schallkennimpedanz heißt Wellen-

widerstand, wenn das Medium verlust-

frei ist (Wellenwiderstand reell).

Schalldruck in N/m2

Durch die Schallschwingung hervorge-

1 μbar

1

2

10 N/m

rufener Wechseldruck p. Der Praxis an-

1

10 Pa

gepasst: Angabe in �bar.

Schallschnelle v

Geschwindigkeit, mit der sich die Ato-
p
m

me bzw. Moleküle durch den Schall-
v Z � s
in

W
s

druck um ihre Ruhelage bewegen.

0

Z Kreisfrequenz in 1/s

s Schwingweg der Schallquelle in m

p Schalldruck in N/m2

W 0 Schallkennimpedanz in kg/(s m2)

Schallgeschwindigkeit c

Geschwindigkeit, mit der sich die

E

Schallwelle fortpflanzt.

c
in m/s

U

E Elastizitätsmodul in N/m2

U Dichte in kg/m3

c = 340 m/s in Luft (Normaldruck, 20 ºC)

Schallintensität J

Produkt aus Schallschnelle und Schall-

2
p

druck oder Quotient aus Schalleistung

J v � U
in W/m2

W

und Fläche.

0

Schalleistung Pak

Produkt aus Schallintensität J und Flä-
ak

P

J � A in W
che A.

306

Nachrichtentechnik

11

Vermittlungstechnik – Verkehrstheorie

Hörschwelle

Die Hörschwelle ist der Schalldruck,

4
p

�

�bar

0

2 10
den das Ohr gerade noch wahrnehmen

kann. 1 Pa = 10 Pbar.

Schallpegel

Logarithmisches Verhältnis des tat-

sächlichen Schalldruckes p 1 zu einem

Bezugs-Schalldruck p b. Die Bezugs-

größe p

b ist anzugeben.

Schalldruckpegel L

Logarithmisches Verhältnis des tat-
p
p

1
p

L 20 � lg
in dB

sächlichen Schalldruckes p 1 zum
p

Schalldruck der Hörschwelle

0

4

�

P

0
p

2 10
bar

Elektroakustischer
p Schalldruck in Pa
p

Pa

B
in

Übertragungsfaktor

U elektrische Spannung in V

S

U

V
für Schallsender

(Lautsprecher) BS

Elektroakustischer
p Schalldruck in Pa

U

V

Übertragungsfaktor

U elektrische Spannung in V. Maß

E

B
in

p

Pa
für Schallempfänger
für die „Empfindlichkeit“, z. B. Kon-

(Mikrofone) BE
densatormikrofon:

B E | 1 mV/Pa

16 Vermittlungs-

technik –

Verkehrstheorie

Verkehrsmenge Y
c Zahl der Belegungen

Y c � m

T in Erl h

T m mittlere Belegungsdauer in s

Verkehrswert yv

T Beobachtungsdauer in s
y v Y / T c � m

T / T in Erl

Angebot A

C A Zahl der Belegungen bzw. Bele-

A = a

C � m

T

gungsversuche

T

m mittlere Belegungsdauer in s

Leistung y

Maximaler Verkehrswert einer Anlage.

y C y � m

T

C y Zahl der maximal möglichen Bele-

gungen

T m mittlere Belegungsdauer in s

Verlustsystem,

Das Angebot übersteigt die Leistung.

R A y ( a

C C y ) � m

T

Restverkehr R

Verlust V

V R / y

Mittlere Wartedauer T

Wartezeitsystem: Eine momentan nicht T T

/ C

W
w
wges
w

herstellbare Belegung wird solange in

einer Warteschleife gespeichert, bis sie

durch eine freiwerdende Einrichtung

durchgeführt werden kann.

T wges Wartezeit aller wartenden Belegun-
gen zusammen

C W Anzahl der verzögerten Belegungen

307

Nachrichtentechnik

11 Kommunikations- und Datennetze

17 Kommunikations-
und Datennetze

17.1 Lokale Kommu-

nikations- und

Datennetze, LAN

Netzstrukturen

a) Stern, b) Ring, c) Bus

Eigenschaften

Sternstruktur

Kennzeichen

Zentralrechner (Server) und Einzelrechner

Vorteile

Relativ hohe Übertragungsrate – Keine Systemstö-

rung, wenn Einzelrechner oder Leitung ausfällt – Mit
wenig Aufwand um weitere Einzelrechner erweiterbar

Nachteile

Bei Ausfall des Zentralrechners fällt gesamte An-
lage aus – Der Zentralrechner muss bei großen

Netzen sehr leistungsfähig sein.

Maximale Über- 2...100 Mbit/s, auch abhängig vom verwendeten
tragungsrate

Verbindungskabeltyp

Maximale Zahl

>> 100, hängt von der Leistungsfähigkeit des Zen-
der Teilnehmer tralrechners ab.

Verbindungs-

Koaxialkabel; UTP; STP; Lichtwellenleiter 1)

kabel

Steuerung Zentralrechner

Ringstruktur

Kennzeichen

Einzelrechner in geschlossener Ringform mitein-
ander verbunden

Vorteile

Kein Zentralrechner erforderlich – Zugriff auf an-
dere Einzelrechner relativ einfach

Nachteile

Störung des Betriebes bei Ausfall eines Einzel-
rechners oder Kabels (lässt sich mit einigem Auf-
wand minimieren).

Maximale Über- ca. 16 Mbit/s (theoretisch), 1Mbit/s praktisch (kri-
tragungsrate
tisch: Übergang Ring auf Rechner)

Maximale Zahl
ca. 100
der Teilnehmer

Verbindungs-

Koaxialkabel; UTP; STP 1)

kabel

Steuerung Token-Ring-Struktur

308

Nachrichtentechnik

11

Kommunikations- und Datennetze

Busstruktur ohne File-Server

Kennzeichen

Anschluss der Einzelrechner an einen Systembus,

kein Zentralrechner

Vorteile

Zusätzliche Einzelrechner leicht einfügbar

Nachteile

Zunehmende Zahl von Einzelrechnern verringert

die Übertragungsrate – Bei Kabeldefekt fällt ge-

samte Anlage aus.

Maximale Über- 10 Mbit/s; 100 Mbit/s vorgesehen

tragungsrate

Maximale Zahl
ca. 100

der Teilnehmer

Verbindungs-

UTP; STP 1); Koaxialkabel 2)

kabel

Steuerung

Einzelrechner untereinander. Ethernet-

Spezifikation

Busstruktur mit File-Server

Kennzeichen

Anschluss der Einzelrechner an einen Systembus,

mit File-Server (Zentralrechner)

Vorteile

Zusätzliche Einzelrechner leicht einfügbar – File-

Server stellt häufig benötigte Daten zur Verfügung,

d. h. Anlage einfach erweiterbar mit neuen Daten.

Nachteile

Zunehmende Zahl von Einzelrechnern verringert

die Übertragungsrate – Bei Kabel- und Server-

Defekt fällt gesamte Anlage aus.

Maximale Über- 10 Mbit/s; 100 Mbit/s vorgesehen

tragungsrate

Maximale Zahl
ca. 100

der Teilnehmer

Verbindungs-

UTP; STP 1); Koaxialkabel 2)

kabel

Steuerung

File-Server und Einzelrechner. Ethernet-

Spezifikation

1)

UTP: Verdrillte Doppelader, nicht abgeschirmt, bis 4 Mbit/s; STP: Verdrillte Doppelader, abgeschirmt, bis 20 Mbit/s.

2) Bei den Koaxialkabeln haben sich für Ethernet bei Normalanwendungen die

50-:-Kabel UG-274 (Thinnet-Cable), doppelt abgeschirmt, und RG 58

(Cheapernet Cable), einfach abgeschirmt, durchgesetzt.

17.2 Öffentliche

Kommunikations-

und Datennetze

(Auswahl)

Fernsprechnetz

Historisch ältestes Kommunikationsnetz, zunächst zur Sprachübertra-

gung eingesetzt; heute kombiniertes Kommunikations- und Datennetz

(Sprachübertragung, Telefax, Internet, ...). Auf der Teilnehmerseite
leitungsgebunden oder in einem eng begrenzten Bereich (Umkreis ca.

300 m) leitungslos („Schnurlos-Telefon“).

309

Nachrichtentechnik

11 Optimierte Nachrichten- und Datenübertragung

ISDN

Integrated services digital network. Eigenschaften, Kenngrößen: Digita-

les Netz zur Übertragung von Sprache, Daten, Bilder, Text usw. Über-

tragung mit 64 kbit/s (s.u.) über vorhandenes Fernsprechnetz. Ev. er-

forderliche A-D- bzw- D-A-Umsetzer sind an der Schnittstelle Teilneh-

mer / Fernsprechnetz in die dort vorhandenen Endgeräte integriert.

Basisanschluss: Zwei B-Kanäle mit je 64 kbit/s für die Kommunikation

und die Daten, ein D-Kanal mit 16 kbit/s als Signalisierungskanal. Die

drei Kanäle werden im Zeitmultiplexverfahren bereitgestellt. Durch

Anhängen einer speziellen Ziffer an die Rufnummer kann ein Endgerät

gezielt angesprochen werden. Es sind u. a. folgende Zusatzdienste

integriert: Automatischer Rückruf, Anrufweiterschaltung, Rückfrage.

Mobilfunknetz

Besondere Bedeutung hat das Funktelefonnetz. Aktuelle länderüber-

greifende Funktelefonnetze: D1, D2, E1 (E-plus), O2. Ziel: Weltweite

Erreichbarkeit des Teilnehmers zu jedem Zeitpunkt. Übermittlung von

Sprache, Text, Bildern und Daten. Kombinierter Sender-Empfänger

klein und handlich: „Handy“.

Internet

Größtes Datennetz, auch zur Kommunikation geeignet. Protokoll:

TCP/IP. Kein „Zentralkomputer“, kein „Hauptkabel“. Alle Server sind

gleichwertig und gleichberechtigt. Beispiele für Leistungen: a) Elekt-

ronische Post (electronic mail, kurz: E-Mail): Beim Server wird ein

persönlicher Briefkasten eingerichtet, in dem die für den Empfänger

bestimmte Post abgelegt wird und vom Empfänger jederzeit abgeru-

fen werden kann. b) Laden von Datenblättern, Programmen und

Programm-Updates in den eigenen Rechner. c) Datenbanken nach

Informationen zu einem bestimmten Begriff durchsuchen. Um die

Suche zu erleichtern, gibt es spezielle „Suchmaschinen“ (z. B.

Google). d) Diskussionsforen. e) Spiele laden und mit anderen Teil-

nehmern spielen. f) Ware einkaufen.

18 Optimierte

Nachrichten-

und Daten-

übertragung

18.1 Quellenkodierung

Ziel, Maßnahmen

Die Information der Quelle enthält neben der „eigentlichen“ Informati-

on noch zwei weitere Anteile:

1. Redundanz;

2. Irrelevante Information. Sie entsteht als Nebenprodukt und hat

keinerlei Verknüpfung mit der eigentlichen Information.

Aufgabe der Quellenkodierung ist zunächst die Beseitigung der irre-

levanten Information. Anschließend wird die vorhandene Redundanz

so weit wie möglich reduziert, weil sie in der Regel zur Fehlererken-

nung und -korrektur nicht optimal geeignet ist. Dazu wird die mittlere

Kodewortlänge durch die folgenden zwei Maßnahmen minimiert:

1. Je größer die Auftrittswahrscheinlichkeit eines Zeichens oder einer

Zeichengruppe ist, desto kürzer ist die Kodewortlänge.

2. Es werden nicht einzelne Zeichen, sondern Zeichengruppen kodiert.

Mittlere Kodewortlänge l
l
k
m
i

Kodewortlänge (Anzahl der Binär-
stellen) des Zeichens bzw. der Zei-
m
l ¦ i l � p i x in bit
chenfolge x
i=1
i in bit
p( x i) Wahrscheinlichkeit für das Auftreten
des Zeichens x i

310

Nachrichtentechnik

11

Optimierte Nachrichten- und Datenübertragung

Bedingungen für

1. Eindeutigkeit: Den einzelnen Zei-

Ungleichung von Kraft:

die Kodierung
chen oder Zeichengruppen dürfen nur
k

– l
solche Kodierungen zugeordnet wer-
i

2
d 1

¦
für Binärkode

Ungleichung von Kraft
den, die Endpunkte im Kodebaum
i=1

sind. Andernfalls kann die empfange-
l i Kodewortlänge (Zahlen-

ne Bitfolge nicht eindeutig dekodiert
wert)

werden.

2. Existenz: Ein dekodierbarer Kode

existiert genau dann, wenn die Un-

gleichung von Kraft erfüllt ist.

Optimalkode nach Fano

1. Die Zeichen oder Zeichengruppen werden nach abnehmender

Wahrscheinlichkeit sortiert.

2. Die Liste wird durch einen ersten Teilstrich so in zwei Teile zerlegt,

dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten je Teil etwa 0,5 ist. Die

Elemente des einen Listenteils erhalten eine 0 als erstes Bit, die an-

deren eine 1.

3. Die Elemente des Listenteils mit der 0 werden wiederum durch

einen zweiten Teilstrich in zwei Teile geteilt, so dass beide etwa die

gleiche Wahrscheinlichkeitssumme erhalten. Der eine Teil erhält als

zweite Kodierung eine 0, der andere eine 1. Mit dem Teil, der als ers-

tes Bit eine 1 erhalten hat, wird genauso verfahren.

4. Das Prinzip wird solange fortgesetzt, bis nach einer Teilung nur

noch Einzelelemente übrig sind.

18.2 Kanalkodierung

Grundlagen
x Hamming-Distanz h: Sie gibt an, in wieviel Stellen sich die einzel-
nen (gleichlangen) Kodewörter minimal unterscheiden.

x Gewicht eines Kodewortes: Anzahl der Einsen im Kodewort.

x Gleichgewichtige Kodes: Jedes Kodewort enthält die gleiche Anzahl
von Einsen.

x Fehlererkennende Kodes: Es wird erkannt, dass ein übertragenes

Bitmuster falsch ist, es kann aber nicht ermittelt werden, welches

Bit falsch ist. Es muss deshalb eine erneute Übertragung gestartet
werden.

x Fehlerkorrigierende Kodes: Das falsch übertragene Bitmuster wird
als falsch erkannt und korrigiert. Eine erneute Übertragung ist nicht
erforderlich.

Die Anzahl der erkennbaren bzw. korrigierbaren Fehler ergibt sich aus
der Hamming-Distanz h:

x Zahl der erkennbaren Fehler (ohne Korrektur): h – 1.

x
h 1

Zahl der selbständig korrigierbaren Fehler:

für h = 1, 3, 5, ...;

2
h 1 für h = 2, 4, 6, ...

2

Bei einem Kode mit h = 3 kann man entweder zwei Fehler erkennen,
ohne sie zu korrigieren, oder einen Fehler erkennen und korrigieren.

x Blockkodes: Alle Kodewörter sind gleich lang.

x Faltungskodes: Die Kontrollbits werden nicht zu jedem einzelnen

Kodewort hinzugefügt, sondern während der Übertragung der Da-
ten gebildet und in geeigneter Form eingebaut. Die Eigenschaften
dieser Kodes werden in der Regel durch Simulation erfasst, weil die
mathematische Darstellung umfangreich ist.

311

Nachrichtentechnik

11 Optimierte Nachrichten- und Datenübertragung

x Systematische Kodes: Die ersten Stellen sind stets die Informati-

onsstellen, die restlichen enthalten die Prüfbits. Diese Kodes sind

vom Aufbau her übersichtlich.

x Zyklische Kodes: Die Kodewörter werden nach Rechenvorschriften

mit sogenannten

x Generatorpolynomen gebildet. Sie sind nicht übersichtlich, haben

aber den Vorteil, dass besonders bei langen Kodewörtern die Ko-

dierung und Dekodierung durch die Verwendung mathematischer

Algorithmen mit relativ niedrigem Aufwand möglich ist.

Maximum-Likelihood-

Der Empfänger empfängt das Zei-
p y j i x-opt t p y j i x zi-opt

Bedingung
chen y i und ordnet ihm das Zeichen

x i = x i-opt mit der größten vorhande-

nen Wahrscheinlichkeit zu.

Optimalfilter

Beispiel: Tiefpassfilter. Durch Ver-

Optimierungsvorschrift:

wendung dieses Filters wird der

2

2

2

G

G G

Frequenzbereich für das Nutz- und
ges

S

N Minimum
das Störsignal einschränkt.

mit

1.

2

G
f

S : Durch die Begrenzung der

2

G 2 � ) f
f

( ) d ;

³

Signalfrequenzen auf den Bereich

S

S

0... f
g
f
g wird das ungestörte Signal u S( t)

verfälscht, und zwar um so mehr, je
g
f
kleiner f

2

G � )

g gewählt wird.

N

2
f
f

³ N( ) d

2. 2

G

0

N : Der Bereich der Störfrequen-
zen wird ebenfalls auf den Bereich

0... f g begrenzt. Je kleiner f g gewählt
wird, desto geringer sind die Verfäl-
schungen von u S( t) durch das Stör-
signal.

312

Signal- und Systemtheorie

12

Grundbegriffe

1 Einführung

Bezeichnungen

System: z. B. Verstärker, Signal-Übertra-

Auch verwendete

gungsstrecke.

Schreibweisen:

h( t) Systemeigenschaften in Abhängig-

S( f ); S( j Z );
keit von der Zeit

H( f ); H( j Z )

Systemeigenschaften in Abhängigkeit von

der Frequenz:

H( f) bei der Fouriertransformation

Laplacetransformation:

H( s) bei der Laplacetransformation

Wegen Verwechslungs-

H( z) bei der z-Transformation
gefahr

s

1. F( s) statt S( s);

1( t) Eingangsgröße in Abhängigkeit von
der Zeit

2. f( t) statt s( t)

S f Eingangsgröße in Abhängigkeit von

1( )

der Frequenz, Fouriertr.

F

1( s) Eingangsgröße in Abhängigkeit von
der Frequenz, Laplacetr.

S

1( z) Eingangsgröße in Abhängigkeit von
der Frequenz, z-Transf.

s

2( t) Ausgangsgröße in Abhängigkeit von
der Zeit

Ausgangsgröße in Abhängigkeit von

S 2( f ) der Frequenz, Fouriertr.

F

2( s) Ausgangsgröße in Abhängigkeit von
der Frequenz, Laplacetr.

S

2( z) Ausgangsgröße in Abhängigkeit
von der Frequenz, z-Transf.

Verknüpfung von Ein-

Eingangs-

Ausgangs-

S ( f ) (

H f ) � S ( f )

gangs- und Ausgangs-
größe
größe

2

1
größen

System

2

F ( s) H( s) � 1

F ( s)

2

S ( z) H( z) � 1

S ( z)

s ( t )

(
h t) s ( t)

Zeitebene
s ( t

2

1

1 )

h( t)

s t

2( )

* Symbol für „Faltung“

Fourier

S ( f)

H( f) S f

( )

1

2

Frequenz- Laplace F ( s

1

) H( s) F s

2( )

ransformation
ebene

T
z

S ( z

1

)

H( z) S z

2( )

Rücktransformation

System mit zugeordneten Größen

2 Grundbegriffe

Linearität eines Systems

Für zwei Einzelsignale soll gelten:

xx

allgemein für Zuordnung

1
s a( t) xx 2a
s ( t ) ; 1
s b( t) xx 2b
s ( t )

dann gilt für das Summensignal:

Index 1: Eingangsgröße

Index 2: Ausgangs-
s t + s t xx s
t s
t

1a( )

1b( )

2a( )

2b( )

größe des Systems

Übertragungseigenschaft unabhängig

von der Amplitude

Stabilität eines Systems
lim ( 2
s ( t )) 0 für lim ( 1
s ( t )) 0

t of
t of

Zeitinvarianz eines

Für die Zuordnung s

W

1( t) xx s 2( t) folgt:

beliebige Zeit-

Systems
verschiebung

1
s ( t W ) xx 2
s ( t W ) .

Übertragungseigenschaft unabhängig
von der Zeit

313

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Formeln und Tabellen Elektrotechnik,

DOI 10.1007/978-3-8348-2023-5_12, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014

Signal- und Systemtheorie

12 Periodische nichtsinusförmige zeitkontinuierliche Signale

Übertragungsfunktion

Sie enthält die Eigenschaften des Systems

Definiert für die

in Abhängigkeit von der Frequenz, unab-

Fourier-, Laplace- und

hängig vom Eingangssignal.

z-Transformation

S ( f )

F ( s)

F ( z)

2

2

2

H( f )

; H( s)

; H( z)

S 1( f )

1

F ( s)

1

F ( z)

Spektralfunktion
f

Verknüpfung von Zeit-

( )

( ) � e j Z t

S f
s t
d t

³

,
und Frequenzebene

Spektraldichte S( f)

f

siehe Fouriertransformation

Leistungsspektral-

1

2

S ( f ) lim

S( f )

funktion S
ss

SS( f)

' t of ' t

3 Periodische

nichtsinusförmige
zeitkontinuierli-

che Signale

f
a

Reelle Fourierreihe
s( t)

�

Z

�

Z

0 Gleichanteil

0
a

( a
cos s
k t
b
in
k t )

¦

k
k
k = 1: Grundschwingung

k 1

oder

f

1. Harmonische

ˆ s � sin ( k Z t M )

¦ k
k
k = 2: 1. Oberschwingung

k 0
oder

Umrechnung:

2. Harmonische

2

2

ˆ
a
s a b ; M arctan k
usw.

k
k
k
k
k
b

T

An Sprungstellen (z. B.

1
a

� s( t) d t

³

;

Rechteckverlauf) geht

0

T
der Wert der Fourierreihe

0
gegen den arithmetischen

T

2

Mittelwert aus rechts- und

�

( ) � cos

Z d
k
a
s t
k t t

³

;

T
linksseitigem Grenzwert

0

T

2

�

( ) � sin

Z
d
k
b
s t
k t t

³

T 0

Symmetrie-Eigenschaften

1. Gerade Funktion, d. h. s( t) s( t

) :

T / 2

�

2

1.

0
k
b
für alle k ; 2. 0
a
s( t ) d t

³

;

T 0

T / 2

4

3.

( ) � cos

Z d
k
a
s t
k t t

³

T 0

2. Ungerade Funktion, d. h. s( t ) s( t

) :

T / 2

4

� 1.

�

Z

0
a 0 ; 2.

0
k
a
für alle k ; 3.

( ) sin
d
k
b
s t
k t t

³

T 0

314

Signal- und Systemtheorie

12

Nichtperiodische zeitkontinuierliche Signale

3. s( t T / 2) s

( t) :

� 1. a
und b
für alle k;

2

0
k

2

0
k

T / 2

4

2.

�

Z

2
a k1
s( t ) ^cos (2k 1) t` d t

³

T

0

T / 2

4

3.

�

Z

2
b k1
s( t ) ^sin (2k 1) t` d t

³

; 4. 0
a 0 .

T 0

4. Gleichzeitig erfüllt: s( t) s( t

) und (
s t T / 2) s( t) :

�

1.

0
k
b
und 2
a

0
k
für alle k,

T / 4

8

2.

�

Z

2
a k1
s( t ) ^cos (2k 1) t` d t

³

T 0

5. Gleichzeitig erfüllt: s( t) s

( t

) und s( t T / 2) s( t) :

� 1. a

,

0
b
für alle k;

0

0
k
a
und 2

0
k

T / 4

8

2.

�

Z

2
b k1
s( t ) ^sin (2k 1) t` d t

³

T

0

f

T

Komplexe Fourierreihe

1
s( t )

C � e jk Z t

¦
jk Z t
k
mit C
s( t ) � e
d
k
t

³

T
f

0

1

(Komplexes) Amplituden-

2

2

C

� a b ; ak 2�ReC ; k
b 2

� ImC
k
k
k
k
k
spektrum

2

(Komplexes) Phasen-

S

) M
a

M
k
k

;
arctan k
k

spektrum

2
k
b

4 Nichtperiodische

zeitkontinuierli-

che Signale

4.1 Fourier-

transformation

f

Symbolische
j Z t

Fouriertransformation

S( f )

s( t) � e
d t

³

,

Schreibweise:

f

S( f ) xx s( t)

siehe Spektralfunktion

f

Symbolische

Fourierrücktransformation
j 2

( )

( ) � e S ft
s t

S f
d f

³

Schreibweise:

f
s( t ) xx S( f )

Amplitudenspektrum,

X( f )

X( f ) Imaginärteil

Phasenspektrum

S( f ) ; M( f ) arctan

R( f )

und R( f ) Realteil
von S( f )

315

Signal- und Systemtheorie

12 Nichtperiodische zeitkontinuierliche Signale

Eigenschaften

1. Multiplikation mit einer Konstanten k: k � s( t ) xx k � S( f ) 2. Addition zweier Funktionen: s ( t ) s ( t ) xx S ( f ) S ( f ) 1

2

1

2

3. Zeitverschiebung: s( t) xx S( f ) � s( t t

0 ) xx

0

( ) � e j t

S f

Z

4. Frequenzverschiebung: S( f ) xx s( t ) � S( f f ) xx 0

( ) e j t
s t

Z

�

0

Korrespondenztabelle
s( t)

S( f)

G( t): Stoßfunktion, G-

1

Funktion, Dirac-Impuls

1

G f , Dirac-Impuls

V( t): Sprungfunktion

1 �G f

1

+

2
j 2S � f
sin Z0 t

1 G f G

0
f
f 0 f

2 j
cos Z0 t

1 � G f G

0
f
f 0 f

2

V t � sin Z

� S

0 t

0
f

2

2S � f 2 2S � f 2

0

1

� G f

G

0
f
f 0 f

4 j

V t � cos Z

� � S

0 t
j f 2

2S � f 2 2S � f 2

0

1

� G f

G

0
f
f 0 f

4

V – /

� e t T
t

� sin Z t

2S � f � T

0

0

T �

j 2S � f � T+ 2

1 2S � 0 f � T 2

Re( T) > 0 *)

V - /

� e t T
t

�

Z t
j 2S � f � T +1

0
cos T �

j 2S � f � T+ 2

1 2S � 0 f � T 2

Re( T) > 0 *)

s t 1 für T t T
si
n 2S � f � T

2 �

s t 0 für t T

, t ! T

2S � f

Rechteckimpuls
s
t
t 1

; t T

4 °

S � f � T 2
sin

½°

T

� ®

¾

T °

2S � f

¯

°¿
s t

;

0 t ! T

Dreieckimpuls

§ S� ·
sin 2S � f � T

1
s
t
t cos2¨

¸ ;
t T

�

© 2� T ¹

2S � f

1 2 � f � T 2
s t ;

0 t ! T
cos2x-Impuls

t /
e T
s t

; t ! 0

T

, Re( T) > 0 *)

s t 0 ; t 0

1 j 2S � f � T

Exponentialimpuls

316

Signal- und Systemtheorie

12

Nichtperiodische zeitkontinuierliche Signale

Beispiele für Impuls-

Impulsantwort

S(f)

antwort

- j 2S f� t�

sin 2S � g
f � t t 0

S f

0

U � e

; f f

2 U � f �

0
g

Idealer Tiefpass,

0
g

2S � g
f � t t 0

S f 0 : f ! f

Grenzfrequenz f
g
g

2 U � �

S

0 f
g si 2 � g f � ^ t t

0` )

Idealer Tiefpass, Grenz-

frequenz f g

Idealer Hochpass,

G t t

- j 2 �

S f t�

0 2 U 0 � g
f �

S f U 0 � e

0 ; f ! f g

Grenzfrequenz fg

sin 2S � g
f � t t 0

S f

�

;

0 f f g

2S � g
f � t t 0

Idealer Hochpass, Grenz-

G t t
frequenz f

0 2 U 0 � g
f � si
g

)

2S � f � t t
g

0

2 U

S f

- j 2S � f � t

Idealer Bandpass, Grenz-

0

� sin ^S �

0

U � e

;
g2
f
g1
f � t t 0 `

0

S � t t 0

frequenzen fg1 und fg2
g1
f
f g2
f

ªcos

¬

^S

º

�

� g2
f
g1
f � t t 0 `
f
f
f

¼
g2
g1

S f 0 im übrigen Be-

reich

Idealer Bandpass,

Grenzfrequenzen f g1, f g2

4.2 Laplace-

transformation

Laplacetransformation
f

Symbolische

� e s� t

F s
f t

d t

³

Schreibweisen:

0

F( s) xx f( t)

0

F( s) L^ f ( t `

)

+: Die untere Integrationsgrenze ist der

rechtsseitige Grenzwert von f( t) für t o 0 .

Laplacerücktransformation

D jf

Symbolische

1
s� t

f t

�

F s � e d s

³

Schreibweisen:

2 j S

D jf
f( t) xx F( s)

1
f ( t )

L

^ F( s `)

Eigenschaften

1. Multiplikation mit einer Konstanten K: L^ K � f t ` K � L^ f ( t `

)

2. Transformierte der Summe zweier Zeitfunktionen

L^ 1 f( t) 2
f ( t `

) L^ 1 f( t `

) L^ 2
f ( t `

) 1

F ( s) 2

F ( s)

3. Laplacetransformierte einer in der Zeitebene abgeleiteten Funktion:

d f ( t)½

L ®

¾ s � L^ f ( t `

) f (0 ) s � F( s) f (0 )

¯ d t

¿

4. Laplacetransformierte der n-ten Ableitung in der Zeitebene:

d n f t½

°

°
f t

n
n

®

¾ s � F s s � f
d
n

n 1

1

2
d f

L

( )

0
s

�

...

n
n 1

° d t
d t

¯

°
d t

¿

0

0

5. Laplacetransformierte des Integrals in der Zeitebene:

t

½

°

°

1
f 0

L ® f t
d t¾

³

� L^ f t `

°
s
s

0

°

¯

¿

317

Signal- und Systemtheorie

12 Nichtperiodische zeitkontinuierliche Signale

6. Produkt zweier Funktionen in der s-Ebene:

½

½

°

°

°

°
t

°

°

L ® f W � f t W

W

³ 1 2

1

F s �

L ® 1 f t

2
f t

2

F s

=

¾
d ¾

°

°

°

°

¯

Faltung

¿

0

°
°

¯

Faltungsintegral

¿

7. Dämpfung in der Zeitebene

L^ f t ` F s � L^ � e a� t
f t

` F s a

8. Zeitliche Verschiebung um 0

T :

L^ f t ` F s � L^

`

0 �

0 e T s
f t T

� F s

9. Endwert:

lim f t
lim

s � F s

t of
s o0

10. Anfangswert:

lim f t lim (
s � F s)

o
of

t

0
s

Korrespondenztabelle

F( s)

f ( t t 0 )

G

1

( t): Stoßfunktion, G-Funktion,

Dirac-Impuls

-
e a s

�

a ! 0

G t a

1

1, d. h. Sprungfunktion V t
s

1
t

2
s

1
n
t
n = 0, 1, 2,

n 1
s
n!

1
at
e
s a

1

at
t e

�

s a2

1

n
t
at

� e

s an+1
n!

1

1

at bt
e
e

� ; a z b

s
a
s
b
b a
e a� t
e b� t

1
b a � c a a b � c b

� � a z b z c
s
a
s
b
s
c
e c� t
a c � b c

1

1 � 1 at
e

s s a
a

1

1 � e a� t a � t 1

2

2
s � s a
a

318

Signal- und Systemtheorie

12

Nichtperiodische zeitkontinuierliche Signale

F( s)

f ( t t 0 )

1

1
at
at
e
a � t � e

s s a2

2
a

1

�

�

2

� e a t

2 � e a t
t
t

s s + a2

2

2

3

2

3
a
a
a
a

1

1
at
bt
b � e
a � e

a z b
s s
a s
b
ab
a � b a b

1
sin a � t

2

2
s a
a

1
sinh a � t

2

2
s a
a

1

1 cos a � t
s � 2

2
s a

2
a

1

1

ª a� t a

º

e

� sin cos
b � t
b � t
s a � 2

2
s b

2

2
a
b «
b

»

¬

¼

1

1

ªsin
a � t
sin
b � t º

a z b

2

2

s a � 2

2
s b

2

2
b
a «
a
b

»

¬

¼

1

�

e a t � sin b � t

s a2

2
b
b

1
e a� t
a b � t 1
a z b

� e b� t
s a s b2
a b2
a b2
e a� s

U �

; U Konstante

U t a
s
s

cos a � t

2

2
s a
s

cosh a � t

2

2
s a
s

�

�

; a z b
cos co
a t
s
b t

2

2

s a 2

2
s b

2

2
b a
s
t

� sin at
s a 2

2

2

2 a
s d

�

� e a t
d
d
a
s s a

a
s d

� e a� t

� e b� t
d
a
d
b

; a z b
s
a s
b

b a
s d
d

� e a� t � e b� t
a d
b d

; a z b

s s
a s
b
a � b
a � b a
b � a b

319

Signal- und Systemtheorie

12 Spezielle Signale

F( s)

f ( t t 0 )

s d

d a � e a� t

2 2
b d

s a 2 2
s b

�

2

2
a b

2 2 4
a � b b

� sin b � t )

a
d

) arctan ar
ctan

b
b

5 Spezielle

Signale

G( t):

Als Eingangsgröße F 1( s) an ein Systems

Definition:

Stoßfunktion, G-Funktion,
angelegt, ergibt die Ausgangsgröße F 2( s)

G ( t) o f für t 0 ;

Dirac-Impuls
direkt die Übertragungsfunktion des Sys-

tems:

G ( t) 0 für t z 0 ;

G

1

F ( s)

L^ ( t `

) 1 � H( s) 2

F ( s) /1
f

In der Technik nur näherungsweise reali-

G ( t) d t 1

³

sierbar, enthält ein sehr ausgedehntes
f

Frequenzspektrum, deshalb z. B. zur Er-

L Laplacetrans-

kennung von System-Eigenschwingungen
formierte

eingesetzt.

Verknüpfung mit der Sprungfunktion:

d (

V t)

G ( t)

d t

G( t):

In der Technik nur näherungsweise reali-

Definition:

Sprungfunktion
sierbar. Dient z. B. zur Erfassung der Sys-

V ( t) 0 für t 0 ;

temreaktion auf die größtmögliche Ein-

V ( t) 1 für t ! 0

gangsgrößenänderung pro Zeiteinheit.

Verknüpfung mit der Stoßfunktion:

t

V ( t)

G (W ) dW

³

f

Harmonische

Orthogonales Funktionensystem mit den

Darstellungen:

Schwingungen

Eigenschaften:

s ( t ) ˆ �

Z

1

1
s sin 0 t

T
bzw.

co m Z

�

Z

³

0 t
n 0 t
s cos

d t 0 für m z n
s ( t ) ˆ �

Z

2

2
s
cos 0 t

0

2S

T
mit Z

.

0
sin m Z

�

Z

³

T

0 t
sin n 0 t

d t 0 für m z n

T: Periodendauer

0
m 1, 2, 3, ...

T si m Z �

Z

³
n 1, 2, 3, ...

0 t
n 0 t
n cos

d t 0 für alle m, n

0

Es gilt:

Darstellung nach Euler in der komplexen
cos M sin (M S /2)

Zahlenebene:

j Z0
e
t cos Z

�

Z

0
t j sin 0
t

320

Signal- und Systemtheorie

12

Leistung, Faltungsintegral, Abtasttheorem

6 Leistung

Spannung und Strom

Wirkleistung P U � I � cos M

M Winkel zwischen U
periodisch, sinusförmig
und

I

U, I Effektivwert der Spannung bzw.

des

Stromes

Spannung und Strom

T

T

Periodendauer
nicht sinusförmig,

1

Wirkleistung P

� u( t) � i( t) d t

³

von u( t), i( t)

periodisch

T 0

U 0, I 0 Gleichanteil

Wirkleistung

U k, I k Effektivwert

f

der k-ten

P U �

�

�

M

0

0

I

U

I
cos

¦ k k
k

Harmonischen

k 1

7 Faltungsintegral

t

Kurzschreibweise:

Faltungsintegral

Definition: s( t )

W �

W

W

³ 1 s t 2 s d
s ( t ) s ( t )

1

2

0

* Symbol für Faltung

Anwendung: Die multiplikative Verknüp-

fung von Funktionen in der Frequenzebe-

ne (alternativ Zeitebene) entspricht der

Mit:

Verknüpfung über das Faltungsintegral in

der Zeitebene (alternativ Frequenzebene).

1

F ( s) xx 1
s ( t )

Beispiel Laplacetransformation:

2

F ( s) xx 2
s ( t )

1

F ( s) � 2

F ( s) xx

t

W �

W

W

³ 1 s t s 2 d s ( t) s ( t)

1

2

0

1
s t � 2
s t xx

s

1

F s p � 2

F p d p 1

F s

³

2

F s

0

8 Abtasttheorem

Abtasttheorem

Das abzutastende Signal darf nur (sinus-
f g höchste

(Shannon)

förmige) Frequenzanteile bis f g enthalten,

Signalfrequenz

erreichbar über Tiefpassfilter, so genann-
f ab Abtastfrequenz

tes Antialiasing-Filter. Für die Abtastfre-

Es muss gelten:

quenz f ab gilt dann:

Dauer der Abtastung

ab
f

2 � g f theoretisch

1/ ab
f

.

ab
f
t (2,2...4) � g f praktisch

Das abgetastete Signal kann ohne Infor-
mationsverlust wiederhergestellt werden.

321

Signal- und Systemtheorie

12 Nichtkontinuierliche (zeitdiskrete) Signale

9 Nichtkontinu-

ierliche (zeitdis-

krete) Signale

9.1 Diskrete Fourier-

transformation

(DFT)

Diskrete Fourier-

N-maliges Abtasten im Zeitbereich 0... T

T

T N ;
transformation, DFT
ab

/
im Abstand T ab:

,
m n 0,1, ..., N 1

N 1

§

�

·

2S m

S ¨

¸
s

¦ n � T - j 2S� m� n/ N

Abtastdauer

ab � e

ab

T

N �

©
ab

T ¹ n 0

DFT,

N 1

1

§ 2S � m ·

,
m n 0,1, ..., N 1

Rücktransformation
s n � T
j 2S � m� n/ N
ab

S

¦ ¨

¸ � e

N

N �

©
ab

T
m 0

¹

Verknüpfung von Stoß-

Signal am Systemausgang:

Index G :

funktion G( t) und Sprung

Stoßfunktion am

2
s n � a

T b 2
s n � a

T b 2
s n

1 � a

T

G

V
b

V( t) am Ausgang

V

Eingang

n

Index V :

�

P

2
s n a

T b

2
s �

¦
a

T b

V

G

Sprungfunktion am

P f

Eingang

Übertragungsfunktion

�
i. a. gilt:

H f

2
s n a

T b

n�
z

�
ab

T

H( f )

f ( n T )

1
s n � a

T b

T

Z
ab

1
s n� a

T b e jn ab

f

Übertragungsfunktion

*) Systemausgangs-

H f

�

�

¦

�

2
s n a

T

Z
b
ab
e jn T

n
signal bei Stoß am
ab

T

G

n f

*)

Eingang

1

f g höchste vorkom-

Darstellung in reeller

1 N
a

�
s

¦
mende Signalfre-

Form

0
m

N m 0
quenz

N 1

f ab Abtastfrequenz

2

§

2S

·
a

�
s � cos k �

� m

¦

¨

¸

T betrachteter Zeit-

k
m

N

©

N

¹
m 0
bereich

N 1

� k
f � T

2

§

2S

·
max
g
b

�
s � sin k �

� m

¦

k
m

N

¨

N

¸

©

¹
m 0

1 d k d k max ; k 1, 2, . .

f
k

Summenformeln

1
k 1
a

1
a P

¦
für a 1;
a P

¦

1 a
a

P

1

0

P 0
für a z 1
f
k
a
a P

¦
für a 1

1 a

P k

322

Signal- und Systemtheorie

12

Nichtkontinuierliche (zeitdiskrete) Signale

9.2 z-Transformation

Zweiseitige
f

S( z) xx s( n · T
n
ab)

z-Transformation

S z
s

¦ n ab

T � z

n f

Einseitige
f

S( z) xx s( n · T
n
ab)

z-Transformation

S z
s

¦ n ab

T � z

n 0

1
s( n · T

Rücktransformation
s nT

�

S z n 1

ab) xx S( z)

ab

� z
d z

³v

2 j S

P( z)

Stabilität

Übertragungsfunktion H( z)

; (

P z) Zähler-, Q( z) Nennerpolynom

Q( z)

System stabil, wenn gilt: 1. Zählergrad d Nennergrad, 2. Nullstellen

von Q( z) innerhalb des Einheitskreises

1. Multiplikation mit einer Konstanten K: K � s n � ab T x
x

Eigenschaften

K � S z

2. Addition zweier Zeitfunktionen: 1
s n � a

T b s 2 n � a

T b x
x

1

S z 2

S z

3. Verschiebung: s n �
o s n P � ab

T
ab

T xx S z ;

x
x
zP � S z

4. Faltung:

f

�

�

W �

�

W

1
s n a

T b s 2 n a

T b

1
s
a

T b 2
s n

�

¦
a

T b x
x
n f

( n 0)

1

S z � 2

S z

Korrespondenzen

f( t)

F( s)

F( z); t o n � T

V t

1
z

s
z 1
t

1
z

T �

2
s
z 2

1
t 2

2
z 1

2

T � z �

3
s
z 3

1
e at

1
z

s a
z e aT
e at
t �

1
z

T � e aT �

s a2
z e aT 2
sin Z

Z
sin Z0 � T

0 � t

0

�

2

2
z

s Z

2

0
z 2 � z � cos Z0

� T 1

323

Signal- und Systemtheorie

12 Zufällige (stochastische, nichtdeterministische) Signale

Korrespondenzen

f( t)

F( s)

F( z); t o n � T

cos Z
z cos Z0 � T

0 � t
s

�

2

2
z

s Z

2
z 2 � z � cos Z0

� T 1

0

e at � sin Z

Z
e aT � sinZ o � T

0 � t

0

2
z �

2

2
aT

2 aT

s a Z0
z 2� z�e

�cosZ0 � T e

e at � cos Z
s a
z-e aT � cosZ o � T

0 � t

z �

s a2

2

Z

2
aT

2 aT

0
z 2� z�e

�cosZ0 T

� e

G t nT

e nTs
n
z

10 Zufällige (sto-

chastische,

nichtdeterminis-
tische) Signale

Funktionale Abhängigkeit

Funktionale Abhängigkeiten können entweder nicht aufgestellt oder

nur mit den Gesetzen der Statistik beschrieben werden. Bei einem

Rauschsignal lässt sich der arithmetische Mittelwert für einen „sehr

großen“ Beobachtungszeitraum angegeben. „Sehr groß“: Idealwert

of; in der Praxis < f, d. h. technisch realisierbar mit vertretbarer

Unsicherheit. Eine Aussage darüber, ob bei einer Datenübertragung

das momentan gesendete Zeichen fehlerhaft ist, kann nur mit einer

gewissen Wahrscheinlichkeit erfolgen. Zur Gewinnung der statisti-

schen Daten wird die Beobachtung über längere Zeiträume einge-

setzt.

Beschreibung

Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Verteilung, Stichprobe

Verteilung: Funktionale Abhängigkeit. Verlauf und Kenngrößen durch

sehr häufiges Messen relativ gesichert. Beispiel: 5 % fehlerhafte Ge-

räte bei der Fertigung.

Stichprobe: Es sind nur einige wenige Werte aus einer Gesamtmenge

vorhanden, daraus ist ein Schluss auf gewisse statistische Eigen-

schaften der Gesamtmenge möglich. Beispiel: 100 willkürlich ausge-

wählte Geräte aus einer Fertigung von 10000 Stück, davon sind 2

fehlerhaft; wie wahrscheinlich ist der Schluss „2 % Ausschuss bei der

gesamten Fertigung“?

Wahrscheinlichkeitsdich-
h( x): Relative Häufigkeit für das Auftreten des Wertes x, gegeben als te(-funktion), Häufigkeit
diskrete Werte oder stetige Funktion.

Summenfunktion, Sum-

H( x): Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße x = x 0 bzw. N = x 0
menhäufigkeitsfunktion
kleiner oder höchstens gleich dem betrachteten Wert x ist.

N

w x 0 d N H N
h

¦ x für diskretes h x bzw.

x 0

x
w x 0 d x H x
f y d y

³
für stetiges h x
y f

324

Signal- und Systemtheorie

12

Zufällige (stochastische, nichtdeterministische) Signale

Werte oberhalb der

N

Summenfunktion:

w x 0 ! N 1 w x 0 d N 1
h

¦ x bzw.

w( x
x 0

0 ! x ) bzw.

x
w( x0 ! N)

w x 0 ! x 1
f y
d y

³

y f

Linearer Mittelwert
f
oder Erwartungswert x

1 N
x
x � h

¦ x bzw. x x � h x d x

³

einer Verteilung

N x 0
f

Linearer Mittelwert

1 N
oder Erwartungswert x
x

¦ n x

N
einer Stichprobe
n 1

Geometrischer Mittelwert

N
x g

1
x � x 2 � ... � N
x für diskrete Werte i x, 1 d i d N
xg

Median oder Zentralwert

Die diskreten Werte sind der Größe nach geordnet. Ungerade Anzahl

von Werten: Der in der Mitte liegende Wert ist der Median. Gerade

Anzahl von Werten: Der arithmetische Mittelwert der beiden mittleren

Werte ist der Median.

N
f

2

Varianz V2 einer Verteilung

2

V ¦ x x � h x bzw. 2

V
x x � h x d x

³

x 0
f

1

N

Varianz V2 einer Stichprobe
s

¦ x x2

2

N 1 n 1

Standardabweichung s

2
s s

Stationärer Prozess
h x
h x

Die Wahrscheinlichkeitsdichte und die Mittelwer-
t t
t t

1

2
te sind unabhängig vom Zeitpunkt ihrer Bildung.

Ergodischer Prozess

Mehrere gleichzeitig ablaufende Prozesse ergeben zu einem gemein-

samen Zeitpunkt die gleiche Wahrscheinlichkeitsdichte wie ein einzel-

ner Prozess zu mehreren Zeitpunkten o stationärergodisch. Voraus-

setzung: Zahl der Proben sehr groß. Beispiel: Ein Wurf mit sechs

Würfeln oder sechs Würfe mit einem Würfel. Der Mittelwert der Au-

genzahl ist (nahezu) gleich, wenn sehr oft gewürfelt wird.

Autokorrelationsfunktion

Ähnlichkeit eines Signals s( t) mit sich selber in Abhängigkeit von der (AKF) )ss
gegenseitigen Verschiebung W:

T

1

)

W

�

�

W
ss
lim
s t s t
d t

³

T of 2 T

T

)

W
ss 0 für s( t ) orthogonal zu s( t W )

) W

2
ss

0 s a P, P: im Signal enthaltene mittlere Gesamtwirkleistung 325

Signal- und Systemtheorie

12 Zufällige (stochastische, nichtdeterministische) Signale

)

W
t )

W

W
ss

0
ss
z 0 , Maximum bei 0

lim ) W

2
ss
s , Quadrat des zeitlichen Mittelwertes

W of

f
f

Parsevalsche Gleichung

T
s t 2 d t

S f 2

�

ª

º

d f

³

³

� s

S

³ ¬ f 2

2

1
lim
d f

¼

T of 2 T

f
f

T

Spektrale Leistungs-

1
lim

� S f 2 ss

S f
dichte S

ss( f)

T of 2 T

f

2
s ³ ss

S f d f

f

1

Theorem von Wiener-

F^

)

W

F ^) W
ss

` ss

S f
ss

S f `
ss bzw.

Khintchine

F Fouriertransformierte, F–1 Inverse Fouriertransformierte

Die Fouriertransformierte der spektralen Leistungsdichte ist gleich der

Autokorrelationsfunktion und umgekehrt.

Kreuzkorrelations-

Ähnlichkeit des Signals s 1( t) mit dem Signal s 2( t) in Abhängigkeit von funktion (KKF) )s1s2
der gegenseitigen Verschiebung W:

T

1

)

W

�

�

W
s1s2
lim

³

1
s t 2
s t
d t

T of 2 T

T

)

W für alle W � Signale voneinander unabhängig (unkor-

s1s2( )

0

reliert). Beispiel: Zwei Rauschsignale aus unterschiedlichen Quellen.

)

W W
s1s2 maximal, wenn für

0 gilt: 1
s t ~ 2
s t W0 .

Anwendung: Gewinnung eines Nutzsignals aus einem verrauschten

Gesamtsignal bei Mehrfachübertragung (Bilder der Marssonde).

Verteilungen

Binomialverteilung

Kennzeichen: Zwei sich einander ausschließende Ereignisse möglich:

E, E . Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von E: w E p ; für das Auftreten von E : w E 1 p q .

Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei N-Proben (Versuchen) das Ereig-

nis E mit der Wahrscheinlichkeit w E p genau x-mal eintrifft:

§ ·
w x x h x

N
x

N x

0

¨ ¸ � p � q

© x ¹

N § N ·

Summenfunktion: w x d x H x
m

N m

0

¦ ¨ ¸ p � q

© m
m 0

¹

N

§ N ·

Mittelwert:

x

N x
x
x �

¦ ¨ ¸ � p � q

N � p

© x
x 0

¹

Standardabweichung: s N � p � q

Beispiel: Fertigung mit 5 % Ausschuss. 50 Geräte einzeln entnommen,
geprüft und zurückgestellt. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, genau

5 fehlerhafte Geräte zu finden. N 50, 0
p ,05,
q 0,95, x 0

5

326

Signal- und Systemtheorie

12

Zufällige (stochastische, nichtdeterministische) Signale

§50·

w x 5 h5

5

45

0

¨ ¸ � 0,05 � 0,95 0,0658 .

© 5

¹

Poissonverteilung

Wahrscheinlichkeit, dass in einem Zeitintervall genau x 0 Ereignisse

x
a

stattfinden: w
a
x 0 x h x

� e ; Kennzeichen: a x .

x!

x

m
a

H x

� e a

¦

m!

m 0

Beispiel: Übertragung von Bitfolgen. Im Mittel wird jede Millisekunde

ein Bit übertragen ( a x 1; x : Mittelwert, Erwartungswert). Es soll die Poissonverteilung gelten.

a) Wahrscheinlichkeit, dass in 1 ms kein Bit übertragen wird:

1

w x 0 h0

0

1

0

� e 0,37 .

0!

b) Wahrscheinlichkeit, dass in 1 ms genau 2 Bit übertragen werden:

w

1
x

0 2 h 2

2

1

� e 0,18 .

2!

c) Wahrscheinlichkeit, dass in 1 ms mehr als 3 Bit übertragen werden:

w x 0 ! 3 1 w x 0 d 3 1 H 3 1 0,98 0,02

Normal- oder

Häufig angewendet. Es sind viele unterschiedliche Einflussgrößen

Gaußverteilung
wirksam, die sich gegenseitig nicht beeinflussen. Siehe dazu unten:

Zentraler Grenzwertsatz der Statistik. Es gibt zwei Arten der Darstel-

lung: Symmetrisch zum Mittelwert x : x,V -Normalverteilung; sym-

metrisch zum Koordinatenursprung: (0,1)-Normalverteilung.

2

§

( x,V ) -Normal- oder

1 x x ·

�¨

¸
h x

1

2
e

© V ¹

�

Gaußverteilung

V � 2S

2
x

1 § y x ·

1

�¨

¸

w x d x H x

2 © V ¹

0

�
e
d y

³

V � 2S y f

x Erwartungswert; V Standardabweichung.

1

(0,1)-Normal- oder

�
x x
h x

2

1
y

2

� e
mit y

Gaußverteilung

2S

V

y

H y

1

2
v / 2

e

d v

³

2S

f

Wendepunkte bei r y .

Im Bereich 1
d y d 1
liegen 68,3 % der Werte (V-Grenze);

im Bereich 2
d y d 2
liegen 95,5 % der Werte (2V-Grenze);

im Bereich 3
d y d 3
liegen 99,7 % der Werte (3V-Grenze).

Zentraler Grenzwertsatz

Die Summe aus N voneinander unabhängigen stochastischen Vor-
der Statistik
gängen mit untereinander gleicher, aber beliebiger Wahrscheinlich-
keitsdichte strebt für N o f gegen die Gaußverteilung.

327

Signal- und Systemtheorie

12 Zufällige (stochastische, nichtdeterministische) Signale

Rauschen

Rauschquellen

Aufteilung eines rauschenden Widerstandes in einen rauschfreien

Widerstand mit Rauschspannungsquelle in Reihe oder Rauschstrom-

quelle parallel, siehe Bild.

Rauschspannung am Widerstand R
u 4 kTBR

Rauschstrom im Widerstand i R 4 kTB / R

k Boltzmann-Konstante

23

1,38 10

�

Ws/K, T absolute (thermodyna-

mische) Temperatur in K

B Bandbreite (ausgewerteter oder berücksichtigter Frequenzbe-

reich) in Hz

R Widerstand in :

Schrotrauschen 2
i s 2 � q e � I � B

q e Elementarladung des Elektrons,

19

1,6 10

�

As; I Anoden- bzw.

Halbleiterstrom in A

B Bandbreite (ausgewerteter oder berücksichtigter Frequenzbe-

reich) in Hz

Zusammenschaltung von

Grundsätzlich werden die Quadrate der Rauschspannungen bzw. –

Rauschquellen
ströme addiert, deshalb gibt der Spannungs- bzw. Strompfeil (siehe

Bild) nicht die Richtung der Größe an.

Beispiel 1: Widerstandsrauschen und Schrotrauschen

Gesamt-Rauschstrom 2

2

2
i g i s i R 2 q e IB 4 kTB / R

Beispiel 2: Reihenschaltung von Widerständen. Gesamtwiderstand

(rauschfrei):

g

R 1

R 2

R ;Gesamtrauschspannung 2

2

2

Rg
u

R1
u

R2
u

; siehe Bild.

Beispiel 3: Parallelschaltung von Widerständen. Gesamtwiderstand

(rauschfrei):

g

R 1

R � 2

R /( 1

R 2

R ) ; Gesamtrauschstrom 2

2

2
i Rg R1
i
i R2

328

Signal- und Systemtheorie

12

Signalerkennung bei gestörter Übertragung

11 Signalerken-

nung bei gestör-
ter Übertragung

Periodizitäten des Nutz-

Das Gesamtsignal s g( t) besteht aus der Summe von Nutzsignal
signals bei gestörten
s t und Störsignal n t : g
s t s t n t . Das Nutzsignal ist Kanälen
periodisch. Beispiel: Mehrfachübertragung von Signalen über gestörte

Kanäle (Bilder von der Marssonde). Die Autokorrelationsfunktion von

)

W ) W )

W )

W )

W
g
s t führt zu: s s
ss
nn
sn
ns .

g g

)

W

)

W
sn , ns : Kreuzkorrelationsfunktionen, gehen wegen Unkor-

reliertheit von Nutz- und Störsignal mit wachsendem W gegen Null.

)nn geht mit wachsendem W gegen Null, sofern „echtes“ Zufallssignal.

)ss hat konstanten Wert im Abstand von der Periodendauer. Damit

nimmt das Verhältnis Nutz- zu Störsignal mit wachsendem W zu.

Signalangepasste Filter

Der Signalverlauf ist bekannt.

matched filter

H f k

� 1

S f , d. h., die Spektralfunktion vom Signal und die Über-

Optimalfilter
tragungsfunktion vom Filter müssen, bis auf eine dimensionsbehaftete

Konstante k mit dem Betrag 1, konjugiert komplex zueinander sein.

329

331

Sachwortverzeichnis

A

AB-Betrieb, Verstärker 117

Amplitudenspektrum 315

Abbildung durch Linsen 62

Amplitudenumtastung 288

Abbildungsmaßstab 63

Analoge Messverfahren 218

Abgeleitete SI-Einheiten 218

Analoge Regler 199

Ablaufkette 209

Analyse 67

Ablaufsprache AS nach S7-GRAPH,

Analytische Geometrie 36

SPS 216

Anfangspermeabilität 76

Ablaufsprache AS, SPS 215

Angebot 307

Ablaufsteuerungen mit SPS 208

Anionen 67

Abschirmung 228

Ankathete 31

Abschnürspannung, FET 102 f.

Anlaufmoment, Gleichstrommaschine 241

Absoluter Pegel 264

Anorganische Stoffe 67

Abtastfrequenz 300

Anpassung 275

Abtasttheorem 321

Anschlussbelegung 8051, Mikrocontroller

Abweichungsfortpflanzung 219

191

Abweichungsgrenzen 219

Anschlussbelegung, IC 172

Access Time, Speicher 186

Anschlüsse 8051, Mikrocontroller 190

AC-Eingangswiderstand, Bipolar-Transistor

Anschlussplan, Drahtbruchsicherheit, SPS

98

207

8051, Anschlussbelegung 191

Antennen 302

8051, Funktionsbild 191

Antennengewinn 303

8051, Speicherorganisation 192

Antennengewinnmaß 302

8085 CPU 182

Antiferromagnetismus 74
actio = reactio 53

Anweisungsliste AWL, SPS 202

Addierer, OP 119

A-Parameter 267

Addition, Dualzahlen 163

Äquivalente Umformungen 7

Adressbus 180

Arbeit 54

Adresse 180, 185

Arbeitsaufgaben, SPS 212

Aiken-Code 164

Arbeitspunkteinstellung

Akkumulator 181

– , Bipolar-Transistor 108

Aktionen, SPS 210

– , FET 113

Aktionsblock, SPS 210

Arbeitspunktstabilisierung

Aktionsgesetz 53

– , Bipolar-Transistor 108

Aktor-Sensor-Interface, ASI 231

– , FET 113

Akzeptanzwinkel 303

Argument 5

Akzeptor 72

Arithmetik 1

Algebraische Form 5

Arithmetische Folge 41

Algebraische Funktion 25

Arithmetische Reihe 43

Allgemeine Gleichung idealer Gase 58

Arithmetischer Mittelwert 219 f.

Alternierende Folge 41

Arithmetisches Mittel 4

Alternierende Reihe 43

Arkusfunktionen 34

ALU 181

Arkuskosinus 34

Amorphe Metalle 77

Arkuskotangens 34

Amplitudengang 290

Arkussinus 34

W. Plaßmann, D. Schulz (Hrsg.), Formeln und Tabellen Elektrotechnik,

DOI 10.1007/978-3-8348-2023-5, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014

332

Sachwortverzeichnis

Arkustangens 34

Basiswinkel 15

ARON-Schaltung 224

Bauformen

Arten von Ablaufsteuerungen 209

– , Elektronikbauteile 142

ASCII-Code 165

– , Motoren 242

ASIC 175

Baugrößen, Motoren 242

Astabile Kippstufe

Bausteinaufruf im OB1, SPS 216

– , OP 125

B-Betrieb, Verstärker 117

– , Transistor 123

BCD-Code 164

Asynchroner BCD-Zähler 171

Befehlsausgabe, SPS 210

Asynchroner Dualzähler 170

Befehlsvorrat 182

Asynchronmaschine 256

Befehlszähler 182

– , Kurzschluss 237

Befehlszyklus 182

Asynchronzähler 170

Belastung, Transformator 233

Atombau 65

Belastungsarten 254

Atom-Bindung 66

Beleuchtungsstärke 225

Atomhülle 65

Bemaßungsarten nach DIN 406 134

Atomkern 65

Bemaßung und Darstellung von Körpern

Aufgenommene Wirkleistung

134

– , Asynchronmaschine 237

Berichtigter Messwert 218

– , Synchronmaschine 241

Bernoulli-Gleichung 57

Auftrieb 57

Beschaltung einer SPS 201

Auftriebskraft 57

Beschleunigung 52

Ausbreitungskoeffizient 274

Beschränkte Folge 41

Ausdehnungskoeffizient 58

Beschränkte Funktion 25

Ausdehnung von Stoffen 58

Beschränkte Intervalle 4

Ausgangsgröße, Steuerungstechnik 199

Bestimmtes Integral 48

Ausgangskennlinien, Bipolar-Transistor 98

Bestimmungsgleichung 7

Ausgangsleitwert, FET 104

Bestimmungszeichen für Aktionen, SPS 210

Ausgangsreflexionsfaktor 280

Betrag 9

Ausgangsspannung, OP 118

Betriebsarten

Ausgleichsstrom 236

– bei Ablaufsteuerungen 209

Außenwinkel 11

– , Motoren 245

Austauschkräfte 74

Betriebsgrößen

Autokorrelationsfunktion 261, 325

– , Bipolar-Transistor 106

Avogadro-Konstante 64

– des Vierpoles, FET 104

Betriebskenngrößen 269

B

Betriebsmittel der Energietechnik 250

Ba-Ferrite 77

Beugung 61

Bahngeschwindigkeit 53

Beweglichkeit 68

Bahnmoment 73

Bewegungsenergie 55

Bandbreite 284, 291, 300

Bijektive Funktion 25

Bandfilter 294

Bildmenge 24

Bandpassfilter 290

Bildweite 63

Bandsperre 290

Binäre Logarithmen 3

Barometrische Höhenformel 57

Binäres System 157

Basen 67

Binomialverteilung 326

Basis 2

Binomische Formeln 1

Basisband-Durchschaltung 302

Biot-Savartsches Gesetz 88

Basisschaltung, Bipolar-Transistor

Bipolare Logikfamilien 176

101, 107

Bipolar-Transistor als Verstärker 105

Sachwortverzeichnis 333

Bistabile Kippstufe 122

Control-Flag 196

– , OP 126

Cooper-Paare 70

Bit 157

Coulombsches Gesetz 85

Bitorganisierter Speicher 185

Counter 196

Blechbemaßung 135

C-Parameter 267

Blindwiderstand der Hauptinduktivität,

Curie-Temperatur 74, 90

Transformator 234

Blockkodes 311

D

Blockkondensator 86

Dämpfungsfaktor 263

Blocksymbol nach DIN 149

Dämpfungskoeffizient 274

Bogenlänge 49

Dämpfungsmaß 262 f., 291, 294

Bogenmaß 17

Dämpfungsverzerrungen 262

Bohrsches Atommodell 65

Darstellung und Bemaßung von Körpern 134

Bohrsches Magneton 73

Daten 180, 257

Boltzmann-Konstante 64

Datenbus 180

Brechkraft 63

Datennetze 308

Brechung 61

Dauerkurzschlussstrom, Transformator 234

Brechungsgesetz 61

Dauermagnete 77

Brechungsindex 62

DC-Eingangswiderstand, Bipolar-Transistor

Brechzahldifferenz 303

98

Bremsgleichspannung, Asynchronmaschine

Deckfläche 20

238

Deemphase 287

Bremsgleichstrom, Asynchron-

Defektelektronen 69
maschine 238

Defektelektronenleitung 72

Brennweite 63

Definitionsbereich 24

– einer Linse in Luft 62

Deformationspolarisation 78

Brönsted 67

Dehnung 226

Bruchgleichungen 8

Dehnungsmessstreifen, DMS 226

Bruchrechnung 1

Dekadische Logarithmen 3

Brückengleichrichter 95

G-Funktion 320

– , B2 129

Deltamodulation 289

Brückenschaltung B 129

Delta-Sigma-Modulation 289

Burst-Signal 297

Demodulation 286

Buscheck-Diagramm 282

– bei FM 287

Bussystem 180, 229

Demultiplexer 157, 167

Byte 157

Dezimalzahlen 162

D-Flipflop 168

C

DGPS 303

Cardanische Formel 7

Diagonalen 13

Cassegrain-Antennen 302

Diagramme, Darstellung 148

Cavalierisches Prinzip 22

Diamagnetismus 74, 90

CELLFLEX-Kabel 277

Diamantgitter 66

Celsius 58

Dielektrika 77, 79

Chlophene 80

Dielektrischer Verlustfaktor 79

Chrominanzsignal 297

Dielektrizitätskonstante 78

CMOS-Familie 177

Dielektrizitätszahl 226

CMOS-Logikfamilien 176

Differenzialrechnung 41

CMOS-Schaltungen 174

Differenziationsregeln 45

Coderate 299

Differenzierbare Funktion 45

Codes 164

Differenzierer, OP 120

334

Sachwortverzeichnis

Differenz-Pulscodemodulation 289

Drehstromtransformatoren 235

Differenzspannung, OP 118

Drehzahl

Digitale Messverfahren 218

– , Asynchronmaschine 237

Digitale Regler 199

– , Gleichstrommaschine 241

Digitalmultimeter 221

– , Synchronmaschine 241

Digitaltechnik 157

Drehzahlmessung 227

Dimensionierung von Schaltungen

Dreiecke 11

– , Bipolar-Transistor 109

Dreieck-Schaltung 249

– , FET 113

Dreieck-Stern-Umwandlung 84

Dimetrische Darstellung 137

Dreiecksungleichungen 11

DIN-Messbus 232

3-Excess-Code 164

Dioden 93

Dreipoliger Kurzschluss 255

Diodenschalter 94

Dreipulsmittelpunktschaltung 129 f.

Dioptrie 63

Driftgeschwindigkeit 68

Dirac-Impuls 320

Drosselspulen 236

Direkte Einzelelement-Variablen, SPS 202

Druck 57

Direkte Kopplung 116

Dual-Code 164

Disjunktive Form, SPS 203, 205

Duale Logarithmen 3

Disjunktive Normalform 159

Dualzahlen 162

Diskrete Fouriertransformation 322

Dunkelwiderstand 126

Dissoziation 67

Dünner Ring 56

Divergente Folge 41

Durchbruchspannung 93

Divergente unendliche Reihe 42

– , Bipolar-Transistor 99

Dividend 1

Durchflusswandler 131

Dividieren komplexer Zahlen 6

Durchflutung 87

Division 1

Durchflutungsgesetz 87

– , Dualzahlen 163

Durchlassbereich 290

Divisor 1

Durchlassspannung 93

Dodekaeder 22

Durchlassstrom 93

Doppeldiagramm 282

Durchschlagfestigkeit 79

Doppel-Kreis-Diagramm 282

Durchschnitt zweier Mengen 1

Doppel-T-Filter 271

DVB-C 299

Dotieren 71

DVB-S 299

Dotierung 69

DVB-T 299

Drachen 13

Dynamik 53, 258

Drainschaltung 114

Dynamischer Durchlasswiderstand 93

Drain-Source-Spannung 102

Drainstrom 102

E

DRAM 188

ECL Emitter Coupled Logic 176

Dreheisenmessinstrument 221

EEPROM 189

Drehfrequenzmessung 227

Effektive Permittivität 279

Drehimpuls 54

Effektivwert 220

Drehimpulserhaltungssatz 54

Eichen 217

Drehmoment 56

Eigenleitfähigkeit 71

– , Gleichstrommaschine 241

Eigenschaften des bestimmten Integrals 49

Drehspulmessinstrument 221

Ein/Ausgabe 180

Drehstrommaschinen 237

1-aus-4-Decoder 166

Drehstrommotor im Einphasenbetrieb,

Eindringtiefe 277

Asynchronmaschine 238

Einerkomplement, Dualzahlen 163

Drehstromnetz 249

Eingangsgröße, Steuerungstechnik 199

Sachwortverzeichnis 335

Eingangsimpedanz 275

Ellipse 39

Eingangskennlinie, Bipolar-Transistor 98

Ellipsengleichung 39

Eingangsleitwert, FET 104

Elliptischer Hohlleiter 278

Eingangsreflexionsfaktor 280

Emitterschaltung, Bipolar-Transistor

Eingangsspannung, OP 118

101, 106

Einheit 51, 217 f.

Empfindlichkeit 217

Einheitskreis 32

Endliche Folge 41

Einkristall 66

Endstufen 117

Einmoden-Stufenindex 304

Energie 54, 85

Einphasen- Wechselstrom 248

– der Gasmoleküle 59

Einpuls-Mittelpunktschaltung 130

– im Kondensator 86

Einseitenband-Amplitudenmodulation 285

– in einer Spule 92

Einseitige Grenzwerte 43

Energiebänder 68

Einweggleichrichter 94 f., 129

Energieerhaltungssatz 55

Einwegschaltung 129

Energieerzeugung 248

Einzelkompensation 256

Energieinhalte von Energieträgern 248

EIRP 303

Energieprodukt 77

Eisen 76

Energiereserven 248

Eisenkern mit Luftspalt 91

Energietechnik 248

Eisenverlustleistung, Transformator 234

Energieträger 248

Eisenverluststrom, Transformator 234

Entmagnetisierung 75

Eisenverlustwiderstand, Transformator 234

Entmanetisierungskurve 77

E-Kupfer 71

Entropie 257

Elastische Energie einer Feder 55

Entscheidungsgehalt 257

Elektret 78

Epoxidharze 80

Elektrische Betriebsmittel 151

EPROM 189

Elektrische Feldkonstante 64, 85

Erdbeschleunigung 54

Elektrische Feldstärke 85

Erdung 228

Elektrische Flussdichte 86

Ergodischer Prozess 325

Elektrische Jahresarbeit, Transformator 235

Ersatzbild mit h-Parameter, Bipolar-

Elektrische Leitfähigkeit 68

Transistor 100

Elektrische Maschinen, Transformator 233

Ersatzschaltbild mit y-Parameter, FET 104

Elektrischer Fluss 86

Ersatzteilbeschaffung 139

Elektrischer Schwingkreis 59

Erster Strahlensatz 18

Elektrisches Feld 85

Erwartungswert 219

Elektroakustik 306

Erweitern eines Bruchs 2

Elektroakustischer Übertragungsfaktor 307

Erzwungene Schwingungen 60

Elektrobleche 76

Eulerscher Polyedersatz 22

Elektrochemie 67

Exclusiv ODER, SPS 203, 205

Elektrochemische Spannungsreihe 67

Exponent 2

Elektro-Installationsplan 156

Exponentialfunktion 29

Elektrolyse 67

Exponentialgleichungen 8

Elektron 83

Extremwerte von Funktionen 46

Elektronengas 68

Elektronenpolarisation 78

F

Elektronische Schalter, Transistor 121

Fadenpendel 59

Elektronische Steller 131

Fahrenheit 58

Elementare Funktion 25

Faktor 1

Elementarladung 64

Faktor k, Kurzschluss 255

Elementarzelle 66

Fallzeit 52

336

Sachwortverzeichnis

Faltungsintegral 321

Freier Fall 52

Faltungskodes 311

Freiraumdämpfung 302

Fan In 173

Frequenz 53, 59

Fan Out 173

Frequenzabhängigkeit der Verstärkung,

Farbartsignal 297

Bipolar-Transistor 100

Farbcode 142

Frequenzdiversity 301

Farbfernsehbildübertragung 299

Frequenzgang 262, 290 f.

– , (analog) 297

Frequenzhub 287

Farbhilfsträger 297

Frequenzkompensierter Spannungsteiler

FBAS 297

272

FBS-, AWL-Sprache, SPS 213 f.

Frequenzmultiplexverfahren 301

Federpendel 59

Frequenzteiler 171

Fehlererkennende Kodes 311

Frequenzumtastung 288

Fehlerfortpflanzung 219

Funkmesstechnik 305

Fehlerkorrigierende Kodes 311

Funktionen 24

Fehlerschutz 299

Funktionsablaufplan, SPS 212

Feld

Funktionsbaustein FB10, SPS 213 ff.

– einer Ringspule 87

Funktionsbausteinsprache FBS, SPS 202

– eines Leiters 87

Funktionsbild 8051, Mikrocontroller 191

Feldeffekttransistoren 102

Funktionsblöcke einer SPS 201

Feldplatte 70

Funktionsgleichung 7, 24

Fermifunktion 68

Funktionskennzeichen 157

Ferminiveau 69

Funktionswerte 24

Fernseh-Bildübertragung 297

Fernsprechnetz 309

G

Ferrimagnetismus 74

GAL 179

Ferrite 76 f.

Ganze rationale Funktion 26

Ferroelektrika 78

Ganze Zahlen 1

Ferromagnetismus 74, 90

Gase 57, 79

Festwertspeicher 188

Gateschaltung 115

FET-Transistor als Verstärker 112

Gate-Source-Spannung 102

Filter 290

Gatter, IC 172

Flächeninhalt 11, 13

Gatterlaufzeit, IC 172

Flächenwiderstand 277

Gaußsche Zahlenebene 5

Flagregister 181

Gaußverteilung 220, 327

Flags 195

Gebrochene lineare Funktion 26

Flash-EPROM 189

Gebrochene rationale Funktion 26, 28

Flipflop 168, 185

Gedämpfte Schwingungen 60

Flüchtige (volatile) Speicher 185

Gegenkathete 31

Flughöhe 52

Gegenstandsweite 63

Flugweite 52

Gegentakt-Verstärker, AB-Betrieb 117

Flugzeit 52

Generatorgleichung, Gleichstrommaschine

Flüssigkeiten 57

241

Folgen 41

Generatorleistung, Gleichstrommaschine

Footprint 303

241

Fotodiode 126

Generatorpolynomen 312

Fotoelement 126

Geometrische Folge 41

Fototransistoren 127

Geometrische Reihe 43

Fotowiderstand 126

Geometrischer Mittelwert 325

Fouriertransformation 315

Geometrisches Mittel 4

Sachwortverzeichnis 337

Gerade Funktion 24

Grenzflächenpolarisation 78

Geraden 9, 37

Grenzfrequenz 290

Geradengleichung 37

– , OP 118

Geräusch 306

Grenztemperaturen, Isolierungen 245

Gesamtkraft 57

Grenzwert

Gesamtrauschzahl 261

– , Bipolar-Transistor 99

Gesamt-Systemdämpfung 302

– einer Folge 41

Gesamtverlustleistung, Bipolar-Transistor 99

– im Unendlichen 44

Geschwindigkeit 51 f.

– von Funktionen 43

Gesetz nach Stefan-Boltzmann 63

Größe 51

Gestreckter Winkel 9

Größenwert 217

Gewinde 138

Grundfläche 20

Gitterfehler 66

Grund-Flipflop 168

Glättung 95

Grundrechenarten 1

Glättungsfaktor 96

Grundschaltungen des bipolaren Transistors

Gleichförmige Bewegung 51

106

Gleichgerichtete Läuferspannung 240

Grundverknüpfungen 158

Gleichgewichtige Kodes 311

Gruppengeschwindigkeit 275, 278

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung 51

Gruppenkompensation 256

Gleichrichter 94

Güte 291

– , OP 120

Gütefaktor 60, 224

Gleichschenklige Dreiecke 11

Gleichseitige Dreiecke 11

H

Gleichspannung, Läuferkreis 240

Halbaddierer 166

Gleichstrom 248

Halbbrücke 223

Gleichstromkomponente, Kurzschluss 255

Halbgerade 9

Gleichstromkreis 83

Halbgesteuerter Stromrichter 129 f.

Gleichstrommaschinen 241

Halbgleichliegende Winkel 10

Gleichstromnetz 249

Halbleiter 69, 71

Gleichstromsteller 131

Halbleiterspeicher 184

Gleichstromumrichter 128

Halbmetalle 65

Gleichstromverstärkung, Bipolar-

Halbwertsbreite 302

Transistor 98

Halleffekt 70, 89

Gleichtaktspannung, OP 118

Hallgenerator 70

Gleichtaktunterdrückung, OP 118

Hallkonstante 70

Gleichtaktverstärkung, OP 118

Hallspannung 70

Gleichung 7, 24

Hallwinkel 70

Gleichungsarten 7

Hammerstad 279

Gleichwellennetz 299

Hamming-Distanz 311

Glimmer 79

Hangabtriebskraft 53

GPS 303

Hardware-Interrupts 184

Grad eines Filters 290

Harmonische Reihe 43

Gradmaß 9

Harmonische Schwingungen 59 f.

Graph 24

Harmonisches Mittel 4

Grauwerte 297

Hartmagnetika 77

Gravitationsgesetz 54

Häufigkeit 324

Gravitationskonstante 54, 64

Häufigkeitsverteilungen 220

Gravitationskraft 54

Hauptform oder Normalform

Gray-Code 164
der Geradengleichung 37

Grenzdaten, IC 172

Hauptgruppen 65

338

Sachwortverzeichnis

Hauptquantenzahl 65

Induktionsgesetz 91

Hauptsatz der Differenzial- und

Induktionsspannung, Synchronmaschine 242

Integralrechnung 48

Induktive Aufnehmer 226

Hauptwerte 35

Induktivität

Hazardimpuls 174

– , Transformator 234

Helligkeitssignal 297

– von Spulen 91

Hellwiderstand 126

Induzierte Spannung, Gleichstrommaschine

Hessesche Normalform 37

241

Hexadezimalzahlen 162

Information 257

HIGH-Pegel 157

Informationseinheiten 157

Hochfrequenz-Koaxialkabel 277

Informationsfluss 258

Hochfrequenzleistungen 277

Informationsgehalt 257

Hochpassfilter 290

– , mittlerer 257

Hochzahl 2

Infraschall 306

Höhe 12

Injektive Funktion 25

Höhensatz 12

Inkreis 11

Höhere Ableitungen 45

Innere Reibung 58

Hohlleiter 278

Insulated-Gate-FET 103

Hohlleiterbezeichnungen 278

Integralrechnung 41, 47

Hohlleiterfrequenz 278

Integrationsregeln 47

Hohlleiterindizes 278

Integrierer, OP 120

Hohlleiterwelle 278

Integrierter Schaltkreis, IC 171

Hohlzylinder 20, 56

Internet 310

Hörschall 306

Interrupt 182, 195 f.

Hörschwelle 307

Intervalle 4

H-Parameter 267

Intrinsicdichte 71

– , Bipolar-Transistor 100

Inverse Funktion 25

Hydrodynamik 57

Inverse trigonometrische Funktionen 34

Hydrostatischer Druck 57

Invertierender Komparator, OP 124

Hydroxide 67

Ionenbindung 66

Hyperbel 40

Ionenkonzentrationen 67

Hyperbelgleichung 40

Ionenpolarisation 78

Hypotenuse 31

Ionenprodukt 67

Hysteresekurve 75

Ionisierungsfeldstärke 79

Hysteresespannung, OP 124

Irrationale Funktion 26, 29

Hysterese-Verlustleistung 75

Irreversible Drehungen 75

ISDN 310

I

Isolation 277

IC 171

Isolationszeitkonstante 79

Ideale Gase 58

Isolator 69, 78

IEC-Bus 229

Isometrische Darstellung 137

III-V-Verbindungen 72

ISO-Toleranzsystem 136

Ikosaeder 22

Imaginärteil 5

J

Impedanzmessung 222

Jahres-Leerlaufarbeit, Transformator 235

Impedanzwandler, OP 119

Jahreswirkungsgrad, Transformator 235

Impuls 53, 54

Jahres-Wirkverlustarbeit, Transformator 235

Impulserhaltungssatz 54

J-FET 102

Impulsverbreiterung 304

JK-Flipflop 169

Induktion 91

Justieren 217

Sachwortverzeichnis 339

K

Komplexe Funktion 25

Kabel 250, 254, 272

Komplexe Zahlen 1, 5

Kabeldämpfung 277

Kondensator 79, 86

Kalibrieren 217

– , Laden, Entladen 87

Kaltleiter 71

Kondensatorleistung, Kompensation 256

Kanalkapazität 258

Kongruenz 12

Kanalkodierung 311

Kongruenzsatz 12

Kapazität 86

Konjugiert komplexe Zahlen 5

– , Speicher 186

Konjunktive Form, SPS 203, 205

Kapazitive Aufnehmer 226

Konjunktive Normalform 159

Kapazitive Kopplung 116

Konstante Folge 41

Karnaugh-Veitch-Tabellen 161

Konstante Funktion 26

Kartesisches Koordinatensystem 24, 36

Konstruktionselemente 139

Kathete 31

Kontaktbenennungen nach DIN 141

Kathetensatz 12

Kontakte nach DIN 141

Kationen 67

Kontaktplan KOP, SPS 202

Kegel 21

Kontinuitätsgleichung 57

Kegelschnitt 38 f.

Konventionell richtiger Wert 218

Kehrwert eines Bruchs 2

Konvergente Folge 41

Kelvin 58

Konvergente unendliche Reihe 42

Kenndaten

Konvexes Polyeder 22

– , IC 172

Koordinatenkreuz 24

– von Kabeln 252

Koordinatensysteme 36

Kennzeichnung

Kopplungsarten, Bandfilter 294

– von Kondensatoren 142

Kopplungsfaktor 294

– von Widerständen 142

Korrektion 218

Kennzeichnungssystem, Kabel 252

Korrelationsfunktionen 261

K-Faktor 226

Korrespondenztabelle 316

Kinematik 51

Kosinus 31

Kinetische Energie 55

Kosinuskurve 33

Kippschaltungen mit Operationsverstärker

Kosinussatz 34

124

Kotangens 31

Kippstufen, Transistor 121

Kotangenskurve 33

Kirchhoffsche Gesetze 83

Kraft 53, 226

Klasse 220

Kräfte

Kleinsignalverstärkung, Bipolar-Transistor

– auf Ladungen 88

98

– auf Leiter 89

Klirrfaktor 262

– auf Schiefen Ebenen 53

Knotenregel oder 1. Kirchhoffsches Gesetz

– im Magnetfeld 88

83

Kreisabschnitt 16

Koerzitivfeldstärke 75 ff.

Kreisausschnitt 16

Kollektorschaltung, Bipolar-Transistor

Kreisbahn eines Elektrons 89

101, 107

Kreisbewegung 53

Kommunikationsnetze 308

Kreisdiagramm 280, 282

Kommutierungskurve 75

Kreise 15, 38

Komparator 166

Kreisfläche 16

– mit Hysterese, OP 124 f.

Kreisfrequenz 53, 59 f.

Kompensationsanlagen 256

Kreisgleichung 38

Komplementwinkel 10

Kreissegment 16

Komplexe Fourierreihe 315

Kreissektor 16

340

Sachwortverzeichnis

Kreisumfang 16

Läuferspannungsgleichung, Asynchron-

Kreiszahl S 16
maschine 237

Kreiszylinder 20

Läufervorwiderstand, Asynchronmaschine

Kreuzkorrelationsfunktion 261, 326

239

Kreuzschaltung 272

Läuferwirkwiderstand, Asynchronmaschine

Kriechspuren 79

237

Kriechströme 79

LDR-Light-Dependent-Resistor 126

Kristallgitter 66

LED 127

Kritische Kopplung 294

Leerlauf, Transformator 233

Kritische Stromdichte 70

Leerlaufdrehzahl, Gleichstrommaschine 241

Kubische Funktion 26 f.

Leerlauf-Primärspannung, Transformator

Kubische Gleichungen 7

233

Kugelgleichung 38

Leerlauf-Sekundärspannung, Transformator

Kugelkappe 23

233

Kugelkondensator 86

Leerlaufspannungsverstärkung, OP 118

Kugeln 23, 38

Leerlaufversuch, Transformator 234

Kugeloberfläche 23

Leistung 55, 85, 307

Kugelschalen 65

Leistungsanpassung 85

Kugelsegment 23

Leistungselektronik 128

Kugelsektor 23

Leistungsspektrafunktion 314

Kugelvolumen 23

Leistungsverstärkung 281

Kühlarten

Leistungswelle 281

– , Motoren 244

Leiter 1. Ordnung 68

– , Transformator 233

Leitfähigkeit 68

Kühlmittel, Transformator 233

Leitkupfer 71

Kühlmittelbewegung, Transformator 233

Leitung 252, 272

Kupferverlustleistung, Asynchron-

– , Kurzschluss 255
maschine 237

Leitungsband 68

Kurve 24

Leitungsbeläge 272

Kürzen eines Bruchs 2

Leitungsgleichungen 274

Kurzschlussblindwiderstand, Transformator

Leitungskenngrößen 274

234

Leitungsmechanismus 68

Kurzschlussimpedanz, Transformator 234

Leitungsverbindungen 155

Kurzschlussschutz 251

Leitwert 83

Kurzschlussstromberechnung 255

Leuchtdichtesignal 297

Kurzschlussversuch, Transformator 234

Leuchtdioden 127

Kurzschlusswiderstand, Transformator 234

Lichtgeschwindigkeit 278

Kurzzeichen für Kabel 251

– im Vakuum 64

KV-Tabellen, Diagramme 161

Lichtwellenleiter 303

Limes einer Folge 41

L

Lineare Ausdehnung 58

Ladungsträgerbeweglichkeit 72

Lineare Funktion 26

Lageenergie 54

Lineare Gleichungen 7

LAN 308

Lineare Gleichungssysteme 8

Länge 9

Linearer Mittelwert 325

Längssymmetrische Zweitore 271

Lineare Verzerrungen 262

Laplacerücktransformation 317

Linien nach DIN EN ISO 128 134

Laplacetransformation 317

Linsenformel 63

Lastfaktoren 173

Löcher 69

Sachwortverzeichnis 341

Logarithmen 3

Mechanik 51

Logarithmische Gleichungen 8

Mechanisch abgebbare Leistung

Logarithmusfunktion 30

– , Asynchronmaschine 238

Logikfamilien, bipolar, CMOS 176

– , Synchronmaschine 241

Lokale Netze, LAN 308

Mechanische Leistung, Synchronmaschine

Lorentzkraft 88

242

Lösungsdruck 67

Median 12, 325

LOW-Pegel 157

Mehrfachübertragung 300

Luftspaltleistung, Asynchronmaschine 237

Mehrkanalton 298

Luminanzsignal 297

Mehrmoden-Gradientenindex 304

Mehrmoden-Stufenindex 304

M

Mehrstufige Verstärker 116

MAG 281

Mengen 1

Magnetfeld 226

Messabweichung 218, 222

Magnetika 76

Messbereich 217

Magnetische Feldkonstante 64, 87

Messbereichserweiterung 84

Magnetische Flussdichte 88, 226

Messdatenaufbereitung 227

Magnetische Kreise 90

Messen 217

Magnetische Leitfähigkeit 73

Messergebnis 217

Magnetische Polarisation 73, 89

Messfehler 218

Magnetischer Dipol 73

Messgerät 217

Magnetischer Fluss 88

Messprinzip 217

Magnetischer Widerstand 91

Messsysteme 228

Magnetisches Feld 87

Messumformer 217

Magnetisches Moment 73

Messumsetzer 218

Magnetische Spannung 90

Messung von L, C 224

Magnetische Suszeptibilität 89

Messverfahren 217

Magnetisierung 73, 75, 89

Messverstärker 229

Magnetisierungskurve 75

Messwandler 217

Magnetisierungsstrom, Transformator 234

Messwert 217

Mantellinien 20

Metallgläser 77

Maschennetz 250

Metallische Bindung 66

Maschenregel oder 2. Kirchhoffsches Gesetz

Metalloxide 80

83

Metrisches ISO-Gewinde 145

Masken-ROM 188

Microstrip-Leitung 279

Maßeintragungen 136

Mikrocomputersystem 180

Maßlinienbegrenzung 135

Mikrocontroller 190

Maßstäbe nach DIN ISO 5455 134

Mikroprozessor 180, 182

Maßzahl 51

Mikrostreifenleitung 279

Master-Slave-FF 167

Mindestquerschnitt von Kabeln 252
matched filter 329

Minterm 159

Materialeinteilung 78

Minuend 1

Materie im Magnetfeld 89

Minuten 9

Maximal übertragbare Frequenz, OP 118

Mittelpunktschaltung 94, 129

Maximale Ausgangsspannung, OP 118

Mittelpunktswinkel 16

Maximale Kurzschlussdauer 251

Mittelsenkrechte 11

Maximale relative Abweichungen 219

Mittelwerte 4, 220

Maximum Available Gain MAG 281

Mittlere Kodewortlänge 310

Maximum-Likelihood-Bedingung 312

Mittlere Wartedauer 307

Maxterm 159

Mobilfunknetz 310

342

Sachwortverzeichnis

Moden 304

Nennstrangspannung, Transformator 235

Modendispersion 304

Nennstrangstrom, Transformator 235

Modul 5

Netz, Kurzschluss 255

Modulation 284

Netzspannung 240

Modulationsgrad 284

Netzstrukturen 249

Modulationsindex 287

Neutronen 65

Moivresche Formel 6

Newtonsche Axiome 53

Monostabile Kippstufe

Nibble 157

– , OP 125

NICHT 158

– , Transistor 122

Nicht beschränkte Intervalle 5

Monotone Folge 41

Nichtdeterministische Signale 324

Monotone Funktion 24

Nichtflüchtige (nonvolatile) Speicher 185

Monotonieintervall 34

Nichtinvertierender Komparator, OP 124

MOS-FET 103

Nichtinvertierender OP 119

Motorgleichung, Gleichstrommaschine 241

Nichtlineare Verzerrungen 262

Motorleistung, Gleichstrommaschine 241

Nichtmetalle 65

Motormoment

N-Kanal-JFET 102

– , Asynchronmaschine 238

N-Kanal-Typ 103

– , Synchronmaschine 241 f.

n-Leitung 72

MPEG-2 299

NOR 158

MS-JK-Flipflop 169

Normale 38

Multiplexer 157, 167

– am Kreis 38

Multiplexverfahren 300

Normalform 7, 28

Multiplikation 1

Normalleiter 69, 71

– , Dualzahlen 163

Normalparabel 26

Multiplizieren komplexer Zahlen 6

Normalprojektion 137

Muttern 144

Normalverteilung 220, 327

Normen für Technische Zeichnungen 133

N

Normierte Leistungswellen 280

Nachricht 257

Normierte Verstimmung 295

Nachrichtenquader 258

Normschrift nach DIN 6776 ISO 3098 134

NAND 158

Normteile 139

Naturkonstante 64

– , Maschinenbau 144

Natürliche Logarithmen 3

NTC-Widerstand 225

Natürliche Zahlen 1

Nullfolge 41
n-Dotierung 72

Nullstelle 28

Nebengruppen 65

Nullwinkel 9

Nebenquantenzahl 65

Numerische Apertur 303

Nebenwinkel 10

NVRAM 189

Néel-Temperatur 74

Negative Flanke, SPS 203, 205

O

Negative Logik 157

Oberes Seitenband 284

Negative verbotene Zone 69

Oberflächenwiderstand 79

Nenner 1

ODER 158

Nenn-Kurzschlussspannung, Transformator

– , NEGATION, SPS 203 f.

234

Ohmsches Gesetz 83

Nenn-Kurzschlussverluste, Transformator

Oktaeder 22

234

Öle 80

Nenn-Leerlaufstrom, Transformator 234

OP als Verstärker 118

Nennstrangleistung, Transformator 235

Open Collector 174

Sachwortverzeichnis 343

Operationsverstärker, OP 118

Phasengang 290

Operatoren der Anweisungsliste, SPS 202

Phasengeschwindigkeit 61, 275, 278

Optik 62

Phasenhub 287

Optimaler Wirkungsgrad, Transformator 235

Phasenkoeffizient 274

Optimalfilter 312, 329

Phasenmaß 262

Optimalkode nach Fano 311

Phasenspektrum 315

Optoelektronik 126

Phasenumtastung 288

Orbitalmodell 65

Phasenverzerrungen 262

Ordinatenachse 24

Phasenwinkel 290

Ordnungspolarisation 78

Phenoplaste 80

Organisation, Speicher 186

Photometrie 63

Organische Stoffe 67
pH-Wert 67

Oxydation 67

Piezoelektrika 78

P-Kanal-JFET 103

P

P-Kanal-Typ 104

Paarungen 136

Plancksche Strahlungsformel 63

PAL 179

Plancksches Wirkungsquantum 63 f.

PAL-Verfahren 298

Planimetrie 9

Papier 80

Platonische Körper 22

Parabel 40

Plattenkondensator 86, 226

Parabelgleichung 40
p-Leitung 72

Parabolantennen 302

PN-FET 102

Parallelen 9

Poissonverteilung 327

Parallelepiped 19

Pol 28, 44

Parallelogramm 13

Polar 78

Parallelprojektion 10

Polarisation 77

Parallelschalten von Transformatoren 236

Polarisationskurve 77

Parallelschaltung

Polarisationsstrom 78

– von Kondensatoren 87

Polarkoordinatensystem 36

– von Spannungsquellen 85

Polradspannung, Synchronmaschine

– von Spulen 92

241

– von Widerständen 84

Polradspannungsgleichung,

Paramagnetismus 74, 90

Synchronmaschine 241

Parsevalsche Gleichung 326

Polradstellung 240

Partialbruchzerlegung 29

Polyeder 22

Partialsummen 42

Polyesterharze 80

Passsystem 136

Polyethylen 80

Pauli 65

Polygonschaltung P 129

Pauling 67

Polykristall 66
p-Dotierung 72

Polynome 8

Pegel 264

Polystyrol 80

– , Digitaltechnik 157

Polyvinylchlorid 80

– , IC 172

Portregister 194

Periodendauer 53

Ports 194

Periodensystem 65

Portstruktur 194

Periodische Funktion 25

Porzellane 80

Peripheriewinkel 16

Positive Flanke, SPS 203, 205

Permeabilität 73, 76

Positive Logik 157

– , permanente 76

Potenz 2

Permittivitätszahl 78, 277

Potenzfunktion 28

344

Sachwortverzeichnis

Potenzial 85

Quadratische Gleichungen 7

Potenzielle Energie 54

Quadratische Säule 19

Potenzieren 3

Quadratisches Mittel 4

– einer Potenz 2

Quadratwurzel 3

– komplexer Zahlen 6

Quarz 79

Potenzrechnung 2

Quasi-TEM-Welle 279

Preemphase 287

Quellenkodierung 310

Primärenergieträger 248

Querschnittsformen 278

Primärradar 305

Querschnittsverhältnis 72

Primär-Schaltnetzteil 131

Querstrom 78

Primärspannung, Transformator 233

Quotient 1

Prismen 19

Produkt 1

R

Program Status Word, PSW 195

Radar 305

Programmabarbeitung, SPS 201

Radarquerschnitt 305

Programmbeispiel

Radikal 67

– , SPS 211

Radikand 3

– , Wendeschützschaltung, SPS 206

Radizieren 3

Programmierbare Logikbausteine 178

– komplexer Zahlen 6

Programmiersprachen, SPS 202

RAM 187

– Programmierung 201

Rationale Funktion 25

Programmverwirklichung, Steuerungstechnik

Rationale Zahlen 1

200

Raumdiversity 301

Projektion 10, 137

Rauschabstand 261

PROM 188

Rauschen 260

Proportionalfunktion 26

Rauschmaß 261

Protolyse 67

Rauschquellen 328

Protonen 65

– , äußere 260

Prozessablauf, SPS 211

– , innere 260

PSE 65

Rauschzahl 261

PSW 182, 195

Reaktionsgleichung 67

PTC 71

Realteil 5

PTC-Widerstand 225

Rechenwerk 181

Pulsamplituden-Modulation 288

Rechteck 13

Pulscode-Modulation 289

Rechteckhohlleiter 278

Pulsdauer-Modulation 288

Rechter Winkel 9

Pulsfrequenz-Modulation 288

Rechtwinklige Dreiecke 11

Pulsphasen-Modulation 288

Redox-Reaktion 67

Pulsträger-Modulation 288

Reduktion 67

Punktmasse 56

Reduktionsfaktoren, Nennleistung 245

Punktsteigungsform 37

Reduktionsformeln 33

Punktsymmetrie 17

Redundanz 257

Pyramiden 20

REED-SOLOMON 299

Pyroelektrika 78

Reelle Fourierreihe 314

Pyroelektrisch 78

Reelle Funktion 25

Reelle Zahlen 1

Q

Reflexion 61

Quader 19

Reflexionsfaktor 275, 281

Quadrat 13

Reflexionsgesetz 61

Quadratische Funktion 26

Regelkreis 199

Sachwortverzeichnis 345

Regeln 199

Ruhemasse

Regelung 199

– des Elektrons 64

Register 181, 185

– des Protons 64

Registerbankauswahl 195

Rundfunk-Stereoübertragung 296

Reguläre n-Ecke 14

Rundhohlleiter 278

Reibungsenergie 55

Satellit 302

Reibungskraft 54

Sättigungsstrom, FET 102

Reibungszahl 54

Satz

Reihen 42

– des Pythagoras 12

Reihenschaltung

– von Brahmagupta 13

– von Kondensatoren 87

– von Ptolemäus 13

– von Spannungsquellen 84

– von Steiner 56

– von Spulen 92

– von Viëta 7

– von Widerständen 84

Säuren 67

Relative Abweichungen 219

Scatter-Parameter 280

Relative Ersatzkurzschlussspannung 236

Scatterverbindung 302

Relative Kurzschlussspannung,

Schall 306

Transformator 234

Schalldruck 306

Relative Messabweichung 218

Schalldruckpegel 307

Relative Permeabilität 89

Schallleistung 306

Relative Redundanz 257

Schallgeschwindigkeit 306

Relativer Messfehler 218

Schallintensität 306

Relatives Leerlaufstromverhältnis,

Schall-Kennimpedanz 306

Transformator 234

Schallpegel 307

Remanenzflussdichte 75

Schallschnelle 306

Resonanz 60

Schaltalgebra, Gesetze, Regeln 159

Resonanzfrequenz 291

Schalter, OP 124

Resonator 79

Schaltgeräte 140

Ressourcen 248

Schaltglieder 140

Restseitenband-Amplitudenmodulation 286

Schaltgruppen, Transformator 235

Restströme, Bipolar-Transistor 99

Schaltleistung 94

Restverkehr 307

Schaltnetze 166

Reversible Drehungen 75

Schaltnetzteile 131

Reversible Permeabilität 76

Schaltungsunterlagen 147

Rhombus 13

– der Energietechnik 154

Richtfunktechnik 301

Schaltwerke 167

Richtkoppler 280

Schaltzeichen 140

Ringnetz 250

– nach DIN 149

ROM 188

Schaubild 24

Rotation 53, 55

Scheitelform der quadratischen Funktion 27

RS-Flipflop 168

Scheitelwinkel 10

RS-Speicherfunktion, SPS 203, 205

Schieberegister 157, 169

Rückstellkraft einer Feder 53

Schiefer Wurf 52

Rückübertragungsfaktor 280

Schirmquerschnitt, Kabel 250

Rückübertragungsreflexionsfaktor 281

Schleifendarstellung von Ablaufketten, SPS

Rückwärtsbetrieb 269

210

Rückwärtsrichtung 93

Schleifringläuferasynchronmotoren,

Rückwärtszähler 170

Asynchronmaschine 239

Rückwirkungsfreie Zweitore 271

Schleusenspannung 93

Schlitzleitung 279

346

Sachwortverzeichnis

Schlupf, Asynchronmaschine 237

Silizium-Temperatursensoren 225

Schmitt-Trigger 123

Sinus 31

Schnitte 138

Sinuskurve 33

Schrauben 138, 144

Sinussatz 34

Schreib-Lese-Speicher 187

Sinusträger 284

Schutzarten, Motoren 243

SI-System 51

Schutzintervall 299

Skalare 51

Schutzmaßnahmen 139

Skineffekt 277

Schweredruck 57

Smith-Diagramm 280, 282

Schwingkreis

Software Interrupt 184

– , Bandpass 294

Sourceschaltung 113

– , Bandsperre 294

Spannung 83

Schwund 302

Spannungsfall

Sechspulsbrückenschaltung B6 130

– , Kabel 254

Sehnensatz 17

– , Leitungen 254

Sehnenviereck 13

Spannungsfestigkeit 277

Seitenhalbierende 12

Spannungsquelle 84

Sekantensatz 17

Spannungsrückwirkung, Bipolar-Transistor

Sekantentangentensatz 17

99

Sekundärradar 305

Spannungs-Spannungs-Gegenkopplung

Sekundär-Schaltnetzteil 131

117

Sekundärspannung, Transformator 233

Spannungsstabilisierung 96

Sekunden 9

Spannungs-Strom-Kopplung, Bipolar-

Selbstleitender IG-FET 103

Transistor 109

Selbstsperrender IG-FET 103

Spannungsüberhöhung, Kompensation 256

Seltene-Erden 72

Spannungsverstärkung, FET 104

Selten-Erd-Magnete 77
s-Parameter 280

Senkrechter Wurf 52

– im Kreisdiagramm 283

Serielle Schnittstelle 197

Spartransformatoren 236

Serien-Gegentakt-Verstärker, B-Betrieb 117

Spat 19

Serviceplan 139

Speichereinheit 180

SFR SCON 197

Speichermatrix 185

Shannon 321

Speicherorganisation 185

SI-Basiseinheiten 51, 218

– 8051, Mikrocontroller 192

SI-Basisgrößen 51

Speicherprogrammierbare Steuerung, SPS

7-Segment-Code 164

201

Siebfaktor 96

Speicherstruktur 185

Siebung 95

Speichersysteme 189

Signal 257

Speicherwerk 180

Signalangepasste Filter 329

Spektraldichte 314

Signaldarstellung 259

Spektrale Leistungsdichte 262, 326

Signale 259

Spektrale Strahldichte 63

Signalflussdiagramm 280

Spektralfunktion 314

Signalleitungen 228

Sperrbereich 290

Signalverarbeitung, Steuerungstechnik 200

Sperrschicht-FET 102

Siliconelastomere 81

Sperrspannung 93

Siliconharze 81

Sperrstrom 93

Siliconkautschuke 81

Sperrwandler 131

Siliconöle 81

Spezielle Gasgleichung 58

Silikone 81

Spezielle Gaskonstante 58

Sachwortverzeichnis 347

Spin 65

Stichprobe 324

Spinmoment 73

Stochastische Signale 260, 324

Spitzer Winkel 9

Stoffe 65

Spitzwinklige Dreiecke 11

Stoffmagnetismus 90

Sprung von Ablaufketten, SPS 210

Störabstand 261

Sprungfunktion 320

– , IC 172

Sprungstelle 44

Störsicherheit, IC 172

Sprungtemperatur 70

Störungen

SPS 201

– an Asynchronmaschinen 247

– , Programmbeispiel 211

– an Gleichstrommaschinen 247

SPS-Norm 201

Stoßfunktion 320

Spule 226

Stoßkurzschluss 255

– , Ein- und Ausschalten 92

Strahl 9

SRAM 187

Strahlennetz 249

SR-Speicherfunktion, SPS 203, 205

Strecke 9

ST, SPS 202

Streifenleitungen 279

Stab 56

Streifenleitungsfilter 279

Stabilisierung durch Gegenkopplung 108

Streublindwiderstand

Stabilisierungsfaktor 97

– , Primärkreis, Transformator 234

Stabilität 323

– , Sekundärkreis, Transformator 234

Stammfunktion 47

Streuparameter 280

Standardabweichung 219

Strombelastbarkeit, Kabel 253

Ständerspannungsgleichung

Stromdichte 83

– , Asynchronmaschine 237

Stromlaufplan 155

– , Synchronmaschine 241

Stromrichter 129

Stationärer Prozess 325

Strom-Spannungs-Kopplung, Bipolar-

Statistischer Multiplex 299

Transistor 108

Stefan-Boltzmann-Gesetz 63

Stromstärke 83

Stefan-Boltzmann-Konstante 63 f.

Stromsteuerkennlinie, Bipolar-Transistor 98

Stehende Wellen 61

Strom-Strom-Gegenkopplung 117

STEP 7, SPS 204

Stromübersetzungsverhältnis, Transformator

Stereometrie 19

233

Stereo-Mikrofonanordnungen 296

Stromverstärkung, FET 104

Stereo-Rundfunkübertragung 296

Struktur

Stern-Dreieck-Umwandlung 84

– einer Ablaufsteuerung 209

Sternschaltung 249

– einer Anweisung, SPS 202

Stetig differenzierbare Funktion 45

Strukturierte Programmierung, SPS 201

Stetigkeit einer Funktion 44

Strukturierter Text, SPS 202

Steuerbus 180

Stufenwinkel 10

Steuerkette 199

Stumpfer Winkel 9

Steuern 199

Stumpfwinklige Dreiecke 11

Steuerung 199

Substrate 279

Steuerungsablauf 200

Subtrahend 1

Steuerungsarten 200

Subtrahieren komplexer Zahlen 6

Steuerungsprogramm

Subtrahierer 157

– mit Selbsthaltung, SPS 208

– , OP 120

– mit SR-Speicher, SPS 208

Subtraktion 1

– , SPS 216

– , Dualzahlen 163

Steuerungstechnik 199

Summand 1

Steuerwerk 180

Summenfunktion 324

348

Sachwortverzeichnis

Supplementwinkel 10

Transistor

Supraleiter 70, 72

– als Vierpol, Bipolar-Transistor 100

Surjektive Funktion 25

– , (bipolar) 97

Suszeptibilität 73

Transitfrequenz, OP 118

Symmetrie 17

Translation 55

Symmetrische Funktion 24

Transponder 302

Synchroner BCD-Zähler 171

Transversal-elektrische Welle 278

Synchronmaschine 240

Transversal-magnetische Welle 278

– , Kurzschluss 255

Transzendente Funktionen 25, 29

Synchronzähler 170

Transzendente Gleichungen 8

Synthese 67

Trapez 13

Systematische Abweichungen 218

Trigger, OP 124

Systematische Kodes 312

Trigonometrie 31

Systemkomponente, Kurzschluss 255

Trigonometrische Form 5

Trigonometrische Funktionen 32

T

Trigonometrische Gleichungen 8

Taktflankengesteuertes FF 167

Triplate-Leitung 279

Taktzustandsgesteuertes FF 167

Tri-State 173

Tangens 31

TTL-Familie 177

Tangenskurve 33

Tangente 38

U

– am Kreis 38

UART 197

Tangentenviereck 14

Übergangselemente 65

Technische Zeichnungen 133

Überkritische Kopplung 294

Technologieschema, SPS 211

Überlagerungsempfänger 295

Teilsummen 42

Überlagerungspermeabiltät 76

Temperaturabhängigkeit des elektrischen

Überlastungsschutz von Motoren 246

Widerstandes 83

Übersetzungsverhältnis, Transformator 233

Temperaturskalen 58

Übersichtsplan 156

Tetrade 157

Übersichtsschaltplan 155

Tetraeder 22

Überstumpfer Winkel 9

TE-Welle 278

Übertrager 77

Textilstoffe 80

Übertragungsfaktor 262 f.

T-Flipflop 168

Übertragungsfunktion 314

Theorem von Wiener-Khintchine 262

Übertragungsmaß 263, 271

Thermischer Durchschlag 69

Übertragungssymmetrische Zweitore 271

Thermodynamik 58

Ultraschall 306

Thermoumformer 221

Umfang 11, 13

Tiefpassfilter 290

Umfangsgeschwindigkeit 53

Timer 196

Umfangswinkel 16

TM-Welle 278

Umkehrfunktion 25

Toleranzfelder 136

Umkreis 11

Totale Verlustleistung 93

Umrechnung 254

Totempole-Endstufe 174

Umwandlung von Zahlensystemen 162

Trägheitsgesetz 53

Unbestimmtes Integral 47

Trägheitsmoment 56

UND 158

Transformationsgleichung 282

– , NEGATION, SPS 203 f.

Transformator 233

Unendliche Folge 41

– , Kurzschluss 255

Unendliche Reihe 42

Transformatorenkompensation 256

Unendlichkeitsstelle 44

Sachwortverzeichnis 349

Ungedämpfte Schwingungen 59

Vierpole 264

Ungerade Funktion 24

Vier-Quadranten-Kennlinienfeld, Bipolar-

Ungleichung 13

Transistor 99

– von Kraft 311

Viertelbrücke 223

Unipolare Transistoren 102

Volladdierer 166

Universelle Gaskonstante 58, 64

Vollbrücke 223

Unstetigkeitsstellen 44

Vollwinkel 9

Unteres Seitenband 284

Vollzylinder 56

Unterkritische Kopplung 294

Volumenausdehnung 58

Vor-Rückwärts-Zähler, SPS 204, 206

V

Vorspannung, FET 113

Valenzband 68

Vorwärtsbetrieb 269

Van-der-Waals-Bindung 66

Vorwärtsrichtung 93

Varianz 219

Vorwärtssteilheit, FET 104

– einer Stichprobe 325

Vorwärtsübertragungsfaktor 280

– einer Verteilung 325

Vorwärtszähler 170

VDE-Bestimmungen 147

Vektoren 51

W

Verbindungshalbleiter 72

Wahrer Wert 218

Verbotene Zone 68

Wahrscheinlichkeitsdichte 324

Verdopplerschaltung D 129

Wandverschiebungen 75

Verdrahtungsplan 155

Wärmeenergie 59

Vereinigung zweier Mengen 1

Wärmeleitung 59

Verkehrsmenge 307

Wärmestrahlung 59

Verkehrstheorie 307

Wärmewiderstand 93

Verkehrswert 307

Wechselfeldpermeabilität 76

Verlust 307

Wechselrichter 128

– im Vorwiderstand, Asynchronmaschine

– mit IGBT 128

239

Wechselrichterspannung 240

Verlustfaktor 224

Wechselstrom-Ersatzschaltbild, Bipolar-

Verlustfläche 75

Transistor 101

Verlustkennziffer 79

Wechselstromnetz 249

Verlustsystem 307

Wechselstromumrichter 128

Verlustwinkel 224

Wechselstromwiderstand 93

Verlustzahl 79

Wechselwegschaltung W 129

Vermittlungstechnik 307

Wechselwinkel 10

Verstärker

Wechselwirkungsgesetz 53

– , FET 112

Wegmessung 227

– , OP 118

Weichmagnetika 76

Verstärkung bei Fehlanpassung 283

Weißes Rauschen 260

Verstärkungsfaktor 263

Weiss’sche Bezirke 74

Verstärkungsmaß 263

Wellen 61

Verteilung 324

Wellenparameter 271

Vertrauensbereich 220 f.

Wellenwiderstand 271, 274, 277 f., 306

Vertrauensgrenzen 221

– von Streifenleitungen 279

Vertrauensniveau 221

Wellenzahl 61

Vervielfacherschaltung V 129

Werkstoffe 65

Verzerrungen 262

– , Kabel 250

Verzweigte Ablaufketten 210

Wertebereich 24

Vierecke 12

Wertetabelle 24

350

Sachwortverzeichnis

Wheatstonesche Messbrücke 222

Zehnerlogarithmen 3

Widerstand 83

Zeichnerische Darstellung 133

– , Primärkreis, Transformator 234

Zeit

– , Sekundärkreis, Transformator 234

– als Ausschaltverzögerung, SPS 204, 206

– , Transformator 234

– als Einschaltverzögerung, SPS 204, 206

Widerstandsaufnehmer 225

– als Impuls, SPS 204, 205

Widerstandsgeber 227

Zeitgeber/Zähler, Timer/Counter 196

Widerstandsmessung 222

Zeitkonstante 60

Widerstandssymmetrische Zweitore

Zeitmultiplexverfahren 300

271

Zellulose-Kunststoffe 80

Wiensches Verschiebungsgesetz 63

Zentraler Grenzwertsatz 327

Winkelbeschleunigung 53

Zentralkompensation 256

Winkelgeschwindigkeit 53

Zentralprojektion 10

Winkelhalbierende 12

Zentralwert 325

Winkelmessung 227

Zentrifugalkraft 54

Winkelmodulation 286

Zentrische Streckung 18

Winkelsätze am Kreis 17

Zentriwinkel 15 f.

Winkelsumme 11, 13

ZF-Durchschaltung 302

Wirbelstromverluste 75

Z-Parameter 267

Wirkleistung 281
z-Transformation 323

Wirkleistungsmessung 223

Zufällige Abweichungen 219

Wirkleistungsverstärkung

Zufällige Signale 260, 324

– am Ausgangstor 281

Zugriffzeit, Speicher 186

– am Eingangstor 281

Zuordnung 24

Wirkungsgrad 55, 85, 235

Zuordnungsliste, SPS 207, 212

– , Asynchronmaschine 238

Zurückgelegter Weg 52

– , Synchronmaschine 241

Zweierkomplement, Dualzahlen 163

Wortbreite 186

Zweier-Logarithmen 3

Wortorganisierter Speicher 185

Zweipuls-Brückenschaltung 130

Würfel 19, 22

Zweipunkteform 37

Wurzel 3

Zweiseitenband-Amplitudenmodulation 284

Wurzelfunktion 29

Zweiter Strahlensatz 18

Wurzelgleichungen 8

Zweitore 264

Wurzelrechnung 2

– , aktive 264

– , passive 264

X

– , lineare 265

XOR, Antivalenz 158

– , nichtlineare 265

Zweitorgleichungen 265

Y

Zweiwegschaltung 129

Y-Parameter 266

Zweiwertige Logik 157

Y-Signal 297

Zwischenkreisumrichter, Asynchronmaschine

239

Z

Zyklische Kodes 312

Zahlenmengen 1

Zyklometrische Funktionen 34

Zahlensysteme 162

Zykluszeit eines Schalterumlaufes 300

Zahlenwert 217

Zylinder 19

Zähler 1, 170

Zylinderkondensator 86

Z-Diode 96

Zylinderspule, Feld 88

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Vorwort zur 2., korrigierten Auflage

Inhaltsverzeichnis

1 Mathematik

1 Arithmetik

- 1.1 Mengen
- 1.2 Zahlenmengen
- 1.3 Grundrechenarten
- 1.4 Binomische Formeln
- 1.5 Bruchrechnung
- 1.6 Potenzrechnung
- 1.7 Wurzelrechnung
- 1.8 Logarithmen
- 1.9 Mittelwerte
- 1.10 Absolutbetrag
- 1.11 Intervalle
- 1.12 Komplexe Zahlen

2 Gleichungen

- 2.1 Gleichungsarten
- 2.2 Äquivalente Umformungen
- 2.3 Lineare Gleichungen
- 2.4 Quadratische Gleichungen
- 2.5 Kubische Gleichungen
- 2.6 Polynome

- 2.7 Auf algebraische Gleichungen zurückführbare Gleichungen

- 2.8 Transzendente Gleichungen

- 2.9 Lineare Gleichungs-systeme

3 Planimetrie

- 3.1 Geraden und Strecken
- 3.2 Winkel
- 3.3 Projektionen
- 3.4 Dreiecke
- 3.5 Vierecke
- 3.6 Reguläre
- 3.7 Kreise
- 3.8 Symmetrie
- 3.9 Ähnlichkeit

4 Stereometrie

- 4.1 Prismen
- 4.2 Zylinder
- 4.3 Pyramiden
- 4.4 Kegel
- 4.5 Cavalierisches Prinzip
- 4.6 Polyeder
- 4.7 Kugeln

5 Funktionen

- 5.1 Definition und Darstellungen
- 5.2 Verhalten von Funktionen
- 5.3 Einteilung der elementaren Funktionen
- 5.4 Ganze rationale Funktionen
- 5.5 Gebrochene rationale Funktionen
- 5.6 Irrationale Funktionen
- 5.7 Transzendente Funktionen

6 Trigonometrie

- 6.1 Definition der trigonometrischen Funktionen

- 6.2 Trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel

- 6.3 Beziehungen für den gleichen Winkel

- 6.4 Graphen der trigonometrischen Funktionen

- 6.5 Reduktionsformeln
- 6.6 Sinussatz und Kosinussatz
- 6.7 Arkusfunktionen

7 Analytische Geometrie

- 7.1 Koordinatensysteme
- 7.2 Geraden
- 7.3 Kreise
- 7.4 Kugeln
- 7.5 Kegelschnitte

8 Differenzialund Integralrechnung

- 8.1 Folgen
- 8.2 Reihen
- 8.3 Grenzwerte von Funktionen
- 8.4 Ableitung einer Funktion
- 8.5 Integralrechnung

2 Physik

- 1 Einführung

- 1.1 Physikalische Größen

- 1.2 SI-System

- 2 Mechanik

- 2.1 Kinematik

- 2.1.1 GleichförmigeBewegung
- 2.1.2 GleichmäßigbeschleunigteBewegung
- 2.1.3 Freier Fall
- 2.1.4 Senkrechter Wurf
- 2.1.5 Schiefer Wurf
- 2.1.6 Kreisbewegung,Rotation

- 2.2 Dynamik

- 2.2.1 Newtonsche Axiome
- 2.2.2 Kraft
- 2.2.3 Impuls, Drehimpuls
- 2.2.4 Arbeit, Energie
- 2.2.5 Leistung, Wirkungsgrad
- 2.2.6 Trägheitsmoment
- 2.2.7 Drehmoment

- 3 Flüssigkeiten und Gase

- 3.1 Druck
- 3.2 Auftrieb
- 3.3 Hydrodynamik

- 4 Thermodynamik

- 4.1 Temperaturskalen, Ausdehnung von Stoffen

- 4.2 Ideale Gase

- 4.3 Wärmeleitung, Wärmestrahlung

- 5 Harmonische Schwingungen

- 5.1 Ungedämpfte Schwingungen
- 5.2 Gedämpfte Schwingungen
- 5.3 Erzwungene Schwingungen, Resonanz

- 6 Wellen

- 6.1 Ausbreitung
- 6.2 Reflexion, Brechung
- 6.3 Beugung

- 7 Optik

- 7.1 Geometrische Optik, Abbildung durch Linsen

- 7.2 Photometrie

- 8 Naturkonstante

3 Werkstoffkunde

- 1 Stoffe

- 1.1 Eigenschaften der Stoffe
- 1.2 Atombau und Periodensystem
- 1.3 Aufbau der festen Körper
- 1.4 Chemische Grund-zusammenhänge
- 1.5 Elektrochemie

- 2 Elektrische Leitfähigkeit

- 2.1 Leitungs-mechanismus
- 2.2 Isolator
- 2.3 Halbleiter
- 2.4 Normalleiter
- 2.5 Supraleiter
- 2.6 Halleffekt

- 3 Elektrische Leiter

- 3.1 Normalleiter
- 3.2 Halbleiter
- 3.3 Supraleiter

- 4 Magnetische Leitfähigkeit

- 4.1 Modellvorstellung
- 4.2 Verhalten von Materie im Magnet-feld
- 4.3 Magnetisierung
- 4.4 Magnetisierungs-kurve
- 4.5 Permeabilität

- 5 Magnetika

- 5.1 Weichmagnetika

- 5.2 Hartmagnetika (Dauermagnete)

- 6 Dielektrische Eigenschaften

- 6.1 Modellvorstellungen zur dielektrischen Polarisation

- 6.2 Materialeinteilung

- 6.2.1 Dielektrische Materialien

- 6.2.2 Elektrische Materialien

- 7 Dielektrika

- 7.1 Natürliche anorgani-sche Dielektrika
- 7.2 Natürliche organi-sche Dielektrika
- 7.3 Künstliche anorga-nische Dielektrika
- 7.4 Künstliche organi-sche Dielektrika
- 7.5 Silikone

- 8 Literatur-hinweise

4
Elektrotechnik

- 1 Grundbegriffe

- 2 Der Gleich-stromkreis

- 2.1 Kirchhoffsche Gesetze
- 2.2 Schaltung von Widerständen
- 2.3 Energie, Leistung, Wirkungsgrad

- 3 Das Elektrische Feld

- 3.1 Grundgrößen

- 3.2 Kondensatoren

- 3.2.1 Kapazität

- 3.2.2 Schaltungen mit Kondensatoren

- 4 Das Magnetische Feld

- 4.1 Grundgrößen

- 4.2 Kräfte im Magnetfeld

- 4.2.1 Kräfte auf Ladungen

- 4.2.2 Kräfte auf Leiter

- 4.3 Materie im Magnetfeld

- 4.3.1 Definitionen

- 4.3.2 Stoffmagnetismus

- 4.4 Magnetische Kreise

- 5 Induktion

- 5.1 Induktionsgesetz
- 5.2 Induktivität von Spulen
- 5.3 Ein- und Ausschalt-vorgänge

5 Elektronik

- 1 Dioden

- 1.1 Begriffe
- 1.2 Gleichrichter
- 1.3 Glättung, Siebung
- 1.4 Spannungs-stabilisierung

- 2 Transistor (Bipolar)

- 2.1 Grenz- und Kennwerte

- 2.2 Ersatzschaltbild mit h-Parameter

- 3 Feldeffekt-transistoren (unipolare Transistoren)

- 3.1. Sperrschicht-FET (selbstleitend)
- 3.2. Insulated-Gate-FET (MOS-FET)
- 3.3. Ersatzschaltbild mit y-Parameter

- 4 Bipolar-Tran-sistor als Verstärker

- 4.1 Grundschaltungen des bipolaren Tran-sistors

- 4.2 Arbeitspunkteinstel-lung, -stabilisierung

- 4.3 Dimensionierung von Schaltungen

- 5 FET-Transistor als Verstärker

- 5.1 Arbeitspunkt-einstellung und -stabilisierung

- 5.2 Dimensionierung von Schaltungen

- 6 Mehrstufige Verstärker
- 7 Endstufen
- 8 Operations-verstärker

- 9 Elektronische Schalter, Kippstufen

- 9.1 Transistor als Schalter

- 9.2 Kippschaltungen mit Transistoren

- 9.3 Kippschaltungen mit Operations-verstärker

- 10 Optoelektronik

- 11 Leistungs-elektronik

6 Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

- 1 Grundlagen der zeichnerischen Darstellung

- 1.1 Normen für technische Zeichnungen
- 1.2 Darstellung und Bemaßung von Körpern
- 1.3 ISO-Toleranzsystem
- 1.4 Projektion
- 1.5 Schnitte

- 1.6 Gewinde und
Schrauben

- 1.7 Normteile und Konstruktions-elemente

- 1.8 Wichtige Normteile des Maschinen-baues

- 2 Schaltungs-unterlagen

- 2.1 VDE-Bestimmungen (Auszug)

- 2.2 Diagramme

- 2.3 Schaltzeichen nach DIN EN 61082 und DIN EN 60617

- 2.4 Elektrische Betriebsmittel

- 2.5 Schaltungsunter-lagen der Energie-technik

7 Datentechnik

- 1 Grundlagen

- 1.1 Begriffe
- 1.2 Grundverknüpfungen
- 1.3 Gesetze und Regeln der Schaltalgebra
- 1.4 Normalform einer binären Funktion

- 1.5 Ersatz der Grundfunktion durch NAND- und NOR-Technik

- 1.6 Schaltungs-vereinfachung

- 2 Zahlen in Rechenanlagen

- 2.1 Zahlensysteme

- 2.2 Rechnen mit Dualzahlen

- 2.3 Darstellung im Einer- und Zweierkomplement

- 3 Codes

- 4 Digitale Grund-schaltungen

- 4.1 Schaltnetze

- 4.2 Schaltwerke

- 4.2.1 Allgemein
- 4.2.2 Flip-Flops
- 4.2.3 Schieberegister,Zähler,Frequenzteiler

- 5 Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

- 5.1 Begriffe

- 5.2 Standardbausteine

- 5.2.1 Technische Daten

- 5.2.2 TTL- und CMOSFamilie (IC-Auswahl)

- 5.3 Programmierbare Logikbausteine

- 6 Mikrocomputer-technik

- 6.1 Begriffe

- 6.2 Mikroprozessoren

- 6.2.1 Blockbild 8085 CPU
- 6.2.2 Kurzbeschreibung
- 6.2.3 Steuersignale und Interrupts

- 7 Halbleiter-speicher

- 7.1 Begriffe
- 7.2 Schreib-LeseSpeicher
- 7.3 Festwertspeicher
- 7.4 Speichersysteme

- 8 Mikrocontroller

- 8.1 Mikrocontroller

- 8.2 Mikrocontrollerder 8051-Familie(Auswahl)

- 8.2.1 Anschlüsse und Anschlussbelegung

- 8.2.2 Speicherorganisation

- 8.2.3 Special Function
Register

- 8.2.4 Portregister
- 8.2.5 Flags
- 8.2.6 Interrupt
- 8.2.7 Zeitgeber/Zähler(Timer/Counter)
- 8.2.8 Serielle Schnittstelle

8 Steuerungstechnik

- 1 Grundlagen der Steuerungs-technik

- 1.1 Steuerung und Regelung

- 1.2 Merkmale von Steuerungen

- 2 Speicherpro-grammierbare Steuerungen SPS

- 2.1 Die Hardware einer SPS

- 2.2 Programmierung einer SPS

- 2.2.1 Programmiersprachen

- 2.2.2 Programmieren grundlegender Funktionennach EN 61131-3 und STEP 7 (Auswahl)

- 2.3 Programmbeispiel: Wendeschütz-schaltung

- 3 Ablaufsteuerun-gen mit SPS

- 3.1 Grundlagen
- 3.2 Ablaufkette
- 3.3 Befehlsausgabe, Aktionen, Aktionsblock

- 3.4 Programmbeispiel:

- 3.4.1 Realisierung mit SR-Speicherfunktionen

- 3.4.2 Realisierung mit der Ablaufsprache ASnach EN 61131-3

- 3.4.3 Realisierung mit der Ablaufsprache ASnach S7-GRAPH

9 Messtechnik

- 1 Grundlagen

- 1.1 Begriffe
- 1.2 Einheiten
- 1.3 Messabweichung, Messfehler

- 1.4 Mittelwerte, Häufig-keitsverteilungen, Vertrauensbereich

- 2 Messverfahren zur Messung elektrischer Größen (Auswahl)

- 2.1 Spannungs- und Strommessung
- 2.2 Widerstands- und Impedanzmessung
- 2.3 Wirkleistungs-messung

- 2.4 Messung von L, C, Gütefaktor und Verlustfaktor

- 3 Messung von nichtelektri-schen Größen (Auswahl)

- 3.1 Widerstandsaufnehmer
- 3.2 Kapazitive Aufnehmer
- 3.3 Induktive Aufnehmer
- 3.4 Drehzahlmessung, Drehfrequenz-messung
- 3.5 Weg- und Winkelmessung

- 4 Messdaten-aufbereitung

- 5 Bussysteme für die Messtechnik

- 5.1 IEC-Bus
- 5.2 Aktor-SensorInterface, ASI
- 5.3 DIN-Messbus, DIN 66 348, Teil 2

10 Energietechnik

- 1 Elektrische Maschinen

- 1.1 Transformatoren

- 1.1.1 Begriffe
- 1.1.2 Kühlarten
- 1.1.3 Leerlauf
- 1.1.4 Belastung
- 1.1.5 Leerlaufversuch
- 1.1.6 Kurzschlussversuch
- 1.1.7 Wirkungsgrad
- 1.1.8 Drehstromtransformatoren
- 1.1.9 Parallelschalten vonTransformatoren
- 1.1.10 Spartransformatoren
- 1.1.11 Drosselspulen

- 1.2 Drehstrom-maschinen

- 1.2.1 Asynchronmaschinen

- 1.2.2 Synchronmaschinen

- 1.3 Gleichstrom-maschinen

- 1.4 Auswahl von Motoren

- 2 Elektrische Energietechnik

- 2.1 Energieträger

- 2.2 Elektrische Energie-erzeugung

- 2.2.1 Drehstromnetz

- 2.2.2 Netzstrukturen

- 2.3 Betriebsmittel der Energietechnik

- 2.3.1 Kabel

- 2.3.2 Leitungen

- 2.3.3 Spannungsfall auf Kabeln und Leitungen

- 2.4 Kurzschlussstromberechnung

- 2.5 Kompensationsanlagen

11 Nachrichtentechnik

1 Begriffe, Grundlagen

2 Signale

- 2.1 Signale im Zeit- und Frequenzbereich

- 2.2 Zufällige (stochas-tische) Signale, Rauschen

- 2.3 Verzerrungen

3 Kenngrößen einer Übertragungs-strecke / eines Systems

4 Zweitore, Vierpole

- 4.1 Grundbegriffe

- 4.2 Zweitorgleichungen und Zusammen-schaltung von zwei Zweitoren

- 4.3 Betriebskenngrößen mit Lastadmittanz Ya = 1/Za bzw.Eingangsadmittanz Ye = 1/Ze

- 4.4 Spezielle Zweitore

- 4.4.1 Allgemein

- 4.4.2 Wellenparameter längssymmetrischerpassiver Zweitore

- 4.4.3 Häufig verwendete Zweitore

5 Leitungen, Kabel

- 5.1 Anordnungen, Leitungsbeläge
- 5.2 Leitungsgleichun-gen, Lösungen
- 5.3 Leitungskenngrößen

- 5.4 Leitungen mit belie-biger Lastimpedanz am Leitungsende

- 5.5 Sonderfälle

- 5.6 Daten von Leitungen

- 5.7 Hochfrequenz-leitungen

- 5.7.1 Hochfrequenz Koaxialkabel
- 5.7.2 Hohlleiter
- 5.7.3 Streifenleitungen

- 5.8 s-Parameter

- 5.8.1 Signalflussdiagramm

- 5.8.2 Leistungsverstärkung

- 5.9 Kreisdiagramm

- 5.9.1 Grundlagen

- 5.9.2 s-Parameter im Kreisdiagramm

6 Modulation

- 6.1 Grundlagen

- 6.2 Sinusträger, mit Analogsignal moduliert

- 6.3 Sinusträger, mit Digitalsignal moduliert

- 6.4 Pulsträger-modulation, Träger uncodiert

7 Filter

- 7.1 Begriffe
- 7.2 Passive R-C-Tiefpassfilter
- 7.3 Passive R-C-Hoch-passfilter

- 7.4 Schwingkreis als Bandpass und Bandsperre

- 7.5 Bandfilter

8 Empfänger-schaltungstechnik

9 Ton- und Bildübertragung

- 9.1 Rundfunk-Stereo-übertragung

- 9.2 FernsehBildübertragung

- 9.2.1 Farbfernseh-Bildübertragung (analog)

- 9.2.2 Farbfernsehbildübertragung (digital)

10 Mehrfachüber-tragung – Multi-plexverfahren
11 Richtfunktechnik
12 Nachrichten-übertragung über Satellit
13 Lichtwellenleiter (LWL)
14 Funkmess-technik – Radar
15 Elektroakustik – Grundbegriffe
16 Vermittlungs-technik – Verkehrstheorie

17 Kommunikations-und Datennetze

- 17.1 Lokale Kommunikations- und Datennetze, LAN

- 17.2 Öffentliche Kommunikations-und Datennetze (Auswahl)

18 Optimierte Nachrichten-und Daten-übertragung

- 18.1 Quellenkodierung

- 18.2 Kanalkodierung

12 Signal- und Systemtheorie

- 1 Einführung

- 2 Grundbegriffe

- 3 Periodische nichtsinusförmige zeitkontinuierli-che Signale

- 4 Nichtperiodische zeitkontinuierli-che Signale

- 4.1 Fouriertransformation

- 4.2 Laplacetransformation

- 5 Spezielle Signale
- 6 Leistung
- 7 Faltungsintegral
- 8 Abtasttheorem

- 9 Nichtkontinu-ierliche (zeitdis-krete) Signale

- 9.1 Diskrete Fourier-transformation (DFT)

- 9.2 z-Transformation

- 10 Zufällige (sto-chastische, nichtdeterminis-tische) Signale

- 11 Signalerken-nung bei gestör-ter Übertragung

Sachwortverzeichnis

Table of Contents

Vorwort zur 2., korrigierten Auflage

Inhaltsverzeichnis

1 Mathematik

1 Arithmetik

- 1.1 Mengen
- 1.2 Zahlenmengen
- 1.3 Grundrechenarten
- 1.4 Binomische Formeln
- 1.5 Bruchrechnung
- 1.6 Potenzrechnung
- 1.7 Wurzelrechnung
- 1.8 Logarithmen
- 1.9 Mittelwerte
- 1.10 Absolutbetrag
- 1.11 Intervalle
- 1.12 Komplexe Zahlen

1.1 Mengen
1.2 Zahlenmengen
1.3 Grundrechenarten
1.4 Binomische Formeln
1.5 Bruchrechnung
1.6 Potenzrechnung
1.7 Wurzelrechnung
1.8 Logarithmen
1.9 Mittelwerte
1.10 Absolutbetrag
1.11 Intervalle
1.12 Komplexe Zahlen

2 Gleichungen

- 2.1 Gleichungsarten
- 2.2 Äquivalente Umformungen
- 2.3 Lineare Gleichungen
- 2.4 Quadratische Gleichungen
- 2.5 Kubische Gleichungen
- 2.6 Polynome

- 2.7 Auf algebraische Gleichungen zurückführbare Gleichungen

- 2.8 Transzendente Gleichungen

- 2.9 Lineare Gleichungs-systeme

2.1 Gleichungsarten
2.2 Äquivalente Umformungen
2.3 Lineare Gleichungen
2.4 Quadratische Gleichungen
2.5 Kubische Gleichungen
2.6 Polynome

2.7 Auf algebraische Gleichungen zurückführbare Gleichungen

2.8 Transzendente Gleichungen

2.9 Lineare Gleichungs-systeme

3 Planimetrie

- 3.1 Geraden und Strecken
- 3.2 Winkel
- 3.3 Projektionen
- 3.4 Dreiecke
- 3.5 Vierecke
- 3.6 Reguläre
- 3.7 Kreise
- 3.8 Symmetrie
- 3.9 Ähnlichkeit

3.1 Geraden und Strecken
3.2 Winkel
3.3 Projektionen
3.4 Dreiecke
3.5 Vierecke
3.6 Reguläre
3.7 Kreise
3.8 Symmetrie
3.9 Ähnlichkeit

4 Stereometrie

- 4.1 Prismen
- 4.2 Zylinder
- 4.3 Pyramiden
- 4.4 Kegel
- 4.5 Cavalierisches Prinzip
- 4.6 Polyeder
- 4.7 Kugeln

4.1 Prismen
4.2 Zylinder
4.3 Pyramiden
4.4 Kegel
4.5 Cavalierisches Prinzip
4.6 Polyeder
4.7 Kugeln

5 Funktionen

- 5.1 Definition und Darstellungen
- 5.2 Verhalten von Funktionen
- 5.3 Einteilung der elementaren Funktionen
- 5.4 Ganze rationale Funktionen
- 5.5 Gebrochene rationale Funktionen
- 5.6 Irrationale Funktionen
- 5.7 Transzendente Funktionen

5.1 Definition und Darstellungen
5.2 Verhalten von Funktionen
5.3 Einteilung der elementaren Funktionen
5.4 Ganze rationale Funktionen
5.5 Gebrochene rationale Funktionen
5.6 Irrationale Funktionen
5.7 Transzendente Funktionen

6 Trigonometrie

- 6.1 Definition der trigonometrischen Funktionen

- 6.2 Trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel

- 6.3 Beziehungen für den gleichen Winkel

- 6.4 Graphen der trigonometrischen Funktionen

- 6.5 Reduktionsformeln
- 6.6 Sinussatz und Kosinussatz
- 6.7 Arkusfunktionen

6.1 Definition der trigonometrischen Funktionen

6.2 Trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel

6.3 Beziehungen für den gleichen Winkel
6.4 Graphen der trigonometrischen Funktionen
6.5 Reduktionsformeln
6.6 Sinussatz und Kosinussatz
6.7 Arkusfunktionen

7 Analytische Geometrie

- 7.1 Koordinatensysteme
- 7.2 Geraden
- 7.3 Kreise
- 7.4 Kugeln
- 7.5 Kegelschnitte

7.1 Koordinatensysteme
7.2 Geraden
7.3 Kreise
7.4 Kugeln
7.5 Kegelschnitte

8 Differenzialund Integralrechnung

- 8.1 Folgen
- 8.2 Reihen
- 8.3 Grenzwerte von Funktionen
- 8.4 Ableitung einer Funktion
- 8.5 Integralrechnung

8.1 Folgen
8.2 Reihen
8.3 Grenzwerte von Funktionen
8.4 Ableitung einer Funktion
8.5 Integralrechnung

1 Arithmetik

- 1.1 Mengen
- 1.2 Zahlenmengen
- 1.3 Grundrechenarten
- 1.4 Binomische Formeln
- 1.5 Bruchrechnung
- 1.6 Potenzrechnung
- 1.7 Wurzelrechnung
- 1.8 Logarithmen
- 1.9 Mittelwerte
- 1.10 Absolutbetrag
- 1.11 Intervalle
- 1.12 Komplexe Zahlen

1.1 Mengen
1.2 Zahlenmengen
1.3 Grundrechenarten
1.4 Binomische Formeln
1.5 Bruchrechnung
1.6 Potenzrechnung
1.7 Wurzelrechnung
1.8 Logarithmen
1.9 Mittelwerte
1.10 Absolutbetrag
1.11 Intervalle
1.12 Komplexe Zahlen

2 Gleichungen

- 2.1 Gleichungsarten
- 2.2 Äquivalente Umformungen
- 2.3 Lineare Gleichungen
- 2.4 Quadratische Gleichungen
- 2.5 Kubische Gleichungen
- 2.6 Polynome

- 2.7 Auf algebraische Gleichungen zurückführbare Gleichungen

- 2.8 Transzendente Gleichungen

- 2.9 Lineare Gleichungs-systeme

2.1 Gleichungsarten
2.2 Äquivalente Umformungen
2.3 Lineare Gleichungen
2.4 Quadratische Gleichungen
2.5 Kubische Gleichungen
2.6 Polynome

2.7 Auf algebraische Gleichungen zurückführbare Gleichungen

2.8 Transzendente Gleichungen

2.9 Lineare Gleichungs-systeme

3 Planimetrie

- 3.1 Geraden und Strecken
- 3.2 Winkel
- 3.3 Projektionen
- 3.4 Dreiecke
- 3.5 Vierecke
- 3.6 Reguläre
- 3.7 Kreise
- 3.8 Symmetrie
- 3.9 Ähnlichkeit

3.1 Geraden und Strecken
3.2 Winkel
3.3 Projektionen
3.4 Dreiecke
3.5 Vierecke
3.6 Reguläre
3.7 Kreise
3.8 Symmetrie
3.9 Ähnlichkeit

4 Stereometrie

- 4.1 Prismen
- 4.2 Zylinder
- 4.3 Pyramiden
- 4.4 Kegel
- 4.5 Cavalierisches Prinzip
- 4.6 Polyeder
- 4.7 Kugeln

4.1 Prismen
4.2 Zylinder
4.3 Pyramiden
4.4 Kegel
4.5 Cavalierisches Prinzip
4.6 Polyeder
4.7 Kugeln

5 Funktionen

- 5.1 Definition und Darstellungen
- 5.2 Verhalten von Funktionen
- 5.3 Einteilung der elementaren Funktionen
- 5.4 Ganze rationale Funktionen
- 5.5 Gebrochene rationale Funktionen
- 5.6 Irrationale Funktionen
- 5.7 Transzendente Funktionen

5.1 Definition und Darstellungen
5.2 Verhalten von Funktionen
5.3 Einteilung der elementaren Funktionen
5.4 Ganze rationale Funktionen
5.5 Gebrochene rationale Funktionen
5.6 Irrationale Funktionen
5.7 Transzendente Funktionen

6 Trigonometrie

- 6.1 Definition der trigonometrischen Funktionen

- 6.2 Trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel

- 6.3 Beziehungen für den gleichen Winkel

- 6.4 Graphen der trigonometrischen Funktionen

- 6.5 Reduktionsformeln
- 6.6 Sinussatz und Kosinussatz
- 6.7 Arkusfunktionen

6.1 Definition der trigonometrischen Funktionen

6.2 Trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel

6.3 Beziehungen für den gleichen Winkel
6.4 Graphen der trigonometrischen Funktionen
6.5 Reduktionsformeln
6.6 Sinussatz und Kosinussatz
6.7 Arkusfunktionen

7 Analytische Geometrie

- 7.1 Koordinatensysteme
- 7.2 Geraden
- 7.3 Kreise
- 7.4 Kugeln
- 7.5 Kegelschnitte

7.1 Koordinatensysteme
7.2 Geraden
7.3 Kreise
7.4 Kugeln
7.5 Kegelschnitte

8 Differenzialund Integralrechnung

- 8.1 Folgen
- 8.2 Reihen
- 8.3 Grenzwerte von Funktionen
- 8.4 Ableitung einer Funktion
- 8.5 Integralrechnung

8.1 Folgen
8.2 Reihen
8.3 Grenzwerte von Funktionen
8.4 Ableitung einer Funktion
8.5 Integralrechnung

2 Physik

1 Einführung

- 1.1 Physikalische Größen

- 1.2 SI-System

1.1 Physikalische Größen

1.2 SI-System

2 Mechanik

- 2.1 Kinematik

- 2.1.1 GleichförmigeBewegung
- 2.1.2 GleichmäßigbeschleunigteBewegung
- 2.1.3 Freier Fall
- 2.1.4 Senkrechter Wurf
- 2.1.5 Schiefer Wurf
- 2.1.6 Kreisbewegung,Rotation

- 2.1.1 GleichförmigeBewegung
- 2.1.2 GleichmäßigbeschleunigteBewegung
- 2.1.3 Freier Fall
- 2.1.4 Senkrechter Wurf
- 2.1.5 Schiefer Wurf
- 2.1.6 Kreisbewegung,Rotation

- 2.2 Dynamik

- 2.2.1 Newtonsche Axiome
- 2.2.2 Kraft
- 2.2.3 Impuls, Drehimpuls
- 2.2.4 Arbeit, Energie
- 2.2.5 Leistung, Wirkungsgrad
- 2.2.6 Trägheitsmoment
- 2.2.7 Drehmoment

- 2.2.1 Newtonsche Axiome
- 2.2.2 Kraft
- 2.2.3 Impuls, Drehimpuls
- 2.2.4 Arbeit, Energie
- 2.2.5 Leistung, Wirkungsgrad
- 2.2.6 Trägheitsmoment
- 2.2.7 Drehmoment

2.1 Kinematik

- 2.1.1 GleichförmigeBewegung
- 2.1.2 GleichmäßigbeschleunigteBewegung
- 2.1.3 Freier Fall
- 2.1.4 Senkrechter Wurf
- 2.1.5 Schiefer Wurf
- 2.1.6 Kreisbewegung,Rotation

2.1.1 GleichförmigeBewegung
2.1.2 GleichmäßigbeschleunigteBewegung
2.1.3 Freier Fall
2.1.4 Senkrechter Wurf
2.1.5 Schiefer Wurf
2.1.6 Kreisbewegung,Rotation

2.2 Dynamik

- 2.2.1 Newtonsche Axiome
- 2.2.2 Kraft
- 2.2.3 Impuls, Drehimpuls
- 2.2.4 Arbeit, Energie
- 2.2.5 Leistung, Wirkungsgrad
- 2.2.6 Trägheitsmoment
- 2.2.7 Drehmoment

2.2.1 Newtonsche Axiome
2.2.2 Kraft
2.2.3 Impuls, Drehimpuls
2.2.4 Arbeit, Energie
2.2.5 Leistung, Wirkungsgrad
2.2.6 Trägheitsmoment
2.2.7 Drehmoment

3 Flüssigkeiten und Gase

- 3.1 Druck
- 3.2 Auftrieb
- 3.3 Hydrodynamik

3.1 Druck
3.2 Auftrieb
3.3 Hydrodynamik

4 Thermodynamik

- 4.1 Temperaturskalen, Ausdehnung von Stoffen

- 4.2 Ideale Gase

- 4.3 Wärmeleitung, Wärmestrahlung

4.1 Temperaturskalen, Ausdehnung von Stoffen
4.2 Ideale Gase
4.3 Wärmeleitung, Wärmestrahlung

5 Harmonische Schwingungen

- 5.1 Ungedämpfte Schwingungen
- 5.2 Gedämpfte Schwingungen
- 5.3 Erzwungene Schwingungen, Resonanz

5.1 Ungedämpfte Schwingungen
5.2 Gedämpfte Schwingungen
5.3 Erzwungene Schwingungen, Resonanz

6 Wellen

- 6.1 Ausbreitung
- 6.2 Reflexion, Brechung
- 6.3 Beugung

6.1 Ausbreitung
6.2 Reflexion, Brechung
6.3 Beugung

7 Optik

- 7.1 Geometrische Optik, Abbildung durch Linsen

- 7.2 Photometrie

7.1 Geometrische Optik, Abbildung durch Linsen

7.2 Photometrie

8 Naturkonstante

1 Einführung

- 1.1 Physikalische Größen

- 1.2 SI-System

1.1 Physikalische Größen

1.2 SI-System

2 Mechanik

- 2.1 Kinematik

- 2.1.1 GleichförmigeBewegung
- 2.1.2 GleichmäßigbeschleunigteBewegung
- 2.1.3 Freier Fall
- 2.1.4 Senkrechter Wurf
- 2.1.5 Schiefer Wurf
- 2.1.6 Kreisbewegung,Rotation

- 2.1.1 GleichförmigeBewegung
- 2.1.2 GleichmäßigbeschleunigteBewegung
- 2.1.3 Freier Fall
- 2.1.4 Senkrechter Wurf
- 2.1.5 Schiefer Wurf
- 2.1.6 Kreisbewegung,Rotation

- 2.2 Dynamik

- 2.2.1 Newtonsche Axiome
- 2.2.2 Kraft
- 2.2.3 Impuls, Drehimpuls
- 2.2.4 Arbeit, Energie
- 2.2.5 Leistung, Wirkungsgrad
- 2.2.6 Trägheitsmoment
- 2.2.7 Drehmoment

- 2.2.1 Newtonsche Axiome
- 2.2.2 Kraft
- 2.2.3 Impuls, Drehimpuls
- 2.2.4 Arbeit, Energie
- 2.2.5 Leistung, Wirkungsgrad
- 2.2.6 Trägheitsmoment
- 2.2.7 Drehmoment

2.1 Kinematik

- 2.1.1 GleichförmigeBewegung
- 2.1.2 GleichmäßigbeschleunigteBewegung
- 2.1.3 Freier Fall
- 2.1.4 Senkrechter Wurf
- 2.1.5 Schiefer Wurf
- 2.1.6 Kreisbewegung,Rotation

2.1.1 GleichförmigeBewegung
2.1.2 GleichmäßigbeschleunigteBewegung
2.1.3 Freier Fall
2.1.4 Senkrechter Wurf
2.1.5 Schiefer Wurf
2.1.6 Kreisbewegung,Rotation

2.2 Dynamik

- 2.2.1 Newtonsche Axiome
- 2.2.2 Kraft
- 2.2.3 Impuls, Drehimpuls
- 2.2.4 Arbeit, Energie
- 2.2.5 Leistung, Wirkungsgrad
- 2.2.6 Trägheitsmoment
- 2.2.7 Drehmoment

2.2.1 Newtonsche Axiome
2.2.2 Kraft
2.2.3 Impuls, Drehimpuls
2.2.4 Arbeit, Energie
2.2.5 Leistung, Wirkungsgrad
2.2.6 Trägheitsmoment
2.2.7 Drehmoment

3 Flüssigkeiten und Gase

- 3.1 Druck
- 3.2 Auftrieb
- 3.3 Hydrodynamik

3.1 Druck
3.2 Auftrieb
3.3 Hydrodynamik

4 Thermodynamik

- 4.1 Temperaturskalen, Ausdehnung von Stoffen

- 4.2 Ideale Gase

- 4.3 Wärmeleitung, Wärmestrahlung

4.1 Temperaturskalen, Ausdehnung von Stoffen
4.2 Ideale Gase
4.3 Wärmeleitung, Wärmestrahlung

5 Harmonische Schwingungen

- 5.1 Ungedämpfte Schwingungen
- 5.2 Gedämpfte Schwingungen
- 5.3 Erzwungene Schwingungen, Resonanz

5.1 Ungedämpfte Schwingungen
5.2 Gedämpfte Schwingungen
5.3 Erzwungene Schwingungen, Resonanz

6 Wellen

- 6.1 Ausbreitung
- 6.2 Reflexion, Brechung
- 6.3 Beugung

6.1 Ausbreitung
6.2 Reflexion, Brechung
6.3 Beugung

7 Optik

- 7.1 Geometrische Optik, Abbildung durch Linsen

- 7.2 Photometrie

7.1 Geometrische Optik, Abbildung durch Linsen

7.2 Photometrie

8 Naturkonstante

3 Werkstoffkunde

- 1 Stoffe

- 1.1 Eigenschaften der Stoffe
- 1.2 Atombau und Periodensystem
- 1.3 Aufbau der festen Körper
- 1.4 Chemische Grund-zusammenhänge
- 1.5 Elektrochemie

- 1.1 Eigenschaften der Stoffe
- 1.2 Atombau und Periodensystem
- 1.3 Aufbau der festen Körper
- 1.4 Chemische Grund-zusammenhänge
- 1.5 Elektrochemie

- 2 Elektrische Leitfähigkeit

- 2.1 Leitungs-mechanismus
- 2.2 Isolator
- 2.3 Halbleiter
- 2.4 Normalleiter
- 2.5 Supraleiter
- 2.6 Halleffekt

- 2.1 Leitungs-mechanismus
- 2.2 Isolator
- 2.3 Halbleiter
- 2.4 Normalleiter
- 2.5 Supraleiter
- 2.6 Halleffekt

- 3 Elektrische Leiter

- 3.1 Normalleiter
- 3.2 Halbleiter
- 3.3 Supraleiter

- 3.1 Normalleiter
- 3.2 Halbleiter
- 3.3 Supraleiter

- 4 Magnetische Leitfähigkeit

- 4.1 Modellvorstellung
- 4.2 Verhalten von Materie im Magnet-feld
- 4.3 Magnetisierung
- 4.4 Magnetisierungs-kurve
- 4.5 Permeabilität

- 4.1 Modellvorstellung
- 4.2 Verhalten von Materie im Magnet-feld
- 4.3 Magnetisierung
- 4.4 Magnetisierungs-kurve
- 4.5 Permeabilität

- 5 Magnetika

- 5.1 Weichmagnetika

- 5.2 Hartmagnetika (Dauermagnete)

- 5.1 Weichmagnetika

- 5.2 Hartmagnetika (Dauermagnete)

- 6 Dielektrische Eigenschaften

- 6.1 Modellvorstellungen zur dielektrischen Polarisation

- 6.2 Materialeinteilung

- 6.2.1 Dielektrische Materialien

- 6.2.2 Elektrische Materialien

- 6.2.1 Dielektrische Materialien

- 6.2.2 Elektrische Materialien

- 6.1 Modellvorstellungen zur dielektrischen Polarisation

- 6.2 Materialeinteilung

- 6.2.1 Dielektrische Materialien

- 6.2.2 Elektrische Materialien

- 6.2.1 Dielektrische Materialien

- 6.2.2 Elektrische Materialien

- 7 Dielektrika

- 7.1 Natürliche anorgani-sche Dielektrika
- 7.2 Natürliche organi-sche Dielektrika
- 7.3 Künstliche anorga-nische Dielektrika
- 7.4 Künstliche organi-sche Dielektrika
- 7.5 Silikone

- 7.1 Natürliche anorgani-sche Dielektrika
- 7.2 Natürliche organi-sche Dielektrika
- 7.3 Künstliche anorga-nische Dielektrika
- 7.4 Künstliche organi-sche Dielektrika
- 7.5 Silikone
- 8 Literatur-hinweise

1 Stoffe

- 1.1 Eigenschaften der Stoffe
- 1.2 Atombau und Periodensystem
- 1.3 Aufbau der festen Körper
- 1.4 Chemische Grund-zusammenhänge
- 1.5 Elektrochemie

1.1 Eigenschaften der Stoffe
1.2 Atombau und Periodensystem
1.3 Aufbau der festen Körper
1.4 Chemische Grund-zusammenhänge
1.5 Elektrochemie

2 Elektrische Leitfähigkeit

- 2.1 Leitungs-mechanismus
- 2.2 Isolator
- 2.3 Halbleiter
- 2.4 Normalleiter
- 2.5 Supraleiter
- 2.6 Halleffekt

2.1 Leitungs-mechanismus
2.2 Isolator
2.3 Halbleiter
2.4 Normalleiter
2.5 Supraleiter
2.6 Halleffekt

3 Elektrische Leiter

- 3.1 Normalleiter
- 3.2 Halbleiter
- 3.3 Supraleiter

3.1 Normalleiter
3.2 Halbleiter
3.3 Supraleiter

4 Magnetische Leitfähigkeit

- 4.1 Modellvorstellung
- 4.2 Verhalten von Materie im Magnet-feld
- 4.3 Magnetisierung
- 4.4 Magnetisierungs-kurve
- 4.5 Permeabilität

4.1 Modellvorstellung
4.2 Verhalten von Materie im Magnet-feld
4.3 Magnetisierung
4.4 Magnetisierungs-kurve
4.5 Permeabilität

5 Magnetika

- 5.1 Weichmagnetika

- 5.2 Hartmagnetika (Dauermagnete)

5.1 Weichmagnetika

5.2 Hartmagnetika (Dauermagnete)

6 Dielektrische Eigenschaften

- 6.1 Modellvorstellungen zur dielektrischen Polarisation

- 6.2 Materialeinteilung

- 6.2.1 Dielektrische Materialien

- 6.2.2 Elektrische Materialien

- 6.2.1 Dielektrische Materialien

- 6.2.2 Elektrische Materialien

6.1 Modellvorstellungen zur dielektrischen Polarisation

6.2 Materialeinteilung

- 6.2.1 Dielektrische Materialien

- 6.2.2 Elektrische Materialien

6.2.1 Dielektrische Materialien

6.2.2 Elektrische Materialien

7 Dielektrika

- 7.1 Natürliche anorgani-sche Dielektrika
- 7.2 Natürliche organi-sche Dielektrika
- 7.3 Künstliche anorga-nische Dielektrika
- 7.4 Künstliche organi-sche Dielektrika
- 7.5 Silikone

7.1 Natürliche anorgani-sche Dielektrika
7.2 Natürliche organi-sche Dielektrika
7.3 Künstliche anorga-nische Dielektrika
7.4 Künstliche organi-sche Dielektrika
7.5 Silikone
8 Literatur-hinweise

4 Elektrotechnik

- 1 Grundbegriffe

- 2 Der Gleich-stromkreis

- 2.1 Kirchhoffsche Gesetze
- 2.2 Schaltung von Widerständen
- 2.3 Energie, Leistung, Wirkungsgrad

- 2.1 Kirchhoffsche Gesetze
- 2.2 Schaltung von Widerständen
- 2.3 Energie, Leistung, Wirkungsgrad

- 3 Das Elektrische Feld

- 3.1 Grundgrößen

- 3.2 Kondensatoren

- 3.2.1 Kapazität

- 3.2.2 Schaltungen mit Kondensatoren

- 3.2.1 Kapazität

- 3.2.2 Schaltungen mit Kondensatoren

- 3.1 Grundgrößen

- 3.2 Kondensatoren

- 3.2.1 Kapazität

- 3.2.2 Schaltungen mit Kondensatoren

- 3.2.1 Kapazität

- 3.2.2 Schaltungen mit Kondensatoren

- 4 Das Magnetische Feld

- 4.1 Grundgrößen

- 4.2 Kräfte im Magnetfeld

- 4.2.1 Kräfte auf Ladungen

- 4.2.2 Kräfte auf Leiter

- 4.2.1 Kräfte auf Ladungen

- 4.2.2 Kräfte auf Leiter

- 4.3 Materie im Magnetfeld

- 4.3.1 Definitionen

- 4.3.2 Stoffmagnetismus

- 4.3.1 Definitionen
- 4.3.2 Stoffmagnetismus
- 4.4 Magnetische Kreise

- 4.1 Grundgrößen

- 4.2 Kräfte im Magnetfeld

- 4.2.1 Kräfte auf Ladungen

- 4.2.2 Kräfte auf Leiter

- 4.2.1 Kräfte auf Ladungen

- 4.2.2 Kräfte auf Leiter

- 4.3 Materie im Magnetfeld

- 4.3.1 Definitionen

- 4.3.2 Stoffmagnetismus

- 4.3.1 Definitionen
- 4.3.2 Stoffmagnetismus
- 4.4 Magnetische Kreise

- 5 Induktion

- 5.1 Induktionsgesetz
- 5.2 Induktivität von Spulen
- 5.3 Ein- und Ausschalt-vorgänge

- 5.1 Induktionsgesetz
- 5.2 Induktivität von Spulen
- 5.3 Ein- und Ausschalt-vorgänge

1 Grundbegriffe

2 Der Gleich-stromkreis

- 2.1 Kirchhoffsche Gesetze
- 2.2 Schaltung von Widerständen
- 2.3 Energie, Leistung, Wirkungsgrad

2.1 Kirchhoffsche Gesetze
2.2 Schaltung von Widerständen
2.3 Energie, Leistung, Wirkungsgrad

3 Das Elektrische Feld

- 3.1 Grundgrößen

- 3.2 Kondensatoren

- 3.2.1 Kapazität

- 3.2.2 Schaltungen mit Kondensatoren

- 3.2.1 Kapazität

- 3.2.2 Schaltungen mit Kondensatoren

3.1 Grundgrößen

3.2 Kondensatoren

- 3.2.1 Kapazität

- 3.2.2 Schaltungen mit Kondensatoren

3.2.1 Kapazität

3.2.2 Schaltungen mit Kondensatoren

4 Das Magnetische Feld

- 4.1 Grundgrößen

- 4.2 Kräfte im Magnetfeld

- 4.2.1 Kräfte auf Ladungen

- 4.2.2 Kräfte auf Leiter

- 4.2.1 Kräfte auf Ladungen

- 4.2.2 Kräfte auf Leiter

- 4.3 Materie im Magnetfeld

- 4.3.1 Definitionen

- 4.3.2 Stoffmagnetismus

- 4.3.1 Definitionen
- 4.3.2 Stoffmagnetismus
- 4.4 Magnetische Kreise

4.1 Grundgrößen

4.2 Kräfte im Magnetfeld

- 4.2.1 Kräfte auf Ladungen

- 4.2.2 Kräfte auf Leiter

4.2.1 Kräfte auf Ladungen

4.2.2 Kräfte auf Leiter

4.3 Materie im Magnetfeld

- 4.3.1 Definitionen

- 4.3.2 Stoffmagnetismus

4.3.1 Definitionen
4.3.2 Stoffmagnetismus
4.4 Magnetische Kreise

5 Induktion

- 5.1 Induktionsgesetz
- 5.2 Induktivität von Spulen
- 5.3 Ein- und Ausschalt-vorgänge

5.1 Induktionsgesetz
5.2 Induktivität von Spulen
5.3 Ein- und Ausschalt-vorgänge

5 Elektronik

- 1 Dioden

- 1.1 Begriffe
- 1.2 Gleichrichter
- 1.3 Glättung, Siebung
- 1.4 Spannungs-stabilisierung

- 1.1 Begriffe
- 1.2 Gleichrichter
- 1.3 Glättung, Siebung
- 1.4 Spannungs-stabilisierung

- 2 Transistor (Bipolar)

- 2.1 Grenz- und Kennwerte

- 2.2 Ersatzschaltbild mit h-Parameter

- 2.1 Grenz- und Kennwerte

- 2.2 Ersatzschaltbild mit h-Parameter

- 3 Feldeffekt-transistoren (unipolare Transistoren)

- 3.1. Sperrschicht-FET (selbstleitend)
- 3.2. Insulated-Gate-FET (MOS-FET)
- 3.3. Ersatzschaltbild mit y-Parameter

- 3.1. Sperrschicht-FET (selbstleitend)
- 3.2. Insulated-Gate-FET (MOS-FET)
- 3.3. Ersatzschaltbild mit y-Parameter

- 4 Bipolar-Tran-sistor als Verstärker

- 4.1 Grundschaltungen des bipolaren Tran-sistors

- 4.2 Arbeitspunkteinstel-lung, -stabilisierung

- 4.3 Dimensionierung von Schaltungen

- 4.1 Grundschaltungen des bipolaren Tran-sistors

- 4.2 Arbeitspunkteinstel-lung, -stabilisierung

- 4.3 Dimensionierung von Schaltungen

- 5 FET-Transistor als Verstärker

- 5.1 Arbeitspunkt-einstellung und -stabilisierung

- 5.2 Dimensionierung von Schaltungen

- 5.1 Arbeitspunkt-einstellung und -stabilisierung

- 5.2 Dimensionierung von Schaltungen
- 6 Mehrstufige Verstärker
- 7 Endstufen
- 8 Operations-verstärker

- 9 Elektronische Schalter, Kippstufen

- 9.1 Transistor als Schalter

- 9.2 Kippschaltungen mit Transistoren

- 9.3 Kippschaltungen mit Operations-verstärker

- 9.1 Transistor als Schalter

- 9.2 Kippschaltungen mit Transistoren

- 9.3 Kippschaltungen mit Operations-verstärker

- 10 Optoelektronik

- 11 Leistungs-elektronik

1 Dioden

- 1.1 Begriffe
- 1.2 Gleichrichter
- 1.3 Glättung, Siebung
- 1.4 Spannungs-stabilisierung

1.1 Begriffe
1.2 Gleichrichter
1.3 Glättung, Siebung
1.4 Spannungs-stabilisierung

2 Transistor (Bipolar)

- 2.1 Grenz- und Kennwerte

- 2.2 Ersatzschaltbild mit h-Parameter

2.1 Grenz- und Kennwerte

2.2 Ersatzschaltbild mit h-Parameter

3 Feldeffekt-transistoren (unipolare Transistoren)

- 3.1. Sperrschicht-FET (selbstleitend)
- 3.2. Insulated-Gate-FET (MOS-FET)
- 3.3. Ersatzschaltbild mit y-Parameter

3.1. Sperrschicht-FET (selbstleitend)
3.2. Insulated-Gate-FET (MOS-FET)
3.3. Ersatzschaltbild mit y-Parameter

4 Bipolar-Tran-sistor als Verstärker

- 4.1 Grundschaltungen des bipolaren Tran-sistors

- 4.2 Arbeitspunkteinstel-lung, -stabilisierung

- 4.3 Dimensionierung von Schaltungen

4.1 Grundschaltungen des bipolaren Tran-sistors

4.2 Arbeitspunkteinstel-lung, -stabilisierung

4.3 Dimensionierung von Schaltungen

5 FET-Transistor als Verstärker

- 5.1 Arbeitspunkt-einstellung und -stabilisierung

- 5.2 Dimensionierung von Schaltungen

5.1 Arbeitspunkt-einstellung und -stabilisierung

5.2 Dimensionierung von Schaltungen
6 Mehrstufige Verstärker
7 Endstufen
8 Operations-verstärker

9 Elektronische Schalter, Kippstufen

- 9.1 Transistor als Schalter

- 9.2 Kippschaltungen mit Transistoren

- 9.3 Kippschaltungen mit Operations-verstärker

9.1 Transistor als Schalter
9.2 Kippschaltungen mit Transistoren
9.3 Kippschaltungen mit Operations-verstärker
10 Optoelektronik
11 Leistungs-elektronik

6 Technische Kommunikation/Technisches Zeichnen

- 1 Grundlagen der zeichnerischen Darstellung

- 1.1 Normen für technische Zeichnungen
- 1.2 Darstellung und Bemaßung von Körpern
- 1.3 ISO-Toleranzsystem
- 1.4 Projektion
- 1.5 Schnitte
- 1.6 Gewinde und Schrauben
- 1.7 Normteile und Konstruktions-elemente
- 1.8 Wichtige Normteile des Maschinen-baues

- 1.1 Normen für technische Zeichnungen
- 1.2 Darstellung und Bemaßung von Körpern
- 1.3 ISO-Toleranzsystem
- 1.4 Projektion
- 1.5 Schnitte
- 1.6 Gewinde und Schrauben
- 1.7 Normteile und Konstruktions-elemente
- 1.8 Wichtige Normteile des Maschinen-baues

- 2 Schaltungs-unterlagen

- 2.1 VDE-Bestimmungen (Auszug)

- 2.2 Diagramme

- 2.3 Schaltzeichen nach DIN EN 61082 und DIN EN 60617

- 2.4 Elektrische Betriebsmittel

- 2.5 Schaltungsunter-lagen der Energie-technik

- 2.1 VDE-Bestimmungen (Auszug)

- 2.2 Diagramme

- 2.3 Schaltzeichen nach DIN EN 61082 und DIN EN 60617

- 2.4 Elektrische Betriebsmittel

- 2.5 Schaltungsunter-lagen der Energie-technik

1 Grundlagen der zeichnerischen Darstellung

- 1.1 Normen für technische Zeichnungen
- 1.2 Darstellung und Bemaßung von Körpern
- 1.3 ISO-Toleranzsystem
- 1.4 Projektion
- 1.5 Schnitte
- 1.6 Gewinde und Schrauben
- 1.7 Normteile und Konstruktions-elemente
- 1.8 Wichtige Normteile des Maschinen-baues

1.1 Normen für technische Zeichnungen
1.2 Darstellung und Bemaßung von Körpern
1.3 ISO-Toleranzsystem
1.4 Projektion
1.5 Schnitte
1.6 Gewinde und Schrauben
1.7 Normteile und Konstruktions-elemente
1.8 Wichtige Normteile des Maschinen-baues

2 Schaltungs-unterlagen

- 2.1 VDE-Bestimmungen (Auszug)

- 2.2 Diagramme

- 2.3 Schaltzeichen nach DIN EN 61082 und DIN EN 60617

- 2.4 Elektrische Betriebsmittel

- 2.5 Schaltungsunter-lagen der Energie-technik

2.1 VDE-Bestimmungen (Auszug)

2.2 Diagramme

2.3 Schaltzeichen nach DIN EN 61082 und DIN EN 60617

2.4 Elektrische Betriebsmittel

2.5 Schaltungsunter-lagen der Energie-technik

7 Datentechnik

1 Grundlagen

- 1.1 Begriffe
- 1.2 Grundverknüpfungen
- 1.3 Gesetze und Regeln der Schaltalgebra
- 1.4 Normalform einer binären Funktion

- 1.5 Ersatz der Grundfunktion durch NAND- und NOR-Technik

- 1.6 Schaltungs-vereinfachung

1.1 Begriffe
1.2 Grundverknüpfungen
1.3 Gesetze und Regeln der Schaltalgebra
1.4 Normalform einer binären Funktion

1.5 Ersatz der Grundfunktion durch NAND- und NOR-Technik

1.6 Schaltungs-vereinfachung

2 Zahlen in Rechenanlagen

- 2.1 Zahlensysteme

- 2.2 Rechnen mit Dualzahlen

- 2.3 Darstellung im Einer- und Zweierkomplement

2.1 Zahlensysteme

2.2 Rechnen mit Dualzahlen

2.3 Darstellung im Einer- und Zweierkomplement

3 Codes

4 Digitale Grund-schaltungen

- 4.1 Schaltnetze

- 4.2 Schaltwerke

- 4.2.1 Allgemein
- 4.2.2 Flip-Flops
- 4.2.3 Schieberegister,Zähler,Frequenzteiler

- 4.2.1 Allgemein
- 4.2.2 Flip-Flops
- 4.2.3 Schieberegister,Zähler,Frequenzteiler

4.1 Schaltnetze

4.2 Schaltwerke

- 4.2.1 Allgemein
- 4.2.2 Flip-Flops
- 4.2.3 Schieberegister,Zähler,Frequenzteiler

4.2.1 Allgemein
4.2.2 Flip-Flops
4.2.3 Schieberegister,Zähler,Frequenzteiler

5 Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

- 5.1 Begriffe

- 5.2 Standardbausteine

- 5.2.1 Technische Daten

- 5.2.2 TTL- und CMOSFamilie (IC-Auswahl)

- 5.2.1 Technische Daten
- 5.2.2 TTL- und CMOSFamilie (IC-Auswahl)
- 5.3 Programmierbare Logikbausteine

5.1 Begriffe

5.2 Standardbausteine

- 5.2.1 Technische Daten

- 5.2.2 TTL- und CMOSFamilie (IC-Auswahl)

5.2.1 Technische Daten
5.2.2 TTL- und CMOSFamilie (IC-Auswahl)
5.3 Programmierbare Logikbausteine

6 Mikrocomputer-technik

- 6.1 Begriffe

- 6.2 Mikroprozessoren

- 6.2.1 Blockbild 8085 CPU
- 6.2.2 Kurzbeschreibung
- 6.2.3 Steuersignale und Interrupts

- 6.2.1 Blockbild 8085 CPU
- 6.2.2 Kurzbeschreibung
- 6.2.3 Steuersignale und Interrupts

6.1 Begriffe

6.2 Mikroprozessoren

- 6.2.1 Blockbild 8085 CPU
- 6.2.2 Kurzbeschreibung
- 6.2.3 Steuersignale und Interrupts

6.2.1 Blockbild 8085 CPU
6.2.2 Kurzbeschreibung
6.2.3 Steuersignale und Interrupts

7 Halbleiter-speicher

- 7.1 Begriffe
- 7.2 Schreib-LeseSpeicher
- 7.3 Festwertspeicher
- 7.4 Speichersysteme

7.1 Begriffe
7.2 Schreib-LeseSpeicher
7.3 Festwertspeicher
7.4 Speichersysteme

8 Mikrocontroller

- 8.1 Mikrocontroller

- 8.2 Mikrocontrollerder 8051-Familie(Auswahl)

- 8.2.1 Anschlüsse und Anschlussbelegung
- 8.2.2 Speicherorganisation
- 8.2.3 Special Function Register
- 8.2.4 Portregister
- 8.2.5 Flags
- 8.2.6 Interrupt
- 8.2.7 Zeitgeber/Zähler(Timer/Counter)
- 8.2.8 Serielle Schnittstelle

- 8.2.1 Anschlüsse und Anschlussbelegung
- 8.2.2 Speicherorganisation
- 8.2.3 Special Function Register
- 8.2.4 Portregister
- 8.2.5 Flags
- 8.2.6 Interrupt
- 8.2.7 Zeitgeber/Zähler(Timer/Counter)
- 8.2.8 Serielle Schnittstelle

8.1 Mikrocontroller

8.2 Mikrocontrollerder 8051-Familie(Auswahl)

- 8.2.1 Anschlüsse und Anschlussbelegung
- 8.2.2 Speicherorganisation
- 8.2.3 Special Function Register
- 8.2.4 Portregister
- 8.2.5 Flags
- 8.2.6 Interrupt
- 8.2.7 Zeitgeber/Zähler(Timer/Counter)
- 8.2.8 Serielle Schnittstelle

8.2.1 Anschlüsse und Anschlussbelegung
8.2.2 Speicherorganisation
8.2.3 Special Function Register
8.2.4 Portregister
8.2.5 Flags
8.2.6 Interrupt
8.2.7 Zeitgeber/Zähler(Timer/Counter)
8.2.8 Serielle Schnittstelle

1 Grundlagen

- 1.1 Begriffe
- 1.2 Grundverknüpfungen
- 1.3 Gesetze und Regeln der Schaltalgebra
- 1.4 Normalform einer binären Funktion

- 1.5 Ersatz der Grundfunktion durch NAND- und NOR-Technik

- 1.6 Schaltungs-vereinfachung

1.1 Begriffe
1.2 Grundverknüpfungen
1.3 Gesetze und Regeln der Schaltalgebra
1.4 Normalform einer binären Funktion

1.5 Ersatz der Grundfunktion durch NAND- und NOR-Technik

1.6 Schaltungs-vereinfachung

2 Zahlen in Rechenanlagen

- 2.1 Zahlensysteme

- 2.2 Rechnen mit Dualzahlen

- 2.3 Darstellung im Einer- und Zweierkomplement

2.1 Zahlensysteme

2.2 Rechnen mit Dualzahlen

2.3 Darstellung im Einer- und Zweierkomplement

3 Codes

4 Digitale Grund-schaltungen

- 4.1 Schaltnetze

- 4.2 Schaltwerke

- 4.2.1 Allgemein
- 4.2.2 Flip-Flops
- 4.2.3 Schieberegister,Zähler,Frequenzteiler

- 4.2.1 Allgemein
- 4.2.2 Flip-Flops
- 4.2.3 Schieberegister,Zähler,Frequenzteiler

4.1 Schaltnetze

4.2 Schaltwerke

- 4.2.1 Allgemein
- 4.2.2 Flip-Flops
- 4.2.3 Schieberegister,Zähler,Frequenzteiler

4.2.1 Allgemein
4.2.2 Flip-Flops
4.2.3 Schieberegister,Zähler,Frequenzteiler

5 Integrierte Schaltkreise der Digitaltechnik

- 5.1 Begriffe

- 5.2 Standardbausteine

- 5.2.1 Technische Daten

- 5.2.2 TTL- und CMOSFamilie (IC-Auswahl)

- 5.2.1 Technische Daten
- 5.2.2 TTL- und CMOSFamilie (IC-Auswahl)
- 5.3 Programmierbare Logikbausteine

5.1 Begriffe

5.2 Standardbausteine

- 5.2.1 Technische Daten

- 5.2.2 TTL- und CMOSFamilie (IC-Auswahl)

5.2.1 Technische Daten
5.2.2 TTL- und CMOSFamilie (IC-Auswahl)
5.3 Programmierbare Logikbausteine

6 Mikrocomputer-technik

- 6.1 Begriffe

- 6.2 Mikroprozessoren

- 6.2.1 Blockbild 8085 CPU
- 6.2.2 Kurzbeschreibung
- 6.2.3 Steuersignale und Interrupts

- 6.2.1 Blockbild 8085 CPU
- 6.2.2 Kurzbeschreibung
- 6.2.3 Steuersignale und Interrupts

6.1 Begriffe

6.2 Mikroprozessoren

- 6.2.1 Blockbild 8085 CPU
- 6.2.2 Kurzbeschreibung
- 6.2.3 Steuersignale und Interrupts

6.2.1 Blockbild 8085 CPU
6.2.2 Kurzbeschreibung
6.2.3 Steuersignale und Interrupts

7 Halbleiter-speicher

- 7.1 Begriffe
- 7.2 Schreib-LeseSpeicher
- 7.3 Festwertspeicher
- 7.4 Speichersysteme

7.1 Begriffe
7.2 Schreib-LeseSpeicher
7.3 Festwertspeicher
7.4 Speichersysteme

8 Mikrocontroller

- 8.1 Mikrocontroller

- 8.2 Mikrocontrollerder 8051-Familie(Auswahl)

- 8.2.1 Anschlüsse und Anschlussbelegung
- 8.2.2 Speicherorganisation
- 8.2.3 Special Function Register
- 8.2.4 Portregister
- 8.2.5 Flags
- 8.2.6 Interrupt
- 8.2.7 Zeitgeber/Zähler(Timer/Counter)
- 8.2.8 Serielle Schnittstelle

- 8.2.1 Anschlüsse und Anschlussbelegung
- 8.2.2 Speicherorganisation
- 8.2.3 Special Function Register
- 8.2.4 Portregister
- 8.2.5 Flags
- 8.2.6 Interrupt
- 8.2.7 Zeitgeber/Zähler(Timer/Counter)
- 8.2.8 Serielle Schnittstelle

8.1 Mikrocontroller

8.2 Mikrocontrollerder 8051-Familie(Auswahl)

- 8.2.1 Anschlüsse und Anschlussbelegung
- 8.2.2 Speicherorganisation
- 8.2.3 Special Function Register
- 8.2.4 Portregister
- 8.2.5 Flags
- 8.2.6 Interrupt
- 8.2.7 Zeitgeber/Zähler(Timer/Counter)
- 8.2.8 Serielle Schnittstelle

8.2.1 Anschlüsse und Anschlussbelegung
8.2.2 Speicherorganisation
8.2.3 Special Function Register
8.2.4 Portregister
8.2.5 Flags
8.2.6 Interrupt
8.2.7 Zeitgeber/Zähler(Timer/Counter)
8.2.8 Serielle Schnittstelle

8 Steuerungstechnik

- 1 Grundlagen der Steuerungs-technik

- 1.1 Steuerung und Regelung

- 1.2 Merkmale von Steuerungen

- 1.1 Steuerung und Regelung

- 1.2 Merkmale von Steuerungen

- 2 Speicherpro-grammierbare Steuerungen SPS

- 2.1 Die Hardware einer SPS

- 2.2 Programmierung einer SPS

- 2.2.1 Programmiersprachen

- 2.2.2 Programmieren grundlegender Funktionennach EN 61131-3 und STEP 7 (Auswahl)

- 2.2.1 Programmiersprachen

- 2.2.2 Programmieren grundlegender Funktionennach EN 61131-3 und STEP 7 (Auswahl)

- 2.3 Programmbeispiel: Wendeschütz-schaltung

- 2.1 Die Hardware einer SPS

- 2.2 Programmierung einer SPS

- 2.2.1 Programmiersprachen

- 2.2.2 Programmieren grundlegender Funktionennach EN 61131-3 und STEP 7 (Auswahl)

- 2.2.1 Programmiersprachen

- 2.2.2 Programmieren grundlegender Funktionennach EN 61131-3 und STEP 7 (Auswahl)

- 2.3 Programmbeispiel: Wendeschütz-schaltung

- 3 Ablaufsteuerun-gen mit SPS

- 3.1 Grundlagen
- 3.2 Ablaufkette
- 3.3 Befehlsausgabe, Aktionen, Aktionsblock

- 3.4 Programmbeispiel:

- 3.4.1 Realisierung mit SR-Speicherfunktionen

- 3.4.2 Realisierung mit der Ablaufsprache ASnach EN 61131-3

- 3.4.3 Realisierung mit der Ablaufsprache ASnach S7-GRAPH

- 3.4.1 Realisierung mit SR-Speicherfunktionen

- 3.4.2 Realisierung mit der Ablaufsprache ASnach EN 61131-3

- 3.4.3 Realisierung mit der Ablaufsprache ASnach S7-GRAPH

- 3.1 Grundlagen
- 3.2 Ablaufkette
- 3.3 Befehlsausgabe, Aktionen, Aktionsblock

- 3.4 Programmbeispiel:

- 3.4.1 Realisierung mit SR-Speicherfunktionen

- 3.4.2 Realisierung mit der Ablaufsprache ASnach EN 61131-3

- 3.4.3 Realisierung mit der Ablaufsprache ASnach S7-GRAPH

- 3.4.1 Realisierung mit SR-Speicherfunktionen

- 3.4.2 Realisierung mit der Ablaufsprache ASnach EN 61131-3

- 3.4.3 Realisierung mit der Ablaufsprache ASnach S7-GRAPH

1 Grundlagen der Steuerungs-technik

- 1.1 Steuerung und Regelung

- 1.2 Merkmale von Steuerungen

1.1 Steuerung und Regelung

1.2 Merkmale von Steuerungen

2 Speicherpro-grammierbare Steuerungen SPS

- 2.1 Die Hardware einer SPS

- 2.2 Programmierung einer SPS

- 2.2.1 Programmiersprachen

- 2.2.2 Programmieren grundlegender Funktionennach EN 61131-3 und STEP 7 (Auswahl)

- 2.2.1 Programmiersprachen

- 2.2.2 Programmieren grundlegender Funktionennach EN 61131-3 und STEP 7 (Auswahl)

- 2.3 Programmbeispiel: Wendeschütz-schaltung

2.1 Die Hardware einer SPS

2.2 Programmierung einer SPS

- 2.2.1 Programmiersprachen

- 2.2.2 Programmieren grundlegender Funktionennach EN 61131-3 und STEP 7 (Auswahl)

2.2.1 Programmiersprachen

2.2.2 Programmieren grundlegender Funktionennach EN 61131-3 und STEP 7 (Auswahl)

2.3 Programmbeispiel: Wendeschütz-schaltung

3 Ablaufsteuerun-gen mit SPS

- 3.1 Grundlagen
- 3.2 Ablaufkette
- 3.3 Befehlsausgabe, Aktionen, Aktionsblock

- 3.4 Programmbeispiel:

- 3.4.1 Realisierung mit SR-Speicherfunktionen

- 3.4.2 Realisierung mit der Ablaufsprache ASnach EN 61131-3

- 3.4.3 Realisierung mit der Ablaufsprache ASnach S7-GRAPH

- 3.4.1 Realisierung mit SR-Speicherfunktionen

- 3.4.2 Realisierung mit der Ablaufsprache ASnach EN 61131-3

- 3.4.3 Realisierung mit der Ablaufsprache ASnach S7-GRAPH

3.1 Grundlagen
3.2 Ablaufkette
3.3 Befehlsausgabe, Aktionen, Aktionsblock

3.4 Programmbeispiel:

- 3.4.1 Realisierung mit SR-Speicherfunktionen

- 3.4.2 Realisierung mit der Ablaufsprache ASnach EN 61131-3

- 3.4.3 Realisierung mit der Ablaufsprache ASnach S7-GRAPH

3.4.1 Realisierung mit SR-Speicherfunktionen

3.4.2 Realisierung mit der Ablaufsprache ASnach EN 61131-3

3.4.3 Realisierung mit der Ablaufsprache ASnach S7-GRAPH

9 Messtechnik

- 1 Grundlagen

- 1.1 Begriffe
- 1.2 Einheiten
- 1.3 Messabweichung, Messfehler

- 1.4 Mittelwerte, Häufig-keitsverteilungen, Vertrauensbereich

- 1.1 Begriffe
- 1.2 Einheiten
- 1.3 Messabweichung, Messfehler

- 1.4 Mittelwerte, Häufig-keitsverteilungen, Vertrauensbereich

- 2 Messverfahren zur Messung elektrischer Größen (Auswahl)

- 2.1 Spannungs- und Strommessung
- 2.2 Widerstands- und Impedanzmessung
- 2.3 Wirkleistungs-messung

- 2.4 Messung von L, C, Gütefaktor und Verlustfaktor

- 2.1 Spannungs- und Strommessung
- 2.2 Widerstands- und Impedanzmessung
- 2.3 Wirkleistungs-messung

- 2.4 Messung von L, C, Gütefaktor und Verlustfaktor

- 3 Messung von nichtelektri-schen Größen (Auswahl)

- 3.1 Widerstandsaufnehmer
- 3.2 Kapazitive Aufnehmer
- 3.3 Induktive Aufnehmer
- 3.4 Drehzahlmessung, Drehfrequenz-messung
- 3.5 Weg- und Winkelmessung

- 3.1 Widerstandsaufnehmer
- 3.2 Kapazitive Aufnehmer
- 3.3 Induktive Aufnehmer
- 3.4 Drehzahlmessung, Drehfrequenz-messung
- 3.5 Weg- und Winkelmessung
- 4 Messdaten-aufbereitung

- 5 Bussysteme für die Messtechnik

- 5.1 IEC-Bus
- 5.2 Aktor-SensorInterface, ASI
- 5.3 DIN-Messbus, DIN 66 348, Teil 2

- 5.1 IEC-Bus
- 5.2 Aktor-SensorInterface, ASI
- 5.3 DIN-Messbus, DIN 66 348, Teil 2

1 Grundlagen

- 1.1 Begriffe
- 1.2 Einheiten
- 1.3 Messabweichung, Messfehler

- 1.4 Mittelwerte, Häufig-keitsverteilungen, Vertrauensbereich

1.1 Begriffe
1.2 Einheiten
1.3 Messabweichung, Messfehler

1.4 Mittelwerte, Häufig-keitsverteilungen, Vertrauensbereich

2 Messverfahren zur Messung elektrischer Größen (Auswahl)

- 2.1 Spannungs- und Strommessung
- 2.2 Widerstands- und Impedanzmessung
- 2.3 Wirkleistungs-messung

- 2.4 Messung von L, C, Gütefaktor und Verlustfaktor

2.1 Spannungs- und Strommessung
2.2 Widerstands- und Impedanzmessung
2.3 Wirkleistungs-messung

2.4 Messung von L, C, Gütefaktor und Verlustfaktor

3 Messung von nichtelektri-schen Größen (Auswahl)

- 3.1 Widerstandsaufnehmer
- 3.2 Kapazitive Aufnehmer
- 3.3 Induktive Aufnehmer
- 3.4 Drehzahlmessung, Drehfrequenz-messung
- 3.5 Weg- und Winkelmessung

3.1 Widerstandsaufnehmer
3.2 Kapazitive Aufnehmer
3.3 Induktive Aufnehmer
3.4 Drehzahlmessung, Drehfrequenz-messung
3.5 Weg- und Winkelmessung
4 Messdaten-aufbereitung

5 Bussysteme für die Messtechnik

- 5.1 IEC-Bus
- 5.2 Aktor-SensorInterface, ASI
- 5.3 DIN-Messbus, DIN 66 348, Teil 2

5.1 IEC-Bus
5.2 Aktor-SensorInterface, ASI
5.3 DIN-Messbus, DIN 66 348, Teil 2

10 Energietechnik

1 Elektrische Maschinen

- 1.1 Transformatoren

- 1.1.1 Begriffe
- 1.1.2 Kühlarten
- 1.1.3 Leerlauf
- 1.1.4 Belastung
- 1.1.5 Leerlaufversuch
- 1.1.6 Kurzschlussversuch
- 1.1.7 Wirkungsgrad
- 1.1.8 Drehstromtransformatoren
- 1.1.9 Parallelschalten vonTransformatoren
- 1.1.10 Spartransformatoren
- 1.1.11 Drosselspulen

- 1.1.1 Begriffe
- 1.1.2 Kühlarten
- 1.1.3 Leerlauf
- 1.1.4 Belastung
- 1.1.5 Leerlaufversuch
- 1.1.6 Kurzschlussversuch
- 1.1.7 Wirkungsgrad
- 1.1.8 Drehstromtransformatoren
- 1.1.9 Parallelschalten vonTransformatoren
- 1.1.10 Spartransformatoren
- 1.1.11 Drosselspulen

- 1.2 Drehstrom-maschinen

- 1.2.1 Asynchronmaschinen

- 1.2.2 Synchronmaschinen

- 1.2.1 Asynchronmaschinen
- 1.2.2 Synchronmaschinen
- 1.3 Gleichstrom-maschinen
- 1.4 Auswahl von Motoren

1.1 Transformatoren

- 1.1.1 Begriffe
- 1.1.2 Kühlarten
- 1.1.3 Leerlauf
- 1.1.4 Belastung
- 1.1.5 Leerlaufversuch
- 1.1.6 Kurzschlussversuch
- 1.1.7 Wirkungsgrad
- 1.1.8 Drehstromtransformatoren
- 1.1.9 Parallelschalten vonTransformatoren
- 1.1.10 Spartransformatoren
- 1.1.11 Drosselspulen

1.1.1 Begriffe
1.1.2 Kühlarten
1.1.3 Leerlauf
1.1.4 Belastung
1.1.5 Leerlaufversuch
1.1.6 Kurzschlussversuch
1.1.7 Wirkungsgrad
1.1.8 Drehstromtransformatoren
1.1.9 Parallelschalten vonTransformatoren
1.1.10 Spartransformatoren
1.1.11 Drosselspulen

1.2 Drehstrom-maschinen

- 1.2.1 Asynchronmaschinen

- 1.2.2 Synchronmaschinen

1.2.1 Asynchronmaschinen
1.2.2 Synchronmaschinen
1.3 Gleichstrom-maschinen
1.4 Auswahl von Motoren

2 Elektrische Energietechnik

- 2.1 Energieträger

- 2.2 Elektrische Energie-erzeugung

- 2.2.1 Drehstromnetz

- 2.2.2 Netzstrukturen

- 2.2.1 Drehstromnetz

- 2.2.2 Netzstrukturen

- 2.3 Betriebsmittel der Energietechnik

- 2.3.1 Kabel

- 2.3.2 Leitungen

- 2.3.3 Spannungsfall auf Kabeln und Leitungen

- 2.3.1 Kabel

- 2.3.2 Leitungen

- 2.3.3 Spannungsfall auf Kabeln und Leitungen

- 2.4 Kurzschlussstromberechnung

- 2.5 Kompensationsanlagen

2.1 Energieträger

2.2 Elektrische Energie-erzeugung

- 2.2.1 Drehstromnetz

- 2.2.2 Netzstrukturen

2.2.1 Drehstromnetz

2.2.2 Netzstrukturen

2.3 Betriebsmittel der Energietechnik

- 2.3.1 Kabel

- 2.3.2 Leitungen

- 2.3.3 Spannungsfall auf Kabeln und Leitungen

2.3.1 Kabel
2.3.2 Leitungen
2.3.3 Spannungsfall auf Kabeln und Leitungen
2.4 Kurzschlussstromberechnung
2.5 Kompensationsanlagen

1 Elektrische Maschinen

- 1.1 Transformatoren

- 1.1.1 Begriffe
- 1.1.2 Kühlarten
- 1.1.3 Leerlauf
- 1.1.4 Belastung
- 1.1.5 Leerlaufversuch
- 1.1.6 Kurzschlussversuch
- 1.1.7 Wirkungsgrad
- 1.1.8 Drehstromtransformatoren
- 1.1.9 Parallelschalten vonTransformatoren
- 1.1.10 Spartransformatoren
- 1.1.11 Drosselspulen

- 1.1.1 Begriffe
- 1.1.2 Kühlarten
- 1.1.3 Leerlauf
- 1.1.4 Belastung
- 1.1.5 Leerlaufversuch
- 1.1.6 Kurzschlussversuch
- 1.1.7 Wirkungsgrad
- 1.1.8 Drehstromtransformatoren
- 1.1.9 Parallelschalten vonTransformatoren
- 1.1.10 Spartransformatoren
- 1.1.11 Drosselspulen

- 1.2 Drehstrom-maschinen

- 1.2.1 Asynchronmaschinen

- 1.2.2 Synchronmaschinen

- 1.2.1 Asynchronmaschinen
- 1.2.2 Synchronmaschinen
- 1.3 Gleichstrom-maschinen
- 1.4 Auswahl von Motoren

1.1 Transformatoren

- 1.1.1 Begriffe
- 1.1.2 Kühlarten
- 1.1.3 Leerlauf
- 1.1.4 Belastung
- 1.1.5 Leerlaufversuch
- 1.1.6 Kurzschlussversuch
- 1.1.7 Wirkungsgrad
- 1.1.8 Drehstromtransformatoren
- 1.1.9 Parallelschalten vonTransformatoren
- 1.1.10 Spartransformatoren
- 1.1.11 Drosselspulen

1.1.1 Begriffe
1.1.2 Kühlarten
1.1.3 Leerlauf
1.1.4 Belastung
1.1.5 Leerlaufversuch
1.1.6 Kurzschlussversuch
1.1.7 Wirkungsgrad
1.1.8 Drehstromtransformatoren
1.1.9 Parallelschalten vonTransformatoren
1.1.10 Spartransformatoren
1.1.11 Drosselspulen

1.2 Drehstrom-maschinen

- 1.2.1 Asynchronmaschinen

- 1.2.2 Synchronmaschinen

1.2.1 Asynchronmaschinen
1.2.2 Synchronmaschinen
1.3 Gleichstrom-maschinen
1.4 Auswahl von Motoren

2 Elektrische Energietechnik

- 2.1 Energieträger

- 2.2 Elektrische Energie-erzeugung

- 2.2.1 Drehstromnetz

- 2.2.2 Netzstrukturen

- 2.2.1 Drehstromnetz

- 2.2.2 Netzstrukturen

- 2.3 Betriebsmittel der Energietechnik

- 2.3.1 Kabel

- 2.3.2 Leitungen

- 2.3.3 Spannungsfall auf Kabeln und Leitungen

- 2.3.1 Kabel

- 2.3.2 Leitungen

- 2.3.3 Spannungsfall auf Kabeln und Leitungen

- 2.4 Kurzschlussstromberechnung

- 2.5 Kompensationsanlagen

2.1 Energieträger

2.2 Elektrische Energie-erzeugung

- 2.2.1 Drehstromnetz

- 2.2.2 Netzstrukturen

2.2.1 Drehstromnetz

2.2.2 Netzstrukturen

2.3 Betriebsmittel der Energietechnik

- 2.3.1 Kabel

- 2.3.2 Leitungen

- 2.3.3 Spannungsfall auf Kabeln und Leitungen

2.3.1 Kabel
2.3.2 Leitungen
2.3.3 Spannungsfall auf Kabeln und Leitungen
2.4 Kurzschlussstromberechnung
2.5 Kompensationsanlagen

11 Nachrichtentechnik

1 Begriffe, Grundlagen

2 Signale

- 2.1 Signale im Zeit- und Frequenzbereich

- 2.2 Zufällige (stochas-tische) Signale, Rauschen

- 2.3 Verzerrungen

2.1 Signale im Zeit- und Frequenzbereich

2.2 Zufällige (stochas-tische) Signale, Rauschen

2.3 Verzerrungen

3 Kenngrößen einer Übertragungs-strecke / eines Systems

4 Zweitore, Vierpole

- 4.1 Grundbegriffe

- 4.2 Zweitorgleichungen und Zusammen-schaltung von zwei Zweitoren

- 4.3 Betriebskenngrößen mit Lastadmittanz Ya = 1/Za bzw.Eingangsadmittanz Ye = 1/Ze

- 4.4 Spezielle Zweitore

- 4.4.1 Allgemein

- 4.4.2 Wellenparameter längssymmetrischerpassiver Zweitore

- 4.4.3 Häufig verwendete Zweitore

- 4.4.1 Allgemein

- 4.4.2 Wellenparameter längssymmetrischerpassiver Zweitore

- 4.4.3 Häufig verwendete Zweitore

4.1 Grundbegriffe

4.2 Zweitorgleichungen und Zusammen-schaltung von zwei Zweitoren

4.3 Betriebskenngrößen mit Lastadmittanz Ya = 1/Za bzw.Eingangsadmittanz Ye = 1/Ze

4.4 Spezielle Zweitore

- 4.4.1 Allgemein

- 4.4.2 Wellenparameter längssymmetrischerpassiver Zweitore

- 4.4.3 Häufig verwendete Zweitore

4.4.1 Allgemein

4.4.2 Wellenparameter längssymmetrischerpassiver Zweitore

4.4.3 Häufig verwendete Zweitore

5 Leitungen, Kabel

- 5.1 Anordnungen, Leitungsbeläge
- 5.2 Leitungsgleichun-gen, Lösungen
- 5.3 Leitungskenngrößen

- 5.4 Leitungen mit belie-biger Lastimpedanz am Leitungsende

- 5.5 Sonderfälle

- 5.6 Daten von Leitungen

- 5.7 Hochfrequenz-leitungen

- 5.7.1 Hochfrequenz Koaxialkabel
- 5.7.2 Hohlleiter
- 5.7.3 Streifenleitungen

- 5.7.1 Hochfrequenz Koaxialkabel
- 5.7.2 Hohlleiter
- 5.7.3 Streifenleitungen

- 5.8 s-Parameter

- 5.8.1 Signalflussdiagramm

- 5.8.2 Leistungsverstärkung

- 5.8.1 Signalflussdiagramm

- 5.8.2 Leistungsverstärkung

- 5.9 Kreisdiagramm

- 5.9.1 Grundlagen

- 5.9.2 s-Parameter im Kreisdiagramm

- 5.9.1 Grundlagen

- 5.9.2 s-Parameter im Kreisdiagramm

5.1 Anordnungen, Leitungsbeläge
5.2 Leitungsgleichun-gen, Lösungen
5.3 Leitungskenngrößen

5.4 Leitungen mit belie-biger Lastimpedanz am Leitungsende

5.5 Sonderfälle

5.6 Daten von Leitungen

5.7 Hochfrequenz-leitungen

- 5.7.1 Hochfrequenz Koaxialkabel
- 5.7.2 Hohlleiter
- 5.7.3 Streifenleitungen

5.7.1 Hochfrequenz Koaxialkabel
5.7.2 Hohlleiter
5.7.3 Streifenleitungen

5.8 s-Parameter

- 5.8.1 Signalflussdiagramm

- 5.8.2 Leistungsverstärkung

5.8.1 Signalflussdiagramm

5.8.2 Leistungsverstärkung

5.9 Kreisdiagramm

- 5.9.1 Grundlagen

- 5.9.2 s-Parameter im Kreisdiagramm

5.9.1 Grundlagen

5.9.2 s-Parameter im Kreisdiagramm

6 Modulation

- 6.1 Grundlagen

- 6.2 Sinusträger, mit Analogsignal moduliert

- 6.3 Sinusträger, mit Digitalsignal moduliert

- 6.4 Pulsträger-modulation, Träger uncodiert

6.1 Grundlagen
6.2 Sinusträger, mit Analogsignal moduliert
6.3 Sinusträger, mit Digitalsignal moduliert
6.4 Pulsträger-modulation, Träger uncodiert

7 Filter

- 7.1 Begriffe
- 7.2 Passive R-C-Tiefpassfilter
- 7.3 Passive R-C-Hoch-passfilter

- 7.4 Schwingkreis als Bandpass und Bandsperre

- 7.5 Bandfilter

7.1 Begriffe
7.2 Passive R-C-Tiefpassfilter
7.3 Passive R-C-Hoch-passfilter
7.4 Schwingkreis als Bandpass und Bandsperre
7.5 Bandfilter
8 Empfänger-schaltungstechnik

9 Ton- und Bildübertragung

- 9.1 Rundfunk-Stereo-übertragung

- 9.2 FernsehBildübertragung

- 9.2.1 Farbfernseh-Bildübertragung (analog)

- 9.2.2 Farbfernsehbildübertragung (digital)

- 9.2.1 Farbfernseh-Bildübertragung (analog)

- 9.2.2 Farbfernsehbildübertragung (digital)

9.1 Rundfunk-Stereo-übertragung

9.2 FernsehBildübertragung

- 9.2.1 Farbfernseh-Bildübertragung (analog)

- 9.2.2 Farbfernsehbildübertragung (digital)

9.2.1 Farbfernseh-Bildübertragung (analog)
9.2.2 Farbfernsehbildübertragung (digital)
10 Mehrfachüber-tragung – Multi-plexverfahren
11 Richtfunktechnik
12 Nachrichten-übertragung über Satellit
13 Lichtwellenleiter (LWL)
14 Funkmess-technik – Radar
15 Elektroakustik – Grundbegriffe
16 Vermittlungs-technik – Verkehrstheorie

17 Kommunikations-und Datennetze

- 17.1 Lokale Kommunikations- und Datennetze, LAN

- 17.2 Öffentliche Kommunikations-und Datennetze (Auswahl)

17.1 Lokale Kommunikations- und Datennetze, LAN

17.2 Öffentliche Kommunikations-und Datennetze (Auswahl)

18 Optimierte Nachrichten-und Daten-übertragung

- 18.1 Quellenkodierung

- 18.2 Kanalkodierung

18.1 Quellenkodierung
18.2 Kanalkodierung
1 Begriffe, Grundlagen

2 Signale

- 2.1 Signale im Zeit- und Frequenzbereich

- 2.2 Zufällige (stochas-tische) Signale, Rauschen

- 2.3 Verzerrungen

2.1 Signale im Zeit- und Frequenzbereich

2.2 Zufällige (stochas-tische) Signale, Rauschen

2.3 Verzerrungen

3 Kenngrößen einer Übertragungs-strecke / eines Systems

4 Zweitore, Vierpole

- 4.1 Grundbegriffe

- 4.2 Zweitorgleichungen und Zusammen-schaltung von zwei Zweitoren

- 4.3 Betriebskenngrößen mit Lastadmittanz Ya = 1/Za bzw.Eingangsadmittanz Ye = 1/Ze

- 4.4 Spezielle Zweitore

- 4.4.1 Allgemein

- 4.4.2 Wellenparameter längssymmetrischerpassiver Zweitore

- 4.4.3 Häufig verwendete Zweitore

- 4.4.1 Allgemein

- 4.4.2 Wellenparameter längssymmetrischerpassiver Zweitore

- 4.4.3 Häufig verwendete Zweitore

4.1 Grundbegriffe

4.2 Zweitorgleichungen und Zusammen-schaltung von zwei Zweitoren

4.3 Betriebskenngrößen mit Lastadmittanz Ya = 1/Za bzw.Eingangsadmittanz Ye = 1/Ze

4.4 Spezielle Zweitore

- 4.4.1 Allgemein

- 4.4.2 Wellenparameter längssymmetrischerpassiver Zweitore

- 4.4.3 Häufig verwendete Zweitore

4.4.1 Allgemein

4.4.2 Wellenparameter längssymmetrischerpassiver Zweitore

4.4.3 Häufig verwendete Zweitore

5 Leitungen, Kabel

- 5.1 Anordnungen, Leitungsbeläge
- 5.2 Leitungsgleichun-gen, Lösungen
- 5.3 Leitungskenngrößen

- 5.4 Leitungen mit belie-biger Lastimpedanz am Leitungsende

- 5.5 Sonderfälle

- 5.6 Daten von Leitungen

- 5.7 Hochfrequenz-leitungen

- 5.7.1 Hochfrequenz Koaxialkabel
- 5.7.2 Hohlleiter
- 5.7.3 Streifenleitungen

- 5.7.1 Hochfrequenz Koaxialkabel
- 5.7.2 Hohlleiter
- 5.7.3 Streifenleitungen

- 5.8 s-Parameter

- 5.8.1 Signalflussdiagramm

- 5.8.2 Leistungsverstärkung

- 5.8.1 Signalflussdiagramm

- 5.8.2 Leistungsverstärkung

- 5.9 Kreisdiagramm

- 5.9.1 Grundlagen

- 5.9.2 s-Parameter im Kreisdiagramm

- 5.9.1 Grundlagen

- 5.9.2 s-Parameter im Kreisdiagramm

5.1 Anordnungen, Leitungsbeläge
5.2 Leitungsgleichun-gen, Lösungen
5.3 Leitungskenngrößen

5.4 Leitungen mit belie-biger Lastimpedanz am Leitungsende

5.5 Sonderfälle

5.6 Daten von Leitungen

5.7 Hochfrequenz-leitungen

- 5.7.1 Hochfrequenz Koaxialkabel
- 5.7.2 Hohlleiter
- 5.7.3 Streifenleitungen

5.7.1 Hochfrequenz Koaxialkabel
5.7.2 Hohlleiter
5.7.3 Streifenleitungen

5.8 s-Parameter

- 5.8.1 Signalflussdiagramm

- 5.8.2 Leistungsverstärkung

5.8.1 Signalflussdiagramm

5.8.2 Leistungsverstärkung

5.9 Kreisdiagramm

- 5.9.1 Grundlagen

- 5.9.2 s-Parameter im Kreisdiagramm

5.9.1 Grundlagen

5.9.2 s-Parameter im Kreisdiagramm

6 Modulation

- 6.1 Grundlagen

- 6.2 Sinusträger, mit Analogsignal moduliert

- 6.3 Sinusträger, mit Digitalsignal moduliert

- 6.4 Pulsträger-modulation, Träger uncodiert

6.1 Grundlagen
6.2 Sinusträger, mit Analogsignal moduliert
6.3 Sinusträger, mit Digitalsignal moduliert
6.4 Pulsträger-modulation, Träger uncodiert

7 Filter

- 7.1 Begriffe
- 7.2 Passive R-C-Tiefpassfilter
- 7.3 Passive R-C-Hoch-passfilter

- 7.4 Schwingkreis als Bandpass und Bandsperre

- 7.5 Bandfilter

7.1 Begriffe
7.2 Passive R-C-Tiefpassfilter
7.3 Passive R-C-Hoch-passfilter
7.4 Schwingkreis als Bandpass und Bandsperre
7.5 Bandfilter
8 Empfänger-schaltungstechnik

9 Ton- und Bildübertragung

- 9.1 Rundfunk-Stereo-übertragung

- 9.2 FernsehBildübertragung

- 9.2.1 Farbfernseh-Bildübertragung (analog)

- 9.2.2 Farbfernsehbildübertragung (digital)

- 9.2.1 Farbfernseh-Bildübertragung (analog)

- 9.2.2 Farbfernsehbildübertragung (digital)

9.1 Rundfunk-Stereo-übertragung

9.2 FernsehBildübertragung

- 9.2.1 Farbfernseh-Bildübertragung (analog)

- 9.2.2 Farbfernsehbildübertragung (digital)

9.2.1 Farbfernseh-Bildübertragung (analog)
9.2.2 Farbfernsehbildübertragung (digital)
10 Mehrfachüber-tragung – Multi-plexverfahren
11 Richtfunktechnik
12 Nachrichten-übertragung über Satellit
13 Lichtwellenleiter (LWL)
14 Funkmess-technik – Radar
15 Elektroakustik – Grundbegriffe
16 Vermittlungs-technik – Verkehrstheorie

17 Kommunikations-und Datennetze

- 17.1 Lokale Kommunikations- und Datennetze, LAN

- 17.2 Öffentliche Kommunikations-und Datennetze (Auswahl)

17.1 Lokale Kommunikations- und Datennetze, LAN

17.2 Öffentliche Kommunikations-und Datennetze (Auswahl)

18 Optimierte Nachrichten-und Daten-übertragung

- 18.1 Quellenkodierung

- 18.2 Kanalkodierung

18.1 Quellenkodierung

18.2 Kanalkodierung

12 Signal- und Systemtheorie

- 1 Einführung

- 2 Grundbegriffe

- 3 Periodische nichtsinusförmige zeitkontinuierli-che Signale

- 4 Nichtperiodische zeitkontinuierli-che Signale

- 4.1 Fouriertransformation

- 4.2 Laplacetransformation

- 4.1 Fouriertransformation
- 4.2 Laplacetransformation
- 5 Spezielle Signale
- 6 Leistung
- 7 Faltungsintegral
- 8 Abtasttheorem

- 9 Nichtkontinu-ierliche (zeitdis-krete) Signale

- 9.1 Diskrete Fourier-transformation (DFT)

- 9.2 z-Transformation

- 9.1 Diskrete Fourier-transformation (DFT)

- 9.2 z-Transformation

- 10 Zufällige (sto-chastische, nichtdeterminis-tische) Signale

- 11 Signalerken-nung bei gestör-ter Übertragung

1 Einführung

2 Grundbegriffe

3 Periodische nichtsinusförmige zeitkontinuierli-che Signale

4 Nichtperiodische zeitkontinuierli-che Signale

- 4.1 Fouriertransformation

- 4.2 Laplacetransformation

4.1 Fouriertransformation
4.2 Laplacetransformation
5 Spezielle Signale
6 Leistung
7 Faltungsintegral
8 Abtasttheorem

9 Nichtkontinu-ierliche (zeitdis-krete) Signale

- 9.1 Diskrete Fourier-transformation (DFT)

- 9.2 z-Transformation

9.1 Diskrete Fourier-transformation (DFT)

9.2 z-Transformation

10 Zufällige (sto-chastische, nichtdeterminis-tische) Signale

11 Signalerken-nung bei gestör-ter Übertragung

Sachwortverzeichnis