Analysis II für Dummies
Author: Mark Zegarelli
Date: 2009-04-08T00:00:00+00:00
Keywords: Mathematics; Mathematical Analysis; Calculus
Description: Nach der Analysis ist vor der Analysis. Dies ist das richtige Buch für Sie, wenn es in der Analysis ein wenig mehr sein soll oder auch muss. Mark Zegarelli erklärt Ihnen, was Sie zur infiniten Integration und zu differential- und multivariablen Gleichungen wissen müssen. Er fährt mit Taylorreihe und Substitutionen fort und führt Sie auch in die Dritte Dimension der Analysis; und das ist lange noch nicht alles! Im Ton verbindlich, in der Sache kompetent führt er Ihre Analysiskenntnisse auf eine neue Stufe. **
Publisher: John Wiley & Sons
Rights: © 2009 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim

Analysis II für Dummies – Schummelseite

Die Riemann-Summenformal für das bestimmte Integral

Die Riemann-Summenformel stellt eine präzise Definition des bestimmten Integrals als Grenzwert einer unendlichen Reihe bereit:

Drei wichtige Integrationsregeln

Die Summenregel für die Integration besagt, dass lange Ausdrücke Term für Term integriert werden können. Hier die formale Regelung:

∫[f(x) + g(x)] dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx

Die Faktorregel für die Integration besagt, dass eine Konstante vor dem Integrieren aus dem Integral herausgezogen werden kann. Hier in Symbolen:

∫nf(x)dx = n∫f(x)dx

Die Potenzregel für die Integration gestattet Ihnen, jede reelle Potenz von x (außer – 1) zu integrieren. Hier die formale Darstellung der Potenzregel:

Die 17 grundlegenden Integrale basierend auf Anti-Ableitungen

Integrale durch Variablensubstitution lösen

Um ein Integral mittels Variablensubstitution auszuwerten, gehen Sie wie folgt vor:

1. Deklarieren Sie eine Variable u und setzen Sie sie auf einen algebraischen Ausdruck, der im Integral vorkommt. Anschließend setzen Sie u für diesen Ausdruck im Integral ein.

2. Differenzieren Sie u, um zu bestimmen, und isolieren Sie dann alle x-Variablen auf einer Seite des Gleichheitszeichens.

3. Nehmen Sie eine weitere Substitution vor, um dx und alle andere Vorkommen von x im Integral auf einen Ausdruck mit u zu setzen.

4. Integrieren Sie mit u als neuer Integrationsvariablen.

5. Drücken Sie die Lösung unter Verwendung von x aus.

Partielle Integration

Um ein Integral unter Verwendung der partiellen Integration auszuwerten, gehen Sie wie folgt vor:

1. Zerlegen Sie das gesamte Integral (einschließlich dx) in zwei Faktoren.

2. Setzen Sie den Faktor ohne dx gleich u und den Faktor mit dx gleich dv.

3. Differenzieren Sie u, um du zu bestimmen, und integrieren Sie dv, um v zu bestimmen.

4. Wenden Sie die Formel ∫udu = uv − ∫vdu an.

5. Berechnen Sie die rechte Seite dieser Gleichung, um das Integral zu lösen.

Partielle Integration mit Hilfe der DI-agonal-Methode

Die partielle Integration ist praktisch für die Integration von Funktionen, bei denen es sich um Produkte von zwei kleineren Funktionen handelt (Weitere Informationen über die partielle Integration finden Sie in Kapitel 6.) Merken Sie sich die folgende grundlegende Tabelle für die partielle Integration unter Verwendung der DI-agonal-Methode:

| I
D |
+ |
– |

Zwei Abkürzungen für die Substitution

Einige Integrale zusammengesetzter Funktionen f(g(x)) können ganz schnell gelöst werden. Sie sollten die folgenden beiden Integraltypen erkennen:

Zusammengesetzte Funktionen, wobei die innere Funktion ax ist

Diese Abkürzung funktioniert für zusammengesetzte Funktionen f(g(x)), für die gilt:

- Sie wissen, wie die äußere Funktion f zu integrieren ist.

- Die innere Funktion g(x) hat die Form ax – d.h. sie wird zu einer Konstanten differenziert.

Beispiel:

Zusammengesetzte Funktionen, wobei die innere Funktion ax + b ist

Diese Abkürzung funktioniert für zusammengesetzte Funktionen f(g(x)), für die gilt:

- Sie wissen, wie die äußere Funktion f zu integrieren ist.

- Die innere Funktion g(x) hat die Form ax + b – d.h. sie wird zu einer Konstanten differenziert.

Beispiel:

Bibliografische Information
der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

1. Auflage 2009

© 2009 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim

Original English language edition »Calculus ll for Dummies«: Copyright © 2008 by Wiley Publishing, Inc.

All rights reserved including the right of reproduction in whole or in part in any form. This Ebook is published under license with the original publisher John Wiley and Sons, Inc.

Copyright der englischsprachigen Originalausgabe »Calculus ll for Dummies« © 2008 by Wiley Publishing, Inc.

Alle Rechte vorbehalten inklusive des Rechtes auf Reproduktion im Ganzen oder in Teilen und in jeglicher Form. Dieses E-Book wird mit Genehmigung des Original-Verlages John Wiley and Sons, Inc. publiziert.

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Korrektur: Enrico Barz

ISBN: 978-3-527-70509-2
ePDF ISBN: 978-3-527-65799-5
ePub ISBN: 978-3-527-65798-8
mobi ISBN: 978-3-527-65800-8

Analysis II für Dummies

Inhaltsverzeichnis

Analysis II für Dummies – Schummelseite
Titel
Impressum
Einführung

Zu diesem Buch
Konventionen in diesem Buch
Was Sie nicht lesen müssen
Falsche Voraussetzungen
Wie dieses Buch aufgebaut ist

Teil I: Einführung der Integration
Teil II: Unbestimmte Integrale
Teil III: Fortgeschrittene Integration
Teil IV: Unendliche Reihen
Teil V: Fortgeschrittene Themen
Teil VI: Der Teil der Zehn

Symbole in diesem Buch
Wie es weitergeht

Teil I - Einführung in die Integration

1 - Ein flächendeckender Ansatz für das Flächenproblem

Es geht um die Fläche!
Vergleich der klassischen und der analytischen Geometrie

Ein neuer Studienbereich
Verallgemeinerung des Flächenproblems
Das bestimmte Integral liefert bestimmte Antworten

Aufgeschnitten
Annäherung an ein schwieriges Problem mit Hilfe von Rechtecken

Eine Formel für die Flächenbestimmung aufbauen

Definition des Unbestimmten
Mit der Integration Aufgaben lösen

Ganz einfach: Die Fläche zwischen Kurven bestimmen
Die lange und kurvige Straße
Drehkörper

Unendliche Reihen

Folgen und Reihen unterscheiden
Reihen auswerten
Konvergente und divergente Reihen erkennen

Fortschreiten in die fortgeschrittene Mathematik

Mannigfaltige Analysis
Differentialgleichungen
Fourier-Analyse
Numerische Analyse

2 - Weg mit den Geistern der Vergangenheit: Ein Überblick über die Grundlagen der Analysis und Analysis I

Vergessen aber immer präsent: Ein Überblick über die Grundlagen der Analysis

Fakten über Fakultäten
Polynome aufpolieren
Potenzial durch Potenzen (Exponenten)
Die trigonometrische Notation
Winkel mit dem Bogenmaß vereinen
Allgemeine Funktionen graphisch darstellen
Asymptoten
Transformation stetiger Funktionen
Einige wichtige trigonometrische Beziehungen identifizieren
Polarkoordinaten
Zusammenfassendes über die Sigma-Notation

Jüngste Erinnerungen: Ein Rückblick auf Analysis I

Grenzen kennen
Steigungen mit Hilfe von Ableitungen bestimmen
Die Grenzwertformel für Ableitungen
Zwei Notationen für Ableitungen
Die Differentiation verstehen

Mit der Regel von L’ Hospital Grenzwerte bestimmen

Bestimmte und unbestimmte Formen von Grenzwerten verstehen
Die Regel von L’Hospital – Einführung
Alternative unbestimmte Formen

3 - Vom Bestimmten zum Unbestimmten: Das unbestimmte Integral (Stammfunktion )

Eine Annäherung an die Integration

Drei Wege, Fläche mit Hilfe von Rechtecken anzunähern
Der Schlupffaktor
Zwei weitere Methoden, Fläche anzunähern

Summenformeln im Überblick

Die Summenformel für Aufzählungen
Die Summenformel für Quadratzahlen
Die Summenformel für Kubikzahlen

Schlimmer geht’s immer: Berechnung bestimmter Integrale mit Hilfe der Riemann-Summenformel

Die Integrationsgrenzen einsetzen
Die Funktion als Summe mit i und n ausdrücken
Die Summe berechnen
Das Problem mit einer Summenformel lösen
Den Grenzwert berechnen

Licht am Ende des Tunnels: Der Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung (HDI)
Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verstehen

Was hat die Steigung damit zu tun?
Einführung in die Flächenfunktion
Mathematische Verknüpfung von Steigung und Fläche
Eine dunkle Seite des Hauptsatzes der Differential-und Integralrechnung

Ihr neuer bester Freund: Das unbestimmte Integral (Stammfunktion)

Einführung der Anti-Differentiation
Flächenprobleme ohne die Riemann-Summenformel lösen
Vorzeichenbehaftete Fläche verstehen
Unterscheidung bestimmter und unbestimmter Integrale

Teil II - Unbestimmte Integrale

4 - Integration aus der Tüte: Einfach nur Wasser hinzufügen (und C)

Grundlegende Integrale berechnen

Die 17 grundlegenden Anti -Ableitungen für die Integration verwenden
Drei wichtige Integrationsregeln
Und was ist mit den anderen Regeln passiert?

Berechnung schwierigerer Integrale

Polynome integrieren
Rationale Ausdrücke integrieren
Mit Hilfe von Beziehungen trigonometrische Funktionen integrieren

Integrierbarkeit verstehen

Die beiden Täuschungsmanöver der Integrierbarkeit
Was bedeutet Integrierbarkeit eigentlich?

5 - Schneller Wechsel: Variablensubstitution

Anwendung der Variablensubstitution

Das Integral verschachtelter Funktionen bestimmen
Das Integral eines Produkts bestimmen
Integration einer Funktion, die mit einer Menge verschachtelter Funktionen multipliziert wird

Erkennen, wann die Substitution anzuwenden ist

Verschachtelte Funktionen integrieren
Eine Abkürzung für verschachtelte Funktionen
Substitution, wenn ein Teil einer Funktion zu dem anderen Teil differenziert wird

Mit Hilfe der Substitution bestimmte Integrale berechnen

6 - Partielle Integration

Partielle Integration – Einführung

Umkehr der Produktregel
Wissen, wie die partielle Integration durchgeführt wird
Wissen, wann eine partielle Integration angebracht ist

Partielle Integration mit der DI-agonal-Methode

Die DI-agonal-Tabelle
Anwendung der DI-agonal-Methode

7 - Trigonometrische Substitution: Kennen Sie alle Dreiecke?

Die sechs trigonometrischen Funktionen integrieren
Potenzen von Sinus und Kosinus integrieren

Ungerade Potenzen von Sinus und Kosinus
Gerade Potenzen von Sinus und Kosinus

Potenzen von Tangens und Sekans integrieren

Gerade Potenzen von Sekans mit Tangens
Ungerade Potenzen von Tangens mit Sekans
Ungerade Potenzen von Tangens ohne Sekans
Gerade Potenzen von Tangens ohne Sekans
Gerade Potenzen von Sekans ohne Tangens
Ungerade Potenzen von Sekans ohne Tangens
Gerade Potenzen des Tanges mit ungeraden Potenzen des Sekans

Potenzen von Kotangens und Kosekans integrieren
Integration seltsamer Kombinationen trigonometrischer Funktionen

Funktionen mit Hilfe von Beziehungen umformen

Anwendung der trigonometrischen Substitution

Drei Fälle für die trigonometrische Substitution unterscheiden
Die drei Fälle integrieren
Wissen, wann eine trigonometrische Substitution zu vermeiden ist

8 - Wenn sonst nichts mehr geht: Integration durch Partialbrüche

Seltsam aber wahr: Partialbrüche verstehen

Partialbrüche genauer betrachtet
Partialbrüche für rationale Ausdrücke verwenden

Integrale mit Hilfe von Partialbrüchen lösen

Einrichtung von Partialbrüchen abhängig von der Situation

Das ABC der Unbekannten

Partialbrüche integrieren

Unechte rationale Ausdrücke integrieren

Echte und unechte rationale Ausdrücke unterscheiden
Zurück zur Polynomdivision
Ein Beispiel

Teil III - Integration für Fortgeschrittene

9 - Flächendeckend Flächenprobleme lösen

Machen wir zwei daraus
Uneigentliche Integrale

Es wird horizontal
In die Vertikale!

Flächenprobleme mit mehreren Funktionen lösen

Die Fläche unter mehr als einer Funktion finden
Die Fläche zwischen zwei Funktionen bestimmen
Die Suche nach dem Zeichen
Vorzeichenlose Fläche zwischen Kurven mit Hilfe eines schnellen Tricks bestimmen

Der Mittelwertsatz der Integralrechnung
Bogenlängen berechnen

10 - Volumen den ganzen Tag: Mit Analysis 3D-Aufgaben lösen

Schneiden Sie sich den Weg frei!

Das Volumen eines Körpers mit kongruenten Querschnitten bestimmen
Das Volumen eines Körpers mit ähnlichen Querschnitten bestimmen
Das Volumen einer Pyramide bestimmen
Das Volumen eines unregelmäßigen Körpers bestimmen

Ein Problem auf die Seite gelegt
Zwei revolutionäre Probleme

Ihr Verständnis für Rotationskörper verfestigen
Die Rotationsfläche bestimmen

Den Abstand ermitteln
Lassen Sie sich einwickeln!

Das Etikett einer Suppendose entfernen und messen
Anwendung der Mantelflächenmethode
Wissen, wann und wie 3D-Aufgaben zu lösen sind

Teil IV - Unendliche Reihen

11 - Folgen und Reihen

Unendliche Folgen

Notationen für Folgen
Konvergente und divergente Folgen

Unendliche Reihen
Die Sigma-Notation

Sigma-Notation in erweiterter Form
Mehrere Methoden für die Sigma-Notation
Die Faktorregel für Reihen
Die Summenregel für Reihen

Verknüpfung einer Reihe mit ihren zwei verwandten Folgen

Eine Reihe und ihre definierende Folge
Eine Reihe und ihre Partialsummenfolgen

Geometrische Reihen und P-Reihen erkennen

Geometrische Reihen
Die p-Reihe

12 - Wohin führt das Ganze? Konvergenzkriterien

Wir beginnen ganz vorne
Das Trivialkriterium
Viele Wege führen nach Rom

Tests in eine Richtung
Tests in zwei Richtungen

Vergleichstests

Direkte Antworten mit dem direkten Vergleichstest suchen
Die Grenzen mit dem Grenzwertvergleichstest austesten

Tests auf Konvergenz und Divergenz in zwei Richtungen

Eine Lösung mit dem Integralkriterium finden
Aufgaben mit dem Quotientenkriterium rational lösen
Mit dem Wurzelkriterium zu den Wurzeln unserer Antworten

Alternierende Reihen

Zwei Formen grundlegender alternierender Reihen erkennen
Aus alt mach neu
Auf konvergenten positiven Reihen basierende alternierende Reihen
Der Test auf alternierende Reihen
Absolute und bedingte Konvergenz verstehen
Alternierende Reihen testen

13 - Schicke Funktionen mit der Taylor-Reihe

Grundlegende Funktionen

Zwei Nachteile von grundlegenden Funktionen
Warum sind Polynome so nett?
Grundlegende Funktionen als Polynome darstellen
Grundlegende Funktionen als Reihen darstellen

Potenzreihen: Doping für Polynome

Potenzreihen integrieren
Das Konvergenzintervall verstehen

Funktionen als Reihen ausdrücken

sin x als Reihe ausdrücken
cos x als Reihe ausdrücken

Die Maclaurin-Reihe
Die Taylor-Reihe

Rechnen mit der Taylor-Reihe
Konvergente und divergente Taylor-Reihen betrachten
Funktionen ausdrücken und Funktionen annähern
Fehlerspannen für Taylor-Polynome berechnen

Warum funktioniert die Taylor-Reihe?

Teil V - Fortgeschrittene Themen

14 - Mehrdimensionale Analysis

Vektoren visualisieren

Vektoren – Grundlagen
Vektoren und Skalare unterscheiden
Rechnen mit Vektoren

Der Sprung in eine andere Dimension

Verwendung alternativer 3D-Koordinatensysteme

Funktionen von mehreren Variablen
Partielle Ableitungen

Steigung in drei Dimensionen messen
Partielle Ableitungen auswerten

Mehrfachintegrale

Volumen unter einer Oberfläche messen
Mehrfachintegrale berechnen

15 - Was ist so anders an Differentialgleichungen?

Grundlagen der Differentialgleichungen

DGs klassifizieren
Genauere Betrachtung der DGs

Differentialgleichungen lösen

Separierbare Gleichungen lösen
Anfangswertprobleme (AWPs) lösen
Einen Integrationsfaktor verwenden

Teil VI - Der Teil der Zehn

16 - Zehn Aha!-Einsichten in Analysis II

Integrieren bedeutet, die Fläche zu bestimmen
Beim Integrieren ist Fläche vorzeichenbehaftete Fläche
Integration ist spektakuläre Addition
Integration verwendet unendlich viele unendlich dünne Scheiben
Integration beinhaltet einen Schlupffaktor
Die Berechnung eines bestimmten Integrals ergibt eine Zahl

Die Berechnung eines unbestimmten Integrals ergibt eine Funktion

Integration ist inverse Differentiation
Jede unendliche Reihe hat zwei zugehörige Folgen
Jede unendliche Reihe konvergiert oder divergiert

17 - Zehn Tipps, um die Prüfung zu bestehen

Atmen!
Lesen Sie sich die Prüfung genau durch!

Die einfachste Aufgabe als Erstes lösen!
Vergessen Sie nicht, dx und + C hinzuschreiben!

Machen Sie es sich so einfach wie möglich!
Wenn Sie stecken bleiben, kritzeln Sie!
Wenn Sie wirklich stecken bleiben, überspringen Sie die Aufgabe!
Prüfen Sie Ihre Antworten!
Wenn eine Lösung keinen Sinn ergibt, kommentieren Sie sie!
Wiederholen Sie Ihr Mantra »Ich tue mein Bestes«, und tun Sie dann Ihr Bestes!

Stichwortverzeichnis

Einführung

Analysis ist der Mount Everest der Mathematik. Die meisten Menschen geben sich damit zufrieden, ehrfürchtig hinaufzustarren, aber einige Unerschrockene machen sich auf den Weg, um ihn zu erklimmen.

Oder auch nicht.

In den vergangenen Jahren ist die Analysis zu einer Voraussetzung nicht nur für die Hauptfächer Mathematik, Ingenieurwissenschaften und Physik geworden, sondern auch für Studenten aus den Bereichen Biologie, Wirtschaftswissenschaft, Psychologie oder Krankenpflege. Juristische Fakultäten und MBA-Programme nehmen gerne Studenten auf, die einen Analysis-Kurs belegt haben, weil dies von Disziplin und logischem Denken zeugt. Und immer mehr Hochschulen legen den Studenten nahe, Analysis in Vorbereitung auf ihre Aufnahmeprüfungen zu belegen.

Möglicherweise ist die Analysis jetzt eher wie ein gut besuchtes Mittelgebirge, mit zahlreichen Wegen und Campingplätzen und einem riesigen Skizentrum ganz oben. Wahrscheinlich brauchen Sie einiges Durchhaltevermögen, um es zu erklimmen, aber mit der richtigen Anleitung (diesem Buch beispielsweise) werden Sie sich nicht durch einen Schneesturm auf dem halben Weg zum Gipfel abhalten lassen.

Zu diesem Buch

Auch Sie können Analysis lernen. Darum geht es in diesem Buch. Wenn Sie dies lesen, haben Sie vermutlich schon gewonnen und einen Kurs in Analysis I bestanden. In diesem Fall gratuliere ich Ihnen und klopfe Ihnen auf die Schulter.

Und jetzt sollen einige Gerüchte angesprochen werden, die Sie vielleicht über Analysis II gehört haben:

- Analysis II ist schwieriger als Analysis I.

- Analysis II ist schwieriger als Analysis III und Differentialgleichungen.

- Analysis II ist furchterregender als zwei Zombies mitten in der Nacht, und Sie werden sich ein emotionales Trauma einhandeln, für dessen Heilung mehrere Jahre Psychotherapie erforderlich sein werden.

Ich gebe es zu, Analysis II ist schwieriger als Analysis I. Außerdem kann ich berichten, dass viele – aber nicht alle – Mathematikstudenten es schwieriger als die zwei darauf folgenden Mathematiksemester finden. (Ich persönlich finde Analysis II einfacher als Differentialgleichungen.) Aber ich kann Ihnen versichern, dass Zombies sehr viel schlimmer sind als ein Semester Analysis II.

Die beiden wichtigsten Themen von Analysis II sind Integration und unendliche Reihen. Integration ist das Inverse der Differentiation, um die es in Analysis I gegangen ist. (Für praktische Zwecke: Integration ist eine Methode, die Fläche unregelmäßiger geometrischer Formen zu bestimmen.) Eine unendliche Reihe ist eine Summe von Zahlen, die endlos läuft, etwa 1 + 2 + 3 + … oder ... . Man kann davon ausgehen, dass sich die meisten

Lehrer in den ersten zwei Dritteln des Semesters auf die Integration konzentrieren, und das letzte Drittel auf unendliche Reihen.

Dieses Buch verschafft Ihnen eine solide Einführung dazu, was in einer Vorlesung zu Analysis II behandelt wird. Sie können es für das Eigenstudium einsetzen, aber auch als Begleitung zu einer Vorlesung zu Analysis II.

Blättern Sie also beliebig herum. Wenn ich zu einem Thema komme, für das Sie Informationen von einer früheren Stelle des Buchs benötigen, verweise ich auf diese Stelle – für den Fall, dass Sie noch einmal nachlesen wollen.

Hier zwei Hinweise – denken Sie daran, wenn Sie das Buch lesen:

- Lernen Sie jeden Tag. Ich weiß, dass Studenten immer versucht sind, ein Buch bis in die Nacht vor der Prüfung im Regal stehen zu lassen. Das ist kein sinnvoller Ansatz für Analysis II. Irgendwann können Sie den Stoff nicht mehr aufholen.

Wenn Sie also eine Hausaufgabe erhalten, lesen Sie sich die Aufgaben so schnell wie möglich durch und lösen Sie die einfacheren. Sehen Sie sich die schwierigeren jeden Tag an, auch wenn Sie sie nur einfach noch einmal durchlesen, und denken Sie darüber nach. Sie werden feststellen, dass Sie irgendwann selbst für das undurchschaubarste Problem eine Lösung finden.

- Üben Sie. Nachdem Sie ein Beispiel durchgelesen haben, und glauben, es verstanden zu haben, schreiben Sie die Aufgabe ab, schließen das Buch und versuchen, die Lösung nachzuvollziehen. Wenn Sie es vollständig lösen können, lesen Sie den nächsten Abschnitt. Andernfalls schlagen Sie die Lösung noch einmal nach – aber versuchen später erneut, die Aufgabe ohne Spicken zu lösen. (Sie wissen, in Prüfungen wird auch nicht gespickt!)

Konventionen in diesem Buch

Im gesamten Buch halte ich die folgenden Konventionen ein:

- Kursiv ausgezeichneter Text kennzeichnet neue Wörter und definierte Begriffe.

- Fett ausgezeichneter Text kennzeichnet Schlüsselwörter, Aufzählungen und den Aktionsteil von nummerierten Schritten.

- Text in Listingschrift kennzeichnet Webadressen.

- Winkel werden im Bogenmaß statt in Grad gemessen, es sei denn, ich gebe dies gesondert an. Eine Beschreibung der Vorteile bei der Verwendung des Bogenmaßes bei der Winkelmessung finden Sie in Kapitel 2.

Was Sie nicht lesen müssen

Alle Autoren sind der Meinung, dass sie reines Gold schreiben, aber Sie müssen nicht jedes Wort in diesem Buch lesen, wenn Sie das nicht wirklich wollen. Sie können die Einschübe (die grau unterlegten Kästen) überspringen, es sei denn, Sie finden diese Exkurse interessant. Außerdem müssen Sie die mit dem Symbol »Achtung, Technik!« gekennzeichneten Absätze nicht unbedingt lesen.

Wenn Sie keine Prüfungen erwarten, können Sie auch die Absätze mit dem Symbol »Tipp« überspringen und langwierige schrittweise Beispiele auslassen. Wenn Sie das Buch studienbegleitend einsetzen, lesen Sie jedoch diese Dinge sorgfältig durch und üben Sie anhand der Beispiele selbst.

Falsche Voraussetzungen

Natürlich baut Analysis II auf Analysis I und den Grundlagen der Analysis auf. Hier also ein paar Voraussetzungen, die ich von Ihnen als Leser erwarte:

- Wenn Sie Student einer Vorlesung zu Analysis II sind, gehe ich davon aus, dass Sie Analysis I bestanden haben.

- Wenn Sie das Buch zum Eigenstudium einsetzen, gehe ich davon aus, dass Sie zumindest die Grundkenntnisse zu Analysis I beherrschen.

Ich erwarte, dass Sie einige Dinge aus Analysis wissen, aber ich werfe Sie nicht ins kalte Wasser und lasse Sie ertrinken. Kapitel 2 enthält viele praktische Informationen, an die Sie vielleicht nicht mehr gedacht haben. Und im gesamten Buch verweise ich gegebenenfalls auf andere Kapitel oder Abschnitte, so dass Sie jederzeit nachlesen können.

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Dieses Buch ist in sechs Teile untergliedert. Ich fange ganz vorne bei Analysis II an, führe Sie durch den gesamten Stoff und zeige Ihnen schließlich einen Ausblick auf fortgeschrittenere Themen, die in weiteren Mathematikkursen auf Sie warten.

Teil I: Einführung der Integration

In Teil I biete ich Ihnen einen Überblick über Analysis II und wiederhole einige grundlegende Konzepte aus der Mathematik.

Kapitel 1 führt das bestimmte Integral ein, eine mathematische Ausdrucksweise für die Fläche. Ich zeige Ihnen, wie Sie mit Hilfe der Analysis ein Flächeproblem formulieren und lösen. Außerdem stelle ich Ihnen die Riemann-Summengleichung für das Integral vor, die die Definition des bestimmten Integrals als Grenzwert schafft. Darüber hinaus erhalten Sie einen Überblick über das gesamte Buch.

In Kapitel 2 finden Sie eine Auffrischung zu Themen aus den Grundlagen der Analysis und Analysis I.

Kapitel 3 führt das unbestimmte Integral als allgemeinere und häufig praktischere Methode ein, im Vergleich zum bestimmten Integral.

Teil II: Unbestimmte Integrale

Teil II konzentriert sich auf eine Vielfalt an Möglichkeiten, unbestimmte Integrale zu lösen.

Kapitel 4 zeigt Ihnen, wie Sie eine begrenzte Menge unbestimmter Integrale durch Anti-Differentiation lösen – das bedeutet, indem Sie den Differentiationsprozess umkehren. Ich zeige Ihnen 17 grundlegende Integrale, die die 17 grundlegenden Ableitungen aus Analysis I widerspiegeln. Außerdem stelle ich Ihnen einige wichtige Regeln für die Integration vor.

Kapitel 5 beschäftigt sich mit Variablensubstitution, die den Nutzen der Anti-Differentiation wesentlich steigert. Sie werden erfahren, wie man die Variable einer zu integrierenden Funktion ändert, um die in Kapitel 4 vorgestellten Integrationsmethoden besser anwenden zu können.

Kapitel 6 stellt die partielle Integration vor, die Ihnen gestattet, Funktionen zu integrieren, indem Sie sie in zwei separate Faktoren aufteilen. Ich zeige Ihnen, wie Sie Funktionen erkennen, die für diesen Ansatz geeignet sind. Außerdem stelle ich Ihnen eine praktische Methode vor, schnell und einfach partiell zu integrieren – die DI-agonal-Methode.

In Kapitel 7 lernen Sie, alle möglichen trigonometrischen Funktionen schnell zu integrieren. Ich zeige Ihnen, wie Sie Potenzen von Sinus und Kosinus, Tangens und Sekans und schließlich Kotangens und Kosekans integrieren. Anschließend werden Sie diese Methoden für die trigonometrische Substitution einsetzen.

In Kapitel 8 geht es darum, wie Sie Partialbrüche für die Integration komplizierter rationaler Funktionen einsetzen. So wie die anderen Methoden in diesem Teil des Buches bieten Ihnen die Partialbrüche eine Möglichkeit, unbekannte Funktionen umzuformen, so dass Sie sie besser bearbeiten können.

Teil III: Fortgeschrittene Integration

Teil III beschreibt zahlreiche fortgeschrittene Themen, nachdem Sie die Grundlagen der Integration beherrschen.

In Kapitel 9 finden Sie Hilfestellungen für die Lösung komplexer Flächenprobleme. Sie werden lernen, wie unregelmäßige Flächen gemessen werden, indem mehrere Integrale zusammengesetzt werden. Außerdem zeige ich Ihnen, wie uneigentliche Integrale berechnet werden – d. h. Integrale, die sich in eine Richtung unendlich erstrecken. Ich beschreibe, wie sich das Konzept der vorzeichenbehafteten Fläche auf die Lösung von Integralen auswirkt. Ich zeige Ihnen, wie Sie den Durchschnittswert einer Funktion in einem Intervall berechnen. Und ich stelle Ihnen eine Formel für die Bogenlänge vor, nämlich die Länge einer Kurve.

In Kapitel 10 kommt eine neue Dimension hinzu. Ich zeige Ihnen, wie Sie mit Hilfe der Integration die Oberfläche und das Volumen von Körpern berechnen. Ich werde die Scheibenmethode und die Mantelflächenmethode erklären. Außerdem zeige ich Ihnen, wie Sie

Rotationskörper und Rotationsflächen berechnen. Sie werden erfahren, wie Sie mehrere Integrale einrichten, um kompliziertere Volumen zu berechnen.

Teil IV: Unendliche Reihen

In Teil IV stelle ich die unendlichen Reihen vor – das heißt die Summe einer unendlichen Anzahl von Termen.

In Kapitel 11 werden Sie mit ein paar grundlegenden Arten unendlicher Reihen arbeiten. Ich beginne mit der Beschreibung unendlicher Folgen. Anschließend stelle ich unendliche Reihen vor und zeige Ihnen, wie Sie eine Reihe mit der Sigma-Notation und mit der erweiterten Notation darstellen. Ich erkläre, dass jede Reihe zwei zugehörige Folgen hat. Und zum Schluss stelle ich Ihnen zwei gebräuchliche Reihen vor, die geometrische Reihe und die p-Reihe, und ich erkläre, wie Sie sie erkennen und gegebenenfalls lösen.

In Kapitel 12 geht es um alle möglichen Tests, mit denen Sie feststellen können, ob eine Reihe konvergent oder divergent ist. Ich zeige Ihnen zuerst den einfachen aber wirkungsvollen Test auf den n-Term, der auf Divergenz prüft. Anschließend zeige ich Ihnen zwei Vergleichstests – den direkten Vergleichstests und den Grenzwertvergleichstest. Danach stelle ich Ihnen die komplizierteren Integral-, Verhältnis- und Wurzelkriterien vor. Zum Schluss geht es noch um alternierende Reihen, und wie Sie auf Konvergenz und absolute Konvergenz testen.

In Kapitel 13 kümmere ich mich hauptsächlich um einen besonders praktischen und ausdrucksstarken Typ unendlicher Reihen, die so genannte Taylor-Reihe. Als Erstes stelle ich Ihnen Potenzreihen vor. Anschließend geht es um einen speziellen Typ von Potenzreihen, die Maclaurin-Reihe, die für den Ausdruck von Funktionen sehr praktisch sein kann. Und zum Schluss geht es darum, dass die Taylor-Reihe eine allgemeinere Version der Maclaurin-Reihe ist. Schließlich werde ich Ihnen zeigen, wie Sie die Fehlerspielräume für Taylor-Polynome berechnen.

Teil V: Fortgeschrittene Themen

In Teil V hole ich meine Kristallkugel heraus und zeige Ihnen, was Sie von der Zukunft Ihrer Mathematikstudien erwarten können.

In Kapitel 14 finden Sie einen Überblick über Analysis III, auch als mehrdimensionale Analysis bezeichnet, wo es um Analysis in drei oder mehr Dimensionen geht. Anschließend stelle ich Ihnen drei verschiedene dreidimensionale (3D) Koordinatensysteme vor: dreidimensionale kartesische Koordinaten, Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten. Anschließend beschreibe ich Funktionen mit mehreren Variablen und zeige, wie Sie partielle Ableitungen und Mehrfachintegrale für diese Funktionen berechnen.

Kapitel 15 konzentriert sich auf Differentialgleichungen – d. h. Gleichungen mit Ableitungen als Variablen. Ich unterscheide gewöhnliche Differentialgleichungen von partiellen Differentialgleichungen und zeige Ihnen, wie Sie den Grad einer Differentialgleichung erkennen. Ich beschreibe, wie Differentialgleichungen in der Wissenschaft eingesetzt werden. Zum Schluss geht es noch um die Lösung separierbarer Differentialgleichungen sowie linearer Differentialgleichungen ersten Grades.

Teil VI: Der Teil der Zehn

Des Spaßes halber enthält Teil VI ein paar Top-Ten-Listen mit unterschiedlichen Themen zur Analysis.

Kapitel 16 enthält zehn Einsichten aus der Analysis II. Diese Einsichten bieten einen Überblick über den Inhalt des Buches und seine wichtigsten Konzepte.

In Kapitel 17 finden Sie zehn praktische Tipps für Ihre Prüfungen. Einige dieser Tipps beziehen sich speziell auf Analysis II, aber sie können auch für jede andere Prüfung praktisch sein.

Symbole in diesem Buch

Im gesamten Buch verwende ich immer wieder vier Symbole, um besondere Absätze hervorzuheben:

Dieses Symbol weist auf wichtige Konzepte hin, die Sie kennen und verstehen sollten, bevor Sie weiterlesen.

Tipps sind praktische Hinweise, die Ihnen eine einfache Methode zur Lösung von Aufgaben bereitstellen. Probieren Sie sie aus, insbesondere dann, wenn Sie einen Mathematikkurs besuchen.

Warnungen markieren häufige Fehler, die Sie vermeiden sollten. Verdeutlichen Sie sich diese Fallstricke, um nicht gefangen zu werden!

Dieses Symbol weist auf interessante Gegebenheiten hin, die Sie nach Bedarf lesen oder überblättern können.

Wie es weitergeht

Sie können dieses Buch für das Eigenstudium oder zur Begleitung eines Kurses in Analysis II lesen.

Wenn Sie einen Analysis-II-Kurs besuchen, stehen Sie vermutlich unter dem Druck, eine Hausaufgabe erledigen oder eine Prüfung ablegen zu müssen. In diesem Fall sollten Sie unmittelbar zu dem Thema springen, für das Sie Hilfe brauchen. Die einzelnen Abschnitte sind abgeschlossen, Sie können also unmittelbar dorthin blättern und das Buch als praktisches Nachschlagewerk nutzen. Gegebenenfalls verweise ich auf Informationen, die an früherer Stelle des Buchs beschrieben sind, oder teile Ihnen mit, wo Sie weitere Informationen finden.

Wenn Sie das Buch für das Eigenstudium nutzen, empfehle ich Ihnen, in Kapitel 1 zu beginnen, wo Sie einen Überblick über das gesamte Buch erhalten, und die Kapitel von Anfang bis zum Ende zu lesen. Wenn Sie ausreichendes Wissen über Grundlegende Analysis und Analysis I besitzen, können Sie Kapitel 2 überblättern. Und wenn Sie eines der Themen im Buch brennend interessiert, können Sie es natürlich als Erstes lesen! Sie können immer wieder zu den früheren Kapiteln zurückblättern, wenn Sie irgendwo nicht weiterkommen.

Teil I

Einführung in die Integration

In diesem Teil ...

erhalten Sie einen Ausblick auf Analysis II sowie einen Rückblick auf die Grundlagen der Analysis und auf Analysis I. Sie werden lernen, ein neues Werkzeug einzusetzen, um die Flächen unregelmäßiger Formen zu berechnen: das bestimmte Integral. Ich werde Ihnen die Verbindung zwischen der Differentiation, die sie aus Analysis I kennen, und der Integration zeigen. Außerdem erfahren Sie, wie Sie diese Verbindung sinnvoll nutzen können, um Aufgaben zu lösen, in denen es um Flächen geht.

1

Ein flächendeckender Ansatz für das Flächenproblem

In diesem Kapitel...

- Die Fläche von Formen mit Hilfe klassischer und analytischer Geometrie messen

- Die Integration als Lösung für das Flächenproblem verstehen

- Eine Formel für die Berechnung bestimmter Integrale unter Verwendung von Riemann-Summen entwickeln

- Die Integration auf die reale Welt anwenden

- Folgen und Reihen betrachten

- Einen Ausblick auf die fortgeschrittenere Mathematik wagen

Seit Tausenden von Jahren messen die Menschen die Flächen von Formen. Eine praktische Anwendung dieses Könnens ist es, die Fläche eines Grundstücks zu messen. Es ist ganz einfach, Quadrate oder Rechtecke zu messen, deshalb wird Land häufig in diese Formen aufgeteilt.

Die Flächenbestimmung für ein Dreieck, einen Kreis oder ein Polygon ist ebenfalls einfach, aber sobald die Formen unregelmäßiger werden, wird es auch schwieriger, ihre Fläche zu messen. Die Griechen waren zwar mit Kegelschnitten vertraut – Parabeln, Ellipsen und Hyperbeln –, aber es war ihnen nicht möglich, Formen mit auf diesen Figuren basierenden Kanten zuverlässig zu messen.

Die von Descartes erfundene analytische Geometrie – die Betrachtung von Linien und Kurven als in einem Graphen dargestellte Gleichungen – brachte enorme Einsichten in die Beziehungen zwischen den Kegelschnitten. Aber selbst die analytische Geometrie konnte die Frage nicht beantworten, wie die Fläche innerhalb einer Form gemessen wird, die irgendwo von einer Kurve begrenzt wird.

In diesem Kapitel zeige ich Ihnen, wie sich die Integralrechnung (kurz Integration) aus den Versuchen entwickelt hat, diese grundlegende Frage zu beantworten, das so genannte Flächenproblem. Nach dieser Einführung in die bestimmten Integrale können Sie die Besonderheit bei der Flächenmessung angehen. Der Schlüssel für die Annäherung einer Fläche, die Sie nicht messen können, ist die Zerlegung dieser Fläche in Formen, die Sie messen können (beispielsweise Rechtecke).

Diese Zerlegung von Flächen ist die Grundlage für die Riemann-Summe, die Ihnen ermöglicht, eine Folge immer weiterer Annäherungen für eine bestimmte Fläche innerhalb einer Grenze vorzunehmen, bis Sie die genaue Fläche erhalten. Ich werde Sie hier durch einen schrittweisen Prozess führen, der Ihnen genau zeigt, wie die formale Definition für das bestimmte Integral ganz intuitiv entsteht, wenn Sie beginnen, unregelmäßige Formen in hübsche, unkomplizierte Rechtecke zu zerlegen.

Es geht um die Fläche!

Es ist ganz einfach, die Fläche einiger grundlegender Formen zu bestimmen: Quadrate, Rechtecke, Dreiecke oder Kreise. Aber eine zuverlässige Methode für die Bestimmung der Fläche von Formen, die exotischere Kurven beinhalten, hat sich den Mathematikern über Jahrhunderte verschlossen. Ich werde Ihnen die Grundlagen vermitteln, wie dieses Problem, das so genannte Flächenproblem, unter Verwendung eines neuen Konzepts definiert wird, nämlich des bestimmten Integrals.

Das bestimmte Integral stellt die Fläche auf einem Graphen dar, die begrenzt ist durch eine Funktion, die x-Achse und zwei vertikale Geraden, die so genannten Integrationsgrenzen. Ohne zu tief in die Rechenmethoden der Integration einzutauchen, werde ich Ihnen hier die Grundlagen vermitteln, wie das Flächenproblem formal unter Verwendung des bestimmten Integrals gelöst werden kann.

Vergleich der klassischen und der analytischen Geometrie

In der klassischen Geometrie gibt es eine Vielzahl einfacher Formeln, um die Fläche verschiedener Formen zu berechnen. Abbildung 1.1 zeigt die Formeln für die Fläche eines Rechtecks, eines Dreiecks und eines Kreises.

Abbildung 1.1: Formeln für die Fläche eines Rechtecks, eines Dreiecks und eines Kreises.

Die Weisheit des Altertums

Lange vor der Erfindung der Analysis verwendete der alte griechische Mathematiker Archimedes seine Ausschöpfungsmethode, um die genaue Fläche eines Parabelsegments zu berechnen. Indische Mathematiker entwickelten auch Quadratur-Methoden für einige schwierige Formen, bevor die Europäer im 17. Jahrhundert mit ihren Forschungen begannen.

Diese Methoden setzten einige Kenntnisse aus der Analysis voraus. Aber vor der Analysis gab es keinen Denkansatz, wie man die Fläche unter beliebigen Kurven messen konnte.

Wenn Sie sich der analytischen Geometrie zuwenden – also der Geometrie im Kartesischen Koordinatensystem –, erhalten Sie neue Einblicke in die klassische Geometrie. Die analytische Geometrie schafft eine Verbindung zwischen der Algebra und der klassischen Geometrie. Sie werden feststellen, dass Kreise, Quadrate und Dreiecke – und viele andere Formen – durch Gleichungen oder Gleichungsmengen dargestellt werden können, wie in Abbildung 1.2 gezeigt.

Abbildung 1.2: Ein Rechteck, ein Dreieck und ein Kreis, die in den Graphen eingebettet sind.

Sie können weiterhin die guten alten Methoden der klassischen Geometrie anwenden, um die Flächen dieser Figuren zu bestimmen. Aber die analytische Geometrie eröffnet Ihnen mehr Möglichkeiten – und mehr Probleme.

Ein neuer Studienbereich

Abbildung 1.3 zeigt drei Kurven, die mit Hilfe der analytischen Geometrie sehr viel einfacher zu untersuchen sind als mit der klassischen Geometrie: eine Parabel, eine Ellipse und eine Hyperbel.

Abbildung 1.3: Eine Parabel, eine Ellipse und eine Hyperbel im Graphen.

Die analytische Geometrie verdeutlicht sehr genau die Verbindung zwischen algebraischen Gleichungen und den Kurven auf einem Graphen. Allerdings teilt uns die analytische Geometrie nichts darüber mit, wie man die in Abbildung 1.3 grau unterlegt dargestellten Flächen berechnet.

Vergleichbar dazu zeigt Abbildung 1.4 drei weitere Gleichungen im Koordinatensystem: eine Sinuskurve, eine Exponentialkurve und eine logarithmische Kurve.

Abbildung 1.4: Eine Sinuskurve, eine Exponentialkurve und eine logarithmische Kurve im Koordinatensystem.

Auch hier schafft die analytische Geometrie eine Verbindung zwischen diesen Gleichungen und wie sie als Kurven im Koordinatensystem dargestellt werden. Sie erkennen daran jedoch nicht, wie Sie die grau unterlegten Flächen in Abbildung 1.4 berechnen können.

Verallgemeinerung des Flächenproblems

Beachten Sie, dass ich in allen Beispielen aus dem vorigen Abschnitt alle Flächen auf ganz besondere Weise grau unterlegt habe. Oben ist die Fläche durch eine Funktion begrenzt. Unten ist sie durch die x-Achse begrenzt. Und links und rechts ist die Fläche durch vertikale Geraden begrenzt (in einigen Fällen bemerkt man diese Geraden jedoch nicht, weil die Funktion an dieser Stelle die x-Achse schneidet).

Sie können dieses Problem verallgemeinern, um beliebige stetige Funktionen zu untersuchen. Um dies zu verdeutlichen, zeigt der grau unterlegte Bereich in Abbildung 1.5 die Fläche unter der Funktion f(x) zwischen den vertikalen Geraden x = a und x = b.

Beim Flächenproblem geht es immer darum, die Fläche unterhalb einer stetigen Funktion zwischen zwei konstanten Werten von x zu bestimmen, den so genannten Integrationsgrenzen, normalerweise als a und b bezeichnet.

Die Integrationsgrenzen sind keine Grenzwerte in dem Sinne, wie Sie sie aus der Analysis I kennen. Es handelt sich dabei einfach um Konstanten, die die Breite des Bereichs vorgeben, den Sie messen wollen.

Abbildung 1.5: Ein typisches Flächenproblem.

In gewisser Hinsicht unterscheidet sich diese Formel für den grau unterlegten Bereich nicht wesentlich von derjenigen, die ich früher in diesem Kapitel gezeigt habe. Es ist einfach nur eine Formel, das heißt, wenn Sie die richtigen Zahlen einsetzen und dann rechnen, erhalten Sie das richtige Ergebnis.

Der Haken liegt jedoch im Wort rechnen. Wie genau rechnen Sie unter Verwendung dieses neuen Symbols, ∫? Wie Sie vielleicht schon ahnen, ist die Antwort genau der Titel dieses Buches: Analysis. Genauer gesagt: Integralrechnung oder Integration.

In der Regel geht es in den Kursen zu Analysis II bei Ihnen an der Schule oder Universität um die Integration – die Lehre, wie das Flächenproblem zu lösen ist. Wenn Sie irgendwann Probleme mit Analysis II haben (und ehrlich gesagt, irgendwann wird das unvermeidbar sein), dann versuchen Sie, sich an die zentrale Frage zu erinnern: »Wie hilft mir das, was ich gerade mache, die Fläche unter einer Funktion zu finden?«

Das bestimmte Integral liefert bestimmte Antworten

Vielleicht sind Sie überrascht, dass Sie schon jahrelang wussten, wie bestimmte Funktionen integriert werden, ohne sie überhaupt zu kennen. (Es kommt tatsächlich vor, dass man etwas kann, ohne zu wissen, dass man es kann.)

Angenommen, Sie wollen die rechteckige Fläche unter der Funktion y = 2 zwischen x = 1 und x = 4 bestimmen, wie in Abbildung 1.6 gezeigt.

Dies ist einfach ein Rechteck mit einer Länge von 3 und einer Höhe von 2, deshalb ist die Fläche offensichtlich gleich 6. Aber dies ist gleichzeitig ein Flächenproblem, das als Integration ausgedrückt werden kann:

Abbildung 1.6: Die rechteckige Fläche unter der Funktion y = 2 zwischen x = 1 und x = 4.

Wie Sie sehen, integriere ich hier die Funktion f(x) = 2. Die Integrationsgrenzen sind 1 und 4 (beachten Sie, dass der größere Wert jeweils oben steht). Sie wissen bereits, dass die Fläche gleich 6 ist, Sie können dieses Analysisproblem also lösen, ohne auf irgendwelche komplizierten Methoden zurückzugreifen. Dennoch führen Sie hier eine Integration durch, klopfen Sie sich also auf die Schulter – stellvertretend für mich.

Der folgende Ausdruck wird als bestimmtes Integral bezeichnet:

Hier sollten Sie sich nicht allzu viele Gedanken über die tiefere Bedeutung hinter dem Symbol ∫ machen, und auch nicht über das dx (an das Sie sich vielleicht noch von Ihrer Differentiation in Analysis I her erinnern). Stellen Sie sich das ∫ und das dx einfach nur als eine Art Notation vor, die um eine Funktion herum geschrieben wird – eine Notation, die für die Fläche steht.

Was ist so bestimmt beim bestimmten Integral: Eigentlich zwei Dinge:

- Die Integrationsgrenzen sind bestimmt (in diesem Fall 1 und 4). Ihr Vorhandensein unterscheidet ein bestimmtes Integral von einem unbestimmten Integral, worüber Sie in Kapitel 3 mehr erfahren werden. Bestimmte Integrale beinhalten immer die Integrationsgrenzen, unbestimmte Integrale tun dies nie.

- Ein bestimmtes Integral ist immer gleich einer bestimmten Zahl (vorausgesetzt, die Integrationsgrenzen sind ebenfalls Zahlen). Diese Zahl kann einfach zu bestimmen sein, aber auch so schwierig, dass man einen ganzen Saal voller Mathematikprofessoren braucht, die gewaltigen Rechnungen mit spitzen Bleistiften zu Papier bringen. Letztlich ist aber eine Zahl immer eine Zahl. Und weil ein bestimmtes Integral ein Flächenmaß ist, sollten Sie davon ausgehen, dass die Lösung eine Zahl ist.

Wenn die Integrationsgrenzen keine Zahlen sind, muss ein bestimmtes Integral nicht unbedingt gleich einer Zahl sein. Ein bestimmtes Integral beispielsweise, dessen Integrationsgrenzen gleich k und 2k sind, ist sehr wahrscheinlich eher ein algebraischer Ausdruck, in dem k vorkommt. Analog dazu wäre ein bestimmtes Integral, dessen Integrationsgrenzen sin θ und 2·sin θ sind, sehr wahrscheinlich ein trigonometrischer Ausdruck mit θ. Insgesamt kann man sagen, dass ein bestimmtes Integral immer gleich einer Zahl ist, weil es eine Fläche darstellt – dass es aber nicht unbedingt möglich sein muss, diese Zahl zu berechnen.

Als weiteres Beispiel versuchen Sie, die Dreiecksfläche unter der Funktion y = x zwischen x = 0 und x = 8 zu finden, wie in Abbildung 1.7 gezeigt.

Hier ist die Form des schattierten Bereichs ein Dreieck mit der Grundlinie 8 und einer Höhe von 8, die Fläche ist also gleich 32 (weil die Fläche eines Dreiecks die Hälfte der Grundlinie mal der Höhe ist). Aber auch dies ist ein Flächenproblem, das wie folgt mit Hilfe der Integration dargestellt werden kann:

Abbildung 1.7: Die Dreiecksfläche unter der Funktion y = x zwischen x = 0 und x = 8.

Die Funktion, die ich hier integriere, ist f(x) = x, und die Integrationsgrenzen sind 0 und 8. Auch dieses Integral kann mit Hilfe von Methoden aus der klassischen und analytischen Geometrie ausgewertet werden. Und auch hier gilt, dass das bestimmte Integral als Zahl zu berechnen ist, die gleich der Fläche unterhalb der Funktion und oberhalb der x-Achse zwischen x = 0 und x = 8 ist.

Als letztes Beispiel betrachten Sie die halbkreisförmige Fläche zwischen x = -4 und x = 4, wie in Abbildung 1.8 gezeigt.

Abbildung 1.8: Die halbkreisförmige Fläche zwischen x = – 4 und x = 4.

Als Allererstes erinnern Sie sich aus Ihrem bisherigen Mathematikunterricht, wie die Fläche eines Kreises mit einem Radius von 4 Einheiten ausgerechnet wird:

x^2 + y^2 = 16

Anschließend lösen Sie diese Gleichung nach y auf:

Mit ein bisschen grundlegender Geometrie erkennen Sie, dass die Fläche des gesamten Kreises gleich 16π ist, die Fläche des schattierten Halbkreises ist also 8π. Auch wenn ein Kreis keine Funktion ist (und denken Sie daran, dass sich die Integration ausschließlich mit stetigen Funktionen beschäftigt!), liegt die schattierte Fläche in diesem Fall unter dem oberen Teil des Kreises. Als Gleichung für diese Kurve gilt also die folgende Funktion:

Sie können also diese schattierte Fläche als bestimmtes Integral darstellen:

Auch hier ergibt das bestimmte Integral eine Zahl, nämlich die Fläche unter der Funktion zwischen den Integrationsgrenzen.

Aufgeschnitten

Ein guter Ansatz für eine komplizierte Aufgabe – von der Planung einer Hochzeit bis hin zur Besteigung des Mount Everest – ist es, das Ganze in kleinere und damit überschaubarere Teile zu zerlegen.

In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen die Grundlagen, wie der Mathematiker Bernhard Riemann diesen Ansatz angewendet hat, um das bestimmte Integral zu berechnen, das ich im vorigen Abschnitt »Es geht um die Fläche« vorgestellt habe. Hier verwende ich als Beispiel die Fläche unter der Funktion y = x^2 zwischen x = 1 und x = 5. Die Darstellung dieses Beispiels finden Sie in Abbildung 1.9.

Abbildung 1.9: Die Fläche unter der Funktion y = x^2 zwischen x = 1 und x = 5.

Annäherung an ein schwieriges Problem mit Hilfe von Rechtecken

Im obigen Abschnitt »Es geht um die Fläche« haben Sie erfahren, wie das bestimmte Integral geschrieben wird, das die Fläche des schattierten Bereichs in Abbildung 1.9 darstellt:

Leider entspricht dieses bestimmte Integral – anders als die früher in diesem Kapitel vorgestellten – nicht den Methoden der klassischen und analytischen Geometrie, die ich verwendet habe, um die früher in diesem Kapitel vorgestellten Aufgaben zu lösen. (Wäre dies nicht so, wäre die Integration sehr viel einfacher und dieses Buch wäre sehr viel dünner!)

Auch wenn Sie dieses bestimmte Integral nicht direkt lösen können (noch nicht!), können Sie es annähern, indem Sie den schattierten Bereich in zwei Teile zerlegen, wie in Abbildung 1.10 gezeigt.

Abbildung 1.10: Fläche, die mit Hilfe von zwei Rechtecken angenähert wird.

Offensichtlich ist der jetzt schattierte Bereich – der aussieht wie zwei Treppenstufen, die nach oben verlaufen aber ins Nichts führen – kleiner als die Fläche, die Sie bestimmen wollen. Glücklicherweise führen diese Treppenstufen letztlich doch zu einem Ziel, weil die Berechnung der darunter liegenden Fläche relativ einfach ist.

Jedes Rechteck hat eine Breite von 2. Die Oberkanten der beiden Rechecke befinden sich dort, wo die Funktion x^2 die Punkte x = 1 und x = 3 trifft, ihre Höhen sind also 1 und 9. Die Gesamtfläche der beiden Rechtecke beträgt also 20, weil:

2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 9 = 2 ⋅ (1 + 9) = 2 ⋅ 10 = 20

Mit dieser Annäherung der Fläche unter dem ursprünglich schattierten Bereich kann man daraus Folgendes schließen:

Natürlich ist dies eine sehr grobe Annäherung. Aber selbst eine noch so schlechte Annäherung ist besser als nichts. Um eine bessere Annäherung zu erhalten, versuchen Sie, die gemessene Form in mehr Scheiben zu schneiden, wie in Abbildung 1.11 gezeigt.

Abbildung 1.11: Eine genauere Annäherung. Die Fläche wird jetzt mit Hilfe von vier Rechtecken angenähert.

Auch diese Annäherung ist kleiner als der tatsächliche Bereich, nach dem Sie suchen. Jetzt hat jedes Rechteck eine Breite von 1. Und die Oberseiten der vier Rechtecke verlaufen dort, wo die Funktion x^2 die Punkte x = 1, x = 2, x = 3 und x = 4 trifft. Ihre Höhen sind also 1, 4, 9 und 16. Die Gesamtfläche der vier Rechtecke ist also gleich 30, weil:

1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 4 + 1 ⋅ 9 + 1 ⋅ 16 = 1 ⋅ (1 + 4 + 9 + 16) = 1 ⋅ 30 = 30

Wir haben also hier eine zweite Annäherung des gesuchten schattierten Bereichs:

Ihre Intuition teilt Ihnen vielleicht schon mit, dass die zweite Annäherung besser als die erste ist, denn wenn die Rechtecke dünner geschnitten werden, können sie genauer an die Funktion angepasst werden. Sie können dies nachprüfen, indem Sie überlegen, dass sowohl 20 als auch 30 kleiner als die tatsächliche Fläche sind. Egal, wie groß die Fläche also ist, 30 liegt näher beim Ergebnis.

Wie hoch ist oben?

Wenn Sie eine unregelmäßige Fläche in Rechtecke unterteilen, ist es ganz einfach, die Breite jedes Rechtecks zu bestimmen, weil sie alle gleich breit sind. Man dividiert einfach die Gesamtbreite der gemessenen Fläche, um gleich große Teile zu erhalten.

Die Höhe jedes dieser Rechtecke zu bestimmen, ist jedoch etwas aufwändiger. Sie beginnen, indem Sie die horizontalen Oberkanten aller Rechtecke zeichnen, die Sie verwenden. Anschließend gehen Sie für jedes Rechteck wie folgt vor:

1. Sie stellen fest, wo die Oberkante des Rechtecks auf die Funktion trifft.

2. Sie ermitteln den Wert von x an dieser Stelle, indem Sie an der x-Achse direkt unterhalb von diesem Punkt nachsehen.

3. Sie bestimmen die Höhe des Rechtecks, indem Sie diesen x-Wert in die Funktion einsetzen.

Sie können sich vielleicht vorstellen, dass Sie immer bessere Schätzungen erhalten, je weiter Sie die Fläche in Rechtecke zerlegen. Und auch hier täuscht Sie Ihre Intuition nicht: Wenn die Anzahl der Scheiben zunimmt, nähert sich das Ergebnis an 41,3333… an.

Sie können also schreiben:

Dies ist das richtige Ergebnis. Aber um diesen Schluss beweisen zu können, müssen Sie etwas genauer sein.

Eine Formel für die Flächenbestimmung aufbauen

Im vorigen Abschnitt haben Sie die Flächen von zwei Rechtecken bzw. vier Rechtecken wie folgt berechnet:

2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 9 = 2 ⋅ (1 + 9) = 2 ⋅ 10 = 20

1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 4 + 1 ⋅ 9 + 1 ⋅ 16 = 1 ⋅ (1 + 4 + 9 + 16) = 1 ⋅ 30 = 30

Dabei haben Sie jedes Mal die zu bestimmende Fläche in Rechtecke unterteilt, die alle dieselbe Breite aufweisen. Anschließend haben Sie diese Breite mit der Summe der Höhen aller Rechtecke multipliziert. Das Ergebnis ist die Fläche des schattierten Bereichs.

Allgemein lautet also die Formel für die Berechnung einer in n Rechtecke zerlegten Fläche:

Fläche der Rechtecke = w ⋅ h_1 + w ⋅ h_2 + ... + w ⋅ hn

In dieser Formel ist w die Breite jedes Rechtecks, und h_1, h_2, …, hn usw. sind die verschiedenen Höhen der Rechtecke. Alle Rechtecke sind gleich breit, deshalb können Sie diese Formel wie folgt vereinfachen:

Fläche der Rechtecke = w ⋅ (h_1 + h_2 + ... + hn)

Beachten Sie, dass sich mit zunehmendem n – das heißt, je mehr Rechtecke Sie zeichnen – die Gesamtfläche aller Rechtecke an die Form annähert, deren Fläche Sie bestimmen wollen.

Sie stimmen mir sicherlich zu, dass diese Formel nicht besonders kompliziert ist. Es handelt sich um grundlegende Geometrie, wobei die Fläche von Rechtecken gemessen wird, indem ihre Breite und Höhe multipliziert wird. Im restlichen Abschnitt wandle ich diese einfache Formel in die folgende Formel um, die so genannte Riemann-Summenformel für das bestimmte Integral:

Überwältigend! Aus diesem Grund habe ich die Formel beginnend mit der einfachen Flächenformel schrittweise aufgebaut – so dass Sie verstehen, dass diese verrückte Schreibweise einfach nur eine Erweiterung dessen ist, was Sie selbst bereits erkannt haben.

Wenn Sie nicht genau wissen, was diese ganzen Symbole bedeuten – wie etwa das Σ oder der Grenzwert –, lesen Sie weiter, weil ich sie nach und nach erklären werde. (Weitere Informationen über diese Symbole finden Sie in Kapitel 2.)

Das bestimmte Integral annähern

Ich habe Ihnen in diesem Kapitel bereits erklärt, dass das bestimmte Integral für die Fläche steht. Durch die Umwandlung der einfachen Formel

Fläche der Rechtecke = w ⋅ (h_1 + h_2 + ... + hn)

ist der erste Schritt also, einfach das bestimmte Integral einzuführen:

Wie Sie sehen, wurde das Gleichheitszeichen (=) in ein Ungefährzeichen (≈) umgewandelt, das heißt, in der Gleichung wird darauf hingewiesen, dass es sich um eine Annäherung handelt. Diese Änderung ist angemessen – das bestimmte Integral ist die exakte Fläche innerhalb der angegebenen Grenzen, die die Fläche der Rechtecke nur annähert.

Den Fehlerspielraum begrenzten

Bei zunehmendem n – das heißt, je mehr Rechtecke Sie zeichnen – wird die Annäherung immer besser. Mit anderen Worten, wenn sich n an Unendlich annähert, nähert sich die Fläche der gemessenen Rechtecke der zu messenden Fläche an.

Sie werden nicht überrascht sein, wenn nach Darstellung dieser Annäherung mit Hilfe eines Grenzwerts der Fehlerspielraum wegfällt und die Annäherung den Status einer Gleichung erhält:

Dieser Grenzwert drückt einfach auf mathematische Weise aus, was ich im vorigen Abschnitt gesagt habe: Wenn sich n Unendlich annähert, nähert sich die Fläche aller Rechtecke der genauen Fläche an, die das bestimmte Integral darstellt.

Das Verständnis der Breite erweitern

Im nächsten Schritt ersetzen wir die Variable w, die für die Breite jedes Rechtecks steht, durch einen sinnvolleren Ausdruck.

Sie wissen, dass die Integrationsgrenzen die Breite der zu bestimmenden Fläche darstellen, wobei a den kleineren und b den größeren Wert repräsentieren. Sie können also die Breite der gesamten Fläche als b – a schreiben. Und wenn Sie diese Fläche in n Rechtecke unterteilen, hat jedes Rechteck die folgende Breite:

Setzt man diesen Ausdruck in die Annäherung ein, erhält man Folgendes:

Wie Sie sehen, drücke ich hier nur die Variable w mit Hilfe von a, b und n aus.

Mit der Sigma-Notation Dinge summieren

Vielleicht erinnern Sie sich, dass es Ihnen die Sigma-Notation (das griechische Symbol Σ, das man in Gleichungen verwendet) erlaubt, Gleichungen eleganter darzustellen, in denen sehr lange Zahlenketten addiert werden. In Kapitel 2 finden Sie einen Überblick über die Sigma-Notation, lesen Sie also nach, wenn Sie sich nicht genau erinnern.

Der Ausdruck h_1 + h_2 + ... + hn ist ein guter Kandidat für die Sigma-Notation:

Sie können also in unserer Gleichung eine einfache Substitution vornehmen:

Jetzt verschönere ich die ganze Gleichung noch ein wenig, indem ich in den Sigma- Ausdruck hinein ziehe (das ist eine zulässige Umformung, wie in Kapitel 2 erklärt wird):

Die Funktionalität der Höhe verstehen

Sie wissen, dass die Variable hi die Höhe eines einzelnen Rechtecks darstellt, das Sie messen wollen. (Um die Addition dieser Höhen kümmert sich die Sigma-Notation.) Der letzte Schritt ist, h durch etwas Funktionaleres zu ersetzen. Und funktional ist genau das richtige Wort, weil die Funktion die Höhe jedes Rechtecks bestimmt.

Hier folgt die kurze Erklärung, die ich später noch weiter verdeutliche: Die Höhe jedes einzelnen Rechtecks wird bestimmt durch einen Wert der Funktion an einem Wert von x, der irgendwo auf diesem Rechteck liegt, also:

Die Notation , die ich im Abschnitt »Nach links, nach rechts oder in die Mitte« genauer erkläre, bedeutet in etwa: »ein geeigneter Wert von xi«. Das bedeutet, für jedes hi in Ihrer Summe (h_1, h_2 usw.) können Sie die Variable h in der Gleichung durch einen geeigneten Wert der Funktion ersetzen. Und so sieht das aus:

Dies ist die komplette Summenformel nach Riemann für das bestimmte Integral. Ich bin also gewissermaßen fertig. Aber ich schulde Ihnen noch die ausführliche Erklärung für diese letzte Ersetzung, die Sie nachfolgend finden.

Nach links, nach rechts oder in die Mitte

Wir betrachten noch einmal unser Anfangsbeispiel und sehen uns an, wie ich den schattierten Bereich in vier Rechtecke zerlegt habe, wie in Abbildung 1.12 gezeigt.

Abbildung 1.12: Annäherung der Fläche mit linken Rechtecken.

Wie Sie sehen, werden die Höhen der vier Rechtecke bestimmt durch den Wert von f(x), wenn x gleich 1, 2, 3 bzw. 4 ist – das heißt f(1), f(2), f(3) und f(4). Beachten Sie, dass die obere linke Ecke jedes Rechtecks die Funktion berührt und die Höhe des betreffenden Rechtecks bestimmt.

Angenommen, ich zeichne jetzt die Rechtecke wie in Abbildung 1.13 gezeigt.

Abbildung 1.13: Annäherung der Fläche mit rechten Rechtecken.

In diesem Fall berührt die obere rechte Ecke die Funktion, die Höhen der vier Rechtecke sind also f(2), f(3), f(4) und f(5).

Angenommen, ich zeichne die Rechtecke jetzt, wie in Abbildung 1.14 gezeigt.

Abbildung 1.14: Annäherung der Fläche mit Mittelpunktrechtecken.

Hier berührt die Mitte der Oberseite jedes Rechtecks die Funktion, die Höhen der Rechtecke sind also f(1,5), f(2,5), f(3,5) und f(4,5).

Man kann also die Rechtecke auf mindestens dreierlei unterschiedliche Arten zeichnen, um die zu bestimmende Fläche anzunähern. Sie alle führen zu unterschiedlichen Annäherungen, welche davon führt also zu der richtigen Antwort? Die Antwort lautet: alle.

Diese überraschende Antwort resultiert aus der Tatsache, dass die Gleichung für das bestimmte Integral einen Grenzwert beinhaltet. Egal, wie Sie die Rechtecke zeichnen, so lange die Oberseite jedes Rechtecks an (mindestens) einem Punkt mit der Funktion zusammenfällt, glättet der Grenzwert die Abweichungen, wenn sich n an Unendlich annähert. Dieses Spiel innerhalb der Gleichung zeigt sich als der * im Ausdruck f( ).

In dem Beispiel mit den vier Rechtecken etwa befindet sich das erste Rechteck an der Stelle von x = 1 bis x = 2, also gilt:

und damit

Tabelle 1.1 zeigt den Bereich der zulässigen Werte für xi, wenn diese Fläche mit Hilfe von vier Rechtecken angenähert wird. In jedem Fall können Sie die Höhe des Rechtecks in einem Bereich unterschiedlicher Werte von x zeichnen.

Tabelle 1.1: Zulässige Werte von für n = 4

In Kapitel 3 werde ich dieses Konzept genauer beschreiben. Dort erfahren Sie auch sehr viel mehr über die wichtigsten Punkte der Formel für das bestimmte Integral.

Definition des Unbestimmten

Die Riemann-Summenformel für das bestimmte Integral, um die es im vorigen Abschnitt gegangen ist, erlaubt die Berechnung von Flächen, die mit der klassischen oder analytischen Geometrie nicht zu berechnen sind. Der Nachteil dieser Formel ist, dass sie recht unhandlich ist. In Kapitel 3 zeige ich Ihnen, wie Sie damit die Fläche berechnen, aber die meisten Studenten schreien an dieser Stelle laut auf und rufen »Da muss es doch noch etwas anderes geben!«

Diese bessere Methode wird als das unbestimmte Integral bezeichnet. Das unbestimmte Integral sieht ganz ähnlich wie das bestimmte Integral aus. Vergleichen Sie selbst:

Bestimmte Integrale | Unbestimmte Integrale
| ∫x^2dx
| ∫sin (x) dx
| ∫exdx

Wie das bestimmte Integral ist das unbestimmte Integral ein Werkzeug, um die Fläche unterhalb einer Funktion zu bestimmen. Anders als das bestimmte Integral hat das unbestimmte Integral jedoch keine Integrationsgrenzen, so dass Sie durch seine Auswertung keine Zahl erhalten. Stattdessen erhalten Sie durch Auswertung eines unbestimmten Integrals eine Funktion, die Sie nutzen können, um alle verwandten bestimmten Integrale zu erhalten. In Kapitel 3 erfahren Sie mehr darüber, wie bestimmte und unbestimmte Integrale zusammenhängen.

Unbestimmte Integrale stellen eine praktische Methode dar, bestimmte Integrale zu berechnen. Letztlich ist das unbestimmte Integral die Umkehrung der Ableitung, die Sie aus Analysis I kennen. (Machen Sie sich keine weiteren Gedanken, wenn Sie sich nicht mehr an den genauen Sachverhalt bei den Ableitungen erinnern – in Kapitel 2 finden Sie alles, was Sie brauchen.) Mit Umkehrung meine ich, dass das unbestimmte Integral einer Funktion eigentlich die Anti-Ableitung (die Stammfunktion) dieser Funktion ist. Die Verbindung zwischen Integration und Differentiation ist mehr als nur ein Gerücht. Man spricht auch vom Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung (HDI).

Sie wissen beispielsweise, dass die Ableitung von x^2 gleich 2x ist. Sie erwarten also, dass die Anti-Ableitung – das heißt das unbestimmte Integral, also die Stammfunktion – von 2x gleich x^2 ist. Das ist grundsätzlich richtig, mit einem kleinen Trick, den ich in Kapitel 3 ausführe.

Wenn Sie die Integration als Anti-Differentiation betrachten, können Sie unzählige Integrale lösen, ohne die Riemann-Summenformel anwenden zu müssen (mehr darüber in Kapitel 4). Aber die Integration kann dennoch unangenehm sein, abhängig davon, welche Funktion Sie integrieren wollen. Die Mathematiker haben unzählige Techniken entwickelt, um Integrale auszuwerten. Einige dieser Methoden sind die Variablensubstitution (Kapitel 5), die teilweise (oder partielle) Integration (Kapitel 6), die trigonometrische Substitution (Kapitel 7) und die Integration durch Partialbruchzerlegung (siehe Kapitel 8).

Mit der Integration Aufgaben lösen

Nachdem Sie verstanden haben, wie man mit Hilfe des bestimmten Integrals eine Flächenaufgabe beschreibt (Teil I), und wie man Integrale berechnet (Teil II), können Sie es anpacken und die unterschiedlichsten Aufgabenstellungen lösen.

Einige dieser Aufgabenstellungen wissen, was sich gehört, und bleiben in zwei Dimensionen. Andere erheben sich zur Revolution in die dritte Dimension. In diesem Abschnitt präsentiere ich Ihnen einen Vorgeschmack auf diese Art von Aufgabenstellungen und lade Sie ein, in Teil III dieses Buchs mehr darüber zu erfahren.

Drei Aufgabenstellungen, die Sie mit höchster Wahrscheinlichkeit in einer Prüfung antreffen, sind die Bestimmung der Fläche zwischen Kurven, die Bestimmung der Länge einer Kurve und das Volumen eines Drehkörpers. Ich werde mich auf diese und viele andere Aufgabenstellungen in den Kapiteln 9 und 10 konzentrieren.

Ganz einfach: Die Fläche zwischen Kurven bestimmen

Wenn Sie wissen, wie das bestimmte Integral die Fläche unter einer Kurve darstellt, ist es auch nicht schwierig, die Fläche zwischen Kurven zu bestimmen. Sie zerlegen einfach die Aufgabe in mehrere kleinere Abschnitte. Angenommen, Sie wollen die Fläche zwischen der Funktion y = sin (x) und y = cos (x) von x = 0 bis bestimmen, das heißt die schattier te Fläche A in Abbildung 1.15.

Abbildung 1.15: Die Fläche zwischen der Funktion y = sin (x) und y = cos (x) von x = 0 bis

In diesem Fall bestimmen Sie durch Integration von y = cos (x), die Gesamtfläche A + B. Durch Integration von y = sin (x) erhalten Sie die Fläche von B. Um die Fläche von A zu erhalten, subtrahieren Sie A + B – B

Weitere Informationen über die Bestimmung der Fläche zwischen Kurven finden Sie in Kapitel 9.

Die lange und kurvige Straße

Mit der klassischen und analytischen Geometrie ist es ganz einfach, einen Abschnitt einer geraden Linie oder einen Kreisbogen zu messen. Aber wie messen Sie die Länge einer unregelmäßigen Kurve, die durch eine Polynom-, Exponential- oder trigonometrische Gleichung erzeugt wird?

Abbildung 1.16: Der Abstand zwischen Punkt A und Punkt B entlang der Funktion y = ln (x).

Wie groß beispielsweise ist der Abstand zwischen Punkt A und Punkt B auf der Kurve in Abbildung 1.16?

Auch hier hilft Ihnen mal wieder die Integration. In Kapitel 9 werde ich Ihnen zeigen, wie Sie durch Anwendung der Integration eine Formel erhalten, die Ihnen dabei hilft, die Bogenlänge zu messen.

Drehkörper

Die Analysis ermöglicht Ihnen auch, das Volumen unregelmäßiger Körper zu bestimmen. Größtenteils ist an der Berechnung des Volumens ein Dimensionssprung in die mannigfaltige Analysis erforderlich, ein Thema aus Analysis III, das ich in Kapitel 14 kurz ansprechen werde.

In einigen Situationen ermöglicht Ihnen die Formulierung eines Integrals, das Volumen zu berechnen, indem über eine einfache Variable integriert wird – unter Verwendung der Methoden, die Sie in Analysis II kennen lernen werden.

Zu den kompliziertesten Aufgabenstellungen gehört der Rotationskörper einer Kurve. Bei diesen Aufgabenstellungen erhalten Sie eine Fläche unter einer Kurve. Anschließend stellen Sie sich den Körper vor, der entsteht, wenn Sie diese Fläche um die Achse drehen, und Sie berechnen das Volumen dieses Körpers, wie in Abbildung 1.17 gezeigt.

Abbildung 1.17: Ein Rotationskörper, erzeugt durch Rotation der Funktion y = x^2 um die Achse x = 0.

Offensichtlich brauchen Sie für die Bestimmung der Fläche dieses Bereichs die Analysis. Und Sie brauchen noch mehr Analysis und einen durchdachten Angriffsplan, um das Volumen zu berechnen. Wie das geht, erkläre ich in Kapitel 10.

Unendliche Reihen

Das letzte Drittel eines typischen Kurses in Analysis II – also etwa fünf Wochen – konzentriert sich normalerweise auf das Thema der unendlichen Reihen. Ich werde dieses Thema detailliert in Teil IV beschreiben. Es folgt ein Überblick über einige der Konzepte, die Sie dort kennen lernen werden.

Folgen und Reihen unterscheiden

Eine Folge ist eine Zahlenkette in bestimmter Reihenfolge. Beispiel:

Folgen können endlich oder unendlich sein, aber die Analysis beschäftigt sich mit der Unendlichkeit, deshalb ist es kaum überraschend, dass sie sich nur mit den unendlichen Folgen befasst.

Sie machen aus einer unendlichen Folge eine unendliche Reihe, indem Sie die Kommas in Pluszeichen umwandeln:

Die Sigma-Notation, die ich in Kapitel 2 genauer erkläre, ist praktisch, um die unendlichen Folgen knapper darzustellen:

Reihen auswerten

Häufig ist es möglich, eine unendliche Reihe zu berechnen. Das bedeutet, Sie können feststellen, welche Summe alle diese Zahlen ergeben. Nachfolgend eine Lösung, die ganz offensichtlich sein sollte:

Eine praktische Methode, bestimmte Reihen in den Griff zu bekommen, ist es, eine entsprechende Folge von Teilsummen zu erstellen, das heißt eine Folge, die den ersten Term, die Summe der beiden ersten Terme, die Summe der ersten drei Terme usw. beinhaltet.

Nachfolgend finden Sie die Teilsummenfolge für die zweite der oben gezeigten Reihen:

Die resultierende Teilsummenfolge bietet einen starken Beweis für diese Schlussfolgerung:

Konvergente und divergente Reihen erkennen

Wenn die Auswertung einer Reihe eine Zahl ergibt, wie etwa , wird sie als konver gente Reihe bezeichnet. Ergibt die Auswertung der Reihe Unendlich, wie etwa , wird sie als divergente Reihe bezeichnet.

Es ist nicht immer ganz einfach zu erkennen, ob eine Reihe konvergent oder divergent ist. Betrachten Sie beispielsweise die dritte Reihe, die ich oben in diesem Abschnitt gezeigt habe:

Man spricht auch von der harmonischen Reihe, aber erkennen Sie auf den ersten Blick, ob sie konvergent oder divergent ist? (Bevor Sie anfangen, die Brüche zu addieren, möchte ich Sie warnen, dass die Teilsumme der ersten 10.000 Zahlen kleiner als 10 ist.)

Ein ständiges Problem bei der Betrachtung unendlicher Reihen ist die Entscheidung, ob eine bestimmte Reihe konvergent oder divergent ist. In Kapitel 13 finden Sie ein paar Tests, die Ihnen dabei helfen können.

Fortschreiten in die fortgeschrittene Mathematik

Obwohl wir schon weiter in der Mathematik sind, als sich manche träumen lassen hätten, ist die Analysis nicht das Ende, sondern ein Anfang. Egal, ob Sie in einen Analysis-II-Kurs gehen oder dieses Buch nur für sich selbst lesen – hier folgt ein kurzer Überblick über einige Bereiche der Mathematik, die nach der Integration kommen.

Mannigfaltige Analysis

Die mannigfaltige Analysis bringt die Differentiation und die Integration in die dritte Dimension und darüber hinaus. Für die Differentiation in mehr als zwei Dimensionen benötigt man partielle Ableitungen. Für die Integration in mehr als zwei Dimensionen braucht man Mehrfachintegrale.

In der Praxis ist die in den meisten Analysis-III-Kursen unterrichtete mannigfaltige Analysis auf drei Dimensionen beschränkt, wobei drei Achsen und die drei Variablen x, y und z verwendet werden. In Kapitel 14 wird es noch genauer um die mannigfaltige Analysis gehen.

Partielle Ableitungen

Wie Sie aus der Analysis I wissen, ist die Ableitung die Steigung einer Kurve an einem bestimmten Punkt im Graphen. Wenn Sie das Konzept der Steigung auf drei Dimensionen erweitern, entstehen neue Aufgabenstellungen.

Angenommen, Sie stehen an einem Berg, der nach oben hin ansteigt. Wenn Sie am Berg eine Linie durch Ihren Standpunkt nach oben und nach unten zeichnen, ist die Steigung dieser Linie steil. Zeichnen Sie dagegen eine Linie durch den Berg durch denselben Punkt, hat die Linie wenig bis gar keine Steigung. (Aus diesem Grund werden Bergstraßen häufig in Serpentinen auf den Berg gewunden, statt gerade auf und ab zu verlaufen.)

Wenn Sie die Steigung einer gekrümmten Oberfläche in drei Dimensionen berechnen, müssen Sie nicht nur den Punkt berücksichtigen, wo Sie die Steigung messen, sondern auch die Richtung, in der Sie sie messen. Partielle Ableitungen erlauben Ihnen, diese zusätzliche Information einzubeziehen.

Mehrfachintegrale

Früher in diesem Kapitel haben Sie gelernt, dass die Integration Ihnen ermöglicht, die Fläche unter einer Kurve zu messen. In drei Dimensionen müssen Sie dementsprechend das Volumen unter einer gekrümmten Oberfläche finden. Mehrfachintegrale (Integrale, die in andere Integrale verschachtelt sind) gestatten Ihnen, solche Volumen zu berechnen.

Differentialgleichungen

Nach der mannigfaltigen Analysis sind das nächste Thema, das den meisten Studenten auf ihrer mühsamen Reise durch die Mathematik begegnet, die Differentialgleichungen.

Differentialgleichungen benötigt man in vielen Bereichen der Wissenschaft, wie unter anderem in der Physik, wo es um Schlüsselkonzepte wie Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Objekts geht, die mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung berechnet werden. Die resultierenden Gleichungen enthalten komplizierte Kombinationen der Ableitungen, die bisweilen verwirrend und schwierig zu lösen sind. Ein Beispiel:

Neben den gewöhnlichen Differentialgleichungen, in denen nur gewöhnliche Ableitungen vorkommen, enthalten partielle Differentialgleichungen – wie etwa die Wärmegleichung oder die Laplace-Gleichung – partielle Ableitungen.

Ein Beispiel:

In Kapitel 15 präsentiere ich Ihnen einen Überblick über gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen.

Fourier-Analyse

In der Physik wird so vieles in Differentialgleichungen ausgedrückt, dass es für die Wissenschaftler des 19. Jahrhunderts zur zwingenden Notwendigkeit wurde, zuverlässige Methoden für die Lösung dieser Gleichungen zu finden. Der Mathematiker Joseph Fourier war darin außerordentlich erfolgreich.

Fourier entwickelte eine Methode, jede Funktion als die Funktion einer unendlichen Reihe aus Sinus- und Kosinus-Ausdrücken darzustellen. Weil trigonometrische Funktionen stetig und unendlich differenzierbar sind, stellt die Fourier-Analyse einen vereinheitlichten Ansatz dar, große Familien von Differentialgleichungen zu lösen, die zuvor nicht berechenbar waren.

Numerische Analyse

Ein Großteil der Mathematik ist theoretisch und idealisiert: die Suche nach genauen Lösungen ohne Beziehung zu praktischen Betrachtungen, wie etwa: »Wie lang wird es dauern, diese Aufgabe zu lösen?« (Wenn Ihnen je in einer Mathematikprüfung die Zeit ausgegangen ist, werden Sie wissen, wovon ich spreche!).

Im Gegensatz dazu ist die numerische Analyse die Suche nach einer Lösung, die gut genug ist, und zwar innerhalb einer sinnvollen Zeit.

Das folgende Integral beispielsweise kann nicht berechnet werden:

Aber auch wenn man es nicht lösen kann, kann man seine Lösung in jedem gewünschten Genauigkeitsgrad annähern. Und für Anwendungen aus der Praxis ist eine gute Annäherung häufig ausreichend, so lange Sie (oder vielmehr ein Computer) diese in einer vertretbaren Zeit berechnen können. Ein solches Verfahren für die Annäherung der Lösung für ein Problem wird auch als Algorithmus bezeichnet.

Die numerische Analyse untersucht Algorithmen für Qualitäten wie etwa Genauigkeit (der Fehlerspielraum für eine Annäherung) und die Komplexität (wie lange die Berechnung für einen bestimmten Genauigkeitsgrad dauert).

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Weg mit den Geistern der Vergangenheit: Ein Überblick über die Grundlagen der Analysis und Analysis I

In diesem Kapitel...

- Exponenten von 0, negative Zahlen und Brüche verstehen

- Allgemeine stetige Funktionen und ihre Transformationen zeichnen

- Trigonometrische Identitäten und die Sigma-Notation in Erinnerung rufen

- Grenzwerte verstehen und berechnen

- Unter Verwendung aller Lieblingsregeln differenzieren

- Grenzwerte mit Hilfe der Regel von L’Hospital berechnen

Erinnern Sie sich an Eine Weihnachtsgeschichte von Charles Dickens? Sie wissen schon, Scrooge und die Geister aus der Vergangenheit. Die Mathematik kann genauso sein: Alles, was Sie als schon seit Jahren tot und vergraben wähnten, stattet Ihnen plötzlich einen Besuch ab, wenn Sie am wenigsten damit rechnen.

Dieser schnelle Überblick soll Ihnen unnötige schlaflose Nächte ersparen. Bevor Sie weiter Ihre Analysis-Ambitionen verfolgen, sollten Sie überprüfen, ob Sie die nachfolgend beschriebenen Themenbereiche sicher beherrschen.

Als Erstes erinnere ich noch einmal an all die Dinge aus der Vor-Analysis, die Sie sich möglicherweise nicht gemerkt haben: Polynome, Exponenten, graphische Darstellung von Funktionen und ihren Transformationen, trigonometrische Identitäten und die Sigma-Notation. Anschließend geht es weiter mit Analysis I. Dort konzentriere ich mich auf Grenzwerte und Ableitungen. Ich schließe das Kapitel mit einem Thema, das Sie möglicherweise aus Analysis I kennen: die Regel von L’Hospital für die Bestimmung von Grenzwerten bei »unbestimmten Ausdrücken«.

Wenn Sie immer noch nicht genug wissen, nachdem Sie dieses Kapitel gelesen haben, empfehle ich Ihnen das Buch über die Grundlagen der Analysis von Deborah Rumsey, PhD, zu lesen, oder Analysis für Dummies von Mark Ryan (beide bei Wiley erschienen), um sich tiefergehende Kenntnisse zu verschaffen.

Vergessen aber immer präsent: Ein Überblick über die Grundlagen der Analysis

Eine wahre Geschichte: Ich habe meinen ersten Abschluss in Englisch absolviert. Als ich zurück ans College ging, um Mathematik zu studieren, waren viele Jahre vergangen, seit ich eine Mathematikvorlesung besucht hatte. Ich sage nicht, wie viele Jahre es waren, aber als ich diese Zahl meiner ersten Analysis-Lehrerin anvertraute, fiel sie glatt in Ohnmacht (okay, vielleicht ist das etwas übertrieben). Nachdem sie wieder zu Kräften gekommen war, fragte sie mich mit besorgter Mine: »Sind Sie sicher, dass Sie das wirklich wollen?«

Ich war überhaupt nicht sicher, aber immerhin war ich schon mal dort. Die ganze Zeit über legte ich unzählige Notizen an, mit der Aufschrift »Unbedingt merken« – grundsätzlich die Dinge, die Ihnen in diesem Abschnitt begegnen werden. Und das habe ich in diesem Semester gelernt: Egal, ob man sich vor einem oder vor 20 Jahren mit den Grundlagen der Analysis beschäftigt hat, man muss diese Dinge jederzeit beherrschen.

Fakten über Fakultäten

Die Fakultät einer Zahl, dargestellt durch das Symbol !, bedeutet, dass diese Zahl mit jeder kleineren positiven ganzen Zahl multipliziert wird. Beispiel:

5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120

Beachten Sie, dass die Fakultät jeder positiven Zahl gleich der Zahl multipliziert mit der nächstkleineren Fakultät ist. Beispiel:

6! = 6 ⋅ 5!

Allgemein kann man sagen, die folgende Gleichung gilt:

(x + 1)! = (x + 1) ⋅ x!

Diese Gleichung schafft die Begründung für die seltsam anmutende Konvention, dass 0! = 1:

Wenn Fakultäten in Brüchen auftreten (wie in Kapitel 12 und 13 gezeigt), können Sie normalerweise sehr viel kürzen, wodurch ihre Handhabung erleichtert wird. Beispiel:

Selbst wenn ein Bruch Fakultäten mit Variablen enthält, können Sie normalerweise kürzen. Beispiel:

Polynome aufpolieren

Ein Polynom ist eine beliebige Funktion der folgenden Form:

f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a_1x + a_0

Beachten Sie, dass jeder Term in einem Polynom ein x enthält, das in die Potenz einer nicht negativen ganzen Zahl erhoben ist, multipliziert mit einem Koeffizienten, der von einer reellen Zahl gebildet wird. Hier einige Beispiele für Polynome:

Beachten Sie, dass im letzten Beispiel auf der rechten Seite der Gleichung durch Ausmultiplizieren ein Polynom in einer besser erkennbaren Form entsteht.

Polynome nehmen einen Sonderstatus in der Mathematik ein, weil es ganz einfach ist, damit zu arbeiten. Beispielsweise finden Sie den Wert von f(x) für einen beliebigen x-Wert, indem Sie diesen Wert in das Polynom einsetzen. Darüber hinaus sind Polynome auch einfach zu differenzieren und zu integrieren. Wenn Sie wissen, wie man Polynome auf den ersten Blick erkennt, machen Sie sich damit das Leben in jeder Mathematikvorlesung sehr viel leichter.

Potenzial durch Potenzen (Exponenten)

Erinnern Sie sich noch daran, was Sie dachten, als Sie gelernt haben, dass jede Zahl erhoben in die Potenz 0 gleich 1 ergibt? Das bedeutet:

n^0 = 1

Das hat sich schon seltsam angehört. Aber wenn Sie Ihren Lehrer gefragt haben, warum das so ist, hat er Ihnen vermutlich mitgeteilt: »So haben die Mathematiker es definiert.« Keine besonders zufrieden stellende Antwort.

Wenn Sie aber absolut wissen wollen, warum das so ist (oder wenn Sie auch nur ein bisschen neugierig sind), finden Sie die Antwort in den Zahlenmustern.

Für Anfänger nehmen wir an, n = 2. Tabelle 2.1 zeigt eine einfache Darstellung der Information, die Sie bereits kennen.

Tabelle 2.1: Positive ganzzahlige Exponenten von 2

Wie Sie sehen, verdoppelt sich 2x, wenn x um 1 zunimmt. Wenn x um 1 abnimmt, wird 2x halbiert. Sie brauchen kein Atomphysiker zu sein, um herauszufinden, was passiert, wenn x = 0 ist. Tabelle 2.2 zeigt, was passiert.

Tabelle 2.2: Nicht negative ganzzahlige Exponenten von 2

Diese Darstellung bietet eine einfache Erklärung, warum 2^0 = 1 ist. Dieselbe Begründung funktioniert für alle anderen reellen Werte von n (außer 0). Darüber hinaus zeigt Tabelle 2.3, was passiert, wenn Sie das Muster auf negative Werte von x erweitern.

Tabelle 2.3: Positive und negative ganzzahlige Exponenten von 2

Wie die Tabelle zeigt, ist 2-x = . Dieses Muster gilt auch für alle reellen Werte ungleich 0 von n, also:

Beachten Sie, dass nach dieser Tabelle die folgende Regel gilt:

nanb = na+b

Beispiel:

2^3 ⋅ 2^4 = 23+4 = 2^7 = 128

Diese Regel erlaubt Ihnen, Bruchexponenten als Wurzeln auszuwerten. Beispiel:

Diese Regel können Sie für alle Basiswerte und Bruchexponenten verallgemeinern:

Wenn Sie diese Werte für x und f(x) = 2x auf einem Graphen darstellen, werden Sie das Ganze noch besser verstehen (siehe Abbildung 2.1).

Die Voraussetzung der Stetigkeit der Exponentialkurve bietet sogar eine logische Erklärung für die Berechnung einer Zahl mit irrationalem Exponenten. Diese Berechnung geht möglicherweise über den Rahmen dieses Buches hinaus, aber es handelt sich dabei um eine Aufgabenstellung aus der numerischen Analysis, ein Thema, das ich in Kapitel 1 kurz angesprochen habe.

Abbildung 2.1: Graph der Funktion y = 2x.

Die trigonometrische Notation

Trigonometrie ist ein großes und wichtiges Thema in Analysis II. Ich kann hier nicht alles abdecken, was Sie über Trigonometrie wissen müssen. Weitere Informationen dazu finden Sie in Trigonometrie für Dummies von Mary Jane Sterling (Wiley). Ich möchte jedoch kurz auf einen Aspekt der trigonometrischen Notation eingehen, um alle etwaigen Missverständnisse aufzuklären.

Wenn Sie die folgende Notation sehen:

2 cos x

denken Sie daran, dass dies 2(cos x) bedeutet. Um also den Funktionswert der Funktion für x = π zu ermitteln, bestimmen Sie zuerst den Funktionswert von cos x, und multiplizieren dann das Ergebnis mit 2:

2 cos π = 2 ⋅ (-1) = -2

Andererseits bedeutet die Notation

cos 2x

einfach cos(2x). Um beispielsweise den Funktionswert für x = 0 zu bestimmen, berechnen Sie zuerst den Funktionswert der inneren Funktion, 2x, und bestimmen dann den Kosinus für das Ergebnis:

cos(2 ⋅ 0) = cos 0 = 1

Und schließlich noch die Notation (die Sie unbedingt verstehen müssen!):

cos^2x

Das bedeutet (cos x)2, mit anderen Worten, um den Funktionswert dieser Funktion für x = π zu ermitteln, berechnen Sie zuerst den Funktionswert der inneren Funktion cos x, und berechnen dann das Quadrat davon:

cos^2π = (cos π)2 = (-1)2 = 1

Es zahlt sich wirklich aus, zu wissen, wie trigonometrische Funktionen behandelt werden, wenn Sie die Kettenregel anwenden (die ich später in diesem Kapitel beschreibe), und wenn Sie trigonometrische Funktionen integrieren (worum es in Kapitel 7 gehen wird).

Winkel mit dem Bogenmaß vereinen

Als Sie die Trigonometrie kennen gelernt haben, waren Sie wahrscheinlich an die Verwendung von Graden gewöhnt, weil sie diese schon aus der Geometrie kannten. Im Laufe der Zeit haben Sie das Bogenmaß kennen gelernt, mussten alle möglichen Umwandlungen zwischen Grad und Bogenmaß vornehmen, und anschließend sind Sie wieder zu den Graden zurückgekehrt.

Grade sind praktisch für bestimmte trigonometrische Applikationen, wie beispielsweise die Landvermessung. Aber für die Mathematik ist das Bogenmaß das Werkzeug der Wahl. Die Arbeit mit Graden ist umständlich.

Betrachten Sie beispielsweise den Ausdruck sin 1260°. Sie erkennen sehr wahrscheinlich nicht auf den ersten Blick, dass dieser Ausdruck gleich 0 ist, weil 1260° ein Vielfaches von 180° ist.

Dagegen können Sie sofort erkennen, dass der äquivalente Ausdruck sin7π ein Vielfaches von π ist. Und darüber hinaus sind bei der Arbeit mit dem Bogenmaß die Zahlen im Allgemeinen kleiner und Sie benötigen das Gradsymbol (°) nicht.

Sie brauchen sich keine Gedanken über die Umwandlung zwischen Grad und Bogenmaß machen. Stellen Sie nur sicher, dass Sie die gebräuchlichsten Winkel sowohl in Grad als auch im Bogenmaß kennen. Abbildung 2.2 zeigt einige der gebräuchlichsten Winkel.

Abbildung 2.2: Einige gebräuchliche Winkel in Grad und Bogenmaß.

Das Bogenmaß ist die Grundlage für Polarkoordinaten, um die es später in diesem Abschnitt gehen wird.

Allgemeine Funktionen graphisch darstellen

Sie sollten wissen, wie bestimmte allgemeine Funktionen aussehen, wenn sie in einem Graphen dargestellt werden. Ich zeige Ihnen die gebräuchlichsten Graphen von Funktionen. Diese Funktionen sind alle stetig, deshalb sind sie integrierbar für alle reellwertigen x.

Lineare und Polynomfunktionen

Abbildung 2.3 zeigt drei einfache Funktionen.

Abbildung 2.3: Graphen von zwei linearen Funktionen y = n und y = x und der Betragsfunktion y = |x|

Abbildung 2.4 zeigt einige grundlegende Polynomfunktionen.

Abbildung 2.4: Graphen von drei Polynomfunktionen y = x^2, y = x^3 und y = x^4.

Exponential- und Logarithmusfunktionen

Nachfolgend einige Exponentialfunktionen mit ganzzahligen Basen:

y = 2x
y = 3x
y = 10x

Beachten Sie, dass die Exponentialfunktion für jede positive Basis:

- die y-Achse bei y = 1 schneidet

- mit zunehmendem x gegen unendlich steigt (das heißt, sie hat einen unbegrenzten y-Wert)

- sich y = 0 annähert, wenn x abnimmt (das heißt, in negativer Richtung ist die x-Achse die Asymptote)

Die wichtigste Exponentialfunktion ist ex. Einen Graphen dieser Funktion sehen Sie in Abbildung 2.5.

Abbildung 2.5: Graph der Exponentialfunktion y = ex.

Das einzigartige Merkmal dieser Exponentialfunktion ist es, dass ihre Steigung an jedem Wert von x gleich ex ist. Das bedeutet, diese Funktion ist ihre eigene Ableitung (weitere Informationen über Ableitungen finden Sie im Abschnitt »Jüngste Erinnerungen: Ein Überblick über Analysis I« später in diesem Kapitel).

Eine weitere wichtige Funktion ist die Logarithmusfunktion (auch als natürlicher Logarithmus bezeichnet). Abbildung 2.6 zeigt den Graphen der Logarithmusfunktion y = ln x.

Abbildung 2.6: Graph der Logarithmusfunktion y = ln x.

Beachten Sie, dass diese Funktion die Spiegelung von ex entlang der Diagonalen y = x ist. Die Logarithmusfunktion macht also Folgendes:

- sie schneidet die x-Achse an der Stelle x = 1

- sie geht mit zunehmendem x gegen unendlich (das heißt, sie hat einen unbegrenzten y-Wert), wenn auch sehr viel langsamer als jede Exponentialfunktion

- sie erzeugt einen y-Wert, der sich -∞ annähert, wenn x von rechts gegen 0 geht

Darüber hinaus beinhaltet der Definitionsbereich der Logarithmusfunktionen nur positive Werte. Das bedeutet, es darf keinesfalls ein nicht positiver Wert in die Logarithmusfunktion eingegeben werden, was genau so unmöglich ist wie 0 im Nenner eines Bruchs oder ein negativer Wert unter einer Quadratwurzel.

Aus diesem Grund werden Funktionen, die innerhalb der Logarithmusfunktion stehen, häufig durch den Absolutwertoperator »vorbehandelt«. Beispiel:

y = ln |x^3|

Sie können einen Exponenten aus dem natürlichen Logarithmus herausziehen und ihn zu einem Koeffizienten machen:

ln(ab) = b ln a

Trigonometrische Funktionen

Die beiden wichtigsten trigonometrischen Funktionen sind Sinus und Kosinus. Die Graphen dieser beiden Funktionen sehen Sie in Abbildung 2.7.

Abbildung 2.7: Graphen der trigonometrischen Funktionen y = sin x und y = cos x.

Beachten Sie, dass die x-Werte dieser beiden Graphen normalerweise in Vielfachen von π angegeben sind. Jede dieser Funktionen hat eine Periode von 2π. Mit anderen Worten, sie wiederholt ihre Werte nach 2π Einheiten. Und jede von ihnen hat den Maximalwert 1 und den Minimalwert -1.

Sie müssen wissen, dass die Sinus-Funktion

- den Ursprung durchläuft

- an der Stelle den Wert 1 annimmt

- die x-Achse an Vielfachen von π schneidet Sie müssen wissen, dass die Kosinus-Funktion

- an der Stelle x = 0 den Wert 1 annimmt
- an der Stelle auf den Wert 0 fällt
- die x-Achse an den Stellen usw. schneidet

Aber man sollte auch die Graphen einiger sehr wichtiger anderer Funktionen kennen. Abbildung 2.8 zeigt die Graphen der trigonometrischen Funktionen y = tan x, y = cot x, y = sec x und y = csc x.

Abbildung 2.8: Graphen der trigonometrischen Funktionen y = tan x, y = cot x, y = sec x und y = csc x.

Asymptoten

Eine Asymptote ist eine Gerade in einem Koordinatensystem, an die sich eine Kurve annähert, die sie aber niemals erreicht. Sie wird in einem Koordinatensystem normalerweise als gestrichelte Linie dargestellt. Beispielsweise gibt es in allen vier Koordinatensystemen in Abbildung 2.8 vertikale Asymptoten.

Abhängig von der jeweiligen Kurve kann eine Asymptote in jede Richtung verlaufen, auch diagonal. Wenn Sie jedoch mit Funktionen arbeiten, sind horizontale und vertikale Asymptoten gebräuchlicher.

Transformation stetiger Funktionen

Wenn Sie wissen, wie die gebräuchlichsten Funktionen dargestellt werden, können Sie sie unter Anwendung einiger einfacher Tricks auch ganz einfach transformieren, wie in Tabelle 2.4 gezeigt.

Die vertikalen Transformationen sind intuitiv – das heißt, sie führen die Funktion in die Richtung, die Sie wahrscheinlich schon erwarten. Beispielsweise wird die Funktion durch Addition einer Konstanten nach oben verschoben, und durch Subtraktion einer Konstanten nach unten.

Tabelle 2.4: Fünf vertikale und fünf horizontale Transformationen von Funktionen

Im Gegensatz dazu sind die horizontalen Transformationen kontraintuitiv – das heißt, sie führen die Funktion in die Richtung, die Sie wahrscheinlich nicht erwarten würden. Beispielsweise verschiebt das Addieren einer Konstanten die Funktion nach links, und das Subtrahieren verschiebt sie nach rechts.

Einige wichtige trigonometrische Beziehungen identifizieren

Sich trigonometrische Beziehungen zu merken ist wie das Packen vor einem Campingurlaub.

Wenn Sie einen Rucksack für die Wildnis packen, dann können Sie nur begrenzt viel tragen, deshalb sollten Sie am besten Ihre Bücherkiste und Ihre 30-kg-Hanteln zuhause lassen. Gleichzeitig wollen Sie natürlich nicht fern jeglicher Zivilisation ohne Essen, ohne ein Zelt und ohne Erste-Hilfe-Kasten dastehen.

Ich weiß, dass es überhaupt keinen Spaß macht, sich trigonometrische Beziehungen auswendig zu merken. Aber wenn Sie nur ein paar wichtige trigonometrische Beziehungen kennen, kann Ihnen dies das Leben retten, wenn Sie irgendwo in der nebligen Analysislandschaft verloren gegangen sind, deshalb empfehle ich Ihnen, immer ein paar dabei zu haben.

Vermeiden Sie Beziehungskrisen!

Die meisten Studenten können sich problemlos an die erste quadratische Beziehung erinnern:

sin^2 x + cos^2 x = 1

Wenn Sie sich Sorgen machen, dass Sie möglicherweise die beiden anderen quadratischen Beziehungen vergessen haben, wenn Sie sie am nötigsten brauchen, geben Sie die Hoffnung nicht auf! Man kann sie sich ganz einfach merken, indem man jeden Term der ersten quadratischen Identität durch sin^2 x und cos^2 x dividiert:

Diese Gleichungen können unter Verwendung der grundlegenden fünf trigonometrischen Beziehungen vereinfacht werden:

1+tan^2 x = sec^2 x

1+cot^2 x = csc^2 x

Für Anfänger hier die ersten drei inversen Beziehungen, die Sie wahrscheinlich bereits kennen:

Außerdem brauchen Sie die beiden folgenden wichtigen Beziehungen:

Diese fünf Gleichungen bezeichne ich als die grundlegenden fünf trigonometrischen Beziehungen. Durch ihre Anwendung können Sie jeden beliebigen trigonometrischen Ausdruck unter Verwendung von Sinus und Kosinus darstellen. Weniger offensichtlich ist, dass Sie auch jeden beliebigen trigonometrischen Ausdruck unter Verwendung von Tangens und Sekans ausdrücken können (probieren Sie es aus!). Dieser Sachverhalt ist vor allem in Kapitel 7 praktisch, wo es um die trigonometrische Integration geht.

Ebenso unverzichtbar sind die drei quadratischen Beziehungen. Die meisten Studenten merken sich die erste und vergessen die beiden anderen, aber Sie sollten sie alle drei kennen:

Außerdem sollten Sie sich nicht ohne die beiden Halbwinkel-Beziehungen in die Öffentlichkeit trauen:

Und Sie können auch schwerlich ohne die Doppelwinkel-Beziehungen für den Sinus leben:

sin 2x = 2 sin x cos x

Und wenn Sie noch ein wenig Freizeit haben, dann können Sie auch die Doppelwinkel-Beziehungen für Kosinus und Tangens in Ihr Repertoire aufnehmen:

Polarkoordinaten

Polarkoordinaten sind eine Alternative zum Kartesischen Koordinatensystem. Wie bei den Kartesischen Koordinaten werden auch bei den Polarkoordinaten jedem Punkt auf einer Ebene Werte zugeordnet. Anders als bei den Kartesischen Koordinaten sind diese Werte jedoch nicht (x, y), sondern (r, θ).

- Der Wert r ist der Abstand zum Ursprung.

- Der Wert θ ist der Winkelabstand von der Polarachse, die der positiven x-Achse im Kartesischen Koordinatensystem entspricht. (Der Winkelabstand wird immer gegen den Uhrzeigersinn gemessen.)

Abbildung 2.9 zeigt, wie Punkte in Polarkoordinaten dargestellt werden. Beispiel:

- Um den Punkt darzustellen, gehen Sie 3 Einheiten vom Ursprung auf der Polar achse nach rechts und dann im Bogen (das entspricht 45°) gegen den Uhrzeigersinn.

- Um den Punkt ( ) darzustellen, gehen Sie 4 Einheiten auf der Polarachse nach rechts und dann im Bogen Einheiten (das entspricht 150°) gegen den Uhrzeigersinn.

- Um den Punkt ( ) darzustellen, gehen Sie 2 Einheiten auf der Polarachse nach rechts und dann im Bogen Einheiten (das entspricht 270°) gegen den Uhrzeiger sinn.

Polarkoordinaten erlauben Ihnen, bestimmte Formen auf dem Graphen einfacher als mit Hilfe der Kartesischen Koordinaten darzustellen. Nachfolgend sehen Sie die Gleichung für einen 3 Einheiten großen Kreis mit dem Mittelpunkt im Ursprung sowohl in Kartesischen als auch in Polarkoordinaten:

Abbildung 2.9: Darstellung von Punkten in Polarkoordinaten.

Einige Aufgabenstellungen, deren Lösung unter Verwendung Kartesischer Variablen (x und y) schwierig auszudrücken wäre, werden durch die Darstellung mit Hilfe von Polarvariablen (r und θ) sehr viel einfacher. Um Kartesische Variablen in Polarvariablen umzuwandeln, wenden Sie die folgenden Formeln an:

x = r cosθ
y = r sinθ

Um die Polarvariablen in Kartesische Variablen umzuwandeln, wenden Sie die folgende Formel an:

Polarkoordinaten sind die Grundlage von zwei alternativen 3D-Koordinatensystemen: Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten. Weitere Informationen über diese beiden Systeme finden Sie in Kapitel 14.

Zusammenfassendes über die Sigma-Notation

Mathematiker lieben die Sigma-Notation (Σ) aus zwei Gründen. Erstens, sie stellt eine praktische Möglichkeit dar, lange oder sogar unendliche Reihen darzustellen. Aber noch wichtiger ist, dass sie einfach unendlich wichtig aussieht, so dass die Nichtmathematiker die Mathematiker unendlich bewundern und ihnen letztlich mehr Geld zahlen.

Genau genommen ist das Σ nur eine etwas andere Notation für die Addition, und nicht einmal Ihr kleiner Bruder hat Angst vor der Addition, warum also sollten Sie welche haben?

Angenommen, Sie wollen die geraden Zahlen von 2 bis 10 addieren. Natürlich könnten Sie den Ausdruck und seine Lösung wie folgt schreiben:

2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

Sie können denselben Ausdruck auch mithilfe der Sigma-Notation darstellen:

Hier ist n die Summationsvariable – das heißt, die Variable, für die Sie Werte einsetzen und diese dann addieren. Unterhalb des Σ sehen Sie den Startwert für n (also 1), und darüber den Endwert (5). Und so wird die Notation ausgeschrieben:

Sie können die Sigma-Notation auch für die Darstellung der Summe einer unendlichen Anzahl von Werten verwenden – das heißt für eine unendliche Reihe. Der nachfolgende Ausdruck beispielsweise addiert alle positiven Quadratzahlen:

Dieser kompakte Ausdruck kann wie folgt ausgeschrieben werden:

= 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... = 1 + 4 + 9 + 16 + ...

Diese Summe ist natürlich unendlich. Aber das ist nicht für alle unendlichen Reihen so. In einigen Fällen ist eine unendliche Reihe gleich einer Zahl. Beispiel:

Diese Reihe wird wie folgt ausgeschrieben und berechnet:

Wenn die Berechnung einer Reihe eine Zahl ergibt, ist die Reihe konvergent. Ist eine Reihe nicht konvergent, dann ist sie divergent. Weitere Informationen über konvergente und divergente Reihen finden Sie in Kapitel 12.

Jüngste Erinnerungen: Ein Rückblick auf Analysis I

Die Integration befasst sich damit, wie ein ganz bestimmtes Problem gelöst werden kann – das Flächenproblem. Analog dazu ist die Differentiation, auf die sich die Analysis I konzentriert, die Betrachtung, wie das Tangentenproblem gelöst werden kann: wie die Steigung der Tangente an jedem beliebigen Punkt einer Kurve aussieht. Einen detaillierten Überblick finden Sie in Analysis für Dummies von Mark Ryan (Wiley).

Grenzen kennen

Ein wichtiges Thema, das sich durch die gesamte Analysis I zieht, ist das Konzept des Grenzwerts. Und auch in Analysis II sind Grenzwerte sehr wichtig. In diesem Abschnitt biete ich Ihnen einen kurzen Überblick über alles, was Sie sich zu Grenzwerten merken sollten, was Sie aber vielleicht schon wieder vergessen haben.

Funktionen und Grenzwerte unterscheiden

Eine Funktion stellt eine Verknüpfung zwischen zwei Variablen her: der unabhängigen Variablen (normalerweise x) und der abhängigen Variablen (normalerweise y). Eine Funktion erzeugt den Wert y, wenn x einen bestimmten Wert annimmt. Hier eine Funktion:

y = x^2

In diesem Fall ist der Wert von y gleich 4, wenn x den Wert 2 annimmt.

Ein Grenzwert dagegen teilt Ihnen mit, was mit y passiert, wenn sich x einer bestimmten Zahl annähert, ohne sie jedoch zu erreichen. Angenommen, Sie arbeiten mit der Funktion y = x^2 und wollen den Grenzwert dieser Funktion wissen, wenn sich x an 2 annähert. Die Notation für dieses Konzept sieht wie folgt aus:

Sie können sich vorstellen, was dieser Grenzwert (»Limes«) bedeutet, wenn Sie nacheinander immer weitere Annäherungen an 2 in die Funktion einsetzen (siehe Tabelle 2.5).

Tabelle 2.5: Annäherung durch .

Diese Tabelle deutet stark darauf hin, dass der Grenzwert 4 ist. Das bedeutet:

Sie wissen, dass dieser Grenzwert nichts darüber aussagt, was die Funktion tatsächlich macht, wenn x = 2 ist. Er teilt Ihnen nur mit, dass wenn x gegen 2 geht, der Wert der Funktion immer näher gegen 4 geht. Weil hier die Funktion und der Grenzwert gleich sind, bedeutet das, dass die Funktion an diesem Punkt stetig ist.

Grenzwerte berechnen

Einen Grenzwert zu berechnen bedeutet, den Wert des Grenzwerts zu bestimmen oder zu zeigen, dass es keinen Grenzwert gibt.

Viele Grenzwerte können Sie berechnen, indem Sie die Grenzwertvariable durch die Zahl ersetzen, der sie sich annähert. Beispiel:

Manchmal erkennen Sie durch dieses Einsetzen, dass es keinen Grenzwert gibt. Beispiel:

Wenn Sie feststellen, dass ein Grenzwert scheinbar ∞ oder – ∞ ist, dann existiert der Grenzwert nicht. Ein nicht existierender Grenzwert ist eine perfekte Methode, die Berechnung eines Grenzwerts abzuschließen.

Manchmal führt das Einsetzen zu einer scheinbar unhaltbaren Situation, wie beispielsweise einer Division durch Null. Beispiel:

Das sieht nach einer Sackgasse aus, weil die Division durch Null undefiniert ist. Aber tatsächlich können Sie eine Lösung für diese Aufgabenstellung bestimmen. Sie wissen, dass Ihnen der Grenzwert nichts darüber mitteilt, was passiert, wenn x wirklich 0 ist, sondern nur, was passiert, wenn sich x dem Wert 0 annähert. Der Nenner schrumpft auf 0, während der Zähler nie unter 1 fällt, deshalb wird der Wert des Buchs unendlich groß.

Es gilt also:

Noch ein Beispiel:

Dies scheint eine weitere Sackgasse zu sein, weil ∞ eigentlich keine Zahl ist. Wie kann es also der Nenner eines Bruchs sein? Auch hier rettet Sie der Grenzwert. Er teilt Ihnen nicht mit, was passiert, wenn x gleich ∞ ist (was natürlich überhaupt nicht möglich ist), sondern nur, was passiert, wenn sich x an ∞ annähert. In diesem Fall wird der Nenner unendlich groß, während der Zähler konstant bleibt, es gilt also:

Einige Grenzwerte sind schwieriger auszuwerten, weil sie einen von mehreren unbestimmten Ausdrücken darstellen. Am besten löst man sie mit Hilfe der Regel von L’Hospital auf, die ich am Ende dieses Kapitels genauer erkläre.

Steigungen mit Hilfe von Ableitungen bestimmen

Die Ableitung an einem bestimmten Punkt auf einer Funktion ist die Steigung der Tangente dieser Funktion an diesem Punkt. Die Ableitung einer Funktion erzeugt eine »Steigungskarte« dieser Funktion.

Am besten vergleicht man eine Funktion mit ihrer Ableitung, indem man sie untereinander aufzeichnet (siehe etwa Abbildung 2.10).

Abbildung 2.10: Vergleich des Graphen der Funktion y = x^2 mit dem ihrer Ableitungsfunktion y′ = 2x.

Im oberen Graphen erkennen Sie, dass wenn x = 0 ist, die Steigung der Funktion y = x^2 gleich 0 ist – das heißt keine Steigung. Der untere Graph bestätigt dies, weil die Ableitungsfunktion y′ = 2x an der Stelle x = 0 ebenfalls 0 ist.

Wahrscheinlich können Sie jedoch anhand des oberen Graphen nicht erkennen, welche Steigung die Funktion an der Stelle x = – 1 hat. Um das herauszufinden, sehen Sie im unteren Graphen nach. Hier sehen Sie, dass die Ableitungsfunktion für x = – 1 gleich – 2 ist, also ist – 2 auch die Steigung an dieser Stelle im oberen Graphen. Die Ableitungsfunktion teilt Ihnen die Steigung an jedem Punkt in der ursprünglichen Funktion mit.

Die Grenzwertformel für Ableitungen

In Analysis I entwickeln Sie zwei Formeln für die Ableitung einer Funktion. Diese Formeln basieren beide auf Grenzwerten, und sie sind beide gleichermaßen gültig:

Wahrscheinlich brauchen Sie diese Formeln in Analysis II nicht mehr oft, aber Sie sollten immer daran denken, dass die offizielle Definition der Ableitung einer Funktion immer mit Hilfe eines Grenzwerts formuliert wird.

Eine detailliertere Betrachtung zur Entwicklung dieser Formeln finden Sie in Analysis für Dummies von Mark Ryan (Wiley).

Zwei Notationen für Ableitungen

Studenten finden die Notation für die Ableitungen häufig verwirrend – insbesondere die von Leibniz, . Um dem Ganzen den Schrecken zu nehmen, stellen Sie sich diese Notation einfach als unären Operator vor, der auf ähnliche Weise wirkt wie ein Minuszeichen.

Ein Minuszeichen vor einem Ausdruck ändert den Wert dieses Ausdrucks ins Negative. Wertet man die Wirkung dieses Zeichens auf den Ausdruck aus, spricht man von der Distribution, die einen neuen, aber äquivalenten Ausdruck erzeugt. Beispiel:

−(x^2 + 4x − 5) = − x^2 − 4x + 5

Analog dazu bewirkt die Notation vor einem Ausdruck, dass der Wert dieses Aus drucks zu seiner Ableitung wird. Die Auswertung der Wirkung dieser Notation auf den Ausdruck wird als Differentiation bezeichnet. Die Differentiation erzeugt ebenfalls einen neuen, aber äquivalenten Ausdruck. Beispiel:

Die grundlegende Notation bleibt dieselbe, auch wenn ein Ausdruck als Funktion dargestellt wird. Für die Funktion y = f(x) = x^2 + 4x – 5 beispielsweise würden Sie wie folgt differenzieren:

Die Notation , die bedeutet »die Änderung in y, wenn sich x ändert«, wurde zuerst von Gottfried Leibniz verwendet, einem der Erfinder der Analysis (der andere Erfinder war Isaac Newton). Ein Vorteil der Leibniz-Notation ist es, dass sie explizit die Variable angibt, über die Sie differenzieren – in diesem Fall x. Während diese Information im Kontext einfach verständlich ist, gibt es auch noch eine kürzere Notation:

Sie sollten mit beiden Notationsformen vertraut sein. Ich verwende sie in diesem Buch immer wieder synonym.

Die Differentiation verstehen

Die Differentiation – die Berechnung von Ableitungen – ist das zentrale Thema von Analysis I und taucht auch in Analysis II immer wieder auf.

In diesem Abschnitt erhalten Sie eine Auffrischung einiger der wichtigsten Themen der Differentiation. Insbesondere finden Sie hier die 17 Ableitungen, die Sie unbedingt kennen sollten. Der Bequemlichkeit halber sind sie auch auf der Schummelseite vorne im Buch noch einmal aufgeführt. Und wenn Sie nicht mit der Kettenregel vertraut sind, biete ich Ihnen hier noch einmal eine deutliche Erklärung, die Ihnen auf die Sprünge hilft.

Die wichtigsten Ableitungen im Kopf behalten

Die Ableitung einer Konstante ist immer 0:

Die Ableitung der Variablen, nach der Sie differenzieren (meistens x) ist 1:

Und hier drei weitere Ableitungen, die Sie sich unbedingt merken sollten:

Für Ihre weiteren Analysisstudien müssen Sie jede dieser Ableitungen kennen.

Ableitungen der trigonometrischen Funktionen

Die Ableitungen der sechs trigonometrischen Funktionen sehen wie folgt aus:

Sie sollten sie alle auswendig kennen!

Ableitungen der inversen trigonometrischen Funktionen

Für inverse trigonometrische Funktionen werden im Allgemeinen zwei Notationen verwendet. Bei der einen wird der Funktion – 1 hinzugefügt: sin – 1, cos – 1 usw. Bei der zweiten wird der Funktion das Wort arc hinzugefügt, arcsin, arccos usw. Beide stehen für dasselbe, aber ich persönlich bevorzuge die arc-Notation, weil sie weniger wahrscheinlich mit einem Exponenten verwechselt wird.

Ich weiß, dass Sie es für einen schlechten Scherz halten werden, wenn ich zu Ihnen sage, Sie sollten sich diese Funktionen merken. Aber Sie brauchen sie, wenn es in Kapitel 7 um die trigonometrische Substitution geht, deshalb sollten Sie sie sich zumindest einmal ansehen:

Beachten Sie, dass die Ableitungen der drei »Co«-Funktionen einfach nur Negierungen der drei anderen Funktionen sind, Sie haben also nur die Hälfte Arbeit.

Die Summenregel

In Lehrbüchern wird die Summenregel häufig wie folgt erklärt: Die Ableitung der Summe von Funktionen ist gleich der Summe der Ableitungen dieser Funktionen:

Einfach ausgedrückt, die Summenregel besagt, dass es möglich ist, lange Ausdrücke Term für Term zu differenzieren. Angenommen, Sie wollen folgende Ableitung bestimmen:

Der Ausdruck, den Sie differenzieren wollen, setzt sich aus drei Termen zusammen. Nach der Summenregel können Sie das Ganze in drei separate Ableitungen zerlegen und diese einzeln lösen:

Beachten Sie, dass die Summenregel auch für Ausdrücke mit mehr als zwei Termen gilt. Sie gilt unabhängig davon, ob die Terme positiv oder negativ sind. Einige Bücher bezeichnen diese Variante auch als Differenzregel, aber Sie haben das Konzept schon verstanden.

Die Faktorregel

Ein typisches Lehrbuch bietet die folgende Definition für die Faktorregel: Die Ableitung einer Konstanten, die mit einer Funktion multipliziert wird, ist gleich dem Produkt dieser Konstanten und der Ableitung dieser Funktion:

Letztlich teilt Ihnen diese Regel einfach mit, dass eine Konstante aus einer Ableitung herausgezogen werden kann, bevor differenziert wird. Beispiel:

Um diesen Ausdruck zu lösen, ziehen Sie die 5 vor die Ableitung und differenzieren dann:

Die Potenzregel

Die Potenzregel besagt, dass Sie die Ableitung eines in eine beliebige Potenz erhobenen x finden, indem Sie den Exponenten als Koeffizient von x herunterholen, 1 vom Exponenten subtrahieren und das Ergebnis als neuen Exponenten verwenden. Hier die allgemeine Form:

Hier einige Beispiele:

Wenn die Funktion, die Sie differenzieren, bereits einen Koeffizienten hat, multiplizieren Sie den Exponenten mit diesem Koeffizienten. Beispiel:

Die Potenzregel erstreckt sich auch auf negative Exponenten, so dass Sie viele Brüche differenzieren können. Beispiel:

Außerdem erstreckt sie sich auf Bruchexponenten, so dass Sie Quadratwurzeln und andere Wurzeln differenzieren können:

Die Produktregel

Die Ableitung des Produkts zweier Funktionen f(x) und g(x) ist gleich der Ableitung von f(x) multipliziert mit g(x) plus der Ableitung von g(x) multipliziert mit f(x), nämlich:

Praktiker drücken die Produktregel wie folgt aus: »Die Ableitung der ersten Funktion mal der zweiten Funktion plus die Ableitung der zweiten mal der ersten«. Dies beinhaltet die Produktregel und hilft Ihnen gleichzeitig, sich die Quotientenregel zu merken (siehe nächster Abschnitt):

Angenommen, Sie wollen ex sin x differenzieren. Sie beginnen damit, die Aufgabe wie folgt zu zerlegen:

Jetzt können Sie beide Ableitungen ganz einfach bestimmen:

= ex ⋅ sin x + cos x ⋅ ex

Noch ein paar Aufräumarbeiten:

= ex(sin x + cos x)

Die Quotientenregel

Praktiker drücken die Quotientenregel wie folgt aus: »Die Ableitung der oberen Funktion mal der unteren minus der Ableitung der unteren mal der oberen dividiert durch die untere zum Quadrat«. Und weil das der Produktregel ganz ähnlich ist, können Sie es sich merken.

Angenommen, Sie wollen Folgendes differenzieren:

Wie bei der Produktregel beginnen Sie damit, die Aufgabenstellung wie folgt zu zerlegen:

Jetzt ermitteln Sie die beiden Ableitungen:

Diese Lösung ist in Ordnung, aber Sie können sie mit ein bisschen Algebra und den fünf grundlegenden trigonometrischen Beziehungen aus diesem Kapitel noch ein bisschen übersichtlicher machen. (Machen Sie sich keine größeren Gedanken um diese Schritte, es sei denn, Ihr Lehrer ist wirklich sehr streng.)

Die Kettenregel

Ich weiß, dass die Kettenregel als großer Knackpunkt in der Analysis I betrachtet wird, deshalb nehme ich mir für den Rückblick ein wenig Zeit. (Übrigens bedeutet die Kettenregel entgegen aller Gerüchte nicht, dass Sie in Ketten gelegt werden, wenn Sie Ihrem Analysislehrer nicht in allen Belangen gehorchen! Diese Lehrmethoden werden heute als fragwürdig erachtet und in den Klassen seit den 70er Jahren nicht mehr verwendet.)

Die Kettenregel ermöglicht Ihnen, verschachtelte Funktionen zu differenzieren – das heißt, Funktionen innerhalb von Funktionen. Es gibt keinerlei Begrenzung, wie tief diese Funktionen verschachtelt werden dürfen. In diesem Abschnitt stelle ich Ihnen eine einfache Methode für den Umgang mit verschachtelten Funktionen vor. Anschließend zeige ich Ihnen, wie Sie die Kettenregel ganz einfach anwenden.

Behandlung von Funktionen von innen nach außen

Wenn Sie mit einer verschachtelten Funktion arbeiten, fangen Sie mit der innersten Funktion an und bewegen sich nach außen. Beispiel:

In diesem Fall ist 2x die innerste Funktion. Damit Sie verstehen, warum das so ist, stellen Sie sich vor, Sie wollen f(x) für einen bestimmten Wert von x auswerten. Um das Ganze einfach zu halten, nehmen wir an, x = 0. Nachdem Sie 0 für x eingesetzt haben, werten Sie im ersten Schritt die innerste Funktion aus, die ich hier unterstrichen darstelle:

Im nächsten Schritt werten Sie die äußere Funktion aus:

Die Begriffe innere Funktion und äußere Funktion sind von der Reihenfolge abhängig, in der die Funktionen behandelt werden. Das gilt immer, unabhängig davon, wie tief diese Funktionen verschachtelt sind. Beispiel:

Angenommen, Sie wollen g(x) betrachten. Um die Zahlen so einfach wie möglich zu machen, wollen wir hier x = 2 annehmen. Nachdem Sie 2 für x eingesetzt haben, erfolgt die Funktionswertbildung von der inneren zur äußeren Funktion wie folgt:

Der Prozess der Funktionswertbildung verdeutlicht die fünf verschachtelten Funktionen von g(x) von innen nach außen.

Differenzierung von Funktionen von außen nach innen

Im Gegensatz zur Situation bei der Funktionswertbildung beginnen Sie bei der Differenzierung einer Funktion unter Verwendung der Kettenregel gezwungenermaßen von außen und bewegen sich nach innen.

Hier die grundlegende Kettenregel, wie sie auch in Lehrbüchern gezeigt wird:

Um verschachtelte Funktionen unter Verwendung der Kettenregel zu differenzieren, schreiben Sie die Ableitung der äußeren Funktion auf, schreiben alles Innere ab und multiplizieren dieses Ergebnis mit der Ableitung der nächst inneren Funktion.

Diese Erklärung erscheint ein bisschen verwirrend. Viel einfacher wird das Ganze, wenn Sie wissen, wie Sie die äußere Funktion finden, wie im vorigen Abschnitt, »Behandlung von Funktionen von innen nach außen«, erklärt. Ein paar Beispiele sollten Klarheit verschaffen.

Angenommen, Sie wollen die verschachtelte Funktion sin 2x differenzieren. Die äußere Funktion ist der Sinus-Teil, deshalb beginnen Sie hier:

Jetzt müssen Sie noch die 2x differenzieren:

= cos 2x ⋅ 2

Eine Umformung dieser Lösung macht Ihre Antwort handlicher:

= 2 cos 2x

Wenn Sie mehr als zwei verschachtelte Funktionen differenzieren, macht die Kettenfunktion ihrem Namen wirkliche Ehre: Wenn Sie die Aufgabe schrittweise zerlegen, erhalten Sie eine ganze Kette miteinander multiplizierter Ausdrücke.

Angenommen, Sie wollen sin^3 ex differenzieren. Aus dem Abschnitt über die trigonometrische Notation wissen Sie, dass die Notation sin^3 ex eigentlich (sin e x )3 bedeutet. Diese Umformung verdeutlicht, dass die äußere Funktion die Potenz von 3 ist, Sie beginnen die Differenzierung also mit dieser Funktion:

Jetzt ist eine kleinere Funktion zu differenzieren:

Und nur noch eine weitere Ableitung:

= 3(sin ex)2 ⋅ cos e x ⋅ e x

Auch jetzt brauchen Sie Ihre Antwort nur noch umzuformen:

= 3ex cos ex sin^2 ex

Mit der Regel von L’ Hospital Grenzwerte bestimmen

Die Regel von L’Hospital beschäftigt sich mit Grenzwerten und Ableitungen, deshalb passt sie besser in Analysis I als in Analysis II. Einige Kollegen sparen sich dieses Thema jedoch für Analysis II auf.

Auch wenn ich hier eine Rückschau auf das Thema ankündige, keine Angst: Ich werde Ihnen hier alles über die Regel von L’Hospital mitteilen, sogar, wie man den Namen ausspricht (Lo-pi-tal).

Die Regel von L’Hospital bietet eine Methode für die Bestimmung einiger unbestimmter Grenzwertformen. Als Erstes zeige ich Ihnen, wie eine unbestimmte Form eines Grenzwerts aussieht. Dazu verwende ich eine Liste aller gebräuchlichen unbestimmten Formen. Anschließend zeige ich Ihnen, wie Sie die Regel von L’Hospital anwenden, um einige dieser Formen zu handhaben. Und anschließend geht es noch darum, wie Sie mit den anderen unbestimmten Formen umgehen, um sie handhaben zu können.

Bestimmte und unbestimmte Formen von Grenzwerten verstehen

Wie Sie bereits an früherer Stelle in diesem Buch gesehen haben, nämlich im Abschnitt »Grenzen kennen«, können Sie viele Grenzwerte bestimmen, indem Sie einfach nur die Grenzwertvariable durch die Zahl ersetzen, der sie sich annähert. In einigen Fällen führt dieses Einsetzen zu einer Zahl, diese Zahl ist also der gesuchte Grenzwert. In anderen Fällen erzeugt dieses Einsetzen einen unendlichen Wert (entweder +∞ oder – ∞), der Grenzwert existiert also nicht.

Tabelle 2.6 zeigt eine Liste einiger Funktionen, die häufig zu Verwirrung führen.

Tabelle 2.6: Grenzwerte einiger gebräuchlicher Funktionen

Um zu verstehen, wie man sich diese vier Fälle vorzustellen hat, denken Sie daran, dass ein Grenzwert das Verhalten einer Funktion sehr in der Nähe dieses Werts aber nicht genau an dem betreffenden Wert von x beschreibt.

Im ersten und im zweiten Fall gelangt f(x) sehr nah an 0 und g(x) geht gegen unendlich, deshalb nähern sich sowohl als auch f(x)g(x) dem Wert 0 an. Im dritten Fall ist f(x) eine Konstante c ungleich 0, und g(x) geht gegen 0, der Bruch geht also gegen unendlich. Und im vierten Fall geht f(x) gegen unendlich und g(x) geht gegen 0, deshalb geht der Bruch gegen unendlich.

In jedem dieser Fälle erhalten Sie die Lösung, nach der Sie suchen – das heißt, Sie wissen, ob der Grenzwert existiert, und welchen Wert er gegebenenfalls hat –, sie werden deshalb als bestimmte Formen eines Grenzwerts bezeichnet.

Dagegen entsteht manchmal beim Auswerten eines Grenzwerts durch Einsetzen eine unbestimmte Form eines Grenzwerts. Tabelle 2.7 zeigt zwei gebräuchliche unbestimmte Formen.

Tabelle 2.7: Zwei unbestimmte Grenzwertformen

In diesen Fällen wird der Grenzwert zu einem Rennen zwischen dem Zähler und dem Nenner der Bruchfunktion. Sehen Sie sich etwa das zweite Beispiel aus der Tabelle an. Wenn f(x) gegen ∞ geht, während g(x) sich bereits dort befindet, wird der Bruch bodenlastig und der Grenzwert ist 0.

Ist f(x) dagegen schon ∞, während sich g(x) dorthin bewegt, wird der Bruch kopflastig und der Grenzwert ist ∞, das heißt, der Grenzwert existiert nicht. Und wenn beide Funktionen proportional gegen 0 gehen, wird diese Proportion der Wert des Grenzwerts.

Wenn Sie versuchen, einen Grenzwert zu bestimmen, indem Sie einsetzen, und Sie zu einer dieser Formen gelangen, müssen Sie weitere Arbeit investieren. Die Anwendung der Regel von L’Hospital ist die zuverlässigste Methode, die gesuchte Lösung zu finden.

Die Regel von L’Hospital – Einführung

Angenommen, Sie versuchen, den Grenzwert einer Funktion der Form zu bestimmen. Wenn Sie die Grenzvariable durch die Zahl ersetzen, der sie sich annähert, erhalten Sie entweder oder . Die Regel von L’Hospital besagt, dass die folgende Gleichung gilt:

Beachten Sie, dass c eine beliebige reelle Zahl sowie ∞ oder – ∞ sein kann.

Angenommen, Sie wollen den folgenden Grenzwert bestimmen:

Wenn Sie in der Funktion x durch 0 ersetzen, erhalten Sie das folgende Ergebnis:

Dies ist eine der beiden unbestimmten Formen, auf die sich die Regel von L’Hospital anwenden lässt, Sie können also Folgendes schließen:

Anschließend ermitteln Sie die beiden Ableitungen:

Jetzt verwenden Sie diese neue Funktion, um x wiederum durch 0 zu ersetzen, und beobachten, was passiert:

Jetzt hat das Ergebnis eine bestimmte Form, Sie können also den Originalgrenzwert wie folgt bestimmen:

In einigen Fällen muss man die Regel von L’Hospital mehrfach anwenden, um eine Lösung zu finden. Ein Beispiel:

Wenn Sie x durch ∞ ersetzen, erhalten Sie die unbestimmte Form , Sie können also die Regel von L’Hospital anwenden:

In diesem Fall erhalten Sie mit der neuen Funktion dieselbe unbestimmte Form, deshalb wenden Sie erneut die Regel von L’Hospital an:

Sie haben wieder dasselbe Problem, können aber erneut die Regel von L’Hospital anwenden. Vielleicht erkennen Sie schon, in welche Richtung dieses Beispiel läuft, deshalb spule ich schnell vor bis zum Ende:

Wenn Sie die Regel von L’Hospital wiederholt auf eine Aufgabe anwenden, achten Sie darauf, dass jeder Schritt entlang dieses Weges zu einer dieser beiden unbestimmten Formen führt, auf die sich die Regel anwenden lässt.

Endlich! Schließlich erhalten wir eine Funktion mit bestimmter Form:

Aus diesem Grund existiert der Grenzwert nicht.

Alternative unbestimmte Formen

Die Regel von L’Hospital kann nur auf die beiden unbestimmten Formen und ange wendet werden. Aber Grenzwerte können zu den unterschiedlichsten anderen unbestimmten Formen führen, für die die Regel von L’Hospital nicht gilt. Tabelle 2.8 zeigt eine Liste der unbestimmten Formen, die Ihnen sehr wahrscheinlich begegnen werden.

Weil die Regel von L’Hospital für diese unbestimmten Formen nicht gilt, würde eine direkte Anwendung der Regel die falsche Lösung erzeugen.

Tabelle 2.8: Fünf Fälle unbestimmter Formen, auf die Sie die Regel von L’Hospital nicht direkt anwenden können.

Diese unbestimmten Formen benötigen besondere Aufmerksamkeit. In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen, wie Sie diese Funktionen umschreiben können, so dass die Regel von L’Hospital darauf anwendbar ist.

Fall #1: 0 ⋅ ∞

Wenn f(x) = 0 und g(x) = ∞, dann hat der Grenzwert von f(x) ⋅ g(x) die unbestimmte Form 0 ⋅ ∞, so dass Sie die Regel von L’Hospital nicht anwenden können. Um diesen Grenzwert zu bestimmen, schreiben Sie die Funktion wie folgt um:

Der Grenzwert dieser neuen Funktion hat die unbestimmte Form , auf die Sie die Regel von L’Hospital anwenden können. Angenommen, Sie wollen den folgenden Grenzwert bestimmen:

lim x cot x x→0+

Wenn Sie x durch 0 ersetzen, erhalten Sie die unbestimmte Form 0 ⋅ ∞, Sie müssen den Grenzwert also wie folgt umformulieren:

Dies kann durch Anwendung der inversen trigonometrischen Beziehung für cot x noch etwas vereinfacht werden:

Wenn Sie jetzt x durch 0 ersetzen, erhalten Sie die unbestimmte Form , Sie können also die Regel von L’Hospital anwenden:

An dieser Stelle können Sie den Grenzwert direkt bestimmen, indem Sie x durch 0 ersetzen:

Der Grenzwert ergibt sich also als 1.

Fall #2: ∞ – ∞

Wenn f(x) = ∞ und g(x) = ∞, ist der Grenzwert von f(x) – g(x) die unbestimmte Form ∞ – ∞, worauf Sie die Regel von L’Hospital nicht anwenden können. Um diesen Grenzwert zu bestimmen, müssen Sie einen gemeinsamen Nenner finden, der die Subtraktion zu einem Bruch macht. Beispiel:

Wenn Sie hier x durch 0 ersetzen, erhalten Sie die unbestimmte Form ∞ – ∞. Ein paar Umformungen mit Hilfe der fünf grundlegenden trigonometrischen Beziehungen (siehe »Einige wichtige trigonometrische Beziehungen identifizieren«) helfen Ihnen weiter:

Wenn Sie jetzt x durch 0 ersetzen, erhalten Sie die unbestimmte Form , auf die Sie die Regel von L’Hospital anwenden können:

Jetzt können Sie den Grenzwert bestimmen, indem Sie x durch 0 ersetzen.

Fälle #3, #4, #5: 0^0, ∞0 und 1∞

In den folgenden drei Fällen ist der Grenzwert von f(x)g(x) eine unbestimmte Form, auf die Sie die Regel von L’Hospital nicht anwenden können:

- Wenn f(x) = 0 und g(x) = 0
- Wenn f(x) = ∞ und g(x) = 0
- Wenn f(x) = 1 und g (x) = ∞

Diese unbestimmte Form 1∞ ist leicht zu vergessen, weil sie so seltsam anmutet. Schließlich gilt für jede reelle Zahl 1x = 1, warum also sollte es sich für 1∞ anders verhalten? In diesem Fall spielt die Unendlichkeit eine ihrer unzähligen Tricks auf die Mathematik aus. Weitere Informationen über diese Tricks finden Sie in Kapitel 16.

Angenommen, Sie wollen den folgenden Grenzwert bestimmen:

Dieser Grenzwert hat die unbestimmte Form 0^0.

Glücklicherweise kann ich Ihnen einen Trick zeigen, wie Sie mit diesen drei Fällen zurechtkommen. Wie bei so vielen Sachverhalten aus der Mathematik würden Normalsterbliche wie Sie und ich wahrscheinlich diesen Trick nie entdecken, weil wir nicht auf eine einsame Insel verschlagen wurden und nichts zu tun hatten, außer Mathematikaufgaben zu lösen und Kokosnüsse zu essen. Irgendjemand hat die Arbeit bereits für uns erledigt. Alles was Sie tun müssen, ist es, sich die folgende Vorgehensweise zu merken:

1. Setzen Sie den Grenzwert gleich y.

2. Bestimmen Sie den natürlichen Logarithmus beider Seiten und verschieben Sie dann die Logarithmen:

Hier die beiden Schritte für das Verschieben des Logarithmus:

- •    Als Erstes verschieben Sie den Logarithmus in den Grenzwert:

Dieser Schritt ist zulässig, weil der Grenzwert eines Logarithmus gleich dem Logarithmus eines Grenzwerts ist (ich weiß, dass sich das komisch anhört).

- •    Anschließend verschiebe ich den Exponenten über den Logarithmus:

Dieser Schritt ist ebenfalls zulässig, wie ich Ihnen bereits an früherer Stelle in diesem Kapitel gezeigt habe, als es in »Allgemeine Funktionen graphisch darstellen« um die Logarithmusfunktion ging.

3. Bestimmen Sie diesen Grenzwert, wie im Abschnitt »Fall #1: 0 · ∞ « gezeigt

Fangen Sie damit an, den Grenzwert in eine bestimmte Form zu bringen:

Jetzt können Sie endlich die Regel von L’Hospital anwenden:

Jetzt ist es kein Problem mehr, den Grenzwert zu bestimmen:

Moment! In Schritt 2 haben Sie diesen Grenzwert auf ln y gesetzt. Es ist also ein weiterer Schritt erforderlich!

4. Lösen Sie nach y auf.

ln y = 0
y = 1
Das ist Ihre endgültige Lösung. Es gilt also

Dieses Verfahren funktioniert für alle drei unbestimmten Formen, die ich Ihnen zu Beginn dieses Abschnitts gezeigt habe. Sie müssen nur darauf achten, den Grenzwert erst dann zu berechnen, wenn Sie eine der beiden Formen hergestellt haben, auf die die Regel von L’Hospital angewendet werden kann.

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Vom Bestimmten zum Unbestimmten: Das unbestimmte Integral (Stammfunktion )

In diesem Kapitel...

- Flächen auf fünf verschiedene Arten annähern

- Summen und bestimmte Integrale berechnen

- Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) kennen lernen

- Verstehen, warum das unbestimmte Integral die Umkehrung der Ableitung ist

- Die Unterschiede zwischen bestimmten und unbestimmten Integralen klären

Der erste Schritt bei der Lösung eines Flächenproblems – das heißt bei der Bestimmung der Fläche einer komplizierten oder unüblichen Form im Koordinatensystem – ist es, sie als bestimmtes Integral auszudrücken. Ein bestimmtes Integral wiederum kann mit Hilfe einer auf dem Grenzwert einer Riemann-Summe basierenden Formel berechnet werden (wie in Kapitel 1 erklärt).

In diesem Kapitel wird es nun Ernst mit der Berechnung bestimmter Integrale. Als Erstes zeige ich Ihnen viele verschiedene Methoden, Flächen zu schätzen. Alle diese Methoden führen zu einem besseren Verständnis der Riemann-Summenformel für das bestimmte Integral. Anschließend werden Sie mit Hilfe dieser Formel exakte Flächen bestimmen. Diese eher komplizierte Vorgehensweise, bestimmte Integrale zu berechnen, führt unweigerlich zur Suche nach einer besseren Methode.

Diese bessere Methode ist das unbestimmte Integral, auch als Stammfunktion bezeichnet. Ich werde Ihnen zeigen, wie das unbestimmte Integral ein sehr viel einfacheres Verfahren bietet, um die Fläche zu berechnen. Darüber hinaus werden Sie eine überraschende Verknüpfung zwischen der Differentiation (das Hauptthema von Analysis I) und der Integration erkennen. Diese Verknüpfung, der so genannte Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI), zeigt, dass das unbestimmte Integral eigentlich eine Anti-Ableitung (das Inverse der Ableitung) ist.

Zum Abschluss zeige ich Ihnen, wie die Verwendung eines unbestimmten Integrals für die Auswertung eines bestimmten Integrals zu einer vorzeichenbehafteten Fläche führt. Außerdem kläre ich die Unterschiede zwischen bestimmten und unbestimmten Integralen, so dass Sie sie nie verwechseln. Am Ende dieses Kapitels sind Sie bereit für Teil II, der sich auf die verschiedensten Methoden zur Berechnung des unbestimmten Integrals konzentriert.

Eine Annäherung an die Integration

Die Bestimmung der exakten Fläche unter einer Kurve – das heißt die Lösung eines Flächenproblems (siehe Kapitel 1) – ist einer der wichtigsten Gründe für die Erfindung der Integration. Aber man kann eine Fläche auf die unterschiedlichsten Arten annähern. Die Annäherung einer Fläche fördert das Verständnis dafür, wie die Integration funktioniert.

In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen fünf verschiedene Methoden für die Annäherung der Lösung für ein Flächenproblem. Man könnte sagen, ich stelle Ihnen diese Methoden in der Reihenfolge zunehmender Komplexität und Effektivität vor. Für die ersten drei dieser Methoden arbeiten Sie mit Rechtecken.

- Die beiden ersten Methoden – linke und rechte Rechtecke – sind am einfachsten in der Anwendung, erzeugen im Allgemeinen jedoch auch den größten Fehlerspielraum.

- Die Mittelpunktregel ist etwas schwieriger, bietet aber häufig eine etwas bessere Schätzung.

- Für die Trapezregel ist etwas mehr Rechenaufwand erforderlich, aber sie ergibt eine noch bessere Schätzung.

- Die Regel vom Simpson ist am schwierigsten zu verstehen, aber sie erzeugt die beste Annäherung und in einigen Fällen sogar ein exaktes Flächemaß.

Drei Wege, Fläche mit Hilfe von Rechtecken anzunähern

Die Unterteilung einer unregelmäßigen Form in Rechtecke ist der gebräuchlichste Ansatz, ihre Fläche anzunähern (weitere Informationen dazu finden Sie in Kapitel 1). In diesem Abschnitt stelle ich Ihnen drei unterschiedliche Techniken vor, Flächen mit Hilfe von Rechtecken anzunähern.

Linke Rechtecke

Sie können linke Rechtecke verwenden, um die Lösung für ein Flächenproblem anzunähern (siehe Kapitel 1). Angenommen, Sie wollen die schattiere Fläche in Abbildung 3.1 mit Hilfe von vier linken Rechtecken annähern.

Um diese vier Rechtecke zu zeichnen, ziehen Sie zunächst an der linken Integrationsgrenze eine vertikale Linie von der Funktion zur x-Achse, das heißt x = 0. Anschließend ziehen Sie an den Stellen x = 2, 4 und 6 drei weitere vertikalen Linien von der Funktion zur x-Achse. Danach zeichnen Sie an den vier Punkten, wo diese Linien die Funktion schneiden, horizontale Linien von links nach rechts, woraus die oberen Kanten der vier Rechtecke entstehen. Die linke und die obere Kante definieren die Größe und die Form jedes linken Rechtecks.

Abbildung 3.1: Annäherung von mit Hilfe von vier linken Rechtecken. 0

Um die Flächen dieser vier Rechtecke zu bestimmen, benötigen Sie jeweils die Höhe und die Breite. Die Breite jedes Rechtecks ist offensichtlich 2. Die Höhe und die Fläche der einzelnen Rechtecke wird durch den Wert der Funktion an seiner linken Kante bestimmt, wie in Tabelle 3.1 gezeigt.

Tabelle 3.1: Annäherung der Fläche unter Verwendung linker Rechtecke

Um die schattierte Fläche anzunähern, addieren Sie die Flächen dieser vier Rechtecke:

Rechte Rechtecke

Die Verwendung rechter Rechtecke zur Annäherung der Lösung für ein Flächenproblem ist der Verwendung von linken Rechtecken ganz ähnlich. Angenommen, Sie wollen sechs rechte Rechtecke verwenden, um die schattierte Fläche in Abbildung 3.2 zu bestimmen.

Um diese Rechtecke zu zeichnen, ziehen Sie als Erstes an der rechten Integrationsgrenze eine vertikale Linie von der Funktion zur x-Achse – das heißt x = 3. Anschließend ziehen Sie fünf weitere vertikale Linien von der Funktion zur x-Achse an den Stellen x = 0,5, 1, 1,5, 2 und 2,5. Nachfolgend zeichnen sie an den sechs Punkten, wo diese Linien die Funktion kreuzen, horizontale Linien von rechts nach links, die die oberen Kanten der sechs Rechtecke darstellen. Die rechte und die obere Kante definieren die Größe und die Form jedes rechten Rechtecks.

Abbildung 3.2: Annäherung von mit Hilfe von sechs rechten Rechtecken.

Um die Flächen dieser sechs Rechtecke zu messen, benötigen Sie ihre jeweilige Breite und die Höhe. Jedes Rechteck ist 0,5 breit. Seine Höhe und die Fläche werden durch den Wert der Funktion an seiner rechten Kante bestimmt, wie in Tabelle 3.2 gezeigt.

Tabelle 3.2: Annähern der Fläche mit Hilfe rechter Rechtecke.

Um die schattierte Fläche anzunähern, addieren Sie die Flächen dieser sechs Rechtecke:

Der goldene Mittelweg: die Mittelpunktsregel

Sowohl linke als auch rechte Rechtecke schaffen eine anständige Annäherung an die Fläche. Man könnte also annehmen, dass eine vertikale Unterteilung einer Fläche, bei der die Höhe jedes Rechtecks am Mittelpunkt jeder der Unterteilungen gemessen wird, eine etwas bessere Annäherung der Fläche erzeugt.

Angenommen, Sie wollen Mittelpunktsrechtecke verwenden, um die in Abbildung 3.3 gezeigte schattierte Fläche anzunähern.

Abbildung 3.3: Annäherung von mit Hilfe von drei Mittelpunktrechtecken.

Um diese drei Rechtecke darzustellen, zeichnen Sie zunächst vertikale Linien, die sowohl die Funktion als auch die x-Achse schneiden, an den Stellen x = 0, , und π. Anschließend bestimmen Sie, wo die Mittelpunkte dieser Bereiche – das heißt , und – die Funk tion schneiden. Jetzt zeichnen Sie horizontale Linien durch diese drei Punkte, die die Oberkanten der drei Rechtecke bilden.

Um diese drei Rechtecke zu messen, benötigen Sie jeweils ihre Breite und Höhe, um die Fläche berechnen zu können. Die Breite jedes Rechtecks ist , die Höhe ist in Tabelle 3.3 gezeigt.

Tabelle 3.3: Annäherung von Fläche mit Hilfe der Mittelpunktsregel

Um die schattierte Fläche anzunähern, addieren Sie die Flächen dieser drei Rechtecke:

Der Schlupffaktor

Die Formel für das bestimmte Integral basiert auf Riemann-Summen (siehe Kapitel 1). Diese Formel erlaubt Ihnen, die Fläche unendlich vieler unendlich schmaler rechteckiger Scheiben zu addieren, um die exakte Lösung für ein Flächenproblem zu finden.

Und hier kommt der Clou: Innerhalb bestimmter Voraussetzungen ist es für die Riemann-Summenformel egal, wie Sie die Unterteilung vornehmen. Alle drei Unterteilungsmethoden, die ich im vorigen Abschnitt beschrieben habe, funktionieren gleich gut. Das bedeutet, obwohl jede Methode für eine endliche Zahl an Unterteilungen eine andere angenäherte Fläche ergibt, werden alle diese Unterschiede ausgeglichen, sobald der Grenzwert angewendet wird. Mit anderen Worten, alle drei Methoden können Ihnen die exakte Fläche liefern, wenn Sie unendlich viele Unterteilungen vornehmen.

Ich spreche bei dieser Eigenschaft der Rechtecksmessungen vom Schlupffaktor. Wenn Sie den Schlupffaktor verstehen, begreifen Sie auch, warum es egal ist, ob Sie linke, rechte oder am Mittelpunkt gezeichnete Rechtecke verwenden, und alle denselben exakten Wert für die Fläche erbringen: Wenn Sie immer schmalere Unterteilungen messen, nimmt der Schlupffaktor nie zu und tendiert sogar zu einer Abnahme. Wenn die Anzahl der Unterteilung gegen ∞ geht, nähert sich die Breite jeder Unterteilung an 0 an, der Schlupffaktor geht also ebenfalls gegen 0.

Abbildung 3.4 zeigt den Bereich dieses Schlupfs bei der Auswahl eines Rechtecks. In diesem Fall müssen Sie, um die Fläche unter f(x) zu bestimmen, ein Rechteck innerhalb der betreffenden Unterteilung messen. Die Höhe dieses Rechtecks muss zwischen p und q (inklusive) liegen, dem lokalen Maximum und Minimum von f(x). Innerhalb dieser Parameterwerte können Sie jedoch jedes beliebige Rechteck messen.

Abbildung 3.4: Für jede Unterteilung, die Sie messen, können Sie jedes beliebige Rechteck verwenden, das die Funktion an einem oder mehreren Punkten durchläuft.

Zwei weitere Methoden, Fläche anzunähern

Obwohl die Unterteilung eines Bereichs in Rechtecke die einfachste Methode darstellt, um seine Fläche anzunähern, sind Rechtecke nicht die einzige Form, die Sie verwenden können. Für viele Flächen kann mit anderen Formen eine bessere Annäherung innerhalb weniger Unterteilungen gefunden werden.

In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen zwei übliche Alternativen zur Unterteilung in Rechtecke: die Trapezregel (bei der, Überraschung, Trapeze verwendet werden), und die Simpson-Regel (bei der Rechtecke verwendet werden, die durch eine Parabel abgeschlossen sind).

Die Trapezregel

Falls Sie sich eingeschränkt fühlen, wenn Sie Flächen nur mit Hilfe von Rechtecken annähern sollen, können Sie auch eine noch bessere Annäherung erzielen, indem Sie an Stelle von Rechtecken Trapeze zeichnen.

Angenommen, Sie wollen die folgende Fläche mit Hilfe von sechs Trapezen annähern:

Wahrscheinlich können Sie allein schon durch Betrachtung des Graphen in Abbildung 3.5 erkennen, dass die Verwendung von Trapezen eine bessere Annäherung erbringt als die Verwendung von Rechtecken. Die Fläche eines Trapezes innerhalb eines Abschnitts einer Funktion ist gleich dem Durchschnittswert der Flächen der linken und rechten Rechtecke innerhalb dieses Abschnitts.

Abbildung 3.5: Annäherung von mit Hilfe von sechs Trapezen.

Um diese sechs Trapeze zu zeichnen, markieren Sie zuerst die Punkte auf der Funktion an den Stellen x = – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2 und 3 an. Anschließend verbinden Sie benachbarte Punkte, so dass die Oberkanten der Trapeze entstehen. Anschließend zeichnen Sie vertikale Linien durch diese Punkte.

Zwei der sechs »Trapeze« sind eigentlich Dreiecke. Dies beeinträchtigt die Berechnung aber keineswegs: stellen Sie sich das Dreieck einfach als Trapez vor, wobei eine Höhe gleich Null ist.

Um die Fläche dieser sechs Trapeze zu bestimmen, verwenden Sie die Formel für die Trapezfläche, die Sie aus der Geometrie kennen: . In diesem Fall sind jedoch die beiden Grundlinien, das heißt die parallelen Seiten des Trapezes, die Höhen auf der linken und rechten Seite. Die Breite ist wie immer einfach zu berechnen – in diesem Fall ist sie gleich 1. Tabelle 3.4 zeigt die restliche Information für die Berechnung der Flächen der einzelnen Trapeze.

Tabelle 3.4: Annähern der Fläche mit Hilfe von Trapezen.

Um die schattierte Fläche anzunähern, ermitteln Sie die Summe der sechs Trapezflächen:

Und jetzt die Simpson-Regel

Vielleicht wissen Sie aus der Geometrie noch, dass durch drei beliebige nichtlineare Punkte genau ein Kreis gezeichnet werden kann. Sie erinnern sich vielleicht aber nicht daran, dass dasselbe auch für Parabeln gilt: Eine Parabel wird durch nur drei nichtlineare Punkte bestimmt.

Die Simpson-Regel baut auf diesem geometrischen Satz auf. Bei der Anwendung der Simpson-Regel verwenden Sie linke und rechte Endpunkte ebenso wie Mittelpunkte, weil dies die drei Punkte für jeden Abschnitt sind.

1. Unterteilen Sie die anzunähernde Fläche in Streifen, die die Funktion schneiden.

2. Markieren Sie den linken Endpunkt, den Mittelpunkt und den rechten Endpunkt jedes Streifens.

3. Schließen Sie jeden Streifen mit dem Abschnitt der Parabel ab, die durch diese drei Punkte verläuft.

4. Addieren Sie die Flächen dieser durch Parabeln abgeschlossenen Streifen.

Auf den ersten Blick scheint die Simpson-Regel recht paradox zu sein: Sie versuchen, die Fläche unter einer Kurve anzunähern, und diese Methode zwingt Sie, die Fläche innerhalb eines Bereichs zu bestimmen, der eine Kurve beinhaltet. Glücklicherweise kennt sich Thomas Simpson, der diese Regel erfunden hat, wirklich aus. Seine Methode erlaubt Ihnen, unregelmäßig geformte Bereiche problemlos zu messen:

Und hier ohne weitere Ausschmückungen die Simpson-Regel:

Wenn n eine gerade Zahl ist, dann ist

Was bedeutet das alles? Wie bei jeder Annäherungsmethode, die Sie bisher kennen gelernt haben, ist der Schlüssel zur Simpson-Regel, die Breite und die Höhe jedes dieser Bereiche zu messen (mit einigen Anpassungen):

- Die Breite wird durch dargestellt, aber die Simpson-Regel korrigiert diesen Wert auf

- Die Höhen werden durch f(x) für verschiedene x-Werte dargestellt, aber die Simpson-Regel multipliziert einige davon mit einem Koeffizienten von 4 oder 2. (Die Auswahl der Koeffizienten basiert übrigens aus dem bekannten Ergebnis der Fläche unter einer Parabel – sie ist nicht etwa aus der Luft gegriffen!)

Am besten können Sie die Arbeitsweise dieser Regel anhand eines Beispiels nachvollziehen. Angenommen, Sie wollen die Simpson-Regel anwenden, um Folgendes anzunähern:

Als Erstes unterteilen Sie die Fläche, die Sie annähern wollen, in eine gerade Anzahl an Bereichen (beispielsweise acht), indem Sie neun vertikale Linien von x = 1 bis x = 5 ziehen. Jetzt schließen Sie diese Bereiche mit Parabeln ab, wie in Abbildung 3.6 gezeigt.

Abbildung 3.6: Annäherung von mit Hilfe der Simpson-Regel.

Die Breite jedes Bereichs beträgt 0,5. Sie nehmen also eine Korrektur vor, indem Sie durch 3 dividieren:

Bestimmen Sie jetzt die Höhen f(x) für x = 1, 1,5, 2, ..., 4,5 und 5 (siehe zweite Spalte von Tabelle 3.5). Passen Sie alle Werte an, außer den ersten und den letzten, indem Sie abwechselnd mit 4 oder 2 multiplizieren.

Tabelle 3.5: Annäherung der Fläche mit Hilfe der Simpson-Regel.

Jetzt wenden Sie die Simpson-Regel wie folgt an:

Die Simpson-Regel nähert also die Fläche des schattierten Bereichs aus Abbildung 3.6 als 1,617 an. (Die auf drei Stellen genaue Fläche ist übrigens 1,609 groß – die Simpson-Regel schafft also eine relativ gute Schätzung.)

Tatsächlich bietet die Simpson-Regel häufig eine bessere Schätzung als dieses Beispiel vermuten lässt, weil durch die Rundung der Dezimalzahlen sehr viel Ungenauigkeit entsteht. Wenn Sie die Rechnung mit ausreichend großer Genauigkeit durchführen, ermittelt die Simpson-Regel für das hier gezeigte Beispiel eine auf drei Stellen genaue Fläche!

Summenformeln im Überblick

In Kapitel 1 habe ich Ihnen die Riemann-Summenformel für das bestimmte Integral vorgestellt. Diese Formel beinhaltet eine Summenbildung unter Verwendung der Sigma-Notation (Σ). (Falls Sie eine Auffrischung zu diesem Thema benötigen, lesen Sie bitte in Kapitel 2 nach.)

In der Praxis kann die Auswertung einer Summenbildung kompliziert werden. Glücklicherweise gibt es drei wichtige Summenformeln, die Ihnen dabei helfen können. In diesem Abschnitt stelle ich Ihnen diese Formeln vor und zeige Ihnen, wie Sie sie anwenden. Im nächsten Abschnitt zeige ich Ihnen, wann Sie sie anwenden sollen, und wann Sie die Riemann-Summenformel brauchen, um ein Flächenproblem zu lösen.

Die Summenformel für Aufzählungen

Die Summenformel für Aufzählungen ist ein Werkzeug, um die Summe 1 + 2 + 3 + ... + n für einen beliebigen Wert von n zu bestimmen:

Damit Sie nachvollziehen können, wie diese Formel arbeitet, hier ein Beispiel für n = 9:

Die Summenformel für Aufzählungen erzeugt dasselbe Ergebnis:

Man erzählt sich die Geschichte, dass der Mathematiker Karl Friedrich Gauss diese Formel als Schulkind entdeckt hat, als sein Lehrer der Klasse die langweilige Aufgabe gab, die Zahlen von 1 bis 100 zusammenzuzählen, so dass er (der Lehrer) ein kleines Mittagsschläfchen halten konnte. Innerhalb von Minuten hatte Gauss die richtige Lösung gefunden, 5050, weckte seinen Lehrer auf und schrieb Mathematikgeschichte.

Die Summenformel für Quadratzahlen

Die Summenformel für Quadratzahlen stellt eine schnelle Methode dar, 1 + 4 + 9 + … + n^2 für einen beliebigen Wert von n zu addieren:

Angenommen, wir haben n = 7:

Die Summenformel für Quadratzahlen führt Sie zur selben Antwort:

Die Summenformel für Kubikzahlen

Die Summenformel für Kubikzahlen bietet eine schnelle Methode, 1 + 8 + 27 + … + n^3 für jeden beliebigen Wert von n zu berechnen:

Angenommen, n = 5:

Die Summenformel für Kubikzahlen führt zum selben Ergebnis:

Schlimmer geht’s immer: Berechnung bestimmter Integrale mit Hilfe der Riemann-Summenformel

In Kapitel 1 habe ich Ihnen diese komplizierte Gleichung für die Berechnung des bestimmten Integrals vorgestellt:

Sie fragen sich vielleicht, wie praktisch dieses Konstrukt für die Berechnung einer Fläche ist. Eine gute Überlegung. Die schlechte Nachricht ist, dass diese Formel tatsächlich kompliziert ist, und Sie sie verstehen müssen, um Ihre erste Prüfung in Analysis II zu bestehen.

Aber ich habe auch eine gute Nachricht. Zu Beginn von Analysis I haben Sie mit einer ähnlich komplizierten Gleichung für die Berechnung von Ableitungen gearbeitet (eine Auffrischung dazu finden Sie in Kapitel 2). Glücklicherweise lernten Sie später sehr viel einfachere Methoden kennen, Ableitungen zu berechnen.

Diese gute Nachricht gilt auch für die Integration. Später in diesem Kapitel werde ich Ihnen zeigen, wie Sie sich das Leben einfacher machen können. In diesem Abschnitt konzentriere ich mich aber darauf, wie die Riemann-Summenformel anzuwenden ist, um das bestimmte Integral zu berechnen.

Bevor ich anfange, betrachten wir noch einmal die Riemann-Summenformel. Achten Sie darauf, dass die rechte Seite dieser Gleichung in vier einzelne »Stücke« zerlegt werden kann:

- Den Grenzwert: lim n→∞ n

- Die Summe:

- Die Funktion:

- Die Integrationsgrenzen:

Um ein Integral unter Verwendung dieser Formel zu lösen, arbeiten Sie sich Schritt für Schritt rückwärts durch die Gleichung, nämlich wie folgt:

1. Setzen Sie die Integrationsgrenzen in die Formel ein.

2. Schreiben Sie die Funktion als Summe mit i und n um.

3. Berechnen Sie die Summe.

4. Werten Sie den Grenzwert aus.

Die Integrationsgrenzen einsetzen

In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen, wie Sie das folgende Integral berechnen:

Dieser Schritt kann ganz automatisch erfolgen: Sie setzen einfach die Integrationsgrenzen in die Formel ein, nämlich die Werte von a und b:

Bevor es weitergeht, wollen Sie sicher 4 – 0 vereinfachen:

Das war alles!

Die Funktion als Summe mit i und n ausdrücken

Dies ist der komplizierteste Schritt. Es handelt sich mehr um Kunst als um Wissenschaft, wenn Sie also eigentlich ein Künstler sind, der zufällig einen Kurs in Analysis II belegt hat, dann ist das genau Ihr Tag (oder auch nicht).

Zuerst denken Sie darüber nach, wie Sie mit Hilfe von rechten Rechtecken annähern würden, wie früher in diesem Kapitel bereits erklärt. Tabelle 3.6 zeigt, wie Sie dies mit einem, zwei, vier und acht Rechtecken bewerkstelligen könnten.

Tabelle 3.6: mit Hilfe rechter Rechtecke annähern.

Ihr Ziel ist es jetzt, einen allgemeinen Ausdruck der Form zu finden, der für jeden Wert von n zutrifft. Im letzten Abschnitt haben Sie festgestellt, dass die korrekte Breite erzeugt. Hier also der allgemeine Ausdruck, nach dem Sie suchen:

Sie sollten unbedingt verstehen, warum dieser Ausdruck für alle Werte von n funktioniert, bevor Sie weiterlesen. Der erste Bruch stellt die Höhe der Rechtecke dar, der zweite Bruch stellt die Breite dar, dargestellt als .

Sie können diesen Ausdruck wie folgt vereinfachen:

Vergessen Sie nicht, dass es sich bei dem gesamten Ausdruck um einen Grenzwert handelt, weil n gegen Unendlich geht:

An dieser Stelle innerhalb der Aufgabe haben Sie einen Ausdruck, der auf zwei Variablen basiert, i und n. Merken Sie sich dies, indem Sie daran denken, dass die beiden Variablen i und n in der Summe sind, und dass die Variable x bereits extrahiert wurde.

Die Summe berechnen

Jetzt brauchen Sie ein paar Tricks, um den Summenteil dieses Ausdrucks zu berechnen:

Sie können den Grenzwert in diesem Abschnitt ignorieren – er kommt später an die Reihe. Sie können eine Konstante aus der Summe herausziehen, ohne den Wert des Ausdrucks zu ändern:

Jetzt befinden sich nur noch die Variablen i und n innerhalb der Summe.

Merken Sie sich, dass i für z-i-ckig steht, und n für nett. Die Variable n ist nett, weil Sie sie aus der Summe herausziehen können wie eine Konstante:

Das Problem mit einer Summenformel lösen

Um die zickige Variable i in den Griff zu bekommen, brauchen Sie ein bisschen Hilfe. Sie haben in diesem Kapitel im Abschnitt »Summenformeln im Überblick« bereits wichtige Formeln kennen gelernt, die Ihnen helfen, mit dieser Summe ebenso wie mit vergleichbaren Summen umzugehen.

Zurück zu unserem Beispiel. Wir waren hier:

n Um die Summe zu berechnen, verwenden Sie die Summenformel für Quadratzahlen:

Ein bisschen Algebra, die ich hier weglasse, weil ich davon ausgehe, dass Sie sie beherrschen, macht daraus Folgendes:

Und jetzt geht es weiter zum letzten und einfachsten Schritt.

Den Grenzwert berechnen

An dieser Stelle stellt sich der Grenzwert, den Sie womöglich die ganze Zeit gefürchtet haben, als der einfachste Teil der Aufgabenstellung heraus. Wenn n gegen Unendlich geht, gehen die beiden Terme mit n im Nenner gegen 0, so dass sie ganz herausfallen:

Das ist Ihre Antwort! Beachten Sie bitte, dass es sich dabei nicht um eine Annäherung handelt, sondern um die exakte Fläche unter der Kurve y = x^2 von 0 bis 4, weil Sie die Riemann-Summenformel verwendet haben.

Licht am Ende des Tunnels: Der Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung (HDI)

Die Fläche unter einer Kurve zu bestimmen – das heißt, ein Flächenproblem zu lösen – kann unter Verwendung des bestimmten Integrals formalisiert werden (wie Sie in Kapitel 1 erfahren haben). Und das bestimmte Integral wiederum wird mit Hilfe der Riemann-Summenformel definiert. Aber wie Sie früher in diesem Kapitel ebenfalls erfahren haben, führt die Riemann-Summenformel häufig zu langwierigen und schwierigen Berechnungen.

Es muss noch etwas Besseres geben! Und das tut es!

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) stellt die Verknüpfung zwischen Ableitungen und Integralen bereit. Auf den ersten Blick scheinen diese beiden Konzepte überhaupt nichts miteinander zu tun haben, deshalb verströmt der HDI etwas die Ausstrahlung von schwarzer Magie in der Mathematik. Bei genauerer Betrachtung wird jedoch die Verbindung zwischen der Ableitung einer Funktion (ihrer Steigung) und ihrem Integral (der darunter befindlichen Fläche) klarer.

In diesem Abschnitt erkläre ich Ihnen die Verbindung zwischen Steigung und Fläche. Anschließend wird Ihnen der HDI sofort mehr sagen. Danach stelle ich Ihnen den genauen Satz vor und zeige Ihnen, wie sie ihn anwenden können, um Integrale als Anti-Ableitungen (Stammfunktionen) auszuwerten – das heißt, indem Sie die Integration als die Umkehrung der Differentiation verstehen.

Ohne weitere Ausschmückungen also hier der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) in seiner üblichsten Form:

Der Knackpunkt dieser Gleichung ist die Verbindung zwischen f und seiner Ableitungsfunktion, f’. Um ein Integral zu lösen, müssen Sie in der Lage sein, die Differentiation rückgängig zu machen und die ursprüngliche Funktion f zu finden.

Viele Mathematikbücher verwenden die folgende Notation für den HDI:

Beide Notationen sind gleichermaßen zulässig, aber ich finde diese Version ein bisschen weniger intuitiv als die Version, die ich Ihnen gezeigt habe.

Der HDI macht die Auswertung von Integralen sehr viel einfacher. Angenommen, Sie wollen Folgendes berechnen:

Dies ist die Funktion, die Sie in Abbildung 3.3 sehen. Der HDI ermöglicht Ihnen, diese Aufgabe zu lösen, indem Sie sie von einer ganz anderen Seite betrachten. Beachten Sie als Erstes, dass die folgende Aussage gilt:

Der HDI gestattet Ihnen deshalb die folgende Schlussfolgerung:

Jetzt können Sie die Aufgabe unter Anwendung einfacher Trigonometrie lösen:

= 1 + 1 = 2

Die exakte (nicht angenäherte) Fläche des schattierten Bereichs in Abbildung 3.3 ist also 2 – alles ganz ohne Rechtecke! Die Annäherung unter Verwendung der Mittelpunktregel (siehe »Der goldene Mittelweg: die Mittelpunktsregel« früher in diesem Kapitel) ist 2,0944.

Als weiteres Beispiel hier das Integral, das Sie in diesem Kapitel bereits unter Verwendung der Riemann-Summenformel gelöst haben:

Beachten Sie zuerst, dass die folgende Aussage gilt:

Jetzt wenden Sie den HDI an, um die folgende Gleichung aufzustellen:

Jetzt wird die Lösung zu reiner Arithmetik:

In nur drei einfachen Schritten ist das bestimmte Integral gelöst, ohne auf die komplizierte Riemann-Summenformel ausweichen zu müssen!

Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verstehen

Im vorigen Abschnitt habe ich Ihnen gezeigt, wie praktisch der Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung (HDI) sein kann, um den genauen Wert eines bestimmten Integrals zu ermitteln, ohne die Riemann-Summenformel verwenden zu müssen.

Der HDI geht von einer Verbindung zwischen Ableitungen und Integralen aus, die nicht sofort offensichtlich ist. Tatsächlich geht der Satz davon aus, dass Ableitungen und Integrale inverse Operationen sind. Bei anderen Operationspaaren – etwa Addition und Subtraktion – ist ganz einfach, zu erkennen, warum sie Inverse voneinander sind. Aber wie erkennen Sie diese Verknüpfung zwischen Ableitungen und Integralen?

In diesem Abschnitt gebe ich Ihnen ein paar Hinweise, wie Sie diese Verbindung besser verstehen.

Ein 200 Jahre altes Problem lösen

Die Verbindung zwischen Ableitungen und Integralen als inverse Operationen wurde als Erstes von Isaac Barrow (dem Lehrer von Isaac Newton) im 17. Jahrhundert entdeckt. Newton und Gottfried Leibniz (die beiden wichtigsten Erfinder der Analysis) nutzten sie als Konjektur – das heißt eine mathematische Aussage, von der man annimmt, dass sie richtig ist, die aber noch nicht bewiesen wurde.

Der HDI wurde aber erst offiziell in aller Herrlichkeit bewiesen, bis unser alter Freund Bernhard Riemann dies im 19. Jahrhundert demonstrierte. Während dieser 200 langen Jahre musste sehr viel Mathematik – insbesondere die reelle Analysis – erfunden werden, bevor Riemann beweisen konnte, dass Ableitungen und Integrale inverse Operationen sind.

Was hat die Steigung damit zu tun?

Die Idee, dass Ableitungen und Integrale miteinander verknüpft sind, das heißt, dass die Steigung einer Kurve und die darunter liegende Fläche in einer mathematischen Beziehung zueinander stehen, scheint sehr seltsam, bis Sie sich erst einmal eine Weile damit beschäftigt haben.

Wenn Sie ein Verständnis für Wirtschaft besitzen, folgt hier eine praktische Methode, sich die Verbindung zu veranschaulichen. Stellen Sie sich vor, Sie haben ein eigenes Unternehmen. Stellen Sie sich weiterhin einen Graphen mit einer Linie als Ihr Nettoeinkommen (eingehendes Geld) und die Fläche unter dem Graphen als Ihre Nettoersparnisse (Geld auf der Bank) vor. Um das Ganze so einfach wie möglich zu halten, wollen wir hier davon ausgehen, dass wir in einer vollkommen glücklichen Welt leben und Sie keine Ausgaben haben, die Ihr Bankkonto schmälern.

Wenn die Linie auf dem Graphen horizontal ist, bleibt Ihr Nettoeinkommen immer gleich, das Geld kommt also mit gleichmäßiger Geschwindigkeit an – das heißt, Ihr Gehaltsscheck ist jeden Monat gleich. Ihr Bankkonto (die Fläche unter der Linie) wächst also mit der Zeit mit gleichmäßiger Geschwindigkeit – das heißt, während sich Ihr x-Wert nach rechts bewegt.

Nehmen wir jetzt an, die Geschäfte fangen an, besser zu laufen. Wenn die Linie auf dem Graphen steigt, nimmt auch Ihr Gehaltsscheck proportional zu. Ihr Bankkonto wächst also schneller.

Und schließlich nehmen wir noch an, die Geschäfte gehen zurück. Wenn die Linie auf dem Graphen sinkt, nehmen Ihre Gehaltsschecks proportional ab. Ihr Bankkonto wächst zwar immer noch, aber mit einer langsameren Geschwindigkeit. Aber Vorsicht: Wenn die Geschäfte so schlecht werden, dass sie sich nicht mehr tragen, müssen Sie womöglich Ihre Ersparnisse angreifen, um das Geschäft am Laufen zu halten, dann würden Ihre Ersparnisse zum ersten Mal abnehmen.

In diesem Beispiel entspricht jeder Gehaltsscheck der Fläche einer eine Einheit breiten Scheibe des Graphen. Und das Bankkonto an einem bestimmten Tag entspricht der Gesamtfläche zwischen der y-Achse und dem Tag, wie auf dem Graphen angetragen.

Wenn Sie darüber nachdenken, dann kann es gar nicht anders sein, dass Steigung und Fläche verknüpft sind. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist genau die exakte mathematische Darstellung dieser Verknüpfung.

Einführung in die Flächenfunktion

Diese Verknüpfung zwischen Einkommen (die Höhe Ihres Gehaltsschecks) und den Ersparnissen (dem Stand Ihres Bankkontos) ist eine perfekte Analogie für zwei wichtige, miteinander verknüpfte Ideen. Der Einkommensgraph stellt eine Funktion f(x) dar, der Ersparnissegraph die Flächenfunktion dieser Funktion, A(x).

Abbildung 3.7 zeigt diese Verbindung zwischen f(x) und A(x). Diese Abbildung stellt die gleichmäßige Einkommenssituation dar, die ich im vorigen Abschnitt beschrieben habe. Ich habe hier f(x)= 1 gewählt. Der resultierende Ersparnisgraph ist A(x) = x, der stetig steigt.

Abbildung 3.7: Die Funktion f(x) = 1 erzeugt die Flächenfunktion A(x) = x.

Betrachten wir dagegen Abbildung 3.8, die ein steigendes Einkommen darstellt. Hier habe ich für die Darstellung des Einkommens f(x) = x gewählt. Die Funktion erzeugt die Flächenfunktion , die mit zunehmender Geschwindigkeit steigt.

Abbildung 3.8: Die Funktion f(x) erzeugt eine Flächenfunktion

Betrachten Sie noch Abbildung 3.9, die ein sinkendes Einkommen darstellt. In diesem Fall verwende ich für die Darstellung des Einkommens f(x) = 2 – x. Diese Funktion führt zur Flächenfunktion , die mit abnehmender Geschwindigkeit steigt, bist die ursprüngliche Funktion unter 0 gerät und dann anfängt abzunehmen.

Denken Sie kurz über diese drei Beispiele nach. Hier erkennen Sie in sehr praktischer Hinsicht, wie Steigung und Fläche verknüpft sind. Mit anderen Worten, die Steigung einer Funktion ist der qualitative Faktor, der bestimmt, wie die zugehörige Flächenfunktion aussieht.

Abbildung 3.9: Die Funktion f(x) = 2 – x erzeugt die Flächenfunktion

Mathematische Verknüpfung von Steigung und Fläche

Im vorigen Abschnitt habe ich die drei Funktionen f(x) und die zugehörigen Flächenfunktionen gezeigt. Tabelle 3.7 fasst diese Information zusammen.

Jetzt ist die große Verknüpfung nur noch einen Katzensprung entfernt. Beachten Sie, dass jede Funktion die Ableitung ihrer Flächenfunktion ist:

Reiner Zufall? Keineswegs. Tabelle 3.7 untermauert die intuitive Idee, dass die Steigung einer Funktion (das heißt ihre Ableitung) mit der darunter befindlichen Fläche verknüpft ist, mit mathematischer Genauigkeit.

Tabelle 3.7: Eine genauere Betrachtung der Funktionen und ihrer Flächenfunktionen

Weil die Fläche mathematisch durch das bestimmte Integral beschrieben ist, wie in Kapitel 1 erklärt, macht diese Verknüpfung zwischen Differentiation und Integration sehr viel Sinn. Aus diesem Grund ist die Bestimmung der Fläche unter einer Funktion – das heißt die Integration – im Wesentlichen die Rückgängigmachung einer Ableitung – das heißt Anti-Differenzierung (die Bestimmung der Stammfunktion).

Eine dunkle Seite des Hauptsatzes der Differential-und Integralrechnung

Früher in diesem Kapitel habe ich Ihnen diese Version des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung gezeigt:

Nachdem Sie nun die Verknüpfung zwischen einer Funktion f(x) und ihrer Flächenfunktion A(x) verstanden haben, hier eine andere Version des HDI:

Diese Version des Satzes wird allgemein als weniger praktisch im Vergleich zum ersten Teil betrachtet, und sie ist auch schwerer zu verstehen, weil so viele neue Variablen verwendet werden. Ich will hier nicht weiter darauf eingehen, sondern nur auf ein paar Punkte hinweisen, die Ihnen möglicherweise beim Verständnis helfen:

- Die Variable s – die untere Integrationsgrenze – ist ein beliebiger Ausgangspunkt, wo die Flächenfunktion gleich 0 ist. In meinem Beispiel aus dem vorigen Abschnitt starte ich die Flächenfunktion am Ursprung, es ist also s = 0. Dieser Punkt stellt den Tag dar, an dem Sie Ihr Bankkonto eröffnet haben, bevor Sie Geld dort eingezahlt haben.

- Die Variable x – die obere Integrationsgrenze – stellt die Zeit dar, seit Sie Ihr Bankkonto eröffnet haben. Außerdem ist sie die unabhängige Variable der Flächenfunktion.

- Die Variable t ist die Variable der Funktion. Wenn Sie einen Graphen zeichnen, ist t die unabhängige Variable und f(t) ist die abhängige Variable.

Kurz gesagt, machen Sie sich nicht zu viele Gedanken über diese Version des HDI. Wichtig ist, dass Sie sich die erste Version merken, und wie sie anzuwenden ist. Ebenfalls wichtig ist, dass Sie verstanden haben, dass Steigung und Fläche – das heißt Ableitungen und Integrale – eng verbunden sind.

Ihr neuer bester Freund: Das unbestimmte Integral (Stammfunktion)

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung erklärt die Verknüpfung zwischen der Steigung einer Funktion und der darunter befindlichen Fläche – das heißt zwischen Differentiation und Integration.

In praktischer Hinsicht bietet der HDI eine einfachere Methode für die Integration, ohne auf die Riemann-Summenformel zurückgreifen zu müssen. Diese einfachere Methode wird auch als Anti-Differentiation bezeichnet – mit anderen Worten, das Rückgängigmachen der Differenzierung. Die Anti-Differenzierung ist die Methode, die Sie im gesamten Rest von Analysis II für die Integration anwenden. Und das führt schnell zu einem neuen Konzept: dem unbestimmten Integral (Stammfunktion).

In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen schrittweise, wie Sie das unbestimmte Integral nutzen, um bestimmte Integrale zu lösen. Außerdem führe ich das wichtige Konzept vorzeichenbehafteter Flächen ein. Zum Abschluss des Kapitels stelle ich sicher, dass Sie die wichtigen Unterschiede zwischen bestimmten und unbestimmten Integralen verstanden haben.

Einführung der Anti-Differentiation

Die Integration ohne Einsatz der Riemann-Summenformel ist von der Rückgängigmachung der Differenzierung (Anti-Differentiation) abhängig. Früher in diesem Kapitel im Abschnitt »Licht am Ende des Tunnels: Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung« habe ich einige Flächen informell berechnet, indem ich ein paar Differentiationsformeln umgekehrt habe, die Sie aus Analysis I kennen. Aber die Anti-Differentiation ist so wichtig, dass sie eine eigene Notation verdient: das unbestimmte Integral.

Ein unbestimmtes Integral (Stammfunktion) ist einfach die Notation, die das Inverse der Ableitungsfunktion darstellt:

Achten Sie darauf, das unbestimmte Integral nicht mit dem bestimmten Integral zu verwechseln. Dazu merken Sie sich einfach, dass das unbestimmte Integral keine Integrationsgrenzen hat. Später in diesem Kapitel, in »Unterscheidung bestimmter und unbestimmter Integrale«, werde ich die Unterschiede zwischen diesen beiden Integraltypen erklären.

Hier einige Beispiele, die informell die Ableitungen, die Sie kennen, mit den unbestimmten Integralen, die Sie lösen wollen, in Verbindung bringen:

Es gibt eine kleine, aber wichtige Tücke in dieser informellen Analysis. Beachten Sie dass die drei folgenden Aussagen alle zutreffen:

Weil alle Konstanten zu 0 differenziert werden, müssen Sie das mögliche Vorhandensein einer Konstanten berücksichtigen, wenn Sie integrieren. Hier also genauere Formulierungen der oben gezeigten unbestimmten Integrale:

Die formale Lösung jedes unbestimmten Integrals ist eine Anti-Ableitung, bis auf die Addition einer Konstanten C, die als Integrationskonstante bezeichnet wird. Sie fügen also einfach immer mechanisch ein + C hinzu, wenn Sie ein unbestimmtes Integral auswerten.

Flächenprobleme ohne die Riemann-Summenformel lösen

Nachdem Sie wissen, wie ein unbestimmtes Integral unter Verwendung einer Anti-Differentiation gelöst werden kann (wie im vorigen Abschnitt beschrieben), steht Ihnen eine sehr nützliche Methode für die Lösung von Flächenproblemen zur Verfügung. Dies sollten Sie als große Erleichterung wahrnehmen, insbesondere wenn Sie den Abschnitt »Schlimmer geht’s immer: Berechnung bestimmter Integrale mit Hilfe der Riemann-Summenformel« gelesen haben.

Und so lösen Sie ein Flächenproblem mit Hilfe unbestimmter Integrale – das heißt ohne Verwendung der Riemann-Summenformel:

1. Formulieren Sie das Flächenproblem als bestimmtes Integral (wie in Kapitel 1 gezeigt).

2. Bestimmen Sie die Stammfunktion zwischen den vorgegebenen Integrationsgrenzen.

3. Setzen Sie die Integrationsgrenzen in diesen Ausdruck ein und vereinfachen Sie, um die Fläche zu bestimmen.

Diese Methode werden Sie bei Ihrer gesamten weiteren Arbeit im Bereich von Analysis II zur Lösung von Flächenproblemen verwenden. Angenommen, Sie wollen die schattierte Fläche in Abbildung 3.10 bestimmen.

Abbildung 3.10: Die schattierte Fläche

Dazu gehen Sie wie folgt vor:

1. Formulieren Sie das Flächenproblem als bestimmtes Integral:

2. Bestimmen Sie die Stammfunktion zwischen den Integrationsgrenzen:

Ich ersetze das Integral durch den Ausdruck 3 sin x, weil . Außerdem

führe ich die Notation ein. Sie können dies lesen als von x gleich bis x gleich . Diese Notation wird allgemein genutzt, so dass Sie Ihrem Lehrer zeigen können, dass

Sie wissen, wie integriert wird, und die Beschäftigung mit den Integrationsgrenzen auf den nächsten Schritt verschieben können.

3. Setzen Sie diese Integrationsgrenzen in den Ausdruck ein und vereinfachen Sie:

Wie Sie sehen, kommt dieser Schritt unmittelbar aus dem HDI, indem f(b) – f(a) subtrahiert wird. Jetzt vereinfache ich diesen Ausdruck, um die Fläche zu bestimmen:

= 3 – ( – 3) = 6

Die schattierte Fläche in Abbildung 3.10 ist also gleich 6.

Kein C, kein Problem!

Sie fragen sich vielleicht, warum die Integrationskonstante C – die so wichtig ist, wenn Sie eine Stammfunktion bestimmen – wegfällt, wenn Sie ein bestimmtes Integral auswerten. Das ist einfach zu erklären.

Sie wissen, dass jedes bestimmte Integral ausgedrückt wird als die Differenz zwischen einem Funktionswert einer Funktion an einem bestimmten Punkt und dem Funktionswert derselben Funktion an einem anderen Punkt. Wenn diese Funktion eine Konstante beinhaltet, C, hebt sich ein C gegen das andere auf.

Betrachten Sie etwa das bestimmte Integral . Technisch ausgedrückt, wird dieses Integral wie folgt bestimmt:

Wie Sie deutlich sehen, heben sich die beiden Cs gegeneinander auf, deshalb ist es auch kein Problem, sie gleich zu Beginn der Berechnung wegzulassen.

Vorzeichenbehaftete Fläche verstehen

In der realen Welt ist die kleinstmögliche Fläche 0, die Fläche ist also immer eine nicht negative Zahl. Auf dem Graphen kann Fläche jedoch positiv oder negativ sein.

Dieses Konzept der negativen Fläche wurde bereits im Abschnitt »Einführung der Flächenfunktion« angesprochen, wo es darum ging, was passiert, wenn eine Funktion unter die x-Achse fällt.

Um wieder auf die Analogie des Einkommens und der Ersparnisse zurückzukommen – dies ist der Moment, wo Ihr Einkommen versiegt und Geld auszugeben ist.

Die Fläche oberhalb der x-Achse ist also positiv, aber die Fläche unterhalb der x-Achse wird als negative Fläche gemessen.

Das bestimmte Integral berücksichtigt diese wichtige Unterscheidung. Es bestimmt nicht nur die Fläche, sondern die vorzeichenbehaftete Fläche eines Bereichs auf dem Graphen. Angenommen, Sie wollen den schattierten Bereich in Abbildung 3.11 bestimmen.

Abbildung 3.11: Bestimmung des vorzeichenbehafteten Bereichs auf dem Graphen

Sie gehen nach den im vorigen Abschnitt gezeigten Schritten vor:

1. Formulieren Sie das Flächenproblem als bestimmtes Integral:

2. Bestimmen Sie die Stammfunktion zwischen den Integrationsgrenzen:

3. Setzen Sie diese Integrationsgrenzen in den Ausdruck ein und vereinfachen Sie:

Die vorzeichenbehaftete Fläche des schattierten Bereichs in Abbildung 3.11 ist also gleich – 6. Wie Sie sehen, bestimmt die Rechenmethode für die Auswertung des bestimmten Integrals die vorzeichenbehaftete Fläche automatisch.

Angenommen, Sie wollen die Gesamtfläche der beiden schattierten Bereiche in Abbildung 3.10 und Abbildung 3.11 bestimmen. Sie gehen dazu nach den im vorigen Abschnitt beschriebenen Schritten vor:

1. Formulieren Sie das Flächenproblem als bestimmtes Integral:

2. Bestimmen Sie die Stammfunktion zwischen den Integrationsgrenzen:

3. Setzen Sie diese Integrationsgrenzen in den Ausdruck ein und vereinfachen Sie:

Jetzt ist die vorzeichenbehaftete Fläche des schattierten Bereichs gleich 0. Diese Lösung ist sinnvoll, weil die vorzeichenlose Fläche oberhalb der x-Achse gleich der vorzeichenlosen Fläche unterhalb der x-Achse ist, die beiden Flächen heben sich also gegeneinander auf.

Unterscheidung bestimmter und unbestimmter Integrale

Achten Sie darauf, bestimmte und unbestimmte Integrale nicht zu verwechseln. Hier die wichtigsten Unterschiede:

Ein bestimmtes Integral

- Besitzt Integrationsgrenzen (a und b)

- Stellt die genaue Fläche zwischen einem bestimmten Punktepaar auf einem Graphen dar

- Ergibt bei der Auswertung eine Zahl

Ein unbestimmtes Integral (Stammfunktion)

- Besitzt keine Integrationsgrenzen

- Kann genutzt werden, um eine unendliche Anzahl verwandter bestimmter Integrale zu ermitteln

- Ergibt bei der Berechnung eine Funktion

Hier beispielsweise ein bestimmtes Integral:

Wie Sie sehen, besitzt es Integrationsgrenzen (0 und ), Sie können also einen Graphen der

Fläche zeichnen, die es darstellt. Anschließend können Sie die unterschiedlichsten Methoden anwenden, um das Integral zu berechnen, und erhalten dabei eine Zahl. Diese Zahl ist gleich der vorzeichenbehafteten Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse innerhalb der Integrationsgrenzen, wie im Abschnitt »Vorzeichenbehaftete Fläche verstehen« beschrieben.

Dagegen hier ein unbestimmtes Integral (Stammfunktion):

Dieses Integral hat keine Integrationsgrenzen, es stellt also keine bestimmte Fläche dar. Bei der Auswertung ergibt es keine Zahl, sondern eine Funktion:

= tan x + C

Sie können diese Funktion nutzen, um jedes verwandte bestimmte Integral zu lösen. Beispielsweise wird es hier genutzt, um das oben gezeigte bestimmte Integral zu lösen:

Die Fläche des schattierten Bereichs im Graphen ist also gleich 1.

Wie Sie sehen, vereinigt das unbestimmte Integral eine unendliche Anzahl verwandter bestimmter Integrale in sich. Außerdem stellt es eine praktische Methode dar, bestimmte Integrale zu bestimmen. Kein Wunder, dass sich ein Großteil von Analysis II mit der Berechnung unbestimmter Integrale beschäftigt. In Teil II erhalten Sie einen sortierten Ansatz für die Berechnung undefinierter Integrale.

Teil II

Unbestimmte Integrale

In diesem Teil ...

fangen Sie an, das unbestimmte Integral als eine Anti-Ableitung zu berechnen – das heißt als das Inverse einer Ableitung. In der Praxis ist das bei einigen Funktionen einfacher als bei anderen. Ich werde Ihnen deshalb vier wichtige Tricks zeigen – Variablensubstitution, partielle Integration, trigonometrische Substitution und die Integration mit Partialbrüchen – um eine Funktion, von der Sie nicht wissen, wie sie zu integrieren ist, in eine Funktion umzuwandeln, von der Sie das wissen.

4

Integration aus der Tüte: Einfach nur Wasser hinzufügen (und C)

In diesem Kapitel...

- Berechnung einfacher Integrale als Anti-Ableitungen

- 17 Integralformeln und 3 Integrationsregeln anwenden

- Schwierigere Funktionen unter Verwendung mehrerer Integrationswerkzeuge integrieren

- Den Unterschied zwischen integrativen und nicht integrierbaren Funktionen klären

Zuerst die gute Nachricht: Weil die Integration das Gegenteil der Differentiation ist, wissen Sie bereits von zahlreichen grundlegenden Integralen, wie sie zu berechnen sind.

Jetzt die schlechte Nachricht: In der Praxis ist die Integration häufig sehr viel komplizierter als die Differentiation. Ich sage Ihnen das im Voraus, weil es a) stimmt und ich b) an die Ehrlichkeit glaube, und Sie c) sich darauf vorbereiten sollten, bevor Sie Ihre erste Prüfung ablegen. (Der Kauf dieses Buches ist übrigens schon ein ausgezeichneter Anfang!)

In diesem Kapitel – und auch in den Kapiteln 5 bis 8 – konzentriere ich mich ausschließlich auf eine Frage: Wie kann jede, aber wirklich jede Funktion auf diesem Planeten integriert werden? Gut, vielleicht übertreibe ich, aber nur unwesentlich. Ich gebe Ihnen eine überschaubare Menge an Integrationstechniken an die Hand, die Sie mit Papier und Bleistift anwenden können. Und nachdem Sie wissen, wann und wie sie angewendet werden, können Sie alles integrieren, außer vielleicht die Katze vom Nachbarn.

Als Erstes zeige ich Ihnen, wie Sie mit der Integration beginnen, indem Sie sie sich einfach als Anti-Differentiation vorstellen – das heißt als das Inverse der Differentiation. Ich zeige Ihnen eine nicht all zu lange Liste grundlegender Integrale, die die Liste der grundlegenden Ableitungen aus Kapitel 2 widerspiegelt. Außerdem zeige ich Ihnen ein paar Regeln für die Zerlegung von Funktionen in handlichere, die leichter zu integrieren sind.

Anschließend geht es um ein paar Techniken, mit denen Sie die Funktionen so aufbereiten, dass sie aussehen wie Funktionen, die Sie bereits integrieren können. Nachdem Sie dieses Kapitel gelesen haben, besitzen Sie die Werkzeuge, um Dutzende von Funktionen schnell und einfach zu integrieren.

Grundlegende Integrale berechnen

In Analysis I (worum es in Kapitel 2 ging) haben Sie festgestellt, dass Sie mit ein paar wenigen Algorithmen – wie etwa der Produktregel, der Quotientenregel und der Kettenregel – alle Werkzeuge besitzen, die Sie brauchen, um jede Funktion zu differenzieren, die sich Ihr Lehrer ausdenkt. In Analysis I freuen sich die Schüler häufig lauthals darüber, dass es »keine Kettenregel für die Integration« gibt. Nach der Hälfte des Semesters revidieren sie diese Meinung für gewöhnlich.

Die 17 grundlegenden Anti -Ableitungen für die Integration verwenden

In Kapitel 2 habe ich Ihnen eine Liste mit 17 Ableitungen aufgestellt, die Sie kennen, lieben und sich vor allem merken sollten. Wenn Sie diese Liste lesen, gewinnen Sie vielleicht den Eindruck, ich sei einer dieser mathematischen Oberlehrer, der sich an grausamen und unüblichen Lehrplanaktivitäten ergötzt.

Aber die Mathematik ist irgendwie wie der Geist der vergangenen Weihnachten – was Sie längst als vergessen wähnten, steht plötzlich wieder vor Ihnen! So ist das auch mit den Ableitungen. Wenn Sie sie bereits kennen, werden Sie diesen Abschnitt als ganz einfach empfinden.

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zeigt, dass die Integration das Inverse der Differentiation ist, bis auf eine Konstante C. Dieser Schlüsselsatz bietet einen Ansatz für die Integration. In Tabelle 4.2 zeige ich Ihnen, wie Sie eine Vielzahl gebräuchlicher Funktionen integrieren, indem Sie sie als die Ableitungen von Ihnen bereits bekannten Funktionen erkennen.

Tabelle 4.1: Die 17 grundlegenden Integrale (Anti-Ableitungen)

Ableitung | Stammfunktion (Anti-Ableitung)
| ∫0dx = C
| ∫1dx = x + C
| ∫ex = ex+C
| ∫cos xdx = sin x + C
| ∫sin xdx = − cosx + C
| ∫sec^2xdx = tan x + C

Tabelle 4.2: (Fortsetzung)

Ableitung | Stammfunktion (Anti-Ableitung)
| ∫csc^2xdx = − cot x + C
| ∫sec x tan xdx = sec x + C
| ∫csc x cot xdx = −csc x + C

Wie in Kapitel 3 beschrieben, müssen Sie die Integrationskonstante C addieren, weil Konstanten bei der Differentiation 0 ergeben. Beispiel:

Wenn Sie also mit Hilfe der Anti-Differentiation integrieren, müssen Sie das mögliche Vorhandensein dieser Konstante berücksichtigen:

Drei wichtige Integrationsregeln

Nachdem Sie wissen, wie man mit den 17 grundlegenden Anti-Ableitungen aus Tabelle 4.1 integriert, können Sie Ihr Repertoire durch drei weitere Integrationsregeln ergänzen: Summenregel, Faktorregel und Potenzregel. Diese drei Regeln spiegeln wider, was Sie bereits aus der Differentiation kennen.

Die Summenregel für die Integration

Die Summenregel für die Integration teilt Ihnen mit, dass es möglich ist, lange Ausdrücke Term für Term zu integrieren. Hier das Formelle:

Beispiel:

Beachten Sie, dass die Summenregel auf mehr als zwei Terme anwendbar ist. Sie gilt außerdem unabhängig davon, ob der Term positiv oder negativ ist. (Einige Bücher bezeichnen diese Variante als Differenzregel, aber Sie wissen, was gemeint ist.) Die Unterteilung dieses Integrals in drei Teile erlaubt Ihnen, jeden davon separat zu integrieren, indem Sie eine jeweils entsprechende Anti-Differentiationsregel anwenden:

Beachten Sie, dass ich hinten nur einmal C addiere. Im Grunde sollten Sie für jedes ausgewertete Integral eine Integrationsvariable (etwa C_1, C_2 und C_3) addieren. Letztlich können Sie aber auch die Variable C als C = C_1 + C_2 + C_3 deklarieren, um diese Variablen zusammenzufassen. Bei der Anwendung der Summenformel können Sie diesen Schritt größtenteils einfach überspringen und am Ende der Lösung ein einziges C hinzufügen.

Die Faktorregel für die Integration

Die Faktorregel besagt, dass Sie eine Konstante aus einer Ableitung herausziehen können, bevor Sie integrieren. Hier das Ganze in Symbolen:

∫nf(x)dx = n∫f(x)dx

Beispiel:

Wie Sie sehen, spiegelt diese Regel die Faktorregel bei der Differentiation wider. Nachdem die Konstante aus dem Weg geschafft wurde, ist die Integration jetzt unter Anwendung einer Anti-Differentiationsregel ganz einfach:

= 3 sec x + C

Die Potenzregel für die Integration

Die Potenzregel für die Integration erlaubt, jede echte Potenz von x zu integrieren (außer – 1). Hier die Potenzregel formal dargestellt:

Beispiel:

Die Potenzregel funktioniert auch für negative Potenzen von x ausgezeichnet, wobei es sich um Potenzen von x im Nenner handelt. Beispiel:

Die Potenzregel funktioniert auch für rationale Potenzen von x, also Wurzeln von x. Beispiel:

Die einzige reelle Potenz, für die die Potenzregel nicht funktioniert, ist – 1. Glücklicherweise gibt es eine Anti-Differentiationsregel, die diesen Fall übernimmt:

Und was ist mit den anderen Regeln passiert?

Die Integration beinhaltet Formeln, die die Summenregel, die Faktorregel und die Potenzregel für die Differentiation widerspiegeln. Sie besitzt dagegen keine Formeln, die nach Produktregel, Quotientenregel oder Kettenregel aussehen. Das hört sich im ersten Moment beruhigend an, aber das Fehlen der Formeln macht die Integration in der Praxis letztlich etwas komplizierter als die Differentiation.

In den Kapiteln 5 bis 8 geht es um alle möglichen Methoden, die die Mathematiker erfunden haben, um diese Schwierigkeit zu umgehen. Kapitel 5 konzentriert sich auf die Variablensubstitution, wobei es sich um eine eingeschränkte Form der Kettenregel handelt. Und in Kapitel 6 zeige ich Ihnen die partielle Integration, eine Variante der Produktregel.

Berechnung schwierigerer Integrale

Die Anti-Differentiationsregeln für die Integration, die ich früher in diesem Kapitel vorgestellt habe, grenzen sehr genau ein, wie viele Integrale Sie auf einfache Weise berechnen können. In vielen Fällen können Sie jedoch eine Funktion so umformulieren, dass sie ebenfalls einfach zu integrieren ist.

In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen, wie Sie bestimmte Brüche und Wurzeln unter Verwendung der Potenzregel integrieren können. Außerdem erkläre ich, wie Sie die trigonometrischen Beziehungen aus Kapitel 2 nutzen, um Ihre Fähigkeiten so zu erweitern, dass Sie auch trigonometrische Funktionen integrieren können.

Polynome integrieren

Mit Hilfe der Regeln aus diesem Abschnitt können Sie jedes Polynom in drei Schritten integrieren:

1. Wenden Sie die Summenregel an, um das Polynom in seine Terme zu zerlegen, und integrieren Sie jeden dieser Terme separat.

2. Wenden Sie die Faktorregel an, um den Koeffizienten jedes Terms aus dem betreffenden Integral herauszuziehen.

3. Wenden Sie die Potenzregel an, um jedes Integral zu berechnen. (Sie brauchen am Ende des resultierenden Ausdrucks nur ein einziges C zu addieren.)

Angenommen, Sie wollen das folgende Integral berechnen:

1. Zerlegen Sie den Ausdruck in vier separate Integrale:

2. Ziehen Sie die vier Koeffizienten aus den einzelnen Integralen heraus:

3. Integrieren Sie die einzelnen Terme separat unter Anwendung der Potenzregel:

Durch Anwendung dieser Methode können Sie jedes Polynom integrieren. Viele der später in diesem Buch eingeführten Integrationsmethoden bauen auf dieser Tatsache auf. Üben Sie also, Polynome zu integrieren, bis Sie es im Schlaf beherrschen!

Rationale Ausdrücke integrieren

Häufig kann man komplizierte rationale Ausdrücke entwirren und sie unter Anwendung der Anti-Differentiationsregeln, ergänzt durch die drei Regeln, aus diesem Kapitel integrieren.

Das folgende Integral beispielsweise sieht aus, als könnte die Integration schwierig sein:

Sie können die Funktion in mehrere Brüche zerlegen, aber ohne die Produkt- oder Quotientenregel kommen Sie auch dann nicht weiter. Stattdessen multiplizieren Sie die Klammern im Zähler aus und bringen den Nenner in Exponentialform:

Anschließend teilen Sie den Ausdruck in fünf Terme auf:

Anschließend wenden Sie die Summenregel an, um das Integral in fünf separate Integrale zu zerlegen, und dann die Faktorregel, um die Koeffizienten aus den Integralen herauszuziehen:

Jetzt können Sie jeden Term mit Hilfe der Potenzregel separat integrieren:

Mit Hilfe von Beziehungen trigonometrische Funktionen integrieren

Auf den ersten Blick scheint eine Integration bestimmter Produkte oder Quotienten trigonometrischer Funktionen unter Verwendung der früher in diesem Kapitel vorgestellten Formeln unmöglich zu sein. Aber Sie werden überrascht sein, was alles möglich ist, wenn Sie eine unbekannte trigonometrische Funktion integrieren, indem Sie sie zuerst unter Verwendung der fünf grundlegenden trigonometrischen Beziehungen umformen, die ich in Kapitel 2 aufgelistet habe.

Die beispiellose Leistungsfähigkeit dieser Beziehungen liegt in der Tatsache begründet, dass sie es Ihnen erlauben, jede beliebige Kombination trigonometrischer Funktionen als Kombination von Sinus und Kosinus auszudrücken. Der ganze Trick dabei ist es letztlich, eine unbekannte trigonometrische Funktion zu vereinfachen und sie in etwas umzuwandeln, von dem Sie wissen, wie es zu integrieren ist.

Wenn Sie einem unbekannten Produkt oder Quotienten trigonometrischer Funktionen gegenüberstehen, gehen Sie nach den folgenden Schritten vor:

1. Wenden Sie trigonometrische Beziehungen an, um alle Faktoren in Sinus und Kosinus umzuwandeln.

2. Kürzen Sie Faktoren, wo immer das möglich ist.

3. Wenden Sie gegebenenfalls trigonometrische Beziehungen an, um alle Brüche zu entfernen.

Beispiel:

∫sin^2x cot x sec x dx

In dieser Form können Sie den Ausdruck nicht mit Hilfe der Regeln aus diesem Kapitel integrieren. Sie befolgen deshalb die oben gezeigten Schritte, um ihn in einen Ausdruck umzuformen, den Sie integrieren können:

1. Wenden Sie die Beziehungen und an:

2. Kürzen Sie sin x und cos x im Zähler und im Nenner:

= ∫sin x dx

In diesem Beispiel erhalten Sie sogar ohne Durchführung von Schritt 3 eine Funktion, die Sie integrieren können:

= − cos x + C

Und noch ein Beispiel:

∫tan x sec x csc x dx

Auch dieses Integral sieht nach einer Sackgasse aus, bevor Sie die fünf grundlegenden trigonometrischen Beziehungen darauf anwenden:

1. Wandeln Sie alle drei Faktoren in Sinus und Kosinus um:

2. Kürzen Sie sin x im Zähler und im Nenner:

3. Wenden Sie die Beziehung an, um den Bruch loszuwerden:

Wieder haben Sie eine unbekannte Funktion in eine der zehn trigonometrischen Funktionen umgewandelt, von der Sie wissen, wie sie zu integrieren ist.

In Kapitel 7 werde ich Ihnen noch sehr viele weitere Tricks für die Integration trigonometrischer Funktionen zeigen.

Integrierbarkeit verstehen

Mittlerweile haben Sie wahrscheinlich erkannt, dass die Integration häufig schwieriger als die Differentiation ist. Das Fehlen fester Regeln für die Integration von Produkten, Quotienten und zusammengesetzten Funktionen macht die Integration von der Wissenschaft zur Kunst.

Sie nehmen also wahrscheinlich an, dass sehr viele Funktionen differenzierbar sind, und eine kleinere Untermenge von diesen integrierbar ist. Das stimmt nicht. Tatsächlich ist die Menge der integrierbaren Funktionen größer, und eine kleinere Untermenge davon ist differenzierbar. Um diese Tatsache zu verstehen, müssen Sie sich verdeutlichen, was die Begriffe integrierbar und differenzierbar wirklich bedeuten.

In diesem Abschnitt will ich auf zwei häufige Fehler eingehen, die Studenten machen, wenn sie zu verstehen versuchen, was Integrierbarkeit eigentlich ist. Anschließend geht es darum, was es für eine Funktion bedeutet, integrierbar zu sein, und ich zeige Ihnen, warum viele Funktionen, die integrierbar sind, nicht differenzierbar sind.

Die beiden Täuschungsmanöver der Integrierbarkeit

Beim Versuch zu verstehen, was eine Funktion integrierbar macht, müssen sie zuerst zwei verwandte Probleme verstehen: die Schwierigkeiten bei der Berechnung von Integralen und die Darstellung von Integralen als Funktion. Diese Probleme sind echt, aber es handelt sich um Täuschungsmanöver – das heißt, sie wirken sich nicht wirklich darauf aus, ob eine Funktion integrierbar ist.

Integrale berechnen

Für viele Eingabefunktionen sind Integrale schwieriger zu berechnen als Ableitungen. Angenommen, Sie wollen die folgende Funktion differenzieren und integrieren:

y = 3x^5e2x

Sie können diese Funktion ganz einfach differenzieren, indem Sie die Produktregel anwenden (ich führe noch einen zusätzlichen Schritt durch, um die Lösung zu vereinfachen):

Weil es für die Integration keine solche Regel gibt, sind Sie bei diesem Beispiel gezwungen, nach einer anderen Methode zu suchen. (Sie finden diese Methode in Kapitel 6, wo es um die partielle Integration gehen wird.)

Die Lösung von Integralen kann eine schwierige Angelegenheit sein. Im Vergleich dazu ist die Bestimmung von Ableitungen vergleichsweise einfach – was Sie dafür brauchen, haben Sie größtenteils bereits in Analysis I gelernt.

Darstellung von Integralen als Funktionen

Neben den Schwierigkeiten bei der Berechnung können die Integrale einiger Funktionen einfach nicht unter Verwendung der Funktionen dargestellt werden, mit denen Sie vertraut sind.

Genauer gesagt, einige Integrale können nicht als elementare Funktionen dargestellt werden – das heißt als Kombination der Funktionen, die Sie aus den Grundlagen der Analysis kennen. (Eine genauere Beschreibung der elementaren Funktionen finden Sie in Kapitel 14.)

Betrachten Sie beispielsweise die folgende Funktion:

Die Ableitung dieser Funktion ist einfach mit Hilfe der Kettenregel zu finden:

Das Integral derselben Funktion, , dagegen kann nicht als Funktion ausgedrückt werden – zumindest nicht als Funktion, die Sie kennen.

Stattdessen können Sie dieses Integral entweder exakt – als unendliche Reihe – oder annähernd – als Funktion, die das Integral mit einer bestimmten Genauigkeit annähert – ausdrücken. (Weitere Informationen über unendliche Reihen finden Sie in Teil IV) Alternativ können Sie es auch einfach als Integral stehen lassen, was für bestimmte Zwecke auch ausreichend ist.

Was bedeutet Integrierbarkeit eigentlich?

Wenn Mathematiker darüber sprechen, ob eine Funktion integrierbar ist, sprechen sie nicht über die Schwierigkeit, dieses Integral zu berechnen – oder ob eine entsprechende Methode entdeckt wurde. Jedes Jahr finden die Mathematiker neue Methoden, bestimmte Funktionsklassen zu integrieren. Diese Tatsache bedeutet jedoch nicht, dass zuvor nicht integrierbare Funktionen jetzt integrierbar sind.

Analog dazu ist die Integrierbarkeit einer Funktion auch nicht davon abhängig, ob ihr Integral einfach als andere Funktion dargestellt werden kann, ohne auf unendliche Reihen ausweichen zu müssen.

Wenn Mathematiker sagen, eine Funktion ist integrierbar, dann meinen sie nur, dass das Integral wohldefiniert ist – das heißt, dass es mathematisch sinnvoll ist.

Praktisch gesehen, hat die Integrierbarkeit mit der Stetigkeit zu tun: Wenn eine Funktion über ein bestimmtes Intervall stetig ist, dann ist sie in diesem Intervall integrierbar. Wenn eine Funktion nur eine endliche Anzahl von Unstetigkeiten in einem Intervall hat, ist sie in diesem Intervall ebenfalls integrierbar.

Möglicherweise wissen Sie noch aus Analysis I, dass viele Funktionen – wie etwa diejenigen mit Unstetigkeiten, Knicken und vertikalen Steigungen – nicht differenzierbar sind. Unstetige Funktionen sind auch nicht integrierbar. Funktionen mit Knicken und vertikalen Steigungen dagegen sind integrierbar.

Die Funktion y = |x| beispielsweise enthält einen Knick an der Stelle x = 0, deshalb ist die Funktion an diesem Punkt nicht differenzierbar. Dagegen ist dieselbe Funktion für alle anderen Werte von x integrierbar. Dies ist nur eines der unendlich vielen Beispiele für eine Funktion, die in der gesamten realen Zahlenmenge integrierbar, aber nicht differenzierbar ist.

Überraschenderweise ist also die Menge der differenzierbaren Funktionen eigentlich eine Untermenge der Menge der integrierbaren Funktionen. In der Praxis ist jedoch die Berechnung des Integrals der meisten Funktionen häufig schwieriger als die Berechnung der Ableitung.

5

Schneller Wechsel: Variablensubstitution

In diesem Kapitel...

- Verstehen, wie die Variablensubstitution funktioniert

- Erkennen, wann die Variablensubstitution sinnvoll ist

- Eine Abkürzung für die Anwendung der Substitution bei bestimmten Integralen kennen lernen

Anders als bei der Differentiation gibt es bei der Integration keine Kettenregel. Diese Tatsache macht die Integration zusammengesetzter Funktionen (Funktionen innerhalb von Funktionen) etwas komplizierter. Der praktischste Trick für die Integration bestimmter allgemeiner zusammengesetzter Funktionen ist die Variablensubstitution.

Bei der Variablensubstitution setzen Sie eine Variable (normalerweise u) gleich dem Teil der Funktion, den Sie integrieren wollen. Das Ergebnis ist eine vereinfachte Funktion, die Sie mit Hilfe der Anti-Differentiationsformeln und der drei grundlegenden Integrationsregeln (Summenregel, Faktorregel und Potenzregel – wie in Kapitel 4 beschrieben) integrieren können.

In diesem Kapitel beschreibe ich, wie Sie die Variablensubstitution einsetzen. Anschließend zeige ich Ihnen, wie Sie einige häufige Situationen erkennen, in denen die Variablensubstitution hilfreich ist. Nachdem Sie sich mit dem Verfahren vertraut gemacht haben, zeige ich Ihnen eine schnelle Methode zur Integration, wobei Sie einfach nur die Aufgabenstellung ansehen und die Lösung aufschreiben können. Und schließlich erkläre ich Ihnen, wie Sie bei der Variablensubstitution einen Schritt überspringen, um bestimmte Integrale zu berechnen.

Anwendung der Variablensubstitution

Die Anti-Differentiationsformeln erlauben Ihnen zusammen mit der Summenregel, der Faktorregel und der Potenzregel (siehe Kapitel 4), eine Vielzahl gebräuchlicher Funktionen zu integrieren. Aber wenn die Funktionen komplexer werden, reichen diese Methoden nicht mehr aus. Beispielsweise sind sie für die folgende Aufgabe nicht ausreichend:

Um dieses Integral zu berechnen, brauchen Sie etwas Stärkeres. Der Knackpunkt ist hier das Vorhandensein der Konstanten 2 innerhalb der Sinusfunktion. Sie haben eine Anti-Differentiationsregel für die Integration des Sinus einer Variablen, aber wie integrieren Sie den Sinus einer Variablen multipliziert mit einer Konstanten?

Die Lösung ist die Variablensubstitution, ein Prozess in fünf Schritten, der Ihnen erlaubt zu integrieren, wo kein Integral je zuvor gesehen wurde:

1. Deklarieren Sie eine Variable u und setzen Sie sie gleich einem algebraischen Ausdruck, der im Integral erscheint. Anschließend setzen Sie u für diesen Ausdruck im Integral ein.

2. Differenzieren Sie u, um zu bestimmen, und isolieren Sie dann alle x-Variablen auf einer Seite des Gleichheitszeichens.

3. Nehmen Sie eine weitere Substitution vor, um dx und alle anderen Vorkommen von x im Integral in einen Ausdruck mit du zu ändern.

4. Integrieren Sie unter Verwendung von u als Ihre neue Integrationsvariable.

5. Drücken Sie diese Antwort unter Verwendung von x aus.

Ich erwarte nicht, dass Sie diese Schritte sofort verstehen, bevor Sie gesehen haben, wie sie in der Praxis funktionieren. Im restlichen Abschnitt zeige ich Ihnen, wie Sie die Variablensubstitution nutzen, um Aufgaben zu lösen, die Sie andernfalls nicht integrieren könnten.

Das Integral verschachtelter Funktionen bestimmen

Angenommen, Sie wollen Folgendes integrieren:

∫sin2x dx

Die Schwierigkeit liegt hier in der Tatsache, dass diese Funktion aus zwei Funktionen zusammengesetzt ist: die Funktion 2x ist innerhalb einer Sinusfunktion verschachtelt. Würden Sie differenzieren, könnten Sie die Kettenregel verwenden. Leider gibt es für die Integration keine Kettenregel.

Glücklicherweise ist diese Funktion ein guter Kandidat für die Variablensubstitution. Folgen Sie den fünf Schritten, die ich Ihnen im vorigen Abschnitt gezeigt habe:

1. Deklarieren Sie eine neue Variable u wie folgt und setzen Sie diese in das Integral ein:

Sei u = 2x

Jetzt setzen Sie u für 2x ein:

∫sin2xdx = ∫sinu dx

Das scheint nun die Lösung für alle Ihre Sorgen zu sein, aber es gibt noch ein Problem zu lösen. In dieser Form besagt das Symbol dx, dass die Integrationsvariable immer noch x ist.

Um korrekt zu integrieren, müssen Sie eine Möglichkeit finden, dx in einen Ausdruck zu ändern, der du enthält. Und darum geht es in den Schritten 2 und 3.

2. Differenzieren Sie die Funktion u = 2x und bringen Sie die x-Terme auf eine Seite des Gleichheitszeichens:

Jetzt behandeln Sie das Symbol wie einen Bruch und bringen die x-Terme auf eine Seite des Gleichheitszeichens. Ich gehe dazu in zwei Schritten vor:

3. Setzen Sie du im Integral für dx ein:

Sie können dieses wie jeden anderen Koeffizienten behandeln und die Faktorregel verwenden, um ihn aus dem Integral herauszuziehen:

4. Jetzt haben Sie einen Ausdruck, den Sie integrieren können:

5. Nachdem die Integration durchgeführt ist, setzen Sie im letzten Schritt wieder 2x für u ein:

Differenzieren Sie mit Hilfe der Kettenregel, um diese Lösung zu prüfen:

Das Integral eines Produkts bestimmen

Angenommen, Sie haben das folgende Integral:

∫sin^3x cos xdx

Das Problem in diesem Fall ist, dass die Funktion, die Sie integrieren wollen, das Produkt von zwei Funktionen ist – sin^3x und cos x. Mit der Produktregel wäre das einfach zu differenzieren, aber für die Integration gibt es keine Produktregel. Auch hier eilt die Variablensubstitution zu Hilfe:

1. Deklarieren Sie wie folgt eine Variable und setzen Sie sie im Integral ein:

Sei u = sin x

Sie fragen sich vielleicht, woher ich weiß, dass u als sin x zu deklarieren ist (und nicht etwa sin^3x oder cos x). Ich beantworte diese Frage später. Hier sollten Sie mir einfach nur folgen und sich mit den mechanischen Tätigkeiten bei der Variablensubstitution vertraut machen.

Sie können diese Variable wie folgt in den zu integrierenden Ausdruck einsetzen:

∫sin^3x cosx dx = ∫u^3cosx dx

Beachten Sie, dass der Ausdruck cos x dx stehen bleibt und ebenfalls unter Verwendung von u ausgedrückt werden muss.

2. Differenzieren Sie die Funktion u = sin x und bringen Sie die x-Variablen auf eine Seite des Gleichheitszeichens:

Bringen Sie die x-Variablen auf eine Seite des Gleichheitszeichens: du = cos x dx

3. Setzen Sie du für cos x dx im Integral ein:

∫u^3du

4. Jetzt haben Sie einen Ausdruck, den Sie integrieren können:

5. Setzen Sie sin x für u ein:

Und wieder können Sie die Antwort überprüfen, indem Sie unter Anwendung der Kettenregel differenzieren:

Diese Ableitung stimmt mit der Originalfunktion überein, die Integration ist also korrekt.

Integration einer Funktion, die mit einer Menge verschachtelter Funktionen multipliziert wird

Angenommen, Sie wollen Folgendes integrieren:

Hier ist das Produkt einer Funktion (x) und einer zusammengesetzten Funktion (die Funktion 3x^2 + 7 ist in eine Quadratwurzelfunktion verschachtelt) zu integrieren. Würden Sie hier differenzieren, könnten Sie die Produktregel und die Kettenregel kombiniert einsetzen, aber für die Integration stehen diese Möglichkeiten nicht zur Verfügung. Deshalb integrieren Sie schrittweise unter Anwendung der Variablensubstitution wie folgt:

1. Deklarieren Sie eine Variable u wie folgt und setzen Sie sie in das Integral ein:

Sei u = 3x^2 + 7

Hier fragen Sie vielleicht wieder, woher ich weiß, welcher Wert u zuzuweisen ist. Hier die Kurzantwort: u ist die innere Funktion, die Sie auch für die Kettenregel bestimmen würden. (Weitere Informationen zur Kettenregel finden Sie in Kapitel 2.) Ich werde im Abschnitt »Erkennen, wann die Substitution anzuwenden ist« genauer darauf eingehen.

Jetzt setzen wir u in das Integral ein:

Noch eine kleine Umformung, so dass alle verbleibenden x-Terme beieinander stehen:

= ∫√ux dx

Diese Umformung verdeutlicht, dass noch eine Substitution für x dx benötigt wird.

2. Jetzt differenzieren Sie die Funktion u = 3x^2 + 7

Aus Schritt 1 wissen wir, dass x dx im Integral zu ersetzen ist:

3. Setzen Sie für x dx ein:

Jetzt können Sie den Bruch aus dem Integral herausziehen:

4. Damit haben Sie ein Integral, das Sie lösen können.

Ich führe hier einen zusätzlichen Schritt aus und schreibe die Quadratwurzel in Exponentialform, so dass Sie genau sehen, wie dabei vorzugehen ist:

5. Und zum Schluss setze ich wieder 3x^2 + 7 für u ein:

Wie bei den beiden ersten Beispielen in diesem Kapitel können Sie Ihre Integration wieder überprüfen, indem Sie das Ergebnis differenzieren:

Wie durch Zauberhand bringt Sie die Ableitung wieder zurück zur Ausgangsfunktion.

Erkennen, wann die Substitution anzuwenden ist

Im vorigen Abschnitt habe ich Ihnen die Mechanik der Variablensubstitution erklärt – das heißt, wie die Variablensubstitution auszuführen ist. In diesem Abschnitt kläre ich, wann die Variablensubstitution anzuwenden ist.

Sie können die Variablensubstitution in drei häufig vorkommenden Situationen einsetzen. In diesen Situationen handelt es sich bei dem zu berechnenden Ausdruck um einen der folgenden:

- Eine zusammengesetzte Funktion – das heißt eine in eine Funktion verschachtelte Funktion

- Eine mit einer Funktion multiplizierte Funktion

- Eine mit einer zusammengesetzten Funktion multiplizierte Funktion

Verschachtelte Funktionen integrieren

Zusammengesetzte Funktionen, das heißt ineinander verschachtelte Funktionen, haben die Form f(g(x)). Sie integrieren sie, indem Sie u = g(x) einsetzen, wenn:

- Sie wissen, wie die äußere Funktion f zu integrieren ist.

- Die innere Funktion g(x) zu einer Konstante differenziert wird – das heißt, wenn sie die Form ax oder ax + b hat.

Beispiel 1

Hier folgt ein Beispiel. Angenommen, Sie wollen die folgende Funktion integrieren:

csc^2(4x + 1) dx

Auch dies ist eine Verschachtelung aus zwei Funktionen:

- Die äußere Funktion f ist die Funktion csc^2, von der Sie wissen, wie sie integriert wird.

- Die innere Funktion ist g(x) = 4x + 1, die zu der Konstanten 4 differenziert wird.

Die beiden grundlegenden Funktionen f(u) = csc^2u und g(x) = 4x + 1 werden durch die Gleichung u = 4x + 1 zusammengesetzt, so dass die Funktion f(g(x)) = csc^2(4x + 1) entsteht.

Beide Kriterien sind erfüllt, dieses Integral ist also ein optimaler Kandidat für die Substitution unter Verwendung von u = 4x + 1. Und so gehen Sie dafür vor:

1. Deklarieren Sie eine Variable u und setzen Sie sie in das Integral ein:

Sei u = 4x + 1

∫csc^2(4x +1)dx = ∫csc^2u dx

2. Differenzieren Sie u = 4x + 1 und isolieren Sie den x-Term:

3. Setzen Sie für dx im Integral ein:

4. Berechnen Sie das Integral:

5. Setzen Sie wieder 4x + 1 für u ein:

Beispiel 2

Es folgt ein weiteres Beispiel. Angenommen, Sie wollen das folgende Integral berechnen:

Auch dies ist eine zusammengesetzte Funktion:

- Die äußere Funktion f ist ein Bruch – technisch betrachtet der Exponent – 1 –, von dem Sie wissen, wie er zu integrieren ist.

- Die innere Funktion ist g(x) = x – 3, das zu 1 differenziert wird.

Die beiden grundlegenden Funktionen und g(x) = x – 3 werden durch die Gleichung u = x – 3 zusammengesetzt, um die Funktion zu ergeben.

Die Kriterien sind erfüllt, Sie können also unter Verwendung der Gleichung u = x – 3 integrieren:

1. Deklarieren Sie eine Variable u und setzen Sie sie in das Integral ein:

Sei u = x – 3

2. Differenzieren Sie u = x – 3 und isolieren Sie den x-Term:

3. Setzen Sie du für dx im Integral ein:

4. Werten Sie das Integral aus:

= ln | u | +C

5. Setzen Sie wieder x – 3 für u ein:

= ln |x – 3| + C

Eine Abkürzung für verschachtelte Funktionen

Nachdem Sie sich die Beispiele für die Variablensubstitution angesehen haben, erkennen Sie möglicherweise Muster. Wenn Sie sich erst vertrauter mit dem Konzept gemacht haben, können Sie eine Abkürzung anwenden, um zusammengesetzte Funktionen zu integrieren – das heißt verschachtelte Funktionen der Form f(g(x)). Technisch gesehen verwenden Sie die Variablensubstitution u = g(x), aber Sie können diesen Schritt überspringen und erhalten dennoch die richtige Lösung.

Diese Abkürzung funktioniert für zusammengesetzte Funktionen f(g(x)), für die gilt:

- Sie wissen, wie die äußere Funktion f integriert wird.

- Die innere Funktion g(x) hat die Form ax oder ax + b – das heißt, sie wird zu einer Konstanten differenziert.

Wenn diese beiden Bedingungen erfüllt sind, können Sie f(g(x)) durch Anwendung der folgenden drei Schritte integrieren:

1. Schreiben Sie den Reziprokwert des Koeffizienten von x auf.

2. Multiplizieren Sie mit dem Integral der äußeren Funktion und übernehmen Sie die innere Funktion, so wie bei der Kettenregel bei der Differentiation.

3. Addieren Sie C.

Beispiel 1

Betrachten Sie beispielsweise die folgende Funktion:

∫cos4xdx

Beachten Sie, dass dies eine in eine andere Funktion verschachtelte Funktion ist, wobei Folgendes gilt:

- Die äußere Funktion f ist die Kosinusfunktion, von der Sie wissen, wie sie integriert wird.

- Die innere Funktion ist g(x) = 4x, was der Form ax entspricht.

Sie können diese Funktion also schnell wie folgt integrieren:

1. Schreiben Sie den Reziprokwert von 4 auf – das heißt :

2. Multiplizieren Sie diesen Reziprokwert mit dem Integral der äußeren Funktion, und übernehmen Sie die innere Funktion:

3. Addieren Sie C:

Das ist alles! Sie können es leicht nachprüfen, indem Sie unter Anwendung der Kettenregel differenzieren:

Beispiel 2

Noch ein Beispiel:

∫sec^210x dx

Beachten Sie als Erstes, dass sec^2 10x eine abkürzende Notation für [sec(10x)]2 ist. Die äußere Funktion f ist also die sec^2-Funktion, und die innere Funktion ist g(x) = 10x. (Weitere Informationen über die trigonometrischen Funktionen finden Sie in Kapitel 2.) Auch hier sind die Kriterien für die Variablensubstitution erfüllt:

1. Schreiben Sie den Reziprokwert von 10 auf – das heißt :

2. Multiplizieren Sie diesen Reziprokwert mit dem Integral der äußeren Funktion, und übernehmen Sie die innere Funktion:

3. Addieren Sie C:

Das können Sie überprüfen:

Beispiel 3

Ein weiteres Beispiel:

In diesem Fall ist die äußere Funktion die Division, die als eine Funktion zählt, wie ich früher im Abschnitt »Erkennen, wann die Substitution anzuwenden ist« beschrieben habe. Die innere Funktion ist 7x + 2. Beide Funktionen erfüllen die Kriterien, deshalb können Sie die Integration wie folgt durchführen:

1. Schreiben Sie den Reziprokwert von 7 auf – das heißt :

2. Multiplizieren Sie diesen Reziprokwert mit dem Integral der äußeren Funktion, und übernehmen Sie die innere Funktion:

3. Addieren Sie C:

Fertig! Wie immer überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch Differenzierung mit Hilfe der Kettenregel:

Beispiel 4

Und noch ein Beispiel:

Hier ist die äußere Funktion f eine Quadratwurzel – das heißt ein Exponent von – und g(x) = 12x – 5, Sie können also eine schnelle Substitution vornehmen:

1. Schreiben Sie den Reziprokwert von 12 auf – das heißt :

2. Multiplizieren Sie diesen Reziprokwert mit dem Integral der äußeren Funktion, und übernehmen Sie die innere Funktion:

3. Addieren Sie C:

Tabelle 5.1 zeigt Ihnen diverse Integrale dieser Form. Wenn Sie sich diese Auflistung ansehen, entwickeln Sie ein Gefühl für das Muster, so dass Sie sofort erkennen, wenn Sie die Gelegenheit für eine schnelle Integration sehen.

Tabelle 5.1: Die Abkürzung für die Integration verschachtelter Funktionen verwenden

Integral | Auswertung
∫e5xdx |
∫sin7xdx |
∫tan 8x sec 8x dx |
∫e5x+2dx |
∫cos(x – 4)dx | sin(x – 4) + C

Substitution, wenn ein Teil einer Funktion zu dem anderen Teil differenziert wird

Wenn g’(x) = f(x), können Sie die Substitution u = g(x) verwenden, um das folgende zu integrieren:

- Ausdrücke der Form f(x) ⋅ g(x)

- Ausdrücke der Form f(x) ⋅ h(g(x)), vorausgesetzt, h ist eine Funktion, von der Sie bereits wissen, wie sie zu integrieren ist

Machen Sie sich keine größeren Sorgen, wenn Sie all dieses Mathematik-Chinesisch nicht sofort verstehen. Ich werde Ihnen zeigen, wie Sie beide Fälle erkennen, und wie Sie sie integrieren. Wie üblich hilft die Variablensubstitution, die durch das Fehlen einer Produktregel und einer Kettenregel für die Integration entstandenen Lücken zu füllen.

Ausdrücke der Form f(x) ⋅ g(x)

Einige Produkte von Funktionen eignen sich sehr gut für die Variablensubstitution. Suchen Sie nach Ausdrücken der Form f(x) ⋅ g(x), wobei

- Sie wissen, wie g(x) zu integrieren ist.

- Die Funktion f(x) ist die Ableitung von g(x).

Beispiel:

∫tan x sec^2x dx

Hier muss vor allem erkannt werden, dass die Ableitung von tan x gleich sec^2 x ist. Das ist eine günstige Gelegenheit für die Variablensubstitution:

1. Deklarieren Sie u und setzen Sie es in das Integral ein:

Sei u = tan x

2. Differenzieren Sie wie geplant:

3. Nehmen Sie eine weitere Substitution vor:

= ∫u du

4. Diese Integration könnte nicht einfacher sein:

5. Setzen Sie wieder tan x für u ein:

Ausdrücke der Form f(x) ⋅ h(g(x))

Hier folgt ein sehr kompliziert aussehendes Integral, das aber sehr gut für die Substitution geeignet ist:

Hier ist zu erkennen, dass der Zähler dieses Bruchs die Ableitung der inneren Funktion im Nenner ist. Beobachten Sie, wie sich das auf die Substitution auswirkt:

1. Deklarieren Sie u gleich dem Nenner und führen Sie die Substitution durch:

Sei u = x^2 + x — 5

Hier die Substitution:

2. Differenzieren Sie nach u:

3. Damit wird der zweite Teil der Substitution deutlich:

Beachten Sie, wie diese Substitution von der Tatsache abhängig ist, dass der Nenner die Ableitung des Zählers ist. (Sie denken vielleicht, das sei ein Zufall, aber Zufälle wie diese passieren dauernd in Prüfungen!)

4. Die Integration ist damit ganz einfach:

Ich führe einen zusätzlichen Schritt ein, um vor der Integration den Bruch zu entfernen:

5. Setzen Sie wieder x^2 + x – 5 für u ein:

Wenn Sie diese Lösung durch Differenzieren mit der Kettenregel überprüfen, gelangen Sie zum Ausgangspunkt der Aufgabenstellung zurück:

Nachdem Sie die Beispiele aus diesem Kapitel nachvollzogen haben, erkennen Sie wahrscheinlich Gelegenheiten für die Variablensubstitution. Beispiel:

Beachten Sie, dass die Ableitung von x^4 – 1 gleich x^3 ist, verschoben um einen konstanten Faktor. Hier also die Deklaration, gefolgt von der Differentiation:

Jetzt können Sie beide Substitutionen auf einmal vornehmen:

Und jetzt lösen Sie das Integral einfach auf – was ich Ihnen zur Übung überlasse!

Hier ein weiteres Beispiel:

∫csc^2x ecot x dx

Auf den ersten Blick sieht dieses Integral sehr furchterregend aus. Aber bei der weiteren Betrachtung erkennen Sie, dass die Ableitung von cot x gleich – csc^2 x ist, wir haben also wieder einen geeigneten Kandidaten:

Damit gelangen wir zu der folgenden Substitution:

Auch dies ist ein Integral, das Sie lösen können.

Mit Hilfe der Substitution bestimmte Integrale berechnen

In den beiden ersten Abschnitten dieses Kapitels ging es darum, wie und wann mit Hilfe der Variablensubstitution unbestimmte Integrale berechnet werden können. Die gesamte Information bezieht sich auch auf die Berechnung bestimmter Integrale, aber ich kenne einen zeitsparenden Trick, der Sie bestimmt interessieren wird.

Wenn Sie die Variablensubstitution einsetzen, um ein bestimmtes Integral zu berechnen, können Sie sich am Ende der Aufgabe viel Aufwand ersparen. Insbesondere können Sie die Lösung unter Verwendung von u beibehalten, indem Sie die Integrationsgrenzen ändern.

Angenommen, Sie berechnen das folgende bestimmte Integral:

Beachten Sie, dass ich die Integrationsgrenzen x = 0 und x = 1 vorgegeben haben. Dies ist nur eine Änderung der Notation, um Sie daran zu erinnern, dass die Integrationsgrenzen Werte von x sind. Diese Tatsache wird im Verlauf der Lösung dieser Aufgabe noch wichtig.

Sie können diese Gleichung auswerten, indem Sie einfach die Variablensubstitution anwenden.

Wenn Sie nicht sicher sind, warum diese Substitution funktioniert, lesen Sie den Abschnitt »Erkennen, wann die Substitution anzuwenden ist« früher in diesem Kapitel. Befolgen Sie die Schritte 1 bis 3 der Variablensubstitution:

Handelte es sich hier um ein unbestimmtes Integral, könnten Sie jetzt integrieren. Weil es sich aber um ein bestimmtes Integral handelt, müssen Sie die Grenzwerte der Integration unter Verwendung von u statt x ausdrücken. Dazu setzen Sie die Werte 0 und 1 für x in die Substitutionsgleichung u = x^2 + 1 ein:

Jetzt verwenden Sie diese Werte von u als Ihre neuen Integrationsgrenzen:

Jetzt können Sie integrieren:

Weil Sie die Integrationsgrenzen geändert haben, finden Sie jetzt die Lösung, ohne die Variable wieder auf x zurücksetzen zu müssen:

6

Partielle Integration

In diesem Kapitel...

- Die Verbindung zwischen der Produktregel und der partiellen Integration herstellen

- Wissen, wie und wann die partielle Integration funktioniert

- Partiell integrieren mit Hilfe der DI-agonal-Methode

- Einsetzen der DI-agonal-Methode für die vier gebräuchlichsten Funktionsprodukte

In Analysis I haben Sie gelernt, dass Ihnen die Produktregel jederzeit gestattet, die Ableitung von zwei beliebigen Funktionen zu finden, die miteinander multipliziert werden. (Ich habe dies in Kapitel 2 noch einmal wiederholt, falls Sie eine Auffrischung benötigen.) Aber die Integration des Produkts von zwei Funktionen ist nicht ganz so einfach. Leider gibt es keine Formel, nach der Sie das Produkt von zwei beliebigen Funktionen integrieren können. Aus diesem Grund wurden zahlreiche Techniken entwickelt, um in verschiedenen Situationen mit dem Produkt von Funktionen zurechtzukommen.

In diesem Kapitel zeige ich Ihnen die gebräuchlichste Technik für die Integration von Produkten, die so genannte partielle Integration. Als Erstes zeige ich, wie die Formel für die partielle Integration mit der Produktregel zu vergleichen ist. Anschließend demonstriere ich, wie die Formel in der Praxis funktioniert. Und dann versorge ich Sie mit einer Liste von Funktionsprodukten, auf die diese Methode gut anzuwenden ist.

Nachdem Sie das Prinzip der partiellen Integration verstanden haben, zeige ich Ihnen eine Methode – die so genannte DI-agonal-Methode – für eine effiziente und fehlerfreie Durchführung dieser Berechnung. Anschließend erfahren Sie anhand von Beispielen, wie diese Methode eingesetzt wird, um die vier gebräuchlichsten Produkte von Funktionen zu integrieren.

Partielle Integration – Einführung

Die partielle Integration ist eine angenehme Konsequenz der Produktregel (siehe Kapitel 2). In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen, wie Sie die Produktregel abändern, um die Formel für die partielle Integration abzuleiten. Ich zeige Ihnen zwei Versionen dieser Formel – eine komplizierte Version und eine einfachere –, und empfehle Ihnen dann, sich die letztere zu merken. Ich werde demonstrieren, wie Sie diese Formel anwenden, und Ihnen dabei helfen, zu erkennen, wann die partielle Integration sehr wahrscheinlich am besten funktioniert.

Umkehr der Produktregel

Die Produktregel (siehe Kapitel 2) ermöglicht Ihnen, das Produkt von zwei Funktionen zu differenzieren:

Durch eine Folge mathematischer Saltos können Sie diese Gleichung zu einer für die Integration nützlichen Formel machen. Bei dieser Herleitung handelt es sich nicht um wirklich komplizierte Schritte, aber die dafür anzuwendende Notation ist tödlich, machen Sie sich also keine größeren Gedanken, wenn Sie Probleme haben, mir dabei zu folgen. Es ist weniger wichtig zu wissen, wie die Formel für die partielle Integration hergeleitet wird, als zu wissen, wann und wie sie eingesetzt wird. Darauf werde ich mich im restlichen Kapitel konzentrieren.

Der erste Schritt ist einfach: Sie ordnen die beiden Produkte auf der rechten Seite der Gleichung um:

Anschließend ordnen Sie die Terme der Gleichung um:

Jetzt integrieren Sie beide Seiten dieser Gleichung:

Wenden Sie die Summenregel an, um das Integral auf der rechten Seite in zwei Integrale aufzuteilen:

Das erste dieser beiden Integrale macht die Ableitung rückgängig:

Das ist die Formel für die partielle Integration. Weil sie aber so kompliziert aussieht, verwenden wir die folgende Substitution, um sie zu vereinfachen:

Sei u = f(x) | Sei v = g(x)
du = f′(x)dx | dv = g′(x)dx

Und hier die freundlichere Version derselben Formel, die Sie sich merken sollten:

∫u dv = uv – ∫v du

Wissen, wie die partielle Integration durchgeführt wird

Die Formel für die partielle Integration bietet Ihnen die Möglichkeit, das Produkt zweier Funktionen in seine Faktoren zu zerlegen und es in veränderter Form zu integrieren.

Um die partielle Integration durchzuführen, gehen Sie wie folgt vor:

1. Zerlegen Sie das gesamte Integral (einschließlich dx) in zwei Faktoren.

2. Machen Sie den Faktor ohne das dx zu u, und den Faktor mit dx zu dv.

3. Differenzieren Sie u, um du zu bestimmen, und integrieren Sie dv, um v zu bestimmen.

4. Wenden Sie die Formel ∫u dv = uv - ∫v du an.

5. Berechnen Sie die rechte Seite dieser Gleichung, um das Integral zu lösen.

Angenommen, Sie wollen das folgende Integral berechnen:

∫xlnx dx

In dieser Form können Sie keine Berechnung ausführen, deshalb nehmen Sie eine partielle Integration vor:

1. Zerlegen Sie das Integral in ln x und x dx.

2. Sei u = ln x und dv = x dx.

3. Differenzieren Sie ln x, um du zu bestimmen, und integrieren Sie x dx, um v zu bestimmen.

Sei u = lnx | Sei dv = x dx
| ∫dv = ∫x dx

4. Unter Verwendung dieser Werte für u, du, v und dv wenden Sie die Formel für die partielle Integration an, um das Integral wie folgt umzuschreiben:

An dieser Stelle brauchen Sie die Algebra, um die rechte Seite der Gleichung zu vereinfachen.

5. Berechnen Sie die rechte Seite dieser Gleichung.

Sie können diese Antwort etwas vereinfachen:

So ergibt sich die Lösung des Integrals ∫x ln xdx. Um diese Lösung zu überprüfen, differenzieren Sie sie durch Anwendung der Produktregel:

Jetzt vereinfachen Sie diese Lösung, um zu zeigen, dass sie äquivalent zu der Funktion ist, von der Sie ausgegangen sind:

Wissen, wann eine partielle Integration angebracht ist

Nachdem Sie die grundlegenden Mechanismen für die partielle Integration kennen, die im vorigen Abschnitt vorgestellt wurden, ist es wichtig, zu erkennen, wann eine partielle Integration sinnvoll ist.

Für den Anfang sind hier zwei wichtige Fälle beschrieben, für die die partielle Integration definitiv der richtige Weg ist:

- Die Logarithmusfunktion ln x

- Die ersten vier inversen trigonometrischen Funktionen (arcsin x, arccos x, arctan x und arccot x)

Bis auf diese Fälle ist die partielle Integration nützlich für die Integration des Produkts aus mehreren Funktionen:

- x ln x
- x arcsec x
- x^2 sin x
- ex cos x

Beachten Sie, dass Sie in jedem Fall das Produkt der Funktionen erkennen können, weil die Variable x mehrfach in der Funktion auftritt.

Immer wenn Sie das Produkt von Funktionen integrieren müssen, sollten Sie die Variablensubstitution (siehe Kapitel 5) in Betracht ziehen, bevor Sie die partielle Integration anwenden. Beispielsweise ist x cos (x^2) ein Fall für die Variablensubstitution, und nicht für die partielle Integration. (Um zu sehen, warum das so ist, blättern Sie zurück in Kapitel 5.)

Wenn Sie entscheiden, die partielle Integration anzuwenden, lautet Ihre nächste Frage, wie Sie die Funktion aufteilen, und wie Sie die Variablen u und dv zuweisen. Glücklicherweise gibt es eine hilfreiche Mnemonik, die Ihnen diese Entscheidung erleichtert: Liebenswerte Integrale Arbeiten Tierisch, das steht für Logarithmisch, Invers trigonometrisch, Algebraisch, Trigonometrisch (Sie können sich natürlich auch eine beliebige andere Eselsbrücke ausdenken). Wählen Sie immer die erste in Frage kommende Funktion aus dieser Liste als Faktor aus, der auf u gesetzt wird, und setzen Sie dann das restliche Produkt (einschließlich dx) gleich dv.

Sie können die partielle Integration einsetzen, um die in Tabelle 6.1 aufgelisteten Funktionen zu integrieren.

Tabelle 6.1: Wann die partielle Integration sinnvoll ist.

Wenn Sie eine partielle Integration durchführen, beachten Sie bei der Auswahl des zu integrierenden und des zu differenzierenden Terms die grundlegendste Regel: Wenn Sie nur von einem der beiden wissen, wie er zu integrieren ist, ist dies derjenige, den Sie integrieren!

Partielle Integration mit der DI-agonal-Methode

Die DI-agonal-Methode ist grundsätzlich eine partielle Integration mit Hilfe einer Tabelle, die Ihnen hilft, Ihre Information zu organisieren. Diese Methode ist insbesondere praktisch, wenn Sie mehrfach eine partielle Integration anwenden müssen, um eine Aufgabe zu lösen. In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen, wie Sie die DI-agonal-Methode anwenden, um eine Vielzahl von Integralen auszuwerten.

Die DI-agonal-Tabelle

Die DI-agonal-Methode vermeidet die Verwendung von u und dv, die leicht zu verwechseln sind (insbesondere, wenn Sie die Buchstaben u und v so wie ich schlampig schreiben). Stattdessen wird anstelle von u eine Spalte für Differentiation und anstelle von dv eine Spalte für Integration verwendet.

Verwenden Sie die folgende Tabelle für die DI-agonal-Methode:

| I
D |
+ |
– |

Wie Sie sehen, enthält die Tabelle zwei Spalten: die Spalte D für die Differentiation, in der ein Plus- und ein Minussymbol enthalten sind, und die Spalte I für die Integration. Sie erkennen vielleicht auch, dass D und I innerhalb der Tabelle diagonal angeordnet sind – die Bezeichnung DI-agonal-Methode bezieht sich also quasi auf zwei Ebenen.

Anwendung der DI-agonal-Methode

Früher in diesem Kapitel habe ich Ihnen eine Liste mit Funktionen bereitgestellt, die Sie partiell integrieren können. Die DI-agonal-Methode funktioniert für alle diese Funktionen. Außerdem habe ich Ihnen die Mnemonik Liebenswerte Integrale Arbeiten Tierisch (für Logarithmisch, Invers trigonometrisch, Algebraisch, Trigonometrisch) verraten, so dass Sie sich besser merken können, wie Sie u und dv Werte zuweisen – das heißt, was differenziert und was integriert werden soll.

Um die DI-agonal-Methode anzuwenden, gehen Sie wie folgt vor:

1. Schreiben Sie den zu differenzierenden Wert in das Feld unterhalb des D und den zu integrierenden Wert (unter Weglassung von dx) in das Feld unterhalb des I.

2. Differenzieren Sie in der D-Spalte und integrieren Sie in der I-Spalte nach unten.

3. Addieren Sie die Produkte aller vollständigen Zeilen als Terme. Diesen Schritt werde ich in den nachfolgenden Beispielen genauer erklären.

4. Addieren Sie das Integral des Produkts der beiden unteren diagonal nebeneinander befindlichen Felder.

Auch diesen Schritt werde ich in den nachfolgenden Beispielen genauer erklären.

Versuchen Sie nicht, all das sofort zu verstehen. Die nachfolgenden Beispiele verdeutlichen, was das bedeutet, und Sie werden viel damit üben. Ich werde Ihnen zeigen, wie Sie die DIAGONAL-METHODE anwenden, um Produkte zu integrieren, die logarithmische, inverse trigonometrische, algebraische und trigonometrische Funktionen beinhalten.

L steht für Logarithmus

Sie können die DI-agonal-Methode anwenden, um das Produkt einer Logarithmusfunktion und einer algebraischen Funktion auszuwerten. Angenommen, Sie wollen das folgende Integral berechnen:

∫x^2ln xdx

Wenn Sie ein Produkt integrieren, das eine Logarithmusfunktion beinhaltet, wird die Logarithmusfunktion immer in die D-Spalte geschrieben.

1. Schreiben Sie den zu differenzierenden Wert in das Feld unterhalb des D und den zu integrierenden Wert (unter Weglassung von dx) in das Feld unterhalb des I.

| I
D | x^2
+ ln x |
– |

2. Differenzieren Sie ln x und schreiben Sie das Ergebnis in die D-Spalte.

Beachten Sie, dass in diesem Schritt das Minuszeichen, das sich bereits in dem Feld befindet, dem zugeordnet wird.

| I
D | x^2
+ ln x |

3. Integrieren Sie x^2 und schreiben Sie die Lösung in die I-Spalte.

| I
D | x^2
+ ln x |

4. Addieren Sie das Produkt der hier gekennzeichneten Zeile.

Sie schreiben dafür Folgendes:

5. Addieren Sie das Integral der beiden unteren diagonal nebeneinander befindlichen Felder, die hier gekennzeichnet sind.

Sie schreiben Folgendes:

Jetzt können Sie den ersten Term vereinfachen und den zweiten Term integrieren:

Überprüfen Sie diese Lösung, indem Sie die Produktregel anwenden:

Dies ist also die richtige Lösung:

I steht für invers trigonometrisch

Mit Hilfe der DI-agonal-Methode können Sie vier der sechs inversen trigonometrischen Funktionen integrieren (arcsin x, arccos x, arctan x und arccot x). Wenn Sie sich übrigens die Ableitungen der sechs inversen trigonometrischen Funktionen nicht gemerkt haben (die ich in Kapitel 2 bereitgestellt habe), sollten Sie das jetzt unbedingt nachholen.

Wenn Sie ein Produkt integrieren, das eine inverse trigonometrische Funktion beinhaltet, muss diese Funktion immer in der D-Spalte stehen.

Angenommen, Sie wollen Folgendes integrieren:

∫arccos x dx

1. Schreiben Sie den zu differenzierenden Wert in das Feld unterhalb des D und den zu integrierenden Wert (unter Weglassung von dx) in das Feld unterhalb des I.

| I
D | 1
+ arccos x |
– |

Beachten Sie, dass in die I-Spalte eine 1 geschrieben wird.

2. Differenzieren Sie über x und schreiben die Lösung in die D-Spalte. Anschließend integrieren Sie 1 und schreiben die Lösung in die I-Spalte unter das I.

3. Addieren Sie das Produkt der vollständigen Zeile, die hier gekennzeichnet ist.

Sie schreiben also Folgendes:

(+arccos x) ⋅ (x)

4. Addieren Sie das Integral der untersten Diagonale, die hier markiert ist.

Sie schreiben Folgendes:

Vereinfachen und integrieren Sie:

Diese Variablensubstitution führt eine neue Variable u ein. Verwechseln Sie dieses u nicht mit dem u, das für die partielle Integration verwendet wird.

Wenn Sie jetzt wieder 1 – x^2 für u einsetzen und vereinfachen, erhalten Sie die folgende Lösung:

Es gilt also ∫arccos xdx = x arccos x - + C

A steht für algebraisch

Wenn Sie immer noch skeptisch sind, ob die DI-agonal-Methode wirklich den Aufwand wert ist, garantiere ich Ihnen, dass Sie sie praktisch finden werden, sobald es um algebraische Faktoren geht.

Angenommen, Sie wollen Folgendes integrieren:

∫x^3sin x dx

Dieses Beispiel ist ein Produkt aus Funktionen, die partielle Integration stellt also eine Möglichkeit dar. Wenn Sie jetzt die LIAT-Checkliste durchlaufen, stellen Sie fest, dass das Produkt keinen logarithmischen Faktor und keinen inversen trigonometrischen Faktor enthält. Sie enthält jedoch den algebraischen Faktor x^3, deshalb schreiben Sie diesen Faktor in die D-Spalte und den Rest in die I-Spalte. Mittlerweile wissen Sie, wie man diese Tabelle ausfüllt, deshalb habe ich sie hier komplett für Sie ausgefüllt:

| I
D | sin x
+ x^3 | –cos x
– 3x^2 |

Im nächsten Schritt schreiben Sie normalerweise Folgendes:

+(x^3)(–cos x) + ∫(-3x^2)(–cos x)dx

Aber jetzt fangen die Probleme an: Die einzige Möglichkeit, das neue Integral zu berechnen, ist die Durchführung einer weiteren partiellen Integration. Und es erwartet Sie Folgendes (wenn ich etwas vorgreifen darf):

Und nachdem Sie die partielle Integration dreimal angewendet haben, erhalten Sie schließlich ein Integral, das Sie direkt lösen können. Wenn Sie der Ansicht sind, die Auswertung dieses Ausdrucks macht Spaß (und wenn Sie der Ansicht sind, dass Sie es in einer Prüfung im Handumdrehen lösen können, ohne irgendwo ein Minuszeichen zu übersehen!), dann sollten Sie ihn unbedingt beibehalten. Andernfalls stelle ich Ihnen eine einfachere Methode vor. Lesen Sie weiter.

Um eine algebraische Funktion, die mit einem Sinus, einem Kosinus oder einer Exponentialfunktion multipliziert wird, zu integrieren, schreiben Sie den algebraischen Faktor in die D-Spalte und den anderen Faktor in die I-Spalte. Differenzieren Sie den algebraischen Faktor bis Null und integrieren Sie dann den anderen Faktor genau so oft. Anschließend können Sie die Lösung direkt aus der Tabelle abschreiben.

Erweitern Sie einfach die DI-Tabelle wie hier gezeigt.

Beachten Sie, dass Sie die Muster einfach in beiden Spalten weiterführen. In der D-Spalte schreiben Sie abwechselnd Plus- und Minussymbole und differenzieren, bis 0 erreicht ist. In der I-Spalte integrieren Sie weiter.

Die sehr angenehme Überraschung ist, dass Sie jetzt die Lösung aus der Tabelle abschreiben können. Diese Lösung enthält vier Terme (+ C, natürlich), die ich direkt aus den vier gekennzeichneten Zeile aus der Tabelle abschreiben kann:

x^3(–cos x) – 3x^2(–sin x) + 6x(cos x) – 6(sin x) + C

Aber halt! Habe ich nicht das letzte Integral auf der Diagonalen vergessen? Nein – aber dieses Integral ist ∫0dx ⋅ sin x = C, was erklärt, woher das C kommt.

Hier folgt ein weiteres Beispiel, um Ihnen noch einmal zu demonstrieren, wie einfach die DI-agonal-Methode für Produkte mit algebraischen Faktoren ist:

∫3x^5e2xdx

Ohne die DI-Tabelle wartet diese Aufgabe nur auf eine gewaltige Fehlberechnung. Aber die Tabelle macht das Ganze höchst übersichtlich.

Jetzt schreiben Sie einfach aus der Tabelle ab, addieren C und vereinfachen:

Diese Lösung ist völlig korrekt. Wenn Sie es noch besser machen wollen, ziehen Sie den Faktor e2x heraus, so dass ein Polynom übrig bleibt:

T steht für trigonometrisch

Sie können die DI-agonal-Methode verwenden, um das Produkt eines Sinus oder Kosinus mit einer Exponentialfunktion zu integrieren. Angenommen, Sie wollen das folgende Integral auswerten:

Wenn Sie eine Sinus- oder Kosinus-Funktion, multipliziert mit einer Exponentialfunktion, integrieren, legen Sie Ihre DI-agonal-Tabelle mit fünf statt mit vier Zeilen an. Anschließend schreiben Sie die trigonometrische Funktion in die D-Spalte und die Exponentialfunktion in die I-Spalte.

| I
D |
+sin x |
– cos x |
+( – sin x) |

Jetzt müssen Sie zwei Zeilen addieren, ebenso wie das Integral des Produkts der untersten Diagonalen:

Das sieht nach einer Sackgasse aus, weil das resultierende Integral so ähnlich aussieht wie das Integral, das Sie berechnen wollen. Aber seltsamerweise macht es genau diese Ähnlichkeit möglich, das Integral zu lösen. Im nächsten Schritt erstellen Sie das Integral, das exakt so aussieht wie dasjenige, das Sie zu lösen versuchen:

Jetzt setzen Sie die Variable I für das Integral ein, das Sie lösen wollen. Das ist nicht unbedingt notwendig, verdeutlicht aber die Vorgehensweise.

Jetzt lösen Sie mit ein bisschen grundlegender Algebra nach I auf:

Jetzt setzen Sie wieder das ursprüngliche Integral in die Gleichung ein und addieren C:

Optional können Sie diese Lösung noch etwas verschönern:

Falls Sie skeptisch sind, ob diese Methode wirklich die richtige Lösung erbringt, prüfen Sie sie nach, indem Sie unter Verwendung der Produktregel differenzieren:

Jetzt zeigt die Algebra, dass dieser Ausdruck äquivalent zur ursprünglichen Funktion ist:

7

Trigonometrische Substitution: Kennen Sie alle Dreiecke?

In diesem Kapitel...

- Die grundlegenden trigonometrischen Integrale im Kopf behalten

- Potenzen von Sinus und Kosinus, Tangens und Sekans, Kotangens und Kosekans integrieren

- Die drei Fälle für die Anwendung der trigonometrischen Substitution kennen

- Die trigonometrische Substitution wo möglich vermeiden

Trigonometrische Substitution ist eine weitere Technik, die Sie in Ihre ständig an Umfang zunehmende Trickkiste für die Integration packen sollten. Sie ermöglicht Ihnen, Funktionen zu integrieren, die Wurzeln von Polynomen enthalten, wie etwa , oder vergleichbar schwierige Funktionen.

Die trigonometrische Substitution erinnert Sie möglicherweise an die Variablensubstitution, um die es in Kapitel 5 ging. Bei beiden Arten der Substitution brechen Sie die zu integrierende Funktion in Teile auf und drücken jeden Teil unter Verwendung einer neuen Variablen aus. Bei der trigonometrischen Substitution drücken Sie diese Teile als trigonometrische Funktionen aus.

Bevor Sie die trigonometrische Substitution durchführen können, müssen Sie in der Lage sein, eine große Vielfalt an Produkten und Potenzen trigonometrischer Funktionen zu integrieren. Die ersten Teile dieses Kapitels verschaffen Ihnen die Kenntnisse, die Sie dafür benötigen. Anschließend zeige ich Ihnen, wie Sie die trigonometrische Substitution nutzen, um sehr kompliziert aussehende Wurzelfunktionen unter Verwendung von trigonometrischen Funktionen auszudrücken.

Die sechs trigonometrischen Funktionen integrieren

Aus Kapitel 4 wissen Sie bereits, wie man sin x und cos x integriert, aber der Vollständigkeit halber folgen hier noch einmal die Integrale aller sechs trigonometrischen Funktionen:

Dies sollten Sie sich merken – Sie werden es noch brauchen! Der Übung halber können Sie auch versuchen, alle Ergebnisse zu differenzieren, um zu zeigen, warum jedes dieser Integrale korrekt ist.

Potenzen von Sinus und Kosinus integrieren

Später in diesem Kapitel, wenn es um die trigonometrische Substitution geht, müssen Sie wissen, wie Potenzen von Sinus und Kosinus in den unterschiedlichsten Kombinationen integriert werden. In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen, was Sie dafür wissen müssen.

Ungerade Potenzen von Sinus und Kosinus

Sie können jede Funktion der Form sinmx cosnx integrieren, wenn m ungerade ist und n einen beliebigen reellen Wert hat. Für dieses Verfahren denken Sie an die praktische trigonometrische Beziehung sin^2x + cos^2x = 1. Im folgenden Beispiel zeige ich Ihnen, wie Sie integrieren:

1. Ziehen Sie ein sin x heraus und schreiben Sie es neben das dx:

2. Wenden Sie die trigonometrische Beziehung sin^2x = 1 – cos^2x an, um die restlichen Sinus in der Funktion als Kosinus auszudrücken:

3. Wenden Sie die Variablensubstitution u = cos x und du = —sin x dx an:

Jetzt liegt die Funktion in Termen von Potenzen von u vor, das Schlimmste ist also vorbei. Sie können die Funktion erweitern und sie zu einem Polynom machen. Reine Algebra:

Anschließend wenden Sie die Summenregel und die Faktorregel an, um das Ganze in vier Integrale aufzuteilen, wie in Kapitel 4 beschrieben. Vergessen Sie nicht, das Minuszeichen für alle vier Integrale mitzunehmen:

Jetzt können Sie jedes Integral separat durch Anwendung der Potenzregel auswerten:

Jetzt setzen Sie u = cos x, um die Variablensubstitution zurückzunehmen:

Beachten Sie, dass Sie beim Wiedereinsetzen von x die Potenz neben den Kosinus statt neben das x schreiben müssen, weil Sie die gesamte Funktion cos x in eine Potenz erheben. (Wenn Ihnen dieser Punkt unklar ist, lesen Sie in Kapitel 2 nach.)

Analog dazu können Sie jede beliebige Funktion der Form sinmx cosnx integrieren, wenn n ungerade ist und m einen beliebigen reellen Wert hat. Die Schritte dafür sind praktisch dieselben wie im vorigen Beispiel gezeigt. Im folgenden Beispiel integrieren Sie sin–4 x cos^9 x :

1. Ziehen Sie einen Kosinus heraus und schreiben Sie ihn neben das dx:

∫sin—4 x cos^9 xdx = ∫sin—4 x cos^8 x cos x dx

2. Wenden Sie die trigonometrische Beziehung cos^2x = 1 — sin^2x an, um die restlichen Kosinus in der Funktion als Sinus darzustellen:

= ∫sin—4 x(1 — sin^2x)4 cos x dx

3. Verwenden Sie die Variablensubstitution u = sin x und du = cos x dx:

= ∫u—4 (1 — u^2)4 du

Jetzt können Sie die Funktion zu einem Polynom machen und sie dann integrieren, wie im vorigen Beispiel gezeigt:

Gerade Potenzen von Sinus und Kosinus

Um sin^2x und cos^2x zu integrieren, verwenden Sie die beiden trigonometrischen Halbwinkel-Beziehungen, die ich Ihnen in Kapitel 2 gezeigt habe:

Das folgende Beispiel zeigt, wie Sie cos^2x integrieren:

1. Wenden Sie die Halbwinkel-Beziehung für den Kosinus an, um das Integral unter Verwendung von cos 2x umzuschreiben:

2. Wenden Sie die Faktorregel an, um den Nenner aus dem Integral herauszuziehen:

3. Spalten Sie die Funktion mit Hilfe der Summenregel in mehrere Integrale auf:

4. Werten Sie die beiden Integrale separat aus:

Im zweiten Beispiel integrieren Sie sin 2 x cos^4 x :

1. Wenden Sie die beiden Halbwinkel-Beziehungen an, um das Integral so umzuschreiben, dass es cos 2x verwendet:

2. Wenden Sie die Faktorregel an, um die Nenner aus dem Integral heraus zu ziehen:

3. Teilen Sie das Integral unter Anwendung der Summenregel in mehrere Integrale auf:

4. Berechnen Sie die restlichen Integrale mit ungerader Potenz, indem Sie das Verfahren aus dem früheren Abschnitt »Ungerade Potenzen von Sinus und Kosinus« anwenden, und bestimmen Sie die Integrale mit gerader Potenz, indem Sie wieder zu Schritt 1 des obigen Beispiels zurückkehren.

Potenzen von Tangens und Sekans integrieren

Wenn Sie Potenzen von Tangens und Sekans integrieren, sollten Sie sich die folgende Regel merken: Geeerade Potenzen des Seeekans sind eeeinfach. Die drei E in den Schlüsselwörtern sollten Ihnen helfen, sich diese Regel zu merken. Übrigens sind auch ungerade Potenzen des Tangens einfach. Wie Sie sich das merken, überlasse ich Ihnen.

In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen, wie Sie tanm x secn x für alle positiven ganzzahligen Werte von m und n integrieren. Sie werden diese Kenntnisse später in diesem Kapitel brauchen, wenn es um die trigonometrische Substitution geht.

Gerade Potenzen von Sekans mit Tangens

Um tanm x secn x zu integrieren, wenn n gerade ist – z. B. tan^8 x sec^6 x – gehen Sie wie folgt vor:

1. Ziehen Sie ein sec^2x heraus und schreiben Sie es neben das dx:

∫tan^8 x sec^6 x dx = ∫tan^8 x sec^4 x sec^2 x dx

2. Wenden Sie die trigonometrische Beziehung 1 + tan^2x = sec^2x an, um die restlichen Faktoren mit Sekans als Tangens auszudrücken:

= ∫tan^8 x(1 + tan^2 x)2 sec^2x dx

3. Wenden Sie die Variablensubstitution u = tan x und du = sec^2x dx an:

Jetzt handelt es sich bei dem Integral um ein Polynom und Sie können es berechnen, wie in Kapitel 4 gezeigt.

Ungerade Potenzen von Tangens mit Sekans

Um tanm x secn x für ungerade m zu integrieren – z. B. tan^7 x sec^9 x –, gehen Sie wie folgt vor:

1. Ziehen Sie ein tan x und ein sec x heraus und schreiben Sie es neben das dx:

∫tan^7 x sec^9 x dx = ∫tan^6 x sec^8 x sec x tan x dx

2. Wenden Sie die trigonometrische Beziehung tan^2x = sec^2x — 1 an, um die restlichen Faktoren mit Tangens als Sekans auszudrücken:

= ∫(sec^2x - 1)3sec^8 x sec x tan x dx

3. Wenden Sie die Variablensubstitution u = sec x und du = sec x tan x dx an:

∫(u^2 — 1)3u^8 du

Jetzt ist das Integral ein Polynom und Sie können es berechnen, wie in Kapitel 4 gezeigt.

Ungerade Potenzen von Tangens ohne Sekans

Um tanmx zu integrieren, wenn m ungerade ist, wenden Sie eine trigonometrische Beziehung an, um die Funktion in Sinus und Kosinus umzuwandeln:

Anschließend können Sie unter Anwendung des Verfahrens aus dem früheren Abschnitt »Ungerade Potenzen von Sinus und Kosinus« integrieren.

Gerade Potenzen von Tangens ohne Sekans

Um tanmx zu integrieren, wenn m gerade ist, z. B. tan^8x, gehen Sie wie folgt vor:

1. Ziehen Sie ein tan^2x heraus und wenden Sie die trigonometrische Beziehung tan^2x = sec^2x — 1 an, um es mit tan x darzustellen:

∫tan^8 x dx = ∫tan^6 x(sec^2 x — 1)dx

2. Teilen Sie das Integral in zwei separate Integrale auf:

= ∫tan^6 x sec^2 x dx — ∫tan^6 x dx

3. Werten Sie das erste Integral aus, indem Sie das Verfahren aus dem Abschnitt »Gerade Potenzen von Sekans mit Tangens« früher aus diesem Kapitel befolgen.

4. Gehen Sie zurück zu Schritt 1, um das zweite Integral auszuwerten.

Gerade Potenzen von Sekans ohne Tangens

Um secn x zu integrieren, wenn n gerade ist – z. B. sec^4 x – gehen Sie wie folgt vor:

1. Wenden Sie die trigonometrische Beziehung 1 + tan^2x = sec^2x an, um die Funktion unter Verwendung von Tangens darzustellen:

∫sec^4 x dx =

2. Teilen Sie das Integral in drei oder mehr Integrale auf:

= ∫1dx + 2∫tan^2x dx + ∫tan^4x dx

3. Integrieren Sie alle Potenzen des Tangens unter Verwendung der Verfahrensweisen aus den Abschnitten über Potenzen von Tangens ohne Sekans.

Ungerade Potenzen von Sekans ohne Tangens

Dies ist der schwierigste Fall, machen Sie sich also auf etwas gefasst. Um secnx zu integrieren, wenn n ungerade ist, z. B. sec^3x, gehen Sie wie folgt vor:

1. Ziehen Sie ein sec x heraus:

∫sec^3x dx =∫sec^2x sec x dx

2. Wenden Sie die trigonometrische Beziehung 1 + tan^2x = sec^2x an, um die verbleibenden Sekans unter Verwendung von Tangens auszudrücken:

= ∫(1 + tan^2x) sec x dx

3. Teilen Sie das Integral in zwei oder mehr Integrale auf:

= ∫sec x + ∫tan^2x sec x dx

4. Berechnen Sie das erste Integral:

= ln | sec x + + tan x | + ∫tan^2x sec xdx

Sie können die Konstante C weglassen, weil Sie immer noch ein nicht berechnetes Integral haben – Sie dürfen einfach nur nicht vergessen, sie ganz zum Schluss hinzuzufügen.

- 5. Integrieren Sie das zweite Integral partiell durch Differentiation von tan x und Integration von sec x tan x (weitere Informationen über die partielle Integration finden Sie in Kapitel 6):

=ln | sec x + tanx | + tan x sec x − ∫sec^3x dx

An dieser Stelle haben Sie gezeigt, dass die folgende Gleichung wahr ist:

∫sec^3x dx = ln | sec x + tan x | + tan x sec x - ∫sec^3 x dx

- 6. Gehen Sie nach dem in Kapitel 6 vorgestellten algebraischen Verfahren vor. Als Erstes setzen Sie die Variable I für das Integral auf beiden Seiten der Gleichung ein:

I = ln | sec x + tan x | + tan x sec x – I

Jetzt lösen Sie diese Gleichung nach I auf:

Jetzt können Sie wieder das Integral für I einsetzen. Vergessen Sie jedoch nicht, dass Sie auf der rechten Seite dieser Gleichung eine Konstante addieren müssen, um alle möglichen Lösungen für das Integral abzudecken:

Das ist Ihre Lösung. Ich hoffe, Sie müssen niemals sec^5 x integrieren, ganz zu schweigen von noch höheren ungeraden Potenzen eines Sekans. Wenn es doch notwendig sein sollte, bietet Ihnen das hier beschriebene grundlegende Verfahren einen Wert für ∫sec^5 x dx unter Verwendung von ∫sec^3x dx. Viel Glück!

Gerade Potenzen des Tanges mit ungeraden Potenzen des Sekans

Um tanmx secnx zu integrieren, wenn m gerade und n ungerade sind, wandeln Sie die Funktion in eine ungerade Potenz von Sekans um und wenden dann die Methode an, die ich im vorigen Abschnitt skizziert habe, »Ungerade Potenzen von Sekans ohne Tangens«.

Das folgende Beispiel etwa zeigt, wie Sie tan^4 x sec^3 x integrieren:

1. Wenden Sie die altbekannte trigonometrische Beziehung tan^2x = sec^2x – 1 an, um alle Tangens in Sekans umzuwandeln:

∫tan^4 x sec^3x dx = ∫(sec^2x — 1)2 sec^3x dx

2. Teilen Sie das Integral durch Anwendung der Summenregel auf:

= ∫sec^7 xdx — ∫2sec^5 x dx + ∫sec^3x dx

3. Lösen Sie die resultierenden Integrale mit ungeraden Potenzen unter der Verwendung des Verfahrens aus dem Abschnitt »Ungerade Potenzen von Sekans ohne Tangens«.

Leider bringt Sie dieses Verfahren zurück zu dem schwierigsten Fall in diesem Abschnitt. Glücklicherweise sind die meisten Lehrer recht gnädig, wenn Sie mit diesen Funktionen arbeiten, deshalb wird Ihnen ein solches Integral wahrscheinlich nicht in einer Prüfung begegnen. Ist es dennoch der Fall, haben Sie mein tiefstes Mitgefühl.

Potenzen von Kotangens und Kosekans integrieren

Die Methoden für die Integration von Potenzen von Kotangens und Kosekans sind denjenigen für Tangens und Sekans sehr ähnlich, die ich im vorigen Abschnitt vorgestellt habe. Im früheren Abschnitt »Gerade Potenzen von Sekans mit Tangens« habe ich Ihnen gezeigt, wie tan^8 x sec^6 x zu integrieren ist. Und so integrieren Sie cot^8 x csc^6 x :

1. Ziehen Sie ein csc^2x heraus und schreiben Sie es neben das dx:

∫cot^8 x csc^6 x dx = ∫cot^8 x csc^4 x csc^2 x dx

2. Wenden Sie die trigonometrische Beziehung 1 + cot^2x = csc^2x an, um die restlichen Faktoren mit Kosekans als Kotangens auszudrücken:

= ∫cot^8 x(1 + cot^2x)2 csc^2x dx

3. Wenden Sie die Variablensubstitution u = cot x und du = -csc^2x dx an:

Damit ist das Integral ein Polynom und Sie können es wie in Kapitel 4 gezeigt berechnen.

Beachten Sie, dass die hier gezeigten Schritte fast identisch zu denen für Tangens und Sekans sind. Die größte Änderung ist die Einführung eines Minuszeichens in Schritt 3. Um alles zu lernen, was Sie für die Integration von Kotangens und Kosekans benötigen, versuchen Sie also, alle Beispiele aus dem vorhergehenden Abschnitt nachzuvollziehen, tauschen aber jeden Tangens durch einen Kotangens und jeden Sekans durch einen Kosekans aus.

Manchmal kann es für die Integration negativer Potenzen anderer trigonometrischer Funktionen sinnvoll sein, zu wissen, wie Kotangens und Kosekans integriert werden – das heißt für Potenzen trigonometrischer Funktionen im Nenner eines Bruchs.

Angenommen, Sie wollen integrieren. Die zuvor gezeigten Methoden funktionieren in diesem Fall nicht besonders gut, aber Sie können trigonometrische Beziehungen anwenden, um sie als Kotangens und Kosekans auszudrücken.

Mehr darüber finden Sie im nächsten Abschnitt »Integration seltsamer Kombinationen trigonometrischer Funktionen«.

Integration seltsamer Kombinationen trigonometrischer Funktionen

Sie müssen nicht wirklich jede mögliche trigonometrische Funktion integrieren können, um Analysis II zu bestehen. Wenn Sie alle Techniken beherrschen, die ich Ihnen in diesem Kapitel bereits vorgestellt habe, und das waren eine ganze Menge, werden Sie in der Lage sein, die meisten Aufgaben mit Leichtigkeit zu lösen. Außerdem haben Sie eine gute Chance, Ihre Prüfungen damit zu bestehen.

Falls Sie sich jedoch Sorgen um Ihre Prüfung machen und lieber gut darauf vorbereitet sind, finden Sie in diesem Abschnitt weitere Informationen darüber, wie Sie eine große Vielzahl trigonometrischer Funktionen integrieren können. Ich verspreche Ihnen nicht, alle möglichen trigonometrischen Funktionen abzudecken. Aber ich zeige Ihnen ein paar zusätzliche Methoden, wie Sie mit trigonometrischen Funktionen arbeiten und diese einordnen können, die Ihnen auf unvertrautem Boden hilfreich sein könnten.

Funktionen mit Hilfe von Beziehungen umformen

Sie können jedes Produkt von Potenzen trigonometrischer Funktionen, egal wie seltsam, als Produkt eines Paares trigonometrischer Funktionen ausdrücken. Die drei nützlichsten Paarungen (wie Sie vielleicht schon gemerkt haben) sind Sinus und Kosinus, Tangens und Sekans und Kotangens und Kosekans. Tabelle 7.1 zeigt, wie Sie alle sechs trigonometrischen Funktionen mit Hilfe dieser Paarungen ausdrücken.

Betrachten Sie beispielsweise die folgende Funktion:

So wie dieses Monster hier dargestellt ist, können Sie nicht viel daran integrieren. Versuchen Sie jedoch einmal, es durch alle möglichen Paarungen trigonometrischer Funktionen darzustellen:

Tabelle 7.1: Ausdruck der sechs trigonometrischen Funktionen als Paar trigonometrischer Funktionen

Wie sich herausstellt, ist die nützlichste Paarung für die Integration in diesem Fall cot^6x csc^2x. Hier gibt es keinen Bruch mehr – das heißt, beide Terme werden in positive Potenzen erhoben – und der Kosekans-Term wird in eine gerade Potenz erhoben, so dass Sie dasselbe grundlegende Verfahren anwenden können, das ich Ihnen bereits im Abschnitt »Gerade Potenzen von Sekans mit Tangens« gezeigt habe.

Anwendung der trigonometrischen Substitution

Die trigonometrische Substitution ist vergleichbar mit der Variablensubstitution, die ich in Kapitel 5 beschrieben habe. Dabei wird eine Variable eingesetzt, um eine Funktion, die Sie nicht integrieren können, in eine Funktion umzuwandeln, die Sie integrieren können. Bei der Variablensubstitution verwenden Sie im Allgemeinen die Variable u. Bei der trigonometrischen Substitution dagegen verwenden Sie typischerweise die Variable θ.

Mit Hilfe der trigonometrischen Substitution können Sie alle möglichen Funktionen integrieren, die Sie andernfalls nicht integrieren könnten. Diese Funktionen haben ein spezielles, eindeutig seltsames Aussehen, und sie sind Varianten der folgenden drei Themen:

Die trigonometrische Substitution ist vor allem nützlich, wenn n gleich ist, oder eine negative Zahl – das heißt für komplizierte Wurzeln und Polynome im Nenner eines Bruchs. Wenn n eine positive ganze Zahl ist, drücken Sie die Funktion am besten als Polynom aus und integrieren sie, wie in Kapitel 4 gezeigt.

In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen, wie Sie die trigonometrische Substitution einsetzen, um Funktionen wie diese zu integrieren. Bevor Sie anfangen, machen Sie jedoch diesen einfachen Test:

Trigonometrische Substitution ist:

- A) Einfach und lustig – kinderleicht!

- B) Nicht so schlimm, wenn man weiß, wie es geht.

- C) Etwa so angenehm wie ein Nagelbrett.

Ich würde Ihnen gerne mitteilen, dass A die richtige Antwort ist. Sie würden mich für ein Lügenmaul halten und mir nie wieder vertrauen. Ich gebe also zu, dass die trigonometrische Substitution weniger Spaß macht als ein Ausflug ans Meer. Gleichzeitig müssen Ihre schlimmsten Albträume zur trigonometrischen Substitution nicht wahr werden, Sie können das Nagelbrett also im Keller lassen.

Ich werde Ihnen hier das System beschreiben, und wenn Sie mir genau folgen, erhalten Sie genau das Werkzeug, das Sie brauchen, um die trigonometrische Substitution ganz automatisch auszuführen. Vertrauen Sie mir – ich habe Sie schließlich noch nie belogen.

Drei Fälle für die trigonometrische Substitution unterscheiden

Die trigonometrische Substitution ist nützlich für die Integration von Funktionen, die drei sehr leicht erkennbare Arten von Polynomen im Zähler oder im Nenner enthalten. Tabelle 7.2 listet die drei Fälle auf, die Sie kennen sollten.

Tabelle 7.2: Die drei Fälle für die trigonometrische Substitution.

Fall | Wurzel eines Polynoms | Beispiel
Sinus | (a^2 – bx^2)n |
Tangens | (a^2 + bx^2)n |
Sekans | (bx^2 – a^2)n |

Der erste Schritt zur trigonometrischen Substitution ist es, in der Lage zu sein, diese drei Fälle auf den ersten Blick zu erkennen und zu unterscheiden.

Die Formeln für die Differentiation der inversen trigonometrischen Funktionen können Ihnen helfen, sich diese Fälle zu merken.

Beachten Sie, dass die Differentiationsformel für arcsin x ein Polynom enthält, das wie der Sinus-Fall aussieht: eine Konstante minus x^2. Die Formel für arctan x enthält ein Polynom, das wie der Tangens-Fall aussieht: eine Konstante plus x^2. Und die Formel für arcsec x enthält ein Polynom, das wie der Sekans-Fall aussieht: x^2 minus eine Konstante. Wenn Sie diese Formeln also bereits kennen, dann brauchen Sie sich keine weiteren Informationen zu merken.

Die drei Fälle integrieren

Die trigonometrische Substitution ist ein Prozess in fünf Schritten:

1. Zeichnen Sie das Dreieck für die trigonometrische Substitution für den richtigen Fall.

2. Identifizieren Sie die einzelnen Teile des Integrals (einschließlich dx), die Sie unter Verwendung von θ ausdrücken müssen.

3. Drücken Sie diese Teile unter Verwendung trigonometrischer Funktionen von θ aus.

4. Schreiben Sie das Integral unter Verwendung von θ um und berechnen es.

5. Setzen Sie im Ergebnis wieder x für θ ein.

Machen Sie sich keine Sorgen, wenn Ihnen diese Schritte noch nicht viel sagen. In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen, wie Sie die trigonometrische Substitution für diese drei Fälle durchführen.

Der Sinus-Fall

Wenn die zu integrierende Funktion einen Term der Form (a^2 - bx^2)n enthält, zeichnen Sie Ihr Dreieck für die trigonometrische Substitution für den Sinus-Fall. Angenommen, Sie wollen das folgende Integral auswerten:

Dies ist ein Sinus-Fall, weil eine Konstante minus einem Vielfachen von x^2 in eine Potenz ( ) erhoben wird. Für diese Aufgabe setzen Sie die trigonometrische Substitution wie folgt ein:

1. Zeichnen Sie das Dreieck für die trigonometrische Substitution für den richtigen Fall.

Abbildung 7.1 zeigt, wie Sie das Dreieck für den Sinus-Fall ausfüllen. Beachten Sie, dass die Wurzel auf der Ankathete des Dreiecks liegt. Um die beiden anderen Seiten des Dreiecks zu füllen, verwende ich die Quadratwurzeln der beiden Terme innerhalb der Wurzel das heißt 2 und x. Ich schreibe 2 auf die Hypotenuse und x auf die Gegenkathete.

Sie können sicherstellen, dass diese Anordnung korrekt ist, indem Sie den Satz von Pythagoras anwenden: .

Abbildung 7.1: Ein Dreieck für die trigonometrische Substitution für den Sinus-Fall.

2. Identifizieren Sie die einzelnen Teile des Integrals (einschließlich dx), die Sie unter Verwendung von θ ausdrücken müssen.

In diesem Fall enthält die Funktion zwei separate Teile, die x enthalten: und dx.

3. Drücken Sie diese Teile unter Verwendung trigonometrischer Funktionen von θ aus.

Hierbei handelt es sich um die eigentliche Arbeit bei der trigonometrischen Substitution, aber wenn Ihr Dreieck korrekt eingerichtet ist, wird das Ganze sehr viel einfacher. Im Sinus-Fall sollten alle trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus sein.

Um den Wurzelteil als trigonometrische Funktion von θ zu schreiben, erstellen Sie zuerst einen Bruch mit der Wurzel als Zähler und der Konstanten 2 als Nenner. Anschließend setzen Sie diesen Bruch gleich der entsprechenden trigonometrischen Funktion:

Weil der Zähler die Ankathete des Dreiecks ist und der Nenner die Hypotenuse ( ), ist dieser Bruch gleich csc θ. Jetzt isolieren wir mit ein bisschen Algebra die Wurzel auf einer Seite der Gleichung:

Anschließend wollen wir dx als trigonometrische Funktion von θ ausdrücken. Dazu erstellen wir einen weiteren Bruch mit der Variablen x im Zähler und der Konstanten 2 im Nenner. Anschließend setzen wir diesen Bruch gleich der entsprechenden trigonometrischen Funktion:

Jetzt ist der Zähler die Gegenkathete des Dreiecks und der Nenner ist die Hypotenuse , deshalb ist dieser Bruch gleich sin θ. Jetzt lösen wir nach x auf und differenzieren:

4. Schreiben Sie das Integral unter Verwendung von θ um und werten es aus.

Und hier zahlt es sich richtig aus, zu wissen, wie trigonometrische Integrale gelöst werden. Ich kürze das Ganze in diesem Beispiel ab, aber früher in diesem Kapitel (in »Potenzen von Sinus und Kosinus integrieren«) habe ich Ihnen bereits gezeigt, wie alle möglichen trigonometrischen Funktionen wie diese integriert werden:

= 2θ + sin 2θ + C

5. Um diese beiden θ-Terme in x-Terme umzuwandeln, verwenden Sie wieder die folgende Gleichung:

Hier folgt eine Substitution, die Ihnen eine Lösung verschafft:

Diese Lösung ist völlig in Ordnung, aus technischer Perspektive können Sie also hier aufhören. Einige Lehrer wollen jedoch keine trigonometrische und inverse trigonometrische Funktionen verschachteln, deshalb bevorzugen sie eine vereinfachte Version von . Um diese zu bestimmen, wenden Sie zunächst die Doppelwinkel-Sinusformel (siehe Kapitel 2) auf sin 2θ an:

sin 2θ = 2 sin θ cos θ

Jetzt verwenden Sie Ihr Dreieck für die trigonometrische Substitution, um Werte für sin θ und cos θ als x anzugeben:

Jetzt setzen Sie noch diesen Ausdruck für den problematischen zweiten Term ein, um Ihre endgültige Lösung in vereinfachter Form zu erhalten:

Der Tangens-Fall

Wenn die zu integrierende Funktion einen Term der Form (a + bx^2)n enthält, zeichnen Sie Ihr Dreieck für die trigonometrische Substitution für den Tangens-Fall. Angenommen, Sie wollen das folgende Integral berechnen:

Dies ist ein Tangens-Fall, weil eine Konstante plus ein Vielfaches von x^2 in eine Potenz ( – 2) erhoben wird. Und so integrieren Sie mit Hilfe der trigonometrischen Substitution:

1. Zeichnen Sie das Dreieck für die trigonometrische Substitution für den Tangens-Fall.

Abbildung 7.2 zeigt Ihnen, wie Sie das Dreieck für den Tangens-Fall ausfüllen müssen. Beachten Sie, dass die Wurzel dessen, was innerhalb der Klammern steht, auf der Hypotenuse des Dreiecks steht. Um die beiden anderen Seiten des Dreiecks zu füllen, verwenden Sie die Quadratwurzeln der beiden Terme innerhalb der Wurzel – das heißt 2 und 3x. Schreiben Sie den konstanten Term 2 auf die Ankathete und den variablen Term 3x auf die Gegenkathete.

Beachten Sie im Tangens-Fall, dass Sie die Platzierung der Variablen und der Konstanten nicht verwechseln!

Abbildung 7.2: Ein Dreieck für die trigonometrische Substitution für den Tangens-Fall.

2. Identifizieren Sie die einzelnen Teile des Integrals (einschließlich dx), die Sie unter Verwendung von θ ausdrücken müssen.

In diesem Fall enthält die Funktion zwei separate Teile, die x enthalten: und dx.

3. Drücken Sie diese Teile unter Verwendung trigonometrischer Funktionen von θ aus.

Im Tangens-Fall sollten alle trigonometrischen Funktionen zunächst als Tangens und Sekans ausgedrückt werden.

Um den Wurzelteil als trigonometrische Funktion von θ darzustellen, erzeugen Sie einen Bruch mit der Wurzel als Zähler und der Konstanten 2 als Nenner. Anschließend setzen Sie diesen Bruch gleich der entsprechenden trigonometrischen Funktion:

Weil dieser Bruch die Hypotenuse des Dreiecks über der Ankathete ist ist er gleich sec θ. Jetzt wenden Sie die Algebra sowie die trigonometrischen Beziehungen an, um diese Gleichung in Form zu bringen:

Jetzt drücken Sie dx als trigonometrische Funktion von θ aus. Dazu erstellen Sie einen weiteren Bruch mit der Variablen 3x im Zähler und der Konstanten 2 im Nenner:

Jetzt ist der Bruch die Gegenkathete des Dreiecks über der Ankathete , also ist er gleich tan θ. Jetzt lösen Sie nach x auf und differenzieren:

4. Schreiben Sie das Integral unter Verwendung von θ um und berechnen es.

Jetzt wird dieses schrecklich anmutende Integral durch ein paar Kürzungen und Umformungen zu etwas sehr viel Angenehmerem:

Jetzt wenden Sie Ihre Kenntnisse aus dem früheren Abschnitt »Gerade Potenzen von Sinus und Kosinus« an, um dieses Integral zu berechnen:

5. Setzen Sie im Ergebnis wieder x für die beiden θ-Terme ein.

Sie müssen eine Möglichkeit finden, θ mit Hilfe von x auszudrücken. Hier die einfachste Methode:

Hier also eine Substitution, die Ihnen eine Lösung verschafft:

Diese Lösung ist korrekt, aber die meisten Lehrer sind nicht einverstanden mit dem hässlichen zweiten Term, der den Sinus eines Arkustangens enthält. Zur Vereinfachung wenden Sie die Doppelwinkel-Sinusformel auf an (siehe Kapitel 2):

Jetzt verwenden Sie Ihr Dreieck für die trigonometrische Substitution, um die Werte für sin θ und cos θ unter Verwendung von x auszudrücken:

Jetzt verwenden Sie dieses Ergebnis, um die Lösung unter Verwendung von x auszudrücken:

Der Sekans-Fall

Wenn die zu integrierende Funktion einen Term der Form (bx^2 - a^2)n enthält, zeichnen Sie Ihr Dreieck für die trigonometrische Substitution für den Sekans-Fall. Angenommen, Sie wollen das folgende Integral berechnen:

Dies ist ein Sekans-Fall, weil ein Vielfaches von x^2 minus einer Konstanten in eine Potenz erhoben wird. Integrieren Sie unter Verwendung der trigonometrischen Substitution wie folgt:

1. Zeichnen Sie das Dreieck für die trigonometrische Substitution für den Sekans-Fall.

Abbildung 7.3 zeigt Ihnen, wie Sie das Dreieck für den Sekans-Fall ausfüllen müssen. Beachten Sie, dass die Wurzel auf der Gegenkathete des Dreiecks steht. Anschließend verwenden Sie für die beiden anderen Seiten des Dreiecks die Quadratwurzeln der beiden Terme innerhalb der Wurzel – das heißt 1 und 4x. Schreiben Sie die Konstante auf die Ankathete und die Variable 4x auf die Hypotenuse.

Sie können sicherstellen, dass diese Anordnung korrekt ist, indem Sie den Satz von Pythagoras anwenden: .

Abbildung 7.3: Ein Dreieck für die trigonometrische Substitution für den Sekans-Fall.

2. Identifizieren Sie die einzelnen Teile des Integrals (einschließlich dx), die Sie unter Verwendung von θ ausdrücken müssen.

In diesem Fall enthält die Funktion zwei separate Teile, die x enthalten: und dx.

3. Drücken Sie diese Teile unter Verwendung trigonometrischer Funktionen von θ aus.

Im Sekans-Fall sollten (wie im Tangens-Fall) alle trigonometrischen Funktionen anfänglich als Tangens und Sekans ausgedrückt werden.

Um den Wurzelteil als trigonometrische Funktion von θ auszudrücken, erstellen Sie einen Bruch mit der Wurzel als Zähler und der Konstanten 1 als Nenner. Anschließend setzen Sie diesen Bruch gleich der entsprechenden trigonometrischen Funktion:

Beachten Sie, dass dieser Bruch gleich der Gegenkathete des Dreiecks über der Ankathete ist , und deshalb gleich tan θ. Vereinfachen Sie, um die folgende Gleichung zu er halten:

Anschließend drücken Sie dx als trigonometrische Funktion von θ aus. Dazu erzeugen Sie einen weiteren Bruch mit der Variablen x im Zähler und der Konstanten 1 im Nenner:

Jetzt ist der Bruch die Hypotenuse über der Ankathete des Dreiecks , und deshalb gleich sec θ. Jetzt lösen Sie nach x auf und differenzieren, um dx zu bestimmen:

4. Schreiben Sie das Integral unter Verwendung von θ um und berechnen es.

Jetzt wenden Sie die Formel für das Integral der Sekans-Funktion aus »Die sechs trigonometrischen Funktionen integrieren« früher aus diesem Kapitel an:

5. Setzen Sie im Ergebnis wieder x für θ ein.

In diesem Fall müssen Sie den Wert von θ nicht bestimmen, weil Sie die Werte von sec θ und tan θ in Form von x bereits aus Schritt 3 kennen. Sie setzen also diese beiden Werte ein, um Ihre endgültige Lösung zu erhalten:

Wissen, wann eine trigonometrische Substitution zu vermeiden ist

Nachdem Sie nun wissen, wie die trigonometrische Substitution anzuwenden ist, bringe ich Ihnen etwas bei, was noch viel wichtiger ist: die trigonometrische Substitution zu vermeiden, wenn Sie sie nicht brauchen. Betrachten Sie beispielsweise das folgende Integral:

Dieses Integral sieht aus, als wäre es optimal für eine trigonometrische Substitution geeignet, aber noch besser ist es, ein bisschen Algebra anzuwenden, um die Aufgabenstellung zu einem Polynom zu erweitern:

= ∫(1 - 8x^2 + 16x^4)dx

Betrachten Sie auch das folgende Integral:

Sie können dieses Integral natürlich mit der trigonometrischen Substitution auswerten. (Sie können auch zu Fuß auf die Zugspitze gehen, statt die Seilbahn zu nehmen, wenn Ihr Ehrgeiz das will.) Das Vorhandensein dieses kleinen x im Zähler sollte Sie jedoch sofort auf die Variablensubstitution hinweisen, die es genauso gut macht (weitere Informationen über die Variablensubstitution finden Sie in Kapitel 5):

Unter Verwendung dieser Substitution gelangen Sie zum folgenden Integral:

Fertig! Ich brauche Ihnen vermutlich nicht zu sagen, wie viel Zeit und Mühe Sie sich sparen können, indem Sie intelligent arbeiten. Also mache ich es auch nicht!

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Wenn sonst nichts mehr geht: Integration durch Partialbrüche

In diesem Kapitel...

- Umformung komplizierter Brüche in eine Summe von zwei oder mehreren Partialbrüchen

- Wissen, wie Partialbrüche in vier unterschiedlichen Fällen verwendet werden

- Mit Partialbrüchen integrieren

- Partialbrüche für unechte rationale Ausdrücke verwenden

Sehen wir den Tatsachen ins Auge: An dieser Stelle in Ihrer Mathematikkarriere müssen Sie sich um Wichtigeres kümmern als um ein paar Brüche. Und wenn Sie die partielle Integration überlebt haben (Kapitel 6), und auch die trigonometrische Substitution (Kapitel 7), wird Sie die Multiplikation von ein paar Polynomen nicht umbringen.

Hier die gute Nachricht zu Partialbrüchen: Sie basieren auf sehr einfacher Arithmetik und Algebra. In diesem Kapitel führe ich Sie in die Grundlagen der Partialbrüche ein und zeige Ihnen, wie Sie sie für die Berechnung von Integralen nutzen können. Ich werde vier verschiedene Fälle demonstrieren, in denen Ihnen Partialbrüche helfen können, Funktionen zu integrieren, die andernfalls sehr unangenehm sein könnten.

Und hier die schlechte Nachricht: Obwohl das Konzept der Partialbrüche nicht schwierig ist, ist ihre Verwendung für die Integration wohl die mühsamste Aufgabe, der Sie in diesem Buch begegnen werden. Und als ob das noch nicht genug wäre: Partialbrüche funktionieren nur für echte rationale Funktionen, deshalb werde ich Ihnen zeigen, wie Sie diese von ihren gewöhnlichen Verwandten unterscheiden, den unechten rationalen Funktionen. Außerdem biete ich Ihnen eine Auffrischung für Dinge aus der Vergangenheit, nämlich der Polynomdivision, und ich verspreche Ihnen, dass sie einfacher ist, als Sie es in Ihrer Erinnerung abgelegt haben.

Seltsam aber wahr: Partialbrüche verstehen

Partialbrüche sind praktisch für die Integration von rationalen Funktionen – das heißt Funktionen, in denen ein Polynom durch ein Polynom dividiert wird. Die grundlegende Taktik hinter den Partialbrüchen ist es, eine rationale Funktion, die man nicht integrieren kann, in zwei oder mehr einfachere Funktionen zu zerlegen, die man integrieren kann.

In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen eine einfache Analogie für Partialbrüche, bei der nur Arithmetik eingesetzt wird. Nachdem Sie diese Analogie verstanden haben, werden Sie auch die Partialbrüche sehr viel besser verstehen. Am Ende dieses Abschnitts erkläre ich Ihnen, wie Sie ein Integral mit Hilfe von Partialbrüchen lösen.

Partialbrüche genauer betrachtet

Angenommen, Sie wollen den Bruch in eine Summe zwei kleinerer Brüche zerlegen. Sie beginnen damit, den Nenner in seine Faktoren zu zerlegen – 3 und 5 – und die Nenner dieser kleineren Brüche auf diese Zahlen zu bringen.

Sie müssen also ein A und ein B finden, das diese Gleichung erfüllt:

5A + 3B = 14

Allein durch Ansehen dieses Bruchs erkennen Sie vermutlich eine hübsche ganzzahlige Lösung, A = 1 und B = 3, und erhalten damit:

Wenn Sie negative Brüche einschließen, finden Sie ganzzahlige Lösungen wie diese für alle Brüche. Der Bruch scheint zu klein zu sein, um eine Summe von Dritteln und Fünfteln darzustellen, bis Sie Folgendes erkennen:

Partialbrüche für rationale Ausdrücke verwenden

Die Technik, Brüche aufzusplitten, funktioniert für rationale Ausdrücke. Sie kann eine Strategie darstellen, Funktionen zu integrieren, die Sie nicht direkt berechnen können. Angenommen, Sie wollen das folgende Integral berechnen:

Sie können diese Funktion nicht direkt integrieren, aber Sie können sie in die Summe von zwei einfacheren rationalen Ausdrücken aufsplitten, und die Summenregel anwenden, um sie separat zu lösen. Und glücklicherweise kann das Polynom im Nenner einfach aufgespaltet werden:

Richten Sie also diesen Polynombruch so ein, wie ich es im vorigen Abschnitt für die regulären Brüche gezeigt habe:

Damit gelangen Sie zu der folgenden Gleichung:

A(x – 3) + B(x + 3) = 6

Diese Gleichung funktioniert für alle Werte von x. Sie können diese Tatsache nutzen, um die Werte von A und B zu finden, indem Sie sinnvolle Werte von x auswählen. Um diese Gleichung für A und B zu lösen, setzen Sie die Nullstellen des ursprünglichen Polynoms (3 und -3) für x ein und beobachten, was passiert:

A(3 – 3) + B(3 + 3) = 6 | A( – 3 – 3) + B( – 3 + 3) = 6
6B = 6 | – 6A = 6
B = 1 | A = – 1

Jetzt setzen Sie diese Werte von A und B wieder in die rationalen Ausdrücke ein:

Diese Summe von zwei rationalen Ausdrücken ist sehr viel bequemer zu integrieren als das, womit Sie angefangen haben. Verwenden Sie die Summenregel gefolgt von einer einfachen Variablensubstitution (siehe Kapitel 5):

Wie reguläre Brüchen können Sie auch rationale Ausdrücke nicht immer auf diese Weise zerlegen. In vier bestimmten Fällen, die ich im nächsten Abschnitt vorstellen werde, können Sie jedoch diese Technik anwenden, um komplizierte rationale Funktionen zu integrieren.

Integrale mit Hilfe von Partialbrüchen lösen

Im letzten Abschnitt habe ich Ihnen gezeigt, wie Sie mit Hilfe von Partialbrüchen eine komplizierte rationale Funktion in mehrere kleinere und übersichtlichere Funktionen unterteilen. Obwohl diese Technik schwer beeindruckend ist, fragen Sie sich vermutlich, wozu Sie sie lernen.

Das Ganze zahlt sich spätestens dann aus, wenn Sie anfangen zu integrieren. Häufig kann man eine große rationale Funktion integrieren, indem man die Summe in mehrere handliche Stücke zerlegt. Hier aus der Vogelperspektive, wie Partialbrüche genutzt werden, um einen rationalen Ausdruck zu integrieren:

1. Richten Sie den rationalen Ausdruck als Summe von Partialbrüchen mit Unbekannten (A, B, C usw.) in den Zählern ein.

Ich spreche von Unbekannten statt von Variablen, um sie von x zu unterscheiden, das die gesamte Aufgabe über eine Variable bleibt.

2. Bestimmen Sie die Werte aller Unbekannten und setzen Sie sie in die Partialbrüche ein.

3. Integrieren Sie die Partialbrüche separat mit irgendeiner Methode, die dafür geeignet ist.

In diesem Abschnitt konzentriere ich mich auf diese drei Schritte. Ich zeige Ihnen, wie Sie eine komplizierte rationale Funktion in eine Summe einfacherer rationaler Funktionen zerlegen, und wie Sie Unbekannte (wie etwa A, B, C usw.) durch Zahlen ersetzen. Schließlich präsentiere ich Ihnen ein paar wichtige Techniken für die Integration bestimmter einfacherer rationaler Funktionen, die Ihnen bei der Anwendung von Partialbrüchen häufig begegnen.

Einrichtung von Partialbrüchen abhängig von der Situation

Die Einrichtung einer Summe von Partialbrüchen ist nicht schwierig, aber es gibt vier verschiedene Fälle, auf die Sie achten müssen. Für jeden dieser Fälle benötigen Sie eine andere Darstellung – die unterschiedlich schwierig sind.

Versuchen Sie, sich mit diesen vier Fällen vertraut zu machen, weil ich sie im gesamten Kapitel verwende. Ihr erster Schritt bei einer Aufgabe mit Partialbrüchen ist es, zu erkennen, mit welchem Fall Sie es zu tun haben, so dass Sie das Problem lösen können.

Die einzelnen Fälle sind in Tabelle 8.1 aufgelistet.

Tabelle 8.1: Die vier Fälle für die Einrichtung von Partialbrüchen.

Fall 1: Unterschiedliche lineare Faktoren

Der einfachste Fall, in dem Partialbrüche hilfreich sind, liegt vor, wenn der Nenner das Produkt unterschiedlicher linearer Funktionen ist – das heißt linearer Faktoren, die sich nicht wiederholen.

Für jeden unterschiedlichen linearen Faktor im Nenner addieren Sie einen Partialbruch der folgenden Form:

Angenommen, Sie wollen den folgenden rationalen Ausdruck integrieren:

Der Nenner ist das Produkt von drei unterschiedlichen linearen Faktoren - x, (x+2) und (x-5) –, deshalb ist er gleich der Summe von drei Brüchen mit diesen Faktoren als Nenner:

Die Anzahl der unterschiedlichen linearen Faktoren im Nenner des ursprünglichen Ausdrucks bestimmt die Anzahl der Partialbrüche. In diesem Beispiel gibt es drei Faktoren im Nenner des ursprünglichen Ausdrucks, deshalb gibt es drei Partialbrüche.

Fall 2: Unterschiedliche quadratische Faktoren

Ein weiterer unproblematischer Fall, in dem Sie Partialbrüche verwenden können, liegt vor, wenn der Nenner das Produkt unterschiedlicher quadratischer Faktoren ist – das heißt quadratischer Faktoren, die sich nicht wiederholen.

Für jeden unterschiedlichen Faktor im Nenner addieren Sie einen Partialbruch der folgenden Form:

Angenommen, Sie wollen die folgende Funktion integrieren:

Der erste Faktor im Nenner ist linear, aber der zweite ist quadratisch und kann nicht in lineare Faktoren zerlegt werden. Sie richten also Ihre Partialbrüche wie folgt ein:

Wie bei unterschiedlichen linearen Faktoren teilt Ihnen die Anzahl der unterschiedlichen quadratischen Faktoren im Nenner mit, wie viele Partialbrüche Sie brauchen. In diesem Beispiel führen die beiden Faktoren im Nenner also zu zwei Partialbrüchen.

Fall 3: Wiederholte lineare Faktoren

Wiederholte lineare Faktoren sind schwieriger zu handhaben, weil für jeden Faktor mehrere Partialbrüche erforderlich sind.

Für jeden linearen Faktor im Nenner, der in die zweite Potenz erhoben wird, addieren Sie zwei Partialbrüche der folgenden Form:

Für jeden linearen Faktor im Nenner, der in die dritte Potenz erhoben wird, addieren Sie drei Partialbrüche der folgenden Form:

Allgemein ausgedrückt, wenn ein linearer Faktor in die n-te Potenz erhoben wird, addieren Sie n Partialbrüche. Angenommen, Sie wollen den folgenden Ausdruck integrieren:

Dieser Ausdruck enthält nur lineare Faktoren, aber einer dieser Faktoren, (x + 5), wird nicht wiederholt, und der andere, (x – 1), wird in die dritte Potenz erhoben. Sie richten also Ihre Partialbrüche wie folgt ein:

Wie Sie sehen, addiere ich einen Partialbruch, um den nicht wiederholten Faktor zu berücksichtigen, und drei für den wiederholten Faktor.

Fall 4: Wiederholte quadratische Faktoren

Ihr schlimmster Albtraum bei Partialbrüchen ist der Fall, wenn der Nenner wiederholte quadratische Faktoren enthält.

Für jeden quadrierten quadratischen Faktor im Nenner addieren Sie zwei Partialbrüche der folgenden Form:

Für jeden quadratischen Faktor im Nenner, der in die dritte Potenz erhoben wird, addieren Sie drei Partialbrüche der folgenden Form:

Allgemein ausgedrückt, wenn ein quadratischer Faktor in die n-te Potenz erhoben wird, addieren Sie n Partialbrüche. Beispiel:

Dieser Nenner besitzt einen nicht wiederholten linearen Faktor, (x – 8), einen nicht wiederholten quadratischen Faktor, (x^2 + x – 1), und einen quadratischen Faktor, der quadriert wird, (x^2 + 3). Und so richten Sie die Partialbrüche ein:

Jetzt habe ich einen Partialbruch für jeden der nicht wiederholten Faktoren addiert, und zwei Partialbrüche für den quadrierten Faktor.

Über die vier Fälle hinaus: Wissen, wie ein Partialbruch einzurichten ist

Zum Schluss noch eine gute Nachricht: Sie müssen sehr wahrscheinlich nie einen Partialbruch einrichten, der komplizierter als diejenigen aus dem vorigen Abschnitt ist. Entspannen Sie sich also.

Ich weiß, dass einige Schüler Stoff gerne abhängig von verschiedenen Fällen lernen, deshalb habe ich ihn hier auf diese Weise angeboten. Andere Schüler dagegen benötigen eine allgemeine Vorgehensweise, so dass sie die ganzheitliche Zen-Erfahrung der Mathematik genießen können. Wenn dies auch Ihr Weg ist, lesen Sie weiter. Wenn nicht, überspringen Sie diesen Abschnitt.

Sie können jede rationale Funktion in eine Summe von Partialbrüchen aufteilen. Sie müssen einfach nur das Muster für wiederholte Polynomfaktoren höheren Grades im Nenner verstehen. Dieses Muster ist anhand eines Beispiels leicht nachzuvollziehen. Angenommen, Sie haben es mit der folgenden rationalen Funktion zu tun:

In diesem Beispiel enthält der Nenner einen problematischen Faktor, nämlich ein Polynom vierten Grades, das in die fünfte Potenz erhoben wird. Sie können diesen Faktor nicht weiter zerlegen, deshalb liegt diese Funktion außerhalb der zuvor beschriebenen vier Fälle. Und so brechen Sie diese rationale Funktion in Partialbrüche auf:

Wie Sie sehen, habe ich alle Großbuchstaben dafür gebraucht. Und wie Sie auch sehen, erstreckt sich der problematische Faktor über fünf Partialbrüche – das heißt, dieselbe Anzahl wie die Potenz angibt, in die er erhoben wird. Und darüber hinaus:

- Der Zähler jedes dieser Brüche ist ein Polynom mit einem Grad niedriger als der Nenner.

- Der Nenner jedes dieser Brüche ist eine Kopie des ursprünglichen Nenners, aber jeweils in eine andere Potenz erhoben und einschließlich des Originals.

Die restlichen beiden Faktoren im Nenner – ein wiederholter linearer Faktor (Fall 3) und ein wiederholter quadratischer Faktor (Fall 4) – stellen die restlichen vier Brüche dar, die vergleichsweise klein und einfach aussehen.

Klar wie Kloßbrühe? Denken Sie ein wenig über dieses Beispiel nach, dann sollte Ihnen das Muster klarer werden. Beachten Sie auch, dass die vier Fälle, die ich früher in diesem Kapitel skizziert habe, alle diesem selben allgemeinen Muster folgen.

Das ABC der Unbekannten

Es gibt zwei Möglichkeiten, die Unbekannten in einer Partialbruchsumme zu finden. Die einfache und schnelle Methode ist, die Nullstellen der Polynome zu verwenden. Leider findet man mit dieser Methode nicht immer alle Unbekannten einer Aufgabe, obwohl man immer ein paar davon findet. Die zweite Methode ist die Aufstellung eines Gleichungssystems.

Werte mit Hilfe von Nullstellen bestimmen

Wenn eine Summe von Partialbrüchen lineare Faktoren enthält (unterschiedlich oder wiederholt), können Sie die Nullstellen dieser linearen Faktoren verwenden, um die Werte der Unbekannten zu bestimmen. Im früheren Abschnitt »Fall 1: Unterschiedliche lineare Faktoren« beispielsweise habe ich die folgende Gleichung aufgestellt:

Um die Werte der Unbekannten A, B und C zu erhalten, bestimmen Sie zunächst einen gemeinsamen Nenner auf der rechten Seite dieser Gleichung (denselben Nenner wie auf der linken Seite):

Jetzt multiplizieren Sie beide Seiten mit diesem Nenner:

1 = A(x + 2)(x - 5) + Bx(x - 5) + Cx(x + 2)

Um die Werte von A, B und C zu bestimmen, setzen Sie die Nullstellen der drei Faktoren (0, – 2 und 5) ein:

1 = A(2)( – 5) | 1 = B( – 2)( – 2 – 5) | 1 = C(5)(5+2)

Wenn Sie diese Werte wieder in das ursprüngliche Integral einsetzen, erhalten Sie:

Dieser Ausdruck ist äquivalent zu dem, wovon Sie ausgegangen sind, aber er ist sehr viel einfacher zu integrieren. Dazu verwenden Sie die Summenregel, um ihn in drei Integrale aufzusplitten, die Faktorregel, um die Bruchkoeffizienten aus dem jeweiligen Integral herauszuziehen, und die Variablensubstitution (siehe Kapitel 5) für die Integration. Hier die Lösung, so dass Sie es ausprobieren können:

Bei dieser Lösung habe ich K statt C für die Darstellung der Integrationskonstanten verwendet, um Verwechslungen zu vermeiden, weil ich C bereits in den Partialbrüchen verwendet habe.

Systematisch mit einem Gleichungssystem arbeiten

Die Einrichtung eines Gleichungssystems ist eine alternative Methode, um den Wert von Unbekannten zu finden, wenn Sie es mit Partialbrüchen zu tun haben. Es ist nicht ganz so einfach wie das Einsetzen der Nullstellen der Faktoren (wie im vorigen Abschnitt beschrieben), aber die einzige Möglichkeit, wenn die Nullstelle eines quadratischen Faktors imaginär ist.

Um diese Methode zu verdeutlichen und um zu zeigen, warum Sie sie brauchen, verwende ich die Aufgabe, die ich in »Fall 2: Unterschiedliche quadratische Faktoren« bereits gezeigt habe.

Zunächst prüfen wir, wie weit wir durch Einsetzen der Nullstellen von Gleichungen kommen. Wie ich Ihnen in »Werte mit Hilfe von Nullstellen bestimmen« gezeigt habe, suchen Sie zunächst einen gemeinsamen Nenner auf der rechten Seite der Gleichung:

Jetzt multiplizieren Sie die gesamte Gleichung mit dem Nenner:

5x - 6 = (A)(x^2 + 3) + (Bx + C)(x - 2)

Die Nullstelle von x – 2 ist 2, also sei x = 2, und wir prüfen, was Sie erhalten:

Jetzt können Sie für A einsetzen:

Leider gibt es für x^2 + 3 keine Wurzel im Bereich der reellen Zahlen, deshalb brauchen Sie einen anderen Ansatz. Als Erstes entfernen Sie die Klammern auf der rechten Seite der Gleichung:

Anschließend fassen Sie ähnliche Terme zusammen (unter Verwendung von x als Variable, nach der die Ähnlichkeit entschieden wird). Dabei handelt es sich um reine Algebra, deshalb habe ich hier ein paar Schritte übersprungen:

Weil diese Gleichung für alle Werte von x funktioniert, mache ich jetzt, was ein fraglicher Schritt zu sein scheint, ich breche diese Gleichung wie folgt in drei separate Gleichungen auf:

Jetzt erhalten Sie mit ein bisschen Algebra und . Sie können also die Werte für A, B und C wieder in die Partialbrüche einsetzen:

Den zweiten Bruch können Sie etwas vereinfachen:

Partialbrüche integrieren

Nachdem Sie einen komplizierten rationalen Ausdruck als die Summe von Partialbrüchen ausgedrückt haben, wird die Integration sehr viel einfacher. Allgemein ausgedrückt, hier das System:

1. Teilen Sie alle rationalen Terme mit Zählern der Form Ax + B in zwei Terme auf.

2. Wenden Sie die Summenregel an, um das gesamte Integral in mehrere kleinere Integrale aufzuteilen.

3. Wenden Sie die Faktorregel an, um die Koeffizienten aus den Integralen heraus zu ziehen.

4. Berechnen Sie jedes Integral mit einer dafür geeigneten Methode.

Lineare Faktoren: Fälle 1 und 3

Wenn Sie mit einem linearen Faktor beginnen – egal, ob unterschiedlich (Fall 1) oder wiederholt (Fall 3) – erhalten Sie durch die Anwendung von Partialbrüchen ein Integral der folgenden Form:

Integrieren Sie alle diese Fälle unter Verwendung der Variablensubstitution u = ax + b, so dass du = a dx und . Diese Substitution führt zum folgenden Integral:

Hier ein paar Beispiele:

Quadratische Faktoren der Form (ax^2 + C): Fälle 2 und 4

Wenn Sie mit einem quadratischen Faktor der Form (ax^2 + C) beginnen – egal, ob unterschiedlich (Fall 2) oder wiederholt (Fall 4) – führt die Anwendung von Partialbrüchen zu den beiden folgenden Integralen:

Integrieren Sie das erste unter Verwendung der Variablensubstitution u = ax^2 + C, so dass du = 2ax dx und . Diese Substitution führt zu dem folgenden Integral:

Dies ist ein Integral derselben Art, das auch im linearen Fall auftritt, den ich im vorigen Abschnitt beschrieben habe. Hier einige Beispiele:

Für die Berechnung des zweiten Integrals verwenden Sie die folgende Formel:

Quadratische Faktoren der Form (ax^2 + bx + C): Fälle 2 und 4

Die meisten Mathematiklehrer besitzen einen Funken Gnade in ihrem Herzen, deshalb werden sie Ihnen wahrscheinlich keine Aufgaben vorlegen, die diesen allerschwierigsten Fall beinhalten. Wenn Sie mit einem quadratischen Faktor der Form (ax^2 + bx + C) beginnen – ob unterschiedlich (Fall 2) oder wiederholt (Fall 4) – führt die Anwendung von Partialbrüchen zu dem folgenden Integral:

Ich weiß, das sind ziemlich viele Buchstaben und kaum Zahlen dazu. Ein Beispiel:

Dies ist so in etwa das komplexeste Integral, das Sie in Bezug auf Partialbrüche je zu Gesicht bekommen werden. Um es zu berechnen, müssen Sie die Variablensubstitution u = x^2 + 6x + 13 anwenden, so dass du = (2x + 6) dx. Wäre der Zähler gleich 2x + 6, hätten Sie Glück gehabt. Sie müssen also den Zähler ein bisschen umwandeln. Als Erstes multiplizieren Sie mit 2 und dividieren das gesamte Integral durch 2:

Weil Sie das gesamte Integral mit 1 multipliziert haben, ändert sich nichts daran. Jetzt fügen Sie 16 und – 16 im Zähler hinzu:

Diesmal haben Sie 0 zum Integral addiert, so dass sich sein Wert ebenfalls nicht ändert. Und jetzt teilen Sie das Integral in zwei Teile:

Jetzt können Sie die gewünschte Variablensubstitution (die ich vor ein paar Absätzen erwähnt habe) anwenden, um das erste Integral wie folgt zu ändern:

Um das zweite Integral zu lösen, vervollständigen Sie das Quadrat im Nenner: Sie dividieren den b-Term (6) durch 2 und quadrieren ihn, und stellen dann den C-Term (13) als die Summe davon und des übrigen dar:

Jetzt teilen Sie den Nenner in zwei Quadrate auf:

Um dieses Integral zu bestimmen, wenden Sie dieselbe Formel an, die ich Ihnen im vorigen Abschnitt schon gezeigt habe:

Und hier die endgültige Lösung für das zweite Integral:

Damit können Sie die vollständige Lösung wie folgt zusammensetzen:

Unechte rationale Ausdrücke integrieren

Die Integration mit Hilfe von Partialbrüchen funktioniert nur für echte rationale Ausdrücke, nicht aber für unechte rationale Ausdrücke. In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen, wie Sie diese beiden Dinge auseinander halten. Anschließend zeige ich Ihnen, wie Sie mit Hilfe der Polynomdivision unechte rationale Ausdrücke in eine annehmbarere Form bringen. Und schließlich führe ich Sie durch ein Beispiel, bei dem Sie einen unechten rationalen Ausdruck integrieren, indem Sie alles anwenden, was Sie in diesem Kapitel gelernt haben.

Echte und unechte rationale Ausdrücke unterscheiden

Es ist ganz einfach, einen echten Bruch von einem unechten zu unterscheiden. Ein Bruch ist echt, wenn der Zähler (unabhängig vom Vorzeichen) kleiner als der Nenner ist, andernfalls ist er unecht.

Bei rationalen Ausdrücken folgt man fast derselben Idee, aber statt den Wert des Zählers mit dem Wert des Nenners zu vergleichen, vergleichen Sie ihre Grade. Der Grad eines Polynoms ist seine höchste Potenz von x (weitere Informationen über Polynome finden Sie in Kapitel 2).

Ein rationaler Ausdruck ist echt, wenn der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners ist, andernfalls unecht.

Betrachten Sie beispielsweise die folgenden drei rationalen Ausdrücke:

Im ersten Beispiel ist der Zähler ein Polynom zweiten Grades, und der Nenner ist ein Polynom dritten Grades, deshalb ist der rationale Ausdruck echt. Im zweiten Beispiel ist der Zähler ein Polynom fünften Grades und der Nenner ist ein Polynom zweiten Grades, deshalb ist der Ausdruck unecht. Im dritten Beispiel sind sowohl der Zähler als auch der Nenner beide Polynome vierten Grades, deshalb ist die rationale Funktion unecht.

Zurück zur Polynomdivision

Die meisten Mathematikstudenten lernen die Polynomdivision in Algebra II, demonstrieren ihr Können in der Abschlussprüfung und vergessen sie dann sofort wieder. Und glücklicherweise brauchen sie sie nie wieder – bis zu Analysis II.

Jetzt holen wir also die Polynomdivision aus der Mottenkiste. In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen alles, was sie über die Polynomdivision vergessen haben, mit und ohne Rest.

Polynomdivision ohne Rest

Wenn Sie zwei Polynome multiplizieren, erhalten Sie immer ein Polynom. Beispiel:

(x^3 + 3)(x^2 - x) = x^5 - x^4 + 3x^2 - 3x

Weil die Division das Inverse der Multiplikation ist, macht also die folgende Gleichung intuitiv Sinn:

Die Polynomdivision ist eine zuverlässige Methode, ein Polynom durch ein anderes zu dividieren. Sie ist mit der langen Division vergleichbar, deshalb werden Sie sie auch gleich verstehen, selbst wenn Sie sie noch nie gesehen haben.

Am besten erkläre ich Ihnen das Ganze anhand eines Beispiels. Wir beginnen mit dem Beispiel, das ich bereits gezeigt habe. Angenommen, Sie wollen x^5 - x^4 + 3x^2 - 3x durch x^3 + 3 dividieren. Sie schreiben die Aufgabe als typische lange Division (beachten Sie, dass ich für die x^3 und konstante Terme Nullen einsetze):

(x^5 - x^4 + 0x^3 + 3x^2 + 3x + 0) : (x^3 + 3)

Wir beginnen mit dem Exponenten mit dem höchsten Grad sowohl im Divisor (x^3) als auch im Dividenden (x^5). Sie überlegen, wie oft x^3 in x^5 passt – das heißt x^5 ÷ x^3 = ? Schreiben Sie die Antwort in den Quotienten und multiplizieren Sie dann das Ergebnis mit dem Divisor, so wie Sie bei einer langen Division vorgehen würden:

Wie Sie sehen, multipliziere ich x^2 mit x^3, um das Ergebnis x^5 + 3x^2 zu erhalten, und richte dieses Ergebnis entsprechend aus, um immer dieselben Grade in denselben Spalten zu haben. Anschließend subtrahiere ich und hole den nächsten Term nach unten, wie bei einer langen Division:

Jetzt ist ein Durchgang abgeschlossen und Sie fragen, wie oft x^3 in – x^4 passt – das heißt – x^4 ÷ x^3 = ? Schreiben Sie die Antwort in den Quotienten und multiplizieren Sie den Rest mit dem Divisor:

In diesem Fall geht die Division gerade auf. Auch wenn Sie die abschließende Null herunterbringen, bleibt nichts mehr zu dividieren, so dass Sie die folgende Gleichung erhalten:

Polynomdivision mit Rest

Weil die Polynomdivision so ähnlich aussieht wie die lange Division, ist es nachvollziehbar, dass dabei manchmal ein Rest bleibt. Angenommen, Sie wollen x^4 – 2x^3 + 5x durch 2x^2 – 6 dividieren:

(x^4 − 2x^3 + 0x^2 + 5x + 0) : (2x^2 − 6)

Hier habe ich zwei Null-Koeffizienten eingefügt. Zunächst dividiere ich x^4 durch 2x^2, multipliziere durch und subtrahiere:

Lassen Sie sich von dem Bruchkoeffizienten nicht stören. Manchmal führt die Polynomdivision zu Bruchkoeffizienten.

Jetzt holen Sie den nächsten Term (5x) herunter, um einen weiteren Durchgang zu beginnen. Sie dividieren also – 2x^3 durch 2x^2, multiplizieren durch und subtrahieren:

Und wieder holen Sie den nächsten Term herunter (0) und beginnen den nächsten Durchgang, indem Sie 3x^2 durch 2x^2 dividieren:

Wie bei der langen Division stellt der Rest einen übrig gebliebenen Bruchbetrag dar: den Rest dividiert durch den Divisor. Wenn Sie also bei der Polynomdivision einen Rest haben, geben Sie die Lösung unter Verwendung der folgenden Formel an:

Wenn Sie nicht mehr wissen, wie die Lösung darzustellen ist, stellen Sie sich eine gemischte Zahl vor, beispielsweise 7 ÷ 3 = 2 Rest 1. Das würden Sie als darstellen.

Die Polynomdivision ergibt also in diesem Fall die folgende Gleichung:

Dieses Ergebnis erscheint Ihnen vielleicht komplizierter als die anfängliche Aufgabenstellung, aber Sie haben einen Fortschritt gemacht: Sie haben einen unechten rationalen Ausdruck (bei dem der Grad des Zählers größer als der Grad des Nenners ist) in eine Summe umgewandelt, die einen echten rationalen Ausdruck enthält. Das ist vergleichbar mit der Vorgehensweise in der Arithmetik, einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl umzuwandeln.

Ein Beispiel

In diesem Abschnitt durchlaufen wir ein Beispiel, für dessen Lösung Sie alles brauchen, was Sie in diesem Kapitel gelernt haben. Angenommen, Sie wollen die folgende rationale Funktion integrieren:

Das sieht ganz nach Partialbrüchen aus, wie bereits im Abschnitt »Fall 2: Unterschiedliche quadratische Faktoren« beschrieben. Aber bevor Sie diesen Ausdruck mit Hilfe von Partialbrüchen darstellen können, müssen Sie entscheiden, ob er echt oder unecht ist. Der Grad des Zählers ist 4, und (weil der Nenner das Produkt aus einem linearen und einem quadratischen Ausdruck ist) der Grad des gesamten Nenners ist 3. Dies ist also ein unechter Polynombruch (siehe Abschnitt »Echte und unechte rationale Ausdrücke unterscheiden«), Sie können also nicht mit Partialbrüchen integrieren.

Sie können jedoch eine Polynomdivision anwenden, um diesen unechten Polynombruch zu einem Ausdruck zu machen, der einen echten Polynombruch enthält (ich lasse diese Schritte hier weg, aber Sie finden die Vorgehensweise im Abschnitt »Zurück zur Polynomdivision« beschrieben):

Wie Sie sehen, sind die beiden ersten Terme dieses Ausdrucks ganz einfach zu integrieren (vergessen Sie sie nicht!). Um den restlichen Term für die Integration aufzubereiten, verwenden Sie Partialbrüche:

Jetzt suchen Sie einen gemeinsamen Nenner auf der rechten Seite der Gleichung:

Jetzt multiplizieren Sie beide Seiten dieser Gleichung mit diesem Nenner:

-x^2 - 2x + 10 = A(x^2 + 3) + (Bx + C)(x - 2)

Beachten Sie, dass (x - 2) ein linearer Faktor ist, Sie können also die Nullstelle dieses Faktors verwenden, um den Wert von A zu bestimmen. Um diesen Wert zu ermitteln, setzen wir x = 2 und lösen nach A auf:

Setzen Sie diesen Wert in die Gleichung ein:

Jetzt müssen Sie, um die Werte von B und C zu bestimmen, die Gleichung in ein System aus zwei Gleichungen aufsplitten (wie ich Ihnen im Abschnitt »Systematisch mit einem Gleichungssystem arbeiten« gezeigt habe):

Dies können wir in drei Gleichungen aufsplitten:

Die erste und die dritte Gleichung zeigen Ihnen, dass und . Jetzt können

Sie die Werte von A, B und C wieder in die Summe der Partialbrüche einsetzen:

Stellen Sie sicher, dass Sie daran denken, die beiden Terme (x + 1) hinzuzufügen, die Sie beim Abschluss Ihrer Polynomdivision zurückgelassen haben:

Sie können also das ursprüngliche Integral als die Summe von fünf separaten Integralen darstellen:

Die beiden ersten Integrale lassen sich durch bloßes Anschauen lösen, und die beiden nächsten durch Variablensubstitution (siehe Kapitel 5). Das letzte kann mit Hilfe der folgenden Regel gelöst werden:

Hier die Lösung, so dass Sie die letzten Schritte selbst durchführen können:

Teil III

Integration für Fortgeschrittene

In diesem Teil ...

Mit den Grundlagen für die Berechnung von Integralen gerüstet, geht es jetzt darum die Integration als Werkzeug für die Lösung von Aufgaben einzusetzen. Sie werden erfahren, wie Sie komplexere Flächenprobleme lösen können, und wie Sie die Oberfläche und das Volumen von Körpern berechnen.

9

Flächendeckend Flächenprobleme lösen

In diesem Kapitel...

- Uneigentliche Integrale bestimmen

- Flächenprobleme mit mehreren Funktionen lösen

- Die Fläche zwischen Funktionen messen

- Vorzeichenlose Flächen bestimmen

- Den Mittelwertsatz verstehen und den Durchschnittswert berechnen

- Bogenlängen bestimmen

Nachdem Sie nun wissen, wie Sie Integrale berechnen, geht es in diesem Kapitel (und in

Kapitel 10) darum, warum Sie sie berechnen.

Ich beginne mit einer einfachen Regel, um eine Fläche als zwei separate bestimmte Integrale darzustellen. Anschließend widme ich mich den uneigentlichen Integralen, das sind Integrale, die entweder horizontal oder vertikal unendlich sind. Anschließend vermittle ich Ihnen zahlreiche praktische Strategien, um Flächen zu messen, die von mehreren Funktionen begrenzt sind. Ich werde erklären, wie Flächen zwischen Funktionen gemessen werden, und Sie erfahren, wie Sie zwischen vorzeichenbehafteten und vorzeichenlosen Flächen unterscheiden.

Anschließend stelle ich Ihnen den Mittelwertsatz für Integrale vor, der die theoretische Grundlage für die Berechnung des Durchschnittswerts darstellt. Und zum Schluss zeige ich Ihnen eine Formel für die Berechnung der Bogenlänge, nämlich der genauen Länge zwischen zwei Punkten entlang einer Funktion.

Machen wir zwei daraus

Hier folgt eine einfache aber praktische Regel, die kompliziert aussieht, aber eigentlich ganz einfach ist:

Diese Regel besagt einfach nur, dass Sie eine Fläche in zwei Teile zerlegen können, und dass Sie die Teile dann addieren können, um die Fläche zu erhalten, von der Sie ausgegangen sind.

Beispielsweise wird der gesamte schattierte Bereich in Abbildung 9.1 durch das folgende Integral dargestellt, das Sie ganz einfach integrieren können:

Abbildung 9.1: Die Fläche wird in zwei kleinere Teile zerlegt. 0

Wir zeichnen eine vertikale Linie an der Stelle und unterteilen damit die Fläche in zwei separate Bereiche, was zu den folgenden separaten Integralen führt:

Es sollte keine größere Überraschung sein, dass die Summe dieser beiden kleineren Flächen gleich der Gesamtfläche ist:

Obwohl dieses Konzept lächerlich einfach ist, wird sich die Aufteilung von einem Integral in zwei oder mehrere Integrale als höchst leistungsfähiges Werkzeug für die Lösung einer Vielzahl von Flächenaufgaben in diesem Kapitel erweisen.

Uneigentliche Integrale

Uneigentliche Integrale gibt es in zwei Varianten – horizontal unendlich und vertikal unendlich:

- Ein horizontal unendliches uneigentliches Integral enthält entweder ∞ oder – ∞ (oder beides) als Integrationsgrenze. Beispiele für diese Art Integral finden Sie im nächsten Abschnitt, »Es wird horizontal«.

- Ein vertikal unendliches unechtes Integral enthält mindestens eine vertikale Asymptote. Ich werde das Ganze im Abschnitt »Und jetzt in die Vertikale!« genauer erklären.

Uneigentliche Integrale sind praktisch für die Lösung verschiedenster Aufgabenstellungen in Kapitel 10. Außerdem kann man sie gut für unendliche Reihen in Kapitel 12 brauchen. Die Berechnung eines uneigentlichen Integrals erfolgt in einem Prozess in drei Schritten:

1. Drücken Sie das uneigentliche Integral als Grenzwert eines Integrals aus.

2. Berechnen Sie das Integral mit irgendeiner passenden Methode.

3. Berechnen Sie den Grenzwert.

In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen schrittweise, wie Sie beide Arten uneigentlicher Integrale berechnen.

Es wird horizontal

Der erste Typ des uneigentlichen Integrals tritt auf, wenn ein bestimmtes Integral eine Integrationsgrenze hat, die ∞ oder – ∞ ist. Diese Art uneigentlichen Integrals ist leicht zu bearbeiten, weil die Unendlichkeit unmittelbar im Integral vorhanden ist. Sie können sie gar nicht verfehlen.

Angenommen, Sie wollen das folgende uneigentliche Integral berechnen:

Und so gehen Sie dazu vor:

1. Drücken Sie das uneigentliche Integral als Grenzwert eines Integrals aus.

Wenn die obere Integrationsgrenze ∞ ist, wenden Sie die folgende Gleichung an:

Sie machen also Folgendes:

2. Berechnen Sie das Integral mit irgendeiner passenden Methode.

3. Berechnen Sie den Grenzwert.

Bevor Sie weitermachen, halten Sie einen Moment inne und gedenken Sie der Tatsache, dass die Fläche unter einer unendlich langen Kurve tatsächlich endlich ist! Die Magie der Analysis!

Angenommen, Sie wollen jetzt Folgendes berechnen:

Und so gehen Sie dafür vor:

1. Drücken Sie das uneigentliche Integral als Grenzwert eines Integrals aus.

Sie schreiben also Folgendes:

2. Berechnen Sie das Integral mit irgendeiner passenden Methode.

3. Berechnen Sie den Grenzwert. In diesem Fall nähert sich c dem Wert – ∞ an, der erste Term wird nicht beeinflusst, und der zweite Term nähert sich 0 an.

Auch hier teilt Ihnen die Analysis mit, dass die Fläche unter einer unendlich langen Kurve endlich ist.

Natürlich ist manchmal die Fläche unter einer unendlich langen Kurve auch unendlich. In diesen Fällen kann das uneigentliche Integral nicht bestimmt werden, weil es keinen Grenzwert gibt (er existiert nicht). Hier ein schnelles Beispiel, das diese Situation verdeutlicht:

Es ist vielleicht nicht offensichtlich, dass dieses uneigentliche Integral eine unendlich große Fläche darstellt. Schließlich nähert sich der Wert der Funktion mit steigendem x dem Wert 0 an. Aber beobachten Sie, was die Berechnung ergibt:

1. Drücken Sie das uneigentliche Integral als Grenzwert eines Integrals aus.

2. Berechnen Sie das Integral mit irgendeiner passenden Methode.

Jetzt erkennen Sie, dass der Grenzwert gegen Unendlich explodiert, er existiert also nicht. Aus diesem Grund kann das uneigentliche Integral nicht bestimmt werden, weil die dadurch dargestellte Fläche unendlich ist.

In die Vertikale!

Vertikal unendliche uneigentliche Integrale sind schwieriger zu erkennen als horizontal unendliche uneigentliche Integrale. Ein Integral dieses Typs enthält mindestens eine vertikale Asymptote innerhalb der Fläche, die Sie messen. (Eine vertikale Asymptote ist ein Wert von x, für den f(x) gleich ∞ oder – ∞ ist. Weitere Informationen zu Asymptoten finden Sie in Kapitel 2.)

Versuchen Sie nicht, das einfach zu ignorieren und uneigentliche Integrale wie echte Integrale zu berechnen. Größtenteils erhalten Sie die falsche Lösung!

In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen, wie Sie beide Arten vertikal unendlicher uneigentlicher Integrale behandeln.

Der Umgang mit asymptotischen Integrationsgrenzen

Angenommen, Sie wollen das folgende Integral berechnen:

Auf den ersten Blick sind Sie möglicherweise versucht, dies als echtes Integral zu berechnen. Aber diese Funktion hat eine Asymptote an der Stelle x = 0. Das Vorhandensein einer Asymptote an einer der Integrationsgrenzen zwingt Sie, das Integral als uneigentliches Integral zu berechnen:

1. Drücken Sie das uneigentliche Integral als Grenzwert eines Integrals aus.

Beachten Sie, dass sich in diesem Grenzwert c von rechts her der 0 annähert, das heißt von der positiven Seite, weil dies die Richtung der Annäherung innerhalb der Integrationsgrenzen ist. (Aus diesem Grund steht das kleine Pluszeichen (+) im Grenzwert.)

2. Berechnen Sie das Integral mit irgendeiner passenden Methode.

Dieses Integral kann mit Hilfe der Potenzregel leicht als bestimmt werden, wie ich Ihnen in Kapitel 4 gezeigt habe, deshalb erspare ich Ihnen die Details hier:

3. Berechnen Sie den Grenzwert.

Und jetzt bietet Ihnen direktes Einsetzen die endgültige Lösung:

= 2

Unstetige Integranden zusammensetzen

In Kapitel 3 habe ich die Verknüpfung zwischen der Integrierbarkeit und der Stetigkeit beschrieben: Wenn eine Funktion innerhalb eines Intervalls stetig ist, ist sie in diesem Integral auch integrierbar. (Weitere Informationen darüber finden Sie in Kapitel 3.)

Einige Integrale, die vertikal unendlich sind, haben die Asymptoten nicht an den Enden, sondern irgendwo in der Mitte. Das Ergebnis ist ein unstetiger Integrand – das heißt eine Funktion mit einer Unstetigkeit innerhalb des Intervalls, in dem Sie integrieren wollen.

Unstetige Integranden gehören zu den schwierigsten uneigentlichen Integralen – Sie müssen wissen, wie sich der Graph der zu integrierenden Funktion verhält. (Weitere Informationen zu Graphen der Elementarfunktionen finden Sie in Kapitel 2.)

Um ein uneigentliches Integral dieses Typs zu berechnen, unterteilen Sie es an jeder Asymptote in zwei oder mehr Integrale, wie im Abschnitt »Machen wir zwei daraus« beschrieben. Anschließend berechnen Sie jedes der resultierenden Integrale als uneigentliches Integral, wie in diesem früheren Abschnitt gezeigt.

Angenommen, Sie wollen das folgende Integral berechnen:

Weil der Graph von sec x eine Asymptote an der Stelle enthält (den Graphen finden

Sie in Kapitel 2), hat der Graph von sec^2x eine Asymptote an derselben Stelle, wie in Abbildung 9.2 gezeigt.

Abbildung 9.2: Ein Graph des uneigentlichen Integrals .

Um dieses Integral zu berechnen, unterteilen Sie es an dem Wert von x, an dem sich die Asymptote befindet, in zwei Integrale:

Jetzt berechnen Sie die Summe der beiden resultierenden Integrale .

Sie können sich eine Menge Arbeit sparen, wenn zwei Bereiche symmetrisch sind. In diesem Fall unterteilt die Asymptote an der Stelle den schat tierten Bereich in zwei symmetrische Abschnitte. Sie können also ein Integral bestimmen und es dann verdoppeln, um die Lösung zu erhalten:

Jetzt wenden Sie die Schritte aus dem vorigen Abschnitt an, um dieses Integral zu berechnen.

1. Drücken Sie das uneigentliche Integral als Grenzwert eines Integrals aus.

In diesem Fall befindet sich die vertikale Asymptote an der oberen Integrationsgrenze, c nähert sich also von links, das heißt von innerhalb des Intervalls, in dem Sie die Flä che bestimmen.

2. Berechnen Sie das Integral mit irgendeiner passenden Methode.

3. Berechnen Sie den Grenzwert.

Beachten Sie, dass undefiniert ist, weil die Funktion tan x eine Asymptote an der Stelle hat, der Grenzwert existiert also nicht. Aus diesem Grund existiert auch das Integral nicht, das Sie zu berechnen versuchen, weil die von ihm dargestellte Fläche unendlich ist.

Flächenprobleme mit mehreren Funktionen lösen

Das bestimmte Integral erlaubt Ihnen, die vorzeichenbehaftete Fläche innerhalb jedes Intervalls einer einzelnen Funktion zu finden. Wenn Sie jedoch eine Fläche bestimmen wollen, die von mehreren Funktionen definiert ist, müssen Sie kreativ sein und eine Lösung zusammenbasteln. Lehrer lieben diese Aufgaben als Prüfungsfragen, weil sie sowohl Ihr Denkvermögen als auch Ihr Wissen in Analysis beanspruchen.

Wenn Sie sich Aufgaben dieser Art auf die richtige Weise nähern, werden Sie feststellen, dass sie gar nicht schrecklich schwierig sind. Der Trick dabei ist, die Aufgabe in zwei oder mehr Bereiche zu zerlegen, die Sie mit Hilfe des bestimmten Integrals messen können. Anschließend wenden Sie die Addition oder Subtraktion an, um die Fläche zu finden, nach der Sie suchen.

In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen, wie Sie Aufgaben lösen, die mehrere bestimmte Integrale beinhalten.

Die Fläche unter mehr als einer Funktion finden

Manchmal wird eine einzelne geometrische Fläche von mehr als einer Funktion beschrieben. Angenommen, Sie wollen die schattierte Fläche in Abbildung 9.3 bestimmen.

Abbildung 9.3: Bestimmung der Fläche unter y = sin x und y = cos x von 0 bis

Als Erstes erkennen Sie, dass die schattierte Fläche nicht unterhalb einer einzigen Funktion liegt, Sie können also nicht erwarten, dass für ihre Bestimmung ein einziges Integral ausreichend sein wird. Stattdessen liegt der Bereich A unter y = sin x, und der Bereich B liegt unter y = cos x. Als Erstes richten Sie ein Integral ein, um die Fläche beider Bereiche zu bestimmen:

Jetzt stellen Sie eine Gleichung auf, um die gemeinsame Fläche zu finden:

An dieser Stelle können Sie die einzelnen Integrale separat berechnen. Es gibt aber eine einfachere Methode.

Weil der Bereich A und der Bereich B symmetrisch sind, haben sie dieselbe Fläche. Sie können also die gemeinsame Fläche bestimmen, indem Sie die Fläche eines Bereichs verdoppeln:

Ich habe beschlossen, den Bereich A zu verdoppeln, weil die Integrationsgrenzen einfacher sind, aber natürlich könnten Sie auch den Bereich B verdoppeln. Jetzt integrieren wir, um die Lösung zu bestimmen:

Die Fläche zwischen zwei Funktionen bestimmen

Um eine Fläche zwischen zwei Funktionen zu bestimmen, müssen Sie eine Gleichung aufstellen, die eine Kombination der bestimmten Integrale enthält. Angenommen, Sie wollen die schattierte Fläche in Abbildung 9.4 bestimmen.

Abbildung 9.4: Bestimmung der Fläche zwischen y = x^2 und y = √x.

Als Erstes bemerken Sie, dass sich die beiden Funktionen y = x^2 und y = √x an der Stelle x = 1 schneiden. Das ist eine wichtige Information, weil sie Ihnen ermöglicht, zwei bestimmte Integrale einzurichten, um den Bereich A zu bestimmen:

Obwohl keine der Gleichungen exakt die Information erzeugt, nach der Sie suchen, hilft Ihnen die Kombination der beiden Gleichungen weiter. Sie subtrahieren einfach die zweite Gleichung von der ersten:

Nachdem Sie die Aufgabe richtig umgeformt haben, brauchen Sie nur noch die beiden Integrale zu berechnen:

Die Fläche zwischen den beiden Kurven beträgt also .

Als weiteres Beispiel wollen wir annehmen, dass wir die schattierte Fläche in Abbildung 9.5 bestimmen wollen.

Jetzt besteht die schattierte Fläche aus zwei separaten Bereichen, A und B. Bereich A wird oben von und unten von y = x begrenzt. Für den Bereich B dagegen ist die Situation umgekehrt, und er wird oben von y = x und unten von begrenzt. Außerdem habe ich die Bereiche C und D beschriftet, die ebenfalls in die Lösung der Aufgabe einfließen.

Abbildung 9.2: Bestimmung der Fläche zwischen y = x und .

Der erste wichtige Schritt ist, den Schnittpunkt der beiden Funktionen zu bestimmen, das heißt die Stelle, an der die folgende Gleichung gültig ist:

Glücklicherweise ist leicht zu erkennen, dass diese Gleichung für x = 1 erfüllt ist.

Jetzt müssen Sie ein paar bestimmte Integrale erstellen, die Ihnen helfen, die Flächen der Bereiche A und B zu bestimmen. Die beiden folgenden Integrale sind für die Fläche A hilfreich:

Beachten Sie, dass ich das zweite bestimmte Integral ohne die Analysis berechne und dazu die einfache Geometrie anwende, wie in Kapitel 1 gezeigt. Das ist völlig zulässig und stellt eine wesentliche Zeitersparnis dar.

Wenn wir die zweite Gleichung von der ersten subtrahieren, erhalten wir eine Gleichung für die Fläche des Bereichs A:

Jetzt erstellen wir zwei bestimmte Integrale, die Ihnen helfen, die Fläche von Bereich B zu bestimmen:

Jetzt berechne ich das erste bestimmte Integral mit Hilfe der Geometrie statt der Analysis. Wenn wir die zweite Gleichung von der ersten subtrahieren, erhalten wir eine Gleichung für die Fläche von Bereich B:

Jetzt können Sie eine Gleichung aufstellen, um die Aufgabe zu lösen:

Jetzt müssen Sie zwangsläufig ein wenig Analysis anwenden:

Der Rest ist reine Arithmetik:

Die Suche nach dem Zeichen

Die Lösung für ein bestimmtes Integral teilt Ihnen die vorzeichenbehaftete Fläche eines Bereichs mit (weitere Informationen finden Sie in Kapitel 3). In einigen Fällen ist die vorzeichenbehaftete Fläche genau das, was Sie wollen, aber in manchen Aufgaben suchen Sie nach einer vorzeichenlosen Fläche.

Die vorzeichenbehaftete Fläche oberhalb der x-Achse ist positiv, aber die vorzeichenbehaftete Fläche unterhalb der x-Achse ist negativ. Im Gegensatz dazu ist die vorzeichenlose Fläche immer positiv. Das Konzept der vorzeichenlosen Fläche ist vergleichbar mit dem Konzept des Absolutwerts. Wenn es Ihnen also hilft, stellen Sie sich die vorzeichenlose Fläche als den Absolutwert des bestimmten Integrals vor.

In Aufgabenstellungen, die Sie auffordern, die Fläche eines schattierten Bereichs in einem Koordinatensystem zu bestimmen, suchen Sie nach einer vorzeichenlosen Fläche. Wenn Sie jedoch unsicher sind, ob in einer Aufgabe die vorzeichenbehaftete oder die vorzeichenlose Fläche gesucht ist, fragen Sie Ihren Lehrer. Das gilt eigentlich immer, wenn eine Prüfungsfrage unklar ist. Die meisten Lehrer beantworten klärende Fragen, scheuen Sie sich also nicht, zu fragen.

Angenommen, Sie werden aufgefordert, die schattierte vorzeichenlose Fläche zu berechnen, die Sie in Abbildung 9.6 sehen.

Abbildung 9.6: Bestimmung der Fläche zwischen y = x^2 – 1 und y = 1 – x^4.

Diese Fläche ist eigentlich die Summe des Bereichs A, der oberhalb der x-Achse liegt, und des Bereichs B, der unterhalb der x-Achse liegt. Um die Aufgabe zu lösen, müssen Sie die Summe der vorzeichenlosen Flächen dieser beiden Bereiche bestimmen.

Glücklicherweise schneiden sich die beiden Funktionen und die x-Achse an denselben beiden Werten von x: x = – 1 und x = 1. Richten Sie bestimmte Integrale ein, um die Fläche jedes Bereichs wie folgt zu berechnen:

Beachten Sie, dass ich das bestimmte Integral für den Bereich B negiert habe, um die Tatsache zu berücksichtigen, dass das bestimmte Integral unterhalb der x-Achse eine negative Fläche erzeugt. Jetzt addieren Sie einfach die beiden Gleichungen:

Die Lösung dieser Gleichung erzeugt die gesuchte Antwort (seien Sie vorsichtig mit allen diesen Minuszeichen!):

Beachten Sie an dieser Stelle, dass der Ausdruck in den Klammern – der die vorzeichenbehaftete Fläche des Bereichs B darstellt – negativ ist. Aber das Minuszeichen außerhalb der Klammern kehrt das Vorzeichen wie beabsichtigt automatisch um:

Vorzeichenlose Fläche zwischen Kurven mit Hilfe eines schnellen Tricks bestimmen

Nachdem Sie das Konzept verstanden haben, wie man eine vorzeichenlose Fläche misst (wie im vorigen Abschnitt beschrieben), ist es Zeit für einen Trick, der das Messen der Fläche zwischen Kurven ganz einfach macht. Wie ich in diesem Kapitel bereits erwähnt habe, lieben es die Lehrer, solche Aufgaben in einer Prüfung zu stellen. Deshalb hier eine schwierige Prüfungsfrage, die Sie sich genauer ansehen sollten:

Bestimmen Sie die vorzeichenlose schattierte Fläche in Abbildung 9.7. Runden Sie Ihre Antwort auf zwei Dezimalstellen an, wobei Sie cos 4 = – 0,65 verwenden.

Abbildung 9.7: Bestimmung der Fläche zwischen y = 4x – x^2 und y = sin x von x = 0 bis x = 4.

Im ersten Schritt bestimmen Sie eine Gleichung für die Lösung.

Ich habe die schattierte Fläche in drei Bereiche unterteilt, A, B und C. Außerdem habe ich einen Bereich D eingeführt, den Sie ebenfalls beachten sollten. Berücksichtigen Sie außerdem, dass x = π die Bereiche A und B trennt, und die x-Achse die Bereiche B und C.

Sie könnten drei separate Gleichungen für die Bereiche A, B und C bestimmen, aber es gibt eine bessere Methode.

Um die vorzeichenlose Fläche zwischen zwei Funktionen zu messen, verwenden Sie den folgenden schnellen Trick:

Fläche = Integral der oberen Funktion – Integral der unteren Funktion

Das ist alles! Statt die Fläche oberhalb und unterhalb der x-Achse zu messen, setzen Sie einfach die beiden Integrale in diese Formel ein. In dieser Aufgabe ist die obere Funktion 4x – x^2, und die untere Funktion ist sin x:

Die Berechnung ist nicht besonders schwierig:

An dieser Stelle erkennen Sie bereits, dass Sie auf dem richtigen Weg sind, weil der Professor freundlich genug war, Ihnen einen Annäherungswert für cos4 bereitzustellen:

≈ 32 − 21,33 − 0,65 − 1 = 9,02

Die vorzeichenlose Fläche zwischen den beiden Funktionen beträgt also annähernd 9,02 Einheiten.

Wenn die beiden Funktionen ihre Positionen ändern – das heißt, die obere wird zur unteren und die untere wird zur oberen –, müssen Sie die Aufgabe möglicherweise in verschiedene Bereiche unterteilen, wie bereits an früherer Stelle gezeigt. Aber selbst in diesem Fall können Sie sich durch Anwendung dieses Tricks sehr viel Zeit sparen.

Beispielsweise habe ich im Abschnitt »Die Fläche zwischen zwei Funktionen bestimmen« die schattierte Fläche aus Abbildung 9.5 mit Hilfe von vier separaten Bereichen bestimmt. Und jetzt zeige ich Ihnen, wie es mit Hilfe des Tricks aus diesem Abschnitt geht.

Beachten Sie, dass sich die beiden Funktionen an der Stelle x = 1 schneiden. Von 0 bis 1 ist also die obere Funktion, und von 1 bis 2 ist x die obere Funktion. Sie richten also zwei separate Gleichungen ein, eine für den Bereich A, die andere für den Bereich B:

Nachdem alle Berechnungen durchgeführt wurden, erhalten Sie die folgenden Werte für A und B:

Diese beiden Werte addieren Sie für die Lösung:

Wie Sie sehen, erhalten Sie mit Hilfe dieses Tricks die Lösung sehr viel einfacher als durch das Messen von Bereichen.

Der Mittelwertsatz der Integralrechnung

Der Mittelwertsatz der Integralrechnung garantiert, dass es für jedes bestimmte Integral ein Rechteck mit derselben Fläche und Breite gibt. Wenn Sie darüber hinaus dieses Rechteck über das bestimmte Integral legen, schneidet die Oberseite des Rechtecks die Funktion. Dieses Rechteck wird übrigens als Mittelwertrechteck für dieses bestimmte Integral bezeichnet. Seine Existenz ermöglicht Ihnen, den Durchschnittswert für das bestimmte Integral zu berechnen.

In der Analysis gibt es zwei Mittelwertsätze – einen für Ableitungen, einen für Integrale. In diesem Abschnitt geht es um den Mittelwertsatz für die Integralrechnung. Weitere Informationen über den Mittelwertsatz für Ableitungen finden Sie in Analysis für Dummies von Mark Ryan (Wiley).

Am besten erkennen Sie an einem Beispiel, wie dieser Satz funktioniert. Abbildung 9.8 zeigt 1 1 den durch das bestimmte Integral A = beschriebenen Bereich. Dieser Bereich 0 0 hat offensichtlich die Breite 1, und Sie können ihn ganz einfach berechnen und zeigen, dass seine Fläche gleich beträgt.

Abbildung 9.8: Ein bestimmtes Integral und sein Mittelwertrechteck haben dieselbe Breite und Fläche.

Der zweite Graph in Abbildung 9.8 zeigt ein Rechteck mit einer Breite von 1 und einer Fläche von Es sollte also nicht überraschend sein, dass die Höhe dieses Rechtecks ebenfalls ist. Die Oberseite dieses Rechtecks schneidet also die ursprüngliche Funktion.

Die Tatsache, dass die Oberseite des Mittelwertrechtecks die Funktion schneidet, ist leicht nachvollziehbar. Schließlich stellt die Höhe dieses Rechtecks den Durchschnittswert dar, den die Funktion innerhalb eines bestimmten Intervalls annimmt. Dieser Wert muss irgendwo zwischen dem Maximum- und dem Minimumwert der Funktion in diesem Intervall liegen.

Und hier die formale Darstellung des Mittelwertsatzes für die Integralrechnung:

Wenn f(x) eine stetige Funktion im geschlossenen Intervall [a, b] ist, dann gibt es eine Zahl c in diesem Intervall, so dass gilt:

Diese Gleichung sieht vielleicht kompliziert aus, ist aber grundsätzlich nur eine andere Darstellung der vertrauteren Gleichung für die Fläche eines Rechtecks:

Fläche = Höhe Breite

Mit anderen Worten: Gehen Sie von einem bestimmten Integral aus, das eine Fläche darstellt, und zeichnen Sie ein Rechteck derselben Fläche mit derselben Breite (b – a). Die Höhe dieses Rechtecks – f(c) – ist so bestimmt, dass seine Oberseite die Funktion an der Stelle x = c schneidet.

Der Wert f(x) ist der Durchschnittswert von f(x) im Intervall [a, b]. Sie können ihn berechnen, indem Sie die in dem Satz eingerichtete Gleichung umformulieren:

Nachfolgend sehen Sie, wie Sie den Durchschnittswert der schattierten Fläche in Abbildung 9.9 berechnen:

Abbildung 9.9: Das bestimmte Integral und sein Mittelwertrechteck.

Kaum überraschend ist, dass der Durchschnittswert dieses Integrals gleich 40 ist, ein Wert zwischen dem Minimum der Funktion, 8, und ihrem Maximum, 64.

Bogenlängen berechnen

Die Bogenlänge einer Funktion in einem bestimmten Intervall ist die Länge vom Anfangspunkt zum Endpunkt, gemessen entlang des Graphen dieser Funktion.

In gewisser Weise entspricht die Bogenlänge der praktischen Messung von Wegstrecken. Beispielsweise kann es sein, dass Sie nur fünf Kilometer Luftlinie von Ihrem Arbeitsplatz wohnen, aber wenn Sie auf Ihrem Tageskilometerzähler nachlesen, stellen Sie fest, dass die tatsächlich gefahrene Strecke fast sieben Kilometer beträgt. Analog dazu ist die geradlinige Distanz zwischen zwei Punkten immer kürzer als die Bogenlänge entlang einer gekrümmten Funktion, die die beiden Punkte verbindet.

Für die Verwendung der Formel benötigt man jedoch oft die trigonometrische Substitution (siehe Kapitel 7).

Die Formel für die Bogenlänge entlang einer Funktion y = f(x) von a nach b lautet:

Angenommen, Sie wollen die Bogenlänge entlang der Funktion y = x^2 von der Stelle x = 0 bis x = 2 berechnen (siehe Abbildung 9.10).

Abbildung 9.10: Messung der Bogenlänge entlang y = x^2 von (0, 0) bis (2, 4).

Bevor Sie anfangen, beachten Sie, dass wenn Sie eine gerade Linie zwischen diesen beiden Punkten (0, 0) und (2, 4) zeichnen, deren Länge gleich √20 ≈ 4,4721 ist. Die Bogenlänge sollte also etwas länger sein.

Um die Bogenlänge zu berechnen, bestimmen Sie zuerst die Ableitung der Funktion x^2:

Jetzt setzen Sie diese Ableitung und die Integrationsgrenzen in die Formel ein:

Die Berechnung der Bogenlänge bietet Ihnen häufig die Gelegenheit, die trigonometrische Substitution zu üben – insbesondere den Tangens-Fall. Wenn Sie Ihr Dreieck für die trigonometrische Substitution zeichnen, schreiben Sie auf die Hypotenuse, 2x auf die Gegenkathete und 1 auf die Ankathete. Damit erhalten Sie die folgenden Substitutionen:

Das Ergebnis ist das folgende Integral:

Beachten Sie, dass ich die Integrationsgrenzen entfernt habe, weil ich vorhabe, die Variable wieder in x umzuwandeln, bevor ich das bestimmte Integral berechne. Ich erspare Ihnen die Details für die Berechnung dieses unbestimmten Integrals. Sie finden sie in Kapitel 7. Hier das Ergebnis:

Jetzt schreiben Sie jedes sec θ und tan θ unter Verwendung von x:

Jetzt können wir das bestimmte Integral auflösen, das wir zuvor zurückgelassen haben:

Sie können mir entweder glauben, dass der zweite Teil dieser Substitution 0 ergibt, Sie können es aber auch selbst berechnen. Das Ergebnis:

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Volumen den ganzen Tag: Mit Analysis 3D-Aufgaben lösen

In diesem Kapitel...

- Die Scheibenmethode zur Volumenbestimmung verstehen

- Mit Inversen Aufgaben einfacher lösen

- Aufgaben mit Rotationskörpern und Rotationsflächen lösen

- Den Abstand zwischen zwei Oberflächen bestimmen

- Die Mantelflächenmethode zur Volumenbestimmung verstehen

In Kapitel 9 habe ich Ihnen alle möglichen Methoden gezeigt, mit Hilfe von Integralen Flächen zu bestimmen. In diesem Kapitel gehen wir eine Dimension weiter und wenden Integrale an, um das Volumen sowie Oberflächen von Körpern zu ermitteln.

Als Erstes zeige ich Ihnen, wie Sie das Volumen eines Körpers mit Hilfe der Scheibenmethode bestimmen, wobei es sich eigentlich um eine 3D-Erweiterung der grundlegenden Integrationstaktik handelt, die Sie bereits aus Kapitel 1 kennen: Man zerschneidet eine Fläche in eine unendliche Anzahl an Stücken und addiert diese dann.

Wie beispielsweise bei echten Wurstscheiben funktioniert diese Methode am besten, wenn

Sie vertikal schneiden – das heißt senkrecht zur x-Achse. Ich zeige Ihnen deshalb auch, wie Sie mit Hilfe von Inversen einige Körper in die richtige Position drehen.

Anschließend geht es darum, zwei allgemeine Aufgabentypen zu lösen, die die Mathematiklehrer lieben: Bestimmung des Volumens eines Rotationskörpers und Bestimmung der Rotationsfläche.

Mit diesen Techniken im Gepäck geht es weiter zu komplexeren Aufgaben, wo ein Körper als der Abstand zwischen zwei Oberflächen beschrieben wird. Diese Aufgabenstellungen sind das 3D-Äquivalent zur Bestimmung einer Fläche zwischen zwei Kurven, wie in Kapitel 9 beschrieben.

Zum Schluss zeige ich Ihnen noch eine zusätzliche Methode, das Volumen eines Körpers zu bestimmen: die Mantelflächenmethode. Anschließend verschaffe ich Ihnen praktische Perspektiven aller in diesem Kapitel vorgestellten Methoden, so dass Sie erkennen, wann sie anzuwenden sind.

Schneiden Sie sich den Weg frei!

Haben Sie schon einmal gesehen, wie eine ganze Salami mit Hilfe einer Schneidemaschine in Dutzende leckerer hauchdünner Scheiben geschnitten wurde? Selbst wenn Sie Vegetarier sind, bietet Ihnen die Analysis eine tierfreundliche Alternative: Die Scheibenmethode für die Messung des Volumens von Körpern.

Die Scheibenmethode funktioniert am besten mit Körpern, die einen ähnlichen Querschnitt haben. (Darum wird es im nächsten Abschnitt noch genauer gehen.) Hier der Plan:

1. Suchen Sie einen Ausdruck, der die Fläche eines beliebigen Querschnitts des Körpers mit Hilfe von x beschreibt.

2. Verwenden Sie diesen Ausdruck, um ein bestimmtes Integral (unter Verwendung von dx) zu erstellen, das das Volumen des Körpers darstellt.

3. Berechnen Sie dieses Integral.

Machen Sie sich keine Gedanken, wenn Sie das noch nicht verstehen. In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen, wann und wie Sie die Scheibenmethode einsetzen, um Volumen zu bestimmen, die ohne die Analysis schwierig oder unmöglich zu bestimmen wären.

Das Volumen eines Körpers mit kongruenten Querschnitten bestimmen

Bevor es in die Analysis geht, will ich Ihnen ein bisschen Hintergrund zur Volumenbestimmung bei Körpern verschaffen. Denken Sie kurz darüber nach, wie Volumen ohne Analysis bestimmt wird, was Ihnen eine große Hilfe sein wird, wenn Sie die Analysis-Arena betreten. Das alles ist nicht kompliziert – ein bisschen grundlegende Geometrie, die Sie wahrscheinlich schon kennen. Lehnen Sie sich also zurück und genießen Sie.

Einer der einfachsten Körper, dessen Volumen Sie bestimmen können, ist ein Prisma. Ein Prisma ist ein Körper, der lauter kongruente Querschnitte in Form eines Polygons hat. Das bedeutet, egal wie Sie ein Prisma parallel zu seiner Basis zerschneiden, behält sein Querschnitt immer die gleiche Form und Fläche wie die eigentliche Basis.

Die Formel für das Volumen eines Prismas ist einfach die Grundläche multipliziert mit der Höhe:

Wenn Sie also ein dreieckiges Prisma mit einer Höhe von drei Zentimetern und einer Grundfläche von zwei Quadratzentimetern haben, beträgt sein Volumen sechs Kubikzentimeter.

Diese Formel funktioniert auch für Zylinder – wobei es sich ebenfalls um eine Art von Prisma mit einer runden Grundfläche handelt – und ganz allgemein für alle Körper mit kongruenten Querschnitten. Beispielsweise trifft dies auf den unregelmäßig aussehenden Körper in Abbildung 10.1 zu. In diesem Fall haben Sie die Information, dass die Grundfläche gleich sieben Quadratzentimeter ist, und die Höhe vier Zentimeter, das Volumen dieses Körpers beträgt also 28 Kubikzentimeter.

Abbildung 10.1: Das Volumen eines unregelmäßigen Körpers mit konstanter Höhe.

Die Bestimmung des Volumens eines Körpers mit kongruentem Querschnitt ist immer einfach, solange man zwei Dinge kennt:

- Die Grundfläche – das heißt die Fläche jedes Querschnitts

- Die Höhe des Körpers

Das Volumen eines Körpers mit ähnlichen Querschnitten bestimmen

Im vorigen Abschnitt mussten Sie keine Analysis anwenden. Aber stellen Sie sich jetzt vor, Sie wollen das Volumen des kompliziert aussehenden hyperbolischen Kühlturms auf der linken Seite von Abbildung 10.2 bestimmen.

Warum kann diese Aufgabe nicht mehr mit der Formel für Prismen und Zylinder gelöst werden? In diesem Fall gelangt man immer zur selben Form, wenn man immer wieder parallel zur Basis schneidet – nämlich zu einem Kreis – aber die Fläche kann variieren. Das bedeutet, der Körper hat ähnliche Querschnitte, keine kongruenten.

Abbildung 10.2: Bestimmung des Volumens eines hyperbolischen Kühlturms, indem dieser in zylindrische Abschnitte zerteilt wird.

Sie können dieses Volumen schätzen, indem Sie den Körper in mehrere Zylinder schneiden, das Volumen jedes Zylinders durch Anwendung der Formel für Körper konstanter Höhe bestimmen, und diese separaten Volumen addieren. Natürlich wird Ihre Schätzung mit steigender Scheibenzahl besser. Und wie Sie wahrscheinlich schon geahnt haben: Wenn Sie unendlich viele Scheiben schneiden, erhalten Sie das exakte Volumen des Körpers.

All das hört sich verdächtig nach Analysis an. Und tatsächlich geht es in diesem Abschnitt um die Scheibenmethode, die bestens für die Messung von Körpern mit ähnlichen Querschnitten geeignet ist.

Wenn Sie in einer Aufgabe aufgefordert werden, das Volumen eines Körpers zu bestimmen, sehen Sie sich das Bild dieses Körpers an und überlegen Sie, wie Sie ihn so zerlegen können, dass alle Querschnitte gleich sind. Das ist ein guter Schritt zum Verständnis der Aufgabe, so dass Sie sie lösen können.

Um Körper mit unregelmäßigem Aussehen zu messen, die keine ähnlichen Querschnitte aufweisen, brauchen Sie die mannigfaltige Analysis, um die es in Analysis III gehen wird. Einen Überblick über dieses Thema finden Sie in Kapitel 14.

Das Volumen einer Pyramide bestimmen

Angenommen, Sie wollen das Volumen einer Pyramide mit einer quadratischen Basis von 6 × 6 Einheiten und einer Höhe von 3 Einheiten messen. Die Geometrie bietet Ihnen dafür die folgende Formel:

Diese Formel funktioniert wunderbar, aber Sie bietet Ihnen keinerlei Hinweise, wie Sie vergleichbare Aufgaben lösen könnten: Sie funktioniert nur für Pyramiden. Die Scheibenmethode dagegen bietet einen Ansatz für das Problem, den Sie auf viele andere Arten von Körpern verallgemeinern können.

Zu Beginn kippe ich diese Pyramide entlang der x-Achse eines Graphen, wie in Abbildung 10.3 gezeigt. Beachten Sie, dass die Spitze der Pyramide im Ursprung liegt, und der Mittelpunkt der Basis am Punkt (6, 0).

Abbildung 10.3: Eine Pyramide in einem Graphen.

Um das genaue Volumen der Pyramide zu bestimmen, gehen Sie wie folgt vor:

1. Finden Sie einen Ausdruck, der die Fläche eines beliebigen Querschnitts der Pyramide unter Verwendung von x darstellt.

An der Stelle x = 1 ist der Querschnitt 2^2 = 4. An der Stelle x = 2 ist er 4^2 = 16. Und an der Stelle x = 3 ist er 6^2 = 26. Allgemein ausgedrückt, ist also die Fläche des Querschnitts:

A = (2x)2 = 4x^2

2. Erzeugen Sie mit Hilfe dieses Ausdrucks ein bestimmtes Integral, das das Volumen der Pyramide darstellt.

In diesem Fall sind die Integrationsgrenzen 0 und 3:

3. Berechnen Sie dieses Integral:

Dies ist dieselbe Lösung, wie sie die Pyramidenformel erzeugt. Aber diese Methode kann auf sehr viel mehr Körper angewendet werden.

Das Volumen eines unregelmäßigen Körpers bestimmen

Nachdem Sie die grundlegende Scheibentechnik kennen, können Sie sie auf jeden Körper anwenden, dessen Querschnitt eine Funktion von x ist. In einigen Fällen sind diese Körper schwieriger zu beschreiben als zu messen. Betrachten Sie beispielsweise Abbildung 10.4.

Abbildung 10.4 besteht aus zwei Exponentialkurven – eine beschrieben durch die Gleichung y = ex, die andere beschrieben dadurch, dass dieselbe Kurve direkt vor die x-Achse gestellt wird, verbunden durch gerade Linien. Die anderen Seiten des Körpers sind abgeschlossene Ebenen, die senkrecht in den unterschiedlichsten Richtungen verlaufen.

Abbildung 10.4: Ein Körper aus zwei Exponentialkurven im Raum.

Beachten Sie, dass wenn Sie diesen Körper senkrecht zur x-Achse schneiden, sein Querschnitt immer ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck ist. Diese Form ist sehr einfach zu messen, deshalb funktioniert die Scheibenmethode bestens, um das Volumen dieses Körpers zu bestimmen. Hier die Schritte:

1. Finden Sie einen Ausdruck, der die Fläche eines beliebigen Querschnitts des Körpers darstellt.

Das Dreieck auf der y-Achse hat eine Höhe und Grundseite von 1 – das heißt e^0. Und das Dreieck auf der Linie x = 1 hat eine Höhe und Grundseite von e^1, also 3. Allgemein ausgedrückt, die Höhe und die Grundseite jedes Querschnittsdreiecks ist ex.

So würden Sie die Formel für die Fläche eines Dreiecks anwenden, um die Fläche eines Querschnitts unter Verwendung von x darzustellen:

2. Verwenden Sie diesen Ausdruck, um ein bestimmtes Integral zu erstellen, das das Volumen des Körpers darstellt.

Nachdem Sie wissen, wie die Fläche eines Querschnitts gemessen wird, integrieren Sie, um alle Querschnitte von x = 0 bis x = 1 zu addieren:

3. Berechnen Sie dieses Integral, um das Volumen zu bestimmen:

Ein Problem auf die Seite gelegt

Bei einer echten Wurstschneidemaschine müssen Sie eine Möglichkeit finden, das zu schneidende Gut auf die Seite zu legen, so dass es passt. Dasselbe gilt für Aufgabenstellungen in der Analysis.

Angenommen, Sie wollen das Volumen des in Abbildung 10.5 gezeigten Körpers messen.

Die gute Nachricht ist, dass dieser Körper Querschnitte aufweist, die alle ähnliche Dreiecke darstellen, die Scheibenmethode funktioniert also. Leider müssten Sie bei der gegenwärtigen Darstellung der Aufgabe die Scheiben senkrecht zur y-Achse schneiden. Um die Scheibenmethode anwenden zu können, müssen die Scheiben aber senkrecht zur x-Achse verlaufen.

Abbildung 10.5: Anwendung von Inversen, um eine Aufgabe für die Scheibenmethode geeignet zu machen.

Um das Problem zu lösen, kippen Sie den Körper zunächst auf die x-Achse, wie auf der rechten Seite von Abbildung 10.5 gezeigt. Am einfachsten verwenden Sie dazu die Inverse der Funktion y = x^4. Um die Inverse zu finden, vertauschen Sie x und y in der Gleichung und lösen nach y auf:

Beachten Sie, dass die resultierende Gleichung in diesem Fall kei ne Funktion von x ist, weil ein einziger x-Wert mehrere y-Werte erzeugen kann. Sie können diese Gleichung jedoch in Kombination mit der Scheibenmethode einsetzen, um das gesuchte Volumen zu bestimmen.

1. Suchen Sie einen Ausdruck, der die Fläche eines beliebigen Querschnitts des Körpers darstellt.

Der Querschnitt ist ein gleichschenkliges Dreieck mit einer Höhe von 3 und einer Grundseite von 2 , deshalb verwenden Sie die Formel für die Fläche eines Dreiecks:

2. Verwenden Sie diesen Ausdruck, um ein bestimmtes Integral zu erstellen, das das Volumen des Körpers darstellt.

3. Lösen Sie das Integral.

Jetzt berechnen Sie diesen Ausdruck:

Zwei revolutionäre Probleme

Analysislehrer sind immer auf der Suche nach neuen Möglichkeiten, ihre Schüler zu quälen. Übertrieben? Dennoch ist es manchmal schwierig zu erkennen, warum eine Aufgabenstellung ohne größeren praktischen Nutzen Einzug in die Ruhmeshalle der Analysis gehalten hat.

In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen zwei Aufgabenstellungen von fragwürdigem praktischem Wert (außer natürlich, die Prüfung in Analysis II zu bestehen!). Als Erstes geht es darum, wie Sie das Volumen eines Rotationskörpers bestimmen: eines Körpers, der erzeugt wird, indem eine Funktion um eine Achse gedreht wird. Die Scheibenmethode, die ich im vorigen Abschnitt beschrieben habe, kann auch auf Aufgaben dieser Art angewendet werden.

Anschließend geht es darum, die Fläche einer Rotationsfläche zu bestimmen: eine Oberfläche, die erzeugt wird, indem eine Funktion um eine Achse gedreht wird. Glücklicherweise gibt es für diese Art Aufgabenstellung und ihre Lösung eine Formel.

Ihr Verständnis für Rotationskörper verfestigen

Ein Rotationskörper wird erzeugt, indem eine Funktion oder ein Teil einer Funktion um eine Achse gedreht werden – in den meisten Fällen die x-Achse oder die y-Achse.

Abbildung 10.6: Ein Körper, der durch die Drehung von y = 2 sin x um die x-Achse entsteht.

Die linke Seite von Abbildung 10.6 beispielsweise zeigt die Funktion y = 2 sin x zwischen x = 0 und x = .

Jeder Rotationskörper hat kreisförmige Querschnitte senkrecht zur Drehachse. Wenn die Drehachse gleich die x-Achse ist (oder eine andere Linie parallel zur x-Achse), können Sie Ihre Scheibenmethode direkt anwenden, die ich Ihnen in einem früheren Abschnitt dieses Kapitels gezeigt habe.

Wenn die Drehachse jedoch die y-Achse ist (oder eine andere Linie parallel zur y-Achse), müssen Sie die Aufgabe abändern, wie im Abschnitt »Ein Problem auf die Seite gelegt« beschrieben.

Um das Volumen eines Rotationskörpers zu bestimmen, wenden Sie die Scheibenmethode an:

1. Suchen Sie einen Ausdruck, der die Fläche eines beliebigen Querschnitts des Körpers darstellt (unter Verwendung von x).

Dieser Querschnitt ist ein Kreis mit dem Radius 2 sin x:

A = πr^2 = π(2sinx)2 = 4πsin^2x

2. Verwenden Sie diesen Ausdruck, um ein bestimmtes Integral zu erstellen (unter Verwendung von dx), welches das Volumen des Körpers darstellt.

Jetzt sind die Integrationsgrenzen 0 und :

3. Berechnen Sie dieses Integral unter Verwendung der Halbwinkelformel für Sinus, wie in Kapitel 7 beschrieben:

Jetzt berechnen Sie:

Das Volumen dieses Rotationskörpers beträgt also annähernd 9,8696 Kubikeinheiten.

Später in diesem Kapitel erhalten Sie mehr Übung in der Messung von drehenden Körpern.

Die Rotationsfläche bestimmen

Praktisch bei der Bestimmung der Rotationsfläche ist, dass es eine Formel dafür gibt. Merken Sie sich diese Formel, dann ist schon das meiste geschafft.

Um die Fläche einer Rotationsfläche zwischen a und b zu bestimmen, wenden Sie die folgende Formel an:

Diese Formel sieht lang und kompliziert aus, aber Sie werden sie verstehen, wenn Sie kurz darüber nachdenken. Das Integral besteht aus zwei Teilen:

- Der Bogenlängenformel, die die Länge entlang der Oberfläche misst (siehe Kapitel 9)

- Der Formel für den Kreisumfang, die die Länge um die Oberfläche misst

Sie multiplizieren diese beiden Teile, so wie Sie die Länge und die Breite eines Rechtecks multiplizieren, um die Fläche zu bestimmen. Letztlich erlaubt Ihnen die Formel, die Oberfläche als unendliche Anzahl kleiner Rechtecke zu messen.

Wenn Sie die Rotationsfläche einer Funktion f(x) um die x-Achse messen, setzen Sie r = f(x) in die Formel ein, die ich Ihnen eben gezeigt habe:

Angenommen, Sie wollen die in Abbildung 10.7 gezeigte Rotationsfläche bestimmen:

Um dieses Problem zu lösen, beachten Sie als Erstes, dass für f(x) = x^3 gilt f′(x) = 3x^2. Sie können die Aufgabe also wie folgt darstellen:

Abbildung 10.7: Messung der Rotationsfläche von y = x^3 zwischen x = 0 und x = 1.

Als Erstes vereinfachen Sie das Problem ein bisschen:

Dieses Problem können Sie unter Verwendung der Variablensubstitution lösen:

Beachten Sie, dass ich die Integrationsgrenzen geändert habe: Für x = 0 ist u = 1. Und für x = 1 ist u = 10.

Jetzt können Sie die Integration durchführen:

Jetzt berechnen Sie das bestimmte Integral:

Den Abstand ermitteln

In Kapitel 9 habe ich Ihnen gezeigt, wie Sie die Fläche zwischen zwei Kurven bestimmen, indem Sie ein Integral von dem anderen subtrahieren. Dasselbe Prinzip gilt für die dritte Dimension, wenn Sie das Volumen eines Körpers bestimmen wollen, der zwischen zwei unterschiedlichen Oberflächen liegt.

Die Scheibenmethode, die ich in diesem Kapitel bereits beschrieben habe, ist für viele Aufgabenstellungen dieser Art geeignet. Der Trick dabei ist, die Donut-förmige Fläche eines Querschnitts als die Differenz zwischen zwei Integralen zu beschreiben: ein Integral, das die gesamte Form beschreibt, minus einem anderen, das die Lücke beschreibt.

Nehmen Sie beispielsweise an, Sie wollen das Volumen des in Abbildung 10.8 gezeigten Körpers bestimmen.

Abbildung 10.8: Ein schüsselförmiger Körper zwischen zwei Rotationsflächen.

Dieser Körper sieht ein bisschen aus wie eine auf die Seite gelegte Schüssel. Der äußere Abschluss ist der Rotationskörper um die x-Achse für die Funktion √x. Der innere Ab schluss ist der Rotationskörper um die x-Achse für die Funktion .

1. Suchen Sie einen Ausdruck, der die Fläche eines beliebigen Querschnitts des Körpers darstellt.

Das bedeutet, suchen Sie die Fläche eines Kreises mit einem Radius von √x und sub trahieren Sie die Fläche eines Kreises mit dem Radius :

2. Verwenden Sie diesen Ausdruck, um ein bestimmtes Integral zu erstellen, das das Volumen des Körpers darstellt.

Die Integrationsgrenzen sind hier 0 und 4.

3. Lösen Sie das Integral:

Jetzt berechnen Sie diesen Ausdruck:

Die nachfolgende Aufgabe beinhaltet alles, was Sie hier über die Scheibenmethode gelernt haben. Bestimmen Sie das Volumen des in Abbildung 10.9 gezeigten Körpers. Dieser Körper liegt zwischen der Rotationsfläche y = ln x und der Rotationsfläche y = , unten begrenzt durch y = 0 und oben durch y = 1.

Abbildung 10.9: Ein weiterer Körper zwischen zwei Rotationsflächen.

Der Querschnitt dieses Körpers ist auf der rechten Seite von Abbildung 10.9 gezeigt: ein Kreis mit einem Loch in der Mitte.

Beachten Sie jedoch, dass dieser Querschnitt senkrecht zur y-Achse verläuft. Um die Scheibenmethode anwenden zu können, muss der Querschnitt senkrecht zur x-Achse verlaufen. Ändern Sie die Aufgabe mit Hilfe von Inversen ab, wie im Abschnitt »Ein Problem auf die Seite gelegt« beschrieben:

Abbildung 10.10a zeigt die resultierende Aufgabenstellung.

Abbildung 10.10b: Wenden Sie Inverse an, um die Aufgabe aus Abbildung 10.9 zu drehen, so dass Sie die Scheibenmethode anwenden können.

Jetzt können Sie die Scheibenmethode anwenden, um die Aufgabe zu lösen.

1. Finden Sie einen Ausdruck, der die Fläche eines beliebigen Querschnitts des Körpers darstellt.

Das bedeutet, finden Sie die Fläche eines Kreises mit dem Radius ex und subtrahieren Sie die Fläche eines Kreises mit dem Radius . Das ist reine Geometrie, aber ich gehe hier ganz langsam vor, so dass Sie alle Schritte erkennen können. Sie wissen, dass die Fläche eines Kreises gleich πr^2 ist:

A = Fläche des äußeren Kreises – Fläche des inneren Kreises

2. Verwenden Sie diesen Ausdruck, um ein bestimmtes Integral zu erstellen, welches das Volumen des Körpers darstellt:

Die Integrationsgrenzen sind 0 und 1:

3. Berechnen Sie das Integral:

Das Volumen dieses Körpers beträgt also annähernd 2,9218 Kubikeinheiten.

Lassen Sie sich einwickeln!

Die Mantelflächenmethode ist vergleichbar mit der Scheibenmethode, die ich bereits früher in diesem Kapitel beschrieben habe. Sie erlaubt Ihnen, das Volumen eines Körpers zu messen, indem Sie das Volumen vieler konzentrischer Flächen des Volumens messen, so genannte »Mantelflächen«.

Obwohl die Mantelflächenmethode nur für Körper mit kreisförmigem Querschnitt funktioniert, ist sie ideal für Rotationskörper um die y-Achse geeignet, weil Sie keine Inverse von Funktionen verwenden müssen, wie im Abschnitt »Ein Problem auf die Seite gelegt« beschrieben. Und das geht so:

1. Finden Sie einen Ausdruck, der die Fläche einer beliebigen Hülle des Körpers unter Verwendung von x darstellt.

2. Verwenden Sie diesen Ausdruck, um ein bestimmtes Integral (unter Verwendung von dx) zu erstellen, das das Volumen des Körpers darstellt.

3. Berechnen Sie das Integral.

Wie Sie sehen, erinnert die Methode an die Scheibenmethode. Der wesentliche Unterschied ist, dass Sie die Fläche von Mantelflächen statt von Querschnitten messen.

Das Etikett einer Suppendose entfernen und messen

Sie können eine Suppendose als Anschauungsobjekt verwenden – oder irgendeine andere Dose mit Papieretikett – um sich die Mantelflächenmethode besser vorstellen zu können. Gehen Sie also in die Speisekammer und holen Sie sich eine Dose Suppe.

Angenommen, Ihre Suppendose hat Standardgröße mit einem Radius von 3 cm und einer Höhe von 8 cm. Sie können die Formel für einen Zylinder anwenden, um das Volumen zu berechnen:

V = Ab ⋅ h = 3^2 π ⋅ 8 = 72π

Eine andere Möglichkeit ist die Scheibenmethode, die ich Ihnen an frührer Stelle in diesem Kapitel gezeigt habe. Eine dritte Möglichkeit, auf die ich hier genauer eingehen werde, ist die Mantelflächenmethode.

Um die Mantelflächenmethode zu verstehen, schlitzen Sie die Papierhülle der Suppendose vertikal auf und entfernen sie sorgfältig von der Dose, wie in Abbildung 10.11 gezeigt. (Merken Sie sich aber auf jeden Fall, was auf dem Etikett stand, damit Sie später noch wissen, welche Suppe in der Dose ist.)

Abbildung 10.11: Die Mantelflächenmethode verstehen Sie besser, indem Sie das Etikett von einer Suppendose entfernen.

Beachten Sie, dass das Etikett einfach nur ein Rechteck ist. Seine kürzere Seite ist gleich der Höhe der Dose (8 cm), und seine längere Seite ist gleich dem Umfang (2π ⋅ 3 cm = 6π cm). Die Fläche dieses Rechtecks beträgt also 48 Quadratzentimeter.

Und jetzt der wesentliche Schritt: Stellen Sie sich vor, die Dose besteht aus unendlich vielen Etiketten, die konzentrisch umeinander gewickelt sind, bis zum Kern. Die Fläche jedes dieser Rechtecke beträgt:

A = 2πx ⋅ 8 = 16πx

Die Variable x ist in diesem Fall jeder mögliche Radius von 0 (dem Radius des Kreises im Mittelpunkt der Dose) bis 3 (dem Radius des Kreises an der äußeren Begrenzung). Und so wenden Sie die Mantelflächenmethode an, um das Volumen der Dose zu bestimmen:

1. Suchen Sie einen Ausdruck, der die Fläche einer zufälligen Hülle der Dose darstellt (unter Verwendung von x):

A = 2πx ⋅ 8 = 16πx

2. Verwenden Sie diesen Ausdruck, um ein bestimmtes Integral zu erstellen (unter Verwendung von dx), welches das Volumen der Dose darstellt.

Denken Sie daran, dass Sie bei der Mantelflächenmethode alle Hüllen von der Mitte (mit dem Radius 0) bis zur äußeren Begrenzung (mit dem Radius 3) addieren. Verwenden Sie also diese Werte als Integrationsgrenzen:

3. Werten Sie dieses Integral aus:

Jetzt berechnen Sie diesen Ausdruck:

= 8π(3)2 − 0 = 72π

Die Mantelflächenmethode ergibt, dass das Volumen der Dose gleich 72π Kubikzentimeter ist.

Anwendung der Mantelflächenmethode

Ein Vorteil der Mantelflächenmethode gegenüber der Scheibenmethode kommt dann ins Spiel, wenn Sie ein Volumen einer Drehung um die y-Achse messen.

Früher in diesem Kapitel habe ich Ihnen erklärt, dass die Scheibenmethode am besten funktioniert, wenn ein Körper auf der Seite liegt – das heißt, wenn Sie Scheiben senkrecht zur x-Achse schneiden können. Wenn die ähnlichen Querschnitte eines Körpers senkrecht zur y-Achse sind, müssen Sie Inverse anwenden, um die Aufgabe anders anzuordnen, bevor Sie anfangen können, Scheiben zu schneiden. (Weitere Informationen finden Sie im Abschnitt »Ein Problem auf die Seite gelegt«.)

Dieser Schritt zur Neuanordnung ist bei der Mantelflächenmethode nicht erforderlich. Das macht sie ideal geeignet für die Messung von Rotationskörpern um die y-Achse. Angenommen, Sie wollen das Volumen des in Abbildung 10.12 gezeigten Körpers messen.

Abbildung 10.12: Mit der Mantelflächenmethode finden Sie das Volumen eines Rotationskörpers.

Und so können Sie mit der Mantelflächenmethode eine Lösung finden, ohne Inverse anwenden zu müssen:

1. Suchen Sie einen Ausdruck, der die Fläche einer beliebigen Mantelfläche des Körpers darstellt (unter Verwendung von x).

Sie wissen, dass jede Mantelfläche ein Rechteck mit zwei unterschiedlichen Seiten ist: Eine Seite ist die Höhe der Funktion an der Stelle x – das heißt cos x. Die andere Seite ist der Umfang des Körpers an der Stelle x – das heißt 2πx. Um die Fläche einer Mantelfläche zu finden, multiplizieren Sie also diese beiden Zahlen:

A = 2πx cos x

2. Verwenden Sie diesen Ausdruck, um ein bestimmtes Integral zu erstellen (unter Verwendung von dx), welches das Volumen des Körpers darstellt.

In diesem Fall müssen Sie daran denken, dass Sie alle Mantelflächen von der Mitte (x = 0) bis zur äußeren Abdeckung zu addieren sind.

3. Berechnen Sie das Integral.

Dieses Integral ist ganz einfach durch die partielle Integration zu lösen:

Jetzt berechnen Sie diesen Ausdruck:

Das Volumen des Körpers beträgt also etwa 0,5708 Kubikeinheiten.

Wissen, wann und wie 3D-Aufgaben zu lösen sind

Weil Schüler so häufig verunsichert sind, wenn es in der Analysis um 3D-Aufgaben geht, folgt hier noch eine abschließende Betrachtung aller Methoden aus diesem Kapitel, und wie Sie sie auswählen.

Als Erstes denken Sie daran, dass jede Aufgabe in diesem Kapitel in eine der folgenden beiden Kategorien eingeteilt werden kann:

- Die Fläche einer Rotationsfläche bestimmen

- Das Volumen eines Körpers bestimmen

Im ersten Fall verwenden Sie die Formel, die ich Ihnen im Abschnitt »Die Rotationsfläche bestimmen« vorgestellt habe.

Im zweiten Fall denken Sie daran, dass der Schlüssel zum Volumen jedes Körpers ist, ihn in die Richtung in Scheiben zu schneiden, in der ähnliche Querschnitte entstehen, deren Fläche ganz einfach gemessen werden kann – z. B. ein Kreis, ein Rechteck oder ein Dreieck. Ihre erste Frage lautet also, ob diese ähnlichen Querschnitte horizontal oder vertikal angeordnet sind.

- Horizontal bedeutet, dass sich der Körper bereits in der richtigen Position für die Scheibenmethode befindet. (Sie können sich dazu hilfreich vorstellen, dass Sie eine Salami in einer Wurstschneidemaschine schneiden. Die Salami muss dazu auf der Seite liegen – das heißt horizontal – damit Sie anfangen können, zu schneiden.)

- Vertikal bedeutet, dass der Körper aufrecht steht, so dass die Scheiben aufeinander gestapelt werden.

Wenn die Querschnitte horizontal angeordnet sind, ist die Scheibenmethode die einfachste Verfahrensweise (siehe Abschnitt »Schneiden Sie sich den Weg frei«).

Wenn die Querschnitte vertikal angeordnet sind, müssen Sie noch eine Frage stellen, nämlich ob es sich bei diesen Querschnitten um Kreise handelt:

- Wenn die Querschnitte keine Kreise sind, müssen Sie Inverse anwenden, um den Körper in horizontale Richtung zu bringen (wie im Abschnitt »Ein Problem auf die Seite gelegt« beschrieben).

- Sind es Kreise, können Sie entweder Inverse anwenden, um den Körper in horizontale Richtung zu bringen (wie im Abschnitt »Ein Problem auf die Seite gelegt« beschrieben), oder die Mantelflächenmethode anwenden (wie im Abschnitt »Lassen Sie sich einwickeln! « beschrieben).

Teil IV

Unendliche Reihen

In diesem Teil ...

Einführung der unendlichen Reihen – das heißt der Summen einer unendlichen Anzahl von Termen. Ich werde Ihnen die Grundlagen für die Arbeit mit Folgen und Reihen vermitteln und Ihnen alle möglichen Methoden vorstellen, wie Sie feststellen können, ob eine Reihe konvergent oder divergent ist. Außerdem lernen Sie, wie Sie die Taylor-Reihen nutzen, um die unterschiedlichsten Funktionen auszudrücken und auszuwerten.

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Folgen und Reihen

In diesem Kapitel...

- Eine Vielzahl von Notationen für Folgen kennen

- Erkennen, ob eine Folge konvergent oder divergent ist

- Reihen in Sigma-Notation und in erweiterter Notation darstellen

- Eine Reihe auf Konvergenz oder Divergenz testen

Und wenn Sie gerade denken, dass das Semester dem Ende entgegengeht, führt Ihr Lehrer in Analysis II ein neues Thema ein: unendliche Reihen.

Wenn Sie es richtig angehen, sind Reihen gar nicht so schwierig. Schließlich ist eine Reihe einfach nur ein Haufen addierter Zahlen. Natürlich kommt es vor, dass dieser Haufen unendlich groß ist, aber die Addition ist wirklich die einfachste Mathematik überhaupt.

Der letzte Monat im Semester ist natürlich hart. Sie stehen bereits vor den Prüfungen und denken an die Ferien. Und plötzlich stellen Sie fest, dass der Lehrer es ernst meint und von Ihnen diesen Stoff verlangt. Unendliche Reihen können Sie in eine unendliche Depression stürzen: Warum gerade das? Warum jetzt? Warum ich?

In diesem Kapitel vermittle ich Ihnen die Grundlagen für Reihen. Als Erstes werden Sie dazu unendliche Folgen betrachten. Wenn Sie die Folgen verstanden haben, sind Reihen auch leichter zu verstehen. Anschließend geht es um unendliche Reihen. Ich werde Ihnen zeigen, wie Sie eine Reihe sowohl in erweiterter als auch in Sigma-Notation darstellen. Außerdem erkläre ich Ihnen, wie jede Reihe mit zwei Folgen verknüpft ist.

Anschließend geht es um das immens wichtige Thema der Konvergenz und Divergenz. Dieses Konzept ist relativ umfangreich, deshalb werde ich Ihnen hier die Grundlagen vermitteln und die komplexere Information in Kapitel 12 nachschieben. Und zum Schluss stelle ich Ihnen ein paar wichtige Arten von Reihen vor.

Unendliche Folgen

Eine Folge von Zahlen ist einfach nur eine Menge von Zahlen in einer bestimmten Reihenfolge. Beispiel:

Wenn eine Folge unendlich weiterläuft, handelt es sich um eine unendliche Folge. Die Analysis, die sich vor allem mit der Unendlichkeit beschäftigt, konzentriert sich natürlich auf eben diese unendlichen Folgen.

Jede Zahl in einer Folge wird als Term dieser Folge bezeichnet. In der Folge 1, 4, 9, 16, … ist also der erste Term 1, der zweite Term ist 4 usw.

Folgen zu verstehen, ist ein wichtiger Schritt, um Reihen zu verstehen.

Notationen für Folgen

Die einfachste Notation für die Definition einer Folge ist eine Variable mit einem tiefgestellten n, dargestellt in runden Klammern. Beispiel:

Sie können einen bestimmten Term in der Folge mit Hilfe der tiefgestellten Nummer ansprechen:

Sie müssen unbedingt den Unterschied zwischen der Notation mit und ohne runde Klammern verstehen:

- Die Notation (an) mit runden Klammern bezieht sich auf die gesamte Folge.

- Die Notation an ohne runde Klammern bezieht sich auf den n-ten Term der Folge.

Bei der Definition einer Folge können Sie statt Angabe der ersten Terme auch eine auf n basierende Regel angeben. (Das entspricht in etwa der typischen Definition einer Funktion.) Beispiel:

Manchmal enthält die Notation der Klarheit halber die ersten paar Terme sowie eine Regel, wie der n-te Term der Folge zu finden ist. Beispiel:

Diese Notation kann präzisiert werden, indem Anfangs- und Endwerte für n angegeben werden:

Dieses letzte Beispiel verdeutlicht, dass der Anfangswert von n nicht unbedingt 1 sein muss, so dass Sie eine größere Flexibilität besitzen, eine Zahlenreihe unter Verwendung einer Regel zu definieren.

Lassen Sie sich nicht durch die Notation für Zahlenfolgen verwirren. Wenn Sie eine neue Folge sehen, die durch eine Regel definiert ist, sehen Sie sich einfach die ersten vier oder fünf Zahlen der Folge an. Normalerweise wird eine Aufgabe sehr viel einfacher, nachdem Sie das Muster erkannt haben.

Konvergente und divergente Folgen

Jede unendliche Folge ist entweder konvergent oder divergent:

- Eine konvergente Folge hat einen Grenzwert – das heißt, sie nähert sich einer reellen Zahl an.

- Eine divergente Folge hat keinen Grenzwert.

Hier beispielsweise eine konvergente Folge:

Diese Folge nähert sich 0 an, es gilt also:

lim (an) = 0

Die Folge konvergiert also gegen 0.

Noch eine konvergente Folge:

Jetzt nähert sich die Folge von unten und von oben 8 an, deshalb gilt:

lim (bn) = 8

Häufig jedoch divergiert eine Folge – das heißt, sie nähert sich keiner reellen Zahl an. Divergenz kann auf zweierlei Arten stattfinden. Der offensichtlichste Typ der Divergenz tritt auf, wenn eine Folge gegen plus oder minus Unendlich geht – das heißt, sie entfernt sich mit jedem Term immer weiter von 0. Hier ein paar Beispiele:

( – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6, – 7, …)

(ln 1, ln 2, ln 3, ln 4, ln 5, …)

(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …)

In jedem dieser Fälle nähert sich die Folge entweder ∞ oder – ∞ an, deshalb ist der Grenzwert der Folge nicht existent. Aus diesem Grund ist die Folge divergent.

Ein zweiter Typ Divergenz tritt auf, wenn eine Folge zwischen zwei oder mehr Werten oszilliert. Beispiel:

(0, 7, 0, 7, 0, 7, 0, 7, …)

(1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, …)

In diesen Fällen springt die Folge unendlich lange hin und her und geht nie gegen einen bestimmten Wert. Auch hier existiert der Grenzwert der Folge nicht, und die Folge ist divergent.

Unendliche Reihen

Im Gegensatz zu einer unendlichen Folge (eine unendliche Liste von Zahlen), ist eine unendliche Reihe eine endlose Summe von Zahlen. Sie können jede unendliche Folge in eine unendliche Reihe umwandeln, indem Sie einfach Pluszeichen aus den Kommas machen. Beispiel:

(1, 2, 3, 4, …) | 1 + 2 + 3 + 4 + …

Die beiden wichtigsten Notationen für Reihen sind die Sigma-Notation und die erweiterte Notation. Die Sigma-Notation gibt eine explizite Regel für die Erstellung der Reihe an (weitere grundlegende Informationen zur Sigma-Notation finden Sie in Kapitel 2). Die erweiterte Notation bietet ausreichend viele erste Terme einer Reihe, so dass das Muster der Reihe deutlich wird.

Hier beispielsweise drei Reihen unter Verwendung beider Notationsformen:

Wie Sie sehen, kann eine Reihe mit jeder beliebigen ganzen Zahl beginnen.

Ganz nach dem Muster der Folgen (siehe Abschnitt »Unendliche Folgen« früher in diesem Kapitel) gilt auch für Reihen, dass jede Reihe entweder konvergent oder divergent ist:

- Die Berechnung einer konvergenten Reihe ergibt eine reelle Zahl.

- Die Berechnung einer divergenten Reihe ergibt keine reelle Zahl.

Um Ihnen zu verdeutlichen, wie die Berechnung einer Reihe mit Konvergenz und Divergenz verknüpft ist, zeige ich Ihnen hier ein paar Beispiele. Betrachten Sie zunächst die folgende konvergente Reihe:

Beachten Sie, dass beim Addieren dieser Reihe von links nach rechts die Gesamtsumme eine Folge ist, die sich 2 annähert:

Diese Folge wird auch als Partialsummenfolge für diese Reihe bezeichnet. Ich werde Partialsummenfolgen detaillierter im Abschnitt »Verknüpfung einer Reihe mit zwei verwandten Folgen« beschreiben.

Merken Sie sich bitte hier, dass der Wert einer Reihe gleich dem Grenzwert ihrer Partialsummenfolge ist. In diesem Fall können Sie, weil der Grenzwert der Folge gleich 2 ist, die Reihe wie folgt berechnen:

Die Reihe konvergiert also gegen 2.

Häufig divergiert eine Reihe jedoch – das heißt, sie ergibt keine reelle Zahl. Wie bei Folgen kann die Divergenz bei Reihen auch auf zweierlei Arten auftreten. Der offensichtlichste Typ Divergenz tritt auf, wenn eine Reihe gegen unendlich oder minus unendlich geht. Beispiel:

Beobachten Sie, was passiert, wenn Sie die einzelnen Terme dieser Reihe addieren:

– 1, – 3, – 6, – 10, ...

Offensichtlich divergiert die Partialsummenfolge gegen minus unendlich, deshalb ist die Reihe ebenfalls divergent.

Eine zweite Art Divergenz tritt auf, wenn eine Reihe zwischen positiven und negativen Werten oszilliert, so dass sich die Reihe nie an einen Wert annähert. Beispiel:

Und hier die zugehörige Partialsummenfolge:

1, 0, 1, 0, ...

In diesem Fall wechselt die Partialsummenfolge ständig zwischen 1 und 0, ist also divergent. Aus diesem Grund ist auch die Reihe divergent. Diese Art Reihe wird auch als alternierende Reihe bezeichnet. Weitere Informationen über alternierende Reihen finden Sie in Kapitel 12.

Konvergenz und Divergenz sind unbestritten das wichtigste Thema in Ihren letzten Wochen von Analysis II. Viele Ihrer Prüfungsfragen werden Sie auffordern, zu prüfen, ob eine Reihe konvergent oder divergent ist.

Später in diesem Kapitel werde ich Ihnen zeigen, wie Sie erkennen, ob bestimmte wichtige Reihen konvergent oder divergent sind. In Kapitel 12 finden Sie zahlreiche praktische Werkzeuge, um diese Frage allgemeiner zu beantworten. Für den Moment merken Sie sich ganz einfach, dass Konvergenz und Divergenz wichtige Konzepte sind.

Die Sigma-Notation

Die Sigma-Notation ist eine kompakte und praktische Methode für die Darstellung von Reihen.

Das ist die offizielle Version der Geschichte. Es kann aber auch vorkommen, dass die Sigma-Notation undeutlich und beunruhigend ist – insbesondere, wenn Ihr Lehrer sie in Lichtgeschwindigkeit über die gesamte Tafel kritzelt, während er gleichzeitig eine komplexe Beweisführung erklärt. Viele Studenten gehen einfach im Kreidestaub verloren.

Gleichzeitig ist die Sigma-Notation praktisch und wichtig, weil sie eine präzise Methode bietet, Reihen darzustellen und mathematisch damit zu arbeiten.

In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen zahlreiche praktische Tipps für den Umgang mit der Sigma-Notation. Einige dieser Tipps werden Sie spätestens dann als hilfreich schätzen, wenn Sie im Laufe des Kapitels weitere Reihen kennen lernen, aber auch in den Kapiteln 12 und 13. Passen Sie also gut auf!

Sigma-Notation in erweiterter Form

Wenn Sie mit unbekannten Reihen arbeiten, notieren Sie sie zunächst sowohl in Sigma-Notation als auch in erweiterter Notation. Auf diese Weise erfahren Sie sehr viel mehr über die Reihe. Beispiel:

Anhand dieser Darstellung erkennen Sie sehr wahrscheinlich nicht auf den ersten Blick, wie sich diese Reihe verhält, deshalb stellen Sie sie in erweiterter Form dar:

Nachdem Sie einige dieser Terme aufgeschrieben haben, sieht das Ganze schon weniger besorgniserregend aus. Zum einen haben Sie vielleicht schon erkannt, dass es ein Rennen zwischen dem Zähler und dem Nenner gibt. Irgendwann holt der Zähler auf und geht in Führung. Weil die Terme irgendwann größer als 1 werden, geht diese Reihe gegen unendlich, sie divergiert also.

Mehrere Methoden für die Sigma-Notation

Fast jede in Sigma-Notation ausgedrückte Reihe kann in leicht veränderter Form dargestellt werden. Beispiel:

Diese Reihe drücken Sie wie folgt in Sigma-Notation aus:

Alternativ können Sie dieselbe Reihe auch auf die folgenden Arten ausdrücken:

Abhängig von dem Problem, das Sie zu lösen versuchen, ist möglicherweise die eine oder andere dieser Ausdrucksweisen besser geeignet als die anderen – wenn Sie beispielsweise die in Kapitel 12 vorgestellten Vergleichstests anwenden. Hier sollten Sie nur erkennen, wie flexibel Sie unter Verwendung der Sigma-Notation sind, Reihen auszudrücken.

Die Faktorregel für Reihen

In Kapitel 4 haben Sie die Faktorregel für die Integration kennen gelernt, die Ihnen gestattet, ein Integral zu vereinfachen, indem Sie eine Konstante herausziehen. Diese Option steht Ihnen auch bei der Arbeit mit Reihen zur Verfügung. Und hier die Regel:

Beispiel:

Um zu erkennen, warum diese Regel funktioniert, erweitern Sie die Reihe zunächst, so dass Sie sehen, womit Sie es zu tun haben:

In der erweiterten Form können Sie aus jedem Term 7 ausklammern:

Jetzt drücken Sie den Inhalt der Klammern in Sigma-Notation aus:

Wie durch Zauberhand zeigt dieses Verfahren, dass die beiden Sigma-Ausdrücke gleich sind. Aber diese Zauberei ist auch nicht außergewöhnlicher als Ihr alter Freund aus früheren Zeiten, die Distributiveigenschaft.

Die Summenregel für Reihen

Und noch ein praktisches Werkzeug für Ihre Arbeiten mit der Sigma-Notation. Diese Regel entspricht der Summenregel für die Integration (siehe Kapitel 4), die Ihnen gestattet, eine Summe innerhalb eines Integrals in die Summe von zwei separaten Integralen aufzuspalten. Analog dazu können Sie die Summe innerhalb einer Reihe in die Summe von zwei separaten Reihen umwandeln:

Beispiel:

Mit ein bisschen Algebra können Sie diesen Bruch in zwei Terme zerlegen:

Und jetzt können Sie dieses Ergebnis nach der Regel in zwei Reihen aufspalten:

Diese Summe aus zwei Reihen ist gleich der Reihe, von der Sie ausgegangen sind. Wie bei der Summenregel für die Integration kann es auch die Darstellung einer Reihe als die Summe von zwei einfacheren Reihen die Aufgabe einfacher machen. Allgemein ausgedrückt, wenn Sie weiterhin mit Reihen arbeiten, kann jeder Trick wichtig sein, mit dem Sie eine schwierige Reihe vereinfachen.

Verknüpfung einer Reihe mit ihren zwei verwandten Folgen

Jede Reihe hat zwei zugehörige Folgen. Die Unterscheidung zwischen einer Folge und einer Reihe lautet wie folgt:

- Eine Folge ist eine Liste von Zahlen, die durch Kommas voneinander getrennt sind (Beispiel: (1, 2, 3, ...)).

- Eine Reihe ist eine Summe von Zahlen, die durch Pluszeichen voneinander getrennt sind (Beispiel: 1 + 2 + 3 + ...).

Wenn Sie sehen, wie sich eine Reihe und ihre zwei zugehörigen Folgen unterscheiden, aber auch miteinander zusammenhängen, gewinnen Sie ein besseres Verständnis für die Arbeitsweise von Reihen.

Eine Reihe und ihre definierende Folge

Die erste mit einer Reihe verknüpfte Folge ist einfach die Folge, die die Reihe definiert. Nachfolgend sehen Sie Reihen in Sigma-Notation und in erweiterter Notation sowie die jeweils definierende Folge:

Wenn eine Folge (an) bereits definiert ist, können Sie die Notation ∑an verwenden, um auf die zugehörige Reihe beginnend bei n = 1 zu verweisen. Wenn beispielsweise (an) = , dann ist

Es ist aus zwei Gründen wichtig, den Unterschied zwischen einer Reihe und ihrer definierenden Folge zu kennen. Erstens und insbesondere sollten Sie die Konzepte von Folgen und Reihen nicht verwechseln. Aber zweitens kann die Folge, die die Reihe definiert, wichtige Informationen über die Reihe bieten. Weitere Informationen über den Test auf den n-ten Term finden Sie in Kapitel 12. Dort finden Sie auch die Verknüpfung zwischen einer Reihe und ihrer definierenden Folge.

Eine Reihe und ihre Partialsummenfolgen

Anhand der Partialsummen der ersten Terme einer Reihe können Sie sehr viele Informationen ableiten. Nachfolgend eine Reihe, die Sie schon kennen:

Und hier die ersten vier Partialsummen dieser Reihe:

Sie können die Partialsummen dieser Reihe in der folgenden Folge darstellen:

Im Allgemeinen hat jede Reihe ∑an eine zugehörige Partialsummenfolge (Sn). Nachfolgend ein paar Beispiele für solche Paare:

Jede Reihe und ihre zugehörige Partialsummenfolge sind entweder beide konvergent oder beide divergent. Wenn sie beide konvergent sind, konvergieren sie beide gegen dieselbe Zahl.

Diese Regel sollte kaum überraschend sein. Schließlich ist eine Partialsummenfolge einfach eine laufende Summe dessen, wohin die Reihe geht. Diese Regel kann jedoch trotzdem hilfreich sein. Angenommen, Sie wollen wissen, ob die folgende Folge konvergent oder divergent ist:

Was bedeutet diese Folge überhaupt? Nach genauerer Betrachtung erkennen Sie, dass es die Partialsummenfolge für eine einfache Reihe ist:

Diese Reihe, auch als die harmonische Reihe bezeichnet, ist divergent, Sie können also schließen, dass auch die Partialsummenfolge divergent ist.

Geometrische Reihen und P-Reihen erkennen

Auf den ersten Blick erscheinen viele Reihen seltsam und fremd. Aber einige große Reihenkategorien gehören in die Ruhmeshalle. Wenn Sie wissen, wie Sie diese Reihen erkennen, sind Sie bereits auf dem besten Weg zu bestimmen, ob sie konvergent oder divergent sind. In einigen Fällen können Sie auch den exakten Wert einer konvergenten Reihe ermitteln, ohne unendlich viele Zahlen addieren zu müssen.

In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen, wie Sie zwei gebräuchliche Reihentypen erkennen und mit ihnen arbeiten: geometrische Reihen und P-Reihen.

Geometrische Reihen

Eine geometrische Reihe ist eine beliebige Reihe der folgenden Form:

Hier einige Beispiele für geometrische Reihen:

In der ersten Reihe sind a = 1 und r = 2. In der zweiten sind a = 1 und . Und in der dritten sind a = 3 und .

Wenn Sie nicht sicher sind, ob eine Reihe geometrisch ist, können Sie dies wie folgt überprüfen:

1. Sei a gleich der erste Term der Reihe.

2. Sei r gleich der zweite Term dividiert durch den ersten Term.

3. Prüfen Sie, ob die Reihe die Form a + ar^2 + ar^3 + ar^4 + … hat.

Angenommen, Sie wollen feststellen, ob die folgende Reihe geometrisch ist:

Wenden Sie das oben beschriebene Verfahren an:

1. Sei a gleich der erste Term der Reihe.

2. Sei r gleich der zweite Term dividiert durch den ersten Term.

3. Prüfen Sie, ob die Reihe die Form a + ar^2 + ar^3 + ar^4 + … hat.

Wie Sie sehen, ist diese Reihe geometrisch. Um den Grenzwert einer geometrischen Reihe a + ar + ar^2 + ar^3 + ... zu bestimmen, wenden Sie die folgende Formel an:

Der Grenzwert der Reihe aus dem vorigen Beispiel ist also:

Wenn der Grenzwert einer Reihe existiert, wie in unserem Beispiel, wird die Reihe als konvergent bezeichnet. Sie sagen also, diese Reihe konvergiert gegen .

In einigen Fällen gibt es jedoch keinen Grenzwert für eine geometrische Reihe (das heißt, der Grenzwert existiert nicht). Dann ist die Reihe divergent. Hier die vollständige Regel, die Ihnen mitteilt, ob eine Reihe konvergent oder divergent ist:

Für jede geometrische Reihe a + ar + ar^2 + ar^3 + ... gilt, wenn r in der offenen Menge ( – 1, 1) liegt, konvergiert die Reihe gegen , andernfalls divergiert die Reihe.

Ein Beispiel verdeutlicht dies. Betrachten Sie die folgende geometrische Reihe:

In diesem Fall sind a = 1 und r = . Weil r > 1, ist jeder Term in der Reihe größer als der jeweils vorhergehende Term, deshalb wächst die Reihe mit einer immer schnelleren Geschwindigkeit.

Diese Reihe verdeutlicht eine einfache aber wichtige Faustregel für die Entscheidung, ob eine Reihe konvergent oder divergent ist: Eine Reihe kann nur dann konvergent sein, wenn die zugehörige Folge gegen 0 konvergiert. Ich werde dieses wichtige Konzept (den so genannten Test auf den n-ten Term) in Kapitel 12 genauer erklären.

Und jetzt betrachten Sie das folgende Beispiel:

Hier ist a = 1 und . Weil r < – 1 ist, wachsen die ungeraden Terme nach plus unendlich, die negativen Terme nach minus unendlich. Die zugehörige Partialsummenfolge oszilliert also wild von positiv nach negativ, wobei sie sich bei jedem Term weiter von Null wegbewegt als beim vorhergehenden Term.

Eine Reihe, in der die Terme abwechselnd positiv und negativ sind, wird als alternierende Reihe bezeichnet. Weitere Informationen über alternierende Reihen finden Sie in Kapitel 12.

Allgemein kann man sagen, die geometrische Reihe ist der einzige Reihentyp, dessen Wert mit Hilfe einer einfachen Formel berechnet wird. Wenn in einer Aufgabe also nach dem Wert einer Reihe gefragt wird, versuchen Sie, sie in die Form einer geometrischen Reihe zu bringen.

Angenommen, Sie werden aufgefordert, den Wert der folgenden Reihe zu ermitteln:

Die Tatsache, dass Sie aufgefordert werden, den Wert der Reihe zu berechnen, sollte Sie schon auf den Gedanken bringen, dass die Reihe geometrisch ist. Verwenden Sie das oben beschriebene Verfahren, um a und r zu bestimmen:

Hier folgt, wie Sie die Reihe in Sigma-Notation als geometrische Reihe unter Verwendung von a und r ausdrücken:

Jetzt können Sie die Formel für die Berechnung des Werts dieser Reihe anwenden:

Die p-Reihe

Eine weitere wichtige Reihe ist die so genannte p-Reihe. Eine p-Reihe ist eine Reihe der folgenden Form:

Hier ein gebräuchliches Beispiel für eine p-Reihe, für p = 2:

Hier einige weitere Beispiele für p-Reihen:

Verwechseln Sie nicht p-Reihen mit geometrischen Reihen (die ich im vorigen Abschnitt vorgestellt habe). Hier der Unterschied:

- Eine geometrische Reihe hat die Variable n im Exponenten – z. B.

- Eine p-Reihe hat die Variable in der Basis – z. B. ∑ .

Wie bei geometrischen Reihen gibt es eine einfache Regel, um zu erkennen, ob eine p-Reihe konvergent oder divergent ist.

Eine p-Reihe konvergiert, wenn p > 1, und sie divergiert, wenn p ≤ 1.

Den Beweis für diesen Satz erhalten Sie in Kapitel 12. In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen, warum ein paar wichtige Beispiele von p-Reihen konvergent oder divergent sind.

Harmonie mit der harmonischen Reihe

Wenn p = 1 ist, nimmt die p-Reihe die folgende Form an:

Diese p-Reihe ist wichtig genug, dass sie ihren eigenen Namen erhalten hat: die harmonische Reihe. Die harmonische Reihe ist divergent.

Überprüfen der p-Reihe für p = 2, p = 3 und p = 4

Hier die p-Reihen, wenn p gleich den ersten paar ganzen Zahlen größer 1 ist:

Weil p > 1, sind diese Reihen alle konvergent.

Überprüfen der p-Reihe für

Für sieht die p-Reihe wie folgt aus:

Weil p ≤ 1, divergiert diese Reihe. Um zu erkennen, warum sie divergiert, beachten Sie, dass wenn n eine Quadratzahl ist, der n-te Term gleich ist. Diese p-Reihe beinhaltet also jeden Term aus der harmonischen Reihe plus sehr viele weitere Terme. Weil die harmonische Reihe divergent ist, ist auch diese Reihe divergent.

12

Wohin führt das Ganze? Konvergenzkriterien

In diesem Kapitel...

- Konvergenz und Divergenz verstehen

- Mit dem Trivialkriterium beweisen, dass eine Reihe divergiert

- Das Integralkriterium, Quotientenkriterium und Wurzelkriterium durchführen

- Absolute Konvergenz und Konvergenz unterscheiden

Konvergenzkriterien sind das Highlight bei der Arbeit mit Reihen in Analysis II. Aus Kapitel 11 wissen Sie, dass wenn eine Reihe konvergiert, ihre Berechnung eine reelle Zahl ergibt. Divergiert eine Reihe dagegen, ergibt ihre Berechnung keine reelle Zahl, weil sie entweder gegen plus oder minus unendlich geht oder sich nicht auf einen einzigen Wert einschwingt.

In Kapitel 11 habe ich Ihnen zwei Tests vorgestellt, um zu erkennen, ob bestimmte Reihen (geometrische Reihen und p-Reihen) konvergent oder divergent sind. In diesem Kapitel erhalten Sie sieben weitere Kriterien, die sich auf sehr viel mehr Reihen beziehen.

Das erste dieser Kriterien ist das Trivialkriterium, quasi ein Selbstläufer. Anschließend geht es weiter mit zwei Vergleichskriterien: dem direkten Vergleichstest und dem Grenzwertvergleichstest. Diese Kriterien bezeichne ich gerne als Einbahnstraßenkriterien: Sie bringen nur dann eine Antwort, wenn die Reihe den Test besteht, aber nicht, wenn sie ihn nicht besteht. Anschließend stelle ich zwei bidirektionale Kriterien vor, die eine Antwort erzeugen, wenn die Reihe den Test besteht, und die entgegengesetzt Antwort, wenn die Reihe den Test nicht besteht. Diese Kriterien sind das Integralkriterium, das Quotientenkriterium und das Wurzelkriterium.

Und schließlich wird es noch um alternierende Reihen gehen, in denen die Terme abwechselnd positiv und negativ sind. Ich stelle alternierende Reihen den positiven Reihen gegenüber, nämlich Reihen, mit denen Sie bereits vertraut sind, und ich zeige Ihnen, wie Sie eine positive Reihe zu einer alternierenden Reihe machen und umgekehrt. Anschließend bringe ich Ihnen bei, wie Sie beweisen, ob eine alternierende Reihe konvergent oder divergent ist, indem Sie den Test auf alternierende Reihen anwenden. Und zum Schluss stelle ich Ihnen noch die wichtigen Konzepte zu absoluter Konvergenz und bedingter Konvergenz vor.

Wir beginnen ganz vorne

Wenn Sie auf Konvergenz oder Divergenz prüfen, halten Sie sich nicht zu lange damit auf, an welcher Stelle die Reihe beginnt. Beispiel:

Dies ist einfach nur eine harmonische Reihe, deren erste 1000 Terme übersprungen wurden:

Diese Brüche sehen vielleicht winzig aus, aber die harmonische Reihe divergiert (siehe Kapitel 11), und es ändert sich auch nichts an dieser Tatsache, wenn man eine endliche Anzahl an Termen vom Anfang der Reihe entfernt.

Hier ist also zu merken, dass es beim Test auf Konvergenz oder Divergenz irrelevant ist, an welcher Stelle die Reihe beginnt. Sie können auch die ersten Milliarden Terme weglassen, wenn Ihnen das hilft, zu beweisen, dass die Reihe konvergent oder divergent ist.

Analog dazu können Sie in den meisten Fällen einer Reihe ein paar Terme hinzufügen, ohne Konvergenz oder Divergenz zu beeinflussen. Beispiel:

Sie können diese Reihe irgendwo zwischen n = 2 bis n = 999 beginnen lassen, ohne die Tatsache zu ändern, dass sie divergiert (weil es sich um eine harmonische Reihe handelt). Seien Sie aber vorsichtig, denn wenn Sie die Reihe bei n = 1 beginnen lassen, addieren Sie den

Term , was überhaupt nicht geht. In den meisten Fällen können Sie jedoch eine unend liche Reihe ergänzen, ohne Probleme zu verursachen oder die Konvergenz oder Divergenz der Reihe zu verändern.

Obwohl das Weglassen von Termen vom Anfang einer Reihe sich nicht auf die Konvergenz oder Divergenz der Reihe auswirkt, wirkt es sich sehr wohl auf die Summe einer konvergenten Reihe aus. Beispiel:

Wenn Sie die ersten paar Terme dieser Reihe weglassen, etwa 1, und , ändert dies nichts daran, dass die Reihe konvergent ist. Allerdings ändert sich der Wert, gegen den die Reihe konvergiert. Beispiel:

Das Trivialkriterium

Das Trivialkriterium zum Beweis der Divergenz ist das erste Kriterium, das Sie kennen sollten. Es ist ganz einfach und erlaubt Ihnen, zahlreiche Reihen als divergent zu erkennen.

Wenn der Grenzwert der Folge (an) ungleich 0 ist, ist die Reihe ∑an divergent.

Um Ihnen zu zeigen, warum dieser Test funktioniert, definiere ich eine Folge, welche die geforderte Bedingung erfüllt – das heißt eine Folge, die nicht gegen 0 geht:

Beachten Sie, dass der Grenzwert der Folge 1 statt 0 ist. Und hier die zugehörige Reihe:

Weil diese Reihe die Summe einer unendlichen Menge an Termen ist, die sehr nahe bei 1 liegen, erzeugt sie natürlich eine unendlich große Summe, ist also divergent.

Die Tatsache, dass der Grenzwert einer Folge (an) gleich 0 ist, bedeutet nicht zwingend, dass die Reihe ∑an konvergent ist.

Die harmonische Folge , ... beispielsweise geht gegen 0, aber (wie in Kapitel 11 ge zeigt) die harmonische Reihe + ... ist divergent.

Wenn Sie auf Konvergenz oder Divergenz testen, führen Sie immer als Erstes das Trivialkriterium durch. Dies ist ein einfacher Test, und viele Lehrer nehmen ihn in ihre Prüfungen auf, weil er einfach zu benoten ist, aber den unvorsichtigen Studenten aus dem Rennen wirft. Achtung: Wenn die definierende Folge einer Reihe nicht gegen 0 geht, divergiert die Reihe, andernfalls müssen Sie weitere Tests durchführen.

Viele Wege führen nach Rom

Tests auf Konvergenz oder Divergenz können in der Regel in zwei Kategorien eingeteilt werden: Tests in eine Richtung und Tests in zwei Richtungen.

Tests in eine Richtung

Tests in eine Richtung erlauben Ihnen nur dann einen Schluss zu ziehen, wenn eine Reihe den Test besteht, aber nicht, wenn sie durchfällt. Normalerweise bedeutet das Bestehen des Tests, dass eine bestimmte Bedingung erfüllt ist.

Das Trivialkriterium ist ein perfektes Beispiel für einen Test in eine Richtung: Wenn eine Reihe den Test besteht – das heißt, wenn der Grenzwert der definierenden Folge ungleich 0 ist –, ist die Reihe divergent. Wenn die Reihe den Test nicht besteht, können Sie keinerlei Schlüsse daraus ziehen.

Später in diesem Kapitel werden Sie mehrere Tests in eine Richtung kennen lernen: den direkten Vergleichstest und den Grenzwertvergleichstest.

Tests in zwei Richtungen

Ein Test in zwei Richtungen erlaubt Ihnen, einen Schluss zu ziehen, wenn eine Reihe den Test besteht, und den entgegengesetzten Schluss, wenn eine Reihe den Test nicht besteht. Wie bei einem Test in eine Richtung bedeutet das Bestehen des Tests, dass eine bestimmte Bedingung erfüllt ist. Das Nichtbestehen des Tests bedeutet, dass die Negierung dieser Bedingung erfüllt ist.

Der Test auf eine geometrische Reihe beispielsweise ist ein Test in zwei Richtungen (weitere Informationen über das Testen von geometrischen Reihen auf Konvergenz und Divergenz finden Sie in Kapitel 11). Wenn eine Reihe den Test besteht – das heißt, wenn r in der offenen Menge ( – 1, 1) liegt –, ist sie konvergent. Wenn eine Reihe den Test nicht besteht – das heißt, wenn für r ≤ – 1 oder r ≥ 1 gilt –, ist sie divergent.

Analog dazu ist auch der Test auf p-Reihen ein Test in zwei Richtungen (weitere Informationen zu diesem Test finden Sie in Kapitel 11).

Beachten Sie, dass kein Test – auch nicht ein Test in zwei Richtungen – garantiert eine Antwort bieten kann. Ein Test ist einfach nur ein Werkzeug. Wenn Sie Probleme damit haben, ein Stück Holz mit einem Hammer zu zersägen, dann liegt das meistenteils nicht am Hammer: Sie haben einfach das falsche Werkzeug gewählt.

Wenn Sie also mit einem bestimmten Test nicht demonstrieren können, dass eine bestimmte Bedingung oder ihre Negierung gilt, dann ist noch nicht alles verloren. Sie wenden einfach einen anderen Test an, der besser für die Aufgabenstellung geeignet ist.

Später in diesem Kapitel werde ich Ihnen drei weitere Kriterien in zwei Richtungen vorstellen: das Integralkriterium, das Quotientenkriterium und das Wurzelkriterium.

Vergleichstests

Vergleichstests erlauben Ihnen, mit Hilfe von Dingen, die Sie kennen, Dinge festzustellen, die Sie wissen wollen. Die Dinge, die Sie kennen, werden in der Fachsprache auch als Benchmark-Reihen bezeichnet – Reihen, deren Konvergenz oder Divergenz Sie bereits bewiesen haben. Und die Dinge, die Sie wissen wollen, sind natürlich, ob eine unbekannte Reihe konvergiert oder divergiert.

Wie das Trivialkriterium sind Vergleichstests Tests in eine Richtung: Wenn eine Reihe den Test besteht, beweisen Sie damit, was Sie beweisen wollten (das heißt Konvergenz oder Divergenz). Besteht eine Reihe den Test nicht, sagt das Ergebnis des Vergleichstests nichts aus.

In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen zwei grundlegende Vergleichstests: den direkten Vergleichstest und den Grenzwertvergleichstest.

Direkte Antworten mit dem direkten Vergleichstest suchen

Sie können den direkten Vergleichstest (das Majoranten- bzw. Minorantenkriterium) einsetzen, um Konvergenz oder Divergenz zu beweisen – abhängig davon, wie Sie den Test einrichten.

Um zu beweisen, dass eine Reihe konvergiert, gehen Sie wie folgt vor:

1. Suchen Sie eine Benchmark-Reihe, von der Sie wissen, dass sie konvergiert.

2. Zeigen Sie, dass jeder Term der getesteten Reihe kleiner oder gleich dem entsprechenden Term der Benchmark-Reihe ist.

Um zu beweisen, dass eine Reihe divergiert, gehen Sie wie folgt vor:

1. Suchen Sie eine Benchmark-Reihe, von der Sie wissen, dass sie divergiert.

2. Zeigen Sie, dass jeder Term der getesteten Reihe größer oder gleich dem entsprechenden Term der Benchmark-Reihe ist.

Angenommen, Sie sollen feststellen, ob die folgende Reihe konvergiert oder divergiert:

Auf den ersten Blick ist nicht zu erkennen, ob diese Reihe konvergent oder divergent ist. Sie sieht jedoch ein bisschen wie eine p-Reihe mit p = 2 aus:

Sie wissen, dass diese p-Reihe konvergiert (siehe Kapitel 11), deshalb verwenden Sie sie als Benchmark-Reihe. Jetzt müssen Sie zeigen, dass jeder Term in der getesteten Reihe kleiner als der entsprechende Term in der Benchmark-Reihe ist:

Das sieht gut aus, aber um den Beweis formal zu vervollständigen, müssen Sie Folgendes zeigen:

Um zu erkennen, dass diese Aussage wahr ist, beachten Sie, dass die Zähler gleich sind, aber dass der Nenner (n^2 + 1) größer als n^2 ist. Die Funktion ist kleiner als , das heißt, jeder Term in der Testreihe ist kleiner als der entsprechende Term in der konvergenten Benchmark-Reihe. Aus diesem Grund sind beide Reihen konvergent.

Als weiteres Beispiel stellen Sie sich vor, Sie wollen die folgende Reihe auf Konvergenz oder Divergenz testen:

Jetzt erinnert Sie die Reihe an Ihre vertraute harmonische Reihe, von der Sie wissen, dass sie divergent ist:

Unter Verwendung der harmonischen Reihe als Benchmark vergleichen Sie die beiden Reihen Term für Term:

Wieder haben Sie Grund zur Hoffnung, aber um den Beweis formal zu vervollständigen, müssen Sie Folgendes zeigen:

Beachten Sie jetzt, dass die Nenner gleich sind, aber der Zähler 3 ist größer als der Zähler 1. Die Funktion ist also größer als .

Auch hier haben Sie gezeigt, dass jeder Term in der Testreihe größer als der entsprechende Term in der divergenten Benchmark-Reihe ist, deshalb sind beide Reihen divergent.

Als drittes Beispiel wollen wir annehmen, Sie sollen zeigen, ob die folgende Reihe konvergent oder divergent ist:

In diesem Fall ist Ausmultiplizieren des Nenners ein hilfreicher erster Schritt:

Diese Reihe sieht ein bisschen wie eine p-Reihe mit p = 2 aus, wir verwenden also die folgende Benchmark-Reihe:

Die Benchmark-Reihe konvergiert, deshalb müssen Sie zeigen, dass jeder Term der Testreihe kleiner als der entsprechende Term der Benchmark-Reihe ist. Das sieht sehr gut aus, weil:

Um den Lehrer zu überzeugen, müssen Sie jedoch zeigen, dass jeder Term der Testreihe kleiner als der entsprechende Term der Benchmark-Reihe ist:

Wie im ersten Beispiel dieses Abschnitts sind die Zähler gleich, aber der Nenner der Testreihe ist größer als der Nenner der Benchmark-Reihe. Die Testreihe ist also tatsächlich kleiner als die Benchmark-Reihe, das heißt, die Testreihe ist ebenfalls konvergent.

Die Grenzen mit dem Grenzwertvergleichstest austesten

Wie beim direkten Vergleichstest wählen Sie auch beim Grenzwertvergleichstest (Grenzwertkriterium) eine Benchmark-Reihe, deren Verhalten Sie kennen, und die Sie nutzen, um Informationen über eine Testreihe zu erhalten, die Sie nicht kennen.

Hier der Grenzwertvergleichstest: Für eine Testreihe ∑an und eine Benchmark-Reihe ∑bn bestimmen Sie den folgenden Grenzwert:

Wenn dieser Grenzwert eine positive Zahl ist, konvergieren oder divergieren beide Reihen.

Wie beim direkten Vergleichstest, ist das Ergebnis beim Bestehen des Tests davon abhängig, was Sie bereits über die Benchmark-Reihe wissen. Wenn die Benchmark-Reihe konvergiert, dann konvergiert auch die Testreihe. Wenn die Benchmark-Reihe divergiert, dann divergiert auch die Testreihe.

Beachten Sie jedoch, dass dies ein Test in eine Richtung ist: Wenn der Test fehlschlägt, können Sie keine Schlussfolgerung über die Testreihe ziehen.

Der Grenzwertvergleichstest ist insbesondere gut geeignet für das Testen von unendlichen Reihen basierend auf rationalen Ausdrücken. Angenommen, Sie wollen prüfen, ob die folgende Reihe konvergiert oder divergiert:

Wenn Sie eine unendliche Reihe basierend auf einem rationalen Ausdruck testen, wählen Sie eine proportional ähnliche Benchmark-Reihe – das heißt, ihr Zähler und Nenner unterscheiden sich um denselben Grad.

In diesem Beispiel ist der Zähler ein Polynom ersten Grades, und der Nenner ist ein Polynom zweiten Grades (weitere Informationen über Polynome finden Sie in Kapitel 2). Der Nenner ist also ein Grad größer als der Zähler. Aus diesem Grund wähle ich eine proportional ähnliche Benchmark-Reihe – die gute alte harmonische Reihe:

Bevor Sie anfangen, überlegen Sie kurz, was Sie eigentlich testen. In diesem Fall wissen Sie, dass die Benchmark-Reihe divergiert. Wenn der Test also erfolgreich ist, beweisen Sie, dass auch die Testreihe divergiert. (Wenn er dagegen fehlschlägt, gewinnen Sie keine neuen Erkenntnisse, weil dieser Test in eine Richtung verläuft.)

Jetzt richten Sie den Grenzwert ein (es spielt übrigens keine Rolle, welche Reihe Sie in den Zähler, und welche in den Nenner schreiben):

Jetzt können Sie einfach die Zahlen knacken:

Beachten Sie, dass der Zähler und der Nenner beides Polynome zweiten Grades sind. Wenn Sie jetzt die Regel von L’Hospital anwenden (die Ableitung des Zählers und des Nenners bilden), beobachten Sie Folgendes:

Wie durch Zauberhand ergibt sich eine positive Zahl, der Test ist also erfolgreich. Aus diesem Grund divergiert die Testreihe. Beachten Sie jedoch, dass diese Zauberei nur durch die Auswahl einer der Testreihe proportional ähnlichen Benchmark-Reihe möglich war.

Ein weiteres Beispiel sollte alle Unklarheiten beseitigen. Stellen Sie fest, ob die folgende Reihe konvergent oder divergent ist:

Wenn Sie erkennen, dass diese Reihe auf einem rationalen Ausdruck basiert, denken Sie sofort an den Grenzwertvergleichstest. Weil der Nenner zwei Grade höher als der Zähler ist, wählen Sie eine Benchmark-Reihe mit derselben Eigenschaft:

Bevor Sie anfangen, halten Sie Folgendes fest: Die Benchmark-Reihe konvergiert, wenn also der Test erfolgreich ist, konvergiert auch die Testreihe. Anschließend richten Sie Ihren Grenzwert ein:

Jetzt lösen Sie den Grenzwert auf:

Wieder haben der Zähler und der Nenner denselben Grad, Sie sind also auf der richtigen Spur. Jetzt brauchen Sie nur noch ein paar Mal die Regel von L’Hospital anzuwenden:

Der Test ist erfolgreich, die Testreihe konvergiert also. Und auch dieser Erfolg war vorprogrammiert, weil Sie eine der Testreihe proportional ähnliche Benchmark-Reihe ausgewählt haben.

Tests auf Konvergenz und Divergenz in zwei Richtungen

In diesem Kapitel habe ich Ihnen bereits verschiedene Tests auf Konvergenz und Divergenz gezeigt, die jeweils in eine Richtung funktionieren. Das bedeutet, wenn der Test bestanden wird, ergibt sich eine Antwort, aber wird er nicht bestanden, lässt sich keinerlei Information ableiten.

Die Tests in diesem Abschnitt haben alle eine wichtige Eigenschaft gemeinsam: Unabhängig davon, ob die Reihe sie besteht oder nicht, können Sie anhand der Antwort immer erkennen, ob die Reihe konvergent oder divergent ist.

Eine Lösung mit dem Integralkriterium finden

Gerade haben Sie gedacht, Sie bräuchten sich frühestens zwei Tage vor Ihrer Abschlussprüfung wieder mit der Integration beschäftigen, schon taucht sie wieder auf! Die gute Nachricht ist, dass das Integralkriterium einen Test in zwei Richtungen für Konvergenz und Divergenz bietet.

Hier das Integralkriterium:

Für jede Reihe der Form

betrachten Sie das zugehörige Integral:

Wenn dieses Integral konvergiert, konvergiert auch die Reihe. Divergiert das Integral, divergiert auch die Reihe.

Größtenteils verwendet man diesen Test, um festzustellen, ob eine Reihe konvergiert oder divergiert, indem das zugehörige Integral getestet wird. Natürlich können Sie durch Umwandlung der Reihe in ein Integral alle Integrationstricks anwenden, die Sie kennen und lieben.

Beispielsweise verwenden Sie den Integraltest wie folgt, um zu zeigen, dass die harmonische Reihe divergent ist. Zuerst die Reihe:

Der Integraltest teilt Ihnen mit, dass diese Reihe konvergent oder divergent ist, abhängig davon, ob das folgende bestimmte Integral konvergent oder divergent ist:

Um dieses uneigentliche Integral zu berechnen, drücken Sie es als Grenzwert aus, wie in Kapitel 9 gezeigt:

Das ist ganz einfach zu integrieren und zu berechnen:

Weil der Grenzwert gegen unendlich geht, existiert das Integral nicht. Aus diesem Grund teilt Ihnen der Integraltest mit, dass die harmonische Reihe divergent ist.

Als weiteres Beispiel nehmen wir an, Sie wollen feststellen, ob die folgende Reihe konvergent oder divergent ist:

Beachten Sie, dass diese Reihe bei n = 2 beginnt, weil n = 1 den Term erzeugen würde.

Um den Integraltest anzuwenden, wandeln Sie die Summe in das folgende bestimmte Integral um, wobei Sie als untere Integrationsgrenze den Wert 2 einsetzen:

Auch jetzt stellen Sie dieses uneigentliche Integral als Grenzwert eines Integrals dar (siehe Kapitel 9):

Um das Integral zu lösen, wenden Sie die folgende Variablensubstitution an:

Sie können also das Integral wie folgt umformulieren:

Beachten Sie, dass wenn die Variable von x in u umgewandelt wird, sich die Integrationsgrenzen von 2 und c in 2 und ln c ändern. Diese Änderung tritt auf, wenn ich den Wert x = 2 in die Gleichung u = ln x einsetze, so dass u = ln 2. (Weitere Informationen über die Variablensubstitution zur Auswertung bestimmter Integrale finden Sie in Kapitel 5.)

Jetzt können Sie das Integral berechnen:

Sie erkennen ohne größeren Aufwand, dass c gegen unendlich geht, und damit auch ln c, und der restliche Ausdruck wirkt sich nicht darauf aus. Aus diesem Grund ist die überprüfte Reihe divergent.

Aufgaben mit dem Quotientenkriterium rational lösen

Das Quotientenkriterium ist gut für den Umgang mit Reihen, in denen Fakultäten enthalten sind. Sie wissen, dass die Fakultät einer ganzen Zahl, dargestellt durch das Symbol !, diese Zahl multipliziert mit jeder kleineren Zahl als sie selbst ist. Beispiel:

5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120

Weitere praktische Tipps zu Fakultäten, die Ihnen in diesem Abschnitt vielleicht weiterhelfen können, finden Sie in Kapitel 2.

Um das Quotientenkriterium ausführen zu können, bestimmen Sie den Grenzwert (wenn n gegen ∞ geht) des (n + 1)-ten Terms dividiert durch den n-ten Term der Reihe:

Mit dem Risiko, das auf den bisherigen Seiten aufgebaute Vertrauen völlig zu zerstören, muss ich hier zugeben, dass das Quotientenkriterium nicht zwei, sondern drei mögliche Ergebnisse hat:

- Wenn der Grenzwert kleiner 1 ist, konvergiert die Reihe.

- Wenn der Grenzwert größer 1 ist, divergiert die Reihe.

- Wenn der Grenzwert gleich 1 ist, kann keine Schlussfolgerung aus dem Test gezogen werden.

Aber ich bleibe bei meinen Behauptungen und ordne diesen Test als Test in zwei Richtungen ein, weil er abhängig vom Ergebnis Konvergenz oder Divergenz beweisen kann.

Angenommen, Sie wollen feststellen, ob die folgende Reihe konvergent oder divergent ist:

Bevor Sie anfangen, erweitern Sie die Reihe, so dass Sie sich besser vorstellen können, womit Sie es zu tun haben. Dazu gehe ich in zwei Schritten vor, um sicherzustellen, dass die Arithmetik korrekt ist:

Um herauszufinden, ob diese Reihe konvergiert oder divergiert, richten Sie den folgenden Grenzwert ein:

Wie Sie sehen, schreibe ich die Funktion, die die Reihe definiert, in den Nenner. Anschließend schreibe ich diese Funktion um, setze n + 1 für n ein und schreibe das Ergebnis in den Zähler. Nun bestimme ich den Grenzwert:

Jetzt erkennen Sie, warum das Quotientenkriterium so gut für Exponenten und Fakultäten funktioniert: Ziehen Sie eine 2 aus 2n+1 und ein n + 1 aus (n + 1)! heraus:

Dieser Trick erlaubt Ihnen, den Grenzwert wesentlich zu vereinfachen:

Mit dem Wurzelkriterium zu den Wurzeln unserer Antworten

Das Wurzelkritierum funktioniert am besten für Reihen mit Potenzen von n im Zähler und im Nenner.

Um das Wurzelkriterium anzuwenden, bestimmen Sie den Grenzwert (bei n gegen ∞) der n-ten Wurzel des n-ten Terms der Reihe:

Wie beim Quotientenkriterium gibt es eigentlich drei mögliche Ergebnisse, obwohl ich den Test als Test in zwei Richtungen eingeordnet habe:

- Wenn der Grenzwert kleiner 1 ist, konvergiert die Reihe.

- Wenn der Grenzwert größer 1 ist, divergiert die Reihe.

- Wenn der Grenzwert gleich 1 ist, kann keine Schlussfolgerung aus dem Test gezogen werden.

Nehmen Sie beispielsweise an, Sie wollen entscheiden, ob die folgende Reihe konvergent oder divergent ist:

Das wäre für das Quotientenkriterium eine sehr komplizierte Aufgabe. Um das Wurzelkriterium anzuwenden, erstellen Sie den Grenzwert der n-ten Wurzel des n-ten Terms:

Auf den ersten Blick scheint dieser Ausdruck noch schlimmer zu sein als Ihr ursprünglicher Ausdruck. Aber er sieht schon besser aus, wenn Sie Zähler und Nenner in zwei Wurzeln teilen:

Hier kann alles Mögliche gekürzt werden:

Plötzlich sieht alles nicht mehr so dramatisch aus. Der Zähler und der Nenner gehen beide gegen ∞, Sie wenden also die Regel von L’Hospital an:

Weil der Grenzwert kleiner 1 ist, ist die Reihe konvergent.

Alternierende Reihen

Jede der bisher in diesem Kapitel beschriebenen Reihen (und die meisten aus Kapitel 11) haben eines gemeinsam: Jeder Term in der Reihe ist positiv. Es handelt sich also um positive Reihen. Im Gegensatz dazu wird eine Reihe, die unendlich viele positive und unendlich viele negative Terme hat, als alternierende Reihe bezeichnet.

Die meisten alternierenden Reihen wechseln ständig zwischen positiven und negativen Termen, so dass jeder Term an ungerader Stelle positiv und jeder Term an gerader Stelle negativ ist, oder umgekehrt. Diese Eigenschaft bringt noch eine weitere Komplikation in die ganze Sache mit der Konvergenz und Divergenz. In diesem Abschnitt werde ich Ihnen zeigen, was Sie über alternierende Reihen wissen sollten.

Zwei Formen grundlegender alternierender Reihen erkennen

Die grundlegendste alternierende Reihe gibt es in zwei Formen. In der ersten Form werden die Terme an ungerader Stelle negiert, in der zweiten Form werden die Terme an gerader Stelle negiert.

Ohne weiteres Zutun also hier die erste Form der grundlegenden alternierenden Reihe:

Wie Sie sehen, sind in dieser Reihe alle Terme an ungerader Stelle negiert. Und hier die zweite Form, deren Terme an gerader Stelle negiert sind:

Offensichtlich ist die grundlegende alternierende Reihe divergent, egal, welche Form sie annimmt, weil sie nie gegen eine bestimmte Summe konvergiert, sondern stattdessen ewig zwischen zwei Summen hin- und herspringt. Obwohl die Funktionen, die diese grundlegende alternierende Reihe erzeugen, als solche nicht besonders spektakulär sind, werden sie interessant, wenn sie mit einer unendlichen Reihe multipliziert werden.

Aus alt mach neu

Sie können jede positive Reihe in eine alternierende Reihe umwandeln, indem Sie die Reihe mit ( – 1)n oder ( – 1)n – 1 multiplizieren. Hier beispielsweise eine alte Bekannte, die harmonische Reihe:

Um die ungeraden Terme zu negieren, multiplizieren Sie mit ( – 1)n:

Um die geraden Terme zu negieren, multiplizieren Sie mit ( – 1)n – 1:

Auf konvergenten positiven Reihen basierende alternierende Reihen

Wenn Sie wissen, dass eine positive Reihe konvergiert, konvergiert auch jede darauf basierende alternierende Reihe. Diese einfache Regel gestattet Ihnen, alle möglichen konvergenten alternierenden Reihen aufzulisten. Beispiel:

Die erste Reihe ist eine alternierende Version einer geometrischen Reihe mit . Die zweite Reihe ist eine alternierende Variante der bekannten p-Reihe mit p = 2. Die dritte Reihe ist eine alternierende Reihe basierend auf einer Reihe, die ich in einem früheren Abschnitt vorgestellt habe, »Mit dem Verhältnistest Aufgaben rational lösen«. In jedem Fall ist die nicht alternierende Version der Reihe konvergent, und somit ist auch die alternierende Reihe konvergent.

Ich kann Ihnen eine einfache Methode zeigen, um zu erkennen, warum diese Regel funktioniert. Als Beispiel verwende ich die erste der drei oben gezeigten Reihen. Der Wert der positiven Version dieser Reihe ist einfach unter Verwendung der Formel aus Kapitel 11 zu berechnen:

Wenn Sie alle Terme negieren, ist der Wert ebenso einfach zu berechnen:

Wenn also einige Terme positiv und andere negativ sind, muss der Wert der resultierenden Reihe irgendwo zwischen – 2 und 2 liegen. Aus diesem Grund konvergiert die Reihe.

Der Test auf alternierende Reihen

Wenn Sie wissen, dass eine positive Reihe konvergent ist, können Sie davon ausgehen, dass jede auf dieser Reihe basierende alternierende Reihe ebenfalls konvergent ist – wie im vorigen Abschnitt beschrieben. Im Gegensatz dazu werden einige divergente positive Reihen konvergent, wenn sie in alternierende Reihen umgewandelt werden.

Glücklicherweise gibt es einen einfachen Test, um zu entscheiden, ob eine alternierende Reihe konvergent oder divergent ist.

Eine alternierende Reihe konvergiert, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. Ihre definierende Folge konvergiert gegen Null – das heißt, sie besteht den Test auf den n-ten Term.

2. Ihre Terme sind nicht zunehmend (wobei Minuszeichen nicht berücksichtigt werden) – das heißt, jeder Term ist kleiner oder gleich dem vorhergehenden Term.

Diese Bedingungen sind relativ einfach zu testen, wodurch der Test auf alternierende Reihen zu einem der einfachsten Tests in diesem Kapitel wird. Hier drei Beispiele für alternierende Reihen:

Auf den ersten Blick erkennen Sie, dass jede davon beide Kriterien des Tests auf alternierende Reihen erfüllt, sie sind also alle konvergent. Beachten Sie auch, dass in jedem Fall die positive Version derselben Reihe divergent ist. Dies unterstreicht einen wichtigen Punkt: Wenn eine positive Reihe konvergent ist, ist zwingend eine darauf basierende alternierende Reihe ebenfalls konvergent; ist eine positive Reihe dagegen divergent, kann eine darauf basierende Reihe entweder konvergent oder divergent sein.

Technisch ausgedrückt, ist der Test auf alternierende Reihen ein Test in eine Richtung: Wenn die Reihe den Test besteht – das heißt, wenn beide Bedingungen gelten –, ist die Reihe konvergent. Wenn die Reihe den Test nicht besteht – das heißt, wenn eine der Bedingungen nicht erfüllt ist –, können Sie keinen Schluss daraus ziehen.

In der Praxis jedoch würde ich zu behaupten wagen, dass wenn eine Reihe den Test auf alternierende Reihen nicht besteht, es den Umständen nach sehr wahrscheinlich ist, dass die Reihe divergent ist.

Warum sage ich das? Überlegen Sie als Erstes, dass die erste Bedingung das gute alte Trivialkriterium ist. Wenn eine Reihe diesen Test nicht besteht, können Sie sie einfach auf den Stapel für divergente Reihen packen und Ihrer weiteren Arbeit nachgehen.

Zweitens kommt es selten vor, dass eine Reihe – eine beliebige Reihe – die erste Bedingung erfüllt, die zweite dagegen nicht. Natürlich kommt es vor, aber man muss schon angestrengt suchen, um eine solche Reihe zu finden. Und selbst wenn Sie eine finden, nimmt die Reihe häufig relativ schnell ein ständig abnehmendes Muster an.

Betrachten Sie beispielsweise die folgende alternierende Reihe:

Diese Reihe besteht offensichtlich die erste Bedingung für den Test auf alternierende Reihen – den Test auf den n-ten Term –, weil der Nenner sehr viel schneller gegen unendlich geht als der Zähler.

Und was ist mit der zweiten Bedingung? Die ersten drei Terme steigen (unabhängig vom Vorzeichen), aber über diese Terme hinaus nimmt die Reihe ein ständig abnehmendes Muster an. Sie können also die ersten paar Terme verwerfen und dieselbe Reihe auf etwas andere Weise darstellen:

Diese Version der Reihe besteht den Test auf alternierende Reihen problemlos, sie ist also konvergent. Wenn man dieser Reihe ein paar Konstanten hinzufügt, wird sie dadurch offensichtlich nicht divergent, die ursprüngliche Reihe ist also ebenfalls konvergent.

Wenn Sie also eine alternierende Reihe testen, gehen Sie wie folgt vor:

1. Testen Sie auf die erste Bedingung – das heißt, wenden Sie das Trivialkriterium an.

Wenn die Reihe den Test nicht besteht, ist sie divergent und Sie sind fertig.

2. Wenn die Reihe die Anwendung des Trivialkriteriums besteht, testen Sie auf die zweite Bedingung – das heißt, Sie prüfen, ob ihre Terme irgendwann ein ständig abnehmendes Muster annehmen (wobei natürlich das Vorzeichen zu ignorieren ist).

Größtenteils stellt man fest, dass eine Reihe, welche die erste Bedingung erfüllt, auch die zweite erfüllt, das heißt, die Reihe ist konvergent.

In den seltenen Fällen, dass eine alternierende Reihe die erste Bedingung des Tests auf alternierende Reihen erfüllt, nicht aber die zweite Bedingung, können Sie keinen Schluss dahingehend ziehen, ob diese Reihe konvergiert oder divergiert.

Diese Fälle sind wirklich selten, aber ich werde Ihnen hier einen zeigen, so dass Sie wissen, was zu tun ist, wenn Ihr Lehrer in einer Prüfung besonders tückisch ist:

Beide Reihen erfüllen das erste Kriterium des Tests auf alternierende Reihen, nicht aber das zweite, so dass Sie keinen Schluss aus diesem Test ziehen können. Tatsächlich ist die erste Reihe konvergent, und die zweite ist divergent. Sehen Sie sich die Reihen genauer an, dann werden Sie erkennen, warum das so ist. (Hinweis. Versuchen Sie, die Reihen in zwei separate Reihen zu unterteilen.)

Absolute und bedingte Konvergenz verstehen

In den beiden vorherigen Absätzen habe ich den folgenden wichtigen Sachverhalt erklärt: Wenn eine positive Reihe konvergent ist, ist eine darauf basierende alternierende Reihe zwingend ebenfalls konvergent. Wenn dagegen eine positive Reihe divergent ist, kann eine darauf basierende alternierende Reihe konvergent oder divergent sein.

Es gibt also für jede alternierende Reihe drei Möglichkeiten:

- Eine alternierende Reihe ist konvergent, und die positive Version dieser Reihe ist ebenfalls konvergent.

- Eine alternierende Reihe ist konvergent, aber die positive Version dieser Reihe ist divergent.

- Eine alternierende Reihe ist divergent, deshalb muss die positive Version dieser Reihe ebenfalls divergent sein.

Weil es für alternierende Reihen drei Möglichkeiten gibt, wird ein neues Konzept erforderlich: die Unterscheidung zwischen absoluter Konvergenz und Konvergenz.

Tabelle 12.1 gibt an, wann eine alternierende Reihe absolut konvergent, konvergent oder divergent ist.

Tabelle 12.1: Die absolute und bedingte Konvergenz alternierender Reihen verstehen.

Eine alternierende Reihe ist: | wenn diese Reihe ist: | und die zugehörige positive Reihe ist:
Absolut konvergent | Konvergent | Konvergent
Konvergent | Konvergent | Divergent
Divergent | Divergent | Divergent

Hier einige Beispiele für alternierende Reihen, die absolut konvergent sind:

Diese drei Beispiele stammen aus dem Abschnitt »Auf konvergenten positiven Reihen basierende alternierende Reihen« aus diesem Kapitel. In jedem Fall ist die positive Version der Reihe konvergent, die zugehörige alternierende Reihe muss also ebenfalls konvergent sein. Insgesamt bedeuten diese beiden Tatsachen, dass jede Reihe absolut konvergiert.

Und hier einige Beispiele für alternierende Reihen, die »nur« konvergent sind:

Diese Beispiele stammen aus dem Abschnitt »Der Test auf alternierende Reihen« aus diesem Kapitel. In jedem Fall divergiert die positive Version der Reihe, aber die alternierende Reihe konvergiert (nach dem Test auf alternierende Reihen). Jede dieser Reihen ist also »nur« konvergent.

Und schließlich folgen hier noch ein paar Beispiele für divergierende alternierende Reihen:

Wie Sie sehen, bestehen die beiden ersten Reihen das Trivialkriterium nicht, das gleichzeitig die erste Bedingung des Tests auf alternierende Reihen ist, deshalb divergieren diese beiden Reihen. Weil die dritte Reihe im Grund eine divergente harmonische Reihe minus einer konvergenten geometrischen Reihe ist – das heißt eine divergente Reihe, von der eine endliche Zahl subtrahiert wird – divergiert die ganze Reihe.

Alternierende Reihen testen

Angenommen, jemand (Ihr Lehrer) übergibt Ihnen eine alternierende Reihe, die Sie nie zuvor gesehen haben, und Sie sollen feststellen, ob sie absolut konvergent, konvergent oder divergent ist. Dazu gehen Sie wie folgt vor:

1. Wenden Sie den Test auf alternierenden Reihen an.

Größtenteils erkennen Sie mit diesem Test, ob die alternierende Reihe konvergent oder divergent ist:

1. Wenn sie divergent ist, sind Sie fertig! (Die alternierende Reihe ist divergent.)

2. Wenn sie konvergent ist, ist die Reihe entweder absolut konvergent oder konvergent. Springen Sie in Punkt 2.

3. Wenn der Test auf alternierende Reihen keinen Schluss erbringt, können Sie keine Option ausschließen. Machen Sie mit Punkt 2 weiter.

2. Schreiben Sie die alternierende Reihe in eine positive Reihe um. Dazu gehen Sie wie folgt vor:

1. Entfernen Sie ( – 1)n oder ( – 1)n – 1, wenn Sie mit der Sigma-Notation arbeiten.

2. Ändern Sie die Minuszeichen in Pluszeichen, wenn Sie mit der erweiterten Notation arbeiten.

3. Testen Sie diese positive Reihe auf Konvergenz oder Divergenz, indem Sie einen der Tests aus diesem Kapitel oder aus Kapitel 11 anwenden:

1. Wenn die positive Reihe konvergent ist, ist die alternierende Reihe absolut konvergent.

2. Wenn die positive Reihe divergent ist und die alternierende Reihe konvergent ist, ist die alternierende Reihe konvergent.

3. Wenn die positive Reihe divergent ist aber der Test auf alternierende Reihen keinen Schluss zulässt, ist die Reihe entweder konvergent oder divergent, aber Sie können immer noch nicht entscheiden, was sie ist.

Manchmal müssen Sie nicht alle Schritte durchlaufen und haben dennoch Zweifel in Hinblick auf die Reihe. In dem unwahrscheinlichen Fall, dass Sie sich in dieser Lage befinden, sollten Sie versuchen, die alternierende Reihe in zwei separate Reihen aufzuspalten – eine mit positiven Termen und eine mit negativen Termen – und diese beiden Reihen auf weitere Hinweise untersuchen.

13

Schicke Funktionen mit der Taylor-Reihe

In diesem Kapitel...

- Grundlegende Funktionen verstehen

- Potenzreihen als Polynome mit unendlich vielen Termen erkennen

- Funktionen als Maclaurin-Reihen ausdrücken

- Die Taylor-Reihen als Verallgemeinerung der Maclaurin-Reihen entdecken

- Ausdrücke mit Hilfe der Taylor- und Maclaurin-Reihen schätzen

Die unendliche Reihe, die auch als Taylor-Reihe bezeichnet wird, ist eine der brillantesten mathematischen Errungenschaften, denen Sie je begegnen werden. Aber sie ist auch nicht ganz einfach. Viele Analysis-Bücher werfen Sie in Hinblick auf die Taylor-Reihe einfach ins kalte Wasser, aber ich werde Sie an der Hand nehmen, und wir tasten uns langsam heran.

Die Taylor-Reihe ist eine spezielle Form der Potenzreihe. Es ist praktisch, sich eine Potenzreihe als Polynom mit einer unendlichen Anzahl an Termen vorzustellen. In diesem Kapitel beginne ich also mit einer Beschreibung von Polynomen. Ich vergleiche Polynome mit anderen elementaren Funktionen und weise dabei auf einige der Gründe hin, warum die Mathematiker die Polynome so gerne mögen (häufig mehr als ihre Freunde und Familien).

Anschließend geht es weiter zu Potenzreihen. Ich zeige Ihnen, wann eine Potenzreihe konvergiert und divergiert. Außerdem beschreibe ich das Konvergenzintervall für eine Potenzreihe, wobei es sich um die Menge der x-Werte handelt, für die diese Reihe konvergiert. Anschließend stelle ich Ihnen die Maclaurin-Reihe vor – eine vereinfachte aber leistungsfähige Version der Taylor-Reihe.

Und dann kommt das Highlight: die Taylor-Reihe. Als Erstes zeige ich Ihnen, wie Sie die Taylor-Reihe nutzen, um andere Funktionen zu berechnen. Das brauchen Sie auf alle Fälle für Ihre Abschlussprüfung. Ich erkläre Ihnen den Taylor-Restterm, der Ihnen gestattet, die Fehlerspanne bei Schätzungen zu bestimmen. Zum Schluss des Kapitels geht es noch um die Funktionsweise der Taylor-Reihe. Das ist in Hinblick auf Reihen sehr interessant, aber nicht unbedingt für das Bestehen einer Prüfung erforderlich.

Grundlegende Funktionen

Grundlegende Funktionen sind die bekannten Funktionen, mit denen Sie die ganze Zeit über in der Analysis zu tun haben. Unter anderem sind dies:

- Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division

- Potenzen und Wurzeln

- Exponentialfunktionen und Logarithmen (üblicherweise der natürliche Logarithmus)

- Trigonometrische und inverse trigonometrische Funktionen

- Alle Kombinationen und Verknüpfungen dieser Funktionen

In diesem Abschnitt geht es um einige der Schwierigkeiten bei der Arbeit mit grundlegenden Funktionen. Im Vergleich dazu zeige ich Ihnen, warum eine kleine Untermenge der grundlegenden Funktionen – die Polynome – sehr viel unkomplizierter ist. Zum Schluss geht es noch darum, welche Vorteile es mit sich bringt, grundlegende Funktionen wo immer möglich als Polynome auszudrücken.

Zwei Nachteile von grundlegenden Funktionen

Die Menge der grundlegenden Funktionen ist für die Differentiation abgeschlossen. Das bedeutet, wenn Sie eine grundlegende Funktion differenzieren, erhalten Sie immer eine weitere grundlegende Funktion.

Leider ist diese Menge nicht für die Integration abgeschlossen. Beispielsweise kann das folgende Integral nicht zu einer grundlegenden Funktion berechnet werden:

Auch wenn die Menge der grundlegenden Funktionen groß und komplex genug ist, um die meisten Mathematikstudenten in Schach zu halten, ist sie für Sie – den Analysis-Fachmann – eher klein.

Ein weiteres Problem bei den grundlegenden Funktionen ist, dass viele von ihnen für einen bestimmten x-Wert schwierig zu berechnen sind. Selbst die einfache Funktion sin x ist nicht ganz einfach zu bestimmen (außer für 0), weil jeder ganzzahlige Eingabewert zu einer irrationalen Ausgabe für die Funktion führt. Was beispielsweise ist der Wert von sin 3?

Warum sind Polynome so nett?

Im Gegensatz zu anderen grundlegenden Funktionen sind Polynome so in etwa die freundlichsten Funktion, die man sich vorstellen kann. Hier einige Gründe dafür, warum das so ist:

- Polynome sind einfach zu integrieren (lesen Sie in Kapitel 4 nach, wie das Integral eines Polynoms berechnet wird).

- Polynome sind für jeden Wert von x einfach zu berechnen.

- Polynome sind unendlich differenzierbar – das heißt, Sie können den Wert der ersten Ableitung, der zweiten Ableitung, der dritten Ableitung usw. berechnen.

Grundlegende Funktionen als Polynome darstellen

In Teil II habe ich Ihnen Tricks für die Berechnung und Integration grundlegender Funktionen gezeigt. Viele dieser Tricks funktionieren, indem man eine Funktion, deren Integral nicht als solches berechnet werden kann, in eine freundlichere Form bringt.

Beispielsweise können Sie unter Verwendung der Substitution u = sin x das Integral auf der linken Seite in das auf der rechten Seite umwandeln:

∫sin^3xcosx dx=∫u^3du

In diesem Fall können Sie das Produkt von zwei trigonometrischen Funktionen in ein Polynom umwandeln, das sehr viel einfacher zu verarbeiten und zu integrieren ist.

Grundlegende Funktionen als Reihen darstellen

Die Taktik, komplizierte Funktionen als Polynome (und andere einfache Funktionen) darzustellen, motiviert zur Betrachtung unendlicher Reihen.

Obwohl Reihen schwierig zu sein scheinen – und zugegebenermaßen bringen sie gewisse Herausforderungen mit sich –, haben sie zwei große Vorteile, die sie für die Integration praktisch machen:

- Erstens, eine unendliche Reihe kann ganz einfach in Terme zerlegt werden. Größtenteils können Sie also die Summenregel anwenden, um eine Reihe in separate Terme zerlegen und diese Terme einzeln betrachten können.

- Zweitens weisen Reihen im Allgemeinen ein erkennbares Muster auf. Wenn Sie sich also vorstellen können, wie ein Term integriert wird, können Sie diese Methode verallgemeinern, so dass Sie jeden Term der Reihe integrieren können.

Insbesondere Potenzreihen beinhalten viele der Eigenschaften, die den Umgang mit Polynomen so einfach machen. Ich werde die Potenzreihen im nächsten Abschnitt genauer beschreiben.

Potenzreihen: Doping für Polynome

In Kapitel 11 habe ich die geometrische Reihe vorgestellt:

Außerdem habe ich Ihnen eine einfache Formel beigebracht, wie Sie herausfinden können, ob die geometrische Reihe konvergiert oder divergiert.

Die geometrische Reihe ist eine vereinfachte Form einer größeren Menge von Reihen, den so genannten Potenzreihen.

Potenzreihen sind Reihen der folgenden Form:

Beachten Sie, wie sich die Potenzreihe von der geometrischen Reihe unterscheidet:

- In einer geometrischen Reihe hat jeder Term denselben Koeffizienten.

- In einer Potenzreihe können sich die Koeffizienten unterscheiden – normalerweise gemäß einer Regel, die in der Sigma-Notation angegeben ist.

Hier einige Beispiele für Potenzreihen:

Sie können sich eine Potenzreihe als Polynom mit einer unendlichen Anzahl an Termen vorstellen. Aus diesem Grund gelten viele praktische Eigenschaften von Polynomen (wie früher in diesem Kapitel beschrieben) auch für Potenzreihen.

Die allgemeinste Form der Potenzreihe sieht wie folgt aus:

Diese Form gilt für Potenzreihen, die a als Entwicklungspunkt haben. Beachten Sie, dass diese Form für a = 0 zu der einfacheren Version wird, die ich früher in diesem Abschnitt vorgestellt habe. Eine Potenzreihe dieser Form hat also den Entwicklungspunkt 0.

Potenzreihen integrieren

In Kapitel 4 habe ich Ihnen einen Prozess zur Integration von Polynomen in drei Schritten vorgestellt. Weil Potenzreihen mit Polynomen vergleichbar sind, sind sie unter Verwendung desselben grundlegenden Prozesses einfach zu integrieren:

1. Wenden Sie die Summenregel an, um die Reihe Term für Term zu integrieren.

2. Wenden Sie die Faktorregel an, um alle Koeffizienten aus den betreffenden Integralen herauszuziehen.

3. Wenden Sie die Potenzregel an, um die einzelnen Integrale zu berechnen.

Betrachten Sie beispielsweise das folgende Integral:

Auf den ersten Blick erscheint dieses Integral einer Reihe kompliziert. Aber um auch seine weiche Seite zu zeigen, expandiere ich die Reihe wie folgt:

Jetzt können Sie die drei Schritte für die Integration von Polynomen anwenden, um dieses Integral zu berechnen:

1. Wenden Sie die Summenregel an, um die Reihe Term für Term zu integrieren.

2. Wenden Sie die Faktorregel an, um alle Koeffizienten aus den betreffenden Integralen herauszuziehen.

3. Wenden Sie die Potenzregel an, um die einzelnen Integrale zu berechnen.

Beachten Sie, dass das Ergebnis wiederum eine Potenzreihe ist, die Sie wieder in die Sigma-Notation umwandeln können:

Das Konvergenzintervall verstehen

Wie geometrische Reihen und p-Reihen (siehe Kapitel 11) haben auch Potenzreihen den Vorteil, dass sie nach einem bekannten Muster konvergieren oder divergieren.

Anders als diese einfacheren Reihen konvergieren oder divergieren Potenzreihen jedoch häufig abhängig von ihrem x-Wert. Das führt zu einem neuen Konzept: dem Konvergenzintervall.

Das Konvergenzintervall für eine Potenzreihe ist die Menge der x-Werte, für die diese Reihe konvergiert.

Das Konvergenzintervall ist nie leer

Jede Potenzreihe konvergiert für irgendeinen Wert von x. Das bedeutet, das Konvergenzintervall für eine Potenzreihe ist nie die leere Menge.

Diese Tatsache hat zwar eine wichtige Bedeutung, aber im Grunde ist sie unkompliziert. Betrachten Sie beispielsweise die folgende Potenzreihe:

Wenn x = 0 ist, ergibt diese Reihe 1 + 0 + 0 + 0 + …, sie konvergiert also offensichtlich gegen 1. Und jetzt betrachten Sie die nächste Potenzreihe:

Jetzt konvergiert die Reihe für x = – 5 gegen 0, was ebenfalls trivial ist.

Beachten Sie, dass die Reihen in beiden Fällen trivial bei x = a für eine mit dem Entwicklungspunkt a gegebene Potenzreihe konvergieren (siehe Anfang Abschnitt »Potenzreihen: Doping für Polynome«).

Drei Varianten für das Konvergenzintervall

Für das Konvergenzintervall einer Potenzreihe gibt es drei Möglichkeiten:

- Die Reihe konvergiert nur für x = a.

- Die Reihe konvergiert für ein bestimmtes Intervall (an jedem Ende offen oder geschlossen) um a.

- Die Reihe konvergiert für alle reellen Werte von x.

Angenommen, Sie wollen das Konvergenzintervall für die folgende Reihe finden:

Diese Potenzreihe hat den Entwicklungspunkt 0, sie konvergiert also für x = 0. Unter Verwendung des Quotientenkriteriums (siehe Kapitel 12) können Sie feststellen, ob sie auch noch für andere x-Werte konvergiert. Als Erstes richten Sie den folgenden Grenzwert ein:

Um diesen Grenzwert zu berechnen, kürzen Sie mit xn im Zähler und im Nenner:

Anschließend multiplizieren Sie aus, um die Klammern im Zähler zu entfernen:

In dieser Darstellung hat dieser Grenzwert die Form , deshalb wenden Sie die Regel von

L’Hospital an (siehe Kapitel 2) und differenzieren über die Variable n:

Mit diesem Ergebnis teilt Ihnen der Verhältnistest mit, dass die Reihe:

- Konvergiert, wenn – 1 < x < 1

- Divergiert, wenn x < – 1 und x > 1

- Konvergiert oder divergiert, wenn x = 1 und x = – 1

Glücklicherweise erkennt man leicht, was in diesen beiden restlichen Fällen passiert. So sieht die Reihe für x = 1 aus:

Offensichtlich divergiert die Reihe. Und so sieht es aus, wenn x = – 1:

Diese alternierende Reihe oszilliert wild zwischen negativen und positiven Werten, also divergiert sie.

Als letztes Beispiel nehmen wir an, Sie wollen das Konvergenzintervall für die folgende Reihe finden:

Wie das letzte Beispiel hat auch diese Reihe den Entwicklungspunkt 0, sie konvergiert also für x = 0. Die eigentliche Frage lautet, ob sie auch für andere Werte von x konvergiert. Weil es sich um eine alternierende Reihe handelt, wende ich das Quotientenkriterium auf die positive Version davon an, um festzustellen, ob ich ihre absolute Konvergenz belegen kann:

Als Erstes vereinfache ich ein bisschen:

Anschließend schreibe ich Exponenten und Fakultäten aus, wie in Kapitel 12 gezeigt:

Jetzt können Sie kürzen:

Jetzt liegt der Grenzwert zwischen – 1 und 1 für alle Werte von x. Dieses Ergebnis teilt uns mit, dass die Reihe für alle Werte von x absolut konvergiert, die alternierende Reihe konvergiert also ebenfalls für alle Werte von x.

Funktionen als Reihen ausdrücken

In diesem Abschnitt erfahren Sie, wie Funktionen als unendliche Reihen ausgedrückt werden. Ich zeige Ihnen zunächst einige Beispiele für Formeln, die sin x und cos x als Reihe ausdrücken. Diese Beispiele führen zu einer allgemeineren Formel, um eine größere Vielfalt von grundlegenden Funktionen als Reihen auszudrücken.

Diese Formel ist die Maclaurin-Reihe, eine vereinfachte, aber leistungsfähige Variante der Taylor-Reihe, die ich später in diesem Kapitel vorstelle.

sin x als Reihe ausdrücken

Hier folgt eine komplizierte Formel, die die Sinusfunktion als alternierende Reihe ausdrückt:

Damit diese Formel deutlicher wird, verwenden Sie die erweiterte Notation:

Beachten Sie, dass es sich hierbei um eine Potenzreihe handelt (wie früher in diesem Kapitel beschrieben). Um schnell zu verstehen, wie sie funktioniert, zeige ich hier, wie Sie den Wert von sin 0 ermitteln, indem Sie 0 für x einsetzen:

Wie Sie sehen, bestätigt die Formel, was Sie bereits wissen: sin 0 = 0.

Sie können diese Formel anwenden, um sin x für jeden beliebigen x-Wert auf beliebig viele Dezimalstellen anzunähern. Beobachten Sie beispielsweise, was passiert, wenn Sie in den ersten vier Termen der Formel 1 für x einsetzen:

Beachten Sie, dass der tatsächliche Wert von sin 1 auf sechs Dezimalstellen genau 0,841471 ist, diese Schätzung ist also auf fünf Dezimalstellen korrekt – nicht schlecht!

Tabelle 13.1 zeigt den Wert von sin 3 angenähert mit sechs Termen. Beachten Sie, dass der tatsächliche Wert von sin 3 annähernd 0,14112 ist, die Annäherung über sechs Terme ist also auf drei Dezimalstellen korrekt. Auch nicht schlecht, wenn auch nicht ganz so gut wie die Annäherung für sin 1.

Tabelle 13.1: Annäherung des Werts von sin 3

Anzahl Terme | Substitution | Annäherung
1 | 3 | 3
2 | | – 1,5
3 | | 0,525
4 | | 0,09107
5 | | 0,14531
6 | | 0,14087

Als letztes Beispiel zeigt Tabelle 13.2 den Wert von sin 10, angenähert mit Hilfe von acht Termen. Der tatsächliche Wert von sin 10 ist annähernd – 0,54402, dies ist also wirklich eine sehr schlechte Annäherung. Wenn Sie jedoch weiter Terme erzeugen, wird diese Annäherung immer besser, und zwar bis zu einer beliebigen Genauigkeit. Falls Sie zweifeln, beachten Sie, dass die Annäherungen nach fünf Termen beginnen, sich dem tatsächlichen Wert anzunähern.

Tabelle 13.2: Annäherung des Werts von sin 10

Anzahl Terme | Substitution | Annäherung
1 | 10 | 10
2 | | – 156,66667
3 | | 676,66667
4 | | – 1037,460317

Tabelle 13.2b: (Fortsetzung)

Anzahl Terme | Substitution | Annäherung
5 | | 1448,272
6 | | – 1056,938
7 | | 548,966
8 | | – 215,750

cos x als Reihe ausdrücken

Im vorigen Abschnitt habe ich Ihnen eine Formel gezeigt, die den Wert von sin x für alle Werte von x als unendliche Reihe ausdrückt. Durch Differentiation beider Seiten dieser Formel gelangen Sie zu einer ähnlichen Formel für cos x:

Jetzt berechnen Sie diese Ableitungen:

Und jetzt vereinfachen Sie das Ergebnis:

Wie Sie sehen, ist das Ergebnis wiederum eine Potenzreihe (wie früher in diesem Kapitel beschrieben). Und so schreiben Sie sie in Sigma-Notation:

Um sich davon zu überzeugen, dass diese Reihe wirklich so funktioniert, wie angegeben, beachten Sie, dass die Substitution x = 0 die korrekte Gleichung cos 0 = 1 erzeugt. Weiterhin erzeugt die Substitution von x = 1 in die ersten vier Terme die folgende Annäherung:

Diese Annäherung ist auf vier Dezimalstellen genau.

Die Maclaurin-Reihe

In den beiden letzten Abschnitten habe ich Ihnen die Formeln vorgestellt, mit denen Sie sin x und cos x als unendliche Reihen darstellen. Möglicherweise haben Sie schon den Verdacht, dass eine Methode hinter diesen Formeln steckt. Und hier ist sie:

Dies ist die Maclaurin-Reihe, eine vereinfachte Version der sehr viel berühmteren Taylor-Reihe, die ich im nächsten Abschnitt vorstellen werde.

Die Notation f(n) bedeutet »die n-te Ableitung von f«. Anhand der erweiterten Version der Maclaurin-Reihe wird das Ganze deutlicher:

Die Maclaurin-Reihe ist die Vorlage für zwei Formeln, die ich Ihnen an früherer Stelle in diesem Kapitel bereits vorgestellt habe. Sie ermöglicht Ihnen, zahlreiche andere Funktionen als Potenzreihen darzustellen. Dazu gehen Sie in den folgenden Schritten vor:

1. Finden Sie die ersten paar Ableitungen von der Funktion, bis Sie ein Muster erkennen.

2. Setzen Sie in jeder dieser Ableitungen 0 für x ein.

3. Setzen Sie diese Werte Term für Term in die Formel für die Maclaurin-Reihe ein.

4. Drücken Sie die Reihe, falls möglich, in Sigma-Notation aus.

Angenommen, Sie wollen die Maclaurin-Reihe für ex bestimmen.

1. Finden Sie die ersten paar Ableitungen von der Funktion, bis Sie ein Muster erkennen.

2. Setzen Sie in jeder dieser Ableitungen 0 für x ein.

3. Setzen Sie diese Werte Term für Term in die Formel für die Maclaurin-Reihe ein.

4. Drücken Sie die Reihe, falls möglich, in Sigma-Notation aus.

Abbildung 13.1: Annäherung von sin x mit Hilfe der Maclaurin-Reihe.

Um diese Formel zu überprüfen, schätzen Sie damit e^0 und e^1, indem Sie 0 bzw. 1 in die ersten sechs Terme einsetzen.

Diese Übung ergibt e^0 exakt und nähert e^1 auf zwei Dezimalstellen an. Und wie bei den Formeln für sin x und cos x, die ich Ihnen früher in diesem Kapitel bereits gezeigt habe, gestattet Ihnen die Maclaurin-Reihe für ex, diese Funktion für jeden Wert von x auf eine beliebige Anzahl von Dezimalstellen genau zu berechnen.

Wie die anderen Formeln jedoch funktioniert die Maclaurin-Reihe für ex am besten, wenn x nahe 0 liegt. Wenn sich x von 0 weg bewegt, müssen Sie mehr Terme berechnen, um dieselbe Genauigkeit zu erhalten.

Aber jetzt können Sie bereits sehen, warum die Maclaurin-Reihe im Allgemeinen bessere Annäherungen für Werte nahe 0 ergibt: Die Zahl 0 ist in der Formel »festgeschrieben«, als f(0), f′(0), f″(0) usw.

Abbildung 13.1 verdeutlicht diesen Aspekt. Der erste Graph zeigt sin x, angenähert unter Verwendung der ersten beiden Terme der Maclaurin-Reihe, das heißt als Polynom dritten Grades, . Der nachfolgende Graph zeigt eine Annäherung von sin x mit vier Termen.

Die Geschichte der drei Reihen

Die drei in diesem Kapitel beschriebenen Reihen werden leicht verwechselt. Hier folgt eine hilfreiche Methode, sie sich vorzustellen:

- Die Potenzreihe ist eine Unterkategorie der unendlichen Reihe.

- Die Taylor-Reihe (nach dem Mathematiker Brook Taylor) ist eine Unterkategorie der Potenzreihen.

- Die Maclaurin-Reihe (nach dem Mathematiker Colin Maclaurin) ist eine Unterkategorie der Taylor-Reihen.

Nachdem Sie sich das verinnerlicht haben, merken Sie sich, dass die Potenzreihe zwei grundlegende Formen aufweist:

- Die spezifische Form, mit dem Entwicklungspunkt Null, so dass a aus dem Ausdruck herausfällt.

- Die allgemeine Form, die nicht den Entwicklungspunkt Null hat, so dass a ein Teil des Ausdrucks ist.

Darüber hinaus verwendet jede der anderen beiden Reihen eine der beiden folgenden Formen der Potenzreihen:

- Die Maclaurin-Reihe verwendet die spezifische Form, deshalb ist sie:

- • Weniger leistungsstark

- • Einfacher im Umgang

- Die Taylor-Reihe verwendet die allgemeine Form, deshalb ist sie:

- • Leistungsfähiger

- • Schwieriger im Umgang

Wie Sie sehen, verbessert jede Annäherung die jeweils vorhergehende Annäherung. Darüber hinaus bietet jede Gleichung ihre beste Annäherung, wenn x nahe 0 ist.

Die Taylor-Reihe

Wie die Maclaurin-Reihe (die ich im vorigen Abschnitt vorgestellt habe) bietet die Taylor-Reihe eine Vorlage für die Darstellung einer großen Vielfalt an Funktionen als Potenzreihen.

Tatsächlich ist die Taylor-Reihe eigentlich eine allgemeinere Version der Maclaurin-Reihe. Der Vorteil der Maclaurin-Reihe ist, dass sie etwas umgänglicher ist. Der Vorteil der Taylor-Reihe ist, dass Sie sie so anpassen können, dass Sie für viele Funktionen eine bessere Annäherung erhalten.

Hier also die Taylor-Reihe in ihrer ganzen Herrlichkeit:

Wie die Maclaurin-Reihe verwendet auch die Taylor-Reihe die Notation f(n), um die n-te Ableitung zu bezeichnen. Hier die erweiterte Version der Taylor-Reihe:

Beachten Sie, dass die Taylor-Reihe die Variable a beinhaltet, die in der Maclaurin-Reihe nicht vorkommt. Genauer gesagt, in der Maclaurin-Reihe ist a = 0, deshalb fällt es aus dem Ausdruck heraus.

Die Erklärung für diese Variable finden Sie in diesem Kapitel im Abschnitt »Potenzreihen: Doping für Polynome«. In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen zwei Formen von Potenzreihen:

- Eine einfachere Form, die den Entwicklungspunkt Null hat, und die der Maclaurin-Reihe entspricht.

- Eine allgemeinere Form, die a als Entwicklungspunkt hat, die der Taylor-Reihe entspricht.

Im nächsten Abschnitt zeige ich Ihnen die Vorteile, die diese zusätzliche Variable mit sich bringt.

Rechnen mit der Taylor-Reihe

Durch die Variable a wird die Taylor-Reihe komplizierter als die Maclaurin-Reihe. Diese Variable stattet die Taylor-Reihe jedoch mit einer größeren Flexibilität aus, wie im nächsten Beispiel dargelegt.

Im Abschnitt »Funktionen als Reihen ausdrücken« habe ich versucht, den Wert von sin 10 mit Hilfe der Maclaurin-Reihe anzunähern. Leider führt diese Berechnung unter Verwendung von acht Termen immer noch zu einem recht schlechten Ergebnis. Dieses Problem tritt auf, weil die Maclaurin-Reihe immer den Standardwert a = 0 verwendet, und 0 nicht nahe genug bei 10 liegt.

Jetzt verwende ich nur vier Terme der Taylor-Reihe, um eine bessere Annäherung zu erhalten. Der Schlüssel zu dieser Annäherung ist es, die Variable a auf einen geeigneten Wert zu setzen.

Sei a = 3π

Diese Wahl hat zwei Vorteile. Erstens, der Wert von a liegt näher bei 10 (der Wert von x), wodurch eine bessere Annäherung entsteht. Zweitens, er ist ein einfacher Wert für die Bestimmung von Sinus und Kosinus, die Berechnung sollte also nicht allzu schwer sein.

Zunächst setzen Sie 10 für x und 3π für a in den ersten vier Termen der Taylor-Reihe ein:

Anschließend setzen Sie die erste, zweite und dritte Ableitung der Sinus-Funktion ein und kürzen:

Das Gute daran ist, dass sin 3π gleich 0 ist, der erste und der dritte Term fallen also weg:

Jetzt können Sie Ihren Taschenrechner zur Hand nehmen:

Diese Annäherung ist auf zwei Dezimalstellen korrekt – eine wirkliche Verbesserung gegenüber der Schätzung mit der Maclaurin-Reihe!

Konvergente und divergente Taylor-Reihen betrachten

Ich habe Ihnen in diesem Kapitel bereits gezeigt, wie Sie das Konvergenzintervall für eine Potenzreihe bestimmen – das heißt die Menge der x-Werte, für die diese Reihe konvergiert.

Weil die Taylor-Reihe eine Potenzreihe ist, sollten Sie nicht überrascht sein, dass es für jede Taylor-Reihe ein Konvergenzintervall gibt. Wenn dieses Intervall aus der gesamten Menge der reellen Zahlen besteht, können Sie die Reihe verwenden, um den Wert von f(x) für jeden reellen Wert von x zu ermitteln.

Wenn das Konvergenzintervall für eine Taylor-Reihe begrenzt ist, das heißt, wenn sie für bestimmte x-Werte divergiert, können Sie sie nur verwenden, um den Wert von f(x) innerhalb des Konvergenzintervalls zu bestimmen.

Hier folgen drei wichtige Taylor-Reihen, die ich in diesem Kapitel bereits angesprochen habe:

Alle drei Reihen konvergieren für alle reellen Werte von x (Sie können dies mit Hilfe des Quotientenkriteriums nachprüfen, wie früher in diesem Kapitel gezeigt), jede von ihnen ist also gleich dem Wert der entsprechenden Funktion.

Betrachten Sie jetzt die folgende Funktion:

Ich drücke diese Funktion als Maclaurin-Reihe aus, wozu ich die im Abschnitt »Funktionen als Reihen ausrücken« beschriebenen Schritte anwende:

1. Suchen Sie die ersten paar Ableitungen von , bis Sie ein Muster erkennen:

2. Setzen Sie 0 für x in jede dieser Ableitungen ein:

3. Setzen Sie diese Werte Term für Term in die Formel für die Maclaurin-Reihe ein:

4. Drücken Sie die Reihe, falls möglich, in Sigma-Notation aus:

Um diese Formel zu testen, versuche ich, f(x) für damit zu bestimmen.

Sie können die Genauigkeit dieses Ausdrucks überprüfen, indem Sie in einsetzen:

Wie Sie sehen, erzeugt die Formel die richtige Antwort. Jetzt versuche ich, f(x) für x = 5 zu finden. Die richtige Lösung wäre :

f(5) = 1 + 5 + 25 + 125 + ... = ∞ FALSCH!

Was ist passiert? Diese Reihe konvergiert nur innerhalb des Intervalls ( – 1, 1), die Formel erzeugt also nur dann den richtigen Wert von f(x), wenn x innerhalb des Intervalls liegt. Liegt x außerhalb dieses Intervalls, divergiert die Reihe und die Formel ist ungültig.

Funktionen ausdrücken und Funktionen annähern

Es ist wichtig, dass Sie den Unterschied zwischen den folgenden beiden mathematischen Verfahrensweisen genau kennen:

- Eine Funktion als unendliche Reihe ausdrücken

- Eine Funktion unter Verwendung einer endlichen Anzahl von Termen der Reihe annähern

Sowohl die Taylor-Reihe als auch die Maclaurin-Reihe sind Varianten der Potenzreihe. Sie können sich eine Potenzreihe als Polynom mit unendlich vielen Termen vorstellen. Sie wissen außerdem, dass die Maclaurin-Reihe eine Sonderform der allgemeineren Taylor-Reihe ist, die entsteht, wenn der Wert von a auf 0 gesetzt wird.

Jede Taylor-Reihe (und damit auch jede Maclaurin-Reihe) erzeugt den exakten Wert einer Funktion für alle Werte von x, wo diese Reihe konvergiert. Das bedeutet, eine Taylor-Reihe konvergiert für jeden Wert von x in ihrem Konvergenzintervall gegen f(x).

In der Praxis ist es aber einfach nicht möglich, unendlich viele Terme zu addieren. Dennoch können Sie den Wert von f(x) annähern, indem Sie eine endliche Anzahl Terme aus der entsprechenden Taylor-Reihe addieren. Das haben Sie beispielsweise in diesem Kapitel gemacht, um den Wert von sin 10 oder anderer Ausdrücke anzunähern.

Ein aus einer endlichen Anzahl von Termen einer Taylor-Reihe aufgebauter Ausdruck wird auch als Taylor-Polynom Tn(x) bezeichnet. Wie andere Polynome ist ein Taylor-Polynom durch seinen Grad gekennzeichnet. Nachfolgend beispielsweise das Taylor-Polynom fünften Grades, T_5(x), das ex annähert:

Allgemein kann man sagen, ein Polynom höheren Grades führt zu einer besseren Annäherung. Und weil dieses Polynom aus der Maclaurin-Reihe stammt, wo a = 0 ist, bietet es eine sehr viel bessere Schätzung für Werte von ex, wenn x nahe 0 liegt. Für den Wert von ex, wenn x nahe 100 liegt, erhalten Sie dagegen eine bessere Schätzung unter Verwendung eines Taylor-Polynoms für ex mit a = 100:

Insgesamt sollten Sie sich Folgendes merken:

- Eine konvergente Taylor-Reihe drückt den exakten Wert einer Funktion aus.

- Ein Taylor-Polynom Tn(x) aus einer konvergenten Reihe nähert den Wert einer Funktion an.

Fehlerspannen für Taylor-Polynome berechnen

Im vorigen Abschnitt habe ich beschrieben, wie ein Taylor-Polynom den Wert einer Funktion annähert:

f(x) ≈ Tn(x)

Häufig ist es hilfreich, die Genauigkeit einer Annäherung zu bestimmen. Diese Information wird durch den Taylor-Restterm bereitgestellt:

f(x) = Tn(x) + Rn(x)

Beachten Sie, dass die Addition des Restterms Rn(x) die Annäherung zu einer Gleichung macht. Hier die Formel für den Restterm:

für c zwischen a und x

Sie müssen unbedingt verstehen, dass diese Gleichung für einen bestimmten Wert von c im Intervall zwischen a und x gilt. Sie funktioniert nicht für jeden beliebigen Wert von c in diesem Intervall.

Im Idealfall zeigt Ihnen der Restterm die exakte Differenz zwischen dem Wert einer Funktion und der Annäherung Tn(x). Weil jedoch der Wert c unsicher ist, stellt der Restterm in der Praxis eigentlich das Szenario für den schlimmsten Fall dar, den Ihre Annäherung annehmen kann.

Ein Beispiel sollte das Ganze verdeutlichen. Ich verwende das Taylor-Polynom sechsten Grades für cos x:

Angenommen, ich verwende dieses Polynom, um cos 1 anzunähern:

Wie genau ist diese Annäherung wahrscheinlich? Um das herauszufinden, verwenden Sie den Restterm:

cos 1= T_6(x) + R_6(x)

Die Addition des zugehörigen Restterms macht aus der Annäherung eine Gleichung. Hier die Formel für den Restterm:

c liegt zwischen 0 und x

Wenn Sie jetzt 1 einsetzen, erhalten Sie:

c liegt zwischen 0 und 1

Jetzt hängen Sie fest, weil Sie den Wert von sin c nicht kennen. Die Sinusfunktion erzeugt jedoch immer eine Zahl zwischen – 1 und 1, Sie können also den Restterm wie folgt eingrenzen:

Beachten Sie, dass ≈ 0, 0001984 ist, die Annäherung von cos 1 durch T_6(1) ist also auf 0,0001984 in jede Richtung exakt. Und tatsächlich ist cos 1 = 0,540302, deshalb ist:

cos 1 − T_6 (1) ≈ 0,540302 − 0,540278 = 0, 000024

Wie Sie sehen, liegt die Annäherung innerhalb der vom Restterm vorhergesagten Fehlerspanne.

Warum funktioniert die Taylor-Reihe?

Am besten erkennen Sie, warum die Taylor-Reihe funktioniert, indem Sie sich genauer ansehen, wie sie aufgebaut ist. Wenn Sie dieses Kapitel bis hierhin sorgfältig gelesen haben, sind Sie bereit dafür.

Um sicherzustellen, dass Sie jeden Schritt verstehen, konstruiere ich hier die Maclaurin-Reihe, die etwas einfacher ist. Die Konstruktion beginnt mit der wichtigen Annahme, dass eine Funktion als Potenzreihe ausgedrückt werden kann:

f ( x) = c_0 + c_1x + c_2x^2 + c_3x^3 + ...

Das Ziel ist jetzt, den Koeffizienten auf der rechten Seite dieser Gleichung unter Verwendung der eigentlichen Funktion auszudrücken. Dazu treffe ich eine weitere relativ sichere Annahme, nämlich dass 0 im Definitionsbereich von f(x) liegt. Wenn also x = 0 ist, sind alle Terme der Reihe außer dem ersten gleich 0, so dass die folgende Gleichung entsteht:

f(0) = c_0

Dieses Verfahren erzeugt den Wert des Koeffizienten c_0 unter Verwendung der Funktion. Jetzt differenzieren wir f(x):

f′(x) = c_1 + 2c_2x + 3c_3x^2 + 4c_4x^3 + ...

Jetzt fallen für x = 0 alle x-Terme heraus:

f′(0) = c_1

Sie haben also einen weiteren Koeffizienten, c_1, unter Verwendung der Funktion ausgedrückt. Jetzt differenzieren wir f′(x):

f′′(x) = 2c_2 + 6c_3x + 12c_4x^2 + 20c_5x^3 + ... ’

Wieder verschwinden für x = 0 die x-Terme:

Jetzt erkennen Sie wahrscheinlich das Muster. Sie erhalten den Wert des nächsten Koeffizienten, indem Sie die vorhergehende Gleichung differenzieren und im Ergebnis 0 für x einsetzen:

Und auch die Koeffizienten haben ein Muster:

Wenn Sie diese Koeffizienten in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, erhalten Sie wieder die bekannte Maclaurin-Reihe:

Um die Taylor-Reihe zu konstruieren, verwenden Sie eine ähnliche Argumentation. Sie beginnen mit der allgemeineren Form der Potenzreihe:

f(x) = c_0 + c_1 (x - a) + c_2 (x - a)2 + c_3 (x - a)3 + ...

In diesem Fall erhalten Sie den ersten Koeffizienten, indem Sie x = a setzen:

f(a) = c_0

Die weiteren Koeffizienten erhalten Sie, indem Sie f(x) differenzieren und die Verfahrensweise wiederholen.

Teil V

Fortgeschrittene Themen

In diesem Teil ...

Hier erhalten Sie einen Ausblick, was Sie nach Analysis II erwartet. Ich biete Ihnen einen Überblick über die beiden nächsten Semester Mathematik: Analysis III (Analysis in drei oder mehr Dimensionen) und Differentialgleichungen (Gleichungen mit als Variablen enthaltenen Ableitungen).

14

Mehrdimensionale Analysis

In diesem Kapitel...

- Vektoren visualisieren

- Den Sprung von der zweiten in die dritte Dimension wagen

- Zylinder- und Kugelkoordinaten verstehen
- Partielle Ableitungen anwenden
- Mehrfachintegrale lösen

Wie schon Captain Kirk in Star Trek so schön sagte: Der Raum ist die letzte Grenze. Die mehrdimensionale Analysis (auch als Analysis III bezeichnet) konzentriert sich auf Techniken der Analysis im Raum – das heißt in drei Dimensionen.

Die Mathematiker verwenden die unterschiedlichsten Begriffe für die dritte Dimension: 3D, 3-Raum und R^3 sind die gebräuchlichsten. Egal, wie Sie es nennen, die Ergänzung um eine Dimension macht die mehrdimensionale Analysis interessanter und praktischer, aber auch ein wenig komplizierter als die Analysis mit einer Variablen.

In diesem Kapitel biete ich Ihnen eine schnelle Einführung in die mehrdimensionale Analysis, wobei es um die Highlights gehen wird, die Ihnen in Analysis III begegnen werden. Als Erstes zeige ich Ihnen, wie Vektoren eine Möglichkeit darstellen, einen Wert mit einer Richtung zu verknüpfen. Anschließend stelle ich Ihnen drei verschiedene 3D-Koordinatensysteme vor: Kartesische 3D-Koordinaten, Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten.

Auf dem Verständnis für 3D aufbauend, beschreibe ich Funktionen von mehreren Variablen, wobei ich mich auf die Funktion von zwei Variablen konzentriere, z = f(x, y). Nachdem Sie das Konzept der Funktionen mit mehreren Variablen verstanden haben, werde ich Ihnen die beiden wichtigsten Konzepte der mehrdimensionalen Analysis vorstellen: partielle Ableitungen und Mehrfachintegrale.

Am Ende dieses Kapitels werden Sie einen guten Ausgangspunkt besitzen, um mit Analysis III zu beginnen.

Vektoren visualisieren

Vektoren werden verwendet, um eine reelle Zahl (einen so genannten Skalar) mit einer Richtung in der Ebene oder im Raum zu verknüpfen. Sie sind praktisch für die Navigation, wenn Sie unbedingt wissen müssen, in welche Richtung Sie segeln oder fliegen. Vektoren spielen auch eine wichtige Rolle in der Physik, wo ziehende und schiebende Kräfte ebenfalls eine Richtung haben. Und außerdem geht es in Analysis III um jede Menge Vektoren.

In diesem Abschnitt stelle ich Ihnen dieses wichtige Konzept vor. Obwohl ich mich dabei auf zwei Dimensionen beschränken werde, werden Vektoren üblicherweise auch in drei Dimensionen verwendet.

Vektoren – Grundlagen

Man kann sich einen Vektor ganz einfach als Pfeil vorstellen, der sowohl eine Länge als auch eine Richtung besitzt. Konventionsgemäß beginnt ein Vektor am Ursprung der kartesischen Ebene (0, 0) und erstreckt sich über eine bestimmte Länge in eine bestimmte Richtung. Abbildung 14.1 zeigt einige Vektoren.

Abbildung 14.1: Vektoren, die am Ursprung beginnen, werden anhand ihrer Endpunkte unterschieden.

Wenn ein Vektor am Ursprung beginnt, entsprechen seine zwei Komponenten (x- und y-Werte) den kartesischen Koordinaten seines Endpunkts. Beispielsweise wird der Vektor, der am Punkt (0, 0) beginnt und am Punkt (3, 1) endet, als Vektor bezeichnet.

Verwechseln Sie einen Vektor nicht mit dem entsprechenden kartesi schen Koordinatenpaar (x, y).

Konventionsgemäß werden Vektoren in Büchern als fett ausgezeichnete Kleinbuchstaben dargestellt, a, b, c usw. (siehe Abbildung 14.1). Wenn Sie auf Papier mit Vektoren arbeiten, sehen es die meisten Lehrer gerne, wenn Sie die Fettauszeichnung durch einen Pfeil über dem Buchstaben ersetzen.

Wenn Sie einen Vektor vom Ursprung aus verschieben, ändert sich sein Wert nicht. Abbildung 14.2 beispielsweise zeigt den Vektor mit den unterschiedlichsten Ausgangs punkten.

Abbildung 14.2: Alle Vektoren mit derselben Länge und Richtung sind äquivalent, unabhängig davon, wo sie anfangen.

Sie berechnen die Koordinaten eines Vektors, der am Punkt (x_1, y_1) beginnt und am Punkt (x_2, y_2) endet, als . Nachfolgend berechnen wir beispielsweise die Koordinaten der Vektoren g, h und i aus Abbildung 14.2.

Wie Sie sehen, sind diese Vektoren alle zueinander und zu f äquivalent, unabhängig von ihren Anfangs- und Endpunkten.

Vektoren und Skalare unterscheiden

So wie Eskimos unzählige Wörter für den Schnee haben, und Italiener noch mehr Wörter für Pasta, haben Mathematiker unzählige Wörter für reelle Zahlen. Als Sie mit der Algebra begonnen haben, haben Sie vermutlich sehr schnell festgestellt, dass eine Konstante oder ein Koeffizient einfach nur reelle Zahlen in bestimmten Kontexten waren.

Analog dazu verwenden Sie, wenn Sie im Kontext der Vektoren auf eine reelle Zahl verweisen wollen, den Begriff Skalar. Dabei unterscheidet sich wirklich nur der Name – tief im Inneren seines Herzens weiß ein Skalar, dass er nichts weiter als eine gute, alte reelle Zahl ist.

Einige Vektorrechnungen erzeugen neue Vektoren, während andere Skalare erzeugen. Wenn ich in den nächsten Abschnitten über diese Rechnungen spreche, werde ich Ihnen sagen, ob Sie einen Vektor oder einen Skalar als Ergebnis erwarten müssen.

Rechnen mit Vektoren

Vektoren werden im Allgemeinen verwendet, um Kräfte nachzubilden, wie etwa Wind, Meeresströmung, Schwerkraft oder Elektromagnetismus. Vektorberechnungen sind wichtig für alle möglichen Aufgabenstellungen, in denen Kräfte zusammentreffen. Ich werde Ihnen ein paar einfache Berechnungen mit Vektoren vorstellen.

Größenberechnung

Die Länge eines Vektors wird als sein Betrag bezeichnet. Für die Größe eines Vektors wird die Notation für den Absolutwert (| |) verwendet. |v| beispielsweise gibt die Länge des Vektors v an. (Einige Lehrbücher stellen die Länge auch mit Doppelbalken dar, (|| ||). Die Bedeutung ist jedoch dieselbe.)

Was bedeutet der Name?

Skalar ist einfach nur ein anderes Wort für reelle Zahl. Der Name ist entstanden, weil ein Skalar einen Vektor skaliert – das heißt, er ändert die Länge des Vektors. Die reelle Zahl 2 beispielsweise skaliert den Vektor v um den Faktor 2, 2v ist also doppelt so lang wie v. Weitere Informationen über die Skalarmultiplikation finden Sie im Abschnitt »Rechnen mit Vektoren«.

Sie berechnen die Größe eines Vektors mit Hilfe der Variante der Distanzformel.

Diese Formel ist selbst eine Variante des bekannten Satzes von Pythagoras:

Sie berechnen beispielsweise die Größe des Vektors wie folgt:

Wie Sie sehen, ist die Verwendung der senkrechten Striche für den Absolutwert zur Kennzeichnung der Vektorgröße geeignet. Die Länge wird wie alle anderen Distanzen immer als nicht negativer Wert gemessen. Die Länge eines Vektors ist die Distanz vom Ursprung eines Graphen zu seiner Spitze, so wie der Absolutwert einer Zahl auf dem Zahlenstrahl die Distanz von 0 bis zu dieser Zahl ist.

Die Länge eines Vektors ist ein Skalar.

Skalarmultiplikation

Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar wird auch als Skalarmultiplikation bezeichnet. Für die Skalarmultiplikation multiplizieren Sie den Skalar mit jeder Komponente des Vektors. Das folgende Beispiel zeigt, wie Sie den Vektor mit dem Skalar k mul tiplizieren:

Nachfolgend sehen Sie, wie Sie den Vektor mit den Skalaren 2, – 4 und multiplizieren ren:

Wenn Sie einen Vektor mit einem Skalar multiplizieren, erhalten Sie als Ergebnis einen Vektor.

Geometrisch betrachtet, bewirkt die Skalarmultiplikation Folgendes:

- Die Skalarmultiplikation mit einer anderen positiven Zahl als 1 ändert die Länge des Vektors, aber nicht seine Richtung.

- Die Skalarmultiplikation mit – 1 kehrt seine Richtung um, ändert aber nichts an der Länge.

- Die Skalarmultiplikation mit einer anderen negativen Zahl ändert sowohl die Richtung des Vektors als auch seine Länge.

Die Skalarmultiplikation kann die Länge eines Vektors vergrößern oder verkleinern.

- Die Skalarmultiplikation mit einer Zahl größer 1 oder kleiner – 1 vergrößert die Länge des Vektors.

- Die Skalarmultiplikation mit einem Bruch zwischen – 1 und 1 verringert die Länge des Vektors.

Beispielsweise ist der Vektor 2p doppelt so lang wie p, der Vektor ist halb so lang wie p und der Vektor – p hat dieselbe Länge wie p, aber geht vom Ursprung aus in die andere Richtung (siehe Abbildung 14.3).

Abbildung 14.3: Die Skalarmultiplikation eines Vektors ändert seine Größe und/oder seine Richtung.

Der Einheitsvektor

Jeder Vektor hat einen entsprechenden Einheitsvektor, der dieselbe Richtung wie dieser Vektor aber die Größe 1 hat. Um den u des Vektors zu finden, dividieren Sie diesen Vektor durch seine Größe, nämlich wie folgt:

Beachten Sie, dass diese Formel die Skalarmultiplikation verwendet, wie im vorigen Abschnitt beschrieben, weil der Zähler ein Vektor und der Nenner ein Skalar sind.

Wie Sie vielleicht schon aus dem Namen erkannt haben, ist der Einheitsvektor ein Vektor.

Um beispielsweise den u des Vektors zu finden, berechnen Sie zuerst seine Größe |q|, wie früher in diesem Abschnitt beschrieben:

Jetzt berechnen Sie unter Verwendung der obigen Formel den Einheitsvektor:

Sie können überprüfen, ob die Größe des resultierenden Vektors u wirklich 1 ist:

Vektoren addieren und subtrahieren

Vektoren werden komponentenweise addiert und subtrahiert:

Wenn und , dann werden diese Vektoren wie folgt addiert bzw. subtrahiert:

Das Ergebnis der Addition oder Subtraktion von zwei Vektoren ist ein Vektor.

Geometrisch betrachtet, sind die Ergebnisse der Addition und Subtraktion von Vektoren in Abbildung 14.4 gezeigt. In diesem Beispiel ist der Endpunkt von r + s äquivalent zum Endpunkt von s, wenn s am Endpunkt von r beginnt. Analog dazu ist der Endpunkt von r - s äquivalent zum Endpunkt von – s, das heißt , wenn – s am Endpunkt von r beginnt.

Abbildung 14.4: Addieren und Subtrahieren von Vektoren im Graphen erfolgt, indem man den Anfangspunkt eines Vektors am Endpunkt eines anderen Vektors beginnen lässt.

Der Sprung in eine andere Dimension

Das dreidimensionale (3D) kartesische Koordinatensystem (auch als 3D-Rechteckkoordinaten bezeichnet) ist die natürliche Erweiterung des zweidimensionalen (2D) kartesischen Koordinatensystems. Der wichtigste Unterschied ist das Hinzufügen einer dritten Achse, der z-Achse, die senkrecht durch den Ursprung verläuft.

Es ist recht kompliziert, einen 3D-Graphen in zwei Dimensionen zu zeichnen. Um sich 3D besser vorstellen zu können, halten Sie Abbildung 14.5 hoch, so dass Sie sie mit irgendeiner Ecke im Raum vergleichen können. Beachten Sie dabei Folgendes:

- Die x-Achse entspricht der Linie, wo die linke Wand auf den Boden trifft.

- Die y-Achse entspricht der Linie, wo die rechte Wand auf den Boden trifft.

- Die z-Achse entspricht der Linie, an der sich die beiden Wände treffen.

So wie das zweidimensionale kartesische Koordinatensystem in vier Quadranten unterteilt ist, ist der 3D-Graph in acht Oktanten unterteilt. Aus Ihrer Perspektive, wenn Sie auf den Graphen sehen, sehen Sie im ersten Oktanten, wo alle Werte von x, y und z positiv sind.

Abbildung 14.5: Der erste Oktant des dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems.

Abbildung 14.6 zeigt das vollständige dreidimensionale kartesische Koordinatensystem mit dem Punkt (1, 2, 5). Vergleichbar mit den regulären kartesischen Koordinaten zeichnen Sie diesen Punkt, indem Sie 1 Einheit in positive x-Richtung, 2 Einheiten in positive y-Richtung und dann 5 Einheiten in positive z-Richtung zählen.

Abbildung 14.6: Der Punkt (1, 2, 5) im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem.

Verwendung alternativer 3D-Koordinatensysteme

In Kapitel 2 habe ich über Polarkoordinaten als Alternative zu kartesischen Koordinaten gesprochen. Polarkoordinaten sind praktisch, weil sie Ihnen gestatten, die unterschiedlichen Aufgabenstellungen einfacher als mit kartesischen Koordinaten auszudrücken und zu lösen.

In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen zwei Alternativen zu dreidimensionalen kartesischen Koordinaten: Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten. Wie Polarkoordinaten bieten Ihnen beide Systeme eine größere Flexibilität, um die unterschiedlichsten Probleme zu lösen.

Zylinderkoordinaten

Wahrscheinlich kennen Sie die Polarkoordinaten noch aus der Zeit vor der Analysis oder sogar aus Analysis I. Wie das kartesische Koordinatensystem weist das Polarkoordinatensystem jedem Punkt in der Ebene ein Wertepaar zu. Anders als beim kartesischen Koordinatensystem sind diese Werte jedoch nicht von zwei senkrecht aufeinander stehenden Achsen abhängig (obwohl diese Achsen häufig gezeichnet werden, so dass das Koordinatensystem leichter lesbar ist). Die wichtigste Achse ist die horizontale Achse, die der positiven x-Achse in kartesischen Koordinaten entspricht.

Während ein kartesisches Wertepaar die Form (x, y) hat, verwenden Polarkoordinaten (r, θ). Zylinderkoordinaten sind einfach Polarkoordinaten, denen eine vertikale z-Achse hinzugefügt wurde, die sich vom Ursprung aus erstreckt, wie bei den dreidimensionalen kartesischen Koordinaten (wie in diesem Kapitel bereits besprochen). Jeder Punkt im Raum hat Zylinderkoordinaten der Form (r, θ, z).

Und das sollten Sie wissen:

- Die Variable r gibt die Distanz von der z-Achse zu diesem Punkt an.

- Die Variable θ gibt den Winkelabstand von der horizontalen Achse an. Dieser Winkel wird nicht in Grad, sondern in Radianten gemessen, das heißt 2π = 360°. (Weitere Informationen über Radianten finden Sie in Kapitel 2.)

- Die Variable z gibt die Distanz von diesem Punkt zur xy-Ebene an.

Wenn Sie Zylinderkoordinaten zeichnen sollen, zeichnen Sie die ersten Koordinaten (r und θ) so, wie Sie Polarkoordinaten zeichnen würden (siehe Kapitel 2). Anschließend zeichnen Sie die z-Koordinate wie in einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem.

Abbildung 14.7 zeigt, wie Sie den Punkt in Zylinderkoordinaten darstellen:

1. Zählen Sie auf der Achse, die nach vorne zeigt, vom Ursprung aus 3 Einheiten nach vorne (so wie beim Zeichnen von Polarkoordinaten).

2. Bewegen Sie sich gegen den Uhrzeigersinn auf dem Bogen eines Kreises, bis Sie die Linie erreichen, die in einem Winkel von von der nach vorne zeigenden Achse ge zeichnet ist (ebenfalls wie bei Polarkoordinaten).

3. Zählen Sie 2 Einheiten über die Ebene und zeichnen Sie dort Ihren Punkt.

Abbildung 14.7: Der Punkt in Zylinderkoordinaten.

Kugelkoordinaten

Kugelkoordinaten werden – mit leichten Variationen – verwendet, um Länge, Breite und Höhe auf der wichtigsten Kugel überhaupt zu messen – der Erde.

Jeder Punkt im Raum besitzt Kugelkoordinaten der Form (ρ, θ, φ). Falls Sie kein Griechisch in der Schule hatten: ρ ist der griechischer Kleinbuchstabe Rho, θ ist der griechische Kleinbuchstabe Theta (in der Mathematik häufig für die Darstellung von Winkeln verwendet), φ ist der griechische Kleinbuchstabe Phi.

Die Koordinate ρ entspricht der Höhe. Auf der Erde wird die Höhe als die Distanz vom Meeresspiegel gemessen. In Kugelkoordinaten dagegen gibt die Höhe an, wie weit der Punkt im Raum vom Ursprung entfernt ist.

Die Koordinate θ entspricht der Länge: Eine Messung des Winkelabstands von der horizontalen Achse.

Die Koordinate φ entspricht der Breite. Auf der Erde wird die Breite als Winkelabstand vom Äquator gemessen. In Kugelkoordinaten dagegen wird die Breite als der Winkelabstand vom Nordpol gemessen.

Zunächst kann es kompliziert sein, φ zu zeichnen. Um ein Gefühl dafür zu entwickeln, zeichnen Sie einen Globus und stellen sich vor, Sie würden auf einem einzigen Längengrad auf und ab wandern. Beachten Sie, dass sich bei Ihrer Bewegung die Breite ändert, nämlich:

- Am Nordpol φ = 0
- Am Äquator
- Am Südpol φ = π

In manchen Lehrbüchern wird der griechische Buchstabe ρ (Rho) durch r ersetzt. Die Koordinate bedeutet jedoch dasselbe: Höhe, nämlich den Abstand eines Punkts vom Ursprung. In anderen Lehrbüchern wird die Reihenfolge der beiden letzten Koordinaten umgekehrt. Achten Sie darauf, der in Ihrem Buch verwendeten Konvention zu folgen.

Abbildung 14.8 zeigt, wie Sie einen Punkt in Kugelkoordinaten zeichnen. Angenommen, Sie wollen den Punkt darstellen. Gehen Sie dazu wie folgt vor:

1. Zählen Sie auf der nach vorne zeigenden Achse vom Ursprung aus 4 Einheiten nach vorne.

2. Bewegen Sie sich gegen den Uhrzeigersinn auf dem Bogen eines Kreises, bis Sie die Linie erreichen, die im Winkel von der nach vorne zeigenden Achse aus gezeichnet ist (ebenfalls wie bei Polarkoordinaten).

3. Stellen Sie sich einen einzigen Längengrad vor, der vom Nordpol auf einer Kugel durch den Punkt auf dem Äquator verläuft, auf dem Sie sich gerade befinden, und weiter zum Südpol geht.

4. Gehen Sie auf diesem Längengrad in einem Winkelabstand von vom Nordpol nach unten – das heißt auf die Hälfte zwischen Äquator und Südpol – und zeichnen Sie dort Ihren Punkt.

Abbildung 14.8: Der Punkt in Kugelkoordinaten.

Funktionen von mehreren Variablen

Aus der Algebra wissen Sie, dass eine Funktion y = f(x) letztlich ein Automat ist, der eine Zahl in eine andere umwandelt. Die Variable x ist die Eingabevariable, und y ist die Ausgabevariable, so dass jeder Wert von x einen einzigen y-Wert erzeugt.

Wenn Sie eine Kurve darstellen, können Sie den Test auf die vertikale Linie vornehmen, um sicherzustellen, dass es sich um eine Funktion handelt: Jede vertikale Linie, die eine Funktion schneidet, schneidet diese an genau einem Punkt, wie in Abbildung 14.9 gezeigt.

Diese auf Funktionen bezogenen Konzepte gelten auch für Funktionen von mehreren Variablen. Hier beispielsweise einige Funktionen von zwei Variablen:

Die allgemeine Form für eine Funktion von zwei Variablen ist z = f(x, y). Jede Funktion von zwei Variablen nimmt ein kartesisches Wertepaar (x, y) als Eingabe entgegen und erzeugt als Ausgabe einen z-Wert. Wenn Sie die drei obigen Beispiele betrachten, erhalten Sie für die Eingabe (0, 1) das Ergebnis 6 von der ersten Funktion, 2 von der zweiten Funktion und 1 von der dritten Funktion.

Abbildung 14.9: Der Test auf die vertikale Linie zeigt, dass eine Funktion nur einen einzigen y-Wert für jeden eingegebenen x-Wert erzeugt.

Am besten stellt man sich eine Funktion von zwei Variablen als Oberfläche vor, die in einem dreidimensionalen kartesischen Graphen über der xy-Ebene liegt. (Diese Oberfläche kann natürlich die Ebene schneiden und darunter weiter verlaufen – so wie eine Funktion die x-Achse schneiden kann, aber hier wollen wir einfach so tun, als würde sie darauf schweben). Jeder Punkt auf dieser Oberfläche liegt direkt über genau einem Punkt auf der Ebene. Das bedeutet, wenn Sie eine vertikale Linie durch einen Punkt auf der Ebene legen, schneidet sie die Funktion nur an einem einzigen Punkt. Dieses Konzept ist in Abbildung 14.10 verdeutlicht.

Abbildung 14.10: Der Test auf die vertikale Linie für eine dreidimensionale Funktion.

Das Konzept einer Funktion kann in höhere Dimensionen erweitert werden. beispielsweise ist w = f(x, y, z) die grundlegende Form für eine Funktion von drei Variablen. Weil diese Funktion (sowie andere Funktionen von mehr als zwei Variablen) in mehr als drei Dimensionen angesiedelt sind, ist sie schwer darzustellen. Hier konzentrieren wir uns darauf, den Sprung von der zweiten in die dritte Dimension zu schaffen – das heißt von Funktionen von einer Variablen zu Funktionen von zwei Variablen. Ein Großteil der mehrdimensionalen Analysis, die Sie in Analysis III kennen lernen, bewegt sich in drei Dimensionen. (Vielleicht wäre der Name 3D-Analysis aussagekräftiger.)

Partielle Ableitungen

Partielle Ableitungen sind das höherdimensionale Äquivalent der Ableitungen, die Sie aus Analysis I kennen. So wie eine Ableitung die Steigung einer Funktion in der kartesischen Ebene beschreibt, stellt eine partielle Ableitung ein ähnliches Konzept der Steigung in höheren Dimensionen dar. Ich werde in diesem Abschnitt über die Steigung in drei Dimensionen sprechen. Außerdem zeige ich, wie Sie die partiellen Ableitungen von Funktionen von zwei Variablen berechnen.

Steigung in drei Dimensionen messen

Im Abschnitt »Funktionen von mehreren Variablen« habe ich Ihnen empfohlen, sich eine Funktion von zwei Variablen z = f(x, y) als Oberfläche vorzustellen, die auf der xy-Ebene eines dreidimensionalen kartesischen Graphen liegt. (Abbildung 14.10 zeigt ein Beispiel.)

Betrachten Sie jetzt die Funktion z = y, wie in Abbildung 14.11 dargestellt. Wie Sie sehen, sieht diese Funktion aus wie ein schräges Hausdach. Stellen Sie sich vor, Sie stehen auf dieser Oberfläche. Wenn Sie parallel zur y-Achse gehen, nimmt Ihre Höhe zu oder ab. Mit

Abbildung 14.11: Die Funktion z = y.

anderen Worten, wenn sich der Wert von y ändert, dann ändert sich auch der z-Wert. Wenn Sie dagegen parallel zur x-Achse gehen, bleibt Ihre Höhe gleich. Die Änderung von x wirkt sich nicht auf z aus. Intuitiv würden Sie also erwarten, dass die partielle Ableitung – die Steigung in Rich tung der y-Achse – gleich 1 ist. Sie erwarten auch, dass die partielle Ableitung – die Steigung in Richtung der x-Achse – gleich 0 ist. Im nächsten Abschnitt zeige ich Ihnen, wie Sie partielle Ableitungen berechnen, um dieses Ergebnis zu überprüfen.

Partielle Ableitungen auswerten

Die Bestimmung partieller Ableitungen ist nicht sehr viel schwieriger als die Bestimmung normaler Ableitungen. Für eine Funktion z(x, y) gibt es die beiden partiellen Ableitungen und . Und so berechnen Sie sie:

- Um zu berechnen, behandeln Sie y als Konstante und verwenden x als Differentiationsvariable.

- Um zu berechnen, behandeln Sie x als Konstante und verwenden y als Ihre Differen tiationsvariable.

Angenommen, Sie haben die Gleichung z = 5x^2y^3. Um zu bestimmen, behandeln Sie y als Konstante – das heißt, Sie behandeln den gesamten Faktor 5y^3 als einen großen Koeffizienten – und differenzieren x^2:

Um zu bestimmen, behandeln Sie x als Konstante – das heißt, Sie behandeln 5x^2 als den Koeffizienten – und differenzieren y^3:

Als weiteres Beispiel nehmen wir die Gleichung z = 2ex sin y + ln x an. Um zu bestimmen, behandeln Sie y als Konstante und differenzieren nach der Variablen x:

Um zu bestimmen, behandeln Sie x als Konstante und differenzieren nach der Variablen y:

Wie Sie sehen, wird bei der Differentiation nach y der Term ln x als Konstante behandelt und fällt völlig weg.

Zurück zum Beispiel aus dem vorigen Abschnitt – der Dachschrägenfunktion z = y. Hier die beiden partiellen Ableitungen dieser Funktion:

Wie Sie sehen, erzeugt diese Berechnung die vorhergesehenen Ergebnisse.

Mehrfachintegrale

Sie wissen bereits, dass mit einem Integral die Fläche in zwei Dimensionen gemessen werden kann (siehe Kapitel 1). Und wahrscheinlich wissen Sie aus der Festkörpergeometrie, dass die Entsprechung zur Fläche in drei Dimensionen das Volumen ist.

Mehrfachintegrale sind das höherdimensionale Äquivalent zu den guten alten Integralen, die Sie in Analysis II kennen gelernt haben. Sie erlauben Ihnen, das Volumen in drei Dimensionen (oder mehr) zu messen.

Die meisten Mehrfachintegrale, die Ihnen begegnen werden, können in zwei Kategorien eingeteilt werden: Doppelintegrale und Dreifachintegrale. In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen beide Formen der Mehrfachintegrale und wie sie berechnet werden.

Volumen unter einer Oberfläche messen

Bestimmte Integrale stellen eine zuverlässige Methode dar, die vorzeichenbehaftete Fläche zwischen einer Funktion und der x-Achse begrenzt durch zwei x-Werte zu berechnen. (Weitere Informationen dazu finden Sie in den Kapiteln 1 und 3.) Analog dazu gestattet Ihnen ein Doppelintegral, das vorzeichenbehaftete Volumen zwischen einer Funktion z = f(x, y) und der xy-Ebene begrenzt durch zwei beliebige x-Werte und zwei beliebige y-Werte zu berechnen.

Um sich eine Vorstellung von diesem Volumen zu machen, betrachten Sie Abbildung 14.12. Das Doppelintegral misst das Volumen zwischen f(x, y) und der xy-Ebene, begrenzt durch

Abbildung 14.12: Ein Doppelintegral gestattet Ihnen, die Fläche unter einer Oberfläche begrenzt durch ein Rechteck zu messen.

ein Rechteck. In diesem Fall wird das Rechteck durch die vier Linien x = 0, x = 1, y = 0 und y = 2 beschrieben.

Ein Doppelintegral ist eigentlich ein Integral innerhalb eines anderen Integrals. Um sich das besser vorstellen zu können, stelle ich das innere Integral aus dem vorigen Beispiel hier in Klammern dar:

Wenn Sie sich auf das Integral innerhalb der Klammern konzentrieren, erkennen Sie, dass die Integrationsgrenzen 0 und 1 dem dx entsprechen, das heißt x = 0 und x = 1. Analog dazu entsprechen die Integrationsgrenzen 0 und 2 dem dy, das heißt y = 0 und y = 2.

Mehrfachintegrale berechnen

Mehrfachintegrale (Doppelintegrale, Dreifachintegrale usw.) sind normalerweise bestimmte Integrale, ihre Berechnung ergibt deshalb eine reelle Zahl. Die Berechnung von Mehrfachintegralen ist vergleichbar mit der Berechnung verschachtelter Funktionen: Sie arbeiten von innen nach außen.

Doppelintegrale lösen

Doppelintegrale werden in zwei Schritten gelöst: Zuerst berechnen Sie das innere Integral, setzen dann diese Lösung in das äußere Integral ein und lösen dieses. Stellen Sie sich beispielsweise vor, Sie wollen das folgende Doppelintegral integrieren:

Zunächst schreiben Sie das innere Integral in Klammern, so dass Sie besser erkennen, womit Sie arbeiten:

Jetzt konzentrieren Sie sich auf die Klammern. Den Rest können Sie vorübergehend ignorieren. Ihre Integrationsvariable ist y, deshalb behandeln Sie die Variable x als Konstante und schieben sie aus dem Integral heraus:

Beachten Sie, dass die Integrationsgrenzen in diesem Integral Funktionen von x sind. Das Ergebnis dieses bestimmten Integrals ist also eine Funktion von x:

Diesen Ausdruck setzen Sie jetzt in das äußere Integral ein. Mit anderen Worten, Sie setzen ihn für die Klammer ein:

Dieses Integral berechnen Sie wie gewohnt:

Der Sinn der Dreifachintegrale

Dreifachintegrale sehen hochkompliziert aus, aber wenn Sie sie schrittweise auflösen, sind sie auch nicht schwieriger als gewöhnliche Integrale. Wie bei den Doppelintegralen beginnen Sie von innen und arbeiten nach außen. Beispiel:

Zunächst kennzeichnen Sie die beiden inneren Integrale:

Ihr Angriffsplan lautet, zuerst das Integral in den Klammern zu berechnen, dann das Integral in den eckigen Klammern und schließlich das äußere Integral. Fangen wir an:

Beachten Sie, dass Sie durch Einsetzen der Werte für x einen Ausdruck mit y und z erhalten. Jetzt vereinfachen Sie diesen Ausdruck, um ihn umgänglicher zu machen:

Diese Lösung setzen Sie ein, um das Integral in den eckigen Klammern zu ersetzen:

Ein Integral abgearbeitet – zwei übrig. Jetzt konzentrieren Sie sich auf das Integral innerhalb der eckigen Klammern. Die Integrationsvariable ist y:

Wieder vereinfachen Sie, bevor Sie Ihre Arbeit fortsetzen:

Setzen Sie dieses Ergebnis wieder in das Integral ein:

Jetzt berechnen Sie dieses Integral:

15

Was ist so anders an Differentialgleichungen?

In diesem Kapitel...

- Unterschiedliche Arten von Differentialgleichungen (DGs) klassifizieren

- Die Verbindung zwischen DGs und Integralen verstehen

- Eine für eine DG vorgeschlagene Lösung überprüfen

- Erkennen, wie sich DGs in der realen Welt manifestieren

- Unterschiedliche Methoden für die Lösung von DGs einsetzen

Allein die Erwähnung von Differentialgleichungen (kurz DGs) lässt Nichtmathematikern die Haare zu Berge stehen. Selbst die unerschrockensten Analysis-Studenten ziehen eine Karriere als Kunsthistoriker in Betracht, wenn diese wilden Tiere in Sichtweite gelangen. Aber was sind Differentialgleichungen eigentlich? Woher kommen sie? Wozu braucht man sie? Und wie soll man sie lösen?

In diesem Kapitel beantworte ich diese Fragen und stelle Ihnen die DGs vor. Ich zeige Ihnen, wie Sie die grundlegendsten Typen von DGs erkennen, so dass Sie sich bei der nächsten Party an Ihrem Mathematiklehrstuhl nicht völlig fehl am Platze fühlen. Ich erkläre die Verbindung von DGs zu den Integralen, die Sie nun schon so gut beherrschen. Und ich werde Ihnen beibringen, wie Sie Ihre eigenen DGs erstellen, so dass Ihnen sicher niemals mehr langweilig wird. Anschließend zeige ich Ihnen, wie Sie DG-Lösungen überprüfen. Darüber hinaus werden Sie entdecken, wo DGs in der realen Welt auftreten. Und ich stelle Ihnen einige einfache Methoden für die Lösung der grundlegendsten Differentialgleichungen vor.

Grundlagen der Differentialgleichungen

Kurz gesagt, eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die mindestens eine Ableitung enthält. Beispiel:

Die Lösung einer Differentialgleichung bedeutet, den Wert der abhängigen Variable unter Verwendung der unabhängigen Variablen zu finden. In diesem Kapitel verwende ich y als abhängige Variable, das Ziel in jeder Aufgabe ist es also, nach y unter Verwendung von x aufzulösen.

In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen, wie Sie DGs klassifizieren. Außerdem werden Sie lernen, DGs zu erstellen und die Lösung einer DG zu überprüfen.

DGs klassifizieren

Wie alle anderen Gleichungen, die Sie bisher kennen gelernt, gibt es auch Differentialgleichungen in den unterschiedlichsten Varianten. Und unterschiedliche Varianten von DGs werden unter Verwendung unterschiedlicher Methoden gelöst. In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen einige wichtige Methoden zur Klassifizierung von DGs.

Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen

Eine gewöhnliche Differentialgleichung (GDG) enthält nur Ableitungen einer Variablen – das bedeutet, sie enthält keine partiellen Ableitungen (siehe Kapitel 14). Hier einige Beispiele für GDGs:

Im Gegensatz dazu enthält eine partielle Differentialgleichung (PDG) mindestens eine partielle Ableitung. Hier einige Beispiele für PDGs:

Gewöhnliche Differentialgleichungen sind üblicherweise Thema einer speziellen Vorlesung über Differentialgleichungen. Sie gehen etwas über das bisher Gelernte hinaus, aber viele Studenten finden Differentialgleichungen leichter als Analysis II (das im Allgemeinen als die schwierigste Vorlesung aus der Analysis-Reihe betrachtet wird). Allerdings sind GDGs dahingehend begrenzt, wie gut sie die physische Welt darstellen können.

Die eigentliche Fundgrube sind die partiellen Differentialgleichungen. Mit diesen kleinen Juwelen lässt sich sehr viel Physik ausdrücken. Leider ist die Lösung von PDGs sehr viel schwieriger als das, woran ein durchschnittlicher Analysis-Student gewöhnt ist. Diese Art Mathematik ist normalerweise für die Fortgeschrittenen vorgesehen.

Grade der DGs

Differentialgleichungen werden gemäß ihrem Grad klassifiziert. Diese Klassifizierung ist vergleichbar mit der Klassifizierung von Polynomgleichungen nach dem Grad (siehe Kapitel 2).

GDGs ersten Grades enthalten nur erste Ableitungen. Beispiel:

GDGs höheren Grades werden wie Polynome nach dem höchsten Grad ihrer Ableitungen klassifiziert. Hier folgen Beispiele von GDGs zweiten, dritten und vierten Grades:

GDG zweiten Grades:

GDG dritten Grades:

GDG vierten Grades

Wie es auch bei Polynomen der Fall ist, kann man sagen, eine DG höheren Grades ist schwieriger zu lösen als eine DG geringeren Grades.

Lineare DGs

Die Antwort auf die Frage, woraus sich eine lineare Differentialgleichung zusammensetzt, hängt zum Teil davon ab, wen Sie fragen. Für praktische Zwecke hat eine lineare DG ersten Grades die folgende Form:

Dabei sind a(x) und b(x) Funktionen von x. Hier einige Beispiele für lineare DGs ersten Grades:

Lineare DGs können häufig unter Verwendung eines Integrationsfaktors gelöst oder zumindest vereinfacht werden. Ich zeige Ihnen später in diesem Kapitel, wie das geht.

Eine lineare DG zweiten Grades hat die folgende Form:

Dabei sind a, b und c Konstanten. Hier einige Beispiele:

Beachten Sie, dass die Konstante a immer auf 1 gekürzt werden kann, so dass Anpassungen an den beiden anderen Koeffizienten entstehen. Lineare DGs zweiten Grades sind normalerweise wichtiges Thema in Vorlesungen über Differentialgleichungen. Ihre Lösung bedingt Kenntnisse im Bereich der Matrizen und komplexen Zahlen, die über den Rahmen dieses Buches hinausgehen.

Genauere Betrachtung der DGs

Sie müssen kein Profifußballer sein, um Spaß an Fußball zu haben. Sie können das Spiel von den Tribünen aus verfolgen – oder auch von einem bequemen Stuhl vor dem Fernseher aus. Analog dazu müssen Sie auch nicht unendlich tief in die Differentialgleichungen einsteigen, um zu verstehen, wie sie funktionieren. In diesem Abschnitt biete ich Ihnen Einblicke in die Welt der Differentialgleichungen.

Wie jedes Integral eine DG ist

Das Integral ist ein spezielles Beispiel für einen allgemeineren Gleichungstyp – die Differentialgleichung. Um zu erkennen, wie sich das verhält, nehmen wir an, Sie arbeiten mit dem folgenden hübschen kleinen Integral:

y = ∫cos x dx

Durch Differentiation auf beiden Seiten erhalten Sie eine DG:

Natürlich wissen Sie, wie Sie diese DG lösen, indem Sie sie sich als Integral vorstellen:

y = sin x + C

Im Allgemeinen gilt also, wenn eine DG die folgende Form hat:

wobei f(x) eine beliebige Funktion von x ist, können Sie diese DG als Integral ausdrücken und durch Integration lösen.

Warum die Erstellung von DGs einfacher als ihre Lösung ist

Der Grund dafür, warum die DG aus dem letzten Abschnitt so einfach zu lösen war, ist, dass die Ableitung auf einer Seite der Gleichung isoliert war. DGs erhalten einen neuen Schwierigkeitsgrad, wenn die Ableitung nicht isoliert ist.

Man könnte das Ganze sehr gut mit der einfachen Mathematik vergleichen, wenn Sie den Sprung von der Arithmetik zur Algebra machen. Beispielsweise eine Aufgabe aus der Arithmetik:

x = 20 – (4^2 + 3)

Selbst wenn es sich rein technisch um ein algebraisches Problem handelt, können Sie es ohne die Algebra lösen, weil x auf einer Seite der Aufgabe isoliert ist. Das Ganze ändert sich, wenn x weiter in die Gleichung verstrickt ist. Beispiel:

2x^3 – x^2 + 5x – 17 = 0

Für diese Aufgabe reicht die Arithmetik nicht mehr aus, deshalb übernimmt die Algebra. Analog dazu ist, wenn in eine Gleichung Ableitungen eingewoben sind, wie es für die meisten der hier gezeigten DGs der Fall ist, die Integration nicht mehr wirksam, und es beginnt eine Suche nach neuen Methoden.

Obwohl die Lösung von DGs häufig kompliziert ist, ist es einfach, sie aufzustellen. Angenommen, Sie beginnen mit der folgenden einfachen quadratischen Gleichung:

y = 3x^2 + 4x – 5

Jetzt bestim men Sie die erste und die zweite Ableitung:

Wenn Sie jetzt die linken und rechten Seiten aller drei Gleichungen addieren, erhalten Sie die folgende Differentialglei chung:

Weil Sie die Gleichung selbst aufgestellt haben, wissen Sie, was y ist. Aber wenn Sie diese Gleichung an andere Studenten weiterreichen, können diese vermutlich nicht erkennen, wie Sie sie erstellt haben, deshalb müssten sie einen gewissen Aufwand betreiben, um nach y aufzulösen. Hier eine weitere DG:

Diese Gleichung sieht vielleicht schwierig aus, weil Sie nicht besonders viele Informationen darüber besitzen. Aber nachdem ich Ihnen die Lösung mitgeteilt habe, erscheint sie ganz einfach:

y = sin x |

Aber selbst nachdem Sie die Lösung haben – wie erkennen Sie, ob es die einzige Lösung ist? Für Anfänger: y = -sin x, y = cos x und y = – cos x sind alles Lösungen. Gibt es noch andere Lösungen? Wie finden Sie sie? Und woher wissen Sie, ob Sie alle gefunden haben?

Eine weitere Schwierigkeit tritt auf, wenn y selbst in der Gleichung vorkommt. Wie lösen Sie etwa die folgende Gleichung nach y auf?

Wie Sie sehen, enthalten Differentialgleichungen tückische Feinheiten, die Ihnen in der grundlegenden Analysis nicht begegnen.

Die Lösungen von DGs überprüfen

Selbst wenn Sie nicht wissen, wie Sie eine Lösung für eine Differentialgleichung finden, können Sie immer feststellen, ob eine vorgeschlagene Lösung funktioniert. Sie setzen dazu einfach den vorgeschlagenen Wert der abhängigen Variablen – ich verwende in diesem Kapitel y – in beide Seiten der Gleichung ein und prüfen, ob die Gleichheit bewahrt bleibt.

Hier beispielsweise eine Differentialgleichung:

Sie wissen vielleicht nicht, wie diese DG zu lösen ist, aber stellen Sie sich vor, Sie erhalten wunderbare Hilfe und damit die folgende Lösung:

y = 4e3x sin x

Sie können überprüfen, ob Ihre übernatürliche Hilfe Recht hatte, indem Sie diesen Wert von y wie folgt einsetzen:

Weil die linke und die rechte Seite der Gleichung gleich sind, war die himmlische Lösung also richtig.

Differentialgleichungen lösen

In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen, wie Sie verschiedene DGs lösen können. Als Erstes lösen Sie die allseits beliebte DG, die separierbare Gleichung. Anschließend setzen Sie Ihre Kenntnisse ein, um ein Anfangswertproblem (AWP) zu lösen. Und schließlich zeige ich Ihnen, wie Sie eine DG ersten Grades unter Verwendung eines Integrationsfaktors lösen.

Separierbare Gleichungen lösen

Je verwobener Differentialgleichungen sind, desto schwieriger ist ihre Lösung. In bestimmten Fällen sind kompliziert aussehende Gleichungen jedoch ganz einfach zu entwirren. Gleichungen dieser Art werden auch als separierbare Gleichungen (oder autonome Gleichungen) bezeichnet, und sie haben die folgende Form:

Separierbare Gleichungen sind relativ einfach zu lösen. Angenommen, Sie wollen die folgende Aufgabe lösen:

Stellen Sie sich das Symbol hier als Bruch vor und isolieren Sie die x- und y-Terme dieser Gleichung auf unterschiedlichen Seiten des Gleichheitszeichens:

eydy = sin xdx

Jetzt integrieren Sie beide Seiten:

Der vorige Schritt ist in bedeutsamer Hinsicht fragwürdig, weil die Integrationsvariable auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens unterschiedlich ist. Sie denken vielleicht, das sei kein größeres Problem, weil es sich in jedem Fall um Integration handelt. Aber stellen Sie sich vor, Sie würden versuchen, eine Seite einer Gleichung durch 2, die andere durch 3 zu dividieren, und sich dann denken: Kein Problem, alles Division! Offensichtlich hätten Sie ein Problem. Die gute Nachricht ist jedoch, dass es aus technischen Gründen, deren Klärung über den Rahmen dieses Buchs hinausgeht, möglich ist, beide Seiten mit unterschiedlichen Integrationsvariablen zu integrieren und die korrekte Lösung zu erhalten.

C_1 und C_2 sind beides Konstanten, Sie können also die Gleichung mit Hilfe der Gleichung C = C_2 – C_1 vereinfachen:

ey = -cosx + C

Anschließend wenden Sie einen natürlichen Logarithmus an, um den Exponenten zu entfernen, und vereinfachen dann:

Um diese Lösung zu überprüfen, setzen Sie den Wert von y in beide Seiten der ursprünglichen Gleichung ein:

Anfangswertprobleme (AWPs) lösen

In Kapitel 3 habe ich Ihnen gezeigt, dass das bestimmte Integral ein spezielles Beispiel für eine ganze Familie unbestimmter Integrale ist. Auf ähnliche Weise ist ein Anfangswertproblem (AWP) ein spezielles Beispiel für eine Lösung einer Differentialgleichung. Jedes AWP bietet zusätzliche Information – den so genannten Anfangswert –, die Ihnen gestattet, die allgemeine Lösung für eine Differentialgleichung zu verwenden, um eine spezielle Lösung zu erhalten.

Hier ein Anfangswertproblem:

Dieses Problem beinhaltet nicht nur eine DG, sondern auch eine zusätzliche Gleichung. Um zu verstehen, was Ihnen diese Gleichung sagen will, denken Sie daran, dass y eine abhängige Variable ist, eine Funktion von x. Die Notation y(0) = 5 bedeutet also »wenn x = 0 ist, dann ist y = 5«. Sie erkennen, wie diese Information ins Spiel kommt, sobald ich dieses Beispiel fortsetze.

Um ein AWP zu lösen, müssen Sie zuerst die DG lösen. Dazu ermitteln Sie ihre allgemeine Lösung, ohne sich um den Anfangswert zu kümmern. Glücklicherweise ist diese DG eine separierbare Gleichung, wie Sie sie bereits aus dem vorigen Abschnitt kennen:

Sie integrieren beide Seiten:

In diesem letzten Schritt verwende ich C, um die Integrationskonstanten beider Seiten der Gleichung zu einer einzigen Konstante C zusammenzufassen. (Falls Sie das nicht verstehen, lesen Sie im Abschnitt »Separierbare Gleichungen lösen« früher in diesem Kapitel nach). Anschließend löse ich unter Verwendung von e den natürlichen Logarithmus auf:

Weil ec eine Konstante ist, kann diese Gleichung unter Verwendung der Substitution D = ec weiter vereinfacht werden:

y = Detan x

Bevor Sie weitermachen, stellen Sie sicher, dass diese Lösung korrekt ist, indem Sie diesen Wert von y auf beiden Seiten der ursprünglichen Gleichung einsetzen:

Dies ist erfolgreich, y = Detan x ist also tatsächlich die allgemeine Lösung für die DG. Um jedoch das Anfangswertproblem zu lösen, muss ich den speziellen Wert der Variablen D finden, indem ich die bereitgestellte Zusatzinformation nutze: Wenn x = 0, dann ist y = 5. Wenn ich beide Werte in die Gleichung einsetze, kann ich nach D auflösen:

Jetzt setze ich diesen Wert von D wieder in die allgemeine Lösung des Problems ein, um die AWP-Lösung zu erhalten:

y = 5 etan x

Diese Lösung erfüllt nicht nur die Differentialgleichung = y sec^2 x, sondern auch den Anfangswert y(0) = 5.

Einen Integrationsfaktor verwenden

Wie bereits im Abschnitt »DGs klassifizieren« erwähnt, hat eine lineare Gleichung ersten Grades die folgende Form:

Eine intelligente Methode zur Lösung von DGs in dieser Form beinhaltet die Multiplikation der gesamten Gleichung mit einem Integrationsfaktor. Gehen Sie wie folgt vor:

1. Berechnen Sie den Integrationsfaktor.

2. Multiplizieren Sie die DG mit diesem Integrationsfaktor.

3. Stellen Sie die linke Seite der Gleichung als eine Ableitung dar.

4. Integrieren Sie beide Seiten der Gleichung und lösen Sie nach y auf.

Machen Sie sich keine Gedanken, wenn Sie das alles nicht sofort verstehen. In den folgenden Abschnitten werde ich Ihnen zeigen, was ein Integrationsfaktor ist, und wie Sie ihn einsetzen, um DGs ersten Grades zu lösen.

Glück muss der Mensch haben

Damit Sie verstehen, wie die Multiplikation mit einem Integrationsfaktor funktioniert, richte ich hier eine Gleichung ein, die sich praktisch ganz von alleine löst – wenn Sie wissen, was zu tun ist:

Beachten Sie, dass dies eine lineare DG ersten Grades ist, mit a(x) = und b(x) = 0. Jetzt ändere ich diese Gleichung ab, indem ich jeden Term mit x^2 multipliziere (Sie werden gleich verstehen, warum):

Mit ein bisschen Algebra vereinfache ich und ordne die Gleichung neu an:

Und jetzt erkennt man schon, warum ich so viel Glück habe: Die beiden Terme auf der linken Seite der Gleichung sind zufälligerweise das Ergebnis der Anwendung der Produktregel auf den Ausdruck y · x^2 (weitere Informationen zur Produktregel finden Sie in Kapitel 2):

Beachten Sie, dass die rechte Seite dieser Gleichung genau dasselbe wie die linke Seite der vorherigen Gleichung ist. Ich kann also die folgende Substitution vornehmen:

Um die Ableitung auf der linken Seite rückgängig zu machen, integriere ich beide Seiten und löse dann nach y auf:

Um diese Lösung zu überprüfen, setze ich diesen Wert von y wieder in die ursprüngliche Gleichung ein:

Jeder ist seines Glückes Schmied

Das vorige Beispiel funktioniert, weil ich eine Möglichkeit gefunden habe, die gesamte Gleichung mit einem Faktor zu multiplizieren, der dafür gesorgt hat, dass die linke Seite der Gleichung wie eine durch die Produktregel erzeugte Ableitung ausgesehen hat. Das hat sich nach sehr viel Glück angehört, aber Sie wissen jetzt, womit Sie multiplizieren müssen, damit jede DG ersten Grades auf diese Weise umgeformt werden kann. Sie erinnern sich an die Form der linearen DG ersten Grades:

Der Trick dabei ist, die DG mit einem Integrationsfaktor basierend auf a(x) zu multiplizieren. Hier der Integrationsfaktor:

e∫a(x)dx

Wie der Integrationsfaktor ursprünglich abgeleitet wird, kann im Rahmen dieses Buches nicht erklärt werden. Sie müssen nur wissen, dass er funktioniert.

In der obigen Aufgabe wussten Sie beispielsweise, dass a(x) = . Sie finden den Integrati onsfaktor deshalb wie folgt:

Sie wissen, dass 2 ln x = ln x^2, deshalb gilt:

Wie Sie sehen, ist der Integrationsfaktor x^2 der exakte Wert, mit dem ich multipliziert habe, um das Problem zu lösen. Um zu erkennen, wie dieses Verfahren funktioniert, nachdem Sie den Trick kennen, lösen Sie die folgende DG:

In diesem Fall ist a(x) = 3, Sie berechnen also den Integrationsfaktor wie folgt:

e∫a(x)dx = e∫3dx = e3x

Jetzt multiplizieren Sie jeden Term der Gleichung mit diesem Faktor:

Wenn Sie möchten, vereinfachen Sie die rechte Seite mit ein bisschen Algebra und ordnen die linke Seite neu an:

Jetzt erkennen Sie, dass die linke Seite dieser Gleichung wie das Ergebnis der Produktregel für die Auswertung der folgenden Ableitung aussieht:

Weil die rechte Seite dieser Gleichung gleich der linken Seite der vorherigen Gleichung ist, kann ich die folgende Substitution vornehmen:

Beachten Sie, dass ich die linke Seite dieser Gleichung ändere, indem ich die Produktregel umgekehrt anwende. Das bedeutet, ich drücke die gesamte linke Seite als eine einzige Ableitung aus. Jetzt kann ich beide Seiten integrieren, um diese Ableitung rückgängig zu machen:

Jetzt löse ich nach y auf und vereinfache:

Um diese Lösung zu überprüfen, setze ich den Wert von y wieder in die ursprüngliche DG ein:

Wie durch Zauberhand sind die beiden Seiten gleich, die Lösung ist also gültig.

Teil VI

Der Teil der Zehn

In diesem Teil ...

Als spezieller Bonus folgen hier zwei Top-Ten-Listen zu Themen rund um die Analysis: Zehn wichtige Aha!-Momente in Analysis II und zehn praktische Tipps für Ihre Prüfung.

16

Zehn Aha!-Einsichten in Analysis II

In diesem Kapitel...

- Die wichtigsten Konzepte der Integration verstehen

- Das bestimmte Integral vom unbestimmten Integral unterscheiden

- Die Grundlagen von unendlichen Reihen kennen

O.k., Sie sind fast am Ende dieses Buchs angekommen. Sie haben jedes einzelne Wort gelesen, sich die wichtigsten Formeln gemerkt und alle Beispiele nachgerechnet. Sie sind bereit für Ihre Abschlussprüfung, und Sie haben es verdient, sie zu bestehen. Nicht schlecht! (Vielleicht haben Sie aber auch nur das Buch in die Hand genommen und ans Ende geblättert. Das ist ebenfalls nicht schlecht! Hier finden Sie nämlich einen knappen Überblick darüber, worum es sich bei Analysis II überhaupt handelt.)

Aber noch haben Sie das Gefühl, den Wald vor lauter Bäumen nicht zu sehen. Vergessen Sie die ganzen Gleichungen für einen Moment, und lesen Sie diese Aha!-Einsichten. Wenn Sie sie verstanden haben, besitzen Sie einen ersten grundlegenden Überblick.

Integrieren bedeutet, die Fläche zu bestimmen

Die Fläche eines Polynoms oder Kreises ist einfach zu berechnen. Bei der Integration geht es darum, die Fläche von unregelmäßigen Formen mit unhandlichen Begrenzungen zu bestimmen. Bei diesen Begrenzungen kann es sich um Kurven handeln, die aus Polynom-, Exponential-, logarithmischen, trigonometrischen oder invers trigonometrischen Funktionen stammen, oder die Produkte oder Kombinationen dieser Funktionen darstellen.

Integration ist eine konkrete Methode, das so genannte Flächenproblem zu lösen. Egal wie kompliziert die Integration wird, Sie wissen immer, worum es geht, indem Sie sich eine einfache Frage stellen: »Wie hilft mir das, was ich mache, eine Fläche zu bestimmen?«

Weitere Informationen über die Beziehung zwischen Integration und Fläche finden Sie in Kapitel 1.

Beim Integrieren ist Fläche vorzeichenbehaftete Fläche

In der realen Welt ist Fläche immer positiv. Es gibt beispielsweise kein Grundstück, das – 4 Quadratkilometer groß ist. Dieses Konzept der Fläche wird auch als vorzeichenlose Fläche bezeichnet.

Auf dem kartesischen Koordinatensystem im Kontext der Integration wird die Fläche jedoch als vorzeichenbehaftete Fläche gemessen, wobei die Fläche unterhalb der x-Achse als negative Fläche betrachtet wird.

In diesem Kontext wird ein 2 × 2 Einheiten großes Quadrat unterhalb der x-Achse als – 4 Quadrateinheiten große vorzeichenbehaftete Fläche gewertet. Analog dazu wird ein 2 × 2 Quadrateinheiten großes Quadrat, das durch die x-Achse halbiert wird, mit einer Fläche von 0 eingeordnet.

Das bestimmte Integral erzeugt immer die vorzeichenbehaftete Fläche zwischen einer Kurve und der x-Achse innerhalb der Integrationsgrenzen. Wenn also nach der vorzeichenlosen Fläche gefragt wird, müssen Sie die positive und die negative Fläche separat bestimmen, das Vorzeichen der negativen Fläche ändern und die beiden Ergebnisse addieren.

Weitere Informationen über die vorzeichenbehaftete Fläche finden Sie in Kapitel 3.

Integration ist spektakuläre Addition

Um die Fläche eines unregelmäßigen Polygons zu messen, sollten Sie dieses als Erstes in viele kleinere Flächen zerlegen, von denen Sie wissen, wie sie zu messen sind – z. B. Dreiecke und Rechtecke –, und diese Flächen dann addieren.

Die Integration funktioniert nach demselben Prinzip. Sie erlaubt Ihnen, eine Form in kleinere Formen zu zerlegen, die die Fläche annähern, die Sie messen wollen, und diese Einzelstücke dann zu addieren. Das Integralzeichen ∫ selbst ist einfach ein verlängerte S, das für

Summe steht.

Weitere Informationen über den Zusammenhang von Integration und Addition finden Sie in Kapitel 1.

Integration verwendet unendlich viele unendlich dünne Scheiben

Und so unterscheidet sich die Integration von allen anderen Methoden zur Flächenmessung: Die Integration gestattet Ihnen, eine Fläche in unendlich viele Stücke zu schneiden, die alle unendlich dünn sind, und diese Stücke dann zu addieren, um die Gesamtfläche zu bestimmen.

Sie können das Ganze auch etwas mathematischer ausdrücken: Das bestimmte Integral ist der Grenzwert der Gesamtfläche aller dieser Scheiben, wenn die Anzahl der Scheiben gegen unendlich und die Dicke jeder Scheibe gegen 0 geht.

Dieses Konzept ist auch dann praktisch, wenn Sie versuchen, das Volumen zu bestimmen, wie in Kapitel 10 gezeigt.

Weitere Informationen über dieses Konzept der unendlich dünnen Scheiben und seine Bedeutung in der Integration finden Sie in Kapitel 1.

Integration beinhaltet einen Schlupffaktor

Mathematik ist eine strenge Lehrherrin. Ein kleiner Fehler am Anfang einer Aufgabe führt nicht selten zu einem riesigen Fehler am Ende.

Die Feststellung, dass Sie eine Fläche auf alle möglichen Arten in dünne Scheiben schneiden und dennoch die richtige Lösung erhalten können, ist erfrischend. Einige dieser Methoden, Scheiben zu schneiden, beinhalten linke Rechtecke, rechte Rechtecke und Mittelpunktrechte. Mehr darüber finden Sie in Kapitel 3.

Dieser Schlupffaktor, wie ich ihn nenne, entsteht, weil die Integration eine unendliche Folge aufeinander folgender Annäherungen verwendet. Jede Annäherung bringt Sie näher an die gesuchte Antwort. Egal, welchen Weg Sie einschlagen, führt Sie eine unendliche Anzahl solcher Annäherungen zur richtigen Antwort.

Weitere Informationen über die Unterscheidung zwischen Annäherung und Berechnung von Integralen finden Sie in Kapitel 3.

Die Berechnung eines bestimmten Integrals ergibt eine Zahl

Ein bestimmtes Integral stellt die wohldefinierte Fläche einer Form auf einem Graphen dar. Sie können jede solche Fläche als Anzahl von Quadrateinheiten darstellen, deshalb ist das bestimmte Integral eine Zahl.

Weitere Informationen über das bestimmte Integral finden Sie in Kapitel 3.

Die Berechnung eines unbestimmten Integrals ergibt eine Funktion

Ein unbestimmtes Integral ist eine Schablone, die Ihnen gestattet, eine unendliche Anzahl verwandter bestimmter Integrale zu berechnen, indem Sie bestimmte Parameter einsetzen. In der Mathematik wird eine solche Schablone als Funktion bezeichnet.

Die Eingabewerte für ein unbestimmtes Integral sind zwei Integrationsgrenzen. Die Angabe dieser beiden Werte macht aus dem unbestimmten Integral ein bestimmtes Integral, das dann eine Zahl ergibt, die die Fläche darstellt.

Wenn Sie die Integrationsgrenzen nicht angeben, können Sie das Integral immer noch als Funktion berechnen. Das Verfahren, ein unbestimmtes Integral zu finden, macht eine Eingabefunktion (z. B. cos x) zu einer Ausgabefunktion (sin x + C).

Weitere Informationen über unbestimmte Integrale finden Sie in Kapitel 3. In Teil II sind verschiedene Techniken für die Auswertung unbestimmter Integrale beschrieben.

Integration ist inverse Differentiation

Die Integration und die Differentiation sind inverse Operationen: Beide Operationen machen die jeweils andere rückgängig (bis auf eine Konstante C). Man kann auch sagen, die Integration ist eine Anti-Differentiation.

Hier ein Beispiel dafür, wie die Differentiation die Integration rückgängig macht:

Wie Sie sehen, gelangen Sie, wenn Sie eine Funktion integrieren und das Ergebnis wieder differenzieren, wieder zur ursprünglichen Funktion zurück.

Hier ein Beispiel dafür, wie die Integration die Differentiation rückgängig macht:

Wie Sie sehen, erzeugt die Differentiation einer Funktion und die anschließende Integration des Ergebnisses wieder die Ausgangsfunktion plus einer Konstanten C.

Weitere Informationen zu dieser inversen Beziehung zwischen Integration und Differentiation sowie einige intelligente Methoden für die Integration komplizierter Funktionen finden Sie in Teil II.

Jede unendliche Reihe hat zwei zugehörige Folgen

Jede unendliche Reihe hat zwei zugehörige Folgen, die man für das Verständnis benötigt, wie die Reihe funktioniert: ihre definierende Folge und die Partialsummenfolge.

Die definierende Folge einer Reihe ist einfach die Folge, die die Reihe vornehmlich definiert. Die Reihe

beispielsweise hat die definierende Folge

Beachten Sie, dass dieselbe Funktion, in diesem Fall , in der kürzeren Notation sowohl für die Reihe als auch für ihre definierende Folge vorkommt.

Die Partialsummenfolge einer Reihe ist die Folge, die entsteht, wenn Sie nacheinander eine endliche Anzahl an Termen addieren. Die vorige Reihe beispielsweise besitzt die folgende Partialsummenfolge:

Beachten Sie, dass eine Reihe divergieren kann, auch wenn ihre definierende Folge konvergiert, wie in diesem Beispiel der Fall. Eine Reihe und ihre Partialsummenfolge sind aber immer beide konvergent oder divergent. Die Definition für die Konvergenz einer Reihe basiert auf dem Verhalten ihrer Partialsummenfolge (weitere Informationen über Konvergenz und Divergenz finden Sie im nächsten Abschnitt).

Weitere Informationen über unendliche Reihen finden Sie in Teil IV.

Jede unendliche Reihe konvergiert oder divergiert

Jede unendliche Reihe konvergiert oder divergiert, und es gibt keine Ausnahmen.

Eine Reihe konvergiert, wenn ihre Berechnung eine reelle Zahl ergibt. Beispiel:

Andererseits divergiert eine Reihe, wenn ihre Berechnung keine reelle Zahl ergibt. Divergenz kann auf zweierlei Arten auftreten. Der gebräuchlichere Typ der Divergenz liegt vor, wenn die Reihe gegen ∞ oder – ∞ geht. Beispiel:

Diese Reihe ergibt offensichtlich keine reelle Zahl – sie wird einfach ständig größer und größer.

Eine weitere Art Divergenz liegt vor, wenn eine Reihe ständig zwischen zwei oder mehr Werten hin und her springt. Das passiert, wenn eine Reihe alterniert (siehe Kapitel 12). Beispiel:

Die Partialsummenfolge (siehe voriger Abschnitt) für diese Reihe alterniert unendlich zwischen – 1 und 0 und nimmt nie einen einzigen Wert an, die Reihe divergiert also.

Weitere Informationen über unendliche Reihen finden Sie in Teil IV.

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Zehn Tipps, um die Prüfung zu bestehen

In diesem Kapitel...

- Ruhig bleiben, nachdem die Prüfung begonnen hat

- An die dx und +C denken
- Flüssig arbeiten
- Nach Fehlern suchen

Ich kenne niemanden, der gerne eine Prüfung in Mathematik ablegt. Es herrscht Druck, die Zeit ist kurz und irgendeine Formel hat man immer vergessen. Leider gehören Prüfungen zum Leben eines Studenten. Hier folgen meine wichtigsten zehn Empfehlungen, die Ihnen die Prüfungen etwas leichter machen sollen.

Atmen!

Dies ist immer ein guter Rat – hören Sie nie auf zu atmen, Sie wissen schließlich, was andernfalls passiert.

Vieles, was Sie angesichts einer Prüfung fühlen – z. B. ein flauer Magen, feuchte Hände oder Zittern am ganzen Körper –, ist einfach eine physische Reaktion auf den Stress, verursacht durch Adrenalin. Ihr Körper bereitet sich auf eine »Flucht- oder Kampfreaktion« vor, aber bei einer Prüfung müssen Sie weder kämpfen, noch können Sie flüchten.

Ein paar tiefe Atemzüge sind eine einfache Übung, die helfen kann, das Adrenalin zu vermindern und sich zu beruhigen. Wenn Sie also darauf warten, dass Ihr Lehrer die Prüfungen ausgibt, atmen Sie ein paar Mal tief ein und aus. Suchen Sie Ihre innere Gelassenheit und stellen Sie sich vor, dass bei jedem Einatmen das gesamte mathematische Wissen dieser Welt in Ihren Körper gelangt, und dass alle negativen Gedanken beim Ausatmen Ihren Körper verlassen.

Lesen Sie sich die Prüfung genau durch!

Wenn Sie die Prüfungsunterlagen erhalten, lesen Sie sie als Erstes vollständig durch, so dass Sie wissen, was auf Sie zukommt. Diese Übung bewirkt, dass Ihr Hirn anfängt zu arbeiten (bewusst oder unbewusst).

Während Sie lesen, versuchen Sie festzustellen, ob es einfachere und weniger einfache Aufgaben gibt (siehe nächster Abschnitt).

Die einfachste Aufgabe als Erstes lösen!

Nach dem ersten Durchlesen blättern Sie auf die Seite mit der einfachsten Aufgabe und lösen diese. Diese Aufgabe macht Ihr Hirn warm und verringert Ihre Angst.

Vergessen Sie nicht, dx und + C hinzuschreiben!

Denken Sie daran, in jeder Integrationsanweisung die dx zu schreiben. Sie müssen vorhanden sein, und einige Lehrer nehmen es wirklich persönlich, wenn Sie sie vergessen. Sie müssen für so triviale Fehler wirklich keine Punkte verlieren.

Vergessen Sie außerdem nicht, dass die Lösung für ein unbestimmtes Integral immer mit +C (oder einer anderen Konstanten) endet. Es gibt keine Ausnahmen! Auch hier verlieren Sie Punkte, wenn Sie etwas weglassen, gewöhnen Sie sich also an, alles hinzuschreiben.

Machen Sie es sich so einfach wie möglich!

In den Kapiteln 4 bis 8 habe ich die Integrationstechniken in der Reihenfolge der Schwierigkeit vorgestellt. Bevor Sie mit Ihren Berechnungen beginnen, durchlaufen Sie zuerst alle Methoden, die Sie kennen – von der einfachsten bis zur schwierigsten.

Prüfen Sie immer als Erstes, ob es eine einfache Formel gibt. Beispielsweise kann es vor kommen, dass Ihnen Schweißausbrüche verursacht, bis Sie daran denken, dass die Lösung einfach arcsec x + C ist. Wenn es keine Formel gibt, denken Sie darüber nach, ob eine einfache Variablensubstitution möglich ist. Was ist mit einer partiellen Integration? Ihr letzter Ausweg sind immer die trigonometrische Substitution oder die Integration mit Partialbrüchen.

Wenn Sie an Flächenproblemen arbeiten, lassen Sie immer die Möglichkeit offen, dass gar keine Analysis erforderlich ist. Beispielsweise brauchen Sie keine Analysis, um die Fläche unter einer geraden Linie oder unter einem Halbkreis zu bestimmen. Bevor Sie mit der Integration beginnen, lehnen Sie sich also einen Moment zurück, um zu überlegen, ob es nicht auch einen einfacheren Weg gibt.

Wenn Sie stecken bleiben, kritzeln Sie!

Wenn Sie eine Aufgabe ansehen und nicht sofort erkennen, was zu tun ist, nehmen Sie sich ein Blatt Schmierpapier und schreiben Sie alles auf, was Sie sich vorstellen können.

Verwenden Sie alle mögliche Algebra, trigonometrische Identitäten oder Variablensubstitution. Schreiben Sie Reihen in Sigma-Notation und in erweiterter Notation auf. Zeichnen Sie Bilder und Graphen. Schreiben Sie alles auf, selbst Gedanken, die sinnlos scheinen.

Sie stellen möglicherweise fest, dass diese Vorgehensweise Ihrem Gehirn auf die Sprünge hilft. Selbst ein bloßes Abschreiben der Aufgabe – Gleichungen, Graphen und alles andere – kann manchmal helfen, etwas Wichtiges zu erkennen, was man beim ersten Durchlesen der Frage überlesen hat.

Wenn Sie wirklich stecken bleiben, überspringen Sie die Aufgabe!

Es hat keinen Sinn, sich den Kopf endlos zu zerbrechen. Und es hat auch keinen Sinn, die gesamte Prüfung über vor einer einzigen unlösbaren Aufgabe zu sitzen.

Nachdem Sie alles Mögliche aufgeschrieben und notiert haben (siehe voriger Abschnitt), und mit der Aufgabe immer noch nicht weitergekommen sind, gehen Sie zur nächsten Aufgabe weiter. Sie sollten die Zeit so gut wie möglich nutzen und die Aufgaben lösen, die Sie lösen können. Darüber hinaus scheinen manche Aufgaben bei einem zweiten Versuch einfacher geworden zu sein. Und bei der Arbeit in anderen Bereichen der Prüfung fallen Ihnen möglicherweise wichtige Informationen ein, die Sie bereits vergessen hatten.

Prüfen Sie Ihre Antworten!

Am Ende der Prüfung, insbesondere wenn Sie stecken geblieben sind, prüfen Sie die bereits fertigen Lösungen. Ist alles richtig, was Sie geschrieben haben? Fehlt irgendwo dx oder +C? Tragen Sie sie ein! Stellen Sie sicher, dass Sie keine Minuszeichen vergessen haben. Und überprüfen Sie, ob Ihre Lösung plausibel ist!

Angenommen, Sie integrieren, um eine Fläche innerhalb eines 2 × 2 Einheiten großen Bereichs auf einem Graphen zu finden, und Ihre Lösung lautet 7 Milliarden. Offensichtlich ist hier irgendetwas falsch gelaufen. Wenn Sie noch Zeit haben, das nachzuprüfen, sehen Sie sich die einzelnen Schritte noch einmal genau an.

Obwohl es mühsam sein kann, während einer Prüfung einen Fehler zu beheben, ist es im Allgemeinen schneller, als die gesamte Aufgabe noch einmal völlig neu zu berechnen (und womöglich nicht fertig zu stellen).

Wenn eine Lösung keinen Sinn ergibt, kommentieren Sie sie!

Angenommen, Sie integrieren, um eine Fläche innerhalb eines 2 × 2 Einheiten großen Bereichs auf einem Graphen zu finden, und Ihre Lösung lautet 7 Milliarden. Offensichtlich ist hier irgendetwas falsch gelaufen. Wenn Sie keine Zeit mehr haben, um festzustellen, wo der Fehler liegt, schreiben Sie einen Kommentar, um den Lehrer auf Ihr Problem hinzuweisen.

Anhand dieses Kommentars erkennt Ihrer Lehrer, dass Sie das Problem als solches verstanden haben – das heißt, dass Sie wissen, dass Integration für Fläche steht. Wenn sich herausstellt, dass Ihre Berechnung aufgrund eines kleineren Fehlers fehlgeschlagen ist, erhalten Sie vielleicht dennoch ein paar Punkte für den Ansatz.

Wiederholen Sie Ihr Mantra »Ich tue mein Bestes«, und tun Sie dann Ihr Bestes!

Sie können nur Ihr bestes geben, und selbst der beste Mathematikstudent vergisst bisweilen eine Formel oder starrt verständnislos auf eine Prüfungsfrage.

Wenn dieser Moment auftritt, und das wird früher oder später der Fall sein, können Sie sich ärgern, weil Sie einfach zu wenig gelernt haben. Aber das ist keine Lösung. Sie könnten genauso gut Ihren Stift weglegen, den Raum verlassen, die Schule verlassen, nach Amerika fliegen und als Johnny-Cash-Imitator Karriere machen. Dieser Plan ist ebenfalls nicht zu empfehlen, es sei denn, Sie singen so gut wie Johnny Cash (und der war richtig gut).

Stattdessen atmen Sie weiter und erinnern sich freundlich daran, dass Sie Ihr bestes tun. Und dann tun Sie Ihr bestes, was möglich ist. Es gibt keine Perfektion auf dieser Welt, aber wenn Sie sich in Stresssituationen ein bisschen beruhigen können, erzielen Sie möglicherweise bessere Ergebnisse.

Stichwortverzeichnis

Σ

3D

A

Ableitung

Formel
inverse trigonometrische Funktion

Konstant

Notation
trigonometrische Funktion

Variable
partielle

Algorithmus

Analyse

numerisch

Anfangswert

Anfangswertproblem

Anti-Differentiation

Arc

Archimedes

Asymptote

Ausdrücke

rationale, integrieren
unechte rationale

Ausschöpfungsmethode

AWP

B

Benchmark-Reihe

Bernhard Riemann

Bogenlänge

Breite

Bruch differenzieren

C

Cash, Johnny

Cos x-Reihe

D

DGs

Lineare

DI-agonal-Methode

Differentialgleichung

gewöhnlich
linear
lösen
partiell
separierbar

Differentiation

Bruch

Funktion

Kettenregel

Wurzel

Differenzregel

Distribution

Divergent

Divergenz

n-ter Term

Reihe

Doppelintegral

Drehkörper

Volum

Dreieck

Dreifachintegral

Dx

E

Einheitsvektor

Exponentialfunktion

F

Faktorregel

Fakultät

Fläche

negativ
messen
mit mehreren Funktionen
teilen

Vorzeichen
vorzeichenbehaftet
vorzeichenlos
vorzeichenlos, zwischen Fläche

Flächenfunktion

Flächenproblem

Folge

divergent
konvergent
unendlich
von Teilsummen

Fourier-Analyse

Funktion

Graph
grundlegende
linear

Produkt, Integration
trigonometrisch
trigonometrisch, integrieren
verschachtelte, differenzieren
verschachtelte, integrieren

G

GDG

Geometrie analytische

Gleichung

autonome
separierbar

Gottfried Leibniz

Grad

Graph

Grenzwert

auswerten
nicht existent
unbestimmte Form

Grenzwertvergleichstest

H

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

HDI

Höhe

I

Identität

inverse
quadratisch

Integral

Asymptote
bestimmtes
bestimmte, Kennzeichen
bestimmtes, Riemann-Summenformel
horizontal unendlich unecht

Mittelwertsatz
unbestimmtes
unbestimmte, Kennzeichen
unechte
vertikal unendlich unecht

Integration

konstantes Vielfaches

Kosekans Potenz

Kosinus Potenz

Kotangens Potenz

Partialbruchzerlegung
partielle

Polynom

Potenzregel

Produkt

Produkt von Funktion
rationaler Ausdruck

Sekans Potenz

Sinus Potenz

Summenregel

Tangens Potenz
teilweise
trigonometrische Funktion
verschachtelt

Integrationsfaktor

Integrationsgrenze

Integrationskonstante

Integrierbar

Integrierbarkeit

Isaac Barrow

Isaac Newton

K

Karl Friedrich Gauss

Komprimieren

Konvergent

Konvergenz

absolut
bedingt
intervall

Koordinatensystem

Körper

Volumen

Volumen, zwischen zwei Oberflächen

Kosekans

Potenz, integrieren

Kosinus

Potenz, integrieren

Funktion

Kotangens

Potenz, integrieren

Kreis

Kugelkoordinate

Kurve

L

L’Hospital

Länge

Laplace-Gleichung

Limes

Logarithmus

natürlicher

Logarithmusfunktion

M

Maclaurin-Reihe

Mantelflächenmethode

Mehrfachintegral

Mittelwertrechteck

Mittelwertsatz

Integral

N

Normalverteilung

O

Oktante

P

Partialbruch

Fall

Partialsummenfolge

Reihe

PDG

Polarachse

Polarkoordinatensystem

Polynom

Integration

Potenz

Potenzregel

Integration

Potenzreihe

integrieren

P-Reihe

Prisma

Produkt

Integral

Produktregel

partielle Integration

Pyramide

Volumen

Q

Quadratur

Quadratwurzel differenzieren

Querschnitt

Volumen

Quotientenregel

R

Radiante

Rechteck

linke
rechte

Reihe

alternierende
cos x
divergent

Divergenz
geometrisch
harmonisch
konvergent

Konvergenz

Partialsummenfolge
sin x
unendlich

Notation
positiv

Restterm

Riemann-Summe

Formel

Rotationskörper

S

Scheibenmethode

Sekans

Potenz, integrieren

Sigma-Notation

Simpson-Regel
sin x

Reihe

Sinus

Potenz, integrieren

Sinus-Funktion

Skalar

Skalarmultiplikation

Spiegeln

Stammfunktion

Steigung
stetig

Strecken

Substitution

trigonometrisch
trigonometrisch, Sekans
trigonometrisch, Sinus
trigonometrisch, Tangens

Summationsvariable

Summenformel

Aufzählung

Kubikzahlen

Quadratzahl

Summenregel

Integration

T

Tangens

Potenz, integrieren

Tangente

Tangentenproblem

Taylor-Polynom

Taylor-Reihe

Taylor-Restterm

Teilsummenfolge

Term

Thomas Simpson

Trapezregel

Trigonometrie

V

Variablensubstitution

Vektor

Rechnung

Vergleichstest

direkter

verschieben

Verteilung

Normalverteilung

Volum

drehender Körper

Pyramide

Querschnitt
unregelmäßiger Körper
zwischen zwei Oberflächen

Volumenbestimmung

Wärmegleichung

Winkelabstand

Wurzel

differenzieren

Z
z-Achse

Zylinderkoordinate