Geometrie für Dummies
Author: Wendy Arnone , Markus Steffen
Date: 2014-12-07T23:00:00+00:00
Keywords: Geometrie; Dummies; Ratgeber; Lernen & Nachschlagen; Mathematik
Description: Dreiecke, Rechtecke, Quader; alles schon einmal gehört. Aber wie rechnet man noch einmal ihre Flächeninhalte aus? Wie kommt man noch einmal auf die Winkelhalbierenden und wo schneiden sie sich? Es ist ganz einfach. Versprochen. Man muss nur wissen, wann welche Rechnung wo die richtige ist. ?Geometrie für Dummies? erklärt den Lesern, wie sie zu den richtigen Ergebnissen kommen, wie sie die Geometrie beherrschen und nicht die Geometrie sie. Das Buch nimmt dieser Disziplin der Mathematik auf nette Art den Schrecken. Wendy Arnone ist Dozentin an New York University School of Education und Inhaberi
Publisher: John Wiley & Sons
Rights: © 2006 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim

Geometrie für Dummies – Schummelseite

Geometrische Zeichen

Wichtige Abkürzungen

SSS | Seite-Seite-Seite-Satz zum Nachweis kongruenter Dreiecke
SWS | Seite-Winkel-Seite-Satz zum Nachweis kongruenter Dreiecke
WSW | Winkel-Seite-Winkel-Satz zum Nachweis kongruenter Dreiecke
WWS | Winkel-Winkel-Seite-Satz zum Nachweis kongruenter Dreiecke
TKDK | Alle Teile kongruenter Dreiecke sind kongruent.
WW | Winkel-Winkel-Satz zum Nachweis ähnlicher Dreiecke
sin | Sinus
cos | Kosinus
tan | Tangens
cot | Kotangens
sec | Sekans
csc | Kosekans

Häufige Variablen

Wichtige Formeln

Fläche eines Dreiecks | wobei g die Grundfläche und h die Höhe des Dreiecks ist
Umfang eines Dreiecks | U = a + b + c, wobei a, b und c die Längen der drei Seiten des Dreiecks sind
Fläche eines Rechtecks | A = lb wobei l die Länge und b die Breite des Rechtecks ist
Umfang eines Rechtecks | U = 2b + 2h, wobei b die Breite und h die Höhe des Rechtecks ist
Fläche eines Kreises | A = πr^2, wobei r der Radius des Kreises ist
Umfang eines Kreises | U = πd oder U = π2r, wobei d der Durchmesser und r der Radius der Kreises ist

Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek

Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation
in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über
http://dnb.ddb.de abrufbar.

1. Auflage 2006

© 2006 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim

Original English language edition « Geometry for Dummies»: Copyright © 2001 by Wiley Publishing, Inc All rights reserved including the right of reproduction in whole or in part in any form. This Ebook is published under license with the original publisher John Wiley and Sons, Inc.

Copyright der englischsprachigen Originalausgabe «Geometry for Dummies» ©2001 by Wiley Publishing, Inc. Alle Rechte vorbehalten inklusive des Rechtes auf Reproduktion im Ganzen oder in Teilen und in jeglicher Form. Dieses E-Book wird mit Genehmigung des Original-Verlages John Wiley and Sons, Inc. publiziert.

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Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.

Korrektur: Petra Heubach-Erdmann und Jürgen Erdmann

ISBN: 978-3-527-70298-5
ePDF ISBN: 978-3-527-65715-5
ePub ISBN: 978-3-527-65714-8
mobi ISBN: 978-3-527-65716-2

ISBN-10: 3-527-70298-9

Geometrie für Dummies

Inhaltsverzeichnis

Geometrie für Dummies – Schummelseite
Titel
Impressum
Über die Autorin
Danksagung
Einführung

Über dieses Buch
Konventionen in diesem Buch
Törichte Annahme über den Leser
Wie dieses Buch aufgebaut ist

Teil I: Sich warm machen: Geometrische Grundtagen
Teil II: Sich verteidigen: Beweise erbringen
Teil III: In Form kommen: Geometrische Figuren
Teil IV: Partei ergreifen: Ungleichungen und Ähnlichkeiten
Teil V: Aufsteigen: Geometrie für Fortgeschrittene
Teil VI: Der Top-Ten-Teil
Teil VII: Anhang

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden
Wie es weitergeht

Teil I - Sich warm machen: Geometrische Grundlagen

1 - Grundsätzliches vorneweg: Geometrische Grundbegriffe

Geometrie, das ist ...
Begriffe der Geometrie

Grundbegriffe – beschreiben statt definieren
Nicht mehr ganz so grundsätzlich – Begriffe mit Definitionen
Axiome: Vertrauen statt Kontrolle
Sätze: Beweise antreten

2 - Geraden und Winkel, so weit das Auge reicht

Geraden unter der Lupe

Strecken messen
Strecken zeichnen
Einen Blick zwischen Endpunkte wagen

Bis in den letzten Winkel

Die Verschiedenen Winkel kennen lernen
Winkel messen und zeichnen
Winkel und ihre Nachbarn
Auch Winkel haben Beziehungen
Sätze über Sätze über Winkel
Kreuzweise: Geraden bilden Winkel
Schiffe in Reih und Glied
Schiffe kreuz und quer

Teil II - Sich verteidigen: Beweise erbringen

3 - Logik: A und O aller Beweise

Aus dem Sherloch-Holmes-Handbuch: Verschiedene Beweisführungen

Direkter Beweis: Der Weg durch die Mitte
Induktiver Beweis: Vom Besonderen auf das Allgemeine
Deduktiver Beweis: Vom Allgemeinen auf das Besondere
Indirekter Beweis: Ein guter Widerspruch

Alles will begründet sein

Reflexivität: Spieglein, Spieglein an der Wand
Symmetrie: Balance halten!
Transitivität: Ein Tauschhandel
Substitution: Genauso gut wie das Original
Die Additionsregel
Die Subtraktionsregel
Die Multiptikationsregel
Die Divisionsregel
Regeln für Wurzeln und Potenzen
Aussagen dürfen – ein paar Regeln

4 - Beweisverfahren leicht gemacht

Die formalen Schritte für Beweise oder: Geometrie-Walzer
Das Spiel mit den Beweisen
Auf Umwegen: indirekt beweisen
Wenn Sie wollen ... dann gibt es eine Aussage

Teil III - In Form kommen: Geometrische Figuren

5 - Polygone als Aperitif (Ein Vorgeschmack auf geschlossene Figuren)

Polygon? Nie gehört!

Polygone und ihre Namen
Wie Winkel ins Spiel kommen
Polygontypen

Das Innenleben eines Polygons

Konvex oder konkav – das ist hier die Frage
Ab durch die Mitte: Diagonalen

Innenleben erforschen: Fläche eines Polygons

6 - Eck + Eck + Eck = Dreieck

Mehr als drei Teil – Dreiecken kennen lernen,

Seiten und Winkel
Das Besondere im Dreieck: Eine Menge Punkten und Linien

Grenzen ziehen – innehalb und außerhalb eines Dreiecks

Das Innengebiet
Das Außengebiet
Zwischendurch für Ordnung sorgen
Die Grenzen ausloten – auf der Linie

Seitenweise Dreiecke

Besonders kreativ: Ungleichseitige Dreiecke
Symmetrisch werden: Gleichschenklige Dreiecke
Wie aus dem Bilderbuch: Gleichzeitige Dreiecke
Auf einen Blick

Winkelweise Dreiecke

Auf die Spitze getrieben: Spitzwinklige Dreiecke
Stumpf, aber sicher, nicht dumm: Stumpfwinklige Dreiecke
Gerecht Verteilt: Gleichwinklige Dreiecke,
Im rechten Licht: Rechtwinktige Dreiecke
Auf einen Blick

Dreiecksbaustelle
Flächenweise Dreiecke
Zwillingsforschung: Kongruente Dreiecke

Kongruente Null-acht-fünfzehn-Dreiecke
Kongruente rechtwinklige Dreiecke
Kongruente Dreiecke aus kongruenten Teilen
Behaupten kann jeder – Kongruenzen beweisen

7 - Dreieck + Eck = Viereck

Vierecke und ihre Eigenschaften

Von außen betrachtet
Maß nehmen

Parallelogramm-Parade

Kreuz und quer: Diagonalen ins Spiel bringen
Parallelogramme füllen: Flächeninhalt
Kurz und bündig: Die Eigenschaften eines Parallelogramms

Rechtecke lieben Ordnung

Was ein Rechteck ausmacht
Außen herum und innen drin: Umfang und Flächeninhalt
Kurz und bündig: Die Eigenschaften eines Rechtecks

Rauten sind ungeschliffene Diamanten

Je größer, desto besser (gilt vor allem für Diamanten)
Kurz und bündig: Die Eigenschaften einer Raute

Nicht nur für Kleinkarierte: Quadrate

Die Verwendung der Diagonale
Umfang und Flächeninhalt von Quadraten
Kurz und bündig: Die Eigenschaften eines Quadrats

Trapeze und ihre Kunststücke

Die Seitenhalbierende
Die Diagonale
Die Höhe
Der Flächeninhalt

Drachen (vierecke) steigen lassen
Gezielt arbeiten mit Pfeilvierecken
Stammbaum der Vierecke

8 - Kreisweise

Das Thema einkreisen
kreise und ihr Verkehrsnetz

Reise zum Mittelpunkt des Kreises: Radius
Geteilt und doch so nah: Sehne
Ab durch die Mitte: Durchmesser
Zwischenhalt Kreis: Sekante
Vorsichtige Annäherung: Tangente

Winkel gibt es überall (sogar in Kreisen)

Mittelpunkts- und Umfangswinkel
Sehnen-Sehnen-Winkel
Sehnen-Tangenten-Winkel
Sekanten und Tangenten (Verschiedentlich kombiniert)

Darf ich Vorstellen: Pi
Bogen ohne Pfeil

Größer oder kleiner? Alles berechenbar
Auf Winkel zieren – mit Bogens Hilfe
Kongruente Bogen bestimmen
Die Fläche eines Kreissektors finden

Der polygame Kreis: Beziehungen in Hülle und Fülle

Für Insider: Inkreis
Eingekreist: Umkreis
Mitten hinein: Konzentrische Kreise

Teil IV - Partei ergreifen: Ungleichungen und Ähnlichkeiten

9 - Das Leben ist ungerecht – Mit Ungleichungen klarkommen

Was Ungleichungen sind

Déjà-vu-Axiome für Ungleichungen
Ungleichungen – ziemliche Spießer

Dreiecksungleichungen
Kreisungleichungen

10 - Im richtigen Verhältnis: Ähnlichkeit

Verhältnisse Haben – mit Zahlen

Maß halten
Geometrische Verhältnisse,

Vergleiche zwischen ungleichartigen Größen

Kilometer mit Litern vergleichen
Kilometer mit Stunden vergleichen
Preis pro Einheit
Ungleichartige Größen in der Geometrie

Gut proportioniert: Verhältnisgleichungen

Verhältnisgleichungen und Dreiecke
Kleiner Bruder: Ähnliche Polygone
Ähnliche Dreiecke

Teil V - Aufsteigen: Geometrie für Fortgeschrittene

11 - Schiff versenkt! (Mit Koordinaten arbeiten)

Gitter ist nicht gleich Gitter: Koordinatensystem
Es gehören immer zwei dazu (Koordinaten eines Punktes)

Quadranten kennen lernen
Grafisch werden

Entfernung ermitteln
Der Mittelpunkt der Welt ... äh: zweier Koordinaten
Mit Koordinaten Flächen finden
Zu Steigungen aufsteigen
Gleichung für eine Gerade (Punktsteigungsform)
Gleichung für einen Kreis

12 - Der geometrische Ort

Ort – Örter – Was bedeuten diese Wörter?
Geometrische Örter bestimmen
Geometrische Örter im Koordinatensystem
Wenn sich geometrische Örter schneiden
Geometrische Örter beweisen

13 - Trickreiche Trigonometrie

Eine kleine Wiederholung zu rechtwinkligen Dreiecken

Rechtwinklige Dreiecke und Ähnlichkeit
Rechtwinklige Dreiecke, Verhältnissen und zwei ganz spezielle Winkel

Sinnvoller Sinus

Sinus in Aktion – ein paar Beispiele
Mit trigonometrischen Tabellen arbeiten
Mit dem Taschenrechner arbeiten

Kosinus kennen lernen
Tangens, Kotangens, Sekans und Kosekans

Typisch Tangens
Tangens in Aktion – ein paar Beispiele
Noch ein paar Verhältnisse: Kotangens, Sekans und Kosekans

14 - Die dritte Dimension oder: Raum schaffen

Polyeder – aufgeblasene Polygone
Prisma – ein vielseitiges Polyeder

Definition eines Prismas
Prisma-Typen
Fläche eines Prismas
Volumen eines Prismas

Ein Ausflug zu den Pyramiden

Pyramiden-Typen
Fläche einer Pyramide
Volumen einer Pyramide,

Zylinder – eine runde Sache

Fläche eines Zylinders
Volumen eines Zylinders

Kegel – Eistüten und Zaubererhüte

Fläche eines Kegels
Volumen eines Kegels

Kugel – besser geht’s nicht

Fläche einer Kugel
Volumen einer Kugel

Teil VI - Der Top-Ten-Teil

15 - Mehr als zehn Karrieren, für die man Geometrie braucht

Fluglotse
Architekt
Schreiner
Modedesigner
Raumgestalter
Baufachleute
Maschinenbauingenieur
Kapitän
Vermessungsingenieur
Werkzeugmacher
3-D-Grafiker

16 - Mehr als zehn Tipps, die Ihnen das Geometrie-Leben erleichtern

Arbeiten Sie mit einem durchsichtigen Plastik-Geodreieck
Verwenden Sie ein durchsichtiges Plastik-Lineal
Kaufen Sie sich einen Zirkel
Zeichnen Sie mit einem guten dünnen Bleistift
Besorgen Sie sich einen wissenschaftlichen Taschenrechner
Notieren Sie, was Sie haben und wonach Sie suchen
Erstellen Sie eine Skizze
Entwickeln Sie eine Strategie
Arbeiten Sie die Aussagen eines Beweises durch
Assoziieren Sie geometrische Objekte mit alltäglichen Dingen
Spielen Sie Poolbillard

Teil VII - Anhang

A - Anhang Quadratzahlen, Quadratwurzeln und eine Trigonometrie-Tabelle
B - Anhang Wichtige Formeln im Überblick

Formeln zu Winkelgrößen
Winkelgrößen am Kreis
Trigonometrische Formeln
Formeln für den Flächeninhalt
Beziehungen von Linien am Kreis
Umfang und Bogen
Formeln zu rechtwinkligen Dreiecken
Formeln im Koordinatensystem
Oberflächen von Polyedern
Volumen-Formeln

C - Anhang Axiome, Sätze und was man sonst noch braucht

Die Axiome
Die Sätze
Die Korollare
Prinzipien und Regeln

D - Glossar

Stichwortverzeichnis

Über die Autorin

Wendy Arnone hat an der New Yorker Universität für Bildungswesen in Entwicklungspsychologie promoviert. In ihrem Leben hat sie im Bildungsbereich vielerlei Erfahrungen gesammelt. Sie hat für verschiedene Fachzeitschriften geschrieben und Kinderbücher verfasst. Für den berühmten Kinderbuchautor Mercer Mayer war sie beraterisch tätig sowie Redakteurin bei einem Kindersender. Sie hat sowohl auf Hauptschulniveau für straffällige Jugendliche in Connecticut unterrichtet als auch Seminare an der New Yorker Universität gegeben. Sie war Gutachterin des Bildungsrats in Newark und hat als Beraterin für eine private Firma, die Bildungsstudien erstellt, gearbeitet. Für ihre Forschungstätigkeit ist sie mehrfach ausgezeichnet worden und wurde im Fernsehen auf NBC gebracht. An der Universität für Zahnheilkunde in New York hat Wendy Arnone dem Direktor für innerinstitutionelle Hochschulforschung assistiert. Sie hat verschiedene didaktische Produkte entwickelt, wie mehrere CD-ROMs für verschiedene Test-Vorbereitungen und ein Spanisch-Tutorium. Auβerdem ist sie Vorsitzende ihrer eigenen Beraterfirma, die Konzepte und Inhalte in Buch-und digitaler Form für Bildungsprojekte entwickelt.

Danksagung

Ich möchte den Mitarbeitern von Wiley für ihre Zeit und ihr Engagement, die dieses Buch möglich gemacht haben, danken. Ich bin meiner verantwortlichen Lektorin Sandy Blackthorn für die vielen Stunden, in denen sie Qualität und Inhalt des Buchs verbessert hat, ebenso verbunden wie meiner Manuskriptlektorin Alissa Schwipps für ihre Hilfe bei der endlos scheinenden Überarbeitung des Textes. Ihr wart beide großartig. Ich weiß außerdem die Unterstützung von Susan Decker und Roxane Cerda zu schätzen, die mir die Gelegenheit gegeben haben, dieses Buch zu schreiben.

Wie immer bin ich meinen Eltern, meiner Familie und meinen Freunden für ihren steten Beistand dankbar. Gerne würde ich jeden einzeln auflisten - doch dafür ist leider schlicht und ergreifend kein Platz.

Besonderer Dank gilt meiner Tante Suzanne Langlois für ihre Entwürfe, auf denen die Abbildungen in diesem Buch basieren. Ich danke meiner Schwester Penny, die mir sehr unter die Arme gegriffen hat, und meiner kleinen Schwester Sarah, die dieses Buch in ihrem Geometrie-Unterricht hoffentlich gut gebrauchen kann.

Ein Dank für die Beiträge von Ethan Blumenstrauch, Marshall Morrison, Jim Garrett, Andy Hunt, Debbie Eisenkraft, Kathy Gerber, Andrea Miller, Scott und Karalie Clark, Juleigh Walker, Cindy Ninos, Brady und Felicia Canfield, Wilhelmina Lydon, Leticia Fuentes Perez, James Lai, Frank Kubin und Kevin Royer (mein Schwager) – zu diesem Buch und zu meinem Leben.

Und ganz speziell möchte ich noch Trevor Christie danken, der mich ermutigt hat, dieses Buch zu schreiben. Jeder Mensch sollte jemanden haben, der an ihn glaubt.

Einführung

Sie möchten sich also mit der Geometrie vertraut machen. Dann halten Sie das richtige Buch in den Händen. Geometrie ist ein riesiges Puzzle mit ineinander greifenden Teilen, die alle zusammengehören. Dieses Puzzle besteht natürlich nicht aus einem malerischen Bild. Es beinhaltet vielmehr viele kleine Teilchen Wissen, die ich Ihnen in diesem Buch näher bringen werde, damit sich Ihnen nach und nach ein Gesamtbild erschließt - und zwar mit einfachen Worten ohne überflüssige technische Details, die Sie nur unnötig überlasten würden.

Ich weiß, dass der Gedanke, auf einen Rutsch die ganze Geometrie zu lernen, ein bisschen überwältigend erscheint. Das ist es aber ganz und gar nicht. Vergleichen Sie es mit Radfahren: Man fängt langsam und mit Stützrädern an und bevor man sich versieht, flitzt man mit ungeahnter Geschwindigkeit durch die Straßen. Geometrie kann genauso viel Spaß machen: Mit diesem Buch werden Sie in kürzester Zeit mit einer Menge Informationen ausgestattet sein und lernen, wie die Puzzleteile zusammengehören.

Über dieses Buch

Das Buch ist mit einer Warnung verbunden - einer guten Warnung, falls es so etwas überhaupt gibt. Ob Sie jetzt aufs Ganze gehen und die folgenden Seiten komplett lesen oder in das eine oder andere Thema nur hineinschnuppern möchten, es handelt sich nicht um eine durchschnittliche Darstellung der Geometrie. Es ist die Dummies-Version. Ich gehe mit Konventionen, die so zuverlässig in all den anderen Geometrie-Büchern festgehalten sind, etwas freier um. Natürlich werde ich erwähnen, wann ich den Stoff anders erkläre, damit Sie nicht verwirrt sind, wenn Sie das Ganze in einem anderen Mathebuch abweichend dargestellt finden. Dabei wird die Genauigkeit des Materials selbst natürlich nicht beeinträchtigt; ich präsentiere es nur anders - etwas zwangloser.

Geometrie für Dummies ist für diejenigen von Ihnen, die eine Geometrie-Auffrischung brauchen oder sich einfach einer faszinierenden Lektüre widmen möchten. Ich kann Ihnen zwar nicht die Arbeit abnehmen, aber ich kann Ihnen zeigen, wie Sie es sich einfacher machen können. Der Inhalt des Buchs ist so strukturiert, dass Sie eine gründliche Einleitung in geometrische Teilbereiche bekommen, Bereiche wie beispielsweise:

Geometrische Grundbegriffe

Winkel messen und zeichnen

Beweisen lernen

Verhältnisse berücksichtigen

Wenn Sie sich nicht für alle Themen interessieren, können Sie ohne Probleme mal diesen und mal jenen Abschnitt lesen. Dann sehen Sie am besten in dem detaillierten Inhaltsverzeichnis nach. Wenn Sie etwas über Quadrate erfahren möchten, lesen Sie sich das Kapitel über Vierecke durch. Mit Kreisen brauchen Sie sich dann gar nicht zu beschäftigen. Sie müssen nicht einmal ein ganzes Kapitel lesen, wenn Sie wissen, was Sie wissen wollen. Die Kapitel sind in Abschnitte unterteilt und das Inhaltsverzeichnis wird Sie genau dort hinbringen, wo Sie finden, was Sie suchen.

Konventionen in diesem Buch

Der gesamte Text orientiert sich an folgenden Konventionen, um ihn noch übersichtlicher und einfacher verständlich zu machen.

- Variablen sind kursiv gedruckt, damit Sie die Variable a (die beispielsweise die Seite eines Dreiecks repräsentiert) nicht mit dem Buchstaben »a« verwechseln.

- Punkte (auf einer Geraden oder in einer Abbildung) sind ebenfalls kursiv.

- Neue Ausdrücke werden kursiv und mit einer entsprechenden Definition eingeführt. Diese Ausdrücke finden Sie auch im Glossar, falls Sie schnell etwas nachschlagen möchten.

- Die nummerierten Punkte, die Sie Schritt für Schritt durch einen bestimmten mathematischen Vorgang leiten, sind fett gedruckt.

- Bestimmte Aussagen in der Geometrie werden als Axiome und Sätze bezeichnet. Diese Aussagen erkläre ich in Kapitel 1. Sie sind das Rückgrat der geometrischen Beweisführung. Um das Ganze übersichtlicher zu machen, habe ich die Axiome und Sätze (und - als Extra! - Korollare) in jedem Kapitel durchnummeriert, und zwar fett-kursiv. Jegliches Nummerieren von Axiomen, Sätzen und Korollaren ist beliebig (außer man heißt Euklid, der Geometrie-Gott), also unterscheidet sich auch meine Systematik von jedem anderen Geometrie-Buch. Anhang C listet alle Axiome, Sätze und Korollare des Buchs zum Nachschlagen auf.

- In diesem Buch kommen eine Menge Beweise vor. Das sind zweispaltige Tabellen, mit denen eine geometrische Behauptung bewiesen wird. Eine Spalte ist mit »Aussage«, die andere mit »Begründung« beschriftet. In der Geometrie darf man nämlich nichts ohne einen guten Grund behaupten. In diesen Beweisen sehen Sie, dass das Beschriebene logisch ist und richtig überprüft wurde. Wie man geometrische Beweise antritt, erfahren Sie in Kapitel 4.

- Geometrische Konzepte kann man mit Worten und Sätzen ausdrücken. Oder man beschreibt sie mit etwas, das ich geometrische Kurzschrift nenne. Geometrische Kurzschrift arbeitet mit Zeichen (wie <) statt mit Wörtern (wie »weniger als«). In diesem Buch verwende ich beides. (Da die Kurzschrift Platz sparender ist - wie der Name sagt -, steht sie stets auf der Aussagen-Seite der geometrischen Beweise.)

Abgesehen von den beschriebenen Konventionen füge ich den Beispielen zur besseren Verständlichkeit Abbildungen bei. Bilder können in Bezug auf das Verständnis Wunder wirken. Sie lassen Abstraktes konkret werden.

Törichte Annahme über den Leser

Eigentlich versuche ich immer, keine Annahmen zu machen. Da aber nun mal welche von mir verlangt werden, gebe ich mir besondere Mühe: Hier ein paar Annahmen über Sie - die Leser.

- Sie können Informationen lesen, verstehen und umsetzen. Das ist wichtig.

- Sie können einer längeren Beweisführung - hier geometrischen Beweisen - logisch folgen. Sie werden in der Geometrie nicht weit kommen ohne diese unheimlich wichtige deduktive Beweisführung.

- Sie haben zumindest eine ungefähre Vorstellung davon, was Geometrie ist. Damit meine ich nicht, dass Sie alle Axiome und Sätze aus dem Kopf zitieren können. Sie sollten einfach wissen, dass Geometrie mit Geraden, Winkeln usw. zu tun hat.

Sehen Sie, das ist doch wirklich nicht so viel.

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Das Buch ist in sieben Teile untergliedert. Jeder der Teile behandelt fesselnden Stoff. Im Folgenden erfahren Sie, was Sie in welchem Teil erwartet. Natürlich spare ich mir ein paar Überraschungen für die jeweiligen Kapitel auf - um die Spannung aufrechtzuerhalten. Wie Sie schon an den Überschriften erkennen können, ist Mathematik eine sportliche Sache, wenn man richtig an sie herangeht. Und so sieht Ihr Trainingsplan aus:

Teil I: Sich warm machen: Geometrische Grundtagen

Aber ja, dieser Teil klingt nicht nur viel versprechend - er macht wirklich Spaß! Sie werden den Grundbegriffen der Geometrie vorgestellt und Sie freunden sich mit Geraden und Winkeln an.

Teil II: Sich verteidigen: Beweise erbringen

Keine Behauptung ohne Beweis. Manchmal hat man das, was man sucht, direkt vor Augen. Allerdings muss man wissen, wonach man sucht und wie man das, was man hat, einsetzen kann. Wenn Sie mit Teil II fertig sind, können Sie stolz auf Ihre neuen Fähigkeiten in puncto Beweisführung sein.

Teil III: In Form kommen: Geometrische Figuren

Was Ihnen auch immer in den Sinn kommt, wenn Sie im Zusammenhang mit Geometrie an Formen und Größen denken - das finden Sie alles hier. Ich habe Dreiecke, Vierecke, Kreise und eine Menge über andere Polygone im Angebot.

Teil IV: Partei ergreifen: Ungleichungen und Ähnlichkeiten

Manchmal rede ich zu viel. In diesem Teil werde ich genau das tun - bla bla bla. Ich rede über Sätze und Axiome von Ungleichungen und Ähnlichkeiten. Ich denke, nachdem Sie dieses Kapitel gelesen haben, werden Sie dem Drang, eine Menge über solche Dinge zu erzählen, auch nicht mehr widerstehen können.

Teil V: Aufsteigen: Geometrie für Fortgeschrittene

Hier habe ich alles untergebracht, das thematisch in keinen der anderen Teile gepasst hätte und nicht mehr zur fundamentalen Geometrie gehört. Also ist es ein Sammelsurium der Geometrie für Fortgeschrittene. Teil V durchläuft die ganze Skala an restlichen Themen. Es geht um Koordinaten und Koordinatensysteme. Sie werden mit Punkten zu tun haben - natürlich nur mit solchen, die bestimmten Regeln folgen. Trigonometrie arbeitet mit rechtwinkligen Dreiecken, um Informationen über Dinge zu bekommen, die nicht direkt messbar sind. Und nicht zuletzt: Geometrie, die sich Raum schafft. Dreidimensionale Objekte erobern die Welt!

Teil VI: Der Top-Ten-Teil

In diesem Teil finden Sie zwei Listen. Die erste listet zehn mögliche Karrieren auf, falls Sie nach Möglichkeiten suchen, die Informationen aus diesem Buch für den Rest Ihres Lebens einzusetzen. Die zweite Liste bietet zehn heiße Tipps, wie Sie Ihr Geometrie-Leben einfacher machen können.

Teil VII: Anhang

Dieser Teil beinhaltet eine nützliche Mischung an Informationen. Sie finden eine Sammlung von Quadratzahlen und trigonometrischen Funktionen, eine Menge Formeln und eine Liste aller Axiome, Sätze und Korollare, die im Buch vorkommen. Zu guter Letzt gibt es ein umfangreiches Glossar. Manchmal ist es schwierig weiterzukommen, wenn man keine Ahnung hat, was ein bestimmtes Wort bedeutet.

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden

Vor manchen Absätzen finden Sie ein paar Symbole, die Ihr Leben leichter machen können:

Der Text neben diesem Symbol bietet hilfreiche geometrische Hinweise und Informationen.

Dieses Symbol finden Sie neben Informationen, die Sie nicht vergessen sollten. Es handelt sich meist um Stoff, der immer wieder in der Geometrie auftaucht.

Sie sollten aufpassen, nicht die häufig gemachten Fehler zu begehen, die mit diesem Zeichen herausgestellt werden.

Wie es weitergeht

Ich weiß, diese Geometrie klingt nach einer Menge Arbeit. Ich werde Sie nicht anlügen - sie ist es auch. Verwenden Sie dieses Buch zum Nachschlagen oder lesen Sie es wie einen Roman von vorne bis hinten. Wie es Ihnen mehr entspricht. Wenn Sie nicht mitkommen, lesen Sie (noch einmal) die Grundlagen. Das Geheimnis, wie Geometrie zu bewältigen ist und auch noch Spaß machen kann, liegt in der Art der Annäherung. Darf ich also vorstellen: Ihr Partner für die nächste Zeit!

Teil I

Sich warm machen: Geometrische Grundlagen

In diesem Teil ...

Geometrie macht Spaß. Spaß? Sie haben richtig gelesen: Geometrie kann Spaß machen - auf ähnliche Weise wie ein Puzzle zusammenzufügen. Allerdings braucht man dafür schon ein paar Grundlagen. Ein Haus, das auf einem wackeligen Fundament steht, wird beim ersten stärkeren Windstoß zusammenfallen. Aus so einem Trümmerhaufen möchte ich Sie nicht wieder herausziehen müssen.

Dieser Teil bietet Ihnen geometrische Grundbegriffe und eine Beschreibung jener Dinge, denen Sie bald verfallen sein werden: Geraden und Winkel.

Legen Sie los – und kein Tornado wird Sie aus Ihren geometrischen Grundfesten heben können!

1

Grundsätzliches vorneweg: Geometrische Grundbegriffe

In diesem Kapitel...

- Kurz und bündig: Was Geometrie ist

- Vier Voraussetzungen für eine gute Definition

- Undefinierbare, aber beschreibbare Begriffe: Punkt, Gerade, Ebene

- Definierbare Begriffe: Geradenabschnitt, Strahl, Winkel

- Axiome und Sätze

Sie wissen, dass Geometrie ein Teilbereich der Mathematik ist. So viel ist klar. Wahrscheinlich wissen Sie aber nicht, was Geometrie eigentlich ganz genau ist und was alles mit ihr zu tun hat. Dann sind Sie hier richtig. Dieses Kapitel ist den Grundlagen auf der Spur. Es erklärt das Konzept der Geometrie und definiert das bunte Allerlei, das mit ihr einhergeht - direkt und einfach.

Im Folgenden gibt es keine mathematische Kleiderordnung nach dem Motto »Pinguin im Frack« - genauso wenig wie eine steife und humorfreie Präsentation der Geometrie. Lockern Sie also Ihre Krawatte und wechseln Sie in die Hausschuhe. Denn: Ab hier wird es zwanglos!

Geometrie, das ist ...

Zuerst zur wörtlichen Definition: Geometrie stammt von dem griechischen Wort geometria ab. Ge bedeutet »Erde« und metre »Messung«, also bezeichnete Geometrie im alten Griechenland die »Feldmesskunst«.

Zunächst eine inhaltliche Definition, korrekt und hochintellektuell: Unter Elementargeometrie versteht man die Anwendung von Definitionen, Axiomen und Sätzen, die auf Euklids Werk Elemente von ca. 300 v. Chr. basieren.

Und zuletzt das, was Sie wirklich wissen wollten: Geometrie ist ein Teilbereich der Mathematik, der sich mit den Ausmaßen, Eigenschaften und Verhältnissen von allen zwei- und dreidimensionalen Gebilden befasst – von dem kleinsten Dreieck bis zum größten Kreis oder Rechteck und vielem mehr.

Euklid: Der Vater der Geometrie

Euklid war ein griechischer Mathematiker, der etwa 300 v. Chr. lebte. Seine exakten Lebensdaten sind nicht bekannt, sein Werk dagegen durchaus. Euklids bekanntestes Werk ist Stoicheia, griechisch für »Elemente«. Im zwölften Jahrhundert wurde Elemente ins Lateinische übersetzt und erhielt den Titel Elementa. Unter welchem Namen auch immer, dieses Werk ist das einflussreichste Mathematikbuch aller Zeiten. Euklids Elemente besteht aus 13 Büchern, in denen er Axiome, Sätze und Definitionen logisch herleitet. Zwei weitere Bücher, 14 und 15, sind mit Euklids Werk ebenfalls meist überliefert, obwohl sie nicht von ihm stammen.

Folgende Bücher aus den Elementen sind für die Geschichte der Geometrie von besonderer Bedeutung. In den nachfolgenden Kapiteln werden Sie die Parallelen entdecken.

Buch 1 behandelt Dreiecke, ihre Konstruktion, Eigenschaften und die Verhältnisse ihrer Seiten und Winkel zueinander.

Buch 3 beschäftigt sich mit der elementaren Geometrie von Kreisen mitsamt Sehnen, Sekanten und Tangenten.

Buch 4 erforscht die Problematik, die sich ergibt, wenn man Polygone in Kreise einbeschreibt oder umgekehrt. Dabei geht es hauptsächlich um Dreiecke und regelmäßige Polygone.

Buch 5 behandelt die Ähnlichkeitslehre, eine Basis für ähnliche Dreiecke.

Buch 6 wendet die Theorien von Buch 5 auf die zweidimensionale Geometrie an. Dieser Stoff stammt ursprünglich von Pythagoras, wurde aber von Euklid optimiert.

Die Bücher 11 bis 13 beschäftigen sich mit dreidimensionaler Geometrie.

Begriffe der Geometrie

Dieser Abschnitt definiert die unterschiedlichen Begriffe, die Ihnen in der Geometrie begegnen werden. Moment, das stimmt nicht ganz: Da die Geometrie unter anderem mit so etwas wie undefinierten Grundbegriffen arbeitet, werden im Folgenden verschiedene geometrische Begriffe definiert und weitere Begriffe beschrieben, die einfach nicht definierbar sind.

Aber bevor ich mich ans Definieren und Beschreiben mache, muss ich Ihnen erklären, was ich unter einer guten Definition verstehe. Ich unterscheide vier Eigenschaften, die ich Ihnen am Beispiel einer Hauskatze verdeutlichen möchte. Sehen Sie sich Mimi in Abbildung 1.1 an.

Abbildung 1.1: Mimi ist laut Definition einfach eine Katze – sagen Sie es ihr bloß nicht!

Zur Definition der Katze: Eine Hauskatze ist ein Tier der Gattung Felis domestica mit einziehbaren Krallen, das Mäuse tötet.

Meine vier Eigenschaften einer guten Definition:

- Der zu definierende Begriff kommt in der Definition vor.

In der Definition einer Hauskatze erwähne ich, was ich definiere - eine Hauskatze.

- Der zu definierende Begriff wird einer Klasse oder Gattung zugeordnet.

In unserer Definition erwähne ich, dass eine Hauskatze der Gattung Felis domestica angehört.

- Der zu definierende Begriff wird von anderen Begriffen abgegrenzt, ohne unnötige Informationen zu liefern.

In der Hauskatzen-Definition erwähne ich, dass eine Katze einziehbare Krallen hat und Mäuse tötet. Vielleicht ist der Teil »das Mäuse tötet« mehr als unbedingt nötig. Aber auch diese Information kann wichtig sein, um eine Katze deutlicher von anderen Tieren zu unterscheiden.

- Die Definition ist umkehrbar.

Funktioniert unsere Definition noch? Kehren wir sie um und prüfen das: Ein Tier der Gattung Felis domestica mit einziehbaren Krallen, das Mäuse tötet, ist eine Katze. Klingt logisch.

Grundbegriffe – beschreiben statt definieren

Die Geometrie bedient sich vieler definierter Begriffe, aber einige dieser definierten Begriffe arbeiten mit undefinierten Begriffen in ihren Definitionen. Das mag komplizierter klingen, als es ist. Undefinierte Begriffe sind Wörter, die bereits so grundlegend sind, dass sie nicht mehr mit einfacheren Begriffen definiert werden können. Also beschreibt man sie, anstatt sie zu definieren. Undefinierte Begriffe oder auch Grundbegriffe der ebenen Geometrie sind ein Punkt, eine Gerade und eine Ebene.

Ein Punkt

Ein Punkt ist ein Punkt - Punktum! Das meinte ich mit grundlegenden Begriffen. In Abbildung 1.2 können Sie einen Vorzeige-Punkt bewundern. Er wird in der Mathematik üblicherweise mit einem einzigen Großbuchstaben benannt. Ein Punkt hat keine Größe und ist eindimensional, das heißt, er hat weder Breite noch Länge noch Tiefe. Er bezeichnet lediglich eine eindeutige Position. Abgesehen davon, dass er einen Ort festlegt, existiert ein Punkt also physisch eigentlich nicht.

Abbildung 1.2: Ein Punkt

Eine Gerade

Wie kommen Sie am schnellsten von einem Punkt zum anderen? Auf einer Geraden. Ein bisschen Geometrie und schon werden Sie pünktlich sein! Eine Gerade ist - wie der Name sagt - vollkommen gerade, hat keinen Durchmesser und besteht aus Punkten, die sich in beiden Richtungen unendlich fortsetzen (Abbildung 1.3). Alle Punkte, die auf einer Geraden liegen, heißen kollinear (Abbildung 1.4). Eine Gerade kann sowohl mit einem Kleinbuchstaben als auch mit zwei auf ihr liegenden Punkten benannt sein.

Abbildung 1.3: Eine Gerade

Abbildung 1.4: Kollineare Punkte, die eine Gerade ergeben

Eine Ebene

Eine Ebene ist zweidimensional, besitzt also sowohl Länge als auch Breite, aber keine Tiefe. Eine Ebene in der Geometrie ist eine unbegrenzte Fläche, die unendlich in jede Richtung erweitert werden kann (Abbildung 1.5). Eine Ebene besteht aus allen Geraden, die man durch zwei sich schneidende Geraden zeichnen kann. Sie ist definiert durch genau drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, also nichtkollinear sind. Umgekehrt gilt das Gleiche: Genau eine Ebene enthält drei nichtkollineare Punkte (Abbildung 1.6). Eine Ebene wird dargestellt mit einem vierseitigen Polygon und bezeichnet mit einem Großbuchstaben, der in eine Ecke eingetragen wird.

Abbildung 1.5: Eine Ebene

Abbildung 1.6: Genau eine Ebene enthält drei nichtkollineare Punkte

Nicht mehr ganz so grundsätzlich – Begriffe mit Definitionen

Definierte Begriffe in der Geometrie können definiert werden (okay, das liegt auf der Hand) und erfüllen meine vier Voraussetzungen für eine gute Definition. Definierte Begriffe sind eine Strecke, eine Halbgerade und ein Winkel.

Eine Strecke

Eine Strecke ist, anders als eine Gerade, keine unendliche Geschichte. Sie hat sowohl einen Anfang als auch ein Ende. Eine Strecke ist ein Teil einer Geraden, der durch zwei Endpunkte eindeutig begrenzt ist (Abbildung 1.7). Die Namen dieser Endpunkte bezeichnen zusammen die Strecke. Obwohl die Strecke nur nach diesen beiden Punkten heißt, besteht sie zusätzlich aus allen Punkten, die zwischen den beiden Endpunkten liegen. Eine Strecke hat eine begrenzte Länge und kann deswegen - anders als die Gerade - gemessen werden.

Abbildung 1.7: Eine Strecke

Eine Halbgerade

Eine Halbgerade wird auch Strahl genannt und hat - wie ein Sonnenstrahl, der bei der Sonne beginnt und sich in den Himmel erstreckt - einen Anfang, aber kein Ende. Eine Halbgerade ist Teil einer Geraden, die nur einen Endpunkt hat und sich in einer Richtung unendlich fortsetzt (Abbildung 1.8). Ähnlich wie eine Strecke besteht eine Halbgerade aus einer unendlichen Anzahl von Punkten. Eine Halbgerade wird benannt nach ihrem Endpunkt und einem Punkt auf der Geraden, wobei in diesem Buchstabenpaar der Endpunkt zuerst steht.

Abbildung 1.8: Eine Halbgerade

Ein Winkel

Wenn Geraden aufeinander treffen, können sie eine Beziehung eingehen. In dem sozialen Umfeld von Geraden heißt dieses Treffen Winkel. Ein typischer Winkel sieht ungefähr wie der Buchstabe V aus (Abbildung 1.9). Ein Winkel ist das, was entsteht, wenn zwei Halbgeraden oder Strecken in der Spitze von diesem V aufeinander treffen. Dieser Punkt wird gemeinsamer Anfangspunkt genannt. Die Strecken oder Halbgeraden bilden die Seiten oder Schenkel des Winkels. Der gemeinsame Anfangspunkt, nach dem der Winkel benannt wird, heißt Scheitel. Übrigens sehen nicht alle Winkel wie der Buchstabe V aus - welche es tun und welche nicht, erfahren Sie in Kapitel 2.

Abbildung 1.9: Ein Winkel

Axiome: Vertrauen statt Kontrolle

Im täglichen Leben ist es einfach anzunehmen, dass etwas wahr ist, weil es wahr erscheint. Das Gleiche gilt für die Geometrie. Auch hier kann man bestimmte Behauptungen oder grundsätzliche Vermutungen als wahr akzeptieren, ohne sich die Mühe zu machen, sie erst zu beweisen. Für diejenigen unter Ihnen mit Vertrauensproblemen könnte diese Tatsache zunächst schwer nachzuvollziehen sein. Wenn Sie aber erst merken, wie viel Arbeit Sie sich damit ersparen, bin ich mir sicher, dass Sie damit klarkommen werden. Diese Behauptungen oder Grundsätze, die man als wahr akzeptieren kann, nennt man Axiome. Das Wichtigste, das Sie sich zu diesen Axiomen merken müssen, ist, dass Sie sie niemals zu beweisen brauchen. Beherrschen Sie diese Grundsätze, können Sie sich beim geometrischen Rechnen eine Menge Zeit und Ärger ersparen.

Hier ein Beispiel – Ihr erstes Axiom. Es liefert Informationen über eine Gerade und ist eine selbstverständliche, aber schwer zu beweisende Tatsache:

Axiom 1.1: Durch je zwei Punkte geht genau eine Gerade.

Das heißt? Man braucht zwei Punkte, um eine Gerade zu zeichnen.

Das Wort Axiom kommt aus dem Griechischen und bedeutet so viel wie »als wahr angenommener Grundsatz«. Ich wusste, dass der Einstieg in die Geometrie um einiges erfüllender ist, wenn ich Ihnen auch solche Dinge erkläre. Oder etwa nicht?

Sätze: Beweise antreten

Ein Satz ist auf eine gewisse Weise das Gegenteil eines Axioms. Während ein Axiom ein Grundsatz ist, der ohne Beweis als wahr akzeptiert wird, ist ein Satz eine Aussage, die bewiesen werden muss. Um Sätze zu beweisen, bedient man sich Axiomen. Einen Satz zu beweisen, ist Teil eines Verfahrens, dessen nächster logischer Schritt ein geometrischer Beweis ist. Das sollte für den Moment genügen. (Zu Beweisen finden Sie noch genug in Kapitel 4.) Hier nur ein Beispiel für einen Satz, damit Sie einen Vorgeschmack auf das bevorstehende Vergnügen bekommen.

Satz 1.1: Wenn sich zwei Geraden kreuzen, tun sie das an genau einem Punkt.

Eng verwandt mit einem Satz ist ein Korollar. Das ist eine Feststellung, die sich aus einem Satz oder einem Axiom ohne großen Aufwand ergibt.

Okay, das sollte erst einmal genügen. Nun sind Sie vertraut mit den Grundbegriffen, die Ihnen bei der Beschäftigung mit der Geometrie begegnen werden. Und jetzt wird es Zeit, dieses Wissen anzuwenden!

2

Geraden und Winkel, so weit das Auge reicht

In diesem Kapitel...

- Verschiedene Geraden kennen lernen
- Strecken messen
- Punkte auf Geraden betrachten
- Winkelarten
- Winkel messen
- Beziehungen von Winkeln
- Transversalen: Wenn Geraden Winkel bilden

Gäbe es einen Weg zu den Sternen, könnten Sie für immer unterwegs sein. Sie könnten den Winkel Ihrer Reise ab und zu ändern, schneller oder langsamer werden, die Entfernung, die Sie zurücklegten, würde trotzdem unmessbar bleiben.

Hier auf der Erde sind die Dinge endlicher. Wie weit müssen Sie gehen? Vielleicht einfach zum nächsten Supermarkt. Bei einer solchen Reise können Sie die Entfernung messen. Wie? Mit Geraden und Winkeln. Und davon handelt dieses Kapitel.

Geraden unter der Lupe

Welche Geraden kann man eigentlich messen? Kann man eine Gerade, eine Halbgerade oder eine Strecke messen?

Eine Gerade ist unbegrenzt. Sie erstreckt sich in beide Richtungen unendlich, weil sie weder einen Anfang noch ein Ende hat. Eine Gerade hört nirgends auf.

Eine Halbgerade ähnelt einer Geraden, besitzt allerdings einen Endpunkt. Auf der anderen Seite setzt sie sich unendlich fort. In Bezug auf ihre Messbarkeit trifft auf die Halbgerade das Gleiche zu wie auf eine Gerade: Unendliches kann man nicht messen.

Eine Strecke hat allerdings zwei Endpunkte. Dieser kleine Unterschied führt dazu, dass man bequem ein Lineal zur Hand nehmen und eine Strecke abmessen kann. Ihre Länge ist der Abstand zwischen den beiden Endpunkten.

Strecken messen

Strecken sind messbar. Also ist die nächste Frage, wie man eine Strecke misst und welche Maßeinheit am geeignetsten und aussagekräftigsten ist. Wie man eine Strecke misst, erkläre ich in diesem Kapitel, wie man sich für eine Maßeinheit entscheidet, erklärt sich von selbst.

Sehen Sie sich einfach die Strecke an und entscheiden Sie dann, welche Einheit sinnvoll erscheint.

Anhand folgender Schritte können Sie eine Strecke messen:

1. Positionieren Sie ein Lineal an den einen Endpunkt einer Strecke.

2. Bestimmen Sie den Abstand von diesem Endpunkt bis zu dem anderen Endpunkt (Abbildung 2.1).

Abbildung 2.1 : Eine Strecke mit einem Lineal messen

In Abbildung 2.1 beträgt der Abstand zwischen Punkt A und Punkt B 2,5 Zentimeter. In geometrischer Kurzschrift drücken Sie das folgendermaßen aus: . Der Strich über den beiden Buchstaben kennzeichnet dabei, dass es sich um eine Strecke handelt.

Strecken zeichnen

Eine Strecke zu zeichnen, ist genauso simpel, wie eine Strecke zu messen. Halten Sie sich einfach an die folgenden vier Schritte:

1. Zeichnen Sie einen Punkt an die Stelle, an der Sie Ihren ersten Endpunkt haben möchten.

2. Zücken Sie Ihr Lineal und drehen Sie es in die Richtung, in die Sie Ihre Strecke zeichnen möchten.

3. Messen Sie die gewünschte Länge ab und positionieren Sie dort einen zweiten Punkt.

4. Verbinden Sie die beiden Punkte miteinander.

Einen Blick zwischen Endpunkte wagen

Ich sitze vor dem Fernseher, sehe mir meine Lieblingsserie an und dazwischen läuft Werbung für einen Schokoriegel. Plötzlich brauche ich unbedingt etwas zum Naschen. Ich möchte also vom Sofa zum Kühlschrank und wieder zurück, und das Ganze in Rekordzeit, damit ich keine Sekunde meiner Serie verpasse. Dafür muss ich mir den besten Weg aussuchen. Ich weiß, dass der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten eine gerade Linie ist und glücklicherweise trifft das auf den Weg von meinem Sofa zum Kühlschrank zu (Abbildung 2.2). Ich setze mich also in Bewegung. Bevor ich aber in der Küche angekommen bin, bleibe ich stehen, denke eine Sekunde lang nach (Möchte ich mir wirklich diese Extra-Kalorien antun?) und setze meinen Weg dann fort (Ja, ich möchte ganz sicher!).

Abbildung 2.2: Der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten ist eine gerade Linie

Mein Weg in die Küche kann als Strecke betrachtet werden. Der Punkt, an dem ich stehen geblieben und nachgedacht habe, war zwischen den beiden Endpunkten (das Sofa und der Kühlschrank), die meinen Weg in die Küche festgelegt haben (Abbildung 2.3). Obwohl eine Strecke genau zwei Endpunkte hat, besteht sie ebenso aus allen Punkten, die dazwischen liegen - auch wenn diese weder bezeichnet noch näher bestimmt sind.

Abbildung 2.3: Die beiden Endpunkte einer Strecke und ein Punkt dazwischen

Die drei Voraussetzungen zum offiziellen Dazwischenliegen

Damit ein Punkt offiziell zwischen den beiden Endpunkten einer Strecke liegt, muss Folgendes zutreffen (das, was ich offizielles Dazwischen-, nicht Daneben-!, Liegen nenne):

- Die drei oder mehr Punkte müssen kollinear sein.

- Die Punkte müssen an unterschiedlichen Stellen auf der Strecke liegen.

- Die Längen der beiden Strecken, die durch den dritten Punkt definiert werden, müssen zusammenaddiert der gesamten Strecke entsprechen.

Um also festzustellen, ob mein Stopp bzw. meine Kalorien-Reflexion offiziell ein Punkt zwischen Endpunkt Sofa und Endpunkt Kühlschrank war, muss ich prüfen, ob die drei genannten Kriterien zutreffen. Zunächst müssen die drei Punkte kollinear sein. Sehen Sie sich Abbildung 2.3 an. Punkt A ist das Sofa, Punkt B ist der Kühlschrank und Punkt P ist mein kurzer Stopp. Alle diese Punkte liegen auf einer geraden Linie. Also trifft das erste Kriterium zu. Dann müssen die Punkte an unterschiedlichen Stellen liegen. Da ich mich zwischen den Punkten A, P und B fortbewegt habe, tun sie das offensichtlich. Zuletzt muss ich bestimmen, ob die beiden Teilabschnitte meines Weges zusammenaddiert dem ganzen Weg entsprechen. Die Entfernung von Punkt A zu Punkt P beträgt 10 Schritte, die Entfernung von Punkt P zu Punkt B beträgt 26 Schritte und die Entfernung von Punkt A zu Punkt B beträgt 36 Schritte. Das passt also auch. . Jetzt kann ich ganz offiziell behaupten, dass der Punkt, an dem ich innegehalten habe, zwischen den beiden Endpunkten Sofa und Kühlschrank liegt.

Die zwei Voraussetzungen zum offiziellen In-der-Mitte-Liegen

Ich nehme hiermit einen Teil meiner Geschichte wieder zurück. Ich habe Ihnen erzählt, dass ich nach 10 Schritten auf meinem Weg vom Sofa zum Kühlschrank innegehalten habe. Was wäre aber, wenn ich nach 18 statt nach 10 Schritten angehalten hätte? Mein Weg würde eher der Strecke in Abbildung 2.4 entsprechen. Dort liegt Punkt P nicht nur zwischen den Punkten A und B, sondern genau auf der Hälfte des Weges. Ein Punkt, der genau auf dem halben Weg bzw. genau in der Mitte zwischen zwei Endpunkten liegt, heißt Mittelpunkt. Ein Mittelpunkt unterteilt eine Strecke in zwei gleiche, auch kongruente, Segmente.

Ein Punkt ist der Mittelpunkt einer Strecke, wenn:

- der Punkt zwischen zwei Endpunkten liegt.

- die beiden Segmente, die durch den Punkt entstehen, gleich lang sind.

Wenn ich auf meinem Weg vom Sofa nach 18 Schritten angehalten hätte, wäre ich noch genau 18 Schritte vom Kühlschrank entfernt gewesen. Dann wären beide Voraussetzungen erfüllt ( ) und Punkt P der Mittelpunkt (Abbildung 2.4).

Abbildung 2.4: Der Mittelpunkt einer Strecke

Der Austauschbarkeitsfaktor

Bewegung ist gesund - vor allem nach einem Schokoriegel. Im Anschluss an meine Lieblingsserie mache ich also einen Spaziergang. Ich wohne in der Mitte eines Wohnblocks, der sich in beiden Richtungen gleich weit erstreckt. Es ist insofern egal, in welche Richtung ich gehe, die Menge an Bewegung bleibt gleich. Beide Entfernungen sind austauschbar. Dasselbe gilt für Strecken mit gleicher Länge. Sie sind austauschbar.

Satz 2.1: Wir haben eine Strecke mit den Punkten B und C zwischen den Endpunkten A und D; wenn , dann .

Das heißt: Wenn zwei Streckenabschnitte auf einer Strecke gleich lang sind, können sie ausgetauscht werden. Das trifft beispielsweise auf in Abbildung 2.5 zu, sie können in jeder weiteren Schlussfolgerung gegeneinander ausgetauscht werden.

Abbildung 2.5: Strecken mit der gleichen Länge sind austauschbar

Bis in den letzten Winkel

Stellen Sie sich vor, Sie fahren ohne Ziel mit dem Auto umher und kommen zu einer Abzweigung. Abgesehen davon, dass es Ihr Leben ändern könnte, für welchen Weg Sie sich entscheiden, stellt diese Abzweigung einen Winkel dar. Der Punkt, an dem sich die Straße teilt, ist der Scheitel, die beiden Straßen sind die Schenkel. Ein Winkel teilt seine Umgebung, in der Geometrie Ebene genannt, in zwei Bereiche oder Winkelfelder. Die Punkte innerhalb des Winkels liegen im inneren Winkelfeld und die Punkte außerhalb des Winkels liegen im äußeren Winkelfeld.

Wenn zwei Halbgeraden oder Strecken einen Winkel bilden, hat dieser auch einen Namen. Nur, wie nennt man einen Winkel? Vielleicht nicht gerade Susi oder Maxi - sollten Sie während einer Aufgabe noch so sehr Freundschaft mit einem Winkel schließen. Es gibt drei offizielle Arten, einen Winkel zu benennen. Außerdem brauchen Sie das Symbol L, um einen Winkel darzustellen.

Die drei Arten, einen Winkel zu benennen, lauten:

- Verwenden Sie den Großbuchstaben, nach dem der Scheitel benannt ist (Abbildung 2.6).

- Verwenden Sie Kleinbuchstaben oder Zahlen, die in den Winkel hineingeschrieben werden (Abbildung 2.7).

- Verwenden Sie drei Großbuchstaben - jeweils einen für die beiden Schenkel und einen weiteren für den Scheitel (Abbildung 2.8), wobei der Buchstabe für den Scheitel stets in der Mitte steht.

Abbildung 2.6: Einen Winkel nach einem Großbuchstaben benennen

Abbildung 2.7: Einen Winkel nach einem Kleinbuchstaben (a.) oder einer Zahl (b.) benennen

Abbildung 2.8: Einen Winkel nach drei Großbuchstaben benennen

Quintessenz? Wenn Sie einen Teddybären bekommen, geben Sie ihm einen Namen. Tun Sie mit diesen niedlichen kleinen Winkeln das Gleiche und geben Sie ihnen als Erstes einen Namen.

Die Verschiedenen Winkel kennen lernen

Zu allererst benennen Sie also einen Winkel, wenn er Ihnen über den Weg läuft. Der nächste Schritt besteht darin, den Typ des Winkels zu bestimmen. Es gibt eine Anzahl unterschiedlicher Winkel, die Sie ermitteln können, indem Sie den Winkel messen. Winkel werden üblicherweise in Grad (°) gemessen. (Ja, genauso wie die Grad, mit denen man die Temperatur misst. Allerdings ist nur der Name derselbe - Sie werden nicht bestimmen können, wie heiß oder kalt Ihrem Winkel ist.) Wie Sie Ihren Winkel messen können, erfahren Sie im nächsten Abschnitt. Zunächst zu den vier Winkeltypen:

- Rechter Winkel. Mit diesem Winkel können Sie nichts falsch machen. Der rechte Winkel lässt sich sehr leicht erkennen. Er hat in etwa die Form des Buchstabens L und bildet die Ecke eines Quadrats (Abbildung 2.9). Er ist 90 Grad groß.

Abbildung 2.9: Ein rechter Winkel

- Gestreckter Winkel. Ein gestreckter Winkel sieht aus wie eine gerade Linie. Viele Leute würden gar nicht daran denken, dass so eine Linie auch ein Winkel sein kann. Ein gestreckter Winkel besteht aus zwei gegenüberliegenden Halbgeraden oder Strecken mit einem gemeinsamen Endpunkt (Abbildung 2.10). Dieser Winkel ist 180 Grad groß.

Rechte und gestreckte Winkel kann man relativ leicht durch bloßes Hinsehen erkennen. Lassen Sie sich trotzdem nie dazu verleiten, die Größe eines Winkels festzulegen, ohne ihn zu messen. Wenn der entsprechende Wert nicht auf der Seite vermerkt ist, vermuten Sie nicht - messen Sie!

Abbildung 2.10: Ein gestreckter Winkel

- Spitzer Winkel. Ein spitzer Winkel ist jeder Winkel, der mehr als 0, aber weniger als 90 Grad groß ist. Er ist sozusagen alles zwischen keinem und einem rechten Winkel (Abbildung 2.11).

- Stumpfer Winkel. Ein stumpfer Winkel ist ein Winkel, der mehr als 90, aber weniger als 180 Grad groß ist. Im Gegensatz zum spitzen Winkel bildet er keine Spitze in seinem Scheitel und liegt irgendwo zwischen einem rechten und einem gestreckten Winkel (Abbildung 2.12).

Abbildung 2.11: Spitze Winkel – 45° (a.), 60° (b.) und 30° (c.)

Abbildung 2.12: Stumpfe Winkel - 95° (a.), 125° (b.) und 175° (c.)

Winkel messen und zeichnen

Im folgenden Abschnitt lernen Sie, Winkel zu messen und zu zeichnen. Für beides brauchen Sie einen Winkelmesser (oder ein Geodreieck), ein sehr nützliches Werkzeug in der Geometrie (Abbildung 2.13).

Abbildung 2.13: Unverzichtbar für jeden Hobby-Geometriker: ein Winkelmesser

Beim Kauf eines Winkelmessers sollten Sie darauf achten, einen aus durchsichtigem Plastik zu bekommen. Wenn man die Linie des zu messenden Winkels durch den Winkelmesser sieht, ist es einfacher, ihn zu bestimmen.

Die meisten Winkelmesser haben zwei Skalen. Eine verläuft von links nach rechts und die andere – Sie haben es erraten – von rechts nach links. Welche Skala Sie verwenden, hängt von der jeweiligen Situation ab.

Gut bemessen

Winkel misst man normalerweise in Grad, aber für diejenigen unter Ihnen, die es ganz genau nehmen, gibt es noch kleinere Einheiten: Minuten und Sekunden. Diese Minuten und Sekunden sind ähnlich wie die der Zeitmessung: Minuten sind größer als Sekunden und - noch besser! – ein Grad entspricht 60 Minuten und eine Minute entspricht 60 Sekunden.

In geometrischer Kurzschrift sehen diese Verhältnisse der Maßeinheiten untereinander folgendermaßen aus:

1. Verhältnisse zwischen den Einheiten
2. Verhältnisse in Kurzschrift
3. 1 Grad entspricht 60 Minuten.
4. 1° = 60’
5. 1 Minute entspricht 60 Sekunden
6. 1’ = 60”

Jetzt wird es Zeit für etwas Augentraining. Bevor man einen Winkel misst, muss man ihn sich ansehen und einschätzen, um welchen Typ es sich handelt. Ein rechter Winkel? Ein gestreckter Winkel? Spitz oder stumpf? Nach der Schätzung kann man ihn wie folgt messen.

1. Positionieren Sie die Mitte Ihres Winkelmessers an der Stelle, an der sich die Schenkel des Winkels treffen, also an den Scheitel.

2. Drehen Sie den Winkelmesser so, dass einer der Schenkel des zu messenden Winkels durch die Null (0°) verläuft.

Sie müssen nicht unbedingt eine Linie durch die Null verlaufen lassen, da Sie die Größe des Winkels auch ermitteln können, indem Sie den Wert des einen Schenkels vom Wert des anderen Schenkels abziehen. Wenn Sie mit der Null arbeiten, sparen Sie sich allerdings diese Arbeit. Dann können Sie die Größe des Winkels ganz bequem auf dem Winkelmesser ablesen, ohne irgendetwas rechnen zu müssen. (Wenn Sie allerdings Lust auf ein bisschen Hirntraining haben – warum nicht?)

3. Lesen Sie die Zahl auf dem Winkelmesser, an der der zweite Schenkel des zu messenden Winkels verläuft.

Glauben Sie mir, denn damit kenne ich mich aus ...:

- Prüfen Sie, ob der ermittelte Wert ungefähr dem entspricht, den Sie erwartet hatten. Dann wissen Sie, ob Sie die richtige Skala gewählt haben. Sie haben den Wert eines spitzen Winkels erwartet und erhalten den eines stumpfen Winkels? Dann müssen Sie über Ihre Messmethode noch einmal nachdenken. Versuchen Sie es mit der anderen Skala.

Zum Beispiel: ∠G in Abbildung 2.13 sollte einen Wert haben, der größer als 90°, aber kleiner als 180° ist, da es sich offensichtlich um einen stumpfen Winkel handelt.

- Wenn die Schenkel des Winkels nicht bis zur Skala auf dem Winkelmesser reichen, sollte man sie verlängern. Nur dadurch kann man sichergehen, genau zu messen.

Zum Beispiel: In Abbildung 2.13 beträgt der Wert von ∠G 120°. Die Schenkel des Winkels waren ein bisschen zu kurz, also habe ich sie verlängert. So habe ich das exakte Ergebnis erhalten, das ich wollte.

- Behalten Sie im Hinterkopf, dass der Wert eines Winkels immer eine positive Zahl ist.

Schön und gut: Was machen Sie aber, wenn der zu messende Winkel nicht in die Skala des Winkelmessers fällt? Sehen Sie sich dazu beispielsweise Abbildung 2.14 an. Der Winkel in dieser Abbildung ist größer als 180°. Für so einen Fall müssen Sie ein bisschen Extra-Energie mobilisieren und ein wenig rechnen. Diese Winkel nennt man überstumpfe Winkel und sie haben einen Wert, der größer als 180° ist.

Abbildung 2.14: Überstumpfe Winkel können mit dem Winkelmesser nicht direkt gemessen werdenman muss sie berechnen

Zeichnen Sie eine Gerade, damit Sie eine gerade Linie haben (achten Sie auf die erweiternden Punkte in Abbildung 2.14). Der Wert dieses Teils des Winkels beträgt 180°, da es sich um einen gestreckten Winkel handelt. Messen Sie jetzt den Winkel, der aus der verlängerten Linie und dem zweiten Schenkel des zu messenden Winkels besteht. (Sollte das verwirrend klingen: Sehen Sie sich einfach Abbildung 2.14 an.) Wenn Sie diesen Wert ermittelt haben, addieren Sie ihn zu den 180°. Das Ergebnis ist die Größe des gesuchten Winkels. In Abbildung 2.14: 180° + 45° = 225°.

Winkel zum Selbstbauen

Wenn Sie Ihren Horizont erweitern und noch etwas mehr lernen möchten, können Sie auch Ihre eigenen Winkel zeichnen. Das kann praktisch sein für Aufgaben, die keine Abbildungen beinhalten. Dann müssen Sie sich nicht mehr über diese Tatsache ärgern, sondern können entspannt Ihren eigenen Winkel bauen.

Anhand folgender Schritte können Sie Ihren eigenen Winkel zeichnen:

1. Zeichnen Sie eine Halbgerade (oder eine Strecke) und positionieren Sie die Mitte Ihres Winkelmessers auf den Endpunkt der Halbgeraden.

In unserem Beispiel heißt die Halbgerade .

2. Verschieben Sie den Winkelmesser so, dass auf der Nulllinie liegt.

3. Sehen Sie sich die Skalen an und suchen Sie nach dem Wert des Winkels, den Sie darstellen möchten.

Zeichen Sie für unser Beispiel einen Winkel von 120°.

4. Tragen Sie einen Punkt neben diesen Wert ein.

Nennen Sie ihn Punkt X.

5. Zeichnen Sie eine Halbgerade, indem Sie die Punkte Y und X verbinden.

Punkt Y ist der Scheitel des Winkels.

Sie haben soeben ∠XYZ gezeichnet (Abbildung 2.15), der 120° groß ist.

Abbildung 2.15: Einen Winkel selbst zeichnen

Winkel und ihre Nachbarn

Ein Winkel existiert nicht im luftleeren Raum. Er kann Nachbarn haben. Ein benachbarter Winkel teilt sich mit einem anderen Winkel einen gemeinsamen Schenkel und einen gemeinsamen Scheitel. Diese Winkel nennt man allgemein Nebenwinkel, weil sie in einer Ebene nebeneinander liegen. In Abbildung 2.16 sehen Sie ein Beispiel für solch einen Nebenwinkel: ∠ABX und ∠XBC sind sozusagen Nachbarn. Obwohl sie sich aber einen Scheitel und einen Schenkel teilen, haben sie nicht alles gemeinsam. Egoistischerweise besitzen sie jeweils ihre eigenen inneren Winkelfelder.

Abbildung 2.16: Nachbarschaftsliebe: Nebenwinkel

Wenn man die Größen der Nebenwinkel addiert, erhält man den Wert des ganzen Winkels, der sich aus den einzelnen Winkeln ergibt (Abbildung 2.17).

Abbildung 2.17: Addieren Sie die einzelnen Winkel – Sie erhalten einen großen

Axiom 2.1: Der ganze Wert entspricht der Summe der einzelnen Teile.

Das heißt: Addieren Sie alle Teile zusammen und Sie erhalten den ganzen Wert.

Axiom 2.2: Wenn man den Winkel XYZ so betrachtet, dass YN innerhalb des Winkels liegt, entspricht die Größe dieses Winkels der Summe der beiden Winkel XYN und NYZ. Dieses Axiom ist allgemeingültig. Im Zusammenhang mit Winkeln nennen wir es Winkelsummen-Axiom.

Das heißt: ∠XYZ = ∠XYN + ∠NYZ. Das Winkelsummen-Axiom besagt, dass die Summe zweier Nebenwinkel die Größe des gesamten Winkels ergibt.

Sehen Sie sich Abbildung 2.18 an. Wenn ∠ABX und ∠CBX das gleiche Winkelmaß haben, heißt die Halbgerade Winkelhalbierende. Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade, die ihren Endpunkt am Scheitel eines Winkels hat und ihn in zwei gleich große bzw. kongruente Teile teilt. Kongruente Winkel werden durch Striche gekennzeichnet - gleiche Größe, gleiche Anzahl von Strichen. ∠ABX und ∠CBX in Abbildung 2.18 sind beispielsweise beide 23° groß, also sind sie kongruent.

Abbildung 2.18: Kongruente Winkel haben die gleiche Größe

Auch Winkel haben Beziehungen

Es gibt ein paar Winkelarten, die zueinander in besonderer Beziehung stehen. Unter anderem handelt es sich dabei um Komplementär-, Supplement- und Scheitelwinkel.

Komplementärwinkel

Wenn ich über einen Winkel sage, dass er heute fantastisch aussieht, wäre das ein »Komplement«? Wohl eher ein Kompliment. Ein Komplementärwinkel bezeichnet etwas ganz anderes: zwei Winkel, deren Maße zusammen 90° ergeben. Wenn ich von zwei Winkeln weiß, dass sie komplementär sind, und außerdem die Größe eines der beiden Winkel kenne, kann ich einfach durch Subtraktion die Größe des anderen Winkels berechnen. Ich subtrahiere den bekannten Wert von den 90° und schon habe ich den gesuchten Wert. In Abbildung 2.19 sehen Sie Komplementärwinkel.

Abbildung 2.19: Komplementärwinkel lassen sich zu 90° addieren

Supplementwinkel

Zwei Winkel, die sich zu 180° ergänzen, heißen Supplementwinkel. Wenn Supplementwinkel gleichzeitig Nebenwinkel sind, bilden die Schenkel, die beide Winkel nicht gemeinsam haben, eine gerade Linie. Abbildung 2.20 zeigt Supplementwinkel.

Abbildung 2.20: Supplementwinkel lassen sich zu 180° addieren

Zwei Winkel müssen keine Nebenwinkel sein, um komplementär oder supplementär sein zu können.

Scheitelwinkel

Scheitelwinkel liegen sich gegenüber - niemals nebeneinander. Scheitelwinkel entstehen, wenn zwei Geraden aufeinander zulaufen, sich schließlich treffen und dann weiterlaufen (Abbildung 2.21). Scheitelwinkel haben die gleiche Größe.

Abbildung 2.21: Scheitelwinkel liegen sich gegenüber

Sätze über Sätze über Winkel

Kongruente Winkel – Winkel mit der gleichen Größe - gehen mit einer Menge mathematischer Sätze einher. Ein paar dieser Sätze haben mit (Vorsicht: inoffizieller Geometrikerjargon!) Komplementärem, Supplementärem und sogar Scheiteligem zu tun.

Sätze 2.2–2.8: Zwei Winkel sind kongruent, wenn eine der folgenden Tatsachen zutrifft:

- Satz 2.2: Sie sind beide rechtwinklig.

- Satz 2.3: Sie sind beide gestreckt.

- Satz 2.4: Sie sind beide komplementär zu dem gleichen Winkel oder einem kongruenten Winkel.

- Satz 2.5. Ihre Komplementärwinkel sind kongruent.

- Satz 2.6: Sie sind Supplementwinkel des gleichen Winkels oder eines kongruenten Winkels.

- Satz 2.7: Ihre Supplementwinkel sind kongruent.

- Satz 2.8: Sie sind Scheitelwinkel.

Kreuzweise: Geraden bilden Winkel

Der Punkt, an dem sich zwei Geraden schneiden, heißt Schnittpunkt (Abbildung 2.22). Was dieses Zusammentreffen im Einzelnen bedeutet, hängt davon ab, wie und wo sich die beiden Geraden treffen. In Abbildung 2.23 ist die Auswirkung auf beispielsweise durch die Art des Zusammentreffens mit bestimmt. Wenn die Strecke in ihrer Mitte schneidet, dann wird sie von halbiert. heißt dann Streckenhalbierende.

Abbildung 2.22: Punkt X ist der Schnittpunkt dieser beiden Geraden

Abbildung 2.23: schneidet in ihrer Mitte, also ist eine Streckenhalbierende

Bildet der Schnittpunkt zweier Geraden einen rechten Winkel, sind sie rechtwinklig. Rechtwinklig oder senkrecht beschreibt das Verhältnis der beiden Geraden zueinander. Die Winkelgröße von rechtwinkligen Geraden beträgt immer 90° (Abbildung 2.24). Wie stets in der Geometrie gibt es auch hierfür ein Zeichen, um die Sache einfacher zu machen. Das Zeichen für rechtwinklig zueinander stehende bzw. senkrechte Geraden sieht so aus: ⊥.

Stellen Sie sich die Zeiger einer Uhr um 3.00 oder 9.00 Uhr vor, um einen rechten Winkel zu visualisieren.

Abbildung 2.24: Ein paar rechtwinklige Geraden

Satz 2.9: Eine senkrechte Strecke ist die kürzeste Linie, die von einem Punkt zu einer Geraden gezeichnet werden kann.

Das heißt: Sehen Sie sich Abbildung 2.25 an. und sind Strecken, die auf treffen, wobei die Gerade rechtwinklig schneidet und nicht. ist eindeutig länger als .

Abbildung 2.25: Eine senkrechte Strecke ist der kürzeste Weg von einem Punkt zu einer Geraden

Eine Gerade kann auf ihrem Weg mehr als eine andere Gerade schneiden - sie kann sogar unendlich viele kreuzen. Es gibt auch für so eine weit gereiste Gerade einen Namen: Sie heißt Transversale. Sie schneidet zwei oder mehr Geraden und zwar an unterschiedlichen Stellen. Eine Transversale kann aus jeder Richtung kommen und zwei oder mehr Geraden in jedem beliebigen Winkel schneiden (Abbildung 2.26).

Abbildung 2.26: ist eine Transversale - sie kreuzt zwei Geraden an unterschiedlichen Stellen

Schiffe in Reih und Glied

Manche Wege kreuzen sich, manche nicht. Wenn zwei Schiffe zu einer Insel segeln und sie sich kein einziges Mal kreuzen, fahren sie wahrscheinlich auf parallelen Routen. Bewegen sich die beiden Schiffe parallel, werden sie keinen einzigen Punkt ihrer Reise teilen - unabhängig von der Zeit, die sie unterwegs sind (Abbildung 2.27). Würde Schiff A eine Truhe Gold hinter sich herziehen, die Truhe bekäme ein Loch und verlöre Gold, würde Schiff B niemals diesen Goldsegen kreuzen. Schiff B könnte auch niemals das gesunkene Gold heben, weil es eben nie an eine von Schiff A bereiste Stelle käme. Außer natürlich, das Gold würde abdriften. Wenn es allerdings echtes Gold ist, wird es wohl eher sinken.

Abbildung 2.27: Zwei Schiffe teilen keinen Punkt ihrer Reise, wenn sie sich parallel fortbewegen

Parallele Geraden werden mit dem Symbol ∥ gekennzeichnet. Wenn in der jeweiligen Aufgabe dieses Zeichen nicht vorkommt, nehmen Sie nicht einfach an, dass es sich doch um parallele Geraden handeln könnte. Parallele Geraden können horizontal, vertikal oder schräg verlaufen. Es spielt keine Rolle, in welcher Richtung sie verlaufen, sondern in welcher Beziehung sie zueinander stehen.

Parallele Geraden werden im Folgenden mit kleinen Pfeilen versehen (Abbildung 2.28).

Abbildung 2.28: Zwei parallele Geradenpaare - einmal vertikal und einmal horizontal

Axiom 2.3: Wenn man eine Gerade und einen Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, hat, kann man genau eine parallele Gerade durch diesen Punkt zeichnen.

Dieses Axiom heißt Parallelaxiom, manchmal auch Euklids fünftes Axiom, da es auf dem fünften der von Euklid in den Elementen gelisteten Axiome beruht.

Das heißt: Hat man eine Gerade und einen Punkt, der außerhalb der Geraden liegt, gibt es nur eine Gerade durch den Punkt, die parallel zu der Geraden ist (Abbildung 2.29).

Abbildung 2.29: Das Parallelaxiom im Einsatz

In Abbildung 2.29 ist die einzige zu parallele Gerade . und werden irgendwo kreuzen, wenn man sie verlängert.

Axiom 2.4: Zwei Geraden in der gleichen Ebene verlaufen entweder parallel zueinander oder schneiden sich.

Das heißt: Geraden in einer Ebene treffen sich früher oder später und bilden Winkel oder liegen parallel zueinander.

Schiffe kreuz und quer

Wieder sind zwei Schiffe unterwegs. Diesmal kreuzt noch ein drittes Schiff auf und schneidet die Wege der beiden anderen. Dieses dritte Schiff ist eine Transversale, da es zwei Geraden an verschiedenen Stellen kreuzt.

Wenn Geraden aufeinander treffen, bilden sie stets Winkel. Zwei sich schneidende Geraden bilden vier Winkel: zwei Nebenwinkel und zwei Scheitelwinkel. Wenn zwei Geraden von einer Transversalen geschnitten werden, entstehen acht Winkel – vier Winkel auf jeder Geraden (Abbildung 2.30). Wenn eine Transversale drei Geraden schneidet, gibt es zwölf Winkel.

Abbildung 2.30: Schneidet eine Transversale zwei Geraden, ist alles voll mit Winkeln und Geraden

Neben Innen- und Außenwinkeln gibt es noch drei Typen von Winkelpaaren: innere Wechselwinkel, Stufenwinkel und äußere Wechselwinkel. Hier ein kurzer Überblick über die Welt der Transversalen.

- Innenwinkel: zwischen zwei sich gegenüberliegenden Geraden

- Außenwinkel: außerhalb von zwei sich gegenüberliegenden Geraden

- Stufenwinkel: an der gleichen relativen Stelle

- Wechselwinkel: auf den unterschiedlichen Seiten der Transversalen

Innere Wechselwinkel liegen auf den unterschiedlichen inneren Seiten der Transversalen. Sie bilden den Buchstaben Z (Abbildung 2.31). Stufenwinkel sind auf der gleichen Seite der Transversalen und an der gleichen Stelle in Bezug zu den Geraden, die die Transversale kreuzt. Sie bilden den Buchstaben F (Abbildung 2.32).

Abbildung 2.31: Innere Wechselwinkel bilden ein Z

Abbildung 2.32: Stufenwinkel bilden ein F

Auch die Geometrie-Welt ist nicht immer ganz ordentlich. Die Transversale kann aufrecht durch die Geraden verlaufen, aber auch in einem ganz spitzen Winkel quer und schief. Die Mittellinie des Z und des F bilden immer die Transversale. Heben Sie also diese Linie stärker hervor, um besser sehen zu können, welcher Winkel wo ist.

Tut mir Leid, aber äußere Wechselwinkel sehen nicht aus wie irgendein Buchstabe. Diese Winkel muss man durch reines Nachdenken finden. Fügen Sie einfach zusammen, was Sie schon wissen, und Sie werden diese Winkel entdecken. Alle äußeren Winkel stehen außerhalb von zwei sich gegenüberliegenden Geraden. »Wechsel-« bedeutet auf unterschiedlichen Seiten der Transversalen. Ich denke, ein Blick auf Abbildung 2.33 ist am deutlichsten, um einen äußeren Wechselwinkel vorzuführen.

Abbildung 2.33: Äußere Wechselwinkel sitzen außerhalb der Geraden und auf unterschiedlichen Seiten der Transversalen

Parallelen kreuzen

Ein besonderes Ereignis ist es, wenn eine Transversale zwei parallele Geraden kreuzt (dieses geometrische Erlebnis können Sie in Abbildung 2.34 bewundern). Es ist also Zeit, die zusätzliche Information feierlich zu präsentieren, welche Winkel kongruent und welche supplementär sind. Glauben Sie mir, das ist eine wichtige Sache - vor allem, wenn Sie die Größe eines Winkels bestimmen müssen und keinen Winkelmesser zur Hand haben.

Abbildung 2.34: Kreuzt eine Transversale parallele Geraden, können Sie eine Menge über die Winkel erfahren

Axiom 2.5: Wenn zwei Geraden von einer Transversalen geschnitten werden und die inneren Wechselwinkel kongruent sind, dann sind die Geraden parallel.

Das heißt: Schneidet eine Transversale zwei Geraden und Sie wissen, dass die inneren Wechselwinkel gleich groß sind, können Sie daraus schließen, dass die Geraden parallel verlaufen.

Umgekehrt gilt das Gleiche:

Axiom 2.6: Wenn zwei parallele Geraden von einer Transversalen geschnitten werden, sind ihre inneren Wechselwinkel kongruent.

Das heißt: Haben Sie zwei parallele Geraden, sind ihre inneren Wechselwinkel gleich groß.

Axiom 2.7: Wenn zwei Geraden senkrecht zu einer Transversalen stehen, sind diese beiden Geraden parallel zueinander.

Das heißt: Haben Sie zwei Geraden, die beide im 90-Grad-Winkel zu einer Transversalen verlaufen, wissen Sie, dass die beiden Geraden parallel sind.

Ein weiteres Winkelpaar habe ich noch in petto. Auch wenn dieses Paar theoretisch für jede Transversale existiert, liefert es nur für parallele Geraden eine brauchbare Information. Diese Winkel nennt man Nachbarwinkel. Das sind Innenwinkel, die auf der gleichen Seite der Transversalen liegen. Die Scheitel dieser beiden Winkel bilden ein U (Abbildung 2.35).

Abbildung 2.35: Nachbarwinkel bilden ein U

Ein paar Sätze über parallele Geraden gefällig? Bitteschön!

- Satz 2.10: Sind zwei Stufenwinkel kongruent, verlaufen die Geraden parallel.

- Satz 2.11: Sind zwei Wechselwinkel kongruent, verlaufen die Geraden parallel.

- Satz 2.12: Sind zwei Nachbarwinkel kongruent, verlaufen die Geraden parallel.

Umgekehrt gelten die Sätze 2.10 bis 2.12 ebenfalls. Diese sind hilfreich, wenn man weiß, dass die beiden Geraden parallel sind und man etwas über die Winkel herausfinden möchte.

- Satz 2.13: Verlaufen zwei Geraden parallel, sind die beiden Stufenwinkel kongruent.

- Satz 2.14: Verlaufen zwei Geraden parallel, sind die beiden Wechselwinkel kongruent.

- Satz 2.15: Verlaufen zwei Geraden parallel, sind die beiden Nachbarwinkel kongruent.

Quintessenz inklusive

Und hier ist die große, allgemeingültige Regel über Winkel und Transversalen:

Satz 2.16: Schneidet eine Transversale zwei parallele Geraden, ist jedes Winkelpaar entweder kongruent oder supplementär.

Das heißt: Zwei parallele Geraden werden von einer weiteren Geraden geschnitten: Nehmen Sie zwei beliebige Winkel und sie werden entweder kongruent oder supplementär sein (supplementär bedeutet, dass die Summe ihrer Größen 180° entspricht).

Ein paar Beispiele? In Abbildung 2.34 können Sie sich die Verhältnisse dieser Winkel ansehen:

Winkelpaar | Verhältnis zueinander
∠1 und ∠2 | supplementär
∠1 und ∠3 | supplementär
∠1 und ∠4 | kongruent (Scheitelwinkel)
∠1 und ∠5 | kongruent (Stufenwinkel)
∠1 und ∠6 | supplementär (∠6 = ∠2)
∠1 und ∠7 | supplementär (∠7 = ∠3)
∠1 und ∠8 | kongruent (∠8 = ∠4)

Teil II

Sich verteidigen: Beweise erbringen

In diesem Teil ...

Der geometrische Satz ist der Angeklagte. Sie sind der Verteidiger. Und Sie müssen beweisen, dass der Satz wahr ist. Sie können nicht einfach eine Behauptung aufstellen, ohne sie zu belegen, genauso wenig, wie willkürlich ein paar falsche Grundsätze festzulegen. Zücken Sie also Ihre Latexhandschuhe und eine Lupe und suchen Sie nach Hinweisen.

In diesem Teil bekommen Sie das Rüstzeug, mit dem Sie von den gegebenen Voraussetzungen bis zur gesuchten Lösung finden. Sie werden die richtigen Hinweise entdecken lernen, und dann fügt sich alles wie von selbst. Sie werden sehen.

3

Logik: A und O aller Beweise

In diesem Kapitel...

- Zuerst nachdenken: direkte, induktive, deduktive und indirekte

- Aussagen begründen (ein Paar Leitsätze und Regeln)

Ich liebe Rätsel, denn sie sind wie ein Puzzle: Um ein sinnvolles Bild zu erhalten, muss man die Einzelteile zusammensetzen. Das Gleiche gilt, wenn man in der Geometrie Dinge beweisen möchte: Man muss die Einzelteile dessen, was man beweisen möchte, zusammensetzen, bis ein sinnvolles Bild entsteht.

Aber zuerst muss man herausfinden, wie die Einzelteile überhaupt zusammengehören. Und man muss wissen, wie Aussagen begründet werden können, wenn sie zu einem Beweis führen sollen. Darum geht es in diesem Kapitel. Nachdem Sie es gelesen haben, wissen Sie, wie Sie von einer Voraussetzung bis zu einer Schlussfolgerung gelangen.

Aus dem Sherloch-Holmes-Handbuch: Verschiedene Beweisführungen

Sherlock Holmes konnte jeden Fall lösen. Ich hoffe, dass Ihre Trefferquote bei der Lösung von Geometriefällen ähnlich hoch sein wird. Wie Sie das schaffen?

Nun, indem Sie versuchen, den Prozess zu verstehen, der für die Lösung eines Falles notwendig ist: Denken Sie zuerst nach, bevor Sie etwas tun. (Wie oft haben Sie das schon gehört?) Es gibt verschiedene Beweismethoden, nämlich direkte, induktive, deduktive oder indirekte.

Direkter Beweis: Der Weg durch die Mitte

Die direkte Beweismethode ist theoretisch am einfachsten, aber praktisch nicht immer umsetzbar. Man nimmt eine Voraussetzung als wahr an und schließt Schritt für Schritt auf eine Aussage. Ausgangspunkt ist also eine schon bewiesene Aussage und Ziel das, was man beweisen möchte. Dazwischen können ein Schritt oder mehrere Schritte liegen. Induktiver und deduktiver Beweis sind direkte Beweisverfahren.

Induktiver Beweis: Vom Besonderen auf das Allgemeine

Beim induktiven Beweis wird versucht, eine Theorie nach bestimmten Regeln zu erproben. Man schließt sozusagen vom Besonderen auf das Allgemeine. Dadurch sind die Ergebnisse fast nie vollständig zuverlässig, da man Schlussfolgerungen allein auf der Grundlage unvollständiger Beobachtungen und Proben macht.

Der induktive Beweis in sechs Schritten:

1. Stellen Sie das Problem sorgfältig und mit jeder verfügbaren Information dar.

2. Erfinden Sie eigene Beispiele und erproben Sie hinsichtlich der Informationen.

3. Stellen Sie Messungen und Beobachtungen an.

4. Prüfen Sie, ob ein Muster erkennbar ist.

5. Unterstellen Sie, dass ein beobachtetes Muster auch in weiteren Tests gültig sein wird.

6. Ziehen Sie Ihre Schlüsse aus dem Muster.

Die Ergebnisse der induktiven Beweismethode basieren auf Experiment und Beobachtung - das »Besondere« - und liefern keine absolute Gewissheit über den Wahrheitsgehalt einer Aussage - das »Allgemeine«. Eine Schlussfolgerung auf der Grundlage lückenhafter Untersuchungen und Beobachtungen könnte demnach fehlerhaft sein.

Mit der induktiven Beweismethode lassen sich Schlüsse ziehen, die mit hoher Wahrscheinlichkeit wahr sind. Aber was passiert, wenn sich herausstellt, dass ein Wert von dem Muster abweicht, auf dem Ihre Schlussfolgerung beruht? Dann müssen Sie Ihre Folgerung unter Berücksichtigung der neuen Information anpassen, oder schlimmer: Ihre Schlussfolgerung verwerfen und von vorne beginnen.

Deduktiver Beweis: Vom Allgemeinen auf das Besondere

Hier ist eine Beweismethode, bei der Schlussfolgerungen erst nach einem gründlichen und auf harten Fakten basierenden Einzelschrittverfahren gezogen werden. Diese Methode lässt sich mit einem Trichter vergleichen: Man versucht, vom Allgemeinen zum Besonderen (sprich: zu einer Schlussfolgerung) zu gelangen.

Sie können die Richtigkeit einer Theorie in drei Schritten beweisen.

- Machen Sie eine allgemeine Aussage über eine Gruppe. Man bezeichnet diese Aussage als 1. Prämisse (auch: Obersatz).

- Machen Sie eine besondere Aussage über etwas, das auf die Zugehörigkeit zur Gruppe hinweist. Man bezeichnet diese Aussage als 2. Prämisse (auch: Untersatz).

Wenn Sie beide Prämissen als wahr akzeptieren, dann müssen Sie auch die Schlussfolgerung als wahr anerkennen.

- Machen Sie eine Aussage - Ihre Schlussfolgerung (auch: Schlusssatz) -, die zeigt, dass das Gesagte sowohl auf das Allgemeine als auch auf das Besondere zutrifft.

Kompliziert? Beispiele gefällig? Kein Problem - lesen Sie bitte weiter!

Die Katze miaut: Ein Beispiel für eine gültige Schlussfolgerung

Beginnen Sie mit einer allgemeinen Aussage über eine Gruppe, Ihrer 1. Prämisse:

Alle Katzen haben einen Schnurrbart.

Machen Sie nun eine besondere Aussage, die auf die Zugehörigkeit zur Gruppe hinweist:

Angorakatzen gehören zur Spezies der Katzen.

Sie haben damit gezeigt, dass Angorakatzen zur Gruppe der Katzen gehören.

Nun können Sie eine Schlussfolgerung machen, die sich auf Ihre beiden Prämissen stützt:

Angorakatzen haben einen Schnurrbart.

Man nennt diesen Katalog von Schlussfolgerungen Syllogismus. Sie gelangen zu Ihrer Schlussfolgerung, indem Sie Aussagen als wahr anerkennen. Wenn sowohl die 1. als auch die 2. Prämisse wahr sind, dann muss auch die von diesen Voraussetzungen abgeleitete Schlussfolgerung wahr sein.

Darf er oder darf er nicht? Ein Beispiel für eine ungültige Schlussfolgerung

Die folgende Geschichte handelt von Klaus. Er lebt in Deutschland, wo man mit 18 Jahren den Führerschein machen darf. Klaus ist über 18. Diese Informationen kann man als Syllogismus darstellen:

- 1. Prämisse: In Deutschland muss eine Person mindestens 18 Jahre alt sein, um einen Führerschein machen zu können.

- 2. Prämisse: Klaus ist über 18.

- Schlussfolgerung: Klaus hat einen Führerschein.

Wie Sie sehen, sind beide Prämissen wahr, die Schlussfolgerung ist dagegen wenig überzeugend. Die Beziehung zwischen den Gruppen muss sinnvoll sein, damit eine Schlussfolgerung wahr sein kann. In diesem Beispiel macht die Abfolge von 1. Prämisse - 2. Prämisse - Schlussfolgerung keinen Sinn. Nur weil Klaus über 18 ist, bedeutet das nicht automatisch, dass er einen Führerschein hat. Natürlich: Er könnte einen haben, aber aus den zur Verfügung stehenden Informationen lässt sich das nicht schlüssig ableiten.

Lassen Sie mich Klaus’ Geschichte ein wenig abändern: Wenn ich weiß, dass er in Deutschland lebt, wo man mit 18 den Führerschein bekommen kann, und wenn ich darüber hinaus weiß, dass er einen gültigen Führerschein hat, dann kann ich aus diesen Aussagen etwas Sinnvolles ableiten. Sehen Sie sich die Prämissen und die Schlussfolgerung jetzt einmal an. Macht schon mehr Sinn, oder?

- 1. Prämisse: In Deutschland muss eine Person mindestens 18 Jahre alt sein, um einen Führerschein machen zu können.

- 2. Prämisse: Klaus hat einen Führerschein.

- Schlussfolgerung: Klaus ist über 18.

Wenn Klaus mindestens 18 sein muss, um einen gültigen Führerschein haben zu dürfen und er einen gültigen Führerschein besitzt, dann ergibt sich aus diesen Aussagen, dass Klaus über 18 sein muss.

Passen Sie auf, dass Sie keine falschen Schlüsse ziehen!

»Hey, gibt es in diesem Kapitel auch richtige Geometrie?«

Aber ja. Und zwar genau jetzt. Von rechten Winkeln haben Sie schon gehört (Abbildung 3.1). Jetzt können Sie versuchen, die deduktive Beweismethode auf sie anzuwenden. (Wenn Sie mit rechten Winkeln noch nicht so vertraut sind, sehen Sie in Kapitel 2 nach und lesen Sie anschließend hier weiter).

Abbildung 3.1: Ein rechter Winkel

- 1. Prämisse: Alle rechten Winkel haben die Größe von 90°.

- 2. Prämisse: ∠X in Abbildung 3.1 ist ein rechter Winkel.

- Schlussfolgerung: ∠X ist 90° groß.

Noch ein Beispiel, dieses Mal mit parallelen Geraden (Abbildung 3.2):

Abbildung 3.2: Parallele Geraden

- 1. Prämisse: Geraden, die sich nicht kreuzen, sind parallel zueinander.

- 2. Prämisse: Gerade und Gerade kreuzen sich nicht.

- Schlussfolgerung: Gerade und Gerade sind parallel.

Bei der deduktiven Methode werden Aussagen in immer kleinere Gruppen zerteilt. Damit die Schlussfolgerung wahr ist, müssen die Beziehungen zwischen den Gruppen sinnvoll sein.

Sehen Sie sich Abbildung 3.3 an und werfen Sie dann noch einmal einen Blick auf das Parallelenbeispiel von eben. Erkennen Sie die Verbindung zwischen den Gruppen? Die Geraden bilden die größte Gruppe in der Abbildung. Parallele Geraden sind auch Geraden. Deshalb befindet sich die Gruppe der Parallelen innerhalb der Gruppe der Geraden. Die Geraden und kreuzen sich nicht (Sie erinnern sich: Das war die Definition für parallele Geraden). Somit wird die Gruppe der Geraden und von der Gruppe der parallelen Geraden eingeschlossen und diese wiederum von der Gruppe der Geraden.

Abbildung 3.3: Bei der deduktiven Beweismethode müssen die Beziehungen zwischen den Gruppen einen Sinn ergeben, damit die Schlussfolgerung wahr ist

Indirekter Beweis: Ein guter Widerspruch

Die indirekte Beweismethode kann kniffelig sein - nicht umsonst heißt sie auch Widerspruchsbeweis. Anders als bei der induktiven und deduktiven Methode kommen Sie hier nur - Sie haben es geahnt - auf indirektem Weg zur Schlussfolgerung. Sie gehen also nicht direkt zum Briefkasten, wenn Sie nachsehen wollen, ob Post gekommen ist, sondern drehen vorher noch ein paar Runden um den Block.

Bei den direkten Methoden sucht man nach Beispielen, die eine Voraussetzung wie »Wenn p wahr ist, dann muss auch q wahr sein« stützen. Bei der indirekten Methode setzt man dagegen voraus, dass das zu Beweisende falsch ist. Ich möchte wirklich niemanden zum negativen Denken ermutigen, denn wir alle sollten glücklich und positiv sein, aber im Falle des indirekten Beweises ist es äußerst hilfreich. Wenn Sie beweisen wollen, dass q falsch ist, dann wollen Sie eigentlich etwas beweisen, das nicht q ist. In geometrischer Kurzschrift würde das so aussehen: ∼q. Wenn Sie die folgenden vier Schritte der indirekten Beweismethode durchgehen, dann sollte das Ergebnis lauten: ∼q ist falsch. Und das wiederum bedeutet: q ist wahr:

1. Führen Sie sich die Schlussfolgerung (in diesem Fall q) sowie alle anderen möglichen Schlussfolgerungen vor Augen.

2. Gehen Sie davon aus, dass alle anderen möglichen Schlussfolgerungen wahr sind (ein einfacher Schritt!).

3. Gehen Sie alle anderen möglichen Schlussfolgerungen Schritt für Schritt durch und zeigen Sie, dass diese, wäre nur eine von ihnen wahr, eine Aussage, die bereits als wahr anerkannt wurde, verletzen würden.

Mit anderen Worten: Nehmen Sie diese anderen möglichen Schlussfolgerungen unter die Lupe und beweisen Sie, dass sie, wenn auch nur eine wahr wäre, eine Voraussetzung, ein Axiom, einen Satz oder Ähnliches (die Bedeutung der Begriffe finden Sie in Kapitel 1) verletzen würden, sie also nicht wahr sein können.

4. Machen Sie Ihre Schlussfolgerung.

Die Schlussfolgerung lautet hier: q ist die einzige Möglichkeit, die übrig ist. Also muss sie wahr sein.

Bestes Beispiel für die Anwendung der indirekten Beweismethode im täglichen Leben ist das Gericht: Ein Angeklagter ist erst dann schuldig, wenn alle Zweifel an seiner Schuld ausgeschlossen werden können. Wenn man beweisen möchte, dass ein Angeklagter ein Verbrechen möglicherweise nicht begangen hat, geht man am besten so vor: Man schildert die Umstände, die nötig gewesen wären, damit der Angeklagte das Verbrechen überhaupt hätte begehen können - und dann beweist man, dass diese Umstände nicht gegeben sein konnten. Das ist auch der Grund, warum man immer ein gutes Alibi haben sollte.

Alles will begründet sein

Bevor Sie sich an einen Beweis machen können, brauchen Sie ein sicheres Gespür für die Grundlagen, um von einem Punkt zum nächsten zu gelangen. Glauben Sie mir: Die Grundlagen zu verinnerlichen, wird Ihnen auf lange Sicht viel Zeit sparen. Die im Folgenden behandelten Grundprinzipien dienen dazu, Aussagen, die Sie für die Beweise benötigen, zu begründen.

Reflexivität: Spieglein, Spieglein an der Wand

Sie schauen in den Spiegel. Was sehen Sie? Sich selbst. Mit einem Lächeln, wie ich hoffe! Ihr eigenes Bild wird im Spiegel reflektiert. Sie und Ihr Spiegelbild sind identisch - zumindest in Bezug auf Äußerlichkeiten. Genau so muss man sich die Reflexivität vorstellen: Jedes Objekt ist zu sich selbst äquivalent.

In einer Gleichung sieht die Reflexivität folgendermaßen aus:

a = a

∠A = ∠A

Reflexivität besagt, dass eine Größe gleich (oder kongruent) zu sich selbst ist.

Symmetrie: Balance halten!

Wie kann man eine Waage dazu bringen, nicht auf einer Seite nach unten zu hängen? Indem man versucht, ein Gleichgewicht herzustellen. Symmetrie bedeutet, dass ein Gleichgewicht zwischen Elementen auf den beiden Seiten einer »wenn ... dann«-Aussage besteht.

Wenn a = b, dann b = a

Wenn ∠A = ∠B, dann ∠B = ∠A.

Symmetrie besagt, dass zwei äquivalente Größen auch umgedreht werden können.

Transitivität: Ein Tauschhandel

Man kann Dinge gegeneinander austauschen, wenn sie gleich sind. Transitivität ist mit einer »wenn x und y ... dann z«-Aussage verbunden. Dabei sind zwei Objekte nur deshalb gleich, weil das erste in einer bestimmten Beziehung zu einem dritten steht. Um zu dieser Feststellung zu gelangen, müssen Sie nicht einmal etwas abmessen. Tauschen Sie einfach ein Objekt gegen ein anderes aus, vorausgesetzt, sie haben die gleiche Größe.

In einer Gleichung sieht das folgendermaßen aus:

Wenn a = b und b = c, dann a = c.

Wenn ∠A = ∠B und ∠B = ∠C, dann ∠A = ∠C.

Transitivität besagt, dass, wenn zwei Objekte zu einem dritten äquivalent sind, auch die beiden ersten Objekte zueinander äquivalent sind.

Reflexivität, Symmetrie und Transitivität nennt man Äquivalenzrelationen - doch es gibt noch ein paar mehr Prinzipien, lesen Sie weiter!

Substitution: Genauso gut wie das Original

Substitution gleicht der Transitivität - mit einem großen Unterschied: Sie ist viel einfacher. Substitution erlaubt Ihnen, ein Objekt in jeder beliebigen mathematischen Gleichung gegen sein Äquivalent auszutauschen.

Ein Beispiel:

Sie können das x in der x + y-Gleichung gegen die Zahl 20 austauschen. Das sieht dann so aus:

20 + y = 30

Nun können Sie nach y auflösen. Wenn Sie nicht wissen, wie, dann wird Ihnen die Subtraktionsregel dabei helfen, die weiter unten im Kapitel behandelt wird.

Substitution besagt, dass ein Objekt durch sein Äquivalent ersetzt werden kann.

Die Additionsregel

Die Additionsregel besagt: Wenn Sie eine Größe auf einer Seite addieren, dann müssen sie die gleiche Größe auch auf der anderen Seite addieren, damit beide Seiten gleich groß bleiben.

In einer Gleichung kann man dies auf zwei Arten darstellen. Auch wenn sie unterschiedlich aussehen, sagen sie doch dasselbe aus:

Wenn a = b und c = d, dann a + c = b + d.

Um die zweite Form zu demonstrieren, füge ich ein paar Zahlen hinzu. Sicherlich kennen Sie diese Art der Gleichung aus der Algebra:

Sich entsprechende Größen können auf beiden Seiten einer Gleichung addiert werden. Um die - 5 auf der linken Seite loszuwerden, müssen sie +5 auf der rechten Seite hinzufügen. Nur so erhalten Sie das Gleichgewicht. Was Sie auf einer Seite tun, das müssen Sie auch auf der anderen Seite tun. Wenn Sie also 5 auf der linken Seite addieren, dann müssen Sie auch 5 auf der rechten Seite addieren. Wenn Sie die Variable dann noch auf eine Seite bringen, können Sie ihren Wert bestimmen. In diesem Fall istx = 12.

Die Subtraktionsregel

Die Subtraktionsregel folgt demselben Prinzip wie die Additionsregel. Wenn Sie etwas von einer Seite abziehen, dann müssen Sie die entsprechende Größe auch auf der anderen abziehen.

In Gleichungsform sieht die Subtraktionsregel so aus:

Wenn a = b und c = d, dann a - c = b - d.

Und außerdem:

Sich entsprechende Größen können auf beiden Seiten einer Gleichung abgezogen werden.

Die Multiptikationsregel

Wenn Sie in einer Gleichung eine Seite mit einer bestimmten Größe multiplizieren, dann müssen Sie das auch auf der anderen Seite tun.

In Gleichungsform sieht das so aus:

Wenn a = b, dann 2a = 2b.

Und außerdem:

Wenn sich entsprechende Größen mit der gleichen Größe multipliziert werden, sind ihre Produkte gleich.

Die Divisionsregel

Die Divisionsregel ist der Multiplikationsregel sehr ähnlich. Aber anstatt zu multiplizieren, dividieren Sie.

Hier eine Gleichung:

Wenn a = b und c = d, dann alc = b/d.

Noch eine:

Und noch eine:

Wenn sich entsprechende Größen durch eine gleiche Größe (außer null) dividiert werden, sind ihre Quotienten gleich.

Regeln für Wurzeln und Potenzen

Die Regeln für Wurzeln und Potenzen sind recht überschaubar.

Wurzeln:

Wenn a = b, dann √a = √b.

Positive Quadratwurzeln von sich entsprechenden Größen sind gleich.

Potenzen:

Wenn a = 7, dann (a)2 = (7)2.

Daraus folgt: Wenn a = 7, dann ist (a)2 = 49.

Die Quadratzahlen von sich entsprechenden Größen sind gleich.

Aussagen dürfen – ein paar Regeln

Die folgenden Regeln für mathematische Aussagen dienen als Leitfaden. Sie zeigen Ihnen, was in der Geometrie geht und was nicht:

- Ein Satz muss allen Prüfungen standhalten.

- Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch. Nichts kann gleichzeitig wahr und falsch sein.

- r Nur weil die Aussage »wenn a, dann b« wahr ist, bedeutet das nicht, dass die Aussage »wenn b, dann a« wahr ist.

- Wenn die Aussage »wenn p, dann q« wahr ist, heißt das nicht, dass auch die Aussage »wenn ~p, dann ~q« ebenfalls wahr sein muss.

Und zu guter Letzt: Eine bewiesene Aussage wird häufig mit den Buchstaben q. e. d. (quod erat demonstrandum) abgeschlossen - das ist Lateinisch und heißt »was zu zeigen war«.

4

Beweisverfahren leicht gemacht

In diesem Kapitel...

- Beweise Schritt für Schritt
- Genug Beweise, um den Dreh herauszubekommen
- Mit indirekter Beweisführung arbeiten
- Aussagen finden

Ich möchte ein Verbrechen aufklären. Ich durchforste den Ort des Verbrechens, sammle die Fakten und schreibe sie in mein Notizbuch. Dann bediene ich mich dieser Fakten, um Schritt für Schritt den Täter zu ermitteln. Und ganz gewissenhaft erbringe ich für jede aufgestellte Behauptung einen Beweis.

Wunderbarerweise arbeitet man mit der gleichen Methode, um einen mathematischen Beweis zu erbringen. In diesem Kapitel zeige ich Ihnen, was Mathematik und Detektivarbeit gemeinsam haben.

Die formalen Schritte für Beweise oder: Geometrie-Walzer

Um ehrlich zu sein, unterscheidet sich dieser Walzer ein wenig vom traditionellen Typ - er besteht aus fünf Schritten. Ich bin mir aber sicher, dass Sie ihn mit ein bisschen Übung mühelos aufs Parkett legen werden.

1. Finden Sie oder machen Sie eine Aussage.

Die Aussage ist das, was in dem Beweis begründet werden muss. Diese Aussage muss nicht in der Aufgabe vorkommen. Das ist normal, also wundern Sie sich nicht, wenn Sie keine Aussage finden können. (Und wundern Sie sich ebenfalls nicht über Aufgaben in diesem Buch, die keine Aussage aufführen.) Sie können aus den gegebenen Informationen jederzeit eine Aussage formulieren, indem Sie die mathematischen Angaben in Worte der Form »wenn ... dann« fassen. Mehr zu diesem Thema finden Sie im Abschnitt Wenn Sie wollen ... dann gibt es eine Aussage weiter hinten in diesem Kapitel.

2. Benennen Sie die Voraussetzungen.

Die Voraussetzung ist die das Problem betreffende, zur Verfügung stehende Information. Ohne gewisse Voraussetzungen könnten Sie keinen Beweis bearbeiten, denn wovon sollten Sie auch ausgehen?

Die Walzer-Schritte wären hier schon zu Ende, ich weiß. Ein paar noch - und passen Sie auf, Ihrem Partner nicht auf die Füße zu steigen!

3. Zeichnen Sie ein Bild.

Man sagt, ein Bild sagt mehr als tausend Worte. Auch wenn Sie hier keine tausend Worte bräuchten, hilft Ihnen ein gutes Bild doch enorm weiter. Ist einem geometrischen Beweis kein solches Kunstwerk beigefügt, müssen Sie es eben selbst erschaffen. Sehen Sie sich dazu alle gegebenen Informationen an und zeichnen Sie ein Bild. Achten Sie darauf, es groß genug zu zeichnen, damit Sie alle Werte sichtbar unterbringen. Seien Sie besonders vorsichtig beim Eintragen der Zahlen und Buchstaben. Vergessen Sie auch nicht, parallele Geraden oder kongruente Winkel zu kennzeichnen.

4. Formulieren Sie Ihre zu beweisende Behauptung.

Die letzte Zeile ist für Ihre Behauptung reserviert. Die Behauptung ist das, was Sie als wahr zu beweisen versuchen, und ist wie die Voraussetzung in geometrischer Kurzschrift notiert. Sie bezieht sich auf Teile Ihrer Zeichnung. Achten Sie also darauf, Ihre Aussage gut in der Abbildung darzustellen.

5. Machen Sie sich an den Beweis.

Der Beweis ist eine Abfolge von logischen Schlüssen - eine Schritt-für-Schritt-Liste, die Sie von der Voraussetzung über Definitionen, Axiome und schon bewiesene Sätze - alles Begründungen - bis hin zu Ihrer Behauptung führt.

- Die Voraussetzung ist nicht unbedingt die erste Information, die in dem Beweis vorkommt. Sie steht vielmehr an einem Ort, an dem sie am sinnvollsten ist - und das kann an einer beliebigen Stelle im Beweis sein.

- Der Beweis ist tabellarisch aufgebaut. In die linke Spalte kommen die Aussagen, in die rechte Spalte die jeweiligen und mit den Aussagen korrespondierenden Begründungen.

- Stellen Sie sich einen Beweis wie ein Spiel vor. Das Ziel des Beweis-Spiels ist es, alle Aussagen so zu verketten, dass eine Information zur nächsten führt, bis Sie zu Ihrer Behauptung gelangen. Bevor Sie aber anfangen zu spielen, sollten Sie das Spielfeld gründlich prüfen, die Voraussetzung und die Behauptung richtig analysieren und einen Plan entwickeln, wie Sie das Spiel gewinnen können. Wenn Sie sich für eine Strategie entschieden haben, können Sie Aussage für Aussage voranschreiten, wobei jeder Schritt durchnummeriert wird. Auf diese Zahlen beziehen sich die ebenfalls durchnummerierten Begründungen auf der rechten Seite des Beweises. Alle Aussagen müssen anhand der Abbildung nachvollziehbar sein und letztendlich in der Behauptung enden. Die letzte Zeile der Aussagen sollte deswegen genau der Behauptung entsprechen.

- In einem Beweis werden viele Aussagen mit dem Prinzip der Gleichheit begründet (Geometrie ist demokratisch!), beispielsweise mit Reflexivität, Symmetrie und Transitivität, außerdem mit der Substitution, der Additions-, der Subtraktions- und der Multiplikationsregel. (Alle wesentlichen Details dieser Grundprinzipien finden Sie in Kapitel 3.) Besonders essentiell für die Lösung von Beweisen sind die Transitivität und die Substitution, da man mit ihrer Hilfe Informationen innerhalb eines Beweises austauschen kann.

Sehen Sie sich Beweis 4.1 an, der allerdings nur ein leerer Beispielsbeweis ist. Sie finden die fünf wesentlichen Schritte, aus denen ein Beweis aufgebaut ist, inklusive der Tabelle, mit der Sie Ihren Beweis durchführen. Noch ist das Ganze leer, bald wird sich das ändern!

Beweis 4.1: Hier steht die Abbildung mit der gegebenen Information:

Aussage:

Voraussetzung:

Behauptung:

Beweis 4.1: So sieht ein Beweis aus

Aussage | Begründung
1) | 1)
2) | 2)
3) | 3)
4) | 4)
5) | 5)

Das Spiel mit den Beweisen

Die beste Methode, mit Beweisen klarzukommen, ist, eine Reihe von ihnen kennen zu lernen. Im Fall von geometrischen Beweisen kann man also durchaus behaupten, dass Quantität zu Qualität führt - zur Qualität Ihres Könnens versteht sich. In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen Beweise für Geraden und Winkel. In den weiteren Kapiteln finden Sie dann komplexere Beweise.

Wenn ich mit einem Beweis zu tun habe, werfe ich zuerst einen Blick auf die Abbildung. Sofern eine vorhanden ist. Ansonsten zeichne ich eine, um mir das Ganze besser vorstellen zu können. Als Nächstes sehe ich mir die Voraussetzungen an. In unserem Beispiel weiß ich, dass X der Mittelpunkt von ist und dass der Länge von entspricht. Mit dieser Information im Kopf werfe ich einen zweiten Blick auf die Abbildung und verknüpfe mein Wissen mit der Darstellung. Dann sehe ich mir die Behauptung an und bestimme, was sie im Zusammenhang mit der Abbildung aussagt. Hier muss ich zeigen, dass = ist. Jetzt folgt die Herausforderung: eine Strategie finden, wie ich von der Voraussetzung zur Behauptung gelange. Wenn Sie Probleme damit haben, eine Verbindung zwischen beidem herzustellen, sehen Sie noch einmal in den Kapiteln 1, 2 und 3 nach. Dort finden Sie das Grundwissen, um die nötigen Zusammenhänge erkennen zu können.

Beweis 4.2: Der Beweis zum Mittelpunkt

Aussage | Begründung
1) X ist der Mittelpunkt von . | 1) Voraussetzung
2) | 2) Die Definition eines Mittelpunkts: Ein Mittelpunkt liegt auf einer Strecke in der Mitte zweier Endpunkte (Kapitel 2).
3) | 3) Voraussetzung

4)

4) Transitivität: Sind zwei Objekte zu einem dritten Objekt äquivalent, sind sie auch zueinander äquivalent. (Kapitel 3).

Wenn ich beweisen kann, dass ist, werde ich mit Hilfe der Transitivität (Kapitel 3) die gleichen Größen austauschen und so auf schließen können. Wegen der Definition eines Mittelpunkts und der Information aus der Voraussetzung kann ich sagen, dass ist. Dann ist es durch die Voraussetzung und mit Hilfe der Transitivität nur noch ein kleiner Schritt zu der Aussage . So kann ich behaupten, dass und beide einer Strecke entsprechen ( ) und ich erhalte ganz leicht .

Sehen Sie sich die Abbildung des Beweises 4.3 an, dann die Voraussetzung und wieder die Abbildung. Mit dieser Information im Kopf werfen Sie einen Blick auf die Behauptung und überlegen sich, wie Sie von der Voraussetzung zum Beweis gelangen. Ich weiß, dass ich zeigen muss, um zur Behauptung zu gelangen. Ich beginne also mit meiner Voraussetzung» ist eine Streckenhalbierende von .« Dann übersetze ich das in eine Information, mit der ich etwas anfangen kann: . Ich weiß, dass die Hälfe der Länge von ist, dass also zweimal der gesamten Länge von entsprechen muss. Dann weiß ich auch, warum ist.

Beweis 4.3: Der Beweis zu gleichen Strecken

Aussage | Begründung
1) ist eine Streckenhalbierende von . | 1) Voraussetzung

2)

2) Die Definition einer Streckenhalbierenden: Eine Streckenhalbierende teilt eine Strecke in zwei gleiche Teile (Kapitel 2).

3) | 3) Substitution: Wenn zwei Größen äquivalent sind, können Sie füreinander eingesetzt werden (Kapitel 3).

Beweis 4.4: Der Beweis zur rechtwinkligen Geraden

Aussage | Begründung
1) | 1) Voraussetzung

2) ∠ABC = 90°

2) Die Definition rechtwinkliger Geraden: Rechtwinklige Geraden bilden in ihrem Schnittpunkt einen 90°-Winkel (Kapitel 2).

3) Rechte Winkel haben eine Größe von 90°. | 3) Die Definition eines rechten Winkels (Kapitel 2).
4) ∠ABC ist ein rechter Winkel | 4) Substitution (Kapitel 3)

Das ist der letzte Beweis, den ich kommentieren werde, bevor ich Sie mit den folgenden Beispielen allein lasse. Sehen Sie sich die Abbildung des Beweises 4.4 an, dann die Voraussetzung, wieder die Abbildung und schließlich die Behauptung. Überlegen Sie sich, wie Sie von der Voraussetzung auf die Behauptung schließen können. (Diese Schritte sind immer die gleichen.) Durch die Voraussetzung sehe ich, dass ich mit Informationen über rechtwinklige Geraden arbeiten muss, um zu der Feststellung zu kommen, dass ∠ABC ein rechter Winkel ist. Dafür sind ein paar logische Schritte notwendig. Ich weiß durch die Voraussetzung, dass rechtwinklig zu steht. Ich weiß außerdem, dass rechtwinklige Geraden einen 90-Grad-Winkel bilden. Ich weiß auch noch, dass rechte Winkel eine Größe von 90 Grad haben (so viel Wissen!). Weil LABC durch eine rechtwinklige Gerade entsteht, hat er eine Größe von 90 Grad und ist somit ein rechter Winkel. So ergibt sich das eine aus dem anderen und bevor man sich versieht, ist man fertig!

Sehen Sie sich nun im Alleingang die Beweise 4.5 bis 4.8 an. Sie werden den Dreh bald heraushaben!

Beweis 4.5: Der Beweis zu gleichen Winkeln

Aussage | Begründung
1) ∠1 = 35° | 1) Voraussetzung
2) ∠2 = 35° | 2) Voraussetzung
3) ∠1 = ∠2 | 3) Transitivität (Kapitel 3).

Beweis 4.6: Noch ein Beweis zu gleichen Winkeln

Aussage | Begründung
1) ∠2 + ∠3 = 90° | 1) Voraussetzung
2) ∠1 = ∠3 | 2) Voraussetzung
3) ∠1 + ∠2 = 90° | 3) Substitution (Kapitel 3).

Beweis 4.7: Der Beweis zur Winkelhalbierenden

Aussage | Begründung
1) halbiert ∠KQM | 1) Voraussetzung
2) ∠KQL = ∠LQM | 2) ∠KQM in zwei gleich große Teile (Kapitel 2).
3) halbiert ∠MQP | 3) Voraussetzung
4) ∠MQN = ∠NQP | 4) Siehe Punt 2)
5) ∠KQL + ∠NQP = ∠LQM + ∠MQN | 5) Additionsregel: Addiert man die gleichen Größen, entsprechen sich die beiden Seiten einer Gleichung (Kapitel 3).
6) ∠LQM = ∠NQM = ∠LQN | 6) Die Summe zweier Nebenwinkel ergibt den Gesamtwinkel (Kapitel 2).
7) ∠KQL + ∠NQP = ∠LQN | 7) Substitution: Wenn zwei Größen äquivalent sind, können sie füreinander eingesetzt werden (Kapitel 3).

Beweis 4.8: Der Beweis zu Supplementwinkeln

Aussage | Begründung
1) ∠1 ist supplementär zu ∠2 | 1) Voraussetzung
2) ∠3 ist supplementär zu ∠4 | 2) Voraussetzung
3) ∠1+∠2=180° | 3) Die Definition eines Supplementwinkels (Kapitel 2)
4) ∠3+∠4=180° | 4) Siehe Punkt 3)
5) ∠2=∠4 | 5) Voraussetzung
6) ∠1+∠2=∠3+∠4 | 6) Additionsregel (Kapitel 3)
7) ∠1+∠2=∠3+∠2 | 7) Substitution (Kapitel 3)
8) ∠1=∠3 | 8) Subtraktionsregel: Gleiche Größen können von beiden Seiten einer Gleichung subtrahiert werden (Kapitel 3).

Auf Umwegen: indirekt beweisen

Manchmal ist es nicht möglich, auf direktem Weg (mit Hilfe deduktiver Beweisführung - Kapitel 3) von der Voraussetzung zur Behauptung zu gelangen. In diesen Fällen können Sie es mit der indirekten Methode versuchen. Bei der indirekten Beweisführung zeigt man, dass die Hypothese wahr ist, indem man annimmt, dass die Aussage, die man beweisen möchte, nicht wahr ist. Dadurch kommt man zu dem Punkt, an dem man nachweisen kann, dass doch die Hypothese die einzig wahre Möglichkeit ist.

Sie haben Recht, ich sollte dieser Definition noch ein bisschen Information hinzufügen, damit sie einen Sinn ergibt. Noch einmal von vorne - anhand folgender Schritte können Sie einen Beweis indirekt führen:

1. Nehmen Sie an, dass das Gegenteil der Aussage wahr ist.

Mit anderen Worten: Nehmen Sie an, dass die Aussage falsch ist.

2. Zeigen Sie mit Hilfe der Voraussetzung, dass die Aussage nicht falsch sein kann.

Das kann einige Schritte in Anspruch nehmen.

3. Wenn Sie wissen, dass die Annahme des Gegenteils der Aussage nicht möglich ist, da Sie sonst die Voraussetzung verletzen würden, können Sie schlussfolgern, dass die Aussage wahr ist.

Beweis 4.9 und Beweis 4.10 werden indirekt bewiesen. Sehen Sie sich die Beweise an, lesen Sie sich die Information zu ihnen durch und werfen Sie einen weiteren Blick auf die Beweise. Erkennen Sie, warum diese Art der Beweisführung gültig ist, obwohl man beweist, dass etwas nicht wahr ist?

Liste der Möglichkeiten im indirekten beweiss:

1. ) und schneiden sich in zwei oder mehr Punkten. (Nehmen Sie zuerst an, dass diese Aussage wahr ist und fügen Sie der Abbildung einen Punkt, hier Y, hinzu, der nicht auf X liegt.)

2. ) und schneiden sich nur in Punkt X.

Beweis 4.9: Der Beweis zu sich schneidenden Geraden

Aussage | Begründung
1) und sind sich schneidende Geraden. | 1) Voraussetzung
2) und schneiden sich in den Punkten X und Y. | 2) Diese Möglichkeit verletzt das Axiom, dass durch je zwei Punkte genau eine Gerade geht (Axiom 1.1, Kapitel 1).
3) und schneiden sich nur in Punkt X. | 3) Weil Möglichkeit 1 falsch ist, kannman davon ausgehen, dass Möglichkeit 2 wahr ist.

Liste der Möglichkeiten im indirekten Beweis:

1. ∠ACB ist nicht gleich groß wie ∠ 4. (Nehmen Sie zuerst an, dass diese Aussage wahr ist.)

2. ∠ACB ist gleich groß wie ∠ 4.

Beweis 4.10: Der Beweis zu parallelen Geraden

Aussage | Begründung
1) l║m | 1) Voraussetzung

2)∠ACB≠∠4

2) Sollte diese Möglichkeit wahr sein, könnte man eine andere Gerade durch Punkt C zeichnen, damit sich kongruente innere Wechselwinkel ergeben (Kapitel 2).

3)∠ACB=∠4

3) Wäre Möglichkeit 1 wahr, würde sie die Voraussetzung verletzen, weil nur eine einzige Gerade durch Punkt C gezeichnet werden kann, die parallel zu m ist. Die Behauptung, dass ∠ACB=∠4 ist, muss demnach wahr sein.

Zu den beiden eben gezeigten Beweisen werde ich einiges erklären, da die indirekte Beweisführung etwas verzwickt ist. Sehen Sie sich die Abbildung und die Voraussetzung zuerst gründlich an, wie Sie es auch bei den direkten Beweisen getan haben. Bei der indirekten Beweisführung zeigt man im Folgenden, dass die Behauptung wahr ist, indem man beweist, dass es sich um die einzig gültige Möglichkeit handelt. Das wiederum heißt, dass Sie zuerst vom Gegenteil Ihrer Behauptung ausgehen und beweisen müssen, dass dieses Gegenteil nicht möglich ist. In Beweis 4.9 lautet die Behauptung, dass sich und in Punkt X schneiden. Wenn ich also annehme, dass das Gegenteil davon wahr ist, muss ich beweisen, dass sich und an zwei oder mehr Punkten schneiden. Ich füge der Abbildung also einen Punkt Y hinzu und versuche zu beweisen, dass sich die Geraden in Punkt X und Punkt Y schneiden. Das ist natürlich nicht möglich, da wir von dem Axiom 1.1 wissen, dass zwei Geraden sich nur in einem Punkt schneiden. Ich habe also gezeigt, dass sich die Geraden und nur in einem Punkt schneiden können, weil das Gegenteil ein Axiom verletzt. Ich weiß, dass das Ganze für etwas so Offensichtliches ziemlich kompliziert erscheint, aber so wird es nun einmal gemacht.

Versuchen Sie es bei Beweis 4.10 selbst. Beginnen Sie, indem Sie versuchen zu beweisen, dass das Gegenteil der Behauptung wahr ist, und gleichzeitig die Information der Voraussetzung berücksichtigen. Wenn Sie erst einmal bewiesen haben, dass dieses Gegenteil und jede andere Alternative zur Behauptung nicht wahr sein können, dürfen Sie davon ausgehen, dass die ursprüngliche Behauptung wahr ist.

Um Ihre möglichen Behauptungen zu widerlegen, können Sie mit Voraussetzungen, Definitionen, Axiomen oder schon bewiesenen Sätzen arbeiten.

Wenn Sie wollen ... dann gibt es eine Aussage

Bei manchen Beweisen ist die Aussage ebenfalls aufgeführt, manchmal nicht. Wenn Sie mit einem Beweis zu tun haben, bei dem diese Information fehlt, können Sie eine Aussage mit Hilfe der Voraussetzung und der Behauptung ausarbeiten. Da Voraussetzung und Behauptung meist in geometrischer Kurzschrift formuliert sind und normalerweise Symbole beinhalten, müssen Sie das Ganze in Worte übersetzen - eine »wenn ... dann«-Aussage. Ihre p-und q-Informationen sehen dann so aus: »wenn p, dann q«. Diese Art der Aussage nennt man auch Satz. Ist die wenn-Voraussetzung wahr, ist auch die dann-Behauptung wahr. Wenn der Satz bereits in Form dieser beiden Halbsätze gegeben ist, dann ist es einfach, Voraussetzung und Behauptung herauszulesen.

Diese Sätze können aber auch anders aussehen. Manchmal fehlt der dann-Teil, manchmal steht der wenn-Teil am Ende des Satzes. In wieder anderen Fällen ist der Satz so formuliert, dass weder ein wenn noch ein dann vorkommt. Aber unabhängig davon, wie ein Satz formuliert ist, kann man eine Aussage als wahr oder falsch klassifizieren.

Sehen Sie sich die Beweise 4.11 bis 4.13 an, um zu sehen, wie diese »wenn ... dann«-Aussagen entziffert werden und wie man die mit ihnen einhergehenden Beweise vervollständigt.

Beweis 4.11: Der Beweis zu gleichen Strecken

Aussage | Begründung
1) | 1) Voraussetzung
2) | 2) Voraussetzung
3) | 3) Voraussetzung
4) | 4) Transitivität (Kapitel 3)
5) | 5) Transitivität (Kapitel 3)

Beweis 4.12: Der Beweis zu rechten Winkeln

Aussage | Begründung
1) ∠ABC und ∠EFG sind rechte Winkel. | 1) Voraussetzung
2)∠ABC=90° und∠EFG=90° | 2) Rechte Winkel haben eine Größe von90° (Kapitel 2).
3)∠ABC=∠EFG | 3) Gleiche Größen sind gleich groß.

Beweis 4.13: Der Beweis zu Komplementärwinkeln

Aussage | Begründung
1) | 1) Voraussetzung
2) BA und BC bilden einen rechten Winkel. | 2) Senkrechte Halbgeraden bilden einen rechten Winkel (Kapitel 2).
3)∠ABC=90° | 3) Rechte Winkel haben eine Größe von 90° (Kapitel 2).
4)∠ABC=∠ABD+∠DBC | 4) Addition von Winkeln (Kapitel 2)
5)∠ABD+∠DBC=90° | 5) Substitution (Kapitel 3)
6) ∠ABD ist komplementär zu ∠DBC | 6) Komplementärwinkel ergänzen sich zu 90° (Kapitel 2).

Teil III

In Form kommen: Geometrische Figuren

In diesem Teil ...

Sind Sie auch wie ich jederzeit bereit für einen Nachtisch? Ich weiß beispielsweise, dass ich genau in diesem Augenblick ein großes Stück Schokoladenkuchen vertragen könnte. Tut mir Leid, jetzt ist erst einmal der Hauptgang fällig. Im folgenden Teil finden Sie die Hauptspeisen der Geometrie. Satt werden Sie davon wahrscheinlich nicht - aber vor Begeisterung hoffentlich Ihren Hunger vergessen!

Dreiecke, Vierecke, Kreise und ein paar weitere köstliche Polygone - das ist die Speisekarte. Und es ist angerichtet.

5

Polygone als Aperitif (Ein Vorgeschmack auf geschlossene Figuren)

In diesem Kapitel...

- Polygone kennen lernen
- Konkav, konvex, diagonal - alles geboten
- Die Fläche eines Polygons finden

Ich weiß, ich weiß: Sie haben die Kapitelüberschrift gelesen und sich auf ein Cocktailrezept gefreut. Tut mir Leid: Gaumenfreuden gibt es hier leider nicht. Dafür werden Sie einen Ausflug in die aufregende Welt geometrischer Figuren unternehmen! In diesem Kapitel stelle ich Ihnen die Grundlagen geschlossener geometrischer Figuren, Polygone genannt, vor. Polygone geben einen guten Vorgeschmack auf die Dinge, um die es in der Geometrie geht: Strecken treffen aufeinander, um begrenzte Flächen in allen möglichen Formen und Größen entstehen zu lassen. (Anmerkung: Den gebräuchlichsten Polygonen, den Drei- und Vierecken, habe ich eigene Kapitel gewidmet, da es eine Menge über sie zu sagen gibt.)

Polygon? Nie gehört!

Ein Polygon ist eine geometrische Figur, die mindestens drei Seiten hat. Jede Seite eines Polygons ist eine Strecke, die eine benachbarte Strecke an deren Endpunkt berührt. Strecken, die sich am Endpunkt berühren, heißen benachbart. Jede Strecke berührt eine andere Strecke nur einmal. Es gibt keine Überschneidungen und auch keine Lücken. Weil die Figur geschlossen ist, gilt: Dort, wo Sie die erste Seite Ihrer Figur zu zeichnen beginnen, endet auch die letzte von Ihnen gezeichnete Seite Ihrer Figur.

Stellen Sie sich eine geschlossene Figur wie einen Schweinestall vor (einen echten, nicht den im übertragenen Sinne). Gibt es ein Loch im Gatter, dann werden die Schweine ausbrechen. Beim Zeichnen eines Polygons sollte es also Ihr Ziel sein, dass die Schweine in Ihrem Stall bleiben (Abbildung 5.1).

Abbildung 5.1: Ein umzäunter Bereich wie dieser Schweinestall kann ein Polygon sein. Eine Figur gilt nur dann als geschlossen, wenn die Seiten keine Lücken aufweisen

Polygone und ihre Namen

Man kann häufig sehr einfach auf den Namen eines Polygons schließen. Ein Beispiel: Ein Polygon muss mindestens drei Seiten und drei Ecken haben. Jetzt raten Sie einmal, wie man so ein Polygon bezeichnet. Richtig: Dreieck. Das Dreieck hat die geringste Anzahl von Seiten und Ecken, die notwendig sind, damit es als Polygon bezeichnet werden kann.

Namen von Polygonen leiten sich direkt von der Anzahl der Seiten und Ecken ab. Andere Polygone heißen z.B. Viereck und Fünfeck (Abbildung 5.2).

Abbildung 5.2: Das Viereck ist ein Polygon mit vier Ecken, das Fünfeck eines mit fünf Ecken

Tabelle 5.1: Die Namen der gebräuchlichsten Polygone

Name des Polygons | Anzahl der Ecken
Dreieck | 3
Viereck | 4
Pentagon (oder Fünfeck) | 5
Hexagon (oder Sechseck) | 6
Heptagon (oder Siebeneck) | 7
Oktogon (oder Achteck) | 8
Nonagon (oder Neuneck) | 9
Dekagon (oder Zehneck) | 10
Dodekagon (oder Zwölfeck) | 12

Sie können nirgendwo den Fachausdruck für ein Polygon mit 37 Ecken finden? Das hat folgende Gründe: Zum einen sind derartige Polygone nicht sehr gebräuchlich. Zum anderen werden Polygone mit mehr als zwölf Ecken ausschließlich als so genannte n-Ecke bezeichnet, wobei n für die Anzahl der Ecken steht. Somit hieße das 37-seitige Polygon ganz einfach 37-Eck.

Wie Winkel ins Spiel kommen

Polygone bestehen nicht nur aus Seiten und Ecken. Offensichtlich besitzen sie auch Winkel, die sich genau dort bilden, wo die Seiten aufeinander treffen, also in den Ecken. Polygone bestehen also aus Seiten, Ecken und Winkeln. Das Wort Polygon ist übrigens eine Kombination zweier griechischer Wörter, nämlich poly für »viel« und gon für »Eck«: Vieleck.

Bei Polygonen ist es vollkommen egal, ob man nun die Seiten, die Ecken oder die Winkel zählt, denn jedes Polygon hat genauso viele Seiten wie Ecken und Winkel. Sehen Sie sich beispielsweise das Achteck in Abbildung 5.3 an: Genau wie ein Tintenfisch, ein Oktopus, acht Fangarme besitzt, hat ein Achteck, ein Oktogon, acht Seiten, acht Ecken und acht Winkel.

Abbildung 5.3: Jedes beliebige Polygon hat genauso viele Seiten wie Ecken und Winkel. Dieses Achteck hat acht Seiten, acht Ecken und acht Winkel

Im Allgemeinen werden Polygone also nach der Anzahl ihrer Seiten bzw. Ecken benannt. Aber was passiert, wenn man plötzlich zwei Sechsecke hat und man zwischen beiden unterscheiden möchte? In diesem Fall kann man die Polygone nach den Namen ihrer Ecken benennen. Jeder Eckpunkt wird mit einem Buchstaben gekennzeichnet, um ihn von den anderen Eckpunkten, die im Polygon vorkommen, zu unterscheiden. Wenn alle Ecken benannt sind, kann man das Polygon mit Hilfe der verwendeten Buchstaben bezeichnen. Wählen Sie einen Buchstaben, mit dem Sie beginnen wollen, und schreiben Sie fortlaufend die weiteren Buchstaben auf, nach denen die Ecken jeweils benannt wurden. Sie müssen dabei festlegen, ob Sie im Uhrzeigersinn oder in entgegengesetzter Richtung vorgehen möchten. Für welche Richtung Sie sich entscheiden, ist egal, solange Sie sie im Nachhinein nicht mehr ändern. Wenn Sie mit der Benennung im Uhrzeigersinn anfangen, bleiben Sie dabei!

In Abbildung 5.4 sehen Sie zwei Beispiele für die Benennung von Polygonen im Uhrzeigersinn: Die Polygone werden als Polygon ABCDEF und Polygon RSTUVW bezeichnet.

Abbildung 5.4: Die Bezeichnung von Polygonen mit Hilfe ihrer Eckpunkte: Polygon ABCDEF (Abbildung a.) und Polygon RSTUVW (Abbildung b.)

Polygontypen

Polygone lassen sich nicht nur nach der Anzahl ihrer Seiten oder Ecken einteilen, sondern auch aufgrund einiger ihrer Eigenschaften. Sie können gleichseitig, gleichwinklig oder regelmäßig (auch: regulär) sein.

Bei einem gleichseitigen Polygon sind alle Seiten gleich lang und haben mindestens einen ungleichen Winkel. Bei einem gleichwinkligen Polygon sind alle Winkel gleich groß und mindestens eine Seite weicht von der Länge der anderen Seiten ab. Ein regelmäßiges Polygon ist sowohl gleichseitig als auch gleichwinklig - es ist vollkommen symmetrisch und hat gleich lange Seiten und gleich große Winkel.

Das Innenleben eines Polygons

Polygone sind große Schwindler. Sie wollen einem weismachen, dass sie nichts weiter sind als stinknormale, eindimensionale Formen, die nichts weiter zu bieten haben. Jetzt ist es an der Zeit, diese Vielecke zu entlarven und ihr Innenleben preiszugeben.

Konvex oder konkav – das ist hier die Frage

Zuerst sollten Sie ermitteln, ob ein bestimmtes Polygon konvex oder konkav ist. Die meisten Polygone, denen Sie in der Geometrie begegnen, sind konvex. Aber es ist nicht unwahrscheinlich, dass Sie auch einmal mit der berüchtigten Spezies der konkaven Polygone in Kontakt kommen werden. Wann ist ein Polygon konvex, wann konkav? Der erste Schritt: Sie müssen natürlich wissen, was die beiden Arten voneinander unterscheidet. Für gewöhnlich genügt hierfür ein einfacher Blick auf das Polygon.

Wenn Sie den Seiten eines konvexen Polygons im Uhrzeigersinn folgen, dann müssen Sie an jeder Ecke rechts abbiegen (Abbildung 5.5).

Abbildung 5.5: Ein konvexes Polygon

Bei einem konkaven Polygon biegen Sie zumindest einmal links ab. In dem Augenblick, in dem Sie bemerken, dass Sie an einer Ecke links statt rechts abbiegen, wissen Sie, dass Ihr Polygon konkav ist (Abbildung 5.6). Konkave Polygone sehen manchmal aus, als wären sie ausgehöhlt oder als hätten sie einen Zahn. Der Grund: Mindestens ein Winkel des Polygons ist größer als 180°. Mit anderen Worten: Der größte Unterschied zwischen konvexen und konkaven Polygonen besteht darin, dass konvexe Polygone ausschließlich Winkel zwischen 0° und 180° haben, während konkave mindestens einen über 180° haben.

Abbildung 5.6: Ein konkaves Polygon

Auf Ihren Streifzügen durch die Welt der Geometrie werden Sie hauptsächlich konvexen Polygonen begegnen. Deshalb beziehen sich die Informationen in diesem Buch im Allgemeinen auf diesen Typ der Vielecke.

Wenn Sie Probleme haben die Begriffe konvex und konkav auseinander zu halten, dann hilft Ihnen vielleicht Ihnen eine kleine Eselsbrücke aus meiner Schulzeit. Weil konvexe Formen ein wenig wie nach außen gebeult aussehen und wir einen beleibten Schulrektor hatten, hieß es einfach: »Der Rex (Rex Lateinisch für König und im Schülerjargon der Spitzname des Rektors) ist konvex«. Wenn Sie einen schlanken Rektor haben denken Sie an eine dicke Exfreundin oder einen dicken Exfreund (Der/die Ex...), oder spendieren Sie dem Herrn Studiendirektor einfach regelmäßig ein schönes Stückchen Torte. Das wird dann schon mit dem konvex.

Ab durch die Mitte: Diagonalen

Die Seiten eines Polygons bestehen aus miteinander verbundenen Strecken, die Ecken in einer geschlossenen Figur bilden. Diagonalen sind Strecken, die quer durch das Innere des Polygons verlaufen und Ecken verbinden, die nicht benachbart sind. Puh! Werfen Sie einen Blick auf Abbildung 5.7, dann wissen Sie, was ich meine.

Abbildung 5.7: Sehen Sie das große X? Diese beiden Strecken sind Diagonalen, die innerhalb eines Vierecks verlaufen und nicht benachbarte Ecken miteinander verbinden

Die Anzahl von Diagonalen, die in einem beliebigen Polygon gezeichnet werden können, ist unmittelbar abhängig von der Anzahl der Ecken des Polygons. Nehmen Sie z.B. ein Fünfeck: Wählen Sie einen Eckpunkt (z.B. A) und zeichnen Sie eine Linie von A zu einer der anderen Ecken. Einige der Linien sind Diagonalen, einige nicht. Die Linien, die nicht die Seiten des Polygons bilden, sind die Diagonalen (Abbildung 5.8). Bei einem Viereck können Sie daraus beispielsweise schließen, dass es zwei Diagonalen besitzt. Aber was ist mit dem Fünfeck? Allein von Ecke A gehen zwei Diagonalen aus. Multiplizieren Sie einfach die Anzahl der Ecken (n = 5) mit der Anzahl der Diagonalen, die Sie von jeder Ecke aus zeichnen können (in diesem Beispiel sind es 2). In einem Fünfeck gibt es somit zehn Diagonalen, die zwischen den einzelnen Ecken gezeichnet werden können. Da jede Linie zweimal vorkommt - A zu D ist die gleiche Linie wie D zu A – bleiben tatsächlich fünf Linien (oder Diagonalen) übrig, die nur einmal im Polygon auftauchen und nicht benachbarte Ecken miteinander verbinden. Anders ausgedrückt:

Abbildung 5.8: Wenn Sie Linien von Ecke A zu allen anderen Ecken zeichnen, dann sind die Diagonalen die Linien, die nicht die Seiten des Fünfecks bilden ( und )

Das Ganze lässt sich auch noch erheblich einfacher berechnen, indem man mit einer echten Formel arbeitet, um die Anzahl an Diagonalen zu bestimmen. Auf diese Weise muss man nicht für jedes Polygon eine Zeichnung anfertigen. Die Formel, mit der man die Anzahl nur einmal vorkommender Diagonalen in einem Polygon bestimmt, lautet:

Satz 5.1: Die Anzahl von Diagonalen eines Polygons mit n Ecken ist

Das heißt: Für den Buchstaben n setzen Sie die Anzahl der Ecken Ihres Polygons ein und lösen dann nach d auf. d ist die Gesamtzahl der Diagonalen.

Für das Beispiel mit dem Fünfeck sieht das so aus:

Die Summe der Innenwinkel eines Polygons

Ich höre Sie schon sagen: »Formeln sind ja schön und gut. Aber wofür brauche ich Diagonalen überhaupt?« Haben Sie bemerkt, dass Diagonalen den inneren Bereich eines Polygons in Dreiecke zerlegen? Da der Winkel einer geraden Linie 180° groß ist, folgt daraus, dass die Summe aller drei Innenwinkel (Winkel, die sich im inneren Bereich einer Figur befinden) eines Dreiecks ebenfalls 180° beträgt (Abbildung 5.9). Auf die Besonderheiten von Dreiecken gehe ich in Kapitel 6 ein. Im Moment ist das Folgende wichtig:

Satz 5.2: Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180°.

Das heißt: Wenn Sie die Maße aller drei Winkel eines Dreiecks addieren, erhalten Sie die Summe von 180°.

Abbildung 5.9: Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180°

In Abbildung 5.9 beträgt die Winkelsumme von ΔTNC 180°, weil 70° + 55° + 55° = 180° sind. Sie benötigen Diagonalen, um die Winkelsumme der Innenwinkel eines Polygons ermitteln zu können. Jedes konvexe n-Eck lässt sich durch Diagonalen in n - 2 Dreiecke zerlegen. Ein Rechteck kann in zwei Dreiecke geteilt werden. Wenn die Innenwinkelsumme eines jeden Dreiecks 180° beträgt, dann muss die Innenwinkelsumme eines Rechtecks logischerweise 180(2) bzw. 360° sein. In Abbildung 5.10 beispielsweise beträgt die Summe der vier Innenwinkel eines Vierecks 360°.

Abbildung 5.10: Die Summe der vier Innenwinkel eines Vierecks beträgt 360°

Satz 5.3: Die Summe der Innenwinkel eines Vierecks beträgt 360°.

Das heißt: Wenn Sie die Maße aller Winkel eines Vierecks addieren, erhalten Sie die Summe von 360°.

Die Summe der Innenwinkel können Sie auch mit Hilfe einer Formel ermitteln. Genau, schon wieder eine Formel! (Merken Sie sich: In der Geometrie gibt es zwei Dinge, auf die man sich verlassen kann, nämlich Definitionen und Formeln. Ist das Leben nicht einfach?) Um die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Polygons herauszubekommen, müssen Sie nur wissen, wie viele Ecken das Polygon hat. Die Formel sieht dann so aus:

S = (n - 2) 180°

Beachten Sie, dass n - 2 die Anzahl der Dreiecke ist, die durch die Diagonalen entstehen (wobei es keine überlappenden Bereiche gibt). Multiplizieren Sie diese Zahl mit der Winkelsumme eines Dreiecks (180°) und voilà: Schon haben Sie die Gesamtsumme der Innenwinkel eines bestimmten Vielecks.

Satz 5.4: Wenn ein Polygon n Ecken hat, lautet die Formel zur Berechnung der gesamten Winkelsumme S = (n - 2) 180°.

Das heißt: Sie benützen die Informationen, die Sie über die Anzahl der Ecken Ihres Polygons haben und verwenden Sie einfach in der Formel. Für n setzen Sie die Anzahl der Ecken ein und lösen dann nach S auf. S ist die Summe der Innenwinkel eines konvexen Polygons mit n Ecken.

Kurzes Beispiel gefällig? Wenn Sie ein Siebeneck (auch Heptagon genannt) haben, dann finden Sie die Summe der Innenwinkel heraus, indem Sie die Zahl 7 anstelle von n in die Gleichung einsetzen und dann nach S auflösen:

S = (7 - 2) 180

S = (5) 180

S = 900°

Die Summe der Innenwinkel eines Siebenecks beträgt 900°. Da sich n (die Anzahl der Ecken) bei unterschiedlichen Polygonen natürlich ändert, muss sich logischerweise auch die Summe der Innenwinkel ändern (Tabelle 5.2).

Tabelle 5.2: Innenwinkelsummen verschiedener Polygone

Anzahl der Ecken | Summe der Innenwinkel
3 | 180°
4 | 360°
5 | 540°
6 | 720°
7 | 900°

Auch wenn Sie die Summe der Innenwinkel eines Polygons kennen, sagt das noch nichts über die Maße der einzelnen Winkel aus.

Ein regelmäßiges Polygon ist die Ausnahme zu dieser Regel. Ein Beispiel: Wenn ein Siebeneck ein regelmäßiges Polygon ist, sind alle inneren Winkel nach Definition gleich groß. Um das Maß eines jeden Innenwinkels zu bestimmen, teilt man die Gesamtsumme der Innenwinkel durch die Anzahl der Polygonecken. Ein Siebeneck hat sieben Ecken und die Summe der Innenwinkel beträgt 900°. Das Maß eines jeden einzelnen Winkels beträgt somit 900°/7 bzw. 128,57° pro Winkel. Gut zu wissen, nicht wahr?

Satz 5.5: In einem regelmäßigen Polygon beträgt das Maß eines einzelnen Innenwinkels .

Die Summe der Außenwinkel eines Polygons

Wie Sie jetzt wissen, hängt die Summe der Innenwinkel von der Anzahl der Ecken eines Polygons ab. Bei den Außenwinkeln ist das anders. Egal, wie viele Ecken ein Polygon hat: Die Summe der Außenwinkel beträgt immer 360°. Sehen Sie sich z.B. das regelmäßige Polygon in Abbildung 5.11 an. Es hat fünf gleiche Seiten. Jeder Außenwinkel ist genau 72° groß. 72 mit 5 multipliziert ergibt 360°.

Abbildung 5.11: Die Summe der Außenwinkel eines Polygons beträgt immer 360°

Satz 5.6: Die Summe der Außenwinkel beträgt 360°.

Das heißt: Wenn Sie die Außenwinkel an den Ecken eines Polygons messen und addieren, kommen Sie auf eine Winkelsumme von 360°.

Satz 5.7: In einem regelmäßigen Polygon beträgt das Maß eines jeden Außenwinkels .

Das heißt: In einem regelmäßigen Polygon hat ein jeder Außenwinkel das Maß von . n ist dabei die Anzahl der Ecken des Polygons.

Ein Außenwinkel entsteht, wenn man eine Seite des Polygons in den Außenbereich hinaus verlängert. Er befindet sich nicht innerhalb der Grenzen eines Polygons, aber er steht in Beziehung zu seinem angrenzenden Innenwinkel. Ein Außenwinkel ergänzt den benachbarten Innenwinkel, der im Innenbereich des Polygons liegt. In Abbildung 5.12 teilen sich Winkel 1 und Winkel 2 eine Seite und liegen auf einer Geraden. Das Maß der beiden Winkel beträgt 180°.

Abbildung 5.12: Ein Außenwinkel ergänzt seinen angrenzenden Innenwinkel zu 180°

Innenleben erforschen: Fläche eines Polygons

In regelmäßigen Polygonen gibt es Geraden, die eine besondere Bedeutung haben. Zu diesen Geraden zählen Radius und Inkreisradius.

Der Radius ist eine Linie, die vom Mittelpunkt des Polygons in eine Ecke des Polygons gezogen wird. Der jeweilige Winkel wird durch diese Gerade halbiert. Wenn in einem Polygon zwei unterschiedliche Radien in zwei Ecken gezogen werden, dann bildet sich in der Mitte des Polygons ein Mittelpunktswinkel (Abbildung 5.13).

Abbildung 5.13: Wenn man zwei Radien vom Mittelpunkt eines Polygons in zwei nebeneinander liegende Ecken zieht, entsteht ein Mittelpunktswinkel

Anders als der Radius, der einen Winkel teilt, ist der Inkreisradius eine Gerade, die vom Mittelpunkt des Polygons senkrecht auf eine Seite des Polygons gefällt wird. Sie ist gleichzeitig eine so genannte Mittelsenkrechte der jeweiligen Seite (Abbildung 5.14).

Abbildung 5.14: Der Inkreisradius eines regelmäßigen Polygons ist gleichzeitig eine Mittelsenkrechte der Seite

Für Radien, Mittelpunktswinkel und Inkreisradius in Polygonen gibt es eine Reihe von Sätzen. Viel Vergnügen beim Lesen:

- Satz 5.8: In einem regelmäßigen Polygon halbieren Radien die Innenwinkel.

- Satz 5.9: In einem regelmäßigen Polygon sind die Mittelpunktswinkel kongruent.

- Satz 5.10: In einem regelmäßigen Polygon mit gleichen Seiten sind die Mittelpunktswinkel kongruent.

- Satz 5.11: In einem regelmäßigen Polygon beträgt das Maß eines Mittelpunktswinkels 360° geteilt durch die Anzahl der Ecken.

- Satz 5.12: In einem regelmäßigen Polygon halbiert der Inkreisradius den Mittelpunktswinkel der Seite, auf die er gezeichnet wird.

- Satz 5.13: In einem regelmäßigen Polygon ist der Inkreisradius gleichzeitig die Mittelsenkrechte der Seite, auf die er gezeichnet wird.

Sie können den Flächeninhalt eines regelmäßigen Polygons mit Hilfe von Inkreisradius und Umfang berechnen. Bestimmen Sie zuerst den Umfang; hierfür müssen Sie die Längen der Seiten des Polygons kennen. Da es sich um ein regelmäßiges Polygon handelt, sind die Seitenlängen alle gleich. Multiplizieren Sie die Anzahl der Seiten mit der Länge einer Seite. Schon haben Sie den Umfang ermittelt. Der Flächeninhalt eines regelmäßigen Polygons ist die Hälfte aus dem Produkt von Inkreisradius und Umfang.

Satz 5.14: Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines regelmäßigen Polygons lautet: , wobei U Umfang des Polygons und r der Inkreisradius ist.

Übersetzt heißt das: Wenn es sich um ein regelmäßiges Polygon handelt, brauchen Sie nur den Inkreisradius und den Umfang in die Formel einzusetzen, um den Flächeninhalt zu errechnen.

Werfen Sie einen Blick auf Abbildung 5.15. Wie Sie sehen, hat eine Seite des Fünfecks die Länge 5. Der Inkreisradius beträgt 6. Bevor Sie den Flächeninhalt ermitteln können, müssen Sie zuerst den Umfang berechnen. Wenn die Länge einer Seite des Fünfecks 5 ist, dann erhalten Sie den Umfang, indem Sie die Seitenlänge 5 mit der Anzahl der Seiten (ebenfalls 5) multiplizieren. Der Gesamtumfang ist also 25. Wenn Sie diese Information in die Formel einsetzen, ergibt sich Folgendes:

Der Flächeninhalt des Fünfecks in Abbildung 5.15 beträgt somit 75.

Abbildung 5.15: Um den Flächeninhalt eines Polygons zu berechnen, benötigen Sie die Länge einer Seite und den Inkreisradius

Sie erinnern sich: Geraden und Winkel können addiert werden. Das Gleiche dürfen Sie auch mit Flächen tun!

Axiom 5.1: Ein Polygon kann in kleinere, sich nicht überschneidende Bereiche unterteilt werden. Der Flächeninhalt des Polygons ist die Summe der Flächeninhalte dieser sich nicht überschneidenden Bereiche.

Schauen Sie sich Abbildung 5.16 an. Um den Gesamtflächeninhalt der Figur herauszubekommen, suchen Sie sich Bereiche, bei denen der Flächeninhalt leicht zu ermitteln ist. Sehen Sie genau hin: Sie können das Polygon in zwei Rechtecke aufteilen, die sich nicht überschneiden. Errechnen Sie die Flächeninhalte der beiden Bereiche und addieren Sie sie. Als Ergebnis erhalten Sie den Flächeninhalt des gesamten Polygons.

Abbildung 5.16: In einem Polygon ergibt die Summe der Flächeninhalte einzelner Bereiche, die sich nicht überschneiden, den Flächeninhalt des gesamten Polygons

6

Eck + Eck + Eck = Dreieck

In diesem Kapitel...

- Dreiecke unter der Lupe: Seiten, Winkel und jede Menge Punkte

- Das Innen- und das Außenleben eines Dreiecks kennen lernen

- Dreiecke nach Seiten und Winkeln sortieren
- Ein Dreieck zeichnen
- Die Fläche eines Dreiecks finden
- Kongruente Dreiecke zuordnen lernen

Es ist ziemlich offensichtlich, wie das Dreieck zu seinem Namen gekommen ist. Eine Figur mit drei Ecken - was gibt es da noch groß zu sagen? So harmlos es aussieht: In einem Dreieck stecken eine Menge spannender Dinge. In diesem Kapitel werden Sie entdecken, was ein Dreieck zum Dreieck macht: seine Teile, seine Winkel und, natürlich, seinen Charakter und seinen Charme.

Mehr als drei Teil – Dreiecken kennen lernen,

Ein Dreieck ist ein Polygon. Um genau zu sein, hat es die minimale Anzahl an Ecken und Seiten, die ein Polygon haben muss. Weil ein Polygon eine geschlossene Figur ist, braucht man mindestens diese drei Seiten. Und um zweidimensional zu sein, braucht man mindestens drei nichtkollineare Punkte. Das Dreieck kommt da also gerade so durch.

Noch einmal: Ein Dreieck beinhaltet die geringste Anzahl an Ecken, um ein Polygon zu sein, und die geringste Anzahl an Punkten, um zweidimensional zu sein. Diese Tatsache führt zu einer Menge weiterer Besonderheiten, die das Dreieck zu bieten hat - so unscheinbar es auch wirken mag. Die Wichtigkeit des Dreiecks in der Geometrie kann ich Ihnen somit nicht weiterhin verheimlichen.

Seiten und Winkel

Wenn die drei Seiten des Dreiecks aufeinander treffen, bilden sich die sechs Teile, aus denen ein Dreieck besteht. Sechs? Jawohl: drei Seiten und drei Innenwinkel, die durch die drei Seiten geformt werden. In Abbildung 6.1 bestehen die drei Seiten aus den Strecken und

Abbildung 6.1: Es gibt die unterschiedlichsten Dreiecke, aber alle haben sie drei Seiten und drei Winkel

Eine Ecke ist ein Punkt, an dem sich zwei Seiten treffen.

In Abbildung 6.1 heißen die Winkel des Dreiecks ∠A, ∠B und ∠C und sie befinden sich an den Ecken A, B und C. Winkel, deren Ecken benachbart sind, heißen benachbarte Winkel. Also sind die drei Winkel des Dreiecks in Abbildung 6.1 benachbarte Winkel.

Um das Ganze etwas persönlicher zu machen, hat das Dreieck in Abbildung 6.1 auch einen Namen. Man benennt ein Dreieck nach seinen Ecken, also heißt dieses Dreieck ABC. Allerdings fehlt da noch eine Kleinigkeit, und zwar dieses niedliche Dreieck-Symbol: Δ – sozusagen der Vorname. ΔABC ist demnach der volle Name unseres Dreiecks.

Jetzt haben wir für alle Teile des Dreiecks einen Namen: die Strecken, die Ecken, die Winkel und das Dreieck selbst. Fehlt noch etwas: die Seiten. Man benennt sie mit der kleinen Version des Buchstabens, der die gegenüberliegende Ecke bezeichnet, z.B. a (Abbildung 6.2). Es ist wesentlich übersichtlicher und unkomplizierter, eine Seite auf diese Weise statt nach der Strecke, aus der sie besteht, zu benennen (z.B. . Spätestens wenn Sie diese Bezeichnungen in Gleichungen einsetzen, werden Sie für jede Vereinfachung dankbar sein.

Abbildung 6.2: Man benennt die Seiten eines Dreiecks mit der kleinen Version des Buchstabens, der die gegenüberliegende Ecke bezeichnet

Das Besondere im Dreieck: Eine Menge Punkten und Linien

Fünf Linien, besondere Linien genannt, sind Teil eines jeden Dreiecks - und auch wieder nicht. Diese Linien sind die Seitenhalbierende, die Mittellinie, die Höhe, die Mittelsenkrechte und die Winkelhalbierende, und sie sind hilfreich, wenn man etwas über das Dreieck herausfinden möchte oder einen Beweis erarbeitet. Diese Linien kann man nicht willkürlich in eine Figur einzeichnen. Wie mit allem in der Geometrie muss man auch hierbei bestimmten Regeln folgen. Um genau zu sein: Jedes Mal, wenn man irgendeine Linie zeichnet, muss sie definiert werden. Dabei braucht man eine bestimmte Menge an Informationen, die genau auf diese eine Linie zutreffen. Das ist der Idealfall - es gibt auch andere Fälle. Unterbestimmt beispielsweise bedeutet, dass man zu wenige Informationen besitzt, um ein geometrisches Objekt, beispielsweise eine Linie, zu zeichnen. Es gibt zu wenige Informationen und deswegen mehrere Linien, auf die diese Voraussetzungen zutreffen. Überbestimmt wiederum heißt, dass es zu viele Informationen gibt. Man hat dann so viele Voraussetzungen, dass diese mit einer einzigen Linie niemals erfüllt werden können.

Die Seitenhafbierende

Eine Seitenhalbierende sagt nichts über die Ecke (bzw. den Winkel) aus, von der aus sie gezeichnet wurde. Aber man kann sie als Kennzeichnung des Mittelpunktes der Strecke bzw. Seite, auf die sie gezeichnet wurde, verwenden. Die beiden Segmente der Strecke auf den beiden Seiten der Halbierenden sind kongruent (Abbildung 6.3).

Abbildung 6.3: Die Seitenhalbierende ist eine Linie, die von einer Ecke zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite gezogen wird.

Jedes Dreieck hat drei Seitenhalbierenden - eine von jeder Ecke zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Die drei Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt, den man Schwerpunkt des Dreiecks nennt (Abbildung 6.4). Dieser Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis zwei zu eins. In Abbildung 6.1 schneiden sich , und in Punkt X und , und .

Abbildung 6.4: Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt – dem Schwerpunkt

Satz 6.1: Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich.

Das heißt: Es gibt drei Seitenhalbierenden in einem Dreieck, eine für jede Seite, und sie schneiden sich in genau einem Punkt.

Satz. 6.2: Der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis zwei zu eins.

Das heißt: Die Entfernung einer Ecke zu dem Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden beträgt zwei Drittel der Länge der jeweiligen Seitenhalbierenden.

Die Mittellinie

Eine Mittellinie verbindet die Mittelpunkte zweier Seiten eines Dreiecks (Abbildung 6.5).

Abbildung 6.5: Die Mittellinie ist eine Strecke, die vom Mittelpunkt einer Seite zum Mittelpunkt einer anderen Seite gezogen wird

Satz 6.3: Die Mittellinie eines Dreiecks ist parallel zur dritten Seite.

Das heißt: Die Mittellinie verläuft parallel zu der Seite, die sie nicht berührt.

In Abbildung 6.5: ist parallel zu .

Satz 6.4: Die Mittellinie ist halb so lang wie die dritte Seite des Dreiecks.

Das heißt: Die Mittellinie ist halb so lang wie die Seite, die sie nicht berührt.

In Abbildung 6.5: Die Länge von entspricht der Hälfte der Länge von .

Die Höhe

Die Höhe eines Dreiecks erhält man, indem man von einer Ecke eine Linie senkrecht auf die gegenüberliegende Seite zeichnet (Abbildung 6.6a.). In manchen Dreiecken muss man dafür diese Seite verlängern (Abbildung 6.6b.).

Abbildung 6.6: Die Höhe ist eine Linie, die von einer Ecke senkrecht auf die gegenüberliegende Seite verläuft

Satz 6.5: Die drei Höhen von Dreiecken schneiden sich.

Das heißt: Es gibt in jedem Dreieck drei Höhen (eine von jeder Ecke ausgehend) und diese schneiden sich in einem Punkt.

In Abbildung 6.7 schneiden sich und in Punkt X.

Abbildung 6.7: Die drei Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt

Satz 6.6: In einem Dreieck entspricht das Produkt der Länge einer Seite mit der Länge der Höhe, die auf diese Seite verläuft, jeweils dem Produkt der anderen beiden Seiten mit ihren Höhen.

Das heißt: Wenn man die Länge einer Seite eines Dreiecks mit der Länge ihrer Höhe multipliziert, ist dieser Wert genauso groß, als wenn man eine der anderen Seiten mit ihren Höhen multipliziert.

In Abbildung 6.7: und sind Höhen, also gilt .

Die Mittelsenkrechte

Die Mittelsenkrechte eines Dreiecks ist eine Linie, die zwei rechte Winkel auf der Seite bildet, auf der sie verläuft. Außerdem teilt sie die jeweilige Seite in zwei kongruente Segmente (Abbildung 6.8). Lässt man sie außerhalb des Dreiecks weiter verlaufen, entstehen vier rechte Winkel - zwei auf jeder Seite der geschnittenen Dreiecksseite.

Abbildung 6.8: Die Mittelsenkrechte verläuft senkrecht durch die Mitte einer Seite und bildet dabei zwei 90°-Winkel

Um zu zeigen, dass eine Linie eine Mittelsenkrechte ist, muss man zwei Dinge beweisen: erstens, dass die Linie senkrecht zu einer Seite des Dreiecks verläuft, und zweitens, dass sie diese Seite in zwei kongruente Teile teilt. Letzteres geht ganz einfach, indem man feststellt, ob die beiden Segmente der Seite gleich lang sind. Ob die Linie senkrecht verläuft, kann man auf zwei Arten zeigen. Entweder man beweist, dass die beiden Winkel, die mit Hilfe der Linie gebildet werden, kongruente Nebenwinkel bzw. rechte Winkel sind. Oder man zeigt, dass ein beliebiger Punkt auf der Linie von den beiden Ecken der entsprechenden Seite gleich weit entfernt ist.

Satz 6.7: Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der von allen Ecken des Dreiecks gleich weit entfernt ist (Abbildung 6.9).

Das heißt: Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt. Dieser hat die gleiche Entfernung von allen drei Ecken des Dreiecks.

Abbildung 6.9: Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks ist von allen Ecken des Dreiecks gleich weit entfernt

Die Winkelhalbierende

Die Winkelhalbierende eines Dreiecks ist eine Linie, die den Winkel, durch den sie verläuft, in zwei kongruente Winkel teilt und sich bis zur gegenüberliegenden Seite erstreckt (Abbildung 6.10). Die Winkelhalbierende und die Seitenhalbierende in einem Dreieck sind normalerweise nicht identisch.

Abbildung 6.10: Die Winkelhalbierende eines Dreiecks teilt einen Winkel in zwei kongruente Winkel

Satz 6.8: Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der von allen Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt ist (Abbildung 6.11).

Das heißt: Die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Dieser hat die gleiche Entfernung von allen drei Seiten des Dreiecks.

Abbildung 6.11: Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks ist von allen Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt

In jedem Dreieck hat jede Seite eine Seitenhalbierende, eine Mittelsenkrechte und eine Höhe. Jeder Winkel hat eine Winkelhalbierende.

Grenzen ziehen – innehalb und außerhalb eines Dreiecks

Etwas kann innerhalb oder außerhalb eines Dreiecks liegen - entsprechend heißen diese beiden Bereiche Innengebiet und Außengebiet des Dreiecks. Und wenn etwas auf der Linie landet, gibt es - anders als beim Tennis - noch einen dritten Bereich, der weder in das Innen- noch in das Außengebiet fällt.

Das Innengebiet

Alles, was innerhalb der drei geschlossenen Seiten eines Dreiecks gefangen ist, heißt Innengebiet. Vergessen Sie nicht, dass das auch die drei Winkel beinhaltet.

Die Summe der drei Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180° (Theorem 5.2). Da Sie mit dieser Tatsache in der Geometrie immer und immer wieder konfrontiert sein werden, ist das eine wunderbare Gelegenheit für einen Beweis. Beweis 6.1 zeigt, dass die Summe der drei Innenwinkel von ΔXYZ 180° entspricht.

Bevor Sie anfangen: Jetzt brauchen Sie ein paar Hilfslinien. Zeichnen Sie eine Gerade l, die durch Punkt X verläuft und parallel zu verläuft. Beachten Sie, dass dabei zwei weitere Winkel entstehen, mit denen Sie arbeiten können – ∠4 und ∠5. Sie können außerdem die Strecke zu einer Geraden verlängern, damit das Ganze noch übersichtlicher wird. Nennen Sie diese Gerade m.

Beweis 6.1: Der Beweis zu der Summe der Innenwinkel in einem Dreieck

Aussage | Begründung
1) ∠4+∠1+∠5=180° | 1) Ein gestreckter Winkel (eine Gerade) ist
| 180° groß (Kapitel 2).

2) Gerade l ║ Gerade m

2) Durch einen Punkt, der nicht auf der anderen Geraden liegt, kann nur eine zu dieser anderen Geraden parallele Gerade gezeichnet werden (Kapitel 2).

3) ∠2=∠5 | 3) Sind zwei Geraden parallel, dann sind ihre inneren Wechselwinkel kongruent
4) ∠3=∠4 | 4) Siehe Punkt 3)
5) ∠1+∠2+∠3=180° | 5) Substitution: Man substituiert in Aussage
| 1) ∠2 für ∠5 und ∠3 für ∠4.

Das Außengebiet

Alles, was außerhalb des geschlossenen Bereichs eines Dreiecks liegt, nennt man Außengebiet. Das Innengebiet eines Dreiecks kann man gut überblicken, inklusive der drei Innenwinkel. Wie sieht es aber mit den Außenwinkeln aus? Wo sind die positioniert? Bei einem Polygon kann man die Seiten durch die Ecken zu Geraden verlängern, dann bekommt man ganz schnell seine Außenwinkel. Außenwinkel sind Neben- und Supplementwinkel zu den Innenwinkeln (Abbildung 6.12).

Abbildung 6.12: Um einen Außenwinkel zu bekommen, muss man eine Seite durch eine Ecke verlängern

In ΔXYZ in Abbildung 6.12 wurde die Seite y durch die Ecke X verlängert. Diese Verlängerung bildet einen Winkel (hier 1 genannt), der Nebenwinkel zu ∠X ist. ∠1 ist Supplementwinkel vom Innenwinkel ∠X . Die beiden übrigen Winkel in ΔXYZ – ∠Y und ∠Z – haben keinerlei Berührung mit ∠1. Die Summe dieser beiden Winkel entspricht der Größe von ∠1.

Die Summe der drei Außenwinkel in einem Dreieck beträgt 360° (Satz 5.6). Dabei fällt mir auf, dass das eine weitere gute Gelegenheit für einen Beweis ist. Beweis 6.2 zeigt, dass die Summe der Außenwinkel von ΔXYZ 360° entspricht.

Voraussetzung: Die Geraden l, m und x schneiden sich und bilden dabei eine geschlossene Figur mit drei Seiten.

Behauptung: ∠4 + ∠5 + ∠6 = 360°

Beweis 6.2: Der Beweis zu der Summe der Außenwinkel in einem Dreieck

Aussage | Begründung
1) Die Geraden l, m und x schneiden sich | 1) Voraussetzung (außerdem die Definition
und bilden dabei eine geschlossene Figur mit drei Seiten. | eines Dreiecks)
2) ∠1+∠2+∠3=180° | 2) Die Summe der drei Innenwinkel eines
| Dreiecks beträgt 180°.
3) ∠1+∠4=180° | 3) Ein gestreckter Winkel (Gerade) hat eine Größe von 180° (Kapitel 2).
4) ∠2+∠5=180° | 4) Siehe Punkt 3)
5) ∠3+∠6=180° | 5) Siehe Punkt 3)
6) ∠1+∠4+∠2+∠5+∠3+ ∠6=540° | 6) Addition
7) (∠1+∠4+∠2+∠5+∠3+∠6) | 7) Subtraktion
−(∠1+∠2+∠3)=540°−180° |
8) ∠4+∠5+∠6=360° | 8) Subtraktion

Zwischendurch für Ordnung sorgen

In Abbildung 6.13 sehen Sie alle Innen- und Außenwinkel eines Dreiecks. Die folgende kleine Auflistung bietet alle Informationen und Beziehungen über die Innen- und Außenwinkel der Zeichnung auf einen Blick (Organisation ist eben alles!).

Abbildung 6.13: Die Winkel eines Dreiecks - eine Menge!

- Innenwinkel: Z10, ∠11, ∠12

- Außenwinkel: ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6

- Scheitelwinkel: ∠7 und ∠10, Z8 und ∠11, Z9 und Z12, ∠1 und Z6, Z2 und Z3, ∠4 und ∠5

- Kongruente Winkel: ∠7 = ∠10, ∠8 = ∠11, ∠9 = ∠12, ∠1= ∠6, ∠2= ∠3, ∠4 = ∠5

- Supplementwinkel:

Zu ∠10 supplementär: ∠1, ∠6

∠10 + ∠1 = 180°

∠10 + ∠6 =180°

Zu ∠11 supplementär: Z2, ∠3

∠11 + ∠2 =180°

∠11 + ∠3 = 180°

Zu Z12 supplementär: Z4, ∠5

∠12 + ∠4 = 180°

∠12 + ∠5 =180°

(Alles über Winkel finden Sie in Kapitel 2.)

Die Grenzen ausloten – auf der Linie

Das Dreieck lebt in einer Welt, die aufgeteilt ist in ein Innen- und ein Außengebiet. Die Seiten des Dreiecks sind die Quelle dieser (politisch völlig korrekten) Teilung. Die Längen dieser Seiten ergeben zusammen den Umfang des Dreiecks. Wenn man keine Probleme mit der Addition hat, ist die Berechnung des Umfangs ebenfalls problemlos. Dafür muss man natürlich die Maße der drei Seiten haben, aber dann ist der Rest ein Kinderspiel. Die Formel für den Umfang eines Dreiecks lautet U = a + b + c, wobei U der Umfang ist und a, b und c die Längen der drei Seiten (Abbildung 6.14).

Abbildung 6.14: Der Umfang von ΔABC entspricht a + b + c

Wenn die Längen der Seiten beispielsweise a = 5, b = 6 und c = 5 sind, ist der Umfang 5 + 6 + 5, also 16. Demnach ist U = 16.

Seitenweise Dreiecke

Beurteilt man Dreiecke nach ihren Seiten (und auch das ist politisch völlig korrekt), erhält man drei verschiedene Typen: ungleichseitige, gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke.

Besonders kreativ: Ungleichseitige Dreiecke

Ein ungleichseitiges Dreieck besteht aus lauter unterschiedlich großen Teilen. Keine seiner Seiten ist kongruent zu einer anderen. Deswegen gibt es auch keine zwei Winkel der gleichen Größe. In Abbildung 6.15 gilt beispielsweise: a # b # c.

Abbildung 6.15: Ein ungleichseitiges Dreieck hat keine kongruenten Teile

Symmetrisch werden: Gleichschenklige Dreiecke

Ein gleichschenkliges Dreieck besitzt zwei Seiten der gleichen Länge - Schenkel genannt. In Abbildung 6.16 gilt beispielsweise b = c. (Mehr zu Kongruenzen und auch zu dem besonderen Zeichen zwischen b und c weiter hinten im Kapitel unter Zwillingsforschung: Kongruente Dreiecke.) Die dritte Seite in einem gleichschenkligen Dreieck heißt Basis. Die Ecke, die der Basis gegenüberliegt, heißt Spitze. Die Winkel, die von der Basis und den Schenkeln gebildet werden, heißen Basiswinkel und sind gleich groß.

- Sehen Sie die kleinen Striche in Abbildung 6.16? Sie zeigen die kongruenten Teile des Dreiecks an.

- Normalerweise befindet sich die Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks oben und die Basis unten. Das ist allerdings keine Regel – es gibt auch gleichschenklige Dreiecke, die auf dem Kopf stehen.

- Die Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind gleich lang - damit das Dreieck nicht hinkt.

Abbildung 6.16: Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei kongruente Seiten und zwei kongruente Winkel

Satz 6.9: Wenn zwei Seiten eines Dreiecks kongruent sind, dann sind auch die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel kongruent.

Das heißt: Ein Dreieck hat zwei gleich lange Seiten. Daraus folgt, dass auch die beiden Winkel, die den beiden Seiten gegenüberliegen, kongruent sind. Diesen Satz nennt man Basiswinkelsatz und er wird weiter hinten im Kapitel im Abschnitt Behaupten kann jeder – Kongruenzen beweisen bewiesen.

Der Basiswinkelsatz - oder besser gesagt, sein Gegenteil - ist hilfreich, wenn man beweisen möchte, dass ein Dreieck gleichschenklig ist. Um das Gegenteil einer Aussage zu bekommen, muss man die Aussage einfach umdrehen. Statt wenn p dann q heißt es dann wenn q dann p (p ist in diesem Fall die Definition eines gleichschenkligen Dreiecks). Wenn man also zeigen kann, dass zwei Winkel in einem Dreieck kongruent sind, hat man auch zwei kongruente Seiten.

Satz 6.10: Wenn zwei Winkel eines Dreiecks kongruent sind, dann sind auch die diesen Winkel gegenüberliegenden Seiten kongruent.

Das heißt: Ein Dreieck hat zwei gleich große Winkel. Daraus folgt, dass auch die beiden Seiten, die den beiden Winkeln gegenüberliegen, kongruent sind. Dabei handelt es sich um das Gegenteil des Basiswinkelsatzes.

In Abbildung 6.16 sind sowohl ∠B und ZC als auch die Seiten b und c kongruent.

Das Gegenteil einer »wenn ... dann«-Aussage ist nicht generell wahr. Der Basiswinkelsatz funktioniert auch umgekehrt, aber verlassen Sie sich nie darauf.

Lesen Sie noch ein paar Informationen über gleichschenklige Dreiecke, die zur Bestimmung einzelner Maße eines solchen Dreiecks hilfreich sein können. Zum Beispiel Winkelhalbierende: Sie sind zwar nicht wirklich Bestandteil eines Dreiecks, liefern aber ziemlich wichtige Angaben. Die Winkelhalbierenden, die von den kongruenten Winkeln ausgehen, sind ebenfalls kongruent. Die Winkelhalbierende, die von dem Winkel in der Spitze aus verläuft, teilt das gleichschenklige Dreieck in zwei kongruente Dreiecke (Abbildung 6.17). (Im letzten Abschnitt dieses Kapitels erfahren Sie noch mehr über kongruente Dreiecke.)

Abbildung 6.17: Die Winkelhalbierende durch ∠A teilt das gleichschenklige Dreieck ΔABC in zwei gleich große Dreieck

Satz 6.11: Die Winkelhalbierende der Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks teilt das Dreieck in zwei kongruente Dreiecke.

Das heißt: Zeichnet man eine Winkelhalbierende von der Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks auf die Basis, erhält man zwei kongruente Dreiecke.

In Abbildung 6.17 sind ΔCAX und ΔBAX kongruent.

Korollar 6.1: Die Winkelhalbierende der Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks ist die Mittelsenkrechte der Basis dieses Dreiecks.

Das heißt: Zeichnet man die Winkelhalbierende durch die Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks, trifft diese Linie im rechten Winkel auf die Basis und teilt diese außerdem in zwei gleich große Segmente.

In Abbildung 6.17 ist senkrecht zu und teilt ∠A in der Mitte.

Korollar 6.2: Die Winkelhalbierende einer Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks teilt die Basis in zwei gleich große Segmente.

Das heißt: Eigentlich sollte dieses Korollar vor dem vorangegangenen stehen, weil es weniger aussagt - sehen Sie den Unterschied? Hier wird nur behauptet, dass die Winkelhalbierende der Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks die Basis in zwei gleich große Segmente teilt.

In Abbildung 6.17: teilt in der Mitte.

Wie aus dem Bilderbuch: Gleichzeitige Dreiecke

Gleichseitig bedeutet, was der Name verspricht: Ein gleichseitiges Dreieck hat gleiche Seiten - um genau zu sein, drei davon. Für Abbildung 6.18 heißt das beispielsweise: a = b = c. Für Dreiecke im Allgemeinen gilt, dass die gegenüberliegenden Winkel von kongruenten Seiten ebenfalls kongruent sind. Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei kongruente Seiten mit zwei kongruenten Winkeln. Ein gleichseitiges Dreieck funktioniert nach demselben Muster: Es hat drei kongruente Seiten und, wie Sie sich jetzt wahrscheinlich denken werden, drei kongruente Winkel.

Abbildung 6.18: In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten und alle Winkel kongruent.

Ein gleichseitiges Dreieck ist gleichzeitig gleichschenklig (fast schon ein Zungenbrecher). Ein gleichschenkliges Dreieck hat mindestens zwei gleich lange Seiten - und ein gleichseitiges hat sogar drei davon.

Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180°. Wenn ein Dreieck drei gleich große Winkel hat, ist demnach jeder Winkel 180/3, also 60° groß.

Korollar 6.3: Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich große Winkel.

Korollar 6.4: Die drei Winkel eines gleichseitigen Dreiecks sind je 60° groß (siehe auch: Satz 5.2 und Beweis 6.1).

Das heißt: Wenn ein Dreieck drei gleich lange Seiten hat, dann hat es auch drei gleich große Winkel. Da erstens alle Winkel gleich sind und man zweitens weiß, dass die Summe der Winkel 180° beträgt, weiß man auch, dass jeder dieser Winkel 60° groß ist.

In Abbildung 6.18: a = b = c und ∠A = ∠B = ∠C.

Die Höhe, die Mittelsenkrechte und die Winkelhalbierende eines gleichseitigen Dreiecks sind die gleiche Linie. Man kann die Länge dieser Linie herausfinden, indem man die Länge einer Seite mit multipliziert (Abbildung 6.19).

Satz 6.12: Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks ist die Wurzel aus drei durch zwei multipliziert mit der Länge einer Seite dieses Dreiecks.

Das heißt: Dieser Satz erklärt sich wohl von selbst, aber man braucht die Länge einer Seite des Dreiecks, damit man mit ihm etwas anfangen kann.

In Abbildung 6.19 ist die Höhe des Dreiecks ABC. Die Länge von ist die Länge einer Seite mal . Die Länge von c wird mit 6 angegeben. Mit dieser Information kann man berechnen, dass die Länge von (6), also ungefähr 5,2 entspricht.

Abbildung 6.19: Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks ist mal die Länge einer Seite dieses Dreiecks

Auf einen Blick

Ich habe es gerne übersichtlich, deswegen liebe ich Diagramme. Wenn es Ihnen genauso geht, sehen Sie sich Abbildung 6.20 an, mit der Sie Dreiecke in Bezug auf ihre Seiten nach ihrem Typ sortieren können.

Abbildung 6.20: Ein Diagramm, mit dem Sie Dreiecke in Bezug auf ihre Seiten sortieren können

Winkelweise Dreiecke

Genauso, wie man Dreiecke nach ihren Seiten einordnen kann, ist es möglich, sie nach der Größe ihrer Winkel zu sortieren. Dazu gehören spitzwinklige, stumpfwinklige, gleichwinklige und rechtwinklige Dreiecke.

Auf die Spitze getrieben: Spitzwinklige Dreiecke

Ein spitzwinkliges Dreieck hat drei Winkel, die alle kleiner als 90° sind - nicht alle zusammen, jeder Winkel für sich. Bilden Sie mit Daumen und Zeigefinger ein »L« und bewegen dann Ihren Zeigefinger in Richtung Daumen, bis die beiden Finger sich berühren. Dann haben Sie alle Winkel, die ein spitzwinkliges Dreieck aufweisen kann - zwischen (aber nicht inklusive) 0° und 90° (Abbildung 6.21).

Abbildung 6.21: Ein spitzwinkliges Dreieck hat drei Winkel, die alle kleiner als 90° sind

Wie es in der Geometrie eigentlich immer der Fall ist, gibt es eine Formel, mit der Sie bestimmen können, ob ein Dreieck spitzwinklig ist oder nicht. Aber davor gibt es noch eine kleine Auffrischung zu den wichtigsten Quadratzahlen (Tabelle 6.1).

Tabelle 6.1: Ein kleiner Spickzettel zu Quadratzahlen

Die Zahl ... | ... und die Quadratzahl
3 | 9
4 | 16
5 | 25
6 | 36
7 | 49
8 | 64
9 | 81
10 | 100
11 | 121
12 | 144

Sie können bestimmen, ob ein Dreieck spitzwinklig ist, ohne seine Winkel zu messen. Dafür brauchen Sie aber die Längen der drei Seiten. Es gilt: Sie haben ein spitzwinkliges Dreieck vor sich, wenn die längste Seite im Quadrat kleiner ist als die Summe der beiden Quadrate der kürzeren Seiten. Die Formel lautet: c^2 < a^2 + b^2.

In Abbildung 6.22 ist Seite a 4 cm, Seite b 4 cm und Seite c 5 cm lang, also ist c die längste Seite. Wenn das Dreieck in Abbildung 6.22 spitzwinklig ist, muss die Summe der Quadrate der beiden 4 cm langen Seiten größer sein als die 5 cm lange Seite im Quadrat:

Abbildung 6.22: Damit ein Dreieck spitzwinklig ist, muss die Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten größer sein als das Quadrat der längsten Seite

Da 32 (die Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten) größer ist als 25 (das Quadrat der längsten Seite), ist das Dreieck spitzwinklig. Beachten Sie, dass zwei der Seiten gleich lang sind - das Dreieck ist nicht nur spitzwinklig, sondern auch gleichschenklig.

Satz 6.13: Ist das Quadrat der Länge der längsten Seite kleiner als die Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten, dann ist ein Dreieck spitzwinklig.

Das heißt: Nehmen Sie die Längen des jeweiligen Dreiecks und setzen Sie sie in die Formel ein. Wenn die Gleichung wahr bleibt, dann ist das Dreieck spitzwinklig. Wenn sie falsch wird, dann ist das Dreieck nicht spitzwinklig.

Stumpf, aber sicher, nicht dumm: Stumpfwinklige Dreiecke

Ein stumpfwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem stumpfen Winkel. Wenn Sie darüber nachdenken, wissen Sie auch warum: Ein stumpfer Winkel ist größer als 90° und die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt 180°. Kombinieren Sie diese beiden Tatsachen und Sie verstehen, warum ein Dreieck nicht mehr als einen stumpfen Winkel haben kann.

Wenn Sie gerade keinen Winkelmesser zur Hand haben, können Sie mit den Längen der Seiten, bzw. mit deren Quadraten, feststellen, ob ein Dreieck stumpfwinklig ist. Ist die längste Seite im Quadrat größer als die Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten, dann haben Sie ein stumpfwinkliges Dreieck. In Abbildung 6.23: a = 8, b = 3 und c = 10. Setzen Sie diese Werte in die Formel ein:

Abbildung 6.23: Damit ein Dreieck stumpfwinklig ist, muss die Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten kleiner sein als das Quadrat der längsten Seite

Satz 6.14: Ist das Quadrat der Länge der längsten Seite größer als die Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten, dann ist ein Dreieck stumpfwinklig.

Das heißt: Nehmen Sie die Längen des jeweiligen Dreiecks und setzen Sie sie in die Formel ein. Wenn die Gleichung wahr bleibt, dann ist das Dreieck stumpfwinklig.

Satz 6.15: Ein Dreieck kann nur einen stumpfen Winkel haben.

Das heißt: Dieser Satz ist eigentlich ein Korollar aus Satz 5.2, dem Winkelsummensatz eines Dreiecks. Ein Dreieck hat 180°, die es sich zwischen drei Winkeln aufteilen muss. Wenn ein Winkel schon 90° für sich beansprucht, dann bleiben weniger als 90° übrig, die sich die beiden anderen Winkel teilen können. Laut Definition sind diese beiden Winkel dann spitz.

Gerecht Verteilt: Gleichwinklige Dreiecke,

Ein gleichwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit drei gleich großen Winkeln. Im Übrigen hat es auch drei gleich lange Seiten. Alle Seiten sind gleich, alle Winkel sind gleich - gerechte Welt der Geometrie! Ach ja, und jeder Winkel ist 60° groß. Das wäre es dann eigentlich. In Abbildung 6.24: ∠A = ∠B = ∠C.

Abbildung 6.24: Ein gleichwinkliges Dreieck hat drei gleich große Winkel

Die Seitenhalbierende, die Höhe, die Mittelsenkrechte und die Winkelhalbierende sind in einem gleichwinkligen Dreieck eine Linie. Ein gleichwinkliges Dreieck ist gleichzeitig gleichseitig - und was für das eine Dreieck gilt, gilt auch für das andere. (Das ist wieder ziemlich gerecht, nicht wahr?)

Im rechten Licht: Rechtwinktige Dreiecke

Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen rechten Winkel. Da die Summe der Innenwinkel 180° beträgt, müssen die beiden anderen Winkel spitz sein. Diese beiden Winkel sind außerdem komplementär - der rechte Winkel ist 90° groß, da bleiben für die anderen beiden ebenfalls genau 90° übrig. Sind diese Winkel je 45° groß, ist das Dreieck darüber hinaus gleichschenklig, um genau zu sein, ist es dann ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck. In jedem rechtwinkligen Dreieck heißt die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, Hypotenuse. Die anderen beiden Seiten heißen Katheten.

Korollar 6.5: Ein Dreieck kann nur einen rechten Winkel haben (siehe auch Satz 5.2 und Beweis 6.1).

Das heißt: Ein Dreieck hat drei Winkel, die zusammen 180° groß sind. Wenn ein Winkel 90° groß ist, bleiben genau 90°, die sich die beiden anderen teilen müssen.

Korollar 6.6: Die spitzen Winkel, also die Nicht-90°-Winkel, eines rechtwinkligen Dreiecks sind komplementär (siehe auch Satz 5.2 und Beweis 6.1).

Das heißt: Ein Dreieck hat drei Winkel mit zusammen 180°. Ist ein Winkel 90° groß, sind die beiden anderen zusammen ebenfalls 90° groß. Die Definition von komplementär ist, dass die Summe der Winkel 90° beträgt.

Es ist wieder einmal Zeit für einen Beweis. Beweis 6.3 zeigt, dass ein rechtwinkliges Dreieck einen rechten und zwei komplementäre Winkel besitzt.

Beweis 6.3: Der Beweis zu rechtwinkligen Dreiecken

Aussage | Begründung
1) ΔABC ist ein rechtwinkliges Dreieck. | 1) Voraussetzung
2) ∠A+∠B+∠C=180° | 2) Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180°.
3) ∠C=90° | 3) Voraussetzung
4) ∠A+∠B+90° =180° | 4) Substitution (Kapitel 3)
5) ∠A+∠B=90° | 5) Winkeladdition (Kapitel 3)
6) ∠A und ∠B sind komplementär. | 6) Die Definition komplementärer Winkel: Zwei Winkel, deren Summe 90° beträgt,sind komplementär (Kapitel 2).

Wenn man vom rechten Winkel des rechtwinkligen Dreiecks aus die Höhe auf die Hypotenuse zeichnet, erhält man zwei ähnliche Dreiecke. Auf das Thema Ähnlichkeit werde ich in Kapitel 10 näher eingehen - bis dahin müssen Sie mir das einfach einmal glauben. Wenn das Ausgangsdreieck außerdem gleichschenklig ist, dann ist diese Höhe gleichzeitig die Seitenhalbierende und jeweils eine Kathete der entstandenen kongruenten, rechtwinkligen Dreiecke. Die Länge dieser Linie ist dann halb so lang wie die Hypotenuse und genauso lang wie die jeweils anderen Katheten der neuen Dreiecke, die ebenfalls rechtwinklig und gleichschenklig sind. Sehen Sie sich dazu Abbildung 6.25 an.

Abbildung 6.25: Teile eines rechtwinkligen Dreiecks: die Hypotenuse und die beiden Katheten

In Abbildung 6.25 ist die Seitenhalbierenden (bzw. Höhe) halb so lang wie die Hypotenuse weil ΔABC ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck ist.

Satz 6.16: Die Länge der Seitenhalbierenden der Hypotenuse eines rechtwinkligen, gleichschenkligen Dreiecks ist halb so lang wie die Hypotenuse.

Das heißt: Wenn man ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck hat, ist die Linie, die man vom rechten Winkel zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite zeichnet, halb so lang wie die Hypotenuse.

In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es noch eine weitere besondere Beziehung der Seiten untereinander. Die Summe der Quadrate der beiden Katheten entspricht der Hypotenuse im Quadrat. Diese Regel nennt man den Satz des Pythagoras und in geometrischer Kurzschrift sieht er so aus: a^2 + b^2 = c^2.

Satz 6.17: Für rechtwinklige Dreiecke gilt: Die Summe der Quadrate der beiden Katheten entspricht dem Quadrat der Hypotenuse, also a^2 + b^2 = c^2. Diese Regel heißt Satz des Pythagoras.

Das heißt: Die Voraussetzung ist hier, dass es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Wenn man die Längen der Seiten in die Formel einsetzt, sollte die Gleichung wahr sein.

Wenn man den Satz des Pythagoras von der anderen Seite betrachtet, kann man beweisen, dass ein Dreieck rechtwinklig ist. Man braucht die Längen aller Seiten, aber keine Angabe, wie groß die Winkel sind. Setzen Sie die Längen der Seiten in die Formel a^2 + b^2 = c^2 ein, wobei c die längste Seite ist. Wenn die Gleichung wahr bleibt, nachdem Sie die Werte berechnet haben, handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck (Abbildung 6.26).

In Abbildung 6.26 sind die Seiten a = 5, b = 12 und c = 13 lang. Wenn ΔABC wirklich ein rechtwinkliges Dreieck ist, dann bleibt die Gleichung wahr, wenn Sie diese Werte einsetzen. Das heißt: 5^2 + 12^2 = 13^2. Richtig, 169 = 169, ΔABC ist demnach rechtwinklig.

Abbildung 6.26: Wenn a^2 + b^2 = c^2 wahr ist, dann ist das Dreieck rechtwinklig

Satz 6.18: Wenn das Quadrat der längsten Seite der Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten entspricht, dann ist das Dreieck rechtwinklig. Also wenn c^2 = a^2 + b^2, dann kann man folgern, dass es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Das ist die Umkehrung des Satzes des Pythagoras.

Das heißt: Dabei betrachten Sie den Satz 6.17 lediglich aus einem anderen Blickwinkel. Anstatt von vornherein zu wissen, dass das Dreieck rechtwinklig ist, prüfen Sie diese Tatsache mit Hilfe der Formel.

Egal, was Sie gehört haben, im Leben geht es nie 50/50 zu. Das gilt auch für rechtwinklige Dreiecke. Es gibt aber ein paar andere besondere Aufteilungen der Winkelgrade in einem Dreieck. Sie wissen, dass ein rechter Winkel 90° groß ist. Wie sieht es dann mit den beiden anderen Winkeln aus? Sie wissen auch, dass beide spitz sind, aber das kann noch nicht alles sein!

Pythagoras liebte Ordnung

Das Werk von Pythagoras, einem griechischen Mathematiker, der ca. 532 v. Chr. lebte, versucht, Ordnung in die Welt zu bringen. Pythagoras glaubte, dass das Universum eine Struktur besitzt, die durch Verhältnisse ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann. Man nimmt an, dass er in seinem ersten Beweis die Beziehungen der Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck aufzeigte. Pythagoras wies nach, dass ein rechtwinkliges Dreieck, wenn man es oft genug wiederholt und aneinander reiht, ein Quadrat ergibt. Von dieser Tatsache ausgehend entwickelte er eine Aussage. Diese Aussage ist unter eifrigen Geometrikern so etwas wie der Star der Sätze und heißt Satz des Pythagoras. Er besagt, dass das Quadrat der Länge der Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten entspricht: c^2 = a^2 + b^2. Pythagoras bewies außerdem, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks der Summe zweier rechter Winkel entspricht.

30/60/90-Grad-Aufteilung

Wenn die beiden spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck 30 und 60 Grad groß sind, gelten folgende Regeln (beachten Sie beim Lesen Abbildung 6.27):

- Die Kathete, die dem 30°-Winkel gegenüberliegt, ist halb so lang wie die Hypotenuse. In geometrischer Kurzschrift: .

Abbildung 6.27: Die Beziehungen in einem Dreieck mit Winkeln von 30, 60 und 90 Grad

- Die Kathete, die dem 60°-Winkel gegenüberliegt, ist halb so lang wie die Hypotenuse multipliziert mit √3. In geometrischer Kurzschrift: .

- Die Kathete, die dem 60°-Winkel gegenüberliegt, ist so lang wie die andere Kathete multipliziert mit √3. In geometrischer Kurzschrift: b = a√3.

45/45/90-Grad-Aufteilung

Näher können Sie der Gerechtigkeit in einem rechtwinkligen Dreieck nicht kommen. Ein Dreieck mit zwei 45-Grad-Winkeln und einem 90-Grad-Winkel ist ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck. Hier gelten folgende Bezüge (Abbildung 6.28).

Abbildung 6.28: Die Beziehungen in einem Dreieck mit Winkeln von 45, 45 und 90 Grad

- Die beiden Katheten sind gleich lang. In geometrischer Kurzschrift: a = b.

- Die Hypotenuse ist so lang wie eine Kathete multipliziert mit √2. In geometrischer Kurzschrift: c = a√2 oder c = b√2.

- Eine Kathete ist so lang wie eine halbe Hypotenuse multipliziert mit √2. In geometrischer Kurzschrift: oder .

Um von der Länge einer Kathete s auf die Länge der Hypotenuse zu kommen, rechnet man s√2. Um von der Länge der Hypotenuse c auf die Länge einer Kathete zu kommen, rechnet man .

Auf einen Blick

Weil es so viel zu wissen gibt über diese dreiseitige Figur, die wir ganz banal Dreieck nennen, habe ich alles über die verschiedenen Typen in Bezug auf die Winkel in einem übersichtlichen Diagramm zusammengefasst.

Abbildung 6.29: Ein Diagramm, mit dem Sie Dreiecke in Bezug auf Ihre Winkel sortieren können

Dreiecksbaustelle

Im folgenden Abschnitt erfahren Sie, wie Sie ein Dreieck selbst zeichnen können. Zuerst brauchen Sie etwas zum Zeichnen. Ölkreiden wären super! Ich mache bloß Spaß - ein Kugelschreiber oder noch besser ein Bleistift ist wahrscheinlich passender. Dann brauchen Sie noch einen Winkelmesser und ein paar Informationen über das Dreieck - optimalerweise die Längen der drei Seiten und die Größen der drei Winkel.

Werfen Sie einen Blick auf die gegebenen Informationen und überlegen Sie, ob Sie daran schon erkennen können, wie das Dreieck aussehen wird. Nehmen Sie beispielsweise an, dass Ihr Dreieck drei gleich lange Seiten und gleich große Winkel hat. Die Längen der Seiten sind , und , die Größen der Winkel ∠A = 60°, ∠B = 60° und ∠C = 60°. Sie wissen also, dass Ihr Dreieck gleichseitig und gleichwinklig sein wird (Abbildung 6.30).

Abbildung 6.30: Um ein Dreieck zu zeichnen, braucht man einen Winkelmesser und Informationen über die Seiten und Winkel des Dreiecks

So zeichnen Sie das Dreieck, das Sie in Abbildung 6.30 sehen:

1. Zeichnen Sie eine 3 cm lange Strecke ( ).

2. Zücken Sie Ihren Winkelmesser und markieren Sie von Punkt B aus die Größe von ∠B, indem Sie einen Punkt bei 60° setzen.

3. Zeichnen Sie mit Hilfe Ihres Lineals eine 3 cm lange Strecke von Punkt B durch den Punkt, den Sie gerade gesetzt haben.

Das Ende dieser Linie ist Punkt A.

4. Zeichnen Sie sicherheitshalber auch den anderen 60°-Winkel in Punkt C.

Jetzt müssen Sie das Dreieck nur noch schließen.

5. Verwenden Sie wieder Ihr Lineal, um eine gerade, 3 cm lange Linie durch den zweiten 60°-Winkel und Punkt C bis Punkt A zu zeichnen.

Wie oft bekommt man schon, was man möchte? Wenn die gegebene Information weniger ist als das Optimum, dann muss sie zumindest ausreichend sein. Mit ausreichend meine ich, dass man mindestens so viel Information braucht, damit man das Dreieck zeichnen kann, ohne die Größe eines Winkels oder einer Seite erraten zu müssen. Wenn bei dem Dreieck in Abbildung 6.30 beispielsweise die Größen von ∠A und ∠C nicht gegeben wären, könnte man sich auch an den Längen der Seiten orientieren. Sie wissen, dass ein gleichseitiges Dreieck auch gleichwinklig ist, also können Sie schlussfolgern, dass ∠A und ZC beide 60° groß sind.

Flächenweise Dreiecke

Treffen sich drei Linien und bilden ein Dreieck, schließen sie eine bestimmte Fläche ein. Man kann diesen Flächeninhalt genauso messen, wie man die Seiten und Winkel des Dreiecks misst. Eine Seite misst man in Zentimetern, einen Winkel misst man in Grad und einen Flächeninhalt misst man in Quadratzentimetern - oder Quadratmetern, -millimetern usw. Um den Inhalt eines Dreiecks zu bestimmen, kann man die allgemeingültige Formel verwenden, wobei A der Flächeninhalt, g die Länge der Grundseite und h die Höhe der Grundseite ist. In Abbildung 6.31 ist A beispielsweise (8)(3) bzw. 12 Einheiten groß.

Abbildung 6.31: Den Flächeninhalt eines Dreiecks finden Sie mit der Formel

Satz 6.19: Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist .

Das heißt: Was soll ich dazu sagen? Es ist eben eine Formel. Setzen Sie einfach die Werte ein. Allerdings können Sie nicht viel mit ihr anfangen, wenn Sie die Länge der Grundseite bzw. der Höhe nicht haben.

Wenn Sie eine Seitenhalbierende in ein Dreieck einzeichnen, teilt diese das Dreieck in zwei Dreiecke mit gleichem Flächeninhalt. Wieso das so ist? Die Seitenhalbierende verläuft von einem Winkel zur Mitte der gegenüberliegenden Seite. Wenden Sie die Formel für den Flächeninhalt auf die entstandenen Dreiecke an und Sie sehen, was passiert. Da die Seitenhalbierende die Grundseite in zwei gleich große Strecken teilt, bekommt man für g den halben Wert. Die Höhe h bleibt die gleiche Strecke, weil sie immer senkrecht auf die Grundseite oder im Fall des linken Dreiecks in Abbildung 6.32 auf die Verlängerung der Grundseite verläuft. Demnach sind die beiden Flächeninhalte gleich groß (Abbildung 6.32).

Abbildung 6.32: Die Seitenhalbierende teilt ein Dreieck in zwei Dreiecke mit gleichem Flächeninhalt

Es gibt auch Formeln für die Flächeninhalte von rechtwinkligen und gleichseitigen Dreiecken. Der Inhalt eines rechtwinkligen Dreiecks ist , wobei a und b die Längen der beiden Katheten sind (Abbildung 6.33). Die Formel für den Inhalt eines gleichseitigen Dreiecks ist , wobei s die Länge einer Seite ist (Abbildung 6.34).

Abbildung 6.33: Die Formel für die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist , wobei a und b die beiden Katheten sind

Abbildung 6.34: Die Formel für die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks ist

In Abbildung 6.33 sind die Seiten a = 4 und b = 6 lang. Die Fläche ist dann , also 12 Einheiten groß. In Abbildung 6.34 beträgt die Länge der Seite s 3 Einheiten. Also gilt hier: , was ca. 3,9 Einheiten sind.

Wenn Ihnen diese ganzen Formeln nicht gefallen, habe ich noch eine anzubieten. Allerdings braucht man für diese Formel die Längen aller Seiten; sie lautet: , wobei s der halbe Umfang des Dreiecks ist. Den halben Umfang bekommt man mit , wobei a, b und c die Seiten des Dreiecks sind. Diese Formel nennt man auch heronsche Formel.

Um den Flächeninhalt des Dreiecks in Abbildung 6.35 auszurechnen, muss man erst ein wenig Vorarbeit leisten. Sie brauchen den Wert von s, also den halben Umfang des Dreiecks. Wenn , dann heißt es hier: .

Die Längen der Seiten a, b und c sind 5, 6 und 5. Wenn Sie alles in die Formel einsetzen, haben Sie: oder .

Abbildung 6.35: Wenn Sie die Längen der Seiten wissen, können Sie den Flächeninhalt mit der heronschen Formel berechnen

Eine Alles-auf-einen-Blick-Zusammenfassung über Seiten, Winkel und Flächen von Dreiecken gefällig? Bitte! Werfen Sie einen Blick auf Tabelle 6.2.

Tabelle 6.2: Die große Zusammenfassung zu Dreiecken

Zwillingsforschung: Kongruente Dreiecke

Zwei Dreiecke sind kongruent oder deckungsgleich, wenn sie die gleiche Größe und die gleiche Form haben. Stellen Sie sich kongruente Dreiecke wie zwei Klone vor. Um eine exakte Kopie zu erhalten, müssen Sie zuerst die genetische Information eines bestimmten Dreiecks analysieren. Dreiecke sind durch ihre Seiten und ihre Winkel definiert, was ein guter Ausgangpunkt für unsere Forschungsreise wäre. Sehen Sie sich die beiden zu untersuchenden Dreiecke an und kennzeichnen Sie systematisch alles, was geht. Markieren Sie kongruente Seiten und Winkel mit der gleichen Anzahl an Strichen und setzen Sie einen Punkt in rechte Winkel. Sie suchen nach einer Eins-zu-eins-Kongruenz zwischen Winkeln und Seiten (Abbildung 6.36).

Abbildung 6.36: Markierungen in Δ WLA und ΔTNC – auf der Suche nach kongruenten Seiten und Winkeln

In ΔWLA und ΔTNC gibt es drei Paare von kongruenten Seiten und drei Paare von kongruenten Winkeln. Das Symbol für Kongruenz ist ≡.

- Kongruenz der Winkel: ∠W ≡ ∠T, ∠L ≡ ∠N und ∠A ≡ ∠C

- Kongruenz der Seiten: und

Wenn es um die Kongruenz von Dreiecken geht, beachten Sie, dass ΔWLA und ΔTNC etwas anderes sind als ΔAWL und ΔNTC. Welche Teile kongruent sind, ändert sich dementsprechend.

Kongruente Null-acht-fünfzehn-Dreiecke

Es scheint ziemlich aufwändig zu sein, die Kongruenz von Dreiecken zu beweisen - vor allem, wenn man bedenkt, dass es sechs Winkel und sechs Seiten zu vergleichen gilt. Glücklicherweise gibt es aber Abkürzungen. Das bedeutet, dass Sie nicht die Kongruenz aller Teile beweisen müssen. Es reicht, wenn Sie bestimmte Seiten und Winkel vergleichen, wobei die Position der Teile eine wichtige Rolle spielt. Es handelt sich nun mal um Geometrie - und da muss man sich an die Regeln halten.

Nennen wir zwei dieser Abkürzungen Sandwich-Verfahren. Man muss sozusagen ein Sandwich kongruenter Teile nachweisen. Es gibt Winkel-Sandwiches und Seiten-Sandwiches, wobei es darauf ankommt, was zwischen den beiden Sandwich-Seiten liegt. Bei einem Winkel-Sandwich ist der Winkel zwischen zwei Seiten eingeschlossen. Dieses Verfahren des Kongruenz-Nachweises heißt Seite-Winkel-Seite-Satz oder SWS-Satz (Abbildung 6.37).

Abbildung 6.37: Die Kongruenz von Dreiecken mit dem Seite-Winkel-Seite-Satz (SWS) nachweisen

Bei einem Seiten-Sandwich ist eine Seite zwischen zwei Winkeln eingeschlossen. Diese Methode, die Kongruenz zweier Dreieck nachzuweisen, heißt Winkel-Seite-Winkel-Satz oder WSW-Satz (Abbildung 6.38). Dieses Sandwich schmeckt hervorragend zu Suppen.

Abbildung 6.38: Die Kongruenz von Dreiecken mit dem Winkel-Seite-Winkel-Satz (WSW) nachweisen

Weil man nicht immer ein Sandwich bekommt, wenn man gerade eines möchte, gibt es noch zwei weitere Wege, um die Kongruenz von Dreiecken zu beweisen. Einer besteht darin, zu zeigen, dass alle drei Seiten der beiden Dreiecke gleich lang sind (Abbildung 6.39). Diese Methode heißt Seite-Seite-Seite-Satz oder SSS-Satz.

Abbildung 6.39: Die Kongruenz von Dreiecken mit dem Seite-Seite-Seite-Satz (SSS) nachweisen

Gleichseitige Dreiecke sind gleichwinklig.

Die letzte Methode besteht darin, nachzuweisen, dass zwei benachbarte Winkel und eine Seite, die nicht zwischen diesen Winkeln liegt, kongruent sind (Abbildung 6.40). Dieser Weg heißt Seite-Winkel-Winkel-Satz oder SWW-Satz.

Abbildung 6.40: Die Kongruenz von Dreiecken mit dem Seite-Winkel-Winkel-Satz (SWW) nachweisen

Im Allgemeinen können Sie sich an folgender Liste orientieren, wenn Sie die Kongruenz von Dreiecken nachweisen möchten. Sie müssen nur zeigen, dass eine der folgenden Aussagen (bzw. Axiome) zutrifft:

Axiom 6.1: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn zwei Seiten und der dazwischen liegende Winkel kongruent sind (SWS ≡ SWS).

Axiom 6.2: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn zwei Winkel und die dazwischen liegende Seite kongruent sind (WSW ≡ WSW).

Axiom 6.3: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn die drei Seiten kongruent sind (SSS ≡ SSS).

Axiom 6.4: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn zwei benachbarte Winkel und ein nicht dazwischen liegender Winkel kongruent sind (SWW ≡ SWW).

Kongruente rechtwinklige Dreiecke

Rechtwinklige Dreiecke sind immer etwas Besonderes. Man kann einfacher mit ihnen arbeiten, weil man ein paar Informationen über sie schon besitzt.

Ein Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist ein rechter Winkel und die beiden anderen Winkel sind spitz und komplementär.

Bei anderen Dreiecken muss man zeigen, dass drei Teile kongruent sind, beim rechtwinkligen Dreieck braucht man nur zwei Angaben, da man gewisse Voraussetzungen schon hat. Es gibt fünf Arten (Axiome), die Kongruenz rechtwinkliger Dreiecke nachzuweisen:

Axiom 6.5: Zwei rechtwinklige Dreiecke sind kongruent, wenn die beiden Katheten kongruent sind.

Axiom 6.6: Zwei rechtwinklige Dreiecke sind kongruent, wenn eine Kathete und die Hypotenuse kongruent sind.

Axiom 6.7: Zwei rechtwinklige Dreiecke sind kongruent, wenn einer der beiden Winkel, die nicht 90° groß sind, und die Hypotenuse kongruent sind.

Axiom 6.8: Zwei rechtwinklige Dreiecke sind kongruent, wenn einer der beiden Winkel, die nicht 90° groß sind, und seine benachbarte Kathete kongruent sind.

Axiom 6.9: Zwei rechtwinklige Dreiecke sind kongruent, wenn einer der beiden Winkel, die nicht 90° groß sind, und die nicht benachbarte Kathete kongruent sind.

Kongruente Dreiecke aus kongruenten Teilen

Wenn man erst einmal bewiesen hat, dass ein Dreieck zu einem anderen Dreieck kongruent ist, macht es Sinn, dass die beiden Dreiecke gleich lange Seiten und gleich große Winkel aufweisen. Man hat diese Tatsache gezeigt, ohne die Größen aller Seiten und Winkel zu haben - nur die der entscheidenden Teile.

Aus dieser Information können Sie eine Aussage formulieren. Wenn man bewiesen hat, dass zwei Dreiecke kongruent sind, dann sind auch die Teile dieser Dreiecke kongruent. Mit anderen Worten: Wenn man zeigen kann, dass zwei Dreiecke kongruent sind, kann man davon ausgehen, dass jeder beliebige Teil ebenfalls kongruent ist. Das mag nicht besonders aufregend klingen, ist es aber. Glauben Sie mir.

Nennen wir diese Regel: TKDK = Alle Teile kongruenter Dreiecke sind kongruent.

Behaupten kann jeder – Kongruenzen beweisen

Der beste Weg, um gut mit Beweisen klarzukommen, ist ganz einfach: möglichst viele von ihnen durchzugehen. In diesem Kapitel führe ich einige Sätze ein, ohne sie zu beweisen. In dem folgenden Abschnitt beweise ich ein paar dieser Sätze.

Bevor wir damit anfangen, gibt es aber noch einen Crash-Kurs über Regeln zur geometrischen Kongruenz:

- Reflexivität: Jedes geometrische Objekt ist kongruent zu sich selbst (ΔTNC = ΔTNC).

- Symmetrie: Eine Kongruenz gilt auch umgekehrt (wenn ΔTNC = ΔXYZ, dann ΔXYZ = ΔTNC).

- Transitivität: Sind zwei geometrische Objekte zu einem dritten kongruent, dann sind sie auch zueinander kongruent (wenn ΔXYZ = ΔTNC und ΔTNC = ΔABC, dann ΔXYZ = ΔABC).

In Beweis 6.4 muss man zeigen, dass die beiden Winkel in ΔABC, die den kongruenten Seiten gegenüberliegen, ebenfalls kongruent sind. Das ist der Beweis für den Basiswinkelsatz (Satz 6.9).

Bevor Sie anfangen: Zeichnen Sie die Winkelhalbierende von der Ecke A zum Punkt X

Beweis 6.4: Der Beweis zu kongruenten gegenüberliegenden Winkeln

Aussage | Begründung
1) | 1) Voraussetzung
2) halbiert ∠CAB | 2) Ein Winkel hat nur eine Halbierende.
3) | 3) Reflexivität
4) ΔCAX ≡ ΔBAX | 4) SWS (Seite-Winkel-Seite-Satz)
5) ∠B≡∠C | 5) TKDK (Alle Teile kongruenter Dreiecke sind kongruent.)

In Beweis 6.5 muss man zeigen, dass die beiden Seiten in ΔABC, die den kongruenten Winkeln gegenüberliegen, ebenfalls kongruent sind. Das ist der Beweis für das Gegenteil des Basiswinkelsatzes (Satz 6.10).

Bevor Sie anfangen: Zeichen Sie die Mittelsenkrechte auf durch Punkt X.

Beweis 6.5: Der Beweis zu kongruenten gegenüberliegenden Seiten

Aussage | Begründung
1) ∠B ≡ ∠C | 1) Voraussetzung
2) teilt in Punkt X. | 2) Eine Strecke hat nur eine Halbierende.
3) steht senkrecht auf in Punkt X. | 3) Eine Streckenhalbierende schneidet die Strecke im rechten Winkel.
4) ∠BXA = 90° | 4) Ein rechter Winkel ist 90° groß.
5) ∠AXC = 90° | 5) Siehe Punkt 4)
6) ∠BXA = ∠AXC | 6) Substitution (Kapitel 2)
7) | 7) Reflexivität
8) ΔBXA ≡ ΔAXC | 8) WWS ≡ WWS
9) | 9) TKDK (Alle Teile kongruenter Dreiecke sind kongruent.)

In Beweis 6.6 wird die gleiche Behauptung wie in Beweis 6.5, nämlich , bewiesen - allerdings hier mit Hilfe rechtwinkliger Dreiecke. Man braucht nur zwei kongruente Teile - einen Winkel und eine Kathete -, um die Ähnlichkeit zu beweisen, und spart sich so einen Schritt. Voraussetzung und Behauptung sind dieselben wie in Beweis 6.5 (Satz 6.10).

Beweis 6.6: Der Beweis zu kongruenter Winkel – kongruente Kathete in rechtwinkligen Dreiecken

Aussage | Begründung
1) ∠B ≡ ∠C | 1) Voraussetzung
2) schneidet in Punkt X. | 2) Eine Strecke hat nur eine Halbierende.
3) steht senkrecht auf in Punkt X. | 3) Eine Streckenhalbierende schneidet die Strecke im rechten Winkel.
4) ∠BXA = 90° | 4) Ein rechter Winkel ist 90° groß.
5) ∠AXC = 90° | 5) Siehe Punkt 4)
6) Lassen Sie diesen Schritt aus (siehe Punkt 8) in Beweis 6.5): ∠BXA = ∠AXC | 6) Lassen Sie diesen Schritt aus (siehe Punkt 8) in Beweis 6.5): Substitution (Kapitel 2).
7) | 7) Reflexivität
8) ΔBXA = ΔAXC | 8) Winkel – Kathete = Winkel - Kathete
9) | 9) TKDK (Alle Teile kongruenter Dreiecke sind kongruent.)

Beweis 6.7 ist der Beweis für den Satz 6.11: Die Winkelhalbierende der Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks teilt das Dreieck in zwei kongruente Dreiecke.

Bevor Sie anfangen: Zeichnen Sie eine Winkelhalbierende von Winkel A zu Punkt X

Beweis 6.7: Der Beweis zur Winkelhalbierenden in einem gleichschenkligen Dreieck

Aussage | Begründung
1) ΔABC ist ein gleichschenkliges Dreieck | 1) Voraussetzung
2) halbiert ∠A | 2) Definition einer Halbierenden: Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich große Winkel (Kapitel 2)
3) ∠BXA ≡ ∠AXC | 3) Die Winkelhalbierende einer Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks ist gleichzeitig die Mittelsenkrechte der Basis.
4) | 4) und sind Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks.
5) | 5) Reflexivität
6) ΔACX≡ΔABX | 6) SWS≡ SWS

7

Dreieck + Eck = Viereck

In diesem Kapitel...

- Die Eigenschaften eines gewöhnlichen Vierecks

- Parallelogramme, Rechtecke, Rauten, Quadrate und Trapeze im Detail

- Drachen- und Pfeilvierecke

In diesem Kapitel bekommen Sie es mit den außergewöhnlichen Eigenschaften der Vierecke zu tun. Besonders interessant sind dabei die speziellen Vierecksarten, z.B. Parallelogramme, Rechtecke, Rauten, Quadrate und Trapeze.

Vierecke und ihre Eigenschaften

Die signifikanteste Eigenschaft eines Vierecks lässt sich direkt aus seinem Namen ableiten: Richtig! Ein Viereck ist ein Polygon mit vier Ecken – und natürlich mit vier Seiten. In Abbildung 7.1 verbinden sich die Strecken und zu einer geschlossenen Figur.

Abbildung 7.1: Ein Viereck

Zwei Seiten, die sich berühren, nennt man benachbarte Seiten. Seiten, die sich nicht berühren, heißen gegenüberliegende Seiten. Benachbarte Seiten besitzen einen gemeinsamen Punkt, den man Ecke nennt. Jedes Viereck hat vier Ecken, in denen sich vier Winkel befinden. Ecken, die an den beiden Enden einer beliebigen Seite sitzen, nennt man benachbarte Ecken bzw. Winkel. Für die Benennung eines Vierecks verwendet man die vier benachbarten Ecken und deren Buchstaben. Dabei ist es vollkommen egal, mit welcher Ecke Sie beginnen. Suchen Sie sich einfach eine Ecke und eine Richtung aus und bewegen Sie sich im Kreis um die Figur herum, bis Sie alle Buchstaben aufgebraucht haben.

Von außen betrachtet

Alle Vierecke haben vier Seiten und vier Winkel. Deshalb ist die Form eines Vierecks abhängig von den Längen der Seiten sowie der Größe der Winkel. Wenn man mit Vierecken arbeitet, ist es wichtig zu wissen, welche Gestalt ein Viereck hat. Beispielsweise stellt sich die Frage, ob es konvex oder konkav ist? Wenn das Viereck konkav ist, dann ist ein Winkel größer als 180°. Suchen Sie also nach Winkeln, die größer als eine Gerade bzw. als ein gestreckter Winkel von 180° sind. Wenn Sie noch immer Zweifel haben: Es gibt auch einen anderen Weg, bei dem Sie, ohne nachmessen zu müssen, festzustellen können, ob Ihre Figur konkav ist. Zeichnen Sie eine Gerade von der Mitte einer Seite zur Mitte einer anderen Seite. Wenn diese Gerade außerhalb des Vierecks liegt, dann muss es konkav sein. Bei einer konvexen Figur liegt eine Gerade, die von der Mitte einer Seite zu der Mitte einer anderen Seite gezogen wird, im Inneren des Vierecks. Außerdem sind alle Winkel zwischen 0° und 180° groß. In diesem Buch - wie auch in den meisten anderen Geometriebüchern - beziehe ich mich (wenn nichts anderes erwähnt wird) auf konvexe Vierecke. In Abbildung 7.2 sehen Sie zwei Beispiele für konvexe und konkave Vierecke.

Abbildung 7.2: In Beispiel a. sehen Sie ein konvexes Viereck, in Beispiel b. ein konkaves

Maß nehmen

Egal, wie Ihr Viereck aussieht: Seine Innen- und Außenwinkel haben ein bestimmtes Maß. Weil ein Viereck ein Polygon ist, beträgt die Summe der Außenwinkel immer 360°. (Die Außenwinkelsumme eines Polygons ist immer 360°, egal wie viele Seiten es hat.) Anders sieht die Sache bei den Innenwinkeln aus. Um das Summenmaß der Innenwinkel zu ermitteln, benötigen Sie die Formel zur Berechnung der Innenwinkelsumme bei Polygonen mit n Ecken: S = (n – 2) 180°, wobei n für die Anzahl der Seiten steht. Bei einem Viereck ist n immer gleich 4 (Abbildung 7.3). Wenn n gleich 4 ist, dann gilt: (4 - 2)180 = (2)180; 180 multipliziert mit 2 ergibt 360°.

Abbildung 7.3: Um die Summe der Innenwinkel eines Vierecks zu bestimmen, benötigen Sie die Formel S = (n – 2) 180°, wobei n für die Anzahl der Seiten steht

In einem Viereck gibt es genau zwei Diagonalen. In Abbildung 7.4a. habe ich nur eine eingezeichnet. Um die andere Diagonale zu zeichnen, ziehen Sie eine Gerade, die die beiden anderen Ecken verbindet (Abbildung 7.4b.). Die Gesamtzahl von Diagonalen in einem Viereck wird durch die Formel bestimmt. Da n immer 4 (wegen der vier Seiten des Vier-Vierecks) ist, gilt: . Daraus folgt: bzw. . Das Ergebnis: Ein Viereck besitzt zwei Diagonalen (Abbildung 7.4b.).

Nebenbei bemerkt: Die Zahl 360° als Summe der Innenwinkel ist ganz einfach nachzuvollziehen. In einem Viereck können Sie nur eine Diagonale aus einer Ecke zeichnen. Sehen Sie sich nun die Diagonale in Abbildung 7.4a. an. Wie Sie sehen, zerlegt die Diagonale das Viereck in Dreiecke - zwei Dreiecke, um genau zu sein. »Na und?«, werden Sie jetzt sagen. Aber warten Sie: Vielleicht erinnern Sie sich, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks 180° beträgt (Kapitel 6). Da das Viereck aus zwei Dreiecken besteht, gilt: 180°(2) = 360°.

Abbildung 7.4: In einem Viereck lässt sich von jeder Ecke aus nur eine Diagonale ziehen (Abbildung a.). Die Gesamtzahl der Diagonalen beträgt zwei (Abbildung b.)

Parallelogramm-Parade

Die wichtigste Information zu Parallelogrammen zuerst: Neben der Tatsache, dass sie zu den Vierecken gehören, haben Parallelogramme zwei parallele gegenüberliegende Seiten (Abbildung 7.5). Und gleich noch eine Information: Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang. Richtig: Das macht jeweils zwei kongruente Seitenpaare. Und es wird noch besser: Es gibt zwei Paar kongruenter gegenüberliegender Winkel. Nehmen Sie diese ganzen Informationen zusammen und schon kommt ein Viereck heraus, das parallele gegenüberliegende Seiten und kongruente gegenüberliegende Winkel hat.

Abbildung 7.5: Ein Parallelogramm hat zwei Paar paralleler Seiten

Ein Parallelogramm besitzt zwei Paar kongruenter Winkel, die die vier Ecken bilden. Sie benennen ein Parallelogramm nach diesen vier Ecken. Beginnen Sie in einer Ecke und gehen Sie dann zu der jeweils benachbarten Ecke weiter, bis keine mehr übrig ist. Das Parallelogramm in Abbildung 7.6 wird beispielsweise so bezeichnet: ABCD.

Abbildung 7.6: Man bezeichnet ein Parallelogramm mit Hilfe seiner vier Ecken. Dieses hier hat den Namen ABCD

Satz 7.1: Wenn beide Paare der gegenüberliegenden Seiten eines Vierecks kongruent sind, dann handelt es sich um ein Parallelogramm.

Das heißt: Wenn die gegenüberliegenden Seiten einer vierseitigen Figur gleich lang sind, dann heißt das Viereck Parallelogramm.

In Abbildung 7.6 ist genauso lang wie und ist genauso lang wie ( ).

Beweis 7.1 zeigt, dass gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms kongruent sind.

Bevor Sie anfangen: Zeichenen Sie eine Linie von der Ecke A in die Ecke C.

Beweis 7.1: Der Beweis zu den gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms

Aussage | Begründung
1) und | 1)Voraussetzung
2)∠ACD≡∠BAC und∠DAC≡∠ACB | 2) Innere Wechselwinkel zweier Parallelen
| sind kongruent (Kapitel 2).
3) | 3) Reflexivität (Kapitel 3)
4) ΔADC ≡ ΔABC | 4) WSW (Kapitel 6)
5) und | 5) TKDK (Kapitel 6)

Satz 7.2: Wenn beide Paare der gegenüberliegenden Winkel in einem Viereck kongruent sind, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.

Das heißt: Wenn die nicht benachbarten Winkel einer vierseitigen Figur kongruent sind, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.

In Abbildung 7.6 ist ∠A kongruent zu ∠C (∠A ≡ ∠C) und ∠B ist kongruent zu ∠D (∠B ≡ ∠D).

Beweis 7.2 zeigt, dass die gegenüberliegenden Winkel eines Parallelogramms kongruent sind.

Beweis 7.2: Der Beweis zu den gegenüberliegenden Winkeln eines Parallelogramms

Aussage | Begründung
1) und | 1) Voraussetzung
2)∠ACD≡∠BAC und∠DAC≡∠ACB | 2) Innere Wechselwinkel zweier Parallelen
| sind kongruent (Kapitel 2).
3)∠DAC+∠BAC≡∠ACD+∠ACB | 3) Winkeladdition
4)∠DAB≡∠DCB oder ∠A≡∠C | 4) Substitution
5) | 5) Reflexivität (Kapitel 3)
6) ΔADC ≡ ΔABC | 6) WSW (Kapitel 6)
7) ∠D≡∠B | 7) TKDK (Kapitel 6)

Kreuz und quer: Diagonalen ins Spiel bringen

Wenn in einem Polygon Diagonalen ins Spiel kommen, dann kann man noch ein bisschen mehr mit ihnen anfangen. Ein Parallelogramm bildet da keine Ausnahme. Wenn nicht benachbarte Winkel miteinander durch Diagonalen verbunden werden, dann zerlegen diese das Parallelogramm in zwei kongruente Dreiecke. Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig in ihrem Schnittpunkt (Abbildung 7.7).

Abbildung 7.7: Eine Diagonale teilt ein Parallelogramm in zwei kongruente Dreiecke

Satz 7.3: Eine Diagonale teilt ein Parallelogramm in zwei kongruente Dreiecke.

Das heißt: Zieht man eine Diagonale von einem Winkel zu dem gegenüberliegenden Winkel, dann entstehen zwei gleich große Dreiecke.

In Abbildung 7.7 teilt die Diagonale (Kapitel 6) das Parallelogramm ABCD in zwei kongruente Dreiecke (ΔABC und ΔADC).

Beweis 7.3 zeigt, dass eine Diagonale ein Parallelogramm in zwei kongruente Dreiecke zerlegt.

Bevor Sie anfangen: Zeichnen Sie eine Linie von Ecke A nach Ecke C.

Beweis 7.3: Der Beweis zu den kongruenten Dreiecken eines Parallelogramms

Aussage | Begründung
1) und | 1) Voraussetzung
2)∠ACD≡∠BAC und∠DAC≡∠ACB | 2) Innere Wechselwinkel zweier Parallelen sind kongruent (Kapitel 2).
3) | 3) Reflexivität (Kapitel 3)
4) ΔADC ≡ ΔABC | 4) WSW (Kapitel 6)

Beweis 7.4 zeigt, dass sich die zwei Diagonalen eines Parallelogramms gegenseitig halbieren. Das heißt jedoch nicht, dass die Diagonalen auch die gleiche Länge haben. Wenn ein Parallelogramm keine rechten Winkel besitzt, dann sind seine benachbarten Winkel nicht gleich groß, sondern supplementär (Abbildung 7.8). Hierdurch wird ein Winkel spitz, der andere stumpf. In diesem Fall ist die Diagonale, die dem stumpfen Winkel gegenüberliegt, länger als die Diagonale gegenüber dem spitzen Winkel. In Abbildung 7.9 ist länger als .

Bevor Sie anfangen: Zeichnen Sie eine Linie von Ecke A nach Ecke C sowie eine Linie von Ecke D nach Ecke B.

Beweis 7.4: Der Beweis zu den halbierten Diagonalen eines Parallelogramms

Aussage | Begründung
1) und | 1) Voraussetzung
2)∠1≡∠4 und ∠2≡∠3 | 2) Innere Wechselwinkel zweier Parallelen sind kongruent (Kapitel 2).
3) | 3) Parallelen sind gleich weit voneinander
4) ΔAXC ≡ ΔCXB | 4) WSW (Kapitel 6)
5) und | 5) TKDK

Abbildung 7.8: In dem Parallelogramm MNPQ beträgt die Summe der Winkel M und N 180°

Abbildung 7.9: Wenn es keinen rechten Winkel gibt, dann ist die Diagonale, die gegenüber dem stumpfen Winkel verläuft, länger als die Diagonale gegenüber dem spitzen Winkel

Satz 7.4: Benachbarte Winkel eines Parallelogramms sind supplementär.

Das heißt: Wenn zwei Winkel in einem Parallelogramm, die an den beiden Enden einer Seite liegen, addiert werden, beträgt ihre Summe 180°.

In Abbildung 7.8 ist ∠M supplementär zu ∠N (∠M supp. ∠N) und ∠Q ist supplementär zu ∠P (∠Q supp. ∠P).

Parallelogramme füllen: Flächeninhalt

Als Flächeninhalt bezeichnet man in einem Polygon die Summe der Flächenstücke, die sich im Inneren des Polygons befinden und sich nicht überlappen. Zeichnen Sie in einem Parallelogramm eine Diagonale, entstehen zwei sich nicht überlappende Dreiecke. Wenn der Flächeninhalt eines Dreiecks ist (wobei g die Länge der Grundseite ist und h die Höhe des Dreiecks), dann ist der Flächeninhalt eines Parallelogramms das Doppelte davon. Also: (2) oder gh. Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ergibt sich somit ganz einfach aus der Multiplikation von Grundseite und Höhe.

Um den Flächeninhalt berechnen zu können, müssen Sie zuerst eine Grundseite auswählen. Das kann jede beliebige Seite des Parallelogramms sein. Als Nächstes brauchen Sie die Länge der zugehörigen Höhe. Die Höhe ist eine Gerade, die senkrecht auf der von Ihnen gewählten Grundseite steht und bis zur gegenüberliegenden Seite reicht. In Abbildung 7.10 beträgt die Länge der Grundseite 8 cm und die Länge der zugehörigen Höhe 10 cm. Der Flächeninhalt ist somit das Produkt aus (8)(10), also 80 cm^2.

Abbildung 7.10: Arbeiten Sie mit der Formel A = gh, um den Flächeninhalt eines Parallelogramms zu ermitteln

Satz 7.5: Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus Länge der Grundseite und Länge der zugehörigen Höhe.

Das heißt: Um den Flächeninhalt eines Parallelogramms zu ermitteln, multiplizieren Sie die Länge einer Seite mit der Länge der zugehörigen Höhe.

Kurz und bündig: Die Eigenschaften eines Parallelogramms

Hier haben Sie alle wunderbaren Eigenschaften eines Parallelogramms noch einmal in einer Liste zusammengefasst:

- Die gegenüberliegenden Seiten sind parallel.

- Die gegenüberliegenden Seiten sind kongruent.

- Die gegenüberliegenden Winkel sind kongruent.

- Die benachbarten Winkel sind supplementär.

- Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig.

- Jede Diagonale teilt das Parallelogramm in zwei kongruente Dreiecke.

- Alle Parallelogramme sind Vierecke.

Rechtecke lieben Ordnung

Sie haben vier Ecken und vier Seiten. Vergessen wir die vier Winkel nicht. Das sind eine Menge Teile, mit denen man eine Menge Sachen machen kann. Parallelogramme verhalten sich ja schon recht ordentlich - Rechtecke sind noch ein bisschen organisierter. Zunächst einmal: Sie folgen den Regeln der Parallelogramme, weil sie selbst zu den Parallelogrammen gehören. Also sind ihre gegenüberliegenden Seiten und Winkel kongruent, ihre gegenüberliegenden Seiten parallel und - das Wichtigste! - ihre benachbarten Winkel supplementär. Obendrein haben Rechtecke noch ein paar ganz eigene Regeln.

Was ein Rechteck ausmacht

Was ist das Besondere an einem Rechteck? Was unterscheidet es von einem typischen Parallelogramm? Sind es die Seiten? Nein, es hat mit den Winkeln zu tun. Das Ganze hängt nur an einer Sache: Ein Winkel ist 90° groß. Weil benachbarte Winkel supplementär sind, fügt sich der Rest von selbst: Alle vier Winkel sind 90° groß. Ein Rechteck hat vier rechte Winkel und ist somit gleichwinklig (Abbildung 7.11).

Abbildung 7.11: Das Markenzeichen eines Rechtecks sind seine vier rechten Winkel

Satz 7.6: Alle Winkel in einem Rechteck sind rechte Winkel.

Das heißt: Ein Rechteck hat vier rechte Winkel. Jeder rechte Winkel ist 90° groß. Eigentlich logisch, oder?

Was ist noch anders? Da alle Winkel eines Rechtecks kongruent sind und man Diagonalen zwischen gegenüberliegenden Ecken ziehen kann, muss es auch Auswirkungen auf diese Diagonalen geben. Und die gibt es tatsächlich: Sie sind ebenfalls kongruent. In Abbildung 7.12 sind die beiden Diagonalen kongruent zueinander.

Abbildung 7.12: Die Diagonalen eines Rechtecks sind kongruent

Satz 7.7: Die Diagonalen eines Rechtecks sind kongruent.

Das heißt: Die Diagonalen eines Rechtecks haben die gleiche Länge.

Die Länge einer Diagonale können Sie mit dem Satz des Pythagoras herausbekommen. Sie haben die Diagonale als Hypotenuse des Dreiecks, das entsteht, wenn eine Diagonale innerhalb eines Rechtecks gezeichnet wird. Verwenden Sie die Gleichung g^2 + h^2 (wobei g die Länge der Grundseite ist und h die Länge der Höhe ist), um die Länge der Diagonale zu ermitteln. Denken Sie sich die Länge der Grundseite als Länge bzw. g und die Länge der Höhe als Breite oder h. In Abbildung 7.12 ist b = 7 und h = 5. 7^2 + 5^2 = 49 + 25 – c^2 = 74. Die Länge der Diagonale beträgt bzw. ca. 8,6.

Die Tatsachen aus den Sätzen 7.6 und 7.7 sind das, was ein Rechteck ausmacht: die rechten Winkel und die kongruenten Diagonalen. Sie sollen im Folgenden bewiesen werden.

Beweis 7.5 zeigt, dass das Maß eines jeden Innenwinkels in einem Rechteck 90° beträgt. Beweis 7.6 zeigt, dass die zwei Diagonalen eines Rechtecks die gleiche Länge haben.

Beweis 7.5: Der Beweis zu den Innenwinkeln eines Rechtecks

Aussage | Begründung
1) Ein Rechteck hat vier Seiten. | 1) Ein Rechteck ist ein Viereck.
2) WXYZ ist ein Rechteck. | 2) Voraussetzung
3) (n – 2)180°, wobei n = 4; (2)180 = 360° | 3) Die Formel zur Berechnung der Winkelsumme der vier Innenwinkel eines vierseitigen Polygons
4) | 4) Ein Rechteck hat vier kongruente Winkel. Jeder Winkel ist 90°.
5) ∠Z=90° | 5) Substitution

Bevor Sie anfangen: Zeichnen Sie die Diagonalen und .

Beweis 7.6: Der Beweis zu den Diagonalen im Rechteck

Aussage | Begründung
1) WXYZ ist ein Parallelogramm. | 1) Voraussetzung
2) ∠Z ist ein rechter Winkel. | 2) Voraussetzung
3) WXYZ ist ein Rechteck. | 3) Ein Rechteck ist ein Parallelogramm in dem es nur rechte Winkel gibt.
4) ∠W , ∠X , ∠Y und ∠Z sind rechte Winkel. | 4) Die vier Innenwinkel eines Rechtecks sind rechte Winkel.
5)∠W≡∠X≡∠Y≡∠Z | 5) Alle rechten Winkel sind kongruent.
6) | 6) Gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms sind kongruent.
7) | 7) Siehe Punkt 6)
8) | 8) Reflexivität (Kapitel 3)
9) ΔWXZ ≡ ΔWYZ | 9) SWS
10) | 10) TKDK (Kapitel 6)

Außen herum und innen drin: Umfang und Flächeninhalt

Ein Rechteck beansprucht Raum. Die Außenbegrenzung dieser Fläche nennt man Umfang. Der Raum innerhalb dieser Begrenzung ist der Flächeninhalt, der sich in (Einheits-) Quadrate aufteilen lässt. Diese Quadrate werden in Abbildung 7.13 als kleine Kästchen innerhalb des Umfangs dargestellt. Sie sind - weil es sich um Quadrate handelt - gleich hoch und gleich breit. Die Frage ist, wie viele dieser kleinen Kästchen (oder Quadrate) es innerhalb des Umfangs eines Polygons gibt. Wenn das Polygon rechtwinklig ist, dann ist die Antwort nicht besonders schwierig.

Abbildung 7.13: Man kann die Fläche eines Rechtecks in Einheitsquadrate aufteilen, deren Höhe und Breite gleich ist

In Abbildung 7.13 gibt es sechs Quadrate, die quer entlang einer Seite angeordnet sind und vier Quadrate, die an einer Seite von oben nach unten angeordnet sind. Der Flächeninhalt ergibt sich, indem man die sechs Quadrate mit den vier Quadraten multipliziert. In diesem Fall gibt es 24 Quadrate in dem Rechteck, der Flächeninhalt ist somit 24 Einheiten groß.

Kurz und bündig: Die Eigenschaften eines Rechtecks

Ein Rechteck hat die folgenden Eigenschaften:

- Die gegenüberliegenden Seiten sind parallel.

- Die gegenüberliegenden Seiten sind kongruent.

- Die gegenüberliegenden Winkel sind kongruent.

- Die benachbarten Winkel sind supplementär.

- Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig.

- Jede Diagonale teilt das Rechteck in zwei kongruente Dreiecke.

Die eben vorgestellten Eigenschaften sind identisch mit den Eigenschaften eines Parallelogramms. Ein Rechteck hat jedoch noch mehr zu bieten, nämlich zwei weitere entscheidende Eigenschaften:

- Alle vier Winkel sind rechte Winkel.

- Die Diagonalen sind kongruent.

Rauten sind ungeschliffene Diamanten

Haben Sie schon einmal ein Baseball-Feld gesehen? Man nennt sie auch »Diamanten«, weil sie, wie Rohdiamanten, die Form einer Raute haben (Abbildung 7.14). Bei einer Raute (auch Rhombus genannt) handelt es sich - wie beim Rechteck - um ein Parallelogramm. Das ist aber noch nicht alles: Das wesentliche Kennzeichen einer Raute sind seine zwei benachbarten kongruenten Seiten.

Abbildung 7.14: So sieht ein rautenförmiges Baseball-Feld aus

Weil die gegenüberliegenden Seiten eines jeden Parallelogramms kongruent sind und bei einer Raute außerdem die benachbarten Seiten die gleiche Länge haben, folgt daraus, dass alle Seiten einer Raute gleich lang sind. Eine Raute ist daher ein gleichseitiges Parallelogramm. Wie Sie vielleicht wissen, werden Diagonalen durch Veränderungen der Seitenlängen und durch die Anzahl der Seiten beeinflusst. Weil die Seiten einer Raute gleich lang sind, halbieren die Diagonalen die Innenwinkel. Außerdem sind die Diagonalen zueinander Mittelsenkrechte.

Satz 7.8: Wenn ein Viereck gleichseitig ist, dann handelt es sich um eine Raute.

Das heißt: Ein Viereck mit vier Seiten gleicher Länge ist eine Raute.

Beweis 7.7 zeigt, dass eine Raute gleich lange Seiten hat.

Bevor Sie anfangen: Zeichnen Sie eine Gerade von der Ecke M zur Ecke O.

Beweis 7.7: Der Beweis zu den gleichen Seiten einer Raute

Aussage | Begründung
1) | 1) Voraussetzung
2) | 2) Parallelen sind an jeder Stelle gleich weit voneinander entfernt, also sind und gleich lang (Kapitel 2).
3) | 3) Voraussetzung
4) | 4) Substitution (Kapitel 3)
5) | 5) Reflexivität (Kapitel 3)
6) halbiert ∠M . | 6) Voraussetzung
| 7) Die Definition einer Winkelhalbierenden
8) ΔOPM ≡ ΔMNO | 8) SWS (Kapitel 6)
9) | 9) TKDK (Kapitel 6)

Satz 7.9: Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander.

Das heißt: Die Diagonalen einer Raute bilden zusammen rechte Winkel (Winkel mit einer Größe von 90°).

Beweis 7.8 zeigt, dass die Diagonalen einer Raute orthogonal sind, was bedeutet: Beide Diagonalen sind rechtwinklig zueinander.

Bevor Sie anfangen: Tragen Sie in eine Figur die gegebenen Informationen ein.

Beweis 7.8: Der Beweis zu den rechtwinkligen Diagonalen einer Raute

Aussage | Begründung
1) MNOP ist eine Raute. | 1) Voraussetzung
2) | 2) Eine Raute hat gleich lange Seiten.
3) halbiert ∠M . | 3) Voraussetzung
4)∠PMX≡∠NMX | 4) Die Definition einer Winkelhalbierenden
5) | 5) Reflexivität (Kapitel 3)
6) ΔMPX ≡ ΔMNX | 6) SWS (Kapitel 6)
7)∠MXP≡∠MXN | 7) TKDK (Kapitel 6)
8) | 8) Wenn sich zwei Geraden schneiden und kongruente Nebenwinkel bilden, dann sind die Geraden rechtwinklig zueinander.

Satz 7.10: Ein Parallelogramm ist eine Raute, wenn die Diagonalen die Innenwinkel halbieren.

Das heißt: Ein Polygon mit den Eigenschaften eines Parallelogramms kann zur Untergruppe der Rauten gezählt werden, wenn die Diagonalen die Innenwinkel in zwei gleich große Winkel teilen.

Beweis 7.9 zeigt, dass die Diagonalen einer Raute die Innenwinkel halbieren.

Bevor Sie anfangen: Zeichnen Sie die Figur mit den gegebenen Informationen.

Beweis 7.9: Der Beweis zu den die Innenwinkel halbierenden Diagonalen einer Raute

Aussage | Begründung
1) MNOP ist eine Raute. | 1) Voraussetzung
2) | 2) Eine Raute hat gleich lange Seiten.
3) ∠P≡∠N | 3) Gegenüberliegende Winkel einer Raute sind kongruent.
4) | 4) Reflexivität (Kapitel 3)
5) ΔOPM ≡ ΔONM | 5) SSS (Kapitel 6)
6) ∠1≡∠2 und ∠3≡∠4 | 6) TKDK (Kapitel 6)

Satz 7.11: Die beiden Diagonalen einer Raute bilden vier kongruente Dreiecke.

Das heißt: Die beiden Diagonalen einer Raute schneiden sich so, dass vier kongruente Dreiecke entstehen. Sehen Sie sich Beweis 7.10 an, dann wissen Sie, was gemeint ist.

Bevor Sie anfangen: Tragen Sie die Längen der Diagonalen ein.

Beweis 7.10: Der Beweis zu den kongruente Dreiecke bildenden Diagonalen einer Raute

Aussage | Begründung
1) MNOP ist eine Raute. | 1) Voraussetzung
2) | 2) Eine Raute hat gleich lange Seiten.
3) | 3) Voraussetzung
4) und | 4) Die Diagonalen einer Raute halbieren sich gegenseitig.
5) | 5) Voraussetzung
6) und sind ⊥ . | 6) Die Diagorechtwinklig zueinander. nalen in einer Raute sind
7)∠XMP,∠NXO,∠PXO und ∠PXM sindrechte Winkel. | 7) Senkrechten bilden rechte Winkel.
8) ΔPXM, ΔNXM, ΔPXO und ΔNXO sind rechtwinklige Dreiecke. | 8) Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen rechten Winkel.
9) ΔPXM ≡ ΔMXN | 9) Hypotenuse Kathete (Kapitel 6, Axiom 6.6)
10) ΔPXM ≡ ΔMXN ≡ ΔNXO ≡ ΔOXP | 10) Hypotenuse Kathete

Je größer, desto besser (gilt vor allem für Diamanten)

Wie groß ist ein Diamant? Den Flächeninhalt einer Raute kann man mit den Maßen ihrer Diagonalen ermitteln. Um den Flächeninhalt einer Raute herauszubekommen, müssen Sie die Längen der Diagonalen miteinander multiplizieren und das Produkt dann noch einmal mit multiplizieren (Abbildung 7.15). Wenn Sie lieber dividieren, können Sie auch das Produkt der beiden Diagonallängen durch 2 teilen - das ändert nichts am Ergebnis.

Abbildung 7.15: Der Flächeninhalt einer Raute errechnet sich aus

Satz 7.12: Der Flächeninhalt einer Raute ist ein halb Mal das Produkt aus den Längen der beiden Diagonalen bzw. .

Das heißt: Setzen Sie die Zahlen in die Formel ein und Sie erhalten den Flächeninhalt einer Raute. d_1 ist dabei die eine Diagonale, d_2 die andere.

Kurz und bündig: Die Eigenschaften einer Raute

- Die gegenüberliegenden Seiten sind parallel.

- Die gegenüberliegenden Seiten sind kongruent. (Bei einer Raute sind sogar alle vier Seiten kongruent.)

- Die gegenüberliegenden Winkel sind kongruent.

- Die benachbarten Winkel sind supplementär.

- Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig.

- Jede Diagonale teilt die Raute in zwei kongruente Dreiecke.

Die eben vorgestellten sechs Eigenschaften sind identisch mit den Eigenschaften eines Parallelogramms. Eine Raute hat jedoch noch zwei weitere wichtige Eigenschaften:

- Die Diagonalen sind rechtwinklig zueinander (sie sind orthogonal).

- Die Diagonalen halbieren die Innenwinkel.

Nicht nur für Kleinkarierte: Quadrate

Ich habe ein Rätsel für Sie: Was hat vier Seiten, ist ein Parallelogramm, weil seine gegenüberliegenden Seiten - neben anderen Eigenschaften - parallel sind, besitzt die rechten Winkel eines Rechtecks und die vier kongruenten Seiten einer Raute? Des Rätsels Lösung finden Sie in Abbildung 7.16.

Abbildung 7.16: Ein Quadrat

Richtig! Die abgebildete Figur ist ein Quadrat. Um zu beweisen, dass ein Viereck ein Quadrat ist, gibt es folgende Möglichkeiten: Sie können zeigen, dass das Viereck ein Rechteck mit gleich langen Seiten ist. Oder: Sie können zeigen, dass es eine Raute mit einem rechten Winkel ist. Welchen Weg Sie einschlagen, hängt von den Informationen ab, die Sie über das Polygon haben.

Satz 7.13: Ein Quadrat ist ein gleichseitiges Rechteck.

Das heißt: Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten.

Beweis 7.11 zeigt, dass ein Quadrat vier gleich lange Seiten hat.

Beweis 7.11: Der Beweis zu den vier gleich langen Seiten eines Quadrats

Aussage | Begründung
1) EFGH ist ein Rechteck. | 1) Voraussetzung
2) | 2) Voraussetzung
3) | 3) Gegenüberliegende Seiten eines Rechtecks sind kongruent.
4) | 4) Siehe Punkt 3)
5) | 5) Substitution

Satz 7.14: Ein Quadrat ist eine Raute mit einem rechten Winkel.

Das heißt: Eine Raute mit einem Winkel von 90 Grad ist ein Quadrat. Da gegenüberliegende Winkel in einer Raute gleich groß sind, müssen alle Winkel rechte Winkel sein. Eine Raute hat gleich lange Seiten. Nehmen Sie alle diese Informationen zusammen und schon haben Sie ein Quadrat.

Beweis 7.12 zeigt, dass eine Raute mit einem rechten Winkel ein Quadrat ist.

Beweis 7.12: Der Beweis, dass eine Raute mit einem rechten Winkel ein Quadrat ist

Aussage | Begründung
1) EFGH ist ein Rechteck. | 1) Voraussetzung
2) ist eine Diagonale. | 2) Voraussetzung
3) | 3) Reflexivität
4)∠EHF=45° | 4) Voraussetzung
5) | 5) Eine Raute ist gleichseitig.
6) ΔHEF ist ein gleichschenkliges Dreieck. | 6) Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei kongruente Seiten.
7)∠EHF≡∠EFH | 7) Basiswinkel, die gegenüber von kongruenten Seiten eines Dreiecks liegen, sind kongruent.
8)∠EFH=45° | 8) Substitution
9)∠EFH+∠EHF = 90° | 9) Addition
10) ∠E=90° | 10) Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180°.

Die Verwendung der Diagonale

Diagonalen können Ihnen zusätzliche Informationen liefern. Alles, was Sie brauchen, ist die Länge einer Quadratseite und schon können Sie auch die Länge der Diagonale ermitteln. Verwenden Sie einfach die Formel d = s√2, wobei d die Länge der Diagonale und s die Länge einer beliebigen Seite ist (Abbildung 7.17). Suchen Sie sich eine Seite aus, egal welche - es handelt sich schließlich um ein Quadrat. In Abbildung 7.17 beträgt die Länge der Diagonale – wenn s gleich 10 ist – 10√2 bzw. ungefähr 14,14.

Abbildung 7.17: Die Länge einer Diagonale in einem Quadrat errechnet sich aus s√2, wobei s die Länge einer beliebigen Seite ist

Satz 7.15: Die Länge einer Diagonale in einem Quadrat errechnet sich aus s√2, wobei s die Länge einer beliebigen Seite ist.

Umfang und Flächeninhalt von Quadraten

Der Umfang eines Quadrats ist gleich der Summe aller vier Seitenlängen bzw. U = s + s + s + s (s ist dabei die Länge jeder einzelnen Seite). Platz sparender kann man auch sagen: 4s (Abbildung 7.18). Wenn s also beispielsweise 8 cm ist, dann beträgt der Umfang 32 cm.

Abbildung 7.18: Der Umfang eines Quadrats ist gleich 4s

Den Flächeninhalt eines Quadrats können Sie auf zwei Arten herauskriegen. Welchen Weg Sie einschlagen, hängt von den Ihnen zur Verfügung stehenden Informationen ab. Eine Methode arbeitet mit der Seitenlänge, die andere mit der Länge einer Diagonalen.

Der Flächeninhalt eines Quadrats errechnet sich aus der Höhe mal der Breite. Multiplizieren Sie einfach die Länge einer Seite mit der Länge einer anderen Seite. Weil Sie es mit einem Quadrat zu tun haben und deshalb beide Zahlen gleich groß sind, lautet die Formel A = s^2. In Abbildung 7.19 ist eine Seitenlänge gleich 7 cm. Wenn Sie diese Zahl in die Formel einsetzen, kommen Sie auf einen Flächeninhalt von 7^2 cm^2 bzw. 49 cm^2.

Abbildung 7.19: Setzen Sie die Länge einer Seite in die Formel A = s^2 ein und ermitteln Sie so den Flächeninhalt eines Quadrats

Kein Angst, wenn Sie nur die Länge der Diagonalen kennen. Den Flächeninhalt können Sie trotzdem herausbekommen, indem Sie das Quadrat der Diagonale mit ein halb multiplizieren: . In Abbildung 7.20 beträgt die Länge der Diagonalen 6 cm. Wenn Sie diese Zahl in die Formel einsetzen, werden Sie feststellen, dass der Flächeninhalt des Quadrats bzw. 18 cm^2 beträgt.

1 Abbildung 7.20: Setzen Sie die Länge einer Diagonalen in die Formel ein und ermitteln Sie so den Flächeninhalt eines Quadrats

Kurz und bündig: Die Eigenschaften eines Quadrats

Quadrate sind ein bisschen schizophren. Zum einen ist ein Quadrat ein Viereck, darüber hinaus aber auch ein Parallelogramm, ein Rechteck und eine Raute. Ein Quadrat ist ein regelmäßiges Viereck, das die typischen Eigenschaften Gleichseitigkeit und Gleichwinkligkeit aufweist. Alle Seiten sind gleich lang – jede Seite trifft an einem rechten Winkel auf seine benachbarte Seite.

Trapeze und ihre Kunststücke

Trapeze gibt es nicht nur im Zirkus. Auch eine hübsche geometrische Form hat diesen Namen - und außerdem eine einzige sichere Eigenschaft: Es ist ein Viereck mit zwei parallelen Seiten. Diese parallelen Seiten bezeichnet man als Grundflächen bzw. Basen, die beiden nicht parallelen Seiten sind die Schenkel (Abbildung 7.21).

Abbildung 7.21: Ein Trapez

Ein Trapez mit kongruenten Basiswinkeln ist etwas Besonderes: Es handelt sich dabei nämlich um ein gleichschenkliges Trapez. Genau wie ein gleichschenkliges Dreieck hat auch ein gleichschenkliges Trapez zwei kongruente Seiten. Außerdem sind die gegenüberliegenden Winkel eines Trapezes Supplementwinkel (Abbildung 7.22).

Abbildung 7.22: Ein gleichschenkliges Trapez

Satz 7.16: Die Basiswinkel eines gleichschenkligen Trapezes sind kongruent.

Das heißt: In einem gleichschenkligen Trapez sind die Basiswinkel gleich groß.

Beweis 7.13 zeigt, dass die Basiswinkel eines gleichschenkligen Trapezes kongruent sind.

Bevor Sie anfangen: Zeichnen Sie eine Gerade , die parallel zu verläuft

Beweis 7.13: Der Beweis zu den Basiswinkeln eines gleichschenkligen Trapezes

Aussage | Begründung
1) ABCD ist ein Trapez. | 1) Voraussetzung
2) und | 2) Voraussetzung
3) | 3) Gezeichnet, um eine Parallele zu bekommen.
4) ABXD ist ein Parallelogramm. | 4) Die gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms sind parallel.
5) | 5) Die gegenüberliegenden Seiten eines eines Parallelogramms sind kongruent.
6) | 6) Transitivität (Kapitel 6)
7)∠BXC≡∠C | 7) Winkel, die gegenüber von kongruenten Seiten liegen, sind kongruent.
8) ∠D≡∠BXC | 8) Wenn zwei Parallelen von einer Transversalen geschnitten werden, sind die Stufenwinkel kongruent (Kapitel 2).
9) ∠D≡∠C | 9) Transitivität
10) ∠D ist supplementär zu ∠A ; ∠C | 10) Werden zwei Parallelen von einer
ist supplementär zu ∠ABC. | Transversalen geschnitten sind die Innenwinkel auf der gleichen Seite einer Transversalen supplementär (Kapitel 2).
11) ∠A≡∠ABC | 11) Supplementäre kongruente Winkel sind kongruent (Kapitel 2).

Die Seitenhalbierende

Die Seitenhalbierende eines Trapezes ist parallel zu jeder Grundseite (die beiden parallelen Seiten). Die Seitenhalbierende wird von der Mitte einer der nicht-parallelen Seiten (Schenkel) zur Mitte der anderen nicht-parallelen Seite gezeichnet. Um die Länge der Seitenhalbierenden zu berechnen, müssen Sie die Längen der parallelen Grundseiten addieren und die Summe mit ein halb multiplizieren. Die Formel lautet .In Abbildung 7.23 hat eine Basis eine Länge von 8 cm, die andere von 10 cm. Wenn Sie diese beiden Werte in die Formel einsetzen, sieht das Ergebnis so aus: bzw. 9 cm.

Abbildung 0.1: Die Länge der Seitenhalbierenden eines Trapezes errechnet sich aus

Die Diagonale

Zu den Diagonalen eines ganz normalen Trapezes gibt es nichts Besonderes zu bemerken. Nur so viel: Die Diagonalen in einem gleichschenkligen Trapez sind kongruent.

Satz 7.17: Die Diagonalen eines gleichschenkligen Trapezes sind kongruent.

Das heißt: Die Diagonalen in einem gleichschenkligen Trapez sind gleich lang.

Beweis 7.14 zeigt, dass die Diagonalen in einem gleichschenkligen Trapez kongruent sind.

Bevor Sie anfangen: Zeichnen Sie die Figur mit den gegebenen Informationen.

Beweis 7.14: Der Beweis, dass ein gleichschenkliges Trapez kongruente Diagonalen besitzt

Aussage | Begründung
1) ABCD ist ein gleichschenkliges Trapez. | 1) Voraussetzung
2)∠DAB≡∠ABC | 2) Winkel, die gegenüber von kongruenten
3) und sind Diagonalen. | 3) Voraussetzung
4) | 4) Reflexivität (Kapitel 3)
5) ΔACD ≡ ΔBCD | 5) SWS (Kapitel 6)
6) | 6) TKDK (Kapitel 6)

Die Höhe

Die Höhe ist der kürzeste Abstand zwischen den beiden parallelen Seiten eines Trapezes. Stellen Sie sich die Höhe als ein Seil vor, das von der oberen auf die untere Grundseite heruntergelassen wird. Wenn das Seil die untere Grundseite berührt, steht es senkrecht auf ihr. (Und Sie können mit Ihren Trapez-Kunststücken beginnen.)

Der Flächeninhalt

Eine Diagonale teilt ein Trapez in zwei Dreiecke. Diese Dreiecke sind nicht kongruent, aber sie markieren zwei eindeutige Bereiche. Um die gesamte Fläche des Trapezes zu definieren, müssen Sie die Flächen auf beiden Seiten der Diagonalen addieren. Der gesamte Flächeninhalt des Trapezes ist gleich der Summe der beiden Grundflächen, multipliziert mit der Trapezhöhe. Das Ganze dann noch durch 2 geteilt und schon haben Sie Ihr Ergebnis.

Satz 7.18: Der Flächeninhalt eines Trapezes ist gleich ein halb Mal das Produkt aus Trapezhöhe und Summe der parallelen Seiten.

Das heißt: .

In Abbildung 7.24 sind die parallelen Seiten 8 cm und 5 cm lang, die Höhe beträgt 6 cm. Der Flächeninhalt dieses Trapezes beträgt also bzw. 39 cm^2.

Abbildung 7.24: Der Flächeninhalt eines Trapezes errechnet sich aus

Drachen (vierecke) steigen lassen

Gelb, rosarot oder blau wirbelnd im Wind, ein sausender Schweif im Himmel ... Ach, Erinnerungen an den Herbst. Aber dieser Drachen hier ist in Wirklichkeit ein Viereck, ein so genanntes Drachenviereck. Seinen Namen hat es tatsächlich von dem lustigen Freizeitvergnügen an windigen Tagen (Abbildung 7.25).

Ein Drachenviereck ist ein Viereck mit zwei Paaren kongruenter benachbarter Seiten, bei dem alle Innenwinkel kleiner als 180° sind (Abbildung 7.26). Um ein Drachenviereck zu basteln, müssen Sie einfach zwei gleichschenklige Dreiecke mit unterschiedlichen Seitenlängen an den Basen zusammenkleben.

Abbildung 7.25: Das Drachenviereck hat seinen Namen von dem fliegenden Spielzeug

Abbildung 7.26: Das Drachenviereck ist ein Quadrat mit zwei Paaren kongruenter benachbarter Seiten

In Abbildung 7.26 ist die Seite kongruent zur Seite und die Seite ist kongruent zu .

Sie kennen sicher die Verstrebungen bei einem normalen Kinderdrachen. In einem Drachenviereck sind diese Verstrebungen die Diagonalen. Sie bilden ein Kreuz und stehen senkrecht aufeinander. In Abbildung 7.27 ist senkrecht zu .

Abbildung 7.27: Die Diagonalen eines Drachenvierecks stehen senkrecht aufeinander

Gezielt arbeiten mit Pfeilvierecken

Wie das Drachenviereck leiht sich auch das Pfeilviereck seinen Namen von einem realen Gegenstand. Es sieht nämlich aus wie ... genau, richtig geraten: wie eine Pfeilspitze (Abbildung 7.28)!

Abbildung 7.28: Das Pfeilviereck sieht aus wie die Spitze eines Pfeils

Was ist so besonders an Pfeilvierecken? Erinnern Sie sich einmal an die Definition für ein konkaves Polygon: Es hat einen Winkel, der größer als 180° ist, und sieht aus, als ob es ausgehöhlt wäre.

Wie jedes andere Viereck besitzt auch das Pfeilviereck zwei Diagonalen. Für gewöhnlich sind Diagonalen Verbindungsgeraden zwischen nicht benachbarten Ecken. Der Unterschied beim Pfeilviereck ist der, dass sich eine Diagonale im Außenbereich des Polygons befindet. Die Diagonalen eines Pfeilvierecks stehen in ihrem Schnittpunkt senkrecht aufeinander. Damit sie sich schneiden können, müssen sie durch den Außenbereich der Figur verlaufen. Das ist der Fall in Abbildung 7.29. Die Diagonalen und in Punkt Z senkrecht aufeinander.

Abbildung 7.29: AC und BZ sind die Diagonalen dieses Pfeilvierecks

Stammbaum der Vierecke

In Abbildung 7.30 sehen Sie noch einmal die verschiedenen Vierecke im Überblick. Sie zeigt, wie die unterschiedlichen Vierecksformen miteinander verwandt sind.

Und wenn Sie von Vierecken einfach nicht genug kriegen können, sehen Sie sich Tabelle 7.1 und Tabelle 7.2 an. In Tabelle 7.1 werden die verschiedenen Eigenschaften der Vierecke verglichen. (Anmerkung: Trapeze, Drachen- und Pfeilvierecke sind nicht berücksichtigt.) Tabelle 7.2 bietet Ihnen einen Überblick über die wichtigsten Vierecksformeln (Anmerkung: Die Tabelle sieht aus wie ein Schweizer Käse - dort, wo die Löcher sind, gibt es keine Formeln).

Abbildung 7.30: Die Vierecksarten im Überblick

Tabelle 7.1: Die Eigenschaften der Vierecke im Überblick

Tabelle 7.2: Vierecksformeln im Überblick

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Kreisweise

In diesem Kapitel...

- Wie man einen Kreis zeichnet

- Geraden, Winkel und Bogen eines Kreises

- Verwandtschaftsverhältnisse der Kreise kennen lernen

- Durchmesser und Umfang eines Kreises berechnen

- Konzentrische und einbeschriebene Kreise

kreise kommen in der Geometrie ständig vor. Haben Sie schon einmal einen Hund seinen Schwanz jagen sehen? Er dreht und dreht sich im Kreis, und wenn er nicht das Interesse an seinem Schwanz verliert, wird er wohl nie an sein Ziel kommen.

Ganz im Gegensatz zu Bello können Sie in diesem Kapitel sehr wohl an ein Ziel kommen. Sie werden nach der Lektüre alle Kreise und ihre Eigenschaften kennen, einen Kreis mit Hilfe eines Zirkels zeichnen und Geraden, Winkel und Polygone in Ihr Kunstwerk eintragen können. Voilà – einer Ausstellung steht dann nichts mehr im Weg.

Das Thema einkreisen

Stellen Sie sich einen Kreis vor. Ich bin mir sicher, dass in Ihrem Kopf das Bild von etwas Rundem entsteht. Wie ist der Kreis rund geworden? Das nächste Mal, wenn jemand diese Frage stellt, haben Sie eine Antwort parat: Es geht um den Bezug zwischen dem Punkt in der Mitte des Kreises und den Punkten, aus denen der Kreis besteht. In Abbildung 8.1 sehen Sie einen Punkt, der mit dem Großbuchstaben M bezeichnet ist. Punkt M ist der Mittelpunkt des Kreises. Ein Kreis besteht aus allen Punkten, die von einem Punkt, hier Mittelpunkt M, gleich weit entfernt sind. Der Kreis in Abbildung 8.1 heißt M.

Abbildung 8.1: Darf ich vorstellen: Kreis M

Jetzt, da Sie mit der Definition eines Kreises ausgestattet sind, können Sie mit dem Konstruieren beginnen. Zücken Sie also Ihren Zirkel und machen Sie sich bereit. Anhand folgender Schritte können Sie einen Kreis zeichnen:

1. Stellen Sie den Zirkel so ein, dass der Abstand zwischen der Metallspitze und dem Bleistift halb so groß ist wie der Kreis, den Sie zeichnen möchten.

2. Positionieren Sie die Metallspitze auf die Stelle des Papiers, an der Sie den Mittelpunkt Ihres Kreises haben möchten.

Die Metallspitze des Zirkels bildet immer ein kleines Loch; das ist der Mittelpunkt des Kreises. Arbeiten Sie mit dem Zirkel nie zu schwungvoll, sonst reißen Sie ein Loch in das Papier. Das habe ich nicht erst einmal geschafft. Es ist weniger schlimm, wenn es der erste Kreis auf der Seite ist. Wenn Sie aber schon ein paar Kreise gezeichnet haben, möchten Sie sicher nicht von vorne anfangen. Und es gibt immer noch Klebestreifen für den Notfall.

3. Drehen Sie den Zirkel einmal um die eigene Achse, wobei die Bleistiftspitze mit dem Papier Kontakt hat.

Und so sieht das Ganze dann aus (Abbildung 8.2):

Abbildung 8.2: Den Zirkel einmal um die eigene Achse drehen - und schon haben Sie einen Kreis

kreise und ihr Verkehrsnetz

Kreise haben ihr eigenes Verkehrsnetz. Diese Straßen, auf denen man von einem Punkt zum anderen kommt, sind nicht Teil der eigentlichen Kreiskonstruktion. Man zeichnet sie zusätzlich in den Kreis, durch den Kreis oder außerhalb des Kreises. Sie werden gruppiert nach ihrem Verhältnis zum Kreis, ob und wie sie ihn berühren. Im folgenden Abschnitt lernen Sie das ganze Kreis-Verkehrssystem kennen, inklusive Radien, Sehnen, Durchmessern, Sekanten und Tangenten.

Reise zum Mittelpunkt des Kreises: Radius

Kommen wir noch einmal auf Bello zurück. Er hat die Jagd auf seinen Schwanz aufgegeben und läuft vom Mittelpunkt seines kreisförmigen Vorgartens zum Zaun. Er ist dem Radius des Kreises gefolgt. Alle Wege in einem Kreis vom Mittelpunkt zu einer beliebigen Stelle auf dem Kreis sind gleich lang und heißen Radien. In Abbildung 8.3 könnte Bello von Punkt M zu Punkt Y oder von Punkt M zu Punkt X gelaufen sein. In beiden Fällen hätte er die gleiche Strecke zurückgelegt, weil und beide Radien des Kreises M sind und alle Radien eines Kreises die gleiche Länge haben.

Abbildung 8.3: MY und MX sind Radien des Kreises

Satz 8.1: Alle Radien eines Kreises oder kongruenter Kreise sind kongruent.

Das heißt: Alle Radien eines Kreises sind gleich. Wenn mehrere Kreise gleich groß sind, dann sind auch ihre Radien gleich lang.

Andersherum funktioniert es ebenso: Wenn zwei Kreise den gleichen Radius besitzen, dann sind auch die beiden Kreise kongruent. Das ist so, als wenn man zwei Vorgärten von der gleichen Größe hat. Bello legt also die gleiche Strecke zurück, egal, ob er im eigenen oder im Nachbargarten sein Lauftraining absolviert. In Abbildung 8.4 können Sie sich das Ganze ansehen.

Abbildung 8.4: In Abbildung a. sehen Sie kongruente Kreise, in Abbildung b. sind die beiden Kreise nicht kongruent

Axiom 8.1: Zwei Kreise sind kongruent, wenn ihre Radien kongruent sind.

Das heißt: Zwei Kreise gelten als gleich groß, wenn ihre Radien gleich lang sind.

Drinnen oder draußen? Wenn Sie die Länge des Radius wissen, können Sie bestimmen, ob ein Punkt inner- oder außerhalb des Kreises liegt. Wenn ein Punkt weniger weit vom Mittelpunkt entfernt ist, als der Radius lang ist, dann liegt der Punkt innerhalb des Kreises. Ist ein Punkt weiter weg vom Mittelpunkt entfernt, als der Radius lang ist, dann liegt der Punkt außerhalb des Kreises.

Geteilt und doch so nah: Sehne

Bello macht seinen morgendlichen Spaziergang im Vorgarten. Er läuft einen Weg entlang, der von Punkt A zu Punkt B verläuft. Dieser Weg heißt in der Mathematik-Welt Sehne. Eine Sehne unterscheidet sich von einem Radius dadurch, dass beide Endpunkte auf dem Kreis liegen und sie nicht durch den Mittelpunkt verlaufen muss. Eine Sehne teilt die Fläche eines Kreises in zwei Kreisabschnitte (auch: Segmente), einen kleineren und einen größeren (Abbildung 8.5). Die Teile der Kreislinie, die durch das Zeichnen einer Sehne entstehen, nennt man Bogen (dazu später mehr in diesem Kapitel).

Abbildung 8.5: Der kleinere Kreisabschnitt ist der kleinere Teil eines Kreises, der von einer Sehne abgeteilt wird

Axiom 8.2: In einem Kreis oder kongruenten Kreisen teilen gleich lange Sehnen gleich große Kreisabschnitte und Bogen ab.

Das heißt: In einem Kreis oder in gleich großen Kreisen trennen Sehnen gleich große Teile des Kreises ab, sofern sie gleich lang sind.

Satz 8.2: In einem Kreis oder kongruenten Kreisen sind Sehnen, die gleich weit vom Mittelpunkt entfernt sind, gleich lang. Anders herum gilt das Gleiche: Gleiche Sehnen sind gleich weit vom Mittelpunkt entfernt.

Das heißt: Sehnen, die im gleichen Abstand vom Mittelpunkt des Kreises verlaufen, sind gleich lang.

Mit dem Beweis für Satz 8.2 warte ich noch ein wenig. Dieser Beweis ist besser nachvollziehbar, wenn Sie ein bisschen mehr über Kreise wissen. Wenn Sie es nicht erwarten können, werfen Sie einen Blick auf Beweis 8.10.

Ab durch die Mitte: Durchmesser

Mittags ist Bello noch ein bisschen fitter und läuft auf einer geraden Linie von Punkt Y zu Punkt Z und außerdem durch den Mittelpunkt des Vorgartens (Abbildung 8.6). Weil er von einer Seite des Kreises bis zur anderen Seite gelaufen ist und dabei durch den Mittelpunkt gekommen ist, hat er den Durchmesser des Kreises beschritten bzw. bestritten. Der Durchmesser teilt den Kreis in zwei gleich große Teile. Wenn Sie also ein rundes Plätzchen entlang des Durchmessers zerbrechen, bekommen Sie und Ihr Freund jeweils gleich große Stücke.

Abbildung 8.6: Ein Kreis voller Linien - YZ ist der Durchmesser

Der Durchmesser ist die längste Strecke bzw. Sehne innerhalb eines Kreises und doppelt so lang wie der Radius. Die Formel, mit der man den Durchmesser ermittelt, lautet daher d = 2r, wobei d für den Durchmesser und r für den Radius steht. In Abbildung 8.6 ist YZ der Durchmesser.

Satz 8.3: Der Durchmesser ist zweimal so lang wie der Radius.

Das heißt: Der Radius mal zwei entspricht der Länge des Durchmessers, weil der Radius nur bis zur Mitte des Kreises, der Durchmesser aber durch die Mitte bis auf die andere Kreisseite geht.

Satz 8.4: Alle Durchmesser eines Kreises sind kongruent.

Das heißt: Alle Durchmesser in einem Kreis sind gleich lang.

Zwischenhalt Kreis: Sekante

Mittlerweile ist es Nachmittag und Bello beschließt, sich ein wenig die Füße zu vertreten. Er betritt den Vorgarten, läuft einmal quer durch und verlässt ihn wieder, um im Nachbargarten seinen Freund Fido zu besuchen. Bello hat den Weg einer Sekante gewählt. Eine Sekante ist eine Gerade (oder Strecke oder Halbgerade), die den Kreis an zwei Punkten schneidet. Jede Sekante beinhaltet eine Sehne des Kreises. In Abbildung 8.6 ist eine Sehne auf einer Sekante. Wenn eine Sekante durch den Mittelpunkt verläuft, dann ist die beinhaltete Sehne gleichzeitig der Durchmesser des Kreises.

Vorsichtige Annäherung: Tangente

Bello tobt sich ein wenig aus und läuft in der Nachbarschaft von Garten zu Garten. Dann kommt er an dem Zaun seines eigenen Vorgartens vorbei und beschließt, weiterzulaufen, ohne diesen zu betreten. Er ist einer Tangente gefolgt. Eine Tangente ist eine Linie, die einen Kreis in einem Punkt berührt. Dieser gemeinsame Punkt heißt Berührungspunkt. Eine Tangente schneidet einen Kreis nie, sondern berührt ihn nur. In Abbildung 8.6 ist X der Berührungspunkt der Tangente .

Axiom 8.3: Abgesehen vom Berührungspunkt liegen alle Punkte einer Tangente außerhalb des Kreises.

Das heißt: Eine Tangente schneidet einen Kreis nicht. Sie berührt den Kreis in einem Punkt, während alle anderen Punkte außerhalb des Kreises liegen.

Satz 8.5: Ein Radius steht in dem Berührungspunkt senkrecht auf einer Tangente. Das heißt, dass der Winkel, den ein Radius und eine Tangente in einem Berührungspunkt bilden, 90° groß ist. Dieser Radius heißt Berührungsradius. In Abbildung 8.6 ist der Radius senkrecht zu .

Das heißt: Eine Tangente und ihr Berührungsradius treffen sich im 90°-Winkel.

In Beweis 8.1 zeige ich Ihnen, wie man beweisen kann, dass ein Radius in dem Berührungspunkt senkrecht auf einer Tangente steht. Diesen Beweis werde ich indirekt erbringen, das heißt, dass ich gewisse Aussagen als falsch darlege, woraus folgt, dass andere Aussagen richtig sein müssen. Ich weiß, dass das verwirrend klingt. Lesen Sie sich einfach den Beweis durch, dann werden Sie verstehen, wie es funktioniert.

Bevor Sie anfangen: Tragen Sie auf einen Punkt Z ein und verbinden Sie ihn mit Punkt P.

Beweis 8.1: Der Beweis zu senkrechten Berührungsradien

Aussage | Begründung
1) Entweder oder nicht ⊥ (Wir nehmen hier das Gegenteil der Behauptung an, also nicht ⊥ ) | 1) Eine Behauptung ist entweder wahr oder falsch (Kapitel 3).
2) | 2) Wenn , dann ist die kürzeste Verbindung zum Mittelpunkt des zum Mittelpunkt des Kreises (Punkt P).

3) nicht <

3) Z ist ein Punkt, der außerhalb des Kreises liegt. ist ein Radius mit dem Endpunkt auf dem Kreis. Die Vermutung dass nicht , muss also falsch sein.

4)

4) ist ein Radius mit einem Endpunkt auf dem Kreis und somit die kürzesteVerbindung zwischen Punkt P und Punkt X. Also gilt .

Ein Kreis hat eine unbestimmte Zahl von Tangenten. Eine Tangente kann außerdem noch Tangente für einen anderen Kreis sein. Wenn sich zwei Kreise eine Tangente teilen, nennt man diese gemeinsame Tangente.

Eine gemeinsame Tangente ist entweder eine innere oder eine äußere Tangente. Das hängt davon ab, wie sie sich zur Zentrale verhält. Wozu? Die Zentrale ist die Verbindungslinie zwischen den Mittelpunkten zweier Kreise. Wenn die gemeinsame Tangente die Zentrale kreuzt, dann ist sie eine innere Tangente (Abbildung 8.7a.). Eine gemeinsame Tangente, die nicht die Zentrale kreuzt, ist eine äußere Tangente (Abbildung 8.7b.). In Abbildung 8.7 ist die Zentrale.

Abbildung 8.7: In a. sehen Sie innere, in b. äußere Tangenten

Was für Geraden gilt, das gilt auch für Kreise. Genauso wie man Tangenten in innere und äußere einteilen kann, ist das auch bei Kreisen möglich. Dafür braucht man zwei Kreise, die sich in einem Punkt berühren und eine Tangente, die beide Kreise berührt. Wenn ein Kreis in einem anderen ist, ihre Mittelpunkte sich also auf der gleichen Seite der Tangente befinden, dann berühren sich die Kreise intern (Abbildung 8.8a.). Kreise, deren Mittelpunkte auf unterschiedlichen Seiten der Tangente liegen, berühren sich extern – und sehen aus wie eine Brille (Abbildung 8.8b.).

Abbildung 8.8: In a. sehen Sie Kreise, die sich intern, in b. Kreise, die sich extern berühren

Satz 8.6: Wenn zwei Kreise sich berühren, dann ist die Zentrale, die beide Mittelpunkte miteinander verbindet, senkrecht zur gemeinsamen Tangente. In Abbildung 8.8a. ist senkrecht zur Tangente, in Abbildung 8.8b. ist senkrecht zur Tangente.

Das heißt: Wenn zwei Kreise sich berühren und beide Kreise eine gemeinsame Tangente haben, dann steht diese Tangente im 90°-Winkel auf der Linie, die beide Kreismittelpunkte miteinander verbindet.

Falls Sie einmal Ihre Erinnerung auffrischen oder etwas zu Kreisen nachschlagen möchten, finden Sie eine Zusammenfassung der folgenden Abschnitte in Tabelle 8.1. Sie sehen, wo am Kreis die verschiedenen Winkel sind und wie sich die diese Winkel bildenden Linien zueinander verhalten.

Tabelle 8.1: Die Linien in einem Kreis

Winkel gibt es überall (sogar in Kreisen)

In einem Kreis kann es eine Menge Linien geben, die Winkel bilden. Diese Winkel nennt man Winkel am Kreis. (Wer hätte das gedacht?) Die Winkel werden nach ihrem Ort oder nach dem Linientyp geordnet, aus dem sie bestehen.

Mittelpunkts- und Umfangswinkel

Mittelpunktswinkel werden wie Umfangswinkel nach ihrer Lage in Bezug zum Kreis eingeordnet. Liegt der Winkel in der Mitte des Kreises, handelt es sich um einen Mittelpunktswinkel. Ein Mittelpunktswinkel ist also ein Winkel, der im Mittelpunkt des Kreises gebildet wird und dessen Schenkel Radien sind. Ein Umfangswinkel wird von zwei Sehnen gebildet, die sich auf dem Kreis treffen. Die beiden Winkeltypen finden Sie in Abbildung 8.9.

Abbildung 8.9: ∠APC ist ein Umfangswinkel, ∠DXB ist ein Mittelpunktswinkel

Winkel am Kreis können nach ihren Schenkeln gruppiert werden. Diese Winkeltypen können Sie leicht anhand der Linien bestimmen, aus denen sie bestehen. Winkel können aus Radien, Sehnen, Tangenten und Sekanten gebildet werden. Die Winkel selbst können überall liegen - auf dem Kreis, in dem Kreis oder außerhalb des Kreises.

Sehnen-Sehnen-Winkel

Ein Sehnen-Sehnen-Winkel ist das, was der Name sagt - ein Winkel, der gebildet wird in dem Schnittpunkt zweier Sehnen in einem Kreis (Abbildung in Beweis 8.3).

Satz 8.7: Wenn zwei Sehnen sich in einem Kreis schneiden, ist das Produkt der jeweiligen Sehnenabschnitte gleich. Dieser Satz heißt auch Sehnensatz.

Das heißt: Zwei Sehnen schneiden sich in einem Kreis. Multipliziert man die Längen der beiden Abschnitte einer Sehne miteinander, entspricht das Ergebnis dem Produkt der beiden Abschnitte der anderen Sehne.

In Beweis 8.2 zeige ich Ihnen, dass das Produkt der Sehnenabschnitte gleich ist, wenn sich zwei Sehnen in einem Kreis schneiden.

Bevor Sie anfangen: Zeichnen Sie und in die Abbildung ein.

Beweis 8.2: Der Beweis zu den Sehnen-Segmenten

Aussage | Begründung
1) ∠1≡∠2 | 1) In ΔATX und ΔQBX sind die Scheitelwinkel ≡ (Kapitel 3).
2) ∠A≡∠Q | 2) Umfangswinkel, die den gleichen Bogen (TB) abteilen, sind ≡.

3) ΔTAX ~ ΔBQX

3) Nach dem Winkel-Winkel-Satz derÄhnlichkeit: Wenn zwei Winkel einesDreiecks gleich sind, dann sind die Dreieckeähnlich (Kapitel 10).

4) | 4) Entsprechende Seiten ähnlicher Dreiecke sind proportional (Kapitel 10).
5) | 5) Überkreuzmultiplizieren

Abbildung 8.10: ∠ZDC besteht aus Sehne CD und Tangente

Sehnen-Tangenten-Winkel

Wenn eine Tangente und eine Sehne zusammentreffen, dann bilden sie einen Sehnen-Tangenten- Winkel (Abbildung 8.10). Die Tangente kann auf eine Sehne oder auf eine in einer Sekante enthaltene Sehne treffen. Der Winkel selbst ist dort, wo sich die beiden Linien berühren.

Satz 8.8: Ein Winkel, der durch das Aufeinandertreffen einer Tangente mit einer Sehne entsteht, ist halb so groß wie der abgetrennte Bogen.

Das heißt: In Abbildung 8.10 gilt .

Sekanten und Tangenten (Verschiedentlich kombiniert)

Ein Sekanten-Sekanten-Winkel (bestehend aus zwei Sekanten), ein Tangenten-Sekanten-Winkel (bestehend aus einer Tangente und einer Sekante) und ein Tangenten-Tangenten-Winkel (bestehend aus zwei Tangenten) befinden sich allesamt außerhalb eines Kreises. In Abbildung 8.10 wird ∠XMY beispielsweise aus zwei Sekanten gebildet, ∠WMY aus einer Tangente und einer Sekante und ∠WMZ aus zwei Tangenten.

Satz 8.9: Schneiden sich zwei Sekanten außerhalb des Kreises, dann ist das Produkt des Segments vom ersten Sekantenschnittpunkt bis zu dem zweiten Schnittpunkt und des Segments vom ersten Sekantenschnittpunkt bis zum Schnittpunkt mit der anderen Sekante auf beiden Sekanten gleich groß. Diesen Satz nennt man auch Sekantensatz.

Bevor Sie anfangen: Zeichnen Sie und in die Abbildung ein.

Beweis 8.3: Der Beweis zum Sekantensatz

Aussage | Begründung
1)∠XBT≡∠XCR | 1) Winkel, die den gleichen Bogen abteilen, sind kongruent.
2) ∠X≡∠X | 2) Reflexivität (Kapitel 3)

3) ΔXBT ~ ΔXCR

3) Nach dem Winkel-Winkel-Satz der Ähnlichkeit: Wenn zwei Winkel eines Dreiecks gleich sind, dann sind die Dreiecke ähnlich (Kapitel 10).

4) | 4) Entsprechende Seiten ähnlicher Dreiecke sind proportional (Kapitel 10).
5) | 5) Überkreuzmultiplizieren

Das heißt: In Abbildung 8.10 gilt, ∠XMY wird gebildet aus den Sekanten und . Daraus folgt .

In Beweis 8.3 zeige ich, dass das Produkt des Segments vom Sekantenschnittpunkt bis zu den beiden Schnittpunkten von Kreis und Sekante auf beiden Sekanten gleich groß ist.

Satz 8.10: Wenn zwei Tangenten einen Winkel außerhalb des Kreises bilden, sind die Tangenten gleich lang.

Das heißt: Dieser Satz erklärt sich mehr oder weniger von selbst. Werfen Sie einen Blick auf Beweis 8.4, um sich anzusehen, warum das so ist.

Bevor Sie anfangen: Zeichnen Sie und in die Abbildung ein.

Beweis 8.4: Der Beweis zu gleichen Tangenten

Aussage | Begründung
1) | 1) Alle Radien eines Kreises sind kongruent.
2) ∠APX und ∠AQX sind rechte Winkel. | 2) Tangenten stehen an ihrem Berührungspunkt senkrecht auf einem Radius.
3) | 3) Reflexivität (Kapitel 3)
4) ΔAXP ≡ ΔAXQ | 4) Hypotenuse Kathete (Kapitel 6, Axiom 6.6)
5) | 5) TKDK (Kapitel 6)

Darf ich Vorstellen: Pi

Wenn Bello den ganzen Weg um seinen Vorgarten herumläuft, dann legt er einmal die Länge der Kreislinie zurück. Um diese Länge zu bestimmen, könnten Sie einen Kreis an einer Stelle öffnen und die Kreislinie zu einer geraden Linie biegen (Abbildung 8.11).

Abbildung 8.11: Biegen Sie die Kreislinie gerade und messen Sie dann die Länge

Sie können aber auch einen einfacheren Weg beschreiten. Sie können diese Kreislinie, die Umfang heißt, mit einer algebraischen Formel berechnen. Aber zuerst muss ich Ihnen einen Wert erklären, der in dieser Formel vorkommt. Dieser Wert heißt Pi. Man kennzeichnet Pi mit dem griechischen Buchstaben für »p«, der so aussieht: π. π ist der Flächeninhalt eines Kreises vom Radius eins und sein Wert beträgt ungefähr 3,14 bzw. . Wenn man diesen Wert erst einmal für π in einer Rechnung eingesetzt hat, muss man das Ergebnis mit dem Zeichen ≈ angeben, da = immer einen exakten Wert bezeichnet - und π in Zahlen ausgedrückt nur ein Näherungswert ist.

Schluss mit der Vorstellungsrunde. Um den Umfang eines Kreises zu berechnen, arbeiten Sie mit der Formel U = πd, wobei d der Durchmesser des Kreises ist.

Wenn Sie nur den Radius eines Kreises wissen, ist das völlig in Ordnung. Sie können trotzdem mit der Formel U = πd arbeiten, wenn Sie sich erinnern, dass d (der Durchmesser) 2r (zweimal der Radius) entspricht. Man sieht die Formel auch oft als U = 2rπ.

In Beweis 8.5 zeige ich, wie man den Umfang eines Kreises berechnet. (Dieser Beweis sieht es bisschen anders aus als die anderen.)

Beweis 8.5: Der Beweis zum Umfang eines Kreises

Bevor Sie anfangen: Überlegen Sie sich, wie Sie die folgende Gleichung mit Hilfe der gegebenen Information lösen können.

Bogen ohne Pfeil

Nein, es gibt hier keinen Exkurs zum Basteln von Pfeil und Bogen. Bei einem Bogen (auch: Kreisbogen) am Kreis handelt es sich vielmehr um das Stück einer Kreislinie, das durch zwei Punkte begrenzt wird (Abbildung 8.12). Man bezeichnet ihn mit einem Bogen über den Endpunkten. Zu dieser Kreislinie gehört ein Mittelpunktswinkel, der entsteht, wenn man die Endpunkte des Bogens mit dem Mittelpunkt verbindet. Die Summe aller Bogen eines Kreises entspricht 360 Grad.

Abbildung 8.12: In diesem Kreis wird von ∠1 bestimmt

Satz 8.11: Der Umfang eines Kreises entspricht 360 Grad.

Das heißt: Einmal um einen Kreis herum ist genau 360 Grad.

Das Gradmaß eines Bogens entspricht dem Gradmaß des zugehörigen Mittelpunktswinkels. Dafür braucht man also keine Formel. Wenn ∠APB in Abbildung 8.12 36° entspricht, dann ist auch 36° groß.

Der Durchmesser eines Kreises in Abbildung 8.12) ist immer eine gerade Linie, die den Kreis in zwei Hälften teilt. Die beiden abgetrennten Hälften nennt man Halbkreise, die beiden Bogen Halbbogen. Da ein ganzer Kreis 360° entspricht, ist ein Halbkreis 180° groß. Dieser Gedanke könnte hilfreich sein: Ein Durchmesser ist eine gerade Linie und somit ein gestreckter Winkel. Ein gestreckter Winkel ist immer 180° groß.

Größer oder kleiner? Alles berechenbar

Ein Halbbogen ist ein guter Ausgangspunkt, wenn man Bogen nach ihrer Größe einteilen möchte. Es gibt kleinere und größere Kreisbogen. Ein größerer Bogen ist ein Kreisbogen, der größer als ein Halbbogen, also größer als 180 Grad ist. Daher ist ein Kreisbogen, der kleiner als ein Halbbogen ist, ein kleinerer Bogen. In Abbildung 8.13 sehen Sie beide Typen von Bogen.

Abbildung 8.13: Bogen gibt es in zwei Sorten – größere und kleinere

Satz 8.12: Die Länge eines Bogens beträgt .

Das heißt: Hier haben wir wieder einmal eine Formel. Setzen Sie Ihre Werte ein (n entspricht dem Gradmaß des Bogens) und Sie bekommen Ihr Ergebnis.

In Beweis 8.6 zeige ich, wie man die Länge eines Bogens errechnet, der von einem 72° großen Mittelpunktswinkel abgetrennt wird. Auch dieser Beweis ist eher untypisch, daher wäre es nicht angebracht, ihn in unsere Beweis-Form zu zwängen.

Bevor Sie anfangen: Überlegen Sie sich, wie Sie die folgende Gleichung mit Hilfe der gegebenen Information lösen können.

Voraussetzung: r = 10 (r ist der Radius des Kreises)

Gradmaß des Bogens: 72

Zu ermitteln: Die Länge des Bogens, der von einem 72° großen Mittelpunktswinkel abgetrennt wird.

Sie können das Ergebnis auf eine weitere Art ermitteln (mit Hilfe einer Verhältnisgleichung, dazu mehr in Kapitel 10):

Beweis 8.6: Der Beweis zu der Länge eines Bogens

Auf Winkel zieren – mit Bogens Hilfe

Die Größe eines Winkels in Abhängigkeit von seinem zugehörigen Bogen können Sie auf verschiedene Arten ermitteln - je nachdem, wo der Winkel sich befindet. In Tabelle 8.2 finden Sie eine Übersicht, wie Sie Winkelgrößen berechnen können.

Tabelle 8.2: Winkel messen mit Hilfe ihrer Bogen

Satz 8.13: Ein Umfangswinkel ist halb so groß wie der von ihm abgetrennte Bogen.

Das heißt: Sehen Sie sich Tabelle 8.2 an; dort finden Sie die Formel und die Abbildung.

In Beweis 8.7 zeige ich, dass ein Umfangswinkel halb so groß ist wie der von ihm abgetrennte Bogen.

Bevor Sie anfangen: Zeichnen Sie in die Abbildung ein.

Beweis 8.7: Der Beweis zu Umfangswinkeln

Aussage | Begründung
1) | 1) Alle Radien in einem Kreis sind kongruent.

2)∠PZY=∠PYZ

2) Wenn zwei Seiten eines Dreiecks kongruent sind, dann sind auch die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel kongruent (Kapitel 6).

3)∠PYZ=∠XYZ | 3) Reflexivität
4) ∠XPZ=∠XYZ+∠PZY | 4) Der Außenwinkel eines Dreiecks entspricht der Summe der beiden nicht benachbarten Winkel (Kapitel 6).
5) ∠XPZ=∠XYZ+∠XYZ = ∠ 2 XYZ | 5) Substitution (Kapitel 3)
6) | 6) Division
7) | 7) Die Größe eines Mittelpunktswinkels entspricht der Größe des von ihm abgetrennten Bogens.
8) | 8) Substitution

Satz 8.14: Ein Winkel, der durch zwei Sekanten gebildet wird, die sich außerhalb eines Kreises schneiden, ist halb so groß wie die Differenz der abgetrennten Bogen.

Das heißt: Sehen Sie sich Tabelle 8.2 und Beweis 8.8 an, um zu sehen, worum es geht.

In Beweis 8.8 zeige ich, dass der außerhalb eines Kreises liegende Winkel, der durch zwei Sekanten gebildet wird, der Hälfte der Differenz der abgetrennten Bogen entspricht.

Bevor Sie anfangen: Zeichnen Sie in die Abbildung ein.

Beweis 8.8: Der Beweis zu den außerhalb des Kreises liegenden Winkeln

Aussage | Begründung
1) ∠Y+∠Z=∠1 | 1) Der Außenwinkel eines Dreiecks entspricht der Summe der beiden nicht benachbarten Winkel (Kapitel 6).
2) ∠Y=∠1−∠Z | 2) Subtraktion (Kapitel 3)
3) | 3) Ein Umfangswinkel ist halb so groß wie der von ihm abgetrennte Bogen.
4) | 4) Substitution (Kapitel 3)

Kongruente Bogen bestimmen

Ich habe eine runde Pizza. Ich schneide die Pizza durch die Mitte in viele gleiche Stücke (- in gleich große Stücke; für die gerechte Verteilung des Belags kann ich nicht garantieren). Die Winkel, die in den Spitzen dieser Stücke gebildet werden, sind alle gleich groß. Weil die Größe des Bogens der Größe des zugehörigen Winkels entspricht, sind die Bogen ebenfalls gleich groß. Bogen mit gleichen Größen heißen kongruente Bogen. Kongruente Bogen können in einem Kreis oder in mehreren Kreisen vorkommen. Also können gleich große Pizzastücke von einer Pizza oder von mehreren stammen.

Ich hatte einen ziemlichen Hunger und habe diese (doch recht große) Pizza fast komplett aufgegessen. Als noch ein Stück übrig war, sind zwei meiner Freundinnen vorbeigekommen und wollten beide dieses letzte Stück. Also habe ich mich für die gerechteste Variante entschieden und es selbst gegessen. Ich mache natürlich nur Spaß: Ich habe an der Mitte der Kruste angesetzt und bis zur Spitze des Stücks durchgeschnitten. Die Kruste ist der Bogen, und indem ich durch die Mitte schneide, habe ich diesen Bogen in zwei kongruente Bogen geteilt. Auf diese Weise bekomme ich zwei gleich große Stücke und es gibt keinen Streit zwischen meinen hungrigen Freundinnen. Wenn man einen Bogen in zwei kongruente Bogen teilt, nennt man diesen Schnitt Halbierende, weil er den Bogen in der Mitte durchschneidet (Abbildung 8.14).

Abbildung 8.14: Vermeiden Sie Ungerechtigkeiten: Schneiden Sie einen Bogen in zwei gleich große Teile.

Axiom 8.4: In einem oder mehreren Kreisen haben Bogen des gleichen Gradmaßes die gleiche Länge.

Das heißt: Wenn die zu einem Bogen gehörigen Winkel in einem oder mehreren Kreisen gleich groß sind, dann sind auch die Bogen gleich lang.

Satz 8.15: Wenn ein Durchmesser senkrecht auf einer Sehne steht, dann halbiert er die Sehne und ihre Bogen. Die Halbierende bildet kongruente Segmente und kongruente Bogen.

Das heißt: Ein Durchmesser schneidet eine Sehne und bildet dabei einen 90-Grad-Winkel. Der Durchmesser teilt sowohl die Sehne als auch die Bogen in jeweils zwei gleich große Teile.

In Beweis 8.9 zeige ich, dass ein Durchmesser, der senkrecht auf einer Sehne steht, diese halbiert und dabei kongruente Segmente und kongruente Bogen bildet.

Bevor Sie anfangen: Zeichnen Sie und ein.

Beweis 8.9: Der Beweis zu kongruenten Sehnen- und Bogensegmenten

Aussage | Begründung
1) | 1) Alle Radien eines Kreises sind kongruent.
2) | 2) Voraussetzung
3) ∠PZX und ∠PZY sind 90° | 3) Senkrechten bilden rechte Winkel.
4) | 4) Reflexivität (Kapitel 3)
5)ΔPZX≡ΔPZY | 5) Hypotenuse Kathete (Kapitel 6, Axiom 6.6)
6) , ∠XPZ≡∠YPZ | 6) TKDK (Kapitel 6)
7) | 7) Kongruente Mittelpunktswinkel haben kongruente Bogensegmente.
8) | 8) Der Durchmesser halbiert einen Kreis
9) | 9) Subtraktion (Kapitel 3)

Satz 8.16: Parallele Sehnen in einem Kreis teilen gleiche Bogen ab.

Das heißt: Sehen Sie sich Beweis 8.10 an.

Bevor Sie anfangen: Zeichnen Sie den Durchmesser ein.

Beweis 8.10: Der Beweis zu parallelen Sehnen

Aussage | Begründung
1) | 1) Voraussetzung
2) , also auch | 2) Substitution (Kapitel 3)
3) | 3) Ein zu einer Sehne senkrechter Durchmesser halbiert ihren Bogen.
4) MB – SB = MS NB – TB = NT | 4) Subtraktion

Die Fläche eines Kreissektors finden

Der Sektor eines Kreises ist der Teil, der von den einen Bogen bildenden Radien abgetrennt wird. Folgendes können Sie sich wahrscheinlich besser vorstellen: Der Kreis ist ein Kuchen und ein Sektor ist ein Stück von diesem Kuchen. Je größer das Stück ist, desto größer ist der Anteil vom Ganzen. Sie können die Fläche dieses Stücks berechnen, indem Sie eine Verhältnisgleichung aufstellen, in der Sie die Fläche Ihres Stücks mit dem ganzen Kuchen ins Verhältnis setzen.

Das Gradmaß des Bogens ist ein Anteil des ganzen Kreises. Dieses Verhältnis kann man auch auf die Fläche anwenden:

Satz 8.17: Die Fläche eines Kreises ist πr^2.

Das heißt: Schon wieder eine Formel. Sehen Sie sich dazu Beweis 8.11 an.

In Beweis 8.11 zeige ich, wie man die Fläche eines Kreises berechnet. Das ist einer von den informellen Beweisen.

Beweis 8.11: Der Beweis zu der Fläche von Kreis und Sektor

Der polygame Kreis: Beziehungen in Hülle und Fülle

Kreise sind sozial ziemlich integriert. Sie können Beziehungen zu Linien und Winkeln, und darüber hinaus zu Polygonen haben.

Für Insider: Inkreis

Ein Kreis kann in einem Polygon positioniert sein. Wenn dieser Kreis jede Seite des Polygons an nur einer Stelle berührt, ist er ein Inkreis des Polygons (Abbildung 8.15). Der Mittelpunkt dieses Inkreises ist dabei der Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden des Polygons.

Abbildung 8.15: Inkreise befinden sich innerhalb von Polygonen

Im Leben, vor allem in Beziehungen, gibt es immer zwei Blickwinkel. Die Beziehung zwischen Kreis und Polygon macht da keine Ausnahme. Man kann diese Beziehung auf zwei Arten ausdrücken: Der Kreis ist in das Polygon einbeschrieben oder das Polygon umschreibt den Kreis. Wenn also ein Kreis in ein Polygon einbeschrieben ist, stimmt es auch, dass das Polygon den Kreis umschreibt.

Satz 8.18: Die Seiten eines umschreibenden Polygons berühren den Inkreis.

Das heißt: Ein Inkreis berührt jede Seite des Polygons an genau einer Stelle.

Wenn man einen Punkt, der außerhalb eines Kreises liegt, mit den Seiten des Kreises verbindet, dann sind diese Tangenten gleich lang.

Sehen Sie sich Beweis 8.12 an. Kreis 0 ist Inkreis von ΔABC. Ich zeige, wie man die Längen der Segmente und findet.

Bevor Sie anfangen: Beachten Sie, dass die Behauptung durch ein »Finden Sie« ersetzt wurde. Arbeiten Sie genau so. Verwenden Sie dabei die Information, die Sie aus Satz 8.10 wissen: Wenn zwei Tangenten einen Winkel außerhalb des Kreises bilden, sind die Tangenten gleich lang.

Beweis 8.12: Der Beweis zu den gleichen Längen von Tangenten, die von einem Punkt außerhalb des Kreises auf den Kreis verlaufen

Aussage | Begründung
1) Kreis O ist Inkreis von ΔABC | 1) Voraussetzung
2) | 2) Voraussetzung

3)

3) Wenn man einen Punkt, der außerhalb eines Kreises liegt, mit den Seiten des Kreises verbindet, dann sind diese Tangenten gleich lang.

4) | 4) Siehe Punkt 3)
5) | 5) Siehe Punkt 3)
6) z + y = 15 | 6) Subtrahieren Sie von .
y + x = 12 |
z – x = 3 |
7) z – x = 3 | 7) Addition (Setzen Sie die Gleichung von
z + x = 13 | Punkt 6) ein.)
2z = 16 oder z = 8 |
8) | 8) Substitution
9) | 9) Reflexivität
10) y = 15 – 8 oder y = 7 oder | 10) Substitution
11) x = 12 – 7 oder x = 5 oder | 11) Substitution

Hilfslinien sind zusätzliche Linien, die man einer geometrischen Figur hinzufügen kann. Und sie sind ausgesprochen hilfreich, wie der Name schon andeutet. Sie behalten immer ihre Relation zu der gegebenen Figur. Das Verhältnis von umschreibenden oder einbeschriebenen Objekten zu dem jeweils umschriebenen oder einbeschriebenen Objekt ist festgelegt.

Satz 8.19: Die Länge des Radius eines in ein gleichseitiges Dreieck einbeschriebenen Kreises ist ein Drittel der Länge der Höhe dieses Dreiecks.

Das heißt: Wenn ein Kreis Inkreis eines gleichseitigen Dreiecks ist, dann beträgt der Radius ein Drittel der Höhe dieses Dreiecks.

In Beweis 8.13 ist Kreis O Inkreis des gleichseitigen Dreiecks ABC. Finden Sie die Länge des Radius, wenn Sie die Längen der Seiten des Dreiecks kennen. In Beweis 8.14 ist Kreis 0 Inkreis des gleichseitigen Dreiecks ABC. Finden Sie die Länge des Radius, wenn Sie die Länge der Hypotenuse eines durch die Seitenhalbierende entstandenen rechtwinkligen Dreiecks kennen. In Beweis 8.15 ist Kreis 0 Inkreis des gleichseitigen Dreiecks ABC. Finden Sie den Umfang des Kreises, wenn Sie die Längen der Seiten des Dreiecks kennen.

Der Radius eines Inkreises entspricht dem Inkreisradius des umschreibenden regelmäßigen Polygons. (Das ist eine Gerade, die vom Mittelpunkt des Polygons senkrecht auf eine Seite gefällt wird - alles über Inkreisradien von Polygonen finden Sie in Kapitel 5. Jetzt wissen Sie auch, warum der Inkreisradius so heißt.) Die Fläche eines regelmäßigen Polygons beträgt , wobei U der Umfang und r der Inkreisradius ist. In Beweis 8.16 ist Kreis Z Inkreis des Polygons ABCDEF. Finden Sie die Fläche des regelmäßigen Polygons ABCDEF, wenn Sie den Radius von Kreis Z wissen. In Beweis 8.17 ist Kreis O Inkreis des gleichseitigen Dreiecks ABC. Finden Sie die Differenz zwischen der Fläche des Kreises und der Fläche des Dreiecks, wenn Sie die Längen der Seiten des Dreiecks kennen.

Bevor Sie anfangen: Zeichnen Sie die Höhe des ΔABC durch ∠A .

Beweis 8.13: Der Beweis zu dem Radius des Inkreises eines gleichseitigen Dreiecks mit Hilfe einer Seite

Aussage | Begründung
1) Kreis O ist Inkreis des gleichseitigen | 1) Voraussetzung
ΔABC. |
2) | 2) Voraussetzung
3) halbiert ∠A und . | 3) Definition der Höhe in einem gleichseitigen Δ
4) | 4) Die Höhe ist multipliziert mit der Länge einer Seite in einem gleichseitigen
5) | 5) Der Radius eines in ein gleichseitiges Δ einbeschriebenen Kreises ist ein Dritte der Höhe dieses Δ.

Bevor Sie anfangen: Zeichnen Sie die Höhe in das " ein.

Beweis 8.14: Der Beweis zu dem Radius des Inkreises eines gleichseitigen Dreiecks mit Hilfe einer Hypotenuse

Aussage | Begründung
1) Kreis O ist Inkreis des gleichseitigen ΔABC. | 1) Voraussetzung
2) | 2) In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang (Kapitel 6).
3) Der Umfang von ΔACY ist 14 + 7 √2 . | 3) Voraussetzung
4) ΔACY ist ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Δ. | 4) Höhe bildet zwei rechtwinklige, gleichschenklige Dreiecke ΔACY und ΔBCY (Kapitel 6).
5) Für ΔACY gilt 7 + 7 + 7 √2, wobei 7 der | 5) Die Längen der Seiten eines rechtwinkligen,
Länge eines Schenkels und 7 √2 der | gleichschenkligen Dreiecks
Länge der Hypotenuse entspricht. | folgen der Formel s + s + s √2 (Kapitel 6).
6) ist Seitenhalbierende von . | 6) Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecksist gleichzeitig eine SeitenhalbierendeKapitel 6).
7) | 7) Siehe Punkt 5)
8) | 8) Voraussetzung; der Durchmesser des Inkreises
9) | 9) Der Radius ist immer der halbe Durchmesser.

Bevor Sie anfangen: Zeichnen Sie als eine Mittelsenkrechte auf ein.

Beweis 8.15: Der Beweis zu dem Umfang des Inkreises eines gleichseitigen Dreiecks mit Hilfe einer Seite

Aussage | Begründung
1) Kreis O ist Inkreis des gleichseitigen ΔABC. | 1) Voraussetzung
2) | 2) Voraussetzung
3) | 3) In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang (Kapitel 6).
4) halbiert ∠B . | 4) Die Mittelsenkrechte eines gleichseitigenDreiecks ist gleichzeitig eine Winkelhalbierende ( Kapitel 6).
5) ∠B = 60° | 5) Alle Winkel eines gleichseitigen Dreiecks sind 60° groß.
6) ΔABT ≡ ΔBCT | 6) Die Mittelsenkrechte eines gleichseitigenDreiecks teilt das Dreieck in zwei kongruente Dreiecke (Kapitel 6).
7) | 7) Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit (Kapitel 6).entspricht einer Seite multipliziert
8) | 8) Der Radius eines in ein gleichseitiges Δ einbeschriebenen Kreises ist ein Drittel der Höhe dieses Δ.
9) C = 2rπ | 9) Die Formel für den Umfang eines Kreises
10) Der Umfang von Kreis O ist C = 16π. | 10) Substitution (Kapitel 3)

Bevor Sie anfangen: Zeichnen Sie einen Radius von Kreis Z ein.

Beweis 8.16: Der Beweis zu der Fläche eines umschreibenden regelmäßigen Polygons.

Aussage | Begründung
1) Kreis Z ist Inkreis des regelmäßigen Polygons ABCDEF. | 1) Voraussetzung
2) Der Radius von Kreis Z ist 4. | 2) Voraussetzung
3) ist der Inkreisradius des Sechsecks ABCDEF. | 3) Der Inkreisradius eines Polygons entspricht dem Radius des einbeschriebenen Kreises
4) steht senkrecht auf in M. | 4) Definition eines Inkreisradius
5) ∠ZMD ist 90° | 5) Senkrechte Linien bilden rechte Winkel Kapitel 2).
6) ΔMZD ist ein rechtwinkliges Dreieck. | 6) Dreiecke mit einem rechten Winkel sind rechtwinklig (Kapitel 6).
7) ∠EZD = 60° | 7) Alle Mittelpunktswinkel eines Kreises sind zusammen 360°, also gilt: 360° ÷ 6 = 60°.
8) ∠MZD = 30° | 8) Der Inkreisradius halbiert den Mittelpunktswinkel, aus dem er gezeichnet wird (Kapitel 5).
9) | 9) Alle Radien eines Kreises sind gleich lang.
10) | 10) Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks ist multipliziert mit einer Seite des Dreiecks.
11) U ≈ 4,6(6) ≈ 27,6 | 11) Der Umfang eines Polygons ist die Summe seiner Seiten
12) | 12) Die Fläche eines Polygons ist , wobei U der Umfang und r der Inkreisradius ist.

Bevor Sie anfangen: Zeichnen Sie die Höhe in das "ΔABC ein.

Beweis 8.17: Der Beweis zu der Differenz der Flächen von Dreieck und Inkreis

Aussage | Begründung
1) Kreis O ist Inkreis des gleichseitigen ΔABC. | 1) Voraussetzung
2) | 2) Voraussetzung
3) | 3) In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang (Kapitel 6).
4) | 4) Substitution
5) | 5) Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks
| ist multipliziert mit einer Seite des Dreiecks.
6) | 6) Der Radius eines in ein gleichseitiges Δ einbeschriebenen Kreises ist ein Drittel der Höhe dieses Δ.
7) A ≈ π(3,46)2 ≈ 37,59 | 7) Die Formel für die Fläche eines Kreises
8) | 8) Die Formel für die Fläche eines Dreiecks
9) Fläche von ΔABC – Fläche von Kreis O ≈ 62,34 – 37,59 ≈ 24,75 | 9) Subtraktion

Sehen Sie sich den folgenden Beweis mit einem umschreibenden Viereck an. Kreis 0 ist Inkreis von Viereck ABCD. Beweisen Sie, dass die Summen der gegenüberliegenden Seiten gleich sind.

Bevor Sie anfangen: Kennzeichnen Sie die Berührungspunkte von Viereck und Kreis.

Beweis 8.18: Der Beweis zu den Seiten eines umschreibenden Vierecks

Aussage | Begründung
1) Kreis O ist Inkreis des Vierecks ABCD. | 1) Voraussetzung
2) | 2) Tangenten, die von einem Punkt außerhalb außerhalb des Kreises auf den Kreis verlaufen, sind gleich lang.
3) | 3) Substitution und Addition (Kapitel 3)
4) | 4) Addition

Eingekreist: Umkreis

Ein Kreis ist Umkreis eines Polygons, wenn jede Ecke des Polygons den Kreis an genau einer Stelle berührt. Während sich ein Inkreis in einem Polygon befindet, umschließt ein Umkreis also ein Polygon von außen.

Der Radius eines einbeschriebenen Polygons (die Linie vom Mittelpunkt in eine Ecke) ist gleichzeitig der Radius des umschreibenden Kreises. In Abbildung 8.16 sehen Sie ein paar Beispiele für Umkreise.

Abbildung 8.16: Ein paar Umkreise – Polygone umschreibend

Die Größe eines einbeschriebenen Polygons hängt von der Größe des Umkreises ab. Damit meine ich: je größer der Kreis, desto größer das einbeschriebene Objekt. Dabei ist es egal, wie viele Ecken das Polygon hat, solange sie den Kreis berühren. Die Form des Polygons hängt alleine von seinen Winkeln ab.

Ein Kreis kann sowohl In- als auch Umkreis eines regelmäßigen Polygons sein. Es müssen aber nicht alle Polygone regelmäßig sein, um von einem Kreis umschrieben zu werden. Bestimmte Formen funktionieren trotzdem, obwohl sie unregelmäßig sind. Das klappt aber nur in einer Richtung - unregelmäßige Polygone können nie in Kreise einbeschrieben werden. Ein Rechteck ist ein Beispiel für so einen Fall. Es hat zwar einen Umkreis (Abbildung 8.17a.), aber keinen Inkreis (Abbildung 8.17b.).

Abbildung 8.17: Ein Rechteck hat einen Umkreis, aber keinen Inkreis

Sehen Sie sich ein in einen Kreis einbeschriebenes Polygon ganz genau an. Wenn Sie nicht das Polygon als Ganzes nehmen, sondern die Linien, aus denen es besteht, dann haben Sie ein paar Sehnen des Kreises. Zwei benachbarte Seiten eines Polygons kann man demnach auch als zwei Sehnen des Kreises betrachten, die einen Umfangswinkel bilden.

Satz 8.20: Alle Seiten eines einbeschriebenen Polygons sind Sehnen des Kreises.

Das heißt: Wenn ein Polygon einen Umkreis hat, dann sind die Seiten des Polygons gleichzeitig Sehnen des Kreises.

Sehen Sie sich Beweis 8.19 an. Wenn zwei Seiten eines einbeschriebenen Polygons einen Umfangswinkel bilden, dann können Sie das Gradmaß des abgetrennten Bogens bestimmen.

Beweis 8.19: Der Beweis zu Umfangswinkel und Bogen eines Umkreises

Aussage | Begründung
1) Kreis X ist Umkreis des Vierecks ABCD. | 1) Voraussetzung
2) | 2) Voraussetzung
3) | 3) Parallele Linien trennen gleiche Bogen.
4) | 4) Ein Umfangswinkel ist halb so groß wie der von ihm abgetrennte Bogen.
5) | 5) Siehe Punkt 4)
6) | 6) Die Hälften von gleichen Größen sind
| gleich (Kapitel 3).
7) ∠B = ∠C | 7) Substitution (Kapitel 3)
8) | 8) Kongruenten Winkeln gegenüberliegende Seiten sind gleich (Kapitel 6).

Ein Kreis kann In- oder Umkreis eines Dreiecks sein. Hat ein Polygon aber mehr als drei Seiten, dann hat es nicht immer einen Umkreis. Damit es in einen Kreis einbeschrieben werden kann, müssen seine gegenüberliegenden Winkel supplementär sein (Abbildung 8.18).

Abbildung 8.18: Wenn ein Polygon einen Umkreis hat, dann sind seine gegenüberliegenden Winkel supplementär

Satz 8.21: Wenn ein Kreis Umkreis eines Polygons ist, dann nennt man das Polygon einbeschrieben. Ist dieses einbeschriebene Polygon ein Viereck, dann sind seine gegenüberliegenden Winkel supplementär.

Das heißt: Wenn ein Polygon in einen Kreis einbeschrieben ist, dann ergibt die Summe zweier gegenüberliegender Winkel 180°.

Sehen Sie sich Beweis 8.20 an. Er beweist, dass ein einbeschriebenes Polygon supplementäre gegenüberliegende Winkel hat.

Beweis 8.20: Der Beweis zu den supplementären gegenüberliegenden Winkeln eines einbeschriebenen Polygons

Aussage | Begründung
1) Kreis O ist Umkreis des Vierecks ABCD. | 1) Voraussetzung
2) Kreis O = 360° | 2) Die Summe der Innenwinkel einesKreises beträgt 360 Grad.
3) ∠A +∠C +∠B +∠D = 360° | 3) Die Summe der Innenwinkel einesVierecks beträgt 360 Grad.
4) | 4) Ein von einem Umfangswinkel abgetrennter Bogen ist zweimal so groß wiedieser Winkel.
5) | 5) Subtraktion
6) | 6) Ein Umfangswinkel ist halb so groß wie der von ihm abgetrennte Bogen.
7) | 7) Siehe Punkt 4)
8) | 8) Siehe Punkt 5)
9) | 9) Siehe Punkt 6)
10) | 10) Siehe Punkt 4)
11) | 11) Siehe Punkt 5)
12) | 12) Siehe Punkt 6)
13) | 13) Siehe Punkt 4)
14) | 14) Siehe Punkt 5)
15) | 15) Siehe Punkt 6)
16) ∠A +∠C = 360 −∠A −∠C | 16) Addition
2∠A + 2∠C = 360 |
∠A +∠C = 180 |
17) ∠B +∠D = 360 −∠B −∠D | 17) Addition
2∠B + 2∠D = 360 |
∠B +∠D = 180 |
18) ∠A +∠C = ∠B +∠D | 18) Substitution

Satz 8.22: Wenn ein Parallelogramm einen Umkreis besitzt, dann ist es ein Rechteck.

Das heißt: Ist ein Parallelogramm in einen Kreis einbeschrieben, dann muss es ein Rechteck sein, damit alle Ecken des Parallelogramms den Kreis berühren.

Mitten hinein: Konzentrische Kreise

Kreise mit einem gemeinsamen Mittelpunkt und unterschiedlichen Radien nennt man konzentrische Kreise. In Abbildung 8.19 haben ∠CXD und ∠AXB die gleiche Größe, aber die Strecken, aus denen sie bestehen, haben nicht die gleichen Längen. Die Längen der Bogen und entsprechen . der Kreise. Weil der kleinere Kreis auch einen kleineren Radius hat, ist sein Umfang ebenfalls kleiner. Also entspricht des kleineren Kreises nicht des größeren Kreises.

Abbildung 8.19: Konzentrische Kreise haben den gleichen Mittelpunkt, aber unterschiedliche Radien

In Abbildung 8.19 ist kürzer als , weil diese beiden Strecken die Radien der Kreise sind. Der kleinere Kreis hat einen kleineren, der größere Kreis einen größeren Radius.

Teil IV

Partei ergreifen: Ungleichungen und Ähnlichkeiten

In diesem Teil ...

Wenn zwei Terme die gleiche Größe haben, dann sind diese Terme gleich groß. Leider geht es in der Geometrie nicht immer so gleichberechtigt (und einfach) zu. Dann ergibt sich eine Ungleichung. Und was jetzt? Ganz einfach: Analysieren Sie die Situation und gehen Sie nach den Regeln vor. Achten Sie darauf, die Verhältnisse beizubehalten. Und noch etwas: Es gibt Größen, die nicht gleich, aber ähnlich sind.

9

Das Leben ist ungerecht – Mit Ungleichungen klarkommen

In diesem Kapitel...

- Die geometrische Schreibweise von Ungleichungen

- Einige Axiome zu Ungleichungen
- Ungleichungen und Dreiecke
- Ungleichungen und Kreise

Der Startschuss fällt und der Wettlauf beginnt. Die Läufer rennen so schnell sie können, keuchend versucht jeder die Ziellinie zu erreichen. Nach einigen aufreibenden Runden erreicht schließlich der Läufer auf Bahn 3 als Erster das Ziel. Tosender Applaus von den Rängen. Erschöpft, aber strahlend winkt der Läufer ins Publikum. Er hat das Rennen und damit die Goldmedaille gewonnen.

Der Läufer auf Bahn 5 wird Zweiter, der Läufer auf Bahn 2 Dritter. Die Endzeit des Zweitplazierten war besser als die des Dritten, aber schlechter als die Zeit des Siegers. Sie werden es nicht glauben: Das ist ein Beispiel für eine Ungleichung!

In diesem Kapitel erkläre ich Ihnen, was Ungleichungen sind. Weil Sie Ungleichungen auf Ihrem Weg durch die wunderbare Welt der Geometrie öfters antreffen, werde ich Ihnen außerdem einige Beweise zu Ungleichungen liefern. Sie sind nicht anders als andere Beweise, aber sie erfordern den Einsatz einiger neuer Axiome. Eigentlich bin ich kein Freund davon, Axiome zu beweisen, da man Axiome einfach als wahr voraussetzt, aber in diesem Fall mache ich eine Ausnahme. In komplexeren Situationen ist es nämlich wichtig, eine Ahnung von der Anwendung dieser Axiome zu haben - und da ist es gut zu wissen, woher sie kommen.

Was Ungleichungen sind

Eine Ungleichung ist ganz einfach eine Aussage über Dinge, die nicht gleich sind. Wenn zwei Sachen nicht gleich sind, dann muss eine Sache entweder größer oder kleiner als die andere sein. Wenn ich zehn Bonbons habe und Ihnen fünf davon gebe, dann haben wir beide gleich viele Bonbons. Wenn ich aber ein Bonbon esse, ändert sich die Lage. Die Perspektive ist dabei entscheidend: Sie können sagen, dass ich weniger Bonbons habe als Sie. Sie könnten aber auch sagen, dass Sie mehr Bonbons haben als ich.

In der Geometrie gibt es einige Zeichen, die helfen, eine Menge Papier zu sparen, wenn man das Verhältnis zwischen zwei Zahlen darstellen will. Sagen wir, ich habe fünf Bonbons und Sie haben fünf Bonbons. Das kann man so ausdrücken: 5 = 5. In Worten: »Fünf ist gleich fünf.« Klar, oder? Wenn ich ein Bonbon esse, muss die Gleichung in »Vier ist nicht gleich fünf« geändert werden, was dann so aussieht: 4 ≠ 5. Außerdem ist »vier kleiner als fünf«: 4 < 5. Das Ganze umgedreht in 5 > 4, und schon haben Sie fünf Bonbons und ich vier oder: »Fünf ist größer als vier«.

Wenn Sie eine Relation vor sich haben, müssen Sie diese noch prüfen. Eine Aussage kann nämlich wahr oder falsch sein. Wenn ich z.B. sage: 5 = 5, dann ist die Aussage wahr. Wenn ich aber sage: 5 ≠ 5, dann würde ich lügen, weil diese Aussage eindeutig falsch ist. Nur eine Aussage kann hinsichtlich einer bestimmten Relation zu einem bestimmten Zeitpunkt wahr sein.

Axiom 9.1.: Zwei Terme können in drei Relationen zueinander stehen: »ist gleich«, »größer als« und »kleiner als«.

Das heißt: Zwei Größen sind gleich, oder eine ist größer oder eine ist kleiner als die andere.

Als ich meine ersten Mathestunden bekam, hatte ich immer Probleme mit den Zeichen < und >. Hier eine Eselsbrücke: Merken Sie sich einfach, dass der kleine Teil des Zeichens, also die Spitze, näher an dem kleineren Wert steht.

Tabelle 9.1 bietet einen kurzen Überblick über Gleichungen und Ungleichungen sowie ihre Übertragung in die geometrische Schreibweise.

Tabelle 9.1: Die geometrische Schreibweise von Aussagen.

Aussage | Schreibweise
a ist gleich b | a = b
a ist nicht gleich b | a ≠ b
a ist kleiner als b | a < b
a ist größer als b | a > b

Ungleichungen können auch paarweise auftreten und mehrere Relationen beschreiben. Sehen Sie sich beispielsweise folgende Relationen an: 8 > 7 und 3 > 2. Die Pfeile zeigen in die gleiche Richtung. Man bezeichnet solche Ungleichungen als gleichgerichtete Ungleichungen. Daran ändert sich auch nichts, wenn man das Aussehen verändert: 7 < 8 und 2 < 3. Es handelt sich nach wie vor um zwei gleichgerichtete Ungleichungen. Wenn beide Zeichen in die gleiche Richtung zeigen, sind Ungleichungen gleichgerichet.

Werfen Sie nun einen Blick auf die folgenden beiden Beziehungen: 3 > 2 und 5 < 7. Die Pfeile zeigen in die entgegengesetzte Richtung. Dabei ist es egal, ob sich die Pfeile anschauen (> <) oder voneinander wegzeigen (< >). Wichtig ist nur, dass sie nicht in die gleiche Richtung zeigen. Man bezeichnet diese Relationen als entgegengesetzte Ungleichungen. Entgegengesetzte Richtung bedeutet entgegengesetzte Ungleichung.

Déjà-vu-Axiome für Ungleichungen

Schauen Sie sich die Relationen a > b und b > c an. Es handelt sich um gleichgerichtete Ungleichungen mit einer gemeinsamen Größe. Dabei lässt sich die Transitivität (Kapitel 3) genauso einfach auf bestimmte Ungleichungen anwenden wie z.B. auf Gleichungen oder Kongruenzen. Was heißt das? Sie können Aussagen über die Relation zwischen a und c machen, weil b die nötigen Informationen liefert. Wenn a > b und b > c, dann ist a > c (Axiom 9.2 und Abbildung 9.1).

Axiom 9.2: Wenn bei drei Termen der erste größer ist als der zweite und der zweite größer als der dritte, dann ist auch der erste größer als der dritte.

Das heißt: Wenn a > b und b > c, dann ist a > c.

Abbildung 9.1: Transitivität in Aktion: Wenn AB > BC und BC > CD, dann ist AB > CD

Die Transitivität funktioniert auch bei Winkeln (Abbildung 9.2).

Abbildung 9.2: Wenn ∠AZD > ∠1 und ∠1 > ∠2, dann ist ∠AZD > ∠2

Eine Bemerkung am Rande: Sehen Sie sich Abbildung 9.1 an. ist die gesamte Länge der Strecke. ist ein Teil davon, genauso wie und und sind außerdem jeweils kürzer als Was uns das sagt? Das Ganze ist größer als jedes seiner einzelnen Teile.

Axiom 9.3: Das Ganze ist größer als jedes seiner Teile.

Das heißt: Das Ganze hat eine größere Größe als die einzelnen Teile, aus denen es besteht.

In Abbildung 9.1 sind die Strecken und kürzer als Darüber hinaus sind und aber Was für Strecken gilt, lässt sich in diesem Fall auch auf Winkel übertragen. In Abbildung 9.3 gilt: ∠XYZ = ∠I + ∠2, ∠XYZ > ∠1 und ∠XYZ > ∠2.

Abbildung 9.3: Ein Winkel, der Teil eines größeren Winkels ist, hat ein kleineres Maß als der gesamte Winkel

Okay, das letzte Beispiel war ziemlich simpel - das war auch nur zum Warmmachen. Wie wäre es jetzt mit etwas Schwierigerem? Schauen Sie sich Beweis 9.1 an, der zeigt, wie Transitivität bei Ungleichungen angewendet wird. Anmerkung: In diesem Kapitel habe ich mir einige Freiheiten bei der Darstellung der Beweise erlaubt. Die Behauptungen sind hauptsächlich Axiome und wie Sie wissen, müssen wir Axiome eigentlich nicht beweisen (Kapitel 1). Wenn Sie so wollen, dann sind diese »Beweise« lediglich Beispiele dafür, wie man das Ganze bei komplexeren Beweisen anwenden kann. Die Darstellung in Beweisform dient also nur der Vereinfachung.

Beweis 9.1: Der Beweis zur Transitivität in Ungleichungen

Aussage | Begründung
1) ∠BAC > ∠DAC | 1) Voraussetzung
2) ∠DAC > ∠BAD | 2) Voraussetzung

3) ∠BAC > ∠BAD

3) Transitivität (Der erste Winkel ist größer als der zweite, der zweite Winkel ist größer als der dritte, also ist der erste Winkel größer als der dritte).

Um Größen gegeneinander auszutauschen, können Sie auch mit der Substitution arbeiten. In einer Ungleichung ist es möglich, eine Größe gegen ihr Äquivalent auszutauschen. Das ist die Kernaussage von Axiom 9.4.

Axiom 9.4: In einer Ungleichung kann ein Term durch einen äquivalenten Term ersetzt werden.

Das heißt: Auch in einer Ungleichung können gleiche Größen gegen gleiche Größen ausgetauscht werden.

Beweis 9.2 zeigt, wie Sie in einer Ungleichung äquivalente Größen austauschen können.

Beweis 9.2: Der Beweis zur Substitution in Ungleichungen

Aussage | Begründung
1) | 1) Voraussetzung
2) | 2) Voraussetzung
3) | 3) Substitution (ersetzt ein äquivalentes Objekt in einer Ungleichung)

Ungleichungen – ziemliche Spießer

Ordnung ist bei Ungleichungen ein Muss. Ordnung bei den Relationen, Ordnung bei dem Umgang mit Größen, Ordnung bei der Subtraktion und Multiplikation von Größen - Ordnung ist einfach unerlässlich. Die folgenden Axiome zeigen, wie sich die Veränderung von Größen auf Ungleichungen auswirken. In diesem Abschnitt finden Sie eine Anhäufung von Axiomen und Beweisen.

Axiom 9.5: Wenn der gleiche Term zu ungleichen Termen addiert wird, dann bleiben die Terme ungleich. Die Richtung der Ungleichung ändert sich dabei nicht (das heißt, die Zeichen < und > drehen sich nicht um).

Das heißt: Wenn a < b und c = d, dann ist a + c < b + d. In Zahlen ausgedrückt: Wenn 3 < 5 und 7 = 7 ist, dann ist 3 + 7 < 5 + 7.

Beweis 9.3 zeigt, dass sich nichts ändert, wenn die gleiche Größe zu ungleichen Größen addiert wird.

Beweis 9.3: Der Beweis zur Addition von gleichen Größen zu ungleichen Größen

Aussage | Begründung
1) | 1) Voraussetzung
2) | 2) Voraussetzung

3)

3) Wenn der gleiche Term zu ungleichen Größen addiert wird, bleiben die jeweiligen Ungleichung ändert sich dabei nicht (Axiom 9.5).

4) | 4) Addition

Axiom 9.6: Wenn ungleiche Terme zu ungleichen Termen von gleichgerichteten Ungleichungen addiert werden, dann sind die Summen ungleich. Die Richtung der Ungleichung ändert sich dabei nicht.

Das heißt: Wenn a < b und c < d, dann ist a + c < b + d. In Zahlen ausgedrückt sieht das so aus: Wenn 6 < 9 und 2 < 3, dann ist 6 + 2 < 9 + 3.

Beweis 9.4 zeigt, dass sich die Relationen nicht ändern, wenn ungleiche Größen in gleichgerichteten Ungleichungen zu ungleichen Größen addiert werden.

Axiom 9.7: Wenn gleiche Terme von ungleichen Termen subtrahiert werden, dann sind die Größen immer noch ungleich. Die Richtung der Ungleichung ändert sich dabei nicht.

Das heißt: Wenn a > b und c = d, dann ist a – c > b – d. In Zahlen: Wenn 7 > 5 und 4 = 4, dann ist 7 – 4 > 5 – 4.

Beweis 9.5 zeigt, dass die Größen ungleich bleiben und sich die Richtung der Ungleichung nicht ändert, wenn gleiche Größen von ungleichen subtrahiert werden.

Beweis 9.4: Der Beweis zur Addition von ungleichen Größen zu ungleichen Größen

Aussage | Begründung
1) ∠BCA < ∠BAC | 1) Voraussetzung
2) ∠ACD < ∠DAC | 2) Voraussetzung

3) ∠BCA +∠ACD < ∠BAC +∠DAC

3) Wenn ungleiche Größen zu ungleichen Größen in gleichgerichteten Ungleichungen addiert werden, sind ihre Summen ungleich. Die Richtung der Ungleichung ändert sich dabei nicht (Axiom 9.6).

4) ∠BCD < ∠BAD | 4) Addition

Beweis 9.5: Der Beweis zu gleichen Größen, die von ungleichen Größen subtrahiert werden

Aussage | Begründung
1) ∠BCD < ∠BAD | 1) Voraussetzung
2) | 2) Voraussetzung
3) ∠BCA ≡ ∠BAC | 3) In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel, die kongruenten Seiten gegenüberliegen, gleich groß (Kapitel 6).
4) ∠ACD < ∠DAC | 4) Subtraktion

Axiom 9.8: Wenn ungleiche Terme von gleichen Termen subtrahiert werden, dann sind die Differenzen ungleich. Die Richtung der Ungleichung ändert sich dabei.

Das heißt: Wenn c = d und a < b, dann ist c - a > d – b. Hier noch mal das Ganze mit echten Zahlen: Wenn 8 = 8 und 3 < 5 ist, dann ist 8 - 3 > 8 – 5.

Beweis 9.6 zeigt, dass ungleiche Differenzen entstehen und sich die Richtung der Ungleichung umdreht, wenn Ungleiches von Gleichem subtrahiert wird.

Beweis 9.6: Der Beweis zu ungleichen Größen, die von gleichen Größen subtrahiert werden

Aussage | Begründung
1) ABCD ist ein Parallelogramm. | 1) Voraussetzung
2) | 2) Voraussetzung
3) | 3) Die gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms sind kongruent.

4)

4) Wenn Ungleiches von Gleichem subtrahiert wird, dann entstehen ungleiche Differenzen. Die Richtung der Ungleichungändert sich dabei (Axiom 9.7).

5) | 5) Subtraktion

Axiom 9.9: Wenn ungleiche Terme mit der gleichen positiven Zahl multipliziert werden, dann sind die Produkte ungleich. Die Richtung der Ungleichung ändert sich dabei nicht.

Das heißt: Wenn a > b und c = d, dann ist ac > bd, vorausgesetzt, dass a, b, c und d positive Zahlen sind. In Zahlen: Wenn 8 > 7 und 2 = 2, dann ist (8)(2) > (7)(2).

Ein Sonderfall von Axiom 9.9 betrifft die Verdopplung ungleicher Größen (auch hier ändert sich die Richtung der Ungleichung nicht). Anders ausgedrückt: Wenn a < b, dann ist 2a < 2b. In Zahlen ausgedrückt: Wenn 7 < 9, dann ist (2)(7) < (2)(9).

Beweis 9.7 zeigt gemäß Axiom 9.9, dass bei der Multiplikation von gleichen und ungleichen Größen ungleiche Produkte herauskommen und sich die Richtung der Ungleichung nicht ändert.

Beweis 9.7: Der Beweis zur Multiplikation von ungleichen Größen mit gleichen positiven Größen

Aussage | Begründung
1) | 1) Voraussetzung
2) und sind Seitenhalbierende | 2) Voraussetzung
von ΔABC. |
3) | 3) Eine Seitenhalbierende teilt eine Seite in zwei gleich große Abschnitte (Kapitel 6).
4) | 4) Siehe Punkt 3)
5) X ist der Mittelpunkt von . | 5) Eine Seitenhalbierende trifft auf eine Seite in ihrem Mittelpunkt (Kapitel 6).
6) Y ist der Mittelpunkt von . | 6) Siehe Punkt 5)

7)

7) Wenn ungleiche Größen mit der gleichen positiven Zahl multipliziert werden, dann sind die Produkte ungleich. Die Richtung der Ungleichung ändert sich dabei nicht (Axiom 9.9).

8) | 8) Substitution (Kapitel 3)

Axiom 9.10: Wenn ungleiche Terme mit dem gleichen negativen Term multipliziert werden, dann sind die Produkte ungleich. Dabei ändert sich die Richtung der Ungleichung.

Das heißt: Wenn a < b und c = d, wobei c eine negative Zahl ist, dann ist ac > bd. Unter Verwendung echter Zahlen sieht das so aus: Wenn 4 < 5 und -2 = – 2, dann ist (4)( – 2) > (5)( – 2) bzw. – 8 > – 10.

Hier folgt kein Beweis - ganz einfach, weil es schwierig ist, negative Längen darzustellen. Das ist auch der Grund, warum ich negative Zahlen in Beweisen nicht mag.

Axiom 9.11: Wenn ungleiche Terme durch den gleichen positiven Term geteilt werden, dann sind die Quotienten ungleich. Die Richtung der Ungleichung ändert sich nicht.

Das heißt: Wenn a > b und c = d, dann ist . Mit Zahlen: Wenn 7 > 4 und 3 = 3, dann ist .

Ein Sonderfall von Axiom 9.11 betrifft die Hälfte von ungleichen Größen. Hälften von ungleichen Größen sind ungleich und die Richtung der Gleichung ändert sich nicht. Mit anderen Worten: Wenn a < b, dann ist .

Beweis 9.8 zeigt gemäß Axiom 9.11, dass bei der Division von ungleichen Größen durch eine positive gleiche Größe ungleiche Quotienten herauskommen und sich die Richtung der Ungleichung nicht ändert.

Beweis 9.8: Der Beweis zur Division von ungleichen Größen durch gleiche Größen

Aussage | Begründung
1) | 1) Voraussetzung
2) | 2) Voraussetzung
3) | 3) Voraussetzung
4) | 4) Y ist der Mittelpunkt von und das Ganze ist die Summe seiner Einzelteile.
5) | 5) Substitution (Kapitel 3)
6) | 6) Hälften von ungleichen Größen sind ungleich und die Richtung der Gleichung ändert sich nicht.
7) | 7) Substitution (Kapitel 3)

Axiom 9.12: Wenn ungleiche Größen durch gleiche negative Größen geteilt werden, sind die Quotienten ungleich. Dabei ändert sich die Richtung der Ungleichung.

Das heißt: Wenn a > b und c = d, wobei c eine negative Zahl ist, dann ist ac < bd. Hier ein praktisches Beispiel: Wenn 6 > 3 und -3 = -3, dann ist bzw. – 2 < – 1.

Axiom 9.13: Gleiche ganzzahlige Potenzen und gleiche positive ganzzahlige Wurzeln aus ungleichen positiven Termen sind ungleich. Die Richtung der Ungleichung ändert sich nicht.

Das heißt: Wenn a > b, wobei a und b positive ganze Zahlen sind, dann ist an > bn (n ist dabei eine positive ganze Zahl) und √a > √b. Anders ausgedrückt: Wenn 4 > 3 ist, dann ist 4^2 > 3^2 bzw. √4 > √3. Sie wissen, was gemeint ist. Ich erspare mir (und Ihnen) deshalb den Beweis.

Dreiecksungleichungen

Stellen Sie sich vor, Sie machen Urlaub auf Puerto Rico. Dabei besuchen Sie auf dem Hin-und dem Rückweg Ihre Tante in Washington. Natürlich versuchen Sie, von Washington aus einen Direktflug zu bekommen, das gelingt Ihnen aber nur für die Hinreise. Zurück müssen Sie über Atlanta fliegen. Das bedeutet: Sie fliegen länger und weiter, liefern aber ein wunderbares Beispiel für Dreiecksungleichungen (Abbildung 9.4).

Abbildung 9.4: Bei einem Flug bilden der direkte Hinflug und die Rückreise mit einem Anschlussflug zusammen die Form eines Dreiecks

Die direkte Reiseroute von Washington nach San Juan ist kürzer als die Rückreise mit den beiden Flügen von San Juan nach Atlanta und von Atlanta nach Washington. Weil die Reiseroute die Form eines Dreiecks bildet, ist die längste Seite dieses Dreiecks (von Washington nach San Juan) größer als die Längendifferenz der beiden kürzeren Seiten (San Juan nach Atlanta und Atlanta nach Washington) und kleiner als die Summe dieser beiden Längen. Vereinfacht dargestellt, sieht das so aus: s – a < w < s + a, wobei s die Entfernung von San Juan nach Atlanta ist, a die Entfernung von Atlanta nach Washington und w die Entfernung von Washington nach San Juan. In der Geometrie bezeichnet man diesen Sachverhalt als Dreiecksungleichung. Hier zwei Sätze zu Dreiecksungleichungen:

Satz 9.1: In einem Dreieck ist die Summe von zwei Seitenlängen immer größer als die Länge der dritten Seite.

Das heißt: Wenn Sie die Längen zweier beliebiger Seiten eines Dreiecks addieren, ist das Ergebnis größer als die Länge der dritten Seite.

Satz 9.2: Die Länge der längsten Seite eines Dreiecks ist immer größer als die Differenz der beiden anderen Seiten und kleiner als die Summe dieser beiden Seiten.

Das heißt: Die Länge der längsten Seite eines Dreiecks (c) ist größer als die Differenz der beiden anderen Seiten (a – b) und kleiner als die Summe dieser beiden Seiten (a + b). Alles zusammengenommen, sieht das dann so aus: a – b < c < a + b.

Beweis 9.9 zeigt, dass die Summe zweier Seitenlängen eines Dreiecks größer ist als die Länge der dritten Seite.

Beweis 9.9: Der Beweis zu den Seitenlängen eines Dreiecks

Aussage | Begründung
1) ABC ist ein Dreieck. | 1) Voraussetzung

2) ist senkrecht zu .

2) Eine senkrechte Strecke ist die kürzeste Linie, die von einem Punkt zu einer Geraden gezeichnet werden kann (Satz 2.9).

3) und

3) Die Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Dreiecke ACX und ABX sind rechtwinklige Dreiecke, die durch die Senkrechte gebildet werden (Kapitel 6).

4)

4) Wenn ungleiche Größen zu einer Ungleichung addiert werden, dann sind die Summen ungleich und die Richtung der Ungleichung ändert sich nicht.

5) | 5) Substitution

Verfolgen Sie noch einmal meine Reiseroute. Die Etappen meiner Reise sind alle unterschiedlich lang. Das bedeutet, dass zwei Seiten meines Dreiecks ungleich sind. Wenn zwei Seiten eines Dreiecks gleich lang sind, dann sind auch die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel gleich groß (Satz 6.9). Sicherlich können Sie sich denken, wie es jetzt weitergeht: Wenn zwei Seiten eines Dreiecks ungleich lang sind, dann sind die Winkel, die diesen Seiten gegenüberliegen, ebenfall ungleich groß - dabei liegt der größere Winkel der langen Seite gegenüber. Macht Sinn, oder? Satz 9.3 fasst das noch einmal ganz gut zusammen:

Satz 9.3: Wenn zwei Seiten eines Dreiecks ungleich lang sind, dann sind die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel ebenfalls ungleich groß. In einem Dreieck liegt der größte Winkel der längsten Seite gegenüber.

Das heißt: Ungleich lange Seiten liegen ungleich großen Winkeln gegenüber. Der größte Winkel liegt gegenüber der längsten Seite eines Dreiecks.

Wie wäre es jetzt mit einer Abbildung? In Abbildung 9.5 ist länger als . Das Maß des Winkels Z, der gegenüberliegt, ist größer als das Maß des Winkels X, der gegenüberliegt.

Abbildung 9.5: Zwei ungleich lange Seiten haben ungleich große gegenüberliegende Winkel

Was passiert, wenn Sie zwei Dreiecke mit zwei sich entsprechenden kongruenten Seiten haben? Das Dreieck mit dem größeren dritten Winkel besitzt die größere dritte Seite. Schauen Sie sich beispielsweise die zwei Dreiecke in Abbildung 9.6 an. Diese haben zwei sich entsprechende kongruente Seiten. Der Winkel A des Dreiecks ABC ist größer als Winkel X in Dreieck XYZ. Somit muss die Seite länger als sein.

Wenn Sie einfach einmal die beiden Wörter Seite und Winkel gegeneinander austauschen, eröffnet sich eine ganz neue Perspektive: Wenn die Größen von zwei Winkeln eines Dreiecks ungleich sind, dann sind die Seitenlängen, die diesen Winkeln gegenüberliegen, ebenfalls ungleich. Die längere Seite liegt dem größeren Winkel gegenüber.

Abbildung 9.6: Wenn zwei Dreiecke zwei sich entsprechende kongruente Seiten haben, dann besitzt das Dreieck mit dem größeren dritten Winkel die längste dritte Seite

Satz 9.4: Wenn zwei Winkel eines Dreiecks ungleich groß sind, dann sind die diesen Winkeln gegenüberliegenden Seiten ebenfalls ungleich lang. In einem Dreieck liegt die längste Seite dem größten Winkel gegenüber.

Das heißt: Ungleich große Winkel liegen gegenüber von ungleich langen Seiten. Die längste Seite liegt gegenüber dem größten Winkel eines Dreiecks.

In Abbildung 9.7 ist ∠F größer als ∠E. Also ist die Seite länger als .

Abbildung 9.7: Zwei ungleiche Winkel haben ungleiche gegenüberliegende Seiten

Eine kleine Erinnerung: Die Winkelsumme von ∠F und ∠E ist gleich dem Maß eines zu ∠G supplementären Außenwinkels (eine praktische Information, die man vielleicht irgendwann einmal benötigt).

Wenn zwei Dreiecke zwei kongruente sich entsprechende Seiten besitzen und die dritten Seiten nicht kongruent sind, dann hat das Dreieck mit der größeren dritten Seite den größeren Gegenwinkel. In Abbildung 9.8 ist , somit ist ∠A > ∠E.

Abbildung 9.8: Wenn zwei Dreiecke zwei sich entsprechende kongruente Seiten besitzen, dann hat das Dreieck mit der längeren dritten Seite den größten Gegenwinkel.

Kreisungleichungen

Kreisungleichungen hängen im Allgemeinen mit den Geraden, Winkeln und Bogen eines Kreises zusammen. Das bedeutet, dass sie sich auf beinahe jeden Aspekt eines Kreises beziehen, der in einer Ungleichung dargestellt werden kann.

Wenn zwei unterschiedliche Geraden von einem gemeinsamen Punkt auf dem Kreis zu zwei unterschiedlichen Punkten auf dem Kreis gezeichnet werden, dann beurteilt man diese Geraden (die man auch als Sehnen bezeichnet) nach ihrer Entfernung vom Mittelpunkt des Kreises. Je weiter eine Sehne vom Mittelpunkt entfernt ist, desto kürzer ist sie. Das gilt auch für den umgekehrten Fall: Je länger eine Sehne ist, desto näher ist sie dem Mittelpunkt.

Die längste Sehne in einem Kreis ist der Durchmesser (Kapitel 8).

Sie fragen sich jetzt sicherlich, wofür diese Information gut sein soll. Werfen Sie zur Einstimmung einen Blick auf Abbildung 9.9. In Kreis P sind die Sehnen und eingezeichnet. verläuft vom Kreismittelpunkt senkrecht auf und verläuft vom Kreismittelpunkt senkrecht auf . , also ist . Warum? Weil näher am Mittelpunkt des Kreises verläuft und weiter von ihm entfernt ist.

Abbildung 9.9: Eine Sehne, die näher am Mittelpunkt eines Kreises liegt, ist länger als eine Sehne, die weiter vom Mittelpunkt eines Kreises entfernt ist

Satz 9.5: Je näher eine Sehne dem Mittelpunkt eines Kreises ist, desto länger ist sie.

Das heißt: Eine Sehne ist länger, wenn sie näher am Mittelpunkt des Kreises verläuft.

Satz 9.6: Je weiter eine Sehne vom Mittelpunkt eines Kreises entfernt ist, desto kürzer ist sie.

Das heißt: Eine Sehne ist kürzer, wenn sie sich weiter vom Mittelpunkt des Kreises entfernt befindet.

Beweis 9.10 macht von den Sätzen 9.5 und 9.6 Gebrauch und zeigt, dass Sehnen, die weiter vom Mittelpunkt eines Kreises entfernt liegen, kürzer sind als Sehnen, die näher am Mittelpunkt des Kreises liegen.

Bevor Sie anfangen: Zeichnen Sie die Radien und .

Beweis 9.10: Der Beweis zur Position der Sehnen

Aussage | Begründung
1) und sind Sehnen des Kreises M. | 1) Voraussetzung
2) | 2) Voraussetzung
3) | 3) Voraussetzung
4) und sind Radien des Kreises M. | 4) Definition eines Radius: Verbindungslinie vom Mittelpunkt des Kreises auf den Kreis.
5) ist eine Mittelsenkrechte von . | 5) Ein Radius, der senkrecht auf einer Sehne steht, halbiert diese Sehne (Kapitel 8).
6) ist eine Mittelsenkrechte von . | 6) Siehe Punkt 5)
7) ΔMYB und ΔMXE sind rechtwinklige Dreiecke. | 7) Rechtwinklige Dreiecke haben einen rechten Winkel (Kapitel 6).
8) x^2 = e^2 + n^2 und y^2 = m^2 + b^2 | 8) Bei den Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck findet der Satz des Pythagoras Anwendung (Kapitel 6).
9) | 9) Voraussetzung
10) e < b | 10) Substitution (Kapitel 3)

11) e^2 < b^2

11) Quadriert man die Terme einer Ungleichung, bleibt die Ungleichung bestehen. Die Richtung der Ungleichung verändert sich nicht.

12) – e^2 > – b^2

12) Ungleiche Größen, die mit derselben negativen Zahl multipliziert werden (in diesem Fall – 1), sind ungleich. Die Richtung der Ungleichung ändert sich.

13) y ≡ x | 13) Alle Radien eines Kreises sind kongruent (Kapitel 8).
14) x^2 – e^2 > x^2 – b2 oder | 14) Gleiche Größen, die zu ungleichen

x^2 + ( – e^2) > x2 + ( – b^2)

addiert werden, ergeben ungleiche Größen. Die Richtung der Ungleichung ändert sich nicht (Anmerkung: Ich addiere eine positive Zahl (x^2) zu den gegebenen negativen Zahlen ( – e^2) und ( – b^2). Siehe Punkt 12)

15) m^2 > m^2 | 15) Substitution (Kapitel 13)
16) m > m | 16) Quadratwurzeln von Ungleichungen sind ungleich. Die Richtung der Ungleichung ändert sich nicht.

17) 2m > 2m

17) Ungleiche Größen, die mit derselben Zahl multipliziert werden, sind ungleich. Die Richtung der Ungleichung ändert sich nicht.

18) | 18) Substitution (siehe Punkt 5) und 6) sowie Kapitel 3)
19) | 19) Symmetrie (Kapitel 3)

Zusammengefasst: Wenn Sie beweisen möchten, dass zwei Sehnen ungleich lang sind, müssen Sie zwei Dinge zeigen: erstens, dass die Sehnen zu demselben Kreis oder zu kongruenten Kreisen gehören, und zweitens, dass die Sehnen nicht gleich weit vom Mittelpunkt entfernt sind oder dass ihre Bogen ungleich lang sind.

Sie können Sehnen auch dazu verwenden, die relative Beziehung der kleineren Kreisbogen, die sie vom Kreis abtrennen, zu beurteilen. Je länger die Sehne, desto näher ist sie dem Kreismittelpunkt. Je näher die Sehne dem Kreismittelpunkt ist, desto länger ist der kleinere Kreisbogen. Sehen Sie sich dazu Abbildung 9.10 an. Sehne und .

Abbildung 9.10: Längere Sehnen bilden längere kleinere Kreisbogen

Gleich lange Sehnen trennen gleich lange Bogen ab (Axiom 8.2).

Wenn der kleinere Kreisbogen eines Kreises durch eine länger werdende Sehne länger wird (das funktioniert natürlich nur, bis die Sehne durch den Mittelpunkt verläuft, dann dreht sich das Verhältnis um), dann muss die Fläche des abgetrennten Kreissegments von einem anderen Teil des Kreises weggenommen werden. Sie wird vom größeren Kreisbogen genommen: Je länger der kleinere Bogen, desto kürzer ist der größere Bogen. Es gibt viele Möglichkeiten, sich diesen Sachverhalt vor Augen zu führen. Kürzere Sehnen haben z.B. kürzere kleinere Kreisbogen, dafür aber längere größere Kreisbogen.

Satz 9.7: In demselben Kreis bzw. in gleichen Kreisen hat der längere kleinere Kreisbogen die längere Sehne.

Das heißt: Unter gleichen Bedingungen hat der längere kleinere Kreisbogen die längere Sehne.

Satz 9.8: In demselben Kreis bzw. in gleichen Kreisen hat der kürzere kleinere Kreisbogen die kürzere Sehne.

Das heißt: Unter gleichen Bedingungen hat der kürzere kleinere Kreisbogen die kürzere Sehne.

Beweis 9.11 zeigt, dass die relative Länge von Sehnen und die Länge ihrer kleineren Kreisbogen voneinander abhängen.

Bevor Sie anfangen: Zeichen Sie die Radien und .

Beweis 9.11: Der Beweis zu den Längen von Sehnen und Bogen

Aussage | Begründung
1) und sind Sehnen des Kreises M. | 1) Voraussetzung
2) und sind Radien. | 2) Definition eines Radius
3) | 3) Radien innerhalb desselben Dreiecks
| sind kongruent.
4) | 4) Voraussetzung (Es handelt sich um
| größere Kreisbogen.)

5)

5) Ungleiche Größen, die mit derselben negativen Zahl multipliziert werden, sind ungleich. Die Richtung der Ungleichung ändert sich. (Anmerkung: Ich habe jede Seite mit – 1 multipliziert.)

6) | 6) Der Kreisumfang ist gleich der Summe seiner kleineren und größeren Kreisbogen (Kapitel 8).
7) | 7) Siehe Punkt 6)

8)

8) Wenn gleiche Größen zu ungleichen addiert werden, ergeben sich ungleiche Größen. Die Richtung der Ungleichung ändert sich nicht. (U ist der Kreisumfang und wird jeweils zu " und " addiert.

9) | 9) Substitution

Mittelpunktswinkel wirken sich ebenfalls auf die Bogenlänge aus. In demselben Kreis bzw. in gleichen Kreisen gilt: Je größer der Mittelpunktswinkel, desto länger ist der zugehörige Kreisbogen.

Satz 9.9: Im selben Kreis bzw. in gleichen Kreisen hat der Mittelpunktswinkel mit dem größeren Maß den längeren Kreisbogen.

Das heißt: In demselben Kreis bzw. in gleichen Kreisen gilt: Je größer der Mittelpunktswinkel, desto länger ist der Kreisbogen.

Satz 9.10: Im selben Kreis bzw. in gleichen Kreisen hat der Mittelpunktswinkel mit dem kleineren Maß den kürzeren Kreisbogen.

Das heißt: In demselben Kreis bzw. in gleichen Kreisen gilt: Je kleiner der Mittelpunktswinkel, desto kürzer ist der Kreisbogen.

Beweis 9.12 zeigt, dass größere Mittelpunktswinkel längere Kreisbogen und kleinere Mittelpunktswinkel kürzere Kreisbogen haben.

Bevor Sie anfangen: Zeichnen Sie die Radien und .

Beweis 9.12: Der Beweis zu Mittelpunktswinkel und Kreisbogen

Aussage | Begründung
1) und sind Sehnen des Kreises M. | 1) Voraussetzung
2) und sind Radien des Kreises M. | 2) Definition eines Radius
3) | 3) Voraussetzung
4) | 4) Radien innerhalb desselben Dreiecks sind kongruent.

5) ∠AMB < ∠AMY

5) Wenn zwei Dreiecke zwei sich entsprechende kongruente Seiten haben, dann besitzt das Dreieck mit der größeren dritten Seite den größeren eingeschlossenen Winkel.

6) | 6) In demselben Dreieck bzw. in gleichen Dreiecken hat der kleinere Mittelpunktswinkel den kleineren Kreisbogen.

Zusammengefasst: Wenn Sie beweisen möchten, dass zwei Kreisbogen ungleich lang sind, dann müssen Sie zwei Dinge zeigen: erstens, dass die beiden Kreisbogen zu demselben Kreis oder zu kongruenten Kreisen gehören, und zweitens, dass ihre Mittelpunktswinkel ungleich groß oder dass ihre Sehnen ungleich lang sind.

10

Im richtigen Verhältnis: Ähnlichkeit

In diesem Kapitel...

- Das Verhältnis zwischen zwei gleichartigen Größen

- Das Verhältnis zwischen zwei ungleichartigen Größen

- Verhältnisgleichungen (Proportionen)

Letzten Monat hat mir eine Freundin bei der Wohnungsrenovierung geholfen. Da sie Innenarchitektin ist, begann sie zuerst damit, einen Plan mit dem Grundriss der Wohnung zu zeichnen. Dafür brauchte sie natürlich kein 100 Quadratmeter großes Stück Papier. Die Größe ihres Planes konnte sie so reduzieren, dass alle Räume meiner Wohnung in relativer Größe zu den tatsächlichen Ausmaßen dargestellt wurden. Ihre Zeichnung war also eine verkleinerte Version meiner Wohnung. Man kennt das auch von Puppenhäusern oder Spielzeugeisenbahnen, die ebenfalls maßstäblich verkleinerte Miniaturen von »echten« Dingen sind.

In diesem Kapitel lernen Sie, wie man die Größen von Dingen proportional verändert. Danach werden Sie in der Lage sein, die Ausmaße großer Objekte, z.B. des Eiffelturms oder der Freiheitsstatue, einzuschätzen. Dafür werden Sie kein Lineal benötigen, sondern nur die Hilfe von zueinander ähnlichen Dreiecken und Verhältnisgleichungen.

Verhältnisse Haben – mit Zahlen

Angenommen, es befinden sich zehn Murmeln in einem Beutel. Zwei sind schwarz, die restlichen weiß. Wie lässt sich die Anzahl schwarzer Murmeln mit der Anzahl der weißen Murmeln vergleichen? Zuerst müssen Sie alle Informationen in Zahlen umwandeln: zwei schwarze Murmeln und acht weiße Murmeln (Abbildung 10.1).

Abbildung 10.1: In einem Beutel befinden sich zehn Murmeln. Zwei sind schwarz und die restlichen sind weiß

Sie können die Zahlen miteinander vergleichen, indem Sie sie als Verhältnis darstellen. Ein Verhältnis (auch Proportion genannt) ist der Quotient zweier Zahlen, bei dem der Nenner nicht null sein darf. Das kann man so darstellen: ;(b≠0). Das Verhältnis in unserem Bei spiel ist also oder in Worten ausgedrückt »zwei zu acht«. Aber das ist nur eine Möglichkeit. Sie können sich auch das Divisionszeichen zunutze machen, das bei Verhältnissen normalerweise nicht so »÷« aussieht, sondern ein einfacher Doppelpunkt »:« ist: 2:8; als Dezimalzahl: 0,25; oder als Prozentzahl: 25%.

Ein Verhältnis vergleicht zwei Zahlen, aber es gibt natürlich auch Verhältnisse mit mehr als zwei Zahlen, was dann z.B. so aussehen könnte: 2:7:8. Hier wird Folgendes miteinander verglichen: und . Diese Art von Verhältnis nennt man fortlaufende Proportion.

Maß halten

Ein Verhältnis hat zunächst einmal keine Maßeinheit. Wenn Sie also die Anzahl schwarzer und weißer Murmeln vergleichen, dann werden in der mathematischen Darstellung weder die Worte schwarz noch weiß noch Murmeln vorkommen. Man kann nicht einfach beliebige Zahlen zusammenwürfeln und sie dann als Verhältnis darstellen. Sie müssen sicherstellen, dass diese Zahlen auch dieselbe Maßeinheit haben - und zwar, bevor Sie sie miteinander vergleichen. Oder es muss zumindest möglich sein, die Maßeinheiten in dieselbe Maßeinheit zu bringen. Ein Beispiel: Sie möchten 6 Zentimeter mit 3 Metern vergleichen. Das Verhältnis von wäre in diesem Fall falsch, weil Sie zunächst die 3 Meter in Zentimeter umrechnen müssen.

In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen, wie die Umrechnung funktioniert. Die folgende Umrechnungsmethode habe ich auf dem Gymnasium im Fach Chemie gelernt, und sie scheint mir noch immer die einfachste zu sein. Am besten, Sie schreiben sich zuerst alles auf ein Blatt Papier, damit Sie es schwarz auf weiß vor sich haben.

Wenn Sie mit verschiedenen Einheiten zu tun haben, schreiben Sie alle vorkommenden Zahlen immer zusammen mit der zugehörigen Maßeinheit. Das ist der beste Weg, um die unterschiedlichen Größen nicht durcheinander zu bringen.

1. Beginnen Sie mit der Größe, deren Maßeinheit Sie loswerden wollen.

Wenn Sie 6 Zentimeter mit 3 Metern vergleichen möchten und mit Zentimetern arbeiten wollen, müssen Sie demnach mit den 3 Metern beginnen.

2. Stellen Sie die Gleichung auf.

In diesem Beispiel müssen Sie Meter in Zentimeter umrechnen. Schreiben Sie eine 1 unter die 3 Meter - Sie wissen, dass dasselbe ist wie 3.

Dieser Schritt hilft Ihnen dabei, die Größen im Bruch an der richtigen Stelle zu belassen.

3. Beginnen Sie mit der Umrechnung.

Als Nächstes multiplizieren Sie die 3 Meter mit 1. Diese 1 ist nicht irgendeine gewöhnliche 1. Die 1 steht in diesem Fall für 1 Meter und wird mit einem Bruch wiedergegeben, in dem unten 1 Meter steht.

Sie wissen, dass 1 Meter 100 Zentimetern entspricht. Also lautet der Bruch, der genau die gleiche Größe wie 1 wiedergibt, . Dann können Sie kürzen:

4. Die Gleichung auflösen.

Die Metereinheiten heben sich gegenseitig auf. Übrig bleibt 3 x 100 cm. Das Produkt ist 300 cm. Somit entsprechen 3 Meter 300 Zentimetern.

Nun können Sie die umgerechnete Zahl in einem Verhältnis verwenden, weil ihre Maßeinheit zur Maßeinheit der Zahl passt, mit der Sie sie vergleichen wollen. In unserem Beispiel wäre das dann oder .

Geometrische Verhältnisse,

Da ein Verhältnis ein Vergleich von Größen ist, können Sie damit alle möglichen messbaren Größen vergleichen, einschließlich der Seitenlängen eines Dreiecks, der Maße von Winkeln oder der Längen von Strecken.

Sehen Sie sich beispielsweise Abbildung 10.2 an. Die Seite von ΔABC ist 10 cm lang, Seite ist 8 cm lang. Das Verhältnis der beiden Seitenlängen ist . ist also 1,25 Mal länger als .

Abbildung 10.2: Man kann den Vergleich von Seitenlängen eines Dreiecks als Verhältnis darstellen

Schauen Sie sich jetzt Abbildung 10.3 an. Das Verhältnis von ∠BAC zu ∠1 ist bzw. 2. Das Maß von ∠BAC ist doppelt so groß wie das Maß von ∠1.

Abbildung 10.3: Man kann den Vergleich von Winkelmaßen als Verhältnis darstellen

Noch ein Beispiel: In Abbildung 10.4 ist gleich 5 und gleich 2. Das Verhältnis der Längen dieser beiden Strecken ist . ist 2,5 Mal länger als .

Abbildung 10.4: Man kann den Vergleich von Streckenlängen als Verhältnis darstellen

Vergleiche zwischen ungleichartigen Größen

Was passiert, wenn Sie zwei Dinge miteinander vergleichen möchten, deren Maßeinheiten unterschiedlich und nicht veränderbar sind? Sie kennen sicher das Sprichwort: »Man kann Äpfel nicht mit Birnen vergleichen.« Darum geht es. Sie können keine zwei Größen in einem Verhältnis darstellen, wenn beide nicht dieselbe Maßeinheit haben. Diese Größen sind nicht vergleichbar Das heißt aber nicht, dass die Informationen, die Ihnen solche Größen liefern, nutzlos sind. Sie können als Verhältnis zwischen ungleichartigen Größen dargestellt werden.

Kilometer mit Litern vergleichen

Angenommen, Sie fahren auf der Autobahn, um Ihre Mutter zu besuchen. Sie überlegen, ob Sie noch tanken sollen, bevor Sie bei ihr ankommen. Momentan ist Ihr Tank noch halb voll. Sie wissen, dass in Ihren Tank 60 Liter Benzin passen. Die Hälfte von 60 ist 30, Sie haben also noch 30 Liter Benzin im Tank. Gerade sind Sie an einem Straßenschild vorbeigefahren: Bis zu Ihrer Mutter sind es noch 120 Kilometer. Sie müssen 120 Kilometer mit 30 Litern Benzin fahren. Reicht das? Dafür brauchen Sie noch eine Information: Wie viele Liter verbraucht Ihr Auto auf 100 Kilometer? Erst dann können Sie entscheiden, ob Sie es mit der Tankfüllung noch bis zu Ihrem Zielort schaffen.

Kilometer und Liter sind ein gutes Beispiel für nicht vergleichbare Größen. Die Informationen, die Sie aus diesen Größen ableiten können, sind absolut hilfreich, insbesondere, wenn Sie nicht mit leerem Tank auf der Autobahn stehen bleiben und zu Fuß zu Ihrer Mutter gehen wollen.

Okay, Ihr Auto verbraucht auf 100 Kilometer 8 Liter. Wenn Sie also noch 30 Liter im Tank haben und Ihr Auto 8 Liter auf 100 Kilometer verbraucht, dann müssen Sie diese Größen mit Hilfe folgender Gleichung multiplizieren:

Beginnen Sie Ihre Gleichung mit den 30 Litern, die sich noch im Tank befinden. Schreiben Sie eine 1 darunter, damit ein Bruch entsteht, mit dem Sie multiplizieren können. Als Nächstes folgt der Vergleich: 8 Liter auf 100 Kilometer. 30 Liter stehen als Einheit für die Liter im ersten Bruch über dem Bruchstrich. Da Sie am Ende Kilometer herausbekommen möchten, müssen die Liter im zweiten Bruch unten stehen. Dadurch heben sich die Liter in beiden Brüchen auf. Und Sie wissen jetzt, wie weit Sie mit Ihrer Tankfüllung noch fahren können, nämlich 375 Kilometer. Sie schaffen es also noch leicht bis zu Ihrer Mutter, ohne vorher tanken zu müssen.

Kilometer mit Stunden vergleichen

Kilometer pro Stunde - ein weiteres gutes Beispiel für zwei nicht vergleichbare Größen. Angenommen, es gibt auf der Autobahn, die Sie zu Ihrer Mutter bringen soll, eine Geschwindigkeitsbegrenzung von 130 Stundenkilometern (bzw. 130 km/h). Es sind noch 120 Kilometer bis zu Ihrem Ziel und Sie wollen konstant mit 130 km/h fahren. Wie lange werden Sie für Ihre Fahrt brauchen? Wenden Sie folgende Formel an, um es herauszubekommen:

Wie Sie bemerkt haben, steht 1h (1 Stunde) in der Gleichung oben und 130 km (130 Kilometer) unten. Sie müssen sich fragen, mit welcher Maßeinheit Sie beginnen sollen und welche Maßeinheit am Ende herauskommen soll. Sie suchen diejenige Maßeinheit, die am Ende der Umrechung als einzige übrig bleibt. Eine Maßeinheit fällt weg, wenn eine Größe mit dieser Maßeinheit im Bruch oben und eine andere Größe mit dieser Maßeinheit im Bruch unten steht. Die beiden Maßeinheiten heben sich dann gegenseitig auf (sie lassen sich kürzen).

In diesem Beispiel beginnen Sie also mit der zu fahrenden Strecke. Am Ende wollen Sie herausbekommen, wie viele Stunden Sie brauchen, um ans Ziel zu kommen. Lassen Sie sich bei der Aufstellung der Gleichung einfach von den Maßeinheiten leiten. Auf diese Weise brauchen Sie sich keine Gedanken zu machen, ob Sie multiplizieren oder dividieren müssen. Sie müssen Ihre Gleichung lediglich so aufstellen, dass am Ende nur noch eine Maßeinheit übrig bleibt. Der Rechenweg ist damit automatisch festgelegt. Wenn Sie in unserem Beispiel die Gleichung für die Umrechnung aufgestellt haben, dann sagt diese Ihnen, dass Sie die beiden Werte über dem Bruchstrich, nämlich 120 und 1, sowie die beiden Werte unter dem Bruchstrich, nämlich 1 und 130, miteinander multiplizieren müssen. Das Ergebnis ist . Sie können also Ihre Mutter anrufen und Ihr mitteilen, dass Sie in weniger als einer Stunde bei Ihr sein werden, genauer gesagt in ca. 0,92 Stunden. (Aber so genau wird sie es wahrscheinlich gar nicht wissen wollen.)

Preis pro Einheit

Ich persönlich finde den Vergleich von Preis und Einheit sehr nützlich, insbesondere, wenn ich im Supermarkt bin. Ich kann nämlich ziemlich viel Zeit damit verbringen, die Preise von Produkten miteinander zu vergleichen.

Ein Beispiel: Eine Flasche Spülmittel kostet € 1,29 und eine andere 99 Cent. Wenn man nur auf den Preis schaut, könnte man denken, dass die 99-Cent-Flasche das günstigere Angebot ist. Bei näherem Hinsehen entdeckt man allerdings, dass genau das Gegenteil der Fall ist. Die 99-Cent-Flasche beinhaltet lediglich 100 Milliliter (abgekürzt ml), die Flasche zu € 1,29 dagegen 140 ml. Der Preis pro Einheit erlaubt es Ihnen, beide Produkte miteinander zu vergleichen. In diesem Fall kostet die Flasche mit 100 ml bzw. 0,99 Cent pro Milliliter und die Flasche mit 140 ml bzw. ca. 0,92 Cent pro Milliliter. Damit ist die 140-ml-Flasche das günstigere Angebot (Abbildung 10.5).

Abbildung 10.5: Wenn eine Flasche Spülmittel weniger als eine andere kostet, dann ist die günstigere nicht zwangsläufig das bessere Angebot. Sie müssen immer den Preis pro Einheit vergleichen

Ungleichartige Größen in der Geometrie

Was hat das Ganze eigentlich noch mit Geometrie zu tun? Vergleiche zwischen ungleichartigen Größen können auch in der Geometrie sehr hilfreich sein, vor allem wenn es um die Darstellung von Verhältnissen in den so genannten Verhältnisgleichungen geht. Verhältnisgleichungen sind ... ach, lesen Sie einfach weiter!

Gut proportioniert: Verhältnisgleichungen

Als Verhältnisgleichungen oder Proportionen werden Gleichungen bezeichnet, die zwei Verhältnisse miteinander gleichsetzen. Eine Verhältnisgleichung kann verschiedene Formen haben. Eine Form ist beispielsweise: a:b = c:d. In der Geometrie werden hierfür normalerweise Brüche zur Darstellung verwendet:

Diese Verhältnisgleichung liest sich: »a zu b wie c zu d«. a, b, c und d sind das erste, zweite, dritte und vierte Glied der Gleichung. a und c werden auch als Vorderglieder bezeichnet, b und d als Hinterglieder der Proportion (Abbildung 10.6).

Abbildung 10.6: Die Glieder einer Proportion

Die erste und die vierte Größe der Proportion sind zugleich auch die äußersten Größen der Proportion. Sie werden daher Außenglieder genannt. b und c sind dagegen die Innenglieder der Verhältnisgleichung. Abbildung 10.7 verschafft Ihnen einen guten optischen Eindruck der Bezeichnungen.

Abbildung 10.7: Außen- und Innenglieder einer Proportion

Um zu entscheiden, ob eine Verhältnisgleichung wahr ist, müssen Sie die beiden Außenglieder sowie die beiden Innenglieder multiplizieren. Die Produkte müssen gleich sein, damit die Verhältnisgleichung wahr ist. Hier eine kleine Hilfe: Zeichnen Sie ein X über die Proportion. Zahlen, die auf derselben Linie liegen, werden multipliziert. Multiplizieren Sie den Zähler (die obere Zahl) eines Bruchs mit dem Nenner (die untere Zahl) des anderen Bruchs. Man nennt diesen Vorgang Überkreuzmultiplizieren.

In Abbildung 10.8 habe ich ein X bzw. ein Kreuz über meine Verhältnisgleichung gezeichnet, um herauszufinden, welche Größen überkreuzmultipliziert werden müssen. In diesem Fall werden 7 und 2 sowie 14 und 1 miteinander multipliziert.

Die Produkte ergeben in beiden Fällen 14. Das Ergebnis lässt sich ohne Bruch wie folgt darstellen: 14 = 14. Die Aussage der Gleichung in Abbildung 10.8 ist demnach wahr.

Abbildung 10.8: Bei einer Überkreuzmultiplikation können Sie ein X über Ihre Gleichung zeichnen und die Größen, die auf derselben Linie liegen, miteinander multiplizieren

Ein anderes Szenario: Die Größen

werden als Verhältnisgleichung dargestellt. Wenn es sich dabei tatsächlich um eine Verhältnisgleichung handeln soll, dann müsste die Multiplikation von 6 mit 4 dasselbe ergeben wie die Multiplikation von 12 mit 3:

Weil 24 = 36 nicht wahr ist, handelt es sich bei

nicht um eine Verhältnisgleichung.

Schauen Sie sich nun folgende Verhältnisgleichung an:

Wenn Sie überkreuzmultiplizieren, kommen Sie auf 36 = 36. Die beiden Größen sind gleich. Somit handelt es sich bei diesem Beispiel um eine Verhältnisgleichung. Der Zusammenhang von Außen- und Innengliedern lässt sich so zusammenfassen: In einer Verhältnisgleichung ist das Produkt der Außenglieder gleich dem Produkt der Innenglieder.

Satz 10.1: In einer Verhältnisgleichung sind die Ergebnisse der Überkreuzmultiplikation gleich, das heißt, das Produkt der Außenglieder ist gleich dem Produkt der Innenglieder.

Das heißt: Wenn = , dann ist ad = bc. In Zahlen ausgedrückt: Wenn 1:8 = 2:16, dann ist (1)(16) = (2)(8) bzw. 16 = 16. Wie Sie sehen, habe ich hier das Divisionszeichen anstelle von Brüchen verwendet. Keine Sorge: Für die Darstellung eines Verhältnisses ist beides erlaubt.

Wenn das Produkt von zwei Zahlen gleich dem Produkt von zwei anderen Zahlen ist, dann können die Zahlen als Verhältnisgleichung dargestellt werden. Dabei ist es egal, welche zwei Zahlen als Außenglieder bzw. welche als Innenglieder fungieren.

Satz 10.2: Wenn die Produkte zweier Zahlenpaare gleich sind, dann kann jedes der beiden Paare entweder als die Außen- oder als die Innenglieder auftreten.

Das heißt: Wenn ab = cd, dann ist oder . Mit Zahlen sieht das folgendermaßen aus: Wenn (1)(16) = (8)(2), dann ist 1:8 = 2:16 oder 8: 1 = 16:2.

Das Wissen, dass die Produkte von Überkreuzmultiplikationen gleich sind, können Sie sich auch zu Nutze machen, wenn Sie nach einer Größe suchen. Wie? Multiplizieren Sie und lösen Sie dann nach der Unbekannten auf. Ein Beispiel:

Die Überkreuzmultiplikation ergibt folgendes Bild:

50x = 200

Lösen Sie auf und Sie erhalten:

x = 4

Sie können sich das Ganze auch etwas einfacher machen, indem Sie die gegebenen Brüche zuerst so weit wie möglich kürzen. Auf diese Weise erhalten Sie Zahlen, mit denen Sie viel leichter rechnen können. Zum Beispiel können Sie

als

schreiben und dann das Ergebnis errechnen:

Ersetzen Sie das x und die vollständige Gleichung liest sich »4 verhält sich zu 20 wie 1 zu 5.«

Wenn nicht nur eine Größe unbekannt ist, müssen Sie ein wenig mehr rechnen. Hier ein Beispiel:

Zwei Glieder der Gleichung sind unbekannt. Vielleicht werden Ihnen auch einmal Gleichungen mit noch mehr Unbekannten begegnen - der Lösungsweg ist immer gleich. Führen Sie die Überkreuzmultiplikation durch und Sie erhalten Folgendes:

9x + 9 = 6x + 18

Jetzt müssen Sie nach x auflösen, indem Sie von beiden Seiten subtrahieren:

Als Nächstes subtrahieren Sie 6x von beiden Seiten:

Dividieren Sie nun jede Seite durch 3:

Wer hat eigentlich behauptet, dass jeder Wert nur einmal vorkommen darf? Niemand, und deswegen kann sich ein Wert in einer Verhältnisgleichung auch wiederholen. Wenn das auf die Innenglieder der Verhältnisgleichung zutrifft, spricht man vom geometrischen Mittel der Außenglieder der Gleichung. Das lässt sich so darstellen:

Mit Zahlen:

Das geometrische Mittel zwischen 2 und 8 ist somit 4.

Verhältnisgleichungen sind sehr elastisch. Man kann sie biegen, vertauschen und verdrehen, und sie bleiben immer noch wahr. Was also kann man mit den Werten einer Verhältnisgleichung alles anstellen, ohne gegen irgendwelche Regeln zu verstoßen?

Die Sätze 10.3 bis 10.6 behandeln einige Regeln zur Umwandlung einer Verhältnisgleichung in eine äquivalente Verhältnisgleichung.

Satz 10.3: Die Verhältnisse auf beiden Seiten einer Verhältnisgleichung können umgedreht werden, ohne dass sich etwas dabei ändert.

Das heißt: Wenn , dann ist ebenfalls wahr.

Satz 10.4: Außen- oder Innenglieder einer Verhältnisgleichung können ihre Position innerhalb der Gleichung tauschen. Die Verhältnisse bleiben dabei unverändert.

Das heißt: Wenn , dann sind oder ebenfalls wahr.

Satz 10.5: Wenn in einer Verhältnisgleichung das zweite Glied zum ersten Glied und das vierte Glied zum dritten Glied addiert wird, kommt dabei eine äquivalente Verhältnisgleichung heraus.

Das heißt: Wenn , dann ist ebenfalls wahr.

Satz 10.6: Wenn in einer Verhältnisgleichung das zweite Glied vom ersten Glied und das vierte Glied vom dritten Glied subtrahiert wird, kommt dabei eine äquivalente Verhältnisgleichung heraus.

Das heißt: Wenn , dann ist ebenfalls wahr.

Verhältnisgleichungen und Dreiecke

Ein Dreieck besteht zunächst einmal aus drei Strecken. Sie können ziemlich beliebig Geraden oder Strecken hinzufügen. Insbesondere Hilfslinien werden Sie manchmal ganz schön auf Trab halten. Kommt man im Zusammenhang mit Verhältnisgleichungen auf Hilfslinien zu sprechen, dann ist dabei vor allem eine von Bedeutung: die Mittellinie. Die Mittellinie ist die Verbindungslinie zwischen zwei Seitenmittelpunkten. Sie ist halb so lang wie die dritte Seite und parallel zu dieser (Satz 6.3 und 6.4). Sehen Sie sich das Dreieck und dessen Mittellinie in Abbildung 10.9 an. Erkennen Sie die Verhältnisse?

Abbildung 10.9: Die Mittellinie von ΔKLM lässt Verhältnisse entstehen, indem sie Dreiecksseiten teilt.

Man kann drei Grundkategorien von Verhältnisgleichungen anhand der Informationen aus dem Dreieck KLM in Abbildung 10.9 aufstellen: Vergleiche, die ausschließlich zwischen Strecken angestellt werden sowie zwei Arten von Vergleichen zwischen Strecken und Seiten. Um keine Verwirrung zu stiften, lassen Sie mich erklären, was ich hier unter Strecke und Seite verstehe. In diesem Kontext ist mit Strecke ein Abschnitt einer Seite oder einer Geraden gemeint - und nicht die gesamte Seite. Eine Seite ist dagegen die gesamte Länge einer der drei Seiten des Dreiecks. Jede Verhältnisgleichung dieser drei Kategorien lässt sich außerdem den Sätzen 10.3 bis 10.6 zuordnen, die es Ihnen erlauben, äquivalente Verhältnisgleichungen zu bilden.

Streckenverhältnisse

In Abbildung 10.9 sind die beiden Seiten von ΔKLM, die von der Mittellinie geschnitten werden, in vier kürzere gleich große Strecken aufgeteilt. In der Kategorie von Verhältnisgleichungen, in der ausschließlich der Vergleich von Strecken im Mittelpunkt steht, werden die Längen dieser kürzeren Strecken miteinander verglichen. Die gebildeten Verhältnisgleichungen können in jeweils eine von vier Richtungen gelesen werden: nach unten, nach oben, rechts oder links. Die Richtungsangabe hängt davon ab, welche Seitenlänge Sie wo in die Gleichung einsetzen.

Um eine Verhältnisgleichung mit Strecken, die durch die Mittellinie gebildet wurden, aufzustellen und die nach unten gelesen werden soll, müssen Sie mit der Strecke oben links beginnen: a. Dann bewegen Sie sich zur zweiten Strecke auf der linken Seite: c. Das erste Verhältnis sieht so aus:

Gehen Sie nun zur gegenüberliegenden Seite, um die andere Hälfte der Verhältnisgleichung zu bilden. Die Strecke oben rechts liegt über der Strecke unten rechts:

Wenn Sie diese beiden Verhältnisse als Verhältnisgleichung darstellen möchten, erhalten Sie folgendes Bild:

Diese Verhältnisgleichung bedeutet: »Die linke obere Seite von ΔKLM verhält sich zur linken unteren Seite von ΔKLM wie die rechte obere Seite von ΔKLM zur rechten unteren Seite von ΔKLM.«

Um diese Verhältnisgleichung aufstellen zu können, haben Sie links begonnen. Sie können natürlich auch rechts beginnen. Achten Sie aber darauf, dass Sie konsistent bleiben. Wenn Sie rechts beginnen, sieht das Ganze so aus:

Sorgen Sie dafür, dass Ihre Verhältnisgleichung wahr ist. Die Produkte der Überkreuzmultiplikation müssen identisch sein.

Abbildung 10.10: Wenn Sie eine Verhältnisgleichung aufstellen wollen, die nach unten gelesen werden soll, müssen Sie entlang der Dreiecksseiten von oben nach unten lesen

Wenn Sie eine Verhältnisgleichung, die von unten nach oben gelesen werden soll, aufstellen möchten, müssen Sie links unten beginnen (Abbildung 10.11.). In diesem Beispiel liest sich die Verhältnisgleichung »c verhält sich zu a wie d zu b« und sieht so aus:

Abbildung 10.11: Wenn Sie eine Verhältnisgleichung aufstellen wollen, die nach oben gelesen werden soll, müssen Sie entlang der Dreiecksseiten von unten nach oben lesen.

Von links nach rechts (Abbildung 10.12) liest sich die Verhältnisgleichung »a verhält sich zu b wie c zu d« und sieht folgendermaßen aus:

Abbildung 10.12: Wenn Sie eine Verhältnisgleichung aufstellen wollen, die von links gelesen werden soll, müssen Sie im Dreieck von links nach rechts lesen

Von rechts nach links gelesen (Abbildung 10.13) liest sich die Verhältnisgleichung »b verhält sich zu a wie d zu c« und sieht folgendermaßen aus:

Abbildung 10.13: Wenn Sie eine Verhältnisgleichung aufstellen wollen, die von rechts gelesen werden soll, müssen Sie im Dreieck von rechts nach links lesen

Verhältnisse Von Strecken und Seiten

Man kann zwei wesentliche Vergleiche zwischen einer Strecke (hier: der Teil einer Dreiecksseite) und der ganzen Seite eines Dreiecks anstellen. Es ist möglich, die obere Strecke mit der ganzen Seite oder die untere Strecke mit der ganzen Seite zu vergleichen. Wenn die oberen Strecken jeder Seite mit der ganzen Seite verglichen werden, dann liest sich die Verhältnisgleichung: »Die obere linke Strecke des Dreiecks verhält sich zur ganzen linken Seite wie die obere rechte Strecke zur ganzen rechten Seite« (Abbildung 10.14). Die Verhältnisgleichung sieht in diesem Fall wie folgt aus:

Abbildung 10.14: Ein Vergleich von Strecken und Seiten. Hier werden die oberen Strecken mit den Seiten von ΔKLM verglichen

Die nächste Verhältnisgleichung ist der vorherigen sehr ähnlich, mit einer Ausnahme: Hier wird die untere Strecke mit der ganzen Seite verglichen. In Worten: »Die untere linke Strecke verhält sich zur ganzen linken Seite wie die untere rechte Strecke zur ganzen rechten Seite« (Abbildung 10.15). Die Verhältnisgleichung dazu:

Abbildung 10.15: Ein Vergleich von Strecken und Seiten. Hier werden die unteren Strecken mit den Seiten von ΔKLM verglichen

Parallelen und Verhältnisgleichungen

Verhältnisse entstehen in einem Dreieck nicht nur durch das Zeichnen der Mittellinie. Jede Gerade, die zwei Seiten eines Dreiecks schneidet und dabei parallel zur dritten ist, teilt das Dreieck proportional (Abbildung 10.16).

Abbildung 10.16: Jede Gerade, die zwei Seiten eines Dreiecks schneidet und parallel zur dritten ist, schafft Möglichkeiten des Vergleichs

In Abbildung 10.16 sind und parallel zu . Da gibt es viel zu tun! Sie können und mit XF und vergleichen. Oder Sie versuchen etwas Neues und vergleichen die Strecken, die durch die Geraden l und m entstanden sind. Sie können die Proportionen von und mit der Länge ihrer zugehörigen Seiten vergleichen:

Alle vorangehenden Möglichkeiten stellen proportionale Beziehungen von ΔYYZ dar, die durch parallele Geraden entstanden sind.

Satz 10.7: Eine Gerade, die parallel zu einer Dreiecksseite ist, teilt die beiden anderen Dreiecksseiten proportional.

Das heißt: Befindet sich eine Gerade innerhalb eines Dreiecks und ist diese Gerade parallel zu einer der anderen Seiten, dann teilt die Gerade die Dreiecksseiten proportional.

Satz 10.8: Wenn eine Gerade zwei Seiten eines Dreiecks proportional teilt, dann ist sie parallel zur dritten Seite.

Das heißt: Satz 10.8 dreht die Information aus Satz 10.7 einfach um und liefert eine neue Perspektive auf die Information. Wenn Sie wissen, dass die Seiten eines Dreiecks proportional geteilt sind, dann ist die dafür verantwortliche Gerade parallel zu der Dreiecksseite, die nicht von ihr berührt wird.

Kleiner Bruder: Ähnliche Polygone

Ähnliche Polygone sehen sich ähnlich - gleich sind sie nicht. Im Gegensatz zu kongruenten Polygonen, bei denen alle sich entsprechenden Teile kongruent sind, haben zueinander ähnliche Polygone zumindest die Größe ihrer Winkel gemeinsam. Die Seiten von zueinander ähnlichen Polygonen sind nicht gleich groß, aber dafür stimmen sie im Verhältnis überein. Ähnliche Polygone sehen gleich aus, aber eines von beiden macht den Eindruck, als sei es beim Waschen eingegangen (Abbildung 10.17).

Abbildung 10.17: Ähnliche Polygone haben die gleiche Form, aber nicht notwendigerweise die gleiche Größe

In Abbildung 10.17 lässt sich die Beziehung von Winkeln und Seiten der beiden Polygone ABCD und EFGH wie folgt formulieren:

Seiten | Winkel
| ∠A ↔ ∠E
| ∠B ↔ ∠F
| ∠C ↔ ∠G
| ∠D ↔ ∠H

Die Seiten des Polygons (siehe linke Spalte) sind proportional zueinander und die Winkel (in der rechten Spalte) sind kongruent.

Zwei Bedingungen müssen erfüllt sein, bevor man zwei Polygone als zueinander ähnlich bezeichnen kann:

- Alle Paare der Winkel müssen kongruent sein.

- Alle entsprechenden Seiten müssen im Verhältnis übereinstimmen.

Ähnliche Dreiecke

Dreiecke sind Polygone. Somit fallen auch sie unter die Kriterien, die notwendig sind, damit Polygone zueinander ähnlich sind. Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie zwei Bedingungen erfüllen:

Alle Paare der Winkel müssen kongruent sein und die drei Paare entsprechender Seiten müssen im Verhältnis übereinstimmen. Weil dies die Definition für ähnliche Dreiecke ist und weil alle Definitionen umkehrbar sind, können Sie das Ganze auch umdrehen. Anstatt mit dem Ausdruck ähnliche Dreiecke zu beginnen und dann auf die Kriterien zu kommen, die erfüllt werden müssen, damit zwei Dreiecke als zueinander ähnlich eingestuft werden können, starten Sie einfach mit den Kriterien. Wenn die Kriterien erfüllt sind, können Sie die Dreiecke für ähnlich erklären. Wenn Sie also zwei Dreiecke mit drei Paaren kongruenter Winkel und drei Paaren proportionaler entsprechender Seiten haben, können Sie die beiden Dreiecke für zueinander ähnlich erklären. (Diese umgekehrte Definition ist nützlich für die gleich folgenden Beweise, bei denen die Ähnlichkeit von Dreiecken bewiesen wird.)

Wenn nur die Winkelmaße von zueinander ähnlichen Dreiecken, die kongruent sind, gegeben sind, gibt es keine Möglichkeit, die Größen der Dreiecke miteinander zu vergleichen. Aber Sie wissen wenigstens, dass die Seiten von zueinander ähnlichen Dreiecken im Verhältnis übereinstimmen. Wenn Sie ein Verhältnis mit den Längen zweier entsprechender Seiten von zwei zueinander ähnlichen Dreiecken aufstellen, kann dieses Verhältnis als Vergleich zwischen Seitenlängen von Dreiecken dienen, die nicht gleich groß sind. Abbildung 10.18 zeigt zwei zueinander ähnliche Dreiecke. Das Symbole ~ bedeutet Ähnlichkeit. Somit liest sich ΔABC ~ ΔEFG » ΔABC ist ähnlich zu ΔEFG«. ΔABC hat die Seitenlängen 6, 8 und 10. Die entsprechenden Seitenlängen von ΔEFG sind 3, 4 und 5.

Abbildung 10.18: ΔABC ist ähnlich zu ΔEFG

In Abbildung 10.18 hat eine Länge von 6 und eine Länge von 3. Das Verhältnis dieser beiden Längen ist . Wenn Sie dieses Verhältnis kürzen, erhalten Sie (bzw. 2:1). Das Verhältnis zwischen zwei sich entsprechenden Seiten von zueinander ähnlichen Dreiecken (oder Polygonen) nennt man Ähnlichkeitsverhältnis. Dieses Verhältnis gibt Ihnen Auskunft über die Beziehung eines Dreiecks zu einem anderen. Im Fall von ΔABC und ΔEFG ist das Ähnlichkeitsverhältnis 2:1. Damit sind die Seiten von ΔABC doppelt so lang wie die Seiten von ΔEFG.

Die Kunst, die Ähnlichkeit von Dreiecken zu beweisen

Geschichte wiederholt sich, das ist nun mal so. Einzelheiten können sich ändern, Grundlegendes bleibt gleich. In Kapitel 6 habe ich die Kongruenz von Dreiecken bewiesen. Die Ähnlichkeit von Dreiecken zu beweisen, funktioniert fast genauso - aber eben nur fast.

Um zu beweisen, dass zwei Dreiecke kongruent sind, müssen Sie zeigen, dass die drei Paare entsprechender Seiten und Winkel kongruent sind. Man kann sich die Sache auch erleichtern, indem man die ein oder andere Abkürzung nimmt. Um zu beweisen, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind, haben Sie die gewaltige Aufgabe, zu beweisen, dass die drei Paare von Winkeln kongruent sind und die drei Paare entsprechender Seiten dieselben Verhältnisse aufweisen. Und hier zeigt sich tatsächlich, dass sich Geschichte wiederholt: Es gibt Abkürzungen, die Sie nehmen können und die Ihnen viel Zeit ersparen.

Ich beginne mit der einfachsten Abkürzung. Sie ist vielleicht nicht am einfachsten zu beweisen, dafür am einfachsten zu erklären. Wenn Sie zeigen, dass zwei beliebige Paare von Winkeln kongruent sind, sind die Dreiecke zueinander ähnlich (Abbildung 10.19).

Abbildung 10.19: Wenn zwei Winkel von ΔABC kongruent zu zwei Winkeln von ΔEFG sind, dann sind die Dreiecke zueinander ähnlich

In Abbildung 10.19 gilt: ∠A ↔ ∠E und ∠C ↔ ∠G. Es ist außerdem wahr, dass ∠A ≡ ∠E und ∠C ≡ ∠G. Die Abbildung zeigt, dass zwei Paare von Winkeln kongruent sind. Aus dieser Information können Sie schließen, dass ΔABC ~ ΔEFG.

Satz 10.9: Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn zwei Paare von Winkeln kongruent sind.

Das heißt: Haben zwei Dreiecke zwei Paare von kongruenten Winkeln, dann sind sie zueinander ähnlich. Hierbei handelt es sich um einen so genannten Ähnlichkeitssatz, nämlich den Winkel-Winkel-Satz bzw. WW-Satz.

Wie wäre es, wenn wir unser Beispiel ein wenig abwandeln? Bei den Dreiecken in Abbildung 10.20 handelt es sich jeweils um rechtwinklige Dreiecke. Das Maß eines rechten Winkels ist bekannt. Ist das Maß eines der beiden spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck kongruent zu einem spitzen Winkel in einem anderen rechtwinkligen Dreieck, dann sind die Dreiecke zueinander ähnlich. Dieser Denkansatz schließt sich an Satz 10.9 an und ist eine Folgerung daraus. Sie legen dabei grundsätzlich fest, dass zwei Winkelpaare kongruent sind: der rechte Winkel und einer der beiden spitzen Winkel. In Abbildung 10.20 sind jeweils zwei Winkel 90° und 30° groß. Diese Dreiecke kann man als zueinander ähnlich bezeichnen.

Abbildung 10.20: Zwei rechtwinklige Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn einer der spitzen Winkel in einem Dreieck kongruent zu einem spitzen Winkel im anderen Dreieck ist

Korollar 10.1: Zwei rechtwinklige Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn ein spitzer Winkel in einem Dreieck kongruent zu einem spitzen Winkel im zweiten Dreieck ist.

In Abbildung 10.21 wird ein Dreieck von einer Geraden geschnitten, die parallel zu einer der drei Seiten ist, während sie die beiden anderen kreuzt. Mit Hilfe dieser Geraden kann man nicht nur Aussagen über die Proportionen der Strecken machen. Sie lässt außerdem ein Dreieck entstehen, das um x kleiner ist als das ursprüngliche Dreieck.

Abbildung 10.21: Eine Gerade, die parallel zu einer Dreieckseite ist, während sie die anderen beiden Dreiecksseiten schneidet, lässt ein kleineres ähnliches Dreieck entstehen

In Abbildung 10.21 teilt ΔAFE Bereiche mit ΔABC. Die Maße der drei Winkel beider Dreiecke sind kongruent. Beide Dreiecke haben ∠Agemeinsam. Das Maß von ∠ACBist kongruent zum Maß von ∠E. Das_Maß von ∠ABCist kongruent zum Maß von ∠F. Wie das funktioniert? ist parallel zu . Denken Sie sich nun und als die Transversalen dieser beiden Geraden. Und wie Sie wissen werden kongruente Winkel gebildet, wenn eine Transversale (bzw. wie in diesem Fall eine Dreiecksseite) parallele Geraden schneidet. Die Seiten von ΔABC stimmen außerdem im Verhältnis zu den Seiten von ΔAFE überein, weil zu parallel ist.

Bei zueinander ähnlichen Dreiecken gibt es so etwas wie den Seite-Winkel-Seite-Satz zum Nachweis der Kongruenz (Axiom 6.1). Wenn Sie versuchen, die Kongruenz von Dreiecken zu beweisen, suchen Sie nach zwei kongruenten Seiten mit einem eingeschlossenen kongruenten Winkel. Bei zueinander ähnlichen Dreiecken ist die Kongruenz zweier Seiten nicht erforderlich - Sie müssen lediglich proportional sein. Das ist der Unterschied. Um zu beweisen, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind, müssen Sie zeigen, dass entsprechende proportionale Seiten an einen kongruenten Winkel angrenzen. Klingt einfach, oder? Abbildung 10.22 zeigt, wie das Ganze aussehen soll.

Abbildung 10.22: Zwei Dreieck sind zueinander ähnlich, wenn sie einen kongruenten Winkel haben und die Seiten, die an den Winkeln anliegen, im Verhältnis übereinstimmen

Satz 10.10: Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie einen kongruenten Winkel haben und die beiden anliegenden Seiten im Verhältnis übereinstimmen.

Das heißt: Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn ein Winkel im einen Dreieck kongruent zu einem Winkel im anderen Dreieck ist. Die Seiten, die an den Winkeln anliegen, müssen im Verhältnis übereinstimmen.

Die letzte Methode zum Beweis der Ähnlichkeit zweier Dreiecke ist die Kopie einer Methode, die die Kongruenz zweier Dreiecke beweist. Ähnliche Dreiecke sind nicht sonderlich originell, nicht wahr? Das ist gut für Sie, weil Sie sich weniger merken müssen. Um zu beweisen, dass zwei Dreiecke kongruent sind, können Sie zeigen, dass die Längen ihrer drei Seiten kongruent sind. Bei ähnlichen Dreiecken dagegen interessiert wieder einmal nur das Verhältnis, das die Seiten zueinander haben. Zeigen Sie, dass die drei Seiten eines Dreiecks im Verhältnis mit den entsprechenden drei Seiten eines anderen Dreiecks übereinstimmen, und Sie dürfen die beiden Dreiecke als zueinander ähnlich erklären (Abbildung 10.23).

Abbildung 10.23: Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn ihre entsprechenden Seiten im Verhältnis übereinstimmen

In Abbildung 10.23 gilt: Weil , ist ΔFGH ~ ΔJKL.

Satz 10.11: Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn ihre entsprechenden Seiten im Verhältnis übereinstimmen.

Das heißt: Wenn entsprechende Seiten zweier Dreiecke im Verhältnis übereinstimmen, dann sind die beiden Dreiecke zueinander ähnlich. Einfacher kann man es nicht sagen.

Einige Extrainfos zu Verhältnissen und ähnlichen Dreiecken

Hier noch eine paar Informationen, die ich mit Ihnen teilen möchte. Sie werden sehen, wie weit die Proportionalität von Dreiecken gehen kann:

- Der Umfang eines Dreiecks ist die Summe seiner drei Seiten. Daraus folgt: Wenn die drei Paare entsprechender Seiten zweier Dreiecke im Verhältnis übereinstimmen, dann stimmen die Umfänge der beiden Dreiecke ebenfalls im Verhältnis überein.

- Wenn die Seiten sowie die Umfänge zweier Dreiecke im Verhältnis übereinstimmen, dann haben die Höhen der beiden Dreiecke dasselbe Verhältnis zueinander wie zwei beliebige entsprechende Seiten dieser Dreiecke.

- Egal, welche Methode Sie zum Beweis von Ähnlichkeit heranziehen: Haben Sie einmal bewiesen, dass Dreiecke zueinander ähnlich sind, dann können Sie als Beweis für die Proportionalität von beliebigen entsprechenden Seiten zweier Dreiecke anführen, dass die entsprechenden Seiten ähnlicher Dreiecke im Verhältnis übereinstimmen.

Ein paar Beweise zu ähnlichen Dreiecken

Beweis 10.1 zeigt, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind, wenn zwei Winkel kongruent sind.

Beweis 10.1: Der Beweis zur Ähnlichkeit von Dreiecken mit Hilfe von Winkeln

Aussage | Begründung
1) | 1) Voraussetzung

2) ∠B ≡ ∠C und ∠A ≡ ∠D

2) Wenn zwei parallele Geraden von einer Transversalen geschnitten werden, sind ihre inneren Wechselwinkel kongruent (Kapitel 2).

3) ΔABE ~ ΔCDE | 3) WW-Satz: Haben zwei Dreiecke zwei Paare kongruenter Winkel, dann sind sie zueinander ähnlich.
4) ∠1 und ∠2 sind Scheitelwinkel. | 4) Definition von Scheitelwinkeln (Kapitel 2)
5) ∠1 ≡ ∠2 | 5) Scheitelwinkel sind kongruent (Kapitel 2).

Beweis 10.2 zeigt: Wenn die Ähnlichkeit zweier Dreiecke bewiesen wurde, dann stimmt jedes beliebige Paar entsprechender Seiten im Verhältnis überein.

Beweis 10.2: Der Beweis zum gleichen Verhältnis von Seiten in ähnlichen Dreiecken

Aussage | Begründung
1) ∠1 ≡ ∠2 | 1) Voraussetzung
2) ∠A ≡ ∠A | 2) Reflexivität (Kapitel 3)

3) ΔABC ~ ΔADE

3) WW-Satz (Winkel-Winkel-Satz). Haben zwei Dreiecke zwei Paare von kongruenten Winkeln, dann sind sie zueinander ähnlich.

4) | 4) Entsprechende Seiten von ähnlichen Dreiecken stimmen im Verhältnis überein.

Ähnliche Dreiecke live

Sie können Ihr Wissen über Dreiecke dazu gebrauchen, die Höhe eines Monuments zu ermitteln, ohne es messen zu müssen. Ein Beispiel: Angenommen, ich stehe neben einem großen Monument, einer Säule. Ich bin 1,70 Meter groß. Meine Freundin hat einen Zollstock dabei und misst meinen Schatten. Er ist zwei Meter lang. Der Schatten der Säule ist fünf Meter lang. Wie groß ist die Säule?

Schauen Sie sich Abbildung 10.24 an. Ich habe alles, was ich weiß, in einer Gleichung zusammengestellt und ein x für den gesuchten Wert - die Höhe der Statue - eingetragen. Die Verhältnisgleichung sieht in Zentimeterangaben wie folgt aus:

Führen Sie die Überkreuzmultiplikation durch. Danach sieht die Verhältnisgleichung so aus:

200x = 85 000

Lösen Sie nun nach x auf, indem Sie beide Seiten der Gleichung durch 200 teilen. Das Ergebnis: Die Säule ist 425 cm bzw. 4,25 m groß.

Abbildung 10.24: Sie können die Größe schwer messbarer Objekte ermitteln, indem Sie eine Verhältnisgleichung aufstellen

Teil V

Aufsteigen: Geometrie für Fortgeschrittene

In diesem Teil ...

Öffnen Sie die Schranktür. Vorsichtig. Und halten Sie einen Sicherheitsabstand, weil der Schrank bis obenhin voll gestopft ist und etwas auf Ihrem Kopf landen könnte. Hier sind die weniger bekannten Felder der Geometrie verstaut. Sie werden Koordinaten, geometrische Orte, Trigonometrie und Räume kennen lernen.

(Und übrigens: Sie müssen sich beim Aufschlagen dieses Teils nicht wirklich in Acht nehmen, weil alles für Sie in einer ordentlichen Weise aufbereitet ist. Ganz im Gegensatz zu meinem Schrank im Flur. An dem ist nicht erst ein Frühjahrsputz spurlos vorbeigegangen.)

11

Schiff versenkt! (Mit Koordinaten arbeiten)

In diesem Kapitel...

- Vom Gitter zum Koordinatensystem

- Wie man Koordinaten bestimmt

- Mit dem Koordinatensystem alles Mögliche ausfindig machen (Entfernung, Mittelpunkt, Fläche, Steigung, Gleichungen von Gerade und Kreis)

Die heiße Sonne brennt auf das Deck des Schiffes. Kristallblaues Wasser erstreckt sich wie ein seidener Teppich, so weit das Auge reicht. Der Ozean wiegt das Schiff sanft in einer leichten Brise. Dann, plötzlich, ohne Vorwarnung, tauchen dunkle Wolken am Horizont auf und schieben sich vor die Sonne. Die Wellen, die gerade noch gutmütig gegen die Planken geplätschert sind, bäumen sich wütend auf. Kapitän Knut hastet auf den Mast, um das Segel einzuholen. Der Zorn einer tobenden Woge reißt ihn aus der Takelage und schleudert ihn wie eine Stoffpuppe in das Meer. In Kontakt mit dem Wasser wird der Funk seiner Rettungsweste aktiviert: »Mann über Bord!« (Kapitän Knut ist glücklicherweise sehr vorausschauend in puncto Sicherheit.) Der Ruf erreicht die Küstenwache. Kapitän Knut wird aus dem Meer gefischt - nass und frierend, aber wohlbehalten.

Durch den Funk konnte die Küstenwache die exakte geographische Lage ermitteln, an der sich der Kapitän befand. Für die exakte Lage braucht man zwei Koordinaten relativ zu einem vereinbarten Ausgangspunkt - eine Breite (ein horizontaler Wert) und eine Länge (ein vertikaler Wert). Ohne sie wäre Kapitän Knut den Meerungeheuern hilflos ausgeliefert gewesen.

In diesem Kapitel mache ich Sie mit dem Gitter vertraut, in das man Punkte mit einem exakten Wert einzeichnet. Ein geographisches Gitter umgibt auch die Erde. Mit den Breitengraden, die um die Erdkugel herum verlaufen, und den Längengraden, die sich vom Nord- zum Südpol erstrecken, kann man jeden Ort der Welt genau bestimmen. Ein Gitter ist immer ein Gitter, aber in der Geometrie arbeitet man nicht mit Nord, Süd, Ost und West, sondern mit positiven und negativen Zahlenwerten, um einen Ort in dem System festzulegen. Mit einem geometrischen Gitter kann man nicht nur Orte bestimmen, sondern auch Entfernungen und Flächen ermitteln sowie eine Formel für Kreisradien erhalten.

Gitter ist nicht gleich Gitter: Koordinatensystem

Vielleicht haben Sie schon bemerkt, dass es in diesem Buch recht sportlich zugeht. Auf dem Spielfeld der Geometrie haben Sie sich schon ziemlich weit vorgekämpft. Und Baseball ist nicht die einzige amerikanische Sportart, in der sich die Mathematik wiederfindet. Allerdings nicht in Form einer Raute, sondern - passend zum Thema - in Form eines Gitters. Es geht um Football, dessen Spielfeld von den Amerikanern auch Eisengitter genannt wird. Auf einem Football-Feld sind im Abstand von zehn Yard Querlinien eingezeichnet. In der Mitte geht es los mit der 50-Yard-Linie, die 0-Yard-Linie an den Rändern wird Endzone genannt – das ist der Bereich, in den man den Ball bringen muss (Abbildung 11.1).

Abbildung 11.1: So sieht ein Football-Feld aus – mit Markierungen im 10-Yard-Abstand von den Rändern bis zur Mitte

Beachten Sie, dass Sie den exakten Ort des Balls auf dem Spielfeld nur in Bezug zur 50-Yard-Linie und zur Endzone bestimmen können. Die Distanz des Balls zu den beiden Rändern des Felds spielt keine Rolle, demnach gibt es auch keine Markierungen auf dem Spielfeld. Stellen Sie sich trotzdem vor, dass Sie die genaue Position des Footballs in jeder Hinsicht wissen möchten. Mit der Yard-Linie können Sie ganz einfach feststellen, ob der Ball auf der eigenen oder der Seite der gegnerischen Mannschaft ist. Mit dieser Information wissen Sie aber immer noch nicht genau, wo sich der Ball befindet. Sie müssen auch in Bezug zu den Spielrändern die Position des Balls bestimmen. In der Geometrie können Sie das ganz einfach, weil das mathematische Gitter glücklicherweise präziser ist (Abbildung 11.2).

Abbildung 11.2: Ein Koordinatensystem – das Gitter, mit dem man die exakte Position eines Punktes bestimmen kann

Das Gitter in der Geometrie heißt Koordinatensystem und mit ihm kann man einen Punkt sowohl in vertikaler als auch in horizontaler Hinsicht bestimmen. Die eine Achse heißt x-Achse, die andere y-Achse. Welche ist nun welche? Die horizontale Linie ist die x-Achse und die vertikale Linie ist dann ganz offensichtlich die y-Achse.

Wenn Sie sich nicht merken können, welche Achse wie heißt, sehen Sie sich den Buchstaben »Y« einmal genau an. Der Schaft des Schriftzeichens verläuft von unten nach oben - genauso wie die y-Achse. Auch wenn diese Eselsbrücken manchmal etwas weit hergeholt wirken: Sie funktionieren und können in wichtigen Situationen ausgesprochen hilfreich sein.

Wer hat eigentlich das Koordinatensystem erfunden?

Rene Descartes ist ausnahmsweise kein Grieche. Er war ein Franzose, dessen Werk aus der ersten Hälfte des siebzehnten Jahrhunderts stammt. In seinen Arbeiten zur analytischen Geometrie entwickelte er das uns bekannte Koordinatensystem. Mit Hilfe von Punkten in der Ebene fand er algebraische Gleichungen, um verschiedene geometrische Formen zu beschreiben. Ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit regelmäßigen Einheiten heißt Descartes zu Ehren kartesisch - nach seiner lateinischen Namensform »Renatus Cartesius«.

Es gehören immer zwei dazu (Koordinaten eines Punktes)

Die Lage eines Punktes in einem Koordinatensystem ergibt sich aus zwei Faktoren: wie weit man auf der x-Achse nach links oder rechts und wie weit man auf der y-Achse nach oben oder unten zählen muss. Die Entfernung, die man dabei auf der x-Achse zurücklegt. heißt die x-Koordinate und das Gleiche gilt für die y-Achse mit ihrer y-Koordinate. Diese Koordinaten stehen für die Einheiten, die man mit dem Stift die jeweiligen Achsen entlang wandern muss - zuerst nach rechts oder links, dann nach oben oder unten. Weil Koordinaten immer paarweise auftreten, nennt man die beiden Werte Koordinatenpaar. Ein Koordinatenpaar besteht aus einer x- und einer y-Koordinate und wird mit einem Komma zwischen den beiden Werten geschrieben: (x, y). (Es gibt auch andere Schreibweisen, denen Sie begegnen könnten, z.B.: (x; y) oder (x | y)). Die Variablen x und y stehen für Zahlen bzw. Entfernungen, die man auf der jeweiligen Achse zurücklegt. Punkt T(5,3) steht beispielsweise für einen Punkt, der sich fünf Einheiten nach rechts und drei Einheiten nach oben gezählt befindet.

Woher wissen Sie aber, wo Sie Ihren Stift die Reise anfangen lassen sollen? Ganz einfach: Alles hat einen Ursprung und dabei bildet ein Koordinatensystem keine Ausnahme. Sie beginnen an dem Punkt, an dem sich x- und y-Achse schneiden. Dieser Punkt heißt Ursprung und hat auf beiden Achsen den Wert null – als Koordinatenpaar (0,0) geschrieben.

Quadranten kennen lernen

Das Koordinatensystem ist in vier Quadranten eingeteilt. Man nummeriert sie mit den römischen Ziffern I bis IV durch, beginnend von rechts oben gegen den Uhrzeigersinn (Abbildung 11.3).

Die Vorzeichen der x- und y-Koordinate legen den Quadranten fest, in dem der jeweilige Punkt liegt. Koordinatenpaare mit zwei positiven Zahlen liegen im Quadranten I. Metaphorisch gesprochen ist der erste Quadrant also ein sehr positiver, glücklicher, harmonischer Ort. Kein Wunder, dass beide in dem Koordinatenpaar, das sich dort aufhält, positiv eingestellt sind (☺,☺). Im zweiten Quadranten ist einer übel und einer gut gelaunt (☹,☺). Koordinatenpaare in Quadrant II haben einen negativen x- und einen positiven y-Wert. Das Leben im dritten Quadranten ist weniger lustig, dementsprechend ist das ganze Paar ziemlich schlecht drauf (☹,☹). Beide Werte, x und y, im Quadranten III sind negativ. Im vierten Quadranten geht es noch einmal gemischt zu: Einer ist glücklich, der andere weniger (☺,☹ ). Schließlich hat Quadrant IV einen positiven x- und einen negativen y-Wert. Sehen Sie sich für eine Auf-einen-Blick-Beschreibung der vier Quadranten Tabelle 11.1 an.

Abbildung 11.3: Die Quadranten eines Koordinatensystems

Tabelle 11.1: Die Quadranten und ihre Eigenschaften

Jeder Wert in einem Koordinatenpaar liefert zwei wichtige Informationen. Der positive oder negative Anteil legt fest, in welchem Quadranten der Punkt liegt. Die Zahlen geben an, wie weit der jeweilige Punkt horizontal und vertikal vom Ursprung entfernt ist.

Grafisch werden

Einen Punkt in einem Koordinatensystem benennt man mit einem Großbuchstaben, neben dem das zugehörige Koordinatenpaar steht. Stellen Sie sich vor, Sie haben Punkt A, dessen Koordinaten (5, 7) sind. Zuerst stellen Sie fest, dass beide Werte positiv sind, der Punkt demnach in Quadrant I liegen wird. Dann sehen Sie sich den x-Wert an. Das ist eine Fünf. Um den Punkt einzuzeichnen, bewegen Sie Ihren Stift zuerst fünf Einheiten entlang der x-Achse. Da Fünf ein positiver Wert ist, geht es dabei nach rechts. Sehen Sie sich danach den y-Wert an. Es ist eine Sieben. Auch hier gibt es kein negatives Vorzeichen, sie müssen Ihren Stift also nach oben bewegen - und zwar sieben Einheiten weit. Machen Sie jetzt einen Punkt und kennzeichnen ihn mit A(5, 7). In Abbildung 11.4 sehen Sie Punkt A(5, 7) oben rechts eingezeichnet.

Abbildung 11.4: Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnen

Zeichnen Sie als Nächstes das Koordinatenpaar (-3, 3) ein. Der x-Wert ist negativ, bewegen Sie Ihren Stift demnach drei Einheiten nach links. Dann noch drei Einheiten nach oben und Sie haben Punkt B(-3, 3) gefunden, den Sie auch in Abbildung 11.4 eingezeichnet sehen.

Ein Punkt im dritten Quadranten hat einen negativen x- und einen negativen y-Wert. Das trifft auch auf das Koordinatenpaar (-6, -2) zu. Zuerst zum x-Wert: Bewegen Sie den Stift sechs Einheiten nach links, da es eine negative Zahl ist. Von dort zählen Sie zwei Einheiten nach unten, da auch der y-Wert negativ ist. Dort zeichnen Sie einen Punkt ein, markieren ihn mit C(–6, -2) und suchen ihn in Abbildung 11.4.

Im vierten und letzten Quadranten landen Punkte mit einem positiven x- und einem negativen y-Wert. Der Punkt (1, -4) befindet sich eine Einheit nach rechts und vier Einheiten nach unten. Nennen Sie diesen Punkt D(1,–4) wie in Abbildung 11.4.

Punkte, deren Koordinatenpaare eine Null beinhalten, sind nicht in einem der vier Quadranten positioniert, sondern auf den Achsen selbst. Punkt E befindet sich in (6, 0) auf der x-Achse. Dafür bewegt man den Stift einfach sechs Einheiten nach rechts und null Einheiten nach oben oder unten. Punkt F ist in (0, 6) und somit auf der y-Achse. Der Stift wird null Einheiten nach rechts oder links und sechs Einheiten nach oben bewegt. In Abbildung 11.4 finden Sie auch diese beiden Punkte.

Entfernung ermitteln

Sie bereiten sich auf einen Ausflug zu Freunden vor, die in der nächsten Stadt leben. Dafür holen Sie eine Landkarte heraus und suchen nach der Stadt. Wie weit ist sie weg? Sie können mit der angegebenen Skala die Entfernung einfach bestimmen. Auch im Koordinatensystem können Sie zwei Punkte markieren und die Entfernung zwischen ihnen ermitteln. Dafür müssen Sie eigentlich nur subtrahieren können. Die Differenz der x-Koordinaten liefert Ihnen die horizontale Entfernung und die Differenz der y-Koordinaten liefert Ihnen die vertikale Entfernung.

In Abbildung 11.5 befindet sich Punkt M beispielsweise in (-3, 5) und Punkt N in (4, 5). Wenn zwei Punkte die gleiche y-Koordinate haben, dann ist die Entfernung zwischen ihnen die Länge des Segments. Entfernung ist immer ein positiver Wert. Wenn also x_1 > x_2 gilt (wobei x_1 die x-Koordinate des ersten Koordinatenpaares und x_2 die x-Koordinate des zweiten Koordinatenpaares ist), dann beträgt die Entfernung zwischen ihnen x, – x_2. Wenn die Ungleichung x_1 > x_2 nicht wahr ist, das heißt, es gilt x_1, < x_2, dann ermittelt man die Entfernung, indem man x_1, von x_2 subtrahiert bzw. x_2 – x_1. Im Fall der Punkte M und N gilt x_1 < x_2, also beträgt die Entfernung 4 -(-3) oder 7 (Satz 11.1).

Abbildung 11.5: Entfernungen mit dem Koordinatensystem ermitteln

Dementsprechend liegen zwei Punkte mit den gleichen x-Koordinaten auf einer vertikalen Linie. Die Differenz der y-Koordinaten ist die Länge des Segments. Nehmen wir beispielsweise die Punkte K und L (Abbildung 11.5). Beide haben die x-Koordinate 6 und sie haben y-Werte von 2 und 3. Wenn y_1 < y_2 (wobei y_1 die y-Koordinate des ersten Koordinatenpaares und y_2 die y-Koordinate des zweiten Koordinatenpaares ist), beträgt die Distanz zwischen den beiden Punkten y_2 – y_1. Wenn stattdessen gilt y_1 > y_2, dann bestimmt man die Entfernung, indem man y_2 von y_1 subtrahiert bzw. y_1 - y_2. Im Fall der Punkte K und L gilt y_1 < y_2, die Entfernung beträgt demnach 3 – 2 oder 1 (Satz 11.2).

Satz 11.1: Der Abstand zwischen zwei Punkten mit den gleichen y-Koordinaten entspricht dem Wert der Differenz ihrer x-Koordinaten.

Das heißt: Wenn x_2 > x_1, dann ist die Entfernung zwischen zwei Punkten mit der gleichen y-Koordinate x_2 – x_1. Wenn x_1 > x_2, dann ist die Entfernung zwischen zwei Punkten mit der gleichen y-Koordinate x_1 – x_2.

Satz 11.2: Der Abstand zwischen zwei Punkten mit den gleichen x-Koordinaten entspricht dem Wert der Differenz ihrer y-Koordinaten.

Das heißt: Wenn y_2 > y_1, dann ist die Entfernung zwischen zwei Punkten mit der gleichen x-Koordinate y_2 – y_1. Wenn y_1 > y_2, dann ist die Entfernung zwischen zwei Punkten mit der gleichen x-Koordinate y_1 – y_1.

Was passiert aber, wenn Sie zwei Punkte miteinander vergleichen, die keine gemeinsamen Koordinaten haben? Vielleicht haben Sie es schon geahnt: Es gibt eine Formel. Und die nächste Überraschung ist, dass sie Entfernungsformel heißt. Sie erhalten die Entfernung zwischen zwei Punkten - (x_1 y_1) und (x_2, y_2) – mit Hilfe folgender Formel:

Abbildung 11.6 beträgt der Abstand zwischen den Punkten T(–2, 4) und W(–1, -3) beispielsweise:

Abbildung 11.6: Mit der Entfernungsformel können Sie den Abstand zwischen Punkt T und Punkt W finden

Wenn man die Punkte T und W mit einer Linie verbindet, dann beträgt die Länge dieser Strecke √50.

Satz 11.3: Der Abstand zwischen zwei Punkten - (x_1, y_1) und (x_2, y_2) – beträgt

Das heißt: Es ist eine Formel – setzen Sie einfach Ihre Werte ein.

Sie können die Entfernungsformel auf das allseits bekannte Dreieck anwenden. Überlegen Sie sich, womit Sie es zu tun haben: drei Punkte, die mit drei Linien verbunden sind. Mit der Entfernungsformel können Sie die Abstände zwischen den Ecken des Dreiecks ermitteln. Dann kennen Sie die Längen der Seiten des Dreiecks.

In Beweis 11.1 wird beispielsweise mit Hilfe eines Koordinatensystems und der Entfernungsformel bewiesen, dass das gegebene Dreieck rechtwinklig ist.

Bevor Sie anfangen: Zeichnen Sie die drei Punkte in das Koordinatensystem ein und verbinden Sie sie.

Beweis 11.1: Der Beweis zu einem rechtwinkligen Dreieck mit Hilfe seiner Koordinaten

Aussage | Begründung
1) A(1, 4), B(5, 1) und C(1, 1) sind Ecken | 1) Voraussetzung
eines Dreiecks. |

2)

2) Subtrahieren Sie die y-Koordinaten, um den Abstand zwischen den beiden Punkten mit identischen x-Koordinaten zu finden. ist eine Seite des Dreiecks.

3)

3) Subtrahieren Sie die x-Koordinaten, um den Abstand zwischen den beiden Punkten mit identischen y-Koordinatenzu finden. ist eine Seite des Dreiecks.

4) | 4) Die Entfernungsformel für den Abstandzweier Koordinaten.
= √25 = 5 | ist eine Seite des Dreiecks.
5) 52 = 42 + 32 | 5) Satz des Pythagoras, die Formel für die
25 = 16 + 9 | Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks
6) ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck. | 6) Wenn c^2 = a^2 + b^2, dann ist das Dreieck rechtwinklig.

Der Mittelpunkt der Welt ... äh: zweier Koordinaten

Claudia und Andrea möchten sich treffen, um über ein gemeinsames Projekt zu sprechen. Sie wohnen ca. eine Stunde voneinander entfernt. Ziemlich weit weg, vor allem, wenn man bedenkt, dass beide sehr wenig Zeit haben. Die Lösung? Ein Kompromiss. Sie beschließen, sich in der Mitte zu treffen.

Um den Ort zu bestimmen, von dem beide gleich weit entfernt sind, muss man zuerst die zwei Ausgangspunkte in ein Koordinatensystem einzeichnen. Nennen wir Claudias Aufenthaltsort B mit den Koordinaten (10, 10) und Andreas Aufenthaltsort T mit den Koordinaten (2, 1). In Abbildung 11.7 sehen Sie diese Punkte eingezeichnet.

Abbildung 11.7: Mit der Mittelpunktsformel können Sie den Mittelpunkt zweier Punkte finden

Die Formel zur Bestimmung der Entfernung liefert Ihnen einen einzigen Wert, weil das Ergebnis kein Ort, sondern eine Entfernung ist. Die Formel zur Bestimmung des Mittelpunkts liefert Ihnen hingegen zwei Werte - das Koordinatenpaar, das den Ort des Mittelpunkts anzeigt. Wenn man etwas in zwei gleich große Teile zerlegen möchte, muss man es in zwei Hälften halbieren. Sie haben zwei Größen, die zusammen ein Ganzes ergeben. Addieren Sie die Größen zusammen und teilen Sie die Summe durch zwei, um die Mitte des Ganzen zu finden. Nach dieser Logik müssen Sie vorgehen, wenn Sie den Mittelpunkt einer Strecke ermitteln möchten. Das heißt: Addieren Sie die x-Koordinaten der beiden Endpunkte der Strecke und teilen Sie das Ergebnis durch zwei. Machen Sie das Gleiche mit den y-Koordinaten und Sie bekommen zwei Werte - einen x- und einen y-Wert -, die den Mittelpunkt der Strecke anzeigen. Die Mittelpunktsformel sieht folgendermaßen aus:

Die beiden Punkte, deren Mittelpunkt Sie finden möchten, sind B(10,10) und T(2,1). Setzen Sie diese Information in die Formel ein, Sie erhalten

Also ist der Mittelpunkt zwischen den beiden Punkten M(6;5,5).

Mit Koordinaten Flächen finden

Die Fläche eines Polygons mit Hilfe eines Koordinatensystems zu ermitteln ist eine kreative Sache. Sie müssen erst ein bisschen Vorarbeit leisten, bevor Sie sich an die eigentliche Flächenberechnung machen können. Sollte Ihnen das Ganze bekannt vorkommen: Sie haben die beiden Methoden, die man für die Ermittlung einer Fläche braucht, schon kennen gelernt.

Was müssen Sie also tun? Folgendes:

1. Positionieren Sie Ihre Punkte in dem Koordinatensystem.

Zeichnen Sie beispielsweise die vier Punkte, die Sie in Abbildung 11.8 sehen: A(2, 2), B(5, 2), C(5, 4) und D(2, 4). So weit, so gut.

2. Verbinden Sie die Punkte mit Strecken.

Steht Ihnen schon der Schweiß auf der Stirn? Nicht wirklich, deswegen wird es jetzt ernst.

3. Arbeiten Sie mit der Entfernungsformel, um die Seitenlängen des Polygons zu ermitteln.

Das Polygon in meinem Beispiel ist ein Viereck. Damit haben wir vier Seiten zu ermitteln. Aber Moment - mein Viereck ist ja ein Rechteck! Ich brauche nur zwei Entfernungen zu ermitteln, da die gegenüberliegenden Seiten jeweils gleich lang sind.

4. Ermitteln Sie die Formel für Ihr jeweiliges Polygon und wenden Sie sie an.

In diesem Fall brauchen Sie die Formel für ein Rechteck: A = gh (Kapitel 7). Setzen Sie die Entfernungen ein, die für Grundfläche und Höhe stehen, und schon haben Sie die gesuchte Fläche.

Die Länge der Grundfläche von Rechteck ABCD ist 3, die Höhe ist 2. Der Rest ist nicht allzu schwer: A = 3 × 2 = 6. Stattdessen könnten Sie auch die Anzahl der Quadrate in dem Rechteck zählen. Auch hier erhalten Sie das Ergebnis 6. Die Fläche des Rechtecks ABCD ist demnach 6 Einheiten groß.

Abbildung 11.8: Mit einem Koordinatensystem kann man eine Menge machen — sogar die Fläche eines Vierecks ermitteln

Wie wäre es, wenn wir die Schwierigkeitsstufe ein wenig erhöhen? In Abbildung 11.9 habe ich die vier Eckpunkte für ein anderes Viereck eingezeichnet: A(2, 2), B(7, 2), C(9, 5) und D(4,5). Verbindet man die Punkte, erhält man ein Parallelogramm, aber kein Rechteck. Keine Panik, auch das ist machbar. Die Fläche eines Parallelogramms ist ebenfalls A = gh. Gehen Sie genauso vor, wie beim vorherigen Beispiel – mit einer Ausnahme: Weil man bei einem Parallelogramm die Höhe nicht automatisch hat, muss man sie erst einzeichnen. In unserer Abbildung ist sie mit h beschriftet.

Abbildung 11.9: Man kann die Fläche eines Parallelogramms mit Hilfe eines Koordinatensystems finden, wenn man die Grundseite mit der Höhe multipliziert

Die Grundseite des Parallelogramms ABCD ist fünf Einheiten lang. Die Höhe ist drei Einheiten lang. A = 5 x 3. Die Fläche des Parallelogramms beträgt 15.

Das war Ihnen noch immer zu einfach? Dann hätte ich etwas für Sie. Was passiert, wenn man die Fläche eines Polygons finden möchte, das weder horizontale noch vertikale Seiten besitzt? Man ... äh ... hm ... subtrahiert? Genau: Man subtrahiert! Sehen Sie sich Abbildung 11.10 an. Das könnte Ihnen bekannt vorkommen, wenn Sie Kapitel 8 über einbeschriebene und umschreibende Polygone gelesen haben. Sie machen Folgendes:

Abbildung 11.10: Sie können das Koordinatensystem sogar dazu verwenden, die Fläche von etwas zu berechnen, das weder horizontale noch vertikale Seiten besitzt

1. Schreiben Sie ein Rechteck um das Viereck.

Dabei entstehen vier rechtwinklige Dreiecke zwischen dem Ausgangspolygon und dem neuen Rechteck.

2. Berechnen Sie die Fläche des Rechtecks auf die Weise, mit der Sie die Fläche des Rechtecks in Abbildung 11.8 gefunden haben.

Die Fläche des Rechtecks EFGH ist 15 Einheiten groß.

3. Finden Sie die Fläche der vier rechtwinkligen Dreiecke, die beim Einbeschreiben des Polygons entstanden sind.

Die Fläche eines Dreiecks ist gh. In Abbildung 11.10 hat das Dreieck CDE bzw. Δ3 eine Grundfläche von drei Einheiten (die Differenz der x-Koordinaten von Punkt C und E) und eine Höhe von zwei Einheiten (die Differenz der y-Koordinaten von Punkt E zu Punkt D). Daher beträgt die Fläche des Dreiecks CDE (3)(2) bzw. 3 Einheiten.

4. Summieren Sie die vier Flächen der vier Dreiecke.

In unserem Beispiel beträgt die Summe der vier Dreiecksflächen 3 + 1 + 3 + 1 = 8.

5. Subtrahieren Sie die Summe der Dreiecksflächen von der Fläche des Rechtecks.

Die Fläche des Rechtecks EFGH ist 15 Einheiten, die Fläche der vier Dreiecke ist 8 Einheiten, also 15 - 8 = 7. Die gesuchte Fläche unseres Polygons ABCD beträgt also 7 Einheiten.

Wenn man ein Polygon um ein anderes Polygon zeichnet (umschreibt), dann berühren alle Ecken des inneren Polygons die Seiten des äußeren Polygons.

Zu Steigungen aufsteigen

Der Trainer einer meiner Freunde - ein begeisterter Marathonläufer - hat ihm empfohlen, möglichst steile Hügel hinaufzusprinten, um seine Beinmuskeln zu stählen. »Steil ist ein ziemlich ungenauer Begriff, wie kann ich diesen Wert genauer ausdrücken und bestimmen? «, fragte er mich. Dabei konnte ich ihm helfen - solange ich nicht mitlaufen musste. Eine Steigung kann man mit Hilfe eines Koordinatensystems darstellen und bestimmen. Die Steigung repräsentiert die Neigung einer Linie in Zahlen. Wenn man diesen Wert berechnen kann, dann ist es kein Problem, den steilsten Hügel der Umgebung für die muskulösesten Beine der Nachbarschaft ausfindig zu machen.

Die Steigung einer Geraden (m) ist das Verhältnis zweier Größen. Die Werte für diese Verhältnisgleichung bekommt man von zwei beliebigen Punkten auf der Geraden, für die man die Steigung ermitteln möchte. Dabei bestimmt man, wie sehr sich die Gerade in der Vertikalen im Verhältnis zur Horizontalen verändert. Die vertikale Veränderung ist durch die y-Koordinaten gegeben, die horizontale durch die x-Koordinaten. Daher sieht die Formel bzw. Verhältnisgleichung für die Steigung folgendermaßen aus:

In dieser Formel steht m für die Steigung, Δy für die Differenz der y-Werte und Δx für die Differenz der x-Werte. (Das Zeichen Δ ist ein griechischer Buchstabe und wird »Delta« ausgesprochen.)

Die Steigung zweier beliebiger Punkte auf der gleichen Geraden ist immer gleich.

In Abbildung 11.11 beträgt die Steigung der Strecke :

Man kann auch sagen: Immer wenn sich die y-Koordinate um drei verändert, dann verändert sich die x-Koordinate um zwei.

Abbildung 11.11: Um die Steigung einer Geraden zu ermitteln, muss man die Differenz der y-Koordinaten durch die Differenz der x-Koordinaten dividieren.

Im täglichen Leben sieht man eine Steigung oft in Prozent angegeben. Eine Steigung von 12% bedeutet, dass es einen Höhenunterschied von 12 Metern bei einer Länge von 100 Metern gibt.

Die Steigung der Strecke ist die gleiche wie die der Strecke (Abbildung 11.11). Die beiden Strecken sehen parallel aus - und wissen Sie was? - sie sind es auch. Linien mit der gleichen Steigung sind immer parallel. Daher ist es nahe liegend, dass parallele Geraden auch die gleiche Steigung haben.

Satz 11.4: Die Steigung paralleler Geraden ist gleich.

Satz 11.5: Parallele Geraden haben die gleiche Steigung.

Das heißt: Wenn Linien sich nicht schneiden, haben sie die gleiche Neigung oder Steigung. Diese Geraden sind dann parallel.

Die Steigung einer Geraden kann positiv, negativ, null oder nicht definiert sein. Normalerweise kann man diese Richtung der Steigung durch einfaches Hinsehen bestimmen. Wenn es in der Geometrie immer so einfach wäre

Eine Gerade, die von links unten nach rechts oben verläuft, hat eine positive Steigung. Man drückt sie durch eine Verhältnisgleichung mit zwei positiven Zahlen aus. In Abbildung 11.12 sehen Sie ein Beispiel und hier die zugehörige Verhältnisgleichung:

Abbildung 11.12: Eine positive Steigung - nach rechts oben verlaufend

Wenn Sie das Koordinatensystem von links nach rechts lesen, dann fällt eine Gerade mit einer negativen Steigung, während eine Gerade mit einer positiven Steigung steigt. So können Sie sich positiv und negativ merken.

Eine Linie, die von rechts unten nach links oben verläuft, hat eine negative Steigung ( in Abbildung 11.13). Diese negative Zahl kommt zustande, wenn man die beiden y-Koordinaten subtrahiert:

Abbildung 11.13: Eine Steigung kann auch negativ sein – nach links oben verlaufend:

In Abbildung 11.13 hat eine negative Steigung und ist gleichzeitig der Kehrwert der Steigung von . Die Steigungen von und sind Kehrwerte und ihre Vorzeichen sind gegensätzlich.

Satz 11.6: Wenn zwei Geraden senkrecht aufeinander stehen, ist das Produkt ihrer Steigungen –1.

Satz 11.7: Wenn zwei Geraden senkrecht aufeinander stehen, ist die eine Steigung der negative Kehrwert der anderen Steigung.

Das heißt: Sehen Sie sich Abbildung 11.13 an und Sie wissen, worum es geht. Ein Bild ist eben doch tausend Worte wert.

Die horizontale Strecke in Abbildung 11.14 hat eine Steigung von null. Eine Gerade mit einer Steigung von null hat keine Neigung bzw. vertikale Abweichung. Alle y-Koordinaten dieser Geraden sind gleich. Und jeder Wert, der von sich selbst subtrahiert wird, ist ohne Zweifel null:

Um auf das Gegenteil einer horizontalen Geraden zu kommen: Eine vertikale Gerade hat keine Steigung - man sagt, die Steigung ist nicht definiert. Sehen Sie sich Abbildung 11.15 an. Die Steigung einer Geraden bezeichnet ihre Neigung. Eine vertikale Gerade hat keine

Abbildung 11.14: Die Steigung einer horizontalen Geraden beträgt null

Neigung. Man hat dabei zwei Koordinaten mit dem gleichen x-Wert und die zugehörige Verhältnisgleichung sieht so aus:

Dabei müsste man durch null dividieren, was in der Mathematik absolut unmöglich ist, weil man dabei eine nichts sagende Information bekommt – also gibt es keine Steigung.

Abbildung 11.15: Eine vertikale Gerade hat keine Steigung, weil man nicht durch null dividieren darf

Gleichung für eine Gerade (Punktsteigungsform)

y = mx + b

Zweifellos ist diese Gleichung nicht so berühmt wie Einsteins E = mc^2. Und wahrscheinlich wundern Sie sich, was y = mx + b überhaupt bedeuten soll. Das ist die Punktsteigungsform einer Geraden und jede dieser Variablen hat eine bestimmte Bedeutung (Abbildung 11.16).

Abbildung 11.16: Die Punktsteigungsform einer Geraden und was die Variabeln bedeuten

Die Variable m steht für die Steigung der Geraden (alles über Steigungen finden Sie im vorangehenden Abschnitt). Die Variable b steht für den Schnittpunkt mit der y-Achse. Diese beiden Werte genügen schon, um eine Gerade in ein Koordinatensystem einzeichnen zu können. Die beiden Variablen x und y stehen für ein Koordinatenpaar der jeweiligen Geraden.

In Abbildung 11.17 hat die Strecke eine Steigung von 3 und einen Schnittpunkt von -7. Also lautet die zugehörige Punktsteigungsform y = 3x + (-7).

Abbildung 11.17: Wenn man die Steigung einer Strecke und ihren Schnittpunkt mit der y-Achse kennt, dann kann man leichtfeststellen, ob ein bestimmte Punkt auf der Strecke liegt

Mit der Punktsteigungsform kann man leicht feststellen, ob ein bestimmter Punkt auf der jeweiligen Geraden liegt. Zum Beispiel: Sie haben Punkt F(2,–5) und möchten wissen, ob er auf unserer Strecke liegt. Setzen Sie den x- und den y-Wert ein und prüfen Sie, ob die Gleichung wahr bleibt. Nur dann liegt der Punkt auf der Geraden.

Sie sehen: -11 ist nicht gleich –7, demnach liegt Punkt F nicht auf der Strecke .

Nehmen Sie jetzt die Gleichung y = 2x + 2 und Punkt C(2, 6) aus Abbildung 11.18. Setzen Sie die Werte für x und y in die Gleichung ein.

Weil 6 = 6, liegt Punkt C auf der Strecke y = 2x + 2.

Es gibt noch eine weitere Methode, um eine Gerade mit einer Formel darzustellen. Diese Form der Gleichung ist praktisch, wenn Sie die Koordinaten zweier Punkte einer Geraden oder einen Punkt und die Steigung schon wissen. So sieht sie aus: y_1 – y = m(x – x_1), wobei m noch immer die Steigung ist und x_1 und y_1 die beiden Koordinaten eines Punktes auf der Geraden. Wenn Sie eine Gerade mit einer Steigung von zwei haben und wissen, dass der Punkt C(2,6) auf dieser Geraden liegt, dann können Sie diese Werte in die Gleichung einsetzen: y – 6 = 2(x – 2) (Abbildung 11.18).

Abbildung 11.18: Die Punktsteigungform kann man auf zwei arten wiedergeben - für dieselbe Linie

Im Grunde genommen ist diese Gleichung nur eine andere Schreibweise der Punktsteigungsform. Beide Gleichungen repräsentieren die gleiche Gerade. Das glauben Sie mir nicht? Sehen Sie sich das an:

Geraden mit einer Steigung von null und solche mit keiner Steigung sind Sonderformen. Man stellt sie nicht mit einer der Gleichungen dar, die ich gerade erläutert habe. Das Ganze ist noch viel einfacher. Eine Gerade mit einer Steigung von null verläuft parallel zur x-Achse und schneidet dabei die y-Achse. Die Formel für eine solche Gerade lautet y = b, wobei b der Schnittpunkt mit der y-Achse ist. Eine Gerade mit einer nicht definierten, also keiner Steigung, verläuft parallel zur y-Achse und schneidet die x-Achse. Die zugehörige Formel ist x = a.

In Abbildung 11.19 ist eine horizontale Strecke und hat demnach eine Steigung von null. Die Gleichung für lautet y = b bzw. ist eine vertikale Strecke und hat eine nicht definierte Steigung, aber trotzdem eine zugehörige Gleichung: x = y bzw. x = 3.

Abbildung 11.19: Gleichungen für Linien mit einer Steigung von null und einer nicht definierten Steigung

Gleichung für einen Kreis

Genauso wie man ein Rechteck, ein Parallelogramm, ein Dreieck oder jedes andere Polygon mit Hilfe eines Koordinatensystems darstellen und berechnen kann, ist das auch mit dem Kreis möglich. Der Radius spielt – wie immer - eine bedeutende Rolle. In Abbildung 11.20 ist der Mittelpunkt von Kreis P in Punkt P(2, 3), und Punkt J(6, 5) ist ein Punkt auf der Kreislinie. Verbinden Sie die beiden Punkte und Sie haben den Radius des Kreises eingezeichnet. Wenn man die Entfernungsformel ein bisschen abändert, erhält man folgende Formel:

Abbildung 11.20 : Mit einem Koordinatensystem kann man sogar die Länge eines Kreisradius finden

ist der Radius des Kreises, x und y sind die Koordinaten eines Punktes auf dem Kreis (hier Punkt J) und h und k sind die Koordinaten des Mittelpunkts (hier Punkt P).

Wenn man beide Seiten der Formel quadriert, wird man die Wurzel los und erhält die Formel für den Radius eines Kreises im Koordinatensystem:

r^2 = (x – h)2 + (y – k)2

Satz 11.8: Der Radius eines Kreises im Koordinatensystem ist definiert durch:

r^2 = (x – h)2 + (y – k)2

Das heißt: Es handelt sich um eine Formel – setzen Sie Ihre Werte ein.

Beachten Sie: Wenn der Mittelpunkt des Kreises der Ursprung des Koordinatensystems ist, also (0,0), dann lautet die Formel:

r^2 = (x – 0)2 + (y – 0)2
r^2 = x^2 + y^2

12

Der geometrische Ort

In diesem Kapitel...

- Verstehen, was ein geometrischer Ort ist
- Geometrische Örter bestimmen und erstellen
- Geometrische Örter im Koordinatensystem
- Wenn sich geometrische Örter schneiden
- Einige Beweise

In diesem Kapitel werde ich Ihnen erklären, was man unter einem geometrischen Ort versteht und wie man einen geometrischen Ort bestimmen und konstruieren kann.

Ort – Örter – Was bedeuten diese Wörter?

Danke. Gut, dass Sie fragen. Der Begriff geometrischer Ort hat nichts mit Geografie oder Ähnlichem zu tun. Ein geometrischer Ort (Mehrzahl: geometrische Örter) ist eine Punktmenge, die durch eine oder mehrere bestimmte geometrische Eigenschaften gekennzeichnet ist und eine oder mehrere bestimmte Bedingungen erfüllt. In der ebenen Geometrie ist diese Menge in der Regel eine Linie oder eine Kurve, weshalb man auch die Begriffe Ortslinie oder Ortskurve verwendet.

Der geometrische Ort ist ein gutes Beispiel dafür, wie man Definitionen umkehren kann. Das heißt: Alle Punkte, die eine oder mehrere bestimmte Bedingungen erfüllen, sind im geometrischen Ort enthalten. Oder anders herum formuliert: Alle Punkte, die im geometrischen Ort enthalten sind, erfüllen eine oder mehrere bestimmte Bedingungen.

Geometrische Örter bestimmen

Wenn Sie einen geometrischen Ort bestimmen möchten, halten Sie sich einfach an folgende Regeln:

1. Zeichnen Sie eine Skizze, die alle gegebenen Informationen enthält.

2. Suchen Sie nach einem Muster und entscheiden Sie dann, welche Bedingungen erfüllt sein müssen.

3. Suchen Sie nach anderen Punkten, die diese Bedingungen erfüllen.

4. Verbinden Sie die Punkte.

Mögliche Ergebnisse sind eine Kurve oder eine Gerade.

Übrigens ist das ein guter Zeitpunkt, um Zirkel und Lineal einzusetzen.

5. Beschreiben Sie die Figur des geometrischen Ortes, indem Sie einen vollständigen, grammatikalisch korrekten Satz formulieren. Stellen Sie sicher, dass die Bedingungen klar zum Ausdruck kommen.

Klingt Ihnen das ein bisschen zu theoretisch? Dann wird es Zeit für ein Praxisbeispiel: Gegebein sei die Strecke . Die Punkte X, Y und Z sind alle gleich weit von den Endpunkten von entfernt. Fertigen Sie eine Zeichnung mit den gegebenen Informationen an (Abbildung 12.1).

Abbildung 12.1: ist eine Strecke und die Punkte X, Y und Z sind alle gleich weit von den Endpunkten von entfernt

Sehen Sie die Gemeinsamkeit der Punkte X, Y und Z? Alle drei Punkte liegen auf einer Geraden. Die Gerade schneidet die Gerade und ist senkrecht zu ihr.

Der letzte Schritt ist nun, die Bedingungen festzulegen, die unsere Figur beschreiben.

Satz 12.1: Eine Ortslinie aller Punkte, die von zwei gegebenen Punkten den gleichen Abstand haben, ist die Mittelsenkrechte zur Geraden, die die zwei gegebenen Punkte verbindet.

Das heißt: Wenn eine Ortslinie aller Punkte gleich weit von zwei gegebenen Punkten entfernt ist, dann bilden die Punkte eine Gerade. Wenn Sie eine Strecke zeichnen, indem Sie die beiden gegebenen Punkte miteinander verbinden, dann ist die Gerade, die durch die Ortslinie gebildet wurde, eine Mittelsenkrechte der Strecke.

Ein weiteres Beispiel gefällig? E, F und G sind Punkte, die gleich weit von den Schenkeln von ∠MNP entfernt liegen. Fertigen Sie eine Zeichnung mit diesen Informationen an (Abbildung 12.2).

Abbildung 12.2: E, F und G sind gleich weit von den Schenkeln von ∠MNP entfernt und halbieren diesen Winkel.

Die Punkte E, F und G bilden eine Gerade und halbieren ∠MNP.

Satz 12.2: Die Ortslinie aller Punkte, die von zwei gegebenen sich schneidenden Geraden gleich weit entfernt sind, ist die Winkelhalbierende der Winkel, die von den sich schneidenden Geraden gebildet werden.

Das heißt: Die Ortslinie aller Punkte, die von zwei gegebenen sich schneidenden Geraden gleich weit entfernt sind, bildet eine Gerade. Diese Gerade ist die Winkelhalbierende der Winkel, die von den beiden sich schneidenden Geraden gebildet werden.

Hier gleich noch ein Beispiel für eine Gerade, bevor es mit geometrischen Örtern und Kreisen weitergeht. Gegeben ist die Gerade . Die Punkte E und F liegen auf der einen Seite von , die Punkte G und H auf der anderen. Egal, auf welcher Seite sich die Punkte befinden: Sie sind jeweils gleich weit von der Geraden entfernt. Schauen Sie sich Abbildung 12.3 an. Die Punkte E und F sind durch eine gerade Linie verbunden und bilden die Gerade . Die Punkte G und H sind miteinander verbunden und bilden die Gerade .

Abbildung 12.3: Die Punkte E, F, G und H befinden sich zwar auf beiden Seiten von , sie sind aber alle gleich weit von entfernt

Satz 12.3: Die Ortslinie aller Punkte, die von einer gegebenen Geraden auf beiden Seiten gleich weit entfernt sind, ist ein Paar von Parallelen und außerdem parallel zur gegebenen Geraden.

Das heißt: Wenn Sie mehrere Punkte haben, die von einer gegebenen Geraden auf beiden Seiten gleich weit entfernt sind, dann entstehen zwei parallele Geraden, die von der gegebenen Geraden jeweils gleich weit entfernt liegen. Die gegebene Gerade liegt exakt in der Mitte zwischen den beiden entstandenen Geraden und ist demnach ebenfalls parallel.

Hier nun einige Informationen zu geometrischen Örtern und Kreisen. Wenn Sie einen Punkt P und einige andere Punkte (n = 6) haben, die von P gleich weit entfernt sind, dann entsteht ein Kreis (Abbildung 12.4).

Abbildung 12.4: Die Ortslinie aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt den gleichen festen Abstand haben, ist ein Kreis

Satz 12.4: Die Ortslinie aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt den gleichen festen Abstand haben, ist ein Kreis. Der gegebene Punkt ist der Kreismittelpunkt, der feste Abstand ist der Radius.

Das heißt: Wenn von einem gegebenen Punkt mehrere Punkte den gleichen Abstand haben, entsteht als Ortslinie dieser Punkte ein Kreis. Dabei ist der gegebene Punkt der Mittelpunkt des Kreises. Der feste Abstand ist der Radius.

Verändern Sie nun die Voraussetzungen, die notwendig waren, um in Abbildung 12.4 einen Kreis entstehen zu lassen. Anstelle einer Punktmenge, die von einem gegebenen Punkt gleich weit entfernt ist, haben Sie nun eine Punktmenge, die von einem gegebenen Kreis gleich weit entfernt ist (Abbildung 12.5).

Satz 12.5: Die Ortslinie aller Punkte, die von einem gegebenen Kreis gleich weit entfernt und außerhalb dieses Kreises liegen, ist ein konzentrischer Kreis.

Das heißt: Hat eine Punktmenge von einem gegebenen Kreis einen festen Abstand und liegt diese Punktmenge außerhalb des gegebenen Kreises, dann bilden die Punkte einen Kreis, der außerhalb des gegebenen Kreises liegt. Beide Kreise sind konzentrisch, das heißt, sie haben einen gemeinsamen Mittelpunkt.

Abbildung 12.5: Eine Punktmenge, die von einem gegebenen Kreis gleich weit entfernt ist, bildet den geometrischen Ort für einen konzentrischen Kreis

Geometrische Örter im Koordinatensystem

Wenn Sie mit geometrischen Örtern arbeiten, können Sie auch ein Koordinatensystem verwenden. Dadurch verändern sich die eben beschriebenen Grundlagen nicht. Ein Koordinatensystem liefert Ihnen allerdings Zusatzinformationen, wie z.B. die x- oder die y-Koordinate, die Sie ohne Koordinatensystem nicht bekommen hätten. (Alles zu Koordinaten finden Sie in Kapitel 11.)

Wie Sie in Abbildung 12.6 sehen können, bildet eine Punktmenge mit derselben x-Koordinate eine vertikale Gerade. In diesem Beispiel ist die x-Koordinate gleich 4, und die Gleichung für die Gerade lautet x = 4.

Abbildung 12.6: Eine Punktmenge mit fester x-Koordinate ist eine vertikale Gerade

Satz 12.6: Die Ortsline aller Punkte, deren x-Koordinate einen festen Wert hat, ist eine vertikale Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft.

Das heißt: Wenn eine Punktmenge dieselbe x-Koordinate hat, bildet sie eine zur y-Achse parallele vertikale Gerade.

Eine Ortslinie von Punkten mit derselben y-Koordinate ist eine horizontale Gerade, die parallel zur x-Achse verläuft. In Abbildung 12.7 ist die y-Koordinate gleich -2. Die Gleichung für diese Gerade lautet y = -2.

Abbildung 12.7: Eine Punktmenge mit einer festen y-Koordinate ist eine horizontale Gerade

Satz 12.7: Die Ortslinie aller Punkte, deren y-Koordinate einen festen Wert hat, ist eine horizontale Gerade, die parallel zur x-Achse verläuft.

Das heißt: Hat eine Punktmenge denselben y-Wert, bildet sie eine zur x-Achse parallel verlaufende Gerade.

Geraden, Geraden und nochmals Geraden. Versuchen Sie doch einmal, den geometrischen Ort für einen Kreis in einem Koordinatensystem zu konstruieren. Sind Sie bereit für die Herausforderung? Dann los: Zuerst benötigen Sie einen Mittelpunkt. Nehmen wir dafür einfach Punkt P(2, 3). Die Ortslinie aller Punkte, die drei Einheiten von P(2, 3) entfernt sind, ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt P(2, 3) und einem Radius von drei - und er lässt sich ganz einfach mit einem Zirkel einzeichnen (Abbildung 12.8).

Abbildung 12.8: Der geometrische Ort für einen Kreis in einem Koordinatensystem

Wenn sich geometrische Örter schneiden

Ein Punkt oder mehrere Punkte kann bzw. können gleichzeitig die Bedingungen für mehrere geometrische Örter erfüllen. Um diese Punkte ermitteln zu können, benötigen Sie weder eine Lupe noch einen Spürhund. Alles was Sie brauchen, sind die folgenden drei Schritte und ein wenig geometrischer Scharfsinn:

1. Konstruieren Sie einen geometrischen Ort mit den Punkten, die unsere erste Bedingung erfüllen.

2. Konstruieren Sie einen geometrischen Ort mit den Punkten, die unsere zweite Bedingung erfüllen.

3. Bestimmen Sie die Punkte, die die Schnittmenge der beiden geometrischen Örter bilden.

Angenommen, Piraten haben vor langer Zeit auf einer einsamen kleinen Karibikinsel einen Schatz vergraben. Antje und Karin sind in den Besitz der Schatzkarte gekommen. Laut Karte liegt der Schatz in einer Tiefe von drei Metern. Allerdings ist es nicht so einfach, den genauen Ort des Schatzes zu bestimmen. Die Schatzkarte erwähnt nämlich lediglich ein Teufelstor und eine zweiköpfige Schlange. Nachdem Antje und Karin sich die Insel näher angesehen haben, entdecken sie eine gespaltene Kokosnusspalme, die die erwähnte zweiköpfige Schlange darstellt und zwei Steinsäulen, die für das Teufelstor stehen. Die Piraten haben den Schatz fünf Schritte vom Kokosnussbaum und gleich viele Schritte von den zwei Steinsäulen entfernt vergraben. Sehen Sie sich Abbildung 12.9 an. Legen Sie alle Punkte fest, die fünf Schritte von der Palme entfernt sind. Diese Punkte bilden einen Kreis um den Baum und erfüllen die Bedingungen für einen geometrischen Ort. Für den zweiten geometrischen Ort müssen Sie alle Punkte ermitteln, die gleich weit von den beiden Steinsäulen entfernt sind. Dieser geometrische Ort ist eine Gerade, die senkrecht zur Strecke verläuft, die beide Säulen verbindet. Bestimmen Sie nun den Punkt, den beide geometrischen Örter gemeinsam haben. Hier sind es zwei Punkte – X und Y –, in denen sich die beiden geometrischen Örter schneiden. Hoffen wir für Antje und Karin, dass es sich lohnt, zwei drei Meter tiefe Löcher in der Hitze der Karibikinsel zu graben!

Abbildung 12.9: Diese Schatzkarte ist ein Beispiel für zwei sich schneidende geometrische Örter

Geometrische Örter beweisen

Nachdem Sie sich mit den Sätzen zu geometrischen Örtern vertraut gemacht haben, sollten Sie fit sein für die dazugehörigen Beweise. Eine Möglichkeit, die Richtigkeit eines Satzes zu zeigen, ist der Beweis, dass beide der folgenden Aussagen wahr sind:

- Alle Punkte, die bestimmte Bedingungen erfüllen, befinden sich auf einem geometrischen Ort.

- Alle Punkte, die sich auf einem geometrischen Ort befinden, erfüllen bestimmte Bedingungen.

Das ist aber nicht die einzige Möglichkeit. Sie können einen Satz auch beweisen, indem Sie zeigen, dass beide der folgenden Aussagen wahr sind:

- Ein Punkt, der sich auf einem geometrischen Ort befindet, erfüllt alle gegebenen Bedingungen.

- Ein Punkt, der sich nicht auf dem geometrischen Ort befindet, erfüllt keine der gegebenen Bedingungen.

Wie wäre es jetzt mit einem Beweis zu Satz 12.1? Zur Erinnerung (dann brauchen Sie nicht durch das ganze Kapitel zu blättern): Eine Ortslinie aller Punkte, die von zwei gegebenen Punkten den gleichen Abstand haben, ist die Mittelsenkrechte zur Geraden, die die zwei gegebenen Punkte verbindet. Egal, welche Beweismethode Sie anwenden: Zwei Bedingungen müssen erfüllt sein. Somit benötigen Sie auch zwei Beweise - je einen für jede Bedingung. Beweis 12.1 zeigt, dass unter gegebenen Bedingungen folgender geometrischer Ort wahr ist: Wenn ein Punkt (X) gleich weit von zwei Punkten (M und N) entfernt ist, dann liegt er auf der Mittelsenkrechten () der Strecke ().

Bevor Sie anfangen: Zeichnen Sie so ein, dass halbiert wird.

Beweis 12.1: Der Beweis zum geometrischen Ort einer Mittelsenkrechten, Teil 1

Aussage | Begründung
1) ist eine Strecke und X ist ein | 1) Voraussetzung
Punkt, der sich nicht auf befindet. |
2) | 2) Voraussetzung
3) | 3) Y ist der Mittelpunkt von MN.
4) | 4) Reflexivität (Kapitel 3)
5) ΔMYX ≡ ΔNYX | 5) SSS. Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn die drei Seiten kongruent sind (Kapitel 6).

6) ∠XYM ≡ ∠XYN

6) TKDK (Alle Teile kongruenter Dreiecke sind kongruent.) ∠XYM und ∠XYN sind kongruente rechte Winkel, die auf der Geraden MN liegen (Kapitel 6).

7) | 7) Geraden, die sich in einem rechten Winkel treffen, sind senkrecht zueinander.
8) ist eine Mittelsenkrechte von | 8) Per Definition (weil als Mittelsenkrechte
. | von eingezeichnet wurde)
9) X ist ein Punkt, der auf liegt. | 9) Per Definition (weil X ein Endpunkt von ist)
10) X ist ein Punkt, der auf der Mittelsenkrechten | 10) Geraden, die sich in einem rechten
von liegt. | Winkel treffen, sind senkrecht zueinander.

Beweis 12.2 zeigt, dass Punkt X gleich weit von den Punkten M und N entfernt ist.

Beweis 12.2: Der Beweis zum geometrischen Ort einer Mittelsenkrechten, Teil 2

Aussage | Begründung
1) Punkt X ist ein Punkt auf . | 1) Voraussetzung
2) ist eine Mittelsenkrechte von | 2) Voraussetzung
3) ∠XYM ≡ ∠XYN | 3) Eine Mittelsenkrechte lässt rechte Winkel entstehen (Kapitel 2).
4) | 4) Reflexivität (Kapitel 3)
5) | 5) Per Definition lässt eine Mittelsenkrechte zwei kongruente Strecken durch den Schnittpunkt mit entstehen.
6) ΔMYX ≡ ΔNYX | 6) SWS: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn zwei Seiten und der dazwischen liegende Winkel kongruent sind (Kapitel 6).
7) | 7) TKDK (Kapitel 6)
8) X ist von M und N gleich weit entfernt. | 8)

13

Trickreiche Trigonometrie

In diesem Kapitel...

- Was Trigonometrie ist
- Neigungs- und Erhebungswinkel
- Sinus und Kosinus
- Tangens, Kotangens, Sekans, Kosekans
- Dinge außer Reichweite messen

Trigonometrie ist ein großes Wort. Ich weiß nicht, wie es Ihnen geht, aber ich mag große Wörter nicht besonders - sie klingen so extra wichtig. Alles über drei Silben finde ich etwas übertrieben, aber ich denke, dass es die fünf Silben für Trigonometrie einfach braucht, um die ganze Bedeutung des Wortes hineinzupacken. Trigonometrie kommt aus dem Griechischen und bedeutet »Dreieck messen« (trίgonon: Dreieck, métron: Maß). Wenn ich nach drei Silben das Wort beenden würde, dann käme nur der Dreiecksteil vor und das wird der Trigonometrie einfach nicht gerecht.

Die Grundlagen der Trigonometrie sind die Eigenschaften rechtwinkliger Dreiecke. In diesem Kapitel werden Sie lernen, wie man die Längen von Seiten und die Größen von Winkeln mit Hilfe bekannter Teile des Dreiecks finden kann. Diese Methoden braucht man vor allem, wenn man bestimmte Maße nicht auf herkömmlichem Weg - z.B. mit einem Lineal – ermitteln kann.

Eine kleine Wiederholung zu rechtwinkligen Dreiecken

Ein rechtwinkliges Dreieck hat drei Seiten und drei Winkel. Ein Winkel ist ein rechter Winkel, die anderen beiden Winkel sind spitz. Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, ist die Hypotenuse. Die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Die beiden Katheten werden noch einmal in Relation zu den beiden spitzen Winkeln unterschieden. Eine Gegenkathete liegt dem Ausgangswinkel gegenüber, während die Ankathete diesem Winkel benachbart ist. Bezüglich eines Winkels kann eine Kathete also nicht gleichzeitig Gegenkathete und Ankathete sein. Dafür muss man erst seinen Blickwinkel ändern und das Ganze aus der Sicht des anderen Winkels betrachten. In Abbildung 13.1 sehen Sie die verschiedenen Teile eines rechtwinkligen Dreiecks.

Abbildung 13.1: Die Teile eines rechtwinkligen Dreiecks

Rechtwinklige Dreiecke und Ähnlichkeit

Stellen Sie sich die beiden rechtwinkligen Dreiecke in Abbildung 13.1 als zwei gleich große Stücke Käse vor, also ΔABC = ΔA_1B_1C_1. In zwei Stunden gebe ich eine Party, auf der ich den Käse anbieten möchte. Allerdings bekomme ich gerade ziemlich Hunger. Also nehme ich mir ein Messer und schneide parallel zu einer Kante eine Scheibe Käse ab (Abbildung 13.2). Jetzt sind meine beiden Käsestücke nicht mehr kongruent, sondern nur noch ähnlich.

Abbildung 13.2: Ein Schnitt – und schon sind die beiden Dreiecke nicht mehr kongruent, sondern nur noch ähnlich

Ähnliche Dreiecke haben die gleiche Form, aber nicht die gleiche Größe. Sie sind in Proportion zueinander. Abbildungen, die in einem kleineren Maßstab wiedergegeben sind, arbeiten mit proportional gleichen, aber unterschiedlich großen Darstellungen.

Wenn zwei rechtwinklige Dreiecke ähnlich sind, dann sind auch die Verhältnisse der sich entsprechenden Teile ähnlich (Kapitel 10). Die beiden rechtwinkligen Käse-Dreiecke sind nach dem Winkel-Winkel-Satz ähnlich (Satz 10.9). Abbildung 13.2 zeigt beide Größen: das Dreieck, von dem ich einen Bissen probiert habe, und das vollständige Ausgangsdreieck. Da ich nur von einer Seite genascht habe, ist der andere Teil des Dreiecks mitsamt seinem spitzen Winkel gleich geblieben. Da auch der rechte Winkel erhalten bleibt, ist es logisch, dass der dritte Winkel ebenfalls gleich groß ist.

Wenn ich sichergestellt habe, dass die beiden Dreiecke ähnlich sind, kann ich die verschiedensten Behauptungen aufstellen. Die entsprechenden Teile der beiden Dreiecke sind proportional, das heißt beispielsweise:

Wahrscheinlich denken Sie sich jetzt: »Na und?« Ganz einfach: Diese Ähnlichkeit ist der Ausgangspunkt, mit dem Sie unmessbare Größen mit Hilfe messbarer Größen ermitteln können. Das heißt, dass das Verhältnis dieser beiden Seitenlängen immer gleich ist, solange zwei rechtwinklige Dreiecke den gleichen spitzen Winkel haben. Und damit können die Mathe-Götter diese wunderbaren Trigonometrie-Tabellen erstellen (Anhang A).

Rechtwinklige Dreiecke, Verhältnissen und zwei ganz spezielle Winkel

Bei der Arbeit mit rechtwinkligen Dreiecken gibt es verschiedene Verhältnisse, mit denen man Größen finden kann, die nicht messbar sind. Diese Verhältnisse beinhalten Sinus, Kosinus und Tangens - die drei Musketiere der Trigonometrie. Es gibt noch mehr Verhältnisse, doch zunächst zu den wichtigsten.

Mit welchem Verhältnis Sie arbeiten, hängt davon ab, was Sie über Ihr Dreieck wissen und was nicht. Zuerst müssen Sie sicher sein, dass das Dreieck rechtwinklig ist. Dann müssen Sie prüfen, ob Sie alle benötigten Größen für das anzuwendende Verhältnis haben.

Jetzt können Sie mit dem Messen von Unmessbarem beginnen. Zwei Winkelarten sind dabei von Interesse: der Erhebungswinkel und der Neigungswinkel. Beide definieren sich durch ihr Verhältnis zu einer horizontalen Linie. Erhebungswinkel öffnen sich nach oben und Neigungswinkel nach unten (Abbildung 13.3 und Abbildung 13.4).

In Abbildung 13.3 schaut der Kapitän eines Schiffes mit seinem Fernrohr zur Spitze eines Leuchtturms. Der Winkel, der entsteht, wenn er das Fernrohr zuerst geradeaus und dann auf den Leuchtturm richtet, ist der Erhebungswinkel.

In Abbildung 13.4 blickt der Leuchtturmwächter zu dem Schiff hinunter. Der Winkel, der entsteht, wenn er sein Fernrohr zuerst geradeaus und dann auf das Schiff richtet, ist der Neigungswinkel. Wenn er geradeaus schaut, ist seine Blickrichtung parallel zum Meer, auf dem das Schiff fährt. Das wiederum bedeutet, dass der Neigungswinkel genauso groß ist wie der Erhebungswinkel, da innere Wechselwinkel paralleler Linien kongruent sind (Kapitel 2).

Abbildung 13.3: Der Erhebungswinkel öffnet sich relativ zu einer horizontalen Linie nach oben

Abbildung 13.4: Der Neigungswinkel öffnet sich relativ zu einer horizontalen Linie nach unten

Sinnvoller Sinus

Das Verhältnis

nennt man den Sinus eines Winkels. Das Verhältnis bleibt auch gleich, wenn man die Seiten proportional vergrößert oder verkleinert. Zur Größe der Winkel hat das Verhältnis jedoch einen direkten Bezug. Der Sinus des Winkels wird kleiner, wenn der Winkel der Gegenkathete kleiner wird.

- Sinus kürzt man sin ab. Weiter hinten werden Sie noch den Kosinus kennen lernen, den man cos abkürzt.

- Oft werden die Winkel mit griechischen Buchstaben wie α, β, φ, γ und θ– Alpha, Beta, Phi, Gamma und Theta – abgekürzt.

- Sinus (und Kosinus) haben Werte von null bis eins. Ein Winkel mit einem Gradmaß von 0° hat einen Sinus von 0,0000 und wird sin 0° = 0,0000 geschrieben. Ein Winkel mit einem Gradmaß von 90° hat einen Sinus von 1,0000. Der Kosinus funktioniert andersherum: cos 90° = 0,0000 und cos 0° = 1,0000.

Sinus in Aktion – ein paar Beispiele

Sehen Sie sich Abbildung 13.5 für ein paar Beispiele zum Sinus an. Der Sinus von Winkel A entspricht dem Verhältnis der Gegenkathete von A zur Hypotenuse bzw. . Der Sinus von c Winkel B entspricht dem Verhältnis der Gegenkathete von B zur Hypotenuse bzw. .

Abbildung 13.5: Der Sinus von Winkel A ist das Verhältnis der Gegenkathete von Winkel A zur Hypotenuse

In Abbildung 13.5 sind die Seiten a, b und c des rechtwinkligen Dreiecks ABC 4, 3 und 5 Einheiten lang. Den Sinus von Winkel A kann man folgendermaßen schreiben:

Und der Sinus von Winkel B ist dann:

Diesen jeweils ermittelten Dezimalwert kann man dazu verwenden, die Größen der Winkel A und B zu berechnen. Mit der Dezimalzahl 0,8, die man beispielsweise für den Winkel A ermittelt hat, kann man zwei Dinge tun. Was, das hängt davon ab, welche Mittel Ihnen zur Verfügung stehen. Haben Sie einen Taschenrechner oder eine Trigonometrie-Tabelle? Für beide Fälle sollten Sie lernen, wie Sie Ihre Winkelgröße herausfinden können.

Mit trigonometrischen Tabellen arbeiten

Wenn Sie mit Hilfe einer Trigonometrie-Tabelle vorgehen, suchen Sie einfach nach dem Wert, der Ihrer ermittelten Dezimalzahl am nächsten kommt. In Anhang A finden Sie eine solche Tabelle, mit der Sie den Wert für den Winkel A, 0,8, aus Abbildung 13.5 nachschlagen können. Dabei findet man selten den exakten ermittelten Wert, sondern eine ungefähre Winkelgröße. Man sucht nach der Dezimalzahl, die am ehesten 0,8 entspricht. Dabei kommen 0,7986 und 0,8090 in Frage. Subtrahieren Sie einfach 0,8 und jeweils diese Zahlen, um herauszufinden, welche Zahl Ihrem Winkel am nächsten kommt: 0,8090 - 0,8 = 0,0090 und 0,8 - 0,7986 = 0,0014. Demnach kommt der zweite Wert eher hin. Ihm zugeordnet ist das Winkelmaß 53°, also ist die Größe von Winkel A ca. 53 Grad. Winkel B hat einen Sinus von 0,6. Der nächste Dezimalwert in der Tabelle ist 0,6018. Also ist Winkel B ca. 37° groß.

Mit dem Taschenrechner arbeiten

Wenn Sie sich für die Taschenrechner-Version entscheiden, brauchen Sie einen mit trigonometrischen Funktionen (was für eine Überraschung!). Plus und minus eines handlichen, aber sonst relativ wertlosen Werbegeschenks werden Ihnen nicht wirklich weiterhelfen. Sinus in Abbildung 13.5 entspricht 0,8. Es hängt von Ihrem Taschenrechner ab, welche Tasten Sie drücken müssen. Normalerweise gibt es eine Taste namens INV - suchen Sie diese, Sie werden sie brauchen. Tippen Sie 0,8 ein, dann (INV) und dann (sin). Runden Sie Ihr Ergebnis und Sie bekommen den gleichen Wert wie aus der Trigonometrie-Tabelle. Für sin A erhalten Sie 53,130102 und für sin B 36,869898, also ca. 53 und 36 Grad.

Kosinus kennen lernen

Im vorangehenden Abschnitt haben Sie an einem Beispiel den Sinus von Winkel A und den Sinus von Winkel B gefunden. Beide Werte können Sie auf eine weitere Methode ermitteln – mit dem Kosinus. Der Kosinus von Winkel A entspricht

und ist das Gleiche wie Sinus B. In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht der Kosinus eines spitzen Winkels dem Verhältnis der Ankathete dieses Winkels zur Hypotenuse. Für ein rechtwinkliges Dreieck gibt es daher zwei Sinus- und zwei Kosinus-Werte:

Die Beziehung von sinθ und cosθ hängt mit dem Satz des Pythagoras zusammen (a^2 + b^2 = c^2). Sie lautet sin^2 θ + cos^2 θ = 1, wobei θ(Theta) die Größe eines der spitzen Winkel des Dreiecks ist.

sin^2 θ entspricht und cos^2 θ entspricht . Zusammen heißt es dann .

Von Pythagoras wissen Sie, dass a^2 + b^2 = c^2, setzen Sie also c^2 für a^2 + b^2 ein. Das Ergebnis lautet und das ist 1.

Tangens, Kotangens, Sekans und Kosekans

Sinus und Kosinus sind nur zwei trigonometrische Verhältnisse von vielen, die man für rechtwinklige Dreiecke formulieren kann. Was gibt es also noch? Lesen Sie einfach die folgenden Abschnitte.

Typisch Tangens

In einem rechtwinkligen Dreieck lautet das Tangens-Verhältnis folgendermaßen, wobei (Sie haben es erraten) tan die Abkürzung für Tangens ist:

Tangens ist Gegenkathete zu Ankathete (Abbildung 13.6). Dieser Satz ist noch immer wie eingraviert in meinen Kopf. Vielleicht ist er das bei Ihnen auch bald.

Abbildung 13.6: Der Tangens eines Winkels ist das Verhältnis Gegenkathete zu Ankathete

Anmerkung: Obwohl der Tangens Gegenkathete zu Ankathete ist, finden Sie das Verhältnis manchmal so wiedergegeben:

Das ist genau das Gleiche, sehen Sie selbst:

Wie der Sinus ist auch der Tangens abhängig von der Größe des entsprechenden spitzen Winkels. Allerdings ist der Tangens nicht auf einen Zahlenbereich eingeschränkt. Er beginnt bei null und steigt danach an. Tan 0° entspricht 0 und markiert den minimalen Tangens-Wert. Tan 90° ist unmessbar bzw. undefiniert.

Tangens in Aktion – ein paar Beispiele

Die folgenden mathematischen Schritte können Sie auf jedes trigonometrische Verhältnis anwenden, in der Praxis werden Sie jedoch meist mit dem Tangens arbeiten. Warum? Weil Sie damit am häufigsten die gesuchten, unbekannten Größen finden.

1. Fertigen Sie eine Zeichnung mit allen gegebenen Informationen an.

2. Markieren Sie mit einer Variablen die gesuchte Information.

Dafür können Sie jedes Zeichen verwenden, solange es Sie nicht verwirrt. Nehmen Sie beispielsweise θ (Theta) für ein gesuchtes Winkelmaß und x für eine gesuchte Seitenlänge.

Mit dem Tangens können Sie die gesuchte Größe ermitteln, wenn Sie die Länge einer Kathete und die Größe eines spitzen Winkels kennen und die Länge der anderen Kathete ermitteln möchten.

3. Sehen Sie sich die Zeichnung an und überlegen Sie sich, welche Informationen Sie wie verwerten können, um das Ergebnis zu ermitteln.

4. Formulieren Sie die Gleichung und lösen Sie sie.

Wie wäre es mit ein bisschen praktischer Arbeit? Versuchen Sie es damit:

Finden Sie die Höhe eines Baumes, der 30 Meter von Ihnen entfernt ist. Der Erhebungswinkel zur Baumspitze ist 35° groß (Abbildung 13.7).

Abbildung 13.7: Sie können die Höhe eines Baumes mit Hilfe der Entfernung zum Baum und des Erhebungswinkels ermitteln

Überlegen Sie immer zuerst, welche Information Sie haben und welche Sie brauchen. Hier haben Sie einen spitzen Winkel und eine Ankathete. Sie suchen nach der Gegenkathete.

Für den Tangens von 35 Grad wurde 0,7002 eingesetzt. Sie erhalten diesen Wert mit einer Trigonometrie-Tabelle (Anhang A) oder einem Taschenrechner (mehr zum Thema weiter vorne im Kapitel). In der Tabelle suchen Sie einfach den Tangens-Wert, der 35° zugeordnet ist. In den Taschenrechner tippen Sie 35 und dann tan ein.

Und schon wissen Sie, dass der Baum ungefähr 21 Meter hoch ist. Diese Länge mal eben abzumessen, wäre weniger lustig gewesen.

Noch ein praktisches Beispiel: Der Kontrollturm eines Nationalparks ist 25 Meter hoch. Ein Feuerwehrmann erblickt ein Feuer in einiger Entfernung unter einem Neigungswinkel von zehn Grad. Wie weit ist das Feuer entfernt? In Abbildung 13.8 sehen Sie das Ganze visualisiert: Winkel F ist das Feuer, Winkel T der Turm und Winkel C ein rechter Winkel.

Abbildung 13.8: Mit dem Neigungswinkel und der Höhe des Turms können Sie ermitteln, wie weit ein Feuer entfernt ist

Was haben Sie, was brauchen Sie? Sie haben eine Kathete und einen Winkel. Der Neigungswinkel ist dabei genauso groß wie Winkel F, da innere Wechselwinkel paralleler Geraden gleich groß sind.

Bevor Sie weiterrechnen können, müssen Sie den Tangens von zehn Grad ermitteln. Wieder können Sie sich zwischen der Trigonometrie-Tabelle und Ihrem Taschenrechner entscheiden. Sehen Sie in der Tabelle unter dem 10° zugeordneten Tangens-Wert nach oder tippen Sie 10 und dann (tan) in den Rechner ein.

Das Feuer ist ungefähr 142 Meter vom Kontrollturm entfernt.

Noch ein paar Verhältnisse: Kotangens, Sekans und Kosekans

Der Kotangens eines Winkels ist der Kehrwert seines Tangens. Das bedeutet Ankathete zu Gegenkathete:

Der Sekans eines Winkels ist der Kehrwert seines Kosinus. Das bedeutet Hypotenuse zu Ankathete:

Der Kosekans eines Winkels ist der Kehrwert seines Sinus. Das bedeutet Hypotenuse zu Gegenkathete:

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Die dritte Dimension oder: Raum schaffen

In diesem Kapitel...

- Dreidimensionalität begreifen

- 3-D-Objekte kennen lernen (Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel)

Finden Sie die Polygone, mit denen Sie es bis hierher zu tun hatten, etwas zu flach? Das kann leicht passieren, wenn man ausschließlich mit ebener Geometrie arbeitet. Denn es gibt nicht nur zweidimensionale Objekte wie Dreieck, Rechteck oder Kreis, sondern auch wunderschöne dreidimensionale Figuren - räumliche Objekte genannt. Dementsprechend heißt das Teilgebiet, das Sie gleich kennen lernen werden, räumliche Geometrie. Viel Spaß in der Welt der dritten Dimension! Und: Sie brauchen nicht einmal eine 3-D-Brille.

Polyeder – aufgeblasene Polygone

Ein Polygon ist eine zweidimensionale Figur mit mindestens drei Ecken. Alle Punkte eines Polygons liegen auf einer Ebene - deswegen ist es auch flach. Wie langweilig! Das Gegenstück eines Polygons in der 3-D-Welt ist ein Polyeder. Um noch einmal auf die Griechen zurückzukommen: poly heißt in beiden Fällen »viel«, gonos heißt »Winkel« und hedra heißt »Fläche«. Sie haben es bei einem Polyeder zwar weiterhin mit vielen Winkeln zu tun, aber jetzt kommen auch noch ein paar zusätzliche Flächen dazu.

Polyeder sind allseitig von ebenen Flächen begrenzte geometrische Figuren. Wenn die Punkte einer Figur auf mehr als einer Ebene liegen, bekommt diese Figur Tiefe. Es gibt die verschiedensten Polyeder mit unterschiedlich vielen Flächen. Die Flächen des Polyeders bilden Kanten und Ecken, wobei der Eulersche Polyedersatz gilt, dass die Anzahl der Ecken (e) plus die Anzahl der Flächen (f) der Anzahl der Kanten (k) plus zwei entspricht, oder:

e + f = k + 2

Wenn ein Polyeder durch kongruente regelmäßige Polygone begrenzt wird und an jeder Ecke die gleiche Anzahl von Polygonen zusammentreffen, dann heißt das Polyeder regelmäßig oder regulär. In Abbildung 14.1 sehen Sie zwei solcher regelmäßigen Polyeder, die nach der Anzahl ihrer Flächen benannt sind.

Abbildung 14.1: Polyeder sind Gebilde, die aus mehreren Flächen bestehen

Prisma – ein vielseitiges Polyeder

Ein Glasprisma hängt in der Sonne vor einem Fenster und wirft einen Regenbogen an Farben auf die helle Wand. Das ist ein Prisma in der Welt der Optik. Wir haben es hier jedoch mit dem geometrischen Prisma zu tun - und das ist mindestens so spannend wie ein Regenbogen an Farben.

Definition eines Prismas

Ein Prisma ist ein Polygon, das mit Raum gefüllt wurde. Damit Sie verstehen, was ich meine: Zeichnen Sie zwei kongruente Dreiecke und schneiden Sie sie aus. Legen Sie die beiden Dreiecke aufeinander, bewegen Sie sie dann langsam senkrecht auseinander und stellen Sie sich vor, dass dabei Verbindungsebenen zwischen den Dreiecksseiten entstehen. Schon haben Sie ein Prisma - zumindest in Ihrem Kopf. In Abbildung 14.2 sehen Sie zwei Prismen mit dreieckigen Grundflächen.

Abbildung 14.2: Ein Prisma ist ein Polygon, das mit Raum gefüllt wurde

Je weiter Sie die Dreiecke auseinander ziehen, desto länger wird die Höhe des Prismas. Die beiden unteren Dreiecke in Abbildung 14.2 heißen Grundflächen, die beiden oberen Deckflächen. Die Verbindungsebenen nennt man Seitenflächen. Die Kanten, die von den Grund-und Deckflächen gebildet werden (in Abbildung 14.2a. z.B. ) heißen Grundkanten, die restlichen Kanten Seitenkanten.

Prisma-Typen

Es gibt zwei Arten von Prismen. Ein gerades Prisma wie in Abbildung 14.2a. liegt vor, wenn die Seitenflächen rechtwinklig zur Grundfläche sind. Ein schiefes Prisma sehen Sie in Abbildung 14.2b., dessen Flächen nicht rechtwinklig zueinander stehen.

Fläche eines Prismas

Es gibt zwei Arten von Flächen beim Prisma. Suchen Sie nach der Mantelfläche oder nach der Oberfläche?

Die Mantelfläche ist die Summe aller Seitenflächen eines Prismas. Seitenflächen können rechteckig geformt sein (bei geraden Prismen) oder die Form eines Parallelogramms haben (bei schiefen Prismen). Demnach ist der Flächeninhalt einer jeden Seitenfläche Grundseite mal Höhe. Die Grundseite des Parallelogramms entspricht im Prisma der Grundkante. Die Oberfläche beinhaltet auch die beiden Grundflächen, es handelt sich also um die gesamte Fläche des Prismas. Sehen Sie sich Abbildung 14.3 und die zugehörigen Formeln an, falls Sie einmal in die Verlegenheit kommen sollten, die Flächen eines Prismas berechnen zu müssen.

Abbildung 14.3: Um den Flächeninhalt eines Prismas berechnen zu können, braucht man die Länge der Höhe und die Längen der Grundkanten

Erst einmal zur Formel für die Mantelfläche des Prismas in Abbildung 14.3:

U ist dabei der Umfang der Grundfläche, die in Abbildung 14.3 ein Dreieck, also a + b + c, ist. Die allgemeine Form M = hU funktioniert für jedes gerade Prisma.

Und hier noch die Formel für die gesamte Oberfläche eines Prismas:

O = 2A + M

A ist der Flächeninhalt der Grundfläche, in Abbildung 14.3 heißt das für das Dreieck ×(a + b + c). Und M ist die Mantelfläche, die sich mit der eben erwähnten Formel berechnen lässt.

Volumen eines Prismas

Volumen ist Rauminhalt - dreidimensionaler Raum, der in Kubikeinheiten gemessen wird. Wie wäre es, wenn wir mit der einfachsten Figur anfangen, für die man das Volumen berechnen kann? Nehmen wir also ein gerades Prisma mit rechteckiger Grundfläche. Die Fläche eines Rechtecks ist Länge (/) mal Breite (b). Das sind erst zwei Dimensionen, fehlt noch eine: die Höhe (h). Jetzt ist die Formel für das Volumen eines geraden Prismas mit rechteckiger Grundfläche nicht mehr allzu schwer zu erraten: V = lbh (Abbildung 14.4). Die allgemeine Form dieser Formel heißt V = Ah, wobei A der Flächeninhalt der jeweiligen Grundfläche ist.

Abbildung 14.4: Das Volumen eines geraden Prismas mit rechteckiger Grundfläche ist Länge mal Breite mal Höhe

Und hier ein Rätsel: Was passiert, wenn man sechs Quadrate rechtwinklig zusammenfügt? Richtig, man bekommt einen Würfel. Das Volumen eines Würfels berechnet sich wie das eines jeden geraden Prismas, weil ein Quadrat ein Rechteck ist. Nur sind bei einem Würfel die Werte für /, b und h alle gleich und heißen s wie Seite. Also kann man sich kurz fassen: V = s^3. Da »Würfel« auf Lateinisch cubus heißt, nennt man einen Wert mit einer hochgestellten Drei Kubikzahl. Jetzt wissen Sie auch, warum. Sehen Sie sich dazu Abbildung 14.5 an.

Abbildung 14.5: Das Volumen eines Würfels ist s^3, demnach hat dieser Würfel ein Volumen von 4 × 4 × 4 = 64

In Tabelle 14.1 finden Sie eine Übersicht über die Formeln für die Volumen der verschiedenen geraden Prismen.

Tabelle 14.1: Volumenformeln für gerade Prismen

Grundfläche des Prismas | Volumenformel
Rechteck | V = lbh, wobei l die Länge und b die Breite der Grundfläche und h die Höhe des Prismas ist.
Quadrat | V = s^3, wobei Länge, Breite und Höhe gleich (s) sind.
Dreieck | . Ein Dreieck ist ein halbes Rechteck, also hat das zugehörige Prisma das halbe Volumen.
Beliebig | V = Ah, wobei A der Flächeninhalt der Grundfläche ist.

Ein Ausflug zu den Pyramiden

Schon wieder Dreiecke. Sie begegnen einem einfach überall in der Geometrie. Die Seitenflächen einer Pyramide bestehen aus Dreiecken. Allerdings muss das nicht auch auf die Grundfläche zutreffen, diese kann ein beliebiges Polygon sein.

Pyramiden-Typen

Die Grundfläche einer Pyramide ist ein Polygon. Die Seitenflächen einer Pyramide treffen in den Grundkanten auf die Grundfläche und in den Seitenkanten auf die benachbarten Seitenflächen. Die Spitze und die Grundfläche einer Pyramide liegen auf verschiedenen Ebenen. Je weiter diese Ebenen voneinander entfernt sind, desto länger ist die Höhe der Pyramide. Die Grundfläche legt fest, wie viele Seitenflächen die Pyramide besitzt. Ist sie ein Dreieck, dann hat die Pyramide drei Seiten. Eine Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche hat vier Seitenflächen, wie Sie in Abbildung 14.6 sehen.

Abbildung 14.6: Eine Pyramide mit vier Seiten und einer quadratischen Grundfläche

Ein Quadrat ist ein regelmäßiges Polygon mit vier gleich langen Seiten. Demnach hat auch die Pyramide in Abbildung 14.6 vier kongruente Grundkanten. Eine Pyramide, deren Grundfläche regelmäßig ist, nennt man regelmäßige Pyramide. Die Seiten einer Pyramide verlaufen von den Grundflächen nach innen und treffen sich in der Spitze. Die Seitenhöhe einer Pyramide erhält man mit - sie haben es geahnt - einer Formel. Diese Formel basiert auf dem Satz des Pythagoras (c^2 = a^2 + b^2 – Satz 6.17).

Die Formel für die Seitenhöhe einer Pyramide lautet , wobei hs für die Seitenhöhe, r für den Inkreisradius und h für die Höhe steht. Den Inkreisradius sehen Sie in Abbildung 14.7 eingezeichnet, er verläuft vom Mittelpunkt des Quadrats senkrecht auf eine Seite. Und die Höhe ist die Strecke, die senkrecht von der Spitze auf die Grundfläche der Pyramide gefällt wird (Abbildung 14.7).

Der Inkreisradius ist eine Strecke, die vom Mittelpunkt eines Polygons auf eine Polygon-Seite verläuft und gleichzeitig Mittelsenkrechte dieser Seite ist (Sätze 5.12 und 5.13).

Abbildung 14.7: Mit dem Inkreisradius können Sie die Seitenhöhe ermitteln

Fläche einer Pyramide

So viele Seiten! Damit Sie sich die Oberfläche einer Pyramide besser vorstellen können, machen Sie Folgendes: Schälen Sie die Seitenflächen wie die Schale einer Banane ab und legen Sie sie flach auf eine Ebene. Wie das aussieht? Sehen Sie sich Abbildung 14.8 an - Sie haben fünf Dreiecke und ein Fünfeck.

Abbildung 14.8: Um den Flächeninhalt einer Pyramide zu ermitteln, schälen Sie die Seitenflächen herunter, um sich das Ganze besser vorstellen zu können

Berechnen Sie zuerst hs, die Seitenhöhe der Pyramide, mit r^2 + h^2. Dann ermitteln Sie den Umfang (U) der Grundseite, indem Sie die Seitenlängen des jeweiligen Polygons zusammenzählen. Jetzt haben Sie alles, was Sie brauchen - setzen Sie die Werte in folgende Formel ein:

Das ist allerdings erst die Mantelfläche der Pyramide, wir brauchen noch den Flächeninhalt der Grundfläche. Hier haben wir ein Fünfeck. Die Fläche eines regelmäßigen Polygons entspricht , wobei r der Inkreisradius und U der Umfang ist (Satz 5.14). Wenn Sie die beiden Ergebnisse addieren, sind Sie fertig.

Volumen einer Pyramide,

Hier kann ich mich kurz fassen - und das tue ich gerne. Das Volumen einer Pyramide ist ein Drittel des Volumens eines Prismas. Weil die Formel für das Prisma-Volumen V = Ah lautet, entspricht das Pyramiden-Volumen demnach – dabei ist A der Flächeninhalt der Grundfläche und h die Höhe. Und weil das so schön schnell ging, hier noch ein Beispiel.

Wenn Sie eine regelmäßige Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche, einer Grundkantenlänge von 4 Zentimetern und einer Höhe von 6 Zentimetern haben, können Sie das Volumen folgendermaßen bestimmen: Der Flächeninhalt der Grundfläche ist 4^2 bzw. 16 Quadratzentimeter, da es sich um ein Quadrat handelt. Also ist das Volumen

Beachten Sie die Kubikzentimeter, cm^3 – Quadratzentimeter mal Zentimeter ergibt Kubikzentimeter.

Zylinder – eine runde Sache

Zeit, um die Sache ein wenig abzurunden. Ich möchte gar nicht erst lange das Thema einkreisen, sondern gleich Raum für die kreisrunden Zylinder schaffen.

Fläche eines Zylinders

Ein Zylinder ist einem Prisma sehr ähnlich, ABER (ganz wichtig): Die Grundfläche ist kein Polygon, sondern eine geschlossene Kurve, meist ein Kreis wie in Abbildung 14.9. Die Terminologie ist dieselbe - Grundfläche, Deckfläche und Höhe. Es gibt gerade und schiefe Zylinder. Solche mit einer kreisrunden Grundfläche heißen Kreiszylinder.

Abbildung 14.9: Zylinder sind wie Prismen – nur dass ihre Grundflächen rund sind

Die Mantelfläche eines Prismas ist M = hU. Genau die gleiche Formel trifft auch auf den Zylinder zu, nur dass der Umfang der Grundfläche U anders zu berechnen ist als beim Prisma. Der Umfang eines Kreises entspricht 2πr, also kann man die Formel für die Mantelfläche eines Kreiszylinder auch so formulieren: M = h x 2πr. Um die gesamte Oberfläche zu erhalten, müssen Sie noch Grund- und Deckfläche (2A) mit einbeziehen, also O = 2A + M. Auch hier gilt, dass es sich bei den Flächen jetzt um Kreise handelt, also πr^2.

Volumen eines Zylinders

Das Volumen des Zylinders berechnet sich ebenfalls genauso wie beim Prisma: V = Ah, wobei A der Flächeninhalt der Grundfläche und h die Höhe ist. Bei einem Kreiszylinder können Sie also gleich sagen: V = πr^2h, weil πr^2 die Fläche eines Kreises ist.

Kegel – Eistüten und Zaubererhüte

Ein Kegel ist eine Mischung aus einer Pyramide und einem Zylinder. Das ist zwar sicher nicht die offizielle mathematische Definition, aber man kann sich etwas darunter vorstellen: eine Eistüte beispielsweise oder ein Zaubererhut. Und so sieht der Zylinder aus (Abbildung 14.10).

Abbildung 14.10: Kegel sind eine Mischung aus einer Pyramide und einem Zylinder

Wie bei Prismen und Zylindern gibt es auch gerade und schiefe Kegel. Ein Kegel hat eine geschlossene Kurve als Grundfläche - bei einem Kreiskegel einen Kreis - und eine Spitze. Wie die Pyramide besitzt der Kegel eine Seitenhöhe und wie alle 3-D-Objekte eine Höhe.

Fläche eines Kegels

Die Mantelfläche eines Kegels berechnet sich genauso wie die einer Pyramide. Nur dass der Umfang der Grundfläche hier ein Kreisumfang ist. Also lautet die Formel: bzw. oder M = πrhs.

Die Oberfläche eines Kegels ist die Mantelfläche plus die Grundfläche - ebenfalls wie bei der Pyramide. Das heißt: O = M + A bzw. O = M + πr^2, da die Grundfläche ein Kreis ist.

Volumen eines Kegels

Und noch einmal eine Parallele zu den Pyramiden: Die Formel für das Volumen eines Kegels lautet ebenfalls . Für den Kegel gilt auch hier: Die Grundfläche ist ein Kreis, also kann man sagen: , wobei r der Radius des Kreises und h die Höhe des Kegels ist.

Kugel – besser geht’s nicht

Eine Kugel besteht aus allen Punkten, die von einem bestimmten Punkt gleich weit entfernt sind. Klingt das für Sie nach einem Kreis? Dann habe ich wohl nicht erwähnt, dass diese Punkte nicht auf eine Ebene beschränkt sind, sondern den ganzen Raum füllen - wie ein Baseball (Abbildung 14.11).

Abbildung 14.11: Ein Baseball ist beispielsweise eine Kugel

Fläche einer Kugel

Der Flächeninhalt der Oberfläche einer Kugel ist A = 4πr^2. Wie man diese Formel erhält? Mit Differenzialrechnung. Und glauben Sie mir, damit werde ich besser gar nicht erst anfangen. Wie wäre es stattdessen mit einem Beispiel?

Wenn eine Kugel einen Radius von fünf Zentimetern hat, wie groß ist dann ihre Oberfläche? A = 4π(5)2 bzw. 100π.

Volumen einer Kugel

Das Volumen einer Kugel lässt sich von zwei anderen Volumenformeln herleiten, die Sie schon kennen. Das Kugel-Volumen entspricht nämlich dem Volumen eines Zylinders minus zweimal das Volumen eines Kegels:

Teil VI

Der Top-Ten-Teil

In diesem Teil ...

Aha, der Top-Ten-Teil. Was soll ich da noch groß ankündigen?

Sie werden zehn Karrieren kennen lernen, für die Sie Geometrie brauchen können - falls Sie gedacht haben, dafür gibt es keinen wirklichen Nutzen im Leben.

Geometrie ist nicht so schlimm, wenn man erst einmal die Mathe-Phobie überwunden hat. Versuchen Sie einfach, ruhig zu bleiben und durchzuatmen, wenn Sie die Lösung nicht sofort finden. Und nehmen Sie sich meine zehn Tipps zu Herzen, wie Ihr Geometrie-Leben traumhaft werden kann. Damit meine ich natürlich einen guten Traum, nicht die Sorte Albtraum.

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Mehr als zehn Karrieren, für die man Geometrie braucht

Ich persönlich weiß noch immer nicht, was ich werden will, wenn ich mal erwachsen bin ... Und Sie? Wenn Sie eine der folgenden Karrieren in Betracht ziehen, wird Geometrie eine große Rolle in Ihrem Leben spielen. In diesem Kapitel lernen Sie zehn (okay, es sind elf - der eine musste noch rein) Jobs kennen, die mit Geometrie zu tun haben. Für jede Karriere gibt es eine kurze Jobbeschreibung. Außerdem erläutere ich, welche Teile der Geometrie für die jeweilige Arbeit von Bedeutung sind.

Fluglotse

Fluglotsen kontrollieren den Flugverkehr, damit die einzelnen Flugzeuge sich nicht zu nahe kommen. Die Hauptaufgabe besteht darin, die Menge an Abflügen und Landungen mit Hilfe von Radar und Flugplänen zu koordinieren. Man kann sagen, dass Fluglotsen den gesamten Flugraum der Welt überwachen.

Fluglotsen arbeiten mit Koordinaten, um die Positionen der Flugzeuge zu bestimmen. Sie müssen für ihren Zuständigkeitsbereich die Längen, Breiten und Höhen der Flugzeuge ermitteln, damit sie diese sicher aneinander vorbei lotsen können.

Architekt

Architekten entwerfen Gebäude und sogar ganze Städte. Sie haben mit allen Phasen der Entstehung zu tun - vom ersten Entwurf über die Planung und Finanzierung bis hin zur Fertigstellung. Architekten zeichnen Pläne für ihre Projekte, legen die Details zu Erscheinungsbild und Gebäudestruktur fest und wählen die Materialien aus. Architekten arbeiten oft mit Ingenieuren, Innenarchitekten und Landschaftsgärtnern zusammen, damit hinterher alles aus einem Guss ist.

In den Plänen von Architekten kommen eine Menge Linien und Winkel vor. Man sieht sie selten ohne Lineal, Geodreieck und Taschenrechner. Außerdem sind die Zeichnungen proportional verkleinert, also haben sie viel mit Verhältnissen zu tun.

Schreiner

Schreiner schneiden und verarbeiten Holz, um daraus alles Mögliche zu bauen oder um Dinge zu reparieren. Sie haben mit den kleinsten Dingen wie einem Schaukelpferd bis zu den größten wie einer Brücke zu tun. Außerdem sind sie für Fenster und Türen zuständig. Sie arbeiten mit Plänen und Entwürfen. Zuerst vermessen sie die Bedingungen und das Material, dann bearbeiten sie Letzteres mit Werkzeugen oder der Hand. Die Genauigkeit ihrer Arbeit müssen sie dabei mit Wasserwaage und Lot prüfen.

Schreiner brauchen Geodreieck und Lineal für ihre Arbeit, weil die einzelnen Teile genau angepasst und die Ecken von beispielsweise Fenstern und Türen rechtwinklig sein müssen.

Modedesigner

Modedesigner entwerfen Kleidung und Accessoires. Sie entwickeln einen bestimmten Stil, indem sie Farben und Materialen auswählen, die dann eine Saison lang modern sind.

Modedesigner arbeiten mit großen Stücken Stoff. Da sie Größe und Form festlegen müssen, brauchen sie Längen, Breiten, Flächen und Umfänge – und natürlich Verhältnisse für die richtige Größe.

Raumgestalter

Raumgestalter planen das Innere von Häusern, Büros und Läden und statten sie aus. Sie sind für Erweiterungen und Renovierungen zuständig. Sie entwickeln ein bestimmtes Design und fertigen Zeichnungen an, mit denen Möblierung, Licht und Farben festgelegt werden. Dabei kommen Computer-Programme zum Einsatz, mit denen man einfach kleine Änderungen durchführen kann.

Auch Raumgestalter arbeiten mit Verhältnissen, damit sie genau, aber in einem kleineren Maßstab, ihre Vorstellungen präsentieren können. Außerdem müssen sie über Längen und Winkel Bescheid wissen.

Baufachleute

Baufachleute arbeiten mit Materialien wie Ziegeln, Kacheln und Stein. Sie planen das Aussehen, die Menge und die Art der Materialien und berechnen die Kosten eines Projekts. Das können neben Mauern auch Gehsteige, Fassaden, Kamine oder Bodenbeläge sein.

Baufachleute haben in den Zeichnungen, mit denen sie ihre Projekte planen, mit Entfernungen und Winkeln zu tun. Sie müssen berechnen können, wie dick ein Material zu sein hat, damit es hält. Sie brauchen dreidimensionale Geometrie, um die benötigte Menge an Werkstoffen zu berechnen. Und sie arbeiten mit Werkzeugen wie Wasserwaagen, um ihr Werk zu prüfen.

Maschinenbauingenieur

Maschinenbauingenieure planen und entwerfen Werkzeuge, Maschinen und Geräte. Sie arbeiten mit technischen Zeichnungen, um die Größen und Einzelteile der Maschinen darzustellen.

Maschinenbauer brauchen Lineale für Längen, Geodreiecke für den richtigen Winkel, Taschenrechner mit trigonometrischen Funktionen und Zirkel für Kurven. Und natürlich brauchen auch sie die Verhältnisrechung, damit sie ihre großen Maschinen auf einer kleinen Zeichnung unterbringen.

Kapitän

Obwohl mittlerweile alle Schiffe mit einem GPS (globales Positionsbestimmungssystem) ausgestattet sind, muss jeder Seefahrer mit einem Sextanten umgehen können. Und jeder, der auf dem Meer unterwegs ist, sollte seine Position in Relation zu einem Ausgangspunkt bestimmen können (das so genannte Gissen des Standortes). Dafür braucht man vor allem den Erhebungswinkel.

Bei der Schiffsnavigation sind eine Menge Trigonometrie und ein bisschen Arbeit mit Koordinaten im Spiel.

Vermessungsingenieur

Vermessungsingenieure messen privaten und öffentlichen Grund aus. Sie fertigen genaue Beschreibungen eines bestimmten Stücks Boden an. Sie messen Entfernungen, Richtungen, Winkel, Erhebungswinkel und Bodenreliefs. Vermessungsingenieure ermitteln, wie ein Grund am besten genutzt werden kann.

Landvermesser arbeiten mit einem Werkzeug, das Theodolit heißt, um Neigungs- und Erhebungswinkel zu ermitteln. Winkelfunktionen sind ebenfalls wichtig, also brauchen sie auch Trigonometrie.

Werkzeugmacher

Werkzeugmacher produzieren Werkzeuge und Formen, mit denen man wiederum alles Mögliche von Kleidung bis zu Möbeln anfertigen kann. Sie stellen Präzisionswerkzeug zum Schneiden, Formen und Gießen von Metall und anderen Werkzeugen her. Sie entwerfen die Vorrichtungen, die das Material halten, während es gewalzt, geschliffen oder gedreht wird. Sie fertigen auch Metallformen, die man Matrizen nennt. Damit stanzt oder formt man Materialien wie Aluminium. Sie entwerfen die Metallmodelle, mit denen man die Matrizen herstellt. Sie arbeiten mit Plänen und Zeichnungen, wobei sie sehr genau vorgehen müssen.

Werkzeugmacher haben viel mit trigonometrischen Funktionen zu tun. Sie arbeiten mit rechtwinkligen Dreiecken, Winkeln, Entfernungen und Bogen.

3-D-Grafiker

3-D-Grafiker oder -Animatoren erschaffen die Welten, die wir zum Beispiel in Zeichentrickfilmen bewundern können. Sie arbeiten mit Grafikprogrammen und räumlicher Geometrie, um ein dreidimensionales Drahtgittermodell des jeweiligen Objekts zu entwerfen. Die Künstler müssen sich mit Verhältnissen und Proportionen auskennen, um ihre Figuren im richtigen Maßstab wiederzugeben.

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Mehr als zehn Tipps, die Ihnen das Geometrie-Leben erleichtern

Der wichtigste Grundsatz im Leben? Das Leben ist ein hartes. Aber warum sollte man sein Geometrie-Leben härter machen, als es eh schon ist? Hier finden Sie zehn Tipps (und einen Bonus-Tipp), die mir geholfen haben. Hoffentlich helfen sie auch Ihnen.

Arbeiten Sie mit einem durchsichtigen Plastik-Geodreieck

Hilfsmittel sind etwas Praktisches, und da ist ein Geodreieck keine Ausnahme. Ich mag die Exemplare aus Plastik besonders gern, weil man durch sie hindurchsehen kann. So kann ich Winkel bestimmen, ohne Hilfslinien einzeichnen zu müssen. Außerdem behalte ich immer den Überblick – auch mit Geodreieck auf meiner Zeichnung.

Verwenden Sie ein durchsichtiges Plastik-Lineal

Auch für das Messen und Zeichnen von Strecken gilt: Sie brauchen kein schweres Holz- oder Metalllineal. Ein Lineal aus Plastik ist für Ihre Einsätze stabil genug und Sie verdecken dabei nie wichtige Teile der Zeichnung. Achten Sie darauf, dass Ihr Exemplar eine genaue Zentimeter- und Millimeter-Einteilung hat.

Kaufen Sie sich einen Zirkel

Sie brauchen einen Winkelmesser für Ihre Winkel und ein Lineal für Ihre Strecken. Für Ihre geometrischen Kurven brauchen Sie noch einen Zirkel - wenn Sie keinen mehr aus Schulzeiten haben. Ich bevorzuge die Exemplare, die mit einem Maßstab versehen sind. Dann muss ich nicht mit Lineal und Zirkel gleichzeitig hantieren, sondern kann einfach den gewünschten Wert am Zirkel einstellen.

Zeichnen Sie mit einem guten dünnen Bleistift

Wenn Sie genau zeichnen möchten, brauchen Sie einen guten Bleistift, mit dem Sie dünne Striche ziehen können. Ich empfehle einen Bleistift für technische Zeichner mit einer Minenstärke von 0,5 Millimetern. Ein Radiergummi ist mindestens genau so wichtig. Es gibt Exemplare mit einer kleinen Bürste. Sie sind sehr praktisch, wenn Sie nicht ständig mit kleinen Radiergummi-Resten auf Ihrer Zeichnung kämpfen wollen.

Besorgen Sie sich einen wissenschaftlichen Taschenrechner

Unterschätzen Sie nie den Nutzen eines guten wissenschaftlichen Schul-Taschenrechners. Ich spreche von der Sorte mit sin-, cos- und tan-Tasten. Sie werden diese Tasten für die Trigonometrie brauchen. Wurzel- und Quadratfunktionen sind für das Rechnen mit Dreiecken ziemlich wichtig. Und sollten Sie einen mit Batterien haben: Ersatz-Batterien sind vor allem bei Prüfungen eine gute Investition.

Notieren Sie, was Sie haben und wonach Sie suchen

Wenn Sie sich an das Lösen einer Aufgabe machen, sei es ein Beweis oder eine Gleichung, schreiben Sie sich alles auf, was Sie an Informationen haben - auch wenn es Ihnen gerade irrelevant vorkommt. Die kleinsten Details können zu den größten Offenbarungen führen. Wenn Sie alle Voraussetzungen notiert haben, schreiben Sie sich auch auf, wonach Sie suchen. Damit Sie Ihr Ziel - auch bei einem langen Rechenweg - immer vor Augen haben.

Erstellen Sie eine Skizze

Ein Bild sagt mehr als tausend Worte, heißt es. Entwerfen Sie eine Zeichnung mit Ihrem guten Bleistift. Versuchen Sie, die Proportionen einzuhalten, um die Beziehungen klar darzustellen. Beschriften Sie alle Teile, die Sie kennen. Markieren Sie auch kongruente Linien und Winkel sowie parallele Geraden.

Entwickeln Sie eine Strategie

Sie haben die Voraussetzungen. Sie wissen, wonach Sie suchen. Sie haben eine Skizze erstellt. Jetzt müssen Sie sich eine Strategie überlegen, wie Sie Ihren Beweis lösen können. Diese Strategie kann alles beinhalten vom Zeichnen von Hilfslinien bis zur Art des Beweisverfahrens, mit der Sie einen Beweis lösen können. Wenn Sie davor schon wissen, wie Sie vorgehen möchten, sparen Sie sich womöglich ein paar Rechenschritte - und Zeit, Energie und Bleistiftmine.

Arbeiten Sie die Aussagen eines Beweises durch

Dieser Rat trifft vor allem auf fertige Beweise zu, wie Sie sie in diesem Buch finden. Lesen Sie sich die Aussagen genau durch und überlegen Sie jeweils, was die Begründung sein könnte. Prüfen Sie dann, ob Sie richtig liegen. Wenn Sie ins Schwarze getroffen haben, fahren Sie fort, wenn nicht, überlegen Sie sich, warum die Begründung so lautet, wie sie lautet. Es ist am einfachsten, mit komplexen Beweisen vertraut zu werden, wenn man ein paar fertige Exemplare sorgfältig durcharbeitet. Das ist wie beim Schwimmen mit Schwimmflügeln oder beim Radfahren mit Stützrädern.

Assoziieren Sie geometrische Objekte mit alltäglichen Dingen

Wenn Sie mit geometrischen Figuren zu tun haben, stellen Sie sich diese als etwas Gegenständliches vor. Assoziieren Sie einen Kreis mit einer Pizza, ein Rechteck mit einem Tennisplatz, eine Kugel mit einem Fußball ... Dadurch werden Sie die Aufgabe nicht nur leichter verstehen, sondern sich geometrische Sachverhalte auch besser merken können. Und es gibt eine Menge Dinge, die man sich in der Geometrie merken sollte.

Spielen Sie Poolbillard

Okay, sagen Sie es nicht weiter, aber das ist ein elfter Tipp. Den wollte ich Ihnen nicht vorenthalten, da er ein gutes Beispiel ist, wie man Geometrie im Alltag anwenden kann. Poolbillard ist im Grunde genommen nichts anderes als die Arbeit mit Winkeln. Sie treffen einen Ball in einem bestimmten Winkel, dieser trifft auf einen anderen Ball in einem bestimmten Winkel usw. Ändern Sie Ihren Winkel beim Spiel, wird sich der ganze Ablauf des Stoßes ändern - und Sie hoffentlich eine Kugel versenken. Aber passen Sie auf, dass es nicht die schwarze Acht ist!

Teil VII

Anhang

In diesem Teil ...

Der Stoff der folgenden Seiten ist ein besonderes Geschenk für Sie von mir. Hier finden Sie die wirklich wichtigen Informationen zum Nachschlagen. Es erwartet Sie von allem etwas: Tabellen, Formeln und Listen von all diesen wunderbaren Axiomen, Sätzen und Korollaren, die im Buch vorkommen.

Fast hätte ich es vergessen: Zum Abschluss gibt es noch ein Glossar - für den Fall, dass Ihnen die Definition eines Begriffs auf der Zunge liegt, aber einfach nicht herauskommen möchte.

A

Anhang Quadratzahlen, Quadratwurzeln und eine Trigonometrie-Tabelle

Dieser Anhang bietet zwei Tabellen für einen guten Grund - einfaches Nachschlagen. In Tabelle A.1 finden Sie die Quadratzahlen und Quadratwurzeln der Zahlen 1 bis 130, falls Sie gerade keinen Taschenrechner zur Hand haben, aber dringend einen Wert quadrieren oder eine Wurzel ziehen müssen. Tabelle A. ist eine Trigonometrie-Tabelle, die Sie nur für rechtwinklige Dreiecke brauchen werden. Mit ihr können Sie die Größe eines Winkels finden, indem Sie den Wert für Sinus, Kosinus oder Tangens in der jeweiligen Spalte sin, cos oder tan nachschlagen. Außerdem können Sie mit Hilfe der Tabelle das dezimale Äquivalent von Sinus, Kosinus oder Tangens ermitteln, wenn Sie das Gradmaß eines Winkels haben. Auch die Informationen in Tabelle A. erhalten Sie mit einem wissenschaftlichen Taschenrechner. Wenn Sie keinen haben oder Ihre Batterien gerade versagen, arbeiten Sie einfach mit der Tabelle.

Tabelle A.1: Quadratzahlen und Quadratwurzeln von 1 bis 130

Tabelle A.2: Werte trigonometrischer Funktionen

B

Anhang Wichtige Formeln im Überblick

Eigentlich sind die Formeln in diesem Buch ja unvergesslich. Falls doch einmal eine aus Ihrem Kopf verschwinden sollte, müssen Sie nicht das ganze Buch danach durchsuchen. Die wichtigsten Formeln finden Sie hier hübsch versammelt.

Formeln zu Winkelgrößen

Tabelle B.1 fasst allgemeine Regeln zu den Größen besonderer Winkel zusammen.

Tabelle B.1: Allgemeines über Winkelgrößen

Winkel | Formel
Komplementärwinkel (c) von α° | c = 90° - α°
Supplementwinkel (s) von α° | s = 180° - α°
Summe (S) der Innenwinkel eines Dreiecks | S = 180°
Summe (S) der Innenwinkel eines Vierecks | S = 360°
Summe (S) der Außenwinkel eines Polygons | S = 360°
Summe (S) der Innenwinkel eines n-Ecks | S = 180°(n - 2)

Winkelgrößen am Kreis

Tabelle B.2 bietet eine Zusammenfassung zu den Maßen der Winkel, die sich in oder am Kreis finden.

Tabelle B.2: Winkel am Kreis

Ort des Winkels | Das Winkelmaß entspricht ...
In der Mitte des Kreises (Mittelpunktswinkel) | ... der Größe des abgetrennten Bogens.
Auf dem Kreis (Umfangswinkel) | ... der Hälfte der Größe des abgetrennten Bogens.
In dem Kreis (zwei sich schneidende Sehnen) | ... der Hälfte der Summe der Größen der beiden abgetrennten Bogen.
Außerhalb des Kreises (zwei sich schneidende Tangenten, Sekanten oder eine Tangente und eine Sekante) | ... der Hälfte der Differenz der Größen der beiden abgetrennten Bogen.

Ort des winkels | Das Winkelmaß entspricht ...
In einem Halbkreis (in einen Halbkreis einbeschriebener Winkel) | ... 90°.
Gegenüberliegende Winkel in einem einbeschriebenen Viereck | ... 180° minus das Maß des anderen Winkels.

Trigonometrische Formeln

Das sind die Formeln für Sinus, Kosinus und Tangens.

Formeln für den Flächeninhalt

In Tabelle B.3 finden Sie die Formeln für die verschiedensten Polygone sowie mancher Teile geometrischer Figuren.

Tabelle B.3: Flächenformeln

Fläche ... | Formel
... eines Dreiecks | , wobei g die Grundfläche und h die Höhe des Dreiecks ist
... eines Dreiecks mit Hilfe des Umfangs | , wobei und a, b und c die Längen der Seiten sind
... eines rechtwinkligen Dreiecks | , wobei a und b die Längen der beiden Katheten sind
... eines gleichseitigen Dreiecks | , wobei s die Länge einer Seite ist
... eines Parallelogramms | A = gh, wobei g die Grundseite und h die Höhe ist
... eines Rechtecks | A = gh oder A = lb, wobei l die Länge und b die Breite ist
... eines Quadrats | A = s^2, wobei s die Länge einer Seite ist
... eines Trapezes |
... einer Raute bzw. eines Drachenvierecks | , wobei d_1 und d_2 die Längen der beiden Diagonalen sind
... eines regelmäßigen Polygons | , wobei r der Inkreisradius und U der Umfang ist
... eines Kreises | A = πr^2
... eines Kreissektors | , wobei r der Radius und n die Größe des Mittelpunktswinkels bzw. des abgetrennten Bogens ist
... eines kleineren Kreisabschnitts eines Kreises | , wobei r der Radius, n die Größe des abgetrennten Bogens, g die Grundseite und h die Höhe des entstandenen Dreiecks ist

Beziehungen von Linien am Kreis

In Abbildung B.1 finden Sie das Verhältnis zweier Sehnen, in Abbildung B.2 das Verhältnis einer Tangente mit einer Sekante und in Abbildung B.3 das Verhältnis zweier Sekanten.

Abbildung B.1: Die Beziehung zweier Sehnen ist a x b = c x d.

Abbildung B.2: Die Beziehung einer Tangente und einer Sekante ist t^2 = s × e.

Abbildung B.3: Die Beziehung zweier Sekanten ist s_1 × e_1 = s_2 × e_2.

Umfang und Bogen

In Tabelle B.4 können Sie nachsehen, wie man die Länge eines Bogens und alle möglichen Umfänge ermittelt.

Tabelle B.4: Umfänge und Bogenlänge

Umfang ... | Formel
... eines Dreiecks | U = a + b + c, wobei a, b und c die Längen der drei Seiten sind
... eines Rechtecks | U = 2b + 2h, wobei b die Breite und h die Höhe des Rechtecks ist
... eines Quadrats | U = 4s, wobei s die Länge einer Seite ist
... eines regelmäßigen Polygons mit n Seiten | U = ns, wobei n die Anzahl der Seiten des Polygons und s die Länge einer Seite ist
... eines Kreises | U = nd oder U = π2r, wobei d der Durchmesser und r der Radius ist
Länge eines Bogens | , wobei n das Gradmaß des Bogens oder die Größe des Mittelpunktswinkels und U der Umfang des Kreises ist

Formeln zu rechtwinkligen Dreiecken

In Tabelle B.5 finden Sie die wichtigsten Formeln zu rechtwinkligen Dreiecken.

Tabelle B.5: Rechtwinklige Dreiecke und ihre Formeln

Abbildung | Größe | Formel
| Satz des Pythagoras | c^2 = a^2 + b^2
| Kathete gegenüber einem 30° Winkel |
Kathete gegenüber einem 60° Winkel | order a = b√3
Kathete gegenüber einem 45° Winkel | order b = a
| Höhe eines gleichseitigen |
Dreiecks Seite eines Quadrats |
| Seite eines Quadrats |
Diagonale eines Quadrats | d = s√2

Formeln im Koordinatensystem

Tabelle B.6 listet die Formeln auf, die in einem Koordinatensystem relevant sind.

Tabelle B.6: Formeln in einem Koordinatensystem

Größe | Formel
Entfernung | , wobei x und y Koordinaten der Punkte sind
Mittelpunkt | , wobei x und y Koordinaten der Punkte sind
Steigung | , wobei x und y Koordinaten der Punkte sind

Gerade

Punktsteigungsform, Variante 1: y = mx + b, wobei b der Schnittpunkt mit der y-Achse, m die Steigung sowie x und y Koordinaten der Punkte sind Punktsteigungsform, Variante 2: y_2 – y_1 = m(x_2 – x_1), wobei m die Steigung sowie x und y Koordinaten der Punkte sind

Kreis

(x – h)2 + (y – k)2 = r^2, wobei h und k die Koordinaten des Kreismittelpunkts, x und y die Koordinaten eines Punktes auf dem Kreis und r der Radius sind

Oberflächen von Polyedern

In Tabelle B.7 finden Sie die Formeln für die Oberflächen der verschiedenen Polyeder und den Kreis.

Tabelle B.7: Oberflächen-Formeln

Oberfläche ... | Formel
... eines geraden Prismas | O = 2A + M, wobei bzw. die Mantelfläche und A der Flächeninhalt der Grundfläche ist
... einer regelmäßigen Pyramide | O = A + M, wobei M = hsU. die Mantelfläche und A der Flächeninhalt der Grundfläche ist
... eines geraden Kreiszylinders | O = 2πrh + 2πr^2, wobei r der Radius der Grundfläche und h die Höhe ist
... eines geraden Kreiskegels | O = πrhs + πr^2, wobei r der Radius der Grundfläche und hs die Seitenhöhe ist
... einer Kugel | A = 4πr^2, wobei r der Radius ist

Volumen-Formeln

Tabelle B.8 listet die Formeln für die Volumen einiger räumlicher Figuren auf.

Tabelle B.8: Volumen-Formeln

Volumen ... | Formel
... eines geraden Prismas | V = Gh, wobei G die Grundfläche und h die Höhe ist
... eines Würfels | V = s^3, wobei s die Länge einer Kante ist
... einer Pyramide V= | , wobei A der Flächeninhalt der Grundfläche und h die Höhe ist
... eines geraden Kreiszylinders | V = πr^2h, wobei r der Radius der Grundfläche und h die Höhe ist
... eines geraden Kreiskegels | , wobei A der Flächeninhalt der Grundfläche und h die Höhe ist
... einer Kugel | , wobei r der Radius ist

C

Anhang Axiome, Sätze und was man sonst noch braucht

Jawohl, hier sind sie versammelt - alle in einer großen, langen Liste. Folgender Anhang beinhaltet all die Axiome, Sätze und Korollare, die in diesem Buch vorkommen. Ich habe die Nummerierung beibehalten, damit Sie im jeweiligen Kapitel nach dem Kontext suchen können. Sie finden außerdem ein paar mathematische Prinzipien und Regeln aus Kapitel 3, da ich sie für ziemlich wichtig halte. In anderen Geometrie-Büchern können diese Regeln auch als Axiome formuliert sein.

Die Axiome

Axiom 1.1: Durch je zwei Punkte geht genau eine Gerade.

Axiom 2.1: Der ganze Wert entspricht der Summe der einzelnen Teile.

Axiom 2.2: Wenn man den Winkel XYZ so betrachtet, dass YN innerhalb des Winkels liegt, entspricht die Größe dieses Winkels der Summe der beiden Winkel XYN und NYZ. Dieses Axiom ist allgemeingültig. Im Zusammenhang mit Winkeln nennen wir es Winkelsummen-Axiom.

Axiom 2.3: Wenn man eine Gerade und einen Punkt hat, der nicht auf der Geraden liegt, kann man genau eine parallele Gerade durch diesen Punkt zeichnen.

Axiom 2.4: Zwei Geraden in der gleichen Ebene verlaufen entweder parallel zueinander oder schneiden sich.

Axiom 2.5: Wenn zwei Geraden von einer Transversalen geschnitten werden und die inneren Wechselwinkel kongruent sind, dann sind die Geraden parallel.

Axiom 2.6: Wenn zwei parallele Geraden von einer Transversalen geschnitten werden, sind ihre inneren Wechselwinkel kongruent.

Axiom 2.7: Wenn zwei Geraden senkrecht zu einer Transversalen stehen, sind diese beiden Geraden parallel zueinander.

Axiom 5.1: Ein Polygon kann in kleinere, sich nicht überschneidende Bereiche unterteilt werden. Der Flächeninhalt des Polygons ist die Summe der Flächeninhalte dieser sich nicht überschneidenden Bereiche.

Axiom 6.1: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn zwei Seiten und der dazwischen liegende Winkel kongruent sind (SWS ≡ SWS).

Axiom 6.2: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn zwei Winkel und die dazwischen liegende Seite kongruent sind (WSW ≡ WSW).

Axiom 6.3: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn die drei Seiten kongruent sind (SSS ≡ SSS).

Axiom 6.4: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn zwei benachbarte Winkel und ein nicht dazwischen liegender Winkel kongruent sind (SWW ≡ SWW).

Axiom 6.5: Zwei rechtwinklige Dreiecke sind kongruent, wenn die beiden Katheten kongruent sind.

Axiom 6.6: Zwei rechtwinklige Dreiecke sind kongruent, wenn eine Kathete und die Hypotenuse kongruent sind.

Axiom 6.7: Zwei rechtwinklige Dreiecke sind kongruent, wenn einer der beiden Winkel, die nicht 90° groß sind, und die Hypotenuse kongruent sind.

Axiom 6.8: Zwei rechtwinklige Dreiecke sind kongruent, wenn einer der beiden Winkel, die nicht 90° groß sind, und seine benachbarte Kathete kongruent sind.

Axiom 6.9: Zwei rechtwinklige Dreiecke sind kongruent, wenn einer der beiden Winkel, die nicht 90° groß sind, und die nicht benachbarte Kathete kongruent sind.

Axiom 8.1: Zwei Kreise sind kongruent, wenn ihre Radien kongruent sind.

Axiom 8.2: In einem Kreis oder kongruenten Kreisen teilen gleich lange Sehnen gleich große Kreisabschnitte und Bogen ab.

Axiom 8.3: Abgesehen vom Berührungspunkt liegen alle Punkte einer Tangente außerhalb des Kreises.

Axiom 8.4: In einem oder mehreren Kreisen haben Bogen des gleichen Gradmaßes die gleiche Länge.

Axiom 9.1: Zwei Terme können in drei Relationen zueinander stehen: »ist gleich«, »größer als« und »kleiner als«.

Axiom 9.2: Wenn bei drei Termen der erste größer ist als der zweite und der zweite größer als der dritte, dann ist auch der erste größer als der dritte.

Axiom 9.3: Das Ganze ist größer als jedes seiner Teile.

Axiom 9.4: In einer Ungleichung kann ein Term durch einen äquivalenten Term ersetzt werden.

Axiom 9.5: Wenn der gleiche Term zu ungleichen Termen addiert wird, dann bleiben die Terme ungleich. Die Richtung der Ungleichung ändert sich dabei nicht (das heißt: Die Zeichen < und > drehen sich nicht um).

Axiom 9.6: Wenn ungleiche Terme zu ungleichen Termen von gleichgerichteten Ungleichungen addiert werden, dann sind die Summen ungleich. Die Richtung der Ungleichung ändert sich dabei nicht.

Axiom 9.7: Wenn gleiche Terme von ungleichen Termen subtrahiert werden, dann sind die Größen immer noch ungleich. Die Richtung der Ungleichung ändert sich dabei nicht.

Axiom 9.8: Wenn ungleiche Terme von gleichen Termen subtrahiert werden, dann sind die Differenzen ungleich. Die Richtung der Ungleichung ändert sich dabei.

Axiom 9.9: Wenn ungleiche Terme mit der gleichen positiven Zahl multipliziert werden, dann sind die Produkte ungleich. Die Richtung der Ungleichung ändert sich dabei nicht.

Axiom 9.10: Wenn ungleiche Terme mit dem gleichen negativen Term multipliziert werden, dann sind die Produkte ungleich. Dabei ändert sich die Richtung der Ungleichung.

Axiom 9.11: Wenn ungleiche Terme durch den gleichen positiven Term geteilt werden, dann sind die Quotienten ungleich. Die Richtung der Ungleichung ändert sich nicht.

Axiom 9.12: Wenn ungleiche Größen durch gleiche negative Größen geteilt werden, sind die Quotienten ungleich. Dabei ändert sich die Richtung der Ungleichung.

Axiom 9.13: Gleiche ganzzahlige Potenzen und gleiche positive ganzzahlige Wurzeln aus ungleichen positiven Termen sind ungleich. Die Richtung der Ungleichung ändert sich nicht.

Die Sätze

Satz 1.1: Wenn sich zwei Geraden kreuzen, tun sie das an genau einem Punkt.

Satz 2.1: Wir haben eine Strecke mit den Punkten B und C zwischen den Endpunkten A und D; wenn , dann

Satz 2.2: Zwei Winkel sind kongruent, wenn beide rechtwinklig sind.

Satz 2.3: Zwei Winkel sind kongruent, wenn beide gestreckt sind.

Satz 2.4: Zwei Winkel sind kongruent, wenn beide komplementär zu dem gleichen Winkel oder einem kongruenten Winkel sind.

Satz 2.5: Zwei Winkel sind kongruent, wenn ihre Komplementärwinkel kongruent sind.

Satz 2.6: Zwei Winkel sind kongruent, wenn sie Supplementwinkel des gleichen Winkels oder eines kongruenten Winkels sind.

Satz 2.7: Zwei Winkel sind kongruent, wenn ihre Supplementwinkel kongruent sind.

Satz 2.8: Zwei Winkel sind kongruent, wenn sie Scheitelwinkel sind.

Satz 2.9: Eine senkrechte Strecke ist die kürzeste Linie, die von einem Punkt zu einer Geraden gezeichnet werden kann.

Satz 2.10: Sind zwei Stufenwinkel kongruent, verlaufen die Geraden parallel.

Satz 2.11: Sind zwei Wechselwinkel kongruent, verlaufen die Geraden parallel.

Satz 2.12: Sind zwei Nachbarwinkel kongruent, verlaufen die Geraden parallel.

Satz 2.13: Verlaufen Geraden parallel, sind die beiden Stufenwinkel kongruent.

Satz 2.14: Verlaufen Geraden parallel, sind die beiden Wechselwinkel kongruent.

Satz 2.15: Verlaufen Geraden parallel, sind die beiden Nachbarwinkel kongruent.

Satz 2.16: Schneidet eine Transversale zwei parallele Geraden, ist jedes Winkelpaar entweder kongruent oder supplementär.

Satz 5.1: Die Anzahl von Diagonalen eines Polygons mit n Ecken ist .

Satz 5.2: Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180°.

Satz 5.3: Die Summe der Innenwinkel eines Vierecks beträgt 360°.

Satz 5.4: Wenn ein Polygon n Ecken hat, lautet die Formel zur Berechnung der gesamten Winkelsumme S = (n - 2)180°.

Satz 5.5: In einem regelmäßigen Polygon beträgt das Maß eines Innenwinkels .

Satz 5.6: Die Summe der Außenwinkel in einem regelmäßigen Polygon beträgt 360°.

Satz 5.7: In einem regelmäßigen Polygon beträgt das Maß eines jeden Außenwinkels .

Satz 5.8: In einem regelmäßigen Polygon halbieren Radien die Innenwinkel.

Satz 5.9: In einem regelmäßigen Polygon sind die Mittelpunktswinkel kongruent.

Satz 5.10: In einem regelmäßigen Polygon mit gleichen Seiten sind die Mittelpunktswinkel kongruent.

Satz 5.11: In einem regelmäßigen Polygon beträgt das Maß eines Mittelpunktswinkels 360° geteilt durch die Anzahl der Ecken.

Satz 5.12: In einem regelmäßigen Polygon halbiert der Inkreisradius den Mittelpunktswinkel der Seite, auf die er gezeichnet wird.

Satz 5.13: In einem regelmäßigen Polygon ist der Inkreisradius gleichzeitig die Mittelsenkrechte der Seite, auf die er gezeichnet wird.

Satz 5.14: Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines regelmäßigen Polygons lautet: Ur, wobei U der Umfang des Polygons und r der Inkreisradius ist.

Satz 6.1: Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich.

Satz. 6.2: Der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis zwei zu eins.

Satz 6.3: Die Mittellinie eines Dreiecks ist parallel zur dritten Seite.

Satz 6.4: Die Mittellinie ist halb so lang wie die dritte Seite des Dreiecks.

Satz 6.5: Die drei Höhen von Dreiecken schneiden sich.

Satz 6.6: In einem Dreieck entspricht das Produkt der Länge einer Seite mit der Länge der Höhe, die auf diese Seite verläuft, jeweils dem Produkt der anderen beiden Seiten mit ihren Höhen.

Satz 6.7: Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der von allen Ecken des Dreiecks gleich weit entfernt ist.

Satz 6.8: Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der von allen Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt ist.

Satz 6.9: Wenn zwei Seiten eines Dreiecks kongruent sind, dann sind auch die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel kongruent.

Satz 6.10: Wenn zwei Winkel eines Dreiecks kongruent sind, dann sind auch die diesen Winkel gegenüberliegenden Seiten kongruent.

Satz 6.11: Die Winkelhalbierende der Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks teilt das Dreieck in zwei kongruente Dreiecke.

Satz 6.12: Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks ist die Wurzel aus drei durch zwei multipliziert mit der Länge einer Seite dieses Dreiecks.

Satz 6.13: Ist das Quadrat der Länge der längsten Seite kleiner als die Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten, dann ist ein Dreieck spitzwinklig.

Satz 6.14: Ist das Quadrat der Länge der längsten Seite größer als die Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten, dann ist ein Dreieck stumpfwinklig.

Satz 6.15: Ein Dreieck kann nur einen stumpfen Winkel haben.

Satz 6.16: Die Länge der Seitenhalbierenden der Hypotenuse eines rechtwinkligen, gleichschenkligen Dreiecks ist halb so lang wie die Hypotenuse.

Satz 6.17: Für rechtwinklige Dreiecke gilt: Die Summe der Quadrate der beiden Katheten entspricht dem Quadrat der Hypotenuse, also a^2 + b^2 = c^2. Diese Regel heißt Satz des Pythagoras.

Satz 6.18: Wenn das Quadrat der längsten Seite der Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten entspricht, dann ist das Dreieck rechtwinklig. Also wenn c^2 = a^2 + b^2, dann kann man folgern, dass es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Das ist die Umkehrung des Satzes des Pythagoras.

Satz 6.19: Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist

Satz 7.1: Wenn beide Paare der gegenüberliegenden Seiten eines Vierecks kongruent sind, dann handelt es sich um ein Parallelogramm.

Satz 7.2: Wenn beide Paare der gegenüberliegenden Winkel in einem Viereck kongruent sind, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.

Satz 7.3: Eine Diagonale teilt ein Parallelogramm in zwei kongruente Dreiecke.

Satz 7.4: Benachbarte Winkel eines Parallelogramms sind supplementär.

Satz 7.5: Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus Länge der Grundseite und Länge der zugehörigen Höhe.

Satz 7.6: Alle Winkel in einem Rechteck sind rechte Winkel.

Satz 7.7: Die Diagonalen eines Rechtecks sind kongruent.

Satz 7.8: Wenn ein Viereck gleichseitig ist, dann handelt es sich um eine Raute.

Satz 7.9: Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander.

Satz 7.10: Ein Parallelogramm ist eine Raute, wenn die Diagonalen die Eckwinkel halbieren.

Satz 7.11: Die beiden Diagonalen einer Raute bilden vier kongruente Dreiecke.

Satz 7.12: Der Flächeninhalt einer Raute ist ein halb Mal das Produkt aus den Längen der beiden Diagonalen bzw. ((d_1)(d_2)).

Satz 7.13: Ein Quadrat ist ein gleichseitiges Rechteck.

Satz 7.14: Ein Quadrat ist eine Raute mit einem rechten Winkel.

Satz 7.15: Die Länge einer Diagonalen in einem Quadrat errechnet sich aus s√2, wobei s die Länge einer beliebigen Seite ist.

Satz 7.16: Die Basiswinkel eines gleichschenkligen Trapezes sind kongruent.

Satz 7.17. Die Diagonalen eines gleichschenkligen Trapezes sind kongruent.

Satz 7.18: Der Flächeninhalt eines Trapezes ist gleich ein halb Mal das Produkt aus Trapezhöhe und Summe der parallelen Seiten.

Satz 8.1: Alle Radien eines Kreises oder kongruenter Kreise sind kongruent.

Satz 8.2: In einem Kreis oder kongruenten Kreisen sind Sehnen, die gleich weit vom Mittelpunkt entfernt sind, gleich lang. Anders herum gilt das Gleiche: Gleiche Sehnen sind gleich weit vom Mittelpunkt entfernt.

Satz 8.3: Der Durchmesser ist zweimal so lang wie der Radius.

Satz 8.4: Alle Durchmesser eines Kreises sind kongruent.

Satz 8.5: Ein Radius steht in dem Berührungspunkt senkrecht auf einer Tangente. Das heißt, dass der Winkel, den ein Radius und eine Tangente in einem Berührungspunkt bilden, 90° groß ist. Dieser Radius heißt Berührungsradius.

Satz 8.6: Wenn zwei Kreise sich berühren, dann ist die Zentrale, die beide Mittelpunkte miteinander verbindet, senkrecht zur gemeinsamen Tangente.

Satz 8.7: Wenn zwei Sehnen sich in einem Kreis schneiden, ist das Produkt der jeweiligen Sehnenabschnitte gleich. Dieser Satz heißt auch Sehnensatz.

Satz 8.8: Ein Winkel, der durch das Aufeinandertreffen einer Tangente mit einer Sehne entsteht, ist halb so groß wie der abgetrennte Bogen.

Satz 8.9: Schneiden sich zwei Sekanten außerhalb des Kreises, dann ist das Produkt des Segments vom ersten Sekantenschnittpunkt bis zu dem zweiten Schnittpunkt und des Segments vom ersten Sekantenschnittpunkt bis zum Schnittpunkt mit der anderen Sekante auf beiden Sekanten gleich groß. Diesen Satz nennt man auch Sekantensatz.

Satz 8.10: Wenn zwei Tangenten einen Winkel außerhalb des Kreises bilden, sind die Tangenten gleich lang.

Satz 8.11: Der Umfang eines Kreises entspricht 360 Grad.

Satz 8.12: Die Länge eines Bogens beträgt .

Satz 8.13: Ein Umfangswinkel ist halb so groß wie der von ihm abgetrennte Bogen.

Satz 8.14: Ein Winkel, der durch zwei Sekanten gebildet wird, die sich außerhalb eines Kreises schneiden, ist halb so groß wie die Differenz der abgetrennten Bogen.

Satz 8.15. Wenn ein Durchmesser senkrecht auf einer Sehne steht, dann halbiert er die Sehne und ihre Bogen. Die Halbierende bildet kongruente Segmente und kongruente Bogen.

Satz 8.16: Parallele Sehnen in einem Kreis teilen gleiche Bogen ab.

Satz 8.17: Die Fläche eines Kreises ist πr^2.

Satz 8.18: Die Seiten eines umschreibenden Polygons berühren den Inkreis.

Satz 8.19: Die Länge des Radius eines in ein gleichseitiges Dreieck einbeschriebenen Kreises ist ein Drittel der Länge der Höhe dieses Dreiecks.

Satz 8.20: Alle Seiten eines einbeschriebenen Polygons sind Sehnen des Kreises.

Satz 8.21: Wenn ein Kreis Umkreis eines Polygons ist, dann nennt man das Polygon einbeschrieben. Ist dieses einbeschriebene Polygon ein Viereck, dann sind seine gegenüberliegenden Winkel supplementär.

Satz 8.22: Wenn ein Parallelogramm einen Umkreis besitzt, dann ist es ein Rechteck.

Satz 9.1: In einem Dreieck ist die Summe von zwei Seitenlängen immer größer als die Länge der dritten Seite.

Satz 9.2: Die Länge der längsten Seite eines Dreiecks ist immer größer als die Differenz der beiden anderen Seiten und kleiner als die Summe dieser beiden Seiten.

Satz 9.3: Wenn zwei Seiten eines Dreiecks ungleich lang sind, dann sind die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel ebenfalls ungleich groß. In einem Dreieck liegt der größte Winkel der längsten Seite gegenüber.

Satz 9.4: Wenn zwei Winkel eines Dreiecks ungleich groß sind, dann sind die diesen Winkeln gegenüberliegenden Seiten ebenfalls ungleich lang. In einem Dreieck liegt die längste Seite dem größten Winkel gegenüber.

Satz 9.5: Je näher eine Sehne dem Mittelpunkt eines Kreises ist, desto länger ist sie.

Satz 9.6: Je weiter eine Sehne vom Mittelpunkt eines Kreises entfernt ist, desto kürzer ist sie.

Satz 9.7: In demselben Kreis bzw. in gleichen Kreisen hat der längere kleinere Kreisbogen die längere Sehne.

Satz 9.8: In demselben Kreis bzw. in gleichen Kreisen hat der kürzere kleinere Kreisbogen die kürzere Sehne.

Satz 9.9: Im selben Kreis bzw. in gleichen Kreisen hat der Mittelpunktswinkel mit dem größeren Maß den längeren Kreisbogen.

Satz 9.10: Im selben Kreis bzw. in gleichen Kreisen hat der Mittelpunktswinkel mit dem kleineren Maß den kürzeren Kreisbogen.

Satz 10.1: In einer Verhältnisgleichung sind die Ergebnisse der Überkreuzmultiplikation gleich, das heißt, das Produkt der Außenglieder ist gleich dem Produkt der Innenglieder.

Satz 10.2: Wenn die Produkte zweier Zahlenpaare gleich sind, dann kann jedes der beiden Paare entweder als die Außen- oder als die Innenglieder auftreten.

Satz 10.3: Die Verhältnisse auf beiden Seiten einer Verhältnisgleichung können umgedreht werden, ohne dass sich etwas dabei ändert.

Satz 10.4: Außen- oder Innenglieder einer Verhältnisgleichung können ihre Position in der Gleichung tauschen. Die Verhältnisse bleiben dabei unverändert.

Satz 10.5: Wenn in einer Verhältnisgleichung das zweite Glied zum ersten Glied und das vierte Glied zum dritten Glied addiert wird, kommt dabei eine äquivalente Verhältnisgleichung heraus.

Satz 10.6: Wenn in einer Verhältnisgleichung das zweite Glied vom ersten Glied und das vierte Glied vom dritten Glied subtrahiert wird, kommt dabei eine äquivalente Verhältnisgleichung heraus.

Satz 10.7: Eine Gerade, die parallel zu einer Dreiecksseite ist, teilt die beiden anderen Dreiecksseiten proportional.

Satz 10.8: Wenn eine Gerade zwei Seiten eines Dreiecks proportional teilt, dann ist sie parallel zur dritten Seite.

Satz 10.9: Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn zwei Paare von Winkeln kongruent sind.

Satz 10.10: Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie einen kongruenten Winkel haben und die beiden anliegenden Seiten im Verhältnis übereinstimmen.

Satz 10.11: Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn ihre entsprechenden Seiten im Verhältnis übereinstimmen.

Satz 11.1: Der Abstand zwischen zwei Punkten mit den gleichen y-Koordinaten entspricht dem Wert der Differenz ihrer x-Koordinaten.

Satz 11.2: Der Abstand zwischen zwei Punkten mit den gleichen x-Koordinaten entspricht dem Wert der Differenz ihrer y-Koordinaten.

Satz 11.3: Der Abstand zwischen zwei Punkten - (x_1, y_1) und (x_2, y_2) – beträgt .

Satz 11.4: Die Steigung paralleler Geraden ist gleich.

Satz 11.5: Parallele Geraden haben die gleiche Steigung.

Satz 11.6: Wenn zwei Geraden senkrecht aufeinander stehen, ist das Produkt ihrer Steigungen -1.

Satz 11.7: Wenn zwei Geraden senkrecht aufeinander stehen, ist die eine Steigung der negative Kehrwert der anderen Steigung.

Satz 11.8: Der Radius eines Kreises im Koordinatensystem ist definiert durch r^2 = (x – h)2 + (y – k)2.

Satz 12.1: Eine Ortslinie aller Punkte, die von zwei gegebenen Punkten den gleichen Abstand haben, ist die Mittelsenkrechte zur Geraden, die die zwei gegebenen Punkte verbindet.

Satz 12.2: Die Ortslinie aller Punkte, die von zwei gegebenen sich schneidenden Geraden gleich weit entfernt sind, ist die Winkelhalbierende der Winkel, die von den sich schneidenden Geraden gebildet werden.

Satz 12.3: Die Ortslinie aller Punkte, die von einer gegebenen Geraden auf beiden Seiten gleich weit entfernt sind, ist ein Paar von Parallelen und außerdem parallel zur gegebenen Geraden.

Satz 12.4: Die Ortslinie aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt den gleichen festen Abstand haben, ist ein Kreis. Der gegebene Punkt ist der Kreismittelpunkt, der feste Abstand ist der Radius.

Satz 12.5: Die Ortslinie aller Punkte, die von einem gegebenen Kreis gleich weit entfernt und außerhalb dieses Kreises liegen, ist ein konzentrischer Kreis.

Satz 12.6: Die Ortsline aller Punkte, deren x-Koordinate einen festen Wert hat, ist eine vertikale Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft.

Satz 12.7: Die Ortslinie aller Punkte, deren y-Koordinaten einen festen Wert hat, ist eine horizontale Gerade, die parallel zur x-Achse verläuft.

Die Korollare

Korollar 6.1: Die Winkelhalbierende der Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks ist die Mittelsenkrechte der Basis dieses Dreiecks.

Korollar 6.2: Die Winkelhalbierende einer Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks teilt die Basis in zwei gleich große Segmente.

Korollar 6.3: Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich große Winkel.

Korollar 6.4: Die drei Winkel eines gleichseitigen Dreiecks sind je 60° groß (siehe auch Satz 5.2).

Korollar 6.5: Ein Dreieck kann nur einen rechten Winkel haben (siehe auch Satz 5.2).

Korollar 6.6: Die spitzen Winkel, also die Nicht-90°-Winkel, eines rechtwinkligen Dreiecks sind komplementär (siehe auch Satz 5.2).

Korollar 10.1: Zwei rechtwinklige Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn ein spitzer Winkel in einem Dreieck kongruent zu einem spitzen Winkel im zweiten Dreieck ist.

Prinzipien und Regeln

Reflexivität: a = a

Symmetrie: Wenn a = b, dann b = a

Transitivität: Wenn a = b und b = c, dann a = c

Substitution: Wenn x = 20 und x + y = 30, dann 20 + y = 30

Addition: Wenn a = b und c = d, dann a + c = b + d

Subtraktion: Wenn a = b und c = d, dann a - c = b - d

Multiplikation: Wenn a = b, dann 2a = 2b

Division: Wenn a = b und c = d, dann a ÷ c = b ÷ d

Wurzel: Wenn a = b, dann √a = √b

Potenz: Wenn a = 7, dann (a)2 = (7)2

D

Glossar

Dieses Glossar versorgt Sie mit allen (zumindest fast allen) Wörtern, denen Sie bei Ihrer Beschäftigung mit der Geometrie begegnen werden. Und ich habe sie ganz alleine nur für Sie in die richtige alphabetische Reihenfolge gebracht. Nett, nicht wahr?

Additionsprinzip: Wenn gleiche Terme zu gleichen Termen addiert werden, sind ihre Summen ebenfalls gleich.

Ähnliche Polygone: Polygone, deren Winkel gleich und deren Seitenverhältnisse proportional sind.

Außenwinkel: Ein Winkel, der außen an einer Figur liegt.

Äußere Tangente: Eine gemeinsame Tangente, die nicht die Zentrale schneidet.

Axiom: Eine Aussage, die ohne Beweis als wahr akzeptiert wird.

Berührungspunkt: Der Punkt, an dem eine Tangente einen Kreis berührt.

Bogen: Ein Abschnitt der Kreislinie, der von zwei Punkten begrenzt wird.

Deduktive Beweisführung: Eine Art der Beweisführung, bei der man vom Allgemeinen auf das Besondere schließt und Schritt für Schritt zu einer gültigen Schlussfolgerung gelangt.

Divisionsprinzip: Wenn gleiche Terme durch gleiche Terme (außer null) dividiert werden, sind ihre Quotienten ebenfalls gleich.

Drachenviereck: Ein Viereck mit zwei Paar benachbarten kongruenten Seiten, in dem kein Winkel größer als 180° ist

Dreieck: Ein Polygon mit genau drei Ecken.

Durchmesser: Eine Sehne, die durch den Mittelpunkt eines Kreises von einer Seite auf die andere verläuft. Die Formel für den Durchmesser ist D = 2r, wobei r der Radius des Kreises ist.

Ebene: Eine unendliche Fläche, die keine Tiefe und keine Ränder besitzt.

Eck: In einem Polygon der Punkt, an dem zwei Seiten aufeinander treffen.

Gemeinsame Tangente: Eine Linie, die für zwei oder mehr Kreise eine Tangente ist.

geometria: Das griechischen Wort, von dem unser Wort »Geometrie« abstammt. Ge bedeutet »Erde« und metre »Messung«.

Geometrischer Ort: Eine Punktmenge, die durch eine oder mehrere bestimmte geometrische Eigenschaften gekennzeichnet ist und eine oder mehrere bestimmte Bedingungen erfüllt.

Gerade: Punkte auf einer Linie, die sich unendlich in zwei Richtungen erstrecken.

Gerade 3-D-Figur: Eine geometrische räumliche Figur, deren Höhe senkrecht auf die Grundseite verläuft.

Geschlossene Figur: Ein Objekt, das eine Ebene in einen inneren und einen äußeren Bereich teilt.

Gestreckter Winkel: Ein Winkel mit einer Größe von 180°.

Gleichartige Größen: Größen, die man miteinander vergleichen kann, weil sie in der gleichen Einheit gezählt werden.

Gleichschenkliges Dreieck: Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten.

Gleichseitiges Dreieck: Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten.

Gleichwinkliges Dreieck: Ein Dreieck, in dem alle Winkel gleich groß bzw. 60° groß sind.

Grad: Die gebräuchlichste Einheit zum Messen eines Winkels.

Halbgerade: Eine Linie, die einen Endpunkt hat und auf der anderen Seite unendlich verläuft. Wird auch als Strahl bezeichnet.

Höhe: Die kürzeste Strecke in einer geometrischen Figur, die von der unteren Seite zur oberen Seite oder Spitze verläuft.

Indirekte Beweisführung: Eine Art der Beweisführung, bei der man beweist, dass das Gegenteil dessen, was man behauptet, falsch ist und die Behauptung demnach richtig sein muss.

Induktive Beweisführung: Eine Art der Beweisführung, bei der man versucht, eine Theorie nach bestimmten Regeln zu erproben. Man schließt dabei vom Besonderen auf das Allgemeine.

Inkreis: Ein Kreis in einem Polygon, der jede Seite des Polygons berührt.

Inkreisradius: Eine Strecke, die vom Mittelpunkt eines Polygons senkrecht auf eine Seite verläuft.

Innenwinkel: Ein Winkel innerhalb einer Figur, dessen Seiten gleichzeitig die Seiten des Polygons sind.

Innere Tangente: Eine gemeinsame, die Zentrale schneidende Tangente.

Innerer Wechselwinkel: Innen gelegene Winkel auf beiden Seiten einer Transversalen.

Kegel: Eine dreidimensionale Figur mit einer runden Grundfläche und einer Spitze.

Kollineare Punkte: Punkte, die auf einer Linie liegen.

Komplementärwinkel: Zwei Winkel, die zusammen 90° groß sind.

Kongruent: Gleich groß.

Konsekutiv: Aufeinander folgend, nebeneinander liegend.

Koordinatenpaar: Ein Zahlenpaar der Form (x, y), das den Ort eines Punktes im Koordinatensystem anzeigt.

Koordinatensystem: Ein Gitter, mit dem man Punkte in Bezug auf ihre vertikale und ihre horizontale Lage darstellen kann.

Kosinus: In einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis Ankathete zu Hypotenuse.

Kotangens: In einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis Ankathete zu Gegenkathete.

Kreis: Alle Punkte einer Ebene, die von einem Punkt gleich weit entfernt sind.

Kreissektor: Teil eines Kreises, der von zwei Radien abgetrennt wird.

Kugel: Alle Punkte eines Raumes, die von einem Punkt gleich weit entfernt sind.

Minute: Eine Einheit für Winkelmaße. Sechzig Minuten entsprechen einem Grad.

Mittellinie: Eine Strecke, die vom Mittelpunkt einer Dreiecksseite auf den Mittelpunkt einer anderen Dreiecksseite gezogen wird und die parallel zur dritten Seite verläuft.

Mittelpunkt: Ein Punkt auf einer Strecke oder einem Bogen, der sie bzw. ihn in zwei gleich große Teile teilt.

Mittelpunktswinkel: Winkel am Mittelpunkt eines Kreises, der zwei Radien als Seiten hat.

Mittelsenkrechte: Eine Linie, die eine Strecke im rechten Winkel schneidet und diese gleichzeitig in zwei gleich große Teile teilt.

Multiplikationsprinzip: Wenn gleiche Terme mit gleichen Termen multipliziert werden, sind ihre Produkte ebenfalls gleich.

Nebenwinkel: Zwei Winkel einer Ebene, die eine gemeinsame Seite und Spitze, aber keine gemeinsamen Innenfelder haben.

Parallele Geraden: Geraden, die sich niemals schneiden und keine gemeinsamen Punkte haben.

Parallelogramm: Ein Viereck mit zwei Paar parallenen gegenüberliegenden Seiten.

Pfeilviereck: Ein Viereck mit einem Winkel, der größer als 180° ist, und zwei Paar benachbarter kongruenter Seiten hat.

Polyeder: Eine geschlossene räumliche Figur, die von mindestens vier Flächen begrenzt wird.

Polygon: Eine geschlossene ebene Figur, die von mindestens drei Seiten begrenzt wird.

Potenzprinzip: Gleiche Terme im Quadrat sind gleich.

Prisma: Eine dreidimensionale Figur, deren Grund- und Deckfläche kongruente Polygone sind.

Punkt: Die Kennzeichnung einer bestimmten, festgelegten Position. Ein Punkt hat weder Länge noch Breite noch Tiefe.

Pyramide: Eine dreidimensionale Figur mit einem Polygon als Grundfläche und einer Spitze, deren Seitenflächen dreieckig sind.

Quadrat: Ein gleichseitiges Viereck.

Quadratwurzelprinzip: Quadratwurzeln gleicher Terme sind gleich.

Radius: Eine Linie, die vom Mittelpunkt senkrecht auf die Seite (Polygon) bzw. auf die Kreislinie (Kreis) einer Figur verläuft.

Raute: Ein Parallelogramm mit gleich langen Seiten. Wird auch Rhombus genannt.

Rechteck: Ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel.

Rechter Winkel: Ein Winkel, der 90° groß ist.

Rechtwinkliges Dreieck: Ein Dreieck, das einen 90°-Winkel besitzt.

Reflexivität: Jedes Objekt ist zu sich selbst äquivalent.

Satz: Eine Aussage, die als wahr bewiesen wurde.

Satz des Pythagoras: Die von Pythagoras für rechtwinklige Dreiecke formulierte Gesetzmäßigkeit, dass die Summe der Quadrate der beiden Katheten dem Quadrat der Hypotenuse entspricht: a^2 + b^2 = c^2.

Scheitelwinkel: Winkel, die von sich schneidenden Geraden gebildet werden und sich gegenüberliegen.

Schenkel: 1. Die beiden Linien, die einen Winkel bilden. 2. Die beiden kongruenten Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks.

Schiefe 3-D-Figur: Eine geometrische Figur, deren Höhe nicht senkrecht auf die Grundseite verläuft.

Schnittpunkt: Der Ort, an dem sich zwei Geraden schneiden.

Schwerpunkt: Der Punkt, an dem sich die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden.

Sehne: Eine Strecke, die einen Kreis in zwei Segmente teilt, einen kleineren und einen größeren Kreisabschnitt.

Sehnen-Sehnen-Winkel: Ein Winkel, der in dem Schnittpunkt zweier Sehnen gebildet wird.

Sehnen-Tangenten-Winkel: Ein Winkel, der von einer Sehne und einer Tangente gebildet wird.

Seitenhalbierende: Eine Strecke, die von einer Spitze oder einem Winkel auf den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite gezogen wird.

Sekante: Eine Gerade, die einen Kreis an zwei Stellen schneidet.

Sekunde: Eine Einheit für Winkelmaße. Sechzig Sekunden entsprechen einer Minute.

Sich extern berührende Kreise: Zwei Kreise, deren Mittelpunkte auf unterschiedlichen Seiten einer gemeinsamen Tangente liegen.

Sich intern berührende Kreise: Zwei Kreise, deren Mittelpunkte auf der gleichen Seite einer gemeinsamen Tangente liegen.

Sinus: In einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis Gegenkathete zu Hypotenuse.

Spitze: Die Ecke, die in einem gleichschenkligen Dreieck von den beiden Schenkeln gebildet wird.

Spitzer Winkel: Ein Winkel, der größer als 0°, aber kleiner als 90° ist.

Spitzwinkliges Dreieck: Ein Dreieck, in dem alle Winkel kleiner als 90° sind.

Steigung: Die vertikale Veränderung einer Geraden in Relation zur horizontalen Veränderung.

Strecke: Teil einer Geraden mit zwei Endpunkten, die ihre Länge bestimmen.

Stufenwinkel: Winkel auf einer Seite einer Transversalen in gleicher relativer Position zu der Geraden, die diese Transversale kreuzt.

Stumpfer Winkel: Eine Winkel, der größer als 90°, aber kleiner als 180° ist.

Stumpfwinkliges Dreieck: Ein Dreieck, in dem ein Winkel größer als 90° ist.

Substitution: Ein Objekt kann durch sein Äquivalent ersetzt werden.

Subtraktionsprinzip: Wenn gleiche Terme von gleichen Termen subtrahiert werden, sind ihre Differenzen ebenfalls gleich.

Supplementwinkel: Zwei Winkel, die zusammen 180° groß sind.

Symmetrie: Zwei äquivalente Größen können umgedreht werden.

Tangens: In einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis Gegenkathete zu Ankathete.

Tangente: Eine Gerade, die einen Kreis an genau einer Stelle berührt.

TKDK: Eine Regel, die besagt, dass Teile kongruenter Dreiecke kongruent sind.

Transitivität: Wenn zwei Objekte zu einem dritten äquivalent sind, dann sind auch die beiden ersten Objekte zueinander äquivalent.

Transversale: Eine Gerade, die zwei oder mehr Geraden an verschiedenen Punkten schneidet.

Trapez: Ein Viereck mit zwei parallelen Seiten.

Trigonometrie: Ein Teilgebiet der Geometrie, das mit Verhältnissen von Seiten und Winkeln in rechtwinkligen Dreiecken arbeitet.

Überbestimmt: Man hat so viele Voraussetzungen, dass diese mit einem einzigen geometrischen Objekt niemals dargestellt werden könnten.

Umfangswinkel: Winkel, der durch zwei Sehnen auf der Kreislinie gebildet wird.

Umkreis: Ein Kreis, der ein Polygon derart umgibt, dass jedes Eck des Polygons den Kreis an genau einer Stelle berührt.

Ungleichartige Größen: Größen, die man nicht miteinander vergleichen kann, weil sie in unterschiedlichen Einheiten gezählt werden.

Ungleichseitiges Dreieck: Ein Dreieck, das weder gleiche Seiten noch gleiche Winkel besitzt.

Unterbestimmt: Man hat zu wenige Informationen, um ein geometrisches Objekt zu zeichnen.

Ursprung: Die Schnittstelle der x- und der y-Achse im Koordinatensystem mit den Koordinaten (0, 0).

Viereck: Ein Polygon mit genau vier Ecken.

Volumen: Der räumliche Inhalt eines mathematischen Körpers.

Winkel: Ein Paar von zwei Halbgeraden oder Strecken (Schenkel) mit einem gemeinsamen Anfangspunkt (Scheitel).

Winkelhalbierende: Eine Linie, die einen Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.

Winkelmesser: Ein Werkzeug, mit dem man die Größe von Winkeln bestimmen kann. Auch: Geodreieck.

x-Achse: Die horizontale Achse in einem Koordinatensystem.

x-Koordinate: Die Zahl in einem Koordinatenpaar, die den Ort des Punktes bezüglich der x-Achse definiert.

y-Achse: Die vertikale Achse in einem Koordinatensystem.

y-Koordinate: Die Zahl in einem Koordinatenpaar, die den Ort des Punktes bezüglich der y-Achse definiert.

Zentrale: Eine Strecke, die vom Mittelpunkt eines Kreises zum Mittelpunkt eines anderen Kreises gezogen wird.

Zylinder: Eine dreidimensionale Figur mit einer runden Grund- und einer runden Deckfläche.

Stichwortverzeichnis

3-D siehe Dreidimensionalität

3-D-Grafiker

A

Additionsregel

Ähnliche Dreiecke

Anwendung

Beweis

Eigenschaften

Voraussetzungen

Winkel-Winkel-Satz

Ähnlichkeit

Definition

Polygon
rechtwinkliges Dreieck

Zeichen

Verhältnis

Äquivalenzrelation

Architekt

Aussage

falsch
wahr

Zeichen

Aussage, mathematische

Beispiel

Definition
formulieren
wenn ... dann

Außenglied

Außenwinkel

Beweis

Definition

Dreieck

Polygon
regelmäßiges Polygon

Summe

Viereck

Äußerer Wechselwinkel

Axiom

Beispiel

Beweis

Definition

Überblick

B

Basiswinkel

Beweis
gleichschenkliges Dreieck

Trapez

Satz

Baufachleute

Begründung, mathematische Definition

Behauptung, mathematische Definition

Benachbarter Winkel

Beweisen

Beispiel
deduktiver Beweis
direkter Beweis
indirekter Beweis
induktiver Beweis

Vorgehen

Bleistift

Bogen

Beweis

Breite

D

Deckfläche

Prisma

Deduktiver Beweis

Beispiel

Definition

Descartes, Rene

Diagonale

Anzahl

Beweis

Definition

Drachenviereck

Formel

Parallelogramm

Pfeilviereck

Quadrat

Raute

Rechteck

Trapez

Viereck

Direkter Beweis

Divisionsregel

Drachenviereck

Definition

Diagonale

Dreidimensionalität

Polyeder

Dreieck

Ähnlichkeit

Arten

Außengebiet

Benennung
besondere Linien

Definition

Flächeninhalt
gleichschenklig
gleichseitig
gleichwinklig

Höhe

Innengebiet

Innenwinkelsumme

Kongruenz

Mittellinie

Mittelsenkrechte
rechtwinklig

Schwerpunkt

Seitenhalbierende
spitzwinklig
stumpfwinklig

Symbol

Überblick

Umfang
ungleichseitig

Ungleichung

Verhältnisgleichung

Winkelhalbierende
zeichnen

Dreiecksungleichung

Beweis

Seitenlänge

Verhältnis von Winkel und Seite

Durchmesser

E

Ebene

Definition

Ecke

Definition

Endpunkt

Entfernung

Koordinatensystem

Verhältnis

Entfernungsformel

Entgegengesetzte Ungleichung

Euklid

Eulerscher Polyedersatz

F

Flächeninhalt

Drachenviereck

Dreieck

Formel für ein Dreieck

Formelfür ein gleichseitiges Dreieck

Formel für ein Parallelogramm

Formel für ein Prisma

Formel für ein Quadrat

Formel für ein rechtwinkliges Dreieck

Formel für ein regelmäßiges Polygon

Formel für ein Trapez

Formel für eine Raute

Formelüberblick

Kegel

Koordinatensystem

Kreis

Kreisabschnitt

Kreissektor

Kugel

Parallelogramm

Polygon

Prisma

Pyramide

Quadrat

Raute

Rechteck
regelmäßiges Polygon

Trapez

Zylinder

Fluglotse

Fortlaufende Proportion

G

Geodreieck

Geometrie

Definition

Geometrischer Ort

bestimmen

Beweis

Definition
konzentrischer Kreis

Koordinatensystem

Kreis

Mittelsenkrechte

Parallelen

Schnittmenge

Winkelhalbierende

Geometrisches Mittel

Gerade

Definition

Punktsteigungsform

Schnittpunkt

Gestreckter Winkel Definition

Gitter

mathematisches

Gleichgerichtete Ungleichung

Gleichschenkliges Dreieck

Beweis

Definition

Gleichschenkliges Trapez

Gleichseitiges Dreieck

Definition

Innenwinkel

Gleichseitiges Polygon

Gleichwinkliges Dreieck

Gleichwinkliges Polygon

Grad

Grundbegriff

definiert
undefiniert

Grundfläche

Prisma

Pyramide

Trapez

H

Halbgerade

Definition

Halbkreis

Hinterglied

Höhe

Definition

Dreieck
gleichseitiges Dreieck

Parallelogramm

Prisma

Trapez

Hypotenuse

I

Indirekter Beweis

Beispiel

Vorgehen

Induktiver Beweis

Inkreisradius

Definition

Polygon

Pyramide

Satz

Innengebiet

Innenglied

Innenwinkel

Beweis

Definition

Dreieck

Formel
gleichseitiges Dreieck

Polygon
regelmäßiges Polygon

Summe

Viereck

Innerer Wechselwinkel

K

Kapitän

Karrieren

mit Geometrie

Kartesisches Koordinatensystem siehe Koordinatensystem

Kathete

Kegel

Definition

Flächeninhalt

Volumen

Kollinear

Definition

Komplementärwinkel

Beweis

Kongruentes Dreieck

Seite-Seite-Seite-Satz

Seite-Winkel-Seite-Satz

Seite-Winkel-Winkel-Satz

Winkel-Seite-Winkel-Satz

Kongruenz

Beweis

Dreieck
gleichschenkliges Dreieck
rechtwinkliges Dreieck

Symbol

Konkaves Polygon

Definition

Viereck

Konvexes Polygon

Definition

Viereck

Koordinate

Koordinatenpaar

einzeichnen

Koordinatensystem

Achse

Definition

Dreieck

Entfernung ermitteln

Entfernungsformel

Flächeninhalt

Formelüberblick
geometrischer Ort

Koordinate

Kreis

Mittelpunkt

Mittelpunktsformel

Punktsteigungsform

Quadrant

Steigung

Steigungsformel

Ursprung
zeichnen

Korollar

Definition

Überblick

Kosekans

Kosinus

Kotangens

Kreis

Beziehungen von Linien

Koordinatensystem

Ungleichung

Winkelgröße

Kreisungleichung

Bogenlänge

Sehnenlänge

Kugel

Definition

Flächeninhalt

Volumen

L

Länge

Lineal

Logik

M

Mantelfläche

Kegel

Prisma

Pyramide

Zylinder

Maschinenbauingenieur

Maßeinheit

Umrechnung

Messen

unmessbarer Größen

Minute

Mittellinie

Definition

Mittelpunkt

Beweis

Formel

Koordinatensystem

Mittelpunktswinkel

Polygon

Satz

Mittelsenkrechte

Beweis

Definition
gleichschenkliges Dreieck
gleichseitiges Dreieck

Polygon

Modedesigner

Multiplikationsregel

N

Nebenwinkel

Definition

O

Oberfläche

Formelüberblick

Kegel

Kugel

Prisma

Pyramide

Zylinder

Orthogonal

Ortskurve siehe Geometrischer Ort

Ortslinie siehe Geometrischer Ort

P

Parallelaxiom

Parallelität

Beweis

Definition

Verhältnisgleichung

Zeichen

Parallelogramm

Benennung

Beweis

Definition

Diagonale

Eigenschaften

Flächeninhalt

Höhe

Pfeilviereck

Definition

Diagonale

Polyeder

Definition

Eulerscher Polyedersatz

Kegel

Oberfläche

Prisma

Pyramide
regelmäßiges
reguläres

Zylinder

Polygon

Ähnlichkeit

Arten

Außenwinkel

Benennung

Bezeichnung

Definition

Drachenviereck

Dreieck

Flächeninhalt
gleichseitiges
gleichwinkliges

Innenwinkel
konkaves
konvexes

Mittelpunktswinkel

Mittelsenkrechte

Parallelogramm

Pfeilviereck

Quadrat

Raute

Rechteck
regelmäßiges

Trapez

Umfang

Viereck

Potenz

Rechenregel

Prisma

Deckfläche

Definition

Flächeninhalt

Grundfläche

Höhe

Seitenfläche

Typ

Volumen

Proportion

Definition
fortlaufend

Punkt

Definition
kollinear

Punktsteigungsform

Pyramide

Definition

Flächeninhalt

Inkreisradius

Seitenhöhe

Typen

Volumen

Pythagoras

Leben

Satz

Q

Quadrant

Quadrat

Beweis

Definition

Diagonale

Eigenschaften

Flächeninhalt

Umfang

Quadratwurzel

Tabelle

Quadratzahl

Tabelle

R

Radius

Polygon

Satz

Ratschläge, gute

Raumgestalter

Raute

Beweis

Definition

Diagonale

Eigenschaften

Flächeninhalt

Rechteck

Beweis

Definition

Diagonale

Eigenschaften

Flächeninhalt

Umfang

Rechter Winkel

Beweis

Definition

Rechteck

Rechtwinklig

Definition

Zeichen

Rechtwinkliges Dreieck

Ähnlichkeit
besondere spitze Winkel

Beweis

Definition

Formelüberblick

Kongruenz

Satz des Pythagoras

Trigonometrie

Reflexivität

Definition

Dreieck

Regelmäßiges Polygon

Flächeninhalt

Relation

Rhombus siehe Raute

S

Satz

Beispiel

Definition

Überblick

Satz des Pythagoras

Scheitel

Scheitelwinkel

Schenkel

gleichschenkliges Dreieck

Trapez

Winkel

Schlussfolgerung

Definition
gültige
ungültige

Schnittpunkt

Beweis

Definition

Gerade

Schreiner

Schwerpunkt

Sehne

Beweis

Länge

Seitenfläche

Prisma

Seitenhalbierende

Definition
rechtwinkliges Dreieck

Trapez

Seitenhöhe

Seite-Winkel-Seite-Satz

Seite-Winkel-Winkel-Satz

Sekans

Sekunde

Senkrecht

Definition

Zeichen

Sinus

Beispiele

Definition

Spitze

gleichschenkliges Dreieck

Spitzer Winkel

Definition

Spitzwinkliges Dreieck

Definition

Formel

Steigung

Definition

Formel
nicht definiert
paralleler Geraden

Richtung
senkrechte Geraden
von null

Strecke

Austauschbarkeit

Beweis

Definition
messen
zeichnen

Streckenhalbierende

Stufenwinkel

Stumpfer Winkel

Definition

Stumpfwinkliges Dreieck

Definition

Formel

Substitution

Beweis

Definition

Ungleichung

Subtraktionsregel

Supplementwinkel

Beweis

Parallelogramm

Trapez

Symmetrie

Definition

Dreieck

T

Tangens

Beispiele

Definition

Taschenrechner

Trigonometrie

TKDK

Transitivität

Beweis

Definition

Dreieck

Ungleichung

Transversale

Definition

Geraden kreuzen

Parallelen kreuzen

Trapez

Beweis

Definition

Diagonale

Flächeninhalt
gleichschenklig

Höhe

Seitenhalbierende

Trigonometrie

Ankathete

Definition

Formeln

Gegenkathete

Kosekans

Kosinus

Kotangens

Sekans

Sinus

Tabelle

Tangens

U

Überbestimmt

Überkreuzmultiplizieren

Überstumpfer Winkel

Definition

Umfang

Dreieck

Formel für ein Dreieck

Formelüberblick

Kreis

Polygon

Quadrat

Rechteck

Umfangswinkel

Ungleichseitiges Dreieck

Ungleichung

Addition von gleichen Termen

Addition von ungleichen Termen

Beweis

Definition

Division durch negative Terme

Division durch positive Terme

Dreieck
entgegengesetzt
gleichgerichtet

Multiplikation mit negativen Termen

Multiplikation mit positiven Termen
positive Wurzel

Potenz

Substitution

Subtraktion von gleichen Termen

Subtraktion von ungleichen Termen

Transitivität

Ungleichungen

Kreis

Unterbestimmt

Ursprung

V

Verhältnis

Benzinverbrauch

Definition

Entfernung
geometrisch

Kilometer pro Stunde

Maßeinheit

Preis pro Einheit

Seitenlänge

Verhältnisgleichung

Winkel

Zeichen

Zeit
zwischen ungleichartigen Größen

Verhältnisgleichung

Äquivalenz

Außenglied

Dreieck

Form
geometrisches Mittel

Hinterglied

Innenglied
mit einer Unbekannten
mit zwei Unbekannten

Parallelen im Dreieck

Seiten im Dreieck

Strecken im Dreieck

Überkreuzmultiplizieren

Vorderglied

Vermessungsingenieur

Viereck

Arten

Außenwinkel

Benennung

Definition

Diagonale

Flächeninhalt

Innenwinkel
konkav
konvex

Seiten

Übersicht

Volumen

Definition

Formel für die verschiedenen Prismen

Formelüberblick

Kegel

Kugel

Prisma

Pyramide

Würfel

Zylinder

Voraussetzung, mathematische

Definition

Vorderglied

W

Wechselwinkel

äußerer

Definition
innerer

Werkzeugmacher

Winkel

Addition

Außenwinkel
benachbarte
benennen

Definition

Dreieck
gestreckter

Halbierende

Innenwinkel

Komplementärwinkel

Maßeinheit
messen

Nebenwinkel

Polygon
rechter

Sätze

Scheitel

Scheitelwinkel

Schenkel
spitzer

Stufenwinkel
stumpfer

Supplementwinkel

Symbol
überstumpfer
verschiedene Arten

Wechselwinkel

Winkelfeld

Winkelsummen-Axiom
zeichnen

Winkelfeld

Winkelgröße

Tabelle

Winkelhalbierende

Beweis

Definition
gleichschenkliges Dreieck
gleichseitiges Dreieck

Winkelmesser

Winkel-Seite-Winkel-Satz

Winkelsummen-Axiom

Winkel-Winkel-Satz

Würfel

Wurzel

Rechenregel

X
x-Achse

X-Koordinate

Y
y-Achse

Y-Koordinate

Z

Zeichnen

Zirkel

Zylinder

Definition

Flächeninhalt

Volumen