Auch Zahlen haben Gefühle: Warum sie romantisch, sozial oder selbstverliebt sein können und was sich sonst noch mit Mathematik anstellen lässt
Author: Matt Parker; Monika Niehaus; Bernd Schuh
Date: 2015-09-25T00:00:00+00:00
Keywords: Spiele; Naturwissenschaften & Technik; Mathematik; Populärwissenschaft; Technik/Naturwissenschaft; Sudoku; Freizeit; Haus & Garten; Sachbücher/Natur
Description: Matt Parker lebt Mathematik. Sekunden nur braucht er, um jeden Namen im binären Code niederzuschreiben. 2012 hat er mit seinem Team einen funktionierenden Computer aus Dominosteinen gebaut (im Buch erfährt man, wie man es macht). Seine Videos auf Youtube wurden inzwischen über fünf Millionen Mal aufgerufen. Parker betreibt Mathematik nur aus einem Grund: weil es Spaß macht. Und so ist auch sein Buch. Hier stimmt es einmal wirklich: Dieses Buch will nicht belehren; es will einfach zeigen, wie es geht. Sie lesen Näheres über seltsame Phänomene wie Alberne Zahlen, Primknoten, Narzistische Zahlen
Publisher: Rowohlt

Matt Parker

Auch Zahlen haben Gefühle

Warum sie romantisch, sozial oder selbstverliebt sein können und was sich sonst noch mit Mathematik anstellen lässt

Aus dem Englischen von Monika Niehaus und Bernd Schuh

Informationen zum Buch

Matt Parker lebt Mathematik. Sekunden nur braucht er, um jeden Namen im binären Code niederzuschreiben. 2012 hat er mit seinem Team einen funktionierenden Computer aus Dominosteinen gebaut (im Buch erfährt man, wie man es macht). Seine Videos auf Youtube wurden inzwischen über fünf Millionen Mal aufgerufen. Parker betreibt Mathematik nur aus einem Grund: weil es Spaß macht. Und so ist auch sein Buch. Hier stimmt es einmal wirklich: Dieses Buch will nicht belehren; es will einfach zeigen, wie es geht. Sie lesen Näheres über seltsame Phänomene wie alberne Zahlen, Primknoten, narzistische Zahlen und ihre lügnerischen Vettern, die Münchhausen-Zahlen, lösen das Pizza-Problem und teilen den Würfelknoten, bugsieren eine Euromünze durch einen dafür viel zu kleinen Kreis aus Pappe und erfahren, wie man einen 4-D-Würfel basteln oder mit nur zehn Fingern eine Million Zahlen darstellen kann. Und das alles so reich, aber auch einfach illustriert, dass jedermann sofort versteht, worum es geht.

Informationen zum Autor

Matt Parker, 33, wuchs in Perth, Australien, auf. Nach seinem Studium der Mathematik und Physik arbeitete er zunächst als Lehrer und zog dann nach London um. Der Stand-up-Comedian absolviert neben seinen Tourneen TV-Auftritte bei BBC und Channel 4 und schreibt zudem Kolumnen für den Guardian und die Times. Auch als Fellow der Mathematischen Fakultät der Queen Mary University of London kümmert er sich um die Popularisierung von Mathematik.

Gewidmet Keith und Nona Parker,
meinen Großeltern mütterlicherseits, die mich
zum Tun und Lehren anregten.

Null

Das NULLTE Kapitel

Schauen Sie sich um und beschaffen Sie sich ein Trinkgefäß, egal, ob es ein Bierglas oder ein Kaffeebecher ist. Obwohl es anders wirkt: Der Umfang des Glases ist höchstwahrscheinlich größer als seine Höhe. Ein Bierglas sieht vielleicht so aus, als sei es deutlich höher als «dick», doch ein Standard-Bierglas hat tatsächlich einen Umfang, der seine Höhe deutlich übertrifft. Das gilt auch für den Umfang eines Kaffeebechers der in unseren Großstädten allgegenwärtigen Starbucks-Cafés. Deshalb schlug ich ihnen vor, ihren Becher den «kurzen Dicken» zu nennen, doch sie wollten nicht.

Nutzen Sie die Sache zu Ihrem Vorteil aus, es ist ganz einfach: Wenn Sie das nächste Mal in einer Kneipe, in einem Café – oder wo auch immer die Art Getränk serviert wird, die Sie schätzen – kostenlos etwas trinken wollen, wetten Sie einfach mit jemandem, dass sein Trinkgefäß einen größeren Umfang hat, als es hoch ist. Wenn es sich in der Kneipe um einen Glaskrug (mit Henkel) oder in einem Café um einen unverschämt großen Becher handelt, haben Sie schon gewonnen: Der Umfang dieser Gefäße beträgt in der Regel mehr als das Doppelte ihrer Höhe. Also können Sie sogar ganz lässig zwei aufeinander stellen und behaupten, der Umfang sei immer noch größer als die Höhe. Wenn Sie dann allerdings ein Maßband aus der Tasche ziehen, könnten Ihre Opfer womöglich an der Spontanität Ihrer kleinen Vorführung zweifeln; benutzen Sie also lieber einen herumliegenden Trinkhalm oder dessen Papierhülle als behelfsmäßiges Lineal.

Der «Trick» funktioniert bei sämtlichen Gläsern außer den allerschlanksten. Wenn Sie Ihr Glas zunächst prüfen möchten, ohne Verdacht zu erregen, versuchen Sie, es mit einer Hand zu umfassen. Ihre Finger und Ihr Daumen werden sich auf der anderen Seite nicht treffen. Nun versuchen Sie mit Daumen und Zeigefinger die Höhe des Glases zu überspannen – wahrscheinlich wird’s klappen (oder zumindest fast). Das zeigt überzeugend, um wie viel höher Gläser sind als ihr Umfang.

Dies ist genau die Art Mathematik, von der ich mir wünsche, dass mehr Leute darüber Bescheid wüssten: die überraschende, die unerwartete Mathematik, und – am wichtigsten – die Art Mathematik, mit der man ein Freibier bekommen kann. Mein Ziel in diesem Buch ist es, Ihnen all die unterhaltsamen Seiten der Mathematik zu zeigen. Es ist eine Schande, dass die meisten Leute meinen, Mathematik sei das, was ihnen in der Sekundarstufe eingetrichtert wurde: Sie ist tatsächlich sooooo viel mehr!

Manchmal kann Mathematik tatsächlich gähnend langweilig sein. Wenn man in irgendeiner Schule zufällig in eine Mathestunde gerät, wird man höchstwahrscheinlich den Eindruck gewinnen, dass ein Großteil der Schüler nicht voller Begeisterung bei der Sache ist, um es freundlich auszudrücken. Ich fürchte, dass die Pennäler in einer solchen Klasse zu den uninspirierten Mathematikschülern gehören, von denen eine Generation auf die andere folgt. Es wird jedoch ein paar Ausnahmen geben. Einige dieser Schüler werden es lieben und den Rest ihres Lebens von Mathematik begeistert sein. Woran haben sie diesen Spaß, der den anderen entgeht?

Ich war einer dieser Schüler: Ich konnte durch all die langweiligen Übungen hindurch das Herz der Mathematik erkennen, die Logik, die hinter allem steht. Doch ich konnte auch den Frust meiner Mitschüler nachempfinden, vor allem der Sportskanonen. In der Schule fürchtete ich das Fußballtraining so wie viele andere die Mathestunden. Ich konnte jedoch verstehen, was all dieses Dribbeln mit einem Fußball um orange-weiß geringelte Hütchen sollte: Man baut ein Grundrepertoire an Fähigkeiten auf, um loslegen zu können, wenn man ein echtes Spiel austrägt. Und deshalb verstand ich auch, warum meine sportlichen Klassenkameraden Mathe hassten: Es ist widersinnig, Schüler die Grundfähigkeiten üben zu lassen, die für Mathematik nötig sind, sie dann aber nicht auf die mathematische Spielwiese zu lassen, damit sie ihren Spaß haben können.

Das ist es, was die Mathebegeisterten wussten. Darum kann man auf Mathematik eine Karriere aufbauen. Wenn Leute in der mathematischen Forschung arbeiten, dann zählen sie nicht nur immer größere Summen zusammen oder führen immer längere Divisionen durch, wie manche glauben. Das wäre so, als ob ein Profi-Fußballer nur immer schneller um die Hütchen dribbelte. Profi-Mathematiker nutzen die erlernten Fähigkeiten und die Techniken, die sie sich erarbeitet haben, um das Spielfeld der Mathematik zu erforschen und Neues zu entdecken. Vielleicht jagen sie nach Formen in höheren Dimensionen, versuchen neue Zahlentypen zu finden oder erforschen eine Welt jenseits des Unendlichen. Sie rechnen jedenfalls nicht einfach nur herum.

Darin liegt das Geheimnis der Mathematik: Es ist ein einziges großes Spiel. Professionelle Mathematiker lieben es zu spielen. Und darum geht es auch in diesem Buch: Ihnen diese Welt aufzutun und Ihnen die Freiheit zu geben, mit Mathematik zu spielen. Auch Sie können sich wie ein erstklassiger Mathematiker fühlen, und falls Sie schon eines dieser Kinder waren, die Mathe lieben, gibt es noch immer eine Unmenge an Neuem zu entdecken. Alles in diesem Buch beginnt mit Dingen, die man tatsächlich herstellen und machen kann. Man kann ein vierdimensionales Objekt bauen, sich originelle Zerlegungen ausdenken und unglaubliche Knoten knüpfen. Ein Buch ist zudem ein erstaunliches Stück Technik mit einem hochmodernen Pausenmodus. Wenn Sie innehalten und eine Weile mit einem mathematischen Puzzle herumspielen möchten, so können Sie das tun. Das Buch rührt sich nicht vom Fleck, alle Wörter bleiben an Ort und Stelle und warten auf Ihre Rückkehr.

Alle besonders aufregenden, wegweisenden technischen Entwicklungen basieren letztlich auf Mathematik, von der Datenverarbeitung, die hinter der modernen Medizin steckt, bis zu den Gleichungen, die die Textbotschaften zwischen Handys übermitteln. Und selbst ganz maßgeschneiderte mathematische Technologie basiert letztlich darauf, dass irgendein Mathematiker den spielerischen Versuch machte, ein Rätsel zu lösen.

Das ist das Wesen der Mathematik. Es ist das Streben nach Mustern und Logik um ihrer selbst willen; es geht darum, unsere Neugier spielerisch zu befriedigen. Neue mathematische Entdeckungen können zahllose praktische Anwendungen haben – und unter Umständen verdanken wir ihnen unser Leben –, doch selten werden sie vornehmlich aus diesem Grund entdeckt. Wie schon der Physiker und Nobelpreisträger Richard Feynman über sein eigenes Fachgebiet gesagt haben soll: «Physik ist in vieler Hinsicht wie Sex; natürlich kann er zu praktischen Ergebnissen führen, das ist aber nicht der Grund, warum wir’s tun.»

Ich hoffe, es gelingt mir, die Mathematik, die Sie in der Schule gelernt haben, ins rechte Licht zu rücken. Ohne diese Schulmathematik blieben all die anderen interessanten Mathe-Felder unerreichbar. Jeder Schüler erinnert sich zumindest vage an die mathematische Konstante π (Pi, rund 3,14), und einige entsinnen sich vielleicht sogar, dass π das Verhältnis vom Umfang eines Kreises und dessen Durchmesser definiert. Dieses π sagt uns also, dass der Umfang eines Glases mehr als dreimal so groß ist wie der Durchmesser. Und es ist der Durchmesser, den die meisten Leute im Blick haben, wenn sie abschätzen, wie hoch ein Glas ist – wobei sie vergessen, ihn mit π zu multiplizieren. Dabei geht es um mehr, als sich an eine Verhältniszahl zu erinnern, hier muss sie sich in der Wirklichkeit bewähren.

Leider dreht sich die Mathematik in der Schule nur selten darum, wie man in einer Kneipe an ein Freibier kommt. Der Grund, warum man die Schulmathematik nicht völlig links liegen lassen kann, ist der, dass die aufregenderen mathematischen Phänomene auf den weniger aufregenden aufbauen. Zugleich ist dies zumindest zum Teil der Grund, warum manche Leute Mathe so schwierig finden: Sie haben ein paar entscheidende Grundlagen nicht mitbekommen, und ohne sie erscheinen die höheren Sprossen der Leiter unerreichbar. Hätten sie die Thematik jedoch Schritt für Schritt in der richtigen Reihenfolge bewältigt, wäre alles gut gewesen.

Kein einziger Teilaspekt der Mathematik ist schwierig zu meistern, aber manchmal ist es wichtig, die Dinge in einer optimalen Reihenfolge zu erledigen. Sicherlich bedarf es beträchtlicher Anstrengung, um die obersten Sprossen einer sehr hohen Leiter zu erreichen, aber jede einzelne Sprosse ist nicht mühsamer zu erklimmen als die vorherige. Das gilt auch für die Mathematik. Schritt für Schritt bewältigt, macht die ganze Sache viel Spaß. Wenn man Primzahlen versteht, ist der Umgang mit Primknoten viel einfacher. Wenn man zunächst mit 3D-Formen umzugehen lernt, sind 4D-Formen nicht mehr so einschüchternd. Man kann sich all die Kapitel dieses Buches als ein Gerüst vorstellen, bei dem ein Bauteil auf mehreren der vorangegangenen Kapitel ruht.

Sie können sich sogar Ihren eigenen Weg durch die Kapitel suchen, solange Sie vor Beginn des letzten Kapitels all die vorherigen gelesen haben, auf denen es beruht. Je weiter das Buch voranschreitet, desto fortgeschrittener ist die Mathematik, die die Kapitel behandeln – es geht dann um die Art von Dingen, von denen man im Klassenzimmer gewöhnlich nichts hört. Auch das kann auf den ersten Blick einschüchternd wirken. Aber solange Sie alles in der richtigen Reihenfolge lesen, verfügen Sie zu dem Zeitpunkt, an dem Sie die entlegenen Winkel der Mathematik erreichen, über das nötige Rüstzeug, um all die Freuden und Überraschungen zu genießen, die diese Wissenschaft bieten kann.

Vergessen Sie vor allem nicht, dass die Motivation, dieses Gerüst zu besteigen, allein darin bestehen sollte, die Aussicht während des Aufstiegs zu genießen. Allzu lang ist Mathematik mit trockenem Lernstoff gleichgesetzt worden; dabei sollte es darin um Spaß und Erkunden gehen. Ein Rätsel auf einmal, ein Mathe-Spiel nach dem anderen, und bald erreichen wir die Spitze der Leiter und freuen uns an all den faszinierenden Facetten der Mathematik, von denen andere nicht einmal wissen, dass sie existieren. Wir werden mit Dingen spielen können, die über die normale menschliche Intuition hinausgehen. Die Mathematik gewährt uns Zugang zur Welt der imaginären Zahlen, zu Formen, die nur in 196 884 Dimensionen existieren, und zu Objekten jenseits der Unendlichkeit. Von der vierten Dimension bis zu transzendenten Zahlen – wir werden nichts auslassen!

Dieses Buch ist ein Gerüst von Kapiteln, die aufeinander aufbauen.

Wählen Sie Ihren Weg mit Bedacht.

EINS

Flott GEFINGERT

Wenn ich zum Zahnarzt muss, lenke ich mich mental gern ein wenig ab, während ein Fremder versucht, in meinen Mund zu kriechen. Normalerweise mit irgendeinem Zahlenspiel, das ich im Kopf spielen kann. Als ich eines Tages wieder einmal auf dem Weg zum Zahnarzt war, fragte ich daher auf Twitter nach einem guten Matherätsel, das sich ohne Papier und Bleistift lösen ließ. Ein Freund forderte mich auf, alle neun Ziffern so anzuordnen, dass die ersten beiden ein Vielfaches von 2 bilden, die ersten drei ein Vielfaches von 3, und so weiter, bis zu allen neun Ziffern, die dann ein Vielfaches von 9 bilden sollen. Es gibt nur eine einzige Lösung.

Bevor ich es mir im Zahnarztstuhl allzu bequem gemacht hatte, hatte ich herausgefunden, dass die traditionelle langweilige Zahlenfolge 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 nicht funktioniert. Obgleich 12 durch 2 teilbar ist und 123 durch 3, geht’s von da an nicht mehr weiter. 1234 lässt sich nicht glatt durch 4 teilen. Am Ende meiner Zahnbehandlung hatte ich noch lange nicht alle Ziffern ausgetüftelt, aber offenbar darf man nicht auf dem Zahnarztstuhl sitzen bleiben, wenn der Arzt mit einem fertig ist. Zu Hause stellte ich dann fest, dass die einzige Anordnung, die funktioniert, 381 654 729 ist.

(Wenn man nicht unbedingt alle neun Ziffern benutzen muss und null ebenfalls verwendet wird, gibt es eine Vielzahl weiterer Optionen, beispielsweise 480 006. Da so viele benachbarte Kombinationen ihrer Stellen teilbar sind, bezeichnet man diese Zahlen als polydivisible Zahlen. Es gibt 20 456 polydivisible Zahlen, von denen 3 608 528 850 368 400 786 036 725 die größte ist.)

Interessant ist, dass dieses Rätsel nur wegen der Ziffern funktioniert, die wir heute zufälligerweise verwenden. Einen Römer in der Antike hätte dieser Hirnverzwirner kaum vom Zahnarzt ablenken können. Die alten Römer benutzten nicht nur andere Symbole, wie V und X – diese Symbole hatten auch stets denselben Wert, unabhängig von ihrer Stellung in einer Zahl. V steht immer für 5, X immer für 10. Das ist bei unseren Ziffern anders: die 2 in 12 steht für 2, die 2 in 123 hingegen für 20. Zum Glück waren Zahnbehandlungen zu Zeiten der römischen Antike zwar grob, aber es ging schnell.

Hinter Zahlenrätseln – und auch einer Menge Schulmathematik – verbirgt sich ein schmutziges Geheimnis: Ein großer Teil davon funktioniert nur wegen der Art und Weise, wie wir Zahlen niederschreiben. Wenn wir in unserem gegenwärtigen Zahlensystem 111 111 111 mit sich selbst multiplizieren, erhalten wir als hübsches Ergebnis 12 345 678 987 654 321 (alle Ziffern von 1 bis 9 und dann wieder zurück). Das funktioniert auch bei kürzeren Zahlenfolgen von 1 : 11 111 × 11 111 = 123 454 321 und 111 × 111 = 12 321. Versucht man jedoch, Zahlen anders niederzuschreiben, löst sich das Muster in Luft auf. 111, in römischen Zahlen ausgedrückt, ist gleich CXI, und CXI × CXI ergibt XMMCCCXXI, was überhaupt nicht hübsch aussieht.

Ich möchte damit sagen, dass es einen Unterschied gibt zwischen dem Begriff «Zahl» und dem Begriff «Ziffer». Nehmen Sie beispielsweise die Zahl drei: 3, und vergleichen Sie sie mit der Ziffer drei: 3. Beide sehen identisch aus (vor allem, weil sie identisch sind), doch es gibt da einen feinen Unterschied. Eine Zahl ist genau das, wofür Sie sie halten: sie repräsentiert eine Anzahl von Dingen: 3 ist eine Zahl, 3435 ist ebenfalls eine Zahl. Zahlen sind abstrakte Konzepte, und um sie niederzuschreiben, benutzen wir Ziffern. Daher ist eine Ziffer nichts anderes als ein Symbol, um eine Zahl schriftlich zu übermitteln, in derselben Weise, wie wir Buchstaben benutzen, um Wörter zu schreiben. Die Zahl 3435 verwendet die Ziffern 3, 4 und 5. Alle Mathematik, die Sie lernen und auf die Sie ringsumher stoßen, lässt sich in zwei Kategorien einteilen: echte Mathematik, die auf intrinsischen Eigenschaften beruht, und Ergebnisse, die nur ein Nebenprodukt der Art und Weise sind, wie wir sie aufs Papier bringen.

Jetzt wird’s trickreich

Ein prima Startpunkt (und ein prima Aufhänger, damit die ganze Sache weniger an eine Schulstunde erinnert) ist der 37er-Trick.

Nehmen Sie irgendeine Ziffer und schreiben Sie sie drei Mal nieder. Nun steht auf Ihrem Blatt etwas wie 333 oder 888. Addieren Sie die drei Ziffern: 3 + 3 + 3 = 9 oder 8 + 8 + 8 = 24. Das ist noch nicht besonders aufregend. Bisher zählen wir nur Zahlen zusammen. Nun wollen wir unsere ursprüngliche Zahl (333 oder 888) durch die Summe ihrer Ziffern (9 oder 24) dividieren. Das kann man entweder mit einem Taschenrechner oder im Kopf machen. (Der Taschenrechner ist schneller.) Ganz gleich, welche Methode Sie benutzen, und ganz gleich, mit welcher Ziffer Sie gestartet sind, die Antwort ist stets 37. Darum spricht man oft vom 37er-Trick.

Wie gesagt, das funktioniert für jede Ziffer, für die Sie sich am Anfang entscheiden. Diese freie Wahl löst sich jedoch rasch in Luft auf. Es steht absolut fest, dass am Ende der Berechnung 37 herauskommen wird. Hinter den Kulissen läuft ein raffiniertes Kabinettstückchen Algebra ab. Dieselben drei Ziffern zu schreiben, ist dasselbe, wie eine Ziffer mit 111 zu multiplizieren. Wenn Sie sich für 8 entschieden haben, dann ist 888 das Ergebnis von 8 × 111. Und diese drei Ziffern zu addieren, ist gleichbedeutend mit einer Multiplikation mit der Zahl 3 : 8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24. Daher ist 888 durch 24 zu teilen dasselbe wie 111 durch 3 zu teilen, denn die Achten kürzen sich weg. Und dasselbe gilt für alle übrigen Ziffern …

… aber doch nicht so ganz. Hätte ein alter Römer die Ziffer V gewählt, würde der 37er-Trick nicht zur Antwort 37 führen und daher gar nicht erst als 37er-Trick oder überhaupt als Trick bekannt sein. Zum Glück – zumindest, was diesen Fall angeht – ist unser gegenwärtiges System mit zehn Ziffern inzwischen fast ausschließlich und überall in Gebrauch, doch falls Sie versucht hätten, einen Babylonier zu verblüffen, wäre dieser Trick ein Reinfall gewesen, denn die schrieben Zahlen ganz anders nieder, als wir es heute tun. Sollten wir jemals von Außerirdischen besucht werden, die Zahlen vielleicht auf verschiedene seltsame Arten und Weisen notieren, würde die Sache bei ihnen höchstwahrscheinlich auch nicht funktionieren. Dieser Trick ist eine Kombination aus dem, was wir als «grundlegende» Eigenschaften von Zahlen betrachten (Eigenschaften, die sich nicht verändern, wenn sie auf unterschiedliche Weise schriftlich festgehalten werden), und einer Laune unseres gegenwärtigen Systems zur Darstellung von Zahlen.

Warum ist das so? Nun, 111 ist durch 3 teilbar, ganz gleich, wie man die Zahlen aufschreibt. CXI ist durch III teilbar, ist durch teilbar, und Außerirdische überall im Universum werden wissen, dass hundertelf durch drei teilbar ist. Das Ergebnis lautet immer 37 (oder XXXVII oder oder irgendein außerirdisches Kauderwelsch für «siebenunddreißig»). Wenn Sie einen Stapel von einhundertelf Steinen haben, können Sie ihn stets in drei Stapel von siebenunddreißig Steinen aufteilen. Und weil diese Eigenschaft losgelöst von jeder Darstellungsform der Zahlen ist, betrachten Mathematiker sie als eine der wichtigeren abstrakten Eigenschaften.

Auf der anderen Seite steht der Umstand, dass das dreimalige Niederschreiben derselben Ziffer einer Multiplikation mit 111 entspricht; es ist nicht mehr als ein unbeabsichtigter Nebeneffekt unserer Methode, Zahlen zu notieren. Im römischen Zahlensystem entspricht das dreimalige Schreiben derselben Ziffer einer Multiplikation mit 3, nicht mit 111. (VVV = III × V.)

Ein Teil der Stärke der Mathematik besteht darin, dass sie universelle Wahrheiten ausdrückt, diese aber auf unterschiedliche Weise formulieren kann. Die alten Mayas und Römer lernten dieselbe Mathematik, doch sie gebrauchten bei der Niederschrift ganz andere als unser modernes System.

Um die Welt der Mathematik zu erforschen, müssen wir wissen, welche Sprache jedermann spricht. Wir wollen mit dem Zahlensystem beginnen, das wir heute verwenden, das aber nicht unbedingt das beste sein muss.

Was ist eine Zahl?

Was ist die größte Zahl, bis zu der Sie mit Ihren Fingern zählen können? Nun, die meisten Leute hören bei «zehn» auf, hauptsächlich mangels weiterer Finger. Aber nicht jedermann benutzt das ziemlich begrenzte System, seine Finger zum Zählen lediglich zu strecken und sie nicht wieder zu beugen. Wenn man Beugen einbezieht, kann man mit den ersten beiden Fingern bis drei zählen. Strecken Sie Ihren Daumen aus für 1, den Zeigefinger für 2 und beide für 3. Nun ist der Mittelfinger frei; allein ausgestreckt steht er für 4, dann erster und dritter Finger für 5 und so weiter. Auf diese Weise kann man bis 15 zählen, bevor man auch nur den fünften Finger, den kleinen der ersten Hand, einsetzen muss.

Mit diesem System kann man allein mit Hilfe aller Finger von 0 bis 1023 zählen. Aber unser persönlicher Fingerrechner kann noch mehr. Wenn man jeden Finger in der Nach-unten-, Halb-hoch- und Ganzgestreckt-Position verwendet, kann man von 0 bis 59 048 zählen. Gehen wir einen Schritt weiter und benutzen vier Positionen (gebogen, die Handfläche berührend/gebogen, die Handfläche nicht berührend/Mittelposition und voll gestreckt), so bringt uns das einen Spielraum von 0 bis 1 048 575 – mehr als eine Million, die sich an den Fingern abzählen lässt.

Das ist eine Leistungsverbesserung um einen Faktor von mehr als 10 000, während das Arthritisrisiko für die Finger nur unwesentlich ansteigt.

Und warum an dieser Stelle aufhören?

Acht Positionen für jeden Finger zu benutzen, heißt nicht nur, ein bisher unbekanntes Maß an Fingerfertigkeit zu erreichen, sondern auch, von 0 bis 1 073 741 823 zählen zu können: mehr als eine Milliarde!

Ein Nachteil könnte natürlich sein, dass Sie mit dieser ganzen Fingersprache unfreiwillig als Mitglied einer Straßengang enden.

Das war die letzte Fingerkombination, die ich ausgearbeitet habe, aber wie viel höher könnte man gehen? Für Schnelldenker mit besonders beweglichen Fingern und einem ebenso flexiblen Verstand gibt es wohl keine Grenzen.

Der Unterschied, mit den Fingern nur bis zehn zu zählen oder plötzlich bei einer Milliarde zu landen, besteht darin, dass wir jeden einzelnen Finger jetzt nicht mehr als dröges Abzählelement ansehen, sondern seine Position berücksichtigen. Wenn wir mit unseren ersten beiden Fingern bis drei zählen, statt «normal» zu zählen (wobei alle Finger gleich sind, d. h. jeder 1 oder 1 mehr repräsentiert), bedeutet der erste Finger, wenn er ausgestreckt ist, noch immer 1, doch der zweite Finger bedeutet 2, wenn er alleine ausgestreckt ist. Wenn wir fortfahren und dabei den «nach oben und nach unten»-Anweisungen des Diagramms auf Seite 22 folgen, bedeutet der dritte Finger 4, der vierte 8 und der fünfte 16, und wir erahnen das System: Jeder Finger ist in aufrechter Haltung doppelt so viel wert wie der vorangegangene aufrechte Finger. Mit ein wenig Herumprobieren kann man jede nur mögliche Zahl mit seinen Fingern in diesen beiden Positionen darstellen. (Tipp: 132 ist die fingertechnisch am schwierigsten zu realisierende Position. Versuchen Sie’s – oder vielleicht lieber doch nicht.) Da es für jeden Finger zwei Optionen gibt, spricht man von einem binären Zahlensystem. Beim Niederschreiben kann man 0 für Finger benutzen, die gebeugt sind, und 1 für ausgestreckte Finger. Vielleicht erinnern Sie sich noch aus der Schule daran, dass die erste Position im binären System 1 darstellt, die zweite 2, die dritte 4, die vierte 8, und so weiter.

Das nächste Fingerzählsystem basiert darauf, dass es drei verschiedene Positionen für jeden Finger gibt: nach unten, halb nach oben (oder halb nach unten, wenn Sie Pessimist sind) und nach oben; daher spricht man von einem System auf der Basis 3.

Und dieses Spiel kann man weiterspielen: vier Fingerhaltungen führen zu einem System auf der Basis 4, acht zu einem System auf der Basis 8. Um es kurz zusammenzufassen (und um sicherzustellen, dass wir alle achtgeben): Der Wert einer jeden Position, ob Finger oder niedergeschrieben, ist gleich der vorherigen Position, multipliziert mit der Basis, beim System auf der Basis 3 also 1, 3, 9, 27 … und wir können die drei Ziffern 0, 1 und 2 benutzen, um sukzessive Stufen der Fingerhaltung zu kennzeichnen, und im, sagen wir, Achtersystem lautet die Folge 1, 8, 64, 512 … und die acht Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7 werden durch die unterschiedlichen Fingerpositionen repräsentiert. Im Achtersystem lässt sich eine Milliarde also als 7 346 545 000 schreiben.

Die 1-Milliarde-Anordnung der acht Fingerhaltungen (gilt gleichzeitig als Mathegeheimbund-Handzeichen)

Diese Zahlentypen bilden eine ganze Familie von Stellenwertsystemen, die sich völlig vom römischen Zahlensystem unterscheiden, bei dem die Position eines Symbols überhaupt keinen Unterschied für das macht, was es darstellt. Das Symbol V repräsentiert 5, wo auch immer in einer Zahl es auftaucht, während die Ziffer 3 in der Zahl 3435 in Abhängigkeit von seiner Position sowohl für 3000 als auch für 30 steht. Römische Zahlensymbole sind ein übertechnisiertes Abzählsystem, das über seine ursprüngliche Kapazität hinaus gebraucht wird. Stellenwertsysteme sind viel mächtiger, denn sie können problemlos eine Zahl beliebiger Größe darstellen. Natürlich benutzen wir in der modernen Welt fast ausschließlich das auf der Basis 10 beruhende Zahlensystem, doch um es nochmals zu sagen: Es ist nur eine von vielen Möglichkeiten.

Wenn man unterschiedliche Basen benutzt, bleibt viel Raum für Verwirrung und Missverständnisse. Ich kann Zahlen in ein System übersetzen, das völlig andere Symbole benutzt, beispielsweise eine Zahl aus dem Zehnersystem ins römische System übertragen (dabei wird aus 3435 MMMCDXXXV), und man erkennt leicht, in welchem System letztere Zahl geschrieben ist. Die ganze Sache ähnelt der Übersetzung in eine Sprache, die ein völlig anderes Alphabet benutzt, zum Beispiel aus dem Englischen ins Japanische. Wenn man jedoch ein Wort aus dem Deutschen ins Englische übersetzt, benutzt man dasselbe Alphabet, und wenn man nicht weiß, in welcher Sprache man sich gerade befindet, kann es böse Missverständnisse geben (wenn Ihnen ein Engländer «a gift» anbietet, will er Sie nicht etwa umbringen, sondern Ihnen ein Geschenk machen).

Ich kann einfach nicht anders, als den Mathewitz mit dem ellenlangen Bart zu erzählen, der auf einem solchen Missverständnis fußt; normalerweise sieht man ihn auf T-Shirts als saukomischen Aufdruck: «Es gibt genau 10 Typen von Leuten, diejenigen, die den Binärcode verstehen, und diejenigen, die es nicht tun». Was die Komik betrifft: «10» bedeutet 2 im Binärsystem, daher kapieren nur diejenigen, die binär verstehen, dass 2 und nicht 10 gemeint ist. Ich warte kurz, bis Sie sich wieder eingekriegt haben.

Ich behandele diesen Witz nur deshalb ein wenig bissig, weil er mir als Mathematiker, der auch als Stand-up-Comedian arbeitet, ständig erzählt wird. Normalerweise beginnen die Leute mit: «Kennen Sie den? Tja, eigentlich funktioniert er nicht, wenn man ihn erzählt, aber …», und dann versuchen sie, einen Witz verbal wiederzugeben, der nur niedergeschrieben funktioniert. Das ist das Problem mit binären Witzen: Entweder funktionieren sie, oder sie tun’s nicht. Doch wie sein komödiantischer Wert auch immer einzuschätzen ist – dieser Witz ist ein fantastisches Beispiel dafür, wie sich verschiedene Zahlen mit denselben Ziffern in derselben Reihenfolge niederschreiben lassen, je nachdem, welches System man benutzt.

Wie dem auch sei, wir haben uns völlig auf das Zehnersystem versteift. Die Leute meinen, das liege an unseren zehn Fingern: Wenn man seine Finger als Zählhilfe benutzt, dann muss man das System jedes Mal, wenn man zehn erreicht, «neu starten» und gleichzeitig im Auge behalten, wie viele Zehnerrunden man absolviert hat. Wenn ein Freund dies für Sie übernimmt, gehen ihm nach zehn Runden ebenfalls die Finger aus, deshalb braucht man anschließend jemanden, der mitzählt, wie viele Hunderter sich angesammelt haben. Zahlen als Vielfache von Zehnern nachzuverfolgen, sei daher naheliegend für uns Menschen, heißt es (oder zumindest für Menschen, die genügend Freunde haben). Offenbar bezogen die Mayas also beim Zählen auch ihre Zehen ein, denn ihr Zahlensystem basierte auf der 20.

Intelligente Wesen, die sich anderswo im Universum entwickeln, besitzen vielleicht keine zehn Finger – sie könnten ebenso gut drei Arme mit jeweils vier fingerartigen Fortsätzen zum Greifen haben und Zahlen durchaus im Zwölfersystem notieren. Selbst hier auf der Erde gibt es ein paar Leute, die hartnäckig darauf bestehen, wir sollten vom Zehnersystem zum Zwölfersystem wechseln. «Duodezimalisten» betonen die Vorzüge eines Zwölfersystems zum Zählen (beispielsweise ist zwölf durch mehr Zahlen teilbar als zehn und daher das Schreiben von Brüchen einfacher), übersehen aber zugleich den riesigen Aufwand, den ein solcher Wechsel verursachen würde. Wenn wir zum Zwölfersystem wechselten, bräuchten wir zwölf Ziffern, daher müssten wir zum Beispiel «A» für 10 und «B» für 11 hinzufügen, sodass aus 3 435 im Zehnersystem 1 BA3 im Zwölfersystem würde.

Daher ist ein solcher Wechsel höchst unwahrscheinlich. Andere auf bestimmten Zahlen basierende Systeme bleiben die Spielwiese für Mathematiker, während alle übrigen Menschen fast ausschließlich das Zehnersystem benutzen. Nur wenn es um Computer geht, gelingt es einem Zahlensystem aus dem Reich der mathematischen Neugier in die wirkliche Welt überzuwechseln. Das Binärsystem (auf der Basis 2) ist für Computer wegen seiner begrenzten Anzahl Ziffern gut geeignet; minimalistischer als ein System, das nur aus 0 und 1 besteht, geht’s kaum.

Die Entwicklung moderner Computer hat dazu geführt, dass sie sich ausschließlich mit Situationen beschäftigen, in denen es nur zwei Möglichkeiten gibt. Entweder fließt Strom durch einen Draht in einem Schaltkreis oder nicht. Ein Magnet auf einer Festplatte hat entweder einen magnetischen Nordpol, der in eine Richtung weist, oder einen Südpol, der in die entgegengesetzte Richtung zeigt. Alles ist daher 0 oder 1. Zum Glück lassen sich sämtliche Zahlen als eine Folge von Einsen und Nullen ins binäre System konvertieren.

Man muss jedoch einen Ziffernsatz finden, der so klein ist, dass das Zahlensystem brauchbar ist, aber dennoch groß genug, um Zahlen damit effizient niederschreiben zu können. Für intelligente Lebewesen, ob Menschen oder Aliens, funktionieren zehn bis zwölf Ziffern prima. Computer hingegen brauchen den begrenzten binären Ziffersatz, um zu arbeiten: Sämtliche Smartphones, Digitalfernseher und selbst Mikrowellenherde zählen und rechnen insgeheim mit binären Zahlen. Wenn sie mit Menschen interagieren, verwandeln sie diese Zahlen jedoch freundlicherweise für uns zurück ins Zehnersystem.

Die allerersten, sehr primitiven Computer waren nicht so rücksichtsvoll. Ich hatte einmal die Ehre, einen älteren Herrn zu treffen, der in seiner Jugend der letzte Mathematikstudent war, der von Alan Turing vor dessen frühem Tod 1945 unterrichtet wurde. Turing gilt zu Recht als «Vater des Computerwesens», und er entwickelte während seiner Zeit an der University of Manchester eines der ersten Betriebssysteme für einen der ersten Computer. Offensichtlich setzte Turings erstes Betriebssystem voraus, dass jeder, der den Computer benutzte, fließend Binär beherrschte, was für Turing selbst allemal galt. Als eine neue Version des Betriebssystems eingeführt wurde, welche binäre Zahleneingaben ins Zehnersystem übersetzte, bestand Turing bis zuletzt darauf, dass der Computer wieder auf Binärcode umgestellt wurde, wenn er daran arbeitete.

Obgleich die Binärzahlen, die in Computern verwendet werden, inzwischen tief unter den Benutzeroberflächen vergraben liegen, kann man noch immer Hinweise auf sie finden. Das reicht von den 16- und 32-GB-Speicherkarten bis zur 1024-Pixel-Auflösung des Computerbildschirms.

Ebenso, wie wir runde Zahlen schätzen – 1000 und 1 000 000 wirken so ansprechend –, tun dies Computer, nur, dass sie runde binäre Zahlen mögen. Da alle Stellenwerte im Binärcode Exponenten von 2 sind, tauchen sie im Umfeld von Computern überall auf: 2^5 = 32 und 2^10 = 1024.

Manchmal rutscht Computern zufällig eine Zahl zur Basis 16 heraus, zum Beispiel bei Wi-Fi-Passwörtern, doch den meisten Leuten fällt das nicht auf. «Hexadezimal» – hochgestochen für «Basis 16» – benutzt die Symbole 0 bis 9 und dann die Buchstaben A bis F. Diese Zahlen fallen im Vergleich zu Zweierpotenzen weniger ins Auge, doch es gibt sie. Wenn Sie sich die Rückseite eines Wi-Fi-Routers ansehen, so ist das ursprüngliche Passwort in der Regel eine Reihe von Ziffern (0 bis 9) und Buchstaben (A bis F). Auch wenn Sie sich die Zahlencodes für Farben in Zeichen- oder Bildbearbeitungssoftware anschauen, stoßen Sie auf Hexadezimalwerte. Und nun, da Sie davon wissen, werden Sie natürlich bemerken, dass die Buchstaben A bis F gelegentlich in der Mitte einer Zahl auftauchen, die von Computern benutzt wird. Und wenn Sie so drauf sind wie ich, dann auch in Ihren Träumen …

Von binär nach hexadezimal: Aus 1 011 110 000100001 wird BC21.

Das Hexadezimalsystem wird benutzt, um Zahlen etwas effizienter als im Binärsystem zu speichern, doch nur Computerprogrammierer und andere sehr technikverliebte Nutzer von Computern bekommen sie zu Gesicht: 16 ist unter diesen Umständen die Basis der Wahl. Das mag bizarr erscheinen – warum nicht einfach das Zehnersystem nehmen? –, doch man griff auf die 16 zurück, weil sie selbst eine Potenz von 2 ist, und das macht es sehr einfach, zwischen beiden Systemen hin- und herzuwechseln. Wenn man von einer Basis zur anderenwechselt, unterscheiden sich die neuen Stellenwerte der Zahlen völlig von den alten. Ist die neue Basis jedoch eine Potenz der vorherigen, fallen einige alte Stellenwerte weg, aber es kommen keine neuen hinzu. Im Fall des Hexadezimalsystems wird jede Vierergruppe binärer Ziffern gegen dasselbe neue Einzelsymbol ausgetauscht.

Wenn man verschiedene Zahlensysteme erst einmal versteht, ist es leicht, die Mathematik zu entschlüsseln, auf der sie basieren. Tatsächlich ist es einfacher, fremde Zahlen als fremde Sprachen zu entziffern. Als im 19. Jahrhundert die Städte der Mayas wiederentdeckt wurden und riesige Mengen unverständlicher schriftlicher Zeugnisse zutage kamen, wurden die Zahlen viel früher übersetzt als die Schriften, obwohl sie auf dem seltsamen Zwanzigersystem basierten. Wenn wir in der Galaxie auf außerirdische Reisende träfen, könnten wir mit ihnen problemlos kommunizieren, sobald wir herausgefunden haben, welche Symbole sie für ihre Ziffern benutzen. Wenn wir ihnen aber ein Matherätsel vorlegen wollten, müssten wir eines wählen, das unabhängig davon funktioniert, wie die Zahlen aufgeschrieben werden.

Auf die Basis kommt es an

Können Sie die einzige Zahl zwischen zehn und zwanzig finden, die nicht die Summe aufeinander folgender Zahlen ist?

13 kann es nicht sein, denn 13 = 6 + 7, und 6 und 7 folgen aufeinander; 18 fällt ebenfalls aus, denn 18 = 5 + 6 + 7. Wenn Sie die Antwort bereits gefunden haben, suchen Sie eine weitere zwischen dreißig und vierzig. Und wenn Sie die nächste, jenseits der sechzig, ausgetüftelt haben, werden Sie beginnen, das Muster dieser Zahlen zu erkennen. Interessant bei diesem «Summe aufeinanderfolgender Zahlen»-Rätsel ist, dass es funktioniert, ganz gleich, in welcher Weise man die Zahlen niederschreibt. Ein alter Römer könnte das Rätsel mit seinem Zahlensystem lösen, ebenso ein Maya oder unser außerirdischer Freund.

Die erste Antwort, die Sie gefunden haben sollten, ist 16; es gibt keine Möglichkeit, konsekutive Zahlen so zu addieren, dass 16 herauskommt. Und 16 gehört zu einer Elite von anderen, ebensolchen Zahlen, wie 8 und 32 (warum diese Zahlen diese Eigenschaft haben, wird in den «Antworten am Ende des Buches» erklärt).

Wenn Sie sich für ein anderes Rätsel interessieren, und zwar für eines, das sich von einem Zahlensystem in ein anderes übertragen lässt, dann lassen Sie uns zu polydivisiblen Zahlen zurückkehren, die alle Ziffern ungleich null genau einmal benutzen, aber in einem Nicht-Zehnersystem. (Grämen Sie sich nicht, wenn Sie ein paar Seiten zurückblättern müssen, um sich daran zu erinnern, was eine polydivisible Zahl ist; ich hab’s gerade auch getan.) Wenn sich die Menschheit anders entwickelt hätte und wir ein Vierersystem benutzten, hätte ich, im Zahnarztstuhl sitzend, zwei Lösungen finden können: 123 und 321. Im Fünfersystem gibt es keine Lösung, aber dafür wieder zwei im Sechsersystem (14 325 und 54 321), keine im Siebenersystem, erstaunliche drei im Achtersystem (3 254 167; 5 234 761 und 5 674 321), keine im Neunersystem und die eine im Zehnersystem, auf die wir schon gestoßen sind (381 654 729). Und das ist die letzte Lösung bis zum Vierzehnersystem, die 9C3A5476B812D lautet. Puh!

Ich war überrascht, dass es keine Lösungen im Zwölfersystem gibt. Wenn wir annehmen, dass unsere außerirdischen Freunde aus dem All zwölf Finger haben (ich weiß nicht, wie es Ihnen geht, aber ich habe das Gefühl, sie inzwischen recht gut zu kennen), könnten sie mit diesem Rätsel überhaupt nichts anfangen. (Ein weiterer Grund, den Duodezimalisten nicht zu folgen.) Als ich daher mein Computerprogramm schrieb, um nach diesen Zahlen zu suchen (ich hatte ein freies Wochenende), war das plötzliche Auftauchen einer Lösung für das Vierzehnersystem umso überraschender. Wenn es keine Lösung für das Zwölfersystem gibt, dachte ich, gibt es vielleicht auch keine Lösungen für höhere Systeme. Ich optimierte mein Programm so weit wie möglich, und es zeigte mir, dass keine Lösungen für Systeme zur Basis 15 und 16 existieren. Ich weiß nicht, ob es weitere Lösungen jenseits einer Basis 16 gibt.

Wenn irgendjemand von Ihnen mehr Zeit hat oder besser programmieren kann als ich, lassen Sie es mich bitte wissen!

Sich ein Problem vorzunehmen und zu schauen, was sich in verschiedenen Situationen ergibt, bezeichnet man als Verallgemeinerung, und sie ist die Kraft, die die Mathematik vorantreibt. Mathematiker suchen ständig nach Lösungen und Mustern, die auf so viele Situationen wie möglich zutreffen, d. h. so allgemein wie möglich sind. Ein Mathe-Rätsel ist nicht schon dann gelöst, wenn man irgendeine Antwort findet, sondern erst dann, wenn man anschließend versucht, diese Antwort auch auf andere Situationen zu verallgemeinern – und helle Köpfe wie Leonhard Euler und Lord Kelvin sind große Mathematiker, weil sie genau diese Form von Neugier gezeigt haben. Weil Mathematiker Rätsel lieben, die auf der abstrakten Zahl statt auf der symbolischen Ziffer und dem System basieren, in dem wir unsere Zahlen zufälligerweise notieren, haben sie das Gefühl, ein Rätsel sei irgendwie zweitklassig, wenn es nur in einem bestimmten Zahlensystem funktioniert. Mathematiker mögen keine Sachen, die nur im Zehnersystem funktionieren. Mathematik ist die Suche nach der universellen Wahrheit, nicht nach einer, die nur in einem bestimmten Zahlensystem gilt.

Dies vorausgeschickt, sei gesagt, dass es tatsächlich ein paar tolle Zahlenrätsel gibt, die nur im Zehnersystem funktionieren. Erklären Sie das nur nicht dem großen britischen Mathematiker G. H. Hardy. 1940 wies er auf die interessante Tatsache hin, dass es «nach dem Eins-Element nur vier Zahlen gibt, die die Summe der Kuben oder dritten Potenzen ihrer Ziffern» sind, um sie gleich darauf zu deklassieren: «Aber daran ist nichts, was einen Mathematiker interessieren könnte.» Er gab zu, dass solche Zahlenphänomene «höchst geeignet für Rätselkolumnen und dergleichen sind, um Amateure zu amüsieren», schloss aber kategorisch aus, dass es sich dabei um Mathematik handelt. Was schade ist, denn ich persönlich mag solche zwecklosen Zahlenkuriositäten sehr.

Die vier Zahlen sind:

Abgesehen von 1^3 = 1 gibt es keine andere derartige Zahl, doch die Leute begannen bald, sie zu verallgemeinern, wenn auch nur im Zehnersystem. (Hardy gelang es also nicht, diese Kuriositäten als uninteressant abzutun.) Man stellte fest, dass die einzigen vier Zahlen, bei denen das Ganze funktioniert, dreistellig sind; deshalb wurde die Jagd auf vierstellige Zahlen eröffnet, die die Summe der vierten Potenz ihrer Ziffern sind. Wie sich herausstellte, gibt es drei, und eine davon ist 8208. Da diese Zahlen so von sich selbst besessen sind und ständig über die Anzahl ihrer Ziffern nachzudenken scheinen, bezeichnet man sie als narzisstische Zahlen. Falls es Sie interessiert – 54 748 ist eine von drei fünfstelligen narzisstischen Zahlen, und jenseits dessen finden sich viele weitere.

Mit einer Menge Computerpower lässt sich zeigen, dass die größte narzisstische Zahl das 39-stellige Monster 115 132 219 018 763 992 565 095 597 973 971 522 401 ist.

Machen Sie sich nicht die Mühe, es in der anderen Richtung zu probieren, es ist weitaus weniger spannend. Na gut: Es gibt keine zweistelligen narzisstischen Zahlen; keine zwei Ziffern addieren sich, wenn man sie quadriert, zu der entsprechenden zweistelligen Ausgangszahl. Ich weiß das, ich hab’s überprüft. Und alle einstelligen Zahlen sind, technisch gesehen, ohnedies narzisstische Zahlen, denn jede Zahl, die mit 1 potenziert wird, ergibt sich selbst; man spricht in diesem Fall von trivialen narzisstischen Zahlen. «Trivial», das bedeutet in der Sprache der Mathematik «langweilig». Es heißt, dass die technischen Voraussetzungen erfüllt werden, das Ergebnis aber uninteressant ist. Von einer trivialen Lösung lässt sich nichts Interessantes lernen.

Natürlich sah Hardy sämtliche narzisstischen Zahlen als langweilig an. Sicher, sie gehören nicht zu den größten mathematischen Entdeckungen, doch sie haben durchaus Unterhaltungswert. Hardy hatte jedoch recht, wenn er meinte, man müsse zwischen interessanten mathematischen Mustern und Dingen unterscheiden, die rein zufällig zustandekommen. Mit den Eigenschaften von Zahlen in dieser Weise zu spielen, kann Spaß machen, solange man die auf dem Zahlensystem basierenden Grenzen im Hinterkopf behält. Es gibt einen schlüpfrigen Abhang, auf dem man leicht und unaufhaltbar von basisspezifischen Eigenschaften in den Sumpf der Zahlenmystik rutschen kann – und dahin wollen wir uns definitiv nicht verirren, uns nicht dazu verleiten lassen, eine Bedeutung in Zahlen hineinzulegen, die nicht existiert. Vergessen Sie nicht, dass es in der Mathematik primär um Zahlen geht, nicht um Ziffern.

Dies ist einer der Gründe dafür, dass Mathematiker einen Schritt weiter gegangen sind und Zahlen nicht nur von den Ziffern befreit haben, mit deren Hilfe wir sie niederschreiben, sondern von jeglicher Verbindung mit realen Objekten. Wenn Sie wirklich wissen wollen, was eine Zahl ist, so ist dies die Quintessenz. Ich könnte als nettes konkretes Beispiel über Zahlen als Haufen Steine sprechen, aber ich könnte auch etwas anderes nehmen. Fünf Enten sind ein gutes Beispiel für 5, ebenso fünf Teetassen. Sie alle beinhalten jedoch irgendein reales irdisches Objekt. Den Prozess, ein mathematisches Muster oder Konzept von der physischen Realität zu trennen, nennt man in der Mathematik «Abstraktion». Das abstrakte Konzept dessen, was «5» ohne direkte Bezugnahme auf eine Gruppe von fünf Dingen aussagt, lässt sich jedoch nur schwer genau definieren. Zum Glück gibt es dennoch eine Lösung.

Mathematiker sind übereingekommen, dass «5» die Bezeichnung ist, die wir jeder Zusammenstellung von Mengen geben, die aus fünf Dingen bestehen. Wenn wir «5» sagen, meinen wir damit die rein theoretische Obermenge aller Gruppen von fünf Dingen. Wenn wir 5 + 3 = 8 schreiben, meinen wir damit: Wenn wir eine beliebige Gruppe von fünf Dingen nehmen und sie mit einer beliebigen Gruppe von drei Dingen (aus der Obermenge, die wir «3» nennen) kombinieren, dann gehört die resultierende Gruppe von Dingen in die Obermenge, die wir «8» nennen. Was diese Definition an Allgemeingültigkeit gewinnt, verliert sie im Hinblick auf Langatmigkeit …

Diese Universalität der Mathematik bringt mit sich, dass Zahlen möglicherweise das Einzige sind, das wir mit hypothetischen Außerirdischen, die unseren kleinen Planeten erreichen, gemeinsam haben. Selbst wenn wir keine Verbindung über unsere Kohlenstoffbasis oder über den Teil des Lichtspektrums herstellen können, den wir zum Sehen nutzen, können wir uns immer noch über Zahlenrätsel austauschen.

Sollten Sie als Erster zur Stelle sein, wenn ein außerirdisches Raumschiff landet, habe ich hier zwei Optionen für Sie. Die erste hätte Hardy gehasst: die Zahl 3435. Es ist eine Münchhausen-Zahl. Sie ähnelt ein bisschen einer narzisstischen Zahl und wurde darum nach dem deutschen Baron Münchhausen benannt, der im 18. Jahrhundert lebte und gern lange, weitschweifige Geschichten über seine Heldentaten erzählte. Um eine Münchhausen-Zahl zu bilden, potenziert man jede Ziffer mit sich selbst und addiert sie dann alle. So ergibt 3^3 + 4^4 + 3^3 + 5^5 = 3435. Und das ist die einzige Zahl im Zehnersystem, für die dies funktioniert, abgesehen von der trivialen 1. Die Sache funktioniert jedoch auch für Zahlensysteme mit anderen Basen, und zum Glück für unsere zwölffingerigen Außerirdischen gibt es eine Münchhausen-Zahl im Zwölfersystem: 3A67A54 832. Der wirkliche Gewinner wäre aber ein Geschöpf mit dreizehn Fingern, denn in diesem System existieren vier verschiedene Lösungen (33 661, 2AA834 668A, 4CA92A233 518 und 4CA92A233 538).

Die zweite Option wäre der 37er-Trick, wenn man ihn leicht abändert. Obgleich er sich um die Ziffern (statt um die Zahlen selbst) dreht, kann man ihn so formulieren, dass er für jede Basis gilt. Wenn man dieselbe Ziffer eine gegebene Anzahl von Malen eingibt und dann durch die Summe dieser Ziffern teilt, kommt in jedem Stellenwertsystem dasselbe Ergebnis heraus – unter Umständen jedoch keine ganze Zahl. Daher sind nicht alle Zifferntricks auf eine einzige Basis beschränkt.1 Nun, damit hatten wir wohl basismäßig alles abgedeckt …

ZWEI

FORMEN formen

Das Wichtigste zuerst: Die meisten Leute zerteilen eine Pizza völlig falsch. Die orthodoxe Methode besteht darin, eine Reihe gerader Schnitte zu machen, die sich in der Mitte kreuzen, was zu gleich großen Stücken führt. Das gilt als fair, weil jeder ein Stück bekommt, das nicht nur so groß ist wie alle anderen, sondern auch genau dieselbe Form hat: ein Dreieck mit einer abgerundeten Seite (dem knusprigen Rand). Das Problem mit diesem System ist, dass zwar alle Stücke gleich geformt sind, aber alle von der Mitte der Pizza ausgehen. Das heißt, wenn es in der Mitte der Pizza einen Belag gibt, den Sie nicht mögen, ist es nicht möglich, ein Stück zu wählen, das ihn nicht enthält. Besser wäre also eine Methode, die identisch geformte und identisch große Stücke ergibt, ohne dass sie alle von der Mitte ausgehen müssen.

Um herauszufinden, wie man das macht, braucht man zunächst einmal eine Pizza. Die Pizza kann real oder imaginär sein, und vielleicht finden Sie es einfacher, einen Kreis auf ein Stück Papier zu zeichnen. Ihre Aufgabe besteht darin, eine Methode zu finden, die Pizza so zu schneiden oder den Kreis auf dieser Seite so zu zerlegen, dass eine Reihe gleich geformter Stücke entsteht, die nicht alle die Mitte berühren. Dies ist keine Scherzfrage: Die Lösung besteht nicht darin, mit einer quadratischen Pizza zu beginnen oder sich weniger pingelige Freunde zu suchen; das Problem lässt sich mit einer ganz alltäglichen runden Pizza lösen.

Eine Pizza, die auf stinknormale Weise geteilt wurde, und eine unzerteilte Pizza, die Sie auf bessere Weise zerlegen sollen.

Nun – es gibt ein paar Bedingungen. Wir wollen von einer völlig runden Pizza mit einheitlichem Belag und ohne Kruste ausgehen; zudem ist der Teig außerordentlich dünn (sodass man nicht mogeln kann, indem man sie horizontal durchschneidet). Um das Ganze zusammenzufassen: Die Pizza lässt sich als perfekt kreisförmig, homogen, unendlich dünn und (weil sie zweidimensional ist) als Kauf mit einem miserablen Preis-Leistungs-Verhältnis beschreiben. Sie kann zudem als krümelfrei betrachtet werden und sich in einem Vakuum befinden, doch das würde den Verzehr deutlich erschweren, obgleich es die Verdauung vielleicht erleichtern würde.

Dieses Problem hat alle Zutaten, die man für ein perfektes Rätsel braucht. Anfangs erscheint es unlösbar, doch sobald man beginnt, damit herumzuspielen, taucht ein Hinweis auf die Lösung auf. Dann plötzlich fällt der Groschen – vielleicht müssen Sie sogar eine echte Pizza essen, um von Ihrem Mathe-High herunterzukommen. Zudem spielt dabei eine der besten Formen in der Mathematik eine Rolle: der Kreis. Ohne Ecken und mit nur einer einzigen Seite ist der Kreis zweifellos die einfachste geometrische Form. Und sicherlich ist er die älteste. Vom menschlichen Auge bis zur Sonne, die auf uns niederscheint, gibt es in der Natur Kreisformen, die in einer Weise perfekt sind, wie dies für gleichseitige Dreiecke, Quadrate und Fünfecke nicht gilt.

Wenn Sie sich mit dem Pizzaproblem beschäftigen, werden Sie wahrscheinlich eine ganze Reihe Kreise zeichnen müssen. Am einfachsten ist es, sie freihändig zu zeichnen, und solange sich die beiden Enden treffen, reicht dies aus. Oder man kann einen Zirkel benutzen. Zirkel gehören zu meinen mathematischen Lieblingsinstrumenten, nicht nur, weil das spitze Ende Generationen von Schülern zur Unterhaltung gedient hat (sei es, um Wörter in die Schulbank zu ritzen oder um den Vordermann damit zu pieksen), sondern weil es das Wesen eines Kreises verkörpert: eine Linie, die überall denselben Abstand von einem Mittelpunkt hat. Man stellt den Abstand der beiden Schenkel auf den Radius des Kreises ein, sticht die Spitze ins Papier und zieht eine Linie durch all die Punkte, die genau einen Radius vom Mittelpunkt entfernt liegen. Et voilà!: ein perfekter Kreis. Oder nicht …

Praktisch gesehen, zeichnet ein Zirkel gar keinen perfekten Kreis auf ein Blatt Papier. Wenn Sie das Bild nahe genug heranzoomen könnten, würden Sie kleine Unregelmäßigkeiten in der Linienführung erkennen, denn die Papieroberfläche ist niemals völlig glatt; zudem führt jede kleine Lockerung im Gelenk des Zirkels zu leichten Abweichungen beim Radius. Daran werden Sie sich gewöhnen: In der Mathematik unterscheidet man gern zwischen der perfekten, idealen Situation und dem, was in der nicht so perfekten, chaotischen Wirklichkeit passiert. Als Konzept existiert so etwas wie ein «perfekter Kreis», bestehend aus einer exakten Linie, die sich präzise um ein festgelegtes Zentrum zieht. In der Realität genügt uns ein annähernd kreisförmiges Gebilde, dessen Abweichungen vom Ideal so gering sind, dass sie nicht ins Gewicht fallen.

Ein Zirkel lässt sich nicht nur dazu benutzen, den Umfang einer Pizza zu zeichnen, sondern auch, um die Lösung des Pizza-Problems zu zeichnen. Statt eine Pizza mit geraden Schnitten zu zerlegen, wählen Sie Schnitte mit derselben Krümmung wie beim Umfang der Pizza, so wie in der Skizze unten. Im Gegensatz zu vielen mathematischen Rätseln hat dieses eine praktische Lösung: Man kann eine Pizza tatsächlich in der skizzierten Weise zerlegen. Ich hab’s gemacht. Das nächste Mal, wenn Sie in eine Pizzeria gehen, nehmen Sie eine Kopie der Skizze mit und bitten Sie den Pizzaverkäufer, Ihre Pizza in der richtigen Weise zu zerlegen! (Natürlich werden die Reaktionen auf diese Bitte unterschiedlich ausfallen.)

Wie man eine Pizza in zwei Schritten fair zerlegt.

Wie man einen fünfeckigen Knoten macht

Nicht alle Formen verhalten sich so anständig wie Kreise. Ein oder zwei Kreise mit einem Zirkel zu zeichnen, ist wirklich ein Kinderspiel, doch ein Fünfeck zu zeichnen, ist schwierig. Eine fünfseitige Figur mit dem Lineal zu konstruieren, ist recht einfach, doch wenn alle Seiten genau dieselbe Länge haben sollen, wie bei einem «regelmäßigen» Fünfeck oder Pentagon, geht die Sache ziemlich schief. Die ersten, die sich mit Geometrie beschäftigten, waren, soviel wir wissen, die alten Griechen, und sie liebten regelmäßige Fünfecke. Wer in der Lage war, eines zu zeichnen, konnte sogar einem geheimen Matheclub beitreten. Das kann ich Ihnen nicht bieten, doch ich kann Ihnen eine sehr einfache Möglichkeit zum Mogeln zeigen.

Nehmen Sie einen langen Papierstreifen und schlingen Sie ihn zu einem einfachen Knoten. Ziehen Sie das Papier langsam zusammen und drücken Sie es gleichzeitig platt, und der Knoten wird schließlich ein regelmäßiges Fünfeck bilden. Messen Sie die Kanten nach, wenn Sie mir nicht glauben. Und wenn Sie mir dann immer noch nicht glauben, zeige ich Ihnen in den «Antworten am Endes des Buches», dass die Kanten theoretisch tatsächlich gleich lang sind. Die Tatsache, dass man dieses Fünfeck praktisch überall in kürzester Zeit produzieren kann, hat in Mathematikerkreisen zu dem wunderbaren Spitznamen «emergency pentagon». (Notfall-Fünfeck) geführt.

Verknoten Sie einen Papierstreifen und erhalten Sie ein freistehendes Fünfeck.

Leider würde Ihnen dieses Notfall-Fünfeck nicht helfen, Zugang zu dem geheimen Matheclub der alten Griechen zu erhalten. Um ca. 300 v. Chr. waren die Griechen besessen davon, Figuren nur mit Zirkel und Lineal zu konstruieren. Und wir sind noch immer von den alten Griechen und ihrer Methode besessen, Figuren zu konstruieren, denn sie gehörten zu den ersten Mathematikern, und Geometrie war die erste Disziplin der Mathematik. Und es gibt einen sehr guten Grund, Zirkel und Lineal als den Ursprung der Mathematik anzusehen. Das hängt damit zusammen, warum Zahlen allein niemals so richtig als «wahre Mathematik» akzeptiert wurden.

Zählen ist zweifellos viel älter als Figuren zeichnen; Zahlen gehen der Geometrie definitiv voraus. Bereits in grauer Vorzeit haben Menschen mit Zahlen hantiert. Diese wurden oft durch Zeichen in feuchtem Lehm oder Ton symbolisiert. Antike Tontäfelchen, auf denen geschäftliche Transaktionen, die Schwankungen von Nutztierbeständen oder der mondabhängige Wechsel der Gezeiten und so weiter festgehalten wurden, haben bis heute überdauert. Es gab sogar Täfelchen, in die Übungen eingeritzt waren, Rätsel, die dazu dienten, wichtige Fertigkeiten zu erlernen, welche anschließend praktisch angewandt werden konnten. All das klingt vielleicht wie eine ganze Menge Mathematik, doch zwei wichtige Dinge fehlen: Keiner dieser Anwender bewies jemals, dass die Mathematik, die er benutzte, tatsächlich korrekt war. Und sie taten es nicht zum Spaß.

Als die Menschen zum ersten Mal Geometrie betrieben, geschah dies aus praktischen Gründen, um Felder gerecht aufzuteilen oder etwas zu bauen. Zu den Zahlen gesellten sich Formen, doch sie waren zunächst nicht mehr als ein weiteres Werkzeug im Instrumentarium, das Menschen einsetzten, um eine Zivilisation aufzubauen. Das änderte sich mit den alten Griechen. Sie entschlossen sich, Mathematik um ihrer selbst willen zu betreiben. Für sie war das Ganze ein Spiel. Und nicht nur das, denn es ging ihnen nicht nur um eine Antwort, sondern auch darum, über jeden Zweifel hinaus zu belegen, dass es sich tatsächlich um die richtige Antwort handelte. Dieser neue Ansatz in der Mathematik wurde beispielhaft von einem Mann verkörpert: Euklid.

Euklid wurde, soweit bekannt, um 300 v. Chr. geboren (die alten Griechen führten keine regelmäßigen Geburtsregister). Nach allem, was wir wissen, könnte «Euklid» aber auch ein Pseudonym für eine ganze Gruppe von Leuten gewesen sein. Wie dem auch sei, er (oder die Gruppe) verfasste 13 Bücher, die bis heute überdauert haben. «Euklids Elemente». (oder einfach «Die Elemente») waren Euklids Versuch, das gesamte mathematische Wissen seiner Zeit zusammenzufassen und dessen Richtigkeit zu beweisen.

Euklid wollte nicht, dass irgendjemand ihm einfach vertrauen oder etwas einfach glauben musste: Jeder Schritt musste streng bewiesen werden. Leider kann man nicht alles von Grund auf beweisen: Man muss mit ein paar Dingen beginnen, von denen man annimmt, dass sie wahr sind, und schauen, wie weit man damit kommt. Daher ging Euklid von den offensichtlichsten Annahmen aus – Annahmen, die so eindeutig wahr sind, dass sie keinerlei Rechtfertigung oder Beweise bedürfen. Die erste Annahme war, dass man mit einem Lineal Geraden zeichnen kann, die zweite, dass man mit einem Zirkel Kreise zeichnen kann. Sie glauben gar nicht, wie weit man mit diesen beiden einfachen Annahmen kommen kann.

Drei Kreise später, und Sie erhalten ein gleichseitiges Dreieck!

Nehmen Sie also Zirkel und Lineal zur Hand und schauen Sie, ob Sie damit ein Dreieck konstruieren können, dessen drei Seiten genau gleich lang sind (ein gleichseitiges oder regelmäßiges Dreieck). Wenn das zu einfach ist, versuchen Sie es mit einem Quadrat (bei dem offensichtlich alle vier Seiten gleich sein müssen) oder einem regelmäßigen Sechseck. Die wahre Herausforderung beginnt, wenn Sie versuchen, ein regelmäßiges Fünfeck zu konstruieren … All dieses Experimentieren zeigt, dass man nicht einfach an die Existenz von Dreiecken glauben muss. Im ersten Beweis in Euklids «Elementen» geht es darum, wie man mit Zirkel und Lineal ein Dreieck zeichnet. Sobald man akzeptiert, dass Geraden und Kreise existieren, ergibt sich die Existenz von regelmäßigen Dreiecken, Quadraten, Fünf- und Sechsecken als natürliche Konsequenz.

Das ist ein weiteres Beispiel für Abstraktion, wie wir es schon bei den Zahlen gesehen haben. Die Mathematik, wie wir sie heute verstehen, nahm ihren Anfang, als sich die Menschen von der physischen Realität lösten und versuchten, Dinge in ihren abstrakten Formen zu verstehen. Ein rechter Winkel wurde von etwas, das nur existierte, wenn sich zwei Zäune in der Ecke eines Feldes physisch kreuzen, zu einem allgemeinen Konzept. Anders als Zahlen, die in einem bestimmten System ausgedrückt werden, sind Formen offenbar frei von solchen Einschränkungen. Kreise sind Kreise, Geraden sind Geraden, ganz gleich, wie man sie ausdrückt. Unsere besagten Außerirdischen könnten mit uns darüber streiten, wie man eine Zahl niederschreibt, doch sie müssten zugeben, dass ein Fünfeck ein Fünfeck ist. (In welcher Sprache auch immer; lassen Sie uns daher bei der Sprache der Geometrie, bei Zirkel und Lineal bleiben. Dann wissen wir, woran wir sind).

Zeichnen Sie ein paar Halbkreise auf eine Gerade, und das Quadrat ergibt sich ganz von selbst!

Interessanterweise hätten die Außerirdischen jedoch von anderen Annahmen ausgehen können als die Griechen. Einen Knoten in einen Papierstreifen zu machen, um ein regelmäßiges Fünfeck herzustellen, wäre in Euklids Augen keine valide Methode gewesen, da sie über seine Anfangsannahmen hinausgeht, doch die Außerirdischen hätten vielleicht nichts dagegen. Menschen haben eine Vorliebe für das Zeichnen von Formen entwickelt, daher hängt unser Verständnis von Formen stark davon ab, wie wir sie konstruieren können, während die Außerirdischen möglicherweise lieber Dinge falten und ein stärker Origamigeprägtes Verständnis von Geometrie haben. Tatsächlich steckt eine ganze Menge mehr in Formen, als Euklid sich hätte träumen lassen.

Verfallen Sie den Griechen nicht mit Haut und Haaren!

Es gab ein paar Dinge, die die alten Griechen mit Zirkel und Lineal nicht hinbekamen, zum Beispiel, einen Winkel zu dritteln oder einen Kreis und ein Quadrat mit demselben Flächeninhalt zu konstruieren, und das trieb sie buchstäblich in den Wahnsinn! Das Problem war, sie konnten nicht beweisen, dass so etwas (wie wir heute wissen) unmöglich ist; daher hofften sie stets, eine Lösung zu finden, wenn sie sich nur genügend anstrengten. Die Teilung eines Winkels mittels Zirkel und Lineal in drei gleich große Teile wirkt auf den ersten Blick so simpel, dass die Annahme, so etwas könne doch nicht unmöglich sein, ganz natürlich erscheint.

Unsere Außerirdischen hätten damit also kein Problem, sie würden einfach Papier falten. Die Abbildung auf der folgenden Seite zeigt so eine Lösung; sie wurde 1980 von Hisashi Abe von der japanischen Universität Hokkaido entwickelt.

Dreiteilung eines Winkels im Origami-Stil

Beginnen Sie, von einer Ecke des Blattes ausgehend, mit einem beliebigen Winkel.

Falten Sie den Rand einmal und dann noch einmal, sodass zwei parallele Knickfalten entstehen (Falte 1 und Falte 2).

Falten Sie die Ecke so, dass sie Falte 1 gerade berührt hat, während Falte 2 die ursprüngliche Winkelgerade berührt.

Nun haben Sie auf Falte 1 zwei Punkte: wo die Ecke sie berührt und wo die neue Falte sie kreuzt. Verbinden Sie beide mit der Ecke, und der Winkel ist in drei genau gleich große Teile geteilt!

Die Griechen kamen niemals auf diese Idee, weil sie erfordert, dass man gleichzeitig zwei verschiedene Punkte mit zwei verschiedenen Geraden verbindet. Das liegt jenseits dessen, was man mit Zirkel und Lineal machen kann, aber via Origami ist es ganz einfach.

Etwas anderes, das die alten Griechen verrückt machte, waren Formen, bei denen die Kanten durch andere Kanten verlaufen. Wenn Sie das Knoten-Fünfeck nehmen, das Sie zuvor hergestellt haben, und es gegen das Licht halten, werden Sie den fünfeckigen Stern darin erkennen, den man, um Verwirrung zu vermeiden, üblicherweise als Pentagramm bezeichnet. Fünfeck wie auch Pentagramm sind fünfseitige Figuren, bei denen alle Kanten genau gleich lang sind – obwohl das Pentagramm wegen seiner überlappenden Kanten oft ausgeschlossen wird. Manche haben das Gefühl, es sei kein «richtiges» Fünfeck. Wirklich bedauerlich! Ich halte es für eine Frage des persönlichen Geschmacks – und ich mag Figuren, bei denen sich die Kanten schneiden.

Wenn Sie nicht mögen, dass sich Kanten schneiden, gibt es nur ein einziges Siebeneck (Heptagon), doch wenn Sie ein paar gelegentliche Kontakte akzeptieren – und geben wir’s zu, wer tut das heutzutage nicht? –, gibt es zwei weitere regelmäßige Siebenecke, die völlig in Ordnung sind. (Ich gebe Ihnen diesmal einen Tipp: Es handelt sich um eine elfseitige Figur, vgl. die Abbildung oben auf der folgenden Seite.) Das Sechseck ist die größte Figur, von der es nur eine einzige regelmäßige Form gibt; von jeder Figur mit mehr als sechs Seiten existieren zwei oder mehr unterschiedliche Formen. Mehr Seiten sind jedoch keine Garantie für mehr Formen; es gibt nur zwei regelmäßige Zwölfecke (Dodekagone).

Ich finde es schade, dass die meisten Leute, wenn sie einen Stern zeichnen wollen, auf das fünfseitige Pentagramm zurückgreifen. Warum keine sieben- oder selbst neunseitigen Sterne zeichnen? Ein Tipp: Wenn Sie üben wollen, verschiedene Sternformen zu zeichnen, ist der schwierigste Teil, die Punkte immer im gleichen Abstand anzuordnen.

Die fünf regelmäßigen Hendekagone (Elfecke)

Unten sind ein paar Kreise mit gleichmäßig verteilten Punkten vorgegeben, wenn Sie versuchen wollen, ein paar Sterne zu zeichnen, und auf der Website www.makeanddo4D.com finden Sie eine Vielzahl weiterer solcher Schummelseiten zum Ausdrucken.

Das letzte Problem, das die alten Griechen mit ihren sturen Regeln und Hürden (zu Recht) ratlos machte, bestand darin, eine regelmäßige Figur mit sieben Seiten zu zeichnen. Nach vielen Mühen fanden sie heraus, wie man ein Fünfeck konstruiert, aber das Siebeneck bekamen sie nie in den Griff. Daher entschlossen sie sich, dieses Problem zurückzustellen und sich zunächst auf andere Figuren zu konzentrieren. Was die nächsten regelmäßigen Formen betraf, so ließen sich Figuren mit acht und zehn Seiten via Zirkel und Lineal konstruieren, doch neun- und elfseitige Formen schienen unmöglich. Und wie sich herausstellte, waren zwölfseitige Formen recht einfach zu zeichnen, während dies bei solchen mit dreizehn und vierzehn Seiten nicht gelang.1 Die Griechen wussten einfach nicht genug über Mathematik, um beweisen zu können, dass es definitiv unmöglich ist, diese Formen mit Zirkel und Lineal zu konstruieren; daher mühten sie sich weiter vergeblich ab, was sehr frustrierend gewesen sein muss.

Ich möchte betonen, dass die Griechen durchaus in der Lage waren, diese Formen zu zeichnen – es gelang ihnen lediglich nicht mit den Methoden, die sie gern angewandt hätten. Nach einigem Herumprobieren mit einem Lineal nach dem Prinzip von Versuch und Irrtum kann man ein sehr akkurates Siebeneck zeichnen, das sicherlich alle praktischen Bedürfnisse nach einem Heptagon befriedigt. Euklid und seine Freunde frustrierte, dass es sich in ihren Augen niemals um ein wirklich perfektes Siebeneck handeln würde. Sie waren lediglich bereit, perfekte Geraden und Kreise blind zu akzeptieren, und wenn sie keinen Weg fanden, um mit deren Hilfe ein perfektes Heptagon zu konstruieren, waren sie nicht wirklich glücklich. Sie weigerten sich anzunehmen, dass Siebenecke existierten, ohne es von Grund auf bewiesen zu haben.

Ich denke, die Griechen wurden auf die Dauer zu verbissen. Ein Winkel lässt sich allein mit Geraden und Kreisen in drei gleiche Teile zerlegen, doch dazu muss man an einer Stelle einen Kreis zeichnen und ihn dann an eine andere Stelle verschieben. Weil das mit Zirkel und Lineal auf einem Blatt Papier nicht machbar ist, akzeptierten die Griechen diese Methode nicht. Aber das war ihr gutes Recht. Mathematik ist vor allem ein gigantisches Spiel, und die Griechen waren besessen davon, es nach ihren eigenen Regeln zu spielen. Mathematik ist zudem ein Spiel, bei dem man nicht schummeln kann;2 man fügt lediglich neue Regeln hinzu.

Das ist meine Lieblingsdefinition von Mathematik: ein Spiel, bei dem man die Anfangsregeln auswählt – die Aussagen, die man als wahr annimmt, oder die Dinge, die erlaubt sind – und dann versucht, auf dieser Grundlage so viele neue Tatsachen wie möglich zu beweisen. Zahlen sind einfach; man nimmt an, dass sie existieren, und macht sich dann daran zu beweisen, dass keine narzisstische Zahl im Zehnersystem mehr als 39 Ziffern haben kann. Die Welt der Zahlen ruht auf einer sicheren Basis, denn es gilt nur eine einzige Annahme: dass Zahlen Dinge sind. Die Geometrie lässt hingegen viel mehr Spielraum für Startbedingungen. Das Tolle an der Mathematik ist jedoch, dass jedes Lebewesen im Universum oder vielleicht sogar darüber hinaus, das dieselben, einmal festgelegten Annahmen verwendet, zu denselben Ergebnissen kommt. Wenn wir wüssten, welche Annahmen die Außerirdischen als Basis ihrer Geometrie verwenden, könnten wir zu denselben Ergebnissen kommen wie sie.

Einen Würfelkuchen zerlegen

Ich habe meinen Freunden einmal das Pizza-Problem vorgelegt, und als sie begriffen, dass ich ihnen die Lösung nicht verraten würde, konterten sie mit einem ähnlichen Rätsel, um es mir heimzuzahlen. Und so geht es: Fünf Leute warten darauf, einen würfelförmigen Kuchen zu verzehren, einen schmackhaften homogenen Kuchen, der auf allen fünf exponierten Seiten mit einer überall gleich dicken delikaten Glasur überzogen ist. Da alle fünf sowohl den Kuchen als auch die Glasur lieben (beides schmeckt definitionsgemäß köstlich), wollen sie den Kuchen so in fünf Teile schneiden, dass alle Stücke gleich viel «Inneres» und Glasur haben. Das ist offenbar nicht nur möglich, sondern das Rätsel lässt sich sogar auf eine beliebige Zahl von Leuten ausdehnen, die sich einen Würfelkuchen teilen (auch wenn ich noch immer auf eine Gelegenheit warte, diese Erkenntnis auf einer echten Würfelkuchenparty in die Praxis umzusetzen).

Es ist nicht nur das Partyfutter-/Kohlenhydrat-/Kalorien-Element, das dieses Rätsel mit dem Pizzaproblem gemeinsam hat: Beide haben mehr als eine Lösung. Die traditionelle Würfelkuchenlösung (siehe Abbildung auf der folgenden Seite) bringt es mit sich, den Kuchen in eine Form zu zerlegen, bei der man das Volumen eines Stücks variieren kann, ohne die Größe der glasierten Oberfläche mit zu verändern, nämlich indem man gestapelte Pyramiden aus dem Kuchen schneidet. Diese Lösung fiel mir jedoch nicht ein, bis ich eine nicht-traditionelle Möglichkeit gefunden hatte, bei der die Oberseite des Kuchens in Dreiecke zerlegt wird. Zum Glück hatte ich mehr als einen einzigen virtuellen Kuchen zur Verfügung.

Bei meiner Methode unterteilt man den Umfang (Rand) der Kuchenoberseite in fünf gleich lange Abschnitte und markiert die entsprechenden Punkte; dann bestimmt man den Mittelpunkt der Oberseite. Anschließend setzt man das Messer zwischen jeder Markierung auf dem Umfang und dem Mittelpunkt an und schneidet jeweils gerade nach unten. Die Glasur auf den Seiten des Kuchens wird daher in fünf Vielecke mit genau derselben Oberfläche zerteilt. Die Glasur auf der Oberseite und das Volumen eines jeden Stücks sind ebenfalls identisch. Auch wenn die Dreiecke auf der Kuchenoberseite nicht dieselbe Form haben, haben sie wegen spezieller Eigenarten von Dreiecken tatsächlich alle dieselbe Fläche.

Traditionelle Methode, einen Würfelkuchen zu zerteilen

Schritt 1: Backen Sie einen Würfelkuchen und glasieren Sie ihn.

Schritt 2: Markieren Sie rundum an den Seiten drei horizontale Linien in gleichem Abstand (schneiden Sie dabei aber nicht tatsächlich durch den Kuchen).

Schritt 3: Schneiden Sie die Oberseite des Kuchens so ab, dass eine Pyramide mit einem Fünftel des Kuchens darunter entsteht. Dann schneiden Sie jedes neue Stück so, dass die nächste Pyramide das nächste Fünftel des Kuchens beträgt.

Seit Jahrtausenden lernen Schüler, dass die Fläche eines Dreiecks gleich der Hälfte der Basis ist, multipliziert mit der Höhe, oft geschrieben 1/2 × Basis × Höhe oder 1/2 bh. Normalerweise wird erwartet, dass man diese Tatsache auswendig lernt, was wirklich schade ist, denn in der Mathematik geht es darum zu beweisen, warum etwas so ist, wie es ist. Wie man die Fläche eines Dreiecks berechnet, liegt auf der Hand: Man sieht, dass die Fläche, die ein Dreieck einnimmt, halb so groß wie die Fläche des Vierecks ist, die es (vom Konzept her) umgibt. Die Fläche des Vierecks ist gleich der Basis des Dreiecks, multipliziert mit der Höhe, daher beträgt die Fläche des Dreiecks die Hälfte davon.

Nicht-traditionelle Methode, einen Würfelkuchen zu zerteilen

Schritt 1: Backen Sie einen Würfelkuchen und glasieren Sie ihn.

Schritt 2: Markieren Sie oben auf dem Umfang fünf Punkte im gleichen Abstand und verbinden Sie diese mit dem Mittelpunkt.

Schritt 3: Schneiden Sie längs jeder Linie direkt nach unten, und Sie erhalten fünf normal geformte Kuchenstücke.

Diese Flächenformel erwähnt keinerlei Winkel im Dreieck, und das bedeutet, dass die Fläche eines Dreiecks völlig unabhängig von der Abmessung der eingeschlossenen Winkel ist: Sie hängt allein von der Länge der Basis und der Höhe der der Basis gegenüberliegenden Ecke ab. Wenn man daher eine Reihe von Dreiecken mit derselben Basis und Höhe, aber ganz verschiedenen Winkeln hat, haben sie dennoch dieselbe Fläche. Genau das ist bei unserem Würfelkuchen der Fall: Alle Dreiecke auf der Oberseite haben dieselbe Basis und Höhe.

Die Stücke, die eine Kuchenecke einschließen, erscheinen auf den ersten Blick schwieriger, doch man kann sie als zwei benachbarte Dreiecke ansehen und zeigen, dass sie kombiniert dieselbe Fläche haben. Das heißt, dass die Eckstücke tatsächlich keine Dreiecke sind, wie ich versprochen habe, es sei denn, Sie sind bereit, ein Dreieck mit einer zusätzlichen Ecke zu akzeptieren. Sind Sie nicht? Habe ich mir schon gedacht.

Keinen Streit mehr um die Präzision beim Kuchenschneiden!

Wie immer, nehmen Sie das, was ich sage, nicht für bare Münze! Mathematiker möchten die Lösung stets Schritt für Schritt nachvollziehen können, weil sie strenge Beweise lieben. Einen quaderförmigen Kuchen backen – warum nicht? Eine vollständige Anleitung für das Zerteilen eines quaderförmigen3 Kuchens finden Sie in den «Antworten am Ende des Buches», daher achten Sie das nächste Mal darauf, wenn Sie einen solchen Kuchen teilen, neben einem Messer auch ein Lineal griffbereit zu haben. Ich persönlich habe auf dem Rücken meines Messers ein Lineal eingraviert, um ultimative Präzision zu garantieren.

Es gibt mehr als eine Möglichkeit, eine Pizza zu teilen

Es gibt nicht nur mehr als eine Möglichkeit, einen Kuchen zu zerlegen, sondern auch mehr als eine Methode, eine Pizza zu teilen. Tatsächlich gibt es geradezu lächerlich viele Wege, das Pizza-Problem zu lösen. Wenn Sie die erste Lösung nicht gefunden haben, hilft es Ihnen wahrscheinlich auch nicht zu erfahren, dass Sie nicht nur zwei, sondern unendlich viele mögliche Antworten übersehen haben. Einige davon sind sogar noch besser als die erste Lösung, die ich Ihnen gezeigt habe.

Der Nachteil bei der ersten Lösung ist, dass manche Teile Spiegelbilder voneinander sind. In der Mathematik betrachten wir das noch immer als dieselbe Form, denn man kann zwei spiegelbildliche Pizzateile exakt zur Deckung bringen. Sie sind deckungsgleich oder kongruent, ein Begriff, der sich vom lateinischen congruere herleitet, «zusammenkommen». Kongruenz ist eine strengere Bedingung als nur dieselbe Form zu haben. Man kann sagen, dass ein Fußball und der Mond dieselbe Form haben, weil beide Kugeln sind. Damit Formen kongruent sind, müssen sie jedoch auch dieselbe Größe haben.

Eine der Alternativlösungen beginnt so wie vorher – man zerlegt den Kreis in dieselben sechs gekrümmten Dreiecke –, doch statt die drei gebogenen Linien durch Geraden zu verbinden, benutzt man eine weitere gekrümmte Linie. Nun ist keines der Teile das Spiegelbild eines anderen, daher ist die Sache völlig eindeutig: Diese Methode ergibt zwölf absolut identische Teile, abgesehen davon, dass die Hälfte die Kreismitte berührt, die andere Hälfte hingegen nicht (siehe Abbildung folgende Seite).

Von diesem Punkt an werden die Lösungen deutlich komplizierter und weisen alle mehr als zwölf Teile auf.4 Es gibt zwei Optionen, eine Pizza in 42 absolut identische Stücke zu schneiden, von denen nicht alle den Mittelpunkt berühren. Es ist möglich, Pizzen in 20, 30, 40, 50 und jede nur mögliche Anzahl identischer Stücke zu zerlegen, die ein Vielfaches von zehn ist. Für dieses Rätsel gibt es unendlich viele Lösungsmöglichkeiten. All diese Lösungen sind nicht in den «Antworten am Ende des Buches» aufgeführt.

Die erste Lösung ergibt zwei spiegelbildliche Formen, die zweite nur eine einzige Form.

Mathematik kann den Eindruck einer sehr strengen und rigiden Disziplin erwecken, so als seien die Regeln von den alten Griechen festgelegt worden und nun müsse jedermann ihnen folgen. In Wirklichkeit dreht sich in der Mathematik alles darum, neue Regeln hinzuzufügen und dann zu schauen, was passiert, wenn man sie bricht. Man muss sich in der Mathematik nicht auf ein flaches Stück Papier beschränken, nur weil Euklid es gerne so hatte. Und selbst mit demselben Regelsatz gibt es oft mehr als nur einen Weg, um ans Ziel zu gelangen, und das führt nicht selten zu vielen verschiedenen Lösungen für ein und dasselbe Problem. Und Mathematiker können sie finden, während sie ihren Kuchen essen.

DREI

Quadrate, QUADRATE!

1994 berechnete die NASA einen seltsamen Zahlencode und verbarg ihn in den Tiefen ihrer Webseite, wo er bis heute zu finden ist. Wenn Sie auf der öffentlich zugänglichen Webseite der NASA «Astronomy Picture of the Day» anklicken, stoßen Sie auf einen verborgenen Ordner «htmltest/gifcity», in dem sich die kryptisch benannte Datei sqrt2.1mil befindet. Wenn Sie diese Datei finden und öffnen, wird sich der Bildschirm Ihres Computers vollständig mit Ziffern füllen. Hier sind die ersten der 10 Millionen Ziffern in dieser Datei:

Quelle: http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/sqrt2.1mil

Genug? Ich weiß nicht, warum die NASA all diese Ziffern produziert hat, aber ich kann es mir denken. Tatsächlich handelt es sich um eine Zahl, die in Mathematikerkreisen recht bekannt ist, nämlich um die Quadratwurzel von 2, kurz «Wurzel 2» genannt. Wenn man eine Zahl mit sich selbst multipliziert, so nennt man das die Zahl «quadrieren». Wenn man Wurzel 2 mit sich selbst multipliziert, erhält man als exaktes Ergebnis 2. Und was die Frage angeht, warum die NASA die ersten 10 Millionen Ziffern dieser Zahl berechnet hat, habe ich eine ziemlich gute Vermutung: weil es den NASA-Ingenieuren ziemlich viel Spaß gemacht hat.

Quadratzahlen üben eine seltsame Faszination auf Mathematiker aus. Wenn man mit normalen Zahlen wie 1, 2, 3 etc. beginnt und sie quadriert, erhält man die Quadratzahlen 1 (1 × 1), 4 (2 × 2), 9 (3 × 3) und so weiter. Statt jede Zahl zwei Mal zu schreiben, wenn man sie quadriert, ist man übereingekommen, eine kleine Hochzahl^2 anzuhängen, zum Beispiel 1^2 = 1, 2^2 = 4, 3^2 = 9. Diese Quadratwurzeln und Hochzahlen tauchen ständig in verschiedenen Matherätseln und Spielen auf, zum Beispiel: Ordnen Sie die Zahlen 1 bis 16 so an, dass man stets eine Quadratzahl erhält, wenn man ein benachbartes Zahlenpaar addiert. (Haben Sie einen Augenblick Geduld …)

Ich bin vor dieser Leidenschaft nicht gefeit – ich liebe Quadrate. Einmal, als ich mit Freunden in einem Pub war, hatten wir die Tischnummer 36, und als ich an der Bar unsere Bestellung aufgab, machte ich eine Bemerkung darüber. Plötzlich fiel es mir wie Schuppen von den Augen: 36 war nicht nur eine Quadratzahl, sondern auch eine «Dreieckszahl»! Ich hatte noch nie über Zahlen nachgedacht, die gleichzeitig Dreieck und Quadrat waren, und es verschlug mir kurze Zeit die Sprache. Ich nehme mal an, dass die Crew hinter der Bar dasselbe Aha-Erlebnis hatte, denn alle starrten mich aus großen Augen an.

Die Verbindung zwischen Quadratzahlen und Quadratformen liegt auf der Hand. Wenn man eine quadratische Anzahl von Objekten hat, kann man sie zu einem Quadrat anordnen. Das funktioniert auch bei anderen Formen, daher lässt sich eine Dreieckszahl von Objekten zu einem Dreieck arrangieren. 36 lässt sich entweder in einem 6 × 6-Quadrat oder in einem 8 × 8-Dreieck anordnen. Abgesehen von der trivialen 1 (die ist so banal, die kann man leicht vergessen) ist 36 die kleinste Zahl, die gleichzeitig eine Quadratzahl und eine Dreieckszahl ist. Keine der kleineren Quadratzahlen (4, 9 und 16) ist eine Dreieckszahl. Ich wollte nun die nächste Dreieckszahl nach 36 finden. Zum Glück war ich ja mit zwei anderen Mathematikern auf Kneipentour, und wir machten uns sofort daran, weitere Beispiele zu suchen. Aber ganz gleich, wie viel wir tranken, wir konnten keine finden.

Die ersten vier Quadratzahlen und Dreieckszahlen

Keine der einfachen Methoden, die wir uns ausdenken konnten, um Dreiecks-Quadratzahlen zu finden – außer, unsere Laptops auf den Kneipentisch zu stellen –, funktionierte. Also doch die Laptops. Mit einem Tabellenkalkulationsprogramm listeten wir ein paar tausend Quadratzahlen in einer Spalte auf (siehe Kapitel 1, Fußnote über «Mogeln»). Erstes bisschen Algebra: Wenn wir eine beliebige Zahl mit dem Buchstaben n bezeichnen, wissen wir, dass das Quadrat dieser Zahl n^2 ist. Dreieckszahlen sind etwas komplizierter, die nte Dreieckszahl ist n × (n + 1):2 (weil zwei Dreiecke ein n mal (n + 1) Rechteck ergeben). Was für eine Nacht! (Nicht, dass ich Sie zum gleichzeitigen Trinken und Mathematisieren ermutigen möchte.) Alles, was uns jetzt noch zu tun blieb, war, nach den Zahlen Ausschau zu halten, die in beiden Listen auftauchten. Die erste Zahl nach 36 war 1225, gefolgt von 41 616; 1 413 721 und 48 024 900.

Drei Mathematiker in einem Pub bilden jedoch selbst dann, wenn sie ihre Laptops gezückt haben, nicht die vorderste Front der Mathematik. Andere werden stets störrisch versuchen, die Dinge ein wenig weiter zu treiben, und natürlich haben Mathematiker Zahlen gefunden, die zu Formen jedweden Typs passen. Mehrseitige Figuren wie Pentagone und Hexagone werden gemeinsam unter dem Begriff «Polygone» zusammengefasst, daher gibt es Polygonalzahlen aller Art. Die ersten Pentagonalzahlen sind 1, 5, 12, 22 und 35, und die ersten Hexagonalzahlen lauten 1, 6, 15, 28 und 45. (Weitere finden Sie in den «Antworten am Ende des Buches».) Die kleinste Quadrat-Pentagonalzahl nach 0 und 1 ist 9801 (gefolgt von der eindrucksvoll voluminösen Zahl 94 109 401); unterhalb von 1 Million (nach 0 + 1) gibt es nur zwei Dreiecks-Pentagonalzahlen: 210 und 40 755. Niemand hat bisher eine Zahl gefunden, die gleichzeitig eine Dreiecks-, eine Quadrat- und eine Pentagonalzahl ist. Mathematiker haben sämtliche Zahlen mit 22 166 Ziffern oder weniger erfolglos nach Dreiecks-Quadrat-Pentagonalzahlen durchsucht – aber bis jemand beweist, dass sie nicht existieren, werden Mathematiker weiter nach ihnen Ausschau halten.

Eine auf der Hand liegende Frage ist nun: «Warum?» Eigentlich könnte man jetzt mehrere gute «Warum»-Fragen stellen. Und das ist ein sehr guter Punkt: Warum verbringen Mathematiker ihre wertvolle Zeit damit, nach diesen seltsamen Zahlen zu suchen? Sicherlich nicht, weil sie nützlich sind: Es gibt keinen praktischen Grund, warum man diese Zahlen kennen sollte. Es handelt sich vielmehr um eine Art Spiel; findet man sie, so ist dies die eigentliche Belohnung. Man kann sich die meisten Mathematiker als Trainspotter oder Briefmarkensammler vorstellen. Hmm, das sind vielleicht nicht die besten Beispiele, die ich hätte wählen können. Schließlich möchte ich Ihnen die ganze Sache doch als spannend verkaufen. Okay, vielleicht stellen Sie sich die Mathematik besser als eine Art Großwildjagd oder das Spielen eines spannenden Videospiels vor: Der Spaß liegt in der Suche und im Erreichen eines schwierigen Ziels.

Lassen Sie uns zu unserem früheren Rätsel zurückkehren. Wenn man versucht, die Zahlen von 1 bis 16 so anzuordnen, dass das Addieren zweier benachbarter Zahlen eine Quadratzahl ergibt, haben Sie einen Schritt in Richtung Mathematikertum getan, und so sollte Ihr Ergebnis aussehen:

Während Sie der Lösung immer näher kamen, haben Sie, so hoffe ich, die Erregung gespürt, ein Großwild auf der offenen Savanne zu erspähen oder eine seltene Dampflok des VEB Lokomotivbau Karl Marx Babelsberg in der Lüneburger Heide zu entdecken. Gleicher Erregungspegel, um ehrlich zu sein. So oder so, das ist es, was Menschen antreibt, Mathematik zu betreiben. Vermutlich war es tatsächlich die Begeisterung für Quadratzahlen, die zur Geburt der Mathematik führte. Seitdem hat sie den Menschen Vorteile aller Art gebracht, aber das war nicht die ursprüngliche Absicht. Und das gilt bis heute. Es stimmt schon, ein gewisser Teil der Mathematik wird aus rein praktischen Gründen entwickelt, doch selbst dann basiert sie auf früheren Entdeckungen, die ursprünglich nur dem Vergnügen ihrer Entdecker dienten. Und so soll es sein.

Die Büchse des Pythagoras öffnen

Euklid war vermutlich der Erste, der versucht hat, das gesamte mathematische Wissen seiner Zeit zu einem ordentlichen, streng geprüften Bündel zu schnüren, doch vor ihm kam der erste Superstar der Mathematik: der legendäre Mann, der Pythagoras war. Seinen Namen kennen Millionen von Schulkindern, und später erinnern sie sich daran, dass er «etwas mit Dreiecken» zu tun hatte, doch er war womöglich der erste Mensch, der echte, abstrakte Mathematik betrieb. Pythagoras entdeckte nicht nur Muster in Formen und Zahlen, sondern wies auch nach, dass diese Muster stets gelten.

Trotz seines Ruhmes wissen wir überraschend wenig über sein Leben und Werk. Pythagoras, ein Vorläufer von Euklid, wurde im 6. Jahrhundert v. Chr. auf der griechischen Insel Samos geboren, und um ca. 535 v. Chr. war er alt genug, eine Weile in Ägypten zu verbringen. Anschließend kehrte er nach Hause zurück und rief eine Schule ins Leben, die sich «Halbkreis des Pythagoras» nannte, bevor er sich schließlich im südlichen Italien, in Kroton niederließ, wo er eine religiös-philosophische Gemeinschaft gründete. Die Pythagoräer beschäftigten sich zweifellos intensiv mit Mathematik, doch sie waren im Grunde eine religiöse Bewegung. Auf der tiefsten Ebene, so glaubten sie, sei die Wirklichkeit ihrem Wesen nach mathematisch, doch noch stärker konzentrierten sie sich auf Philosophie, um spirituelle Reinheit zu erlangen. Falls Sie Lust haben, sich damit zu beschäftigen – es gibt Unmengen an Geschichten über Pythagoras’ ungewöhnliche religiöse Überzeugungen (und die großen Probleme, die er mit Bohnen hatte).

Was die Mathematik anging, so arbeiteten die Mitglieder seiner Bewegung an vielem, was uns heute vertraut vorkommt, darunter auch an der Untersuchung von Dreieckszahlen. Pythagoras gilt auch als Begründer der mathematischen Analyse der Musik und der Lehre von den harmonischen Intervallen. Wir glauben, dass viel von dem, was Euklid schrieb, zuerst von den Pythagoräern entdeckt wurde, einschließlich fast des gesamten Inhalts von Buch 4. Der berühmteste Lehrsatz der Pythagoräer ist jedoch zweifellos der Satz des Pythagoras, der die ewigen Eigenschaften benennt, die alle rechtwinkligen Dreiecke auszeichnen. Der Beweis dieses Satzes ist der Höhepunkt von Buch 1 der Elemente, das Ergebnis, auf das alles Übrige im Buch hinausläuft.

Kurz formuliert, besagt der Satz des Pythagoras Folgendes: Wenn man ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck nimmt und die Längen aller drei Seiten quadriert, dann ergeben die beiden kleineren Quadrate, wenn man sie addiert, das größere (die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks wird gewöhnlich Hypotenuse genannt, ein Begriff, der auf die alten Griechen zurückgeht). Um es im klassischen Stil auszudrücken: Das Quadrat über der Hypotenuse entspricht der Summe der Quadrate über den anderen beiden Seiten. Um Euklid direkt zu zitieren: «In rechtwinkligen Dreiecken ist das Quadrat auf der unter dem rechten Winkel erstreckten Seite den Quadraten auf den Seiten gleich, die den rechten Winkel umfassen.» Um Generationen von Schulkindern zu zitieren: «Warum müssen wir das wissen?»

Ganz zu Anfang wurde Mathematik ausschließlich auf der Basis des Notwendigen betrieben; sie war ein praktisches Werkzeug, mit deren Hilfe man Dinge umsetzen konnte. Die ersten rechtwinkligen Dreiecke wurden vielleicht zunächst dazu eingesetzt, eine senkrechte Mauer zu bauen oder ein Feld zu teilen. Einige Leute, die Dreiecke zu solch praktischen Zwecken benutzten, stellten dann wohl irgendwann fest, dass sich durch Quadrieren von zwei Seiten die dritte ergab, und machten sich diese Tatsache zunutze. Der Satz des Pythagoras war den Babyloniern schon mehr als ein Jahrtausend bekannt, bevor Pythagoras ihn entdeckte,1 und solche Dreiecke waren in Ägypten und Persien in Gebrauch, als Pythagoras diese Länder besuchte.

Pythagoras’ Geschenk an die Mathematik war daher nicht der Satz selbst, sondern vielmehr sein Beweis, dass er für sämtliche rechtwinkligen Dreiecke gilt. Vor Pythagoras war alle Mathematik angewandt und direkt mit Objekten in der realen Welt verknüpft. Er war der Erste, der sich nicht über praktische Anwendungsmöglichkeiten den Kopf zerbrach, sondern Mathematik als abstraktes Thema auffasste. Er bewies, dass dieses Summe-der-Quadrate-Muster kein Zufallsmuster war, das aufgrund einer glücklichen Fügung bei den Dreiecken funktionierte, auf die die Menschen gestoßen waren, sondern etwas, das für alle rechtwinkligen Dreiecke irgendwo im Universum (der euklidischen Geometrie) galt.

Leider war Pythagoras, was die Möglichkeiten der Mathematik anging, nicht so aufgeschlossen, wie er hätte sein können. Wie sein Satz zeigt, gilt: Wenn man ein rechtwinkliges Dreieck hat, in dem die beiden Seiten genau eine Einheit lang sind (jede beliebige Einheit funktioniert: Zentimeter, Zoll, Meilen etc.), dann muss die dritte Seite Wurzel 2 (1,4142 Zentimeter, Zoll, Meilen etc.) lang sein. Wenn Sie das Quadrat nehmen, das Sie zuvor gezeichnet haben, hat die Diagonale genau die Länge Wurzel 2. Pythagoras weigerte sich jedoch zu akzeptieren, dass Wurzel 2 überhaupt existiert.

Die Pythagoräer glaubten, für jede beliebige Zahl ließen sich zwei Faktoren finden, die, wenn man den einen durch den anderen teilt, diese Zahl ergeben. Das heißt, für jede beliebige ganze Zahl n kann man stets zwei andere ganze Zahlen a und b finden, zum Beispiel a:b = n. Aber da irrten sie sich. Und Wurzel 2 ist das Gegenbeispiel: Sie kann nie das Ergebnis der Division einer Zahl durch eine andere sein. Der Legende nach soll ein Mitglied aus dem Kreis der Pythagoräer erkannt haben, dass sie sich irrten (angeblich ein Typ namens Hippasos, doch die alten Texte drücken sich da nicht ganz klar aus), woraufhin er zur Strafe ertränkt wurde (vielleicht ging es dabei aber auch um etwas ganz anderes – mit der Zeit verschwimmen manche Details). Wie dem auch sei, die Pythagoräer mögen das erfunden haben, was wir heute als «mathematischen Beweis» bezeichnen, dennoch entschlossen sie sich, ihn zu ignorieren, wenn ihnen das Ergebnis nicht passte.

Kanonenkugeln stapeln

Gegen Ende des 16. Jahrhunderts hatte der Globetrotter und Abenteurer Sir Walter Raleigh (der unter anderem die englische Kolonialisierung von Nordamerika entscheidend förderte und vermutlich Kartoffeln und Tabak zurück nach England brachte) ein Matheproblem, das er lösen musste. Zum Glück hatte er einen Mathematiker an Bord genommen, und so fragte er ihn, ob es einen raschen Weg gebe, die Gesamtzahl der Kugeln in einer quadratischen Pyramide aus Kanonenkugeln zu berechnen, statt die Kugeln nach altmodischer Weise einfach zu zählen. Sein mathematischer Assistent war Thomas Harriot, ebenfalls kein historisches Leichtgewicht, war er doch der Erste, der Sonnenflecken und auch den Mond durch ein Teleskop betrachtet hatte.

Falls Sie genügend Kanonenkugeln haben, können Sie es auch selbst probieren; falls nicht, können Sie ersatzweise auf Apfelsinen zurückgreifen. Das Problem mit Apfelsinen ist jedoch, dass sie dazu tendieren, eine Pyramide mit einem Dreieck als Grundfläche zu bilden, nicht die quadratische Pyramide, für die sich Raleigh interessierte. Kugeln lassen sich recht gut stapeln, wenn man mit einer Dreieckszahl an Kugeln beginnt und dann kleinere Dreiecke auf das untere Dreieck legt, bis nur noch eine einzige Kugel für die Spitze übrig bleibt. Offiziell wird eine Dreieckspyramide als Tetraeder bezeichnet, und die Anzahl der Apfelsinen in einem derartigen Stapel heißt daher «Tetraederzahl». Wenn Sie mit einem Quadrat aus Kugeln starten und dann kleinere Quadrate aus Kugeln darüber stapeln, erhalten Sie eine quadratische Pyramide, und es waren diese quadratischen Pyramidenzahlen, die Raleigh interessierten.

Harriot konnte berechnen, dass ein Pyramidenstapel auf einer quadratischen Grundfläche, der n Kanonenkugeln hoch ist, insgesamt n × (n + 1) × (2n + 1):6 Kanonenkugeln enthalten würde. Wenn Sie wollen, können Sie das nachprüfen. Sollte Ihre quadratische Pyramide drei Apfelsinen hoch sein, so haben Sie dazu 14 Apfelsinen gebraucht, und zweifellos ist 3 × (3 + 1) × (2 × 3 + 1): 6 = 14 oder (3 × 4 × 7 : 6 = 14). Ich stelle mir gern vor, wie die Schiffsbesatzung in der Hitze des Gefechts innehält und schnell nachrechnet, um sicherzugehen, dass sie noch genügend Kanonenkugeln in Reserve hat.

Wenn Sie tatsächlich eine quadratische Pyramide von Kanonenkugeln vor sich haben, können Sie nun versuchen, sie abzubauen und die Kanonenkugeln zu einem Quadrat anzuordnen. Das ist das Rätsel, zu dem Raleighs Frage später mutierte: Welche quadratischen Pyramidenzahlen an Kanonenkugeln lassen sich zu einem flachen Quadrat anordnen? Die Lösungen auf diese Frage werden als Tetraeder- oder Kanonenkugelzahlen bezeichnet, und ich sehe sie als Urgroßeltern all solcher vielgestaltigen Zahlen an. Und meine Lieblings-Kanonenkugelzahl ist … 4900 – und das ist nicht nur meine Lieblings-Kanonenkugelzahl, sondern ich kann Ihnen versichern, es ist auch Ihr Favorit. Denn 4900 ist die einzig mögliche Lösung für dieses Problem: Keine andere quadratische Pyramidenzahl ist gleichzeitig eine Quadratzahl.

Die 4900er-Lösung wurde 1875 von dem französischen Mathematiker Édouard Lucas gefunden (oder zumindest populär gemacht). Er mutmaßte, es sei vielleicht die einzige Lösung, konnte seine Hypothese aber nicht beweisen. Wenn ein Mathematiker etwas annimmt, das er für wahr hält, aber nicht sicher beweisen kann, so spricht man von einer Vermutung. Daher war es Lucas’ Vermutung, dass 4900 die einzige Kanonenkugelzahl ist. Das Problem mit Vermutungen ist, dass sich später manchmal herausstellen kann, dass sie falsch sind. In diesem Fall sollte Lucas Recht behalten: Im Jahr 1918 wurde bewiesen, dass es außer 4900 keine weitere Kanonenkugelzahl gibt.

Lucas ist einer meiner Lieblingsmathematiker, weil er nicht nur ein brillanter Wissenschaftler war, sondern auch ein früher «Unterhaltungsmathematiker». Das ist so eine Art hobbyistischer Mathematiker, der die Sache nur aus Spaß betreibt, eben, um sich die Zeit zu vertreiben. Lucas’ Buch Récréations mathématiques wurde zwischen 1882 und 1894 veröffentlicht (es ist leider noch immer nur in Französisch verfügbar), und in den vier Bänden findet man tolle mathematische Spiele und Unterhaltung aller Art. Lucas lieferte auch die allererste Beschreibung des «Dots and Boxes»-Spiels («Punkte und Kästchen»; entspricht in etwa dem deutschen Käsekästchen), das in den Klassenzimmern rund um die Welt auch heute noch endlose Schulstunden verschlingt.

Da ich mich selbst in der unterhaltenden Tradition von Lucas sehe, fühlte ich mich inspiriert, andere Zahlen ähnlich den Kanonenkugelzahlen zu finden. Ich suchte nach Zahlen, die sowohl polygon sind als auch die Pyramide bilden können, die auf diesem Polygon basiert. Mein erster Durchbruch war, dass sich 946 Kanonenkugeln sowohl zu einem Sechseck mit 22 Kugeln langen Seiten als auch zu einer elfstufigen hexagonalen Pyramide anordnen lassen. Dann entdeckte ich, dass 1045 und 5985 Oktogonalzahlen und achteckige Pyramidenzahlen sind. Das Ganze entwickelte sich zur Sucht, ich brauchte mehr davon.

Statt ein Tabellenkalkulationsprogramm zu benutzen, schrieb ich ein Computerprogramm (mir macht auch Programmieren Spaß). Als das Programm schließlich lief, dachte ich, ich würde ausflippen, und entschloss mich, es über Nacht weiterlaufen zu lassen und zu schauen, wie weit es kommen würde. Am nächsten Morgen wartete die Zahl 90 525 801 730 auf mich. Wie sich herausstellte, lassen sich mehr als 90 Millionen Kanonenkugeln in Form eines 31 265-agons mit Seiten anordnen, die 2407 Kanonenkugeln lang sind – oder man kann daraus eine 31 265-agonale Pyramide mit 259 Stufen bauen.

Ich bin überzeugt, dass es viele große Zahlen gibt, die ein bisschen wie 90 525 801 730 funktionieren, aber das ist meine Zahl. Soweit ich weiß, bin ich der Erste, der sie gefunden hat. Seit Anbeginn der Zeit hat 90 525 801 730 als Zahl existiert und ist eine 31 265-agonalzahl wie auch eine 31 265-agonale Pyramidenzahl, aber ich war der erste Mensch, der das herausgefunden hat. Sollten wir irgendwann einmal auf unsere Außerirdischen stoßen, hatten auch sie vielleicht nicht genug freie Zeit, um diese Zahl zu entdecken, und ich könnte ihnen etwas Neues zeigen: meine persönliche Großwild-Jagdtrophäe.

Hallo, Taxi!

Einer der größten Mathematiker des 20. Jahrhunderts war ein fast völliger Autodidakt. Er ist zudem der Star meiner absoluten Lieblingsstory über kubische Zahlen (Zahlen, die man zu einem Würfel anordnen kann). Srinivasa Ramanujan, der in Indien aufwuchs, konnte nicht anders, als Mathematik zu betreiben. Ohne Anleitung entdeckte er ganz allein mathematische Sätze aller Art wieder, ohne dass sie ihm irgendjemand gezeigt hätte. Zudem fand er einige neue Dinge, die nie ein Mensch zuvor gesehen hatte.

Weil er ein Autodidakt war, entwickelte er in seiner Isolation sein eigenes Mathematiksystem. Seine Notation unterschied sich jedoch so sehr von der üblichen Mathematik, dass ihn andere Mathematiker als verrückt abtaten, wenn er ihnen schrieb. Angesichts kryptischer Notationen wie «1 + 2 + 3 + … = -1/12» kann man vielleicht verstehen, warum sie zu dieser Ansicht kamen. Einen seiner Briefe sandte er am 16. Januar 1913 an G. H. Hardy, und Hardy gelang es zu entschlüsseln, was Ramanujan geschrieben hatte. Er erkannte, was für ein großartiger Mathematiker der Inder war – und dass er Probleme anging, mit denen sich niemand vor ihm beschäftigt hatte. Hardy schaffte es bald darauf, Ramanujan nach Cambridge zu holen, damit er seine Mathematik mit der Welt teilen konnte. Jahre später, gegen Ende einer langen, erfolgreichen Karriere, wurde Hardy von dem ungarischen Mathematiker Paul Erdős gefragt, was sein größter Beitrag zur Mathematik sei, und er soll geantwortet haben: «Die Entdeckung von Ramanujan.»

Von 1914 bis 1919 lebte Ramanujan in Cambridge und arbeitete mit Hardy zusammen, bis er schwer erkrankte. Das hinderte ihn jedoch nicht daran, sich weiter mit Mathematik zu beschäftigen. Eines Tages besuchte Hardy seinen Freund in einem Krankenhaus im Süden Londons und bemerkte bei seiner Ankunft ganz nebenbei, die Nummer des Taxis, mit dem er hergekommen sei, sei wirklich langweilig gewesen, nämlich 1729, und er hoffe, das sei kein schlechtes Omen. Daraufhin antwortete Ramanujan sofort, 1729 sei ganz im Gegenteil eine sehr interessante Zahl, denn es handele sich um die kleinste Zahl, die sich auf zwei verschiedene Weisen als Summe zweier Kubikzahlen schreiben lasse. Und das stimmt tatsächlich: 1729 ist zum einen 9^3 + 10^3 und auch zugleich 1^3 + 12^3. Heute ist diese Zahl als Taxizahl oder Ramanujan-Hardy-Zahl bekannt. Der Gedanke, dass Hardy Spaß an einem bisschen Unterhaltungsmathematik hatte, freut mich sehr. Seitdem habe ich die Zahl eines jeden Taxis gecheckt, in dem ich gefahren bin, doch auf die berühmt-berüchtigte 1729 bin ich bisher noch nicht gestoßen.

Von der NASA und unterbeschäftigten Rechnern

Lassen Sie uns damit zum Anfang zurückkehren. Nach alledem denke ich erst recht, dass die NASA all diese Ziffern von Wurzel 2 aus Spaß berechnet hat. Der Spaß an der Sache ist es, der die meisten Mathematiker und all diejenigen motiviert, die Mathematik zur Unterhaltung betreiben. Der andere gewichtige Hinweis ist übrigens, dass es so auf der Webseite steht. Die Ziffern wurden tatsächlich von dem NASA-Mitarbeiter Robert Nemiroff «an einem Wochenende auf einem ungenutzten Vax-Computer» berechnet. Also hatten die NASA-Ingenieure einen unbeschäftigten Hochleistungsrechner zur Verfügung und entschlossen sich, übers Wochenende ein Programm darauf laufen zu lassen. Nur so zum Spaß. Zudem berechneten sie die Quadratwurzeln mehrerer anderer Zahlen.

Ich kann sie nicht tadeln, und die Berechnung von Quadratwurzeln ist durchaus eine Herausforderung für einen Computer, teilweise deshalb, weil es sich um eine Aufgabe handelt, die niemals abgeschlossen ist. Bei Quadratzahlen sind die Wurzeln leicht zu finden, denn es handelt sich um hübsche ganze Zahlen. Wenn wir das Kurzschriftsymbol √ für die Quadratwurzel benutzen, erhalten wir √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3 und so weiter. Aber wenn man versucht, die Quadratwurzel einer ganzen Zahl zu finden, die keine Quadratzahl ist, zum Beispiel √2, dann geht die Ziffernfolge bis in alle Ewigkeit weiter. Und darum konnte die NASA mehr als 10 Millionen Ziffern berechnen: Die Ziffern hören nie auf, die Lösung findet zu keinem Ende. Selbst wenn man die ersten 100 Ziffern von Wurzel 2 quadriert, ist das Ergebnis noch immer nicht exakt 2.

Eines Tages langweilte ich mich und beschloss, nach Zahlen zu suchen, bei denen die Quadratwurzeln mit denselben Ziffern beginnen. Sicherlich musste es solche Zahlen geben! Dabei stieß ich auf eine ganze Familie von Zahlen, bei denen dies funktioniert. Ich nannte sie «Knospenzahlen». (grafting numbers), weil die Wurzeln aus den Zahlen selbst erwuchsen. Aber sie nur zu finden, reichte mir nicht. Wie ein wahrer Mathematikjunkie suchte ich nach einem noch größeren High.

Zahlen wie diese zu finden und zu dokumentieren, erinnert stark an Briefmarkensammeln. Ich tat nichts anderes, als diese Zahlen aufzuschreiben und ihnen einen Namen zu geben. Das ist zweifellos ein durchaus zulässiger Mathespaß, doch für das wirkliche Hochgefühl muss man das Muster dahinter finden, den Schritt von der Beschreibung zur Erklärung machen.

Nach etwas Herumprobieren erkannte ich, woher einige dieser Knospenzahlen kamen. Sie alle ergaben sich aus dem Ausdruck 3 – √5, immer mit einer ungeraden Anzahl von Ziffern, aufgerundet auf die nächste ganze Zahl. Ich nannte diesen Ausdruck stolz Knospenkonstante.

Andere Mathematiker haben sich inzwischen intensiver mit meinen Knospenzahlen beschäftigt. In meinen Augen fangen diese Zahlen diejenigen Aspekte ein, die Mathematik zu einer Kunst machen, wenn es nicht ausschließlich um ihre praktische Anwendung geht. Der erste Aspekt ist das Entdecken und Beschreiben von Mustern, der zweite das Heraustüfteln, warum sich diese Muster ergeben, und der Beweis, dass sie immer funktionieren. Und schließlich dient all das nur dem eigenen Vergnügen, dem reinen Spaß an der Sache.

VIER

Formen VERwandeln

Nun ist Zeit für ein bisschen Unterhaltung, zücken Sie Ihre Schere! Und einen Zirkel werden Sie in diesem Kapitel auch brauchen. Schneiden Sie aus einem festen Pappkarton zwei Kreise mit einem Durchmesser von 10 cm (also einem Radius von 5 cm) aus. Für die Kreise können Sie entweder Ihren Zirkel benutzen oder die Schablone aus diesem Buch ausschneiden, sie auf die Pappe legen und ausschneiden. Sobald Sie die beiden Kreise ausgeschnitten und den Mittelpunkt bestimmt haben (ein Schritt, der sich erübrigt, wenn Sie den Zirkel verwendet haben, weil Sie dann das Loch benutzen können, das das spitze Ende gemacht hat), schneiden Sie einen Schlitz in den Rand beider Kreise, dessen Länge 29 Prozent der Entfernung zum Mittelpunkt beträgt (bei einem Radius von 5 cm rund 1,5 cm). Der Schlitz sollte so breit sein, dass man die beiden Kreise ineinander schieben kann. Stellen Sie die beiden Steckkreise auf einen Tisch und sehen Sie zu, wie Ihr Konstrukt mit einer sonderbaren Taumelbewegung auf und davon rollt.

Diese Vorrichtung wird als Wobbler oder Torkler bezeichnet, und die Sache funktioniert nur, wenn sich die beiden Scheiben genau um die richtige Länge überlappen. Überlappen sie zu stark, stoppt der Torkler in Position A, wobei beide Scheiben einen Winkel von 45 Grad mit der Standfläche bilden, wie im Diagramm auf Seite 77 oben. Wenn sie nicht weit genug überlappen, kommt das Gebilde in Position B zum Stehen, wobei eine Scheibe im rechten Winkel zur Standfläche direkt nach oben weist wie im Diagramm unten. Nur wenn die Schlitze genau 29,2893 Prozent überlappen, ist die Überschneidung perfekt, und der Torkler rollt und rollt und rollt … Nun ja, natürlich kommt er schließlich aufgrund von Reibung und Luftwiderstand zu einem Stillstand (und wahrscheinlich ist es so gut wie unmöglich, einen Pappschlitz auf mehrere Dezimalstellen genau zu schneiden). Doch wenn die Länge einigermaßen richtig ist, genügt ein kurzes Anblasen, um den Wobbler über den Tisch oder vielleicht sogar durchs ganze Zimmer torkeln zu lassen.

Schneiden Sie diese Torklerscheiben-Schablone zwei Mal aus.

Die Sache funktioniert, weil der Schwerpunkt des Torklers (der Punkt genau in der Mitte der Masse) stets auf derselben Höhe bleibt, wenn sich der Torkler fortbewegt. Objekte rollen nicht bergauf, weil es Energie und Mühe kostet, eine Masse gegen die Schwerkraft emporzuheben. Ein Objekt rollt auch nicht auf einer ebenen Fläche, wenn sich sein Schwerpunkt beim Rollen heben muss. Darum sind Räder kreisförmig: Ihr Massenzentrum bleibt beim Rollen stets auf der gleichen Höhe. Aus diesem Grund sind Quadrate auch so schlechte Räder. Wenn man ein Quadrat anstößt, rollt es nicht glatt dahin; man muss ihm einen kräftigen Schubs geben, um seine Masse genügend zu heben, damit sie über eine der Ecken auf die nächste Kante kippt. Ein Kreis rollt auf einer ebenen Fläche, ein Quadrat muss ständig angestoßen werden.

Position A

Position B

Mit dem Satz des Pythagoras lässt sich leicht zeigen, dass sich das Massenzentrum des Torklers in Position A genauso hoch über der Grundfläche befindet wie in Position B. Die ausführliche Lösung befindet sich in den «Antworten am Ende des Buches», einschließlich des Schrittes, der zeigt, warum der Schlitz genau 29,2893 Prozent des Radius r betragen muss. Kurz gesagt, weil dann der Abstand zwischen den Kreismittelpunkten genau √2 × r beträgt. Wieder taucht hier die geheimnisvolle Zahl √2 auf und führt uns zurück zu den Wurzeln. Zu beweisen, dass das Massenzentrum tatsächlich stets auf derselben Höhe bleibt, ist deutlich komplizierter, doch gelang es dem Mathematiker David Singmaster im Jahr 1990. Obgleich sich die Höhe des Massenzentrums nicht verändert, schwingt es von einer zur anderen Seite, und aus diesem Grund bewegt sich der Torkler so taumelnd vorwärts wie ein Kreis, der sich ein Glas zu viel hinter die Binde gegossen hat.

Erstmals wurde der Torkler meines Wissens 1966 von A. T. Stewart im American Journal of Physics erwähnt; er nannte ihn einen Zwei-Scheiben-Roller. Menschen benutzen kreisförmige Räder seit Jahrtausenden; die Erfindung des Rades gilt als die zweitgrößte menschliche Erfindung (direkt hinter dem Feuer und knapp vor frischem Brot). Daher finde ich es erstaunlich, dass diese neue Möglichkeit, Kreise rollen zu lassen, erst in den 1960er Jahren entdeckt wurde. Die Sache funktioniert auch mit Ellipsen.

Wenn man genau genug hinschaut, kann man den Kreis rollen sehen.

Ähnlich wie ein Quadrat ein Viereck mit vier gleich langen Seiten ist, ist ein Kreis eine Ellipse, bei der beide Radien die selbe Länge haben. Zwar rollt eine Ellipse nicht auf traditionelle Weise, doch man kann noch immer zwei zu einem Torkler ineinander schieben; allerdings muss man die Länge der Schlitze entsprechend der Ellipsenform anpassen.

Statt √2 x Radius beträgt der Abstand der Mittelpunkte für eine Ellipse √2 x √2(horizontaler Radius)2 – (vertikaler Radius)2

Wir sollten das Quadrat als funktionstüchtiges Rad jedoch nicht allzu schnell verwerfen! Ein Quadrat rollt ganz prima, vorausgesetzt, man bietet ihm den richtigen Untergrund, nämlich eine Straße mit Schwellen: Während sich das Massenzentrum des Quadrats hebt und senkt, muss die Straße gerade so stark abfallen bzw. ansteigen, dass diese Lageveränderung des Massenzentrums kompensiert wird. Dieses delikate Zusammenspiel funktioniert beim quadratischen Rad nur mit einem einzigen Partner, einer ganz besonderen Kurve, die als Kettenlinie oder Seilkurve bezeichnet wird (weil sie die Form einer Kette hat, die zwischen zwei Punkten hängt). Wenn Sie ein Stück Kette an beiden Enden halten, können Sie sich diese Kurve leicht veranschaulichen (ein Stück Kordel ist etwas zu leicht, um auf dieselbe Weise durchzuhängen). Wenn die Kettenlinie umgedreht und kontinuierlich aneinandergereiht wird, bildet sie eine perfekte Straße für ein quadratisches Rad. Und das gilt nicht nur für quadratische Räder: Fast jede Form kann rollen, wenn man ihr eine Straße mit passend geformten Hubbeln zur Verfügung stellt.

So strahlt ein Mann, der sich bequem vorwärts bewegt!

Formen mit konstanter Breite

Während ich dies schreibe, liegt vor mir auf meinem Schreibtisch eine dreieckige Münze von den Bermudas (Warum wundert mich das nicht?); sie gehört zu einer limitierten Auflage von 3-Dollar-Münzen, die 1998 von der Münzanstalt der Bermudas geprägt wurden. Und gut, dass sie limitiert war: Eine dreieckige Münze ist wirklich nicht gerade praktisch. Historisch gesehen, sind Münzen in der Regel rund, weil sie so einfacher herzustellen sind und keine scharfen Ecken haben, die sich besonders leicht abnutzen (und einem dann auch noch das Taschenfutter zerreißen, statt einem nur durch die Finger zu gleiten). In neuerer Zeit erleichtern Münzen mit unterschiedlichen Durchmessern Robotern wie Münzautomaten, sie auseinanderzuhalten. Runde Münzen können die Schlitze in den Automaten herunterrollen und unabhängig von ihrer Orientierung auf ihren Durchmesser überprüft werden. Eine quadratische Münze würde Münzautomaten vor gewaltige Probleme stellen, da sich ihre Breite (das Äquivalent ihres Durchmessers) beim Hinunterrollen verändert.

Dreiecke können vorgeben, größer zu sein, indem sie sich ein wenig drehen.

Da ich mir nicht sicher war, wie eine dreieckige Münze funktioniert, trieb ich eine (für beträchtlich mehr als drei Bermuda-Dollar) im Internet auf, um sie mir näher anzuschauen. Auf dem Echtheitszertifikat fand sich eine Menge offizieller Angaben. Offensichtlich besteht die Münze aus 20 g 925er Silber (woraufhin ich mich etwas weniger geneppt fühlte), ist nur in einer Auflage von 6500 Stück geprägt worden und hat einen Durchmesser von 35 mm. Aber wie kann ein Dreieck einen Durchmesser haben? Dreiecke weisen je nachdem, wo man misst, unterschiedliche Quermaße auf. Oder etwa nicht? Ich habe einfach ein Lineal zur Hand genommen und die Münze in verschiedenen Richtungen vermessen, und das Quermaß beträgt stets 35 mm, offenbar ausreichend, um die Behauptung des Zertifikats (und sein Niveau an Genauigkeit) zu rechtfertigen. Das ist so, weil die 3-Dollar-Münze von den Bermudas kein gewöhnliches Dreieck ist.

Es handelt sich tatsächlich um eine Form, mit der wir uns schon beschäftigt haben. Blättern Sie zu dem Diagramm in Kapitel 2 zurück, dorthin, wo wir mit Hilfe einer Reihe von Kreisen ein gleichseitiges Dreieck konstruiert haben. Die Form der Münze liegt gleich dahinter; sie verbirgt sich in den so oft übersehenen Konstruktionslinien. Die drei Ecken sind durch Geraden zu einem Dreieck verbunden, doch darüber hinaus sind sie durch drei Kreisbögen verbunden, und diese Linien bilden das gleichseitige Dreieck mit abgerundeten Seiten, auf dem die 3-Dollar-Münze basiert. Diese Form ist es auch, auf der unsere Lösung des Pizza-Problems beruht.

Dreieck mit abgerundeten Seiten und die Bermuda-Münze

Diese dreiseitige Form besitzt zudem auch die bemerkenswerte Eigenschaft, unabhängig von ihrer Position stets dieselbe Höhe zu haben. Wenn Sie die beiden Pappkreise des Torklers nehmen und sie flach auf den Tisch legen, lassen sie sich zwischen zwei parallelen Linealen hin- und herrollen, weil Kreise einen konstanten Durchmesser haben. Nehmen Sie ein weiteres Stück Pappe, verdoppeln Sie die Strecke zwischen den Schenkeln Ihres Zirkels auf 10 cm und zeichnen Sie wie zuvor drei sich schneidende Kreise um ein gleichseitiges Dreieck (die Kreise müssen nicht vollständig sein, es reichen die drei Kreisbögen, die die Seiten des Dreiecks bilden). Schneiden Sie diese Form aus und wiederholen Sie das Ganze, sodass eine zweite identische Form entsteht. Wenn Sie diese beiden Formen zwischen zwei parallele Lineale legen, lassen sie sich problemlos herumrollen, ohne die Lineale zu verschieben – der Abstand zwischen ihnen bleibt genau 10 cm.

Wenn Ihnen das alles zu mühsam erscheint, nehmen Sie britische 20- oder 50-Pence-Münzen. Beides sind regelmäßige Siebenecke, doch alle Kanten sind gerundet. Sie können diese Form aus Pappe herstellen, indem Sie einen Zirkel in jede Ecke stechen und damit einen Kreisbogen um die gegenüberliegende Kante zeichnen. Das funktioniert bei jeder regelmäßigen Figur mit einer ungeraden Anzahl von Kanten. Ihre geprägte 50-Pence-Münze und die Pappfigur, die Sie mit dem Zirkel gezeichnet haben, lassen sich beide problemlos zwischen zwei parallelen Linealen hin- und herrollen, und daher funktionieren die siebenseitigen 50- und 20-Pence-Stücke auch perfekt in einem Automaten, obwohl sie nicht kreisrund sind. Trotzdem gibt es in Australien seit 1969 zwölfeckige Münzen mit geraden Kanten, und Großbritannien wird 2017 eine geradkantige Münze einführen – Münzautomaten werden mit einem gewissen Maß an Abweichungen fertig, was den Durchmesser von Münzen angeht, daher sind abgerundete Ränder in gewissem Sinne des Guten zu viel.

Das abgerundete gleichseitige Dreieck hat so viele erstaunliche Eigenschaften, dass es einen speziellen Namen erhalten hat: Reuleaux-Dreieck (benannt nach Franz Reuleaux, einem deutschen Ingenieur des 19. Jahrhunderts). Diese Form findet nicht nur bei Münzen Verwendung, sondern auch für eine Bohrspitze, die fast quadratische Löcher bohren kann. Das ist wegen der Seltenheit quadratischer Dübel und der akzeptierten Unvereinbarkeit von runden Dübeln und quadratischen Löchern tatsächlich weniger nützlich, als es klingt. Wie dem auch sei, 1978 wurde in den USA eine Reuleaux-Bohrspitze für Bohrungen in Kohleminen patentiert (Patent #4 074 778). Meines Wissens ist das Patent bisher völlig unbestritten und das Design völlig ungenutzt geblieben.

Auf unregelmäßigen Rollen

Solche Formen konstanter Breite (aus irgendeinem Grund bezeichnet man diese Eigenschaft als «Breite» statt als «Höhe» oder «Durchmesser») können weitaus exotischer sein als das Reuleaux-Dreieck und der Rest der regulären Polygonfamilie. Unsere Herausforderung besteht nun darin, auszutüfteln, wie unregelmäßig eine Form sein darf, die unabhängig von ihrer Orientierung stets dieselbe Breite hat. Eine solche Form sollte sich genau wie ein Kreis problemlos zwischen zwei parallelen Linealen hin- und herrollen lassen.

Runde 1: Unterschiedliche Winkel

Die erste Aufgabe besteht darin, Formen mit einer ungeraden Anzahl von gleich langen Seiten, aber unterschiedlich großen Winkeln herzustellen. Halb-regelmäßige Pentagramme lassen sich recht leicht zeichnen. Für Konstruktionen dieser Art ist es einfacher, mit der sternförmigen Version der Figur zu arbeiten, in diesem Fall mit einem Pentagramm anstelle eines Pentagons. Wählen Sie also eine Seitenlänge (10 cm ist eine prima Länge, die gut zu Ihren früheren Schöpfungen passt) und zeichnen Sie die ersten drei Seiten, wo immer Sie wollen, solange die dritte die erste Gerade kreuzt. Damit ist die Freistilphase beendet; die beiden letzten Seiten können sich nur in einem einzigen Punkt treffen, um das Pentagramm mit 10 cm Seitenlänge zu vollenden.

Dieses schiefe Pentagramm in eine Form mit konstanter Breite zu bringen, ist ebenso einfach wie beim Reuleaux-Dreieck. Stechen Sie die Zirkelspitze nacheinander in jede Ecke des Sterns und zeichnen Sie einen Kreisbogen zur gegenüberliegenden Ecke. Da alle Seiten gleich lang sind, fügen sich die Kreisbögen an den Ecken nahtlos aneinander. Wie seltsam und verbeult die Form auch aussehen mag, die Sie erhalten, eines können Sie mit Sicherheit sagen: Ihre Figur hat überall dasselbe Quermaß. Sie können die Figur ausschneiden und sie gegen sämtliche anderen 10 cm breiten Figuren testen oder zwei verschiedene Figuren herstellen, wenn Sie die Sache wirklich auf die Spitze treiben wollen.

Wenn Ihnen das noch immer nicht reicht und Sie noch einen Schritt weiter gehen wollen, lassen Sie sich gesagt sein, dass dieselbe Methode bei jeder Form mit einer ungeraden Anzahl von Seiten funktioniert; also können Sie’s auch mit einem siebenseitigen oder neunseitigen verzerrten Stern versuchen. Das Problem dabei besteht darin, sicherzustellen, dass die Ecken in der richtigen Reihenfolge gezeichnet werden. Sind sie’s nicht, schneiden die Kreisbögen die Seiten, und die Figur funktioniert nicht. Sobald Sie die richtige Reihenfolge jedoch erst einmal herausgefunden haben, gibt es für die Anzahl der Seiten, die Sie hinzufügen können, keine Grenzen. Leider erinnern die Figuren oberhalb einer Seitenzahl von neun allerdings immer mehr an ziemlich wackelig gezeichnete Kreise – wie diese murkeligen Räder an einem Einkaufswagen.

Nur eines dieser beiden Siebenecke funktioniert.

Raten Sie einmal, welches!

Runde 2: Unterschiedlich lange Kanten

Okay, nun sind wir bereit, den Schwierigkeitsgrad zu steigern und Formen gleicher Breite zu erzeugen, bei denen die Anzahl der Seiten ungerade und die Länge aller Seiten unterschiedlich ist. Das ist komplizierter, weil die gebogenen Ränder nicht länger an den Ecken zusammenstoßen, doch das Problem lässt sich lösen, indem man die ursprünglichen Seiten so weit wie nötig fortführt und die Lücken überbrückt. Ein Dreieck mit Seiten von 9 cm, 6 cm und 5 cm ist ein guter Ausgangspunkt, um einen Versuch zu machen. Wenn Sie den Anleitungen genau folgen, erhalten Sie am Ende eine neue verzerrte Form mit einer konstanten Breite von 10 cm.

Wenn Sie versuchen, ein paar solcher Formen zu zeichnen, werden Sie feststellen, dass der Durchmesser dieser Dreiecksformen konstanter Breite stets gleich der Summe der beiden längsten Seiten minus der kürzesten ist. Das wird am deutlichsten, wenn man sich die kürzeste Seite anschaut: Sie wird in der einen Richtung fortgeführt, um die Länge der längsten Seite zu erreichen, und in der anderen, um die Länge der zweitlängsten zu erreichen. Daher ist die Gesamtlänge gleich der längsten plus der zweitlängsten Seite abzüglich der kürzesten Seite, die zweimal gezählt wurde. Alles klar? Der Radius eines jeden Anschlussbogens oder «Flicken» ist zudem gleich der Länge der gegenüberliegenden Seite minus der kürzesten Seite.

Wie man eine unregelmäßige For mit konstanter Breite konstruiert

1. Nehmen Sie ein beliebiges Dreieck und verlängern Sie die Seiten.

2. Zeichnen Sie, von der längsten Seite ausgehend, einen Kreisbogen um die kürzeste Seite.

3. Stechen Sie Ihren Zirkel an die nächste Ecke ein und zeichnen Sie einen Anschlussbogen um die nächste Seite.

4. Stechen Sie Ihren Zirkel erneut ein und zeichnen Sie den nächsten Kreisbogen.

5. Fahren Sie so rund um das Dreieck fort, bis Sie wieder auf Ihren Startpunkt treffen.

Bonusrunde: Eine beliebige Anzahl von Seiten

Nun ist es Zeit für die Champions League des Formenzeichnens: Formen konstanter Breite mit einer beliebigen Anzahl von Seiten, ob gerade oder ungerade. Man kann die eben beschriebene Methode so erweitern, dass sie auch bei verschieden langen Seiten funktioniert. Meine Lieblingsform ist das Pentagramm mit Seiten von 8 cm, 7 cm, 6 cm, 5 cm und 4 cm (in dieser Reihenfolge, das ist sehr wichtig!). Benutzen Sie dieselbe Methode wie zuvor und beginnen Sie damit, einen Kreisbogen zwischen der längsten und der kürzesten Seite zu zeichnen.

Eine Schwierigkeit beim Zeichnen dieser Formen besteht darin, sicherzustellen, dass es keine Abschnitte gibt, die «eingedellt» sind. Wenn eine Form Kanten aufweist, die nach innen gebogen sind, wird sie zu einer konkaven Form. Konkave Formen ergeben keine Rollformen mit konstanter Breite, da einige der Kanten keinen Kontakt zur Unterlage herstellen können. Sobald Sie das Zeichnen konvexer («konvex» ist das Gegenteil von «konkav») Formen beherrschen, können Sie das ganze Vergnügen auf so viele Seiten mit einer ungeraden Anzahl von Kanten unterschiedlicher Länge ausdehnen, wie Sie wollen.

Die wahre Herausforderung hier besteht darin, Formen konstanter Breite mit einer geraden Anzahl von Kanten zu konstruieren. All die Polygone mit ungerader Seitenzahl haben auch eine ungerade Anzahl von Ecken. Wenn man daher eines in eine Form konstanter Breite verwandelt, erhält man für jede Seite eine gebogene Kante und dann einen Flicken für alle Ecken bis auf eine. Wegen der einen Ecke ohne Flicken ergibt dies insgesamt stets eine ungerade Anzahl von Kanten. Um eine Form konstanter Breite mit einer geraden Anzahl von Seiten zu konstruieren, können wir einen weiteren Flicken zufügen – was sich einfach dadurch erreichen lässt, dass man alle Flicken etwas größer macht.

Eine Form konstanter Breite mit sechs Kanten

Das Dreieck mit den Maßen 9 cm × 6 cm × 5 cm, das wir schon früher benutzt haben, besaß Flicken mit den Radien 0 cm, 4 cm und 1 cm. Man kann all diese Radien um denselben Betrag vergrößern, um eine neue Form zu schaffen. Eine einfache Möglichkeit ist, den Radius Ihres Zirkels um 1 cm zu vergrößern, sodass die Flicken nun 1 cm, 5 cm und 2 cm messen. Oder – seien Sie verwegen! – vergrößern Sie die Radien um den Betrag, der Ihnen gefällt: Es gibt unzählig viele Möglichkeiten. Jedes unregelmäßige Vieleck mit einer ungeraden Anzahl von Seiten bietet Ihnen einen unerschöpflichen Vorrat an subtil unterschiedlichen Formen konstanter Breite mit einer geraden Anzahl von Seiten – einfach dadurch, dass man den ersten Flicken verändert. Man könnte sagen, dass jede Ausgangsform eine ganze Familie von Lösungen hervorbringen kann.

Eine Pizza konstanter Breite

Diese exotischen Familien unregelmäßiger Formen konstanter Breite können uns beim Pizza-Problem nicht helfen, wohl aber die regelmäßigen Versionen. Jede regelmäßige Form konstanter Breite mit einer ungeraden Anzahl von Seiten erzeugt ihre eigene Familie von Lösungen für das Pizza-Problem. Um das auszuprobieren, legen Sie ein 50-Pence-Stück (oder ein anderes Siebeneck) auf ein Blatt Papier und machen Sie entlang von vier der sieben Kanten einen Strich. Dann drehen Sie die Münze so weit, dass Sie um drei Kanten einen Strich zeichnen können, wobei Sie an denselben Punkten beginnen und enden wie bei den vier zuvor abgezeichneten Kanten (keine Sorge, alles passt perfekt), und hängen Sie dann eine überstehende vierte Kante dran. Wenn Sie die ganze Sache kontinuierlich wiederholen und insgesamt 14 Linien zeichnen, haben Sie einen vollständigen Kreis geschaffen: einen perfekten Kreis, geteilt in 14 identische, wie ein fröhliches Grinsen geformte Keile, die sich alle in zwei Hälften teilen lassen, sodass nur eine Seite die Mitte berührt.

Lassen Sie uns die symmetrischen Formen, in die die Pizza unterteilt ist, etwas näher anschauen. Die Form erinnert ein wenig an ein Siebeneck (Heptagon), doch drei der Kanten sind nach innen gedreht, sodass eine Grinseform entsteht – das berühmt-berüchtigte Heptagrinsen (englisch heptagrin). Wirklich! Bei jedem regulären Vieleck mit einer ungeraden Anzahl von Seiten kann man die untere Hälfte der Kanten nach innen drücken, um das entsprechende vieleckige Grinsen herzustellen. Unsere ursprüngliche Lösung basierte auf dem «Dreier-Grinsen», das mit einer geraden sowie einer gebogenen Linie halbiert wurde. Mit Hilfe solcher gebogenen Linien kann man jedes Stück in mehr als zwei Stücke zerlegen. Diese grinseförmigen Pizza-Schnitze lassen sich mittels dieser Kurvenmethode auch in Drittel, Viertel und Fünftel und immer weiter und weiter teilen.

Um die ganze Sache zusammenzufassen: Jede regelmäßige Form konstanter Breite mit einer ungeraden Anzahl von Seiten ergibt eine Lösung des Pizza-Problems, was bedeutet, dass unendlich viele Lösungsmöglichkeiten existieren, denn es gibt stets eine andere Form mit zwei weiteren Seiten. Und darüber hinaus können die Teile bei jeder beliebigen Lösung in eine unterschiedliche Zahl von Teilen geschnitten werden: zwei, drei, vier … und unbegrenzt so weiter. Daher gibt es für alle der unendlich vielen möglichen Lösungen eine eigene, unendlich große Familie und Unterlösungen. Wirklich, ein ganzer Haufen an Möglichkeiten, eine Pizza zu teilen! In der Abbildung auf Seite 91 können Sie beispielsweise sehen, dass es zwei Möglichkeiten gibt, eine Pizza in 42 Teile zu zerlegen; Sie haben die Wahl: Heptagrinsen, in Drittel geschnitten, oder Dreiergrinsen, in Siebtel zerlegt.

Mit ein wenig Nachdenken können Sie erkennen, warum es nur fünf Möglichkeiten gibt, 180 absolut identische Pizzaschnitze zu erhalten, aber zehn Möglichkeiten, 630 Schnitze zu produzieren, von denen nicht alle das Zentrum berühren (nützlich, wenn Sie die Anzahl der Stücke maximieren wollen, die etwas vom Belag in der Mitte mitbekommen, was auch immer das sein mag). Das Gegenteil ist übrigens unmöglich: Man kann eine Pizza nicht so in gleich große Teile zerlegen, dass die gesamte Mitte in einem einzigen Stück landet. Das glauben wir jedenfalls …

Flexagone

Es gibt noch eine weitere, letzte Möglichkeit, wie Formen sich bewegen und rollen können, und sie ist wirklich seltsam. Diese bizarren Formen rollen nicht etwa auf einem Untergrund herum, vielmehr «rollen» sie in sich selbst und zeigen dabei neue Flächen. Beispielsweise ist es möglich, ein Quadrat herzustellen, das sechs unterschiedliche Flächen zeigen kann. Worauf warten wir? Beginnen Sie mit einem ausreichend großen Stück Papier. Unterteilen Sie es in 16 kleinere Quadrate, schneiden Sie die mittleren vier heraus und folgen Sie den Faltanleitungen auf der nächsten Seite sorgfältig. Sie erhalten dann ein Faltquadrat oder auch Tetraflexagon.

Ein Faltquadrat herstellen

1. Beginnen Sie mit einem «Ring» aus 12 Quadraten.

2. Falten Sie die vier Quadrate links nach innen.

3. Falten Sie die oberen drei Quadrate nach unten.

4. Falten Sie die Quadrate rechts nach innen.

5. Falten Sie die beiden unteren Quadrate nach oben und stecken Sie sie unter die ursprünglichen vier Quadrate, die Sie von links nach innen gefaltet haben.

6. Das Ergebnis sollte ein symmetrisches Quadrat sein.

Um den Überblick zu behalten, welche Fläche welche ist, markieren Sie alle vier Quadrate auf der Vorderseite mit einer 1 und alle Quadrate auf der Rückseite mit einer 2. (Sobald Sie die Sache mit den Flexagonen einmal geschnallt haben, werden Ihnen noch viel mehr kreative Möglichkeiten zur Beschriftung dieser Seiten einfallen …) Wenn Sie das Quadrat zur Hälfte zusammenfalten, werden Sie feststellen, dass es zwei Möglichkeiten gibt, um es wieder zu öffnen. Ein Weg führt zum Ausgangspunkt zurück, der andere zeigt Ihnen eine neue Ansicht. Beschriften Sie diese neuen Quadrate mit einer 3. Und öffnen Sie und schließen Sie das Faltquadrat erneut. Dabei werden Sie erleben, dass die verschiedenen Ansichten auftauchen und wieder verschwinden, wie eine Art technisch überdrehter Origami-Wahrsager. Diese Form zusammenzuklappen und auf andere Weise wieder zu öffnen, wird im Englischen als flexing (to flex, biegen, falten) bezeichnet; daher haben diese Formen den Namen «Flexagon» erhalten. Unsere Form ist ein Tetraflexagon oder Faltquadrat, weil es vier Ecken hat. Spielen Sie so lange damit herum, bis Sie glauben, Sie hätten alle Ansichten gefunden und beschriftet (Sie können im Zweifelsfall immer mogeln und das Ganze wieder völlig entfalten). Es sollten insgesamt sechs sein.

Ein Faltquadrat öffnen

1. Falten Sie das Faltquadrat so zur Hälfte zusammen, dass die erste Ansicht verborgen wird.

2. Öffnen Sie es von der anderen Seite, sodass eine neue Ansicht aufgeklappt wird.

Und das ist nur eine der vielen Flexagonformen. Diejenigen, die auf Sechsecken (Hexagonen) basieren, werden als Hexaflexagone (Faltsechsecke) bezeichnet und lassen sich aus einer langen Reihe von gleichseitigen Dreiecken herstellen. In den «Antworten am Ende des Buches» finden Sie Anleitungen für Flexagone mit drei und sechs Flächen, daher spricht man von einem Trihexaflexagon bzw. einem Hexahexaflexagon. [Die Nomenklatur läuft immer nach demselben Schema ab: {Anzahl der Flächen} – {Anzahl der Kanten} – Flexagon.]

Ein Hexahexaflexagon lässt sich öffnen, indem man eine der Falten, die vom Zentrum ausgeht, in zwei Finger nimmt und sie gleichzeitig in die Gegenrichtung drückt. Wenn man sie nach innen drückt, stellt man fest, dass man die Falte von der Mitte zurückziehen kann, sodass sich das ganze Gebilde verformt und eine neue Ansicht freigelegt wird.

Der bekannte Mathematikautor Martin Gardner war es, der Flexagone in der breiteren Öffentlichkeit populär machte. In der allerersten Kolumne, die Gardner 1956 im Scientific American schrieb, ging es um Flexagone; damit brachte er seinen Spaß an Unterhaltungsmathematik unters Volk. Ich stieß erstmals in seinem Buch The Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions auf diese bizarren Formen. Neben der Beschreibung von Hexaflexagonen hat Gardner die allgemeine Öffentlichkeit ab 1961 auch mit dem Tritetraflexagon und dem Tetratetraflexagon bekannt gemacht. Die Erforschung dieser Flexagone geht mit der Entdeckung von Faltvielecken wie Pentaflexagonen, Oktaflexagonen und Dodekaflexagonen bis heute weiter. All diese Gebilde falten und entfalten sich auf seltsame und unerwartete Weise. Auf einer Mathekonferenz, an der ich kürzlich teilnahm, zeigte mir jemand begeistert ein Dekadekaflexagon. Allein deshalb hat sich der ganze Trip für mich gelohnt.

Diese Formen sind noch nicht besonders alt. Das Trihexaflexagon war das erste Flexagon, das entdeckt wurde, und zwar erst 1939. Der englische Mathematiker Arthur Stone (ein Kollege von Paul Erdős) arbeitete in den USA und musste von amerikanischen Papierbögen Streifen abschneiden, damit die Blätter in seinen englischen Kanzleipapierhefter passten. Als er geistesabwesend einige dieser Papierstreifen zu gleichseitigen Dreiecken faltete, hatte er – Simsalabim! – auf einmal ein Trihexaflexagon produziert. Und es dauerte nicht lange, bis ein paar seiner Freunde (darunter der Physiker und spätere Nobelpreisträger Richard Feynman) ebenfalls Spaß an der Sache fanden und gemeinsam das Princeton Flexagon Committee gründeten. Eine ihrer ersten Entdeckungen war die «Tuckerman Traverse». (benannt nach dem Komiteemitglied Bryant Tuckerman): Dabei dreht man das Flexagon nach jedem Öffnen in einer Richtung (z. B. im Uhrzeigersinn) weiter und geht zur nächsten Ecke über, um sich definitiv durch alle möglichen sechs Flächen zu arbeiten, ohne eine auszulassen. (Wenn man dieses Öffnen und Schließen lediglich rein zufällig betreibt, lassen sich einige Flächen nur schwer entdecken.)

Die Herausforderung, vor der Sie stehen, ist ein wenig komplexer. Beim Hexatetraflexagon lassen sich alle sechs Flächen recht leicht finden. Da sind die Vorder- und die Rückseite, die Sie beim Start sehen (und die ich oft der Bequemlichkeit halber mit V und R kennzeichne). Sie können jede Fläche entweder horizontal oder vertikal falten bzw. entfalten, und diese vier Möglichkeiten ergeben alle vier verborgenen Flächen. (Man kann sie systematisch mit Vv, Vh, Rv und Rh bezeichnen.) Nun sollten Sie schauen, welche dieser sechs Flächen Sie gleichzeitig öffnen können. Offensichtlich können Sie mit V und R beginnen, aber lässt sich Vv auf der einen Seite mit Rh auf der anderen kombinieren? Manche Paare lassen sich einander gegenüber platzieren, andere hingegen nicht.

An dieser Stelle kommt Ihre Kreativität ins Spiel. Beschriften Sie die Flächen mit Kollegennamen und Büroarbeiten; die Kombinationen, in denen beide auftauchen, wirken komplex und zufällig, aber Sie können die ganze Sache perfekt steuern. «Tut mir leid, Paul, dass du schon wieder mit Kaffeeholen dran bist, aber das Flexagon hat gesprochen!» Oder basteln Sie ein Spezial-Flexagon für die Weihnachtsparty im Büro und machen Sie damit Ihre Flamme aus der Buchhaltung an.

Was mich angeht, so habe ich einen hexahexaflexagonalen Bieruntersetzer mit verschiedenen Drinks auf den Flächen und einem Verzeichnis derjenigen gemacht, deren Runde es ist. Das Hexaflexagon lässt sich auch so verallgemeinern, dass es bei einem Rechteck funktioniert: falls Sie Bedarf an einer wirklich raffinierten Geschäftskarte mit der dreifachen Oberfläche ohne entsprechende Größenzunahme haben sollten. Ich jedenfalls brauche so etwas. Zum Glück trage ich stets eine zweite Karte bei mir, auf der erklärt wird, wie man die erste benutzt.

FÜNF

FORMEN: Nun in 3D

Ich hab Ihnen ja schon gesagt, dass Kreise für mich zu den besten Formen in der Mathematik gehören, darum habe ich Ihnen einfach einen weiteren gezeichnet. Dieser hat genau dieselbe Größe wie eine Fünf-Pence-Münze. Bitte schneiden Sie die Münze aus dem Buch aus (oder kopieren Sie sie auf ein Stück Papier, wenn Sie das Gefühl haben, dass Ihr Buch bereits genug gelitten hat), sodass möglichst ein perfekt rundes Loch zurückbleibt. Ihre Aufgabe besteht nun darin, eine Zwei-Pence-Münze durch dieses Loch zu schieben, ohne dabei das Papier einzureißen. Ja, ein übliches britisches Zwei-Pence-Stück hat einen Durchmesser von 25,9 mm, und das macht es bedeutend größer als das 18-mm-Loch des Fünf-Pence-Stücks, das Sie ausgeschnitten haben. Daher ist die Annahme durchaus vernünftig, dass es unmöglich ist, diese größere Münze durch dieses kleinere Loch zu bugsieren, ohne das Papier einzureißen – aber es ist machbar!

Fünf-Pence-Münze in Originalgröße

Alternativ können Sie es auch mit einem Zwei-Cent-Stück (18,75 mm) und einer Zwei-EuroMünze (25,75 mm) probieren, falls Sie gerade keine Pence-Stücke zur Hand haben. Ich lasse Sie eine Weile mit dem Problem allein. (Ein Tipp: Die Tatsache, dass wir uns im Kapitel über 3D-Formen befinden, gibt Ihnen einen wichtigen Hinweis.)

Ich kann mich nicht daran erinnern, wer es war, der mir dieses Zwei-Pence-Münze-durch-Fünf-Pence-Münze-Rätsel gezeigt hat: Dieses Wissen ist unauffindbar in den Untiefen meines Gehirns vergraben. Abgesehen von den ganz wenigen Häppchen Mathematik, von denen ich sagen kann, dass ich sie selbst entdeckt habe, habe ich zwangsläufig alles Übrige von anderen gelernt. Und das macht Mathematik zu einer sehr sozialen, kommunikativen Angelegenheit. Während ein Großteil dieser Kommunikation zwischen mir und seit langem verblichenen großen Mathematikern über bedruckte Seiten erfolgt sein dürfte, stammen die wirklich überraschenden Sachen in der Regel von freundlichen Zeitgenossen. Von diesem Münztrick bis zum Zerlegen von Würfelkuchen – die Fülle an mathematischem Wissen, das mir Leute vermittelt haben, die mir «etwas Interessantes zeigen» wollten, kann es wahrscheinlich durchaus mit der Menge an Wissen aufnehmen, die ich im Mathestudium erworben habe.

Das Schlupfloch, durch das man das Zwei-Pence-Stück bugsieren kann, ist die dritte Dimension. Statt das Blatt Papier flach ausgebreitet zu lassen, kann man es zu einem 3D-Gebilde falten und die Münze problemlos hindurchschieben. Sobald das geschehen ist, können Sie das Papier wieder zu einem 2D-Gebilde ausbreiten. Um es einfach zu machen, betrachten wir das Blatt Papier als zweidimensional, weil es völlig flach ist: Man kann sich auf dieser Fläche nur nach rechts oder links bzw. vorwärts oder rückwärts bewegen. Damit das Blatt 2D bleibt, darf sich kein Teil des Blattes von dieser ebenen Fläche heben: Eine Bewegung nach oben oder nach unten definiert die dritte Dimension.

Und seltsame Dinge können sich zutragen, wenn man auf einer gekrümmten zweidimensionalen Fläche Mathematik betreibt. Größere Objekte können durch das Öhr kleinerer Objekte schlüpfen und Geraden sich krümmen.

Wie man eine große Münze durch ein kleines Loch bugsiert

Falten Sie das Blatt zur Hälfte, sodass das Loch von der Seite wie ein Halbkreis aussieht.

Fassen Sie das Blatt mit beiden Händen rechts und links der Öffnung und ziehen Sie die Ränder nach oben, sodass das halbkreisförmige Loch sich streckt.

Das Zwei-Pence-Stück lässt sich nun mühelos durch die Öffnung schieben.

Vor ein paar Jahren habe ich mit ein paar Freunden einen Trip durch die Vereinigten Staaten gemacht, und wir sind einen fantastisch geraden Highway in Nevada entlanggefahren. Da die Wüste fast völlig frei von Hindernissen ist, gibt es keinen Grund, dass die Straßen nicht schnurgerade sein und den kürzestmöglichen Weg nehmen können, ohne irgendwelche Schlenker. Doch plötzlich bog der Nevada-Highway nach rechts ab, um kurz darauf wieder nach links zu schwenken und, als sei nichts geschehen, seine schnurgerade Bahn wiederaufzunehmen. Es war, als umgehe die Straße ein Hindernis, das für unsere Augen unsichtbar war.

Wie zweifellos viele Fahrer vor uns fragten wir uns, warum die Straße diesen Schlenker machte – hatte dort damals, als sie gebaut wurde, vielleicht ein Baum oder ein Gebäude gestanden? Dann dämmerte es mir: Die Straßenplaner hatten mit ebenen Karten gearbeitet, und in der wirklichen Welt mussten diese schnurgeraden Linien mit der Tatsache fertig werden, dass die Oberfläche der Erde nicht flach, sondern zu einer Kugel gekrümmt ist. Geraden verhalten sich auf einer Kugeloberfläche anders als auf ebenem Papier; dieser Schlenker im Straßenverlauf war dem Unterschied zwischen ebener und sphärischer Geometrie geschuldet und dient dazu, das entstandene Problem auf Flickschusterart zu lösen. Meine Freunde meinten, ich solle mein Mathe lieber in Las Vegas zum Einsatz bringen.

Man kann sich die Geometrie einer kugelförmig (sphärisch) gekrümmten Fläche veranschaulichen, indem man Formen auf einen Ballon zeichnet. Auch wenn Luftballons nicht völlig kugelförmig sind, sind sie stets zur Hand, und wenn Sie sie nicht allzu stark aufblasen, sind sie für unsere Zwecke kugelförmig genug. Also nehmen Sie einen Ballon, einen Filzstift und ein Stück Schnur. Ziehen Sie eine Linie um die Mitte des Ballons; sie soll den Äquator repräsentieren. Dann zeichnen Sie eine Linie parallel zu dieser Linie. Nun, das ist ein wenig knifflig. Beginnen Sie damit, zwei Punkte im selben Abstand über dem Äquator zu markieren, die aber rund ein Drittel des Ballonumfangs voneinander entfernt liegen. In der Mathematik definieren wir eine Gerade als die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten. Um diese kürzeste Entfernung zu finden, nehmen Sie ein Stück Schnur, verbinden Sie die beiden Punkte und ziehen Sie die Schnur so stramm wie möglich, ohne den Ballon zu verformen. Wie auch immer Sie es anstellen, die Schnur wird nicht parallel zum Äquator verlaufen. Sie wird nach oben und fort vom Äquator und dann wieder nach unten laufen. Wenn das bei Ihrem Ballon nicht deutlich wird, könnte es mit einem Ball, der größer und fester ist, besser klappen.

Um über unseren Ballon hinauszugehen: Die Breitengrade, mit der wir die Erdoberfläche kartieren, sind keine Geraden. Wahrscheinlich kennen Sie diesen Effekt schon. Wenn man sich beispielsweise die Flugrouten rund um den Globus anschaut, gewinnt man den Eindruck, die Flugzeuge folgten gekrümmten Routen, statt den offensichtlicheren geraden Weg zwischen zwei Punkten einzuschlagen. Dieser Eindruck entsteht, weil die Flugzeuge auf ihrer Route die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten auf einer Kugel nehmen. Geraden auf einer Kugel sehen für uns nicht gerade aus, denn von einem externen Blickpunkt gesehen, sind sie nicht gerade, sondern der Oberflächenkrümmung angepasst. Doch wenn man an diese Oberfläche gebunden ist, handelt es sich tatsächlich um die kürzesten Verbindungen. Meine Vermutung ist, dass sich die geraden Linien auf der Karte der Leute, die den Highway in Nevada planten, nicht problemlos in Geraden auf einer Kugeloberfläche übersetzen ließen.

Diese gekrümmte Linie ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten.

Wir sind mit der Annahme aufgewachsen, dass Linien parallel zueinander verlaufen können, und Bahngleise, beispielsweise, bestärken uns in der Annahme, dass so etwas möglich ist, doch wie sich herausgestellt hat, ist die ganze Sache sehr viel komplizierter. Schon Euklid stellte das fest, als er seine Elemente schrieb. Ich habe anfangs erwähnt, dass Euklid ursprünglich von zwei Annahmen ausging: dass man Geraden mit einem Lineal und Kreise mit einem Zirkel zeichnen kann. Tatsächlich formulierte er dies in Form von vier Postulaten. So nannte er sie damals, heute bezeichnen Mathematiker die Annahmen, von denen sie ausgehen, als Axiome. Ganz gleich, wie man sie nennt, es handelt sich um Annahmen, die so simpel und offenkundig sind, dass wir davon ausgehen können, dass sie wahr sind, ohne weitere Beweise zu verlangen. Euklids Postulate/Axiome lauteten (in seiner Reihenfolge, doch in meinen Worten):

- Zwei beliebige Punkte lassen sich durch eine Gerade verbinden.

- Jede Gerade lässt sich beliebig lang fortführen.

- Man kann überall einen Kreis beliebiger Größe zeichnen.

- Alle rechten Winkel sind gleich (das heißt, sie machen ein Viertel eines Vollkreises aus).

Als Euklid die Elemente schrieb, machte er sich daran, mit Hilfe seiner vier Axiome die Existenz von Parallelen zu beweisen. Aber das gelang ihm nicht. Und nicht nur er hatte damit ein Problem. So sehr sie sich auch abmühten, keiner der antiken Mathematiker konnte allein anhand von Euklids Axiomen beweisen, dass parallele Linien existieren. In dieser Hinsicht klafft in den Elementen eine gewaltige Lücke.

Euklids Lösung war einfach: Er entschloss sich, Parallelen als gegeben anzusehen und sie als fünftes Postulat zu den vier übrigen hinzuzufügen. Aber er muss sich im Klaren darüber gewesen sein, dass das ein wenig gemogelt war. Die Wahrheit dieser Aussage ist nicht offensichtlich wie die seiner ersten vier Axiome – die Existenz von Parallelen ist ein komplexeres und differenzierteres Konzept und vermittelt das Gefühl, es müsse eigentlich bewiesen werden. In den Elementen sind die ersten vier Postulate als einfache und selbstverständliche Aussagen formuliert; Euklid braucht für alle zusammen im Original gerade einmal 34 Wörter. Das fünfte Postulat allein benötigt 35 Wörter – das antike griechische Äquivalent für «bitte besser belegen!».

Das war so gut wie ein Freifahrtschein, um aus Euklids Spiel auszusteigen. Wie wir wissen, ist Mathematik ein Spiel, in dem man sich seine Regeln aussucht, um sich dann innerhalb der von ihnen gesetzten Grenzen zu bewegen. Wie sich herausstellte, hatte Euklid nicht den einzig möglichen Regelsatz gewählt. Mathematiker brauchten allerdings zwei Jahrtausende, um einige ebenso gute Alternativen zu entwickeln. Im Jahr 1832 versuchten János Bolai und Nicolai Lobatschewski unabhängig voneinander, dieselben vier Axiome wie Euklid zu verwenden, aber das Parallelenaxiom wegzulassen. Zu ihrer Überraschung funktionierte die Geometrie ohne dieses fünfte Axiom weiterhin prächtig. Nur sah die ganze Sache jetzt seltsam anders aus.

Als sie sich durch dieselben Beweise wie Euklid hindurcharbeiteten, stellten sie fest, dass sie zu geringfügig abweichenden Ergebnissen kamen. Selbst so gewöhnliche Formen wie Dreiecke verhielten sich auf einmal anders. Im ersten Buch der Elemente bewies Euklid einige Standardeigenschaften von Dreiecken, einschließlich der altbekannten Tatsache, dass die Winkelsumme in einem Dreieck 180° beträgt. Bei diesem Beweis stützte er sich jedoch auf das Parallelenpostulat. Wenn man versucht, Dreiecke auf einer Oberfläche zu zeichnen, auf der es keine Parallelen gibt, dann funktioniert sein Beweis nicht länger: Die Winkel in einem Dreieck müssen sich nicht mehr zu 180° addieren. Durch den simplen Akt des Zeichnens auf einem Ballon gerät man in ein Spiel, in dem andere mathematische Regeln gelten.

Wenn ein auf eine Kugel gezeichnetes Dreieck klein genug ist, sieht es ziemlich normal aus: Die Winkelsumme beträgt noch immer annähernd 180°. Zeichnet man jedoch ein größeres Dreieck, so steigt auch die Winkelsumme. Das wollen wir beweisen; halten Sie Ballon und Filzstift bereit. Setzen Sie Ihren Stift ganz oben am Nordpol des Ballons an, ziehen Sie eine Linie von einem Viertel des Umfangs bis zum Äquator, wenden Sie sich um 90° in eine der beiden Richtungen und folgen Sie dem Äquator ein weiteres Viertel des Umfangs, machen Sie erneut eine Wendung um 90° und kehren Sie direkt zum Pol zurück, wo Sie verblüffenderweise wiederum in einem 90°-Winkel auf Ihre Ausgangslinie treffen. Sie haben ein echtes rechtwinkliges Dreieck gezeichnet, nur dass es drei 90°-Winkel aufweist … die sich zu 270° (nicht 180° – schreib dir das hinter die Ohren, Euklid!) addieren. Die Summe der Winkel in einem beliebigen sphärischen Dreieck liegt irgendwo zwischen 180° und 540°, je nachdem, wie groß der Anteil der Kugeloberfläche ist, den das Dreieck bedeckt.

Ein Dreieck mit einer Winkelsumme von 270°

Man kann auf einer Kugel eine völlig neue Form erschaffen, eine Form, die noch weniger Seiten hat als ein Dreieck. Wenn man zwei Punkte auf ein glattes Stück Papier zeichnet, gibt es nur eine Möglichkeit, sie durch eine Gerade zu verbinden, und obgleich ich sehr linientreu bin, ist eine Form, die nur aus einer einzigen Linie besteht, doch ein wenig mager. Auf einer Kugel gibt es jedoch zwei unterschiedliche Geraden, mit denen man dasselbe Punktepaar verbinden kann. Greifen Sie wieder zu Ballon, Filzstift und Schnur! Zeichnen Sie zwei Punkte auf den Ballon und versuchen Sie, beide mit der Schnur zu verbinden. Das lässt sich auf verschiedenen Wegen über die Ballonoberfläche erreichen, und Sie haben diese neue Figur kreiert: Die beiden Geraden bilden eine Form, die als Kugelzweieck bezeichnet wird. (In der normalen euklidischen Geometrie, die allmählich recht flach und langweilig auszusehen beginnt, existiert ein solches Kugelzweieck nicht.)

Kugelzweieck

Es gibt tatsächlich zwei unterschiedliche nichteuklidische Geometrien, und sie entsprechen den beiden unterschiedlichen Möglichkeiten, das fünfte Postulat zu ignorieren. Das fünfte Postulat beharrt darauf, dass es nur eine einzige Möglichkeit gibt, durch einen Punkt neben einer Geraden parallel zur ersten Geraden eine weitere Gerade zu ziehen. Die erste Möglichkeit, dem zu widersprechen, besteht darin, zu erklären, dass es überhaupt keine Parallelen durch diesen Punkt geben kann. Das führt uns zur elliptischen Geometrie (die stark der sphärischen Geometrie ähnelt, mit der wir uns gerade beschäftigen).1 Die andere Option besteht darin, zu argumentieren, dass es mehr als nur eine mögliche Parallele gibt, die durch diesen Punkt laufen kann – und das führt uns in die bizarre Welt der hyperbolischen Geometrie.

Die drei Optionen für Parallelen durch einen Punkt

Die hyperbolische Geometrie kann einen wirklich kirre machen. Als Faustregel kann man sich den Unterschied so vorstellen: Wenn man sich auf einer sphärischen Oberfläche bewegt, gibt es weniger Platz als erwartet, auf einer hyperbolischen Oberfläche hingegen mehr. Wenn Sie jemals versucht haben, einen Ball in Geschenkpapier zu wickeln, kennen Sie diesen Effekt: Auf der Balloberfläche ist nicht genug Platz für all das Einwickelpapier, daher wird das Ganze eine recht knittrige Angelegenheit. Wenn Sie umgekehrt versuchen, eine hyperbolische Oberfläche in Geschenkpapier zu verpacken, würde das Papier gedehnt werden und reißen, denn die hyperbolische Oberfläche dehnt sich aus, während man sich auf ihr bewegt. Zum Glück lassen sich hyperbolische Oberflächen herstellen, indem man Formen aus Wolle häkelt; daher kann man diesen Effekt erzeugen, indem man einen Kreis häkelt, aber währenddessen ständig zusätzliche Schleifen hinzufügt. (Oder Sie bringen jemanden dazu, im Austausch gegen Liebe/Geld/Rückgabe der Häkelnadeln ein solches Gebilde für Sie anzufertigen.) Dadurch entsteht eine hyperbolische Oberfläche, die sich auffalten muss, um all die zusätzliche Fläche unterzubringen.

Hyperbolische Häkelware: Die Oberfläche dehnt sich aus, während sie hervortritt.

Kubismus

Kann man ein Objekt durch sich selbst hindurchschieben? Nun, nicht durch sich selbst im wörtlichen Sinne, sondern durch eine exakte Kopie seiner selbst. Wenn Sie zwei identische Formen hätten, könnten Sie in die eine ein Loch machen, das so groß ist, dass die andere hindurchpasst? Im 17. Jahrhundert wettete Prinz Ruprecht von der Pfalz, dass es möglich ist, einen Würfel durch ein Loch in einem gleich großen Würfel hindurchzuschieben. Und er hatte tatsächlich recht! Es ist sogar möglich, einen Würfel durch ein Loch in einem kleineren Würfel zu bugsieren. Prinz Ruprecht lag dermaßen richtig, dass ein Würfel mit einem solchen Loch heute als Prinz-Ruprecht-Würfel bezeichnet wird. (Leider ist es mir bisher nicht gelungen, für die 90 525 801 730 die Bezeichnung «Matt-Parker-Zahl» durchzusetzen.) Können Sie sich vorstellen, wie so ein Loch in einem Würfel aussieht? Vielleicht versuchen Sie’s einmal selbst. Es ist die perfekte Einsatzmöglichkeit für übrig gebliebene Würfelkuchen.

Der Prinz-Ruprecht-Würfel-Trick benutzt unerwarteterweise den Querschnitt eines Würfels. Wenn man einen Würfel in zwei gleiche Hälften schneidet, kann man das entweder so tun, dass die Querschnittsfläche das traditionelle langweilige Quadrat ist (senkrechter Schnitt durch die Mitte zweier gegenüberliegender Kanten), das wenig interessantere Rechteck (Diagonalschnitt von einer Ecke zur gegenüberliegenden) oder das wirklich interessante Sechseck. Nur Mut, versuchen Sie es einmal: Wenn gerade kein Würfelkuchen zur Hand ist, kaufen Sie ein möglichst kastenförmiges Brot und nehmen Sie Ihr Brotmesser zur Hand. Schneiden Sie ein würfelförmiges Stück ab. Wenn Sie die richtige schräge Schnittführung wählen, die durch alle sechs Flächen geht, ist die freigelegte Schnittfläche ein Sechseck. (Wenn Sie gern auf das Gekrümel mit dem Brot verzichten würden, lässt sich dieselbe Form auch erzeugen, indem Sie irgendeinen alten, nicht unbedingt essbaren Würfel in der richtigen Weise vor eine Lichtquelle halten: Der Schattenwurf bildet ein Sechseck.)

Verschiedene Möglichkeiten, einen Würfel zu halbieren.

Die Fläche dieses Sechsecks ist größer als die des quadratischen Würfels; wenn man daher durch die Mitte des Hexagons ein quadratisches Loch schneidet, passt der Würfel hindurch. Es bleibt sogar ein wenig Spielraum: Das Hexagon ist so groß, dass ein Würfel hindurchpasst, der 3,5 Prozent größer ist als der ursprüngliche Würfel. Und wenn Sie die Stelle, an der Sie das quadratische Loch ausschneiden, ein wenig optimieren und so verlagern, dass es einen kleinen Winkel mit dem Sechseck bildet, können Sie sogar einen um 6 Prozent größeren Würfel hindurchschieben. Wenn man einen Prinz-Ruprecht-Würfel herstellt, nutzt man diesen Spielraum normalerweise, um die Kanten des Sechsecklochs im Würfel zu verstärken (vor allem dann, wenn der Würfel groß ist, kann das Ganze leicht reißen/brechen). Falls Sie einen eigenen Prinz-Ruprecht-Würfel haben möchten: Er lässt sich recht einfach aus Pappe herstellen.

Sechseckiger Schattenwurf eines Würfels

Der Würfel ist eine fantastische 3D-Form, nicht zuletzt deshalb, weil sie so regelmäßig ist. In 2D hatten wir, wie Sie sich erinnern, unsere regelmäßigen Polygone, die alle identische Winkel und Kanten hatten, und nun können wir dies in 3D übertragen. Das 3D-Äquivalent eines Vielecks (Polygon) ist ein Vielflächner (Polyeder), und er lässt sich herstellen, indem man Polygone in der dritten Dimension zusammenfügt. Ein Würfel ist ein Polyeder, das entsteht, wenn man sechs quadratische Polygone zusammenfügt. Ein Tetraeder ist ein Polygon, das sich aus vier dreieckigen Polygonen herstellen lässt. Während Polygone nur Kanten und Ecken haben, hat ein Polyeder zusätzlich Eckpunkte, an denen sich die Ecken des Polyeders treffen. Ein reguläres Polyeder ist ein Polyeder, das aus identischen regelmäßigen Polygonen besteht und bei dem alle Eckpunkte ebenfalls genau gleich sind.

Loch durch einen Prinz-Ruprecht-Würfel

Sechs Quadrate bauen den Würfel auf.

Regelmäßige Polyeder wurden von dem griechischen Philosophen Platon bereits 350 v. Chr. beschrieben und werden daher allgemein als platonische Körper bezeichnet (dreidimensionale Formen werden oft «Körper» genannt, und ich habe Ihnen gerade erzählt, woher das «platonisch» kommt). Der Himmel weiß warum, aber die platonischen Körper haben so hübsche Formen, dass ihnen die Menschen zu allen Zeiten eine fast mystische Bedeutung zugesprochen haben. Platon selbst glaubte, dass die unteilbaren «Atome» der Natur die Form platonischer Körper haben müssten. Der deutsche Astronom und Mathematiker Johannes Kepler schrieb, er habe am 19. Juli 1595 die Eingebung gehabt, dass das Verhältnis der Planetenbahnen auf den platonischen Körpern basieren müsse. In Schottland sind sogar regelmäßige Körper ausgegraben worden, die zurück in die Jungsteinzeit datieren, Platon also eine ganze Weile vorweggenommen haben.

Drei Fünfecke ergeben den 3D-Eckpunkt eines Dodekaeders.

Am besten, wir stellen einige dieser erstaunlichen Körper her. Der Würfel ist ziemlich einfach: Schneiden Sie sechs Pappquadrate aus und kleben Sie sie zusammen. Vier Pappdreiecke lassen sich schnell zu einem Tetraeder zusammenfügen. Beim Dodekaeder beginnen Sie damit, zwölf Fünfecke aus ziemlich dicker Pappe auszuschneiden; kleben Sie dann drei davon so zusammen, dass sie eine Ecke bilden. Sie werden feststellen, dass diese drei Fünfecke, wenn sie flach ausgebreitet sind, eine schmale Lücke lassen. Beim Schließen dieser Lücke treten die Fünfecke aus der Ebene hinaus und bilden einen 3D-Eckpunkt. Fügen Sie zwölf Fünfecke zusammen, drei für jeden Eckpunkt, und voilà – vor Ihnen steht Ihr eigenes Dodekaeder!

Leider funktioniert diese Methode bei Sechsecken nicht; drei regelmäßige Sechsecke passen hervorragend ohne Lücke zusammen. Wenn man eine Menge Pappsechsecke zusammenlegt, erhält man nichts weiter als eine Fläche voller sechseckiger Kacheln. Von Siebenecken aufwärts wird die ganze Sache nur noch schlimmer: Keine dieser Formen lässt sich zu passenden Dreiergruppen zusammenlegen, darum kann man sie nicht einmal dazu benutzen, eine 2D-Fläche vernünftig zu kacheln. Jenseits des Pentagons gibt es kein regelmäßiges Polygon, mit dem sich regelmäßige Polyeder konstruieren lassen. Tatsächlich gibt es aber zwei andere 3D-Formen, die sich aus gleichseitigen Dreiecken bauen lassen.

Sechsecke passen zu gut zusammen, Siebenecke hingegen gar nicht.

Statt drei Dreiecke an jeder Ecke zusammenzuführen, nehmen Sie vier; daher entsteht eine Lücke von 120°. Wenn man sie zusammenlegt, entsteht eine etwas weniger spitze Ecke als beim Tetraeder. Machen Sie mit vier Dreiecken an jeder Ecke weiter, und acht Dreiecke später haben Sie ein Oktaeder. Bei fünf Dreiecken an jeder Spitze bleibt eine Lücke von 60°, und wenn Sie unglaubliche zwanzig Dreiecke auf diese Weise zusammenfügen, erhalten Sie ein Ikosaeder. Ein sechstes Dreieck an einer Ecke passt perfekt, ohne Lücke; daher ist damit für platonische Körper die Spitze der Fahnenstange erreicht.

Das Oktaeder weist vier Dreiecke pro Eckpunkt auf, das Ikosaeder fünf.

Dass nur fünf platonische Körper existieren, gehört zu den berühmtesten Beweisen in der Mathematik. Euklid selbst zeigte dies in seinem allerletzten Beweis (Buch 13, Lehrsatz 18). Es ist der Höhepunkt der Elemente. Und es ist nicht so, als ob es unterwegs nicht einige aufregende Momente gegeben hätte. Der Beweis des Satzes des Pythagoras war das packende Finale von Buch 1 – schwierig, so einen Schluss zu toppen. Leider sind diese platonischen Körper nicht so geheimnisvoll, wie die Menschen einst gedacht haben. Platon hatte unrecht. Das glatte Ikosaeder ist nicht das Element Wasser, und Feuer besteht nicht aus spitzen Tetraedern (eigentlich schade). Keplers Modell des Sonnensystems als «Verschachtelung» platonischerKörper hat sich als falsch erwiesen (um ihm Gerechtigkeit widerfahren zu lassen: die tatsächlichen Verhältnisse der Umlaufbahnen hat er zufälligerweise fast richtig getroffen). Und außerdem möchte ich zu bedenken geben, dass die Menschen der Jungsteinzeit eine Menge verschieden geformter Steine mit Knubbeln darauf herstellten, sodass es nicht verwunderlich ist, wenn einige davon zufällig wie platonische Körper aussehen.

Jungsteinzeitliche platonische Körper … na klar, so ist es!

In der Natur gibt es tatsächlich platonische Körper, und das in einer weitaus persönlicheren und intimeren Weise, als Sie vielleicht denken. Viele Viren sind wie Ikosaeder geformt. Wenn Sie sich einmal ein Virus (beispielsweise ein Herpesvirus) eingefangen haben, dann haben Sie eine Invasion von Ikosaedern erlebt. Platonische Körper sind die einfachsten dreidimensionalen Formen mit den wenigsten Teilen, daher ist es für ein Virus wirklich einfach, sie zu bauen: Man braucht nur sehr wenig Information, um ein Ikosaeder zu beschreiben. Im Grunde muss der virale genetische Code nur sagen: «Produzier eine Menge Teile und füge sie, fünf pro Ecke, zusammen.» Und genau das machen diese Viren.

Das ikosaederförmige Maul- und Klauenseuche-Virus

Drucken Sie zwanzig von diesen Dreiecken, fügen Sie sie zu einem Ikosaeder zusammen und beschenken Sie einen Freund oder einen geliebtenMenschen mit Herpes.

Die vergessenen platonischen Körper

Trotz des Ruhms dieser limitierten Auflage von fünf platonischen Körpern gibt es tatsächlich vier weitere, die den antiken Gelehrten völlig unbekannt waren. (Also wirklich, erst die Schlamperei mit den Parallelen, und nun das!) Genau so, wie wir zusätzliche regelmäßige Formen in 2D geschaffen haben, indem wir zuließen, dass sich die Kanten ohne Eckenbildung schneiden (die sternförmigen Polygone), können wir weitere platonische Körper kreieren, bei denen sich die Flächen schneiden, ohne Kanten zu bilden. Euklid nahm an, dass Flächen sich nicht schneiden können; lassen Sie uns annehmen, dass dies doch möglich ist. Zwölf Fünfecke bilden einen platonischen Körper (den großen Dodekaeder), zwanzig Dreiecke ebenso (den großen Ikosaeder). Und nun kommt die Bonusrunde: sternförmige Polyeder, die man herstellt, indem man Polygone zusammenfügt, die selbst sternförmig sind. Es handelt sich um eine Art Quadratur der Sterne. Zwölf Pentagramme lassen sich jeweils zu dritt zu einer Ecke zusammenfügen und ergeben das große Sterndodekaeder; jeweils fünf pro Ecke führen zu einem kleinen Sterndodekaeder.

Großes Dodekaeder, großes Ikosaeder, großes Sterndodekaeder, kleines Sterndodekaeder

Diese sternförmigen platonischen Körper sind von verschiedenen Menschen im Lauf der Jahrhunderte entdeckt worden. Das früheste Beispiel findet man in einem venezianischen Dom: In einem Mosaik, das wohl um 1430 entstand, hat der Maler Pablo Uccello zweifellos ein kleines Sterndodekaeder abgebildet. Im Jahr 1813 trat der französische Mathematiker Baron Augustin-Louis Cauchy seinerseits in die Spuren von Euklid und brachte Ordnung in die ganze Sache, indem er nachwies, dass großes Dodekaeder, großes Ikosaeder sowie großes und kleines Sterndodekaeder die einzigen vier platonischen Bonus-Körper sind.2 Man kann all diese Formen aus Pappe herstellen, doch die sich schneidenden Flächen machen die ganze Sache ziemlich kniffelig.

Mosaik von Pablo Uccello im Markusdom in Venedig

Alle diese platonischen Körper, ob sternförmig oder nicht, haben eine weitere fantastische Eigenschaft. Für jeden gibt es stets einen anderen, der perfekt hineinpasst. Und hier kommt ein letzter Polyeder-Partytrick: Wenn Sie einen Punkt auf den Mittelpunkt einer jeden «Fläche» eines platonischen Körpers setzen (d. h. der Fläche der Polygone, aus denen sie aufgebaut sind), lässt sich ein anderer platonischer Körper so einbeschreiben, dass seine Eckpunkte all diese Punkte berühren. Dieser zweite platonische Körper wird als dualer Körper des ersten bezeichnet. Die zwölf Eckpunkte eines einbeschriebenen Ikosaeders berühren die zwölf Flächenmittelpunkte eines Dodekaeders, die zwanzig Eckpunkte eines einbeschriebenen Dodekaeders die zwanzig Flächenmittelpunkte eines Ikosaeders. In ähnlicher Weise bilden der Würfel und das Oktaeder ein Paar, und das Tetraeder ist ein eigener dualer Partner. Die Reihe lässt sich aufs Schönste mit dem großen Sterndodekaeder und dem großen Sternikosaeder fortsetzen, die ebenfalls ein duales Paar bilden, genauso wie das kleine Sterndodekaeder und das große Dodekaeder.

Einige platonische Körper in platonischer Vereinigung

Zurück zu den Ballons

Und nun noch ein wenig Zauberei in der dritten Dimension. Nehmen Sie für diesen Trick einen aufgeblasenen Ballon und zeichnen Sie darauf irgendeine dreidimensionale Form, die Ihnen gefällt. Wir benutzen den Ballon diesmal nicht als Oberfläche wie bei der sphärischen Geometrie, sondern als bequeme Möglichkeit, die Kanten einer Form in 3D zu positionieren. Stellen Sie sich vor, dass Sie, wenn der Ballon entfernt würde, mit einem dreidimensionalen Drahtgestell der Form dastünden, die Sie gezeichnet haben. Zeichnen Sie eine Menge Punkte auf den Ballon, um Ecken zu markieren, und verbinden Sie diese anschließend durch Kanten. Diese Kanten müssen nicht einmal gerade sein. Zeichnen Sie, was Sie wollen, welche verrückte Form auch immer Ihnen gerade in den Kopf kommt. Die einzige Regel ist, dass die Kanten sich nicht schneiden dürfen.

Nun haben Sie eine Form vor sich, die so wahrscheinlich noch niemals gezeichnet wurde. Dennoch kann ich mit Sicherheit sagen, dass Sie, wenn Sie die Anzahl der Seiten zählen, die Sie gezeichnet haben, dazu die Anzahl der Ecken addieren und anschließend die Anzahl der Kanten subtrahieren, als Ergebnis 2 erhalten. Tada! Erstauntes Gemurmel. Gewispertes «Wie macht er das nur?» Die Wenigsten werden ihr Eintrittsgeld zurückverlangen.

Die Zauberei bei der ganzen Sache ist, dass jede beliebige Form, die Sie auf den Ballon zeichnen, stets zwei Ecken und Kanten mehr hat als Seiten. Was Sie auch immer anstellen mögen – ohne Mogeln! –, diese Regel lässt sich nicht aushebeln. Die einzige Möglichkeit zu mogeln besteht darin, Kanten (oder Flächen) sich schneiden zu lassen. Und das verbieten die Spielregeln. Dies wurde 1750 von dem deutschen Mathematiker Leonhard Euler entdeckt, der es in einem Brief an seinen Mathematikerkollegen Christian Goldbach erwähnte. Der Wert von Flächen + Ecken – Kanten ist heute als Euler-Charakteristik bekannt, und sie ist für jede auf einen normalen Ballon gezeichnete Form gleich 2.

Es gibt eine andere Möglichkeit zu mogeln: Wenn Sie eine Form auf einen Ballon mit einem Loch zeichnen, ist die Euler-Charakteristik nicht länger 2. Falls Sie einen Donut-förmigen Ballon mit einem Loch in der Mitte auftreiben können (solche Ballons gibt’s wirklich, und sie sind ideal für Mathe-Partys) und eine Form auf seine Oberfläche zeichnen, addiert sich die Anzahl der Ecken und Flächen nicht auf zwei weniger als die Anzahl der Kanten. Tatsächlich ist die Anzahl der Ecken und Flächen in diesem Fall gleich.

Die Beziehung Flächen + Ecken – Kanten = 0 gilt für jede Form mit einem Loch (aber ohne Löcher durch eine der Seiten selbst). Das bedeutet, dass die Euler-Charakteristik für alle Formen mit einem Loch gleich 0 ist. Die Donut-förmige Fläche wird als Torus bezeichnet. Wenn Sie einen Torus mit zwei Löchern vorliegen haben, ist die Euler-Charakteristik -2, und sie sinkt für jedes zusätzliche Loch um weitere 2. Wenn Sie die Euler-Charakteristik für ein Polyeder kennen, können Sie daher anhand der Formel: Euler-Charakteristik = 2 – (2 × Anzahl der Löcher) berechnen, wie viele Löcher es hat.

Formen konstanter Breite: Nun in 3D

Wir sind vom ebenen 2D-Dreieck zum 3D-Tetraeder gelangt und vom ebenen 2D-Quadrat zum 3D-Würfel. Können wir dasselbe mit unseren ebenen 2D-Formen konstanter Breite tun? Tatsächlich hat sich herausgestellt, dass so etwas möglich ist: Es gibt Körper konstanter Breite, die keine Kugeln sind. Dabei handelt es sich um nicht-sphärische Bälle, die, ganz gleich, wie man sie auf einer ebenen Fläche platziert, immer dieselbe Höhe haben. Wenn man drei dieser Körper unter ein flaches Buch legt und es herumrollt, bewegt es sich so glatt, als rolle es auf perfekten Kugeln.

Rotationskörper des Reuleaux-Dreiecks – man kann’s auch Mogeln nennen.

Tatsächlich gibt es zwei Möglichkeiten, ein 2D-Reuleaux-Dreieck in 3D zu überführen. Die erste Möglichkeit besteht darin, das Reuleaux-Dreieck um seine eigene Achse zu drehen und dann ein 3D-Objekt von dem Raumvolumen anzufertigen, das dieses rotierende Reuleaux-Dreieck einnimmt. Derartige Körper werden als Rotationskörper bezeichnet. Persönlich halte ich das für eine Art Mogelpackung: Das Ganze unterscheidet sich nicht allzu sehr von einem Reuleaux-Dreieck, denn wenn man durch den Mittelpunkt dieses Körpers schneidet, erhält man es als Querschnitt. Und darum funktioniert die Sache auch: Ganz gleich, wie der Körper aufliegt, handelt es sich in Wirklichkeit um eine 2D-Form konstanter Breite, die auf ihrer Kante balanciert – also nichts mathematisch Neues im Vergleich zur 2D-Version.

Um wirklich in die dritte Dimension zu gehen, muss man mit einem Tetraeder beginnen und die ebenen Seiten durch Kugelsegmente ersetzen. Genauso sind wir vorgegangen, als wir einen Zirkel benutzt haben, um gebogene Kanten zu zeichnen, nur dass wir, statt Kreissegmente als Bögen zu benutzen, in diesem Fall Kugelsegmente verwenden. Anschließend müssen Sie noch drei der Kanten abrunden, und Sie erhalten ein sogenanntes Meissner-Tetraeder. Je nachdem, welche Kanten Sie abgerundet haben – die drei mit gemeinsamer Ecke oder die drei, die ein Dreieck bilden –, ergeben sich zwei unterschiedliche Versionen. Diese Körper, die 1911 erstmals beschrieben wurden, sind nach dem Schweizer Mathematiker Ernst Meissner benannt, der auf dem Gymnasium zufällig denselben Mathematiklehrer hatte wie Albert Einstein. Meissner-Tetraeder sind wirklich verflixt schwierig herzustellen, doch einem Freund und mir ist es per Spritzgussverfahren gelungen. Schauen Sie mal:

Meissner-Tetraeder aus Kunststoff, hergestellt im Spritzgussverfahren

Klar, dass Sie auch einen wollen! Oder vielleicht sogar drei.

SECHS

GUT gepackt ist halb GEWONNEN

Lassen Sie mich mit einer Herausforderung beginnen: Nehmen Sie sieben Zwei-Pence-Stücke und versuchen Sie, alle in dem Quadrat auf der nächsten Seite unterzubringen. Es ist möglich! Und es ist deshalb möglich, weil Mathematiker über jeden Zweifel hinaus sicher sind, dass diese Box mit den Maßen 74,25 mm × 74,25 mm das kleinstmögliche Quadrat ist, in das sieben Zwei-Pence-Münzen passen. Das wurde nicht nur für Zwei-Pence-Münzen bewiesen: Mathematiker wissen darüber hinaus, dass die kleinstmögliche Box, in die sieben gleich große Kreise passen, eine Seitenlänge hat, die das 2,866-Fache des Kreisdurchmessers beträgt. Ein Zwei-Pence-Stück hat einen Durchmesser von 25,9 mm, und 25,9 mm × 2,866 = 74,23 mm.

Mit ein bisschen Herumschieben können Sie all diese Münzen tatsächlich in dem Quadrat auf Seite 124 oben unterbringen.1

Dieses Quadrat misst genau 74,25 mm x 74,25 mm.

Zu einfach? Nun, dann schauen Sie, ob Sie 31 Zwei-Pence-Stücke in einem Quadrat mit einer Seitenlänge von 144,9546 mm unterbringen können. Oder versuchen Sie, diese Vorgabe zu unterbieten. Der gegenwärtige Weltrekord steht bei 31 Zwei-Pence-Stücken in einem Quadrat mit einer Seitenlänge von 144,9546 mm, aber die Mathematiker haben bisher noch nicht herausgefunden, ob dies das bestmögliche Ergebnis ist, das sich beim Einpassen von runden Objekten in ein Quadrat erzielen lässt. Niemand aber hat bisher die effizienteste Weise gefunden, die 31 Kreise unterzubringen. Greifen Sie zu, dieser Rekord könnte Ihnen gehören!

Tatsächlich «stehen» die Rekorde nur für bis zu 30 Münzen sowie in einem Spezialfall für 36 Münzen. Für alle anderen Optionen könnte es noch Spielraum geben, die Sache besser zu machen.

Wenn Sie den Einsatz erhöhen wollen und entschlossen sind, Ihre Zeit mit dem Versuch zu verbringen, 101 Münzen in einem Quadrat unterzubringen, beginnen Sie sich vielleicht irgendwann – so nach ein paar Stunden, könnte ich mir vorstellen – zu fragen, ob es nicht eine schnellere Methode gibt. Und die gibt es tatsächlich! Programmieren Sie einen Computer, es für Sie zu tun. (Ich finde, das ist keineswegs ein Regelverstoß!) Computer haben recht gute Lösungen für alles von 1 bis zu 10 000 Münzen gefunden.2 Rechner haben jedoch dieselbe Schwierigkeit, in die Sie geraten würden, wenn Sie eine bessere Anordnung für 31 Münzen gefunden hätten: Woher wissen Sie, ob Sie die ultimative Lösung gefunden haben, die größte Anzahl von Münzen in dem kleinstmöglichen Quadrat? Es bleibt immer die quälende Möglichkeit, dass irgendjemand irgendwann Ihren Rekord brechen wird.

Ich finde das ganze Gebiet der Packungsprobleme höchst spannend. Menschen wissen sehr wenig über die Mathematik, Objekte räumlich zu packen. Dabei scheint es so einfach: Man ordnet Objekte so rund um einander an, dass sie möglichst wenig Platz einnehmen. Aber irgendwie gelingt uns das nicht so richtig. Wirklich faszinierend daran ist jedoch, dass das Thema Packen, mathematisch gesehen, eine Baustelle ist: Es befindet sich im selben Zustand der Unordnung wie andere mathematische Gebiete in der Vergangenheit, bevor ein revolutionärer Durchbruch sie auf die nächsthöhere Ebene des Verständnisses hob. Es kommt einem manchmal so vor, als ob die gesamte Mathematik seit langem fertig und abgeschlossen sei, doch hier ist ein Gebiet, auf dem die größten Entdeckungen noch bevorstehen.

Sieben Münzen in einer Box. Die dunkle Münze hat Spielraum, um herumzuwandern.

Flach packen

Wir beginnen ganz einfach damit, ebene Objekte auf einer ebenen 2D-Fläche zu packen. Kreise lassen sich auch dann schlecht packen, wenn es kein Quadrat ist, in das sie passen sollen; auch bei dichtester Packung bleiben immer Lücken zwischen ihnen. Andere Formen, zum Beispiel Sechsecke, lassen sich hingegen lückenlos zusammenfügen, und das ist natürlich die effektivste Methode. Wie jeder, der schon mal ein Badezimmer renoviert hat, weiß, kann man Kacheln oder Fliesen aller Art verwenden, um eine ebene Wand ohne hässliche Lücken zu verkleiden. In der Mathematik nennt man die Abdeckung einer ebenen Fläche mit Formen Parkettierung (auch Kachelung oder Pflasterung). Dieser Begriff unterscheidet sich geringfügig von dem in der Mathematik geläufigeren Begriff Tesselation (englisch für «Mosaik»), der erfordert, dass die Teilflächen in einer gewissen Ordnung ausgelegt werden. Parkettierung schließt Tesselation und alle anderen denkbaren Arrangements ein, daher benutze ich diesen umfassenderen Begriff.

Wir kennen einige großartige Methoden, eine Ebene zu parkettieren, doch wir sind noch weit davon entfernt, sie alle gefunden zu haben. Es gibt langweilige Methoden, wie die ausschließliche Verwendung von Quadraten oder Dreiecken, aber wir können’s viel besser. Einer meiner Favoriten ist ein unregelmäßiges Neuneck, das eine Fläche vollständig mit einem Spiralmuster bedeckt. Wir können auch mehr als nur eine Form verwenden. Quadrate und Dreiecke können sich zu einer sogenannten Snub-Square-Kachelung zusammentun, und das Dream-Team Sechseck, Quadrat und Dreieck führt zu einer rhombitrihexagonalen Parkettierung (ein tolles Wort, das Sie sich für die nächste Scrabble-Runde merken sollten). Bei all diesen erstaunlichen Möglichkeiten bin ich insgeheim immer ziemlich enttäuscht, wenn ich ein einfallslos mit quadratischen Fliesen gekacheltes Badezimmer sehe.

Diese Spirale besteht aus demselben ständig wiederholten Neuneck.

Snub-Square-Parkettierung und rhombitrihexagonale Parkettierung. Beide gehören zu den so genannten archimedischen Parkettierungen, bei denen nur regelmäßige Vielecke mit gleicher Kantenlänge verwendet werden dürfen.

Es gibt ein Packungsproblem, das meines Wissens den Rekord für die längste Zeit zwischen dem Finden der Antwort und dem Beweis hält, dass diese Antwort tatsächlich korrekt ist. Eine Lösung wurde entdeckt, bevor es überhaupt Menschen gab, aber ihre Richtigkeit wurde erst 2001 bewiesen. Die Frage ist: Was ist die beste Form, um eine Ebene (2D) zu fliesen? Mit «bester Form» meinen wir, dass diese Form lückenlos und überlappungsfrei aneinander schließt und im Hinblick auf die Länge ihrer Seiten die maximal mögliche Fläche bedeckt. Der Sieger ist das Sechseck, wie es von den Honigbienen entdeckt wurde, und zwar schon lange bevor Menschen auch nur einen Gedanken an Mathematik verschwendeten. Dieses Problem, als Bienenwaben-Vermutung bekannt, wurde erst Millionen Jahre später von dem amerikanischen Mathematiker Thomas Hales gelöst. Er bewies, dass man eine ebene Fläche niemals besser parkettieren kann als mit Sechsecken, selbst wenn man auf bizarre Formen mit seltsam gekrümmten Seiten zurückgreift.

Geglättete Achtecke lassen größere Lücken als Kreise.

Wenn das Sechseck die beste 2D-Packungsform ist, welche ist dann die schlechteste? Leider ist auch diese Frage noch unbeantworet. Wir wissen allerdings, dass sich Kreise zwar ziemlich schlecht zum Fliesen eignen (bestenfalls können eng gepackte Kreise 90,7 Prozent einer Fläche abdecken), dass eine andere Form in dieser Hinsicht aber noch schlechter abschneidet: das sogenannte geglättete Achteck. Wenn man die Ecken eines Achtecks durch gerundete hyperbolische Kurven (Hyperbeln gehören zur selben Familie wie Kreise und Ellipsen, sie sind gewissermaßen Cousins) ersetzt, kann die resultierende Form niemals mehr als 90,24 Prozent einer Fläche abdecken. Vielleicht gibt es irgendwo da draußen jedoch eine noch schlechtere 2D-Packungsform – und wir haben sie nur noch nicht gefunden.

Raumfüllung

Was unser Wissen über die Parkettierung des dreidimensionalen Raumes mit Polyedern angeht, so ist es ein Witz, wenn auch kein besonders guter. Um mir die verschiedenen Möglichkeiten anzuschauen, wie sich einzelne Polyeder zusammenfügen lassen, wandte ich mich an die Online-Quelle für alles Mathematische: Wolfram Math World. Diese Website ist gewöhnlich eine zuverlässige Auskunftsquelle für mathematische Themen, doch der Eintrag über raumfüllende Polyeder ließ auf ein ungewöhnliches Maß an Verzweiflung schließen. Offenbar hatte der Mathematiker Michael Goldberg die Jahre 1974 bis 1980 mit dem Versuch verbracht, alle raumfüllenden Polyeder zu kategorisieren, einschließlich siebenundzwanzig Hexaedern, sechzehn Heptaedern, vierzig Hendekaedern, sechzehn Dodekaedern, vier 13-edern, einem 16-eder (falls Sie sich gefragt haben sollten: es gibt keine raumfüllenden 15-eder), zwei 17-edern, einem 18-eder, sechs Ikosaedern, zwei 21-edern, fünf 22-edern, zwei 23-edern, einem 24-eder und der Flächenform, die er für die größtmögliche hielt: einem einzelnen 26-eder.

Puh! Ich bin beeindruckt, dass er so viel Raum in seinem Terminkalender fand. Und ihn dann füllte. Mit Polyedern.

Dann entdeckte Peter Engel allein im Jahr 1980 weitere 172 raumfüllende Polyeder mit 17 bis 37 Seiten. Und seitdem sind noch mehr hinzugekommen. Der Eintrag in Math World endet denn auch mit einer flehenden Bitte: «Ein moderner Überblick wäre willkommen.» Momentan tun wir offenbar nicht mehr, als Möglichkeiten aufzulisten, wie Polyeder den Raum füllen können, jedoch ohne systematisches Verständnis dafür, was da eigentlich abläuft. Es fehlt uns eine gute Theorie. Aber wie wir bei der Bienenwaben-Vermutung gesehen haben, kann man diese Dinge nicht übers Knie brechen.

Selbst wenn sie ihre Suche auf die platonischen Körper beschränken, lernen Mathematiker immer noch neue Dinge. In 2D können von den regelmäßigen Polygonen Dreieck, Quadrat und Sechseck eine Fläche lückenlos parkettieren. Von den platonischen Körpern kann nur der Würfel einen 3D-Raum füllen. Oft wird behauptet, das Tetraeder sei ebenfalls raumfüllend (was auch Aristoteles in seinem Werk Über den Himmel schreibt), aber abgesehen von der Tatsache, dass diese, ahem, Tatsache ständig wiederholt wird, handelt es sich tatsächlich nicht um eine Tatsache: Die Sache stimmt einfach nicht. Man hat vielleicht das Gefühl, dass es funktionieren sollte, doch wenn man Tetraeder stapelt, bleibt immer eine schmale Lücke.

Ich persönlich halte selbst die Würfel in gewissem Sinne für eine Mogelpackung, weil es sich lediglich um eine Erweiterung der Quadratparkettierung in der Ebene handelt. Wenn 2D-Formen mittels paralleler Seiten zu einer 3D-Form erweitert werden, bezeichnet man sie als Prismen. Ebenso wie der Würfel (ein quadratisches Prisma) funktionieren auch das dreieckige und das sechseckige Prisma. Keiner der platonischen Körper füllt einen 3D-Raum in einer anderen als derjenigen Weise, die bereits in 2D funktioniert. Es ist ein bisschen wie beim 2D-Reuleaux-Dreieck: Technisch ergibt die Rotation einen Körper konstanter Breite, doch das Meissner-Tetraeder ist die erste wirkliche 3D-Lösung.

Um fair zu sein: Das Tetraeder lässt sich prima stapeln, aber nur dann, wenn sein Partner ein Oktaeder ist. Es gibt ein sich wiederholendes Muster aus zwei Tetraedern, gepaart mit einem Oktaeder (mit derselben Kantenlänge wie die Tetraeder), das tatsächlich raumfüllend ist. Und dies ist nicht die einzige Option. Erst kürzlich (2011) entdeckte der damals 73-jährige Mathematiker John Conway, dass sich eine Raumfüllung mit einem Oktaeder in Kombination mit sechs kleineren Tetraedern erzielen lässt. Bei all dem kommen nur platonische Körper zum Einsatz, und wir entdecken noch immer neue Dinge!

Ein Oktaeder kann zusammen mit einigen Tetraedern eine perfekte Raumfüllung ergeben.

Falls Sie das beste Vieleck zum Stapeln in 3D finden wollen, können Sie versuchen, einem platonischen Körper einen leichten Dreh zu geben. Wenn Sie einem Oktaeder die Ecken abschneiden, treten neue quadratische Flächen zutage, und das Ganze ergibt einen Körper, den man als Oktaederstumpf bezeichnet. Dies war der Kandidat, der 1887 von Lord Kelvin in seinem Artikel «On the Division of Space with Minimum Partitional Area». (etwa: Über die Raumteilung mit minimaler Trennungsfläche) für den Titel «Bester 3D-Raumfüller» vorgeschlagen wurde. Wenn Mathematiker ihre Ideen oder Entdeckungen mit anderen teilen wollen, veröffentlichen sie eine detaillierte Beschreibung ihres Konzepts in Fachzeitschriften. Lord Kelvin beschrieb in diesem Artikel die hervorragenden Eigenschaften des Oktaederstumpfs. Mehr als ein Jahrhundert später stellte sich heraus, dass er unrecht hatte. Aber damals sonnte er sich in seinem Ruhm.

Räume sind Schäume

Der Beweis, dass Kelvin falsch lag, lag die ganze Zeit direkt vor unseren Augen. Es gibt eine Möglichkeit, einen 3D-Raum besser als mit einem Oktaederstumpf zu füllen, und wieder einmal hatte die Natur die Nase vorn.

Die Struktur dieser überlegenen Form war bereits in Kristallen gefunden und in der 1960er Ausgabe von Linus Paulings Lehrbuch The Nature of Chemical Bond (deutsch Die Natur der chemischen Bindung) sogar als Struktur des Hydrochloridkristalls graphisch dargestellt worden. Aber niemand erkannte zunächst, wie vortrefflich sich diese Struktur zur Raumfüllung in 3D eignet.

Und es war nicht etwa so, als hätte niemand nach einer solchen Form gesucht. Als Lord Kelvin die Vermutung äußerte, dem Oktaederstumpf gebühre der Siegerkranz, begannen andere Mathematiker sofort damit, ihn entweder zu bestätigen oder zu widerlegen, indem sie als Gegenbeispiel eine bessere Form präsentierten. Als Jahrzehnte vergingen und das Problem ungelöst blieb, wurde es immer berühmter. Jeder, der die Kelvin-Vermutung lösen konnte, würde auf der Stelle in den mathematischen Olymp aufgenommen werden.

Einer der Mathematiker, die sich an der Jagd beteiligten, war Ken Brakke. Er blieb letzten Endes erfolglos (jemand anders stieß vor ihm auf die gesuchte Struktur), obgleich sein Vater ein Exemplar von Paulings Buch besaß. Zu seinem Pech blätterte er das Buch niemals durch und stieß dementsprechend auch nicht auf die Darstellung des Hydrochlorids. «Das Buch stand kaum drei Meter von mir entfernt im Bücherregal meines Vaters, während ich versuchte, Kelvin zu schlagen», sollte er später klagen. Dennoch leistete Brakke einen wichtigen Beitrag zur Lösung der Kelvin-Vermutung: Er schuf das moderne Computeräquivalent zu Seifenblasen.

Seifenblasen und der Seifenfilm, aus dem sie bestehen, haben bei der Untersuchung von raumfüllenden Formen eine entscheidende Rolle gespielt, denn sie besitzen eine sehr wichtige «angeborene» Eigenschaft: Seifenfilme versuchen stets sich zusammenzuziehen, um eine möglichst kleine Oberfläche zu erzielen; diese Tendenz wird allein durch das im Inneren befindliche Luftvolumen begrenzt. Wenn Sie eine Seifenblase in die Luft pusten, bildet sie eine Kugel, denn das ist die kleinstmögliche Oberfläche rund um ein Luftvolumen. Wenn eine solche Blase auf etwas anderes trifft, verwandelt sie sich in die jeweils nächstbeste Form. Und das bedeutet, es ist möglich, eine würfelförmige Blase zu erzeugen.

Dazu muss man zunächst einen Drahtwürfel herstellen und ihn dann in Seifenlösung tauchen. Wenn alles klappt, haben Sie ein Drahtgestell mit sechs Blasen, einer an jeder «Seite» des Gestells, plus einer einzigen würfelförmigen Blase genau in der Mitte. Wenn irgendetwas nicht ganz geklappt hat, tauchen Sie einen Trinkhalm in die Seifenblasenlösung und fügen Sie damit Blasen hinzu oder saugen sie ab. Das einzige Problem bei der ganzen Sache ist: Wenn Sie sich die würfelförmige Blase genau anschauen, werden Sie feststellen, dass es kein perfekter Würfel ist, denn die Seiten sind nicht völlig eben. Und das geht auf das eigenartige Verhalten von Seifenfilmen zurück.

Seifenschaum sieht vielleicht wie ein sehr komplexes Gebilde aus, doch sein Aufbau lässt sich mit ein paar recht einfachen mathematischen Regeln beschreiben. Sie wurden 1873 von dem belgischen Physiker Joseph Plateau entwickelt und sind heute als Plateaus Regeln bekannt. Die beiden ersten besagen, dass Seifenfilme immer hübsch glatt sind und eine Blase stets eine konstante Oberflächenkrümmung aufweist. Die übrigen beschäftigen sich mit dem Verhalten von Seifenblasen untereinander: An einer Kante treffen jeweils drei Flächen der Seifenblasen aufeinander, und an einem Eckpunkt laufen jeweils vier Kanten zusammen. Das nächste Mal, wenn Sie abwaschen oder Bier trinken oder beides gleichzeitig tun, schauen Sie sich den Schaum einmal genauer an. Ganz egal, wie komplex er aussehen mag, Sie werden nur Seiten in Dreiergruppen und Kanten in Vierergruppen finden.

Darüber hinaus treffen Seiten und Kanten stets in genau demselben Winkel aufeinander; er beträgt zwischen den Flächen 120°, sodass sie immer den gleichen Abstand voneinander haben. Wenn man einen Vollkreis von 360° drittelt, ergibt sich in 2D die Gleichteilung in 120°. Formen in 3D in gleiche Teile zu zerlegen, ist ein wenig komplizierter, weil man nun mehr Richtungen berücksichtigen muss (neben rechts/links und vorwärts/rückwärts auch oben/unten, Sie erinnern sich an unseren ersten Ausflug in 3D). Indessen ist dieses Problem bereits vom Tetraeder gelöst worden. Wenn man alle vier Eckpunkte (die perfekt im Raum verteilt sind) mit dem Mittelpunkt des Tetraeders verbindet, treffen sich diese Geraden unter einem Winkel von 109,5°. Das ist der sogenannte Tetraederwinkel, und alle Kanten in Seifenschaum treffen sich in genau diesem Winkel.

Lord Kelvins Artikel aus dem Jahr 1887 beschäftigt sich intensiv mit dem Einsatz von Seifenfilmen, um die effizienteste Methode zur Raumfüllung herauszufinden. Für einen derart antiquierten Artikel lässt er sich bemerkenswert gut lesen. Ganz zu Anfang beschreiben Seine Lordschaft ausführlich, wie er mit einer Würfelblase herumspielt (ähnlich der, die wir eben hergestellt haben). Er bezeichnet die Blase als Plateau-Würfel, denn Plateau benutzte ein ebensolches Drahtwürfelgestell bei seinen Experimenten. Weiter beschreibt er, wie er den Plateau-Würfel anbläst, um ihn zu deformieren, und dann beobachtet, wie die Würfelblase wieder in ihre Lieblingsposition mit minimaler Oberfläche zurückspringt.

Wenn man Blasen mit gleichem Volumen stapelte, so die Vermutung Lord Kelvins, würden sie die Form eines Oktaederstumpfs (oder eines Tetrakaidekaeders, wie er diese 14-seitigen Polyeder nannte) annehmen – oder vielmehr die Form des entsprechenden Seifenblasenäquivalents. Der Würfel, den wir zuvor erzeugt haben, war, wie erwähnt, kein perfekter Würfel, denn die Seiten sind leicht gebogen und treffen sich unter einem Winkel von 120° und die Kanten unter einem Winkel von 109,5° statt der üblichen 90°. Um die Plateau-Regeln zu erfüllen, sollte ein Stapel Seifenblasen eine sogenannte Kelvin-Struktur von Oktaederstümpfen mit leicht deformierten Seiten bilden. Leider bildet der Seifenfilm nur dann diesen Oktaederstumpf, wenn die anderen Blasen, an die er grenzt, ebenfalls Oktaederstümpfe sind. Wenn die Grenzfläche, an die der Seifenfilm stößt, eine andere Form hat, so wirkt sich das über die gesamte Schaumstruktur aus, und die perfekte Form kommt nicht zustande. Kommt man der korrekten Struktur jedoch nahe genug, entspannt sich der Seifenfilm in diese Form.

Und an dieser Stelle betritt Ken Brakke die Bühne: Er entwickelte ein Software-Paket namens Surface Evolver, das Seifenfilm-Oberflächen simulieren und digital das tun kann, was Lord Kelvin manuell tun musste. Fragt sich nur, was mehr Spaß macht …

Dodekaeder, konstruiert aus unregelmäßigen Fünfecken (die Länge einer der Seiten beträgt 130,9 Prozent der Länge der anderen vier Seiten), und ein 14-eder aus zwanzig unregelmäßigen Fünfecken (zwei Seiten 86 Prozent und eine Seite 57,6 Prozent), aber mit zwei dazwischengezwängten verzerrten Sechsecken (zwei Seiten 152,3 Prozent der anderen vier).

Im Jahr 1994 benutzten zwei Physiker am Trinity College in Dublin das Programm Surface Evolver, um eine bessere als die Kelvin-Struktur zu finden. Sie ist als Weaire-Phelan-Struktur bekannt geworden (nach Denis Weaire und seinem Doktoranden Robert Phelan) und besteht aus zwei unterschiedlichen Polyedern: einem unregelmäßigen Dodekaeder aus zwölf Fünfecken und einem 14-eder aus zwölf Fünfecken mit zwei zusätzlich dazwischen geschobenen Sechsecken. Wenn Sie das Muster ausschneiden und diese Modelle auf Pappe nachbauen, lassen sie sich zu dieser Form zusammenfügen. Die Mogelmethode ist, nur die 14-eder zu bauen; wenn man sie zusammenfügt, bildet die Lücke dahinter die Dodekaeder.

Die sich wiederholende Einheit der Weaire-Phelan-Struktur, die aus sechs 14-edern und zwei Dodekaedern besteht.

Noch besser: man kann die gesamte Struktur als Rahmen aus Trinkhalmen bauen! Kaufen Sie sich ein dickes Paket Trinkhalme in mindestens vier verschiedenen Farben, sodass Sie Seiten mit vier unterschiedlichen Längen farblich kodieren können, und ein ebenso dickes Paket Pfeifenreiniger, die die Halme zusammenhalten sollen. Kürzen Sie die Pfeifenreiniger auf eine Länge von 10 cm, verdrillen Sie zwei in der Mitte und biegen Sie jedes Ende zurück, sodass ein Stern mit vier Spitzen entsteht. Nun schieben Sie einen Halm über jede Spitze. Dank Plateau wissen wir, dass dies die einzige Anordnung ist, die wir berücksichtigen müssen. Die Halme treffen sich wegen ihrer Dicke nicht alle genau im Zentrum des Eckpunkts, deswegen müssen sie leicht eingekürzt werden.

Wiederholen Sie die verschiedenen Eckpunktoptionen, die unten aufgelistet sind, und nach ein wenig Fummelei halten Sie eine erstaunliche Weaire-Phelan-Struktur in der Hand, in die Sie direkt hineinschauen. So können Sie einen guten Eindruck gewinnen, was sie im Innersten zusammenhält. Saugenhaft!

Dodekaeder und 14-eder aus Strohhalmen. Sie werden eine ganze Menge davon brauchen.

Die durchschnittlich für die Weaire-Phelan-Struktur benötigte Oberfläche ist 0,3 Prozent kleiner als diejenige der Kelvin-Struktur. Das mag nicht viel erscheinen, schlug in der Welt der Mathematik jedoch hohe Wellen. Nach einem Jahrhundert intensiver Suche konnten die Mathematiker zunächst einfach nicht glauben, dass jemand eine bessere Struktur als Lord Kelvin gefunden hatte. Sie waren völlig aus dem Häuschen, doch die Medien nahmen kaum Notiz von dem Ereignis. Eine derart bahnbrechende Entdeckung hat es verdient, dass ein internationales Architektenbüro ein gebäudegroßes Modell der Weaire-Phelan-Struktur (sagen wir, im Gegenwert von rund 90 Millionen Pfund, gespendet von Privatinvestoren) entwirft und baut und dieses Bauwerk dann im größten vom Fernsehen übertragenen internationalen Ereignis herausgestellt wird. Und genau das tat China bei den Olympischen Spielen 2008 in Peking.

Als Kontrast zum Vogelnest-Stadion wünschten die Organisatoren der Pekinger Olympiade ein quadratisches Wassersport-Zentrum, und der Designerwettbewerb wurde von der australischen Firma PTW Architects (in Zusammenarbeit mit verschiedenen Ingenieurfirmen) gewonnen. Die Architekten wollten, dass ihr Entwurf das Gefühl von natürlichem, blubberndem Wasser vermittelt, und ihre Recherche führte sie zur Weaire-Phelan-Anordnung gestapelter Blasen. Um die Fassade weniger regelmäßig erscheinen zu lassen, haben sie schräge Schnitte durch den Schaum gelegt, die sich nicht nach den Polyedern richten, was dem Ganzen einen zufälligen, chaotischen Look verleiht.

Das Gebäude, das den Namen «Wasserwürfel» erhielt (obwohl es eigentlich ein Quader ist) war ein Riesenerfolg, und Milliarden Menschen in aller Welt konnten einen fantastischen Schnitt durch die Weaire-Phelan-Struktur bewundern. Nach der Olympiade wurde der «Wasserwürfel» in eine öffentliche Badeanstalt verwandelt. Ich machte eine Mathe-Pilgerreise nach Peking, um das Schwimmbad mit eigenen Augen zu sehen, durfte aber nicht ins Wasser, weil mir das notwendige offizielle Gesundheitszeugnis fehlte (echt wahr!). Doch im Inneren kann man noch immer einige der mächtigen Stahlträger sehen, die einige der verzerrten Fünfecke der Weaire-Phelan-Struktur bilden. Falls Sie irgendwann einmal nach Peking kommen, schauen Sie sich diese fantastische mathematische Struktur an und staunen Sie! Es ist Monument dessen, warum wir Mathematik betreiben.

Bälle packen

Und weiter geht’s – mit einer Apfelsine. Nun finden Sie heraus, wie viele andere Apfelsinen diese Apfelsine gleichzeitig berühren können. Um keine Zeit zu verlieren, liefere ich Ihnen die Antwort frei Haus: Es ist möglich, eine Kugel mit zwölf anderen, gleich großen Kugeln gleichzeitig in Kontakt zu bringen. Wenn sich zwei Formen auf diese Weise berühren, spricht man in der Mathematik recht romantisch von der «Kusszahl». Also beträgt die Kusszahl einer Kugel mindestens 12. Aber könnte es auch 13 sein? Wenn Sie zwölf Apfelsinen in Kussposition bringen, werden Sie feststellen, dass durchaus ein wenig Spielraum bleibt, um sie herumzuschieben. Man wird das Gefühl nicht los, dass es irgendwie möglich sein müsste, eine 13. Apfelsine unterzubringen.

Geistesgrößen wie Isaac Newton vermuteten, es gebe keinen Raum für eine 13. Kugel zum Mitküssen, doch niemand konnte dies sicher ausschließen. Es existieren so viele Möglichkeiten, die Kugeln anzuordnen, dass es sehr schwer fällt, alle Optionen zu berechnen. Der Beweis, dass für eine 13. Kugel kein Platz ist, gelang erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts, doch eine Menge anderer Fragen über die Anordnung von Kugeln blieb unbeantwortet. Zum Beispiel wusste niemand, wie man sie am besten stapelt.

In der Tat ist es sehr verdrießlich, dass so viele Obstsorten rund sind, denn in 3D ist eine Kugel, soweit wir wissen, die absolut mieseste Form, um einen Raum zu füllen. Es ist nicht so wie in 2D, wo Kreise zwar miserable Boxenfüller sind, es aber, rein technisch gesehen, noch miesere Optionen gibt; in 3D kennen wir keinen Körper, der sich schlechter stapeln lässt als eine Kugel. Als Gegensatz zu einer optimalen Form ist die Kugel daher als pessimale Form bekannt. Aber es bleibt ein winziger Rest an Zweifel: Zwar wissen wir vielleicht, dass die Kugel die schlechteste aller symmetrischen Formen ist, doch wir können nicht völlig ausschließen, dass sie von irgendeiner exotischen unregelmäßigen Form in dieser Hinsicht unterboten wird. Aber wie es aussieht, könnten Apfelsinen praktisch jede andere Form haben, und sie würden sich dann besser stapeln lassen. Seit Jahrhunderten nehmen Obst- und Gemüsehändler mit der Methode vorlieb, die sie für die beste halten, um Apfelsinen zu stapeln. Kepler stimmte ihnen zu, und 1611 stellte er die Vermutung auf, die Obsthändler-Option sei die beste, wenn es um das Stapeln von Kugeln geht.

Als Sie in Kapitel 3 Pyramiden aus Apfelsinen gebaut haben, entdeckten Sie vermutlich rasch, dass Pyramiden mit quadratischer Basis praktisch unbrauchbar sind. Wenn man nicht gerade etwas so Schweres und Unbewegliches wie Kanonenkugeln stapelt, ist es schwierig, Kugeln quadratisch zu stapeln. Wie Kugeln rutschen Apfelsinen in eine andere Anordnung3, in der jede Reihe gegenüber der vorherigen versetzt ist und jede Apfelsine in der entsprechenden Vertiefung sitzt. Wenn Sie diese Dreiecksanordnung fortsetzen, errichten Sie einen Tetraeder aus Kugeln, bei dem die Kugeln 74,048 Prozent des verfügbaren Raumes füllen – was das beste Ergebnis ist, das sich nach Meinung von Kepler und jeder Menge Obsthändler erzielen lässt. Wenn das Leben Ihnen Apfelsinen gibt, machen Sie das Beste draus und bauen Sie einen flotten Tetraeder.

Dies zu beweisen, erwies sich jedoch als so gut wie unmöglich. Wie wir gesehen haben, als wir die Münzen in ein Quadrat packten, ist eine ungeordnete Anordnung manchmal effizienter als eine geordnete. Wenn Sie beispielsweise eine 13. Kugel zwischen die anderen zwölf schieben, die die zentrale Kugel küssen, können Sie einige der anderen etwas zur Seite drücken, sodass sie nicht mehr direkt in Kussposition sind, und dennoch eine recht dichte Anordnung erhalten. Das Problem ist und bleibt: Es gibt so viele Möglichkeiten, die Kugeln anzuordnen, dass niemand sie alle prüfen und feststellen kann, ob eine davon besser ist als die Kepler-Vermutung.

Erneuter Auftritt von Thomas Hales. Nachdem er die Bienenwaben-Vermutung bewiesen hatte, nahm er sich nun die Kepler-Vermutung vor. Hales verschaffte sich einen Vorteil gegenüber all denjenigen, die sich seit 1611 bemüht hatten, diese Nuss zu knacken. Er schreckte nicht davor zurück, Rechner einen Teil seiner Arbeit erledigen zu lassen. Um fair zu sein, war sein Vorteil überdies, dass er nach Erfindung des Computers lebte. Hales gelang es, alle möglichen unregelmäßigen Anordnungen von Kugeln auf rund 5000 verschiedene Grundmuster zu reduzieren. Um seine Berechnungen zu erleichtern, führte er diese Anordnungen anschließend auf ihre 2D-Schatten zurück und teilte sie in Einzelprobleme auf, die eins nach dem anderen von einem Computer geprüft werden konnten.

Selbst wenn man Rechner einsetzte, um so viel Arbeit wie möglich zu erledigen, war die ganze Sache noch immer fast undurchführbar. Als Hales in den 1990er Jahren mit seiner Arbeit begann, reichte die Leistung der damaligen Rechner kaum aus. Der abschließende Artikel, den er nach Überarbeitung 2005 veröffentlichte, umfasste 250 Seiten, zusammen mit mehreren Gigabytes wichtiger Computercodes und -daten. In seinem Artikel listet Hales summarisch alle von ihm benutzten Computerprogramme auf, und der letzte Eintrag in der Liste ist ein Programm, das nachverfolgte, was all die anderen Programme taten. Hales setzte also Computer als Unterstützung beim Einsatz anderer Computer ein. Wie er schrieb: «Die Organisation einiger Gigabytes an Codes und Daten, die in den Beweis eingeflossen sind, ist an sich schon keine triviale Angelegenheit.»

Aber irgendwie funktionierte die ganze Sache. Die Rechner prüften jede mögliche Anordnung von Kugeln, und keine war besser. Hales bewies, dass Kepler und die Obsthändler von Anfang an richtig vermutet hatten. Zudem zeichnet sich sein Stil durch eine Klarheit aus, wie man sie selten in akademischen mathematischen Artikeln findet (was ihn zu einem meiner Helden macht). Daher empfehle ich Ihnen, die ersten Seiten seines Papers «Historical Overview of the Kepler Conjecture». (Historischer Überblick über die Kepler-Vermutung) zu lesen. Es stellt die Kepler-Vermutung besser und detaillierter dar, als ich es jemals könnte. Aber so gut lesbar der Anfang ist, so schwierig wird es dann, und leider hat bisher niemand den ganzen Beweis durchgearbeitet und überprüft. Bevor ein mathematischer Artikel publiziert werden kann, muss er von anderen Mathematikern überprüft werden (sogenanntes Peer-Review-Verfahren), um sicherzustellen, dass es keine Fehler gibt. Hales’ Artikel wurde einem Gremium aus zwölf Experten vorgelegt, aber da ein Großteil der Arbeit am Computer geleistet worden war, konnten sie nach vier Jahren Überprüfung nur mitteilen, sie seien zu 99 Prozent sicher, dass alles seine Richtigkeit habe. Und das reicht einfach nicht.

Hales’ Reaktion darauf ist genial. Er will Computer einsetzen, um die Arbeit, die von Computern geleistet wurde, nochmals zu prüfen und auf diese Weise das Peer-Review-Verfahren zu ersetzen. Sein Beweis verwendet Computer, um die Schwerarbeit zu leisten, was heißt, es wurde etwas erreicht, das zu komplex ist, als dass Menschen es hätten selbst errechnen können. Aber der resultierende Beweis war auch zu kompliziert, als dass Menschen ihn hätten überprüfen können. Hales’ neues Abenteuer trägt den Namen Flyspeck Project (weil «flyspeck» [Fliegendreck] eines der wenigen englischen Wörter mit der Buchstabenfolge FPK ist – «Formal Proof of Kepler». [Formaler Beweis der Kepler-Vermutung]), und wenn Sie teilnehmen und helfen wollen – das Projekt läuft noch – schauen Sie unter http://code.google.com/p/flyspeck/ nach.4

Ich liebe all diese Packungsprobleme, weil wir ganz nahe daran sind, so viele harte Nüsse zu knacken und so viele Antworten zu finden. Wir wissen noch immer sehr wenig darüber, wie man 2D- und 3D-Räume füllt; erst in den letzten paar Jahrzehnten – ein Wimpernschlag in mathematischen Zeiträumen – haben wir begonnen, die einfachsten und regelmäßigsten Fälle zu verstehen. Sollten wir unsere Außerirdischen treffen, so ist dies ein Gebiet, auf dem sie uns vielleicht viel zeigen könnten. Und wenn wir sie nicht bald treffen, so ist das auch in Ordnung – ich denke, wir sind höchstens ein oder zwei Jahrhunderte davon entfernt, diese Facette mathematischer Logik zu meistern.

SIEBEN

PRIME TIME

Primzahlen sind die A-Promis der Mathematik. Sie bewohnen vielleicht keine Villen und leiden auch nicht unter plötzlichen Nervenzusammenbrüchen, doch sie haben andere, sehr bedeutende Eigenschaften. Erstens sind es Zahlen, die sich nicht in andere Zahlen zerlegen lassen. Zweitens werden sie von den Mathe-Paparazzis gejagt: Auf ihren Kopf ist eine hohe Belohnung ausgesetzt. Ein anonymer Sponsor hat über eine Organisation, die sich Electronic Frontier Foundation nennt, hohe Prämien für Primzahlen ausgesetzt: 100 000 Dollar für die erste Primzahl mit mehr als 10 Millionen Ziffern, 150 000 Dollar für eine Primzahl mit mehr als 100 Millionen Ziffern und 250 000 Dollar für ein Milliarden-Ziffern-Monster. Der erste Preis ist bereits eingefordert worden, doch die beiden anderen sind noch zu haben.

Jeder kann bei der Suche nach großen Primzahlen mitmachen und hat eine Chance, etwas vom Kuchen abzubekommen. Da das Finden von Primzahlen enorm viel Rechenkapazität erfordert, wurde das Projekt Great Internet Mersenne Prime Search [etwa: Große Internetsuche nach Mersenne-Primzahlen] 1996 als Graswurzel-Supercomputer-Projekt ins Leben gerufen. (Die Abkürzung GIMPS ist ein etwas unglückliches Akronym, bedeutet gimp doch so viel wie Trottel.) Jeder kann dabei mitmachen und seinen eigenen Computer als Teil eines virtuellen Supercomputers einsetzen; gegenwärtig besteht dieser Supercomputer aus 9 700 000 Prozessoren, die pro Sekunde rund 164 Billionen Berechnungen durchführen. GIMPS war es denn auch, das 2009 eine Primzahl mit mehr als 10 Millionen Ziffern fand und den ersten Preis gewann. Und das führte dann zu der hübschen Schlagzeile «Primzahl von GIMPS [Trotteln] entdeckt».

Das Problem bei Primzahlen ist: Man kann nicht voraussagen, wo sie sich verstecken. Versuche wie die von GIMPS, große Primzahlen zu lokalisieren, bestehen weitgehend darin, eine große Zahl zu nehmen, die prim sein könnte, und dann nach möglichen Faktoren zu suchen, durch die sie sich teilen lässt, um sicherzustellen, ob sie wirklich prim ist.

Wenn Sie sich dem GIMPS-Netzwerk anschließen, erhalten Sie eine dieser großen Zahlen, um sie auf Ihrem Rechner zu überprüfen. In den allermeisten Fällen stellt sich heraus, dass die Zahl einen Faktor hat, also nicht prim ist. Um die Chancen ein wenig zu verbessern, gibt GIMPS zur Überprüfung keine völlig zufälligen Zahlen weiter, sondern nur solche, die um 1 kleiner sind als eine Potenz von 2.

Als Erste haben die alten Griechen festgestellt, dass zwar nicht alle Zahlen prim sind, die um 1 kleiner sind als eine Potenz von 2, aber eine Neigung zur Primalität haben. Bis zur 13. Potenz von 2 liegen fünf dieser Potenzen über einer Primzahl. Die Chancen sinken beträchtlich, wenn die Zahlen größer werden, aber sie sind noch immer besser als beim blinden Ziehen einer großen Zahl. Wenn Sie sich also GIMPS anschließen, erhält Ihr Computer eine so hohe Potenz von 2 zugewiesen, dass die Antwort Millionen Ziffern hat, und er prüft dann, ob diese Zahl minus 1 prim ist. Der Gewinner 2009 war um 1 kleiner als 2^43 112 609.

Obgleich Zahlen, die um 1 kleiner sind als eine Potenz von 2, seit mindestens 300 v. Chr. untersucht werden, heißen sie nach dem Mönch Marin Mersenne, der im 17. Jahrhundert lebte. Der Mönch veröffentlichte eine Liste solcher Mersenne-Primzahlen – doch unglücklicherweise war die Liste voller Fehler. Es gibt jedoch nichts Besseres, als Fehler zu machen, um andere Leute anzuspornen, sie zu berichtigen. Mersenne behauptete, 2n – 1 sei prim für n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 und 257, und dies gelte für keine andere Zahl unterhalb von 257. Andere Leute sahen das anders.

Die niedrigen Werte 2, 3, 5, 7, 13, 17 und 19 waren alle schon überprüft worden, und sie sind tatsächlich Primzahlen. Die alten Griechen wussten bereits von 2, 3, 5 und 7, und 17 wie auch 19 waren 1604 von dem italienischen Mathematiker Pietro Cataldi bestätigt worden. Alles, was darüber lag, war nichts weiter als Stochern im Dunkeln, doch Mersenne äußerte seine Vermutungen so selbstsicher, dass die Sache tatsächlich recht überzeugend erschien. Mersennes Motto war: Entweder eine plausible Vermutung aus dem Hut zaubern oder gleich im Bett bleiben. Cataldi hatte seine eigene Liste mit n = 23, 29, 31 und 37 aufgestellt, doch da Mersenne etwas mehr Glück beim Raten hatte als Cataldi, erinnern wir uns heute an ihn und haben den Italiener vergessen. (Zudem war der Franzose wegen anderer wissenschaftlicher Arbeiten bereits wohlbekannt, was ihm bei den Primzahlen einen fliegenden Start verschaffte.)

Mehr als ein Jahrhundert später gelang es Leonhard Euler (erinnern Sie sich an die 3D-Formen und die Ballons), zu zeigen, dass die erste Vermutung auf Mersennes Liste korrekt war: 2^31 − 1 = 2 147 483 647 ist tatsächlich prim. Das war die achte Mersenne-Primzahl, und bei über zwei Milliarden nahm jedermann an, dies sei nicht zu übertreffen. Höhere Zahlen schienen zu groß, um von Menschenhand überprüft zu werden (selbst mit ständigem Nachschub an Papier und Stiften und einem Abakus). Der Mathematiker Peter Barlow meinte 1811, die Primzahl 2 147 483 647 «ist die größte, die jemals gefunden werden wird, denn da Primzahlen lediglich eigenartig sind, ohne nützlich zu sein, ist es wenig wahrscheinlich, dass irgendjemand versuchen wird, eine größere zu finden».

Wie sehr er sich irrte, zeigte Édouard Lucas(denken Sie an die Kanonenkugeln) bereits 1876, als er bewies, dass 2^127 − 1 = 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 eine Primzahl ist. Lucas fand eine clevere Abkürzung, um herauszufinden, ob eine Zahl irgendwelche Faktoren hat, doch es kostete noch immer eine Heidenarbeit, die ganze Sache auszuklamüsern. Bis heute hält Lucas’ Zahl den Rekord für die größte Primzahl, die per Hand gefunden wurde (d. h. Hirnschmalz/Stift/Papier). Zudem korrigierte Lucas eine falsche Angabe in Mersennes Liste und zeigte, dass 2^67 − 1 keine Primzahl ist. In den darauf folgenden Jahren wurden ein paar Primzahlen entdeckt, die Mersenne übersehen hatte (1883 stellte sich heraus, dass 2^61 – 1 prim war, und 1914 hatten sich auch n = 89 und n = 107 einen Platz auf der Liste gesichert), während einige andere von der Liste gestrichen wurden (um 1933 wurde gezeigt, dass 2^257 – 1 nicht prim war). Keine dieser Leistungen übertraf jedoch Lucas’ Mammutarbeit beim Aufspüren von 2^127 – 1.

Interessant dabei war: Obwohl es Lucas gelang, zu beweisen, dass 2^67 – 1 Faktoren hatte, wusste er nicht, welche. Das nennt man einen Existenzbeweis: Man kann beweisen, dass etwas existiert, ohne zu wissen, was es ist. So wissen Mathematiker beispielsweise schon seit langem: Wenn der Exponent von 2 selbst nicht prim ist, dann ist die zugehörige Mersenne-Zahl auch nicht prim. Daher wissen wir, dass 2^14 – 1 Faktoren hat, weil 14 nicht prim ist. Lucas konnte zeigen, dass 2^67 – 1 Faktoren haben muss, und andere machten sich daran, herauszufinden, welche das sind.

Frank Nelson Cole war der Erste, der diese Faktoren lokalisieren konnte, und er stellte sie der American Mathematical Society 1903 bei einem Vortrag vor, bei dem er kein einziges Wort sprach. Mit einem Stück Kreide in der Hand schrieb er erst eine 1, dann eine 2, dann eine 4, 8, 16, 32 und so weiter an die Tafel, bis er nach 67 Verdopplungen gezeigt hatte, dass 2^67 – 1 = 147 573 952 589 676 412 927 ist. Dann trat er an eine zweite Tafel und begann, 193 707 721 mit 761 838 257 287 zu multiplizieren, und zeigte, dass sich genau das gleiche Resultat ergab. Während er wortlos zu seinem Platz zurückkehrte, begann das Auditorium zu toben. Es hatte 259 Jahre gedauert, bis jemand Mersennes Vermutung, 2^67 –1 sei prim, dadurch widerlegt hatte, dass er die Faktoren präsentierte.

Dann, 1952, änderte sich alles. Einer der ersten Computer der Welt ging in Betrieb, und auf der Stelle wurden die nächsten fünf Mersenne-Zahlen mit n = 521, 607, 1279, 2203 und 2281 gefunden. Die letzte, 2^2281 − 1, hat 687 Ziffern. Seit damals finden Computer ständig neue Primzahlen, die größer sind, als es sich Mathematiker vor dem 20. Jahrhundert jemals hätten träumen lassen. Inzwischen gibt es 48 bekannte Mersenne-Primzahlen, von denen mehr als die Hälfte seit 1970 gefunden wurde. Seit der Antike sind Mathematiker besessen von diesen Zahlen, doch innerhalb einer menschlichen Lebensspanne haben wir die Liste mehr als verdoppelt.

Das GIMPS-Netzwerk war es, das die aktuellsten 14 Mersenne-Primzahlen gefunden hat, darunter alle zehn der größten uns bekannten Primzahlen. Die jüngste wurde am 25. Januar 2013 entdeckt; 2^57 885 161 − 1 weist 17 425 170 Ziffern auf. Würde man all diese Ziffern in 1 mm Schriftgröße ausdrucken, so würden sie eine Linie von mehr als 17 Millionen Millimeter Länge bilden. Das sind mehr als 17 km. Das ist länger als eine Reihe von 562 großen Blauwalen (um eine gebräuchliche Abkürzung zu verwenden, mehr als ein halbes Kilowal). Die Zahl ist so lang, dass ein leistungsstarker 32-Kerne-Server für eine genaue Prüfung ihrer Primalität sechs Tage braucht. Wenn Sie sich an der Jagd beteiligen möchten, können Sie online nach gimps suchen – nicht nach Trotteln natürlich, sondern nach den Primzahljägern.

Kritische Faktoren

Stellen Sie sich ein mathematisches Gefängnis mit hundert Zellen vor, von 1 bis 100 durchnummeriert, die sich über einen langen Korridor erstrecken. Die Belegschaft besteht aus hundert Wärtern, alle mit einem Schlüssel ausgestattet, der jede Zellentür auf- und zuschließen kann. Zu Beginn des Abends sind alle Zellen verschlossen. Der erste Wärter (lassen Sie uns annehmen, dass die Wärter ebenfalls nummeriert sind, daher trägt er die Nummer 1) geht den Korridor entlang und schließt alle Zellen auf. Der zweite Wärter erkennt, dass das ein Fehler ist, und verschließt jede zweite Tür. Der dritte Wärter benutzt seinen Schlüssel an jeder dritten Zellentür, doch nun kann der Schlüssel eine Zelle entweder auf- oder aber zuschließen. Der vierte Wärter benutzt seinen Schlüssel bei jeder vierten Tür und schließt sie entweder auf oder zu, und so weiter, bis alle hundert Wärter an der Reihe waren. Welche Zellen stehen am nächsten Morgen offen?

Da wir uns in einem Kapitel über Primzahlen und Faktoren befinden, wundert es Sie vielleicht nicht, dass die Antwort davon abhängt, durch welche Faktoren die Nummer an der jeweiligen Zellentür teilbar ist. Das ist ein häufig wiederkehrendes Thema in der Mathematik: Die Eigenschaften von Zahlen hängen von ihren Faktoren ab, und Primzahlen sind die einzigen Zahlen, die keine Faktoren außer 1 und sich selbst haben. Tatsächlich lässt sich jede Zahl, die nicht prim ist, in Primzahlen zerlegen, und diese Primfaktoren erklären weitgehend, wie sich eine Zahl verhält: Sie bestimmen die Persönlichkeit dieser Zahl im Hinblick auf deren Eigenschaften. Beispielsweise ist die Zahl 28 für einen Mathematiker in Wirklichkeit 2 × 2 × 7; das nennt man die Primzahlzerlegung von 28. Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Mathematik, jene Komponenten, aus denen alle anderen Zahlen gebaut sind. Sämtliche Zahlen, die nicht prim sind, werden als zusammengesetzte Zahlen bezeichnet.

Wie sich herausgestellt hat, sind es die Zellen mit Quadratzahlen, die am nächsten Morgen in unserem Mathe-Knast offen stehen. Jeder Wärter, dessen Kennnummer (Position in der Reihenfolge der Schlüsselumdrehpflichten) ein Faktor einer bestimmten Zellennummer ist, dreht den Schlüssel im Schloss dieser Zelle. Um aufgeschlossen zu werden, muss das Schloss eine ungerade Zahl von Malen betätigt werden, und Quadratzahlen sind die einzigen Zahlen mit einer ungeraden Zahl von Faktoren. Wenn man sämtliche Faktoren einer jeden beliebigen zusammengesetzten Zahl auflistet, bilden diese Faktoren Paare, die, wenn man sie multipliziert, die Ursprungszahl ergeben. Doch Quadratzahlen haben einen zusätzlichen einsamen Faktor, der mit sich selbst ein Paar bilden muss.

Um eine vollständige Liste aller Faktoren einer Zahl zu erstellen, muss man jede mögliche Kombination ihrer Primfaktoren notieren.

Aber warum sollten Faktoren derart wichtig sein? Statt 28 in Multiplikationsfaktoren zu zerlegen, könnten wir 28 genauso gut als 21 + 7 oder 13 + 15 oder irgendeine der vielen anderen, ebenso korrekten Additionen schreiben. Wer stieß die Addition vom Thron und krönte die Multiplikation zum König? Das Problem ist: Wenn man die Addition einer Zahl auf die einfachsten Zahlen zurückführt, erhält man eine lange Reihe von Einsen, die addiert werden müssen, eigentlich nichts weiter als eine Strichliste, die anzeigt, wie groß die Zahl ist. Eine Zahl in Faktoren zu zerlegen, ist interessanter, denn man trifft auf Stoppzahlen, die sich nicht weiter vereinfachen lassen, und diese Sackgassen sind die Primfaktoren. Mathematiker schätzen die Multiplikation höher ein als die Addition, weil die Addition vor allem sagt, wie groß eine Zahl ist, während uns die Multiplikation auch ein wenig über ihre Persönlichkeit verrät.

Faktoren können einige der mathematischen Muster erklären, auf die wir bereits gestoßen sind. Als wir die regelmäßigen 2D-Formen mit den sich schneidenden Seiten gezeichnet haben, gab es für elfseitige Formen fünf Optionen, aber nur zwei für die regelmäßige zwölfseitige Form. Das ist so, weil 11 prim ist und 12 vier Faktoren hat. Man erhält nur dann ein neues regelmäßiges sternförmiges Polygon, wenn die Differenz (vorausgesetzt die Ecken sind durchnummeriert) der Ecken, die durch eine Kante verbunden werden, kein Faktor der Gesamtzahl ist. Wenn man die Figur zeichnet, wird ersichtlich, dass man die Startecke bis zum absolut letzten Moment meiden muss. Bei elf Seiten hat man also eine Seite für Ecke 1, 2, 3, 4, und 5, und keine davon ist ein Faktor von elf (daher die fünf Optionen), bei zwölf Seiten sind nur 1 und 5 keine Faktoren (daher zwei Optionen).

Diese Faktoren erklären auch, warum Duodezimalisten Zahlen auf der Basis 12 einführen möchten. 12 hat mehr Faktoren als 10. Im Allgemeinen ist eine Zahl als Basissystem umso besser geeignet, je mehr Faktoren sie hat. Da 10 nur die Faktoren 2 und 5 hat, können wir 1/2 = 0,5 und 1/5 = 0,2 hübsch und glatt als Dezimalzahlen schreiben, doch 1/3 hat eine unendliche Ziffernfolge: 1/3 = 0,3333 … In einem 12er-System könnten wir problemlos Ziffernversionen von 1/2, 1/3, 1/4, 1/6, 1/8, 1/9 und vielen weiteren Brüchen schreiben. Trotzdem lohnt sich ein Systemwechsel nicht, finde ich.

Nur die Kanten zwischen einer und fünf Ecken treffen alle zwölf Ecken.

Selbst das Zerlegen einer Pizza lässt sich auf Faktoren zurückführen. Wie wir gesehen haben, kann man eine Pizza auf zwei verschiedene Weisen so in 42 Stücke zerlegen, dass nicht alle Stücke das Zentrum berühren. Das liegt an den Faktoren von 42. Wenn Sie sich anschauen, wie die Pizza zerlegt wird, erhalten Sie eine Ausgangszahl von Stücken, die doppelt so groß ist wie die Anzahl der Seiten, die die Form konstanter Breite aufweist, und jedes dieser Stücke kann dann in zwei oder mehr weitere Stücke unterteilt werden. Wenn Sie zum Beispiel die Zahl 630 zerlegen, erkennen Sie, warum sie Ihnen zehn verschiedene Möglichkeiten bietet, eine Pizza zu zerschneiden.

Daher existiert ein delikates und subtiles Zusammenspiel zwischen einer Zahl und der Anzahl ihrer unterschiedlichen Primfaktoren, der Anzahl ihrer sich wiederholenden Primfaktoren sowie der Gesamtzahl ihrer Faktoren. Nur dadurch, dass man mit Zahlen herumspielt, sie in Faktoren zerlegt und sie wieder zusammenfügt, kann man Verständnis und so etwas wie ein intuitives Gespür dafür entwickeln, wie sie sich verhalten. Wenn sich eine Gruppe von Mathematikern im Restaurant trifft, wird jeder von ihnen bald die Tischnummer in ihre Primfaktoren zerlegt haben. Oder die Summe, zu der sich die Rechnung addiert. Oder auch Zahlen, auf die man zufällig im Alltag trifft. Stellen Sie sich vor, wie viel Spaß das Leben auf diese Art macht: Statt auf der U-Bahn-Fahrt wie gebannt aufs Handy zu starren und jeden Blickkontakt zu vermeiden, können Sie die Zeit mit dem Versuch verbringen, die Wagennummer in ihre Faktoren zu zerlegen und vielleicht festzustellen, dass es keine gibt, dass es sich um eine Primzahl handelt und Sie in einem Super-Luxus-Abteil fahren.

Eins ist die einsamste Primzahl

Es lohnt sich, an dieser Stelle eine uralte Streitfrage zu klären: Ist 1 eine Primzahl? 1 hat sicherlich keinerlei Faktoren, was bedeutet, dass sie die Voraussetzung für den Status einer Primzahl erfüllt. Leider wird sie nicht als solche betrachtet. Zumindest heute nicht mehr. Lange Zeit waren die Mathematiker völlig glücklich mit einer Primzahl 1, aber seit dem 18. Jahrhundert ist die 1 in Ungnade gefallen. Ihr Niedergang hing mit der Tatsache zusammen, dass die Mathematiker es leid waren, ständig die Klausel «mit Ausnahme von 1» zu benutzen, wenn sie über die Eigenschaften von Primzahlen sprachen. Es erschien einfacher, die 1 ihres Primzahlstatus zu entheben.

Heutzutage betrachtet niemand mehr die 1 als Primzahl, doch bis Mitte des 20. Jahrhunderts war sie noch im Rennen. Bevor Computer sich allgemein durchsetzten, gab es tabellarische Nachschlagwerke mit aufgelisteten Primzahlen. Noch die 1956er Ausgabe von Factor Tables for the First Ten Millions führt die 1 als Primzahl. Und das war nicht nur die Meinung einiger Mathematiker weitab des Mainstreams: Der Autor war ein amerikanischer Mathematiker namens Derrick Lehmer. Sein Sohn (in klassischer amerikanischer Tradition Derrick Lehmer jr. genannt) war 1934 der Erste, der Lucas’ Methode zur Überprüfung von Primzahlen verbesserte. Selbst im Jahr 2013 wurde die Zahl 2^57 885 161 − 1 noch mit Hilfe des Lucas-Lehmer-Primzahltests überprüft.

Heutigen Mathematikstudenten wird eingetrichtert, dass 1 nicht prim ist, weil Primzahlen zwei verschiedene eigenständige Faktoren (sich selbst und 1) haben müssen, und das funktioniert bei der Zahl 1 nicht, weil 1 = 1 × 1 ist und 1 selbst 1 ist, also kein «und» dabei ist. Diese Argumentation klingt ein wenig dünn, mehr wie eine juristische Haarspalterei, die sich an die Formulierung einer Definition klammert. Eine bessere Begründung könnte uns veranschaulichen, wie sich 1 denn als Primzahl verhalten würde.

Wenn Studenten begründen sollen, was gegen 1 als Primzahl spricht, sollten sie nicht eine technische Definition nachplappern, sondern darauf hinweisen, dass 1 als Faktor völlig ungeeignet ist. Da eine Multiplikation mit 1 eine Zahl unverändert lässt, kann man 1 bei einer Faktorenzerlegung überall beliebig häufig einstreuen. Beispielsweise könnte man 28 auch als 1 × 1 × 2 × 1 × 2 × 7 × 1 … und so weiter schreiben. Die Einzigartigkeit ist ruiniert; die Beziehung zwischen einer Zahl und ihren Primfaktoren ist nicht länger exklusiv, und darum ist die 1 aus dem elitären Club der Primzahlen hinauskomplimentiert worden.

Ich persönlich denke, dass die Mathematiker beim Ausschluss von Primzahlen nicht radikal genug vorgegangen sind. Sowohl 2 als auch 3 sind ziemlich lausige Primzahlen. Meiner Meinung nach sind 2 und 3 nur prim, weil es keine Zahlen gibt, die kleiner sind und als Faktoren dienen könnten. Sie sind sozusagen aus Mangel an Alternativen Primzahlen, nicht dank irgendeiner persönlichen Eignung. Ich betrachte 5 als die erste echte Primzahl, denn sie ist größer als 4, die kleinste zusammengesetzte Zahl. Wenn es nach mir ginge, könnten wir 2 und 3 als zweitklassige Primzahlen, als Subprime-Zahlen, neu einordnen, doch das wird wahrscheinlich nicht passieren, weil meine Mathematikerkollegen meinem Vorschlag leider nicht folgen wollen.

Liebe nach Zahlen

Es gibt Schlüsselringe oder Schmuckanhänger mit einem in zwei Hälften geteilten Herz, auf dessen einer Hälfte «220» und auf der anderen «284» eingraviert ist. Die Leute kaufen sie, behalten die eine Hälfte selbst und schenken die andere einem geliebten Menschen. Vielleicht habe ich das sogar selbst schon getan. Die Zahlen 220 und 284 sind seit der Antike ein Zeichen für Freundschaft und romantische Liebe und werden von verliebten Nerds bis heute verwendet.

Die Faktoren von 220 sind 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 und 110, was nach nichts Besonderem aussieht, bis man entdeckt, dass sie sich zu 284 addieren. Noch immer nichts Besonderes? Addieren Sie die Faktoren von 284 (1, 2, 4, 71 und 142), und Sie erhalten 220. Da sich die Faktoren der beiden Zahlen wechselseitig zur Summe der anderen Zahl addieren, betrachtet man 220 and 284 als eng miteinander verbunden, was ihnen den Namen «befreundete Zahlen» eingetragen hat.

Diese beiden sind nicht die einzigen. Fermat fand im Jahr 1636 das nächste Paar befreundeter Zahlen – 17 296 und 18 416 –, doch um alle Ziffern einzugravieren, bräuchten Sie ein größeres Schmuckstück. Und bei dem Zahlenpaar, das René Descartes 1638 entdeckte – 9 363 584 und 9 437 056 –, grenzt das Ganze schon an Bling-Bling. Ab 1747 stieg Leonhard Euler ins Spiel ein und zeigte den anderen, wo’s langging: Er fand nicht weniger als rund sechzig weitere Paare. Alle übersahen jedoch das zweitkleinste Paar – 1184 und 1210 –, das von einem 16-jährigen Schüler, B. Nicolò I. Paganini, 1866 entdeckt wurde. Wir wissen nicht, ob ihn die Liebe oder die Mathematik motivierte.

a^3wh = aawh

Eine Liste aller bekannten befreundeten Zahlenpaare und ihrer Entdecker finden Sie hier: http://www.vaxasoftware.com/doc_eduen/mat/numamigoseng.pdf , falls Sie eine ganze Menge brauchen sollten.

Wir verstehen befreundete Zahlen noch immer nicht besonders gut. Lange wurde vermutet, alle befreundeten Zahlen seien ein Vielfaches von 2 oder 3, bis 1988 das Freundschaftspaar 2 262 694 537 514 864 075 544 955 198 125 und 42 405 817 271 188 606 697 466 971 841 875 gefunden wurde. Die Vermutung wurde daraufhin aufgepeppt: Nun hieß es, jede befreundete Zahl sei ein Vielfaches von 2, 3 oder 5 – doch ein 1997 entdecktes Gegenbeispiel mit 193 Ziffern machte auch dem ein Ende. Es ist auch schon vermutet worden, dass es einen unendlich großen Vorrat an Freundschaftszahlen gibt, doch obgleich man bis heute 11 994 387 Paare kennt, weiß ich, ehrlich gesagt, nicht mehr, wem ich noch trauen soll.

Zahlen wie 12 496 sind eine Variation des Themas. Wenn man die Faktoren von 12 496 addiert, ergeben sie 14 288, und die Faktoren von 14 288 addieren sich zu 15 472. Doch wenn man die Faktoren weiter addiert, ergibt 15 472 die Zahl 14 536, 14 536 ergibt 14 264, und 14 264 ergibt 12 496 und führt uns damit zum Startpunkt zurück.

Jippeee, das war wirklich ein verwegener Ritt! Durch das Addieren von Faktoren erhält man eine Kette von fünf Zahlen, die eine Schleife bilden, und diese Zahlen nennt man soziale Zahlen. Soziale Zahlen können weitaus mehr als nur fünf Glieder enthalten. Sie sind vielleicht nicht so intim miteinander verbandelt wie die befreundeten Zahlen, aber wir sind ja diesen Dingen gegenüber aufgeschlossen. (Sie haben sicherlich festgestellt, dass wir die ursprüngliche Zahl nicht als einen ihrer eigenen Faktoren benutzen, das heißt, wir addieren die sogenannten eigentlichen Faktoren, also alle Faktoren einschließlich der 1, schließen aber die Zahl selbst aus.)

Aber das Beste kommt noch! Es gibt einige seltene Zahlen, die, wenn man ihre Faktoren addiert, sich selbst ergeben. Die kleinste dieser Zahlen ist 6, denn ihre Faktoren sind 1, 2 und 3, und 1 + 2 + 3 = 6; dann folgt 28, denn 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Diese Zahlen wurden von den alten Griechen als perfekte (auch: vollkommene) Zahlen bezeichnet. Die nächste perfekte Zahl ist 496, und dann folgt ein noch größerer Sprung zu 8128. Danach wird es verrückt. Die nächste Zahl ist 33 550 336, gefolgt von 8 589 869 056, ihr keineswegs dicht auf den Fersen folgt 137 438 691 328, und das Schlusslicht bildet 2 305 843 008 139 952 128.

Die alten Griechen kannten nur die ersten vier perfekten Zahlen bis 8128; 33 550 336 wurde erst 1456 entdeckt, und im Lauf des nächsten halben Jahrtausends folgten dann weitere sieben perfekte Zahlen, die längste davon mit 77 Stellen. Seit 1953 haben Computer uns ermöglicht, weitere 36 perfekte Zahlen zu finden. Die bisher größte wurde 2013 entdeckt und hat eine Länge von 34 850 340 Ziffern (die letzte Ziffer ist eine 6). Erstaunlicherweise addieren sich alle ihre 115 770 321 eigentlichen Faktoren zur Ausgangszahl.

Die Entdeckung dieser perfekten Zahl im Jahr 2013 war eigentlich ein Nebenprodukt eines Projekts, über das wir schon gesprochen haben: die Suche nach Mersenne-Primzahlen. Jede jemals gefundene perfekte Zahl ist ein Vielfaches einer Mersenne-Primzahl. Bereits in Buch 7 seiner Elemente definierte Euklid eine perfekte Zahl als eine Zahl, «die gleich ihrer eigenen Teile ist», und fährt dann fort zu beweisen, dass jede Mersenne-Primzahl Faktor einer geraden perfekten Zahl ist. Später bewies Euler die (subtil anders gelagerte) Tatsache, dass alle geraden vollkommenen Zahlen aus Mersenne-Primzahlen gebildet werden können (endlich haben wir Euklid und Euler zusammengebracht, und das nicht nur, weil die beiden in alphabetischer Reihenfolge stehen). Immer, wenn wir daher eine neue Mersenne-Primzahl entdecken, bekommen wir gratis eine neue perfekte Zahl dazu.

Bei den perfekten Zahlen fehlt nur noch ein Puzzlesteinchen: ungerade Zahlen. Bisher haben wir lediglich gerade perfekte Zahlen gefunden, doch es gibt keinen Grund, warum es dort draußen nicht irgendwo auch ungerade perfekte Zahlen geben sollte. Wenn es sie tatsächlich geben sollte, wissen wir schon jetzt, dass sie keine Mersenne-Primfaktoren haben; sie werden sich völlig anders verhalten, als wir es uns bisher vorstellen können. Auch wenn inzwischen allgemein vermutet wird, dass es keine ungeraden perfekten Zahlen gibt, ist die Jagd auf sie noch keinesfalls abgeblasen. Wie immer ist für die Suche eine gewaltige Rechnerleistung nötig, daher gibt es natürlich ein Projekt mit verteilten Computern, das versucht, sie zu finden. Sie können sich unter www.oddperfect.org daran beteiligen.

Prima Primzahlmuster

Weil Primzahlen als Bausteine aller anderen Zahlen für Mathematiker so wesentlich sind, ist es außerordentlich wichtig, sie besser zu verstehen. Leider gibt es kaum eine Möglichkeit, Primzahlen vorherzusagen: Sie scheinen zufällig zwischen anderen Zahlen verteilt zu liegen. Aber das sind sie in Wahrheit gar nicht. Sie sind vielleicht unvorhersagbar verteilt, aber sicher nicht zufällig.

• Das Quadrat einer jeden Primzahl ist um 1 größer als ein Vielfaches von 24.

Dieser Satz kann selbst den ausgeglichensten Mathematiker in den Wahnsinn treiben. Man hat das Gefühl, die Primzahlen sollten keine derartige Regelmäßigkeit zeigen, aber wenn man irgendeine Primzahl ab 5 nimmt (bei den Sub-Primzahlen 2 und 3 funktioniert die Sache nicht) und sie quadriert, ist das Ergebnis stets um 1 größer als ein Vielfaches von 24. Wie kann das nur sein? Wie sich herausgestellt hat, folgen Primzahlen erstaunlichen Mustern aller Art; das Problem ist nur, dass man keines dieser Muster heranziehen kann, um vorherzusagen, welches die nächste Primzahl ist. Das 24er-Muster funktioniert nicht im Umkehrschluss: Nicht alle Zahlen, die ein um 1 erhöhtes Vielfaches von 24 sind, sind auch das Quadrat von Primzahlen.

Ein Beweis, wie das 24er-Muster zustande kommt, findet sich in den «Antworten am Ende des Buches», wir aber wollen uns hier einige einfachere Muster anschauen. Manche davon lassen sich gut veranschaulichen, wenn man jede Primzahl in einem Zahlengitter bunt einfärbt. Bei den meisten Gitterbreiten erscheinen die Primzahlen so zufällig verteilt, wie die meisten Leute vermuten würden. Wenn das Gitter jedoch ein Vielfaches von 6 breit ist, bilden die Primzahlen plötzlich schnurgerade Linien. Sie formen ein unglaublich regelmäßiges Muster, wobei nur die Sub-Primzahlen wieder einmal aus der Reihe tanzen. Alle Primzahlen sind um 1 größer oder kleiner als ein Vielfaches von 6.

Mit etwas Nachdenken wird klar, warum die Primzahlen diese Art Muster bilden müssen: Sie können einfach keine völlig zufällige Position einnehmen. Zunächst einmal kann keine Primzahl gerade sein, denn alle geraden Zahlen sind durch 2 teilbar. Das ist allgemein bekannt und akzeptiert; die Mathematiker sind froh, dass sie Primzahlen von der Hälfte aller Zahlenpositionen ausschließen können. Der nächste Schritt besteht darin, alle Stellen auszuschließen, die durch 3 teilbar sind, und 1 ist, wie oben diskutiert, keine Primzahl. Daher sind die einzig verbleibenden Stellen die Zahlen direkt über oder unter jedem Vielfachen von 6.

Primzahlen in Zahlengittern unterschiedlicher Breite

Breite = 9; sieht ziemlich zufällig verteilt aus.

Breite = 11; schaut noch immer recht chaotisch aus.

Breite = 12; Bingo! Geraden!

Es gibt keinen Grund, hier aufzuhören. Wenn man alle Vielfachen von 5 blockiert, ergibt sich aus den neu ausgeschlossenen Positionen eine kompliziertere Regel – etwa so: «Alle Primzahlen sind um 1 größer oder kleiner als ein Vielfaches von 6, ausgenommen diejenigen, die um 5 größer oder kleiner als ein Vielfaches von 30 sind». (damit sind 5, 25 & 35, 55 & 65, 85 & 95 etc. gestrichen). Auch wenn die Beschreibung der Muster irgendwann allzu kompliziert werden kann, kann man damit fortfahren, die Vielfachen von 7, dann 11, 13 und so weiter auszustreichen, sodass nur die Primzahlen zurückbleiben. Diese Methode zum Ausfiltern von zusammengesetzten Zahlen, die als Sieb des Eratosthenes bezeichnet wird, funktioniert klasse, wenn man nach relativ kleinen Primzahlen sucht.

Eine noch bessere Methode, Primzahlen graphisch darzustellen, besteht darin, sie in einer Spirale anzuordnen. Diese Darstellung wurde von jemandem entdeckt, der sich bei einem langweiligen Vortrag die Zeit vertreiben wollte und Zahlenreihen aufs Papier kritzelte. Das nächste Mal, wenn Sie sich in einer Schulstunde oder bei einem Meeting langweilen, denken Sie daran, dass Ihr Gekritzel zu einem mathematischen Durchbruch führen könnte. In diesem Fall war der Kritzler der polnisch-amerikanische Mathematiker Stanislaw Ulam. Ulam, berühmt für seine Fähigkeiten wie auch wegen seiner Beteiligung am Manhattan-Projekt (er wirkte entscheidend an der Entwicklung der Sprengstofflinsen mit, mit deren Hilfe Plutonium auf seine kritische Dichte komprimiert wurde), wird seine Entdeckung heute als Ulam-Spirale bezeichnet.

Ulam begann damit, Zahlen in einer Spirale anzuordnen, und umkreiste dann die Primzahlen. Zu seiner Überraschung begannen sie, Muster zu bilden. Die Primzahlspirale machte «einen stark nicht-zufälligen Eindruck», meinte er selbst dazu. Es sah so aus, als bildeten die Primzahlen gerade diagonalen Linien, ganz gleich, ob man die Spirale aus der Nähe betrachtete, sodass man nur ein paar Zahlen sieht, oder aus großem Abstand, sodass Tausende von Zahlen auf einen Blick erscheinen. Darin finden sich noch andere Muster; mein Favorit ist die schwarze waagrechte gerade Linie, die mit 8, 9, 10 beginnt und mit 27, 52 und so weiter fortfährt. Ganz gleich, wie weit man zurücktritt: diese Linie fällt dank ihres ausgeprägten Mangels an Primzahlen heraus. Die Ulam-Spirale ist ein fantastischer Hinweis auf die Struktur, die hinter den Primzahlen steht.

Ulam-Spirale in Nahaufnahme und im Weitwinkel

Alle diese Muster verblassen jedoch im Vergleich zu dem berühmtesten Primzahlenmuster überhaupt. Es gibt eine Aufreihung von Primzahlen, von der Mathematiker geradezu besessen sind. Diese Anordnung verspricht eine wirkliche Einsicht in das Wesen von Primzahlen; sie könnte uns schließlich verstehen lassen, warum diese Zahlen die numerische Reihenfolge bilden, die sie bilden. Bernhard Riemann war 1859 der Erste, der in seinem Artikel «Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe» eine derartige Vermutung äußerte; sie wird heute als Riemann-Vermutung oder Riemann-Hypothese bezeichnet.

Die Riemann-Vermutung dreht sich darum, wie viele Primzahlen es unterhalb eines gegebenen Limits gibt. Obgleich es so aussieht, als tauchten die Primzahlen in zufälligen Positionen auf, lässt sich ihre Dichte im Allgemeinen sehr gut vorhersagen. Mathematiker glauben einen Weg gefunden zu haben, diese Dichte zu berechnen, aber um sicher zu sein, dass wir dabei die richtigen Antworten erhalten, muss gleichzeitig die Riemann-Vermutung bewiesen werden. Leider hat die Riemann-Vermutung bisher allen derartigen Versuchen widerstanden – obwohl ein «Kopfgeld» von 1 Million Dollar auf die Lösung ausgesetzt ist.

Bei der Riemann-Vermutung geht es um Komplizierteres als die spiralige Anordnung von Zahlen; vielmehr durchlaufen die Zahlen einen komplexen Prozess, und die Ergebnisse werden graphisch aufgetragen. Wie bei der Ulam-Spirale ordnen sich einige Ergebnisse bei graphischer Darstellung zwar einheitlich an, doch in anderer Hinsicht gibt es keinerlei Ähnlichkeiten zur Ulam-Spirale mit ihren sporadischen Regelmäßigkeiten: Bei Riemann gibt es eine einzige, schnurgerade Linie aus Punkten völlig ohne Ausnahme. Die Riemann-Vermutung ist inzwischen als eines der schwierigsten mathematischen Probleme überhaupt berüchtigt: Niemand weiß, warum es zu dieser Ausrichtung kommt. Wir wissen jedoch, dass uns das Knacken dieser harten Nuss Einblick in das Wesen von Primzahlen und damit in alle Zahlen geben wird.

Zwillinge

Es gibt noch eine weitere Frage im Zusammenhang mit Primzahlen, die Mathematiker liebend gern beantworten würden, und erst 2013 haben wir einen vielversprechenden Weg entdeckt. Die Frage ist, wie viele Primzahlzwillinge es gibt. Primzahlzwillinge sind Primzahlen, die sich um 2 unterscheiden, wie 5 und 7 oder 29 und 31. Anders als bei gewöhnlichen Primzahlen hat niemand bisher zeigen können, ob es eine unendliche Anzahl solcher Zwillinge gibt oder nicht. Man kann das Problem auch so formulieren: Lässt sich beweisen, dass es ein höchstes Paar an Primzahlzwillingen gibt? Bislang können wir die Frage nicht beantworten. Diese Primzahlzwillinge könnten irgendwann aufhören oder aber unendlich weiterlaufen.

Ein paar Durchbrüche hat es gegeben. Einer gelang 1915 dem norwegischen Mathematiker Viggo Brun. Wenn man beginnt, alle Primzahlbrüche (1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 …) zu addieren, wusste er, wird das Ergebnis umso größer, je mehr Brüche man hinzufügt. Dann konnte Brun jedoch zeigen, dass dies für die Brüche von Primzahlzwillingen nicht zutraf: Ihre Summe nähert sich einem vorgegebenen Wert, den wir gegenwärtig bei 1,902 160 583 … vermuten (die Zahl endet hier nicht, doch ich hielt neun Dezimalstellen für genug; wenn Sie wünschen, kann ich Ihnen aber gern noch mehr liefern), ganz gleich, wie viele Glieder man noch addiert. Dieser Grenzwert ist als Brun’sche Konstante bekannt, und auch wenn sie das Problem nicht löst, liefert sie uns einen gewichtigen Hinweis: Sie sagt uns, dass die Primzahlzwillinge entweder irgendwo aufhören oder zumindest wirklich sehr, sehr selten werden.

Der große Durchbruch gelang 2013, ein wirklich erstaunliches Jahr für Primzahlen. Am 13. Mai verbreitete sich im Internet das Gerücht, dem Mathematiker Yitang (Tom) Zhang sei der Beweis gelungen, dass es unendlich viele Primzahlpaare mit Differenz kleiner als 70 Millionen gibt. Ja, 70 Millionen ist wirklich deutlich größer als 2, doch zum ersten Mal war es geglückt, überhaupt irgendeine Obergrenze für die Differenz von Primzahlzwillingen anzugeben. Wenn Zhang recht hatte, dann wird es, ganz unabhängig davon, wie groß die Zahlen werden, immer Primzahlen geben, die nicht mehr als 70 Millionen Zahlen (Positionen) auseinander liegen. Um 15 Uhr desselben Tages stellte Zhang seine Arbeit in Harvard vor, und sie wurde als korrekt akzeptiert.

Der Durchbruch bestand darin, zu zeigen, dass es überhaupt eine Obergrenze gibt, ganz gleich, wie hoch sie sein mag. Zhangs tatsächliches Limit betrug 63 374 611, aber er rundete die Zahl auf 70 Millionen auf, weil die Details keine Rolle spielen … zumindest anfangs nicht. In der Mathematik ist es stets so: Sobald ein Basiscamp errichtet ist, besteht die Herausforderung darin, den Aufstieg neu zu organisieren und den Gipfel zu stürmen. Ein paar Frühaufsteher strichen dabei einige leichte Erfolge ein; so senkte Tim Trudgian die Grenze auf 59 874 594, und Scott Morrison zog Ende Mai 2013 mit 59 470 640 nach. In einem Kommentar zu seinem winzigen Vorsprung vor Trudgian meinte Scott Morrison später: «Ich konnte in diesem Augenblick der Versuchung einfach nicht widerstehen, ‹die Krone› für die kleinste Obergrenze bei der Größe der Primzahllücke zu beanspruchen.»

Bis zum 31. Mai gelang es Morrison, seinen Griff nach der Krone mit einem Angebot in Höhe von 42 342 946 zu festigen – doch die Freude war sehr kurz, denn nur einen Tag später wurde er von Terence Tao mit 42 342 924 schon wieder entthront. Der in Australien geborene Tao war ein Mathe-Wunderkind; bereits mit 16 Jahren hatte er sein Mathe-Diplom in der Tasche und zog dann in die USA, um dort zu promovieren. 2006 gewann er die Fields-Medaille, die höchste mathematische Auszeichnung, die es gibt. Diese Auszeichnung wird oft als der Nobelpreis der Mathematik bezeichnet, doch sie ist schwerer zu erringen als der Nobelpreis und daher mehr wert. Wie viele Mathematikgrößen in Vergangenheit und Gegenwart könnte Tao unabsichtlich den Eindruck vermitteln, man müsse ein Supergenie sein, um an mathematischen Projekten mitzuwirken. Aber das ist ganz und gar nicht so.

Als Teil von Polymath startete Tao ein Projekt, das allen Interessierten offenstand und dessen Ziel es war, die «Schranken für Primzahllücken» zu verringern. Am 20. Juli 2013 war die Lücke durch unglaubliche gemeinsame und chaotische Anstrengungen auf 5414 gesunken. Das Polymath-Projekt selbst wurde von einem anderen Fields-Medaillen-Träger ins Leben gerufen, dem Mathematiker Tim Gowers, der sich für eine intensive Beteiligung von Amateuren an der Lösung mathematischer Probleme einsetzt. Als ich ihn fragte, wie das Projekt lief, zeigte er sich beeindruckt von dem Niveau vieler Mathematik-Amateure, nicht nur, was die Erstellung von Computercodes für verschiedene Projekte anging, sondern auch wegen der interessanten Anmerkungen, die sie beisteuerten. Es sind nicht nur die Mathe-Freaks, die an diesen Dingen mitarbeiten, Menschen aller Art können ihren Beitrag leisten, und zumindest in diesem Fall war das Echo groß. Wie Gowers meinte: «Sie haben ihre Liebe zur Mathematik nie verloren, aber da sie keiner akademischen Institution angehören, hatten sie keine Möglichkeit, diese Liebe weiter zu verfolgen.»

Natürlich können wir nicht alle auf einem derart hohen Niveau Beiträge leisten, aber wir können dennoch einen Versuch wagen. Überall auf der Welt treffen sich Leute einmal im Monat zu MathsJams, um Mathe-Spiele zu spielen und Rätsel zu lösen. Wäre das nicht vielleicht auch etwas für Sie? Ganz gleich, wie weit die Mathematik fortschreiten mag: das, was sie antreibt, ist noch immer der Spaß, mit Mustern herumzuspielen und Dinge um ihrer selbst willen zu erforschen – selbst wenn die Ergebnisse letztlich manchmal ganz ohne Absicht durchaus nützlich sein können.

Google, ein Unternehmen, das sich dadurch auszeichnet, pragmatische Möglichkeiten zur Anwendung reiner Mathematik zu finden, hat den spielerischen Ursprung der Mathematik, die das Unternehmen heute vorantreibt, nicht vergessen. Bei einer Auktion für eine Reihe von Patenten 2011 kratzten sich die Mitbieter den Kopf, als Google genau 1 902 160 540 Dollar bot. Es war eine Verneigung vor der Brun’schen Konstante.

Die große Ironie der Primzahlen ist, dass sie jahrtausendelang ein Synonym für nutzlose Mathematik waren, inzwischen jedoch in unserem modernen Leben eine entscheidende und höchst praktische Rolle spielen. Noch 1940 nannte G. H. Hardy Primzahlen nutzlose, aber harmlose Mathematik. All das änderte sich mit dem Aufstieg der digitalen Kommunikation, und heute würden weder Internet noch Smartphones funktionieren, wenn wir nicht die Eigenschaften von Primzahlen verstünden.

Primzahlen dienen dazu, Informationen zu verschlüsseln, denn ohne zusätzliche Information sind sie kaum aufzufinden. Wenn Sie zwei genügend große Primzahlen multiplizieren und jemandem das Ergebnis mitteilen, ist es für den Empfänger ohne Kenntnis einer der beiden geheimen Primzahlen, von denen Sie ausgegangen sind, fast unmöglich, den umgekehrten Weg zu gehen und die Zahl in ihre Primfaktoren zu zerlegen. Darum dauerte es auch 27 Jahre, um die Faktoren von 2^67 – 1 zu finden, obwohl sicher war, dass es sie gab. Die Verwendung von geheimen Primzahlen bei nur schwer umkehrbaren Berechnungen wie dieser bildet die Grundlage der modernen Kryptographie.

Und das heißt, dass nicht nur Mathematiker versuchen, Primzahlen zu verstehen, um ihre Neugier zu befriedigen, sondern dass auch andere aus eher niederen Motiven dieselben Muster finden möchten. Die kommenden Jahrzehnte der Primzahlforschung werden wirklich höchst spannend sein – die Mathematik erlebt wohl gerade eine Prime Time.

ACHT

HirnVERknoter

Auf einem sehr wichtigen mathematischen Gebiet sind Bakterien Menschen überlegen: beim Lösen von Knoten. Wenn sich Bakterien fortpflanzen, verheddert sich ihre DNA, und wenn es ihnen nicht gelingt, sie wieder zu entknoten, dann funktioniert sie nicht mehr, und die Bakterien sterben. Alle Lebewesen verwenden Enzyme, die als Topoisomerasen bezeichnet werden, um ihre DNA zu entwirren, doch Bakterien benutzen eine besondere Topoisomerase vom Typ II. Dieses Enzym ist unglaublich geschickt darin, die beste Stelle zu finden, an der ein langer DNA-Strang sich kreuzt, den Strang aufzuschneiden und das eine Ende mit dem anderen Ende auf der gegenüberliegenden Seite wieder zusammenzufügen.

Diese Enzyme im Inneren der Zelle können einen Knoten weitaus effizienter entknoten als Spitzenmathematiker. Wir haben da noch einiges aufzuholen.

Wenn uns das ebenso gelingen sollte, winkt uns eine hohe Belohnung. Da sich die Topoisomerasen von Menschen und Bakterien leicht unterscheiden, ist es theoretisch möglich, nur denjenigen Typ zu attackieren, der Knoten in der bakteriellen DNA löst. Wenn sich Bakterien nicht vermehren können, weil ihre DNA sich verknotet hat, kann sich die Infektion, die sie auslösen, nicht ausbreiten. Oder wenn menschliche Zellen Amok laufen und kanzerogen werden, könnte das Verknoten ihrer DNA in ganz ähnlicher Weise einen Tumor am Wachstum hindern. Daher hängt eine zukünftige Generation antibakterieller und medizinischer Therapien davon ab, dass wir Knoten besser verstehen lernen.

Ein Knoten. Um von Anfang an keine Verwirrung aufkommen zu lassen … Alle mathematischen Knoten werden als geschlossene Schleife gezeichnet, bei der die beiden Enden miteinander verbunden sind, sodass man sie beliebig bewegen kann, ohne dass ein Ende herausrutscht und der Knoten sich löst.

Zudem werden Knoten als eine Linie für die Schnur gezeichnet, wobei die Linie unterbrochen wird, wenn die Schnur unter einem anderen Stück Schnur hindurchgeführt wird.

Wenn man im oberen Knoten an dieser Stelle das vertikale Stück Schnur zerschneidet und hinter (unter) dem waagerechten Bogen wieder zusammenführt, öffnet dies den Knoten.

Mikroskopische Aufnahme einer verknoteten DNA

Knotenmathematik

Knoten sehen vielleicht so aus, als ob sie, streng genommen, nicht zur Mathematik gehören, doch letztlich ist jedes Gebiet für den Angriff durch mathematische Methoden freigegeben. Lange Zeit beschäftigten sich eigentlich nur Seeleute mit Knoten, und wer sie lernen wollte, griff zu internationalen Klassikern wie The Ashley Book of Knots aus dem Jahr 1944. Dieses Buch enthält mehr als 2000 verschiedene Knoten, die alle nach Typ oder Verwendung klassifiziert sind. Es ist ein sehr praktischer Leitfaden und richtet sich an Leute, die tatsächlich Knoten knüpfen. Mathematiker begannen sich hingegen nur deshalb für Knoten zu interessieren, weil sie wissen wollten, wie man Knoten am besten wieder löst (vgl. Abbildung auf der folgenden Seite).

Wie sich herausgestellt hat, ist es viel schwieriger als erwartet, Knoten mathematisch zu verstehen. Selbst ein Knoten, der so einfach aussieht wie dieser, bereitet Mathematikern Kopfzerbrechen. Wenn man diesen Knoten aus einer Schnur fertigt, kann man versuchen, ihn zu lösen, indem man die Schnur zerschneidet und die Enden wieder zusammenführt, genauso, wie es die Topoisomerasen bei der DNA machen. Die Stelle, wo ein Knotenstrang sich kreuzt, wird sinnvollerweise als Kreuzung bezeichnet, und wenn man die Schnur zerschneidet und ein Ende auf die andere Seite führt, so spricht man von der Umwandlung von Überkreuzungen in Unterkreuzungen (crossing switches). Wir wissen definitiv, dass man diesen Knoten mit drei derartigen crossing switches lösen kann, aber niemand hat bisher einen Weg gefunden, es mit zweien zu tun.

Können Sie diesen Knoten mit weniger als drei Umwandlungen von Überkreuzungen in Unterkreuzungen lösen?

Jetzt wird’s physikalisch!

Bevor wir uns in die abstrakte Mathematik der Knoten stürzen, wollen wir uns einige physikalische Methoden anschauen, um knifflige Knotenprobleme zu lösen. Eine ständige Quelle von Verhedderungen sind Kopfhörerkabel. Jedes Mal, wenn ich meine Ohrstöpsel aus der Tasche ziehe, haben sie es irgendwie geschafft, sich heillos zu verknoten, und ich würde dieses Kuddelmuddel liebend gern verhindern. Die Mathematiker glaubten denn auch, sie kennten einen Weg, die Wahrscheinlichkeit zu verringern, dass Stränge sich verknoten: einfach die Enden verbinden, sodass eine Schleife entsteht. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich eine Schleife verheddert, sei geringer, als dass sich ein langer, offener Strang verknotet, so die Schleifen-Vermutung.

Anleitung

- Finde ein Stück Schnur.

- Rolle es zehn Sekunden lang zwischen den Händen herum.

- Suche die beiden Enden und ziehe sie auseinander, um zu sehen, ob sich die Schnur verknotet hat.

- Zähle, wie häufig das passiert, und wiederhole die ganze Sache so oft, bis es langweilig wird.

- Verbinde die beiden Enden nun zu einer Schleife und wiederhole das Experiment.

Eine Möglichkeit, festzustellen, ob die Schleifen-Vermutung stimmt, ist, sie zu testen. Dadurch, dass man zu Schleifen verbundene und offene Schnurstücke «verzwirbelt» und dann schaut, wie oft die Stücke sich verknoten, kann man die Vermutung nicht mit Sicherheit beweisen oder widerlegen, doch das Experiment könnte recht gute Hinweise in die eine oder andere Richtung liefern. Wenn man das Ganze jedoch wiederholt mit echten Schnüren praktiziert, kann es rasch sehr ermüdend werden. Es geht auch anders: Warum nicht viele hundert Schüler rekrutieren, sie dieses Experiment in ihrer Mathestunde durchführen lassen und die Ergebnisse sammeln? Genau das geschah beim «Großen Britischen Knotenexperiment» 2010.

Allein an einer Schule (Coundon Court in Coventry) führten die Schüler mehr als fünftausend Experimente mit elf verschieden langen, an den Enden verknoteten oder nicht verknoteten Schnüren durch. Sie zeigten, dass sich die Verknotungen um einen Faktor 2,09 verringerten, wenn eine Schnur eine Schleife bildet, was erfreulich nah an dem Wert lag, den die Schleifen-Vermutung vorhersagte. Mathematisch würden wir dies jedoch gern streng beweisen, denn ganz gleich, wie oft man es mit Schnüren versucht – das Ergebnis kann auch einfach dem Zufall geschuldet sein. Aus praktischer Sicht ist die Moral der Geschichte jedoch: Wenn man sicherstellen will, dass etwas sich nicht so rasch verknotet, sollte man dafür sorgen, dass es eine geschlossene Schleife bildet.

Wenn man sich die Enden der meisten Ohrstöpsel ansieht, findet man dort einen kleinen Clip, mit dem man sie aneinanderheften kann. Ich glaube nicht, dass irgendjemand weiß, wozu dieser Clip eigentlich da ist. Bei meinen letzten Ohrstöpseln erwähnte die Gebrauchsanweisung diese Clips oder ihre Funktion mit keinem Wort. Meine Theorie ist, dass jemand in der Ohrstöpselherstellung die Schleifen-Vermutung kennt oder sie unabhängig entdeckt hat und dieser Clip dazu dient, die beiden Ohrstöpselkabel miteinander zu verbinden, sodass sie eine Schleife bilden. Versuchen Sie’s: Es funktioniert tatsächlich – oder zumindest in der Hälfte der Fälle.

Wir können nun unser eigenes Großes Knotenexperiment durchführen und versuchen, den Knoten auf S. 174 zu entknoten. Dank der schieren Anzahl der Menschen, die dieses Buch lesen, können wir meiner Ansicht nach dort Erfolg haben, wo Mathematiker bisher gescheitert sind. Nehmen Sie ein Stück Schnur und bilden Sie diesen Knoten damit nach.

Die Frage ist: Wie viele crossing switches braucht man, um diesen Knoten in eine unverknotete Schleife zu überführen?

Anfangs sieht Ihr Knoten genauso aus wie jener auf der Abbildung, und wir wissen bereits, dass sich diese Anordnung nicht durch die Umwandlung von zwei Überkreuzungen in Unterkreuzungen entknoten lässt. Um dies zu ermöglichen, müssen Sie den Knoten so bewegen, dass verschiedene Teile des Knotens einander kreuzen. Die riesige Anzahl verschiedener Anordnungsmöglichkeiten des Knotens ist es, die das Herausfinden des Minimums erforderlicher crossing switches so schwierig macht. Aber wenn wir es alle versuchen, können wir eine ganze Menge Möglichkeiten prüfen. Zusammen können wir’s schaffen!

Anweisungen

- Stellen Sie diesen Knoten aus einer Schnur her.

- Drücken Sie ihn flach und machen sie ein Foto davon.

- Wählen und markieren Sie die beiden Punkte, wo Sie crossing switches machen wollen.

- Führen Sie die Umwandlungen durch und schauen Sie, ob Sie eine unverknotete Schleife erhalten.

- Wenn Sie’s schaffen, schicken Sie mir per E-Mail ein Foto der Anordnung und der Lage der veränderten Überkreuzungen.

- Warten Sie auf die mathematische Unsterblichkeit, die Ihnen sicher ist.

In der Theorie

Einige der ersten mathematischen Knotentheorien wurden von Physikern bei dem Versuch entwickelt, das Wesen des Universums zu verstehen. Im 19. Jahrhundert wurde in der Wissenschaft heftig über eine Sache gestritten, die uns heute, da wir das Ergebnis kennen, recht seltsam erscheint. Die meisten Menschen wissen heutzutage nicht einmal, dass es überhaupt eine solche Debatte gab, doch lange Zeit existierten zwei rivalisierende Theorien über die Struktur des Universums: Die eine Partei argumentierte, das Universum bestehe aus Atomen, die anderen hielt dagegen, es sei aus Knoten gemacht. Ja, lange Zeit wurde behauptet, das Universum sei mit einem nicht genauer fassbaren Äther gefüllt und die Materie, die wir erleben, sei nichts weiter als in diesen Äther geknotete Knoten. Moleküle würden gebildet, so die Knotenfans, wenn sich diese Knoten verschränkten und miteinander verbinden.

Der Urheber dieser Knotentheorie der Materie war unser guter alter Bekannter Lord Kelvin. Wir können heute leicht mitleidig lächeln, doch eine Weile sah es wirklich so aus, als könnten Knoten die Antwort sein. In jenen Tagen waren Knoten in einem nicht nachweisbaren Äther eine genauso vernünftige Möglichkeit, um zu erklären, woraus Materie besteht, wie Teilchen, die zu klein sind, um sie nachzuweisen (all das war lange vor der Entdeckung von Protonen und Neutronen). Angesichts der Vermutung, dass Knoten das Universum zusammenhalten könnten, war es auf einmal nötig, sie besser zu verstehen. Wenn es möglich wäre, all die verschiedenen Weisen der Knotenbildung zu kategorisieren und tabellarisch darzustellen, so die Hoffnung, besäße man schließlich eine Art Periodensystem der Knoten.

Zum Glück mussten Mathematiker nicht jeden möglichen Knoten klassifizieren, den man in ein Stück Schnur schlingen kann: Sie wussten bereits, dass es Primknoten gibt. Das Gebiet der Mathematik, das sich mit der Erforschung von Knoten beschäftigt, wird als Knotentheorie bezeichnet (und die Mathematiker, die es betreiben, als Knotentheoretiker). Und genauso, wie die Zahlentheorie Primzahlen benutzt, um etwas über all die anderen Zahlen zu lernen, dreht sich in der Knotentheorie alles um Primknoten. Denn wenn wir sie verstehen, werden wir hoffentlich bald auch alle anderen Knoten verstehen.

Eine Zahl wird in ihre Primfaktoren zerlegt, indem man sie so lange teilt, bis man bei den kleinstmöglichen Zahlen angekommen ist. Ein Knoten wird in Primknotenfaktoren zerlegt, indem man ihn in immer kleinere Knoten zerlegt, bis es nicht mehr weiter geht. Um das zu tun, nehmen Sie einen Knoten und drücken Sie zwei Schnurstücke in der Mitte so zusammen, dass sie eine Verengung mit einem Teil des Knotens an jeder Seite bilden. Dann schneiden Sie beide durch und verknüpfen die Enden eines jeden Paares miteinander, sodass die beiden Seiten getrennt werden. Sie haben nun einen Knoten in zwei zerlegt. Wenn Sie den Vorgang exakt umkehren, erhalten Sie die Anweisung, wie man zwei Knoten addiert.

Knoten kombinieren und trennen liegt irgendwo zwischen dem, was wir normalerweise als Addition/Subtraktion bezeichnen, und dem, was wir normalerweise als Multiplikation/Division bezeichnen. Um die Dinge zu vereinfachen, sprechen wir von Knotenaddition, und um den Unterschied zur arithmetischen Addition anzuzeigen, benutzt man das Symbol # als eine Art doppeltes, komplexeres +-Symbol. Sobald man auf einen Knoten stößt, der sich nicht in zwei kleinere Knoten zerlegen lässt, hat man, wie bereits erwähnt, einen Primknoten gefunden. Wenn man dennoch versucht, diesen Knoten weiter zu teilen, führt dies lediglich zum selben Knoten und einer unverknoteten Schleife. Eine Schleife ohne Knoten ist als «Unknoten» bekannt, und sie verhält sich insofern ein wenig wie die Zahl 1, als das Addieren eines Unknotens zu einem anderen Knoten dasselbe ist, wie eine Zahl mit 1 zu multiplizieren: Nichts ändert sich. Und wie die Zahl 1 ist der Unknoten durchaus ein gültiger Knoten, aber man zählt ihn nicht zu den Primknoten.

Knoten lassen sich einen Schritt weiter vereinfachen, denn einige sind Spiegelbilder voneinander. Der absolut einfachste mögliche Knoten ist als Kleeblattknoten bekannt, und er weist drei Überkreuzungen auf. Es gibt zwei verschiedene Kleeblattknoten, die spiegelbildlich zueinander sind, doch sie verhalten sich sehr ähnlich; daher müssen wir uns nur mit einem von ihnen beschäftigen. Wenn wir tatsächlich über beide reden wollen, können wir sie als linkshändige und rechtshändige Version des Knotens beschreiben. Diese «Händigkeit» wird in der Mathematik als Chiralität bezeichnet, seitdem Lord Kelvin das griechische Wort für «Hand», cheir, nahm und den Begriff 1894 prägte.

Der schottische Wissenschaftler Peter Guthrie Tate (auch ein renommierter Sportler, der Rugby und Golf spielte), war der Erste, der ein System zur Klassifizierung von Primknoten entwickelte. Seine Methode bestand darin, Knoten nach der minimalen Anzahl von Überkreuzungen einzuteilen, also drei bei einem Kleeblattknoten. Man kann einen Kleeblattknoten natürlich so anordnen, dass mehr als drei Kreuzungspunkte entstehen, aber es handelt sich noch immer um denselben Knoten, nur etwas anders arrangiert. Daher hat der Kleeblattknoten die Kreuzungszahl 3: Man kann ihn nicht so anordnen, dass er weniger als drei Überkreuzungen aufweist.

Bei einem geknoteten Stück Schnur gibt es unendlich viele Positionen, in denen man es auf einer ebenen Fläche ausbreiten kann, doch es handelt sich in allen Fällen um denselben Knoten. Mathematiker geben Dingen gern spezielle Namen, um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden. Daher bezeichnen sie jede Möglichkeit, einen Knoten zweidimensional abzubilden, als Projektion dieses Knotens. Wenn Sie sich die Knotendiagramme in diesem Buch anschauen, ist jedes Diagramm eine 2D-Projektion eines eigentlich in 3D geknüpften Knotens. Ähnlich, wie man einen Würfel als Sechseck oder Quadrat projizieren kann, kann ein und derselbe Knoten unendlich viele verschiedene Projektionen aufweisen.

Die Spiegelung eines Kleeblattknotens ist ein neuer Knoten; der untere Knoten lässt sich in sein eigenes Spiegelbild überführen.

Wenn man das Spiegelbild einer Knotenprojektion wie eines Kleeblattknotens nimmt, handelt es sich um die «andershändige» Projektion des Knotens. Interessanterweise gibt es einige Knoten, für die das Spiegelbild einer jeden beliebigen Projektion derselbe Knoten bleibt. Man kann den ursprünglichen Knoten nehmen und ihn in sein eigenes Spiegelbild überführen. Diese beidhändigen Knoten werden als doppelhändig oder amphichiral bezeichnet.

Da der Kleeblattknoten der einzig mögliche mit einer Kreuzungszahl von drei ist, hat er den offiziellen Namen 3_1 erhalten. Es gibt auch nur einen einzigen Knoten mit der Kreuzungszahl vier (4_1), aber zwei mit der Kreuzungszahl fünf (5_1 und 5_2). (Die tiefgesetzte Zahl hat keine andere Bedeutung, als dass man übereingekommen ist, verschiedenen Knoten mit derselben Kreuzungszahl so zu unterscheiden.) Auf der nächsten Seite finden Sie alle 35 verschiedenen Primknoten (und den einen Unknoten) mit einer Kreuzungszahl von acht oder weniger. Wenn die Kreuzungszahlen steigen, explodiert die Anzahl verschiedener möglicher Knoten geradezu. Wollte man diese Tafel bis auf eine Kreuzungszahl von 16 erweitern, müsste man 17 019 000 zusätzliche Knoten zeichnen.

Angefangen mit dem Kleeblattknoten (der Wasserstoff der Knotenwelt, sozusagen), verfügten die Physiker nun über eine wachsende Tafel von Primknoten, aus denen sich andere mögliche Knoten bilden ließen. Frustrierend war jedoch, dass sich nach all dieser Arbeit mit Klassifizierung und Tabellendiagrammen herausstellte, dass das Universum gar nicht aus Knoten besteht. Ironischerweise war es die Veröffentlichung des chemischen Periodensystems, die 1872 der Knotentheorie der Materie den Todesstoß versetzte. Die numerische Beziehung zwischen den Massen verschiedener Elemente im Periodensystem wies auf die Existenz des Protons hin – und der Rest ist Geschichte. Die Naturwissenschaftler vergaßen die Knoten. Die Mathematiker zum Glück nicht.

Bunt einfärben

Welcher von beiden ist ein Knoten? Sie sehen beide wie eine verknäuelte Masse von Schnüren (oder das Kabelgewirr hinter meinem Fernseher) aus, doch wenn man beide nimmt und schüttelt, ist der eine der Unknoten, während sich der andere höchstens auf ein Minimum von zehn Kreuzungen zurückführen lässt. Wenn die Knoten noch viel komplizierter sind und man sie nicht aus Schnur herstellen kann, ist es daher unglaublich schwierig zu sagen, ob sich eine Knotenprojektion entwirren lässt. Während die Physiker damit beschäftigt waren, voller Freude mit ihren Atomen herumzuspielen, übernahmen die Mathematiker die Knotentheorie und machten sich daran, eine Möglichkeit zu finden, die es ihnen erlauben würde, zu berechnen, was ein Knoten ist und was nicht.1

Zunächst borgten sie sich jedoch ein paar Begriffe von den Naturwissenschaftlern aus. Im Jahr 1913 hatte der Chemiker Frederick Soddy (auf einen Vorschlag von Doktor Margaret Todd) aus der griechischen Wurzel iso (gleich) und dem griechischen Wort topos (Platz, Ort) den Begriff «Isotop» geschaffen. Damit beschrieb er Atome, in denen die Anzahl der Neutronen zwar unterschiedlich ist, die Anzahl der Protonen aber gleich bleibt, sodass sich auch ihr chemisches Verhalten nicht verändert: Sie stehen alle an derselben Stelle im Periodensystem. Sich von einer Knotenprojektion zu einer anderen zu bewegen, wurde daher als Isotopie bezeichnet. Der Strang mag sich bewegen, doch der Knoten bleibt derselbe.

Ein Knoten war damit dasselbe wie eine Kollektion oder Klasse aller möglichen Anordnungen, als die er projiziert werden konnte. Der Kleeblattknoten ist offiziell die Isotopieklasse aller Möglichkeiten, ein Stück Schnur, das zu einem Kleeblattknoten verknüpft ist, auf einer Ebene (zweidimensional) abzubilden. Das erste Ziel der Mathematiker war es, sich eine beliebige Projektion eines Knotens anzusehen und zu berechnen, ob es sich um einen Knoten handelt oder nicht. Aber konnten sie auch herausfinden, ob jede beliebige zufällige Projektion, die ihnen vorgelegt wurde, zur Isotopieklasse des Unknotens gehörte?

Ein Knoten ist dasselbe wie die Menge all seiner Projektionen.

Dazu mussten die Mathematiker ihre Buntstifte zücken. Was sie brauchten, war eine Eigenschaft, die sich nicht ändert, ganz gleich, wie man das Stück Schnur arrangierte. Sie brauchten etwas Knotentypisches, das unveränderlich ist. Und bald stießen sie tatsächlich auf eine solche invariante Eigenschaft: die Einfärbung des Knotens. Wenn man die Projektion eines Knotens mit nur drei Farben einfärben kann, so stellten sie fest, dann lassen sich auch alle anderen Projektionen dieses Knotens mit drei Farben einfärben. Entweder lassen sich alle Projektionen einer Isotopieklasse in drei Farben einfärben oder keine.

Einige in denselben drei verschiedenen Farben eingefärbte Knoten

Es gibt nur eine einzige Regel für das Einfärben von Knoten, und die bezieht sich auf die Kreuzungspunkte: An einer Kreuzung muss das unten liegende Stück Schnur entweder dieselbe Farbe haben wie das darüber liegende, oder es muss seine Farbe – eine andere als die darüber – am Kreuzungspunkt in eine dritte Farbe ändern.

Es ist nicht möglich, den entwirrten Unknoten mit drei Farben einzufärben, d. h. ganz gleich, wie man einen Unknoten verzwirbelt, keine seiner Projektionen lässt sich jemals mit drei Farben einfärben. Wenn man daher eine Knotenprojektion derart einfärben kann, weiß man, dass es ein echter Knoten sein muss, der sich nicht in eine unverknotete Schleife verwandeln lässt.

Diese knotentheoretische Arbeit wurde von dem Mathematiker Kurt Reidemeister begonnen, einem Leutnant der deutschen Armee im Ersten Weltkrieg (während des heraufziehenden Zweiten Weltkriegs stellte er sich energisch gegen die Nazis, was ihn seine akademische Stellung kostete). 1932 veröffentlichte Reidemeister ein Buch von nur 74 Seiten, das die Knotentheorie revolutionierte (aber erst 1983, zum 90. Jahrestag seiner Geburt, ins Englische übersetzt wurde). Darin zeigte er, dass man mit nur drei verschiedenen Bewegungen verschiedene Projektionen ein und desselben Knotens ineinander überführen kann, wobei keine der Bewegungen die Dreifärbbarkeit des Knotens ändert. Diese Bewegungen werden als Reidemeister-Bewegungen bezeichnet, und sie bilden bis heute die Basis der Knotentheorie.

R1: Lösen einer Schlinge

R2: ein Stück Schnur über ein anderes Stück Schnur ziehen

R3: ein Stück Schnur über einen Kreuzungspunkt schieben

Auch wenn man keinen dreifärbbaren Knoten in einen Unknoten entknoten kann, gilt das Gegenteil leider nicht: Wenn sich eine Projektion nicht mit drei Farben einfärben lässt, heißt das nicht automatisch, dass es sich definitiv um einen Unknoten handelt. Der Knoten auf der nächsten Abbildung lässt sich nicht dreifarbig einfärben, aber auch nicht in den Unknoten überführen. Wenn man mit der Kreuzung oben beginnt und entweder alle drei Bögen gleich oder in drei verschiedenen Farben einfärbt, gelingt weder auf die eine noch die andere Weise die Dreifärbung der restlichen Projektion. Zwar erlaubt uns die Dreifärbung, einige Knoten zu finden, aber eben nicht alle.

Dieser Knoten lässt sich nicht mit drei Farben färben, kann aber dennoch nicht entknotet werden.

Selbst wenn sich eine Projektion dreifarbig einfärben und wenn sich beweisen lässt, dass es sich um einen Knoten handelt, kennt man dennoch nicht immer die beste Weise, um ihn zu entknoten. Die minimale Anzahl von crossing switches, die man braucht, um einen Knoten zu entknoten, wird als Entknotungszahl bezeichnet. Die meisten Knoten, auf die wir stoßen, haben eine recht niedrige Entknotungszahl. Der erste Knoten, der zwei derartige Umwandlungen von Überkreuzungen in Unterkreuzungen verlangt, ist der 5_1-Knoten. Der 7_1-Knoten ist der erste Fall mit einer Entknotungszahl von drei, und der 91 -Knoten der erste, der vier Reidemeister-Bewegungen erfordert. Von allen 165 verschiedenen Knoten mit zehn Überkreuzungen (natürlich nur Primknoten) lassen sich 44 mit einer einzigen Bewegung entknoten, 93 erfordern zwei Bewegungen, 15 weitere brauchen drei, und die letzten 4 benötigen jeweils acht Bewegungen.

Knoten 5_1, 7_1 und 9_1.

Wie die Schlauberger unter Ihnen vielleicht schon bemerkt haben, erklärt dies nur 156 von 165 Knoten mit zehn Überkreuzungen. Übrig bleiben neun Knoten mit zehn Überkreuzungen, von denen wir die beste Weise, sie zu entknoten, noch nicht kennen. Der ungelöste Knoten, den ich Ihnen auf Seite 174 gezeigt habe, ist der 10_11 -Knoten, und er ist gegenwärtig der niedrigste ungelöste Knoten. Selbst wenn wir das Rätsel mit unserem Großen Knotenexperiment knacken (und ich hoffe wirklich, dass wir das hinbekommen), bleiben noch immer acht weitere Knoten mit zehn Überkreuzungen, die auf eine Lösung harren. Und das, bevor wir überhaupt zu elf Überkreuzungen oder noch komplizierteren Knoten übergehen können!

Das Fazit von all dem ist, dass Mathematiker bisher noch keine allgemeingültige Methode entwickelt haben, um einer Projektion verwirrter Schnüre oder DNA-Stränge anzusehen, ob es sich um einen Knoten handelt oder nicht. Und wenn es sich tatsächlich um einen Knoten handelt, wissen wir definitiv nicht, welches die beste Methode ist, ihn mit möglichst wenigen crossing switches zu entknoten. In den Mathematikabteilungen rund um die Welt arbeiten Knotentheoretiker an diesen Problemen. Nur sind es heute nicht mehr die Physiker, die auf die Ergebnisse warten, sondern die Biologen. Sie brauchen die Antworten zur Entwicklung neuer Therapien.

Knotentheoretiker haben eine erstaunliche Palette von Techniken und Methoden entwickelt, um Knoten zu untersuchen, aber ein Ende ist noch keineswegs in Sicht. So wie es einen Lucas brauchte, um die Suche nach Mersenne-Primzahlen zu revolutionieren, und einen Lord Kelvin, um neue Methoden für die Suche nach raumfüllenden Figuren zu entwickeln, so denke ich, dass wir immer noch auf die Entdeckung der mathematischen Schlüsseltechniken warten, die wir benötigen, um Knoten wirklich zu verstehen. Ich vermute, für einen solchen Durchbruch muss eine neue Generation von Mathematikern an die Universitäten gehen und Knotentheoretiker werden.

Unser gutes Werk zunichtemachen

Knoten dienen traditionellerweise dazu, Dinge möglichst haltbar zusammenzubinden. Als eine Art Herausforderung versuchen Mathematiker jedoch manchmal, Knoten und Verschlingungen zu entwerfen, die möglichst leicht auseinandergehen. Beispielsweise ist es möglich, mehrere Schleifen so miteinander zu verschlingen, dass sie sich nicht voneinander lösen lassen – bis eine einzelne Schleife durchtrennt wird und der Rest sich von alleine löst.

Ihre erste Herausforderung besteht darin, einen Weg zu finden, drei Schleifen auf eine ganz bestimmte Weise miteinander zu verschlingen: Wenn man eine dieser Schleifen durchschneidet, sollen sich die beiden anderen ebenfalls voneinander trennen. Diese Anordnung wird oft nach der Renaissance-Familie der Borromäer als die Borromäischen Ringe bezeichnet. Diese Ringe erscheinen im Familienwappen der Borromäer, und der Theorie nach repräsentieren sie die Einheit der Familie: Löst man ein Mitglied aus dem Familienverband heraus, haben alle anderen zu leiden. Die Borromäischen Ringe sind im Lauf der Geschichte als Symbole für Dreier-Einheiten aller Art verwendet worden, darunter auch die christliche Dreieinigkeit. Nur schwer zu schlagen ist allerdings das Logo für Ballantine-Ale, wo die Ringe die Vereinigung von Reinheit, Körper und Geschmack repräsentieren, die ein gutes Bier braucht. Netterweise ist ein «Ballantine» im englischen Sprachraum inzwischen zu einem Synonym für Borromäische Ringe geworden.

Diese Konfiguration lässt sich auf vier, fünf oder mehr Ringe ausdehnen; noch immer sind alle miteinander verlinkt, und wenn man einen von ihnen löst, werden auch die anderen frei. Wenn Sie sich selbst keine Version ausdenken können, finden Sie ein paar Beispiele für diese Verschlingungstypen mit mehr als drei Schleifen in den «Antworten am Ende des Buches». Die Borromäischen Ringe funktionieren hervorragend mit flexiblen Ringen, aber wegen der Art und Weise, wie sie einander durchdringen, kann man keine drei starren runden Ringe auf diese Weise miteinander verbinden. Die Sache funktioniert jedoch mit drei starren elliptischen Ringen.

Elliptische Borromäische Ringe aus dem 3D-Drucker

Und schließlich können wir versuchen, ein Bild so an die Wand zu hängen, dass es möglichst leicht herunterfallen kann. Nichts, was Sie wohl gern bei sich zu Hause tun würden, aber perfekt, wenn Sie einem Freund, Feind oder einer Mischung aus beidem einen ziemlich komplizierten Streich spielen wollen. Ein Bild, das an einem Draht über einem einzigen Haken hängt, befindet sich in einer gefährlichen Position. Wenn sich dieser Haken aus der Wand löst, knallt das Bild auf den Boden. Wenn man jedoch zwei Haken nimmt und den Hängedraht über beide führt, dann könnte sich einer von beiden lösen, das Bild bliebe aber sicher am anderen hängen. Die wirkliche Herausforderung besteht bizarrerweise darin, ein Bild so an zwei Haken aufzuhängen, dass es zu Boden kracht, sobald sich einer der beiden Haken löst.

Dafür gibt es raffinierte Tricks, die Art Lösung, die man bei einem physikalischen Logikrätsel erwartet. Man kann das Bild oben auf den beiden Haken balancieren lassen, sodass es fällt, wenn sich einer löst. Oder die Haken können so weit auseinander stehen, dass der Hängedraht so viel Spiel hat, dass das Bild auf den Boden prallt, wenn sich einer der Haken löst. Beide Methoden würden prächtig funktionieren, wenn es darum ginge, das Bild auf den Boden prallen zu lassen. Wir wollen jedoch herausfinden, ob es möglich ist, einen Draht, der rund um zwei Punkte führt, vollständig zu entwirren, indem man einen dieser Punkte entfernt.

So kann man bei diesem Rätsel mogeln.

Tatsächlich gibt es mehr als nur eine Möglichkeit, dies zu tun. Und nicht nur das: Es ist sogar möglich, ein Bild derart an einer beliebigen Zahl von Haken aufzuhängen, dass sich das Bild nach dem Entfernen eines Hakens von all den anderen löst und zu Boden fällt. Mein Rekord liegt bei fünf Haken. Ich habe fünf Leute ihre Arme ausstrecken lassen, um jeweils einen Haken darzustellen, und wir haben ein sehr langes Band um die Arme geschlungen, um den Draht darzustellen. Nach Entfernen eines Armes (und zugegebenermaßen einigem Zupfen) löste sich das Band schließlich von den vier anderen Armen. Sicher ist dies nicht die nützlichste Verwendung der Knoten-Mathematik, aber man kann kurzzeitig ziemlich viel Spaß dabei haben.

Schuhschnüren auf mathematisch korrekte Art

Sich die Schuhe zuzubinden (falls Sie nicht zu dieser Klettverschlussbande gehören), gibt Ihnen täglich die Chance, das Knotenbinden zu üben. Und ich finde, jeden Tag dieselbe Schnürmethode zu verwenden, ist eine Verschwendung von Trainingsgelegenheiten. Es gibt eine rasche und ganz einfache Methode, den traditionellen Schuhknoten zu knüpfen, doch alle bevorzugen offenbar den langen und umständlichen Weg!

Anweisungen

- Schritt 0: Wie immer schlingen Sie die Schnürsenkel um einander und ziehen sie fest, um eine gute Basis für den Knoten zu bilden. Lustigerweiseist dieser Grundknoten für sämtliche Schnürsenkelknoten ein Kleeblattknoten!

- Schritt 1: Legen Sie einen Schnürsenkel schleifenförmig nach vorn und halten Sie ihn direkt unterhalb der Schleifenspitze fest.

- Schritt 2: Legen Sie den anderen Schnürsenkel schleifenförmig nach hinten und halten Sie ihn wiederum direkt unterhalb der Schleifenspitze fest.

- Schritt 3: Platzieren Sie jeden Schnürsenkel unter der Schleifenspitze der jeweils anderen Schleife.

- Schritt 4: Packen Sie die Schleifenspitzen mit der jeweils anderen Hand und ziehen Sie das Ganze fest.

- Schritt 5: Ta-da!

Mit etwas Übung gelingt dies in einem Bruchteil der Zeit, die man normalerweise braucht. Für jemanden, der Ihnen zusieht, schaut es so aus, als packten Sie lediglich die beiden Schnürsenkel, führten sie übereinander – und simsalabim! – der Knoten ist fertig. Wenn dieser Jemand den Knoten untersucht, hat er keine Chance festzustellen, ob er auf die lange oder die kurze Weise geknüpft wurde: Es ist derselbe Knoten. Sie können den einen Schuh auf die eine Weise und den anderen auf die andere Weise schnüren und beide Knoten dann vergleichen: Man kann sie tatsächlich nicht auseinanderhalten!

NEUN

Graphen, nur MAL SO

Während der Fußballweltmeisterschaft 2010 konnten einige Mathematiker den Finalsieger zwischen Spanien und den Niederlanden korrekt vorhersagen. Da es aber nur zwei Teams zur Auswahl gab, muss man fairerweise sagen, dass ungefähr die Hälfte der Leute, die eine Vorhersage machten, auch richtig lag. Darunter auch ein Oktopus. Interessant ist vielmehr, wie die Mathematiker an der Queen Mary Universität von London (QMUL) ihre Vorhersage machten. Sie beschafften sich per Download für jedes Team in der Meisterschaft die Statistik, wie oft der Ball zwischen zwei Spielern gepasst worden war. Das übertrugen sie in ein Netzwerk, dem man entnehmen konnte, welche Spieler in jedem Team sich die meisten Pässe zuspielten.

Dieses Netzwerk von Pässen und Laufwegen erschloss ihnen Erkenntnisse über die Fußballmannschaft, die nicht unmittelbar zutage traten, wenn man sich nur das Spiel dieser Mannschaft anschaute. Während eines Spiels bekommen die Stürmer die meiste Aufmerksamkeit; das Netzwerk zeigte jedoch, wer die anderen Schlüsselspieler waren. Ein unauffälliger Akteur im Mittelfeld kann entscheidend werden, wenn sein Ball den Stürmer im richtigen Moment erreicht. Nur wenige erinnern sich an die Pässe, die vor einem Tor gespielt wurden, oder erkennen das System dahinter präzise. Die Netzwerkanalyse machte das alles auf einfache Weise sichtbar. Obendrein konnten die Mathematiker die Netzwerke für zwei verschiedene Mannschaften vergleichen und nach Gemeinsamkeiten suchen. Dabei fanden sie heraus, dass dies ein interessantes Vorhersagemerkmal für das Spielergebnis war, wodurch sie letztlich auch den Gewinner vorhersagen konnten.

Netzwerk der Passspiele für die Niederlande und Spanien bei der Fußballweltmeisterschaft 2010

Wenn eine Mannschaft sich auf den nächsten Gegner vorbereitet, kann sie dieses Netzwerk zur Strategieplanung nutzen. Eine Möglichkeit besteht darin, denjenigen Spieler zu finden, dessen Herausnahme aus dem Netzwerk die größte Wirkung auf alle anderen erzielt, um dann mehr Defensivspieler auf diesen Spieler anzusetzen. Zum Glück haben Mathematiker schon eine Menge Arbeit dareingesteckt, die zentralen und wichtigsten Punkte eines Netzwerks zu berechnen. Meist dient diese Art Forschung dazu, Computer oder Infrastrukturnetzwerke vor bösartigen Angriffen zu schützen, aber es funktioniert auch prima für Fußballspieler.

Wir müssen also die Zentralität jedes Spielers ausrechnen – ein Maß dafür, wie stark er mit den anderen Elementen im Netzwerk verbunden ist. Es gibt verschiedene Arten, die Zentralität eines Knotens in einem Netzwerk zu berechnen, und jede von ihnen eröffnet unterschiedliche mathematische Einsichten. Das Einfachste wäre, man würde einfach die Gesamtzahl der Pässe jedes Spielers ausrechnen, doch gäbe das keine Auskunft darüber, wie jeder Spieler mit dem Rest des Netzwerks verbunden ist. In einer verfeinerten Methode könnte man ausrechnen, wie weit jeder Spieler von seinen restlichen Mannschaftskameraden im Hinblick auf das Passspiel entfernt ist, ein Maß, das als Nähe-Zentralität bekannt ist. Allerdings können wir es wie die deutsche Mannschaft noch besser machen.

Im Mittel über viele Spiele werden die meisten Spieler den Ball zu jedem ihrer Mitspieler passen, allerdings wird das bei manchen Anspielstationen seltener geschehen als bei anderen. Im Netzwerk, das die QMUL-Mathematiker berechnet hatten, gab es dicke Verbindungslinien, um die starken Paarungen mit vielen Pässen aufzuzeigen, und dünne Linien, wenn diese Verbindung schwach war. Man kann sich jeden Spieler vornehmen und die Gesamtzahl der Links berechnen, die man braucht, um ihn mit einem anderen Spieler zu verbinden. Der Durchschnittswert über alle Spieler einer Mannschaft ist dann das Maß für die Nähe. Das Ergebnis zeigt an, welche Spieler im Hinblick auf das Passspiel niemals weit von anderen Spielern entfernt sind, aber nicht, was ihre Entfernung aus dem Netzwerk bewirken würde.

Auszurechnen, wie wichtig ein Spieler als Verbindungsglied zwischen anderen Spielerpaaren ist, stellt eine bessere Möglichkeit dar. Wenn zwei Spieler den Ball vom jeweils anderen bekommen wollen, dann kann man nachschauen, ob das über bestimmte andere Spieler läuft. Diese Zentralität heißt Betweenness-Zentralität. Um sie zu ermitteln, berechnet man den kürzestmöglichen Weg zwischen jedem einzelnen Spielerpaar und ermittelt dann, welcher Anteil an Pässen über einen bestimmten Spieler im Mittelfeld gelaufen ist. Genau das haben die Mathematiker an der QMUL getan. Sie konnten für alle Fußballmannschaften, bestehend aus elf Spielern, und für alle 52 möglichen Paarungen den kürzesten und den stärksten Verbindungspfad im Hinblick auf das Passspiel zwischen ihnen berechnen.1

Dabei trat die Bedeutung jener Spieler im Mittelfeld mit hoher Betweenness-Zentralität deutlich zutage. Ohne sie wäre es viel schwieriger, Räume zu überwinden. Indem das gegnerische Team eigens Spieler gegen diese Mittelfeldstrategen einsetzt, könnte es das gegnerische Spiel viel effektiver stören als durch die Bewachung torgefährlicher Stürmer. Indem sie die Netzwerke der spanischen und niederländischen Mannschaften verglichen, konnten die QMUL-Mathematiker sehen, welche Mannschaft die größere Wirkung auf die andere haben würde. Auf diese Weise sagten sie korrekt voraus, dass Spanien die Niederlande im Endspiel schlagen werde. Dass der Mathematiker Javier López Pena am QMUL, der das alles initiierte, Spanier ist, hatte natürlich keine Auswirkung auf seine Folgerungen.

Wir können die Mathematik der Netzwerke benutzen, um ein Problem zu lösen, dem wir zuvor schon begegnet sind. Als Sie diese Flexagons gebaut haben, sind Sie zweifellos eine Weile ratlos gewesen, wie Sie von einer Seite zur anderen kommen: Die Fläche Nummer 5, zum Beispiel, war plötzlich erstaunlich schwierig zu finden. Herauszubekommen, welche Kombinationen von Seiten möglich sind, setzt Kenntnis darüber voraus, wie man von einem Paar zum anderen gelangt. Das heißt, es gibt ein Netzwerk hinter jedem Flexagon. Indem man einfach dieses Netzwerk aufzeichnet, kann man ablesen, wie man zwischen den Seiten eines Flexagons navigiert. Kollegen davon zu überzeugen, Ihren Vorgaben, also den Geboten des Flexagons, zu folgen, beruht natürlich auf Ihrer Fähigkeit, Seiten schnell zu finden, womöglich sogar unter Druck.

Wenn Sie also das Netzwerk der Kombinationen, die auf einem Flexagon möglich sind, aufmalen und die Paare verbinden, zwischen denen Sie hin und her wechseln können, schält sich ein Muster heraus. Wenn Sie die Verbindungen so malen, dass dieselbe Seite immer auf derselben geraden Linie zu liegen kommt, wird das Muster noch offensichtlicher: die Verbindungen formen ein Diamantgitter. Dabei zeigt sich auch, dass sich Hexatetraflexagon und Hexahexaflexagon unterschiedlich verhalten, obwohl beide sechs Seiten haben. Einige der Linien im Hexatetraflexagon-Netzwerk enden leer, wohingegen dieselben Linien im Hexahexaflexagon-Netzwerk weiter zu neuen Kreuzungspunkten führen.

Mögliche Seitenkombinationen für ein Hexatetraflexagon-Netzwerk und ein Hexahexaflexagon-Netzwerk

Die Struktur dieser Diagramme macht gute Vorhersagen darüber, wie sie sich beim Flexen verhalten. Kollegen sind in der Regel weitaus weniger vorhersagbar, wenn Sie sie flexen.

Die beiden Arten von Netzwerken, die wir bisher gesehen haben, unterscheiden sich in einigen Punkten. Bei den Diagrammen für die Fußballspiele benutzte man Linien unterschiedlicher Breite, um die Stärke einer Verbindung anzudeuten, während die Flexagon-Graphen lediglich gerade Linien in verschiedene Richtungen benutzen. Jedes Beispiel steht für eine bestimmte Anwendung von Netzwerken, die zur Lösung bestimmter Probleme entworfen werden. Allgemein gesagt, braucht man für ein Netzwerk lediglich eine Ansammlung von Dingen, die auf irgendeine Weise miteinander verbunden sind. Das ist die Grundlage mathematischer Netzwerke.

Das Versorgungsleitungproblem

Sie sollen die Verlegung von Strom, Wasser und Gas zwischen drei Häusern überwachen. Das einzige Problem dabei ist, dass sich die Leitungen zwischen den Häusern und den drei Versorgungswerken nicht überschneiden dürfen. Diese Aufgabe ist als Versorgungsleitungsproblem bekannt, und ich bin ein solcher Fan, dass ich einen Kaffeebecher mit daraufgedruckten Häusern und den Versorgungsarten besitze. Die Glasur auf einem Kaffeebecher macht ihn zu einer weißen Tafel, auf der man des Rätsels Lösung mit Hilfe eines Markers immer wieder ausprobieren kann. Sie können auch versuchen, Ihre Version hier aufzumalen. Es ist jedoch ein ziemlich übles Rätsel, weil es unmöglich zu lösen ist – also eigentlich die Extremversion des Konzepts «Rätsel».

So wie wir das bei den Fußballmannschaften und den Seiten eines Flexagons getan haben, würden die meisten Leute auch die Verbindungen zwischen den Häusern und den Versorgungswerken als Netzwerk bezeichnen. Aber aus irgendeinem Grund haben die Mathematiker (zumindest die englischsprachigen) beschlossen, Schwierigkeiten zu machen und dabei auch von Graphen zu sprechen. Mathematiker, die an den Fußballnetzwerken arbeiten, sind eigentlich Graphentheoretiker. Man nennt dieses Gebiet der Mathematik also sowohl Netzwerktheorie als auch Graphentheorie, je nach Person und Zusammenhang.2 Um noch mehr Verwirrung zu vermeiden, nennen die Mathematiker das, was normalerweise in der Schule als Graph bezeichnet wird, also etwa den Graphen einer Funktion, einen Plot oder ein Diagramm, sodass das Wort «Graphen» sich lediglich auf Netzwerke bezieht.

Zurück zum Whiteboard: Die harte Nuss in der Scherzfrage mit den Versorgungsleitungen besteht darin, einen Graphen zu finden, der alle drei Punkte (die Häuser) mit weiteren drei Punkten (Strom, Gas, Wasser) verbindet. Die Punkte in einem Graph werden gewöhnlich Ecken (auch Knoten) genannt, während die Linien, die sie verbinden, Kanten heißen. In diesem Fall wollen wir sicher sein, dass keine Kante eine andere kreuzt. Einen kreuzungsfreien Graphen nennt man einen planaren Graphen. Leider ist der Graph für das Versorgungsleitungsproblem aber kein planarer Graph.

Also lassen Sie uns das für den Moment vergessen. Hier ist eine andere, nicht unmögliche Aufgabe mit einem Netzwerk: Verbinden Sie jede Zahl mit ihren Faktoren, ohne dass sich die Linien kreuzen. Für die Zahlen zwischen 2 und 12 ist der Graph der Faktorenverbindungen planar. Und Sie können auch noch die Zahlen 13, 14, 15 und so weiter hinzufügen, ohne dass sich das ändert. Irgendwann jedoch stoßen Sie auf eine Grenze und die nächste Zahl, die Sie hinzufügen, kann mit ihren Faktoren nicht mehr verbunden werden, während der Graph gleichzeitig planar bleibt. Schauen Sie mal, ob Sie diese Grenzzahl herausfinden.

Die meisten Leute kommen bis ungefähr 18, bevor sie weitere Zahlen nicht mehr leicht hinzufügen können. Wenn man die Zahlen jedoch umordnet, kann man auch noch 18, 19 und 20 einbauen. Vielleicht sogar mehr. Um die Aufgabe zu lösen, muss man den Graphen ziemlich oft neu zeichnen, doch es ist immer noch derselbe Graph. So wie man einen Knoten unterschiedlich darstellen kann, gibt es auch unterschiedliche Darstellungen für dasselbe Netzwerk. Ein Graph ist nichts weiter als eine Menge von Objekten und deren Verbindungen, ganz gleich, wie man ihn auf ein Stück Papier zeichnet.

Herauszufinden, ob ein Graph planar ist, hat ein bisschen Ähnlichkeit damit, die kleinste Kreuzungszahl eines Knotens zu finden. Es ist schwierig, die perfekte Projektion zu finden, in der die Kreuzungszahl am niedrigsten ist. Ein planarer Graph kann zahllose Darstellungen haben, die jede Menge Überkreuzungen enthalten, doch es gibt immer zumindest einen Weg, ihn ohne Überkreuzungen zu zeichnen. (Eine kleine Nebenbemerkung zur Sprechweise hier: Den Graphen tatsächlich so zu zeichnen, dass es keine Kreuzungen gibt, ergibt einen ebenen Graphen. Ein planarer Graph hat potenziell keine Überkreuzungen.) Der Graph mit den Faktorverbindungen mit den Zahlen bis (Achtung Spielverderber!) 23 ist planar; die eigentliche Schwierigkeit besteht darin, ihn als ebenen Graphen aufzuzeichnen. Fügt man die 24 hinzu, scheint es unmöglich, den Graphen in der Ebene zu belassen. Aber woher wissen wir, dass es tatsächlich keine Möglichkeit gibt, die zu finden wir einfach nicht schlau genug waren?

Der polnische Mathematiker Kazimierz Kuratowski bewies 1930, dass es nur zwei grundsätzlich verschiedene nichtplanare Graphen gibt. Alle Netzwerke, die man nicht in der Ebene ohne Überkreuzungen zeichnen kann, müssen einen dieser fundamentalen nichtplanaren Graphen irgendwo enthalten. Einer von ihnen ist uns schon begegnet: der für die Versorgungsleitungen. Der andere hat den Namen «vollständiger Graph vom Grad fünf», kurz auch K_5 genannt, was so viel bedeutet, dass er fünf Ecken hat, von denen jede mit jeder anderen verbunden ist. Er ist der erste aller vollständigen Graphen (alle Ecken mit allen anderen verbunden), der nicht planar ist. Alle größeren vollständigen Graphen haben ihn irgendwo als Teilgraphen, und sie sind alle nicht planar.

In unserem Graphen, der die Faktoren verbindet, muss sich ein K_5 verstecken (als Untergraph), sobald wir die Zahl 32 hinzufügen, denn nur die Teilmenge der Zahlen {32, 16, 8, 4, 2,} bildet einen K_5 . Tatsächlich wird der Graph aber schon vorher nichtplanar, und zwar sobald man die Zahl 24 hinzufügt. Man kann sich Untergraphen ein klein wenig wie Primfaktoren vorstellen: in dem Sinne, dass sie sich zu größeren Graphen zusammenfügen lassen. Aber es gibt auch sehr wichtige Unterschiede. Ganz wichtig: Man kann Zahlen und Knoten immer nur in dieselben Primelemente zerlegen, wohingegen Graphen alle möglichen Arten verschiedener Untergraphen enthalten. Die Zerlegung in Untergraphen ist nicht eindeutig, aber dennoch nützlich.

Was man an Eindeutigkeit bei den Untergraphen verliert, wird dadurch wieder wettgemacht, dass sie sehr flexibel sein können. In einem Graphen können sich alle möglichen Arten interessanter Untergraphen verstecken, und sie zu finden, ist eine echte Herausforderung. Wenn Sie 24 zu dem Graphen, der Faktoren verbindet, hinzufügen, taucht ein Versorgungsleitungsgraph im Innern auf. Er ist jedoch durch zusätzliche Eckpunkte auf seinen Kanten unkenntlich gemacht. Man nennt das einen Unterteilungsgraphen, und weil das ein Untergraph ist, beweist das, dass der Faktoren verbindende Graph für 24 nicht kreuzungsfrei gezeichnet werden kann. Wenn man Ihnen irgendeinen bizarren Graphen zeigt und Sie herausfinden, dass er definitiv keinen K_5, keinen Versorgungsleitungsgraphen oder irgendeinen seiner Unterteilungsgraphen enthält, dann ist er definitiv planar.

Nun müssen wir nur noch zwei lose Enden verknüpfen. Als Erstes ist zu zeigen, warum der K_5 und der Versorgungsleitungsgraph so speziell sind und woher wir wissen, dass sie definitiv nicht planar sind. Das zweite lose Ende ist die Tatsache, dass man das Versorgungsleitungsproblem doch lösen kann. (Das ist der Grund, warum ich es auf einen Becher habe drucken lassen: damit ich den Leuten während des Frühstücks oder einer Kaffeepause zeigen kann, dass es eine Lösung gibt.) Ganz wichtig dabei: auf einen Becher zu zeichnen ist nicht dasselbe wie eine Zeichnung auf einem ebenen Stück Papier. Kleiner Hinweis für die Lösung – doch um weiterzukommen, müssen wir zunächst einen Blick auf die Verbindung zwischen Graphen und 3D-Formen werfen.

Von Formen und Graphen

Nehmen Sie das Dodekaeder, das Sie schon gebaut haben, zur Hand (oder bauen Sie ein neues, falls Sie so stolz waren, dass Sie es verschenkt haben oder es einen festen Platz bei Ihnen hat). Finden Sie eine Möglichkeit, an einer Ecke zu beginnen und den Kanten so zu folgen, dass Sie jede Ecke genau einmal berühren und dabei wieder am Startpunkt ankommen? Dieses Problem wurde erstmals von dem irischen Mathematiker William Hamilton 1857 aufgebracht. In seiner Version ging es um Städtenamen an den Ecken und die Frage, ob man eine «Weltreise» planen könnte, bei der man jede Stadt nur einmal besucht. Ein Weg, der jede Ecke genau einmal passiert, ist als Hamilton’scher Weg oder auch Hamiltonzug bekannt. Kommt man dabei an denselben Eckpunkt zurück, an dem man gestartet ist, dann hat man einen Hamilton’schen Kreis.

Einen solchen Weg auf einem echten Dodekaeder zu finden, kann ganz schön nervig werden, weil man darauf so schwer zeichnen kann. Aber es geht schon (besonders dann, wenn Sie Ihr selbst gemachtes Dodekaeder verschenkt oder eingerahmt haben): Ich habe mein Dodekaeder genommen und es zu einem ebenen Graphen gestreckt, den man stattdessen benutzen kann. Man kann das mit jedem Polyeder tun. Wenn Sie sich vorstellen, ein kleines Loch in eine der Seitenflächen zu machen, kann man die ganze Form flach zu einem planaren Graphen strecken. (Der Gebrauch der Wörter «Ecke» und «Kante» sowohl für Polyeder als auch für Graphen ist übrigens keineswegs zufällig: Für Mathematiker sind sie nur verschiedene Versionen derselben Sache.) Sieht man einmal davon ab, dass die Ränder der Begrenzungsflächen nun verformt sind, spiegelt der Graph exakt dieselbe Struktur und Verbindung von Eckpunkten mit Kanten wider wie das Polyeder.

Achtung Sprachregelung: Jeder Weg, der keine Ecke zweimal durchläuft, heißt Pfad.3 Falls dieser Pfad dort endet, wo er begonnen hat, nennt man ihn Kreis. Alle Polyeder haben Kreise, aber ein Graph könnte auch keine Kreise haben oder einen oder mehrere Kreise. Der längste mögliche Kreis heißt Umfang. Die Länge des kürzesten Kreises (gemessen in Anzahl der Kanten) heißt Taillenweite. Mathematiker haben so eine Gewohnheit, Synonyme wie diese aus der Alltagssprache zu entlehnen und sie für unterschiedliche Versionen derselben Sache zu gebrauchen. Falls ein Graph gar keine Kreise hat, nennt man ihn Baum, und eine Ansammlung von Baumgraphen heißt Wald. Kein Scherz.

Ein Baumgraphenwald

Falls Sie versucht haben, die Aufgabe zu lösen, bei der es darum ging, die Zahlen 1 bis 16 so anzuordnen, dass zwei aufeinanderfolgende Zahlen sich zu einer Quadratzahl addieren, so haben Sie wahrscheinlich, ohne es zu wissen, nach einem Hamilton’schen Pfad gesucht. Falls Sie die Kanten zwischen den Ecken, die sich zu einer Quadratzahl summieren, verbinden, werden Sie einen Hamilton’schen Pfad finden. In der nächsten Abbildung sehen Sie den vollständigen Graphen bis einschließlich Knoten 17. Genauso wie der Faktoren verbindende Graph nur bis zur Eckenzahl 23 planar war, bekommt der Quadratsummengraph einen Hamilton’schen Pfad, sobald Sie 15 hinzunehmen, und er bleibt ein Graph mit Hamiltonpfad lediglich bis zum Knoten 17. Dann kann man wieder einen Hamiltonpfad finden, sobald Knoten 23 dazukommt. Das geht dann nicht mehr für 24, bleibt aber wieder so von 25 an aufwärts. Bewiesen ist, dass ein Quadratsummengraph mit den Ecken 1 bis 89 einen Hamilton’schen Pfad hat, und man glaubt, dass das für alle größeren Zahlen so bleibt.4

Der Zusammenhang zwischen Graphen und Polyedern kann recht überraschend sein. Nehmen wir an, Sie haben drei Objekte auf dem Tisch – wir wollen sie in guter alter Tradition A, B und C nennen –, und Sie möchten einen Graphen zeichnen für alle Möglichkeiten, die Objekte nacheinander vom Tisch zu entfernen. Der Graph hätte Ecken für alle möglichen Ansammlungen von Objekten auf dem Tisch, verbunden mit Kanten, die das Entfernen eines Objekts darstellen. So wie beim Flexagon-Graphen können wir bei der Richtung der Kanten systematisch vorgehen. Indem wir mit ABC oben auf der Seite beginnen und uns diagonal abwärts bewegen – nach links, um A zu entfernen, senkrecht nach unten, um B zu entfernen, und diagonal nach rechts für C –, werden wir ganz zufällig das Bild eines Würfels erzeugen. Mathematik ist voll von solchen erstaunlichen Wendungen: Wer hätte gedacht, dass der Graph für das Entfernen dreier Objekte mit der Darstellung eines Würfels übereinstimmt?

Man kann das Bild sogar so zeichnen, dass der Graph planar wird (A nach rechts, B senkrecht nach unten, C diagonal). Derselbe Graph für zwei Objekte ergibt ein Quadrat. Und der für vier Objekte – reines Chaos.

Der Herschel-Graph und das Perfect-Herschel-Polyeder

Der Würfelgraph hat einen Hamilton’schen Kreis. Tatsächlich haben alle Graphen der platonischen Körper Hamilton’sche Kreise und werden deshalb auch Hamilton’sche Graphen genannt. Allerdings stimmt das nicht für alle Polyeder. Der kleinste Polyeder-Graph, der nicht Hamiltonisch ist, ist der Herschel-Graph, benannt nach dem Astronomen Alexander Herschel, allerdings nicht von ihm entdeckt (er hat zwar an Hamilton’schen Pfaden gearbeitet, jedoch nicht an dieser Form). Sie können mit dem Graphen herumspielen, um sich davon zu überzeugen, dass es keinen Hamilton’schen Kreis gibt. Aber das zugehörige Polyeder zu bauen, ist ein bisschen schwieriger. Dem Mathematiker Christian Perfect aus Newcastle ist das im Jahr 2013 gelungen. Er entwarf das Herschel-Polyeder, das nicht nur so konvex ist, wie wir gehofft haben, sondern auch erfreulich symmetrisch.

Sie können das Flächennetz in der nächsten Abbildung ausschneiden, um selbst eines zu bauen (alle 2D-Flächen müssen in 3D miteinander verbunden werden).

Wir haben schon bemerkt, dass alle Polyeder auch Graphen sind – aber nicht alle Graphen entsprechen Polyedern (jedenfalls einfachen konvexen Polyedern ohne Löcher). Es wäre schön, wenn man wüsste, wie man feststellen kann, ob sich ein Graph in ein Polyeder verwandeln lässt. Und tatsächlich gibt es eine einfache Lösung. Es kommt nur darauf an, ob der Graph planar ist. Alle Polyeder ergeben planare Graphen, und alle planaren Graphen lassen sich in Polyeder verwandeln (vorausgesetzt, sie sind groß genug).5

Genau das haben Sie zuvor schon einmal gemacht, nämlich als Sie irgendein Polyeder auf einem Ballon zeichnen sollten: Sie haben einen planaren Graphen gezeichnet. Das führt zu einer überraschenden neuen Einsicht in Graphen. Wie schon früher bemerkt, haben alle Polyeder, die man auf einem Ballon malen kann, Eulercharakteristik 2, also auch alle planaren Graphen. Genau das aber braucht man, um zu beweisen – oder zu falsifizieren –, dass K_5 und der Versorgungsleitungsgraph planar sind. Mit Geduld kommt man zum Ziel.

Zwar kann man die Eulercharakteristik eines Graphen immer mit der Formel Flächen + Ecken – Kanten ausrechnen, aber das Abzählen der Begrenzungsflächen eines nichtplanaren Graphen kann ziemlich schwierig werden. Eine bessere Beweismethode besteht darin, zu zeigen, dass einfach nicht genug Flächen da sein können. Zum Beispiel hat der K_5 fünf Ecken und zehn Kanten. Um auf die Eulercharakteristik 2 zu kommen, muss es also sieben Flächen geben. Doch selbst wenn diese sieben Flächen jeweils nur drei Ecken hätten (die kleinstmögliche Anzahl), käme man auf einundzwanzig Kanten, die an Flächen grenzen, und da jede Kante zwei Flächen trennt, müsste es mindestens elf Kanten geben (21 : 2 = 10,5, aufgerundet 11). Der K_5 hat aber nur zehn Kanten, und das reicht nicht. Er kann keine Eulercharakteristik 2 haben, er kann nicht planar sein. Dieselbe Logik funktioniert beim Versorgungsleitungsgraphen, nur dass hier nicht genügend Ecken vorhanden sind, die ausreichend viele Flächen für eine Eulercharakteristik 2 bilden könnten. Es handelt sich ganz klar um nichtplanare Graphen.

Schneiden Sie diese Figur aus, um Ihr eigenes Perfect-Herschel-Polyeder zu bauen.

Damit ist bewiesen, dass man die 24 nicht zu dem Faktoren verbindenden Graphen hinzufügen kann und dass sich das Versorgungsleitungsproblem nicht lösen lässt. Es mag nach ziemlich viel Aufwand aussehen, zu zeigen, dass derart einfache Rätsel keine Lösung haben, doch das ist eben Mathe. Mathematiker sind gründlich und ein bisschen langsamer als erwartet.

Der ganze Aufwand ist dennoch nicht umsonst: Die mathematischen Methoden werfen Gewinn ab. In Kapitel 5 haben wir uns klar gemacht, dass Formen mit Löchern ganz andere Eulercharakteristiken haben als solche ohne. Bislang haben wir nur bewiesen, dass man das Versorgungsleitungsproblem nicht in der Ebene oder auf einem Polyeder ohne Löcher lösen kann. Eine Form mit einem einzelnen Loch hat Eulercharakteristik 0, und es stellt sich heraus, dass der Versorgungsleitungsgraph sehr wohl Flächen + Ecken – Kanten = 0 erfüllt, wenn man ihn auf einen Donut malt. Oder auf irgendeine andere Form, die ein Loch hat. Zum Beispiel einen Kaffeebecher. Aus diesem Grund steht das Rätsel bei mir auf einem Becher: Der Henkel ist ein eingebauter Torus (also eine Donut-Form). Man kann eine Kante unter dem Henkel hindurchziehen und eine Kante über den Henkel führen, um auf die andere Seite zu kommen, ohne dass sich Kanten überschneiden. Das ist das Mathe-Schlupfloch, mit dessen Hilfe sich das Versorgungsleitungsproblem dann doch lösen lässt. Da hat sich die Geduld doch gelohnt, oder?

Ausgehen und Einfärben

Wir können nun Graphen auch dazu benutzen, uns ganz andere Situationen anzuschauen, einschließlich eines Partybesuchs. Wenn Sie auf eine Party gehen, dann kann es sein, dass jeder jeden anderen kennt; es wäre aber auch möglich, dass niemand irgendjemand anderen kennt (was eine miese Party ergeben könnte). Wahrscheinlich ist eine Mischung von Leuten, die einander kennen, und anderen Leuten, die niemanden kennen. Die Graphentheorie können wir jetzt benutzen, um sichere Aussagen darüber zu machen, wer sich auf einer Party kennt. Zum Beispiel gibt es unter sechs Leuten mit Sicherheit entweder drei, die sich alle untereinander kennen, oder aber drei Leute, die niemand anderen kennen (wir wollen sie der Bequemlichkeit halber «gegenseitige Fremde» nennen).

Das mag unwahrscheinlich erscheinen, aber Sie können es das nächste Mal, wenn Sie zu einer Gruppe von sechs Leuten gehören, nachprüfen. Einer der beiden Fälle wird immer zutreffen. Um zu belegen, dass das immer der Fall sein wird, können wir den vollständigen Graphen K_6 hernehmen – sodass jede Kante zwei Leute darstellt, die einander kennen könnten –, und alle Kanten fett machen, wenn die Leute bereits befreundet sind. Der K_6 hat 15 Kanten, und da jede von ihnen fett oder nicht fett sein kann, gibt es 2^15 = 32 768 mögliche Freundschaftsnetzwerke zwischen sechs Menschen. Das ist eine ganze Menge, doch wenn wir sie alle durchgehen und eine pro Sekunde überprüfen könnten, bräuchten wir für die Bestätigung, dass alle Netzwerke entweder drei gegenseitige Freunde oder drei gegenseitige Fremde enthalten, etwas mehr als neun Stunden. Wenn man alle Möglichkeiten überprüft, um etwas zu beweisen, dann nennt man das einen erschöpfenden Beweis, und wenn das neun Stunden dauert, versteht man auch, warum.

Dummerweise sieht die Hochrechnung für größere Gruppen nicht so gut aus. Fügt man nur eine Person hinzu, springt die Zeit für die Überprüfung von 9 Stunden auf etwas über 24 Tage. Wollte man einen erschöpfenden Test aller möglichen Netzwerke für eine Gruppe von zwölf Menschen durchführen, und jeder lebende Mensch würde pro Sekunde ein Netzwerk überprüfen, dann würde das Ganze immer noch mehr als 300 Jahre dauern. Und das ohne Pausen. Obwohl technisch machbar, bewegen wir uns sicherlich im Bereich der Unmöglichkeit. Jedenfalls würde man das nicht «in einer vernünftigen Zeit» nennen.

Die Tabelle auf Seite 212 oben zeigt eine Liste für die ersten zehn Personen, die in einer Gruppe zusammenkommen. Man sieht, dass die Zahl möglicher Bekanntschaftsnetzwerke auf wirklich alarmierende Weise ansteigt, je mehr Personen die Gesellschaft bilden. Wenn die siebte Person dazugekommen ist, beläuft sich die Zahl möglicher Netzwerke auf über 2 Millionen, und bei zehn Menschen ist sie jenseits der 35 Billionen.

Würden wir die Frage für die gesamte Menschheit stellen, hätte allein die Zahl der möglichen Bekanntschaftsnetzwerke für 7 Milliarden Menschen mehr als 18 Stellen. Auch wenn diese Zahlen immer noch endlich sind, so werden sie doch schnell unhandhabbar. Selbst wenn wir wirklich leistungsfähige Computer einsetzen könnten, wäre die Anzahl der Möglichkeiten für eine erschöpfende Überprüfung großer Netzwerke einfach zu groß.

Doch dafür gibt es die Graphentheorie. Als Erstes können Graphentheoretiker große Netzwerke auf ein paar wenige einfache Fälle reduzieren. Von den 32 768 möglichen Bekanntschaftsnetzwerken für sechs Personen haben viele exakt dieselbe Struktur, also müssen wir sie nicht alle überprüfen.

Mathematiker haben es geschafft, all diese Netzwerke auf 78 unterschiedliche Situationen zu reduzieren, die man dann viel schneller überprüfen kann. Sie können ja alle 78 selbst ausprobieren, wenn Sie Lust haben. Das ist zwar immer noch ein erschöpfender Beweis, weil wir quasi mit der Hand jeden einzelnen Fall verifizieren, aber durch die kluge Reduktion der Möglichkeiten ist er weitaus weniger erschöpfend als zuvor. Ihnen bleibt so noch Energie, um tatsächlich auf eine Party zu gehen.

Alle 78 Möglichkeiten, auf die sechs Personen durch Bekanntschaft verbunden sein können. Vielleicht haben Sie Lust, das einzuschweißen und zu Partys mitzunehmen.

Manchmal schaffen es Graphentheoretiker sogar – und wenn sie das schaffen, ist es noch viel hilfreicher –, auf das Überprüfen einzelner Fälle ganz zu verzichten. Stellen Sie sich vor, Sie befinden sich auf einer Gesellschaft in einer Gruppe von sechs Leuten. Um das Eis zu brechen, können Sie den anderen klarmachen, warum entweder drei von ihnen eine Beziehung gegenseitiger Bekanntschaft bilden oder sich gegenseitig fremd sind. Diagramme sind nur eine Option, die von der Art der Party abhängen.

Sie sind von fünf Personen umgeben, die sich von der Graphentheorie bezaubern lassen wollen.

Ihr Verhältnis zu drei von den fünfen muss das gleiche sein.

Entweder haben zwei dieser Menschen dieselbe Beziehung, was ein Dreieck schließt …

… oder sie haben alle das entgegengesetzte Verhältnis, sodass sie ihr eigenes Freundschaftsdreieck (oder Fremdseins-Dreieck) bilden.

Damit ist nun gezeigt, dass es in jedem Netzwerk von sechs (oder mehr) Leuten entweder ein vollständiges Dreieck aller Befreundeten geben muss oder ein vollständiges Dreieck gegenseitig Fremder. Und wir haben das gezeigt, ohne alle Fälle überprüfen zu müssen.

Leider brauchen Graphentheoretiker häufig sehr viel Zeit, um einen solchen nicht erschöpfenden Lösungsweg herauszufinden, und das ist wirklich schade. Denn ein Beweis per Aufzählung zeigt zwar, dass etwas wahr ist, er erlaubt aber selten Einblick in die mathematische Struktur der Begründung. Es ist zwar schön zu wissen, dass man recht hat, doch Mathematiker wollen wissen, warum Dinge so sind, wie sie sind. Es gibt einige Sachverhalte, die mathematisch bewiesen werden konnten, und doch arbeiten Forscher immer noch daran, bessere Beweise zu finden. Einer dieser Sachverhalte ist, wie man eine Landkarte koloriert.

Welche Karte fällt heraus? Drei kann man mit drei Farben einfärben. Eine braucht vier.

Eine Landkarte mit Farben zu versehen, scheint zunächst nicht sehr schwierig zu sein. Natürlich muss man sicherstellen, dass nicht zweibenachbarte Gebiete auf einer Karte dieselbe Farbe haben. Sonst wäre nicht klar, wo das eine beginnt und das andere aufhört, aber dieses Problem kann man leicht lösen, indem man viele verschiedene Farben benutzt. Schon früh bemerkten Kartographen jedoch, dass sie nie besonders viele Farben benötigten. Tatsächlich kann man jede denkbare Karte ziemlich leicht mit nicht mehr als fünf oder sechs Farben färben – ja, man fand sogar heraus, dass man mit vier oder weniger Farben auskommt. Man kann jede Karte bei Bedarf natürlich farbenfroher gestalten, der entscheidende Punkt ist jedoch, dass man es nicht muss: Mit vier Farben kommt man aus, ohne dass zwei benachbarte Gebiete dieselbe Farbe haben.

Man könnte es sogar mit nur drei Farben probieren. Versuchen Sie, die Karten in der Abbildung mit nur drei Farben einzufärben, sodass benachbarte Regionen verschiedene Farben haben. Bei manchen geht es leicht, bei anderen ist es schwer bis unmöglich. Jawohl, eine dieser Karten kann man nicht mit drei Farben kolorieren, man braucht eine vierte. Versuchen Sie, diese Karte herauszufinden. Ein ähnliches Rätsel für vier Farben aufzustellen, wäre nicht möglich. Wie schon erwähnt, kann man jede Karte mit vier oder weniger Farben färben. Ich könnte einfach keine angeben, für die man fünf Farben brauchen würde.

Sehr lange war den Mathematikern nicht bekannt, ob es da draußen nicht doch eine theoretische Karte gäbe, für die man fünf Farben bräuchte. Es war nicht auszuschließen, dass es, obwohl alle bekannten Karten mit vier oder weniger Farben auskamen, doch irgendeine komplexe Monsterkarte geben könnte, die mehr Farben braucht. Am 1. April 1975 veröffentlichte der gute Martin Gardner im Scientific American eine Karte, von der er behauptete, für sie brauche man fünf Farben. Das war natürlich ein mathematischer Aprilscherz, und obgleich man sie mit vier Farben kolorieren konnte, war es ausgesprochen schwierig herauszufinden, wie.

Die Vier-Farben-Vermutung wurde 1852 aufgestellt, und sie schien 1880 auf zwei verschiedene Weisen bewiesen zu sein, wodurch sie zum Vier-Farben-Satz wurde. Der Beweis von 1880 stammte von Tait (der ebenso wie Lord Kelvin Knotentheoretiker war). Doch schon zuvor, im Jahr 1879, hatte ein englischer Anwalt namens Alfred Kempe einen Beweis geliefert. Dummerweise waren beide Beweise falsch, und 1890 veröffentlichte ein 28-jähriger Jungmathematiker namens Percy Heawood in Durham eine Arbeit mit dem Titel «Map Colour Theorems» (deutsch etwa «Sätze über das Färben von Karten»), in der er nachwies, dass es «einen Fehler in den gegenwärtig anerkannten Beweisen» gab. So wurde der Vier-Farben-Satz wieder auf die Vier-Farben-Vermutung zurückgestuft, was sie fast ein ganzes Jahrhundert blieb.

Es lohnt sich, den Beweis von 1879 genauer anzusehen, weil er fast funktioniert hätte. Alfred Kempe war ein Engländer mit Liebe zur Mathematik wie auch zur Musik, wurde dann jedoch Anwalt. Er hat sicher nie aufgehört, mathematisch zu forschen, entweder als Hobby oder professionell. Er hielt unter dem Titel «Wie man eine gerade Linie zieht» eine Reihe von Vorlesungen an der Royal Institution (später unter demselben Namen ein Buchbestseller), er war seit 1881 Mitglied der Royal Society und 1898 – 1919 ihr Kämmerer: gerade noch lange genug, um 1918 mitzubekommen, wie Ramanujan das zweite und letzte indische Mitglied wurde. Kempes Fast-Beweis der Vier-Farben-Vermutung aus dem Jahr 1879 enthielt einige erstaunliche Mathematik, doch die Tatsache, dass er leicht fehlerhaft war, war ihm sehr peinlich. Bei seiner Beisetzung 1923 wurde die Arbeit nicht erwähnt, obwohl sie vielleicht sein größter Beitrag zur Mathematik war.

Der erste Schritt in Kempes Fast-Beweis bestand darin, Karten in Graphen zu verwandeln. In der Abbildung sehen Sie eine Karte von Australien mit all seinen Staaten. Daraus kann man einen Graphen machen, indem man für jeden Staat eine Ecke zeichnet und dann die Ecken mit Kanten verbindet, wenn zwei Staaten sich auf der Karte berühren. Nun besteht das Problem darin, den Ecken verschiedene Farben zu geben, sodass keine zwei durch eine Kante verbundenen Ecken dieselbe Farbe haben.

Eine Karte von Australien neben einer Karte von Australien

Kempes Angriff hatte zwei Stoßrichtungen: Eine Spitze war Reduzibilität, die andere Unvermeidbarkeit. Das Konzept der Reduzierbarkeit (bzw. Reduzibilität) bestand darin, dass eine Menge komplizierter Graphen die Existenz kleinerer Graphen mit denselben Eigenschaften bedeutete – so wie jeder nichtplanare Graph definitiv auf entweder K_5 oder den Versorgungsleitungsgraphen reduziert werden kann. Unvermeidbarkeit bedeutet, dass alle in einer Situation möglichen Graphen einen von wenigen verschiedenen Untergraphen enthalten. Die Feststellung, dass jede Gruppe von Freunden entweder drei paarweise Befreundete oder drei paarweise Unbekannte enthalten muss, ist ein Beispiel für Unvermeidbarkeit. Kempe zeigte, dass trotz der unendlichen Fülle von Karten alle zugehörigen Graphen unvermeidlich alle einen aus einer begrenzten Menge von Untergraphen enthielten. Mit diesem Vorwissen kann man sämtliche Untergraphen überprüfen und zeigen, dass man sie alle auf Graphen reduzieren kann, die nur vier Farben benötigen. Mit dieser Methode bewies er den Fünf-Farben-Satz, doch als er es anschließend für vier Farben versuchte, hatte er zu wenige unvermeidbare Untergraphen. Anders ausgedrückt, schlüpften ihm ein paar Graphen durch das Suchraster, weswegen später Gegenbeispiele gefunden wurden.

Fast hundert Jahre später bemerkten die Mathematiker Kenneth Appel und Wolfgang Haken, dass man 1936 verschiedene unvermeidbare Graphen einzeln überprüfen musste, damit Kempes Methode funktionierte. Sie alle per Hand bzw. mit dem Kopf zu überprüfen und zu zeigen, dass sie reduzierbar waren, erwies sich als nicht machbar, weswegen sie den Prozess mit Hilfe von Computern automatisierten. Trotz der sehr begrenzten Rechenleistung, die in den 1970er Jahren verfügbar war, waren sie erfolgreich, und der Vier-Farben-Satz wurde der erste wichtige Satz, der per Computer bewiesen wurde. Glücklich waren die Leute darüber nicht.

Es war dies der erste mathematische Beweis, in dem einige Schritte ohne menschliche Kontrolle automatisch von einem Computer durchgeführt worden waren. Bis heute sind nicht alle Mathematiker vollständig überzeugt. Im Jahr 1997 wurde ein direkterer Beweis gefunden (er brauchte nur 633 unvermeidbare Fälle und vereinfachte auch andere Prozesse), doch auch er brauchte Computer.6 Dieser Beweis aus dem Jahr 1997 wurde per Computer bestätigt (so ähnlich wie Hales es für den Beweis der Kepler-Vermutung getan hat), doch obwohl das den Beweis stärken mag, mindert es in keiner Weise die grundsätzlichen Bedenken gegen den Einsatz von Computern.

Das ist der aktuelle Stand beim Vier-Farben-Satz. Die meisten Mathematiker halten ihn für bewiesen (obwohl sie höchst unzufrieden mit dem Beweis sind), während einige wenige ihn immer noch als Vier-Farben-Vermutung betrachten. Einen zweiten Durchbruch, so wie beim Sechs-Freunde-Netzwerk, hat es nicht gegeben, einen Beweis also, der auf Logik beruht statt darauf, alle möglichen Fälle erschöpfend zu behandeln. Sicher können Kartographen jetzt ruhig in dem Wissen schlafen, dass sie niemals eine fünfte Farbe werden kaufen müssen, und doch ist die Suche zumindest für Mathematiker nicht wirklich vorbei, bis man versteht, warum etwas als korrekte Antwort gilt, und nicht nur, dass es tatsächlich die korrekte Antwort ist.

ZEHN

Die VIERte Dimension

Wir Menschen leben in einer dreidimensionalen Welt. Wir sind 3D-Geschöpfe, und als 3D-Geschöpf finde ich keine Vorstellung so furchterregend, wie auf ein 4D-Geschöpf zu treffen. Es wäre für uns ein göttergleiches Wesen, und wenn es auch nur ein wenig zur Bösartigkeit neigte, könnte es uns nach Gutdünken schikanieren und sogar auslöschen. Menschen sind weder physisch noch psychisch dazu gerüstet, sich mit der vierten Dimension auseinanderzusetzen, daher hätte jedes höherdimensionale Wesen einen überragenden taktischen Vorteil.

In dem Comic 1963 – Tales of the Uncanny (veröffentlicht 1993) findet sich eine ziemlich realistische Beschreibung eines Kampfes zwischen den Dimensionen. Die Story «It Came from … Higher Spaces» dreht sich um einen 4D-Protagonisten, der ein 3D-Opfer angreift. Verfasst wurde sie von der Comic-Legende Alan Moore (Autor von Watchmen, V wie Vendetta, Die Liga der außergewöhnlichen Gentlemen und vielen anderen), und das Monster tritt als Ansammlung schwebender, unzusammenhängender Körperteile auf, die sich wie aus dem Nichts materialisieren und ständig verwandeln. Alles beginnt mit einer Reihe von Strichen mitten in der Luft, die sich zu 3D-Gebilden aufblasen und als eine Art Fleisch gewordene Donuts beschrieben werden. Keine sehr angenehme Vorstellung!

Das 4D-Monster, das aus einer höheren Dimension kam!

Im Bild oben links: EER GNIGST BUE CNALORE …

Rechts daneben: GÜRSSE WERFÜL LENDAR

Im Bild oben rechts: GG … GRÜ… SSE, WÜRFELLÄNDER! BITTE ENT-SCHULDIGE MEINE STIMME ES IST SO SCHWIE-RIG IN DIESEM ME-DI-UM TÖNE ZU ER-ZEU-GEN!

Wir können die zusammenhangslose Natur des 4D-Monsters erklären, wenn wir uns vorstellen, was passieren würde, wenn wir als 3D-Wesen ein 2D-Wesen attackieren würden. Dreidimensionalität bedeutet, dass sich der Raum, in dem wir operieren, in drei verschiedene Richtungen erstreckt: von rechts nach links, von vorn nach hinten, von oben nach unten. Ein 2D-Wesen kann sich nur in zwei Richtungen bewegen: Es ist in seiner Bewegung auf eine ebene Fläche beschränkt. Stellen wir uns also ein hypothetisches Wesen vor, das völlig flach ist, einen Hypoflachländer beispielsweise, der in einem superdünnen Universum lebt, so dünn, dass es uns wie ein Blatt Papier erscheinen würde. Wir könnten uns dieser Fläche in der Senkrechten so sehr nähern, wie wir wollten, ohne für die Bewohner sichtbar zu werden, da der Hypoflachländer kein Konzept der dritten Dimension hat und somit keinen blassen Schimmer, dass wir ihm auf die Pelle rücken. Die dritte Dimension ist ein perfektes Versteck.

Es ist daher an der Zeit, unsere eigene schreckliche Attacke auf ein wenigerdimensionales Wesen zu starten – und alles, was es dazu braucht, ist eine Bewegung von der dritten Dimension in eine zweidimensionale Welt hinein.

Stellen wir uns die ganze Sache aus der Sicht des Hypoflachländers vor. Sobald unsere Fingerspitzen in seine 2D-Realität eindringen, erscheinen sie als einzelne, schwebende Kreise, die wachsen, sich bewegen und verschmelzen, wenn unsere Handfläche die 2D-Welt erreicht. Wenn wir unsere Finger durch ihr flaches Universum schieben, sind alles, was die Bewohner sehen, sich verändernde 2D-Querschnitte, die wie fliegende Fleischpfannekuchen ausschauen. Sich zu verstecken, ist ebenfalls keine Lösung: Als 3D-Wesen können wir die gesamte 2D-Welt wie eine vor uns ausgebreitete Blaupause überblicken – und genau so beschreibt das 4D-Monster in Alan Moores Story die 3D-Welt.

Eine Hand vor einer 2D-Fläche bliebe unentdeckt. Wenn sie durch die 2D-Welt dringt, werden dort nur die Schnittflächen sichtbar.

Daher kann der Hypoflachländer sich nicht verbergen und irgendwo sicher verbarrikadieren. Wir können genauso problemlos in jeden geschlossenen 2D-Raum greifen wie in die Mitte eines 2D-Quadrats. Zudem können wir ins Innere des 2D-Wesens sehen: All seine inneren Organe liegen offen vor uns, und wir können sie nach Gutdünken manipulieren. Das ist es, was die Attacke eines 4D-Angreifers für uns 3D-Geschöpfe so furchterregend macht: Er kann direkt neben unserem 3D-Universum lauern und alles beobachten, was wir tun und was sich in unserem Inneren abspielt, und braucht nur in uns hineinzugreifen, um uns von innen zu töten. Sie sind allgegenwärtig und schauerlich, doch zum Glück spricht bisher nichts dafür, dass es 4D-Kreaturen gibt. Dennoch kann es nicht schaden, nur für alle Fälle etwas mehr über die vierte Dimension zu wissen.

Nehmen wir an, wir seien freundliche 3D-Geschöpfe und möchten dem Hypoflachländer nur unsere 3D-Welt zeigen – ihm etwas beibringen, das jenseits seiner Welt liegt, als Zeichen unseres interdimensionalen guten Willens, sozusagen. Wir könnten ihm beispielsweise einen 3D-Würfel demonstrieren. Wenn wir den Würfel durch seine 2D-Welt bewegen, würde der Hypoflachländer verschiedene Querschnitte dieses Körpers sehen. Die langweilige Methode wäre, den Würfel mit einer Fläche voran zu bewegen: Dann würde der Hypoflachländer nur ein Quadrat sehen, das auftaucht und wieder verschwindet. Interessanter wäre schon, mit einer Kante anzufangen; das würde zu einem Rechteck führen, das aus dem Nichts auftaucht, sich ausdehnt und wieder zu einem Nichts zusammenschrumpft. Die beste Option ist jedoch, mit einer Ecke zu beginnen: Dann erscheint zunächst ein Dreieck, wird größer, ändert seine Form und schrumpft anschließend wieder zu einem Nichts zusammen.

Viel unterhaltsamer für den flächengebundenen Hypoflachländer! Und hier noch einer dieser erstaunlichen mathematischen Zusammenhänge: Wenn wir die Flächen im Auge behalten, die dieses sich bewegende Dreieck bedecken, ergibt sich in der Mitte ein perfektes regelmäßiges Sechseck. Und nicht nur das: es ist derselbe sechseckige Querschnitt eines Würfels, auf den wir schon gestoßen sind, als wir das Würfel-durch-den-Würfel-Rätsel von Prinz Ruprecht gelöst haben.

3D-Würfel, der mit einer Kante voran durch eine 2D-Ebene geschoben wird, und die 2D-Schnitte, die ein Hypoflachländer sehen würde.

Nun wollen wir uns anschauen, was passiert, wenn sich ein 4D-Hyperwürfel(oder Hyperkubus) durch unsere 3D-Welt bewegt. Wenn uns ein freundliches 4D-Wesen im selben wohlwollenden Sinne interdimensionaler Völkerverständigung einen 4D-Würfel zeigen wollte, würden wir, während der Würfel unsere Welt passiert, eine Reihe von 3D-Querschnitten sehen. Die langweilige «Seite-zuerst»-Option ergibt lediglich einen normalen 3D-Würfel, der auftaucht und wieder verschwindet. «Kante zuerst» ist deutlich spannender. Dann würden wir ein dreieckiges Prisma sehen, das sich, aus dem Nichts kommend, ausdehnt, sich zu einem hexagonalen Prisma verformt und sich dann zu einem dreieckigen Prisma mit anderer Orientierung zusammenzieht, bevor es wieder ins Nichts verschwindet.

3D-Würfel, der mit einer Ecke voran durch eine 2D-Fläche gleitet, und die 2D-Schnitte, die ein Hypoflachländer sehen würde.

Noch interessanter ist das, was passiert, wenn ein 4D-Würfel unsere 3D-Welt mit einer Ecke voran passiert. Nun taucht ein Tetraeder aus dem Nichts auf und dehnt sich gleichmäßig aus, verformt sich zu einer seltsamen, aus Sechsecken und Dreiecken zusammengesetzten Struktur, bildet kurz einen Oktaeder und durchläuft anschließend dieselben Formen rückwärts (nur in anderer Orientierung), bevor er wieder ins Nichts abtaucht. Nun, das nenne ich ein paar interessante Formen aus dem Hut zaubern!

3D-Querschnitte eines 4D-Würfels, der mit der Ecke voran durch unsere Welt gleitet. Der Raum, den er einnimmt, ist ein sechseckiges Prisma.

3D-Querschnitte eines 4D-Würfels, der sich mit der Ecke voran durch unsere Welt schiebt. Spannend: Der größte eingenommene Raum ist ein rhombischer Dodekaeder.

Lassen Sie uns noch einen Augenblick über Formen reden. Wenn man einen 4D-Würfel genau so halbiert, dass man den größten zentralen 3D-Querschnitt erhält, so hat dieser die Form eines Oktaeders – die Doppelform eines 3D-Würfels. Das ist der Raum, den der 4D-Würfel einnimmt, ein rhombischer Dodekaeder. Nichts davon zeigt uns jedoch wirklich, wie der 4D-Würfel in seiner Gänze aussieht. Wenn wir das wissen wollen, müssen wir aufhören, nur über Formen zu reden, und stattdessen Modelle von Formen bauen.

Wir bauen unseren eigenen 4D-Würfel

Wir können ein Modell eines 4D-Würfels aus Strohhalmen bauen. Und wie bei unserem raumfüllenden Weaire-Phelan-Modell benutzen wir farbige Halme, aber diesmal stehen die Farben für verschiedene Raumrichtungen. Lassen Sie uns mit weniger Dimensionen beginnen und uns die Leiter hinaufarbeiten. Eine Form in 1D zu konstruieren, ist einfach: Wir nehmen einen einzelnen Halm. Ich benutze einen roten Halm, um die eine verfügbare Dimension darzustellen. Ein 2D-Quadrat ist auch nicht viel schwieriger. Verwenden Sie wieder geknickte Pfeifenreiniger, um die Ecken zweier roter Halme (für die waagerechten Kanten) und zweier blauer Halme (für die senkrechten Kanten) zu verbinden. Nun gibt es zwei Richtungen, in die Sie sich bewegen können. Ein Kinderspiel, selbst für einen Hypoflachländer.

1D-Gerade, 2D-Quadrat, 3D-Würfel

Man kann sich ein Quadrat gut als 1D-Kante vorstellen, die verdoppelt wurde, um zwei identische Geraden zu ergeben, welche anschließend durch neue Kanten verbunden werden, die einer neuen Richtung folgen. Ebenso kann man einen 3D-Würfel als 2D-Quadrat ansehen, das verdoppelt wird, woraufhin die beiden Versionen an jeder Ecke durch Kanten verbunden werden, die eine dritte Richtung aufspannen. Wenn Sie ein zweites Quadrat mit derselben Farbgebung wie das erste herstellen und die Ecken beispielsweise mit grünen Halmen zusammenfügen, erhalten Sie das Modell eines Würfels. Aus reiner Gewohnheit haben Sie diesen Würfel wahrscheinlich so gebaut, dass er aufrecht steht. Ganz im Geist der Wissensvermittlung sollten Sie das ganze Ding jedoch flachdrücken und einem Hypoflachländer zeigen.

Um Ihren Würfel in die nächste Dimension zu überführen, bauen Sie einen zweiten 3D-Würfel und verbinden all seine Ecken mit denen des ersten Würfels, wobei Sie Halme anderer Farbe benutzen – beispielsweise gelb –, die die vierte Raumrichtung repräsentieren. Dieses Modell ist das Äquivalent des flachgedrückten Würfels, den wir dem Hypoflachländer gezeigt haben: Das zweite Quadrat sollte aus der 2D-Fläche in die dritte Dimension aufragen, doch stattdessen hängt es an der Seite. Unser zweiter Würfel sollte aus unserem 3D-Raum in die 4D-Dimension ragen, aber stattdessen sitzt er neben dem ersten. Was Sie vor sich haben, ist ein Modell eines vollständigen 4D-Würfels, nur flachgedrückt, damit er in unsere mickrigen drei Dimensionen passt. Es gibt ein hübsches Muster, was die Anzahl der Kanten und Eckpunkte in jedem Würfel angeht, wenn man von einer Dimension in die andere übergeht, doch das finden Sie in den «Antworten am Ende des Buches».

4D-Hyperwürfel

Die flache Version eines 3D-Würfels hat dieselbe Form wie der Schatten eines Würfels. Wenn wir eine Lichtquelle nehmen und einen 3D-Würfel an die Wand projizieren, sehen wir seinen 2D-Schatten, und das ist die Form, die unser Hypoflachländer in 3D sehen würde. Unser wohlmeinendes 4D-Geschöpf sollte in derselben Weise 4D-Formen so projizieren, dass sie 3D-Schatten werfen: Das Strohhalmmodell eines 4D-Würfels, das Sie gebaut haben, ist der 3D-Schatten eines 4D-Würfels. Es gibt jedoch eine zweite Möglichkeit, Schatten zu werfen: Man kann ihm eine gewisse Perspektive verschaffen. Für den 3D-Würfel heißt das: Wenn Sie das zweite Quadrat kleiner gemacht hätten als das erste, hätten Sie es im Inneren des größeren aufhängen können. Das ist der Schatten eines 4D-Würfel, und ebenso wie bei ihm schneiden sich die Flächen nicht. Wenn Ihnen dies das Gefühl eines Déjà-vu vermittelt, dann deshalb, weil Sie diese Version eines 4D-Würfels bereits kennen: die würfelförmige Blase. Vielleicht haben Sie längst, ohne es zu wissen, mittels Seifenlauge den 3D-Schatten eines 4D-Würfels hergestellt.

Ein Anschein von Perspektive vermeidet Überschneidungen.

Ebenso, wie Perspektive auf diese Weise einzusetzen, um Formen in einer höheren Dimension zu untersuchen, können wir uns auch die Schatten rotierender Würfel anschauen. Was den 2D-Schatten eines rotierenden 3D-Würfels angeht, so hilft es, zwei gegenüberliegende Quadrate einzufärben und die anderen vier angrenzenden Quadrate leer zu lassen. Auf diese Weise kann man ein Quadrat verfolgen, während es sich dreht. Wir können dieses System mit dem rotierenden Würfelschatten auch verwenden, um unserem Hypoflachländer einen 3D-Würfel zu zeigen. Obgleich der Würfel nicht im 2D-Raum, sondern im 3D-Raum direkt neben dem 2D-Universum des Hypoflachländers rotiert, könnte dieser erkennen, wenn sich ein Quadrat nähert, da der Schatten dann größer wird. Natürlich wird derselbe Schatten wieder kleiner, sobald er sich weiter entfernt. Leider durchdringen sich die Quadrate aus Sicht des Hypoflachländers unablässig, und alle Erklärungen der Welt werden ihm nicht helfen, sich vorzustellen, dass sie einander nicht durchdringen, sondern in einer höheren Dimension vor- bzw. hintereinander vorbeiziehen.

2D-Projektion eines rotierenden 3D-Würfels und 3D-Projektion eines rotierenden 4D-Würfels, die beide gleichzeitig eine halbe Drehung vollführen.

Dasselbe können wir tun, indem wir einen rotierenden 4D-Würfel in unsere 3D-Welt projizieren. Die beiden gegenüberliegenden Würfelseiten sind koloriert, und die anderen angrenzenden Würfel durchsichtig. Wenn der 4D-Würfel direkt neben unserem Universum rotiert, erscheint uns jeder Würfel größer, während er sich uns in 3D nähert, und kleiner, während er sich von uns entfernt. Wie beim 3D-Würfel und dem Hypoflachländer sieht es für uns so aus, als würden die rotierenden Würfel einander durchdringen, obgleich sie tatsächlich in der vierten Dimension vor- bzw. hintereinander vorbeigleiten. Und das können wir uns nicht visuell vorstellen. Am tollsten finde ich den Augenblick, in dem sich die 3D-Zellen des 4D-Würfels quasi genau senkrecht zu unserem Universum befinden. So, wie eine der Seiten des 3D-Würfels, wenn sie senkrecht zur 2D-Fläche steht, auf die sie projiziert wird, zu kollabieren und für einen Sekundenbruchteil zu verschwinden scheint, wird eine 3D-Zelle, wenn sie in genau dem richtigen Winkel zu unserer Realität steht, kurz völlig aus unserem Blickfeld verschwinden. Die vierte Dimension ist wirklich bizarr.

Wenn Sie gern selbst einmal mit einem 4D-Würfel hantieren möchten, schlage ich vor, Sie versuchen, einen 4D-Rubikwürfel zu lösen. Natürlich gibt es so etwas! Anders als bei einem 3D-Rubikwürfel, bei dem Sie alle gleichfarbigen 2D-Aufkleber auf dieselbe 2D-Seite des 3D-Würfels bringen müssen, müssen Sie bei einem 4D-Würfel alle gleichfarbigen 3D-Aufkleber auf dieselbe 3D-Seite des 4D-Würfels bringen. Um dies zu tun, können Sie nicht direkt mit einem 4D-Zauberwürfel hantieren, doch Sie können die Online-Version benutzen, in der Sie die 3D-Projektion eines 4D-Rubikwürfels manipulieren und ihn damit indirekt bewegen können. Das Ganze ist wirklich recht verwirrend, denn der 3D-Schatten bewegt sich in die drei Raumrichtungen, die wir gewohnt sind, aber ein 4D-Würfel lässt sich auch um eine vierte orthogonale (senkrecht dazu stehende) Achse drehen (was in diesem Fall dadurch erreicht wird, dass man die Umschalttaste gedrückt hält).

Ein 4D-Rubikwürfel. Bitte lösen!

Um die ganze Sache noch zu verkomplizieren: Da Sie die 3D-Projektion des 4D-Rubikwürfels auf einem Computerbildschirm betrachten, interagieren Sie eigentlich mit dem 2D-Schatten des 3D-Schattens des 4D-Würfels. Viel Glück!

Der vergessene platonische Körper

Es gibt nicht nur ein 4D-Äquivalent des 3D-Würfels, sondern auch 4D-Äquivalente aller fünf platonischen Körper. Und dann noch einen mehr. In der vierten Dimension existiert ein völlig neuer platonischer Körper, der als Hyperdiamant bezeichnet wird und in 3D einfach nicht funktioniert. Die vierte Dimension ist nicht nur die Heimat schrecklicher hypothetischer Monster, sie ist eine völlig neue Welt, in der wir Mathematik über das hinaus betreiben können, was in drei Dimensionen möglich ist. Diese vierte Dimension schenkt uns mehr Bewegungsspielraum und wirklich großartige Formen.Der Hyperdiamant (auch als Ikositetraeder, Oktawürfel oder 24-Zeller bezeichnet) ist mein Favorit unter den platonischen Körpern.

Sieh da, der Hyperdiamant!

Zunächst müssen wir jedoch klären, was wir mit vierter Dimension eigentlich meinen. Allgemein bekannt ist, dass wir nach Einsteins Relativitätstheorie in einem vierdimensionalen Raum-Zeit-Gefüge leben. Es behält die üblichen drei Raumdimensionen um uns herum bei und benutzt dann die Zeit als vierte Dimension – was einfach bedeutet, dass jedes einzelne Objekt nicht nur eine Position im 3D-Raum einnimmt, sondern auch eine Position in der Zeit. Mathematisch erlaubt das, dieselben physikalischen Gleichungen nicht nur auf Raumpunkte, sondern auch auf die Zeit anzuwenden. Das war jedoch nur eine Umnutzung der 4D-Mathematik, die für den reinen vierdimensionalen Raum entwickelt worden war. Schon lange vor Einstein interessierten sich Mathematiker dafür, was wohl passieren würde, wenn wir statt drei Raumdimensionen vier hätten. Wie bereits gesagt, kann sich der arme Hypoflachländer mit seinen mickrigen zwei Dimensionen niemals vorstellen, wie eine dritte Dimension wohl aussehen würde. Wir könnten versuchen, ihm zu erklären, dass es möglich ist, sich in eine ganz neue Raumrichtung zu bewegen, die im rechten Winkel zu seinem gesamten Universum steht, aber das würde nicht viel nützen: Es würde sein Vorstellungsvermögen buchstäblich übersteigen. Wenn wir die vertikale und die horizontale Achse nähmen und versuchten, sie in eine dritte Richtung – aus der Ebene heraus – zu biegen, würde diese dritte Richtung unserem Hypoflachländer wie eine Diagonale in 2D erscheinen. Wie wir wissen, können alle Polyeder als 2D-Diagramme gezeichnet werden, daher könnten wir hartnäckig bleiben und ihm eine flacheVersion von 3D-Formen zeigen, doch er würde nie wissen, wie sie in echtem 3D wirklich aussehen.

3D-Achsen, auf eine 2D-Fläche projiziert

Die vierte Dimension stellt uns vor dieselben Probleme. Mathematisch gesehen, handelt es sich nur um eine neue Raumrichtung, in die man sich bewegen kann, und die im rechten Winkel zu den drei Achsen steht, die wir bereits haben. Irgendwie vorstellbar. Aber was wir uns nicht vorstellen können, ist, was die vierte Dimension wirklich ist. Wie ein Hypoflachländer sich nicht vorstellen kann, dass es möglich ist, sein flaches Universum zu verlassen und sich in eine neue Richtung zu bewegen, können wir uns nicht vorstellen, dass wir unsere dreidimensionale Welt verlassen und uns in eine vierte Richtung bewegen könnten.

Mathematisch ist die ganze Sache jedoch nicht besonders kompliziert. Ein Hypoflachländer könnte sicherlich problemlos all die Mathematik in Kapitel 5 über 3D-Formen nachvollziehen; er könnte die Ergebnisse lediglich nicht intuitiv visualisieren. Wir könnten ihm zeigen, dass sich die Lücke zwischen fünf Dreiecken zu einem 3D-Eckpunkt schließen lässt und dass dies im Endeffekt zur Bildung eines Ikosaeders führt, und wir können ihm sogar den Schatten dieses Ikosaeders demonstrieren, doch der Hypoflachländer könnte eine solche Form niemals wirklich in der Hand halten.

Wenn man im dreidimensionalen Raum fünf Tetraeder nimmt, füllen sie den Raum um einen Punkt nicht völlig: Es bleibt eine Lücke. Diese Lücke lässt sich schließen, indem man die Tetraeder eine Dimension anhebt und sie in 4D krümmt. Setzt man dieses Krümmen in 4D fort, passen 600 Tetraeder perfekt in einen platonischen 4D-Körper, ein sogenanntes Hyper-Ikosaeder. Ebenso bilden 16 Tetraeder, jeweils vier pro Kante, ein Hyper-Oktaeder, und 5 Tetraeder, jeweils drei pro Kante, einen Hyper-Tetraeder. Drei Würfel pro Kante ergeben einen Hyperwürfel, und schließlich lassen sich 120 Dodekaeder, jeweils drei pro Kante, in 4D zu einem Hyper-Dodekaeder anordnen.

Die Lücke zwischen den Sechsecken lässt sich in 3D schließen, was zu einer Verzerrung der Projektion in 2D führt.

Drei, vier und fünf Tetraeder treffen sich in 3D nicht ganz ohne Lücke, doch in 4D lassen sie sich krümmen und können die Lücke schließen.

Im Allgemeinen gibt es keine Namen für eine Form in 4D, doch stellen Sie den Vorsatz «Hyper-» vor das Äquivalent in 3D, und Sie können nicht viel falsch machen. Es gibt allerdings eine gewisse 4D-spezifische Terminologie; auf 2D-Polygone und 3D-Polyeder folgen 4D-Polychora (Einzahl Polychor oder Polychoron). Wenn wir zwei 2D-Polygone zusammenfügen, um ein 3D-Polyeder zu bilden, werden die resultierenden 2D-Formen als Seiten bezeichnet. Wenn wir 3D-Polyeder zusammenfügen, um ein 4D-Polychor zu bilden, werden diese 3D-Formen als Zellen bezeichnet. Aus diesem Grund trägt der Hyper-Ikosaeder auch den Namen 600-Zeller und der Hyper-Dodekaeder den Namen 120-Zeller. Nur zwei der platonischen 4D-Körper haben einen eigenen Namen erhalten: Das Hyper-Tetraeder wird auch Pentatop genannt und der Hyperwürfel Tesserakt. Wenn Sie bei den Life-Action-Verfilmungen der Marvel-Comics (The Avengers, Captain America, Iron Man und Thor) genau hinhören, wird darin oft ein würfelförmiger Stein namens Tesserakt erwähnt. Als ich das erste Mal im Kino diesen Namen hörte, habe ich mich fast an meinem Popcorn verschluckt. Diese Filme drehen sich um die Suche nach einem 4D-Würfel! Leider wissen andere Kinozuschauer diese Tatsache, wenn man sie darauf hinweist, nur selten zu würdigen.

Die sechs platonischen 4D-Körper

Projektion und Diagramm eines 5-Zellers {3,3,3}, auch Pentatop oder Hyper-Tetraeder genannt.

Projektion und Diagramm eines 8-Zellers {4,3,3}, auch Tesserakt oder Hyperwürfel genannt.

Projektion und Diagramm eines 16-Zellers {3,3,4}, auch Hyper-Oktaeder genannt.

Projektion und Diagramm eines 24-Zellers {3,4,3}, auch Hyperdiamant genannt.

Projektion und Diagramm eines 120-Zellers {5,3,3}, auch Hyper-Dodekaeder genannt.

Projektion und Diagramm eines 600-Zellers {3,3,5}, auch Hyper-Ikosaeder genannt.

Nun endlich können wir einen näheren Blick auf den Hyperdiamanten werfen. Diese Form, die aus 24 Oktaedern, jeweils drei pro Ecke, besteht, wird auch als 24-Zeller bezeichnet. Der Name «Hyperdiamant» kommt daher, dass sein engster 3D-Verwandter wahrscheinlich das rhombische Dodekaeder ist, ein Polyeder mit diamantförmigen Seiten (in 3D ist dieser Körper jedoch kein platonischer Körper). Das rhombische Dodekaeder steht in enger Beziehung zu Würfeln (wenn man einen Würfel von innen nach außen kehrt, erhält man ein rhombisches Dodekaeder) und Hyperwürfeln (wie schon erwähnt, ergibt der Querschnitt eines Hyperwürfels ein rhombisches Dodekaeder). Wenn man einen Hyperwürfel von innen nach außen kehrt, erhält man den Hyperdiamanten. Ich liebe den Hyperdiamanten deshalb so sehr, weil ich ihn für den ersten wahren 4D-Körper halte.

All die anderen platonischen 4D-Körper sind lediglich 4D-Versionen von 3D-Formen, während der Hyperdiamant kein direktes 3D-Äquivalent hat. Es ist eine Form, die nur in vier Dimensionen existieren kann.

Das rhombische Dodekaeder ist ein von innen nach außen gestülpter Würfel.

Die platonischen 4D-Körper wurden von dem Schweizer Mathematiker, Linguisten und Lehrer Ludwig Schläfli um 1850 entdeckt. Er war seiner Zeit so weit voraus, dass seine Abhandlung von zeitgenössischen Mathematikern zurückgewiesen und erst nach seinem Tod 1901 vollständig veröffentlicht wurde. Heute wird sie entsprechend gewürdigt, denn Schläfli beschreibt darin als Erster sämtliche vierdimensionalen platonischen Körper. Um an ihn zu erinnern, benutzen Mathematiker heute das sogenannte Schläfli-Symbol, um diese Hyperobjekte zu beschreiben. In diesem System bezeichnet man normale regelmäßige Polygone durch die Anzahl ihrer Seiten, in Schweifklammern gesetzt (ein Quadrat wird daher durch {4} symbolisiert, ein Siebeneck durch {7}). Um eine 3D-Form zu beschreiben, setzt man die Anzahl der Kanten ihrer 2D-Seiten in Schweifklammern, fügt ein Komma hinzu und anschließend, wie viele dieser Seiten sich an einem Punkt treffen. An der Ecke eines Würfels stoßen drei Quadrate zusammen, also können wir {4,3} schreiben. Ein Ikosaeder weist fünf Dreiecke pro Ecke auf, also schreiben wir {3,5} und in gleicher Weise für das Tetraeder {3,3}, das Oktaeder {3,4} und das Dodekaeder {5,3}. Was 4D-Formen angeht, so fügen wir eine dritte Zahl hinzu, die angibt, wie viele 3D-Zellen sich in 4D an jeder Kante treffen. Hyperklar? Bei einem Tesserakt treffen sich drei Würfel an jeder Kante, daher schreiben wir {4,3,3}; die fünf Tetraeder an jeder Kante des Hyper-Ikosaeders führen zu der Beschreibung {3,3,5}.

Das Schläfli-Symbol eignet sich hervorragend zur Beschreibung einer Form, weil es uns auch einen Einblick in das Verhalten der Form vermittelt. Wenn man alle Zahlen im Schläfli-Symbol einer Form in umgekehrter Reihenfolge schreibt, ergibt sich erstaunlicherweise die Dualform (vgl. Kapitel 5). In 3D ist das Duale des Würfels {4,3} das Oktaeder {3,4}, und in 4D ist das Duale des 600-Zellers {3,3,5} der 120-Zeller {5,3,3}. Das bedeutet, dass die Formen, die ihr eigenes Duale sind, diejenigen mit einem palindromischen Schläfli-Symbol sind, zum Beispiel das Tetraeder {3,3}.1 Der Hyperdiamant setzt sich aus Oktaedern zusammen {3,4}, jeweils drei pro Kante, daher ist sein Schläfli-Symbol {3,4,3}. Ohne irgendwelche komplizierten Untersuchungen in 4D anzustellen, wissen wir jetzt auch, dass der Hyperdiamant sein eigener dualer Körper ist.

Ebenso überzeugend, wie Euklid bewiesen hat, dass es nur fünf platonische Körper im dreidimensionalen Raum geben kann, bewies Schläfli mehr als 2000 Jahre später, dass im vierdimensionalen Raum nur sechs platonische Körper existieren. Es gibt jedoch eine Fülle von Dingen jenseits der Konstruktion platonischer Körper, die wir in drei Dimensionen tun können, und natürlich gibt es auch in der vierten Dimension eine Menge Dinge über diese sechs Formen hinaus, die man bauen und tun kann. Um einen Schritt weiter zu gehen, müssen wir uns jedoch anschauen, wie es wäre, in der vierten Dimension zu leben.

Leben eines hyperthetischen Außerirdischen

In «It Came from … Higher Space!» besiegt der Held das 4D-Monster schließlich, indem er einen der wenigen Vorteile nutzt, die ein niedrigerdimensionales Objekt hat: Es ist sehr scharf. Als 3D-Geschöpfe wissen wir, dass man sich leicht an Fast-2D-Objekten wie Rasier- oder Küchenmessern schneiden kann. Stellen Sie sich nur die einschneidende Wirkung eines perfekten 2D-Objekts vor, das uns im richtigen Winkel angreift. Es kann uns praktisch ohne Widerstand durchschneiden. In derselben Weise dürfen wir davon ausgehen, dass 3D-Objekte einem 4D-Wesen sehr scharf erscheinen müssen; daher kann unser 3D-Held direkt in das 4D-Monster hineinschneiden, in dessen Gehirn eindringen und so die Erde retten. Aber wie würde sich das Leben für dieses 4D-Monster gestalten? Was wäre, wenn es sich bei den 4D-Geschöpfen nicht etwa um Bösewichte, sondern um unsere freundlichen hypothetischen Außerirdischen handelte? Greifen wir auf unsere Vorsilbe für 4D-Formen zurück und bezeichnen sie als hyperthetische Außerirdische.

Die Menschheit hat sehr lange gebraucht, um die Mathematik der vierten Dimension zu entdecken. Seit Jahrtausenden kennen wir regelmäßige 2D-Formen und die platonischen Körper, doch erst in den 1850er Jahren begriffen wir, dass in 4D weitere derartige Körper existieren. Selbst heute ist unser mathematisches Verständnis für das Verhalten der vierten Dimension ziemlich lückenhaft. Unser Gehirn hat im Lauf seiner Evolution ausschließlich gelernt, mit 3D-Objekten umzugehen. Das gilt für unsere hyperthetischen Aliens nicht. In irgendeinem sehr fernen Universum könnte 4D der Status quo (oder besser der Status quattro) sein. Diese Wesen sind in ein 4D-System hineingeboren und wurden von ihm geformt. Ihr Leben würde sich ganz anders gestalten als unseres.

Zunächst einmal könnten sie keine Knoten binden. Ja, es ist tatsächlich unmöglich, Knoten in 4D zu schlingen. Ganz gleich, wie viel Mühe Sie sich geben, ein Stück Schnur zu verknoten – das Ganze endet in 4D stets als Unknoten. Das ist so, weil die Umwandlung von Überkreuzungen in Unterkreuzungen, die wir verwenden, um Knoten in 3D zu lösen, in 4D automatisch passiert. In 3D müssen wir den Strang durchtrennen, ihn auf die andere Seite überführen und wieder verbinden. In 4D kann er sich einfach in dem zusätzlichen Raum, den die Bonus-Dimension gewährt, um alles herumwinden. Das Problem ist, dass es in den verschiedenen Richtungen, in die man sich bewegen kann, deutlich schwieriger ist, Dinge einzuengen oder einzuschließen.2 Ich bin mir sicher, dass dies einige subtile, komplexe Fragen zur Biologie der hyperthetischen Aliens aufwirft und dazu, welche Art organischer Chemie die wie auch immer gearteten langkettigen Moleküle kontrolliert, die diese Wesen als DNA-Äquivalent in sich tragen. Doch zumindest können wir uns sicher sein, dass sie ihre Schuhe mit Klettverschlüssen sichern müssen.

Auch das Stapeln von Objekten und die Parkettierung von Flächen verändern sich im vierdimensionalen Raum vollständig. Offenbar ist die Art und Weise, wie Formen den Raum in einer beliebigen gegebenen Anzahl von Dimensionen füllen, ziemlich einzigartig und sagt uns nicht viel darüber, wie sie den Raum in einer anderen Dimension füllen würden. Conway, der zusammen mit Kollegen entdeckte, dass man den Raum mit einem einzelnen Oktaeder in Kombination mit sechs kleineren Tetraedern füllen kann (siehe Kapitel 6), versuchte, das Konzept auf 4D auszudehnen – aber das funktionierte nicht. In ihren Worten: «Wir kennen keine nicht-trivialen Analoga unserer Tetraeder-Oktaeder-Parkettierung in anderen Dimensionen. Diese Beobachtungen besagen implizit, dass Parkettierungsprobleme generell dimensionsspezifisch sind und dass sich das Ergebnis für eine bestimmte Dimension nicht einfach auf andere Dimensionen übertragen lässt.»

Einige Formen lassen sich jedoch tatsächlich in 4D zur Parkettierung verwenden: Der 4D-Raum kann vollständig mit dem Hyperwürfel und dem Hyperdiamanten gefüllt werden. Wenn man versucht, 4D-Hyperkugeln zu stapeln, ist das Ergebnis noch immer nicht besonders überzeugend, aber doch nicht ganz so miserabel wie in 3D. So wie es in 2D schlechtere Optionen als den Kreis gibt (vor allem das geglättete Oktagon), gibt es auch in 4D schlechtere Optionen für eine effiziente Raumfüllung als die Hyperkugel. Unsere Obsthändler müssen daher nicht nur Früchte mit der schlechtesten Form stapeln, die wir kennen, sondern sie müssen dies auch noch in der am wenigsten geeigneten Dimension tun!

Einige unserer Formenpuzzles funktionieren auch in 4D problemlos. Wir können weiterhin mit fast allen 2D-Formen herumspielen, indem wir sie aus sehr dünnem Papier ausschneiden, daher können hyperthetische Aliens ebenfalls sehr dünne 4D-Formen herstellen, um 3D-Objekte zu replizieren. Sie können eine Hypermünze durch ein kleineres Loch in einem Blatt Hyperpapier schieben. Es gibt noch andere Rätsel, die sich problemlos auf 4D übertragen lassen. Wenn ein Hyper-Prinz-Ruprecht behauptet, es sei möglich, einen Tesserakt durch ein Loch in einem gleich großen zweiten Tesserakt zu bugsieren, so hätte er noch immer recht. Aber es bleibt weniger Spielraum: Ein 3D-Würfel hat einen 2D-Querschnitt, der höchstens einen Würfel mit 6 Prozent längeren Seiten passieren lassen kann, während ein 4D-Hyperwürfel einen 3D-Querschnitt hat, der lediglich für einen 3D-Würfel reicht, dessen Seiten 0,7435 Prozent länger sind. Es könnte sogar 3D-Flexagons geben, die sich in der vierten Dimension öffnen, aber ich fürchte, das ist für uns kaum vorstellbar und könnte unsere Hirnwindungen übel verknoten.

Ein Spielzeug, das diese Aliens sicher hätten, sind 4D-Körper konstanter Breite. Sobald ich von den 3D-Formen konstanter Breite erfuhr, die zwischen 2D-Flächen rollen können, wollte ich wissen, ob es 4D-Formen konstanter Breite gibt, die zwischen zwei parallelen 3D-«Flächen» rollen können. Ich fragte mich, wie solche Formen wohl funktionieren würden. Um von 2D zu 3D zu gelangen, gibt es zwei Möglichkeiten: Man kann den Drehkörper des 2D-Reuleaux-Dreiecks oder diese völlig neue 3D-Form, das Meissner-Tetraeder, nehmen. Wenn man eine Dimension höher geht, ist es vielleicht möglich, die 4D-Drehung des 3D-Meissner-Tetraeders zu nehmen, dachte ich, oder vielleicht könnte man auch etwas völlig Neues in 4D machen. Wie sich herausstellte, geht beides.

In dem Mathe-Artikel «Bodies of Constant Width in Arbitrary Dimensions». (etwa: Körper konstanter Breite in beliebigen Dimensionen) von Thomas Lachand-Robert und Édouard Oudet werden auf beiden Wegen neue 4D-Formen konstanter Breite geschaffen. Es gibt sowohl einen Rotationskörper aus einem 3D-Meissner-Tetraeder als auch eine völlig neue Form, die dann entsteht, wenn man ein 4D-Pentatop – {3,3,3}, falls Ihnen das hilft – nimmt und seine 3D-Flächen hyper-abrundet. Ich weiß nicht, wie man diese Form nennt, doch ich nenne sie den Robert-Oudet-Körper. Wenn man ein Meissner-Tetraeder nimmt, sind all seine 2D-Projektionen selbst 2D-Formen konstanter Breite. All die 3D-Projektionen des Robert-Oudet-Körpers sind Körper konstanter Breite. Die beste Weise, sich diese Form zu veranschaulichen, besteht darin, sich eine Reihe von Schnitten anzusehen, die sie bilden würden, wenn er sich durch unsere 3D-Welt bewegen würde.

Serie von 3D-Schnitten des 4D-Robert-Oudet-Körpers

Auch wenn all diese Mathematik der vierten Dimension verwirrend erscheinen mag, liegt sie nicht jenseits unseres Begriffsvermögens. Sicher, uns fehlen die mentalen Fähigkeiten, uns Formen der vierten Dimension intuitiv vorzustellen, doch wir können nichtsdestotrotz ihre Mathematik erforschen. Und es ist nicht so, dass irgendein Teil der uns schon bekannten Mathematik in der vierten Dimension plötzlich nicht mehr funktionieren würde. Unsere Arithmetik würde 2D-Wesen ebenso sinnvoll erscheinen wie 4D-Geschöpfen.

Falls wir tatsächlich auf unsere hyperthetischen Aliens treffen sollten, werden sie uns wegen ihrer Fähigkeit, sich in der vierten Dimension zu bewegen, natürlich überirdisch und unbegreifbar erscheinen, doch sie addieren und subtrahieren sicherlich auf die selbe Weise wie wir. Vorausgesetzt, sie sind keine Deppen, können wir auf jeden Fall durch Zahlen mit ihnen kommunizieren (welches Basissystem auch immer sie benutzen). Auch wenn der Kontext des Hyperraums sehr fremdartig erscheinen mag, bleibt die Mathematik dieselbe. Sollten wir eines Tages tatsächlich auf Außerirdische aus einem wie-auch-immer-dimensionalen Universum stoßen, wird Mathematik noch immer unsere gemeinsame Sprache sein. Wir sollten unsere Sätze allerdings sehr, sehr höflich formulieren.

ELF

Die Methode Algorithmus

Ich habe lächerlich präzise Messapparate in der Küche; denn wenn ich nach Rezept koche, möchte ich alles ganz genau machen. Das Leben ist so voll von komplizierten Optionen und Entscheidungen, aber wenigstens gibt es für Dinge wie einen Kuchen zu backen noch vollständige und detaillierte Informationen, sodass man keine Sorge haben muss, ungenaue Entscheidungen treffen zu müssen. Und ganz nebenbei: Ich habe auch richtig Spaß am Messen.

Leider gibt es nur wenige «Rezeptbücher» für alle anderen Aspekte des Lebens. Allerdings bedeutet das nicht, dass man nicht dieselbe Art zu denken auf sie anwenden kann. Es gibt Situationen, wie zum Beispiel die Suche nach einem Lebenspartner, in denen man durchaus dieselben Methoden der Entscheidungsfindung verwenden kann, wie man sie sonst nur in einem Rezeptbuch findet. In der Mathematik heißt solch eine Liste von vorgefertigten Anweisungen, die (Ihre) Aktivität steuern, Algorithmus. Also wird dies hier zu einer Art Backrezept für Steroide.1 Statt Ihnen genau zu sagen, was Sie tun sollen, lässt es Sie Entscheidungen treffen und gibt Ihnen dann, aufgrund dieser Entscheidungen, genaue Anweisungen, was Sie als Nächstes tun sollen.

Einen Partner fürs Leben zu finden ist eine delikate Angelegenheit. Wenn man zum ersten Mal jemanden trifft, weiß man in aller Regel nicht, wie gut der oder die andere zu einem passen könnte – in einem romantischen Sinne; und ohne diese Grundinformationen kann man nicht sicherstellen, ob jemand ein überdurchschnittlicher Fang ist und folglich jemand, mit dem man sich einlassen (verpartnern) sollte. Das macht andauerndes Anbandeln mit der erstbesten Person zu einer Art Glücksspiel: Man sollte sich schon mit ein paar Leuten verabredet haben, um sich auf sicherem Grund zu bewegen. Nichtsdestotrotz: Wenn Sie zu lange damit warten, Bindungen einzugehen, besteht das Risiko, den idealen Partner zu verpassen, und Sie sind letztlich gezwungen, sich mit dem abzufinden, was übrig bleibt. Die Sache ist trickreich. Ideal wäre, genau die richtige Anzahl Menschen zu treffen, um das beste Gefühl für alle Möglichkeiten zu bekommen, und trotzdem mit höchster Wahrscheinlichkeit auch noch den idealen Partner nicht zu übersehen. Zum Glück macht es uns die Mathematik leicht: Diese richtige Anzahl von Menschen ist die Wurzel aus der Gesamtzahl von Menschen, mit denen man sich in seinem Leben verabreden kann. Wie Sie den Umfang der möglichen Verabredungsmenge abschätzen, liegt ganz bei Ihren statistischen Fähigkeiten und dem Grad Ihres Selbstvertrauens, ebenso, wie Sie dann Ihre Stichprobe aussuchen. Eine «Freiwilligengruppe» gilt gemeinhin als sozial akzeptabel, wohingegen eine «geschichtete Zufallsstichprobe» Sie in den Knast bringen kann.

Davon einmal abgesehen gebe ich Ihnen hier das Rezept, wie man die beste Liebe findet:

- Schritt 1: Schätzen Sie ab, mit wie vielen Menschen Sie sich in Ihrem Leben verabreden könnten, n.

- Schritt 2: Berechnen Sie die Quadratwurzel dieser Zahl, √n .

- Schritt 3: Verabreden Sie sich mit den ersten √n Leuten und weisen Sie sie ab. Die besten davon werden dann Ihre Messlatte sein.

- Schritt 4: Fahren Sie mit dem Verabreden fort und freunden Sie sich mit der ersten Person an, die den Standard übertrifft, den Sie durch die ersten √n Verabredungen entwickelt haben.

Wer hätte gedacht, dass es so einfach sein kann? Solche Probleme, wie zu entscheiden, mit wem man sich einlässt, sind in der Mathematik unter dem irritierenden Namen «Heiratsproblem» bekannt. Die ursprüngliche Aufgabe kennt man als «Sekretärinnenproblem», und hier kommt sie in ihrer ursprünglichen Gestalt.

Sie suchen eine neue persönliche Assistentin, und die Personalabteilung Ihrer Firma hat eine Anzeige geschaltet, die mit den offiziellen Richtlinien zur Gleichbehandlung kompatibel ist. Vor Ihrem Büro wartet gerade eine Schlange potenzieller Kandidaten und Kandidatinnen, die eine große Spanne von Geschlechtern und Ethnien abdecken, und alle warten auf das Einstellungsgespräch. Jeder der zehn Kandidaten wird einzeln in Ihr Büro kommen, um Sie über seine Qualifikation für den Job ins Bild zu setzen. Nachdem Sie jeweils einen Kandidaten interviewt haben, müssen Sie sich augenblicklich entscheiden, ob Sie ihn nehmen oder zum nächsten Kandidaten übergehen. Falls Sie jemanden wegschicken, ohne ihm ein Angebot zu machen, wird er von der Konkurrenz weggeschnappt: später können Sie nicht noch einmal auf ihn zurückkommen.

Sie befinden sich in einer interessanten Lage. Rein logisch sollten Sie den Job nicht der erstbesten Person, mit der Sie sprechen, anbieten, weil Sie noch gar keinen Eindruck von der allgemeinen Qualifikation der Kandidaten haben. Sie sollten aber auch nicht bis zur zehnten Person warten, weil Sie ihr zwangsläufig den Job anbieten müssen, ganz gleich, wie gut sie geeignet ist. Irgendwo mittendrin muss es einen Punkt geben, mit den Interviews aufzuhören, schnell zuzuschlagen und sich einen guten Kandidaten zu sichern. Es ist genau dieselbe Zwangslage wie bei der Suche nach einem Lebenspartner. Wenn Sie jemanden verwerfen, von dem Sie später erkennen, dass er ein idealer Kandidat war, können Sie schwerlich zurück und nochmals mit ihm sprechen.

Das Sekretärinnenproblem wurde zwischen Mathematikern in den USA während der 1950er Jahre hin und her gewälzt, und wir wissen nicht, wer es als Erster gelöst hat (obwohl man vermutet, dass es der amerikanische Mathematiker Merrill Flood war). Die erste gedruckte Lösung stammt von dem britischen Statistiker Dennis Lindley aus dem Jahr 1961. Die Lösung des Problems lag darin, zu erkennen, dass alle zehn Kandidaten in eine Rangfolge vom besten bis zum schlechtesten angeordnet und dann zufällig gemischt werden können. Die Chance, dass der erstbeste Kandidat auch der beste ist, liegt bei eins zu zehn, das Problem ist nur: Sie wissen es einfach nicht.

Durch eine Analyse der möglichen Talentverteilung konnte man ausrechnen, dass, wenn man nach Gesprächen mit den ersten 37 % den Nächsten wählt, der besser ist als alle zuvor interviewten Personen, man eine 37-prozentige Chance hat, den besten Kandidaten zu erwischen. Mithin ist Lindleys Algorithmus derselbe wie bei unserem Dating-Problem, nur mit 0,37 × n statt √n. Der Wert 37 % wird immer wieder auftauchen, weil er das Verhältnis 1/e ist, wobei e die Euler’sche Zahl 2,718 281 828 … ist (von Jakob Bernoulli entdeckt, doch dazu später mehr). Warum die Zahl e die Party schmeißt, hat, um es kurz zu machen, mit der Abschätzung zu tun, wo sich der beste Kandidat in der Reihe befinden könnte. Mit dieser Methode haben Sie also eine Chance besser als eins zu drei, den insgesamt geeignetsten Kandidaten herauszufinden.

Das ursprüngliche Sekretärinnenproblem setzt allerdings voraus, dass Sie auf alles oder nichts aus sind. Linz konnte rein mathematisch zeigen, dass sein 37-%-Algorithmus dafür die beste Methode darstellt. Das gilt aber nur dann, wenn Sie nur mit dem besten Kandidaten vollauf zufrieden sind, hingegen mit irgendjemand anderem völlig unzufrieden. In Wirklichkeit aber würden Sie auch nur ein bisschen weniger glücklich sein, wenn Sie jemanden bekämen, der nur leicht unter der Bestmarke liegt.

Eine bessere Lösung wäre es, Ihnen jemanden zu geben, der so weit wie möglich oben in der Rangfolge der Kandidaten steht, auch wenn er nicht unbedingt der Beste ist. Im Jahr 2006 berechnete der Psychologe Neil Bearden die beste Strategie, um den Höchstrangigen im Vergleich zum theoretisch bestmöglichen Kandidaten auszuwählen, und er entdeckte dabei die √n -Methode. Bei einer Auswahl unter zehn Personen wird Ihnen die Methode im Mittel jemanden liefern, der ungefähr zu 75 % perfekt ist. In einer Reihe von 100 Kandidaten liegt diese Zahl um 90 %.

Man kann diesen Algorithmus in jeder Lebenslage benutzen, angefangen bei der Auswahl des Lebenspartners bis hin zu Kaufentscheidungen. Ich habe sie beim Kauf meines Gebrauchtwagens benutzt und dabei sichergestellt, dass ich mindestens die Anzahl Autos gesehen hatte, die zu prüfen ich die Zeit hatte, bevor ich tatsächlich eins kaufen musste. Ich glaube, der größte Vorteil besteht darin, dass die Methode einen zum Abwarten bringt, statt gleich die erstbeste Möglichkeit impulsiv zu akzeptieren. Bei der Analyse von Beispielen für wirkliche Entscheidungsprozesse stellt sich immer wieder heraus, dass Menschen ihre Wahl zu früh und ohne sich genug Alternativen anzuschauen treffen. Eine Ausnahme bildet das Online-Dating, wo manche Leute sich so sehnlich jemanden wünschen, dass sie sich nicht richtig entscheiden können, solange es vielleicht bessere Möglichkeiten gibt. Ein optimaler Zugreifalgorithmus macht all diese Unentschlossenheit überflüssig. (Siehe «Antworten am Ende des Buches».)

Das mag sich alles sehr unpersönlich anhören, wenn es darum geht, einen Partner zu finden, aber die Mathematik ist tatsächlich zur Suche nach der großen Liebe benutzt worden. Als Kepler (ja, der von der Kepler-Vermutung) seine erste Frau durch die Cholera verloren hatte, beschloss er, seine nächste Frau mit Hilfe eines mathematischen Vorgehens zu finden. In einem Brief, den er 1613 schrieb, hat er seinen Plan beschrieben, wie er die nächsten zwei Jahre seines Lebens damit zubringen wollte, elf mögliche Kandidatinnen zu interviewen und in eine Rangordnung zu stellen, um dann eine begründete Wahl treffen zu können. Wir wissen nicht, wie seine «Frauen-Eignungsfunktion» aussah, mit der er sie einordnete, aber dafür wissen wir, dass er die Einschränkungen des Sekretärinnenproblems am eigenen Leib erfahren hat. Er versuchte nämlich, noch einmal zur vierten Person, die er befragt hatte, zurückzugehen, um ihr einen Antrag zu machen, doch sie war bereits weitergezogen und wies ihn ab. Letztendlich ging er glücklich die Heirat mit Kandidatin Nummer fünf ein. Wenn das keine mathematisch exakte Liebe ist!

Worin besteht der Trick?

Lassen wir den Sex beiseite, wir können Algorithmen auch auf Zahlen anwenden. Umso besser! Andererseits klingt die soeben beschriebene schrittweise Berechnung von Zahlen nicht gerade aufregend. Hauptsächlich, weil sie es nicht ist. Doch darum geht es nicht. Algorithmen um ihrer selbst willen auszuführen ist eben nicht aufregend. Mathematiker finden Algorithmen nicht aufregend, weil sie gerne stupide Aufgaben ausführen. Das hieße einen Kuchen nur deshalb zu backen, weil man wirklich gerne misst und Zutaten zusammenmischt (was bei mir der Fall ist). Mathematiker mögen Algorithmen wegen dem, was man mit ihnen machen kann. Mathematiker mögen es, Berechnungen zu machen und sie auch zu essen.

- Schritt 1: Nimm irgendeine Zahl.

- Schritt 2: Addiere alle Ziffern.

- Schritt 3: Sollte das Ergebnis mehr als eine Stelle haben, gehe zurück zu Schritt 2.

- Schritt 4: Schreibe das einstellige Endergebnis auf.

Dieser Algorithmus ist das Rezept dafür, wie man für jede Zahl den Rest findet, der bei der Division durch 9 bleibt. Man kann das für jede Zahl nachprüfen, und als Antwort wird man immer erhalten, um wie viel größer die Zahl ist als das letzte Vielfache von neun, das gerade in sie hineinpasst. Das Ergebnis, nachdem man wiederholt Ziffern auf diese Weise addiert hat, bis man eine einstellige Antwort bekommt, nennt man die Quersumme einer Zahl. Der Prozess selbst nennt sich Neuner-Rausschmeißen, weil er alle Vielfachen von neun aus der Zahl entfernt. Neuner-Rausschmeißen ist einer der ältesten und wichtigsten Algorithmen in der Mathematik.

Der Gelehrte Ibn Sina (auch unter seinem lateinischen Namen Avicenna bekannt), der um die Wende zum zweiten Jahrtausend im heutigen Iran lehrte, nannte diesen Prozess des Neuner-Rausschmeißens die»Methode der Hindus», was bedeutet, dass sie bereits seit langer Zeit in Gebrauch ist. Neuner-Rausschmeißen war bei europäischen Buchhaltern schon lange bekannt, bevor Fibonacci Hindu-arabische Zahlen einführte. Das älteste gedruckte Buch über Finanzmathematik, soweit bekannt (die Treviso-Arithmetik, im Jahr 1478 veröffentlicht), besagt, die Methode, wie man die Quersumme einer komplizierten Summation mit Sicherheit herausbekommt, bestehe darin, die Summe der Quersummen der zu addierenden Zahlen zu bilden. Sie haben also Neuner rausgeschmissen, um wichtige Geldberechnungen zu checken. Wir werden die Methode jetzt für einen Zaubertrick brauchen.

Freiwilliger aus dem Publikum:

- Schritt 1: nimmt irgendeine Zahl.

- Schritt 2: multipliziert sie mit neun.

- Schritt 3: liest alle Ziffern in der Antwortzahl bis auf eine.

Zauberer:

- Schritt 1: berechnet die Quersumme aller Ziffern, die der Freiwillige vorliest.

- Schritt 2: denkt daran, dass die fehlende Ziffer gleich der Differenz zwischen der Quersumme und 9 ist.

- Schritt 3: nennt die nicht ausgesprochene fehlende Ziffer.

Zuschauer:

- Schritt 1: sind hin und weg.

Das ist deshalb ein großartiger Zaubertrick, weil es völlig gleichgültig ist, welche Zahl die Freiwilligen auswählen, sobald man sie mit 9 multipliziert, ist die Quersumme der neuen Zahl 9. Indem Sie die Quersumme der ihnen vorgelesenen Ziffern bilden, wissen Sie, dass die fehlende Ziffer genau die ist, die man braucht, um die Quersumme zu 9 zu machen. Im Kopf Neuner rauszuschmeißen und die Quersumme zu bilden, ist nicht schwierig, weil Sie es nie mit mehrstelligen Zahlen zu tun haben. Das klingt alles so simpel, aber der Effekt ist umwerfend. Ich habe den Trick einmal auf der Bühne des Hammersmith Apollo in London vor 3000 Leuten vorgeführt. Der größte Nervenkitzel bestand darin, dass der Freiwillige einen Fehler mit seinem Taschenrechner hätte machen können.

Die anspruchsvollere Version des Tricks, an die ich mich vor einer so großen Zuschauermenge nicht getraut habe, besteht darin, das Multiplizieren mit der 9 unbemerkt geschehen zu lassen. Wenn Sie einen Freiwilligen bitten, auf seinem Taschenrechner zufällige Zahlen zu multiplizieren, bis die Antwort die Anzeige ausfüllt, stehen die Chancen nicht schlecht, dass er entweder einmal mit 9 oder zumindest mit zwei Zahlen multipliziert hat, die 3 als Faktor haben. Um genau zu sein, liegt die Chance, ein Vielfaches von 9 zu erhalten, wenn man ganz zufällig einstellige Zahlen multipliziert, bis das Ergebnis acht Stellen hat, bei 96,75 %.2

Andererseits wollte ich aber nicht das 3,25-prozentige Risiko eingehen, vor einer solchen Menschenmenge wie ein Idiot dazustehen.

Es gibt eine ganze Klasse von Zaubertricks, die so genannten Selbstläufer, deren Magie einfach nur in einem Algorithmus steckt. Solange der Zauberer sich Schritt für Schritt an die Anweisungen hält, wird die Magie immer funktionieren. Ein solcher Selbstläufertrick ist ein Kartentrick, dem fast jeder im Verlauf seines Lebens einmal begegnet. Er heißt «3 mal 7» oder auch «1 aus 21» und wird aus mir unerfindlichen Gründen üblicherweise mit 21 Karten vorgeführt: derselbe Trick funktioniert mit bis zu 27 Karten. Der Zauberer brüstet sich damit (natürlich), dass er jede Karte herausfinden kann, die zufällig von einem Freiwilligen ausgewählt wurde.

- Schritt 1: Ein Freiwilliger zieht eine Karte aus einem Stapel von 27 Karten, merkt sie sich und mischt sie wieder unter den Stapel.

- Schritt 2: Der Zauberer legt die Karten offen von links nach rechts – oder von oben nach unten, wie Sie wollen – in drei Stapeln ab (immer nur eine Karte auf jeden Stapel und immer in derselben Richtung).

- Schritt 3: Der Freiwillige deutet auf den Stapel, in dem sich die Karte befindet, verrät die Karte selbst aber noch nicht.

- Schritt 4: Der Zauberer nimmt die drei Stapel auf und platziert den ausgewählten Stapel in der Mitte.

- Schritt 5: Schritt 2,3 und 1 werden zweimal wiederholt.

- Schritt 6: Die Karte des Zuschauers befindet sich nun exakt in der Mitte des Kartenstapels, d. h. es ist die 14. Karte von oben.

Der Kreativität des Zauberers, die 14. Karte aufzudecken, sind nun keine Grenzen gesetzt. Ich decke die Karten am liebsten der Reihe nach auf und gebe dabei vor, auf eine Reaktion im Gesicht des Freiwilligen zu warten. Dabei geht man einfach weiter als bis zur vierzehnten Karte, bis zur siebzehnten oder so, und behauptet dann, die nächste Karte sei mit Sicherheit die des Zuschauers. Gelegentlich wetten die Leute dann sogar um ein Bier oder etwas Ähnliches dagegen, weil sie so sicher sind, dass Sie falsch liegen werden. Dann geht man zurück, deckt die vierzehnte Karte auf, hat damit technisch gesehen seine Voraussage erfüllt, und hat außerdem, falls man so schlau war, eine abzuschließen, eine Wette gewonnen. Aber seien Sie gewarnt, falls der Freiwillige seine Karte nicht einem Unbeteiligten verraten oder sie aufgeschrieben hat, kann er sich mit Leichtigkeit aus der Wette herauslügen.

Dieser Trick ist schon ganz schön, aber der heilige Gral der Kartentricks ist eine Klasse, die unter «beliebige Zahl, beliebige Karte» läuft. Dabei kann die vom Kandidaten ausgewählte Karte an beliebiger vorher angekündigter Stelle im Stapel platziert werden (statt bewegungslos in der Mitte zu liegen). Mit einem kleinen Kniff und ein wenig mehr Nachdenken kann der Drei-Stapel-Trick genau das leisten. In meiner Variante frage ich den Kandidaten, während ich die Karten auf die Stapel verteile, welches seine Lieblingszahl unter 27 ist. Am Ende landet seine Karte exakt an dieser Stelle.

Der einzige Unterschied besteht darin, dass man den ausgewählten Stapel, statt ihn jedes Mal in der Mitte zu platzieren, manchmal auch an die linke oder rechte Stelle rückt. Um herauszubekommen, wohin er genau muss, nennen wir die linke Position 0, die mittlere Position 1 und die rechte 2. Dann wandelt man einfach die Anzahl Karten, die auf der Karte des Kandidaten liegen sollen, in eine Zahl zur Basis 3 um. Wenn man die Stapel zum ersten Mal umordnet, legt man den ausgewählten Stapel auf Position 0, 1 oder 2, je nach Anzahl der Einsen in der Zahl; beim zweiten Mal je nach Anzahl der Dreien; und beim dritten Mal je nach Anzahl der Neuner. Wenn Sie zum Beispiel sieben Karten auf die Karte des Kandidaten legen wollen, 7 ist 021 in der Dreierbasis (hat also null Neuner, zwei Dreien und eine Eins), legen Sie den ausgewählten Stapel in die Mitte, nach rechts und in die linke Position in dieser Reihenfolge (man fängt also bei den Einern an und arbeitet sich rückwärts vor). Am Ende nehmen Sie die obersten sieben Karten herunter und die Lösungskarte ist die nächste, an Position acht.

Nur ungern verrate ich hier diesen Trick, weil er mir beim Beeindrucken von Zuschauern, auch Mathematikern und sogar Zauberkünstlern, sehr gute Dienste geleistet hat. Zum ersten Mal begegnet bin ich dieser Art Trick in Martin Gardners Mathematics, Magic and Mystery (seinem ersten Mathematikbuch von 1956. – Dt.: Mathematik und Magie, DuMont 1981). Gardner nennt ihn darin Gergonnes Stapelproblem und impliziert damit, dass er schon mehr als anderthalb Jahrhunderte zuvor bekannt gewesen ist. In dem halben Jahrhundert nach Gardners Buch scheint er in Vergessenheit geraten zu sein, und mir hat es großen Spaß gemacht, die Mathematik dahinter wiederzuentdecken und daraus meinen Lieblingstrick für Vorstellungen zu entwickeln. (Schauen Sie in die «Antworten am Ende des Buches».)

In seinem Buch widmet Martin Gardner den Varianten des 27-Karten-Tricks ein ganzes Kapitel, hebt aber mehr auf die Möglichkeiten ab, den Trick zu präsentieren. Am Ende des Kapitels zitiert er Bemerkungen eines Kanadiers, Mel Stover, der zeigt, dass diesem Trick die verschiedenen Zahlenbasen zugrunde liegen, und auch wie man ihn auf jede andere Anzahl von Karten erweitert. Dazu gehören Hinweise, wie man das hypothetische Kartenspiel auf 10 Milliarden Karten aufstockt. Theoretisch könnte jede beliebige Karte an jede beliebige der 10 Milliarden möglichen Stellen platziert werden, indem man die Karten zehnmal in zehn Stapeln austeilt. Bei einer Karte pro Sekunde kommt man so gerade mit 3169 Jahren hin. Herr Stover weist darauf hin, wie wichtig es ist, jeden dieser einhundert Milliarden-Karten-Stapel sorgfältig auszulegen, weil ein einziger Fehler alles ruinieren würde. Wörtliches Zitat: «Dann müsste man den Trick wiederholen, und nur wenige Zuschauer würden ihn gern ein zweites Mal sehen.»

Die Türme von Hanoi

Wir wollen nun die Zauberei verlassen und uns einem Spiel zuwenden, das nicht ganz so lange dauert. Es heißt «Die Türme von Hanoi», und ich bin ihm erstmals während eines Programmierkurses an der Universität begegnet. Es stammt aus einer Legende über alte Tempelpriester, die einen Turm bauen mussten, indem Sie verschieden große Steinscheiben bewegten. Es mag schon älter sein, aber ich konnte es bis zu einem Buch aus dem späten 19. Jahrhundert verfolgen, das das Spiel in den Westen brachte. Das Buch heißt Récréations mathématiques. Es liest sich wie eine 19.-Jahrhundert-Version von Mathematics, Magic and Mystery, und es wurde, wie schon erwähnt, von dem Martin Gardner des 19. Jahrhunderts geschrieben: von niemand anderem als Édouard Lucas. Er war nicht nur ein Mann der Kanonenkugeln und Primzahlen, er hinterließ der Welt auch einige mathematische Spiele, die bis heute populär sind. Er könnte sogar die Türme von Hanoi selbst erfunden haben.

Das Spiel beginnt mit einer Anzahl verschieden großer Scheiben, die der Größe nach zu einem Turm geschichtet sind, die größte Scheibe liegt zuunterst. Üblicherweise gibt es in der Mitte ein Loch zum besseren Stapeln auf einem Stab. Es existieren noch zwei weitere Stäbe: der Zielstab, zu dem man den Turm bewegen soll, und eine Art Lagerstab, auf dem man Scheiben zwischenlagern kann. Die einzige Regel besagt, dass niemals eine größere Scheibe auf einer kleineren sitzen darf. Jeder Turm auf irgendeinem der drei Stäbe muss immer – von unten gesehen – von groß nach klein geordnet sein.

Wann immer ich dem Spiel begegnete, hatte die Geschichte im Hintergrund mit Priestern in einem Tempel zu tun, die auf göttliches Geheiß einen riesigen Turm von Scheiben ähnlich wie diesen von einem Ort zum anderen schaffen müssen. Sie verbringen also ihre Tage damit, Scheiben von Stab zu Stab zu versetzen. Sobald die Versetzung des Turms beendet ist, wird – aus ungeklärten Gründen – die Welt enden. Was wiederum die Motivation der Priester in Frage stellt. Allerdings kann ich mir vorstellen, dass, wenn ihr ganzes Leben darin besteht, immer nur Scheiben hin und her zu schichten, das Ende der Welt keine ganz so schlechte Aussicht darstellt.

Die Türme von Hanoi, oder um Lucas präzise zu zitieren, «La Tour d’Hanoi», nimmt in seinem Buch nur drei Seiten in Anspruch, von denen etwa ein Drittel einer großen Abbildung des Spiels gewidmet ist – eine große Abbildung, die nicht mehr dem Copyright unterliegt, sodass ich sie hier wiedergeben kann. So wie ich es mit allen meinen verstorbenen Mathematikhelden tue, ging ich auch bei Lukas auf die Suche nach weiteren Schriften, um ein Gefühl für ihn als Person zu bekommen. Zum Glück kann man die Récréations mathématiques kostenfrei aus dem Internet herunterladen. Unglücklicherweise aber ist es, wie bereits erwähnt, komplett auf Französisch geschrieben. Deswegen schickte ich eine Kopie der drei Hanoi-Seiten an meinen Schwager, der Französischlehrer ist.

Die Türme von Hanoi aus den Récréations mathématiques

Als er mir seine Übersetzung gemailt hatte, musste ich überrascht feststellen, dass die Hälfte des Textes gar nicht von den Türmen von Hanoi handelt, sondern von etwas, das sich Weizenkornlegende nennt. Das ist eine Aufgabe, die darin besteht, die Anzahl von Weizenkörnern auf einem Schachbrett zu ermitteln, falls man eins auf das erste Feld legt, zwei aufs zweite, vier auf das dritte usw., man also jedes Mal bei jedem der 64 Felder die Anzahl verdoppelt. Im ersten Teil des Textes erzählt Lucas über die Türme von Hanoi, die etwa 1883 von einem gewissen Professor N. Claus (aus Siam) gebaut worden seien. Kurioserweise steht in den ursprünglichen Regeln des Spiels in der Version von Claus, man könne Genaueres über das Spiel in dem Buch Récréations mathématiques von Lucas erfahren. Das Ganze kommt einem ziemlich zirkulär und inzestuös vor, bis man bemerkt, dass Claus ein Anagramm von Lucas ist und das komplette «N. Claus (de Siam)» ein Anagramm von «Lucas d’Amiens» ist (Lucas ging in Amiens zur Schule).3 Offenbar haben Lucas und sein Pseudonym großen Spaß daran, sich gegenseitig auf die Schulter zu klopfen.

Doch zurück zum Spiel. Die Version mit nur zwei Scheiben ist hübsch und einfach. Nennen wir die kleine Scheibe A und die größere unter ihr B. Bewegen sie A zum Zwischenlager, dann bringen sie B zum Zielstab und legen schließlich A obendrauf. Drei einfache Züge. Man könnte A B A schreiben, um die Reihenfolge anzudeuten. Bei drei Scheiben kann man den Turm in sieben Zügen versetzen. Ein Vier-Scheiben-Turm lässt sich in nur fünfzehn Bewegungen umbauen. Suchen Sie sich ein paar verschieden große Scheiben und spielen Sie ein bisschen damit herum, bis sie damit zufrieden sind, einen Fünf-Scheiben-Turm versetzen zu können. Die im Handel erhältlichen Versionen des Spiels haben zwischen sieben und zehn Scheiben, was der Welt immer noch ein relativ schnelles Ende bescheren würde. Zum Glück mussten die Priester der Legende einen Turm aus 64 Scheiben bewegen, bevor die Welt unterging, was uns ein bisschen mehr Zeit verschafft.

Wenn wir den Priestern helfen wollten, könnten wir erklären, wie man die Türme von Hanoi mit Hilfe von Algorithmen löst. Eine Möglichkeit wäre, ein sehr langes Programm zu schreiben, das jeden einzelnen Zug auflistet. Der Algorithmus für das Zwei-Scheiben-Modell würde lauten «Mache die Züge A B A». (wir setzen voraus, dass Sie die Scheiben auf die richtigen Stäbe packen). Das könnten wir auf jede Anzahl Scheiben hochschrauben, indem wir jeder Scheibe einen Buchstaben zuordnen und dann die Buchstaben in der Reihenfolge auflisten, in der sie bewegt werden müssen. Das ist ein expliziter Algorithmus. Es ist wie ein Rezept, das jeden Ihrer Handgriffe beim Kuchenbacken bis ins Kleinste vorschreibt.

Es gibt jedoch einen besseren und effizienteren Weg, weswegen ich dem Spiel erstmals in einem Programmierkurs begegnet bin: die Türme von Hanoi zu lösen ist ein fantastisches Beispiel für einen so genannten rekursiven Algorithmus. Dabei handelt es sich um einen äußerst cleveren Typ von Algorithmen, die ein wichtiges Werkzeug für heutige kreative Programmierer darstellen. Mein Dozent brachte eine kleine Version der Türme von Hanoi als Lehrmittel mit, um diesem Hörsaal voller Frischlings-Programmierer rekursive Algorithmen näherzubringen.

Ein rekursiver Algorithmus ist eine Mogelpackung. Er führt nicht jeden einzelnen Schritt aus. Er sagt, wie man ein kleines Stück der Lösung bewältigt, und verflüchtigt sich dann mit dem Hinweis: «Nimm diesen Algorithmus, um das Problem zu lösen.» Das ist ein bisschen so, als würde ich ein Rezept namens «Matt Parkers ausführliches Rezept zum Kuchenbacken» aufschreiben, dessen wichtigster Schritt wäre: «Befolgen Sie die Anweisungen, die in ‹Matt Parkers ausführlichem Rezept zum Kuchenbacken› stehen». Sie wären zu Recht verärgert, aber genau das macht ein rekursiver Algorithmus – mit dem kleinen Unterschied, dass der selbstbezügliche Schritt in einem rekursiven Algorithmus sich auf eine etwas kleinere Aufgabe als die ursprüngliche bezieht. Ein besserer Vergleich wäre also, wenn mein Rezept lautete: «Backen Sie zunächst nur einen kleinen Teil des Kuchens. Für den Rest befolgen Sie die Anweisungen in ‹Matt Parkers ausführlichem Rezept zum Kuchenbacken›.»

Für die Türme von Hanoi lautet einer der Schritte in dem rekursiven Algorithmus: «Lösen Sie die Türme von Hanoi». (Das ist die Höhe!) Und so sieht er aus:

Rekursiver Hanoi-Algorithmus

Schritt 1: Zählen Sie, wie viele Scheiben Sie haben. Bezeichnen Sie diese Zahl mit n.

Schritt 2: Räumen Sie mit dem rekursiven Hanoi-Algorithmus einen Turm von n – 1 Scheiben aus dem Weg.

Schritt 3: Legen Sie die größte Scheibe auf den Zielstab.

Schritt 4: Bewegen Sie mit Hilfe des rekursiven Hanoi-Algorithmus für einen Turm von n – 1 Scheiben diese auf den Zielstab.

Das Verblüffende ist, dass es funktioniert. Obwohl dieser Algorithmus niemals explizit sagt, wie man die Türme von Hanoi lösen soll, so wird man sie doch lösen, wenn man ihn Schritt für Schritt befolgt. Für mich reicht damit ein Algorithmus so nahe an Magie heran, wie ich nur denken kann.

Auf wie viele Arten kann man ein Kartenspiel mischen?

In der Mathematik gibt es eine schöne Funktion namens Fakultät, die darin besteht, dass man eine Zahl mit allen Zahlen multipliziert, die kleiner sind als die vorgegebene. Zum Beispiel: Fakultät (5) = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Die Ergebnisse des Fakultät-Bildens werden schnell alarmierend groß, deshalb verwendet man als Kurznotation für die Funktion ein Ausrufezeichen. Wenn also ein Mathematiker Dinge wie 5! = 120 und 13! = 6 227 020 800 hinschreibt, drückt das Ausrufezeichen sowohl die Fakultät als auch pure Erregung aus. Mathematisch gesehen sind Fakultäten aus verschiedenen Gründen interessant. Der möglicherweise bekannteste lautet, dass sie ausdrücken, auf wie viele Weisen man Objekte vertauschen kann. Wenn Sie 13 Karten mischen müssen, dann gibt es zunächst einmal 13 mögliche Karten, die Sie als erste hinlegen könnten. Dann bleiben 12 Karten als Möglichkeiten für die nächste ausgelegte, 11 für die folgende usw. – was etwas mehr als sechs Milliarden Möglichkeiten ergibt, einfach nur 13 Karten zu arrangieren.

Bei einem Kartenspiel mit 52 Karten ist die Zahl viel größer. 52! per Hand auszurechnen würde sehr lange dauern, deswegen lässt man es am besten einen Computer machen. Um aber einen Computer etwas tun zu lassen, muss man ihm die Aufgabe als Algorithmus stellen. Hier ist also eine Reihe von Anweisungen, die ich geschrieben habe, um eine eingegebene Zahl nach und nach mit allen kleineren Zahlen zu multiplizieren:

Schritt 1: Setze das durchlaufende Ergebnis gleich dem Startwert n.

Schritt 2: Subtrahiere 1 von n.

Schritt 3: Multipliziere das durchlaufende Ergebnis mit diesem neuen n.

Schritt 4: Wiederhole Schritte 2 und 3, bis n gleich 1 ist.

Schritt 5: Gib das durchlaufende Ergebnis aus.

Lassen Sie uns das für die ersten paar Schritte der Rechnung 52! ausprobieren:

Durchlaufendes Ergebnis = 52

52 – 1 = 51

Durchlaufendes Ergebnis = 52 x 51 =2652

51 – 1 = 50

Durchlaufendes Ergebnis = 2652 x 50 = 132 600

50 – 1 = 49

Durchlaufendes Ergebnis = 132 600 x 49 = 6497400

49 - 1 = 48

Durchlaufendes Ergebnis = 6497400 x 48 = 311 875 200

48 - 1 = 47

Durchlaufendes Ergebnis = 311 875 200 x 47 = 14658134400

…

Wir haben erst sechs Schritte gemacht, und das durchlaufende Ergebnis liegt bereits über 14 Milliarden! (Nein, das ist jetzt keine Fakultät, ich wollte nur betonen, wie schnell diese Zahlen anwachsen.) Genau diese Art langwierige Rechnungen soll ein Computer für uns machen. Ein letzter Schritt besteht darin, unseren Algorithmus in eine Sprache zu übersetzen, die der Computer versteht. Wie sieht also ein Algorithmus für einen Computer aus? Nun, ähnlich wie Menschen verschiedene Sprachen sprechen, verstehen Computer verschiedene Programmiersprachen. Ich habe eine namens Python gewählt, weil sie eine sehr einfache Grammatik hat und eine derjenigen ist, die lesbarem Deutsch am nächsten kommt. Ich setze auch einige Kommentare (gekennzeichnet durch #) rechts neben die Programmzeilen, um zu erklären, was der Code darin tut.

Hier ist der Algorithmus für Fakultät, in Python4 programmiert. Wenn Sie mögen, können Sie ihn auf einem Computer laufen lassen. Ganz ähnlich, wie wir Funktionen vorher Namen gegeben haben, kann ich jedem Algorithmus einen Namen geben und dann seine Eingaben in Klammern rechts daneben schreiben.

def Fakultät(n) # ich definiere den Algorithmus namens «Fakultät» und er beginnt mit der Zahl ‹n›

Ergebnis = n # speichert n als Startwert von Ergebnis
solange n >1: # wiederholt das Folgende so lange, bis n nicht mehr größer als 1 ist.

n = n − 1 # Subtrahiert 1 von n

Ergebnis =

Ergebnis xn # Multipliziert Ergebnis mit dem neuen n
return Ergebnis # Gibt das Ergebnis aus.

Gerade habe ich dieses Programm noch einmal gegengecheckt, um sicherzustellen, dass es funktioniert. Sobald ich es geladen habe, kann ich «Fakultät(13)» eingeben, um 13! zu überprüfen. Und tatsächlich erscheint 6 227 020 800 auf dem Schirm. Also lasse ich es auf 52! los, und hier sehen Sie, was mein Computer ausgibt:

>>> Fakultät (52)

80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766

975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000

Es ist eine Zahl mit 68 Stellen. Eine wirklich gigantische Zahl. Um es umständlich zu sagen, es gibt 80 000 Milliarden Milliarden Milliarden Milliarden Milliarden Milliarden Milliarden Arten, ein Kartenspiel anzuordnen. Es gibt aber nur etwa 10 000 Milliarden Milliarden Sterne im sichtbaren Universum. Und das Universum ist nur etwa 400 Millionen Milliarden Sekunden alt. Das heißt also: Falls jeder Stern im Universum 1 Milliarde Planeten hätte und jeder Planet eine Bevölkerung von 1 Milliarde hypothetischer Aliens, die alle 1 Milliarde Kartenspiele pro Sekunde seit Beginn des Universums gemischt hätten, hätten wir die möglichen Kartenanordnungen noch nicht einmal halbwegs durch. Und wir sprechen nur von einem Spiel mit 52 Karten! Und zum Glück haben wir dabei nicht einmal die Joker mitgezählt.

Jedenfalls können wir jetzt, wo wir die Antwort kennen, versuchen, das Ergebnis auf andere Weise zu berechnen: mit Hilfe eines rekursiven Algorithmus. Wir müssen den Algorithmus lediglich durch sich selbst ausdrücken. So ähnlich wie: «die Fakultät von n ist n mal die Fakultät von n – 1». Das Einzige, was wir zusätzlich wissen müssen, ist die Fakultät von 1, und das ist 1. Das ist die Stoppbedingung, die den Algorithmus daran hindert, immer weiterzumachen.

Schritt 1: Die Fakultät von 1 ist 1.

Schritt 2: Multipliziere n mit der Fakultät von n – 1.

In Python übersetzt:

def Fakultät(n): # Ich nenne den Algorithmus «Fakultät» und starte ihn mit einer Zahl n.

sobald n = 1: gib 1 aus # Die Fakultät von 1 ist 1.

gib n x Fakultät (n − 1) # Berechne n mal die Fakultät von n – 1.

Mit «Fakultät(13)» konfrontiert, arbeitet mein Computer nun die Kette von Rekursionen ab, bis er auf Fakultät(1) stößt, rast dann wieder aufwärts zurück, um schließlich die Zahl 6 227 020 800 auszugeben. Genauso gibt er mit der Eingabe Fakultät(52) dieselbe 68stellige Monsterzahl wie zuvor heraus. Und doch habe ich dem Programm nirgends gesagt, wie es die Fakultät zu berechnen hat, lediglich, wie eine Fakultätsberechnung mit einer kleineren zusammenhängt. Also nochmal: rekursive Algorithmen sind Magie, sie bringen Antworten aus scheinbar nichtssagendem Code hervor.

Wir haben nun zwei verschiedene Computerprogramme, die an derselben Lösung auf verschiedene Weisen arbeiten. Das lässt uns nur eine Wahl! Sollen sie kämpfen! Ich habe sie gerade kurz gestoppt, um sie in ein Kopf-an-Kopf-Rennen zu jagen. Gewinner soll dasjenige sein, habe ich beschlossen, das die Fakultät von 100 als Erstes berechnet hat. Um die 158 Stellen von 100! zu berechnen5, hat das rekursive Python-Programm 0,000068 Sekunden gebraucht, während das normale bereits nach 0,000046 Sekunden einlief. Klarer Sieg für das nicht rekursive Programm!

Allerdings wird ein rekursiver Algorithmus nicht immer gegen einen expliziten verlieren. Es hängt davon ab, was der Algorithmus berechnet: Einige Aufgaben eignen sich perfekt für die Rekursion. In einem der zurückliegenden Kapitel habe ich verschiedene polidivisible Zahlen in verschiedenen Basen angegeben. Dafür hatte der Computer ziemlich ächzen müssen und mein Programm brauchte sehr viel Zeit, um die Fälle zur Basis16 zu knacken. Mit einem rekursiven Code ging es dann jedoch innerhalb von Sekunden.

Schlussendlich können wir jetzt rekursive Algorithmen nehmen, um zu sehen, wie lange die Scheiben schiebenden Priester brauchen, um das Ende der Welt herbeizuführen. Um eine Scheibe zu bewegen, muss man alle Scheiben im Turm über ihr zweimal ziehen, sodass sich für jede zusätzliche Scheibe die Zahl der Züge verdoppelt, plus einem Extrazug, um auch die untere Scheibe zu bewegen. Also braucht man, um einen Turm von n Scheiben zu bauen, doppelt so viele Züge plus einen wie für den Turm mit n -1 Scheiben.

Wenn Sie also einen Turm mit zehn Scheiben bauen, müssen Sie 1023 Züge machen (das erkennen Sie vielleicht wieder als 2^10 – 1: Es sind alles Mersenne-Zahlen! Jede Zahl 2n weniger 1 nennt man Mersenne-Zahl, auch wenn sie keine Primzahl ist). Bei einem Zug pro Sekunde macht das stolze 17 Minuten Scheiben-Verschieben. Selbst wenn er jeden Augenblick seines Daseins mit Scheiben-Verschieben verbringt, kann kein Mensch zu Lebzeiten mehr als eine 31-Scheiben-Version der Türme von Hanoi schaffen, womit die 32-Scheiben-Version zum perfekten Geschenk für Menschen mit zu viel freier Zeit wird. Dieses «kurze Spielchen» kann also weitaus länger dauern als der 10-Milliarden-Kartentrick.

Für die Priester kommt heraus: Hanoi_Zuege (64) = 1 844 674 073 709 551 615. Was bei einem Zug pro Sekunde gut 584 Milliarden Jahre bedeutet: weit mehr als die Lebenserwartung unseres Sonnensystems. Oder, wie Lucas schreibt, «mehr als 5 Milliarden Jahrhunderte». Aus diesem Grund erwähnte er auch die Weizenkornlegende. Auch die Anzahl Weizenkörner für eine beliebige Anzahl von Quadraten ist eine Mersenne-Zahl. Weil ein gewöhnliches Schachbrett 64 Quadrate hat, ergibt das dieselbe Antwort wie für 64 Scheiben: etwas über 18 Trillionen. Eine echt große Zahl. Selbst wenn die Priester schon vor 4,6 Milliarden Jahren angefangen hätten, als sich das Sonnensystem bildete, würden sie auch bei 50 Zügen pro Sekunde in 5 Milliarden Jahren noch nicht fertig sein, wenn sich die Sonne in einen roten Riesen verwandelt und die Erde schluckt. Also sind wir wohl sicher.

Die Moral von der Geschicht’

Algorithmen mögen kalt und berechnend erscheinen, aber man sollte nicht vergessen, dass sie von Menschen geschrieben werden, und dass es keinen «richtigen Weg» gibt, sie zu schreiben. Obwohl sie zum Computerspielzeug zählen, haben Programmieren und Algorithmen im Allgemeinen etwas erfreulich Menschliches. Nur Menschen, die kreativ sind und mathematisch denken, können guten Programmcode schreiben.

Effiziente Algorithmen zu schreiben ist echte Kunst, und eine sehr gefragte obendrein. Im Sommer 2004 konnte man in den USA Anzeigen sehen mit nichts als dem folgenden Text darauf: «{Erste zehnstellige Primzahl in den Nachkommastellen von e gefunden}.com». Um eine zehnstellige Primzahl zu finden, die in den unendlich vielen Stellen der Zahl e verborgen ist, braucht man ein wirklich sehr kreatives Stück Programmcode. Wer also einen Algorithmus zum Auffinden dieser Stellen schreiben konnte und dann auf diese URL ging, fand sich auf einer Internetseite wieder, über die Google Programmierer suchte!

Hamilton’scher Weg um einen Hyperwürfel

Epilog

Falls Ihnen die Buchstabenfolge, die beschreibt, wie man die Türme von Hanoi löst, bekannt vorkommt, dann liegt das daran, dass Sie sie schon zur Lösung eines anderen Rätsels benutzt haben. A B A C A B A beschreibt nicht nur die Lösung des Türme-von-Hanoi-Problems, sondern auch den Hamilton’schen Weg um einen Würfel, sofern man A, B und C als Richtungsangaben deutet. Die Türme von Hanoi mit vier Scheiben zu lösen, ist also das Gleiche, wie um einen vierdimensionalen Würfel zu wandern, ohne seine Eckpunkte mehr als einmal zu besuchen.

Allerdings gibt es eine bessere Lösung. Die Buchstaben A, B und C verraten ja nur, welche Scheibe bewegt wird, aber nicht zu welchem Stab, und sie verraten auch nur, welcher Kante man folgen soll, aber nicht in welche Richtung. Wir könnten A B A C A B A für einen Rundweg um den Würfel nehmen und ein Vorzeichen für die Richtung hinzufügen. Dann würde A bedeuten, in eine Richtung vorwärts zu gehen, und -A, rückwärts zu gehen.

Der Hamilton’sche Weg durch alle Ecken eines 3D-Würfels wäre also A  B −A C A −B −A, und für einen 4D-Würfel würde er A B−A C A −B −A D A B −A −C A −B –A lauten. Und natürlich gibt es einen Algorithmus, um diese Kette von Anweisungen zu erzeugen.

Hamilton’scher Weg mit Richtungsangabe

Hamilton’scher Weg für einen Hyperwürfel der Dimension n

- Schritt 1: Beschreibe den Hamilton’schen Weg in n – 1 Dimensionen.

- Schritt 2: Gib die neue Richtung an.

- Schritt 3: Liste den Hamilton’schen Weg in n – 1 Dimensionen in der umgekehrten Reihenfolge auf und vertausche alle Vorzeichen.

Das löst nicht nur die Türme von Hanoi und die Reise um den Hyperwürfel, dasselbe Vorgehen löst auch ein weiteres früheres Rätsel: Wie man ein Bild so an Haken aufhängt, dass es herunterfällt, sobald man einen Haken entfernt. Wiederum muss man dieselbe Lösung zweimal durchlaufen, mit einem zusätzlichen Schritt in der Mitte. Allerdings braucht man für das Bildhängeproblem einen extra Zug am Ende. Hier bedeutet A, den Draht im Uhrzeigersinn um den Haken zu schlingen und –A im Gegensinn.

Ein Bild an n Haken aufhängen.

- Schritt 1: Liste auf, wie man ein Bild an n – 1 Haken aufhängt.

- Schritt 2: Gib die neue (Wickel-)Richtung um den neuen Haken an.

- Schritt 3: Liste in umgekehrter Reihenfolge auf, wie man ein Bild an n – 1 Haken aufhängt, und vertausche alle Vorzeichen.

- Schritt 4: Gib die neue umgekehrte Richtung für den neuen Haken an.

Das Rätsel eines französischen Spiels aus dem 19. Jahrhundert zu lösen, ist dasselbe, wie sich um einen Hyperwürfel zu bewegen, und dasselbe, wie ein Bild schlecht aufzuhängen. Obwohl sie so völlig verschieden erscheinen, ist die zugrunde liegende Logik für die Lösung dieser Probleme gleich. Und sie lassen sich alle algorithmisch lösen.

ZWÖLF

Wie man einen COMPUTER baut

Wenn Mathematik zu lernen der Erkundung eines Dschungels zu Fuß gleicht, in dem man sich Schritt für Schritt vorwärts kämpft, dann bedeuten Computer so viele wie plötzlich einen Hubschrauber zur Verfügung zu haben. Sicher muss man sich am Boden befinden, um ein Terrain wirklich zu verstehen, doch wenn man in einen Hubschrauber springen kann und sich eine Weile über das Blätterdach erhebt, bekommt man schnell ein besseres Gefühl für die Landschaft im Ganzen, man überblickt größere Areale als am Boden, und vielleicht entdeckt man sogar etwas Interessantes in weiter Ferne. Menschen müssen sich zwar immer mit dem Klein-Klein der Mathematik beschäftigen – letztlich aber geht es darum, die zu Grunde liegende Logik unseres Universums zu erlernen und zu verstehen. Und der gesamte Prozess lässt sich mit ein bisschen Rechenhilfe dramatisch beschleunigen.

Wir haben schon gesehen, was das für die Mersenne-Primzahlen gebracht hat: Computer finden in einem Bruchteil der Zeit heraus, die ein Mensch braucht, ob eine Zahl prim ist. Die alten Griechen kannten vier Mersenne-Primzahlen, und zu Lebzeiten von Lucas waren erst zehn bekannt; die letzte wurde 1883 gefunden. Dann dauerte es bis 1914, um die restlichen der zwölf kleinsten Mersenne-Primzahlen zu finden. Sechs Zahlen pro Jahrtausend ist eine ziemlich kleine Entdeckungsrate. Als 1952 ein Computer eingesetzt wurde, fand man gleich fünf Zahlen in diesem Jahr. Obwohl die Mersenne-Primzahlen deutlich schwieriger zu finden sind, je größer sie werden und je weiter sie voneinander entfernt liegen, hatte sich ihre Gesamtzahl bis 1971 auf 24 verdoppelt. Es wurden also in weniger als 20 Jahren genauso viele Primzahlen entdeckt wie zuvor in mehr als 2000 Jahren. Die Gesamtzahl der Mersenne-Primzahlen wuchs 1997 auf 36 an und hat sich bis heute auf 48 vervierfacht. Die größte 1914 bekannte Mersenne-Primzahl hatte 39 Stellen. Im Jahr 2014, 100 Jahre später, war ihre Größe auf über 17 Millionen Stellen explodiert.

Das bedeutet nicht, dass Computer uns mehr Einsicht in diese Zahlen gebracht haben, wir haben lediglich mehr gefunden. Die Computer, die mit GIMPS beschäftigt sind, arbeiten immer noch mit demselben Primzahltest, der von Lucas und Lehmer entworfen wurde. Die Mathematik hat sich nicht geändert, lediglich die Rechenleistung. Ganz ähnlich können Computer die Riemann-Hypothese überprüfen, die so entscheidend für das Verständnis der Primzahldichte ist, um abzusichern, dass diese Vermutung für immer größere Zahlen gilt. Doch wird das niemals die Hypothese beweisen, warum dieses Muster überhaupt existiert. Würden wir eine Ausnahme finden, würde das allerdings die Hypothese widerlegen und massive Auswirkungen auf die moderne Mathematik haben. So können wir lediglich sagen, dass die Riemann-Hypothese für mehr als 10 Billionen Werte überprüft wurde und bisher alles perfekt ins Bild passt. Bisher.

Schlussendlich gibt es Theoreme der Mathematik, wie etwa der Vier-Farben-Satz und die Kepler-Vermutung über das Stapeln von Kugeln, für die es Beweise gibt, die teilweise von einem Rechner geführt wurden. Solche Rechner sind nicht nur einfache Rechenhilfen: Sie führen eine Menge Überprüfungen selbständig durch, weil es für Menschen unmöglich ist, das alles durchzugehen. Auch verfügen wir inzwischen über Initiativen wie das Flyspeck-Projekt, bei dem man die Beweise, die von Computern geführt wurden, mit Hilfe anderer Computer überprüft. Ganz gleich, was man davon hält, ob ein erschöpfender Beweis, der von Computern geführt wurde, als echte Mathematik gilt, so muss man doch zugeben, dass Computer derzeit in der Mathematik eine große Rolle spielen. Und es sieht so aus, als würden wir mehr und mehr von ihnen abhängen.

Also sollten wir besser verstehen, wie Computer funktionieren, wenn sie so entscheidend für die moderne Entwicklung der Mathematik sind. Und doch kennen sich nur wenige Menschen damit aus. Wir mögen vielleicht Algorithmen untersucht haben und irgendwie verstehen, wie man ein Programm schreibt, um einem Computer zu vermitteln, was er tun soll, doch wie genau führt er diese Befehle aus? Wie kann er die Instruktionen überhaupt lesen und verstehen? Hört man sich um, dann versuchen einige Leute das durch die Wechselwirkung zwischen Festplatte, Speicher, Prozessor und anderen Teilen des Computers zu erklären. Doch ist die Frage nicht, wie wir derzeit gerade Computer bauen, sondern vielmehr, warum wir überhaupt in der Lage sind, einen Computer zu bauen. Das Wissen vieler Menschen über die Arbeitsweise eines Computers endet schnell in einer Sackgasse, bevor man zu der Frage gelangt, wie ein Computer selbständig denken kann.

Sicher liegt es in der menschlichen Natur, unbelebten Dingen Motive zu unterstellen, als seien Dinge, die versagen, uns nerven oder unauffindbar sind, Handelnde, die selbständig denken. Doch es gibt tatsächlich einige physikalische Systeme, für die das zutrifft. Wir sind von Geräten umgeben, die rudimentär denken und auf die Umwelt reagieren können. Das fängt bei Computern und Smartphones an und geht bis hin zu Fahrkartenautomaten und Waschanlagen. In allen befinden sich Schaltkreise, die – wenn wir schon nicht so weit gehen wollen, dass sie denken – definitiv einige grundlegende Berechnungen ganz selbständig ausführen.

In all diesen Geräten befinden sich elektronische Schaltkreise, und genau die machen die Berechnungen. Irgendwie schafft es eine Ansammlung von Drähten und elektrischen Komponenten, auf Eingaben zu antworten, sie umzurechnen und Lösungen auszugeben. Dass ein physisches Objekt auf Eingaben reagieren und eine passende Lösung finden kann, versetzt die meisten Leute in Erstaunen, doch genau das ist die Grundlage aller Computerberechnungen.

Aber es muss gar nicht geheimnisvoll sein – tatsächlich kann man seinen eigenen einfachen Computer ohne irgendwelche Elektronik bauen. Man braucht nur ungefähr 10 000 Dominosteine. Oder falls Sie ungefähr 100 zusammenbekommen, können Sie zumindest schon mal einen Anfang machen.

Das Konzept einer Maschine oder eines Dings, das selbst denken kann, gibt es schon seit geraumer Zeit. Geschichten über Automaten gehen zurück bis in antike Zeiten. Im 4. Jahrhundert v. Chr. entwarf der Mathematiker (und Mitglied der Schule des Pythagoras) Archytas eine mechanische Taube, und möglicherweise hat er sie sogar gebaut. Künstliche Kreaturen erreichten mit der «trinkenden Ente» 1739 einen surrealen Höhepunkt. Sie war das Resultat einer französischen Obsession für Automaten. Die Ente konnte Körner fressen und ausscheiden. Vermutlich hat sie im Mittelpunkt einiger wilder Partys gestanden. Wir wollen uns jedoch nicht mit unlebendigen Dingen beschäftigen, die Leben vortäuschen können, sondern mit solchen, die Erkenntnisvermögen reproduzieren können.

Auch mechanische Rechenmaschinen gab es schon in sehr alten Zeiten. Sobald Menschen schwierige Rechnungen ausführen mussten, erfanden sie Maschinen, die sie an ihrer Statt machten. Bei einigen dieser antiken Geräte ging es um astronomische Berechnungen, die man brauchte, um Himmelserscheinungen vorherzusagen. Die erstaunlichste all dieser Maschinen ist vielleicht der Antikythera-Mechanismus, der zwischen 150 und 100 v. Chr. gebaut wurde. Er konnte komplizierte Berechnungen ausführen, um die Positionen von Sonne und Mond am Himmel zu verfolgen, möglicherweise sogar die der damals bekannten fünf Planeten, und dabei noch einen komplizierten Kalender berücksichtigen. Viel erstaunlicher ist wohl die Tatsache, dass wir überhaupt von seiner Existenz wissen.

CT-Aufnahmen von Teilen des Antikythera-Mechanismus

Der einzige Antikythera-Mechanismus, der bis in unsere Zeit überdauert hat, wurde um 1900 bei der griechischen Insel Antikythera in einem Schiff gefunden, das etwa 70 v. Chr. gesunken war. Der Mechanismus sah aus wie ein einziges, stark verkrustetes Zahnrad. Schließlich wurden verschiedene verkrustete und von Muscheln überwachsene Teile der Maschine vom Meeresboden geborgen. Sie enthielten ungefähr 30 verschiedene Zahnräder, die alle einen hohen Grad an Präzision aufwiesen. Die Maschine war offenbar auch fachmännisch nach Plan zusammengesetzt worden, was darauf schließen lässt, dass es sich nicht um irgendein experimentelles Gerät handelte, sondern um eine erprobte Konstruktion. Es gibt keine überflüssigen Bohrlöcher oder umgebaute Teile, die darauf hinweisen würden, dass die Maschine nach und nach verbessert wurde. Vielmehr war sie offenbar so anwenderfreundlich gebaut, dass man sie leicht öffnen und bedienen konnte. Obwohl alle Bronzeteile und die handwerkliche Machart zur Technologie und den Fähigkeiten jener Zeit passten, war alles doch so einfallsreich zusammengefügt, dass man ein solches Uhrwerk in den nächsten 1000 Jahren nicht wieder sehen würde.

Im vergangenen Jahrhundert hat man den Mechanismus nach und nach aufgeschlüsselt und herausbekommen, wozu er diente. Moderne Bildgebung war dabei eine große Hilfe, weil wir durch sie direkt in die verbliebenen Fragmente blicken und ihre Funktionsweise entschlüsseln konnten. Ein CT-Scanner hat es ermöglicht, die 3D-Teile des Antikythera-Mechanismus abzubilden, wobei eine Folge von 2D-Schnitten einen bewegten Durchblick durch die ganze Maschine gewährte. Schaut man sich ein Video davon an, dann tauchen unterschiedlich viele unterschiedlich große Zahnräder mit verschieden vielen Zähnen auf und verschwinden wieder, einige von ihnen verbunden und andere darübergesetzt. Durch die Rekonstruktion der Maschine wissen wir, dass diese Zahnräder astronomische Berechnungen durchführten. Der Mechanismus konnte Himmelserscheinungen vorhersagen, lange bevor sie sich ereigneten.

Verschiedene Theorien erklären, warum kein weiterer solcher Mechanismus überdauert hat (sie aus einem sehr teuren Metall herzustellen, hat auch nicht gerade geholfen, und es bedurfte einer Schiffskatastrophe, um die Bronze vorm Einschmelzen zu retten), doch meine Lieblingsvermutung lautet, dass wir so wenig über diese Maschinen gehört haben, weil es sich bei Antikythera um eine geheime Militärtechnologie jener Zeit handelte. Die Möglichkeit, das exakte Datum einer Eklipse, also einer Sonnenfinsternis, vorherzusagen, hätte den Militärs einen wichtigen strategischen Vorteil gegenüber anderen Völkern verschafft.

Die Zahl der Zähne auf den Zahnrädern und die Art und Weise, wie sie ineinander griffen, erlaubte dem Antikythera-Mechanismus, seine Berechnungen auszuführen. Waren sie erst einmal an ihrem Platz, musste man nur noch eine Kurbel vorwärts drehen, um zukünftige Himmelsansichten vorherzusagen. Inzwischen sind Apparate gebaut worden, die mit Hilfe derselben Zahnräder wie die des Antikythera-Mechanismus dieselben Berechnungen durchführen können. Mein Favorit ist eine Version, die ich auf einer Ausstellung bei Google gesehen habe (ich meine das reale Googleplex, nicht die Website). Dabei handelt es sich um einen Antikythera-Mechanismus, der komplett aus Legosteinen gebaut wurde. Auch wenn er uns sehr verblüfft, würde man diesen Apparat nicht wirklich einen Computer nennen. Man dreht an der Kurbel, und heraus kommt immer dieselbe Antwort – genauso eben wie bei einem Uhrwerk. Der erste Mensch, der einen Computer baute, welcher imstande war, interessantere Algorithmen auszuführen, war der im 19. Jahrhundert lebende englische Mathematiker Charles Babbage.

Um 1800 bestand die gebräuchlichste Rechenhilfe aus einem Buch voller Zahlentabellen. Diese Bücher waren letztlich gigantische Listen von Lösungen für übliche Berechnungen, die andere Menschen zuvor ausgeführt hatten, sodass man eine schwierige Berechnung hernehmen, sie in kleinere zerlegen und die Ergebnisse dann einfach nachschauen konnte. Indessen war die Herstellung solcher Bücher voller Standardlösungen eine langwierige und teure Angelegenheit, und häufig waren sie alles andere als fehlerfrei. Enthielten sie mehr als 1000 Lösungen, so hatten sich höchstwahrscheinlich irgendwo einige Fehler eingeschlichen. Also konnte man nicht sicher sein, ob die Antwort, die man nachgeschlagen hatte, korrekt war, und ein kleiner Fehler konnte die übrigen mühsamen Arbeiten ruinieren. Eigentlich war es die Frustration über die Fehler in diesen Tabellen, die der Welt ersten Computer inspirierte.

So hätte der Antikythera-Mechanismus aussehen können, falls die alten Griechen Lego gekannt hätten.

Babbage schrieb die Entstehung seiner Rechenmaschine einem Tagtraum zu, den er als Student an der Universität gehabt hatte. Er beschreibt, wie ein Kommilitone, der in Cambridge mit ihm Mathematik studierte, ihn über ein Buch mit mathematischen Tabellen versunken fand. Auf die Frage, wovon er träume, antwortete Babbage: «Ich stelle mir vor, dass all diese Tabellen von einer Maschine berechnet werden könnten.» Babbages Erleuchtung bestand darin, dass es schneller, billiger und im Ergebnis präziser wäre, diese Tabellen mit Hilfe einer Maschine zu erzeugen. Vielleicht hat er sich eine mit Dampfkraft betriebene Maschine aus Zahnrädern vorgestellt; heraus kam aber etwas, das mehr Ähnlichkeit mit einem modernen Smartphone hat als mit dem Antikythera-Mechanismus.

Nach seinen Jahren an der Universität entwarf Babbage tatsächlich etwas, das er die Differenzmaschine nannte. Es sollte eine Art kompliziertes Uhrwerk sein, das man auf die Berechnung der Werte verschiedener Gleichungen einstellen konnte. Es war noch nicht ganz das, was man heute einen Computer nennen würde, doch es räumte mit dem Problem der fehlerbehafteten mathematischen Tabellen auf. Babbage überzeugte die britische Regierung davon, ihm Geld für den Bau der Maschine zu überlassen, doch während des Baus wurde ihm klar, dass er eine bessere Maschine entwerfen konnte, und so wurde die Differenzmaschine nie fertiggestellt. Seine neue Erfindung nannte er Analytische Maschine. Sie war komplizierter als die Differenzmaschine und einem heutigen Computer tatsächlich ähnlich.

Das revolutionäre Konzept der Analytischen Maschine bestand darin, dass man auf ihr unterschiedliche Algorithmen zur Berechnung laufen lassen konnte; sie war also nicht für die Lösung eines spezifischen Problems eingerichtet, sondern konnte ganz unterschiedliche Programme ausführen. Babbage ließ sich dazu von einer anderen Spitzentechnologie jener Zeit inspirieren: den Webstühlen; so wurde seine Maschine programmierbar. Automatische Webstühle hatten Eingabeschlitze für Lochkarten (die wurden logischerweise so genannt, weil sie aus Karten mit eingeprägten Lochmustern bestanden). In Abhängigkeit vom Lochmuster auf den Karten wurden Haken im Webstuhl aktiviert und deaktiviert (wie rudimentäre Schalter), und die Webstühle webten entsprechend unterschiedliche Muster in den Stoff. Statt Lochkarten zur Festlegung eines Musters für einen Webstuhl zu benutzen, nahm Babbage diese Karten, um der Analytischen Maschine ihre Programmschritte vorzugeben.

Die Differenzmaschine, Nachbau im Science Museum in London.

Weil man jedes beliebige Programm mit beliebigen Vorgaben eingeben konnte, erfüllte die Analytische Maschine alle Anforderungen für einen Computer, so wie er auch heutzutage gebaut wird. Das ist der Grund, warum Babbage als «Vater des Computers» gilt. Leider wissen wir nicht, ob sie funktionierte, weil Babbage auch diese Maschine niemals baute. Auch nach seinem Tod im Jahre 1871 – er starb im Alter von 79 Jahren – griff leider niemand seine Pläne auf. Nun ja, jedenfalls bis 1991, als das Londoner Science Museum einige Jahre mit dem Nachbau einer Differenzmaschine nach Babbages Plänen zubrachte, und zwar mit Mitteln und Methoden des 19. Jahrhunderts, so wie sie ihm zur Verfügung gestanden hätten. Und sie funktionierte! Was dafür spricht, dass auch die Analytische Maschine nicht nur theoretisch, sondern auch in der Praxis funktionieren würde.

Möglicherweise ist Ihnen nicht entgangen, dass ich schon im ersten Kapitel den Titel «Vater des Computerwesens» vergeben habe, und zwar an Alan Turing. Das tat ich deshalb, weil Turing 1936 abstrakt formulierte, was die notwendigen Bestandteile eines Computers sein müssten, während Babbage den Entwurf für einen konkreten Computer schuf. Turing gab sich nicht mit dieser theoretischen Definition zufrieden, vielmehr arbeitete er im Zweiten Weltkrieg am britischen Verschlüsselungszentrum Bletchley Park, in dem man den ersten digitalen programmierbaren elektronischen Computer der Welt baute – Colossus. Da Colossus mit Hilfe höchst geheimer Kriegstechnologie entworfen und konstruiert wurde, sollte es Jahrzehnte dauern, bis die Öffentlichkeit von der Existenz dieses Computers erfuhr. Unmittelbar nach dem Krieg jedoch zerstreuten sich die Leute von Bletchley Park und wechselten zu akademischen Institutionen in aller Welt und hatten plötzlich erstaunlichen Erfolg beim Bau der «ersten» Computer der Welt, als wüssten sie irgendwie, dass es ging. Turing selbst war an einigen dieser Projekte beteiligt, bevor er sich an der Universität Manchester dem Bau des allerersten elektronischen Computers mit digitalem Speicher zuwandte.

Die Analytische Maschine ging alldem jedoch voraus, und auch wenn sie weder digital noch elektronisch funktionierte, so war sie doch programmierbar. Und ungeachtet dessen, dass sie niemals gebaut wurde oder lief, wurden sogar Programme für sie geschrieben. Als Babbage nach einer Reihe von Vorlesungen in Italien einige Aufzeichnungen über seine Maschine übersetzt haben wollte, wandte er sich an Ada Byron (besser als Gräfin Lovelace bekannt), die diese Übersetzung um einen zusätzlichen Abschnitt mit dem Titel «Anmerkungen des Übersetzers» erweiterte. Hier zeigte sie, dass sie den Text nicht nur übersetzt, sondern die Funktionsweise der Maschine auch vollständig verstanden hatte und deren Potenzial sogar noch weiter ausführen konnte. Ihre erste wichtige Feststellung war der enorme Unterschied im Potenzial der Differenz- und der Analytischen Maschine. In ihren eigenen Worten gesagt, «kann die Analytische Maschine nicht nur die Werte einer einzigen speziellen Funktion bestimmen, sie ist vielmehr in der Lage, jede beliebige Funktion darzustellen und auszuwerten».

Der Grund, warum diese Anmerkungen heute von so enormer historischer Bedeutung sind, liegt im allerletzten Abschnitt, in «Anmerkung G». Ich kann es nicht besser ausdrücken als Lovelace selbst: «Wir wollen diese Anmerkungen schließen, indem wir im Detail die Schritte nachverfolgen, die die Maschine beim Berechnen der Bernoulli-Zahlen macht, was (in der Form, in der wir sie später ableiten werden) ein ziemlich kompliziertes Beispiel ihrer Leistungsfähigkeit ist.» Die Bernoulli-Zahlen bilden eine sehr komplizierte Folge und sind ziemlich schwierig zu berechnen. Doch Lovelace führte in dieser Anmerkung aus, was heute als das erste jemals formulierte Computerprogramm gilt, ein Programm, das die Analytische Maschine diese Zahlen hätte berechnen lassen. Lovelace hatte damit gemeinsam mit Babbage einen Algorithmus erarbeitet, der auf dem allerersten Computer laufen konnte, bevor dieser überhaupt gebaut wurde. Damit hat sich Ada Lovelace den Titel des weltersten Computer-Programmierers verdient. Und all das geschah bereits 1842.

Das brachte Ada Lovelace auch eine Erwähnung in Lucas’ Buch Récréations mathématiques ein. Einige Jahre nach dem Tod von Babbage und Lovelace (sie starb 1852 mit nur 36 Jahren an Gebärmutterkrebs) veröffentlicht, erläuterte Lucas darin ihre Arbeiten, ganz unbeleckt von dem Wissen, was Computer eines Tages werden würden. Ganz so wie in dem Buch, das Sie in der Hand halten, nahm Lucas auch ein Kapitel über Rechenmaschinen auf, aber er nannte es «Le calcul et les machines à calculer». Im Mittelteil enthält sein Buch einige Abschnitte über die Analytische Maschine, die ein erstaunliches Niveau an Vorauswissen darüber offenbaren, wie wichtig sie später einmal eingeschätzt werden würde. Sodann machte seine Voraussicht einen weiteren Sprung mit einem Abschnitt, betitelt «Arithmétique électrique».

Als ich durch die Récréations mathématiques blätterte, um die Stellen über Babbage und Lovelace zu lesen, sprangen mich trotz meiner geringen Kenntnis des Französischen die Worte «arithmétique électrique» an – die ich unmittelbar mit «elektrischer Arithmetik» übersetzte. Lucas schrieb zu einer Zeit, als die Glühbirne gerade erst erfunden war, als gerade erst ein halbes Jahrhundert vergangen war, seit Georg Ohm erstmals elektrische Schaltkreise analysiert hatte. Und er schrieb 50 Jahre bevor die ersten elektronischen Schaltelemente gefertigt werden konnten. So etwas wie ein moderner Schaltkreis war in den späten 1800er Jahren einfach nicht möglich oder gar denkbar, und doch erkannte Lucas schon das Potenzial. Er erläuterte die Ideen des Erfinders Henry Genaille: «Er hat soeben ein neues, wenn auch noch unvollständiges Gerät erfunden, dessen Prinzip sich schon abzeichnet: eine elektronisch rechnende Maschine.» Damit deutete er mit leichter Hand an, dass eines Tages elektronische Schaltkreise in Computern genutzt werden würden.

Das elektrische Gehirn

Zum Glück hatte Lucas recht, und elektrische Maschinen können tatsächlich rechnen, denn ohne elektronische Schaltkreise wären wir aufgeschmissen. Obschon Babbage einen universellen Computer entworfen und Lovelace ein Programm für ihn geschrieben hat, wäre es sehr schwierig geworden, einen solchen mechanischen Apparat, der von Dampfkraft oder per Hand angetrieben wurde, auf eine Leistung zu steigern, wie wir sie heute von Computern gewohnt sind.

Eine Analytische Maschine, die 2 Meter hoch ist und 10 Tonnen wiegt, hätte höchstens etwa tausend 40-stellige Zahlen speichern können, was weniger als 20 KB Speicher entspricht, und sie hätte sieben Berechnungen pro Sekunde durchführen können. Das war eine Sackgasse, die niemals zu Computern führen konnte, wie wir sie heute für selbstverständlich halten. Auf keinen Fall hätte die Speicherkapazität dieser Art Maschine auf ein milliardenfaches Datenvolumen erweitert werden können, milliardenfach schneller rechnend, immer noch klein genug, um sie in der Hand zu halten, und dazu noch unsere Twitternachrichten aktualisierend.

Für heutige Computer sind elektronische Schaltkreise unerlässlich. Weil sie aber so unglaublich klein und schnell sind, haben die meisten Menschen unglücklicherweise keinerlei Vorstellung davon, wie sie tatsächlich funktionieren. Ein Computerprozessor sieht aus wie ein schmales graues Rechteck aus Plastik, während er in Wirklichkeit winzigste Schaltkreise enthält, durch die wie wild elektrische Signale zucken. Um sich klarzumachen, was in menschlichem Maßstab passiert, kann man dieselbe Art Schaltkreise mit Hilfe von Dominosteinen bauen. Holen Sie sich diese Box mit ungefähr 100 Steinen, und wir fangen an, einige grundlegende Rechenkreise aufzubauen!

Zunächst einmal haben wir es mit sogenannten logischen Gattern zu tun. Sie stellen die Grundbausteine von Schaltkreisen dar. Jedes logische Gatter kann gewisse binäre Eingaben verarbeiten und standardisierte binäre Ausgaben erzeugen. Wir nehmen die 1 und die 0 der Binärdarstellung, weil im Schaltkreis entweder ein elektrisches Signal fließen kann oder nicht; die Drähte in einem Computerschaltkreis stehen entweder unter Spannung oder nicht. (Damit sind wir wieder dort, wo wir in Kapitel 1 angefangen haben …) Eine Kette von Dominosteinen fällt entweder um, oder sie tut es nicht. In modernen elektronischen Schaltkreisen bedeutet hohe Spannung eine 1 und niedrigere Spannung eine 0. Indem wir das abbilden, können wir das Fallen eines Dominosteins als 1 betrachten und den unbewegten, aufrecht stehenden Dominostein als 0. Bekanntlich kann man jede Zahl als Zahl zur Basis 2 schreiben, also sind Einsen und Nullen alles, was man braucht, um irgendeine Zahl darzustellen und jede Art von Rechnung mit ihr durchzuführen.

Die beiden logischen Gatter, die wir bauen werden, sind das AND-Gatter und das XOR-Gatter (das steht für «exklusives oder»). Beide haben zwei Eingaben, wir sagen auch «Input», und eine Ausgabe («Output»). Das AND-Gatter lässt ein eingehendes Signal nur dann durch, wenn beide Eingaben zusammen angesprochen werden, das eine und (englisch «and») das andere. Ein XOR lässt ein Signal zur Ausgabe durch, wenn die eine Eingabe oder die andere aktiv ist (nicht beide). Das ist das Exklusive: Es muss ausschließlich die eine Eingabe oder (englisch «or») die andere sein. Wir können in einer Tabelle veranschaulichen, was jedes der Gatter tut, und in der Abbildung zeige ich, wie man sie mit Dominosteinen baut.

AND-Gatter

XOR-Gatter

Man kann diese logischen Gatter zum Rechnen benutzen. Erinnern Sie sich: Das XOR-Gatter hat einen Output, der anzeigt, ob nur eine Eingabe aktiviert war. Das AND-Gatter lässt uns wissen, wann beide Eingaben aktiv sind. Kombiniert man diese Gatter zu einem Schaltkreis mit zwei Outputs, haben wir ein Netzwerk von Dominosteinen, das abzählen kann, wie viele seiner Eingaben aktiviert sind. Die Ausgaben geben die Zahl der aktivierten Eingaben als binäre Zahl aus. Man nennt das einen Halbaddierer, und er zählt nur als «halb», weil es auch besser geht. Indem wir zwei Halbaddierer kombinieren, erhalten wir einen Volladdierer. Dieser braucht drei Inputs und gibt als zweistellige binäre Zahl heraus, wie viele Inputs aktiviert sind.

Volladdierer reichen völlig aus, um jede binäre Addition auszuführen, weil binäre Zahlen ganz einfach zu addieren sind. Sie lassen nur wenige Möglichkeiten. Während man bei Zahlen zur Basis 10 (also im Zehner- oder Dezimalsystem) eine 4 zu einer 7 addieren müsste oder eine 2 zu einer 9, addiert man bei Binärzahlen lediglich 0 zu 1 oder 1 zu 1 (oder 0 zu 0, aber das braucht man ja gar nicht zu erwähnen). Diese eingeschränkte Anzahl von Fällen macht den ganzen Rechenprozess ausgesprochen einfach. Um uns das klarzumachen, können wir die Zahlen 11 und 30 binär addieren. Beim Umwandeln der Systeme wird aus 11 eine 1011, und 30 wird zu 11 110. Wie im Dezimalsystem schreiben wir diese Ziffern untereinander, beginnen mit den Stellen rechts und bewegen uns beim Addieren allmählich nach links.

Halbaddierer

Volladdierer

Bei der Einer-Spalte ist es einfach: 1 + 0 gleich 1, also können wir eine 1 darunter schreiben. Die nächste Spalte ist etwas schwieriger: Wir müssen 1 und 1 addieren. Normalerweise wäre die Lösung 2, doch hier haben wir es mit Binärzahlen zu tun, und deswegen gibt es kein Symbol für «zwei», also können wir keine 2 als Lösung hinschreiben. Die 2 ist im Binärsystem 10. Also gehen wir genauso vor wie beim Rechnen im Dezimalsystem und übertragen die 1 – was sehr sinnvoll ist, denn diese Spalte gehört zu den Zweiern, folglich addieren wir eine 2 zu einer weiteren 2, was bedeutet, dass wir eine 4 in die nächste Spalte transportieren. Der darauf folgende Schritt ist schon der schwierigste: Wir müssen drei Einsen addieren. Das bedeutet einfach, eine 1 nach unten zu schreiben und eine 1 zu übertragen. Man kann also sehen, dass es bei jedem einzelnen Schritt darauf hinausläuft, bis zu drei Einsen und Nullen zu addieren, was bis zu zwei Outputs ergibt: eine Zahl nach unten schreiben und möglicherweise eine Stelle übertragen. All das kann ein Volladdierer tun.

Um Binärzahlen zu addieren, braucht man lediglich eine lange Reihe Volladdierer, einen für jede Spalte der Addition.

Für einen Halbaddierer würden Sie etwa zwei- oder dreitausend Dominosteine brauchen. Ich weiß das, denn ich habe es versucht. Der Idee mit den logischen Gattern aus Dominosteinen bin ich vor einigen Jahren erstmals begegnet, als mir jemand ein Link zu einer Website schickte, auf der sie theoretisch erklärt wurden. Ich suchte intensiv im Internet, aber ich konnte niemanden finden, der auch nur einen Halbaddierer aus Dominosteinen tatsächlich gebaut hatte. Es gab ein paar Videos auf You Tube, die dem nahe kamen, aber die Leute hatten gemogelt, indem sie Dominosteine zusammenklebten, und außerdem waren ihre Schaltkreise sehr störanfällig, sie funktionierten nicht zuverlässig. Für viele Versuche brauchte man Ketten von Dominosteinen, die sehr genau aufeinander abgestimmt umfielen, was in der Realität eben nicht passiert. Ich wollte einen Volladdierer bauen, der in der Realität funktioniert. Und das habe ich geschafft. Das Design des Schaltkreises finden Sie in den «Antworten am Ende des Buchs». Nun brauchte ich nur noch genug Dominosteine, um mehrere zu bauen und sie miteinander zu verketten.

Also kaufte ich zehntausend Dominosteine.

An einem Wochenende im Oktober 2012 setzte ich zusammen mit einem Dutzend freiwilligen «Dominocomputerbauern» auf dem Manchester Science Festival Tausende von Dominosteinen zu komplizierten Schaltkreisen zusammen, die dann eine Rechnung ausführen konnten. Den Halbaddierer zu entwerfen, war schon schwer genug gewesen. Genau wie bei echten integrierten Schaltkreisen, die auf eine Oberfläche geätzt werden, dürfen sich die Dominosteinketten nicht kreuzen. Computerschaltkreise sind planare Graphen. Doch die Länge jeder Reihe von Dominosteinen ist wichtig. Wie Sie auf den folgenden Fotos sehen, gab es Zickzacklinien vorwärts und rückwärts: Das sind quasi Verzögerungsstrecken, um das Signal zu verlangsamen und sicherzustellen, dass alle vorangehenden Berechnungen abgeschlossen sind, bevor der nächste Schritt kommt. Der 10 000-Dominostein-Schaltkreis stellte uns sogar vor noch mehr Probleme, doch ich hatte ein Team von Spitzenmathematikern zur Unterstützung.

Schließlich wurde der Schaltkreis mit nur einer Stunde Verzögerung fertig. Er konnte jede beliebige Summe von dreistelligen binären Zahlen ausrechnen und das vierstellige Ergebnis ausgeben. Zur Eingabe der Zahlen, die addiert werden sollten, ließen wir Lücken in den Eingabeketten der Dominosteine, die leer blieben, um 0 zu repräsentieren, und wir füllten diejenigen auf, die 1 darstellen sollten. Es gab eine lange Kette von Dominosteinen, die sich an der Basis des Schaltkreises hin- und herwand und sich schließlich in sechs Eingabekanäle verzweigte. Die Zahlen, die addiert werden sollten, wählten wir zufällig aus, und das waren schließlich die 4 (100) und die 6 (110). Für die 4 ließen wir also eine Lücke in den Einer- und Zweier-Eingaben, aber füllten die Dominokette für die Vierer. Für die 6 blieb die Einerkette leer, aber die Zweier- und Viererketten wurden aufgefüllt.

Eine beachtliche Menschenmenge hatte sich bis zu diesem Zeitpunkt bereits angesammelt. Wir hatten den Computer in der Mitte der Haupthalle des Museums für Wissenschaft und Industrie in Manchester aufgebaut, und die Leute waren den ganzen Tag über zum Zuschauen gekommen, oft in der Hoffnung darauf, dass jemand zufällig einige Dominosteine umstieß.

Der Computer brauchte 48 Sekunden, um das Eingangssignal durch die verschiedenen logischen Gatter zu steuern, und nur die Zweier- und Achter-Outputs fielen um, woraus als Ergebnis 10 (1010) abzulesen war. Die Menge tobte.

Berücksichtigt man die 6 Stunden Aufbauzeit, dann ist dies wohl der ineffizienteste Weg, mit dem jemals 6 und 4 addiert wurden, um 10 herauszubekommen. Oder, wie einige boshafte Zuschauer spöttelten, schafften wir es, einen ganzen Tag dafür zu brauchen, um 6 + 4 = 2 + 8 zu zeigen.

Der eigentliche Punkt aber ist, dass wir das grundlegende Element bauten, auf dem alle Computer beruhen. Hätten wir einen quasi unendlichen Vorrat an Dominosteinen, könnten wir den Schaltkreis größer und größer machen und ihn immer kompliziertere Aufgaben ausführen lassen. Wenn man Zahlen erst einmal addieren kann, dann kann man den Dominoschaltkreis erweitern, sodass er multiplizieren, dividieren und sogar wurzelziehen kann. Es sind ein paar weitere technische Probleme zu überwinden, zum Beispiel einen Speicher aus Dominosteinen zu bauen und eine Methode zu finden, sie automatisch wieder aufzustellen, doch theoretisch zumindest ist nichts unmöglich.

Alle zehntausend Dominosteine zur Berechnung bereit

Doch wie zuvor schon bemerkt, lässt sich diese Art physikalischer Systeme nicht wirklich gut erweitern. Hätten wir eine zweite Berechnung auf unserem Dominocomputer machen wollen, hätten wir einen weiteren vollen Tag gebraucht, um alle Dominosteine wieder aufzustellen, wohingegen ein elektronischer Schaltkreis durch die Berechnung nicht zerstört wird und man deshalb, sobald eine Berechnung alle logischen Gatter passiert hat, die nächste starten kann. Ein moderner Prozessor schafft das milliardenfach in einer Sekunde.

Während ich dies auf meinem Laptop schreibe, wirbelt der 2,7-GHz-Prozessor still im Hintergrund. (2,7 GHz ist ein Maß dafür, wie oft seine logischen Gatter in der Sekunde angesprochen werden können.)1 Das ist ein bisschen schneller als die Dominosteine.

Die Bildschirmauflösung ist grauenhaft

Grob geschätzt, dauerte es sechs Stunden, den Dominocomputer aufzubauen und zum Laufen zu bringen. Das bedeutet, er könnte vier Berechnungen pro Tag schaffen, falls man über ein Team von Dominocomputerbauern verfügt, die rund um die Uhr arbeiten. Das ist eine grauenvolle Geschwindigkeit – eine Rechnung alle 21 600 Sekunden, was einer Prozessorgeschwindigkeit von 46,3 Mikrohertz entspricht. Damit ist mein Laptop 58 Billionen Mal schneller als der Dominocomputer. Die Berechnungen, die auf meinem Laptop in einer Sekunde laufen, würden ein Team von Dominotechnikern, die rund um die Uhr arbeiten, mehr als 2 Millionen Jahre beschäftigt halten. Und obwohl ich ein fantastisches Team von Freiwilligen zur Verfügung hatte, wäre dies doch ein wenig über das hinaus gegangen, worum ich sie hätte bitten können.

Allerdings haben wir den zweiten Tag genutzt, um den Schaltkreis so umzubauen, dass er vierstellige Inputs aufnehmen und ein fünfstelliges Ergebnis ausgeben konnte. Dummerweise hatten wir weder zusätzliche Dominosteine noch mehr Platz, sodass wir den Schaltkreis sowohl effizienter als auch kompakter gestalten mussten – was ebenfalls typische Ansprüche sind, wenn man heute integrierte Schaltkreise für Computer entwirft. Wir forderten unser Glück heraus, und in der letzten Berechnung gingen zwei Dinge schief. Erstens hatten wir die Toleranzen in den Verzögerungsketten herabgesetzt, um Dominosteine zu sparen, doch eine verkürzten wir zu sehr, sodass das Stoppsignal erst ankam, nachdem das andere Signal bereits passiert hatte. Zweitens ließen wir einige Ketten zu nahe aneinander laufen und hatten «Signalverlust». (technisch heißt das: «Übersprechen», was viel freundlicher klingt). Ein Stein in einer Ecke fiel um und rutschte gerade so weit über den Boden, dass er einen weiteren in der Nachbarkette umstieß, was ein Phantomsignal auslöste.

Mir gefiel allerdings, dass beide Probleme typisch sind für das, was einem begegnet, wenn man wirkliche Computerschaltkreise miniaturisiert. Zusätzlich zu all den Timingproblemen, die es in Schaltkreisen geben kann, kann der Strom in einem Schaltkreis in der Tat einen Strom in einem benachbarten Schaltkreis hervorrufen, wenn zwei «Drähte» zu nah beieinander liegen. Zusammen mit dem Problem des Signalverlusts heißt das sowohl für Elektronen als auch für Dominosteine: Effiziente Schaltkreise zu entwerfen, ist eine Kunst.

Es liegt auf der Hand, dass die meisten integrierten Schaltkreise heute ihrerseits von Computern entworfen werden, doch braucht man manchmal immer noch ein wenig menschlichen Einfallsreichtum. Als Apple 2012 das iPhone5 herausbrachte, bemerkte man bald, dass der A6-Prozessor darin von Hand entworfen worden war. Schaltkreisdesign ist eines der großen Anwendungsfelder der Mathematik. Falls auch Sie es voranbringen wollen – ich habe da noch 10 000 Dominosteine zu verleihen …

DREIZEHN

Zahlen SALAT

Zahlen allein sind schon großartig, doch wenn sie ihre Kräfte bündeln, ist das Resultat noch großartiger als die Summe ihrer Teile. Oder auch das Produkt ihrer Teile, falls Sie sie lieber multiplizieren möchten. Oder die Wurzel, das Reziproke oder das Verhältnis ihrer Teile. Wie immer man Zahlen kombiniert, man kann zu unglaublichen Resultaten kommen – unglaubliche Ergebnisse, ohne die unsere heutige Technologie einfach nicht funktionieren würde.

Moderne Computergraphik in Videospielen und Filmen ist das Resultat der Verrechnung ganzer Unmengen von Zahlen im Hintergrund, die dann zu einem Ergebnis zusammengesetzt werden – einem Bild. Wenn man die Zahlen jedoch nicht richtig miteinander kombiniert, kann das Bild mißlingen. Als das Videospiel inFAMOUS Second Son 2014 auf der PlayStation4 herauskam, war es ein Riesenhit, der sich in den ersten neun Tagen nach Erscheinen eine Million Mal verkaufte und den Verkauf von PlayStations nach oben schnellen ließ. Dass es überhaupt herauskam, wurde erst dadurch möglich, dass eine Störung im Zusammenspiel der Zahlen im Hintergrund korrigiert wurde.

Als die Entwickler das Spiel programmierten, stießen sie auf ein Problem. Zunächst funktionierte alles prima, wenn die Charaktere in 3D-Bilder übersetzt wurden, bis auf ein kleines Problem mit ihrem Hals. Genau quer über den Hals des Hauptdarstellers zog sich eine dunkle Linie. Ganz abgesehen davon, dass das ominös und schaurig wirkte, entsprach es nicht dem hohen Qualitätsmaßstab, den die Leute erwarteten. Nach ausgiebigen Nachforschungen kam man darauf, dass einige Programmierer, die an dem Spiel arbeiteten, Zahlen auf leicht veränderte Weise kombiniert hatten, und dass diese Abweichung den falschen Hals produzierte.

Weil das Gesicht des Hauptdarstellers komplizierter war und feiner dargestellt werden musste als seine übrigen Körperteile, wurde es von einem anderen Programmteil berechnet und erzeugt als jenes, das die Graphik der Körperteile beschrieb. Also gab es innerhalb der Software ein Unterprogramm zur Kontrolle des Gesichts und ein weiteres für den Körper, und ihre Gültigkeitsbereiche trafen sich am Hals. Jeder Teil des Programms musste alle möglichen Arten von Zahlen kombinieren (die Position jedes Pixels im dreidimensionalen Raum, die Lichtverhältnisse, die echte Farbe des Objekts, den Blickwinkel, aus dem es gesehen wird, et cetera), um einen numerischen Wert für die Farbe zu berechnen, in der jedes Pixel im endgültigen Bild erscheinen sollte. Theoretisch hätten die Bilder, die die Unterprogramme mathematisch berechneten, nahtlos aneinander passen sollen, jedoch erzeugten sie aus irgendeinem Grund genau auf der Gültigkeitsgrenze etwas unterschiedliche Resultate. Im Gespräch mit einem der Programmierer erfuhr ich, dass ein Teil des Programms seine Zahlen abgerundet hatte, während der andere sie aufrundete.

Um Zahlen systematisch auf dieselbe Weise zu kombinieren, benutzen Mathematiker etwas, das sie Funktion nennen. Schon der einfache Akt, einen Wert auf eine ganze Zahl auf- oder abzurunden, kann durch unterschiedliche Funktionen dargestellt werden. Wenn man immer abrundet, so heißt die Funktion Abrundungsfunktion, und sie wird durch merkwürdige eckige Klammern, denen oben etwas zu fehlen scheint, dargestellt, zum Beispiel ⎣7,9⎦ = 7. Wenn man immer aufrundet, so heißt die Funktion Aufrundungsfunktion, und sie wird mit merkwürdigen eckigen Klammern geschrieben, denen irgendwie das Unterteil fehlt, zum Beispiel ⎡3,1⎤ = 4 und ⎡–5,6⎤ = –5. Ein Teil des Computercodes für inFAMOUS Second Son hatte die Abrundungsfunktion zum Runden von Werten benutzt, während das andere Unterprogramm die Aufrundungsfunktion genommen hatte.

Achtung! Graphik

Im Grunde genommen ist eine Funktion eine systematische Methode, eingegebene Zahlen irgendwie zu verarbeiten und sie dann wieder auszuspucken. Damit sind Funktionen eng mit ihrer graphischen Darstellung verknüpft. Funktionen graphisch darzustellen, ist eine Möglichkeit, ihren Output sichtbar zu machen, was die meisten Mathematiker einen Plot nennen würden, weil sie das Wort «Graph» bereits in der Bedeutung «Netzwerk» benutzen. Ich werde beide abwechselnd verwenden. Lassen Sie mich gleich auf den Punkt kommen: Hier sind meine vier Lieblingsarten, Funktionen graphisch darzustellen.

1. Input mit Output verbinden

Dies ist die klassische Art, eine Funktion zu zeichnen. Nehmen wir etwas Hübsches und Prosaisches – sagen wir, die Funktion f(x) = x^2. Wir haben der Funktion den Namen f gegeben, und das x in Klammern steht für die Inputzahl. Für jeden Input x bekommen wir als Output x zum Quadrat, also x^2. Um das zu zeichnen, schauen wir jeden Input-Wert auf der horizontalen x-Achse nach und machen darüber einen Punkt, und zwar in der Höhe, die dem Outputwert, abgelesen auf der senkrechten Achse, entspricht. Dann bilden alle diese Punkte eine durchgehende Linie. Sie können sich die Zeichenebene als alle möglichen Kombinationen von zwei Zahlen vorstellen. Jeder Punkt hat zwei Koordinaten. Der Plot markiert alle die Koordinaten, die ein gültiges Wertepaar für unsere Funktion darstellen (Input, Output). Das funktioniert auch für andere Funktionen, wie zum Beispiel f(x) = 10x – x^2.

Nicht sehr aufregend, schon klar.

Um die Sache etwas zu beleben, nehmen Sie sich einen Tennisball, eine Zange, eine leicht entflammbare Flüssigkeit und eine Videokamera. Sie wissen schon, wenn die Zutatenliste für eine Aktion am Ende «brennbare Flüssigkeit und eine Videokamera» enthält, verspricht das eine Menge Spaß – weshalb ich darauf bestehen muss, dass Sie die Aktion nicht wirklich durchführen. Falls Sie es dennoch tun (was Sie nicht werden), hier ist die (hypothetische) Anleitung: Tunken Sie den Tennisball mit der Zange in die brennbare Flüssigkeit, lassen Sie jemand anders die Kamera halten und filmen, vorzugsweise im Dunkeln, wie Sie den Ball entzünden und hoch in die Luft werfen. Die Kamera wird die Bahn des Balls aufzeichnen, und Sie können dann die Einzelbilder zu einer Flugbahn zusammensetzen.

Am Ende werden Sie einen Plot der Ballhöhe als Funktion der Zeit, die der Ball sich in der Luft befand, erhalten, und dieser Plot sollte dieselbe Form wie der von f(x) = 10x – x^2 haben, nämlich die einer umgekehrten Parabel.

2. Ein Input, zwei Outputs

Wenn Ihre Funktion zwei Outputs hat, können Sie Inputzahlen eingeben und jedes Outputpaar als Punkt in der Ebene mit diesen Koordinaten zeichnen. Ich habe die unten stehende Funktion genommen, sodass die Outputpunkte für Inputs zwischen 0 und 2π ein Herz bilden.

Wenn Sie eine Tabelle mit diesen Werten machen, können Sie Ihren Liebsten mailen, um ihnen Ihre Gefühle zu zeigen. Oder verschicken Sie gleich eine «Ich rechne mit dir»-Karte – Ihre ganz persönliche Präzisionsliebe.

3. Geprüfte Punkte

Einige Funktionen überprüfen Koordinaten. Nur solche, die die Prüfung bestehen, werden als Teil des Graphen aufgemalt. Der Ausdruck unten zeigt, ob ein Koordinatenpaar die Ehre hat, zum Graph zu gehören oder nicht. Setzen Sie ein beliebiges Zahlenpaar (x, y) in die Formel ein, runden Sie das Ergebnis auf die nächstgelegene ganze Zahl ab und markieren Sie nur diejenigen, die größer als 1/2 sind, dann bekommen Sie einen Graphen, der aussieht wie der Plot auf Seite 301 unten. Tuppers Formel, so heißt sie, ist eine Funktion, deren Plot ein Bild der sie definierenden Gleichung erzeugt. Ich habe es, ehrlich gesagt, selbst nicht geglaubt, bis ich es ausprobiert habe. Aber es funktioniert.

Dies ist sowohl die Gleichung als auch der Graph von Tuppers (selbstbezüglicher) Formel.

4. Zwei rein, einer raus: nun in 3D

Manche Funktionen benötigen zwei Inputs und geben eine einzige Outputzahl aus. Falls Sie Blackjack spielen, wissen Sie, dass es eine nicht eben kleine Wahrscheinlichkeit gibt, nach zwei Karten eine dritte zu ziehen, die Ihre Kartensumme auf über 21 erhöht, sodass Sie bankrott gehen und Ihren gesamten Einsatz in diesem Spiel verlieren. Die Wahrscheinlichkeit für den Bankrott ist eine Funktion der beiden ersten Karten (vorausgesetzt, Sie haben noch keine weiteren Karten des Stapels gesehen), und man kann diese Funktion graphisch darstellen. Wir beginnen wie zuvor mit der zweidimensionalen Ebene, deren Koordinaten nun alle möglichen Kombinationen von zwei Karten repräsentieren, und nehmen dann die dritte Dimension, um die Wahrscheinlichkeitswerte zu zeichnen. Man kann in der einen Ecke eine Spitze erkennen, die ich, ganz passend für einige Blackjack-Spieler, den «Gipfel der Enttäuschung» nenne.

Rekursive Funktionen

Wir sind schon einigen rekursiven Algorithmen begegnet, also können wir getrost auch einige rekursive Funktionen kennenlernen. So wie ein rekursiver Algorithmus sich in einem seiner Schritte auf sich selbst bezieht (man denke an das verstörende Kuchenrezept in Kapitel 11), nimmt eine rekursive Funktion ihren eigenen Output als neuen Input. Das am besten bekannte Beispiel für eine solche Funktion ist die Zahlenfolge, die sie erzeugt: die Fibonacci-Folge. Ein weniger bekanntes, aber zumindest in meinen Augen besseres Beispiel ist die Folge der Lucas-Zahlen. Man kennt Lucas, berühmt für Kanonenkugeln und Primzahlen, heutzutage kaum, obwohl er es war, der die Fibonacci-Zahlen nach dem Mathematiker Leonardo «Fibonacci» Pisano benannt hat. Sowohl bei der Fibonacci- als auch der Lucas-Folge beginnt man mit zwei Zahlen, danach ist jeder neue Output der Funktion die Summe der beiden vorhergehenden Outputs. Bei Fibonacci sind die beiden Startzahlen 1 und 1, bei Lucas sind es 1 und 3.

Wenn man den Dreh erst einmal raus hat, wie die Funktion die Zahlenleiter zu immer höheren Werten hinaufklettert, kann man sie auch wieder zurück drehen. Nehmen Sie irgendeine der Zahlen und subtrahieren Sie die vorhergehende, dann ergibt sich die Zahl davor in der Folge. Versuchen Sie, über den Startpunkt zurückzugehen, dann sollte sich eine Folge abwechselnd positiver und negativer Zahlen ergeben. (Siehe die «Antworten am Ende des Buches».) Man kann auch Funktionen finden, die die beiden Folgen verknüpfen. Wenn sie eine Fibonacci-Zahl zur übernächsten addieren, erhalten Sie die Lucas-Zahl, die an der Position zwischen den beiden Positionen der Zahlen in der Fibonacci-Folge steht. (So ergeben zum Beispiel 3 + 8, die an vierter und sechster Stelle in der Fibonacci-Folge stehen, als Summe 11, was an fünfter Stelle in der Lucas-Folge steht.)

Fibonacci betätigte sich als Mathematiker im frühen 13. Jahrhundert. Er brachte das Dezimalsystem nach Europa und machte viele interessante Sachen in der Geometrie und mit Zahlen. Seine Zahlenfolge sollte jedoch, völlig zu Recht, eine Art Fußnote in seinem Leben bleiben. Er listete zwar die Zahlen auf, machte aber ansonsten nichts mit ihnen. Erst in den 1800er Jahren, als sie von Lucas näher untersucht wurden, erkannte man, wie interessant sie für die Mathematik sind. Aus diesem Grund halte ich es auch für eine Schande, dass Lucas und seine Zahlen in Vergessenheit geraten sind, während jeder offenbar alles über Fibonacci-Zahlen weiß.

Zu allem Überfluss stehen die Fibonacci-Zahlen mit dem goldenen Schnitt in Beziehung. Der goldene Schnitt (1,618 …) ist eine Zahl, die mit dem griechischen Buchstaben φ bezeichnet wird, und er ist mathematisch bedeutsam, weil er die Zahl darstellt, über die am meisten Unsinn geredet wird. Verstehen Sie mich nicht falsch, es gibt schon einige tolle mathematische Sachverhalte beim goldenen Schnitt – zum Beispiel ist er die einzige positive Zahl, die genau 1 plus ihr Reziprokes ist – aber die Behauptungen, er würde wieder und wieder in Architektur und Kunst auftauchen, finde ich einfach ein bisschen weit hergeholt. Ebenso wenig hat mir je jemand die häufig wiederholte Pseudotatsache erklärt, dass das Verhältnis der Größe eines Menschen und der Entfernung seines Bauchnabels vom Erdboden dem goldenen Schnitt entspreche.

Die Verbindung der Fibonacci-Zahlen zum goldenen Schnitt besteht darin, dass das Verhältnis aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen, wenn sie größer und größer werden, sich mehr und mehr dem goldenen Schnitt nähert. Einigen Leuten erscheint diese Verbindung so stark, dass sie die Fibonacci-Zahlen synonym mit dem goldenen Schnitt gebrauchen. Nur ist es leider so, dass das für jede Folge funktioniert, bei der Sie zwei aufeinanderfolgende Zahlen addieren, um zur nächsten zu kommen. Statt mit 1, 1 zu beginnen, bin ich mit zufällig ausgesuchten Zahlen bis zu 10 Millionen gestartet, und natürlich ist das Verhältnis zweier aufeinander folgender Zahlen schon nach der 20. Stelle in der Folge immer 1,618 034. Jede Folge von natürlichen Zahlen, bei der man zwei addiert, um die nächste zu bekommen, wird zum goldenen Schnitt führen. Um die Folge zu bestimmen, die die größte Goldene-Schnittheit hat, beginne man mit dem goldenen Schnitt, erhebe ihn zu wachsenden Potenzen (2, 3, 4 …) und runde jeweils das Resultat zur nächsthöheren ganzen Zahl auf. Dies ist das perfekte Rezept, um die Folge der Lucas-Zahlen zu produzieren.

Das ist beeindruckend.

Das ist überhaupt nicht beeindruckend.

Was noch erstaunlicher ist: Man kann die Lucas-Zahlen für einen groben Primzahltest benutzen. Falls eine Zahl eine Primzahl ist, dann muss die Lucas-Zahl an dieser Stelle 1 plus ein Vielfaches dieser Primzahl sein. Zum Beispiel ist die siebente Lucas-Zahl 29, was genau eins mehr ist als ein Vielfaches von 7 (nämlich 28). Und 7 ist eine Primzahl. Das Problem ist nur, dass das auch für Nichtprimzahlen funktioniert, wohingegen der Test sicherstellt, dass eine Zahl definitiv zusammengesetzt (d. h. nicht prim) ist, wenn es nicht passt. Das Kriterium bedeutet nicht, dass die Zahl definitiv eine Primzahl ist. Zahlen, die den Test bestehen, aber in Wirklichkeit zusammengesetzte Zahlen sind, die sich als Primzahlen ausgeben, nennt man Lucas-Pseudoprimzahlen. Wenn wir absolut sichergehen wollen, eine Primzahl vor uns zu haben, müssen wir einen stärkeren Test her-anziehen. Für Mersenne-Primzahlen haben wir den Lucas-Lehmer-Primzahltest.

Goldene Potenzen ergeben die Lucas-Zahlen.

Der Lucas-Lehmer-Primzahltest benutzt ebenfalls eine rekursive Funktion, um eine Folge von Zahlen zu erzeugen (eben die Lucas-Lehmer-Folge). Sie beginnt mit 4, und jede Zahl danach ist die vorhergehende Zahl quadriert minus zwei (siehe unten). Bei jeder Mersenne-Zahl (wie zum Beispiel 2^3 – 1 = 7 und 2^8 -1 = 255) nimmt man die Potenz der 2 (also 3 und 8 in unseren Beispielen) und dann, falls die Lucas-Lehmer-Zahl an der Stelle dieser Potenz minus 1 (also an zweiter und siebter) ein exaktes Vielfaches (ohne Rest) der Mersenne-Zahl ist, dann ist diese definitiv prim.

Lassen Sie uns unsere Beispiele überprüfen. So liegt die Mersenne-Zahl 7 eins unter der dritten Potenz von 2. Also schauen wir uns die zweite Lucas-Lehmer-Zahl an, das ist 14. Weil das ein Vielfaches von 7 ist, wissen wir nun, dass 7 eine Mersenne-Primzahl ist. Um die achte Mersenne-Zahl, 2^8 – 1 = 255, zu überprüfen, nehmen wir die siebte Lucas-Lehmer-Zahl (diese Monströsität, die etwas größer als 4 Milliarden Milliarden Milliarden Milliarden ist) und überprüfen, ob sie ein Vielfaches von 255 ist. Ist sie nicht.

Falls der Test versagt, liegt definitiv keine Mersenne-Primzahl vor. Auf diese Weise konnte Lucas nachweisen, dass die 67. Mersenne-Zahl definitiv nicht prim war, obwohl er ihre Primfaktoren nicht kannte. Auf dieselbe Weise wies Lucas nach, dass die 127. Mersenne-Zahl prim war, womit er zugleich die größte Primzahl fand, auf die man jemals ohne die Hilfe von Computern gestoßen war. (Mehr über Mersenne-Primzahlen in den «Antworten am Ende des Buches».)

Wie Sie sich überzeugen konnten, werden die Lucas-Lehmer-Zahlen irrwitzig schnell irrwitzig groß, sodass es eine echte Qual wäre, sie zu berechnen. Was man jedoch bei jedem Schritt lediglich wissen muss, ist der Rest des Folgegliedes, der bleibt, wenn es durch die Mersenne-Zahl geteilt wird. Wenn Sie also die Mersenne-Zahl 2^13 – 1 = 8191 überprüfen wollten, berechnen Sie alle Werte und suchen den Rest beim Teilen durch 8191. Das macht die Werte handhabbar, und die zwölfte Zahl in der Folge ist tatsächlich 0 – kein Rest – was beweist, dass 8191 prim ist. Lucas konnte dieselbe Zahlenfolge für 2^67 – 1 und 2^127 – 1 per Hand berechnen und sie als prim bzw. als nicht prim nachweisen. Wenn Sie eine Herausforderung suchen, machen Sie von der Lucas-Lehmann-Folge Gebrauch, um zu zeigen, dass 2^17 – 1 = 131 071 eine Primzahl ist.

Und nun alle zusammen

Lassen Sie uns ein wenig mit einem Mathematikerwitz erholen: Unendlich viele Mathematiker gehen in eine Kneipe. Der erste bestellt ein Glas Bier, der nächste ein halbes Glas, der folgende ein Viertel Glas Bier, der nächste ein Achtel usw. Der genervte Barkeeper macht zwei Gläser Bier voll, knallt sie auf die Bar und sagt «Ihr Mathematiker solltet eure Grenzen kennen!»

Was wäre, wenn wir eine Funktion hätten, die unendlich viele Inputs hat und nur einen einzigen Output hervorbrächte? Ja, Funktionen, die unendlich viele Zahlen aufaddieren und einen einzigen Wert ausgeben, gibt es tatsächlich. Es scheint der Intuition zuwiderzulaufen, dass eine unendliche Summe nicht (automatisch) auch ein unendliches Resultat liefert. Würden Sie versuchen, alle ganzen Zahlen aufzuaddieren, so würden Sie mit Sicherheit dieses unendliche Resultat erhalten. Weil die Zahlen immer größer werden, bedeutet jedes weitere Glied in der Addition, dass das Ganze noch viel größer wird. Die Antwort wird wahnsinnig groß. In der Mathematik nennt man das divergent, weil die Lösung einfach über alle Grenzen wächst. Es gibt jedoch eine andere Möglichkeit, die darin besteht, dass man eine unendliche Anzahl von Dingen addiert, von denen jedoch jede kleiner ist als die vorhergehende. In diesem Fall wird die Summe gelegentlich auf eine endliche Lösung konvergieren. Ich sage es noch einmal: Man kann unendlich viele Dinge zu einer endlichen Antwort aufsummieren.

Der Witz über die unendlich vielen Mathematiker, die Bier bestellen, funktioniert, weil jeder Mathematiker ein kleineres Bier als die Person vor ihm bestellt – genauer, ein halb so großes. Deswegen ist die Gesamtmenge Bier, die dabei herauskommt, nicht unendlich, obwohl unendlich viele Leute bestellen. Es werden insgesamt nur zwei Gläser Bier. Sie können das leicht einsehen, wenn Sie ein Quadrat nehmen, um ein Glas Bier darzustellen. Weil jede neue Bestellung die Hälfte der vorhergehenden ist, nimmt sie die Hälfte des verbliebenen Raums ein. Die gesamte Bestellung kann niemals größer werden als diese beiden Quadrate. Man würde eine unendliche Schlange von Menschen brauchen, um diese Gesamtbestellung von zwei Bier herauszubekommen. Das Ergebnis für eine unendliche Summe wie diese nennt man den Grenzwert der Summe.

Aber Vorsicht: Es ist sehr schwierig zu sagen, ob eine unendliche Summe auf ein endliches Resultat konvergiert oder ob sie divergiert und es keine hübsche Antwort gibt. Es reicht nicht, dass die Zahlen in der Folge immer kleiner werden. Das bekannteste Beispiel dafür ist die Summe aller Einheitsbrüche (all diejenigen, die eine 1 im Zähler haben). Wenn Sie 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 … addieren, ist jede Zahl kleiner als die vorhergehende, und doch scheint die Summe nicht auf einen Grenzwert hin zu konvergieren. Diese Folge ist als harmonische Reihe bekannt, und der französische Mathematiker Nicole Oresme bewies im 14. Jahrhundert als Erster, dass sie divergiert.1

Oresme trifft sich mit Fibonacci im Außenseitereckchen in der Geschichte der Mathematik. Die alten Griechen haben fast ausnahmslos Mathematik betrieben, und dann geschah in Europa bis zum 16. Jahrhundert oder später absolut nichts. Oresme und die Fibonacci sind die Ausnahmen. Die Entdeckung, dass die harmonische Reihe divergiert, fällt in diese historische Lücke, als für mehr als 1000 Jahre nicht viel in Europa passierte. Nicole Oresme bewies nicht nur, dass die harmonische Reihe divergiert, er gehört auch zu den Pionieren in der graphischen Darstellung von Funktionen. Und er benutzte bereits Jahrhunderte vor Newton Geschwindigkeit-Zeit-Diagramme.

Oresmes Geniestreich bestand darin, dass er eine neue Reihe erfand, die definitiv kleiner war als die harmonische Reihe. Er benutzte die Folge aller Einheitsbrüche und ersetzte all diejenigen Folgenglieder, die keine Potenz von 2 im Nenner hatten, durch einen kleineren Bruch, der das tat. Da alle diese neuen Brüche entweder gleich oder kleiner waren, musste die Gesamtsumme deswegen kleiner als der Grenzwert der harmonischen Reihe sein. Doch als Oresme diese Brüche in Gruppen einteilte, die sich jeweils zu 1/2 addierten, erhielt er eine Summe von unendlich vielen 1/2, die definitiv divergiert. Dies bedeutete umgekehrt, dass die noch größere harmonische Reihe ebenfalls divergieren muss. Oresme hatte damit gezeigt, dass eine Folge von abnehmenden Zahlen dennoch divergieren konnte. (Sein Beweis ging für einige Zeit verloren, und dasselbe Resultat wurde unabhängig in den 1600er Jahren wieder entdeckt.)

Beweis, dass die Summe aller Einheitsbrüche über alle Grenzen wächst

Doch selbst wenn man weiß, dass eine unendliche Reihe konvergiert, kann es dennoch extrem schwierig sein, das Ergebnis zu berechnen. Mathematiker wussten, dass die Summe der reziproken Quadratzahlen (Brüche mit Quadratzahlen im Nenner) konvergiert, doch konnte niemand das Endergebnis berechnen. 1644 stellte der italienische Mathematiker Pietro Mengoli seinen Mathematikerkollegen mit dem heute als «Baseler Problem» bekannten Rätsel genau diese Aufgabe. Der Name kommt von der Schweizer Stadt Basel, dem Geburtsort von Euler, einem der größten Mathematiker, die jemals lebten, und dem Zähler von Ecken, Kanten und Flächen. Die Lösung des (passenderweise so genannten) Baseler Problems brachte Euler erstmals die Aufmerksamkeit der mathematischen Welt. 1735 fand er heraus:

Dieses Resultat macht mich immer noch wahnsinnig. Auf irgendeine Weise addieren sich die reziproken Quadratzahlen zu einem Sechstel von Pi im Quadrat. Nirgends ist ein Kreis in Sicht, und doch springt Pi plötzlich aus dem Nichts. Das gewährt wieder einen Blick in die tieferen Zusammenhänge der Mathematik. Das Resultat und sein Beweis waren ein erstaunliches mathematisches Kunststück und machten Euler verdientermaßen berühmt. Erst ein Jahrhundert später entwickelte die Mathematik zuverlässige Methoden, um mit dieser Art von Funktionen mit unendlichem Input umzugehen.

Bühne frei für die Bernoulli-Zahlen

Wie Sie sicher bemerkt haben, haben wir eine ganze Weile weder Scheren noch Papier oder Luftballons und Strohhalme gebraucht. Das ruft vielleicht ein mulmiges Gefühl hervor. Mir ist schon klar, dass das Gerede über Zahlen und Folgen und Funktionen für manche Leute ein Auslöser sein kann. Sie haben dann vielleicht Flashbacks in blöde endlose Algebrastunden in der Schule. Vielleicht wachen sie sogar in kaltem Schweiß nachts auf und schreien.

Aber das ist okay. Sie können den Tabellen trotzen. Ich schicke Sie nicht in die Schule zurück, das ist etwas ganz anderes hier (abgesehen von einer oberflächlichen Ähnlichkeit mit einem Klassenraum). Offen gesagt, kann man Mathematiker nicht allein für das Staunen über Formen und Knobeleien zum Selbermachen begeistern, wenn es auch noch ein Riesengebiet von Funktionen und Mustern zum Spielen gibt. Also werden wir uns ihnen anschließen. Allerdings ist der Spaß von nun an abstrakter, die Dinge zum Basteln existieren nur in Ihrem Kopf.

Kneifen Sie jetzt nicht, nur weil Sie als Kind einmal von einer quadratischen Gleichung gebissen wurden.

Also los!

Können Sie das schnell ausrechnen?

- Die Summe der ersten vier Kubikzahlen?

- Die Summe der ersten zehn ungeraden Zahlen?

- Und warum dabei dasselbe herauskommt?

In diesem Abschnitt werde ich Ihnen die leistungsfähigste Funktion überhaupt vorstellen, die ich kenne. Es gibt andere, die eleganter sind, noch andere, die nützlicher sind, und viele andere (wie die Funktion, mit der ich dieses Kapitel abschließen werde), die die Grundlagen der Mathematik erschüttern. Doch die, die jetzt kommt, ist mein Liebling, einfach wegen ihrer reinen Leistungsfähigkeit. Es ist eine hässlich brutale Funktion, doch sie knackt jede Nuss, die man ihr zu fressen gibt. Ich werde Ihnen beibringen, diese Funktion zu benutzen, und dann werde ich Ihnen zeigen, wie man sie in Stücke zerlegt.

Achtung Spielverderber: Addiert man die ersten zehn ungeraden Zahlen, erhält man 10 zum Quadrat: 10^2 = 100. Und addiert man die ersten vier Kubikzahlen, so erhält man das Quadrat der vierten Dreieckszahl: 10^2 = 100.

Wie man Dreiecks– und Quadratzahlen erzeugt

Zahlen zu addieren kann jedoch mühsam werden. Zum Glück gibt es Abkürzungen.

Es gibt eine berühmte, aber wahrscheinlich unwahre Geschichte über den deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß, wie er als Kind eine Zahlenfolge aufaddiert. Offenbar gab ein Lehrer seinen Schülern Arbeitsaufträge und sagte dem noch jungen Gauß, er solle alle Zahlen von 1 bis 100 addieren, worauf Gauß nahezu unmittelbar antwortete «5050». Auf Nachfrage erklärte er, dass sich die Zahlen 1, 2, 3, 4 … 98, 99,100 zu Paaren zusammenfassen lassen: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, usw. Man kann genauso vorgehen, um Zahlen bis zu einer beliebigen Zahl n zu addieren. Der Trick besteht darin, mit den beiden Enden der Zahlenreihe zu beginnen und dann die Werte paarweise zusammenzufassen. Die Lösung dürfte bekannt sein, denn es ist dieselbe Gleichung wie für die Dreieckszahlen, die wir vorher schon hatten.

Jetzt kommt der eigentliche Trick für die Lösung. Diese Funktion macht Hackfleisch aus dieser Art Problem. Es ist eine Funktion, die Folgen von Potenzen beliebiger Länge aufaddieren kann. Ganz gleich, ob Sie die ersten 15 Kubikzahlen haben wollen oder die ersten 50 Potenzen von 4 oder die ersten 87 Potenzen von 13 – Sie können das alles mit derselben Funktion berechnen. Sie basiert auf der Forschung des Schweizer Mathematikers Jakob Bernoulli. Er wurde 1655 (ebenfalls in Basel) geboren und war einer in einer ganzen Reihe von mathematisch begabten Bernoullis. Er ist nicht der Bernoulli, der für das Bernoulli’sche Gesetz in der Hydrodynamik bekannt ist (das war sein Neffe Daniel), noch ist er der Bernoulli, der die Regel von l’Hôpital entdeckte und Euler beibrachte (das war sein Bruder Johann). Jakob Bernoulli erarbeitete eine erstaunliche Menge eigener Mathematik, einschließlich wichtiger Beiträge auf den Gebieten der Wahrscheinlichkeit und der Algebra. Außerdem ist er derjenige, dem wir die Zahl e verdanken. Vornehmlich aber hat er uns die Zahlen hinterlassen, die diese Funktion ermöglichen:

Wollen Sie die Summe der ersten n Zahlen, zur dritten Potenz erhoben, ausrechnen, dann setzen Sie diese Werte in Bernoullis Gleichung ein, und sie wird Ihnen die Lösung liefern. Der Buchstabe B in dieser Gleichung stellt jedoch keine normale Algebra dar. Er steht für eine völlig neue Art, Zahlen in Gleichungen einzusetzen. Sie können B hin und her bewegen und es algebraisch bearbeiten, wie Sie das mit jedem anderen Ausdruck tun würden. Wenn Sie es jedoch potenzieren, geschieht etwas anderes. Statt wie B^2 und B^3, also Quadrat und Kubikzahl von B, bedeuten diese kleinen Hochzahlen, dass sie die zweite und dritte Stelle in einer Folge von Zahlen nachschauen sollen, die Bernoulli-Zahlen heißen.

Man kann sie sich als lange Liste von ungewöhnlichen Potenzen von B vorstellen, und Sie können sie in der nachfolgenden Tabelle nachschauen.

Man weiß nicht, wann genau Jakob Bernoulli die Bernoulli-Zahlen entdeckte, aber erstmals erschienen sie in seinem Buch Ars Conjectandi (Die Kunst, Vermutungen anzustellen), welches 1713, acht Jahre nach seinem Tod veröffentlicht wurde. Es handelt sich nicht um eine hübsche Liste von Zahlen wie die PR-freundlichen Fibonacci-Zahlen. Außer beim ersten Term ist jede zweite Zahl 0. Die anderen Zahlen schlingern zwischen positiv und negativ hin und her, und alle sind unhandliche Brüche. Aus diesem Grund habe ich diese Funktion hässlich brutal genannt. So etwas würden Sie niemals als Cover eines Hochglanzmagazins wie Sexy Mathy (diese Zeitschrift habe ich gerade erfunden) finden. Jedoch liegt in der Hässlichkeit der Bernoulli-Zahlen eine fremdartige Schönheit. Um das schätzen zu lernen, müssen Sie die Funktion selbst auf eine Testfahrt mitnehmen. Verwenden Sie sie, um die Summe der ersten vier Kubikzahlen zu berechnen. Aber seien Sie gewarnt, dass dieser Ausflug einige ernsthafte Multiplikationen von Klammerausdrücken und andere mathematische Gymnastik mit sich bringen wird, was eventuell Albträume hervorruft, wieder in der Schule zu sein.

In der Tat macht es Arbeit, diese Gleichung zu benutzen. Ich habe mich durch m = 3 (also die Kubikzahlen) und n = 4 gequält, um die Summe der ersten vier Kubikzahlen zu berechnen, und natürlich gaben mir die Bernoulli-Zahlen als Antwort 100. Selbstverständlich wäre es viel schneller gegangen, 1 + 8 + 27 + 64 zu addieren, um 100 zu erhalten, doch das ist nicht der Punkt. Auf diesem Weg kann man jede beliebige Zahl von Potenzen addieren. Es ist eine verallgemeinerte Methode, die jede andere Technik, die wir zuvor schon benutzt haben, umfasst. Wenn Sie m = 1 einsetzen, um einfach (nicht quadriert, keine Kubikzahlen, einfach nur linear) Zahlen 1 + 2 + 3 … zu addieren und das n so lassen, wie es ist, dann wird aus der Gleichung die Gleichung n(n+1)/2 für die Dreieckszahlen, die wir schon so gut kennen (mehr darüber in den «Antworten am Ende des Buches»). Das ist der Hauptpreis in der Mathematik: eine geschlossene Theorie, die massenhaft andere Methoden umfasst. Das ist auch der Grund, warum Ada Lovelace das erste jemals geschriebene Computerprogramm für die Berechnung der «Zahlen von Bernoulli» schrieb. Sie sind einfach etwas Wunderbares.

Lassen Sie uns nun sehen, ob wir sie knacken können.

Der erste Streich der Mathematiker bestand darin, die Bernoulli-Zahlen die Summe von unendlich vielen Zahlen liefern zu lassen.

Diese neue Funktion berechnet Ihnen die Summe der reziproken geradzahligen Potenzen. Alles, was man tun muss, ist, einen geraden Wert für die Potenz m einzusetzen, und man erhält automatisch das Ergebnis für die unendliche Summe. Der Standardwert m = 2 wird denselben Wert π^2/6 liefern, den Euler fand, doch kann man durch Vergrößern von m die Summe aller reziproken vierten Potenzen, sechsten Potenzen usw. erhalten. Die geraden senkrechten Striche sind «Absolut»-Zeichen und bewirken, dass Minuszeichen vor den Bernoulli-Zahlen ignoriert werden, sodass sie zu positiven Zahlen werden.

Beim nächsten Streich wird es ein wenig albern. Mathematiker fanden eine Möglichkeit, mit den Bernoulli-Zahlen die Summe von unendlich vielen ganzen Zahlen, zu einer festen Potenz erhoben, zu berechnen. Man würde erwarten, dass das Ergebnis unendlich ist, doch es stellt sich heraus, dass man ein wenig um die Antwort herumschleichen kann. Mathematiker benutzten die Funktion für die Summe der reziproken Werte von Potenzen und veränderten sie so, dass sie für negative Werte von m funktioniert. Das Reziproke einer negativen Potenz ist aber einfach die normale Potenz. Also würde man auf diese Weise im Endeffekt eine unendliche Folge von ganzen Zahlen, jeweils zu einer Potenz erhoben, addieren.

Das Erste, was man machen könnte, ist m = 1 zu setzen, was als Ergebnis die Summe aller positiven ganzen Zahlen ergeben würde. Offensichtlich sollte die Antwort unendlich sein, doch das ist nicht die Lösung, die die Bernoulli-Zahlen ergeben. Sie behaupten, die Antwort sei –1/12. Mit anderen Worten, 1 + 2 + 3 + 4 + … = –1/12.

Eine Möglichkeit ist nun, diese Lösung als sinnlos zu verwerfen. Wir müssen die Bernoulli-Zahlen missbraucht haben, weil nur ein Wahnsinniger glauben könnte, dass die Summe aller positiven, ganzen Zahlen –1/12 ist. Oder wir könnten das Risiko eingehen, darüber nachzudenken, dass hier eine unerwartete Einsicht in die Natur der Summe über alle Zahlen vorliegt …

Vielleicht erinnern Sie sich, dass Ramanujan in Briefen an englische Mathematiker behauptete, dass 1 + 2 + 3 + … = –1/12 sei. Er war dermaßen erstaunt, dass Hardy ihn ernst nahm, dass er am 27. Februar 1913 wie folgt antwortete:

Ich hatte eine ähnliche Antwort von Ihnen erwartet, wie die eines Londoner Mathematikprofessors, der mir nahelegte, unendliche Reihen gründlich zu studieren und den divergenten Reihen nicht in die Falle zu gehen. Hätte ich Ihnen meine Beweismethoden offenbart, wären Sie sicher dem Londoner Professor gefolgt. Ich schrieb ihm, dass die Summe einer unendlichen Zahl von Termen der Reihe: 1 + 2 + 3 + 4 + … in meiner Theorie = –1/12 ist. Wenn ich Ihnen das sage, werden Sie mir sogleich das Irrenhaus als Aufenthaltsort vorschlagen.

Es stellt sich heraus, dass Ramanujan nicht nur unabhängig die Bernoulli-Zahlen wiederentdeckt hatte, sondern noch weitere Wege fand, um 1 + 2 + 3 + 4 … = –1/12 zu beweisen. Das nennt man heute Ramanujan-Summation, und sie erlaubt uns Einblicke in die verschiedenen Arten, in denen Reihen divergieren können. Natürlich ist die Summe aller positiven ganzen Zahlen unendlich, doch wenn man irgendwie diese Unendlichkeit abzieht und nachschaut, was da noch ist, dann ist da ein –1/12.

Die Zeta-Funktion

«Mit diesen Hülfsmitteln lässt sich nun die Anzahl der Primzahlen, die kleiner als x sind, bestimmen.» Das behauptete Bernhard Riemann … Was uns sehr schön zu einer der berühmtesten Funktionen in der Mathematik führt: der Riemann’schen Zeta-Funktion. In dem Kapitel über Primzahlen habe ich Bernhard Riemanns Veröffentlichung aus dem Jahr 1859 «Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe» erwähnt. Darin fand er eine Berechnungsmethode für die Anzahl der Primzahlen unterhalb einer bestimmten Zahl. Das sollte Mathematikern einen wunderbaren Einblick in die Verteilung und Natur der Primzahlen geben. Leider konnte er nicht beweisen, dass diese Methode tatsächlich funktioniert. Hingegen konnte er zeigen, dass, falls eine offensichtliche Regelmäßigkeit in der Zeta-Funktion richtig war, dann auch die Abzählung der Primzahlen richtig war. Allerdings misslang ihm dieser Beweis ebenfalls.

Die Lage zum Zeitpunkt dieser Veröffentlichung war die, dass Mathematikern einer der überraschendsten Einblicke in die Primzahlen möglich wurde … falls sie nur eine Regelmäßigkeit in einer Funktion beweisen konnten. Klingt irgendwie fair. Riemanns Veröffentlichung war nur zehn Seiten lang. Ich denke, es ist in Ordnung, dass er anderen Leuten etwas Arbeit übrig ließ. Wenn überhaupt, so war er zu aufgeregt angesichts der Möglichkeiten, falls alles stimmte – zu aufgeregt, um selbst zu beweisen, dass es wahr war. Also machten sich, das war ja klar, alle anderen Mathematiker an die Arbeit – doch sie konnten die Vermutung ebenfalls nicht beweisen. Was seitdem als Riemann-Hypothese bezeichnet wird, blieb bis zum heutigen Tag unbewiesen.

Also, was ist die Riemann’sche Zeta-Funktion?2 Nun, wir sind ihr schon zuvor begegnet. Sie basiert auf dem Baseler Problem, das Euler löste. Die Zeta-Funktion ist die Summe einer unendlichen Reihe von reziproken Potenzen. Indem wir den griechischen Buchstaben Zeta (ζ) als Abkürzung für die Zeta-Funktion benutzen, können wir schreiben:

Was großartig ist, weil uns nicht nur Euler einige Werte dieser Funktion beschert hat, sondern auch die Bernoulli-Zahlen uns massenhaft zusätzliche Werte liefern, und mit ihrer Hilfe können wir ζ(m) für alle geraden Werte von m berechnen. Um jedoch die Zeta-Funktion vollständig zu verstehen, müssen wir sie für jeden beliebigen Wert von m berechnen. Tatsächlich hat Riemann diese «Baseler Funktion» nicht nur auf alle nicht ganzzahligen Werte von m erweitert, sondern er erweiterte sie sogar so, dass sie zwei Inputwerte aufnehmen kann.

Doch jetzt überholen wir uns selbst. Diskussionen über die Riemann-Hypothese und die Zeta-Funktion erinnern häufig an Lockvogeltaktik. Man verspricht Ihnen tiefe Einsichten darin, wie viele Primzahlen es gibt und wie sie verteilt sind, und unversehens addieren Sie reziproke Potenzen. Wo sind die Primzahlen geblieben? Allerdings gibt es eine bizarre Verbindung zwischen den beiden. Und wieder einmal läuft es auf Euler hinaus.

Während er am Baseler Problem arbeitete, bemerkte Euler, dass die unendliche Summe von reziproken Potenzen für alle ganzen Zahlen dieselbe Antwort liefert wie unendlich viele Brüche zu multiplizieren, in denen nur Primzahlen vorkommen. Also kann man die Zeta-Funktion auf zwei verschiedene Weisen schreiben. Die eine hängt nur von Primzahlen ab. Diejenige, die alle ganzen Zahlen benutzt, ergibt dasselbe Resultat wie die Primzahlbrüche, doch man kann leichter mit ihr arbeiten. Wir kennen alle ganzen Zahlen, aber wir kennen nicht alle Primzahlen. Nun können wir die eine durch die andere ersetzen. Diese Verbindung zu den Primzahlen war der Ausgangspunkt für Riemanns Veröffentlichung. Indem man die Summe der reziproken Potenzen untersucht, bekommt man Einblick in das Produkt über alle Primzahlen (in Form von Brüchen).

Auf der linken Seite stehen ganze Zahlen. Auf der rechten nur Primzahlen.

Die Vielseitigkeit der Zeta-Funktion macht sie so nützlich, aber sie macht es auch schwierig, mit ihr zu arbeiten. Es ist zweifellos eine schlüpfrige und sich entziehende Funktion. Wie sich herausstellt, gibt es viele, sehr viele verschiedene Gleichungen, die alle unterschiedliche Abschnitte der Zeta-Funktion beschreiben. Meiner Meinung nach stellt man sich die Zeta-Funktion am besten als eine mysteriöse unbekannte Funktion vor, die wir gerade erst Stück für Stück entdecken. Hin und wieder bekommen wir einen Einblick darin, was sie tut, aber immer nur ein kleines Stück. Durch die Bernoulli-Zahlen haben wir schon gesehen, dass es eine Gleichung für die geradzahligen Inputs gibt. Ramanujan fand völlig selbständig als Erster eine Gleichung für die positiven ungeradzahligen Inputs. Er hatte unabhängig von Riemann die Zeta-Funktion wiederentdeckt, doch auch er konnte nur ein kleines Stückchen von ihr knacken.

Es wäre sehr praktisch, eine graphische Darstellung der Zeta-Funktion für alle möglichen Inputs zu haben, sodass wir die Funktion als Ganzes sehen könnten. Doch schon die genauen Werte für die «einfachen Teile» zu bekommen, bedurfte der Bemühungen von Euler, Ramanujan und einiger anderer der größten Mathematiker, die jemals gelebt haben. Als unmöglich erwies es sich, die schwierigeren Werte zu bekommen. Allerdings geben die Primzahlen ihre Geheimnisse nicht preis, solange wir nur Teile der Zeta-Funktion haben. Wir müssen die Zeta-Funktion für alle Werte vollständig verstehen. Und wenn wir bedenken, wie grundlegend Primzahlen für unsere heutige Datensicherheit sind, lohnt es sich, daran mit Hochdruck zu arbeiten.

Zum Glück gibt es mit ein bisschen Schummeln einen Weg, der halbwegs zum Ziel führt. Anstelle der genauen Werte kann man solche berechnen, die «gut genug» sind. Nehmen wir an, wir kennten Eulers Ergebnis 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 … = π^2/6 nicht, doch wir wären bereit zu schummeln, um die Antwort trotzdem zu finden. Statt der endgültigen Antwort für die unendliche Summe könnten wir einfach ausreichend viele Terme addieren, um nahe genug heranzukommen. Nach den ersten drei ist der Wert 1,361111111, wohingegen π^2/6 = 1,644934 … – nicht gerade gut. Die ersten zehn Brüche führen zu einem besseren Resultat, das die richtige Antwort um weniger als 5,8 Prozent verfehlt. Ich hatte keine Lust mehr und schrieb ein Computerprogramm, um die erste Milliarde Stellen zu addieren, und das Ergebnis ist 1,64493405783457, was definitiv nah genug dran ist.

Dafür braucht man immer noch einiges Geschick. Ramanujans Genie bestand teilweise darin, Werte der Zeta-Funktion für negative Inputwerte zu berechnen. Wie wir zuvor gesehen haben, divergieren diese Summen und rasen ins Unendliche, aber Ramanujan konnte den explodierenden Teil herausarbeiten und das Wichtige übrig lassen. Mit Hilfe der Bernoulli-Zahlen konnte er Werte für die negative Hälfte der Zeta-Funktion finden – was uns letztlich ein vollständiges Bild verschafft. In der folgenden Abbildung ist die Zeta-Funktion graphisch aufgetragen.

Werte der Zeta-Funktion zwischen -10 und 10

Aus diesem Plot kann man erkennen, dass die Werte für positive Inputs aus dem Unendlichen kommen, stark abfallen und dann langsam auf den Wert 1 zustreben. Auf der rechten Seite passiert also nichts Aufregendes. Auf der negativen Seite dagegen schwingt die Linie vor und zurück. In regelmäßigen Abständen kreuzt sie die horizontale Achse, wobei jeder Kreuzungspunkt einem Wert 0 entspricht. Diese Punkte werden, wenig überraschend, Nullstellen genannt. Und diese Nullstellen stellen ihrerseits keine Überraschung dar. Es sind triviale Nullstellen. Sie tauchen vorhersehbar bei allen geraden negativen Inputs auf, und wir verstehen, warum es sie gibt. Es sind exakt dieselben Nullstellen, die als jede zweite Bernoulli-Zahl auftauchen. Wieder einmal sahen wir sie kommen.

Etwas, das wir nicht kommen sahen, ist die Familie von Nullstellen auf der anderen Seite. Als Riemann die Zeta-Funktion auf zweistellige Inputs erweiterte, zeigte der dreidimensionale Plot ein neues Nullstellen-Muster, das man nicht erwartet hatte. Und nicht nur das: Alle diese Nullstellen scheinen eine perfekte gerade Linie zu bilden.

Das sind keine trivialen Nullstellen mehr, sie haben sich nicht automatisch aus der Gleichung ergeben: Dies sind die «nicht trivialen Nullstellen», die wir bis heute nicht richtig verstehen. Das Gemeine ist, dass es auch Nullstellen an anderen Stellen in dem Bild hätte geben können, doch sie stehen alle in einer perfekten geraden Linie Spalier. Und wir wissen definitiv nicht, warum. Die Gerade, auf der sie sich befinden, bildet einen rechten Winkel zu der ursprünglichen Zahlengeraden und kreuzt diese exakt beim Wert 1/2. Sie sind planlos auf dieser Geraden verteilt und liegen in unheimlicher Weise genau darauf. Die Riemann-Hypothese behauptet, dass alle nicht trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion auf dieser Geraden liegen. Falls wir die Riemann-Hypothese beweisen können, haben wir eine Methode bewiesen, die Primzahlen zu zählen. In irgendeiner verrückten, verdrehten mathematischen Logik und auf einem fundamentalen Niveau entspricht diese Regelmäßigkeit in den Nullstellen derselben Logik wie die Dichte der Primzahlen. Es ergibt scheinbar einfach keinen Sinn. Doch wenn wir diese mysteriöse Regelmäßigkeit verstehen, dann verstehen wir, wo die Zahlen ihre Primzahlen verstecken.

3D-Ansicht der Zeta-Funktion. Man sieht die trivialen Nullstellen in der Mitte links und quer dazu eine neue Reihe unerwarteter Nullstellen. Der Maßstab der Querachse ist logarithmisch, um die Lage der Nullstellen hervorzuheben.

Es hat einigen Fortschritt beim Beweis der Riemann-Hypothese gegeben, und doch bleibt sie ungelöst. 1915 konnte Hardy zeigen, dass es unendlich viele Nullstellen auf dieser Geraden gibt, aber er konnte nicht zeigen, dass keine anderen Nullstellen außerhalb der Geraden existieren. Derzeit wissen wir, dass 50 Prozent der nicht trivialen Nullstellen sich definitiv auf dieser Geraden befinden, doch wir müssen es zu 100 Prozent wissen. Nur eine einzige Nullstelle irgendwo anders, und die Riemann-Hypothese wäre falsch, was unser gegenwärtiges Verständnis zusammenbrechen ließe. Doch das ist noch nicht passiert. Alles deutet darauf hin, dass wir uns auf der richtigen Spur befinden, doch wir können es nicht mit Sicherheit beweisen.

Als der deutsche Mathematiker David Hilbert 1900 eine Liste der bedeutendsten mathematischen Probleme erstellte, an denen im nächsten Jahrhundert zu arbeiten sei, gehörte die Riemann-Hypothese dazu. Denn ohne die Riemann-Hypothese hätten wir unseren wichtigsten Leitfaden zum Verständnis der Primzahlen verloren. Als das Clay Mathematics Institute eine vergleichbare Liste für das nächste Jahrhundert zusammenstellte, stand die Riemann-Hypothese jedoch immer noch darauf. Bis heute hat noch niemand auf den Preis von 1 Million Dollar Anspruch erhoben, die das besagte Institut für denjenigen ausgeschrieben hat, der nachweisen kann, dass alle nicht trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion auf dieser Geraden liegen.

Das Problem besteht darin, dass viele Mathematiker dasselbe getan haben wie Riemann: Unter der Voraussetzung, dass jemand anders die Hypothese später beweisen würde, sind sie vorgeprescht, um die Methode zum Primzahlzählen zu benutzen. Es sieht wie eine sichere Wette aus: Auf der Basis von Computerberechnungen wissen wir, dass die ersten 10 Billionen Nullstellen überprüft wurden, und sie alle befinden sich auf dieser Linie. Es sind jedoch schon mathematische Theorien an größeren Zahlen gescheitert, es könnte also eine Nullstelle außerhalb dieser Geraden liegen, die wir einfach noch nicht erreicht haben. Die Riemann-Hypothese zu beweisen oder zu widerlegen, würde eine Menge Leute glücklich oder traurig machen, und ebenso würde sie einer oder einem Glücklichen das Millionen-Dollar-Preisgeld bringen, falls sie bewiesen würde (und ich bin sicher, es würde auch einen Trostpreis geben, wenn sie widerlegt und dadurch jedermann der Spaß verdorben würde).

Hilbert selbst blieb übrigens skeptisch und vermutete, dass die Hypothese selbst nach 1000 Jahren immer noch unbewiesen sein könnte: «Wenn ich nach einem tausendjährigen Schlaf erwachte, wäre meine erste Frage: Ist die Riemann-Hypothese bewiesen?»

VIERZEHN

IRRe Formen

Stellen Sie sich eine Form vor, die sich nicht in zwei Hälften schneiden lässt. Keine hypothetische mathematische Form – eine echte Form, die man aus Papier basteln kann. Eine Form, die Sie, wenn Sie eine Schere in die Hand nehmen und die Form der Länge nach durchschneiden, in einem Stück bleibt. Eine solche Form existiert tatsächlich, und Sie können sie problemlos herstellen (siehe Abbildung auf der folgenden Seite). Beginnen Sie mit zwei langen Papierstreifen und kleben Sie das eine Ende so an das andere, dass eine Schleife entsteht; dann machen Sie es mit dem zweiten Streifen genauso, mit dem einzigen Unterschied, dass Sie das eine Ende vorm Verkleben einmal um 180° verdrehen, sodass eine Verdrillung im Streifen entsteht. Wenn Sie die Mittellinie des unverdrillten Papierbandes entlangschneiden, erhalten Sie schließlich zwei halb so breite Ringe. Ganz anders sieht es bei dem einmal verdrillten Band aus. Diese Form lässt sich nicht der Länge nach halbieren.

Wiederum können Sie entlang der Mittellinie dieses verdrillten Bandes bis zu Ihrem Startpunkt schneiden und erwarten nun vielleicht, wie beim ersten Mal, zwei einzelne Ringe zu erhalten. Aber nachdem Sie den Kreis vollendet haben, halten Sie immer noch eine ununterbrochene Schleife in der Hand, allerdings doppelt so lang wie das ursprüngliche Modell. Die unverdrillte Schleife wird gewöhnlich als Zylinder bezeichnet, denn in gewisser Weise ist sie das: eine sehr dünne Zylinderscheibe. Die verdrillte Scheibe ist nach dem deutschen Mathematiker Ferdinand Möbius benannt; daher sprechen wir von einem Möbiusband (oder einer Möbiusschleife). Die Benennung verdankt Möbius nicht der Tatsache, dass er der Entdecker dieser Struktur ist; da kam ihm ein anderer deutscher Mathematiker, Johann Benedict Listing, zuvor. Beide Forscher untersuchten 1858 unabhängig voneinander die Eigenschaften einer verdrillten Schleife, und Listing war der Erste, der lieferte, wenn sein Vorsprung auch nur knapp war. Dennoch hat die Geschichte anders gesprochen, und diese Struktur heißt heute Möbiusband – vielleicht weil das cooler klingt als Listingband (und zudem einen Umlaut hat).

Nur Mut, versuchen Sie’s, schneiden Sie das Möbiusband in zwei Hälften. Versuchen Sie’s einfach!

Das Möbiusband ist in der Welt der Mathematik sehr beliebt, weil es sich so unerwartet verhält. Dass man es nicht der Länge nach halbieren kann, ist nur der Anfang. All seine seltsamen Eigenschaften lassen sich auf die Verdrillung zurückführen: Das ist der einzige Unterschied zwischen einem Möbiusband und einem Zylinder. Eine wichtige Eigenschaft des Möbiusbands ist, dass es nur eine einzige Seite hat. Ja wirklich, wenn Sie versuchen, eine Seite des Möbiusbands einzufärben (oder für die künstlerisch weniger Begabten: eine Linie längs der Mitte zu ziehen), werden Sie feststellen, dass das nicht klappt. Wenn Sie mit dem Stift auf der einen Seite anfangen, werden Sie rasch feststellen, dass Sie auf der anderen Seite weiterzeichnen – wenn man einmal davon absieht, dass es sich nicht wirklich um die andere Seite handelt, sondern um dieselbe. Wenn Sie auf einem Möbiusband eine durchgehende Linie von einem Punkt zum anderen zeichnen, liegen beide Punkte auf derselben Seite. Zeichnen Sie hingegen eine Linie auf eine Seite eines Zylinders, gelangen Sie dabei niemals auf die andere seiner beiden Seiten.

Machen Sie sich ein neues Möbiusband: Wir wollen etwas anders versuchen. Statt das Band längs der Mittellinie entzweizuschneiden, schneiden Sie auf einer Linie entlang, die ein Drittel Streifenbreite Abstand von der Kante hält, bis Sie einmal ganz herum sind. Nach der ersten Runde werden Sie feststellen, dass Sie in einem Drittel Streifenbreite Abstand von der anderen Kante weiterschneiden – oder vielmehr von derselben Kante. Ein Möbiusband hat nämlich nicht nur eine einzige Seite, sondern auch nur eine einzige Kante. Wenn Sie die Spur gehalten haben und immer einer geraden Linie gefolgt sind, drehen Sie eine zweite Runde, bis Sie wieder an Ihrem Startpunkt anlangen. Und diesmal halten Sie zwei Schleifen in der Hand!

Sicherlich lässt sich dieses Möbiusband dritteln …

Tatsächlich haben Sie nun zwei unterschiedlich lange Schleifen vor sich, die ineinander hängen. Die kleinere ist ein Möbiusband, die größere dieselbe Schleife, die entsteht, wenn man ein Möbiusband halbiert. Wenn Sie sich die einzelne Schleife, die Sie beim Zerschneiden des Möbiusbands längs der Mittellinie produziert haben, genauer anschauen, werden Sie feststellen, dass sie mehr als nur einmal verdrillt ist. Dadurch, dass Sie eine Schleife mit einer einzigen Verdrillung halbiert haben, haben Sie nun eine Schleife mit vier Verdrillungen erhalten. Logischerweise sprechen wir in diesem Fall von einer vierfach verdrillten Schleife. Schleifen verhalten sich je nach Anzahl ihrer Verdrillungen unterschiedlich.

Dreifach verdrillte Schleife. Es ist, als ob man durch ein Recycling-Logo schneidet.

Zwei Möbiusbänder und zwei im rechten Winkel zusammengefügte Zylinder.

Halbiert man eine zweifach verdrillte Schleife, erhält man zwei identische Schleifen, die ineinander hängen; eine zweifach verdrillte Schleife lässt sich halbieren. Meine Favoritin ist jedoch die dreifach verdrillte Schleife. Wenn Sie versuchen, eine dreifach verdrillte Papierschleife zu halbieren, erhalten Sie nicht nur eine einzige Schleife, sondern diese Schleife weist zudem einen Knoten auf. Dieser Knoten taucht wie aus dem Nichts auf, wenn Sie eine unverknotete Schleife halbieren. Von da an können Sie so viele Verdrillungen untersuchen, wie Sie wollen: Geradzahlige Verdrillungen ergeben jeweils zwei Ringe, ungeradzahlige einen einzigen Ring. Je mehr Verdrillungen, desto stärker verflochten oder verknotet ist das Ergebnis.

Nun ein wenig Möbius/Möbius-Action! Machen Sie zwei normale, einmal verdrillte Möbiusbänder und kleben Sie beide zusammen. Wichtig dabei ist jedoch, dass sich die beiden Möbiusbänder in subtiler Weise unterscheiden. Wenn Sie das Ende eines Papierstreifens um 180° verdrillen, haben Sie zwei Möglichkeiten: Sie können das Ende im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn drehen. Und je nachdem, wofür Sie sich entscheiden, erhalten Sie unterschiedliche Möbiusbänder (es ist, als habe man eine rechtshändige und eine linkshändige Option; man spricht von unterschiedlicher Händigkeit oder in der Tat Chiralitäten). Beide sind Spiegelbilder voneinander, und Sie müssen ein Exemplar von beiden Versionen herstellen. Kleben Sie die beiden Bänder so zusammen, dass sie einen rechten Winkel bilden. Halbieren Sie beide, eines nach dem anderen, und Sie erhalten zwei Herzen, die ineinander hängen. Wenn Sie die beiden zusammengeklebten Möbiusbänder aus romantisch rosa gefärbtem Papier machen, haben Sie todsicher eines der nerdigsten Valentinsgeschenke, die man sich vorstellen kann.

Während wir uns hoffnungslos in diese ganze einseitige Romanze verwickeln, vergessen wir leicht die unverdrillte Schleife, den Zylinder. Machen Sie sich zwei neue Zylinderschleifen und kleben Sie beide genau in derselben Weise rechtwinklig zusammen wie soeben die beiden Möbiusbänder. Halbieren Sie nun diese beiden Zylinder, und Sie erhalten keine zwei Herzen, sondern … ich überlasse es Ihnen, das herauszufinden. Sie sollten es wirklich versuchen! Die Antwort findet sich nicht in den «Antworten am Ende des Buches».

Flächen in allen Dimensionen

Wenn sich jede Karte auf einer ebenen Fläche mit nur vier Farben kolorieren lässt, wie viele Farben brauchen wir dann für eine Karte auf einem Möbiusband? Wie sich herausgestellt hat, sind es sechs. Das Vierfarben-Theorem gilt nur für ebene Flächen: Wenn man beginnt, auf der Fläche eines Möbiusbands zu arbeiten, verändert sich alles. Die Fläche eines Möbiusbands verhält sich nicht nur seltsam, wenn sie in ihrer Papierinkarnation zerschnitten wird, sondern produziert darüber hinaus eine breite Palette wirklich eigentümlicher mathematischer Phänomene.

Um zu verstehen, warum sich ein Möbiusband nicht halbieren lässt, versuchen Sie es noch einmal, und behalten Sie dabei die Schere, während sie der Mittellinie folgt, genau im Auge. Wenn die Schere wieder dort angekommen ist, wo sie gestartet ist, ist etwas sehr Wichtiges passiert: Die Scherenschneiden stehen nun genau andersherum zum Papier. Das geschieht bei einem Zylinder nicht – wenn Sie rund um einen Zylinder schneiden und wieder zum Ausgangspunkt zurückkehren, hat die Schere noch immer dieselbe Orientierung, und Sie erhalten zwei Ringe. Das, was der Schere bei ihrem Weg rund um die Möbiusfläche zugestoßen ist, bezeichnet man als Orientierungsumkehr.

Diese Fläche ist unendlich dünn.

Dass ein Möbiusband eine Orientierungsumkehr aufweist, finde ich noch bizarrer als die Tatsche, dass es nur eine einzige Seite hat. Aber es wird noch seltsamer. Wir bauen unser Modell aus Papier, doch das kann ein wenig irreführend sein. Ein Blatt Papier hat eine Vorderseite und eine Rückseite und auch eine gewisse Dicke, durch die beide getrennt sind. Mathematiker gehen davon aus, dass Strukturen wie das Möbiusband aus einer unendlich dünnen Fläche bestehen: Zwischen Vorder- und Rückseite gibt es keinerlei Dicke. Eine Fläche in der Mathematik ist eine 2D-Welt völlig ohne dritte Dimension, und sie würde ein sehr seltsames Universum ergeben, um darin zu leben.

In einem früheren Kapitel sind wir auf unsere Hypoflachländer gestoßen, die auf einer völlig ebenen 2D-Fläche leben. Eine Fläche kann jedoch 2D sein, ohne gleichzeitig eben zu sein. Wir haben schon einen Ballon benutzt, um eine 2D-Fläche darzustellen, die sich krümmt und mit sich selbst verbindet. Ein hypothetisches Wesen in einer kugelförmigen 3D-Welt könnte in eine Richtung aufbrechen und schließlich wieder dort landen, wo es gestartet ist! Aber was wäre, wenn wir die 2D-Welt eines Hypoflachländers nähmen und sie in eine Möbiusfläche verwandelten? Die Bewohner könnten immer geradeaus gehen, die ganze Strecke rund um die Schleife zurücklegen und würden dort wiederankommen, wo sie losgegangen sind; doch diesmal wären oben und unten vertauscht. Links und rechts, oben und unten – keiner dieser Begriffe hat irgendeine permanente Bedeutung auf einer Möbiusfläche, denn wenn man einem Pfad folgt, auf dem sich die Orientierung umkehrt, kehren sich auch diese Begriffe um. Eine Möbiusfläche wird als nicht orientierbare Fläche bezeichnet. Auf einer Möbiusfläche zu leben, wäre in der Tat eine höchst seltsame Erfahrung.

Allein durch Fortbewegung klappt der Pfeil von unten nach oben um.

Aus diesem Grund kann eine Karte, die man auf einer Möbiusfläche zeichnet, bis zu sechs Farben benötigen. Die fehlende dritte Dimension bringt es mit sich, dass beide Seiten, wenn man einen Teil der Fläche färbt, dieselbe Farbe haben und eine Kante der Karte mit der gegenüberliegenden Kante verbunden ist, aber umgedreht. Schneiden Sie den unverdrillten Möbiusstreifen auf Seite 336 aus und fertigen Sie eine Möbiuskarte an, die sechs Farben erfordert. Kein Gebiet darf dieselbe Farbe wie sein Nachbar haben; färben Sie daher alle sechs Gebiete unterschiedlich und vergessen Sie dabei auch die Rückseite nicht. Sobald Sie den Streifen, einmal verdreht, verklebt haben, können Sie überprüfen, dass alle sechs Abschnitte auf alle fünf anderen Flächen treffen. Wenn sich zwei Farbfelder nicht berühren, heißt das, dass sie dieselbe Farbe haben könnten. Doch wenn jeder der sechs Abschnitte alle anderen Farben berührt, lässt sich die Karte nicht mit weniger Farben kolorieren.

Was wäre, wenn wir unsere Hypoflachländer nähmen und sie auf einer torus- (oder donut-)förmigen Oberfläche leben ließen? Nun, auf einem Torus gibt es keine Orientierungsumkehr, daher bleiben links und rechts erhalten, was recht angenehm ist. Ein Torus ist eine orientierbare Fläche. Aber seltsamerweise können Karten, die man auf einen Torus zeichnet, bis zu sieben Farben benötigen. Das Versorgungsleitungsproblem lässt sich auf einem Torus lösen, wie wir auf meinem Kaffeebecher gesehen haben. Falls Sie ein Muster auf dem Becher einfärben wollen, brauchen Sie bis zu sieben Farben, wenn Sie sicher sein wollen, dass sich nicht zwei gleiche Farben treffen. Nehmen Sie einen weißen Becher und einen Filzstift und schauen Sie, wie weit Sie kommen. Das Interessante ist, dass diese Eigenschaften (wie viele Farben nötig sind oder ob man die Leitungen verlegen kann, ohne dass sie sich kreuzen) überhaupt nicht von der konkreten Form dieser Flächen abhängen. Ein Kaffeebecher ist beispielsweise völlig anders geformt als ein Donut, doch bei beiden handelt es sich im Grunde um einen Torus. Anders als in der Geometrie, wo die tatsächliche Form von Dingen sehr wichtig ist, ist dieses neue Gebiet der Mathematik, das sich mit den Eigenschaften von Flächen beschäftigt, viel flexibler.

Diese Beschäftigung mit der Fläche setzte Anfang des 18. Jahrhunderts ein, und Euler nannte es geometria situs, die «Geometrie der Lage». Dieser Name war eine Weile in Gebrauch, doch als sich dieses mathematische Gebiet im 19. Jahrhundert emanzipierte, war es der vergessene Entdecker des Möbiusbands, Johann Benedict Listing, der den Begriff «Topologie» vorschlug, und dabei ist es bis heute geblieben. Die Topologie hat sich inzwischen zu einem bedeutenden Zweig der Mathematik entwickelt; sie beschäftigt sich mit der Untersuchung von Oberflächen, ganz gleich, in welche Form sie gebracht wurden.

Die Idee, dass dieselbe mathematische Struktur in neue Formen gebracht werden kann, sollte uns inzwischen vertraut sein – wir haben dasselbe schon mit Knoten und Graphen durchexerziert. Und wie wir eine Klasse von Knoten eine Isotopieklasse nennen, werden in der Topologie Formen, die ineinander umgeformt werden können, als homomorph bezeichnet, und sie gehören dann zur selben Homomorphieklasse (der Name leitet sich von den altgriechischen Wörtern «homós», gleich oder ähnlich, und «morphé», Form, ab). Daher ist ein Kaffeebecher mit einem Torus homomorph. Und so haben die Topologen denn auch dasselbe Problem wie die Knotentheoretiker: Wie lässt sich rasch entscheiden, welche Fläche welche ist, gleichgültig, in welche Form der Knoten oder die Oberfläche gebracht wurde? Nur dass die Topologen das Problem gelöst haben.

Und wir sind bereits auf das Geheimnis gestoßen: Es ist die Euler-Charakteristik! In Kapitel 5 haben wir gesehen, dass sich jede Form auf einer geschlossenen Fläche mit einem einzelnen Loch stets als Ecken – Kanten + Seiten = 0 beschreiben lässt. Und das bedeutet, dass alle torusförmigen Flächen die Euler-Charakteristik 0 haben. Um die Euler-Charakteristik zu berechnen, kann man die Formel 2 – (2 × Zahl der Löcher) verwenden, daher ist es die Anzahl der Löcher, die Topologen zur Klassifizierung von Flächen benutzen, nur dass sie die Anzahl der Löcher das Geschlecht (g) der Fläche nennen (ein weiterer Begriff, den sie sich von der Biologie entliehen haben). Es war Riemann selbst, der 1851 auf die Idee kam, das Geschlecht einer Fläche durch ihre Euler-Charakteristik zu beschreiben, aber er bewies nicht, dass dies immer ausreicht, um eine Fläche zu definieren. Im Jahr 1863 zeigte Möbius, dass zwei beliebige orientierbare Flächen desselben Geschlechts dieselbe Fläche haben müssen, auch wenn sie verschieden verformt sind. Wenig später (1882) bewies dann sein Mathematikerkollege Felix Klein die geringfügig abweichende Aussage, dass zwei orientierbare Flächen derselben Gattung nicht nur stets dieselbe Fläche haben, sondern dass zwei Flächen auch nicht gleich sein können, ohne dasselbe Geschlecht zu haben.

Das Geniale am Geschlecht ist jedoch, dass alles zwar mit der Anzahl der Löcher in einer orientierbaren Fläche begann, dann aber darüber hinausgeführt wurde. Für eine orientierbare Fläche lässt sich das Geschlecht aus der Euler-Charakteristik berechnen, und zwar nach der Formel: Euler-Charakteristik = 2 – (2 × Geschlecht). Das Konzept eines Geschlechts durchzieht mehrere Gebiete der Mathematik. Man kann allem, von Polyedern über Graphen bis Flächen, ein Geschlecht zuordnen, das uns sagt, wie die Formen miteinander verwandt sind. Das pentatope Hypertetraeder ist mit dem Graph K_5 und darüber hinaus mit der Torusfläche verlinkt. Das Geschlechtskonzept ist außerordentlich mächtig und schafft Verbindungen zwischen wichtigen Zweigen der Mathematik.

Wir können das Geschlecht einer Fläche auch benutzen, um zu prüfen, wie viele Farben Landkarten benötigen. Die folgende Formel gibt an, wie viele Farben man maximal braucht, um eine beliebige Karte auf einer orientierbaren Fläche einzufärben, ohne dass zwei gleiche Farben benachbart sind.

Das können Sie überprüfen, indem Sie g = 1 setzen; dann erhalten Sie die sieben Farben, die für einen Torus nötig sind. Wenn Sie einen Kaffeebecher mit zwei Henkeln einfärben wollen, zeigt Ihnen diese Formel, dass Sie dazu acht Farben brauchen. Die Abrundung auf die nächste ganze Zahl unter dem Ergebnis in Klammern (das wird durch die etwas unvollständigen eckigen Klammern ausgedrückt) bedeutet, dass eine unterschiedliche Anzahl von Löchern durchaus dieselbe Anzahl von Farben benötigen kann. Für einen Becher mit sechs Henkeln braucht man zwölf Farben, aber die reichen auch für einen Becher mit sieben Henkeln. Wenn Sie über hundert verschiedenfarbige Stifte verfügen, können Sie einen Becher mit 776 bis 792 Henkeln einfärben. Ich weiß nicht, was schwieriger ist: sich vorzustellen, wie sich ein 792er-Becher in 100 Abschnitte einteilen lässt, die alle die 99 anderen treffen, oder wie man daraus Kaffee trinkt.

Sieben Farben auf einem Becher, wobei jede alle anderen Farben berührt

Das Geschlecht der Knoten

Als Sie das dreifach verdrillte Band halbiert haben, ist Ihnen der entstandene Knoten vermutlich vage vertraut vorgekommen. Ja, es handelt sich um einen Kleeblattknoten. Natürlich gibt es eine Verbindung zwischen Knoten und Flächen. Jede Schleife mit einer ungeraden Anzahl von Verdrillungen, die man halbiert, ergibt einen anderen Knoten. Der Grund dafür ist, dass die Außenkante der Fläche selbst ein Knoten ist! Wenn Sie die Kante eines dreifach verdrillten Bandes (das nur eine einzige Kante hat) einfärben, können Sie sehen, dass es sich um einen Kleeblattknoten handelt. Aber das ist nicht die einzige Fläche, die einen Kleeblattknoten als Kante hat! Um jede Verwechslung zwischen der Kante einer Fläche und den Kanten eines Graphen oder Polygons zu vermeiden, die Sie vielleicht zeichnen oder auf die Sie projizieren, sei gesagt, dass die Außenkante einer Fläche offiziell als deren Rand bezeichnet wird.

Wir können einen Knoten nehmen und ihn mit Hilfe eines guten alten Bekannten in den Rand einer Fläche verwandeln: dem Seifenfilm. Machen Sie einen Knoten aus einem genügend starren Draht und tauchen Sie das Gestell in Seifenlauge. Der Seifenfilm schmiegt sich an das Drahtgestell an und erzeugt eine Oberfläche. Es ist die kleinste Oberfläche für jede beliebige Anordnung des Drahtknotens, doch durch Verformen des Drahts lassen sich verschiedene Oberflächen aller Art erzeugen. Die Herausforderung besteht darin, die orientierbare Fläche mit dem kleinstmöglichen Geschlecht zu finden.1 Das ist dann das offizielle Geschlecht des Knotens. Ähnlich wie das Auffinden der minimalen Kreuzungszahl für einen Knoten kann dies recht knifflig werden.

Ein Kleeblattknoten wird zum Rand einer Fläche.

Eine orientierbare Fläche, die von einem Knoten umrandet wird, wird als Seifert-Fläche bezeichnet, nach dem deutschen Topologen und Knotentheoretiker Herbert Seifert. Um die Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert war Deutschland das Zentrum erstaunlicher Fortschritte in der Mathematik, bis Hitler im Januar 1933 an die Macht kam. Seifert indessen profitierte von der Machtübernahme der Nazis und übernahm 1935 eine Professorenstelle in Heidelberg, die vakant wurde, weil die Lehrstuhlinhaber nicht-arischer Abstammung zum Rücktritt gezwungen worden waren. Seifert war jedoch alles andere als ein Nazi-Sympathisant und ließ während des Zweiten Weltkriegs politische Aussagen in die Vorsprüche mathematischer Artikel einfließen; nach dem Krieg gehörte er zu den wenigen Professoren, denen die Alliierten vertrauten.

Ein Kleeblattknoten als Rand einer Fläche vom Geschlecht 1

Seifert entdeckte die nach ihm benannten Flächen 1934, und sie erweisen sich als sehr mächtige Werkzeuge im Umgang mit Knoten. Wenn man jedem beliebigen Knoten eine Fläche und ein Geschlecht zuordnen kann, dann lässt sich die Mathematik, die für andere Strukturen mit demselben Geschlecht entwickelt wurde, auch in der Knotentheorie verwenden. Aber wie immer bei Knoten war die ganze Sache schwieriger als zunächst vermutet. Eine Seifert-Fläche nach dem Prinzip von Versuch und Irrtum zu finden, reichte nicht aus. Doch dann fand Seifert den Seifert-Algorithmus, mit dessen Hilfe sich jeder Knoten einer Seifert-Fläche mit dem kleinsten Geschlecht zuordnen lässt. Wahrscheinlich. Ärgerlicherweise funktioniert die Sache nicht immer. Obgleich Knotentheoretiker bewiesen haben, dass der Algorithmus für ganze Knotenklassen definitiv funktioniert, wurde 1986 gezeigt, dass er bei einigen Knoten dennoch nicht die Seifert-Fläche mit dem kleinstmöglichen Geschlecht ergibt. Wie immer bleibt in der Knotenforschung noch viel zu tun.

Eine Kleeblatt-förmige Seifert-Fläche, gehäkelt von der Knotentheoretikerin Julia Collins.

Auch wenn es manchmal sehr mühsam ist, das Geschlecht eines Knotens zu berechnen: diese Angabe kann sehr nützlich sein. Der Unknoten ist der einzige Knoten mit Geschlecht 0, und wenn man Knoten addiert, ist das Geschlecht des Summenknotens gleich der Summe der Geschlechter der beiden Ursprungsknoten. Inzwischen haben wir uns lange nicht mehr mit Löchern beschäftigt. Sie waren eine Möglichkeit, die wir gefunden haben, um einer Fläche ein Geschlecht zuzuordnen, doch nun können wir sie auch als eine intrinsische Eigenschaft von Knoten ansehen, ohne dass Löcher erforderlich wären. Wenn man g(Knoten) als die allgemeine Funktion für das Auffinden des Geschlechts eines Knotens benutzt, kann man schreiben: g(Knoten A # Knoten B) = g(Knoten A) + g(Knoten B). Die unangenehme Konsequenz dabei ist: Da das Geschlecht einer Fläche stets eine positive Zahl ist, kann das Addieren zweier Knoten niemals das Geschlecht 0 ergeben (es sei denn, es handelt sich bereits um zwei Unknoten). Und das zeigt, dass Knoten einander nicht auslöschen können, wenn sie addiert werden. Wir wissen also jetzt, dass man einen Knoten niemals durch Addition eines anderen Knotens entknoten kann.

Die Verbindung zwischen Knoten und verdrillten Flächen ist auch der Grund dafür, warum sich die DNA so leicht verknotet. Wie wir wissen, führt das Schneiden entlang der Mittellinie einer verdrillten Schleife stets zu Knoten und Verwicklungen – und genau das passiert, wenn sich ein kreisförmiges Stück DNA teilt. Man kann sich die Doppelhelixstruktur eines DNA-Moleküls als langen, verdrillten Papierstreifen vorstellen. Einige Organismen machen dann den zusätzlichen Schritt und verbinden die beiden Enden der DNA miteinander zu einer Schleife; viele Bakterienarten besitzen eine kreisförmige DNA. Damit sich die DNA verdoppeln kann, muss sie den «Reißverschluss» zwischen ihren beiden Strängen öffnen, und die Topologie der DNA-Kette diktiert, welche Knoten sich anschließend bilden. Diese Situation untersuchen Knotentheoretiker im Rahmen der modernen mikrobiologischen Forschung.

Auf Tuchfühlung mit der ganzen Flächenfamilie

Lassen Sie uns ein einfaches Spiel etwas interessanter machen. Das Problem beim Spiel Tic-Tac-Toe (Drei gewinnt, XX0) ist, dass gewöhnlich keiner gewinnt. Wenn beide Spieler auch nur den Hauch einer Ahnung von der Strategie des Spiels haben, endet jedes Spiel mit einer Pattsituation. Wäre es nicht viel spannender, wenn es bei jeder Partie einen Sieger gäbe? Nun, ich habe das richtige Spielfeld für Sie: Spielen Sie Tic-Tac-Toe auf einem Zylinder. Dort ist garantiert, dass es jedes Mal einen Sieger gibt.

Oder spielen Sie auf einer Möbiusfläche. Oder auf einem Torus. Man kann Tic-Tac-Toe auf jeder Fläche spielen. Wenn Sie gern auf einem Zylinder spielen möchten, können Sie natürlich einen echten Zylinder aus Papier bauen und das Spielfeld aufzeichnen. Oder wenn Sie faul sind, zeichnen Sie lediglich ein normales Spielfeld und denken daran, dass sich die eine Seite an die gegenüberliegende anschließt. In der Mathematik wird dies durch zwei Pfeile angezeigt, und die Regel ist, das Spielfeld so zu biegen, dass die Pfeile in dieselbe Richtung zeigen. Diese Konstruktionsanweisungen lassen sich erweitern, indem man zwei Paar Pfeile einsetzt, was aus dem quadratischen Spielfeld einen echten Torus macht. Sie denken vielleicht, Sie hätten noch nie ein Spiel auf einem Torus gespielt, doch falls Sie jemals das 1979er-Videospiel Asteroids ausprobiert haben, dann haben Sie’s schon getan. Wenn man den Bildschirm auf der einen Seite verlässt, kehrt man auf der anderen Seite auf den Bildschirm zurück, als fliege man in einem torusförmigen Universum.

Bei dem flachen Asteroids-Bildschirm handelt es sich in Wirklichkeit um ein torusförmiges Universum.

Da Mathematiker stets nach Vollständigkeit streben, werfen diese Konstruktionsanweisungen eine interessante Frage auf: Welche Art von Formen ergeben andere Pfeilanordnungen? Es gibt tatsächlich nur zwei weitere Möglichkeiten, die gegenüberliegenden Seiten eines Quadrats zusammenzufügen, und keine von beiden erzeugt Formen, die man bauen kann. Zumindest nicht in 3D. Die letzten beiden Flächen funktionieren nur in 4D. Es handelt sich in allen Fällen um 2D-Flächen, doch die Anzahl der Dimensionen, die sie brauchen, um zusammenzukommen, variiert zwischen 2D, 3D und 4D.

Wenn es überhaupt keine Konstruktionsanweisungen gibt, hat man ein leeres Quadrat vor sich, das irreführenderweise als «Scheibe» bezeichnet wird (vergessen Sie nicht, dass es hier um Topologie geht und die genaue Form keine Rolle spielt: Eine Scheibe ist dasselbe wie ein Quadrat). Dabei handelt es sich um eine ebene 2D-Fläche, und sie braucht nicht mehr als zwei Dimensionen. Ein Hypoflachländer wäre sehr zufrieden mit einer Scheibe und ebenso zufrieden mit einem Zylinder. Wenn wir Hypoflachländern ein Quadrat samt den passenden Instruktionen für einen Zylinder gäben, könnten sie in ihrer 2D-Welt die Pfeile problemlos zusammenführen. Das Gebilde würde wie ein Kreisring aussehen (das heißt, wie eine Scheibe mit einem Loch darin), wäre aber topologisch mit einem Zylinder identisch. Ein Zylinder ist eine 2D-Fläche, die in einer 2D-Welt existieren kann.

Bei einem Möbiusband funktioniert die ganze Sache hingegen nicht. Wenn wir den Hypoflachländern ein Quadrat mit den Konstruktionsanweisungen für ein Möbiusband in die Hand drückten, wären sie aufgeschmissen. Es ist unmöglich, diese beiden Pfeile zusammenzuführen, ohne ein Ende hochzuheben und zu drehen. Aufgrund der Verdrillung ist ein Möbiusband eine 2D-Fläche, die einen 3D-Raum erfordert, um die entsprechende Schleife zu bilden. Das Gleiche gilt für einen Torus. Seine Fläche mag unendlich dünn sein, doch die beiden Ränder lassen sich nur in 3D zusammenfügen. Die letzten beiden Flächen werden als Klein’sche Flasche und als projektive Ebene bezeichnet. In beiden Fällen handelt es sich um 2D-Flächen, die sich nur in einem 4D-Raum richtig zusammenfügen lassen.

Einen Zylinder und ein Möbiusband in 2D herstellen. Das Möbiusband schneidet sich selbst.

Mein Favorit ist die Klein’sche Flasche, benannt nach dem uns bereits bekannten Mathematiker Felix Klein, der diese Struktur 1882 entdeckte. Dabei handelt es sich um einen Torus, bei dem ein Pfeil eines Paares umgedreht wurde. Man kann sich diese Flasche als einen Torus vorstellen, der verdrillt wurde, ähnlich wie das Möbiusband ein verdrillter Zylinder ist. Allerdings handelt es sich nicht um eine Verdrillung, wie wir sie normalerweise kennen: Die Klein’sche Flasche ist ein aus einem Zylinder hergestellter Torus, bei dem ein Ende des Zylinders einen Abstecher in 4D unternimmt, bevor es mit dem anderen Ende verbunden wird. Wenn wir den Instruktionen in 3D folgen wollten, müssten wir mogeln und ein Ende des Zylinders durch sich selbst schieben, bevor wir die Enden verbinden und die Klein’sche Flasche fertigstellen. Was wir erhalten, ist der 3D-Schatten der Klein’schen 4D-Flasche.

Wenn Sie sich den 2D-Schatten eines 3D-Möbiusbands anschauen, funktioniert alles ganz prima, abgesehen von einer Stelle, wo es so aussieht, als verlaufe ein Stück des Randes direkt durch ein anderes Randstück. Diese Selbstdurchdringung ist der Preis, den man für den Versuch zahlt, eine Fläche in zu wenige Dimensionen zu quetschen. Zwingen wir eine Klein’sche Flasche, in 3D zu existieren, passiert dasselbe: Es kommt zu einer Selbstdurchdringung. Wenn eine Fläche froh und glücklich ohne Selbstdurchdringung in einer bestimmten Anzahl Dimensionen existieren kann, sagen wir, sie kann in diesen Raum eingebettet werden. Ein Zylinder lässt sich in einen 2D-Raum einbetten, ein Möbiusband in 3D. Wenn es nicht genug Dimensionen gibt, um die Fläche richtig darin unterzubringen, beginnt sie, sich selbst zu durchdringen. Natürlich können wir ein Möbiusband noch immer zusammenquetschen und in einem 2D-Raum unterbringen, aber es gehört nicht dorthin. Zwar können wir eine Klein’sche Flasche in unseren 3D-Raum eintauchen (immergieren), doch sie wird sich niemals darin einbetten lassen.

Herstellung der Klein’schen Flasche in 3D. Die Klein’sche Flasche durchdringt sich selbst.

Die verbliebene Fläche, die projektive Ebene, ist das, was geschieht, wenn beide Partner der zwei Pfeilpaare auf «Verdrillung» gestellt sind. Sowohl die projektive Ebene als auch die Klein’sche Flasche sind nicht-orientierbare Flächen, doch ich finde die projektive Ebene am schwersten vorstellbar. Die meisten Projektionen in 3D sind auch nicht besonders hilfreich. Eine Möglichkeit, sich diese Struktur vorzustellen, besteht darin, an ein Möbiusband zu denken, das im vierdimensionalen Raum einen Kreis bildet – was in 4D ohne Probleme möglich ist, während in 3D die Fläche im Weg ist – und den Kreis dann immer enger zu ziehen. Hat nicht wirklich geholfen? Nun ja, zumindest die Klein’sche Flasche ist leicht vorstellbar. Die 3D-Versionen lassen sich sogar so aus Glas herstellen, dass sie tatsächlich wie eine Flasche aussehen. Oder man kann solche Versionen aus Wolle stricken, sodass eine Mütze entsteht.

Eine Standardversion der Klein’schen Flasche und eine abgewandelte Version, ein Klein’sches Bierseidel

Ich hatte ein paar gestrickte Klein’-sche Flaschen online gesehen und deshalb meine Mutter gefragt, ob sie mir die 3D-Einbettung der Klein’schen 4D-Flasche stricken könne, damit ich sie als Mütze tragen kann. Sie schaute mich nur aus großen Augen an. Wir hatten dann eine längere Unterhaltung, in der ich Mathe redete und meine Mutter fließend Strickerisch sprach, aber weil sie eine so begeisterte Strickerin ist, machte sie sich schließlich ans Werk. Die erste Mütze, die sie strickte (den Prototyp, wie ich es nannte, ein wirklich prima Geschenk, wie meine Mutter es nannte), erfüllte ihren Zweck, doch sie war einfarbig. Ich fragte meine Mutter, ob sie mir auch eine gestreifte Version stricken könne. Offenbar ist das für Strickerinnen kein Problem – man wechselt nach ein paar Reihen einfach die Farben –, daher gab ich ihr eine lange Liste an Zahlen für die Dicke eines jeden Streifens auf der Mütze. Auf dem Foto hier trage ich meine Klein’sche Mütze. Die Streifen sind die Ziffern von Pi. Sollte irgendjemand eine Mütze mit einem höheren Nerdfaktor als ich tragen, lassen Sie’s mich wissen.

Wenn wir jemals auf hyperthetische Aliens treffen, sollten wir zur Begrüßung alle solche 4D-Mützen tragen.

Ich denke, eine 4D-Mütze ist ein gutes Objekt, um unsere Reise durch die Topologie zu beenden. Wenn Sie Ihre eigene Mütze stricken wollen, können Sie dasselbe Streifenmuster wie ich benutzen, oder wenn Sie eine Herausforderung suchen, dann diese: Jede Karte auf einer Klein’schen Flasche lässt sich mit sechs oder weniger Farben einfärben; versuchen Sie also, die Mütze in Form von sechs unterschiedlich gefärbten Anteilen zu stricken, die alle die fünf anderen berühren. Und was passiert, wenn Sie Ihre Klein’sche Flasche versehentlich halbieren? Kann man sie gar nicht halbieren, wie das Möbiusband? Nun, wenn Sie die Flasche in genau der richtigen Weise halbieren, erhalten Sie – ein einzelnes Möbiusband!

FÜNFZEHN

HÖHERE Dimensionen

Obwohl ich der vierten Dimension ein ganzes Kapitel gewidmet habe, müssen sich alle höheren ein einziges Kapitel teilen. Nicht etwa deshalb, weil sie einfacher zu veranschaulichen wären – ganz im Gegenteil, höherdimensionale Objekte werden Ihnen ohne Zögern das Sehzentrum schreddern –, sondern deshalb, weil es leicht fällt, Gesetzmäßigkeiten zu verallgemeinern, beispielsweise in 5D und darüber hinaus, sobald man einmal die konzeptionellen Hürden zwischen 3D und 4D überwunden hat. Höhere als die wahrnehmbaren Dimensionen zu akzeptieren, bedarf einiger überzeugender Argumente, aber wenn man sich darauf erst einmal eingelassen hat, macht der Aufstieg zu immer höheren Dimensionen wenig Mühe. Wir werden unsere Reise in 5D starten, bei 196 883 Dimensionen enden und unterwegs einige merkwürdige Dinge zu Gesicht bekommen.

Fangen wir mit etwas Einfachem an. Können Sie einen Weg entlang der Kanten eines 5D-Würfels finden? Nun, für die fünfte Dimension nehmen wir die ersten vier Dimensionen und fügen eine neue Richtung in rechten Winkeln zu allen vier Dimensionen dazu. Sich einen fünfdimensionalen Würfel mit Hilfe von Ecken und Kanten vorzustellen, ist ganz einfach: Er besteht aus zwei 4D-Würfeln mit neuen Kanten, die ihre entsprechenden Ecken verbinden. Wir kommen auf insgesamt 32 Ecken, die durch 80 Kanten verbunden sind. Wollen Sie alle diese Ecken nacheinander aufsuchen, dann ist die Aufgabe, einen Hamilton’schen Weg um den fünfdimensionalen Würfel zu finden, nichts anderes, als einen Turm von Hanoi mit fünf Scheiben zu lösen. Ganz ähnlich geht es für 6D-Würfel, 7D-Würfel usw.

Wir haben den 4D-Rubik-Würfel zuvor bereits erwähnt. Klar gibt es auch einen 5D-Rubik-Würfel. Man kann diese höherdimensionalen Würfel weiterhin in niedrigere Dimensionen projizieren, sodass wir ihre Schatten sehen können. Nur, dass wir jetzt Schatten von Schatten sehen. Wollten Sie den 5D-Rubik-Würfel online lösen, würde Ihr Bildschirm Ihnen die 2D-Projektion der 3D-Projektion der 4D-Projektion des 5D-Würfels zeigen. Verwirrt? Gut. Ich denke, dass alles jenseits von etwa fünf Dimensionen so viele Schatten von Schatten nötig macht, dass das daraus entstehende Bild einfach nicht mehr besonders nützlich ist. Jenseits von fünf Dimensionen müssen wir uns vielmehr auf die Mathematik verlassen und weniger darauf, wie die Form aussieht, wenn man sie in drei oder zwei Dimensionen herunterprojiziert.

Andere Ansicht eines 5D-Würfels

Allerdings weigern sich viele höherdimensionale Formen, sich so zu benehmen wie die normalen 3D-Formen, die wir kennen, weshalb unsere Intuition wenig nützlich ist. Einige von ihnen verhalten sich auf unglaublich merkwürdige Weisen, die zunächst geradezu unmöglich erscheinen. Einen Würfel mag man vielleicht noch erfassen können, aber Sphären in höheren Dimensionen sind einfach nur noch bizarr. Was passiert zum Beispiel, wenn man versucht, eine Hypersphäre in einen Kasten zu sperren? Sie bricht einfach aus.

Um uns das klarzumachen, müssen wir zunächst einen Kasten bauen – irgendein handlicher Hyperwürfel reicht aus.

Raumdiagonalen. Ausgesprochen «Raaaaum-Diagonalen».

Als Nächstes brauchen wir ein Instrument, um Objekte in höheren Dimensionen auszumessen, wofür wir den Satz des Pythagoras nehmen können. Wie bereits erwähnt, kann man damit die Diagonalen von Rechtecken berechnen, und das setzt sich in allen höheren Dimensionen fort. Pythagoras funktioniert ebenso in drei Dimensionen, um die Raumdiagonale zwischen gegenüberliegenden Eckpunkten auszurechnen (man kann «Raumdiagonale» wohl zu den besten Bezeichnungen in der Mathematik zählen), und er funktioniert durchgängig zum Ausmessen der Hyperraumdiagonalen in jeder Raumdimension.

Obwohl man in 2D Rechtecke mit ganzzahligen Seitenlängen finden kann, die eine ganzzahlige Diagonale haben (so wie 3 × 4 mit der Diagonalenlänge 5, oder 5 × 12 mit einer Diagonalen 13, und unendlich viele weitere), hat interessanterweise noch niemand einen dreidimensionalen Quader mit ganzzahligen Längen gefunden, der ganzzahlige Flächendiagonalen und auch ganzzahlige Raumdiagonalen hat. Was nicht bedeutet, dass solche perfekten Quader nicht existieren – es hat auch noch niemand bewiesen, dass es sie nicht gibt. Das Beste, was Mathematiker bislang gefunden haben, ist ein Quader mit ganzzahligen Seiten und Flächendiagonalen (also nicht den Raumdiagonalen), einen sogenannten Euler-Ziegel. Der kleinste Euler-Ziegel hat als Seitenlängen 44 117 und 240, und es gibt noch unendlich viele mehr. Die Suche nach dem perfekten Quader geht weiter.

Der im Zentrum gefangene Kreis hat den Radius 0,414; größer kann er nicht werden.

Aber zurück zur höherdimensionalen Sphäre: Was ist das? Oberflächlich betrachtet, mag das einfach erscheinen: Eine Kugeloberfläche besteht aus allen Punkten, die sich in einem bestimmten Abstand, dem Radius, von einem festen Zentralpunkt befinden. Ein Kreis ist eine 2D-Kugeloberfläche, eine Kugeloberfläche ist eine 3D-Sphäre. (Okay, so weit ist das offensichtlich.) Eine 4D-Sphäre besteht aus allen Punkten, die denselben Abstand von einem Zentrum haben, usw. Unglücklicherweise sind diese Sphären viel schwieriger zu fassen, als man erwarten würde. Weshalb wir sie, aus Sicherheitsgründen, in Hyperwürfeln einsperren müssen, sodass sie uns nicht abhandenkommen können. Den restlichen Raum des Hyperwürfels polstern wir mit Füllsphären so aus, dass die Sphäre von Interesse sich in dem Kasten nicht bewegen kann.

So viele Vorsichtsmaßnahmen, um unsere Hypersphäre unter Kontrolle zu halten, mögen vielleicht etwas übertrieben erscheinen. Also lassen Sie uns herausfinden, ob sie es tatsächlich sind oder nicht. Beginnen wir in zwei Dimensionen und arbeiten uns hoch. Unser 2D-Würfel ist ein Quadrat, und ich werde eins benutzen, dessen Seiten 4 Einheiten lang sind. Der Grund ist, dass dann vier Kreise mit Radius 1 wunderbar hinein passen. Der Mittelpunkt eines jeden dieser Kreise liegt dann eine Viertel Seitenlänge von den Kanten entfernt, die er berührt. Nun setzen wir vorsichtig unseren Versuchskreis (eine 2-D-Sphäre) genau in die Mitte dieses Kastens voller anderer Kreise. Anders als die Füllsphären, deren Radius fest bei 1 bleibt, lassen wir den mittleren Kreis so groß werden, wie es der freie Raum in der Mitte des Kastens erlaubt.

Nun können wir genau ausrechnen, wie groß dieser mittlere Kreis sein darf. Die Kastenabmessung 4 erweist sich jetzt als sinnvoll, weil damit die Entfernung jeder Füllsphäre zum Zentrum des Kastens leicht mit Hilfe des Satzes des Pythagoras ausgerechnet werden kann. Für unser 2D-Quadrat ergibt sich diese Länge der Diagonalen als √2 ≈ 1,414. Die erste 1 wird von den Füllsphären aufgebraucht, folglich kann unser Kreis im Zentrum höchstens den Radius 0,414 haben, ohne eine Füllsphäre zu berühren. Es ist nicht gerade ein großer Kreis, doch zumindest wissen wir ganz genau, wie groß er ist, wo er sich befindet und was ihn umfasst.

In unseren (4 × 4 × 4)-3D-Würfel können wir acht Füllkugeln packen. Die Zahl der Einheitssphären verdoppelt sich jedes Mal, wenn wir eine Dimension höher gehen, und ihre Mittelpunkte liegen immer eine Einheit von allen benachbartenAußenwänden entfernt, sodass sie diese gerade eben berühren (im Fachjargon sagt man auch «küssen»). Die Diagonale vom Mittelpunkt jeder Füllsphäre zum Zentrum des Würfels beträgt √3 ≈ 1,732, weshalb unsere Versuchssphäre sich auf den Radius 0,732 ausdehnen kann: nicht gerade ein großer Sprung. Es ist durchaus verständlich, dass diese Sphäre etwas größer werden kann, weil sie mehr Richtungen hat, in die sie sich bewegen kann. Mit jeder Dimension, die wir höher gehen, setzen wir aber auch mehr und mehr Füllsphären hinzu, um unsere Versuchssphäre/Hypersphäre/usw. mit Sicherheit am Ausbrechen zu hindern. Ihr Wachstum sollte von daher gegen null gehen.

Die zentrale Sphäre wird sich jedoch, wie Sie schon erraten haben, nicht im Zaum halten lassen: Irgendwie wird sie ausbrechen, obwohl sie per Definition in der Mitte des Würfels bleibt und von anderen Sphären umgeben ist, die sie am Platz halten.

Überprüfen wir die Zahlen für 4D, dann wird klar, dass alles für ein 4 × 4 × 4 × 4-Tesserakt so weitergeht, nun mit 16 Füllsphären. Der Abstand des Mittelpunkts jeder Füllsphäre zum Zentrum der 4D-Box ist exakt eine ordentliche 2 (nämlich √4), was für unsere Testsphäre in der Mitte den Radius 1 erlaubt. Offenbar haben die vier Dimensionen ihr genug Raum gelassen, um auf die Größe der Füllsphären ringsum zu wachsen.

Weiter in Richtung fünf Dimensionen werden die Dinge ein bisschen merkwürdig: Unsere Testsphäre ist weiter gewachsen und hat jetzt einen Radius von 1,236, größer als die Füllsphären um sie herum (von jetzt ab werde ich einfach Sphäre sagen, ganz gleich, in wie vielen Dimensionen sie sich befindet). Was als kleine Lücke in der Mitte begann, als wir in 2D starteten, ist jetzt ein riesiger Schlund in 5D. Ursprünglich erwarteten wir, dass die mittlere Testsphäre mit wachsender Zahl von Dimensionen ein bisschen größer würde, diese Ausdehnung jedoch letztlich und ziemlich rasch aufhören würde. Das ist nicht der Fall. Unsere Sphäre in der Mitte wird in beängstigendem Tempo größer und größer, je mehr Dimensionen dazukommen.

Die große Überraschung kommt, wenn die Box sich in zehn Dimensionen erstreckt und der Radius der inneren Sphäre 2,162 erreicht. Denn dies bedeutet, dass sie eigentlich über den Kasten hinausragt. Es ist dieser Sphäre also nicht nur gelungen, trotz der Füllsphären zu wachsen, sie ist der Box nun gänzlich entkommen. In neun Dimensionen berührt sie mit Radius 2 die Seitenwände der Box, um dann für jede noch höhere Dimensionszahl über die Seiten des Hyperwürfels hinauszugehen. Jenseits von 26 Dimensionen ist die Sphäre mehr als doppelt so groß wie die Box, in der sie sich befindet. Und sie hört nicht auf zu wachsen. Die Größe der mittleren Sphäre konvergiert nicht mit wachsender Dimensionszahl: sie divergiert immer weiter in die Ferne.

Die Zahlen lügen nicht, doch müssen wir erklären, wieso die Sphäre über den Rand der Box wachsen kann. Die Box ändert ihre Form nicht, sie ist in allen Richtungen vier Einheiten lang. Ganz wichtig auch, dass die anderen Sphären einen festen Radius 1 haben und wir sie nicht nach Belieben wachsen lassen. Wir ordnen sie nur so an, dass sie alle die Außenwand des Würfels und die anderen Sphären in der Nachbarschaft berühren können. Mit wachsender Dimensionszahl werden die Lücken zwischen diesen Füllsphären größer, und die mittlere Sphäre entwickelt irgendwie Stacheln, die durch diese Lücken aus der Box herausgelangen können. Der Mathematiker Colin Wright stellte mir als Erster dieses Rätsel vor, und in seinen Worten ist es am besten, sich überdimensionale Sphären als stachelig vorzustellen. Offenbar sind diese Sphären in vieldimensionalen Borsten eingebettet. Das hatte ich nicht kommen sehen. (Mehr in den «Antworten am Ende des Buches».)

Die Jagd nach weiteren platonischen Körpern

Beim Sprung von 3D auf 4D hatte wir einen völlig neuen platonischen Körper erhalten, den Hyperdiamanten, der sehr aufregend war, wie Sie sicher zugeben werden. Wir können nun zu höheren Dimensionen übergehen, um zu sehen, welche Körper so regulär sind, dass man sie platonisch nennen kann. Sicher gibt es dort neuartige Formen, die nur darauf warten, entdeckt zu werden.

Erst einmal wollen wir uns der vorhersagbaren Formen (als solche!) entledigen. Wie wir bereits wissen, funktioniert der Würfel perfekt in fünf und allen höheren Dimensionen. In 5D hat man den 5D-Würfel mit Schläfli-Symbol {4,3,3,3}, und alle höheren Dimensionen haben ihren eigenen Hyperwürfel mit Schläfli-Symbolen {4,3,3,3, …, 3}. Diese Schläfli-Symbole bedeuten, dass man mit einem vierseitigen Quadrat beginnt, drei davon an jeder Ecke zusammenführt, um einen Würfel zu erhalten, drei 3D-Würfel an den Kanten vereinigt, um einen 4D-Würfel zu bekommen, drei 4D-Würfel vereinigt … usw., indem man immer wieder Hyperwürfel in Dreierbündeln kombiniert, um eine Dimension höher zu gelangen. Auf die gleiche Weise setzen sich auch das 2D-Dreieck, das 3D-Tetraeder und das 4D-Pentatop in beliebig viele Dimensionen fort, mit Schläfli-Symbolen {3,3,3,3, …, 3}. Doch statt Hyperdreieck spricht man von «Simplex», wobei das Simplex in der n-ten Dimension der vollständige Graph Kn+1 ist.

Es gehört zugegebenermaßen nicht ganz zum Thema, aber ich finde es fantastisch, dass die Formel für die höchstdimensionalen Bestandteile der nicht regulären Formen ein einfaches Bildungsgesetz aufweist. Will sagen, in 2D hat man Flächeninhalt, in 3D haben die Formen Volumen oder Rauminhalt und in 4D haben sie (nennen wir es einfach:) Inhalt. Wie wir schon in früheren Kapiteln gesehen haben (damals war alles noch einfacher), ist der Flächeninhalt eines 2D-Dreiecks gegeben durch Höhe × Breite/2. Höhe und Breite stellen das Ausmaß dar, in dem das Dreieck in die erreichbaren ersten zwei Dimensionen hineinreicht, also könnten wir das auch schreiben als (d_1 × d_2)/2. Das Volumen jedes Tetraeders, ganz gleich, wie irregulär es ist, beträgt (d_1 × d_2 × d_3)/6. Der Inhalt eines Pentatops ist(d_1 × d_2 × d_3 × d_4)/24. Der Hyperinhalt eines 5-Simplex schreibt sich (d_1 × d_2 × d_3 × d_4 × d_5)/120. Und so geht das weiter bis zum n-Hyperinhalt eines beliebigen n-Simplex, der gegeben ist durch (d_1 × d_2 × d_3 × … × dn)/n!.

Schließlich ist der 5D-platonische Körper das nächste Mitglied der Oktaeder/Hyperoktaeder-(oder auch 16-Zeller-)Familie. Im Allgemeinen nennt man sie Kreuzpolytope. Die 5D-Version hat Schläfli-Symbol {3,3,3,4}, und so geht das auch in allen höheren Dimensionen mit Schläfli-Symbolen {3,3,3, …, 3,4}. Das Schläfli-Symbol zeigt, dass die Hyperoktaeder-Familie mit einem gleichseitigen Dreieck beginnt und die so entstehenden Gebilde in Dreiergruppen in allen Dimensionen zusammengepackt werden, außer in der Dimension, in der sich der platonische Körper selbst befindet, wo er mit einem Viererstrauß abgeschlossen wird.

Das bedeutet, in allen Dimensionen ist das Kreuzpolytop immer die duale Form zum Hyperwürfel, während das Simplex sein eigener dualer Körper bleibt.

So weit, so vorhersagbar (jedenfalls nach einigen Definitionen von «vorhersagbar»); nun also zum Unvorhersagbaren. Bedauerlicherweise gibt es keine 5D-Äquivalente des Dodekaeders/Hyperdodekaeders (120-Zeller), ebenso wenig für die Ikosaeder-/Hyperikosaeder-Familie. Beide Familienlinien enden in 4D. Auch gibt es nichts, das nach dem 24-Zeller kommt. Er war einfach ein 4D-Mutant, der kurzfristig in der vierten Dimension ins Leben trat und dann verschwand, ohne Nachkommen zu hinterlassen.

Das ist schon in Ordnung. Ich bin sicher, dass es in fünf Dimensionen neue Formen gibt, mit denen wir uns stattdessen anfreunden können … Doch es gibt sie nicht. Es gibt nur drei platonische Körper in 5D. Kein Problem, dann werden wir 6D überprüfen. In sechs Dimensionen gibt es immer noch exakt dieselben regulären Formen: Hyperwürfel, das Simplex und Kreuzpolytope. Also, das war nun nicht sehr aufregend. Gehen wir über zu 7D. Und wieder: dieselben drei regulären Formen. Auch in 8D ändert sich nichts. Dimension nach Dimension tauchen immer nur diese drei platonischen Körperformen auf. Die Suche ist fruchtlos: In jeder Dimension von 5D an gibt es immer dieselben drei regulären Formen. Wenn Sie zur n-ten Dimension kommen, garantiere ich Ihnen, dass Sie Hyperwürfel {4,3,3,3, …, 3} und das Kreuzpolytop {3,3,3, …, 3,4} als zueinander duale Formen finden werden, und zusätzlich das Simplex {3,3,3, …, 3} als seine eigene Dualform. Schläfli selbst hat diese triste Landschaft platonischer Körper bereits in allen Dimensionen bewiesen, und das war 1852.

Mich fasziniert, dass die regulären Körper in zwei Dimensionen unendlich viele Variationen kennen, jeweils über fünf und sechs Möglichkeiten in 3D und 4D verfügen, und dann plötzlich in allen anderen Dimensionen nur noch drei Ausformungen haben. 2D hat das Problem, dass es nicht genug Möglichkeiten gibt, den regulären Formen entscheidende Beschränkungen aufzuerlegen: sie dürfen sich einfach austoben. 2D ist zu begrenzt, um irgendein fantasievolleres Verhalten zuzulassen. In 3D und 4D herrscht paradiesische Freiheit für den Bau interessanter Formen, ohne dass es zu viele Möglichkeiten gäbe, diese Kreationen wieder zu zerstören. Von 5D an aufwärts gibt es zu viel Freiheit, um irgendetwas festzumachen. Für mich ist das eine Erklärung, warum wir in einem Universum mit etwa drei oder vier Dimensionen leben: Es ist gerade genug, um die Wahlmöglichkeiten interessant zu machen, aber es sind nicht zu viele, dass jeder allzu komplexe Versuch scheitern würde. Nehmen Sie noch den Mangel an Knoten und Bahnen in 4D dazu, und sie kommen der Erklärung nahe, warum wir eine 3D-Realität erfahren.

Also gut, machen Sie sich auf etwas gefasst. Schläfli hatte auch gute Nachrichten: Obwohl er eine trostlose Landschaft von nur drei platonischen Hyperformen bloßlegte, entdeckte er auch einen winzigen Goldklumpen an mathematischem Wunder. Nur ist er ziemlich tief vergraben. Es gelang Schläfli, die unglaublich nützliche Euler-Charakteristik so zu verallgemeinern, dass sie in jeder Dimension funktioniert. Wir haben schon gesehen, wie nützlich die Euler-Charakteristik sein kann, und folglich reicht die Möglichkeit, sie alldimensional zu erweitern, völlig aus, um zumindest jeden Nerd in Ekstase zu versetzen. Man braucht nur etwas Konzentration, um seiner Logik zu folgen, aber es lohnt sich hundertprozentig.

Stellen Sie sich eine Aneinanderreihung der unterschiedlichen Komponenten eines 3D-Polyeders in wachsender Ordnung der Dimensionszahl jedes Teils vor. So wie eine Verbrecherkartei der Formen. An einem Ende stehen die 0D-Punkte, gefolgt von den 1D-Kanten und den 2D-Flächen. Für ein 4D-Polytop sähe die Reihe so aus: 0D-Ecken, 1D-Kanten, 2D-Flächen und 3D-Körper. Für ein 3D-Polyeder lautet die Euler-Charakteristik: Ecken – Kanten + Flächen = 2. Zuerst eine Subtraktion, dann eine Addition, und wenn Sie das in höhere Dimensionen fortsetzen, bleibt dieses Wechselmuster bestehen. Für Polytope zum Beispiel lautet die Eulercharakteristik: Ecken – Kanten + Flächen – Körper = 0. Also durchaus eine Gesetzmäßigkeit, obwohl es jetzt 0 statt 2 heißt. Jetzt halten Sie sich fest: Dieser Wechsel von 2 zu 0 ist Teil einer weiteren Gesetzmäßigkeit.

Für beliebige Teile in verschiedenen Dimensionen gilt:

In der fünften Dimension habe ich H benutzt, um einen Hyper-Körper zu bezeichnen. Es gibt keine feste Terminologie für das, was nach Ecken, Kanten und Flächen in höheren Dimensionen kommt. Im allgemeinen Fall können wir mit «P» den allgemeinen Teil eines allgemeinen Polytops darstellen, wobei Polytop der generische Name für eine Form in einer beliebigen Zahl von Dimensionen sein soll. Also habe ich P_2 anstelle von Fläche geschrieben, weil Flächen 2D-Formen sind.

Diese Sache mit der 2 anstelle der 0 kann man auch in Ordnung bringen, indem man in jeder Reihe noch einen Term hinzufügt: das volle Polytop selbst. Technisch gesehen, hat ein Polygon eine Fläche und ein Polyeder einen Körper (eine Zelle). Das korrigiert alle Formeln so, dass sie auf der rechten Seite 1 ergeben. Und damit haben wir es. Eine einzige Gesetzmäßigkeit, die Formen in allen möglichen Dimensionen erfasst. Dieses wundervolle Muster war Ludwig Schläflis Geisteskind. Und es bedeutet, dass es immer einige Dinge gibt, deren wir uns in höheren Dimensionen sicher sein können, ganz gleich, wie weit wir gehen.

Polyeder-Formel für beliebige Dimensionen

Eine Menge überflüssiger Raum

Nehmen Sie sich ein paar Orangen: Es wird Zeit, mal wieder zu packen. Ganz normale 3D-Orangen sind prima, ebenso jede andere kugelförmige Frucht Ihrer Wahl. Diesmal werden wir sie nicht aufeinander stapeln, sondern wir wollen sie einpacken. Die Herausforderung besteht darin, sie möglichst effizient in Folie einzupacken, oder in Geschenkpapier, falls Sie sie verschenken wollen. Mit nur zwei Orangen ist das Problem trivial, weil es nur eine Möglichkeit gibt: Sie legen die Orangen nebeneinander und packen Sie ein. Mit drei Orangen haben Sie jedoch eine Wahl. Sie könnten Sie vor dem Verpacken dreieckig anordnen oder in einer geraden Linie. Versuchen Sie beides und schauen Sie, womit Sie am wenigsten Folie verbrauchen. Es wird immer etwas überstehen, wenn Sie versuchen, die Folie zu verschließen, doch wenn wir uns darum nicht kümmern, dann ist die kleinste konvexe Oberfläche, die man braucht, um die drei Kugeln komplett einzupacken, genau das, wonach wir suchen.

Bei vier Orangen wird es wegen der vielen verschiedenen Möglichkeiten, sie anzuordnen, bevor wir sie verpacken, etwas komplizierter. Aber versuchen wir es. Probieren Sie so viele Möglichkeiten aus, wie Sie Geduld und/oder Orangen haben. Wenn Sie aber zu der großen Mehrheit gehören, die das nicht versuchen wird, dann denken Sie sich jetzt 50 Orangen und entscheiden sich, ob sie wohl effizienter als lange wurstförmige Linie verpackt würden oder als Haufen. Die meisten Menschen vermuten, dass es effizienter ist, die Kugeln dicht zu packen, wenn man sie einwickelt, doch viele Mathematiker entschieden sich für die Wurstoption. Und das ist die Grundlage für die sogenannte Wurst-Vermutung.

Wer hatte nun recht? Tatsächlich haben beide Lager irgendwie recht. Bei drei und vier Orangen ist die Wurstoption effizienter, ebenso für jede größere Anzahl einschließlich 50, bis hinauf zu 56 Orangen. Dann, plötzlich und völlig unerwartet, fällt die ganze Wurst, sobald Sie eine 57. Kugel hinzufügen, in sich zusammen, und es erweist sich als effizienter, die Orangen als Haufen einzupacken. Nennen wir das spaßeshalber die «Wurstkatastrophe», und den Haufen Kugeln, der dabei herauskommt, Haggis, jenen schottischen Eintopf aus Schafsinnereien. Es ist effizienter, die Kugeln als Haggis einzupacken denn als Wurst, sobald es 57 oder mehr sind. Jedenfalls in 3D.

Wurst gegen Haufen. Wer gewinnt? Beide haben ordentlich Bälle.

Doch was passiert, wenn wir eine Hyperfrucht einpacken müssen? Wie wir bereits wissen, werden Früchte immer stacheliger, je höher die Dimension ist, in der man sie verspeist. Für 4D-Kugeln ist eine 4D-Hyperwurst definitiv die beste Möglichkeit, und das bleibt so bis zu 50 000 Kugeln. Wir wissen nicht genau, wo, aber irgendwo zwischen 50 000 und 100 000 kommt wieder die Wurstkatastrophe, und bei 100 000 Kugeln sind Sie mit einem 4D-Haufen definitiv besser dran. Wir haben keinen Schimmer, was in fünf Dimensionen oder irgendeiner weiteren Dimension bis zu 41 einschließlich passiert. Interessanterweise aber ist die Hyperwurst die beste Möglichkeit, Kugeln einzupacken, sobald man 42 Dimensionen erreicht, und das bleibt in allen höheren Dimensionen richtig. Offensichtlich treibt die Wissenslücke zwischen 5D und 41D Mathematiker in den Wahnsinn, also arbeiten sie sich daran ab. Momentan hält man allgemein die Hyperwurst für das wahrscheinlich Richtige.

Vieles, was wir über höherdimensionale Kugeln wissen, beruht vorerst auf Raten. Ebenso wie Kugeln sich in höheren Dimensionen unterschiedlich verhalten, wie wir bereits von Conway gehört haben (auf Seite 242), lassen sich die Packungsmuster, die wir in 3D entdeckt haben, nicht einfach auf höhere Dimensionen verallgemeinern. Es ist bekannt, dass die Hyperkugel von 4D bis zu 8D (und wahrscheinlich auch darüber hinaus) nicht die schlechteste Form zum Stapeln ist; anscheinend ist sie das nur in 3D. Es geschehen aber merkwürdige Dinge, wenn man versucht, Hyperkugeln zu stapeln. Ein wichtiger Teil von Hales’ Beweis der Kepler-Vermutung beruht auf der Tatsache, dass ein feines, kleines Gitter garantiert die effizienteste Methode darstellt, Kugeln in 3D zu stapeln. In höheren Dimensionen ordnet man Kugeln vermutlich am besten in willkürlichen, unstrukturierten Haufen an. Hales selbst legt Wert auf die Feststellung, dass solche nicht regulären Anordnungen derzeit die beste Stapelmethode für die Dimensionen 10, 11, 13, 18, 20 und 21 darstellen.

Erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts ließ sich Newtons Vermutung beweisen, dass sich in 3D höchstens zwölf Kugeln berühren und eine Kugel in der Mitte gleichzeitig küssen können; für höhere Dimensionen dauerte es jedoch viel länger. Mathematiker wussten bis 1979 nicht, was in irgendeiner höheren Dimension passiert, bis endlich bewiesen wurde, dass die Kusszahl in acht Dimensionen 240 und in vierundzwanzig Dimensionen 196 560 ist. 2003 entdeckte man dann, dass die 4D-Kusszahl 24 beträgt. Das ist es aber auch schon: Es gibt keine exakte Antwort für irgendeine andere Dimension. Für einige Dimensionen existieren immerhin Näherungen: Die 5D-Kusszahl liegt irgendwo zwischen 40 und 44, und die für 17D zwischen 5346 und 11 072. Erstaunlicherweise können wir eine untere Grenze für jede Dimension angeben, und wir finden sie, völlig unerwartet, mit Hilfe der Riemann’schen Zeta-Funktion! In n Dimensionen muss die Kusszahl größer oder gleich ζ(n)/2n– 1 sein. Übers Küssen müssen Mathematiker noch eine Menge lernen.

Doch warum sollte uns überhaupt interessieren, wie Kugeln in höheren Dimensionen verpackt, gestapelt und geküsst werden können? Wie sich herausgestellt hat, stellte mir Colin die ursprüngliche Aufgabe, eine Hypersphäre in einem Kasten einzufangen, aus einem ganz praktischen Grund. Er sprach mit mir über stachelige Sphären, weil sein Job darin besteht, numerische Prozesse effizienter zu machen, sodass sie in Software zur Radarortung von Schiffen eingesetzt werden können. Da scheint es erstmal keinerlei Verbindung zu geben, doch wenn Sie versuchen, ein Problem mit n Variablen zu lösen, dann ist das dieselbe Mathematik, die man braucht, um nach einer n-dimensionalen Landkarte zu navigieren. Genauso wie die Reihenfolge, in der Sie n Objekte von einem Tisch entfernen, den Graphen für einen ndimensionalen Würfel ergibt, weil es n Freiheitsgrade gibt, kann man eine Funktion, die n verschiedene Variablen hat, sehr gut als n-dimensionale Landschaft darstellen.

Dieselbe Beschränkung zeigte sich schon in Hales’ Arbeit über das Kepler-Problem. Um ein einfaches Beispiel zu nehmen, stellen Sie sich ein nicht reguläres Tetraeder in 3D vor. Es hat sechs Kanten und kann durch Auflisten seiner sechs Längen exakt definiert werden. Wenn ich Ihnen folgende Zahlenmenge gebe {8,10,12,9,10,11} und wir vereinbaren, wo jede Kante hingehört, dann spezifizieren die Zahlen ein genau definiertes Tetraeder, das Sie nachbauen können. Es könnte sich auch um Koordinaten handeln, die einen Punkt im 6D-Raum angeben. Folglich ist jedes 3D-Tetraeder einem Punkt im 6D-Raum äquivalent. Indem man unterschiedlich verformte Tetraeder untersucht, bewegt man sich quasi in sechs Dimensionen. Nun hat sich Hales um kompliziertere Dinge als ein Tetraeder gekümmert, doch versagte sein Computer bei Rechnungen in mehr als 6D-Räumen. Er selbst sagte dazu:

Mein Computer konnte ganz allgemein Aussagen über ein einzelnes Tetraeder beweisen, doch versagte er beim Beweis von Aussagen über kompliziertere geometrische Objekte. In anderen Worten konnte mein Computer mir etwas über den sechsdimensionalen Raum sagen, indem er die Kantenlängen eines Tetraeders parametrisierte, doch um sieben Dimensionen zu handhaben, war er zu langsam. Angesichts dessen, dass die Kepler-Vermutung ein Optimierungsproblem in etwa siebzig Variablen ist, konnte ich diese Beschränkung nur als frustrierend empfinden. Die Herausforderung bei dem Problem bestand darin, ein sechsdimensionales Verständnis für einen siebzigdimensionalen Raum zu entwickeln.

Colin geht es genauso, wenn er versucht, Computerprobleme mit vielen Variablen zu optimieren, denn dann navigiert er im Endeffekt eine hochdimensionale Form. Dann nützt Intuition nichts mehr. Doch wenn er ein paar Werkzeuge und Bezugspunkte entwickeln kann – etwa die Erwartung, dass Sphären stachelig sind –, dann verschafft ihm das zumindest eine Chance, weiterzukommen. Wenn Sie also das nächste Mal auf einem Schiff reisen, ohne dass es mit einem anderen Schiff zusammenstößt, sollten Sie Leuten wie Colin dafür danken, dass sie sich auf stacheligen Bällen orientieren können.

Das Monster

Zum Abschluss dieses Kapitels über höhere Dimensionen sollten wir natürlich schauen, wie weit wir gehen können. Zurzeit besteht unser Rekord in den siebzig Dimensionen, die Hales als Teil seiner Lösung der Kepler-Vermutung erwähnte. Siebzig Dimensionen – das liegt weit jenseits von allem, was wir oder irgendein anderes hypertheoretisches Wesen überhaupt visuell umsetzen könnten. Die Mathematik aber geht weiter. Hales’ Probleme mit siebzig Variablen korrespondieren in einem sehr realen Sinne mit Punkten in 70D, und ihre Beziehungen korrespondieren zu 70D-Formen. Doch wie weit können wir gehen?

Es gibt zumindest eine Form, die ich Ihnen vorstellen möchte, doch es ist ein weiter Weg dorthin. Mathematiker haben eine Ahnung von etwas bekommen, das ein Körper in sehr, sehr hohen Dimensionen sein könnte. Man nannte es «das Monster», und man konnte es nicht auf Papier bannen, bis dem amerikanischen Mathematiker Robert Griess 1982 dieses Kunststück gelang. Auf diese Form war man durch das Studium ihrer Symmetrien gekommen. Ein einfacher Würfel in 3D ist auf viele Weisen symmetrisch; Sie können ihn auf verschiedene Weisen drehen, spiegeln, und er wird immer so aussehen wie zu Anfang. Wenn Sie alle verschiedenen Symmetrien eines Würfels zusammennehmen, dann gibt es dafür einen Sammelnamen: C_3. Weil auch die Dualform des Würfels dieselbe zugrundeliegende Struktur hat, hat sie ebenfalls dieselbe Symmetriegruppe C_3 (wohingegen das Dodekaeder und das Ikosaeder die Symmetriegruppe H_3 haben und das Tetraeder die Gruppe A_3 hat).

Sich für die Symmetrien von Formen zu interessieren, führt in ein Gebiet der Mathematik, das Gruppentheorie heißt und weit über die einfachen Symmetrien hinausgeht, die wir in 3D kennen.1 Jede Zusammenstellung von Möglichkeiten eines Objekts, symmetrisch zu sein, wird als eigenes mathematisches Objekt betrachtet. Ebenso wie wir gewohnt sind, Dinge wie Körper, Graphen, Oberflächen und Knoten als mathematische Objekte zu betrachten, können wir nun Gruppen als neue Ansammlungen von Objekten hinzufügen. Und ebenso wie ein Polyeder einen zugehörigen Graphen hat und ein Knoten eine entsprechende Fläche, lassen sich die Gruppen, die wir uns anschauen werden, den Symmetrien verschiedener Körper zuordnen.

Die Buchstaben in den Namen dieser Gruppen sind nicht wichtig; wichtig ist, wie sie sich zu Familien verbinden, die mit Familien von Formen korrespondieren. Wir können uns die Familien verschiedener regulärer Polytope ansehen und verfolgen, wie sie sich in verschiedenen Dimensionen entwickeln, und welche Familien von Symmetriegruppen ihnen entsprechen. In 2D passiert nichts Aufregendes, weil zwei Dimensionen, wie zuvor schon bemerkt, nicht genug Raum für Bewegung lassen, weshalb die Symmetrien sehr stark eingeschränkt sind. Jede reguläre einseitige 2D-Form hat die Symmetriegruppe Dn . Ab der dritten Dimension werden die Dinge etwas interessanter.

Formen und ihre Symmetriegruppen (sofern existent)

Wie Sie sehen, bleiben die Familien der Gruppen C und A in beliebigen Dimensionen erhalten, sie entsprechen immer denselben regulären Polytopen. Interessanter ist der Hyperdiamant. Nur in 4D erscheint er als reguläre Form, und seine Gruppe, F_4, ist nicht Mitglied einer großen Familie. Man nennt sie eine sporadische Gruppe (auch: Ausnahmegruppe), weil sie zu nur einer Situation gehört und sich nicht auf immer höherdimensionale Räume verallgemeinern lässt. Es gibt noch weitere sporadische Gruppen, die sich ebenfalls nur auf die Symmetrien einer Form in einer bestimmten Dimension beziehen.

Bis jetzt haben wir nur nach platonischen Körpern in höheren Dimensionengesucht, aber natürlich gibt es weitere weniger reguläre Formen, die sich da herumtreiben. Gruppen können auch den Symmetrien anderer halbregulärer einheitlicher Formen entsprechen, und die sporadische Gruppe E_6 passt zu zwei Formen in 6D. Es gibt andere spezielle Formen, die in höheren Dimensionen auftreten! In diesem Fall hat E_6 eine 6D-Form mit 72 Ecken, die 1_22 heißt, und ebenfalls einen 27-Ecker mit dem Namen 2_21 .

Die 1_22- und 2_21-Formen

Genauso wie ich den Hyperdiamanten als die erste echte 4D-Form ansehe, weil sie nicht bloß die höherdimensionale Version einer niederdimensionalen Form ist, betrachte ich die 1_22 und 2_21 als echte 6D-Formen. Natürlich gibt es auch 6D-Hyperwürfel und –Simplexe, doch die gibt es halt in jeder Dimension. Daran ist nichts Besonderes. Genauso können wir uns andere sporadische Gruppen anschauen, um weitere interessante Strukturen in höheren Dimensionen zu finden. Um einige willkürlich herauszugreifen: Es gibt da drei Gruppen, die Conway gefunden hat – Co_1, Co_2 und Co_3 – und die auf den Symmetrien eines bestimmten 24D-Gitters beruhen; die Mathieu-Gruppe M24 beruht auf den Symmetrien der 4D-Klein-Quartic (einer von der Klein’schen Flasche verschiedenen Form). Unsere Frage lautet: Welche dieser sporadischen Strukturen braucht die höchste Dimension?

Es gibt nur eine beschränkte Anzahl sporadische Gruppen, und eine von ihnen hat tatsächlich die geometrische Interpretation mit der höchsten Dimensionszahl. Es ist die Monstergruppe, und die Form, zu der sie gehört, kann nur in 196 883 Dimensionen existieren. Das macht mich verrückt. Auf dem Weg über Hunderttausende von Dimensionen mit nur ganz wenigen vorhersehbaren unendlichen Familien von Formen zur Gesellschaft taucht plötzlich aus dieser Monotonie eine Form für eine einzelne Dimension auf. Es gab sie noch nicht in 196 882D, und bei 196 884D ist sie wieder verschwunden. In diesem winzigen Fenster existiert eine Form jenseits aller menschlichen Vorstellungskraft. Es handelt sich um ein wirkliches mathematisches Objekt, so wie ein Dreieck oder einen Würfel. Griess gibt dem Monster im Titel seiner Veröffentlichung aus dem Jahr 1982 einen anderen, positiver klingenden Namen: Er nennt es den «freundlichen Riesen». Niemals werden wir in der Lage sein, den freundlichen Riesen zu veranschaulichen, doch wir wissen, dass er existiert.

Wir sind nun von den Formen in 5D den ganzen Weg aufwärts bis zum freundlichen Riesen in 196 883D gegangen und haben unterwegs einige unerwartet stachelige Kugeln getroffen. All diese Mathematik findet in einer Welt jenseits dessen statt, was unser 3D-Gehirn sich vorstellen kann. Und doch gibt uns die Mathematik erstaunlicherweise Werkzeuge, um diese fremden Landschaften zu erkunden. Die Tatsache, dass wir sogar um die Existenz des freundlichen Riesen wissen und einige seiner Eigenschaften erkunden können, erstaunt mich zutiefst. Die Mathematik erlaubt uns Menschen, eine Realität weit jenseits unseres Platzes in ihr zu erforschen. Und wenn wir die Existenz eines freundlichen Riesen fast 200 000 Dimensionen jenseits der unsrigen entdecken können, wer weiß, was unerschrockenen Mathematikern zukünftig noch alles über den Weg laufen wird.

SECHZEHN

Gute Daten leben länger

Holen Sie Ihre Kreditkarte heraus und suchen Sie die 16-stellige Kreditkartennummer. Jetzt schicken Sie mir diese Zahl zusammen mit Ihrem Geburtsdatum und dem Mädchennamen Ihrer Mutter per E-Mail … Für den Fall, dass Sie etwas sicherheitsbewusster sein sollten, schreiben Sie die 16 Ziffern einfach auf ein Blatt Papier, sodass nur Sie sie sehen können. Nun streichen Sie die erste Ziffer durch, danach jede zweite und schreiben Sie über die durchgestrichenen Zahlen jeweils das Doppelte dieser Zahl. Falls das Verdoppeln zu einer zweistelligen Zahl führt, addieren Sie diese beiden Stellen (das kennen wir schon, die Quersumme) und schreiben das Ergebnis darüber. Wenn Sie jetzt alle Zahlen addieren, garantiere ich Ihnen, dass sie ein Vielfaches von 10 ergeben.

Jede zweite Ziffer wird durch die Quersumme ihres Doppelten ersetzt.

Diese Gesetzmäßigkeit steckt in allen Bankkarten, damit man leicht überprüfen kann, ob sie echt sind oder nicht. Auf diese Weise kann Ihnen eine Internetseite sofort anzeigen, ob Sie einen Fehler beim Eintippen der Zahl gemacht haben. Sie musste dafür nicht bei der Bank nachfragen, sie hat nur eine Rechnung ausgeführt. Sollte die Antwort nicht ein Vielfaches von 10 sein, weiß die Seite, dass Sie keine gültige Kartenzahl eingegeben haben. Das nennt man Fehlererkennung.

Die Gesetzmäßigkeit in modernen Bankkarten geht auf ein Patent aus dem Jahr 1960 zurück, das sich «Computer for Verifying Numbers». (deutsch etwa: Rechner zur Bestätigung von Zahlen) nennt und von dem amerikanischen Erfinder Hans P. Luhn eingereicht wurde. Er erfand eine Maschine, die nach dem Eingeben einer beliebigen Zahl anzeigte, welche Ziffer man am Ende hinzufügen musste, um die Gesetzmäßigkeit zu erfüllen: die Prüfziffer. Vor den ersten tragbaren Computern war dies ein handliches mechanisches Gerät, das die Prüfziffer mit Hilfe von Zahnrädern (mehr ein Antikythera-Mechanismus als ein Apple McBook) berechnen konnte und über einen eingebauten Stempel zum Drucken dieser Ziffer verfügte.

Der Erfinder hatte sich vorgestellt, dass das Gerät in komplizierten Produktionsabläufen verwendet würde, wo jedes Teil mit seiner Nummer in das Gerät eingegeben würde, das dann die Zahl und ihre Prüfziffer auf die Verpackung drucken würde. Alternativ konnte man auch in den Rechner eine Zahl eingeben, und dieser würde dann, falls sie korrekt war, auf die Verpackung einen Haken machen. Zufällig kam sein Patent gerade zu dem Zeitpunkt heraus, als Bankkarten entwickelt wurden, und so fand sein Prüfverfahren dafür Verwendung.

In dem Patent erklärt Luhn, warum er den zusätzlichen Schritt der Verdopplung jeder zweiten Stelle einführte. Wenn man Zahlen mit der Hand kopiert, «entstehen Fehler häufig dadurch, dass man zwei Ziffern vertauscht». Würde eine Prüfsumme die Ziffern einfach addieren, wäre das Ergebnis unabhängig von der Reihenfolge der Ziffern. Aber, um es mit Luhn zu sagen, «falls jede zweite Stelle eine Ersatzziffer in Übereinstimmung mit dem hier dargestellten System ist, würde ein solcher Irrtum bemerkt». Ziffern zu vertauschen kann das Gesamtergebnis völlig verändern. Sein mechanischer «Computer» und die dazugehörige Produktionsstraße, die er sich vorstellte, mögen uns antiquiert erscheinen, doch entdeckt Luhns Methode heute noch Zahlendreher, wenn Leute ihre Bankdaten manuell auf Webseiten eingeben.

Abbildungen aus dem US-Patent 2950048A («Computer for Verifying Numbers»)

Ganz ähnliche Gesetzmäßigkeiten gibt es nun in fast allen Zahlen, die häufig kopiert werden müssen und anfällig für Fehler sind. Genau dasselbe Muster erscheint in Barcodes, außer dass man statt mit der ersten mit der zweiten Stelle anfängt, dann jede zweite Stelle mit 3 multipliziert (aber nicht die Quersumme nimmt)und alles addiert, um schließlich ein Vielfaches von 10 zu erhalten. Das passiert, wenn Barcodes an der Kasse eingescannt werden, sodass man mit Sicherheit feststellen kann, ob die Zahl korrekt eingelesen wurde. Es wäre sehr teuer, Laser und Elektronik einzubauen, die garantieren, dass Barcodes immer richtig gescannt werden. Jetzt müssen Sie nur «gut genug» sein. Solange der Laser hinreichend schnell und damit hinreichend oft einen Barcode erfasst, muss eine der Auslesungen korrekt sein. Dank der Prüfziffer kann der Kassenautomat alle ungültigen Zahlen verwerfen und warten, bis die Zahl kommt, die das Barcodemuster erfüllt. Nun wissen Sie endlich, warum der Mensch an der Kasse manche Artikel mehrfach über den Scanner ziehen muss, bis das befreiende «Piep» ertönt.

So wie den Trick mit dem «Multipliziere mit neun», dem wir früher schon begegnet sind, kann man diese Prüfziffer-Muster als Zaubertrick nutzen. Würde jemand Ihnen alle Ziffern einer Zahl bis auf eine vorlesen müssen, könnten Sie diese fehlende Ziffer im Kopf ausrechnen. Ich habe mir selbst beigebracht, diese Rechnung für Barcodes zu machen (weil nur wenige Menschen im Publikum meiner Shows bereit wären, ihre Kreditkartennummer laut zu verlesen). Das Vorgehen ist sehr einfach: Es hängt nur davon ab, wie viel freie Zeit Sie aufbringen wollen, um das zugehörige Kopfrechnen zu lernen. Zum Lernen erzeugte ich eine Tabelle mit Barcodes, dann programmierte ich meinen Computer so, dass er sie bis auf eine Stelle vorlas. Das war gut genutzte Zeit.

Die meisten Menschen verbringen ihr Leben, ohne Prüfziffern in Barcodes und Bankkarten zu kennen, denn man muss so etwas nicht wissen. Man könnte es lernen, wenn man wollte. Darüber hinaus gibt es jedoch andere, mit Absicht versteckte: heimliche Prüfziffern, von denen niemand wissen soll. Zum Beispiel haben die britischen Finanzämter ein absolut geheimes Überprüfungssystem in die Umsatzsteueridentifikation (VAT in Großbritannien) eingebaut. Die Gesetzmäßigkeit ist folgende: Man multipliziere die erste Ziffer mit 8, die zweite mit 7, die dritte mit 6, usw. bis zur siebten, die man mit 2 multipliziert; dann addiert man, fügt 55 hinzu, um den Prozess noch undurchschaubarer zu machen, addiert die letzten zwei Ziffern als zweistellige Zahl – und dann ist die Gesamtsumme immer ein Vielfaches von 97. Die Idee dahinter bestand darin, dass niemand dieses Muster erkennen würde, dass aber das königliche Steuer- und Zollamt mit seiner Hilfe sehr schnell jeden identifizieren könnte, der falsche Quittungen in seiner Steuererklärung geltend machte. Das System wurde jedoch ausgeplaudert, und nun kann man es auf Wikipedia nachlesen. Zweifellos gibt es weitere geheime Prüfziffern, die noch niemand entdeckt hat.

Auch Firmen benutzen Prüfziffern, um sich und ihre Angestellten zu schützen. Wären Sie blind meinen Anweisungen gefolgt und hätten mir, womöglich vom Arbeitsplatz aus, Ihre Kreditkartennummer gemailt, hätte Ihre E-Mail das Gebäude möglicherweise gar nicht verlassen. In einem großen Unternehmen wird mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit hin und wieder jemand Opfer einer Phishing Mail und sendet seine oder die Kreditkartennummer des Unternehmens an Kriminelle, die nicht lange fackeln, diese Nummer für sich zu nutzen. Also überprüfen manche Firmen jede Folge von 16-stelligen Zahlen in allen ausgehenden E-Mails und suchen nach Luhns Muster. Bei Übereinstimmung werden die Zahlen einer Zweitüberprüfung unterzogen, um zu schauen, ob es sich um einen Zufallsfund handelte oder ob jemand wirklich eine Kreditkartennummer verschickt hatte, obwohl er es nicht sollte. Und alles nur dank Luhns verrücktem Trick. Nigerianische Prinzen hassen ihn.

Das verborgene VAT-Prüfsystem, auch als Modulus 9755 bekannt und kein Geheimnis mehr.

Alles kann Zahl werden

Am Weihnachtstag 2009 packte ich, wie schon viele Weihnachten zuvor, im Haus meiner Eltern Geschenke aus. Ich öffnete das Paket meiner Mutter und sah das vielleicht größte Geschenk aller Zeiten: Es war ein handgestrickter Schal mit grünen Einsen und Nullen auf schwarzem Untergrund. Ein binärer Schal! Schon deshalb war ich sehr aufgeregt – ich bin ein großer Fan binärer Zahlen –, doch dann bemerkte ich, dass es sich nicht einfach nur um zufällige Ziffern handelte. Es waren die Einsen und Nullen einer Nachricht! Also nahm ich mir einen Stift und schrieb auf die Rückseite des Geschenkpapiers, was mein Schal mir sagte. Ja, das war ein wundervoller Weihnachtsmorgen, an dem ich mit meiner Familie zusammensaß und mein Geschenk entschlüsselte.

Die Art Computercode, aus der mein Schal bestand, wird gemeinhin ASCII genannt, und zwar aus reiner Gewohnheit. ASCII war die erste gebräuchliche Methode, um Botschaften in Computersprache zu übersetzen; es steht für American Standard Code for Information Interchange. Doch mittlerweile ist der sogenannte Unicode in Gebrauch. Wie die Überschrift dieses Kapitels verrät, kann man alles in Zahlen verwandeln, und es gibt zwei Gründe, warum wir das tun sollten: Erstens kann man viele Prüfmuster einarbeiten, wie zum Beispiel in Barcodes, und zweitens kann man Zahlen in Computern speichern, verarbeiten und übertragen. Seit Erfindung der ersten Computer haben Mathematiker Möglichkeiten gefunden, Geschriebenes, Fotos und Musik in Zahlen umzuwandeln. Computer arbeiten nur mit Zahlen; wenn sie also mehr als nur tolle Rechner sein sollen, müssen wir auch andere Dinge in Ziffern verwandeln können.

Buchstaben in Zahlen zu verwandeln, ist ganz einfach: Man kann ihre Stelle im Alphabet nehmen. Die oberste Zeile meines Schals lautet 01 001 101, was die binäre Verschlüsselung der Zahlen 2 und 13 ist, also für den dreizehnten Buchstaben im zweiten Alphabet steht. Mit «zweitem Alphabet» sind Großbuchstaben gemeint; der 13. Buchstabe des Alphabets ist M. Die ersten fünf Reihen auf dem Schal lauten 01001101 01000001 01010100 01001000 01000101, was so viel bedeutet wie MATHE. Die ersten drei Ziffern in jeder Zeile bestimmen das Alphabet, die nächsten fünf die Position im Alphabet (es gibt keine praktische Leerstelle, um sie zu trennen).

Als ASCII 1963 in den USA entwickelt wurde, einigte man sich auf ein System von vier Alphabeten (von 0 bis 3 nummeriert), jedes mit 32 Buchstaben (von 0 bis 31 nummeriert). Das nullte Alphabet war nichts anderes als eine Liste verschiedener Computerbefehle, einschließlich solch merkwürdiger Dinge wie Zeilensprung und Absatzende (was man niemals brauchte, es sei denn für die direkte Kommunikation mit einem Drucker in seiner natürlichen Sprache), dazu kamen ein paar bekannte Gesichter wie die Tabulatortaste und Escape-Zeichen. Das erste Alphabet besteht aus Satzzeichen, es beginnt mit dem Zeichen für eine Leerstelle (passenderweise in Position 0), und dann kommen Dinge wie das Komma, das kaufmännische & und das Ausrufezeichen!

Das zweite und dritte Alphabet bestehen jeweils aus Klein- und Großbuchstaben, dazu ein paar Satzzeichen, um die 32 verfügbaren Plätze aufzufüllen.

Der Grund für vier 32-Stellen-Alphabete ist, dass das ursprüngliche ASCII auf Binärzahlen mit sieben Stellen basierte. Die ersten beiden Stellen standen für das Alphabet (00,01,10,11) und die nächsten fünf Stellen für die Position (00000 bis 11111). Das wirklich letzte Zeichen ist «Entfernen», und dass es bei 1111111 steht, ist kein Zufall. Damals wurden Daten gemeinhin auf gelochten Papierstreifen gespeichert; ein Loch stand für 1, ungelocht für 0. Auf einem Papierstreifen sieben Löcher zu stanzen war die perfekte Methode, alle vorhergehenden Daten zu löschen.

Wenn Sie heute die «Entf»-Taste auf einer Tastatur anschlagen, schickt sie immer noch ein Signal, das bedeutet, sieben Löcher in ein Stück Papier zu stanzen.

Die ursprünglichen vier ASCII-Alphabete

Seit 1963 ist ASCII stark erweitert worden. Die Haupterweiterung fand 1985 statt, als die ECMA (European Computer Manufacturers Association; heute «ECMA International») einen Standard mit dem ansprechenden Namen ISO–8859 einführte, der ASCII auf ein achtstelliges Binärsystem erweiterte. Dieses enthielt nun nicht nur die meisten Variationen lateinischer Buchstaben (wie zum Beispiel den Buchstaben A mit einer Fülle von verschiedenen Hüten: à, á, â, ã, ä und å), sondern es gab auch eine Menge neuer Zeichen für Mathematiker: die Brüche ¼, ½ und ¾ bekamen ihre eigenen Symbole, quadrieren^2 und zur dritten Potenz erheben^3 wurden als Hochzahlen zugefügt, ebenso das Malzeichen ×. Endlich mussten die Mathematiker nicht mehr mit dem Buchstaben x auskommen, wenn sie multiplizieren wollten, überall in Europa konnte man nun Akzente auf die Buchstaben setzen, die Engländer konnten das £-Zeichen benutzen und die Spanier ¿. Es war ¡excelente!

Als sich die 256 Zeichen, die in den acht Stellen von ISO-8859 kodiert wurden, schon ein bisschen eingeengt fühlten, wurde das System von dem noch größeren Unicode übernommen, das hält, was es im Namen verspricht: Es kodiert alles. Es benutzt binäre Zahlen mit 16, 32 oder noch mehr Stellen und deckt damit mehr als 1 Million unterschiedliche Zeichen ab. Auf diese Weise stellt es einen Binärcode für jedes denkbare Symbol zur Verfügung. Dank Unicode ist es möglich, mit ägyptischen Hieroglyphen zu mailen (falls Sie das wünschen). Wir haben jetzt eine standardisierte systematische Methode, jeden Satz aus jeder Sprache in eine Ziffernfolge zu verwandeln.

Natürlich kann man die vereinbarten Alphabete lernen und per Hand von und in binären Code übersetzen (ich kann jetzt fließend ASCII, aber Unicode habe ich nicht gelernt), oder Sie können einen automatischen Übersetzer benutzen. Als meine Mutter den binären Schal gestrickt hat, hat sie meinen Bruder Steve gebeten, die Einsen und Nullen für sie zu berechnen (weil er ebenfalls ein heftiger Nerd ist), und er ließ die Botschaft einfach durch einen Online-Übersetzer laufen. Mein Bruder macht das dauernd, weil er und ich uns binär mailen, was ich nicht dringend genug empfehlen kann. Wenn Sie das nächste Mal eine E-Mail senden, übersetzen Sie sie ins Binäre und senden Sie stattdessen die Einsen und Nullen. Das wird die Nerd-Streu vom Weizen trennen. Indessen zu einem merkbaren Schwund des Posteingangs führen.

Es geht nicht nur um Nachrichten – wir können ebenso jedes Bild in Zahlen übersetzen. Indem wir ein Bild mit einem Gitter überziehen, können wir jeder Zelle eine Zahl zuordnen, die beschreibt, welche Farbe die Zelle hat. Dazu zerlegt man eine Farbe in ihre Rot-, Grün- und Blauanteile, die man zum Mischen der Farbe braucht. Wenn Sie auf etwas stoßen, das als RGB-Farbe beschrieben wird, dann bedeutet es genau das. Die Werte für Rot, Grün und Blau werden normalerweise als achtstellige Binärzahlen gespeichert, d. h. sie laufen von 0 (00000000) bis 255 (11111111).

Das könnte jedem besonderen Moment den Zauber rauben, aber ein digitales Foto ist einfach nur eine lange Liste von Zahlen zwischen 0 und 255. Ich hatte die Idee, mit diesen Zahlen zu beginnen und daraus ein Foto von mir selbst zu machen, und ich wollte es auf die denkbar ineffizienteste Weise tun: mit Hilfe einer Tabelle. Ich übertrug alle Zahlen eines Digitalfotos in eine Excel-Tabelle, färbte dann den Hintergrund der Zeilen rot, grün und blau, aber so, dass der Hintergrund jeder Zelle heller wurde, wenn die Zahl wuchs und dunkler, wenn sie kleiner war (Falls Sie das nachmachen möchten: Ich benutzte die «Bedingte Formatierung» im Start-Menü von Excel). Aus der Nähe betrachtet, sieht das Ergebnis aus wie ganz viele rote, grüne und blaue Zellen, aber wenn Sie auf Abstand gehen, wird es ein Foto von mir!

Versuchen Sie es selbst. Um ein Tabellenbild zu machen, können Sie – erste Möglichkeit – mühsam alle Zahlen per Hand eingeben und dann die ganze Formatierung selbst vornehmen. Leichter ist es, wenn Sie zu meiner Webseite www.makeanddo4D.com gehen, in die ich ein Programm zur automatischen Umwandlung eingestellt habe. Laden Sie irgendein Foto hoch und als Tabelle wieder herunter. Sollten Sie auch nur den Hauch eines Zweifels haben, dass digitale Bilder und LCD-Bildschirme auf diese Weise funktionieren, dann schauen Sie sich einen Bildschirm einmal mit einer Lupe an. Es wird Sie ein Raster von roten, grünen und blauen Zellen anstarren.

Immer wenn Sie ein Foto machen, legen Sie eigentlich eine Tabelle an. Auch wenn die Zahlen hinter einem Digitalfoto im Allgemeinen nicht sichtbar sind, gibt es dennoch ein paar Hinweise, dass sie vorhanden sind. Weil jedes Pixel aus drei RGB-Werten von jeweils achtstelligen Binärzahlen besteht – das macht zusammen 24 Einsen und Nullen –, können Sie möglicherweise, wenn Sie die Bedienungsanleitung einer Digitalkamera oder eines Fernsehers durchlesen, auf den Begriff «24-Bit-Farbe» stoßen, wobei sich «Bit» auf eine einzelne 1 oder 0 bezieht. Ebenso werden Sie in einer Bildbearbeitungssoftware, wenn Sie sich die Farboptionen anschauen, drei Schieberegler entdecken, die jeweils für Rot, Grün und Blau stehen und von 0 bis 255 laufen.

Bekanntermaßen fällt es Menschen manchmal leichter, binäre Zahlen (Zahlen zur Basis 2) im Hexadezimalcode (zur Basis 16) zu lesen, weswegen RGB-Farben häufig als drei Hexadezimalzahlen dargestellt werden. Damit steht uns dann das gesamte Farbspektrum zur Verfügung, von Rosé (FF, 00,00) bis Violett (00,00,FF). Die Romantik ist nicht tot, nur digitalisiert.

Aus einer Tabelle von mir herauszoomen. Ich habe mich buchstäblich ge-excelt.

Der Bildschirm eines iPhone5 in etwa 400-facher Vergrößerung

Es gibt weitere Hinweise auf die Mathematik, die sich im Hintergrund von Dateinamen abspielt. Das Format, mit dem man Bilder als Einsen und Nullen speichert, heißt Bitmap, weil es eine Methode ist, die Bits – also alle die Einsen und Nullen – in die Farben eines Bildes zu übertragen (engl. «map» = «aufzeichnen»). Immer wenn Sie auf eine Datei mit der Dateierweiterung .bmp stoßen, dann ist das ein Hinweis darauf, dass hier Einsen und Nullen in ein Bild übersetzt werden.

Bits und Bytes

Wenn man es mit Binärzahlen zu tun hat, wird jede Ziffer typischerweise als Bit bezeichnet. So viele Bits im Auge zu behalten, kann aber ermüdend werden, deswegen werden sie meist in Gruppen von acht Ziffern zusammengefasst. Um also das Leben einfacher zu machen, nennt man jede Gruppe von 8 Bits 1 Byte (1 Byte kann man durch zwei hexadezimale Zeichen darstellen). Deswegen bedeuten 7 Bytes Daten in Wirklichkeit 56 Einsen und Nullen.

Um die Verwirrung noch weiter zu treiben, bedeuten die Vorsilben Kilo, Mega, Giga etc. etwas anderes als im normalen Sprachgebrauch. Für normale Dezimalzahlen ist jede dieser Vorsilben gleichbedeutend mit einer Vertausendfachung, weil wir mit 10^3 rechnen. Datengrößen aber werden in Zweierpotenzen angegeben und sind Vielfache von 2^10 = 1024. 1 MB entspricht nicht 1 Million Bytes, sondern vielmehr 2^10 × 2^10 = 1 048 576 Bytes. Damit bedeuten 7 MB Daten in Wirklichkeit 58 720 256 Einsen und Nullen. Gut, dass wir das klären konnten.

Auf genau diese Weise funktioniert auch Tuppers selbstbezügliche Formel, diese Gleichung, die ein Bild von sich selbst zeichnet, wenn man sie graphisch darstellt oder plottet (siehe Abbildung auf der folgenden Seite). Es handelt sich um eine Bitmap-Funktion, die eine Zahl in ein Bild verwandelt. Die Bilder, die von Tuppers Formel erzeugt werden, sind Schwarz-Weiß-Bilder mit 106 Pixeln in der Breite und 17 Pixeln in der Höhe. Wenn Sie ein 106×17-Gitter nehmen und eine 1 in die Quadrate machen, die schwarz sein sollen, und eine 0 in die Quadrate, die Sie weiß haben wollen, das Bild dann drehen und die Ziffern von links nach rechts lesen und von oben nach unten, werden Sie eine 1802-stellige Binärzahl erhalten. Wenn Sie diese Zahl ins Dezimalsystem umwandeln und sie dann mit 17 multiplizieren, bekommen Sie den Wert für k auf der vertikalen Achse, den ich in der Abbildung dieser Formel in einem früheren Kapitel angegeben habe. Bei irgendeinem beliebigen Wert von k auf der vertikalen Achse wird das Bild einer Binärversion von k/17 entsprechen.

Mittlerweile können wir Botschaften und Bilder in Zahlen verwandeln, aber natürlich ist das nicht alles: Musik kann ebenso digitalisiert werden (eigentlich verwandelt man ein Bild der Schallwelle in Koordinaten). Sobald etwas in Zahlen umgewandelt ist, eröffnet sich eine neue Welt von Möglichkeiten. Wollten Sie jemandem ein echtes Bild zeigen, dann müssten Sie ihm dieses physische Objekt irgendwie zusenden. Mit einem digitalisierten Bild können Sie die Zahlen fast instantan übermitteln, und das in alle Welt. Sie können so viele Kopien machen, wie Sie wollen, und auch das instantan. Etwas in Daten zu verwandeln, macht es bedeutend vielseitiger. Und weil es jetzt aus Zahlen besteht, können wir auch noch Fehlererkennungsmethoden hinzufügen. Oder sogar noch einen Schritt weitergehen und Fehler nicht nur erkennen, sondern sie auch korrigieren.

Tuppers selbstbezügliche Formel als Binärzahl und als Dezimalzahl, multipliziert mit 17

Wie man ein Problem wie ein Computer löst

Schon bald, nachdem die ersten Computer gebaut waren, musste man Fehler in ihren Daten korrigieren. Die Bell Laboratories in den USA hatten einen der allerersten Computer. An einem Wochenende 1947 setzte ihn ein Mathematiker namens Richard Hamming in Gang, um damit bis Montag einige wichtige Berechnungen durchzuführen. Doch fast unmittelbar nachdem er die Maschine sich selbst überlassen hatte, machte sie einen einzigen Fehler, der alles Folgende nutzlos werden ließ. Da er seinen Kollegen am Montagmorgen diese schlechte Nachricht beibringen musste, machte sich Hamming darüber Gedanken, wie sich dieses Problem in Zukunft vermeiden ließ. Bis 1950 hatte er eine vorläufige Arbeit mit dem Titel «Error-detecting and Error-correcting Codes». (Fehler erkennende und Fehler korrigierende Codes) fertig. Er hatte eine Methode gefunden, mit der Computer ihre eigenen Fehler aufspüren und beseitigen konnten.

Ähnlich wie Turing arbeitete Hamming zunächst während des Zweiten Weltkriegs in geheimer Mission an Computern. Er gehörte zum Manhattan-Projekt in Los Alamos (zusammen mit Ulam), und seine Arbeit bestand unter anderem darin, mit primitiven Computern die Berechnungen von Physikern zu überprüfen, sodass beim Test der ersten Atombombe nicht gleich so viel Energie freigesetzt würde, dass sie die ganze Erdatmosphäre entflammen könnte. (Die gesamte Erdatmosphäre in Flammen zu setzen, wird gemeinhin als äußerst unschön betrachtet.) Die Zahlen stimmten, er war jedoch besorgt über die Annahmen der Physiker hinsichtlich der Sauerstoff-Stickstoff-Reaktionen. Ihm erschien die Katastrophe immer noch möglich, doch wurden seine Sorgen nicht ernst genommen. Trösten konnten ihn auch die Worte eines Freundes nicht, der sagte: «Mach dir nichts draus, Hamming, wenn’s schiefgeht, wird niemand dir die Schuld dafür geben können.»

Nach dem Krieg begann er an einigen der ersten Computer zu arbeiten, die noch ziemlich unzuverlässig waren. Nach seiner Schätzung versagten die Schaltkreise, mit denen er arbeitete, nach ungefähr 2 bis 3 Millionen Benutzungen, was langwierige Rechnungen unmöglich machte. Er sah sogar voraus, dass wir eines Tages eine Möglichkeit brauchen würden, Computerfehler zu korrigieren, wenn man «in Gegenwart von Rauschen sendet, das man nicht abschwächen kann oder dessen Unterdrückung unökonomisch ist». (In verständliche Sprache übersetzt, bedeutet das ungefähr «… wenn man versucht, in einem lauten Raum zu sprechen, in dem man nicht einfach jedermann befehlen kann, den Mund zu halten».) Das schrieb Hamming, bevor Computer miteinander von Raum zu Raum oder sogar um die ganze Welt und durchs Sonnensystem kommunizierten, und es war erstaunlich weitsichtig von ihm.1 Und genau dafür benutzen wir seine Codes heute. Ohne eine billige und sichere Art der Datenübertragung, auch in Anwesenheit von Rauschen und Störungen, wäre die heutige Kommunikationstechnologie unmöglich.

In seiner Veröffentlichung von 1950 führte Hamming den einfachsten Test ein, der möglich ist, den Paritätstest: eine einzige zusätzliche 1 oder 0 am Ende einer Binärzahl, um sicherzustellen, dass sie eine gerade Anzahl von Einsen hatte. Falls eine Binärzahl eine ungerade Anzahl Einsen hatte, hieß das, dass sie nicht richtig übermittelt worden war. Doch ist das lediglich Fehlererkennung: Wir wollen aber auch Fehler korrigieren können. Das lässt sich bewerkstelligen, indem man die Binärzahlen wie ein Gitter anordnet und sicherstellt, dass nicht nur alle Zeilen eine gerade Anzahl Einsen haben, sondern ebenfalls alle Spalten. Wenn nur eine Ziffer verändert ist, kann man genau herausfinden, welche das ist, und sie zurücksetzen.

Eine der Ziffern ist verkehrt. Finden Sie sie?

Das wirklich bahnbrechende Konzept in Hammings Veröffentlichung kennt man heute als Hamming-Distanz. Dabei geht es unmittelbar um die Übermittlung von Daten. Nehmen wir an, ich hätte eine lange Liste von Einsen und Nullen, die ich Ihnen über eine schlechte Telefonleitung vorlesen muss. Ich bin ein wenig besorgt, weil das Signal sehr schwach ist, sodass Sie eine 0 oder 1 verpassen könnten. Deswegen spreche ich jede Ziffer viermal. Um also ein einfaches 010 zu senden, sage ich «000011110000». Wenn Sie mich dann etwas wie «1011» sagen hören, können Sie ziemlich sicher sein, dass wahrscheinlich ein «1111» gemeint war, aber eine der Ziffern nicht richtig gehört wurde.

Aus Bequemlichkeit nennt man ein Stück kodierte Information fachsprachlich ein Kodewort. Damit wäre in dem Beispiel, in dem man jedes Bit viermal sendet, 0000 ebenso wie 1111 ein gültiges Kodewort. Jedes andere 4-Bit-«Wort», das nicht 0000 oder 1111 ist, muss nach dieser Voraussetzung einen Fehler haben (es dauert ein wenig, bis man sich daran gewöhnt hat, eine Zifferngruppe als «Wort» zu betrachten, doch Computerwissenschaftler macht es echt glücklich). In meinem Beispiel ist 1011 kein gültiges Kodewort, also korrigieren wir es zu 1111. Dummerweise können wir ein Wort wie 0110, wenn wir es empfangen, nicht korrigieren, obwohl wir es als fehlerhaft erkennen. Der Grund ist, dass 0110 genauso weit von 0000 entfernt ist wie 1111: In beiden Fällen braucht man zwei Fehler, um zu 0110 zukommen.

Der Abstand, den sich ein Wort von einem gültigen Kodewort entfernen und dennoch korrigiert werden kann, ist das Entscheidende an der Hamming-Distanz. Man kann das auch wirklich als Entfernung interpretieren: 0000 und 1111 sind die Koordinaten für gegenüberliegende Ecken eines 4D-Würfels. Das Wort 1011 entspricht einer anderen Ecke, die näher an 1111 liegt als 0000. Das Wort 0110 befindet sich in gleicher Entfernung von beiden gültigen Ecken in dem Hyperwürfel. Würden wir jede Ziffer fünfmal wiederholen, müssten wir auf einem 5D-Hyperwürfel arbeiten, und die zusätzliche Entfernung zwischen den Ecken 00 000 und 11111 bedeutete, dass wir bis zu zwei Fehler korrigieren könnten.

Die Idee, Ziffern zu wiederholen, ist eine Brecheisen-Methode der Fehlerkorrektur, doch sie funktioniert. Das Problem ist, dass sie wahnsinnig ineffizient ist: Man muss vier- oder fünfmal so viel Daten übermitteln, wie die tatsächliche Botschaft lang ist. Man kann das Verfahren mit wesentlich weniger Prüfziffern wirklich stark verbessern und erreicht dennoch dasselbe Ausmaß an Fehlerkorrektur. Das Problem besteht letztlich darin, wie man die gültigen Kodewörter in einem hochdimensionalen Würfel so positioniert, dass jedes so viel Raum wie möglich um sich herum hat. Sie können sich eine Hypersphäre rund um jedes Kodewort vorstellen, die alle falschen Kodewörter umfasst, die man korrigieren kann. In Hammings Worten: «Das Problem ist, die maximale Anzahl von Punkten in einen n-dimensionalen Einheitswürfel zu packen.»

Sollte Ihnen das alles ein bisschen esoterisch vorkommen, dann gibt es auch noch eine sehr gut zugängliche und hocheffiziente Fehlerkorrektur-Methode, die Ihnen schon begegnet ist. Vielleicht haben Sie in Ihrer Freizeit bereits selbst etwas Fehlerkorrektur betrieben. Die Methode heißt Sudoku-Lösen. Ein Sudoku ist ein Zahlengitter, das drei einander überlappende mathematische Restriktionen hat: eine für die Zeilen, eine für die Spalten und eine für Teilgitter. Wegen dieser Gesetzmäßigkeiten können Sie fehlende Zahlen erschließen, wenn man ihnen ein Sudoku mit vielen fehlenden Zahlen vorgibt. Das ist eine Form der Fehlerkorrektur: Sie ersetzen verschwundene Daten.

Dabei handelt es sich um nahezu exakt dieselbe Form von Fehlerkorrektur, die man bei Textbotschaften im Mobilfunkverkehr benutzt. Bevor Ihr Telefon eine SMS abschickt, verwandelt es Ihre Botschaft in Zahlen, ordnet diese Zahlen in einem Gitter an, fügt dann extra Prüfziffern dazu und bringt damit drei verschiedene, überlappende Gesetzmäßigkeiten in die Zahlen. Man kann eine Textbotschaft von einem Handy senden, ohne zu ahnen, was da im Hintergrund passiert; man nimmt einfach an, dass sie schon im Telefon des Empfängers irgendwo auf dem Planeten ankommen wird, ohne dass Wörter verloren gehen. In Anbetracht der großen Zahl von Mobilfunkmasten und Systemen, durch die die Botschaft laufen muss, werden in Wirklichkeit aber Fehler auftreten. Doch wegen der mathematischen Gesetzmäßigkeiten können diese Fehler korrigiert werden. Zu glauben, dass Textbotschaften gut funktionieren, ist eine Illusion. Da ist eine Menge Mathe am Werk, um Fehler zu korrigieren, bevor der Empfänger irgendetwas bemerkt.

Einmal traf ich eine Gruppe von Mathematikern, die für HP (Hewlett Packard) in England arbeiten, und ich kam mit einer von ihnen, Miranda, ins Gespräch. Wie sich herausstellte, hatte sie mit der Entwicklung einer frühen Fehlererkennungsmethode zu tun, die für die Übermittlung von Computerdaten über Telefonkabel gebraucht wird. Ursprünglich glaubte man, dass verdrillte Drähte in nicht abgeschirmten Telefonkabeln zu billig und von zu schlechter Qualität seien, um Computer zuverlässig miteinander zu vernetzen, doch Miranda half, eine mathematische Methode zu erfinden, die die Fehlerkorrektur funktionieren ließ; und seitdem verfügt die Welt über erschwingliche Netzwerke. Ihr Code zerlegte binäre Daten in Kodewörter von 5 Bits und wandelte jedes Kodewort in eine sechsstellige Ternärzahl um (Zahl zur Basis 3). Auf diese Weise konnten erstaunliche 100 MB Daten pro Sekunde über Telefonleitungen übermittelt werden. Es war eine Ehre, ihr persönlich danken zu können!

Was mich endlich zu meinem Schal zurückbringt. Als ich ihn dekodiert hatte, bestand die ganze Botschaft aus einem Zitat, das meine Mutter in einem Interview von mir gefunden hatte. Es lautet so: «Mathe macht Spaß, macht weiter Mathe.». (Das klingt tatsächlich nach mir.) Oder eher, weil sie ja nur Großbuchstaben benutzte, lautet es: «MATHEMACHTSPASSMACHTWEITERMATHE». Allerdings mit einem winzigen Fehler, der meiner Mutter unterlief, als sie eifrig Reihe für Reihe an dem Schal strickte. Ein Stück weit unten vertauschte sie zufällig eine 1 mit einer 0. Das machte aus einem A ein U, und deshalb lautet die Botschaft in Wirklichkeit «MATHE MACHT SPUSS».

Als ich ihr das sagte, verdarb es ihr wirklich den Spuss. Meine Mutter ist ausgesprochen pedantisch, deswegen war sie sehr enttäuscht, dass sie einen Fehler gemacht hatte. Sie hat schon größere Stücke wegen kleinerer Fehler wieder aufgeribbelt. Ich konnte sie davon abbringen, meinen Schal zu korrigieren, indem ich ihr klarmachte, dass sie es gar nicht brauchte. Um den Schal lang genug zu machen, musste sie dieselbe Botschaft viermal wiederholen. Und sie hatte den Fehler nur in einer der vier Versionen gemacht. Das bedeutet, dass ich die richtige Botschaft ohne Fehler bekomme, wenn ich den Mittelwert über alle vier Versionen bilde. Meine Mutter hatte mir per Zufall der Welt ersten fehlerkorrigierenden Schal gestrickt.

Die Endlichkeit des Digitalen

Wenn man das unendliche Farbenspektrum der Natur in nur 16 777 216 mögliche RGB-Farben übersetzt (2^8 × 2^8 × 2^8 = 16 777 216), gibt es einen interessanten Nebeneffekt. Indem man etwas in Zahlen umwandelt, beschränkt man die unendlichen Möglichkeiten der Umwelt auf ein begrenztes Reservoir von Werten.

Zum Beispiel hat der Bildschirm des iPhone5 eine Auflösung von 1136 Pixel mal 640 Pixel, insgesamt 727 040 verschiedene Pixel. Jedes dieser 727 040 Pixel stellt eine der 16 777 216 möglichen RGB-Farben dar, was zur Folge hat, dass der iPhone-Bildschirm lediglich (16 777 216)727 040 verschiedene Bilder zeigen kann. Missverstehen Sie mich nicht, das ist eine Riesenzahl. Als Dezimalzahl geschrieben, hat sie 5 252 661 Stellen. Aber sie ist endlich. Jedes Bild, das Sie jemals auf einem iPhone sehen, ist lediglich eines von diesen vorbestimmten Werten.

Das gilt auch für das Funktionieren von Tuppers selbstbezüglicher Formel. Wenn Sie die vertikale Achse hochgehen und jeden möglichen k-Wert wählen, drückt die Funktion jede mögliche Anordnung der 106 × 17 = 1802 schwarzen und weißen Pixel aus. Alle 2,9 × 10^542. Die Tatsache also, dass die Formel sich selbst produziert, kann nicht überraschen: Sie produziert jede mögliche Formel, die man in einem 106 × 17-Raster zeichnen kann.

Die CD (Compact Disc) mag heute schon eine veraltete Technologie sein, doch werden immer noch jede Menge Musik-Alben auf CD herausgebracht. Eine 700-MB-CD hat tatsächlich 703,125 MB (einer der seltenen Fälle, in denen die Musikindustrie etwas verschenkt), was insgesamt 5 898 240 000 Einsen und Nullen bedeutet. Nach meinen Berechnungen würde die Zahl der möglichen verschiedenen CDs, als Dezimalzahl geschrieben, 1 775 547 162 Stellen haben. Das ist auch die Zahl der Ecken eines Hyperwürfels in 5 898 240 000 Dimensionen. Wann immer also ein Musiker behauptet, er habe ein neues Album herausgebracht: er hat im Grunde nichts weiter als eine Ecke in einem sehr hochdimensionalen Hyperwürfel angesteuert!

SIEBZEHN

IRRwitzige Zahlen

Versuchen Sie, diese Zahl hoch 3 zu nehmen. Dann erheben Sie sie zur neunten Potenz. Dann zur 27. Potenzieren Sie sie immer weiter mit Exponenten, die ihrerseits Potenzen von 3 sind, und schauen Sie, was dabei herauskommt.

Diese Zahl nennt sich Mills-Konstante, und üblicherweise wird sie mit dem griechischen Buchstaben Theta (θ) bezeichnet. 1947 bewies der Princeton-Mathematiker William Mills in einer Veröffentlichung, die nur eine Seite lang war, dass diese Zahl existiert, doch er hatte keine Ahnung, wie groß sie ist. Eigentlich gibt es mehrere verschiedene Mills-Konstanten, aber diese ist die kleinstmögliche, und sie wurde im Jahr 2005 auf die ersten 6850 Stellen genau berechnet. Diese Zahl ist interessant, weil sie unablässig Primzahlen generieren kann. Vielleicht haben Sie Folgendes bemerkt: Wenn man die Mills-Konstante zu einer Potenz erhebt, die selbst eine Potenz von 3 ist, und das Resultat auf die nächste ganze Zahl abrundet, erhält man immer eine Primzahl. Ja, diese Zahl kann wider Erwarten im Handumdrehen eine unendliche Folge von Primzahlen produzieren.

Als ich die Mills-Konstante zum ersten Mal sah, glich meine Reaktion der der meisten Leute: ungläubiges Staunen, dass so etwas überhaupt möglich sein konnte. Allerdings stellt es sich als Mogelei heraus. Die Mills-Konstante ist bewusst so konstruiert worden, dass sie diese Eigenschaft aufweist. Um ihre Werte zu berechnen, geht man von Primzahlen aus und rechnet dann zurück, sodass der Wert von θ sie produziert. (Es ist so, als würde man einen Dartpfeil gegen eine Wand werfen und anschließend die Zielscheibe darum herum malen.) Zum Auffinden von Primzahlen ist die Zahl damit unbrauchbar, weil man erst einmal die Primzahlen kennen muss, um die Mills-Konstante zu berechnen.

Außerdem muss das gar nicht die Mills-Konstante sein, es ist nur die kleinste Zahl, die wir kennen und die die Mills-Konstante sein könnte. Man weiß, dass solch eine Zahl existiert, und diese ist derzeit der beste Kandidat, aber es könnte auch eine andere, größere Zahl sein. Die Unsicherheit rührt daher, dass die Mills-Konstante nur dann funktioniert, wenn zwischen jedem Paar von Kubikzahlen definitiv eine Primzahl liegt, doch es ist nicht sicher, dass die Primzahlen dafür dicht genug liegen. Erstaunlicherweise hat die Riemann-Hypothese, falls sie wahr ist, zur Folge, dass die Primzahlen tatsächlich dicht genug liegen, sodass zwischen jedem Paar von Kubikzahlen eine Primzahl liegen würde. Also setzt dieser Wert der Mills-Konstante voraus, dass die Riemann-Hypothese wahr ist. Die Mills-Konstante gehört zu den vielen Dingen in der Mathematik, die sich als richtig erweisen werden – sobald jemand die Riemann-Hypothese beweist.

Die Mills-Konstante erinnert auch nachdrücklich daran, dass man Zahlen mit bestimmten gewünschten Eigenschaften einfach konstruieren kann – was nicht bedeutet, dass sie keine richtige Zahl ist: Sie existiert auf der Zahlengeraden, und sie ist so real wie jede andere Zahl, wie π, √5 oder 7. Leicht vergisst man, wie viele Zahlen es tatsächlich gibt, denn im Alltag benutzen wir nur wenige. Doch umfasst die Zahlengerade nicht nur jede Zahl, die Menschen jemals benutzt haben. Jede beliebige Folge von Dezimalstellen, die man hinschreiben mag, entspricht ebenfalls einer Zahl irgendwo auf dieser Geraden.

Um diesen Zahlenzoo zu verstehen, ordnen Mathematiker die reellen Zahlen in Kategorien (Klassen) ein, was durchaus nützlich klingt. Wir haben bereits ganze Zahlen und Brüche behandelt, die ich als «anständig» bezeichnen möchte. Sie sind so anständig, nur ein paar Stellen zu haben (so wie 1/4 = 0,25), oder sie haben eine Reihe von Stellen, die sich netterweise immerfort wiederholt (1/7 = 0,142857142857142 857 …). Allerdings bedeuten endlich viele oder sich wiederholende Stellen eigentlich dasselbe; der Unterschied entsteht durch die Basis, die man benutzt. Der Bruch 1/2 mag ja im Dezimalsystem ein hübsches 0,5 sein, doch wenn man zur Basis 3 übergeht, erhält man die sich wiederholenden Stellen 0,111111 …. Ebenso ist 2/3 = 0,6666 … im Dezimalsystem, aber 0,2 im Dreier-System. Das Entscheidende ist, dass die Stellen vorhersehbar sind, ganz gleich ob sie abbrechen oder sich wiederholen: Sie verhalten sich anständig.

Einige bedeutende und einige unbedeutende Zahlen auf der Zahlengeraden

Die irrationalen Zahlen dagegen halten sich nicht an die Regeln. Zahlen wie √2, π und das Verhältnis des goldenen Schnitts (φ) kann man nicht als Brüche schreiben, und ihre Nachkommastellen sind nicht leicht vorhersagbar. Deswegen war √2 für die NASA interessant zu berechnen: Man weiß nicht, welche Stelle als nächste kommt, bevor man sie nicht berechnet. Ganz ähnlich stellt π eine interessante Herausforderung für das Gedächtnis dar: Ihre Stellen sind unvorhersagbar. Der gegenwärtige Weltrekord im Behalten und Wiedergeben der ersten 67 890 Stellen von π ist deshalb eindrucksvoller als meine Fähigkeit, die ersten 67 890 Stellen von 2/3 zu behalten und aufzusagen.

Doch wurden nicht alle irrationalen Zahlen gleich erschaffen: Einige sind irrationaler als andere.

Zumindest Zahlen wie √2 und der goldene Schnitt φ sind Lösungen hübscher Gleichungen. Löst man x^2 = 2, bekommt man als Ergebnis die Quadratwurzel von 2; desgleichen ist der goldene Schnitt die Lösung der Gleichung x = 1 + 1/x. Falls man eine Zahl algebraisch aus einer Gleichung berechnen kann, in der nur Potenzen multipliziert mit rationalen Zahlen vorkommen (offizielle Bezeichnung: Polynom mit rationalen Koeffizienten; informeller Name: eine hübsche Gleichung) nennt man sie algebraische Zahl.

Die verbleibenden Zahlen π und e (die Zahl, e = 2,71828 …) lassen sich nicht algebraisch definieren. Man kann keine hübsche, endliche Gleichung hinschreiben, die sie als Ergebnis hat. Abgesehen von dem Symbol π wird man π niemals in einer Form geschrieben sehen, die nicht unendlich lang ist. Man könnte sagen, sie transzendiert die algebraische Darstellung. Natürlich kann man π berechnen, aber nur mit Hilfsmitteln wie unendlichen Reihen. Dasselbe gilt für e. Diese Zahlen heißen transzendente Zahlen, und sie sind geheimnisvolle und unfassbare Wesen. Außerdem sind sie in gigantischer Überzahl. Die relativ überschaubare Anzahl rationaler und algebraischer Zahlen auf der Zahlengeraden schwimmt in einem gewaltigen Meer transzendenter Zahlen. Und über dieses Meer wissen wir sehr wenig.

Trotz der Häufigkeit ihres Vorkommens auf der Zahlengeraden sind transzendente Zahlen schwer festzunageln. e wurde nicht vor 1873 als transzendent bewiesen, womit sie auch die erste derartige Zahl war. Das Aushängeschild der Mathematik, π, stieß nicht vor 1882 zur Gruppe der Transzendenten. Zwar wissen wir inzwischen, dass eine der Kombinationen e + π und e × π transzendent ist, aber wir haben keine Ahnung, welche. Auf der Liste wichtiger ungelöster mathematischer Probleme, die David Hilbert 1900 vorstellte, war der Nachweis der Transzendenz von eπ noch eins der Probleme, und er gelang erst 1934. Dagegen sind ee, ππ und πe nach wie vor offene Probleme. Transzendente Zahlen sind in freier Wildbahn wirklich schwer dingfest zu machen.

Endlich beweisen, was sich nicht konstruieren lässt

Nehmen Sie Bleistift, Zirkel und Lineal zur Hand und konstruieren Sie ein rechtwinkliges Dreieck, dessen kurze Seiten jeweils 1 und 2 Einheiten lang sind. Dank Pythagoras wird dann die lange Seite √5 lang sein. Wenn Sie sie um 1 verlängern und halbieren, haben Sie damit eine Strecke gezeichnet, die dieselbe Länge hat wie der goldene Schnitt: φ = (1 + √5)/2. Mit Zirkel und Lineal kann man jede geometrische Form zeichnen, für die man nur addieren und subtrahieren, multiplizieren und dividieren, quadrieren und Wurzel zu ziehen braucht – sodass man Strecken zeichnen kann, die dieselbe Länge wie eine rationale Zahl oder einige algebraische Zahlen haben, aber nicht wie eine transzendente Zahl.

Der Beweis aus dem Jahr 1882, dass π eine transzendente Zahl ist, löste ein 2000 Jahre altes Problem: Kann man zu einem vorgegebenen Kreis ein Quadrat zeichnen – und zwar nur mit Zirkel und Lineal –, das denselben Flächeninhalt hat? Seit 1882 weiß man, dass dies unmöglich ist. Um ein Quadrat zu zeichnen, das den Flächeninhalt eines Kreises hat, müsste man in der Lage sein, eine Strecke der Länge π zu zeichnen, aber transzendente Zahlen kann man nicht konstruieren.

Zur Dreiteilung eines Winkels beginnt man mit der dem Winkel gegenüberliegenden Strecke und sucht die Strecke gegenüber einem Drittel des Winkels, x. Das ist gleichbedeutend mit dem Lösen der Gleichung 4x^3 – 3x = n.

Algebraische Zahlen haben mehr Nuancen; es kommt darauf an, ob sie aus etwas Komplizierterem als einer Quadratwurzel hervorgehen. Algebraische Zahlen, deren Berechnung mit Quadratwurzeln auskommt, nennt man konstruierbare Zahlen, denn man kann sie mit Zirkel und Lineal «konstruieren». Jede algebraische Zahl mit einer Kubikwurzel oder mehr kann nicht konstruiert werden. Sowohl die Dreiteilung eines Winkels als auch die Verdopplung eines Würfels haben mit dem Ziehen der dritten Wurzel zu tun. Die Feinheiten der algebraischen und transzendenten Zahlen haben schließlich bewiesen, dass diese Probleme, die Mathematiker seit den alten Griechen umgetrieben hatten, definitiv unlösbar sind.

Da man eine Strecke der Länge (1 + √5)/2 konstruieren kann, kann man auch ein reguläres Fünfeck zeichnen. Machen Sie Ihren Zirkel 10 cm weit, und ein Fünfeck wird in die Mitte eines DIN-A3-Blattes passen (oder mit etwas Geschick auf ein DIN-A4-Blatt im Querformat). Wenn Sie die Goldene-Schnitt-Strecke ausmessen, sollte sie etwas unter 16,2 cm liegen (die Ideallänge ist 16,1803 … cm). Bekanntlich kann man jedes reguläre Vieleck exakt zeichnen, falls es sich auf die Konstruktion von Strecken zurückführen lässt, deren Längen konstruierbare Zahlen sind.

Es war Gauß (der Junge, der so mühelos die Zahlen von 1 – 100 summierte), der als Erster bemerkte, dass man reguläre Vielecke genau dann zeichnen kann, wenn ihre Seitenlänge eine Primzahl der Form 22n + 1 ist.

Diese Zahlen, die häufig mit den Mersenne-Zahlen (die oberflächlich ähnlich aussehen, 2n – 1) verwechselt werden, nennt man Fermat-Zahlen. Gauß bemerkte ebenfalls, was er aber zunächst nicht bewies (das kam erst später, nämlich 1837), dass die Seitenzahl eines regulären Vielecks, das man konstruieren möchte, nur Fermat-Zahlen oder 2 als Primfaktoren haben darf. All das begann 1796, als er erst 18 Jahre alt war und ihm bereits der Beweis für die Konstruierbarkeit eines regulären 17-Ecks gelang.

Zeichnen Sie Ihr eigenes reguläres Fünfeck

1) Zeichnen Sie zwei senkrechte Strecken der Längen 1 und 2.

2) Die Vervollständigung zu einem Dreieck ergibt eine Strecke der Länge √5. Diese können Sie um 1 verlängern.

3) Diese Linie halbieren Sie und erhalten damit den goldenen Schnitt ϕ = (1 + √5)/2.

4) Fügen Sie zwei Einheitsstrecken hinzu und beginnen damit das Fünfeck.

5) Die nächste Ecke des Fünfecks erhalten Sie als Schnittpunkt einer Einheitsstrecke und einer ϕ-Strecke.

6) Zwei weitere Einheitsstrecken vervollständigen die Figur.

Um einen Winkel zu erhalten, der genau ein Siebzehntel einer vollen Umdrehung ist, muss man die folgende Monstrosität konstruieren können, die aber, ganz wichtig, allein mit Quadratwurzeln auskommt.

Wo sind all die Zahlen hin?

Es wird Zeit, dass Sie Ihre eigene transzendente Zahl kreieren! 1934 stießen zwei Mathematiker unabhängig voneinander gleichzeitig auf eine Methode, die sich bis dahin entziehenden transzendenten Zahlen ans Licht zu holen. Sowohl der Russe Alexander Gelfond als auch der Deutsche Theodor Schneider entdeckten das nun freundschaftlich als Satz von Gelfond-Schneider bezeichnete Theorem. Einfach ausgedrückt, besagt es: Ist von zwei algebraischen Zahlen m und n m weder 0 noch 1 und n nicht rational, dann ist mn auf jeden Fall transzendent.1 Also, hier ist meine transzendente Zahl: 132√2. Kreieren Sie Ihre eigene!

Das Problem ist allerdings: Der Satz von Gelfond-Schneider kann zwar transzendente Zahlen erzeugen, aber er eröffnet keine Möglichkeit, zu prüfen, ob eine gegebene Zahl transzendent ist. Also lassen Sie uns mit einigen fast beliebigen Zahlen beginnen. Achtung, ich schnippe einfach mal eine herbei und nenne sie die «Zahl, die Matt gerade erfunden hat». Hier ist sie: 0,10110111011110111110 … Und so geht sie ewig weiter. Es ist eine Dezimalzahl, die aus zunehmend länger werdenden Einsergruppen besteht. Wahrscheinlich ist sie transzendent. Denke ich. Ich schätze, man kann sie nicht als Bruch schreiben, und ich bezweifle, dass sie die Lösung einer hübschen Gleichung ist. Falls Sie Ihre eigene erzeugen wollen, denken Sie sich ein System aus, um endlos Ziffern so aneinander zu reihen, dass sie sich niemals wiederholen. Wenn die Zahl nicht zur Gelfond-Schneider-Familie (oder einer der wenigen anderen transzendenten Familien) gehört, wird der Beweis, dass sie transzendent ist, super schwierig.

Es gibt eine Zahl, die der «Zahl, die Matt gerade erfunden hat» ähnlich ist, und sie ist nach einem Zeitgenossen von Turing an der Cambridge University, dem britischen Mathematiker und Ökonomen David Champernowne benannt: Sie heißt also Champernowne-Zahl. Champernowne war nur 16 Tage jünger als Turing, und die beiden waren eng befreundet.

Champernowne erzeugte seine Zahl, indem er alle ganzen Zahlen des Dezimalsystems der Reihe nach als Dezimalstellen anordnete. Das heißt, die Champernowne-Zahl lautet 0,123456789101112131415161 7181920212223 … So gehen diese Stellen immer weiter und wiederholen sich nie.

Die Champernowne-Zahl ist deshalb so besonders, weil wir wissen, dass sie transzendent ist. Sie gehört zu den wenigen Fällen, in denen man eine Zahl definitiv als transzendent hat festmachen können. Wenn es darum geht, Zahlen zu kategorisieren, ist das ein wiederkehrendes Thema: Zwischen der Anzahl tatsächlich transzendenter Zahlen und der Zahl derjenigen, von denen wir es beweisen können, klafft eine riesige Lücke. Obwohl Mathematiker sich Kategorien für Zahlen ausdenken können, haben sie Probleme, vorgegebene Zahlen in diese Kategorien einzuordnen.

Es gibt eine weitere Zahlenkategorie – die normalen Zahlen –, die bekanntermaßen unglaublich weit verbreitet und dennoch extrem schwierig aufzufinden sind. Eine normale Zahl ist eine irrationale Zahl, deren Dezimaldarstellung jede mögliche Abfolge von Stellen mit gleicher Wahrscheinlichkeit enthält. Wenn also √2 eine normale Zahl wäre, dann enthielte sie die zehn Stellen 1405220518 irgendwo mit gleicher Wahrscheinlichkeit wie 0715141401 oder irgendeine andere Abfolge von zehn Stellen. Wir wissen aber nicht, ob √2 normal ist. Die Gesamtzahl der Zahlen, die als normal bewiesen sind, beträgt gegenwärtig: 0.

Man kann jedoch etwas konstruieren, das ich als «künstliche» normale Zahlen bezeichne. Dabei handelt es sich um normale Zahlen wie die Champernowne-Zahl, aber sie wurden bewusst so gebildet, dass sie diese Eigenschaft haben. Eine andere künstliche normale Zahl ist die Copeland-Erdős-Konstante, die auf derselben Idee beruht, nur dass sie die Primzahlen in Dezimaldarstellung auflistet, sodass ihr Wert 0,23571113171923 … ist. Es muß noch gezeigt werden, dass jede als solche bekannte Zahl denn auch normal ist. Seit 1919 wissen Mathematiker, dass fast alle Zahlen normal sind, doch der Beweis für jedes nicht künstliche Beispiel ist so schwierig, dass er bisher noch nicht geführt werden konnte.

Klassisches Beispiel für eine Zahl, die jedermann liebend gern als normal bewiesen sähe, ist π. Man hat die ersten nahezu 30 Millionen Stellen untersucht, und sie scheinen normal zu sein, sodass jede Abfolge von Stellen gleich wahrscheinlich ist. Doch wir können nicht sicher sein. Wenn sie es ist, dann wird sich jede Zahl irgendwo darin finden. Mein Name, Matt, in Zahlen übersetzt 13 012 020 (m = 13, a = 01, t = 20), taucht in π auf und beginnt bei der 291 496 384ten Stelle. Falls π normal ist, wird Ihr Name, Ihr Lieblingssongtext oder eine komplette Beschreibung dessen, was Sie morgen zu Mittag essen werden, irgendwo darin zu finden sein. So wie in jeder anderen normalen Zahl. «Matt» beginnt auch bei der 301 480 410ten Stelle von √2, der 312 366 242ten Stelle von e und der 137 673 084ten Stelle des goldenen Schnitts. Jede Abfolge von Stellen, die Sie auswählen, ganz gleich, wie lang sie ist, wird in fast allen Zahlen auftauchen. Es gibt mehr Zahlen, die die vollständigen Werke von William Shakespeare enthalten, als solche, die es nicht tun.

Die Mathematiker haben also einige großartige Kategorien für Zahlen gefunden; es erweist sich jedoch als äußerst schwierig, die Zahlen darin abzulegen. Es ist unbekannt, ob e × π transzendent ist; man weiß nicht einmal, ob die Mills-Konstante irrational ist. Eine Methode für die Kategorisierung transzendenter Zahlen zu finden, gehörte schon zu David Hilberts großen ungelösten Problemen der Mathematik (ebenso wie die Riemann-Hypothese), und es ist auch heute noch ungelöst.

Niemand hat bislang nachweisen können, dass eine einzige nicht künstliche Zahl normal ist.

Unser einziger Anhalt besteht darin, dass wir uns zumindest ein Beispiel ausdenken können, wenn wir eine Zahl in eine bestimmte Schublade einordnen wollen. Auf jeden Fall wird es da draußen keine Kategorie von Zahlen geben, die nicht berechnet werden kann … Oh doch! Und das sind die – so treffend bezeichneten – nicht berechenbaren Zahlen.

Das haben alle von mir bislang erwähnten Zahlen gemeinsam: Man kann sie berechnen. Von π bis zur Mills-Konstante, von √2 zu der «Zahl, die Matt gerade erfunden hat», können sie alle berechnet werden. Es hat sich jedoch herausgestellt, dass es andere Zahlen gibt – die ich die dunklen Zahlen nenne –, welche man nicht berechnen kann.

Die Zahlengerade, die wir so gut zu kennen glauben, ist übersät mit diesen unberechenbaren Zahlen, deren Stellen wir niemals ausrechnen können. Doch wissen wir, dass es sie gibt. Ihre Existenz wurde von niemand anderem als Alan Turing bewiesen.

Turing wird für seine Veröffentlichung aus dem Jahr 1936 gerühmt, in der er die erste echte Beschreibung eines modernen Computers vorstellte. Der Computer war jedoch gar nicht das Ziel von Turings Forschung; er erfand ihn lediglich als Werkzeug, um seine eigentliche Forschungsarbeit zu ermöglichen. Die 1936er Arbeit war betitelt «On Computable Numbers». (deutsch: Über berechenbare Zahlen), und sie war genau das: eine Studie darüber, welche Zahlen berechnet werden konnten.2 Doch weil Computer in der Folge so wichtig wurden und Turings Erkenntnisse dazu seiner Zeit so unglaublich weit voraus waren, haben sie die eigentlichen Ergebnisse seiner Veröffentlichung überschattet.

Turings Veröffentlichung beginnt mit einer Definition für berechenbare Zahlen. Der erste Satz lautet übersetzt: «Die ‹berechenbaren› Zahlen könnte man kurz als diejenigen reellen Zahlen beschreiben, deren Dezimaldarstellung mit endlichen Mitteln berechnet werden kann.» Das heißt, dass man mit endlich vielen Anweisungen auskommt, wie die unendlich vielen Stellen einer Zahl, beispielsweise π, berechnet werden können.

Anders ausgedrückt, gibt es einen kürzeren Weg, eine Zahl vollständig zu beschreiben, als alle ihre Stellen aufzulisten. Müssten Sie jede einzelne Stelle einer Zahl auflisten, die unendlich viele Stellen hat, dann wäre das keine endliche Beschreibung. Für alle berechenbaren Zahlen gibt es einen endlichen Algorithmus, mit dessen Hilfe sie berechnet werden können.

Turing formulierte das so: Für jede berechenbare Zahl gibt es ein Programm, das auf einem Computer ausgeführt werden kann und sie erzeugt. In seinen Worten: «Nach meiner Definition ist eine Zahl berechenbar, wenn ihre Dezimalstellen von einer Maschine aufgelistet werden können.»

Sodann führte Turing aus, dass es Zahlen gibt, die nicht von einer Maschine erzeugt werden können; es gibt also Zahlen, die nicht berechenbar sind. Nicht allein die ganzen und die rationalen Zahlen, die wir im Alltag benutzen, stellen einen unbedeutenden Teil des gesamten Zahlenmeers dar; selbst wenn man sie mit den algebraischen und berechenbaren transzendenten Zahlen zusammenfasst, bewegen wir uns immer noch lediglich an der Oberfläche. Um uns herum ist ein unvorstellbarer Raum nicht berechenbarer Zahlen: die dunklen Zahlen, die bekanntermaßen existieren, derer wir aber nicht habhaft werden können.

Der Mathe-Showdown

Hier ein paar kurze Fragen:

1. Finden Sie eine Zahl, die, zu ihrer dritten Potenz addiert, 5 ergibt.

2. Ein Mann verkauft einen Saphir für 500 Dukaten, wobei er die dritte Wurzel aus seinem Kapital als Gewinn macht. Wie groß ist der Gewinn?

Es ist schon komisch, sich klarzumachen, dass all die Zahlen, die wir als gegeben ansehen, tatsächlich irgendwann in der Vergangenheit entdeckt wurden und Mathematiker vorher ohne sie auskommen mussten. Das muss das Leben ziemlich mühsam gemacht haben. Erst ab dem 17. Jahrhundert3 waren europäische Mathematiker im Großen und Ganzen bereit, negative Zahlen zu akzeptieren, sodass man zuvor, wenn man Probleme wie die oben zitierten lösen wollte, mit positiven Zahlen auskommen musste. Und nicht nur das: Es gab auch keine Algebra, also keine Zeichen und Rechenregeln. Das meiste, was wir als standardmathematische Notation ansehen, existierte Anfang des 16. Jahrhunderts noch nicht. Das Quadratwurzelsymbol √ war zwar ein paar Mal benutzt worden, doch die meisten Mathematiker kannten es nicht; das Multiplikationszeichen × taucht nicht vor 1618 auf, und das Symbol π für die Zahl Pi nicht vor 1706. Selbst das heute allgegenwärtige Pluszeichen + wurde erst 1360 von dem damals seiner Zeit vorausdenkenden Nicole Oresme eingeführt (was wohl sehr nützlich war, um seinen Beweis für das Divergieren der harmonischen Reihe aufzuschreiben). Was die Algebra selbst angeht, so wurden Buchstaben als Stellvertreter für Zahlen erstmals 1591 benutzt. Davor musste man alle Gleichungen «auf die lange Weise» schreiben.

Die Griechen waren gut in Geometrie und Konstruieren, haben aber all ihre Mathematik in langen, ausführlichen Sätzen aufgeschrieben. Das geschah in der rhetorischen Periode der Mathematik, und diese dauerte so lange, bis die neue Mathematik der Renaissance nach leistungsfähigeren Formen des Ausdrucks verlangte. Es gab eine Zwischenzeit, in der Mathematiker versuchten, fortgeschrittene Gleichungen zu lösen, doch ohne mathematische Notation. Sie mussten sehr umständliche ausgeklügelte Methoden benutzen. Während einer kurzen Periode Anfang des 16. Jahrhunderts ergab sich daraus als interessanter Nebeneffekt, dass die Lösung von Gleichungen ein öffentlicher Sport wurde – und zu einem der größten Mathe-Showdowns der Geschichte führte.

Es gibt einige erstaunliche Rivalitäten in der Mathematik: Newton versus Leibniz, Bernoulli versus Bernoulli, Fermat gegen alle. Doch keine lässt sich mit jener vergleichen, die sich im Februar 1535 in Italien zutrug. In einer Ecke des Algebra-Rings stand der italienische Mathematiker Nicolò Fontana, besser unter seinem Spitznamen Tartaglia bekannt, was so viel bedeutet wie «der Stotterer». Er wuchs in der Nähe von Venedig auf, und als französische Truppen seine Heimatstadt Brescia plünderten, wurden dem zwölfjährigen Nicolò von einem Schwert Kiefer und Gaumen durchtrennt und man hielt ihn für tot. Er überlebte jedoch, wuchs auf und ließ sich einen Vollbart wachsen, um seine Gesichtsverletzungen zu verbergen. Sie führten jedoch zu seinem Stottern. Tartaglia brachte sich selbst schon in jungen Jahren Mathematik bei, zog nach Venedig und wurde ein bekanntes Mathe-As.

In der anderen Ecke stand Fior, ein Student des berühmten Mathematikers Scipione del Ferro. Del Ferros Eltern waren Papiermacher, dank der kurz zuvor erfundenen Druckerpresse eine boomende Hightech-Industrie (das war die Datenautobahn des 15. Jahrhunderts). Er wurde Lehrer in Mathematik und Geometrie an der Universität von Bologna und machte einige unglaubliche mathematische Entdeckungen – nur erzählte er nicht jedem davon. Er gab seine Geheimnisse nur an einige wenige Studenten weiter, darunter auch Fior, bevor er 1526 starb. Fior fühlte sich nun dafür verantwortlich, die Mathematiktechniken seines Lehrers gegen jedweden Konkurrenten zu verteidigen (da lief so etwas zwischen ihnen wie zwischen Obi-Wan Kenobi und Luke Skywalker). Die Bühne war bereitet.

Schnitt und Sprung in die 1530er Jahre. Tartaglia brüstet sich in der ganzen Stadt, der beste Mathematiker im Lösen von Gleichungen seit den alten Griechen, diese eingeschlossen, zu sein. Er behauptet, Gleichungen lösen zu können, die noch niemand vor ihm gelöst habe, einschließlich eines neuen Gleichungstyps namens kubische Gleichung. Fior tritt vor und behauptet, dass sein Lehrer del Ferro kubische Gleichungen schon lange vor Tartaglia gelöst habe, und er nun der Meister im Gleichungen-Lösen sei. Tartaglia schreit «Bullshit», Fior bekommt einen dicken Hals. Das Ganze lässt sich nur auf eine Weise lösen: durch ein Gleichungs-Duell. Tartaglia und Fior beschließen, dass jeder 30 Gleichungen für den anderen aufschreiben solle. Diese Gleichungen werden von einem Mittelsmann weitergegeben, der sie auch öffentlich zugänglich macht. Die Menge wird dann zuschauen, wer die Herausforderungen des Rivalen lösen kann. Die Atmosphäre war gespannt, wie man sich vorstellen kann.

Fior und Tartaglia hätten zu keiner anderen Zeit in diese Situation geraten können. Sie (und alle anderen Mathematiker) mühten sich, schwierige mathematische Gleichungen mit Hilfe altmodischer Zahlen und Symbole zu lösen, die dem Zweck nicht mehr angemessen waren. Zu jeder früheren Zeit wäre es unmöglich gewesen, solche Gleichungen zu lösen, zu jeder späteren zu einfach. Die geistige Gymnastik, die nötig war, um negative Zahlen zu vermeiden, machte das Lösen dieser Gleichungen zu einer Herausforderung und einem Zuschauersport.

Für uns sind negative Zahlen und die Zahl 0 heute Selbstverständlichkeiten, doch auch sie mussten erst entdeckt werden, bevor man sie benutzen konnte. Den ersten dokumentierten Versuch, mit 0 und negativen Zahlen umzugehen, machte zu Beginn des 7. Jahrhunderts der indische Mathematiker Brahmagupta. Doch Europäer wollten davon nichts wissen. Als Fibonacci die Vorzüge des Dezimalsystems pries, nannte er die Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 «Zahlen», wohingegen die Ziffer 0 ein bloßes Zeichen blieb. Die italienischen Mathematiker bemühten sich also umständlich, diese Gleichungen ohne die Benutzung von 0 als reeller Zahl zu lösen. Erst im 17. Jahrhundert wurde sie allmählich von Mathematikern allgemein akzeptiert.

Negative Zahlen brauchten sogar noch länger, um Anerkennung zu erlangen. Um 1600 benutzte Thomas Harriot (der mit dem Problem des Stapelns von Kanonenkugeln) negative Zahlen zum Lösen von Gleichungen, doch noch bis ins 19. Jahrhundert beschrieben Mathematiker wie Francis Maseres negative Zahlen als «puren Unsinn oder dümmlichen Jargon». Maseres weigerte sich zu glauben, dass –5 eine gültige Lösung von √25 sei. Er argumentierte, zu behaupten, dass –5 × –5 = 25 sei, wäre dasselbe wie 5 × 5 = 25, und das Minuszeichen habe keinerlei Sinn oder Bedeutung. Uns erscheint das bizarr, weil wir mit negativen Zahlen groß geworden sind, doch noch vor gerade erst zwei Jahrhunderten lehnten Mathematiker negative Zahlen ab.

Die Negativ-Revolution, wie ich sie nenne, begann zur Zeit von Fior und Tartaglia 1535 und dauerte bis zu Thomas Harriots Tod im Jahr 1621. Dann vergingen noch die beiden folgenden Jahrhunderte, bis Mathematiker die Null und negative Zahlen als ebenso reelle Zahlen ansahen wie jede positive Zahl. Fior und Tartaglias Mathe-Showdown zeigt, wie nah die Mathematik der Negativ-Revolution war. Er fand auch im Niedergang der rhetorischen Periode, die von den Griechen eingeleitet worden war, und am Scheitelpunkt der symbolischen Ära (wiederum ein Ausdruck, den ich mir ausgedacht habe) statt, die im Begriff war, Europa zu überschwemmen. In ihrem Kielwasser würden Mathematiker bald Mathematik mit Symbolen und Gleichungen anstelle langer, beschreibender Sätze betreiben.

Die kubischen Gleichungen, mit denen sich Fior und Tartaglia duellierten, haben einen kubischen Term, also eine Aufgabe wie die erste Frage am Anfang des Kapitels – «Finden Sie eine Zahl, die, zu ihrer dritten Potenz addiert, 5 ergibt.» –, was die Lösung der Gleichung x^3 + x = 5 erforderlich macht. Derartige Probleme waren nicht leicht zu lösen, und auf dem Weg zur Lösung wird man jede Menge negative Zahlen brauchen. Das vermied man Anfang des 16. Jahrhunderts, indem man die kubischen Gleichungen in eine Fülle verschiedener Unterkategorien aufteilte.

Heute betrachtet man Gleichungen wie x^3 + mx = n und x^3 = mx + n als dieselbe kubische Gleichung, weil das mx auf die andere Seite zu bringen, mit einem negativen Wert für m gleichbedeutend ist. Für Fior und Tartaglia dagegen waren das komplett unterschiedliche Probleme. Tatsächlich konnte Fior nur Gleichungen vom Typ x^3 + mx = n lösen, also stellte er Tartaglia 30 solcher Aufgaben. Tartaglia hatte jedoch bereits alle Arten verschiedener Methoden gemeistert, also gab er Fior ganz unterschiedliche kubische Gleichungen. Obwohl uns der Unterschied trivial erscheint, konnte Fior die anderen Typen nicht lösen. Tartaglia raste in 2 Stunden durch seine Gleichungen und bewies damit, dass er sowohl die Gleichungen, die Fior ihm gestellt hatte, als auch die anderen Typen, mit denen er Fior herausgefordert hatte, meistern konnte. Ein klarer Sieg für Tartaglia.

Die Reellen sind wirklich reell

Seit der Negativ-Revolution sind 0 und die negativen Zahlen in der Mathematik so selbstverständlich geworden, dass wir alle Zahlen auf der Zahlengeraden – positive, 0 und negative – reelle Zahlen nennen. Man stellt nicht mehr in Frage, dass etwas so Simples wie eine Quadratwurzel zwei verschiedene Antworten geben kann, eine positive und eine negative. Weil 3 × 3 = 9 und –3 × –3 = 9 ist, akzeptieren wir, dass √9 = 3 oder -3 ist, kurz auch √9 = ±3. Genauso ist √2 = ±1,41421 …. Beide Antworten sind gleich gültig. Sie sind beide reell.

Und doch verwirrt es einige Leute auch heute noch, dass man negative Zahlen zu den reellen Zahlen zählt. Sie sind doch nicht so reell wie positive, oder? Irgendwie müssen sie hinsichtlich der Wirklichkeit minderwertiger sein als positive Zahlen. In der Realität kann man vier Enten bekommen oder vier Tassen Tee, aber keine minus-vier Enten oder minus-vier Tassen Tee. Könnte man minus-vier Enten haben und würde sie fünf positiven Enten vorstellen, würden sie sich mit einem Knall auslöschen und zurück bliebe eine einzelne, sehr verwirrte Ente.

Wer jedoch als Physiker negative Zahlen leugnet, schadet sich selbst. Die negativen Lösungen einer Gleichung sind nicht nur mathematisch ansprechend, sondern physikalisch so gültig wie die positiven. Anfang des 20. Jahrhunderts erwischte die Subtilität negativer Lösungen von Quadratwurzeln Physiker völlig auf dem falschen Fuß.

Im Jahr 1928 versuchte der britische Physiker Paul Dirac auf mathematischem Weg, die Energie eines Elektrons mit beliebiger Geschwindigkeit bis zur (aber nicht einschließlich) Lichtgeschwindigkeit zu berechnen, und er hatte mit der heute als Dirac-Gleichung bekannten Theorie Erfolg. Allerdings kam hierin die Ladung des Elektrons nur quadriert vor – sodass es nicht nur eine positive Lösung, sondern auch eine negative gab. In der Veröffentlichung seiner Ergebnisse fügte Dirac einen Absatz hinzu, in dem er dies mit den Worten kommentiert: «Die Wellengleichung bezieht sich damit ebenso auf ein Elektron mit der Ladung e wie auf eins mit der Ladung –e». (wobei e bei Physikern für die Ladung eines Elektrons steht, nicht für die mathematische Konstante e, die wir alle kennen und lieben). Plötzlich war etwas hässliches Negatives aufgetaucht. Doch bestimmt war es nur ein mathematischer Kniff ohne physikalische Bedeutung …

Wellengleichung aus «Die Quantentheorie des Elektrons»

Ein Elektron mit entgegengesetzter Ladung war nicht nur noch niemals gesichtet worden, sondern seine Existenz war einfach lächerlich. Andererseits ergaben sich die zugehörigen Lösungen der Gleichung offenbar mathematisch gleichberechtigt neben den gewöhnlichen Lösungen für das Elektron. Dies konnte man nicht einfach ignorieren, weil sonst der Rest der Gleichung auseinanderfiel. Im Verlauf der nächsten Jahre diskutierte Dirac mögliche Verbesserungen dieser anderen Lösung seiner Gleichung und veröffentlichte 1931 eine Arbeit, die sich dem Problem stellte. Hier nahm er die physikalischen Folgerungen aus den mathematischen Lösungen ernst und setzte sich mit einem Teilchen auseinander, das er Antielektron nannte. Dies war die erste Beschäftigung mit etwas, das man später als «Antimaterie» bezeichnete.

Die Mathematik stellte sich als absolut richtig heraus. Diracs Arbeit wurde am 1. September 1931 veröffentlicht, und weniger als ein Jahr später, am 2. August 1932, wurde ein Antielektron in freier Wildbahn gesichtet. Der amerikanische Physiker Carl Anderson entdeckte es; er nannte es Positron und konnte seine Existenz mit nichts Geringerem als einem Foto nachweisen. Während heutige Physiker ihre eigenen Teilchenbeschleuniger bauen können, musste Anderson mit seinem selbst gebauten Detektor geduldig darauf warten, dass dieser zufällig von einem der hochenergetischen kosmischen Strahlen, die die Erde bombardieren, getroffen wurde. Während der frühen 1930er Jahre entwickelte er 1300 fotographische Platten mit Treffern von kosmischen Strahlen, die jede Menge Teilchen produzierten, wenn sie mit den Atomen in der Platte kollidierten. Auf 15 dieser Fotoplatten ist die unverwechselbare Spur eines positiven Elektrons zu sehen. Damit hatte die negative Lösung in einer mathematischen Gleichung die Existenz eines Elementarteilchens in der wirklichen Welt korrekt vorausgesagt. Die negativen Zahlen sind real, und sie werden es bleiben.

Die erste Aufnahme eines Antielektrons. Der dicke Balken in der Mitte des Kreises ist eine Bleiplatte, die dünne gekrümmte Linie die Spur eines Antielektrons, das die Platte durchschlägt.

Von der Linie weg denken

Ein Problem war immer noch ungelöst. Die negativen Zahlen waren nicht das einzig Neue, als die Mathematik des 16. Jahrhunderts daranging, immer kompliziertere Gleichungen zu lösen. Der Mathematiker Jerome Cardan (eigentlich Girolamo Cardano – immerhin war er Italiener) war an Tartaglias Sieg über Fior interessiert und lud ihn zu einem Besuch ein, um einige seiner Methoden kennenzulernen. Cardan kam aus einem guten mathematischen Stall (sein Vater war mathematischer Berater bei Leonardo Da Vinci gewesen), doch nutzte er seine mathematischen Fähigkeiten, um beim Glücksspiel Geld zu verdienen, außerdem auch durch die Arbeit als freier Arzt. Es gelang ihm, dem redseligen Tartaglia die neuen Methoden zu entlocken, und er begann, sie selbst zu benutzen. Dabei bemerkte er, dass etwas sehr Merkwürdiges passierte.

Negative Zahlen waren Cardans geringstes Problem. Vielmehr stellte er beim Lösen kubischer Gleichungen fest, dass er die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ziehen musste. Konkret stolperte er bei seiner Arbeit über einen Schritt, der einen Wert für 5 + √–15 erforderte. Doch das ergab absolut keinen Sinn. Es gibt keine mögliche reelle Zahl, die √–15 sein kann, weil alle reellen Zahlen, positive wie negative, immer eine positive Antwort geben, wenn man sie quadriert. Andererseits erhielt er beim Multiplizieren von 5 + √–15 mit 5 – √–15 als Ergebnis 40.

Das verunsicherte Mathematiker stark: Diese Art Zahlen durfte nicht existieren, und doch stellten sie einen wichtigen Schritt auf dem Weg zu Ergebnissen dar, die existierten. Die Wurzel einer negativen Zahl war so freundlich, letztlich bei der Lösung einer Gleichung wieder zu verschwinden, doch was bedeutete sie, solange sie da war? Cardan nannte Zahlen, die er nicht verstand, geistige Torturen. Ihm war nicht klar, dass er als Erster einen völlig neuen Typ Zahl benutzte. Den Mathematikern sind sie seither sehr willkommen, und heute kennt man sie als imaginäre Zahlen. Ein imaginäre Zahl wird i geschrieben und hat die ungewöhnliche Eigenschaft i × i = –1. Folglich ist √–1 = i und √–15 = i√15.

Imaginäre Zahlen waren unter Mathematikern bereits kurz nach 1700 mehr oder minder akzeptiert, und sie erwiesen sich, wie schon die negativen Zahlen, sowohl bei der Lösung abstrakter mathematischer Gleichungen als auch in praktischen Anwendungen als äußerst nützlich. Wenn Sie sich noch einmal Diracs Wellengleichung anschauen, werden Sie darin versteckt die Zahl i finden. Mit gewöhnlichen reellen Zahlen gepaart, werden sie zu komplexen Zahlen, so wie 4 + 2i. Heutige Anwendungsfelder wie die Quantenmechanik in der Physik und die Elektronik machen von komplexen Zahlen ausgiebig Gebrauch, obwohl wir nicht wissen, was eine imaginäre Zahl eigentlich ist.

Sobald Mathematiker erkannt hatten, wie nützlich imaginäre Zahlen sein konnten, wollten sie sie einordnen können. Die Zahlengerade war bereits mit allen reellen Zahlen gefüllt, deshalb brachte man sie auf einer neuen Zahlengeraden unter, die im rechten Winkel zur ursprünglichen steht. Weil komplexe Zahlen aus zwei Teilen bestehen, kann man sie als zweidimensionale Zahlen ansehen, und jede von ihnen entspricht einem Punkt in der Ebene. Aus der ursprünglichen 1D-Zahlengeraden wurde so eine 2D-komplexe Ebene. Jede einzelne komplexe Zahl hat ihren Ort irgendwo in dieser Ebene.

Die Erweiterung der 1D-Zahlengeraden zu einer 2D-Ebene war für Mathematiker ein Geschenk. Nun konnten sie alle vorherige Mathematik neu untersuchen, indem sie die alten reellen Zahlen durch neue komplexe Zahlen ersetzten. Nachdem man die Fakultät-Funktion schon lange mit regulären Zahlen benutzt hatte (so wie 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1), ging es nun darum, etwas Ähnliches wie Fakultät für komplexe Zahlen zu finden. Das erhielt jetzt den neuen Namen Gamma-Funktion und wurde durch den Großbuchstaben Gamma (Γ) dargestellt. 1729 forschte Euler erstmals über die Gamma-Funktion (so wie möglicherweise auch Daniel Bernoulli, der Sohn von Johann und Neffe von Jakob), und Gauß vervollständigte diese Forschung Anfang des 19. Jahrhunderts. Die Funktion, die dabei herauskam, gehorchte immer noch derselben rekursiven Beziehung, Γ(z) = (z – 1) Γ (z–1), nur dass sie nun für einen beliebigen komplexen Input galt.

Die Fakultät ist in der Gamma-Funktion als Spezialfall enthalten, sodass sie immer noch zu denselben Ergebnissen für ganze Zahlen führt, nur mit dem unglücklichen Versatz Γ(n + 1) = n!. Die Erweiterung der Fakultät überdeckte nun nicht nur die komplexe Ebene, sondern füllte auch Lücken auf der reellen Zahlengeraden zwischen den ganzen Zahlen. Mein Lieblingswert ist Γ(1/2) = √π (wie immer glänzt π mit einem Überraschungsauftritt). Die Werte für Γ(1/3), Γ (1/4) und Γ (1/6) sind ebenfalls einige der wenigen zuvor schon als transzendent nachgewiesenen Zahlen.

Wenn man eine komplexe Funktion über der komplexen Ebene darstellen will, ergibt das eine Fläche darüber. Die allerersten Bilder dieser Gamma-Funktionsfläche mussten mühsam von Hand angefertigt werden. Nun kann man sie schnell per Computer erzeugen. Das Problem ist, dass komplexe Funktionen komplexe Ergebnisse erbringen. So haben wir nicht nur zwei Werte als Input (den Real- und den Imaginärteil der komplexen Zahl), sondern auch zwei Werte für den Output. Um das richtig zu zeichnen, braucht man vier Achsen: es wäre ein 4D-Plot. Was ich Ihnen hier zeige, ist eine dreidimensionale Näherung einer eigentlich vierdimensionalen Darstellung. Wir können getrost voraussetzen, dass Hyperthetiker viel besser mit komplexen Funktionen zurechtkämen, weil sie sich deren vollständige Darstellungen intuitiv veranschaulichen könnten.

Sollte das bekannt aussehen, liegt es daran, dass die Riemann’sche Zeta-Funktion ebenfalls eine komplexe Funktion ist. So wie die Gamma-Funktion die komplexe Erweiterung der Fakultät darstellt, ist Riemanns Zeta-Funktion die komplexe Version der Baseler Funktion, die wir zuvor kennengelernt hatten (um der Baseler Funktion noch einmal zu begegnen, blättern Sie auf Seite 320; um sich mit Riemanns Zeta-Funktion auseinanderzusetzen, bleiben Sie auf dieser Seite). Als ich behauptete, die Riemannsche Zeta-Funktion brauche zwei Zahlen als Input und würde zwei Zahlen als Output ausgeben, meinte ich eigentlich, dass sie eine komplexe Funktion ist. Riemanns Zeta-Funktion ist die Baseler Funktion, erweitert auf komplexe Zahlen und auf die fehlenden Teile der Zahlengeraden. Auf diese Weise kann sie sich zu den negativen Zahlen hinüberstehlen und dafür Werte berechnen: Sie geht den Umweg über die komplexe Ebene. Wenn man sich ζ(–1) von der Seite nähert, erhält man Rahmanujans Wert 1 + 2 + 3 + … = -1/12. Ohne komplexe Zahlen wären alle bahnbrechenden Neuerungen, die Riemanns Hypothese möglich gemacht hat, gar nicht erreichbar.

Handgezeichnete Darstellung der Gamma-Funktion aus dem Jahr 1909 und ein moderner 3D-Plot

Verfügt man einmal über die Leistungsfähigkeit der komplexen Zahlen, ist es naheliegend zu fragen, ob es weiter draußen nicht noch fremdartigere Zahlen gibt. Wir können die Methode nicht einfach fortsetzen, indem wir die Quadratwurzel aus ihnen ziehen, weil alle Wurzeln komplexer Zahlen ihrerseits wieder komplexe Zahlen sind (die Quadratwurzel aus i ist 1/√2 + i/√2). Es sieht fast so aus, als hätten wir mit der Erweiterung der reellen Zahlen auf die komplexen Zahlen alle Zahlen gefunden, die es gibt. Doch nun trat der irische Mathematiker William Hamilton (der mit dem berühmten Hamilton’schen Pfad) auf den Plan und zeigte, wo es weitergeht.

Hamilton hatte sich bereits um das Verständnis komplexer Zahlen als einer Art 2D-Zahl bemüht und viel Zeit damit zugebracht, Zahlen jenseits der komplexen zu finden. Er vermutete, sie seien eine Art 3D-Äquivalent, Zahlen, die aus drei Teilen statt aus zwei bestehen, doch er hatte absolut keinen Erfolg damit. Eines Tages im Jahr 1843 traf ihn auf einem Spaziergang ein Geistesblitz. In seinen Worten: «Es schien sich ein elektrischer Schaltkreis zu schließen und ein Funke sprang über». Hamilton war so erregt, dass er abrupt anhielt und diese Gleichung auf dem nächstbesten Gegenstand, der zur Hand war, niederschrieb – zufällig war es eine Brücke. Das könnte das früheste Beispiel für Mathe-Graffiti-Streetart sein.

Hamilton erkannte, dass die nächste Zahlenmenge 4D sein würde und aus allen reellen Zahlen plus drei anderen Typen imaginärer Zahlen bestehen würde: i, j und k. Die imaginäre Zahl i ist immer noch genau dieselbe imaginäre Zahl in den komplexen Zahlen, nur dass sie nun von j und k ergänzt wird. Sowohl j als auch k haben die gleichen Eigenschaften (das heißt, wenn man sie quadriert, ist das Ergebnis –1), doch es gibt die zusätzliche Eigenschaft, dass alle drei miteinander multipliziert ebenfalls gleich –1 sind. Die Multiplikation von zwei dieser Zahlen hat damit die dritte als Ergebnis: i × j = k, usw. Das ist die Feinheit, aufgrund der sie funktionieren, und der Grund, warum es kein 3D-Äquivalent zu den komplexen Zahlen gibt; zwei verschiedene Typen imaginärer Zahlen würden nur dasselbe Schema i^2 = -1 wiederholen, während sich mit dreien die neue Eigenschaft i × j × k = –1 ergibt.

Diese Beziehung zwischen i, j und k schrieb Hamilton auf die Broom-Brücke vor den Toren Dublins. Einmal im Jahr pilgern Mathematiker immer noch zu dieser Brücke und erneuern die Gleichung mit Kreide. Sollten Sie eines Tages dorthin kommen: Es gibt da immer noch eine Plakette auf der Brücke, die an Hamiltons Entdeckung der von ihm als Quaternionen bezeichneten Zahlen erinnert. Diese Quaternionen haben sich seitdem gut in die Mathematik in der Nähe der komplexen Zahlen eingefügt, und sie haben einige praktische Anwendungen gefunden: Sie werden in heutigen Computergraphik-Berechnungen benutzt.

Nichtsdestotrotz wurden auch die Quaternionen nicht sofort von Mathematikern akzeptiert. Lord Kelvin gab zu, dass sie herausragend waren, doch beschrieb er sie als «ein pures Übel für die, die irgendwie mit ihnen in Berührung gekommen sind». Mit Sicherheit brachten sie auch den Oxforder Mathematiker Charles Dodgson in Rage. Da er nichts Bemerkenswertes zur Mathematik beitrug, würden wir ihn heute nicht erwähnen, hätte er nicht unter dem Künstlernamen Lewis Carroll auch einiges Literarische verfasst. Dass Lewis Carroll von Beruf Mathematiker war, wissen nur wenige, einige seiner Zeitgenossen eingeschlossen, darunter auch Queen Victoria. Der Legende nach gefielen ihr «Alices Abenteuer im Wunderland» so gut, dass sie ihm gestattete, ihr sein nächstes Buch zu widmen, und sie war ziemlich missgelaunt, als es erschien. Es war nämlich ein mathematisches Fachbuch mit dem Titel «Die elementare Behandlung von Determinanten».

Als Mathematiker war Carroll äußerst konservativ und missbilligte moderne mathematische Konzepte wie die nichteuklidische Geometrie und komplexe Zahlen. Daher wird vermutet, er habe sich über diese absurden Konzepte mittels der Albernheiten in «Alice’s Adventures in Wonderland» lustig gemacht. Die viktorianische Literatur- und Mathematikexpertin Melanie Bayley (ebenfalls von der Oxford University) hat vermutet, die drei Teilnehmer an der Verrückten Teegesellschaft würden satirisch die Komponenten i, j und k der Hamilton’schen Quaternionen darstellen. Wenn der verrückte Hutmacher nicht vertauschbare Aussagen der Art «Nun, man könnte genauso gut sagen, dass ‹ich sehe, was ich esse› ist dasselbe wie ‹ich esse, was ich sehe›!», macht, versteht man, warum. Doch ganz gleich, ob es stimmt oder nicht – es gab den Zeitgeist wider. Vielen Mathematikern erschien die Zunahme mathematischer Abstraktion über die physikalische Realität hinaus wie die Grinsekatze, die aus der wirklichen Welt verschwindet und nur ein Grinsen zurücklässt.

Wie bei den Quaternionen verändert die Reihenfolge in der Multiplikation von Oktonionen das Vorzeichen des Ergebnisses! j × m = i, wohingegen m × j = - i.

Scheinbar laufen wir nun wirklich Gefahr, in einem Kaninchenloch immer imaginärerer Zahlen zu verschwinden, doch kommt es, wie sich zeigt, zu einem abrupten Ende. Nach den vierdimensionalen Quaternionen kommen die achtdimensionalen Oktonionen, und das war’s dann. Nichts weiter. Die einzigen Zahlengruppen, die so funktionieren, sind die reellen Zahlen, die komplexen Zahlen, die Quaternionen und die Oktonionen. Alle imaginären Typen von Zahlen sind damit entdeckt, auch wenn wir sie weiterhin merkwürdig und verwirrend finden.

Ein surreales Addendum

Ich wollte keineswegs den Eindruck hinterlassen, dass bereits alles bekannt ist, was es über Zahlenarten zu wissen gibt. Wie immer ist Mathematik niemals vollständig, und erst 1969 hat uns der Mathematiker Jon Conway einen völlig neuen Zahlentyp beschert, die surrealen Zahlen. Die surrealen Zahlen unterscheiden sich ungewöhnlicherweise dadurch von allen anderen Zahlen, dass sie möglicherweise das einzige Stück neuer Mathematik sind, das erstmals in einem fiktionalen Werk veröffentlicht wurde. Conway hatte keine wissenschaftliche Mathematik-Veröffentlichung verfasst; vielmehr erschienen diese Zahlen zuerst in einer Kurzgeschichte des Computerwissenschaftlers Donald Knuth. Sie hieß: Surreal Numbers: How Two Ex-Students turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness (deutsch etwa: Wie sich zwei Ex-Studenten pure Mathematik reinzogen und das totale Glück fanden).

Im Gegensatz zu den reellen Zahlen, die wir entdeckten, indem wir mit dem Abzählen ganzer Zahlen begannen und dann nach den rationalen und irrationalen Lücken dazwischen suchten, beginnen die surrealen Zahlen, indem man Mengen von Zahlen bildet und dann nach Zahlen Ausschau hält, die als Mittelpunkt zwischen zwei Mengen anderer surrealer Zahlen auftauchen. Das ergibt nicht nur alle uns vertrauten reellen Zahlen, sondern auch ein paar wenige neue Zahlen. Mein Liebling unter den neuen ist eine surreale Zahl, die zwischen null und dem Rest der reellen Zahlen liegt. Das heißt, sie ist ein wenig größer als null, aber immer noch kleiner als jede andere Zahl. Mit dem griechischen Buchstaben Epsilon (ε) bezeichnet, ist sie die kleinstmögliche von null verschiedene Zahl. Der Mathematiker Erdős bezeichnete Kinder gerne als Epsilons. Weil sie zwar sehr kleine, aber doch nicht keine Menschen sind.

ACHTZEHN

Ins UNENDliche und darüber hinaus

Das Konzept der Unendlichkeit tauchte in diesem Buch bisher durchweg in eher verhaltenen Tönen auf. In fast jedem zweiten Kapitel wurde erwähnt, dass etwas unendlich oft passiert oder dass das Ergebnis einer Summe unendlich groß ist, aber wir haben dem keine weitere Beachtung geschenkt. Das liegt daran, dass das Unendliche wie ein loser Faden am Mantel der Mathematik hängt. Wenn man daran zieht, ist er nicht nur länger als erwartet, Nähte lösen sich auf, und plötzlich steht man mathematisch nackt da und wünscht, man könnte ihn zurückfädeln und wie bisher ignorieren.

Wir nicht: Wir packen den Faden an. Es wird Zeit, sich dem Schatten zu stellen, der die Themen dieses Buches verfolgt: dem Unendlichen. Endlich sind wir so weit, bis ins Unendliche und, jawohl, auch darüber hinaus zu gehen.

Dinge unendlich oft zu machen, kann ein bisschen verzwickt werden, doch wir wollen es jetzt angehen. Holen Sie sich eine leere Kiste und einen Haufen Bälle und nummerieren Sie die Bälle mit 1, 2, 3, 4 … Sie verstehen schon. Das Spiel besteht darin, die Bälle einen nach dem anderen in die Kiste zu legen, beginnend mit Ball Nummer 1. Aber immer, wenn Sie einen Ball mit einer Quadratzahl hineinlegen, nehmen Sie den Ball mit der zugehörigen Quadratwurzel heraus und sichern ihn in einer Schublade oder sonst irgendwo. Folglich ist der erste Zug ein bisschen komisch, denn wenn Sie Ball 1 hineinlegen, dann ist 1 seine eigene Quadratwurzel, also nehmen Sie ihn gleich wieder heraus. Dann können Sie die Bälle 2 und 3 hineinlegen. Wenn Ball 4 kommt, nehmen Sie Ball 2 heraus und legen ihn in die Schublade. Dann wandern die Bälle 5 bis 8 hinein, bevor Sie Ball Nummer 9 dazulegen und Ball Nummer 3 herausnehmen. Die Frage lautet nun: Wenn Sie einfach immer so weitermachen, welche Bälle werden in der Kiste bleiben? Und wie viele befinden sich in der Schublade?

Überraschenderweise ist die Kiste am Ende vollständig geleert. Das ergibt natürlich keinen Sinn, weil im Laufe des Prozesses die Zahl der Bälle in der Kiste immer zunimmt. Bei jedem Spielzug geben Sie entweder einen Ball dazu, oder Sie fügen einen hinzu und nehmen gleichzeitig einen heraus: Die Zahl der Bälle nimmt entweder zu oder bleibt gleich. Doch alle Bälle landen letztlich in der Schublade, nicht in der Kiste. Wann also werden alle Bälle aus der Kiste herausgenommen?

Wir wissen, dass alle Bälle in der Schublade enden, weil jede Zahl quadriert werden kann. Für jeden Ball, den Sie in die Kiste legen, gibt es einen anderen Ball außerhalb der Kiste, der dessen Quadratzahl hat, und dieser Quadratzahl-Ball wird früher oder später hineingelegt werden. Also wird jeder Ball, den Sie hineinlegen, letztlich auch herausgenommen, sodass die Kiste theoretisch leer zurückbleibt. Es gibt keine Zahl, die so groß ist, dass sie nicht quadriert werden kann. Und doch sind nach jedem Schritt immer mehr Bälle in der Kiste als in der Schublade.

Dieses Paradox – dass sich immer mehr Bälle in der Kiste befinden, sie aber dennoch in der Schublade enden – wird durch unsere Erwartung hervorgerufen, dass das Unendliche sich wie eine wirkliche, richtig große Zahl verhält. Aber «unendlich» ist keine Zahl. Unendlich kann man nirgends auf der Zahlengeraden finden. Die Leute haben offenbar die Vorstellung, dass die Zahlen, wenn man die Zahlengerade zu immer größeren Zahlen entlanggeht, am Ende ausgehen. Man kommt nicht weiter und gelangt schließlich an ein Unendlich-Zeichen, das das Ende der Zahlengeraden anzeigt. Das ist nicht der Fall. Es gibt immer eine größere Zahl. Unendlich befindet sich nicht am Ende der Zahlengeraden. Unendlich ist keine große Zahl.

Unendlich ist eigentlich ein Maß dafür, wie viele Zahlen es gibt. Die Zahlengerade hört nie auf, deswegen sagen wir, sie sei unendlich lang. So wie wir vorher die Zahl ‹fünf› als die Größe irgendeiner Menge von fünf Dingen angesehen haben, ist «unendlich» die Größe einer niemals endenden Menge von Dingen. Stellen Sie sich die Menge aller ganzen Zahlen vor: So groß ist unendlich. Das ist der Punkt, an dem die Bälle aus der Kiste fliegen: Wenn Sie sich von der niemals endenden Zahlengeraden entfernen und auf die Gerade als Ganzes blicken, wenn Sie von dem Denken an eine sehr große Zahl zum Denken an alle Zahlen in ihrer Gesamtheit übergehen.

Es gibt unendlich viele ganze Zahlen, und jede einzelne ist die Wurzel einer ganzen Zahl. Statt uns vorzustellen, dass wir die Bälle in die Kiste legen und in die Schublade, können wir uns vorstellen, alles in einem Zug zu machen. Alle Bälle, die Quadratwurzeln sind, wandern sofort in die Schublade, und alle Bälle, die es nicht sind, in die Kiste. Nicht ein einziger Ball würde dann in die Kiste gelegt werden.

Unser großes Problem besteht darin, dass unendlich für unsere Intuition keinen Sinn ergibt, und es gibt keinen sicheren Stand. Vielleicht mag unser Gehirn sich nicht mit höheren Dimensionen beschäftigen, doch zumindest fühlen wir uns okay beim Umgang mit niederen Dimensionen. Das menschliche Gehirn arbeitet gern mit hübschen endlichen Zahlen. Sobald man mit Unendlich arbeitet, passieren Dinge, die vollständig kontraintuitiv sind. Endliche Zahlen sind keine Vorbereitung fürs Unendliche, genauso wenig, wie 3D-Formen uns auf 4D-Formen vorbereitet haben. Letztlich stattet uns unsere Affinität zum Endlichen mit einem falschen Gefühl von Sicherheit aus, wenn wir dem Unendlichen gegenüberstehen. Wir müssen alle Intuition fahren lassen; ansonsten wird sie uns in die Irre führen. Mathematische Logik muss unser einziger Führer in eine Welt sein, die keine Verbindung zur physikalischen Realität mehr hat.

Mathematik ohne Intuition zu betreiben, ähnelt dem Abtauchen mit einem U-Boot. Damals im Dschungel der Mathematik half uns die Intuition, uns umzusehen und die Umgebung zu verstehen. Damals hatte die Mathematik genug Bezug zur Welt um uns herum. Beim Abstieg in die Tiefe aber sehen wir nicht mehr, wo wir uns bewegen. Wir haben das physikalische Universum verlassen und sind in eine Welt des reinen, abstrakten Denkens vorgestoßen. In einem U-Boot muss man sich ganz allein auf die Anzeigen der Instrumente verlassen, und ganz ähnlich haben wir nun lediglich mathematische Ergebnisse als Führer zur Verfügung. Doch wenn wir anspruchsvoll sind, jeden Schritt überprüfen und den Schlussfolgerungen vertrauen, die wir aus den Anzeigen unserer mathematischen Instrumente ziehen, wird alles gut ausgehen.

Also los.

Das Unendliche bringt die Leute aus der Fassung

Ich hörte einen Mann im Radio die lächerliche Vorstellung äußern, dass die Summe aller Primzahlen gegen unendlich strebt. – Beschwerdebrief an BBC Radio 4

Das Unendliche kann Leute wütend machen. Offenbar wollen viele Menschen den unendlichen Faden dort lassen, wo er ist und keine Aufregung verursacht. «Unendlich» soll ein ganz nebulöses Konzept bleiben, «etwas sehr, sehr Großes» bedeuten, ein vager Ausdruck, um das größtmögliche Ding darzustellen. Als ich im BBC-Radio-4-Programm «More or Less». (Mehr oder Weniger) das Unendliche erörterte, bekam die BBC eine Menge Beschwerdebriefe. Und dieser Zorn ist keineswegs neu.

Die Unendlichkeit bekam ihren verdienten Platz als legitimes mathematisches Konzept gegen Ende des 19. Jahrhunderts. Die beiden großen Protagonisten waren der deutsche Mathematiker Georg Cantor und sein glühendster Verfechter David Hilbert. Das Unendliche nicht länger als eine allgemeine Vorstellung einfach zu akzeptieren, sondern es tatsächlich genauestens zu untersuchen, kam nicht gut an. Zeitgenössische Mathematiker nannten Cantor einen «Verderber der Jugend». Das setzte Cantor, der ohnehin schon unter Depressionen litt, übel zu. Zum Glück erkannte Hilbert das Potenzial von Cantors Werk. Er bezeichnete seine Arbeiten als «die erlesenen Produkte mathematischen Genies und eine der höchsten Errungenschaften reiner intellektueller menschlicher Aktivität», und er fügte den berühmten Ausspruch hinzu: «Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen hat, soll uns niemand vertreiben können.»

Als Cantor elf Jahre alt war, zog er mit seiner Familie von Russland nach Deutschland und studierte später Mathematik in Zürich und Berlin, bevor er sich – nach einem kurzen Zwischenspiel als Schullehrer – 1869 als Mathematiker an der Universität Halle niederließ. Während der siebziger und achtziger Jahre des 19. Jahrhunderts legte er in einer Reihe von Veröffentlichungen die Grundlagen unseres heutigen Verständnisses von Unendlichkeit. Hilbert war gewissermaßen Cantors Schüler. Er kam 1895 an die Universität Göttingen, von niemand Geringerem als Felix Klein (dem mit der 4D-Flasche) berufen. Dort blieb er bis zu seiner Pensionierung im Jahr 1930, was ihm gerade ausreichte, um möglicherweise einem jungen Herbert Seifert in den Fluren begegnet zu sein (der zweifellos in Gedanken an Knotenflächen versunken war).

Obwohl es dem, was die meisten Mathematiker damals glaubten, zuwiderlief, bewies Cantor, dass man das Unendliche mit Hilfe von Mengen messen konnte. Er wies nach, dass es tatsächlich mehr als eine Unendlichkeit gibt und einige Unendlichkeiten größer sind als andere. Bis heute führt der beste Weg, die Fortschritte zu verstehen, die Cantor beim Studium des Unendlichen machte, zu «Hilberts Hotel». Es ist ein unendliches Hotel, und es hält einige Überraschungen bereit.

Hat Hilberts Hotel noch Zimmer frei?

Am besten stellt man sich Hilberts Hotel als einen unendlich langen Flur vor, der mit Zimmer Nummer 1 anfängt, dann weitergeht mit Zimmer Nummer 2, 3, 4 … usw., die unendlich vielen ganzen Zahlen lang. Das Hotel steht völlig leer, als ein unendlicher Bus ankommt, gefüllt mit unendlich vielen Gästen. Sie tragen Schilder mit den Bezeichnungen «Gast 1», «Gast 2» und unendlich so weiter; für jede der unendlich vielen ganzen Zahlen gibt es einen Gast. Der Hotelmanager kommt heraus und führt sie zu ihren Zimmern. Seine Aufgabe ist einfach: Er hält ein Schild hoch, auf dem steht: «Gehen Sie in den Raum mit Ihrer Gastnummer.» Nun ist das unendliche Hotel ausgebucht.

Unsere Herausforderung besteht darin, den Hotelmanager auszutricksen und eine Gruppe von Gästen zu finden, die nicht untergebracht werden kann. Wenn wir eine Gästemenge finden können, die größer ist als Hilberts Hotel, dann muss sie eine größere Unendlichkeit darstellen. Dinge aus zwei verschiedenen Mengen auf diese Weise aufeinander zu beziehen, ist die Grundlage allen Zählens. Wenn auf dem Tisch vor Ihnen eine Menge Münzen liegt und Sie wissen möchten, wie viele es sind, können Sie Ihre Finger als schon zuvor bekannte Menge benutzen, um die Größe des Münzhaufens herauszufinden. Wenn Sie Ihre Finger auf die Münzen legen, sodass ein Finger auf jede Münze kommt und eine Münze unter jedem Finger liegt, dann wissen Sie, dass es zehn Münzen sind (oder so viele Münzen, wie Sie Finger haben). Falls Finger übrig bleiben, wissen Sie, dass die Menge der Finger größer ist als die Menge der Münzen. Im Fall von Hilberts Hotel suchen wir eine Menge von Gästen, die nicht auf die unendliche Menge von Zimmern abgebildet werden kann. Sollten alle Zimmer belegt und einige Gäste übrig geblieben sein, dann wissen wir, dass die Gäste eine größere unendliche Menge bilden.

Wir machen es uns leicht und lassen zunächst nur einen zusätzlichen Gast spät in Hilberts Hotel ankommen. Das stellt kein Problem für den Hotelmanager dar. Solange die unendlich vielen Gäste nichts gegen ein bisschen Umziehen haben, könnte die Person in Zimmer 1 ihre Sachen packen und in Zimmer 2 ziehen. Dessen gegenwärtiger Bewohner macht Zimmer 2 frei und zieht nach Zimmer 3 um, wo er dessen Bewohner nach Zimmer 4 schickt. In einem Zug können alle unendlich vielen Gäste ihre Zimmer verlassen und ins nächste umziehen, sodass Zimmer 1 für den neuen Gast frei wird. Das kann man für jeden weiteren Gast, der zum bereits ausgebuchten Hotel kommt, wiederholen, ohne dass es jemals «noch belegter» wird. Eine unendliche Menge plus eine endliche Menge ergibt immer dieselbe Unendlichkeit.

Jetzt fährt ein zweiter unendlicher Bus vor das bereits gefüllte Hotel, und eine unendliche Gruppe von Leuten steigt aus und sucht Unterkunft. Der Hotelmanager ist kurzzeitig verwirrt. Er kann sie nicht in dieselben Zimmer schicken, die ihren Gastnummern entsprechen, denn diese Zimmer sind bereits belegt. Auch kann er nicht die eben angewandte Methode zur Unterbringung einer endlichen Zahl von Gästen wiederholen, weil es jetzt unendlich viele neue Gäste sind, sodass der Prozess oben niemals enden würde. Er braucht einen schnellen und effektiven Weg, sie alle auf einmal im Hotel unterzubringen.

Zum Glück ist der Hotelmanager auf Draht. Er schlägt vor, jeder der zum Umzug bereiten Gäste im Hotel solle sein gegenwärtiges Zimmer verlassen und das Zimmer mit der doppelt so großen Zimmernummer beziehen. So zieht die Person aus Zimmer 1 in Zimmer 2, während zur gleichen Zeit der Bewohner von Zimmer 2 zu Zimmer 4 geht; der Gast in Zimmer 3 strebt nach Zimmer 6, winkt dabei dem Bewohner von Zimmer 4 zu, der sich nach Zimmer 8 bewegt. All die unendlich vielen Gäste verlassen ihre Zimmer, gehen in die geradzahligen Zimmer und lassen dabei die unendlich vielen ungeradzahligen Zimmer für die neuen Gäste frei. Wiederum können wir dieses Spiel so oft wiederholen, wie wir wollen: Das Hotel wird niemals voller. Endlich viele Kopien einer unendlichen Menge ergeben dieselbe Unendlichkeit.

Nun kommt der Bus, auf den wir gewartet haben. Es ist ein unglaublich unendlicher Bus, der alle rationalen Zahlen enthält, denen wir im letzten Kapitel begegnet sind. Jeder Gast hat ein Schild mit einem anderen Bruch darauf, und sie alle wollen Unterkunft in Hilberts Hotel. Wir geben dem Hotelmanager eine neue Chance und beginnen mit einem vollständig leeren Hotel. Es sieht so aus, als wäre die Aufgabe unmöglich zu lösen: Es gibt mehr rationale als ganze Zahlen. In einem sehr realen Sinne sind die rationalen Zahlen «dichter» als die ganzen Zahlen. Zwischen je zwei rationalen Zahlen kann man immer eine weitere rationale Zahl finden. Man kann von zwei Brüchen ausgehen, ihren Mittelwert bilden, bekommt einen neuen Bruch dazwischen, und kann das endlos wiederholen. Die ganzen Zahlen andererseits sind dünn gesät; es gibt keine weiteren ganzen Zahlen zwischen 6 und 7. Wenn Sie auf die Zahlengerade zoomen, erscheinen die dicht liegenden rationalen Zahlen unverändert, die verstreuten ganzen Zahlen dagegen ausgedünnt.

Indem man diese Tabelle fortsetzt, wird jede mögliche rationale Zahl aufgelistet.

Sie können systematisch geordnet und problemlos nummeriert werden.

Es gibt jedoch einen Weg, auch dieses Problem zu lösen. Wieder hat der Hotelmanager die Nase vorn. Als die Gäste den Bus verlassen, sehen sie, dass der Manager eine unendliche Tafel aufgestellt hat, die jedem zeigt, wo sich sein Zimmer befindet. Er hat dazu eine unendliche Tabelle angelegt, deren Zeilen und Spalten mit den ganzen Zahlen nummeriert sind. In jedem Feld der Tabelle steht dann die rationale Zahl, die sich ergibt, wenn man die Zeilennummer als Zähler nimmt (die Zahl über dem Bruchstrich) und die Spaltennummer als Nenner (die Zahl unter dem Bruchstrich). Jede rationale Zahl muss sich dort finden, so wie jeder einzelne Gast seinen Zähler und Nenner finden und sein Zimmer in der Tabelle aufsuchen kann. Der Manager hat in der linken unteren Ecke mit der Zählung begonnen und die Einträge systematisch im Zickzack nummeriert. So bekommt jeder Eintrag seine eigene ganze Zahl, und diese stellt die Zimmernummer des Gastes mit den entsprechenden Koordinaten dar.

Wieder einmal steigen die unendlich vielen Gäste gleichzeitig aus dem Bus, schauen zusammen auf die Tabelle, um ihre Zimmernummer zu entdecken, und machen es sich dann im Hotel bequem. Mit Hilfe dieser Methode ist es möglich, die unendliche Menge der rationalen Zahlen (alle möglichen Brüche) eineindeutig mit der unendlichen Menge der natürlichen Zahlen (der positiven ganzen Zahlen) zu verbinden. Sie haben beide die gleiche Unendlichkeit, unabhängig davon, was unsere Intuition meinte, für wahr halten zu müssen. Das zeigte Cantor 1873 als Erstes.

Die Methode ist allerdings ein bisschen unordentlich. Das Problem besteht darin, dass dieses Raster aller rationalen Zahlen eine Menge Wiederholungen enthält. Die Person mit dem Schild «Gast 1/2» kann ihre Nummer am Schnittpunkt von 1 aufwärts und 2 quer lesen, doch das Zimmer, das zu 2 aufwärts und 4 quer gehört, wird leer bleiben, weil 2/4 dasselbe wie 1/2 ist und dieser Gast bereits ein Zimmer hat. Während also alle rationalen Zahlen in das Hotel passen, bleiben trotzdem eine Menge Zimmer frei. Schöner wäre eine Methode, mit der man systematisch rationale Zahlen perfekt auf die ganzen Zahlen abbilden könnte. Dazu brauchen wir eine völlig neue Zahlenfolge.

Schreiben Sie nochmals die Fibonacci-Folge hin, doch diesmal mit einer kleinen Abänderung. Statt nur Zahlenpaare zu addieren, um zur nächsten Zahl in der Folge zu kommen, wiederholen Sie einfach jedes zweite Mal eine einzelne Zahl. Diese Folge wird mit 1,1 beginnen wie die Fibonacci-Folge, doch danach wird sie ziemlich wild aussehen (vgl. die Abbildung auf der nächsten Seite).

Die Folge bewegt sich mit einer Art synkopischem Rhythmus vorwärts und wächst schneller, als Sie mit dem Bilden der Folgeglieder nachkommen. Während Sie sich durch die Folge arbeiten, rast Ihnen das Ende der Folge davon!

Das mag nicht so erstaunlich erscheinen wie die Fibonacci-Folge: Die Zahlen brauchen lange, um größer zu werden, und dieselben Zahlen tauchen immer und immer wieder auf. Was sie jedoch erstaunlich macht, während man fortlaufend Zahlenpaare in Brüche verwandelt, ist, dass diese Liste jede einzelne rationale Zahl enthält. Diese Brüche beginnen mit 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/2, 2/3, 3/1, 1/4 … und jeder mögliche Bruch erscheint garantiert irgendwo in dieser unendlichen Folge. Und nicht nur das: Er wird auch nur genau einmal auftauchen und zwar garantiert in seiner einfachsten Form (sobald zum Beispiel 1/2 aufgetaucht ist, wird es keinen Bruch wie 2/4, 3/6, 10/20 oder irgend einen anderen Bruch, der gleich 1/2 ist, mehr geben). Diese Folge wurde im Jahr 2000 von den amerikanischen Mathematikern Neil Calkin und Herbert Wilf in einer vierseitigen Arbeit, betitelt «Recounting the Rationals». (die rationalen Zahlen neu gezählt), publiziert. (Mehr in den «Antworten am Ende des Buches».) Sie bezeichneten sie großzügig als Stern-Brocot-Folge, weil sie auf einer Arbeit basierte, die zwei andere Mathematiker namens Stern und Brocot bereits 1858 – 1860 geleistet hatten.

Abwechselnd eine Zahl kopieren und zwei Zahlen addieren.

Die Stern-Brocot-Folge

Die rationalen Zahlen sind also gleich unendlich. Selbst wenn ein Bus mit einer beliebigen algebraischen Zahl von Insassen ankommt, ist immer noch Platz für diese neuen Gäste. Manager Cantor hat eine Möglichkeit gefunden, sie auf die ganzen Zahlen abzubilden. Ihm war bekannt, dass jede algebraische Zahl Lösung einer endlichen Gleichung ist1, also fand er einen Weg, jede mögliche endliche Gleichung durch ihre Höhe zu charakterisieren (er erfand eine Funktion, die den Exponenten und die Koeffizienten einer solchen Gleichung kombiniert und daraus eine ganze Zahl erzeugt, die er «Höhe» nannte). Auch wenn eine Gleichung mehr als eine Lösung haben kann, so können diese doch geordnet werden, wie Kinder in einer Familie zum Beispiel, vom ältesten zum jüngsten. Das heißt, während irgendein Gast mit einer algebraischen Nummer aus dem unendlichen Bus aussteigt, kann er seine zugehörige Gleichung durch ihre Höhe finden, und seine Stellung innerhalb der Geschwisterlösungen gibt ihm seine ganzzahlige Zimmernummer.

Anscheinend passt jede denkbare unendliche Menge in das Hotel; alle haben dieselbe Größe an Unendlichkeit. Jedenfalls war das das funktionierende Verhältnis, das Mathematiker bis in die 1870er Jahre zur Unendlichkeit hatten. Sie wussten, dass es Unendlichkeit gab, und akzeptierten, dass Unendlichkeit irgendwie als eigene Sache existierte, doch waren alle unendlichen Dinge gleich. Alles, was immer weitergeht, hatte dieselbe unendliche Größe. Doch dann fand Cantor eine Busladung Gäste, die zu groß war, um in Hilberts Hotel zu passen. Er fand als Erster etwas, das größer als unendlich war.

Wir werden einen größeren Bus brauchen

Für mich ist die Entdeckung, dass es unterschiedlich große Unendlichkeiten gibt, eines der tollsten Stücke Mathematik. Unsere Gehirne können nicht wirklich erfassen, was Unendlichkeit ist, geschweige denn sie von dem Konzept einer größeren Unendlichkeit unterscheiden. Dennoch gelang es Cantor nachzuweisen, dass solche Dinge existieren. Statt alles, was immer weitergeht, unter derselben Unendlichkeit zu subsumieren, zeigte sich, dass manche Dinge mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten immer weitergehen.

Am Horizont taucht nun noch ein Bus auf, der auf Hilberts Hotel zuhält: ein Bus mit zu vielen Menschen darin, als dass sie alle ein Zimmer bekommen könnten. Er hält an, die Türen öffnen sich, und drinnen sitzen die reellen Zahlen. Und nicht einmal alle reellen Zahlen, nur die reellen Zahlen zwischen 0 und 1. Ganz vorne im Bus sitzt Gast 0 und auf dem hintersten Rücksitz Gast 1. Dazwischen befindet sich jede mögliche Dezimalzahl. Zusammen mit rationalen und algebraischen Gästen befinden sich irgendwo im Bus auch Gäste mit jeder möglichen Abfolge von Dezimalstellen, die man sich vorstellen kann.

Cantor gelang es zu zeigen, dass jede denkbare Methode, mit der man diesen Gästen die ganzzahligen Zimmer des Hotels zuordnet, immer mindestens einen Gast ohne Zimmer übrig lässt. Und wenn es keinen Weg gibt, zwei Mengen ohne Rest miteinander in Beziehung zu setzen, dann muss die eine Menge größer sein als die andere. Erstaunlicherweise bewies Cantor das nicht nur für diverse kluge Paarungen, die er sich ausdachte, er wies es für jede erdenkliche Paarung nach. Es liegt nicht einfach daran, dass Menschen nicht clever genug sind, die reellen Zahlen im Hotel unterzubringen. Nein, eine solche Lösung ist einfach nicht möglich.

Nachdem dieser Bus angekommen ist, läuft ein Hotelangestellter heraus. Von dem Gedanken beunruhigt, ein Geschäft zu verpassen, behauptet er, die reellen Zahlen systematisch ins Hotel schleusen zu können: Das heißt, er behauptet, eine Liste aller reellen Zahlen aufstellen und jede von ihnen mit ihrer eigenen ganzen Zahl paaren zu können. Doch der Manager Cantor weiß, dass er sich jede solche nur vorstellbare Liste vornehmen kann und immer eine reelle Zahl finden wird, die nicht darauf steht. Ganz gleich, was der Hotelangestellte behauptet, es wird immer Gäste ohne Zimmer geben.

Der Systematik wegen erhöhen wir jede Ziffer um 1, wobei aus 9 eine 0 wird.

Cantor geht so vor: Er schaut nach, welcher Gast in Zimmer 1 ganz oben auf der Liste steht, und weist dem «übrig gebliebenen» Gast an der ersten Dezimalstelle eine Ziffer zu, die sich von der des Gastes im Zimmer 1 unterscheidet. Dann nimmt er sich die zweite Stelle des übrig gebliebenen Gastes vor und macht sie von der zweiten Stelle des Gastes in Raum Nummer 2 verschieden usw. Sobald er fertig ist, hat er für jede Gästeliste einen übrig gebliebenen Gast, der sich nicht auf der Liste befindet. Jedes beliebige Zimmer in Hilberts Hotel, Zimmer n, hat für den übrig gebliebenen Gast eine unterschiedliche Ziffer an der n-ten Dezimalstelle, seine Dezimalzahl findet sich nicht auf der Liste. Das unendliche Hotel ist unendlich belegt, und doch gibt es einen übrig gebliebenen Gast ohne Zimmer. Die Menge der reellen Zahlen entspricht einer größeren Unendlichkeit als die Menge der ganzen Zahlen.

Mit mehr als einer Unendlichkeit im Spiel brauchen wir nun verschiedene Namen. Die alte Unendlichkeit, bekannt und beliebt, die Unendlichkeit der ganzen Zahlen also, nennt man «abzählbar unendlich», weil man alle Dinge in einer abzählbar unendlichen Menge mit Hilfe ganzer Zahlen aufzählen kann. Die Unendlichkeit der reellen Zahlen ist nicht abzählbar (auch: überabzählbar) unendlich. Wenn man etwas als zahllos beschreibt, als unzählbar, dann handelt es sich, technisch gesprochen, um die größere Unendlichkeit der reellen Zahlen. Weil diese unzählbare Unendlichkeit sich auf der kontinuierlichen Strecke der reellen Zahlen zwischen 0 und 1 wiederfindet (während ganze, rationale und algebraische Zahlen immer Lücken haben, haben das die reellen Zahlen nicht), bezieht man sich auf diese Unendlichkeit als Kontinuum.

Und angesichts mehrerer zur Verfügung stehender Unendlichkeiten müssen wir, wann immer wir von Unendlich sprechen, die Frage stellen: Wie unendlich ist Unendlich? Es folgen eine neue unendliche Situation und zwei altbekannte:

- Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, eine Pizza so in Stücke zu schneiden, dass sie nicht alle das Zentrum berühren, doch welches «Unendlich» ist das?

- Welche Unendlichkeit unterschiedlicher Formen mit konstanter Höhe gibt es?

- Das Ende einer Schachpartie wird normalerweise durch Regeln erzwungen, falls sie zu lang wird. Doch wenn wir immer weiter spielen könnten, welche Unendlichkeit verschiedener Spiele wäre möglich?

Man kann zeigen, dass es nur abzählbar unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Pizza in Stücke zu zerteilen, die nicht alle das Zentrum berühren.2 Wie gesehen, beginnt das Zerschneiden einer Pizza mit einer regelmäßigen Form konstanter Breite und ungeradzahliger Anzahl von Seiten, und es gibt abzählbar unendlich viel Nachschub davon (eine Form für jede ungerade Zahl), und jede lässt sich wieder in eine ganze Zahl von Stücken aufteilen. In jedem Schritt mag es unendlich viele Wahlmöglichkeiten geben, doch es sind mit ganzen Zahlen nummerierbare, diskrete Wahlmöglichkeiten. Deshalb ist das Resultat abzählbar unendlich.

Es existieren jedoch nicht abzählbar viele mögliche Formen konstanter Breite. Es gibt zwar nur das eine regelmäßige gleichseitige Dreieck, aber es gibt unendlich viele Dreiecke, die nicht regelmäßig sein müssen. Man kann ein Dreieck verändern, indem man die Länge einer Seite ändert, und dafür gibt es ein kontinuierliches Spektrum an Möglichkeiten. Die Seite eines Dreiecks könnte zum Beispiel eine beliebige reelle Zahl zwischen 1 und 2 sein, und das sind nicht abzählbar unendlich viele Möglichkeiten. Wenn etwas mit einer kontinuierlichen Menge von Wahlmöglichkeiten in Beziehung gesetzt werden kann, dann weiß man, dass es nicht abzählbar unendlich viele davon gibt.

Bei der Anzahl möglicher Schachpartien wird die Sache noch interessanter, weil es für jeden Zug nur eine endliche Zahl von Figuren gibt, die man ziehen kann, und weil diese auch lediglich eine feste Zahl neuer Positionen auf dem Brett einnehmen können. Gefühlsmäßig wäre die Anzahl möglicher Partien abzählbar unendlich. Scheinbar gibt es keine kontinuierlichen Wahlmöglichkeiten, auf die man ein Schachspiel abbilden könnte; alle Stellungen sind diskret. Und doch können wir die Züge direkt den reellen Zahlen zuordnen. Stellen Sie sich eine Partie vor, in der ein Spieler eine einzelne Dame hat, sodass er bei jedem Zug wählen kann, ob er sie auf ein schwarzes oder ein weißes Feld stellt. Das entspricht der Wahl zwischen einer 1 und einer 0. Also kann der Spieler irgendeine reelle Zahl wählen, sie in eine binäre umwandeln und seine Figur entsprechend der Folge dieser Ziffern bewegen. Weil das aber bedeutet, dass jede reelle Zahl eine unterschiedliche mögliche Schachpartie liefert, gibt es überabzählbar unendlich viele Partien. Kein Wunder, dass man die Maximalzahl der Züge begrenzt.

Nachwirkungen der Unendlichkeit

Die Verwirrung anderer Mathematiker beruhte zum Teil darauf, dass Cantor nicht nur zwei unterschiedliche Unendlichkeiten entdeckt hatte, sondern viele. Diese völlig neue Welt von Unendlichkeiten unterschiedlicher Größe wurde mit Hilfe des hebräischen Buchstabens Aleph (ℵ) benamst. Aleph-Null ist die kleinste aller Unendlichkeiten und hat die Größe der Menge der ganzen Zahlen. Man schreibt das Aleph-Symbol mit einem Index null: ℵ_0 . Die nächstgrößere Unendlichkeit ist ℵ_1, gefolgt von ℵ_2 usw. für noch größere Unendlichkeiten. Das setzt sich für unendlich viele Unendlichkeiten unterschiedlicher Größe fort. Kein Wunder, dass Mathematiker Schwierigkeiten hatten, das alles zu schlucken.

Es gab auch eine große Unbekannte: Was war ℵ_1? Cantor hatte bewiesen, dass die nicht abzählbare Unendlichkeit einer kontinuierlichen Strecke größer war als die kleinste Unendlichkeit der abzählbaren Zahlen ℵ_0, doch er konnte nicht zeigen, dass es definitiv die nächstgrößere war. Die nicht abzählbare Unendlichkeit der reellen Zahlen könnte ℵ_1 sein, oder es könnte eine davon verschiedene Unendlichkeit geben, die noch niemand gefunden hat, welche kleiner als die kontinuierliche Unendlichkeit, aber größer als die abzählbare Unendlichkeit ℵ_0 ist. Nach Cantors Bauchgefühl bildeten die reellen Zahlen die nächste Unendlichkeit ℵ_1, und dies wurde als Kontinuumshypothese bekannt. Was immer sie auch versuchten, Mathematiker konnten die Kontinuumshypothese bisher weder beweisen noch widerlegen.

Als David Hilbert seine Liste mathematischer Fragen, die im Jahr 1900 noch der Lösung harrten, aufstellte, befand sich die Riemann’sche Vermutung an Position acht, die Kontinuumshypothese aber an erster Stelle. Allerdings wurde die Kontinuumshypothese, anders als die Riemann-Hypothese, im 20. Jahrhundert gelöst – jedoch keineswegs auf eine Weise, die Mathematikern gefiel. Sie wurde eher zerstört als gelöst. Und das alles begann mit dem zweiten Problem auf Hilberts Liste.

Hilbert war ein großer Fan von Axiomen (die Aussagen, die Mathematiker als wahr voraussetzen). Seit Euklid Die Elemente geschrieben, sie mit seinen axiomatischen Voraussetzungen begonnen und daraus alles andere gefolgert hatte, waren Mathematiker von Axiomen besessen. Hilberts großer Beitrag zur Mathematik bestand darin, aus den Voraussetzungen von Euklid und den Beschränkungen, die das Konstruieren mit Zirkel und Lineal auferlegt, einen vollständigen Satz von zwanzig Axiomen zu finden, aus denen alle Geometrie sich folgern lässt. Zum ersten Mal war jemand so klar und bestimmt, was die Verwendung von Axiomen in der Mathematik angeht, und häufig wird von Hilbert gesagt, er habe den größten Einfluss in der Geometrie nach Euklid gehabt. Problem Nummer zwei auf seiner Liste beinhaltete, ob irgendjemand das, was er, Hilbert, in der Geometrie gemacht hatte, auf jedwede Mathematik ausdehnen könnte. Er wollte wissen, ob man einen vollständigen Satz Axiome finden könnte, auf dem die ganze Mathematik sicher ruhen würde.

Die ersten beiden Fragen auf Hilberts Liste wurden schon bald von dem Mathematiker Kurt Gödel beantwortet. Gödel, der 1906 geboren wurde (also gerade mal ein paar Jahre, nachdem Hilbert seine Liste aufgestellt hatte), war ein österreichischer Mathematiker, der wie Cantor unter Depressionen litt. Er lernte seine Frau in einem Nachtklub kennen, und nachdem Hitler Österreich 1938 Deutschland einverleibt hatte, flohen beide 1940 über Russland und Japan in den USA. Gödel war zuvor schon einmal in Princeton gewesen, und so lebte und arbeitete er nach der Ankunft in der USA dort (und wurde ein enger Freund eines weiteren Flüchtlings namens Albert Einstein) bis zu seinem Tod 1978. Berühmt ist er jedoch für seine Forschung 1931 an der Universität Wien. Schon zwei Jahre, nachdem er mit 25 Jahren sein Studium abgeschlossen hatte, veröffentlichte er sein berüchtigtes Unvollständigkeitstheorem. Die Mathematik war danach nicht mehr dieselbe.

In einer einzigen Arbeit bewies Gödel, dass Mathematik niemals vollständig sein kann. Im ersten Unvollständigkeitssatz wies er nach, dass es für jede Axiomenmenge, die denkbar und nützlich wäre (insbesondere einschließlich der grundlegenden Arithmetik), immer etwas geben wird, das man mit Hilfe dieser Axiome nicht beweisen kann.3 Ganz gleich, wie gut die Axiome sind, es wird immer einen mathematischen Satz geben, der sich in diesem axiomatischen Rahmen weder beweisen noch widerlegen lässt. Man kann das durch Hinzufügen eines Extra-Axioms reparieren, doch dann wird es wiederum ein weiteres Theorem geben, das sich dem Zugriff der Mathematik entzieht. Im Endeffekt kann die Mathematik niemals alles beweisen.

Genau das war das Problem mit der Kontinuumshypothese. Zu Beginn des 20. Jahrhunderts hatten sich die Mathematiker auf einen Satz von neun Axiomen zur Beschreibung von Unendlichkeit geeinigt, zusammenfassend ZFC genannt – kurz für Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom. (Mehr in den «Antworten am Ende des Buches».) Doch die Kontinuumshypothese gehörte zu den Sätzen, die weder bewiesen noch widerlegt werden konnten. Innerhalb der Axiome der ZFC war sie unentscheidbar. Dasselbe Problem hatte Euklid mit dem Parallelenaxiom gehabt: Man kann aus den anderen Axiomen allein weder herleiten, dass es Parallelen gibt, noch, dass es sie nicht gibt. Entweder setzt man voraus, dass es Parallelen gibt, und bekommt damit einen bestimmten Typ Geometrie, oder man setzt es nicht voraus und bekommt einen anderen. Beide Möglichkeiten sind gleich gültig.

Die Mathematik hatte die Wahl: Sie konnte entweder annehmen, dass die reellen Zahlen ℵ_1 bilden, oder sie konnte annehmen, dass sie es nicht tun. Sie konnte wählen, welches die nächste Unendlichkeit nach den abzählbaren Zahlen ist, was dadurch festgelegt würde, welches neue Axiom man zu ZFC hinzufügte. Das Problem besteht darin, dass Axiome Dinge sein sollen, die sich von selbst erschließen, und in diesem Falle gibt es keine zwingende Wahlmöglichkeit. Die Debatte über ein zehntes Axiom dauert bis heute an. Wenn Sie möchten, dass die Kontinuumshypothese falsch ist, dann gibt es sogenannte Erzwingungs-Axiome, die sie im Prinzip zwingen, falsch zu sein. Es gibt einen funktionierenden Kandidaten namens Martins Axiom, der 1970 vorgeschlagen wurde. Wenn die Kontinuumshypothese wahr sein soll, muss man ein sogenanntes inneres Modell finden. Das ist schwieriger, doch man glaubt, dass ein Axiom mit dem Namen Ultimate L es schaffen kann. Die große Frage ist: Was will man? So oder so wird die Wahl eines Axioms fruchtbare, aber unterschiedliche Ergebnisse erzeugen.

So also sieht das «Paradies» aus, von dem Hilbert behauptete, Cantor habe es geschaffen: ein Paradies mit unendlich vielen, aber unterschiedlich großen Unendlichkeiten und der unentscheidbaren Frage nach der zweitkleinsten. Man kann es so oder so haben. Nun verstehen Sie, warum zeitgenössische Mathematiker die ganze Sache als Albtraum ansahen. Da Mathematik sich auf Beweis und Gewissheit gründet, rief eine solche Unsicherheit bei den Mathematikern Unbehagen hervor. Doch mittlerweile haben wir uns an die unsichere Welt des Transfiniten gewöhnt, und sie bleibt aufregenderweise sogar ein aktives Feld mathematischer Forschung (und Diskussion) bis zum heutigen Tag. So wie sich eine neue Insel aus Lava verfestigt, können wir immer noch neue Gebiete der Mathematik sich bilden und Form annehmen sehen.

n + 1

Das NACHfolgende Kapitel

Da wären wir. Am Ende des Buches. Begonnen haben wir mit Spielen, in denen es um ganze Zahlen und einfache Formen ging. Wir haben von Knoten bis zu Graphen neue Welten erforscht und sind in Tausende von Dimensionen jenseits unserer Realität vorgestoßen. Wir haben gesehen, wie einiges davon moderne Technologie ermöglicht, und sogar, wie moderne Computer mathematische Sätze für uns beweisen. Wir haben das Unendliche erreicht und hinter uns gelassen und letzten Endes festgestellt, dass, ganz gleich wie viel Mathematik Menschen auch immer entdecken, einige wenige Beweise stets außer Reichweite bleiben werden.

Ich zumindest finde Gödels Unvollständigkeitssätze ziemlich tröstlich. Sie zeigen, dass Mathematik niemals vollständig sein wird. Es wird immer etwas geben, das im gegebenen axiomatischen Rahmen unentscheidbar ist. Sollte die Menschheit noch ein paar Millionen Jahre überleben und weiterhin Mathematik in dem Maße betreiben, wie wir das in den letzten Jahrtausenden getan haben, dann werden wir immer noch nicht alles entdeckt haben. Es wird immer Arbeit für all die zukünftigen Mathematiker geben. Und wie immer wird ein Teil ihrer Arbeit unglaublich nützlich für den Rest der Zivilisation sein, während vieles andere einfach sinnlose, aber unendlich unterhaltsame Spielerei von Akademikern sein wird.

Hinter all dem steckt ein nicht aufgeklärtes Geheimnis, das ich im ganzen Buch sorgfältig gemieden habe. Wenn Mathematik das Ergebnis von Spielen und Rätseln ist, das Resultat puren Intellekts, warum ist sie dann in der Praxis so nützlich? Ich präsentiere Mathematik gern als ein Stück Unterhaltung, doch niemand kann leugnen, dass mathematische Techniken zur Werkstatt moderner Technologie gehören. In der Wirklichkeit ist Mathematik ein ernsthaftes industrielles Unterfangen. Es herrscht eine Spannung zwischen dem, was nach meiner Behauptung der Ursprung von Mathematik ist, und ihrem letztlichen Nutzen. Warum ist das so?

Und die Wahrheit ist: Wir wissen es nicht.

1980 schrieb Richard Hamming, für seine Codes berühmt, eine Arbeit mit dem Titel ‹The Unreasonable Effectiveness of Mathematics›. (Die unvernünftige Wirksamkeit von Mathematik). Sie basierte auf einer Veröffentlichung des ungarischen Nobelpreisträgers, Physikers und Mathematikers Eugene Wigner aus dem Jahr 1960, die nahezu denselben Titel hatte. Beide waren ganz pragmatische Mathematiker, die freiwillig «angewandte» Mathematik betrieben, und in ihren Veröffentlichungen argumentierten sie, dass es keinen augenscheinlichen Grund gibt, warum Mathematik als Ausgeburt reinen menschlichen Denkens so nützlich in der realen Welt sein sollte. Der Ausdruck ‹unvernünftige Wirksamkeit› ist seitdem zum Schlagwort für dieses Rätsel geworden.

Und nicht nur die elementare Mathematik passt offenbar gut zur Wirklichkeit um uns herum; selbst hoch abstrakte Konzepte bewähren sich. Wissenschaftler haben immer Mathematik gebraucht, um ihre Theorien zu beschreiben, und mit wachsender Kompliziertheit ihrer Theorien wuchsen auch die Anforderungen an immer ausgefeiltere und weiter fortgeschrittene mathematische Ideen. Im frühen 20. Jahrhundert hat sich jedoch etwas Grundlegendes geändert. Die notwendige Mathematik wurde mit erstaunlicher Geschwindigkeit, weit jenseits dessen, was irgendjemand erwartet hatte, immer abstrakter und bizarrer.

Nichteuklidische Geometrie und nichtkommutative Algebra, die zuvor lediglich als Fiktionen des Geistes und als Zeitvertreib für Logiker angesehen worden waren, haben sich inzwischen als sehr notwendig zur Beschreibung allgemeiner Tatsachen der physikalischen Welt erwiesen.

‹Quantised singularities in the Electric Field›, Paul Dirac 1931

Diracs Erfahrung, dass abstrakte Mathematik die Existenz des sehr realen Antielektrons vorhersagte, führte ihn zu der Schlussfolgerung, dass man nun auf neuartige Weise Physik betreiben könne. Er schlug vor, theoretische Physiker sollten sich nicht von vornherein Gedanken über Experimente machen, sondern mit mathematischen Theorien herumspielen und solche Theorien finden, die mathematisch ansprechend funktionieren. Schöne Mathematik in einer nicht getesteten Theorie zu haben, galt als eine Art Gütesiegel, weil das Universum offenbar elegante Mathematik schätzt, ganz gleich, wie abstrakt sie sein mag. Mathematisch ansprechende Theorien konnte man anschließend experimentell testen.

Die Stringtheorie ist ein perfektes Beispiel dafür. Statt der 4D-Raumzeit von Einstein benötigen einige Versionen der Stringtheorie eine 11D-Raumzeit, was uns mit mehr räumlichen Dimensionen ausstattet. Es hat jedoch noch nie einen Hinweis irgendwelcher Art darauf gegeben, dass die Stringtheorie richtig ist. Es gibt null Beobachtungen von irgendetwas jenseits der 4D-Raumzeit. Es ist einfach diese unglaublich schöne Mathematik hinter der Stringtheorie! Alles fügt sich so hübsch und elegant zusammen, dass es nahezu verschwenderisch erschiene, wenn das Universum davon nicht Gebrauch machen würde.

Weil sich Mathematik als so nützlich zur Beschreibung des Universums erweist, entsteht die Versuchung, die Denkrichtung umzukehren und zu prüfen, wie Physik die Mathematik dahingehend beeinflussen kann, dass eine Version mathematischer Wahrheit real sein müsste, weil sie zu der uns umgebenden Welt passt. Doch ganz gleich, wie viele Dimensionen unser Universum wirklich hat, das ändert nichts an der Mathematik. Ganz ähnlich könnten wir wissen wollen, ob unser Universum euklidisch ist oder nicht; wenn wir weit genug hinauszoomen, würden Parallelen dann immer noch möglich sein? Die Anfrage ans Universum könnte das Parallelenpostulat klären, doch das hieße, den Wagen vor das Pferd zu spannen. Mathematik existiert unabhängig von physikalischer Realität – sie wird nicht von ihr geformt.

Unsere Hyperthetiker könnten in einem von unserem völlig verschiedenen Universum leben und wir würden trotzdem dieselbe Mathematik entdecken. Und nur ein kleiner Teil dieser Mathematik würde sich auf die Realität um uns herum anwenden lassen. Doch das macht den Rest nicht ungültig. Soviel wir wissen, könnte die abstrakte Mathematik des einen Wesens die physikalische Realität des anderen erklären. Ich kann mir nichteuklidische 4D-Hyperthetiker vorstellen, die verzweifelt versuchen, sich das absurde Konzept von 3D-Lebewesen vorzustellen, welche in einer Welt mit Parallelen und Knoten leben. Ihr Gedankenexperiment könnte unsere Realität sein und umgekehrt. Aber die Mathematik ist dieselbe. Es ist alles gleichermaßen wahr.

Ich hoffe sehr, dass dieses Buch Ihren Appetit auf unterhaltsame Mathematik geweckt hat. Mit dem Zählen von Formen haben wir angefangen und damit einen sehr schmalen und speziellen Weg zu den Grenzen menschlichen Wissens eingeschlagen. Wir hätten zahllose andere Wege nehmen können, und ich hoffe, dass Sie einige weitere Bücher über die vielen, vielen Felder lesen, die ich in dieses endliche Buch nicht habe aufnehmen können. Und ich hoffe, dass Sie wie ich Befriedigung darüber empfinden, dass die Welt der Mathematik grenzenlos ist und Menschen sie weiterhin erforschen und neue Dinge bis in alle Zeiten entdecken können.

Nun, da Sie am Ende des Buches angekommen sind: Machen Sie weiter Mathematik! Hängen Sie Bilder auf neuartige und gefährliche Weise an die Wand, schneiden Sie Pizzen und Kuchen in unfehlbar gerechte Stücke und wetten Sie mit einem Freund, dass sein Glas einen größeren Umfang hat als es hoch ist. Und natürlich müssen Sie zumindest einem Menschen zeigen, was passiert, wenn Sie ein Möbiusband der Länge nach aufschneiden.

Die Antworten am Ende des Buches

Kapitel 1: Flott gefingert

Warum sind die Potenzen von 2 die einzigen Zahlen, die sich nicht als Summe aufeinander folgender Zahlen schreiben lassen?

Dazu zeigen wir als Erstes, dass sich alle anderen Zahlen als Summe aufeinander folgender Zahlen schreiben lassen.

Ungerade Zahlen bieten sich zuerst an. Wenn eine Zahl ungerade ist, dann ist sie das Zweifache irgendeiner Zahl plus 1, was wir als 2n + 1 schreiben können, wobei n eine beliebige ganze Zahl sein kann. Das heißt, sie ist die Summe der aufeinander folgenden Zahlen n und n + 1. Beispielsweise ist die Zahl 17 (2 × 8 + 1) gleich 8 + 9.

In Ordnung, nun zu den geraden Zahlen. Wenn eine gerade Zahl ein Vielfaches von 3 ist, wissen wir, dass sie gleich irgendeinem Wert 3n ist. Daher können wir sie als die Summe (n − 1) + n + (n + 1) schreiben. Tatsächlich funktioniert das bei jedem ungeraden Faktor: Wenn die Zahl durch 5 teilbar ist, ist sie gleich (n − 2) + (n − 1) + n + (n + 1) + (n + 2). So ist 100 gleich 20 × 5, also gleich 18 + 19 + 20 + 21 + 22.

Das heißt, dass jede Zahl, die einen ungeraden Faktor enthält, als Summe konsekutiver Zahlen geschrieben werden kann. Die einzigen Zahlen, die keinen ungeraden Faktor haben, sind genau diejenigen, deren Primzahlzerlegung nur gerade Faktoren aufweist. Und da 2 die einzige grade Primzahl ist, handelt es sich nur um Zahlen wie 2, 2 × 2, 2 × 2 × 2 und so weiter.

Aber damit haben wir erst die Hälfte des Weges geschafft.

Der Vollständigkeit halber müssen wir beweisen, dass diese Zahlen, die Potenzen von zwei sind, nicht als die Summe aufeinander folgender Zahlen geschrieben werden können. Um das zu zeigen, werden wir beweisen, dass keine Summe konsekutiver Zahlen eine Gesamtsumme ergeben kann, die eine Potenz von zwei ist.

Über alle beliebigen Summen, die eine ungerade Anzahl aufeinander folgender Zahlen aufweisen, brauchen wir uns nicht den Kopf zu zerbrechen, da die Gesamtsumme stets durch eine ungerade Zahl teilbar ist.

Schauen wir uns an, was passiert, wenn wir eine gerade Zahl aufeinander folgender Zahlen addieren:

n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) + (n + 5) = 6n + 15
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) + (n + 5) + (n + 6)

+ (n + 7) = 8n + 28

Sie können erkennen, dass sich ein Muster herauskristallisiert: Für eine Summe von k konsekutiven Zahlen erhalten wir k mal n plus der Summe der ganzen Zahlen 1 bis (k – 1). Wie wir im dritten Kapitel noch sehen werden, handelt es sich um Dreieckszahlen. Weil Dreieckszahlen, die die Summe der ersten (k – 1)-Zahlen sind, als k(k – 1)/2 geschrieben werden können, kann die ganze Zahl in der Form nk + k/2(k – 1) geschrieben werden. Weil 3k gerade ist, ist auch k/2 eine ganze Zahl, und nk + k/2(k – 1) lässt sich als Produkt zweier ganzer Zahlen k/2(2n + k – 1) umschreiben, und der Term rechts ist eine ungerade Zahl (wiederum, weil k gerade ist). Das heißt, dass die Gesamtsumme keine Potenz von zwei sein kann, da sie definitiv einen ungeraden Faktor aufweist.

Eine Liste kleiner narzisstischer Zahlen

Man kann diese Zahlen mit simplen Computerprogrammen oder einer Tabellenkalkulation finden. Wenn Sie Ihre Antworten überprüfen möchten: Ich habe diese Zahlen unten aufgelistet. Sie lassen sich auch in der Online Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) als Folge A005188 finden. Die OEIS ist eine bemerkenswerte Sammlung fast jeder Zahlenfolge, die die Menschheit kennt. Wann immer Sie eine Zahl mit einem «A» wie A002193 sehen, schauen Sie unter oeis.org nach.

2 Ziffern: keine Werte

3 Ziffern: 153; 370; 371; 407

4 Ziffern: 1634; 8208; 9474

5 Ziffern: 54 748; 92 727; 93 084

Wann der 37er-Trick funktioniert

Ich habe behauptet, dass der «Wiederhole dieselbe Ziffer n-mal und teile sie dann durch die Summe der Ziffern»-Trick funktioniert, wenn n ein Faktor von b – 1 für eine beliebige Basis b ist. Und er funktioniert tatsächlich immer, wenn das der Fall ist, doch er funktioniert auch in einigen wenigen weiteren, sehr speziellen Situationen.

Um es genau zu sagen: Er funktioniert immer dann, wenn n ein Faktor von 1 + b + b^2 + b^3 + … + bn–1 ist.

Puh, was für eine Erleichterung, das losgeworden zu sein.

Keine Münchhausen-Zahl

Einige Leute behaupten, 438 579 088 sei eine Münchhausen-Zahl auf der Basis 10, da 0^0 = 0 ist. Diese Leute haben unrecht.

Kapitel 2: FORMEN formen

Der Beweis steckt im Pentagon

Wenn man einen Knoten in einen geraden Papierstreifen knotet und flachdrückt, ergibt sich ein Fünfeck oder Pentagon. Um zu beweisen, dass es völlig regelmäßig ist, müssen wir zeigen, dass alle fünf Innenwinkel genau 108° aufweisen, und das können wir tun, indem wir beweisen, dass sie alle gleich groß sind (die Summe der Innenwinkel in einem Pentagon beträgt 540°).

Wenn wir den Pentagon-Knoten schlingen, flachdrücken, die Ränder falzen und den Knoten dann wieder entfalten, kann man die Knickfalten auf den verschiedenen Teilen des Papierstreifens erkennen. Alles, was wir tun müssen, ist, zu beweisen, dass diese Winkel alle gleich groß sind.

Indem man das Pentagon entfaltet und wieder einfaltet, kann man die Winkel auf verschiedenen Teilen des Papierstreifens vergleichen. In den Abbildungen auf der nächsten Seite liegen die beiden mit A gekennzeichneten Winkel aufeinander, wenn das Pentagon gefaltet ist. Dann können wir uns die Tatsache zunutze machen, dass die Kanten des Papierstreifens parallel sind, und daraus ableiten, dass zwei weitere Winkel gleich A sind.

Papierstreifen mit flachgedrücktem Knoten, der ein Pentagon bildet

Indem wir den Falten-und-Winkel-vergleichen-Schritt wiederholen, finden wir einen weiteren Winkel, der genauso groß wie A ist; dann benutzen wir erneut die parallelen Kanten, um zu zeigen, dass der nächste Winkel ebenfalls mit A identisch ist. Wir können diesen Schritt wiederholen, bis sich zeigt, dass all die Geraden, die den Streifen kreuzen, im selben Winkel A auf die Kante treffen. Das heißt, dass die Längen dieser Geraden (und damit die Länge der Ränder im Pentagon) identisch sind, denn die Breite des Papierstreifens ist konstant. Wer sagt’s denn!

Vollständige Anweisung zur Zerlegung quaderförmiger Kuchen

Okay, ich hab gelogen. Die Anweisung ist keineswegs vollständig.

Für meine Lösung des Problems, einen würfelförmigen Kuchen so in fünf Stücke zu zerlegen, dass alle fünf Stücke dasselbe Volumen und den gleichen Anteil glasierter Oberfläche aufweisen, habe ich von Punkten aus, die in gleichem Abstand um den Rand verteilt waren, senkrecht in den Mittelpunkt des Kuchens geschnitten. Ich habe versucht, diese Methode auch bei einem quaderförmigen Kuchen anzuwenden, und es wollte einfach nicht klappen. Vielmehr verwandelte sich der Kuchen in eine Trümmerlandschaft.

Bei Kuchen mit quadratischer Oberfläche hätten wir anfangs jede der vier Kuchenseiten in fünf gleiche Teile teilen können, anstatt den ganzen Rand des Kuchens in fünf gleiche Teile zu teilen; dann hätte jedes Stück vier dieser fünf Teile enthalten (der Kuchen hat vier Seiten und damit insgesamt 4 × 5 = 20 Segmente, sodass jedes Fünftel des Kuchenumfangs vier davon einschließt).

Schritte, um sämtliche Winkel zu bestimmen

Wie man quadratische und quaderförmige Kuchen zerteilt

Um zu einer allgemeinen Lösung für quaderförmige Kuchen zu kommen, unterteilen wir wieder jede der vier Kanten des oberseitigen Rechtecks in fünf gleiche Abschnitte, doch die Abschnitte auf den beiden längeren Kanten des Quaders sind länger als diejenigen auf den beiden anderen Seiten. Wenn der Quader beispielsweise von oben gesehen 10 cm × 15 cm misst, wird die 10-cm-Seite in fünf Abschnitte zu je 2 cm geteilt, die 15-cm-Seite hingegen in fünf Abschnitte zu je 3 cm. Anschließend fangen Sie wie zuvor an einer Ecke an und zählen vier Abschnitte ab, bevor Sie Ihre Schnittmarke anbringen, dann zählen Sie vier weitere Abschnitte ab (auch wenn diese unterschiedlich lang sind), und so weiter. Die Flächen all dieser Abschnitte sind identisch.

Wenn Ihre Gäste nicht sehr aufmerksam sind, kommen Sie damit vielleicht durch. Die Flächen oben auf jedem Kuchenstück sind tatsächlich gleich groß, und das Volumen der Stücke ist in allen Fällen identisch. Die ganze Sache platzt jedoch, wenn einer der Gäste bemerkt, dass die Längen nicht gleich sind, was den Umfang des Kuchens betrifft, und das bedeutet, dass die Glasurfläche an der Seite nicht länger fair verteilt ist!

Ja, die Pyramidenmethode würde bei einem quaderförmigen Kuchen funktionieren, doch sie ist noch immer so unpraktisch wie zuvor. Wenn jemand eine bessere Methode kennt, einen quaderförmigen Kuchen fair zu zerlegen, lassen Sie es mich wissen.

Kapitel 3: Quadrate, Quadrate!

Multipolygone Zahlen

Hier ist eine unvollständige (aber dennoch ziemlich umfassende) Liste multipolygoner Zahlen. Nun mit zugefügten Nullen! (Was technisch zählt.)

Dreiecks-Quadratzahlen:

0; 1; 36; 1225; 41 616; 1 413 721; 48 024 900; 1 631 432 881; 55 420 693 056; 1 882 672 131 025 … (A001110 im OEIS)

Pentagonale Dreieckszahlen:

0; 1; 210; 40 755; 7 906 276; 1 533 776 805; 297 544 793 910; 57 722 156 241 751 … (A014979 im OEIS)

Pentagonale Quadratzahlen:

0; 1; 9 801; 94 109 401; 903 638 458 801; 8 676 736 387 298 001; 83 314 021 887 196 947 001 … (A036353 im OEIS)

Hexagonale Dreieckszahlen (auch bekannt als Hexagonal- oder Sechseckzahlen):

0; 1; 6; 15; 28; 45; 66; 91; 120; 153; 190; 231; 276; 325; 378; 435; 496; 561; 630; 703; 780 … (A000384 in OEIS)

Hexagonale Quadratzahlen:

1; 1225; 1 413 721; 1 631 432 881; 1 882 672 131 025; 2 172 602 007 770 041; 2 507 180 834 294 496 361 … (A046177 im OEIS)

Hexagonale Pentagon- oder Fünfeckzahlen:

1; 40 755; 1 533 776 805; 57 722 156 241 751; 2 172 315 626 468 283 465; 81 752 926 228 785 223 683 195 … (A046180 im OEIS)

Kapitel 4: Formen verwandeln

Beweis, dass das Massenzentrum des Torklers auf derselben Höhe bleibt

Wenn man diese beiden Positionen des Torklers verwendet, kann man zeigen, dass der Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden Scheiben r√2 sein muss, damit die Höhe des Massenzentrums h in beiden Fällen dieselbe ist. Die Algebra kann ziemlich verzwickt werden, doch wenn man höllisch aufpasst, kommt immer dasselbe Ergebnis heraus. Für den Beweis hier habe ich jeden Schritt so gewählt, dass er sich möglichst leicht nachvollziehen lässt, was schon an Mogeln grenzt. Wenn Sie sich also bei einem Schritt fragen, warum ich scheinbar willkürlich mit irgendeinem Faktor wie (√2 + 1) multipliziere, dann deshalb, weil ich weiß, was als Nächstes folgt, und die Rechnung in weiser Voraussicht vereinfache.

Massenzentrum eines Torklers in zwei verschiedenen Positionen

Das Massenzentrum liegt dort, wo die beiden Schlitze aufeinander stoßen, genau auf der halben Strecke zwischen den beiden Scheibenmittelpunkten, das müssen Sie mir einfach glauben. Sein Abstand zum Zentrum jeder Scheibe ist d/2. In der rechten Position ergibt sich aus der Ähnlichkeit der beiden Dreiecke, die durch Boden, die schräg stehende Scheibe und jeweils h bzw. r gebildet werden:

In der linken Position ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras h = r/√2 , daher gilt

Multipliziert man beide Seiten mit r, so folgt:

Durch Multiplikation beider Seiten mit √2 erhalten wir:

Nun eine trickreiche Multiplikation beider Seiten mit (√2 + 1):

Haftungsausschluss: Damit ist lediglich bewiesen, dass die Mittelpunkte der beiden Scheiben tatsächlich √2 × r auseinanderliegen, wenn sich das Massenzentrum der Scheiben in diesen zwei Positionen auf der gleichen Höhe befindet. Zu beweisen, dass das Massenzentrum für alle dazwischen liegenden Positionen tatsächlich auf derselben Höhe bleibt, ist sehr viel schwieriger.

Wie man ein Hexaflexagon herstellt

Wie bereits erwähnt, gibt es zwei Hexaflexagontypen, und der eine Typ ist einfacher zu bauen als der andere. Der zweite Typ fällt leichter, wenn man den ersten gebaut hat, und ich werde an dieser Stelle beide beschreiben.

Um ein Trihexaflexagon zu bauen, beginnen Sie mit einem Papierstreifen und falten ihn so in gleichseitige Dreiecke, dass Sie zehn Stück in einer Reihe erhalten; Überstehendes wird abgeschnitten. Nun legen Sie den Streifen mit den zehn Dreiecken waagerecht vor sich auf den Tisch, sodass die «freie» Spitze des linken äußeren Dreiecks unten, die des Dreiecks außen rechts hingegen oben liegt.

Nehmen Sie die sieben Dreiecke rechts, klappen Sie sie ein und falten Sie sie über die drei Dreiecke links. Diese sieben Dreiecke sollten nun schräg nach unten links zeigen. Als Nächstes nehmen Sie die vier Dreiecke vom Ende, klappen sie ebenfalls ein und falten sie. Diese Dreiecke kommen auf dem Dreieck links außen zu liegen, unter das Sie sie stecken müssen. Nun sollte ein Dreieck hinter der oberen linken Ecke eines Sechsecks herausstehen. Falten Sie dieses Dreieck um und kleben Sie es auf dieses ursprünglich am weitesten links gelegene Dreieck.

Das ist ein Trihexaflexagon, und um es zu öffnen, müssen Sie drei Ecken reihum des Hexagons zusammendrücken, sodass eine Vertiefung in der Mitte entsteht und sich die Figur von der anderen Seite öffnet. Dadurch sollte die dritte Fläche sichtbar werden, und man kann zu den beiden anderen zurückkehren, indem man das Gebilde erneut faltet. Insgesamt hat das Trihexaflexagon drei Flächen.

Um ein Hexahexaflexagon zu konstruieren, beginnt man mit einem längeren Streifen Dreiecke (19 insgesamt, und bevor man ihn wie zuvor zu einem Sechseck faltet, wickelt man den Streifen Dreiecke zu einer Spirale auf (Sie können ihn um ein Lineal der richtigen Breite wickeln oder einfach jede zweite Kante zwischen zwei Dreiecken in dieselbe Richtung knicken). Sobald Sie eine Spirale geformt haben, sollten Sie ein Gebilde erhalten haben, das wie ein Streifen aus zehn Dreiecken aussieht, und Sie können den Anweisungen oben folgen, um das Ganze einzuklappen und zu einem Sechseck zusammenzukleben. Dieses Hexahexaflexagon hat sechs verschiedene Flächen, und man kann es in derselben Weise öffnen und schließen, um sie alle zu finden.

Kapitel 6: Gut gepackt ist halb gewonnen

31 Münzen in einer Box

Ich habe es erwähnt, als wir über die effizienteste Methode sprachen, Münzen zu packen: Obwohl noch nicht bewiesen ist, dass dies das endgültige Ergebnis ist, beträgt die Seitenlänge des kleinsten Quadrats, in das 31 Zwei-Pence-Münzen passen, 145,514 mm. Wenn Sie versuchen wollen, diesen Rekord zu brechen, dann ist das die Marke, die Sie unterbieten müssen. Die gegenwärtige Rekord-Anordnung sieht so aus:

Die Aufgabe ist, 31 Münzen in einem Quadrat unterbringen. Vier von ihnen haben noch Spielraum zum Herumrutschen!

Kapitel 7: Prime Time

Das Quadrat einer jeden Primzahl ist um 1 größer als ein Vielfaches von 24

Als ich diesen Satz zum ersten Mal bewies, habe ich den langen Weg gewählt. Ich habe mit der Tatsache begonnen, dass alle Primzahlen um 1 größer oder kleiner sind als ein Vielfaches von 6 (außer 2 und 3), was bedeutet, dass sie entweder die Form (6k + 1) oder (6k − 1) haben. Die Zahl k kann gerade oder ungerade sein, daher habe ich sie gegen 2m bzw. 2m + 1 ausgetauscht, was zu folgenden vier Optionen führt: (12m + 1), (12m + 7), (12m − 1) und (12m + 5). Anschließend habe ich alle diese Ausdrücke quadriert und gezeigt, dass jeder von ihnen um 1 größer ist als ein Vielfaches von 24.

Es gibt jedoch eine einfachere Möglichkeit.

Ein Freund zeigte mir, dass jede ungerade Zahl, die kein Vielfaches von 3 ist, beim Quadrieren immer ein Ergebnis erbringt, das um 1 größer als ein Vielfaches von 24 ist. Natürlich sind alle Primzahlen ungerade, und alle Primzahlen sind kein Vielfaches von 3 (ausgenommen diese lästigen Subprime-Zahlen 2 und 3).

Wir wollen mit unserer Zahl n beginnen, sie quadrieren und 1 abziehen; Das lässt sich als n^2 − 1 schreiben. Um zu beweisen, dass dies ein Vielfaches von 24 ist, können wir den Ausdruck umformen in (n + 1)(n − 1). (Man kann diesen Ausdruck ausmultiplizieren und zeigen, dass er gleich n^2 − 1 ist.)

(n + 1)(n − 1) ist das Produkt zweier gerader Zahlen (da n eine ungerade Zahl ist, müssen n + 1 und n − 1 gerade sein), und zudem muss eine dieser beiden geraden Zahlen ein Vielfaches von 4 sein, denn es handelt sich um aufeinanderfolgende gerade Zahlen, und jede zweite gerade Zahl ist durch 4 teilbar. Daher wissen wir, dass (n + 1)(n − 1) durch 8 teilbar ist, denn es ist das Produkt von etwas, das durch 4 teilbar ist, und etwas, das durch 2 teilbar ist.

Darüber hinaus wissen wir, dass von den drei aufeinander folgenden Zahlen (n + 1), n und (n − 1) genau eine durch 3 teilbar sein muss. Aber das kann nicht n sein, denn n ist eine Primzahl; also bleiben nur die beiden anderen übrig. Daher ist das Produkt (n + 1)(n − 1) nicht nur durch 8 teilbar, sondern auch durch 3. Da 3 und 8 keinen gemeinsamen Teiler aufweisen, bedeutet dies, dass der ganze Ausdruck, wie gefordert, durch 24 teilbar ist.

Damit ist tatsächlich bewiesen, dass das Quadrat irgendeiner Zahl, die weder durch 2 noch 3 teilbar ist, um 1 größer ist als ein Vielfaches von 24.

Kapitel 8: Hirnverknoter

Beispiele für Brunn’sche Verschlingungen

Borromäische Ringe (Brunn’sche Verschlingung aus drei Komponenten)

Brunn’sche Verschlingung aus sechs Komponenten

Brunn’sche Verschlingung aus vier Komponenten

Kapitel 10: Die vierte Dimension

Wie viele Ecken und Kanten hat ein Hyperwürfel?

Eine 1D-Linie hat einen Anfang und ein Ende, denen wir die Koordinaten (0) und (1) zuordnen können. Ein Quadrat ist etwas spannender, da in 2D alle Koordinaten zwei Zahlen umfassen, für die vier Ecken eines Quadrates lauten sie also (0,0), (1,0), (0,1) und (1,1). Fährt man auf diese Weise fort, erhält man für die Koordinaten der acht Ecken eines 3D-Würfels (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) und (1,1,1). Es ist sinnvoll, dass ein Würfel acht Ecken hat, weil es drei Koordinaten gibt, und jede von ihnen hat einen von zwei möglichen Werten (2 × 2 × 2 = 8). Für jede beliebige Zahl von Dimensionen n gibt es n Koordinaten, daher hat ein Hyperwürfel 2n Ecken.

Nun zu den Kanten.

Es gibt ein paar Möglichkeiten, um ohne ein Modell zu bauen herzuleiten, dass ein 4D-Würfel 32 Kanten hat. Am besten gefällt mir diese Herleitung: Man muss sich klarmachen, dass von jeder Ecke eines Hyperwürfels vier Kanten ausgehen (genauso, wie von sämtlichen Ecken eines Würfels drei Kanten ausgehen) und da es 16 Kanten gibt, gilt: 16 × 4 = 64. Aber jede Kante steht mit zwei verschiedenen Eckpunkten in Verbindung, daher haben wir sie alle doppelt gezählt. Um diese Dopplung wettzumachen, teilen wir durch 2 und erhalten 64 ÷ 2 = 32 verschiedene Kanten. Dieselbe Logik funktioniert bei den acht Ecken eines 3D-Würfels: 8 × 3 ÷ 2 = 12 Kanten. Mit dem Modell geht es jedoch viel schneller: Man kann sie einfach zählen.

Ein Hyperwürfel in n Dimensionen hat (2n × n)/2 = n × 2n−1 Kanten.

Kapitel 11: Die Methode Algorithmus

Alternativer Heiratsalgorithmus

Es gibt eine alternative Version des Heiratsalgorithmus, die es Ihnen erlaubt, im Verlauf der Kandidatensichtung Ihre Ansprüche herunterzuschrauben.

Der optimale Heiratsalgorithmus1 funktioniert prima im Mittel, was aber nicht bedeutet, dass er jedes Mal funktioniert. Wenn es um den Lebenspartner geht und einem die Optionen ausgehen, wird es schwierig, der Statistik das Feld bis zum Schluss zu überlassen, ohne Panik zu bekommen und sich zu entscheiden um des Entscheidens willen. Ein Kompromiss wäre, seine Ansprüche langsam zu senken. Die beste Methode besteht darin, die Erwartungen um einen Rangplatz zu senken, bevor man die nächsten √n Leute trifft. Also verabredet man sich und lehnt die ersten √n Bewerber ab, akzeptiert aber in der nächsten Runde jemand, der auf Platz eins der Rangliste steht, oder jemand, der in der übernächsten Runde einen der ersten beiden Plätze belegt, oder danach jemand aus den Top drei, und so weiter, bis Ihr Standard nicht tiefer sinken kann.

Verallgemeinerung des Drei-Stapel-Tricks

Beim Drei-Stapel-Trick bittet man jemanden, eine Karte aus einem Stapel mit 27 Karten zu wählen, gibt dann die Karten in jeweils drei Stapeln dreimal aus, fragt dabei die Person, die die Karte ausgewählt hat, in welchem Stapel sich die Karte jeweils befindet, und kann dann die besagte Karte benennen. Indem man die Stapel jedes Mal auf ausgewählte Weise anders platziert, kann man sogar die gewählte Karte an eine beliebige Position bringen.

Das funktioniert, weil 27 = 3^3 ist, sodass dreimal drei Stapel auszuteilen die Lösung eindeutig macht. Man kann das aber auch mit anderen Kartenspielgrößen erreichen. Zum Beispiel ist 49 = 7^2, sodass wir das Spiel zweimal in sieben Stapeln austeilen und den Mitspieler bitten könnten, jeweils zu sagen, in welchem der sieben Stapel sich die gewählte Karte befindet. Das würde uns ebenfalls gestatten, die Karte zu lokalisieren. Ganz ähnlich können wir die Zahl der Karten auf andere Weise zerlegen – bei einem Spiel mit 52 Karten könnten wir dreizehn Stapel à vier Karten auslegen, dann vier Stapel à dreizehn, was genügen würde, um die Karte zu bestimmen – und die Karte so an eine beliebige Stelle im Spiel bugsieren, einfach indem wir die Stapel auf eine bestimmte Weise anordnen.

Kapitel 12: Wie man einen Computer baut

Entwürfe für Dominocomputer_Schaltkreise

Wie erwähnt, habe ich einen Dominocomputer gebaut, der funktioniert, und in diesen Diagrammen sehen Sie, wie der Schaltkreis arbeitet, sodass Sie loslegen und auch einen bauen können. (Klar, wenn Sie ohne Hilfe dieser Diagramme herausbekommen, wie man einen baut, dann umso besser!)

Mit dem Halbaddierer von Seite 287 als Standardeinheit können Sie ganze «Blöcke» zu einem Volladdierer zusammensetzen. Genau den haben wir dann auf der folgenden Seite zu einem vierstelligen Addierer erweitert.

Zwei Halbaddierer bilden einen Volladdierer.

Vierstelliger Binäraddierer (Dominocomputer, soll aus Dominosteinen gebaut werden)

Kapitel 13: Zahlensalat

Beweis, dass die Summe der ersten n ungeraden Zahlen n^2 ergibt

Hier ist ein hübscher geometrischer Beweis dafür, dass man immer ein Quadrat erhält, wenn man sukzessive ungerade Zahlen addiert. Jede neue ungerade Zahl schmiegt sich perfekt an zwei Seiten des vorhergehenden Quadrats an.

Geometrischer Beweis

Wir können noch eine andere Methode für endliche Summen ableiten: die Summe einer Folge, deren Glieder Vielfache der vorhergehenden sind. Eine Folge, bei der man von Term zu Term einen festen Wert addiert (so wie man die Dreieckszahlen durch Addition aufeinander folgender ganzer Zahlen bekommt), nennt man arithmetische Folge, während die Multiplikation von Glied zu Glied geometrische Folge heißt. Versuchen wir, die Summe einer geometrischen Folge so allgemein wie möglich zu berechnen! Also nennen wir das Verhältnis zweier aufeinander folgender Glieder einfach r. Außerdem beginnen wir die Folge mit einer beliebigen Zahl a. Die Folge lautet also a, ra, r^2a, r^3a und so weiter bis rna. Mal sehen, was wir mit der Summe machen können, die wir T nennen wollen.

Folgendes wollen wir ausrechnen:

Indem wir beide Seiten mit r multiplizieren, können wir daraus eine neue Gleichung machen:

Was sich vereinfachen lässt zu:

Mit einem schlauen Manöver können wir die ursprüngliche Gleichung von der neuen abziehen:

Das gehen wir durch und schauen nach, welche Terme gleich sind und sich wegheben lassen. Übrig bleibt:

Auf beiden Seiten kann man gut ausklammern:

sodass sich folgende hübsche Formel ergibt:

Wie wir das auch schon bei der Summe der Dreieckszahlen gemacht haben, besteht der Trick darin, dass sich eine ganze Reihe Zahlen durch Subtraktion wegheben lassen. Allerdings muss man zuvor eine kleine Änderung vornehmen, damit noch ein paar Terme übrig bleiben. Das schafft man, indem man alle Terme etwas verschiebt, sodass an Anfang und Ende ein paar übrig sind.

Mersenne-Primzahlen und vollkommene Zahlen

Sie verfügen jetzt über alle Hilfsmittel, die man für den Beweis braucht, dass jede Mersenne-Primzahl eine vollkommene Zahl erzeugt. Dieser Zusammenhang ist uns schon begegnet, aber er blieb unbewiesen. Zu jeder Mersenne-Primzahl 2n – 1 gibt es eine vollkommene Zahl (2n – 1) × 2(n – 1). Prüfen Sie das für ein paar kleinere vollkommene Zahlen nach. Nun kann man zeigen, dass diese Formel nicht nur in den wenigen geprüften Fällen, sondern auch bei allen anderen Mersenne-Primzahlen ohne Ausnahme funktioniert. Sie wissen, dass 2n – 1 lediglich sich selbst und die 1 als Faktoren hat, weil wir ja nur Mersenne-Zahlen nehmen, die prim sind. Die Zahl 2(n – 1) hat als Potenz von 2 eine Menge Faktoren, 1, 2, 4, 8, 16, … 2(n–2) und 2(n–1), um genau zu sein. Sie müssen einfach alle miteinander kombinieren, um sämtliche Teiler der Zahl (2n – 1) × 2(n–1) außer ihr selbst zu erhalten, und dann beweisen, dass sie sich zu der Formel (2n – 1) × 2(n – 1) aufaddieren.

Viel Glück! Sollten Sie stecken bleiben, wartet auf meiner Webseite eine Lösung auf Sie.

Umkehrung der Fibonacci- und Lucas-Zahlenfolgen

Wenn Sie die Fibonacci- und Lucas-Zahlen haben rückwärts laufen lassen, sollten Folgen herausgekommen sein, die zwischen positiven und negativen Zahlen hin und her pendeln.

Fibonacci:

… 34, –21, 13, –8, 5, –3, 2, –1, 0, 1,1, 2, 3, 5, 8 …

Lucas:

… 47, –29, 18, –11, 7, –4, 3, –1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18 …

In beiden Fällen strebt das Verhältnis zweier in Gegenrichtung aufeinander folgender Folgenglieder gegen –1/φ.

Umformung der Gleichungen für die Bernoulli-Zahlen

Wie erwähnt, habe ich mich mit m = 3 und n = 4 gequält, um die Summe der ersten vier Kubikzahlen zu berechnen. Und natürlich ergaben die Bernoulli-Zahlen das Resultat 100. Das ging so:

Die Bernoulli-Gleichung für endliche Summen lautet:

Für m = 3 und n = 4 erhält man:

Einsetzen der Bernoullizahlen ergibt:

Ihre Extra-Aufgabe besteht darin zu zeigen, dass die Formel für m = 1 die nte Dreieckszahl ergibt.

Ich habe auch gesagt, man könne den Wert π^2/6 für die unendliche Summe mit dem Wert m = 2 herleiten. Das geht so:

Die Bernoulli-Gleichung für unendliche Summen:

Für m = 2:

Die Zweien heben sich weg, und übrig bleibt π^2/6.

Kapitel 15: Höhere Dimensionen

Stachelige Sphären

Die meisten Menschen würden Kreise und Kugeloberflächen wohl als glatte Objekte beschreiben, doch wie berechnet, fahren sie in höheren Dimensionen Stacheln aus. Wann fängt diese Glätte an, sich zu Borsten zuzuspitzen? Die einfache Antwort ist, dass Kreise und Sphären die ganze Zeit schon ein bisschen stachelig gewesen sind, wir haben es nur nicht bemerkt.

Selbst beim Übergang von 2D zu 3D, vom Kreis zur Kugeloberfläche, beginnt die Form bereits, sich zuzuspitzen, aber so subtil, dass wir daran keinen Gedanken verschwendet haben. Wenn man 25 Prozent vom Radius eines Kreises wegnimmt, entfernt man mehr, als würde man dieselben 25 Prozent vom Radius einer Kugel und die zugehörige Kappe abnehmen. Eine 3D-Sphäre ist also schon ein wenig spitziger als ein 2D-Kreis.

25 Prozent vom Ende des Radius zu entfernen, dort wo er den Umkreis berührt, bedeutet, dass man 7,2147 Prozent der gesamten Kreisfläche entfernt. Macht man dasselbe mit einer Kugel und schneidet eine Kugelkappe bei einem Viertel des Radius ab, entfernt man nur 4,2969 Prozent des Kugelvolumens. Weil sich die Kugel in mehr Dimensionen erstreckt, spitzt sie sich nach außen hin zu. Das wird immer deutlicher, je höher die Dimensionen werden, weil sich höherdimensionale Sphären in mehr Dimensionen krümmen können.

Kapitel 17: Irrwitzige Zahlen

Beweis der Transzendenz von eπ

Mit dem Gelfond-Schneider-Theorem konnte man letztlich die Transzendenz von eπ nachweisen, und das geht so: Der Satz besagt, dass für zwei algebraische Zahlen m und n der Ausdruck mn dann transzendent ist, wenn m weder 0 noch 1 und n nicht rational ist. Mit m = –1 und n = –i sind diese Voraussetzungen erfüllt, also muss (–1)–i transzendent sein. Man kann zeigen, dass (–1)–i nichts anderes als eπ in Verkleidung ist, indem man die berühmte Gleichung eiπ = –1 benutzt (die wir aus Platzgründen hier leider nicht ableiten können) und ein paar algebraische Verrenkungen macht.

Imaginäre und reelle Schatten

Wie bereits erwähnt, sind die graphischen Darstellungen komplexer Funktionen 3D-Näherungen für Abbildungen, die eigentlich 4D sein sollten. Um eine Dimension aus der Gleichung zu entfernen, werden die komplexen Outputs auf ihre Entfernung zum Mittelpunkt der komplexen Ebene (dem Nullpunkt) reduziert, ihre «Länge». Das gibt ein Gefühl dafür, wie groß eine komplexe Zahl ist, aber nicht, wie komplex oder reell sie ist.

Um diese Dimension wieder sichtbar zu machen, habe ich Schattierungen als vierte Dimension benutzt. Je dunkler die Fläche, desto «imaginärer» der Funktionswert (Output). Die hellen grauen Streifen sind also rein reell, die schwarzen Abschnitte rein imaginär, Schattierungen liegen dazwischen. Um es technisch auszudrücken: Der Grauwert von hell bis schwarz ist ein Maß für den Winkel, den der komplexe Output mit der reellen Achse bildet.

Kapitel 18: Ins Unendliche und darüber hinaus

Der Calkin-Wilf-Baum

In Kapitel 18 habe ich eine Methode beschrieben, wie man mit Hilfe einer der Fibonacci-Folge ähnlichen Zahlenfolge eine Liste aller rationalen Zahlen erstellt. Man beginnt mit dem Zahlenpaar (1,1), doch zwischen den einzelnen Schritten, in denen man zwei Folgenwerte addiert, um den nächsten zu bekommen, schreibt man jeden Term der Folge der Reihe nach nochmals ans Ende. Das ist aber nicht die einzige Möglichkeit, eine Aufstellung aller rationalen Zahlen zu erzeugen.

1999 haben die beiden amerikanischen Mathematiker Neil Calkin und Herbert Wilf in einer vierseitigen Veröffentlichung mit dem Titel «Die rationalen Zahlen neu gezählt» sogar zwei leistungsstarke Methoden, die rationalen Zahlen aufzulisten, aufgezeigt. Auch wenn ich Ihnen die Lektüre der Originalarbeit sehr empfehle (sie ist leicht lesbar und online frei zugänglich), will ich ihre Methoden hier zusammenfassen, weil sie so hübsch sind.

In der ersten erzeugt man einen Baum von Brüchen. An der Baumwurzel steht die 1, als Bruch 1/1 dargestellt. Die Wachstumsregel lautet, dass jeder Bruch a/b sich in zwei Äste aufspaltet: (a + b)/b und a/(a + b). So spaltet sich 1/1 in 2/1 und 1/2 auf. In der Folge wird jeder Bruch genau einmal im Baum auftauchen und sogar in seiner einfachsten Gestalt. Um das in eine nummerierbare Liste umzuwandeln, liest man die Brüche zeilenweise aus, oder, was ich bevorzuge, man macht aus dem Baum einen wuchernden Busch und liest die Brüche spiralförmig aus. Beides geht.

Der Calkin-Wilf-Baum: Zeilen-(Baum-)Methode

Schon die Baum-Methode allein wäre ein erstaunliches Stück Mathematik, doch gingen die Autoren noch einen Schritt weiter. Der Baum mit den Brüchen ist eigentlich nur ein Abfallprodukt in der Arbeit; das Hauptresultat war die Stern-Brocot-Folge, der wir bereits begegnet sind (A002487 in den OEIS). Eine Fibonacci-eske Methode, die Zahlen der Stern-Brocot-Folge zu berechnen, haben wir schon kennengelernt, doch es gibt weitere, bizarrere Möglichkeiten.

Die Stern-Brocot-Folge: 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1, 5, 4, 7, …

Calkin und Wilf führen aus, dass die nte Zahl der Folge die Zahl der Möglichkeiten angibt, die Zahl n binär zu schreiben, wenn man anstelle von lediglich 0 und 1 die Werte 0, 1 und 2 benutzt. Im normalen binären System ist die Darstellung jeder Zahl eindeutig, was im übrigen in jedem System gilt, doch sobald man Werte zulässt, die größer als die Basis oder gleich der Basis sind, gibt es mehr Möglichkeiten, eine vorgegebene Zahl zu schreiben.

Der Calkin-Wilf-Baum: Spiral-(Busch-)Methode

«Fünf» lautet binär 101, doch nun, mit der 2 als erlaubter Stellenziffer, kann man sie auch 021 schreiben. Es gibt also zwei Möglichkeiten, und wie Sie sich überzeugen können, ist die fünfte Zahl in der Folge tatsächlich 2.

Die Axiome der ZFC in natürlicher Sprache

Falls Sie sich schon gefragt haben, wie sie aussehen, hier sind die neun Axiome der ZFC (Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom) einschließlich einer Bonusoption.

Normalerweise werden sie als mathematische Aussagen mit Hilfe von Symbolen geschrieben, aber ich habe das übersetzt, sodass Sie es leichter verstehen können.

Extensionalitätsaxiom

Wenn zwei Mengen X und Y genau dieselben Elemente haben, sind sie gleich.

Paarmengenaxiom

Man kann zwei beliebige Objekte zu einem Paar zusammenfassen. Zu beliebigen a und b gibt es eine Menge X = {a,b}.

Aussonderungsaxiom

Man kann jede Menge X bezüglich einer beliebigen Eigenschaft in zwei Teilmengen aufspalten, die die Eigenschaft haben oder nicht.

Vereinigungsaxiom

Für je zwei Mengen X und Y gibt es eine Vereinigungsmenge Z, die aus allen Elementen von X und von Y besteht.

Potenzmengenaxiom

Zu jeder Menge X kann man eine neue Menge Y bilden, die aus allen möglichen Teilmengen von X besteht.

Unendlichkeitsaxiom

Es gibt unendliche Mengen.

Ersetzungsaxiom

Durch Anwenden einer Abbildung auf alle Elemente einer beliebigen Menge X kann man eine neue Menge Y erzeugen.

Fundierungsaxiom

Eine Menge, die nicht leer ist, hat ein ‹kleinstes› Element.

Auswahlaxiom

Aus einer Familie von nicht-leeren Mengen, die keine Elemente gemeinsam haben, kann man je ein Element auswählen und aus diesen eine neue Menge bilden.

Ein unentscheidbares zehntes Axiom?

Entweder erzwingende Axiome oder das innere Modell.

Text- und Bildnachweise

Der Abdruck des folgenden Copyright-geschützten Materials erfolgte mit freundlicher Genehmigung der Autoren – vielen Dank dafür.

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S. 128 oben © R. A. Nonenmacher

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S. 137 © Ruggero Gabbrielli, erstellt mit 3dt gavrog.org

S. 172 © Steven A. Wasserman, Jan M. Dungan und Nicholas R. Cozzarelli, «Discovery of a Predicted DNA Knot Substantiates a Model for Site-Specific Recombination», Science 229.4709, Juli 1985.

S. 181 © Robert G. Scharein

S. 194 © Javier Lopez Pena and Hugo Touchette, http://www.maths.qmul.ac.uk/~ht/footballgraphs/.

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S. 230 © Davide P. Cervone

S. 231 Quelle http://superliminal.com/cube/cube.htm

S. 236/237 erstellt mit Robert Webbs Stella-Software, http://www.software3d.com/Stella.php.

S. 277 © 2005 Antikythera Mechanism Research Project1

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S. 370 erstellt mit Seifert View, Jarke J. van Wijk, Eindhoven University of Technology

S. 465 © E. Specht

Text

S. 57: Quelle: http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/sqrt2.1mil

S. 318/319: Ramanujan: Letters and Commentary, Srinivasa Ramanujan Aiyangar.

S. 366/367: Thomas Hales, Cannonballs and Honeycombs.

S. 416: P. A. M. Dirac, 1928, p. 2.

S. 417: ‹The Positive Electron›, Carl D. Anderson, 1933.

S. 451: Paul Dirac, ‹Quantised Singularities in the Electromagnetic Field›, 1931.

Danksagung

Dieses Buch wäre noch immer in dem Stadium der Dinge-die-nicht-existieren, wenn da nicht meine Frau, Lucie Green, wäre. Sie war darüber hinaus so nett, ebenfalls ein Buch zu schreiben (aber mit einer genügend großen Phasenverschiebung), daher konnten wir gemeinsame «Schreibpausen» einlegen und so tun, als machten wir Urlaub. Spaßfaktor: Irgendwo im Buch ist (neben anderen Ostereiern) ein Foto von ihr versteckt. Sehen Sie es als Spiel à la ‹Wo ist Lucie?› an.

Dank gebührt auch meinem Literaturagenten Will Francis dafür, dass er meine nebulösen Ideen in ein potenzielles Buch verwandelte, und meiner Lektorin Helen Conford dafür, dass sie dieses Buch in Form brachte. Sarah Day war ebenfalls eine große Hilfe, als es darum ging, meine Prosa für normale menschliche Wesen verständlich zu machen.

In dieser Danksagung möchte ich den Versuch machen, einer umfangreichen Liste von Menschen zu danken, die mir die Mathematik in diesem Buch gezeigt haben, und ich entschuldige mich gleichzeitig bei der Komplementärmenge von Menschen, die ich vergessen werde zu erwähnen.

Katie Steckles ist meine langjährige Mathe-Unterstützerin und hat mir während des Schreibens bei Recherche und Korrekturen sehr geholfen. Charlie Turner ist dann nochmals mit einem Läusekamm darüber gegangen und hat alles herausgekämmt, was faktisch nicht haltbar war. Verbliebene Unwahrheiten sind nicht ihr Fehler.

Seit der 1. englischen Auflage verdanke ich weitere Korrekturen Loren Parker, Steve Mould, Dave Hilton, Michael Jacobs, John Lewis, Peter Giblin, Stephen Molinari sowie dem äußerst gründlichen Adam Atkinson.

Katie Steckles taufte den fünfeckigen Knoten das «Notfall-Fünfeck» und war auch die treibende Kraft, als wir fünf Leute so miteinander verbanden, dass die Freisetzung einer beliebigen Person auch alle übrigen freisetzte (auf der MathsJam Conference 2013). Sie war zudem die Erste, die mich zu einem Tic-Tac-Toe-Spiel auf einer Klein’schen Flasche herausforderte.

Die Freunde, mit denen ich im Pub quadratische Dreieckszahlen berechnet habe, waren James Charlie Turner und Florencia Tettamanti. Charlie war auch derjenige, der berechnete, dass der faktorenverbindende Graph bis zur 91 einen Hamilton’schen Pfad besitzt.

Das Pizza-Problem hat mir der Mathefreak Colin Wright erzählt. Er war es auch, der mir zeigte, wie man seine Schuhe auf mathematische Weise schnürt und wie man stachligen höherdimensionalen Kugeln auf die Spur kommt.

Das polydivisible Zahlenrätsel erhielt ich von Alison Kiddle, als ich zum Zahnarzt ging. Das Würfelkuchenproblem verdanke ich Chris Lintott, als er eigentlich den Venusdurchgang filmen sollte. Die Torklerscheiben zeigte mir der Ingenieur Hugh Hunt, und David Acheson erzählte mir von der Wurstkatastrophen-Vermutung.

Die weitere Erforschung der «Knospenzahlen» nahm Robert Tanniru von der Oakland University in Michigan in die Hand. Ich empfehle, seinen Artikel ‹A Short Note Introducing Grafting Numbers and Their Connection to Catalan Numbers› zu lesen.

Chris Sangwin ist der Meister aller Dinge, die mit mechanischer Mathematik zu tun haben; er hat mir bei Formen mit konstanter Breite, den Torklerscheiben und beim Bohren eines quadratischen Lochs geholfen. Julia Collins half mir bei allen Knotendingen wie auch – zusammen mit Madeleine Shepherd – bei den Strick- und Häkelarbeiten in diesem Buch. Joel Haddley erfand das Wort ‹Heptagrinsen›, und nun bleibt’s dabei. Christian Perfect entwarf das Perfect-Herschel-Polyeder und half mir bei der mathematischen Typographie dieses Buches. Miranda Mowbrays arbeitete bei ihren Untersuchungen über fehlerkorrigierende Codes mit ihren Kollegen Alistair Coles und David Cunningham zusammen.

Der Biologe Stephen Currey brachte mich mit Viren aller Art in Kontakt. Vielen Dank, Stephen.

Die Borromäischen Ringe druckte Laura Taalman für mich in 3D aus. Sie arbeitet am National Museum of Mathematics in New York, wo ich auch auf dem Fahrrad mit den quadratischen Rädern fuhr. Die Geschichte über Alan Turing erzählte mir sein letzter Student, Bernard Richards. Ich interviewte ihn für ein BBC-Radio-4-Programm, das von Roland Pease produziert wurde.

Die 3D-Körper konstanter Breite, die Freundschafts-Herzringe 220&284, den Becher mit dem Versorgungsleitungsproblem und die ‹I Chart You›-Valentinskarten gäbe es nicht, wenn nicht meine Mathe-Partner Steve Mould und James Grime dafür gesorgt hätten. Habe ich erwähnt, dass all diese Produkte und noch viele mehr bei mathsgear.co.uk erworben werden können?

Zudem schulde ich meinen Kollegen vom Festival of the Spoken Nerd, Steve Mould und Helen Arney, Dank für ihre Zusammenarbeit mit mir, während ich ständig halb abgelenkt war, weil ich an diesem Buch schrieb. James Grime ist ebenfalls ein guter Mathe-Freund, und er zeigte mir den Beweis, dass das Versorgungsleitungsdiagramm nicht planar ist, und neben vielen anderen Dingen auch die Mills-Konstante.

Dank auch an Robin Ince dafür, dass er mich vor 3500 Leuten im Hammersmith Apollo auftreten ließ, um eine Mathe-Show abzuziehen. Er glaubt wirklich felsenfest daran, dass Mathematik unterhaltsam sein kann und ich dies vermitteln kann. Dank an Rob Eastaway und Simon Singh für ihre Ratschläge, wie man ein Mathebuch schreibt. Dave McCormick half mir beim Themensammeln. Alle Übersetzungen aus dem Französischen verdanke ich meinem Schwager, Ben Dixon. Merci!

Der Domino-Computer ist mit Hilfe von Katie Steckles, Paul Taylor, Andrew Taylor und Sian Fryer entworfen worden. Ihn zu bauen, erforderte darüber hinaus harte Arbeit von Ben Curtis, Becky Smedley, Mike Bell, Blair Lavelle, Andrew Pontzen, Chris Roberts, Ben Ashforth, Gillian Kiernan und David Julyan, wie von Jonathan Sanderson und Elin Roberts dokumentiert. Dank auch an Brady Haran von Numberphile bei You Tube, der mit mir die Filme gemacht hat über Dominos, Kuchen, kilometerlange Papierstreifen und die Zahl 0.

Oh yeah, und da ist irgendwo im Buch ein Wettbewerb versteckt. Wenn ihn jemand gewinnt, werde ich mir einen passenden Preis ausdenken. Aber hüten Sie sich vor den Fallen!

Mein weitschweifiges Geplauder über Gruppentheorie wurde von Paul Taylor gecheckt, aber ganz zu Recht übernimmt er keine Verantwortung für meine schamlose Vereinfachung eines reichen und spannenden Gebietes der Mathematik. Andrew Taylor ist der Code-Zauberer, der meine verrückten Ideen in funktionierende Web-Apps umwandelt.

Die Geschichte über das Auf- und Abrunden in inFAMOUS Second Son erzählte mir Bruce Oberg von den Sucker Punch Productions.

Ich war Gast beim BBC-Radio-4-Programm More or Less (moderiert von dem fantastischen Tim Harford), das Hörerklagen über die Unendlichkeit hervorbrachte. Ich sprach gerade ausgerechnet über die Brunn’sche Konstante. Die Brücken-Pilgerreise wird als Hamilton Walk bezeichnet und verläuft vom Dunsink Observatory nach Broombridge. Dieses jährliche Ereignis wird von der Maths Week Ireland organisiert (koordiniert von Eoin Gill und Sheila Donegan).

Andrew Pontzen prüfte die Teile des Buches, in denen ich es wagte, über Physik zu reden. Er gab zu, dass ich die Sache im Großen und Ganzen richtig dargestellt habe, murmelte aber dann etwas in seinen Bart, dass wir niemals wirklich wissen werden, ob unser Universum perfekt eben ist, weil es da diese quantenmechanischen Grenzen beim Messen gebe …

Dank allen Mathematikern, die meine Beschreibung ihrer Arbeit prüften und hilfreiche Kommentare lieferten. Dazu gehören (aber es sind nicht alle): Melanie Bayley, Neil Bearden, Jerry Bonnell, Ken Brakke, Robert Matthews, Scott Morrison, Robert Nemiroff, Edouard Oudet, Terence Tao, Robin Thomas, Timothy Trudgian und Denis Weaire.

Dank auch dem Team bei Penguin, darunter Casiana Ionita, Rebecca Lee, Claire Mason und Imogen Scott, wie auch dem Duo für Marketing und Öffentlichkeitsarbeit, Sue Amaradivakara und Ingrid Matts. Und Dank meinem Agenten Jo Wander und meiner Management-Ninja Sarah Cooper.

Ein großes Dankeschön gebührt weiter dem Department of Mathematical Sciences an der Queen Mary University in London, das ich mein Zuhause nenne, und meinen Kollegen im ganzen College. Dazu gehören auch die tollen Leute im Centre of Public Engagement und der unermüdlich hilfsbereite Peter McOwan.

Dank auch an all diejenigen, die jemals an einem der monatlichen MathsJams oder der jährlichen Konferenz teilgenommen haben. Sie alle sind ein ständiger Quell der Inspiration, neuer Ideen und viel harter Arbeit.

Das Website-Design stammt von dem weltbesten Pixel-Pusher: Simon Wright. Seit unserer gemeinsamen Schulzeit gegen Ende der 1990er sorgt er dafür, dass meine verrückten Projekte professioneller aussehen, als sie es von Rechts wegen eigentlich dürften.

Sämtliche Fotos wurden von Al Richardson aufgenommen, der ihnen ein unverdientes, aber von mir hoch geschätztes Maß an Aufmerksamkeit und Sorgfalt widmete. Die Illustrationen und das Design stammen von Richard Green, dem es gelang, meine Handskizzen in intelligente Bilder umzusetzen. An einigen Plots und Diagrammen haben Ben Sparks und die fantastische Software GeoGebra mitgewirkt.

Ein Großteil des Renderings von 4D-Formen geschah mit Hilfe des Programms Stella4D, entwickelt von Robert Webb. Einige Formen basierten auf 4D-Animationen, produziert von Davide Cervone. David Fletcher sprenkelte Asteroiden auf meinen Torus. Die 3D-Plots der Gamma- und der Zeta-Funktion erstellte Edric Ellis mit Hilfe von MATLAB.

Meine Mutter strickte mir tatsächlich den binären Schal und die Mütze à la Klein’sche Flasche. Sie ist in dieser Hinsicht wirklich erstaunlich. Mein Vater ist ein Buchhalter, der mich schon in einem zarten und empfindsamen Alter einer Gehirnwäsche unterzog und mir dabei die Liebe zu Zahlen einpflanzte.

Eigentlich ist das alles ihre Schuld, natürlich auch dieses Buch.

Impressum

Die englische Originalausgabe erschien 2014 unter dem Titel „Things to Make and Do in the Fourth Dimension“ bei Particular Books, an imprint of Penguin Books, London.

Die Seitenangaben des E-Books beziehen sich auf die Seitenzahlen der Printausgabe.

Veröffentlicht im Rowohlt Verlag, Reinbek bei Hamburg, Oktober 2015

Copyright © 2015 by Rowohlt Verlag GmbH, Reinbek bei Hamburg

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt, jede Verwertung bedarf der Genehmigung des Verlages

Die englische Originalausgabe erschien 2014 bei Particular Books, an Imprint of Penguin Books, London, unter dem Titel

«Things To Make and Do in the Fourth Dimension» © 2014 by Matthew Parker

All rights reserved including the rights of reproduction in whole or in part in any form

Illustrationen Richard Green

Lektorat Frank Strickstrock

Umschlaggestaltung Anzinger | Wüschner | Rasp, München

Umschlagabbildung Richard Green

Fotonachweis Teri Pengilley

Schrift DejaVu Copyright © 2003 by Bitstream, Inc. All Rights Reserved.

Bitstream Vera is a trademark of Bitstream, Inc.

ISBN Printausgabe 978 - 3-498 - 05241-6 (1. Auflage 2015)

ISBN E-Book 978 - 3-644 - 05001-3
www.rowohlt.de

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Fußnoten

1 Flott gefingert

1

Man erhält ein ganzzahliges Ergebnis, wenn sich die Anzahl der Male, die eine Ziffer eingegeben wird, glatt durch die Basiszahl minus 1 teilen lässt. Für Basis 10 gilt: zehn minus eins ist neun, und neun lässt sich glatt durch drei teilen. Um bei Basis 12 ein ganzzahliges Ergebnis zu erhalten, muss man die Ziffer daher elf Mal eingeben.

2 FORMEN formen

1

Wenn Sie nach einem Muster suchen, das Ihnen sagt, welche regelmäßigen Formen sich nicht konstruieren lassen, dann liegen Sie mit Primzahlen fast richtig. Das kommt der Sache schon recht nahe, aber erinnern Sie sich, dass nicht nur drei und fünf funktionieren, sondern dass sich auch eine regelmäßige siebzehnseitige Figur zeichnen lässt.

2

Tatsächlich gibt es nur eine Methode, wirklich grundlegend und in großem Maßstab in der Mathematik zu schummeln, die zu einer heftigen Kontroverse in Mathematikerkreisen geführt hat: einen Computer zu benutzen, anstatt selbst zu denken.

3

Ein Quader ist ein Körper, der so wie eine Zigarrenkiste oder ein Ziegelstein geformt ist; alle seine Winkel sind wie bei einem Würfel 90°-Winkel, aber im Gegensatz zu einem Würfel müssen nicht alle Kanten gleich lang sein.

4

Man kann mehr Lösungen mit zwölf Teilen finden, doch es handelt sich lediglich um Varianten ein und desselben Themas.

3 Quadrate, Quadrate!

1

Und zweifellos kannte man diese Tatsache auch in Indien und China sowie in anderen antiken Zivilisationen, wie es bei solchen Dingen offenbar immer der Fall ist.

5 Formen: Nun in 3D

1

Der Unterschied zwischen den beiden ist, dass die elliptische Geometrie Euklids zweites Postulat, demzufolge Geraden beliebig lang sein können, aufrechterhält. Das trifft für eine Kugel nicht zu: Schließlich kehrt eine Gerade, nachdem sie die Kugel umrundet hat, wieder zu ihrem Startpunkt zurück.

2

Diese Formen werden heute als Kepler-Poinsot-Körper bezeichnet, denn Kepler beschrieb 1619 das große und das kleine Sterndodekaeder und Louis Poinsot 1809 das große Ikosaeder und das große Dodekaeder.

6 Gut gepackt ist halb gewonnen

1

Okay, die Box von 74,25 mm auf Seite 124 ist größer als die 74,23 mm, die Sie eigentlich brauchen, aber das ist jenseits der Genauigkeit einer gedruckten Linie und der Präzision, mit der wir die Größe der Münze kennen, also geht das in Ordnung. Sehen Sie die zusätzlichen 2 Prozent eines Millimeters als mein persönliches Geschenk an Sie an. Es geht auch mit einem Zwei-Euro-Stück. Es ist mit 25,75 mm noch einen Tick kleiner, sodass mein Geschenk an Sie sogar noch größer ist.

2

Sie können alle 10 000 gegenwärtigen Rekord-Anordnungen von Kreisen in Quadraten von Eckard Spechts Website: http://packomania.com/csq herunterladen.

3

Die Anordnung von Apfelsinen in einer quadratischen Pyramide ist dieselbe wie in einem Tetraeder, nur mit einer anderen Orientierung. Diese Orientierung ist es, die das Stapeln so erschwert.

4

Nur Tage bevor die Originalfassung dieses Buch in Satz ging, schloss Hales das Flyspeck-Projekt ab und ließ mir kaum genug Zeit für diese Fußnote. Updates für alles in diesem Buch nach Drucklegung finden Sie online unter www.makeanddo4D. com.

8 Hirnverknoter

1

Technisch gesehen, ist der Unknoten kein Knoten, sondern ein trivialer Knoten. Gut, dass wir das klären konnten.

9 Graphen, nur mal so

1

Das Originalnetzwerk und die zugehörige Veröffentlichung kann man auf der Internetseite: http://www.maths.qmul.ac.uk/~ht/footballgraphs/ finden.

2

Anmerkung der Übersetzer: Im deutschen Sprachraum trifft das nicht ganz zu. Hier wird häufig zwischen Netzwerken und Graphen unterschieden: Ein Graph wird durch zusätzliche Informationen über die Ecken und Kanten – beispielsweise die Namen der Spieler – erst zu einem Netzwerk.

3

Anmerkung der Übersetzer: Noch genauer unterscheidet man zwischen «Pfad» und «einfacher Pfad». Bei einem Pfad wird keine Kante mehrfach durchlaufen, bei einem einfachen Pfad auch keine Ecke. Im Übrigen finden sich auch in der wissenschaftlichen Literatur unterschiedliche Begriffe für dieselbe Sache, zum Beispiel Weg, Linie, Pfad, Kantenzug.

4

Neueste Nachrichten: Nachdem sie die letzte Fassung dieses Buches gelesen hatte, bewies eine meiner Bekannten, die Mathematikerin ist, mal eben schnell, dass die Graphen bis zu den Knoten 90 und 91 Hamilton’sche Pfade haben. Womit sie das soeben Geschriebene verkehrt machte. Sie fand das lustig. Die eigentliche Neuigkeit ist also: Mathematiker können fies sein. Also, machen Sie mit (beim Graphencheck natürlich, nicht im Fies-Sein) und prüfen Sie größere Zahlen.

5

«Groß genug» bedeutet korrekt ausgedrückt, dass der Graph durch Entfernen zweier Ecken nicht in Teile auseinanderfällt. Nichtsdestotrotz haben alle planaren Graphen, auch solche, die nicht «groß genug» sind, um ein Polyeder zu ergeben, die Eulercharakteristik 2.

6

Einer der Mathematiker hinter diesem Beweis von 1997 hat eine großartige Kurzfassung auf der Webseite der Gruppe und erklärt, warum wir nicht einfach die Computer von Hand überprüfen können: http://people.math.gatech.edu/~thomas/FC/fourcolor.html

10 Die vierte Dimension

1

Bei 2D-Formen haben alle Schläfli-Symbole nur 1 Ziffer und sind daher, technisch gesehen, allesamt Palindrome, also Symbole, die sich von vorne und hinten gleich lesen lassen. Und hübscherweise sind all die unendlich vielen regelmäßigen Polygone ihre eigenen Duale.

2

Wir haben uns nicht damit beschäftigt, wie Körper in 3D einander umkreisen, doch wir wissen aufgrund des vorhersagbaren Jahreslaufs unseres Heimatplaneten um die Sonne, dass die Umlaufbahn der Erde recht stabil ist. All dieser zusätzliche Bewegungsspielraum bringt es mit sich, dass es in 4D keine stabilen Umlaufbahnen gibt. Daher muss in ihrem Sonnensystem ein ziemliches Chaos herrschen.

11 Die Methode Algorithmus

1

Kommen Sie bitte nicht auf die Idee, tatsächlich Steroide in einen Kuchenteig zu tun.

2

Um das herauszubekommen, ließ ich ein Computerprogramm solche Zufallszahlen 10 Milliarden Mal erzeugen, und von den 10 Milliarden Malen waren tatsächlich 9 674 919 018 Vielfache von 9. Einen Computeralgorithmus zu schreiben, um einen Zauberalgorithmus zu überprüfen, hat mich mit großer Genugtuung erfüllt.

3

Während Professor Claus an der «Li Sou-Stian»-Schule arbeitete, war Lucas an der Schule von Saint-Louis. Er hat sich wirklich nicht allzu viel Mühe gegeben, anonym zu bleiben.

4

Wir verwenden eine «eingedeutschte» Fassung der Programmiersprache. Die echten Python-Befehle verwenden englische Wörter.

5

Das Ergebnis lautet 93 326 215 443 944 152 681 699 238 856 266 700 490 715 968 264 381 621 468 592 963 895 217 599 993 229 915 608 941 463 976 156 518 286 253 697 920 827 223 758 251 185 210 916 864 000 000 000 000 000 000 000 000, um genau zu sein.

12 Wie man einen Computer baut

1

Genau genommen besagt die Zahl, wie viele Kommandos der Prozessor pro Sekunde ausführen kann, die ihrerseits jeweils mehrere Berechnungen beinhalten können. Also habe ich beim Vergleich eher tiefgestapelt. Ein Forscher mit mehr Hingabe als ich würde der Frage nachgehen, wie viele echte Berechnungen der Prozessor pro Sekunde ausführt, was man FLOPS nennt.

13 Zahlensalat

1

Mathematiker benutzen das Wort «Reihe» anstatt «Summe einer Zahlenfolge».

2

Seit seiner Veröffentlichung, in der er diese Zeta-Funktion publik machte, ist eine ganze Reihe anderer weniger bekannter Zeta-Funktionen auf den Plan getreten. Doch wenn irgendjemand, mich eingeschlossen, Zeta-Funktion schreibt, meint er normalerweise das Riemann’sche Original.

14 Irre Formen

1

Das Geschlecht einer Fläche mit Rand zu finden, ist etwas komplizierter als das, was wir bisher im Zusammenhang mit geschlossenen Flächen betrachtet haben, aber es ist sicherlich machbar. Letztendlich verklebt man den Rand, um die Fläche zu schließen.

15 Höhere Dimensionen

1

Die Gruppentheorie ist wunderbar, und es handelt sich um ein Gebiet der Mathematik, über das ich selbst noch mehr lernen muss. Es gibt auch verschiedene Bezeichnungssysteme darin; ich werde durchgehend die Coxeter-Notation benutzen, weil ich sie am einfachsten finde.

16 Gute Daten leben länger

1

Es gab jedoch ein paar Hinweise. 1940 hatten die Bell Laboratories einen elektromechanischen Rechner vorgestellt, der auf eine Entfernung von 300 Meilen betrieben werden konnte. Hamming war zur richtigen Zeit in der richtigen Firma.

17 Irrwitzige Zahlen

1

Auf diese Weise haben wir herausgefunden, dass eπ transzendent ist. Lesen Sie dieses Kapitel zu Ende und schauen Sie dann in den «Antworten am Ende des Buches» nach, wie man es macht.

2

Der vollständige Titel lautete «On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem». (über berechenbare Zahlen, mit einer Anwendung auf das Entscheidungsproblem), was nur logisch erscheint, weil seine Arbeit über nicht berechenbare Zahlen auch schwerwiegende Folgen für eine weiteres Feld der Mathematik namens Entscheidungsproblem hatte.

3

Falls mathematisches Wissen eine ordentlich gemauerte Ziegelwand ist, dann ist Geschichte so etwas wie der Versuch, Cornflakes zu stapeln. Weswegen ich auch kein Historiker bin; alles Geschichtliche in diesem Text ist als meine bestmögliche Interpretation des Geschehens zu verstehen.

18 Ins Unendliche und darüber hinaus

1

Ich sollte wohl genauer «polynomiale Gleichung mit rationalen Koeffizienten» sagen, damit nicht irgendein Pedant darauf hinweist, dass auch x – π = 0 eine endliche Gleichung ist.

2

Mittlerweile habe ich von jemandem erfahren, der eine neue Methode, eine Pizza in Stücke zu schneiden, gefunden hat, bei der nicht alle das Zentrum berühren und es ein frei drehbares Stück gibt. Weil Drehen etwas Kontinuierliches ist, bedeutet das, dass es nun doch überabzählbar viele neue Lösungen gibt!

3

Gödels zweites Unvollständigkeitstheorem besagte, dass jede konsistente Axiomenmenge ihre Vollständigkeit nicht ohne ein zusätzliches Axiom beweisen kann.

Die Antworten am Ende des Buches

1

In der Fachwelt als «Optimal stopping algorithm» bzw. als «Odds-Strategie» oder als «Bruss-Algorithmus» bekannt.

Table of Contents

- [Informationen zum Buch]
- [Informationen zum Autor]
- Widmung
- 0 Das nullte Kapitel
- 1 Flott gefingert
- 2 FORMEN formen
- 3 Quadrate, Quadrate!
- 4 Formen verwandeln
- 5 Formen: Nun in 3D
- 6 Gut gepackt ist halb gewonnen
- 7 Prime Time
- 8 Hirnverknoter
- 9 Graphen, nur mal so
- 10 Die vierte Dimension
- 11 Die Methode Algorithmus
- 12 Wie man einen Computer baut
- 13 Zahlensalat
- 14 Irre Formen
- 15 Höhere Dimensionen
- 16 Gute Daten leben länger
- 17 Irrwitzige Zahlen
- 18 Ins Unendliche und darüber hinaus
- n + 1 Das nachfolgende Kapitel
- Die Antworten am Ende des Buches
- Text- und Bildnachweise
- Danksagung
- [Impressum]
- Fußnoten