Elektrotechnik für Ingenieure - Formelsammlung: Elektrotechnik kompakt
Date: 2013-04-24T22:00:00+00:00
Keywords: Elektrotechnik; Bauwesen; Nachrichtentechnik & Telekommunikation; Fachbücher; Formeln & Tabellen; Computer & Internet; Informatik; Elektrik & Elektrizität; Maschinenbau; Physikalische Grundlagen; Ingenieurwissenschaften; Hilfsmittel; Energie- & Sanitärtechnik
Description: Viele Studenten kommen mit der ausführlichen Darstellung der elektrotechnischen Zusammenhänge in den Lehrbüchern gut zurecht. Geht es dann in die Phase der Prüfungsvorbereitung, wünschen sie sich eine kompakte Darstellung mit Formeln, Beispielen und Lösungswegen, mit denen Übungs- und Prüfungsaufgaben gelöst werden können. Bei der Vorbereitung auf Klausuren, aber auch zum Nachschlagen im späteren Beruf leistet die Formelsammlung daher schnell und sicher Hilfe. Ein Verzeichnis aller verwendeten Formelzeichen und ein Sachwortverzeichnis optimieren den Einsatz des Buches. **
Publisher: Springer Verlag

Wilfried Weißgerber

Elektrotechnik
für Ingenieure –

Formelsammlung

Elektrotechnik kompakt

5. Auflage

Elektrotechnik für Ingenieure -

Formelsammlung

Wilfried Weißgerber

Elektrotechnik für

Ingenieure -

Formelsammlung

Elektrotechnik kompakt

5., durchgesehene Auflage

Mit 176 Abbildungen

Prof. Dr. Wilfried Weißgerber

Wedemark, Deutschland

ISBN 978-3-658-09089-0

ISBN 978-3-658-09090-6 (eBook)

DOI 10.1007/978-3-658-09090-6

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

Springer Vieweg

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Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.

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V

Vorwort

Viele Studenten kommen mit der ausführlichen Darstellung der elektrotechnischen Zusammenhänge in den drei Bänden der „Elektrotechnik für Ingenieure“ gut zurecht. Geht es dann in die Phase der Prüfungsvorbereitung, wünschen sie sich eine kompakte Darstellung, in der die wichtigsten Zusammenhänge, Lösungsabläufe und Formeln zusammengefasst sind, mit denen Übungs- und Prüfungsaufgaben gelöst werden können. Vor der Prü-
fung erschlägt sie förmlich die Fülle des Stoffes in einem umfangreichen Lehrbuch, der während des Studiums nur einmal gehört und nur einmal mittels Übungsaufgaben nachbe-reitet werden konnte. Etwa ein Sechstel des Textes ist leichter zu überschauen und zur Prüfung zu wiederholen.

Diese vorliegende Formelsammlung sollte die Studenten allerdings nicht dazu verführen, die Elektrotechnik mit Hilfe dieser Zusammenfassung verstehen zu wollen. Die Formelsammlung kann erst nützlich sein, nachdem die Zusammenhänge im Lehrbuch bearbeitet und verstanden worden sind. Dann erst hilft die Formelsammlung bei der Lösung von Übungs- und Prüfungsaufgaben.

Die berufspraktische Tätigkeit eines Diplomingenieurs setzt die Kenntnis von elektrotechnischen Grundlagen voraus. Dafür ist oft ein komprimiertes Buch mit Zusammenfas-sungen, Formeln und Arbeitsanweisungen ausreichend und sinnvoll, und es findet in jedem Schreibtisch einen Platz.

Sollte diese „Formelsammlung und mehr“ für ein zu lösendes Problem nicht ausreichend sein, kann mit dem Seitenbezug zu den Lehrbüchern die jeweilige ausführliche Darstellung gefunden werden. Sie steht hinter den Überschriften jeden Kapitels.

Textbild und Zeichnungen sind ganz bewusst aus den Lehrbüchern entnommen, damit das in den Lehrbüchern vertraute Bild wieder erkannt wird.

Die 2. Auflage wurde um ein Sachwortverzeichnis und ein Verzeichnis der verwendeten Formelzeichen ergänzt. Die 3. Auflage wurde vollständig überarbeitet, und die 4. Auflage wurde nochmals korrigiert. Diese 5. Auflage wurde noch einmal durchgesehen.

Für die gute Zusammenarbeit möchte ich allen Mitarbeitern des Verlags und der Fa.

Fromm MediaDesign danken.

Wedemark, im Juli 2015

Wilfried Weißgerber

VII

Inhaltsverzeichnis

Vorwort ......................................................................................................................... V

Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten .............................................................. XI 1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik .............................................. 1

2 Gleichstromtechnik ...............................................................................................

4

2.1 Der unverzweigte Stromkreis .........................................................................

4

2.1.1 Der Grundstromkreis .........................................................................

4

2.1.2 Zählpfeilsysteme ................................................................................

6

2.1.3 Die Reihenschaltung von Widerständen ............................................

6

2.1.4 Anwendungen der Reihenschaltung von Widerständen ....................

6

2.1.5 Die Reihenschaltung von Spannungsquellen ....................................

7

2.2 Der verzweigte Stromkreis .............................................................................

7

2.2.1 Die Maschenregel ..............................................................................

7

2.2.2 Die Knotenpunktregel ........................................................................

7

2.2.3 Die Parallelschaltung von Widerständen ...........................................

8

2.2.4 Anwendungen der Parallelschaltung von Widerständen ...................

8

2.2.5 Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle ..................................

9

2.2.6 Die Parallelschaltung von Spannungsquellen .................................... 11

2.2.7 Messung von Widerständen ............................................................... 12

2.2.8 Der belastete Spannungsteiler ............................................................ 13

2.2.9 Kompensationsschaltungen ............................................................... 14

2.2.10 Umwandlung einer Dreieckschaltung in eine Sternschaltung und
umgekehrt ........................................................................................... 15

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung .............................................................. 16

2.3.1 Netzwerkberechnung mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze ................ 16

2.3.2 Netzwerkberechnung mit Hilfe des Überlagerungssatzes ................. 17

2.3.3 Netzwerkberechnung mit Hilfe der Zweipoltheorie .......................... 18

2.3.4 Netzwerkberechnung nach dem Maschenstromverfahren ................. 21

2.3.5 Netzwerkberechnung nach dem Knotenspannungsverfahren ........... 22

2.4 Elektrische Energie und elektrische Leistung ................................................ 23

2.4.1 Energie und Leistung ......................................................................... 23

2.4.2 Energieumwandlungen

...................................................................... 23

2.4.3 Messung der elektrischen Energie und Leistung ............................... 23

2.4.4 Wirkungsgrad in Stromkreisen .......................................................... 25

2.4.5 Anpassung

.......................................................................................... 26

3 Das elektromagnetische Feld ................................................................................ 27

3.1 Der Begriff des Feldes .................................................................................... 27

3.2 Das
elektrische

Strömungsfeld

....................................................................... 29

3.2.1 Wesen des elektrischen Strömungsfeldes .......................................... 29

3.2.2 Elektrischer Strom und elektrische Stromdichte ............................... 29

VIII

Inhaltsverzeichnis

3.2.3 Elektrische Spannung und elektrische Feldstärke, elektrischer

Widerstand und spezifischer Widerstand .......................................... 31

3.3 Das elektrostatische Feld ................................................................................ 33

3.3.1 Wesen des elektrostatischen Feldes ................................................... 33

3.3.2 Verschiebungsfluss und Verschiebungsflussdichte ........................... 33

3.3.3 Elektrische Spannung und elektrische Feldstärke, Kapazität und

Permittivität (Dielektrizitätskonstante) .............................................. 35

3.3.4 Verschiebestrom – Strom im Kondensator ........................................ 41

3.3.5 Energie und Kräfte des elektrostatischen Feldes ............................... 42

3.3.6 Das Verhalten des elektrostatischen Feldes an der Grenze zwischen

Stoffen verschiedener Dielektrizitätskonstanten ............................... 43

3.4 Das magnetische Feld ..................................................................................... 44

3.4.1 Wesen des magnetischen Feldes ........................................................ 44

3.4.2 Magnetischer Fluss und magnetische Flussdichte ............................. 44

3.4.3 Durchflutung, magnetische Spannung und magnetische Feldstärke

(magnetische Erregung), magnetischer Widerstand und

Permeabilität ...................................................................................... 47

3.4.4 Das Verhalten des magnetischen Feldes an der Grenze zwischen

Stoffen verschiedener Permeabilitäten .............................................. 53

3.4.5 Berechnung magnetischer Kreise ........................................................ 54

3.4.5.1 Berechnung geschlossener magnetischer Kreise ................. 54

3.4.5.2 Berechnung des nichteisengeschlossenen magnetischen

Kreises einer Doppelleitung und mehrerer paralleler Leiter 60

3.4.5.3 Berechnung magnetischer Kreise mit Dauermagneten ........ 61

3.4.6 Elektromagnetische Spannungserzeugung – das Induktionsgesetz ... 63

3.4.6.1 Bewegte Leiter in einem zeitlich konstanten Magnetfeld –
die Bewegungsinduktion ...................................................... 63

3.4.6.2 Zeitlich veränderliches Magnetfeld und ruhende Leiter –
die Ruheinduktion ................................................................ 67

3.4.7 Selbstinduktion und Gegeninduktion ................................................... 70

3.4.7.1 Die Selbstinduktion .............................................................. 70

3.4.7.2 Die Gegeninduktion ............................................................. 73

3.4.7.3 Haupt- und Streuinduktivitäten, Kopplungs- und

Streufaktoren ...................................................................................... 81

3.4.8 Magnetische Energie und magnetische Kräfte .................................. 82

3.4.8.1 Magnetische Energie ............................................................ 82

3.4.8.2 Magnetische Kräfte .............................................................. 83

4 Wechselstromtechnik ............................................................................................ 84

4.1 Wechselgrößen und sinusförmige Wechselgrößen ......................................... 84

4.2 Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen mit Hilfe
der komplexen Rechnung .............................................................................. 86

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte ................................. 91

4.4 Praktische Berechnung von Wechselstromnetzen ......................................... 101

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von ohmschen Widerständen,

Induktivitäten und Kapazitäten ...................................................................... 102

4.5.1 Die Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen –
die Reihen- oder Spannungsresonanz ................................................ 102

Inhaltsverzeichnis IX

4.5.2 Die Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen –
die Parallel- oder Stromresonanz ....................................................... 107

4.6 Spezielle Schaltungen der Wechselstromtechnik ........................................... 112

4.6.1 Schaltungen für eine Phasenverschiebung von 900 zwischen

Strom und Spannung .......................................................................... 112

4.6.2 Schaltungen zur automatischen Konstanthaltung des

Wechselstroms – die Boucherot-Schaltung ....................................... 113

4.6.3 Wechselstrom-Messbrückenschaltungen ............................................ 113

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis .............................................................. 116

4.7.1 Augenblicksleistung, Wirkleistung, Blindleistung, Scheinleistung
und komplexe Leistung ...................................................................... 116

4.7.2 Die Messung der Wechselstromleistung ........................................... 120

4.7.3 Verbesserung des Leistungsfaktors – Blindleistungs-
kompensation ..................................................................................... 122

4.7.4 Wirkungsgrad und Anpassung ........................................................... 123

5 Ortskurven ............................................................................................................. 124

5.1 Begriff der Ortskurve ..................................................................................... 124

5.2 Ortskurve „Gerade“ ........................................................................................ 125

5.3 Ortskurve „Kreis durch den Nullpunkt“ ........................................................ 125

5.4 Ortskurve „Kreis in allgemeiner Lage“ .......................................................... 126

5.5 Ortskurven höherer Ordnung ......................................................................... 126

6 Der Transformator ................................................................................................ 127

6.1 Übersicht über Transformatoren .................................................................... 127

6.2 Transformatorgleichungen und Zeigerbild .................................................... 127

6.3 Ersatzschaltbilder mit galvanischer Kopplung ............................................... 130

6.4 Messung der Ersatzschaltbildgrößen des Transformators ............................. 132

6.5 Frequenzabhängigkeit der Spannungsübersetzung eines Transformators ..... 134

7 Mehrphasensysteme .............................................................................................. 135

7.1 Die m-Phasensysteme .................................................................................... 135

7.2 Symmetrische verkettete Dreiphasensysteme ................................................ 136

7.3 Unsymmetrische verkettete Dreiphasensysteme ............................................ 138

7.4 Messung der Leistungen des Dreiphasensystems .......................................... 143

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen ............................................................... 144

8.1 Grundlagen für die Behandlung von Ausgleichsvorgängen .......................... 144

8.2 Berechnung von Ausgleichsvorgängen durch Lösung
von Differentialgleichungen ........................................................................... 145

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe
der Laplace-Transformation ........................................................................... 150

8.3.1 Grundlagen für die Behandlung der Ausgleichsvorgänge
mittels Laplace-Transformation ......................................................... 150

8.3.2 Lösungsmethoden für die Berechnung von Ausgleichsvorgängen

Zusammenfassung der Laplace-Operationen
und der Laplace-Transformierten (Korrespondenzen) ...................... 153

X

Inhaltsverzeichnis

9 Fourieranalyse von nichtsinusförmigen periodischen Wechselgrößen
und nichtperiodischen Größen ............................................................................ 163

9.1 Fourierreihenentwicklung von analytisch gegebenen
nichtsinusförmigen periodischen Wechselgrößen ........................................ 163

9.2 Reihenentwicklung von in diskreten Punkten vorgegebenen
nichtsinusförmigen periodischen Funktionen ................................................ 170

9.3 Anwendungen der Fourierreihen .................................................................... 176

9.4 Die Darstellung nichtsinusförmiger periodischer Wechselgrößen
durch komplexe Reihen ................................................................................. 178

9.5 Transformation von nichtsinusförmigen nichtperiodischen Größen
durch das Fourierintegral .............................................................................. 178

10 Vierpoltheorie ........................................................................................................ 180

10.1 Grundlegende Zusammenhänge der Vierpoltheorie ...................................... 180

10.2 Vierpolgleichungen, Vierpolparameter und Ersatzschaltungen ..................... 180

10.3 Vierpolparameter passiver Vierpole .............................................................. 185

10.4 Betriebskenngrößen von Vierpolen ................................................................ 188

10.5 Leistungsverstärkung und Dämpfung ............................................................ 190

10.6 Spezielle Vierpole .......................................................................................... 191

10.7 Zusammenschalten zweier Vierpole .............................................................. 192

10.7.1 Grundsätzliches über Vierpolzusammenschaltungen ......................... 192

10.7.2 Die Parallel-Parallel-Schaltung zweier Vierpole ................................ 193

10.7.3 Die Reihen-Reihen-Schaltung zweier Vierpole .................................. 194

10.7.4 Die Reihen-Parallel-Schaltung zweier Vierpole ................................. 195

10.7.5 Die Parallel-Reihen-Schaltung zweier Vierpole ................................. 197

10.7.6 Die Ketten-Schaltung zweier Vierpole ............................................... 198

10.8 Die Umrechnung von Vierpolparametern von Dreipolen .............................. 199

10.9 Die Wellenparameter passiver Vierpole ........................................................ 200

Sachwortverzeichnis ..................................................................................................... 201

XI

Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten

Schreibweise physikalischer Größen und ihrer Abbildungen
u, i

Augenblicks- oder Momentanwert zeitabhängiger Größen:

kleine
lateinische

Buchstaben

U, I

Gleichgrößen, Effektivwerte: große lateinische Buchstaben
û, î

Maximalwert
u, i

komplexe Zeitfunktion, dargestellt durch rotierende Zeiger
û, î
komplexe

Amplitude

U, I

komplexer Effektivwert, dargestellt durch ruhende Zeiger

Z, Y, z komplexe

Größen

Z*,Y*, z*
konjugiert komplexe Größen

G G G

E, D, r vektorielle

Größen

Schreibweise von Zehnerpotenzen

1012 p Piko 102 c Zenti

103 k Kilo

109 n Nano

101 d Dezi

106 M Mega

106 P Mikro 101 da Deka

109 G Giga

103 m Milli

102 h Hekto

1012 T Tera

Formelzeichen physikalischer Größen
a Länge
c Länge

Vierpolparameter

Konstante

Wellendämpfungsmaß

Lichtgeschwindigkeit

ak Fourierkoeffizient
c = 2,99792·108 m/s
a

Operator des m-Phasensystems
spezifische

Wärmekapazität

A

Fläche, Querschnittsfläche,

(spezifische Wärme)

A komplexe

Größe

Vierpolparameter

Vierpolparameter
ck komplexer

Fourierkoeffizient
b Länge,

ck Amplitudenspektrum

Wellenphasenmaß

C elektrische

Kapazität
bk Fourierkoeffizient

Konstante

G

C komplexe

Größe

B, B
magnetische Flussdichte oder

Vierpolparameter
magnetische Induktion,
d Dicke,

B komplexe

Größe

Durchmesser

B Blindleitwert

(Suszeptanz) Verlustfaktor

XII

Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten

G

D, D elektrische

Verschiebungs-
î
komplexe Amplitude des
flussdichte oder Erregungs-

Stroms
flussdichte

I Stromstärke

(Gleichstrom,

D Durchmesser

Effektivwert)

D* Drehfederkonstante

I
komplexer Effektivwert des
e Elementarladung

Stroms
e = 1,602·10–19 As
j imaginäre

Einheit:

1

zeitlich veränderliche EMK
imaginäre

Achse

E EMK

G
k Knotenzahl

E, E elektrische

Feldstärke

Kopplungsfaktor

E komplexe

Größe

Klirrfaktor
f Frequenz
laufender

Index

Formfaktor

K Konstante
f

K Ortskurve

Kreis

Fe Eisenfüllfaktor

G
f(t) Zeitfunktion
l, l Länge

G

F, F Kraft
l Anzahl

F komplexe

Größe

L Induktivität

F(s) Laplacetransformierte
der

L komplexe

Größe

Zeitfunktion f(t)

L^f(t)`

Laplacetransformierte der Zeit-

F^f
funktion f(t)

(t)` Fouriertransfomierte der

Zeitfunktion
m Masse
f(t)

F(jZ) Fouriertransfomierte
der

Anzahl

Zeitfunktion f(t)

M Gegeninduktivität

Drehmoment

F( jZ) Amplitudenspektrum
n Anzahl
g Gütefaktor

Drehzahl

Wellen-Übertragungsmaß N Entmagnetisierungsfaktor

G elektrischer

Leitwert

G

N Normale

Wirkleitwert

(Konduktanz) N komplexe

Größe

Gm magnetischer

Leitwert

O allgemeine

Ortskurvenglei-

G(s) Übertragungsfunktion,

Netz-
chung
werkfunktion
p Augenblicksleistung

G(jZ) Übertragungsfunktion

Verhältniszahl

G Ortskurve

Gerade

Parameter
h Höhe,

Länge

Tastverhältnis

Vierpolparameter

G
pi

Größen der Zipperer-Tafel

H, H
magnetische Feldstärke oder

P

Leistung (Gleichleistung, Wirk-
magnetische Erregung
leistung)

H Vierpolparameter

P Ortskurve

Parabel
i
zeitlich veränderlicher Strom
q
zeitlich veränderliche Ladung

(Augenblicks- oder Momen-
qi

Größen
der

Zipperer-Tafel
tanwert)

Q Ladung,

Elektrizitätsmenge
laufender

Index

Blindleistung
î

Amplitude, Maximalwert des

Kreisgüte, Gütefaktor, Reso-
sinusförmigen Stroms
nanzschärfe
i
komplexe Zeitfunktion des

Stroms

Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten

XIII
r variabler

Radius

V Volumen

Betrag einer komplexen Zahl
magnetische

Spannung
reelle

Achse

Effektivwert einer allgemeinen

Widerstandsverhältnis

G

Größe v
r Radiusvektor,

Ortsvektor

Verstärkung

R elektrischer

Widerstand
normierte

Verstimmung

Wirkwiderstand

(Resistanz)

w Windungszahl

Radius

zeitlich veränderliche Energie

Rm magnetischer

Widerstand
wÉnergiedichte

R komplexe

Größe
w komplexe

Zahl
s Weg,

Länge

W Arbeit,

Energie

komplexe Variable der
x unabhängige

Veränderliche

Laplacetransformation
laufende Ordinate auf der Ab-
s
zissenachse
i

Ordinatensprünge
s

Verhältniszahl
n(t) Summenfunktion

G

Realteil einer komplexen Zahl

S,S Stromdichte

S Scheinleistung
x(t)

Eingangs-Zeitfunktion

S komplexe

Leistung

X Blindwiderstand

(Reaktanz)

komplexe

Größe

X(s)

Laplacetransformierte der Ein-
t Zeit
gangs-Zeitfunktion

T

Periodendauer (Dauer einer
y
laufende Ordinate auf der Ordi-

Schwingung)

natenachse
u
zeitlich veränderliche elektri-

Imaginärteil einer komplexen
sche Spannung (Augenblicks-

Zahl
oder Momentanwert)

Vierpolparameter

Realteil einer komplexen Zahl
y(t) Ausgangs-Zeitfunktion
û

Amplitude, Maximalwert der

Y Scheinleitwert

(Admittanz)

sinusförmigen Spannung

Y(s)

Laplacetransformierte der Aus-
u
komplexe Zeitfunktion der
gangs-Zeitfunktion
elektrischen Spannung

Y
komplexer Leitwert bzw. kom-
û
komplexe Amplitude der
plexer Leitwertoperator
elektrischen

Spannung

Vierpolparameter

U
elektrische Spannung (Gleich-
z Zweigzahl
spannung, Effektivwert)

Ankerumdrehungen

U
komplexer Effektivwert der
laufende

Ordinate
elektrischen Spannung

Vierpolparameter
ü Übersetzungsverhältnis

z komplexe

Zahl

G

Z Scheinwiderstand

(Impedanz)

v, v Geschwindigkeit
v
allgemeine zeitlich veränderli-

Z
komplexer Widerstand bzw.

che Größe
komplexer Widerstandsoperator

Imaginärteil einer komplexen

Vierpolparameter

Zahl

Widerstandsverhältnis
vi
abgelesene

Ordinatenwerte
vi(x)

Geradenstücke einer Ersatz-
funktion

XIV

Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten

D Winkel

Mvk

Phasenspektrum

Temperaturkoeffizient

M(Z) Phasenspektrum

Zeigerausschlag

) magnetischer

Fluss

E Winkel

- Temperatur

Temperaturkoeffizient

N spezifischer

Leitwert

J Winkel

Teil der Lösung der charakteris-

Zeigerausschlag
tischen Gleichung

G Verlustwinkel

O

Lösung der charakteristischen

Abklingkonstante

Gleichung

Realteil der komplexen

P Permeabilität

Permeabilität
des

Variablen s

Vakuums:

G(t)

Dirac-Impuls oder Dirac’sche

Deltafunktion

P

0

1,256 106 Vs

Am

' Differenz,

Abweichung

Q laufender

Index

'f Bandbreite
relative

Verstimmung

H Dielektrizitätskonstante

U spezifischer

Widerstand

Dielektrizitätskonstante
des 4 Durchflutung

Vakuums, Influenzkonstante:

V Streufaktor

H 8,8542 1012 As

V(t) Sprungfunktion

0

Vm

W Zeitkonstante

Fehlwinkel

Temperaturkennwert

K Wirkungsgrad

Z Kreisfrequenz

M elektrisches

Potential

< Verschiebungsfluss

Phasenverschiebung

Induktionsfluss oder verketteter

Argument einer komplexen

Fluss

Zahl

<k Phasenspektrum

M

]

i Anfangsphasenwinkel
des

Abszissenwert von Stützstellen

Stroms

Scheitelfaktor

Mu Anfangsphasenwinkel
der

Spannung

Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten

XV

Einheiten des SI-Systems (Système International d’Unités)

Basiseinheit

der Länge l
das Meter, m
der Masse m
das Kilogramm, kg
der Zeit t
die Sekunde, s
der elektrischen Stromstärke I
das Ampere, A
der absoluten Temperatur T
das Kelvin, K
der Lichtstärke I
die Candela, cd
der Stoffmenge n
das Mol, mol

von den Basiseinheiten abgeleitete Einheit

der Kraft F

Newton,

1N = 1kg · m · s–2 = 1V · A · s · m–1
der Energie W

Joule,

1J = 1kg · m2 · s–2 = 1V · A · s
der Leistung P

Watt,

1W = 1kg · m2 · s–3 = 1V · A
der Ladung Q gleich

Coulomb, 1C = 1A · s
des Verschiebungsflusses <

der elektrischen Spannung U

Volt,

1V = 1kg · m2 · s–3 · A–1 = 1W · A–1
des elektrischen Widerstandes R

Ohm,

1: = 1kg · m2 · s–3 · A–2 = 1V · A–1
des elektrischen Leitwertes G

Siemens,

1S = 1kg–1 · m–2 · s3 · A2 = 1V–1 · A
der Kapazität C

Farad,

1F = 1kg–1 · m–2 · s4 · A2 = 1C · V–1
des magnetischen Flusses )

Weber,

1Wb = 1kg · m2 · s–2 · A–1 = 1Vs
der Induktivität L

Henry,

1H = 1kg · m2 · s–2 · A–2 = 1Wb · A–1
der magnetischen Induktion B

Tesla,

1T = 1kg · s–2 · A–1 = 1Wb · m–2
der Frequenz f

Hertz,

1Hz = s–1

1

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

Das Coulombsche Gesetz und das elektrische Feld (Band 1, S. 4)

elektrische Kraft zwischen geladenen Körpern



1

Q Q2

1

Q

Q

F K

E Q



2

K

Q2 mit

1

E K
elektrische Feldstärke

2

2
r
r

2
r

Das elektrische Potential und die elektrische Spannung (Band 1, S.5-7) 1

W

W

1
ĳ

2
ĳ

Q

2

Ladungsverschiebungen

2

Q2

'W = W2 – W1 = (M2 – M1) · Q2

'W

U
ĳ

2

1
ĳ

Q2

N  m
mit 1 V 1

vor der Trennung nach der Trennung nach weiterer Trennung C

Der elektrische Strom (Band 1, S.10-12)

Arten des elektrischen Stroms:

der Verschiebungsstrom im Nichtleiter und der Konvektionsstrom im Leiter

Konvektionsstrom

Stromdichte

Q

I
dI

A

I

Gleichstrom

S

S
mit [S] = 1

t

A
dA

2
mm
dq
i

zeitlich veränderlicher Ladungsstrom
dt

18

C

6, 24 10 Elektronen
mit 1 A 1

s

Sekunde

Stromarten

Gleichstrom

(Band 1, Kapitel 2),

Wechselstrom

(Band 2, Kapitel 4).

© Springer Fachmedien Wiesbaden 2015

W. Weißgerber, Elektrotechnik für Ingenieure - Formelsammlung, DOI 10.1007/978-3-658-09090-6_1

2

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

Der elektrische Widerstand (Band 1, S.12-21)

elektrischer Widerstand

U

V

R

:

a

[R ] 1

1

I
a

A

U

U = Ra · I oder I

Ra

elektrischer Leitwert

1

Ga=

[G

R
a] = 1 S = 1 :–1
a

Bemessungsgleichung
ȡ  l
l

R

a

A
ț  A

mit l: Länge des Leiters, A: Querschnittfläche des Leiters

U:

spezifischer Widerstand ½

N = 1/U: spezifischer Leitwert

¾

Materialgrößen

¿

Temperaturabhängigkeit des Widerstandes
bis 200 ºC

U = U20 · (1 + D20 · '-)

Ra = R20 · (1 + D20 · '-)

über 200 ºC bzw. nichtlinear

U = U20 · [1 + D20 · '- + E20 · ('-)2]

Ra = R20 [1 + D20 · '- + E20  ('-)2]

mit '- = - – 20 ºC

U

N

D20

Material Symbol

2

:  mm
m

1

1

oder

m

2

: mm

D C

K

Aluminium

Al

0,028

36

0,004

Silber

Ag

0,016

63

0,004

Kupfer

Cu

0,018

56

0,004

Gold

Au

0,023

44

0,004

Platin

Pt

0,11

9

0,002

Eisen

Fe

0,125

8

0,005

Manganin

Cu, Fe, Mn, Ni

0,4

2,5

0,00001

Chromnickel

Cr, Ni, Fe

1

1

0,00005

Die elektrische Energie und die elektrische Leistung

3

Die elektrische Energie und die elektrische Leistung

(Band 1, S.22-24)

In einem Stromkreis ist die Summe aller vorzeichenbehafteten Energien Null:

l

¦
i

W

1

W

2

W

... W

0
l

i 1

Energieansatz mit Quellspannungen:

Werden für die Spannungsquellen Quellspannungen Uq angesetzt, gilt für den Energiesatz, dass die Summe aller vorzeichenbehafteten Energien (zugeführte Energien sind negativ, nach außen abgegebene Energien sind positiv) Null ist.

In einer Spannungsquelle erzeugte – genauer umgewandelte – elektrische Energie : Werz = Q · Uq

In ohmschen Widerständen abgegebene Energie:

2

2

U

   




ab

W g Q U U I t I Ra t
t

Ra

[W] = 1 J = 1 Ws = 1 Nm 1 Joule 1 Wattsekunde 1 Newtonmeter heute nicht mehr gebräuchliche Energieäquivalente
mechanische Arbeit

Wärmeenergie
elektrische Energie

426,9 kp · m

= 1 kcal

= 4,187 · 103 Ws

0,102 kp · m

= 0,2388 cal

= 1 Ws

Wärmeenergie (Wärmemenge)

W = c · m · '-

Die spezifische Wärmekapazität c eines Stoffes gibt an, wie viel Wärmeenergie notwendig ist, um 1 kg dieses Stoffes um 1 ºC zu erwärmen.

Beispiele:

Wasser 4 187 J/(kg · K)

Aluminium 880 J/(kg · K)

Kupfer 394 J/(kg · K)

Gold

130 J/(kg · K)

Eisen

461 J/(kg · K)

Sauerstoff

730 J/(kg · K)

Für Temperaturdifferenzen: 1 ºC = 1 K
elektrische Leistung

[P] = 1 W = 1V · A

4

2 Gleichstromtechnik

2.1 Der unverzweigte Stromkreis

2.1.1 Der Grundstromkreis (Band 1, S.27-31)

Grundstromkreis mit Quellspannung Uq

Grundstromkreis mit EMK E

Uq = U + Ui

E = U + Ui

normaler Betriebsfall mit 0 < Ra < f Uq

E

I

I

R

R R
a

Ri
a
i

Kurzschluss: Ra = 0 mit U = 0

Uq

E

I

I

k

R
k

R
i
i

Leerlauf: Ra = f mit I = 0

U l = Uq

U l = E

Anpassung: Ra = Ri

1

1

I I

k

I

I

2
k

2

1

1

U U

U U

2 l

2 l

© Springer Fachmedien Wiesbaden 2015

W. Weißgerber, Elektrotechnik für Ingenieure - Formelsammlung, DOI 10.1007/978-3-658-09090-6_2

2.1 Der unverzweigte Stromkreis

5

Kennlinien des Grundstromkreises:

Kennlinie des aktiven Zweipols

U

I

1

U

I
l
k

Kennlinie des passiven Zweipols
linearer Widerstand

1

U = Ra I I

U

Ra
nichtlinearer Widerstand

U =f (I) I = f (U)

Überlagerung der Kennlinien des aktiven und passiven Zweipols

Werden aktiver und passi-

ver Zweipol zusammenge-
schaltet, dann stellt sich
nur ein Strom I und nur ei-
ne Klemmenspannung U
ein. Diese Größen ergeben
sich durch Überlagerung
der Kennlinien des aktiven
und passiven Zweipols, in-
dem im Schnittpunkt (ge-
nannt Arbeitspunkt) die

Größen abgelesen werden.

Aus den überlagerten Kennlinien lassen sich die Spannungen am Außenwiderstand und Innenwiderstand abgreifen.

6

2 Gleichstromtechnik

2.1.2 Zählpfeilsysteme (Band 1, S.31,32)

Im Verbraucherzählpfeilsystem (VZS-System) werden die im Verbraucher (Widerstand) definierten Strom- und Spannungsrichtungen zugrunde gelegt:

2.1.3 Die Reihenschaltung von Widerständen (Band 1, S.33,34)

U = U1 + U2 + ... + Un

U = I  (R1 + R2 + ... + Rn)

n
n

U = ¦ U 
v

I ¦Rv
v 1

v 1

U = I  Ra
n

R
a

¦Rv
v 1

oder

1
n

1

= ¦

Ga v 1 G

v

Ersatzschaltung eines Stromkreises mit n in Reihe geschalteten ohmschen

Widerständen

2.1.4 Anwendungen der Reihenschaltung von Widerständen (Band 1, S.34,35) unbelasteter Spannungsteiler

Potentiometer

1

U

R1

U2

R2

1

U

R1

R1

U

R

1

R2

R

Ausführungen unbelasteter Spannungsteiler

Spannungsteilerregel

Die Spannungen über zwei vom gleichen Strom durchflossenen Widerständen verhalten sich wie die zugehörigen Widerstandswerte.

Messbereichserweiterung eines Spannungsmessers

Rv = (p – 1)  R0.

U
mit p

U0

2.2 Der verzweigte Stromkreis

7

2.1.5 Die Reihenschaltung von Spannungsquellen (Band 1, S.35,36)

Die Ersatz-Quellspannung Uq ers bzw. die Ersatz-EMK Eers berücksichtigt alle Uq v bzw. E v, die in gleicher Richtung wirken, positiv und die entgegengesetzt wirken, negativ.

Der Ersatz-Innenwiderstand Ri ers ist gleich der Summe aller Innenwiderstände Ri v.

2.2 Der verzweigte Stromkreis

2.2.1 Die Maschenregel (Der 2. Kirchhoffsche Satz) (Band 1, S.37,38)

Zur Ermittlung der Spannungsgleichungen in einem verzweigten Stromkreis werden beliebige Maschenumläufe gewählt, für die die Maschenregel gilt:

Beim Umlauf einer Masche ist die Summe

Beim Umlauf einer Masche ist die Summe
aller vorzeichenbehafteten Spannungen
der vorzeichenbehafteten EMK E gleich der

(Quellspannungen und Spannungen an

Summe der vorzeichenbehafteten Span-

Widerständen) in einer Masche gleich Null:

nungsabfälle an den Widerständen:

l
n
m

¦U

¦
i

0 (2.38)

Ei ¦ Ui. (2.39)

i 1

i 1

i 1

Wird mit Quellspannungen gerechnet, dann

Wird mit EMK E gerechnet, muss jede Ma-
wird jede Masche nur einmal durchlaufen.

sche zweimal durchlaufen werden, einmal
für die EMK und einmal für die Span-
nungsabfälle.

Vorzeichenbehaftet bedeutet, dass alle in der gewählten Umlaufrichtung liegenden Spannungen und EMK positiv und dass alle entgegengesetzt gerichteten Spannungen und EMK negativ in der Maschengleichung berücksichtigt werden.

2.2.2 Die Knotenpunktregel (Der 1. Kirchhoffsche Satz) (Band 1, S.39) Treffen sich mehrere stromdurchflossene Leiter in einem Knotenpunkt, so gilt die Knotenpunktregel:

Die Summe aller vorzeichenbehafteten

Die Summe der zum Knotenpunkt hinflie-

Ströme eines Knotenpunktes ist Null; vor-
ßenden Ströme ist gleich der Summe der
zeichenbehaftet bedeutet, dass die zum
vom Knotenpunkt wegfließenden Ströme:

Knotenpunkt hinfließenden Ströme positiv

und die von ihm wegfließenden Ströme

negativ gezählt werden oder umgekehrt:

l
n
m

¦I

¦I ¦I . (2.41)

i

0 (2.40)

i
i
i 1

i 1

i 1

x
x
n p

8

2 Gleichstromtechnik

2.2.3 Die Parallelschaltung von Widerständen (Band 1, S.39,40)

Ersatzschaltung eines Stromkreises mit n parallel geschalteten ohmschen Widerständen

§ 1

1

1

1 ·

I = I1 + I2 + I3 + ... + In= U ¨

!

¸ = U  (G

R

1 + G2 + G3 + ... + Gn)

© 1 R2 R3

Rn ¹
n
n
n

1

I = ¦I ¦


v

U

U ¦Gv
v 1
v 1 R

v
v 1

n
n

1

1

1

1

1

1

Ga = G1 + G2 + G3 + ...+ Gn = ¦G

!

v oder

¦
v 1

Ra

R1 R2 R3

Rn v 1 R

v

2.2.4 Anwendungen der Parallelschaltung von Widerständen (Band 1, S.41,42) Stromteiler

1

I

1

G

R2

I2

G2

R1

I2

G2

R1

.

I

1

G

G2

R1 R2

Stromteilerregel

Ein Stromteiler besteht aus zwei parallel geschalteten Widerständen R1 und R2 , an denen die gleiche Spannung anliegt.

In parallelen Zweigen mit ohmschen Widerständen sind die Teilströme proportional den Zweigleitwerten und umgekehrt proportional den entsprechenden Zweigwiderständen.

Für zwei parallel geschaltete Widerstände gilt die Regel:

Der Teilstrom verhält sich zum Gesamtstrom wie der Widerstand, der nicht vom Teilstrom durchflossen ist, zum Ringwiderstand der Parallelschaltung. Der Ringwiderstand bedeutet der Widerstand der Reihenschaltung der beiden Widerstände, nicht der Gesamtwiderstand der Parallelschaltung:

1

I

R2

I

R
und 2

1

I

R

1

R2

I

R1 R2

2.2 Der verzweigte Stromkreis

9

Ersatzwiderstand von zwei
parallel geschalteten Widerständen

R  R

Ra = 1

2

R

1

R2

Messbereichserweiterung eines Strommessers

R

I

Rp = 0 mit p =

p 1

I0

Gp = (p – 1)  G0.

2.2.5 Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle (Band 1, S.44-46)

Uq

E

I

I

q

bzw.

R
q

R
i
i

U




q

Iq Ri
bzw. E Iq Ri

10

2 Gleichstromtechnik
normaler Belastungsfall
für Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle

Ra

U

 Uq

R
i

Ra

(Spannungsteiler)

Uq

I

R

i

Ra

für Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle

Ri

I

 Iq

R
i

Ra

(Stromteiler)

R 

i Ra

U

 Iq

R
i

Ra

charakteristische Betriebszustände

für Ersatzspannungsquelle
für Ersatzstromquelle

U

Kurzschluss mit Ra = 0:

U = 0

I = Ik = q

U = 0

I = Ik = Iq

R
weil

I
i
i = 0

I = 0

U = U

I = 0

U = U

Leerlauf mit R
l = Uq
l = Iq  Ri
a = f:

weil

Ui = 0
weil

Ii = Iq

U

U
l
q

U

2

2

Anpassung mit Ra = Ri:

I

I
k
q

I

2

2

2.2 Der verzweigte Stromkreis

11

2.2.6 Die Parallelschaltung von Spannungsquellen (Band 1, S.54-56)

Überführung von n parallel geschalteten Spannungsquellen in n äquivalente Stromquellen

Überführung von n parallel geschalteten Stromquellen in eine Ersatz-Stromquelle und eine Ersatz-Spannungsquelle
n Uqv

Uq1 Uq2 Uq3

Uqn

¦

!

R
v 1

iv

Ri1

Ri2

Ri3

Rin

U

q ers

n

1

1

1

1

1

!

¦ R

Ri1 Ri2 Ri3

Rin
v 1

iv

1

1

R

i ers

n

1

1

1

1

1

¦

!

R

Ri1 Ri2 Ri3

Rin
v 1

iv

Sind die parallel geschalteten Spannungsquellen mit einem äußeren Widerstand Ra belastet, dann ist
n Uqv

Uq1 Uq2 Uq3

Uqn

¦

!

Uq ers

R

R

R

R

R

I
v 1

iv
i1
i2
i3
in

R

n
i ers

Ra

1

§ 1

1

1 ·

1 R  ¦

¨

!

a

1 Ra

¸

R
v 1

iv

R

© i1 Ri2

Rin ¹

12

2 Gleichstromtechnik

2.2.7 Messung von Widerständen (Band 1, S.58-61)

Stromrichtige Messschaltung zur Messung von großen Widerständen:

U

U U

U

U

R

A

R

A

R

M

I

I

I

I

RM = R + 'R

U
mit 'R = A R

A

I

Spannungsrichtige Messschaltung zur Messung von kleinen Widerständen:

I

A

I IV

I

IV

G

M

UR

UR

UR UR

G

'

M

G

G

I

1

mit

V

'G

G

V

UR

RV

Gleichstrombrücke nach Wheatstone

Bei Abgleich der Brücke
sind zwei Zweigströme
gleich, weil der Diagonal-
zweig stromlos ist:

I1 = I2 und I3 = I4

Die Abgleichbedingung der

Wheatstonebrücke lässt
sich in ohmschen Wider-
ständen ausdrücken:

R1

R3

R2

R4

2.2 Der verzweigte Stromkreis

13

Schleifdraht-Messbrücke

3
l

3
l

R

X

RN

RN

l
l

4

3
l

2.2.8 Der belastete Spannungsteiler (Band 1, S.62-66)

I3

U2
v

I

U

R

2

3max

(v v ) 1

R3

14

2 Gleichstromtechnik

2.2.9 Kompensationsschaltungen (Band 1, S.66-69)

UR U R

2
qx

I

3

R

A R

R1R2

Im Zustand der Kompensation ist der Spannungsteiler unbelastet, denn der Belastungsstrom I3
ist Null. Die unbekannte Spannung ergibt sich dann aus

R2

U

qx

U

R

Zweifache Spannungskompensation

Die unbekannte Spannung kann unabhängig von der Hilfsspannung auf vier Ziffern genau berechnet werden:

Rx

U


x

UqN

RN

2.2 Der verzweigte Stromkreis

15

2.2.10 Umwandlung einer Dreieckschaltung in eine Sternschaltung und
umgekehrt (Band 1, S.69-73)

Dreieck-Stern-Transformation

'

R2R3

R R

R R

R

1

'

3 1

R

'

1 2

R

R

2

3

1

R2 R3

R1 R2 R3

R1 R2 R3

Produkt der beiden Dreieckwiderstände

Merkregel: Sternwiderstand

Summe aller Dreieckwiderstande

Stern-Dreieck-Transformation

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

R

2R3

R1R2 R2R3 R1R3

G G

R

3

2

1

R2 R3

G

'

'

R

1

'

'

'

1

R1

1

G

G2 G3

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

R

1R3

R1R2 R2R3 R1R3

G G

R

1 3

2

R1 R3
oder

G

'

'

R

2

'

'

'

2

R2

1

G

G2 G3

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

R

1R 2

R1R2 R2R3 R1R3

G G

R

1

2

3

R1 R2

G

'

'

R

3

'

'

'

3

R3

1

G

G2 G3

16

2 Gleichstromtechnik

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

Für ein Gleichstrom-Netzwerk, in dem Spannungsquellen, Stromquellen und ohmsche Widerstände gegeben sind, sollen die Zweigströme und Spannungen berechnet werden. Die Richtungen der Spannungsquellen und Stromquellen sind durch Zählpfeile vorgegeben.

2.3.1 Netzwerkberechnung mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze

(Zweigstromanalyse) (Band 1, S.80-86)

Lösungsweg:

1. Kennzeichnung der Richtung der Zweigströme

Ist die Stromrichtung nicht vorauszusagen, dann ist sie beliebig anzunehmen. Die Berechnung ergibt negative Ströme, wenn die Stromrichtung falsch vorausgesagt wurde.

2. Aufstellen der k – 1 Knotenpunktgleichungen

Für ein Netzwerk mit k Knotenpunkten ergeben sich k – l voneinander unabhängige Knotenpunktgleichungen mit Hilfe der Knotenpunktregel. Die Gleichungen sind voneinander linear abhängig, wenn sie sich aus einer oder mehreren Knotenpunktgleichungen ableiten lassen. Stromquellen im Netzwerk werden als Ein- und Ausströmungen in jeweils zwei Knotenpunkten und in den Knotenpunktgleichungen berücksichtigt. Sie sind also keine Zweige, denn sie haben einen unendlich großen Widerstand:

Beispiel zur Behandlung von

Stromquellen bei der Zweigstrom-
analyse

3. Willkürliche Festlegung der Maschen-Umlaufrichtungen und Aufstellen der unabhängigen Maschengleichungen nach der Maschenregel

Für die Berechnung eines Netzwerkes sind z Gleichungen mit z unbekannten Zweigströ-
men notwendig, k – 1 Knotenpunktgleichungen sind bereits aufgestellt. Dazu kommen noch die unabhängigen Maschengleichungen für die Spannungen der Maschen, die man er-hält, wenn nach jedem Maschenumlauf die behandelte Masche aufgetrennt gedacht wird.

Diese Trennstelle wird in einem Zweig des Netzes durch zwei Striche gekennzeichnet. Ein neuer Maschenumlauf darf nicht über diese Trennstelle erfolgen. Nach dem Umlauf wird eine zweite Trennstelle vorgesehen, die beim dritten Umlauf nicht überschritten werden darf, usw. Ist wegen der eingezeichneten Trennstellen kein Umlauf mehr möglich, sind alle unabhängigen Maschengleichungen aufgestellt. Nun ist noch zu kontrollieren, ob die k – 1

Knotenpunktgleichungen und die unabhängigen Maschengleichungen z Gleichungen ergeben.

4. Auflösen des Gleichungssystems nach den gesuchten Strömen und Spannungen Handelt es sich um kleine Netze, können das Eliminationsverfahren, das Einsetzverfahren, das Determinantenverfahren (Abschnitt 2.3.6.3), das Bilden der inversen Matrix (Abschnitt 2.3.6.2) oder der Gaußsche Algorithmus (Abschnitt 2.3.6.3) angewendet werden. Bei grö-
ßeren Netzen sollte ein Rechner zu Hilfe genommen werden, für den z.B. der Gaußsche Algorithmus programmiert wird.

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

17

2.3.2 Netzwerkberechnung mit Hilfe des Überlagerungssatzes

(Superpositionsverfahren) (Band 1, S.86-89)

Für elektrische Netze lautet das Überlagerungsprinzip:

Die Ströme in den Zweigen eines linearen Netzwerks sind gleich der Summe der Teilströme in den betreffenden Zweigen, die durch die einzelnen Quellspannungen und Quellströme hervorgerufen werden. Lineares Netzwerk bedeutet, dass zwischen den Strömen und Spannungen lineare Zusammenhänge bestehen.

Lösungsweg:

1. Kennzeichnung der Richtung der Zweigströme

Ist die Stromrichtung nicht vorauszusagen, dann ist sie beliebig anzunehmen. Die Berechnung ergibt negative Ströme, wenn die Stromrichtung falsch vorausgesagt wurde.

2. Nullsetzen und Kurzschließen aller Quellspannungen und Nullsetzen und Unterbrechen aller Quellströme bis auf eine Quellspannung oder einen Quellstrom

Innenwiderstände verbleiben in der Schaltung. Es empfiehlt sich, die Schaltung mit nur einer Spannungs- oder Stromquelle noch einmal zu zeichnen.

3. Berechnen des von der einen Quellspannung oder von dem einen Quellstrom verursachten Teilstrom in dem Zweig, in dem der Zweigstrom ermittelt werden soll

Da nur eine Energiequelle in der Schaltung wirkt, kann in den meisten Fällen die Stromrichtung in dem betreffenden Zweig vorausgesagt werden. Die Richtung des Teilstroms kann dabei auch entgegengesetzt zur angenommenen Richtung des unter 1. vereinbarten Richtung des gesamten Zweigstroms verlaufen.

4. Nullsetzen und Kurzschließen aller Quellspannungen und Nullsetzen und Unterbrechen aller Quellströme bis auf eine zweite Quellspannung oder einen zweiten Quellstrom und Berechnen des Teilstroms in dem betreffenden Zweig

5. Berechnen der Teilströme in dem betreffenden Zweig auf Grund einer dritten, vierten, ...

Energiequelle

Es ergeben sich so viele Teilströme, wie Spannungs- und Stromquellen in der Schaltung vorhanden sind.

6. Aufsummieren der Teilströme bei Beachten der Vorzeichen der Teilströme Teilströme, die die gleiche Richtung haben wie der unter l. vereinbarte gesuchte Zweigstrom, werden positiv berücksichtigt. Die Teilströme, die entgegengesetzt gerichtet sind, gehen negativ in die Berechnung ein.

18

2 Gleichstromtechnik

2.3.3 Netzwerkberechnung mit Hilfe der Zweipoltheorie (Band 1, S.46-54, 90-97)

Durch die Netzwerkberechnung nach der Zweipoltheorie wird das gegebene Gleichstrom-Netzwerk in einen Grundstromkreis überführt, wobei der gesuchte Zweigstrom gleich dem Belastungsstrom des Grundstromkreises ist bzw. die gesuchte Spannung gleich der Klemmenspannung des Grundstromkreises ist. Es gibt zwei mögliche Ersatzschaltungen für ein Gleichstromnetz:

die Spannungsquellen-Ersatzschaltung und
die Stromquellen-Ersatzschaltung.

Nach der Überführung kann der Strom bzw. die Spannung nach den Formeln für den Grundstromkreis berechnet werden.

Lösungsweg:

1. Aufteilung des Netzwerks in einen aktiven und einen passiven Zweipol

Die Aufteilung muss so vorgenommen werden, dass der gesuchte Zweigstrom von der obe-ren Klemme des aktiven Zweipols in die obere Klemme des passiven Zweipols und von der unteren Klemme des passiven Zweipols in die untere Klemme des aktiven Zweipols oder umgekehrt fließt bzw. die gesuchte Spannung zwischen den Klemmen der Zweipole liegt.

2. Berechnung der Ersatzschaltung des aktiven Zweipols

Ersatzspannungsquelle Ersatzstromquelle
oder
mit Uq ers = U l und Ri ers
mit Iq ers = Ik und Ri ers

Uq ers: Die Ersatz-Quellspannung ist gleich der Leerlaufspannung

Uq ers = U l,
d.h. für den aktiven Zweipol des Gleichstromnetzes wird bei offenen Klemmen, also bei Leerlauf, die Klemmenspannung rechnerisch oder messtechnisch ermittelt. Sollten Spannungsquellen oder Stromquellen in Reihe oder parallel geschaltet sein, dann werden diese zusammengefasst und bei der Berechnung von U l berücksichtigt.

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

19

Iq ers: Der Ersatz -Quellstrom ist gleich dem Kurzschlussstrom

Iq ers = Ik,

d. h. für den aktiven Zweipol des Gleichstromnetzes wird bei kurzgeschlossenen Klemmen, also bei Kurzschluss, der Klemmenstrom rechnerisch oder messtechnisch ermittelt. In Reihe oder parallel geschaltete Spannungs- oder Stromquellen werden zusammengefasst und bei der Ermittlung des Kurzschlussstroms berücksichtigt.

Ri ers: Der Ersatz-Innenwiderstand ist gleich dem ohmschen Widerstand des aktiven Zweipols hinsichtlich der offenen Zweipolklemmen, wenn alle Spannungsquellen des

Gleichstromnetzes als kurzgeschlossen und alle Stromquellen als unterbrochen angenommen werden. Innenwiderstände bleiben berücksichtigt in der Schaltung des Netzes. Anschließend müssen Brückenschaltungen durch Dreieck-Stern-Umwandlungen
oder Stern-Dreieck-Umwandlungen (Abschnitt 2.2.10) in zusammenfassbare Reihen-
und Parallelschaltungen überführt werden und mit den übrigen ohmschen Wider-
ständen zusammengefasst werden.

20

2 Gleichstromtechnik

3. Berechnung der Ersatzschaltung des passiven Zweipols

Ersatz-Außenwiderstand Ra ers

Ra ers: Der Ersatz-Außenwiderstand ist gleich dem ohmschen Widerstand des passiven Zweipols hinsichtlich der offenen Zweipolklemmen. Dabei müssen Brückenschaltungen durch Dreieck-Stern-Umwandlungen oder Stern-Dreieck-Umwandlungen

(Abschnitt 2.2.10) in zusammenfassbare Reihen- und Parallelschaltungen überführt werden und mit den übrigen ohmschen Widerständen zusammengefasst werden.

4. Ermittlung des gesuchten Stroms oder der gesuchten Spannung mit Hilfe der Ersatzschaltung (Grundstromkreis)

für die Spannungsquellen-Ersatzschaltung:

Uq ers

I

R

i ers

Ra ers

Ra ers

U

 Uq ers

R

i ers

Ra ers

für die Stromquellen-Ersatzschaltung:

R

i ers

I

 Iq ers

R

i ers

Ra ers

R


i ers R a ers

U

 Iq ers

R

i ers

Ra ers

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

21

2.3.4 Netzwerkberechnung nach dem Maschenstromverfahren (Band 1, S.98-102)

Beim Maschenstromverfahren werden nur Maschengleichungen für Spannungen berücksichtigt. Deshalb sind im Gleichstromnetz vorkommende Stromquellen zunächst in äquivalente Spannungsquellen zu überführen. Bei idealen Stromquellen mit Gi = 0 ist die Umwandlung nicht möglich. In diesem Fall kann ein zur Stromquelle parallel geschalteter Innenwiderstand angenommen werden, der dann im Endergebnis unendlich gesetzt wird. Das Maschenstromverfahren kann aber auch für ideale Stromquellen erweitert werden [16].

Jeder unabhängigen Masche wird dann ein geschlossener Maschenstrom zugeordnet. In den Zweigen, die mehreren Maschen angehören, werden die Maschenströme überlagert. Die Zweigströme sind also gleich der vorzeichenbehafteten Summe der Maschenströme, je nachdem ob die Maschenströme in dem Zweig gleich gerichtet oder entgegengesetzt gerichtet sind.

Anschließend werden die unabhängigen Maschengleichungen für die Zweigströme nach der Maschenregel aufgestellt und zwar mit den angenommenen Maschenströmen.

Gegenüber der Netzberechnung nach den Kirchhoffschen Sätzen (Abschnitt 2.3.1) werden beim Maschenstromverfahren die Knotenpunktgleichungen eingespart, wodurch sich in vielen Fällen Vereinfachungen ergeben.

Lösungsweg:

1. Umwandlung sämtlicher Stromquellen in äquivalente Spannungsquellen

Behandlung von Stromquellen
beim Maschenstromverfahren

2. Jeder unabhängigen Masche wird ein Maschenstrom zugeordnet

Dabei kann die Umlaufrichtung der Maschenströme beliebig gewählt werden. Die Zuord-nung der Maschenströme wird so vorgenommen, dass durch den Zweig, für den der Strom berechnet werden soll, nur ein Maschenstrom angenommen wird, damit nach Auflösung des Gleichungssystems nicht die Summe oder Differenz von Maschenströmen gebildet werden muss. Es wird also mit der Festlegung des Maschenstroms begonnen, zu dem der gesuchte Zweigstrom gehört. Anschließend wird dieser Zweig getrennt gedacht und mit zwei Strichen gekennzeichnet. Dann wird ein neuer Umlauf mit einem neuen Maschenstrom gesucht und wieder getrennt gedacht, usw. Ist infolge der gedachten Trennstellen kein Umlauf mehr möglich, sind sämtliche unabhängigen Maschen berücksichtigt.

3. Aufstellen der Maschengleichungen für die ausgewählten Maschen und zwar für Zweigströme

4. Berechnen des gesuchten Stroms oder der gesuchten Ströme mit Hilfe des geordneten Gleichungssystems

(Eliminationsverfahren, Cramersche Regel, Matrizenrechnung, Gaußscher Algorithmus im Abschnitt 2.3.6.3)

22

2 Gleichstromtechnik

2.3.5 Netzwerkberechnung nach dem Knotenspannungsverfahren (Band 1,S.102-108)

Das Knotenspannungsverfahren basiert auf dem Knotenpunktsatz und dem Ohmschen Gesetz.

Dabei wird mit den Spannungen zwischen dem jeweiligen Knotenpunkt und einem mit dem Potential Null festgelegten Knotenpunkt gerechnet.

Verbindet eine ideale Spannungsquelle mit Ri = 0 zwei Knotenpunkte, dann wird in einem der beiden Anschlusspunkte der Spannungsquelle das Potential Null angenommen, wodurch das Potential des anderen Knotenpunktes über die Quellspannung bekannt ist. Mit den übrigen Spannungen und den Leitwerten ergeben sich dann die gesuchten Zweigströme.

Einströmungen, z.B. Quellströme, lassen sich in den Knotenpunktgleichungen berücksichtigen.

Lösungsweg:

1. Kennzeichen der Knotenpunkte von 0 bis k – 1: k0, k1, k2, k3, ...

Der Knotenpunkt k0 erhält das Potential Null. Zwischen den k – 1 Knotenpunkten und dem Knotenpunkt k0 bestehen dann die k – l Spannungen Ui0 :

U10 = M1 – M0 = M1 U20 = M2 – M0 = M2 ... Uk – 1,0 = Mk – 1 – M0 = M k – 1

2. Festlegen der Richtungen der z Zweigströme I 1, I 2, ... , I z im Gleichstromnetz Einströmungen (zu- und abfließende Ströme) und Stromquellen (Quellströme) sind vorgegeben.

3. Aufstellen der k – 1 Knotenpunktgleichungen in den Knotenpunkten k1, k2, ... nach der Knotenpunktregel

4. Aufstellen der z Gleichungen für die Zweigströme in Abhängigkeit von den Zweigleitwerten G, den Spannungen U 10 und den eventuell vorhandenen Quellspannungen Erläuterungsbeispiel:

Der Zweigstrom I1 fließt vom Knotenpunkt k2
zum Knotenpunkt k1, dann wird er durch die

Spannungsdifferenz U20 – U10 getrieben.

Befinden sich zwischen den Knotenpunkten

k1 und k2 Quellspannungen, dann sind diese zu der Spannungsdifferenz U20 – U10 zu addieren, wenn die Quellspannungen entgegengesetzt zum Zweigstrom I1 gerichtet sind, und zu subtrahie-ren, wenn die Quellspannungen gleichgerichtet sind mit dem Zweigstrom I1. Im Beispiel wirkt die Quellspannung Uq1 stromtreibend (entgegengesetzt gerichtet zu I1) und die Quellspannung Uq2
stromhemmend (in gleicher Richtung wie I1).

Fließt der Zweigstrom durch mehrere in Reihe geschaltete Widerstände, dann ist deren Leitwert zu ermitteln. Im Beispiel fließt der Zweigstrom I1 durch die beiden Widerstände R1 und R2; der zugehörige Zweigleitwert beträgt G12 = 1/(R1 + R2).

I1 = G12  (U20 – U10 + Uq1 – Uq2)

Für die übrigen k – l Zweigströme werden auf die gleiche Weise die Gleichungen ermittelt.

5. Einsetzen der Gleichungen für die Zweigströme in die Knotenpunktgleichungen und Ord-nen des Gleichungssystems

Durch das Einsetzen der unter 4. entwickelten Gleichungen in die unter 3. aufgestellten Knotenpunktgleichungen entsteht ein Gleichungssystem mit bekannten Leitwerten, gegebenen Quellspannungen und unbekannten Spannungen Ui0

6. Lösen des Gleichungssystems nach den unbekannten Spannungen U i0 und Berechnen der gesuchten Zweigströme I 1, I 2, ... , I z

(Eliminationsverfahren, Cramersche Regel, Matrizenrechnung, Gaußscher Algorithmus im Abschnitt 2.3.6.3)

2.4 Elektrische Energie und elektrische Leistung

23

2.4 Elektrische Energie und elektrische Leistung

2.4.1 Energie und Leistung (Band 1, S.132-135)

W
dW

P
bzw. P
potentielle Energie:

  '

t
dt
pot

W
m g
h
n

2
m  v

Energiesatz: ¦

v

W
konstant kinetische Energie: ki

W n

v 1

2

2.4.2 Energieumwandlungen (Band 1, S.135-138)

Elektrische Energie in Wärmeenergie

Wel = Wth U  I  t = c  m  '-

Energieäquivalente

1 J = 1 Nm = 1 Ws = 1 kg·m2·s-2

J = Nm = Ws
cal
kWh
kpm
eV

1 J = 1 Nm = 1 Ws

1

0,2388

2,778 10–7 0,102

6,25

 1018

1 cal

4,1868

1

1,163  10–6 0,4269

2,62

 1019

1 kWh

3,6  106 859,8

 103 1

3,671

 105 2,25

 1025

1 kpm

9,80665

2,342

2,724  10–6 1 6,12

 1019

1 eV

1,602  10–19 3,82

 10–20 4,44

 10–26 1,63

 10–20 1

2.4.3 Messung der elektrischen Energie und Leistung (Band 1, S.138-142) Magnet-Motorzähler

Leistungsmesser

Ankerumdrehungen

Zeigerausschlag
c
c
c
z = t  n = 1

1

 I  t

Q

D =

U  I = c
c
stat  Pel

2
c2

D*
mit Drehzahl n
mit D* = Drehfederkonstante

24

2 Gleichstromtechnik

Stromrichtige und spannungsrichtige Leistungsmessung

Spannungsrichtige Messschaltung

Stromrichtige Messschaltung
mit zwei getrennten Instrumenten
mit zwei getrennten Instrumenten

Spannungsrichtige Messschaltung

Stromrichtige Messschaltung
mit einem elektrodynamischen Messwerk
mit einem elektrodynamischen Messwerk

Die in den Instrumenten auftretende Verlustleistung bestimmt die Messgenauigkeit: spannungsrichtige
stromrichtige

Messschaltung

Messschaltung

2

U

Leistung des Verbrauchers

P = U  I =

P = U  I = I2  R

R

2

U

'P = U  'I=

'P = 'U  I = I2  R

Leistungsverlust im Spannungs- bzw.

R

A

V

Strompfad

U
mit 'I =

mit 'U = I  RA

RV

Messleistung

Pmess = P + 'P

Pmess = P + 'P

2

U

'P

R

R

2

'P I  R

R
relativer Fehler

V

A

A

2

P

U

R

2

V

P

I  R

R

R

2.4 Elektrische Energie und elektrische Leistung

25

2.4.4 Wirkungsgrad in Stromkreisen (Band 1, S.142-145)

P

P

Nutzleistung P

N

N

K

N

ge

P s

N

P

V

P

Verlustleistung PV
zugeführte Gesamtleistung Pges

Wirkungsgrad des Grundstromkreises

Wirkungsgrad des Grundstromkreises
mit Ersatzspannungsquelle
mit Ersatzstromquelle

a

P
a

P

1

K

P

P

a
a

1

K

P

P P

P

E
a
i
i

1

P

P P

P

E
a
i
i

1
a

P
a

P

1

K

1

K

Ri

R

1
a

1

Ra

Ri

26

2 Gleichstromtechnik

2.4.5 Anpassung (Band 1, S.145-148)

Wirkungsgrad-Maximum, Verbraucherleistung-Maximum

Leistungen im Grundstromkreis

Leistungen im Grundstromkreis
mit Ersatzspannungsquelle
mit Ersatzstromquelle

Erzeugerleistung: Leistung der Energiequelle

PE = Uq  I

PE = Iq  U
innere Leistung: am Innenwiderstand umgesetzte Leistung

2

2

U



P

i

P

I Ri
i

Ri
äußere Leistung: am Außenwiderstand umgesetzte Leistung (Verbraucherleistung, Klemmen-leistung)

R 


i Ra

R R


i
a


a

P
k

P

P

P

a
l

R R 2

R
i

Ra 2
i
a
mit der Kurzschlussleistung
mit der Leerlaufleistung

Pk = Ik  U l

P l = Ik  U l

Ra

P

R

P

1
mit

a
i

k

P

P l
k

P onst. ist
mit amax

(maximale Verbraucherleistung)

2
konst

P

.

§

R ·

P

4
a
konst.

¨1

¸

R

©
i ¹

U

1

I

1

Gleichzeitig ist

und

U

1

I

R
l

1
k
a

1

Ra / Ri

Ri

Spannung, Strom und Leistung in Abhängigkeit von den Widerständen im Grundstromkreis

27

3 Das elektromagnetische Feld

3.1 Der Begriff des Feldes (Band 1, S.150-153)

In jedem Punkt des Feldraums beschreibt eine vektorielle Feldgröße und eine skalare Feldgröße den Raumzustand. Vektorfeld und Skalarfeld beschreiben also gemeinsam den Raumzustand. Das Feld ist mathematisch eine vektorielle und skalare Ortsfunktion. Ist der Raumzustand zeitlich veränderlich, ist die Funktion orts- und zeitabhängig.

1. elektrisches Strömungsfeld:

Einheiten

Ursache

Wirkung

G

G

G

S N  E

G

>E@ V / m > @

2

S A / m

Vektoren

E

S

elektrische Feldstärke

G

G

>N@

2

: 

Stromdichte
m / (
mm )

E U  S

G

G

G

G

E dU U E  d

³ l

S dI I S  dA

³

>U@

2

:  mm / m

d l
dA

Uq bzw. EMK E, U

I = G · U

>U@ V >I@ A

Skalare,

Spannung der

I

>G@

1

Integrale

: S

Spannungsquelle,
elektrischer Strom

Größen

U = R · I

>R@ :

elektrische Spannung

2. elektrostatisches Feld:

Wirkung

Ursache

G

G

G

G

>E@ V / m > @

2

D As / m

E

D H  E

D

Vektoren
elektrische Feldstärke

Verschiebungsfluss-

>H@ As / Vm

dichte

G

G

G

G

E dU U E  d

³ l

D d< < D  dA

³

d l
dA

Skalare,

U

< = Q

>U@ V ><@ >Q@ As

Integrale
elektrische Spannung

< = Q = C·U

Verschiebungsfluss

>C@ As / V F

Größen

Ladung

3. magnetisches Feld:

Ursache

Wirkung

G

G

G

G

H

>H@ A / m

B P  H

B

Vektoren
magnetische Feldstärke

magnetische Flussdichte

> @

2

B Vs / m T
magnetische Erregung

Induktion

>P@ Vs / Am

4

G

G

G

G

H

4 H  d

³
l

B d) ) B  dA

³

l
dA

Skalare,

4, V

) = Gm · 4

>4@ >V@ A >)@ Vs Wb

)

Integrale

Durchflutung (MMK)

4

>G

m @

= R

Vs / A H
m · )

Größen
magnetische Spannung
magnetischer Fluss

>Rm@

1

A / Vs H

© Springer Fachmedien Wiesbaden 2015

W. Weißgerber, Elektrotechnik für Ingenieure - Formelsammlung, DOI 10.1007/978-3-658-09090-6_3

28

3 Das elektromagnetische Feld

Die Richtungslinien der vektoriellen Feldgrößen in einem Vektorfeld sind die Feldlinien. In einem Quellenfeld (elektrostatisches Feld) beginnen sie in einer Quelle (positiv geladener Körper) und enden in einer Senke (negativ geladener Körper). Befinden sich keine Quellen und Senken im Feld (elektrisches Strömungsfeld und magnetisches Feld), dann sind die Feldlinien in sich geschlossen.

Das zugehörige Skalarfeld wird durch Flächen veranschaulicht, den so genannten Äquipotentialflächen (Flächen gleichen Potentials) im elektrischen und magnetischen Feld. Die Feldlinien durchdringen die Äquipotentialflächen senkrecht: die Feldlinien und Feldvektoren sind in Richtung des größten Potentialgefälles gerichtet. Der Zusammenhang zwischen den Feldlinien und den Äquipotentialflächen lässt sich z. B. für das elektrostatische Feld durch die folgende Gleichung mathematisch beschreiben:

G

E = – grad M

G

mit E : elektrische Feldstärke
und M : elektrisches Potential.

Obwohl die elektrischen und magnetischen Felder auch hier wie in anderer Literatur getrennt dargestellt werden, bilden sie eine Einheit, weil sie über den Durchflutungssatz und das Induktionsgesetz miteinander verbunden sind. Die Maxwellschen Gleichungen stellen die elektro-magnetischen Erscheinungen in Differentialform dar:

G

G
w D G

Durchflutungssatz rot

H =

S
w t

G

G
w B

Induktionsgesetz
rot E = –

w t

Der Satz von der Quellenfreiheit des magnetischen Flusses lautet in Differentialform G

div B = 0

und der Satz über den Zusammenhang zwischen der Verschiebungsflussdichte und der Raum-ladung im elektrischen Feld, der Gaußsche Satz

G

div D = U

ist ebenso in Differentialform angegeben.

Zur Beschreibung der drei Felder und deren Zusammenhänge und zur Behandlung von grund-legenden praktischen Beispielen eignet sich genauso die integrale Form obiger Gleichungen.

3.2 Das elektrische Strömungsfeld

29

3.2 Das elektrische Strömungsfeld

3.2.1 Wesen des elektrischen Strömungsfeldes (Band 1, S.154-156)

Die kollektive Bewegung von geladenen Teilchen bildet das elektrische Strömungsfeld. Es kann also nur in elektrischen Leitern existieren – im Gegensatz zum elektrostatischen Feld, das nur im Nichtleiter besteht.

Wird die Bewegung der Ladung durch eine Gleichspannung verursacht, dann entsteht ein stationäres Strömungsfeld, das durch einen zeitlich konstanten Strom charakterisiert wird.

Beispiel:

Bereits im Kapitel 2 behandelte zeitlich konstante elektrische Strömungsfelder in linienhaften Leitern der Gleichstromnetze.

3.2.2 Elektrischer Strom und elektrische Stromdichte (Band 1, S.156-159)

Elektrischer Fluss – elektrischer Strom I

Die in dem leitenden Medium sich bewegenden Ladungsträger – vorwiegend Elektronen –
bilden den elektrischen Fluss, genannt elektrischer Strom. Die Feldlinien sind die Strömungslinien der beweglichen Ladungsträger. Die Gesamtheit der Feldlinien kennzeichnet also den elektrischen Strom in einem Leiter. Nach der Richtungsdefinition des elektrischen Stroms (positiver Strom entspricht der Bewegungsrichtung positiver Ladungen) haben die Feldlinien die Richtung des größten Potentialgefälles. Die in Metallen sich bewegenden Elektronen wandern also entgegen den gerichteten Feldlinien.

Elektrische Flussdichte – Stromdichte

homogene

Strömungsfelder

I

G G

S

I S A  cos Į S A

A

inhomogene

Strömungsfelder

' I
d I

G

G

S lim

I dI S dA

³

³

'Ao0 ' A
d A

A

G

G
und

I

S¸dA 0

¨v

A

30

3 Das elektromagnetische Feld

Für grundlegende Berechnungen ist es nicht notwendig, Ströme durch Flächen zu berechnen, die nicht gleich den Äquipotentialflächen sind. Werden Flächen gewählt, die gleich den Äquipotentialflächen oder gleich Teilen von Äquipotentialflächen sind, dann ist der NeigungswinG

G

G G
kel D zwischen den Vektoren S und dA gleich Null und das Skalarprodukt S  dA wird gleich dem Produkt der Skalare S · dA mit cos D = 1.

Sind zusätzlich die Beträge der Stromdichte konstant, dann kann S vor das Integralzeichen gesetzt werden und die Flächenelemente dA können einfach aufsummiert werden. Sie sind gleich der Gesamtfläche A, durch die der Strom I fließt.

Auf diese Weise lassen sich Stromdichteverteilungen einfacher inhomogener Strömungsfelder errechnen.

Beispiel:

Strömungsfeld einer zylindersymmetrischen Anordnung der Höhe h

Die Stromdichteverteilung S = f (r) soll ermittelt werden:

G

G

I S  dA S  dA

³

³

A

A

Für das Flächenintegral sollen die

Äquipotentialflächen, die Zylinderman-
telflächen mit veränderlichem Radius r
sind, berücksichtigt werden. Das Ska-
larprodukt hinter dem Integralzeichen ist
dann gleich dem Produkt der Skalare:

Auf einer Äquipotentialfläche haben die

G

Stromdichtevektoren S gleiche Beträge,
sind also unabhängig vom Punkt der

Äquipotentialfläche mit der Teilfläche
dA. Deshalb kann S vor das Integralzei-
chen gesetzt werden:

I S  dA

³

A

Alle Flächenelemente dA aufsummiert,
ergibt die Zylindermantelfläche A =2Srh.

I S  A S  2  ʌ  r  h ,

woraus sich die Formel für die Stromdich-
te in Abhängigkeit vom Radius r errechnen
lässt:

I

1

S



2 ʌh r

Die Stromdichte nimmt hyperbolisch mit
dem Radius ab.

3.2 Das elektrische Strömungsfeld

31

3.2.3 Elektrische Spannung und elektrische Feldstärke, elektrischer Widerstand und spezifischer Widerstand (Band 1, S.160-165)

Elektrische Spannung

U12 = M1 – M2

Elektrischer Widerstand und elektrischer Leitwert

1

U = R · I
bzw. I =

· U = G · U

R

homogene Felder

R U l l oder

G A N  A

A

N A

U l
l

inhomogene Felder, ermittelt durch „Homogenität im Kleinen“

Beispiel:

Elektrischer Widerstand der zylindersymmetrischen Anordnung der Höhe h ohne Randstörungen Der Widerstand R wird als Reihenschaltung von Widerständen der Zylinderschalen der Dicke dr und der Fläche A von Zylindermänteln aufgefasst, wobei in den Zylinderschalen jeweils ein homogenes Feld angenommen werden kann:

dR U  dr U 
dr

A

2 r S h

a
a
r
a
r

U
dr

U

U
a
r

R dR

 ln | r |

ln

³

³

2 S h
r

2 h

S

2 S h
r
i
r
r
i
i
i

Elektrische Feldstärke

homogene Felder
inhomogene Felder

( U U  I U S

( dU U d I U S

l

A

d l
d A

G

G

G

G

G

E U S
oder

S 1  E N  E

U

Beispiel:

Elektrische Feldstärke einer stromdurchflossenen zylindersymmetrischen Anordnung der Höhe h U  I

E U  S

 1 mit

S

I

 1

2 S h r

2 S h r

32

3 Das elektromagnetische Feld

Elektrische Feldstärke und elektrische Spannung

P2

2 G

G

G

G



¸ l

12

U

1
ĳ
ĳ2
dU

E d

³

³ l und

E d

0

¨v

P

1

1
l

Bei praktischen Berechnungen wird grundsätzlich längs einer Feldlinie integriert, wodurch das Skalarprodukt gleich dem Produkt der Skalare ist.

Allgemeine Formel für den elektrischen Widerstand

2 G G

E  d

³ l

U

1

R

G G

I

S dA

³A

Beispiel:

Widerstand der zylindersymmetrischen Anordnung der Höhe h

Das Strömungsfeld ist inhomogen, deshalb ergibt sich der Widerstand aus

2
a
r

G

G

U E  d l E  dr

³

³

1
ir

Für die Ermittlung der Spannung U wird längs der radialen Feldlinie mit d l = d r integriert.

Die elektrische Feldstärke ist bereits berechnet

U I 1

E

 ,

2 S h r

so dass sich für die Spannung durch Integration ergibt

a
r
ȡ  I
dr
ȡ  I
a
r

U

ln

³

2 ʌh
r

2 ʌh
r
r
i
i

Wird die Spannung durch den Strom geteilt, entsteht die Widerstandsformel

U

U
a
r

R

ln

I

2 S h
i
r

3.3 Das elektrostatische Feld

33

3.3 Das elektrostatische Feld

3.3.1 Wesen des elektrostatischen Feldes (Band 1, S.167-169)

In der Umgebung geladener Körper sind Kräfte auf andere geladene Körper zu beobachten, die dem elektrostatischen Feld zugeschrieben werden: gleichartige Ladungen stoßen sich ab, un-gleichartige Ladungen ziehen sich an.

3.3.2 Verschiebungsfluss und Verschiebungsflussdichte (Band 1, S.170-174)

Verschiebungsfluss oder Erregungsfluss

Befindet sich in einem elektrostatischen Feld ein Leiter, dann werden die in ihm befindlichen freien Elektronen aufgrund der Kräfte, die auf Ladungen wirken (Coulombsche Kräfte), innerhalb des Leiters verschoben: die Elektronen wandern an die Oberfläche des Leiters, die der positiven Elektrode zugewandt ist; auf der anderen Seite des Leiters fehlen dann Elektronen.

Die Ladungen innerhalb des Leiters werden infolge der Ladungen des Zweielektrodensystems verschoben. Diesen Vorgang nennt man „Influenz“ oder „elektrostatische Induktion“, in An-lehnung an die Ladungsverschiebung infolge eines Magnetfeldes.

Um den Vorgang der Influenz zu veranschaulichen, werden Flusslinien oder Feldlinien ähnlich wie die Strömungslinien im elektrischen Strömungsfeld eingeführt, die allerdings bei der positiven Ladung beginnen und bei der negativen Ladung enden. Im elektrischen Strömungsfeld dagegen sind die Flusslinien oder Feldlinien in sich geschlossen.

Die Gesamtheit der Flusslinien des elektrostatischen Feldes charakterisieren den angenommenen Fluss, den Verschiebungs- oder Erregungsfluss <. Der Verschiebungsfluss beginnt grundsätzlich in einer Quelle (positive Ladung) und endet in einer Senke (negative Ladung) und kann nur so groß sein wie die Ladung, die den Fluss verursacht:

< = Q

Verschiebungsflussdichte oder Erregungsflussdichte

homogene elektrostatische Felder

<

G G

D

Q

< = D · A · cos D = D  A

A

A

inhomogene elektrostatische Felder

' <
d <
d Q

G

G

D = lim

Ȍ dȌ D  dA

³

³

A

' o 0 ' A
d A
d A

A

G

G
und

Ȍ

D¸dA Q

¨v

A

34

3 Das elektromagnetische Feld

Für grundlegende Berechnungen ist es nicht notwendig, Verschiebungsflüsse durch Flächen zu berechnen, die nicht gleich Äquipotentialflächen sind. Werden Flächen gewählt, die gleich den Äquipotentialflächen oder gleich Teilen von Äquipotentialflächen sind, dann ist der Nei-G

G

G G
gungswinkel D zwischen den Vektoren D und dA gleich Null und das Skalarprodukt D  dA wird gleich dem Produkt der Skalare D  dA mit cos D = 1.

Sind zusätzlich die Beträge der Verschiebungsflussdichte konstant, dann kann D vor das Integralzeichen gesetzt werden und die Flächenelemente d A können einfach aufsummiert werden.

Sie sind gleich der Gesamtfläche A, durch die der Fluss < hindurchtritt.

Auf diese Weise lassen sich Verschiebungsflussdichte-Verteilungen einfacher inhomogener Felder errechnen.

Beispiel:

Elektrostatisches Feld einer Punktladung oder einer geladenen Kugel

Die Flussdichteverteilung D = f (r) soll ermittelt werden:

Ausgegangen wird vom Ansatz für den Fluss < für inhomogene Felder, und zwar für die Hüllfläche A, denn die Kugeloberfläche mit der Punktladung im Zentrum umschließt die Ladung

Q:

G

G

:

D¸ dA Q

¨v

A

Die Kugeloberfläche A ist eine

Äquipotentialfläche, so dass
das Skalarprodukt hinter dem

Integralzeichen gleich dem

Produkt der Skalare ist:

:

D¸ dA Q

¨v

A

G

Auf der Äquipotentialfläche haben die Verschiebungsflussdichtevektoren D gleiche Beträge, die also unabhängig vom Punkt der Äquipotentialfläche mit der Teilfläche dA sind. Deshalb kann D vor das Integralzeichen gesetzt werden:

: D¸ dA Q

¨v

A

Alle Flächenelemente d A auf summiert, ergibt die Kugeloberfläche A = 4 S r2:

< D A D 4Sr2 Q ,

woraus sich die Formel für die Verschiebungsflussdichte in Abhängigkeit vom Radius r errechnen lässt:

< 1

Q 1

D =

2

2

4 S r

4 S r

Die Verschiebungsflussdichte nimmt quadratisch mit dem Radius ab.

3.3 Das elektrostatische Feld

35

3.3.3 Elektrische Spannung und elektrische Feldstärke, Kapazität und

Permittivität (Dielektrizitätskonstante) (Band 1, S.175-196)

Elektrische Spannung

U12 = M1 – M2

Kapazität eines Zweielektrodensystems

< = C · U = Q
homogene Felder

H A

C

l
inhomogene Felder, ermittelt durch „Homogenität im Kleinen“

Beispiel:

Kapazität der zylindersymmetrischen Anordnung der Höhe h ohne Randstörungen

(Zylinderkondensator,

Kabel)

Der nichtleitende Raum zwischen den Metallelektroden wird in Zylinderschalen der Dicke dr zer-legt, deren reziproke Kapazitäten nach der Bemessungsgleichung für homogene Felder berechnet und aufsummiert, d. h. integriert werden:

§ 1

·
d ¨ ¸ 1  d r 1  d r

C

© ¹ H A H 2 r S h
a
a
r

1

§ 1 ·

1
dr
ln(r / r )

S
a
i

2 h
d

³ ¨ ¸

³

C H 

C

© C ¹ H2 S h r

H2 h

S
ln r / r
a
i
i
i
r

Elektrische Feldstärke

homogene Felder
inhomogene Felder

U

1 <

1 Q

1
d<
dQ

E

D

E d U 1

1

1 D
l

H A

H A H

d l

H dA H dA H

G

G

G

G

E 1 D
oder

D H  E

H

Beispiel:

Elektrische Feldstärke in der Umgebung einer Punktladung oder einer geladenen Kugel

<

<

E 1 D

Q
mit

D

Q

H

4 SH r2

4SH r 2

4 S r2

4 S r2

Die elektrische Feldstärke einer kugelsymmetrischen Anordnung nimmt genauso wie die Verschiebungsflussdichte mit dem Quadrat des Radius ab.

36

3 Das elektromagnetische Feld

Das Coulombsche Gesetz beschreibt die Kräfte, die zwischen geladenen Körpern wirken: G

Q Q G

Q Q G

Q  Q

F K 1

2 r K 1

2 r

1

2

0 mit

F K

r 3
r 2

2
r

Beispiel:

Kräfte zwischen zwei Punktladungen gleicher und ungleicher Polarität

G

Q

G

G

F K 1 Q2 r 0 Q1 Q2 r 0

r2

4 SH0r2
mit K

1

4SH0

Die Feldtheorie nach Faraday erklärt die Kräfte zwischen zwei Ladungen nicht als Fernwir-kung, sondern als Wechselwirkung zwischen der einen Ladung und dem Raumzustand, der durch die andere Ladung verursacht wird oder umgekehrt.

G G

Q Q G

G

Q G

F E Q

1

2

1

2

K
r 0 ergibt E K
r 0

r 2

r 2

Die Richtung der Feldstärke wird in Richtung der Kraft positiv definiert, die auf eine positive Ladung wirkt:

G

G F

E

Q

Die Richtung der Kräfte und die Richtung der elektrischen Feldstärken in jedem Raumpunkt stimmt mit der Richtung der Feldlinien überein.

Permittivität und Dielektrizitätskonstante

1

H H

As
r H0

H



0= 8,8542 · 1012
und 4

S H

109 As

Vm

0 = 9

Vm
mit H0 Dielektrizitätskonstante des Vakuums oder Influenzkonstante

Hr ist eine Verhältniszahl mit [Hr] = 1; H0 dagegen ist dimensionsbehaftet

Beispiele für relative Dielektrizitätskonstanten Hr:

Aceton

21,5 Hartgummi

2,5...5

Polystyrol

(PS)

2,5

Acrylglas

3

Kabelpapier in Öl

4,3

Polyvinylchlorid (PVC) 3 ... 4

Bariumtitanat

1 000 ... 2 000

Luft

1,0006

Porzellan

5 ... 6,5

Glas

5 ... 12

Papier, trocken

2

Schellack

3 ... 4

Glimmer

5 ... 8

Polyäthylen (PE)

2,3

Transformatorenöl

2,3

Hartpapier

4 ... 7

Polypropylen (PP)

2,3
reinstes Wasser

80,8

3.3 Das elektrostatische Feld

37

Zusammenschalten von Kapazitäten

Um vorgegebene Kapazitätswerte mittels standardisierter Bauelemente – ausgeführt in Wi-ckelkondensatoren, Scheibenkondensatoren, Elektrolytkondensatoren u. a. – verwirklichen zu können, sind Parallelschaltungen, Reihenschaltungen oder gemischte Kondensatorschaltungen notwendig.

Parallelschaltung von Kondensatoren:

Bei der Parallelschaltung von n Kondensatoren liegen alle Kondensatoren an der gleichen Spannung U. Die Gesamtladung, die in den parallel geschalteten Kondensatoren gespeichert ist, ist gleich der Summe der Einzelladungen:

n

Q = Q1 + Q2 + Q3 + ... + Qn = ¦Qi
i 1

Die Gesamtkapazität C von n parallelgeschalteten Kondensatoren ist gleich der Summe der Einzelkapazitäten

n

C = C1 + C2 + C3 + ... + Cn = ¦Ci
i 1

Außerdem verhalten sich bei Parallelschaltung von Kondensatoren die Ladungen wie die zugehörigen Kapazitäten:

Q

C
i
i

Q

C

i
i

Q

C

Q j C j

38

3 Das elektromagnetische Feld

Reihenschaltung von Kondensatoren:

Werden n Kondensatoren in Reihe geschaltet, dann ist der Verschiebungsfluss < = Q aller Kondensatoren gleich, wie durch den Vorgang der Influenz (elektrischer Leiter innerhalb des elektrostatischen Feldes) erklärt werden kann:

Q1 = Q2 = Q3 = Q4 = ... = Qn = Q

Die Gesamtspannung teilt sich in die Teilspannungen an den Kondensatoren auf:

n

U = U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un = ¦Ui
i 1

Der reziproke Wert der Gesamtkapazität der in Reihe geschalteten Kondensatoren ist gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelkapazitäten:

n

1 1 1 1 1 1

...

¦ 1

C

1

C

C2 C3 C4

Cn

C
i 1 i

Die Spannungen verhalten sich bei Reihenschaltung von Kondensatoren reziprok zu den zugehörigen Kapazitäten:

U

U

C
i

C

j
i

U

Ci

U j

Ci

3.3 Das elektrostatische Feld

39

Elektrische Feldstärke, elektrisches Potential und elektrische Spannung

Die elektrische Spannung ist ein Maß für die Arbeit bzw. Energie, die für das Verschieben einer Ladung im elektrostatischen Feld aufgebracht oder gewonnen wird.

2

W

G

G

G

G

12



¸ l

12

U

E d

³ l und

E d

0

¨v

Q

1
l

Bei praktischen Berechnungen ist es nicht sinnvoll, das Wegintegral mit einem beliebigen

Integrationsweg
l zu lösen:

die Energie W12 bzw. die elektrische Spannung U12 lässt sich am einfachsten

ermitteln, wenn der Verschiebungsweg l bzw. Integrationsweg l nur längs einer Feldlinie und quer zu den Feldlinien gewählt wird.

Denn nur die Energieanteile dW bzw. Spannungsanteile dU längs einer Feldlinie

verändern die Gesamtenergie W12 bzw. die Gesamtspannung U12, die Anteile quer

zu den Feldlinien sind Null.

Beispiele:

Lächenladung

Linienladung

Punktladung

Plattenkondensator

Zylinderkondensator

Kugelkondensator

2
r

2
r

U E  dr

³

U E  dr

³

12

U E  12
l

12

12

1
r

1
r
mit E Q
mit E Q  1
mit E

Q

H A

2 SHh r

4 SH r2
r

U

2

Q § 1

1 ·

12 Q  l 12

U12 Q ln

U

M M

¨

¸

H A

2SHh
r

12

1

2

1

4 SH © 1r

2
r ¹

f

Q

1

M E  dr



³ G G

4 SH r

P

Überlagerung von elektrischen Potentialen

Wirken mehrere Ladungen auf einen Raumpunkt, dann überlagern sich die einzelnen elektrischen Potentiale zu einem Gesamtpotential nach dem Überlagerungsprinzip:

n

M ¦M
i

Beispiel: Potentialfeld zweier Punktladungen

i 1

1 § Q

Q ·

1

2

M

¨

¸

4 S H © 1r

2
r ¹

40

3 Das elektromagnetische Feld

Allgemeine Formel für die Kapazität

G

G

D¸dA

¨v

:

Q

A

C

2

12

U

12

U

G

G

E¸d

¨
l

1

Beispiele:

Kapazität der zylindersymmetrischen Anordnung der Höhe h ohne Randstörungen

2 G G

E ¸ d

¨
l

1

U

U

12

12

1

G

G

C

:

Q

D¸ dA

¨v

A

Für die Ermittlung der Spannung U12 wird längs einer radialen Feldlinie integriert, wodurch sich mit r1 = r und r2 = ra ergibt:

r

U
a

12

Q ln

2 SHh
ri

1 U12 1
r
ln a und C H 2 S h

C

Q

2 SHh
ri

ln (ra/ri )

Kapazität einer Doppelleitung mit vorgegebener Länge h

U12 c

U 12 c

U 21

c
a R

U 12 Q ln

2 SH0h

R

c

Q
a R

U 21
ln
c

U 12

2 SH0h

R

U12 c

U 12 c

U 12

a R

1

U12 Q ln

C Q SH0h

SH
a R

0h

R

U12

R

3.3 Das elektrostatische Feld

41

3.3.4 Verschiebestrom – Strom im Kondensator (Band 1, S.197-200)

Konvektionsstrom

In den Zuleitungen zum Kondensator fließt ein zeitlich veränderlicher Strom in Form von bewegten Ladungen:

dC du
du
i dq u

C C

C
dt

C duC dt
dt

Ist die Kapazität C unabhängig von der anliegenden Spannung uC, dann ist

du
t

1
i C

C und
u
i  dt U

³
mit

U
dt

C

0

C

0 Anfangsspannung

0

Die Kondensatorspannung wird in Zählrichtung des Stroms i positiv gezählt.

Verschiebestrom

Das magnetische Feld wird im Kondensator so ausgebildet, als wäre der Stromfluss durch den nichtleitenden Kondensator nicht unterbrochen. Der zeitlichen Änderung der Ladung dq/dt entspricht die Änderung des Verschiebungsflusses d</dt innerhalb des Nichtleiters des Kondensators:

i d\
dt

Strom durch den Kondensator

Der Ladestrom in den Zuleitungen wird durch
den Verschiebestrom im Nichtleiter des Konden-
sators fortgesetzt gedacht:

i d\ dq mit \ q
dt
dt

Aufladen eines Kondensators

Strom- und Spannungsverlauf beim Aufladen

eines Kondensators

t/Ĳ
uc Uq (l e

)

U

q
t/Ĳ
i

e
mit W (R Ri ) C

R Ri

42

3 Das elektromagnetische Feld

3.3.5 Energie und Kräfte des elektrostatischen Feldes (Band 1, S.201-205)

Gespeicherte Energie eines Kondensators

2
w C  uC q  uC q2
e

mit q = C · u

2

2

2 C

C

Energiedichte

In Feldgrößen ausgedrückt ist die Energie eines homogenen Feldes bezogen auf das Feldvolu-men die so genannte Energiedichte des elektrostatischen Feldes:

H E2
w' We

D  E D2
e

V

2

2

2 H

Die Feldenergie ist im homogenen Feld gleichmäßig verteilt.

In inhomogenen Feldern ist der Energieanteil dWe im Volumenelement dV unterschiedlich, d. h. die Energiedichte ist gleich dem Diffentialquotienten
dW
w'

e
e

dV

Die Energie lässt sich durch Integrieren der Energiedichte über das Volumen ermitteln:

'


e

W
w

³ e dV

V

Im inhomogenen Feld konzentriert sich die Energie in den Feldbereichen mit hoher elektrischer Feldstärke.

Kraft auf die Elektroden eines Kondensators

2
dW

F dWe dWe  dC UC  dC mit e Q2

d l
dC
d l

2
d l
dC

2 C2

Die Kraft ist so gerichtet, dass bei der dadurch veranlassten Bewegung der Elektrode die Energie verkleinert wird und dass die Kapazität bei der Bewegung der Elektrode in Richtung der wirkenden Kraft wächst.

Beispiel:

Kraft auf die Platten eines geladenen Plattenkondensators

2

H A

F UC  dC

 U 2

C

2
d l

2  l 2

A
dC
mit C

=

H·
und

H A
l

d l
l 2

Für sinusförmige Wechselfelder geht in die Gleichung für die Kraft F der Effektivwert UC der sinusförmigen Spannung ein.

3.3 Das elektrostatische Feld

43

3.3.6 Das Verhalten des elektrostatischen Feldes an der Grenze zwischen Stoffen verschiedener Dielektrizitätskonstanten (Band 1, S.206-210)

Querschichtung

E

H

H

D

1

2
r 2

1 = D2

E 2 H1

Hr1

Beispiel:

Feldstärken bei Querschichtung
eines Plattenkondensators

E

U

1

§

·

H  l 1

¨ l 2
r1

¸

H

©

H

r1
r 2 ¹

Längsschichtung

D

H

H

E

1

1
r1

1 = E2

D

H

H

2

2
r 2

Beispiel:

Kapazität eines längsgeschichteten

Plattenkondensators

H

H

C 1A1 2A2

l
l

Ungleichartig zusammengesetzte Isolierstoffe

Brechnungsgesetz für schräggeschichtetes Dielektrikum D

1n

D2n

E1t E2t
tan D

H

1

1

E

H

H

1n 2

D

1t 1
tan D

H

2

2

E

H

H

2n

1

D2t

2

44

3 Das elektromagnetische Feld

3.4 Das magnetische Feld

3.4.1 Wesen des magnetischen Feldes (Band 1, S.214-215)

In der Umgebung bewegter elektrischer Ladungen sind Kraftwirkungen zu beobachten, die einem magnetischen Raumzustand – dem magnetischen Feld– zugeschrieben werden. Die Ausbildung des magnetischen Feldes ist also eine Erscheinung, die die Bewegung elektrischer Ladungen immer begleitet.

Bei Dauermagneten sind Molekular- und Elektronenströme Verursacher der magnetischen Erscheinungen.

Ursache des magnetischen Feldes ist der Konvektionsstrom.

Beim Aufladen und Entladen eines Kondensators ist ebenso ein magnetischer Raumzustand im Nichtleiter zu beobachten, obwohl keine Ladungen innerhalb des Nichtleiters bewegt werden.

Ursache des magnetischen Feldes ist also ebenso der angenommene Verschiebestrom.

3.4.2 Magnetischer Fluss und magnetische Flussdichte (Band 1, S.216-221)

Magnetischer Fluss

Das mit dem Konvektions- und Verschiebestrom verbundene magnetische Feld wird durch Feldlinien veranschaulicht, mit deren Hilfe die Stärke und die Richtung von zu erwartenden Kräften beschrieben werden können. Die Gesamtheit der Feldlinien wird analog zum Stromfluss im elektrischen Strömungsfeld magnetischer Fluss ) genannt. Den Raum, der von diesem Fluss erfüllt wird, nennt man in Analogie zum elektrischen Stromkreis magnetischer Kreis.

Magnetische Flussdichte – magnetische Induktion

homogene magnetische Felder

)

G G

B

) B  A  cosD B  A

A

inhomogene magnetische Felder

')

G

G

B lim
d)

) d) BdA

³

³

'Ao0 'A
dA

A

G

G
und

'

B¸dA 0

¨v

A

3.4 Das magnetische Feld

45

Für grundlegende Berechnungen ist es nicht notwendig, magnetische Flüsse durch Flächen zu berechnen, die die Fläche nicht senkrecht durchströmen. Werden die Flächen senkrecht durchG

G
strömt, dann ist der Neigungswinkel D zwischen den Vektoren

G G

B und dA gleich Null und das

Skalarprodukt B  dA wird gleich dem Produkt der Skalare B · d A mit cos D = 1.

Beispiel:

Berechnung des magnetischen Flusses in der Umgebung eines langen stromdurchflossenen Leiters in einem kreisförmigen Kupferring mit rechteckigem Querschnitt

Das magnetische Feld ist inhomogen, der
magnetische Fluss wird aus

G

G

) B  dA

³

A

G

G
berechnet. Da die Vektoren B und dA
kollinear sind, geht das Skalarprodukt in
das Produkt der Skalare über:

) B  dA

³

A

Die Induktion B nimmt mit wachsendem Radius r ab und ist längs des Leiters, also im gleichen Abstand vom Leiter konstant:

P

B 0  I  1

2 S r

P0 ist die Permeabilität des Vakuums, also eine Materialgröße:

P0 = 1,256 · 10–6 Vs 0,4  S106 Vs

Am

Am

Bei praktischen Berechnungen verhält sich Kupfer magnetisch wie Vakuum.

In das Integral eingesetzt ergibt sich

P  I

0

1

)

  dA

³
mit

d A = b · d r

2S
r

A

a
r

P  I  b
dr

P  I  b

0

0
ra

)



ln

³
r

r

2S
r

2S
i
i
r

ȝ  I  b
r

0
a

)

ln

2ʌ
ri

46

3 Das elektromagnetische Feld

Einheit des magnetischen Flusses und der magnetischen Flussdichte

[)] = 1 Vs = 1 Wb

1 Weber

nicht mehr gebräuchlich: 1Maxwell 1M = 10–8Wb

1 Wb

1 Vs

[B] =

1 T 1

Tesla
m2
m2

Vs

Vs

nicht mehr gebräuchlich: 1 Gauß 1G =

4

8

10

10

2

2
m
cm

Kontinuitätsgleichung des magnetischen Flusses

Die Summe der Teilflüsse, die eine Hüllfläche von außen durchsetzen, ist gleich der Summe der Teilflüsse, die durch diese Hüllfläche nach außen gerichtet sind:

n
m

¦)

zu

i

¦)ab
x
i
i 1
i x
n

1 p

Kraftfeld – magnetische Induktion

Die magnetische Kraft F ist der magnetischen Induktion B direkt proportional:

G

G

G

F = Q · (v u B )

G G
mit F = Q · v · B · sin(v ,B )

Q: bewegte Ladung des positiv definierten Stroms

G
v : Geschwindigkeit der bewegten positiven Ladung

G

B : magnetische Flussdichte, magnetische Induktion

Die Richtung der Kraft ergibt sich durch folgende Regel:

G

G

Der erste Faktor des Vektorprodukts v wird auf dem kürzesten Weg in den zweiten Faktor B
gedreht. Die Drehrichtung zeigt in die Richtung der gekrümmten Finger der rechten Hand, und G
der Daumen zeigt dann in die Richtung des Vektorprodukts, also in Richtung der Kraft F .

3.4 Das magnetische Feld

47

3.4.3 Durchflutung, magnetische Spannung und magnetische Feldstärke

(magnetische Erregung), magnetischer Widerstand und Permeabilität

(Band 1, S.222-242)

Durchflutung

Der Konvektionsstrom und der Verschiebestrom sind vom magnetischen Fluss umwirbelt und können deshalb als Ursache des Magnetfeldes gedeutet werden. Der magnetische Raumzustand wird verstärkt, wenn mehrere Ströme oder der gleiche Strom mehrfach – wie bei einer Spule –
die Umgebung beeinflussen. Die ein magnetisches Feld verursachenden Ströme, also die Stromsumme, wird Durchflutung (nicht mehr gebräuchlich: magnetische Urspannung, Magne-tomotorische Kraft MMK) genannt:

n

4 = ¦Ii
i 1

Die Durchflutung ist gleich der Summe der Ströme, die die Fläche durchfluten, die von den geschlossenen Feldlinien gebildet werden.

Für die Bestimmung der Durchflutung wird eine geschlossene Feldlinie ausgewählt, die als Umrandung einer Fläche angesehen wird. Sämtliche Ströme, die durch diese Fläche hin-durchtreten, bilden vorzeichenbehaftet die Durchflutung.

Die Durchflutung wird deshalb auch „die mit dem Magnetfeld verkettete Stromsumme“ genannt.

Einheit der Durchflutung

[4] = 1 A

Beispiele:

Feld eines langen stromdurchflossenen Stromfadens:

4 = I = 1 A

Feld mehrerer Stromfäden verschiedener Stromrichtungen:

3

4 =

Ii

¦

1

I I2 I3
i 1

4 = – 1 A + 1 A + 1 A = 1 A

Feld einer Spule im Eisenkreis:

4 = I · w

mit w

Windungszahl

48

3 Das elektromagnetische Feld

Magnetischer Widerstand und magnetischer Leitwert

„Ohmsches Gesetz des magnetischen Kreises“ oder Hopkinsonsches Gesetz:

4 = Rm · )

Gestalt des magnetischen Kreises und die magnetischen Eigenschaften der Stoffe, in denen das Feld existiert, werden durch den magnetischen Widerstand Rm oder magnetischen Leitwert Gm erfasst.

homogene Felder

1

P  A

Rm l oder

G

P  A
m = Rm
l

A

Vs

[Rm] = 1

[G

= 1 H (Henry)

Vs
m] = 1 A

Bei praktischen Berechnungen ist es nur in Ausnahmefällen möglich, mit magnetischen Widerständen zu rechnen, weil nur wenige Felder homogen oder symmetrisch sind. Die in Ferro-magnetika (Eisen, Nickel, Kobalt) vorkommenden Felder sind wohl homogen oder annähernd homogen, aber die Materialgröße – absolute bzw. relative Permeabilität – ist nicht konstant.

Der wirksame magnetische Widerstand in Eisenkreisen ist also je nach Größe der Durchflutung von der variablen Permeabilität P abhängig.

In Reihe und parallel geschaltete magnetische Widerstände werden wie elektrische Widerstän-de zusammengefasst:

n
n

1

R

¦

¦
m

Rmi

1

R

R
i 1
m
m i
i 1

Permeabilität

Die absolute Permeabilität P ist eine Materialgröße, die die magnetische „Durchlässigkeit“
eines Stoffes charakterisiert, in dem das magnetische Feld ausgebildet ist.

Sie wird als Pr-faches der Permeabilität P0 des Vakuums aufgefasst:

P

Vs

Vs

=

Pr · P0
mit

P0 = 1,256 · 10–6

= 0,4 · S · 10–6

Am

Am

Bei praktischen Berechnungen wird bei allen nichtferromagnetischen Stoffen mit Pr = 1 gerechnet.

Bei ferromagnetischen Stoffen ist Pr variabel; nur bei grober Näherung kann mit einer konstanten relativen Permeabilität, also mit dem magnetischen Widerstand, gerechnet werden.

3.4 Das magnetische Feld

49

Magnetische Spannungen

Im magnetischen Feld muss unterschieden werden in die Verursacher-Spannung 4, die Durchflutung, und in die magnetischen Spannungen Vi in magnetischen Widerständen infolge des magnetischen Flusses ).

In homogenen Feldern ist die Durchflutung 4 gleich der magnetischen Spannung V und in homogenen Teilfeldern ist die Durchflutung 4 gleich der Summe der magnetischen Spannungen Vi:

m
m

4 V Rm )

4 = ¦V )
i

¦Rmi
i 1
i 1

Durch die Durchflutung werden sämtliche Ströme vorzeichenbehaftet erfasst, z. B. auch von mehreren Spulen in einem Eisenkreis. Deshalb darf auf der linken Seite der Gleichung nur 4
und nicht 6 4i geschrieben werden.

Beispiele:

Magnetisches Feld der Toroidspule

Magnetfeld eines Eisenkreises
mit konstanter Permeabilität
mit konstanter Permeabilität und zwei Luft-
spalten

P 

)

I  w

A  I  w

=

)

I  w

I  w

l

R

R
m
l
mFe R mL

Fe
l L

P0PrAFe P0AL

Magnetische Feldstärke – magnetische Erregung
homogene Felder
inhomogene Felder

4

)

dV

H =

1 

1  B

H =

1  d) 1  B
l

P A P
d l

P dA P

G

G B

G

G

H
oder B P  H

P

Bei nichtferromagnetischen Stoffen ist die Permeabilität P praktisch gleich der Induktionskon-stanten P0 mit Pr = 1, so dass sich durch die direkte Proportionalität die magnetische Induktion B aus der magnetischen Feldstärke H errechnen lässt.

Da bei ferromagnetischen Stoffen die Permeabilität P von der magnetischen Feldstärke H ab-hängig ist und dieser nichtlineare Zusammenhang nicht analytisch fassbar ist, muss zunächst das magnetische Feld durch die materialunabhängige magnetische Feldstärke H berechnet werden und anschließend die materialabhängige magnetische Induktion B aus der nichtlinearen Kurve, der Magnetisierungskurve,

B = f (H)

abgelesen werden.

50

3 Das elektromagnetische Feld

Durchflutungssatz für homogene Felder:

4 = V = H · l

Beispiel:

Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule

Die magnetische Feldstärke außerhalb der Spule Ha ist vernachlässigbar klein.

4 Vi

I  w H i  l

Hi I  w

Bi P0  I  w

l
l

Durchflutungssatz für magnetische Kreise mit m homogenen Teilfeldern:

m
m

4 = ¦V
i

¦H i l i
i 1
i 1

Beispiel:

Magnetfeld eines Eisenkreises mit zwei Luftspalten

4 = HFe · l Fe + HL · l L

allgemeiner Durchflutungssatz für magnetische Felder

G

G

4 = dV H¸d l H¸d

¨v

¨v

¨v
l
l
l
l

Bei praktischen Berechnungen wird grundsätzlich längs einer Feldlinie integriert, wodurch das Skalarprodukt gleich dem Produkt der Skalare ist.

Beispiele:

Magnetfeld außerhalb eines langen stromdurchflossenen Leiters:

2

H ¸ d

¨v
l
a
l

I H ¸
d l H ¸ 2Q¸ r
a ¨
v
a
l

Ha I

2 S  r

P0

1

Ba

 I 

2 S
r

3.4 Das magnetische Feld

51

Magnetfeld innerhalb eines langen stromdurchflossenen Leiters:

2

H ¸

¨v

i d l
l

Ii = H ¸
l

¸
i
d

H

¨v
i 2ʌ r
l

I
mit S

= i

I

r2  S

R2  S

I

Ii =
r2S Hi  2 S r

R2  S

I

P

H

0
i =

 r Bi =

 I  r

2S R2

2 S R2

Verlauf von B = f (r) eines langen stromdurchflossenen Leiters:

P

B

0  I
max

2 S  R

Magnetfeld eines langen, stromdurchflossenen Rohres:

innerhalb des Rohres

H1 = 0
im Rohr

2

2

2
r r

I

I

§
r ·

H
i
i

2 =



 ¨ r

¸

2

2

2

2
r r

2 r

2 S (r r ) ¨
r ¸

S
a
i
a
i

©

¹

Näherung:

H

2

I

 r r

2S r
i
m d

mit
r
r
r
a
i
m
mittlerer Radius

2
außerhalb des Rohres

I

H3 =

2 S r

52

3 Das elektromagnetische Feld

Permeabilität und Hysteresekurve

Die Permeabilität Pr ist bei ferromagneti-
schen Stoffen von der magnetischen Feld-
stärke abhängig:

Pr = f (H),
der Zusammenhang zwischen der magneti-

G
schen Induktion

G

B und der magnetischen

Feldstärke H ist nichtlinear und nicht
eindeutig.

Dabei bedeuten

Hk Koerzitivfeldstärke

Br Restinduktion, Remanenz

Bs Sättigungsinduktion

Für geschlossene magnetische Kreise mit weichmagnetischen Werkstoffen wird die messtechnisch ermittelte Magnetisierungskurve (vom Hersteller geliefert) durch eine nichtlineare eindeutige Kurve angenähert. Die B- und H-Werte werden dann aus der Kurve entnommen.

In Ausnahmefällen kann die BH-Kurve durch eine Gerade angenähert werden, d. h. es wird eine konstante Permeabilität angenommen. Nur dann kann mit magnetischen Widerständen gerechnet werden.

Beispiel für die Berechnung mit der BH-Kurve:

Eine Toroid- oder Kreisringspule mit einer Windungszahl w = 60 und einem mittleren Durchmesser D = 80mm enthält einen Eisenkern aus Stahlguss, dessen mittlere Magnetisierungskurve für die einseitige Magnetisierung gegeben ist. Sie wird einmal von einem Strom I1 = 0,6A und zum anderen von dem dreifachen Strom I2 = 1,8A durchflossen.

4

I  w

= V = H · l H =

D  S

A

A

H1 = 143 H

m

2 = 430 m

Toroidspule ohne Eisenkern:

B01 = P0 · H1 = 0,18 mT B02 = 0,54 mT

Toroidspule aus Stahlguss:

B1 = 0,6T und B2 = 1,2T

3.4 Das magnetische Feld

53

3.4.4 Das Verhalten des magnetischen Feldes an der Grenze zwischen Stoffen verschiedener Permeabilitäten (Band 1, S.242-245)

Querschichtung

B1 = B2

H

P

P

1 2 r2

H

P

P

2

1
r1

Längsschichtung

H1 = H2

B

P

P

1 1 r1

B

P

P

2

2
r 2

Ungleichartig zusammengesetzte Magnetmaterialien

Brechungsgesetz für schräg geschichtete Magnetmaterialien

B1n = B2n

H1t = H2t
tanD P

1 1
tan D

P

2

2

H

P

P

1n 2

B

1t 1

H

P

P

2n

1

B2t

2

54

3 Das elektromagnetische Feld

3.4.5 Berechnung magnetischer Kreise

3.4.5.1 Berechnung geschlossener magnetischer Kreise (Band 1, S.246-275) Streufluss, Nutzfluss und Streufaktor

) = )N + )S

)

)

V = S

S

)

)N )S

)N = )L = (1 – V) · )

Bei praktischen Berechnungen wird eine

Streuung von 5 % bis 20 % je nach Anord-
nung und Luftspaltlänge angenommen.

Ausweitung der Feldlinien am Luftspalt

AL ,103... 10

,

1

AK
mit

Luftspaltfläche AL

Kernfläche AK

Eisenfüllfaktor

A
f

Fe

Fe =
z.B. f

A

Fe = 0,85

K
mit

Eisenfläche AFe

Kernfläche AK

Eisenfüllfaktor

3.4 Das magnetische Feld

55

Aufgabenstellung 1:

Gegeben:

magnetische Induktion B oder der magnetische Fluss ) an einer Stelle des

Magnetkreises, insbesondere die Luftspaltinduktion BL

Magnetisierungskurven B = f (H) der Magnetmaterialien des magnetischen

Kreises

Gestalt und Abmessungen des magnetischen Kreises

Gesucht: erforderliche

Durchflutung

4

1. Ansatz für die Durchflutung nach dem Durchflutungssatz für homogene Teilfelder: m
m

4 = ¦ i

V

H

¦ i  l i
i 1
i 1

2. Berechnung der magnetischen Feldstärke (magnetische Erregung) im Luftspalt HL aus der gegebenen Luftspaltinduktion BL :

B

H

L

L =

P0

3. Ermittlung der magnetischen Feldstärken (magnetische Erregung) in den homogenen Teilfeldern aus Eisen mit

AL

AL

A

A

A

A

B = B

L

K

L

K

L ·

 1 B 

 1 und

B

B 

A

L

A

N = BL ·

L

A

A

Fe 1 V

Fe

1 V

Fe

Fe

AK

AK
und mit Hilfe der Magnetisierungskurven

B = f (H):

Ablesen der magnetischen Feldstärken H aus
den magnetischen Induktionen B

4. Berechnung der mittleren Feldlinienlängen im Eisen des magnetischen Kreises.

5. Berechnung der magnetischen Spannungen Vi in den Eisenabschnitten und im Luftspalt und Berechnung der Durchflutung 4.

Ist die magnetische Induktion in einem Eisenabschnitt oder der magnetische Fluss gegeben, dann muss der Lösungsweg entsprechend geändert werden, wobei die Gleichungen unter 3.

umgestellt werden.

56

3 Das elektromagnetische Feld

Ergänzungen zu der Aufgabenstellung 1:

Zu 1. Ansatz für die Durchflutung

Zu 4. Berechnung der mittleren Feldlinienlängen im Eisen

Beispiel 1:

Wegen der Streuung ist der magnetische Fluss im

Eisenabschnitt 2 kleiner als im Eisenabschnitt 1:

4 =
l L

HL  2

HFe1  l Fe1 HFe 2  l Fe 2

2

Die mittleren Feldlängen sind gegeben:

l Fe1 = 60 cm und l Fe2 = 50 cm

Beispiel 2: M65-Stahlgussblech

Die Ermittlung der Durchflutung ist genau genug,
wenn angenommen wird, dass im Eisen der mag-
netische Gesamtfluss bis an den Luftspalt heran
auftritt, und im Luftspalt der um den Streufluss
verminderte Gesamtfluss vorhanden ist.

4 = HL · l L + HFe · l Fe
f
l Fe = 2 a – 2 c + b – c – – l

2

L = 154 mm

Beispiel 3: EI-84-Blech

Die magnetischen Feldstärken (magnetische Erre-
gung) im E-Kern und I-Kern sind unterschiedlich,
weil der magnetische Fluss im I-Kern wegen der

Streuung kleiner ist als im E-Kern.

4 = HL · l L + HE · l E + HI · l I
l I = g + 2 c = 42 mm
l E = 2 e + g + 2 c = 126 mm

3.4 Das magnetische Feld

57

Aufgabenstellung 2:

Gegeben: Durchflutung

4

Magnetisierungskurven B = f (H) der Magnetmaterialien des magnetischen

Kreises

Gestalt und Abmessungen des magnetischen Kreises

Gesucht:

magnetische Induktion B oder der magnetische Fluss )

Sind im magnetischen Kreis zwei Voraussetzungen erfüllt, dann ist die Berechnung des magnetischen Flusses oder der magnetischen Induktionen bei gegebener Durchflutung einfach möglich:

1. Der magnetische Kreis besteht aus einem homogenen Magnetmaterial mit konstantem Querschnitt, so dass der Durchflutungssatz

4

4 = H · l oder H

=

l

nur die magnetische Feldstärke (magnetische Erregung) H als unbekannte Größe enthält, die über die Magnetisierungskennlinie zur magnetischen Induktion B und über die Fläche zum magnetischen Fluss ) führt.

2. Der magnetische Kreis besteht nur aus zwei Abschnitten oder lässt sich in zwei Abschnitte zusammenfassen, in denen jeweils ein homogener Feldverlauf angenommen werden kann.

In den meisten Anwendungsfällen handelt es sich dann um einen Eisenkreis mit Luftspalt, für den der Durchflutungssatz für homogene Teilfelder

4

B

= H

L

Fe · l Fe + HL · l L = HFe · l Fe +

· l

P

L

0

zwei Unbekannte enthält, so dass die Gleichung analytisch nicht lösbar ist; die Permeabilität des Eisens ist nicht konstant.

Lösung:

Überlagerung der Kennlinien
des aktiven Zweipols

VFe

)

1

V0

)0
und des passiven Zweipols

1

)

 Fe

V

R mFe

(umgerechnete Magnetisierungskurve,
indem im Schnittpunkt die Größen

) und VFe abgelesen werden)

58

3 Das elektromagnetische Feld

Rechenverfahren:

Zunächst werden die Koordinaten der gegebenen Magnetisierungskurve BFe = f (HFe) bei Be-rücksichtigung der Eisenfläche AFe und der mittleren Feldlinienlänge l Fe im Eisen in den Ordinatenwert ) = BFe · AFe und Abszissenwert VFe = HFe · l Fe umgerechnet, so dass die Magnetisierungskurve in die Funktion ) = f (VFe) übergeht.

Dann wird der Achsenabschnitt )0 = 4/RmL errechnet und an der Ordinate eingetragen.

Mit dem Abszissenabschnitt 4 bildet er die Gerade, die den Schnittpunkt mit der Funktion )

= f (VFe) ergibt.

Nun kann der magnetische Fluss ) abgelesen werden und mit den Flächen die magnetischen Induktionen im Eisen und im Luftspalt errechnet werden. Außerdem kann die magnetische Spannung VFe im Schnittpunkt abgelesen werden, wodurch sich mit der Eisenweglänge l Fe die magnetische Feldstärke HFe ergibt. Die Feldstärke im Luftspalt HL wird aus BL oder aus dem ablesbaren VL errechnet.

Beispiel:

Für einen UI-Kern 30 aus Dynamoblech III mit einem Gesamtluftspalt l L = 0,3 mm soll die Kennlinie des magnetischen Kreises ) = f (4) entwickelt werden:

Zunächst ist die Kennlinie des passiven Zweipols ) = f(V

Fe) anzugeben, indem die gegebene Mag-
netisierungskennlinie verwendet wird. Die Schichtdicke beträgt 20 mm.

Dann ist für die Durchflutungen 4 = 100A, 200A, 300A und 400A die Kennlinie des aktiven Zweipols einzutragen und die gesuchte Kennlinie zu ermitteln.

für BFe = 1T : ) = 1Vs/m2 · 200 · 10–6m2 = 200PVs
für HFe = 1 000A/m: VFe = 1 000A/m · 120 · 10–3m = 120A

4 in A

100

200

300

400

)0 in PVs

84

167

251

335

Magnetisierungskennlinie von Dynamoblech III, ) = f(V

(4)

Fe) und ) = f

3.4 Das magnetische Feld

59

Die Kennlinienüberlagerung kann aber auch mit der ungeänderten Magnetisierungskennlinie vorgenommen werden, die gleich der Kennlinie des passiven Zweipols ist. Für die Kennlinie des aktiven Zweipols müssen nur die Achsenabschnitte umgerechnet werden:

Rechenverfahren:

In die Magnetisierungskennlinie des Magnetmaterials wird die Achsenabschnittsgerade mit den Abschnitten

P 4

4

B 0

0
und H0

,

l L
l Fe

die so genannte „Luftspaltgerade“, eingezeichnet. Zunächst müssen also B0 und H0 errechnet werden.

Aus dem Schnittpunkt lassen sich BL = BFe und HFe ablesen.

Die magnetische Feldstärke (magnetische Erregung) im Luftspalt HL kann aus BL mit P0 berechnet werden oder aus der Kennlinie mit dem Abschnitt HL · ( l L/ l Fe) ermittelt werden, indem der abgelesene Wert mit l Fe / l L multipliziert wird.

Ist zusätzlich eine Streuung V zu berücksichtigen, dann muss der Achsenabschnitt B0 auf B0/(1 – V) erhöht werden. Anschließend wird genauso verfahren wie oben beschrieben.

Beispiel:

Eine Toroid- oder Kreisringspule mit einer Windungszahl w = 1 500, durch die ein Strom von 2A fließt, enthält einen Eisenkern aus Stahlguss (mittlerer Durchmesser dm = 95,5 cm, Querschnittflä-
che 100 cm2 ) mit einem Luftspalt mit der Luftspaltlänge l L = 3 mm.

P

1,256 106 Vs  3000A

B

0 4

Am

0 =

= 1,256 T
l

L

3 103 m

4

A

H0 =

I  w 2 A1500 1000

l Fe
dm  S 0,955 m  S
m
abgelesen aus der BH-Kurve:

A

BL = BFe = 0,93 T und

HFe = 260

m

Streuung von 20%:

B*0 B0 1,256 T 1,57 T

1V

0,8
abgelesen aus der BH-Kurve:

A

*

BFe = 1,04 T
und

*

HFe = 340

m

B*

*

L (1V )  BFe 0,8 1,04 T 0,832 T

60

3 Das elektromagnetische Feld

3.4.5.2 Berechnung des nichteisengeschlossenen magnetischen Kreises einer

Doppelleitung und mehrerer paralleler Leiter (Band 1, S.276-278 )

Die magnetische Feldstärke (magnetische Erregung) in einem Punkt P in der Umgebung der stromdurchflossenen Leiter ergibt sich durch vektorielle Addition der Teilfeldstärken, die sich nach der Gleichung der magnetischen Feldstärke außerhalb eines Leiters berechnen lassen.

Beispiel:

G

Die magnetische Feldstärke (magnetische Erregung) H in einem Punkt, der von den Mittelpunkten von zwei stromdurchflossenen Leitern r1 und r2 entfernt ist, ist gleich der Vektorsumme G G

G

H H 1 H 2
mit

H1 I1

2 S r1
und

H 2 I2

2 S r2

Magnetische Feldstärke der Doppelleitung bei verschiedener Stromrichtung:

I

H =


d

2 S

§ ·2
x2 d

¨ ¸

2

© ¹

Magnetische Feldstärke der Doppelleitung bei gleicher Stromrichtung:

I

H =



2 x

2 S

§ ·2
x2 d

¨ ¸

2

© ¹

3.4 Das magnetische Feld

61

3.4.5.3 Berechnung magnetischer Kreise mit Dauermagneten (Band 1, S.279-287) 4 = 0 = HL · l L + HFe · l Fe + HM · l M
mit VFe = HFe · l Fe vernachlässigt

)L = )M
oder BL · AL = BM · AM

Berechnung eines Dauermagnetkreises

Der Entmagnetisierungskennlinie wird eine Nullpunktsgerade überlagert:

P

B

0

M = – P0  l M  AL  HM

 HM

l L AM

N
mit
l

A

N = L

M



l M AL

Entmagnetisierungsfaktor

A

B

M

L =

 B

A

MP

L

Die Luftspaltinduktion lässt sich auch angenähert berechnen, wenn die Entmagnetisierungskennlinie durch eine Achsenabschnittsgerade mit den Achsenabschnitten Br und Hk ersetzt wird und diese mit der Nullpunktsgeraden überlagert wird.

BMP

Hk

Hk 1  l L AM

Br P0 l M AL

BL

Br

AL Br  l L

AM P0  Hk l M

62

3 Das elektromagnetische Feld

Optimierung des Dauermagnetkreises

2  V

V BL

L 

1

M

P



0

BM HM
mit dem Maximum (BM · HM)max

Im Maximum wird eine Waagerechte auf die Entmagnetisierungskurve gezogen, wodurch sich der optimale Arbeitspunkt Popt ergibt:

Die Diagonale des Rechtecks, das mit der Remanenz Br und der Koerzitivfeldstärke Hk gebildet werden kann, schneidet genügend genau die Entmagnetisierungskennlinie im optimalen Arbeitspunkt.

V

V

B

P

M





P

M





Lopt

0

(B

H

B

H



M

M)max

0



M opt

M opt

AL l L

AL l L

A

A

L

M

V

M =

 BL opt und

l

B

M =

M opt
l M
oder

H

 l
l  B

l

L opt

L

L

L opt

M

V

M = –

= –
und

A

H

M =

M opt

P 

0 HM opt
l M

Dauermagnetkreis mit Streuung

4 = 0 = HL · l L + HM · l M

BL · AL = (1 – V) · BM · AM

BLopt = (1 V) P0  VM  (B

V

M  HM)max

L

3.4 Das magnetische Feld

63

3.4.6 Elektromagnetische Spannungserzeugung – das Induktionsgesetz

3.4.6.1 Bewegte Leiter in einem zeitlich konstanten Magnetfeld – Bewegungsinduktion (Band 1, S.288-299)

Kraftwirkung auf elektrische Ladungen im Magnetfeld

G

G G

F

mag

Q  (v u B )

mit Fmag = Q · v · B · sin D

G

Der erste Faktor v wird auf dem kürzesten Weg in den

G
zweiten Faktor B gedreht. Die Drehrichtung zeigt in die

Richtung der gekrümmten Finger der rechten Hand, und
der Daumen zeigt dann in die Richtung in Richtung der

G
magnetischen Kraft F mag.

Bewegter Leiter im Magnetfeld

Wird ein Leiter im Magnetfeld bewegt, dann bewegt
sich das positive Ionengerüst des Metalls und mit ihm
die freien und gebundenen Elektronen. Auf die beweg-
ten positiven und negativen Ladungen wirken magne-
tische Kräfte, so dass die Ladungsschwerpunkte längs
des Leiters getrennt werden:

G

G

G

F
el

F mag Coulombsche Kräfte F el

G

G G

Q  E Q  (v u B )

G

G G

E (v u B )

mit E = – v · B · sin D
uq E  l
u v  B sin D
q
l

Befindet sich der Leiter im Magnetfeld nicht senk-
recht zur v, B-Ebene, sondern bildet mit der Norma-

G
len N der v, B-Ebene einen Winkel E, dann ist die
induzierte Spannung entsprechend kleiner:

uq
v  B  l sinD  cos E

64

3 Das elektromagnetische Feld

Bewegte Leiterschleife im Magnetfeld

Wird der Teil der Leiterschleife, der sich im magnetischen Feld befindet, mit einer GeschwinG
digkeit v bewegt, dann wird eine Spannung uq induziert:

u v  B l
q

mit sin D = sin 90º = 1
und cos E = cos 0º = 1

Die Spannung uq treibt einen Strom i in der angegebenen Richtung durch den Widerstand R.

Dieser Strom bewirkt ein magnetisches Feld, das das äußere Feld innerhalb der Leiterschleife vergrößert und außerhalb der Leiterschleife schwächt, wie mit der „Rechte-Hand-Regel“ nachgewiesen werden kann. Durch die Bewegung des Leiters wird der durch die Leiterschleife umfasste magnetische Fluss vermindert.

Das magnetische Feld des Stroms i versucht, diese Flussverminderung aufzuheben.

Auf die beweglichen Ladungsträger des Stroms i im Magnetfeld wirken magnetische Kräfte, die insgesamt so gerichtet sind, dass sie die Bewegung des Leiters zu hemmen versuchen. Die G

G G

Gesamtkraft kann mit Hilfe des Vektorprodukts

G

F Q  (v u B ) nachgewiesen werden, indem
der Geschwindigkeitsvektor v in Richtung des Stroms zu legen ist.

3.4 Das magnetische Feld

65

G

Wird der Leiter in der angegebenen Richtung mit der Geschwindigkeit v bewegt, dann wird die durch die Leiterschleife umfasste Fläche kleiner, d. h. die Flächenänderung ist negativ: dA lds lv
dt
d t

Damit lässt sich die induzierte Spannung auch durch die zeitliche Änderung des von der Leiterschleife umfassten magnetischen Flusses errechnen:

u
q
v  B  l B  dA

dt
mit d)

= B · dA
d)

uq

d t

G

Wird die Leiterschleife in umgekehrter Richtung mit der Geschwindigkeit

G
v verschoben, dann
wird die elektrische Feldstärke

G

E und damit die induzierte Spannung uq nach dem Vektor-

G
produkt B(v u B ) umgekehrt gerichtet:

Bewegte Spule im Magnetfeld

Wird in einem zeitlich konstanten Magnetfeld eine Spule mit der Windungszahl w mit der G

Geschwindigkeit v bewegt, dann werden in w parallelen, eng beieinander liegenden Leitern einer Spulenseite w gleiche Spannungen induziert, die insgesamt

uq
w  v  B  l sinD  cos E
d)

u w
q



d t
betragen.

66

3 Das elektromagnetische Feld

Beispiel 1:

Verschieben einer rechteckigen Spule in ein homogenes, zeitlich konstantes Magnetfeld Beim Eintauchen der einen Seite der Spule und wenn die
andere Seite der Spule aus dem Luftspalt geführt wird,
wird in jedem der w Leiterstücke der Länge b eine recht-
eckförmige Impulsspannung in der Zeit
a  cos J
t =

v
induziert:

uq = – w · v · B · b

mit D = 90º und E = 0º

Beim Verschieben einer Spule innerhalb eines homogenen, zeitlich konstanten Magnetfeldes entsteht an den Spulenklemmen keine Spannung, weil sich die induzierten Spannungen kompen-sieren.

Beispiel 2:

Drehen einer rechteckigen Spule mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit in einem homogenen, zeitlich konstanten Magnetfeld

Beide Spannungen sind so gerichtet, dass sie sich zu einer

Gesamtspannung addieren:

uq = uqo + uqu = – 2 · w · v · B · b · sin D
mit cos E = 1

Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit Z beträgt die

Bahngeschwindigkeit

a  S
v =

T
mit a · S

: Umfang des Kreises

T = 1/f: Periodendauer,

f: Frequenz

Mit der Kreisfrequenz

D

Z

2 S

=

2 S 2 Sf ergibt sich T =
t

T

Z
und damit für die Bahngeschwindigkeit
a  S Z
v =
a Z

2 S

2

Die induzierte Gesamtspannung in der Spule ist sinusförmig
a
uq = – 2 · w · · Z · B · b · sin D
mit

A = a · b Spulenfläche

2

uq = – w · A · Z · B · sin Z t
und

D = Z t

Durch Drehen einer Spule im zeitlich konstanten Magnetfeld sind zwei Spulenseiten an der Span-nungsinduktion beteiligt. Deshalb werden elektrische Spannungen vorwiegend in rotierenden Generatoren erzeugt.

3.4 Das magnetische Feld

67

3.4.6.2 Zeitlich veränderliches Magnetfeld und ruhende Leiter – Ruheinduktion (Band 1, S.300-304)

Eine in der Elektrotechnik wichtige Anwendung der Ruheinduktion ist der Transformator.

Befindet sich in einem Magnetfeld, dessen feldbeschreibende Größen B und H sich zeitlich ändern, eine oder mehrere ruhende Leiterschleifen, dann werden in ihnen Spannungen induziert, die in Analogie zur Bewegungsinduktion behandelt werden können.

In der gezeichneten Magnetanordnung ist
der Strom isp in der Spule zeitlich verän-
derlich. Damit verändert sich der damit
verbundene magnetische Fluss ) und die
magnetische Induktion B im Luftspalt.

Bei Verringerung des Stroms nimmt auch der von der Leiterschleife umfasste magnetische Fluss ) ab, wodurch in der Leiterschleife Ladungen verschoben werden. Die durch die Flussverkleinerung induzierte Spannung
d)

uq

d t
treibt durch die Leiterschleife einen Strom i, der so gerichtet ist, dass der durch ihn verursachte magnetische Fluss der äußeren Flussverringerung entgegenwirkt.

68

3 Das elektromagnetische Feld

Wird umgekehrt der Strom isp in der Spule vergrößert, dann nimmt auch der von der Leiterschleife umfasste magnetische Fluss ) zu. Die in der Leiterschleife induzierte Spannung d)

uq

d t
ist umgekehrt gerichtet und treibt einen Strom i durch die Leiterschleife in umgekehrter Richtung. Der mit dem Strom verbundene magnetische Fluss versucht die Flussvergrößerung aufzuheben.

Die „Rechte-Hand-Regel“ gibt die Richtung der induzierten Quellspannung uq an, indem die Vergrößerung des magnetischen Flusses zugrunde gelegt wird:

Der Daumen der rechten Hand zeigt in die Richtung des sich zeitlich vergrößernden magnetischen Flusses ), der von der Leiterschleife umfasst wird. Dann geben die gekrümmten Finger die Richtung der induzierten Spannung uq an.

Diese Regel lässt sich analog für die durch die Flussänderung gedeutete Bewegungsinduktion anwenden.

Die induzierte Spannung entsteht nur in einer geschlossenen Leiterschleife, die den zeitlich veränderlichen magnetischen Fluss umfasst. Deshalb wird die induzierte Spannung Umlaufspannung genannt.

3.4 Das magnetische Feld

69

Induktionsfluss oder mit den Leitern verketteter Fluss
n
n

·
d )

n
u
i

¨

¸
q = ¦
d ¦

§ )

mit

< = ¦)

dt
dt
i

¨

¸ d<
dt
i
i 1
i

© 1

¹
i 1

In praktischen Anordnungen, z.B. im Transformator, wird der magnetische Fluss, der sich zeitlich ändert, durch eine Spule umfasst. Der für die induzierten Umlaufspannungen bestim-mende Induktionsfluss ist dann

uq w  d ) d (w  )) d< mit < = w · )

dt
d t
d t

Beispiel:

Neben einem langen stromdurchflossenen Leiter
befindet sich eine rechteckige Spule mit der Win-
dungszahl w. Die in der Spule induzierte Spannung
ist zu bestimmen, wenn der Leiter von einem sinus-
förmigen Strom i î sin Zt durchflossen wird.

uq w  d )

d t

) B  dA

³

A

P

B(r) = 0  i 1
und
dA = h · dr

2 S
r

a b

P  i  h
dr

P  i  h
a b

P  i  h

0

0

0

§
b

)



·
ln

 ln 1

³

¨

¸

2 S
r

2 S
a

2 S

©
a ¹
a

d)

P

§

·

P

§

·
u

0  h

0  h
q = w ·
w 

 ln 1

¨ b ¸ di w 

 ln 1

¨ b ¸Z  î  cos Zt
d t

2 S

© a ¹ dt

2 S

© a ¹

Überlagerung beider Induktionserscheinungen

Die Vorgänge der Bewegungsinduktion und Ruheinduktion können sich überlagern. Beide Erscheinungen lassen sich mathematisch in einer Formel ( allgemeines Induktionsgesetz) zusammenfassen

G G

G
d

G

G
uq = – w · ¨v vq

B ¸d l w ¸

B¸dA

¨

,
dt
l

A

wobei der erste Term die Bewegungsinduktion und der zweite Term die Ruheinduktion erfasst.

70

3 Das elektromagnetische Feld

3.4.7 Selbstinduktion und Gegeninduktion

3.4.7.1 Die Selbstinduktion (Band 1, S.305-318)

Induktivität

<
w  )

Vs

L

=

mit

[L] = 1

= 1 H (Henry)

I

I

A

bei homogenen Feldern

2
w

L = w2 · Gm =

R m

Ist das Magnetfeld inhomogen, aber symmetrisch, dann lässt sich der magnetische Leitwert oder der magnetische Widerstand und damit die Induktivität durch „Homogenität im Kleinen“
ermitteln.

Beispiel 1:

Induktivität einer Zylinderspule ohne Eisenkern oder mit Eisenkern und konstanter Permeabilität P

Der magnetische Widerstand und damit die
magnetische Spannung außerhalb der Spule
wird vernachlässigt.

S

L = P ·  w 2  D2

4
l
mit

Rm l

P  A
und

S D2

A =

4

Bei praktischen Berechnungen der Induktivität einer Zylinderspule mit Eisenkern kann der Anteil des magnetischen Widerstandes außerhalb der Spule nicht vernachlässigt werden.

Beispiel 2:

Induktivität einer Toroidspule (Kreisringspule) ohne Eisenkern oder mit Eisenkern und konstanter Permeabilität P
exakt: inhomogen
angenähert: homogen

P  w2  h
r

P  w2  h

L =

 1  ln a

L =

 ra ri

S

2
ri

S
ra ri

3.4 Das magnetische Feld

71

Beispiel 3:

Induktivität eines unverzweigten magnetischen Kreises aus Eisen mit konstanter Permeabilität P

w P

L =

0 P r  A

l Fe
mit

l

R

Fe
mFe =

P0 Pr  A

Beispiel 4:

Induktivität eines unverzweigten magnetischen Kreises aus Eisen mit konstanter Permeabilität und einem Luftspalt
w P

L =

0 P r  A
l Fe Pr  l L
mit
l

P

R

Fe
r
m =
l L 

P0 Pr  A P0  A Pr

Beispiel 5:

Induktivität eines konzentrischen Kabels ohne Berücksichtigung der Permeabilität des Innenleiters und des Mantels
a

L = Gm = dG

³

m
i
mit
dG

P

m = 0  l dr

2  S  r

P
r

L = 0  l  ln a

2 S
ri

72

3 Das elektromagnetische Feld

Induktivität bei veränderlicher Permeabilität
bei Annahme eines homogenen Feldes

<

L(I) =
w ) w2  A  B w2  A P(H)

I

I
l m

H
l m
differentielle Induktivität
w2  A

Ld =

 dB w2  A Pu
l m
dH
l m
differentielle, umkehrbare oder
reversible Permeabilität Pu

Selbstinduktion

Fließt durch eine Spule ein zeitlich veränderlicher Strom, dann sind der magnetische Fluss ) und der w-mal umschlossene Fluss, der Induktionsfluss <, auch zeitlich veränderlich. Dadurch wird längs jeden Umlaufs um den magnetischen Fluss eine Umlaufspannung induziert, die aufgrund der Flussverkleinerung und Flussvergrößerung eine Spannung ui ergibt, die zu einer Spannung an der Induktivität zusammengefasst werden:

u w  d) d< d(L  i) L  d i i  d L  d i
dt
dt
dt
d t
d i d t

§

·
u L

¨ i  dL¸ di L

©
d i ¹ d t
d  di
dt

Ist die Induktivität L vom Strom i unabhängig, ist also die Permeabilität P konstant, dann ist die Induktivität L konstant und die wirksame Induktivität ist stationär.

Die differentielle Induktivität Ld geht in die stationäre Induktivität L über, wenn die Induktivität vom Strom unabhängig ist:

d i
u = L ·

d t

Spannung und Strom der Induktivität
di

u = uR + uL = R · i + L

dt
mit uL d< L  di
dt
dt

Ersatzschaltbild einer verlustbehafteten Spule

3.4 Das magnetische Feld

73

3.4.7.2 Die Gegeninduktion (Band 1, S.319-336)

Gegeninduktivität

<

<

M

12

21

12 =
w2 )12

M
w1 )21

I

21=

1

I1

I2

I2
mit )12 = k1 · )1
mit )21 = k2 · )2
und 0
d k1 d 1
und 0
d k2 d 1

M12 = k1 · Gm1 · w1 · w2

M21 = k2 · Gm2 · w1 · w2

Permeabilität P konstant

M12 = M21 = M

Vs

M

> @ 1 = 1 H (Henry)

A
mit
k1 · Gm1 = k2 · Gm2

Beispiel 1:

Gegeninduktivitäten eines Toroidkerns mit zwei übereinander liegenden Spulen

<

M

12

12
w2 )12 w2 )

I

1

1

I1

I1

P  I
r

)

1  w1  h
a

1 =

 ln

2 S
ri

<

M

21

21
w1 )21 w1 )

I

2

2

I2

I 2

P  I
r

)

2  w 2  h
a

2 =

 ln

2 S
ri

P  w
r

M

1  w 2  h
a

12 M 21

 ln

M

2 S
ri

74

3 Das elektromagnetische Feld

Beispiel 2:

Gegeninduktivitäten eines Eisenkreises mit konstanter Permeabilität P

w  w

M

1

2

12 = 1
k 

R 1
m

15
k1 3 R

 l

4
m1 = 4 PA

w

M

1  w 2 P  A

12 =

5 l

w  w

M

1

2

21 = k2 

Rm2

1

5
k2 = R

 l

2
m2 = 2 PA

w

M

1  w 2 P  A

21 =

5 l

Beispiel 3:

Gegeninduktivitäten eines Eisenkreises mit drei gekoppelten Spulen

w

M

1  w 2 P  A

12 =

M21

 l
w

M

2  w 3 P  A

23 =

M32

 l
w

M

1  w 3 P  A

31 =

M13

 l

3.4 Das magnetische Feld

75

Gegeninduktion

Fließt durch eine der beiden Spulen ein zeitlich veränderlicher Strom, dann wird in dieser Spule aufgrund der Selbstinduktion eine Spannung induziert und in der anderen Spule aufgrund der Gegeninduktion ebenfalls eine Spannung induziert.

Sind beide Spulen gleichzeitig durch zeitlich veränderliche Ströme durchflossen, dann werden in beiden Spulen jeweils zwei Spannungen induziert, und zwar infolge der Selbstinduktion und der Gegeninduktion.

vom Strom i1
vom Strom i2
in der Spule 2 induzierte Spannung:

in der Spule 1 induzierte Spannung:

d <
d i
d <
d i
u

12

1

21

2

M2 =

M 

uM1 =

M 

d t

12
d t

d t

21
d t
mit
mit

<

<

12 = w2 · )12 = M12 · i1

21 = w1 · )21 = M21 · i2

Mit Hilfe der „Rechte-Hand-Regel“ lassen sich die Richtungen der induzierten Spannungen bestimmen.

Beispiel:

Dreieckförmig veränderliche Ströme i1 und i2:

76

3 Das elektromagnetische Feld

In Ersatzschaltungen werden gekoppelte Spulen durch einen beidseitig gerichteten Pfeil gekennzeichnet, der die gekoppelten Spulen verbindet. Die Spulenenden werden jeweils mit einem Punkt versehen.

Handelt es sich um eine gleichsinnige

Wicklungsanordnung, dann befinden sich
beide Punkte an den gleichen Enden der

Spulen (beide Punkte oben oder unten).

Bei einer gegensinnigen Wicklungsan-
ordnung wird ein Punkt an das eine Ende
und der andere Punkt an das andere Ende
gezeichnet (ein Punkt unten, ein Punkt
oben).

Die Vorzeichen der beiden gegeninduzierten Spannungen uM1 und uM2 richten sich nur nach den Richtungen der Ströme, nachdem die Spulenenden mit Punkten gekennzeichnet sind: Fließen beide Spulenströme in die beiden je mit einem Punkt gekennzeichneten Enden der Spulen oder in die beiden nicht gekennzeichneten Enden der Spulen, dann haben die beiden gegeninduzierten Spannungen in den Maschengleichungen das gleiche Vorzeichen wie die selbstinduzierten Spannungen.

Fließt der eine Spulenstrom in ein gekennzeichnetes Ende der Spule und der andere Spulenstrom in ein nicht gekennzeichnetes Ende der Spule, dann haben die beiden gegeninduzierten Spannungen in den Maschengleichungen umgekehrte Vorzeichen wie die selbstinduzierten Spannungen.

Fließen durch beide Spulen gleichzeitig zeitlich veränderliche Ströme, dann entstehen in beiden Spulen jeweils drei Spannungen:

infolge
ohmscher
infolge der
infolge der

Verluste

Selbstinduktion

Gegeninduktion
d<
d)

d<
d

Spule 1
u

1

1

21

)21

R1 = R1 · i1
uL1 =
w

u
w

dt

1 d t

M1 = dt

1 d t

di
di
uL1 = L

1

1

u

M

2
dt

M1 =

21

dt
d<
d
d<
d)

Spule 2
u

2

)2

12

12

R2 = R2 · i2
uL2 =
w

u
w

dt

2 d t

M2 = dt

2 d t

di
di
uL2 = L

2

2

u

M

1
dt

M2 =

12

dt

3.4 Das magnetische Feld

77

Gleichsinnige Kopplung

Bei gleichsinniger Kopplung zweier Spulen, d. h. mit gleichsinnigem Wickelsinn und mit gleichen Einströmungen, wirken die Spannungen uR1, uL1 und uM1 und uR2, uL2 und uM2 in gleicher Richtung wie die entsprechenden Ströme i1 und i2. Die Maschengleichungen gelten für Augenblickswerte der Spannungen:

u1 = uR1 + uL1 + uM1

u2 = uR2 + uL2 + uM2
oder
d i
d i
u

1

2

1 = R  i L

M

1 1

1

d t

21 dt

d i
d i
u

2

1

2 = R  i L

M

2

2

2

d t

12 dt

Ersatzschaltung

Gegensinnige Kopplung

Bei gegensinniger Kopplung zweier Spulen, d. h. mit gegensinnigem Wickelsinn und mit gleichen Einströmungen, wirken die Spannungen uR1 und uL1 und uR2 und uL2 in gleicher Richtung wie die entsprechenden Ströme i1 und i2 und die Spannungen uM1 und uM2 in entgegengesetzter Richtung wie die Strömung i1 und i2:

u1 = uR1 + uL1 – uM1

u2 = uR2 + uL2 – uM2
oder
d i
d i
u

1

2

1 = R  i L

M

1 1

1

d t

21 dt

d i
d i
u

2

1

2 = R  i L

M

2

2

2

d t

12 dt

Ersatzschaltung

78

3 Das elektromagnetische Feld

Zusammenschalten gekoppelter Spulen

1 . Reihenschaltung von gekoppelten verlustlosen Spulen mit M12 = M21 = M: Reihenschaltung:

Gegen-Reihenschaltung

Lr1 L1 L2 2M

Lr2 L1 L2 2M
werden die ohmschen Verluste der Spulen berücksichtigt: R = R1 + R2

Beispiel:

Zusammenschalten gekoppelter Spulen im Variometer

Mit Hilfe eines Variometers können Induktivitäten zwischen einem Minimalwert und einem Maximalwert variiert werden. Die Anordnung besteht aus zwei gleichen Spulen mit gleichen Induktivitäten, die in Reihe geschaltet sind. Die eine Spule ist feststehend (obere Spule) und die andere Spule ist von 0º bis 180º drehbar (untere Spule).

Lr1 = Lmax = L1 + L2 + 2 M

Lr2 = Lmin = L1 + L2 – 2 M

Reihenschaltung von n Spulen ohne Kopplung

n

L

¦
r L1 L 2 ... Ln

Li
i 1
n

R

¦
r R1 R2 ... Rn

Ri
i 1

3.4 Das magnetische Feld

79

2. Parallelschaltung gekoppelter verlustloser Spulen mit M12 = M21 = M: L  L M2

L  L M2

L

1

2

1

2
p1 =

L

L L 2 M
p2 =

1

2

L L 2 M

1

2

Parallelschaltung von n verlustlosen Spulen
ohne Kopplung:

n

1 1 1 ... 1

1

¦

Lp L1 L2

Ln

Li
i 1

Netzberechnung für Netze mit gekoppelten Spulen

Knotenpunktsatz für Ströme:

Maschensatz für Spannungen:

l
l

¦i

¦
i (t) 0

ui(t) 0
i 1
i 1

Beispiel:

Netzberechnung mit Hilfe der Kirchoffschen

Sätze

k1:

i1 = i2 + i3

Masche I:

d i
d i
d i
d i
d i
u

1

3

³

3

1

2
q R1  i1 L1

M

1
i d t L

M

M

d t

31 d t C

3

3 d t

13 d t

23 dt

Masche II:

d i
d i
d i
d i
d i

0 L

2

3

3

1

2

2

M

R

M

M

1
i
d t

32 d t

2  i2 L 3 d t

13 dt

23 d t

C

3 d t

³

80

3 Das elektromagnetische Feld

Transformator mit gleichsinnigem Wickelsinn und ohmscher Belastung

Ersatzschaltung:

di
d i

u

1

2

1 = R1 · i1 + L1

M

d t

21 d t
d i
di
u

2

1

2= – R2 · i2 – L2

M

d t

12 dt
u2 = R · i2

Transformator mit gegensinnigem Wickelsinn und ohmscher Belastung

Ersatzschaltung:

di
d i

u

1

2

1 = R1 · i1 + L1

M

d t

21 d t
d i
di
u

2

1

2 = – R2 · i2 – L2

M

d t

12 dt
u2 = R · i2

3.4 Das magnetische Feld

81

3.4.7.3 Haupt- und Streuinduktivitäten, Kopplungs- und Streufaktoren

(Band 1, S.337-342)

)1 = )12 + )1s

)2 = )21 + )2s
primärer Fluss )1
sekundärer Fluss )2
primärer Hauptfluss )12 = k1 · )1
sekundärer Hauptfluss )21 = k2 · )2
primärer Streufluss )1s = V1 · )1
sekundäre Streufluss )2s = V2 · )2

Koppelfaktor k1 mit 0 dk1 d 1

Koppelfaktor k2 mit 0 dk2 d 1

Streufaktor V1 mit 0 dV1 d 1

Streufaktor V2 mit 0 dV2 d 1
und k1 + V1 = 1
und k2 + V2 = 1

w
w

L

1

2

1 = L1h + L1s = M12

+ L

L

+ L
w

1s

2 = L2h + L2s = M21

2s

2
w1
primäre Induktivität L1
sekundäre Induktivität L2
primären Hauptinduktivität
sekundären Hauptinduktivität

)  w
w

)  w
w

L

12

1

1

21

2

2

1h

= M12

L2h

= M21

1
i
w 2
i2
w1
primäre Streuinduktivität
sekundäre Streuinduktivität

)  w

)  w

L
s

1

1

2s

2

1s

= V1 · L1

L2s

= V2 · L2

1
i
i2

Kopplungsfaktoren oder Kopplungsgrad

k = k1  k2 M12  M21 0
d k d 1

L1  L2

bei konstanter Permeabilität P ist M12 = M21 = M

M
k = k1  k2

1

L  L2

bei fester Kopplung mit k1 = 1, k2 = 1 und k = 1

M =

1

L  L2

Streufaktoren

V = V1 + V2 – V1 · V2
mit k2 = 1 – V

Da das Produkt V1 · V2 gegenüber V1 und V2 sehr klein ist, kann es für praktische Fälle vernachlässigt werden: V | V1 + V2.

82

3 Das elektromagnetische Feld

3.4.8 Magnetische Energie und magnetische Kräfte (Band 1, S.343-362)

Magnetische Energie

L  i2

<  i

<2

bei konstanter Permeabilität P,
wm =

2

2

2  L
d. h. L unabhängig von i

Magnetische Energie im magnetischen Feld induktiv gekoppelter Stromkreise

L

2

2

bei konstanter Permeabilität P,
w

1  i1
m =

M  i

2

1  i2 L2  i2

2

M12 = M21 = M

Magnetische Energie und Energiedichte im magnetischen Feld ferromagnetischer Stoffe homogene Felder:

Linearer Verlauf B = f (H):

P  H2
w'm Wm

B  H B2
bei konstanter Permeabilität P

V

2

2

2 P

Nichtlinearer Verlauf:

Nichtlinearer, nichteindeutiger Verlauf
von B = f(H)

von B = f(H): Hysteresekurve

B

B

'

m

W
w






m

H dB

³
und

W

V

H dB

³
mit V = l · A

V
m =

0

0
inhomogene Felder:

dW
w'

m
m
und

'

W w  dV

³

dV
m
m

V

3.4 Das magnetische Feld

83

Kräfte auf Trennflächen, Anziehungskraft von Magneten

B2  A

F = –

2 P0
i2 dL

F =



2 dx

Die Kraft im Magnetkreis ist so gerichtet,
dass bei gegebenem Strom i der magnetische

Fluss ) und die Induktivität L möglichst groß
werden.

Kraft auf stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld

G

G G

F Q vu B
mit

G

G l
v
und Q = I · t

t

G

G G

F I  l u B
mit

G G

F I  l  Bsin  l ,B

G

G

(Der Längenvektor l liegt in Richtung der Geschwindigkeit v und des Stroms I.) Kräfte zwischen parallelen stromdurchflossenen Leitern

F = I2 · l · B12 = I1 · l · B21
mit

P

P

B

0  I1

0  I2

12
und B

2  S  a

21 2  S  a

P

P

F = I

0  I1

0  I2

2 · l ·

= I

2  S  a

1 · l · 2 S a

84

4 Wechselstromtechnik

4.1 Wechselgrößen und sinusförmige Wechselgrößen (Band 2, S.1-4)

Periodische

Wechselgröße

Dabei bedeuten

T:

Periodendauer oder kurz Periode des Wechselvorgangs, das ist die kürzeste Zeit zwischen zwei Wiederholungen des Vorgangs mit [T] = 1s
f = 1/T: Frequenz des Wechselvorgangs, das ist die Anzahl der Wiederholungen pro Zeit, also der Kehrwert der Periodendauer mit [f] = 1s–1 = 1Hz (Hertz)

t0:

Nullzeit, das ist die Zeit vom Nullpunkt des Koordinatensystems zum
ersten Nulldurchgang der Wechselgröße

ˆv = Vm: Maximal- oder Größtwert, das ist der höchste Wert, den die Wechselgröße v(t) annehmen kann.

Periodische Wechselgrößen genügen also der Bedingung:

v(t) = v(t + k · T) mit k = 0, ± 1, ± 2, …

In der Elektrotechnik wird der Begriff „Wechselgröße“ enger gefasst als in der Physik, indem unter einer Wechselgröße eine physikalische Größe verstanden wird, die periodisch ist und deren arithmetischer Mittelwert Null ist:

T

1 v(t)  dt 0

³

T 0

Eindeutiger jedoch ist es, wenn die Wechselgröße näher bezeichnet wird, z.B. sinusförmige Wechselgröße oder nichtsinusförmige periodische Wechselgröße:

Sinusförmige und nichtsinusförmige periodische Wechselgröße

© Springer Fachmedien Wiesbaden 2015

W. Weißgerber, Elektrotechnik für Ingenieure - Formelsammlung, DOI 10.1007/978-3-658-09090-6_4

4.1 Wechselgrößen und sinusförmige Wechselgrößen

85

Grundsätzlich wird eine sinusförmige Wechselgröße
v (t) = ˆv · sin (Zt + Mv)

durch drei Größen bestimmt:

durch den Maximalwert oder die Amplitude ˆv ,
die

Kreisfrequenz

Z = 2Sf = 2S/T

und den Anfangsphasenwinkel Mv, der von dem willkürlichen Beginn der

Zeitzählung bei t = 0 abhängt.

Eine sinusförmige Wechselgröße lässt sich sowohl in Abhängigkeit von der Zeit t als auch vom Winkel D = Zt darstellen:

Bei der Darstellung der Sinusgröße in Abhängigkeit von Zt lautet die Bedingungsgleichung für die Periodizität entsprechend:

v(Zt) = v(Zt + k · 2S) mit k = 0, ± 1, ± 2, …

Mittelwerte sinusförmiger Wechselgrößen

Arithmetischer Mittelwert während einer Halbperiode:

T / 2

S

2

2

2

Va =
v(t)  dt
v(Zt)  d(Zt)

ˆv 0,637  ˆv

³

³

T

2S

S

0

0

Gleichrichtwert:

T

2S

S

1

1

1
v

| v(t) | d

 t

| v( t)

Z | d

 ( t

Z ) 2 
v( t)

Z  d( t)

Z a

V

³

³

³

T

2S

2S

0

0

0

Quadratischer Mittelwert oder Effektivwert:

T

2S

1

1

ˆv

V =

2

2

[v(t)  dt

[v(Zt)]  d(Zt)

0,707  ˆv

³

³

T

2S

2

0

0

Für sinusförmige Wechselgrößen haben Form- und Scheitelfaktor folgende Werte:

ˆv

V

S

ˆv

Formfaktor =

2

1,11 Scheitelfaktor =

2 1,414
a

V

2

2 2

ˆv

V

S

4 Wechselstromtechnik

86

4.2 Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen mit Hilfe
der komplexen Rechnung (Band 2, S.5-27)

Transformation ins Komplexe

Jede sinusförmige Wechselgröße v(t) wird in eine entsprechende komplexe Zeitfunktion v(t) eineindeutig abgebildet:

Zeitbereich (Originalbereich)

komplexer Bereich (Bildbereich)

v(t) = ˆv · sin (Zt + Mv)

o
v(t) = ˆv · cos (Zt + Mv)

mit ˆv : Amplitude

+ j · ˆv · sin (Zt + Mv)

und Mv: Anfangsphasenwinkel
v(t) = ˆv · ej(Zt + Mv)

v(t) = ˆv · ejMv · ejZt
v(t) =
jM

 
v
jZt

2 V e

 e

v(t) =
jZt
jZt

ˆv  e

2  V  e

mit
j

ˆv

ˆv e M


v

als komplexe Amplitude

( ˆv : Amplitude,

Mv: Anfangsphasenwinkel)

und V = V · ejMv als komplexer

Effektivwert

(V:

Effektivwert,

Mv : Anfangsphasenwinkel)

Transformation einer sinusförmigen Zeitfunktion in einen rotierenden Zeiger

4.2 Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen

87

Die Differentiation der komplexen Zeitfunktion bedeutet eine Multiplikation mit jZ, die Integration eine Division durch jZ:

dv(t)

2

d v(t)

1
j  Z  v(t)

2

Z  v(t)

v(t)  dt
v(t)

³

dt

2
dt
jZ

Verfahren 2 (Band 2, S.8-12)

Transformation der Differentialgleichung ins Komplexe Dadurch lassen sich die mit Hilfe des Maschensatzes und der Knotenpunktregel aufgestellten Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen überführen.

Lösung der algebraischen Gleichung

Die algebraischen Gleichungen können nun einfach nach der transformierten gesuchten Größe aufgelöst werden.

Rücktransformation in den Zeitbereich

1. Der komplexe Nenner in algebraischer Form wird in die Exponentialform umgeformt: x + jy = r · ejM mit

2

2
r x y
y
und

M = arc tan
x

2. Der ejM-Anteil des Nenners wird mit e–jM in den Zähler gebracht und mit dem e-Anteil der abgebildeten Sinusgröße im Zähler zusammengefasst.

3. Der gesamte e-Anteil des Zählers wird nach der Eulerschen Formel
ejM = cos M + j · sin M
in die trigonometrische Form überführt.

4. Die Rücktransformation der komplexen Zeitfunktion in die gesuchte sinusförmige Zeitfunktion kann nun vorgenommen werden, indem nur der Imaginärteil berücksichtigt wird.

v(t)

=

Im{v(t)}

Beispiel:

d i(t)

û  sin (Zt Mu) R  i(t) L

dt
j(ZtM


u )

û e

R  i (t) jZL  i (t)

j(Zt

ˆ

M


u )

j(Zt
u e

ˆ

M


u )

u e
i (t)

R jZL

2

2
j a

 rc tan (ZL/R)

R ( L

Z )  e
û
j( t

Z M


u arc tan ZL/ R )

i (t)

e

2

2

R (ZL)

û

§

ZL ·
i(t) Im{i (t)}

 sin Zt M
ü arc tan

¸

2

2

Z

©

R

R

( L)

¹

88

4 Wechselstromtechnik

Überlagerung zweier sinusförmiger Wechselgrößen bzw. zweier Zeiger im Zeitbereich:

vr 1
v v2 ˆvr  sin (Zt Mvr ) ˆ1
v  sin (Zt Mv1) ˆv2  sin (Zt Mv2)

im komplexen Bereich:

j(Zt

ˆv

ˆv

ˆv

ˆv e

Mvr )

j(Zt

ˆv e

Mv1)

j(Zt

ˆv
e

M






v2 )

r

1

2
r

1

2

ergibt mit Mv = Mv2 – Mv1

ˆv  sin M ˆ 

M

2

2
v
sin

ˆvr ˆ1
v ˆv2 2  ˆ1
v  ˆv2  cos Mv

1
v1

2
v2

Mvr arc tan

ˆ1
v  cos Mv1 ˆv2  cos Mv2

Vereinfachte Zeigerbilder Verfahren 4 (Band 2, S.17-18) In der Praxis werden die abgebildeten Sinusgrößen grundsätzlich zum Zeitpunkt
t = 0, also als „ruhende Zeiger“ gezeichnet.

Weil Effektivwerte in weiteren Berechnungen, z.B. Leistungsberechnungen, benötigt werden, berücksichtigt man in Zeigerbildern nicht die komplexen Amplituden, sondern die komplexen Effektivwerte. Das bedeutet gegenüber den komplexen Amplituden eine Maßstabsänderung mit 2 .

Die reellen und imaginären Achsen werden bei vereinfachten Zeigerbildern weggelassen, weil für die Beurteilung der sinusförmigen Wechselgrößen einer Schaltung nur die Effektivwerte und die gegenseitige Phasenverschiebung wichtig sind. Die Anfangsphasenwinkel hängen von der willkürlichen Festlegung des Zeitpunktes t = 0 ab, d. h. auch die Lage des Achsenkreuzes der komplexen Ebene zu den Zeigern bedeutet die Festlegung des gleichen Zeitpunktes t = 0.

Ein Zeigerbild wird grundsätzlich von innen nach außen entwickelt, so dass immer nur die Zeiger von einem oder zwei Schaltelementen, also von einfachen Zweipolen, gezeichnet werden. Sind ein Strom oder eine Spannung in einem Zweig innerhalb der Schaltung nicht gegeben, sondern die Gesamtspannung oder der Gesamtstrom, dann wird trotzdem von diesen Größen ausgegangen, indem ein Zahlenwert vorgegeben wird; nachträglich lässt sich dieser dann proportional korrigieren. Die weiteren Zeiger ergeben sich dann durch Multiplikation oder Division mit einfachen Operatoren. Resultierende Zeiger lassen sich dann durch geometrische Addition ermitteln, so dass sich schließlich die Gesamtspannung und der Gesamtstrom der Schaltung ergeben.

Im vereinfachten Zeigerbild können also mit einfachen geometrischen Beziehungen die Effektivwerte und Phasenverschiebungen ermittelt und ablesen werden, so dass sie bei der Behandlung der verschiedensten Wechselstromschaltungen unverzichtbar sind.

zum Beispiel: Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Induktivität Beispiel für den Übergang von Sinusgrößen zum Zeigerbild

4.2 Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen

89

Komplexe Operatoren
ohmscher
induktiver
kapazitiver

Widerstand

Widerstand

Widerstand

di

1
u = R · i
u = L

u =
i  dt

³

dt

C

di

u = M

Zeitbereich

dt

(Originalbereich)

u
du
i =

G  u

1
i =
u  dt

³

i = C

R

L
dt

1
i =
u  dt

³

M

i
u = R · i
u = jZL · i
u =

jZC

u = jZM · i

komplexe
u
u
i =

G  u
i =

i = jZC · u

Zeitfunktionen

R
jZL
u
i =

jZM

ˆ
î
û R  i

ˆ
û jZL  i
û

j C

Z

ˆ
û jZM  i
komplexer

komplexe

Bereich
û
û

(Bildbereich)

Amplituden
î

G  û
î

î j C

Z  û

R
jZL
û
î

jZM

I

U = R · I

U = jZL · I

U =

j C

Z

U = jZM · I
komplexe

U

U

Effektivwerte

I =

G  U

I =

I = jZC · U

R
j L

Z

U

I =

j M

Z

Für ohmsche Widerstände sind die Operatoren reell:

Widerstand R

Leitwert G
für induktive Widerstände sind die Operatoren positiv und negativ imaginär:

1

1

1

1

Widerstand jZL bzw. jZM Leitwert
j
bzw.

j

jZL

ZL
jZM

ZM
für kapazitive Widerstände sind die Operatoren negativ und positiv imaginär:

1

1

Widerstand
j

Leitwert
jZC
jZC

ZC

90

4 Wechselstromtechnik

Maschensatz und Knotenpunktsatz der Wechselstromtechnik Die Summe der Augenblickswerte der

In einem Knotenpunkt eines verzweigten

Spannungen (Quellspannungen und

Wechselstromkreises ist die Summe aller

Spannungsabfälle an den Wechselstrom-
vorzeichenbehafteten Augenblickswerte
widerständen) in einer Masche ist Null:

der Ströme gleich Null:

l
l
u

¦ i(t) 0
i

¦ i(t) 0
i 1

i 1

Maschen- und Knotenpunktgleichungen in komplexen Effektivwerten:

l
l

U

¦ i 0

¦ iI 0
i 1

i 1

Symbolische Methode Verfahren 3 (Band 2, S.21-22) Alle sinusförmigen Zeitfunktionen werden in entsprechende komplexe Effektivwerte überführt.

Ohmsche Widerstände R bleiben im Schaltbild unverändert, da der Operator zwischen den komplexen Effektivwerten von Strom und Spannung R ist.

Induktivitäten L und Gegeninduktivitäten M werden wie induktive Widerstände mit den imaginären Operatoren jZL und jZM behandelt. Die Operatoren ersetzen im Schaltbild L
und M.

Kapazitäten C werden als kapazitive Widerstände mit dem Operator 1/jZC berücksichtigt, weil der komplexe Effektivwert des Stroms durch Multiplikation mit dem Operator 1/jZC
in den komplexen Effektivwert der Spannung überführt wird. Anstelle von C wird im Schaltbild 1/jZC geschrieben.

Nachdem die Operatoren im Schaltbild eingetragen sind, werden die Netzberechnungshil-fen (Spannungs- und Stromteilerregel, S. 6 und 8 bzw. S. 96) und die Netzberechnungsverfahren im Abschnitt 2.3, S. 16-22 angewendet, wodurch sich die algebraischen Gleichungen in komplexen Effektivwerten ergeben, die dann gelöst werden.

Die Lösungen in komplexen Effektivwerten müssen in Lösungen in komplexen Zeitfunktionen überführt werden, indem sie mit 2 · ejZt multipliziert werden. Die Rücktransformation der komplexen Zeitfunktion in die sinusförmige Zeitfunktion ist bereits beschrieben worden.

zum Beispiel: Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Induktivität Beispiel für den Übergang einer Wechselstromschaltung in eine

Schaltung mit komplexen Effektivwerten und komplexen Operatoren

U
j( t

Z M


u )

u
û e

U = UR + UL = R · I + jZL · I

I =

i(t) =

R j L

Z

R jZL

R j L

Z

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

91

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

(Band 2, S.28-63)

Ohmscher Widerstand
î (t) i  sin (Zt i

M )

u(t) = R · i(t) = R · î · sin (Zt + Mi)

u(t) = û · sin (Zt + Mu)

u R  i

U R  I

û

U

R =

M = M
û – Mi = 0
i

I

Zeigerbild

Induktiver Widerstand
î (t) i  sin (Zt i

M )

di(t)

û(t) L 

ZL  i  cos (Zt i

M )

dt

ˆ

§

S ·
u(t) ZL  i  sin Zt i

M

¨

¸

©

2 ¹
u(t) û  sin ( t

Z Mu )

u jZL  i

U jZL  I
û

U

S

XL ZL

M M M

û
i
i

I

2

Zeigerbild

Kapazitiver Widerstand
u(t) û  sin (Zt Mu )

du(t)

i (t) C 

Z  C  û  cos (Zt Mu )

dt

§

S ·
i (t) Z  C  û  sin Zt Mu

¨

¸

©

2 ¹
î (t) i  sin (Zt i

M )

i jZC  u

I jZC  U

1
û

U

S

– XC

M M M

ZC
û
i
i

I

2

Zeigerbild

92

4 Wechselstromtechnik

Komplexer Widerstand
u(t)

û

U

U

Z =
j(

e Mu i

M )

i (t)

î

I

I

Z = Z · ejM = Z · cos M + j · Z · sin M = R + j · X

Betrag von Z: Phasenverschiebung

Scheinwiderstand oder Impedanz
zwischen Spannung und Strom:

û

U

2

2

X

Z Z

R X

M M M arcZ arc tan

û
i
i

I

R

Realteil von Z:

Imaginärteil von Z:

Wirkwiderstand oder Resistanz

Blindwiderstand oder Reaktanz

R = Re{Z} = Z · cos M

X = Im{Z} = Z · sin M

Komplexer Widerstand der Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen m
mR
m
m

L

C
mR
m
m

L

C

1

U

U

¦ i U

¦ Ri U

¦ Li U

¦ Ci R

¦ i  I j L

Z

¦ i  I

 I

¦

jZ i

C
i 1

i 1

i 1

i 1

i 1

i 1

i 1

m

§ R
m
m

L

C

1 ·

§

1 ·

U ¨

R

¦ i j L

Z

¦ i

¸  I

¦

¨ Rr j L

Z r

¸  I

¨
jZ i

C ¸

©
jZCr
i 1

i 1

i 1

¹

©

¹
mR
mL
mC

1

1

Rr

R

¦ i
jZLr
jZL

¦

i

¦

jZC
jZC
i 1

i 1

r
i
i 1

mL
mC

1

1

Lr

L

¦

i

¦

C

C
i 1

r
i
i 1

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

93

ª

§

1 ·º

U «Rr j  ZL

¨
r

¸»  I

¬

©

ZCr ¹¼

U ªR

¬

r j XL XC º  I

¼

>Rr jXr @ I Zr  I

§

1 ·
mit Zr = Rr j  Xr Rr j (XL XC) Rr j 

L

¨ Z r

¸

©

ZCr ¹

1
und Xr = XL + XC

XL = ZLr

XC

ZCr

Die ohmschen Anteile eines komplexen Widerstandes Zr finden sich also grundsätzlich im Realteil, die induktiven Anteile im positiven Imaginärteil und die kapazitiven Anteile im negativen Imaginärteil.

Der komplexe Effektivwert der Gesamtspannung U teilt sich in drei Teilspannungen auf: 1

U = UR + UX = UR + UL + UC = Rr · I + jZLr · I +

 I
jZCr
mit

UR = Rr · I
auch „Wirkspannung“ Uw
und

UX = UL + UC = j (XL + XC) · I = jXr · I
auch „Blindspannung“ Ub

Z
j
r = Z
e M


r
r

= Zr · cos M + j · Zr · sin M U

U

 cos M j 

 sin M

I

I

Zr · I = U = U · cos M + j · U · sin M,

UR = U · cos M

UX = U · sin M U

=

2

2

UR UX

Zeigerbilder der Ströme und Spannungen und komplexen Widerstände

94

4 Wechselstromtechnik

Komplexer Leitwert

ˆ

1
i (t)

i

I

I j(

Y

e Mu i

M )

Z
u(t)

û

U

U
j

Y

Y e M



Y · cos M – j · Y · sin M= G + j · B

Betrag von Y: Phasenverschiebung

Scheinleitwert oder Admittanz
zwischen Spannung und Strom:

ˆ

1
i

I

2

2

B

Y Y

G B

M M M – arc tan

Z
û

U
u
i

G

Realteil von Y:

Imaginärteil von Y:

Wirkleitwert oder Konduktanz

Blindleitwert oder Suszeptanz

G = Re{Y} = Y · cos M

B = Im{Y} = – Y · sin M

Komplexer Leitwert der Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen m
mR
mC
mL

I

Ii

R

I i

C

I i

¦ ¦

¦

¦ LIi
i 1

i 1

i 1

i 1

mR
mC
mL

1

1

I

U
jZ

¦

¦ iCU

U

¦

Ri
jZLi
i 1

i 1

i 1

m

§ R
mC
mL

1

1 ·

§ 1

1 ·

I ¨

jZ

¦

¦ iC

¸  U

¦

¨
j C

Z p

¸  U

¨

R

Z ¸

¨

Z

¸
i
j Li

R

©

¹

© p
j Lp
i 1

i 1

i 1

¹
mR

1

1
mC
mL

¦

1

1

jZC
jZC

¦

¦

R
p
i
p

Ri
jZL
jZL
i 1

i 1

p
i
i 1

mC
mL

1

1

Cp = ¦ i

C

¦

L

L
i 1

p
i
i 1

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

95

ª 1

§

1 ·º

I «
j  ¨ZCp

¸»  U

« R

¨

Z

¸
p

L

¬

©
p ¹»¼

ª 1

º

I «
j  C

B BL »  U ªG

¬ p j  Bp º  U

¼
p

Y  U

«R

¬ p

»¼

1

1

1

§

1 ·
mit p

Y
j  Bp
j  ( C

B BL )

j  ¨ZCp

¸

R

¨

Z

¸
p

Rp

Rp

L

©
p ¹

1

1
und Bp = BC + BL

BC = ZCp

BL =

G

L

Z
p =
p

Rp

Die ohmschen Anteile eines komplexen Leitwertes p

Y finden sich also grundsätzlich im

Realteil, die kapazitiven Anteile im positiven Imaginärteil und die induktiven Anteile im negativen Imaginärteil.

Der komplexe Effektivwert des Gesamtstroms I teilt sich also in drei Teilströme auf: 1

1

I R

I B

I R

I C

I L

I

U j C

Z p  U

 U

Rp
jZLp

1
mit R

I

U Gp  U
auch „Wirkstrom“ Iw

Rp
und B

I C

I L

I j 

C

(B BL )  U j  Bp  U auch „Blindstrom“ Ib
jM
p

Y p

Y  e
p

Y  cos M j  p

Y  sin M

I

I

cos M j 

 sin M

U

U
p

Y · U = I = I · cos M + j · I · sin(– M)

IR = I · cos M

IB = I · sin(– M) = – I · sin M

2

2

I IR IB

Zeigerbilder der Spannungen und Ströme und komplexen Leitwerte von Wechselstromleitwerten

96

4 Wechselstromtechnik

Spannungsteilerregel

Für zwei in Reihe geschaltete Wechselstromwiderstände gilt die Spannungsteilerregel analog wie in der Gleichstromtechnik nur im komplexen Bereich:

Die komplexen Zeitfunktionen oder die komplexen Effektivwerte der Spannungen
über zwei vom gleichen sinusförmigen Strom durchflossenen Widerstände verhalten sich wie die zugehörigen komplexen Widerstände.

1

U

1

Z

U2

Z2

1

U

1

Z

U

Z

2

2

U

1

Z Z2

U

1

Z Z2

Stromteilerregel

Für zwei parallel geschaltete Wechselstromwiderstände gilt die Stromteilerregel analog wie in der Gleichstromtechnik nur im komplexen Bereich:

Die komplexen Zeitfunktionen oder die komplexen Effektivwerte der Ströme durch zwei parallel geschaltete Wechselstromwiderstände, an denen die gleiche sinusförmige Spannung anliegt, verhalten sich wie die zugehörigen komplexen Leitwerte
und sind umgekehrt proportional zu den komplexen Widerständen.

Die komplexe Zeitfunktion oder der komplexe Effektivwert des Teilstroms verhält sich zur komplexen Zeitfunktion oder zum komplexen Effektivwert des Gesamtstroms wie der komplexe Widerstand, der nicht vom Teilstrom durchflossen ist, zum komplexen Ringwiderstand.

I1

1

Y

Z2

I 2

2

Y

1

Z

I1

Z

I

2

Z

2

1

I

1

Z Z2

I

1

Z Z2

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

97

Dreieck-Stcrn-Transformation:







'

Z2

3

Z

'

Z

Z

'

Z Z

1

Z

3

1

Z2

1

2

3

Z

1

Z Z2 3

Z

1

Z Z2 3

Z

1

Z Z2 3

Z

Merkregel:

Produkt der beiden Dreieckwiderstände

Sternwiderstand =

Summe aller Dreieckwiderstände

Stern-Dreieck-Transformation:

'

'

'

'

'

'

'

'









'

Z

'

2

3

Z

1

Z Z2 Z2

3

Z

1

Z

3

Z

1

Z Z2 3

Z

'

'

1

Z

1

Z

'

'

'

'

'

'

'

'









'

'

1

Z

3

Z

1

Z Z2 Z2

3

Z

1

Z

3

Z

Z2 1

Z 3

Z

'

'

Z2

Z2

'

'

'

'

'

'

'

'









'

'

1

Z Z2

1

Z Z2 Z2

3

Z

1

Z

3

Z

3

Z 1

Z Z2

'

'

3

Z

3

Z

98

4 Wechselstromtechnik

Parallel geschaltete Reihenschaltungen – äquivalente Schaltungen 1

RCr

ZCr

1

Cp

Y

j 

jZCp

2

1

2

1

RCp

RCr

RCr

2

2

2

2

Z Cr

Z Cr

2

1

1

RCr 2 2

Z C

2

Z C
mit
r

R
r

Cp

und C

R
p

Cr

2

1

RCr 2 2

Z Cr

RLr

ZLr

1

1

Lp

Y

j 

j 

2

2

2

2

2

2

RLr Z Lr

RLr Z Lr

RLp

ZLp

2

2

2

R

Z L

2

2

2

R

Z L
mit R

Lr
r

Lr
r

Lp =

und L

R
p =

2

Lr

Z Lr

§ 1

1 ·

§

1 ·
p

Y C

Y p L

Y p ¨

¸ j  ¨ C

Z p

¸

¨

R

¸

¨

Z

¸

© Cp

RLp

L

¹

©
p ¹

§

·

§

1

·

¨

R

¸

¨

Çr

RLr

ZCr

ZLr
p

Y ¨

¸ j  ¨

¸

¨

1

2

2

2

R

Z L ¸

¨

1

2

2

2

2

Lr
r

2

RLr Z Lr

R

Çr

R

¸

¨ Cr

¨

2

2

2

2

©

C

¸

Z r

¹

©

Z Cr

¹

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

99

In Reihe geschaltete Parallelschaltungen – äquivalente Schaltungen

1

1

RLp

ZLp

ZLr
j 

RLr j L

Z r

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

RLp

Z Lp

RLp

Z Lp

1

1

R

2

Z L
mit

Lp
p

RLr

und L

1

1
r

1

1

2

2

2

R

2

2

2

Lp

Z Lp

RLp

Z Lp

1

RCp

ZCp

1

ZCr
j 

RCr j

1

2

2

1

2

2

ZCr

Z Cp

Z Cp

2

2

RCp

RCp

1

1

2

2

Z C

R
p

2

R
mit

Cp

Cp

RCr

und C

1
r

2

2

2

Z C

Z Cp
p

2

RCp

§

1 ·

Zr ZLr ZCr (RLr RCr ) j  ¨ZLr

¸

©

ZCr ¹

§

1

1

·

§

1

·

¨

R

¸

¨

¸

Lp

RCp

ZLp

ZCp

Z

¨

¸

¨

¸
r

j 

¨ 1

1

1

2

2 ¸

¨ 1

1

1

2

2 ¸

Z C

¨
p

Z C

¸

¨
p

2

2

2

2

2

2

2

2

R

¸

© Lp

Z Lp

RCp

R

¹

© Lp

Z Lp

RCp

¹

100

4 Wechselstromtechnik

Komplexer Leitwert einer Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen:

1

Rr

Xr
p

Y

Gp jBp
j 

2

2

2

2

Zr

Rr Xr

Rr Xr

R

R

X

X
mit
r
r

2

Gp

Rr  r

Y und
r
r

2

B

X  Y

2

2

2

R
p
r
r

2

2

2
r Xr

Zr

Rr Xr

Zr

Beispiel:

1

§

1 ·
p

Y
j  ¨ZCp

¸

R

¨

Z

¸
p

L

©
p ¹

2

§

·

2

§

·

2

1

1

R

1

2
r ¨ ZLr

¸

Rr ¨ZLr

¸

©

C

Z

2
r

Z C

©

ZC

R

¹
r
r ¹
p

C

L

R
p

2
p

2
r

§

·

Z L

2

1
r

Rr ¨ L

Z r

¸

©

ZCr ¹

Komplexer Widerstand einer Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen: 1

Gp

Bp

Zr

Rr jXr
j

2

2

2

2
p

Y

Gp Bp

Gp Bp

G

G

B

B
mit
p
p

2

Rr

Gp  Zp und
p
p

2

X

B  Z

2

2

2

G
r
p
p

2

2

2
p Bp
p

Y

Gp Bp
p

Y

Beispiel:

§

1 ·

Zr Rr j  ¨ZLr

¸

©

C

Z r ¹

2

1

1

1

§

1 ·

¨ZC

¸

R

2
p

2

¨

Z

¸
p

Z L

R

L

R
p
p

©
p ¹
r

L

C

2
r

2
r

2

Z

1

§

1 ·

§

·

Cp

1

1

¨ZCp

¸

¨ZC

¸

2

R

¨

Z

¸
p

2

¨

Z

¸
p

L

©
p ¹

Rp

L

©
p ¹

4.4 Praktische Berechnung von Wechselstromnetzen

101

4.4 Praktische Berechnung von Wechselstromnetzen

(Band 2, S.23-27 und S.64-93)

Das Verfahren 1, die Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich, ist wohl prinzipiell einfach, aber rechnerisch zu aufwendig und findet deshalb in der Praxis keine Anwendung.

Die Lösung der Differentialgleichung mit Hilfe von komplexen Zeitfunktionen, also das Verfahren 2, wird dann bevorzugt, wenn die Differentialgleichung aus anderen Gründen aufgestellt werden muss.

Die meist gewählten Verfahren für die Behandlung von Wechselstromnetzen sind das Verfahren 3 „die Lösungsmethode mit Widerstandsoperatoren“ und das Verfahren 4 „die grafische Lösung mit Hilfe von Zeigerbildern“. Beide Verfahren gehen von der Schaltung mit komplexen Operatoren und komplexen Effektivwerten aus. Die Rechenhilfen (Spannungsteilerregel und Stromteilerregel, siehe Abschnitt 4.3, S. 96) und die fünf Netzbe-rechnungsverfahren der Gleichstromtechnik (siehe Abschnitt 2.3, S. 16-22) führen ohne Differentialgleichungen zu Lösungen im Bildbereich, die dann auf die beschriebene Weise rücktransformiert werden können (siehe Abschnitt 4.2, S. 87). Die Zeigerdarstellung ist die grafische Beschreibung des Rechenverfahrens.

102

4 Wechselstromtechnik

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von ohm-
schen Widerständen, Induktivitäten und Kapazitäten

4.5.1 Die Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen –
die Reihen- oder Spannungsresonanz (Band 2, S.94-106)

Reihenschwingkreis mit

Schaltbild des
u û  sin (Zt M

Reihenschwingkreises im Bildbereich
u )

U

U

U

U

U

I

j

§

1 · R j(X X ) R j  X

Z

Z e Mr
r

L

C
r
r
r
r

Rr j ZLr

¨

¸

©

ZCr ¹

2

§

1 ·
mit

2

2

2

2

2

Zr Zr Rr Xr Rr (XL XC) Rr ZLr

¨

¸

©

ZCr ¹

1

L

Z r

X

X X

C

Z
und M
r

L

C
r
r = arc Zr arc tan
arc tan
arc tan

Rr

Rr

Rr

j(Zt
u
û e

Mu )

i

§

1 ·

2

Rr j ZL

¨
r

§

·

¸

2

1
jarc tan (ZL

©

Z

R ZL

e
r 1

/ZCr )/Rr

C
r

¹

¨
r
r

¸

©

ZCr ¹

§

1 ·

ZL

¨
r
û

C ¸

Z r
i

 sin ¨ Zt M

¨

u arc tan

¸¸

2

©

Rr

¹

§

·

2

1

Rr ZLr

¨

¸

©

ZCr ¹

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von R, L und C

103

Reihenresonanz, Spannungsresonanz

Zr = Zr = Rr

1
mit Xr XL XC L

Z r

0

C

Z r

Resonanzbedingung:

Resonanzkreisfrequenz: Resonanzfrequenz:

1

Z

1

1

Lr

Z

f

ZC

0 =

0
r

LrCr

2S LrCr

Zeigerbild des Reihenschwingkreises bei Xr = 0

Induktiver und kapazitiver Widerstand bei Resonanz - Kennwiderstand Lr

XL XC Xkr
mit [X ] 1 :

C
kr
r

Frequenzabhängigkeit der Blindwiderstände
mitZ = x · Z0 und 0 d x f

104 4

Wechselstromtechnik
relative Verstimmung vr

§

1 ·

1

Z

Z
f
f

Xr Xkr  x

Xkr  Q

¨

¸
r
mit v
x

©
x ¹
r =

0

0
x

0

Z

Z
f0
f

1
z.B. Z 2

1

1

0

Z

Qr 1 1,50
z.B. Z Z

Q 1

1

,50

2

0
r

2

2

2

Z 3

1

2

0

Z

Qr 2 2,67

Z Z

Q 2

2

,67

3

0
r

3

3

3

Z 4

1

3

0

Z

Qr 3 3,75

Z Z

Q 3

3

,75

4

0
r

4

4

4

Z 5

1

4

0

Z

Qr 4 4,80

Z Z

Q 4

4

,80

5

0
r

5

5

normierte Verstimmung r

V

Zr

Rr j  Xr

Xr

Xkr

1 j 

1 j 

 Qr 1 j  Qr  Qr 1 j  r

V

Rr

Rr

Rr

Rr

Lr

X

C
als Kreisgüte, Gütefaktor oder
mit
kr
r

Qr

R

Resonanzschärfe des Kreises
r

Rr

§

1 ·

§ f
f ·
und

0
r

V Qr  Qr Qr  x

Q

¨

¸
r  ¨

¸
als normierte

©
x ¹

© f0
f ¹

Verstimmung

Bandbreite

Die Bandbreite eines Reihen-Resonanzkreises ist gleich der Differenz der Grenzfrequenzen fg2 und fg1:

'f = fg2 – fg1
mit
und

Vr2 = Qr · vg2 = + 1

Zr1

Zr2

V

2
r1 = Qr · vg1 = – 1

Rr

Rr
und

2
f

0 fg1  fg2

Die Kreisgüte Qr und die

1
f

Z

Bandbreite 'f sind also Qr =

0

0

Q
f

'

'Z
umgekehrt proportional:

rg

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von R, L und C

105

Frequenzabhängigkeit des Stroms – Strom-Resonanzkurven

U

U

I =

2

2

2

Rr  1 Q

1
r  Q

§

·
r

2

2

Rr Xkr  x

¨

¸

©
x ¹

I

1

1

1

U / R

2

2

2

2
r

1 Q

1
r  Qr

1

§

·
r

V

2

1 Qr  x

¨

¸

©
x ¹

U

Der Strom hat sein Maximum bei Resonanz, also bei x = 1 und beträgt Imax =

.

Rr

Bei 45°-Verstimmung ist Vr = r 1 und

I

1

0,707

U / Rr

2

Die Bandbreite 'f ist mit 'Z = 2S · 'f

'Z
g2

Z g

Z 1

'x

xg2 xg1

0

Z

0

Z
und die Kreisgüte
f0

0

Z

1

Qr

f

'

'Z
x

'

106

4 Wechselstromtechnik

Frequenzabhängigkeit der Spannungen
x  U
x  U

UL =

2

1

1

§

1 ·

2

Q

r
x

¨

¸

2

2

Q

Q

©
x
r
r

¹

U

U

UC =

2

1

1

§

1 ·

2
x 

Q



r
x
x

¨

¸

2

2

Q

Q

©
x
r
r

¹

Die Maxima der induktiven und der kapazitiven Spannung liegen bei

Z

1

Z

1

ULmax
x

U

L

! 1 und

Cmax
xC

1

1

2

0

Z

1

Z

2Q

1

0
r

2

2Qr
und sind gleich:

ULmax

UCmax

1

Qr

U

U

1

§

1 ·

1

 ¨1

1

¸

2

2

2

Q

©

4Q

4Qr
r
r ¹

Frequenzabhängigkeit der Phasenverschiebung

§

1 ·

Mr arc tan Qr x

¨

¸

©
x ¹

Beispiel: Resonanzkurven I(x), UL(x), UC(x) und Mr(x) bei der Güte Qr =2: (linearer Maßstab)

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von R, L und C

107

4.5.2 Die Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen –
die Parallel- oder Stromresonanz (Band 2, S.107-120)

Parallelschwingkreis

Schaltbild des Parallelschwingkreises
mit
î i  sin(Zt i

M )

im Bildbereich

I

I

I

I

I

U

§

· G j(B B ) G jB

Y
j Mp

1
p

C

L
p
p
p
p

Y e

Gp j¨ZCp

¸

¨

ZL ¸

©
p ¹

2

§

1 ·
mit

2

2

2

2

2
p

Y p

Y Gp Bp Gp ( C

B BL ) Gp ¨ C

Z p

¸

¨

ZL ¸

©
p ¹

1

ZCp

B

B B

ZL
und M
p

C

L
p
p = arc p

Y arc tan
arc tan
arc tan

Gp

Gp

Gp

ˆ
j(Zt
i
i  e
i

M )

u

§

·

2

1

1
j ¨ C

§

·

 Z p

¸

1

1
jarc tan Rp (ZCp 1

/ZLp)

¨

Z

¸

¨ZC

L
p

¸ e

Rp

©
p ¹

2

R

¨

Z

¸
p

L

©
p ¹
î

ª

§

1 ·º
u =

 sin «Zt i

M arc tan Rp ¨ZCp

¸»

2

¨

«

ZL ¸

§

·

¬

©
p ¹»

1

1

¼

¨ZCp

¸

2

R

¨

Z

¸
r

L

©
p ¹

108

4 Wechselstromtechnik

Parallelresonanz, Stromresonanz

1

1
p

Y p

Y Gp
mit

B B B ZC

0

R
p

C

L
p
p

ZLp

Resonanzbedingung:

Resonanzkreisfrequenz:

Resonanzfrequenz:

1

Z

1

1

Cp

Z

f

ZL

0

0
p

CpLp

2S CpLp

Zeigerbild des Parallelschwingkreises bei Bp = 0

Kapazitiver und induktiver Leitwert bei Resonanz - Kennleitwert Cp

C

B BL Bkp

mit [B

L
kp] = 1:–1 = 1S
p

Frequenzabhängigkeit der Blindleitwerte
mit Z = x · Z0 und 0 d x f

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von R, L und C

109

relative Verstimmung vp

§

1 ·

1

Z

Z
f
f

Bp = Bkp  x

Bkp  Q

¨

¸
p
mit v
x

©
x ¹
p =

0
x

0

Z

Z
f0
f

1
z.B. Z 2

1

1

0

Z

Qp 1 1,50
z.B. Z Z

Q 1

1

,50

2

0
p

2

2

2

Z 3

1

2

0

Z

Qp 2 2,67

Z Z

Q 2

2

,67

3

0
p

3

3

3

Z 4

1

3

0

Z

Qp 3 3,75

Z Z

Q 3

3

,75

4

0
p

4

4

4

Z 5

1

4

0

Z

Qp 4 4,80

Z Z

Q 4

4

,80

5

0
p

5

5

normierte Verstimmung
p

Y

Gp j  Bp

Bp

Bkp

1 j 

1 j 

 Qp 1 j  Qp  Qp 1 j  p

V

Gp

Gp

Gp

Gp

Cp
als Kreisgüte, Gütefaktor oder

Bkp

Lp
mit Q

Resonanzschärfe des Kreises
p

Gp

Gp

§

1 ·

§ f
f ·
und

0
p

V Qp  Qp Qp  x

Q

¨

¸
p  ¨

¸ als normierte Verstimmung

©
x ¹

© f0
f ¹

Bandbreite

Die Bandbreite eines Parallel-Resonanzkreises ist gleich der Differenz der Grenzfrequenzen fg2 und fg1:

'f = fg2 – fg1
mit
und

Vp2 = Qp · vg2 = + 1
p1

Y
p

Y 2

V

2
p1 = Qp · vg1 = – 1

Gp

Gp
und

2
f0 fg1  fg2

Je größer die Kreisgüte

1
f

Z

Q

Q
p =

0

0
p ist, umso kleiner ist

Qpg
f

'

'Z
die Bandbreite 'f:

110

4 Wechselstromtechnik

Frequenzabhängigkeit der Spannung und der Ströme I

I

U =

2

2

2

2

Gp B

1
kp  Q

§

·
p

2

2

Gp Bkp  x

¨

¸

©
x ¹
x  I
x  I

IC =

2

1

1

§

1 ·

2
x

Q

p

¨

¸

2

2

Q

Q

©
x
p
p

¹

I

I

IL =

2

1

1

§

1 ·

2
x
x
x



Q



p

¨

¸

2

2

Q

Q

©
x
p
p

¹

Die Resonanzkurven für U, IC und IL des Parallelschwingkreises entsprechen den Resonanzkurven für I, UL und UC des Reihenschwingkreises.

Parallelschaltung verlustbehafteter Blindwiderstände

ª§

·

§

1

·º

«¨

R

¸

¨

¸»

Cr

RLr

ZCr

ZLr

I «¨

¸ j  ¨

¸»  U

«¨

1

2

2

2

R

Z L ¸

¨

1

2

2

2

2

Lr
r

2

RLr Z Lr

R

¸»

Cr

R

«

¸

¨ Cr

¨

2

2

2

2

¬©

C

¸»

Z r

¹

©

Z Cr

¹¼

Parallelresonanz oder Stromresonanz

Resonanzbedingung:

Resonanzkreisfrequenz:

1

2

Lr

R

ZL

Lr
r

ZCr

1

C

r

Z



2

2

2

R

0

Lr Z Lr

2

1

L C

L

R
r r

2
r

Cr

R

2

2

Z C

Cr
r

Cr

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von R, L und C

111

Praktischer Parallel- Resonanzkreis
mit RCr = 0:

komplexer Leitwert:

R

§

Z

·

§

·

Lr

Lr

1

1
p

Y
j  ¨ C

Z r

¸
j  ¨ C

Z p

¸

2

2

2

2

2

2

R

¨

Z

©

Z

¹

Z

¸

Lr

Lr

RLr

Lr

RLp

L

©
p ¹

Resonanzkreisfrequenz:

2

2

1

RLr  Cr

1

§ RLr ·

0

Z

 1

¨

¸

LrCr

Lr

LrCr © Lr ¹

Güte:

B

L

Qp = kp
r

RLp  0

Z Cp

1

2

Gp

RLr Cr

1

1
mit Gp =

und

B

R
kp = Z0 Cp
p

RLp
komplexer Widerstand:

1

(RLr jZLr )  jZCr

Z

1

RLr jZLr jZCr

2

2

RLr

Lr (1 Z LrCr) RLr Cr

Z
jZ 

2

2

2

2

2

2

(1 Z LrCr ) ( R

Z LrCr )

(1 Z LrCr ) ( R

Z LrCr )

112 4

Wechselstromtechnik

4.6 Spezielle Schaltungen der Wechselstromtechnik

4.6.1 Schaltungen für eine Phasenverschiebung von 90° zwischen Strom und

Spannung (Band 2, S.123-126)

Hummelschaltung

Zwischen dem Spulenstrom i1 und der anliegenden

Spannung u besteht die Phasenverschiebung
von 90°, wenn

2

Z  Lr1  Lr2 Rr1  Rr2

Rp

Rr1 Rr2

Polekschaltung

R R

Cp =
r1
r2

2

Z (Lr1Rr2 Lr2 Rr1)

Brückenschaltung für eine 90°- Phasenverschiebung Zwischen dem Spulenstrom i1 und der anliegen-
den Spannung u wird eine

Phasenverschiebung von

90° erreicht, wenn folgen-
de Bedingung erfüllt wird:

2

(R R )  (R R ) Z L L

R

2
r
r1

3
r r1
r1 + Rr +

0

R2 R3

4.6 Spezielle Schaltungen der Wechselstromtechnik

113

4.6.2 Schaltung zur automatischen Konstanthaltung des Wechselstroms –
die Boucherot-Schaltung (Band 2, S.126-127)

Z2  U

I3

1

Z Z2 3

Z  ( 1

Z Z2)

Soll I3 unabhängig vom komplexen Widerstand Z3
sein, dann muss Z3 · (Z1 + Z2) Null sein,

d. h. Z1 + Z2 = 0:

!

!

R1 + R2 0 und X1 + X2 0

Realisierung:

§

1

·

§

1 ·

1

Z Z2 j 

L

Z

0

¨

¸

Z Z j  ZL

0

¨

¸

© ZC

¹

1

2

©

ZC ¹

1

1
mit

ZL
mit ZL

ZC

ZC

C

C

3

I j 

 U

I j 

 U

L

3

L

4.6.3 Wechselstrom-Messbrückenschaltungen (Band 2, S.128-135)

Grundsätzlicher Aufbau und Abgleichbedingung

1

Z

3

Z

Z2

Z4
oder

1

Z

3

Z

und

1

M M2 3

M M4

Z2

Z4

Vergleich von Wechselstromwiderständen
gleicher Art: verschiedener Art:

R

Z

R

Z

1

3

1

3

R2

Z4

Z2

R4

114

4 Wechselstromtechnik

Kapazitäts-Messbrücke:

1

R
jZC4

C4

R

C

C C

R
x =

2

3

4

2
jZ 3

C

3

C

1

R

Wechselstrombrücke mit
verlustbehafteten Kondensatoren:

1

R

1

R

1

R

1

1

3

Z

Z4

Rr4

Rr3

R2

R2

R2 jZCr4
jZCr3

1

R

R2

Rr3 Rrx

Rr4

Cr3 Crx

Cr4

R2

1

R

Maxwell-Wien-Brücke:

1

R

3

Z Rr3 jZLr3

R4 jZ 1

R R4Cp2

Rp2

1

R

Rr3 Rrx

R4

Lr3 Lrx 1

R R4Cp2

Rp2

Illiovicibrücke:

R2

Rr1

(R3 R5)

R4

§

R5 ·

Lr1 CR2R3  1

¨

¸

©

R4 ¹

Andersonbrücke:

R2

Rr1

 R3

R4

§

R5

R5 ·

Lr1 CR2R3  ¨1

¸

©

R4

R3 ¹

4.6 Spezielle Schaltungen der Wechselstromtechnik

115

Schering- Messbrücke

1

1

R1

Cp3

Rr2



1

R 

jZCr2
jZC4 Rp3

C4

Cp3

Rp3

Rr2 1

R 

Cr2 C4 

C4

1

R

Tangens des Verlustwinkels:

tan Gr Z  Rr2  Cr2 Z  Rp3  Cp3

Zeigerbilder

Frequenz-Messbrücke nach Wien:

1

R

Rr3

Cp4

1

jZRr3Cp4

R2

Rp4

Cr3
jZRp4Cr3

1

R

Rr3

Cp4

1

ZRr3Cp4

R2

Rp4

Cr3

ZRp4Cr3

1

Z

Rr3Cr3Rp4Cp4

Wien- Robinson- Brücke:

R1 = 2 · R2

Cr3 = Cp4 = C

Rr3 = Rp4 = R

1

Z

R  C

Der Messbereich der Frequenz-Messbrücken umfasst Frequenzen f von 30Hz bis 100kHz.

116

4 Wechselstromtechnik

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

4.7.1 Augenblicksleistung, Wirkleistung, Blindleistung, Scheinleistung und komplexe Leistung (Band 2, S.138-160)

Wechselstromleistung
p = u · i

Augenblicksleistung

T

2S
der arithmetische Mittelwert

1

1

P =
p(t)  dt
p(Zt)  d(Zt)

³

³

der Augenblicksleistung,

T

2S

0

0

Wirkleistung

Leistung im ohmschen

Widerstand
p = u · i
p U  I  (1 cos 2Zt)

2

P =

2

U

U  I R  I

R

Leistung und magnetische

Energie im induktiven

Widerstand
p = u · i = U · I · sin 2Zt
p = ZL · I2 · sin 2Zt

P = 0

2

L  i
wm =

2

2

L  I
wm

 (1 cos 2Zt)

2

Leistung und elektrische

Energie im kapazitiven

Widerstand
p = u · i = U · I · sin 2Zt
p = ZC · U2 · sin 2Zt

P = 0

2

C  u
we =

2

2

C  U
we =

 (1 cos 2Zt)

2

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

117

Augenblicksleistung eines beliebigen Wechselstromwiderstandes Wirkleistung, Blindleistung, Scheinleistung

Mit u

= û · sin Zt mit

Mu = 0 und i = î · sin(Zt – M) mit Mi = Mu – M = – M
p = u · i = U · I · cos M – U · I · cos(2Zt – M)

p = P – S · cos (2Zt – M)

p = P · (1 – cos 2Zt) – Q · sin 2Zt

Wirkleistung

Blindleistung

Scheinleistung

Leistungsfaktor

P = U · I · cos M

Q = S · sin M

S = U · I

P
cos M

in W
in Var
in VA

S

Beispiel:

Strom, Spannung und Augenblicksleistung für einen verlustbehafteten induktiven Wechselstromwiderstand für die Phasenverschiebung M = S/3 bzw. 60° :

Zerlegung der Augenblicksleistung in einen Wirkanteil und einen Blindanteil

118

4 Wechselstromtechnik

Reihenschaltung: Parallelschaltung:

Wirkleistung

P = I · (U · cos M) = I · UR

P = U · (I · cos M) = U · IR

2

U

P = I2 · R

2 

r

P = U

Gp

Rp

Blindleistung

Q = I · (U · sin M) = I · UX

Q = U · (I · sin M) = U · (– IB)

Q = I2 · Xr

Q = – U2 · Bp
induktive Blindleistung

1

Q = I2 · ZL

r

Q = U2 · ZLp
kapazitive Blindleistung

1

Q = – I2 ·

Z

Q = – U2 · ZC

C
p
r

Scheinleistung

S = U · I = I2 · Zr

S = U · I = U2 · Yp

S = I2

2

2

 Rr Xr

S = 2

2

2

U  Gp Bp
induktive Scheinleistung

1

1

S = I2

2

2

2

 Rr Z Lr

S = 2

U 

2

2

2

Rp

Z Lp
kapazitive Scheinleistung

1

1

S = I2

2

 Rr

S

= 2

2

2

U 

Z C

2

2

Z C
p

2
r

Rp

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

119

Komplexe Leistung

*

S U  I
mit
jMu

*
j

U

U e
und I

I e
i

M





j(Mu i

M )

j

S

U I e

S e M

 



mit S = U · I und M = Mu – Mi

S S · cos M + j · S · sin M = P + j · Q

Leistungsdreieck
mit P = Re{S} = S · cos M und Q = Im{S) = S · sin M

Q
und tan M =
und S = | S | =

2

2

P Q

P
wenn der Strom I gegeben:

wenn die Spannung gegeben:

2

2

2

I

U

S Z  I

*

2

S

Y  U

Y

*

Z

Gütefaktor

Verlustfaktor

Q

1

P
g = tan M

d = = tan G =
mit dem Verlustwinkel G = S/2 – | M |

P
g

Q

Reihenschaltung

Parallelschaltung

X

B
g = tan M =
r
p

R
g = tan M =

r

Gp

R
d = tan G =
r

G

X
d = tan G =
p
r

Bp
für Spulen:

ZL

R
gL = tan ML =
r
g

R

L = tan ML =

Lp

Lr

ZLp

R

ZL
dL = tan GL = Lr

Z
d

L

L = tan GL =
p
r

RLp
für Kondensatoren:

1
g

ZR C
g

C = tan MC =

Cp p

C = tan MC =

R

Z CrCr

1
d

d

C = tan GC =

C = tan GC = R

Z CrCr

R

Z CpCp

120

4 Wechselstromtechnik

4.7.2 Die Messung der Wechselstromleistung (Band 2, S.161-166)

Messung der Scheinleistung

Spannungsrichtige Messung

Stromrichtige Messung

Messung der Wirk- und Blindleistung mit elektrodynamischem Leistungsmesser Spannungsrichtige Messschaltung

Stromrichtige Messschaltung

Blindleistungsmessung

Blindleistungsmessung
mit der Hummelschaltung
mit der Polekschaltung

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

121

Messung der Wirk- und Blindleistung mit der Drei- Voltmeter- Methode Die Innenwiderstände der Spannungsmesser müssen so hochohmig sein, dass
die durch sie fließenden Ströme ver-
nachlässigbar klein gegenüber den

Strömen durch die Widerstände sind.

2

2

2

U (U

U )

P =

1

2

3

2  Rv

2

2

2

U (U

U )

cos M = 1

2

3

2  U2  U3

2

2

2

2

U

§ U (U U ) ·

Q

2

2

1

2

3

 U3 ¨

¸

Rv

2  U

©

2

¹

Zeigerbild:

Messung der Wirk- und Blindleistung mit der Drei- Amperemeter- Methode Die Innenwiderstände der Strommesser müssen so niederohmig sein, dass die an ihnen
abfallenden Spannungen vernachlässigbar
klein gegenüber den Spannungen an den

Widerständen sind.

2

2

2

I (I

I )

P =

1

2

3

Rp 

2

2

2

2

I (I

I )

cos M = 1

2

3

Zeigerbild:

2  I2  I3

2

2

2

2

§ I (I I ) ·

Q =

2

1

2

3

I2  Rp  I3 ¨

¸

2  I

©

2

¹

122

4 Wechselstromtechnik

4.7.3 Verbesserung des Leistungsfaktors – Blindleistungskompensation

(Band 2, S.167-174)

Reihen-Kompensation Parallel-Kompensation

Zeigerbild der teilweisen

Zeigerbild der teilweisen

Reihen-Kompensation

Parallel-Kompensation

Zeigerbild der vollständigen

Zeigerbild der vollständigen

Reihen-Kompensation

Parallel-Kompensation

Für die vollständige Kompensation ist

P

P  tan M

Cr =
mit U
mit U

2

Z  U

Kr = UR

Cp =

2

Kp = U

Kr  tan M

Z  UKp

Die Spannung U bzw. der Strom I werden vermindert auf

UKr = UR = U · cos M

IKp = IR = U/Rp

Wird bei der Reihenkompensation UKr = UR auf die Netzspannung U erhöht, dann vergrößert sich der Strom von IKr = UR/Rr auf I ' Kr = U/Rr.

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

123

4.7.4 Wirkungsgrad und Anpassung (Band 2, S.174-183)

Wirkungsgrad

N

P

N

P
mit P

K

N: genutzte

Wirkleistung

P
ges

P

N

P V

P
ges: zugeführte gesamte Wirkleistung

Pv: Wirkleistungsverluste

Wirkungsgrad und komplexe Anpassung im Grundstromkreis Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle:

a

P

1

K

a

P i

P

Ri

1 Ra

2

U

 R

P
q
a
a = I2 · Ra=
f (Ra ,Xa )

2

2

(Ri Ra ) (Xi Xa )

Anpassungsbedingung:

*

Za i

Z
mit R
jM
jM
a + j·Xa = Ri – j·Xi oder Z  e a Z  e
i
a
i

2

U

P
q
a max =

4  Ri

Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle:

a

P

1

K

a

P i

P

Ra

1 Ri

2

U

2

I

 G

P

2
q
a
a =

U  Ga =
f (G , B )

R
a
a

2

2
a

(Gi Ga ) ( i

B a

B )

Anpassungsbedingung:

*
a

Y i

Y
mit Ga + j·Ba = Gi – j·Bi bzw. Ya · ejMa = Yi · e–jMi

2

I

P
q
a max

4  Gi

124

5 Ortskurven

5.1 Begriff der Ortskurve (Band 2, S.186-188)

Allgemeine Ortskurvengleichung

O A + p  B p2  C p3  D ...

p ein reeller Parameter

Ac+ p  c

B p2  Cc p3  Dc ...

Ermittlung der Ortskurve

Jeder Punkt der Ortskurve könnte für ein gewähltes p errechnet und in der Gaußschen Zah-lenebene eingetragen werden. Die Punkte verbunden ergeben die Ortskurve. Bei Ortskurven höherer Ordnung bleibt auch nichts anderes übrig, als die Ortskurve auf diese Weise zu ermitteln, weil sie nicht konstruiert werden kann.

Sind die Ortskurven einfach wie Geraden, Kreise und Parabeln oder handelt es sich um überlagerte einfache Ortskurven, dann sollten die Ortskurven nach Konstruktionsanleitun-gen konstruiert werden.

Bei der Überlagerung von einfachen Ortskurven werden zunächst die einfachen Ortskurven konstruiert und anschließend die Zeiger für gleiche Parameter p überlagert.

Bei der Ermittlung einer Ortskurve sollte nach folgenden Schritten vorgegangen werden: 1. Ermittlung der Gleichung für die Größe, für die die Ortskurve ermittelt werden soll.

2. Einführung des Parameters p in den variablen Teil der Größe, wodurch sich die Ortskurvengleichung ergibt.

3. Konstruktion der Ortskurve, falls es sich um eine einfache Ortskurve oder um überlagerte einfache Ortskurven handelt.

Gerade: G = A + p · B

1

Kreis durch den Nullpunkt:

K =

1

G

A p  B

A p  B

Kreis in allgemeiner Lage:

K =

L

1

C p  D

E p  F

Parabel:

P A p  B p2  C

A p  B p2  C
zirkulare Kubik:

O =

R p  S

1

D p  E

D p  E

F

F

(Das ist die Überlagerung eines Kreises mit einer Geraden.)

oder

Berechnung der einzelnen Ortskurvenpunkte bei Variation des reellen Parameters p. Hier-bei genügen meist einige Ortskurvenpunkte für ganze p, um der Verlauf der Ortskurve zu erkennen. Zwischenwerte der Ortskurve für gebrochene p-Werte lassen sich nachträglich errechnen und in das Ortskurvenbild eintragen.

© Springer Fachmedien Wiesbaden 2015

W. Weißgerber, Elektrotechnik für Ingenieure - Formelsammlung, DOI 10.1007/978-3-658-09090-6_5

5.3 Ortskurve „Kreis durch den Nullpunkt“

125

5.2 Ortskurve „Gerade“ (Band 2, S.188-192)

G = A + p · B
mit – f < p < f
speziell:

§

1 ·

G = A + ¨ p ¸ · B

©
p ¹
mit 0 < p < f

Konstruktionsanleitung

Zuerst werden die Zeiger A und B ge-

zeichnet, dann wird parallel zum Zeiger B eine Gerade gezeichnet und schließlich werden mit der Länge des Zeigers B die Parameter p = 0, ± 1, ± 2, ± 3, … eingetragen.

Kann der Parameter p nur Null und positive Zahlen annehmen, dann besteht die Ortskurve aus einer entsprechenden Teilgeraden. Bevor die Ortskurve gezeichnet wird, sollte über-prüft werden, ob der Parameter auch negativ werden kann.

5.3 Ortskurve „Kreis durch den Nullpunkt“ (Band 2, S.193-206)

1

K =

1

G

A p  B
mit – f < p < f
speziell

1

1

K =

G

§

1 ·

A p

 B

¨

¸

©
p ¹
mit 0 < p < f

Konstruktionsanleitung

1. Zeichnen der Nennergeraden

G = A + p · B

2. Spiegelung der Nennergeraden
an der reellen Achse ergibt

G* = A* + p · B*

3. Zeichnen der Senkrechten auf der gespiegelten Nennergeraden G*, die durch den Nullpunkt verläuft.

4. Berechnen von 1/(2A), Festlegen des Maßstabs für 1/(2A) und Zeichnen der Senkrechten auf A* im Abstand 1/(2A). Die Festlegung der Länge von 1/(2A) bestimmt die Größe des Kreises.

5. Schnittpunkt der beiden Senkrechten ergibt den Mittelpunkt M des Kreises.

Zeichnen des Kreises mit dem Radius M0 .

6. Bezifferung des Kreises mit den Parameterwerten p entsprechend der gespiegelten Nennergeraden G*.

126

5 Ortskurven

5.4 Ortskurve „Kreis in allgemeiner Lage“ (Band 2, S.207-209)

K A p  B L

1

C p  D

E p  F

Konstruktionsanleitung

B C

1. Errechnen des Zeigers N = A –

N  ejQ

D

C

2. Errechnen und Zeichnen der Nennergeraden G =
p  D E p  F

N

N

3. Spiegelung der Nennergeraden an der reellen Achse ergibt G* = E* + p · F*

4. Zeichnen der Senkrechten auf der gespiegelten Nennergeraden G*, die durch den Nullpunkt verläuft.

5. Berechnen von 1/(2E) = N/(2C), Festlegen des Maßstabs für 1/(2E) und Zeichnen der Senkrechten auf E* im Abstand 1/(2E). Die Festlegung der Länge von 1/(2E) bestimmt die Größe des Kreises.

6. Schnittpunkt der beiden Senkrechten ergibt den Mittelpunkt M des Kreises. Zeichnen des Kreises mit dem Radius M0 .

7. Bezifferung des Kreises mit den Parameterwerten p entsprechend der gespiegelten Nennergeraden G*.

B

8. Errechnen des Zeigers –L = –
und Verschieben des Koordinatenursprungs um –L.

D

5.5 Ortskurven höherer Ordnung (Band 2, S.210-214)

Ortskurve „Parabel“

P = A + p · B + p2 · C

Sie kann entweder aus der Geraden

A + p · B und dem Anteil p2 · C
oder aus der Geraden A + p2 · C
und dem Anteil p · B durch Überla-
gerung der Zeiger zusammengesetzt
werden.

Ortskurve „ Zirkulare Kubik“

O A p  B p2  C

D p  E

§

·

O R p  S

1

mit

F A D B C D

D

E ©Ë ¹¸
p  E

F

F

Wird also die Ortskurvengleichung in der allgemeinen Form erkannt, dann muss diese zuerst in die Summenform der beiden Ortskurvengleichungen überführt werden, ehe die Konstruktion erfolgen kann. Dann werden der Kreis durch den Nullpunkt und die Gerade getrennt konstruiert. Anschließend werden für gleiche Parameterwerte die jeweiligen beiden Zeiger durch Addition der Realteile und Imaginärteile überlagert.

127

6 Der Transformator

6.1 Übersicht über Transformatoren

(Band

2,

S.218-219)

1. Transformatoren der Starkstrom- oder Energietechnik – die „Umspanner“

2. Niederfrequenz-Transformatoren (NF-Transformatoren) – die „Übertrager“ der Fern-melde- und Verstärkertechnik

3. Hochfrequenz-Transformatoren (HF-Transformatoren) für Anpassungszwecke.

6.2 Transformatorgleichungen und Zeigerbild

(Band 2, S.220-230)

Transformator mit gleichsinnigem Wickelsinn und Belastung mit einem beliebigen Wechselstromwiderstand, speziell bei induktiver Belastung 1
di
di2

1
u uR1 uL1 uM1 1

R  1i 1

L

M21

dt
dt
di2

1
di
u2 uR2 uL2 uM2 R2  i2 L2

1

M 2

dt
dt
di2
u2 R  i2 L

dt
j

Z

R
j L

Z e M

Z 

mit

2

2

Z R (ZL)

und M arctan (ZL / R)

Ersatzschaltbild des Transformators

1

U UR1 UL1 UM1 R1  Z  Z 

1

I
j

1

L

1

I
j M I2

U2 UR2 UL2 UM2 R2  I Z



Z 

2
j L2 I2 j M 1

I

U2 (R jZL)  I 

2

Z I2

© Springer Fachmedien Wiesbaden 2015

W. Weißgerber, Elektrotechnik für Ingenieure - Formelsammlung, DOI 10.1007/978-3-658-09090-6_6

128

6 Der Transformator

Zeigerbild des Transformators

Reihenfolge der Darstellung:

passiver Zweipol:

I2 (ist gegeben oder wird gewählt)

U2 = Z · I2 = Z · ejM · I2

Maschengleichung des Sekundärkreises:

UR2 R2  I2

UL2 jZL2  I2

UM2 U2 R2  I Z



2
j L2 I2

UM2 jZM  1

I

Primärstrom:

U

Zeigerbild des Transformators

M2

1

I

mit gleichsinnigem Wickelsinn
jZM
und induktiver Belastung

Maschengleichung des Primärkreises:

UM1 j M

Z  I2

UR1 R1  1

I

UL1 jZ 1

L  I1

1

U jZM  I

 Z 

2

R1 1

I
j

1

L

I1

Transformator mit gegensinnigem Wickelsinn und Belastung mit einem beliebigen Wechselstromwiderstand, speziell bei induktiver Belastung 1

U 1

R 

Z  Z 

1

I
j

1

L

1

I
j M I2

U2 R2  I Z



Z 

2
j L2 I2 j M 1

I

U2 (R jZL)  I 

2

Z I2

Ersatzschaltbild des Transformators

6.2 Transformatorgleichungen und Zeigerbild

129

Leerlauf am Ausgang des Transformators

Eingangwiderstand

1

U
in

(Z ) I

Z l

R jZL

2 0
in

1

1

I1

Übersetzungsverhältnis

Zeigerbild Widerstandsdreieck

2

2

1

U

1

L

1

R

§ 1

L ·

§ 1

R ·
j  arctan(

j 

 e

1

R / Z 1

L )

¨

¸

¨

¸

U2

M

M

Z

© M ¹

© M

Z ¹

2

U

L

§ R ·
mit

1

1

1
ü =

 1 ¨

¸

U2

M

© Z 1

L ¹

R
wobei

1
tan H

Z 1

L

Wird R1 vernachlässigt, dann ist

U

L

1

1

,

U2

M
wird zusätzlich der Kopplungsfaktor k = 1 beträgt, dann ist

U
w

1

1

U2
w2

Spannungsverhältnis und Eingangswiderstand des Transformators mit Z =R

U2

1

2

2

1

U

§ (R R2)  1

L 1

R  L2 ·

§ Z

1

(L L2 M ) (R R2)  1

R ·
j 

¨

¸

¨

¸

©

M  R

¹

ZM  R

©

¹

2

2

2

2

ª

Z M (R R2) º

ª

Z M L2

º
in

Z R1
jZ 

»

« 1

L

«

2

2

2

2 »

¬

(R R2) ( L

Z 2) ¼

¬

(R R2) (ZL2) ¼

130

6 Der Transformator

6.3 Ersatzschaltbilder mit galvanischer Kopplung

(Band 2, S.230-236)

Ersatzschaltbild mit L 1 – M und L 2 – M

1

U 1

R  1

I j (

Z 1

L M) 

Z 

1

I
j M ( 1

I

I2)

U2 R2  I2 j (

Z L2 M)  I2 j M

Z  ( 1I I2)

U2 Z  I2

Ersatzschaltbild mit L 1 – M c und 2

L c – M c

'

'

 Z

 Z



'

1

U

1

R

1

I
j ( 1

L

M ) 1

I
j M ( 1

I

I2)

'

'

 '

'

'

Z

 '

'

Z



'

U2

R2 I2 j (L2 M ) I2 j M ( 1

I

I2)

'

'

 '

U2

Z I2

mit den reduzierten Größen

'

U2 ü  U2

'

2

R2 ü  R2

1

'

I





2

I2

'

2

L
ü

L
ü

2

2

'

M ü  M

'

2

Z ü  Z ,
wobei ü beliebig gewählt werden kann (in vielen Fällen ü = w1/w2).

6.3 Ersatzschaltbilder mit galvanischer Kopplung

131

Ersatzschaltbild mit Streuinduktivitäten
w
für

1
ü

w2

'

 Z

 Z



'

1

U

1

R

1

I
j

1

L s I1 j M ( 1

I

I2)

' '  ' Z '  '

'

Z



'

U2

R 2 I2 j L 2s I2 j M ( 1

I

I2)

'

'

'

U2 Z  I 2
mit dem Magnetisierungsstrom

'

'

I

1

I

I

P

2
und den Streuinduktivitäten

'

1s

L 1

L M = 1

V  1

L

'

'

'

'

L2s L2 M = V2  L2

Ersatzschaltbild ohne Längsinduktivität 2

L c – M c

M
für ü

L2

132

6 Der Transformator

6.4 Messung der Ersatzschaltbildgrößen des Transformators

(Band 2, S.237-241)

Größen des Ersatzschaltbildes:

R1, R2, L1, L2
und M12 = M21 = M

Messung der ohmschen Spulenwiderstände R 1 und R 2 mittels Gleichspannung: 1

U

1

R

1

I

U2

R2

I2

Messung des primären Leerlaufwiderstandes Z 1 l ( Leerlauf- Eingangswiderstand Z in l) und des sekundären Leerlaufwiderstandes Z 2 l ( Leerlauf- Ausgangswiderstand Z out l) mittels Wechselspannung

1

U
j

Z l Z l

 e 1

M

1
in

1

R jZ 1

L

1

I

1

U

U

1

R

 cos 1

M

1

1

L

 sin 1

M

1

I

Z 1I

U2
j

Z l

Z
l =
e M



2

2
out

R jZL

I

2

2

2

U2

U

R2

 cos M2

2

L

 sin M

I

2

2

2

I

Z 2

6.4 Messung der Ersatzschaltbildgrößen des Transformators

133

Messung der Gegeninduktivität M bei konstanter Permeabilität P mittels Wechselspannung:

1. Messung der sekundären Leerlauf Spannung und des Primärstroms

U2 l jZM  I

1

U2 l

U2 l
j(

M j 

 e Mu2 i

M 1S/2)

Z  I

Z 

1

1

I

2. Ermittlung der Gegeninduktivität M durch Messung des Widerstandes der Reihenschaltung und Gegenreihenschaltung der beiden Spulen des Transformators

U

U
j(

Z

 e Mu i

M )

r1

R jZLr1 1

R R2 jZ ( 1

L L2 2M)

I

I
mit R = R1 + R2 und Lr1 = L1 + L2 + 2 M

U

U
j(

Z

 e Mu i

M )

r2

R j L

Z r2 1

R R2 jZ ( 1

L L2 2M)

I

I
mit R = R1 + R2 und Lr2 = L1 + L2 – 2 M

Die Gegeninduktivität lässt sich mit der Formel
j

1

M

 (Zr1 Zr2)

 (Xr1 Xr2)

4Z

4Z
berechnen.

134

6 Der Transformator

6.5 Frequenzabhängigkeit der Spannungsübersetzung eines

Transformators (Band 2, S.242-246)

Voraussetzungen:

R2 = 0

Z = R

M
ü

L2

'

U2

1

mit

Z = p · Z0

1

U

§

1

R

V 1

L ·

§

V 1

L

1

R

·

¨1

¸ j  ¨ p 0

Z

'

2

'

2

¸

©

R
k 1

L ¹

©

R
p 0

Z k 1

L ¹

Bezugsfrequenz:

R  1

R

0

Z

V  1

L  L2

Bandbreite:

'f = fg2 – fg1
obere Grenzfrequenz:

2

1

§ k  R

1

R ·
fg2

 ¨

¸

2S  V

L

©

2

1

L ¹
untere Grenzfrequenz:

1

1
fg1



2

2S k  1

L

L2

1

R

R

Ortskurven der frequenzabhängigen Spannungs-
verhältnisse von Transformatoren (Übertragern)

zur Ermittlung der Bandbreite

135

7 Mehrphasensysteme

7.1 Die m-Phasensysteme (Band 2, S.249-256)

Mehrphasensysteme oder m- Phasensysteme

Ein Mehrphasensystem ist ein Wechselstromsystem mit mehr als zwei Strombahnen, in und entlang denen die elektrischen und magnetischen Größen mit gleicher Frequenz, mit gleichen oder angenähert gleichen Amplituden, in vorgegebener Phasenfolge mit gleichen oder angenähert gleichen Phasenverschiebungswinkeln verlaufen (DIN 40108).

Mehrphasensysteme sind also die Mehrphasengeneratoren, die belastenden Widerstände und die sie verbindenden Leitungen, also die Gesamtheit der Stromkreise.

Operator des m- Phasensystems

Mit dem Drehzeiger a = e– jD = e– j·2Sm lassen sich benachbarte Spannungszeiger und Stromzeiger entsprechend der Nummerierung ineinander überführen.

Für ein Dreiphasensystem ist der Operator mit m = 3
a = e–j·2S = e– j · 120° = cos 120° – j · sin 120° = – 1/2 – j · 1/2 · 3

Verkettete Mehrphasensysteme

Um eine Sternschaltung eines Mehrphasensystems handelt es sich, wenn sämtliche Strän-ge (Phasenwicklungen) an einem ihrer Enden in einem Sternpunkt N zusammengeschlossen sind. Die an den Spulenklemmen anliegenden Spannungen u1, u2, … , um heißen Strangspannungen uSt, die im einzelnen mit u1N, u2N, }, umN bezeichnet werden.

Eine Ring- oder Polygonschaltung eines Mehrphasensystems liegt vor, wenn sämtliche Stränge (Phasenwicklungen) hintereinander geschaltet einen geschlossenen Ring ergeben.

Die an den Generatorspulen anliegenden Spannungen u1, u2, … , um sind dann gleich den Außenleiterspannungen uLt, die im einzelnen mit u12, u23, u34, … , um–1,m, um,1
bezeichnet werden. Für ein Dreiphasensystem heißt die Ring- oder Polygonschaltung Dreieckschaltung.

Die Verbindungsleiter der Außenpunkte des Generators und der Außenpunkte des

Verbrauchers heißen Außenleiter, die mit L1, L2, … , Lm bezeichnet werden.

Zwischen einem Mehrphasengenerator in Sternschaltung und einem Mehrphasenverbraucher in Sternschaltung heißt der Verbindungsleiter zwischen den Sternpunkten Sternpunktleiter oder Neutralleiter, der mit dem Buchstaben N gekennzeichnet wird.

Ströme und Spannungen

S
der Stern- Stern- Schaltung

ILt = ISt ULt = 2 · USt · sin

m

Ströme und Spannungen

S
der Polygon- Polygon- Schaltung

ILt 2  S

I t  sin

U
m

Lt = USt

Wirkleistung des symme-
m

P = m · U

 U  I  cos M
trischen m-Phasensystems

St · ISt · cosM=

Lt

Lt

S

2  sin m

© Springer Fachmedien Wiesbaden 2015

W. Weißgerber, Elektrotechnik für Ingenieure - Formelsammlung, DOI 10.1007/978-3-658-09090-6_7

136

7 Mehrphasensysteme

7.2 Symmetrische verkettete Dreiphasensysteme

(Band 2, S.256-266)

Sternschaltung

Strangspannungen USt:

U1N = USt · ej·0° = USt (U1N reell angenommen)

U2N = USt · a = USt · e–j·2S/3 = USt · e–j·120° = USt · 1/2 j

1/2

 3

U3N = USt · a2 = USt · e–j·4S/3 = USt · ej·120° = USt · 1/2 j

1/2

 3

Die Außenleiterströme ILt sind

Die Außenleiterspannungen ULt
gleich den Strangströmen ISt:

sind um das 3 -fache ( 3 = 1,73) größer

als die Strangspannungen USt :

I

S

Lt = ISt mit ILt = Ist

ULt = 2 · USt · sin 3  USt

3
das sind I1, I2 und I3
das sind U12, U23 und U31

Zeitdiagramm und Zeigerbild der Außenleiterspannungen und Strangspannungen
in einem symmetrischen Dreiphasensystem

IN = I1 + I2 + I3

Sind Z1, Z2, Z3 gleich groß,

dann ist IN = I1 + I2 + I3 = 0

und ILt = I1 = I2 = I3 = I

7.2 Symmetrische verkettete Dreiphasensysteme

137

Dreieckschaltung

Zeigerbild der

Außenleiterspannungen

Die Außenleiterströme ILt sind

Die Außenleiterspannungen ULt sind
um das 3 -fache 3 1,73 größer
gleich den Strangspannungen USt:

als die Strangströme ISt :

S

ILt = 2 · ISt · sin = 3 · I

U

3

St

Lt = USt mit ULt = USt
das sind I1, I2 und I3
das sind U12, U23 und U31

Sind Z12, Z23 und Z31 gleich groß, dann sind ILt = I1 = I2 = I3 = I.

Zeitdiagramm und Zeigerbild der Außenleiterströme und Strangströme
in einem symmetrischen Dreiphasensystem

Wirkleistung, Blindleistung und Scheinleistung der symmetrischen Dreiphasensysteme P = 3 · USt · ISt · cos M = 3 · ULt · ILt · cos M

Q = 3 · USt · ISt · sin M = 3 · ULt · ILt · sin M

S = 3 · USt · ISt = 3 · ULt · ILt

138

7 Mehrphasensysteme

7.3 Unsymmetrische verkettete Dreiphasensysteme

(Band 2, S.267-278)

Vierleiternetz mit Generator in Sternschaltung und Verbraucher in Sternschaltung Gegeben:

Strangspannungen des Generators U1N, U2N, U3N
komplexe Verbraucherwiderstände Z1, Z2, Z3
komplexer Widerstand des Sternpunktleiters ZN

Gesucht:

Außenleiterströme I1, I2, I3 und Sternpunktleiterstrom IN

Rechenschritte:

1. Berechnung der Spannung UN über dem Sternpunktleiter nach

1N

U

U2N U3N

1

Z

Z2

3

Z

UN

1

1

1

1

ZN

1

Z

Z2

3

Z

2. Ermittlung der Strangspannungen '

'

'

1N

U , U2N , U3N
über den Verbraucherwiderständen Z1, Z2, Z3 nach

'1N

U

1N

U

UN

'

U2N U2N UN

'

U3N U3N UN

7.3 Unsymmetrische verkettete Dreiphasensysteme

139

3. Ermittlung der Außenleiterströme I1, I2, I3 und des Sternpunktleiterstroms IN nach

'1N

U

1N

U

UN

1

I

1

Z

1

Z

1

Z

'

U2N

U2N UN

U

I2

und

N

I

Z

N

2

Z2

Z2

ZN

'

U3N

U3N UN

I3

3

Z

3

Z

3

Z

4. Kontrolle der Rechenergebnisse mittels Zeigerbild

Speziell:

Mit ZN = 0 ist UN = 0, mit USt = 220V

'1N

U

1N

U

220V

'

j 120º

U2N U2N 220V  e

( 1

10 j 190,5)V

'

j 120º

U3N U3N 220V  e

( 110

j 190,5)V

'1N

U

1

I

1

Z

'

U2N

I2

Z2

'

U3N

I3

3

Z
mit I1 + I2 + I3 = IN

140

7 Mehrphasensysteme

Dreileiternetz mit Generator in Sternschaltung und Verbraucher in Sternschaltung

Dreileiternetz mit Generator in Stern und Verbraucher in Stern

Rechenschritte:

1. Berechnung der Spannung UN über dem Sternpunktleiter nach

1N

U

U2N U3N

1

Z

Z2

3

Z

UN

1

1

1

1

Z

Z2

3

Z

2. Ermittlung der Strangspannungen '

'

'

1N

U , U2Nund U3N
über den Verbraucherwiderständen Z1, Z2 und Z3 nach

'1N

U

1N

U

UN

'

U2N U2N UN

'

U3N U3N UN

3. Ermittlung der Außenleiterströme I1, I2 und I3 nach

'

'

'

1N

U

U2N

U3N

1

I

I2

I3

1

Z

Z2

3

Z
und Kontrolle der Außenleiterströme mit

I1 + I2 + I3 = 0

4. Kontrolle der Rechenergebnisse mittels Zeigerbild

7.3 Unsymmetrische verkettete Dreiphasensysteme

141

Dreileiternetz mit Generator in Dreieckschaltung und Verbraucher in Sternschaltung 12

U

U31

Z

Z

'

'

2

3

1N

U

1N

U

I

1

1

1

1

1

Z

1

Z

Z2

3

Z

U23

12

U

Z

Z

'

'

3

1

U

U

2N

2N

I

1

1

1

2

Z2

1

Z

Z2

3

Z

U31 U23

Z

Z

'

'

1

2

U

U

3N

3N

I

1

1

1

3

3

Z

1

Z

Z2

3

Z
mit I1 + I2 + I3 = 0

Zeigerbild des Dreileitersystems Dreieck/Stern

142

7 Mehrphasensysteme

Dreileiternetz mit Generator in Stern- oder Dreieckschaltung und Verbraucher in Dreieckschaltung

Dreileiternetz mit Generator in Stern und Verbraucher in Dreieck

Dreileiternetz mit Generator in Dreieck und Verbraucher in Dreieck

12

U

U

U

12

I

23

I23

31

I31

12

Z

Z23

31

Z

12

U

U31

1

I = 1I2 – I31

12

Z

31

Z

U23

12

U

I2 = I23 – 1I2

Z23

12

Z

U31 U23

I3= I31 – I23

31

Z

Z23

7.4 Messung der Leistungen des Dreiphasensystems

143

7.4 Messung der Leistungen des Dreiphasensystems

(Band 2, S.279-282)

Messung der Phasenleistung bei symmetrischer Belastung

Aronschaltung in der unsymmetrischen Sternschaltung

Aronschaltung in der unsymmetrischen Dreieckschaltung

144

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

8.1 Grundlagen für die Behandlung von Ausgleichsvorgängen

Ausgleichsvorgang

(Band 3, S.1-3)

Der Begriff des Ausgleichsvorgangs ist von allgemeiner physikalischer Bedeutung: Wird in einem physikalischen System ein stationärer Vorgang durch einen Eingriff ge-stört, so erfolgt der Übergang von einem eingeschwungenen Vorgang in einen anderen eingeschwungenen Vorgang nicht sprungartig im Änderungszeitpunkt, sondern stetig.

Dieser so genannte Ausgleichsvorgang zwischen zwei eingeschwungenen Vorgängen
wird durch das Zeitverhalten einer bestimmten physikalischen Größe beschrieben.

Ausgleichsvorgänge der Elektrotechnik

Die häufigste Ursache von Ausgleichsvorgängen in elektrischen Netzen sind die Schaltvorgänge, das sind Ausgleichsvorgänge nach dem Schließen oder Öffnen eines Schalters im Netzwerk.

Aktive Schaltelemente:

ideale Spannungsquelle mit Ri = 0
dargestellt durch die Quellspannung:

für Gleichspannung Uq für Wechselspannung uq (t)

ideale Stromquelle mit Gi = 0,
dargestellt durch den Quellstrom:

für Gleichstrom Iq für Wechselstrom iq (t)

Passive Schaltelemente:

ohmscher Widerstand R

1
uR R  iR und iR

 uR G  uR

R

Kapazität C
t
duC

1
iC C 
und u

 i  dt u (0)

³

dt

C

C

C

C 0

Induktivität L
t
diL

1
uL L 
und i

 u  dt i (0)

³

dt

L

L

L

L 0

Gegeninduktivität M

1
di
di2

1
u 1

R  1i 1

L 

M 

dt
dt
di2

1
di
u2 R2  i2 L2 

M 

dt
dt

© Springer Fachmedien Wiesbaden 2015

W. Weißgerber, Elektrotechnik für Ingenieure - Formelsammlung, DOI 10.1007/978-3-658-09090-6_8

8.2 Berechnung von Ausgleichsvorgängen

145

8.2 Berechnung von Ausgleichsvorgängen
durch Lösung von Differentialgleichungen (Band 3, S.3-29)

Zusammenfassung der Berechnung eines Ausgleichsvorgangs Ein Ausgleichsvorgang in einem elektrischen Netz mit Gleich- oder Wechselspannungser-regung und mit einem Schalter kann nach folgendem Schema rechnerisch behandelt werden:

1. Aufstellen der Differentialgleichung bzw. Differentialgleichungen ab t = 0

für den Strom iL bzw. einer Spannung uC

2. Bestimmung des zu erwartenden eingeschwungenen Vorgangs für t o f,

das entspricht einer Gleichstrom- oder Wechselstromberechnung

(Dieser Rechenschritt entfällt, wenn die Differentialgleichung homogen ist.)

3. Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung mit dem eOt-Ansatz

(flüchtiger

Vorgang)

Bei Differentialgleichungen erster Ordnung kann auf den eOt-Ansatz verzichtet werden, weil die Lösung immer K · e–t/W ist, wobei W aus der Differentialgleichung abgelesen werden kann:

W ist gleich dem Quotient des Koeffizienten der Ableitung dividiert durch den Koeffizienten der Stammfunktion.

4. Bestimmung der Konstanten mit den Anfangsbedingungen nach
iL (0 ) iL (0 ) iLe (0 ) iLf (0 )

uC(0 ) uC(0 ) uCe (0 ) uCf (0 )

und Einsetzen der Konstanten in die allgemeine Lösung

5. Überlagerung des eingeschwungenen Vorgangs und des flüchtigen Vorgangs zum Ausgleichsvorgang

(Ist der eingeschwungene Vorgang Null, dann entfällt selbstverständlich die Überlagerung.)

6. Weitere Berechnungen, grafische Darstellungen der Zeitverläufe und ähnliches Beispiel 1:

Übergangsfunktion einer RC- Schaltung
du

Zu 1.

C

1

(R R2)  C 
uC U
dt

Zu 2. uCe = U
du

Zu 3.

Cf

1

(R R2)  C 
uCf 0
dt
uCf = K · e–t/W mit W = (R1 + R2) · C

Zu 4. uC(0–) = uC(0+) = uCe (0+) + uCf (0+)

0 = U + K d. h. K = – U uCf = – U · e–t/W

Zu 5. u

W

C = uCe + uCf = U – U · e–t/W
t /

U  (1 e

)

du

R

Zu 6.

C

2
t /
u

W

2 R2  i R2  C 

 U  e

dt

1

R R2

146

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Beispiel 2:

Einschaltvorgang einer Wechselspannung

Zu 1.

diL

1

R  1i RL  iL L
u
dt
mit
diL

RL  iL L dt

1
i iL i2 iL

R2

§

1

R

·

§ 1

R

· diL
diL

¨ 1

R

 RL RL ¸  iL L  ¨

1¸ 

Rers iL Lers 
û  sin(Zt Mu )

©

R2

¹

© R2

¹ dt
dt

Zu 2.

diLe

R
j( t

)

e rs  iLe Lers 
û  sin(Zt Mu ) R
i
j L
i
u e Z M



Z




u
dt
e rs Le
ers

Le

ˆ
j(Zt
û  e

Mu )

j(Zt
û  e

Mu M)

û
j( t
i

 e Z Mu M)

Le

R
jZL

2

2
e rs
ers

Z

R

(Z  L )

ers
ers
ers
û
îLe

 sin(Zt Mu )

M iLe  sin(Zt i

M e)

Zers

ZL
mit
ers

2

2

M arc tan
ers
und Z

Rers (Z  Lers )

Rers

Zu 3.

diLf

L

ZL

X

Rers iLf Lers 

0
t /
i

K e W



ers
ers

Lers

W
bzw. ZW

dt

Lf

Rers

Rers

Rers

Zu 4.

iL (0 ) iL (0 ) iLe (0 ) iLf (0 )

û
û
û

0

 sin(Mu )

M K ,

K

 sin(M )

M

 sin M

Z
u
ie
ers

Zers

Zers

ˆ

Zu 6.

u
t /
i

W

Lf

 sin i

M e  e

Zers

Zu 5.

iL iLe iLf
û
t /
i

W

L

 ªsin(Zt

¬
i

M e) sin i

M e  e

º

Z

¼
ers

8.2 Berechnung von Ausgleichsvorgängen

147

Beispiel 3:

Entladung eines Kondensators mittels einer Spule Zu 1.

2
d uC

R duC

1



 uC 0

2
dt

L
dt

L  C

2
d i

R di

1



 i 0

2
dt

L dt

L  C

Zu 2.

uCe 0 ie 0

Zu 3.

2
d uCf

R duCf

1



 uCf 0

2
dt

L
dt

L  C
du

2
d u
eOW-Ansatz:

t
u

O

Cf

2

Ot

Cf

K eO



Cf
t

K  O  e

K  O  e
dt

2
dt
charakteristische Gleichung: 2

R

1

O

 O

0

L

L  C

2

R

§ R ·

1

2

2

1,

O 2
r

G r G 0

Z

G r N

¨

¸

2L

© 2L ¹

L  C

R
mit

2

2

N G 0

Z

G

Abklingkonstante

2L

1

Resonanzkreisfrequenz

0

Z

LC
der stationären Schwingung
für O1 z O2:

entweder reell und von einander verschieden (aperiodischer Fall)

oder konjugiert komplex (periodischer Fall, Schwingfall)

u

K e 1

O t

K
eO



 2t

Cf

1

2

duCf
i

C

C (K
e 1

O t

K
eO





 O 

 O  2t
f

1

1

2

2

)

dt
für O1 = O2 = O
eine reelle Doppelwurzel (aperiodischer Grenzfall)

Variation der Konstanten:

t
uCf

K(t) eO



t
uCf

( 1

K

K2 t) eO

 

duCf

Ot
if C 

C  (K2 O  1

K O  K2  t)  e
dt

148

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Zu 4.

1

O z O2 :

uC(0–) = uC(0+) = uCe (0+) + uCf (0+)

–

Uq = 0 + K1 + K2
i(0–) = i(0+) = ie (0+) + if (0+)

0 = 0 + C · (K1 · O1 + K2 · O2)

U  O

U  O

q

2

1

K

q

1

K2

1

O O2

1

O O2

Uq
u
u
e 1Ot
eO

 O 

O  2t

C

Cf

2

1

1

O O2

O  O
i = i

O t

O t
f =

1

2 · C · Uq · e 1 e 2

1

O O2
mit O1,2 = – G r N

O1 = O2 = O
uC(0–) = uC(0+) = uCe (0+) + uCf (0+)

– Uq = 0 + K1
i(0–) = i(0+) = ie (0+) + if (0+)

0 = C · (K2 + O · K1)

K1 = – Uq

K2 = O · Uq
uC = uCf = – Uq · (1 – O · t) · eOt
i = if = C · Uq · O2 · t · eOt
mit O1 = O2 = O = – G

Zu 5.

uC = uCf
i = if

8.2 Berechnung von Ausgleichsvorgängen

149

Zu 6.

Interpretation der Lösungen:

Aperiodischer Fall:

G > Z0

R

1

!

L

R > 2 ·

2L

LC

C

U
i(Gt) =
q
t
eG

N



 sinh ( t

G )

N  L

G

ª G

N

N

º
uC(Gt) = –Uq · e–Gt ·

 sinh ( t

G ) cosh ( t

G )

«

»

¬ N

G

G

¼

Aperiodischer Grenzfall:

G

R

= Z=

2L

R

1

L

R = 2 ·

2L

LC

C

U
i(Gt) = q · 2 · (Gt) · e–Gt

R

U
bei (Gt) =1 imax =
q

0,736  R

uC(Gt) = – Uq · [l + (Gt)] · e–Gt

Periodischer Fall – Schwingfall:

G < Z

R

1

L

R < 2 ·

2L

LC

C

U

G
q

(Zt)

i (Zt)

 e Z

 sin Zt

ZL

2

G

ª G

º

§ G ·

(Zt)

t
u

G

C (Zt) Uq  e



 sin t

Z cos Zt U

«

»

q 

1 e Z

 sin( t

Z )

M

¨ ¸

¬Z

¼

© Z ¹

150

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe
der Laplace-Transformation

8.3.1 Grundlagen für die Behandlung der Ausgleichsvorgänge
mittels Laplace-Transformation

(Band 3, S.30-50)

Transformation

f

L^f (t `
st

)

f (t)  e

 dt F(s)

³

0

Beispiele für die Transformationen von Zeitfunktionen:

1. Transformation einer Sprungfunktion

0 für t 0
u(t) = U · V(t) = ®

¯U für t ! 0

^  V Ù

L U

(t)

s

2. Transformation einer Rampenfunktion

0 für t d 0
u(t) = ®

(U/

¯

T)  t für t ! 0

^U Ù 1

L
t



.

T

T

2
s

3. Transformation einer Exponentialfunktion

° 0 für t < 0
u(t) ®

t/

°¯U  e W für t > 0

^

W
t /W



`

1

L U e

U 

U 

s 1/W

1 s  W

Erweiterung:

^
t/W



`

1

L U (1 e

) U 

s  (1 s  )

W

Rücktransformation
c jf

1
f (t) L ^F(s `

1
st

)



F(s)  e

 ds

³

2S  j cjf

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation 151

Laplace- Transformierte der Ableitung einer Funktion L^f (t
c `

) s  L^f (t `

) f (0)

^ cc ` 2

L f (t) s  L^f (t `

) s  f (0) f (
c 0)

^ ccc ` 3

 ^

` 2

L f (t)

s

L f (t) s  f (0) s  f (
c 0) f (
cc 0)

^ (n) ` n

 ^

` n 1

n 2

(n 2)

(n 1

)

L f

(t)

s

L f (t) s

 f (0) s

 f (c0) ... s  f

(0) f

(0)

Beispiele:

duC(t)½

L ®C 

¾ C  >s  UC(s) uC(0)@

¯
dt

¿

2

°
d u

½

C (t) °

2

L ®LC 

¾ LC  ªs  U


c

º

C (s)

s uC(0) u (0)

2

¬

C
dt

¼

°¯

°¿

Hat die Zeitfunktion f(t) der Differentialgleichung an der Stelle t = 0 eine Sprungstelle, dann ist die Lösung der Differentialgleichung mit Hilfe der Laplace-Transformation auch möglich, weil die Laplace-Transformation die Zeitfunktionen erst ab t = 0+ erfasst. Dann ist der rechtsseitige Grenzwert f (0 ) zu berücksichtigen:

L^f (t
c `

) s  L^f (t `

) f (0 ) ,
aber die Laplace-Transformierte der Ableitung der Sprungfunktion, also des Dirac-Impulses, auch Dirac’sche Deltafunktion genannt, ist

L^V( `
t) L^G( `
t) 1

Laplace- Transformierte des Integrals einer Funktion t

½

°

° 1

L ® f (t)  dt¾  L^f (t `

)

³

s

°0

°

¯

¿

^

`



 ^

`

1

1
f (0)

L
f (t) dt

L f (t)

³
mit

1
f (0)

ª f (t) dtº



³

s
s

¬

¼t 0

Beispiele:

t

½

° t/

° 1

W

®



³

¾  ^ t/W`

1

L
e
dt

L e

s
s  (s 1/W)

°0

°

¯

¿

W

L^ t/
e W  d

³

` 1
t  L^ t/
e W` 1

 ª t/
e W  dtº

³

s
s ¬

¼t 0 s 1/W

1
t/

ªe W º
mit

L^ t/
e Wùnd ª
t/
e W  dtº

³

«

»

W
s 1/W

¬

¼t 0

1/

W

¬

¼t 0

152

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Berechnung von Ausgleichsvorgängen bei verschwindenden Anfangsbedingungen L^f (t
c `

) s  L^f (t `

)

mit f(0) = 0

^ 

³

` 1

L
f (t) dt  L^f (t `

)

mit f –1(0) = ª f (t) dtº



0

³

s

¬

¼t 0

ohmscher
induktiver
kapazitiver

Widerstand

Widerstand

Widerstand
di

1
u = R · i
u = L ·

u

 i  dt

³
dt

C
di

Zeitbereich
u = M 

dt

(Originalbereich)

u
i =

G  u

1
du
i C 

R
i

 u  dt

³

L
dt

1
i

 u  dt

³

M

U(s) = R · I(s)

U(s) = sL · I(s)

I(s)

U(s) =

U(s) = sM · I(s)

sC
komplexer Bereich

U(s) 

U(s)

(Bildbereich)

I(s) =

G U(s)

I(s) = sC · U(s)

R

I(s) =

sL

U(s)

I(s) =

sM

Alle Zeitfunktionen werden in entsprechende Laplace-Transformierte überführt.

Ohmsche Widerstände R bleiben im Schaltbild unverändert, da der Operator zwischen der Laplace-Transformierten von Strom und Spannung R ist.

Induktivitäten L und Gegeninduktivitäten M werden wie induktive Widerstände mit den komplexen Operatoren sL und sM behandelt. Die Operatoren ersetzen im Schaltbild L
und M.

Kapazitäten C werden als kapazitive Widerstände mit dem Operator 1/sC berücksichtigt, weil die Laplace-Transformierte des Stroms durch Multiplikation mit dem Operator 1/sC
in die Laplace-Transformierte der Spannung überführt wird. Anstelle von C wird im Schaltbild 1/sC geschrieben.

Nachdem die Operatoren im Schaltbild eingetragen sind, werden die Netzberechnungshil-fen Spannungs- und Stromteilerregel (siehe S. 96) angewendet, wodurch sich algebraische Gleichungen für die Laplace-Transformierten ergeben, die dann gelöst werden.

Die Lösungen für die Laplace-Transformierten werden dann mit Hilfe der Laplace-Korrespondenzen in den Zeitbereich rücktransformiert.

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

153

8.3.2 Lösungsmethoden für die Berechnung von Ausgleichsvorgängen

(Band 3, S.51-91)

Verfahren 1:

Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich

Verfahren 2:

Lösung der Differentialgleichung

mit Hilfe der Laplace-Transformation

Verfahren 3:

Lösungsmethode mit Operatoren - Symbolische Methode

(anwendbar nur bei verschwindenden Anfangsbedingungen)

Rechenschema

154

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Beispiel 1:

(Verfahren 2)

du
uC + (Rr + Rp) · C ·

C 0
dt

UC(s) + (Rr + Rp) · C · [s · UC(s) – uC(0)] = 0

U
mit uC(0) = Rp ·
q

Ri Rp

(R R )  C  R  U

UC(s) + (Rr + Rp) · C · s · UC(s) –
r
p
p
q 0

Ri Rp

(R R )  C  R  U

1

UC(s) =
r
p
p
q 

Ri Rp

1 s  (Rr Rp)  C

Mit der Korrespondenz Nr. 48

1

L ^ 1

` 1 t/T
e

1 sT

T
ist

(R R )  C  R  U

1

R  U
u

W

W

C(t) =
r
p
p
q
p
q
t /
t /



 e

 e

Ri Rp

(Rr Rp)  C

Ri Rp

Beispiel 2:

(Verfahren 3)

1

UC(s)

sC

U (s)

1

1

R sL sC

1

UC(s) =

 1

U (s)

2
sRC s LC 1

U
mit U1(s) =

s

U

1

UC(s) =



LC

§ 2 R

1 ·
s  s
s

¨

¸

©

L

LC ¹

R

1
mit s2 +
s

0

L

LC

2

R

§ R ·

1
s

2

2

1,2 =
r

G r G 0

Z

G r N

¨

¸

2L

© 2L ¹

LC

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

155

Aperiodischer Fall:

für 1
s z s2 ist

U

1

UC(s) =



LC s  (s 1
s )(s s2)

nach Korrespondenz Nr. 37

1

1

1

1

½

ª
at
bt º

L ®

¾

 1

(be ae )

¯s(s a)(s b) ¿
ab «¬
a b

»

¼
mit a = s1 und b = s2

U

1

ª

1

º
u
s t
s t

C(t) =



 1

«

 1  2
s2 e

1
s e

»

LC 1
s  s2 ¬

1
s s2

¼
mit s1 = – G + N, s2 = – GN und s1 – s2 = 2N

1
und

2

2

2

2

2

2

1
s  s2 G N G G 0

Z 0

Z

LC

1

½
u

GN

GN

®

ª G N 

G N 

º

C(t) = U ·

(

)t

(

)t

1

(

) e

(

) e

¾

¯

2 ¬

¼

N

¿
t

N
t

N
t

N
t

N

°

ª G

º½ů
t
e
e
e
e

G

C(t) = U · 1

® e

 « 

»¾

°

N

2

2

¯

¬

¼°¿

ª G

º½
u

G

C(t) = U
t

 1

® e



 sinh( t

N ) cosh( t

N )

«

»¾

¯

¬ N

¼¿

G ª G

N

N

º½
uC(Gt) = U ·
t

1

® e



 sinh ( t

G ) cosh ( t

G ) ¾

«

»

¯

¬N

G

G

¼¿

U

N
i(Gt) =
t
eG



 sinh ( t

G )

N  L

G
mit N =

2

1

G

LC

R
und G

2L

156

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Periodischer Fall – Schwingfall:

mit N = jZ ist

°

ª G

º½ů

G

C(t) = U ·
t

1

® e



 sinh(jZt) cosh(j t

Z )

«

»¾

°¯

¬ jZ

¼°¿
mit sinh (jZt) = j · sin Zt und cosh (jZt) = cos Zt

ª G

º½
u

G

C(Zt) = U ·
t

1

® e



 sin Zt cosZt

«

»¾

¯

¬Z

¼¿

2

G

½

°

§ G ·

(Zt)

ůC(Zt) = U · 1

®

1 e Z

 sin(Zt )

M

¨ ¸

¾

°

© Z ¹

°

¯

¿

G

U

( t

Z )

i(Zt) =

 e Z

 sin Zt

ZL

1
mit Z =

2

G

LC

R
und G

2L

Z
und M = arc tan

G

Aperiodischer Grenzfall:

für s1 = s2 = s12 ist

U

1

UC(s) =



2

LC s  (s 12
s )

nach Korrespondenz Nr. 35

1

1

1

½
at

L ®

¾

 1

ª (at 1)e º

2

2

¯s(s a) ¿
a

¬

¼

mit a = s12
u

U

1

C(t) =



 ª

  12
s t

1 (

º

12
s
t 1) e

2

LC

¬

¼

12
s

1
mit s12 = – G = – Z0 und

2

12
s

LC
u

– t

C(Gt) = U · ^1 – [1 + ( t)] · e G

G

Ù
i(Gt) =
t

2 ( t) eG

  G 

R

R
mit G

2L

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation 157

Operationen

Nr.

F(s)

f(t)

f

1

F(s) =
st
f (t)  e

 dt

³

f(t)

0

2
s · F(s) – f(0+)

df (t) f (ct) dt

3
s · FS(s) – f(0–)

dt

2

4
s2 · F(s) – s · f(0
d f (t)

+) – f c (0+)

f c(ct)

2
dt

3

5
s3 · F(s) – s2 · f(0
d f (t)

+) – s  f c (0+) – f cc (0+)

f (
ccc t)

3
dt
n
n 1

n 2
s  F(s) s

 f (0 ) s

 f (c0 ) ...

(n)

d f (t)

(n)

6

f

(t)

(n2)

(n 1

)

... s  f

(0 ) f

(0 )

n
dt

t

1

7

 F(s)

f (t)  dt

³

s

0

1

1 ª

º

8

 F(s)  « f (t)  dt»

³

f (t)  dt

³

s
s «

»

¬

¼t 0

9
a · F(s)

a · f(t)

10
a1 · F1(s) + a2 · F2(s) + … an · Fn(s)

a1 · f1(t) + a2 · f2(t) + …+ an · fn(t)

1

§ s ·

11

 F¨ ¸
a

© a ¹
f(a · t) mit a > 0, reell

§ t ·

12
a · F(a · s)

f ¨ ¸ mit a > 0, reell

© a ¹

13 F (s – a) bzw. F (s + a)

eat · f(t) bzw. e–at · f(t) mit a beliebig

14
b

15

1
t

§ t ·

F (a · s – b)

a !

0,
a

 e  f
mit

¨ ¸

b komplex
a

© a ¹

0

ª

º

16
as
sx
e

 «F(s) f (x)  e

 dx»

³

f(t – a)

mit a t 0

«

»

¬
a

¼
a

ª

º

17
as
sx
e

 «F(s) f (x)  e

 dx»

³

f(t + a)

mit a t 0

«

»

¬

0

¼
t

18

F1(s) · F2(s)

f1(t)
f2(t) = 1
f ( )

W  f2(t )

W  dW

³

0

19
n

dF(s)

d F(s)

bzw.

20

– t · f(t) bzw. (– 1)n · tn · f(t)

ds
n
ds
f

21

F(s)  ds

³

1  f(t)

t
s

158

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Korrespondenzen der Laplace-Transformation

Nr.

F(s)

f(t)

22

0

0

23

1

G(t)

24
e–as
für a > 0

G(t – a)

1

25

V(t) bzw. 1
s

1

26
as
e

V(t – a)

s

1

27

2
t
s

28

1

1
n

bzw.

mit n 0,1,...

1 2
t

29

3

s
n 1
s
t
bzw.

2
n!

1

30

eat

a beliebig, z.B. a = G r jZ
s a

1

31

2
teat

(s a)

1
n
t

32

at
n 1
e

(s a)

n!

1

1

33

at

(e 1)

s(s a)

a

1

1

34

at
bt

(e e )

(s a)(s b)

a b

1

1

35

at

2

[1 (at 1)e ]

s(s a)

2
a

1

1

36

at

2

(e

1 at)

s (s a)

2
a

1

1 ª

1

º

37

at
bt

1

(be ae )

s(s a)(s b)

ab «¬
a b

»

¼

1
at
bt
ct
e
e
e

38

(s a)(s b)(s c)

(b a)(c a)

(c b)(a b)

(a c)(b c)

1
at
bt
e [1 (a
b)t]e

39

2

(s a)(s b)

2

(a b)

s

40

2

(1+at)eat

(s a)

s

1

41

at
bt

(ae be )

(s a)(s b)

a b
s
at
bt
ct
ae
be
ce

42

(s a)(s b)(s c)

(b a)(c a)

(c b)(a b)

(a c)(b c)

s
at
bt
ae [a b(a b)t]e

43

2

(s a)(s b)

2

(a b)

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation 159

Nr.

F(s)

f(t)

s

§

1

·

44

2
at
t at
e

3

¨

¸

(s a)

©

2

¹

2
s

§

1

·

45

2 2
at

1 2at a t
e

3

¨

¸

(s a)

©

2

¹

2
s

2 at

2 bt

2 ct
a e
b e
c e

46

(s a)(s b)(s c)

(b a)(c a)

(c b)(a b)

(a c)(b c)

2
s

2 at

2

2
bt
a e [2ab b b (a b)t ]e

47

2

(s a)(s b)

2

(a b)

1

1

48

t /T
e

1 sT

T

1

49

1 – e–t/T
s(1 sT)

1

1

50

t /T

2
t e

(1 sT)

2

T

1

51

2
t – T(1 – e–t/T)

s (1 sT)

1

T t

52

t /T

2

1
e
s(1 sT)

T

1

1

53

2 t /T

3
t e

(1 sT)

3

2T

1

1

54

t/ 1T t/ 2T
e
e

(1 s 1

T )(1 s 2

T )

1

T 2

T

1

1

55

t / 1

T
t / 2

T

1

(T  e

T  e

)

s(1 s

1

2

1

T )(1 s 2

T )

2

T 1

T

1
t /T
t /T

T  e

[(T T )t T T ]e

56

1

2

1

2

1

1 2

2

(1 s

2

2

1

T )(1 s 2

T )

2

(T 1

T )

2

T

2

(T 1

T )

1
t / 1

T
t / 2

T
t /T

T  e

T  e

T  e

57

3

1

2

3

(1 s 1

T )(1 s 2

T )(1 s 3

T )

1

(T 2

T ) 1

(T 3

T )

2

(T 1

T ) 2

(T 3

T )

3

(T 1

T ) 3

(T 2

T )

sT

1

58

G(t) –
t /T
e

1 sT

T
s

1

59

t /T

2

(T t) e

(1 sT)

3

T
s

1

60

t / 2

T
t / 1

T

1

T  e

2

T  e

(1 s 1

T )(1 s 2

T )

1

T 2

T ( 1

T 2

T )

s
t / 1

T
t / 2

T
t /T

(T T ) e

(T T ) e

(T T ) e

61

3

2

3

3

1

1

2

(1 s 1

T )(1 s 2

T )(1 s 3

T )

1

(T 2

T ) 2

(T 3

T ) 3

(T 1

T )

160

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Nr.

F(s) f(t)

s

2 t /T

2
t /T

T e

[T (T T )t] e

62

1

2

2

2

1

2

2

(1 s

2

2

1

T )(1 s 2

T )

2

T ( 1

T 2

T )

s

2

§ t
t

·

63

t /T

¨

¸ e

3

(1 sT)

3

4

T

2T

©

¹

2
s

1

64

2

2
t /T

(2T 4Tt t ) e

3

(1 sT)

5

2T
t / 1

T
t / 2

T
e
e

2
s

1

T ( 1

T 2

T )( 1

T 3

T )

2

T ( 2

T 1

T )( 2

T 3

T )

65

(1 s
t /T

1

T )(1 s 2

T )(1 s 3

T )

3
e

3

T ( 3

T 1

T )( 3

T 2

T )

2
s
t / 1

T
e

ª T 2T
t

º

66

1

2
t / 2

T

«

» e

2

(1 s

2

2

2

3

1

T )(1 s 2

T )

1

T ( 1

T 2

T )

2

T ( 1

T 2

T )

2

T ( 1

T

¬

2

T ) ¼

1 sA

67

2
t + A
s

1 sA

A T

68

1 +
t /T
e

s(1 sT)

T

1 sA

ªT A

A º

69

t /T
t
e

2

(1 sT)

«

3

2

T

T »

¬

¼

1 sA

T A

T A

70

1
t / 1

T

2
t / 2

T
e

e

(1 s 1

T )(1 s 2

T )

1

T ( 1

T 2

T )

2

T ( 1

T 2

T )

1 sA

71

2

(A –T)(1 – e–t/T) + t
s (1 sT)

1 sA

§ A T

·

72

1 +
t /T
t 1 e

2
s(1 sT)

¨

2

¸

© T

¹

1 sA

T A

T A

73

1 + 1
t / 1

T

2
t / 2

T
e

e

s(1 s 1

T )(1 s 2

T )

2

T 1

T

2

T 1

T

1 sA

T A

ª T A

A T º

74

1
t / 1

T

2

1
t / 2

T
e

«

»

t
e

2

(1 s

2

2

2

1

T )(1 s 2

T )

( 1

T 2

T )

2

T ( 2

T 1

T )

( 2

T

¬

1

T ) ¼

1

T A
t /

T A

1

T

2
t / 2

T
e

e

1 sA

1

(T 2

T ) 1

(T 3

T )

2

(T 3

T ) 2

(T 1

T )

75

(1 s 1

T )(1 s 2

T )(1 s 3

T )

3

T A
t / 3

T

e

3

(T 1

T ) 3

(T 2

T )

2

1 sA s B

§

B ·

76

t /T
t A T A T
e

2

¨

¸
s (1 sT)

©

T ¹

2

1 sA s B

2

§

B

B AT T

·

77

1 –
t /T

¨1

¸
t e

2
s(1 sT)

2

3

T

T

©

¹

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation 161

Nr.

F(s)

f(t)

2

1 sA s B

2

2

B AT T

B AT T

78

1 +

1

1
t / 1

T

2

2
t / 2

T

 e

 e

s(1 s 1

T )(1 s 2

T )

1

T ( 2

T 1

T )

2

T ( 2

T 1

T )

1

79

1 sinat

2

2
s a
a

1

80

1 sinhat

2

2
s a
a

1

1

81

2

2

(1 cos at)

s(s a )

2
a

1
t
sin at

82

2

2

2
s (s a )

2

3
a
a

1

1

§
b

·

83

bt
e
sin at cos at

2

2

¨

¸

(s a )(s b)

2

2
a b ©
a

¹

1
bt

1

1

§ sin at bcosat e

·

84

¨

2

2

¸
s(s a )(s b)

2

2

2

2
a  b
a b
a
a
b

©

¹
bt
t

1
e
cos(at ))

1

mit ) = arctan(b/a)

85

2

2 2

2

2

2

2

2

2
a b
a b

(a b )b

2

2

2
s (s a )(s b)

a
a b

bt
ct
e
e
sin(at ))

1

2

2

2

2

(c b)(a b )

(b c)(a c )

2

2

2 2

86

a a (b c) (bc a )

2

2

(s a )(s b)(s c)

mit ) = arctan(a/b) + arctan(a/c)

bt
ct

1
e
e

2

2

2

2

2
a bc
b(b c)(a b )

c(c b)(a c )

1

87

cos(at ))

2

2
s(s a )(s b)(s c)

2

2

2

2
a

(bc a ) a (b c)

mit ) = arctan(c/a) + arctan(b/a)

1

1

§ sin at sin bt ·

88

2

2

2

2

¨

¸

(s a )(s b )

2

2
b a © a
b ¹

1

1

89

bt

2

2
e
sin at
a (s b)

a
bt

1

§

2b

· e
sin(at ))

1
t

90

2

2 ¨

2

2 ¸

2

2

©

¹

2

2

2
a
b
a
b
a(a
b )

s [a (s b) ]

mit ) = 2 arctan(a/b)

1

1

91

bt

2

2 2
e

(sin at at cos at)

[a (s b) ]

3

2a

1

1

92

2

2 2

(sin at at cos at)

(s a )

3

2a

1

1

1

93

2

2 2

(1 cos at)

t sin at
s(s a )

4

3
a

2a

162

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Nr.

F(s)

f(t)

94
s

cos at

2

2
s a
s

95

2

2
cos h at
s a
s

1

96

2

2

(cos at cos bt) mit a z b

2

2

2

2

(s a )(s b )

2

2
b a
s

97

1 sinat sinbt

2

2

2

2

[s (a b) ][s (a b) ]

2ab
s

98

t sinat

2

2 2

(s a )

2a

2
s

1

99

(sin at at  cos at) a/d

2

2 2

(s a )

2a
s d

100

2

2
d a

2

2
s a
sin(at )) mit ) arctan(a/d)

a
s d

2

2
d b
bt
d a
e

sin(at ))

101

2

2

(s a )(s b)

2

2

2 2

4
a b
a b a

mit ) = arctan(b/a) arctan(d/a)

s d

2

2

1 d  t
a d

sin(at ))

102

2

2

2
s (s a )

2

6
a
a

mit ) arctan(a/d)

s d

2

2
d
d b
bt
d a

e

cos(at ))

103

2

2
s(s a )(s b)

2

2

2

4 2

6
a b
b(a b )

a b a

mit ) arctan(b/a) arctan(d/a)

s d
bt
ct

(d b)e

(d c)e

2

2

(s a )(s b)(s c)

2

2

2

2

(c b)(a b )

(b c)(a c )

104

2

2
d a

sin(at ))

2

2

2

2

2
a (a b )(a c )

mit ) arctan(c/a) arctan(d/a) arctan(a/b)

s d

105

2

(d b)

bt
a

2

2
a (s b)

1
e



 sin(at )) ) arctan

2
a
d b
s  sin b a  cos b

106

2

2
sin (at + b)

s a
s  cos b a  sin b

107

2

2
cos(at + b)

s a

1

108

1 sin(t/T)

2 2

1 s T

T

1 sA

1

§ t

·

109

2

1 (A/T) sin ¨ )¸ ) arctan(A/T)

2 2

1 s T

T

© T

¹
s

1

110

cos(t/T)

2 2

1 s T

2

T

163

9 Fourieranalyse von nichtsinusförmigen periodischen

Wechselgrößen und nichtperiodischen Größen

9.1 Fourierreihenentwicklung von analytisch gegebenen
nichtsinusförmigen periodischen Wechselgrößen

(Band 3, S.95-115)

Darstellung nichtsinusförmiger periodischer Wechselgrößen durch Fourierreihen f
f
v(t) =
vk

ˆvk  sin(k t

Z M

¦

¦
vk )

k 0
k 0
v(t) = ˆv0  sin Mv0 ˆ1
v  sin( t

Z Mv1) ˆv2  sin(2 t

Z Mv2) ˆv3  sin(3 t

Z Mv3) ...

Gleichanteil

1. Harmonische

2. Harmonische

3. Harmonische
oder Grundwelle
oder 1. Oberwelle
oder 2. Oberwelle

Fourierreihe mit Fourierkoeffizienten
f
v(t) = a0 +

(a

¦ k coskZt bk sinkZt)

k 1
mit

Amplitudenspektrum 2

2

ˆvk ak bk
a
und

Phasenspektrum

M
k
vk = arc tan

bk

Fourierkoeffizienten (keine Symmetrien)

T

2S

1

1
a0 =  v(t)  dt

³

a =


v(Zt)

³

 d(Zt)

T

0

2S

0

0

T

2S

2

1
ak =  v(t)  cos kZt  dt

³

a


v(Zt)

³

 cos k(Zt)  d(Zt)

T
k = S

0

0

T

2S

2

1
bk =  v(t)  sin kZt  dt

³

b


v(Zt)

³

 sin k(Zt)  d(Zt)

T
k = S

0

0
und
und

T/ 2

S

1

1
a0 = 
v(t)

³

 dt
a


v(Zt)  d(Zt)

³

T

0 = 2S

T/2

S

T/ 2

S

1
ak =
v(t)

³

 cos kZt  dt
ak = 
v(Zt)  cos kZt  d(Zt)

S ³

T/2

S

T/ 2

S

2

1
bk = 
v(t)

³

 sin kZt  dt
b


v(Zt)  sin kZt  d(Zt)

³

T
k = S

T/2

S
mit k = 1, 2, …, n
mit k = 1, 2, …, n

© Springer Fachmedien Wiesbaden 2015

W. Weißgerber, Elektrotechnik für Ingenieure - Formelsammlung, DOI 10.1007/978-3-658-09090-6_9

164

9 Fourieranalyse

Vereinfachungen bei der Berechnung der Fourierkoeffizienten Symmetrie 1. Art: gerade Funktionen mit v(– t) = v(t) bzw. v(– Zt) = v(Zt) (spiegelungssymmetrisch zur Ordinate)

f
f
v(t) = a0 +
a

¦

¦
k  cos kZt v(Zt) = a0 +
ak  cos k(Zt)

k 1
k 1
mit bk = 0
mit bk = 0

T/ 2

S

2

1
und a0 = 
v(t)  dt

³

und a

 v(Zt)  d(Zt)

³

T

0 = S

0

0

T/ 2

S

4

2
und ak = 
v(t)

³

 cos kZt  dt
und a

 v(Zt)

³

 cos k(Zt)  d(Zt)

T
k = S

0

0

Beispiele:

Symmetrie 2. Art: ungerade Funktionen mit v(– t) = – v(t) bzw. v(– Zt) = – v(Zt) (zentralsymmetrisch)

f
f
v(t) =
b

¦

¦
k  sin kZt v(Zt) =
bk  sin k(Zt)

k 1
k 1
mit a0 = 0
mit a0 = 0
und ak = 0
und ak = 0

T/ 2

S

4

2
und bk = 
v(t)  sin kZt  dt

³

und bk =  v(Zt)  sin k(Zt)  d( t

Z )

³

T

S

0

0

Beispiele:

9.1 Fourierreihenentwicklung

165

Symmetrie 3. Art: v(t + T/2) = – v(t) bzw. v(Zt + S) = – v(Zt) (Verschieben um T/2 bzw. S und Spiegeln an der t-Achse bzw. Zt-Achse)

f
v(t) =

ªa

¦ ¬

º

2k1  cos(2k 1)Zt b2k1  sin(2k 1)Zt ¼
k 0

T/ 2

4
mit a2k+1 = 
v(t)  cos(2k 1)Zt  dt

³

a

T

2k = 0

0

T/ 2

4
und b2k+1 = 
v(t)

³

 sin(2k 1)Zt  dt
b

T

2k = 0

0
für k = 0, 1, 2, 3, 4, …

oder
f
v(Zt) =

ªa

¦ ¬

º

2k1  cos(2k 1)Zt b2k1  sin(2k 1)Zt ¼
k 0

S

2
mit a2k+1 =  v(Zt)  cos(2k 1)Zt  d(Zt)

S ³

a2k = 0

0

S

2
und b2k+1 =  v(Zt)

S ³

 sin(2k 1)Zt  d(Zt)

b2k = 0

0
für k = 0, 1, 2, 3, 4, …

Beispiele:

166

9 Fourieranalyse

Symmetrie 1. und 3. Art:

f
f
v(t) =
a

¦

¦

2k1  cos(2k 1)Zt
v(Zt) =
a2k1  cos(2k 1)Zt
k 0
k 0
mit bk = 0, a2k = 0
mit bk = 0, a2k = 0
und
und

T/ 4

S/2

8

4
a2k+1 = 
v(t)  cos(2k 1)Zt  dt

³

a


v(Zt)

³

 cos(2k 1)Zt  d(Zt)

T

2k+1 = S

0

0

Beispiel:

Symmetrie 2. und 3. Art:

f
f
v(t) =
b

¦

¦

2k1  sin(2k 1)Zt
v(Zt) =
b2k1  sin(2k 1)Zt
k 0
k 0
mit a0 = 0, ak = 0, b2k = 0
mit a0 = 0, ak = 0, b2k = 0
und
und

T/ 4

S/2

8

4
b2k+1 = 
v(t)

³

 sin(2k 1)Zt  dt
b


v(Zt)  sin(2k 1)Zt  d(Zt)

³

T

2k+1 = S

0

0

Beispiel:

9.1 Fourierreihenentwicklung

167

Symmetrie 4. Art: v(t + T/2) = v(t) bzw. v(Zt + S) = v(Zt) (Verschieben um T/2 bzw. S)

f
v(t) = a0 +

ªa

¦¬

º

2k  cos 2kZt b2k  sin 2kZt ¼
k 1

T/ 2

2
mit a0 = 
v(t)  dt

³

T

0

T/ 2

4
und a2k = 
v(t)  cos 2kZt  dt

³

a

T

2k–1 = 0

0

T/ 2

4
und b2k = 
v(t)  sin 2kZt  dt

³

b

T

2k–1 = 0

0
für k = 1, 2, 3, 4, …

oder
f
v(Zt) = a0 +

ªa

¦¬

º

2k  cos 2k(Zt) b2k  sin 2k(Zt)¼
k 1

S

1
mit a0 =  v(Zt)  d(Zt)

S ³

0

S

2
und a2k =  v(Zt)

S ³

 cos 2k(Zt)  d(Zt)

a2k–1 = 0

0

S

2
und b2k =  v(Zt)  sin 2k(Zt)  d(Zt)

S ³

b2k–1 = 0

0
für k = 1, 2, 3, 4, …

Beispiele:

168

9 Fourieranalyse

Gang der Berechnungen

Bei der Überführung einer analytisch gegebenen, nichtsinusförmigen periodischen Funktion v(t) oder v(Zt) in eine Fourierreihe mit Sinus- und Kosinus-Gliedern sollte nach folgenden Schritten vorgegangen werden:

1. Angabe der Funktionsgleichung und grafische Darstellung der Funktion

2. Untersuchung der Funktion nach Symmetrien

3. Berechnung der Fourierkoeffizienten nach den angegebenen Formeln in t oder Zt 4. Aufstellen der Fourierreihe in Summenform und in ausführlicher Form

5. Weitere Berechnungen, z.B. Effektivwert, Klirrfaktor, Leistungen.

Beispiel: Fourierreihe einer Sägezahnfunktion

Zu 1. Funktionsgleichung

§

Zt ·
u(Zt) = û  1
für 0 Zt 2S

¨

¸

©

2S ¹

Grafische Darstellung der Funktion:

Zu 2. Die Sägezahnfunktion besitzt keine der beschriebenen Symmetrien.

Zu 3.

2S

1
a0 =
v(Zt)  d(Zt)

³

2S 0

2S

2S

2S

1

§

Zt ·
û 1

½

°

°
a0 =
û  1

 d(Zt)

³ ¨

¸

=

 ® d(Zt)

( t

Z )  d(Zt)

³

³

¾

2S

©

2S ¹

2S

2S

0

° 0

0

°

¯

¿

2ʌ

2 2ʌ

°

Z

½

2
û

1 ( t)

°
û °

1 (2ʌ) ½°
û
a0 =

 ®(Zt)



¾

 ®2ʌ

¾

 ʌ

2ʌ °¯

0

2ʌ

2

0 °

2ʌ °

2ʌ

2

¿

¯

°

2ʌ

¿
û
a0

2

Der Gleichanteil kann auch aus der Funktion abgelesen werden, indem die Dreieckfläche in eine flächengleiche Rechteckfläche mit den Seiten 2S und a0 überführt wird.

9.1 Fourierreihenentwicklung

169

2S

2S

1

1

§

Zt ·
ak =
v(Zt)  cos k(Zt)  d(Zt)

û  1

 cosk(Zt)  d(Zt)

³

³ ¨

¸

S

S

©

2S ¹

0

0

2S

2S
û 1

½

°

°
ak =  ® cosk(Zt)  d(Zt)

(Zt)  cos k(Zt)  d(Zt)

³

³

¾

S

2S

° 0

0

°

¯

¿
cosax
x  sin ax
mit x  cosax  dx

³

2
a
a

2S

2
û °sin k(Zt)

1 § cos k(Zt)

(Zt)  sin k(Zt)

S ½

·

°
ak =  ®



¨

2

¸

¾

S °
k

¯

0

2S ©
k
k

¹ 0 °¿
û sin k(2S) sin 0

1 § cos k(2 )

S 1 (2 )

S  sin k(2 )

S ·½
ak =  ®



¨

¸¾

2

S ¯
k

2S ©
k
k

¹¿
ak = 0

2S

2S

1

1

§

Zt ·
bk =
v(Zt)  sin k(Zt)  d(Zt)

û  1

 sin k(Zt)  d(Zt)

³

³ ¨

¸

S

S

©

2S ¹

0

0

2S

2S
û 1

½

°

°
bk =  ® sin k( t

Z )  d(Zt)

(Zt)  sin k(Zt)  d(Zt)

³

³

¾

S

2S

° 0

0

°

¯

¿
sin ax
x  cosax
mit x  sin ax  dx

³

2
a
a

2S

2
û °cosk(Zt)

1 § sin k(Zt) (Zt)  cos k(Zt)

S ½

·

°
bk =  ®



¨

2

¸

¾

S °
k

¯

0

2S ©
k
k

¹ 0 °¿
û cos k(2S) 1

1 § sin k(2 )

S 0 (2 )

S  cos k(2 )

S 0 ·½
bk =  ®



¨

¸¾

2

S ¯
k

2S ©
k
k

¹¿
û 1 2S½
bk =  ®



¾

S ¯2S k ¿
û
bk =

k

S
f

Zu 4. v(Zt) = a0 +

(a

¦ k coskZt bk sinkZt)

k 1

û
û f sin kZt
u(Zt) =

 ¦

(Summenform)

2

S
k
k 1

û
û § sin Zt sin 2Zt sin3Zt sin 4Zt

·
u(Zt) =



...

¨

¸ (ausführliche Form)

2

S © 1

2

3

4

¹

170

9 Fourieranalye

9.2 Reihenentwicklung
von in diskreten Punkten vorgegebenen
nichtsinusförmigen periodischen Funktionen

Direkte trigonometrische Interpolation

(Band 3, S.116-140)

Festgelegt
werden:

m 1

m Teilintervalle mit gleichen 'x = 2S/m, wobei m t 2n + 1 bzw.

t n

2

mit m Stützstellen mit den xi-Werten

2S

xi i  'x i 
mit i 0,1 , 2, 3, ... , m 1
m

und m zugehörigen Funktionwerten vi = f(xi)

1 m1

1
a0 =
v

¦
a

 (2v
m
i

0 = 3m

0 4v1 2v2 4v3 ... 4vm1)

i 0

(durch die Simpsonregel ersetzt mit v0 = vm)

m 1

2
ak =
v

¦ i coskxi für k 1, 2, 3, ... , n 1
m i 0
m 1

2
bk =
v

¦ i sinkxi für k = 1, 2, 3, ... , n 1
m i 0
und zusätzlich für gerade m:

m1
a

1

(1)i  v

¦

m
m
i

2
i 0

Beispiel:

m = 12 Stützstellen
mit den Funktionwerten

V0 , v1, v2, … , v10, v11
m 1 5,5 ! n 5

2
und m gerade

Fourierkoeffizienten:

a0,
a1, … , a5,
b1, … , b5,
a6

9.2 Reihenentwicklung

171

Tafel für die direkte trigonometrische Interpolation mit m = 12 (Zipperer-Tafel) vi

0

1

2

3

4

5

6
v0

2v0

+ v0

+ v0

+ v0

+ v0

+ v0

+ v0
v1

4v1

+ q1 + p1 + p1 + q1

+ v1 – p1 + q1 – q1 + p1 – v1
v2

2v2

+ p2 + q2 – p2 + q2 – v2

– p2 – q2 + p2 – q2 + v2
v3

4v3

+ v3 – v3

– v3 + v3

+ v3 – v3
v4

2v4

– p4 + q4 – p4 – q4 + v4

– p4 + q4 – p4 – q4 + v4
v5

4v5

– q5 + p5 + p5 – q5

+ v5 – p5 – q5 + q5 + p5 – v5
v6

2v6

– v6

+ v6

– v6

+ v6

– v6

+ v6
v7

4v7

– q7 – p7 + p7 + q7

– v7 – p7 + q7 + q7 – p7 – v7
v8

2v8

– p8 – q8 – p8 + q8 + v8

– p8 – q8 – p8 + q8 + v8
v9

4v9

– v9 – v9

+ v9 + v9

– v9 – v9
v10

2v10 + p10 – q10 – p10 – q10 – v10

– p10 + q10 + p10 + q10 + v10
v11

4v11 + q11 – p11 + p11 – q11

– v11 – p11 – q11 – q11 – p11 – v11

36a0 6a1

6b1

6a2

6b2

6a3

6b3

6a4

6b4

6a5

6b5 12a6

Die folgende leere Zipperer-Tafel kann für Rechenbeispiele kopiert und nach obiger Vorschrift ausgefüllt werden:

1. Ablesen und Eintragen der 12 Funktionswerte vi

2. Berechnen und Eintragen der pi = vi · 0,5 und qi = vi · 0,866

3. Aufsummieren der Spaltenwerte und Berechnen der ak und bk

4. Aufstellen der trigonometrischen Summe
vi

0

1

2

3

4

5

6

172

9 Fourieranalyse

Harmonische Analyse mit Hilfe einer Ersatzfunktion An den Stellen ȟi hat die periodische Ersatzfunktion v(x) die Ordinatensprünge si = v(ȟi + 0) – v(ȟi – 0)

mit v(ȟi – 0) linksseitiger Grenzwert
und v(ȟi + 0) rechtsseitiger Grenzwert,
an den rc Stellen [c
i hat die 1. Ableitungsfunktion die Ordinatensprünge
sc
v ([c
v ([c
i c i 0) c i 0) ,
an den rcc Stellen [cc
i hat die 2. Ableitungsfunktion die Ordinatensprünge
scc v ([cc
v ([cc
i cc i 0) cc i 0) ,
an den rccc Stellen [ccc
i hat die 3. Ableitungsfunktion die Ordinatensprünge
sccc v ([ccc
v ([ccc
i ccc i 0) ccc i 0) ,
an den r(n) Stellen [(n) hat die n-te Ableitungsfunktion die Ordinatensprünge i
s(n) v(n)([(n) 0) v(n)([(n) 0) .

i
i
i

Für die Fourierkoeffizienten ergibt sich dann
r
rc
ak = 1 
s

¦


s

¦ c

[

S  k
i  sin k  [i

1

S  k2
i  cos k  ci

i 1
i 1
rcc
rccc

1 
s

¦ ccsink [cc


s

¦ ccc

[ ...

S  k3
i
i

1

S  k4
i  cos k  ccc
i

i 1
i 1
r(n)

2S
sin
sin

... r

1


s(n)

¦  k [(n) r 1  v(n1)(x) k  x dx

³

S  kn1
i
cos
i

S  kn1
cos

i 1

0
bzw.

1
r
rc
bk =


s


s

¦

¦ c sink [c

S  k
i  cos k  [i

1

S  k2
i
i

i l
i l
rcc
rccc

1


s

¦ cc

[


s

¦ ccc

[

S  k3
i  cos k  cci

1

S  k4
i  sin k  ccc
i ...

i 1
i 1
r(n)

2S
cos
cos

... r

1
s(n)

¦  k [(n) r 1  v(n1)

³

(x) 
k  x  dx

S  kn1
i
sin
i

S  kn1
sin

i 1

0
mit k = 1, 2, 3, … , n.

9.2 Reihenentwicklung

173

Beispiel:

Für alle periodischen Rechteckfunktionen und für periodische Funktionen, die durch Treppenkurven angenähert werden, können die Fourierkoeffizienten ohne Integration ermittelt werden.

2S
ak = 1  (s 




vc

1 sin k[1
s2 sink[2 ... sr sink[r ) 1

(x)  sin kx  dx

³

S  k

S  k 0

2S

1
bk =

 (s 




vc

1 cos k[1
s2 cosk[2 ... sr cosk[r ) 1

(x)

³

 coskx  dx

S  k

S  k 0
und mit den Ordinatensprüngen si = v(ȟi + 0) – v(ȟi – 0) und vc(x) 0 .

Geradenapproximation und Sprungstellenverfahren mit m =12 Stützstellen

rc
rc
ak = 1 
s

¦ c

[
b


s

¦ c

[

S 
k =

1
k2
i  cos k  ci

S  k2
i  sin k  ci

i 1
i 1
mit den rc Ordinatensprüngen der 1. Ableitungsfunktionen an den Stellen [ci : sc
v ([c
v ([c
i c i 0) c i 0)

174

9 Fourieranalyse

Tafel für die Berechnung der 8 Fourierkoeffizienten bei Geradenapproximation mit m =12 Stützstellen und Anwendung des Sprungstellenverfahrens

Arbeitsschritte:

1. Ablesen und Eintragen der

12 Funktionswerte vi

2. Eintragen der 2 · vi-Werte bzw.

4 · vi-Werte und Berechnen des

Gleichanteils a0

Die Berechnung des Gleichan-
teils erfolgt nach der Simpson-
formel.

3. Berechnen und Eintragen der Ordinatensprünge ± sci der Ableitungsfunktion sc1 6  (v11 2v0 v1) und sci 6  (vi2 2  vi1 vi)

S

S

Die Ordinatensprünge der Ableitungsfunktion sci vc([ci 0) vc([ci 0) ergeben sich mit ǻx = S/6 und v12 = v0:

sc1 A1,1 A1,m A1,1 A1,12
sci A1,i A1,i1 mit i 2, 3, 4, ... ,12

v
v
mit A
i vi1

0 v11

1,i
und A1,12

'x

'x

Die Formeln für die Ordinatensprünge lauten dann:

v
v
sc

1 v0

0 v11

1 A1,1 A1,12

6  (v

'x

'x

S

11 2  v0 v1)

v
v
sc

2 v1

1 v0

2 A1,2 A1,1

6  (v

'x

'x

S

0 2  v1 v2 )

v
v
sc

3 v2 2 v1 6  (v

3 A1,3 A1,2

'x

'x

S

1 2  v2 v3)

v
v
sc

4 v3

3 v2

4 A1,4 A1,3

6  (v

'x

'x

S

2 2  v3 v4 )

M
v
v
sc

12 v11

11 v10

12 A1,12 A1,11

6  (v10 2  v11 v12)

'x

'x

S

4. Berechnen und Eintragen der ± pi = ± 0,5 · sci und ± qi = ± 0,866 · sci Die auf den vorigen Seiten entwickelten Formeln für die Fourierkoeffizienten entsprechen den Spalten 1 bis 8 der folgenden Tabelle.

5. Aufsummieren der Spaltenwerte und

Berechnen der Fourierkoeffizienten ak und bk

Die Aufsummierung erfolgt spaltenweise, und die Spaltensummen müssen noch durch S · k2 dividiert werden.

9.2 Reihenentwicklung

175
vi 0 sci

1 2 3 4 5 6 7 8
v0 2v0
sc1 sc1

+ sc1

+ sc1

+ sc1

+ sc1

+ sc1

+ sc1

+ sc1

v1 4v1 sc2 +
q2 +
p2 +
p2 +
q2

+ sc2 – p2 +
q2 – q2 +
p2 + sc2

–
q2 –
p2 –
p2 –
q2
v2 2v2 sc3 +
p3 +
q3 –
p3 +
q3 – sc3

–
p3 –
q3 +
p3 – q3 + sc3

+
p3 +
q3 –
p3 +
q3
v3 4v3 sc4

+ sc4 + sc4

– sc4 + sc4

+ sc4 – sc4

– sc4 + sc4
v4 2v4 sc5 –
p5 +
q5 –
p5 +
q5 + sc5

–
p5 +
q5 – p5 – q5 sc5

–
p5 +
q5 –
p5 –
q5
v
sc

5 4v5
sc6 –
q6 +
p6 +
p6 –
q6

+ sc6 – p6 –
q6 +
q6 + p6

6

+
q6 –p6 –
p6 +
q6
v6 2v6 sc7 – sc7 + sc7 – sc7

+ sc7

– sc7

+ sc7

– sc7

+ sc7
v7 4v7 sc8 –
q8 –
p8 +
p8 +
q8

– sc8 – p8 +
q8 + q8 – p8 – sc8

+
q8 +
p8 –
p8 –
q8
v8 2v8 sc9 –
p9 –
q9 –
p9 +
q9 + sc9

–
p9 –
q9 –
p9 +
q9 + sc9

–
p9 –
q9 –
p9 +
q9
v9 4v9 sc10 – sc10 – sc10

+ sc10 + sc10

– sc10 – sc10

+ sc10 + sc10
v

sc

10 2v10
sc11 +
p – q –p

– q
s

11

11

11

11 – c11

–
p11 + q11 + p11 + q11

11

+
p11 – q11 – p11 – q11
v11 4v11 sc12 + q – p + p – q

– sc

– q

– q

– p

– sc

– p

12

12

12

12

12 – p12

12

12

12

12

–
q12 + p12

12 +
q12

A0

A1

B1 A2

B2

A3

B3

A4

B4

A5

B5

A6

A7

B7

A8

B8

A

A

B
a

0
k
k

0 =

ak =

bk =

mit k = 1, 2, 3, … , 8

36

S  k2

S  k2

Die folgende leere Tafel kann für Rechenbeispiele kopiert und nach obiger Vorschrift ausgefüllt werden:

vi 0 sic

1 2 3 4 5 6 7 8

176

9 Fourieranalyse

9.3 Anwendungen der Fourierreihe

(Band 3, S.141-149)

Wirkleistung bei nichtsinusförmigen Strömen und Spannungen T

T

1

P =
p(t)

³ dt 1 u(t)i(t)dt

³

T

T

0

0
f
u(t) = a0 +

(a

¦ k coskZt bk sinkZt)

k 1
f
i(t) = a'

'

'

¦

0

(ak  cos kZt bk  sin kZt)

k 1
a

' b

'

a

' b

'

a

' b

'

P a

'

1  a1

1  b1

2  a2

2  b2

3  a3

3  b3

0  a0

...

2

2

2

Mit

'

âk ûk  sin Muk
ak ik  sin i

M k

'

ˆ
bk ûk  cos Muk
bk ik  cos i

M k

P = U0 · I0 + U1 · I1 · cos M1 + U2 · I2 · cos M2 + U3 · I3 · cos M3 + …

Die Wirkleistung bei nichtsinusförmigen periodischen Spannungen und Strömen ist gleich der Summe der Gleichleistung und der Wechselstromleistungen der Grund- und Ober-wellen.

Effektivwert einer nichtsinusförmigen periodischen Wechselgröße T

1

2

V =

ªv(t)  dt

³

T ¬

º¼

0
f

v(t) = a 0 +

(a

¦ k coskZt bk sinkZt)

k 1
a 2 b 2
a 2 b 2
a 2 b 2

V = a 2

1

1

2

2

3

3

0

...

2

2

2

Mit
ak ˆvk  sin Mvk und bk ˆvk  cosMvk

V = V 2 V 2 V 2 V 2 V 2 ...

0

1

2

3

4

Der Effektivwert einer nichtsinusförmigen periodischen Wechselgröße ist gleich der geometrischen Summe der Effektivwerte des Gleichanteils, der Grundwelle und der Ober-wellen.

9.3 Anwendungen der Fourierreihe

177

Beurteilung der Abweichung vom sinusförmigen Verlauf Verzerrungsfaktor

V

V

V
k

1

1

1
v =

V

T

2

2

2

2

1

V0 V1 V2 V3 ...

[v(t)]2  dt

³

T

0

Klirrfaktoren

V 2 V 2 V 2 ...

V 2 V 2 V 2 ...

k =

2

3

4

k'

2

3

4

V 2 V 2 V 2 V 2 ...

V1

1

2

3

4
mit k

=
k'

1 k'2

Beispiele:

Klirrfaktoren der Rechteckfunktion

2

§

ˆ

4u · § 1

1

1

2

·

...

S



¨

¸ ¨

¸

1

© S  2 ¹ © 9 25 49

¹

8
k

0,435

2

2

ˆ

4u

1

1

1

S

§

· §

·

 1

...

¨

¸ ¨

¸

8

© S  2 ¹ ©

9

25

49

¹

2

§

ˆ

4u · § 1

1

1

·



...

¨

¸ ¨

¸

2
f

2

© S 

¹ ©

¹

S

S

'

2

9

25

49

1
k

1 0,483 mit

¦

ˆ

4u

2

8

(2k 1)

8
k 0

S  2

Klirrfaktoren der Sägezahnfunktion

2

§
û

· § 1 1

1

2

·

...

S



¨

¸ ¨

¸

1

© S  2 ¹ © 4 9 16

¹

6
k

0,626

2

2
û

1

1

1

S

§

· §

·

 1

...

¨

¸ ¨

¸

6

© S  2 ¹ ©

4

9

16

¹

2

§
û

· § 1

1

1

·



...

¨

¸ ¨

¸

2
f

2

© S 

¹ ©

¹

S

S

'

2

4

9

16

1
k

1 0,803 mit

¦

û

2

6
k

6
k=1

S  2

Formfaktor

Scheitelfaktor

V

ˆv
f =

[

Va

V

Sinusfunktion: f = 1,11

Sinusfunktion: [ 2 1,414

178

9 Fourieranalyse

9.4 Die Darstellung nichtsinusförmiger periodischer Wechsel-
größen durch komplexe Reihen (Band 3, S.150-155)

f
f
v(t) =
c

¦ k ejkZt v(Zt) =
c

¦ k ejkZt
k f
k f

T

2S
mit ck 1  v(t)

³ ejkZt dt mit
mit
c


v(Zt)  e jk(Zt)  d(Zt)

³

T
k 1

2S

0

0

T/ 2

S
ck 1 
v(t)  e jkZt  dt

³

c


v(Zt)

³

 e jk(Zt)  d(Zt)

T
k 1

2S

T/2

S
a
b
c
k
k
k
j 
ck  ej\k

2

2

1

2

2

1
c

 a
b

 ˆv
mit Amplitudenspektrum
k
k
k
k

2

2

f k f 0 d k<f

§ b ·
a

S

S
und Phasenspektrum
k
k

\k arctan¨

¸ arctan

Mvk

© ak ¹
bk

2

2

9.5 Transformation von nichtsinusförmigen nichtperiodischen

Größen durch das Fourierintegral (Band 3, S.156-166)

f

1
f(t) =



F( jZ)  e jZt  dZ

³

2S

f
f
f
mit F(jZ) =
j t
f (t)  e Z  dt F^f (t `

)

³
und
f (t)  dt K f

³

f
f

F(jZ) = R(Z) j  X(Z) F( jZ)  e jM(Z)

mit Amplitudenspektrum

F( jZ) [R(Z)]2 [X(Z)]2

X(Z)

Phasenspektrum

M(Z) = arctan

R(Z)

9.5 Transformation von Größen durch das Fourierintegral

179

Korrespondenzen der Fouriertransformation
f(t)

F(jZ)

G(t)

1

G(t – t0)

e jZt0

1

2S · G(Z)

V

1

(t)

S  G(Z)

jZ
cos Z0t

S · [G(Z – Z0) + G(Z + Z0)]

S
sin Z



0t

[G(Z Z
j

0 ) G(Z Z0 )]

jZ

S

V(t) · cos Z

 [G(Z Z

0t

Z 2

2

0 ) G(Z Z0 )]

0 Z2

Z

S

V

0

(t) · sin Z

 [G(Z Z

0t

Z 2

2 j

0 ) G(Z Z0 )]

0 Z2

1

V(t) · e– at
mit a ! 0 bzw. Re^à ! 0
a jZ

1

V
eat

(t) · tn ·

mit a ! 0 bzw. Re^à ! 0
n 1
n!

(a j )

Z

mit n = 0, 1, 2, …

jZ a

V(t) · e– at · cos Z
mit a ! 0 bzw. Re^à ! 0

0t

2

2

( jZ a) 0

Z

0

Z

V(t) · e– at · sin Z
mit a ! 0 bzw. Re^à ! 0

0t

2

2

( jZ a) 0

Z

Rechteckimpuls:

1
für t T

°

2  sin ZT
qT(t) = ®

Z

°0 für t ! T

¯

Doppel-Rechteckimpuls:

2
sin ZT

4j 

qT(t – T) – qT(t + T)

Z
a
mit Re^à ! 0

S · e–aZ

2

2
t a
sin Tt

S
mit T ! 0

· qT(Z)

t

180

10 Vierpoltheorie

10.1 Grundlegende Zusammenhänge der Vierpoltheorie

(Band 3, S.171-174)

Elektrische Schaltungen zur Übertragung von Energien oder zur Verarbeitung von Informationen sind in den meisten Fällen „Zweitore“ oder „Vierpole“, also Schaltungen mit zwei Eingangsklemmen und zwei Ausgangsklemmen.

Diese Richtungsdefinitionen sind in der nachrichtentechnischen Literatur üblich: Dem normalen Vorwärtsbetrieb ist stets eine Rückwirkung vom Ausgang zum Eingang überlagert, die auch zu Störungen bei der Signalübertragung führen kann.

Vierpolschaltung
in Vorwärtsbetrieb

Vierpolschaltung
in Rückwärtsbetrieb

10.2 Vierpolgleichungen, Vierpolparameter und

Ersatzschaltungen

(Band

3,

S.175-185)

Leitwertform der Vierpolgleichungen:

I1 = Y11 · U1 + Y12 · U2

§ I · § Y

Y

· § U ·
oder

1

11

12

1

¨ ¸ ¨

¸  ¨

¸

I2 = Y21 · U1 + Y22 · U2

I

© 2

Y

¹ © 21 Y22

U

¹ © 2 ¹

Kurzschluss-Eingangsleitwert:

Kurzschluss-Übertragungsleitwert
rückwärts:

§

·

§

·

1

I

1

I

11

Y

¨

¸

(Y

¨

¸
in )Y

Y

¨

¸

(Y )

a

12

¨

¸
ür Y

©
i

1

U
f

¹

U
f

U

© 2 ¹

2 0

1

U 0

Kurzschluss-Übertragungsleitwert

Kurzschluss-Ausgangsleitwert:

vorwärts:

§ I ·

§

·

2

I

Y

2

21 ¨

¸

(Y

¨

¸
üf )Y

Y

¨

¸

(Y )

a

22

¨

¸
out Y

©
i

1

U
f

¹

U
f

U

© 2 ¹

2 0

1

U 0

© Springer Fachmedien Wiesbaden 2015

W. Weißgerber, Elektrotechnik für Ingenieure - Formelsammlung, DOI 10.1007/978-3-658-09090-6_10

10.2 Vierpolgleichungen, Vierpolparameter und Ersatzschaltungen 181

Widerstandsform der Vierpolgleichungen

U1 = Z11 · I1 + Z12 · I2

§ U · § Z

Z

· § I ·
oder

1

11

12

1

¨

¸ ¨

¸  ¨ ¸

U2 = Z21 · I1 + Z22 · I2

U

© 2

Z

¹ © 21 Z22

I

¹ © 2 ¹

Leerlauf-Eingangswiderstand:

Leerlauf-Übertragungswiderstand
rückwärts:

§

·

§

·

1

U

1

U

11

Z ¨

¸

( in

Z )Y

Z

¨

¸

(Z )

a 0

12
ür Y

©
i 0

1

I

¹

I

I

© 2 ¹

2 0

1

I 0

Leerlauf-Übertragungswiderstand

Leerlauf-Ausgangswiderstand:

vorwärts:

§ U ·

§

·

2

U

Z

2

21 ¨

¸

(Züf )Y

Z

¨

¸

(Z )

a 0

22
out Y

©
i 0

1

I

¹

I

I

© 2 ¹

2 0

1

I 0

Reihen- Parallel- Form der Vierpolgleichungen U1 = H11 · I1 + H12 · U2

§ U · § H

H

· § I ·
oder

1

11

12

1

¨

¸ ¨

¸  ¨

¸

I2 = H21 · I1 + H22 · U2

I

© 2

H

¹ © 21 H22

U

¹ © 2 ¹

Kurzschluss-Eingangswiderstand:

Leerlauf-Spannungsrückwirkung:

§

·

§

·

1

U

1

U

11

H

¨

¸

( in

Z )Y

H

¨

¸

(V )

a

12

¨

¸
ur Y

©
i 0

1

I
f

¹

U

U

© 2 ¹

2 0

1

I 0

Kurzschluss-Stromübersetzung

Leerlauf-Ausgangsleitwert:

vorwärts:

§ I ·

§

·

2

I

H

2

21 ¨

¸

(Vif )Y

H

¨

¸

(Y )

a

22

¨

¸
out Y

©
i 0

1

I
f

¹

U

U

© 2 ¹

2 0

1

I 0

182

10 Vierpoltheorie

Parallel- Reihen- Form der Vierpolgleichungen I1 = C11 · U1 + C12 · I2

§ I · §C

C

· § U ·
oder

1

11

12

1

¨

¸ ¨

¸  ¨

¸

U2 = C21 · U1 + C22 · I2

U

© 2

C

¹ © 21 C22

I

¹ © 2 ¹

Leerlauf-Eingangsleitwert: Kurzschluss-Stromrückwirkung:

§

·

§

·

1

I

1

I

11

C

¨

¸

(Y

¨

¸
in )Y

C

¨ ¸

(V )

a 0

12
ir Y

©
i

1

U

¹

I
f

I

© 2 ¹

2 0

1

U 0

Leerlauf-Spannungsübersetzung

Kurzschluss-Ausgangswiderstand:

vorwärts:

§ U ·

§

·

2

U

C

2

21 ¨

¸

(V

¨

¸
uf )Y

C

¨

¸

(Z )

a 0

22
out Y

©
i

1

U

¹

I
f

I

© 2 ¹

2 0

1

U 0

Kettenform der Vierpolgleichungen

U1 = A11 · U2 + A12 · (–I2)

§ U · § A

A

· § U ·
oder

1

11

12

2

¨

¸ ¨

¸  ¨

¸

I1 = A21 · U2 + A22 · (–I2)

© 1

I

A

¹ © 21 A22

I

¹ ©

2 ¹
reziproke
negativer reziproker

Leerlauf-Spannungsübersetzung

Kurzschluss-Übertragungsleitwert
vorwärts:

vorwärts:

§

·

§

·

§

·

§

·

1

U

1

1

U

1

11

A

¨

¸

¨

¸

¨

A

¨

¸

¨

¸

U ¸

¨

¸

12

¨

¸

© 2

V

¹

I

Y

© uf

I

¹

© 2 ¹

©
üf ¹

2 0

Y a 0

U2 0

Y a f
reziproker
negative reziproke

Leerlauf-Übertragungswiderstand

Kurzschluss-Stromübersetzung
vorwärts:

vorwärts:

§

·

§

·

§

·

§

·

1

I

1

I

1

A

1

21 ¨

¸

¨

¸

¨

A

¨

¸

¨

¸

U ¸

¨

¸

22

¨

¸

© 2

Z

¹

I

V

© üf

I

¹

© 2 ¹U 0 ©
if ¹

2 0

Y a 0

2

Y a f

Definition der A-Parameter mittels Kettenschaltung

10.2 Vierpolgleichungen, Vierpolparameter und Ersatzschaltungen 183

Umrechnung der Vierpolparameter von einer Form in eine andere Z

1

H
det C

C

A
det A

Y

12

Z

12

12

22

11

Y12

22
det Z
det Z

11

H

11

H

C

22

C

A

A

22

12

12

(Y)

Z

H
det H

C

1

1

A

Y

11

Z

21

21

11

21

Y22

21
det Z
det Z

11

H

11

H

C

C

A

A

22

22

12

12

Y

H

A

22
det H

1

C
det A

12

Y

Z

12

12

11

det Y
det Y

11

Z12

H22

H22

11

C

A

A

11

C

21

21

(Z)

Y

H

A

21

1

C
det C

1

11

Y

Z

21

22
det Y
det Y

21

Z22

21

H22

H22

C

A

A

11

C

11

21

21

1

Y
det Z

Z

C

A
det A

12

12

H

12

C

12

11

H12

22

11

Y

11

Y

Z22

Z22
det C
det C

A22

A22

(H)

Y

21
det Y

Z

1

C

1

A

21

H

11

C

21

21

H22

21

11

Y

11

Y

Z22

Z22
det C
det C

A22

A22
det Y

Y

1

Z

H

A
det A

12

12

22

12

H

C

Y

11

C12

21

22

Y22

11

Z

11

Z
det H
det H

11

A

11

A

(C)

Y21

1

Z
det Z

H

1

A

21

21

11

H

C

12

Y

21

C22

22

Y22

11

Z

11

Z
det H
det H

11

A

11

A

Y

22

1

Z
det Z
det H

H

1

C

11

11

22

A

Y

11

A12

21

Y21

Z21

Z21

H21

H21

C21

C21

(A) detY Y

1

Z

H

1

C
det C

11

22

22

11

A

Y

21

A22

21

Y21

Z21

Z21

H21

H21

C

C

21

21

Formeln für Vierpoldeterminanten:

1

H22

11

C

A21
det Y

11

Y Y22

12

Y Y21

det Z

11

H

C22

12

A

1

11

H

C22

12

A
det Z

11

Z Z22

12

Z Z21

det Y

H22

11

C

A21

Y22

11

Z

1

11

A
det H

11

H H22

12

H H21

11

Y

Z22
det C

A22

11

Y

Z22

1

A22
det C

11

C C22

12

C C21

Y22

11

Z
det H

11

A

12

Y

12

Z

12

H

12

C
det A

11

A A22

12

A A21

Y21

Z21

H21

C21

184

10 Vierpoltheorie

Ersatzschaltungen von Vierpolen

S-Ersatzschaltung:

T-Ersatzschaltung:

U-Ersatzschaltungen:

10.3 Vierpolparameter passiver Vierpole

185

10.3 Vierpolparameter passiver Vierpole

(Band 3, S.186-188)

(Y) (Z)

1

1

(Z) existiert nicht

Z

Z

(Matrixelemente sind

1

1
unendlich)

Z

Z

(A) (H) (C)

1 Z

Z 1 0 –

1

0 1 –

1 0 1 Z

(Y) (Z)

(Y) existiert nicht

Z

Z

(Matrixelemente sind

unendlich)

Z

Z

(A) (H) (C)

1

1 0 0 1

– 1

Z

1

1

1 –

1

1 0

Z

Z

(Y) (Z)

1

1

1

Z1

Z1

1

Z

Z2

Z2

1

1

Z

Z

1

Z1 + Z2

2

Z2

(A) (H) (C)

Z  Z

Z

1

1 Z

1

2

1

2

– 1

1

Z

Z2

1

Z

Z2

1

Z

1

Z

Z

2

1

1

1

1 Z2

1

Z

1

Z

1

Z

Z2

1

Z

Z2

186

10 Vierpoltheorie

(Y) (Z)

1

1

Z1 + Z2

Z2

1

Z

1

Z

1

1

1

Z2

Z2

1

Z

1

Z

Z2

(A) (H) (C)

1

Z

1

Z

1

Z

2

Z

1

Z1 1

2

1

Z

Z2

1

Z

Z2

1

Z

Z  Z

1

1 –

1

2

1

2

Z

Z Z

2

Z2

1

Z

Z2

1

2

(Y) (Z)

Z

2

3

Z

Z

2

Z

K

K

1 + Z2

Z2

Z

2

Z

Z

1

2
mit

K

K

Z2

Z2 + Z3

K = Z1Z2 + Z1Z3 + Z2Z3

(A) (H) (C)

1

Z

Z Z

K

Z

1

Z

1

1 3

Z Z

2

2

Z

1

3

2

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

2

2

3

2

3

1

2

1

2

1

Z

Z

Z Z

3

Z

1

1

–

2

2

1 2

Z

Z

3

2

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

2

2

3

2

3

1

2

1

2

(Y) (Z)

1

1

1

1

Z (Z2

3

Z )

1

Z 3

Z

1

Z

Z2

Z2

1

Z

Z2

3

Z

1

Z

Z2

3

Z

1

1

1

Z Z

Z (Z Z )

1 3

3

1

2

Z2

Z2

3

Z

1

Z

Z2

3

Z

1

Z

Z2

3

Z

(A) (H) (C)

Z



2

Z Z

Z

Z Z Z

Z

1

Z

1

1

2

3

3

2

1

2

3

Z

1

Z

Z2

1

Z

Z2

1

Z (Z2

3

Z )

Z2

3

Z

1

1

Z2

Z

Z

2

Z

Z

Z

Z

Z Z

1

1

1

2

3

3

2 3

1

Z

3

Z

1

Z 3

Z

1

Z

1

Z

Z2

3

Z ( 1

Z

Z2)

Z2

3

Z

Z2

3

Z

10.3 Vierpolparameter passiver Vierpole

187

(Y) (Z)

existiert nicht
existiert nicht

(A) (H) (C)

– 1

0

0

– 1

0

1

0

– 1

1

0

– 1

0

(Y) (Z)

1 § 1

1 ·

1 § 1

1 ·

1

1

¨

¸

¨

¸

(Z Z )

(Z Z )

2 ¨

¸

¨

¸

1

2

1

2

© 1

Z

Z2 ¹

2 © 1

Z

Z2 ¹

2

2

1 § 1

1 ·

1 § 1

1 ·

¨

¸

¨

¸

1

1

(Z Z )

(Z Z )

2 ¨

¸

¨

¸

©

1

2

1

Z

Z2 ¹

2 © 1

Z

Z2 ¹

1

2

2

2

(A) (H) (C)









1

Z

Z2

2 Z Z

2 Z Z

Z

Z

Z

Z

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

Z

Z2

1

Z

Z2

1

Z

Z2

1

Z

Z2

1

Z

Z2

1

Z

Z2

2

Z Z

Z Z

Z Z

2  Z  Z

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

Z

Z2

1

Z

Z2

1

Z

Z2

1

Z

Z2

1

Z

Z2

1

Z

Z2

(Y)

§

·

1

Z

Z2

1

Z2

1

2

¨

¸

Z 2  Z  Z

Z

¨ 2

¸

1

1

2

3

Z 2  Z  Z

Z

© 1

1

2

3 ¹

§

Z

·

Z Z

1

2

1

¨

¸

¨

1

2

2

2

Z

2 Z Z

Z ¸





Z 2  Z  Z

Z

© 1

1

2

3 ¹

1

1

2

3

(Z)

2



2

1

Z

1

Z

3

Z

Z

Z

1

2

Z

2 

2



1

Z

3

Z

2

1

Z

3

Z

2

2



1

Z

Z

Z Z

Z

1

1

3

2

Z

2 

2



1

Z

3

Z

2

1

Z

3

Z

188

10 Vierpoltheorie

10.4 Betriebskenngrößen von Vierpolen

(Band 3, S.189-202)

Kenngrößen eines Vierpols im Vorwärtsbetrieb Betriebskenngröße

Leerlauf

Kurzschluss

I

Eingangsleitwert

1

Y
in

C11

Y11

1

U

U

Eingangswiderstand

1

in

Z

Z11

H11

1

I

I

1

Übertragungsleitwert vorwärts

2

Y

üf

0

Y21

1

U

12

A

U

1

Übertragungswiderstand vorwärts

2

Z

Z

üf

21

0

A

1

I

21

U

1

Spannungsübersetzung vorwärts

2

V

C

uf

21

0

A

1

U

11

I

1

Stromübersetzung vorwärts

2

V

if

0

H21

1

I

A22

Kenngrößen eines Vierpols im Rückwärtsbetrieb Betriebskenngröße

Leerlauf

Kurzschluss

I

Ausgangsleitwert

2

Y

out

H

U

22

Y22

2

U

Ausgangswiderstand

2

Z

out

Z

I

22

C22

2

I

Übertragungsleitwert rückwärts

1

Y

ür

0

Y

U

12

2

U

Übertragungswiderstand rückwärts

1

Z

ür

Z

I

12

0

2

U

Spannungsrückwirkung

1

V

ur

H

U

12

0

2

I

Stromrückwirkung

1

V
ir

0

C

I

12

2

10.4 Betriebskenngrößen von Vierpolen

189

Kenngrößen des beschalteten Vierpols im Vorwärtsbetrieb (Y)

(Z)

(H)

(C)

(A)

detY + Y · Y

1 Z  Y

H

Y

C Y  det C

A A  Y

Y

22
a

22
a

11
a

21

22
a
in

11
a

Y









22

+ Ya

11

Z

Ya det Z det H

11

H

Ya

1 C22 Ya

11

A

12

A

Ya

Y

+ Y

Z Y  det Z
det H H  Y

1 C  Y

A A  Y

Z

11
a

11
a

22
a

11

12
a
in

22
a
detY







11

+ Y · Ya

1 Z22 Ya

H22 Ya

11

C

Ya det C A21 A22 Ya

Y · Y

Z  Y

H  Y

C  Y

Y

Y

21
a

21
a

21
a
a

üf

21
a

Y









22

+ Ya

11

Z

Ya det Z det H

11

H

Ya

1 C22 Ya

11

A

12

A

Ya

Y

Z

H

C

1

Z

21

21

21

üf

21
det Y







11

Y

Ya

1 Z22 Ya

H22 Ya



A

A

Y

11

C

Ya det C

21

22
a

Y

Z

H

C

1

V

21

21

21

uf

21

Y







22

+ Ya

11

Z

Ya det Z det H

11

H

Ya

1 C 

A

A

Y

22 Ya

11

12
a

Y  Y

Z  Y

H  Y

C  Y

Y

V

21
a

21
a

21
a
a

if

21
a
detY







11

+ Y · Ya

1 Z22 Ya

H22 Ya

11

C

Ya det C A21 A22 Ya

Kenngrößen des beschalteten Vierpols im Rückwärtsbetrieb (Y)

(Z)

(H)

(C)

(A)

detY + Y · Y

1 Z  Y

H

Y  det H

C Y

A A  Y

Y

11
i

22
i

11
i

21

11
i
out

22
i







11

Y + Yi

Z22 Yi det Z

1

11

H

Yi
det C C 

A

A

Y

22 Yi

22

12
i

Y + Y

Z

Y  det Z

1 H  Y
det C C  Y

A

A  Y

Z

22
i

11
i

22
i

22

12
i
out

11
i
detY + Y







22· Yi

1

11

Z

Yi

H22 Yi det H

A

A

Y

11

C

Yi

21

11
i

Y · Y

Z  Y

H  Y

C  Y

Y  det A

Y

12
i

12
i

12
i
i

ür

12
i







11

Y + Yi

Z22 Yi det Z

1

11

H

Yi
det C C 

A

A

Y

22 Yi

22

12
i

Y

Z

H

C
det A

Z

12

12

12

ür

12
det Y Y 







22 Yi

1

11

Z

Yi

H22 Yi det H

A

A

Y

11

C

Yi

21

11
i

Y

Z

H

C
det A

V

12

12

12

ur

12







11

Y + Yi

Z22 Yi det Z

1

11

H

Yi
det C C 

A

A

Y

22 Yi

22

12
i

Y  Y

Z  Y

H  Y

C  Y

Y  det A

V

12
i

12
i

12
i
i

ir

12
i
detY + Y







22· Yi

1

11

Z

Yi

H22 Yi det H

A

A

Y

11

C

Yi

21

11
i

190

10 Vierpoltheorie

10.5 Leistungsverstärkung und Dämpfung

(Band 3, S.203-217)

Bei aktiven Vierpolschaltungen wird für die Beurteilung der Leistungsübertragung die Leistungsverstärkung Vp definiert.

Bei passiven Vierpolen wird der Kehrwert der Leistungsverstärkung als Leistungskenn-größe verwendet und Dämpfung genannt.

Die Leistungsverstärkung (Klemmen-Leistungsverstärkung, power gain) ist gleich dem Verhältnis der Wirkleistung am Vierpolausgang Pout zur Wirkleistung am Vierpoleingang Pin:

out

P

§ out

P

·
p

V

p

V 10  lg
in dB

¨

¸

in

P

© in

P ¹

2

Ga
p

V Vuf 

mit G

Re Y

G
in =

^ inìn
oder

2

Ra
p

V Vif 

mit R

Re Z

R
in =

^ inìn

Sind der Eingangswiderstand und der Belastungswiderstand reell, dann kann die Leistungsverstärkung auch aus der Strom- und Spannungsverstärkung errechnet werden: I2 I2  Ra

I2 U2
p

V





Vif  Vuf

1

I

1

I  Rin

1

I

1

U

Vp-Formel mit Y-Parametern:

2

Y21  Ga
p

V

Re

^ detY Y Y  * *

11
a

Y22 Yà

Vp-Formel mit H-Parametern:

2

H21  Ga
p

V

Re^

 ª

*

*

*

(H



º

22 +Ya )

(detH)

1

H 1 Ya

¬

`¼

Vp-Formel mit A-Parametern:

Ga
p

V

Re

^ A A Y  * * *

21

22
a

1

A 1 1

A 2  Yà

10.6 Spezielle Vierpole

191

10.6 Spezielle Vierpole

(Band

3,

S.218-225)

Umkehrbare Vierpole

Ein Vierpol ist umkehrbar (reziprok, übertragungssymmetrisch), wenn für diesen Vierpol der Kirchhoffsche Umkehrungssatz gilt:

U2 = 1

Uc

I2 = I1c

Passive Vierpole sind umkehrbar.

Bedingungsgleichungen für einen umkehrbaren Vierpol:

Y12 = Y21

Z12 = Z21

H12 = – H21

C12 = – C21 det

A = 1

Symmetrische Vierpole

Ein symmetrischer oder widerstandslängssymmetrischer Vierpol hat gleiches Übertra-gungsverhalten in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung.

Umkehrbarer Vierpol mit Richtungssymmetrie:

Yin(Y) = Yout(Y)

Bedingungsgleichungen für einen symmetrischen Vierpol:

Y11 = Y22

Z11 = Z22
det H = 1
det C = 1

A11 = A22

Y12 = Y21

Z12 = Z21

H12 = – H21

C12 = – C21
det A = 1

Rückwirkungsfreie Vierpole

Wird bei einem Vierpol eine Ausgangsgröße nicht auf den Eingang übertragen, dann ist der Vierpol rückwirkungsfrei; ein Rückwärtsbetrieb ist nicht möglich.

Bedingungsgleichungen für einen rückwirkungsfreien Vierpol:

Y12 = 0

Z12 = 0

H12 = 0

C12 = 0
det A = 0

192

10 Vierpoltheorie

10.7 Zusammenschalten zweier Vierpole

10.7.1 Grundsätzliches über Vierpolzusammenschaltungen

(Band 3, S.226-229)

Vierpolparameter einer Vierpolzusammenschaltung

Um das Wechselstromverhalten von nicht einfachen passiven Vierpolen (z.B. Symmetrische X-Schaltung, Symmetrischer Brücken-T-Vierpol, Phasenketten, Laufzeitketten) und von rückgekoppelten aktiven Vierpolen (z.B. einstufige und mehrstufige Transistorverstärker im Kleinsignalbetrieb) mit Hilfe der Betriebskenngrößen beschreiben zu können, sind deren Vierpolparameter zu berechnen.

Die Parameter können aber erst ermittelt werden, wenn die Vierpolzusammenschaltung entwickelt ist, d. h. wenn untersucht ist, auf welche Art die vorkommenden einfachen Vierpole wechselstrommäßig zusammengeschaltet sind. Bei einem Verstärker z.B. sollte beim Vierpol „Transistor“ begonnen werden und dann die Zusammenschaltung des Transistors mit den Widerständen untersucht werden.

Sind mehr als zwei einfache Vierpole zusammengeschaltet, dann werden zunächst zwei Vierpole zu einem Vierpol zusammengefasst und dann der dritte Vierpol mit dem zusam-mengefassten Vierpol vereinigt, usw. Dabei ist darauf zu achten, dass die Reihenfolge nicht vertauschbar ist. Es handelt sich also immer nur um die Zusammenschaltung von jeweils zwei Vierpolen.

Arten des Zusammenschaltens von Vierpolen:

Werden zwei Dreipole (z.B. Transistor und * -Vierpol) zusammengeschaltet, dann muss bei der Zusammenschaltung die durchgehende Verbindung mit der gestrichelten Linie in den Prinzipschaltungen übereinstimmen.

Rückkopplungs-Vierpole

Parallel-Parallel-Schaltung (Spannung-Strom-Rückkopplung)

Reihen-Reihen-Schaltung (Strom-Spannung-Rückkopplung)

Reihen-Parallel-Schaltung (Spannung-Spannung-Rückkopplung)

Parallel-Reihen-Schaltung (Strom-Strom-Rückkopplung)

10.7 Zusammenschalten zweier Vierpole

193

10.7.2 Die Parallel-Parallel-Schaltung zweier Vierpole

(Band 3, S.230-232)

Die Leitwertmatrix von zwei Vierpolen in Parallel-Parallel-Schaltung wird berechnet, indem die entsprechenden Leitwert-Vierpolparameter der Einzelvierpole addiert werden:

'

"

'

"

§

· §

·

11

Y

12

Y

11

Y

11

Y

12

Y

12

Y

¨

¸ ¨

¸

¨

¸ ¨ '

"

'

"

Y

¸

© 21 Y22

Y

¹ © 21 Y21 Y22 Y22 ¹

Beispiele:

1. Symmetrischer

Brücken-T-Vierpol:

2. Rückgekoppelter Transistor in Emitterschaltung (Spannung-Strom-Rückkopplung):

194

10 Vierpoltheorie

10.7.3 Die Reihen-Reihen-Schaltung zweier Vierpole

(Band 3, S.232-235)

Die Widerstandsmatrix von zwei Vierpolen in Reihen-Reihen-Schaltung wird berechnet, indem die entsprechenden Widerstand-Vierpolparameter der Einzelvierpole addiert werden.

'

"

'

"

§ Z

Z ·

§ Z Z

Z Z ·

11

12

11

11

12

12

¨

¸ ¨

¸

¨

¸ ¨ '

"

'

"

Z

¸

© 21 Z22

Z

¹ © 21 Z21 Z22 Z22 ¹

Beispiele:

1. Symmetrischer

Brücken-T-Vierpol:

2. Rückgekoppelter Transistor in Emitterschaltung (Strom-Spannung-Rückkopplung):

10.7 Zusammenschalten zweier Vierpole

195

10.7.4 Die Reihen-Parallel-Schaltung zweier Vierpole

(Band 3, S.236-241)

Die Hybridmatrix von zwei Vierpolen in Reihen-Parallel-Schaltung wird berechnet, indem die entsprechenden Hybrid-Vierpolparameter der Einzelvierpole addiert werden:

'

"

'

"

§ H

H ·

§ H H

H

H ·

11

12

11

11

12

12

¨

¸ ¨

¸

¨

¸ ¨ '

"

'

"

H

¸

© 21 Z22

H

¹ © 21 H21 H22 H22 ¹

Die in der Tabelle 10.3 angegebenen H-Parameter müssen also hinsichtlich dieser beiden Parameter geändert werden, ehe sie zu den H-Parametern des Vierpols 1 addiert werden.

Die Parameter H12 und H21 erhalten umgekehrte Vorzeichen.

Geänderte Zusammenschaltung

Damit die Vierpolparameter des Rückkopplungsvierpols unverändert mit den Parametern des Vierpols 1 zusammengefasst werden können, lässt sich auch die Zusammenschaltung so verändern, dass die durchgehende Verbindung des Vierpols 2 wie bei der Reihen-ReihenSchaltung oben liegt:

'

"

'

"

§

· §

·

11

H

12

H

11

H

11

H

12

H

12

H

¨

¸ ¨

¸

¨

¸ ¨ '

"

'

"

H

H

H

H

H

H ¸

© 21

22 ¹

© 21

21

22

22 ¹

196

10 Vierpoltheorie

Beispiele:

1. Kollektorschaltung als rückgekoppelter Transistor in Emitterschaltung
ohne Kollektorwiderstand (Spannung-Spannung-Rückkopplung):

'

"

'

"

§

·

11

H

11

H

( 12

H

12

H )

H ¨

¸

'

"

'

"

© (H H )

H

H

21

21

22

22 ¹

2. Kollektorschaltung als rückgekoppelter Transistor in Emitterschaltung mit Kollektorwiderstand:

Der Kollektorwiderstand ist als Längswiderstand in Kette zum Transistor geschaltet und ver-
ändert dessen Parameter.

10.7 Zusammenschalten zweier Vierpole

197

3. Phasenumkehrstufe

10.7.5 Die Parallel-Reihen-Schaltung zweier Vierpole

(Band 3, S.241-242)

Die C-Parameter von zwei Vierpolen in Parallel-Reihen-Schaltung werden berechnet, indem die entsprechenden C-Parameter der Einzelvierpole addiert werden:

'

"

'

"

§

· §

·

11

C

12

C

11

C

11

C

12

C

12

C

¨

¸ ¨

¸

¨

¸ ¨ '

"

'

"

C

¸

© 21 C22

C

¹ © 21 C21 C22 C22 ¹

Transistoren in Parallel-Reihen-Schaltung finden in der Praxis keine Anwendung.

198

10 Vierpoltheorie

10.7.6 Die Ketten-Schaltung zweier Vierpole

(Band 3, S.243-247)

'

'

"

"

§

· §

· §

·

11

A

12

A

11

A

12

A

11

A

12

A

¨

¸ ¨

¸  ¨

¸

¨

¸ ¨ '

'

¸ ¨ "

"

A

A

A

A

A

A ¸

© 21

22 ¹

© 21

22 ¹ © 21

22 ¹

Falksches Schema der Matrizenmultiplikation:

"

"

11

A

12

A

"

A

"

21

A22

'

'

'

'

11

A

12

A

11

A · "11

A + '12

A · "

A21

11

A · "12

A + '12

A · "

A22

'

A

'

'

'

21

A22

A21 · "11

A + '

A22 · "

A21

A21 · "12

A + '

A22 · "

A22

Beispiel:

Transistorverstärker

Ersatzschaltbild

10.8 Die Umrechnung von Vierpolparametern von Dreipolen

199

10.8 Die Umrechnung von Vierpolparametern von Dreipolen

(Band 3, S.248-252)

§

11
h e
det he 12
h e ·

¨

¸

§

·

1 h

1 h
h

11
h e

1

12
h e

21e

21e

¨
ç ¨

¸
hb

¨

¸

(h

©

21e 1)

h22e ¹
h21e
h22e

¨

¸

1 h

©

21e

1 h21e ¹

Umrechnung der Vierpolparameter mittels Umpoler- Zusammenschaltungen Kollektorschaltung

Basisschaltung

als Reihen-Parallel-Schaltung
als Parallel-Reihen-Schaltung

Umrechnung der Vierpolparameter mittels vollständiger Leitwertmatrix gegeben:

§ 1I · § 1
y 1 1
y 2 · § 1

U ·

¨ ¸ ¨

¸  ¨

¸

I

¨

¸

© 2 ¹ © y21 y22 ¹ U

© 2 ¹

§ · §

1

I

11
y

12
y

( 11
y

12
y )

· §

·

10

U

¨ ¸ ¨

¸ ¨

¸

I



¨ 2
y

¸ ¨

21
y22

(y21 y22)

U

¸ ¨ 20 ¸

Ï ¸ ¨

¸ ¨

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I

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y22

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200

10 Vierpoltheorie

10.9 Die Wellenparameter passiver Vierpole

(Band 3, S.253-258)

Wellenwiderstände passiver Vierpole

Eingangs-Wellenwiderstand Zw1

Ausgangs-Wellenwiderstand Zw2

11

A  12

A

Zw1

in

Z

 in

Z k

A21  A
l

22

A22  12

A

Zw2

Zout  Zoutk

A21  11

A
l

Wellenwiderstand eines symmetrischen Vierpols

12

A

Zw1 Zw2 Zw

i

Z n  i

Z n k Zout  Zout k Z  Zk

A
l
l
l

21

Z

1
l

Z l

A

11

A

A22

A

Z 

21

Z Z

12
k

Z  (Z Z )

l
k

Z Z
l
k
l
l
k

Übertragungsmaß
mittleres Wellenübertragungsmaß

1
g

 (gu gi) a j  b ln 11

A  A22

12

A  A21

2
mit a Re^ `
g Wellendämpfungsmaß
und b Im^ `
g Wellenphasenmaß (Winkelmaß)

Spannungs-Wellenübertragungsmaß

Strom-Wellenübertragungsmaß

1

U

I
g

1
u ln

g ln

U
i

2

I2

Übertragungsmaß symmetrischer passiver Vierpole
g
a
j b
ln A A  A

§

2

·



11

12

21 ln ¨ 11

A

11

A

1¸

©

¹

201

Sachwortverzeichnis

A

Dauermagnetkreis mit Streuung 62

Abgleichbedingung 12, 113

Dielektrizitätskonstante 36

Admittanz 94
direkte trigonometrische Interpolation 170
allgemeine Kapazitätsformel 40

Drei-Amperemeter-Methode 121
allgemeine Ortskurvengleichung 124

Dreieckschaltung 137
allgemeine Widerstandsformel 32

Dreieck-Stern-Transformation 15, 97

Amplitude 85

Dreiphasensysteme 136 ff.

Amplitudenspektrum 163, 178

Drei-Voltmeter-Methode 121

Andersonbrücke 114

Durchflutung 47

Anfangsphasenwinkel 85

Durchflutungssatz 50

Anpassung im Grundstromkreis 4, 10, 26, 123
aperiodischer Fall 149, 155

E
aperiodischer Grenzfall 149, 156

Effektivwert 85, 176
äquivalente Schaltungen 98 ff.

Eisenfüllfaktor 54

Aronschaltung 143
elektrische Energie 3, 23

Aufladen eines Kondensators 41
elektrische Energie einer Kapazität 42, 116

Augenblicksleistung 116, 117
elektrische Energiedichte 42

Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen 144
elektrische Feldstärke im elektrostatischen

Außenleiter 135

Feld 35, 39

Ausweitung der Feldlinien am Luftspalt 54
elektrische Feldstärke im Strömungsfeld

1, 31

B
elektrische Kraft 1, 36, 42

Bandbreite 104, 109, 134
elektrische Leistung 3, 23
belasteter Spannungsteiler 13
elektrischer Leitwert 2, 31 f.

Bemessungsgleichung des elektrischen
elektrischer Strom, elektrischer Fluss

Widerstands 2

1, 29 f.

Berechnung geschlossener magnetischer
elektrischer Widerstand 2, 31 f.

Kreise 54 ff.

elektrische Spannung im elektrostatischen

Berechnung von Ausgleichsvorgängen

Feld 35, 39

153 ff.

elektrische Spannung im Strömungsfeld

Berechnung von Wechselstromnetzen 101

1 f., 31

Betriebskenngrößen von Vierpolen 188 f.

elektrische Stromdichte-elektrische Fluss-
bewegte Leiterschleife im Magnetfeld 64 f.

dichte 1, 29 f.

bewegter Leiter im Magnetfeld 63
elektrisches Potential 1, 28, 31 f., 35
bewegte Spule im Magnetfeld 65 f.

elektrisches Strömungsfeld 29 ff.

Blindleistung 117 f., 137
elektromagnetisches Feld 27 ff.

Blindleistungskompensation 122
elektromagnetische Spannungserzeugung

Blindleitwert 94

63 ff.

Blindwiderstand 92
elektrostatisches Feld 33 ff.

Boucherot-Schaltung 113
elektrostatisches Feld einer Punktladung 34

Brechungsgesetz für schräg geschichtete

Emitterschaltung 194

Magnetmaterialien 53

Energieansatz 3

Brechungsgesetz für schräg geschichtetes

Energieäquivalente 3, 23

Dielektrikum 43

Energieumwandlungen 23

Entladung eines Kondensators mittels einer

C

Spule 147
charakteristische Gleichung 147

Ersatzschaltbilder des Transformators

Coulombsches Gesetz 1, 36

127 f., 130 f.

D

Ersatzschaltungen von Vierpolen 184

Dämpfung 190

Ersatzspannungsquelle 9

© Springer Fachmedien Wiesbaden 2015

W. Weißgerber, Elektrotechnik für Ingenieure - Formelsammlung, DOI 10.1007/978-3-658-09090-6

202 Sachwortverzeichnis

Ersatzstromquelle 9

Knotenspannungsverfahren 22, 90, 101

Erster Kirchhoffscher Satz 7, 90

Koerzitivfeldstärke 52

Kollektorschaltung 196

F

Kompensationsschaltungen 14

Formfaktor 85, 177
komplexe Amplitude 86

Fourieranalyse 163 ff.

komplexe Leistung 119

Fourierintegral 178
komplexe Operatoren 89

Fourierkoeffizienten 163 ff.

komplexer Effektivwert 86

Fourierreihe 163 ff.

komplexe Reihen 178

Frequenzabhängigkeit der Blindleitwerte 108
komplexer Leitwert 94 f.

Frequenzabhängigkeit der Blindwiderstände
komplexer Widerstand 92 f.

103

Kontinuitätsgleichung des magnetischen

Frequenzabhängigkeit der Spannungsüber-

Flusses 46
setzung eines Transformators 134

Konvektionsstrom 1, 41

Frequenz-Messbrücke nach Wien 115

Kopplungsfaktoren 81

G

Korrespondenzen der Fouriertransformation

Gegeninduktion 75 f.

179

Gegeninduktivität 73

Korrespondenzen der Laplacetransformation

Gegen-Reihenschaltung von Spulen 78

158 ff.

gegensinnige Kopplung 77

Kraft auf die Elektroden eines Kondensators

Gleichrichtwert 85

42
gleichsinnige Kopplung 77

Kraftwirkung auf elektrische Ladungen im

Gleichstrom 1, 29 f.

Magnetfeld 63

Gleichstromtechnik 4

Kreisfrequenz 85

Grenzfrequenzen 104, 109, 134

Kreisgüte 104, 109

Grundstromkreis 4, 123

Kurzschluss im Grundstromkreis 4, 10

Gütefaktor 119

Kurzschlussleistung 26

H

L

Hauptinduktivitäten 81

Längsschichtung im elektrostatischen Feld

Hopkinsonsches Gesetz 48

43

Hummelschaltung 112

Längsschichtung im magnetischen Feld 53

Laplacetransformation 150 f.

I

Leerlauf am Transformator 129

Illiovici-Brücke 114

Leerlauf im Grundstromkreis 4, 10

Impedanz 92

Leerlaufleistung 26
in Reihe geschaltete Parallelschaltungen 99

Leistungen im Grundstromkreis 26, 123

Induktionsfluss 69

Leistung im Wechselstromkreis 116 ff.

Induktionsgesetz 63 ff.

Leistungsdreieck 119

Induktivität 70 ff.

Leistungsfaktor 117, 122

K

Leistungsverstärkung 190

Kapazität einer Doppelleitung 40

Leitwertform der Vierpolgleichungen 180

Kapazität einer zylindersymmetrischen
linearer Widerstand 5

Anordnung 40

M

Kapazität eines Zweielektrodensystems 35

Magnetfeld eines stromdurchflossen

Kapazitäts-Messbrücke 114

Leiters 51

Kennleitwert 108

Magnetfeld eines stromdurchflossenen

Kennlinie des aktiven Zweipols 5

Rohres 51

Kennlinie des passiven Zweipols 5
magnetische Energie 82, 116

Kennwiderstand 103
magnetische Feldstärke einer Doppelleitung

Kettenform der Vierpolgleichungen 182

60

Klirrfaktoren 177
magnetische Feldstärke – magnetische

Knotenpunktregel-Knotenpunktsatz 7, 90

Erregung 49

Sachwortverzeichnis 203
magnetische Flussdichte – magnetische

P

Induktion 44 ff.

parallel geschaltete Reihenschaltungen 98
magnetische Kräfte 83

Parallel-Reihen-Form der Vierpolgleichungen
magnetische Kreise mit Dauermagneten 61 f.

182
magnetischer Fluss 44 ff.

Parallelresonanz 108, 110
magnetischer Leitwert 48

Parallelschaltung verlustbehafteter Blind-
magnetischer Widerstand 48
widerstände 110 f.

magnetisches Feld 44 ff.

Parallelschaltung von Kondensatoren 37, 94
magnetische Spannungen 49

Parallelschaltung von Spannungsquellen

Magnetisierungskurve 49, 52

11 Parallelschaltung von Spulen 79, 94

Maschenregel-Maschensatz 7, 90

Parallelschaltung von Wechselstromwider-

Maschenstromverfahren 21, 90, 101
ständen 94, 107 ff.

Maximalwert 85

Parallelschaltung von Widerständen 8-9

Maxwell-Wien-Brücke 114

Periodendauer 84

Mehrphasensysteme 135 ff.

periodischer Fall 149, 156

Messbereichserweiterung eines Spannungs-

Periodizität 85
messers 6

Permeabilität 48, 52

Messbereichserweiterung eines Strom-

Permittivität 36
messers 9

Phasenspektrum 163, 178

Messung der elektrischen Energie 23

Phasenumkehrstufe 197

Messung der elektrischen Leistung 23

Phasenverschiebung 92, 94

Messung der Ersatzschaltbildgrößen des

Polek-Schaltung 112

Transformators 132 f.

Praktischer Parallel-Resonanzkreis 111

Messung der Leistungen des Dreiphasen-

systems 143

Q

Messung der Scheinleistung 120

Querschichtung im elektrostatischen Feld 43

Messung der Wirk- und Blindleistung 121

Querschichtung im magnetischen Feld 53

Messung von Widerständen 12

Mittelwerte von Wechselgrößen 85

R

Rampenfunktion 150

N

Reaktanz 92

Netzwerkberechnungen 16 ff., 90, 101

Rechte-Hand-Regel 68

Netzberechnung für Netze mit gekoppelten

Reihen-Parallel-Form der Vierpol-

Spulen 79
gleichungen 181
nichtlinearer Widerstand 5

Reihenresonanz 103
normaler Belastungsfall des Grundstrom-

Reihenschaltung von Kondensatoren 38, 92
kreises 10, 123

Reihenschaltung von Spannungsquellen 7
normierte Verstimmung 104, 109

Reihenschaltung von Spulen 78, 92

Nutzfluss 54

Reihenschaltung von Wechselstrom-

widerständen 92, 102 ff.

O

Reihenschaltung von Widerständen 6

Ohmsches Gesetz 2
relative Dielektrizitätskonstante 36

Ohmsches Gesetz der Wechselstromtechnik
relative Permeabilität 48

92, 94
relative Verstimmung 104, 109

Ohmsches Gesetz des magnetischen Kreises

Remanenz 52

48

Resistanz 92

Operationen der Laplacetransformation 157

Resonanzfrequenz 103, 108

Operator des Mehrphasensystems 135

Resonanzkreisfrequenz 103, 108

Optimierung des Dauermagnetkreises 62

Resonanzkurven 105 f.

Ortkurve „Kreis in allgemeiner Lage“ 126
rückwirkungsfreie Vierpole 191

Ortskurve „Gerade“ 125

Ortskurve „Kreis durch den Nullpunkt“ 125

S

Ortskurve „Parabel“ 126

Sägezahnfunktion 168 f.

Ortskurve „Zirkulare Kubik“ 126

Sättigungsinduktion 52

Ortskurven 124 ff.

Scheinleistung 117 ff., 137

204 Sachwortverzeichnis

Scheinleitwert 94
umkehrbare Vierpole 191

Scheinwiderstand 92

Umpoler 187

Scheitelfaktor 85, 177

Umrechnung der Vierpolparameter 183, 199

Schering-Messbrücke 115
unbelasteter Spannungsteiler 6

Schleifdrahtmessbrücke 13
unsymmetrische verkettete Dreiphasen-

Selbstinduktion 72
systeme 138 ff.

sinusförmige Wechselgrößen 85
unverzweigter Stromkreis 4 ff.

Spannungsresonanz 103

spannungsrichtige Leistungsmessung 24

V
spannungsrichtige Widerstands-

Verbesserung des Leistungsfaktors 122

Messschaltung 12
verkettete Mehrphasensysteme 135

Spannungsteilerregel 6, 90, 96, 101
verketteter Fluss 69

Spannungsverhältnis des Transformators 129

Verlustfaktor 119
spezifischer Leitwert 2

Verlustwinkel 119
spezifischer Widerstand 2

Verschiebestrom 41

Sprungfunktion 150

Verschiebungsfluss- Erregungsfluss 33

Sprungstellenverfahren 172 ff.

Verschiebungsflussdichte – Erregungsfluss-

Stern-Dreieck-Transformation 15, 97
dichte 33

Sternpunktleiter 135
verzweigter Stromkreis 7 ff.

Sternschaltung 136

Verzerrungsfaktor 177

Streufaktor 54, 81

Vierpolgleichungen 180 ff.

Streufluss 54

Vierpolparameter 180 ff.

Streuinduktivitäten 81

Vierpolparameter passiver Vierpole 185 ff.

Stromresonanz 108, 110

Vierpolschaltung in Rückwärtsbetrieb 180
stromrichtige Leistungsmessung 24, 120

Vierpolschaltung in Vorwärtsbetrieb 180
stromrichtige Widerstands-Messschaltung 12

Vierpoltheorie 180 ff.

Stromteilerregel 8, 90, 96, 101
vollständige Leitwertmatrix 199

Strömungsfeld einer zylindersymmetrischen

Anordnung 30

W

Superpositionsverfahren 17, 90, 101

Wärmeenergie 3, 23

Suszeptanz 94

Wechselstromleitwerte 91 ff.

symbolische Methode 90

Wechselstrom-Messbrückenschaltungen 113 ff.

Symmetrien von periodischen Funktionen

Wechselstromtechnik 84

164 ff.

Wechselstromwiderstände 91 ff.

symmetrischer Brücken-T-Vierpol 187, 194

Wellenparameter passiver Vierpole 200
symmetrische Vierpole 191

Wellenwiderstand 200
symmetrische X-Schaltung 187

Wheatstone-Messbrücke 12

Widerstandsform der Vierpolgleichungen 181

T

Wien-Robinson-Brücke 115

Temperaturabhängigkeit des spezifischen

Wirkleistung 116 ff., 137, 176

Widerstands 2

Wirkungsgrad in Stromkreisen 25, 123

Temperaturkoeffizient 2

Wirkwiderstand 92

Transformator 80, 127 ff.

Transformatorgleichungen 127 f.

Z

Transistorverstärker 198

Zählpfeilsysteme 6

Zeigerbilder 88, 93, 95

U

Zeigerbilder des Transformators 128 f.

Überlagerung der Kennlinien des aktiven und
zeitlich veränderliches Magnetfeld und
passiven Zweipols 5
ruhende Leiter – Ruheinduktion 67 ff.

Überlagerung von elektrischen Potentialen 39

Zusammenschalten zweier Vierpole 192 ff.

Übersetzungsverhältnis des Transformators

Zweigstromanalyse 16, 90, 101

129

Zweipoltheorie 18-20, 90, 101

Übertragungsmaß 200

Zweiter Kirchhoffscher Satz 7, 90

Document Outline

Vorwort
Inhaltsverzeichnis
Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

- Das Coulombsche Gesetz und das elektrische Feld

- Das elektrische Potential und die elektrische Spannung

- Der elektrische Strom

- Der elektrische Widerstand

- Die elektrische Energie und die elektrische Leistung

2 Gleichstromtechnik

- 2.1 Der unverzweigte Stromkreis

- 2.1.1 Der Grundstromkreis
- 2.1.2 Zählpfeilsysteme
- 2.1.3 Die Reihenschaltung von Widerständen

- 2.1.4 Anwendungen der Reihenschaltung von Widerständen

- 2.1.5 Die Reihenschaltung von Spannungsquellen

- 2.2 Der verzweigte Stromkreis

- 2.2.1 Die Maschenregel (Der 2. Kirchhoffsche Satz)

- 2.2.2 Die Knotenpunktregel (Der 1. Kirchhoffsche Satz)

- 2.2.3 Die Parallelschaltung von Widerständen

- 2.2.4 Anwendungen der Parallelschaltung von Widerständen

- 2.2.5 Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle

- 2.2.6 Die Parallelschaltung von Spannungsquellen

- 2.2.7 Messung von Widerständen
- 2.2.8 Der belastete Spannungsteiler
- 2.2.9 Kompensationsschaltungen

- 2.2.10 Umwandlung einer Dreieckschaltung in eine Sternschaltung und umgekehrt

- 2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

- 2.3.1 Netzwerkberechnung mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze (Zweigstromanalyse)

- 2.3.2 Netzwerkberechnung mit Hilfe des Überlagerungssatzes (Superpositionsverfahren)

- 2.3.3 Netzwerkberechnung mit Hilfe der Zweipoltheorie

- 2.3.4 Netzwerkberechnung nach dem Maschenstromverfahren

- 2.3.5 Netzwerkberechnung nach dem Knotenspannungsverfahren

- 2.4 Elektrische Energie und elektrische Leistung

- 2.4.1 Energie und Leistung

- 2.4.2 Energieumwandlungen

- 2.4.3 Messung der elektrischen Energie und Leistung

- 2.4.4 Wirkungsgrad in Stromkreisen

- 2.4.5 Anpassung

3 Das elektromagnetische Feld

- 3.2 Das elektrische Strömungsfeld

- 3.2.1 Wesen des elektrischen Strömungsfeldes

- 3.2.2 Elektrischer Strom und elektrische Stromdichte

- 3.2.3 Elektrische Spannung und elektrische Feldstärke, elektrischer Widerstand und spezifischer Widerstand

- 3.3 Das elektrostatische Feld

- 3.3.1 Wesen des elektrostatischen Feldes

- 3.3.2 Verschiebungsfluss und Verschiebungsflussdichte

- 3.3.3 Elektrische Spannung und elektrische Feldstärke, Kapazität und Permittivität (Dielektrizitätskonstante)

- 3.3.4 Verschiebestrom – Strom im Kondensator

- 3.3.5 Energie und Kräfte des elektrostatischen Feldes

- 3.3.6 Das Verhalten des elektrostatischen Feldes an der Grenze zwischen Stoffen verschiedener Dielektrizitätskonstanten

- 3.4 Das magnetische Feld

- 3.4.1 Wesen des magnetischen Feldes

- 3.4.2 Magnetischer Fluss und magnetische Flussdichte

- 3.4.3 Durchflutung, magnetische Spannung und magnetische Feldstärke (magnetische Erregung), magnetischer Widerstand und Permeabilität

- 3.4.4 Das Verhalten des magnetischen Feldes an der Grenze zwischen Stoffen verschiedener Permeabilitäten

- 3.4.5 Berechnung magnetischer Kreise

- 3.4.5.1 Berechnung geschlossener magnetischer Kreise

- 3.4.5.2 Berechnung des nichteisengeschlossenen magnetischen Kreises einer Doppelleitung und mehrerer paralleler Leiter

- 3.4.5.3 Berechnung magnetischer Kreise mit Dauermagneten

- 3.4.6 Elektromagnetische Spannungserzeugung – das Induktionsgesetz

- 3.4.6.1 Bewegte Leiter in einem zeitlich konstanten Magnetfeld – Bewegungsinduktion

- 3.4.6.2 Zeitlich veränderliches Magnetfeld und ruhende Leiter – Ruheinduktion

- 3.4.7 Selbstinduktion und Gegeninduktion

- 3.4.7.1 Die Selbstinduktion

- 3.4.7.2 Die Gegeninduktion

- 3.4.7.3 Hauptund Streuinduktivitäten, Kopplungs- und Streufaktoren

- 3.4.8 Magnetische Energie und magnetische Kräfte

4 Wechselstromtechnik

- 4.1 Wechselgrößen und sinusförmige Wechselgrößen

- 4.2 Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen mit Hilfe der komplexen Rechnung

- 4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

- 4.4 Praktische Berechnung von Wechselstromnetzen

- 4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von ohmschen Widerständen, Induktivitäten und Kapazitäten

- 4.5.1 Die Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen – die Reihen- oder Spannungsresonanz

- 4.5.2 Die Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen – die Parallel- oder Stromresonanz

- 4.6 Spezielle Schaltungen der Wechselstromtechnik

- 4.6.1 Schaltungen für eine Phasenverschiebung von 90° zwischen Strom und Spannung

- 4.6.2 Schaltung zur automatischen Konstanthaltung des Wechselstroms – die Boucherot-Schaltung

- 4.6.3 Wechselstrom-Messbrückenschaltungen

- 4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

- 4.7.1 Augenblicksleistung, Wirkleistung, Blindleistung, Scheinleistung und komplexe Leistung

- 4.7.2 Die Messung der Wechselstromleistung

- 4.7.3 Verbesserung des Leistungsfaktors – Blindleistungskompensation

- 4.7.4 Wirkungsgrad und Anpassung

5 Ortskurven

- 5.1 Begriff der Ortskurve
- 5.2 Ortskurve „Gerade“
- 5.3 Ortskurve „Kreis durch den Nullpunkt“
- 5.4 Ortskurve „Kreis in allgemeiner Lage“
- 5.5 Ortskurven höherer Ordnung

6 Der Transformator

- 6.1 Übersicht über Transformatoren

- 6.2 Transformatorgleichungen und Zeigerbild

- 6.3 Ersatzschaltbilder mit galvanischer Kopplung

- 6.4 Messung der Ersatzschaltbildgrößen des Transformators

- 6.5 Frequenzabhängigkeit der Spannungsübersetzung einesTransformators

7 Mehrphasensysteme

- 7.1 Die m-Phasensysteme

- 7.2 Symmetrische verkettete Dreiphasensysteme

- 7.3 Unsymmetrische verkettete Dreiphasensysteme

- 7.4 Messung der Leistungen des Dreiphasensystems

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

- 8.1 Grundlagen für die Behandlung von Ausgleichsvorgängen

- 8.2 Berechnung von Ausgleichsvorgängen durch Lösung von Differentialgleichungen

- 8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

- 8.3.1 Grundlagen für die Behandlung der Ausgleichsvorgänge mittels Laplace-Transformation

- 8.3.2 Lösungsmethoden für die Berechnung von Ausgleichsvorgängen

9 Fourieranalyse von nichtsinusförmigen periodischen Wechselgrößen und nichtperiodischen Größen

- 9.1 Fourierreihenentwicklung von analytisch gegebenen nichtsinusförmigen periodischen Wechselgrößen

- 9.2 Reihenentwicklung von in diskreten Punkten vorgegebenen nichtsinusförmigen periodischen Funktionen

- 9.3 Anwendungen der Fourierreihe

- 9.4 Die Darstellung nichtsinusförmiger periodischer Wechselgrößen durch komplexe Reihen

- 9.5 Transformation von nichtsinusförmigen nichtperiodischen Größen durch das Fourierintegral

10 Vierpoltheorie

- 10.1 Grundlegende Zusammenhänge der Vierpoltheorie

- 10.2 Vierpolgleichungen, Vierpolparameter und Ersatzschaltungen

- 10.3 Vierpolparameter passiver Vierpole
- 10.4 Betriebskenngrößen von Vierpolen
- 10.5 Leistungsverstärkung und Dämpfung
- 10.6 Spezielle Vierpole

- 10.7 Zusammenschalten zweier Vierpole

- 10.7.1 Grundsätzliches über Vierpolzusammenschaltungen

- 10.7.2 Die Parallel-Parallel-Schaltung zweier Vierpole

- 10.7.3 Die Reihen-Reihen-Schaltung zweier Vierpole

- 10.7.4 Die Reihen-Parallel-Schaltung zweier Vierpole

- 10.8 Die Umrechnung von Vierpolparametern von Dreipolen

- 10.9 Die Wellenparameter passiver Vierpole

Sachwortverzeichnis

Table of Contents

Vorwort
Inhaltsverzeichnis
Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

- Das Coulombsche Gesetz und das elektrische Feld

- Das elektrische Potential und die elektrische Spannung

- Der elektrische Strom

- Der elektrische Widerstand

- Die elektrische Energie und die elektrische Leistung

Das Coulombsche Gesetz und das elektrische Feld

Das elektrische Potential und die elektrische Spannung

Der elektrische Strom

Der elektrische Widerstand

Die elektrische Energie und die elektrische Leistung

2 Gleichstromtechnik

- 2.1 Der unverzweigte Stromkreis

- 2.1.1 Der Grundstromkreis
- 2.1.2 Zählpfeilsysteme
- 2.1.3 Die Reihenschaltung von Widerständen

- 2.1.4 Anwendungen der Reihenschaltung von Widerständen

- 2.1.5 Die Reihenschaltung von Spannungsquellen

- 2.1.1 Der Grundstromkreis
- 2.1.2 Zählpfeilsysteme
- 2.1.3 Die Reihenschaltung von Widerständen

- 2.1.4 Anwendungen der Reihenschaltung von Widerständen

- 2.1.5 Die Reihenschaltung von Spannungsquellen

- 2.2 Der verzweigte Stromkreis

- 2.2.1 Die Maschenregel (Der 2. Kirchhoffsche Satz)

- 2.2.2 Die Knotenpunktregel (Der 1. Kirchhoffsche Satz)

- 2.2.3 Die Parallelschaltung von Widerständen

- 2.2.4 Anwendungen der Parallelschaltung von Widerständen

- 2.2.5 Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle

- 2.2.6 Die Parallelschaltung von Spannungsquellen

- 2.2.7 Messung von Widerständen
- 2.2.8 Der belastete Spannungsteiler
- 2.2.9 Kompensationsschaltungen

- 2.2.10 Umwandlung einer Dreieckschaltung in eine Sternschaltung und umgekehrt

- 2.2.1 Die Maschenregel (Der 2. Kirchhoffsche Satz)

- 2.2.2 Die Knotenpunktregel (Der 1. Kirchhoffsche Satz)

- 2.2.3 Die Parallelschaltung von Widerständen

- 2.2.4 Anwendungen der Parallelschaltung von Widerständen

- 2.2.5 Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle

- 2.2.6 Die Parallelschaltung von Spannungsquellen

- 2.2.7 Messung von Widerständen
- 2.2.8 Der belastete Spannungsteiler
- 2.2.9 Kompensationsschaltungen

- 2.2.10 Umwandlung einer Dreieckschaltung in eine Sternschaltung und umgekehrt

- 2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

- 2.3.1 Netzwerkberechnung mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze (Zweigstromanalyse)

- 2.3.2 Netzwerkberechnung mit Hilfe des Überlagerungssatzes (Superpositionsverfahren)

- 2.3.3 Netzwerkberechnung mit Hilfe der Zweipoltheorie

- 2.3.4 Netzwerkberechnung nach dem Maschenstromverfahren

- 2.3.5 Netzwerkberechnung nach dem Knotenspannungsverfahren

- 2.3.1 Netzwerkberechnung mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze (Zweigstromanalyse)

- 2.3.2 Netzwerkberechnung mit Hilfe des Überlagerungssatzes (Superpositionsverfahren)

- 2.3.3 Netzwerkberechnung mit Hilfe der Zweipoltheorie

- 2.3.4 Netzwerkberechnung nach dem Maschenstromverfahren

- 2.3.5 Netzwerkberechnung nach dem Knotenspannungsverfahren

- 2.4 Elektrische Energie und elektrische Leistung

- 2.4.1 Energie und Leistung

- 2.4.2 Energieumwandlungen

- 2.4.3 Messung der elektrischen Energie und Leistung

- 2.4.4 Wirkungsgrad in Stromkreisen

- 2.4.5 Anpassung

- 2.4.1 Energie und Leistung

- 2.4.2 Energieumwandlungen

- 2.4.3 Messung der elektrischen Energie und Leistung

- 2.4.4 Wirkungsgrad in Stromkreisen

- 2.4.5 Anpassung

2.1 Der unverzweigte Stromkreis

- 2.1.1 Der Grundstromkreis
- 2.1.2 Zählpfeilsysteme
- 2.1.3 Die Reihenschaltung von Widerständen

- 2.1.4 Anwendungen der Reihenschaltung von Widerständen

- 2.1.5 Die Reihenschaltung von Spannungsquellen

2.1.1 Der Grundstromkreis
2.1.2 Zählpfeilsysteme
2.1.3 Die Reihenschaltung von Widerständen

2.1.4 Anwendungen der Reihenschaltung von Widerständen

2.1.5 Die Reihenschaltung von Spannungsquellen

2.2 Der verzweigte Stromkreis

- 2.2.1 Die Maschenregel (Der 2. Kirchhoffsche Satz)

- 2.2.2 Die Knotenpunktregel (Der 1. Kirchhoffsche Satz)

- 2.2.3 Die Parallelschaltung von Widerständen

- 2.2.4 Anwendungen der Parallelschaltung von Widerständen

- 2.2.5 Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle

- 2.2.6 Die Parallelschaltung von Spannungsquellen

- 2.2.7 Messung von Widerständen
- 2.2.8 Der belastete Spannungsteiler
- 2.2.9 Kompensationsschaltungen

- 2.2.10 Umwandlung einer Dreieckschaltung in eine Sternschaltung und umgekehrt

2.2.1 Die Maschenregel (Der 2. Kirchhoffsche Satz)

2.2.2 Die Knotenpunktregel (Der 1. Kirchhoffsche Satz)

2.2.3 Die Parallelschaltung von Widerständen

2.2.4 Anwendungen der Parallelschaltung von Widerständen

2.2.5 Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle

2.2.6 Die Parallelschaltung von Spannungsquellen

2.2.7 Messung von Widerständen
2.2.8 Der belastete Spannungsteiler
2.2.9 Kompensationsschaltungen

2.2.10 Umwandlung einer Dreieckschaltung in eine Sternschaltung und umgekehrt

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

- 2.3.1 Netzwerkberechnung mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze (Zweigstromanalyse)

- 2.3.2 Netzwerkberechnung mit Hilfe des Überlagerungssatzes (Superpositionsverfahren)

- 2.3.3 Netzwerkberechnung mit Hilfe der Zweipoltheorie

- 2.3.4 Netzwerkberechnung nach dem Maschenstromverfahren

- 2.3.5 Netzwerkberechnung nach dem Knotenspannungsverfahren

2.3.1 Netzwerkberechnung mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze (Zweigstromanalyse)

2.3.2 Netzwerkberechnung mit Hilfe des Überlagerungssatzes (Superpositionsverfahren)

2.3.3 Netzwerkberechnung mit Hilfe der Zweipoltheorie

2.3.4 Netzwerkberechnung nach dem Maschenstromverfahren

2.3.5 Netzwerkberechnung nach dem Knotenspannungsverfahren

2.4 Elektrische Energie und elektrische Leistung

- 2.4.1 Energie und Leistung

- 2.4.2 Energieumwandlungen

- 2.4.3 Messung der elektrischen Energie und Leistung

- 2.4.4 Wirkungsgrad in Stromkreisen

- 2.4.5 Anpassung

2.4.1 Energie und Leistung

2.4.2 Energieumwandlungen

2.4.3 Messung der elektrischen Energie und Leistung

2.4.4 Wirkungsgrad in Stromkreisen

2.4.5 Anpassung

3 Das elektromagnetische Feld

3.2 Das elektrische Strömungsfeld

- 3.2.1 Wesen des elektrischen Strömungsfeldes

- 3.2.2 Elektrischer Strom und elektrische Stromdichte

- 3.2.3 Elektrische Spannung und elektrische Feldstärke, elektrischer Widerstand und spezifischer Widerstand

3.2.1 Wesen des elektrischen Strömungsfeldes

3.2.2 Elektrischer Strom und elektrische Stromdichte

3.2.3 Elektrische Spannung und elektrische Feldstärke, elektrischer Widerstand und spezifischer Widerstand

3.3 Das elektrostatische Feld

- 3.3.1 Wesen des elektrostatischen Feldes

- 3.3.2 Verschiebungsfluss und Verschiebungsflussdichte

- 3.3.3 Elektrische Spannung und elektrische Feldstärke, Kapazität und Permittivität (Dielektrizitätskonstante)

- 3.3.4 Verschiebestrom – Strom im Kondensator

- 3.3.5 Energie und Kräfte des elektrostatischen Feldes

- 3.3.6 Das Verhalten des elektrostatischen Feldes an der Grenze zwischen Stoffen verschiedener Dielektrizitätskonstanten

3.3.1 Wesen des elektrostatischen Feldes

3.3.2 Verschiebungsfluss und Verschiebungsflussdichte

3.3.3 Elektrische Spannung und elektrische Feldstärke, Kapazität und Permittivität (Dielektrizitätskonstante)

3.3.4 Verschiebestrom – Strom im Kondensator

3.3.5 Energie und Kräfte des elektrostatischen Feldes

3.3.6 Das Verhalten des elektrostatischen Feldes an der Grenze zwischen Stoffen verschiedener Dielektrizitätskonstanten

3.4 Das magnetische Feld

- 3.4.1 Wesen des magnetischen Feldes

- 3.4.2 Magnetischer Fluss und magnetische Flussdichte

- 3.4.3 Durchflutung, magnetische Spannung und magnetische Feldstärke (magnetische Erregung), magnetischer Widerstand und Permeabilität

- 3.4.4 Das Verhalten des magnetischen Feldes an der Grenze zwischen Stoffen verschiedener Permeabilitäten

- 3.4.5 Berechnung magnetischer Kreise

- 3.4.5.1 Berechnung geschlossener magnetischer Kreise

- 3.4.5.2 Berechnung des nichteisengeschlossenen magnetischen Kreises einer Doppelleitung und mehrerer paralleler Leiter

- 3.4.5.3 Berechnung magnetischer Kreise mit Dauermagneten

- 3.4.5.1 Berechnung geschlossener magnetischer Kreise

- 3.4.5.2 Berechnung des nichteisengeschlossenen magnetischen Kreises einer Doppelleitung und mehrerer paralleler Leiter

- 3.4.5.3 Berechnung magnetischer Kreise mit Dauermagneten

- 3.4.6 Elektromagnetische Spannungserzeugung – das Induktionsgesetz

- 3.4.6.1 Bewegte Leiter in einem zeitlich konstanten Magnetfeld – Bewegungsinduktion

- 3.4.6.2 Zeitlich veränderliches Magnetfeld und ruhende Leiter – Ruheinduktion

- 3.4.6.1 Bewegte Leiter in einem zeitlich konstanten Magnetfeld – Bewegungsinduktion

- 3.4.6.2 Zeitlich veränderliches Magnetfeld und ruhende Leiter – Ruheinduktion

- 3.4.7 Selbstinduktion und Gegeninduktion

- 3.4.7.1 Die Selbstinduktion

- 3.4.7.2 Die Gegeninduktion

- 3.4.7.3 Hauptund Streuinduktivitäten, Kopplungs- und Streufaktoren

- 3.4.7.1 Die Selbstinduktion

- 3.4.7.2 Die Gegeninduktion

- 3.4.7.3 Hauptund Streuinduktivitäten, Kopplungs- und Streufaktoren

- 3.4.8 Magnetische Energie und magnetische Kräfte

3.4.1 Wesen des magnetischen Feldes

3.4.2 Magnetischer Fluss und magnetische Flussdichte

3.4.3 Durchflutung, magnetische Spannung und magnetische Feldstärke (magnetische Erregung), magnetischer Widerstand und Permeabilität

3.4.4 Das Verhalten des magnetischen Feldes an der Grenze zwischen Stoffen verschiedener Permeabilitäten

3.4.5 Berechnung magnetischer Kreise

- 3.4.5.1 Berechnung geschlossener magnetischer Kreise

- 3.4.5.2 Berechnung des nichteisengeschlossenen magnetischen Kreises einer Doppelleitung und mehrerer paralleler Leiter

- 3.4.5.3 Berechnung magnetischer Kreise mit Dauermagneten

3.4.5.1 Berechnung geschlossener magnetischer Kreise

3.4.5.2 Berechnung des nichteisengeschlossenen magnetischen Kreises einer Doppelleitung und mehrerer paralleler Leiter

3.4.5.3 Berechnung magnetischer Kreise mit Dauermagneten

3.4.6 Elektromagnetische Spannungserzeugung – das Induktionsgesetz

- 3.4.6.1 Bewegte Leiter in einem zeitlich konstanten Magnetfeld – Bewegungsinduktion

- 3.4.6.2 Zeitlich veränderliches Magnetfeld und ruhende Leiter – Ruheinduktion

3.4.6.1 Bewegte Leiter in einem zeitlich konstanten Magnetfeld – Bewegungsinduktion

3.4.6.2 Zeitlich veränderliches Magnetfeld und ruhende Leiter – Ruheinduktion

3.4.7 Selbstinduktion und Gegeninduktion

- 3.4.7.1 Die Selbstinduktion

- 3.4.7.2 Die Gegeninduktion

- 3.4.7.3 Hauptund Streuinduktivitäten, Kopplungs- und Streufaktoren

3.4.7.1 Die Selbstinduktion

3.4.7.2 Die Gegeninduktion

3.4.7.3 Hauptund Streuinduktivitäten, Kopplungs- und Streufaktoren

3.4.8 Magnetische Energie und magnetische Kräfte

3.2 Das elektrische Strömungsfeld

- 3.2.1 Wesen des elektrischen Strömungsfeldes

- 3.2.2 Elektrischer Strom und elektrische Stromdichte

- 3.2.3 Elektrische Spannung und elektrische Feldstärke, elektrischer Widerstand und spezifischer Widerstand

3.2.1 Wesen des elektrischen Strömungsfeldes

3.2.2 Elektrischer Strom und elektrische Stromdichte

3.2.3 Elektrische Spannung und elektrische Feldstärke, elektrischer Widerstand und spezifischer Widerstand

3.3 Das elektrostatische Feld

- 3.3.1 Wesen des elektrostatischen Feldes

- 3.3.2 Verschiebungsfluss und Verschiebungsflussdichte

- 3.3.3 Elektrische Spannung und elektrische Feldstärke, Kapazität und Permittivität (Dielektrizitätskonstante)

- 3.3.4 Verschiebestrom – Strom im Kondensator

- 3.3.5 Energie und Kräfte des elektrostatischen Feldes

- 3.3.6 Das Verhalten des elektrostatischen Feldes an der Grenze zwischen Stoffen verschiedener Dielektrizitätskonstanten

3.3.1 Wesen des elektrostatischen Feldes

3.3.2 Verschiebungsfluss und Verschiebungsflussdichte

3.3.3 Elektrische Spannung und elektrische Feldstärke, Kapazität und Permittivität (Dielektrizitätskonstante)

3.3.4 Verschiebestrom – Strom im Kondensator

3.3.5 Energie und Kräfte des elektrostatischen Feldes

3.3.6 Das Verhalten des elektrostatischen Feldes an der Grenze zwischen Stoffen verschiedener Dielektrizitätskonstanten

3.4 Das magnetische Feld

- 3.4.1 Wesen des magnetischen Feldes

- 3.4.2 Magnetischer Fluss und magnetische Flussdichte

- 3.4.3 Durchflutung, magnetische Spannung und magnetische Feldstärke (magnetische Erregung), magnetischer Widerstand und Permeabilität

- 3.4.4 Das Verhalten des magnetischen Feldes an der Grenze zwischen Stoffen verschiedener Permeabilitäten

- 3.4.5 Berechnung magnetischer Kreise

- 3.4.5.1 Berechnung geschlossener magnetischer Kreise

- 3.4.5.2 Berechnung des nichteisengeschlossenen magnetischen Kreises einer Doppelleitung und mehrerer paralleler Leiter

- 3.4.5.3 Berechnung magnetischer Kreise mit Dauermagneten

- 3.4.5.1 Berechnung geschlossener magnetischer Kreise

- 3.4.5.2 Berechnung des nichteisengeschlossenen magnetischen Kreises einer Doppelleitung und mehrerer paralleler Leiter

- 3.4.5.3 Berechnung magnetischer Kreise mit Dauermagneten

- 3.4.6 Elektromagnetische Spannungserzeugung – das Induktionsgesetz

- 3.4.6.1 Bewegte Leiter in einem zeitlich konstanten Magnetfeld – Bewegungsinduktion

- 3.4.6.2 Zeitlich veränderliches Magnetfeld und ruhende Leiter – Ruheinduktion

- 3.4.6.1 Bewegte Leiter in einem zeitlich konstanten Magnetfeld – Bewegungsinduktion

- 3.4.6.2 Zeitlich veränderliches Magnetfeld und ruhende Leiter – Ruheinduktion

- 3.4.7 Selbstinduktion und Gegeninduktion

- 3.4.7.1 Die Selbstinduktion

- 3.4.7.2 Die Gegeninduktion

- 3.4.7.3 Hauptund Streuinduktivitäten, Kopplungs- und Streufaktoren

- 3.4.7.1 Die Selbstinduktion

- 3.4.7.2 Die Gegeninduktion

- 3.4.7.3 Hauptund Streuinduktivitäten, Kopplungs- und Streufaktoren

- 3.4.8 Magnetische Energie und magnetische Kräfte

3.4.1 Wesen des magnetischen Feldes

3.4.2 Magnetischer Fluss und magnetische Flussdichte

3.4.3 Durchflutung, magnetische Spannung und magnetische Feldstärke (magnetische Erregung), magnetischer Widerstand und Permeabilität

3.4.4 Das Verhalten des magnetischen Feldes an der Grenze zwischen Stoffen verschiedener Permeabilitäten

3.4.5 Berechnung magnetischer Kreise

- 3.4.5.1 Berechnung geschlossener magnetischer Kreise

- 3.4.5.2 Berechnung des nichteisengeschlossenen magnetischen Kreises einer Doppelleitung und mehrerer paralleler Leiter

- 3.4.5.3 Berechnung magnetischer Kreise mit Dauermagneten

3.4.5.1 Berechnung geschlossener magnetischer Kreise

3.4.5.2 Berechnung des nichteisengeschlossenen magnetischen Kreises einer Doppelleitung und mehrerer paralleler Leiter

3.4.5.3 Berechnung magnetischer Kreise mit Dauermagneten

3.4.6 Elektromagnetische Spannungserzeugung – das Induktionsgesetz

- 3.4.6.1 Bewegte Leiter in einem zeitlich konstanten Magnetfeld – Bewegungsinduktion

- 3.4.6.2 Zeitlich veränderliches Magnetfeld und ruhende Leiter – Ruheinduktion

3.4.6.1 Bewegte Leiter in einem zeitlich konstanten Magnetfeld – Bewegungsinduktion

3.4.6.2 Zeitlich veränderliches Magnetfeld und ruhende Leiter – Ruheinduktion

3.4.7 Selbstinduktion und Gegeninduktion

- 3.4.7.1 Die Selbstinduktion

- 3.4.7.2 Die Gegeninduktion

- 3.4.7.3 Hauptund Streuinduktivitäten, Kopplungs- und Streufaktoren

3.4.7.1 Die Selbstinduktion

3.4.7.2 Die Gegeninduktion

3.4.7.3 Hauptund Streuinduktivitäten, Kopplungs- und Streufaktoren

3.4.8 Magnetische Energie und magnetische Kräfte

4 Wechselstromtechnik

- 4.1 Wechselgrößen und sinusförmige Wechselgrößen

- 4.2 Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen mit Hilfe der komplexen Rechnung

- 4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

- 4.4 Praktische Berechnung von Wechselstromnetzen

- 4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von ohmschen Widerständen, Induktivitäten und Kapazitäten

- 4.5.1 Die Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen – die Reihen- oder Spannungsresonanz

- 4.5.2 Die Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen – die Parallel- oder Stromresonanz

- 4.5.1 Die Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen – die Reihen- oder Spannungsresonanz

- 4.5.2 Die Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen – die Parallel- oder Stromresonanz

- 4.6 Spezielle Schaltungen der Wechselstromtechnik

- 4.6.1 Schaltungen für eine Phasenverschiebung von 90° zwischen Strom und Spannung

- 4.6.2 Schaltung zur automatischen Konstanthaltung des Wechselstroms – die Boucherot-Schaltung

- 4.6.3 Wechselstrom-Messbrückenschaltungen

- 4.6.1 Schaltungen für eine Phasenverschiebung von 90° zwischen Strom und Spannung

- 4.6.2 Schaltung zur automatischen Konstanthaltung des Wechselstroms – die Boucherot-Schaltung

- 4.6.3 Wechselstrom-Messbrückenschaltungen

- 4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

- 4.7.1 Augenblicksleistung, Wirkleistung, Blindleistung, Scheinleistung und komplexe Leistung

- 4.7.2 Die Messung der Wechselstromleistung

- 4.7.3 Verbesserung des Leistungsfaktors – Blindleistungskompensation

- 4.7.4 Wirkungsgrad und Anpassung

- 4.7.1 Augenblicksleistung, Wirkleistung, Blindleistung, Scheinleistung und komplexe Leistung

- 4.7.2 Die Messung der Wechselstromleistung

- 4.7.3 Verbesserung des Leistungsfaktors – Blindleistungskompensation

- 4.7.4 Wirkungsgrad und Anpassung

4.1 Wechselgrößen und sinusförmige Wechselgrößen

4.2 Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen mit Hilfe der komplexen Rechnung

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

4.4 Praktische Berechnung von Wechselstromnetzen

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von ohmschen Widerständen, Induktivitäten und Kapazitäten

- 4.5.1 Die Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen – die Reihen- oder Spannungsresonanz

- 4.5.2 Die Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen – die Parallel- oder Stromresonanz

4.5.1 Die Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen – die Reihen- oder Spannungsresonanz

4.5.2 Die Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen – die Parallel- oder Stromresonanz

4.6 Spezielle Schaltungen der Wechselstromtechnik

- 4.6.1 Schaltungen für eine Phasenverschiebung von 90° zwischen Strom und Spannung

- 4.6.2 Schaltung zur automatischen Konstanthaltung des Wechselstroms – die Boucherot-Schaltung

- 4.6.3 Wechselstrom-Messbrückenschaltungen

4.6.1 Schaltungen für eine Phasenverschiebung von 90° zwischen Strom und Spannung

4.6.2 Schaltung zur automatischen Konstanthaltung des Wechselstroms – die Boucherot-Schaltung

4.6.3 Wechselstrom-Messbrückenschaltungen

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

- 4.7.1 Augenblicksleistung, Wirkleistung, Blindleistung, Scheinleistung und komplexe Leistung

- 4.7.2 Die Messung der Wechselstromleistung

- 4.7.3 Verbesserung des Leistungsfaktors – Blindleistungskompensation

- 4.7.4 Wirkungsgrad und Anpassung

4.7.1 Augenblicksleistung, Wirkleistung, Blindleistung, Scheinleistung und komplexe Leistung

4.7.2 Die Messung der Wechselstromleistung

4.7.3 Verbesserung des Leistungsfaktors – Blindleistungskompensation

4.7.4 Wirkungsgrad und Anpassung

5 Ortskurven

- 5.1 Begriff der Ortskurve
- 5.2 Ortskurve „Gerade“
- 5.3 Ortskurve „Kreis durch den Nullpunkt“
- 5.4 Ortskurve „Kreis in allgemeiner Lage“
- 5.5 Ortskurven höherer Ordnung

5.1 Begriff der Ortskurve
5.2 Ortskurve „Gerade“
5.3 Ortskurve „Kreis durch den Nullpunkt“
5.4 Ortskurve „Kreis in allgemeiner Lage“
5.5 Ortskurven höherer Ordnung

6 Der Transformator

- 6.1 Übersicht über Transformatoren

- 6.2 Transformatorgleichungen und Zeigerbild

- 6.3 Ersatzschaltbilder mit galvanischer Kopplung

- 6.4 Messung der Ersatzschaltbildgrößen des Transformators

- 6.5 Frequenzabhängigkeit der Spannungsübersetzung einesTransformators

6.1 Übersicht über Transformatoren

6.2 Transformatorgleichungen und Zeigerbild

6.3 Ersatzschaltbilder mit galvanischer Kopplung

6.4 Messung der Ersatzschaltbildgrößen des Transformators

6.5 Frequenzabhängigkeit der Spannungsübersetzung einesTransformators

7 Mehrphasensysteme

- 7.1 Die m-Phasensysteme

- 7.2 Symmetrische verkettete Dreiphasensysteme

- 7.3 Unsymmetrische verkettete Dreiphasensysteme

- 7.4 Messung der Leistungen des Dreiphasensystems

7.1 Die m-Phasensysteme

7.2 Symmetrische verkettete Dreiphasensysteme

7.3 Unsymmetrische verkettete Dreiphasensysteme

7.4 Messung der Leistungen des Dreiphasensystems

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

- 8.1 Grundlagen für die Behandlung von Ausgleichsvorgängen

- 8.2 Berechnung von Ausgleichsvorgängen durch Lösung von Differentialgleichungen

- 8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

- 8.3.1 Grundlagen für die Behandlung der Ausgleichsvorgänge mittels Laplace-Transformation

- 8.3.2 Lösungsmethoden für die Berechnung von Ausgleichsvorgängen

- 8.3.1 Grundlagen für die Behandlung der Ausgleichsvorgänge mittels Laplace-Transformation

- 8.3.2 Lösungsmethoden für die Berechnung von Ausgleichsvorgängen

8.1 Grundlagen für die Behandlung von Ausgleichsvorgängen

8.2 Berechnung von Ausgleichsvorgängen durch Lösung von Differentialgleichungen

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

- 8.3.1 Grundlagen für die Behandlung der Ausgleichsvorgänge mittels Laplace-Transformation

- 8.3.2 Lösungsmethoden für die Berechnung von Ausgleichsvorgängen

8.3.1 Grundlagen für die Behandlung der Ausgleichsvorgänge mittels Laplace-Transformation

8.3.2 Lösungsmethoden für die Berechnung von Ausgleichsvorgängen

9 Fourieranalyse von nichtsinusförmigen periodischen Wechselgrößen und nichtperiodischen Größen

- 9.1 Fourierreihenentwicklung von analytisch gegebenen nichtsinusförmigen periodischen Wechselgrößen

- 9.2 Reihenentwicklung von in diskreten Punkten vorgegebenen nichtsinusförmigen periodischen Funktionen

- 9.3 Anwendungen der Fourierreihe

- 9.4 Die Darstellung nichtsinusförmiger periodischer Wechselgrößen durch komplexe Reihen

- 9.5 Transformation von nichtsinusförmigen nichtperiodischen Größen durch das Fourierintegral

9.1 Fourierreihenentwicklung von analytisch gegebenen nichtsinusförmigen periodischen Wechselgrößen

9.2 Reihenentwicklung von in diskreten Punkten vorgegebenen nichtsinusförmigen periodischen Funktionen

9.3 Anwendungen der Fourierreihe

9.4 Die Darstellung nichtsinusförmiger periodischer Wechselgrößen durch komplexe Reihen

9.5 Transformation von nichtsinusförmigen nichtperiodischen Größen durch das Fourierintegral

10 Vierpoltheorie

- 10.1 Grundlegende Zusammenhänge der Vierpoltheorie

- 10.2 Vierpolgleichungen, Vierpolparameter und Ersatzschaltungen

- 10.3 Vierpolparameter passiver Vierpole
- 10.4 Betriebskenngrößen von Vierpolen
- 10.5 Leistungsverstärkung und Dämpfung
- 10.6 Spezielle Vierpole

- 10.7 Zusammenschalten zweier Vierpole

- 10.7.1 Grundsätzliches über Vierpolzusammenschaltungen

- 10.7.2 Die Parallel-Parallel-Schaltung zweier Vierpole

- 10.7.3 Die Reihen-Reihen-Schaltung zweier Vierpole

- 10.7.4 Die Reihen-Parallel-Schaltung zweier Vierpole

- 10.7.1 Grundsätzliches über Vierpolzusammenschaltungen

- 10.7.2 Die Parallel-Parallel-Schaltung zweier Vierpole

- 10.7.3 Die Reihen-Reihen-Schaltung zweier Vierpole

- 10.7.4 Die Reihen-Parallel-Schaltung zweier Vierpole

- 10.8 Die Umrechnung von Vierpolparametern von Dreipolen

- 10.9 Die Wellenparameter passiver Vierpole

10.1 Grundlegende Zusammenhänge der Vierpoltheorie

10.2 Vierpolgleichungen, Vierpolparameter und Ersatzschaltungen

10.3 Vierpolparameter passiver Vierpole
10.4 Betriebskenngrößen von Vierpolen
10.5 Leistungsverstärkung und Dämpfung
10.6 Spezielle Vierpole

10.7 Zusammenschalten zweier Vierpole

- 10.7.1 Grundsätzliches über Vierpolzusammenschaltungen

- 10.7.2 Die Parallel-Parallel-Schaltung zweier Vierpole

- 10.7.3 Die Reihen-Reihen-Schaltung zweier Vierpole

- 10.7.4 Die Reihen-Parallel-Schaltung zweier Vierpole

10.7.1 Grundsätzliches über Vierpolzusammenschaltungen

10.7.2 Die Parallel-Parallel-Schaltung zweier Vierpole

10.7.3 Die Reihen-Reihen-Schaltung zweier Vierpole

10.7.4 Die Reihen-Parallel-Schaltung zweier Vierpole

10.8 Die Umrechnung von Vierpolparametern von Dreipolen

10.9 Die Wellenparameter passiver Vierpole

Sachwortverzeichnis