Trigonometrie kompakt fur Dummies
Author: Mary Jane Sterling
Date: 2014-06-17T22:00:00+00:00
Keywords: Geometry; Mathematics; General
Description: Kurzbeschreibung Die Trigonometrie ist Grundlage für viele andere Bereiche der Mathematik und gerade deshalb sollten Sie sie nie aus den Augen verlieren. »Trigonometrie kompakt für Dummies« gibt Ihnen einen schnellen Überblick über das, was Sie über die Trigonometrie unbedingt wissen sollten. Mit diesem Buch lernen Sie, was Sie über Sinus, Cosinus und Tangens unbedingt wissen sollten. So leicht verständlich wie möglich versucht Mary Jane Sterling Ihnen ihre Begeisterung für Mathematik zu vermitteln, und so ist dies das perfekte Buch für den schnellen Einstieg in die Trigonometrie. Buchrückseit
Publisher: Wiley Verlag
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1. Auflage 2006

© 2012 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim

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Coverfoto: Fotolia Jeanette Dietl

Korrektur: Frauke Wilkens, München

Satz: Beltz Bad Langensalza GmbH, Bad Langensalza

ISBN: 978-3-527-70908-3

Inhaltsverzeichnis

Einführung

Über dieses Buch

Konventionen in diesem Buch

Falsche Voraussetzungen

Wie Sie nicht lesen müssen

Wie dieses Buch strukturiert ist

Teil I: Die Grundlagen

Teil II: Trigonometrische Funktionen

Teil III: Identitäten

Teil IV: Gleichungen und Anwendungen

Teil V: Graphen trigonometrischer Funktionen

Teil VI: Der Top-Ten-Teil

Die Symbole in diesem Buch

Wie es weitergeht

Teil I Die Grundlagen

Kapitel 1 Trigonometrie – Formalien, die Sie einfach brauchen

Packen wir’s an: Was ist Trigonometrie?

Die wichtigsten Figuren

Winkel und ihre Position

Positionen mit Hilfe von Dreiecken festlegen

Bilden wir einen Kreis!

Trigonometrie-Slang

Trigonometrische Funktionen definieren

Gleichungen und Gleichheit

Graphen sind Gold wert!

Wir brauchen Skalen für die Graphen!

Grundlegende Graphen erkennen

Kapitel 2 Alles eine Frage der Koordination: Kartesische Koordinaten

Wir fangen ganz einfach an: Punkte eintragen

Ohne Achsen geht es nicht

Der Ursprung von allem

X gegen Y antragen

Zerlegen wir den Graphen in vier Teile!

Von hier nach dort: Distanzen berechnen

Zählen bei vertikalen und horizontalen Distanzen

Jetzt wird es schräg: Diagonale Distanzen

Exakte Werte oder geschätzte Distanzen

Und jetzt zum Mittelpunkt

Kapitel 3 Funktionen funktionieren

Relationen oder Funktionen?

Und welche Funktion hat die Funktion?

Die Funktionsnotation

Definitionsbereich und Wertebereich festlegen

Inverse Funktionen – alles hat seinen Grund

Für welche Funktionen gibt es Inverse?

Eine inverse Funktion finden

Funktionen manipulieren

Verschiebung einer Funktion

Spieglein, Spieglein an der Wand

Kapitel 4 Wie wichtig sind uns Grade

Winkel allüberall: Messen in Graden

Eine Koordinatenebene in Stücke schneiden

Auf der Suche nach den Gradmaßen

Winkel an der Standardposition zeichnen

Anfangs- und Endseiten der Winkel in Position bringen

Kapitel 5 Und jetzt zum Pi: Winkel im Bogenmaß

Was ist ein Radiant?

Das Verhältnis zum Kreis

Grade und Radianten umrechnen

Teil II Trigonometrische Funktionen

Kapitel 6 Mit trigonometrischen Funktionen liegen Sie richtig!

Wie trigonometrische Funktionen funktionieren

Das Namensspiel: Die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks

Die sechs Verhältnisse: Bringen wir die drei Seiten zueinander in Beziehung

Die Sinus-Funktion: Gegenkathete durch Hypotenuse

Die Kosinus-Funktion: Ankathete durch Hypotenuse

Die Tangens-Funktion: Gegenkathete durch Ankathete

Und jetzt das Ganze zusammen: Mit einer Funktionnach einer anderen auflösen

Der nächste Schritt: Reziproke Funktionen

Die Kosekans-Funktion: Der umgekehrte Sinus

Die Sekans-Funktion: Kosinus auf dem Kopf

Die Kotangens-Funktion: Tangens verkehrt

Lieblingswinkel

Die beliebtesten Winkel

Die exakten Werte von Funktionen ermitteln

Kapitel 7 Tausche Dreieck gegen Kreis: Kreisfunktionen

Der Einheitskreis als Konvention

Punkte auf dem Einheitskreis platzieren

Eine fehlende Koordinate finden

Die Winkel tanzen im Kreis!

Bleiben wir positiv!

Seien Sie negativ – oder multiplizieren Sie Ihre Winkel

Referenzwinkel finden und berechnen

Trigonometrische Funktionen für alle Winkel definieren

Referenzwinkel einsetzen

Bestimmung der Optimisten und der Pessimisten

Alle Regeln kombinieren

Kreiskoordinaten für die Lösung trigonometrische Funktionen

Definitionsbereiche und Wertebereiche trigonometrischer Funktionen

Freundliche Funktionen: Sinus und Kosinus

Enge Verwandte ihrer Reziprok-Funktionen:

Kosekans und Sekans

Blutsbrüder: Tangens und Kotangens

Kapitel 8 Trigonometrische Funktionen für den Alltag

Das Wichtigste zuerst: Auf- und Abstiege

Neigungswinkel

Die Höhe großer Gebäude bestimmen

Das Burgfräulein auf dem Turm

Die Höhe eines Baumes bestimmen

Die Distanz zwischen Gebäuden messen

Steigung messen

Der Himmel ist (nicht) die Grenze

Einen Ballon orten

Verfolgen wir die Rakete!

Teil III Identitäten

Kapitel 9 Grundlegende Identitäten der Trigonometrie

Funktionen verkehrt: Reziproke Identitäten

Funktion um Funktion: Verhältnis-Identitäten

Gegensätze ziehen sich an: Identitäten für entgegengesetzte Winkel

Zurück zum klassischen Satz: Pythagoreische Identitäten

Die Mutter aller Pythagoreischen Identitäten

Neuanordnung der Pythagoreischen Identitäten

Kapitel 10 Mit Identitäten arbeiten

Addieren wir das Ganze

Differenzen sind zu klären

Verdoppeln Sie Ihr Geld!

Eins plus eins gibt zwei Sinus

Ein Massenandrang

Halbieren macht auch Spaß!

Was es mit dem ± auf sich hat

Teil IV Gleichungen und Anwendungen

Kapitel 11 Inverse trigonometrische Funktionen

Die richtige Darstellung

Die Notation

Zwischen wenigen und vielen unterscheiden

Definitionsbereich und Wertebereich inverser trigonometrischer Funktionen bestimmen

Inverse Sinus-Funktion

Inverse Kosinus-Funktion

Inverse Tangens-Funktion

Inverse Kotangens-Funktion

Inverse Sekans-Funktion

Inverse Kosekans-Funktion

Überblick über Definitionsbereich und Wertebereich

Die Arbeit mit Inversen

Kapitel 12 Trigonometrische Gleichungen lösen

Einfache Lösungen erzeugen

Ausklammern in den Lösungen

Einen größten gemeinsamen Faktor finden

Quadrate ausklammern

Grade durch Ausklammern erhöhen

Ausklammern durch Gruppierung

Die Quadratformel anwenden

Identitäten berücksichtigen

Mehrfachwinkel-Lösungen finden

Beide Seiten quadrieren

Kapitel 13 Gesetze befolgen

Die Teile von Dreiecken beschreiben

Standardisierung der Teile

Ein Dreieck bestimmen

Der Sinus-Satz

Weiter mit dem Kosinus-Satz

Den Kosinus-Satz definieren

Kosinus-Satz für SWS

Kosinus-Satz für SSS

Der Tangens-Satz

Dreiecksflächen berechnen

Die Fläche nach Grundlinie und Höhe berechnen

Die Fläche aus drei Seiten berechnen

Die Fläche mit SWS ermitteln

Teil V Die Graphen trigonometrischer Funktionen

Kapitel 14 Graphen für Sinus und Kosinus

Das ABC der Graphen

Sinus-Wellen

Amplitude und Periode

Die Sinus-Gleichung formalisieren

Den Sinus verschieben

Der Kosinus-Graph

Kosinus und Sinus vergleichen

Eigenschaften für das Zeichnen des Kosinus-Graphen

Kapitel 15 Graphen für Tangens und Kotangens

Der Tangens

Die Periode bestimmen

Die Asymptoten zuordnen

Teil VI Der Top-Ten-Teil

Kapitel 16 Zehn grundlegende Identitäten ... und noch eine

Reziprok-Identitäten

Verhältnis-Identitäten

Pythagoreische Identitäten

Gegenwinkel-Identitäten

Stichwortverzeichnis

Einführung

Einige der praktischsten Erfindungen der Menschheit wurden durch die Trigonometrie erst möglich. Noch bevor die Mathematiker die Trigonometrie zu einem Studienfach machten und sie für die Lösung von Aufgaben einsetzten, half die Trigonometrie den Menschen, über große Meere zu segeln, riesige Gebäude zu bauen, Land zu vermessen oder Höhen und Distanzen zu bestimmen.

Auch heute verwenden die Menschen die Trigonometrie noch für diese Zwecke – und für vieles andere mehr. Wenn Sie den Pilotenschein machen, brauchen Sie die Trigonometrie. Außerdem ist sie Grundlage vieler Mathematikvorlesungen, wie beispielsweise im Bereich der Algebra. Die Trigonometrie gibt es überall, weil sie sehr flexibel einsetzbar ist. Sie trägt das Beste aus Algebra und Geometrie zusammen und erlaubt uns interessante Anwendungen in Theorie und Praxis.

Sie können beliebig tief in dieses Buch einsteigen – zum Schluss werden Sie immer noch denken: »Das also ist Trigonometrie. Ich wusste gar nicht, dass das so viel Spaß macht!« Na gut, manchmal mehr, manchmal weniger.

Ob Sie die Trigonometrie als Grundlage für Ihr Algebrastudium brauchen, ob Sie sich auf Architektur oder technisches Zeichnen vorbereiten oder ob Sie Pilot werden wollen – Sie werden feststellen, dass Sie alles, was Sie brauchen, in Trigonometrie kompakt für Dummies finden. Sie können alle technischen Erklärungen nachvollziehen – oder sie einfach überspringen. Willkommen zu einem Abenteuer der Mathematik, mit dem die Menschheit vor vielen Jahren begonnen hat – ohne es überhaupt zu wissen.

Über dieses Buch

Sie fragen sich vielleicht, warum gerade ein Buch über Trigonometrie Sie faszinieren sollte. Ich weiß gar nicht, wo ich anfangen soll.

Wenn Sie Dreiecke und ihre Verwendungszwecke interessant finden, dann ist dieses Buch genau richtig für Sie. Und wenn Sie sich für Winkel interessieren? Geschätzter Leser, dann sind Sie hier ebenfalls richtig! Ich werde Ihnen Winkel aller Größen und Formen zeigen: große und kleine, mit unterschiedlichen Namen und in Grad oder im Bogenmaß gemessen. »Was ist das Bogenmaß?«, fragen Sie jetzt. Sie werden es in diesem Buch natürlich erfahren. Wenn Sie analytisches Interesse haben, werden Sie Spaß an den Identitäten und an der Lösung von Gleichungen haben. Und wenn Sie eher der Künstler sind, zeigt Ihnen dieses Buch einfache trigonometrische Graphen, komplizierte trigonometrische Graphen und alles, was dazwischen liegt.

Konventionen in diesem Buch

Um Ihnen zu helfen, sich in diesem Buch zurechtzufinden, folgt es einigen Konventionen.

Weil die Terminologie der Mathematik sehr präzise ist, habe ich wichtige Begriffe oder Konzepte kursiv gekennzeichnet.

Ich habe alle üblichen mathematischen Symbole für Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Wurzeln verwendet. Alle Symbole entsprechen dem Standard.

Ich zeige zahllose Beispiele, deren Einzelschritte jeweils genau erklärt werden.

Falsche Voraussetzungen

Natürlich lesen Sie Trigonometrie kompakt für Dummies nicht, weil es so viel interessanter ist als der neueste Bestseller. Wahrscheinlich würde ich auch nicht zum Spaß ein Buch über Trigonometrie lesen. Ich gehe jedoch davon aus, dass Sie das Buch freiwillig lesen. Während ich dieses Buch geschrieben habe, habe ich jedoch ein paar weitere Voraussetzungen in Hinblick auf den Leser angenommen:

Sie haben ein Ziel vor Augen: Sie wollen sich mit einigen Themen dieses Buches beschäftigen, so dass Sie eine ausreichende Vorbereitung für bestimmte Vorlesungen besitzen.

Sie besitzen ausreichende Grundlagen aus der Algebra und können einfache algebraische Gleichungen lösen.

Sie wollen an einer Quizshow wie »Wer wird Millionär« teilnehmen und müssen sich auf die wichtigsten Fragen aus der Trigonometrie vorbereiten.

Wie Sie nicht lesen müssen

Anders als einen Roman müssen Sie dieses Buch nicht von vorne nach hinten lesen. Die Kapitel sind weitgehend unabhängig, so dass Sie nicht allzu oft nachschlagen müssen. Ich versuche, die Konzepte so klar wie möglich zu beschreiben und den Stoff in verständlicher Sprache zu erklären, so dass Sie Spaß haben können und etwas lernen. Die Texte in den grauen Kästen sind übrigens nur zur Unterhaltung vorgesehen. Manchmal schweife ich ab, und dieses Format ist optimal dafür geeignet.

Wie dieses Buch strukturiert ist

Dieses Buch ist strukturiert. Die verschiedenen Themen sind sinnvoll gruppiert und folgen einem logischen Ablauf.

Teil I: Die Grundlagen

Dieser Teil enthält die Geometrie, die Sie brauchen, falls Sie nachschlagen müssen. Sie finden hier die verschiedenen Umrisse, Formen und Konstruktionen von Dreiecken, die in der Trigonometrie wichtig sind – die restliche Geometrie lasse ich jedoch weg. Ich werde Ihnen die vielen Möglichkeiten vorstellen, Winkel zu messen. In einem Rückblick erkläre ich den großen Unterschied zwischen Grad und Radianten. Und wie Sie vielleicht schon erwartet haben, enthält dieses Buch zahlreiche Gleichungen und Graphen und die zugehörigen Erklärungen, so dass Sie nicht im Regen stehen bleiben.

Teil II: Trigonometrische Funktionen

Dieser Teil zeigt, wie die sechs trigonometrischen Funktionen entstanden sind – zuerst erkläre ich sie anhand rechtwinkliger Dreiecke und dann anhand des Einheitskreises. Die rechtwinkligen Dreiecke sind einfacher zu verstehen, und Pythagoras (den Sie sicher aus der Algebra kennen) ist auch dabei. Der Einheitskreis ist notwendig, weil Sie irgendwann auch in der Lage sein wollen, außerhalb eines Dreiecks zu arbeiten. Die Definitionen des rechtwinkligen Dreiecks führen von selbst zu praktischen Anwendungen, die ebenfalls in diesem Teil beschrieben sind.

Teil III: Identitäten

Hier geht es um die Seele der Trigonometrie. Sie werden erfahren, wie die verschiedenen Funktionen zusammenhängen. Ich stelle die Identitäten in verschiedene Gruppen aufgeteilt vor, die Ihnen helfen, sich an sie zu erinnern, und zeigen, wo Sie sie anwenden können.

Teil IV: Gleichungen und Anwendungen

In diesem Teil lernen Sie die inversen trigonometrischen Funktionen kennen, die praktisch für die Lösung von Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen sind. Sie werden viele verschiedene Techniken für die Lösung verschiedener Arten trigonometrischer Gleichungen kennen lernen, und ich zeige Ihnen viele Beispiele, um Sie auf den richtigen Weg zu bringen. Anschließend stelle ich den Sinus- und den Kosinus-Satz vor, die auf ganz natürliche Weise zu mehreren Möglichkeiten führen, die Fläche eines Dreiecks zu berechnen.

Teil V: Graphen trigonometrischer Funktionen

Die Überschrift zu diesem Teil allein sagt schon alles. Sie finden hier die Graphen der sechs Grundfunktionen.

Teil VI: Der Top-Ten-Teil

Die Zehnerauflistung in diesem Teil, in der Sie schnell nachschlagen können, bietet einen Überblick über viele Identitäten und Gleichungen, die Sie zur Lösung trigonometrischer Aufgaben brauchen. Diese Liste ermöglicht Ihnen, die grundlegenden trigonometrischen Identitäten schnell zu finden.

Die Symbole in diesem Buch

Die Symbole, die auf bestimmte Informationen hinweisen, die vielleicht wichtig für Sie sind, sind überall leicht zu erkennen. In diesem Buch werden die folgenden Symbole verwendet:

Dieses Symbol gibt Ihnen entweder einen Hinweis auf ein wichtiges trigonometrisches Konzept oder verweist auf Informationen, die Sie möglicherweise schon aus früheren Mathematikstunden kennen. Ich erkläre die Konzepte hier, so dass der neue Stoff die richtige Grundlage erhält.

Ein Tipp ist genau das, was Sie erwarten: ein bisschen Unterstützung, um ein neues Konzept zu verstehen oder eine Aufgabe zu lösen.

Dieses Symbol weist natürlich auf Regeln der Trigonometrie hin, insbesondere für Gleichungen, Ausdrücke, Formeln oder Identitäten, auf die Sie achten sollten. Sie sind wichtig!

In jedem Bereich der Mathematik gibt es Konzepte, die kompliziert oder verwirrend sein können, oder Aufgabenstellungen, bei denen man nur zu leicht Fehler macht. Dieses Symbol soll Sie warnen, nicht in eine mathematische Falle zu gehen.

Wie es weitergeht

Als ich noch auf dem College war, tröstete meine Freundin Judy Christopher mich einmal mit den folgenden Worten: »Das Leben ist wie eine Sinus-Kurve; es gibt Höhen und Tiefen. Wenn du dich grade am Boden fühlst, dann denk daran, dass es bald schon wieder aufwärts gehen wird.« Vielleicht wollen Sie also mit den Graphen für die Sinus-Kurven oder andere trigonometrische Funktionen anfangen. Machen Sie das Beste daraus.

Oder vielleicht sind Sie wie ich ein Rätselfreund. Nichts macht Ihnen mehr Freude, als kleine Informationsstücke zusammenzutragen und zu einem logischen Muster zu verknüpfen. Wenn diese Beschreibung auf Sie zutrifft, lesen Sie am besten die Kapitel über die Identitäten und das Lösen von Gleichungen. Dieses Buch bietet genügend Abwechslung für einen verregneten Sonntagnachmittag.

Interessieren Sie sich für Winkel, Richtungen und Ebenen? Dann sollten Sie mit den Kapiteln anfangen, in denen Sie lernen, Winkel zu messen, und erfahren, wie sie in Ihrem täglichen Leben vorkommen. Es ist nie verkehrt, bei den Grundlagen anzufangen, wenn man sich einem Thema nähert.

Egal, wo Sie anfangen – Sie können natürlich jederzeit weiter- oder zurückblättern. Verstehen Sie es als Abenteuer, das Sie an viele interessante Orte bringen wird. Viel Spaß!

Teil I

Die Grundlagen

In diesem Teil ...

Die Trigonometrie ist eng mit der Geometrie verwandt - mit einem Schuss Algebra. Die Kapitel in diesem Teil vermitteln Ihnen die Geometrie der Dreiecke sowie die Grundlagen der Winkelmessung sowohl in Grad als auch im Bogenmaβ. Mit ein paar zusätzlichen Graphen und Formeln sind Sie dann ausreichend gerüstet, um richtig in die Trigonometrie einzusteigen.

1

Trigonometrie – Formalien, die Sie einfach brauchen

In diesem Kapitel ...

Erfahren, was Trigonometrie ist

Die Sprache der Trigonometrie kennen lernen

Alles in Gleichungen ausdrücken

Graphen zeichnen – für ein besseres Verständnis

Wie fand Kolumbus seinen Weg über den Atlantik? Wie haben die Ägypter ihre Pyramiden gebaut? Wie maßen die ersten Astronomen die Entfernung zum Mond? Nein, Kolumbus folgte nicht dem Regenbogen. Die Ägypter hatten auch keine Lego-Baupläne. Und es gab kein Bandmaß, das auch nur annähernd bis zum Mond gereicht hätte. Es gibt nur eine Antwort: Trigonometrie.

Trigonometrie ist die Lehre von Winkeln und Dreiecken und von all den wunderbaren Dingen, die Sie damit anstellen können. Jahrhunderte lang konnten Menschen Distanzen messen, die sie physisch nie hätten erreichen können – dank dieses Bereichs der Mathematik.

Packen wir’s an: Was ist Trigonometrie?

»Was für ein Winkel ist das eigentlich?« Diese Frage begegnet uns sehr viel seltener als »Welches Sternzeichen haben Sie?« In der Trigonometrie können Sie Winkel in Grad und im Bogenmaß messen. Sie können sie in Dreiecke und Kreise verschieben und alles Mögliche damit machen. Winkel gehören untrennbar zur Trigonometrie. Natürlich brauchen Sie auch die Algebra und andere Mathematik. Aber ohne Winkel gibt es keine Trigonometrie. Sie setzen einen Winkel in eine trigonometrische Funktion ein und erhalten eine ganz bestimmte, eindeutige Zahl. Was machen Sie mit dieser Zahl? Lesen Sie einfach weiter, weil es genau darum in der Trigonometrie geht.

Die wichtigsten Figuren

Strecken, Strahlen und Geraden sind einige der grundlegenden Formen der Geometrie, und in der Trigonometrie sind sie fast genau so wichtig. Wie ich Ihnen auf den nächsten Seiten erklären werde, benutzen Sie diese Strecken, Strahlen und Geraden, um Winkel zu bilden.

Strecken, Strahlen und Geraden zeichnen

Eine Strecke ist eine gerade Figur, die zwischen zwei Endpunkten gezeichnet wird. Normalerweise benennt man sie anhand ihrer Endpunkte, die mit Großbuchstaben bezeichnet werden. Manchmal benennt ein einziger Buchstabe eine Strecke, aber ein Kleinbuchstabe steht in der Regel für einen Winkel, der dieser Strecke gegenüberliegt.

Ein Strahl ist eine andere gerade Figur, die einen Endpunkt hat und von dort aus unendlich in eine bestimmte Richtung verläuft. Strahlen werden benannt, indem man zuerst ihren Endpunkt und dann einen beliebigen anderen Punkt auf dem Strahl angibt.

Eine Gerade ist eine gerade Figur, die endlos in beide Richtungen verläuft. Sie brauchen nur zwei Punkte, um eine Gerade festzulegen – und nur eine Gerade kann durch beide Punkte verlaufen. Sie können eine Gerade immer nach zwei beliebigen Punkten benennen, die auf ihr liegen.

Abbildung 1.1 zeigt eine Strecke, einen Strahl und eine Gerade.

Abbildung 1.1: Segment AB, Strahl CD und Gerade EF

Sich schneidende Geraden

Wenn sich zwei Geraden schneiden – falls sie sich schneiden –, geschieht dies in genau einem Punkt. Sie können nicht umkehren und sich erneut schneiden. Wenn sich zwei Geraden schneiden, passieren einige bemerkenswerte Dinge. Die Winkel, die sich zwischen diesen beiden Geraden bilden, haben ein ganz bestimmtes Verhältnis zueinander. Jeweils zwei nebeneinander liegende Winkel, die sich auf einer Seite befinden, werden als Nebenwinkel bezeichnet. In Abbildung 1.2 schneiden sich die Geraden AB und CD am Punkt E. Die beiden Winkel unterhalb der Geraden CD (nummeriert als 1 und 2) sind Nebenwinkel. Dasselbe gilt für die beiden Winkel rechts von Gerade AB (nummeriert als 3 und 4), die Winkel links von Gerade AB (nummeriert als 1 und 4) und die Winkel über der Geraden CD (nummeriert als 3 und 4). Dieser Schnittpunkt bildet also vier verschiedene Paare von Nebenwinkeln.

Die Winkel, die einander gegenüberliegen, wenn sich zwei Geraden schneiden, haben ebenfalls einen speziellen Namen. Die Mathematiker bezeichnen sie als Scheitelwinkel. Sie haben keine gemeinsamen Seiten. Abbildung 1.2 zeigt zwei Paare von Scheitelwinkeln: das Paar der Winkel links und rechts (nummeriert als 1 und 3) und das Paar der Winkel oben und unten (nummeriert als 2 und 4).

Was haben diese verschiedenen Winkel so Besonderes an sich? Sie unterscheiden sich dahingehend, wie sie sich zueinander verhalten. Die Nebenwinkel werden hier als Supplementwinkel bezeichnet. Die Seiten, die sie nicht gemeinsam haben, bilden eine gerade Linie mit einem Maß von 180 Grad. Die Scheitelwinkel haben immer dasselbe Maß.

Abbildung 1.2: Sich schneidende Geraden bilden Nebenwinkel und Supplementwinkel

Winkel und ihre Position

Wenn sich zwei Geraden, Strecken oder Strahlen berühren oder kreuzen, bilden sie einen Winkel. Im Fall von zwei sich schneidenden Geraden ergeben sich vier verschiedene Winkel. Wenn sich zwei Strecken schneiden, können sie abhängig davon, wie sie sich berühren, einen, zwei oder vier Winkel bilden, wie in Abbildung 1.3 gezeigt. Dasselbe gilt für zwei Strahlen.

Abbildung 1.3: Verschiedene Möglichkeiten, Winkel zu erzeugen

Diese Beispiele zeigen nur einige der Möglichkeiten, wie Sie Winkel bilden können. Die Geometrie beispielsweise sagt, ein Winkel entsteht, wenn zwei Strahlen einen gemeinsamen Endpunkt haben. Sie können also einen Winkel auf vielerlei Arten erzeugen, ebenso wie aus vielen verschiedenen Figuren. Und weil es sich um zwei Strahlen handelt, können Sie die beiden Seiten eines Winkels beliebig ausdehnen, um Messungen, Berechnungen und praktische Problemlösungen zu vereinfachen.

Für die Komponenten aller Winkel gilt dieselbe Namensgebung. Der Punkt, an dem sich die Geraden, Strecken oder Strahlen kreuzen, wird als Scheitelpunkt (Eckpunkt) des Winkels bezeichnet. Vom Scheitelpunkt aus erstrecken sich die beiden Schenkel.

Benennung von Winkeln nach der Größe

Sie können Winkel abhängig von ihrer Größe oder ihrem Gradmaß benennen oder kategorisieren (siehe Abbildung 1.4):

Spitz: Ein Winkel zwischen 0 und 90 Grad

Stumpf: Ein Winkel zwischen 90 und 180 Grad

Rechtwinklig: Ein Winkel mit genau 90 Grad

Gestreckt: Ein Winkel mit genau 180 Grad (eine gerade Linie)

Abbildung 1.4: Winkeltypen – spitz, stumpf, rechtwinklig und gestreckt

Winkel mit Buchstaben bezeichnen

Welchen Namen geben Sie einem Winkel? Warum braucht er überhaupt einen Namen? Größtenteils will man einfach in der Lage sein, einen bestimmten Winkel von allen anderen Winkeln in einer Abbildung zu unterscheiden. Wenn Sie sich ein Bild in einer Zeitung ansehen, wollen Sie schließlich auch die Namen der verschiedenen Leute wissen und in der Lage sein, sie zu unterscheiden. Bei Winkeln wird es Ihnen nicht anders gehen.

Sie können einen Winkel auf drei verschiedene Arten benennen:

Nur nach seinem Scheitelpunkt: Häufig werden Winkel nur nach ihrem Scheitelpunkt bezeichnet, weil diese Beschriftung effizient, sauber und leicht lesbar ist. In Abbildung 1.5 sehen Sie den Winkel A.

Nach einem Punkt auf einem Schenkel, gefolgt vom Scheitelpunkt und einem Punkt auf dem anderen Schenkel: Sie können den Winkel in Abbildung 1.5 beispielsweise als Winkel BAC oder Winkel CAB bezeichnen. Diese Methode der Namensgebung ist sinnvoll, wenn es mehrdeutig sein kann, welchen Winkel in einem Bild Sie meinen. Hinweis: Achten Sie darauf, den Scheitelpunkt immer in der Mitte anzugeben.

Nach einem Buchstaben oder einer Zahl, der bzw. die im Winkel angegeben ist: Normalerweise verwendet man einen griechischen Buchstaben. In Abbildung 1.5 jedoch heißt der Winkel w. Häufig verwendet man der Einfachheit halber eine Ziffer, falls man keine griechischen Buchstaben zur Verfügung hat, oder wenn man später verschiedene Winkel vergleichen will.

Abbildung 1.5: Winkelbezeichnungen

Positionen mit Hilfe von Dreiecken festlegen

Schon Winkel allein sind sehr spannend. Aber wenn Sie sie in ein Dreieck verschieben, ist das die absolute Krönung. Dreiecke sind eine der am häufigsten untersuchten geometrischen Figuren. Die Winkel, aus denen das Dreieck besteht, geben ihm viele seiner charakteristischen Eigenschaften.

Winkel in Dreiecken

Die Winkel innerhalb des Dreiecks ergeben in ihrer Summe immer 180 Grad – nicht mehr, nicht weniger. Ein Dreieck mit dem Namen ABC hat die Winkel A, B und C, und Sie können die Seiten als AB, BC und AC bezeichnen, abhängig davon, welche zwei Winkel um die Seiten herum liegen. Die eigentlichen Winkel können spitz, stumpf oder rechtwinklig sein. Wenn das Dreieck einen stumpfen oder einen rechten Winkel hat, müssen die beiden anderen Winkel spitz sein.

Dreiecke ihrer Form nach benennen

Dreiecke haben spezielle Namen – abhängig von ihren Winkeln und Seiten. Sie können auch mehrere Namen haben – ein Dreieck kann beispielsweise sowohl spitz als auch gleichschenklig sein. Die nachfolgende Liste beschreibt die verschiedenen Winkel. In Abbildung 1.6 sehen Sie die zugehörigen Bilder.

Spitzes Dreieck: Ein Dreieck mit drei spitzen Winkeln

Rechtwinkliges Dreieck: Ein Dreieck mit einem rechten Winkel (die beiden anderen Winkel müssen spitz sein)

Stumpfes Dreieck: Ein Dreieck mit einem stumpfen Winkel (die beiden anderen Winkel müssen spitz sein)

Gleichschenkliges Dreieck: Ein Dreieck mit zwei gleichen Winkeln; die Längen der diesen Winkeln gegenüberliegenden Seiten sind ebenfalls gleich.

Gleichseitiges Dreieck: Ein Dreieck, in dem alle Winkel gleich 60 Grad sind; die Längen aller Seiten sind ebenfalls gleich.

Ungleichseitiges (allgemeines) Dreieck: Ein Dreieck, dessen Winkel oder Seiten nicht dieselben Maße haben

Abbildung 1.6: Dreiecke können abhängig von ihren Eigenschaften mehrere Namen haben

Bilden wir einen Kreis!

Ein Kreis ist eine geometrische Figur, die durch nur zwei Elemente identifiziert und der Größe nach klassifiziert wird: seinen Mittelpunkt und seinen Radius (das ist der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Punkt auf der Kreislinie). Technisch betrachtet ist der Mittelpunkt nicht Bestandteil des Kreises, sondern nur eine Art Anker- oder Referenzpunkt. Der Kreis besteht nur aus all jenen Punkten, die denselben Abstand vom Mittelpunkt haben.

Radius, Durchmesser, Umfang und Fläche

Nachdem Sie einen Punkt als Kreismittelpunkt ausgewählt haben und wissen, wie weit dieser Punkt von allen Punkten entfernt sein soll, die auf der Kreislinie liegen, können Sie ein recht genaues Bild zeichnen. Anhand der Länge des Radius können Sie eine Menge über den Kreis aussagen: seinen Durchmesser (den Abstand von einer Seite zur anderen durch den Mittelpunkt), seinen Umfang (wie weit es ist, ihn zu umrunden) und seine Fläche (wie viele Quadratmeter Sie brauchen, damit er Platz hat). Abbildung 1.7 zeigt diese Merkmale.

Die alten Mathematiker haben herausgefunden, dass der Umfang eines Kreises immer ein wenig mehr als sein dreifacher Durchmesser ist. Mit der Zeit haben sie dieses »ein wenig mehr als der dreifache Durchmesser« immer weiter eingegrenzt, bis sie schließlich einen Wert namens Pi XE ”Pi” XE ”Pi” XE ”Pi” dafür eingeführt haben, dargestellt durch den griechischen Buchstaben π.

Abbildung 1.7: Die verschiedenen Merkmale eines Kreises

Der Dezimalwert von Pi ist nicht exakt – er ist endlos, aber die meisten Menschen verwenden ihn als annähernd 3,14 oder abhängig davon, welche Form für die jeweilige Berechnung am besten geeignet ist.

Die Formel für die Berechnung des Kreisumfangs ist mit π und dem Durchmesser verknüpft.

Umfang eines Kreises: U = πd = 2πr

Das d stellt das Maß des Durchmessers dar, r das Maß des Radius. Der Durchmesser ist immer der doppelte Radius, es ist also jede Form der Gleichung gültig.

Analog dazu ist die Formel für die Kreisfläche mit π und dem Radius verknüpft.

Fläche eines Kreises: A = πr^2

Diese Formel liest man wie »Fläche ist Pi r Quadrat«.

Beispiel: Ermitteln Sie Radius, Umfang und Fläche für einen Kreis mit dem Durchmesser 10 m.

Ist der Durchmesser (d) gleich 10, schreiben Sie diesen Wert als d = 10. Der Radius ist der halbe Durchmesser, also gleich 5 m oder r = 5. Den Umfang ermitteln Sie anhand der Formel U = πd = π · 10 ≈ 3,14 · 10 = 31,4. Der Umfang beträgt also ca. 31 m. Die Fläche ermitteln Sie anhand der Formel A = πr^2 = π5^2 = π · 25 ≈ 3,14 · 25 = 78,50. Die Fläche des Kreises beträgt also etwa 78,5 Quadratmeter.

Sehnen oder Tangenten

Den Durchmesser und den Radius eines Kreises stellen Sie dar, indem Sie Strecken von einem Punkt auf dem Kreis zum Mittelpunkt bzw. durch den Mittelpunkt zu einem anderen Punkt auf dem Kreis zeichnen. Es gibt jedoch noch zwei andere gerade Figuren, die an einem Kreis dargestellt werden können. Eine dieser Figuren wird als Sehne bezeichnet, die andere als Tangente.

Sehnen eines Kreises

Eine Sehne eines Kreises ist eine Strecke, die Sie von einem Punkt auf dem Kreis zu einem anderen Punkt auf dem Kreis zeichnen (siehe Abbildung 1.8). Diese Strecke liegt immer innerhalb des Kreises. Die längstmögliche Sehne ist der Durchmesser. Eine längere Strecke innerhalb des Kreises gibt es nicht.

Abbildung 1.8: Sehnen eines Kreises verbinden zwei Punkte auf dem Kreis

Tangenten an Kreisen

Eine Tangente an einem Kreis ist eine Gerade, ein Strahl oder eine Strecke, die die Außenseite des Kreises an genau einem Punkt berühren, wie in Abbildung 1.9 gezeigt. Sie bewegt sich nie in den Kreis hinein. Eine Tangente kann keine Sehne sein, weil eine Sehne einen Kreis an zwei Punkten berührt und durch das Kreisinnere verläuft.

Sektoren bestimmen

Ein Sektor eines Kreises ist der Teil des Kreises zwischen zwei Radien. Sie können sich so einen Teil wie ein Tortenstück vorstellen (siehe Abbildung 1.10).

Abbildung 1.9: Tangenten an einem Kreis

Abbildung 1.10: Ein Sektor eines Kreises

Sie können die Fläche eines Kreissektors berechnen, wenn Sie den Winkel zwischen den beiden Radien kennen. Ein Kreis hat insgesamt 360 Grad. Wenn ein Sektor also ein Winkelmaß von 60 Grad zwischen den beiden Radien aufweist, nimmt der Sektor oder der Gesamtgradzahl ein. Gleichzeitig gilt, dass der Sektor in diesem Fall der Gesamtfläche des Kreises einnimmt.

Beispiel: Bestimmen Sie die Fläche eines Kreissektors, wenn der Winkel zwischen den beiden Radien, die den Sektor bilden, gleich 80 Grad beträgt, und der Radius des Kreises 9 m lang ist.

2. Ermitteln Sie die Kreisfläche.

Die Fläche des gesamten Kreises beträgt A = πr^2 = π · (4,5)2 = ≈ 3,14 · 20,25 = 63,585, also etwa 63,5 Quadratmeter.

3. Bestimmen Sie den Teil des Kreises, den der Sektor abdeckt.

Der Sektor nimmt nur 80 Grad des Kreises ein. Sie teilen 80 durch 360 und erhalten:

4. Berechnen Sie die Fläche des Sektors.

Multiplizieren Sie den Bruch oder die Dezimalzahl aus Schritt 2 mit der Gesamtfläche, um die Fläche des Sektors zu erhalten: 0,222 · 63,585 ≈ 14,116. Der gesamte Kreis hat eine Fläche von fast 64 Quadratmetern, der Sektor nimmt eine Fläche von etwas mehr als 14 Quadratmetern ein.

Trigonometrie-Slang

In der Mathematik hat sich ebenso wie in anderen Wissenschaften ein ganz spezielles Vokabular gebildet. Einige sehr hübsche Wörter aus unserer Alltagssprache haben im Kontext dieses Bereichs eine ganz spezielle Bedeutung angenommen. Die Trigonometrie bildet da keine Ausnahme.

Trigonometrische Funktionen definieren

Jedes Dreieck besteht aus sechs Teilen: drei Seiten und drei Winkeln. Wenn Sie die Seiten messen und diese Messungen (jeweils zwei davon) zueinander in Beziehung bringen, erhalten Sie drei verschiedene Paarungen. Führen Sie Divisionen für die Paarungen durch – und ändern dabei die Reihenfolge der Paare –, dann erhalten Sie sechs verschiedene Lösungen. Wenn Ihr Dreieck beispielsweise Seiten mit den Maßen 3, 4 und 5 hat, dann ergeben sich die sechs Divisionen und . In Kapitel 7 werden Sie erfahren, was alle diese Brüche in der Welt der trigonometrischen Funktionen bedeuten, indem Sie das Ganze anhand eines rechtwinkligen Dreiecks betrachten. In Kapitel 8 verfolgen Sie dann einen ganz anderen Ansatz. Dort lernen Sie, wie Sie die trigonometrischen Funktionen anhand eines Kreises definieren.

Die sechs trigonometrischen Funktionen heißen Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekans und Kosekans. Diese Bezeichnungen kommen nur in der Trigonometrie vor.

Abkürzungen in der Trigonometrie

Auch wenn das Wort Sinus nicht allzu lang ist, gibt es eine drei Buchstaben kurze Abkürzung dafür, ebenso wie für alle anderen trigonometrischen Funktionen. Die Mathematiker halten diese Abkürzungen für einfacher, und sie passen außerdem besser auf die Tasten der Taschenrechner. Die Funktionen und ihre Abkürzungen sind:

Sinus → sin

Kosinus → cos

Tangens → tan

Kotangens → cot

Sekans → sec

Kosekans → csc

Wie Sie sehen, werden die Abkürzungen aus den jeweils ersten drei Buchstaben der Namen gebildet, außer für den Kosekans. Die Abkürzungen entsprechen natürlich der Schreibweise der Sprache der gebildeten Mathematiker, und das war damals Latein.

Notationen

Winkel sind die wichtigsten Komponenten der Trigonometrie, und häufig kennt man ihr Maß nicht. Für viele Winkel und ihre Winkelmaße gibt es allgemeine Regeln. Sie können die Winkel mit einem Buchstaben, drei Buchstaben oder einer Ziffer benennen, aber um trigonometrische Aufgaben zu lösen und Berechnungen vorzunehmen, bezeichnen die Mathematiker die Winkelmaße in der Regel mit griechischen Buchstaben.

Die gebräuchlichsten Buchstaben für Winkelmaße sind α (Alpha), β (Beta), γ (Gamma) und θ (Theta). In vielen Gleichungen wird die Variable x eingesetzt, um ein Winkelmaß darzustellen.

Die Algebra verwendet konventionelle Notationen wie Hochstellungen, z. B. die 2 in x^2. In der Trigonometrie gelten für Hochstellungen dieselben Regeln und Eigenschaften wie in der restlichen Mathematik. Aber die Hochstellungen in der Trigonometrie sehen häufig anders aus. Tabelle 1.1 zeigt, wie Hochstellungen in der Trigonometrie aussehen können.

In der trigonometrischen Notation sieht es so aus:

Und das bedeutet die Hochstellung:

sin^2θ

(sin θ)2

(sinθ)–1

sin–1 θ

arcsin θ

Tabelle 1.1: Hochstellungen in der Trigonometrie

Der erste Eintrag in Tabelle 1.1 zeigt, wie Sie es sich sparen können, jedes Mal Klammern zu schreiben, wenn Sie eine trigonometrische Funktion potenzieren wollen. Diese Notation ist hübsch und praktisch, aber sie kann auch verwirrend sein, wenn Sie den »Code« nicht kennen. Der zweite Eintrag zeigt, wie Sie den Reziprokwert einer trigonometrischen Funktion darstellen können. Es bedeutet, Sie teilen 1 durch den Wert der Funktion. Der letzte Eintrag in Tabelle 1.1 zeigt, wie Sie die inverse Sinus-Funktion schreiben können. Mit der Hochstellung von –1 unmittelbar hinter dem Sinus drücken Sie aus, dass Sie über den inversen Sinus (oder arcsin) sprechen, nicht über den Reziprokwert der Funktion. In Kapitel 13 geht es detaillierter um inverse trigonometrische Funktionen, dann wird auch die Notation für eine inverse trigonometrische Funktion klarer.

Funktionen mit Winkeln

Die Funktionen in der Algebra verwenden zahlreiche Operationen und Symbole, die sich von den Zeichen für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division in der Arithmetik unterscheiden. Betrachten Sie beispielsweise die Quadratwurzeloperation . Wenn Sie 25 unter das Quadratwurzelsymbol stellen, erhalten Sie die Lösung 5. Andere Operationen in der Algebra, wie etwa der Absolutwert, Brüche und die Schrittfunktion, werden in der Trigonometrie ebenfalls verwendet. Aber die Welt der Trigonometrie erweitert diesen Horizont und führt noch differenziertere Prozesse ein. Wenn Sie mit trigonometrischen Funktionen arbeiten, müssen Sie eine ganz neue Menge an Werten lernen. Um beispielsweise die Sinus-Funktion auf 25 anzuwenden, schreiben Sie: sin 25. Die Lösung, die daraus entsteht, ist 0,423 oder –0,132, abhängig davon, ob Sie in Grad oder im Bogenmaß arbeiten (weitere Informationen über diese beiden wichtigen Konzepte der Trigonometrie finden Sie in den Kapiteln 4 und 5). In der Regel kann man sich die Werte, die durch Anwendung der trigonometrischen Funktionen auf Winkelmaße entstehen, nicht ganz einfach merken, und man kann sie auch nicht auf Anhieb erkennen. Sie brauchen also trigonometrische Tabellen für die Werte oder wissenschaftliche Taschenrechner, um mit der Trigonometrie zurechtzukommen.

Im Allgemeinen gilt: Wenn Sie eine trigonometrische Funktion auf ein Winkelmaß anwenden, erhalten Sie irgendeine reale Zahl. Einige Winkel und trigonometrische Funktionen produzieren übersichtlichere Werte, die meisten jedoch nicht. Tabelle 1.2 zeigt die trigonometrischen Funktionen für einen 30°-Winkel.

Trigonometrische Funktion

Auf drei Dezimalstellen gerundeter Wert

sin 30°

0,500

cos 30°

0,866

tan 30°

0,577

cot 30°

1,732

sec 30°

1,155

csc 30°

2,000

Tabelle 1.2: Die trigonometrischen Funktionen für einen Winkel von 30 Grad

Es gibt einige charakteristische Eigenschaften, die von Einträgen in Tabelle 1.2 bestätigt werden. Beispielsweise gilt, dass die Sinus- und Kosinus-Funktionen immer Werte zwischen –1 und 1 haben. Die Sekans- und Kosekans-Funktionen haben immer Werte gleich oder größer 1 oder gleich oder kleiner –1. Ich werde in Kapitel 7 genauer auf diese Eigenschaften eingehen.

Anhand der Tabelle im Anhang finden Sie weitere Werte von trigonometrischen Funktionen für bestimmte Winkelmaße (in Grad):

Ich habe diese Beispielwerte gewählt, damit die Ergebnisse rund und handlich erscheinen. Beachten Sie jedoch, dass sich die meisten Winkel und die meisten Funktionen sehr viel unübersichtlicher präsentieren.

Gleichungen und Gleichheit

Die Trigonometrie bietet Antworten auf viele Fragen aus dem Ingenieurswesen, aus der Navigation und aus der Wissenschaft. Die ersten Astronomen, Ingenieure, Bauern und Seeleute verfügten nicht über die aktuellen Systeme symbolischer Algebra und Trigonometrie, um ihre Probleme zu lösen, aber sie haben es trotzdem geschafft und das Feld für spätere Entwicklungen in der Mathematik bereitet. Die Menschen profitieren heute wesentlich von den schnellen und effizienten Methoden, Gleichungen in der Trigonometrie zu lösen, ebenso wie von den speziellen Techniken und trigonometrischen Gleichungen, mit denen sie experimentieren können und die von den Mathematikern der Vergangenheit entwickelt wurden.

Die Methoden, die Sie für die Lösung von Gleichungen in der Algebra verwenden, verfolgen einen völlig anderen Ansatz, wenn Sie in der Trigonometrie Identitäten verwenden (kurz gesagt, sind das Äquivalenzen, die Sie in Gleichungen einsetzen können, um sie zu vereinfachen). Um das Ganze zu vereinfachen (oder zum Teil auch zu verkomplizieren), können die verschiedenen trigonometrischen Funktionen viele verschiedene Identitäten haben. Man könnte fast sagen, es handelt sich um multiple Persönlichkeiten. Wenn Sie trigonometrische Gleichungen und trigonometrische Identitäten auflösen, arbeiten Sie ähnlich wie ein Detektiv, indem Sie substituieren, vereinfachen und auflösen. Welche Antwort erwarten Sie bei der Auflösung von Gleichungen? Winkel natürlich!

Nehmen Sie beispielsweise eine trigonometrische Gleichung: sin θ + cos^2 θ = 1.

Bei diesem Problem geht es darum, herauszufinden, welche Winkel für θ eingesetzt werden können, damit die Gleichung stimmt. In diesem Fall gilt: Wenn θ beispielsweise gleich 0 Grad, 90 Grad oder 180 Grad ist, dann ist die Gleichung richtig.

Wenn Sie in der Gleichung θ durch 0 Grad ersetzen, erhalten Sie:

Wenn Sie in der Gleichung θ durch 90 Grad ersetzen, erhalten Sie:

Etwas Ähnliches passiert für 180 Grad und alle anderen Winkelmaße, die in dieser Gleichung funktionieren. Beachten Sie jedoch, dass das nicht mit jedem Winkel geht. Ich habe sorgfältig die Winkel ausgewählt, bei denen es sich um Lösungen handelt, nämlich Winkel, für die die Gleichung gilt. Um trigonometrische Gleichungen wie diese zu lösen, müssen Sie inverse trigonometrische Funktionen, trigonometrische Identitäten und algebraische Techniken anwenden. In den Kapiteln 10 bis 13 erfahren Sie genau, wie Sie diese Prozesse anwenden können. Wenn Sie damit fertig sind, geht es in Kapitel 14 um die Lösung von Gleichungen.

In unserem speziellen Fall verwenden Sie eine Identität, um die Gleichung für alle Lösungen zu berechnen. Sie ersetzen cos^2 θ durch 1 – sin^2 θ, so dass in allen Termen der Sinus verwendet wird – oder nur eine Zahl. Es gibt natürlich auch noch andere Möglichkeiten, die

Identität von cos^2 θ zu ändern. Ich habe 1 – sin^2 θ verwendet, aber es wären auch oder möglich gewesen. Um die Lösung solcher Gleichungen wird es in Kapitel 14 gehen.

Dieses Beispiel sollte Ihnen einfach zeigen, dass eine Identität der trigonometrischen Funktionen einen Ausdruck wesentlich ändern kann – einigen sehr strengen Regeln gehorchend.

Graphen sind Gold wert!

Die trigonometrischen Funktionen haben ganz eigene Graphendarstellungen, die Ihnen helfen können, ihre Werte innerhalb bestimmter Intervalle und für bestimmte Anwendungen zu verstehen. In diesem Abschnitt beschreibe ich die Achsen. Außerdem zeige ich Ihnen sechs grundlegende Graphen.

Wir brauchen Skalen für die Graphen!

Graphen werden in der Algebra, in der Geometrie und in anderen mathematischen Bereichen in der Koordinatenebene gezeichnet. Die x-Achse erstreckt sich nach links und rechts, die y-Achse nach oben und unten. Sie können die Koordinatenebene auch in der Trigonometrie verwenden, allerdings mit einem kleinen Zusatz.

Die x-Achse ist eine trigonometrische Skala mit Markierungen, die sowohl Zahlen (positive und negative) als auch Winkelmaße (Grad oder Radianten) darstellen können. Normalerweise will man, dass horizontale und vertikale Markierungen dieselben Abstände voneinander aufweisen. Um äquivalente Markierungen auf der x-Achse in Grad anzugeben, beachten Sie, dass jeweils 90 Grad etwa 1,6 Einheiten darstellen (dieselben Einheiten, die Sie auf der vertikalen Achse verwenden). Diese Einheiten stellen Zahlen im realen Zahlensystem dar. Die Umwandlungsmethode basiert auf der Beziehung zwischen Gradmaß und Bogenmaß. Weitere Informationen über die Methode zur Berechnung dieser Umwandlung finden Sie in Kapitel 5.

Grundlegende Graphen erkennen

Die Graphen der trigonometrischen Funktionen sind sich zum Teil sehr ähnlich, zum Teil aber auch sehr unterschiedlich. Die Graphen von Sinus und Kosinus sehen sich sehr ähnlich, ebenso wie die von Tangens und Kotangens und die von Sekans und Kosekans. Aber die drei Gruppierungen unterscheiden sich voneinander. Die einzige charakteristische Eigenschaft, die sie alle verbindet, ist die Tatsache, dass sie periodisch sind, das heißt, sie wiederholen immer wieder dieselbe Kurve oder dasselbe Muster in beide Richtungen der x-Achse. Sehen Sie sich dazu Abbildung 1.10 bis Abbildung 1.14 an.

Im Verlauf dieses Buches wird es noch sehr viel um die Graphen trigonometrischer Funktionen gehen. Sie finden diese Beschreibungen in den Kapiteln 16, 17, 18 und 19.

Abbildung 1.11: Der Graph für y = sin x

Abbildung 1.12: Der Graph für y = cos x

Abbildung 1.13: Der Graph für y = tan x

Abbildung 1.14: Der Graph für y = cot x

2

Alles eine Frage der Koordination: Kartesische Koordinaten

In diesem Kapitel ...

Punkte auf einem Graphen eintragen

Den Abstand zwischen zwei Punkten ermitteln

Mittelpunkte finden

Die Steigung einer Geraden berechnen

Kreisgleichungen bestimmen

Ein Bild sagt mehr als 1000 Worte. Wenn Sie in der Mathematik Bilder oder Graphen von Funktionen und Gleichungen zeichnen, verstehen Sie besser, was sie bedeuten. In der Trigonometrie zeichnen Sie neben den Kurven, die die trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekans und Kosekans) darstellen, häufig Winkel und Dreiecke. Das standardmäßige kartesische Koordinatensystem, das Sie zum Zeichnen von Graphen in der Algebra und in anderen Bereichen der Mathematik verwenden, ist dafür am besten geeignet. Wenn Sie nach einer Auffrischung zu diesem System für das Eintragen von Punkten suchen, dann sind Sie in diesem Kapitel richtig. Kurz gesagt, ist es so: Es wird alles von links nach rechts und von unten nach oben gelesen, wobei von den negativen hin zu den positiven Zahlen gezählt wird.

Wir fangen ganz einfach an: Punkte eintragen

Punkte auf einem mathematischen Graphen einzutragen bedeutet, die richtige Position für einen als geordnetes Zahlenpaar dargestellten Punkt zu finden, wie etwa (2, 3), (–1, 4) oder (0, 0). Dieses geordnete Paar bildet die so genannten kartesischen Koordinaten des Punkts. Sie beginnen mit zwei sich schneidenden Geraden, den so genannten Achsen.

Ohne Achsen geht es nicht

Für das Eintragen von Punkten und das Zeichnen von Graphen benötigen Sie zwei Achsen und definierte Abstände (eine »Skala«) auf diesen Achsen. Die beiden sich schneidenden, senkrecht aufeinander stehenden Linien, die einen Graphen aufspannen, werden als horizontale und vertikale Achsen (oder Koordinatenachsen) bezeichnet. Diese Linien erstrecken sich endlos nach links und rechts, nach oben und unten. Die horizontale Achse wird traditionell als x-Achse bezeichnet, owohl sie in der Trigonometrie häufig als die θ-Achse beschriftet ist. Die vertikale Achse ist die y-Achse. Abbildung 2.1 zeigt die beiden Achsen, die sich am Ursprung schneiden, der als 0 beschriftet ist. Der Teil der x-Achse, der vom Ur-
sprung aus nach rechts verläuft, steht für positive Zahlenwerte, und Sie verwenden ihn als Ausgangspunkt oder Ausgangsseite (ersten Schenkel), wenn Sie Winkel in der Standardposition zeichnen.

Abbildung 2.1: Die Koordinatenachsen mit beschriftetem Ursprung

Der Ursprung von allem

Der Punkt, an dem sich die beiden Achsen schneiden, wird als Ursprung bezeichnet. Sie beschriften ihn mit 0 oder mit einem geordneten Zahlenpaar, seinen kartesischen Koordinaten, (0, 0). Der Ursprung ist der Ausgangspunkt für das Abzählen von Abständen, wenn Sie andere Punkte eintragen. Außerdem ist er der Endpunkt der Strahlen (Linien, die sich unendlich in eine einzige Richtung erstrecken), den Sie benutzen, wenn Sie Winkel an der Standardposition der Koordinatenachsen zeichnen.

X gegen Y eintragen

Beim Eintragen von Punkten in einem Koordinatensystem werden die Abstände nach rechts oder links und oben oder unten vom Ursprung aus gezählt. Die Achsen dienen als Ausgangspunkt. Die Punkte werden durch das geordnete Zahlenpaar (x, y) dargestellt oder benannt. Die Bezeichnung geordnetes Zahlenpaar bedeutet, dass die Reihenfolge eine Rolle spielt. Die x-Koordinate kommt immer als Erstes, die y-Koordinate als Zweites, so dass dieses gesamte Graphensystem universell gültig ist.

Die x-Koordinate ist der Abstand vom Ursprung nach links oder rechts bis dorthin, wo der Punkt liegt. Ist die x-Koordinate positiv, gehen Sie vom Ursprung aus nach rechts. Ist sie negativ, gehen Sie nach links. Die zweite Zahl, die y-Koordinate, ist die Distanz vom Ursprung aus nach oben oder unten. Positive Zahlen bedeuten, dass der Punkt oberhalb der x-Achse liegt, negative Zahlen bedeuten, dass er unterhalb der x-Achse liegt.

Der Punkt (2, 4) befindet sich vom Ursprung aus zwei Einheiten nach rechts und vier Einheiten nach oben; (–3, 2) liegt drei Einheiten nach links und zwei Einheiten nach oben; (5, –1) liegt fünf Einheiten nach rechts und eine Einheit nach unten. Punkte können auch auf einer der Achsen liegen. Der Punkt (0, 3) liegt auf der y-Achse. (1, 0) liegt auf der x-Achse. Abbildung 2.2 zeigt, wie alle diese Punkte eingetragen werden.

Abbildung 2.2: Sechs Punkte sind eingetragen und beschriftet

Zerlegen wir den Graphen in vier Teile!

Der Schnittpunkt der x- und y-Achse teilt das ganze Bild, die Koordinatenebene, in vier separate Bereiche, die so genannten Quadranten. Die Quadranten sind nummeriert, beginnend beim Quadranten oben rechts, und dann weiter gegen den Uhrzeigersinn, wie in Abbildung 2.3 gezeigt. Traditionell werden sie mit römischen Ziffern nummeriert.

Abbildung 2.3: Die vier Quadranten der Koordinatenebene

Diese numerischen Bezeichnungen der Quadranten sind praktisch, wenn man auf bestimmte Arten von Winkeln und Punktgruppierungen verweisen will. Die Punkte in Quadrant I haben nur positive x- und y-Koordinaten. In Quadrant II ist die x-Koordinate negativ, die y-Koordinate ist positiv. Die Punkte in Quadrant III haben nur negative x- und y-Koordinaten. In Quadrant IV ist die x-Koordinate positiv, die y-Koordinate negativ.

Von hier nach dort: Distanzen berechnen

Die Längen von Strecken und Distanzen zwischen Punkten spielen eine wichtige Rolle bei der Einrichtung der trigonometrischen Funktionen, Relationen und Identitäten (um die es in den Kapiteln 3 und 10 gehen wird). Sie können diese Längen und Distanzen relativ einfach berechnen, weil das Koordinatensystem so unheimlich praktisch ist.

Zählen bei vertikalen und horizontalen Distanzen

Wenn eine horizontale oder vertikale Distanz gemessen werden soll, ist die Berechnung eine einfache Subtraktionsaufgabe. Dabei ist in jedem geordneten Zahlenpaar jeweils eine Koordinate gleich. Sie ermitteln einfach die Differenz zwischen den beiden anderen Koordinaten.

Um beispielsweise die Distanz zwischen den Punkten (5, 2) und (5, 6) festzustellen, subtrahieren Sie 2 von 6 und erhalten eine Distanz von 4 Einheiten zwischen den Punkten. Diese Distanz ist vertikal, weil die beiden Punkte dieselben
x-Koordinaten haben. Der zweite Punkt liegt direkt über dem ersten. Um die Distanz zwischen den beiden Punkten (5, 6) und (5, –3) zu ermitteln, subtrahieren Sie –3 von 6 und erhalten eine Distanz von 9 Einheiten. Sie subtrahieren immer die kleinere Zahl von der größeren Zahl, so dass es sich bei der ermittelten Distanz um eine positive Zahl handelt. (Negative Distanzen sind nicht sinnvoll; schließlich können Sie nicht –5 km zu Tante Paula reisen!)

Eine andere Möglichkeit, mit den unterschiedlichen Vorzeichen der auftretenden Lösungen zurechtzukommen, ist die Verwendung des Absolutwerts – dann spielt es keine Rolle, in welcher Reihenfolge Sie die Zahlen subtrahieren. Betrachten Sie etwa das obige Beispiel, wo ich –3 von 6 subtrahiert habe. Die Zahl –3 ist kleiner, deshalb ergab die Subtraktion in dieser Reihenfolge eine positive Lösung. Die Alternative ist die Subtraktion in entgegengesetzter Reihenfolge, wobei auf das Ergebnis der Absolutwert angewendet wird. Wenn Sie −3 – 6 berechnen, erhalten Sie –9. Der Absolutwert von –9, dargestellt als |–9|, ist gleich 9.

Für horizontale Distanzen geht es genauso. In Abbildung 2.4 sehen Sie die horizontale Distanz zwischen zwei Punkten. Um die Distanz zwischen den Punkten (–8, 2) und (5, 2) zu ermitteln, berechnen Sie einfach die Differenz zwischen –8 und 5, weil die y-Koordinaten gleich sind. Die kleinere Zahl ist –8, deshalb subtrahieren Sie 5 – (–8) und erhalten –8 – 5 = –13 und |–13| = 13. Sie sehen in Abbildung 2.4 auch die vertikale Distanz zwischen zwei Punkten, (5, 6) und (5, 2). Diese Aufgabe ist mit einfacher Arithmetik zu lösen. Die Differenz zwischen 6 und 2 ist gleich 4.

Abbildung 2.4: Vertikale und horizontale Distanzen zwischen Punkten

Die Berechnung der Distanz zwischen zwei verschiedenen vertikalen oder horizontalen Punkten (x_1, y_1) und (x_2, y_2) ist einfach:

Die vertikale Distanz (die x-Koordinaten sind gleich) ist |y_1 – y_2|.

Die horizontale Distanz (die y-Koordinaten sind gleich) ist |x_1 – x_2|.

Jetzt wird es schräg: Diagonale Distanzen

Manchmal befinden sich die Distanzen oder Längen, die Sie ermitteln wollen, auf einer Schräge – sie verlaufen diagonal von einem Punkt zu einem anderen. Die Formel für die Berechnung dieser Distanzen basiert auf dem Satz von Pythagoras.

Der Satz von Pythagoras

Vor langer Zeit entdeckte Pythagoras, dass es eine Beziehung zwischen den Seiten jedes rechtwinkligen Dreiecks gibt, in dem einer der Winkel 90 Grad hat, wie in Abbildung 2.5 gezeigt.

Abbildung 2.5: Ein rechtwinkliges Dreieck

Pythagoras stellte fest: Wenn a und b die Längen der kürzeren Seiten des rechtwinkligen Dreiecks sind, und c die Länge der Hypotenuse (der Seite gegenüber dem rechten Winkel) ist, dann gilt a^2 + b^2 = c^2. Mit Hilfe dieser Formel ermitteln Sie die diagonalen Distanzen zwischen zwei Punkten auf einem Graphen, weil die horizontalen und vertikalen Distanzen, die die Seiten des Dreiecks bilden, in einem Koordinatensystem leicht festzustellen sind.

Diagonale Distanzen ermitteln

Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras lösen Sie nach c auf, der Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, und erhalten

Wenn es sich bei der Länge a um die horizontale Distanz handelt, berechnen Sie diese Distanz, indem Sie die x-Koordinaten subtrahieren; ist die Länge b die vertikale Distanz, erhalten Sie sie durch Subtraktion der y-Koordinaten.

Um die allgemeine Formel für die Distanz zu erhalten, setzen Sie einfach die Differenz zwischen den x- und y-Werten für a und b im Satz von Pythagoras ein und verwenden die Variable d (für Distanz) anstelle von c.

Die Distanz d zwischen zwei Punkten (x_1, y_1) und (x_2, y_2) ist gleich

Gehen Sie beispielsweise wie folgt vor, um die Distanz zwischen den Punkten (3, –4) und (–2, 5) zu ermitteln:

1. Ersetzen Sie x_1 und x_2 durch 3 und –2. Ersetzen Sie y 1 und y 2 durch –4 und 5.

2. Subtrahieren Sie die Koordinaten.

3. Addieren Sie die Ergebnisse und ziehen Sie die Quadratwurzel, falls möglich.

Im obigen Beispiel ist die Zahl unter der Wurzel keine perfekte Quadratzahl. Sie können die Lösung entweder mit dem Quadratwurzelsymbol angeben oder eine dezimale Annäherung berechnen (siehe folgender Abschnitt). Die Distanz für unser Beispiel beträgt auf drei Dezimalstellen genau gleich 10,269 Einheiten.

Wenn Sie die Distanz zwischen zwei Punkten berechnen, spielt es keine Rolle, in welcher Reihenfolge Sie die Punkte subtrahieren, solange Sie x von x und y von y subtrahieren. Durch die Quadrierung der Differenzen erhalten Sie ohnehin immer eine positive Lösung.

Exakte Werte oder geschätzte Distanzen

Bei der Berechnung der Distanz zwischen zwei Punkten erhalten Sie häufig die Quadratwurzel einer Zahl, bei der es sich nicht um ein perfektes Quadrat handelt; eine solche Lösung wird auch als irrationale Zahl bezeichnet. Wenn Sie die Zahl mit dem Quadratwurzelsymbol schreiben, beispielsweise spricht man vom exakten Wert der Distanz. Wenn Sie mit einem Taschenrechner eine dezimale Annäherung ermitteln, erhalten Sie nie eine exakte Lösung, weil die Dezimalwerte ins Unendliche gehen und sich nie in einem Muster wiederholen. Weil die Dezimalwerte immer Schätzungen sind, bestehen die Mathematiker häufig darauf, die Lösungen zusammen mit dem Quadratwurzelsymbol als exakte Werte beizubehalten, statt Dezimalzahlen zu verwenden.

Obwohl exakte Werte präziser sind, ist in praktischen Situationen die Verwendung dezimaler Annäherungen von Wurzelwerten häufig sinnvoller. Wenn Sie nach der Höhe eines Gebäudes suchen und erhalten, können Sie sich besser vorstellen, wie hoch das Haus ist, wenn Sie eine digitale Annäherung ausrechnen. Ein wissenschaftlicher Taschenrechner sagt Ihnen, dass etwa 13,52774926… ist. Andere Taschenrechner zeigen möglicherweise mehr oder weniger Dezimalstellen an, als ich es hier mache. Normalerweise reichen zwei oder drei Dezimalstellen aus. Wenn Sie den hier gezeigten Wert auf zwei Dezimalstellen runden, erhalten Sie 13,53. Wenn Sie auf drei Stellen runden, erhalten Sie 13,528.

Und jetzt zum Mittelpunkt

Um den Mittelpunkt einer Strecke zu finden, berechnen Sie einfach die Mittelwerte der Koordinaten – einfacher geht’s nicht.

Der Mittelpunkt M einer Strecke mit den Endpunkten (x_1, y_1) und (x_2, y_2) ist

Wenn Sie den Mittelpunkt der Strecke mit den Endpunkten (–4, –1) und (2, 5) ermitteln wollen, setzen Sie einfach die Zahlen in die Mittelpunktsformel ein und erhalten den Mittelpunkt (–1, 2):

Abbildung 2.6 zeigt, wie diese Strecke in Graphenform aussieht.

Abbildung 2.6: Der Mittelpunkt dieser Strecke ist (–1, 2)

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Funktionen funktionieren

In diesem Kapitel ...

Verstehen, warum Funktionen Freunde sind

Das Inverse auf eine Funktion anwenden

Eine Funktion in einem Graphen verschieben

In jeder mathematischen Diskussion treffen Sie auf Regeln, Muster, Operationen oder Beziehungen zwischen den Konzepten, die Sie gerade diskutieren. Ein häufiges Thema in der Mathematik ist die Relation zwischen bestimmten Werten (oft auch als Input und Output bezeichnet), den Werten, von denen Sie ausgehen, und den Werten, die Sie schließlich erhalten. Funktionen sind sehr spezielle Relationen und spielen in der Trigonometrie eine große Rolle. Was unterscheidet eine Relation von einer Funktion, und warum sollten Sie dies berücksichtigen? Die Unterscheidung ist in der gesamten Mathematik von Bedeutung, nicht nur in der Trigonometrie.

Relationen oder Funktionen?

Eine Relation in der Mathematik ist eine Vorschrift, die für eine vorgegebene Eingabe eine bestimmte Ausgabe erzeugt. Die Eingabe ist die Zahl, die Sie anstelle einer Variablen eingeben, und die Ausgabe sind die Ergebnisse, die Sie bei Ausführung der Operationen dieser Relation erhalten. Jede Relation hat eine Vorschrift, oder einen Ausdruck, der normalerweise mathematische Operationen beinhaltet, wie etwa Addition, Subtraktion, Quadratwurzel usw. Beispielsweise könnten Sie eine Relation haben, wo Sie statt der Variablen die Zahl 25 eingeben und zwei Ausgabewerte erhalten, etwa 24 und 27. Die Vorschrift für diese Relation könnte sein, dass Sie eine Zahl eingeben, und die zwei nächstgelegenen Zahlen suchen, die Vielfache von 3 sind. Diese Relation hat mehrere Ausgabewerte, was nicht unbedingt gut sein muss; in der Mathematik gilt, dass weniger manchmal mehr ist.

Eine Funktion dagegen ist eine spezielle Relation. Lesen Sie weiter!

Und welche Funktion hat die Funktion?

Eine Funktion in der Mathematik ist eine Vorschrift, nach der Operationen und Prozesse für Eingabewerte ausgeführt werden, die zu einem einzigen, eindeutigen Ausgabewert führen – nur eine Ausgabe für jede Eingabe. Betrachten Sie beispielsweise eine Funktion, bei der die Eingabe die Zahl 25 ist, und die Ausgabe ist 5. Jetzt gibt es mehrere Möglichkeiten, das Ergebnis 5 zu erhalten, wenn Sie 25 anstelle einer Variablen eingesetzt haben: Sie können die Quadratwurzel der Zahl ziehen oder, wenn Sie noch Anfänger sind, 20 von der Zahl abziehen. Das Wichtigste ist hier, dass die Funktion nur einen Ausgabewert hat.

Betrachten Sie eine Funktion, die eine Wurzel verwendet. Sie geben 25 ein, und die Funktion sieht wie folgt aus: . Die Ausgabe ist der einzelne Wert 5. Eine andere Funktion könnte die Eingabe quadrieren, das Ergebnis mit 2 multiplizieren und dann 3 abziehen. Wenn Sie 8 eingeben, erhalten Sie 2x^2 – 3 = 2 · 8^2 – 3 = 2 · 64 – 3 = 125. Diese Beispiele für Funktionen verwenden grundlegende algebraische Operationen. Ich will Ihnen jedoch hier eigentlich beibringen, dass es eine ganze Klasse von Funktionen gibt, die als trigonometrische Funktionen bezeichnet werden. Und genau deshalb lesen Sie dieses Buch! Eine der trigonometrischen Funktionen heißt Sinus, abgekürzt als sin. Wenn Sie den Sinus von von 30 Grad berechnen, erhalten Sie . Weil der Sinus eine Funktion ist, ist der einzige Ausgabewert. Es scheint trivial oder unnötig, dies hier immer wieder zu betonen, aber in der Trigonometrie ist es sehr wichtig, dass für jede Eingabe nur eine einzige Ausgabe erzeugt wird. Andernfalls würde hier das Chaos herrschen!

Die Funktionsnotation

Die Definition einer Funktion oder ihre Erklärung, wie sie funktioniert, kann zahlreiche Worte umfassen – und damit lang und mühselig werden. Stellen Sie sich vor, Sie müssen schreiben »Quadrieren Sie die Eingabe, multiplizieren Sie dieses Ergebnis mit 2 und subtrahieren Sie dann 3«. Mathematiker sind an effizientes Arbeiten gewöhnt, und sie bevorzugen eine exaktere, schnellere Methode, ihre Anweisungen aufzuschreiben. Die Funktionsnotation sieht also anders aus.

Erstens, Funktionen werden im Allgemeinen durch Buchstaben dargestellt – am häufigsten wird dafür das offensichtliche f verwendet. (Mathematiker sind zwar effizient, aber sie sind nicht unbedingt originell oder kreativ!) Ich möchte, dass die Funktion f die Vorschrift dafür darstellt, eine Zahl zu quadrieren, das Ergebnis mit 2 zu multiplizieren und dann 3 zu subtrahieren. Ich schreibe die Funktion als f(x) = 2x^2 – 3. Sie lesen die Funktion wie folgt: »f von x ist gleich zweimal x Quadrat minus 3«. Das x ist eine Variable – in diesem Fall die Eingabevariable. Egal, was Sie in die Klammern hinter dem f schreiben, es wird für alle x innerhalb der Vorschrift eingesetzt. In der ersten der nachfolgenden Gleichungen wurde x durch 8 ersetzt. In der zweiten Gleichung wurde x durch –4 ersetzt. Die Funktion erzeugt jedes Mal nur eine einzige Lösung:

Fühlen Sie sich dem f aber nicht verpflichtet! Sie können auch andere Buchstaben für die Bezeichnung von Funktionen und ihrer Eingabevariablen verwenden. Manchmal verwendet man Buchstaben, die besser verdeutlichen, worum es geht oder wofür man die Formel berechnet, wie beispielsweise zum Ermitteln der Fläche, der Zinsen oder der Kosten:

Und natürlich gibt es die trigonometrischen Funktionen. Einige trigonometrische Funktionen mit Sinus, Kosinus und Sekans sind etwa:

Definitionsbereich und Wertebereich festlegen

Eine Funktion besteht aus einer Vorschrift, die Sie auf die Eingabewerte anwenden. Das Ergebnis ist ein einziger Ausgabewert. Sie können eine riesige Anzahl von Eingabewerten verwenden, die alle Teil des Definitionsbereichs der Funktion sind. Die Ausgabewerte bilden den Wertebereich der Funktion.

Haben Sie Ihren Definitionsbereich im Griff?

Der Definitionsbereich einer Funktion besteht aus allen Werten, die Sie als Eingabe in die Funktionsvorschrift einsetzen können. Der Definitionsbereich ist eine weitere charakteristische Eigenschaft einer Funktion, weil für unterschiedliche Funktionen unterschiedliche Zahlen eingesetzt werden, die zu sinnvollen Ausgaben führen.

Beispielsweise ist eine Funktion, deren Definitionsbereich keine negativen Zahlen enthalten darf, weil die Quadratwurzel einer negativen Zahl keine reale Zahl ist.

Der Definitionsbereich der Funktion darf die Zahl –3 nicht enthalten. Alle anderen realen Zahlen machen keine Probleme, –3 dagegen ist verboten, denn wenn für das x die Zahl –3 eingesetzt wird, erhält man einen Nenner von 0, und eine Division durch 0 ist nicht erlaubt. (Ein Bruch mit einer 0 im Nenner existiert nicht.) Bei den trigonometrischen Funktionen sind die Eingabewerte immer Winkelmaße – in Grad oder Radianten angegeben. Auch für einige der trigonometrischen Funktionen gibt es Beschränkungen. Beispielsweise hat die Tangens-Funktion einen Definitionsbereich, der neben den vielen beschränkten Werten nicht 90 Grad oder 270 Grad enthalten darf. Diese Definitionsbereiche werden in Kapitel 7 genauer beschrieben.

Endlich am Ziel!

Der Wertebereich einer Funktion besteht aus allen ihren Ausgabewerten – den Zahlen, die Sie erhalten, wenn Sie Zahlen aus dem Definitionsbereich in die Funktion einsetzen und die Funktionsoperationen darauf anwenden. Manchmal kann ein Wertebereich alle realen Zahlen umfassen – er hat keine Beschränkung. Diese Situation haben wir in Funktionen wie etwa h(x) = 3x + 2. In dieser Gleichung sind sowohl Definitionsbereich als auch Wertebereich unbeschränkt. Sie können jede beliebige reale Zahl einsetzen und erhalten als Ausgabe eine reale Zahl. Wertebereiche können jedoch auch beschränkt sein. Beispielsweise hat die Funktion k(x) = x^2 + 6 immer Ergebnisse, die entweder gleich der Zahl 6 oder irgendeiner positiven Zahl größer 6 sind. Sie erhalten nie eine negative Zahl oder eine Zahl kleiner 6 als Ausgabe. Auch die Wertebereiche einiger trigonometrischer Funktionen sind beschränkt. Beispielsweise kann die Ausgabe der Sinus-Funktion nie größer als 1 oder kleiner als –1 werden. Dieses Thema wird in Kapitel 7 noch einmal genauer aufgegriffen.

Inverse Funktionen – alles hat seinen Grund

Funktionen stellen spezielle Beziehungen zwischen mathematischen Werten dar, weil sie für jeden Eingabewert genau einen eindeutigen Ausgabewert erzeugen. Eine detailliertere Definition einer Funktion finden Sie im Abschnitt Und welche Funktion hat diese Funktion? in diesem Kapitel. Manchmal muss man von Funktionen aus rückwärts gehen, wenn man etwa den Ausgabewert kennt und feststellen will, welcher Eingabewert diese Ausgabe erzeugt hat. Und hier kommen die inversen Funktionen ins Spiel.

Für welche Funktionen gibt es Inverse?

Die beste Möglichkeit, eine inverse Funktion zu erklären, ist ein Beispiel: Eine Formel oder eine Funktion berechnen, welche Temperatur in Grad Celsius herrscht, wenn Sie eine Temperatur in Grad Fahrenheit eingeben. Die Funktion ist , wobei C die Lösung in Grad Celsius, f die Temperatur in Grad Fahrenheit darstellen. Wenn Sie den Wert 77 in die Funktion einsetzen, erhalten Sie oder 25 Grad Celsius.

Aber was ist mit der anderen Richtung? Was tun Sie, wenn Sie wissen wollen, welche Temperatur in Celsius einen Wert von 77 Grad Fahrenheit ergibt? Sie bilden die Inverse der Funktion. Wie das geht, zeige ich Ihnen im nächsten Abschnitt. Schenken Sie mir aber noch einen Moment Ihre Aufmerksamkeit. Beachten Sie, dass nur eine Temperatur die Lösung von 77 Grad ergibt. (Es wäre nicht sinnvoll, wenn sowohl 25 Grad Celsius als auch 45 Grad Celsius dieselbe Lösung von 77 Grad Fahrenheit ergäben.)

Merken Sie sich das wichtigste Unterscheidungsmerkmal zwischen Funktionen, die Inverse haben, und Funktionen, für die es keine Inversen gibt: Eine Funktion kann nur dann eine Inverse haben, wenn es sich um eine 1:1-Funktion handelt. Mit anderen Worten, die Funktion muss so ausgelegt sein, dass es für jede Eingabe genau eine Ausgabe gibt, und dass jede Ausgabe aus genau einer Eingabe entsteht – die Ausgabe entsteht nicht für mehrere Eingabewerte.

Ein Beispiel für eine Funktion, für die es eine inverse Funktion gibt, ist f(x) = 4x + 5. Ihre Inverse ist:

Beachten Sie, dass die Funktionsnotation für den Namen der inversen Funktion denselben Buchstaben wie für die Funktion verwendet, allerdings mit dem Exponenten –1. Dieser Exponent bedeutet nicht, dass Sie einen Reziprokwert bilden wollen; stattdessen stellt der Exponent –1 in einem Funktionsnamen eine spezielle mathematische Notation dar, die eine inverse Funktion kennzeichnet. Sie werden dieser Notation in der Trigonometrie häufig begegnen. Die inversen Funktionen haben alle einen Namen, in dem der Exponent –1 im entsprechenden Funktionsnamen verwendet wird. Sie können aber auch einen alternativen Namen haben. Mehr über dieses Namenschaos erfahren Sie in Kapitel 13.

Probieren Sie aus, wie eine inverse Funktion arbeitet, indem Sie die zuletzt vorgestellte Funktion ausführen. Wenn Sie 6 in die Funktion f einsetzen, erhalten Sie f(6) = 4 · 6 + 5 = 29. Nehmen Sie diese Ausgabe, 29, und setzen Sie sie in die inverse Funktion ein, um festzustellen, wo diese Ausgabe herkam: . Diese Funktion und ihre Inverse sind 1:1. Keine andere Eingabe für f erzeugt das Ergebnis 29, und keine andere Eingabe für f −1 erzeugt 6. Nicht alle Funktionen haben jedoch Inverse. Ein Beispiel für eine Funktion, die nicht 1:1 ist, ist g(x) = x^2 – 4. Wenn Sie 7 einsetzen, erhalten Sie g(7) = 7^2 – 4 = 45. Sie erhalten jedoch auch die Ausgabe 45, wenn Sie –7 einsetzen: g(–7) = (–7)2 – 4 = 49 – 4 = 45. Aus dem Ausgabewert können Sie also nicht erkennen, welche der beiden Zahlen als Eingabe verwendet wurde. Diese Funktion ist nicht 1:1, hat also auch keine Inverse.

Manchmal kann man sofort erkennen, ob eine Funktion eine Inverse hat, und manchmal ist diese Eigenschaft nicht so offensichtlich. Nachfolgend zeige ich Ihnen einige recht eindeutige Hinweise, die Sie ableiten können, indem Sie einfach die Funktionsvorschrift genauer betrachten. Eine Funktion hat keine Inverse, wenn:

die Funktionsvorschrift einen geradzahligen Exponenten enthält (außer 0).

die Funktionsvorschrift ein Absolutwertsymbol enthält.

der Graph der Funktion eine horizontale Linie ist.

Sie eine horizontale Linie durch den Graphen der Funktion zeichnen und diese Linie den Graphen mehrfach schneidet.

Für die trigonometrischen Funktionen gibt es Inverse, allerdings unter speziellen Bedingungen – Sie müssen die Definitionsbereiche einschränken. Ich werde in Kapitel 13 genauer darauf eingehen, was es bedeutet, die Definitionsbereiche einzuschränken.

Eine inverse Funktion finden

Nicht alle Funktionen haben Inverse, und nicht alle Inversen sind leicht zu finden. Nachfolgend finden Sie eine praktische Methode, Inverse grundlegender algebraischer Funktionen zu erkennen.

Die Algebra kann helfen!

Die effizienteste Methode, eine inverse Funktion für eine bestimmte 1:1-Funktion zu finden, sieht wie folgt aus:

1. Ersetzen Sie den Funktionsnotationsnamen durch y.

2. Tauschen Sie alle x und y aus (alle x werden zu y und alle y zu x).

3. Lösen Sie die Gleichung nach y auf.

4. Ersetzen Sie y durch die Funktionsnotation für eine inverse Funktion.

Um beispielsweise die inverse Funktion für zu finden, gehen Sie wie folgt vor:

1. Ersetzen Sie den Funktionsnotationsnamen durch y.

2. Tauschen Sie alle x und y aus.

3. Lösen Sie die Gleichung nach y auf.

4. Ersetzen Sie y durch die Funktionsnotation für eine inverse Funktion.

Sehen Sie sich jetzt an, wie diese beiden Funktionen arbeiten. Geben Sie 3 in die ursprüngliche Funktion ein und versuchen Sie dann, wieder zur Zahl 3 zurückzugelangen, indem Sie die Ausgabe, 9, in die inverse Funktion einsetzen.

1. Ersetzen Sie die x in der Funktion durch 3.

2. Ersetzen Sie die x in der inversen Funktion durch 9.

Verwendung neuer Funktionsdefinitionen für Inverse

Manchmal hat man einfach keinen praktischen oder passenden algebraischen Prozess, der einem zu einer inversen Funktion verhilft. Viele Funktionen benötigen eine spezielle, neue Vorschrift für ihre Inverse. Einige Beispiele für solche Funktionen sind:

Funktion

Inverse

f(x) = ex

f −1 (x) = In x

g (x) = loga x

g −1 (x) = ax

h(x) = sin x

h−1 (x) = arcsin x oder sin −1 x

k(x) = tan x

k−1 (x) = tan −1 x oder arctan x

Falls Sie einen wissenschaftlichen oder graphischen Taschenrechner besitzen, können Sie einige dieser Funktionen und ihre Inversen ausprobieren. Verwenden Sie beispielsweise die Funktion f(x) = ex und ihre Inverse f −1 (x) = ln x für die folgende Demonstration:

1. Drücken Sie auf dem Taschenrechner die Taste ex (häufig eine überlagerte Funktion auf dem Taschenrechner), um e^3 einzugeben.

Hier ist der Eingabewert 3. Die Lösung, also die Ausgabe, ist etwa 20,08553692. Dieser Wert ist nicht exakt, aber acht Dezimalstellen sollten genügen.

2. Jetzt übernehmen Sie diese Lösung und drücken die Taste ln, um ln 20,08553692 auszurechnen.

Geben Sie 20,08553692 in die Funktion ln ein. Die Lösung, also die Ausgabe, ist jetzt 3.

Funktionen manipulieren

Funktionen und alle ihre Eigenschaften, Charakteristiken und Besonderheiten sind für Mathematiker und andere interessant, die sie als Modelle für praktische Anwendungen nutzen. Wenn Sie mit Hilfe von Funktionen Werte oder Lösungen für praktische Aufgabenstellungen suchen, ist das nur dann sinnvoll, wenn eine Anpassung oder eine kleine Veränderung der Funktionen relativ einfach ist. Vorhersehbare und kontrollierte Änderungen von Funktionen erfüllen diese Forderung der Einfachheit. In Kapitel 19 geht es darum, wie sich die Transformationen auf trigonometrische Funktionen auswirken. Dieser Abschnitt vermittelt Ihnen eine allgemeinere Erklärung, wie Sie Ihre Funktionen anpassen können.

Verschiebung einer Funktion

Bei einer Verschiebung behält die Funktion ihre grafische Form bei, aber der Graph der Funktion wird in der Koordinatenebene nach oben oder unten oder nach links oder rechts verschoben.

Nach oben oder unten verschieben

Abbildung 3.1 zeigt die Parabel y = x^2 mit einer Verschiebung von 5 Einheiten nach unten und einer Verschiebung von 7 Einheiten nach unten. Eine Parabel ist der Graph eines Polynoms zweiten Grades, das heißt, das Polynom hat für einen Exponenten eine Potenz von 2. Der Graph ist eine hübsche U-förmige Kurve.

Stellen Sie sich eine Funktion vor, anhand derer Sie berechnen, wie viel Geld eine Person für die Arbeit für eine bestimmte Anzahl an Stunden erhält. Der Betrag kann sich nach oben oder unten verschieben, wenn Sie einen Bonus addieren oder eine Vertragsstrafe abziehen. Diese Situation könnte in Funktionsnotation wie folgt aussehen:

Abbildung 3.1: Verschiebungen nach oben und unten für die Funktion y = x^2

Verschiebung um C Einheiten nach oben: f(x) + C

Verschiebung um C Einheiten nach unten: f(x) – C

Eine Person, die 8  in der Stunde verdient, aber einen Bonus von 50  erhält, hat die Zahlungsfunktion Z(h) = 8h + 50. Wenn dieselbe Person um 6  bestraft wird, weil sie zu spät gekommen ist, lautet die Zahlungsfunktion Z(h) = 8h – 6.

Abbildung 3.2: Verschiebungen nach rechts und links für die Funktion y = x^2

Nach links oder rechts verschieben

Abbildung 3.2 zeigt die Parabel y = x^2 mit einer Verschiebung von 5 Einheiten nach rechts und einer Verschiebung um 7 Einheiten nach links.

Wenn Sie eine Funktion verwenden, um festzustellen, wie viel Prämie eine Person für den Verkauf einer bestimmten Anzahl von Computern erhält, könnte diese Prämie dadurch beeinflusst werden, dass Sie die Anzahl der Einheiten addieren oder subtrahieren, die die Person täglich verkaufen muss. Diese Situation kann in Funktionsnotation wie folgt dargestellt werden:

Verschiebung um C Einheiten nach links: f(x + C)

Verschiebung um C Einheiten nach rechts: f(x – C)

Eine Person, die 50  Prämie für jeden verkauften Computer erhält, aber vorab die Prämie für zwei Computer als Anreiz erhält, hat die Prämienfunktion P(x) = 50(x + 2). Eine Person dagegen, für die derselbe Prämienplan gilt, die aber zwei Computer zurückgegeben hat und mit einem Defizit beginnt, hat die Prämienfunktion P(x) = 50(x – 2).

Spieglein, Spieglein an der Wand

Zwei Transformationsformen verhalten sich wie Spiegelungen oder Umschaltmechanismen. Eine Transformation ändert alle positiven Ausgaben in negative und alle negativen Ausgaben in positive. Die andere kehrt die Eingaben um – positiv in negativ und negativ in positiv.

Nach oben und unten spiegeln (die Ausgaben ändern sich): –f(x)

Nach links oder rechts spiegeln (die Eingaben ändern sich): f(–x)

Abbildung 3.3 zeigt Spiegelungen für die Funktion . Durch das Spiegeln nach unten werden alle Punkte unter die x-Achse gesetzt. Durch das Spiegeln nach links wandern alle Eingabewerte auf die linke Seite der y-Achse. Selbst wenn es den Anschein hat, als müssen die negativen Werte unter die Wurzel wandern, bedeutet das Minuszeichen vor dem x, dass Sie das Gegenteil aller negativen x verwenden – wodurch sie positiv werden.

Eine Registrierkasse kann Eingaben in die entgegengesetzten (negativen) Werte umwandeln, wenn beispielsweise Gutscheinwerte, die der Kassierer eingibt oder einscannt, in negative Werte umgewandelt werden, bevor die endgültige Berechnung erfolgt. Der Graph dieses Prozesses ist eine Spiegelung nach unten von positiv nach negativ.

Linke und rechte Spiegelungen sind etwas komplizierter zu beschreiben, was praktische Anwendungen betrifft. Stellen Sie sich Folgendes vor: Wenn eine Funktion berechnet, wie viele Artikel eine Maschine in einer bestimmten Anzahl von Stunden produzieren kann, dann können Sie durch die Eingabe negativer Werte feststellen, wie viel Vorlaufzeit – wie viele Stunden vor einem bestimmten Zeitpunkt die Maschine mit der Produktion beginnen muss – Sie brauchen, um diese Anzahl von Artikeln zu dem betreffenden Zeitpunkt herzustellen.

Abbildung 3.3: Spiegelung der Funktion nach unten und nach links

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Wie wichtig sind uns Grade?

In diesem Kapitel ...

Winkel in Grad messen

Winkel in die Standardposition bringen

Unterschiedliche Maße für denselben Winkel finden

Die vorherrschende Stellung der Winkel unterscheidet die Trigonometrie von anderen mathematischen Bereichen. Die trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekans und Kosekans) sind Verhältnisse, die auf den Maßen eines Winkels basieren. Wofür sind Grade (also nicht die Kältegrade) in der realen Welt gut? Navigatoren, Schreiner und Astronomen kommen ohne sie nicht aus. Aber wie misst man Grade? Der Möglichkeiten gibt es viele, geneigter Leser, und ich werde Ihnen in diesem Kapitel alles zeigen, was Sie wissen müssen.

Winkel allüberall: Messen in Graden

Was ist ein Grad? Beim Militär gibt es Dienstgrade. Und es gibt akademische Grade. Die Außentemperatur kann in Grad gemessen werden. Überall verwenden Sie das Wort Grad, aber in der Trigonometrie ist ein Grad etwas ganz anderes: ein winziger Abschnitt eines Kreises. Stellen Sie sich eine Pizza vor, die in 360 gleiche Teile zerschnitten wird (kaum vorstellbar, ich weiß). Jedes kleine Stück stellt ein Grad dar. Abbildung 4.1 zeigt, wie ein Grad aussieht.

Abbildung 4.1: Ein Grad ist eines Kreises

Eine Koordinatenebene in Stücke schneiden

Der erste Quadrant ist die obere rechte Ecke der Koordinatenebene. (Die Aufteilung der Koordinatenebene in Quadranten ist in Kapitel 2 beschrieben.) Dieser erste Quadrant macht ¼ der gesamten Ebene aus. Ein ganzer Kreis mit dem Mittelpunkt im Ursprung hat insgesamt 360 Grad, dann hat ¼ davon 90 Grad. Das ist das Maß des Winkels, den der erste Quadrant bildet. Jeder Quadrant umfasst genau 90 Grad. Sie können jedes dieser 90-Grad-Maße durch verschiedene Zahlen ganzzahlig dividieren, und Sie werden diese Divisionen in der Trigonometrie häufig verwenden, weil sie extrem praktisch sind. Die am häufigsten ver-wendeten Winkelmaße sind unter anderem Grad, Grad und Grad. Zwei 30-Grad-Winkel ergeben 60 Grad (ein weiterer häufig verwendeter Winkel der Trigonometrie).

Die Elitegruppe der Winkelmaße umfasst 0, 15, 30, 45, 60 und 90 Grad. Diese Winkel und ihre Vielfachen kommen in den Diskussionen der Trigonometrie häufig vor, weil sie so bequem zum Rechnen sind.

Abbildung 4.2 zeigt Skizzen einiger Winkel.

Abbildung 4.2: Einige der am häufigsten verwendeten Winkel: 90, 60, 45, 30 und 15 Grad

Auf der Suche nach den Gradmaßen

Ihre erste Berührung mit dem Konzept, Winkel in Graden zu messen, fand wahrscheinlich nicht in einer Geometrie- oder Trigonometriestunde statt. Die meisten von uns kennen es aus dem Fernsehen oder aus dem Kino. Eine beliebte Situation in solchen Filmen ist, wie ein Flugzeug durch einen Sturm oder durch die Nacht fliegt und nur die Stewardess im Cockpit sitzt. Aus einem rauschenden Funkgerät spricht jemand vom Tower: »Drehen Sie den Schalter auf 40 Grad.« Und weil die Stewardess in Trigonometrie gut aufgepasst hat, rettet sie allen das Leben. Den Graden sei Dank!

Eine andere Situation, die Sie aus dem Fernsehen kennen, sind die beliebten Heimwerkershows. Rita schneidet ein Brett sorgfältig in einem Winkel von 30° ab, so dass es genau an die dafür vorgesehene Stelle passt.

Navigation mit Graden

In der Navigation und Landvermessung kommt es auf die Richtung oder den Kurs an, wie sich ein Flugzeug, ein Boot oder eine Linie bewegen. In der Sprache der Mathematik ist die Richtung der Winkel, gemessen in Grad, in dem ein Strahl (eine Linie mit einem Endpunkt, die unendlich in eine Richtung verläuft) gegenüber einem zweiten Strahl verläuft, der nach Norden zeigt. Der Winkel wird im Uhrzeigersinn gemessen. (Beachten Sie jedoch, dass Sie in der Standardposition in der Geometrie und in der Trigonometrie Winkel gegen den Uhrzeigersinn messen.) Abbildung 4.3 zeigt einige Richtungen. Beachten Sie, dass die Richtung des Pfeils immer im Uhrzeigersinn verläuft. Selbst wenn die Winkel anders als in der Trigonometrie gemessen werden, haben die Winkel doch dieselbe Größe – nur ein wenig gedreht. Ein Winkel von 120 Grad ist immer noch größer als ein rechter Winkel. Wenn Sie mit den Winkelgrößen vertraut sind, ist die Umsetzung in diese Richtungsangaben ein Kinderspiel.

Abbildung 4.3: Richtungen von 20 Grad, 100 Grad und 250 Grad

Betrachten Sie jetzt Abbildung 4.4, wo Sie den Verlauf eines Hubschrauberflugs sehen, bei dem der Pilot 10,5 Minuten lang in eine Richtung von 36 Grad (das ist Nordost) flog, dann 13,6 Minuten lang in eine Richtung von 144 Grad (das ist Südost), und dann zurück an den Ausgangspunkt, indem er 14,4 Minuten lang in eine Richtung von 280 Grad flog (das ist West-Nordwest).

Abbildung 4.4: Der Kurs eines Hubschraubers

Kolumbus, der große Zauberer

Es ist bekannt, dass die Trigonometrie eine große Rolle in der Navigation gespielt hat, und Kolumbus mit ihrer Hilfe die neue Welt entdecken konnte. Die Trigonometrie hat ihm aber auch noch auf andere Art geholfen. Auf seinen Reisen führte Kolumbus stets eine Kopie eines Almanachs des großen Mathematikers und Astronomen Johannes Müller mit sich. Der Almanach enthielt Tabellen, die die relativen Positionen von Sonne und Mond auflisteten, und die beschrieben, wann Finsternisse auftraten. Kolumbus erkannte daraus, dass am 29. Februar 1504 eine totale Mondfinsternis auftreten würde. Er nutzte diese Information, um den Eingeborenen der neuen Welt mit seiner Vorhersage Angst einzuflößen und sich auf diese Weise Respekt zu verschaffen.

Gregor Samsa verstehen

Für all diejenigen, die nicht so viel lesen oder aus anderen Gründen »Die Verwandlung« von Franz Kafka nicht kennen: Gregor Samsas einziges Hobby, bevor er sich in einen Käfer verwandelt, sind Laubsägearbeiten. Da das Buch erst nach seiner Verwandlung zum Käfer einsetzt, können wir natürlich nur darüber spekulieren, wie er gearbeitet hat, aber wenn er schlau war, hat er es folgendermaßen gemacht, wenn er ein Brett genau in einem Winkel von 90 Grad abschneiden wollte – er hätte natürlich auch jeden beliebigen anderen Winkel antragen können. Wenn Gregor zwei senkrecht aufeinander stehende Holzstücke zurechtschneiden will, die einen rechten Winkel bilden, setzt er seine Säge in einem Winkel von 45 Grad an. Abbildung 4.5 zeigt, wie die beiden Holzstücke zusammenpassen.

Abbildung 4.5: Zwei Holzstücke, die auf 45 Grad abgeschnitten sind, bilden zusammen einen Winkel von 90 Grad

Wenn Gregor aus einem Stück Holz einen achteckigen Tisch basteln will, schneidet er es in acht Stücke. Aber in welchen Winkeln sollen diese Stücke geschnitten werden? Gleich mehr dazu. In Abbildung 4.6 sehen Sie einen achteckigen Tisch, der aus acht gleichen Dreiecken zusammengesetzt wurde.

Abbildung 4.6: Ein achteckiger Tisch und eines der Stücke, aus denen er zusammengesetzt ist

Um diesen achteckigen Tisch zu basteln, braucht Gregor acht gleichschenklige Dreiecke, wobei die beiden langen Seiten dieselbe Länge haben. Welche Maße haben die Winkel, die er schneiden muss? Ein ganzer Kreis (um die Mitte des Tisches) hat 360 Grad, jedes Dreieck hat also oben einen Winkel (den Winkel in der Mitte des Tisches), der misst, das sind 45 Grad. Die beiden Basiswinkel an der äußeren Kante des Tisches) haben beide dasselbe Maß. Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt 180 Grad, nachdem also die 45 Grad des obersten Winkels abgezogen sind, bleiben noch insgesamt 135 Grad für die beiden anderen Winkel. Teilen Sie die 135 Grad durch 2, erhalten Sie für die beiden Basiswinkel je 67½ Grad. Gregor kann alle acht Winkel aus einem einzigen Holzstück ausschneiden, weil zwei Basiswinkel plus ein oberer Winkel eine gerade Linie bilden. Er legt die Dreiecke einfach umgekehrt nebeneinander. Wie Sie in Abbildung 4.7 sehen, hat er nicht viel Verschnitt.

Abbildung 4.7: So werden acht identische Dreiecke aus einem Brett ausgeschnitten

Winkel an der Standardposition zeichnen

Navigatoren, Landvermesser und Schreiner verwenden alle dieselben Winkelmaße, aber die Winkel beginnen an unterschiedlichen Stellen oder Positionen. In der Trigonometrie und in den meisten anderen Bereichen der Mathematik zeichnen Sie Winkel an einer universellen Standardposition, so dass die Mathematiker auf der ganzen Welt immer dasselbe zeichnen und über dasselbe sprechen.

Anfangs- und Endseiten der Winkel in Position bringen

Ein Winkel an der Standardposition hat seinen Scheitelpunkt am Ursprung der Koordinatenebene, wie in Abbildung 4.8 gezeigt. Sein Anfangsstrahl (der erste Schenkel) liegt entlang der positiven x-Achse. Sein Endstrahl (der freie Schenkel) bewegt sich vom ersten Schenkel aus gegen den Uhrzeigersinn.

Abbildung 4.8: Ein Winkel an der Standardposition

Bewegt sich der freie Schenkel statt gegen den Uhrzeigersinn im Uhrzeigersinn, ergibt sich ein negativer Wert als Maß. Häufig bezeichnet man diese Art von Winkel mit einem griechischen Buchstaben.

Die Längen der Strahlen, die einen Winkel bilden, haben nichts mit der Winkelgröße zu tun. Sie können die Strahlen beliebig verlängern, und das Winkelmaß ändert sich dadurch nicht. Nur die Richtung des freien Schenkels bestimmt den Winkel.

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Und jetzt zum Pi: Winkel im Bogenmaß

In diesem Kapitel ...

Radianten definieren

Grad in Radianten umwandeln und umgekehrt

Situationen verstehen, in denen am besten Radianten verwendet werden

Zunächst lernt man Winkel immer im Gradmaß kennen. Sie wissen wahrscheinlich, wie ein 30°-Winkel aussieht. (Falls nicht, lesen Sie noch einmal in Kapitel 4 nach.) Und fast die meisten Mittelstufenschüler wissen, dass die Winkelsumme im Dreieck 180 Grad beträgt. Ein Großteil der Wissenschaftsgemeinde verwendet für Winkelmaße jedoch Radianten. Warum aber dieser Umstand? Lesen Sie weiter!

Was ist ein Radiant?

Ein Radiant ist sehr viel größer als ein Grad. Die frühen Mathematiker legten fest, dass die Größe eines Grades auf Divisionen eines vollständigen Kreises basieren soll. Ein Grad ist ein Stück von eines Kreises. Niemand weiß genau, wie wie man gerade auf 360 Grad in einem Winkel gekommen ist. Jedenfalls ist 360 eine wunderbare Zahl, weil man sie durch so viele andere Zahlen ganzzahlig dividieren kann: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 und 360. Die frühen Maße für Zeit und Länge verwendeten häufig »praktische« Zahlen. Ein Radiant dagegen ist bei weitem nicht so praktisch, weil er schon gar keine ganze Zahl darstellt. Radianten wurden wahrscheinlich entwickelt, weil die Mathematiker die Winkelmaße mehr mit dem Radius oder der Größe eines Kreises in Beziehung bringen wollten. Ein Kreis hat 2π Radianten (also etwas mehr als 6). Ein Radiant ist fast ⅙ eines Kreises – etwas mehr als 57 Grad. Abbildung 5.1 vergleicht ein Grad mit einem Radianten.

Abbildung 5.1: Ein Grad ist ein -Abschnitt. Ein Radiant ist etwas mehr als ein -Abschnitt

Das Verhältnis zum Kreis

Der große Vorteil bei der Verwendung von Radianten ist, dass sie das natürliche Maß für die Unterteilung von Kreisen darstellen. Wenn Sie den Radius eines Kreises nehmen und zu einem Bogen biegen, der entlang dieses Kreises liegt, brauchen Sie etwas mehr als sechs solcher Radien, um den gesamten Kreis abzudecken. Dies gilt für alle Kreise. Ein Winkel, der einen Radiant groß ist, geht durch die beiden Enden eines dieser Radien auf der Kreisbahn. Der Umfang eines Kreises ist immer etwas mehr als dreimal der Durchmesser des Kreises – π-mal, um genau zu sein. Man könnte auch sagen, er ist 2π mal dem Radius. Diese Zahl sieht schon etwas praktischer und zivilisierter aus als die große Zahl 360, aber der Nachteil ist, dass π keinen exakten Dezimalwert darstellt. Wenn man sagt, 2π Radianten (das sind 360 Grad), heißt das, dass jeder Kreis etwa 6,28 Radianten umfasst. Selbst wenn Radianten das natürliche Maß darstellen und immer mit Radius und Durchmesser in Beziehung gebracht werden können, sind ihre Dezimalwerte etwas umständlich.

Jedes dieser Maße hat jedoch seinen Sinn. Die Messung von Winkeln in Grad ist einfacher, aber das Messen von Winkeln im Bogenmaß (Radianten) ist vorzuziehen, wenn Berechnungen durchgeführt werden sollen. Der Radiant ist genauer, weil der Radius, der Umfang oder die Fläche des Kreises berücksichtigt werden. Selbst wenn π keinen exakten Dezimalwert besitzt – wenn man Vielfache von π in den Lösungen angibt, sind sie präzise und korrekt. Ich werde Ihnen im Abschnitt Kreise klonen später in diesem Kapitel ein Beispiel zeigen, wo ich π als Teil einer Lösung verwende,.

Grade und Radianten umrechnen

Für viele mathematische Aufgabenstellungen ist es erforderlich, von Grad in Radianten oder umgekehrt umzurechnen. Häufig führt man mathematische Berechnungen in Radianten durch, aber die endgültige Lösung wandelt man in Grad um, so dass die Ergebnisse leichter verständlich sind und man sie sich besser vorstellen kann. Sie können eine praktische kleine Verhältnisgleichung aufstellen, um von Grad in Radianten oder von Radianten in Grad umzurechnen. In dieser Verhältnisgleichung stellt der griechische Buchstabe Theta, θ, den Namen des Winkels dar. Die Hochstellungen von ° und R für θ geben an, ob das Maß in Grad oder Radianten angegeben ist.

Diese Verhältnisgleichung wird wie folgt gelesen: »Das Maß des Winkels θ in Grad dividiert durch 180 ist gleich dem Maß des Winkels θ in Radianten dividiert durch π.« Beachten Sie, dass π etwa 3,141592654 ist.

Die für die Umrechnung von Grad in Radianten und von Radianten in Grad erforderliche Berechnung ist nicht schwer. Es gibt jedoch ein paar Tricks, und auch das Format ist ganz wichtig. Normalerweise schreiben Sie die Radiantenmaße nicht als Dezimalzahlen, es sei denn, Sie haben sie mit dem Dezimaläquivalent für π multipliziert.

Grad in Radianten umrechnen

Um ein in Grad vorliegendes Maß in Radianten umzurechnen, beginnen Sie mit der grundlegenden Verhältnisgleichung für die äquivalenten Winkelmaße:

Das folgende Beispiel zeigt, wie Sie ein Maß von 40 Grad in Radianten umrechnen:

1. Setzen Sie in der Verhältnisgleichung statt dem θ° den Wert 40 ein.

2. Kürzen Sie den Bruch auf der linken Seite.

3. Multiplizieren Sie jede Seite der Verhältnisgleichung mit π.

4. Kürzen Sie das Ganze.

Dieses Beispiel zeigt, dass 40 Grad gleich Radianten sind. Das Bogenmaß bleibt als Bruch stehen, gekürzt auf die kleinsten Terme.

Probieren Sie noch ein Beispiel aus. Rechnen Sie ein Maß von –36 Grad in Radianten um.

1. Setzen Sie in der Verhältnisgleichung statt dem θ° den Wert –36 ein.

2. Kürzen Sie den Bruch auf der linken Seite.

3. Multiplizieren Sie jede Seite der Verhältnisgleichung mit π.

4. Kürzen Sie das Ganze.

Sie sehen, –36 Grad ist gleich Radianten. Man kann also auch negative Winkel umrechnen (weitere Informationen über negative Winkel finden Sie in Kapitel 4). Behalten Sie den Ausdruck als Bruch bei und berechnen Sie nicht seine Dezimalform!

Radianten in Grad umrechnen

Man verwendet dieselbe Verhältnisgleichung, um Radianten in Grad umzuwandeln.

Um beispielsweise in ein Gradmaß umzuwandeln, gehen Sie wie folgt vor:

1. Setzen Sie in der Verhältnisgleichung statt θR das Radiantenmaß ein.

2. Kürzen Sie den komplizierten Bruch auf der rechten Seite, indem Sie den Zähler mit dem Reziprokwert des Nenners multiplizieren.

3. Multiplizieren Sie jede Seite der Verhältnisgleichung mit 180.

4. Kürzen Sie das Ganze und vereinfachen Sie den Bruch auf der rechten Seite.

Radianten entsprechen also 15 Grad.

Teil II

Trigonometrische Funktionen

In diesem Teil ...

Hier beginnen Sie mit dem rechtwinkligen Dreieck und der Definition der sechs trigonometrischen Funktionen unter Verwendung der Seiten dieses Dreiecks. Anschlieβend werden Ihre Kenntnisse erweitert, und Sie erfahren, wie dieselben trigonometrischen Funktionen anhand eines Kreises angewendet werden. Freuen Sie sich - ich werde Ihnen einige äuβerst praktische trigonometrische Anwendungen vorstellen.

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Mit trigonometrischen Funktionen liegen Sie richtig!

In diesem Kapitel ...

Die drei grundlegenden trigonometrischen Funktionen verstehen

Auf den Grundlagen aufbauen: Die reziproken Funktionen

Winkel erkennen, die die saubersten trigonometrischen Ergebnisse erzeugen

Die exakten Werte von Funktionen ermitteln

Unsere Vorfahren haben die Längen von Seiten rechtwinkliger Dreiecke oder die Sehnen von Kreisen ermittelt, Verhältnisse aus diesen Zahlen und Variablen berechnet und damit die Entstehung trigonometrischer Funktionen vorangetrieben. Diese Funktionen erwiesen sich als unendlich praktisch, weil sie ihnen ermöglichten, die Sterne für die Navigation zu nutzen und stabile Brücken zu bauen. Und wenn Sie auch nichts mit Navigation oder Brückenbau zu tun haben, können Sie mit den trigonometrischen Funktionen immer noch Ihre Mathematikhausaufgaben erledigen.

Für die sechs trigonometrischen Funktionen brauchen Sie nur ein Winkelmaß einzugeben – dann geben sie Ihnen irgendwelche Zahlen zurück. Bei diesen Ausgaben kann es sich um reale Zahlen handeln, von unendlich klein bis unendlich groß – und allem, was dazwischen liegt. Welche Ergebnisse Sie erhalten, hängt davon ab, welche Funktionen Sie verwenden. Und während einige der frühen Berechnungen eher mühselig waren, machen es uns die heutigen Taschenrechner richtig einfach.

Wie trigonometrische Funktionen funktionieren

Es ist nicht ganz einfach, sich sofort alle trigonometrischen Funktionen und ihre Verhältnisgleichungen zu merken. Suchen Sie sich Eselsbrücken.

Das Namensspiel: Die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks

Ein rechtwinkliges Dreieck hat zwei kürzere Seiten, die Schenkel, und eine längere Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt und die immer als Hypotenuse bezeichnet wird. Die beiden kürzeren Seiten haben auch noch zwei weitere spezielle Namen, abhängig davon, auf welchen spitzen Winkel des Dreiecks Sie gerade schauen.

Für den Winkel θ (Abbildung 6.1) wird der Schenkel, der θ im Dreieck gegenüberliegt, als die Gegenkathete bezeichnet. Diese gegenüberliegende Seite liegt nicht an einem der Strahlen, die den Winkel bilden. Der andere Schenkel in einem rechtwinkligen Dreieck wird dann als Ankathete bezeichnet. Bei einem rechtwinkligen Dreieck bildet die Ankathete zusammen mit der Hypotenuse den spitzen Winkel – weil sie entlang einer der Strahlen des Winkels liegt.

Abbildung 6.1: Der spitze Winkel θ bestimmt die Namen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks

Die sechs Verhältnisse: Bringen wir die drei Seiten zueinander in Beziehung

Jede der drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks – Hypotenuse, Gegenkathete und Ankathete – hat eine bestimmte Länge oder ein bestimmtes Maß. Und diese drei Längen oder Maße bilden sechs verschiedene Verhältnisse. Betrachten Sie dazu Abbildung 6.2, wo die Seiten die Längen 3, 4 und 5 haben.

Abbildung 6.2: Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen 3, 4 und 5

Die sechs verschiedenen Verhältnisse, die Sie mit den Zahlen 3, 4 und 5 bilden können, sind:

Diese sechs Brüche sind alles, was Sie mit den drei Seitenlängen berechnen können. Die Verhältnisse sind ganz speziell, weil sie alle möglichen Ausgabewerte der trigonometrischen Funktionen für die spitzen Winkel in diesem Dreieck darstellen – kurz gesagt, Sie können den Wert eines unbekannten Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck bestimmen, indem Sie einfach eine trigonometrische Funktion eines dieser Verhältnisse berechnen.

Wie weit ist es zum Mond?

Hipparch lebte von 190 bis 120 v. Chr. Auch als Hipparch von Nicäa bekannt, führte er seine astrologischen Beobachtungen in Rhodos zwischen 146 und 127 v. Chr. durch. Er war der erste Astronom, der einen Katalog von 850 Sternen anlegte, lange bevor es Teleskope gab, und seine Berechnungen waren bemerkenswert genau. Er bestimmte die Länge des Jahres und die Entfernung zum Mond. Um die Entfernung zum Mond zu messen, beobachteten Hipparch und ein Kollege eine Sonnenfinsternis – eine vollständige Sonnenfinsternis in Syrene und eine partielle Sonnenfinsternis in Alexandria, wobei ⅘ der Sonne bedeckt waren. Unter Verwendung von Winkeln und dem Abstand der beiden Städte legten sie auf diese Weise ein imaginäres Dreieck an, nämlich mit den Sichtlinien von diesen beiden Städten zum Mond, und konnten damit ihre Berechnungen durchführen. Die trigonometrischen Verhältnisse, die er damals verwendete, waren sehr groß ausgelegt, aber es spielt keine Rolle, wie groß ein Dreieck ist, weil sich die trigonometrischen Funktionen für die Winkel mit der Größe des Dreiecks nicht ändern. Hipparch zu Ehren wurden ein Mondkrater, ein Marskrater und ein Asteroid benannt.

Die Sinus-Funktion: Gegenkathete durch Hypotenuse

Wenn Sie zur Definition trigonometrischer Funktionen rechtwinklige Dreiecke benutzen, verwendet die trigonometrische Funktion Sinus, abgekürzt als sin, Winkelmaße als Eingabewerte, und sie produziert Ausgabewerte, die Sie aus dem Verhältnis erhalten. Abbildung 6.2 (im vorigen Abschnitt) zeigt die beiden verschiedenen spitzen Winkel, und jeder davon hat einen anderen Wert für die Sinus-Funktion. Die beiden Werte sind und .

Der Sinus ist immer das Maß der Gegenkathete dividiert durch das Maß der Hypotenuse. Weil die Hypotenuse immer die längste Seite ist, ist die Zahl unten im Bruch immer größer als die Zahl oben im Bruch. Aus diesem Grund ist die Ausgabe der Sinus-Funktion immer ein echter Bruch – es handelt sich nie um eine Zahl gleich oder größer 1, es sei denn, die Gegenkathete ist genauso lang wie die Hypotenuse (was nur passiert, wenn Sie mit Kreisen arbeiten, siehe Kapitel 8).

Selbst wenn Sie die beiden Längen nicht kennen, die für die Sinus-Funktion erforderlich sind, können Sie den Sinus berechnen, wenn Sie beliebige zwei der drei Längen der Seiten eines Dreiecks kennen. Um beispielsweise den Sinus des Winkels α in einem rechtwinkligen Dreieck zu ermitteln, dessen Hypotenuse 10 cm lang ist, und dessen Ankathete 8 cm lang ist, gehen Sie wie folgt vor:

1. Ermitteln Sie die Länge der Seite, die α gegenüberliegt.

Wenden Sie den Satz von Pythagoras an, a^2 + b^2 = c^2 (siehe Kapitel 6). Dabei seien a gleich 8, und c gleich 10. Wenn Sie die Zahlen einsetzen und nach b auflösen, erhalten Sie:

Die Gegenkathete ist also 6 cm lang.

2. Verwenden Sie das Verhältnis für den Sinus, also Gegenkathete durch Hypotenuse.

Die Kosinus-Funktion: Ankathete durch Hypotenuse

Für die trigonometrische Funktion Kosinus, abgekürzt als cos, wird das folgende Verhältnis gebildet: . Betrachten Sie noch einmal Abbildung 6.2. Hier sehen Sie, dass der Kosinus der beiden Winkel und ist.

Die Situation mit den Verhältnissen ist dieselbe wie bei der Sinus-Funktion – die Werte sind kleiner oder gleich 1 (und 1 nur dann, wenn wir mit Kreisen arbeiten) und nie größer als 1, weil die Hypotenuse im Nenner steht.

Die beiden Verhältnisse für den Kosinus sind dieselben wie für den Sinus – außer dass die Winkel vertauscht sind. Diese Eigenschaft gilt für die Sinus- und Kosinus-Funktionen von Komplementärwinkeln in einem rechtwinkligen Dreieck (das heißt, diese Winkel ergeben in ihrer Summe 90 Grad).

Wenn θ und λ die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks sind, dann gilt sin θ = cos λ und cos θ = sin λ.

Jetzt zu einem Beispiel. Um den Kosinus des Winkels β in einem rechtwinkligen Dreieck zu ermitteln, dessen beiden Schenkel gleich cm lang sind, gehen Sie wie folgt vor:

1. Ermitteln Sie die Länge der Hypotenuse.

Wenden Sie den Satz von Pythagoras an, a^2 + b^2 = c^2 (siehe Kapitel 6), und ersetzen Sie a und b durch die vorgegebenen Maße. Dann lösen Sie nach c auf.

Die Hypotenuse ist cm lang.

2. Verwenden Sie das Verhältnis für den Kosinus, also Ankathete durch Hypotenuse, um die Lösung zu ermitteln.

Die Tangens-Funktion: Gegenkathete durch Ankathete

Die dritte trigonometrische Funktion, der Tangens, wird als tan abgekürzt. Diese Funktion verwendet einfach die Maße der beiden Schenkel, und man braucht die Hypotenuse überhaupt nicht. Der Tangens wird beschrieben durch das Verhältnis . Es gibt keine Beschränkungen oder Regeln zu den jewei-jeweiligen Größen dieser Seiten – die Gegenkathete kann größer sein, aber auch die Ankathete kann größer sein. Das Tangens-Verhältnis erzeugt also Zahlen, die sehr groß, sehr klein und alles dazwischen sein können.

Wenn Sie sich noch einmal Abbildung 6.2 ansehen, erkennen Sie, dass und gilt. Und falls Sie sich fragen, ob die beiden Tangens-Werte derspitzen Winkel immer reziprok zueinander sind, dann lautet die Antwort: Ja! Die trigonometrischen Identitäten in Kapitel 10 erklären dieses Phänomen.

Das folgende Beispiel erklärt Ihnen, wie Sie die Werte des Tangens für die spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck finden, wo die Hypotenuse 25 cm und ein Schenkel 7 cm lang sind.

1. Ermitteln Sie die Länge des fehlenden Schenkels.

Wenden Sie den Satz von Pythagoras an, a^2 + b^2 = c^2 (siehe Kapitel 6). Dabei seien a gleich 7, und c gleich 25. Lösen Sie nach dem fehlenden Wert auf, b. Sie werden feststellen, dass der unbekannte Schenkel 24 cm lang ist:

2. Legen Sie Namen für die spitzen Winkel fest, um die Namen für Gegenkathete und Ankathete zu bestimmen.

Am einfachsten geht das, indem Sie ein Bild malen und es beschriften. Sehen Sie sich dazu Abbildung 6.3 an.

Abbildung 6.3: Beschriftung eines rechtwinkligen Dreiecks und Benennung der spitzen Winkel

Die beiden spitzen Winkel werden mit den griechischen Buchstaben θ und λ bezeichnet. Die Seite gegenüber von θ misst 7 cm, die anliegende Seite misst 24 cm. Für den Winkel λ misst die gegenüberliegende Seite (Gegenkathete) 24 cm, die anliegende Seite (Ankathete) misst 7 cm.

3. Bilden Sie die beiden Tangens-Verhältnisse unter Verwendung der Wert 7, 24 und 25.

Und jetzt das Ganze zusammen: Mit einer Funktionnach einer anderen auflösen

Manchmal muss man mit Hilfe einer anderen Funktion nach einer trigonometrischen Funktion auflösen. Im folgenden Beispiel ist der Kosinus von Winkel λ gleich . Welche Werte liegen für Sinus und Tangens von λ vor?

1. Identifizieren Sie die von der Kosinus-Funktion bestimmten Seiten.

Das Kosinus-Verhältnis ist . Unter Verwendung des vorgegebenen Verhältnisses misst die Ankathete 12 Einheiten, die Hypotenuse 13 Einheiten.

2. Ermitteln Sie die Maße der fehlenden Seite.

Unter Anwendung des Satzes von Pythagoras stellen Sie fest, dass die fehlende Seite (die Gegenkathete) 5 Einheiten lang ist.

3. Ermitteln Sie die Werte für Sinus und Tangens.

Der Sinus ist . Der Tangens ist . Damit gilt: und .

Der nächste Schritt: Reziproke Funktionen

Die drei grundlegendsten trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus und Tangens) verwenden die drei Seiten eines Dreiecks und bilden Brüche aus jeweils zwei der Seiten. Aber es gibt noch drei weitere trigonometrische Funktionen, die so genannten Reziprok-Funktionen, weil sie das Reziproke der ursprünglichen drei Funktionen darstellen. Wenn diese letzten drei Funktionen einfach reziprok zu den ersten drei sind, warum sind sie dann überhaupt notwendig? Sie können wahrscheinlich auch ohne sie leben, aber Sie würden sie vermissen, wenn Sie Berechnungen durchführen und Gleichungen lösen. Wenn Sie bei der Auflösung einer Gleichung eine unbekannte Variable im Zähler eines Bruchs haben, ist das einfach netter und praktischer, als sie im Nenner zu haben, und diese Reziprok-Funktionen helfen Ihnen dabei, eine solche Situation herbeizuführen. Nur eine Frage der Bequemlichkeit, aber mir gefällt dieser Luxus.

Die Kosekans-Funktion: Der umgekehrte Sinus

Die Kosekans-Funktion, abgekürzt als csc, ist der Reziprokwert der Sinus-Funktion und verwendet damit das folgende Verhältnis: . Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist immer die längste Seite, deshalb ist der Zähler dieses Bruchs immer größer als der Nenner. Demzufolge erzeugt die Kosekans-Funktion immer Werte größer 1.

Anhand der Werte aus Abbildung 6.4 können Sie den Kosekans der beiden spitzen Winkel ermitteln: und .

Abbildung 6.4: Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen 5, 12 und 13

Angenommen, Sie werden aufgefordert, den Kosekans des Winkels α zu berechnen, wenn Sie wissen, dass die Hypotenuse 1 Einheit lang ist und das rechtwinklige Dreieck gleichschenklig ist. Sie wissen, dass ein gleichschenkliges Dreieck zwei kongruente Seiten hat (lesen Sie zur Auffrischung gegebenenfalls Kapitel 6). Diese beiden Seiten müssen die beiden Schenkel sein, weil die Hypotenuse die längste Seite ist. So ermitteln Sie den Kosekans:

1. Ermitteln Sie die Längen der beiden Schenkel.

Der Satz von Pythagoras sagt a^2 + b^2 = c^2, aber weil zwei Seiten kongruent sind, können Sie eine Variable umformen und die Gleichung als a^2 + a^2 = c^2 schreiben. Setzen Sie für c den Wert 1 ein und lösen Sie nach a auf.

Die beiden Schenkel sind jeweils Einheiten lang. Sie können die Wurzel im Nenner lassen und brauchen sich keine Sorgen um die Berechnung zu machen, weil Sie das Ganze sowieso in das Verhältnis für den Kosekans einsetzen, und sich die Dinge noch ändern werden.

2. Setzen Sie die Länge der Gegenkathete in das Verhältnis für den Kosekans ein.

Die Sekans-Funktion: Kosinus auf dem Kopf

Die Sekans-Funktion, abgekürzt als sec, ist die Reziprok-Funktion des Kosinus. Ihr Verhältnis lautet also . Wie beim Kosekans ist auch hier das Verhältnis der Seiten größer als 1. Im Dreieck aus Abbildung 6.4 sind die beiden Sekans-Werte gleich und .

Die Kotangens-Funktion: Tangens verkehrt

Die letzte Reziprok-Funktion ist der Kotangens, abgekürzt als cot. Diese Funktion ist die Reziprok-Funktion des Tangens (daher auch Ko-). Das Verhältnis der Seiten für den Kotangens ist . Wenn Sie also wieder Abbildung 6.4 betrachten, erkennen Sie, dass die beiden Kotangens-Werte gleich und sind.

Das Verhältnis für den Kotangens bestimmt einfach das Verhältnis, nicht unbedingt die Längen der Seiten. Der Bruch, der anhand der Längen entsteht, wurde möglicherweise gekürzt, indem Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert wurden.

Lieblingswinkel

Möglicherweise haben Sie eine Lieblingssendung, eine Lieblingsnachspeise oder eine Lieblingsfarbe. Normalerweise denkt man nicht sofort an einen Lieblingswinkel. Ein Lieblingswinkel ist aber nicht ganz unvorstellbar. Mein Lieblingswinkel beispielsweise ist der 30°-Winkel – er ist einfach so hübsch anzusehen.

Die beliebtesten Winkel

Am gebräuchlichsten oder beliebtesten sind Winkel mit Maßen, bei denen es sich um Vielfache von 15 Grad handelt. Ganz oben auf der Liste stehen 30, 60 und 90 Grad. Ein weiterer gebräuchlicher Winkel ist der 45°-Winkel. Der Grund dafür, warum diese Winkel so beliebt sind, ist, dass sie alle ganzzahlig in 360 Grad passen. In Abbildung 6.5 ist der Kreis in 12 Stücke zerlegt, die jeweils 30 Grad groß sind, und in 24 Stücke, die 15 Grad groß sind. Diese exakten Divisionen führen

Abbildung 6.5: Ein Kreis kann glatt in 30°- und 15°-Stücke zerlegt werden
zu praktischen Werten für die verschiedenen trigonometrischen Funktionen der Winkel.

Eine Möglichkeit, aus den vier wichtigsten Winkeln zu profitieren – 30, 45, 60 und 90 Grad –, ist es, ihre Vielfachen bis zu 360 Grad zu betrachten. Die trigonometrischen Funktionen der ersten vier Basiswinkel und die trigonometrischen Funktionen ihrer Vielfachen sind miteinander verwandt, wie in Kapitel 8 noch detailliert beschrieben wird. Die ewige Bestenliste der Winkel beinhaltet Vielfache von 30 Grad (30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300 und 330) ebenso wie einige Vielfache von 15 Grad, die zwischen ihnen liegen: 45, 135, 225 und 315. Alle diese Vielfachen teilen sich die vier Quadranten beim ersten Umlauf. Obwohl es noch sehr viel mehr Vielfache gibt, enden die wichtigsten von ihnen alle auf 0. Und der 0°-Winkel gehört ebenfalls zu den Favoriten. Ein Maß von 0 Grad ist technisch gesehen ein Vielfaches aller dieser Winkel, und Sie brauchen ihn, weil er den Anfangspunkt darstellt.

Die exakten Werte von Funktionen ermitteln

Auch wenn Sie mit einem wissenschaftlichen Taschenrechner die Werte der trigonometrischen Funktion für beliebige Winkel ausrechnen können, und nicht nur für Ihre bevorzugten Winkel, sind die dabei angezeigten Werte für die meisten dieser Winkel nur Annäherungen. Beispielswiese ist der exakte Wert des Sinus von 60 Grad gleich . Weil Wurzeln von Zahlen, bei denen es sich nicht um perfekte Quadrate handelt, irrational sind und einen endlosen Dezimalwert haben, gibt ein Taschenrechner dafür eine bestimmte Anzahl an Dezimalstellen an und rundet dann. In diesem Fall gilt . Diese Dezimalzahl zahl hat sehr viel mehr Stellen, als Sie üblicherweise brauchen – normalerweise sind drei Dezimalstellen ausreichend.

In der Trigonometrie verwenden Sie häufig die exakten Werte der bevorzugten Winkel, weil sie bessere Ergebnisse für Berechnungen und Anwendungen ergeben, deshalb ist es sinnvoll, sich diese exakten Werte zu merken.

Der Prozess, eine Tabelle aufzubauen, den ich Ihnen in diesem Abschnitt erklären werde, ist einfach zu merken, deshalb können Sie bei Bedarf schnell selbst eine anlegen – auf Papier oder in Ihrem Kopf.

Eine schnelle Tabelle für die drei grundlegenden trigonometrischen Funktionen anlegen

Die in der Trigonometrie am häufigsten verwendeten Winkel haben trigonometrische Funktionen mit praktischen exakten Werten. Andere Winkel sind nicht ganz so kooperativ.

Eine schnelle, einfache Methode, sich die exakten Werte von trigonometrischen Funktionen der gebräuchlichsten Winkel zu merken, ist der Aufbau einer Tabelle, beginnend mit der Sinus-Funktion, und unter Anwendung eines Musters von Brüchen und Wurzeln. Legen Sie eine Tabelle an, deren erste Zeile die Winkel auflistet, wie in Abbildung 6.6 gezeigt. Die erste Funktion in der nächsten Zeile ist der Sinus.

Abbildung 6.6: Aufbau einer Tabelle exakter Werte

Die Einträge hinter sin θ in der zweiten Zeile sind Brüche und Wurzeln mit dem folgenden Muster:

Jeder Bruch hat den Nenner 2.

Die Zähler der Brüche sind die Wurzeln von 0, 1, 2, 3 und 4, in dieser Reihenfolge, wie in Abbildung 6.7 gezeigt.

Abbildung 6.7: Die Einträge für die zweite Zeile der Tabelle exakter Werte

Jetzt vereinfachen wir die Brüche, die vereinfacht werden können, so dass die Tabelle wie in Abbildung 6.8 gezeigt aussieht:

Abbildung 6.8: Die erste Zeile der Tabelle mit vereinfachten Werten

Die nächste Zeile für den Kosinus ist einfach der Sinus in umgekehrter Reihenfolge, wie in Abbildung 6.9 gezeigt.

Abbildung 6.9: Die Zeile für den Kosinus wird eingefügt

Die nächste Zeile ist für den Tangens vorgesehen. In einem rechtwinkligen Dreieck erhalten Sie den Tangens eines spitzen Winkels durch das Verhältnis (siehe Abschnitt Die Tangens-Funktion: Gegenkathete durch An-kathete in diesem Kapitel). Sie erhalten dasselbe Verhältnis, wenn Sie den Sinus durch den Kosinus dividieren. Und das sieht so aus:

Weil Sie die Werte für Sinus und Kosinus bereits kennen, können Sie diese Eigenschaft nutzen (Tangens ist gleich Sinus durch Kosinus), um die Tangens-Werte für die Tabelle zu erhalten:

Für den Tangens von 0 Grad, .

Für den Tangens von 30 Grad, .

Für den Tangens von 45 Grad, .

Für den Tangens von 60 Grad, .

Für den Tangens von 90 Grad erhalten wir , was nicht definiert ist. Für den Tangens von 90 Grad gibt es also keinen Wert – er existiert einfach nicht.

Die fertige Tabelle mit der Tangens-Zeile sehen Sie in Abbildung 6.10.

Abbildung 6.10: Jetzt wurde die Zeile mit dem Tangens eingefügt

Eine schnelle Tabelle für die drei reziproken trigonometrischen Funktionen erstellen

Wenn Sie Der nächste Schritt: Reziproke Funktionen weiter vorne in diesem Kapitel gelesen haben, dann wissen Sie, dass reziproke Funktionen Werte haben, die reziprok zu den Werten ihrer zugehörigen Funktionen sind. Die Umkehrfunktion des Sinus ist der Kosekans, jeder Funktionswert ist also der Reziprokwert des Sinus. Dasselbe gilt für die beiden anderen reziproken Funktionen. Die Tabelle in Abbildung 6.11 zeigt die Reziprokwerte jeweils in vereinfachter Form. Der Eintrag nicht definiert steht für Situationen, in denen der ursprüngliche Funktionswert gleich 0 war, und die Reziprok-Funktion von 0 hat keinen Wert.

Abbildung 6.11: Die Reziprok-Funktionen

7

Tausche Dreieck gegen Kreis: Kreisfunktionen

In diesem Kapitel ...

Den Einheitskreis kennen lernen

Referenzwinkel bestimmen, um nach Funktionen für andere Winkel aufzulösen

Koordinaten für die Berechnung trigonometrischer Funktionen verwenden

Definitionsbereiche und Wertebereiche von trigonometrischen Funktionen definieren

Eine der Methoden, wie die Mathematiker die trigonometrischen Funktionen zunächst definierten, war die Verwendung von Verhältnissen, gebildet aus den Maßen der Seiten rechtwinkliger Dreiecke (siehe Kapitel 7). Rechtwinklige Dreiecke und die Maße ihrer Seiten sind einfach und mühelos zu konstruieren. Diese Tatsache führte zu einer Art natürlicher Entwicklung der Funktionen und stellte sich als die nützlichste heraus, weil sie es Ingenieuren, Astronomen und Mathematikern erlaubte, exakte Berechnungen der Höhen großer Objekte, der Ausdehnung großer Flächen und der Vorhersage von Sonnenfinsternissen und anderen astronomischen Phänomenen vorzunehmen. Natürlich konnte das Ganze aber damit nicht zu Ende sein. Die Welt der Trigonometrie und ihrer Anwendungen öffnete sich noch weiter, als man die trigonometrischen Funktionen und Eigenschaften auf Winkel beliebiger Maße erweiterte – positiv und negativ –, und sie nicht mehr auf ein rechtwinkliges Dreieck beschränkt waren. Diese Erweiterung ermöglichte es, die Flächen von Dreiecken mit stumpfen Winkeln und Navigationsskizzen zu berechnen. Am besten beginnt man die Beschreibung dieser neuen Funktionen und ihren Vergleich mit dem grundlegendsten aller Kreise – dem Einheitskreis.

Der Einheitskreis als Konvention

Der Einheitskreis ist ein Kreis, dessen Mittelpunkt am Ursprung der Koordinatenebene liegt, und der einen Radius von 1 Einheit besitzt. Jeder Kreis mit dem Mittelpunkt am Ursprung hat die Gleichung x^2 + y^2 = r^2, wobei r der Radius des Kreises ist. Für einen Einheitskreis lautet die Formel x^2 + y^2 = 1. Diese Gleichung zeigt, dass die Punkte, die auf dem Einheitskreis liegen, Koordinaten (x- und y-Werte) haben müssen, die, wenn sie quadriert und dann addiert werden, 1 ergeben. Die Koordinaten für die Punkte, die auf dem Einheitskreis und gleichzeitig auf den Achsen liegen, sind (1, 0), (–1, 0), (0, 1) und (0, –1). Diese vier Punkte (auch als Schnittpunkte bezeichnet), sind in Abbildung 7.1 eingetragen.

Abbildung 7.1: Die vier Schnittpunkte des Einheitskreises

Punkte auf dem Einheitskreis platzieren

Die restlichen Punkte auf dem Einheitskreis sind nicht so handlich wie diejenigen, die Sie in Abbildung 7.1 sehen. Sie werden als Brüche oder Wurzeln oder beides dargestellt. Beispielsweise liegt der Punkt auf dem Einheitskreis. Betrachten Sie jetzt, wie sich diese Koordinaten in der Gleichung des Einheitskreises verhalten:

Wenn Sie die Koordinaten quadrieren und diese Werte addieren, erhalten Sie 1.

Jede Kombination dieser beiden Koordinaten, egal ob sie positiv oder negativ sind, gibt Ihnen einen anderen Punkt auf dem Einheitskreis. Sie alle funktionieren, denn egal ob eine Zahl positiv oder negativ ist, ist ihr Quadrat immer dieselbe positive Zahl. Hier einige Kombinationen dieser beiden Koordinaten, die der Gleichung für den Einheitskreis genügen:

Ein weiteres Koordinatenpaar, das für den Einheitskreis ebenfalls funktioniert, ist , weil die Summe der Quadrate gleich 1 ist: . Die Zahlen, die sich weiterhin als Koordinaten von Punkten auf dem Einheitskreis ergeben, sind und 1. Wenn Sie Kapitel 7 gelesen haben, sollten Ihnen diese Werte vertraut vorkommen – das sind die Sinus- und Kosinus-Werte für die gebräuchlichsten spitzen Winkel. Abbildung 7.2 zeigt die Positionen dieser Punkte auf dem Einheitskreis.

Abbildung 7.2: Punkte auf dem Einheitskreis

Die in Abbildung 7.2 gezeigten Punkte auf dem Einheitskreis werden in der Trigonometrie und anderen mathematischen Anwendungen häufig benutzt, aber es handelt sich dabei nicht um die einzigen Punkte auf diesem Kreis. Jeder Kreis hat eine unendliche Anzahl an Punkten mit allen möglichen interessanten Koordinaten – interessanter als diejenigen, die ich Ihnen bereits gezeigt habe. Wenn Sie nach Koordinaten eines anderen Punkts auf dem Einheitskreis suchen, können Sie einfach eine Zahl zwischen –1 und 1 als x- oder y-Wert auswählen und dann nach dem anderen Wert auflösen. Ich beschreibe diese Methode, den fehlenden Teil einer Koordinate zu ermitteln, im nächsten Abschnitt. Alle diese anderen Koordinaten kommen ins Spiel, wenn Sie einen Strahl zeichnen, der im Mittelpunkt des Einheitskreises beginnt, und die trigonometrischen Funktionen des durch den Strahl und die positive x-Achse gebildeten Winkels berechnen wollen.

Eine fehlende Koordinate finden

Wenn Sie den Wert einer der Koordinaten eines Punkts auf dem Einheitskreis haben und die andere finden wollen, setzen Sie den bekannten Wert in die Gleichung für den Einheitskreis ein und lösen nach dem fehlenden Wert auf.

Sie können eine beliebige Zahl zwischen 1 und –1 wählen, denn so weit erstreckt sich der Einheitskreis entlang der x- und y-Achsen. Nehmen wir beispiels-weise an, ist die x-Koordinate eines Punkts auf dem Einheitskreis. Die y-Koor-dinate finden Sie wie folgt:

1. Setzen Sie den Wert der x-Koordinate in die Gleichung für den Einheitskreis ein.

2. Quadrieren Sie die x-Koordinate und subtrahieren Sie diesen Wert von jeder Seite.

3. Ziehen Sie die Wurzel beider Seiten.

Beachten Sie, dass die y-Koordinate zwei Werte haben kann, weil der Einheitskreis für jede bestimmte x-Koordinate zwei verschiedene Punkte hat (ebenso wie für jede y-Koordinate). Abbildung 7.3 verdeutlicht, warum das so ist.

Abbildung 7.3: Zwei Punkte auf dem Einheitskreis für eine bestimmte x-Koordinate

Die Winkel tanzen im Kreis!

Der Einheitskreis erlaubt uns, alle möglichen Winkelmaße von 0 bis 360 Grad zu beschreiben, alle Negativen dieser Winkel sowie alle Vielfachen der positiven und negativen Winkel von minus unendlich bis plus unendlich. Mit anderen Worten, der Einheitskreis besteht aus allen Winkeln, die es gibt. Während ein rechtwinkliges Dreieck nur Winkel von 90 Grad oder weniger enthalten kann, bietet der Kreis einen viel größeren Bereich.

Bleiben wir positiv!

Die positiven Winkel auf dem Einheitskreis werden mit der Anfangsseite (dem ersten Schenkel) auf der positiven x-Achse und der Endseite (dem freien Schenkel) gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung gemessen (wenn Sie wissen wollen, wie dieses Konzept genau funktioniert, lesen Sie noch einmal in Kapitel 4 nach). Abbildung 7.4 zeigt einige positive Winkelmaße sowohl in Grad als auch im Bogenmaß.

Beachten Sie in Abbildung 7.4, dass die freien Schenkel der Winkel mit 30 Grad und 210 Grad, 60 Grad und 240 Grad usw. gerade Linien bilden. Diese Tatsache war zu erwarten, weil die Winkel 180 Grad voneinander entfernt sind, und ein gerader Winkel 180 Grad hat. Sie sehen die Bedeutung dieses Aspekts, wenn Sie es mit den trigonometrischen Funktionen dieser Winkel zu tun bekommen, wie im Abschnitt Trigonometrische Funktionen für alle Winkel definieren später in diesem Kapitel beschrieben.

Abbildung 7.4: Verschiedene positive Winkel im Einheitskreis

Seien Sie negativ – oder multiplizieren Sie Ihre Winkel

Wenn Sie gerade noch gedacht haben, 360 Grad oder 2π im Bogenmaß seien ausreichend, werden Sie mit der Realität konfrontiert, dass viele der grundlegenden Winkel negative Werte und sogar Vielfache von sich selbst haben. Wenn Sie Winkel im Uhrzeigersinn statt gegen den Uhrzeigersinn messen, haben die Winkel negative Maße: Ein 30-Grad-Winkel ist dasselbe wie ein –330-Grad-Winkel, weil sie denselben freien Schenkel haben. Analog dazu ist ein Winkel von dasselbe wie ein Winkel von . Regeln dazu, wie diese Winkel im Bogenmaß berechnet werden, finden Sie in Kapitel 1.

Aber es gibt noch mehr Möglichkeiten, einem Winkel einen Namen zu geben. Durch die Ausführung einer vollständigen Umdrehung (oder zwei oder mehr) und das Addieren oder Subtrahieren von 360 Grad oder einem Vielfachen davon, bevor Sie den freien Schenkel des Winkels antragen, können Sie für denselben Basiswinkel eine unendliche Anzahl von Winkelmaßen erhalten, positiv oder negativ. Beispielsweise hat ein Winkel von 60 Grad denselben freien Schenkel wie ein Winkel von 420 Grad oder –300 Grad. Abbildung 7.5 zeigt viele Namen für denselben 60-Grad-Winkel sowohl in Grad als auch im Bogenmaß.

Obwohl dieses Namensspiel für Winkel auf den ersten Blick wenig sinnvoll zu sein scheint, steckt mehr dahinter, als beliebige Negative oder Vielfache eines Winkels zu verwenden, nur um es zu verkomplizieren. Winkel, die miteinander verwandt sind, haben trigonometrische Funktionen, die ebenfalls miteinander verwandt (wenn nicht sogar gleich) sind. Weitere Informationen darüber finden Sie im Abschnitt Trigonometrische Funktionen für alle Winkel definieren.

Abbildung 7.5: Es gibt viele Möglichkeiten, ein und denselben Winkel unterschiedliche Namen zu geben

Referenzwinkel finden und berechnen

Jeder der Winkel in einem Einheitskreis hat einen Referenzwinkel, das ist immer ein positiver spitzer Winkel. Durch die Identifizierung des Referenzwinkels können Sie die Funktionswerte für diesen Referenzwinkel feststellen und schließlich den ursprünglichen Winkel. Manchmal ist es viel einfacher, zuerst nach dem Referenzwinkel aufzulösen, als zu versuchen, nach dem ursprünglichen Winkel aufzulösen. Die trigonometrischen Funktionen haben Werte, die sich immer wieder wiederholen; manchmal sind diese Werte positiv, manchmal sind sie negativ. Die Verwendung eines Referenzwinkels hilft, die Anzahl der verschiedenen Werte auf einem Minimum zu halten. Sie weisen das Plus- oder Minuszeichen einfach zu, nachdem Sie festgestellt haben, welcher Referenzwinkel zu dem ursprünglichen Winkel gehört.

Sie ermitteln einen Referenzwinkel, indem Sie den freien Schenkel des Winkels betrachten, mit dem Sie gerade arbeiten, und die positive oder negative x-Achse, abhängig davon, in welchem Quadranten sich der freie Schenkel befindet:

Quadrant I (QI): Der Referenzwinkel ist derselbe wie der ursprüngliche Winkel.

Quadrant II (QII): Der Referenzwinkel ist das Maß vom freien Schenkel nach unten zur negativen x-Achse.

Quadrant III (QIII): Der Referenzwinkel ist das Maß von der negativen x-Achse zum freien Schenkel.

Quadrant IV (QIV): Der Referenzwinkel ist das Maß vom freien Schenkel nach oben zur positiven x-Achse.

Abbildung 7.6 zeigt die Positionen der Referenzwinkel in den vier Quadranten.

Abbildung 7.6: Referenzwinkel werden unter Verwendung der x-Achse gemessen

Wie alle Winkel, können Sie auch Referenzwinkel in Grad oder im Bogenmaß messen. Ich muss zugeben, dass ich manchmal die Arbeit mit Grad bevorzuge und ein Bogenmaß umwandle, bevor ich diese Berechnungen vornehme. Es ist jedoch egal, welche Methode Sie verwenden – alles eine Frage des persönlichen Geschmacks.

Winkelmaße in Grad ermitteln

Um die Maße des Referenzwinkels (in Grad) für jeden beliebigen Winkel θ zu berechnen, wenden Sie die in Tabelle 7.1 gezeigten Regeln an.

Quadrant

Maß des Winkels θ

Maß des Referenzwinkels

I

0° bis 90°

θ

II

90° bis 180°

180° – θ

III

180° bis 270°

θ – 180°

IV

270° bis 360°

360° – θ

Tabelle 7.1: Referenzwinkel in Grad ermitteln

Anhand von Tabelle 7.1 können Sie etwa den Referenzwinkel für 200 Grad ermitteln:

1. Bestimmen Sie den Quadranten, in dem der freie Schenkel liegt.

Ein 200-Grad-Winkel liegt zwischen 180 und 270 Grad, also befindet sich sein freier Schenkel in QIII.

2. Führen Sie die für diesen Quadranten angegebene Operation aus.

Subtrahieren Sie 180 Grad von dem Winkel, also von 200 Grad. Sie erhalten 200 – 180 = 20. Der Referenzwinkel beträgt also 20 Grad.

Jetzt ermitteln Sie den Referenzwinkel für 350 Grad.

1. Bestimmen Sie den Quadranten, in dem der freie Schenkel liegt.

Ein 350-Grad-Winkel liegt zwischen 270 und 360 Grad, also befindet sich sein freier Schenkel in QIV.

2. Führen Sie die für diesen Quadranten angegebene Operation aus.

Subtrahieren Sie den Winkel von 360 Grad. Sie erhalten 360 – 350 = 10. Der Referenzwinkel beträgt also 10 Grad.

Manchmal passen Winkelmaße nicht exakt in die in Tabelle 7.1 gezeigten Bereiche. Beispielsweise könnte es sein, dass Sie den Referenzwinkel für einen negativen Winkel oder ein Vielfaches eines Winkels suchen.

Um den Referenzwinkel für –340 Grad zu finden, gehen Sie wie folgt vor:

1. Bestimmen Sie den Quadranten, in dem der freie Schenkel liegt.

Ein –340-Grad-Winkel ist äquivalent zu einem 20-Grad-Winkel. (Sie erhalten das positive Winkelmaß, indem Sie 360 Grad zu dem negativen Maß addieren, also eine vollständige Umdrehung um den Ursprung.) Ein 20-Grad-Winkel hat seinen freien Schenkel in QI.

2. Führen Sie die für diesen Quadranten angegebene Operation aus.

Winkel im ersten Quadranten sind ihre eigenen Referenzwinkel, der Referenzwinkel beträgt also 20 Grad.

Auf der anderen Seite des Spektrums können Sie versuchen, den Referenzwinkel für 960 Grad zu finden:

1. Bestimmen Sie den Quadranten, in dem der freie Schenkel liegt.

Ein 960-Grad-Winkel ist äquivalent zu einem 240-Grad-Winkel. (Sie erhalten dieses Maß, indem Sie zweimal 360 von 960 subtrahieren.) Ein 240-Grad-Winkel liegt zwischen 180 und 270 Grad, also befindet sich sein freier Schenkel in QIII.

2. Führen Sie die für diesen Quadranten angegebene Operation aus.

Subtrahieren Sie 180 von 240. Sie erhalten 240 – 180 = 60. Der Referenzwinkel beträgt also 60 Grad.

Winkelmaße im Bogenmaß ermitteln

Um das Bogenmaß des Referenzwinkels für einen bestimmten Winkel θ zu ermitteln, wenden Sie die Regeln aus Tabelle 7.2 an.

Quadrant

Maß des Winkels θ

Maß des Referenzwinkels

I

0 bis

θ

II

bis π

π – θ

III

π bis

θ – π

IV

bis 2π

2π – θ

Tabelle 7.2: Referenzwinkel im Bogenmaß ermitteln

Um beispielsweise den Referenzwinkel für zu finden, gehen Sie wie folgt vor:

1. Bestimmen Sie den Quadranten, in dem der freie Schenkel liegt.

Ein Winkel mit dem Maß hat seinen freien Schenkel in QII, das wissen wir, weil etwas weniger als 1 ist, so dass der Winkel etwas kleiner als π ist.

2. Führen Sie die für diesen Quadranten angegebene Operation aus.

Subtrahieren Sie von π. Damit erhalten Sie . Der Referenzwinkel ist also groß.

Trigonometrische Funktionen für alle Winkel definieren

In der Trigonometrie und anderen Bereichen der Mathematik werden viele Winkel verwendet, und die meisten davon sind Vielfache von 30 und 45 Grad. Sie brauchen also einen Trick, wie Sie schnell die Funktionswerte dieser häufig vorkommenden Winkel erhalten. Sie brauchen nur die Werte der trigonometrischen Funktionen für Winkel mit 0, 30, 45, 60 und 90 Grad zu kennen, um alle trigonometrischen Funktionen für alle Winkel zu kennen, positiv oder negativ, die Vielfache von 30 oder 45 Grad sind, die beiden grundlegendsten Winkel. Die Ermittlung dieser Funktionswerte erfolgt in einem zweistufigen Prozess. Als Erstes ermitteln Sie das Maß des Referenzwinkels, und als Zweites stellen Sie fest, ob der Funktionswert positiv oder negativ ist.

Referenzwinkel einsetzen

Der erste Schritt, den Funktionswert eines der Winkel zu finden, bei dem es sich um ein Vielfaches von 30 oder 45 Grad handelt, ist die Ermittlung des Referenzwinkels. Wenn der Referenzwinkel gleich 0, 30, 45, 60 oder 90 Grad ist, können Sie den Funktionswert dieses Winkels verwenden und dann das Vorzeichen ermitteln (siehe nächster Abschnitt). Den Referenzwinkel finden Sie mit Hilfe von Tabelle 7.1 oder Tabelle 7.2.

Alle Winkel mit einem Referenzwinkel von 30 Grad haben trigonometrische Funktionen, deren Absolutwerte gleich denjenigen des 30°-Winkels sind. Die Sinus-Werte von 30, 150, 210 und 330 Grad beispielsweise sind alle entweder oder . Wenn Sie analog dazu einen 45°-Winkel als Referenzwinkel verwenden, sind beispielsweise die Kosinus-Werte von 45, 135, 225 und 315 Grad alle gleich oder .

Bestimmung der Optimisten und der Pessimisten

Die Sinus-Werte für 30, 150, 210 bzw. 330 Grad sind und . Alle diese Vielfachen von 30 Grad haben den Absolutwert (wie ich im obigen Abschnitt bereits erklärt habe). Die folgende Regel und Abbildung 7.7 helfen Ihnen zu erkennen, ob der Wert einer trigonometrischen Funktion positiv oder negativ ist. Beachten Sie zunächst, dass jeder der Quadranten in der Abbildung mit einem Buchstaben beschriftet ist. Die Buchstaben sind nicht zufällig gewählt. Sie stehen für trigonometrische Funktionen.

Abbildung 7.7: Positive und negative Funktionswerte können dem Quadranten nach zugeordnet werden

Wenn Sie die Quadranten beginnend bei QI gegen den Uhrzeigersinn verlaufend lesen, gilt die folgende Regel: Wenn der freie Schenkel in dem Quadranten mit dem folgenden Buchstaben liegt:

A: Alle Funktionen sind positiv.

S: Sinus und seine Reziprok-Funktion, Kosekans, sind positiv.

T: Tangens und seine Reziprok-Funktion, Kotangens, sind positiv.

C: Kosinus und seine Reziprok-Funktion, Sekans, sind positiv.

In QII sind nur Sinus und Kosekans positiv. Alle anderen Funktionswerte für Winkel in diesem Quadranten sind negativ – und die Regel setzt sich auf ähnliche Weise für die anderen Quadranten fort.

Alle Regeln kombinieren

Unter Verwendung der Regeln für Referenzwerte, der Werte für Funktionen bestimmter spitzer Winkel (siehe Kapitel 7) und der Regel für die Vorzeichen von Funktionen können Sie die trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel ermitteln, die sich auf den Einheitskreis beziehen – alle Winkel, die an der Standardposition gezeichnet sind (das heißt, der Scheitel des Winkels liegt im Ursprung, und der erste Schenkel liegt entlang der positiven x-Achse).

Abbildung 7.8 kombiniert die Informationen aus diesem und dem vorigen Kapitel.

Gerüstet mit allen nötigen Informationen können Sie jetzt den Tangens von 300 Grad ermitteln.

1. Finden Sie den Referenzwinkel.

Anhand von Abbildung 7.8 erkennen Sie, dass sich ein 300°-Winkel im vierten Quadranten befindet, Sie finden den Referenzwinkel also, indem Sie 300 von 360 subtrahieren. Der Referenzwinkel ist also 60 Grad.

2. Finden Sie den numerischen Wert des Tangens.

Anhand von Abbildung 7.8 erkennen Sie, dass der numerische Teil des Tangens von 60 Grad gleich ist.

3. Ermitteln Sie das Vorzeichen des Tangens.

Weil ein 300°-Winkel im vierten Quadranten liegt und Winkel in diesem Quadranten negative Tangens-Werte haben (siehe Abschnitt Bestimmung der Optimisten und der Pessimisten), ist der Tangens von 300 Grad gleich .

Abbildung 7.8: Mit Hilfe dieser Tabellen und dieser Abbildung finden Sie Funktionswerte unter Verwendung von Referenzwinkeln

Um das Ganze jetzt auch im Bogenmaß auszuprobieren, ermitteln Sie den Kosekans von .

1. Finden Sie den Referenzwinkel.

Anhand von Abbildung 7.8 erkennen Sie, dass sich dieser Winkel im dritten Quadranten befindet, Sie finden den Referenzwinkel also, indem Sie π von subtrahieren. Der Referenzwinkel ist also .

2. Finden Sie den numerischen Wert des Kosekans.

In Abbildung 7.8 taucht der Kosekans nicht auf. Die Umkehrfunktion des Kosekans ist jedoch der Sinus. Sie ermitteln also den Wert des Sinus und verwenden den Reziprokwert.

Der Sinus von ist , das heißt, der Kosekans ist 2.

3. Ermitteln Sie das Vorzeichen des Kosekans.

Im dritten Quadranten ist der Kosekans eines Winkels negativ (siehe Abschnitt Bestimmung der Optimisten und der Pessimisten). Der Kosekans von ist also –2.

Kreiskoordinaten für die Lösung trigonometrische Funktionen

Eine weitere Möglichkeit, die Werte der trigonometrischen Funktionen für Winkel zu finden, ist die Verwendung der Koordinaten von Punkten auf einem Kreis, der seinen Mittelpunkt im Ursprung hat. Sozusagen eine Reise zum Mittelpunkt des Kreises. Wenn die positive x-Achse der erste Schenkel eines Winkels ist, dann können Sie die Koordinaten des Punkts verwenden, wo sich der freie Schenkel mit dem Kreis schneidet, um die trigonometrischen Funktionen zu bestimmen.

Abbildung 7.9: Ein Winkel an der Standardposition in einem Kreis mit dem Radius r

Abbildung 7.9 zeigt einen Kreis mit dem Radius r, in dem an der Standardposition ein Winkel eingezeichnet ist.

Die Gleichung des Kreises lautet x^2 + y^2 = r^2 (siehe Kapitel 2). Basierend auf dieser Gleichung und den Koordinaten des Punkts, wo der freie Schenkel des Winkels den Kreis schneidet, sind die sechs trigonometrischen Funktionen für den Winkel θ wie folgt definiert:

Sie sehen, wo diese Definitionen herkommen, wenn Sie ein rechtwinkliges Dreieck zeichnen, bei dem eine senkrechte Linie vom Punkt (x, y) auf die x-Achse fällt.

Abbildung 7.10 zeigt so ein Dreieck. Beachten Sie, dass der x-Wert rechts (oder links) vom Ursprung steht, der y-Wert oberhalb (oder unterhalb) der x-Achse – und verwenden Sie diese Werte als Längen der Dreiecksseiten. So ist die Seite gegenüber dem Winkel θ gleich dem Wert der y-Koordinate. Die Ankathete ist x, der Wert der x-Koordinate.

Abbildung 7.10: Ein rechtwinkliges Dreieck hilft, die trigonometrischen Funktionen zu beschreiben, wenn Sie Koordinaten verwenden

Beachten Sie, dass für die Winkel im zweiten Quadranten beispielsweise die x-Werte negativ, die y-Werte positiv sind. Der Radius dagegen ist immer eine positive Zahl. Wenn die x-Werte negativ sind und die y-Werte positiv, erkennen Sie anhand der zuvor in diesem Abschnitt aufgelisteten Funktionsdefinitionen, dass der Sinus und der Kosekans positiv sind, die anderen Funktionen dagegen alle negativ, weil sie alle ein x in ihren Verhältnisgleichungen haben. Die Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen schließen sich alle an, wenn Sie dieses Koordinatensystem verwenden, Sie brauchen sich hier also nicht an die ASTC-Regel zu erinnern. (Weitere Informationen zu dieser Regel und wann Sie sie einsetzen können, finden Sie im Abschnitt Bestimmung der Optimisten und der Pessimisten.)

Definitionsbereiche und Wertebereiche trigonometrischer Funktionen

Der Definitionsbereich einer Funktion besteht aus allen Eingabewerten, die eine Funktion verarbeiten kann – auf genau die Weise, wie die Funktion definiert ist. Natürlich wollen Sie auch Ausgabewerte erhalten (die den Wertebereich bilden), wenn Sie Eingabewerte eingegeben haben (weitere Informationen zu den Grundlagen über Definitions- und Wertebereiche finden Sie in Kapitel 3). Manchmal, wenn Sie einen Bruch oder eine Wurzel in die Funktion eingeben, führt das zu unmöglichen Situationen. In diesen Fällen müssen Sie eine Beschränkung einführen, was in die Funktion eingegeben werden kann – der Definitionsbereich muss beschränkt werden. Beispielsweise ist der Kosekans definiert als die Hypotenuse durch die Gegenkathete (siehe Kapitel 7). Wenn der freie Schenkel des Winkels auf der x-Achse liegt, ist die Gegenkathete 0, und Sie müssten durch 0 dividieren. Unmöglich!

Die Eingaben für trigonometrische Funktionen sind Winkelmaße, entweder in Grad oder im Bogenmaß. Die Ausgabe der trigonometrischen Funktionen sind reale Zahlen. Das Problem ist, dass die verschiedenen trigonometrischen Funktionen unterschiedliche Definitions- und Wertebereiche haben. Sinus und Kosinus sind sehr unkompliziert und haben denselben Definitions- und Wertebereich. Die Tangens-Funktion und die Reziprok-Funktionen dagegen unterscheiden sich alle. Am besten beschreibt man diese verschiedenen Definitions- und Wertebereiche visuell: Sehen Sie sich die Koordinatenebene an, mit einem Kreis mit Mittelpunkt am Ursprung und darin liegendem rechtwinkligen Dreieck, gebildet, indem eine Linie von einem Punkt (x, y) auf dem Kreis auf die x-Achse gefällt wird (siehe Abbildung 7.11). Wenn diese Hypotenuse auf einer der Achsen liegt, ist eine der Seiten gleich 0, was für den Nenner eines Bruchs in keinem Fall erlaubt ist.

Abbildung 7.11: Mit Hilfe von Koordinaten auf einem Kreis wird ein rechtwinkliges Dreieck gebildet

Betrachten Sie die Werte der Variablen in Abbildung 7.11 in Relation zueinander. Der Radius r ist immer positiv. Und die Absolutwerte von x und y (die Längen der Segmente, die sie darstellen) sind immer kleiner als r, es sei denn, der Punkt (x, y) liegt auf einer der Achsen – dann ist einer der Werte gleich r, der andere ist gleich 0.

Freundliche Funktionen: Sinus und Kosinus

Die Funktionen Sinus und Kosinus sind einzigartig in der Welt der trigonometrischen Funktionen, weil ihre Verhältnisgleichungen immer einen Wert haben. Dieser Wert kann gleich 0 sein, aber auch das ist eine Zahl. In Bezug auf die

Koordinatenebene ist der Sinus und der Kosinus ist .

Der Radius r ist immer eine positive Zahl (deshalb haben diese Funktionen immer einen Wert, weil sie nie versuchen, durch 0 zu dividieren), und diese Zahl ist immer größer als der Absolutwert von x oder y.

Definitionsbereiche von Sinus und Kosinus

Die Definitionsbereiche von Sinus und Kosinus sind unendlich. Trigonometrisch ausgedrückt, könnten Sie Folgendes sagen: Wenn θ für alle Winkel in dem Definitionsbereich der beiden Funktionen f(θ) = sin θ und g(θ) = cos θ steht, dann gilt –∞ ≤ θ ∞, das heißt, θ kann ein beliebiger Winkel in Grad oder im Bogenmaß sein – eine beliebige reale Zahl.

Wertebereiche von Sinus und Kosinus

Die Ausgabewerte für Sinus und Kosinus liegen immer zwischen –1 und 1. Trigonometrisch ausgedrückt, könnte das wie folgt heißen: Wenn f(θ) und g(θ) die Ausgabewerte der Funktionen f(θ) = sin θ und g(θ) = cos θ darstellen, dann gilt –1 ≤ f(θ) ≤ und –1 ≤ g(θ) ≤ 1.

Die Verhältnisse und sind in keinem Fall unechte Brüche – der Zähler kannnie größer als der Nenner werden –, weil der Wert von r, dem Radius, immer die größte Zahl ist. Es kann allerhöchstens sein, dass der Winkel θ seinen freien Schenkel auf einer der Achsen hat (das heißt, eine der Seiten ist gleich r), dann ist der Wert dieser Verhältnisse gleich 1 oder –1.

Enge Verwandte ihrer Reziprok-Funktionen: Kosekans und Sekans

Die Kosekans- und Sekans-Funktionen sind eng mit Sinus und Kosinus verwandt, weil es sich dabei um die jeweiligen Reziprok-Funktionen handelt. In Bezug auf die Koordinatenebene ist der Kosekans , und der Sekans ist . Der Wert von r ist die Länge der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks – der, wie Sie am Anfang dieses Abschnitts erfahren haben, immer positiv und immer größer als x und y ist. Das einzige Problem, das bei der Berechnung dieser Funktionen auftritt, entsteht dann, wenn x oder y gleich 0 sind – wenn der freie Schenkel des Winkels auf einer Achse liegt. Eine Funktion mit 0 im Nenner erzeugt eine Zahl oder einen Wert, die es nicht gibt (mathematisch ausgedrückt: Das Ergebnis ist undefiniert). Wenn also x oder y gleich 0 sind, können Sie die Funktionen Kosekans oder Sekans nicht berechnen. x ist 0, wenn der freie Schenkel auf der y-Achse liegt, und y ist 0, wenn der freie Schenkel auf der x-Achse liegt.

Definitionsbereiche von Kosekans und Sekans

Die Definitionsbereiche von Sekans und Kosekans sind beschränkt – Sie können die Funktionen nur für Winkelmaße mit existierenden Ausgabewerten ausführen.

Immer wenn der freie Schenkel eines Winkels auf der x-Achse liegt (wo y = 0), können Sie die Kosekans-Funktion für diesen Winkel nicht anwenden. Trigonometrisch ausgedrückt, sieht die Regel wie folgt aus: Wenn h(θ) = csc θ, dann gilt θ ≠ 0, 180, 360, 540 … oder Vielfache von 180 Grad. Im Bogenmaß heißt das θ ≠ 0, π, 2π, 3π … oder beliebige Vielfache von π.

Immer wenn der freie Schenkel eines Winkels auf der y-Achse liegt (x = 0), können Sie die Sekans-Funktion für diesen Winkel nicht anwenden. Trigonometrisch ausgedrückt, sieht die Regel wie folgt aus: Wenn k(θ) = sec θ, dann gilt θ ≠ 90, 270, 450, 630 … oder andere ungerade Vielfache von 90 Grad. Im Bogenmaß heißt das … oder beliebige ungerade Vielfache von .

Wertebereiche von Kosekans und Sekans

Die Verhältnisse der Kosekans- und Sekans-Funktionen auf der Koordinatenebene, und , haben die Hypotenuse, r, im Zähler. Weil r immer positiv und größer oder gleich x und y ist, handelt es sich immer um unechte Brüche (größer 1), oder um 1. Die Wertebereiche dieser beiden Funktionen enthalten keine echten Brüche (Zahlen zwischen –1 und 1).

Wenn h(θ) und k(θ) die Ausgabewerte der Funktionen h(θ) = csc θ und k(θ) = sec θ sind, dann gilt h(θ) ≤ –1 oder h(θ) ≥ 1 und k(θ) ≤ –1 oder k(θ) ≥ 1.

Blutsbrüder: Tangens und Kotangens

Tangens und Kotangens sind nicht nur aufgrund der Tatsache verwandt, dass sie Reziprok-Funktionen sind, sondern auch durch das Verhalten ihrer Wertebereiche. reiche. In Bezug auf die Koordinatenebene ist der Tangens gleich und der Kotangens ist . Die Definitionsbereiche der beiden Funktionen sind beschränkt, weil ihre Verhältnisgleichungen unter Umständen eine 0 im Nenner haben könnten, aber ihre Wertebereiche sind unendlich.

Definitionsbereiche von Tangens und Kotangens

Weil x für die Tangens-Funktion nicht gleich 0 sein darf, gilt die folgende Regel: Wenn m(θ) = tan θ, dann gilt θ ≠ 90, 270, 450, 630 … oder ein anderes ungerades Vielfaches von 90 Grad. Im Bogenmaß: … oder andere ungerade Vielfache von . Sowohl die Tangens- als auch die Sekans-Funktion haben Verhältnisse, bei denen x im Nenner stehen kann, so dass ihre Definitionsbereiche gleich sind.

Für die Kotangens-Funktion darf y nicht gleich 0 sein. Wenn n(θ) = cot θ, dann gilt θ ≠ 0, 180, 360, 540 … oder andere Vielfache von 180 Grad. Im Bogenmaß gilt θ ≠ 0, 2π, 3π … oder ein anderes Vielfaches von π.

Wertebereiche von Tangens und Kotangens

Die Wertebereiche von Tangens und Kotangens sind unendlich, was in mathematischer Notation wie folgt aussieht: –∞ ≤ m(θ) ≤ ∞ und –∞ ≤ n(θ) ≤ ∞.

Die Wertebereichswerte für diese Funktionen werden sehr klein (gegen minus unendlich) oder sehr groß (gegen plus unendlich), wenn der Nenner des jeweiligen Verhältnisses gegen 0 geht. Wenn Sie eine Zahl durch einen sehr kleinen Wert dividieren, wie etwa 0,0001, dann ist das Ergebnis groß. Je kleiner der Nenner, desto größer ist das Ergebnis.

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Trigonometrische Funktionen für den Alltag

In diesem Kapitel ...

Steigungs- und Neigungswinkel erkennen

Die Höhen von Gebäuden ermitteln

Das Gefälle eines Berges berechnen

Messen, wenn Objekte wirklich hoch sind

Als die trigonometrischen Funktionen entwickelt oder entdeckt wurden – also vor sehr langer Zeit –, wollte man damit nicht einfach nur eine Möglichkeit finden, zu sagen: »He, Cäsar, wusstest du, dass der Sinus von 45 Grad gleich ist?«

Vielmehr arbeiteten die Mathegenies der Vergangenheit an den Konzepten der Trigonometrie, weil sie eine gewisse Ordnung oder Konsistenz für die Zahlen brauchten, die sie in Astronomie, Landwirtschaft und Architektur anwendeten. Sie fanden die Beziehungen zwischen all diesen Zahlen heraus und teilten sie der restlichen bekannten, zivilisierten Welt mit.

Das Wichtigste zuerst: Auf- und Abstiege

Mathematische Probleme, für die der Einsatz von trigonometrischen Funktionen erforderlich ist, beinhalten häufig zwei gebräuchliche Winkel: Steigungswinkel und Neigungswinkel. Die Szenarien, in denen diese Winkel vorkommen, sind beispielsweise die Ermittlung der Entfernung von einem Flugzeug zu einem Punkt am Boden oder der Entfernung zu einem Ballon oder einem anderen Objekt über Ihnen. Sie verwenden die trigonometrischen Funktionen, um nach dem fehlenden Wert der Verhältnisgleichung oder der Seite des imaginären rechtwinkligen Dreiecks aufzulösen.

Ptolemäus: Richtig und falsch

Claudius Ptolemäus war ein griechischer Bürger, der 87–150 n. Chr. in Alexandria (Ägypten) lebte. Er war Astronom, Mathematiker und Geograph. Ptolemäus glaubte, dass sich die Sonne und andere Planeten um die Erde drehten. Damals waren nur fünf Planeten bekannt, und er glaubte, sie drehten sich in der folgenden Reihenfolge um die Erde: Merkur, Venus, Sonne, Mars, Jupiter und Saturn. Diese Theorie wurde auch als das ptolemäische System bezeichnet. Ptolemäus sagte die Positionen der Planeten mit ausreichender Genauigkeit voraus, wenn man berücksichtigt, dass er seine Beobachtungen nicht mit dem Teleskop, sondern mit bloßem Auge machte. Ptolemäus hat jedoch möglicherweise nicht wirklich an sein Planetensystem geglaubt – vielleicht verwendete er es nur als Methode, die relativen Positionen der Planeten zu berechnen. Er hatte jedoch Recht, als er feststellte, die Erde sei eine Kugel und nicht flach – diese Theorie beeinflusste einen Großteil seiner wichtigen Arbeiten in der Geographie und Kartographie. Seine Arbeiten und ein Fehler, nach dem Asien zu weit nach Osten angenommen wurde, führte vermutlich zu der Entscheidung Kolumbus’, nach Westen zu segeln, um auf dem Seeweg nach Indien zu gelangen.

Steigungswinkel

Ein Steigungswinkel wird von der Horizontalen aus nach oben verlaufend gemessen. Die Horizontale ist im Allgemeinen die Erde, die Straße, der Boden oder ein anderes ebenes Objekt. Auch wenn der Boden nicht ganz eben oder horizontal ist, nehmen Sie die Messung unter der Annahme vor, er sei eben. In der Trigonometrie müssen Sie die optimale Situation suchen – konzentrieren Sie sich auf das Gesamtbild, und nicht auf Ungenauigkeiten. Abbildung 8.1 zeigt einen Steigungswinkel.

Abbildung 8.1: Steigungs- und Neigungswinkel

Neigungswinkel

Ein Neigungswinkel wird von der Horizontalen aus nach unten gemessen. In diesem Fall ist die Horizontale beispielsweise die Flughöhenlinie eines Flugzeugs oder die Sichtlinie einer Person, die auf einem Berg steht. Der Winkel wird gebildet, wenn eine Person in diesem Flugzeug oder auf einem Berg auf ein Objekt am Boden blickt (oder auf ein Niveau parallel zum Boden). Abbildung 8.1 zeigt ein Beispiel für einen Neigungswinkel.

Die Höhe großer Gebäude bestimmen

Jeden Tag benutzen Menschen die Trigonometrie, um Dinge zu messen, die sie nicht erreichen können. Wie hoch ist dieses Haus? Reicht diese Leiter bis ganz nach oben im Baum? Durch Anwendung geeigneter trigonometrischer Funktionen finden Sie die Antworten auf solche Fragen. Zwei wichtige Betrachtungen, die Sie bei der Lösung von Problemen mit Hilfe der Trigonometrie nie außer Acht lassen sollten, sind: Welche trigonometrische Funktionen sollte ich anwenden, und welche Einheiten oder Maße stellt die Antwort dar?

Die fehlenden Werte in den Verhältnisgleichungen der trigonometrischen Funktionen stellen die fehlenden Komponenten in den Aufgabenstellungen dar. Sie setzen die bekannten Werte auf geeignete Weise ein und lösen nach dem Rest auf.

Das Burgfräulein auf dem Turm

Betrachten wir eine ganz alltägliche Situation: Ein Burgfräulein wird in einem Turm gefangen gehalten. Ihr Ritter in schimmernder Rüstung steht unten am Boden mit einer Leiter. Er muss wissen, ob diese Leiter ausreicht oder ob er eine längere Leiter braucht.

Wenn der tapfere Held 15 m vom Turm entfernt steht und zu seinem zarten Burgfräulein aufblickt, beträgt der Steigungswinkel zu ihrem Fenster 60 Grad. Wie lang muss die Leiter sein? Abbildung 8.2 zeigt die Situation im Bild.

Abbildung 8.2: Ein Burgfräulein in höchster Not muss gerettet werden

1. Identifizieren Sie die Komponenten des rechtwinkligen Dreiecks, die Sie für die Lösung des Problems heranziehen können.

Sie wissen, dass der spitze Winkel 60 Grad beträgt und dass die Ankathete des Dreiecks am Boden liegt. Der Abstand vom Scheitel des Winkels (wo der Ritter steht) bis zum Turm beträgt 15 m. Die Hypotenuse ist die für die Leiter erforderliche Länge – nennen wir sie x. Abbildung 8.3 zeigt das Dreieck.

Abbildung 8.3: Das rechtwinklige Dreieck, mit dessen Hilfe das Fräulein gerettet werden kann

2. Stellen Sie fest, welche trigonometrische Funktion angewendet werden muss.

Die Ankathete und die Hypotenuse sind Teil der Verhältnisgleichung für den Kosinus. Diese Seiten sind auch Teil der Verhältnisgleichung für den Sekans, aber wenn möglich, sollten Sie immer die drei Hauptfunktionen heranziehen, nicht ihre Reziprok-Funktionen.

3. Schreiben Sie eine Gleichung mit dieser trigonometrischen Funktion und setzen Sie dann die bekannten Werte ein.

Falls Sie sich nicht mehr an diese Werte erinnern können, lesen Sie in den Tabellen in Kapitel 7 nach.

4. Lösen Sie die Gleichung auf.

Durch kreuzweises Multiplizieren erhalten Sie

Die Leiter muss also 10 m lang sein. Der Ritter sollte ziemlich stark sein.

Die Höhe eines Baumes bestimmen

Angenommen, Sie lassen einen Drachen steigen und er fängt sich in einer Baumkrone. Sie haben 30 m Leine für den Drachen abgespult und der Winkel, den die Leine zum Boden bildet (der Steigungswinkel), beträgt 75 Grad. Statt sich Sorgen darüber zu machen, wie Sie den Drachen zurückbekommen, sollten Sie sich lieber fragen: »Wie hoch ist dieser Baum?«

Abbildung 8.4 zeigt das Szenario.

Abbildung 8.4: Ein Drachen hat sich oben in einem Baum verfangen

Um eine Lösung für Ihr Problem zu finden, gehen Sie wie folgt vor:

1. Identifizieren Sie die Komponenten des rechtwinkligen Dreiecks, die Sie für die Problemlösung brauchen.

Die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks ist die Länge der Leine. Die Seite, die dem 75°-Winkel gegenüberliegt, ist gesucht – nennen wir sie x.

2. Stellen Sie fest, welche trigonometrische Funktion Sie verwenden müssen.

Die Hypotenuse und die Gegenkathete sind Teil der Verhältnisgleichungen für den Sinus.

3. Schreiben Sie eine Gleichung mit der trigonometrischen Funktion und setzen Sie dann die bekannten Werte ein.

Der 75°-Winkel ist nicht einer der gebräuchlichen Winkel, verwenden Sie deshalb also einen wissenschaftlichen Taschenrechner oder die Tabellen im Anhang, um den Wert für den Sinus auf drei Stellen genau zu ermitteln.

4. Lösen Sie die Gleichung auf.

Durch kreuzweises Multiplizieren erhalten Sie

Der Baum ist fast 30 m hoch.

Die Distanz zwischen Gebäuden messen

Jumping Jack verdient sich sein Geld, indem er auf seinem Motorrad von Gebäude zu Gebäude oder zwischen Klippen und allen anderen Aufsehen erregenden Orten springt. Sein Rekordsprung ging über eine Distanz von 260 m von einem Gebäude auf ein anderes. Jack ist auf dem Weg zur nächsten Sensation und muss den Abstand zwischen zwei Gebäuden ermitteln. Seine Assistentin, Lovely Lindsay, hält auf dem Dach, auf dem sie steht, einen 6 m langen Stab senkrecht fest. Wenn Jack auf dem ersten Gebäude gerade auf einen Punkt unten am Stab sieht und dann auf einen Punkt in der Hälfte des Stabes, beträgt der Steigungswinkel 1 Grad. Kann Jack den Sprung wagen? Abbildung 8.5 verdeutlicht die Berechnung, die Jack durchführen muss.

Abbildung 8.5: Eine gefährliche Situation für Jumping Jack?

1. Identifizieren Sie die Komponenten des rechtwinkligen Dreiecks, die Sie für die Problemlösung brauchen.

Sie kennen den Wert für die Seite (Gegenkathete) gegenüber dem 1°-Winkel, nämlich die halbe Stablänge. Die Ankathete ist die unbekannte Distanz, die wir hier als x bezeichnen.

2. Stellen Sie fest, welche trigonometrische Funktion Sie verwenden müssen.

Der Tangens eines Winkels verwendet die Gegenkathete dividiert durch die Ankathete.

3. Schreiben Sie eine Gleichung mit der trigonometrischen Funktion und setzen Sie dann die bekannten Werte ein.

Die Länge des halben Stabs beträgt 3 m, die Gleichung sieht also wie folgt aus.

4. Lösen Sie die Gleichung auf.

Ermitteln Sie im Anhang den Wert des Tangens von 1 Grad.

Sie stellen fest, dass der Abstand zwischen den beiden Gebäuden etwas kleiner als 172 m ist. Jack sollte also den Sprung mit Leichtigkeit schaffen, weil sein Rekord bei 260 m liegt.

Steigung messen

Haben Sie schon einmal gesehen, wie Vermessungsarbeiter durch ihre Instrumente schauen und dabei Skalen oder Fahnen anvisieren, die ein Mitarbeiter festhält? Haben Sie sich nicht auch gefragt, was sie da eigentlich tun? Wollten Sie auch schon einmal durch das Instrument sehen? Mit der Trigonometrie können Sie genau das tun, was diese Leute auch tun – Distanzen und Winkel messen. Landvermesser nutzen die Trigonometrie und ihre seltsame Ausrüstung, um Dinge wie etwa das Gefälle eines Stücks Land zu messen.

Wenn Sie den ersten Teil dieses Kapitels gelesen haben, haben Sie vielleicht erkannt, dass das Gefälle eines Grundstücks nach unten eine Art Neigungswinkel ist. Gefälle, Neigungswinkel und Steigungswinkel sind alle miteinander verwandt, weil sie alle dieselben trigonometrischen Funktionen verwenden. In Anwendungen zur Berechnung des Gefälles suchen Sie jedoch nach dem Winkel, statt ihn als gegeben voraussetzen zu können.

Um Aufgabenstellungen in Hinblick auf das Gefälle zu lösen, können Sie trigonometrische Verhältnisse und rechtwinklige Dreiecke heranziehen. Die eine Seite des Dreiecks ist der Abstand von einem Arbeiter zum anderen, die andere Seite ist der vertikale Abstand zum Boden bis zu einem Punkt auf einem Stab. Sie bilden eine Verhältnisgleichung aus diesen Maßen und berechnen damit den Winkel – fertig!

Angenommen, Hans und Franz machen Messungen für eine Teerkolonne. Sie müssen wissen, wie weit das Land entlang eines bestimmten Straßenstücks abfällt. Hans geht 50 Meter von Franz weg und hält einen langen Stab senkrecht zum Boden fest, der an jedem Zentimeter eine Markierung hat. Franz sieht durch ein Nivelliergerät auf den Stab. Wenn er ganz gerade und parallel zum Horizont schaut, sieht Franz einen Punkt 120 cm über dem Boden – sagen wir, Punkt A. Anschließend schaut Franz durch das Gerät auf den Boden des Stabs und erzeugt damit einen Neigungswinkel. Eine Skizze dieser Situation sehen Sie in Abbildung 8.6. Welchen Neigungswinkel haben wir, also welches Gefälle hat die Straße, bis dahin, wo Hans steht?

Abbildung 8.6: Ein Stab hilft bei der Messung

1. Identifizieren Sie die Komponenten des rechtwinkliges Dreiecks, mit deren Hilfe Sie die Aufgabe lösen können.

Die bekannten Werte sind die Ankathete und die Gegenkathete für den Neigungswinkel. Wir bezeichnen das Winkelmaß als x.

2. Stellen Sie fest, welche trigonometrische Funktion verwendet werden soll.

Der Tangens des Winkels mit dem Maß x ist Gegenkathete durch Ankathete.

3. Schreiben Sie eine Gleichung mit dieser trigonometrischen Funktion und setzen Sie dann die bekannten Werte ein.

Bei dieser Aufgabenstellung müssen Sie die Gleichung mit einer gemeinsamen Maßeinheit schreiben – in cm oder in m.

Wir rechnen jetzt in Zentimetern: 50 m = 5000 cm.

Wenn Sie die Werte einsetzen, erhalten Sie den Tangens eines Winkels mit dem Maß von x Grad:

4. Lösen Sie nach dem Wert von x auf.

Dem Anhang entnehmen Sie, dass ein Winkel von 1° einen Tangens von 0,017 hat, ein Winkel von 2° einen Tangens von 0,035. Unser berechneter Wert liegt ziemlich genau in der Mitte, Sie können also schätzen, dass die Straße zwischen Hans und Franz ein Gefälle von 1,5° aufweist.

Der Himmel ist (nicht) die Grenze

In den frühen Tagen der Trigonometrie gab es viele Anwendungen, die mit der Erde zu tun hatten – Landvermesser und Ingenieure haben sie Jahrhunderte lang genutzt. Mit der Zeit begannen die Astronomen und Navigatoren auf ihren Reisen um die Welt, die Trigonometrie zu nutzen, um Geheimnissen hier auf der Erde sowie im Weltraum auf die Spur zu kommen. Sie schätzten oder maßen die Winkel, indem sie Objekte im Himmel anpeilten und ihre Bewegungen aufzeichneten. Anschließend benutzten sie einfach den Winkel zwischen einer Beobachtung und der nächsten, um nach unerreichbaren Entfernungen aufzulösen.

Einen Ballon orten

Hanni und Nanni stehen einen Kilometer voneinander entfernt und zeigen auf einen Heißluftballon, der direkt über einem bestimmten Punkt auf der Erde schwebt. Der Steigungswinkel von Hanni zum Ballon beträgt 60 Grad, der Steigungswinkel von Nanni zum Ballon beträgt 70 Grad. Abbildung 8.7 zeigt eine Skizze. Wie hoch schwebt der Ballon?

Wenn Sie Abbildung 8.7 betrachten, erkennen Sie zwei rechtwinklige Dreiecke. Die beiden Dreiecke haben eine Seite gemeinsam – diejenige gegenüber dem jeweils gemessenen Winkel. Wir sagen, sie hat die Länge y. Die beiden Ankatheten ergeben zusammen 1 Kilometer, sie können also die Variablenanzahl klein halten, indem Sie die eine Seite als x und die andere als 1 – x bezeichnen. Abbildung 8.8 zeigt die Dreiecke mit den Variablen.

Abbildung 8.7: Zwei Kinder beobachten einen Heißluftballon

Abbildung 8.8: Beschriftung der beiden rechtwinkligen Dreiecke

Um festzustellen, wie hoch der Ballon schwebt, gehen Sie wie folgt vor:

1. Identifizieren Sie die Komponenten der Dreiecke, die Sie für die Lösung des Problems nutzen können.

In beiden Dreiecken haben Sie Variablen für die Ankatheten und Gegenkatheten der spitzen Steigungswinkel.

2. Stellen Sie fest, welche trigonometrische Funktion Sie verwenden können.

Der Tangens verwendet die Ankathete und die Gegenkathete.

3. Schreiben Sie Gleichungen mit den trigonometrischen Funktionen.

4. Lösen Sie nach x auf, indem Sie die Gleichungen einander gleichsetzen.

Lösen Sie jede der Gleichungen nach y auf.

Setzen Sie diese beiden Gleichungen einander gleich und lösen Sie nach x auf.

5. Lösen Sie nach dem Wert von x auf.

Sie erhalten den Wert von x, indem Sie die Werte der Funktionen mit Hilfe eines Taschenrechners oder des Anhangs ermitteln. Sie stellen fest, dass x etwa 0,613 km ist. Jetzt setzen Sie diesen Wert in eine der Gleichungen ein, um nach y aufzulösen:

Der Ballon schwebt in 1,062 km Höhe – ziemlich hoch also.

Verfolgen wir die Rakete!

In diesem Beispiel wird eine Rakete abgeschossen, und sie fliegt vertikal, während ein Wissenschaftler, der 1 km entfernt sitzt, ihren Flug beobachtet. Nach einer Sekunde des Fluges beträgt der Steigungswinkel der Rakete 30 Grad. Zwei Sekunden später ist der Steigungswinkel 60 Grad. Wie weit ist die Rakete innerhalb dieser zwei Sekunden geflogen? Abbildung 8.9 zeigt, wie die Rakete vertikal steigt.

1. Identifizieren Sie die Komponenten des Dreiecks, die Sie für die Lösung des Problems nutzen können.

In Abbildung 8.9 sehen Sie zwei rechtwinklige Dreiecke. Eines davon liegt über dem anderen und sie haben eine Seite gemeinsam – die Ankathete. In beiden Dreiecken sind die relevanten Seiten die An- und Gegenkatheten der Steigungswinkel.

2. Stellen Sie fest, welche trigonometrische Funktion genutzt werden soll.

Der Tangens verwendet An- und Gegenkathete.

Abbildung 8.9: Eine Rakete, die 1 km von unserem Wissenschaftler entfernt ist, steigt vertikal

3. Schreiben Sie Gleichungen mit den trigonometrischen Funktionen.

4. Lösen Sie nach den Werten von x und y auf.

Der Tangens von 30°- und 60°-Winkeln ist ein jeweils handlicher Wert. Im Anhang erfahren Sie, dass und = x + y.

Der Wert von y ist die Entfernung, die die Rakete zwischen den Beobachtungen nach 1 Sekunde und 2 Sekunden zurückgelegt hat, wenn Sie also nach y auflösen, erhalten Sie . Die Rakete ist also innerhalb von zwei Sekunden etwa 1,155 km gestiegen.

Teil III

Identitäten

In diesem Teil ...

Identitäten in der Trigonometrie sind aufschlussreich, aber immer noch mysteriös. Sie sind hilfreich und frustrierend zugleich. Ich zeige Ihnen zunächst die grundlegenden Identitäten. Anschlieβend geht es weiter zu den komplexeren Identitäten. Und um Ihnen zu beweisen, dass ich mir diese Identitäten nicht einfach ausgedacht habe, wende ich einige Techniken aus der Algebra an, um die Identitäten aufzulösen und zu bestätigen.

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Grundlegende Identitäten der Trigonometrie

In diesem Kapitel ...

Reziproke Identitäten erkennen

Funktionen nebeneinander stellen, indem Sie Verhältnis-Identitäten nutzen

Funktionen für negative Winkel ausführen

Funktionen nach Art von Pythagoras betrachten

Mit Hilfe aller Identitäten nach einer Funktion auflösen

Sicherlich gehen Ihnen tausend Fragen durch den Kopf: Was ist eine trigonometrische Identität? Kann man eine falsche trigonometrische Identität haben? Werden trigonometrische Identitäten auch gestohlen? Gibt es eine Identitätskrise in der Trigonometrie? Die Antwort: Nein!

Identitäten in der Trigonometrie sind nicht ganz so böse. Vielmehr handelt es sich dabei um äußerst praktische Werkzeuge zur Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke und zur Lösung von Gleichungen. Diese Identitäten sind spezifisch für die Trigonometrie. Grundsätzlich stellen sie Äquivalenzen dar – sie bieten Ihnen Optionen, die Sie in Gleichungen einsetzen können, um sie zu vereinfachen.

Die Identitäten werden in verschiedene Kategorien eingeteilt, so dass Sie sie sich besser merken können und erkennen, wann Sie welche am effizientesten einsetzen. In diesem Kapitel beschreibe ich die ganze Skala.

Funktionen verkehrt: Reziproke Identitäten

Die einfachsten und grundlegendsten trigonometrischen Identitäten enthalten Reziprok-Funktionen der trigonometrischen Funktionen. Frischen Sie Ihr Gedächtnis auf: Ein Reziprokwert einer Zahl ist 1 dividiert durch diese Zahl. Der Reziprokwert von 2 beispielsweise ist . Man kann auch sagen, das Produkteiner Zahl und ihres Reziprokwerts ist gleich 1. Für unser obiges Beispiel gilt: . Dasselbe gilt für die trigonometrischen Reziprokwerte.

Und so sind die reziproken Identitäten definiert:

Die Reziprok-Funktion des Sinus ist der Kosekans:

Die Reziprok-Funktion des Kosinus ist der Sekans:

Die Reziprok-Funktion des Tangens ist der Kotangens:

Die Reziprok-Funktion des Kotangens ist der Tangens:

Die Reziprok-Funktion des Sekans ist der Kosinus:

Die Reziprok-Funktion des Kosekans ist der Sinus:

Und wenn Sie die Reziprokwerte miteinander multiplizieren, erhalten Sie 1:

Die reziproke Identität ist sehr praktisch, wenn Sie trigonometrische Gleichungen lösen. Wenn Sie eine Möglichkeit finden, jede Seite einer Gleichung mit dem Reziproken einer Funktion zu multiplizieren, sind Sie möglicherweise in der Lage, einen Teil der Gleichung auf 1 zu reduzieren – und Kürzen ist nie verkehrt.

Funktion um Funktion: Verhältnis-Identitäten

Die Trigonometrie hat zwei Identitäten, die als Verhältnis-Identitäten bezeichnet werden können. Diese Bezeichnung kann verwirrend sein, weil alle trigonometrischen Funktionen als Verhältnisgleichungen definiert sind. Irgendwann dachten die Mathematiker jedoch, diese Bezeichnung wäre perfekt für diese beiden Identitäten, weil es sich grundsätzlich um Brüche handelt, die aus zwei trigonometrischen Funktionen gebildet werden. Die Verhältnis-Identitäten schaffen Möglichkeiten, Tangens und Kotangens zu schreiben, indem die beiden anderen grundlegenden Funktionen Sinus und Kosinus verwendet werden.

Die Verhältnis-Identitäten sind und .

Diese beiden Identitäten stammen aus der Vereinfachung einiger komplizierter Brüche. Wenn Sie die grundlegenden Definitionen für den Sinus, Kosinus und Tangens betrachten, nämlich , und , dann erkennen Sie, dass gilt:

Analog dazu gilt, weil der Kotangens die Reziprok-Funktion des Tangens ist:

Gegensätze ziehen sich an: Identitäten für entgegengesetzte Winkel

Die Identitäten für den entgegengesetzten Winkel verändern Funktionen negativer Winkel in Funktionen positiver Winkel. Negative Winkel sind praktisch, um eine Situation zu beschreiben, aber für die Verwendung innerhalb einer trigonometrischen Funktion und die Berechnung ihres Werts sind sie nur schlecht geeignet. Beispielsweise können Sie den Sinus von –30 Grad als den Sinus von 30 Grad berechnen, indem Sie ein Minuszeichen vor die Funktion schreiben:

sin(−30°) = −sin(30°)

Die Identität verhält sich für unterschiedliche Funktionen jedoch unterschiedlich. Betrachten Sie jedoch zuerst die Identitäten, und finden Sie dann heraus, wie sie entstanden sind.

Die Identitäten für den entgegengesetzten Winkel für die drei grundlegendsten Funktionen lauten:

Die Regel für den Sinus und den Kosinus eines negativen Winkels scheint intuitiv zu sein. Aber wie verhält es sich für den Kosinus? Wie kann der Kosinus eines negativen Winkels derselbe sein wie der Kosinus für einen entsprechenden positiven Winkel? Es funktioniert, wie nachfolgend beschrieben.

In Kapitel 8 haben Sie erfahren, dass die Funktionen von Winkeln mit ihren freien Schenkeln in den verschiedenen Quadranten variierende Vorzeichen haben. Der Sinus beispielsweise ist positiv, wenn der freie Schenkel des Winkels im ersten oder im zweiten Quadranten liegt, während der Kosinus im ersten und vierten Quadranten positiv ist. Darüber hinaus wissen Sie aus Kapitel 4, wie Winkel in einer Koordinatenebene gezeichnet werden: Positive Winkel verlaufen gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus, und negative Winkel verlaufen im Uhrzeigersinn.

Berücksichtigen Sie all dies und sehen Sie sich Abbildung 9.1 an, die einen –45°-Winkel und einen 45°-Winkel zeigt.

Abbildung 9.1: Winkel mit –45° und 45°

Sehen Sie sich zuerst den –45°-Winkel an. Dieser Winkel hat seinen freien Schenkel im vierten Quadranten, sein Sinus ist also negativ. Ein 45°-Winkel dagegen hat einen positiven Sinus, damit gilt . In natürlicher Sprache ausgedrückt bedeutet das, der Sinus eines negativen Winkels ist der entgegengesetzte Wert des positiven Winkels mit demselben Maß.

Jetzt zur Kosinus-Funktion. Was das Vorzeichen des Kosinus in Hinblick auf die Koordinatenebene betrifft, wissen Sie, dass ein Winkel von –45° einen positiven Kosinus hat. Dasselbe gilt für sein Gegenstück, den Winkel von 45 Grad, des halb gilt .

Sie sehen also, der Kosinus eines negativen Winkels ist derselbe wie der für den positiven Winkel desselben Maßes.

Jetzt sehen wir uns die Identität für einen anderen Winkel an, nämlich einen negativen Winkel, dessen freier Schenkel im dritten Quadranten liegt. Abbil-dung 9.2 zeigt einen nega-tiven Winkel mit dem Maß –120 Grad sowie den entsprechenden positiven Winkel mit 120 Grad.

Abbildung 9.2: Winkel mit –120 Grad und 120 Grad

Der Winkel mit –120 Grad hat seinen freien Schenkel im dritten Quadranten, deshalb sind sowohl sein Sinus als auch sein Kosinus negativ. Sein Gegenstück, der Winkel mit 120 Grad, hat seinen freien Schenkel im zweiten Quadranten, wo der Sinus positiv ist, der Kosinus negativ. Der Sinus von –120 Grad ist also das Gegenteil des Sinus von 120 Grad, und der Kosinus von –120 Grad ist gleich dem Kosinus von 120 Grad. In trigonometrischer Notation sieht das Ganze wie folgt aus:

Wenn Sie die Identität des gegenüberliegenden Winkels auf den Tangens eines 120°-Winkels anwenden (der sich als negativ ergibt), erhalten Sie das Gegenteil eines negativen Werts, also einen positiven Wert. Überraschung! Wenn Sie also die Identität anwenden, macht das Gegenteil den Tangens positiv, was Sie erhalten, wenn Sie den Tangens von 120 Grad berechnen, für den sich der freie Schenkel im dritten Quadranten befindet und damit positiv ist.

Zurück zum klassischen Satz: Pythagoreische Identitäten

Der gute alte Pythagoras ist einfach überall zu finden – sein Satz taucht an den seltsamsten Orten auf. (Das heißt natürlich nicht, dass ein Kapitel dieses Buches ein wirklich seltsamer Ort wäre.) Weitere Informationen zu diesem Satz finden Sie in Kapitel 2. Dieser Abschnitt geht jedoch über die Grundlagen hinaus und erweitert sie um drei Identitäten, die auch als Pythagoreische Identitäten bezeichnet werden.

Die Pythagoreischen Identitäten sind Bausteine für viele der Manipulationen von Gleichungen und Ausdrücken. Sie bieten mehr Methoden zur effizienteren Lösung von Aufgaben, weil sie Ihnen erlauben, komplexe Ausdrücke in viel einfacherer Form darzustellen.

Die Pythagoreischen Identitäten sind:

Die Notation in diesen Identitäten ist der Trigonometrie eigen. Der Ausdruck sin^2 θ bedeutet eigentlich (sin θ)2: Ermittle den Sinus des Winkels θ und quadriere diese Zahl. Die Mathematiker hassen jedoch Verschwendung – diese großen, unnötigen Klammern um das »sin θ« zu setzen. Deshalb einigten sie sich auf eine verkürzte Form: Die Hochstellung von 2 unmittelbar nach dem Wort »sin« bedeutet, dass Sie den ganzen Ausdruck quadrieren. Dieselbe Notation gilt auch für die anderen Funktionen.

Die Mutter aller Pythagoreischen Identitäten

Die erste Pythagoreische Identität, aus der die beiden anderen entstanden sind, ist sin^2 θ + cos^2 θ = 1. Sie fragen sich jedoch vielleicht, woher diese Identität kam und warum sie so wichtig ist. Fangen wir von hinten an: Die erste Identität ist wichtig, weil sie eine Kombination aus Funktionen gleich 1 setzt und diese Vereinfachung für die Lösung trigonometrischer Gleichungen sehr hilfreich ist. Sie ist wahrscheinlich die am häufigsten verwendete Identität überhaupt. Diese Identität stammt daher, ein rechtwinkliges Dreieck in den Einheitskreis zu schieben und Werte und Gleichungen zu ersetzen, um eine völlig neue Gleichung zu erhalten (siehe Abbildung 9.3).

Abbildung 9.3: So finden Sie die Pythagoreische Identität in einem Einheitskreis

In Kapitel 8 haben Sie erfahren, dass in einem Kreis gilt: und , wobei (x, y) die Koordinaten des Punkts sind und r der Radius des Kreises ist. Der Wert von x ist gleichzeitig die Länge der Ankathete des Dreiecks, und y ist die Länge der Gegenkathete. In einem Einheitskreis ist der Radius gleich 1. Wenn Sie diesen Wert in die Gleichung einsetzen, erhalten Sie und . Behalten Sie das im Gedächtnis!

Der Satz von Pythagoras sagt, wenn Sie den Wert der beiden Schenkel eines Dreiecks quadrieren und die Ergebnisse addieren, erhalten Sie das Quadrat der Hypotenuse. In mathematischer Notation: a^2 + b^2 = c^2. Bei einem rechtwinkligen Dreieck im Einheitskreis können Sie sagen x^2 + y^2 = 1^2, weil der Radius (der gleichzeitig die Hypotenuse ist) gleich 1 ist. Jetzt ersetzen Sie das x durch cos θ und das y durch sin θ, tauschen die beiden Terme und erhalten sin^2 θ + cos^2 θ = 1.

Wenn Ihnen alle diese ganze Tauscherei ein wenig wie Magie erscheint, dann sehen Sie sich die praktische Anwendung dieser Identität an. Angenommen, wir haben einen Winkel von 30 Grad. Unter Verwendung der Werte für die Funktionen eines 30°-Winkels (siehe Anhang), nämlich und , und Einsetzen in die Identität erhalten Sie sin^2 θ + cos^2 θ = 1

Fertig!

Neuanordnung der Pythagoreischen Identitäten

Die vorigen Abschnitte haben die Originaldefinitionen der Pythagoreischen Identitäten gezeigt, aber wie Sie wahrscheinlich schon erwartet haben, enden die Formeln damit nicht. Wenn Sie sich mit den anderen Versionen dieser Identitäten vertraut machen, ist das sehr hilfreich, weil Sie sie auf diese Weise schnell erkennen, wenn Sie Gleichungen lösen oder Ausdrücke vereinfachen.

Alle diese verschiedenen Versionen haben ihren Platz in trigonometrischen Anwendungen, in der Analysis und anderen mathematischen Bereichen. Sie müssen sie sich nicht alle merken, denn wenn Sie sich lediglich die drei Pythagoreischen Identitäten merken, können Sie nach allem auflösen, was immer Sie brauchen.

Wir verändern sin^2θ + cos^2θ = 1

Sie können die ursprüngliche Pythagoreische Identität auf unzählige Arten abändern. Anfänger können entweder sin^2θ oder cos^2θ auf einer Seite der Gleichung isolieren, indem sie den anderen Term subtrahieren:

Wenn Sie so weitermachen, können sie die rechte Seite jeder dieser Gleichungen zerlegen, weil diese Seite die Differenz zweier perfekter Quadrate darstellt:

Manchmal ist es jedoch hilfreich, einen Ausdruck für sin θ oder cos θ zu verwenden, in dem die Funktionen nicht quadriert sind. Wir beginnen mit der früheren Version der grundlegenden Pythagoreischen Identitäten, wo eine Funktion allein steht, dann können Sie die Quadratwurzel jeder Seite ziehen und erhalten:

10

Mit Identitäten arbeiten

In diesem Kapitel ...

Identitäten für Winkelsummen verwenden

Funktionen für die Differenz von Winkeln finden

Winkelwerte verdoppeln

Winkel halbieren

Die grundlegenden Identitäten, aus denen Sie alles aufbauen, sind Reziprok-, Verhältnis- und Pythagoreische Identitäten, die ich in Kapitel 10 genauer beschrieben habe. In diesem Kapitel gehen Sie noch einen Schritt weiter und entwickeln neue Identitäten. Dabei erfahren Sie, wie man die trigonometrischen Funktionen addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert – insbesondere die praktischen Werte für Winkel von 0, 30, 45, 60 und 90 Grad. (Das sind natürlich nicht die einzigen Winkel, mit denen Sie arbeiten können; sie wurden nur so praktisch gewählt, um die Arbeitsweise der trigonometrischen Identitäten zu veranschaulichen.) Durch die Ausführung dieser Operationen können Sie die Funktionswerte von noch mehr Winkeln bestimmen.

Addieren wir das Ganze

Drei grundlegende Identitäten verwenden die Summen von Winkeln, und sie beinhalten Sinus, Kosinus und Tangens. Nachdem Sie diese drei Identitäten kennen gelernt haben, können Sie sie für die anderen drei Funktionen (Kosekans, Sekans und Kotangens) anpassen, indem Sie die Reziprok-Identitäten anwenden (siehe Kapitel 10). Sie verwenden einfach eine Reziprok-Identität, um den Ausdruck in eine der drei grundlegenden Funktionen umzuschreiben, erledigen die nötige Fleißarbeit und verwenden dann die Reziprok-Identität, um die Lösung wieder in Form der Funktion darzustellen, von der Sie ausgegangen sind.

Sie können die Winkelsummen-Identitäten nutzen, um die Funktionswerte beliebiger Winkel zu ermitteln, aber die Beispiele in diesem Abschnitt zeigen nur die praktischsten Kombinationen – solche mit exakten Werten, die Sie in die Formeln einsetzen können. Nehmen wir beispielsweise an, Sie wollen den exakten Wert des Sinus von 75 Grad ermitteln. Um möglichst einfach vorzugehen, verwenden Sie die Summe der Winkel von 30 Grad und 45 Grad und die entsprechende Identität.

Die Winkelsummen-Identitäten ermitteln den Funktionswert für die Summe aus Winkel α und Winkel β:

Unter Verwendung der Identität für den Sinus einer Summe erhalten Sie den Sinus von 75 Grad wie folgt:

1. Bestimmen Sie zwei Winkel, deren Summe gleich 75 Grad ist, und für die Sie die Werte für Sinus und Kosinus kennen.

Wählen Sie 30 + 45 statt 50 + 25 oder 70 + 5, weil Sie durch Verwendung der allgemeineren Winkel praktische, exakte Werte erhalten, die Sie in der Formel verwenden können.

2. Geben Sie die Winkelmaße in die Identität ein.

3. Ersetzen Sie die Winkelfunktionen durch ihre Werte und vereinfachen Sie.

Manchmal gibt es mehrere Auswahlmöglichkeiten für die Summe. Im nächsten Beispiel ermitteln Sie den Kosinus von 120 Grad, indem Sie die Identität für den Kosinus einer Summe anwenden.

1. Zwei Winkel bestimmen, deren Summe 120° ergibt.

Wenn Sie unter den praktischsten Winkeln auswählen, können Sie entweder 90 + 30 oder 60 + 60 verwenden. Ich verwende 90 + 30, weil der Sinus eines 90°-Winkels gleich 1 ist, und der Kosinus ist gleich 0. Beide Zahlen sind sehr praktisch in Berechnungen, weil sie das Ganze einfach halten.

2. Geben Sie die Werte in die Identität ein.

3. Ersetzen Sie die Funktionen durch ihre Werte und vereinfachen Sie.

Diese Identitäten funktionieren auch für Bogenmaße. Beispielsweise können Sie ermitteln, indem Sie die Identität für den Tangens der Winkelsumme verwenden.

1. Finden Sie zwei Winkel, die die Summe ergeben.

Es kann einfacher sein, sich zwei Zahlen auszudenken, deren Summe gleich ist. Vereinfacht gesagt, könnten wir und verwenden, und damit .

2. Setzen Sie die Werte in die Identität ein.

3. Ersetzen Sie die Funktionen durch ihre Werte und vereinfachen Sie.

Das Ergebnis aus dem letzten Schritt zeigt die Antwort nicht unbedingt in der schönsten Form. Der Nenner besteht aus zwei Termen, und einer davon ist eine Wurzel. Eine Möglichkeit, diese Lösung etwas zu verschönern, ist die Anwendung einer Technik, die auch als Rationalisierung bezeichnet wird.

Um den Zähler oder Nenner eines Bruchs zu rationalisieren, multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit der konjugierten Form (dieselben Terme, umgekehrtes Vorzeichen) des Teils, den Sie rationalisieren. Dabei erhalten Sie die Differenz von zwei Quadraten und schaffen sich den störenden Teil vom Hals.

Im obigen Beispiel rationalisieren Sie, um die Wurzel aus dem Nenner zu bekommen:

Diese fertige Lösung ist etwas schöner anzusehen und auch leichter einzuschätzen. Weil etwa 1,7 ist, können Sie schätzen, dass ist.

Manchmal kennt man das Winkelmaß nicht, aber man weiß etwas über die Funktionswerte des Winkels. Angenommen, Sie haben zwei Winkel, α in QII und β in QI. Wenn und sind, was sind dann sin(α + β) und cos(α + β)?

1. Finden Sie alle erforderlichen Funktionswerte für die Summen.

Sowohl die Sinus- als auch die Kosinus-Winkelsummen-Identitäten verwenden den Sinus und den Kosinus aller beteiligten Winkel. Sie kennen bereits den Sinus eines Winkels und den Kosinus des anderen Winkels, Sie brauchen also nur noch den unbekannten Kosinus und den unbekannten Sinus – und dafür verwenden Sie die Pythagoreische Identität:

• Als Erstes verwenden Sie den Wert für sin α, um nach cos α aufzulösen:

Sie erhalten zwei Ergebnisse. Weil der freie Schenkel von Winkel α im zweiten Quadranten liegt, ist der Kosinus von α in diesem Fall negativ:

• Jetzt verwenden Sie den Wert von cos β, um nach sin β aufzulösen:

Der freie Schenkel des Winkels β liegt im ersten Quadranten, wo der Sinus positiv ist: .

2. Setzen Sie die Funktionswerte in die Identitäten für den Sinus und den Kosinus der Winkelsumme ein.

3. Vereinfachen Sie die Identitäten und lösen Sie nach den Lösungen auf.

Wenn Sie sich die Winkelmaße ansehen, können Sie vorhersagen, ob die Funktionswerte positiv oder negativ sind. Im obigen Beispiel erzeugen die kleineren Winkel bei der Addition einen Winkel, dessen freier Schenkel im zweiten Quadranten liegt. In Kapitel 8 haben Sie gelernt, dass der Sinus eines Winkels, der im zweiten Quadranten liegt, positiv ist. Es ist also kaum eine Überraschung, dass sich der Sinus als positiver Wert ergibt, und analog, der Kosinus als negativer Wert (weil der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist).

Differenzen sind zu klären

Durch die Addition von Winkeln vergrößern Sie Ihr Repertoire. Sie haben mehr exakte Funktionswerte – nicht nur die grundlegenden Funktionswerte, sondern auch alle möglichen Summen dieser gebräuchlicheren Winkel. Auf ähnliche Weise erhalten Sie noch mehr Möglichkeiten für die Berechnung der Funktionswerte von Winkeln, wenn Sie die Subtraktion nutzen. Beispielsweise können Sie den Sinus von 15 Grad ermitteln, indem Sie 45 Grad und 30 Grad und die entsprechende Identität verwenden.

Die Subtraktions- oder Differenz-Identität ermittelt die Funktion für die Differenz zwischen den Winkeln α und β:

Beachten Sie, wie die Subtraktions-Identitäten an die entsprechende Winkelsummen-Identität erinnern. Für die Sinus-Regel ändert sich das Vorzeichen zwischen den beiden Produkten von + in –, was sinnvoll erscheint. Das Gegenteil gilt für den Kosinus. Die Additionsregel für den Kosinus enthält ein –, und die Subtraktionsregel (oder Differenzregel) enthält ein +. Die Tangens-Regel enthält sowohl + als auch –. Die Operation im Zähler gibt den Typ der Identität an.

Nur die drei trigonometrischen Originalfunktionen haben wirklich nutzbare Differenz-Identitäten – die Identitäten für die Reziprok-Funktionen sind extrem kompliziert. Wenn Sie die Differenz einer Reziprok-Funktion brauchen, verwenden Sie am besten die Identität der entsprechenden Grundfunktion und suchen das Reziprok der numerischen Lösung, nachdem Sie mit der Berechnung vollständig fertig sind.

Um eine dieser Subtraktions-Identitäten in der Praxis zu erleben, probieren Sie das folgende Beispiel aus, das Ihnen zeigt, wie Sie den Sinus von 15 Grad ermitteln.

1. Bestimmen Sie zwei Winkel, deren Differenz gleich 15 Grad ist.

Um das Ganze so einfach wie möglich zu halten, verwenden wir 45 und 30 Grad.

2. Setzen Sie die Winkel in die Identität für den Sinus einer Differenz ein.

3. Ersetzen Sie die Terme durch die Funktionswerte und vereinfachen Sie die Lösung.

Wenn Sie das Bogenmaß verwenden, kommen Brüche ins Spiel. Ermitteln Sie beispielsweise den indem Sie die Identität für den Tangens einer Differenz anwenden.

1. Stellen Sie fest, welche Winkel Sie für die Differenz brauchen.

Die beiden Winkel sind und , Sie erhalten also .

2. Setzen Sie die Winkel in die Identität für den Tangens einer Differenz ein.

3. Ersetzen Sie die Terme durch die Funktionswerte und vereinfachen Sie die Lösung.

Dieses Ergebnis ist relativ unübersichtlich. Sie können es vereinfachen, indem Sie Zähler und Nenner mit der konjugierten Form (selbe Terme, unterschiedliches Vorzeichen) des Nenners multiplizieren und das Ergebnis vereinfachen:

In Kapitel 10 habe ich die Identität für entgegengesetzte Winkel erklärt. Das nächste Beispiel verwendet die Identität für den Kosinus einer Differenz sowie den Winkel von 0 Grad, um eine Identität für entgegengesetzte Winkel zu ermitteln. Vielleicht gefällt Ihnen diese Erklärung besser als diejenige in Kapitel 10 und sie zeigt Ihnen, wie flexibel und benutzerfreundlich trigonometrische Identitäten sind – und wie gut sie alle zusammenpassen.

In diesem Beispiel ermitteln Sie , indem Sie die Identität für die Differenz zwischen Winkeln verwenden.

1. Stellen Sie fest, welche Winkel Sie brauchen, um die Differenz zu erhalten.

Wir verwenden 0 und . Wenn wir mit der 0 an erster Stelle subtrahieren, erhalten wir ein negatives Ergebnis:

2. Setzen Sie die Winkel in die Identität für den Kosinus einer Differenz ein.

3. Ersetzen Sie die Winkel durch die Funktionswerte und vereinfachen Sie die Lösung.

Diese Lösung ist genau das, was Sie erhalten, wenn Sie die Identität entgegengesetzter Winkel für den Kosinus verwenden: cos(–θ) = cos(θ) oder .

Im folgenden Beispiel ergeben zwei Negative einen Positiven. Die Winkel sind positiv, aber ihre Funktionswerte sind negativ. Die beiden betreffenden Winkel sind α, der im vierten Quadranten liegt, und β, der im dritten Quadranten liegt.

Die bekannten Funktionswerte sind und . Ermitteln Sie cos(α – β).

1. Ermitteln Sie die erforderlichen Funktionswerte, um die Differenz zu berechnen.

Der Kosinus der Differenz von zwei Winkeln verwendet sowohl Sinus als auch Kosinus der beteiligten Winkel. Sie kennen den Sinus von α und den Kosinus von β schon, Sie brauchen also den Kosinus von α und den Sinus von β. Unter Verwendung der Pythagoreischen Identität können Sie nach den fehlenden Werten auflösen:

• Zuerst verwenden Sie den Wert für sin α, um nach cos α aufzulösen:

Weil der Winkel α im vierten Quadranten liegt, wissen Sie, dass der Kosinus von α positiv sein muss: .

• Jetzt verwenden Sie den Wert für cos β, um sin β zu ermitteln:

Der Winkel β liegt im dritten Quadranten, wo der Sinus negativ ist, wir erhalten also .

2. Setzen Sie die Funktionswerte in die Identität für den Kosinus einer Differenz ein.

3. Vereinfachen Sie die Identität und lösen Sie auf.

Im obigen Beispiel liegt der erste Winkel im vierten Quadranten, sein Maß liegt also zwischen 270 und 360 Grad. Der andere Winkel, der im dritten Quadranten liegt, misst zwischen 180 und 270 Grad. Die Differenz zwischen ihnen kann irgendwo zwischen 0 und 180 Grad liegen, das heißt, der neue Winkel liegt entweder im ersten oder im zweiten Quadranten. Die Lösung für den Kosinus der Differenz ergab sich als positiv. In Kapitel 8 haben Sie gelernt, dass der Kosinus im ersten Quadranten positiv, im zweiten Quadranten negativ ist, die Differenz zwischen den beiden Winkeln muss also irgendwo zwischen 0 und 90 Grad liegen, das heißt, der neue Winkel liegt im ersten Quadranten.

Verdoppeln Sie Ihr Geld!

Identitäten für Winkel, die doppelt so groß wie einer der gebräuchlichen Winkel sind, werden in der Algebra und in verschiedenen Disziplinen der Mathematik, Physik und anderen Wissenschaften häufig genutzt. Diese Identitäten ermöglichen Ihnen, mit größeren Winkeln zurechtzukommen, indem Sie einen kleineren, handhabbareren verwenden. Eine Doppelwinkel-Funktion wird beispielsweise als sin 2θ, cos 2α oder tan 2x geschrieben, wobei 2θ, 2α oder 2x die Winkelmaße sind und die Annahme besteht, dass Sie sin(2θ), cos(2α) oder tan(2x) meinen. In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen, wie die Doppelwinkel-Formeln für Sinus und Kosinus entstanden sind. Ich gehe hier nicht auf den Tangens ein. Sie brauchen nur zu wissen, dass, weil der Tangens gleich dem Verhältnis aus Sinus und Kosinus ist, seine Identität aus ihren Doppelwinkel-Identitäten entsteht.

Die Doppelwinkel-Identitäten ermitteln die Funktion für zweimal den Winkel θ. Beachten Sie, dass die Kosinus-Funktion drei verschiedene Versionen ihrer Doppelwinkel-Identität hat.

Eins plus eins gibt zwei Sinus

Um Ihnen zu zeigen, woher die Doppelwinkel-Formel für den Sinus kommt, verwende ich die Identität für den Sinus einer Summe, sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. Wenn α = β, kann ich in der Formel β durch α ersetzen, und erhalte damit:

Beispielsweise können Sie diese Doppelwinkel-Identität nutzen, um den Funktionswert für den Sinus von 180 Grad zu ermitteln.

1. Stellen Sie fest, welcher Winkel die Hälfte von 180 Grad ist.

Zwei mal 90 ergibt 180, der richtige Winkel ist also hier 90°.

2. Setzen Sie die Maße in die Doppelwinkel-Identität für den Sinus ein.

sin 180° = sin 2(90°) = 2 sin 90° cos 90°

3. Ersetzen Sie die Winkel durch die Funktionswerte und vereinfachen Sie die Lösung.

sin 180° = 2 (1)(0) = 0

Ein Massenandrang

Die Ermittlung des Kosinus des Doppelten eines Winkels ist einfacher, als die anderen Funktionswerte zu ermitteln, weil Sie drei Auswahlmöglichkeiten haben. Sie treffen Ihre Wahl abhängig davon, welche Information zur Verfügung steht und was am einfachsten aussieht. Um Ihnen zu zeigen, woher die erste der Doppelwinkel-Identitäten stammt, verwende ich die Winkelsummen-Identität für den Kosinus. Weil die beiden Winkel gleich sind, können Sie β durch α ersetzen, so dass cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β wie folgt umgeschrieben wird:

Um die zweite Version zu erhalten, wende ich die erste Pythagoreische Identität an, sin^2α + cos^2α = 1. Wenn Sie nach sin^2α auflösen, erhalten Sie sin^2α = 1 – cos^2α. Wenn Sie dieses Ergebnis wieder in die Doppelwinkel-Identität für den Kosinus einsetzen und vereinfachen, erhalten Sie

Um die letzte Version der Doppelwinkel-Identität für den Kosinus zu finden, lösen Sie die erste Pythagoreische Identität nach cos^2α auf, wodurch Sie cos^2α = 1 – sin^2α erhalten. Anschließend setzen Sie dieses Ergebnis in die erste Winkelsummen-Identität für den Kosinus ein:

Der größte Vorteil, drei verschiedene Identitäten für den Kosinus eines Doppelwinkels zu haben, ist, dass Sie mit nur einem anderen Funktionswert nach dem Kosinus auflösen können. Die Summen- und Differenz-Identitäten für Sinus und Kosinus dagegen, sowie die Doppelwinkel-Identität für den Sinus, beinhalten alle sowohl den Sinus als auch den Kosinus der Winkel.

Das nachfolgende Beispiel verdeutlicht diesen Vorteil. Sie ermitteln cos 2α. Der Winkel α liegt im vierten Quadranten, und sin α = –0,45.

1. Wählen Sie die geeignete Doppelwinkel-Identität.

Weil Sie den Wert des Sinus kennen, verwenden Sie cos 2α = 1 – 2 sin^2α.

2. Setzen Sie den bekannten Wert in die Formel ein und vereinfachen Sie.

Der resultierende Kosinus ist positiv. Der Kosinus ist im ersten und vierten Quadranten positiv, woher wissen Sie also, in welchem dieser Quadranten der freie Schenkel dieses doppelten Winkels liegt? Gehen Sie zurück an den Anfang der Aufgabenstellung – Sie wissen, dass der ursprüngliche Winkel im vierten Quadranten liegt. Ein Winkel in QIV misst zwischen 270 und 360 Grad. Wenn Sie diese Zahlen verdoppeln (weil Sie mit einem doppelten Winkel arbeiten), erhalten Sie 540 Grad und 720 Grad. Die Winkel zwischen diesen Werten liegen im dritten und vierten Quadranten. Der Kosinus ist im vierten Quadranten positiv, dieser doppelte Winkel liegt also im vierten Quadranten.

Halbieren macht auch Spaß!

Die trigonometrischen Identitäten gibt es für Summen, Differenzen, Mehrfache und Hälften. Mit diesen Identitäten können Sie den Wert für einen Sinus für einen 15°-Winkel ermitteln, indem Sie 30° halbieren. Sie können auch den Wert des Tangens eines 22½°-Winkels ermitteln, indem Sie die Hälfte von 45 Grad verwenden. Diese Identitäten bieten unzählige Möglichkeiten, einen exakten Wert für viele der häufiger genutzten trigonometrischen Funktionen zu ermitteln.

Die Identitäten für halbe Winkel ermitteln den Funktionswert für die Hälfte des Maßes von Winkel θ:

Die Identitäten für halbe Winkel sind das Ergebnis, wenn Identitäten für doppelte Winkel ermittelt und dann ein bisschen in Form gebracht werden. Das bedeutet: Wir lösen nach einem einzelnen Winkel in einer Identität für doppelte Winkel auf. Und so entsteht die Identität für halbe Winkel für den Sinus:

1. Schreiben Sie die Doppelwinkel-Identität für den Kosinus, die nur einen Sinus enthält.

cos 2θ = 1 – 2sin^2θ

Die Verwendung der Doppelwinkel-Identität für den Kosinus funktioniert besser als die Doppelwinkel-Identität für den Sinus, weil die Sinus-Formel beide Funktionen auf der rechten Seite der Gleichung hat und Sie keine davon auf einfache Weise loswerden.

2. Lösen Sie nach sin θ auf. Zunächst bringen Sie dazu den Term sin^2θ alleine auf die linke Seite.

3. Dividieren Sie jede Seite durch 2 und ziehen Sie die Quadratwurzeln.

4. Ersetzen Sie 2θ durch α und θ durch .

Durch das Vertauschen der Buchstaben erkennen Sie die Beziehung zwischen den beiden Winkeln einfacher, nämlich dass einer davon halb so groß ist wie der andere.

Sie können die Halbwinkel-Formel für den Kosinus erhalten, indem Sie eine geeignete Auswahl für die Doppelwinkel-Identität des Kosinus verwenden und ähnliche Schritte wie die vorigen anwenden. Für den Tangens verwenden Sie sowohl Sinus- als auch Kosinus-Identitäten. Aber was bedeuten diese + oder – in den Halbwinkel-Identitäten von Sinus und Kosinus überhaupt?

Was es mit dem ± auf sich hat

Es gibt zahlreiche trigonometrische Identitäten. Die meisten davon erwähne ich in diesem Kapitel oder in Kapitel 10. Sie fragen sich jedoch vielleicht, warum diese Halbwinkel-Identitäten eine eigene Gruppe bilden – und einigen davon ein ± vorangestellt ist. Lesen Sie weiter – die Antwort naht!

Einzigartig an den Halbwinkel-Identitäten für Sinus und Kosinus ist die Tatsache, dass das zugehörige Vorzeichen davon abhängt, in welchem Quadranten der Winkel liegt, den Sie halbieren, oder wie groß dieser Winkel ist. Wenn Sie den Sinus der Hälfte eines 30°-Winkels wissen wollen, sehen Sie nach, in welchem Quadranten diese Hälfte liegt. Sowohl 30° als auch seine Hälfte, 15°, liegen im ersten Quadranten, ihre Sinus-Werte sind also positiv. Anders ist es mit den Sinus-Werten von 300 Grad und der Hälfte, 150 Grad. Der Sinus ist im vierten Quadranten negativ, wo sich der 300°-Winkel befindet (in der Standardposition), aber der Sinus von 150° ist positiv. Wenn Sie die Halbwinkel-Formeln anwenden, müssen Sie beachten, in welchem Quadranten die jeweiligen Winkel liegen, und das zugehörige Vorzeichen setzen.

Teil IV

Gleichungen und Anwendungen

In diesem Teil ...

Trigonometrische Identitäten funktionieren für alle Werte. Sie können Sie beliebig oft für die Variable einsetzen, und sie sind immer gültig. Das gilt jedoch nicht für trigonometrische Gleichungen, für die es im Allgemeinen ein paar ausgewählte Lösungen gibt. Diese Gleichungen sind Thema dieses sehr wichtigen Teils. Hier lernen Sie inverse trigonometrische Funktionen kennen, die bei der Lösung trigonometrischer Gleichungen sehr praktisch sind. Auβerdem werden Sie dem Gesetz ins Auge blicken: dem Sinusund dem Kosinus-Satz.

11

Inverse trigonometrische Funktionen

In diesem Kapitel ...

Die Notation für inverse Funktionen kennen lernen

Grenzen für inverse trigonometrische Funktionen festlegen

Inverse Funktionen lösen

So wunderbar und aufregend die sechs trigonometrischen Originalfunktionen sind – ohne ihre Inversen sind sie unvollständig. Eine inverse trigonometrische Funktion verhält sich wie die Inverse aller anderen Funktionsarten – sie macht rückgängig, was die ursprüngliche Funktion geleistet hat. Funktionen können Inverse haben, wenn sie 1:1 sind, das heißt, jeder Ausgabewert tritt nur einmal auf. Dieses ganze Konzept der Inversen wird etwas dünn, wenn wir über trigonometrische Funktionen sprechen, denn sie wiederholen ihre Werte immer wieder, weil die Winkel mit jeder vollen Umdrehung des Kreises neu gebildet werden – Sie fragen sich also wahrscheinlich, wie diese Funktionen und Inversen 1:1 sein können. Wenn Sie eine Auffrischung zu den grundlegenden inversen Funktionen brauchen, lesen Sie in Kapitel 3 nach. Dort finden Sie die wichtigsten Informationen über inverse Funktionen und wie Sie sie bestimmen. In diesem Kapitel tauchen Sie tiefer in die Welt der Inversen ein und erfahren, wie die inversen trigonometrischer Funktionen arbeiten. Außerdem erfahren Sie, warum Sie sich keinerlei Sorgen zu machen brauchen.

Die richtige Darstellung

Sie verwenden inverse trigonometrische Funktionen, um Gleichungen wie etwa , sec x = −2 oder tan2x = 1 zu lösen. In typischen algebraischen Gleichungen können Sie nach dem Wert von x auflösen, indem Sie jede Seite der Gleichung durch den Koeffizienten dividieren oder indem Sie auf jeder Seite dasselbe addieren usw. Bei der Funktion ist das jedoch nicht möglich. Wäre es sinnvoll, jede Seite durch den Sinus zu dividieren? Sie würden seltsame Dinge erhalten: . Ziemlich blöd.

Die Notation

Um die Inverse einer Gleichung wie etwa zu finden, lösen Sie nach der folgenden Aussage auf: »x ist gleich dem Winkel, dessen Sinus gleich ist.« Trigonometrisch ausgedrückt, schreiben Sie diese Aussage als . Für diese Notation verwenden Sie eine hochgestellte –1. Nachfolgend finden Sie einige weitere Beispiele für trigonometrische Gleichungen mit den zugehörigen Inversen und die Übersetzung.

Funktion

Inverse

Was das Ganze bedeutet

sec x = −2

x = sec−1(−2)

x ist der Winkel, dessen Sekans gleich –2 ist.

tan 2x = 1

2x = tan −1(1)

2x ist der Winkel, dessen Tangens gleich 1 ist.

cos θ = 0

θ = cos−1 (0)

θ ist der Winkel, dessen Kosinus gleich 0 ist.

csc α = −1

α = csc−1 (−1)

α ist der Winkel, dessen Kosekans gleich –1 ist.

Interpretation des Exponenten

Zweifellos haben Sie den Exponenten –1 bereits in mathematischen Ausdrücken verwendet. Dieser Exponent verhält sich jedoch für inverse trigonometrische Funktionen und Relationen anders. Die Notation für eine inverse trigonometrische Funktion wie etwa sin−1 x bedeutet, dass Sie eine Inverse für den Aus-druck brauchen, nicht das Reziproke. (Wenn Sie brauchen, schreiben Sie (tan x)−1 mit Klammern.) Der Exponent –1 stellt bei der Exponentialnotation für trigonometrische Funktionen eine große Ausnahme dar.

Wenn Sie die trigonometrische Funktion potenzieren, dann gilt sin^2 x = (sin x)2 und cos^4 x = (cos x)4, aber tan−1 x steht für die inverse Funktion und bedeutet nicht, dass Sie tan x in die Potenz –1 erheben.

Die Notation abändern

Für die Inversen von trigonometrischen Funktionen gibt es eine alternative Notation, die die Verwirrung mit der Hochstellung von –1 vermeidet: den Namen arc. sin−1 x ist dasselbe wie arcsin x. Der inverse Kosinus ist cos−1 x oder arccos x. Die anderen inversen Funktionen sind arctan x, arccsc x, arcsec x und arccot x. Diese Notation ist länger zu schreiben und manchmal lästig, deshalb wird häufig die Notation mit der Hochstellung bevorzugt. Sie werden den inversen Funktionen jedoch in beiden Darstellungen begegnen.

Zwischen wenigen und vielen unterscheiden

Technisch betrachtet, kann eine inverse Funktion nur eine Lösung haben. (Teil der Definition einer Inversen ist, dass die Funktion und die Inverse 1:1 sind.) Für jede Eingabe gibt es eine Ausgabe, und für jede Ausgabe gibt es eine Eingabe. Für alle praktischen Verwendungszwecke von trigonometrischen Inversen gibt es eine Umgehung dieser Regel. Sie können bestimmen, ob Sie eine oder viele Antworten zulassen wollen, indem Sie entweder die inverse Funktion oder die inverse Relation verwenden. Eine Relation ist ein wenig lockerer definiert als eine Funktion; sie erlaubt, dass mehrere Ausgaben dieselbe Eingabe haben können. Um zwischen diesen beiden Konzepten zu unterscheiden, verwendet man im Allgemeinen Großbuchstaben für die Funktion und Kleinbuchstaben für die Relation.

Wenn Sie die Funktion schreiben, ist das Ergebnis 30 Grad (oder Radianten). Es gibt nur eine Antwort, die als Hauptwert der Inversen bezeichnet wird. Wenn Sie dagegen schreiben, kann das Ergebnis gleich 30 Grad, 150 Grad, 390 Grad, 510 Grad (oder ,...) usw. sein. Das ist alles von der Situation abhängig – davon, was Sie gerade brauchen. Wollen Sie nur den Hauptwert, oder wollen Sie mehrere Werte? Oder brauchen Sie einen ganzen Haufen Werte innerhalb einer vollständigen Umdrehung – von 0 bis 360 Grad?

Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Relationen

Sin–1 x oder Arcsin x

sin–1 x oder arcsin x

Cos–1 x oder Arccos x

cos–1 x oder arccos x

Tan–1 x oder Arctan x

tan–1 x oder arctan x

Cot–1 x oder Arccot x

cot–1 x oder arccot x

Sec–1 x oder Arcsec x

sec–1 x oder arcsec x

Csc–1 x oder Arccsc x

csc–1 x oder arccsc x

Wenn Sie sehr viele Winkel oder Antworten brauchen, kann es mühselig sein, sie alle aufzulisten. Unter Umständen ist es nicht einmal machbar, jede mögliche Lösung aufzulisten. Statt eine Liste anzulegen, können Sie eine Regel angeben, die Ihnen ermöglicht, einen Winkel mit allen seinen Vielfachen bei Vollumdrehung zu definieren – allen Winkeln, deren freie Schenkel an derselben Stelle liegen.

Sei n eine beliebige ganze Zahl (…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …). Mit n als Multiplikator können Sie eine lange Liste mit Winkeln sehr viel effizienter schreiben. Statt zu sagen x = 30, 150, 390, 510, 750, 870, …, unterteilen Sie die Liste in zwei Gruppen: x = 30; 390; 750; 1110; …; und x = 150; 510; 870; 1230; …; und verwenden dann die beiden folgenden Regeln:

x = 30 + 360n oder x = 150 + 360n

Im Bogenmaß können Sie, statt zu sagen ... oder ..., die beiden folgenden Regeln anwenden:

Das nachfolgende Beispiel zeigt, wie alle Winkel geschrieben werden können, die einen Kosinus gleich haben. Diese Schritte lösen die inverse Relation auf und finden nicht nur den Hauptwert für die Funktion. Lösen Sie nach den Werten auf, die erfüllen.

1. Listen Sie mehrere Lösungen auf, sowohl in Grad als auch im Bogenmaß.

2. Schreiben Sie die Antworten in Grad, indem Sie die beiden ersten Winkel plus Vielfache von 360 verwenden.

3. Schreiben Sie die Antworten im Bogenmaß auf, indem Sie die beiden ersten Winkel plus Vielfache von 2π verwenden.

Das Aufschreiben aller möglichen Winkel für den inversen Tangens ist etwas einfacher als für Sinus oder Kosinus. Der Tangens ist im ersten und im dritten Quadranten positiv, die einander schräg gegenüberliegen (die Hälfte einer vollständigen Umdrehung).

Aufgrund dieser Tatsache sind die Winkel, die dieselben Funktionswerte haben, 180 Grad voneinander entfernt, und Sie können praktische Vielfache von 180 Grad oder π verwenden, um alle Antworten darzustellen. Für Sinus und Kosinus ist das jedoch nicht der Fall. Die Winkel mit denselben Funktionswerten liegen in benachbarten Quadranten, so dass Sie zwei separate Regeln angeben müssen – beide mit Vielfachen von 360 Grad –, um alle Antworten anzugeben.

Das nachfolgende Beispiel zeigt, wie Sie alle Winkel angeben, die einen Tangens von haben. Lösen Sie nach Werten auf, die erfüllen.

1. Listen Sie mehrere Lösungen auf, sowohl in Grad als auch im Bogenmaß.

2. Schreiben Sie die Antworten in Grad, indem Sie Vielfache von 360 verwenden.

3. Schreiben Sie die Antworten im Bogenmaß auf, indem Sie Vielfache von 2π verwenden.

Definitionsbereich und Wertebereich inverser trigonometrischer Funktionen bestimmen

Eine Funktion, die eine Inverse hat, hat genau eine Ausgabe (die zum Wertebereich gehört) für jede Eingabe (die zum Definitionsbereich gehört), und umgekehrt. Damit inverse trigonometrische Funktionen konsistent zu dieser Definition bleiben, müssen Sie Wertebereiche für sie angeben, die alle möglichen Eingabewerte berücksichtigen und in denen es keine Duplikate gibt. Die Ausgabewerte der inversen trigonometrischen Funktionen sind immer Winkel – in Grad oder im Bogenmaß –, und sie sind Antworten auf die Frage »Für welchen Winkel steht diese Zahl?« Im Allgemeinen sind die Ausgabewinkel für die einzelnen inversen Funktionen Winkelpaare aus den Quadranten I und II oder I und IV. Die Quadranten werden auf diese Weise für die inversen trigonometrischen Funktionen ausgewählt, weil die Paare in benachbarten Quadranten liegen, so dass positive und negative Einträge möglich sind. Die Notation für diese inversen Funktionen verwenden Großbuchstaben (siehe voriger Abschnitt).

Inverse Sinus-Funktion

Der Definitionsbereich für Sin–1x oder Arcsin x liegt zwischen –1 und 1. In mathematischer Notation heißt das, die x genügen dem Ausdruck –1 ≤ x ≤ 1, weil die Ausgabe immer auf diese Werte beschränkt ist, egal welches Winkelmaß Sie in die Sinus-Funktion eingeben. Der Wertebereich, also die Ausgabe, für Sin–1 x be-steht aus allen Winkeln von –90° bis 90°, im Bogenmaß bis . Wenn die Ausgabe gleich dem Winkel θ ist, schreiben Sie diese Ausdrücke als –90° ≤ θ ≤ 90°, oder . Die Eingaben sind Winkel in den benachbarten Quadranten I und IV, weil der Sinus im ersten Quadranten positiv und negativ im zweiten Quadranten ist. Diese Winkel decken alle möglichen Eingabewerte ab.

Inverse Kosinus-Funktion

Der Definitionsbereich für Cos–1 x oder Arccos x liegt zwischen –1 und 1, wie bei der inversen Sinus-Funktion. In mathematischer Notation heißt das, die x (also die Eingabewerte) genügen dem Ausdruck –1 ≤ x ≤ 1. Der Wertebereich für Cos–1 x besteht aus allen Winkeln von 0° bis 180°, im Bogenmaß 0 bis π. Wenn die Ausgabe gleich dem Winkel θ ist, schreiben Sie diese Ausdrücke als 0° ≤ θ ≤ 180°, oder 0 ≤ θ ≤ π. Die Eingaben sind Winkel in den benachbarten Quadranten I und II, weil der Kosinus im ersten Quadranten positiv und negativ im zweiten Quadranten ist. Diese Winkel decken alle möglichen Eingabewerte ab.

Inverse Tangens-Funktion

Der Definitionsbereich für Tan–1x oder Arctan x besteht aus allen realen Zahlen – Zahlen von –∞ bis +∞. Das liegt daran, dass die Ausgabe der Tangens-Funktion, der Inversen dieser Funktion, alle Zahlen beinhaltet. Der Wertebereich für Tan–1 x besteht aus Winkeln zwischen –90° und 90°, im Bogenmaß zwischen bis . Beachten Sie, dass der Wertebereich nicht die begrenzenden Winkel enthält.

Für –90° und 90° ist die Tangens-Funktion nicht definiert. Der Wertebereich von Tan–1 x beinhaltet alle Winkel in den benachbarten Quadranten I und IV, außer die beiden Winkel, deren freie Schenkel auf der y-Achse liegen.

Inverse Kotangens-Funktion

Der Definitionsbereich für Cot–1 x oder Arccot x ist derselbe wie bei der inversen Tangens-Funktion. Der Definitionsbereich beinhaltet alle realen Zahlen. Der Wertebereich ist jedoch anders. Er beinhaltet alle Winkel zwischen 0 und 180 Grad (zwischen 0 und π). Es sind also alle Winkel in den Quadranten I und II im Wertebereich enthalten, außer denjenigen mit dem freien Schenkel auf der x-Achse. Diese beiden Winkel liegen nicht im Definitionsbereich der Kotangens-Funktion (siehe Kapitel 8), deshalb liegen sie nicht im Wertebereich der inversen Funktion.

Inverse Sekans-Funktion

Der Definitionsbereich für Sec–1 x oder Arcsec x besteht aus allen Zahlen von 1 bis plus unendlich und von –1 bis minus unendlich. Wenn x die Eingabe ist, schreiben Sie diesen Ausdruck als x ≥ 1 oder x ≤ –1. Mit anderen Worten, der Definitionsbereich enthält alle Zahlen von –∞ bis +∞, außer die Zahlen zwischen –1 und 1. Der Wertebereich für Sec–1x besteht aus allen Winkeln zwischen 0 und 180 Grad (zwischen 0 und π), d. h. aus allen Winkeln in den Quadranten I und II, mit Ausnahme von 90 Grad oder .

Inverse Kosekans-Funktion

Der Definitionsbereich für Csc–1 x oder Arccsc x ist derselbe wie für die inverse Sekans-Funktion, nämlich alle Zahlen von 1 bis plus unendlich und von –1 bis minus unendlich. Der Wertebereich dagegen unterscheidet sich, er enthält alle Winkel zwischen –90 Grad und 90 Grad, im Bogenmaß zwischen und . Kurz gesagt, der Wertebereich enthält alle Winkel in den Quadranten I und IV, mit Ausnahme von 0 Grad oder 0 Radianten.

Überblick über Definitionsbereich und Wertebereich

Manchmal ist eine Tabelle mit den Definitionsbereichen und Wertebereichen der inversen trigonometrischen Funktionen hilfreicher, als ihre Beschreibung zu lesen. Betrachten Sie dazu Tabelle 11.1. Sie erkennen bestimmte Muster – Ähn-lichkeiten und Unterschiedlichkeiten. Die Wertebereiche von drei der Funktionen liegen in den Quadranten I und II, die der anderen in den Quadranten I und IV. Die reziproken Sinusse und Kosekanten verwenden dieselben Quadranten. Dasselbe gilt für die reziproken Kosinusse und Sekanten. Der Tangens und Kotangens verwenden jedoch nicht dieselben Quadranten.

Inverse trigonometrische Funktion

Definitionsbereich

Wertebereich

Quadranten im Wertebereich

Sin–1 x

–1 ≤ x ≤ 1

–90° ≤ θ ≤ 90°

I und IV

Cos–1 x

–1 ≤ x ≤ 1

0° ≤ θ ≤ 180°

I und II

Tan–1 x

–∞ < x < ∞

–90° < θ < 90°

I und IV

Cot–1 x

–∞ < x < ∞

0° ≤ θ ≤ 180°

I und II

Sec–1 x

x ≥ 1 oder x ≤ –1

–0° < θ < 180°, θ ≠ 90°

I und II

Csc–1 x

x ≥ 1 oder x ≤ –1

–90° < θ < 90°, θ ≠ 0°

I und IV

Tabelle 11.1: Definitionsbereiche und Wertebereiche der inversen trigonometrischen Funktionen

Die Arbeit mit Inversen

Am einfachsten ist die Arbeit mit inversen trigonometrischen Funktionen, wenn Sie eine praktische Tabelle mit den genauen Werten der Funktionen haben, wie sie im Anhang bereitgestellt ist. Wenn andere als die gebräuchlichsten Winkel vorkommen, können Sie entweder eine Tabelle wie die im Anhang verwenden, oder Sie zücken Ihren wissenschaftlichen Taschenrechner.

Das erste Beispiel verwendet den exakten Wert aus einer Tabelle. Ermitteln Sie .

1. Ermitteln Sie den benötigten Referenzwinkel, indem Sie den Absolutwert der Eingabe bilden.

Der Wert ist der Kosinus von 45 Grad oder Radianten.

2. Ermitteln Sie anhand des Vorzeichens der Eingabe den korrekten Quadranten.

Weil negativ ist und von den zwei Quadranten für den Wertebereich (siehe Tabelle 11.1) der Kosinus in QII negativ ist, ist die Lösung ein Winkel in QII, dessen Referenzwinkel 45 Grad beträgt.

3. Ermitteln Sie das korrekte Winkelmaß.

Der Winkel in der Standardposition in QII, dessen Referenzwinkel gleich 45 Grad ist, ist 180 – 45 = 135 oder . Also ist oder . Weitere Informationen über Referenzwinkel finden Sie in Kapitel 8.

Das nächste Beispiel verwendet den inversen Kotangens. Ermitteln Sie .

1. Ermitteln Sie den benötigten Referenzwinkel.

Der Wert ist der Kotangens von 30 Grad oder Radianten.

2. Ermitteln Sie anhand des Vorzeichens der Eingabe den korrekten Quadranten.

Weil positiv in QI ist, ist die Lösung der Winkel in QI, dessen Referenzwinkel gleich 30° oder .

3. Ermitteln Sie das korrekte Winkelmaß.

Alle Winkel in QI sind gleich ihren Referenzwinkeln, es gilt also .

Die Aufgabenstellungen, denen Sie in der Praxis begegnen werden, haben nicht immer so hübsche Werte, die von den gebräuchlichsten Winkeln stammen. Wenn Sie einen unhandlichen Dezimalwert haben, brauchen Sie vielleicht eine Tabelle. Im nächsten Beispiel gehen Sie von einem Dezimalwert aus, und eine Lösung des nächstgelegenen Grads ist die richtige Antwort. Der Dezimalwert im folgenden Beispiel ist auf drei Stellen gerundet. Um diese Aufgaben zu lösen, suchen Sie nach der nächstliegenden Lösung.

Ermitteln Sie Arctan(–3,732).

1. Ermitteln Sie den benötigten Referenzwinkel.

Anhand der Tabelle im Anhang sehen Sie, dass der Wert 3,732 dem Tangens eines

75°-Winkels entspricht. Dieser Winkel ist der nächstliegende Winkel mit ganzen Graden, der einen Tangens von 3,732 hat.

2. Ermitteln Sie anhand des Vorzeichens der Eingabe den korrekten Quadranten.

Weil –3,732 negativ ist, ist die Lösung ein Winkel in QIV, dessen Referenzwinkel 75° hat.

3. Ermitteln Sie das korrekte Winkelmaß.

In QIV hat ein Referenzwinkel von 75 Grad ein Maß von –75 Grad oder sein positives

Äquivalent (selber freier Schenkel), 285 Grad. Arctan(–3,732) = Tan–1(–3,732) = –75° oder 285°.

12

Trigonometrische Gleichungen lösen

In diesem Kapitel ...

Gleichungen mit Grenzwerten lösen

Den Lösungspool für Gleichungen erweitern

Algebraische Techniken anwenden

Identitäten kreativ einsetzen

Gleichungen mit Mehrfachwinkeln lösen

Für die Lösung von Gleichungen, in denen trigonometrische Ausdrücke enthalten sind, brauchen Sie ein Quäntchen hiervon und eine Prise davon, rühren sorgfältig um und achten darauf, dass stets die richtige Temperatur herrscht. Nein, natürlich ist dies kein Kochbuch, aber für die Lösung dieser Gleichungen brauchen Sie eine entsprechende Vorbereitung und die richtigen Fertigkeiten – genau wie für ein schmackhaftes Abendessen.

Trigonometrische Gleichungen sind keine Identitäten. Eine Identität gilt für jeden Winkel im Definitionsbereich des betrachteten Winkels. Eine trigonometrische Gleichung gilt für einige spezielle Winkel oder Eingabe – falls die Gleichung überhaupt eine Lösung hat.

Für einige trigonometrische Gleichungen müssen Sie ausklammern wie in der Algebra oder auch die Quadratformeln kennen. Für eine erfolgreiche Lösung ist es erforderlich, die richtigen trigonometrischen Identitäten zur richtigen Zeit anzuwenden. Für alle Gleichungen müssen Sie die Funktionswerte kennen und wissen, wie inverse trigonometrische Funktionen arbeiten (falls Sie eine Auffrischung brauchen, lesen Sie noch einmal in den Kapiteln 8 und 13 nach). Für die begeisterten Gleichungslöser unter Ihnen: In diesem Kapitel sind alle Konzepte zusammengefasst, um Ihnen so viel Spaß und Ansporn wie möglich zu vermitteln.

Die Methoden und Techniken, die Sie in diesem Kapitel kennen lernen, werden von vielen Menschen verwendet, um trigonometrische Gleichungen zu lösen. Es gibt auch noch andere Möglichkeiten, die aber nicht so häufig genutzt werden. Wie üblich gibt es mehrere Wege, bestimmte trigonometrische Gleichungen zu lösen. Ihr Ziel sollte es immer sein, so schnell und effizient wie möglich zu arbeiten, aber machen Sie sich auch keine Gedanken, wenn Sie scheinbar den längsten aller Wege ausgesucht haben. Manchmal macht auch das Sinn. Wenn eine bestimmte Methode für Sie in Ordnung ist, dann wenden Sie sie an.

Einfache Lösungen erzeugen

Am einfachsten sind trigonometrische Gleichungen, die Sie unmittelbar als Inverse umschreiben können, um die Lösungen zu ermitteln. Einige Beispiele für solche Gleichungstypen sind etwa cos x = 1, 2 sin x + 1 = 0 oder . Und so werden sie gelöst:

Um cos x = 1 zu lösen, gehen Sie wie folgt vor:

Schreiben Sie die Gleichung als Gleichung mit inverser Funktion um.

x = cos–1(1)

2. Listen Sie die Lösungen für Werte von x auf, mit 0° ≤ x ≤ 360°.

x = 0°

Das einzige Mal, dass der Kosinus gleich 1 ist, ist für den Winkel von 0 Grad. Die freien Schenkel von Winkeln mit 0 und 360 Grad sind gleich, Sie müssen also das Winkelmaß nicht zweimal auflisten.

3. Listen Sie alle Lösungen in allgemeiner Darstellung auf.

x = 0° + 360°n

Die Schritte 2 und 3 verdeutlichen die verschiedenen Möglichkeiten, wie Sie die Antworten schreiben können, entweder unter Auflistung aller Möglichkeiten, falls es nur wenige Möglichkeiten gibt, oder unter Angabe einer Regel, die sie beschreibt.

Jetzt lösen Sie 2sin x + 1 = 0 für Werte mit 0 ≤ x ≤ 2π.

1. Schreiben Sie die Gleichung als Gleichung mit inverser Funktion um.

Zuerst subtrahieren Sie 1 von jeder Seite. Anschließend dividieren Sie jede Seite durch 2.

2. Listen Sie die Lösungen auf. Verwenden Sie den Anhang, um die passenden Winkel zu finden.

Dieses Beispiel enthält eine Reziprok-Funktion. Am besten ist es, zuerst eine Reziprok-Identität anzuwenden und damit die Aufgabenstellung abzuändern.

Lösen Sie die Gleichung für alle Werte von x im Bogenmaß, die sie erfüllen:

1. Lösen Sie nach der trigonometrischen Funktion auf, indem Sie den Wurzelwert auf jeder Seite addieren.

2. Wenden Sie die Reziprok-Identität und das Reziprok der Zahl an, um eine Umwandlung in die Tangens-Funktion vorzunehmen, und multiplizieren Sie dann beide Teile des Bruchs mit dem Nenner, um die Wurzel loszuwerden.

3. Schreiben Sie die Gleichung als Gleichung mit inverser Funktion.

4. Schreiben Sie die Lösungsanweisung in allgemeiner Form auf.

Diese Anweisungen bedeuten, dass alle Winkel, die Sie durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen von π finden, Lösungen für diese Gleichung darstellen.

Ausklammern in den Lösungen

Dieselbe Art des Ausklammerns, wie sie auch in der Algebra verwendet wird, stellt eine große Hilfe bei der Lösung trigonometrischer Gleichungen dar. Der einzige Trick dabei ist es, zu erkennen, dass es statt nur x, y oder anderen einstelligen Variablen auch trigonometrische Variablen gibt, wie etwa sin x oder sec y. Suchen Sie nach Mustern und wenden Sie die Ausklammerungstechniken an. Nachfolgend finden Sie eine Liste der grundlegenden Muster für das Ausklammern.

Ausklammern von Binomen:

Größter gemeinsamer Faktor: ab ± cb = b(a ± c)

Differenz von Quadraten: a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)

Summe oder Differenz von Kubikwerten:

Ausklammern von Trinomen:

Größter gemeinsamer Faktor: ax^2 + ax + ac = a(x^2 + x + c)

Aufspalten: abx^2 + (ad + bc)x + cd = (ax + c)(bx +d)

Ausklammern durch Gruppieren:

Einen größten gemeinsamen Faktor finden

Die trigonometrischen Gleichungen, für die Sie einen größten gemeinsamen Faktor finden, diesen ausklammern und dann die Gleichung auflösen, könnten wie die beiden folgenden Gleichungen aussehen: 2sin x cos x − sin x = 0 oder . In diesem Abschnitt werde ich beide Gleichungen auflösen.

Lösen Sie 2 sin x cos x − sin x = 0 für alle x mit 0° ≤ x ≤ 360° auf.

1. Klammern Sie sin x aus jedem der beiden Terme aus.

2. Setzen Sie die beiden Faktoren gleich 0.

3. Lösen Sie nach den Werten von x auf, die beide Gleichungen erfüllen. Verwenden Sie dazu die Tabelle im Anhang.

Wenn sin x = 0, dann gilt x = sin–1(0) = 0°, 180°

Wenn 2 cos x – 1 = 0, dann gilt , 300°.

Alle diese Werte sind Lösungen für die ursprüngliche Gleichung. Die vollständige Liste lautet x = 0°, 60°, 180°, 300°

Jetzt lösen Sie für alle möglichen Werte in Grad.

1. Verschieben Sie den Term von der rechten Seite auf die linke Seite, indem Sie ihn von jeder Seite subtrahieren.

2. Klammern Sie cos x aus jedem Term aus.

Sie sollten nicht jede Seite durch cos x dividieren, weil Sie damit eine Lösung verlieren.

3. Setzen Sie die beiden verschiedenen Faktoren gleich 0.

4. Lösen Sie nach Werten von x auf, die beide Gleichungen erfüllen.

Wenn cos x = 0, dann gilt x = cos–1(0) = 90°, 270° oder 90° + 180°n.

Wenn , dann gilt = 60°, 240° oder 60° + 180°n.

Die Lösungen haben also alle die Form x = 90° + 180°n oder x = 60° + 180°n.

Quadrate ausklammern

Quadratische Gleichungen sind sehr praktisch, denn wenn sie nicht ausgeklammert werden können, können Sie sie unter Anwendung der Quadratformel lösen (siehe den entsprechenden Abschnitt später in diesem Kapitel). Die Arten der quadratischen trigonometrischen Gleichungen, die Sie ausklammern können, sehen alle wie etwa tan^2 x = tan x, 4 cos^2 x − 3 = 0, 2 sin^2 x + 5 sin x − 3 = 0 oder csc^2 x + csc x − 2 = 0 aus. Beachten Sie, dass sie alle die verräterische trigonometrische Funktion enthalten – erhoben in die zweite Potenz. Ich werde Ihnen in den folgenden Beispielen zeigen, wie Sie damit umgehen.

Lösen Sie tan^2 x = tan x für die Werte von x mit 0 ≤ x ≤ 2π auf.

1. Verschieben Sie den Term auf der rechten Seite nach links, indem Sie ihn von beiden Seiten subtrahieren.

Dividieren Sie nicht durch tan x, weil Sie damit Lösungen verlieren.

2. Klammern Sie tan x aus.

3. Setzen Sie beide Faktoren gleich 0.

4. Lösen Sie nach den Werten von x auf, die beide Gleichungen erfüllen.

Wenn tan x = 0, dann x = tan–1(0) = 0, π

Wenn tan x – 1 = 0, dann

Im nächsten Beispiel kann das Binom nicht einfach als die Differenz von zwei Quadraten ausgeklammert werden, weil 3 kein perfektes Quadrat ist, und Sie müssen beim Ausklammern eine Wurzel verwenden. Eine praktische Methode, diese Gleichung zu lösen, ist es, die 3 nach rechts zu verschieben und die Wurzel jeder Seite zu ziehen.

Lösen Sie für alle möglichen Lösungen von 4 cos^2 x − 3 = 0 in Grad auf.

1. Verschieben Sie die Zahl nach rechts, indem Sie auf jeder Seite 3 addieren.

4 cos^2 x = 3

2. Ziehen Sie für jede Seite die Wurzel. Anschließend lösen Sie nach cos x auf, indem Sie jede Seite durch 2 dividieren.

3. Lösen Sie die beiden Gleichungen für die Werte von x.

Wenn Sie alle Vielfachen von 360 Grad berücksichtigen, die zu den vier Grundwinkeln addiert werden, stellen Sie fest, dass diese Gleichung sehr viele Lösungen hat.

Die beiden nächsten Gleichungen verwenden eine Aufspaltung – eine Technik, mit der Sie feststellen, welche zwei Binome ein bestimmtes quadratisches Trinom ergeben. Manchmal, wenn das Muster im Trinom nicht klar ersichtlich ist, wollen Sie vielleicht zuerst eine andere Variable für die trigonometrische Funktion einsetzen, um zu erkennen, wie Sie ausklammern können. Ich mache dies bei der Lösung von 2 sin^2 x + 5 sin x − 3 = 0 für alle Werte von x zwischen 0 und 360 Grad.

1. Ersetzen Sie jedes sin x durch y.

2 y^2 + 5y − 3 = 0

2. Klammern Sie das Trinom als Produkt von zwei Binomen aus.

(2y − 1)(y + 3) = 0

3. Ersetzen Sie jedes y durch sin x.

(2 sin x − 1) (sin x + 3) = 0

4. Setzen Sie jeden Faktor gleich 0.

2 sin x –1 = 0 oder sin x + 3 = 0

5. Lösen Sie die beiden Gleichungen nach Werten von x auf, die sie erfüllen.

Wenn sin x + 3 = 0, sin x = –3, dann ist x = sin–1(–3). Dieses Ergebnis ist unsinnig, weil die Sinus-Funktion nur Werte zwischen –1 und 1 erzeugt – dieser Faktor erzeugt also keine Lösungen. Weitere Informationen über den Wertebereich von Funktionen finden Sie in Kapitel 8.

Die beiden einzigen Lösungen sind 30° und 150°.

Das nächste Beispiel ist relativ einfach, aber es enthält eine Reziprok-Funktion. Lösen Sie csc^2 x + csc x − 2 = 0 für alle Winkel zwischen 0 und 2π Radianten.

1. Klammern Sie das quadratische Trinom aus, so dass das Produkt aus zwei Binomen entsteht.

(csc x + 2) (csc x − 1) = 0

2. Setzen Sie jeden Faktor gleich 0.

csc x + 2 = 0 oder csc x − 1 = 0

3. Lösen Sie die beiden Gleichungen für Werte von x auf, die sie erfüllen.

Wenn csc x + 2 = 0, csc x = –2, dann ist .

Wenn csc x – 1 = 0, csc x = 1, dann ist .

Eine alternative Methode für den Umgang mit diesen beiden binomischen Gleichungen ist, sie unter Verwendung der Reziprok-Identität umzuschreiben und das Reziprok der Zahl anzugeben. Für die erste Gleichung würden Sie vom Kosekans zum Sinus wechseln:

csc x + 2 = 0, csc x = –2, . Dasselbe machen Sie für die zweite Gleichung: csc
x – 1 = 0, csc x = 1, sin x = 1. Anschließend lösen Sie die inversen Gleichungen auf.

Grade durch Ausklammern erhöhen

Das Ausklammern von Quadraten ist ein Kinderspiel. Das Ausklammern von Gleichungen höheren Grades kann unangenehm werden, wenn nicht gerade eine unkomplizierte Situation vorliegt, wie etwa nur zwei Terme oder eine Quadrat-ähnliche Gleichung. Sie haben vielleicht die Möglichkeit, durch Gruppierung auszuklammern, aber diese Methode wird erst im nächsten Abschnitt beschrieben. In diesem Abschnitt sehen die Aufgaben, die Sie zu lösen haben, etwa wie folgt aus: 2 sin^3 x = sin x oder 2 cos^4 x − 9 cos^2 x + 4 = 0.

Die erste Gleichung hat nur zwei Terme, Sie können also ausklammern, indem Sie den größten gemeinsamen Faktor suchen. Lösen Sie 2 sin^3 x = sin x für alle möglichen Winkel in Grad auf.

1. Verschieben Sie den Term auf der rechten Seite nach links, indem Sie ihn von beiden Seiten subtrahieren.

2 sin^3 x − sin x = 0

2. Klammern Sie sin x aus.

sin x(2 sin^2 x − 1) = 0

3. Setzen Sie jeden der Faktoren gleich 0.

sin x = 0 oder 2 sin^2 x − 1 = 0

4. Lösen Sie die beiden Gleichungen für Werte von x auf, die sie erfüllen.

Wenn sin x = 0, dann ist x = sin−1(0) = 0°, 180°, ... oder 0° + 180°n.

Wenn 2sin^2 x − 1 = 0, 2sin^2 x = 1, , dann erhalten Sie eine quadratische Glei-chung.

5. Ziehen Sie die Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung und lösen Sie nach x auf.

Multiplizieren Sie beide Teile des Bruchs mit dem Nenner, um die Wurzel im Nenner loszuwerden.

Unter Berücksichtigung beider Lösungen ergibt sich:

Diese trigonometrische Gleichung vierten Grades hat zahlreiche Lösungen:

Sie können diese letzten vier Gleichungen für x kombinieren, nämlich diejenigen, die mit Vielfachen von 45 Grad beginnen, so dass sich x = 45° + 90°n ergibt. Diese Gleichung erzeugt dieselben Winkel wie die Kombination der letzten vier Anweisungen. Woher wissen Sie, dass Sie auf diese Weise vereinfachen können? Weil die Winkel von 45, 135, 225 und 315 Grad jeweils 90 Grad voneinander entfernt sind. Wenn Sie mit 45 Grad beginnen und immer wieder 90 Grad addieren, erhalten Sie alle aufgelisteten Winkel, ebenso wie eine unendliche Anzahl ihrer Vielfachen.

Beim nächsten Beispiel handelt es sich ebenfalls um eine Gleichung vierten Grades, die aber Quadrat-ähnlich ist, das heißt, sie wird wie ein quadratisches Trinom mit zwei binomischen Faktoren ausgeklammert. Diese Aufgabe hat möglicherweise sehr viele Lösungen – oder gar keine. Lösen Sie 2 cos^4 x − 9 cos^2 x + 4 = 0 nach Lösungen zwischen 0 und 2π auf.

1. Klammern Sie das Trinom als Produkt von zwei Binomen aus.

(2 cos^2 x − 1) (cos^2 x − 4) = 0

2. Setzen Sie jeden Faktor gleich 0.

2 cos^2 x − 1 = 0 oder cos^2 x − 4 = 0

3. Lösen Sie nach der Funktion in jeder Gleichung auf, indem Sie die Terme mit dem Kosinus auf einer Seite der Gleichung isolieren.

4. Ziehen Sie die Wurzel auf jeder Seite der Gleichung.

5. Lösen Sie nach den Werten von x auf, die die Gleichungen erfüllen.

Wenn cos x = ±2, dann haben Sie ein Problem – diese Gleichung kann sich nicht ergeben. Die Kosinus-Funktion hat Ergebnisse zwischen –1 und 1. (Weitere Informationen über den Wertebereich des Kosinus finden Sie in Kapitel 8.) Dieser Faktor erzeugt keine neuen Lösungen für die ursprüngliche Aufgabenstellung.

Ausklammern durch Gruppierung

Das Ausklammern durch Gruppieren funktioniert in bestimmten Sonderfällen, wenn die ursprüngliche Gleichung das Ergebnis einer Multiplikation von zwei Binomen ist, die nicht-verwandte Terme enthalten. Normalerweise wenden Sie diese Art der Ausklammerung an, wenn Sie eine gerade Anzahl von Termen haben und gemeinsame Faktoren in verschiedenen Gruppen davon finden. Die Gleichungstypen, die Sie durch die Gruppierung lösen können, sehen etwa wie folgt aus: 4 sin x cos x − 2 sin x − 2 cos x + 1 = 0 oder sin^2 x sec x + 2 sin^2 x = sec x + 2. In der ersten Gleichung haben die ersten beiden Terme einen offensichtlichen gemeinsamen Faktor, 2 sin^2 x. Die zweiten beiden haben keinen gemeinsamen Faktor außer 1, aber damit die Gruppierung funktioniert, können Sie –1 ausklammern.

Lösen Sie 4 sin x cos x − 2 sin x − 2 cos x + 1 = 0 für alle möglichen Lösungen zwischen 0 und 2π auf.

1. Klammern Sie aus den beiden ersten Termen 2sin x aus und aus den zweiten beiden –1.

2 sin x(2 cos x − 1) −1(2 cos x − 1) = 0

Jetzt haben Sie zwei Terme, die beide den Faktor 2 cos x – 1 haben.

2. Klammern Sie diesen gemeinsamen Faktor aus den beiden Termen aus.

(2 cos x − 1) (2 sin x − 1) = 0

3. Setzen Sie die beiden Faktoren gleich 0.

4. Lösen Sie nach den Werten von x auf, die die Gleichung erfüllen.

Für das nächste Beispiel zur Gruppierung müssen Sie zunächst die beiden Terme von der rechten Seite auf die linke Seite schieben. Eine weitere Verschiebung der resultierenden Faktoren ergibt, dass es sich um eine quadratische Gleichung handelt. Kann Mathematik noch mehr Spaß machen?

Lösen Sie sin^2 x sec x + 2 sin^2 x = sec x + 2 für alle Winkel zwischen 0 und 360 Grad.

1. Verschieben Sie die Terme von der rechten auf die linke Seite, indem Sie sie von beiden Seiten subtrahieren.

sin^2 x sec x + 2 sin^2 x − sec x − 2 = 0

2. Klammern Sie sin^2 x aus den beiden ersten Termen und –1 aus den beiden zweiten Termen aus.

sin^2 x(sec x + 2)−1(sec x + 2) = 0

3. Jetzt klammern Sie sec x + 2 aus beiden Termen aus.

(sec x + 2)(sin^2 x − 1) = 0

4. Setzen Sie die beiden Faktoren gleich 0.

sec x + 2 = 0, sec x = −2
sin^2 x −1 = 0, sin^2 x = 1, sin x = ±1, wenn Sie die Wurzel beider Seiten ziehen.

5. Lösen Sie nach den Werten von x auf, die die Gleichung erfüllen.

Wenn sec x = –1, dann gilt x = sec–1(–2) = 120°, 240°.

Wenn sin x = 1, dann gilt x = sin–1(1) = 90°.

Wenn sin x = –1, dann gilt x = sin–1(–1) = 270°.

Die Quadratformel anwenden

Wenn sich quadratische Gleichungen ausklammern lassen, ist alles gut. Wenn nicht, dann geht es trotzdem weiter – dank dieser wunderbaren Quadratformel. Falls Sie die genaue Formel vergessen haben: Hier zeige ich sie Ihnen wieder.

Die Quadratformel besagt, wenn Sie eine quadratische Gleichung der Form ax^2 + bx + c = 0 haben, dann sind Lösungen gleich .

In der Trigonometrie ersetzt eine trigonometrische Funktion das x oder den variablen Teil der quadratischen Formel. Finden Sie beispielsweise die Lösung für sin^2 x − 4sin x −1 = 0 für alle Winkel zwischen 0 und 360 Grad. Statt der x sind hier die variablen Terme sin x.

1. Identifizieren Sie die Werte von a, b und c in der Formel.

Die Werte sind a = 1, b = –4 und c = –1.

2. Setzen Sie diese Werte in die quadratische Formel ein und vereinfachen Sie sie.

3. Finden Sie annähernde Werte für sin x aus der aufgelösten Form.

Unter Verwendung eines wissenschaftlichen Taschenrechners erhalten Sie . Also ist sin x 4,236 oder –0,236.

4. Verwenden Sie eine Wertetabelle, um annähernde Winkel mit diesen Sinus-Werten zu finden.

Wenn sin x = 4,23 ist, erhalten Sie ein unmögliches Ergebnis. Der Wert der Sinus-Funktion geht von –1 bis 1, sin x kann also dieses Ergebnis nicht annehmen.

Wenn sin x = –0,236, dann ist x = sin–1(–0,236) ≈ –14° oder 346°. Dabei handelt es sich um denselben Winkel. Zuerst schreiben Sie ihn als negativen Winkel und dann als sein positives Äquivalent.

Es gibt auch noch andere Winkel, die diese Gleichung erfüllen. Der andere negative Winkel, der einen 14°-Referenzwinkel hat, liegt im dritten Quadranten und hat 194 Grad. Weitere Informationen über Referenzwinkel finden Sie in Kapitel 8.

Identitäten berücksichtigen

Einige trigonometrische Gleichungen enthalten mehrere trigonometrische Funktionen. Andere weisen Mischungen aus mehreren Winkeln und einzelnen Winkeln mit derselben Variablen auf. Beispiele für solche Gleichungen sind unter anderem 3 cos^2 x = sin^2 x , 2 sec x = tan x + cot x , cos 2x + cos x + 1 = 0 oder . Um diese Gleichungen in eine überschaubare Form zu bringen, so dass Sie ausklammern oder eine andere der in diesem Kapitel beschriebenen Methoden zur Auflösung anwenden können, verwenden Sie Identitäten, um einige oder alle Terme auszuklammern (weitere Informationen über trigonometrische Identitäten finden Sie in Kapitel 10). Um beispielsweise 3cos^2 x = sin^2 x für alle Winkel zwischen 0 und 2π aufzulösen, wenden Sie die Pythagoreische Identität an.

1. Ersetzen Sie sin^2 x durch sein Äquivalent aus der Pythagoreischen Identität, sin^2 x + cos^2 x = 1 oder sin^2 x = 1 − cos^2 x.

3cos^2 x = 1 − cos^2 x

2. Addieren Sie zu jeder Seite cos^2 x und vereinfachen Sie durch Division.

3. Ziehen Sie auf jeder Seite die Wurzel.

4. Lösen Sie nach den Werten von x auf, die die Gleichung erfüllen.

Im nächsten Beispiel beginnen Sie mit drei verschiedenen trigonometrischen Funktionen. Eine gute Taktik ist es, jede Funktion durch Anwendung einer Verhältnis-Identität oder einer Reziprok-Identität zu ersetzen. Die Anwendung dieser Identitäten erzeugt Brüche, und Brüche brauchen gemeinsame Nenner. Das Vorhandensein von Brüchen in trigonometrischen Gleichungen ist übrigens gut, weil Produkte, die aus der Multiplikation stammen, und die Erzeugung äquivalenter Brüche normalerweise Teile von Identitäten sind, die Sie dann einsetzen können, um den Ausdruck wesentlich zu vereinfachen. Lösen Sie 2 sec x = tan x + cot x nach allen möglichen Lösungen in Grad auf.

1. Ersetzen Sie jeden Term durch die entsprechende Reziprok- oder Verhältnis-Identität.

2. Schreiben Sie die Brüche um, so dass sie den gemeinsamen Nenner sin x cos x verwenden.

Multiplizieren Sie jeden Term mit einem Bruch, der gleich 1 ist, entweder mit Sinus oder Kosinus sowohl im Zähler als auch im Nenner.

3. Addieren Sie die beiden Brüche auf der rechten Seite. Anschließend wenden Sie die Pythagoreische Identität an und ersetzen den neuen Zähler durch 1.

4. Setzen Sie die Gleichung gleich 0, indem Sie den rechten Term von jeder Seite subtrahieren.

5. Jetzt setzen Sie den Zähler gleich 0.

2 sin x − 1 = 0 oder 2sin x = 1,

Wenn der Zähler gleich 0 ist, ist der ganze Bruch gleich 0. Der Nenner kann nicht 0 werden – das ist undefiniert.

6. Lösen Sie nach Werten für x auf, die die ursprüngliche Gleichung erfüllen.

Im nächsten Beispiel geht es um zwei verschiedene Winkel. Ein Winkel ist zweimal so groß wie der andere, Sie wenden also eine Doppelwinkel-Identität an, um die Terme auf nur einen Winkel zu kürzen. Der Trick dabei ist, die richtige Version der Kosinus-Doppelwinkel-Identität auszuwählen.

Lösen Sie cos2x + cosx + 1 = 0 für x zwischen 0 und 2π auf.

1. Ersetzen Sie cos 2x durch 2cos^2 x–1.

2cos^2 x − 1 + cos x + 1 = 0

Diese Version der Kosinus-Doppelwinkel-Identität ist zu bevorzugen, weil die andere trigonometrische Funktion in der Gleichung bereits einen Kosinus enthält.

2. Vereinfachen Sie die Gleichung. Anschließend klammern Sie cos x aus.

2cos^2 x + cos x = 0
cos x(2cos x + 1) = 0

3. Setzen Sie jeden Faktor gleich 0.

4. Lösen Sie nach den Werten von x auf, die die ursprüngliche Gleichung erfüllen.

Das letzte Beispiel kann überraschend einfach sein. Der Trick dabei ist, dass Sie sofort eine Doppelwinkel-Identität erkennen und schnell wechseln müssen. Dieses Beispiel ist auch ein hübscher Ausblick auf den nächsten Abschnitt, in dem es
um Gleichungen mit Mehrfachwinkel-Lösungen geht. Lösen Sie für alle x zwischen 0 und 360 Grad.

1. Wenden Sie die Sinus-Doppelwinkel-Identität an, um einen Ersatz für den Ausdruck auf der linken Seite zu erhalten.

Wir beginnen mit der Identität und multiplizieren dann mit . Wir erhalten:

2. Ersetzen Sie den Ausdruck auf der linken Seite der ursprünglichen Gleichung durch sein Äquivalent aus der Doppelwinkel-Identität.

3. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2.

4. Schreiben Sie den Ausdruck als inverse Funktion um.

2x = sin−1(1)

Weitere Informationen über inverse Funktionen finden Sie in Kapitel 13.

5. Stellen Sie fest, welche Winkel innerhalb von zwei Umdrehungen die Gleichung erfüllen.

2x = sin−1(1) = 90°,450°

6. Dividieren Sie jeden Term durch 2.

Beachten Sie, dass die resultierenden Winkel zwischen 0° und 360° liegen.

Mehrfachwinkel-Lösungen finden

In Mehrfachwinkel-Ausdrücken ist das Winkelmaß ein Vielfaches einer Variablen, z. B. 2x oder 3y. In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen, wie Sie diese Ausdrücke bewältigen und nach allen möglichen zusätzlichen Lösungen auflösen. Weil die trigonometrischen Funktionen periodisch sind (d.h. sie wiederholen ihr Muster unendlich oft), steigt die Anzahl der möglichen Lösungen immens. Je größer der Multiplikator, desto mehr Lösungen gibt es.

Wenn Sie eine trigonometrische Gleichung der Form ax = f −1(x) lösen, wobei Sie wollen, dass die Lösung alle Winkel innerhalb einer einzigen Umdrehung beinhaltet, schreiben Sie alle Lösungen innerhalb der Anzahl kompletter Umdrehungen auf, die a darstellt. Anschließend dividieren Sie jedes Winkelmaß durch a.

Aufgaben, die sich für diese Technik eignen, sind etwa 2 sin^2 5x = 1 oder .

Im ersten Beispiel löse ich 2sin^2 5x = 1 für alle Winkel zwischen 0 und 2π auf.

1. Dividieren Sie jede Seite durch 2 und ziehen Sie auf jeder Seite die Wurzel.

2. Lösen Sie nach 5x auf, das die Winkel darstellt, die die Gleichung innerhalb einer Umdrehung erfüllen.

3. Erweitern Sie die Lösungen auf fünf Umdrehungen, indem Sie viermal 2π zu den ursprünglichen Winkeln hinzuaddieren.

4. Dividieren Sie alle Terme durch 5 und vereinfachen Sie.

Beachten Sie, dass alle 16 Lösungen Winkel mit Maßen kleiner 2π sind.

Das nächste Beispiel verwendet einen Multiplikator, der einen echten Bruch darstellt, und damit nicht größer als 1 ist.

Lösen Sie für alle Lösungen zwischen 0 und 360 Grad.

1. Schreiben Sie die Gleichung als inverse trigonometrische Gleichung.

2. Stellen Sie fest, welche Winkel die inverse Gleichung innerhalb einer vollen Umdrehung erfüllen.

3. Multiplizieren Sie alle Terme mit 2.

x = 300°, 420°

4. Verwerfen Sie den zweiten Winkel, weil er größer als 360 Grad ist.

Die einzige Lösung ist ein Winkel mit 300 Grad. Wenn Sie das x in der ursprünglichen Gleichung durch dieses Winkelmaß ersetzen, erhalten Sie eine wahre Aussage.

Beide Seiten quadrieren

Beim Lösen von trigonometrischen Gleichungen haben Sie zahlreiche Auswahlmöglichkeiten. Häufig funktionieren mehrere Methoden – aber eine Methode ist häufig schneller oder einfacher als die anderen. Aber irgendwann stoßen Sie auf eine trigonometrische Gleichung, die alle Ihre Versuche abweist. Zwei letzte Auswege, die Sie anwenden können, wenn Sie trigonometrische Gleichungen lösen, sind es, beide Seiten der Gleichung zu quadrieren oder jeden Term mit einer sorgfältig ausgewählten trigonometrischen Funktion durchzumultiplizieren. Ich werde Ihnen hier die erste der beiden Methoden zeigen, die andere im nächsten Abschnitt. Beispiele für Gleichungen, für die eine Quadrierung beider Seiten sinnvoll ist, sind etwa oder .

Lösen Sie für alle möglichen Winkel in Grad.

1. Quadrieren Sie beide Seiten der Gleichung.

Wenn Sie ein Binom quadrieren, achten Sie darauf, den mittleren Term nicht zu vergessen.

2. Ersetzen Sie mit Hilfe der Pythagoreischen Identität sin^2 x + cos^2 x.

3. Subtrahieren Sie von jeder Seite 1. Anschließend ersetzen Sie den Ausdruck auf der linken Seite durch die Sinus-Doppelwinkel-Formel.

4. Lösen Sie nach dem Wert von 2x auf, indem Sie die inverse Funktion anwenden. Anschließend schreiben Sie ein paar Winkellösungen auf, um ein Muster zu erkennen.

2x = sin-1(1) = 90°,450°,810°,...

Weil Sie alle möglichen Lösungen finden sollen, sind Sie nicht auf zwei Umdrehungen beschränkt.

5. Dividieren Sie jeden Term durch 2.

6. Schreiben Sie einen Ausdruck für alle Lösungen.

x = 45° + 180°n

13

Gesetze befolgen

In diesem Kapitel ...

Fehlende Teile von Dreiecken finden

Die Gesetze von Sinus, Kosinus und Tangens verstehen

Die Fläche von Dreiecken berechnen

Dreiecke sind sehr praktische Figuren. Seit die Menschheit Aufzeichnungen hinterlässt, wurden zahlreiche Anwendungen von Dreiecken in der Mathematik und in vielen anderen Wissenschaften dokumentiert. Das rechtwinklige Dreieck wird dabei am meisten genutzt. Pythagoras hat daraus erkannt, dass schon andere vor ihm die rechtwinkligen Dreiecke als die leistungsfähigen Polygone kannten, die sie sind. Aber auch schiefe Dreiecke (solche, die keinen rechten Winkel enthalten) haben ihren Platz. Man hat nicht immer einen rechten Winkel, wenn man ihn gerade braucht. Und hier kommen schiefe Dreiecke und die Gesetze von Sinus und Kosinus ins Spiel.

Der Sinus-Satz verwendet, ob Sie es glauben oder nicht, die Sinus-Werte der Winkel eines Dreiecks. Anhand drei sorgfältig ausgewählter Teile des Dreiecks können Sie nach den Größen der anderen Teile auflösen. Natürlich müssen Sie dabei das Gesetz einhalten, und es gibt beschränkt viele Auswahlmöglichkeiten. Und hier rettet Sie der Kosinus-Satz. Dieser Satz ist nicht ganz so benutzerfreundlich, greift aber ein, wo der Sinus-Satz keine Hilfe bietet. Und wenn alles andere fehlschlägt, wirft Ihnen der Tangens-Satz einen Rettungsring zu (obwohl er nicht annähernd so berühmt ist wie die beiden anderen).

Die Trigonometrie eröffnet alle Arten von Möglichkeiten für die Lösung von Aufgaben, in denen Flächen berechnet werden sollen. Mit Hilfe der Werkzeuge in diesem Kapitel wird Ihnen kein Dreieck mehr ein Rätsel bleiben.

Die Teile von Dreiecken beschreiben

Es gibt rechtwinklige und nicht rechtwinklige Dreiecke. Die letzteren werden auch als schiefe Dreiecke bezeichnet. Es gibt auch andere Klassifizierungen, wie beispielsweise spitz, gleichseitig, gleichschenklig usw. Aber egal, wie Sie sie bezeichnen, jedes Dreieck hat genau sechs Teile: drei Winkel und drei Seiten. Nachdem Sie Informationen über die Teile eines Dreiecks besitzen, können Sie alle möglichen Berechnungen und Manipulationen vornehmen, um mit Hilfe von Dreiecken Situationen nachzubilden und Aufgaben zu lösen.

Standardisierung der Teile

Wenn Sie die Teile eines Dreiecks benennen, folgen Sie normalerweise einem System oder einem Muster. Mit Hilfe dieses Systems können Sie die Informationen zuordnen, selbst wenn Sie kein Bild des Dreiecks besitzen, das Ihnen dabei helfen könnte. Das gebräuchlichste System ist, die Winkel des Dreiecks mit Großbuchstaben zu bezeichnen, normalerweise A, B und C, und die Seiten gegenüber diesen Winkeln mit den zugehörigen Kleinbuchstaben. Abbildung 13.1 zeigt ein Beispiel für diese Art der Beschriftung.

Abbildung 13.1: Bezeichnung der Teile eines Dreiecks

Eine weitere übliche Vorgehensweise ist es, die Winkel mit griechischen Buchstaben zu bezeichnen, wie etwa α, β oder γ, aber in diesem Kapitel werde ich bei den Groß- und Kleinbuchstaben bleiben.

Ein Dreieck bestimmen

Auch wenn jedes Dreieck sechs Teile hat, brauchen Sie nur Informationen über drei davon, um die anderen bestimmen zu können. Wenn Sie beispielsweise die Maße der drei Seiten kennen, dann wissen Sie auch, dass die drei Winkel eindeutig festgelegt sind. Es ist nicht möglich, mehrere Dreiecksformen mit unterschiedlichen Größen aus diesen drei Seiten zu konstruieren.

Nachdem Sie die Werte für drei sorgfältig ausgewählte Teile eines Dreiecks kennen, können Sie eines der verschiedenen Gesetze anwenden, um die anderen Teile des Dreiecks zu bestimmen. Ich werde die drei Sätze in separaten Abschnitten später in diesem Kapitel beschreiben.

Das Einzigartige finden

Mehrere Kombinationen aus Teilen bestimmen ein Dreieck eindeutig. Nachfolgend eine Liste:

Um ein Dreieck eindeutig zu bestimmen (die einzig mögliche Form zu ermitteln), brauchen Sie:

SSS: Die Maße der drei Seiten

SWS: Die Maße von zwei Seiten und dem dazwischen liegenden Winkel

WSW: Die Maße von zwei Winkeln und der dazwischen liegenden Seite

WWS: Die Maße von zwei Winkeln und einer der Seiten

Die letzte Regel ist eigentlich nur eine Variante der vorhergehenden. Wenn Sie zwei Winkel haben, können Sie den dritten bestimmen, so dass die Seite zwischen zwei bekannten Winkeln liegt. Abbildung 13.2 zeigt diese Situationen.

Abbildung 13.2: Möglichkeiten, Dreiecke eindeutig zu bestimmen

Sie haben vielleicht bemerkt, dass ich eine der Kombinationen nicht aufgeführt habe – WWW, wo alle drei Winkel bekannt sind. Ich habe sie weggelassen, weil Sie in diesem Fall nur sicher sein können, dass die Dreiecke ähnlich sind – sie haben dieselbe Form, aber nicht unbedingt dieselbe Größe.

Der mehrdeutige Fall

Vier Situationen ermöglichen Ihnen, ein Dreieck eindeutig zu bestimmen. Ich habe sie im vorigen Abschnitt aufgelistet. Ein weiterer Fall könnte ebenfalls hilfreich sein, auch wenn Sie damit zwei verschiedene Dreiecke statt eines eindeutigen Dreiecks erhalten können: SSW, die Maße von zwei Seiten und einem Winkel, der nicht zwischen ihnen liegt. Diese Situation ist etwas kompliziert, weil damit häufig zwei verschiedene Dreiecke möglich sind – deshalb spricht man auch vom mehrdeutigen Fall. Manchmal ist dies besser als nichts – wenn man nur berücksichtigt, dass es mehrere Dreiecke geben kann. So ist sie eben die Mathematik launisch und ein wenig unentschlossen, wenn man ihr nicht gibt was sie will: klare Angaben. Sie ist also fast wie ein störrischer Esel, der Hunger hat.

Abbildung 13.3 zeigt eine solche Situation. In den beiden Dreiecken haben die Seiten a und c und der Winkel A dasselbe Maß. Das Winkelmaß B und die Länge von Seite b sind jedoch nicht in beiden Dreiecken gleich.

Abbildung 13.3: Der mehrdeutige Fall

Der Sinus-Satz

Wenn Sie bereits zwei Winkel haben, wie etwa für WSW oder WWS (siehe obiger Abschnitt), können Sie den Sinus-Satz anwenden. Dieses Gesetz verwendet die Verhältnisse der Seiten eines Dreiecks und ihre gegenüberliegenden Winkel. Je größer eine Seite, desto größer ist der gegenüberliegende Winkel. Die längste Seite liegt immer dem größten Winkel gegenüber. Und so funktioniert das Ganze.

Der Sinus-Satz für das Dreieck ABC mit den Seiten a, b und c, die diesen Winkeln gegenüberliegen, besagt:

Der Sinus-Satz besagt also, dass in einem Dreieck das Verhältnis jeder Seite zu ihrem Winkel gleich dem Verhältnis aller anderen Seiten zu ihren Winkeln ist.

Betrachten Sie beispielsweise ein Dreieck, dessen Seite a 86 m lang ist und dessen Winkel A und B 84 bzw. 58 Grad groß sind. Abbildung 13.4 zeigt eine Darstellung dieses Dreiecks. Gehen Sie wie folgt vor, um die fehlenden drei Teile zu berechnen.

Abbildung 13.4: Die drei fehlenden Teile eines Dreiecks bestimmen

2. Ermitteln Sie die Größe von Winkel C.

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180 Grad. Sie berechnen also die Summe aus A und B und subtrahieren sie von 180.

180 – (84 + 58) = 180 – 142 = 38

Der Winkel C ist 38 Grad groß.

3. Ermitteln Sie die Länge von Seite b.

• Setzen Sie unter Anwendung des Sinus-Satzes und der Proportion die bekannten Werte ein.

Verwenden Sie die vorgegebenen Werte, und nicht diejenigen, die Sie selbst bestimmt haben. Auf diese Weise können Sie einen etwaigen Fehler leichter erkennen.

• Verwenden Sie die Tabelle im Anhang oder einen Taschenrechner, um die Sinus-Werte zu berechnen.

• Multiplizieren Sie jede Seite mit dem Nenner unter b, um nach dieser Länge aufzulösen. Weil es sich bei den Originalmaßen um ganze Zahlen handelt, runden Sie diese Lösung auf die nächste ganze Zahl.

Die Seite b ist 73 m lang.

4. Ermitteln Sie die Länge der Seite c.

• Setzen Sie unter Anwendung des Sinus-Satzes und der Proportion die bekannten Werte ein.

Auch hier sollten Sie am besten die vorgegebenen Werte berechnen, und nicht diejenigen, die Sie selbst bestimmt haben. In diesem Fall müssen Sie jedoch einen berechneten Wert verwenden, den Winkel C.

• Verwenden Sie die Tabelle im Anhang oder einen Taschenrechner, um die Sinus-Werte zu berechnen.

• Multiplizieren Sie jede Seite mit dem Nenner unter c, um nach dieser Länge aufzulösen. Weil es sich bei den Originalmaßen um ganze Zahlen handelt, runden Sie diese Lösung auf die nächste ganze Zahl.

Die Seite c ist 53 m lang.

Jetzt wissen Sie, wie Sie die fehlenden Maße in einem schiefen Dreieck bestimmen, aber Sie fragen sich vielleicht, wofür das gut sein soll. Ein wichtiger Grund für die Auflösung von Dreiecken ist, dass Sie sie in praktischen Aufgabenstellungen einsetzen können. Beispielsweise ist die Frage, wie groß bestimmte Dinge sind, mit dieser Unterstützung besser zu beantworten.

Angenommen, auf einem Berghang wächst ein Baum. Der Baum ist vertikal, aber der Berghang hat eine Steigung von 10 Grad gegenüber der Horizontalen. Hans steht 100 m unterhalb des Baums. Der Steigungswinkel vom Standpunkt von Hans zur Baumspitze beträgt 32 Grad. Wie groß ist der Baum? Betrachten Sie zuerst eine Skizze der Situation (siehe Abbildung 13.5) und betrachten Sie dann die nachfolgenden Schritte.

1. Bestimmen Sie das schiefe Dreieck, mit dessen Hilfe Sie die Aufgabe lösen können.

• Sie wissen, dass eine Seite 100 m lang ist, und Sie können zwei Winkel bestimmen, deshalb verwenden Sie das in Abbildung 13.6 gezeigte Dreieck.

2. Bestimmen Sie die beiden Winkel auf jeder Seite der Dreiecksbasis.

• Sie bestimmen den Winkel rechts von der 100-m-Basis, indem Sie den 10-Grad-Steigungswinkel von der 32-Grad-Steigung des Baums subtrahieren: 32 – 10 = 22 Grad. (Diese Winkel werden auch als Steigungswinkel bezeichnet. Weitere Informationen darüber finden Sie in Kapitel 9.)

Abbildung 13.5: Wie hoch ist der Baum?

Abbildung 13.6: Das spitze Dreieck, mit dessen Hilfe Sie die Höhe des Baums berechnen

• Der Winkel links an der 100-m-Basis ist der Ergänzungswinkel zu dem Winkel im rechtwinkligen Dreieck, das Sie unterhalb des spitzen Dreiecks zeichnen können (siehe Abbildung 13.7). Wenn Sie einen rechten Winkel zeichnen, dessen vertikaler Schenkel den Baum darstellt, bestimmen Sie einen Winkel von 80 Grad, indem Sie den 90-Grad-Winkel und den 10-Grad-Winkel addieren und diese Summe von 180 subtrahieren, der Winkelsumme im Dreieck. Ergänzungswinkel ergänzen sich ebenfalls zu 180 Grad, der Ergänzungswinkel zum 80-Grad-Winkel beträgt also 100 Grad. Eine weitere Methode, diesen 100-Grad-Winkel zu bestimmen, ist die Verwendung der Außenwinkelregel, die nachfolgend erklärt wird.

Das Maß eines Außenwinkels eines Dreiecks ist gleich der Summe der beiden nicht benachbarten Innenwinkel.

Abbildung 13.7: Erweiterung des Dreiecks, um Berechnungen durchführen zu können

3. Berechnen Sie die Größe des dritten Winkels.

Durch Addieren der beiden Basiswinkel und Subtrahieren ihrer Summe von 180 Grad erhalten Sie 180 – (22 + 100) = 180 – 122 = 58 Grad.

4. Bestimmen Sie die Höhe des Baums.

• Der Baum stellt die Seite gegenüber dem Winkel mit 22 Grad dar. Unter Verwendung des Sinus-Satzes können Sie die Proportion wie folgt schreiben:

• Lösen Sie nach der Höhe des Baums auf.

Der Baum ist etwa 44 m hoch.

Weiter mit dem Kosinus-Satz

Der Kosinus-Satz ist dann praktisch, wenn Sie zwei oder mehr Seiten kennen – wie in Situationen bei SSS oder SWS – und die Maße der drei anderen Komponenten bestimmen wollen. Wenn Sie zwei Seiten haben, brauchen Sie den Winkel, der dazwischen liegt. Wenn der Winkel nicht zwischen den beiden Seiten liegt, haben Sie den mehrdeutigen Fall, SSW. Obwohl eine solche Situation nicht unmöglich ist, müssen Sie sorgfältig damit umgehen. (Weitere Informationen über diese seltsamen Ausdrücke finden Sie im Abschnitt Ein Dreieck bestimmen früher in diesem Kapitel.)

Den Kosinus-Satz definieren

Den Kosinus-Satz gibt es in drei verschiedenen Versionen, die Sie in Abhängigkeit davon einsetzen können, für welche Teile des Dreiecks Ihnen Maße vorliegen. Beachten Sie das Muster: Die Quadrate der drei Seiten erscheinen in den Gleichungen, ebenso wie der Kosinus des Winkels, der einer der Seiten gegenüberliegt – der Seite, die gleich der restlichen Information gesetzt wird.

Der Kosinus-Satz für das Dreieck ABC mit den Seiten a, b und c, die den Winkeln gegenüberliegen, besagt:

In natürlicher Sprache ausgedrückt, bedeuten diesen Gleichungen, dass das Quadrat einer Seite gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten minus dem Produkt dieser Seiten multipliziert mit dem Kosinus des der gesuchten Seite gegenüberliegenden Winkels ist. Nicht schlecht.

Kosinus-Satz für SWS

Wenn Sie zwei Seiten eines Dreiecks und den Winkel zwischen ihnen kennen, können Sie mit Hilfe des Kosinus-Satzes nach den anderen drei Komponenten auflösen. Betrachten wir ein Dreieck ABC, wo a gleich 15, c gleich 20 und B gleich 124 Grad ist. Abbildung 13.8 zeigt, wie dieses Dreieck aussieht.

Abbildung 13.8: Ein Beispieldreieck, für das der Kosinus-Satz angewendet werden kann

Jetzt lösen Sie nach den Maßen der fehlenden Seite und der fehlenden Winkel auf:

1. Bestimmen Sie mit Hilfe des Kosinus-Satzes die Länge der fehlenden Seite.

Wenden Sie den Satz für die Auflösung nach Seite b an.

Sie erhalten den Wert für b^2. Ziehen Sie die Wurzel für beide Seiten und verwenden Sie den positiven Wert (weil es keine negativen Längen gibt).

b^2 = 960,4
b = 30,990

Die Seite b ist also etwa 31 Einheiten lang.

2. Bestimmen Sie das Maß der fehlenden Winkel mit Hilfe des Kosinus-Satzes.

Verwenden Sie den Satz, mit dem Sie nach a auflösen, und tragen Sie die bekannten Werte ein.

a^2 = b^2 + c^2 − 2bc cos A

15^2 = 31^2 + 20^2 − 2(31)(20) cos A

Lösen Sie nach cos A auf und vereinfachen Sie. Verschieben Sie alle anderen Terme auf die linke Seite.

Mit Hilfe von Anhang A oder eines wissenschaftlichen Taschenrechners ermitteln Sie A. Sie stellen fest, dass A = cos–1(0,916) = 23,652 ist, also etwa 24 Grad.

Hinweis: Sie können auch mit Hilfe des Sinus-Satzes nach diesem Winkel auflösen. Scheuen Sie sich nicht, bei der Auflösung dieser Dreiecke gemischte Lösungsansätze zu verwenden.

3. Ermitteln Sie das Maß des letzten Winkels.

Bestimmen Sie Winkel B, indem Sie die beiden anderen Winkelmaße addieren und diese Summe von 180 subtrahieren.

180 – (124 + 24) = 180 – 148 = 32. Der Winkel B ist 32 Grad groß.

Wie ist es mit einer Anwendung, die diesen SWS-Teil des Kosinus-Satzes verwendet? Betrachten Sie die folgende Situation: Ein Freund will ein Stadion in Form eines regelmäßigen Fünfecks bauen (fünf gleichlange Seiten), das an jeder Seite 920 m lang ist. Wie weit ist der Mittelpunkt des Stadions von den Ecken entfernt? Der linke Teil von Abbildung 13.9 zeigt ein Bild des Stadions und des Segments, nach dem Sie auflösen.

Abbildung 13.9: Fünfeckiges Stadion und ein Dreieckssegment

Sie können das Fünfeck in fünf gleichschenklige Dreiecke zerlegen. Die Basis jedes dieser Dreiecke ist 920 m lang, und die beiden Seiten sind gleich, deshalb können wir sie beide als a bezeichnen. Sehen Sie sich dazu die Skizze rechts in Abbildung 13.9 an. Lösen Sie mit Hilfe des Kosinus-Satzes nach a auf, weil Sie den Winkel zwischen diesen beiden kongruenten Seiten bestimmen können, und weil Sie bereits die Länge der Seite gegenüber diesem Winkel kennen.

1. Bestimmen Sie das Maß des Winkels in der Mitte des Fünfecks.

Ein Kreis hat insgesamt 360 Grad. Dividieren Sie diese Zahl durch 5, dann erhalten Sie für jeden Winkel in der Mitte des Fünfecks ein Maß von 72 Grad.

2. Wenden Sie den Kosinus-Satz an, wobei nach der Seite mit den 920 m aufgelöst wird.

Weil die beiden anderen Seiten dasselbe Maß haben, schreiben Sie sie in der Gleichung beide als a.

3. Lösen Sie nach dem Wert von a auf.

Der Abstand vom Mittelpunkt zu einer Ecke beträgt zwischen 782 und 783 m.

Kosinus-Satz für SSS

Wenn Sie die Werte für zwei oder mehr Seiten eines Dreiecks kennen, können Sie den Kosinus-Satz anwenden. Im folgenden Fall kennen Sie alle drei Seiten, aber keinen der Winkel. Lösen Sie nach den Maßen der drei Winkel im Dreieck ABC auf, das die Seiten a = 7, b = 8 und c = 2 hat.

Wie Sie in Abbildung 13.10 sehen, scheint das Dreieck zwei spitze Winkel zu haben, und einen stumpfen Winkel. Der stumpfe Winkel liegt der längsten Seite gegenüber.

Abbildung 13.10: Beispiel für ein SSS-Dreieck

1. Lösen Sie nach dem Maß des Winkels A auf.

Wenden Sie den Kosinus-Satz an, wobei sich die Seite a auf der linken Seite der Gleichung befindet, setzen Sie die bekannten Werte ein und vereinfachen Sie die Gleichung.

Anhand der Tabelle im Anhang oder mit einem wissenschaftlichen Taschenrechner ermitteln Sie das Maß von A.

A = cos–1(0,594) = 53,559

2. Lösen Sie nach dem Maß von Winkel B auf.

Wenden Sie den Kosinus-Satz an, wobei sich Seite b auf der linken Seite der Gleichung befindet, setzen Sie die Ihnen bekannten Werte ein und vereinfachen Sie dann diese Gleichung.

Der negative Kosinus bedeutet, dass ein stumpfer Winkel vorliegt – sein freier Schenkel befindet sich im zweiten Quadranten. Jetzt bestimmen Sie das Maß von B mit Hilfe der Tabelle im Anhang oder sofern vorhanden unter Verwendung eines wissenschaftlichen Taschenrechners.

B = cos−1(−0,393) = 113,14

Der Winkel B hat etwa 113 Grad.

3. Bestimmen Sie das Maß von Winkel C.

Weil Sie wissen, dass der Winkel A gleich 54 Grad hat, und der Winkel B 113 Grad, können Sie diese addieren und die Summe von 180 Grad subtrahieren, um das Maß des Winkels C zu erhalten.

180 − (54 + 113) = 180 − 167 = 13. Der Winkel C hat nur 13 Grad.

Der Tangens-Satz

Der Tangens-Satz ist nicht annähernd so beliebt wie der Sinus-Satz oder der Kosinus-Satz, aber es ist einfach nicht richtig, ihn wegzulassen. Sie verwenden diesen Satz für SWS – wenn Sie zwei Seiten und den dazwischen liegenden Winkel kennen. Der Tangens-Satz sieht auf den ersten Blick vielleicht beängstigend aus, aber in Wirklichkeit ist er ganz praktisch.

Im Dreieck ABC mit den Seiten a, b und c gegenüber den jeweiligen Winkeln A, B und C besagt der Tangens-Satz:

Am besten erkennen Sie die Arbeitsweise des Tangens-Satzes anhand eines Beispiels. Im Dreieck ABC ist a gleich 52, b ist 28, und der Winkel C ist 80 Grad groß. Um die restlichen Teile des Dreiecks zu bestimmen, gehen Sie wie folgt vor:

1. Wenden Sie den Tangens-Satz für die Seiten a und b an.

Setzen Sie die bekannten Werte ein und vereinfachen Sie.

2. Multiplizieren Sie jede Seite mit dem Nenner von der rechten Seite.

3. Bestimmen Sie A + B.

Die Winkelsumme aus A und B ist gleich 180 Grad minus dem Maß von Winkel C: A + B = 180 – 80 = 100.

4. Ersetzen Sie (A + B) durch 100 und vereinfachen Sie.

Führen Sie die Berechnungen mit Hilfe der Tabelle aus dem Anhang oder mit einem wissenschaftlichen Taschenrechner aus.

5. Bestimmen Sie den Wert von A – B.

Die Differenz zwischen Winkel A und Winkel B ist 39,354 Grad, also etwa 39 Grad.

6. Bestimmen Sie A und B, indem Sie das Gleichungssystem nach A + B und A – B auflösen.

Eliminieren Sie eine der Variablen, indem Sie die beiden Gleichungen addieren.

Weil A gleich 69,5 ist, ist B gleich 100 minus 69,5, also 30,5. Wenn wir diese Werte auf ganze Zahlen runden, erhalten wir A = 70 und B = 30.

7. Lösen Sie unter Verwendung des Sinus-Satzes nach der Seite c auf.

Die Seite c ist etwa 54 Einheiten lang.

Dreiecksflächen berechnen

Es hört sich relativ einfach an, die Fläche eines Dreiecks zu berechnen. Viele Schulkinder machen das täglich. Sie erhalten ein Dreieck und dann die Länge der Grundlinie und die Höhe, die senkrecht auf dieser Grundlinie eingezeichnet ist. Einfach. Sie setzen die Werte in die Formel ein, das ist alles. Aber überlegen Sie einmal: Wie oft haben Sie ein dreieckiges Grundstück oder ein dreieckiges Bootssegel und verfügen über das Maß der Höhe?

In diesem Abschnitt erhalten Sie eine Formel für jede Gelegenheit. Geben Sie mir ein Dreieck, und ich sage Ihnen die Fläche. Obwohl Grundlinie und Höhe praktisch wären, geht das Ganze auch mit den Maßen der drei Seiten. Sie haben zwei Seiten und einen dazwischen liegenden Winkel? Auch das geht. Was ist mit zwei Winkeln und einer dazwischen liegenden Seite? Auch dafür habe ich eine Formel.

Die Fläche nach Grundlinie und Höhe berechnen

Die grundlegendste Formel für die Berechnung der Fläche eines Dreiecks gilt für den Fall, dass man Grundlinie und Höhe kennt. Die Höhe wird senkrecht auf die Grundlinie gezeichnet, nämlich zum Scheitelpunkt, der der Grundlinie gegenüberliegt. Abbildung 13.11 zeigt, was ich meine.

Abbildung 13.11: Ein Dreieck mit Grundlinie und Höhe

Die Gleichung für die Fläche (A) des Dreiecks mit der Grundlinie g und der Höhe h lautet

Um beispielsweise die Fläche eines Dreiecks mit der Grundlinie von 12 m und einer Höhe von 5 m zu berechnen, geben Sie die Werte in die Gleichung ein. Sie erhalten . Das Dreieck hat 30 Quadratmeter.

Wenn es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, dann geht es erst richtig los. Die Grundlinie und die Höhe sind die Schenkel, also die beiden Seiten, die senkrecht aufeinander stehen. Sie bestimmen einfach die Hälfte der Grundlinie mal der Höhe. Nachfolgend ein Beispiel.

Kirsten hat ein Eckgrundstück und will einen dreieckigen Garten anlegen, wo sich die beiden Straßen treffen. Sie besitzt ein 20 m langes Zaunstück, das entlang der Diagonale, also der Hypotenuse des Dreiecks eingefügt werden soll. Wie viele Quadratmeter Garten hat sie? Abbildung 13.12 verdeutlicht die Situation.

Abbildung 13.12: Der dreieckige Garten von Kirsten

1. Bestimmen Sie die Länge des anderen Schenkels des rechtwinkligen Dreiecks.

Wenden Sie den Satz von Pythagoras an. Wenn Sie die fehlende Länge als x bezeichnen, erhalten Sie:

2. Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks.

Die Grundlinie ist 12 m lang, die Höhe ist 16 m lang. Unter Anwendung der Formel erhalten Sie

Die Fläche beträgt 96 Quadratmeter – ein ziemlich großes Stück zum Umgraben.

Die Fläche aus drei Seiten berechnen

Angenommen, Sie haben 240 m Zaun, und Sie wollen einen dreieckigen Pferch für Ihr Lama bauen. Warum dreieckig? Sie haben gehört, dass Lamas diese Form am besten gefällt. Sie wollen, dass das Lama genügend Platz zum Herumlaufen hat, deshalb müssen Sie die Fläche wissen. Wie sollten die Seitenlängen des Dreiecks aussehen? Sie können dieses kleine Problem mit Hilfe der Formel von Heron für die Fläche eines Dreiecks lösen.

Die Formel von Heron besagt, wenn ein Dreieck ABC die Seitenlängen a, b und c für die gegenüberliegenden Winkel hat und der Halbumfang s gleich die Hälfte des Umfangs des Dreiecks ist, dann ist die Fläche des Dreiecks gleich.

Für das Problem mit dem Zaun und dem Lama gibt es viele Möglichkeiten, einen dreieckigen Pferch aus 240 m Zaun zu machen. Abbildung 13.13 zeigt einige der Möglichkeiten. Beachten Sie, dass sich in jedem Fall eine Gesamtseitenlänge von 240 m ergibt. In dieser Aufgabenstellung wollen wir kein Tor berücksichtigen.

Abbildung 13.13: Dreieckige Pferche aus 240 m Zaun

Welches Dreieck hat die größte Fläche? Offensichtlich ist eines von ihnen etwas schmal, auch wenn dabei die 240 m Zaun wie bei den anderen beiden verbraucht werden. So berechnen Sie die Flächen für die drei Dreiecke.

1. Bestimmen Sie den Halbumfang s für die Dreiecke.

Gemäß Abbildung 13.13 gilt:

• Linkes Dreieck:

• Mittleres Dreieck:

• Rechtes Dreieck:

Es ist kaum überraschend, dass die Halbumfänge alle gleich sind, weil alle Umfänge gleich 240 sind.

2. Wenden Sie die Formel von Heron an, um die verschiedenen Flächen zu berechnen.

• Linkes Dreieck:

• Mittleres Dreieck:

• Rechtes Dreieck:

Das Dreieck rechts hat die größte Fläche. Von den Formen in Abbildung 13.13 ist dieses Dreieck am besten geeignet. Aber Sie fragen sich vielleicht, ob es ein Dreieck mit einer noch größeren Fläche gibt. Die Antwort: Nein. Mit Hilfe der Algebra können Sie beweisen, dass ein gleichseitiges Dreieck die größte mögliche Fläche für denselben Umfang ergibt. Ohne die Algebra müssten Sie einfach ein paar Formen ausprobieren, um sich selbst davon zu überzeugen.

Die Fläche mit SWS ermitteln

Wenn Sie die Längen von zwei Seiten eines Dreiecks kennen, ebenso wie das Maß des Winkels zwischen diesen Seiten, können Sie die Fläche des Dreiecks bestimmen. Für diese Methode brauchen Sie ein wenig Trigonometrie – Sie müssen den Sinus des beteiligten Winkels berechnen. Die Formel bleibt jedoch ganz einfach.

Wenn das Dreieck ABC die Seiten a, b und c gegenüber den entsprechenden Winkeln hat, können Sie die Fläche anhand einer der folgenden Formeln berechnen:

Betrachten Sie beispielsweise das rechtwinklige 30-60-90-Dreieck in Abbil-dung 13.14. Ich verwende dieses Beispiel, weil die Zahlen so praktisch sind.

Zuerst ermittle ich die Fläche unter Verwendung von Winkel B und der beiden Seiten, die ihn bilden.

1. Wählen Sie die richtige Version der Formel.

Die Formel, in der Winkel B verwendet wird, ist sin B.

2. Ermitteln Sie den Sinus des Winkels.

Abbildung 13.14: Die Fläche eines 30-60-90-Dreiecks ermitteln

3. Setzen Sie die Werte in die Formel ein und vereinfachen Sie.

Teil V

Die Graphen trigonometrischer Funktionen

In diesem Teil ...

Ein Bild sagt mehr als 1000 Worte. So sagt man jedenfalls. Und für die Graphen der trigonometrischen Funktionen gilt es in jedem Fall. Theoretisch müsste dieser Teil etwa 1000 Seiten lang sein, weil ich die Graphen vorstelle, die Sie brauchen, um die Ähnlichkeiten und Unterschiede der grundlegenden trigonometrischen Funktionen zu erkennen.

14

Graphen für Sinus und Kosinus

In diesem Kapitel ...

Die grundlegenden Graphen für Sinus und Kosinus betrachten

Mit Variationen der Graphen arbeiten

Die Graphen der Sinus- und der Kosinus-Funktionen sind sich sehr ähnlich. Wenn Sie sie ohne Bezugnahme auf eine Koordinatenachse ansehen, können Sie sie nicht unterscheiden. Sie wiederholen immer wieder dieselben Werte – und diese Werte, die Ausgaben, sind für die beiden Funktionen gleich.

Das ABC der Graphen

Sie können die Graphen trigonometrischer Funktionen innerhalb kürzester Zeit effizient zeichnen, wenn Sie nur ein paar Anhaltspunkte haben. Wenn Sie die Achsen richtig darstellen und ein allgemeines Wissen über die Umrisse der verschiedenen Funktionen besitzen, dann können Sie loslegen.

Die beiden Achsen in trigonometrischen Graphen stellen unterschiedliche Werte dar. Die x-Achse wird mit Winkelmaßen dargestellt, die y-Achse mit stinknormalen Zahlen. Die x-Achse ist entweder mit Grad oder mit Radianten markiert. Häufig stellt ein Graph die Werte von –2π bis 2π dar, um zwei vollständige Durchläufe der Sinus-, Kosinus-, Sekans- oder Kosekans-Funktionen zu zeigen (oder vier vollständige Durchgänge der Tangens- oder Kotangens-Funktionen). Wenn die x-Achse in Grad markiert ist, dann reicht sie normalerweise von –360 bis 360, was einen riesigen Zahlenbereich darstellt. Dieser Bereich steht im strengen Gegensatz zur y-Achse, die häufig nur von –5 bis 5 reicht. Sie werden feststellen, dass Radianten – bei denen es sich um reale Zahlen handelt – vorzuziehen sind. Die y-Achse wird mit realen Zahlen beschriftet. Wie weit dieser Bereich nach oben und nach unten reicht, ist von der jeweiligen Funktion oder der Variation einer Funktion abhängig, deren Graphen Sie antragen.

Wenn Sie einen graphischen Taschenrechner benutzen, müssen Sie beim Erstellen von Graphen darauf achten, in welchem Modus Sie sich befinden. Andernfalls erhalten Sie sehr erstaunliche Ergebnisse – oder überhaupt keine. Weitere Informationen über den Modus von Taschenrechnern finden Sie in Kapitel 13. Normalerweise reicht ein Tastendruck.

Sinus-Wellen

Der Graph der Sinus-Funktion ist eine hübsche, fortlaufende Welle, die sanft dahingleitet und sich ständig wiederholt. Der Definitionsbereich, also die x-Werte der Sinus-Funktion, enthält alle Winkel in Grad oder alle realen Zahlen in Radianten, deshalb hat die Kurve keine Bruchstellen oder Löcher. Der Wertebereich, die y-Werte, der Sinus-Funktion besteht aus allen Zahlen zwischen –1 und 1, einschließlich dieser beiden Werte. Abbildung 14.1 zeigt einen Graphen der Sinus-Funktion von etwa –2π bis 2π (oder von etwa –360 bis 360 Grad).

Abbildung 14.1: Der Graph für y = sin x

Abbildung 14.1 zeigt zwei vollständige Durchläufe der Sinus-Kurve – die Kurve durchläuft die Funktion auf dem Graphen zweimal. Wenn Sie die Sinus-Kurve in beide Richtungen weiter verfolgen würden, würde sie auch nicht anders aussehen. Die Kurve wiederholt immer wieder dasselbe Muster – bis in alle Ewigkeit.

Amplitude und Periode

Die Sinus-Funktion und alle ihre Varianten haben zwei wichtige Eigenschaften: die Amplitude und die Periode der Kurve. Sie bestimmen diese Eigenschaften, indem Sie entweder den Graphen der Funktion oder ihre Gleichung ansehen.

Gewinnen wir an Höhe – mit der Amplitude

Die Amplitude der Sinus-Funktion ist die Distanz vom Mittelwert oder der Linie, die am höchsten Punkt durch den Graphen geht. Mit anderen Worten, die Amplitude ist die halbe Distanz vom niedrigsten Wert zum höchsten Wert. In den Sinus- und Kosinus-Gleichungen ist die Amplitude der Koeffizient (Multiplikator) des Sinus oder des Kosinus. Beispielsweise ist die Amplitude von y = sin x gleich 1. Um die Amplitude zu ändern, multiplizieren Sie die

Funktion mit einer Zahl. Betrachten Sie Abbildung 14.2, die die Graphen von y = 3sin x und x zeigt.

Abbildung 14.2: Die Graphen von y = 3 sin x und

Wie Sie sehen, bewirkt die Multiplikation mit einer Zahl größer 1, dass der Graph weiter nach oben und weiter nach unten verläuft. Die Amplitude von y = 3 sin x ist gleich 3. Die Multiplikation mit einer Zahl kleiner 1 (aber größer 0) dagegen bewirkt, dass der Graph zusammenschrumpft – er geht nicht mehr so weit nach oben oder unten. Die Amplitude von .

Perioden

Die Periode einer Funktion ist der Umfang der Eingabewerte, die gebraucht werden, damit die Funktion alle möglichen Werte durchlaufen und dann wieder an derselben Stelle neu beginnen kann, um den Prozess zu wiederholen. Im Fall der Sinus-Funktion beträgt die Periode 2π oder 360 Grad. Wählen Sie eine beliebige Stelle auf der Sinus-Kurve aus, folgen Sie der Kurve nach rechts oder links, und 2π oder 360 Einheiten von Ihrem Ausgangspunkt auf der x-Achse entfernt beginnt die Kurve wieder, dasselbe Muster zu wiederholen.

Wenn Sie die Winkelvariable x mit einer Zahl multiplizieren, ändert sich die Periode der Sinus-Funktion. Wenn Sie die Winkelvariable mit 3 multiplizieren, wie etwa in y = sin 3x, dann macht die Kurve dreimal so viele Durchgänge innerhalb des zuvor vorgegebenen Raums. Wenn Sie mit 3 multiplizieren, reduziert sich also die Länge der Periode. Für passt nur die Hälfte der Kurve in denselben Raum. Ein Koeffizient kleiner 1 erhöht also die Anzahl der Eingaben, die die Funktion braucht, um einen kompletten Durchlauf zu erzeugen. Abbildung 14.3 zeigt diese beiden Graphen.

Abbildung 14.3: Graphen von y = sin 3x und

Die Position des Multiplikators bedeutet einen wesentlichen Unterschied. Ob Sie die Sinus-Funktion mit 4 multiplizieren oder ihre Winkelvariable, führt zu zwei völlig unterschiedlichen Graphen. Der Graph von y = 4 sin x ist viel höher als üblich – die Amplitude ist größer als die der standardmäßigen Sinus-Funktion. Der Graph von y = sin 4x hat eine Amplitude von 1, aber die Periode ist kleiner und die Kurve mehr zusammengequetscht – sie wiederholt sich schneller.

Die Sinus-Gleichung formalisieren

Eine allgemeine Gleichung für die Sinus-Funktion lautet y = A sin Bx. A und B sind Zahlen, die sich auf die Amplitude bzw. Periode der Sinus-Funktion auswirken.

Der Graph der Funktion y = A sin Bx hat eine Amplitude von A und eine Periode von . Die Amplitude A ist die Distanz vom y-Wert einer horizontalen Linie, die durch die Mitte des Graphen (oder den Mittelwert) zum y-Wert des höchsten Punkts der Sinus-Kurve gezeichnet wird, und B gibt an, wie oft sich die Sinus-Kurve innerhalb von 2π oder 360 Grad wiederholt.

Wenn Sie sich all das merken, können Sie den Graphen einer Sinus-Kurve relativ schnell darstellen – oder ihn sich im Kopf vorstellen. Angenommen, wir suchen den Graphen für y = 4 sin 2x:

1. Passen Sie die Amplitude an.

Die Amplitude ist 4, die Kurve geht also von der Mitte aus 4 Einheiten nach oben und 4 Einheiten nach unten. Um etwas Platz ober- und unterhalb zu lassen, legen Sie die y-Achse so an, dass sie von –5 bis 5 reicht.

2. Berücksichtigen Sie die Periode.

Zwei vollständige Graphen des Sinus befinden sich innerhalb des Platzes, auf dem sich normalerweise einer befindet.

3. Zeichnen Sie die Kurve von –2π bis 2π (siehe Abbildung 14.4).

Sie sehen, dass der Graph von –4 bis 4 verläuft und innerhalb des Platzes für eine Sinus-Standardfunktion zwei Durchgänge unterbringt.

Abbildung 14.4: Der Graph von y = 4 sin 2x

Den Sinus verschieben

Experimente mit der Amplitude und der Periode der Sinus-Kurve können zu einigen interessanten Veränderungen der Standardkurve führen. Diese Kurve ist jedoch immer noch erkennbar. Sie sehen die Kurve, wie sie immer wieder sanft die Mittellinie kreuzt. Neben diesen Änderungen gibt es jedoch noch zwei weitere Möglichkeiten zur Abänderung der Sinus-Kurve. Sie können sie nach oben und unten oder seitlich verschieben. Man spricht von einer Verschiebung der Kurve. (Eine grundlegende Beschreibung für die Verschiebung von Funktionen finden Sie in Kapitel 3.)

Nach oben oder unten verschieben

Sie können eine Sinus-Kurve nach oben oder unten verschieben, indem Sie einfach eine Zahl zur Gleichung der Kurve addieren. Beispielsweise verschiebt der Graph von y = sin x + 4 die ganze Kurve um 4 Einheiten nach oben, wobei die Sinus-Kurve immer wieder die Linie y = 4 durchquert. Der Graph von y = sin x – 1 dagegen wird um 1 Einheit nach unten verschoben. Abbildung 14.5 zeigt, wie die beiden Graphen aussehen.

Abbildung 14.5: Die Graphen von y = sin x + 4 und y = sin x − 1

Wie Sie sehen, ist die grundlegende Form der Kurve immer noch erkennbar – die Kurven werden einfach nur in der Koordinatenebene nach oben oder unten verschoben.

Nach links oder rechts verschieben

Durch Addition oder Subtraktion einer Zahl vom Winkel in einer Sinus-Gleichung können Sie die Kurve nach links oder rechts gegenüber ihrer ursprünglichen Position verschieben. Diese Verschiebung bewirkt, dass die Sinus-Kurve wie die Kosinus-Kurve aussieht. Die Verschiebung des eigentlichen Sinus ist jedoch wichtig: Wenn man die Kurve nach rechts oder links verschiebt, können sich die Orte ändern, an denen die Kurve die x-Achse oder eine andere horizontale Linie durchquert. Beispielsweise ist der Graph von y = sin(x + 1) die normale Sinus-Kurve, um 1 Einheit nach links verschoben, und der Graph von y = sin(x – 3) ist die Sinus-Kurve, um 3 Einheiten nach rechts verschoben. Abbildung 14.6 zeigt die Graphen der ursprünglichen Sinus-Gleichung und die beiden verschobenen Gleichungen.

Abbildung 14.6: Vergleich der Graphen für y = sin x, y = sin (x + 1) und y = sin(x – 3)

Betrachten Sie den Punkt, der in jedem der Graphen in Abbildung 14.6 markiert ist. Dieser Punkt zeigt, wie sich der Ort, wo die Kurve eine Achse durchquert, ändert, wenn Sie eine Zahl zu der Winkelvariablen addieren oder von ihr subtrahieren.

Beachten Sie den Unterschied zwischen der Addition oder Subtraktion einer Zahl zu bzw. von der Funktion und der Addition oder Subtraktion einer Zahl zu bzw. von dem Winkelmaß. Diese Operationen beeinflussen die Kurve unterschiedlich, wie Sie erkennen, wenn Sie Abbil-dung 14.5 und Abbildung 14.6 vergleichen.

y = sin x + 2

Durch Addieren von 2 zur Funktion wird die Kurve um 2 Einheiten nach oben verschoben.

y = sin(x + 2)

Durch Addieren von 2 zur Winkelvariablen wird die Kurve um zwei Einheiten nach links verschoben.

Der Kosinus-Graph

Der Graph der Kosinus-Funktion ist dem der Sinus-Funktion sehr ähnlich. Diese Ähnlichkeit entsteht durch die Tatsache, dass die Funktionen den gleichen Definitions- und Wertebereich haben und auch mehrere Identitäten gemeinsam haben. Eine Identität, die eine Verschiebung beinhaltet, erklärt die Beziehung am besten, weil die Verschiebung bewirken kann, dass der Graph der Sinus-Funktion wie der Graph der Kosinus-Funktion aussieht.

Kosinus und Sinus vergleichen

Die Beziehung zwischen den Sinus- und Kosinus-Graphen sieht so aus, dass der Kosinus dasselbe wie der Sinus ist, aber um 90 Grad oder verschoben. Die Gleichung, die diese Beziehung darstellt, lautet . Betrach-ten Sie die Graphen für die Sinus- und Kosinus-Funktionen auf derselben Koordinatenachse, wie in Abbildung 14.7 gezeigt. Der Graph des Kosinus ist die dunklere Kurve. Beachten Sie, wie sie gegenüber der Sinus-Kurve nach links verschoben ist.

Abbildung 14.7: Die Graphen von y = sin x und y = cos x im selben Koordinatensystem

Die Graphen der Sinus- und Kosinus-Funktionen zeigen eine Eigenschaft, die es für mehrere Paarungen der Funktionen gibt. Diese Eigenschaft basiert auf dem rechtwinkligen Dreieck und den beiden spitzen oder Komplementärwinkeln in einem rechtwinkligen Dreieck. Die Identitäten, die aus dem Dreieck entstehen, werden auch als Kofunktions-Identitäten bezeichnet.

Die Kofunktions-Identitäten sind

Diese Identitäten zeigen, wie die Funktionswerte der Komplementärwinkel in einem rechtwinkligen Dreieck verwandt sind. Beispielsweise bedeutet cos θ = sin(90° – θ), dass, wenn θ gleich 25° ist, dann ist cos 25° = sin(90° – 25°) = sin 65°. Diese Gleichung erklärt auf einem Umweg, warum die Graphen für Sinus und Kosinus sich nur durch eine Verschiebung unterscheiden. Sie haben vielleicht schon bemerkt, dass diese Kofunktions-Identitäten alle die Differenz zwischen Winkeln verwenden, aber die Verschiebung der Sinus-Funktion nach links eine Summe war. Der verschobene Sinus-Graph und der Kosinus-Graph sind wirklich äquivalent – sie werden zu Graphen derselben Punktemenge. Und so kann man das beweisen:

1. Schreiben Sie eine Gleichung mit dem Sinus auf der linken Seite gleich der Kofunktions-Identität mit dem Kosinus.

2. Wenden Sie die beiden Identitäten für den Sinus der Summe und der Differenz von zwei Winkeln an (siehe Kapitel 11).

Die beiden Identitäten sind:

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b

Setzen Sie die x und die Winkel ein.

3. Vereinfachen Sie die Terme unter Verwendung der Werte der Funktionen.

sin x(0) + cos x(1) = (1) cos x – (0) sin x
cos x = cos x

Sie sehen, der verschobene Sinus-Graph ist gleich dem Kosinus-Graphen.

Eigenschaften für das Zeichnen des Kosinus-Graphen

Die Kosinus-Funktion hat dieselbe Amplitude und dieselbe Periode wie die Sinus-Funktion: Die Amplitude ist 1, die Periode ist 2π oder 360 Grad. Die Variationen am Kosinus verhalten sich genau wie beim Sinus. Wenn Sie die Amplitude ändern wollen, multiplizieren Sie die Kosinus-Funktion mit einer Zahl. Wenn Sie die Periode ändern wollen, multiplizieren oder dividieren Sie die Winkelvariable mit einer bzw. durch eine Zahl. Um die ganze Kurve nach oben, unten, links oder rechts zu verschieben, addieren oder subtrahieren Sie eine Zahl zu bzw. von der ganzen Funktion oder der Winkelvariablen. Nachfolgend finden Sie einige Beispiele.

Für die Gleichung y = 3 cos x ist die Amplitude gleich 3, das heißt, der Graph dehnt sich nach oben und unten um 3 Einheiten aus. Der Graph von y = cos(x – 3) wird um 3 Einheiten nach rechts verschoben. Abbildung 14.8 zeigt die Graphen.

Abbildung 14.8: Die Graphen für y = 3 cos x und y = cos (x – 3).

Die Graphen für Sinus und Kosinus sind schwer zu unterscheiden, wenn sie verschoben sind. Aber gerade diese Tatsache zeigt, wie viel diese Funktionen gemeinsam haben, was Sie bei der Anwendung zu Ihrem Vorteil ausnutzen können.

15

Graphen für den Tangens

In diesem Kapitel ...

die Asymptoten des Tangens kennen lernen

Die Tangens- und Kotangens-Funktionen haben sehr viel gemeinsam. Sie können beide Funktionen in Hinblick auf Sinus und Kosinus formulieren, so dass sie dieselben Funktionswerte gemeinsam haben. Sie haben diese Funktionswerte nur einfach nicht an denselben Stellen für die x-Werte in ihrem Definitionsbereich – sie sind von links nach rechts verschoben. Auch wenn ihre Definitionsbereiche (oder x-Werte) beschränkt sind, sind Tangens und Kotangens die einzigen trigonometrischen Funktionen, deren Wertebereiche (oder y-Werte) von minus unendlich bis plus unendlich gehen. Die Herausforderung beim Zeichnen der Graphen für Tangens und Kotangens ist die Handhabung des eingeschränkten Definitionsbereichs und der Asymptoten (gestrichelte vertikale Linien, die verwendet werden, um den Umriss einer Kurve zu bestimmen), wie Sie in diesem Kapitel noch sehen werden.

Der Tangens

Die Tangens-Funktion kann geschrieben werden als das Verhältnis von Sinus zu Kosinus: . (Weitere Informationen über die Tangens-Funktion fin-den Sie in den Kapiteln 7 und 8.) Die Sinus- und Kosinus-Funktionen haben für jeden x-Wert Werte, Sie erhalten also für jede für x eingegebene Zahl eine Lösung. Das einzige Problem tritt auf, wenn die Kosinus-Funktion gleich 0 ist, weil ein Bruch nicht 0 im Nenner haben darf. Wenn die Kosinus-Funktion also gleich 0 ist, hat der Graph der Tangens-Kurve Asymptoten. Eine weitere interessante Eigenschaft kommt mit der Tatsache ins Spiel, dass Sinus und Kosinus im ersten Quadranten beide positiv, im dritten Quadranten beide negativ sind. Demzufolge ist der Tangens in diesen beiden Quadranten positiv, in den beiden anderen negativ, weil entweder Sinus oder Kosinus negativ sind, aber nicht beide.

Die Periode bestimmen

Die Sinus- und Kosinus-Funktionen haben die Periode 2π oder 360 Grad, das heißt, nach jeweils 2π beginnt das Funktionsmuster von neuem. Bei der Tangens-Funktion ist die Periodenlänge jedoch nur π – die Hälfte derjenigen von Sinus oder Kosinus. Die Tangens-Funktion wiederholt ihr Muster doppelt so oft wie Sinus und Kosinus.

Die Asymptoten zuordnen

Eine Asymptote ist eine Linie, die hilft, einem Graphen eine Richtung zu geben. Die Linie ist selbst nicht Teil des Funktionsgraphen; stattdessen hilft sie, die Form der Kurve zu bestimmen, indem sie als Tangente zu der Kurve verläuft. Asymptoten werden normalerweise als gestrichelte Linien dargestellt.

Die Asymptoten für den Graphen der Tangens-Funktion treten in regelmäßigen Abständen auf, nämlich alle π oder 180 Grad. Sie trennen eine Tangens-Kurve, also jeden vollständigen Durchgang, von der nächsten.

Die Gleichungen der Asymptoten des Tangens haben alle die Form , wobei n eine ganze Zahl darstellt. Unter dieser Voraussetzung für n ergibt der Ausdruck 2n + 1 immer eine ungerade Zahl. Ersetzt man n durch verschiedene ganze Zahlen, erhält man Linien wie etwa und . Der Grund dafür, warum Asymptoten immer an diesen ungeraden Vielfachen von liegen, ist, dass diese Punkte dort liegen, wo die Kosinus-Funktion gleich 0 ist. Damit enthält der Definitionsbereich der Tangens-Funktion alle realen Zahlen, außer den Zahlen, die an diesen Asymptoten liegen.

Abbildung 15.1 zeigt, wie die Asymptoten aussehen, wenn sie alleine als Graph dargestellt werden.

Abbildung 15.1: Die Asymptoten der Tangens-Funktion

Abbildung 15.1 ist nicht besonders aufregend, aber sie zeigt, wie oft die Tangens-Funktion ihr Muster wiederholt. Betrachten Sie dagegen jetzt Abbildung 15.2, wo Sie einen Durchgang der Tangens-Funktion auf einem Graphen sehen. Die Tangens-Werte gehen unendlich hoch, wenn sich das Winkelmaß 90 Grad annähert. Die Werte gehen unendlich tief, wenn sich das Winkelmaß –90 Grad annähert.

In Abbildung 15.3 habe ich mehr von dem Tangens im Graphen dargestellt, einschließlich der Asymptoten, so dass Sie sich besser vorstellen können, worum es geht.

Abbildung 15.2: Der Graph der Tangens-Funktion zwischen und oder –90 Grad und 90 Grad

Wie Sie sehen, wiederholt die Tangens-Funktion ihre Werte immer wieder. Der größte Unterschied zwischen dieser Funktion und den Sinus- und Kosinus-Funktionen ist, dass der Tangens alle diese Bruchstellen zwischen den Zyklen hat. Wenn Sie von links nach rechts gehen, scheint der Tangens nach plus unendlich zu verlaufen. Letztlich verschwindet er oben im Graphen und taucht dann unten wieder auf, wo die Werte von minus unendlich herkommen. Graphische Taschenrechner und andere Graphenwerkzeuge zeigen normalerweise nicht, wie der Graph oben verschwindet, deshalb bleibt es Ihnen überlassen, herauszufinden, was eigentlich passiert – auch wenn das Bild nicht genau so aussieht.

Abbildung 15.3: Der Graph der Tangens-Funktion zwischen und oder –630 und 630 Grad

Eine der Besonderheiten bei graphischen Taschenrechnern ist, dass sie versuchen, die Tangens-Funktion so zu verbinden, dass sie stetig über das Display verläuft. Aus diesem Grund sehen Sie häufig Linien zwischen den verschiedenen Kurvenabschnitten. In gewisser Weise sind diese Linien falsch – es sind nicht die Asymptoten, obwohl Sie vielleicht versucht sein könnten, sie dafür zu halten. Sie können diese überflüssigen Linien nur loswerden, wenn Sie den Taschenrechner in den dot-Modus (im Gegensatz zum connected-Modus) schalten. Die meisten Taschenrechner bieten Einstellungsmöglichkeiten für Dinge wie Grad und Bogenmaß, Punktgraphen und verbundene Graphen, Fließkommazahlen und feste Dezimalstellen usw. Diese Einstellungen sind normalerweise ganz einfach – lesen Sie in der Bedienungsanleitung für Ihren Taschenrechner nach. Schwierig ist es, sich zu merken, in welcher Einstellung man sich gerade befindet.

Teil VI

Der Top-Ten-Teil

In diesem Teil ...

In diesem Teil fasse ich noch einmal alles zusammen und zeige Ihnen einige grundlegende Identitäten, die Sie schnell anwenden können, falls Sie sie irgendwann brauchen.

16

Zehn grundlegende Identitäten ... und noch eine

In diesem Kapitel ...

Auflistung der Reziprok-, Pythagoreischen und Gegenwinkel-Identitäten

Mit Hilfe von Bausteinen trigonometrische Ausdrücke verändern

Ein großer Vorteil von trigonometrischen Ausdrücken und Gleichungen ist, dass Sie sie auf so vielerlei Arten anpassen können, dass sie genau Ihren Bedürfnissen entsprechen. Die grundlegenden Identitäten, die ich in diesem Kapitel aufliste, sind diejenigen, die die Leute am häufigsten anwenden (und sich am besten merken können).

Reziprok-Identitäten

Betrachten Sie die erste Reziprok-Identität und ihr Gegenstück:

und

Sekans, Kosekans und Kotangens sind technisch betrachtet die drei Reziprok-Funktionen, aber Sie können Identitäten auch so schreiben, dass sie ihre Reziproken zeigen. Als Nächstes sehen Sie die zweite reziproke Identität und ihr Gegenstück.

und

Der Tangens und seine Reziprok-Funktion haben zumindest gleich klingende Namen. Für die beiden anderen grundlegenden Funktionen und ihre Reziproken (siehe obige Gleichungen) scheint es nichts zu geben, was ihre Paarung rechtfertigt.

und

Verhältnis-Identitäten

Beide Verhältnis-Identitäten verwenden Brüche mit Sinus und Kosinus.

Und so habe ich mir gemerkt, welche Verhältnis-Identität den Sinus im Zähler hat: Tangens und Sinus haben Anfangsbuchstaben, die im Alphabet sehr nahe beieinander liegen, Kotangens und Kosinus haben denselben Anfangsbuchstaben. Diese Eselsbrücke hat mir in der Schule immer geholfen.

Pythagoreische Identitäten

Die erste Pythagoreische Identität verwendet Ihre guten Freunde Sinus und Kosinus und ist wahrscheinlich eine der am häufigsten eingesetzten Identitäten.

sin^2θ + cos^2θ = 1

Diese zweite Pythagoreische Identität stammt aus der ersten Pythagoreischen Identität: Man trennt einfach jeden Term in dieser Identität durch das Quadrat der Kosinus-Funktion und vereinfacht.

tan^2θ + 1 = sec^2θ

Und schließlich erhalten Sie die dritte Pythagoreische Identität aus der ersten, indem Sie jeden Term in dieser Identität durch das Quadrat des Sinus dividieren:

1 + cot^2θ = csc^2θ

Gegenwinkel-Identitäten

Diese Gegenwinkel-Identität ermöglicht Ihnen, bei der Verwendung der Sinus-Funktion zu einem positiven Winkel zu gelangen:

sin (−θ) = −sinθ

Diese zweite Gegenwinkel-Identität erscheint vielleicht etwas seltsam – die Tatsache, dass der Kosinus eines negativen Winkels denselben Wert wie der Kosinus des entsprechenden positiven Winkels hat, ist auf den ersten Blick immer überraschend.

cos(−θ) = cosθ

Die Gegenwinkel-Identität für den Tangens folgt demselben Muster wie die für den Sinus:

tan (−θ) = −tanθ

Stichwortverzeichnis

A

Achse
horizontal
vertikal
θ-Achse

Amplitude

Ankathete
arccos

Arccos
arccot

Arccot
arccsc

Arccsc
arcsec

Arcsec
arcsin

Arcsin
arctan

Arctan

Asymptote

Ausgabewert

Funktionen

Ausklammern

Grade

Gruppieren

Quadrat

B

Binom

Ausklammern

Bogenmaß

Bruchstelle

C
cos
cot
csc

D

Definitionsbereich

Differenz-Identität

Distanz
diagonale
horizontale
vertikal und horizontal

Doppelwinkel

Kosinus

Doppelwinkel-Formel

Doppelwinkel-Funktion

Doppelwinkel-Identität

Dreieck
bestimmen
gleichschenkliges
gleichseitiges
rechtwinkliges
rechtwinkliges, Seiten
schiefes
spitzes
stumpfes
ungleichseitiges

Dreiecksfläche

E

Eckpunkt

Eingabewert

Funktionen

Einheitskreis
negative Winkel
positive Winkel

Exponent

Exponent in Funktionsnamen

F

Faktor
größter gemeinsamer

Figur

Fläche berechnen

Form
konjugierte

Formel von Heron

Funktion

Definitionsbereich

Eingabe/Ausgabe
inverse

Inverse
inverse trigonometrische
reziproke
spiegeln

Tabelle
trigonometrische
verändern
verschieben

Wertebereich

1:1-Funktion

Funktionsname

Exponent

Funktionsnotation

G

Gegenkathete

Gegenwinkel-Identität

Gerade
sich schneidende Geraden

Gestreckter Winkel

Gleichung
trigonometrische

Grad

Ausklammern
in Radianten umrechnen
messen
umrechnen

Graph

Kotangens

Tangens

Graphendarstellung

Gruppieren
ausklammern

H

Halbwinkel-Formel

Heron

Höhe

Hypotenuse

I

Identität

Doppelwinkel
entgegengesetzte Winkel
halbe Winkel

Kosinus einer Differenz

Pythagoreische

Reziprok

Überblick

Winkelsummen

Inverse

Funktionsdefinitionen

Regeln

Inverse Funktion

Irrationale Zahl

K

Kofunktions-Identität

Konjugierte Form

Koordinate
bestimmen
kartesische

Koordinatenachse

Koordinatenebene

Koordinatensystem

Kosekans

Definitionsbereich

Reziprok-Funktion

Wertebereich

Kosekans-Funktion

Inverse

Kosinus

Amplitude

Definitionsbereich

Doppelwinkel

Graph

Halbwinkel

Periode

Reziprok-Funktion

Sinus

Wertebereich

Winkelsummen

Kosinus-Funktion

Inverse

Kosinus-Satz

Kotangens

Definitionsbereich

Graph

Reziprok-Funktion
und Tangens

Verhältnis-Identität

Wertebereich

Kotangens-Funktion

Inverse

Kreis

Durchmesser

Fläche

Mittelpunkt

Radiant

Radius

Sehne

Tangente

Umfang

Winkel

Kreiskoordinate

Kreismittelpunkt

Kreissektor

Kurve
verschieben

L

Länge

M

Mehrfachwinkel-Ausdruck

N

Navigation

Nebenwinkel

Neigungswinkel

Notation

P

Periode

Pi

Punkt

Pythagoras

Pythagoreische Identität

Q

Quadrant

Quadranten

Quadrat ausklammern

Quadratformel

Quadrieren

R

Radiant
in Grad umrechnen
umrechnen

Rationalisierung

Rechtwinklig

Referenzwinkel

Relation

Reziprok-Funktion

Tabelle

Reziprok-Identität

Richtung

S

Scheitelpunkt

Scheitelwinkel

Schenkel
erster und freier
sec

Sehne

Seite-Seite-Seite

Seite-Winkel-Seite

Sekans

Definitionsbereich

Reziprok-Funktion

Wertebereich

Sekans-Funktion

Inverse

Sektor
sin

Sinus

Amplitude

Definitionsbereich

Doppelwinkel

Gleichung

Graph

Kosinus

Periode

Reziprok-Funktion
verschieben

Wertebereich

Sinus-Funktion

Inverse

Sinus-Satz

Sinus-Wellen

Spitzer Winkel

SSS

Standardposition

Steigung

Steigungswinkel

Strahl

Strecke

Mitte

Stumpfer Winkel

Subtraktions-Identität

Supplementwinkel

SWS

T
tan

Tangens

Asymptote

Definitionsbereich

Graph

Periode

Reziprok-Funktion
und Kotangens

Verhältnis-Identität

Wertebereich

Tangens-Funktion

Inverse

Tangens-Satz

Tangente

Trigonometrie

Trigonometrische Funktion

U

Ursprung

V

Verhältnis-Identität

Verschiebung

W

Wert
exakter

Wertebereich

Winkel
addieren

Anfangs- und Endseiten

Differenzen

Funktionen
gebräuchliche
gestreckt
halber, Identität
halbieren
messen
negativer

Position
positiver
praktische
rechtwinklig

Schenkel
spitz

Standardposition

Strahllängen
stumpf
trigonometrische Funktionen

Winkelbezeichnung

Winkelmaß

Bogenmaß

Grad

Vielfache

Winkel-Seite-Winkel

Winkelsumme

Winkelsummen-Identität

Winkel-Winkel-Seite

WSW

Winkel-Seite-Winkel

Wurzel

WWS

Winkel-Winkel-Seite

X
x-Achse

Y
y-Achse

Z

Zahl
irrationale

Zahlenpaar
geordnetes